МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Машины и технология обработки металлов давлением» А. В. Мазурёнок МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ Учебно-методическое пособие Минск БНТУ 2014 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Машины и технология обработки металлов давлением» А. В. Мазурёнок МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математическое моделирование технологических процессов» для студентов специальности 1-36 01 05 «Машины и технология обработки материалов давлением» Рекомендовано учебно-методическим объединением по образованию в области машиностроительного оборудования и технологий Минск БНТУ 2014 2 УДК 621.73:519.87(075.8) ББК 34.5я7 М13 Рецензенты : А. К. Гавриленя, А. Н. Давидович М13 Мазурёнок, А. В. Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением : учебно-методическое пособие по дисциплине «Мате- матическое моделирование технологических процессов» для сту- дентов специальности 1-36 01 05 «Машины и технология обработ- ки материалов давлением» / А. В. Мазурёнок. – Минск : БНТУ, 2014. – 80 с. ISBN 978-985-550-290-7. В издании излагаются основы математического моделировании процессов обра- ботки металлов давлением. Теоретический материал иллюстрируется примерами ре- шения задач. УДК 621.73:519.87(075.8) ББК 34.5я7 ISBN 978-985-550-290-7 © Мазурёнок А. В., 2014 © Белорусский национальный технический университет, 2014 3 ВВЕДЕНИЕ Изучение дисциплины «Математическое моделирование техно- логических процессов» дает инженеру необходимые знания в обла- сти создания методов достаточно точного количественного описа- ния технологических процессов с учетом большого числа факторов, т. е. их математического моделирования и оптимизации. Целью преподавания дисциплины является подготовка специали- стов, способных использовать методы математического моделирова- ния широкого круга инженерных задач по обработке материалов с дальнейшим решением их аналитическим или численным методом. Рассматриваемый курс связан с рядом естественно-научных, об- щепрофессиональных и специальных дисциплин: «Математика», «Физика», «Механика материалов», «Информатика», «Теоретиче- ская механика», «Теория механизмов, машин и манипуляторов», «Теория обработки металлов давлением», «Расчеты и конструкции нагревательных устройств». В результате освоения курса «Математическое моделирование технологических процессов» студент должен: знать: – методы построения математических моделей технологических процессов и машин обработки материалов давлением; – алгоритмы и методы исследования математических моделей; – численные методы программной реализации алгоритмов ис- следования математических моделей. уметь: – построить математическую модель процесса и оборудования; – выбрать определенный алгоритм вычислительной математики для описания построенной модели; – осуществить программную реализацию выбранного алгоритма; – произвести численный расчет различных характеристик иссле- дуемого технологического процесса или оборудования. 4 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПОНЯТИЯ, МОДЕЛИ И МЕТОДЫ 1.1. Определения математического моделирования Математическое моделирование – это приближенное описание какого-либо класса явлений, выраженное с помощью математических символов и соотношений, с целью его познания и оптимизации. Математическое моделирование технологического процесса обработки металлов давлением – это, в сущности, сведение ис- следования процесса пластической деформации обрабатываемого тела к анализу решения некоторой краевой задачи математической физики, т. е. к изучению распределения напряжений и деформа- ций, температурных полей, условий разрушения. 1.2. Основные понятия дисциплины В основе современной теории обработки металлов давлением лежат основные понятия и методы механики сплошных сред, кото- рая использует следующие абстрактные понятия [1]. Материальная точка – это тело пренебрежимо малых размеров, но конечной массы. Роль материальной точки может играть центр инерции системы материальных точек, в котором считается сосредоточенной масса всей системы. Абсолютно твердое тело – это совокупность материальных то- чек, находящихся на неизменном расстоянии друг от друга. Понятие абсолютно твердого тела допустимо в том случае, если можно пренебречь деформацией этого тела под действием прило- женных нагрузок (например: инструмент). Сплошная среда – это совокупность материальных точек, для ко- торых допустимо изменение взаимного расположения. 5 К сплошным средам относятся твердые деформируемые, жидкие и газообразные тела, абстрактно представляемые в отвлеченных моделях идеально упругого тела, пластического тела, идеальной жидкости, вяз- кой жидкости, идеального газа и т. д. В теории ОМД сплошными сре- дами описываются заготовки практически во всех процессах и ин- струмент в специальных процессах обработки материалов давлением. Материальная частица – это элемент объема пренебрежимо ма- лых размеров. Движение материальной частицы описывается векторами пере- мещения, скорости, ускорения. В целом движение сплошной среды – бесконечного множества материальных частиц – описывается соот- ветствующими векторными полями – полем вектора перемещения, полем вектора скорости, полем вектора ускорения. Основной мерой взаимодействия тел или частей тела в механике является сила. Как правило, в механике сплошных сред рассматри- ваются распределенные силы, интенсивность которых называется напряжением. Напряженное состояние сплошной среды описыва- ется тензорными полями. В качестве основной гипотезы вводится гипотеза о сплошности, которая гласит: «Реальные тела рас- сматриваются как материальный континуум, заполняющий про- странство непрерывно». Применение гипотезы о сплошности приводит нас к понятию области, заполненной сплошной средой. Область D – это совокупность точек пространства, характеризуе- мая двумя свойствами: 1) если некоторая точка М принадлежит области, то все точки достаточно близкие к М, тоже принадлежат области; 2) любые две точки области можно соединить ломанной линией, целиком лежащей внутри области. Граница области S представляет собой совокупность точек, в любой окрестности каждой из которых есть точки, как принадле- жащие области, так и не принадлежащие ей. 6 Границей плоской области может быть замкнутая кривая или со- вокупность нескольких замкнутых кривых. Границей простран- ственной области может быть одна или несколько замкнутых по- верхностей. Будем предполагать, что кривые или поверхности, ограничивающие область, либо гладкие, либо кусочно-гладкие. В механике сплошных сред скаляры, векторы и тензоры, как правило, являются функциями координат и времени. Будем предпо- лагать, что эти функции непрерывно дифференцируемы достаточ- ное число раз по указанным переменным и, как следствие, ограни- чены вместе с производными в любой конечной области, заполнен- ной сплошной средой. 1.3. Понятие краевой задачи Математическая модель внутреннего механизма процесса ОМД представляется тремя группами уравнений: кинематическими зави- симостями, законами сохранения и определяющими соотношениями. Они не описывают условий взаимодействия тела с окружающей средой, его начального состояния. В связи с этим необходимо до- полнительно рассматривать совокупность данных, определяющих начальное состояние тела (начальные условия) и описывающих влияние окружающей среды на протекание в теле процесса (гра- ничные условия). Вместе они образуют условие единственности решения рассматриваемой задачи, объединяясь в понятие краевых условий. При этом имеются в виду «края» той пространственно- временной области, в условиях которой происходит исследуемый процесс. В результате мы приходим к понятию краевой задачи. Поставить краевую задачу о движении сплошной среды в области D с границей S означает выбрать математическую модель среды, т. е. записать соответствующую замкнутую систему уравнений, и сформулировать начальные и граничные условия. К начальным условиям относятся уравнения, описывающие рас- пределение искомых давлений, температур, скоростей в начальный момент времени. В некоторых случаях одних только начальных условий вполне достаточно для выделения определенного решения 7 (например, течение в неограниченной области). Примером задания начальных условий является широко используемая гипотеза о пер- воначальном ненапряженном состоянии. Условия на границе S (известной или неизвестной при любом времени t) можно разделить на механические и температурные. К последним относятся уравнения, описывающие распределение температуры или условие теплоотдачи на границе тела. 1.4. Механические граничные условия В механике различают три рода механических граничных условий. Условия I рода – динамические граничные условия, при которых на границе тела S задают вектор поверхностных напряжений n , как известную функцию точки границы М и времени t: ( ),n S f M,t M S   . Так, при движении сплошной среды можно рассматривать по- верхности, называемые свободными, на которых поверхностные напряжения сводятся просто к атмосферному давлению. Если среда находится в равновесии, то вышеприведенные усло- вия не зависят от времени t и называются статическими. Условия II рода – кинематические граничные условия, при ко- торых на границе тела S задают вектор перемещений u или скоро- сти v , как известную функцию точки границы М и времени t: ( , )Su f M t  или ( , ),Sv M t M S    . В механике сплошной среды часто применяют в качестве кине- матических граничных условий условия «прилипания», при кото- рых отсутствует проскальзывание материальных частиц по каса- тельной к границе: среды пов среды пов , . u u v v       8 Условия III рода – смешанные граничные условия, при которых граница тела S состоит из двух частей (S = S1S2), и на одной части границы задают вектор перемещений u или скорости v , как из- вестную функцию точки границы М и времени t, а на другой части – вектор поверхностных напряжений ,n как известную функцию точки границы М и времени t: 1 1 ( , )Su f M t  или 1 1 1 ( , ),Sv M t M S    ; 2 2 2( , ), n S f M t M S   . 