МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика № 1» СОВЕТЫ ПЕРВОКУРСНИКУ Пособие для подготовки первокурсников к изучению математики в вузе М и н с к Б Н Т У 2 0 1 4 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Высшая математика № 1» СОВЕТЫ ПЕРВОКУРСНИКУ Пособие для подготовки первокурсников к изучению математики в вузе Минск БНТУ 2014 2 УДК 51(075.8) ББК 22.1я7 С56 Авторы: А. Н. Андриянчик, О. Л. Зубко, И. Н. Катковская, В. И. Юринок Рецензенты: А. Н. Рудый, А. Д. Корзников С56 Советы первокурснику : пособие для подготовки первокурсников к изучению матема- тики в вузе / А. Н. Андриянчик [и др.]. – Минск : БНТУ, 2014. – 50 с. ISBN 978-985-525-976-4. Пособие содержит рекомендации, которые помогут студенту-первокурснику в короткий срок адаптироваться к учебной деятельности и, в частности, к изучению курса математики университета. Пособие также содержит теоретические дидактические материалы для ликвидации пробелов в знаниях по математике за курс средней школы, которые будут несомненно полезны для формирования и разви- тия навыков эффективной самостоятельной работы студентов-первокурсников. Пособие будет полезно также старшеклассникам и абитуриентам УДК 51(075.8) ББК 22.1я7 ISBN 978-985-525-976-4 © Белорусский национальный технический университет, 2014 3 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ..................................................................................................................... 4 1. Студент БНТУ – это звучит гордо ....................................................................... 5 2. План действий на первое время ........................................................................... 5 3. Математика в техническом вузе. Как ее изучить ............................................... 6 3.1. Лекции и практические занятия ............................................................... 7 3.2. Работа с учебником .................................................................................... 8 3.3. Интернет – твой помощник ...................................................................... 8 3.4. Решение задач ............................................................................................ 10 3.5. Самопроверка и консультации ................................................................ 10 3.6. Сессия. Зачеты и экзамены ...................................................................... 11 4. Основные занятия для повторения сведений за курс средней школы ............ 13 Занятие 1. Преобразования и арифметические вычисления алгебраических выражений ............................................................................. 13 Занятие 2. Алгебраические уравнения .......................................................... 18 Занятие 3. Преобразование тригонометрических выражений .................... 23 Занятие 4. Показательные и логарифмические уравнения .......................... 28 Занятие 5. Неравенства ................................................................................... 33 Занятие 6. Переменные величины и функции .............................................. 42 5. Контрольные задания ............................................................................................ 45 Литература ................................................................................................................. 49 4 ВВЕДЕНИЕ Учеба в вузе – процесс непростой. С первых же сентябрьских дней на сту- дента обрушивается громадный объем информации, которую необходимо усво- ить. Нужный материал содержится не только в лекциях (запомнить его – это только малая часть задачи), но и в учебниках, книгах, статьях. Порой возникает необходимость привлекать информационные ресурсы Интернета. Система вузовского обучения подразумевает значительно большую само- стоятельность студентов в планировании и организации своей деятельности по сравнению с обучением в школе. Вчерашнему школьнику сделать это бывает весьма непросто: если в школе ежедневный контроль со стороны учителя за- ставлял постоянно и систематически готовиться к занятиям, то в вузе вопрос об уровне знаний вплотную встает перед студентом только в период сессии. Такая ситуация оборачивается для некоторых соблазном весь семестр посвятить сво- бодному времяпрепровождению («когда будет нужно – выучу!»), а когда при- ходит пора экзаменов, материала, подлежащего усвоению, оказывается так много, что никакая память не способна с ним справиться в оставшийся проме- жуток времени. Поэтому студенту-первокурснику следует знать о некоторых важных правилах организации деятельности, подсказанных наукой психологи- ей. Данное пособие содержит советы первокурснику, как учить Математику – Царицу Наук. Материл пособия разбит на 6 занятий. В начале каждого занятия кратко изложен основной систематизированный теоретический материал за курс средней школы, предложены алгоритмы (методы) решения основных уравнений и неравенств, содержатся аудиторные и домашние задания с ответа- ми. Пособие поможет студентам-первокурсникам быстрее адаптироваться в но- вых условиях и, при необходимости, в короткий срок ликвидировать пробелы в знаниях за курс средней школы. 5 1. СТУДЕНТ БНТУ – ЭТО ЗВУЧИТ ГОРДО Вступительные экзамены позади, и теперь Вы можете гордо заявить: «Я – студент БНТУ!» Казалось бы, можно вздохнуть с облегчением: страхи и волнения позади, а впереди – новая и интересная студенческая жизнь. Но расслабляться еще рано: именно первый курс профессионального обучения является наиболее трудным. Будьте готовы к тому, что обучение в профессиональном учебном заведе- нии существенно отличается от обучения в школе: учебная нагрузка больше и предметы сложнее; от студента требуется максимум самостоятельности и от- ветственности при изучении дисциплин; для успешного обучения необходимы такие качества, как организованность и развитый самоконтроль. Ваша успеваемость, а следовательно, и уровень Вашей подготовки как бу- дущего специалиста во многом зависят от первых месяцев пребывания в уни- верситете. Сумели адаптироваться – успеваете, не сумели – отстаете. Наиболее общими причинами отставания многих студентов является неор- ганизованность, неумение распределять рабочее время для самостоятельной подготовки, недостаточная подготовленность в средней школе, неумение быст- ро приспосабливаться к новым формам и методам вузовского обучения, увле- чение другими видами деятельности, отсутствие регулярного контроля за хо- дом учебы. 2. ПЛАН ДЕЙСТВИЙ НА ПЕРВОЕ ВРЕМЯ Первокурснику предстоит: 1. Осознать себя в новом качестве «Я – студент». Начинается все с того, что молодой человек ощущает, что, поступив, сде- лал что-то очень важное, поднялся на новую жизненную ступень. Но, попав в студенческое сообщество, понимает, что он ничем не выделяется, – все одно- группники в одинаковом положении. Весь авторитет, заработанный в школе, мало кого интересует, и предстоит заявлять о себе заново, прежде чем тебя начнут серьезно воспринимать. Но в этой ситуации есть и положительный мо- мент: для учеников, чьи успехи в школе были не блестящи, это прекрасная воз- можность начать все с чистого листа и проявить себя с лучшей стороны. 