Белорусский национальный технический университет Факультет транспортных коммуникаций Кафедра сопротивления материалов и теории упругости СОГЛАСОВАНО СОГЛАСОВАНО Заведующий (начальник) кафедрой Декан (начальник) факультета _2014 г. _2014_г. _______________ УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ (название учебной дисциплины) 1-70 03 02 Мосты, транспортные тоннели и метрополитены код и наименование специальности (направление специальности, специализации) Составители: доцент, к.т.н. Вербицкая О.Л , доцент, к.т.н. Шевчук Л.И., доцент, к.т.н. Зиневич С.И. Рассмотрено и утверждено на заседании совета факультета транспортных коммуникаций 2014 г. протокол № Перечень материалов Курс лекций, практические занятия, индивидуальные задачи, материалы для самостоятельной работы, методические указания, контрольные вопросы к зачету, примеры выполнения самостоятельной работы, программа курса. Пояснительная записка Учебно-методический комплекс по курсу ”Теория упругости и пластич- ности” предназначен для студентов третьего курса обучения по специальности 1 70 03 02 “Мосты, транспортные тоннели и метрополитены”. Объем изучаемо- го раздела дисциплины в соответствии с учебным планом составляет 17 часов лекций, 17 часов практических занятий. Целью ЭУМК является научить студентов проводить расчеты типовых элементов строительных конструкций на прочность, жесткость, устойчивость и долговечность. Правильно выбирать конструкционные материалы и форму се- чений конструкций, обеспечивающие требуемые запасы надежности, безопас- ность их эксплуатации и экономичность сооружений. Структурирование и подача учебного материала. Материал курса представлен в виде лекционного материала, практических занятий, самостоя- тельной работы студентов и консультаций. Учебный материал четко разделен по темам курса и излагается в соответствии с типовой программой и в объеме, предусмотренном учебным планом. Рекомендации по организации работы с ЭУМК. Изучение учебного материала в ЭУМК может быть использовано студентами дневной и заочной форм обучения. Предварительно следует изучить тему лекционного материала, затем ознакомиться и проанализировать решение задач соответствующей темы, представленной в разделе практических занятий. Самостоятельно решить инди- видуальную задачу в соответствии с вариантом исходных данных. При выпол- нении и оформлении самостоятельной работы использовать пример, приведен- ный в ЭУМК (п.4.5). В случае появления вопросов при изучении учебного ма- териала необходимо обратиться за консультацией к преподавателю. 3 СОДЕРЖАНИЕ 1 КУРС ЛЕКЦИЙ ................................................................................. 4 1.1 Теория напряженно-деформированного состояния в точке ……… 4 1.2 Основные уравнения теории упругости …………………………… 23 1.3 Плоская задача теории упругости в декартовых координатах …… 34 1.4 Плоская задача теории упругости в полярных координатах ……... 38 1.5 Изгиб пластин на упругом основании ……………………………... 43 1.6 Вариационные методы решения задач теории упругости ………... 48 1.7 Расчет пластины на упругом основании методом конечных элементов ……………………………………………………………. 50 1.8 Основы теории пластичности и ползучести ………………………. 52 2 ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ………………………………………… 56 2.1 Темы практических занятий ………………………………………... 56 2.2 Теория напряженно-деформированного состояния в точке ……… 56 2.3 Основные уравнения теории упругости …………………………… 59 2.4 Плоская задача теории упругости в декартовых координатах …… 66 2.5 Плоская задача теории упругости в полярных координатах ……... 73 2.6 Изгиб круглых пластин ……………………………………………… 74 2.7 Основы теории пластичности и ползучести ……………………….. 79 3 КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ………………………………………………….. 81 3.1 Индивидуальные задачи для самостоятельной работы …………… 81 3.2 Контрольные вопросы к зачету …………………………………….. 83 4 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ ……………………………………. 85 4.1 Модули курса ………………………………………………………... 85 4.2. Тематический план дисциплины …………………………………… 88 4.3 Учебно-методическое обеспечение дисциплины …………………. 89 4.4 Информационное обеспечение дисциплины ………………………. 90 4.5 Пример решения индивидуальной задачи ………………………… 91 4.6 Описание и инструкция к программе Sturm ……………………….. 103 4.7 Описание и инструкция к программе TUP ………………………… 109 4 1 КУРС ЛЕКЦИЙ 1.1 Теория напряженно-деформированного состояния в точке 1.1.1 Теория упругости и ее место среди других наук механики Все науки, изучающие поведение твёрдых тел, объединены в одно науч- ное направление, которое называется механикой твердого деформируемого те- ла. Самой общей наукой этого направления, в которой изучается поведение не только твердых, но и газообразных и жидких тел, является реология. Механика твердого тела включает основные разделы: теоретическая механика; сопротив- ление материалов; строительная механика; линейная (классическая) теория упругости; нелинейная теория упругости; теория пластичности; теория ползу- чести; теория упругости анизотропного тела; теория упругости неоднородного тела и др. Теоретическая механика – это наука изучающая взаимодействие абсо- лютно твердых тел и их движение. Сопротивление материалов - это инженерная дисциплина изучает рас- пределение внутренних сил в прямых (или кривых) брусьях. В основу исследо- ваний положена гипотеза плоских сечений. Изучаются вопросы прочности ма- териалов при различных воздействиях на строительные конструкции, детали машин и механизмов. Строительная механика (классическая) - занимается определением внут- ренних сил в сложных стержневых системах. В специальных разделах строи- тельной механики изучаются пластины, оболочки, арки и др. Линейная (классическая) теория упругости – изучает деформации и напряжения в линейно упругих телах: толстых брусьях, пластинах, оболочках, массивах. Линейная теория упругости основывается на предположении об иде- альной упругости тела и законе Гука. Диаграмма деформирования для такого материала показана на рисунке 1а. Идеальная упругость есть способность тела, получившего деформацию, после устранения причин, ее вызвавших, полностью восстанавливает свою первоначальную форму и размеры. Рис.1. Закон деформирования тела: а) из линейно упругого материала; б) из нелинейно упругого материала; в) из нелинейно пластического материала       а) б) в) 5 Нелинейная теория упругости – изучает деформации и напряжения в те- лах с нелинейной диаграммой деформирования материала. При этом закон де- формирования должен быть обратимым. Диаграмма деформирования материа- ла приведена на рисунке 1б. Теория пластичности – изучает деформацию тел, имеющих нелинейную диаграмму деформирования, когда процесс деформирования необратим. Закон деформирования материала приведен на рисунке 1в. Теория ползучести - изучает изменение деформаций и напряжений во времени в результате начального нагружения тела. В теории ползучести вво- дится понятие о релаксации и ползучести. Релаксация – это явление изменения во времени напряжений при посто- янной деформации тела. Ползучесть - это явление изменения во времени деформаций, возникаю- щих в результате начального нагружения тела. Самой сложной наукой в механике твердого тела является реология. Реология - это наука, устанавливающая общие закономерности образова- ния и развития во времени деформаций любого вещества от различных причин и в различных термодинамических и физико-химических условиях. 1.1.2 Основные гипотезы теории упругости В линейной (классической) теории упругости приняты следующие гипо- тезы: 1) Гипотеза о сплошности строения тел. Непрерывное до деформации тело остается непрерывным и после деформации. Поэтому в теории упругости де- формации и напряжения могут быть выражаться непрерывными функциями, что позволяет использовать дифференциальное и интегральное исчисление. 2) Гипотеза о естественном ненапряженном состоянии тела. До приложения нагрузки напряжения в теле считаются равными нулю. В действительности в деталях машин и элементах строительных конструкций и до приложения на- грузок напряжения уже существуют, которые могут появляться при их изготов- лении и обработке. Но установить их величину и характер распределения в те- лах практически невозможно. Поэтому и принимается такое допущение. 3) Гипотеза об идеальной упругости. Все тел являются идеально упругими, а процесс деформирования является обратимым. Для большинства материалов это не так. Но нелинейность деформирования слабо выражена. Поэтому с неко- торым приближением такая гипотеза может быть принята. 4) Гипотеза о шаровой изотропии. Физико-механические свойства материала одинаковые по всем направлениям, проведенным из данной точки тела. Если это не так, то такие материалы называются анизотропными. Расчетом конст- рукций, изготовленных из анизотропных материалов, занимается теория упру- гости анизотропного тела, 5) Гипотеза о совершенной однородности. Во всех точках тела механические свойства материала совершенно одинаковые. Отметим, что если материал име- ет кристаллическое строение, то за счет хаотичной ориентации самих кристал- лов материал считается квазиизотропным и квазиоднородным. 6 6) Принцип “автономной” прочности. Напряженное состояние в данной точке тела зависит от состояния деформации в этой же точке, но не в любой другой. 