Аппроксимация функций

Краткие теоретические сведения

Нахождение функции y=j(x), близкой (т.е. аппроксимирующей) к некоторой исходной функции y=f(x)является одной из основных задач теории аппроксимации функций.

Интерполяция является одним из способов аппроксимации функций. Суть ее состоит в следующем. В области значений x, представляющей некоторый интервал [a, b], где функции f и j должны быть близки, выбирают упорядоченную систему точек (узлов). (обозначим их как вектор ), число которых равно количеству искомых параметров . Далее, параметры вектора подбирают такими, чтобы функция совпадала с f(x) в этих узлах, (2.1)

Наиболее простой, хорошо изученной и нашедшей широкое применение в настоящее время, является линейная аппроксимация, при которой выбирают функцию , линейно зависящую от параметров .

Для большинства практически важных приложений при интерполяции наиболее удобны обычные алгебраические многочлены, ибо они легко обрабатываются на ЭВМ.

Из математического анализа известно, что в силу теоремы Вейерштрасса, любую функцию можно с какой угодно точностью приблизить многочленом.

Пусть f(x) – функция, непрерывная на отрезке [a,b].

Выберем на этом отрезке узлы интерполяции:

Предположим, что в узлах интерполяции значения функции известны:

. (2.2)

Ставится задача: найти алгебраический многочлен P_n_-1(x) такой, что

. (2.3)

Интерполяционным многочленом называют алгебраический многочлен степени n-1, совпадающий с аппроксимируемой функцией в выбранных n точках.

Общий вид алгебраического многочлена

(2.4)

Можно показать, что задача интерполяции посредством алгебраических многочленов имеет решение, причем единственное,

Оценка погрешности интерполяции:

, где . (2.5)

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Многочлен Лагранжа имеет вид:

где (2.6.)

Очевидно, что а ,(2.7)

Линейная интерполяция

В общем случае для приближенного вычисления значения функции f в точке x_Т находят в таблице ближайший к этой точке i-узел из общей таблицы, строят интерполяционный линейный многочлен вида:

(2.8)

и за значение f(x) принимают (линейная интерполяция)

Можно показать, что погрешность линейной интерполяции оценивается как:

где h – расстояние между соседними точками.

Интерполяционный многочлен Ньютона

Пусть − набор узлов интерполирования, − значения функции в узлах.

Величину называют конечной разностью первого порядка в к-ом узле.

Аналогично определяются конечные разности высших порядков.

Разделенной разностью первого порядка называется выражение

Разделенной разностью второго порядка называется выражение

и т. д.

Используя представление функции f(x) в текущей точке x через разделенные разности можно показать, что

. (2.9)

Очевидно, при

т. е. − интерполяционный многочлен. Его называют интерполяционным многочленом Ньютона.

Рассмотрим случай равноотстоящих узлов, т. е. x_i-x_i_-1=h

Тогда после нескольких преобразований получим:

интерполяционный многочлен Ньютона-Грегори:

Пример:

Пусть требуется найти интерполяционный многочлен для функции , имеющей в узлах , , ,

значения , , , .

Шаг h=1,m=4.

Вычислим конечные разности:

x_i

-2

-1

N₃(x)=5+-2/(1!*1)(x-0)+1/(2!*1²)(x-0)(x-1)+2/(3!*1³)(x-0)(x-1)(x-2)

Аналитический вид полинома Ньютона-Грегори третьего порядка:

Варианты заданий

1. Во всех вариантах требуется аппроксимировать заданную исходную функцию f(x) многочленом Лагранжа на интервале [a, b], m - количество точек (узлов), в которых задана функция. Т.е. таблица исходной функции y_i=f(x_i) вычисляется в точках