МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Сопротивление материалов и теория упругости» ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ Минск БНТУ 2013 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Сопротивление материалов и теория упругости» ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ Минск БНТУ 2013 2 УДК 620.1(076.2) ББК 30.121я7 З-15 Составители: Е. А. Евсеева, С. И. Зиневич, С. В. Соболевский Рецензенты: М. М. Гарост, Л. Р. Мытько З-15 Задачи с решениями по сопротивлению материалов / сост.: Е. А. Евсеева, С. И. Зиневич, С. В. Соболевский. – Минск : БНТУ, 2013. – 138 с. ISBN 978-985-550-136-8. Издание содержит задачи с решениями по дисциплине «Сопротивление материа- лов» и справочный материал, необходимый для решения приведенных задач. Предназначено для студентов строительных специальностей. УДК 620.1(076.2) ББК 30.121я7 ISBN 978-985-550-136-8 © Белорусский национальный технический университет, 2013 3 Содержание Введение…………………………………………………………. 4 Центральное растяжение и сжатие…………………………….. 5 Геометрические характеристики сечений……………………... 19 Кручение…………………………………………………………. 23 Плоский поперечный изгиб…………………………………….. 32 Неразрезные балки……………………………………………… 75 Сложное сопротивление………………………………………… 97 Устойчивость…………………………………………………….. 115 Динамика………………………………………………………… 123 Литература………………………………………………………. 127 Приложения…………………………………………………….. 128 4 Введение Издание содержит подробное решение типовых задач по курсу «Сопротивление материалов». Рассмотрены расчеты прямого бруса при различных видах деформации, включены задачи на кручение, устойчивость и динамическое действие нагрузки. Уделено внима- ние решению статически неопределимых стержневых систем и не- разрезных балок. Данное издание позволит выработать навыки в решении задач кур- са и облегчит самостоятельную работу студентов строительных специ- альностей при выполнении расчетно-проектировочных заданий. 5 1. ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ. З а д а ч а 1.1. Ступенчатый стержень находится под действием внешних сил F. Материал стержня – сталь с модулем продольной упругости E=200 ГПа. Требуется: построить эпюры продольных сил, напряжений и перемещений. Собственный вес стержня не учитывать. F1=60 кН, F2=20 кН, F3=100 кН, F4=30 кН, А1=6 см 2, А2=12 см 2, А3=10 см 2, а=80 см, в=100 см, с=100 см. Рис. 1.1. Схема стержня. Решение. Для определения внутренних усилий разбиваем стержень на участки. Границами участков являются точки продольной оси, со- ответствующие изменению площади поперечного сечения и местам приложения сосредоточенных сил. Определяем, что стержень необ- ходимо разбить на пять участков. Проведем сечение I-I (рис.1.2а). Отбросим нижнюю часть стержня и её действие заменим нормальной силой N1. Запишем уравнение равновесия, проецируя все силы на ось стержня: 011 NFZ , откуда кНNF 6011 . На участке 1-2 нормальная сила N1 постоянна по величине. 6 Проведем сечение II-II (рис.1.2б) и, отбрасывая верхнюю часть стержня, заменяем её действие нормальной силой N2. Про- ецируем все силы на ось стержня: 0221 NFFZ , откуда кНFFN 802060212 . Аналогично находим нормальные силы в сечении III-III (рис.1.2в): 03321 NFFFZ , откуда кНFFFN 2010020603213 . В сечении IV-IV (рис.1.2г): 04321 NFFFZ , откуда кНFFFN 2010020603214 , и в сечении V-V (рис.1. 2д): 05321 NFFFZ , кНFFFFN 5030100206043215 . Рис.1.2. Схема расчета стержня. 7 Рис.1.3.Эпюры нормальных сил, напряжений и перемещений. Откладывая в масштабе значение нормальных сил N1, N2, N3, N4, N5 в пределах соответствующих участков, получаем эпюру нор- мальных сил (рис.1.3а). Знак “плюс” показывает, что в пределах данного участка – растяжение, а “минус” – сжатие. Для построения эпюры нормальных напряжений, воспользуемся формулой: . А N Определим напряжение для каждого участка: МПаПа A N 10010100 106 1060 6 4 3 1 1 1 , МПаПа A N 7,66107,66 1012 1080 6 4 3 2 2 2 , МПаПа A N 7,16107,16 1012 1020 6 4 3 2 3 3 , МПаПа A N 201020 1010 1020 6 4 3 3 4 4 , МПаПа A N 501050 1010 1050 6 4 3 3 5 5 . 8 В масштабе откладываем значение напряжений и определяем, что максимальное значение напряжения достигает на участке I (рис.1.3б). Для построения эпюры перемещений воспользуемся форму- лой: E l AE lN l . Расчёт начинаем с участка V, так как перемещение в заделке отсутствует. Определим изменение длин каждого из участков: мммE l l 1,0101 10200 4,01050 4 9 6 55 5 , ммм E l l 04,0104,0 10200 4,01020 4 9 6 44 4 , ммм E l l 04,0104,0 10200 5,0107,16 4 9 6 33 3 , ммм E l l 17,0107,1 10200 5,0107,66 4 9 6 22 2 , ммм E l l 2,0102 10200 4,010100 4 9 6 11 1 . Перемещение участка V: ммlW 1,055 , участка IV: ммlWW 14,004,01,0554 , участка III: ммlWW 18,004,014,0343 , участка II: ммlWW 01,017,018,0232 , участка I: ммlWW 19,02,001,0121 . В масштабе откладываем значение перемещений (рис.1.3в). З а д а ч а 1.2. Конструкция, состоящая из элементов большой жёсткости и двух стальных стержней с расчетным сопротивлением материала R=210 МПа и модулем продольной упругости E=210 ГПа, загруже- на согласно схеме (рис.1.4). Требуется: подобрать диаметр стержней и выполнить прове- рочный расчет жёсткости, если перемещение точки C не должно превышать 20 мм. 9 F=20кН, q2=10кН/м, q1=5кН/м, а=0,8м, в=1м, [ ]=20мм. Рис. 1.4. Схема стержневой системы. Решение. Для определения усилий в стержнях мысленно разделим стержневую систему на две составляющих. В первую очередь рас- смотрим жёсткий элемент I (рис.1.5), так как при рассечении стержня 1 он теряет первоначальную форму равновесия. Приложим к стержню 1 неизвестную нормальную силу N1 и определим ее зна- чение. Составим уравнение равновесия: 0AM ; 024 11 aNaaq , 08,08,028,045 1N , .32 8,0 6,25 1 кНN Рис.1.5. Схема жесткого элемента I. Определим опорные реакции YA и XA, составив уравнения рав- новесия: ΣY=0, , 10 . Знак «минус» показывает, что направление реакции необ- ходимо заменить на противоположное. ΣX=0, следовательно, XA=0. Рассмотрим жесткий элемент II (рис.1.6), приложив к нему нормальную силу N1, взятую с обратным знаком. Рассечем стержень 2, приложив к нему усилие N2. Рис.1.6. Схема жесткого элемента II. Cоставим уравнение равновесия: 0BM , 02sin5,234 221 aNaaqaNaF , 08,02sin8,05,28,0108,03328,0420 2N , 8,28sin2N . Определим sin . Длина стержня 2 равна: 22 2 2abl 22 6,11 ,89,1 м ,529,0 89,1 1 sin 2l b тогда кНN 8,28529,02 , .44,54 529,0 8,28 2 кНN Подберём диаметр сечения для стержней по расчетному со- противлению R: R A N , R N A . Для первого стержня: 11 ,524,110524,1 10210 1032 224 6 3 1 1 смм R N A 4 2d A , A d 4 , .4,1393,1 14,3 524,14 1 смсмd Для второго стержня: ,59,21059,2 10210 1047,54 224 6 3 2 2 смм R N A .9,1816,1 14,3 59,24 2 смсмd Определим опорные реакции YB и XB , составив уравнения равновесия: ΣY=0, F – N1 – q2·a + N2·sinα + YB = 0, YB = -20 + 32 + 10·0,8 + 54,44·0,529 = - 8,79 кН. ΣX=0, XB + N2·cosα = 0, XB = - N2·cosα, = XB = - 54,44·0,847= - 46,09 кН. Знак «минус» свидетельствует о том, что направление реак- ций YB и XB необходимо заменить на противоположное. Для проведения расчёта на жёсткость, определим удлинение стержней 1 и 2 (рис.1.7): ммм EA lN lDD 2002,0 014,014,310210 421032 "' 29 3 1 11 1 , .7,10017,0 019,014,310210 489,11047,54 "' 29 3 2 22 2 ммм EA lN lКК Составим схему перемещений элементов стержней системы, предположив, что жёсткие брусья будут поворачиваться относи- тельно своих опор, оставаясь прямыми (рис.1.7). Из-за малости перемещений будем полагать, что точки D, E и K, переместятся соответственно в точки D'',E' и K', т.е. перемеще- ния абсолютно жёстких брусьев будет происходить вертикально. Определим перемещение точки D: , sin "' ' DD DD 2"' lDD , мм l DD 21,3 52,0 7,1 sin ' 2 . 12 Рис. 1.7. Схема перемещений стержневой системы. Из подобия треугольников BEE' и BDD' определим переме- щение точки Е: , ' ' BD DD BE EE ,3003,0 6,1 002,04,2' ' ммм BD DDBE EE ,"''" KKKKKK ммEEKK 3'' , ммlKK 7,1"' 2 , ммKK 7,47,13" . Из подобия треугольников АСС'' и АKK'' определим переме- щение точки С: , "" AK KK AC СС ммм AK KKAC CC 8,180188,0 8,0 0047,02,3" " . .208,18 ммСС Жёсткость конструкции обеспечена. З а д а ч а 1.3. Конструкция, состоящая из элементов большой жёсткости и двух стальных стержней с расчётным сопротивлением материала 13 R=210 МПа и модулем продольной упругости Е=210 ГПа, загруже- на согласно схеме (рис. 1.8). Требуется: подобрать диаметр стержней и выполнить прове- рочный расчёт жёсткости, если перемещения точки С не должно превышать 20 мм. F=20 кН, а=1 м, q=12 кН/м, b=1,5м, [δ] = 20 мм. Рис. 1.8. схема стержневой системы. Решение. Определим усилия в стержнях, мысленно разделив стержне- вую систему на 2 составляющих. Рассмотрим жёсткий элемент I (рис.1.9). Приложим к стержню 1 неизвестную нормальную силу N1 и определим ее значение, составив уравнение равновесия: ,0cM ,021 aFaN ,21 aFaN .10 12 120 1 кНN Определим реакцию в шарнире YC: ,0Y ,0201NYc .10кНYc Рис. 1.9. Схема жесткого элемента I. 14 Рассмотрим жёсткий элемент II (рис.1.10), приложив к нему реакцию YC, взятую с обратным знаком. Рис. 1.10. Схема жесткого элемента II. Рассекаем стержень 2 и прикладываем к нему усилие N2. Cоставим уравнение равновесия: ,401410 2 24 sin ,02sin24 ,0 2 2 a aaq N aNaaq MB 6,0 5,2 5,1 sin 2l b тогда кНN 67,66 6,0 40 2 , где Подберём диаметр сечения для стержней по расчётному со- противлению R: ,R A N . R N A Для первого стержня: 15 .8,078,0 14,3 476,04 , 4 , 4 ,475,010476,0 10210 1010 1 2 24 6 3 1 1 смсмd A d d A см R N A Для второго стержня: .0,2 14,3 17,34 ,17,31017,3 10210 1067,66 2 224 6 3 2 2 смd смм R N A Определим опорные реакции XВ и YВ, составив уравнение равновесия: ΣY=0, YB - q·4a + N2·sinα + RC = 0, ,20106,067,661412 кНYB ΣX=0, -XB + N2·cosα = 0, XB = 66,67·0,8=53,34 кН. Для проведения расчёта на жёсткость, определим удли- нение стержня 2 (рис.1.11): .2,5 6,0 1,3 sin ' " ,1,30031,0 018,014,310210 45,21067,66 "' 29 3 2 22 2 мм DD DD ммм EA lN DDl Перемещение точки С в положении С' определяется только удлинением стержня 2. Из подобия треугольников BCC' и BDD'': , "' BD DD BC CC .4,100104,0 2 0052,04" ' ммм BD DDBC CC 16 Рис. 1.11. Схема перемещений стержней системы. ];['CC .204,10 мммм Жёсткость конструкции обеспечена. З а д а ч а 1.4. Система, состоящая из элементов большой жёсткости и двух стальных стержней, загружена расчётной нагрузкой (рис.1.12). Рас- чётное сопротивление материала стержней R=210 МПа. Требуется: проверить прочность стержней. q=10 кН/м, F=20 кН, A1=5 см 2, A2=10 см 2, а=2 м. Рис. 1.12. Схема стержневой системы. Решение. 17 Рис. 1.13. Схема стержневой системы с нагрузкой. Составим расчётную схему стержневой системы (рис. 1.14). Рис. 1.14.Расчетная схема стержневой системы. В схеме N1 и N2 – нормальные силы, возникающие в стержнях ВВ1 и СС1, Yo и Xo – вертикальная и горизонтальная составляющая опорной реакции шарнирно-неподвижной опоры О. Таким образом, имеем 4 неизвестные реакции (N1, N2, Yo, Xo) и три уравнения равно- весия ( ).0;0;0 oMYX Следовательно, данная система является один раз статически неопределимой и для её решения тре- буется составить дополнительное уравнение перемещений. Запишем уравнение равновесия: 03360sin2345sin 01 0 20 aFaNaaqaNM , 18 06206866,024106707,0 12 NN , 040196,5242,4 12 NN , 429,9225,1 12 NN . Данное уравнение имеет 2 неизвестные нормальные силы. Для составления дополнительного уравнения перемещений рассмотрим деформацию системы, предположив, что абсолютно жёсткий элемент BOC при деформации повернётся вокруг опоры О, оставаясь жёстким. Составим схему перемещений (рис.1.15). Рис. 1.15. Схема перемещений стержневой системы. Из подобия треугольников ОСС' и ОВВ' определим: OB BB OC CC '' . Т.