2. Влиться в студенческий коллектив. Со временем каждый займет свою нишу в коллективе, но пока никто нико- го не знает. 3. Найти общий язык с преподавателями. Их много, и все с разными требованиями. Но в одном точка зрения препо- давателей совпадает: успешный студент – самостоятельный и ответственный. Если преподаватель предоставляет возможность получения «автомата», то обя- зательно приложите максимум усилий, чтобы воспользоваться данным «бла- 6 гом». «Автомат», полученный Вами, поможет во время сессии подготовиться более основательно к тем предметам, в которых Вы не так хорошо разобрались в течение семестра. 4. Разобраться в новой ситуации обучения и привыкнуть к ней. План действий на первое время До начала учебы Узнайте номер группы, в которую Вы зачислены. Заведите блокнот для важной информации; перепишите в него расписание занятий. Принесите с со- бой ручки разных цветов для удобства ведения конспекта и несколько чистых толстых тетрадей (в зависимости от количества учебных дисциплин в этот день). Придите немного заранее, чтобы не спеша определиться с расположени- ем нужных аудиторий в учебных корпусах. Обычно номера кабинетов трех- значные: первая цифра означает этаж, а последующие – порядковый номер аудитории. Типичные ошибки студентов-первокурсников 1. Прогулы. Кажется, пропустишь одну-две-три пары и ничего не потеряешь. Но это опасное ложное ощущение! В один «прекрасный» момент увидишь, что упу- стил много и догнать остальных будет очень трудно. Помните – успех склады- вается из ежедневных усилий! 2. Отчаяние. Не пасуйте перед трудностями! Как бы трудно не приходилось, не опус- кайте руки! Не сдал что-то с первого раза – подготовься к пересдаче. А кто ска- зал, что будет легко?! Тяжело в учении, легко в бою! И помните, что первый год обучения – самый важный, так как именно в это время происходит формирование основных учебных навыков, закладка ба- зовых знаний. От этого зависит успешность обучения в профессиональном учебном заведении вообще. Таким образом, на первом курсе нужно как можно больше сил и времени отдавать учебе, чтобы в последующем иметь возможность спокойно, безболез- ненно сочетать учебу с личной жизнью, досугом и другими сферами жизни. Ваш успех в ваших руках! 3. МАТЕМАТИКА В ТЕХНИЧЕСКОМ ВУЗЕ. КАК ЕЕ ИЗУЧИТЬ Одной из ведущих дисциплин естественнонаучного цикла, которую Вам предстоит изучать на первом и втором курсах, является математика. Она созда- ет базу для специальной подготовки, дает возможность творчески решать про- блемы современного производства. Кроме того, вооружение навыками само- стоятельной творческой работы и самообразования происходит особенно ак- тивно в процессе изучения математики. Объясняется это тем, что среди 7 изучаемых Вами на первом курсе дисциплин математика занимает значитель- ную часть времени, причем для овладения ею необходим большой и целе- устремленный труд, требуются умственные и волевые усилия, концентрация внимания, активность и систематичность, развитое воображение. Вот почему при обучении математике у студентов последовательно и планомерно форми- руются рациональные приемы учебной деятельности, умения и навыки ум- ственного труда: планирование своей работы, поиск рациональных путей ее выполнения, критическая оценка результатов. Основными формами обучения математике в университетах являются лекции, практические занятия, самостоятельная работа над учебным материа- лом, которая состоит из следующих этапов: изучение теоретического материала по учебникам, учебным пособиям, конспектам лекций и т. д.; решение задач и упражнений на практических занятиях; выполнение домашних заданий, типовых расчетов. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса математики явля- ется сдача зачетов и экзаменов в соответствии с учебным планом. 3.1. Лекции и практические занятия 1. Содержание лекции запишите. Запись поможет Вам осознать план и ло- гику изложения, осмыслить материал и сосредоточить внимание на основных вопросах. Наличие конспекта лекции позволит лучше разобраться в новом ма- териале, додумать и расширить его с помощью учебной литературы. 2. Записывайте лишь самое главное, не стремитесь зафиксировать все сло- во в слово. Практически получается так, что Вы, не успев записывать дословно, делаете пропуски, у Вас появляются пустые места и, таким образом, упускается самое главное. Такая запись лишена логического смысла, а потому негодна для использования. 3. Не стремитесь записывать содержание лекции с сокращениями, часто Вы сокращаете настолько кратко, что упускаете при этом основные положения. Не ограничивайтесь записью заголовка, плана и рекомендуемой литературы. Такие записи не отображают основного содержания лекции, и пользоваться ими невозможно. 4. Мысль преподавателя излагайте своими словами. Такая форма записи позволит Вам не только понять услышанное, но и усвоить его. 5. На практических занятиях старайтесь работать самостоятельно, только сверяясь с решением задач на доске. Избегайте механического списывания ре- шения задач с доски или у соседа. 6. Консультируйтесь с преподавателем по всем возникающим у Вас вопро- сам в ходе практических занятий. 7. Выполняйте все домашние задания, даже если преподаватель не прове- ряет их в явном виде. Конечно, можно списать домашнее задание у друга, но тогда при списывании обязательно разберитесь в представленных решениях. 8 При конспектировании лекций соблюдайте ряд правил: Учитесь следить за мыслью преподавателя во время изложения нового материала, разделяйте свое внимание между отдельными положениями лекции. Обращайте внимание на тон изложения, интонацию (главные предложе- ния выделяются и произносятся громче). Записи по каждому предмету ведите в отдельной тетради, не пишите на разных листках, которые, как правило, теряются. Записи в конспекте должны быть сделаны чисто, аккуратно и располо- жены в определенном порядке. Хорошее внешнее оформление конспекта по изучаемому материалу приучит Вас к необходимому в работе порядку и позво- лит Вам избежать многочисленных ошибок, которые происходят из-за небреж- ных, беспорядочных записей. Выводы, полученные в виде формул, рекомендуется в конспекте подчер- кивать или обводить рамкой (желательно ручкой другого цвета), чтобы при прочитывании конспекта они выделялись и лучше запоминались. Полезно составить для себя отдельный «лист-шпаргалку», который бу- дет содержать важные и наиболее употребляемые формулы курса. 3.2. Работа с учебником 1. При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется выписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т. д. На полях следует отмечать вопросы, выделенные Вами для получения письменной или устной консультации преподавателя. 