7) Принцип локальности эффекта самоуравновешенных внешних нагрузок - принцип Сен- Венана. Если в какой-либо малой части тела приложена уравно- вешенная система сил, то она вызывает в теле напряжения, которые очень бы- стро убывают по мере удаления от этой части тела. Рис.2. Быстрое убывание касательных напряжений при удалении от места разреза 8) Гипотеза о малости перемещений. Перемещения точек тела, вызванные его деформацией, малы по сравнению с размерами самого тела. 1.1.3 Обозначения напряжений. Тензор напряжений Дадим определения некоторым понятиям. Волокно - это совокупность всех материальных точек, расположенных вдоль некоторой непрерывной линии. Линейный элемент - это малый отрезок некоторого волокна. Слой тела - совокупность точек тела, расположенных на некоторой по- верхности. Элементарная площадка - бесконечно малый элемент какого-либо слоя. В механике твердого тела различают внешние и внутренние силы. Внешние силы – это силы взаимодействия двух тел в результате их сопри- косновения или за счет взаимодействия полей (гравитационного, электромаг- нитного). Внутренние силы - это силы взаимодействия между частями одного и то- го же тела. Интенсивностью внутренних сил являются напряжения. Дадим определения напряжениям. Полным напряжением в точке Р является интенсивность внутренних сил, проходящих через элементарную площадку, взятую вблизи этой точки, и равной пределу отношения 0 lim A P p A        , (1) где P – элементарная внутренняя сила, передающаяся через площадку A ; A – площадь элементарной площадки. F F Эпюра  7 Проекции полного напряжения на координатные оси X, Y и Z соответ- ственно обозначим , ,x y zP P P   . Проекции полного напряжения на нормаль площадки и на плоскость самой площадки принято обозначать  и  . Рис. 3. Полное напряжение и его проекции на координатные оси, на нормаль и плоскость выделенной площадки Связь полного напряжения с его проекциями имеет вид 2 2 2 2x y zP P P P      . (2) Общее правило индексации - первый индекс соответствует той оси, па- раллельно которой действует само напряжение, а второй индекс - соответству- ет нормали к площадке, к которой приложено напряжение. Нормальным напряжением в точке νσ называется проекция полного напряжения в точке на нормаль площадки, к которой приложено само полное напряжение. Касательным напряжением в точке ντ называется проекция полного напряжения в точке на плоскость площадки, к которой приложено само полное напряжение. Поясним правила индексации нормальных и касательных напряжений. Нормальное напряжение имеет один индекс, совпадающий с обозначени- ем той оси, параллельно которой оно направлено. Нормальное напряжение счи- тается положительным, если оно вызывает растяжение, то есть совпадает по направлению с направлением внешней нормали. Нормальные напряжения обо- значаются следующим образом – σ , σ , σx y z . Касательные напряжения имеют два индекса. Первый индекс совпадает с обозначением той оси, вдоль которой дей- ствует само касательное напряжение. Второй индекс совпадает с обозначением той оси, которая является нормалью к площадке, где приложено само касатель- ное напряжение. Касательное напряжение считается положительным, если его направле- ние и направление внешней нормали площадки, к которой оно приложено, од- новременно совпадают или одновременно не совпадают с положительными P  Px  PY  PZ    M X Y Z 8 направлениями соответствующих осей координат. Касательные напряжения обозначаются следующим образом – τ , τ , τxy yz zx . Рассмотрим элементарный тетраэдр, вырезанный внутри тела в окрестно- сти какой-либо точки (рис. 4). Тетраэдр находится в состоянии равновесия. На его наклонной площадке и на координатных площадках действуют напряжения. Отметим, что проекции напряжения на наклонной площадке ν yν zν, ,xp p p вызывают нормальные и касательные напряжения на координатных площадках тетраэдра соответственно , , ; , , ; , , .x x xy xz y yx y yz z zx zy zp p p           (3) Рис. 4. Тетраэдр и напряжения на его площадках Выделим в окрестности внутренней точки тела параллелепипед (рис.5) и покажем напряжения на его видимых для нас площадках. Рис. 5 – Элемент в форме параллелепипеда и напряжения на его площадках x z y  p xy yx zy zx yz xz   X Y Z x z y xy zy yx zx xz yz X Z Y 9 В классической теории упругости предполагается, что напряжения по площадкам элемента распределены равномерно. На площадках элементарного параллелепипеда всего появляется девять напряжений. Но согласно закону парности касательных напряжений, полученному в курсе сопротивления мате- риалов, τ τ ; τ τ ; τ τxy yx yz zy zx xz   (4) только шесть из них являются независимыми. Тензор напряжений. Матрица, составленная из компонент напряжения, расположенных в определенном порядке, называется тензором напряжения. σ σ τ τ τ σ τ τ τ σ x xy xz yx y yz zx zy z T            . (5) 1.1.4 Напряженное состояние в точке. Частные случаи напряженных состояний Напряженным состоянием в точке тела называется совокупность напря- жений, приложенных к всевозможным площадкам, проведенным в окрестности данной точки. Напряженное состояние считается вполне определенным, если можно найти напряжения на любой площадке, проведенной в окрестности ис- следуемой точки. Различают линейное (одноосное), плоское (двуосное) и объемное (трех- осное) напряженные состояния. Линейным напряженным состоянием называется такое состояние, при котором две пары площадок элементарного параллелепипеда свободны от напряжений (рис. 6 а). Рис. 6. Примеры видов напряженных состояний: а. – линейное; б. – плоское; в. – объемное Плоским напряженным состоянием называется такое состояние, при ко- тором одна пара противоположных площадок элементарного параллелепипеда z z X Y Z а) z z X Y Z xz zx б) z z X Y Z zx xz y в) 10 свободна от напряжений (рис. 6 б). Объемным напряженным состоянием называется такое состояние, при котором в элементарном параллелепипеде нет свободных от напряжений пло- щадок (рис. 6 в). 1.1.5 Условие на контуре или граничные условия Между интенсивностью внешней нагрузки, действующей на какую-либо точку поверхности тела, и компонентами напряжения, действующими в окрест- ности той же точки, существует зависимость. Получим ее. Для этого рассмот- рим элементарный тетраэдр, вырезанный в окрестности точки поверхности тела (рис. 7). Рис. 7. Элементарный тетраэдр и напряжения на его площадках Введем обозначения: νA - площадь наклонной грани с нормалью ν ; Ах - площадь грани с нормалью X; AY - площадь грани с нормалью Y; Az - площадь грани с нормалью Z. Обозначим = cos( , v); = cos( ,v); = cos( ,v)l X m Y n Z направляющие косинусы наклонной площадки. Площади граней тетраэдра связаны между собой зависимостью ν ν ν; ; .x y zA A l A A m A A n   (6) Из геометрических соображений, очевидно, что направляющие косинусы связаны между собой уравнением 2 2 2 1.l m n   (7) Под действием внешних и внутренних сил элементарный тетраэдр дол- жен находиться в состоянии равновесия. Условие равновесия выражается уравнениеми равновесия. Запишем одно из них ν ν0; σ τ τ 0.x x x xy y xz zX p A A A A     (8) Выполним перенос и учтем зависимость между площадями граней эле- мента x Az p xy pz xz  X Y Z Ax Ay A 11 ν ν ν ν νσ τ + τ .x x xy xzp A A l A m A n  (9) Разделим левую и правую части уравнения на νA и получим ν σ τ + τ .x x xy xzp l m n  (10) Аналогично составим два других уравнения равновесия и в итоге полу- чим условие на поверхности тела или статические граничные условия ν yν zν σ τ τ ; τ σ τ ; τ τ σ . x x xy xz yx y yz zx zy z p l m n p l m n p l m n             (11) 1.1.6 Исследование напряженного состояния в точке Уравнения, выражающие граничные условия, справедливы и для точек, расположенных внутри тела (рис. 7). Только в этом случае , ,x y zp p p   , явля- ются проекциями не интенсивности нагрузки, а проекциями полного напряже- ния Ру в рассматриваемой точке. Проекции полного напряжения Pv на координатные оси X, Y и Z могут быть выражены через компоненты тензора напряжений T σ τ τ ; τ σ τ ; τ τ σ . xv x xy xz xv yx y yz xv zx zy z p l m n p l m n p l m n             (12) Рис. 8. Тетраэдр и напряжения на его площадках, взятый около точки внутри тела Y   p  x z y xy xz zy xx yx yz X Z 12 Разложим полное напряжение Pv на две составляющие: нормальное напряжение νσ и касательное напряжение ντ . Полное напряжение равно 2 2 2 2 ν ν ν νx y zp p p p   . (13) Проектируем каждую составляющую ν ν ν, ,x x xp p p полного напряжения pv на нормаль к наклонной площадке и проекции суммируем. В результате по- лучим нормальное напряжение на наклонной площадке.       ν ν ν ν 2 2 2 σ σ τ τ σ τ τ σ σ τ τ τ σ τ σ . x y z x xy xz yx y yz zx zy z x xy xz yx y yz zx z p l p m p n l m n l l m n m l m n n l lm ln ml m mn ml n                          (14) Учитывая закон парности касательных напряжений, и приведя подобные, получим уравнение для нормального напряжения на наклон площадке внутри тела  2 2 2νσ σ σ σ +2 τ τ .x y z xy yz zxl m n lm mn ml      (15) Касательные напряжения на наклонной площадке вычисляются как раз- ность квадратов полного напряжения и нормального напряжения 2 2 2 ν ν ντ σp  . (16) 1.1.7 Главные напряжения и главные площадки Из сопротивления материалов известно, что площадки, проведенные око- ло некоторой точки, на которых касательные напряжения равны нулю, называ- ются главными площадками. Нормальные напряжения, действующие на таких площадках, называются главными напряжениями. Пусть на наклонной площадке касательные напряжения равны нулю (рис. 9). Тогда полное напряжение Pv должно располагаться на нормали площадки  и быть равной по величине своей проекции на нормаль ν ν ντ 0, σp  . (17) Выразим проекции полного напряжения на наклонной площадке с учетом (17) 13 ν ν ν yν ν ν zν ν ν σ σ τ τ ; σ τ σ τ ; σ τ τ σ . x x xy xz yx y yz zx zy z p p l l l m n p p m m l m n p p n n l m n                   (18) Рис. 9. Тетраэдр, взятый около точки внутри тела, и напряжения на его площадках Обозначим для удобства νσ σ , учитываем последние уравнения в трех выражениях, получим       σ σ τ τ 0; τ σ σ τ 0; τ τ σ σ 0. x xy xz yx y yz zx zy z l m n l m n l m n               (19) Кроме того, из геометрии известна зависимость между направляющими косинусами 2 2 2 1l m n   . (20) В результате получена система четырех уравнений (19) и (20) с четырьмя неизвестными (l, m, n и ). Первые три уравнения (19) однородны и образуют систему, имеющую нулевое решение. Но это решение не подходит к четверто- му уравнению (20). Поэтому следует потребовать, чтобы система первых трех уравнений имела кроме нулевого еще и ненулевое решение. А это возможно только в том случае, когда определитель матрицы коэффициентов системы пер- вых трех уравнений равен нулю. X Z Y Px Pz Py Pv = v 14       σ σ τ τ τ σ σ τ 0 τ τ σ σ x xy xz yx y yz zx zy z     . (21) Это требование дает нам уравнение, с помощью которого устанавливают- ся значения , обеспечивающие выполнение условия, которому соответствует рисунок 9. 3 2σ σ σ +σ σ σ 0I II III   . (22) Если существуют действительные корни кубического уравнения (22), то существуют и площадки, на которой касательные напряжения равны нулю. Коэффициенты σ , σ , σI II III выражаются через компоненты тензора напряжений σT . Три корня полученного кубического уравнения являются глав- ными напряжениями, которые принято индексировать по следующему условию 1 2 3σ σ σ  . (23) Подставляя какое-либо главное напряжение k в первые два уравнения (19) и, учитывая зависимость между направляющими косинусами l2+т2+п2=1, можно определить направляющие косинусы k-ой площадки, на которой каса- тельные напряжения равны нулю. Такие площадки принято называть главными площадками. Исследования показали, что по главным площадкам действуют экстремальные нормальные напряжения. Для объемного напряженного состоя- ния в любой точке тела всегда существует три главных площадки или в особых случаях их может быть бесконечное множество. 