1.5. Механические граничные условия на примере внешнего трения Для ОМД характерно трение скольжения, которое по своей при- роде существенно отличается от трения скольжения в узлах машин. Рассмотрим элементарную площадку, расположенную на кон- тактной поверхности, с нормалью n (рис. 1.1). Вектор поверхност- ных напряжений n , действующий на площадке, представим в виде суммы двух векторов, вектора нормального давления p и вектора напряжения трения  : n p      . Рис. 1.1. Нормальные и касательные напряжения на контактной поверхности 9 Вектор p направлен по внутренней нормальной к поверхности, его модуль p равен нормальной силе, действующей на единицу площади. Вектор  лежит в плоскости, касательной к поверхности, и направлен в сторону, противоположную вектору скольжения ча- стиц металла относительно инструмента. Пусть v – скорость ча- стицы, 1v – скорость инструмента на рассматриваемой площадке, 1v v v     – скорость скольжения. Тогда на поверхности контакта металла и инструмента v v       , где  – модуль вектора напряжения трения; обычно называется просто напряжением трения. Для определения  практически используют два упрощенных закона: – закон Амонтона-Кулона: p   , где  – коэффициент трения; – закон Прандтля (Зибеля): sf   , где s – предел текучести обрабатываемого материала, а коэффи- циент f тоже часто условно называют коэффициентом трения. Первое уравнение обычно используют для описания внешнего трения при холодной обработке металлов давлением, а второе – при горячей. 10 1.6. Методы решения краевых задач После постановки краевой задачи необходимо перейти к матема- тическому исследованию процесса. Для этого нужно получить ре- шение краевой задачи – точное или приближенное. Как правило, точное (аналитическое) решение удается получить при самой упрощенной постановке задачи для наиболее грубых и несложных моделей. На практике большие трудности связаны с описанием реологических свойств среды, моделирующей реальные свойства металлов и сплавов, условий трения и теплоотдачи на кон- тактной поверхности тела. Все это приводит к необходимости при- менения приближенных методов решения задач с использованием вычислительной техники. Однако нет оснований полагать, что приближенные методы це- ликом вытесняют аналитические. Точные аналитические решения, полученные для некоторых идеализированных задач (например, некоторые решения, полученные методом линий скольжения), поз- воляют полнее описать механизм изучаемого процесса, его зависи- мость от основных параметров. Это в свою очередь дает возмож- ность лучше отработать алгоритм приближенного метода. Точные решения можно использовать в качестве тестов, при от- ладке компьютерных программ, а также для контроля точности рас- четов. Таким образом, приближенные и аналитические методы ре- шения краевых задач должны разумно сочетаться при исследовании технологических процессов. И все же при всех оговорках прибли- женные методы решения краевых задач можно считать в настоящее время наиболее перспективным средством моделирования процес- сов обработки металлов давлением. Основные проблемы, возникающие при численном моделировании: 1) дать четкое определение схемы приближенного метода; 2) сформулировать условия существования решения, его един- ственности и сходимости; 3) обосновать оценку погрешности приближенного решения. Эти проблемы удается решать в рамках функционального ана- лиза – одного из наиболее быстро развивающихся разделов совре- менной математики. 11 Приближенных методов решения краевых задач теории обработ- ки металлов давлением великое множество. Назовем только неко- торые группы [3]: – итерационные методы; – проекционные методы; – методы разделения переменных; – вариационные методы; – методы теории функции комплексного переменного и теории комплексного потенциала и т. д. 12 2. ТЕНЗОРЫ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ 2.1. Основные задачи тензорного анализа В механике сплошных сред изложение теории напряжений и де- формаций, изучение связи между ними, как правило, проводится с применением тензорного анализа [2]. Основные задачи тензорного анализа: 1. Изучить влияние выбора системы координат на представление физических объектов. 2. Выделить так называемые инварианты, т. е. величины, кото- рые не изменяют свое значение при переходе от одной системы ко- ординат к другой. 3. Изложить правила преобразования компонентов вектора или тензора при переходе от одной системы координат к другой. 4. Записать физические законы в ковариантном виде, т. е. урав- нения должны сохранять свой вид и форму при произвольных пре- образованиях координат. 2.2. Ортогональный базис Выберем три взаимно ортогональных направления и отложим на них три вектора единичной длины 1 2 3, ,e e e   , для которых выпол- няются соотношения 1 2 3 1 2 2 3 1 31 , 0e e e e e e e e e                 . Векторы 1 2 3, ,e e e   называются ортами, если их длины равны еди- нице, и они попарно перпендикулярны. Будем говорить, что они образуют ортогональный базис в рассматриваемом трехмерном пространстве, причем, если имеет место зависимость 3 1 2e e e    , то базис называется правым, если же 3 1 2e e e     , то – левым. Как правило, в дальнейшем будем использовать правый базис. 13 Соответствующая базису система координатных осей 1 2 3, ,x x x называется ортогональной прямолинейной (декартовой) систе- мой координат. Возьмем произвольный ортогональный базис 1 2 3, ,e e e   . Любой вектор a может быть разложен по базисным ортам, т. е. можно за- писать 1 1 2 2 3 3a a e a e a e      . Величины 1 2 3, ,a a a называются компонентами вектора a , они представляют собой проекции вектора на оси 1 2 3, ,x x x . 2.3. Правила Эйнштейна В дальнейшем будут часто встречаться выражения с индексами – верхними и нижними, например , , ,i iki ik m jla b c e и т. д. Целесообразно, следуя Эйнштейну, ввести правила сокращенной записи таких выражений. 1. Каждый буквенный индекс, встречающийся в одночлене один раз, может принимать значения 1, 2, 3. 2. По дважды повторяющемуся в одночлене буквенному индексу проводится суммирование от 1 до 3. Теперь, пользуясь правилами Эйнштейна, приведем в сжатой форме обозначение вектора ( )ia a и правила действия над векто- рами, представленными своими компонентами: – сложение векторов: 1 1 2 2 3 3( , , ) ( )i ia b a b a b a b a b        ; – умножение вектора на скаляр: 1 2 3( , , ) ( )ia a a a a       ; 14 – скалярное произведение векторов: 1 1 2 2 3 3 i ia b a b a b a b a b      ; – векторное произведение векторов: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 e e e a b a a a b b b       . 2.4. Преобразования координат Рассмотрим некоторый базис, образованный тройкой взаимно ортогональных векторов – ортов ie . Повернем базис в простран- стве, оставим начало координат (точку О) неподвижным (рис. 2.1). Обозначим символом 'ie орты, занявшие новое положение. Рис. 2.1. Поворот базиса в пространстве В результате мы получим две системы координат – «старую» (без штрихов) с ортами ie и «новую» (со штрихами) с ортами ie , причем 15 1, если , 0, если ;i k ik i k e e i k         (2.1) 1, если , ' ' 0, если .i k ik i k e e i k         (2.2) Введем таблицу косинусов девяти углов, составленных новыми осями координат со старыми, назовем ее таблицей направляющих косинусов: 1e  2e 3e 1e 11 12 13 2e 21 22 23 3e 31 32 33 Из элементов таблицы косинусов составим матрицу, которую будем называть матрицей Якоби: 11 12 13 21 22 23 31 32 33               Здесь ik – косинус угла между i-м ортом «штрихованным» и k-м «нештрихованным»: cos( , )ik i k i ke e e e        . В связи с этим разложение нового орта ie по старым ортам ke имеет следующий вид: cos( , )i i k k ik ke e e e e        . (2.3) 16 Отсюда, с учетом равенства (2.2), вытекают следующие свой- ства матрицы Якоби: 1. Сумма квадратов элементов любой строки равна единице. 2. Сумма попарных произведений соответствующих элементов, находящихся в различных двух строках, равна нулю. Разложение «нештрихованного» орта ke по «штрихованным» ie имеет вид cos( , )k k i i ik ie e e e e         . (2.4) Отсюда, с учетом равенства (2.1), вытекают следующие свойства матрицы Якоби: 1. Сумма квадратов элементов любого столбца равна единице. 2. Сумма попарных произведений соответствующих элементов, находящихся в различных двух столбцах, равна нулю. Пятое свойство матрицы Якоби следует из несжимаемости трех- мерного пространства. 5. Определитель матрицы Якоби равен единице. 