МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Теоретическая механика» П. И. Ширвель МЕХАНИКА НЕОБРАТИМЫХ ДЕФОРМАЦИЙ Методическое пособие к лабораторным работам В 2 частях Часть 1 Минск БНТУ 2014 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Теоретическая механика» П. И. Ширвель МЕХАНИКА НЕОБРАТИМЫХ ДЕФОРМАЦИЙ Методическое пособие к лабораторным работам В 2 частях Часть 1 Рекомендовано учебно-методическим объединением в сфере высшего образования Республики Беларусь по образованию в области машиностроительного оборудования и технологий для студентов технических специальностей высших учебных заведений Минск БНТУ 2014 2 УДК 372.853+372.862+539.3/539.5+539.8 ББК 22.2+22.3 Ш64 Рецензенты : М. Г. Ботогова, Т. М. Мартыненко Ш64 Ширвель, П. И. Механика необратимых деформаций : методическое пособие к лабораторным работам : в 2 ч. / П. И. Ширвель. – Минск : БНТУ, 2014 – . – Ч 1. – 176 с. ISBN 978-985-550-350-8 (Ч. 1). В методическом пособии к лабораторным работам включено краткое изложение основных теоретических сведений, знание которых необходимо для сознательного решения задач механики по расчету напряженно-деформированного состояния эле- ментов конструкций и компонентов оборудования, эксплуатируемых в экстремаль- ных условиях нагружения (включая неоднородное термосиловое и радиационное воздействие). Основное внимание уделено обобщению и систематизации данных по деформированию и изменению свойств, построению механико-математических мо- делей, использованию эффективных расчетных методов и т. д. Для решения кон- кретных задач применяются комплексы виртуального моделирования механических процессов (ANSYS, ABAQUS), пакеты вычислительных программ (MathCAD, MatLAB, Maple, Mathematics), средства программирования Microsoft Visual Studio 2012. Это способствует развитию у студентов здорового интереса к механико- математическим аспектам решения прикладных научно-технических задач. Пособие может быть использовано студентами, магистрантами и аспирантами машиностроительных и энергетических специальностей, связанных с компьютерным моделированием необратимых механических процессов, а также преподавателями и инженерно-техническими работниками в целях повышения квалификации. УДК 372.853+372.862+539.3/539.5+539.8 ББК 22.2+22.3 ISBN 978-985-550-350-8 (Ч. 1) © Ширвель П. И., 2014 ISBN 978-985-550-351-5 © Белорусский национальный технический университет, 2014 3 ПРЕДИСЛОВИЕ В различных областях высокотехнологической промышленности (энергетическое и атомное машиностроение, аэрокосмическая от- расль, двигателестроение, теплоэнергетическое строительство) находят широкое применение конструкционные элементы и компо- ненты оборудования, способные работать в различных режимах экстремального нагружения. Повышенные требования, предъявляе- мые к прочности и надежности таких элементов, могут быть обес- печены лишь при наличии достоверной информации об их напря- женно-деформированном состоянии (НДС). Последующий расчет на прочность и оценка долговечности основаны на анализе НДС с учетом особенностей свойств и поведения материала в реальных условиях эксплуатации. Отметим, что современная постановка за- дач механики в настоящее время требует исследования НДС при всевозможных условиях, как правило, экстремальной эксплуатации, включая аварийные ситуации, вплоть до разрушения. Создание ме- ханико-математических моделей и методов расчета, в полной мере удовлетворяющих этим зачастую противоречивым требованиям, является одним из важнейших направлений механики деформируе- мого твердого тела [1]. Именно поэтому моделирование процессов деформирования твердых тел в сложных условиях физического и механического нагружения актуально как в теоретическом, так и в прикладном плане, что подтверждается ростом числа публикаций в отечественной и зарубежной литературе (по данным индекса цити- руемости электронных систем научного поиска Web of Science, Scopus, SciVerse Science Direct). Здесь следует также подчеркнуть, что для текущего этапа развития механики характерна тесная взаи- мозависимость в постановке и решении общетеоретических про- блем и прикладных наукоемких инженерных задач. Так, при реше- нии задач продления эксплуатации компонентов оборудования, внедрения новых материалов в элементы конструкции, подвержен- ные сложным техногенным воздействиям, возникает необходимость в более адекватном описании и имитационном моделировании. К примеру, многие компоненты оборудования и элементы кон- струкций энергетического машиностроения в процессе эксплуата- ции подвергаются воздействию различных немеханических факто- ров, которые могут существенно изменить как физико- 4 механические свойства, так и НДС. К таким факторам можно отне- сти неоднородное поле высоких температур, облучение потоком частиц с большой энергией, изменение внутренней структуры мате- риала (образование пор и включений) и другие. Учет этих факторов становится определяющим, в частности, для конструктивных элемен- тов, используемых в атомной промышленности, которые работают продолжительное время в совместных условиях механических и физи- ческих нелинейных воздействий, что приводит к необходимости до- полнительного исследования в процессе эксплуатации НДС наиболее ответственных из них. Это становится крайне важной задачей, так как непредвиденное поведение элементов конструкций и компонентов оборудования в зоне высокой радиации может привести к катастрофе. 5 Лабораторная работа № 1 РАСЧЕТ НДС В КОНСТРУКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТАХ ПРИ МЕХАНИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ СРЕДСТВАМИ ВИРТУАЛЬНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Цель: научиться решать классические задачи механики дефор- мируемого твердого тела с помощью современных компьютерных технологий; отработать основные этапы виртуального моделирова- ния напряженного и деформированного состояния элементов кон- струкций при механическом нагружении (задание свойств модели, построение геометрии, приложение нагрузки, проведение расчета, обработка и анализ полученных результатов, проведение численных экспериментов и другое); сравнить полученные численные решения с известными аналитическими результатами. Задание. Определить НДС заданного элемента конструкции (табл. 1.1) при механическом нагружении средствами ANSYS [2]. Сравнить результаты с известными аналитическими решениями по теории упругости. Механическую нагрузку на внутренней и внеш- ней поверхности принять равной 1 и 3 МПа соответственно. Рас- смотреть решение задачи на примере двух материалов: конструкци- онная сталь и диоксид урана. Таблица 1.1 Номера индивидуальных вариантов к заданию лабораторной работы № 1 Номер варианта Геометрия твердого тела Номер варианта Геометрия твердого тела 1 Сплошная сфера 9 Сплошной тонкий диск 2 Полая сфера 10 Двуслойный полый цилиндр 3 Сплошной цилиндр 11 Трехслойная сплошная сфера 4 Полый цилиндр 12 Тонкое кольцо 5 Тонкостенная цилиндрическая оболочка 13 Двуслойная сплошная сфера 6 Окончание табл. 1.1 Номер варианта Геометрия твердого тела Номер варианта Геометрия твердого тела 6 Круглая пластинка 14 Четырехслойный сплошной цилиндр 7 Прямоугольная пластина 15 Тонкостенная сферическая оболочка 8 Пластина с цилиндрическим отверстием 16 Длинный стержень Пример 1. Смоделируем деформирование длинного полого цилин- дра из конструкционного материала (без внутренних источников теп- ловыделения) под действием внешней равномерной распределенной механической нагрузки (задача Ламе). Задачу будем решать в вирту- альной среде программы ANSYS 9.0 Ed (Student Edition). Порядок выполнения основных этапов работы 1. Запускаем ANSYS 9.0 ed.(student edition). Определяем тип проводимого анализа: MAIN MENU => PREFERENCES…=> STRUCTURAL=> ОК. 2. Выбираем тип используемого элемента и определяем свой- ства материала. Выбор типа конечного элемента: M.M. => PREPROCESSSOR => ELEMENT TYPE => ADD/EDIT/DELETE => ADD… => SOLID 20 NODE 186 => OK => CLOSE. Выбор материала: M.M. => PREPROCESSSOR => MATERIAL PROPS => MATERIAL MODELS. В появившемся окне следуем нижеприведенной последователь- ности (рис. 1.1): STRUCTURAL => LINEAR => ELASTIC => ISOTROPIC: EX => 2 E11, PRXY = 0.3 => OK; 7 Рис. 1.1. Задание свойств материала 3. Создание геометрии. Для начала создаем две концентричные окружности: M.M. => PREPROCESSSOR => MODELING => CREATE => AREAS => CIRCLE => SOLID CIRCLE. Требуемые числовые значения для первой окружности: WP X =0; WP Y =0; Radius =1. После ввода данных нажимаем Apply. Затем вводим данные для второй окружности: WP X =0; WP Y =0; Radius =0.7. Далее вычтем меньшую окружность из большей: M.M. => PREPROCESSSOR => MODELING => OPERATE => BOOLEANS => DIVIDE => AREA BY AREA. Левой кнопкой мыши выбираем полученную геометрию и в по- явившемся окошке нажимаем OK (рис. 1.2). Рис. 1.2 8 Далее в окошке слева нажимаем Apply и выбираем внутреннюю окружность геометрии. В появившемся окне выбираем Next => OK и теперь в окошке слева также нажимаем OK. После проведенных преобразований окончательно геометрия примет вид (рис. 1.3): Рис. 1.3. Вид геометрии после вычитания окружности меньшего диаметра Так как рассматриваемое твердое тело обладает симметричной геометрией, очевидно, что при равномерном механическом нагру- жении будет возникать осесимметричное напряженное и деформи- рованное состояние. Следовательно, можно рассматривать часть модели твердого тела. Для того чтобы оставить лишь четвертую часть кольца, выполним: UTILITY MENU => PLOT => LINES. По- сле чего создадим две линии, как показано на рис. 1.4 (привязки к нужным точкам будут создаваться автоматически), используя сле- дующую последовательность команд: M.M. => PREPROCESSSOR => MODELING => CREATE => LINES => LINES => STRAIGHT LINE. 9 Рис. 1.4. Вид геометрии твердого тела после создания прямых линий и выделение необходимых линий для разделения поверхности Далее разделяем поверхность кольца на две части, используя со- зданные линии: M.M. => PREPROCESSSOR => MODELING => OPERATE => BOOLEANS => DIVIDE => AREA BY LINE. UTILITY MENU => PLOT => AREAS. Далее удалим ненужную часть кольца (рис. 1.5): M.M. => PREPROCESSSOR => MODELING => DELETE => AREAS ONLY. 10 Рис. 1.5. Удаление ненужной области Нажимаем OK. UTILITY MENU => PLOT => LINES. Теперь можно удалить все ненужные линии: M.M. => PREPROCESSSOR => MODELING => DELETE => LINES ONLY. Выбираем те же линии что и на рис. 1.4, исключая вертикальную и горизонтальную прямые. Нажимаем OK. RBM (правая кнопка мыши) => REPLOT. Таким образом, геометрия примет следующий вид: U.M. => PLOT => AREAS. Далее вытягиваем полученную поверхность вдоль оси Z на 5 мм. M.M. => PREPROCESSSOR => MODELING => OPERATE => EXTRUDE => AREAS => BY XYZ OFFSET. Выбираем поверх- ность, и в появившемся окне вводим следующие данные: 11 Рис. 1.6. Меню вытягивания твердотельной модели Далее в графической области нажимаем правой клавишей мыши для просмотра созданной геометрия твердого тела – Veiw => Isometric. Рис. 1.7. Изометрический вид геометрии после вытягивания области 4. Разбиение полученной модели на конечные элементы. Выбираем: M.M. => PREPROCESSSOR => MESHING => MESH TOOL. В появившемся окне в разделе Size Controls напротив пункта Global выбираем Set. Далее в ячейку напротив SIZE Element edge length вводим зна- чение (1-0.7)/5 и нажимаем OK. Данными действиями мы задали размер элемента. В разделе Shape выбираем пункт Hex, жмем Mesh и выбираем геометрию созданной модели, OK. 12 5. Задание граничных условий симметрии. Выбираем U.M. => PLOT => LINES. Выполняем следующую последовательность команд: M.M. => PREPROCESSSOR => LOADS => DEFINE LOADS => APPLY => STRUCTURAL => DISPLACEMENT => ON AREAS. Выбираем курсором грань, указанную на рисунке ниже, OK. В появившемся окне в разделе DOFs to be constrained выбираем UY. Жмем OK. Такую же последовательность действий произведем для еще двух граней: M.M. => PREPROCESSOR => LOADS => DEFINE LOADS => APPLY => STRUCTURAL => DISPLACEMENT => ON AREAS. В появившемся окне в разделе DOFs to be constrained выбираем UX, OK. M.M. => PREPROCESSSOR => LOADS => DEFINE LOADS => APPLY => STRUCTURAL => DISPLACEMENT => ON AREAS. В появившемся окне в разделе DOFs to be constrained выбираем UZ. Нажимаем OK. 6. Нагружение модели твердого тела. Прикладываем давление к указанным граням: M.M. => PREPROCESSSOR => LOADS => DEFINE LOADS => APPLY => STRUCTURAL => PRESSURE => ON AREAS. Нажима- ем OK и в появившемся окне в графе VALUE Load PRES value вводим значение 0. OK. M.M. => PREPROCESSSOR => LOADS => DEFINE LOADS => APPLY => STRUCTURAL => PRESSURE => ON AREAS. 13 Нажимаем OK и в появившемся окне в графе VALUE Load PRES value вводим значение 100. Выбираем OK. Применим опцию отображения давления при помощи стрелок. Для этого U.M. => PLOT CNTRLS => SYMBOLS. В появившемся окне вместо Face Outlines выбираем Arrows. 7. Запускаем на расчет рассматриваемую задачу: M.M. => SOLUTION => SOLVE => CURRENT LS. Рис. 1.8. Вид геометрии после произведенного расчета 8. Просмотр результатов: M.M. => GENERAL POSTPROC => PLOT RESULTS => CONTOUR PLOT => NODAL SOLUTION. 14 Рис. 1.9 Для того чтобы отобразить распределение нормальных напряже- ний по радиусу, выбираем M.M. => GENERAL POSTPROC => OPTIONS FOR OUTPUT. Меняем значение Results Coordinate System на Global Cylindri- cal. UTILITY MENU => PLOT => REPLOT. Выполним переход из прямоугольной системы координат в ци- линдрическую: M.M. => GENERAL POSTPROC => OPTIONS FOR OUTP Выбираем просмотр результатов в цилиндрической системе ко- ординат (рис. 1.10). Рис. 1.10. Переход к цилиндрической системе координат 15 Нажимаем правой клавишей мыши в области рабочего окна и перерисовываем область (рис. 1.11). Рис. 1.11 Результат расчетов в цилиндрической системе координат пред- ставлен на рис. 1.12. Рис. 1.12. Результат расчетов в цилиндрической системе координат 9. Проанализируем напряжение в определенных точках. Необходимо отключить опцию POWERGRPH. 16 Рис. 1.13. Отключение опции POWERGRPH M.M. => GENERAL POSTPROC => QUERY RESULTS => NODAL SOLUTION. STRES => Y direction SY Рис. 1.14. Окно переключения координатных осей Теперь выбираем любую точку и можем видеть результат: напряжение, координаты точки и номер узла. 17 Рис. 1.15. Значение напряжения в определенной точке Также можно узнать, где расположено максимальное/минимальное напряжение с их координатами и номером узла (рис. 1.16). Рис. 1.16. Просмотр минимальных и максимальных значений напряжений ПРИМЕР 2. Смоделируем деформирование пластины (без внут- ренних источников тепла) под действием внешней механической нагрузки. Считается, что бесконечная пластина с отверстием под- вержена растягивающим усилиям (задача Кирша). 18 Порядок выполнения работы 1. Определяем тип анализа: MAIN MENU => PREFERENCES => STRUCTURAL. 2. Выбираем тип используемого конечного элемента: M.M. => ELEMENT TYPE => ADD/EDIT/DELETE => ADD => SOLID 8node 82 => OK => CLOSE. 3. Задаем свойства материала: M.M. => MATERIAL PROPS => MATERIAL MODELS. Далее выбираем следующие пункты: STRUCTURAL => LINEAR => ELASTIC => ISOTROPIC. Задаем модуль Юнга и число Пуассона для рассматриваемого материала. Рис. 1.17. Задание свойств материала 4. Создание геометрии модели: M.M. => MODELING => CREATE => AREAS => RECTANGLE => BY DIMENSIONS. Рис. 1.18. Параметры ввода для создания прямоугольной области 19 Построим окружность: M.M. => MODELING => CREATE => AREAS => CIRCLE => SOLID CIRCLE. Wp X = 0; Wp Y = 0; Radius = 0.5. Далее вычтем окружность из прямоугольника: M.M. => MODELING => OPERATE => BOOLEANS => DIVIDE => AREA BY AREA. Курсором мыши выбираем прямоугольник, нажимаем Apply, по- сле этого выбираем окружность и OK. В итоге получим следующую картину. Рис. 1.19. Вид полученной области после вычета окружности из прямоугольной области 5. Разбиение модели на конечно-элементную сетку: M.M. => MESHING => MESH TOOL. В появившемся окне в разделе Shape устанавливаем маркеры на значения Quad и Free. В разделе Size controls => Global нажимаем кнопку Set и вводим значение 0.25 в ячейке SIZE Element edge length. Далее жмем кнопку Mesh и выбираем созданную геометрию твердого тела. 6. Наложение граничных условий симметрии. Наложение ограничений по осям будем проводить по линиям, указанным на рис. 1.20. 20 Рис. 1.20. Линии для наложения граничных условий Для первого случая M.M. => LOADS => DEFINE LOADS => APPLY => STRUCTURAL => DISPLACEMENT => ON LINES. В появившемся окне в разделе DOFs to be constrained выбираем UХ, OK. Для второго случая M.M. => LOADS => DEFINE LOADS => APPLY => STRUCTURAL => DISPLACEMENT => ON LINES. В появившемся окне в разделе DOFs to be constrained выбираем UY, K. Теперь прикладываем нагрузку в виде давления на линию, ука- занную на рис. 1.21. Рис. 1.21. Линия для наложения давления 21 M.M. => LOADS => DEFINE LOADS => APPLY => STRUCTURAL => PRESSURE => ON LINES и вводим значение –100 в поле VALUE Load PRESS value. Замечание. Знак «минус» обусловлен тем, что по умолчанию давление является сжимающей нагрузкой, но в нашем случае необ- ходимо обеспечить растяжение. 7. Выполнение решения (запуск на расчет). M.M. => SOLUTION => SOLVE => CURRENT LS. Просмотрим результаты решения: M.M. => PLOT RESULTS => CONTOUR PLOT => NODAL SOLUTION и в окне Item to be contoured выберем пункт Von Mises stress. В результате получим картину распределения напряженного со- стояния модели (рис. 1.22). Рис. 1.22. Результаты выполнения расчета. Эквивалентные напряжения (Von Mises stress) Очевидно, что область непосредственно возле выреза следует рассмотреть более подробно. Для этого необходимо построить там более точную сетку. 8. Создание подмодели. Сменим имя базы данных (предварительно сохраним базу дан- ных (рис. 1.23), нажав клавишу SAVE_DB и задав имя “file”). 22 Рис. 1.23. Сохранение базы данных U.M. => FILE => CHANGE JOBNAME. Меняем имя на «file_2». Далее «сносим» всю созданную сетку: M.M. => MESHING => MESH TOOL. При появлении соответствующего окна нажимаем на кнопку Clear и выделяем геометрию модели. Создаем точки для новой разметки разреза: U.M. => PLOT => LINES M.M. => MODELING => CREATE => KEYPOINTS => IN ACTIVE CS Задаем первой точке значения для координат Х и У (2.5;0), вто- рой точке – (0;2.5). Далее строим линии разреза: M.M. => MODELING => CREATE => LINES => NORMAL TO LINE Первоначально выбираем линию, перпендикулярно которой будет проходить создаваемая линия, затем выбираем точку. 23 Рис. 1.24. Создание линий разреза Линия создается автоматически. Точно так же поступаем для со- здания горизонтальной линии разреза. В итоге получим следующую картину (рис. 1.25). Рис. 1.25. Созданные линии разреза Далее необходимо удалить лишнюю часть геометрии твердого тела. Для этого сначала разделим полученную геометрию нарисо- ванными линиями: M.M. => MODELING => OPERATE => BOOLEANS => DIVIDE => AREA BY LINE. 24 Первоначально выбираем геометрию модели, а затем две со- зданные линии разреза. Удаляем лишние части геометрии модели: M.M. => MODELING => OPERATE => DELETE => AREA AND BELOW. Рис. 1.26. Выбор лишних областей для удаления В итоге получим следующую картину: Рис. 1.27. Окончательный вид геометрии модели 25 Обрисуем линии: U.M. => PLOT => LINES. Таким образом, в данный момент у нас есть геометрия, состоящая из пяти линий. Замечание: ANSYS не сможет построить регулярную сетку для такой модели. Поэтому создадим вспомогательную линию перпен- дикулярную дуге окружности, которая разделит геометрию на две части: M.M. => MODELING => CREATE => LINES => => NORMAL TO LINE. Для начала выберем линию дуги окружности для задания ориен- тира, а затем точку для завершения прямой. В итоге геометрия при- мет вид (рис. 1.28): Рис. 1.28. Создание дополнительной линии для успешного разбиения регулярной сетки При помощи созданной линии разобьем область на две подобласти: M.M. => MODELING => OPERATE => BOOLEANS => => DIVIDE => AREA BY LINE. После выбора данной команды выбираем геометрию, а затем ли- нию, перпендикулярную дуге окружности. Теперь создаем регуляр- ную сетку для каждой подобласти: M.M. => MESHING => MESH TOOL. В разделе Mesh выбираем 3 or 4 sides для создания регулярной сетки. И выбираем обе подобласти. Прикладываем граничные усло- вия симметрии точно также, как и для глобальной модели: 26 M.M. => LOADS => DEFINE LOADS => APPLY => STRUCTURAL => DISPLACEMENT => ON LINES. В появившемся окне в разделе DOFs to be constrained выбираем UХ. Нажимаем OK. M.M. => LOADS => DEFINE LOADS => APPLY => STRUCTURAL => DISPLACEMENT => ON LINES. В появившемся окне в разделе DOFs to be constrained выбираем UY. Нажимаем OK. После проведенных операций модель примет вид (рис. 1.29): Рис. 1.29. Полученная сетка КЭ Далее следует перенести результаты напряжений на линии отре- зов с глобальной модели: U.M. => SELECT => ENTETIES. Выбираем необходимые линии разрезов (горизонтальную и вер- тикальную линии, на которые не наложены граничные условия, со- гласно рис. 1.30). 27 Рис. 1.30. Выбор линий отрезов U.M. => SELECT => ENTETIES. Выбираем узлы, принадлежащие выбранным ранее линиям (рис. 1.31). Рис. 1.31. Выбор узлов линий отрезов 28 Переписываем в файл координаты данных узлов: M.M. => MODELING => CREATE => NODES => WRITE NODE FILE. Задаем имя файла nodes.txt и сохраняем в персональную папку. Сохраняем созданную подмодель. Переходим в глобальную модель, меняя имя базы данных на file. U.M. => FILE => CHANGE JOBNAME. Теперь восстановим базу данных, нажав кнопку RESUME_DB. M.M. => GENERAL POSTPROC => DATA & FILE OPTS. Cчитываем имеющиеся у нас решения (проведенного расчета), выбрав файл file.rst. M.M. => GENERAL POSTPROC => READ RESULTS => LAST SET => SUBMODELING => INTERPOLATE DOF. В появившемся окне вводим следующие данные (рис. 1.32): Рис. 1.32. Считывание решений Снова включаем подмодель, меняя имя проекта на file_2. Далее жмем кнопку “RESUME_DB”. U.M. => FILE => READ INPUT FROM В появившемся списке выбираем ранее записанный файл dofs.txt. U.M. => SELECT => EVERYTHING. Выполняем решение: M.M. => SOLUTION => SOLVE => CURRENT LS. Просмотр результатов: M.M. => PLOT RESULTS => CONTOUR PLOT => NODAL SOLUTION. В окне Item to be contoured, напри- мер, выбираем пункт Von Mises stress. 29 Рис. 1.33. Полученное уточненное решение (подмодель) для задачи Кирша Замечание. В содержание отчета о проделанной лабораторной работе № 1 должны входить: краткие теоретические сведения; по- дробное описание всех шагов расчета с помощью ANSYS при про- ведении структурного прочностного анализа [2], рисунки состояний твердого тела. Краткие выводы. Рекомендуемое оформление отчета см. прил. А, Б. Задачи для практической работы 1. Толстостенная труба подвергается действию внешнего pb и внутреннего pa давлений (рис. 1.34). Требуется: а) приняв функцию напряжений в виде 20 0φ lnB r C r  , прове- рить, удовлетворяется ли бигармоническое уравнение; б) найти компоненты напряженного состояния σr, σθ, σrθ; в) проверить, удовлетворяются ли дифференциальные уравнения равновесия; г) используя граничные условия, определить постоянные A, B; 30 д) построить эпюры напряжений σr, σθ для случаев pa = 0 (pb = 0); е) определить, в каких точках трубы при наличии только внут- реннего давления (pa = 0) начнутся, прежде всего, пластические де- формации. Подсчитать давление и полученный результат сравнить со слу- чаем, когда b→∞. Рис. 1.34 2. Полный круговой полуцилиндр большой длины (рис. 1.35) лежит на абсолютно жестком и гладком основании. Требуется: а) приняв функцию напряжения φ в виде 2 2 4 2 0 0 2 2 22φ ln cos 2θ, CA r B r A r B r D r          проверить, является ли она решением плоской задачи; б) определить напряжения σr, σθ, σrθ; в) проверить, удовлетворяются ли дифференциальные уравнения равновесия; г) составить граничные условия и определить постоянные инте- грирования; д) построить эпюры напряжений σr, σθ, σrθ для следующих част- ных случаев: θ = 0, 45°, 90°. 31 Замечание: при определении произвольных постоянных, пред- ставить sinθ в выражении для q в виде sinθ = 2/π–4cos2θ/3π–... Рис. 1.35 3. Решить задачу № 2 для случая a = 0. Функцию напряжений принять в виде 2 2 40 2 2( )cos 2 ,A r A r B r     4. Стержень узкого прямоугольного поперечного сечения с кру- говой осевой линией заделан одним концом и нагружен касатель- ными усилиями на другом (рис. 1.36). Равнодействующая послед- них равна P. Требуется: а) приняв функцию напряжений в виде 3 1 1 1 ln sin , BA r C r r r         проверить, удовлетворяется ли бигармоническое уравнение; б) определить компоненты напряженного состояния σr, σθ, σrθ; в) проверить, удовлетворяются ли дифференциальные уравнения равновесия; г) составить граничные условия и определить постоянный инте- грирования; д) построить эпюры напряжений для θ = const, a ≤ r ≤ b. 5. На край полубесконечной пластины действует сосредоточен- ная сила P (рис. 1.37). 32 Рис. 1.36 Рис. 1.37 Требуется: а) приняв функцию напряжений в виде 1 1( sin cos ),rB A B     проверить, является ли она решением плоской задачи теории упру- гости; б) определить напряжения σr, σθ, σrθ; в) проверить, удовлетворяются ли дифференциальные уравнения равновесия; г) определить постоянные из условия равновесия части пластины в виде полуокружности; д) найти геометрическое место точек, в которых радиальные напряжения отсутствуют; е) построить эпюру напряжений σr для сечения r = const; ж) найти напряжения в плоскости пластины и для сечения x = const построить их эпюры. 6. Балка на двух опорах подвергается изгибу равномерно распре- деленной нагрузкой интенсивности q (рис. 1.38). Рис. 1.38 33 Требуется: а) приняв функцию напряжений в виде 2 3 3 3 1 1( ) , 2 6 60 qBy M x By Cy D y C y           проверить, удовлетворяется ли бигармоническое уравнение; б) определить напряжения σx, σy, τxy; в) ставить граничные условия и определить необходимые посто- янные. Условиям на торцах удовлетворить интегрально по Сен- Венану; г) построить эпюры напряжений σx, σy, τxy для произвольных се- чений x = const, y = const и сравнить их с аналогичными эпюрами в сопротивлении материалов. 7. Пластинка с отверстием малого радиуса a растягивается в направлении оси х (рис. 1.39). Требуется: а) определить напряжения σr, σθ, τrθ в пластинке без отверстия, приняв функцию напряжений в виде  2 2 2 4 20 0 0 2 2 22ln ln cos2 ,CA r r C r B r A r B r Dr            проверить, удовлетворяется ли бигармоническое уравнение; б) определить напряжения σr, σθ, τrθ; в) составить граничные условия и определить необходимые по- стоянные (принять значения напряжений при r→∞ равными напря- жениям в задаче без отверстия); г) построить эпюры σr, σθ для сечений x = 0, y = 0, т. е. 2   , 0  . Рис. 1.39 34 8. Пластинка с отверстием малого радиуса a растягивается в направлениях X и Y соответственно усилиями q1 и q2 (рис. 1.40). Требуется: а) определить напряжения σr, σθ, τrθ в пластинке без отверстия, приняв функцию напряжений в том же виде, что и в задаче № 7, проверить, удовлетворяется ли бигармоническое уравнение; б) определить напряжения σr, σθ, τrθ; в) составить граничные условия и определить необходимые по- стоянные (при r→∞ значения напряжений принять равными их зна- чениям при a = 0); г) построить эпюры σr, σθ для сечений x = 0, y = 0, т. е. / 2   , 0  . Рис. 1.40 9. Пластинка с отверстием малого радиуса a растягивается в направлении X равномерно-распределенными усилиями q и сжима- ется в направлении Y такими же усилиями (рис. 1.41). Требуется: а) определить напряжения σr, σθ, τrθ в пластинке без отверстия, приняв функцию напряжений в виде 2 4 2 2 2 22 cos 2 , CA r B r D r          проверить, удовлетворяется ли бигармоническое уравнение; б) определить напряжения σr, σθ, τrθ; в) составить граничные условия и определить постоянные (при r→∞ значения напряжений принять равными напряжениям по пункту 1); 35 г) построить эпюру напряжений τrθ для сечения / 4.   