2. Изучая материал по учебнику, к следующему вопросу следует перехо- дить только после правильного понимания предыдущего, производя самостоя- тельно на бумаге все вычисления (в том числе и те, которые ради краткости опущены) и выполняя имеющиеся в учебнике чертежи. 3. Особое внимание следует обращать на определение основных понятий. Вы должны подробно разбирать примеры, которые поясняют такие определе- ния, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно. 4. Необходимо помнить, что каждая теорема состоит из предположения и утверждения. Все предположения должны обязательно использоваться в дока- зательстве. Нужно точно представлять то, в каком месте доказательства исполь- зовано каждое предположение теоремы. Полезно составлять схему доказа- тельств теорем. 3.3. Интернет – твой помощник С развитием и распространением Интернета у людей появляется все боль- ше возможностей, в том числе и для учебы. С помощью компьютера и Сети можно легко найти практически любой научный материал, книгу, статью или дискуссию по нужной теме. Многие преподаватели склонны считать Интернет злом, а не помощником в учебе. Итак, чем же является Интернет для современ- 9 ных студентов: игрушка и развлечение, место, где можно списать реферат, или что-то посерьезнее? На наш взгляд, для студентов-естественников – это доста- точно серьезная среда обитания, электронные библиотеки, научный обмен и многое другое. Представляем Вам обзор наиболее полезных сайтов. 1. www.mathprofi.ru/saity_po_matematike.html. На данной странице представлен небольшой обзор наиболее полезных сайтов по высшей математи- ке. Здесь не будет простого перечисления математических порталов из выдачи Яндекса, все ссылки, которые даны, действительно заслуживают внимания. 2. На сайте www.mathprofi.ru Вы можете найти много интересного и са- мого нужного в изучении курса высшей математики: математические таблицы, обучающие материалы и т. д. Здесь размещены собственные авторские лекции по решению тех заданий, которые наиболее часто встречаются в контрольных работах и на экзаменах у студентов-заочников. 3. Одним из старейших математических порталов Рунета, безусловно за- служивающих внимания, является www.exponenta.ru. На сайте есть методиче- ские материалы по работе с наиболее известными математическими пакетами (Matlab, MathCAD, Maple и др.), образовательный форум и многое другое. Но понимание примеров с Экспоненты потребует от вас более или менее прилич- ной математической подготовки. 4. www.algebraic.ru – математическая энциклопедия; www.fxyz.ru – фор- мулы и справочная информация по математике и физике; www.mathem.h1.ru – формулы и справочная информация по математике. 5. www.math.com – англоязычный сайт по математическим дисциплинам. Чтобы воспользоваться им, необходимо хорошее знание английского языка. Помимо уже известных интерактивных справочников, симуляторов расчетов, симуляторов графиков и т. п. – всего, что можно встретить и на российских сайтах, здесь есть увлекательные разделы «Чудеса математики», «Советы ис- следователям», где в игровой форме можно попытаться решить математические загадки, головоломки и попытаться понять «Зачем все же нужна математика?». 6. www.algebra.com. На данном сайте Вы найдете разделы по алгебре, ма- тематике, геометрии и физике на английском языке. Отличительной особенно- стью сайта являются бесплатные онлайн уроки. В интерактивном режиме мож- но попросить у англоязычных преподавателей понять или вспомнить тему, объяснить домашнее задание, помочь решить трудные задачи. При этом данная услуга бесплатная, т. е. Вы можете получить личного репетитора по скайпу в случае возникновения трудностей с математикой. Также на сайте представлен теоретический материал по математическим дисциплинам. Существуют сайты с сервисом так называемого онлайн решения матема- тики. Вводишь предел, производную, систему уравнений, жмешь кнопочку, по- лучаешь готовое решение и ответ. Удобная услуга? Очень удобная. И даже бес- платно можно кое-что посчитать. Но в действительности услуга эта – «медве- жья». Представим, что Вы изучаете тему «Производные функции». Легко и быстро получили онлайн все производные, ничего не понимая, успешно сдали все типовые расчеты. Более того (о чудо!), пережили зимнюю сессию: удалось 10 сдать «вышку». Во втором семестре начинаются интегралы, которые без уме- ния находить производные просто не освоить. В ход опять пошел онлайн- калькулятор, все контрольные работы сданы. Сможете ли Вы сдать экзамен по математике на летней сессии? Вероятность гораздо ниже: преподаватель уже прекрасно видит, кто есть кто. Помните! Сайтов, помогающих изучить математику, предостаточно, но знать математику невозможно без аудиторной и самостоятельной работы. В це- лом, Интернет – замечательный инструмент для работы в любой научной сфе- ре, и то, как вы используете его, зависит только от вас. 3.4. Решение задач 1. Чтение учебника или конспекта лекций должно сопровождаться реше- нием задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь (можно вы- полнять решения в тетради для практических занятий). 2. При решении задач нужно обосновывать каждый этап решения, исходя из теоретических положений курса. Если Вы видите несколько путей решения, то Вы должны сравнить их и выбрать самый рациональный. До начала решения полезно составить краткий план. 3. Решения задач и примеров следует излагать подробно, вычисления рас- полагать в строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основ- ных. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно и в соответствии с дан- ными условиями. Если чертеж требует тщательного выполнения (например, при графической проверке решения, полученного путем вычислений), то следу- ет пользоваться компьютерной графикой. 4. Решение каждой задачи должно доводиться до ответа, требуемого услови- ем, и, по возможности, в общем виде с выводом формулы. Затем в полученную формулу подставляют числовые значения (если они даны). В промежуточных вы- числениях не следует вводить приближенные значения корней, числа π и т. д. 5. Полученный ответ при решении задачи следует проверять способами, вытекающими из смысла задачи. Если, например, решалась задача с конкрет- ным физическим или геометрическим содержанием, то полезно прежде всего проверить размерность полученного ответа. Полезно также, если возможно, решить задачу несколькими способами и сравнить полученные результаты. 6. Помните, что решение задач определенного типа нужно продолжать до приобретения твердых навыков в их решении. 3.5. Самопроверка и консультации 1. После изучения определенной темы и решения достаточного количества задач воспроизведите по памяти определения, выводы формул, формулировки и доказательства теорем. Лучше всего, если Вы будете объяснять выученный ма- териал другому человеку (одногруппнику, другу, маме, брату и т. д.). 