90 /  1 (59), 2011  
The mathematical model of multidimensional regres-
sion analysis is presented. Its practical application for roll-
ing production is examined. The algorithm of special char-
acteristics determination is developed.
А. Н. чичко, БНту, л. А. ФЕклиСтоВА, В. и. ЩЕРБАкоВ, А. В. ВЕДЕНЕЕВ, РуП «БМз»
УДК 669.
ФакторНыЙ аНалиЗ теХНологии ПроЦесса Прокатки 
(ЧастЬ 1)
В первой части рассмотрен многомерный ре-
грессионный анализ, проведенный по статистиче-
ским данным действующего технологического 
процесса прокатки. Во второй части будет прове-
дена в основном проверка полученных данных по 
методу Стьюдента и Фишера, а также определена 
погрешность проведенных расчетов с целью опре-
деления адекватности полученного метода. Пред-
ложенный метод основан на знании конкретного 
процесса и требует дальнейшей проверки на дру-
гих марках сталей. Эти исследования будут прове-
дены в 2011 г. и по их результатам определен окон-
чательный алгоритм расчетов и действий.
Известно, что свойства катанки формируются 
на этапах выплавки стали, получения литой заго-
товки и заготовки в процессе прокатки. На свой-
ства катанки влияет множество факторов, напри-
мер, химический состав стали, наличие дефектов 
после выплавки и в процессе получения литой за-
готовки, микроструктура перлита катанки после 
сорбитизации с проката, технология изготовления 
катанки. Присутствие многоступенчатости техно-
логических переделов приводит к усложнению по-
иска причин ухудшения качества продукции при 
массовом производстве. Непрерывность техноло-
гического процесса не позволяет останавливать 
технологические агрегаты и линии для проведения 
исследований причин и поиска оптимальных тех-
нологических режимов. В таких ситуациях, как 
правило, используют различные методы статисти-
ческого анализа. Проработка литературных дан-
ных показала, что для сложных технологических 
циклов отсутствуют готовые методы регрессион-
ного анализа. А учитывая тот факт, что в условиях 
реального производства и в борьбе за рынки сбыта 
происходит постоянная смена сортамента выпу-
скаемой продукции при прокатке, требуется всегда 
проводить статистический анализ технологиче-
ских параметров и характеристик используемых 
материалов для улучшения качества продукции. 
В данной работе предлагается собственная схема 
проведения анализа с использованием специаль-
ных характеристик. Специальные характеристи- 
ки – это характеристики продукции и процессов, 
назначенные потребителем, описывающие безо-
пасность и правительственные нормы и/или назна-
ченные поставщиком благодаря знаниям о продук-
ции и процессе, требующие мониторинга и внесе-
ния в планы управления и другие технологические 
документы.
При определении влияния на зависимую пере-
менную нескольких факторов можно использовать 
многофакторный дисперсионный анализ, с помо-
щью которого можно определить степень зависи-
мости между характеристиками и в результате по-
следовательного анализа выбрать специальные ха-
рактеристики. Главное преимущество этого метода 
в том, что он позволяет исследователю изучать 
взаимодействие факторов. Взаимодействия (intera-
ction) имеют место, когда эффекты одного фактора 
на зависимую переменную зависят от уровня дру-
гих факторов. 
Цель проведения многомерного регрессионно-
го анализа − исследование влияния химического 
состава стали на величину прочности, относитель-
ного сужения и относительного удлинения стали 
65К, предназначенной для изготовления металло-
корда; выбор специальных характеристик катанки, 
которые могут повлиять на безопасность или соот-
ветствие правительственным нормам, установку, 