2.5. Определение тензора Допустим, что нам задан некоторый вектор a и, следовательно, известны его компоненты ka в старом базисе ke . Рассмотрим, ка- ким образом изменяются компоненты вектора a с переходом к но- вому базису. Имеем с учетом равенства (2.4) ( ) ( )k k k ik i ik k ia a e a e a e         . В этом преобразовании мы сначала выразили старые орты ke че- рез новые ie , а затем произвели перегруппировку сомножителей. В результате, вспоминая, что в новой системе координат i ia a e   , получаем выражение для новых «штрихованных» компонентов век- тора a : i ik ka a   . Это позволяет дать новое определение вектора: 17 если для каждой декартовой системы координат нам дана сово- купность трех величин ka , преобразующихся при повороте базиса по закону i ik ka a   , то нам задан одновалентный тензор, или тензор I ранга, или вектор. Обобщив это понятие, получим следующее определение: если для каждой декартовой системы координат нам задана сово- купность 32 = 9 чисел pqa , преобразующихся при повороте базиса по закону ik ip kq pqa a    , то нам задан двухвалентный тензор, или тензор II ранга, или тензор. Числа pqa будем называть компонентами тензора, а тензор обо- значать следующим образом: [ ], [ ]A pq B ikT a T b  и т. д. Тензор первой валентности будем в дальнейшем называть векто- ром, а тензор второй валентности – просто тензором. Очевидно, скаляр является тензором нулевой валентности. Каждому тензору в принятой системе координат соответствует матрица, образованная компонентами тензора. Так, тензору [ ]A pqT a соответствует матрица ( )pqA a . Следует помнить, что если матрица – таблица чисел, несвязанная с системой координат, то компоненты тензора существенным образом зависят от выбора базиса, поэтому одному и тому же тензору в различных системах координат будут соответствовать различные матрицы. 2.6. Некоторые действия над тензорами Действия над тензорами сводятся к соответствующим действиям над матрицами, составленными из компонент тензоров. Полученная в результате матрица есть матрица нового тензора. К ним относятся: 18 – сложение тензоров: c A BT T T  , где матрица C A B  ; – умножение тензора на скаляр: B AT T   , где матрица B A   ; – умножение тензора на тензор (скалярное): c A BT T T  , где матрица C A B  . Пусть А – матрица направляющих косинусов при повороте бази- са вокруг начала координат (матрица Якоби), тогда компоненты тензора в новой системе координат ' ( )TT T     . (2.5) 2.7. Главные направления и главные компоненты тензора Результатом умножения тензора T на вектор y является вектор. Если в результате умножения направление вектора не меняется, а изменяется лишь его длина, т. е. T y y      , то этот вектор y называется главным направлением тензора T , а  – его главной компонентой. Проблема поиска главных направлений и главных компонентов тензора T , сводится к решению характеристического уравнения его матрицы: 19 11 12 12 21 22 23 31 32 33 0ik ik                      . Найдя три корня характеристического уравнения, мы узнаем три главные компоненты этого тензора. Для каждого симметричного тензора имеются три взаимно орто- гональные главные направления, соответствующие им главные компоненты – действительные числа. Тензор в пространстве главных направлений представлен диаго- нальной матрицей, ненулевыми элементами которой являются главные компоненты тензора: 1 2 3 0 0 0 0 0 0       . 2.8. Инварианты тензора Очевидно, что главные компоненты тензора, как и его главные направления, не должны зависеть от выбора системы координат. Поэтому коэффициенты характеристического уравнения 3 I 2 II IIIσ σ σ 0       , (2.6) также не зависят от этого выбора и называются инвариантами тензора: – линейный (первый) инвариант равен сумме диагональных элементов матрицы, представляющей тензор в текущей системе ко- ординат, или сумме его главных компонентов I 11 22 33 1 2 3             ; – квадратичный (второй) инвариант равен сумме определите- лей главных миноров матрицы, представляющей тензор в текущей системе координат, или сумме попарных произведений главных компонентов тензора 20 22 23 11 1311 12II 1 2 2 3 1 3 32 33 31 3321 22                      ; – кубический (третий) инвариант равен определителю матри- цы, представляющей тензор в текущей системе координат, или про- изведению главных компонентов тензора 11 12 13 III 21 22 23 1 2 3 31 32 33                . Примеры решения задач Задача № 2.1. Тензор T в декартовой системе координат с бази- сом ie имеет компоненты 1 2 0 2 2 0 0 0 1 T        . Найти компоненты тензора 'T  в новой системе координат с бази- сом ie , полученной поворотом базиса ie на угол 3  вокруг орта 1e . Решение. Для нахождения компонентов тензора в новой системе координат воспользуемся (2.5). Чтобы записать матрицу Якоби, необходимо составить таблицу косинусов, для заполнения которой воспользуемся иллюстрацией (рис. 2.2). 21 Рис. 2.2. Поворот базиса на угол 3  вокруг орта 1e Таблица косинусов для данного случая будет иметь вид 1e  2e 3e 1e 1 0 0 2e 0 12 3 2 3e 0 3 2  1 2 Умножим тензор на транспонированную матрицу Якоби: 1 0 0 1 1 31 2 0 1 32 2 0 0 2 1 3 2 2 0 0 1 3 13 1 00 2 22 2 TT                                        . Затем матрицу Якоби умножим на полученный результат и по- лучим 22   1 0 0 1 1 31 1 3 1 3 5 3' 0 2 1 3 1 2 2 4 4 3 13 1 3 700 32 22 2 4 4 TT T                                                  Ответ: 1 1 3 5 3' 1 4 4 3 73 4 4 T              . Проверка. 1. Симметричность тензора – это свойство физического объекта, поэтому в любой системе координат его должна представлять сим- метричная матрица. 2. Вычислим линейный инвариант I 5 71 2 1 1 4 4 4         . 3. Вычислим квадратичный инвариант II 1 2 2 0 1 0 2 4 2 1 1 2 2 0 1 0 1          ; II 5 31 1 1 3 5 35 3 74 4 1 3 15 7 4 16 16 41 33 74 4 4 4               . 23 4. Вычислим кубический инвариант III 1 2 0 1 2 2 2 0 1 1 (2 4) 2 2 2 0 0 1            ; III 1 1 3 5 3 315 3 4 4 41 1 ( 1) 4 4 73 7 3 3 7 44 43 4 4 51 35 3 7 3 3 5 343 1 1 3 2 . 16 16 4 4 4 433 4                                               Задача № 2.2. Записать тензор σT в пространстве главных направлений, если известно, что одна из его главных компонент 3i  3 1 0 1 5 0 0 0 3 T        . Решение. Для нахождения компонентов тензора в пространстве главных направлений необходимо решить его характеристическое уравнение (2.6). Для того, чтобы записать конкретный вид характе- ристического уравнения, вычислим инварианты тензора I 3 5 3 11     ; 24 II 3 1 5 0 3 0 15 1 15 9 38 1 5 0 3 0 3          ; III 3 1 0 3 1 1 5 0 3 3 (15 1) 42 1 5 0 0 3           . Характеристическое уравнение для исследуемого тензора имеет вид 3 211 38 42 0       . Поскольку известен один из корней, это кубическое уравнений можно разложить:    3 2 211 38 42 3 8 14 0               . Два других корня найдем, решив квадратное уравнение: 2 8 14 0 :     1,2 8 64 4 14 8 2 2 4 2 2 2         . Зная три корня характеристического уравнения тензора, можем записать его в пространстве главных направлений (в механике сплошной среды принято, что 1 2 3     ). Ответ: 4 2 0 0 0 3 0 0 0 4 2 T         . 25 Проверка. 1. Симметричность тензора – это свойство физического объекта, поэтому в любой системе координат его должна представлять сим- метричная матрица. 2. Вычислим линейный инвариант: I 4 2 3 4 2 11       . 3. Вычислим квадратичный инвариант:      II 4 2 3 3 4 2 4 2           4 2 12 3 2 12 3 2 16 2 38         . 4. Вычислим кубический инвариант:      III 4 2 3 4 2 3 16 2 42          . Контрольные задачи Задача № 2.1.1. Тензор T в декартовой системе координат с ба- зисом ie имеет компоненты 3 2 0 2 4 0 0 0 1 T        . Найти компоненты тензора T в новой системе координат с бази- сом ie , полученной поворотом базиса ie на угол 6  вокруг орта 3e . Задача №2.1.2. Тензор T в декартовой системе координат с ба- зисом ie имеет компоненты 26 3 2 0 2 2 0 0 0 1 T        . Найти компоненты тензора T в новой системе координат с бази- сом ie , полученной поворотом базиса ie на угол 6  вокруг орта 1e . Задача № 2.1.3. Тензор T в декартовой системе координат с ба- зисом ie имеет компоненты 3 1 0 1 2 0 0 0 1 T        . Найти компоненты тензора T в новой системе координат с бази- сом ie , полученной поворотом базиса ie на угол 6  вокруг орта 2e . Задача № 2.1.4. Тензор T в декартовой системе координат с ба- зисом ie имеет компоненты 1 1 0 1 5 0 0 0 3 T        . Найти компоненты тензора T в новой системе координат с бази- сом ie , полученной поворотом базиса ie на угол 4  вокруг орта 3e . Задача № 2.1.5. Тензор T в декартовой системе координат с ба- зисом ie имеет компоненты 27 1 2 0 2 2 0 0 0 3 T        . Найти компоненты тензора T в новой системе координат с бази- сом ie , полученной поворотом базиса ie на угол 4  вокруг орта 1e . Задача № 2.1.6. Тензор T в декартовой системе координат с ба- зисом ie имеет компоненты 3 2 0 2 2 0 0 0 1 T        . Найти компоненты тензора T в новой системе координат с бази- сом ie , полученной поворотом базиса ie на угол 4  вокруг орта 2e . Задача № 2.1.7. Тензор T в декартовой системе координат с ба- зисом ie имеет компоненты 1 2 0 2 2 0 0 0 3 T        . Найти компоненты тензора T в новой системе координат с бази- сом ie , полученной поворотом базиса ie на угол 3  вокруг орта 3e . Задача № 2.1.8. Тензор T в декартовой системе координат с ба- зисом ie имеет компоненты 28 3 3 0 3 2 0 0 0 1 T        . Найти компоненты тензора T в новой системе координат с бази- сом ie , полученной поворотом базиса ie на угол 3  вокруг орта 1e . Задача № 2.1.9. Тензор T в декартовой системе координат с ба- зисом ie имеет компоненты 1 2 0 2 2 0 0 0 1 T        . Найти компоненты тензора T в новой системе координат с бази- сом ie , полученной поворотом базиса ie на угол 3  вокруг орта 2e . Задача № 2.1.10. Тензор T в декартовой системе координат с базисом ie имеет компоненты 1 2 0 2 1 0 0 0 1 T        . Найти компоненты тензора T в новой системе координат с бази- сом ie , полученной поворотом базиса ie на угол 4  вокруг орта 2e . Задача № 2.2.1. Записать тензор T в пространстве главных направлений, если известно, что одна из его главных компонент 3i  : 29 1 1 0 1 5 0 0 0 3 T        . Задача № 2.2.2. Записать тензор T в пространстве главных направлений, если известно, что одна из его главных компонент 4i  : 5 1 0 1 1 0 0 0 4 T        . Задача № 2.2.3. Записать тензор T в пространстве главных направлений, если известно, что одна из его главных компонент 4i  : 5 1 0 1 2 0 0 0 4 T        . Задача № 2.2.4. Записать тензор T в пространстве главных направлений, если известно, что одна из его главных компонент 5i  : 1 1 0 1 3 0 0 0 5 T        . Задача № 2.2.5. Записать тензор T в пространстве главных направлений, если известно, что одна из его главных компонент 3i  : 30 1 1 0 1 2 0 0 0 3 T        . Задача № 2.2.6. Записать тензор T в пространстве главных направлений, если известно, что одна из его главных компонент 3i  : 5 1 0 1 1 0 0 0 3 T        . Задача № 2.2.7. Записать тензор T в пространстве главных направлений, если известно, что одна из его главных компонент 1i  : 3 2 0 2 2 0 0 0 1 T        . Задача № 2.2.8. Записать тензор T в пространстве главных направлений, если известно, что одна из его главных компонент 1i  : 3 1 0 1 2 0 0 0 1 T        . Задача № 2.2.9. Записать тензор T в пространстве главных направлений, если известно, что одна из его главных компонент 2i  : 31 5 1 0 1 1 0 0 0 2 T        . Задача № 2.2.10. Записать тензор T в пространстве главных направлений, если известно, что одна из его главных компонент 2i  : 5 1 0 1 3 0 0 0 2 T        . 