11 2. Иногда недостаточность усвоения того или иного раздела выясняется только при изучении дальнейшего материала. В этом случае надо вернуться назад и повторить плохо изученный раздел. 3. Часто правильное решение задач по той или иной теме воспринимается Вами как признак того, что Вы очень хорошо усвоили тему. Однако это может быть заблуждением, и Ваше хорошее решение задач происходит только в ре- зультате механического заучивания формул, без понимания существа дела. Помните! Умение решать задачи является необходимым, но не достаточным условием хорошего знания теории. 4. Если в процессе работы над изучением теоретического материала или при решении задач, в процессе работы над типовыми расчетами, индивидуаль- ными домашними заданиями у Вас возникают вопросы, разрешить которые са- мостоятельно не удается (неясность терминов, формулировок теорем, условий задач и др.), то Вы всегда можете (даже должны!) обратиться к преподавателю для получения от него консультации. 5. Если Вы испытываете затруднение при решении задачи, то при обраще- нии за консультацией к преподавателю следует указать характер этого затруд- нения, привести предполагаемый план решения. 6. Не бойтесь задавать преподавателю вопросы по существу изучаемой темы! Помните! Преподаватель тоже был когда-то студентом! 3.6. Сессия. Зачеты и экзамены Как готовиться к экзаменам. 1. Как ни странно, но лучший способ хорошо сдать экзамен – это регуляр- но заниматься в течение года. Тогда материал будет постепенно укладываться в голове, перерабатываться и систематизироваться. Новые знания по изучаемому материалу будут поступать на подготовленную почву, а уже имеющиеся в го- лове под их воздействием будут дополняться и переосмысливаться. И перед эк- заменом такой учащийся с удивлением поймет, что, оказывается, учить-то ни- чего и не надо, он и так уже все знает. 2. Ваш джентльменский набор для сдачи экзаменов должен состоять из списка вопросов к экзамену, конспектов лекций и нескольких учебников. Если «раскопаете» в Интернете чьи-то шпаргалки – тоже очень хорошо. Расписание экзаменов составляется таким образом, чтобы перерыв между двумя экзамена- ми был не менее трех дней. Поэтому делите количество свободных дней на ко- личество билетов и начинайте подготовку. 3. Время подготовки к экзамену надо разумно распределить. Не следует заниматься много часов без перерывов. Лучше учить блоками: усвоил тему, за- крепил ее и отдохнул. Затем кратко повторил, что заучил, и – за новую тему. Не стоит заниматься и по ночам, наоборот, готовясь к экзаменам, надо хорошо вы- спаться, тогда и голова будет работать лучше. Психологи иногда советуют устраивать себе в дни подготовки к экзаменам дробный сон: меньше спать но- чью (раньше вставать, а не позже ложиться), но зато спать днем, как в детса- 12 довский «тихий час». Перед сном можно повторить особо трудный материал. Как известно, хорошо запоминается то, что было выучено последним. Кроме того, во время сна полученные знания будут перерабатываться мозгом и пере- ходить в долговременную память в спокойной обстановке, не подгоняемые по- ступающей новой информацией. 4. Выбирайте в первую очередь самые трудные для себя вопросы, так как потом у вас не будет времени их подготовить. То, что знаете хорошо, повторите в самом конце подготовки. 5. Если любите писать шпаргалки – пишите на здоровье. Готовить шпаргалки полезно, но пользоваться ими рискованно. Главный смысл подго- товки шпаргалок – это систематизация и оптимизация знаний по данному предмету, что само по себе прекрасно. Это очень сложная и важная для студен- та работа, более сложная и важная, чем «тупое», «методическое» и «спокойное» поглощение массы (точнее – «кучи») учебной информации. Если студент само- стоятельно подготовил такие шпаргалки, то, скорее всего, он и экзамены сда- вать будет более уверенно, так как у него уже сформирована общая ориенти- ровка в сложном материале. К сожалению, многие студенты даже в собствен- ных конспектах часто ориентируются очень плохо. Например, иногда мы проводили экзамены, разрешая пользоваться своими конспектами (и даже учебниками) во время самого ответа. Иногда нескольких секунд было доста- точно, чтобы оценить, заглядывал ли студент в свои конспекты (и тем более в книги) при подготовке к данному ответу. Что делать, если экзамен не сдан? Первое и главное – не впадать в отчаяние. Не пытайтесь скандалить с преподавателем, обвиняя его в несправедливой оценке Вашего ответа, сохра- няйте собственное достоинство. Следующие рекомендации помогут Вам добиться успеха на переэкзаме- новке: Смиритесь с ситуацией. Обида – плохой помощник в подготовке. Относитесь к ситуации как к благоприятной возможности освоить то, в чем Вы оказались недостаточно сильны. Определите, что Вы конкретно не знали. Попытайтесь понять, в чем крылась причина Вашего неудачного ответа (плохо подготовились, не уложились в отведенное время или, может быть, не- правильно повели себя на экзамене). Попросите у уже сдавших товарищей материалы для подготовки (они вряд ли Вам откажут). Не теряйте время!!! Чем раньше начнете переподготовку, тем проще вам будет сдавать. Ставьте себе задачу не просто пересдать, а получить «хорошую отмет- ку». Чем выше планка, которую Вы себе ставите, тем лучше результат. 13 ОСНОВНЫЕ ЗАНЯТИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ СВЕДЕНИЙ ЗА КУРС СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ ЗАНЯТИЕ 1. Преобразования и арифметические вычисления алгебраических выражений Основные свойства и формулы 1. Формулы сокращенного умножения. 2 2 2( ) 2a b a ab b ; 2 2 ( )( )a b a b a b ; 2 2 2 2( ) 2 ( ) 2a b a b ab a b ab ; 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b ; 3 3 2 2( )( )a b a b a ab b ; 3 3 2 2 3 3 3( ) 3 3 3 ( )a b a a b ab b a b ab a b ; 3 3 2 2 3 3 3( ) 3 3 3 ( )a b a a b ab b a b ab a b 2. Разложение на множители. Если x0 – корень многочлена n-й степени Pn(x), то Pn(x) = (x – x0) Pn–1(x), где Pn–1(x) – некоторый многочлен степени n – 1. В частности, когда n = 2, т. е. P2(x) 2ax bx c – квадратный трехчлен, имеем: а) 2 21 2( )( ) ï ðè 4 0ax bx c a x x x x D b ac , где 1,2 2 b D x a – корни этого квадратного трехчлена; б) 2 2 21( ) ï ðè 4 0ax bx c a x x D b ac , где 1 2 b x a – корень этого квадратного трехчлена; в) 2 2ðàçëî æåí èÿ í å èì ååòï ðè 4 0ax bx c D b ac . 3. Арифметические корни и их свойства. Пусть n – натуральное число, т. е. , ( 1)n N n . Тогда арифметическим кор- нем n-й степени из данного числа 0a называется число 0x такое, что nx a . Обозначение nx a . В случае n = 2 пишут a . Например, 3 48 2, 25 5, 16 2 . 14 Свойства арифметического корня 1) ; 2) В частности, ; 3) ; 3 а ) ; 4) ; 4 а ) ; 5) ; 6) ; 7) при . 4. Степени и их свойства. Пусть а – положительное (а > 0), х – рациональное число ( . Под степенью а х (степень числа с показателем ) понимают положительное чис- ло, определенное следующим образом: 1. Если , то . Причем в данном случае а – лю- бое действительное число ( . 2. Если x – целое число ( , то а) ; б) ; в). . 