функцию, работоспособность или последующую 
переработку продукции.
Задачей анализа является построение матема-
тической модели и выбор одного или нескольких 
оптимальных параметров из многих выходных па-
раметров, при этом другие служат ограничениями, 
/ 91   1 (59), 2011
которые бы минимизировали сумму квадратов от-
клонений наблюдаемых точек от поверхности (ре-
грессионная поверхность выражает наилучшее 
предсказанное значение зависимой переменной y  
для заданных значений независимых переменных 
x ). Всегда полезно исследовать возможность 
уменьшения выходных параметров, так как невоз-
можно построить математические модели, одно-
временно оптимизировав несколько функций [1, 2]. 
Анализ зависимости химического состава 
стали от величины прочности, относительного 
сужения и относительного удлинения проволо-
ки из стали 65К, предназначенной для изготов-
ления металлокорда по ЗТУ 840–03
Для многомерного регрессионного анализа 
воспользуемся моделью черного ящика (рис. 1).
Под моделью будем понимать вид функции от-
клика. При построении многомерных моделей на-
глядность представления теряется и приходится 
выражаться на языке алгебры. Модель должна 
быть адекватной, т. е. предсказанное с помощью 
модели значение отклика не должно отличаться от 
фактического больше чем на некоторую заданную 
величину. Выбранная линейная модель будет всег-
да адекватна по причине аналитичности функции 
отклика и всегда существует окрестность любой 
точки, в которой линейная модель адекватна. Ма-
тематическая модель нужна для предсказания на-
правления, в котором величина параметра оптими-
зации улучшается быстрее, чем в любом другом 
направлении. В исследуемом случае уже известен 
допуск на рассматриваемые характеристики и, сле-
довательно, известна область факторного простран-
ства. Эта модель имеет конечное число опытов, 
позволяющее получить выборочные оценки для ко-
эффициентов уравнения [3−5]. Их точность и надеж-
ность зависят от свойств выборки и нуждаются 
в статистической проверке. Задачей здесь является 
вычисление значений коэффициентов модели.
В табл. 1 приведены химический состав и ме-
ханические свойства стали по применяемой на 
РУП «БМЗ» марке стали для изготовления метал-
локорда и проволоки в соответствии с заводскими 
техническими условиями, в табл. 2 – статистиче-
ские данные по механическим и химическим ха-
рактеристикам катанки марки стали 65К для про-
изводства метизной продукции.
Таким образом, функция является линейной 
и система N линейных уравнений (алгебраических 
полиномов первой степени) и уравнение множе-
ственной регрессии (число независимых перемен-
ных 2≥ ) имеет следующий вид [6]:
0 1 1 2 2  . . .i k ky B B x B x B x= + + + + ,
где 0 1 2, , , ..., kB B B B  – свободные коэффициенты; 
1 2, , ..., kx x x  и iy  – переменные, представляющие 
собой два массива чисел. Применительно к иссле-
дуемым характеристикам переменные 1 2, , ..., kx x x  – 
это процентное содержание химических элемен-
тов в стали, а 1 2 3, ,y y y  – соответственно значение 
временного сопротивления разрыву ( )bσ , относи-
тельного сужения ( )ψ  и относительного удлине-
ния ( )δ . Тогда система линейных уравнений при-
мет вид
1 10 11 11 12 12 19 19
2 20 21 21 22 22 29 29
3 30 31 31 32 32 39 39
... ,
... ,
 . . .  .
y B B x B x B x
y B B x B x B x
y B B x B x B x
= + + + +
 = + + + +
 = + + + +
На рис. 2 показан алгоритм построения модели 
множественной регрессии. Используя этот алго-
ритм, рассмотрим пошагово его практическое при-
менение на примере прокатного производства.
Рис. 1. Модель черного ящика для производства катанки  
в условиях РУП «БМЗ»