1.1.8 Инварианты тензора напряжений Если около заданной точки вырезать два элементарных параллелепипеда, по-разному ориентированные в пространстве, то на их площадках будут дей- ствовать разные напряжения. Однако, независимо от ориентации этих паралле- лепипедов около рассматриваемой точки будут действовать строго определен- ные главные напряжения. То есть главные напряжения не будут зависеть от компонентов тензора напряжение, а зависят от напряженного состояния в той точки тела, которая рассматривается. Поэтому главные напряжения инвариантны по отношению к преобразо- ванию системы координат. Но главные напряжения являются корнями кубиче- ского уравнения (22). Поэтому и коэффициенты кубического уравнения (22) тоже будут инвариантны по отношению к преобразованию координат. Пусть задан тензор напряжений 15 σ σ τ τ τ σ τ τ τ σ x xy xz yx y yz zx zy z T             . (24) Первый инвариант тензора напряжений I равен сумме элементов тензо- ра напряжений, расположенных на его главной диагонали σ σ σ σI x y z   . (25) Второй инвариант тензора напряжений II равен сумме миноров опреде- лителя тензора напряжений, если производить разложение по элементам его главной диагонали. 2 2 2 σ τ σ τ σ τ σ σ σ σ σ σ σ τ τ τ . τ σ τ σ τ σ x xy y yz z yzII x y y z z x xy yz zx yx y zy z zy x          (26) Третии инвариант тензора напряжении III равен развернутому в строку определителю тензора напряжений 2 2 2 σ τ τ σ τ σ τ σ σ σ 2τ τ τ σ τ σ τ σ τ . τ τ σ x xy xz III yx y yz x y z xy yz zx x yz y zx z xy zx zy z       (27) В теории напряжений и в теории деформаций инварианты следует рас- сматривать как основные характеристики напряженного и деформированного состояний в точке. Полученные инварианты являются базисными. Любые ком- бинации инвариантов – это тоже инварианты. 1.1.9 Наибольшие (экстремальные) касательные напряжения Для объемного напряженного состояния экстремальные касательные напряжения определяются по формулам  12 1 2 1 τ σ σ ; 2     23 2 3 1 τ σ σ ; 2     31 3 1 1 τ σ σ . 2    (28) Площадки с экстремальными касательными напряжениями расположены под углом 45о к соответствующим главным площадкам. Пример расположения площадок с экстремальными касательными напряжениями показан на рисунке 10. 16 Рис. 10. Положения площадок с экстремальными касательными напряжениями 1.1.10 Октаэдрические площадки и напряжения Площадки, равно наклоненные к главным площадкам, называются окта- эдрическими. Все направляющие косинусы октаэдрической площадки равны между собой и равны 1 3 l m n   . (29) Проекции полного октаэдрического напряжения на нормали главных площадок равны 1ν 1 2ν 2 3ν 3σ ; σ ; σ ;p l p m p n   (30) Отсюда следует выражение для полного напряжения на октаэдрической площадке 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21ν 2ν 3ν 1 2 3σ σ σoctp p p p l m n      (31) или, учитывая, что 2 2 2 1l m n   , получим  2 2 2 21 2 31 σ σ σ 3 octp    . (32) Условимся называть средним напряжением величину равную    1 2 3 1 1 σ σ σ σ σ σ σ 3 3 m x y z      . (33) Отметим, что среднее напряжение можно выразить через первую инвари- анту тензора напряжений 1 σ σ 3 I m  . (34) 3 3 1 2 12 1 2 21 17 Выведем уравнение для нормального октаэдрического напряжения. Для этого воспользуемся уравнением (15)  2 2 2νσ σ σ σ +2 τ τ .x y z xy yz zxl m n lm mn ml      (35) Для октаэдрической площадки, учитывая значения ее направляющих ко- синусов, получим выражение для октаэдрического нормального напряжения, выраженные через главные напряжения  2 2 21 2 3 1 2 3 1 σ σ σ σ σ σ σ . 3 oct l m n      (36) или через среднее напряжение σ σoct m . (37) Определим октаэдрическое касательное напряжение 2 2 2τ σoct oct octp  (38) или   2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 2 2 2 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 τ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ 3 3 3 3 3 3 3 9 9 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 2 2 2 σ σ σ σ σ σ . 9 9 9 oct                               (39) Окончательно имеем  2 2 2 21 2 3 1 2 2 3 3 12τ σ σ σ σ σ σ σ σ σ . 9 oct       (40) или      2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 2 2 3 3 3 3 1 11τ σ - 2σ σ +σ σ -2σ σ +σ σ -2σ σ +σ . 9 oct       (41) Окончательно получим      2 2 21 2 2 3 3 1 1 τ σ σ σ σ σ σ . 3 oct       (42) 18 В сопротивлении материалов для суждения с прочности материала введе- но понятие приведенного напряжения (интенсивности напряжения), которое может быть выражено через главные напряжения или через октаэдрическое напряжение.      2 2 21 2 2 3 3 1 1 σ σ σ σ σ σ σ 2 i       или 3 σ τ . 2 i oct (43) Рис. 11. Октаэдр, построенный из октаэдрических площадок Около любой точки тела всегда можно провести восемь октаэдрических площадок, которые образуют тело, называемое октаэдром (рис. 11) Отсюда происходит и название площадок. 1.1.11 Понятие о шаровом тензоре напряжений и о тензоре девиаторе напряжения Экспериментально установлено, что опасность разрушения материала за- висит в большей мере от деформации изменения формы тела. Поэтому для суждения о прочности необходимо из общей деформации тела выделить те компоненты, которые зависят от изменения формы, и те, которые зависят от изменения объема. Таким же образом следует разделять и компоненты тензора напряжения. Тензор напряжения можно представить как сумму двух тензоров – шаро- вого тензора напряжений и тензора девиатора напряжения 0σ σ σT T D  , (44) где 0σT – шаровой тензор напряжений 0σ σ 0 0 0 σ 0 . 0 0 σ m m m T          1 2 3 19 σD – тензор-девиатор (или девиатор) напряжения σ σ σ τ τ τ σ σ τ τ τ σ σ x m xy xy xy x m xy xy xy x m D            . 1.1.12 Обозначения компонент деформации. Тензор деформации Относительная линейная деформация в точке вдоль некоторого волокна νε называется величина, равная пределу отношения ν 0 ε lim S S S   . (45) Рис. 12. Волокно и его линейная деформация Деформацию элементарного параллелепипеда можно разложить на три линейных ε ,ε ,εx y z и три угловых деформации γ ,γ ,γxy yz zx . Индекс относительной линейной деформации совпадает с обозначением той оси, в направлении которой происходит деформация. При удлинении во- локна деформация считается положительной, а при укорочении - отрица- тельной. Индексы относительной угловой деформации (угла сдвига) совпадают с обозначением осей координат, расположенных в плоскости сдвига. При увели- чении углового размера тела угол сдвига принимается положительным, а при уменьшении – отрицательным. Линейные деформации вызывают изменение объема тела, а деформации сдвига вызывают изменение его формы. Рассмотрим параллелепипед с ребрами равными единице (рис. 13). Пусть его линейные относительные деформации по направлениям соответствующих Z Y X S S 20 осей координат равны ε ,ε ,εx y z . Но, так как длина его ребер равна единице, то и абсолютные деформации ребер по своим значениям равны ε ,ε ,εx y z . Тогда изменение объема элементарного параллелепипеда равно    θ = 1+ε 1+ε 1+ε 1x y z  . (46) Рис. 13. Линейные деформации элементарного параллелепипеда Раскроим скобки и получим            θ 1 1 ε 1 ε 1 ε 1 ε 1 ε ε ε ε 1 1 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε . x y z x z y y z z y y z x x z x y x y z                     (47) Единицы взаимно уничтожаются. Учитывая, что относительные линей- ные деформации гораздо меньше единицы, слагаемыми ε ε , ε ε , ε ε ,y z x z x y ε ε εx y z пренебрегаем. В результате получим θ = ε ε εx y z  или θ = 3ε .m (48) Из геометрических соображений в теории упругости имеет место тожде- ственность γ γ ; γ γ ; γ γ .xy yx yz zy zx xz   (49) Из компонент деформации строится тензор деформации X Y Z 1 1 +  z 1 1+x 1 1+y 21 ε 1 1 ε γ γ 2 2 1 1 γ ε γ 2 2 1 1 γ γ ε 2 2 x xy xz yx y yz zx zy z T                  . (50) Одна вторая перед углами сдвига введена для удобства записей операций с тензорами напряжений и деформаций. Деформированное состояние в точке тела вполне определено, если для этой точки задан тензор деформаций. 1.1.13 Исследование деформированного состояния в окрестности точки Удлинение отрезка какого-либо прямолинейного волокна, проходящего через заданную точку тела и расположенного вдоль оси  можно выразить че- рез компоненты деформации той же точки 2 2 2νε ε ε ε γ γ γx y z xy yz zxl m n lm mn nl      . (51) В окрестности каждой точки тела существует три взаимно перпендику- лярные главные направления – главные оси деформации. Эти оси обладают тем свойством, что волокна, лежащие на них, испытывают только изменение дли- ны, но не искривляются. Для изотропных тел главные оси деформации совпа- дают с направлениями главных напряжений. Деформации по направлениям главных осей деформации называются главными деформациями. Для вычисле- ния значений главных деформаций необходимо решить кубическое уравнение. 3 2ε ε ε +ε ε ε 0I II III - , (52) где ε , ε , εI II III – инварианты тензора напряжений. Корни кубического уравнения (52) и будут значениями главных дефор- маций. Главные деформации индексируются по условию 1 2 3ε ε ε  . (53) Первая инварианта тензора деформации равна сумме его элементов, расположенных на главной диагонали ε ε ε εI x y z   . (54) 22 Вторая инварианта тензора деформации равна сумме миноров, взятых при элементах, расположенных на его главной диагонали  2 2 2 1 1 1 ε γ ε γ ε γ 2 2 2 ε 1 1 1 γ ε γ ε γ ε 2 2 2 1 ε ε ε ε ε ε γ γ γ . 4 x xy y yz z zx II yx y zy z xz x x x x x x x xy yz zx           (55) Третья инварианта тензора деформации равна определителю тензора деформации  2 2 2 1 1 ε γ γ 2 2 1 1 ε γ ε γ 2 2 1 1 γ γ ε 2 2 1 1 ε ε ε γ γ γ ε γ ε γ ε γ . 4 4 x xy xz III yx y yz zx zy z x y z xy yz zx x yz y zx z xy        (56) Октаэдрическая линейная деформация вычисляется по формуле    1 2 3 1 1 ε ε ε ε ε ε ε ε . 3 3 oct x y z m       (57) Октаэдрический угол сдвига равен      2 2 21 2 2 3 3 1 2 γ ε ε ε ε ε ε . 3 oct       (58) Наибольший угол сдвига определяется по формуле max 1 3γ ε ε  . (59) В теории упругости вводится понятие интенсивности деформаций   3 ε γ 2 2 1 ν i oct  . (60) 23 В пределах упругих деформаций между обобщенным напряжением и обобщенной деформацией существует простая связь σ εi iE . (61) 1.1.14 Понятие о шаровом тензоре деформации и о тензоре деформации Тензор деформации представляют как сумму двух тензоров 0ε ε εT T D  , (62) где 0εT - шаровой тензор деформации, который характеризует изменение объ- ема в окрестности некоторой точки; εD – девиатор тензора деформации, который характеризует формоизме- нение 0ε ε 0 0 0 ε 0 0 0 ε m m m T          , 0 1 1 ε ε γ γ 2 2 1 1 γ ε ε γ 2 2 1 1 γ γ ε ε 2 2 x m xy xz yx y m yz zx zy z m D                  . 