32 3. АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 3.1. Определения Одной из первейших задач математического моделирования яв- ляется построение аналитических функций, адекватно описываю- щих поведение модели. В то же время на практике мы можем полу- чить только таблицу экспериментальных значений, отображающих поведение натуры (т. е. табличную функцию). С другой стороны, в процессе анализа математических моделей иногда получаются функции, которые неудобны для проведения дальнейших математических исследований (недифференцируемые, неинтегрируемые или трудно дифференцируемые, трудно интегри- руемые). Поэтому возникает проблема замены одной функции ( )f x (дискретной или сложной) другой функцией ( )x (непрерывной, более простой, легко дифференцируемой и легко интегрируемой). Приближение функции ( )f x более простой функцией ( )x называется аппроксимацией [4]. Близости этих функций добива- ются путем введения в аппроксимирующую функцию ( )x свобод- ных параметров 0 1, , ... , nc c c . Пусть функция ( )f x задана таблицей значений, полученной из эксперимента или путем вычисления в последовательности значе- ний аргумента 0 1, , ... , nx x x (табл. 3.1). Выбранные значения аргу- мента x называются узлами таблицы. Считаем, что узлы в общем случае не являются равноотстоящими. Таблица 3.1 Таблица значений функции ( )f x x ( )f x 0x 0f 1x 1f … … nx nf 33 Введем аппроксимирующую функцию  0 1, , , ... , nx c c c так, чтобы она совпадала с табличными значениями заданной функции ( )f x во всех узлах ix :  0 1, , , ... , , 0i n ix c c c f i n    (3.1) Свободные параметры iс определяются из системы (3.1). Подобный способ введения аппроксимирующей функции назы- вается лагранжевой интерполяцией, а соотношения (3.1) – усло- виями Лагранжа. Задачей аппроксимации считают нахождений приближенных зна- чений табличной функции при аргументах х, не совпадающих с узло- выми. Если значение аргумента x расположено между узлами 0 nx x x  , то нахождение приближенного значения функции ( )f x называют интерполяцией; если аппроксимирующую функцию вычис- ляют вне интервала  0 , nx x , то процесс называют экстраполяцией. 3.2. Интерполяция каноническим полиномом Выберем в качестве аппроксимирующей функции полином ( )nP x степени n в каноническом виде: 2 0 1 2( ) ( ) ... . n n nx P x c c x c x c x       (3.2) Свободными параметрами интерполяции iс являются коэффи- циенты полинома (3.2). Интерполяция полиномами обладает такими преимуществами, как простота вычисления их значений, диффе- ренцирования и интегрирования. Коэффициенты iс определяются из условий Лагранжа: ( ) , 0n i iP x f i n   или 34 2 0 1 0 2 0 0 0 2 0 1 1 2 1 1 1 2 0 1 2 ... , ... , . . . ... . n n n n n n n n n n c c x c x c x f c c x c x c x f c c x c x c x f                 (3.3) Относительно неизвестных свободных параметров iс система (3.3) является системой линейных алгебраических уравнений. Рас- ширенная матрица системы называется расширенной матрицей Вандермонда и имеет вид 2 0 0 0 0 2 1 1 1 1 2 1 ... 1 ... . . . 1 ... n n n n n n n x x x f x x x f x x x f         (3.4) Определитель матрицы Вандермонда отличен от нуля, если сре- ди узлов ix нет совпадающих, следовательно, система (3.3) в таком случае имеет единственное решение. Преимущества интерполяционного канонического полинома – удобен для проведения дальнейших математических исследований, легко дифференцируем, легко интегрируем. Недостаток – слиш- ком много промежуточных вычислений. 3.3. Интерполяция полиномом Лагранжа Пусть табл. 3.1 задает ( 1)n  значений функции ( )f x в узлах ix . Лагранж предложил следующую форму интерполяционного поли- нома 0 0, ( ) nn j n i i j i j j i x x P x f x x     35 или в развернутом виде: 1 2 0 0 1 0 2 0 0 0 2 1 1 0 1 2 1 1 0 1 11 0 1 1 1 0 0 ( ) ... ... ... ... ... ... ... ... k n n k n k n k n k k n k k k k k k k k n n n x x x xx x x xP x f x x x x x x x x x x x x x xx xf x x x x x x x x x x x x x x x xx xf x x x x x x x x x x x xf x x                                                    11 1 1 ... ... .k n n n k n n x x x xx x x x x x x x           (3.5) Старшая степень аргумента x в полиноме Лагранжа равна n, так как каждое произведение в формуле (3.5) содержит n сомножителей ( )jx x . В узлах kx x выполняются условия Лагранжа, потому что в сумме (3.5) остается по одному слагаемому, равному kf , остальные обращаются в нуль за счет нулевых сомножителей в произведениях. Недостатки интерполяционного полинома Лагранжа – неудобен для проведения дальнейших математических исследований, трудно дифференцируем, трудно интегрируем. Преимущество – нет про- межуточных вычислений. Практическое применение полинома Ла- гранжа оправдано в тех случаях, когда интерполяционная функция вычисляется в сравнительно небольшом количестве точек x . 3.4. Интерполяционный полиномом Ньютона В случаях возникновения погрешностей в табл. 3.1 на границах эксперимента имеет смысл использовать один из видов интерполя- ционного полинома Ньютона. Первый вариант имеет вид: 0 1 0 2 0 1( ) ( ) ( )( ) ...nP x A A x x A x x x x        (3.6) 0 1 1( )( )...( ).n nA x x x x x x     36 Равносильный вариант полинома можно записать при симметрич- ной перенумерации узлов и значений функции исходной таблицы: 1 2 1( ) ( ) ( )( ) ...n n n n n n nP x B B x x B x x x x          (3.7) 0 1 1( )( )...( ).n nB x x x x x x    Коэффициенты полиномов (3.6) и (3.7) определяются из условий Лагранжа ( ) , 0 .n i iP x f i n   (3.8) Рассмотрим вывод значений коэффициентов полинома (3.6). Для полинома (3.7) вывод значений коэффициентов происходит анало- гично. Полагаем 0x x , тогда в формуле (3.6) все слагаемые, кроме 0A , обращаются в 0, следовательно, 0 0.A f (3.9) Затем полагаем 1x x , тогда по условию (3.8) 1 0 1 1 0( )f f A x x   , откуда находим коэффициент 0 1 1 01 0 1 f fA f x x   , (3.10) который называется разделенной разностью первого порядка. Величина 01f близка к первой производной функции ( )f x при ма- лом расстоянии между узлами 0x и 1x . При 2x x полином (3.6) согласно условиям (3.8) принимает вид 2 0 01 2 0 2 2 0 2 1( ) ( )( )f f f x x A x x x x      , 37 откуда 2 0 01 2 2 0 2 1 2 1( )( ) f f fA x x x x x x     , обозначим 0 2 02 0 2 f ff x x   , тогда получим 01 02 2 012 1 2 f fA f x x   . Величина 012f называется разделенной разностью второго по- рядка, которая при близком расположении узлов 0x , 1x , 2x будет пропорциональна второй производной ( )f x . Аналогичным образом при 3x x находим коэффициент 012 013 3 0123 2 3 f fA f x x   , где 01 03013 1 3 f ff x x   ; 0 3 03 0 3 f ff x x   . Для коэффициента kA методом математической индукции за- пишем 38 01...( 1) 01...( 2) 1 k k k k k k f f A x x      . (3.11) Для 4n  заполним таблицу: х f(х) 1 2 3 4 х0 f0 – – – – х1 f1 0 101 0 1 f f f x x   – – – х2 f2 0 202 0 2 f f f x x   01 02 012 1 2 f f f x x   – – х3 f3 0 303 0 3 f f f x x   01 03 013 1 3 f f f x x   012 013 0123 2 3 f f f x x   – х4 f4 0 404 0 4 f f f x x   01 04 014 1 4 f f f x x   012 014 0124 2 4 f f f x x   0123 0124 01234 3 4 f f f x x   Для построения интерполяционного полинома Ньютона исполь- зуются только диагональные элементы вышеприведенной таблицы находящиеся в ячейках с жирными границами. Пример решения задачи Задача № 3.1. Дана таблица экспериментальных данных: хi fі 2 2 3 2,6 4 3,5 6 5 Построить интерполяционный полином Ньютона. Решение. Для нахождения коэффициентов полинома Ньютона для приведенной таблицы экспериментальных данных, необходимо найти разделенные разности до третьего порядка. Для этого запол- ним таблицу: 39 x f(х) 1 2 3 2 2 – – – 3 2,6 01 2 2,6 0,6 2 3 f   – – 4 3,5 02 2 3,5 0,75 2 4 f   012 0,6 0,75 0,15 3 4 f   – 6 5 03 2 5 0,75 2 6 f   013 0,6 0,75 0,05 3 6 f   0123 0,15 0,05 0,05 4 6 f    Ответ. Интерполяционный полином Ньютона для приведенной таблицы экспериментальных данных имеет вид: ( ) 2 0,6( 2) 0,15( 2) ( 3) 0,05( 2) ( 3) ( 4).nP x x x x x x x             Контрольные задачи Задача № 3.1.1. Дана таблица экспериментальных данных: хi fі 1 1,8 2 2,6 4 3,9 5 5 Построить интерполяционный полином Ньютона. Задача № 3.1.2. Дана таблица экспериментальных данных: хi fі 2 2,8 4 3,6 5 4,9 6 5,2 Построить интерполяционный полином Ньютона. 40 Задача № 3.1.3. Дана таблица экспериментальных данных: хi fі 1 1,8 3 2,6 5 3,8 7 4,2 Построить интерполяционный полином Ньютона. Задача № 3.1.4. Дана таблица экспериментальных данных: хi fі 1 1,8 3 2,6 4 3,6 6 4,1 Построить интерполяционный полином Ньютона. Задача № 3.1.5. Дана таблица экспериментальных данных: хi fі 1 1,8 3 2,6 4 3,6 5 3,8 Построить интерполяционный полином Ньютона. Задача № 3.1.6. Дана таблица экспериментальных данных: хi fі 1 1,8 2 2,6 4 3,9 6 4 Построить интерполяционный полином Ньютона. 