Т а б л и ц а  1.  Химический состав и механические свойства стали по ЗТУ 840–03- 2006
Марка  
стали
Массовая доля элементов, %
C Mn
Si P S Cr Ni Cu Al N2
не более
65К 0,67–0,71 0,45–0,55 0,30 0,015 0,015 0,06 0,06 0,07 0,004 0,007
Требования по механическим свойствам стали
910 1090σ = −  Н/мм2 ψ, не менее 38% δ, не менее 12%
92 /  1 (59), 2011  
Рис. 2. Алгоритм определения специальных характеристик с помощью математической модели
/ 93   1 (59), 2011
Шаг 1. Построим входную расширенную ма-
трицу для входных переменных (x1, x2, x3, ..., x9) 
и одной выходной (y) для n = 89 наблюдений. Для 
данного исследования матрица имеет вид
.
По исходным данным табл. 2 проведем вычис-
ления средних значений и дисперсии для всех пе-
ременных.
Шаг 2. Преобразуем исходную матрицу к стан-
дартизированному виду, используя средние ариф-
метические  и среднеквадра-
тические отклонения переменных Sx1, Sx2, Sx3, ..., 
Sx9, Sy1, Sy2, Sy3 (табл. 3) по следующей формуле 
[6−8]:
,
.
Полученная матрица будет иметь вид
.
В новых переменных уравнение имеет следую-
щий вид:
t = β1t1 + β2t2 + β3 t3 + ... + βktk .
Здесь в качестве переменной y применяется 
переменная t, а переменных x1, x2, ..., xk – перемен-
ные t1, t2, ..., tk .
Шаг 3. Представим эту систему линейных 
уравнений в матричном виде. Вычислим частные 
коэффициенты корреляции между переменными xi 
и xj для новой стандартизированной матрицы tij 
(табл. 4).
Составим систему линейных уравнений, введя 
новые переменные β1, β2, β3, ..., β9, являющиеся 
неизвестными. 
Применительно к рассматриваемому случаю 
уравнение имеет следующий вид:
Т а б л и ц а  2.  Исходная матрица для исследуемых характеристик катанки диаметром 5,5 мм из стали марки 65К
№п/п
Значения переменных
х1(С) x2(Si) x3(Mn) x4(P) x5(S) x6(Cr) x7(Ni) x8(Cu) x9(N2) y1(σb) y2(ψ) y3(δ) 
1 0,682 0,1979 0,495 0,00483 0,0112 0,02673 0,02898 0,04798 0,0053 970 47,0 15,5
2 0,6878 0,2144 0,502 0,00394 0,00996 0,02572 0,0266 0,05044 0,0053 980 49,0 18,0
3 0,6845 0,2123 0,5179 0,00498 0,01103 0,02813 0,02888 0,05188 0,00495 990 47,0 16,0
4 0,6923 0,2046 0,50105 0,00548 0,01253 0,02663 0,0289 0,04448 0,0053 970 44,0 15,5
5 0,677 0,1989 0,5078 0,0061 0,0129 0,0216 0,0241 0,043 0,0053 980 52,0 17,5
6 0,678 0,205 0,5098 0,0064 0,0093 0,0367 0,027 0,0395 0,0053 960 44,0 17,0
7 0,679 0,2033 0,51277 0,00603 0,00983 0,03823 0,03123 0,04547 0,00557 950 46,0 17,5
8 0,687 0,2041 0,5051 0,0067 0,0133 0,0368 0,0287 0,0471 0,0057 980 45,0 16,0
9 0,6730 0,1941 0,4718 0,0040 0,0113 0,0265 0,0326 0,0501 0,0053 960 51,0 18,0
10 0,6900 0,1992 0,4830 0,0038 0,0122 0,0355 0,0349 0,0484 0,0055 990 48,0 18,5
11 0,6820 0,1975 0,4869 0,0038 0,0115 0,0265 0,0319 0,0480 0,0047 960 48,0 19,0
12 0,6820 0,2057 0,4899 0,0035 0,0110 0,0328 0,0297 0,0471 0,0059 980 48,0 18,5
13 0,6720 0,2029 0,4894 0,0035 0,0114 0,0328 0,0299 0,0471 0,0059 950 48,0 17,5
14 0,6960 0,2021 0,4878 0,0037 0,0105 0,0351 0,0313 0,0474 0,0050 980 49,0 18,5
− − − − − − − − − – – – –
– – – – – – – – – – – – –
– – – – – – – – – – – – –
– – – – – – – – – – – – –
86 0,6880 0,2234 0,4949 0,0064 0,0096 0,0328 0,0314 0,0475 0,0047 970 46,0 15,5
87 0,6850 0,1955 0,5347 0,0053 0,0134 0,0328 0,0306 0,0537 0,0059 980 49,0 16,0
88 0,6840 0,1964 0,5378 0,0058 0,0133 0,0305 0,0321 0,0459 0,0059 1010 49,0 16,0
89 0,6700 0,1848 0,5494 0,0064 0,0103 0,0197 0,0281 0,0370 0,0050 940 50,0 15,5
Средние значения 0,68417 0,20673 0,5027676 0,005407 0,011142 0,027526 0,028561 0,046072 0,005341 991,4606 0,684177 0,20673
Среднеквадратическое 
отклонение (s) 0,00775 0,01219 0,0198072 0,001339 0,001811 0,005436 0,003209 0,007280 0,000572 26,04849 0,007755 0,01219
 