к. ОС=ОВ=6м, следовательно , 45sin ' ",";",'' 012 CC CClBBlCCBBCC ,60sin45sin, 60sin ' " 02 0 20 ll BB BB 0 1 110 2 22 60sin45sin EA lN EA lN . Примем, что А1=А, тогда А2=2А. Рассчитаем длину стержней: 19 .487,3,196,549,1 ,866,0 6 707,0 2 24,4 ,24,4 45sin 5,1 ,6 5,0 3 60cos 5,1 1212 12 0201 NNNN AE N AE N м a lм a l Решаем систему уравнений: 12 12 487,3 429,9225,1 NN NN .974,6487,32487,3 ,2,429,9712,4 ,429,9225,1487,3 12 11 11 кНNN кНNN NN Определим напряжение в стержнях: .21097,61097,6 1010 10974,6 ,2104104 105 102 6 4 3 2 2 2 6 4 3 1 1 1 МПаМПаПа A N МПаМПаПа A N Прочность стержней обеспечена. Определим опорные реакции в точке О: ΣY=0, YO - q·2a + N2·sin45 o – N1·cos60 o = 0, YO = 10·4 + 6,974·0,707 - 2·0,5 = 43,93 кН, ΣX=0, -XO + N1 ·sin60 o + N2·cos45 o = 0, XO = 2·0,866 + 6,974·0,707 = 6,663 кН. 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕЧЕНИЙ. З а д а ч а 2.1. Для заданного сечения (рис.2.1), состоящего из прямоугольного листа и прокатных профилей требуетcя: вычислить главные цен- тральные моменты инерции, начертить сечение и показать все оси и размеры. 1. Лист 22 2см, 2. Уголок неравнобокий 125 80 8, 3. Двутавр №18. 20 Рис. 2.1. Схема сечения. Решение. Предварительно рассчитаем и выпишем из сортамента (Приложение 1) геометрические характеристики профилей, состав- ляющих сечение. Геометрические характеристики листа (фигура 1): 442221A см 2, ,67,14 12 222 12 4 33 1 см bh I x .67,1774 12 222 12 4 33 1 см hb I y Геометрические характеристики уголка (фигура 2): 2 2 16смA , ,8,48 4 min2 смI ,83 4 2 смI x ,84,12 смyc ,256 4 2 смI y .05,42 смxc Уголок в составном сечении повернут на 90о, поэтому момен- ты инерции из сортамента меняются местами. Геометрические характеристики двутавра (фигура 3): ,4,23 23 смA ,1290 4 2 смI x .6,82 4 2 смI y Определим положение центра тяжести сечения, предвари- тельно выбрав вспомогательные оси xo и yo. Проведем эти оси через центр тяжести листа и рассчитаем расстояние между осями xo и yo и центральными осями каждого из элементов сечения (рис.2.2). 21 Рис. 2.2. Схема составного сечения с положением главных центральных осей (размеры даны в см). ,26,2 4,83 56,188 4,231644 104,2384,216044 см A S y i x c .33,1 4,83 3,111 4,231644 5,64,2355,216044 см A S x i y c Через центр тяжести фигуры проводим центральные оси xc и yc. Рассчитаем расстояния между осями xc и yc и центральными осями каждого из элементов сечения. Расстояния между осями xi: ,26,21 сма a2 = 2,84 - 2,26=0,58 cм, a3 = -10 - 2,26= - 12,26 см. 22 Расстояния между осями yi: ,33,11 смb ,88,333,155,22 смb .17,533,15,63 смb Определим осевые моменты инерции составного сечения от- носительно центральных осей: 8326,24467,14 2233 2 22 2 11 321 aAIaAIaAII xxxxc 422 97,5134)26,12(4,23129058,016 см , 22 33 2 22 2 11 33,14467,1774321 bAIbAIbAII yyyyc 422 43,3057)17,5(4,236,8288,316256 см . Определим центробежный момент инерции составного сече- ния, предварительно вычислив центробежный момент инерции уголка: ))(( 222222 minmin IIIII yxyx .18,84)8,48256)(8,4883( 4см Перед корнем принят знак «минус», т.к. ось Imin уголка повернута по отношению к оси y2 против часовой стрелки. Центробежный момент инерции всего сечения: 333222111 332211 baAIbaAIbaAII yxyxyxyx сс )17,5()26,12(4,23088,358,01618,8433,126,2440 .26,1495 4см ,0 11yx I ,0 33yx I т.к. фигуры имеют оси симметрии. Определим положение главных центральных осей сечения: ,439,1 43,305797,5134 26,149522 2 cc cc yx yx II I tg ,'12552 o '.4227o Угол откладывает от оси xc по ходу часовой стрелки (рис.2.2). Определим значение главной центральных осей составного се- чения: cccc cc yxyx xx III II I 22 min max 4)( 2 23 22 26,14954)43,305797,5134( 2 43,305797,5134 .34,36412,4096 ,54,773734,36412,4096 4max смI .86,45434,36412,4096 4min смI Проверим правильность вычисления: ,minmax IIII cc yx 5134,97+3057,43=7737,54+454,86. 3.КРУЧЕНИЕ. Задача 3.1. Стальной вал круглого поперечного сечения нагружен скручи- вающими моментами. Расчётное сопротивление материала вала на сдвиг Rc=130 МПа, а модуль сдвига G=80 ГПа. Требуется: 1) подобрать диаметр вала; 2) построить эпюру крутящих моментов и напряжений; 3) построить эпюру углов закручивания; 4) построить эпюру относительных углов закручивания. Рис. 3.1 Схема вала. а=1м, в=0,8м, с=1,2м, ,121 мкНТ ,212 мкНТ ;83 мкНТ ,164 мкНТ .2 24 Рис 3.2.Эпюры крутящих моментов, касательных напряжений, уг- лов закручивания и относительных углов закручивания. Построим эпюру крутящих моментов. При определении крутящих моментов в сечениях вала, принима- ем следующее правило знаков: момент считается положительным, если при взгляде со стороны сечения его направление совпадает с движением часовой стрелки. Участок АВ: .12 мкНТ AB Участок ВС: .92112 мкНТBC 25 Участок СD: .189 мкНТCD Участок DE: .17161 мкНТDE По эпюре определяем максимальный крутящий момент: .17max мкНТ Определим диаметр вала из условия прочности. ; 16 3 maxmax max cR d Т W Т где 16 3d W ; 0873,0 1013014,3 10171616 3 6 3 3 max cR T d м. Определим диаметры вала из условия жесткости. ,max IG Т где , 32 4d I 0548,0 180 2 рад. , 32 4 max dG Т 0792,0 0548,014,31080 10173232 4 9 3 4 max G Т d м. Из двух значений диаметров выбираем большее, округлив до 0,09м: 6 33 1007.143 16 09.014,3 16 d W 3м . Определим касательные напряжения, действующие в сечениях. 26 Участок АВ. 6 6 3 1088,83 1007,143 1012 W Т AB АВ Па=83,88МПа. Участок ВС: 6 6 3 1091,62 1007,143 109 W ТBC ВС Па=-62,91МПа. Участок СD: 6 6 3 1099,6 1007,143 101 W ТCD CD Па=-6,99МПа. Участок DE: 6 6 3 1082,118 1007,143 1017 W ТDE DE Па=-118,82МПа. Построим эпюру касательных напряжений (рис.3.2б). Определим углы закручивания на участках вала. Используем сле- дующую формулу: , IG lТ ; .1079,643 32 09,014,3 32 48 44 м d I 0Е , т.к. угол поворота в заделке отсутствует. 0275,0 1079,6431080 2,11017 89 3 IG сТ DE D рад, ,0294,00019,00275,0 1079,6431080 0,1101 0275,0 89 3 рад IG aТCD DCDDС ,0434,0014,00294,0 1079,6431080 8,0109 0294,0 89 3 рад IG вТ BC DCBCDCB 27 .0155,00279,00434,0 1079,6431080 2,11012 0434,0 0434,0 89 3 рад IG сТ AB DCBABDСВА Построим эпюру углов закручивания (рис.3.2.в). Определим относительные углы закручивания на участках вала. Для расчета используем формулу l ; .0233,0 2,1 0279,0 ,0175,0 8,0 0140,0 ,0019,0 1 0019,0 ,0229,0 2,1 0275,0 рад c рад в рад a рад с AB AB BC BC CD CD D DE Построим эпюру относительных углов закручивания (рис.3.2.г) Наиболее загруженным является участок DE, где МПа13082,118max Условие прочности выполняется. Задача 3.2. Стальной вал круглого поперечного сечения нагружен скручиваю- щими моментами. Расчётное сопротивление материала вала на сдвиг Rc=130 МПа, а модуль сдвига G=80 ГПа. Требуется: 5) подобрать диаметр вала; 6) построить эпюру крутящих моментов и напряжений; 7) построить эпюру углов закручивания; 8) построить эпюру относительных углов закручивания. 28 а=1,2м; в=1,4м; с=0,9м; .2,1 ,14 ,12 ,8 ,16 4 3 2 1 мкНT мкНT мкНT мкНT Рис. 3.3.Схема вала. Эпюры крутящих моментов, касательных напряжений, углов закручивания и относительных углов закручивания. 29 Построим эпюру крутящих моментов. Выберем начало коор- динат в точке А, предположив, что вал имеет защемление в этой точке. Определим величину уравнения неизвестного момента 0T , со- ставив уравнение равновесия: ;0M ;043021 TTTTTT ;01412816 0T .120 мкНT Участок АВ: .16 мкНTAB Участок ВС: .24816 мкНTBC УчастокCD: .22624 мкНTCD УчастокDE: .14122 мкНTDE По эпюре ( рис 3.3а) определяем максимальный крутящий мо- мент: .24max мкНT Определяем диаметр вала из условия прочности. , 16 3 maxmax max CR d T W T где 16 3d W , .098,0 1013014,3 10241616 3 6 3 3 max м R T d C Определим диаметр вала из условия жесткости. IG Tmax , где ; 32 4d I ; 32 .021,0 180 2,1 4 max dG T рад .109,0 021,014,31080 10243232 4 9 3 4 max м G T d 30 Из двух значений диаметров выберем большее, округлив до 0,11м. .102,261 16 11,014,3 16 36 33 м d W Определим касательные напряжения, действующие в сечениях. Участок АВ: .26,611026,61 102,261 1016 6 6 3 МПаПа W TAB АВ Участок ВС: .88,911088,91 102,261 1024 6 6 3 МПаПа W TВС ВС Участок СD: .66,71066,7 102,261 102 6 6 3 МПаПа W TCD СD Участок DE: .59,531059,53 102,261 1014 6 6 3 МПаПа W TDE DE Построим эпюру касательных напряжений (рис. 3.3б). Определим углы закручивания на участках вала. Используем формулу: ; IG lT .1065,1436 32 11,014,3 32 48 44 м d I 0А , (приняли в условии задачи, что т. А является непо- движной). 31 .0287,00109,00396,0 1065,14361080 9,01014 0396,0 0396,0 ;0396,00021,00417,0 1065,14361080 2,1102 0417,0 0417,0 ,0417,00292,00125,0 1065,14361080 4,11024 0125,0 0125,0 ,0125,0 1065,14361080 9,01016 89 3 89 3 89 3 89 3 рад IG cT рад IG aT рад IG вT рад IG cT DE DEDСВЕ CD CDCBD BC ВСВС AB В Построим эпюру углов закручивания (рис. 3.3в). Определим относительные углы закручивания на участках вала. Для расчета используем формулу . l .0121,0 9,0 0109,0 ,0018,0 2,1 0021,0 ,0209,0 4,1 0292,0 ,0139,0 9,0 0125,0 рад c рад a рад в рад c DE DE CD CD ВС ВС B AB Построим эпюру относительных углов закручивания (рис 3.3г). 32 Наиболее загруженным является участок ВС, МПаМПа 13088,91max . Условие прочности выполняется. 4. ПЛОСКИЙ ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ. З а д а ч а 4.1. Для указанной балки построить эпюры внутренних усилий. Выполнить расчёт на прочность. Подобрать двутавровое сечение из прокатного профиля, если R=210 МПа, Rc=130 МПа. m=20 кН·м, q=8 кН/м, F=12кН. Решение. Определим реакции опор. Составим уравнение равновесия: ,0АМ ,0 2 1 ) 2 ()( 2 DА MaqaFа cb cbqmM ,0 2 1 4,284,2128,48,4820 2 AM ;08,170 мкНM А .2,31,0)28,2(8124,28 ,0)(;0 кН cbqFaqY DD D 33 Рис. 4.1. Схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Исходя из направления нагрузок ( 0Z ) определяем, что горизонтальная реакция равна нулю. Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов методом сечений. В точке А: .20,0 мкНMQ AA В точке В: .412820,1628 мкНMкНQ BB В точке С (правее): .16,724,28,4820,4,388,48 мкНMкНQ cC В точке С (левее): .16,72,4,50124,38 мкНMкНQ CC В точке D: ,2,314,284,50 кНQD .08,1702,14,284,2128,48,4820 мкНM D Подберём двутавровое сечение при R=210 МПа. .; maxmax R M WR W M x x Максимальный изгибающий момент Mmax определим по эпю- ре изгибающих моментов (рис.4.1). Mmax = 170,08 кН·м. 34 .9,809108099,0 10210 1008,170 333 6 3 сммWx Пользуясь сортаментом (Приложение 1), выбираем двутавр №40 с Wx=953 см 3. Проверим прочность по нормальным напряжениям: .21046,1781046,178 10953 1008,170 6 6 3 max МПаМПаПа W M x Недогрузка составляет: %.15100 210 46,178210 Проверим прочность по касательным напряжениям: .maxmax bI SQ x отс xY Максимальное значение поперечной си- лы (QY max) определяем по эпюре поперечных сил (рис.4.1). ммbсмIсмSкНQ x отс xY 3,8;19062;545;4,50 43 max (гео- метрические характеристики выбираем из Приложения 1). .13036,171036,17 103,81019062 10545104,50 6 38 63 max МПаМПаПа Прочность двутавровой балки по нормальным и касатель- ным напряжениям обеспечена. З а д а ч а 4.2. Для указанной балки (рис.4.2) построить эпюры внутренних усилий. Подобрать сечение из двух швеллеров из прокатных про- филей, если R=210 МПа, Rc=130 МПа. m=18 кН·м, q=20 кН/м, F=12кН. 35 Рис. 4.2. Схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Решение. Определим реакции опор. Составим уравнение равновесия: ,0 2 1 )()(;0 2 aFвaqmcbamMM DАА ,0312 2 1 520184,818 2D .48,25 кНD ;01818)(12) 2 ()()( ;0 cbc ba вaqcbaM M AD D ;018184,5129,55204,8A .52,62 кНA Проверим правильность определения реакций: ;0)(;0 baqFY DA ;0)23(201248,2552,62 36 Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов методом сечений (рис.5.2). В точке А: .0,52,62 AA MкНQ В точке В (левее): .56,97 2 1 320352,62,52,232052,62 2 мкНMкНQ BB В точке В (правее): .56,97,52,141252,2 мкНMкНQ BB В точке С (левее): .6,86212 2 1 520552,62 ,48,2522052,14 2 мкНM кНQ C C В точке С (правее): .6,104186,86,48,25 мкНMкНQ cC В точке D (левее) .18185908,642,525 18595204,5124,852,62 ;48,25 мкН M кНQ D D В точке Е эпюра поперечных сил пересекает ось z. Определим значение изгибающего момента в этой точке. Определим расстоя- ние Z0: ,726,0 20 52,14 0 м q QB .83,102712,883,13895,232 726,012 2 1 726,320726,352,62 2 мкН ME Подберём сечение в виде двух швеллеров (Приложение 2) при R=210 МПа. .; maxmax R M WR W M x мкНM 6,104max (из эпюры М, рис.4.2). .49810498,0 10210 106,104 333 6 3 сммWx 37 Для одного швеллера: .249 2 498 2 3см Wx Из сортамента (Прило- жение 2) выбираем швеллер №24 с Wx=242 см 3. Для двух швелле- ров Wx= .4842242 3см Проверим прочность по нормальным напряжениям: 21021610216 10484 106,104 6 6 3 max МПаПа W M x МПа. Перегрузка составляет: %8,2100 210 210216 . Проверим прочность по касательным напряжениям: .52,62; max max max кНQ bI SQ Y x отс xY ммbсмIсмS x отс x 6,5,2900,139 43 (геометрические харак- теристики швеллера выбираем из Приложения 2). .1305,53105,53 2)106,5102900( 2101391052,62 6 38 63 max МПаМПаПа Прочность балки, состоящей из двух швеллеров, по нор- мальным и касательным напряжениям обеспечена. З а д а ч а 4.3. Для указанной балки построить эпюры внутренних усилий. Выполнить расчёт на прочность. Подобрать прямоугольное сечение из древесины, если соотношение сторон сечения составляют ,2,16,5,1/ МПаRМПаRвh c m=8 кН·м, q=6 кН/м, F=8кН. 38 Рис. 4.3. Схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Решение. Определим реакции опор. Составим уравнение равновесия: ,0 2 12)(;0 aFmb C cbqm B M B M ,021084 2 1 2,868 2 C .43,51 кНC ;0 2 1 2 1 )(;0 22 mcqbqbmbaFMM BCC ,08 2 1 2,46 2 1 4648610 22B .23,12 кНB Проверим правильность определения реакций: .02,8643,5123,12102,8 ;0 qF Y CB 39 Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис.5.3): В точке А: .0,10 AA MкНQ В точке В (левее): .20210,10 мкНMкНQ BB В точке В (правее): .12820,23,223,1210 мкНMкНQ BВ В точке С (левее): .92,442468423,12610 ,23,264623,2 мкНM кНQ C C В точке С (правее): .92,44,2,2543,5123,26 мкНMкНQ CC В точке D: .81,42,862,443,5182,823,122,1010 ,092,532,8623,1210 мкНM Q D D Подберём прямоугольное сечение, мкНM 92,44max (рис 4.3), ,280810808,2 1016 1092,44 , 333 6 3 maxmax смм R M WR W M x x , 6 96,1)4,1( ,4,1, 322 b b bb Wbh b bh W xx .48,20 96,1 28086 ,96,16 33 смbbWx Округляем 5,20b см, тогда 7,285,204,1h см, ,27,2814 6 7,285,20 6 3 22 см bh Wx МПаПа W M x 96,151096,15 1027,2814 1092,44 6 6 3 max <16 МПа. Недогрузка составляет: %.3,0100 16 96,1516 Проверим прочность по касательным напряжениям: 40 кНQ bI SQ Y x отс xY 23,26, max max max (из эпюры поперечных сил, рис 4.3). ,7,2110 4 7,28 2 7,28 5,20 ,83,40384 12 7,285,20 12 3 4 33 смS см bh I отс x x .267,01067,0 105,201083,40384 107,21101023,26 6 28 63 max МПаМПаПа Прочность деревянной балки по нормальным и касательным напряжениям обеспечена. З а д а ч а 4.4. Для указанной балки (рис.5.4) построить эпюры внутренних усилий. Выполнить расчёт на прочность. Подобрать круглое сече- ние из древесины, если R=16 МПа, RC=2 МПа, m=20 кН·м, q=10 кН/м, F=16кН. Решение. Определим реакции опор. Составим уравнение равновесия: ,0 2 ) 2 ()(,0 aF b bqmb c cqcbMM DBB ,0216 2 2,2 10208,32,3104,5 2 D .67,27 4,5 4,149 кНD ,0 2 ) 2 ()()(,0 c cq mc b bqcbcbaFMM BDD ,0 2 2,3 10203,42,2104,54,716 2 B 41 .67,33 4,5 8,181 кНB Рис.4.4. Схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Проверим правильность определения реакций: .067,2767,332,3102,21016 ,0 ,0 DBcqbqF Y Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. В точке А: ,0,16 AA MкНQ В точке В (левее): .32216,16 мкНMкНQ BB В точке В (правее): .32,67,1767,3316 мкНMкНQ BВ В точке С (левее): .33,172,267,331,12,2102,416 ,33,42,21067,17 мкНM кНQ C C 42 В точке С (правее): .33,372033,17,33,4 мкНMкНQ CC В точке D: .06,12,310204,567,333,42,2104,716 ,67,272,31033,4 D D M кНQ Определим значение изгибающего момента в точке K и М (в этих точках эпюра поперечных сил меняет знак). ,32,16 2 77,1 1077,167,3377,316 2 )( )()( ,77,3 10 67,17 2 2 мкН az azqazzFM м q Q az k kkBkk B k .29,38 2 77,2 1077,267,27 2 ,77,2 10 67,27 2 мкН z zqzYM м q Q z m mmDm D m Подберём круглое сечение. Из эпюры изгибающих моментов (рис.4.4) выберем максимальный изгибающий момент. ,239310393,2 1016 1029,38 , ,29,38 333 6 3 maxmax max смм R M WR W M мкНM x x .99,28 14,3 23933232 , 32 33 3 см W d d W xx Принимаем .2393 32 2914,3 32 ,29 3 33 см d Wсмd x Определим максимальные нормальные напряжения: .161016 102393 1029,38 6 6 3 max МПаПа W M x Проверим прочность по касательным напряжениям: 43 кНQ bI SQ Y x отс xY 67,27, max max max (из эпюры поперечных сил, рис.4.4) ,29,41,202929212,0 8 2914,3 212,0 8 ,97,34700 64 2914,3 64 3 22 4 44 смdbсмd d S см d I отс x x .256,01056,0 10291097,34700 1041,20291067,27 6 28 63 max МПаМПаПа Прочность деревянной балки по нормальным и касательным напряжениям обеспечена. З а д а ч а 4.5. Для указанной балки построить эпюры внутренних усилий и проверить прочность. Поперечное сечение балки – двутавр № 30, R=210 МПа, RC=130 МПа, m=24 кН·м, q=16 кН/м, F=18кН. 44 Рис.4.5. Схема шарнирной балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. 45 Решение. Данная шарнирная балка может рассматриваться как сочета- ние консольной балки DE и подвесной двухопорной балки AD, для которой правой опорой является конец консоли D первой балки. Рассмотрим равновесие подвесной балки AD и определим ее опорные реакции: .04,36 4,8 72,302 ,06,1181,32,616244,8 ,0) 2 ()(4,8,0 ,16,45 4,8 36,379 ,0243,52,6164,6184,8 ,0) 2 ()()()(,0 кН cF cb cbqmMM кН m cb acbqbaFcbaMM AA ADD DD DАА Определим правильность определения опорных реакций: .02,61616,451804,36 ,0)( ,0 Y cbqFY Y DA Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. В точке А: .0,04,36 AA MкНQ В точке В (левее): .29,792,204,36,04,36 мкНMкНQ BB В точке В (правее): .29,552429,79,04,36 мкНMкНQ BВ В точке С (левее): .79,513,26,416248,604,36 ,56,376,41604,36 мкНM кНQ C C В точке С (правее): .79,51,56,191856,37 мкНMкНQ CC В точке D: .06,1181,32,616244,804,36 ,16,456,11656,19 D D M кНQ 46 Рассмотрим консольную балку DE. Реакцию YD прикладыва- ем в точке D с противоположным знаком. Строим эпюры попереч- ных сил и изгибающих моментов с учётом YD. В точке D: .46,383,26,4166,416,45 ,44,286,41616,45 ,0,16,45 мкНM кНQ МкНQ E E DD Определим величину изгибающих моментов в точках K и M (в данных точках эпюра поперечных сил меняет знак, рис.4.5): .73,63 2 )78,16,4( 16)78,16,4(16,45 ,78,1 16 44,28 ,88,95 2 25,2 162445,404,36 ,45,4 16 04,36 2,2 2 2 мкНM м q Q z мкНM м q Q az m E m k B k Проверим прочность балки по нормальным напряжениям: ,472,88,95, 3max max смWмкНMR W M x x .21013,2031013,203 10472 1088,95 6 6 3 МПаМПаПа Недогрузка составляет: %3,3100 210 13,203210 Проверим прочность балки по касательным напряжениям: .16,45, max max max кНQ bI SQ Y x отс xY ,105,6,268,7080 334 мbсмSсмI отсxx - все геометрические ха- рактеристики двутавра № 30 выбираем из сортамента (Приложение 1). 47 .1303,26103,26 105,6107080 102681016,45 6 38 63 max МПаМПаПа Прочность двутавровой балки по нормальным и касатель- ным напряжениям обеспечена. З а д а ч а 4.6. Для указанной балки построить эпюры внутренних усилий и проверить прочность. Поперечное сечение балки – двутавр № 24, R=210 МПа, RC=130 МПа, m=10 кН·м, q=12 кН/м, F=20кН. 48 Рис.4.6. Схема шарнирной балки. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. 49 Решение. Данная шарнирная балка может рассматриваться как сочета- ние балки AD, лежащей на двух опорах и подвесной двухопрной балки DE. Рассмотрим равновесие подвесной балки DE. Определим ре- акции опор: .82,22 2,4 84,95 ,010 2 2,4 122,4 ,0 2 ,0 ,58,27 2,4 84,115 ,010 2 2,4 122,4 ,0 2 ,0 2 2 кН m a aqaMM кН m a aqaMM DD DEE EE EDD Проверяем правильность определения реакций опор: .02,41258,2782,22 ,0;0 Y aqYY ED Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на участке DE шарнирной балки. В точке Е: .10,58,27 мкНMкНQ EE В точке D: .0 2 2,4 122,458,2710 2 ,82,222,41258,27 a aqamM кНQ ED D Определим реакции опор балки AD, приложив в точку D ре- акцию YD, взятую с обратным знаком. 50 .43,18 4,6 952,117 ,04,282,222,2203,42,4124,6 ,0) 2 ()(,0 ,79,34 4,6 656,222 ,08,882,22 2 2,4 122,4204,6 ,0)( 2 )(,0 2 кН cbFb a aqbaMM кН cba a aqaFbaMM AA DACC CC DСАА Проверяем правильность определения реакций опор: .082,222,41279,342043,18 ,0,0 aqFYY CA Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на участке AD шарнирной балки. В точке D: .0,82,22 DD MкНQ В точке С (правее): .768,544,282,22 ,82,22 мкНM кНQ C C В точке С (левее): .768,54,97,1179,3482,22 мкНMкНQ CC В точке В (правее): .434,282,279,346,482,22,97,11 мкНMкНQ BB В точке В (левее): .434,28,97,312097,11 мкНMкНQ BВ В точке А: .0,43,182,41297,31 АA MкНQ Определим координаты точек К и М (zk и zm) : .30,2 12 58,27 ,54,1 12 43,18 м q Q zм q Q z Em A k Вычислим значение изгибающих моментов в точках K и М: 51 .694,32 2 3,2 123,258,27 2 ,152,14 2 54,1 1254,143,18 2 22 22 кН z qzM кН z qzM m mEm k kAk Проверим несущую способность балки: .max R W M x Для двутавра № 24 из сортамента (Приложение 1) выпишем значение момента сопротивления: мкНMсмWx 768,54,289 max 3 (из эпюры изгибающих мо- ментов, рис.5.6). .2105,189105,189 10289 10768,54 6 6 3 МПаМПаПа Прочность балки по нормальным напряжениям обеспечена. Проверим прочность балки по касательным напряжениям: ;maxmax C x отс xY R bI SQ Для двутавра № 24 выпишем из сортамента (Приложение 1) геомет- рические характеристики сечения: ,58,27,6,5,163,3460 max 34 кНQммbcмSсмI Y отс xx .1302,23102,23 106,5103460 101631058,27 6 38 63 max МПаМПаПа Прочность балки по касательным напряжениям обеспечена. З а д а ч а 4.7. Для указанной шарнирной балки построить эпюры внутренних усилий и проверить прочность. Поперечное сечение балки - дву- тавр № 24, R=210 МПа; RC=130 МПа, m=16 кН·м, q=8 кН/м, F=12кН. Решение. Данная балка может рассматриваться как сочетание балок КЕ, ЕС, последовательно лежащих на консоли АС. 52 Рассмотрим равновесие подвесной балки КЕ. Определим ре- акции опор: .25,4 6,2 04,11 ,016 2 6,2 86,2 ,0 2 ,0 ,55,16 6,2 04,43 ,016 2 6,2 86,2 ,0 2 ,0 2 2 кН m b bqbMM кН m b bqbMM EE EKK KK КЕЕ Проверим правильность определения реакций опор: ,0Y .06,2825,455,16 Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на участке КЕ шарнирной балки (рис.4.7). В точке K: .16,55,16 мкНMкНQ КК В точке E: .016 2 6,2 6,286,255,16 ,25,46,2855,16 Е Е M кНQ Рассмотрим равновесие подвесной балки СЕ. Определим реакции опор. Реакцию YE прикладываем к балке с обратным знаком. .25,4,0,0 ,7,59 2,3 04,191 ,02,3 2 4,6 84,625,4 ,0 2 2 22,0 2 кНccMM кН c с сqсMM ECECDD DD DЕСС 53 Рис.4.7. Схема шарнирной балки и эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. 