Интегрирующий множитель для уравнения Абеля

Abstract

Рассмотрено дифференциальное уравнение первого порядка - уравнение Льенара, являющееся уравнением траекторий для систем, соответствующих уравнениям второго порядка. Путем замены переменной оно приведено к уравнению Абеля. Получены необходимые и достаточные условия существования интегрирующего множителя достаточно общего вида для уравнения Абеля. Умножение обеих частей дифференциального уравнения на интегрирующий множитель позволяет привести его к уравнению в полных дифференциалах, а значит, проинтегрировать уравнение в квадратурах. Существование интегрирующего множителя равносильно наличию группы непрерывных преобразований переменных, оставляющих инвариантным рассматриваемое уравнение. Такая группа преобразований выписывается по известному интегрирующему множителю. По найденной группе можно либо построить точное решение данного уравнения, либо по одному известному точному решению построить семейство решений дифференциального уравнения.