Сумма
 
60,8918 18,3993 44,74632 0,48126 0,99165 2,44984 2,54199 4,10045 0,47539 88240 60,8918 18,3993
94 /  1 (59), 2011  
 
Т
 а
 б
 л
 и
 ц
 а
  3
.  
С
та
н
да
рт
и
зи
ро
ва
н
н
ая
 м
ат
ри
ц
а 
ijt
№
 п
.п
Зн
ач
ен
ия
 п
ер
ем
ен
ны
х
t i(
С
) 
t i 
(S
i)
 
t i 
(M
n)
 
t i 
(P
) 
t i 
(S
) 
t i 
(C
r)
 
t i 
(N
i)
 
t i 
(C
u)
 
t i 
(N
2)
 
t j 
(σ
b)
 
t j(
ψ
) 
t j(
δ)
 
1
–0
,2
80
77
18
–0
,7
24
59
85
–0
,3
92
16
13
–0
,4
30
99
11
0,
03
19
40
5
–0
,1
46
47
77
0,
13
03
36
3
0,
26
20
22
7
–0
,0
72
39
18
–0
,8
23
87
39
–0
,4
54
05
16
–0
,7
77
49
14
2
0,
46
70
83
8
0,
62
88
39
5
–0
,0
38
75
55
–1
,0
95
29
95
–0
,6
52
51
65
–0
,3
32
26
68
–0
,6
11
21
19
0,
59
99
34
3
–0
,0
72
39
18
–0
,4
39
97
46
0,
28
06
86
4
0,
87
00
49
9
3
0,
04
15
79
7
0,
45
65
83
7
0,
76
39
80
5
–0
,3
19
02
90
–0
,0
61
89
63
0,
11
10
51
9
0,
09
91
78
8
0,
79
77
36
3
–0
,6
83
50
45
–0
,0
56
07
52
–0
,4
54
05
16
–0
,4
47
98
31
4
1,
04
73
16
6
–0
,1
75
02
07
–0
,0
86
71
77
0,
05
41
77
9
0,
76
60
75
8
–0
,1
64
87
26
0,
10
54
10
3
–0
,2
18
74
58
–0
,0
72
39
18
–0
,8
23
87
39
–1
,5
56
15
88
–0
,7
77
49
14
5
–0
,9
25
47
50
–0
,6
42
57
20
0,
25
40
66
4
0,
51
69
54
5
0,
97
03
08
9
–1
,0
90
13
95
–1
,3
90
14
91
–0
,4
22
04
23
–0
,0
72
39
18
–0
,4
39
97
46
1,
38
27
93
6
0,
54
05
41
6
6
–0
,7
96
53
43
–0
,1
42
21
01
0,
35
50
39
5
0,
74
08
78
7
–1
,0
16
82
42
1,
68
75
00
5
–0
,4
86
58
20
–0
,9
02
81
08
–0
,0
72
39
18
–1
,2
07
77
33
–1
,5
56
15
88
0,
21
10
33
3
7
–0
,6
67
59
37
–0
,2
81
65
52
0,
50
49
84
5
0,
46
47
05
6
–0
,7
24
27
41
1,
96
89
43
5
0,
83
13
79
8
–0
,0
82
75
70
0,
39
90
37
9
–1
,5
91
67
26
–0
,8
21
42
06
0,
54
05
41
6
8
0,
36
39
31
3
–0
,2
16
03
40
0,
11
77
52
8
0,
96
48
02
9
1,
19
11
01
5
1,
70
58
95
5
0,
04
30
95
4
0,
14
11
43
8
0,
62
60
22
6
–0
,4
39
97
46
–1
,1
88
78
97
–0
,4
47
98
31
9
–1
,4
41
23
75
–1
,0
36
29
94
–1
,5
63
44
91
–1
,0
50
51
47
0,
08
71
38
6
–0
,1
88
78
61
1,
25
82
37
4
0,
55
32
31
1
–0
,0
72
39
18
–1
,2
07
77
33
1,
01
54
24
5
0,
87
00
49
9
10
0,
75
07
53
2
–0
,6
17
96
40
–0
,9
97
99
98
–1
,1
99
79
75
0,
58
39
21
9
1,
46
67
60
9
1,
97
48
59
7
0,
31
97
14
9
0,
27
68
15
4
–0
,0
56
07
52
–0
,0
86
68
25
1,
19
95
58
2
11
–0
,2
80
77
18
–0
,7
57
40
91
–0
,8
01
10
23
–1
,1
99
79
75
0,
19
75
34
9
–0
,1
