Решение сингулярного интегрального уравнения теории упругости с помощью асимптотических многочленов

Abstract

Предлагается новый метод приближенного решения одного вида сингулярных интегральных уравнений теории упругости, которые рассматривались ранее другими авторами. Приближенное решение отыскивается в виде асимптотического многочлена невысокой степени (первое приближение), основанного на полиномах Чебышева второго рода. Другие авторы получали решение методом механических квадратур (только в отдельных точках) и хотя использовали также полиномы Чебышева второго рода, однако применяли другую систему узлов, на которых строили нужные формулы. Предлагаемый метод позволяет не только найти приближенное решение для всего промежутка в виде многочлена, но и вслед за приближенным решением получить остаточный член в виде разложения в бесконечный ряд, коэффициентами которого являются линейные функционалы заданного интегрального уравнения, а базисными функциями – полиномы Чебышева второго рода. Такое представление остаточного члена первого приближения позволяет найти слагаемое бесконечного ряда, начиная с которого будет выполняться заданная точность искомого решения. Этот номер является степенью асимптотического многочлена (второе приближение), который и будет с заданной точностью давать приближение к точному решению. Рассматриваемые многочлены асимптотически стремятся к полиному наилучшего равномерного приближения в пространстве С, построенному для данного оператора. Показана сходимость приближенного решения к точному и дана оценка погрешности. Предлагаемый алгоритм получения приближенного решения и оценки погрешности хорошо реализуется с помощью вычислительной техники и не требует большой предварительной подготовки при составлении программы.