1.2 Основные уравнения теории упругости 1.2.1 Дифференциальные уравнения равновесия (уравнения Навье) В окрестности точки тела выделим элементарный параллелепипед (рис. 14). Обозначим U, V, W – перемещения по направлениям, соответственно, осей X, Y и Z. Покажем только те напряжения на его площадках, которые па- раллельны оси X. Учитывая, что элементарный параллелепипед находится в со- стоянии равновесия, составим уравнение равновесия 2 2 U X m t     (63) 24 Рис. 14. Элемент с напряжениями на его площадках, параллельными оси X Запишем уравнение (63) в развернутом виде 2 2 τσ σ σ τ τ τ τ τ ρ ρ , xyx x x xy xy xz xz xz dx dydz dydz dy dzdx dzdx x y U dz dxdy dxdy X dxdydz dxdydz z t                             (64) где  – плотность материала; X – проекция на ось X объемной силы, то есть распределенной силы, от- несенной к единице массы (например, сила тяжести). Раскроим скобки 2 2 τσ σ σ τ τ τ τ τ ρ ρ , xyx x x xy xy xz xz xz dydz dxdydz dydz dzdx dydzdx dzdx x y U dxdy dzdxdy dxdy X dxdydz dxdydz z t                   (65) Приведем подобные и разделим на объем элементарного параллелепипе- да dxdydz. 2 2 τσ τ ρ ρ xyx xz UX x y z t            . (66) Составляя аналогичные уравнения равновесия на оси Y и Z, получим еще два дифференциальных уравнения. Все три уравнения можно объединить в си- стему, так как они содержать общие неизвестные функции. X Y Z dx dy d z xz xy xz+(xz/z)dz xy+(xy/y)dy x +(x/x)dx x 25 2 2 2 2 2 2 τσ τ ρ ρ ; τ σ τ ρ ρ ; ττ σ ρ ρ . xyx xz yx y yz zyzx z U X x y z t V Y x y z t W Z x y z t                                      (67) 1.2.2 Геометрические уравнения. (Уравнения Коши) Вырежем элементарный объем в окрестности исследуемой точки. В ре- зультате деформации тела будет деформироваться и элементарный объем. Рис. 15. Смещения, линейные и угловые деформации элементарного объема Относительные линейные деформации элемента равны ε ;x u u dx dx u dx ux dx x            ε .y v v dy dy v dy y v dy y            (68) Угловая деформация (угол сдвига) элемента равна сумме углов. В выра- жениях для углов учтено, что x и y малы по сравнению с единицей   α α 1y u u u u dy u dy dy uy y y tg v v ydyv dy dy v dy dy y y                       ; (69) Y  + /u u y dy   + /v v y dy  dx  + /u u x dx  x u y d y v  + /v v y dy  X   26   β β 1x v v v v dx v dx dx vx x xtg u u dx x u dx dx u dx dx x x                        ; (70) γ α β .xy u v y x         (71) По аналогии можно получить все зависимость между деформациями и перемещениями для объемного напряженного состояния ε ; γ ; ε ; γ ; ε ; γ . x xy y yz z zx u u v x y x v v w y z y w w u z x z                              (72) Полученные уравнения называются геометрическими уравнениями или уравнениями Коши. 1.2.3 Уравнения неразрывности деформаций (уравнения Сененана) Перемещение любой точки сплошного тела определяется тремя функци- ями и(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z), Деформации в любой точке определяются шестью функциями ε ,ε ,ε ,γ ,γ ,γx y z xy yz zx . Если заданы три функции перемещений и, v и w, то этим определены все шесть составляющих деформации, так как они выражаются через частные про- изводные перемещений (Ур< Коши). Однако, обратно, если заданы шесть со- ставляющих деформации, то это не значит, что определены три составляющие перемещений. Очевидно, между составляющими деформации должны быть еще какие-то дополнительные зависимости. Получим эти зависимости. Имеем ε ; ε .x y u v x y       (73) Продифференцируем их дважды 22 3 3 2 2 2 2 εε ; . yx u v y x y x y x            (74) 27 Сложим эти уравнения 22 2 2 2 εε yx u v y x y xy x                 (75) или 2 22 2 2 ε γε . y xyx y xy x        (76) Возьмем уравнения Коши γ ; γ ; γ .yz zx xy w v u w v u y z z x x y                   (77) Продифференцируем 2 2 2 2 2 2γ γγ ; ; yz yzzxw v u w v u x x y x z y y z y x z z x z y                             . (78) Сложим первое и второе уравнения и вычтем третье 2 2 2 2 2 2 2γ γγ 2 yz yzzx w v u w v u w x y z x y x z y z y x z x z y x y                                    . (79) Продифференцируем по z и получим 3γ γγ 2 yz yzzx w z x y z x y z                 (80) или 3γ γγ 2 . yz yzzx z z x y z x y                 (81) Аналогично можно получить все шесть зависимостей для объемного напряженного состояния. 28 2 22 2 2 2 ε γ γ γε γ ε ; 2 ; y xy yz xyx zx z x y z x y z x yy x                         2 2 22 2 2 ε γ γ γγ εε ; 2 ; y yz xy yzzx xz y z x y z x y zz y                         (82) 22 22 2 2 γ γ εε γ γε ; 2 . xy yz yx zx zxz z x y z x y z xx z                         Эти уравнения впервые получены Сен-Венаном и называются уравнени- ями Сен-Венана или уравнениями неразрывности. Ф и з и ч е с к и й с м ы с л у р а в н е н и й Сен-Венана. Если для каждого параллелепипеда, на которые мысленно разделено все тело, назначить шесть независимых составляющих деформации, то из таких деформированных параллелепипедов нельзя сложить непрерывное деформиро- ванное тело. Для того, чтобы неразрывность тела была обеспечена при задан- ных деформациях, следует их задавать так, чтобы были обеспечены уравнения Сен-Венана. Э н е р г е т и ч е с к и й с м ы с л у р а в н е н и й Сен Венана. Осу- ществление принципа неразрывности деформаций соответствует в упругом те- ле минимальное значение накапливаемой телом потенциальной энергии дефор- мации. 1.2.4 Обобщенный закон Гука Для линейно деформируемого тела связь между деформациями и напря- жениями устанавливается по закону Гука, полученному в сопротивлении мате- риалов в обратной форме.       τ1 ε σ σ σ ; γ ; τ1 ε σ σ σ ; γ ; τ1 ε σ σ σ ; γ . xy x x y z xy yz y y z x yz zx z z x y zx E G E G E G                        (83) Из уравнений (83) выразим напряжения и получим прямую форму записи закона Гука σ 2 ε λθ; τ γ ; σ 2 ε λθ; τ γ ; σ 2 ε λθ; τ γ , x x xy xy y y yz yz z z zx zx G G G G G G          (84) 29 где G – модуль сдвига; v – коэффициент Пуассона   2ν ; λ ; θ 3ε ε ε ε . 2 1 ν 1 2ν m x y z E G G         (85) 1.2.5 Закон изменения объема Запишем закон Гука в обратной форме       τ1 ε σ σ σ ; γ ; τ1 ε σ σ σ ; γ ; τ1 ε σ σ σ ; γ . xy x x y z xy yz y y z x yz zx z z x y zx E G E G E G                        (86) Сложим первые уравнения, расположенные в каждой строчке системы (86), и раскроим скобки             1 1 1 ε ε ε σ σ σ σ σ σ σ σ σ 1 σ σ σ σ σ σ σ σ σ 1 1 2 σ σ σ 2 σ 2 σ 2 σ σ σ σ . x y z x y z y z x z x y x y y y z x z x y x y z x y z x y z E E E E E E                                                     (87) Учитывая выражения для средней деформации, среднего напряжения и относительной объемной деформации, получим  3 1 2ν1 2 ε σ ; θ σ .m m m E E     (88) Этот закон может быть записан в тензорной форме 0 0σ 0 εT E T , где 0 1 2ν E E   . (89) 1.2.6 Закон изменения формы Выведем закон изменения формы, то есть зависимость между компонен- тами девиаторов напряжения и деформации 30 0 1 1 ε ε γ γ 2 2 1 1 γ ε ε γ 2 2 1 1 γ γ ε ε 2 2 x m xy xz yx y m yz zx zy z m D                  ; σ σ σ τ τ τ σ σ τ τ τ σ σ x m xy xy xy x m xy xy xy x m D            .(90) Установим зависимость между элементами девиаторов, расположенных на верхней строке и левом столбце девиаторов.                       x 1 1 2ν 1 ε ε σ σ σ σ σ σ σ 1 2ν 1 σ +σ +σ 3σ 3 σ 3 σ σ σ σ 3 3 1 2 σ 2 σ 2 σ 2 1+ ν σ 1+ ν σ 1+ ν σ 3 2 1 ν1 ν 1 ν 1 3σ 3σ σ σ σ σ σ σ . 3 2 2 m x y z m x y z x y z x y z x y z x y z x y z x m x m x m x m E E E E E E E E E G                                               - - - - - - - - (91) Чтобы перейти к прямой форме записи закона изменения формы, выразим элементы, содержащие напряжения  σ σ 2 ε ε .x m x mG - (92) Связь элементов девиаторов, содержащих углы сдвига и касательные напряжения очевидна. 1 τ γ 2 γ 2 xy xy xyG G  . (93) Аналогично можно получить зависимости и для других элементов девиа- торов напряжения и деформации       1 σ σ 2 ε ε ; τ 2 γ ; 2 1 σ σ 2 ε ε ; τ 2 γ ; 2 1 σ σ 2 ε ε ; τ 2 γ . 2 x m x m xy xy y m y m yz yz z m z m zx zx G G G G G G          - - - (94) Полученную зависимость можно записать и в тензорной форме 31 σ ε2D GD . (95) 1.2.7 Удельная потенциальная энергия Энергия, накапливаемая при деформации в единичном объеме материала, называется удельной потенциальной энергией или упругим потенциалом в окрестности рассматриваемой точки 2 σ ε σ ε σ ε τ γ τ γ τ γ .x x y y z z xy xy yz yz zx zxW       (96) Разложим полную потенциальную энергию на два слагаемых o FW W W  , (97) где oW – удельная энергия, расходуемая на изменение объема материала в рас- сматриваемой точке 0 1 3 3 σ ε σ ε 2 2 m m m mW        , (98) Удельную энергию изменения формы можно определить как разность полной потенциальной энергии и энергии, затраченной на изменение объема.         22 2 2 2 21 2 4 f x m y m z m xy yz zxW G                    . (99) 1.2.8 Гипотезы наступления предельного упругого и предельного пластического состояний В курсе сопротивления материалов рассмотрены некоторые теории проч- ности. Задача теорий прочности заключается в том, чтобы на основании стан- дартных экспериментальных данных о разрушении конкретного материала при простой деформации (осевое растяжение) определить условие, при котором возможно разрушение того же материала при заданной сложной деформации. Теория прочности Кулона-Геста. Предельное упругое состояние в дан- ной точке сплошной среды наступит тогда, когда наибольшее касательное напряжение достигнет значения, равного значению наибольшего касательного напряжения при предельном состоянии для того же материала, испытывающего простое растяжение. При простом растяжении max σ τ 2 y  (100) при сложном напряженном состоянии (в конструкции) 32 1 3max σ σ τ 2   . (101) Отсюда имеем 1 3 σσ σ 2 2 y  или 1 3σ σ σ σeq y   , (102) где σ y – предел текучести материала. Теория прочности Губера-Мизеса-Роша. Упругое предельное состояние в данной точке тела наступит тогда, когда касательное октаэдрическое напря- жение достигнет значения касательного октаэдрического напряжения, соответ- ствующего упругому предельному состоянию для того же материала при про- стом растяжении. При сложном напряженном состоянии октаэдрическое каса- тельное напряжение может быть выражено через главные напряжения      2 2 21 2 2 3 3 1 1 τ σ σ σ σ σ σ 3 oct       . (103) При простом растяжении 2 τ σ 3 oct y . (104) Отсюда получим условие наступления предельного напряженного состо- яния       2 2 2 1 2 2 3 3 1 1 σ σ σ σ σ σ σ σ 2 eq y       . (105) 1.2.9 Постановка задачи в теории упругости При постановке задачи в теории упругости задаются граничные условия в виде информации о поверхностных силах - статические граничные условия      1 2 3, , ; , , ; , ,x y zp p x y z p p x y z p p x y z     (106) либо в виде кинематических граничных условий      , , ; , , ; , , .u u x y z v v x y z w w x y z   (107) Могут быть заданы и объемные силы      , , ; , , ; , , .X X x y z Y Y x y z Z Z x y z   (108) 33 В качестве неизвестных принимаются компоненты перемещения      , , ; , , ; , ,u x y z v x y z w x y z (109) или компоненты напряжений             σ σ , , ; σ σ , , ; σ σ , , ; τ τ , , ; τ τ , , ; τ τ , , x x y y z z xy xy xy xy xy xy x y z x y z x y z x y z x y z x y z       (110) или компоненты деформаций             ε ε , , ; ε ε , , ; ε ε , , ; γ γ , , ; γ γ , , ; γ γ , , . x x y y z z xy xy xy xy xy xy x y z x y z x y z x y z x y z x y z       (111) Таким образом, имеется 15 неизвестных. Следовательно, для решения за- дачи должно быть 15 уравнений и условия на границе тела для определения по- стоянных интегрирования. Такие уравнения имеются. Это дифференциальные уравнения равновесия - 3; уравнения Коши - 6; уравнения неразрывности - 6. Таким образом, задача теории упругости в принципе решаема 1.2.10 Решение задач теории упругости в перемещениях В физические уравнения подставим геометрические уравнения, продиф- ференцируем и подставим полученные выражения в уравнения Навье. В результате получим уравнения в перемещениях, которые называются уравнениями Ляме       2 2 2 2 2 2 2 2 2 θ λ ρ ρ ; θ λ ρ ρ ; θ λ ρ ρ . d u G G u X x dt d v G G v Y y dt d w G G v Z z dt                      (112) 1.2.11 Решение задач теории упругости в напряжениях В качестве неизвестных принимаются напряжения. Используя физиче- ские уравнения, уравнения неразрывности и уравнения равновесия, получим уравнения в напряжениях, которые называются уравнениями Бельтрами. 