88
78
61
1,
04
01
35
0
0,
26
47
70
0
–1
,1
20
01
35
–1
,2
07
77
33
–0
,0
86
68
25
1,
52
90
66
5
12
–0
,2
80
77
18
–0
,0
84
79
15
–0
,6
49
64
27
–1
,4
23
72
16
–0
,0
78
45
58
0,
97
00
96
8
0,
35
46
70
2
0,
14
11
43
8
0,
97
52
29
8
–0
,4
39
97
46
–0
,0
86
68
25
1,
19
95
58
2
13
–1
,5
70
17
81
–0
,3
14
46
58
–0
,6
74
88
59
–1
,4
23
72
16
0,
14
23
36
8
0,
97
00
96
8
0,
41
69
85
2
0,
14
11
43
8
0,
97
52
29
8
–1
,5
91
67
26
–0
,0
86
68
25
0,
54
05
41
6
14
1,
52
43
96
9
–0
,3
80
08
70
–0
,7
55
66
44
–1
,2
74
43
89
–0
,3
54
44
65
1,
39
31
81
0
0,
85
31
90
1
0,
18
23
52
5
–0
,5
96
20
27
–0
,4
39
97
46
0,
28
06
86
4
1,
19
95
58
2
15
–0
,5
38
65
31
–1
,6
26
89
05
–1
,1
09
07
02
0,
36
76
71
8
–0
,1
33
65
39
–0
,8
32
60
99
–0
,7
04
68
44
–0
,5
86
87
72
1,
32
44
37
1
1,
86
34
21
6
–3
,0
25
63
50
–0
,4
47
98
31
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
83
1,
13
75
75
0
–0
,1
91
42
60
–1
,1
54
50
81
2,
45
76
30
7
–0
,3
54
44
65
–1
,0
90
13
95
–0
,2
99
63
70
–1
,1
22
59
07
0,
62
60
22
6
0,
32
78
24
2
–1
,1
88
78
97
–1
,1
06
99
97
84
–0
,5
38
65
31
0,
07
92
61
6
–0
,3
01
28
55
1,
26
33
68
4
–1
,0
16
82
42
–1
,5
13
22
37
–0
,6
11
21
19
–0
,2
98
41
61
–0
,0
72
39
18
2,
24
73
21
0
0,
28
06
86
4
–0
,7
77
49
14
85
–1
,0
54
41
56
1,
00
61
61
6
–0
,0
89
24
21
1,
56
19
34
0
–0
,9
61
62
61
–1
,4
94
82
87
–0
,3
30
79
45
–0
,9
02
81
08
0,
27
68
15
4
0,
71
17
23
5
–1
,1
88
78
97
–1
,1
06
99
97
86
0,
49
28
71
9
1,
36
70
78
4
–0
,3
97
21
00
0,
74
08
78
7
–0
,8
51
22
98
0,
97
00
96
8
0,
88
43
47
6
0,
19
60
88
7
–1
,1
20
01
35
–0
,8
23
87
39
–0
,8
21
42
06
–0
,7
77
49
14
87
0,
10
60
50
0
–0
,9
21
46
22
1,
61
21
54
4
–0
,0
80
17
66
1,
24
62
99
7
0,
97
00
96
8
0,
63
50
87
7
1,
04
77
35
9
0,
97
52
29
8
–0
,4
39
97
46
0,
28
06
86
4
–0
,4
47
98
31
88
–0
,0
22
89
06
–0
,8
47
63
83
1,
76
86
62
7
0,
29
30
30
4
1,
19
11
01
5
0,
54
70
12
6
1,
10
24
50
0
–0
,0
23
69
12
0,
97
52
29
8
0,
71
17
23
5
0,
28
06
86
4
–0
,4
47
98
31
89
–1
,8
28
05
93
–1
,7
99
14
63
2,
35
43
06
6
0,
74
08
78
7
–0
,4
64
84
28
–1
,4
39
64
38
–0
,1
43
84
96
–1
,2
46
21
69
–0
,5
96
20
27
–1
,9
75
57
20
0,
64
80
55
5
–0
,7
77
49
14
/ 95   1 (59), 2011
Т
 а
 б
 л
 и
 ц
 а
  4
.  
М
ат
ри
ц
а 
к
ор
ре
л
яц
и
и
 д
л
я 
ст
ан
да
рт
и
зи
ро
ва
н
н
ой
 м
ат
ри
ц
ы
 