41 Задача № 3.1.7. Дана таблица экспериментальных данных: хi fі 2 2,8 4 3,6 5 4,9 7 6,3 Построить интерполяционный полином Ньютона. Задача № 3.1.8. Дана таблица экспериментальных данных: хi fі 2 2,8 3 3,6 5 4,9 7 7,8 Построить интерполяционный полином Ньютона. Задача № 3.1.9. Дана таблица экспериментальных данных: хi fі 1 1,2 3 3,6 5 4,8 7 7,2 Построить интерполяционный полином Ньютона. Задача № 3.1.10. Дана таблица экспериментальных данных: хi fі 2 2,8 3 3,6 5 4,9 8 8,8 Построить интерполяционный полином Ньютона. 42 4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ 4.1. Определения Если набор экспериментальных данных (табл. 3.1) получен со значительной погрешностью, то не имеет смысла использовать ин- терполяцию Лагранжа полиномами и сплайнами для обработки ре- зультатов. В этом случае необходимо провести аппроксимирующую кривую φ(х), которая не проходит через экспериментальные точки, но в то же время отражает исследуемую зависимость, сглаживает возможные выбросы за счет погрешности эксперимента [4]. На рис. 4.1 изображен график аппроксимирующей функции φ(х) и интерполя- ционного полинома Рп(х), построенного по условиям Лагранжа (см. главу 3 настоящего издания). Рис. 4.1. График аппроксимирующей функции φ(х) и интерполяционного полинома Рп(х) Обозначим узлы исходной таблицы данных через ix , где 0 i n  – номер узла. Считаем известными значения эксперимен- 43 тальных данных в узловых точках ( )i if x f . Введем непрерывную функцию ( )x для аппроксимации дискретной зависимости ( )if x . В узлах функции ( )x и ( )f x будут отличаться на величину ( ) ( )i i ix f x    . Отклонения i могут принимать положительные и отрицательные значения. Чтобы не учитывать знаки, возведем каждое отклонение в квадрат и просуммируем квадраты отклонений по всем узлам:  22 0 0 ( ) ( ) n n i i i i i Q x f x         . (4.1) Метод построения аппроксимирующей функции ( )x из усло- вия минимума величины Q называется методом наименьших квадратов (МНК). 4.2. Общий алгоритм Наиболее распространен способ выбора функции ( )x в виде линейной комбинации: 0 0 1 1( ) ( ) ( ) ... ( )m mx c x c x c x        , (4.2) где 0 1( ), ( ), ..., ( )mx x x   – базисные функции; m n ; 0 1, , ... , mc c c – коэффициенты, определяемые при минимизации величины Q. Математические условия минимума суммы квадратов отклоне- ний Q запишем, приравнивая нулю частные производные от Q по коэффициентам , 0kc k m  : 44       0 0 1 1 0 00 0 0 1 1 1 01 0 0 1 1 0 2 ( ) ( ) ... ( ) ( ) 0, 2 ( ) ( ) ... ( ) ( ) 0, . . . 2 ( ) ( ) ... ( ) ( ) 0. n i i m m i i i i n i i m m i i i i n i i m m i i m i im Q c x c x c x f x c Q c x c x c x f x c Q c x c x c x f x c                                        (4.3) Из системы линейных алгебраических уравнений (4.3) определяют- ся все коэффициенты kc . Система (4.3) называется системой нормаль- ных уравнений. Матрица этой системы имеет следующий вид: 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 ( , ) ( , ) ... ( , ) ( , ) ( , ) ... ( , ) . . . . ( , ) ( , ) ... ( , ) m m m m m m                       (4.4) и называется матрицей Грама. Элементы матрицы Грама являются скалярными произведениями базисных функций 0 ( , ) ( ) ( ) n j k j i k i i x x       . (4.5) Расширенная матрица системы уравнений (4.3) получится добав- лением справа к матрице Грама столбца свободных членов 0 1 ( , ) ( , ) . . . ( , )m f f f         , (4.6) где скалярные произведения, являющиеся элементами столбца, определяются аналогично (4.5) 45 0 ( , ) ( ) n j j i i i f x f      . (4.7) Отметим основные свойства матрицы Грама, полезные при про- граммной реализации алгоритмов МНК: 1) матрица симметрична, т. е. ij jia a , что позволяет сократить объем вычислений при заполнении матрицы; 2) матрица является положительно определенной, следовательно, при решении системы нормальных уравнений методом исключения Гаусса можно отказаться от процедуры выбора главного элемента; 3) определитель матрицы будет отличен от нуля, если в качестве базиса выбраны линейно независимые функции ( )k x , при этом система (4.3) имеет единственное решение. 4.3. МНК со степенным базисом Выберем базисные функции ( )k x в виде последовательности степеней аргумента x, которые линейно независимы: 0 1 2 0 1 2( ) 1, ( ) , ( ) , ..., ( ) m mx x x x x x x x x          . (4.8) В этом случае, так же как и при интерполяции, мы будем ап- проксимировать экспериментальную зависимость полиномом. Од- нако степень полинома m выбираем обычно m n (при лагранже- вой интерполяции m n ). Аппроксимирующая кривая в МНК не проходит (см. рис. 4.1) через значения исходной функции в узлах, но проведена из условия наименьшего суммарного квадратичного отклонения. Экспериментальные данные «сглаживаются» с помо- щью функции ( ).x Если же выбрать m n , то на основании тео- ремы об единственности интерполяционного полинома получим функцию ( ),x совпадающую с каноническим интерполяционным полиномом степени n, аппроксимирующая кривая пройдет через все экспериментальные точки и величина Q будет равна нулю. Послед- нее обстоятельство используется для отладки и тестирования про- грамм, реализующих алгоритмы МНК. 46 Запишем расширенную матрицу Грама для степенного базиса (4.8): 2 0 0 0 0 2 3 1 0 0 0 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 1 ... ... . . . . . . ... n n n nm i i i i i i i i n n n n nm i i i i i i i i i i i n n n n nm mm m m i i i i i i i i i i i n x x x f x x x x x f x x x x x f                                            . (4.9) Нетрудно видеть, что для формирования расширенной матрицы (4.9) достаточно вычислить только элементы нулевой строки и двух последних столбцов (m-го и m + 1-го), остальные элементы не яв- ляются «оригинальными» и заполняются с помощью циклического присвоения по формуле , 1, 1:i j i ja a   . 4.4. Линейный вариант МНК На практике довольно часто оказывается возможным при обра- ботке экспериментальных данных ограничиться построением ли- нейной аппроксимирующей функции: ( )x a bx   . (4.10) Зная качественное поведение аппроксимируемой зависимости, иногда удается перейти и от нелинейной функции к линейной мето- дом «выравнивания». Так, например, если исходная зависимость близка к экспоненциальной, то достаточно прологарифмировать значения заданной функции в узлах таблицы экспериментов, чтобы перейти к линейной зависимости. И наоборот, если исходная зави- симость близка к логарифмической, то достаточно взять экспоненту от значений заданной функции в узлах таблицы экспериментов, чтобы перейти к линейной зависимости. Выравнивание данных сле- дует осуществлять на этапе подготовки исходной таблицы. 47 Выведем выражения для определения коэффициентов a и b . Пусть у нас есть таблица измерений экспериментальных данных (не нарушая общности, нумерацию экспериментов можем начать с 1). ix if 1x 1f 2x 2f 3x 3f … … nx nf Из общего алгоритма МНК по формуле (4.1) имеем: 2 1 ( ) n i i i Q a bx f     . Запишем условия минимума функционала Q : 1 1 2 ( ) 0, 2 ( ) 0. n i i i n i i i i Q a bx f a Q a bx f x b                 Получаем систему уравнений 1 1 1 1 1 2 1 1 1 , или .n n n n ni i i i i i i i i n n n i i i i i i i a b x f an b x f a x b x f x                        48 Обозначив 1 1, n n i i i i x f x f n n      , из первого уравнения имеем a bx f  , или a f bx  . Подставим полученное выражение во второе уравнение системы: 2 1 1 1 ( ) n n n i i i i i i i f bx x b x x f         или 2 1 1 ( ) ( ) n n i i i i i i b x x x x f f       . В левую часть полученного выражения добавим 2 2 1 ( ) ( ) 0 n i i b x x x b xnx x n        , тогда левая часть равна 2 1 ( ) , n i i b x x   а в правую часть добавим 1 [ ( )] 0 n i i x f f x f n x f n        , тогда правая часть равна 1 ( )( ) n i i i x x f f    . Тогда имеем коэффициенты для линейного варианта МНК: 1 2 1 ( )( ) ; ( ) n i i i n i i x x f f b a f bx x x           . (4.11) 49 Примеры решения задач Задача № 4.1. Дана таблица экспериментальных данных: ix if 2,0 2,0 2,8 2,4 3,2 2,6 6,0 4,0 Найти аппроксимирующую функцию, используя линейный вари- ант МНК (исходная зависимость близка к линейной). Решение. Будем искать аппроксимирующую функцию в виде ( )f x a bx  . Для нахождения коэффициентов a и b воспользуем- ся формулами (4.11), для реализации которой заполним таблицу: хі fi ix x if f  2ix x    i ix x f f   2 2 –1,5 –0,75 2,25 1,125 2,8 2,4 –0,7 –0,35 0,49 0,245 3,2 2,6 –0,3 –0,15 0,09 0,045 6 4 2,5 1,25 6,25 3,125 14, 3,5x   11, 2,75f   9,08  4,54  Тогда согласно формулам (4.11) 4,54 0,5 ; 2,75 0,5 3,5 1. 9,08 b a      Ответ: аппроксимирующая функция для приведенной таблицы экспериментальных данных имеет вид ( ) 1 0,5f x x  . 50 Задача № 4.2. Дана таблица экспериментальных данных: ix iy 2 0,693147 2,4 0,788457 2,6 0,832909 3,6 1,02962 Найти аппроксимирующую функцию, используя линейный вари- ант МНК (исходная зависимость близка к логарифмической). Решение. Если исходная зависимость близка к логарифмической, то для «выравнивания» данных нужно взять экспоненту от значений заданной функции в узлах таблицы экспериментов, чтобы перейти к линейной зависимости. Выравнивание данных будем осуществлять на этапе подготовки исходной таблицы. Затем найдем вспомога- тельную аппроксимирующую функцию в виде ( )f x a bx  , после этого перейдем к искомой аппроксимирующей функции, пролога- рифмировав найденную ( ) ln( ).y x a bx  Для реализации описан- ного алгоритма заполним таблицу: ix iy iyif e ix x if f  2ix x    i ix x f f   2 0,693147 2 –0,65 –0,325 0,4225 0,21125 2,4 0,788457 2,2 –0,25 –0,125 0,0625 0,03125 2,6 0,832909 2,3 –0,05 –0,025 0,0025 0,00125 3,6 1,029620 2,8 0,95 0,475 0,9025 0,45125 10,6; 2,65x    9,3; 2,325f    1,39  0,695  Тогда согласно формулам (4.11) 0,695 0,5 ; 2,325 0,5 2,65 1 1,39 b a      и ( ) 1 0,5f x x  . 