К решению контактной задачи для прямоугольной пластинки на упругом полупространстве

Abstract

До настоящего времени отсутствует точное решение контактной задачи для прямоугольной пластинки на упругом основании с распределительными свойствами. Практическими аналогами такой конструкции являются широко применяемые в строительстве плитные фундаменты. Многие ученые решали эту задачу различными способами. Методы конечных разностей, Б. Н. Жемочкина и степенных рядов не выделяют особенность в контактных напряжениях у краев плиты. Автор статьи получил разложение решения Буссинеска для определения перемещений поверхности упругого полупространства в виде двойного ряда по полиномам Чебышева первого рода в прямоугольной области. Впервые такое представление для симметричной части решения Буссинеска получил В. И. Сеймов и применил это разложение для исследования симметричных колебаний прямоугольного штампа с учетом инерционных свойств полупространства. Используя данное разложение, автор приводит решение задачи о динамических перемещениях прямоугольной пластинки, лежащей на упругом полупространстве, под действием произвольно приложенной сосредоточенной силы. При этом искомые перемещения задавались в виде двойного ряда по полиномам Чебышева первого рода, контактные напряжения – в виде двойного ряда по полиномам Чебышева первого рода с весом. В интегральном уравнении контактной задачи выполняется интегрирование по прямоугольной области с учетом ортогональности полиномов Чебышева. В полученном выражении приравниваются коэффициенты при одинаковых произведениях полиномов Чебышева. Получается бесконечная система линейных алгебраических уравнений, которая решается методом усиления. Таким образом находятся искомые коэффициенты в разложении для контактных напряжений.