ijt
r
Зн
ач
ен
ия
 к
оэ
ф
ф
иц
ие
нт
ов
 к
ор
ре
ля
ци
и
r x
ix
j(С
) 
r x
ix
j (
S
i)
 
r x
ix
j (
M
n)
 
r x
ix
j (
P
) 
r x
ix
j (
S
) 
r x
ix
j (
C
r)
 
r x
ix
j (
N
i)
 
r x
ix
j (
C
u)
 
r x
ix
j (
N
2)
 
r x
ix
j (
σ b
) 
r x
ix
j (
ψ
) 
r x
ix
j (
δ)
 
1x
1
0,
21
80
88
23
0,
08
84
96
29
–0
,0
90
51
35
0,
07
63
70
28
–0
,0
87
05
67
0,
00
52
61
68
–0
,1
20
74
05
–0
,0
63
77
99
–0
,0
52
93
59
–0
,1
84
86
10
–0
,0
65
74
90
2x
0,
21
80
88
23
1
–0
,0
70
14
01
0,
04
52
65
14
0,
29
43
67
51
–0
,2
48
72
02
–0
,1
21
60
76
0,
04
94
60
99
0,
07
43
42
63
0,
18
97
13
20
0,
03
27
33
80
–0
,2
09
55
58
3x
0,
08
84
96
29
–0
,0
70
14
01
1
–0
,1
27
52
36
0,
01
91
53
28
0,
23
39
48
51
–0
,0
30
90
83
0,
03
71
83
70
0,
02
87
21
61
–0
,2
97
45
68
–0
,0
99
83
03
–0
,1
41
69
19
4x
–0
,0
90
51
35
0,
04
52
65
14
–0
,1
27
52
36
1
0,
20
31
62
76
0,
03
59
10
94
0,
22
13
90
16
–0
,0
81
71
33
0,
04
92
09
17
0,
26
57
84
81
–0
,0
23
38
79
–0
,0
18
32
68
5x
0,
07
63
70
28
0,
29
43
67
51
0,
01
91
53
28
0,
20
31
62
76
1
–0
,1
16
46
92
0,
13
32
10
99
0,
06
79
22
75
0,
14
65
83
44
0,
12
30
79
06
0,
01
76
63
06
0,
02
66
65
79
6x
–0
,0
87
05
67
–0
,2
48
72
02
0,
23
39
48
51
0,
03
59
10
94
–0
,1
16
46
92
1
0,
44
01
28
21
0,
16
30
72
63
0,
11
31
60
65
–0
,1
13
63
24
–0
,0
73
54
58
0,
15
33
42
91
7x
0,
00
52
61
68
–0
,1
21
60
76
–0
,0
30
90
83
0,
22
13
90
16
0,
13
32
10
99
0,
44
01
28
21
1
0,
52
31
82
85
0,
03
69
03
67
–0
,0
67
25
79
–0
,0
23
17
27
6
0,
05
10
36
99
8x
–0
,1
20
74
05
0,
04
94
60
99
0,
03
71
83
70
–0
,0
81
71
33
0,
06
79
22
75
0,
16
30
72
63
0,
52
31
82
85
1
0,
01
20
31
45
–0
,0
62
96
96
–0
,0
65
37
32
–0
,2
54
78
38
9x
–0
,0
63
77
99
0,
07
43
42
63
0,
02
87
21
61
0,
04
92
09
17
0,
14
65
83
44
0,
11
31
60
65
0,
03
69
03
67
0,
01
20
31
45
1
0,
02
88
00
22
–0
,0
77
12
34
0,
06
86
03
65
Т
 а
 б
 л
 и
 ц
 а
  5
.  
О
бр
ат
н
ая
 м
ат
ри
ц
а 
А
–1
(9
×
9)
 
Зн
ач
ен
ия
 о
це
ни
ва
ем
ы
х 
ха
ра
кт
ер
ис
ти
к 
(k
) 
К
оэ
ф
ф
иц
ие
нт
ы
 р
ег
ре
сс
ии
 с
та
нд
ар
ти
зи
ро
ва
нн
ой
 
си
ст
ем
ы
 л
ин
ей
ны
х 
ур
ав
не
ни
й
К
оэ
ф
ф
иц
ие
нт
ы
 р
ег
ре
сс
ии
 и
сх
од
но
й 
си
ст
ем
ы
  
ли
не
йн
ы
х 
ур
ав
не
ни
й
x 1
(C
) 
x 2
(S
i)
 
x 3
(M
n)
 
x 4
(P
) 
x 5
(S
) 
x 6
(C
r)
 
x 7
(N
i)
 
x 8
(C
u)
 
x 9
(N
2)
 
