К приближенному интегрированию сильно осциллирующих функций

Abstract

Построены и исследованы простейшие приближенные формулы для численного интегрирования функций, содержащих осциллирующие множители специального вида с параметром. Общие квадратурные формулы в этом случае могут быть использованы только при достаточно малых значениях параметра. Следовательно, чтобы получить формулы численного интегрирования, пригодные при изменении параметра в широких границах, необходимо заранее учитывать наличие сильно осциллирующих множителей. Это можно сделать, принимая, например, такие множители за весовые функции. Кроме того, поскольку параметр способен принимать значения, которые заранее предвидеть не всегда можно, приближенные формулы для вычисления таких интегралов необходимо строить так, чтобы они содержали этот параметр в буквенном виде и были пригодны для вычисления при любых, в частности при больших, значениях параметра. Вычислительные правила, обладающие такими свойствами, обычно получают путем разбиения промежутка интегрирования на элементарные с последующим приближением плотности интеграла на каждом комплементарном промежутке многочленами первой, второй и третьей степеней, принимая при этом осциллирующие множители за весовые функции. В статье рассмотрен тот вариант, когда плотность интегралов на каждом элементарном промежутке аппроксимируется многочленом нулевой степени – константой, равной значению плотности в середине этого промежутка. Попутно сконструирована одна приближенная формула для вычисления несобственного интеграла по бесконечному промежутку от функции, содержащей осциллирующий множитель специального вида. При этом предполагали, что плотность несобственного интеграла достаточно быстро стремится к нулю, когда модуль аргумента неограниченно возрастает. Другими словами, она считается пренебрежимо малой вне некоторого конечного отрезка. Получены равномерные по параметру оценки погрешностей приближенных формул, позволяющие вычислять интегралы с заданной точностью.