3. Если , где , , то . Свойства степеней. Пусть и а > 0, b > 0. 1) ; ; ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) . Если и – произвольные числа и , то 8) при ; 9) при 15 Аудиторные задания 1.1. Вычислите: 1.2. Упростите выражения: 16 1.3. Упростите выражения и вычислите при данных значениях параметров: 1.4. Найдите x, если Домашнее задание 1.5. Вычислите: 17 1.6. Упростите выражения: Ответы: 1.1.1. 2. 1.1.2. –6,25. 1.1.3. 9. 1.1.4. 55 17 . 1.1.5. 0. 1.1.6. 24. 1.1.7. 100. 1.1.8. 1,25. 1.1.9. 81,002. 1.1.10. –3. 1.2.1. 1x . 1.2.2. 3 1x . 1.2.3. 3. 1.2.4. 1. 1.2.5. –2у. 1.2.6. 2. 1.2.7. 1 2( )a b . 1.3.1. 10. 1.3.2. 39. 1.3.3. 5,68. 1.4.1. 49. 1.4.2. 1 32 / . 1.5.1. 10. 1.5.2. 1.4. 1.5.3. 4. 1.6.1 2x. 1.6.2. 4 x y .1.6.3. –1. 1.6.4. 1 42a . 18 ЗАНЯТИЕ 2. Алгебраические уравнения Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения называется множество всех значений переменных, при которых все функции, входящие в уравнение, имеют смысл. Решением уравнения называются такие значения переменных, которые при их подстановке в уравнение обращают его в тождество. Уравнения называются равносильными, если множества их решений сов- падают. При решении уравнений рекомендуется делать преобразования, приводя- щие к равносильным уравнениям; если же это затруднительно, и в процессе преобразований могут появиться лишние корни, то необходимо делать провер- ку. Полезно, а иногда и необходимо, найти ОДЗ. Линейные уравнения Уравнения вида где называются линейными уравнениями. Алгоритм решения линейного уравнения в общем виде. 1. Если а ≠ 0, . 2. Если а = 0, . 3. Если а = 0, . Квадратные уравнения Уравнение вида называется квадратным урав- нением. Решение квадратного уравнения: 1. Если , то , т. е. уравнение имеет два раз- личных корня. 2. Если , то , т. е уравнение имеет один корень кратности два. 3. Если , то уравнение не имеет решений. 4. Если – четное число, т. е. , то решение квадратного уравнения удобно находить в виде . Теорема Виета: Если дискриминант квадратного уравнения , то выполняются равенства , . Верно и обратное утверждение. 19 Функция вида называется квадратичной функцией. Графиком квадратичной функции является парабола, ветви которой направлены вверх при а > 0 и вниз при а < 0. Координаты вершины параболы: . Точки пересечения параболы с осями координат: с осью Ох: : а) если , то парабола имеет две точки пересечения: ; б) если , то парабола имеет одну точку пересечения: ; в) если , то парабола не имеет точек пересечения; с осью Оу: х = 0 => (0, c). Уравнения, содержащие знак модуля Модулем называется выражение Уравнение, содержащее переменную под знаком модуля, называется урав- нением с модулем. Основные типы уравнений с модулем и методы их решений I. Уравнение вида . 1. Если а ≥ 0, то 2. Если а < 0, то ( – пустое множество). II. Уравнение вида . Уравнение равносильно системе III. Уравнение вида . Уравнение равносильно совокупности IV. Уравнения вида: 1. 2. , 3. , 4. V. Уравнение вида . 1. Находим нули каждого модуля, т. е. решаем уравнения . 20 2. Наносим нули каждого модуля на числовую ось и раскрываем каждый модуль на каждом из полученных промежутков. 3. Решаем уравнение на каждом из полученных промежутков. VI. Уравнение вида с помощью замены. сводится к квадратному уравнению , ре- шая которое и применяя обратную замену, находим х. Иррациональные уравнения Уравнение, содержащее переменную под знаком корня, называется ирра- циональным уравнением. Основные типы иррациональных уравнений и методы их решений. I. Уравнение вида . 1. если а ≥ 0, то . 2. если а < 0, то . II. Уравнение вида . Уравнение равносильно системе III. Уравнение вида . Уравнение равносильно системе IV. Уравнение вида . Уравнение равносильно системе V. Уравнение вида с помощью замены: сводится к квадратному уравнению , ре- шая которое и применяя обратную замену находим х. Замечания При решении иррациональных уравнений, не относящихся к типам I–V, полезно соблюдать ряд правил: 21 1. Следует начинать решение с записи ОДЗ. Если ОДЗ простое, то решаем его, в противном случае решаем иррациональное уравнение и проверяем корни непосредственной подстановкой в ОДЗ. 2. Возводить в квадрат правую и левую часть иррационального уравнения возможно только для заведомо положительных выражений, т. е. . 3. Иногда полезно использовать равенство и переходить от решения иррационального уравнения к решению уравнения с модулем. Аудиторные задания 2.1. Квадратные уравнения. 2.1.1. Найти значение коэффициента k, при котором уравнение не имеет корней. 2.1.2. Найти a, при котором один из корней уравнения ра- вен 3. где х1, х2 – корни уравнения 2.1.4. Найти коэффициент q в уравнении , если корни уравне- ния х1, х2 связаны соотношениями 2.1.5. Решить уравнение 2.2. Иррациональные уравнения. 2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 2.2.4. z+42-11 . 2.3. Уравнения, содержащие знак модуля. . 2.3.2. Решить аналитически и графически. 2.3.3. Найти наименьший корень. 2.3.4. . 2.4. Решить системы уравнений. 22 2.4.1. В ответе указать . 2.4.2. В ответе указать . 2.4.3. В ответе указать . Домашнее задание 2.5. Найти значение коэффициента p, при котором уравнение имеет 2 корня. 2.6. При каком наибольшем значении a квадратное уравнение имеет корни x = 3. 2.7. Найти меньший корень уравнения: 2.7.1. 2.7.2. . 2.7.3. . 2.7.4. . 2.7.5. . 2.8. Решить систему уравнений: В ответе указать . Ответы: 2.1.1. –6 < k < 3. 2.1.2. а = –3. 2.1.3. 0,16. 2.1.4. q = 1. 2.1.5. х = –2. 2.2.1. х1 = 7 , х2 = 2. 2.2.2. x = –1. 2.2.3. x = 20. 2.2.4. z1 = –6, z2 = 7. 2.3.1. x = –1. 2.3.2. х1 = 3, х2 = –7. 2.3.3. х = 3/4. 2.3.4. х [–2;3]. 2.4.1. 1,6. 2.4.2. 2. 2.4.3. –6. 2.5. (– , –6) (3, + ). 2.6. 3. 2.7.1. x = –4. 2.7.2. x = –1. 2.7.3. x = 5. 2.7.4 x = 1. 2.7.5 х1 = –3, х2 = 3. 2.8. 75. 23 ЗАНЯТИЕ 3. Преобразование тригонометрических выражений Основные свойства и формулы 1. Функции синус, косинус, тангенс, котангенс, а также секанс и косеканс называются основными тригонометрическими функциями. При этом по определению синусом (соответственно – косинусом) числа α называется орди- ната (соответственно – абсцисса) точки М на тригонометрическом круге (рис. 1), получающейся поворотом точки M0 (1; 0) на угол α радиан вокруг начала ко- ординат. Кроме того, sin tg cos , 1sec cos , при , 2 n n Z , cos ctg sin , 1cosec sin , при , .n n Z Рис. 1 2. Полезно запомнить таблицу значений тригонометрических функций основных углов. ( )f (ðàä) sin cos tg ctg 30 6 1 2 3 2 1 3 3 45 4 2 2 2 2 1 1 60 3 3 2 1 2 3 1 3 3. Функции синус, тангенс и котангенс являются нечетными, а функция косинус – четная, т. е. для всех допустимых значений х выполнены равенства: 24 , , tg , . Функции синус и косинус – периодические с периодом 2 , а функции тангенс и котангенс – периодические с периодом . Отсюда следует, что , , , для всех допустимых значений и для всех . 