34             2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 σ σ 1 ν σ 0; 1 ν τ 0; σ σ 1 ν σ 0; 1 ν τ 0; σ σ 1 ν σ 0; 1 ν τ 0, I I x xy I I y yz I I z zx x yx y zy z xz                                     (113) где σ σ σ σI x y z   – первая инварианта тензора напряжений;        2 2 22 2 2 2x y z               – оператор функции. Для решения задачи к уравнениям Бельтрами присоединяются условия на границе σ τ τ ; τ σ τ ; τ τ σ .xv x xy xz xv yx y yz xv zx zy zp l m n p l m n p l m n         (114) 1.3 Плоская задача теории упругости в декартовых координатах 1.3.1 Плоское напряженное состояние Примером плоского напряженного состояния может служить состояние тонкой пластинки (рис. 18). В этом случае σ τ τ 0z xz yz   . Предполагается, что другие составляющие напряжения равномерно распределены по толщине пластинки. Тензор напряжений и тензор деформации имеют следующий вид σ σ τ 0 τ σ 0 0 0 0 x xy yx yT            ; ε 1 ε γ 0 2 1 γ ε 0 2 0 0 ε x xy yx y z T                  . (115) Рис. 16. Тонкая пластина, испытывающая плоское напряженное состояние X Y Y Z P1 P2 P1 P2 35 В этом случае σ τ τ 0z xz yz   . Предполагается, что другие составляю- щие напряжения равномерно распределены по толщине пластинки Тензор напряжений и тензор деформации имеют следующий вид σ σ τ 0 τ σ 0 0 0 0 x xy yx yT            ; ε 1 ε γ 0 2 1 γ ε 0 2 0 0 ε x xy yx y z T                  . (116) Система дифференциальных уравнений равновесия сокращается до двух 2 2 2 2 τ τ σσ ρ ρ ; ρ ρ . xy yx yx U VX Y x y x yt t                 (117) Условие на контуре пластины принимает следующий вид ν yνσ τ ; τ σ .x x xy yx yp l m p l m    (118) Связь между перемещениями и деформациями выражается тремя уравне- ниями ε ; ε ; γ .x y xy u v u v x y y x             (119) Закон Гука в обратной форме принимает вид       τ1 1 ν ε σ νσ ; ε σ νσ ; ε σ σ σ ; γ . xy x x y y y x z z x y xy E E E G         (120) Уравнение неразрывности выражается одним уравнением 2 22 2 2 ε γε . y xyx x yy x        (121) 1.3.2 Плоское деформированное состояние Примером плоской деформации являются состояние, испытывающее лен- точным фундаментом, дамбой или плотиной (рис. 17). В этом случае 36 ε 0; γ γ 0; τ τ 0.z xz yz xz yz     (122) Рис. 17. Дамба, испытывающая плоское деформируемое состояние В этом случае тензор напряжений и тензор деформации имеют следую- щий вид σ σ τ 0 τ σ 0 0 0 σ x xy yx y z T            ; ε 1 ε γ 0 2 1 γ ε 0 2 0 0 0 x xy yx yT                  . (123) Система дифференциальных уравнений равновесия сокращается до двух 2 2 2 2 τ τ σσ ρ ρ ; ρ ρ . xy yx yx U VX Y x y x yt t                 (124) Условие на контуре пластины принимает следующий вид ν yνσ τ ; τ σ .x x xy yx yp l m p l m    (125) Связь между перемещениями и деформациями выражается тремя уравне- ниями X Z Y q 37 ε ; ε ; γ .x y xy u v u v x y y x             (126) Закон Гука в обратной форме принимает вид        2 2 τ1 1 ε 1 ν σ ν 1+ ν σ ; ε 1 ν σ ν 1+ ν σ ; γ . xy x x y x x y xy E E G               (127) Уравнение неразрывности выражается одним уравнением 2 22 2 2 ε γε . y xyx x yy x        (128) Уравнение неразрывности деформаций можно записать в в напряжениях   2 2 2 2 σ σ 0x y x y           или  2 σ σ 0.x y   (129) Это уравнение называется уравнением Леви. 1.3.3 Функция напряжений для плоской задачи теории упругости (функция Эри) При решении плоской задачи в напряжениях требуется найти три неиз- вестные σ , σ , τx y xy . Чтобы упростить решение вводится функция напряжений  . Эта функция должна определять напряжения путем ее дифференцирования 2 2 2 2 2 ; ; .x y xy qx y x x y                   (130) Таким образом, вместо трех неизвестных имеем одно неизвестное . Лег- ко проверить существование такой функции. Для этого подставим ее в диффе- ренциальные уравнения равновесия 3 3 3 3 2 2 2 2 τ τ σσ 0; 0. xy yx yx q q x y x yx y x y x y x y                                 (131) Очевидно, что уравнения равновесия удовлетворяются тождественно. Сумму напряжений выразим через функцию напряжений 38 2 2 2 2x y y x           . (132) Для определения вида самой функции  подставим ее в уравнение нераз- рывности (уравнение Леви)       2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2 2 4 4 2 2 0. x y x y x y x y x y x y x y x y                                            (133) И окончательно получим 4 4 4 4 2 2 4 2 0. x x y y              (134) В сокращенной форме полученное уравнение можно записать в виде опе- ратора 4 0,   где    4 2 2        . (135) Таким образом, решение плоской задачи сводится к нахождению решения бигармонического уравнения, которое должно удовлетворять условиям на кон- туре. 1.4 Плоская задача теории упругости в полярных координатах 1.4.1 Обозначения перемещений, напряжений и деформаций В некоторых случаях, например, при расчете плоских колец или дисков, удобно пользоваться полярными координатами. Положение точки на срединной плоскости пластины определяется рас- стоянием r от начала координат О и углом  между этим направлением r и некоторой осью Ox, занимающей определенное положение на срединной плос- кости. Для исследования в случае использования полярных координат выделяет- ся малый элемент двумя радиальными и двумя цилиндрическими поверхностя- ми. Нормальные напряжения в радиальном направлении обычно обозначаются r , нормальные напряжения в тангенциальном направлении –  . Касательные напряжения обозначаются по тем правилам, что и в декартовых координатах – r и r . Проекции объемной силы, отнесенные к единице объема, обознача- ются следующим образом: R – действующая в радиальном направлении и  – 39 действующая в тангенциальном направлении. Перемещение в радиальном и пе- ремещение в тангенциальном направлениях обозначаются, соответственно, u и v . Относительные удлинения в радиальном и в тангенциальном направлени- ях обозначаются, соответственно, r и  , а деформации сдвига (угол сдвига) – ,r r   . Учитывая принятые обозначения, тензор напряжений и тензор деформа- ций для плоской задачи в полярных координатах записываются в следующем виде r r r T             ; 1 2 1 2 r r r T                   . (136) 1.4.2 Основные уравнения для плоской задачи в полярных координатах Приведем без вывода основные уравнения теории упругости в полярных координатах для общего случая деформации тела, когда присутствуют и каса- тельные напряжения r . Рис. 18. Обозначения напряжений в полярных координатах Применительно к обозначениям (рис. 18), если спроектировать все силы на направление радиуса и на перпендикулярное к нему направление, то после отбрасывания бесконечно малых высших порядков получим аналогично диф- ференциальным уравнениям равновесия в декартовых координатах следующие выражения: r dr  d r r  r d      rr dr r     r r d        r r dr r       X Y 40 21 1 0; 0,r r r rr R r r r r r r                      (137) где R – объемная сила, отнесенная к единице объема, и действующей только в радиальном направлении. Если составляющие перемещения точки в радиальном и тангенциальном направлениях обозначить u и v, то соответствующие им направления деформа- ции можно представить в следующем виде: относительное удлинение в радиальном направлении r u r     ; (138) относительное удлинение в тангенциальном направлении ; u v r r       (139) деформация сдвига .r u v v r r r          (140) Функцию напряжений можно применять и при полярной системе коорди- нат. Так как между декартовыми и полярными координатами имеются зависи- мости 2 2 2r x y  и y arctg x   , (141) то, учитывая и подставляя их в вытекающие из них соотношения, после ряда преобразований получим следующие уравнения неразрывности деформаций в полярных координатах: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 0. r r r rr r r r                          (142) Зависимости напряжений от функции напряжений имеют следующий вид (при отсутствии объемных сил): 2 2 2 2 2 1 1 1 ; ; .r r r r r rr r                          (143) 41 1.4.3 Понятия и основные уравнения для осесимметрической задачи в цилиндрических координатах Ограничимся рассмотрением тел вращения, к которым приложены силы, распределенные симметрично относительно оси этого тела. В качестве приме- ров можно привести круглый цилиндр, усеченный конус и другие тела с осевой симметрией. При этом такие тела должны подвергаться, например, внутренне- му или внешнему давлению, распределенными симметрично и приложенными к торцам тела нагрузкам и др. Ось симметрии тела обозначим Z. Ось, перпендикулярную к оси Z, обо- значим R. Для рассматриваемого случая двух координат достаточно, так как все точки тела с одинаковыми координатами r и z находятся в одинаковых услови- ях, то есть в их окрестностях будут одинаковыми все напряжения и деформа- ции. Так как каждая меридиональная плоскость zOr представляет собой плос- кость симметрии как относительно формы, так и относительно нагрузки тела, то в меридиональных плоскостях касательных напряжений быть не может. По- этому площадки в окрестности каждой точки тела, расположенной на меридио- нальной плоскости, являются главными площадками. Главное напряжение, действующее по этой площадке, обозначим  . Кроме меридионального сечения, через точку с координатами z, r прове- дем еще одно сечение, перпендикулярное к оси Z. Для исследования проводят и третье сечение, которое перпендикулярно к первым двум. Следы второго и тре- тьего сечений на меридиональном сечении соответственно параллельны осям R и Z. Вследствие симметрии в обеих секущих плоскостях в точках z, r могут действовать лишь такие касательные напряжения, которые параллельны мери- диональной плоскости. Нормальные напряжения, действующие в секущих плоскостях, обозначаются z и r , касательные – rz . Эти напряжения являются функциями координат z и r. Проектируем все силы, приложенные к площадкам элементарного объема на оси Z, R и получим дифференциальные уравнения равновесия в цилиндриче- ских координатах.   