К решению контактной задачи для прямоугольной пластинки на упругом полупространстве
Another Title
To Solution of Contact Problem for Rectangular Plate on Elastic Half-Space
Bibliographic entry
Босаков, С. В. К решению контактной задачи для прямоугольной пластинки на упругом полупространстве = To Solution of Contact Problem for Rectangular Plate on Elastic Half-Space / С. В. Босаков // Наука и техника. – 2020. – № 3. – С. 224-229.
Abstract
До настоящего времени отсутствует точное решение контактной задачи для прямоугольной пластинки на упругом основании с распределительными свойствами. Практическими аналогами такой конструкции являются широко применяемые в строительстве плитные фундаменты. Многие ученые решали эту задачу различными способами. Методы конечных разностей, Б. Н. Жемочкина и степенных рядов не выделяют особенность в контактных напряжениях у краев плиты. Автор статьи получил разложение решения Буссинеска для определения перемещений поверхности упругого полупространства в виде двойного ряда по полиномам Чебышева первого рода в прямоугольной области. Впервые такое представление для симметричной части решения Буссинеска получил В. И. Сеймов и применил это разложение для исследования симметричных колебаний прямоугольного штампа с учетом инерционных свойств полупространства. Используя данное разложение, автор приводит решение задачи о динамических перемещениях прямоугольной пластинки, лежащей на упругом полупространстве, под действием произвольно приложенной сосредоточенной силы. При этом искомые перемещения задавались в виде двойного ряда по полиномам Чебышева первого рода, контактные напряжения – в виде двойного ряда по полиномам Чебышева первого рода с весом. В интегральном уравнении контактной задачи выполняется интегрирование по прямоугольной области с учетом ортогональности полиномов Чебышева. В полученном выражении приравниваются коэффициенты при одинаковых произведениях полиномов Чебышева. Получается бесконечная система линейных алгебраических уравнений, которая решается методом усиления. Таким образом находятся искомые коэффициенты в разложении для контактных напряжений.
Abstract in another language
Until the present time there is no exact solution to the contact problem for a rectangular plate on an elastic base with distribution properties. Practical analogues of this design are slab foundations widely used in construction. A lot of scientists have solved this problem in various ways. The methods of finite differences, B. N. Zhemochkin and power series do not distinguish a specific feature in contact stresses at the edges of the plate. The author of the paper has obtained an expansion of the Boussinesq solution for determining displacements of the elastic half-space surface in the form of a double series according to the Chebyshev polynomials of the first kind in a rectangular region. For the first time, such a representation for the symmetric part of the Boussinesq solution was obtained by V. I. Seimov and it has been applied to study symmetric vibrations of a rectangular stamp, taking into account inertial properties of the half-space. Using this expansion, the author gives a solution to the problem for a rectangular plate lying on an elastic half-space under the action of an arbitrarily applied concentrated force. In this case, the required displacements are specified in the form of a double row in the Chebyshev polynomials of the first kind. Contact stresses are also specified in the form of a double row according to the Chebyshev polynomials of the first kind with weight. In the integral equation of the contact problem integration over a rectangular region is performed while taking into account the orthogonality of the Chebyshev polynomials. In the resulting expression the coefficients are equal for the same products of the Chebyshev polynomials. The result is an infinite system of linear algebraic equations, which is solved by the amplification method. Thus the sought coefficients are found in the expansion for contact stresses.
View/
Collections
- № 3[9]