54 Проверяем правильность определения реакций опор: .025,425,44,687,59 ,02,0 DCD cqYY Cтроим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на участке CE шарнирной балки: В точке E: .0,25,4 EE MкНQ В точке D (правее): .56,54 2 2,3 82,325,4,85,292,3825,4 2 мкНMкНQ DD В точке D (левее): ,56,54,85,297,5985,29 мкНMкНQ DD В точке С: .02,37,59 2 4,6 84,625,4 ,25,42,3885,29 2 C C M кНQ Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов на консольной балке АС: В точке С: .0,25,4 СС MкНQ В точке B (правее): .05,116,225,4,25,4 мкНMкНQ BB В точке B (левее): .05,11,75,71225,4 мкНMкНQ BB В точке A: .75,12,1128,325,4 ,75,7 мкНM кНQ А A Определим момент в точке L (эпюра поперечных сил меняет знак): .19,1 2 07,2 81607,255,16 2 ,07,2 8 55,16 22 мкН z qmzM м q Q z L LKL K L Проверим несущую способность балки: ,max R W М x мкНM 56,54max (из эпюры изгибающих 55 моментов, рис.4.7), .2108,188108,188 10289 1056,54 ,289 6 6 3 3 МПаМПаПа cмWX Прочность балки по нормальным напряжениям обеспечена. Проверим прочность балки по касательным напряжениям: ,maxmax C x отс xY R bI SQ Для двутавра №24 из сортамента (Приложение 1): ,85,29 ,6,5,163,3460 max 34 кНQ ммbсмSсмI Y отс xx .1301,25101,25 106,5103460 101631085,29 6 38 63 max МПаМПаПа Прочность балки по касательным напряжениям обеспечена. З а д а ч а 4.8. Для заданной рамы (рис 4.8) построить эпюры внутренних усилий, если m=20 кН·м, q=12 кН/м, F=10кН. Решение. Определим реакции опор, составив уравнение равновесия: ΣМА = 0: ,0 2 )( )()( 2ba qmmcaFcFcbaYM KA .43,5 6,6 84,35 ,0 2 2,4 1220206,4104,2106,6 2 кНY Y K K 56 .97,44 6,6 8,296 ,02,21020205,42,4126,66,420 ,0) 2 ()()()( :0 кНY Y aFmmc ba baqcbaYcaXM M A A AAK K Рис.4.8 Схема рамы и эпюра продольных сил. Проверим правильность определения опорных реакций: 57 .043,597,442,412)( ,0 KA YYbaqY Y Рис.4.9 Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Построим эпюру продольных сил (рис.4.8): Участок АВ: );(20 сжатиекНNAB Участок BD: );(101020 сжатиекНNBD Участок KD: ).(43,5 растяжениекНNKD Построим эпюры поперечных сил (рис.4.9): Участок АВ: 58 в точке А: ,97,44 кНQA в точке В: .57,182,21297,44 кНQB Участок BD: в точке С: ,43,521257,18 кНQC в точке D: .43,5 кНQD Участок ЕD: в точке Е: ,10кНQE в точке D: .10кНQQ ED Участок LB: в точке L: ,10кНQL в точке В: .10кНQB Построим эпюру изгибающих моментов (рис.4.9): Участок АВ: ,894,6904,29934,98 2 2,2 2,2122,297,44,0 мкНMM BA (растянутые волокна снизу) Участок LВ: ,20 мкНM L (растянутые волокна слева) ,266,41020 мкНMB (растянутые волокна справа) Участок BС: мкНMB 894,4326894,69 (растянутые волокна снизу). Участок КD: ;0KM ,244,210;0 мкНMM DL (растянутые волокна справа). Участок DC: 59 ,24 мкНМD (растянутые волокна снизу) ,032,374,243,524)( мкНправееMC ,032,5720032,37)( мкНлевееMC (растянутые волокна сни- зу). Определим ,853,2 12 43,5 4,2: м q Q cz Co .,261,58 231,1492,1544 2 453,0 12853,243,5204,210 2 0 снизуволокнарастянутыемкН М Задача 4.9. Для заданной рамы (рис 4.10) построить эпюры внутренних усилий, если m=16 кН·м, q=10 кН/м, F=20кН. Решение. Определим реакции опор: ,0AM 60 .0 2 2,4 10162,420)2,41,1(707,0 707,0 2,2 10 )2,41,1(707,0 707,0 2,2 1016 2 ) 2 (45sin 45cos ) 2 (45cos 45cos 2 2 0 0 0 0 A A M a qaFmd cc q a bc qmM ,0 ;84 ,02,410202,21045cos 45cos ,0 0 0 X кНY УaqF c qY Y A A .222,210 ,045sin 45cos 0 0 кНХ c qХX A A Построим эпюру продольных сил (рис.4.10): Участок DE: ,0DE NN Участок CD: ,222,21015sin 45cos 0 0 кН c qND (растяжение). Участок АС: ,2245cos 45cos 0 0 кН c qNNN ABC (растяжение). Построим эпюры поперечных сил (рис 4.11): Участок DE: .12,31 707,0 2,2 10 ,0 кНQ Q D E 61 Рис. 4.10. Схема рамы и эпюра продольных сил. Участок CD: ,22707,0 707,0 2,2 10 кНQD .22кНQC Участок BC: ,22707,0 707,0 2,2 10 кНQC .22кНQB Участок АВ: .842,41042,422022 кНQкНQ AB Построим эпюры изгибающих моментов (рис.4.11): 62 Рис. 4.11. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Участок ED: ,16 мкНME (растянутые волокна слева), ,42,64 707,0 1,1 707,0 2,2 1016 мкНMD (растянутые волокна сле- ва). Участок СD мкНМD 42,64 : (растянутые волокна слева), мкНМС 6,1323,5707,0 707,0 2,2 1016 (растянутые волок- на слева). Участок СВ: 63 ,6,116166,132 мкНMC (растянутые волокна снизу), ,6,116 мкНMB (растянутые волокна снизу). Участок ВА: МВ = 116,6 кН·м, (растянутые волокна снизу). )2,41,1(707,0 707,0 2,2 1016)2,41,1(707,0 707,0 2,2 1016АM мкН2,172 2 2,4 2,4102,420 (растянутые волокна). Задача 4.10 Балка нагружена расчетной нагрузкой. Материал балки – сталь с расчетными сопротивлениями R=210МПа, МПаRC 130 и моду- лем продольной упругости Е=200ГПа. Требуется: 1) подобрать сечение двутаврового профиля и проверить прочность в учетом собственного веса; 2) в одном из сечений балки, имеющем одновременно большие значения поперечной силы Q и изгибающего момента M, опреде- лить напряжения σ и τ на уровне примыкания полки к стенке и про- верить прочность используя энергетическую теорию прочности; для сравнения выполнить проверку прочности по третьей теории проч- ности; выделить вокруг указанной точки элемент балки и показать на схеме нормальные, касательные и главные напряжения; 3) используя один из известных методов, определить прогибы по- середине пролета и на конце консоли, построить эпюру прогибов бал- ки; 4) проверить жесткость балки при допустимом относительном прогибе: 64 . 200 1max  а=2 м, b=3 м, с=2 м, d=4 м, F=20 кН, M=10 кНм, q=12кН/м. Рис. 4.12. Схема балки. Определим опорные реакции в балке и построим эпюры попереч- ных сил и изгибающих моментов. Составим уравнение равновесия: 0АМ ; ;0) 2 )(()( )()( mа св свqвaF свaYdсвaFМ DА ,0105,451252071120 DY .857,22 7 160 кНD ;0DМ 0 2 )( )( 2 dFcF св qmсвaYМ AD .143,37 7 260 кНYA Осуществляем проверку правильности определения опорных реак- ций: ;0Y .02020512143,37857,22)( FFсвqYYY BA Строим эпюру поперечных сил (рис 4.13): ;143,37 кНYQ AA ;143,37 кНQQ AB 65 ;143,136143,37)( кНвqQQ AлевееC ;857,1820143,1)()( кНFQQ левееCправееC ;857,42212857,18)()( кНcqQQ правееCлевееD .20 ;20857,22857,42)()( кНQ кНYQQ K DлевееDправееD 66 Рис.4.12. Схема балки. Эпюры поперечных сил и изгибаю- щих моментов 67 Рис.4.13. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов от собственного веса балки. Строим эпюру изгибающих моментов (рис 4.13): .0 ,80220 2 512 7143,3710 2 )( )( ,715,141 2 3 125143,3710 2 )( ,286,842143,3710 ,10 2 2 22 К D AС AВ А М мкН cF св qсвaRmМ мкН в qвaYmМ мкНaYmМ мкНmМ . Подберем сечение балки в виде двутавра, используя следующее условие прочности: ;max R W M X откуда требуемый момент сопротивления. 68 ;67410674,0 10210 10715,141 333 6 3 max смм R M WX мкНM 715,141max (согласно эпюре изгибающих моментов). Пользуясь сортаментом (Приложение1), выбираем двутавр №36: ;743 3смWX ;13380 4смIX ;423 3смSотсx мНq /486 (собственный вес балки); ;5,7 ммв .9,61 2смА Проверим прочность балки с учетом собственного веса. Определим опорные реакции от действия собственного веса балки (q=0,486кН). ;0АМ ;0 2 )( )( 2dсвa qсвaYМ DА ;0 2 11 486,07 2 DY .200,4 7 403,29 кНYD ;0DМ ;0 22 )( 7 22 d q cвa qYM AD ;0 2 4486,0 2 7486,0 7 22 AY ,146,1 7 019,8 кНYA .0146,12,411486,0)( DA YYdсвaqY Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. ;146,1 кНYQ AA ;256,27486,0146,1)()( кНсвaqYQ AлевееD ;944,12,4256,2256,2)( кНYQ DправееD .0KQ .0АМ ;885,3 2 7486,0 7146,1 2 )( )( 22 мкН свaq свaYМ AD ;358,2 486,0 146,1 м q QA N .0КМ 69 ;343,1 2 358,2486,0 352,2146,1 2 22 мкН Zq ZYM NNAN .345,0 2 5486,0 5146,1 2 )( )( 22 мкН вaq вaYМ AС Усилия в балке с учетом собственного веса: .370,141345,0715,141 ;123,45256,2867,42 max max мкНМ кНQ Прочность балки с учетом собственного веса: C X отс xy X X RМПа Па Iв SQ RМПаПа W M 02,19 1002,19 1013380105,7 1042310123,45 2,190102,190 10743 10370,141 6 83 63 max max 6 6 3 max Прочность балки с учетом собственного веса обеспечена. Проверим прочность балки по главным напряжениям. Выберем опасное сечение балки, в котором имеется сочетание максималь- ного изгибающего момента и поперечной силы. (точка С): ;715,141 мкНМС .857,18 кНQC Проведем анализ сечения. Определим нормальные и касательные напряжения в точке 1 (сжатие): Рис.4.15. Сечение балки. Эпюры нормальных и касательных напря- жений. 70 Паy I М МПа Паy I М X Х X Х 62 8 3 22 62 8 3 11 106,1771077,16 1013380 10715,141 ;6,190 106,1901018 1013380 10715,141 ;6,177 МПа (сжатие) ;03 ,6,17724 МПа (растяжение); ,6,19015 МПа (растяжение); ;01 т.к. ;0 отс xS ;857,18 кНQс ;3,0 103,0 1013380105,14 1006,31010857,18 6 82 63 1 2 МПа Па Iв SQ X отс xс ,06,310385,175,1423,1) 22 ( 31 см th вtSотсх (статический момент площади сечения выше точки 2). ,83,5 1083,5 10133801075,0 1006,31010857,18 6 82 63 2 МПа Па Iв SQ X отс xс ,95,71095,7 10133801075,0 1042310857,18 6 82 63 3 МПаПа Iв SQ X отс хc 3423смSотсх - статический момент площади половины сечения двутавра. Определим экстремальные касательные напряжения в точке 2 се- чения: ;99,888,88 83,546,177 2 1 2 6,177 4 2 1 2 2222 min max 71 .79,177 ,19,0 min max МПа МПа Главные напряжения: .79,177 ,0 ,19,0 3 2 1 МПа МПа Проведем полную проверку прочности балки, используя энергети- ческую теорию прочности: ;89,177)79,177()79,17719,0()19,0( 2 1 )()()( 2 1 222 2 32 2 31 2 210 RМПа Прочность балки по главным напряжениям обеспечена. Построим эпюры нормальных и касательных напряжений, дей- ствующих в поперечном сечении балки (рис 4.15). Рассчитаем главные напряжения, действующие в сечении С. 22 min max 4 2 1 2 Для точки 1: ;6,190 МПа ;0 ,0max ;6,190min МПа Для точки 2: ;6,177 МПа ;3,0 МПа ;)3,0(4)6,177( 2 1 2 6,177 22 min max ,0max ,6,177min МПа ;6,177 МПа ;83,5 МПа 22 min max )83,5(4)6,177( 2 1 2 6,177 ;79,177max МПа ;19,0min МПа Для точки 3: ;0 ;95,7 МПа 72 ,)95,7(4 2 1 2 min max ,95,7max МПа .95,7min МПа ;6,177 МПа .83,5 МПа Для точки 4: 22 min max )83,5(4)6,177( 2 1 2 6,177 ;79,177max МПа ;19,0min МПа ;6,177 МПа ;3,0 МПа 22 min max )3,0(4)6,177( 2 1 2 6,177 ;6,177max МПа .0min Для точки 5: ;6,190 МПа ;0 ,0min .6,190max МПа Рассчитаем максимальные касательные напряжения, действующие в сечении: .4 2 1 22 max Для точки 1: ;6,190 МПа ;0 .3,95)6,190( 2 1 2 max МПа Для точки 2: ;6,177 МПа ;3,0 МПа ;8,88)3,0(4)6,177( 2 1 22 max МПа ;6,177 МПа ;83,5 МПа .99,88)83,5(4)6,177( 2 1 22 max МПа Для точки 3: ;95,7 ;0 МПа 73 ;95,7)95,7(4 2 1 2 max МПа Построим эпюру максимальных касательных напряжений (рис. 4.15). Построим упругую линию балки, используя метод начальных па- раметров. Обобщенное уравнение изогнутой оси имеет вид: 6 )( 2 )( )( 32 0 czqвzF azmEIEI XX 24 )( 6 )( 2 )( 432 00 czqвzFazm zEIEIEI XXX , где а, в и с - координаты соответствующих нагрузок. Рис 4.16. Упругая линия балки. Для определения начальных параметров 0 и 0 зададимся усло- вием, что прогиб на опоре D равен 0. Запишем уравнение прогибов для Z=7м: 74 .79,291 ;0 24 2712 6 )57(20 2 )07(10 6 )07(143,37 7 ;0 24 )27( 6 )57( 2 )07( 6 )07( 7 0 4223 0 43 23 )7( X X A XмZX EI EI qF my EIEI Определим прогиб в середине пролета при Z=3,5м: . 13,697 24 )25,3(12 2 )05,3(10 6 )05,3(143,37 5,379,291 24 )25,3( 2 )05,3( 6 )05,3( 5,3 42 3 423 0)5,3( X A XмZX EI qmR EIEI .6,2026,0 101338010200 1013,697 89 3 )5,3( смммZ Определим прогиб в конце пролета при Z=11м: . 