Рис. 1.41 10. Кольцевая пластинка, защемленная по внешнему контуру, подвергается действию давления p по внутреннему вырезу и скру- чивающего момента Мкр. = S·2πa. Требуется: а) приняв функцию напряжений в виде 2 lnA Br C r     , проверить, является ли она решением плоской задачи; б) найти напряжения σr, σθ, τrθ; в) проверить, удовлетворяются ли дифференциальные уравнения равновесия; г) составить граничные условия и определить необходимые по- стоянные. Замечание: при определении реактивного давления в за- мещении принять во внимание, что радиальное смещение точек пластины задается формулой 2 1 [2 (1 ) (1 )]Cu r B E r      , где Е = = 2·105 МПа, ν = 0,3; д) для радиального сечения построить эпюры σr, σθ, τrθ. 11. Диск радиуса R сжимается двумя силами P (рис. 1.42). Требуется: а) приняв функцию напряжений в виде  2 21arctg arctg 2P x xx x yR y R y R              , проверить, является ли она решением плоской задачи; 36 б) найти напряжения σx, σy, τxy; в) составить граничные условия и проверить их выполнение; г) построить эпюры напряжений σy, τxy для сечения y = 0 и сравнить их с эпюрами, найденными методом сопротивления материалов. Рис. 1.42 12. Тонкий диск (или каток) сжимается двумя силами P (рис. 1.43). Требуется: а) заменить сосредоточенные силы распределенной нагрузкой интенсивности q = P/αR на участках длиной αR, где α – малый угол. Приняв функцию напряжений в виде  2 2 4 20 0 2 2 2 2ln / cos2 ,C r B r A r B r C r D        и проверить, является ли она решением плоской задачи; б) найти напряжения σr, σθ, τrθ; в) составить граничные условия и найти постоянные; г) найти напряжения σx, σy, τxy и перейти к декартовым координатам; д) построить эпюры напряжений σy, τxy для сечения y = 0. 37 Рис. 1.43 13. Круговая арка или сектор цилиндрического свода подверга- ется действию внешней нагрузки интенсивности q (рис. 1.44). Тре- буется: а) приняв функцию напряжений в виде 2ln ,A r Br   прове- рить, является ли она решением плоской задачи; б) найти напряжения σr, σθ, τrθ; в) проверить удовлетворяются ли дифференциальные уравнения равновесия; г) составить граничные условия и найти постоянные. Построить эпюры напряжений σr, σθ, τrθ. Рис. 1.44 38 14. Для плоского кольца (рис. 1.45) известны следующие выра- жения для напряжений: 2 2 0 2 2 2(1 ), a bp b a r     2 2 2 2 2(1 ),r a bp b a r     0.r  Возможна ли такая система напряжений с точки зрения условий равновесия и сплошности, а если возможна, то выяснить, какому нагружению кольца она соответствует? 15. Для кольца из предыдущей задачи заданы напряжения 0 0r    , 2/ 2 .r A r   Проверить возможность существования такой системы напряжений и выяснить контурные условия. 16. Для полукольца (рис. 1.46) известна система напряжений ( / ) sinr A r     , sinBr    , cosr B r     . Возможна ли та- кая система напряжений и каким условиям она отвечает? Рис. 1.45 Рис. 1.46 17. Стальной цилиндр, внешний диаметр которого 35,2 см и толщина стенок 5 см, подвергнут внутреннему давлению 244 МПа. Определить величину наибольших растягивающих, сжимающих и касательных напряжений. Построить эпюры t , r и max . Ци- линдр предполагать без доньев, т. е. осевые напряжения в цилиндре отсутствуют. 39 18. Для стального цилиндра предыдущей задачи вычислить пре- дел упругого сопротивления, т. е. наибольшее давление газов внут- ри цилиндра, при котором наступает предельное упругое состояние цилиндра. Предел упругости металла – 600 МПа. Вычисление про- извести по различным теориям прочности, сопоставить результаты. 19. Принять, что стальной цилиндр из задачи № 17 подвергается наружному давлению P = 200 МПа. Построить эпюру распределе- ния тангенциальных и нормальных напряжений и вычислить, насколько изменится по абсолютной величине наибольшее танген- циальное напряжение против результатов предыдущей задачи вследствие того, что сейчас принято меньшее давление (на 18 %). 20. Стальной цилиндр с внутренним радиусом a и наружным b без доньев подвергается снаружи и изнутри одинаковым давлениям p, т. е. a bp p p  . Построить эпюры t и r . Установить выра- жение для предела упругого сопротивления по третьей теории прочности (теории наибольших касательных напряжений). 21. В отличие от условий предыдущей задачи предположить трубу с доньями, причем полагать, что на днище газы оказывают давление только изнутри, снаружи трубы давления на днище нет. 22. Показать, что в цилиндрической трубе, подвергнутой внут- реннему постоянному по оси трубы радиальному давлению ap при ν = 0,5 осевая деформация z отсутствует, а при ν < 0,5 не зависит от координаты r (постоянна в сечении и по длине трубы). Найти объемную деформацию. 23. На медный цилиндр с внешним диаметром 40 см и толщиной стенок 10 см плотно надет стальной цилиндр с внутренним диамет- ром 40 см и внешним 60 см. Медный цилиндр подвергается внут- реннему давлению P = 80 МПа. Найти давление, передаваемое с медного цилиндра на стальной, и наибольшие напряжения в медном и стальном цилиндрах. Вычислить запас прочности в стальном ци- линдре по теории наибольших касательных напряжений, если пре- дел упругости стали равен 600 МПа. Модуль упругости меди – 1·105 МПа, стали – 2·105 МПа. Коэффициент Пуассона для обоих материалов – ν = 0,25. 24. Определить напряжения в стенках составного стального ци- линдра, если внутреннее давление Pa = 210 МПа, а = 10 см, b = 15 см, с = 20 см и разность радиусов до насаживания 0,127 мм  . 40 Замечание. По возможности, сравнить полученные общие ана- литические решения задач 1–24 с соответствующими результатами численного моделирования в программе ANSYS (ABAQUS) для не- которых частных случаев. Лабораторная работа № 2 ТЕМПЕРАТУРНЫЙ РАСЧЕТ ПРОСТЕЙШИХ КОНСТРУКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Цель: показать, как используются эллиптические и параболиче- ские уравнения при решении задач теплопроводности для простей- ших конструктивных тел как с источниками тепла, так и без внут- реннего тепловыделения; на конкретных примерах рассмотреть ре- шение задач теплопроводности для конструкционных и делящихся (топливных) материалов. Получить функциональные зависимости распределения температур при различных граничных условиях. Основные понятия. Краткие теоретические сведения. Рас- пределение температурных полей в твердых телах любой формы с действующими источниками тепла описывается дифференциаль- ным уравнением теплопроводности:   .P vTС div gradT qt     (2.1) В общем случае решение его может быть получено численными методами, если известны теплофизические характеристики веще- ства (теплоемкость Сp, теплопроводность  , удельный вес  ), функция плотности объемного тепловыделения qv и если заданы граничные и начальные условия. Начальное условие определяется заданием функции распределе- ния температуры в теле в начальный момент времени:    0, , , , , .tt x y z t f x y z  (2.2) 41 Граничные условия для данного уравнения могут быть заданы тремя способами: а) граничное условие первого рода задается функцией распределения температуры по поверхности твердого тела в любой момент времени:    П ;T t f t (2.3) б) граничное условие второго рода задается функцией плотности теплового потока на поверхности тела во времени    П ;Sq t f t (2.4) в) граничное условие третьего рода характеризуется заданием температуры окружающей среды и законом теплообмена поверхно- сти с этой средой. Для упрощения решения задачи будем считать в дальнейшем, что теплообмен происходит по закону Ньютона:   ,S fq T T   (2.5) что приводит к граничному условию вида:  П ,fT T t Tn         (2.6) где производная взята по нормали к поверхности. Задача о нахождении распределения температур значительно упрощается для тел простых форм (шар, цилиндр, труба, пластина и т. д.), в особенности если можно принять постоянными теплофизи- ческие характеристики веществ. Однако отметим, что решения в аналитическом виде как для нестационарного, так и для стационар- ного режима могут быть получены лишь в том случае, если функ- ция распределения источников тепла допускает интегрирование уравнения теплопроводности (закона Фурье). Частные случаи ре- шения уравнения теплопроводности для различных тел как с источ- никами тепла, так и без них рассмотрены во многих работах и могут быть использованы в готовом виде при решении конкретных прак- тических задач. В приложении приведены решения стационарных 42 задач для некоторых тел простейших форм. Эти формулы могут быть использованы для отыскания температурных полей и макси- мальных значений температур в исследуемых конструктивных эле- ментах (в соответствии с номером своего варианта). Заметим, что в решениях принято, что среда сплошная и теплофизические характе- ристики веществ постоянны, так же как и плотность энерговыделе- ния по объему q . Последнее допущение может приводить к замет- ной ошибке в определении температур. Однако ошибка выразится в завышении температуры и ее градиента и пойдет в запас расчета. Задание. Требуется вывести функциональную зависимость рас- пределения температурного поля для исследуемого конструктивно- го элемента в соответствии с номером варианта (табл. 2.1). Исполь- зуя полученные зависимости распределения температур, с помо- щью соотношения для теплообмена получить перепад температуры между охлаждаемой стенкой и охлаждающей средой ,fT T а также выразить температуру тепловыделяющей стенки (поверхно- сти) через среднюю температуру теплоносителя П .f TT T n      Получить числовые результаты для конкретных видов конструкци- онных и тепловыделяющих (топливных) материалов. Построить графическую иллюстрацию указанных полей в пакете Mathcad или других программах (например, Matlab, Maple, Mathematics). Заме- чание: при рассмотрении цилиндров и пластин теплоотводом с тор- цов можно пренебречь. Таблица 2.1 Номера индивидуальных вариантов к заданию лабораторной работы № 2 № варианта Геометрия твердого тела Условия нагрева/охлаждения Материал 1 Сплошная сфера Охлаждение с внешней поверхности Тепловыделяющий (UO2) 2 Полая сфера Охлаждение с внешней поверхности Тепловыделяющий (PuO2) 3 Сплошной цилиндр Охлаждение с внешней поверхности Тепловыделяющий (ThO) 43 Окончание табл. 2.1 № варианта Геометрия твердого тела Условия нагрева/охлаждения Материал 3 Сплошной цилиндр Охлаждение с внешней поверхности Тепловыделяющий (ThO) 4 Полый цилиндр Охлаждение с наружной поверхности Тепловыделяющий (UC2) 5 Полый цилиндр Охлаждение с внутренней поверхности Тепловыделяющий (UN) 6 Полый цилиндр Охлаждение с внутренней и наружной поверхностей Тепловыделяющий (UC) 7 Пластина Охлаждение с двух сторон Тепловыделяющий (U3Si) 8 Пластина Охлаждение с одной стороны Тепловыделяющий (USi) 9 Пластина Нагрев с двух сторон Конструкционный (никель, чугун) 10 Пластина Нагрев с двух сторон (известен тепловой поток qS в направлении оси абсцисс) Конструкционный (вольфрам, железо) 11 Полый цилиндр Охлаждение с внутренней стороны, нагрев с наружной поверхности (тепловой поток qS известен) Конструкционный (олово, цирконий) 12 Полый цилиндр Охлаждение с наружной поверхности, нагрев с внут- ренней стороны (тепловой поток qSизвестен) Конструкционный (серебро, титан) 13 Полая сфера Охлаждение снаружи (тепловой поток, подводимый с внутренней поверхности, известен) Конструкционный (алюминий, тантал) 14 Полая сфера Охлаждение снаружи (известна температура внутренней поверхности сферы) Конструкционный (медь, бериллий) 15 Полый цилиндр Охлаждение с наружной поверхности, нагрев с внутренней стороны (известны одновременно температуры наружной и внутренней поверхностей цилиндра) Конструкционный (сталь, молибден) 44 Пример 1. Рассмотрим сплошной цилиндр с внутренними ис- точниками тепла. Определение температурного поля длинного сплошного цилиндра с внутренним тепловыделением сводится к решению стационарного уравнения теплопроводности при следую- щих граничных условиях: ,qvT    НT T при ,r R T   при 0.r  Применяем оператор Лапласа к функции температур: 2 2 1 1 . qT T T vT r r r r r rr                 После двукратного интегрирования получаем 2 1 2ln ,4 vq rT C r C    где 1C , 2C – постоянные интегрирования. Причем постоянная 1 0C  из-за ограниченности температуры в центре цилиндра, то есть T   при 0.r  А постоянную 2C находим из граничных условий на поверхности цилиндра: 2 2 4Н q RvT C    2 2 . 4Н q RvC T   С учетом полученного ранее общего решения имеем  2 2 .4 НqvT R r T   Таким образом, температурный перепад между центром цилин- дра и его поверхностью выражается функциональной зависимостью 45 2 0 ,4Н q RvT T   где 0T – температура в центре цилиндра, НT – температура на по- верхности цилиндра. Как видно из полученных результатов, перепад температуры между центром и поверхностью цилиндра не зависит от граничных условий, а полностью определяется внутренним тепловыделением и коэффициентом теплопроводности. Пример 2. Рассмотрим сплошную сферу с внутренними источ- никами тепла. Определение температурного поля сферы с внутрен- ним тепловыделением сводится к решению стационарного уравне- ния теплопроводности при следующих граничных условиях: , qvT    НT T при ,r R T   при 0.r  Оператор Лапласа в сферической системе координат записыва- ется в виде 2 2 2 2 2 1 .T T TT r r r r rr r               После двукратного интегрирования 2 2 1 qT vr r rr          окончательно получим 2 1 26 vq r CT C r     , где 1C , 2C – постоянные интегрирования. Постоянная 1 0C  из-за ограниченности температуры в центре сферы, то есть T   при 0.r  А постоянную 2C находим из граничных условий на по- верхности: 46 2 2 6Н q RvT C    2 2 . 6Н q RvC T   Откуда с учетом полученного ранее общего решения имеем  2 2 .6 НqvT R r T   Температурный перепад между центром сферы и ее поверхно- стью 2 0 ,6Н q RvT T   где 0T – температура в центре тепловыделяющей сферы; НT – тем- пература на поверхности. Также как и в рассмотренном предыдущем примере для цилин- дра видно, что перепад температуры между центром и поверхно- стью сферы не зависит от граничных условий, а полностью опреде- ляется внутренним тепловыделением и коэффициентом теплопро- водности тепловыделяющего материала. Аналогично вышеописанным процедурам можно получить функциональные зависимости распределения температурного поля для твердых тел другой формы как с внутренним тепловыделением, так и без внутренних источников тепла. Замечание: в соответствии со своим вариантом (см. табл. 2.1) при выполнении задания особое внимание необходимо обратить:  на определяющее уравнение теплопроводности (уравнение Лапласа или Пуассона);  вид оператора Лапласа, зависящий от формы рассматриваемо- го примитива (сферические, цилиндрические или прямоугольные координаты);  граничные условия в соответствии с количеством слоев и условий охлаждения и нагрева. Замечание. В приложении В, в справочных целях, приведены в окончательном виде основные температурные зависимости для твердых тел простой формы (как для конструкционных, так и для 47 тепловыделяющих материалов), которые можно использовать в проводимых расчетах с целью контроля правильности получаемых результатов и своих промежуточных выкладок. Задачи для практической работы 1. Урановый шар радиуса R = 7 см, помещенный в сосуд с водой, облучается равномерным потоком нейтронов. В результате реакций деления ядер урана в шаре выделяется энергия qv = 100 Вт/см3. Темпе- ратура воды T = 371 К, теплопроводность урана λ = 410 Вт/(м·К·с). Найти стационарное распределение температуры в шаре, а также тем- пературу в его центре. 2. По однородному цилиндрическому проводу без изоляции те- чет постоянный электрический ток. Определить стационарное рас- пределение температуры в проводе, если его поверхность поддер- живается при постоянной температуре Ts. Силу тока, удельное со- противление провода и его радиус считать известными. Лабораторная работа №3 РАСЧЕТ ТЕРМИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ В КОНСТРУКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТАХ ПРОСТОЙ ФОРМЫ Цель: научиться определять температурные напряжения в эле- ментах конструкций простой формы как без внутреннего тепловы- деления, так и с наличием равномерно распределенных источников тепла; отработать вывод определяющих уравнений; получить функ- циональные зависимости распределения стационарных температур- ных напряжений; представить методы и результаты численно- аналитического решения конкретных задач о НДС (для сферы, ци- линдра, трубы, пластины и т. д.) при неравномерном нагреве/охлаж- дении; построить эпюры распределения напряжений в пакете Mathcad (Matlab, Maple, Mathematics); провести проверку полученных результа- тов, сопоставляя их с известными аналитическими решениями. Основные теоретические сведения. Как уже было отмечено выше, наиболее важное место в оценке работоспособности элемен- тов конструкций и компонентов оборудования, эксплуатируемых в 48 сложных условиях, занимают термические напряжения (называе- мые также тепловыми или термическими), которые создаются в де- тали, если затруднена свободная деформация этой детали или ее частей в соответствии с изменением температуры. Чаще всего тем- пературные напряжения возникают при неодинаковой температуре в различных точках объема тела, когда отдельные его элементы стремятся увеличиться или уменьшиться в размерах на разную ве- личину, что и приводит к возникновению сжимающих и растягива- ющих напряжений. Также возможны температурные напряжения при постоянной температуре по объему отдельных деталей при наличии связей между ними, в случае если детали выполнены из нескольких материалов с различными коэффициентами литейного термического расширения. Заметим, что параллельно с определени- ем температурных напряжений возникает также очень важная зада- ча о перемещениях, вызванных изменением температуры и опреде- ляющих относительное положение отдельных частей различных ответственных элементов конструкций при их работе. В приложении Д приведены функции распределения упругих термических напряжений в твердых телах простых форм (сплошной и полый цилиндры, шар, пластина) с равномерно распределенными источниками тепла и формулы для расчета максимальных термиче- ских напряжений. Ниже представлены расчетные соотношения для некоторых твердых тел, в которых отсутствуют внутренние источ- ники тепла (конструкционные материалы). Полый цилиндр без источников тепла, охлаждаемый с наружной поверхности:   2 2 2 2 2ln 1 ln ; 2 1 ln Н В Н Н r Н ВН В В R R R RE T R r RR R r R                (3.1)   2 2 2 2 21 ln 1 ln ; 2 1 ln Н В Н Н Н ВН В В R R R RE T R r RR R r R                 (3.2) 49   2 2 2 21 2 ln ln . 2 1 ln Н В Н z Н ВН В В R R RE T R r RR R R           (3.3) Максимальные окружные напряжения: на наружной поверхности полого цилиндра (растяжение) max    2 2 2 21 ln ; 2 1 ln В Н Н ВН В В R RE T R RR R R         (3.4) на внутренней поверхности (сжатие) max    2 2 2 21 ln . 2 1 ln Н Н Н ВН В В R RE T R RR R R         (3.5) Максимальное напряжение на поверхности пластины без источ- ников тепла max    .2 1 E T   (3.6) В формулах (3.1) –(3.6) ΔТ – перепад температуры по толщине стенки; μ – коэффициент Пуассона; α – коэффициент термическо- го расширения. Подчеркнем, что все упомянутые формулы получены из инте- гральных соотношений, выведенных применительно к телам, не испытывающим внешних нагрузок. Примером может служить вы- вод формул для термических напряжений в полом цилиндре, приве- денный в книге С. П. Тимошенко [3]. Пример. Рассмотрим упругое, изотропное неравномерно нагре- тое твердое тело в виде сплошного однородного длинного цилин- дра. Температурное поле предполагается известным (из результатов 50 предыдущей лабораторной работы). Также считаем его независи- мым от напряженного состояния: влияние изменений объема, вы- званных напряжениями, на тепловое поле крайне незначительно и в задаче не учитывается. Таким образом, в длинном цилиндрическом теле (с осью z) имеет место плоская деформация при условии, что составляющая смещения вдоль продольной оси w = 0, а распределе- ние внешней тепловой нагрузки не зависит от координаты z, т. е. Т = Т (r) Считается, что все поперечные сечения находятся в одних и тех же условиях. Уравнение равновесия в напряжениях для дан- ных условий нагружения в общем виде записывается равенством    , 0,1х y E T x yv          где Δ – оператор для Лапласа для функции двух переменных 2 2 2 2x y      ; E – модуль Юнга; α – коэффициент линейного тер- мического расширения; ν – коэффициент Пуассона. Общеизвестно, что дифференциальные уравнения равновесия удовлетворяются при подстановке равенств: 2 2 ;x F y    2 2 ;y F x    2 ,xy F x y     где F – функция напряжений (функция Эри). Подставляя эти равенства в (3.7), получаем условия сплошности Сен-Венана, записанные через функцию напряжений Эри. Из полу- ченных условий вытекает, что функция напряжений F удовлетворя- ет неоднородному бигармоническому уравнению сплошности:  ( , ) 0. 1 EF T x y      Таким образом, все компоненты тензо- ра напряжений можно вычислить путем интегрирования функции напряжений Эри (F). Выражение (3.7) для осесимметричной плоской задачи термо- упругости будет иметь следующий вид: 51 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ). 1 EF T r r r r r r rr r r                                  (3.8) Правая часть уравнения равновесия с учетом распределения температурного поля примет вид 2 2 2Н2 1 ( ) . 1 4 1 v vq qE ET R r r rr                               (3.9) Операторное перемножение в левой части даст следующее вы- ражение, определяющее термонапряженное состояние сплошного цилиндра с внутренними источниками тепла: 4 3 2 4 3 2 2 3 2 1 1 . (1 ) vE qF F F F r rr r r r r             (3.10) Теперь для нахождения главных напряжений необходимо подо- брать функцию напряжений Эри ( )F r , удовлетворяющую послед- нему выражению (3.10). Предположим, что функция напряжений может быть задана в общем виде как 2 2 2( ) ,F С R r  где С – некоторая постоянная, не зависящая в общем виде от r , а ,E  принимаем константами ( const, constE    ) и считаем, что свойства материала не изменяются. То есть результаты будут полу- чены в предположении, что в рассматриваемом интервале темпера- тур упругие постоянные и коэффициент линейного расширения по- стоянны. Запишем функцию Эри и подставим в определяющее равенство. После ряда упрощений и преобразований в конечном итоге получа- ем . 64(1 ) E qvC     Откуда очевидно, что подобранная функция напряжений 2 2 2( )F C R r  , удовлетворяющая неоднородному бигармоническому уравнению, равна 52 2 2 2( ) . 64 (1 ) vE qF R r    (3.11) Напряжения в полярной системе координат через функцию Эри запишутся в виде 1 ;r F r r    2 2 ; F r    0.r r     (3.12) По последним записанным выражениям определение термоупру- гих напряжений в сплошном тепловыделяющем цилиндре сводится к дифференцированию найденной функции напряжений Эри, что не составляет большого труда и приводит к следующему окончатель- ному результату: 2 2( ); 16 ( 1) v r E q R r     2 2( 3 ); 16 ( 1) vE q R r      2 2( (1 ) ). 4 (1 ) 2 v z E q R r       (3.13) Последние выражения и определяют напряжения в сплошном теп- ловыделяющем цилиндре в условиях плоской деформации (рис. 3.1). Далее, задавая свойства делящегося (топливного) материала (в каче- стве топлива рассматривается керметная композиция [10]: 60 % UO2 + + 40 % Cr, табл. 3.2), получаем область распределения термонапря- жений в тепловыделяющем цилиндрическом сечении, достаточно удаленном от торцов. 53 Рис. 3.1. Интенсивность напряжений в тепловыделяющем цилиндре Таблица 3.2 Исходные данные для расчета термонапряженного состояния Величина Значение R – радиус цилиндра с внутренними источниками тепловыделения 0,003 м E – модуль упругости топливной композиции (60 % UO2+ 40 % Cr) 1,85 · 105МПа ν – коэффициент Пуассона топлива (60 % UO2 + 40 % Cr) 0,29 λ – коэффициент теплопроводности топливной композиции 18 Вт/(м  К) qv – тепловыделение в единице объема цилиндра 2.234 · 109 Вт/м3 α – коэффициент линейного расширения 60 % UO2 + 40 % Cr 11,3 · 10–6 град–1 TН – температура поверхности цилиндра 600(873) °С(К) Отметим, что известно аналитическое решение температурной за- дачи для длинного круглого осесимметричного цилиндра [3]. Компо- ненты тензора напряжений этого решения имеют следующий вид: 2 2 0 0 1 1 , 1 R r r E T rdr T rdr R r            2 2 0 0 1 1 , 1 R rE T rdr T rdr T R r             (3.14) 54 2 0 2 , 1 R z E T rdr T R           где T – функция распределения температур, известная из решения задачи теплопроводности (или полученная интерполяцией экспери- ментальных результатов). Сопоставим результаты расчета термонапряжений через функ- цию Эри с аналитическими результатами, полученными в [3]. Как видно из рисунков 3.1 и 3.2, решение, полученное с помощью функции напряжений, достаточно корректно отображает картину распределения термонапряжений: максимальное расхождение результатов проводимого расчета с аналитическим решением соста- вило для радиальных напряжений 1,9 МПа; для окружных 1,36 МПа; для осевых 1 МПа, что менее 1 %. Кроме того, забегая наперед, отметим, что полученные значения основных характеристик напря- женного состояния сопоставимы с результатами численного вирту- ального моделирования в программном комплексе ANSYS Work- bench (лабораторная работа № 4). Таким образом, привлекатель- ность полученных с помощью функции напряжения Эри соотноше- ний для определения термонапряжений в тепловыделяющем цилиндре несомненна: они позволяют определить стационарные термонапряжения в твердом теле без решения задачи теплопровод- ности. По этим выражениям легко построить тензоры напряжений и деформаций с дальнейшей оценкой прочности любого конструкци- онного элемента по тому или иному критерию. Рис. 3.2. Распределение радиальных и окружных напряжений в цилиндре с внутренними источниками тепла: 1 – расчет через функцию Эри; 2 – аналитическое решение [1] 55 Задание. Выполнить вывод определяющих зависимостей терми- ческого деформирования, а также решение соответствующих урав- нений, используя функцию напряжений или термоупругий потен- циал. Получить функцию распределения температурных напряже- ний для исследуемого конструктивного элемента в соответствии с номером варианта (см. табл. 3.1). Определить, какое значение при- нимают напряжения в центре тела, на внутренней и наружной по- верхности, учитывая различные условия охлаждения (тепло отво- дится равномерно). Используя полученные зависимости распреде- ления термических напряжений получить числовые результаты для конкретных видов конструкционных или тепловыделяющих (топ- ливных) материалов. Построить графическую иллюстрацию в паке- те Mathcad (Matlab, Maple, Mathematics). Сравнить графически ре- зультаты с интегральными соотношениями, полученными С. П. Ти- мошенко для стационарных термонапряжений [3]. Замечание: при рассмотрении цилиндров и пластин принять допущение о плоской деформации и плоском напряженном состоянии соответственно. Задачи для практической работы 1. Стальной стержень длиной 50 см закреплен между двумя стенками без предварительной нагрузки при температуре 35 ○С. Ка- ковы будут напряжения в стержне при –40 ○С? Как изменятся эти напряжения, если при этом стенки переместятся на 0,25 мм одна относительно другой? Принять α = 12,5·10–6 ○С–1 и E = 2,04·105 МПа. 2. Стержень из алюминиевого сплава с площадью сечения 3,2 см2 закреплен между стенками при 33 ○С с предварительным усилием 1800 кг. Определить: а) каковы будут напряжения при 21○С; б) при какой температуре напряжения равны нулю. 3. Определить, какое перемещение стенок в задаче № 1 обеспе- чит отсутствие напряжений. Каково будет это перемещение, если длина стержня равна 250 см? 4. Стальной провод закреплен между двумя жесткими стенками и испытывает растягивающую нагрузку 1800 кг при 45 ○С. Постро- ить кривую минимального допустимого диаметра в зависимости от температуры, если допускаемое напряжение равно 350 МПа. Опре- делить, при какой температуре величина допустимого диаметра становится неограниченной. 