0z zrzr zrrd dz dr rd dz dr r dr d dz z r                   ; (144)   0.r rzr rrd dz dr r dr d dz dz r d dr drdzd r z                       (145) Делим уравнения на произведение drdzd и получим 0; 0.r zr r rzzr rr r r r z r r z                   (146) 42 В более компактной форме статические уравнения можно представить так    0; 0.z rzzr r r r r r z r r z                 (147) Если обозначить w упругие перемещения точки (z, r) в направлении оси z, а u в направлении радиуса (в тангенциальном направлении перемещения отсут- ствуют), геометрические уравнения в цилиндрических координатах принимают вид ; ; ; .z r rz w u u w u z r r r z                   (148) Физические уравнения (закон Гука) в цилиндрических координатах запи- сываются следующим образом 2 ; 2 ; .z rz w u w u G G G z r r z                      (149) Здесь z r        . Рис. 19. Напряжения на площадках элементарного объема Z r r r r dr r     zr zr dr r     z z dz z     rz rz dz z     z rz zr r   r r dr r     r dr 43 1.5 Изгиб пластин на упругом основании 1.5.1 Основные понятия Тонкой пластиной принято называть упругое тело призматической или цилиндрической формы с малой по сравнению с ее генеральными размерами толщиной. Отношение толщины пластины к ее любому другому размеру долж- но быть не более 1/10, а ожидаемые прогибы не превышать 1/5 ее толщины (рис.20). Плоскость, параллельная поверхности пластины и разделяющая ее тол- щину пополам называется срединной плоскостью. В теории тонких пластин приняты следующие две гипотезы. Гипотеза прямолинейного элемента. Совокупность точек, лежащих до деформации пластины на какой-либо прямой, нормальной к срединной поверх- ности, остается на прямой, нормальной к упругой поверхности деформируемой пластины. Статическая гипотеза. Давление слоев пластины, параллельных ее сре- динной поверхности не учитывается. Рис. 20. Прямоугольная пластина и ее срединная плоскость Отметим, что эти гипотезы аналогичны гипотезам, принимаемым в курсе сопротивления материалов для балок - гипотеза плоских сечений и гипотеза об отсутствии давлений между слоями балки. Координатные оси в плоскости сре- динной поверхности обозначаются буквами X и Y, а перемещения по их направлениям U и V. Ось, перпендикулярная к срединной поверхности пла- стины обозначена буквой Z, а перемещения по ее направлению (прогиб) буквой W. 1.5.2 Классические модели упругого основания Модель Фусса-Винклера (модель Винклера). Фусс Н.И., русский акаде- мик, в 1798 г. исследовал движения колес конной повозки с образованием ко- леи, то есть рассматривал локальное развитие деформаций под нагруженной площадкой. Согласно его наблюдениям деформации оказались полностью не- обратимыми. По такой схеме действительно ведут себя рыхлые и слабо уплот- Y X Z a b h Срединная плоскость 44 ненные грунты. В связи с эти Винклер Э. предложил модель грунта в виде ни- чем не связанных между собой упругих пружин, опирающихся на абсолютно жесткую опору. При нагружении локальной нагрузкой будут сжиматься только те пружины, которые непосредственно расположены под площадью нагруже- ния. Такая модель не обладает распределительной способностью и в этом ее главный недостаток. Для расчета конструкций на основании Винклера исполь- зуются методы строительной механики. Для характеристики такой модели до- статочно установить только один параметр – коэффициент постели. Это упрощает инженерно-геологические изыскания на строительной площадке. Это является достоинством модели Винклера. Модель используется в инженерных расчетах при больших площадях опирания конструкций на основание, напри- мер, плит на упругом основании. Модель упругого полупространства. Основание представляется как упругое полупространство неограниченное снизу и по сторонам. Модель харак- теризуется двумя параметрами – модулем упругости E (его в механике грунтов называют модулем деформации) и коэффициентом поперечной деформации . Главным недостатком этой модели является очень большая распредели- тельная способность – осадки от действия местной нагрузки распределяются неограниченно далеко. Кроме того, в отличие от модели Винклера приходится определять два параметра, что усложняет инженерно-геологические изыскания. Очень важным недостатком является необходимость при расчетах использовать не более про- стые методы строительной механики, а более сложные методы теории упруго- сти. Достоинством этого метода является возможность учета взаимного влия- ния на осадки рядом стоящих фундаментов. Модель слоя конечной толщины. В этой модели была сделана попытка избавиться от тех недостатков, которые имели место для двух, выше указанных, моделей. Отсутствие или чрезмерная распределительная способность. Слой ко- нечной толщины характеризуется тремя параметрами: модулем упругости, ко- эффициентом поперечной деформации и толщиной слоя. Эти параметры требу- ется установить при инженерно-геологических изысканиях, что существенно их усложняет и удорожает. Кроме того, для расчета требуется использовать мето- ды теории упругости. Это является недостатком этой модели. Рис. 21. Классические модели грунтовых оснований: а) Фусса-Винклера; б) упругое полупространство; в) упругий слой конечной толщины a) б) в) 45 1.5.3 Уравнение упругой поверхности плиты на упругом винклеров- ском основании При расчете пластины разрешающей функцией является функция, описы- вающая прогиб пластины W(x,y). Эта функция должна удовлетворять уравне- нию Софи Жермен и граничным условиям по краям пластины. Так как площадь опирания плиты на грунтовое основание большая, используется модель Фусса- Винклера. В этом случае для прямоугольной плиты на упругом основании уравнение Софи-Жермен имеет следующий вид    4 4 4 4 2 2 4 , , 2 p x y r x yw w w Dx x y y           , (150) где  ,p x y – интенсивность распределенной нагрузки на плиту;  ,r x y – интенсивность реактивного давления со стороны грунтового ос- нования; D – цилиндрическая жесткость плиты,   3 212 1 Eh D    . 1.5.4 Связь между прогибами пластины и внутренними силами в ней В сечениях пластины появляются пять внутренних сил – два изгибающих момента в двух плоскостях Mx и My, крутящие моменты Mxy и две поперечные силы Qxz и Qyz. Так как пластина нагружается поперечными нагрузками, то есть нагрузками, перпендикулярными ее срединной поверхности, то перемещениями точек ее срединной поверхности u и v по направлениям осей X и Y пренебрега- ем. Учитываются перемещения точек срединной поверхности пластины только перпендикулярные к ней w. Функция, описывающая эти перемещения, является разрешающей. Если эта функция определена, то это значит, что определено все – кривизна пластины, внутренние силы и напряжения в ней. Между прогибами пластины (разрешающей функцией W(x,y)) и внутренними силами в ней суще- ствует связь, выражающаяся следующими уравнениями. 2 2 2 2 ;x W W M D x y            2 2 2 2 ;y W W M D y x              2 1 ;xy W M D x y        (151) 2 2 2 2 ;xz W W Q D x x y             2 2 2 2 .yz W W Q D у x y             46 1.5.5 Граничные условия для прямоугольной пластины Различают три вида закрепления пластины: защемление, шарнирное за- крепление и случай, когда край пластинки свободен (рис.22). Рассмотрим гра- ничные условия для всех трех случаев закрепления левого края пластины. Если край пластины защемлен, то прогиб и угол поворота сечения на ле- вом краю равны нулю.   0 0 0; 0. x x W W x         (152) При шарнирном опирании края пластины ставится условие     2 2 0 0 2 2 0; 0.xx x W W W M D x y                (153) Для свободного края пластины условие на левом краю имеет вид       2 2 3 3 0 02 2 3 2 0; 2 0.x xx x W W W W M D R x y x x y                                 (154) Если пластинка опирается на упругое основание, то контур пластины свободен и условия на краях пластины выражаются формулами (154) 1.5.6 Напряжения в сечениях плиты В поперечном сечении пластины появляется пять внутренних сил: изги- бающие моменты Мх, Му, крутящий момент Мху и поперечные силы Qzx, Qzy. Изгибающие моменты Мх и Му вызывают в поперечных сечениях пластины нор- мальные напряжения x и y, а крутящий момент Мху касательные напряжения, направленные параллельно срединной плоскости (рис. 23). ; ; , y xyx x y xy M MM z z z J J J       (155) где , ,x y xyM M M – изгибающие и крутящий моменты, приходящиеся на еди- ницу ширины сечения; z - расстояние от срединной поверхности пластины до точки, в которой вычисляются напряжения; J – момент инерции сечения пластины с шириной равной единице 3 12 h J  . Отметим, что в теории тонких пластин (плит) понятие об изгибающих моментах отличается от такого понимания в других разделах механики твердо- 47 го деформируемого тела – теоретической механики, сопротивлении материа- лов, теории упругости и др. Здесь изгибающий момент Mx следует понимать, как изгибающий момент, который искривляет волокно пластины, расположен- ное вдоль оси X, а My – изгибающий момент, искривляющий волокно, располо- женное вдоль оси Y. Характер распределения нормальных и касательных напряжений, вы- званных изгибающими и крутящим моментами, показан на рисунке 22. Рис. 22. Нормальные и касательные напряжения в поперечных сечениях пластины от изгибающих и крутящего моментов Рис. 23. Касательные напряжения в поперечных сечениях пластины от поперечных сил Поперечные силы Qzx и Qzy вызывают касательные напряжения, действу- ющие в сечениях с нормалями, соответственно, X и Y (рис. 23). 