17,2006 6 )711(857,22 6 )511(20 24 )711(12 24 )211(12 2 )011(10 6 )011(143,37 1179,291 6 )711( 6 )511( 24 )711( 24 )211( 2 )011( 6 )011( 11 334 423 334 423 0)11( X D A XмZX EI yFq qmR EIEI Так как распределенная нагрузка q действует не до конца балки, то продляем ее до точки К, приложив на участке DK q с обратным знаком. .5,7075,0 101338010200 1017,2006 89 3 )11( смммZ Определим углы поворота на опорах: 75 .0109,0 101338010200 1079,291 89 3 )0( радZ Переведем в градусы, умножив на : 180 .63,0 14,3 1800109,0 )0(Z .21,398 6 )27(12 2 )57(20 2 )07(143,37 )07(1079,291 6 )27( 2 )57( 2 )07( )07( 3 22 322 0)7( qFy mEIEI AZX .85,0 14,3 180015,0 ;015,0 101338010200 1021,398 )7( 89 3 )7( Z Z рад Определим максимальный относительный прогиб в пролете балки: 200 1 269 1 700 6,2max l Условие жесткости выполняется. 5. НЕРАЗРЕЗНЫЕ БАЛКИ. Задача 5.1. Многопролетная (неразрезная) балка нагружена расчетной нагрузкой. Материал балки – сталь с расчетным сопротивлением R=210МПа, Rc=130МПа и модулем упругости Е=210ГПа, m=12 кН·м, q=8 кН/м, F=10кН, а = 1м. Для данной балки требуется: - построить эпюру поперечных сил и изгибающих моментов; - подобрать сечение из прокатного двутавра; - определить прогибы посредине каждого пролета и показать на схеме балки очертание ее изогнутой линии. 76 Решение. При расчете неразрезных балок удобно в качестве основной при- нимать систему, получаемую из заданной врезанием на промежу- точных опорах шарниров. При таком выборе основной системы не- разрезная балка распадается на отдельные однопролетные балки, имеющие по одной общей опоре. Лишними неизвестными являются изгибающие моменты в опорах сечения, которые определяются из условий отсутствия взаимных углов поворота сечений над шарни- рами. Эпюры моментов от заданных нагрузок и опорных единич- ных моментов в каждом пролете строятся, как для свободной дву- хопорной балки (рис, 5.1). Находим степень статистической неопределимости системы. Балка имеет две избыточные связи. В качестве основной принимаем систему с врезанными на опо- рах В и С шарнирами (рис.5.1). Рис. 5.1. Схема неразрезной балки. Основная система. Строим эпюры изгибающих моментов от заданных нагрузок для каждого из участков балки. Участок АС ,0ВМ 022 maaqaYc , 0121282cY , кНYc 2 2 4 . 77 0сМ , 022 maaqаYB , 0121282AY , .14 2 28 кНYВ .028214Y 78 Рис. 5.2. Грузовые и одиночные эпюры, построенные в основной системе. Рис. 5.3. Схема элементов балки с рассчитанными неизвестными. Рис. 5.4. Схема балки и эпюры поперечных сил и изгибающих мо- ментов. Линия прогибов балки. Строим эпюру изгибающих моментов (рис.5.2): 79 МА= -12кН· м, МВ=12кН ·м, Мс=0. Определим экстремальное значение изгибающего момента в про- лете: ,25,0 8 2 1 м q Q Z B ,25,0 2 25,0 825,02 2 22 1 мкН z qzYМ CZ Участок CD: .12 2 38 2 3 кН aq YY DC Строим эпюру изгибающих моментов (рис.5.2): Мс=МD=0. Определим момент посредине пролета ( мz 5,12 ): .9 8 38 8 3 2 2 2 мкН aq M Z Участок DE: .5 2 10 2 кН F YY KD Строим эпюру изгибающих моментов (рис.5.2): .515 ,0 мкНaYM MM DE KD Построим единичные эпюры от опорных единичных моментов (рис.5.2): Х1=Х2=1. Канонические уравнения метода сил будут иметь следующий вид: .0 ,0 2222121 1212111 F F XX ХХ Вычислим площади грузовых и единичных эпюр: 80 .112 2 1 ,5,113 2 1 ,112 2 1 ,5,215 2 1 ,5,215 2 1 ,1839 3 2 ,33,524 3 2 ,4 8 28 8 ,12212 2 1 9 876 2 54 2 54 2 3 2 2 22 1 2 1 м мм мкНмкН мкНмкН мкН ql fмкН Определим значение ординат единичных эпюр, расположен- ных под центрами тяжести соответствующих им грузовых эпюр: , 3 2 1 3 2 , 2 1 1 2 1 ', 2 1 1 2 1 , 3 1 1 3 1 943321 уууууу . 3 1 1 3 1 ', 3 2 1 3 2 , 3 1 1 3 1 ', 3 2 1 3 2 ,; 3 2 1 3 2 , 3 1 1 3 1 88 7765 уу уууу Применяя правило Верещагина, определим коэффициенты кано- нического уравнения метода сил: . 5,6 3 1 5,2 3 2 5,2 2 1 18 1 ' 1 , 66,7 2 1 18 2 1 33,5 3 1 12 11 , 67,1 3 2 1 3 2 5,1 11 , 5,0 3 1 5,1 1 ' 1 , 67,1 3 2 5,1 3 2 1 11 5544332 3322111 998822 772112 776611 XXX F XXX F XXX ХXX XXX EIEI yyy EI EIEI yyy EI EIEI yy EI EIEI y EI EIЕI уу ЕI 81 Если грузовая и единичная эпюры имеют разные знаки, то перед произведением площади эпюры на ординату под центром ее тяже- сти ставится знак «минус». Решаем систему канонических уравнений: .77,2,76,3 .05,667,15,0 ,066,75,067,1 .0 5,667,15,0 ,0 66,75,067,1 21 21 21 1 21 мкНХмкНX XX XX EIEI X EI EI X EI X EI XXX XXX Для построения эпюры поперечных сил определим реакции опор. Рассмотрим равновесие всех пролетов раздельно, приклады- вая к ним, кроме заданной нагрузки, найденные опорные моменты (рис.5.3, 5.4). Участок АС: .02812,1288,3 .12,12 2 24,24 ,076,3128122 ,022 ,0 .88,3 2 76,7 ,076,3128122 ,022 ,0 Y кНYY maaqmaY M кНYY maaqmaY M BB BB C CC BC B Участок CD: 82 .03833,1267,11 .33,12 3 99,36 ,077,25,13876,33 ,05,133 ,0 .67,11 3 01,35 ,077,276,35,1383 ,05,133 ,0 Y кНYY maaqmaY M кНYY mmaaqaY M CC CBC D DD CBD C Участок DK: .01061,339,6 .61,3 2 23,7 ,077,21102 ,02 ,0 .39,6 2 77,12 ;077,21102 ;02 ,0 Y кНYY maFaY M кНYY maFaY M DD CD K KK CK D Заменяя опоры реакциями, строим эпюру поперечных сил. На опорах C и D суммируем реакции (рис. 5.4). .39,61061,3)( ,61,306,867,11)( ,67,113833,12)( ,33,1221,1688,3)( ,88,32812,12)( ,12,12 кНлевееQ кНправееQ кНлевееQ кНправееQ кНлевееQ кНQ E D D C C B 83 Строим эпюру изгибающих моментов (рис. 5.4): .0521,1610206,85,458712,1212 ,38,6421,16106,85,358612,1212 ,77,2321,165,258512,1212 ,76,3128212,1212 ,12 ,12 K E D C B A M мкНM мкНM мкНM мкНM мкНM Определим значение изгибающих моментов в точках z1 и z2: .762,5541,121,16 2 541,3 8541,312,1212 ,541,1 8 33,12 .82,2 2 515.18 515,112,1212 ,515,1 8 12,12 2 2 2 1 2 1 мкНM м q Q z мкНM м q Q z Z C Z B Проведем проверку правильности расчетов. Перемножаем окон- чательную эпюру изгибающих моментов на единичные (рис. 5.5). Рис.5.5 Эпюра изгибающих моментов и единичные эпюры. 84 .19,3138,6 2 1 ,385,1177,2 2 1 ,1839 3 2 ,9 8 38 8 ,155,4377,2 2 1 ,64,5376,3 2 1 ,76,3276,3 2 1 ,33,524 3 2 ,4 8 28 8 ,12212 2 1 2 98 2 7 2 6 22 2 2 5 2 4 2 3 2 2 22 1 2 1 мкНмкН мкНмкН ql f мкНмкН мкНмкН мкН ql fмкН . 3 1 1 3 1 , 3 2 1 3 2 , 6 5 1 3 2 2 1 3 1 , 2 1 1 2 1 , 3 2 1 3 2 , 3 1 1 3 1 , 2 1 1 2 1 , 3 1 1 3 1 , 3 2 1 3 2 , 3 2 1 3 2 , 2 1 , 3 1 1 3 1 987 6546 54321 yyy yyyy yyyyy .0 3 1 19,3 3 2 19,3 6 5 385,1 2 1 18 3 2 55,4 3 1 64,5 1 ,0 2 1 18 3 1 155,4 3 2 64,5 2 1 33,5 3 2 76,3 3 1 12 1 2 1 X F X F EI EI Подберем сечение в виде двутавра: ,max R W M X .5710057,0 10210 1012 333 6 3 max смм R M WX Используя сортамент (Приложение 1), выбираем двутавр №12, Wх=58,4см3. .5,205105,205 104.58 1012 6 6 3 max МПаПа W M X Недогрузка балки составляет: %.15,2100 210 5,205210 Проверим балку по касательным напряжениям: 85 .48,0,350,7,33 .7,24 1055,18 1048,010350 107,331033,12 43 6 28 63 max max смbсмIcмS RМПа Па вI SQ x отс x C x отс xY Определим прогибы посредине каждого пролета балки. Для этого в основной системе в каждом пролете приложим единичную силу и построим единичные эпюры (рис.5.6, 5.7, 5.8, 5.9 ). Осуществим перемножение грузовой эпюры на единичную. Рас- смотрим каждый участок балки: Рис.5.6. Грузовая и единичная эпюры. Участок АС Определим площади элементов эпюры изгибающих моментов и значения ординат под их центрами тяжести. .4 8 28 8 ,33,524 3 2 3 2 ,76,3276,3 2 1 ,12212 2 1 ,12112 2 1 2 14 2 3 2 2 2 1 мкН ql f мкНlfмкН мкНмкН 86 . 2 1 1 2 1 , 3 1 1 3 1 , 3 2 1 3 2 , 2 1 4321 уууу Прогиб в точке А равен: . 588,12 2 1 33,5 3 1 76,3 3 2 12 2 1 12 1 1 44332211 XX X А EIEI уууу EI Участок ВС. Определим величину изгибающего момента в точке L: .88,30518112,1212 мкНML Рис.5.7. Грузовая и единичная эпюры участка балки ВС. Площади элементов эпюры и ординаты под центрами их тяжести рассчитываем аналогично: ,88,1176,3 2 1 ,94,1188,3 2 1 ,1 8 18 8 , 3 2 11 3 2 3 2 ,94,1188,3 2 1 ,6112 2 1 2 9 2 8 22 2 2 27 2 6 2 5 мкНмкН мкН ql fмкНlf мкНмкН 87 .1 , 3 2 11 3 2 3 2 23 2 310 мкНff мкНlf Прогиб в точке L равен: . 273,2 4 1 3 2 6 1 88,1 3 1 94,1 4 1 3 2 3 1 94,1 6 1 6 1 1 10109988776655 XX X L EIEI yyyyyy EI , 3 1 2 1 3 2 , 6 1 2 1 3 1 8695 yyyy . 4 1 2 1 2 1 67 yy Рис.5.8. Грузовая и единичная эпюры участка балки СD. Участок СD Определим значение изгибающего момента в точке N: .722,5 2 5,1 85,106,85,2105,339,6 2 мкНMN Площади элементов эпюры и ординаты под центрами их тяже- сти: 88 ,25,25,125,2 3 2 3 2 ,292,45,1722,5 2 1 ,82,25,176,3 2 1 2 413 2 12 2 11 мкНlf мкНмкН ,375,075,0 2 1 ,5,075,0 3 2 ,25,075,0 3 1 1613 14121511 уу уууу .25,25,125,2 3 2 3 2 ,078,25,177,2 2 1 ,292,45,1722,5 2 1 ,25,2 8 5,18 8 2 516 2 15 2 14 22 54 мкНlf мкН мкН мкН ql ff Прогиб в точке N: . 755,4 )375,025,225,0078,25,0292,4 375,025,25,0292,425,082,2( 1 ) ( 1 16161515 1414131312121111 X X X N EI EI уу уууу EI 89 Рис.5.9. Грузовая и единичная эпюры участка балки DK. Участок DK. Определим площади элементов эпюры изгибающих моментов на участке и ординаты под центрами их тяжести: . 3 2 1 3 2 , 3 1 1 3 1 .19,3138,6 2 1 ,19,3138,6 2 1 ,385,1177,2 2 1 1918 2 19 2 18 2 17 17 ууу мкН мкНмкН Прогиб в точке Е: . 716,4 3 2 19,3 3 2 19,3 3 1 385,1 1 1 191918181717 xX X E EIEI yyy EI Подберем сечение балки из прокатного двутавра. Условие прочности: 90 .5710057,0 10210 1012 , 333 6 3 max max смм R M W R W M X X По сортаменту (Приложение 1) подбираем двутавр №12 ;4,58 3смWX ,5,205105,205 104,58 1012 6 6 3 max МПаПа W M X Балка недогружена: %;1,2100 210 5,205210 Проверим балку по касательным напряжениям: ,7,33 , 3 max max смS R bI SQ отс X C X отс Xy .1307,24107,24 108,410350 107,331033,12 ,8,4;350 6 38 63 max 4 МПаМПаПа ммbсмIX Построим изогнутую ось балки, определив прогибы в пролетах: .3,0003,0 1035010210 10273,2273,2 ,6,0006,0 1035010210 10716,4716,4 ,6,0006,0 1035010210 10755,4755,4 ,7,1017,0 1035010210 10588,12588,12 89 3 89 3 89 3 89 3 смм EI смм EI смм EI смм EI X L X Е X N X А Отразим изогнутую ось балки (рис.5.4). 91 Задача 5.2 Многопролетная (неразрезная) балка нагружена расчетной нагрузкой. Материал балки – сталь с расчетным сопротивлением R=210МПа, Rc=130МПа и модулем упругости Е=210ГПа, m=12 кН·м, q=8 кН/м, F=10кН, а = 1м. Рис.5.10. Схема балки и основной системы. Грузовая и единичные эпюры основной системы. 92 Рис.5.11. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Единичные эпюры. Линия прогибов балки. 93 Данная балка имеет две избыточные связи сверх необходи- мого минимума для обеспечения неизменяемости схемы. Канонические уравнения будут иметь вид: .0 0 2222121 1212111 F F xx хх Лишними неизвестными являются реакции опор В и D. В ка- честве основной принимаем систему, имеющую заделку в точке А. Построим эпюру изгибающих моментов от действующей нагрузки (рис.5.10): ;0ЕМ ,80420)( мкНaFМ правее .430 2 4 20301220 2 3 ,190308202 ,1103080 22 )( мкН a qmaFМ мкНmaFМ мкНМ А В левееС Построим эпюры изгибающих моментов от единичных сил, приложенных вместо отброшенных связей (рис.6.10): 105,21 аМ А ( от силы )11х , 41 аМ А ( от силы )12х . Определим площади участков грузовой эпюры изгибающих моментов ( )FМ и ординат под центрами их тяжести в единичных эпюрах ( 1M и )2M . .40 8 420 8 ,67,106440 3 2 3 2 ,8604430 2 1 ,3804190 2 1 ,3804190 2 1 ,2204110 2 1 ,80280 2 1 ,40240 2 1 22 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 мкН qa fмкНaf мкНмкН мкНмкН мкНмкН 94 .2 2 4 ',67,24 3 2 ',33,14 3 1 ',84 2 1 6 ,67,84 3 2 6,33,74 3 1 6,67,44 3 2 2 ,33,34 3 1 2,33,12 3 2 ,67,02 3 1 7657 654 321 мумумуму мумуму мумуму Определяем члены канонического уравнения: . 