56 5. Труба из алюминиевого сплава длиной 1,5 м, внутренним диаметром 5 см и толщиной стенок 0,3 см закреплена между жест- кими стенками при 20 ○С. Используя данные из курсов механики материалов и прикладной теории упругости, определить при какой температуре достигается Эйлерова критическая сила для потери устойчивости? Концы трубы считать закрепленными. 6. Решить задачу № 5 при условии, что между одним из концов трубы и стенкой при 28 ○С имеется зазор 1,3 мм. 7. Жесткий брус весом 9100 кг поддерживается тремя симмет- рично расположенными стержнями. Полагая, что брус сохраняет горизонтальное положение, найти напряжение в каждом из стерж- ней при нагревании их на 60 ○С. Для двух стальных стержней принять поперечное сечение равным 5,2 см2, модуль упругости 2,11·105 МПа, а коэффициент линейного термического расширения 11,5·10–6 ○С–1. Для алюминиевого стержня поперечное сечение – 10,3 см2, модуль упругости – 0,7·105 МПа, коэффициент линейного термического расширения 21,5·10–6 ○С–1. 8. Стальной стержень с площадью сечения 1,3 см2 скреплен со стержнем из алюминиевого сплава с площадью сечения 2,6 см2 при 23 ○С. Найти возникающие напряжения в стержнях при нагревании их до 123 ○С. 9. Определить для задачи № 7, при каком увеличении темпера- туры вся нагрузка воспринимается стальными стержнями. 10. Труба из алюминиевого сплава с внутренним диаметром 13 мм и стенками толщиной 2,5 мм надета на стальной болт и удер- живается гайкой, завернутой до отказа. Найти повышение темпера- туры, которое вызовет напряжение в 70 МПа в материале трубы. 11. Решить задачу № 10 при следующих условиях: а) имеется за- зор между гайкой и трубой 0,13 мм; б) предварительная затяжка гайки равна 140 кг. Длина трубы – 25 см. 12. Найти напряжения в свободной толстой пластине, если тем- пература распределена по закону:  0 1 /T T y c  при 0c y   ,  0 1 /T T y c  при 0 .y c  13. Общеизвестно, что при стационарном двумерном распреде- лении температуры имеет место условие 0.T  Доказать, что при таком распределении температуры термические напряжения в 57 сплошной свободной пластине равны нулю. Будет ли это верно для пластины с отверстием? 14. Тонкий круговой диск подвергается воздействию температу- ры, неравномерно распределенной вдоль радиуса по закону   20 1 0 21 ,rT T T T T b           где T0, T1 – температура у контура и в центре диска соответственно (рис. 3.3). Рис. 3.3. Условие к задаче № 14 Требуется: а) определить напряжения σr, σθ; б) проверить полученное решение, подставив выражения для напряжений в дифференциальное уравнение равновесия; в) составить граничное условие на контуре диска и предельное условие при r = 0, считая напряжения ограниченными, и определить постоянные интегрирования; г) построить эпюры напряжений σr, σθ и интенсивности напря- жений в зависимости от радиуса текущего r; д) определить температуру, при которой в наиболее напряжен- ной точке диска возникнут пластические деформации. 15. Длинный круговой цилиндр с закрепленными концами (рис. 3.4) подвергается осесимметричному воздействию температу- ры T, распределенной по тому же закону, что и в задаче № 14. Вы- полнить те же требования, что и в задаче № 14. 58 Рис. 3.4. Условие к задаче № 15 16. Тонкий круговой диск с отверстием в центре (рис. 3.5) под- вергается воздействию температуры T, неравномерно распределен- ной вдоль радиуса r по закону 0 1 0 ln( / )( ) ln( / ) b rT T T T T b a      , где T0, T1 – температура на внешнем и внутреннем контурах диска соответственно. Рис. 3.5. Условие к задаче № 16 Требуется: а) определить напряжения σr, σθ; 59 б) проверить полученное решение, подставив выражения для напряжений в дифференциальное уравнение равновесия; в) составить граничное условие на внешнем и внутреннем кон- туре диска и определить постоянные интегрирования; г) построить эпюры напряжений σr, σθ, и интенсивности напря- жений в зависимости от радиуса текущего r; д) определить температуру, при которой в наиболее напряжен- ной точке диска возникнут пластические деформации. 17. Длинный полый цилиндр с закрепленными концами подвер- гается осесимметричному воздействию температуры T, распреде- ленной по тому же закону, что и в задаче № 16 (рис. 3.6). Выпол- нить требования, что в задаче № 16. Рис. 3.6. Условие к задаче № 17 18. Длинный круговой цилиндр со свободными концами подверга- ется осесимметричному воздействию температуры T, распределенной вдоль радиуса r по тому же закону что и в задаче № 14 (рис. 3.7). Рис. 3.7. Условие к задаче № 18 60 Выполнить требования задачи № 14. При определении напряже- ния σz учесть, что в цилиндре возникает обобщенная плоская деформация (εz = const) и согласно обобщенному закону Гу- ка: ( )z r zE T E          . Указание. Для определения εz использовать то обстоятельство, что торцы цилиндра свободны, по- этому нормальное усилие равно 0 2 0 b zN rdz    . 19. Труба, внутренний радиус которой a = 10 см, наружный b = = 25 см, находится в состоянии стационарного неравномерного нагрева, причем температура на внутренней поверхности трубы на 150 oС больше, чем на наружной поверхности. Построить в пакете Mathcad (MathLAB, Maple или других расчетных программах) для напряжений о max, , ,r z    эпюры, изображающие эти величины в функции r. В расчетах для материала трубы – незакаленной стали – полагать α = 0,0000176 град–1, Е = 2·105 МПа, ν = 0,3. 20. Определить тепловые напряжения для тонкостенной трубы, у которой b = 25 см, а = 22 см, Tb – Ta = 150 oC. 21. Найти тепловые напряжения в полой сфере, нагретой сим- метрично относительно центра, считая тепловое состояние сферы стационарным. Данные: а = 10 см, b = 25 см, Tb – Ta = 150 oC. 22. Предполагая, что заданное тело (см. табл. 1.1 из лаборатор- ной работы № 1) нагрето неравномерно и настолько, что упругие характеристики материала (модуль упругости, коэффициент Пуас- сона) существенно изменяются (против обычных при нормальных температурах), но все же при этом процесс деформации остается линейно-упругим, проследить известный в литературе вывод урав- нений термоупругости и внести в них надлежащие поправки за счет изменения параметров упругости (Е*, ν*) при переходе от одной точки к другой точке тела. 61 Лабораторная работа № 4 РАСЧЕТ ТЕРМОУПРУГИХ НАПРЯЖЕНИЙ В ВИРТУАЛЬНОЙ СРЕДЕ ANSYS WORKBENCH Цель: выполнить решение связной тепловой и прочностной за- дач для элемента конструкции в соответствии со своим вариантом (см. табл. 4.1); отработать основные этапы связанного теплового и прочностного расчета для неоднородной конструкции на базе МКЭ в пакете ANSYS; рассмотреть особенности наложения температур- ного поля в качестве внешней нагрузки при проведении прочност- ного анализа. Таблица 4.1 Номера индивидуальных вариантов условий задания к лабораторной работе № 4 № Геометрия твердого тела Условие нагрева Материал Число слоев Внешнее/ внутреннее давление, МПа 1 Сплошная сфера Охлаждение с внешней поверхности Тепловыделяющий (UO2) 1 6 2 Полая сфера Охлаждение с внешней поверхности Тепловыделяющий (PuO2) 1 14/3 3 Сплошной цилиндр Охлаждение с внешней поверхности Тепловыделяющий (ThO) 1 7 4 Полый цилиндр Охлаждение с внешней поверхности Тепловыделяющий (UC2) 1 16/3 5 Полый цилиндр Охлаждение с внешней поверхности Тепловыделяющий (UN) 1 12/4 6 Полый цилиндр Охлаждение с внешней и наружной поверхностей Тепловыделяющий (UC) 1 5/9 7 Пластина Охлаждение с двух сторон Тепловыделяющий (U3Si) 1 7 8 Пластина Охлаждение с одной стороны Тепловыделяющий (USi) 1 5 62 Продолжение табл. 4.1 № Геометрия твердого тела Условие нагрева Материал Число слоев Внешнее/ внутреннее давление, МПа 9 Пластина Нагрев с двух сторон Конструкционный (никель, чугун) 2 3 10 Пластина Нагрев с двух сторон (известен тепловой поток qS в направлении оси абсцисс) Конструкционный (вольфрам, железо) 2 8 11 Полый цилиндр Охлаждение с внутренней стороны, нагрев с наружной поверхности (тепловой поток известен) Конструкционный (олово, цирконий) 2 5/8 12 Полый ци- линдр Охлаждение с наружной по- верхности, нагрев с внут- ренней стороны (тепловой поток qS известен) Конструкционный (серебро, титан) 2 6/4 13 Полая сфера Охлаждение снаружи (тепло- вой поток, под- водимый с внут- ренней поверх- ности известен) Конструкционный (алюминий, тан- тал) 2 15/9 14 Полая сфера Охлаждение снаружи (извест- на температура внутренней по- верхности сферы) Конструкционный (медь, бериллий) 2 13/5 15 Полый цилиндр Охлаждение с наружной по- верхности, нагрев с внут- ренней стороны (известны одно- временно темпе- ратуры наружной и внутренней поверхностей) Конструкционный (сталь, молибден) 2 18/6 63 Окончание табл. 4.1 № Геометрия твердого тела Условие нагрева Материал Число слоев Внешнее/ внутреннее давление, МПа 16 Тонкостенная оболочка Охлаждение с наружной поверхности Конструкционный (алюминий, тантал) 2 16/3 17 Многослой- ный сплошной цилиндр Охлаждение с наружной поверхности Конструкционный и тепловыделяю- щий (топливный) 2 16 18 Многослойная сплошная сфера Охлаждение с наружной поверхности Конструкционный и тепловыделяю- щий (топливный) 2 16 17 Многослой- ный полый цилиндр Охлаждение с внутренней поверхности Сталь 316L и UO2 2 16/3 18 Многослойная полая сфера Охлаждение внутри и снаружи Сталь 316L и UO2 2 10/4 Из лабораторной работы № 1, выполненной в среде ANSYS 9.0 Ed (Student Edition), мы увидели, что особенностью конечно-элементного анализа является точный учет геометрической формы исследуемых конструктивных элементов и закономерностей механического вза- имодействия. При этом представляется возможным получить кар- тину НДС как на поверхности, так и во внутренних областях иссле- дуемых объектов. Средства термопрочностного анализа программы ANSYS позволяют использовать результаты решения задачи тепло- обмена для дальнейшего проведения прочностного анализа [2]. Та- кая возможность удобна при определении влияния температурного поля на прочность конструкции: можно задать тепловую нагрузку отдельно или в совокупности с механическими нагрузками. Смоделируем сечение конструктивного элемента с последую- щим решением температурной и термоупругой задачи. Решение поставленной термопрочностной задачи определения НДС будет выполняться с помощью МКЭ в пакете ANSYS Workbench 11.0. Ис- торически программная платформа Workbench была создана для разработки и интеграции линейки программных продуктов ANSYS, прикладных пользовательских и написанных сторонними разработ- чиками программ инженерного анализа в едином информационном пространстве проекта. При создании Workbench были использованы 64 передовые средства разработки программных продуктов, заложены широкие возможности по обмену данными, учтены требования с точки зрения работы с веб-технологиями, относительной простоты работы с программой, «дружелюбный» интерфейс и многое другое. Пример. Выполним симуляцию термомеханического поведения сечения тепловыделяющего цилиндра (см. табл. 3.2 лабораторной работы № 3) с последующим решением температурной и термо- упругой задачи. Считаем, что равномерное механическое давление на внешнюю стенку цилиндра составляет 3 МПа. Замечание. При этом предполагаем, что теплофизические и механические характе- ристики материала остаются неизменными. Абсолютное значение и характер распределения поля температуры определяются мощно- стью внутреннего тепловыделения, теплофизическими свойствами материала и условиями теплосъема с поверхности цилиндра. Проведем конечно-элементное моделирование в среде програм- мы ANSYS. Анализ напряженно-деформированного состояния тела с исполь- зованием метода конечных элементов будет включать в себя сле- дующие этапы:  построение геометрической модели сечения единичной тол- щины;  разбиение модели сечения на конечные элементы;  моделирование виртуальной нагрузки и граничных условий;  расчет и анализ полученных результатов НДС твердого тела. 1. Построение геометрической модели твердого тела Для построения сечения тепловыделяющего цилиндра в ANSYS Workbench выбираем вкладку Geometry в открывшемся окне при загрузке программы (рис. 4.1). Рис. 4.1. Главное меню ANSYS Workbench 65 Выбираем единицы измерения для геометрии модели сечения длинного тепловыделяющего цилиндра (рис. 4.2). Рис. 4.2. Меню выбора единиц измерения Задаем плоскость для эскиза сечения сердечника (рис. 4.3). Рис. 4.3. Выбор плоскости построения геометрии модели Переходим на вкладку Sketching и выбираем на панели Draw пункт Circle (рис. 4.4). С помощью пункта Dimensions (рис. 4.5) задаем размер сечения 6 мм. В результате получаем эскиз сечения, который с помощью команды Extrude (пиктограмма ) в главном меню вытягиваем вдоль оси 0Z на единичную толщину (рис. 4.6). 66 Рис. 4.4. Меню выбора элементов эскиза Рис. 4.5. Задание радиуса сечения Рис. 4.6. Вытягивание модели сечения 67 2. Разбиение на конечные элементы Накладываем на модель сетку, используя пункт панели Meshing (рис. 4.7). Затем задаем полный размер элемента и разбиваем мо- дель на конечные элементы (рис. 4.8), получая в итоге следующую картину (рис. 4.9) Рис. 4.7. Пункт Meshing в дереве расчетов ANSYS Workbench Рис. 4.8. Генерация сетки в ANSYS Workbench Рис. 4.9. Вид модели, разбитой на конечные элементы 68 3. Моделирование виртуальной нагрузки Задаем давление Р, равное 3 МПа, на внешней поверхности ци- линдрического сечения (рис. 4.10), используя меню приложения нагрузок Loads, в котором выбираем пункт Pressure (рис. 4.11). Рис. 4.10. Меню приложения нагрузок в ANSYS Workbench Рис. 4.11. Нагружение модели боковым усилием Температура на поверхности тепловыделяющего цилиндра Тs = 600 °С (по условию термоупругой задачи). С помощью пикто- граммы задаем величину температуры на поверхно- сти (рис. 4.12). 69 Рис. 4.12. Задание температуры на поверхности тепловыделяющего цилиндра Задаем тепловыделение в единице объема цилиндра qv = = 2,234·109 Вт/м2. Для этого в выпадающем меню выбира- ем пункт Internal Heat Generation (рис. 4.13), указываем величину коэффициента qv и расчетную модель (рис. 4.14). Рис. 4.13. Меню задания тепловыделения материала Рис. 4.14. Задание тепловыделения в цилиндре с источниками тепла 70 Каждый слой топливного сердечника находится в одинаковых условиях, где слой как бы зажат между двумя абсолютно жесткими поверхностями и благодаря взаимодействию соседних слоев прину- дительно обеспечивается условие неизменности толщины слоя (случай плоской деформации). Поэтому перемещения вдоль оси 0z модели сечения задаем равными нулю (рис. 4.15). Также фиксируем перемещения по осям 0x и 0z (рис. 4.16) граней сечения (т. к. задача осесимметрична). Также заметим, что вследствие равномерного ме- ханического давления и действующего радиального температурного поля возникающее напряженное и деформируемое состояние ци- линдра осесимметрично. Рис. 4.15. Задание продольных перемещений Рис. 4.16. Задание поперечных перемещений 71 4. Расчет и анализ полученных результатов напряженно-деформированного состояния топливного сердечника Задаем материал модели, нажимая пиктограмму . На открывшейся вкладке создаем новый материал DioksidUrana (рис. 4.17). Рис. 4.17. Сведения для конструирования модели Задаем свойства материала на вкладке Data Overviev (рис. 4.18). Рис. 4.18. Создания материала модели Выбираем тип решаемой задачи в меню New Analysis (рис. 4.19). 72 Рис. 4.19. Типы решаемых задач Запускаем на расчет, используя пиктограмму . Необходимо связать процессы теплового и прочностного анали- зов. Выбираем тип решаемой задачи в меню New Analysis: причем сначала, выполняя температурный анализ (Steady-State Thermal), получаем температурное поле в модели для заданных граничных условий теплообмена, а затем, опираясь на найденные значения распределения температуры, проводим расчет НДС сечения сердеч- ника (Static Structural), в котором в качестве одного из условий Thermal Condition (рис. 4.20) ссылаемся на проведенный Steady- State Thermal анализ (значения температур используются в виде нагрузок на стадиях препроцессорной подготовки и получения ре- шения при последующем прочностном анализе). Рис. 4.20. Температурные условия Последовательность расчета НДС сечения тепловыделяющего ци- линдра в пакете ANSYS Workbench 11.0 представлена на рис. 4.21. Ниже (рис. 4.22) представлено распределение температуры по сечению. Как видно, максимальная температура в центре сечения топливного сердечника достигает T = 879,25 °C, а минимальная на поверхности (при r = R) – T = 600 °C. 73 Рис. 4.21. Дерево расчета НДС тепловыделяющего цилиндра 74 Рис. 4.22. Распределение температурных полей по сечению В среде конечно-элементного моделирования ANSYS Workbench получены следующие результаты: распределение температурных деформаций (Thermal Strain) по сечению модели (рис. 4.23); сово- купные (общие) перемещения точек сечения (Total Deformation) (рис. 4.24); интенсивность напряжений (Equivalent Stress) в сече- нии модели (рис. 4.25); интенсивность деформаций (Equivalent Elastic Strain) в тепловыделяющем цилиндре (рис. 4.26). Как видно из рис. 4.22, действующее на цилиндр неоднородное температурное поле обусловливает появление значительных термо- напряжений, физическая сущность которых связана с неоднородной температурной деформацией различных участков сердечника: в условиях неоднородного температурного поля горячие участки стремятся расшириться, а соседние холодные участки не допускают этого, поэтому горячие участки материала находятся в состоянии сжатия, а холодные области – в состоянии растяжения. И когда на поверхности тепловыделяющего цилиндра со временем выгорания топлива появятся трещины или выемки, то макроскопические де- фекты сконцентрируют все термонапряжения. Таким образом, изучение термонапряженного состояния топлив- ного урансодержащего цилиндра при выгорании ядерного топлива имеет большое значение и определяет кинетику изменений напря- жений и деформаций. 75 Рис. 4.23 Рис. 4.24 Рис. 4.25 Рис. 4.26 Графические результаты решения аналогичной поставленной термоупругой задачи представлены ниже. Значения всех постоян- ных указаны в табл. 3.2. 76 Рис. 4.27. Распределение температуры по сечению вдоль радиуса цилиндра Температурные деформации представлены на рис. 4.28, переме- щения точек сечения вдоль радиуса – на рис. 4.29. Распределение интенсивности напряжений и деформаций материальных точек теп- ловыделяющего цилиндра представлены на рис. 4.30 и 4.31 соответ- ственно. Рис. 4.28 Рис. 4.29 77 Рис. 4.30 Рис. 4.31 Анализируя результаты, полученные на базе численно-анали- тического метода и МКЭ в ANSYS Workbench, приходим к полному совпадению результатов распределения температуры, температурных деформаций и эквивалентных напряжений по сечению. Незначитель- ное расхождение значений общих перемещений и эквивалентных де- формаций связано в первую очередь с ориентацией их в пространстве и принятой изначально осесимметричностью решаемой численно за- дачи. Таким образом, полученные в ANSYS Workbench значения ос- новных характеристик НДС достаточно корректны и сопоставимы с аналитическими результатами. Кроме того, распределения напряже- ний и деформаций, полученные с помощью расчета на базе комплекса ANSYS, позволяют довольно быстро получить наглядное представле- ние о наиболее нагруженных и опасных местах. Задание. На первом этапе лабораторного исследования требует- ся разработать математическую модель для нахождения деформа- ций и напряжений, а также обосновать метод численного или чис- ленно-аналитического решения задачи. На основе численного ре- шения найти значения основных характеристик НДС данной задачи (табл. 4.1). Решение исходной задачи запрограммировать в пакете Mathcad (Matlab, Maple, Mathematics). Построить графические зави- симости деформаций и напряжений в каждой точке твердого тела. На втором этапе исследования провести конечно-элементное мо- делирование в среде программы ANSYS Workbench. Смоделировать деформирование твердого тела с последующим решением темпера- турной и термоупругой задачи. Сопоставить результаты МКЭ с аналитическим методом. 78 Замечание. В содержание отчета о проделанной лабораторной работе № 4 должно входить: краткие теоретические сведения; по- дробное описание всех шагов расчета с помощью ANSYS при про- ведении структурного прочностного анализа, рисунки состояния твердого тела после приложения нагрузок. Краткие выводы. Лабораторная работа № 5 МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ТВЕРДЫХ ТЕЛ Цель: изучить основные модели линейного и нелинейного пове- дения деформируемых твердых тел; рассмотреть идеализированные диаграммы деформирования при растяжении/сжатии и кручении основных конструкционных материалов; проиллюстрировать ос- новные процессы при нагружении и разгрузке; отработать вывод определяющих зависимостей для упругопластических твердых тел. Основные теоретические сведения. Как известно из экспери- ментов, различные материалы обладают тремя основными механи- ческими свойствами – упругостью, пластичность [4] и вязкостью. Эти свойства проявляются в разной степени в зависимости от структуры материала, условий работы (температуры, облучения, влажности, электромагнитного излучения) и типа нагрузки (стати- ческой, динамической, импульсной или длительной и т. п.). При различных комбинациях этих трех факторов один и тот же материал может проявлять одно из трех основных механических свойств или некоторую комбинацию из них. При изменении некоторых из названных факторов можно изменить поведение материала и полу- чить другую преобладающую комбинацию механических свойств. Теоретическое описание этого многообразного поведения материа- лов производится посредством механико-математических моделей, которые идеализируют реальное поведение материала, отражая его наиболее характерные свойства. Большое разнообразие материалов и свойств, проявляющихся при различных условиях работы, а также стремление к более подходящему описанию этого многообразия породили до сих пор и продолжают порождать многие механико- математические модели. Одномерные эксперименты являются ос- 79 новой для создания одномерных механико-математических моде- лей. При помощи идеализации полученной экспериментальным пу- тем зависимости между основными напряжениями и деформациями получается определяющая связь между ними для соответствующей механико-математической модели. Рассмотрим последовательно одномерные механико-математические модели, которые встречают- ся чаще всего [5]. Модель линейно-упругого тела. Эксперименты при одномерном растяжении, сжатии и кручении показали, что существуют материа- лы, обладающие линейно-упругими свойствами. Связь между напряжениями и деформациями представляется для них в виде иде- ализированной диаграммы – прямой линии. В аналитическом виде это выражается при помощи определяющей связи между основны- ми напряжениями и деформациями: σх = Еσх (при растяжении/сжатии), (5.1) xy xyG   (при кручении). (5.2) Диаграмма растяжения/сжатия и кручения представлена на рис. 5.1. Рис. 5.1. Линейно-упругое тело Здесь E = tgβ = const – модуль упругости Юнга, а G = tgα = const – упругий модуль сдвига. В этом случае коэффициент поперечной деформации также является константой и называется коэффициен- 80 том Пуассона ν = const. Замечание: уравнения (5.1) и (5.2) – суть математического выражения линейного закона Гука. Линейно-упругие материалы, имеющие различные модули упру- гости при растяжении и сжатии, называются разномодульными. Идеализированная диаграмма таких материалов представлена на рис. 52. Рис. 5.2. Разномодульное твердое тело Определяющая связь между напряжениями и деформациями имеет вид: 1 2 , tg const (растяжение), σ , tg const (сжатие). x x x E E E E             (5.3) Модель нелинейно-упругого тела. Связь между напряжениями и деформациями в телах с нелинейно-упругими свойствами дается идеализированной кривой, показанной на рис. 5.3. Соответствую- щая определяющая связь при растяжении (сжатии):  1 ,x xf   (5.4) при кручении:  2 .x xf    (5.5) 81 Рис. 5.3. Нелинейно-упругое тело Для сопротивляющихся нелинейно-упругих тел определяющая связь имеет вид:     , . x x x f f        (5.6) Замечание. Здесь знак «+» означает процесс растяжения, а «–» – сжатие. Соответствующая идеализированная кривая показана на рис. 5.4. Рис. 5.4. Сопротивляющееся (разнопрочное) нелинейно-упругое твердое тело 82 Модели пластических тел. Материалы, проявляющие пласти- ческие свойства, в зависимости от вида этого проявления могут ап- проксимироваться различными механико-математическими моде- лями. Модель упругоидеально пластического тела (рис. 5.5) харак- теризуется определенной граничной величиной напряжений ,x p   называемой пределом текучести при чистом растяжении или сжатии, соответственно xy p   – пределом текучести при чистом сдвиге. До этого предела материал является линейно- упругим, а после его достижения он деформируется при постоян- ном напряжении, т. е. течет пластически. При разгрузке (уменьше- нии нагрузки) тело обладает линейно-упругим поведением с моду- лем упругости, равным начальному, и, кроме того, возникает оста- точная деформация. При повторном нагружении материал снова деформируется упруго до достижения предшествующего предела текучести, после чего снова начинает пластически течь. Рис. 5.5. Модель упругоидеально пластического тела Материал модели упругопластического тела с линейным упроч- нением (рис. 5.6) также деформируется упруго до достижения пре- дела текучести. При превышении этого предела при нагружении (увеличении нагрузки) связь между напряжениями и деформациями 83 также будет линейной, но с другим угловым коэффициентом. При разгрузке материал является линейно-упругим с образованием оста- точных деформаций. При повторном нагружении материал будет деформироваться линейно-упруго до достижения напряжения, с которого началась разгрузка. Это напряжение играет роль нового предела текучести, превышающего первоначальный, вследствие чего мы считаем, что материал получил пластическое упрочнение. Если продолжить нагружение, то связь между напряжениями и де- формациями будет следовать первоначальной линейной зависимо- сти. Поэтому и говорят, что упрочнение является линейным. Рис. 5.6. Модель упругопластического тела с линейным упрочнением Модель упругопластического тела с нелинейным упрочнением (рис. 5.7) обладает свойствами, подобными свойствам предыдущей модели. В обоих случаях материал характеризуется двумя различ- ными зависимостями между напряжениями и деформациями при нагружении и разгрузке. Отличие от предшествующей модели со- стоит в том, что при превышении предела текучести связь между напряжениями и деформациями является нелинейной, т. е. материал упрочняется нелинейно. 84 Рис. 5.7. Модели упругопластического тела с нелинейным упрочнением Модель нелинейно-упругопластического тела. В случае моде- ли нелинейно-упругопластического тела (рис. 5.8) предел текучести отсутствует, и пластические деформации возникают с самого нача- ла нагружения. При нагружении связь между напряжениями и де- формациями является нелинейной, и материал упрочняется нели- нейно. Разгрузка дает линейно-упругую зависимость между напря- жениями и деформациями с наклоном, равным наклону касательной в начальной точке к кривой  x x  (соответственно  xy xy  ). При повторном нагружении пластические деформации начинаются по- сле достижения напряжений, при которых началась разгрузка. Рис. 5.8. Модели нелинейно-упругопластического тела 85 Если пластические деформации тела достаточно развиты и в значительной степени превышают упругие, то последними можно пренебречь и пользоваться моделями жесткопластических тел (рис. 5.9–5.11). Рис. 5.9. Жесткоидеально Рис. 5.10. Жесткопластическое тело пластическое тело с линейным упрочнением Модель нелинейно-упругопластического тела может обладать и нелинейной пластической разгрузкой (рис. 5.12). Рис. 5.11. Жесткопластическое тело Рис. 5.12. Упругопластическое тело с нелинейным упрочнением с нелинейным разгружением Если материалы обладают более сложными пластическими свой- ствами, можно пользоваться некоторыми модификациями указанных выше моделей. Так, например, в случае разносопротивляющихся ма- териалов, имеющих различные модули упругости и пределы текучести при растяжении и сжатии, используются модели с идеализированными диаграммами типа диаграммы, представленной на рис. 5.13. 