4. Знаки тригонометрических функций. Функция координатной четверти, координатной четверти. Функция координатной четверти, координатной четверти. Функции координатной четверти, координатной четверти. 5. Формулы приведения. Если n = 2k, т. е. n – четное, то Если n = 2k+1, т. е. n – нечетное, то Знак « » после знака равенства зависит от того, в какой четверти лежит угол . Для применения формул приведения достаточно ответить на два вопроса: 1. Сколько раз «взяли» угол ? 2. В какой четверти лежит угол ? Например, , так «взяли» 3 раза – нечетное число раз и угол лежит в IV координатной четверти, где функция < 0. 6. Равенство , справедливое для всех значений, называется основным тригонометрическим тождеством. 25 Из этой формулы следуют еще две формулы: , , 7. Формулы суммы (разности) аргументов. ; ; ; ; при ; при . 8. Формулы двойного аргумента 2 ; ; , при и , Полезно также иметь в виду следующие две формулы, непосредственно вытекающие из пункта 8: ; . 9. Формулы тройного аргумента. ; . 10. Формулы понижения степени. ; . 11. Формулы преобразования симметрических сумм в произведения. ; ; ; ; при ; при . 26 12. Формулы преобразования произведений в суммы. ; ; . 13. Формулы, использующие тангенс половинного аргумента. при . ; при . Аудиторные задания 3.1. Упростите тригонометрические выражения: 3.1.1. (3sin x + 2 x)2 + (2sin x – 3 x)2. 3.2. Вычислите значения тригонометрических функций: 27 Домашнее задание 3.3. Упростите тригонометрические выражения: 3.4. Вычислите значения тригонометрических функций: Ответы: 3.1.1. 13. 3.1.2. 1. 3.1.3. 4. 3.1.4. 1. 3.1.5. –1. 3.2.1. 0,75. 3.2.2. –0,5. 3.2.3. 0,25. 3.2.4. 2( 10+1) 9 . 3.2.5. 3.2.6. 21 . 3.2.7. 0,3. 3.2.8. –0,75. 3.2.9. 3. 3.3.1. 1. 3.3.2. 1 10 . 3.3.3. 1. 3.3.4. 0. 3.4.1. 4. 3.4.2. 0,6. 3.4.3. 5 6 3.4.4. 12 13 . 3.4.5. 4. вычислите 28 ЗАНЯТИЕ 4. Показательные и логарифмические уравнения Показательная функция 1. Показательная функция xy a определена при любом a > 0. Область определения этой функции – множество всех действительных чисел ( x R ). 2. Область значений функции xy a – множество всех действительных положительных чисел, т.е. 0xa для всех x R . 3. При a > 1 функция xy a возрастает (рис. 2) на всей числовой прямой, т. е. 1 21 2 x xx x a a . При 0 < a < 1 функция xy a убывает (рис. 3) на всей числовой прямой, т. е. 1 21 2 x xx x a a . Рис. 2 Рис. 3 Показательные уравнения Уравнение, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным уравнением. Основные типы показательных уравнений и методы их решений I. Уравнение вида ( ) ( ) , 0, 1f x g xa a a a равносильно уравнению ( ) ( )f x g x . II. Для уравнения вида ( ) ( )( ) ( )f x g xh x h x рассматриваются следующие случаи: 1) ( ) ( ), ( ) 1, ( ) 0; f x g x h x h x 2) 0( ) 1,h x x – корень, если 0( )f x и 0( )g x – существуют; 3) 1( ) 0,h x x – корень, если 1( )f x N и 1( )g x N ; y x 0 1 y x 0 1 , 1 xy a a , 0 1 xy a a 29 4) 2( ) 1,h x x – корень, если 2( )f x и 2( )g x – целые числа одинаковой четности; 5) ( ) ( ), ( ) 1, ( ) 0; f x g x h x x h x – корень, если ( )f x и ( )g x – целые. III. Уравнение вида ( ) ( ) ,f x f xa b a b равносильно уравнению ( ) 0f x . IV. Уравнение вида 2 ( ) ( ) 0f x f xA a B a C с помощью замены ( ) , 0f xa t t сводится к квадратному уравнению 2 0A t B t C , решая которое и приме- няя обратную замену находим х. V. Уравнение вида 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 0f x f x g x g xA a B a b C b равносильно уравне- нию 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0 f x f x f x f x a a A B C b b , которое с помощью замены ( ) ( ) , 0 f x f x a t t b сво- дится к квадратному уравнению 2 0A t B t C . Логарифмическая функция 1. Логарифмическая функция logay xопределена при любых 0, 1.a a Область определения этой функции – множество всех положи- тельных действительных чисел 0x . 2. Область значений функции logay x – множество всех действитель- ных чисел y R . 3. При 1a функция logay x возрастает (см. рис. 4), т. е. 1 2 1 2log loga ax x x x . При 0 1a функция logay x убывает (см. рис. 5), т. е. 1 2 1 2log loga ax x x x . Рис. 4 Рис. 5 y x 0 1 y x 0 1 log , 1 ay x a log , 0 1 ay x a 30 Свойства логарифмов При любых 0, 1a a и 0, 1b b справедливы следующие равенства: 1. (основное логарифмическое тождество). 2. log 1 0, log 1a a a 3. log log log ( 0, 0)a a axy x y x y (формула для логарифма произведения). 4. log log log ( 0, 0)a a a x x y x y y (формула для логарифмa частного). 5. log logaa x xдля любых α и β, 0 и х > 0. В частности, 2log 2 log , 0, .na ax n x x n N 6. log log ( 0, 1) log c a c b b c c a (формула перехода к новому основанию). В частности, 1 log log a b b a . 7. log log ( 0, 1)c c b a a b c c 8. log loga bb aa b . Логарифмические уравнения Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим уравнением. Основные типы логарифмических уравнений и методы их решений I. Уравнение вида . II. Уравнение . III. Уравнение вида равносильно системе . IV. Уравнение вида ( )log ( ) ( )h x f x g x равносильно системе: ( )( ( )) ( ), ( ) 0, ( ) 1, ( ) 0. g xh x f x h x h x f x равносильно уравнению равносильно уравнению или, что то же самое, системе 31 Если при решении логарифмического уравнения встретились выражения , и , где – четное число, то они преобразо- вываются соответственно по формулам для логарифма произведения, частного и степени. Во многих случаях при этом сужается ОДЗ исходного уравнения, поэтому существует возможность потерять некоторые из его корней. Следова- тельно, указанные формулы целесообразно применять в следующем виде: , , – четное число. Обратно, если при решении логарифмического уравнения встретились вы- ражения , и , где n – четное число, то они преобразовываются соответственно в выражения , и . Тогда ОДЗ исходного уравнения может расшириться, в силу чего возможно приобретение посторонних корней. Помня об этом, в подобной ситуации необходимо следить за равносильностью преоб- разований и, если ОДЗ расширяется, делать проверку получаемых корней. Аудиторные задания 4.1. Решите уравнения: 4.1.1. . 4.1.2. 4.1.3. 4.1.4. . 4.1.5. . 4.1.6. . 4.1.7. . 4.1.8. . В ответе указать меньший корень. 4.1.9. В ответе указать меньший корень. 4.1.10. В ответе указать меньший корень. 4.1.11. 4.1.12. 4.1.13. . В ответе указать больший корень. 4.1.14. В ответе указать произведение корней. 4.1.15. 32 4.1.16. 4.1.17. В ответе указать целые корни. 4.1.18. 4.1.19. 4.1.20. Домашнее задание 4.2. Решить уравнения: Ответы: 4.1.1. х = 1,5. 4.1.2. х = 3. 4.1.3. х = 6. 4.1.4. х = 1. 4.1.5. х = 3. 4.1.6. х1 = – 0,5, х2 = 1,5. 4.1.7. х = –1. 4.1.8. х = –2. 4.1.9. х = 1. 4.1.10. х = 2. 4.1.11. х = –5,5. 4.1.12. х = 5. 4.1.13. 100. 4.1.14. 10. 4.1.15. х1 = 1000, х2 = 0,1. 4.1.16. х = 32. 4.1.17. 4; 4.1.18. х = 2. 4.1.19. х = 1. 4.1.20. х = 3. 4.2.1. х = 0. 4.2.2. х1 = –1. х2 = 4. 4.2.3. х = 2. 4.2.4. 3 9 log 2 . 4.2.5. х = 3. 4.2.6. х = 100. 4.2.7. х = 2. 4.2.8. х = 1. 4.2.9. х = 1. 4.2.10. х = 79. 4.2.11. х1 = 1 1000 . х2 = 10. 4.2.12. х = 32. 4.2.13. х1 = 3, х2 = 9. 