33,69 4 3 2 2 1 4104 3 1 2 1 46 1 , 33,21 4 3 2 2 1 44 1 , 33,333 10 3 2 2 1 1010 1 2112 22 11 EIEI EIEI EIЕI X XX XX , 64,12028 )867,106 67,886033,738067,438033,322033,18067,040( 1 1 776655443322111 X X F EI EI yyyyyyy EJ . 26,2588 267,10667,286033,1380 1 1 7766552 XX X F EIEI yyy EI Решаем систему уравнений: 026,258833,2133,69 064,1202833,6933,333 21 21 хх хх Откуда находим, что ;5,331 кНх .4,122 кНх Строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов: ;20кНQE ,20кНправееQD ,5,135,3320 кНлевееQD 95 ,5,13)( кНправееQВ ,9,254,125,13)( кНправееQВ ,1,544209,25 кНQA ,0ЕМ ,40220 мкНMD .4,45 2 42 2044,1230105,331220 ,113065,33820 ,433013)( ,1325,33420)( мкНМ мкНМ мкНправееМ мкНправееМ А В С С Определим значение изгибающего момента в точке N. .8,274,45 2 71,2 2071,21,54 ,71,2 20 1,54 2 мкНM м q Q Z N A Осуществим проверку правильности расчетов, перемножив конеч- ную эпюру изгибающих моментов на единичные . .67,1064 8 420 3 2 3 2 ,8,9044,45 2 1 ,22411 2 1 ,22411 2 1 ,86443 2 1 ,13213 2 1 ,40240 2 1 2 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 мкНaf мкНмкН мкНмкН мкНмкН ,67,84 3 2 6,33,74 3 1 6,67,44 3 2 2 ,33,34 3 1 2,33,12 3 2 ,67,02 3 1 654 21 3 мумуму мумуму мумумуму 2 2 4 ,67,24 3 2 ,33,14 3 1 ,84 2 1 6 7657 96 ; 182,0 )267,10667,28,9033,122( 1 )867,10667,88,9033,72267,42233,3 8633,11367,040( 11 1 776655 77655443321111 6 xx x x F EIEI EI yyy EI yyyyyyy EI MМ Ошибка составляет 0,016% Определим прогибы посредине каждого из пролетов и в точке Е. Для этого воспользуемся методом начальных параметров. , 24 )( 6 )( 2 )( 432 00 czqbzFazM ZEIEIЕI XXx ;00 00 в начале координат. Запишем выражение начальных параметров для Z=2м, Z=6м, Z=12м. , 34,5 24 )02(20 6 )02(1,54 2 )02(4,45 432 )2( X Z EI EJ ; 26,80 24 )46(20 24 )06(20 6 )46(4,12 6 )06(1,54 2 )06(4,45 4 4332 )6( X Z EI EJ . 87,211 24 )412(20 24 )012(20 6 )1012(5,33 2 )812(30 6 )412(4,12 6 )012(1,54 2 )012(4,45 4332 332 )12( x Z EI EJ Подберем сечение в виде двутавра (Приложение 1): R=200МПа, ,max R W M x .22710227,0 10200 104,45 333 6 3 max смм R M WX 97 Подберем по сортаменту двутавр №22, ,232 3смWX .2550 4смI x Прогиб в точке 1 при Z=2: ;001,0 10255010200 1034,5 89 3 1 м при Z=6: ;016,0 10255010200 1026,80 89 3 2 м при Z=12: ;042,0 10255010200 1087,211 89 3 3 м Строим изогнутую линию балки (рис.5.11). 6. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ. Задача 6.1. Внецентренное сжатие. Колонна заданного поперечного сечения сжимается рас- четной силой F, направленной параллельно продольной оси и приложенной к точке К. Расчетные сопротивления для материала колонн: на растяжение ,4,1 МПаR на сжатие .22МПаRСЖ Требуется: 1) найти положение нулевой линии; 2) вычислить наибольшие сжимающие и растягивающие напряжения и построить эпюру напряжений, дать заключение о прочности колонны; 98 3) построить ядро сечения. F=80 кН; a=20 см; b=12 см. Рис. 6.1. Схема поперечного сечения колонны. Рис. 6.2. Положение центра тяжести и нулевой линии. Решение. Определим координаты тяжести сечения. Поперечное сечение колонны имеет ось симметрии Су , следовательно, центр тяжести лежит на этой оси и для отыскания координаты 99 Су относительно вспомогательной оси õ , сложное сечение разбиваем на три прямоугольника. , 321 332211 ААА уАуАуА А S уС где 1у , 2у и 3у - координаты центров тяжести прямоуголь- ников относительно оси х , а 1А , 2А и 3А - площади их поперечных сечений. .7,19 1680 33120 122024602420 61220122460362420 смуС Определим геометрические характеристики сечения. Для вычисления главных центральных моментов инерции вос- пользуемся зависимостью между моментами инерции при па- раллельном переносе осей. ;2,257143)7,13(1220 12 1220 )7,7(2460 12 2460 )3,16(2420 12 2420 42 3 2 3 2 3 2 cм aAII iixx ic .440000 12 2012 12 6024 12 2024 4 333 смIyI iyc Определим квадраты радиусов инерции: ;9,261 1680 440000 ;1,153 1680 2,257143 22 22 см A I i см A I i C C Y y X x Координаты точки приложения силы F: ,10смxk .7,7 смуk Положение нулевой линии: 100 .9,19 7,7 1,153 ;2,26 10 9,261 2 0 2 0 cм y i у см x i х k x k y По найденным отрезкам, отсекаемых на осях координат, проводим нулевую линию (рис 6.2). Определим наибольшие сжимающие и растягивающие напряжения. Наиболее удаленными от нулевой линии точками являются точки А и В. Их координаты: ;30смхА ;7,19 смуА ;10смхВ .3,28 смуВ Напряжения в этих опасных точках не должны превосхо- дить соответствующего расчетного сопротивления: .1 ,2,2 Rxi x y i y A N BA y k BA x k Знак минус перед формулой показывает, что сила, прило- женная к колонне, является сжимающей. Нулевая линия делит сечение на зоны сжатия (область при- ложения силы F) и растяжения. Растягивающее напряжение: .4,1384,0 1010 109,261 1010 103,28 101,153 107,7 1 101680 1080 2 4 2 2 4 2 4 3 МПаМПа В Сжимающие напряжение: .225,1 1030 109,261 1010 107,19 101,153 107,7 1 101680 1080 2 4 2 2 4 2 4 3 МПаМПа А Прочность колонны обеспечена. По результатам напряжений А и В строим эпюру (рис. 6.2) Построим ядро сечения (рис. 6.3). 101 Рис. 6.3. Ядро сечения. Чтобы получить очертание ядра сечения, необходимо рас- смотреть все возможные положения касательных к контуру сечения и, предполагая, что эти касательные являются нуле- выми линиями, вычислить координаты граничных точек ядра относительно главных центральных осей сечения. Соединяя затем эти точки, получим очертание ядра сечения. Касательная 1-1: 0х ; ;7,190 сму 01х ; .8,7 7,19 1,153 0 2 1 cм y i у x Касательная 2-2: ;300 смх 0у ; ;73,8 30 9,261 0 2 2 см x i х y 02у . Касательная 3-3: Определим координаты точек пересечения секущей 3-3: 102 ;2,1 20 242 а в tg ; c d tg ;6,3 2,1 3,4 см tg d с ;6,336,3300 смх ;3,402,16,3300 cмtgxу ;8,7 6,33 9,261 0 2 3 см x i х y .8,3 3,40 1,153 0 2 3 см y i y x Касательная 4-4: 0х ; ;3,280 сму ;04х .4,5 3,28 1,153 0 2 4 см y i у x Поскольку сечение имеет ось симметрии Су , то все опре- деленные координаты переносим симметрично этой оси (рис. 6.3). Косой изгиб. Задача 6.2. Балка нагружена в главных плоскостях расчетной нагрузкой. Материал балки – сталь с расчетным сопротивлением R=210Мпа. Требуется: 1) построить эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях; 2) определить опасное сечение и подобрать двутавр, приняв ;8/ УX WW 3) определить положение нейтральной оси в одном сечении и построить эпюру нормальных напряжений. 103 Рис.6.4. Схема балки. ,3 ,4 ,2 мс мв ма .10 ,8 ,6 мкнq мкнF мкнm Решение. Определим вертикальные и горизонтальные опорные реакции и строим ХМ и УМ (рис.6.2) ;0АМ ;0 22 a aq в вqmсвFвyМ BА .5,27 4 110 ,0 2 2 10 2 4 106784 22 кНy y В В ,0ВМ ,0 2 2 cFm вa qвyМ AВ ,0386 2 6 104 2 Аy ,5,40 кНyА ;0Y .061085,405,27 ;0АМ .0aFвymМ ВА ;02864 Вy ;5,5 кНyB 104 ;0ВМ ;0mвyвaFМ AВ ;064428 Ay ;5,13 кНyA ;0Х .05,55,138Х Рис 6.5. Эпюры изгибающих моментов относительно осей Х и Y. Выберем наиболее опасное сечение. Максимальные моменты в плоскости оси Х и Y находятся в точке А: ;20 мкНМ Х .16кНМУ Определим требуемый момент сопротивления, приняв ;8/ YX WW т.е. .8 YX WW Условие прочности при косом изгибе для балок из материала, оди- наково сопротивляющегося растяжению и сжатию, имеет следую- щий вид: 105 R W M W M Y Y X X max или R W М W M Y Y Y X 8 , отку- да .1,88100881,0 10210 1016 8 1020 8 333 6 3 3 смм R М М W Y Х Y По сортаменту (Приложение 1) принимаем двутавр №40, ;667 ;86 4 3 смI смW Y Y .19062 ;953 4 3 смI смW X X Проверяем прочность балки: .21003,207 05,18698,20 1086 1016 10953 1020 6 3 6 3 max МПа W M W M Y Y X X Прочность балки обеспечена. Недогрузка балки составляет: %4,1100 210 03,207210 . Определяем угол наклона нулевой линии к оси ОХ: .0387 .86,22 1020 1016 10667 1019062 0 3 3 8 8 0 Х Y Y X М М I I tg 106 Рис. 6.6. Положение нулевой линии. Эпюра напряжений. Для построения эпюры угол 0 откладываем против ча- совой стрелки от оси ОХ. Наибольшие напряжения будут действо- вать в угловых точках сечения , причем в точке А они будут растя- гивающими, а в В – сжимающими. Угол наклона силовой линии: ;8,0 1020 1016 3 3 X Y F M M tg 0338F Задача 7.3. Общий случай нагружения. Пространственная система, состоящая из трех стержней, жестко соединенных между собой под прямым углом, нагружена расчетной нагрузкой в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Стержни системы имеют одинаковые длины и диаметры поперечных сече- ний. Материал стержней – сталь с расчетным сопротивлением 107 R=210МПа и Rc=130МПа, m=4кН м, ℓ=0,8м, q=8кН/ м , d=10см, F=6кН. Требуется: 1) построить эпюры внутренних усилий; 2) установить вид сопротивления для каждого участка стержня; 3) определить опасное сечение и дать заключение о прочности конструкции. Рис. 6.7. Схема пространственной системы. Решение. Построим эпюру продольных сил. На участках АВ и ВС отсут- ствуют продольные силы. Участок СD: Продольной силой для данного участка является сила F. N=-F=-6кН (сжатие) (рис 6.8). 108 Рис. 6.8. Эпюра продольных сил. Построим эпюру поперечных сил (рис 6.9). Участок АB: ,6кНFQ xA .6кНFQ xB Участок ВС: ,6кНFQ xB ,6кНFQ xC .4,68,08 кНlqQ yC Участок СD: ,4,68,08 кНlqQ xC .4,6 кНQ xD 109 Рис. 6.9. Эпюра поперечных сил. Построим эпюру изгибающих моментов. Для этого последова- тельно построим эпюры от каждого вида нагрузки. Сила F: Участок АВ: yA M =0, yB M =F· ℓ = 6· 0,8=4,8кН· м. Участок ВС: xC M = F· ℓ= 6· 0,8= 4,8кН·м. Участок СD: xC M = 4,8кН·м, yD M = 4,8кН·м, yy DC MM = 4,8кН·м. Изгибающий момент m: Участок ВС: xx CB MM = 4кН·м, Участок СD: xx DC MM = 4кН·м. Распределенная нагрузка q: 110 Участок ВС: ,0 yB М .56,2 2 8,08 2 22 мкН lq М yC Участок СD: ,0 yC М .12,58,08,08 мкНllqM yD Рис. 6.10. Эпюра изгибающих моментов от действия силы F. Рис. 6.11. Эпюра изгибающих моментов от действия изгибающего момента m. 111 Рис. 6.12. Эпюра изгибающих моментов от действия равномерно распределенной нагрузки q. Просуммируем изгибающие моменты от всех видов нагрузки. Рис. 6.13. Суммарная эпюра изгибающих моментов от действия всех видов нагрузки. Построим эпюру крутящих моментов. Участок АВ: .0Т Участок ВС: 112 .8,48,06 мкНlFT Участок СD: .56,2 2 8,0 8,08 2 мкН l lqT Рис. 6.14. Эпюра крутящих моментов. Установим вид сопротивления для каждого участка системы, который определяется по эпюрам. На участке АВ действует поперечная сила Qx и изгибающий мо- мент My (поперечный изгиб). На участке ВС действует поперечная сила Qx , Qy , крутящий момент Т и изгибающие моменты Mx и My (косой изгиб с кручени- ем). На участке СD действует поперечная сила Qx, крутящий момент Т , изгибающие моменты Mx, My и продольная сила N (косой изгиб с кручением и сжатием). Определим максимальные напряжения в опасном сечeнии каж- дого участка от внутренних усилий Mx,My,T,N (касательными напряжениями от поперечных сил Qx и Qy можно пренебречь). Участок АВ: Опасная точка В. Qx =6кН ,My =4,8кН· м. 113 .13,98 32 1014,3 32 ,9,48 1013,98 108,4 3 33 6 3 см d W МПа W М и и В Участок ВС: Опасная точка С. Qy = 6кН, Qx = 6,1кН, Mx =8,8кН·м, My=2,56кН ·м, Т=4,8кН ·м. Определим суммарный изгибающий момент: .35,93 1013,98 1016,9 ,16,956,28,8 6 3 2222 МПа W М мкНМММ и и yxи При кручении круглого стержня возникают касательные напря- жения: 3 6 3 max 26,19613,9822 ,04,13 1026,196 1056,2 смWW МПа W T и Участок СD: Опасная точка D. Qx=6,4кН, Mx=8,8кН· м, My=9,92кН· м, N=6кН, Т=2,56кН· м. .04,13 1026,196 1056,2 ,14,135 1013,98 1026,13 ,26,1392,98,8 ,5,78 4 1014,3 4 ,764,0 105,78 106 6 3 max 6 3 2222 2 22 4 3 МПа W Т МПа W М мкНMMМ см d А МПа A N и и yxи 114 Проверим прочность системы при расчетном сопротивлении R=210Мпа. Расчетное напряжение по третьей теории прочности для плос- кого напряженного состояния определяется по формуле: .4 22 Участок АВ: ,0 .2109,482 МПаМПа Участок ВС: .21092,9604,13435,934 2222 МПаМПа Участок СD: .21038,13804,1349,1354 ,9,13514,135764,0 2222 МПаМПа МПа W M A N и и Прочность стержней системы на всех участках обеспечена. 