86 Рис. 5.13. Разнопрочные упругопластичные твердые тела Задания для лабораторной работы № 5 1. Материал некоторого упругопластического тела деформиру- ется. Известно, что упрочнения материала не происходит – механи- ко-математическая модель упругоидеально пластического (модель Прандтля). Требуется изобразить графически идеализированную диаграмму деформирования для данного тела. Необходимо указать определяющие зависимости (закон деформирования), обозначить и подписать различные участки диаграммы с последующей краткой ха- рактеристикой процессов, происходящих на каждом из них как при нагружении, так и при разгрузке. Сформулировать и предложить связь деформаций и напряжений для рассматриваемого случая. 2. Упругопластическое твердого тела деформируется. Известно, что упрочнение имеет место и задается линейно (механико- математическая модель упругопластического тела с линейным упрочнением). Требуется изобразить графически идеализированную диаграмму деформирования данного тела. Необходимо указать определяющие зависимости (закон деформирования), обозначить и подписать различные участки диаграммы с последующей краткой характеристикой процессов, происходящих на каждом из них как при нагружении, так и при разгрузке. Сформулировать и предложить связь деформаций и напряжений для рассматриваемого случая. 3. Материал некоторого упругопластического тела деформиру- ется. Известно, что упрочнение имеет место и задается по нелиней- ному закону (механико-математическая модель упругопластическо- 87 го тела с нелинейным упрочнением). Требуется изобразить графи- чески идеализированную диаграмму деформирования данного тела. Необходимо указать определяющие зависимости (закон деформи- рования), обозначить и подписать различные участки диаграммы с последующей краткой характеристикой процессов, происходящих на каждом из них как при нагружении, так и при разгрузке. Сфор- мулировать и предложить связь деформаций и напряжений для рас- сматриваемого случая. 4. Рассмотреть модель нелинейно-упругопластического тела в процессе деформирования (растяжение/сжатие). Считая, что упроч- нение материала имеет место (механико-математическая модель нелинейно-упругопластического тела). Требуется изобразить гра- фически идеализированную диаграмму деформирования данного тела. Необходимо указать определяющие зависимости (закон де- формирования), обозначить и подписать различные участки диа- граммы с последующей краткой характеристикой процессов, про- исходящих на каждом из них как при нагружении, так и при раз- грузке. Сформулировать и предложить связь деформаций и напряжений для рассматриваемого случая. 5. Для некоторой модели жесткопластического тела, считая, что упрочнение материала не происходит (механико-математическая модель жестко-идеально-пластического тела), требуется изобразить графически идеализированную диаграмму деформирования твердо- го тела при растяжении/сжатии. Необходимо указать определяющие зависимости (закон деформирования), обозначить и подписать раз- личные участки диаграммы с последующей краткой характеристи- кой процессов, происходящих на каждом из них как при нагруже- нии, так и при разгрузке. Сформулировать и предложить связь де- формаций и напряжений для рассматриваемого случая. 6. Материал некоторой модели жесткопластического тела де- формируется. Известно, что упрочнение материала имеет место и задается линейно (механико-математическая модель жесткопласти- ческого тела с линейным упрочнением). Требуется изобразить гра- фически идеализированную диаграмму деформирования данного тела. Необходимо указать определяющие зависимости (закон де- формирования), обозначить и подписать различные участки диа- граммы с последующей краткой характеристикой процессов, про- исходящих на каждом из них как при нагружении, так и при раз- 88 грузке. Сформулировать и предложить связь деформаций и напря- жений для рассматриваемого случая. 7. Для некоторого жесткопластического твердого тела, считая, что упрочнение материала имеет место и задается нелинейно (меха- нико-математическая модель жесткопластического тела с нелиней- ным упрочнением), требуется изобразить графически идеализиро- ванную диаграмму деформирования при растяжении/сжатии. Необ- ходимо указать определяющие зависимости (закон деформирова- ния), обозначить и подписать различные участки диаграммы с по- следующей краткой характеристикой процессов, происходящих на каждом из них (как при нагружении, так и при разгрузке). Сформу- лировать и предложить связь деформаций и напряжений для рас- сматриваемого случая. 8. Материал некоторого упругопластического тела деформиру- ется. Известно, что упрочнение материала имеет место и задается нелинейно, вдобавок тело обладает нелинейной пластической раз- грузкой (механико-математическая модель нелинейного упругопла- стического тела с нелинейным разгружением). Требуется изобра- зить графически идеализированную диаграмму деформирования данного тела. Необходимо указать определяющие зависимости (за- кон деформирования), обозначить и подписать различные участки диаграммы с последующей краткой характеристикой процессов, происходящих на каждом из них (как при нагружении, так и при разгрузке). Сформулировать и предложить связь деформаций и напряжений для рассматриваемого случая. 9. Материал твердого упругого тела деформируется линейно (ме- ханико-математическая модель линейно-упругого тела). Требуется изобразить графически идеализированную диаграмму деформирова- ния данного тела как при растяжении/сжатии, так и при кручении. Необходимо указать определяющие зависимости (закон деформирова- ния), обозначить и подписать различные участки диаграммы с после- дующей краткой характеристикой процессов, происходящих на каж- дом из них (как при нагружении, так и при разгрузке). Сформулиро- вать и предложить связь деформаций и напряжений. 10. Материал некоторой модели упругого тела деформируется не- линейно (механико-математическая модель нелинейно-упругого тела). Требуется изобразить графически идеализированную диаграмму де- формирования данного тела как при растяжении/сжатии, так и при 89 кручении. Необходимо указать определяющие зависимости (закон де- формирования), обозначить и подписать различные участки диаграм- мы с последующей краткой характеристикой процессов, происходя- щих на каждом из них (как при нагружении, так и при разгрузке). Сформулировать и предложить связь деформаций и напряжений. 11. Вывести определяющие зависимости, связывающие действи- тельное и условное напряжения, а также обычную деформацию при одноосном растяжении, не используя предположение о несжимае- мости материала и принимая, что объемная деформация прямо про- порциональна среднему (гидростатическому) условному напряже- нию. Считать, что коэффициент пропорциональности тот же, что и в пределах упругости. 12. Вывести уравнения диаграммы деформирования, если диа- грамма растяжения материала имеет площадку текучести и линей- ное упрочнение. 13. Вывести уравнения диаграммы сдвига, если диаграмма растя- жения материала имеет площадку текучести и линейное упрочнение. 14. Вывести уравнения диаграммы деформирования, если диа- грамма растяжения материала имеет площадку текучести и степен- ное упрочнение. Применять модуль упругости Е, модуль упрочне- ния ЕТ, предел текучести σТ, деформация, соответствующая концу площадки текучести εT*, коэффициент Пуассона v. Принять, что уравнение диаграммы растяжения при *Т   , * ( )mТ Т     . 15. Вывести формулы, позволяющие построить диаграмму сдви- га по диаграмме растяжения. 16. Как известно, условным пределом текучести при одноосном растяжении называется напряжение, при котором остаточная де- формация равна 0,2 % (ε = 0,002). Определить остаточную дефор- мацию для предела текучести при сдвиге. Задачи для самостоятельной практической работы 1. Используя теорию малых упругопластических деформаций и теорию течения, определить напряжения, возникающие в растяну- той и скрученной тонкостенной трубке при нагружении ее по путям диаграмм следующих механико-математических моделей: а) упру- гоидеально пластического тела; б) упругопластического тела с ли- 90 нейным упрочнением; в) упругопластического тела с нелинейным упрочнением. Сопоставить напряжения по указанным теориям. 2. Используя теорию малых упругопластических деформаций и теорию течения, определить напряжения, возникающие в тонко- стенной трубке с днищами, нагруженной внутренним давлением p и крутящим моментом Т при деформировании ее. Сопоставить напряжения по указанным теориям. Принять, что материал несжи- маем и не имеет упрочнения. 3. При испытании стального цилиндрического образца диамет- ром d0 = 6 мм измерены радиус кривизны контура шейки в точке наименьшего поперечного сечения R = 1,52 мм и диаметр этого се- чения d1 = 2r1 = 3,24 мм. Определить интенсивность деформаций, отношение интенсивности напряжений к среднему осевому напря- жению, а также отношение осевого напряжения в центре попереч- ного сечения к осевому напряжению в точках контура и радиально- му (окружному) напряжению в центре. 4. Стержень АВ постоянного поперечного сечения А длиной l нагружен в сечении С на расстоянии 2·l/5 от верхнего торца силой F. Верхний А и нижний В торцы стержня закреплены неподвижно. Диаграмма растяжения (сжатия) материала схематизирована в виде диаграммы идеального упругопластического тела. Определить силу FТ, при которой начинается образование пластических деформаций, предельную силу Fпр, при которой исчерпывается несущая способ- ность стержня, остаточные напряжения после нагружения стержня силой F* = (FТ + Fпр)/2 разгрузки. Построить график зависимости си- лы F от перемещения сечения и определить остаточное перемещение этого сечения после нагружения стержней силой F и разгрузки. 5. Круглый чугунный стержень с закрепленными концами нагружен силой F, действующей вдоль его оси и приложенной в среднем сечении. Определить силу, разрушающую стержень, если его диаметр d = 4 см. 6. Три стержня одинаковой длины и одинаковой площади попе- речного сечения нагружены с помощью абсолютно жесткой плиты силой F. Диаграмма растяжения материала стержней схематизиро- вана в виде диаграммы идеального упругопластического тела. Определить силу FТ, при которой начинается образование пласти- ческих деформаций, предельную силу Fпр, при которой исчерпыва- ется несущая способность конструкции, остаточные напряжения, 91 возникающие после нагружения стержней силой F* = (FТ + Fпр)/2 разгрузки. Построить график зависимости силы F от перемещения точки ее приложения δ. Определить положение плиты после нагру- жения ее силой F* и последующей разгрузки. 7. Толстостенная цилиндрическая труба, внутренний и наруж- ный радиусы которой r1 и r2 соответственно, нагружена осевой си- лой N, внутренним p1 и наружным p2 давлениями. Материал несжи- маем, упрочнение линейное. Вывести формулы для напряжений, осевой силы и радиального перемещения, если осевая деформация εz = 0. При решении использовать теорию малых упругопластиче- ских деформаций и условие пластичности Хубера-Мизеса. Опреде- лить значение внутреннего давления, если p1/p2 = 2; r2/r1 = 2; отно- шение радиуса границы пластической области к внутреннему ради- усу r2/r1 = 1,4; отношение модуля упрочнения к модулю упругости ЕТ/E = 0,1; предел текучести материала σТ = 800 МПа. Для найден- ного давления построить эпюры напряжений. 8. Толстостенная цилиндрическая труба нагружена осевой силой N и внутренним давлением p. Осевая деформация εz = 0. Материал несжимаем, упрочнение степенное. Вывести формулы для напря- жений и радиального перемещения, используя теорию малых упру- гопластических деформаций и условие пластичности Хубера- Мизеса. Установить зависимость перемещения точек внутренней поверхности u1 от давления p. Определить давление р*, при котором пластические деформации возникают во всех точках трубы. Отноше- ние наружного радиуса трубы к внутреннему r2/r1 = 2, m = 0,2. 9. Толстостенная труба, наружный радиус которой значительно больше внутреннего, нагружена осевой силой N и внутренним дав- лением p. Осевая деформация εz=0. Материал несжимаем, упрочне- ние линейное. Вывести формулы для напряжений, используя тео- рию малых упругопластических деформаций и условие пластично- сти Хубера-Мизеса. 10. Толстостенная труба из несжимаемого упрочняющегося ма- териала нагружена внутренним давлением и осевой силой. Осевая деформация равна нулю. Упрочнение аппроксимируется степенной функцией. Проанализировать влияние упругого участка при схема- тизации диаграмм деформирования на распределение напряжений по толщине трубы и на радиальное перемещение точек внутренней поверхности. Использовать теорию малых упругопластических де- 92 формаций и условие пластичности Хубера-Мизеса. Построить эпю- ру напряжений, если отношение радиуса к внутреннему r2/r1 = 2, р = 300 МПа, E = 2·105 МПа, σТ = 400 МПа, m = 0,2. 11. Толстостенная сфера нагружена внутренним и p1 и p2 давле- ниями. Материал несжимаем, упрочнение отсутствует. Вывести формулы для напряжений и радиального перемещения, использо- вать теорию малых упругопластических деформаций и условие пла- стичности Хубера-Мизеса. Определить соотношение между давле- ниями, при котором появляются пластические деформации и возни- кает предельное состояние, считая отношение наружного радиуса r2 к внутреннему r1 заданным. 12. Толстостенная сфера, внутренний и наружный радиусы кото- рой r1 и r2 соответственно, нагружена внутренним давлением p. Материал несжимаем, упрочнение линейное. Вывести формулы для напряжений и радиального перемещения. Построить эпюру напря- жений, если r2/r1 = 2, отношение радиуса границы пластической об- ласти к внутреннему радиусу r2/r1 = 1,4 и отношение модуля упроч- нения к модулю упругости ЕТ/E = 0,1. Определить давление p*, при котором пластическая область распространится на всю сферу. 13. Толстостенная сфера нагружена внешним давлением p. Матери- ал несжимаем, диаграмма деформирования аппроксимирована степен- ной функцией. Вывести формулы для напряжений и радиального пе- ремещения. В решении использовать теорию малых упругопластиче- ских деформаций и условие пластичности Хубера-Мизеса. 14. В сфере имеется сферическая полость, радиус которой значи- тельно меньше размеров тела. Внутри полости создано давление p. Материал несжимаем, упрочнение описывается степенной функци- ей. Вывести формулы для напряжений и перемещений, используя теорию малых упругопластических деформаций и условие пластич- ности Хубера-Мизеса. 15. Неподвижный диск постоянной толщины нагружен по внеш- нему контуру равномерным давлением р. Материал несжимаем, упрочнение отсутствует. Вывести формулы для напряжений и ради- ального перемещения, используя теорию малых упругопластиче- ских деформаций и условие пластичности Хубера-Мизеса.. Опреде- лить давление начала текучести рт и предельное давление рпр, счи- тая отношение наружного радиуса r2 к внутреннему r1 заданным. 93 Построить эпюры напряжений для диска с отношениями r2/r1 = 3, rТ/r1 = 2, где rТ – радиус границы пластической области. 16. Получить решение предыдущей задачи с использованием условия пластичности Треска–Сен-Венана. 17. Диск постоянной толщины посажен с натягом на абсолютно жесткий вал. Материал не имеет упрочнения. Установить зависи- мость контактного давления от натяга. Построить график этой зави- симости для несжимаемого и упругосжимаемого (v = 0,3) материа- лов. При решении использовать условие пластичности Треска–Сен- Венана и теорию малых упругопластических деформаций. 18. Неподвижный диск постоянной толщины нагружен по внут- реннему контуру давлением р. Материал диска несжимаем, упроч- нение степенное. Вывести формулы для напряжений и радиального перемещения, используя теорию малых упругопластических де- формаций и условие пластичности Хубера-Мизеса. Построить эпю- ры напряжений для р = 0,9 σТ и отношения наружного радиуса к внутреннему r2/r1 = 2. 19. Бесконечная пластина с отверстием растянута осесимметрич- но относительно центра отверстия. Материал пластины несжимаем, диаграмма деформирования аппроксимирована степенной функци- ей. Вывести формулы для напряжений, построить эпюры напряже- ний в окрестности отверстия для различных значений нагрузки. При решении использовать теорию малых упругопластических дефор- маций и условие пластичности Хубера-Мизеса. 20. Диск постоянной толщины с отношением радиусов r2/r1 = 3 посажен на абсолютно жесткий вал с относительным натягом, рав- ным 3σТ. Материал диска несжимаем, упрочнение степенное. Опре- делить контактное давление, используя теорию малых упругопла- стических деформаций и условие пластичности Хубера-Мизеса. 21. При испытании длинной тонкостенной цилиндрической обо- лочки с днищами, нагруженной внутренним давлением, в точке, далекой от днищ, измерена окружная деформация 10 Т Е   . Отношение среднего диаметра к толщине стенки D/h = 20. Опреде- лить приложенное давление, если диаграмма деформирования ма- териала имеет линейное упрочнение. Модуль упрочнения ЕТ = Е/10, коэффициент Пуассона v = 0,3. Указание: для определения мериди- онального напряжения использовать зависимость окружной дефор- 94 мации от окружного напряжения по теории малых упругопластиче- ских деформаций: 0 03 ( ) / (2 )i i          . 22. При испытании тонкостенной сферической оболочки с отно- шением среднего диаметра к толщине стенки D/h = 20, нагруженной внутренним давлением, измерена меридиональная (окружная) де- формация, равная 10 Т Е . Определить приложенное давление, если диаграмма деформирования материала имеет линейное упрочнение. Модуль упрочнения ЕТ = Е/10, коэффициент Пуассона v = 0,3. 23. В растянутой силой F и скрученной моментом Т за пределы упругости трубке диаметра D и толщиной стенки h были измерены меридиональная εm и окружная εt деформации, а также деформация εu в направлении под углом 45° к меридиану. Определить растяги- вающую силу и крутящий момент, если модуль упругости материа- ла Е, а коэффициент Пуассона v. Показать, что для решения не нужна диаграмма растяжения материала. 24. Определить коэффициент запаса по несущей способности длинной тонкостенной цилиндрической оболочки с днищами. Сред- ний диаметр оболочки D, толщина стенки h, длина l. Оболочка нагру- жена внутренним давлением. Принять степенную зависимость интен- сивности действительных напряжений от интенсивности логарифми- ческих деформаций mi ia   . Считать материал несжимаемым. 25. Используя теорию малых упругопластических деформаций и теорию течения, определить напряжения, возникающие в растяну- той и скрученной тонкостенной трубке при нагружении ее по путям классической диаграммы. Сопоставить напряжения по указанным теориям. Принять, что материал трубки несжимаем, а диаграмма деформирования не имеет упрочнения. 26. Неподвижный диск постоянной толщины нагружен по внут- реннему контуру давлением р. Материал диска упруго сжимаем (v ≠ 0,5), упрочнение степенное. Получить уравнения для решения задачи в форме, удобной для применения ЭВМ, используя теорию малых упругопластических деформаций и условие пластичности Хубера-Мизеса. Запрограммировать решение задаче в пакете MathCAD (MatLAB, Maple, Mathematics или других вычислитель- ных программах). 95 Лабораторная работа № 6 ДЕФОРМАЦИОННОЕ УПРОЧНЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ И ЭФФЕКТ БАУШИНГЕРА Цель: изучить эффект пластической анизотропии материала; определить остаточную пластическую деформацию при цикличе- ском нагружении и анализ нелинейного поведения материала при циклическом нагружении; исследовать возможности применения мультилинейной кинематической аппроксимации нагружения для проведения нелинейного анализа; численное моделирование пла- стической деформации и деформационного упрочнения [5]. Основные теоретические сведения. Экспериментально уста- новлено, что предел пропорциональности при сжатии предвари- тельно пластически деформированного растяжением материала меньше, чем недеформированного. Таким образом, первичное пла- стическое деформирование материала снижает его сопротивление пластическому деформированию при повторной нагрузке (рис. 6.1). Это явление называется эффектом Баушингера (или так называемая пластическая анизотропия). Эффект Баушингера объясняется тем, что при малой пластической деформации растяжения одни зерна материала деформируются пластически, а другие упруго. В резуль- тате этого после разгрузки возникают остаточные силы взаимодей- ствия между зернами. Так, некоторые из зерен оказываются в рас- тянутом состоянии, а другие – в сжатом. При последующем сжатии пластические деформации возникают в первую очередь в ранее сжатых зернах. Этим и объясняется понижение предела текучести. Заметим, что аналогичные результаты были получены при испыта- нии образцов на кручение сначала в одном, а потом и в противопо- ложном направлении. Следуют подчеркнуть, что в результате больших пластических деформаций растяжения предел текучести при сжатии может и увеличиваться. 96 Рис. 6.1. Условные диаграммы первичного и вторичного растяжения и сжатия: OA – первичное растяжение; OB – первичное сжатие; AC – разгрузка; CD – вторичное сжатие Для материалов, обладающих эффектом Баушингера, можно принять разнообразные другие идеализированные диаграммы (рис. 6.2) в зависимости от способа проявления этого эффекта. Из- менение предела текучести можно представить различными анали- тическими способами, принимая различные одноосные модели упругопластических тел, проявляющих анизотропное упрочнение (т. е. различное упрочнение в зависимости от предварительной пла- стической деформации). Согласно довольно общему случаю, рас- смотренному в трудах Н. Н. Малинина, А. А. Ильюшина, Ю. Н. Ра- ботнова [1], если p p p      – начальный предел текучести, то вследствие предварительной пластической деформации растяжения p предел текучести при сжатии выразится формулой      a1 ,p pp p p           где  pa  и  pa  – однозначно определяемые из эксперимента функции предварительной пластической деформации p . 97 В частном случае можно принять, что  1, , const,pa a a aC C      тогда  1 .p p a pC     Рис. 6.2. Эффект Баушингера Консервативное и неконсервативное поведение конструкции. Система называется неконсервативной, если энергия, сообщенная системе внешней нагрузкой системой, рассеивается, что происхо- дит, например, при пластической деформации, когда энергия внеш- ней силы расходуется на движение дислокаций и, как следствие, на изменение геометрической формы. На рис. 6.3 схематически пока- зано поведение неконсервативной системы: удлинение, обуслов- ленное остаточной деформацией в результате пластического тече- ния. Если после снятия нагрузки энергия системы восстанавливает- ся до первоначального уровня, система называется консервативной. Анализ консервативных систем не зависит от траектории; последо- вательность приложения нагрузок и количество приращений (ша- гов) не влияют на результат вычислений. Анализ неконсервативных систем зависит от траектории; точность расчетов определяется ап- проксимацией нелинейного параметра линейными участками и тре- бует увеличенного числа ступеней (временных шагов) на каждом шаге разбиения. 98 Рис. 6.3. Неконсервативное поведение системы при пластической деформации Моделирование пластической деформации и деформационного упрочнения материалов. Нелинейное поведение материалов может привести к изменению жесткости конструкции под действием прило- женной нагрузки. Так, нелинейная зависимость деформации от напря- жения для пластичных и сверхэластичных материалов заставляет кон- струкцию различным образом реагировать на внешние силы; уровень остаточной деформации определяется величиной приложенных сил и температурным режимом. Нелинейные эффекты, вызванные ползуче- стью и вязкопластичным поведением материалов, могут зависеть от времени и скорости нагружения, температурного режима и величины нагрузки. Радиационное распухание материалов под действием частиц деформирует конструкцию, причем величина деформации является функцией температуры, времени, потока нейтронов и величины при- ложенных сил. Как было сказано выше, в большинстве случаев пове- дение металлов под действием приложенных сил описывается дефор- мационной кривой, на которой можно выделить несколько характер- ных точек и участков: 1) до предела пропорциональности деформация металла подчиняется линейному закону; 2) до предела упругости ве- личина остаточной деформации пренебрежимо мала, и поведение ме- талла мало отличается от линейного; 3) выше предела упругости и до предела текучести металл деформируется нелинейно; 4) увеличение внешней нагрузки свыше предела текучести и вплоть до предела прочности приводит к интенсивному пластическому деформированию, которое характеризуется накоплением остаточной деформации; дан- ный процесс является неконсервативным и должен подвергаться нели- нейному анализу. 99 Пластическое течение материалов может быть аппроксимиро- вано одним из следующих способов. Билинейное нагружение. Билинейное нагружение отражает обычное нагружение металлических конструкций и предполагает, что деформационная кривая в истинных координатах «напряжение () – логарифм деформации» ( = ln(l/lO)) состоит из двух линейных участков с одной критической точкой пересечения, соответствую- щей пределу текучести. Данный способ аппроксимации позволяет учитывать эффект Баушингера и применим для относительно не- больших деформаций, когда поведение металла контролируется критерием пластичности фон Мизеса. Кривая деформации при би- линейном нагружении представлена на рис. 6.4. Эффект Баушинге- ра, описывающий циклическое билинейное нагружение металла, представлен на рис. 6.5. Билинейное нагружение не способно моде- лировать большую пластическую деформацию. Мультилинейное нагружение. Мультилинейное нагружение (рис. 4, б) описывается моделью Бесселинга, представляет дефор- мационную кривую в виде нескольких линейных участков и учиты- вает эффект Баушингера; данный способ не применим для большой пластической деформации. Рис. 6.4. Билинейное (а) и мультилинейное (б) нагружение 100 Рис. 6.5. Циклическое билинейное нагружение, учитывающее эффект Баушингера Рис. 6.6. Классическая кривая деформации растяжения–сжатия, которая характеризует эффект Баушингера Нелинейное нагружение. Нелинейное нагружение моделирует большие пластические деформации, циклическое нагружение; учи- тывает ударные эффекты; является суперпозицией нескольких би- линейных и мультилинейных нагружений, которые включаются в расчет в зависимости, например, от температуры нагружения. Изотропное нагружение. Изотропное нагружение может быть линейным, мультилинейным или нелинейным, исходя из аппрокси- мации деформационной кривой, но используется в расчетах при условии изотропности материала. Данный способ применяется для анализа больших пластических деформаций. 101 Анизотропное нагружение моделирует поведение металлов, в ко- торых предварительной деформационной обработкой, например про- каткой или волочением, была создана преимущественная кристалло- графическая ориентация кристаллитов (текстура). Данный способ поз- воляет учесть различное билинейное поведение в трех направлениях координатных осей и отдельно задать развитие в этих направлениях сжатия, удлинения и сдвига, но не дает точных результатов при цик- лическом или ярко выраженном нелинейном нагружении. Отметим, что в настоящее время нелинейные задачи эффективно решаются итерационным методом Ньютона-Рафсона, который пред- полагает приближенное разбиение нагрузки на несколько последова- тельных приращений. Применение этого метода для равновесных ите- раций в случае двух приращений нагрузки и одной степени свободы показано на рис. 6.7 (нелинейная нагрузка с одной степенью свободы аппроксимируется двумя линейными приращениями). Рис. 6.7. Применение итерационного метода Ньютона-Рафсона для нелинейного анализа Таким образом, исходная нелинейная задача сводится к линей- ной, а точность решения определяется следующими параметрами: 1) количеством шагов (приращений); каждый шаг в отдельности представляет собой линейное нагружение конструкции; 2) количе- ством ступеней (или временных шагов); каждый шаг нагружения разбивается на ступени с целью более точной аппроксимации; 3) количеством равновесных итераций; на каждой ступени данный параметр обеспечивает сходимость решения. 