β σ
β ψ
β δ
B
σ
B
ψ
B
δ
B
0
1,
15
23
8
–0
,2
93
96
–0
,1
53
02
0,
18
70
8
–0
,0
13
69
0,
13
09
8
–0
,3
12
67
0,
31
67
8
0,
08
54
5
–0
,0
34
6
–0
,2
41
7
–0
,0
67
0
–1
16
,0
6
–8
4,
82
57
–1
3,
10
8
–
–0
,2
93
9
1,
26
45
7
0,
09
39
4
–0
,0
95
03
–0
,3
22
48
0,
15
58
7
0,
29
65
3
–0
,2
66
88
–0
,0
88
88
0,
13
92
0,
08
89
–0
,1
64
9
29
7,
34
2
19
,8
38
6
–2
0,
52
5
–
–0
,1
53
0
0,
09
39
4
1,
13
57
9
0,
09
37
4
–0
,1
28
20
–0
,3
74
58
0,
27
84
6
–0
,1
33
57
–0
,0
01
47
–0
,2
70
6
–0
,0
56
5
–0
,1
85
0
–3
55
,8
4
–7
,7
70
0
–1
4,
17
1
–
0,
18
70
8
–0
,0
95
03
0,
09
37
4
1,
20
39
5
–0
,1
88
32
0,
05
18
9
–0
,4
67
96
0,
37
14
4
–0
,0
08
41
0,
24
29
–0
,0
95
1
–0
,1
43
9
47
23
,5
2
–1
93
,3
10
6
–1
62
,9
7
–
–0
,0
13
6
–0
,3
22
48
–0
,1
28
20
–0
,1
88
32
1,
22
18
9
0,
23
23
5
–0
,2
75
71
0,
02
89
6
–0
,1
59
53
0,
06
37
0,
03
05
0,
12
59
91
6,
47
1
45
,7
82
5
10
5,
46
1
–
0,
13
09
8
0,
15
58
7
–0
,3
74
58
0,
05
18
9
0,
23
23
5
1,
49
73
4
–0
,7
81
04
0,
17
70
1
–0
,1
71
83
0,
04
27
–0
,0
69
2
0,
14
99
20
4,
78
1
–3
4,
63
50
41
,8
41
0
–
–0
,3
12
6
0,
29
65
3
0,
27
84
6
–0
,4
67
96
–0
,2
75
71
–0
,7
81
04
2,
07
31
1
–1
,0
39
99
0,
03
78
5
–0
,1
52
4
0,
12
03
0,
17
38
–1
23
7,
1
10
1,
99
11
82
,1
67
4
–
0,
31
67
8
–0
,2
66
88
–0
,1
33
57
0,
37
14
4
0,
02
89
6
0,
17
70
1
–1
,0
39
99
1,
59
97
9
0,
02
04
6
0,
02
43
–0
,1
57
2
–0
,3
84
1
86
,9
55
3
–5
8,
78
54
–8
0,
06
8
–
0,
08
54
5
–0
,0
88
88
–0
,0
01
47
–0
,0
08
41
–0
,1
59
53
–0
,1
71
83
0,
03
78
5
0,
02
04
6
1,
05
37
0
0,
00
32
–0
,0
92
0
0,
05
18
14
6,
48
9
–4
37
,3
66
6
13
7,
16
9
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
11
77
,4
6
–
–
(
)
0
B
σ
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
10
9,
69
71
–
(
)
0
B
ψ
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
36
,1
80
9
(
)
0
B
δ
96 /  1 (59), 2011  
1 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 9 9
2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 2 9 9
9 9 1 1 9 2 2 9 3 3 9 9 9
... ,
... ,
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
 . . .  .
x y x x x x x x x x
x y x x x x x x x x
x y x x x x x x x x
r r r r r
r r r r r
r r r r r
= β + β + β + + β

= β + β + β + + β


= β + β + β + + β

В качестве основной формулы для расчета ко-
эффициента корреляции xyr  для двух переменных 
x  и y  используют формулу [1]:
1
2 2
1 1
( )( )
( ) ( )
n
i i
i
xy n n
i i
i i
x x y y
r
x x y y
=
= =
− −
=
− −
∑
∑ ∑
,
где ,x y  – средние значения переменных ix  и iy  
соответственно.
Линейный коэффициент корреляции находится 
в пределах 1 1xyr− ≤ ≤ . Система уравнений форми-
руется из матрицы корреляции (табл. 5):
11 1 1 2 1 3 1 9
22 1 2 2 2 3 2 9
99 1 9 2 9 3 9 9
 . . .
 . . .
 .
 . . . . . .  . . .  . . .  . . .  . . .
 . . .
x yx x x x x x x x
x yx x x x x x x x
x yx x x x x x x x
rr r r r
rr r r r
rr r r r
 
 
 
 
 