4.2.14. х = 2;0 33 ЗАНЯТИЕ 5 Неравенства Решением неравенства с одной переменной называется значение пере- менной, которое обращает его в верное числовое неравенство. Решить неравенство – значит найти все его решения или доказать, что решений нет. Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называются рав- носильными. Неравенства, имеющие пустое множество решений, также явля- ются равносильными. При решении неравенства пользуются следующими свойствами равно- сильности: 1. Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с проти- воположным знаком, то получится неравенство равносильное ему. 2. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же по- ложительное число, то получится равносильное ему неравенство. 3. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же от- рицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится равносильное ему неравенство. Линейные неравенства Неравенства вида где назы- ваются линейными неравенствами. Алгоритм решения линейного неравенства в общем виде 1. Если а > 0, . 2. Если а < 0, . 3. Если а = 0, . 4. Если а = 0, . Дробно-рациональные неравенства Неравенства вида , где – многочлены переменной х, называются дробно-рациональными неравенствами. 34 Решение дробно-рациональных неравенств методом интервалов Пусть задано неравенство . 1. Раскладываем числитель и знаменатель дроби на множители, т. е. например, представляем дробь в виде: . 2. Наносим нули числителя и знаменателя на числовую ось и расставляем знаки. Причем, если нуль вошел в четной степени, то при переходе через него знак сохраняется, а если нуль вошел в нечетной степени, то при переходе через него знак меняется на противоположный. Пусть в нашем примере k1 и k5 – четные числа, k2, k3, k4 – нечетные и вы- полняются неравенства: х1 < х2 < х3 < х4 < х5, тогда числовая прямая выглядит следующим образом: 3. Если мы решаем неравенство, большее нуля, то выбираем промежутки со знаком «+», если мы решаем неравенство, меньшее нуля, то выбираем про- межутки со знаком «–». В нашем случае решением является объединение промежутков: . Восклицательный знак (!) означает, что при переходе через данный корень необходимо сохранить знак. Замечания 1. Если неравенство нестрогое (≥, ≤), то нули числителя всегда входят в ответ. 2. Нули знаменателя никогда не входят в ответ. 3. При решении неравенства коэффициенты при переменной х всегда дела- ем положительными с помощью свойства 3 равносильности неравенств. Квадратные неравенства Неравенства вида где называются квадратными не- равенствами. Алгоритм решения квадратного неравенства в общем виде Рассматриваем случай , если а < 0, то применяем третье свойство равносильности и опять получаем случай а > 0. х x3 x2 – – + x4 x5 х1 ! ! + + – 35 1. Если , то , где – корни квадратного трехчлена. Тогда, применяя метод интерва- лов, получаем решение неравенства . 2. Если , то , где – корень этого квадратного трехчлена. Очевидно, что решением неравенства яв- ляется объединение интервалов . Замечание Если . 3. Если и а > 0, то парабола располо- жена выше оси Ох, значит решением неравенства является множество . Замечание Если . Рассматриваем случай . Если а < 0, то применяем третье свойство равносильности и опять получаем случай а > 0. 1. Если , то , где – корни квадратного трехчлена. Тогда, применяя метод интерва- лов, получаем решение неравенства . 2. Если , то , где – корень этого квадратного трехчлена. Очевидно, что решением неравенства яв- ляется пустое множество, т. е. . Замечание Если . 3. Если и а > 0, то парабола располо- жена выше оси Ох, значит, решением неравенства является пустое множество, т.е. . Замечание Если . Неравенства, содержащие знак модуля Неравенство, содержащее переменную под знаком модуля, называется не- равенством с модулем. Основные типы неравенств с модулем и методы их решений I. Неравенство вида . Решение: 36 1. Если а ≥ 0, то 2. Если а < 0, то . II. Неравенство вида . Решение: 1. Если а ≥ 0, то 2. Если а < 0, то . III. Неравенство вида . Неравенство равносильно системе IV. Неравенство вида . Неравенство равносильно совокупности системы и неравенства: или . V. Неравенство вида . Решение: . Дальше решаем неравенство, используя метод интервалов. VI. Неравенства вида: 1. 2. , 3. , 4. , 3. , 4. VII. Неравенство вида . Решение: 1. Находим нули каждого модуля, т. е. решаем уравнения . 2. Наносим нули каждого модуля на числовую ось и раскрываем каждый модуль на каждом из полученных промежутков. 3. Решаем неравенство на каждом из полученных промежутков. 37 Иррациональные неравенства Неравенство, содержащее переменную под знаком корня, называется ир- рациональным неравенством. Основные типы иррациональных неравенств и методы их решений I. Неравенство вида . Решение: 1. Если а ≥ 0, то неравенство равносильно системе 2. Если а < 0, то . II. Неравенство вида . Решение: 1. Если а ≥ 0, то неравенство равносильно неравенству ; 2. Если а < 0, то неравенство равносильно неравенству . III.Неравенство вида . Неравенство равносильно системе IV. Неравенство вида . Неравенство равносильно совокупности систем: или V. Неравенство вида . Неравенство равносильно системе VI. Неравенства вида: 1. . Неравенство равносильно системе 2. . Неравенство равносильно системе 3. . Неравенство равносильно совокупности 38 4. . Неравенство равносильно совокупности VII. Неравенство вида с помощью замены сводится к квадратному неравенству , решая ко- торое и применяя обратную замену приходим к неравенствам типа I или II. Показательные неравенства Неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным неравенством. Основные типы показательных неравенств и методы их решений I. Неравенство вида . Решение неравенства основано на свойстве возрастания (убывания) показательной функции . 1. Если а > 1, то знак неравенства сохраняется, т. е. исходное неравенство равносильно неравенству . 2. Если 0 < а < 1, то знак неравенства меняется, т. е. исходное неравенство равносильно неравенству . II. Неравенство вида с помощью замены сводится к квадратному неравенству , решая ко- торое и применяя обратную замену приходим к неравенствам типа I. III. Неравенство вида 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 0f x f x g x g xA a B a b C b равносильно нера- венству 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 0 f x f x g x g x a a A B C b b которое с помощью замены ( ) ( ) f x f x a t b сводит- ся к квадратному неравенству 2 0A t B t C , решая которое и, применяя обратную замену приходим к неравенствам типа I. IV. Неравенство вида ( ) ( )( ) ( )f x g xh x h x равносильно совокупности систем: или 39 Логарифмические неравенства Неравенство, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим неравенством. Основные типы логарифмических неравенств и методы их решений I. Неравенство вида . Решение неравенства основано на свойстве возрастания (убывания) логарифмической функции . 1. Если а > 1, то знак неравенства сохраняется, т. е. исходное неравенство равносильно неравенству . 