51 Применив логарифмирование, получим искомую функцию. Ответ: аппроксимирующая функция для приведенной таблицы экспериментальных данных имеет вид ( ) ln(1 0,5 )y x x  . Задача № 4.3. Дана таблица экспериментальных данных: ix iy 1 7,3891 1,4 16,4446 1,6 24,5325 2 54,5981 Найти аппроксимирующую функцию, используя линейный вари- ант МНК (исходная зависимость близка к экспоненциальной). Решение. Если исходная зависимость близка к экспоненциаль- ной, то для «выравнивания» данных нужно взять логарифм от зна- чений заданной функции в узлах таблицы экспериментов, чтобы перейти к линейной зависимости. Выравнивание данных будем осуществлять на этапе подготовки исходной таблицы. Затем найдем вспомогательную аппроксимирующую функцию в виде ( )f x a bx  , после этого перейдем к искомой аппроксимирующей функции, взяв экспоненту от найденной ( ) a bxy x e  . Для реализа- ции описанного алгоритма заполним таблицу: ix iy ln( )i if y ix x if f  2ix x    i ix x f f   1,0 7,3891 2,0 –0,5 –1 0,25 0,5 1,4 16,4446 2,8 –0,1 –0,2 0,01 0,02 1,6 24,5325 3,2 0,1 0,2 0,01 0,02 2,0 54,5981 4,0 0,5 1,0 0,25 0,5 6; 1,5x    12; 3f    0,52  1,04  52 Тогда согласно формулам (4.11) 1,04 2 ; 3 2 1,5 0 0,52 b a      и ( ) 2f x x . Применив потенцирование, получим искомую функцию. Ответ: аппроксимирующая функция для приведенной таблицы экспериментальных данных имеет вид 2( ) xy x e . Контрольные задачи Задача № 4.1.1. Дана таблица экспериментальных данных: ix if 0,8 –0,2 1,4 0,4 1,9 0,9 2,8 1,8 Найти аппроксимирующую функцию, используя линейный вари- ант МНК (исходная зависимость близка к линейной). Задача № 4.1.2. Дана таблица экспериментальных данных: ix if 0,9 0,896088 1,5 1,011601 1,8 1,064711 2,2 1,131402 Найти аппроксимирующую функцию, используя линейный вари- ант МНК (исходная зависимость близка к логарифмической). 53 Задача № 4.1.3. Дана таблица экспериментальных данных: ix if 1,2 2,6 1,4 2,2 1,8 1,4 2,2 0,6 Найти аппроксимирующую функцию, используя линейный вари- ант МНК (исходная зависимость близка к линейной). Задача № 4.1.4. Дана таблица экспериментальных данных: ix if 0,5 5,754603 0,7 7,767901 0,9 10,485570 1,1 14,154039 Найти аппроксимирующую функцию, используя линейный вари- ант МНК (исходная зависимость близка к экспоненциальной). Задача № 4.1.5. Дана таблица экспериментальных данных: ix if 1,2 0,955511 1,4 0,788457 1,8 0,336472 2,2 –0,510826 Найти аппроксимирующую функцию, используя линейный вари- ант МНК (исходная зависимость близка к логарифмической). 54 Задача № 4.1.6. Дана таблица экспериментальных данных: ix if 0,5 2,718282 0,9 6,049647 1,0 7,389056 1,2 11,023176 Найти аппроксимирующую функцию, используя линейный вари- ант МНК (исходная зависимость близка к экспоненциальной). Задача № 4.1.7. Дана таблица экспериментальных данных: ix if 1 2,25 2 2,5 4 3 6 3,5 Найти аппроксимирующую функцию, используя линейный вари- ант МНК (исходная зависимость близка к линейной). Задача № 4.1.8. Дана таблица экспериментальных данных: ix if 2,2 1,8 3,2 0,8 3,6 0,4 3,8 0,2 Найти аппроксимирующую функцию, используя линейный вари- ант МНК (исходная зависимость близка к линейной). 55 Задача № 4.1.9. Дана таблица экспериментальных данных: ix if 0,2 0,336472 0,4 0,587787 0,6 0,788457 1 1,098612 Найти аппроксимирующую функцию, используя линейный вари- ант МНК (исходная зависимость близка к логарифмической). Задача № 4.1.10. Дана таблица экспериментальных данных: xi yi 1,2 1,822119 1,8 2,459603 2,2 3,004166 2,4 3,320117 Найти аппроксимирующую функцию, используя линейный вари- ант МНК (исходная зависимость близка к экспоненциальной). 56 5. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ 5.1. Два подхода к описанию движения сплошной среды 1. Подход Лагранжа. Объектом изучения являются материаль- ные частицы. При этом рассматривается изменение во времени не- которых скалярных или векторных величин, таких как температура, плотность, скорость фиксированной материальной частицы, а также изменение этих величин при переходе от одной частицы к другой. Иначе говоря, эти величины рассматриваются как функции от времени и тех переменных, которые характеризуют индивидуаль- ность взятой частицы [2]. В качестве таких переменных можно взять, например, iX – де- картовы координаты произвольной материальной частицы в начальный момент времени 0t  , тогда ее текущие координаты в том же базисе неподвижного наблюдателя будут выражаться 1 1 1 2 3 2 2 1 2 3 3 3 1 2 3 ( , , , ) ( , , , ) или сокращенно ( , ) ( , , , ) i i k x t X X X x t X X X x t X x t X X X         (5.1) запись закона движения одной фиксированной частицы с началь- ными координатами kX . Если считать kX переменными, то мы получаем запись закона движения сплошной среды. Переменные 1 2 3, , ,X X X t – называются переменными Лагран- жа. Проекции скорости и ускорения материальной частицы опре- деляются следующими формулами 2 2 2 2 ( , ) ; ( , ) . i i k i i i k i x t Xv t t x t Xw t t          57 2. Подход Эйлера. Здесь в качестве объекта изучения принима- ется неподвижное пространство наблюдателя или его фиксирован- ная часть, заполненная движущейся средой. Различные величины, характеризующие движение, считаются функциями точки и време- ни, т. е. функциями трех аргументов ix и времени t , называемых переменными Эйлера. Например, выражение скорости в данной точке пространства с радиус-вектором x имеет вид ( , ) ( , )iv v x t v x t     . Таким образом, с точки зрения Эйлера, объектом изучения являются различные поля (скалярные, векторные, тензорные), характеризующие движение сплошной среды. ПЕРЕХОД от переменных Эйлера к переменным Лагранжа вы- текает из формул (4.1): 1 2 2( , , , )i iX X x x x t . 5.2. Тензоры конечных деформаций Пусть материальная частица M в начальный момент времени 0t  находится в точке пространства с начальными координатами 1 2 3( , , )X X X X  , а в текущий момент времени t – в точке с теку- щими координатами 1 2 3( , , )x x x x  . Причем можно записать x X u   , (5.2) где u – вектор перемещения. Лагранжев способ описания движения дает зависимость ( , ),x x X t   (5.3) Эйлеров – ( , )X X x t   . (5.4) Предполагается, что эти функции необходимое количество раз дифференцируемы. Очевидно, что формулы (5.3) и (5.4) представ- лены единственной парой взаимообратных функций, причем функ- циональный определитель (якобиан) 58 0i k x X    в каждой точке области, заполненной сплошной средой, отличен от нуля. Для элементов объема начального dW и текущего dw имеет ме- сто соотношение d d .w W  а условие несжимаемости (неизменности объема) можно записать следующим образом 1, т. е. d d ,w W   С целью описания деформации сплошной среды рассмотрим пе- ремещение двух близких материальных частиц 0 0 текущий момент времени0 ; tt M M N N  . Квадрат бесконечно малого расстояния между точками M и N 2(d ) d d ,p px x x беря за основу Лагранжево описание движения, можно записать d d .pp i i x x X X   В результате квадрат элемента длины 2(d ) d d .p p k i i k x x x X X X X     59 В начальный момент времени квадрат расстояния между этими точками был 2(d ) d d d d .ik i k p pX X X X X   Изменение квадрата длины 2 2(d ) (d ) d d 2 d d .p p ik i k ik i k i k x x x X X X L X X X X           Если всюду в теле 2 2(d ) (d ) 0x X  , то движение тела называет- ся абсолютно жестким движением. Если в точке М 2 2(d ) (d ) 0x X  , то говорят, что в этой точке тело находится в де- формированном состоянии. Отсюда выражение тензора Лагранжа конечной деформации (тензор Грина): 1 . 2 p p ik ik i k x x L X X         Получим выражение тензора Лагранжа через перемещения. Из выражения (5.2) p p px u X  , тогда ,p p p p pi i i i i x u X u X X X X            p p p p pk k k k k x u X u X X X X            , 60 p p p p pi pk i k i k x x u u X X X X                    p p p p pk pi pi pk i k i k u u u u X X X X                 .p p k i ik i k i k u u u u X X X X             Окончательно получим 1 2 p pi k ik k i i k u uu uL X X X X            . Если взять за основу Эйлерово описание движения, то аналогич- ным образом можно получить тензор Эйлера конечной деформации (тензор Альманси): 1 2 p p ik ik i k X X E x x         или 1 2 p pi k ik k i i k u uu uE x x x x            . 5.3. Тензор малой деформации Будем считать, что компоненты перемещения и их градиенты малы, в частности 1i k u x   . Отбрасывая произведение малых вели- чин, получаем 61 Лагранжев тензор малой деформации 1 2 i k ik k i u ul X X        . Эйлеров тензор малой деформации 1 2 i k ik k i u u x x         . Предположение о малости перемещений позволяет заключить, что разница между лагранжевыми и эйлеровыми переменными не- существенна, а соответствующие тензоры совпадают: ik ikl  . В дальнейшем в теории малых деформаций будем использовать только эйлеровы переменные, а тензор [ ]ikT   называть тензором малой деформации. Рассмотрим физический смысл компонентов тензора малой де- формации. 