Приближенное решение с помощью элементарных функций смешанной задачи с краевыми условиями второго рода для одномерного волнового уравнения

Abstract

В статье рассматривается смешанная задача с краевыми условиями второго рода для одномерного волнового уравнения. Решение этой задачи записывается в интегральной форме с помощью функции Грина. Для практического использования это решение малопригодно, так как, во-первых, функция Грина представляет собой тригонометрический ряд и, следовательно, ее вычисление представляет определенные трудности, во-вторых, приходится приближенно вычислять пять интегралов с функцией Грина, входящих в решение задачи, и, в-третьих, крайне затруднительно оценить погрешность приближенного вычисления решения. В настоящей работе преодолены эти трудности, а именно, для функции Грина найдено простое выражение через периодическую кусочно-линейную функцию, интегралы, входящие в приближенное решение, вычисляются с помощью периодических кусочно-линейной, кусочно-квадратичной и кусочно-кубической функций, и, наконец, получена простая и эффективная оценка погрешности аппроксимации. Оценка погрешности линейна по шагам сеток задачи и в любой фиксированный момент времени равномерна по пространственной переменной. Таким образом, приближенное решение задачи со сколь угодно малой погрешностью эффективно выражается через элементарные функции. Приведен пример решения задачи предложенным методом, а также построены графики точного и приближенного решений.