2. Если 0 < а < 1, то знак неравенства меняется, т. е. исходное неравенство равносильно системе неравенств: II. Неравенство вида равносильно совокупности систем: или Аудиторные занятия 5.1. Решить неравенства: 5.1.1. 2 9 14 0x x . В ответе указать наибольшее целое решение. 5.1.2. 2 2 3 5( 1)( 1) ( 5) 0x x x x . В ответе указать наименьшее целое решение. 5.1.3. 1 1 5x . 5.1.4. 2 2 5 4 0 ( 2)( 2) x x x x В ответе указать наименьшее положительное решение 5.1.5. 2 2 8 0 1 1 1 x x x x . В ответе указать наибольшее целое решение. 5.1.6. 3,5 6x . В ответе указать наибольшее целое отрицательное решение. 5.1.7. 2 2 3 3 3x x x . В ответе указать наибольшее целое решение. 5.1.8. 2 10 2 2x x x . В ответе указать наибольшее целое решение. 5.1.9. 5 2x . В ответе указать наибольшее целое решение. 5.1.10. 2 6 0 8 7 x x x В ответе указать наибольшее целое решение. 5.1.11. (2 ) 3 1 1 1 8 8 2 2 x x x . 5.1.12. ( 3)0,8 0,64x x . 40 5.1.13. 2 5 3log ( ) log (3 3)5 3 x x x . 5.1.14. 2 15 5 4x x . 5.1.15. 22log ( 3 ) 2x x . 5.1.16. 1 3 2 3 log 1 x x . В ответе указать середину промежутка решений. 5.1.17. 21 1 2 2 log 1 1 log 2 x x x . 5.1.18. 2 1 1 2 2 log log 2 0x x . 5.1.19. 2 1 9 log (2 3 1) 1 1 2 x x . 5.1.20. 2 2 2 0,5 ( 2) 0 log ( 1) x x x . Домашнее задание 5.2. Решить неравенства: 5.2.4. . 5.2.5. . В ответе указать наименьшее решение. 5.2.6. . . . 41 Ответы: 5.1.1. 7 . 5.1.2. 4 . 5.1.3. (0; 5). 5.1.4. 1 . 5.1.5. 2 . 5.1.6. {–10}. 5.1.7. {4}. 5.1.8. {2}. 5.1.9. {–2}. 5.1.10. {0}. 5.1.11. 5.1.12. 8; 3 2; 8 . 5.1.13. (1; 3]. 5.1.14. [–4; –3) (0; 1]. 5.1.15. {2}. 5.1.16. {0,5}. 5.1.17. (1; + ∞). 5.1.18. 1 0; 4; 2 . 5.1.19. 1 3 0; 1; 2 2 . 5.1.20. {2}. 5.2.1. 1 ; 1; 2 . 5.2.2. {0};. 5.2.3. 1 ; 2; 3 . 5.2.4. (4; 6). 5.2.5. {–5}. 5.2.6 (–∞;4). 5.2.7 (–1; 7); 5.2.8. (0; 2]; 5.2.9. 3 1; 2 . 5.2.10. (0;3) (243; ). 42 ЗАНЯТИЕ 6 Переменные величины и функции 1. Интервалы. Множество чисел x, удовлетворяющих неравенствам , называет- ся промежутком и обозначается (a, b). Множество чисел x, удовлетворяющих неравенствам a ≤ b называется отрезком и обозначает [a, b]. Промежуток и отрезок носят общее название интервал. Эквивалентные неравенства (при ) при , определяют промежуток, симметричный относительно нуля. 2. Переменные величины и функции. Если каждому значению переменной x поставлено в соответствие одно число, то переменная y, определяемая совокупностью этих чисел, называется однозначной функцией. Переменная x называется при этом аргументом, а дан- ная совокупность значений аргумента – областью определения функции. То, что y есть функция от x, символически записывают в виде y = f(x), или y = F(x) или y = φ(x) и т. п. Символ f(x) или F(x) или обозначает закон соответ- ствия переменных x и y, в частности, он может означать совокупность действий или операций, которые нужно выполнить над x, чтобы получить соответствую- щее значение y. Аудиторные задания 6.1. Построить интервалы переменной х, удовлетворяющей неравенствам: 1) 6.2. Записать неравенствами и построить интервалы изменения переменных: 1) [–1, 3]; 2) (0, 4); 3) [–2, 1]. 6.3. Определить интервал изменения переменной , где t принимает любое значение, большее либо равное 1. 6.4. Построить по точкам на отрезке графики указанных функций. 6.4.1. 1) ; 2) ; 3) . 6.4.2. 1) ; 2) ; 3) . 6.4.3. 1) 2) ; 3) . 6.5. Построить графики функций: 1 ; 2) ; 3) y = . Какую особенность в расположении этих кривых относительно осей координат можно заметить? 43 6.6. Построить на одном чертеже графики функций: 1) ; 2 – по точкам, в которых y имеет наибольшее, наименьшее и нулевое значения. Сложением ординат этих кривых построить на одном и том же чертеже график функции . 6.7. Найти корни x1 и x2 функции и построить ее график на отрезке [x1 – 1, x2 + 1]. 6.8. Построить графики функций: 1) ; 2) ; 3) . 6.9. Найти области определения вещественных значений функций и построить их графики. 6.9.1. 1) ; 2) 6.9.2. 1) ; 2) . 6.9.3. 1) ; 2) 6.9.4. 1) ; 2) . 6.10. 1) f(x) = x2 – x + 1. Вычислить: f(0), f(1), f(–1), f(2), f(a+1); 2) . Вычислить , , . 6.11. . Вычислить: 1) ; 2) . 6.12. ; . Вычислить . 6.13. 6.14. Функция называется четной, если и область опреде- ления симметрична относительно начала координат, и нечетной, если и область определения симметрична относительно начала ко- ординат. График четной функции симметричен относительно оси Оу, график нечетной функции симметричен относительно начала координат. Указать, ка- кие из следующих функций четные и какие нечетные: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) Домашнее задание 6.15. Построить интервалы изменения переменной х, удовлетворяющего нера- венствам: ; ; ; 4) 44 6.16. Определить интервал изменения переменной , где t принимает любое значение, большее либо равное 1. 6.17. Построить графики функций: 1) на отрезке 2) между точками пересечения с осью абсцисс. 6.18. Построить графики функций: 1) на отрезке . 2) на отрезке . 6.19. Построить графики функций: 1) ; 2) . 6.20. Найти область определения функций: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 6.21. . Вычислить ; 2) ; 3) . Вычислить . Вычислить 45 5. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Вариант 1 1. Постройте графики функций: 46 Вариант 2 . 9.Постройте графики функций: 9.3 . 47 Вариант 3 . 9. Постройте графики функций: 9.3 . 48 Вариант 4 ; 9. Постройте графики функций: 9.3. . 49 ЛИТЕРАТУРА 1. 3000 конкурсных задач по математике / Е. Д. Куланин, [и др.]. – М. : Ай- рис-пресс, 2003. – 624 с. 2. Алгебра и начала анализа : учебное пособие для 10 класса общеобразова- тельных школ с углубленным изучением математики / К.О. Ананченко [и др.]. – Минск : Народная асвета, 1996. – 575 с. 3. Ананченко, К. О. Алгебра : учебник для 8 класса общеобразовательных школ с углубленным изучением математики / К.О. Ананченко, Н. Т. Воробьев, Г. Н. Петровский. – Минск : Народная асвета, 1994. – 542 с. 4. Ананченко, К. О. Алгебра и начала анализа : учебное пособие для 11 класса общеобразовательных школ с углубленным изучением математики / К. О. Ананченко, Г. Н. Петровский. – Минск : Народная асвета, 1997. – 375 с. 5. Веременюк, В. В. Математика : пособие для подготовки к централизован- ному тестированию и вступительному экзамену / В. В. Веременюк, В. В. Кожуш- ко. – Минск : ТетраСистемс, 2004. – 128 с. 6. Математика : пособие для подготовки к экзамену и централизованному тестированию / А. И. Азаров [и др.]. – Минск : Аверсэв, 2003. – 396 с. 50 . Учебное издание АНДРИЯНЧИК Анатолий Николаевич ЗУБКО Ольга Леонидовна КАТКОВСКАЯ Ирина Николаевна ЮРИНОК Анатолий Николаевич СОВЕТЫ ПЕРВОКУРСНИКУ Пособие для подготовки первокурснику к изданию математики в вузе Редактор В. О. Кутас Компьютерная верстка А. Г. Занкевич Подписано в печать 2013. Формат 60 84 1/8. Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. ,. Уч.-изд. л. ,. Тираж 400. Заказ 784. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Пр. Независимости, 65. 220013, г. Минск.