  
Шаг 4. Решим систему линейных уравнений 
с помощью обратной матрицы [9,10].
В результате получены значения коэффициен-
тов стандартизированного уравнения 1 2 3 9, , ,...,β β β β  
(табл. 5) путем перемножения массивов обратной 
матрицы и коэффициентов корреляции.
Шаг 5. Далее решая систему, определяем ре-
грессионные коэффициенты 1 2 3 9, , , ...,β β β β , по ко-
торым осуществляется переход к исходным коэф-
фициентам модели 0 1 2 9, , , ...,B B B B  (табл. 5). При 
этом используются формулы [6]:
1 1
1
y
x
B
σ
= β
σ
,….., 9 9
9
y
x
B
σ
= β
σ
, 
9
0 9 9
1j
B y B x
=
= − ∑  .
Шаг 6. Определение множественного коэффи-
циента корреляции.
Множественный коэффициент корреляции 
определяется как:
1 1 2 2 9 9 . . .x y x y x yR r r r= β + β + + β  .
Полученные в результате исследований множе-
ственные коэффициенты корреляции приведены 
в табл. 6. Множественный коэффициент корреляции 
считается значительным, т. е. имеет место статисти-
ческая зависимость между y  и остальными факто-
рами 1 2, , ..., kx x x , если , где 
Fкр определяется по таблице F-распределения. 
Сила связи между химическим составом и преде-
лом прочности, относительным удлинением явля-
ется умеренной, а с относительным сужением – 
слабой. 
Шаг 7. Определение множественного коэффи-
циента детерминации.
Множественный коэффициент детерминации 
при линейной зависимости определяется как [1]:
, 
Т а б л и ц а  6.  Данные для вычислений критериев Стьюдента и Фишера
Значения коэффициентов Стьюдента t 
t1(C) t2(Si) t3(Mn) t4(P) t5(S) t6(Cr) t7(Ni) t8(Cu) t9(N2) 0,05;88 2,06t =
–0,0651 0,2548 –0,553 7,6532 1,471 –0,2162 –1,4632 0,3267 4,2146 – –
0,1110 0,1675 –0,3079 –2,9940 1,1343 –0,29 1,1628 –0,59 –8,2492 – –
–0,0970 –0,6658 –0,2921 –3,8370 2,5132 0,064 3,3498 –2,06 6,4932 – –
Значения коэффициентов множественной корреляции Ri Значения коэффициентов Фишера Fкр = 1,43
( )bR σ
( )R ψ ( )R δ
1 0,43R = 2
0,28R = 3 0,33R = 1 0,9F = 2 1,08F = 3 0,89F =
Значения коэффициентов множественной детерминации 
2
iR – – –
( )2 bR σ ( )2R ψ ( )2R δ – – –
2
1 0,18R =
2
2 0,08R =
2
3 0,11R = – – –
/ 97   1 (59), 2011
где  – остаточная сумма квадратов 
отклонений; 2
1
( )
n
i
i
y y
=
−∑  – общая сумма квадратов 
отклонений. Коэффициент детерминации 2R  явля-
ется суммарной мерой общего качества уравнения 
регрессии (его соответствия статистическим дан-
ным). 
Таким образом, по результатам проведенного 
регрессионного анализа можно судить о значимо-
сти тех или иных компонентов в общей совокуп-
ности рассматриваемой модели. Разработанная 
и проверенная математическая модель, в основу 
которой положен метод Гаусса (наиболее удобный 
способ решения систем линейных уравнений), по-
зволяет решить задачу выбора специальных харак-
теристик продукции и параметров процесса, влия-
ющих на качество конечного продукта. Преимуще-
ством модели является ее научная основа и уни-
версальность, а также возможность проведения 
проверки адекватности модели, что снижает сте-
пень ошибочности принятия решения. Кроме того, 
модель множественного линейного регрессионно-
го анализа подразумевает поиск показателей (обо-
значаемых x ), определяющих значение отдельной 
количественной переменной, обозначаемой y . 
Систематизация проведения подобного рода ана-
лиза позволяет максимально точно устанавли-
вать зависимости между наблюдаемыми харак-
теристиками и регулировать их с помощью рас-
считанной математической модели. В случае 
автоматизации алгоритма проведения многомер-
ного регрессионного анализа затраты времени 
на поиск решения задачи сокращаются в не-
сколько раз. При этом не потребуется специаль-
ное обучение персонала.
Литература
1. К у м э  Х.  Статистические методы повышения качества / Пер. с англ. М.: Финансы и статистика, 1990. 
2. Ш и ш к и н  И. В.,  С т а н я к и н  В. М.  Квалиметрия и управление качеством. М.: Изд–во ВЗПИ, 1992. 
3. А д л е р  Ю. П.,  М а р к о в а  Е. В.,  Г р а н о в с к и й  Ю. В.  Планирование эксперимента при поиске оптимальных 
условий. Изд. 2–е. М.: Наука, 1976. 
4. Д р е й п е р  Н.,  С м и т  Г.  Прикладной регрессионный анализ: В 2–х кн. Кн. 2 / Пер. с англ. 2–е изд., перераб. и доп. М.: 
Финансы и статистика, 1987. 
5. Н е у й м и н  Я. Г.  Модели в науке и технике. История, теория, практика. Л.: Наука, 1984. 
6. Ч и ч к о  А. Н.,  С о б о л е в  В. Ф.,  Ч и ч к о  О. И.  Статистические методы регулирования качества продукции в литей-
ном производстве. Мн.: БНТУ, 2006. 
7. Рекомендации. Прикладная статистика. Методы обработки данных. Основные требования и характеристики. М.: 
ВНИИС, 1987. 
8. Теория статистики / Под ред. Р. А. Шмойловой.  М.: Финансы и статистика, 1998. 
9. И в а ш о в  А.  Линейная алгебра. Матрицы: Учеб. пособ. М.: ВНИИС, 2004. 
10. О р л о в  А. И.  Эконометрика: Учеб. пособ. М.: Экзамен, 2002.