102 Задание. Для различных вариантов деформируемых твердых тел (см. табл. 1.1 из лабораторной работы № 1) необходимо определить накопленную остаточную деформацию. Провести анализ остаточ- ной пластической деформации при циклическом нагружении с по- мощью средств виртуального моделирования ANSYS. Считать, что деформационная кривая в истинных координатах известна и задана. Пример. На поверхность круглой пластинки толщиной 0,1 м и радиусом 1,0 м действует постоянное давление, а к центру круга приложена сила, направленная по нормали к поверхности, имеющая нулевое значение в начальный момент времени и затем меняющая в нескольких циклах линейно величину от максимального положи- тельного значения до минимального отрицательного. Следует опре- делить накопленную остаточную деформацию. Проведем анализ остаточной пластической деформации при циклическом нагружении с помощью средств виртуального моде- лирования ANSYS 5.7 [2]. Последовательность решения и основные этапы процедуры численного моделирования напряженно- деформированного состояния конструкции представлены ниже. # Описание команды Путь выполнения команды 1 Начать работу в препроцессоре Присвоить значения параметру, введенному пользователем; radius – название параметра (радиус диска);1,0 – величина параметра Набрать в командной строке > radius = 1,0 > Enter> 2 Присвоить значения параметру, введенному пользователем; thick – название параметра (толщина диска); 0,1 – величина параметра thick = 0,1 > Enter 3 Выбрать из библиотеки тип элемента; 1 – номер типа элемента; plane42 – название элемента в библиотеке; система координат элемента параллельна глобальной системе коор- динат; добавить внешние смещения; 1 – осесиммет- ричный Main Menu > Preprocessor > Element Type > Add/Edit/Delete [Add > Structural> Solid> > Quad 4node 42 > OK> Options > Element behavior> Axisymmetric > OK > Close] 4 Задать свойство материала: ex – модуль Юнга; 1 – номер материала; 16911.23 – величина модуля Юнга Main Menu > Preprocessor > Material Props [Constant > Isotropic > 1> OK > Young's modulus EX > 16911.23 > 5 Задать свойство материала: nuxy – коэффици- ент Пуассона; 1 – номер материала; 0.3 – вели- чина коэффициента Пуассона Poisson's ratio NUXY > 0,3 > OK] 103 6 Активировать таблицу данных, содержащую нелинейные свойства материала: kinh – характер поведения материала: пластич- ность при мультилинейном кинематическом упрочнении; 1 – номер материала; 1 – количество значений температуры, при которых следует применить таблицу данных; 5 – количество точек на кривой (или позиций в таблице данных) для каждой температуры Main Menu > Preprocessor> Material Props> Data Tables> Define/Activate [Type of data table> Kin Harden KINH> Material ref. Number> 1> No of temperatures> 1> No of data points/temp> 5> OK] 7 Задать точку на кривой напряжение- деформация: задать новую точку; 0.001123514 – величина деформации; 19.00 – величина напряжения Main Menu> Preprocessor> Material Props> Data Tables> Edit Active [1> Strain > 0.001123514> Stress> 19.00> 8 Всего необходимо задать на кривой напряжение-деформация 5 точек: 2> Strain> 0.001865643> Stress> 22.80> 3> Strain> 0.002562402> Stress> 25.08> 4> Strain> 0.004471788> Stress> 29.07> 5> Strain> 0.006422389> Stress> 31.73>File> Apply/Quit 9 Дать название оси на графике: X – применить название к оси X; Strain – название оси (деформация) Utility Menu> PlotCtrls> Style> Graphs> Modify Axes [X-axis label> Strain> 10 Дать название оси на графике: Y – применить название к оси Y; Stress – название оси (напряжение) Y-axis label> Stress> OK] 11 Показать на экране введенные данные (дефор- мационную кривую) в виде графика: kinh – тип таблицы данных; 1 – номер материала Main Menu> Preprocessor> Material Props> Data Tables> Graph [OK] 12 Рис. 6.8. Контрольный просмотр введенной нелинейной зависимости деформации от приложенной нагрузки 13 Создать прямоугольную область в рабочей плоскости: первая координата X равна 0; radius - вторая координата X равна параметру radius, заданному ранее; первая координата Y равна 0; thick – вторая координата Y равна параметру thick, заданному ранее Main Menu> Preprocessor> Create> Rectangle> By Dimensions [X-coordinates> 0> radius> Y-coordinates> 0> thick> OK] 104 14 Рис. 6.9. Результат построения геометрии (объемная задача сводится к плоской) 15 Задать данные, необходимые для следующей операции выбора fitem: 5 – количество аргументов команды; 2 – количество позиций в списке линий; 4 – количество линий; orde – важна после- довательность выбора линий; 2 – разрядность количества линий Utility Menu> PlotCtrls> Number- ing> Line numbers> ON Utility Menu> Plot> Lines Main Menu> Preprocessor> Mesh Tool [Size Controls> Lines> Set> 16 Обозначить объекты для выбора; 5 – количество аргументов команды; 2 – количе- ство объектов для выбора Выбрать линию 2 > 17 Обозначить объекты для выбора; 5 – количество аргументов команды; 4 – количество объектов для выбора Выбрать линию 4> 18 Сгруппировать геометрические объекты; _y – название группы; line – тип сгруппированных геометрических объектов – линий Picking Menu> OK> 19 Выбрать линии; ,,,, – по умолчанию – новый выбор линий No of element divisions> 8> OK> 20 Задать данные, необходимые для следующей операции выбора fitem Size Controls> Lines> Set> 21 Обозначить объекты для выбора; 1 – количество объектов для выбора Выбрать линию 1 > 22 Обозначить объекты для выбора 3 – количество объектов для выбора Выбрать линию 3 > 23 Сгруппировать геометрические объекты Picking Menu> OK> 24 Выбрать линии No of element divisions> 40> OK> 25 Сгруппировать геометрические объекты Mesh Tool> Quad> Mapped> Mesh> 26 Сгенерировать плоскую сетку; all – выбрать все поверхности Mesh area> Pick all> Mesh Tool> Close] 27 Рис. 6.10. Результат генерации сетки 28 Закончить работу в препроцессоре 29 Начать работу в процессоре 30 Учесть эффекты большой пластической деформа- ции в статическом или полном переходном анализе; on – включить Main Menu> Solution> Analysis Options [Large deform effects> ON> OK] 31 Присвоить значения параметру, введенному пользователем; ntop – название параметра; node(0,thick,0) – координаты узла Utility Menu> Parameters> Scalar Parameters [Selection> ntop = node(0,thick,0) > Accept> 105 32 Присвоить значения параметру, введенному поль- зователем; nright – название параметра; node(radius,0,0) – координаты узла Selection> nright = node(radius,0,0) > Accept> Close] 33 Записать в контрольный файл file.mntr значения переменных при решении нелинейной задачи; 1 – номер переменной; ntop – узел; uy – записать значения переменной смещения по оси y Main Menu> Solution> Nonlinear> Monitor [Ввести в командной строке> ntop> Enter> Monitor> OK> Quantity to be monitored> UY> OK] 34 Записать в контрольный файл file.mntr значения переменных при решении нелинейной задачи; 2 – номер переменной; nright – узел; fy – записать значения переменной составляющей напряжения вдоль оси y Main Menu> Solution> Nonlinear> Monitor [Ввести в командной строке> nright > Enter> Monitor> OK> Variable to redefine> Variable 2> Quantity to be monitored> FY> OK] 35 Контролировать расчетные результаты, записыва- емые в базу данных; all – значения всех расчетных параметров; all - для всех шагов решения Main Menu> Solution> Load Step Opts> Output Ctrls> DB/Results File [Item to be controlled> All items> File write frequency> Every substep> OK] 36 Выбрать узлы; s – новый выбор; loc – координата в активной системе; x – координата x; radius – значение координаты x выбираемых узлов Utility Menu> Select> Entities [Nodes> By Location> X coordi- nates> Min,Max> radius> OK] 37 Задать ограничения свободы в узлах; all – во всех выбранных узлах; all – присвоить нулевые значения всем возможным смещениям Main Menu> Solution> Loads> Apply> Structural> Displacement> On Nodes [Pick all> DOFs to be constrained> All DOF> OK] 38 Выбрать узлы; s – новый выбор; loc – координата в активной системе координат; x – координата x; 0,0 – значение координаты Utility Menu> Select> Entities [Nodes> By Location> X coordi- nates> Min,Max> 0> OK] 39 Задать ограничения свободы в узлах; all – во всех выбранных узлах; ux – ограничить смещение по оси x; 0–0 – нулевое смещение по оси x Main Menu> Solution> Loads> Apply> Structural> Displacement> On Nodes [Pick all> DOFs to be constrained> UX> 0> OK] Рис. 6.11. Ограничение степеней свободы (запрещены смещения узлов левого края вдоль оси x и все смещения узлов правого края) 40 Выбрать узлы; s – новый выбор; loc – координата в активной истеме координат; y – координата y; thick – значение координаты Utility Menu> Select> Entities [Nodes> By Location> Y coordi- nates> Min,Max> thick> OK] 106 41 Задать поверхностное нагружение в узлах; all – во всех выбранных узлах; pres – давление; 1,25 – величина давления Main Menu> Solution> Loads> Apply> Structural> Pressure> On Nodes [Pick all> Load Pres value> 1,25> OK] 42 Выбрать все геометрические объекты Utility Menu> Select> Everything 43 Задать число подшагов на первом шаге нагруже- ния; 10 – число подшагов на данном шаге нагру- жения; 50 – максимальное число подшагов; 5 – минимальное число подшагов Main Menu> Solution> Load Step Opts> Time/Frequenc> Time and Substeps [Number of substeps> 10> Maximum No of substeps> 50> Minimum No of substeps> 5> OK] 44 Начать вычисления Main Menu> Solution> Solve> Current LS> OK 45 Присвоить значения параметру, введенному поль- зователем; f – название параметра; 0,0425 – вели- чина параметра Utility Menu> Parameters> Scalar Parameters [Selection> f = 0,0425 > Accept> Close] 46 Выбрать узлы; s – новый выбор; node – узел; ,, – компонента здесь не требуется; ntop – координаты узла, заданы выше Main Menu> Solution> Loads> Apply> Structural> Force/Moment> On Nodes [Ввести в командной строке: ntop> Enter> OK 47 Задать силы, приложенные в узлах; all – во всех выбранных узлах; fy – сила, направленная вдоль оси y; f – величина приложенной силы, задана выше Direction of Force/mom> FY> Force/moment value> – f> OK] 48 Выбрать узлы; all – все узлы Utility Menu> Select> Entities [Nodes> By Num/Pick> Reselect> OK> Pick all] 49 Задать число подшагов на данном шаге нагружения; 4 – число подшагов на данном шаге нагружения; 25 – максимальное число подшагов; 2 – мини- мальное число подшагов Main Menu> Solution> Load Step Opts> Time/Frequenc> Time and Substeps [Number of substeps> 4> Maximum No of substeps> 25> Minimum No of substeps> 2> OK] 50 Начать вычисления Main Menu> Solution> Solve> Current LS> OK 51 Выбрать узлы; s – новый выбор; node – узел; ,, – компонента здесь не требуется; ntop – коорди- наты узла, заданы выше Main Menu> Solution> Loads> Apply> Structural> Force/Moment> On Nodes [Ввести в командной строке: ntop> Enter> OK 52 Задать силы, приложенные в узлах; all – во всех выбранных узлах; fy – сила, направленная вдоль оси y; f – величина приложенной силы, задана выше Direction of Force/mom> FY> Force/moment value> f> OK] 53 Выбрать узлы; all – все узлы Utility Menu> Select> Entities [Nodes> By Num/Pick> Reselect> OK> Pick all] 54 Задать число подшагов на данном шаге нагружения; 4 – число подшагов на данном шаге нагружения; 25 – максимальное число подшагов; 2 – минимальное число подшагов Main Menu> Solution> Load Step Opts> Time/Frequenc> Time and Substeps [Number of substeps> 4> Maximum No of sub- steps> 25> Minimum No of sub- steps> 2> OK] 107 55 Начать вычисления Main Menu> Solution> Solve> Current LS> OK Рис. 6.12. На каждом шаге по ходу решения идет контрольное построение параметров сходимости Еще два раза повторяем цикл нагружения, меняя направление приложенной силы на противоположное 56 Начать вычисления Main Menu> Solution> Solve> Current LS> OK 57 Сохранить всю текущую информацию в базе данных ANSYS Toolbar> Save_db 58 Закончить работу в процессоре 59 Начать работу в основном постпроцессоре 60 Обозначить данные, которые нужно прочитать из файла результатов расчета; last – прочитать последние значения параметров Main Menu> General Postproc> Last Set 61 Показать на экране деформированную конструкцию; 2 – показать конструкцию одновременно в дефор- мированном и недеформированном состоянии Main Menu> General Postproc> Plot Results> Deformed Shapes [Items to be plotted> Def + undef edge> OK] 62 Рис. 6.13. Деформированная конструкция прорисована элементами, контуром показана исходная недеформированная форма 108 63 Показать результаты расчетов по элементам в виде изолиний; nl – напряжение; epeq – накопленная эквивалентная деформация Main Menu> General Postproc> Plot Results> Contour Plot> Element Solu [Strain-plastic> Eqv plastic EPEQ> OK] 64 Рис. 6.14. Зоны локализации остаточной пластической деформации 65 Закончить работу в постпроцессоре 66 Начать работу в динамическом постпроцессоре 67 Показать на экране элементы Utility Menu> Plot> Elements 68 Выбрать узел; s – новый выбор; node – узел; , – компонента здесь не требуется; ntop – коорди- наты узла, заданы выше Utility Menu> Select> Entities [Nodes> By Num/Pick> OK> Ввести в командной строке> ntop> Enter> OK] 69 Выбрать элементы, связанные с выбранным узлом Utility Menu> Select> Entities [Elements> Attached to> Nodes> OK] 70 Присвоить значения параметру, введенному поль- зователем; elem – название параметра; elnext(0) – функция, определяющая номер элемента Ввести в командной строке> elem=elnext(0)> Enter 71 Выбрать все геометрические объекты Utility Menu> Select> Everything 72 Обозначить данные по элементам, которые нужно прочитать из файла результатов расчета; 2 – номер параметра; elem – элемент; ntop – номер узла, в котором для элемента следует восстановить данные; s – прочитать напряжения; y – прочитать составляющие напряжения по y Main Menu> TimeHist Pro> Define Variable [Add> Element results> OK> Выбрать мышью верхний левый элемент> Define Element Data> OK> Выбрать мышью верх- ний левый узел> Define Nodal Data> OK> Ref number of Variable> 2> Data item> Stress> Y-direction SY> OK> 73 Обозначить данные по элементам, которые нужно прочитать из файла результатов расчета; 3 – номер параметра; elem – элемент; ntop – номер узла, в котором для данного элемента следует восстано- вить данные; epel – тип данных -–упругая дефор- мация; y – прочитать составляющие упругой деформации по оси y Add> Element results> OK> Вы- брать мышью верхний левый элемент> Define Element Data> OK> Выбрать мышью верхний левый узел> Define Nodal Data> OK> Ref number of Variable> 3> Data item> Strain-elastic> Y-dir'n EPEL Y> OK> 109 74 Обозначить данные по элементам, которые нужно прочитать из файла результатов расчета; 4 – номер параметра; elem – элемент; ntop – номер узла, в котором для данного элемента следует восстановить данные; eppl – тип данных – пластическая деформация; y – прочитать составляющие пластической деформации по y Add> Element results> OK> Вы- брать мышью верхний левый элемент> Define Element Data> OK> Выбрать мышью верхний левый узел> Define Nodal Data> OK> Ref num- ber of Variable> 4> Data item> Strain-plastic> Y-dir'n EPPL Y> OK> Close] 75 Добавить параметры; 5 – номер параметра; 3,4,, – номера параметров, которые нужно исполь- зовать для определения данного параметра; ,,,, – неиспользуемые поля; 1,1,0 – масштабные факторы для указанных выше параметров Main Menu> TimeHist Pro> Math Operations> Add [Reference number for results> 5> 1st Variable> 3> 2nd Variable> 4] 76 Задать переменную вдоль оси X для представле- ния в графике; 5 – номер параметра, соответству- ющего абсциссе Main Menu> TimeHist Pro> Set- tings> Graph [Single variable> 5> OK] 77 Дать название оси на графике; x – оси x; Total y- strain – название Utility Menu> PlotCtrls> Style> Graphs> Modify Axes [X-axis label> 78 Дать название оси на графике; y – оси y; y-stress – название Total Y-strain> Y-axis label> Y- stress> OK] 79 Построить параметры на графике; 2 – номер параметра Main Menu> TimeHist Pro> Graph Variables> 1st variable to graph> 2> OK] 80 Рис. 6.15. Накопление остаточной пластической деформации в трех циклах 81 Закончить работу в постпроцессоре 110 Лабораторная работа № 7 ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ТЕРМОРАДИАЦИОННОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ НА ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ Цель: выполнить анализ и провести оценку основных законо- мерностей поведения твердых тел в условиях интенсивных термо- радиационных воздействий. Основные теоретические сведения. Теплофизические характе- ристики материалов при терморадиационном воздействии. В настоящее время механизму воздействия проникающих облучений на сплошные среды посвящены многочисленные работы физиков- теоретиков. Принято считать, что при прохождении излучения вы- сокой энергии через сплошную среду в ней проходят следующие процессы: образование смещенных электронов или ионизация, ко- торая, впрочем, быстро нейтрализуется электронами проводимости; возникновение атомов, смещенных со своих мест в кристалличе- ской решетке вследствие упругих столкновений; возбуждение ато- мов без смещений; появление локальных областей с повышенной температурой; образование реакций деления, при которых выделя- ется энергия и образуются новые химические элементы. При дли- тельном воздействии облучения в материале происходит накопле- ние таких повреждений. Исследователями установлено, что матери- алы, которые подвергаются облучению, значительно меняют свои свойства и структуру. По мере увеличения дозы облучения такие изменения уже становятся необратимыми. Заметим, что радиационное нарушение структуры облучаемого материала связано в первую очередь с возникновением и развитием радиационных дефектов, физическая природа которых мало чем от- личается от обычных дефектов структуры, ответственных за ста- бильность материала. В отличие от теплового и механического воз- действия (например, нагрев до высоких температур или пластическое деформирование соответственно) при облучении твердого тела в каждый момент образуется практически одинаковое неравновесное количество межузельных атомов и вакансий. В дальнейшем с увели- чением их концентрации уже формируются линейные и объемные дефекты радиационного происхождения: дислокационные петли и 111 микропоры. Многие дефекты, вызванные облучением, могут быть сняты путем отжига, и в этом отношении они аналогичны влиянию механического упрочнения или некоторым металлургическим дефек- там. Температура, служащая мерой беспорядочных движений, при- водит к возврату смещенных атомов в первоначальное положение, то есть тепловое движение непосредственно влияет на процессы сме- щений, вызванных, например, нейтронным воздействием. Воздей- ствие других заряженных частиц по существу аналогично воздей- ствию нейтронов, за исключением глубины проникновения и пора- жающей способности, так как нейтрон, не имея электрического заряда, свободно проходит через любую сплошную среду и взаимо- действует с ядром. В целом теплофизические характеристики мате- риала весьма слабо воспринимают структурные изменения и их условно называют структурно-нечувствительными. Однако облуче- ние большими флюенсами нейтронов приводит к столь значитель- ным структурным перестройкам материала, что теплофизические свойства вынуждены реагировать на многочисленные повреждения. Таким образом, основные теплофизические постоянные кон- струкционных и делящихся материалов (коэффициент теплопро- водности, коэффициент линейного термического расширения, удельная теплоемкость) в теории должны сильно зависеть от темпе- ратуры и структурного состояния материала. Но на практике радиа- ционное облучение не приводит к существенным изменениям ука- занных характеристик, и они, как правило, определяются экспери- ментально по эмпирическим зависимостям от значений тем- пературы. Это объясняется тем, что возникающие при облучении дефекты кристаллической решетки оказывают главным образом влияние на проводимость решетки и сравнительно мало влияют на общую проводимость, обусловленную электронной подсистемой, так как радиации-онные дефекты играют относительно большую роль при рассеянии фонов (волн решетки), чем электронов. Поэто- му в результате облучения теплофизические изменения должны быть велики только для тех материалов, у которых электроны вно- сят малый вклад в теплопроводность. К таким материалам относят- ся в основном изоляторы, полупроводники и сверхпроводники. Бла- годаря этому, изменения теплофизических характеристик большин- ства металлических конструкционных и делящихся материалов даже при интенсивном радиационном воздействии незначительны. 112 Как правило, с ростом флюенса нейтронов их значения снижаются, причем наиболее сильно этот эффект проявляется при низких тем- пературах. Однако такое уменьшение не играет существенной роли при расчетах на фоне значительного изменения весьма структурно- чувствительных механических и прочностных характеристик мате- риалов. В то же время теплопроводность конструкционных матери- алов на основе графита и окиси бериллия уменьшается более чем в 10 раз при облучении. Рассмотрим общие закономерности изменения теплофизических характеристик для основных конструкционных и делящихся мате- риалов в зависимости от температуры нагрева. На рис. 7.1 пред- ставлены обобщенные графические зависимости теплофизических свойств конструкционных сталей различного класса от диапазона действующих на них температур [6]. Рис. 7.1. Температурная зависимость коэффициента термического расширения (а), теплопроводности (б) и теплоемкости (в) металлических конструкционных материалов: 1 – мартенситные и ферритные стали; 2 – аустенитные стали 113 Как видно из данных, представленных на рис. 7.1, стали феррит- ного и мартенситного классов (ОЦК решетка) в целом имеют более благоприятное сочетание теплофизических свойств, чем аустенит- ные стали (ГЦК решетка), что приводит в дальнейшем, при их экс- плуатации, к меньшим градиентам температур и, как следствие, в 1,5–3 раза меньшим термическим напряжениям. В большинстве источников справочной и нормативной литера- туры для основных видов делящихся (топливных) материалов теп- лофизические свойства, как правило, задаются эмпирическими и полуэмпирическими зависимостями. Так, коэффициент термическо- го расширения для оксидного топлива UO2 в интервале температур от 700 до 2300 К аппроксимируется следующим соотношением: 6 9( ) 8 10 2,6 10 , 1 .T T K      (7.1) Для делящегося материала на основе плутония, например PuO2 коэффициент термического расширения (в интервале температур от 700 до 1300 К) задается выражением 6 9( ) 7 10 4,2 10 , 1 .T T K      (7.2) Зависимость теплоемкости диоксида урана обычно рассчитыва- ется по формуле 6 3 2( ) 0,2973 25 10 10 ,pС T T     (7.3) где Т – абсолютная температура, К. Как правило, оксидное топливо обладает низкой теплопроводно- стью, которая зависит от ряда факторов и в значительной степени определяется пористостью, стехиометрией и химическим составом. Заметим, что сложность оценки совокупного влияния всех перечис- ленных факторов и отсутствие единого методического подхода приводят к существенному различию значений (вплоть до 30–50 %) теплопроводности делящегося материала, измеренной отдельными исследователями. Для теплопроводности UO2 в интервале темпера- тур от 100 до 2800 °С (при плотности 95 %) различными авторами рекомендуется следующее соотношение 114 11 3100( ) 0,8775 10 , 11,8 0,0238 T T T     (7.4) где Т – абсолютная температура, К. Заметим, что при температуре около 500 °С теплопроводность облученного и необлученного топливного материала на основе UO2 почти одинакова. Для облучаемого диоксида урана при температуре от 200 до 2800 °С экспериментально получено следующее усред- ненное соотношение: 10 35500( ) 0,942 10 . 560 T T T     (7.5) Экспериментальные зависимости теплопроводности делящегося материала (керамического топлива) от температуры в исходном и облученном состоянии приведены на рис. 7.2. Влияние пористости в интервале от 5 до 10 % на общую тепло- проводность делящегося материала на основе двуокиси урана опи- сывается уравнением 2 1 1 2 2 1 ,P P P        (7.6) где 1 и 2 – значения коэффициентов теплопроводности при по- ристости 1P и 2P ; 2,5  . В зависимости от химического состава теплопроводность UO2 изменяется по эмпирическому закону   14 12 3( , ) 0,037 1,67 2,37 10 78,9 10 ,T x x T T         (7.7) где x – отклонение от стехиометрии; Т – абсолютная температура, К. 115 Рис. 7.2. Зависимость теплопроводности двуокиси урана от температуры: 1 – материал без облучения; 2 – облученный материал Отметим, что теплопроводность смешанных видов топлив не- значительно отличается от теплопроводности приведенных выше основных оксидных. Так, например, для композиции UO2 – 20 % PuO2 коэффициент теплопроводности   14 12 3( , ) 0,037 3,33 2,37 10 78,9 10 ,T x x T T         (7.8) где температурное поле (T) задается в градусах Кельвина. Изменение упругих свойств в результате нагрева и облуче- ния. Общеизвестно, что модуль сдвига реального кристалла (на макроуровне) зависит от плотности дислокаций и средней длины свободного, закрепленного только на концах дислокационного от- резка. Отсюда можно предположить основные причины изменения модуля сдвига материала: или через плотность дислокаций, или за счет изменения средней длины их линий между точками закрепле- ния. Образующиеся при облучении радиационные точечные дефек- ты (междоузельные атомы и вакансии) уходят на дислокационные линии, образуют там ступеньки, так на дислокационной линии по- являются новые точки закрепления. Средняя длина незакрепленных участков линии дислокации становится короче, и эффективный мо- дуль сдвига растет. 116 Таким образом, при облучении, как правило, должно наблюдаться изменение модуля сдвига материала в зависимости от нарастания флюенса нейтронов. Модуль упругости изменяется непосредственно вследствие изменения числа межатомных связей при помощи влияния дефектов на движения дислокаций [7]. Однако следует подчеркнуть, что для большинства конструкционных материалов рабочая темпера- тура такова, что концентрация изолированных точечных дефектов, «выживающих» в условиях теплового и радиационного отжигов, не- значительна и изменение модуля Юнга составляет доли процентов (за исключением графита, для которого характерно значительное увели- чение в 2–3 раза). Необходимо отметить, что в экстремальных услови- ях нагружения, характерных, например, для ядерного реактора, где имеются области повышенных температур, эффекты облучения и от- жига действуют одновременно и взаимно компенсируются. В то же время иногда даже высокотемпературная термическая обработка ока- зывается недостаточной, чтобы полностью восстановить физико- механические свойства материала до облучения. Экспериментальные данные по изменению модуля Юнга меди от флюенса легких высоко- энергетических частиц с энергией свыше 1 МэВ при комнатной темпе- ратуре приведены на рис. 7.3, из которого видно, что увеличение мо- дуля Юнга при дозе облучения около 1023 электрон/м2 составило менее 1,7 %. Такое изменение по своей абсолютной величине сравнимо с по- грешностью эксперимента. Влияние облучения тяжелыми высокоэнергетическими частица- ми на упругие свойства чистой меди представлено на рис. 7.4, на котором показано быстрое повышение модуля упругости за первые 400 часов облучения потоком нейтронов со средней энергией более 0,1 МэВ. При последующем облучении после суммарного флюенса порядка 1022 нейтрон/м2 наступает медленное падение модуля упру- гости, которое связано с насыщением дислокационного механизма. Как показали дальнейшие экспериментальные исследования, повы- шение дозы облучения сопровождается объединением радиацион- ных дефектов в комплексы, что и приводит со временем к насыще- нию дозной зависимости модуля Юнга [8]. 