0 0 ; , zx y zy x zx zy Q S Q S J J     (156) где 0xS и 0 yS – статические моменты относительно осей X и Y части площади Y X zx X Y 3Q/2h zy 3Q/2h Qzx Qzy Z Z Y X x y Mx My X Y Mxy Myx xy yx 48 сечения пластины с шириной равной единице, расположенной выше точки, в которой вычисляется касательно напряжение; Qzx и Qzy - поперечные силы, приходящиеся на ширину сечения, равную единице. Кроме указанных выше напряжений в пластине появляются нормальные напряжения z от местной нагрузки, приложенной к ее верхней поверхности (рис. 24). Учитывая, что напряжение изменяется по закону кубической парабо- лы, его значение можно вычислить по формуле 2 2 2 3 , 2 z z h z h p h h                 (157) где p – интенсивность местной нагрузки, приложенной к верхней поверхно- сти пластины; h – толщина пластины; z – удаленность точки, в которой вычисляется напряжение, от верхней поверхности пластины. Рис. 24. Нормальные вертикальные напряжения от местной нагрузки На нижнюю поверхность пластины действуют еще и реактивное давление со стороны основания, которое также вызывает напряжения z . Эти напряже- ния могут быть вычислены по формуле (157), если ось Z направить вниз. Таким образом, могут быть установлены все напряжения в окрестности любой точки пластины. 1.6 Вариационные методы решения задач теории упругости Для многих задач теории упругости аналитических решений найти не удается. К таким задачам относится и расчет плиты на упругом основании. По- этому в последнее время широко используются численные методы, среди кото- рых самым распространенным является метод конечных элементов (МКЭ). Z p p p/2 h/2 h/2 0 49 Метод конечных элементов обычно используется для вариант перемеще- ний, так как это упрощает алгоритмизацию, что очень важно при составлении прикладных программ. Метод конечных элементов реализуется в вариационной постановке   1 0, 2 T TI V П W d f Vd         - (158) где П – потенциальная энергия деформаций; W – работа внешних сил;  – вектор напряжений; f – вектор узловых сил; V – вектор узловых перемещений. То есть, МКЭ является методом нахождения минимума функционала (158). Основная концепция МКЭ заключается в дискретизации пластины, кото- рая расчленяется сеткой на конечные элементы (рис. 25). На полученной дис- кретной модели вводятся кусочно-линейные функции в виде полинома высокой степени   X , определенные на каждом конечном элементе. Такие функции  X называются координатными или аппроксимирую- щими. Искомая функция по области , то есть в пределах одного конечного элемента, может быть записана для прямоугольного элемента в следующем ви- де (в виде полинома высокой степени)     1 L k U X V X    , (159) где L – общее количество степеней свободы, равное утроенному количеству узлов (для прямоугольного конечного элемента количество узлов равно 4); V – вектор узловых перемещений, который формируется из перемещений узлов конечного элемента. Таким образом, задача определения непрерывной функции  ku X сво- дится к определению значений конечного числа перемещений узлов модели, которые находятся из условия минимума функционала (159), то есть из систе- мы линейных алгебраических уравнений KV F , (160) где , ,V F K – вектор узловых перемещений, вектор узловых сил и матрица жесткости конечно-элементной модели. 50 1.7. Расчет пластины на упругом основании методом конечных элементов Для расчета прямоугольной плиты на упругом основании используется прямоугольный несовместный конечный элемент, имеющий четыре узла и две- надцать степеней свободы (рис. 25 б). Основание Фусса-Винклера моделирует- ся упругими вертикальными стержнями, которые одним концом шарнирно прикрепляются к узлам модели плиты, а другим - к неподвижной опоре (рис.25 а). Жесткость этих стержней учитывается при формировании объединенной матрицы жесткости конечно-элементной системы. Матрица жесткости К получается путем объединения матриц жесткости всех конечных элементов, составляющих численную модель. Для автоматиза- ции объединения матриц жесткостей и векторов узловых сил в МКЭ исполь- зуются три системы нумераций: нумерация конечных элементов; глобальная и местная нумерация узлов (рис. 26). Матрица жесткости прямоугольного конеч- ного элемента является квадратной и содержит 12 строк и 12 столбцов. При ее формировании для каждого конечного элемента предварительно строят геомет- рическую матрицу и матрицу физических коэффициентов, а затем их пе- ремножают ,Ti i i iK B D B (161) где B – матрица геометрических параметров; D – матрица физических коэффициентов. Рис. 25. Конечно-элементная модель прямоугольной пластины на упругом основании (а); узловые перемещения и узловые силы несовместного конечного элемента прямоугольной формы (б) 1 2 4 3 1,Ma1 2,Ma2 3,Ma3 4,Ma4 1,M1 2,M2 3,M3 W4,Q4 4,M4 W1,Q1 W2,Q2 W3,Q3 X Y а) б) 51 Рис. 26. Нумерация конечных элементов и узлов численной модели: 1, 2, 3, 4 – местные номера узлов пятого конечного элемента; 1, 2, 3, 4- глобальные номера узлов, проставленные в кружках; 1, 2, …, 9 – номера конечных элементов, проставленные в квадратах   2 2 2 3 2 2 2 0 0 1 0 0 0 ; 1 0 , 12 1 1 0 0 20 0 W x W Eh B D y W x y                                   где h – толщина пластины; E – модуль упругости материала пластины;  – коэффициент Пуассона; W – геометрическая функция, принятая для пластины в виде полинома     4 1 , ,jw j j j j j j W x y W          (162) где , ,jw j j    – функция, подбираемая в каждом отдельном случае по пред- полагаемой форме изгиба конечного элемента. Матрица жесткости К в МКЭ является сильно разреженной, так как в каждой ее строке число ненулевых элементов очень мало и составляет менее одного процента от всех элементов строки. Поэтому в прикладных программах; реализующих метод конечных элементов, применяется специальная технология операций над такими сильно разреженными матрицами: хранение, сложение, умножение на вектор, вычеркивание строк и столбцов, факторизация (при- ведение к треугольному виду). Применение такой технологии позволяет уменьшить требуемые затраты памяти и сократить время решения задачи. Ре- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 4 1 2 1 2 3 4 52 шение системы уравнений (160) дает вектор узловых перемещений V . Исполь- зуя принятые системы нумерации (рис. 26), из вектора F выделяют вектора уз- ловых перемещений для каждого конечного элемента, содержащегося в чис- ленной модели  1,2,...,iV i n . Вектор напряжений в каждом конечном элемен- те вычисляется по формуле i i iDBV  . (163) 1.8. Основы теории пластичности и ползучести 1.8.1 Основные положения и понятия Наука, устанавливающая общие законы образования пластических де- формаций и возникающие при этом напряжения называется теорией пластич- ности. Существует два подхода при изучении пластических деформаций. Один основан на теории малых упруго пластических деформациях (теории А.А.Ильюшина), а другой на теории пластического течения. Особо важным в теории пластичности являются понятия простого и сложного нагружения, активной и пассивной деформации. Нагружение считается простым, если все внешние силы возрастают пропорционально общему параметру. Если все внешние нагрузки убывают пропорционально общему парамет- ру, то имеет место простое разгружение. При сложном напряженном состоянии, отмечено А.А.Ильюшиным, де- формация считается активной, если интенсивность напряжения, для этой точ- ке в данный момент времени имеет значение, превышающее все предыдущие его значения. Если интенсивность напряжения меньше предшествующего его значения, то деформацию считают пассивной. 1.8.2 Теорема А.А.Ильюшина о простом нагружении В нелинейной теории упругости используется зависимость между напря- жениями и деформациями 3 3 i i E G       . (164) Если ограничиться активным процессом деформации и простым нагру- жением, то в теории пластичности можно использовать уравнения, которые ха- рактеризуют изменение формы в окрестности некоторой точки. 53       2 2 2 ; ; ; 3 3 3 ; ; , 3 3 3 i i i x m x m y m y m z m z m i i i i i i xy xy yz yz zx zx i i i                                        (165) где       2 2 2 1 2 2 3 3 1 1 2 i          ;       2 2 2 1 2 2 3 3 1 2 3 i             . Возникает вопрос, можно ли подобрать такое нагружение, при котором все элементы тела оказались бы в состоянии активной деформации. Оказывает- ся, что такое нагружение возможно. Теорема Ильюшина о простом нагружении по теории малых упруго- пластических деформациях получают правильные (согласующиеся с опытом) результаты в том случае, когда процесс нагружения является простым. А.А.Ильюшиным это доказано для случая степенной зависимости между обобщенными напряжениями и деформациями .mi iA   (166) 1.8.3 Теорема разгрузке Рассмотрим стержень при простом растяжении. Пусть 1 pr   . Разгру- зим стержень до 2 1   . Тогда 0 1 2     . 2 – упругая часть деформации, для вычисления которой можно использовать зависимость 2 E    , (167) где 1 2;    E – тангенс угла наклона к горизонту прямой разгрузки. То есть, для вычисления остаточной деформации стержня необходимо из полученной ранее деформации вычесть упругую деформацию, соответствую- щую значению той силы (или напряжения), на величину которой уменьшается первоначальная сила. Это положение характерно и для случая неоднородного (сложного) напряженного состояния при пассивной разгрузке. 1.8.4 Основные уравнения теории пластичности Многочисленные теории пластичности можно разделить на два вида. Теории, основанные на связи напряжений и деформаций (теории упруго пла- 54 стических деформаций) и теории, основанные на связи между напряжениями и скоростью деформации (теории пластического течения). Пока существует одна-единственная теория пластичности, которая доста- точно достоверно описывает свойства твердых тел при малых упругих и пла- стических деформациях. Это теория малых упруго пластических деформаций Ильюшина. Математический аппарат теории пластичности составляют 18 уравнений с 18 неизвестными. Это статические уравнения; геометрические уравнения; фи- зические уравнения; выражения для интенсивности напряжения и деформации; уравнение связи интенсивностей напряжения и деформации. Дифференциальные уравнения равновесия и геометрические уравнения такие же как и в классической теории упругости. Физические уравнения (эти уравнения мы не можем уже назвать законом Гука, так как зависимости между деформациями и напряжениями нелинейная) отличаются тем, что модуль сдви- га не постоянная величина, а величина, зависящая от деформации. В теории пластичности закон изменения формы обычно записывают так 1 σ σ 2 ε ; τ 2 γ ; 2 1 σ σ 2 ε ; τ 2 γ ; 2 1 σ σ 2 ε ; τ 2 γ . 