115 7. УСТОЙЧИВОСТЬ. Задача 7.1. Стальной стержень сжимается продольной расчетной нагрузкой F. Расчетное сопротивление материала стержня R=200МПа, модуль продольной упругости Е=200ГПа. Требуется: 1) подобрать размеры поперечного сечения стержня из условия устойчивости; 2) определить значение коэффициента запаса устойчивости. F=210кН; l=1,7 м; µ=1. Рис.7.1. Схема стержня и его поперечное сечение. Решение. Размеры поперечного сечения определим исходя из условий устойчивости: ,R A F где - коэффициент снижения расчетного сопротивления ма- териала при продольном изгибе. В расчетной формуле имеются две неизвестные величины – ко- эффициент и искомая площадь А. Поэтому при подборе сече- ния необходимо использовать метод последовательных прибли- жений. 116 Выразим геометрические характеристики через величину а. Так как потеря устойчивости происходит в плоскости наимень- шей жесткости, определяем минимальный момент инерции: ;95,1 6412 23 6412 4 4343 min a aaaaвh I тогда площадь поперечного сечения: ;21,5 4 23 2 2 а а ааА .61,0 21,5 95,1 2 4 min min a a a A I i Приближение 1. В первом приближении коэффициент изгиба принимают 5,01 тогда ;101,2 102005,0 10210 23 6 3 1 1 м R F А .0123,00201,061,061,0 ;01,20201,0101,244,0 1min 3 1 мai смма Расчетная гибкость стержня: ;21,138 0123,0 7,11 1min 1 i l По таблице (Приложение 5) определяем значение коэффициента ' 1 соответствующего гибкости 21,1381 : 140 130 .376,0 ,425,0 Путем линейной интерполяции получим: .385,021,8 10 376,0425,0 425,0'1 Проверим выполнение условия устойчивости в первом прибли- жении: МПаПа A F 10010100 101,2 10210 6 3 3 1 1 , 117 МПаR 77200385,0'1 . Перенапряжение составляет %8,29100 77 77100 , что недо- пустимо. Необходимо уточнение размеров. Приближение 2. За новое значение коэффициента 2 прини- маем среднее арифметическое первых двух: ,443,0 2 385,05,0 2 ' 11 2 тогда площадь сечения ,1,2021,01037,244,0 ,1037,2 10200443,0 10210 3 2 23 6 3 2 2 смма м R F А радиус инерции .1081,12021,061,061,0 32min2 мai Определим гибкость стержня .7,132 1081,12 7,11 3 min 2 2 i l Коэффициент ' 2 рассчитываем для гибкости 7,1322 : 140 130 376,0 425,0 .412,07,2 10 376,0425,0 425,0'2 Проверим выполнение условий устойчивости: .4,82200412,0 ,6,88106,88 1037,2 10210 ' 2 6 3 3 2 2 МПаR МПаПа A F Перенапряжение составляет: %52,7100 4,82 4,826,88 что не- допустимо. Приближение 3. Определим коэффициент продольного изгиба: 118 ;428,0 2 412,0443,0 2 ' 22 3 Площадь поперечного сечения ;102,21045,244,0 ;1045,2 10200428,0 10210 23 3 23 6 3 3 3 ма м R F А радиус инерции ;1034,1102,261,061,0 223min3 ммai гибкость колонны ;9,126 1034,1 7,11 2 min 3 3 i l Определим значение коэффициента ' 3 : 130 120 425,0 479,0 ,442,09,6 10 425,0479,0 479,0'3 .71,851071,85 1045,2 10210 6 3 3 3 3 МПаПа A F Расчетное сопротивление ,4,88200442,0'3 МПаR R'33 .4,8871,85 МПа Недонапряжение составляет %04,3 4,88 71,854,88 , что допу- стимо. Окончательно принимаем размеры сечения 44х66мм ( мма 22 ) .7,126 10342,1 7,11 ;342,12,261,0 ;68,452,295,195,1 2 min min 444 min i l смi смaI Находим величину критической силы. 119 Так как пред , т.е.126,7>100, то используем формулу Эйлера для определения критической силы: .69,311 1069,311 )7,11( 1068,451020014,3 3 2 892 2 min 2 кН H l ЕI Fкр Определим коэффициенты запаса устойчивости: .48,1 210 69,311 F F k кр y Задача 7.2 Стальной стержень сжимается продольной расчетной нагруз- кой F. Расчетное сопротивление материала стержня R=200МПа, модуль продольной упругости Е=200ГПа. Требуется: 1) подобрать размеры поперечного сечения стержня из условия устойчивости; 2) определить значение коэффициента запаса устойчивости; F=250 кН; l=1,4 м; µ=2. Рис.7.2 Схема стержня. 120 Решение. Определим размеры поперечного сечения исходя из условия устойчивости: R A F . Для расчета используем метод последовательных приближений. Приближение 1. В первом приближении примем коэффициент продольного изгиба 5,01 , тогда .25105,2 102005,0 10250 223 6 3 1 1 смм R F А Площадь одного уголка составит: .5,12 2 25 2 21 см А Ауг Из сортамента прокатной стали (Приложение 3) выбираем уголок 100х100х6,5 с площадью Ауг= 12,8см. Определим радиусы инерции данного сечения относительно глав- ных центральных осей х и у, которые являются осями симметрии сечения. смi А I i угyo уг Y y 99,1 2 2 0 (находим в сортаменте, Прило- жение 3). ; 2 2 2 2 0 аi А аAI i уг x уг угX x o cмiX 88,30 (находим в сортаменте, Приложение 3), ,895,1707,068,245cos0 cмzа ( 0z находим в сортаменте), .73,2895,188,3 2 смix Сравнивая yi и xi ,определяем, что минимальным радиусом инерции является yi . Определим гибкость колонны: 121 .7,140 1099,1 4,12 2 min 1 i l По таблице (Приложение 5) определяем значение коэффициента ' 1 , соответствующего гибкости 7,1401 : при 140 376,0 150 328,0 Путем линейной интерполяции получим: .373,07,0 10 328,0376,0 376,0'1 Проверим выполнение условия устойчивости в первом приближе- нии: ;66,971066,97 108,122 10250 6 4 3 1 1 МПаПа A F ;6,74200373,0'1 МПаR Перенапряжение составляет %83,30100 6,74 6,7466,97 , что не- допустимо. Необходимо увеличить поперечное сечение. Приближение 2. За новое значение коэффициента 2 принимаем среднее арифметическое первых двух. 437,0 2 373,05,0 2 ' 11 2 ; тогда площадь сечения ;6,281086,2 10200437,0 10250 223 6 3 2 2 смм R F A .3,14 2 6,28 2 22 см А Ауг В сортаменте выбираем уголок 110х110х7 ;2,15 2смА .19,2min0 cмiiY Определяем гибкость стержня: .9,127 1019,2 4,12 2 min 2 i l 122 Из таблицы для 9,127 выберем значение : 120 479,0 130 425,0 .436,09,7 10 425,0479,0 479,0'2 Проверим выполнение условий устойчивости: ;2,82102,82 102,152 10250 2 6 4 3 2 МПаПа A F ;2,87200436,0'2 МПаR ; ' 22 R Недонапряжение составит: %7,5100 2,87 2,822,87 , что для прокат- ного профиля приемлемо. Окончательно принимаем сечение в виде двух уголков 110х110х7. ;7,72 4min cмI Находим величину критической силы. Так как пред , т.е. 127,9>100, то используем формулу Эйлера для определения крити- ческой силы: .7,365107,365 4,12 107,7221020014,3 3 2 892 2 min 2 кНН l ЕI Fкр Тогда коэффициент запаса устойчивости будет равен: .46,1 250 7,365 F F к кр у 123 8. ДИНАМИКА. Задача 8.1. На упругую систему падает груз с высоты h. Материал стерж- ней – сталь. Расчетное сопротивление при статической нагрузке R=210МПа, Е=200ГПа. Требуется: 1) определить величины максимальных динамических напряже- ний в элементах системы; 2) определить величину динамического перемещения точки при- ложения груза. Массу конструкции не учитывать. G=400H, в=0,4м, d=4см, а=1,4м, двутавр №18, h=5см. Рис.8.1. Схема стержневой системы. Решение. Рассчитаем стержневую систему на статическую нагрузку Предварительно определим усилие в стержне. 124 Рис.8.2 Схема элемента 1. Составим уравнение равновесия ;0АМ .1000;28,0 ;052 HNGN вGвNМ А Рассчитаем опорные реакции в балке ВС: Рис.8.3 Схема балки. ;0ВМ ;027 вNвYМ CВ ,8,010008,2CY .7,285 HYC ;0CM ;057 вNвYМ BС ;210008,2BY HYB 3,714 .010003,7147,285Y Построим эпюру изгибающих моментов в балке ВС: 125 Рис.8.4. Эпюра изгибающих моментов и единичная эпюра. Определим прогиб в точке D от статического действия нагрузки методом сил. Для этого приложим в точке D еди- ничную силу и построим эпюру изгибающих моментов от этой силы. ,286,0 8,2 8,01 BY ,714,0 8,2 21 СY .571,0DМ . 54,304 571,0 3 2 2 1 8,044,571571,0 3 2 2 1 244,571 1 XX D EIЕIст Выпишем из сортамента значение момента инерции для дву- тавра №18: .1290 4смI X Прогиб от статистической нагрузки составит: .118,0108,11 10129010200 54,304 5 89 ммм cтD 126 Определим напряжение от статической нагрузки: ,98,31098,3 10143 44,571 6 6 max МПаПа W M X ст 3143смWX (выпишем из сортамента, Приложение 1). Определим динамический коэффициент, динамическое пе- ремещение и напряжение: .2008,11998,31,30 ,55,3118,01,30 ,1,30 118,0 502 11 2 11 МПаМПаk ммk v h k стдд стдд ст д Проведем проверку стержня на прочность при действии ди- намической нагрузки: .56,12 4 414,3 4 ;200796,010796,0 1056,12 1000 2 22 6 4 cм d A МПаМПаПа A N 127 Литература 1. Александров, А.В. Сопротивление материалов / А.В. Алек- сандров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин. – М.: Высш. школа, 1995. 2. Балыкин, М.К. Сопротивление материалов: сборник заданий для расчетно-проектировочных работ для строительных специаль- ностей / М.К. Балыкин [и др.]. – Минск: БНТУ, 2003. 3. Винокуров, Е.Ф. Сопротивление материалов: расчетно-проект- ировочные работы / Е.Ф. Винокуров, А.Г. Петрович, Л.И. Шевчук. – Минск: Вышэйшая школа, 1987. 4. Заяц, В.Н. Сопротивление материалов / В.Н. Заяц, М.К. Балы- кин, И.А. Голубев. – Минск: БГПА, 1998. 5. Петрович, А.Г. Сборник задач расчетно-проектировочных ра- бот по курсу «Сопротивление материалов»: в 2 ч. / А.Г. Петрович [и др.]. – Минск: БПИ, 1979. – Ч. 1. 6. Петрович, А.Г. Сборник задач расчетно-проектировочных ра- бот по курсу «Сопротивление материалов»: в 2 ч. / А.Г. Петрович [и др.]. – Минск: БПИ, 1981. – Ч. 2. 7. Писаренко, Г.С. Сопротивление материалов / Г.С. Писаренко [и др.]. – Киев: Вища школа, 1986. 8. Смирнов, А.Ф. Сопротивление материалов / А.Ф. Смирнов [и др.]. – М.: Высш. школа, 1975. 9. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов / В.И. Фео- досьев. – М.: Наука, 1986. 5. Балыкин, М.К. Сопротивление материалов: лабораторный практикум / М.К. Балыкин [и др.]. – Минск: БГПА, 1999. 10. Нагрузка и воздействие: СНиП 2.01.07-85. – Госстрой СССР, 1985. 