117 Рис. 7.3. Зависимость модуля Юнга меди от дозы облучения легкими заряженными частицами (электронами) при температуре 293 К Рис. 7.4 .Зависимость модуля Юнга меди от времени облучения (φ = 2,5·1020 нейтрон/(м2·ч), Ē > 0,1 МэВ) Таким образом, данные различных исследователей показывают, что нейтронное облучение не приводит к существенным изменени- ям характеристик упругости конструкционных материалов и ими можно во многих случаях пренебрегать при проведении оценочных расчетов. Это позволяет использовать величины упругих постоян- ных (E, G, μ) независимо от значения флюенса нейтронов (∫φdt). 118 Температурные зависимости модуля упругости и коэффициента Пуассона для основных конструкционных материалов (сталей) хо- рошо известны и их можно найти в различной справочной и норма- тивной литературе (например, [6]). В основном значения упругих постоянных, установленных на основе экспериментальных данных, описываются линейными зависимостями вида 5( ) 2,25 10 75 ;E T T   (7.9) 5( ) 0,27 5 10 ,T T    (7.10) где T – температура, К. Рассмотренные представления о физическом механизме измене- ния упругих характеристик при радиоактивном облучении в опре- деленной мере справедливы и приемлемы для делящихся (топлив- ных) материалов, константы которых также зависят от температуры и характера распределения радиационных дефектов. Так, модуль упругости диоксида урана на практике часто задается соотношением 4( ) (1 2,6 )(22,4 10 31,19 ),E T P T    (7.11) здесь P – средняя пористость делящегося материала; T – температу- ра, К. Коэффициент Пуассона делящегося материала является слабой функцией пористости и практически, не зависит от температуры (до 1500 °С). Типичное его значение для диоксида урана – 0,316. Зави- симость модуля Юнга смешанного оксидного топлива, например UO2 – 20 % PuO2, имеет вид 4( ) 25,5 10 20 ,E T T   (7.12) где T – температура, К. В то же время при нормальной температуре модуль упругости, как правило, изменяется с пористостью указанного топливного ма- териала по закону 119 ( ) (1 2 ),E P E P  (7.13) где P – пористость, Е – начальное значение модуля упругости. По-видимому, все указанные закономерности (7.11)–(7.13) со- храняются для некоторого температурного интервала. Задание к лабораторной работе № 7. Рассмотреть особенности деформирования конструкционных и тепловыделяющих делящихся материалов с учетом зависимости их механических и теплофизиче- ских характеристик от уровней действующих температур и высоко- энергетического облучения. Распределение температурного поля принять известным (лабораторная работа № 2). Построить графиче- ские зависимости изменения физико-механических свойств кон- струкционных и тепловыделяющих материалов при неоднородном нагреве и облучении. Геометрию рассматриваемых твердых тел принять, как и в лабораторной работе № 4 (см. табл. 4.1). Считать, что в процессе терморадиационного воздействия пластические де- формации не образуются, и предельное состояние не наступает. В качестве материала рассмотреть сталь и диоксид урана (см. табл. 7.1). Решение реализовать в пакете Mathcad или других мате- матических программах (Matlab, Maple, Mathematics и т. д.). Таблица 7.1 Исходные данные для проведения оценочного расчета: механические и теплофизические характеристики конструкционного и топливного материалов Конструкционная сталь (ОХ16Н15М3Б) Теплопроводность стали, Вт /(м·К) 14,6 Коэффициент линейного расширения стали, К–1 12,6·10–6 Модуль упругости, МПа 2·105 Коэффициент Пуассона 0,3 Тепловыделяющий (делящийся) материал (топливо: UO2) Коэффициент линейного расширения топлива, К–1 11,3·10–6 Коэффициент Пуассона 0,29 Модуль упругости, МПа 1,85·105 120 Окончание табл. 7.1 Теоретическая плотность топлива, кг/м3 10960 Безразмерная плотность топлива 0,9 Плотность тепловыделяющего материала, г/см3 10,4 Теплопроводность диоксида урана, Вт/(м·К) 4,5 Максимальная линейная плотность энерговыделения, Вт/м 43000 Объемное энерговыделение в топливе, Вт/м3 1,81·109 Энерговыделение по поверхности, Вт/м2 2,489·106 Лабораторная работа № 8 ИЗМЕНЕНИЕ КРАТКОВРЕМЕННЫХ И ДЛИТЕЛЬНЫХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ТЕРМОРАДИАЦИОННОМ ВОЗДЕЙСТВИИ Цель: изучить особенности необратимого деформирования твер- дых тел в экстремальных условиях нагружения при воздействии механической нагрузки, неравномерных высоких температур и об- лучении потоками заряженных частиц большой энергии. Основные теоретические сведения. Описанные выше (см. ла- бораторную работу № 7) механизмы воздействия нейтронного об- лучения на кристаллическую структуру дают основания ожидать его особенно сильного влияния на механические свойства материа- лов. Более чем 50-летний период интенсивных экспериментальных исследований привел к основному выводу, что общим для всех ме- таллических материалов является смещение диаграммы растяже- ния/сжатия вверх при увеличении дозы облучения. Доказано, что облучение приводит не только к возрастанию условного предела текучести, но даже может привести к существенному изменению вида и параметров кривой деформирования. В тоже время металлы, облученные и испытанные при высокой температуре, не обнаружи- вали какого-либо возрастания предела текучести: имело место только некоторое снижение пластичности. Причем эффект упроч- нения полностью исчезал, когда температура испытания превышала 121 0,5Тm (Тm – абсолютная температура плавления). Это говорит о том, что механические свойства облученных конструкционных материалов в значительной степени зависят от температуры облучения, которая должна быть обязательно введена как дополнительный параметр. Та- ким образом, эффект упрочнения при облучении значительно зависит не только от флюенса, но и от температуры облучения. Облучение нейтронами конструкционных и делящихся материалов в целом при- водит к радиационному упрочнению, росту пределов текучести и прочности, сопровождается значительным охрупчиванием: уменьше- нием пластичности, ударной вязкости и смещением порога хладно- ломкости в сторону высокой температуры [7, 8]. Под радиационным упрочнением обычно подразумевают возрас- тание предела текучести и предела прочности в зависимости от флюенса быстрых нейтронов и температуры. Радиационное упроч- нение материала всегда сопровождается снижением пластичности, которое может достигать 10 и более раз. Заметим, что этот вопрос уже более 40 лет дискутируется в научно-исследовательских кру- гах, но до сих пор природа и механизм радиационного упрочнения остается не до конца ясными. Как правило, этот необратимый про- цесс объясняется несколькими физическими теориями, основными из которых можно выделить следующие три. В первой предполага- ется, что при увеличении дозы облучения происходит рост так называемого «источникового» упрочнения, связанного с затрудне- нием генерации дислокаций в облученном материале. В свою оче- редь, основным механизмом источникового упрочнения является взаимодействие мельчайших дислокационных межузельных петель с дислокациями. По второй теории считается, что создаваемые при облучении радиационные дефекты являются дополнительными центрами закрепления дислокаций, что вызывает дополнительные напряжения, необходимые для их отрыва и приведения в движение, а также снижает эффективность действия источников. В третьей теории предполагается, что механизм процесса радиационного упрочнения заключается в возрастании напряжения, необходимого для активизации движения дислокаций в плоскости ее скольжения. Такое движение затрудняется присутствием изначально имевшихся препятствий, лежащих в плоскости скольжения и вблизи нее (слу- чай упрочнения трением). Но так как в облученном металле уже имеется так много препятствий для движения дислокаций, то их 122 дополнительное влияние на упрочнение лишь незначительно уве- личивает напряжение трения, и дефекты, образующиеся при облу- чении, препятствуют движению дислокаций более эффективно. Следует отметить, что в последнее время исследователи прихо- дят к выводу, что, скорее всего, характерно совместное влияние всех трех возможных вышеописанных механизмов радиационного упрочнения с определенной вероятностью доминирования каждого из них при конкретных условиях радиационного и высокотемпера- турного воздействия. Высокие температуры действуют как фактор, удаляющий повреждения. В процессе радиационного воздействия образование дефектов и их термический отжиг происходят одно- временно. Если классифицировать эффекты повреждения структу- ры по интервалам радиоактивных потоков в зависимости от темпе- ратур, то при низких флюенсах (менее 1021 нейтрон/см2) радиаци- онных повреждений образуется незначительное количество, а упрочнение уменьшается с ростом температуры. При температурах больше половины температуры плавления радиационные дефекты отжигаются при облучении настолько быстро, что никакого упроч- нения при испытании на растяжение не наблюдается, а кривая напряжение-деформация совпадет с такой же кривой для необлу- ченного материала. При высоких флюенсах быстрых нейтронов (флюенс более 1021 нейтрон/см2) дислокационные петли и полости увеличиваются до больших размеров. Для отжига таких больших дефектов даже при повышенной температуре испытаний требуется значительное время, поэтому их влияние на механические свойства сохраняется до более высоких температур, а эффект упрочнения исчезает только при температуре, превышающей 0,5Тm. В то же вре- мя экспериментально замечено, что радиационное охрупчивание при облучении нейтронным потоком наблюдается также в некоторых слу- чаях при температурах свыше 0,5Тm. Это явление получило название высокотемпературное радиационное охрупчивание (ВТРО). Эффект ВТРО состоит в том, что вследствие нейтронного облу- чения при температуре более 0,5Тm увеличивается склонность этих материалов к межкристаллитному разрушению. Такое охрупчива- ние не снимается отжигом при повышенных температурах и его ко- личественные характеристики увеличиваются с ростом флюенса нейтронов. Характерным является то, что разрушение облученных образцов происходит в основном по границам зерен (хрупкое раз- 123 рушение) и наблюдается для всех поликристаллических материа- лов. Если судить по имеющимся данным, то в настоящее время нет единой гипотезы для объяснения ВТРО. Так, первоначально счита- лось, что степень охрупчивания увеличивается с ростом содержания бора, другие исследователи связывают эффект ВТРО с наличием гелия в материале, также имеет место «пузырьковая модель», тео- рия образования и развития клиновидных трещин, теория сегрега- ции различных примесей по границам зерен и другие модели. При облучении в интервале температур до 0,45Тm, как правило, наблю- дается отсутствие пластичности при разрушении. Такое охрупчива- ние при низких температурах получило название низкотемператур- ное радиационное охрупчивание (НТРО). Оно характерно для большинства материалов с ОЦК решеткой, в частности для сталей ферритного, мартенситного и ферритно-мартенситного классов, а также пластичным материалам с ГЦК решеткой, не имеющих хру- ковязкого перехода. В отличие от ВТРО эффект НТРО устраняется послерадиационным отжигом. На рис. 8.1 приведен наиболее ти- пичный случай температурной зависимости основных механиче- ских характеристик облученных металлических материалов на при- мере аустенитной стали 0Х16Н15М3Б. Рис. 8.1. Температурная зависимость предела прочности, предела текучести (а) и относительного удлинения (б) стали 0Х16Н15М3Б, облученной нейтронами до флюенса 1022 нейтрон/см2 (Ē > 0,1 МэВ): необлученные образцы – светлые символы, облученные – темные Как видно из рисунка, аустенитная сталь имеет два температур- ных интервала снижения пластичности. Область проявления НТРО соответствует температурам испытаний менее 550 °С, а область ВТРО – температурам испытаний свыше 700 °С (рис. 8.1, б). Преде- 124 лы текучести после облучения быстрыми нейтронами повышаются в несколько раз, при этом предел прочности повышается в меньшей степени (рис. 8.1, а). В связи с вышесказанным, изменение кратковременных механи- ческих свойств основных конструкционных материалов при облу- чении можно систематизировать в зависимости от диапазона тер- мического воздействия и особенностей кристаллического строения. На рис. 8.2 представлены обобщенные кривые деформирования «условное напряжение–деформация» для двух основных типов ме- таллических конструкционных материалов с ОЦК и ГЦК кристал- лическими решетками, например, сталь ЭП-450 и ЭП-172. Рис. 8.2. Влияние облучения быстрых нейтронов (Ф > 1021 нейтрон/см2, Ē > 0,1 МэВ) на кратковременные механические свойства металлов с ОЦК решеткой (а) и ГЦК решеткой (б); а: 1, 2, 3 – облучение при различных температурах;(T1 < T2 < T3), 4 – без облучения; (б): 1 – облучение при низких температурах, 2: OB – облучение при высоких температурах; OC – без облучения При облучении и испытании при высоких температурах ОЦК металлов кривая «напряжение–деформация» (линии 1, 2, 3) на рис. 8.6, а стремится восстановить вид, соответствующий необлу- ченному материалу (кривая 4). Это обеспечивается тем, что в про- цессе отжига при высоких температурах радиационные дефекты исчезают. Верхняя кривая (на рис. 8.2, а) представляет частный случай, когда предел прочности и предел текучести совпадают. В этом случае равномерное удлинение отсутствует (совершенная хрупкость), что характерно для ОЦК металлов при достаточно низ- 125 ких температурах и высоких дозах облучения. Как видно из рис. 8.2, б, облучение приводит к значительному формоизменению диаграммы деформирования ГЦК материалов, и кривая становится похожей на кривую для ОЦК сталей ферритного и мартенситного класса (кри- вая 1 на рис. 8.2, б) со строго выраженной площадкой текучести. В то же время ГЦК стали (аустенитного класса), облученные и ис- пытанные при высоких температурах, не обнаруживают какого- либо возрастания предела прочности или текучести: имеет место только снижение пластичности (кривая 2, рис. 8.2, б). Заметим, что в общем случае площадь диаграммы, соответствующей растяжению облученных образцов (что непосредственно характеризует работу деформирования и разрушения), значительно меньше, чем площадь диаграммы, соответствующей растяжению необлученных образцов. В качестве конкретного примера на рис. 8.3 представлены диаграм- мы растяжения необлученной и облученной потоком быстрых нейтронов (Ē > 0,1 МэВ) нержавеющей стали AISI 316L при темпе- ратуре испытания и облучения равной 500 К [8]. Рис. 8.3. Кривые растяжения аустенитной стали AISI 316L в облученном до флюенса 6·1021 нейтрон/см2 (1) и исходном (2) состояниях (Ē > 0,1 МэВ) Анализ кривых показывает, что сокращение работы деформиро- вания и разрушения, несмотря на повышение пределов текучести и прочности, обусловлено значительным сокращением способности к пластическому деформированию и изменению степени деформаци- онного упрочнения. 126 Рассмотрим влияние терморадиационного воздействия на дли- тельные механические свойства материалов. Экспериментально установлено, что характеристики длительной прочности значитель- но зависят от степени облучения, температуры, а также от величи- ны первоначального холодного упрочнения образца. Эти величины непосредственно влияют как на скорость ползучести, так и на удли- нение в момент разрушения. Время до разрушения (или долговеч- ность) также косвенно зависит от тех же параметров, так как оно является отношением удлинения к скорости деформирования. Сов- местное влияние флюенса быстрых нейтронов и температуры на длительную прочность может быть также продемонстрировано на примере изменения времени до разрушения. Так, для указанных выше необлученных конструкционных сталей возрастание темпера- туры испытания заметно уменьшает их долговечность. Этот эффект является доказательством быстрого возрастания скорости устано- вившейся ползучести с температурой испытания и подчиняется аналитическим зависимостям Аррениуса. При фиксированном напряжении и температуре испытания облучение, как правило, снижает на порядок величины время до разрушения, как показано на рис. 8.4. Это связано, главным образом, с сильным уменьшением пластичности под действием облучения, механизм которого был подробно рассмотрен выше. Металлы, подвергнутые облучению быстрыми нейтронами, оказываются менее пластичными, чем необ- лученные, поэтому их разрушение может носить как вязкий, так и хрупкий характер во всем объеме образца. Степень охрупчивания определяется величиной пластической деформации или деформа- ции ползучести перед разрушением. Например, влияние облучения быстрыми нейтронами на удлинение до разрушения при фиксиро- ванных значениях всех других параметров следующее: пластич- ность (деформация в момент разрушения) может уменьшиться от величины 20 % для необлученного материала до 0,1 % при больших дозах. Таким образом, при этих условиях облучение вызывает уменьшение пластичности образца в 200 раз. 127 Рис. 8.4. Влияние температуры облучения на длительную прочность стали 304, испытанной при температуре 830 К под давлением в 300 МПа: - - - – материал без облучения; –––– – образец облученный до 2·1022 нейтрон/см2 при различных температурах Результаты последних экспериментальных работ в этом направле- нии показывают, что для некоторых материалов скорость ползучести в облученных образцах ниже, чем в необлученных, причем самым низ- ким скоростям ползучести соответствуют самые низкие температуры облучения. Такой характер изменения находится в полном соответ- ствии с влиянием температуры на прочность: с увеличением темпера- туры облучения удлинение до разрушения возвращается к величине, характерной для необлученного материала, а способность к упрочне- нию восстанавливается. Другими словами возрастание предела теку- чести исчезает со временем при термическом отжиге. Из вышеизложенного следует, что облучение нейтронным пото- ком совместно с высокотемпературным нагревом существенно вли- яет на теплофизические, физико-механические, кратковременные и длительные механические свойства конструкционных и делящихся материалов. По приведенным данным, можно сделать вывод, что с увеличением температуры модуль упругости, пределы пропорцио- нальности, текучести и прочности уменьшаются, а коэффициент поперечной деформации, остаточная деформация и относительное сужение площади поперечного сечения при разрыве, вообще гово- ря, увеличиваются. С уменьшением температуры, наоборот. При увеличении дозы облучения предел текучести и предел прочности материала увеличиваются, а остаточное относительное удлинение и 128 остаточное сужение площади поперечного сечения при разрыве уменьшаются. Модуль упругости, коэффициент Пуассона с увели- чением дозы облучения возрастают. Однако это изменение хотя и является стойким, но невелико (1,5–3 %), и им в практических рас- четах можно пренебречь. Также нейтронное облучение, как прави- ло, приводит к уменьшению сопротивления длительному разруше- нию. Степень падения длительной прочности зависит от уровня напряжений, температуры облучения, характеристик облучающего потока и способности материала сохранять пластические свойства в условиях радиации. Дополнительной причиной снижения долговеч- ности облучаемых материалов может стать уменьшение сопротив- ления ползучести, которое приводит к преждевременному исчерпа- нию ограниченного радиационным воздействием пластичности. Принято считать, что время до разрушения резко падает с возраста- нием флюенса нейтронов, прежде всего, в результате потери имен- но пластических свойств. Задание. Основываясь на теоретических сведениях и результа- тах лабораторной работы №5, предложить модификацию механико- математических моделей упруго-пластических тел: а) при нагреве до высоких температур; б) интенсивном нейтронном облучении; в) терморадиационном воздействии. Зарисовать идеализированные диаграммы растяжения/сжатия и кручения в соответствии с инди- видуальным заданием лабораторной работы № 5, указать разгрузку и повторное нагружение. Провести сравнение для полученных моделей (случаи а, б, в) и сделать вывод о возникающих тенденциях. Предложить варианты аналитической взаимосвязи между тензором напряжений и тензо- ром деформаций. Запрограммировать алгоритм учета воздействия температурного нагрева и высокоэнергетического облучения на из- менение кратковременных характеристик конструкционных и де- лящихся материалов. 129 Лабораторная работа № 9 РАСЧЕТ НЕОБРАТИМЫХ ДЕФОРМАЦИЙ РАДИАЦИОННОГО РАСПУХАНИЯ В КОНСТРУКЦИОННЫХ И ТОПЛИВНЫХ (ДЕЛЯЩИХСЯ) МАТЕРИАЛАХ Цель: определение радиационных деформаций в основных кон- струкционных и тепловыделяющих (топливных) материалах; оценка необратимого формоизменения для элементов конструкций в виде тел простой формы; численный расчет объемных деформаций твердого тела вызванных термическим расширением и радиационным распуханием. Основные теоретические сведения. Как известно, размерное постоянство является одним из необходимых условий безопасной и длительной работы всех ответственных элементов конструкций. Экспериментальными исследованиями установлено, что под дей- ствием облучения происходит объемное изменение конструкцион- ных и делящихся (топливных) материалов. В качестве примера можно привести топливный сердечник и оболочку твэла активной зоны реактора АЭС [9]. Впервые это явление было обнаружено (1967 г.) именно в оболочке твэла быстрого ядерного реактора, из- готовленной из аустенитной нержавеющей стали при ее облучении до больших значений интегрального потока быстрых нейтронов с энергией Ē>0,1 МэВ. Дальнейшие исследования показали, что такое радиационное распухание (РР) обусловлено образованием неболь- ших полостей (микропор) в зернах металла, которые для нержаве- ющей стали образуются только при температурах между 523 и 873 К, что, кстати, совпало с диапазоном рабочих температур обо- лочек твэлов быстрых реакторов. Для каждого конструкционного материала существует значение температуры, при котором этот процесс происходит наиболее интенсивно, как правило, это значе- ние равно (0,2–0,6)Tm. При более низких температурах поры не могут расти из-за малой подвижности вакансий, при более высокой – они растворяются. На рис. 9.1 приведена зависимость распухания стали и ниобия от температуры облучения. 130 Рис. 9.1. Влияние температуры облучения на распухание материалов: ––– – нержавеющая сталь AISI 304 (флюенс 5·1021 нейтрон/см – )2; – – – ниобий (флюенс 5·1023 нейтрон/см2) На сегодняшний момент доказано, что к значительному измене- нию размеров элементов конструкций, работающих в условиях об- лучения, кроме термического расширения и внутренних напряже- ний приводит именно РР. Установлено, что масштаб изменений размеров конструкционных элементов от распухания, например, для аустенитных сталей более чем на порядок превышает формоиз- менения, обусловленные температурой, и может достигать 20–30 % (для экстремальных условий работы быстрых ядерных реакторов). Кроме того, неравномерное РР ведет к появлению дополнительных напряжений, которые требуют обязательного учета в расчетах на прочность. В таком случае, с точки зрения механики деформируе- мого твердого тела очень важно иметь надежные аналитические зависимости для функции распределения РР. В этом, фактически, заключается одна из основных проблем моделирования поведения конструкций в условиях интенсивных нелинейных терморадиаци- онных полей. Для ее решения исследователями в основном предло- жены прикладные эмпирические и полуэмпирические зависимости распухания материалов, полученные на основе обработки много- численных экспериментальных результатов. Как правило, основу теоретических моделей составляют сложные кинетические уравнения концентрации точечных дефектов среды, содержащей стоки. Проана- лизируем основные механико-математические модели, описывающие РР конструкционных и топливных (делящихся) материалов. 131 Радиационное распухание конструкционных материалов. В настоящее время причины РР металлов качественно понятны. Столкновение быстрых нейтронов с атомами решетки дают боль- шое число пар вакансия-атом в междоузлии. Большинство этих де- фектов со временем рекомбинируют друг с другом или мигрируют к стокам. Наиболее эффективными стоками являются дислокации как те, которые являются частью исходной системы дислокаций материала, так и дислокационные петли, образующиеся при кон- денсации межузельных атомов. Динамический баланс между обра- зованием точечных дефектов и процессом их удаления поддержива- ется уровнем концентрации (значительно превышающем равновес- ный) вакансий и атомов в междоузлиях во время облучения. Образование групп межузельных атомов и вакансий происходит в случае, когда и межузельные атомы и вакансии в твердом теле по- движны, однако температура не должна быть слишком высокой, так как в этом случае рекомбинация точечных дефектов и уход к стокам происходит настолько быстро, что в твердом теле не может под- держиваться пересыщение дефектами. Скопление межузельных атомов приводит к образованию дислокационных петель. Исходя из вышеназванных причин, можно сформулировать сле- дующие основные условия, необходимые для возникновения распу- хания в конструкционных материалах: 1. Межузельные атомы и вакансии в твердом теле должны быть подвижны и способны мигрировать при очень низких температурах. 2. Точечные дефекты должны захватываться стоками (дефектами структуры) в дополнение к их рекомбинации. Причем часть стоков должна поглощать межузельные атомы, для того чтобы появилось избыточное количество вакансий, необходимое для образования микропор. 3. Наличие пересыщения вакансиями, необходимого для гомо- генного или гетерогенного зарождения микропор и дислокацион- ных петель, а также их роста. Отметим, что образование микропор происходит не только в не- ржавеющей стали (последняя, кстати, является одним из наиболее устойчивых сплавов по отношению к распуханию). Почти все кон- струкционные материалы распухают по подобному механизму в диапазоне температур (0,2–0,55)Tm. К примеру, обусловленное об- лучением общее изменение объема конструкционных сталей приве- 132 дено на рис. 9.2. Как видно, вплоть до значений интегрального по- тока быстрых нейтронов, равных 1022 нейтрон/см2, заметного рас- пухания стали не происходит (менее 0,1 %). После этого распухание возрастает по закону (φt)n, где φ – плотность нейтронного потока, а показатель степени больше единицы. Увеличение флюенса до 1023 нейтрон/см2 резко увеличивает распухание, что связано с пересы- щением вакансий и приводит к значительному уменьшению плот- ности и увеличению объема конструкционных материалов [7, 8]. Рис. 9.2. Влияние флюенса нейтронов на распухание конструкционных сталей при облучении быстрыми нейтронами с энергией Ē > 0,1 МэВ Таким образом, при исследовании дозной зависимости можно выделить следующие периоды: инкубационный, предшествующий проявлению макроскопически заметного распухания, переходной, характеризующийся нелинейной зависимостью распухания от дозы, и, наконец, установившаяся стадия. В настоящее время экспериментальными исследованиями уста- новлено, что РР конструкционных материалов зависит главным об- разом от энергетического спектра нейтронов, дозы облучения (флюенса нейтронов), температуры и в значительно меньшей степе- ни – от плотности потока нейтронов. Ввиду слабо развитой теории образования пор в металлах и сплавах, для оценок влияния распу- хания на характеристики конструкционных элементов чаще исполь- зуются эмпирические выражения, уравнения которых отражают влияние основных переменных: температуры и интегрального 133 нейтронного потока. Предложенные выражения для распухания от- личаются экспериментальным методом, с помощью которого ис- следовалось формоизменение (например, метод просвечивания электронным микроскопом, рентгеноспектральные методы, метод измерения макроскопических размеров). Рассмотрим подробнее предложенные исследователями соотношения для определения рас- пухания металлических конструкционных материалов. Л. М. Забудько для описания радиационного распухания конструк- ционных сталей предлагает общую зависимость следующего вида:  ( )( ) ,n TV A kt f T V   (9.1) где kt – уровень радиационных повреждений (или флюенс нейтро- нов); n(T), f(T) – функции температуры. Для аустенитных нержавею- щих сталей (0Х16Н15М3Б, Х18Н22В2Т2, Х18Н10Т, ЭИ-847, ЭП-172, ЧС-68 и др.) показатель степени n(T) меняется в пределах 1–3 в темпе- ратурном интервале 600–900 градусов по шкале Кельвина. Для радиационного распухания холоднодеформированной на 20 % стали AISI 316, рекомендованной для проектирования элемен- тов конструкций и компонентов оборудования активной зоны быст- рых реакторов, зависимость (9.1) представляется в виде 35 1,519 10V V         22 4[4,028 3,71 10 273 1,0145 10 273T T         (9.2)  387,88 10 273 ],T   где T – температура, К; Φ – флюенс нейтронов с энергией Ē>0,1 МэВ. Заметим, что вместо флюенса быстрых нейтронов облучение ча- сто характеризуется числом смещений на атом (сна), что в какой-то мере учитывает влияние энергетического спектра облучения на распухание. Поэтому многие исследователи предлагали модели распухания материала в зависимости от числа сна. Так, например, эмпирическая зависимость, установленная В.