11 22 33, ,   называют линейными деформациями. Они показывают относительное удлинение материального отрезка, первоначально па- раллельного оси 1 2 3, илиx x x соответственно. Если соответствую- щий отрезок удлиняется, то 0  , если же укорачивается, то 0  . Боковые компоненты тензора деформации называют сдвиговыми деформациями, и они характеризуют искажение угла между отрез- ками, первоначально параллельными соответствующим осям коор- динат (рис. 5.1). Если угол уменьшается, то соответствующая сдви- говая деформация положительна, если же угол увеличивается, то – отрицательна. Рис. 5.1. Интерпретация сдвиговой деформации ε12 62 6. ДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД 6.1. Внешние силы в механике сплошных сред Изучив кинематику, перейдем к анализу причин, вызывающих механическое движение. К ним относятся силы – величины, явля- ющиеся мерой механического воздействия на данное тело других тел как при непосредственном контакте (трение, давление прижа- тых друг к другу тел), так и через посредство создаваемых телами полей (гравитационное поле, электромагнитное поле и т. д.). Обыч- но в механике сплошных сред силы имеют распределенный харак- тер – они непрерывно распределяются по некоторым поверхностям или объемам [1]. Поэтому более удобно предельным переходом пе- рейти к понятию напряжения – силе, приходящейся на единицу площади поверхности. Рис. 6.1. Поверхностные и массовые внешние силы Внешние силы. Дано некоторое тело D, ограниченное поверхно- стью S. Со стороны окружающей среды на рассматриваемое тело действуют силы. Будем называть их внешними силами и делить на объемные (массовые), приложенные к элементам объема (массы), и поверхностные, приложенные к поверхности тела (рис. 6.1). 63 Плотность. Возьмем внутри рассматриваемого тела произволь- ную точку М и выделим в окрестности этой точки элементарный объем W с массой m . Величина 0 ( ) lim W mM W     называется плотностью среды в точке М. Массовые внешние силы. Пусть главный вектор внешних сил, действующих на выделенный элемент, равен  . Составим отно- шение m    и вычислим предел: 0 0 1lim lim m W F m W            . Полученная в результате предельного перехода векторная вели- чина F называется внешней массовой силой. Поверхностные внешние силы. Выделим элемент поверхности S с внешней нормалью n . На этот элемент действуют силы, P  – их вектор. Устремим размеры элемента к нулю. Согласно принципу напря- жения Коши, отношение P S    стремится к определенному пределу ,n когда элемент поверхности стягивается в точку М: 0 limn S P S      , в то время как главный момент стремится к нулю. Результирующий вектор n (сила, отнесенная к единице площа- ди) называется вектором поверхностных напряжений, действу- ющих в точке М на площадке с нормалью n . 6.2. Внутренние напряжения Вернемся к рассматриваемому телу D (рис. 6.2) и мысленно рассе- чем его поверхностью  на две части 1D и 2D . Также мысленно от- бросим часть 2D . Для того чтобы оставшаяся часть оставалась в рав- новесии, необходимо, чтобы на поверхности  действовала некоторая система сил (рис. 6.3). Назовем их внутренними силами. 64 Рис. 6.2. Сечение тела D Возьмем на поверхности  точку М и выделим в ее окрестности элементарную площадку  с нормалью n . Пусть главный вектор сил, приложенных к площадке со стороны внешней нормали равен P  . Повторяя предыдущие рассуждения, предельным переходом по- лучаем вектор внутренних напряжений: 0 limn P     , действу- ющих на ориентированной площадке с внешней нормалью n . Рис. 6.3. Внутренние напряжения Существенной особенностью в этих рассуждениях является про- извольная ориентация поверхности  и, следовательно, нормали n . 65 Выберем в связи с этим площадки, проходящие через точку М и нормальные ортам ie . В качестве таких площадок удобно использо- вать грани элементарного куба, построенного в окрестностях ука- занной точки так, чтобы его ребра были параллельны координат- ным осям ix (рис. 6.4). Рис. 6.4. Напряжения на гранях элементарного куба На площадке, перпендикулярной орту 1e , действует вектор напряжений 1 с компонентами 11 12 13, ,   . Аналогично на двух других площадках 2 21 22 23( , , )     и 3 31 32 33( , , )     . Составим матрицу 11 12 13 21 22 23 31 32 33             и рассмотрим физический смысл ее компонентов. Диагональные элементы матрицы 11 22 33, ,   называются нор- мальными компонентами напряжений, поскольку они представля- ют собой проекции векторов напряжений на нормали к площадкам. Боковые элементы матрицы называются касательными компонен- тами напряжений. Они являются проекциями векторов напряже- ний на плоскости площадок. Правило знаков для компонентов напряжений. Нормальное напряжение является положительным, если оно вызывает растяже- ние, и отрицательным, если оно вызывает сжатие. 66 Нетрудно показать, что матрица напряжений является тензором, причем симметричным. Тензор 11 12 13 21 22 23 31 32 33 Т              называется тензором напряже- ний Коши. При этом вектор напряжений на наклонной площадке с внешней нормалью n определяется формулой Коши n n T    . 6.3. Законы сохранения Законами сохранения называются физические закономерности, согласно которым численные значения некоторых физических ве- личин не изменяются со временем в любых физических процессах. 1. Закон сохранения массы: ( , )d const. W m X t W    Следствием этого закона является условие неразрывности: 0ii i i vv t x x        , а если среда имеет неизменную плотность ( const)  , получаем условие несжимаемости: 0i i v x   или div 0.v   2. Закон сохранения количества движения. Пусть элемент объе- ма dW масса которого dW , перемещается со скоростью v . Коли- чество движения элемента равно dW v  , а общее количество дви- жения объема W находится интегрированием: d . W v W  67 На элемент поверхности dS действует внешняя поверхностная сила ndS . Сумма этих сил равна dn S S  . На элемент объема dW действует внешняя массовая сила dF W  . Сумма всех массовых сил равна d W F W  . Уравнение сохранения количества движения для объема W можно записать в виде: d d d : d n W S W d v W S F W t          производная по времени от количества движения объема W сплошной среды равняется сумме всех внешних действующих на него массовых и поверхностных сил. Следствием из этого закона являются: – уравнение движения ik i i k vF x t       ; – уравнение равновесия 0ik i k F x     (если инерционные члены малы и ими можно пренебречь), 0ik kx   (при отсутствии массовых сил). 68 7. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД 7.1. Математическая модель внутреннего механизма процесса ОМД Кинематические зависимости и законы сохранения не дают пол- ной системы уравнений, позволяющей вместе с начальными и гра- ничными условиями целиком описать движение сплошной среды. Для того чтобы сделать систему замкнутой, необходимы дополни- тельные соотношения. К ним относятся так называемые определя- ющие уравнения, которые характеризуют конкретные физические свойства изучаемой среды. Общая теория феноменологических определяющих соотношений устанавливает общие формы связей между полями напряжений, де- формаций, скоростей деформаций, температур для различных сред. Как правило, определяющие уравнения выводятся на основании результатов экспериментальных исследований. Итак, для того чтобы записать математическую модель внутрен- него механизма процесса ОМД, необходимо записать три группы уравнений: 1. Кинематические соотношения, которые устанавливают связь между перемещениями и деформациями либо между скоростями и скоростями деформаций. 2. Динамические соотношения, которые представлены уравне- нием неразрывности или несжимаесмости и уравнением движения или равновесия. 3. Определяющие соотношения, которые связывают напряже- ния или скорости напряжений с деформациями или скоростями де- формаций и температурами. Следует отметить, что уравнения первых двух групп имеют об- щий вид для любых сплошных сред, а уравнения третьей группы для различных сред имеют различный вид [2]. 7.2. Линейно-упругая среда Линейная изотропная зависимость между напряжениями и де- формациями имеет вид 69 03 2 ,T I T      (7.1) где I – единичный тензор; 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I        ; 0 – средняя деформация, или в скалярной форме 2ik ik ik        , (7.2) где 0 11 22 333         – относительное изменение объема. Это уравнение, называемое обобщенным законом Гука, описы- вает поведение линейно-упругой среды, постоянные и  назы- ваются упругими постоянными Лямэ. Для того чтобы записать соотношения (7.1) и (7.2) в эквивалент- ной форме, разложим сначала тензоры напряжений и деформаций на шаровые и девиаторные части: 0 ,T I D    0T I D    . Затем подставим это разложение в соотношение (7.1):  0 0 03 2I D I I D          . Записав отдельно равенство для шаровой и девиаторной частей, получим 0 0 03 2 и 2D D          . Отсюда можно записать другую форму закона Гука 0 ; 2 . k D D       70 Коэффициент 2 3 k    называется модулем объемного сжа- тия. Итак, для линейно-упругой среды среднее напряжение пропор- ционально относительному изменению объема, а девиатор напря- жений пропорционален девиатору деформаций. Положив 3(1 2 ) Ek    , где Е – модуль Юнга, а  – коэффициент Пуассона, получим закон Гука в виде 11 11Е   . В случае чистого сдвига 12 122    . Поэтому коэффициент Лямэ  представляет собой известный из курса механики материа- лов модуль сдвига G. Кроме того ; 2(1 ) E G    2, . (1 2 ) (1 ) (1 2 ) E G           7.3. Линейно-вязкая среда Переходя к изучению линейно-вязкой среды, предположим, что среднее напряжение состоит из давления ( )p , непосредственно не зависящего от скоростей деформации, и дополнительного напряже- ния 0 , пропорционального скорости объемной деформации 11 22 33 03         : 0 0 ,p      0 .k     Воспользовавшись линейной изотропной зависимостью тензоров второй валентности, получим уравнение, обобщающее гипотезу Ньютона: 03 2 .T p I I T         71 В скалярной форме это уравнение запишется в виде 2ik ik ik ikp              . Коэффициенты  и  называются коэффициентами вязко- сти. Поскольку они не зависят от деформаций и скоростей дефор- маций, их называют вязкими постоянными, хотя они могут зави- сеть от температуры. Другая форма записи этих уравнений выглядит следующим об- разом: 0 ; 2 . p k D D          То есть девиаторы напряжений и скоростей деформаций пропор- циональны. Постоянная k называется коэффициентом объемной вязкости. Если среда несжимаема, то 0  и вышеприведенные уравне- ния сводятся к условию пропорциональности девиаторов напряже- ний и скоростей деформаций. Наконец, если коэффициенты вязкости  и  равны нулю, то ,T p I   т. е. тензор напряжений совпадает с шаровым тензором, а девиатор напряжений равен нулю. Это свойство идеальной жидкости. 