128 Приложения 129 Приложение 1 Сталь горячекатаная. Балки двутавровые (по ГОСТ 8239-89*) I – момент инерции W – момент сопротивления S – статический момент площади полусе- чения i – радиус инерции Таблица П1.1 Н о м ер п р о ф и л я Размеры, мм П л о щ ад ь се ч ен и я А , см 2 Л и н ей н ая п л о тн о ст ь ρ , к г/ м Геометрические характеристики относительно осей x y h b d t Iх, см4 Wx, см3 ix, см Sx, см3 Iy, см4 Wy, см3 iy, см 10 100 55 4,5 7,2 12,0 9,46 198 39,7 4,06 23 17,9 6,49 1,22 12 120 64 4,8 7,3 14,7 11,5 350 58,4 4,88 33,7 27,9 8,72 1,38 14 140 73 4,9 7,5 17,4 13,7 572 81,7 5,73 46,8 41,9 11,5 1,55 16 160 81 5 7,8 20,2 15,9 873 109 6,57 62,3 58,6 14,5 1,7 18 180 90 5,1 8,1 23,4 18,4 1290 143 7,42 81,4 82,6 18,4 1,88 20 200 100 5,2 8,4 26,8 21 1840 184 8,28 104 115 23,1 2,07 22 220 110 5,4 8,7 30,6 24 2550 232 9,13 131 157 28,6 2,27 24 240 115 5,6 9,5 34,8 27,3 3460 289 9,97 163 198 34,5 2,37 27 270 125 6 9,8 40,2 31,5 5010 371 11,2 210 260 41,5 2,54 30 300 135 6,5 10,2 46,5 36,5 7080 472 12,3 268 337 49,9 2,69 33 330 140 7 11,2 53,8 42,2 9840 597 13,5 339 419 59,9 2,79 36 360 145 7,5 12,3 61,9 48,6 13380 743 14,7 423 516 71,1 2,89 40 400 155 8,3 13 72,6 57 19062 953 16,2 545 667 86 3,03 45 450 160 9 14,2 84,7 66,5 27696 1231 18,1 708 808 101 3,09 50 500 170 10 15,2 100 78,5 39727 1589 19,9 919 1043 123 3,23 55 550 180 11 16,5 118 92,6 55962 2035 21,8 1181 1356 151 3,39 60 600 190 12 17,8 138 108 76806 2560 23,6 1491 1725 182 3,54 130 Приложение 2 Сталь горячекатаная. Швеллерная (по ГОСТ 8240-89) I – момент инерции W – момент сопротивления S – статический момент площади полусече- ния i – радиус инерции Таблица П2.1 Н о м ср п р о ф и л я Размеры, мм П л о щ ад ь се ч ен и я А , см 2 Л и н ей н ая п л о тн о ст ь ρ , к г/ м Геометрические характеристики относительно осей xc, см h b d t x y Iх, см4 Wx, см3 ix, см Sx, см3 Iy, см4 Wy, см3 iy, см 5 50 32 4,4 7 6,16 4,84 22,8 9,1 1,92 5,59 5,6 2,75 0,95 1,16 6,5 65 36 4,4 7,2 7,51 5,9 48,6 15 2,54 9 8,7 3,68 1,08 1,24 8 80 40 4,5 7,4 8,98 7,05 89,4 22,4 3,16 23,3 12,8 4,75 1,19 1,31 10 100 46 4,5 7,6 10,9 8,59 174 34,8 3,99 20,4 20,4 6,46 1,37 1,44 12 120 52 4,8 7,8 13,3 10,4 304 50,6 4,78 29,6 31,2 8,52 1,53 1,54 14 140 58 4,9 8Д 15,6 12,3 491 70,2 5,6 40,8 45,4 11 1,7 1,67 16 160 64 5 8,4 18,1 14,2 747 93,4 6,42 54,1 63,3 13,8 1,87 1,8 16а 160 68 5 9 19,5 15,3 823 103 6,49 59,4 78,8 16,4 2,01 2 18 180 70 5,1 8,7 20,7 16,3 1090 121 7,24 69,8 86 17 2,04 1,94 18а 180 74 5,1 9,3 22,2 17,4 1190 132 7,32 76,1 105 20 2,18 2,13 20 200 76 5,2 9 23,4 18,4 1520 152 8,07 87,8 113 20,5 2,2 2,07 22 220 82 5,4 9,5 26,7 21 2110 192 8,89 110 151 25,1 2,37 2,21 24 240 90 5,6 10 30,6 24 2900 242 9,73 139 208 31,6 2,6 2,42 27 270 95 6 10,5 35,2 27,7 4160 308 10,9 178 262 37,3 2,73 2,47 30 300 100 6,5 11 40,5 31,8 5810 387 12 224 327 43,6 2,84 2,52 33 330 105 7 11,7 46,5 36,5 7980 484 13,1 281 410 51,8 2,97 2,59 36 360 110 7,5 12,6 53,4 41,9 10820 601 14,2 350 513 61,7 3,1 2,68 40 400 115 8 13,5 61,5 48,3 15220 761 15,7 444 642 73,4 3,23 2,75 131 Приложение 3 Рекомендуемый сортамент равнополочных уголков (по ГОСТ 8509-86) I – момент инерции W – момент сопротивления S – статический момент площади полусечения i – радиус инерции Таблица П3.1 Н о м ер п р о ф и л я Размеры, мм П л о щ ад ь се ч ен и я А , см 2 Л и н ей н ая п л о тн о ст ь ρ , к г/ м Геометрические характеристики относительно осей xc, yc, см b d x x0 y0 1ху, см4 Iх, см 4 ix, см Ix0, см4 Ix0, см Iy0, см4 Iy0, см 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 20 3 1,13 0,89 0,4 0,59 0,63 0,75 0,17 0,39 0,23 0,6 4 1,46 1,15 0,5 0,58 0,78 0,73 0,22 0,38 0,28 0,64 3 30 3 1,74 1,36 1,45 0,91 2,3 1,15 0,6 0,59 0,85 0,85 4 2,27 1,78 1,84 0,9 2,92 1,13 0,77 0,58 1,08 0,89 4 40 3 2,35 1,85 3,55 1,23 5,63 1,55 1,47 0,79 2,08 1,09 4 3,08 2,42 4,58 1,22 7,26 1,53 1,9 0,78 2,68 1,13 5 3,79 2,98 5,53 1,21 8,75 1,52 2,3 0,78 3,22 1,17 5 50 3 2,96 2,32 7,11 1,55 11,27 1,95 2,95 1 4,16 1,33 4 3,89 3,05 9,21 1,54 14,63 1,94 3,8 0,99 5,42 1,38 5 4,8 3,77 11,2 1,53 17,77 1,92 4,63 0,98 6,57 1,42 6 5,69 4,47 13,07 1,52 20,72 1,91 5,43 0,98 7,65 1,46 6,3 63 4 4,96 3,9 18,86 1,95 29,9 2,45 7,81 1,25 11 1,69 5 6,13 4,81 23,1 1,94 36,8 2,44 9,52 1,25 13,7 1,74 6 7,28 5,72 27,06 1,93 42,91 2,43 11,18 1,24 15,9 1,78 132 Продолжение табл. П3.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 70 5 6,86 5,38 31,94 2,16 50,67 2,72 13,22 1,39 18,7 1,9 6 8,15 6,39 37,58 2,15 59,64 2,71 15,52 1,38 22,1 1,94 7 9,42 7,39 42,98 2,14 68,19 2,69 17,77 1,37 25,2 1,99 8 10,67 8,37 48,16 2,12 76,35 2,68 19,97 1,37 28,2 2,02 7,5 75 5 7,39 5,8 39,53 2,31 62,65 2,91 16,41 1,49 23,1 2,02 6 8,78 6,89 46,57 2,3 73,87 2,9 19,28 1,48 27,3 2,06 7 10,15 7,97 53,34 2,29 84,61 2,89 22,07 1,47 31,2 2,1 8 11,5 9,02 59,84 2,28 94,89 2,87 24,8 1,47 35 2,15 9 12,83 10,07 66,1 2,27 104,72 2,86 27,48 1,46 38,6 2,18 8 80 6 9,38 7,36 56,97 2,47 90,4 3,11 23,54 1,58 33,4 2,19 7 10,85 8,51 65,31 2,45 103,6 3,09 26,97 1,58 38,3 2,23 8 12,3 9,65 73,36 2,44 116,3 3,08 30,32 1,57 43 2,27 9 90 6 10,61 8,33 82,1 2,78 130 3,5 33,97 1,79 48,1 2,43 7 12,28 9,64 94,3 2,77 149,6 3,49 38,94 1,78 55,4 2,47 8 13,93 10,93 106,1 2,76 168,4 3,48 43,8 1,77 62,3 2,51 9 15,6 12,2 118 2,75 186 3,46 48,6 1,77 68 2,55 10 100 7 13,75 10,79 130,5 3,08 207 3,88 54,16 1,98 76,4 2,71 8 15,6 12,25 147,1 3,07 233 3,87 60,92 1,98 86,3 2,75 10 19,24 15,1 178,9 3,05 283 3,84 74,08 1,96 110 2,83 12 22,8 17,9 208,9 3,03 330 3,81 86,84 1,95 122 2,91 14 26,28 20,63 237,1 3,00 374 3,78 99,32 1,94 138 2,99 12,5 125 8 19,69 15,46 294 3,87 466 4,87 121,9 2,49 172 3,36 9 22 17,3 327 3,86 520 4,86 135,8 2,48 192 3,4 10 24,33 19,1 359 3,85 571 4,84 148,5 2,47 211 3,45 12 28,89 22,68 422 3,82 670 4,82 174,4 2,46 248 3,53 14 33,37 26,2 481 3,8 763 4,78 199,6 2,45 282 3,61 16 37,77 29,65 538 3,78 852 4,75 224,2 2,44 315 3,68 14 140 9 24,72 19,41 465 4,34 739 5,47 192 2,79 274 3,78 10 27,33 21,45 512 4,33 813 5,46 210 2,78 301 3,82 12 32,49 25,5 602 4,31 956 5,43 248 2,76 354 3,9 133 Окончание табл. П3.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 16 160 10 31,43 24,67 774 4,96 1229 6,25 319 3,19 455 4,3 11 34,42 27,02 844 4,95 1340 6,24 347 3,18 496 4,35 12 37,39 29,35 912 4,94 1450 6,23 375 3,17 537 4,39 14 43,57 33,97 1046 4,92 1662 6,2 430 3,16 615 4,47 16 49,07 38,52 1175 4,89 1865 6,17 484 3,14 690 4,55 18 54,79 43,01 1290 4,87 2061 6,13 537 3,13 771 4,63 20 60,4 47,44 1418 4,85 2248 6,1 589 3,12 830 4,7 20 200 12 47,1 36,97 1822 6,22 2896 7,84 749 3,99 1073 5,37 13 50,85 39,92 1960 6,21 3116 7,83 805 3,98 1156 5,42 14 54,6 42,8 2097 6,2 3333 7,81 861 3,97 1236 5,46 16 61,98 48,65 2362 6,17 3755 7,78 969 3,96 1393 5,54 20 76,54 60,08 2871 6,12 4560 7,72 1181 3,93 1689 5,7 25 94,29 74,02 3466 6,06 5494 7,63 1438 3,91 2028 5,89 30 111,54 87,56 4019 6 6351 7,55 1698 3,89 2332 6,07 25 250 16 78,4 61,55 4717 7,76 7492 9,78 1942 4,98 2775 6,75 18 87,72 68,86 5247 7,73 8336 9,75 2157 4,96 3089 6,83 20 96,96 76,11 5764 7,71 9159 9,72 2370 4,94 3395 6,91 22 106,12 83,31 6270 7,09 9961 9,69 2579 4,93 3691 7 25 119,71 93,97 7006 7,65 11125 9,64 2887 4,91 4119 7,11 28 133,12 104,5 7716 7,61 12243 9,59 3189 4,9 4527 7,23 30 141,96 111,44 8176 7,59 12964 9,56 3388 4,89 4788 7,31 Приложение 4 Рекомендуемый сортамент неравнополочных уголков (по ГОСТ 8510-86) B – ширина большой полки b – ширина малой полки d – толщина полки I – момент инерции i – радиус инерции xc, yc – расстояние от центра тяжести до наружных граней полок α – угол наклона главной центральной оси Таблица П4.1 Н о м ер п р о ф и л я Размеры, мм П л о щ ад ь се ч ен и я А , см 2 Л и н ей н ая п л о т- н о ст ь ρ , к г/ м Геометрические характеристики относительно осей хс, см yс, см 1ху, см4 tgα В b d x y0 и Iх, см4 ix, см Iy, см4 iy, см Iu, см4 iu, см 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2,5/1,6 25 16 3 1,16 0,91 0,70 0,78 0,22 0,44 0,13 0,34 0,42 0,86 0,22 0,392 Продолжение табл. П4.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3,2/2 32 20 3 1,49 1,17 1,52 1,01 0,46 0,55 0,28 0,43 0,49 1,08 0,47 0,382 4 1,94 1,52 1,93 1 0,57 0,54 0,35 0,43 0,53 1,12 0,59 0,374 4/2,5 40 25 3 1,89 1,48 3,06 1,27 0,93 0,70 0,56 0,54 0,59 1,32 0,96 0,385 4 2,47 1,94 3,93 1,26 1,18 0,69 0,71 0,54 0,63 1,37 1,22 0,281 5 3,03 2,37 4,73 1,25 1,41 0,68 0,86 0,53 0,66 1,41 1,44 0,374 5/3,2 50 32 3 2,42 1,9 6,18 1,6 1,99 0,91 1,18 0,7 0,72 1,60 2,01 0,403 4 3,17 2,4 7,98 1,59 2,56 0,9 1,52 0,69 0,76 1,65 2,59 0,401 6,3/4,0 63 40 4 4,04 3,17 16,33 2,01 5,16 1,13 3,07 0,87 0,91 2,03 5,25 0,397 5 4,98 3,91 19,91 2 6,26 1,12 3,73 0,86 0,95 2,08 6,41 0,396 6 5,9 4,63 23,31 1,99 7,29 1,11 4,36 0,86 0,99 2,12 7,44 0,393 8 7,68 6,03 29,6 1,96 9,15 1,09 5,58 0,85 1,07 2,2 9,27 0,386 7,5/5 75 60 5 6,11 4,79 34,81 2,39 12,47 1,43 7,24 1,09 1,17 2,39 12 0,436 6 7,25 5,69 40,92 2,38 14,6 1,42 8,48 1,08 1,21 2,44 14,1 0,435 7 8,37 6,57 46,77 2,36 16,61 1,41 9,69 1,08 1,25 2,48 16,18 0,435 8 9,47 7,43 52,38 2,35 18,52 1,4 10,87 1,07 1,29 2,52 17,8 0,43 9/5,6 90 56 5,5 7,86 6,17 65,28 2,88 19,67 1,58 11,77 1,22 1,26 2,92 20,54 0,384 6 8,54 6,7 70,58 2,88 21,22 1,58 12,7 1,22 1,28 2,95 22,23 0,384 8 11,18 8,77 90,87 2,85 27,08 1,56 16,29 1,21 1,36 3,04 28,33 0,38 10/6,3 100 63 6 9,58 7,53 98,29 3,2 30,58 1,79 18,2 1,38 1,42 3,23 31,5 0,393 7 11,09 8,7 112,86 3,19 34,99 1,78 20,83 1,37 1,46 3,28 36,1 0,392 8 12,57 9,87 126,96 3,18 39,21 1,77 23,38 1,36 1,5 3,32 40?5 0,391 10 15,47 12,14 153,95 3,15 47,18 1,75 28,34 1,35 1,58 3,4 48,6 0,387 Окончание табл. П4.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12,5/8 125 80 7 14,06 11,04 226 4,01 73,73 2,29 43,4 1,76 1,8 4,01 74,7 0,407 8 15,98 12,58 225 4 80,95 2,28 48,82 1,75 1,84 4,05 84,1 0,406 10 19,7 15,47 311 3,98 100,47 2,26 59,33 1,74 1,92 4,14 102 0,404 12 23,36 18,34 364 3,95 116,84 2,24 69,47 1,72 2 4,22 118 0,4 16/10 160 100 9 22,87 17,96 605 5,15 186 2,85 110,4 2,2 2,24 5,19 194 0,391 10 25,28 19,85 666 5,13 204 2,84 121,16 2,19 2,28 5,23 213 0,390 12 30,04 23,58 784 5,11 238 2,82 142,14 2,18 2,36 5,32 249 0,388 14 34,72 27,26 897 5,08 271 2,8 162,49 2,16 2,43 5,4 282 0,385 20/12,5 200 125 11 34,87 27,37 1449 6,45 446 3,58 263 2,75 2,79 6,5 465 0,392 12 37,89 29,74 1568 6,43 481 3,57 285 2,74 2,83 6,54 503 0,392 14 43,87 34,43 1800 6,41 550 3,54 326 2,73 2,91 6,62 575 0,390 16 49,77 39,07 2026 6,38 616 3,52 366 2,72 2,99 6,71 643 0,388 137 Приложение 5 Таблица П5.1 Коэффициент φ продольного изгиба центрально-сжатых элементов Гибкость, λ Значения φ для элементов из спали с расчетным сопротивлением R, МПа чугун древесина 200 240 280 320 360 400 0 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0,988 0,987 0,985 0,984 0,983 0,982 0,97 0,992 20 0,967 0,962 0,959 0,955 0,952 0,949 0,91 0,968 30 0,939 0,931 0,924 0,917 0,911 0,905 0,81 0,928 40 0,906 0,894 0,883 0,873 0,863 0,854 0,69 0,872 50 0,869 0,852 0,836 0,822 0,809 0,796 0,57 0,8 60 0,827 0,805 0,785 0,766 0,749 0,721 0,44 0,712 70 0,782 0,754 0,724 0,687 0,654 0,623 0,34 0,608 80 0,734 0,686 0,641 0,602 0,566 0,532 0,26 0,469 90 0,665 0,612 0,565 0,522 0,483 0,447 0,2 0,37 100 0,599 0,542 0,493 0,448 0,408 0,369 0,16 0,3 110 0,537 0,478 0,427 0,381 0,338 0,306 – 0,248 120 0,479 0,419 0,366 0,321 0,287 0,26 – 0,208 130 0,425 0,364 0,313 0,276 0,247 0,223 – 0,178 140 0,376 0,315 0,272 0,24 0,215 0,195 – 0,153 150 0,328 0,276 0,239 0,211 0,189 0,171 – 0,133 160 0,29 0,244 0,212 0,187 0,167 0,152 – 0,117 170 0,259 0,218 0,189 0,167 0,15 0,136 – 0,104 180 0,233 0,196 0,17 0,15 0,135 0,123 – 0,093 190 0,21 0,177 0,154 0,136 0,122 0,111 – 0,083 200 0,191 0,161 0,14 0,124 0,111 0,101 – 0,075 210 0,174 0,147 0,128 0,113 0,102 0,093 – 0,068 220 0,16 0,135 0,118 0,104 0,094 0,086 – 0,062 138 Приложение 6 Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы С х ем а ст о й к и μ 2 1 0,7 0,5 Значение коэффициентов a и b в формуле Ясинского λσкр bа Материал пред a, Мпа b, Мпа Ст 2, Ст 3 100 310 1,14 Ст 5 100 464 3,26 Сталь 40 90 321 1,16 Кремнистая сталь 100 589 3,82 Дерево 110 29,3 0,194 Чугун 80 776 12 Для чугуна 2 кр λλσ cba , где с = 0,53 139 Учебное издание ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ С о с т а в и т е л и: ЕВСЕЕВА Елена Анатольевна ЗИНЕВИЧ Сергей Иванович СОБОЛЕВСКИЙ Сергей Владимирович Подписано в печать 21.06.2013. Формат 60 84 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 8,02. Уч.-изд. л. 6,27. Тираж 150. Заказ 1443. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Пр. Независимости, 65. 220013, г. Минск.