Н. Быковым, для отно- сительного изменения объема стали 0Х16Н15М3Б, облученной по- током быстрых нейтронов (Ē > 0,1 МэВ) имеет вид: 134   30,19 1,631075,33 10 expTVS kt V       283,5 17,82 100,0235 , 630 980 T T T         (9.3) где α – коэффициент, зависящий от выбора модели для расчета kt; kt – число смещений атомов, соответствующих данному флюенсу нейтронов; T – температура, К. Нужно отметить, что до сих пор не существует общепринятой методики определения числа смещений с учетом энергетического спектра. В качестве стандарта для определения таких повреждений используют модели, которые усредняют число смещений по неко- торым определенным группам энергий нейтронов (например, аме- риканский стандарт TRN). Для распухания нержавеющих сталей А. А. Тутнов приводит следующие экспериментальные зависимости:  для аустенитной стали 316    7 22,% 5,6 10 10 0,975 413 expSV q TV      (9.4) 3020054,2 0,0794 , 273 T T       где λS = 1,9 – 30/(T – 360) + 90/(T – 360)2;  для холоднодеформированной стали 316 1,665 7 2,096 max max ,% exp ,S V t A V        (9.5) где при T > 427 °C    2 1,7875 40,04123 5,87 10 418 1,742 10 418 ;SA T T        (9.6) 135 при T ≤ 427 °C  1,78741,742 10 418 ,SA T   (9.7) где H – число сна; η – скорость накопления сна (10–6 с–1); q – флюенс нейтронов всех энергий. А. А. Тутнов на основе систематизации и статистической обра- ботки большого числа экспериментальных данных пришел к выво- ду, что распухание, как функцию температуры, также можно выра- зить через набор экспоненциальных множителей, описывающих некоторую колокообразную кривую. Заметим, что иногда для опи- сания температурной зависимости радиационного распухания мож- но использовать полиномы, например, вида 1+AT+BT2+CT3, или степенные зависимости, например, exp(A/T+B/T2), в которых коэф- фициенты определяются из результатов экспериментов, причем их значения зависят от типа реактора, где были получены данные. Ю. И. Лихачев, В. Я. Пупко и В. В. Попов приводят соотноше- ния, связывающие распухание аустенитных сталей с температурой облучения и флюенсом нейтронов [10]: ( ) 0 ( ) .S T S S VS A A T V    (9.8) Различные варианты A0S(T), AS(T) и λS(T) для сталей 304 и 316 по классификации AISI в отожженном и холоднодеформированном состояниях можно найти в последних зарубежных публикациях. Американский исследователь Д. Р. Оландер в своей монографии для описания распухания предварительно термически обработанной нержавеющей стали AISI 316 предлагает использовать выражение   22,05 27 7822,% 10V tV           1040)10 exp 32,6 5100 / 0,015 ,T T T      (9.9) где θ = Т – 623 – эффективная температура; T, К; φt – флюенс нейтронов с энергией Ē > 0,1МэВ, 136 Многочисленные результаты, полученные исследователями- экспериментаторами, систематизированы в монографиях и статьях И.С. Куликова, например [4, 5]. Где подытожено систематическое изложение моделей радиационного распухания для основных кон- струкционных и делящихся материалов. Так, следуя этим работам, распухание сталей 304 в аустенизированном состоянии хорошо описывается соотношениями   227 782,051210V tV            1240)10 exp 32,5 5000 / 0,015 ,T T T      (9.10) где φ·t – флюенс нейтронов с энергией Ē>0,1 МэВ; θ = T – 623, К.   2 15490 5980000 1,7149,% 4,9 10 10 .T TV t V      (9.11) Распухание холоднодеформированной на 20 % стали 316 предла- гается описывать формулой  1,6936 3930 12740,% 10 exp 5480exp ,V t V T T                   (9.12) здесь T – абсолютная температура, К. Таким образом, распухание конструкционных материалов в ос- новном зависит от двух параметров: интегрального потока (флюен- са) быстрых нейтронов с энергией Ē>0,1 МэВ и температуры облу- чения, что подтверждено теоретическими и экспериментальными результатами исследований. Основными причинами распухания конструкционных материалов согласно этим работам являются об- разование и рост радиационных микропор. Радиационное распухание делящихся материалов. В отличие от рассмотренных конструкционных, основными факторами, опре- деляющими распухание делящихся материалов (например, ядерного топлива), являются: 137 1) увеличение суммарного объема продуктов деления относительно разделившегося объема (так называемое холодное распухание); 2) формоизменение делящегося материала, связанное с ростом отдельных зерен в результате выбивания атомов из узлов кристал- лической решетки и попадания продуктов деления внутрь; при этом появляются большие микронапряжения, создающие внутренние трещины и пустоты; 3) образование пор в результате скопления мигрирующих вакансий; 4) увеличение объема пор вследствие их слияния при миграции, а также из-за давления газовых продуктов деления, скапливающих- ся в порах. В зависимости от температуры облучения относительное значе- ние этих процессов меняется. Так, в области температур (0,2–0,5)Tm распухание определяется накоплением продуктов деления, образо- ванием пор при слиянии вакансий и увеличением объема пор под действием ГПД. При температурах свыше 0,5Tm увеличение объема обусловливается в основном увеличением объема пор под действи- ем внутреннего давления газовых осколков деления и процессами слияния/укрупнения пор вследствие их миграции в поле градиента температур. Экспериментальные зависимости изменения объема диоксида урана от выгорания при разных температурах представле- ны на рис. 9.3. Рис. 9.3. Зависимость распухания UO2 от выгорания при различных температурах 138 Следует отметить, что сложность и многообразие вышеперечис- ленных процессов распухания делящегося материала затрудняет создание какой-либо единой расчетной модели. Кроме того, распу- хание делящегося топливного материала сильно зависит от струк- туры и способа изготовления топлива. Все это снижает надежность теоретических оценок и требует большего числа эксперименталь- ных исследований. Распухание топливного материала (например, UO2) во многих работах оценивается на основании установленных опытным путем соотношений, в которых скорость распухания считается пропорци- ональной скорости выгорания тяжелых ядер. Таким образом, объемное распухание топлива связано с глуби- ной выгорания следующей эмпирической зависимостью: ,T V K Ft V   (9.13) Здесь KT – коэффициент пропорциональности, характеризую- щийся соотношением между распуханием и выгоранием; F – ско- рость выгорания тяжелых ядер, %/ч; t – временной параметр. Счи- тается, что K = 0,4 при топл топл ,V p V   K = 1,6 при топл топл ,V p V   где p – пористость смешанного делящегося материала по топливу: топл топл(1 ) / .p    (9.14) Например, доля топлива в твэле реактора АЭС (ВВЭР-1000) ψ обычно рассчитывается через плотность: топл табл теор/ ,    (9.15) где ρтабл – плотность топливного сердечника, ρтеор– теоретическая плотность. Таким образом, коэффициент пропорциональности K = 0,4 – до заполнения начальной пористости двуокиси, и K = 1,6 – после за- полнения начальной пористости. Например, для окисного горючего 139 UO2 – KT ≈ 1, PuO2 – KT ≈ 1,5, (PuO2–UO2) – KT ≈ 1. Для карбидного топлива KT колеблется в пределах 1,2 – 1,5. Заметим, что пользо- ваться подобными линейными зависимостями типа (9.13) можно лишь в случае, если имеются достаточно надежные эксперимен- тальные данные. Вышеупомянутая зависимость экспериментально хорошо подтверждена только для окисного горючего. В некоторых работах отмечено, что распухание нитридного и карбидного горю- чего возрастает по параболическому закону, поэтому, вероятно, ис- пользование линейной зависимости (9.13) не всегда правомерно. В литературе также приводятся корреляционные уравнения, описы- вающие распухание карбидов и нитридов урана в зависимости от рабочих параметров и химического состава топлива. Так, распуха- ние нитрида урана (UN) описывается уравнением       20,25 27 350 78 350 233T TVS T V         (9.16)    1010 exp 0,015 273 5100 273 32,6 ,T T        где Φ – флюенс нейтронов (Ē > 0,1МэВ), нейтрон/см2; T – темпера- тура, °С. Эта формула справедлива для распухания при высоких темпера- турах. Для карбидного топлива предложена следующая зависимость:  lg 1,494lg 233V T V     (9.17)  1,227lg 0,366lg 4,8 19,863,B C    где B – выгорание, МВт.сут/т; T – температура, °С; С – массовое содержание углерода в процентах, %. В упомянутых монографиях [9] и [10] также предложено опреде- лять распухание оксидного топлива по следующим эмпирическим зависимостям: при T > 2200 °C, B = 0 140  1,75 21 2exp / ;dS С T Сdt  (9.18) при T < 2200 °C, B ≠ 0  1,75 21 2exp / ( ) .dS С T С Bdt   (9.19) где С1 и С2 – константы, определяемые на основе эксперименталь- ных данных. Некоторые авторы в своих исследованиях рассматривали случаи равномерного распухания керамического уранового топлива со ско- ростью 51,7 10 , 1 / ч.dS dt   (9.20) Для определения распухания топливных композиций и делящих- ся материалов при низких температурах (до 550 °С) можно исполь- зовать модель квазистатических газовых пор, предполагая, что по- ры в топливном материале при низких температурах малоподвижны и в среднем имеют одинаковый размер. В упомянутой выше работе автором также дается обобщение выведенных уравнений вычисле- ния распухания для теорий пластичности типа Биргера. Следует отметить, что при отсутствии экспериментальных данных или их большом разбросе распухание топливных композиций можно также определить, воспользовавшись теорией распухания описанной в некоторых прикладных работах. Таким образом, главные параметры, влияющие на распухание делящегося материала, – это скорость и глубина выгорания топлива, уровень и градиент температуры, геометрия и исходная пористость. Необходимо подчеркнуть, что почти все перечисленные в дан- ном разделе эмпирические и аналогичные им зависимости (как для конструкционных, так и для делящихся материалов) получены в основном для интегральных потоков, не превышающих 1023 нейтрон/см2. При флюенсах больших 1023 нейтрон/см2 можно ожи- дать значительного распухания (например, для оболочек твэлов 141 быстрых реакторов), в то же время возможно и наступления так называемого насыщения распухания. Также подчеркнем, что ни од- на из приведенных выше зависимостей распухания не учитывает влияния суммарного флюенса нейтронов на процесс насыщения РР. Рядом отечественных и зарубежных авторов отмечено сильное вли- яние на распухание многочисленных факторов, главным образом металлургического и технологического характера. Следует отме- тить, что имеется небольшое число работ с экспериментальными данными для флюенса нейтронов свыше 1023 нейтрон/см2, и по- скольку распухание, как показано выше, определяется большим ко- личеством параметров, то экстраполяция такой зависимости на большие интегральные потоки (свыше 1023 нейтрон/см2) ненадежна. Поэтому очень трудно предсказать поведение материалов при боль- ших дозах облучения быстрыми нейтронами. Заметим, что некоторые из нежелательных побочных эффектов, связанных с распуханием, могут быть смягчены сопутствующим явлением ползучести под об- лучения. Задание к лабораторной работе № 9. Используя общие сведе- ния из теоретической части и результаты лабораторной работы № 2, определить необратимые радиационные деформации для случая конструкционного и тепловыделяющего материала: сталь и диоксид урана. Варианты геометрии твердого тела принять согласно указа- ниям табл. 1.1 к лабораторной работе № 1. Рассчитать общее фор- моизменение (суммарную объемную деформацию при нагреве и облучении) выбранного конструктивного элемента. Полученные значения для деформаций термического расширения твердого тела сравнить с решением термоупругой задачи в программном ком- плексе ANSYS или ABAQUS (см. лабораторную работу № 4). Лабораторная работа № 10 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕРМОРАДИАЦИОННЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В КОНСТРУКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТАХ Задание: определить степень влияния интенсивного терморади- ационного воздействия на общую картину распределения НДС твердого тела, состоящего из сплошной среды. Форма твердого те- ла, условия механического и температурного нагружения задаются 142 в соответствии с вариантом (табл. 4.1 лабораторной работы № 4). Рассмотреть случай радиационного облучения суммарным флюен- сом до 1026 нейтрон/м2. Основные определяющие соотношения ме- ханики сплошных сред представлены в приложении Г. Указание 1. Очевидно, что наиболее простые оценочные реше- ния таких задач получаются тогда, когда искомые функции зависят только от одной координаты, а определяющие уравнения в частных производных становятся обыкновенными дифференциальными уравнениями. В общем случае такие уравнения не имеют точного аналитического решения, но могут быть решены численно- аналитическими методами. В этой связи наиболее удобной формой представления алгоритма реализации общих механико-матема- тических моделей деформирования и численных схем определения НДС является стандартная программа, реализованная в виде проце- дур на современном алгоритмическом языке С++ или С#. Следует отметить, что в настоящее время система языка С#/С++ обеспечива- ет пользователям удобную интегрированную операционную среду, а также существенно облегчает профессиональное программирова- ние, в котором определяющими параметрами являются скорость компиляции, высокое качество генерируемого кода и относительно малая потребляемость оперативной памяти. Использование алго- ритмического языка в некоторой степени снижает барьер между профессиональным программистом и математиком-механиком, от которого требуются лишь минимальные знания основ программи- рования для того, чтобы организовать требуемую программу расче- та с использованием отдельных процедур. На основании математических моделей необходимо разработать пакет программ для современных персональных компьютеров. Раз- работанные отдельные коды для удобства проведения виртуальных (численных) экспериментов и дальнейшей обработки получаемых результатов необходимо свести в единую программу расчета, кото- рую составляют основные файлы (функционально связанные между собой), объединенные в один управляющий .exe файл. Для этих це- лей рекомендуется использовать лицензионную программную среду Visual Studio 2011, которая бесплатно предоставляется компанией Microsoft на своих интернет-ресурсах (для использования в научно- исследовательских, некоммерческих целей). 143 Пример 1. Рассмотрим задачу о сжатом цилиндре с учетом тепло- вых и радиационных эффектов. Модельное тело подвергается внут- реннему Pint и внешнему Pext статическому давлению. Причем поверх-ности (в общем случае длинного тела двусвязной геометрии) облуча- ются равномерным нейтронным потокам суммарным флюенсом Ф(t) и подвергаются неравномерному нагреву до различных температур Text и Tint, как указано на рис. 10.1, б. Для сплошного цилиндра характерен частный случай, когда Rint = 0. Одномерную по пространству задачу будем рассматривать в полярных координатах. Рис. 10.1. Расчетная схема модельного тела: а, б – общая схема нагружения длинного тела двусвязной цилиндрической геометрии в – распределение напряжений В случае зависимости НДС от одной полярной координаты r уравнение равновесия в радиальном направлении можно записать в виде (рис. 10.1, в) .rrrr dr dr     (10.1) Считаем модельное тело (рис. 10.1, а) настолько длинным, что напряжения и деформации во всех сечениях вдоль него постоянны в соответствии с принципом Сен-Венана. В таких условиях плоские сечения нормальные оси остаются плоскими, а осевая деформация в первом приближении равна нулю в любой момент времени. Влия- ние температуры и облучения будем учитывать, вводя дополни- тельные члены в уравнение обобщенного закона Гука, классической теории упругости, считая, что постоянные свойств материала, а именно модуль упругости, число Пуассона и коэффициент термиче- а б в 144 ского расширения не зависят от терморадиационного воздействия. Как было показано в предыдущих лабораторных и практических работах, значения констант, входящих в определяющие уравнения мало зависят от уровня радиационного облучения. Кроме того, в данной задаче предполагается, что эти постоянные существенно не зависят от температуры. Используя условие аддитивности дефор- маций, выражаем компоненты терморадиационных напряжений без учета ползучести:          (1 ) ( )(1 ) ; (1 )(1 2 ) (1 ) ( )(1 ) ; (1 )(1 2 ) (1 ) ( )(1 ) . (1 )(1 2 ) th s rr rr zz th s rr zz th s zz zz rr E E E                                                            (10.2) Связь деформаций и радиальных перемещений для условий плоской деформации: ; ; 0. rr zz du u dr r       (10.3) Принимая во внимание соотношения (10.2) и (10.4), перепишем (10.1) в перемещениях  1 ( ) 1 .1 th sd d ru ddr r dr dr             (10.4) Уравнение (10.4) интегрируется от внутреннего радиуса Rint до текущей материальной точки среды радиуса r, находящейся внутри облучаемого тела. Общее решение:   int 1 1( ) , 1 2 r th s R Ar Bu r rdr r r            (10.5) 145 где A/2 и B – произвольные постоянные интегрирования, подлежа- щие определению из конкретных граничных условий задачи. Для нахождения этих постоянных имеем два условия: даны величины равномерного давления на внутренней и наружной поверхности: int int ; . extrr rr extr R r R P P       (10.6) Определяя по (10.5) и (10.3) полные деформации в радиальном и окружном направлениях int int 2 2 2 2 1 1 ( ) , (1 ) 2 1 1 ( ) , (1 ) 2 r th s th s rr R r th s R A Brdr r r A Brdr r r                                     (10.7) а затем по первому равенству (10.2) для нахождения постоянных интегрирования: (1 )(1 2 )rr E     (10.8) int 2 2 2 2 1 ( ) (1 2 ) . 2(1 ) r th s R A Brdr r r                  Тогда граничные условия (10.6) для определения A и B в общем решении (10.5) примут вид int int int 2 int2 2 int int 2 2 2 2 1 ( ) (1 2 ) , (1 )(1 2 ) 2(1 ) 2 1 ( ) (1 2 ) . (1 )(1 2 ) 2(1 ) ext R th s R R th s ext Rext ext E A Brdr P R R E A Brdr P R R                                                 (10.9) 146 Из системы (10.9) находим окончательные значения постоянных для решения (10.5): int 2 2 int int 2 2 int ( )(1 2 )(1 ) 1 ( ) , 2 (1 )( ) extR th sext ext Rext P R P RA rdr ER R                 (10.10) int 2 2 int int 2 2 int (1 ) ( ) 1 ( ) . (1 )( ) extR th sext ext Rext R P P RB rdr ER R               Причем в общем случае необходимо интегрирование терморади- ационного члена в (10.10). Считая, что температурные и радиаци- онные поля заданные величинами, можно воспользоваться проце- дурой численного интегрирования: интегралы от функций термиче- ского и радиационного распухания берем в квадратурах по формулам Симпсона или по формулам трапеций. Кстати, для ли- нейного (термоупругого) случая решение можно получить в конеч- ном виде по аналогии полученного, например, С. П. Тимошенко [3]. Внося (10.10) в (10.5) получим окончательные выражения для пере- мещений, деформаций (10.7) и напряжений (10.8) тела. Из этих ре- шений легко получить частный случай для сплошного цилиндра, если принять во всех выражениях int 0R  , сформировать дополни- тельное граничное условие (например, закрепить по центру) и по- ложить B = 0, чтобы обеспечить регулярность решения при r = 0. Кроме рассмотренного решения, когда принималось, что 0zz  , существуют еще два важных случая, когда 0zz  (константа): во-первых, случай открытых торцов Fz = 0 (условие отсутствия про- дольной силы) и, во-вторых, случай полого цилиндрического тела с закрытыми концами ( 2int intzF R P  ). Так как полное осевое усилие в любом сечении W равно .z zz W F rdW  (10.11) 147 Тогда для любого цилиндрического сечения справедливо следу- ющее равенство: int int 2 0 2 . ext extR R z zz zz R R F rdrd rdr          (10.12) Подставляя в (10.12) осевое напряжение, после преобразования, используя (10.1), имеем int 22 2 extR rr z rr R dF r r dr dr         (10.13)   int 2 2 int2 ( ) extR th s ext zz R E rdr E R R         . С учетом граничных условий (10.6), соотношение (10.13) можно частично проинтегрировать (взяв определенный интеграл от перво- го, чисто механического слагаемого) 2 2 int int2 ( )z ext extF P R P R    (10.14)   int 2 2 int2 ( ) . extR th s ext zz R E rdr E R R         Из последнего соотношения можно вычислить постоянную осе- вой деформации. Таким образом, в случае когда 0zz  , значение обобщенной плоской деформации можно определить из (10.14) путем подста- новки соответствующих величин, определяющие зависимости кото- рых записаны выше. Тогда соотношения для определения обобщен- ного терморадиационного НДС примут окончательный вид: 148   int 1 1( ) , 1 2 r th s R Ar Bu r rdr Cr r r E                 int 2 2 1 , 1 1 2(1 2 ) r th s rr R E E A Brdr r r                 (10.15)     int 2 2 1 , 1 1 1 2(1 2 ) r th s th s R E E E A Brdr r r                       ,1 (1 2 )(1 )th szz E EA C            где величина равномерного осевого напряжения С равна (1 2 )(1 ) AC         int 2 2 2 2 int int 2 , ( )(1 ) ( ) extR th s z Rext ext FE rdr R R R R         а A и B даны в (10.10). Для сплошного цилиндра (0 )extr R  выражение основных ха- рактеристик обобщенного плоско-деформированного состояния может быть получено из (10.15), если устремить нижний предел к нулю int( 0)R  и принять B = 0, что обеспечит регулярность реше- ния при r = 0. Если это решение подчинить краевым условиям, со- ответствующим сплошному цилиндру при наличии распределения температуры, облучения, бокового давления Pext и осевой силы Fz (в которой учитываются как член С, так и напряжения, порождае- мые условиями плоской деформации), то выражения для напряже- ний будут определяться аналогично, как и в предыдущем случае. 149 Поэтому, не приводя промежуточных выкладок, даем окончатель- ный результат, который легко получить как следствие из (10.15). Таким образом, для сплошного цилиндра напряжения равны 2 2 0 0 1 1( ) ( ) ; (1 ) extR rth s th s rr ext ext E rdr rdr P R r                 2 2 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ; (1 ) extR rth s th s th s ext ext E rdr rdr P R r                      (10.16) 2 2 0 2 ( ) ( ) . (1 ) extR th s th s z zz ext ext FE rdr R R                Пример 2. Рассмотрим решение вышеизложенной задачи с уче- том терморадиационной ползучести. При таком расчете необходимо знать закон ползучести, т. е. аналитическую зависимость всех пара- метров (напряжения, времени, температуры, флюенса и деформа- ции или скорости деформации ползучести), характеризующих этот необратимый процесс или средние значения деформаций ползуче- сти для данного момента времени. Ранее мы искали компоненты полной деформации цилиндра, исходя из трех слагаемых – радиа- ционного распухания, температурного расширения и упругих ча- стей этих компонентов, определяющих напряжения в твердом теле. Теперь, в случае наличия эффектов вязкости, разности между ком- понентами полной деформации и суммой перечисленных слагаемых должны дать компоненты деформаций терморадиационной ползу- чести. Определяющее дифференциальное уравнение деформирова- ния (10.5) с учетом ползучести примет вид  1 ( ) 1 1 2 .1 1 c cc th s rrrrdd d ru d dr r dr dr dr r                                 (10.17) Основной трудностью интегрирования (10.17) является вычис- ление интегралов от нелинейных деформаций. Для разрешения этой 150 проблемы необходимо аппроксимировать подынтегральную функ- цию ползучести. С помощью итерационной аппроксимации, сведем нелинейный процесс деформирования к решению ряда линейных задач для каждого момента времени. Предположим, что средние значения компонентов деформаций термического расширения, ра- диационного распухания и ползучести до определенного времени известны. Принимая во внимание тот факт, что для твердого тела как при термической, так и при радиационной ползучести характер- но изменение формы без заметного изменения объема (дисторсия), общее решение уравнения (10.17) в каждый момент времени будет выражаться соотношением   int 1 1( ) 1 r th s R u r rdr r            (10.18)   int int 1 1 2 1 , 2 1 2 c cr rrr c zz R R Ar B Crr dr rdr r r r E                     где A, B, C – новые постоянные интегрирования (для сплошного цилиндра B = 0). Для дальнейшей аппроксимации подынтегральных функций разобьем сечение цилиндрического тела на множество участков по радиусу (радиальные кольцевые зоны). Причем, учитывая нелиней- ность уравнения, получить конечное решение можно лишь в пред- положении, что crr , c , czz , s , th постоянны для каждой инте- грируемой зоны, а количество таких зон для обеспечения приемлемой точности решения должно быть как можно больше. На рис. 10.2 пока- зана расчетная схема: сечение длинного цилиндрического тела раз- делено на кольцевые участки вдоль радиальной оси. 151 Рис. 10.2. Схема разбиения сечения полого (а) и сплошного (б) длинного цилиндрического тела на радиальные зоны Уравнение (10.18) интегрируется от внутреннего радиуса каждой k-й радиальной зоны int( )kR до точки с радиусом r на ее поверхно- сти. Если разбиение частое, то свойства материала внутри k-й ради- альной зоны считаются постоянными и не зависящими от темпера- туры и уровня облучения (радиальный размер, в пределах которого применяются уравнения, очень малым). В таком случае искомые радиальные перемещения внутри k-го кольцевого участка в данный момент времени для жесткого закрепления будут  2 2int( )1( ) 1 2k k th sk kr Ru r r          (10.19)  2 2int( ) ( ) ( ) ( ) int 1 1 2 ln , 2 1 2 2 k k c c c k k k zz k rr k k R r r A r Br r R r                   где k – целочисленный параметр, характеризующий номер конкрет- ной радиальной зоны (1 ≤ k ≤ K, K – число радиальных зон); intkr r R kh   – внешняя граница k-ой зоны; h – толщина зоны разбиения; Ak, Bk – некоторые константы интегрирования по k-й а б 152 зоне (для сплошного цилиндра Bk = 0 при k = 1). Условие непрерыв- ности на границах радиальных зон определяется равенством ради- альных напряжений и перемещений на стыке областей: int( ) 1 int( ) 1( ) ( ), ( ) ( ).rr k rr k k kR r u R u r     (10.20) Дальнейшее решение сводится к поиску констант интегрирова- ния Ak, Bk. Для их определения выражение (10.19) по соотношениям Коши (10.3) подставляется в одномерные по пространству физиче- ские уравнения. Это приводит к зависимости радиальной компонен- ты тензора напряжения как функции от неизвестных величин Ak, Bk и известных параметров: компонент неупругих деформаций, а так- же границ интегрируемой зоны (Rint(k) и r = rk). Полученные равен- ства дают систему из 2k алгебраических уравнений, общий вид ко- торых будут определять граничные условия и условия непрерывно- сти на границах зон: int(1) int int(2) 1 int(2) 1( ) , ( ) ( ), ( ) ( ), ... ,rr rr rrR P R r u R u r       (10.21) int( ) 1 int( ) 1( ) ( ), ( ) ( ), ( ) .rr k rr k k k r k extR r u R u r r P        Таким образом, в общем случае мы имеем 2k уравнений с 2k не- известными. Теперь из системы (10.20) теперь можно однозначно определить любые две постоянные интегрирования Ak, Bk общего решения (10.19) для каждой k-й радиальной зоны. Аналогично строится решение для сплошного цилиндрического тела, приняв в (10.19) int(1) 0R  , а линейную систему из 2k уравнений для опреде- ления констант интегрирования получаем, заменив первое условие (10.25) на равенство нулю радиальных перемещений вдоль цен- тральной оси. Поскольку граничные условия для определения Ak, Bk используются в каждой радиальной зоне, то распределение пере- мещений u(r) является функцией компонент деформаций crr , c , c zz , s , th и равномерного механического давления ( intP и extP ) в каждой кольцевой области. Дополнительные условия на границе модельного тела приводят к зависимости перемещений также от продольной деформации zz и осевой силы zF . Причем zz – неиз- 153 вестная, вычисляемая величина, например, по изложенной выше схеме на основе условия баланса осевых сил (10.11), но с учетом ползучести. Т. е. получаем, что искомые функции (перемещения) будут зависеть от целого ряда параметров, в общем случае ( ) ( ) ( ) int ( ) ( ), , , , , , , , , . th s c c c k k k rr k k zz k ext z k zz ku u r P P F         Указание 2. При выполнении лабораторной работы № 10 можно использовать механико-математические модели [9] для тел сфери- ческой и цилиндрической геометрии (включая и тонкостенные обо- лочки и пластины) в условиях нагрева и облучения. Указание 3. Для построения математической (расчетной) модели рекомендуется использовать метод конечных разностей, метод ко- нечных элементов, вариационные или вариационно-разностные ме- тоды. Перед проведением расчетов необходимо обосновать сходи- мость вычислительного процесса, а также экономичность и эффек- тивность используемого метода. Указание 4. Решение требуется реализовать в виде компьютер- ной программы. Обеспечить ввод данных пользователем, загруз- ку/сохранение информации, визуализацию расчета НДС в виде двумерных графиков, создание базы данных расчета. Указание 5. При рассмотрении задачи о НДС бесконечной тон- кой пластины, ослабленной круговым отверстием (задача Кирша), считать, что тело, находящееся в естественном ненапряженном со- стоянии, подвергается воздействию интенсивного радиационного облучения и механического нагружения (одностороннее растягива- ющее). Обратите внимание, что геометрия задачи такова, что в ней удобнее рассматривать цилиндрическую систему координат rθz. Ось z совпадает с центром отверстия, а оси r, θ лежат в плоскости перпендикулярной оси z (рис. 10.3). Таким образом, учитывая ха- рактер нагрузки, предположить, что имеем дело с плоским напря- женным состоянием [1], причем главные оси тензора напряжения и тензора деформаций совпадают с направлением координатных осей: σrr и σθθ зависят только от r, а компонента напряжений σzz = 0 (тело находится в условиях плоского напряженного состояния). 