7.4. Теория малых упругопластических деформаций При установлении нелинейной зависимости между напряжения- ми и малыми деформациями для изотропной упругопластической среды, ограничившись рассмотрением изотермических процессов, воспользуемся уравнениями 0 ;k   (7.3) 2 .D D   (7.4) 72 Опыты показывают, что относительное изменение объема 0 11 22 333         всегда является обратимым (упругим), и за- висимость (7.3) близка к линейной. Таким образом, можно принять constk  . Положим ( , )     , где  – температура, а  – интенсивность деформаций сдвига 2 2 2 1 2 2 3 1 3( ) ( ) ( ) 6             . Приняв тем самым гипотезу «единой кривой», получаем воз- можность описать процессы пластического деформирования. При этом можно сформулировать следующие исходные положения тео- рии малых упругопластических деформаций: 1. Среда изотропна. 2. Среднее напряжение пропорционально относительному изме- нению объема, имеющему упругий характер. 3. Девиаторы напряжений и деформаций пропорциональны. Следствием третьего положения является совпадение главных осей у тензоров напряжений и деформаций, а также пропорцио- нальность главных компонентов девиаторов. Рассмотрим частные случаи. К ним относятся: – состояние линейной упругости: const;  – состояние идеальной пластичности: s   , где s – предел текучести при чистом сдвиге, при этом 73 2 s ik iks e   , где iks – компоненты девиатора напряжений, ike – компоненты девиатора деформаций; – состояние деформационного упрочнения: Т ( , ) ,      2 2 2 1 2 2 3 1 3( ) ( ) ( )Т 6         интенсивность касательных напряжений; 2 ( , )ik iks e     или 2 ( , )ik iks e    ; – состояние упругой разгрузки: * 0 0 ( * );k     * *2 ( ),ik ik ik iks s e e    const.  Звездочкой обозначены напряжение и деформированное состоя- ние, соответствующие началу разгрузки. Теория малых упругопластических деформаций хорошо под- тверждается экспериментальными данными при монотонном изме- нении температуры и нагружениях, близких к простому (так назы- вается нагружение тела, когда во всех его точках компоненты тензора напряжений возрастают пропорционально некоторому параметру). В противном случае нагружение является сложным. 74 7.5. Теория вязкопластического течения Для сложного нагружения лучшие результаты дает теория вяз- копластического течения. Будем пренебрегать упругими деформациями, как весьма малы- ми по сравнению с пластическими, а также температурными напряжениями, и сформулируем основные положения теории тече- ния вязкопластической среды. 1. Среда изотропна и несжимаема. 2. Девиаторы напряжений и скоростей деформаций пропорцио- нальны: 2 ,D g D  причем ( ,H)g g  , где  – температура, 2 2 2 1 2 2 3 1 3( ) ( ) ( )Н 6            интенсивность скоростей деформаций сдвига. Отсюда следует, что главные оси у тензоров напряжений и ско- ростей деформаций совпадают, а главные компоненты соответ- ствующих девиаторов пропорциональны. К частным случаям относятся: – состояние линейной вязкости: const;g  ; – состояние идеальной пластичности: ,Н sg  где s – предел текучести при чистом сдвиге, при этом 2 ,Н s ik iks   где iks – компоненты девиатора напряжений, ik – компоненты девиатора скоростей деформаций; 75 – состояние вязкого упрочнения: Т ( ,Н) Н,g   2 2 2 1 2 2 3 1 3( ) ( ) ( )Т 6           интенсивность касательных напряжений) 2 ( ,Н)ik iks g   , или 2Т(θ,Н) Нik iks    . 76 8. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД 8.1. Статическая задача для упругой однородной изотропной среды При постановке статических задач инерционными членами в уравнениях движения можно пренебречь. В каждой точке области D, заполненной сплошной средой, должны выполняться: а) уравнения равновесия (динамические соотношения): 0ik i k F x     , где iF – компоненты внешней массовой силы; б) закон Гука (определяющие соотношения): 2ik ik ik        , где 11 22 33pp         – относительное изменение объема,  и  – константы Лямэ; в) соотношения, связывающие деформации с перемещениями (кинематические соотношения): 1 2 i k ik k i u u x x         . На поверхности S, ограничивающей область D, должны удовле- творяться граничные условия, наложенные на напряжения или пе- ремещения. Принято различать три типа граничных условий: 1) на всей границе S заданы перемещения (кинематические граничные условия): 1( )Su f M  , где М – точка на границе; 77 2) на всей границе S заданы напряжения (статические гранич- ные условия): 2 ( ) n S f M   ; 3) на части границы 1S заданы перемещения, на остальной по- верхности 2S – напряжения (смешенные граничные условия): 1 2 1 2 1 1 2 2 , ( ), ( ) . S n S S S S M S u f M M S f M          Во всех трех случаях предполагается, что всюду в теле внешние массовые силы известны. Пример решения задачи Сплошное упругое тело сжимается со всех сторон постоянным внешним давлением р. Внешние массовые силы отсутствуют. Найти распределение напряжений. Решение: Будем искать решение в виде 0 0 0 0 0 0 p T p p         , где constp  . Легко видеть, что уравнения равновесия удовлетворены. На гра- нице имеем n ik k i ik k i i in e p n e p n e p n              , т. е. внешняя поверхностная сила должна быть давлением р, что и имеет место в действительности. 78 ЛИТЕРАТУРА 1. Гун, Г. Я. Теоретические основы обработки металлов давлени- ем / Г. Я. Гун. – М. : Металлургия, 1980. – 456 с. 2. Гун, Г. Я. Математическое моделирование процессов обработки металлов давлением / Г. Я. Гун. – М. : Металлургия, 1983. – 352 с. 3. Колмогоров, В. Л. Механика обработки металлов давлением / В. Л. Колмогоров. – М. : Металлургия, 1986. – 688 с. 4. Мудров, А. Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль / А. Е. Мудров. – Томск, МП «Раско», 1991. – 272 с. 79 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………….. 3 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ, ПОНЯТИЯ, МОДЕЛИ И МЕТОДЫ…………………………………………... 4 1.1. Определения математического моделирования…………… 4 1.2. Основные понятия дисциплины…………………………….. 4 1.3. Понятие краевой задачи……………………………………... 6 1.4. Механические граничные условия…………………………. 7 1.5. Механические граничные условия на примере внешнего трения...…………………………………... 8 1.6. Методы решения краевых задач……………………………. 10 2. ТЕНЗОРЫ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ……………. 12 2.1. Основные задачи тензорного анализа……………………… 12 2.2. Ортогональный базис…………………...…………………… 12 2.3. Правила Эйнштейна…………………………………………. 13 2.4. Преобразования координат…………………………………. 14 2.5. Определение тензора………………………………………… 16 2.6. Некоторые действия над тензорами………………………... 17 2.7. Главные направления и главные компоненты тензора…… 18 2.8. Инварианты тензора…………………………………………. 19 Примеры решения задач…………………………………………. 20 Контрольные задачи……………………………………………… 25 3. АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ…………………………………………………………. 32 3.1. Определения…………………………………………………. 32 3.2. Интерполяция каноническим полиномом…………………. 33 3.3. Интерполяция полиномом Лагранжа………………………. 34 3.4. Интерполяционный полиномом Ньютона…………………. 35 Пример решения задачи…………………………………………. 38 Контрольные задачи……………………………………………… 39 4. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ…… 42 4.1. Определения………………………………………………….. 42 4.2. Общий алгоритм……………………………………………... 43 4.3. МНК со степенным базисом………………………………… 45 4.4. Линейный вариант МНК……………………………………. 46 80 Примеры решения задач…………………………………………. 49 Контрольные задачи……………………………………………… 52 5. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ……………………………. 56 5.1. Два подхода к описанию движения сплошной среды…….. 56 5.2. Тензоры конечных деформаций…………………………….. 57 5.3. Тензор малой деформации…………………………………... 60 6. ДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД……………………………………………… 62 6.1. Внешние силы в механике сплошных сред………………... 62 6.2. Внутренние напряжения…………………………………….. 63 6.3. Законы сохранения…………………………………………... 66 7. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД……………………………... 68 7.1. Математическая модель внутреннего механизма процесса ОМД……………………………………………………. 68 7.2. Линейно-упругая среда……………………………………… 68 7.3. Линейно-вязкая среда……………………………………….. 70 7.4. Теория малых упругопластических деформаций………….. 71 7.5. Теория вязкопластического течения……………………….. 74 8. КРАЕВАЯ ЗАДАЧА МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД…... 76 8.1. Статическая задача для упругой однородной изотропной среды………………………………………………… 76 Пример решения задачи...………………………………………... 77 ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………. 78 81 Учебное издание МАЗУРЁНОК Алла Владимировна МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ Учебно-методическое пособие по дисциплине «Математическое моделирование технологических процессов» для студентов специальности 1-36 01 05 «Машины и технология обработки материалов давлением» Редактор Т. А. Зезюльчик Компьютерная верстка А. Г. Занкевич Подписано в печать 28.05.2014. Формат 6084 1/8. Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 4,65. Уч.-изд. л. 3,64. Тираж 100. Заказ 720. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий № 1/173 от 12.02.2014. Пр. Независимости, 65. 220013, г. Минск.