154 Рис. 10.3. Геометрия тонкой пластины с отверстием Для того чтобы построить решение задачи, можно вырезать окружностью радиуса R2, имеющей общий центр с малой окружно- стью радиуса R1, из пластинки такую часть, что напряжения по окружности радиуса R2 почти не будут отличаться от напряжений в пластинке без отверстия. Таким образом, задача об одноосном рас- тяжении прямоугольной пластинки силой P сводится к расчету пла- стинки в виде кольца (рис. 10.4) с учетом термосилового воздей- ствия в условиях интенсивного облучения. R2 R1 Z θ r PPθ Pr θ Рис. 10.4. Схема решения задачи 155 ЛИТЕРАТУРА 1. Работнов, Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела / Ю. Н. Работнов. – М. : Наука, 1979. – 744 с. 2. Чигарев, А. В. ANSYS для инженеров : справочное пособие / А. В. Чигарев, А. С. Кравчук, А. Ф. Смалюк. – М. : Машинострое- ние : Машиностроение-1, 2004. – 511 с. 3. Тимошенко, С. П. Теория упругости / С. П. Тимошенко, Дж. Гудьер. – М. : Наука, 1975. – 576 с. 4. Ивлев, Д. Д. Математическая теория пластичности / Д. Д. Ивлев, А. Ю. Ишлинский. – М. : Физматлит, 2003. – 701 с. 5. Коларов, Д. Механика пластических сред / Д. Коларов, А. Бал- тов, Н. Бончева. – М. : Наука, 1979. – 302 с. 6. Прочность материалов и элементов конструкций в экстре- мальных условиях : в 2 т. / под ред. Г. С. Писаренко. – Киев : Наук. думка, 1980. 7. Рябов, В. М. Действие излучения на конструкционные матери- алы / В. М. Рябов. – 2-е изд., доп. – М. : МЭИ, 1990. – 58 с. 8. Писаренко, Г. С. Прочность и пластичность материалов в радиа- ционных потоках / Г. С. Писаренко. – Киев : Наук. думка, 1979. – 284 с. 9. Куликов, И. С. Прочность элементов конструкций при облуче- нии / И. С. Куликов, В. Б. Нестеренко, Б. Е. Тверковкин. – Минск : Навука i тэхнiка, 1990. – 143с. 10. Куликов, И. С. Прочность тепловыделяющих элементов быстрых газоохлаждаемых реакторов / под ред. В. Б. Нестеренко. – Минск : Наука и техника, 1984. – 103 с. 156 ПРИЛОЖЕНИЕ А Рекомендации по оформлению отчетов по лабораторным и практическим работам 1. Отчет должен содержать следующие структурные части: ти- тульный лист (приложение Б); оглавление; введение; цель работы; основную часть, разбитую на теоретическую и практическую главы; описание использованных методов, оборудования, материалов и т.д., а также сущность и основные результаты исследования; крат- кие выводы; список использованных литературных и других источ- ников; приложения (при необходимости). 2. Титульный лист отчета оформляется по форме согласно форме приложения Б. 3. В раздел «Приложения» включается вспомогательный матери- ал. В этот раздел включаются: промежуточные математические до- казательства, формулы и расчеты, оценки погрешности измерений; исходные тексты компьютерных программ и краткое их описание; таблицы и иллюстрации вспомогательного характера и т.д. 4. Отчет печатается с использованием компьютера и принтера на одной стороне листа белой бумаги формата А4 (210х297 мм). До- пускается представлять таблицы и иллюстрации на листах формата А3 (297х420 мм). 5. Набор текста осуществляется с использованием текстового ре- дактора Word. При этом рекомендуется использовать шрифты типа Times New Roman размером 13–14 пунктов, межстрочный интервал должен составлять 15 пунктов. В случае вставки в строку формул до- пускается увеличение межстрочного интервала. Устанавливаются сле- дующие размеры полей: верхнего и нижнего – 20 мм, левого – 30 мм, правого – 10 мм. Шрифт печати должен быть прямым, светлого начертания, четким, черного цвета, одинаковым по всему объему текста отчета. Разрешается использовать компьютерные возможно- сти акцентирования внимания на определениях, терминах, теоре- мах, важных особенностях, применяя разное начертание шрифта: курсивное, полужирное, курсивное полужирное, выделение с по- мощью рамок, разрядки, подчеркивания и другое. 6. Опечатки и графические неточности, обнаруженные в тексте отчета, допускается исправлять подчисткой или закрашиванием бе- 157 лой краской и нанесением на том же месте исправленного текста (графиков) машинописным или рукописным способами. 7. Нумерация страниц дается арабскими цифрами. Первой стра- ницей отчета является титульный лист, который включают в общую нумерацию страниц. На титульном листе номер страницы не ставят, на последующих листах номер проставляют в центре нижней части листа без точки в конце. 8. Нумерация разделов, подразделов, пунктов, рисунков, таблиц, формул, уравнений дается арабскими цифрами без знака «№». В конце нумерации разделов, подразделов, пунктов, а также их за- головков точку не ставят. 9. Иллюстрации (фотографии, рисунки, чертежи, схемы, диаграм- мы, графики) и таблицы служат для наглядного представления харак- теристик объектов исследования, полученных теоретических и (или) экспериментальных данных и выявленных общих закономерностей. 10. Иллюстрации и таблицы следует располагать непосредственно на странице с текстом после абзаца, в котором они упоминаются впервые, или отдельно на следующей странице. Они должны быть расположены так, чтобы их было удобно рассматривать без поворота отчета или с поворотом по часовой стрелке. Иллюстрации и таблицы, которые расположены на отдельных листах отчета, включают в об- щую нумерацию страниц. Если их размеры больше формата А4, их размещают на листе формата А3 и учитывают как одну страницу. 11. Иллюстрации должны быть выполнены с помощью компью- терных технологий либо чернилами на белой непрозрачной бумаге. Качество иллюстраций должно обеспечивать возможность их чет- кого копирования. Допускается использовать в качестве иллюстра- ций распечатки с компьютерных программ, а также иллюстрации в цветном исполнении. 12. Иллюстрации, как правило, имеют наименование и поясни- тельные данные (подрисуночный текст), располагаемые по центру страницы. Пояснительные данные помещают под иллюстрацией, а со следующей строки – слово «Рис.», номер и наименование иллю- страции, отделяя «точкой» номер от наименования. Точку в конце нумерации и наименований иллюстраций не ставят. 158 Например: СХЕМА ДЕФОРМИРОВАНИЯ 1 – станина со столом; 2 – матрица; 3 – пуансон; 4 – плоские элементы; 5 – условная диаграмма необратимого деформирования конструкционных материалов Рис. 1. Принципиальная схема прессования металлов 13. Цифровой материал отчета оформляют в виде таблиц. При оформлении таблиц необходимо руководствоваться следующими правилами: допускается применять в таблице шрифт на 1-2 пункта меньший, чем в тексте отчета; не следует включать в таблицу графу «Номер по порядку». При необходимости нумерации показателей, включенных в таблицу, порядковые номера указывают в боковике таблицы непосредственно перед их наименованием; таблицу с большим количеством строк допускается переносить на следующий лист. При переносе части таблицы на другой лист ее заголовок ука- зывают один раз над первой частью, слева над другими частями пишут слово «Продолжение». Если в отчете несколько таблиц, то после слова «Продолжение» указывают номер таблицы, например: «Продолжение таблицы 2»; таблицу с большим количеством граф допускается делить на части и помещать одну часть под другой в пределах одной страницы, повторяя в каждой части таблицы боко- вик. Заголовок таблицы помещают только над первой частью таб- лицы, а над остальными пишут «Продолжение таблицы» или «Окончание таблицы» с указанием ее номера; таблицу с небольшим количеством граф допускается делить на части и помещать одну часть рядом с другой на одной странице, отделяя их друг от друга двойной линией и повторяя в каждой части головку таблицы. До- пускается нумеровать графы арабскими цифрами, если необходимо давать ссылки на них по тексту отчета; заголовки граф, как правило, записывают параллельно строкам таблицы. При необходимости до- пускается располагать заголовки граф параллельно графам таблицы. 14. Формулы и уравнения в отчете (если их более одной) нуме- руют в пределах текста отчета. При оформлении формул и уравне- 159 ний необходимо соблюдать следующие правила: формулы и урав- нения следует выделять из текста в отдельную строку. Выше и ниже каждой формулы и уравнения оставляется по одной свободной строке; если формула или уравнение не умещаются в одну строку, они должны быть перенесены после знака равенства (=) или после знаков плюс (+), минус (–), умножения (х) и деления (:). При этом повторяют знак в начале следующей строки; ссылки на формулы по тексту отчета дают в скобках; пояснение значений символов и чис- ловых коэффициентов, входящих в формулу или уравнение, следует приводить непосредственно под формулой или уравнением в той же последовательности, в какой они даны в формуле (уравнении). Зна- чение каждого символа и числового коэффициента следует давать с новой строки. Первую строку пояснения начинают со слов «где» без двоеточия. 15. Ссылки на источники в тексте отчета осуществляются путем приведения номера в соответствии с библиографическим списком. Номер источника по списку заключается в квадратные скобки или помещается между двумя косыми чертами. Сведения об источниках печатают с абзацного отступа. В списке использованных источни- ков после номера ставят точку. Содержание сведений об источни- ках должно соответствовать ГОСТ 7.11–2004. 16. Раздел «Приложения» оформляют в конце отчета либо в виде отдельной части (книги), располагая их в порядке появления ссылок в тексте отчета. Не допускается включение в приложение материа- лов, на которые отсутствуют ссылки в тексте отчета. Каждое при- ложение следует начинать с нового листа с указанием в правом верхнем углу слова «ПРИЛОЖЕНИЕ», напечатанного прописными буквами. Приложение должно иметь содержательный заголовок, который размещается с новой строки по центру листа с прописной буквы. Приложения обозначают заглавными буквами русского ал- фавита, начиная с А (за исключением букв Ё, З, Й, О, Ч, Ь, Ы, Ъ), например: ПРИЛОЖЕНИЕ А, ПРИЛОЖЕНИЕ Б, ПРИЛОЖЕНИЕ В. 160 ПРИЛОЖЕНИЕ Б Пример оформления титульного листа отчета по лабораторным работам Министерство образования Республики Беларусь Белорусский национальный технический университет Машиностроительный факультет Кафедра «Теоретическая механика» ОТЧЕТ по лабораторной работе № 7 «Исследование влияния терморадиационного воздействия на физико-механические свойства твердых тел» Выполнил: студент группы 103911 Иванов Иван Иванович дата, подпись Принял: преподаватель, ФИО дата, подпись Отметка о защите работы ________ дата, подпись Минск, 2014 161 ПРИЛОЖЕНИЕ В Распределение температурных полей в твердых телах с внутренними источниками тепла и без внутреннего тепловыделения 1. Сплошной шар с постоянной плотностью источников тепла, охлаждаемый с внешней поверхности:    2 2 .6V Н НqT r R r Т   2. Полый шар с постоянной плотностью источников тепла, охлаждаемый с внешней поверхности:     32 2 1 1 .6 3V V ВН ННq q RT r R r ТR r          3. Сплошной цилиндр с источниками тепла, охлаждаемый с внешней поверхности:    2 2 .4V Н НqT r R r Т   4. Полый цилиндр с источниками тепла, охлаждаемый внутрен- ней и наружной поверхностями:      2 2 2 2 ln .4 4 lnV V ВН Н В Н В ВН В r q q RT r R r R R Т Т ТR R            Координата максимального значения температуры:   2 2 m ax 4 . 2 ln Н В Н В V Н В Т Т R R qr R R      162 5. Полый цилиндр с источниками тепла, охлаждаемый с внут- ренней поверхности:   22 2 2 2 ln .4 V Н В В ВН q R r R rT r Т RR            6. Полый цилиндр с источниками тепла, охлаждаемый с наруж- ной поверхности:   22 2 2 2 ln .4 V В Н Н НВ q R R r rT r Т RR            7. Пластина с источниками тепла, охлаждаемая с двух сторон:    2 2 1 1.2Vq Т ТT x x x x Т      Координата максимального значения температуры: 2 1 max .2V Т Тx q     8. Пластина с источниками тепла, охлаждаемая с одной стороны (тепловой поток направлен по оси абсцисс и равен нулю в плоско- сти, проходящей через начало координат):    2 2 2 .2VqT r x Т    9. Пластина без источников тепла:    2 1 1.xT x Т Т Т   163 Если известен тепловой поток Sq в направлении оси X, также справедливо:   1SqT x x Т  и     2 .S qT x x Т     10. Полый цилиндр без источников тепла*, охлаждаемый с внутренней поверхности:   ln .S Н В В q rT r R Т R       * Sq – тепловой поток, подводящийся с наружной поверхности цилиндра. 11. Полый цилиндр без источников тепла, охлаждаемый с наружной поверхности:   ln .S НВ Нq RT r R Тr  где Sq – тепловой поток, подводимый с внутренней поверхности цилиндра. Если известны одновременно температуры наружной и внутрен- ней поверхностей полого цилиндра, то формулы для 10 и 11 случаев могут быть преобразованы к одному из следующих тождественных выражений соответственно:   ln , ln Н В ВН В В Т Т rT r ТR R R     ln . ln Н В НН Н В Т Т rT r ТR R R   164 12. Полый шар без источников тепла, охлаждаемый снаружи:   2 1 1 ,S В Н Н q RT r Т r R        где Sq – тепловой поток, подводимый с внутренней поверхности. Если известна температура внутренней поверхности шара, то формулу для случая 12 можно получить в следующем виде:   1 11 1Н В НН В Н Т ТT r Т R r R R       или   1 1 .1 1Н В ВВ В Н Т ТT r Т R r R R       165 ПРИЛОЖЕНИЕ Г Основные соотношения механики деформируемого твердого тела 1. НДС любой конструкции описывается в прямоугольных ко- ординатах следующей системой уравнений равновесия (движения): 2 2 2 2 2 2 0 или ; 0 или ; 0 или . xyxx xz yx yy yz zyzx zz uX x y z t Y x y z t Z x y z t                                                          (1) Через X, Y, Z обозначены проекции на координатные оси объем- ной силы, отнесенной к единице массы; ρ – плотность материала тела. Граничные условия задаются равенствами: , , ,x xx xy xz y yx yy yz z zz zy zzF l m n F l m n F l m n            (2) где F – составляющие вектора поверхностных нагрузок; l, m, n – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности тела в рассматриваемой точке. Компоненты деформаций в декартовых координатах записыва- ются через компоненты перемещений (соотношения Коши): ; ; ; 2 ; 2 ; 2 ; xx yy zz xy yx xy yz zy yz zx xz zx u u x y z y x u z y x z                                          (3) 166 Компоненты деформаций (3) связаны условиями совместности (неразрывности) деформаций (условия сплошности среды): 2 22 2 2 2 2 2 22 2 2 22 22 2 2 ; 2 ; ; 2 ; ; 2 yy xy yz xyxx zx zz yy yz xy yzzx xxzz xy yzxx zx xzzz x y z x y z x yy x y z x y z x y zz y z x y z x yx z                                                                             ;yy z x  (4) В другой системе координат уравнения механики сплошной сре- ды имеют иной вид. 2. В цилиндрической системе координат дифференциальные уравнения равновесия: 1 0; 1 2 0; 1 0, r rrrr rz r z r zzr zz zr P r r z r Q r r z r R r r z r                                         (5) где P, Q, R – проекции объемной силы, отнесенные к единице объе- ма на координаты оси r, θ, z. В цилиндрической системе координат rθz компоненты деформа- ции записываются через компоненты смещения u, υ, w ( , ,r zu u u ) следующим образом: 1 1; ; ; 2 ; 1 2 ; 2 . rr zz r r z z zr zr u u w u r r r z r r r w u w r z z r                                            (6) 167 Уравнения совместности деформаций и граничные условия за- даются равенствами (7) и (8): 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 22 2 2 2 0; 12 2 0; ( )2 0; 1 1 0; 1 rr zz rz z zz zz rz rrr rr r z rz zz r zz r r z r r zz r r r r r r r r r z r r z r rz r r r r                                                                                  22 2 2 2 2 222 2 1 1 0; ( ) 0. rz rr z r rzrz rr r r z r r r zr r rr r r r r r z z                                            (7) θ cos( , ) cos( , ) cos( , ) , cos( , ) cos( , ) cos( , ) , cos( , ) cos( , ) cos( , ) . rr r rz r r z zr z zz z n r n n z F n r n n z F n r n n z F                            (8) Здесь cos( , ),n r cos( , )n  , cos( , )n z – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности в рассматриваемой точке; Fr, Fθ, Fz, – проекции равномерной силовой нагрузки, приложенной к по- верхности; n – единичный вектор внешней нормали к границе по- верхности. 2.1. При использовании в плоской задаче полярных координат rθ уравнения равновесия имеют следующий вид (неосесимметрич- ное плоско-деформированное состояние): 1 1; ; 2 ; C, rr r r zz u u u r r r r r r                       (9) 168 1 0; 1 2 0, r rrrr r r r r r r r r                     (10) θcos( , ) cos( , ) , cos( , ) cos( , ) .rr r r rn r n F n r n F            (11) 2.2. В случае осесимметричной деформации: 0; 0.rrrr rz zr zz zrP R r z r r z r                  (12) 2 20; 2 0. rr rz zzr r r r z rz                  (13) 2.3. Плоское осесимметричное деформированное состояние (ра- диальное или одномерное осесимметричное НДС) в случае отсут- ствия объемных сил описывается равенствами: 0;rrrr P r r       0; rr r r       (14) ; ; C. rr zz u u r r       C – некоторая постоянная осевой деформации ( Czz  ), опреде- ляемая из условия баланса осевых сил (случай однородного дефор- мированного состояния). 3. В сферической системе координат rθφ уравнения равнове- сия имеют вид: 169 1 1 1 2 ( ) ctg 0; sin 1 1 1 3 ( )ctg 0; sin 1 1 1 3 2 ctg 0; sin rrrr rr r r r r r r P r r r r P r r r r P r r r r                                                                         (15) В системе координат rθφ компоненты деформаций записываются через компоненты смещения u, υ, w ( , ,ru u u  ) следующим образом: ctg1 1; ; ; sin ctg1 1 1; ; sin 1 . sin r r r rr r r r r uu uu u u r r r r r r u u uu u u r r r r r r u uu r r r                                              (16) Здесь , ,ru u u  – составляющие вектора смещения по осям сфе- рической системы координат. 170 Связь между основными физическими константами для упругого тела Постоянные Формулы перехода для систем (основная пара) (E, μ) (v, G) (K, G) (E, G) (G, μ) Модуль упругости E E   vG GvG   23 GK KG 3 9 E G)1(2  Коэффициент Пуассона μ μ  vG v 2 GK GK 26 23   1 2  G E μ Модуль сдвига G )1(2  E G G G G Постоянная Ламе v )21)(1(  E v GK 3 2   EG GEG   3 2   21 2G Коэффициент объемного расширения К )21(3  E Gv 3 2 K )3(3 EG EG    )21(3 12  G 1 ПР ИЛ ОЖ ЕН ИЕ Д Те рм ич еск ие нап ряж ени я в те лах пр ост ых фо рм с и сто чн ик ам и т епл а, р авн ом ерн о рас пр еде лен ны ми по об ъем у Фо рм а тел а Ус лов ия охл аж ден ия p R Фу нк ци я р асп ред еле ни я н апр яж ени й На пр яж ени я в ц ент ре ил и на вн утр енн ей по вер хн ост и На пр яж ени я на нар уж но й по вер хн ост и Сплошной шар Те пл о о тво ди тся рав но ме рн о с п ове рхн ост и 2 6V Н q R  2 1 6V Н q R E    2 2 2 1 ; 5 Нr R R                   2 2 1 5 r Нr R R                  2 5 r R R     2 ; 5 R  0 r  Полый шар Те пл о о тво ди тся рав но ме рн о с в неш ней по вер хн ост и 2 6V Н q R  2 1 6V Н q R E    3 2 2 2 3 2 6 1 4 12 ; 5 5 5 5 1 В В В Н В Н Н В В В НR R R R R r r R R R R r R R R                                                                 3 2 2 2 3 1 6 1 1 6 2 5 5 5 5 1 В r В В Н В Н Н В В В НR R R R R r r R R R R r R R R                                                                2 3 3 В НR R R            5 3 1 18 ; 5 1 В Н В НR R R R               0 r  3 2 4 В НR R R            5 3 1 1 8 ; 5 1 В Н В Н R R R R               0 r  x – коо рд ин ата по то лщ ин е п лас тин ы; q V – пл отн ост ь о бъ ем но го эне рго вы дел ени я; r – коо рд ин ата ш ара и ци ли нд ра; δ – тол щи на пл а- сти ны ; λ – ко эф фи ци ент те пл оп ро вод но сти ; R H – ра ди ус нар уж но й п ове рх но сти ; α – ко эф фи ци ент те рм ич еск ого ра сш ир ени я; R B – ра ди ус вн утр енн ей по вер хн ост и; E – мо ду ль уп руг ост и; T H – те мп ера тур а н ару жн ой по вер хн ост и; μ – ко эф фи ци ент П уас сон а; T B – те мп ера тур а вн утр енн ей по вер хн ост и; σ τ, σ r , σ z – со отв етс тве нн о т анг енц иал ьны е, р ади аль ны е и ос евы е н апр яж ени я. 171 1 По лы й ци ли нд р Те пл о о тво ди тся рав но ме рн о с в ну тре нн ей и в неш ней по вер хн ост ей   2 2 2 2 2 1 1 ( / ) 3 1 4 ln / В В В Н Н Н Н В r R R R R R R R r R R                                          2 2 1 / ln / 1 ln 1 ; 2 1 / ln В В Н В Н В В Н В R r r R r T T R R P R R R                                    2 2 2 1 1 4 r В В Н Н r R R R R R r                                 2 2 2 2 1 ln 1 ln ; 2 ln ln 1 В В Н Н В В Н В Н В В В Н R r R R r T T R r R R P R R R R R                                                2 2 2 2 1 1 1 2 2 ln В Н z В Н Н Н ВR R r R R R R R R                               2 2 2 2 ln 1 1 ln 1 . 1 ln В Н В В В Н Н В r R r T T R P R R R R                                                                 2 1 1 2 2 z В НR R R R              2 2 1 ln В Н Н В Н ВR R T T P R R                 2 2 1 1 ; 1 ln В Н Н В R R R R                              0 r  2 1 1 2 2 z В НR R R R              2 2 1 ln В Н Н В Н ВR R T T P R R                 2 2 1 1 ; 1 ln Н Н В В R R R R                              0 r  172 1 Фо рм а тел а Ус лов ия ох лаж ден ия: p R Фу нк ци я р асп ред еле ни я н апр яж ени й На пр яж ени я в це нтр е ил и н а в ну тре нн ей по вер хн ост и На пр яж ени я н а нар уж но й п ове рх но сти По лы й цил инд р Т епл о о тво - ди тся ра вн о- ме рн о с вн еш ней по вер хн ост и 2 4V Н q R  2 1 4V Н q R E   2 2 2 1 3 5 4 В В Н Н r R R R R R r                                  2 2 1 ln ln ; 1 В Н В В В НR R r r R R R R                2 2 2 1 1 4 В В Н Н r R R R R R r                                  2 2 1 ln ln ; 1 В Н В В В НR R r r R R R R                2 2 2 2 ln 1 3 2 2 1 H B В Н Н В Н R R r R R R R R R                                 2 ln Br R       2 1 3 2 2 z В НR R R R              2 2 ln ; 1 Н В В НR R R R              0 r  2 1 1 2 2 z В НR R R R              2 2 ln ; 1 Н В В НR R R R              0 r  Пл ас- тин а Те пл о о тво - ди тся ра вно - ме рно с о беи х сто ро н 2 2Vq   2 1 2Vq E     2 1 6 x x R            1 12 R   (в сре дн ем се чен ии ) 1 6 R  173 174 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие.…………………………………………………….. 3 Лабораторная работа № 1 Расчет НДС в конструктивных элементах при механическом нагружении средствами виртуального моделирования…..…… 5 Задачи для практической работы……………………………… 29 Лабораторная работа № 2 Температурный расчет простейших конструктивных элементов……………………………………................................ 40 Лабораторная работа № 3 Расчет термических напряжений в конструктивных элементах простой формы…….………………………………... 47 Задачи для практической работы……………………………….. 55 Лабораторная работа № 4 Расчет термоупругих напряжений в виртуальной среде ANSYS Workbench………………………………………………. 61 Лабораторная работа № 5 Механико-математические модели упругопластических твердых тел………………………………………………………. 78 Задачи для самостоятельной практической работы…………… 89 Лабораторная работа № 6 Деформационное упрочнение материалов и эффект Баушингера…………………………………………… 95 Лабораторная работа № 7 Исследование влияния терморадиационного воздействия на физико-механические свойства твердых тел……………… 110 Лабораторная работа № 8 Изменение кратковременных и длительных свойств материалов при терморадиационном воздействии……………. 120 Лабораторная работа № 9 Расчет необратимых деформаций радиационного распухания в конструкционных и топливных (делящихся) материалах….. 129 Лабораторная работа № 10 Определение терморадиационных напряжений в конструктивных элементах…………………………………… 141 175 Литература……………………………………………………… 155 Приложение А. Рекомендации по оформлению отчетов по лабораторным и практическим работам …………………… 156 Приложение Б. Пример оформления титульного листа отчета по лабораторным работам………………….…………………… 160 Приложение В. Распределение температурных полей в твердых телах с внутренними источниками тепла и без внутреннего тепловыделения…………............................. 161 Приложение Г. Основные соотношения механики деформируемого твердого тела………………………………… 165 Приложение Д. Термические напряжения в телах простых форм с источниками тепла, равномерно распределенными по объему…………………………………………………………. 171 176 Учебное издание ШИРВЕЛЬ Павел Иванович МЕХАНИКА НЕОБРАТИМЫХ ДЕФОРМАЦИЙ Методическое пособие к лабораторным работам В 2 частях Часть 1 Редактор Л. Н. Шалаева Компьютерная верстка А. Г. Занкевич Подписано в печать 27.02.2014. Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 10,23. Уч.-изд. л. 8,00. Тираж 50. Заказ 1011. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий № 1/173 от 12.02.2014. Пр. Независимости, 65.220013, г. Минск.