2 x m x xy xy y m y yz yz z m z zx zx G G G G G G          - - - (168) Выражение для обобщенного модуля деформации имеет вид  1 iG G      . (169) Выражения для обобщенной деформации и для интенсивности напряже- ния имеют такой же вид как в классической теории упругости       2 2 2 1 2 2 3 3 1 2 3 i             ; (170)       2 2 2 1 2 2 3 3 1 1 2 i          . (171) Подводя итого, можно отметить, что в теории пластичности имеется 18 уравнения с 18-ю неизвестными , , , , , , , , , , , , , , , , , .x y z xy yz zx x y z xy yz zx i iu v w G              Поэтому в задачи теории пластичности в принципе решаемы. Однако, из- за математических трудностей практически решение получено для очень не- 55 многих задач. Решения теории пластичности используются для расчета строи- тельных конструкций, деталей машин и агрегатов, грунтовых оснований и др. 1.8.5 Понятие о теории пластического течения В теории пластического течения положены в основу уравнения, связыва- ющие напряжения и скорости деформаций. Приведем основные уравнения теории пластического течения. Связь перемещений и скоростей движения точек тела имеет вид ; ; . u v w u v w t t t          (172) Уравнения скоростей деформации      2 2 21 2 2 3 3 1 ; ; ; ; ; ; 2 . 3 x y z xy yz zx i u v w x y z u v v w w u y x z y x z                                               (173) Зависимости напряжений от компонентов скоростей деформаций       1 ; ; 2 1 ; ; 2 1 ; , 2 x m x m xy xy y m y m yz yz z m z m zx zx m m m m m m                            (174) где m – модуль (переменная величина, подлежащая определению). Этот модуль отражает связь обобщенного напряжения с обобщенной ско- ростью деформации i im   . (175) В приведенных уравнениях предполагается, что из опыта известна зави- симость  im f  . (176) Теория пластического течения используется для расчета параметров тех- нологических процессов при штамповке, при волочении проволоки и др. 56 2 ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ 2.1 Темы практических занятий 1 Теория напряженно-деформированного состояния в точке. 2 Основные уравнения теории упругости. 3 Плоская задача теории упругости в декартовых координатах. 4 Плоская задача теории упругости в полярных координатах. 5 Изгиб прямоугольных и круглых пластин. 6 Вариационные методы решения задач теории упругости. 7 Решение задач теории упругости методом конечных элементов – консуль- тации по решению индивидуальных задач. 8 Основы теории пластичности и ползучести. 2.2 Теория напряженно-деформированного состояния в точке П р и м е р 1. Пусть на видимых площадках элемента в форме паралле- лепипеда действуют нормальные и касательные напряжения, показанные на ри- сунке. Требуется дополнить недостающие напряжения и обозначить их, уста- новить их знаки и записать тензор напряжений. Рис. 27. Напряжения на площадках элемента в форме параллелепипеда Запишем тензор напряжений σ τ τ 0 80 120 τ σ τ 80 0 0 ,МПа 120 0 180τ τ σ x xy xz yx y yz zx zy z T                       . Y X Z Z X Y 180 120 80 z=180 МПа xz= –120 МПа zx= –120 МПа xy=+80 МПа xy=+80 МПа 57 П р и м е р 2. Найти нормальное и касательное напряжения на наклон- ной площадке, если известны ее направляющие косинусы и тензор напряжений в окрестности исследуемой точки деформируемого тела. 0 60 100 60 140 90 ,МПа 100 90 80 T           ; 1 1 1 ; ; . 6 2 2 l m n   Найдем проекции полного напряжения на координатные оси 1 1 1 0 60 100 36,07 МПа; 6 3 2 1 1 1 60 140 90 119,97 МПа; 6 3 2 1 1 1 100 90 80 149,35МПа. 6 3 2 x x xy xz y yx y yz z zx zy z p l m n p l m n p l m n                                                   Вычислим полное напряжение на наклонной площадке 2 2 2 2 2 236,07 119,97 149,35 194,93МПа.x y zp p p p          Вычислим нормальное напряжение на наклонной площадке 1 1 1 36,07 119,97 149,35 189,60МПа. 6 3 2 x y zp l p m p n              Вычислим касательное напряжение на наклонной площадке 2 2 2 2194,93 189,60 45,27МПа.p        П р и м е р 3. Пусть длинный стержень переменного сечения, показан- ный на рисунке 28, растянут силой F. Доказать, что в поперечных сечениях стержня появляются не только нормальные напряжения, но также и касатель- ные напряжения, нормальные и касательные напряжения в продольных сечени- ях стержня. Найти их значения, если площадь поперечного сечения равна A. 58 Рис. 28. Стержень переменной жесткости, загруженный сосредоточенной силой Полагаем, что нормальные напряжения распределяются по площади се- чения равномерно. Тогда по формуле сопротивления материалов нормальное напряжение в поперечном сечении равно y F A   . Запишем уравнения, выражающие условия на границе стержня, учитывая, что имеет место плоское напряженное состояние, а на поверхности стержня нагрузка отсутствует. 0; 0. x x xy y yx y p l m p l m              Значения направляющих косинусов выразим через угол .      cos , cos ; cos , sin .l x m y        Из второго уравнения граничных условий выразим касательное напряже- ние yx   sin cos yx y m F F tg l A A           . По закону парности имеем xy yx F tg A       . X Y X Y A y xy yx y x     F 59 Из первого уравнения выразим нормальное напряжение x 2sin cos x xy m F F tg tg l A A          . Утверждение доказано. Значение напряжений найдено. 2; ; .y x xy yx F F F tg tg A A A            2.3. Основные уравнения теории упругости П р и м е р 4. В консольной балке, показанной на рисунке, составить вы- ражения для напряжений x и xy yx   , исходя из формул сопротивления ма- териалов. Получить функцию для напряжения y , применив для этого диффе- ренциальные уравнения равновесия (уравнения Навье). Рис.29. Консольная балка, загруженная распределенной нагрузкой Составим функцию для нагрузки  q x   q q x x l  . Проверим пригодность этой функции h y 1 Y X M(x,y) 0 x X Y l q y q(x) M(x,y) 60 при 0x  ,  0 0 0; q q l    при x l ,   . q q l l q l    Очевидно, что функция правильно описывает закон изменения нагрузки. Составим функцию для поперечной силы  yQ x в произвольном сечении балки     21 2 2 y qx Q x q x x l    . Составим функцию для изгибающего момента  zM x     3 31 1 1 2 3 2 3 6 z qx qx M x q x x x l l    . Используя решение, полученное в сопротивлении материалов, составим функцию для нормального напряжения  ,x x y . Предварительно запишем вы- ражение для осевого момента инерции поперечного сечения относительно цен- тральной оси Z. 3 31 12 12 z h h J    .     3 3 3 3 12 2 , 6 6 x x x M x q x qx x y y J l h h l       . Используя формулу Журавского, составим функцию для касательных напряжений xy и yx         0 2 2 2 2 1 2 2 2 2 4 2 2 2 4 1 1 1 1 2 2 2 4 2 4 ; 2 4 8 8 z h h h h y h y h S y b y y y y y h y y h yh h y yh h y                                                           0 2 2 2 2 2 2 3 3 1 12 3 4 4 . 2 8 4 y z xy yx x Q S qx qx h y h y J b l h h l          Функцию нормального напряжения  ,y x y определим, используя диф- ференциальные уравнения равновесия (уравнения Навье) 0; 0. xy yx yx x y x y            61 Из второго уравнения равновесия выразим частную производную нор- мального напряжения y     2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 . 4 2 y yx qx qx h y h y y x x h l h l                   Разделим дифференциалы и получим  2 23 3 4 . 2 y qx h y y h l      Проинтегрируем по y , учитывая, что появится постоянная интегрирова- ния (функция от x )      2 2 2 33 3 3 3 4 , 4 ( ) 2 2 3 y qx qx x y h y dy f x h y y f x h l h l              . Функцию  f x следует определить по граничным условиям на верхней и на нижней поверхностях балки. На верхней поверхности балки , 2 h qx x l         . Воспользуемся этим и найдем функцию  ,f x y . Вначале вы- числим интеграл при 2y h  3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 3 4 3 2 2 3 2 2 2 3 8 2 2 6 3 3 3 . 2 6 3 22 qx h h qx h h qx h h h h l h l h l qx h h qx h qx lh l h l                                                            Тогда условие по верхнему краю балки запишется так    , 2 2 qx qx x h f x l l        . Отсюда имеем   2 qx f x l   . Значит, нормальное напряжение  ,x y будет выражаться функцией 62   2 3 3 3 4 , 3 22 qx qx x y h y y lh l          . Проверим выполнение граничных условий на верхнем и нижнем краях балки. На верхнем краю балки 2y h    3 2 3 3 4 , 2 2 3 2 2 2 22 qx h h qx qx qx qx x h h l l l lh l                            . На нижнем краю балки 2y h    3 2 3 3 4 , 2 0 2 3 2 2 2 22 qx h h qx qx qx x h h l l lh l                           . Очевидно, что оба граничных условия выполняются. Следовательно, за- дача решена. П р и м е р 5. Определить полную удельную потенциальную энергию, удельную энергию изменения объем и удельную энергию изменения формы, если известен тензор напряжений σ σ τ τ 160 0 100 τ σ τ 0 0 0 ,МПа 100 0 120τ τ σ x xy xz yx y yz zx zy z T                    . Принять значения модуля упругости и коэффициента Пуассона, соответ- ственно, равными 200ГПаE  и ν 0,3 . Так как в тензоре напряжений имеется один нулевой столбец и одна ну- левая строка, материал в окрестности исследуемой точки испытывает плоское напряженное состояние. Определим модуль сдвига     200 76,92 ГПа 2 1 ν 2 1 0,3 E G      . Используя закон Гука, вычислим деформации 63     6 3 9 1 1 ε σ νσ 160 0,3 120 10 0,98 10 ; 200 10 x x z E                  6 9 3 1 ν 0,3 ε σ ν σ +σ σ σ 160 120 10 200 10 0,06 10 ; y y z x z x E E                      6 3 9 1 1 ε σ νσ 120 0,3 160 10 0,36 10 ; 200 10 z z x E          9 9 6 3 9 τ τ0 0 γ 0; γ 0; 76,92 10 76,92 10 τ 100 10 γ 1,30 10 . 76,92 10 xy yz xy yz zx zx G G G                 Запишем тензор деформаций 3ε 1 1 ε γ γ 2 2 0,98 0 0,65 1 1 γ ε γ 0 0,06 0 10 2 2 0,65 0 0,36 1 1 γ γ ε 2 2 x xy xz yx y yz zx zy z T                            . Вычислим удельную полную потенциальную энергию           3 3 1 σ ε σ ε σ ε τ γ τ γ τ γ 2 1 160 0,98 0 0,06 120 0,36 0 0 0 0 100 0,65 10 2 кДж 89,30 . м x x y y z z xy xy yz yz zx zxW                             Вычислим среднее напряжение и среднюю деформацию     1 1 σ σ σ σ 160 0 120 13,33МПа; 3 3 m x y z           3 3 1 1 ε ε ε ε 0,98-0,06+0,36 10 0,427 10 . 3 3 m x y z         Вычислим удельную потенциальную энергию изменения объема 64 6 3 3 1 1 кДж 3 σ ε 3 13,33 10 0,427 10 5,69 . 3 3 м V m mW                    Вычислим удельную потенциальную энергию изменения формы 3 кДж 89,30 5,69 83,61 . м F VW W W     П р и м е р 6. Пусть в окрестности внутренней точки деформируемого тела задан тензор напряжений σ τ τ 140 80 60 τ σ τ 80 120 70 ,МПа 60 70 90τ τ σ x xy xz yx y yz zx zy z T                    . Учитывая закон Гука, вычислить деформации и записать тензор дефор- маций. Принять модуль упругости и коэффициент Пуассона, соответственно, равными 200ГПаE  и ν 0,3 . Так как в тензоре напряжений нет нулевых строк и столбцов, то есть в элементе, вырезанном в окрестности исследуемой точки, нет площадок свобод- ных от напряжений, то материал испытывает объемное напряженное состояние. Определим модуль сдвига     200 76,92 ГПа. 2 1 ν 2 1 0,3 E G      По закону Гука вычислим деформации             6 3 9 6 3 9 6 3 9 1 1 ε σ ν σ σ 140 0,3 120 90 10 1,015 10 ; 200 10 1 1 ε σ ν σ σ 120 0,3 90 140 10 0,675 10 ; 200 10 1 1 ε σ ν σ σ 90 0,3 140 120 10 0,480 10 ; 200 10 x x y z y y z x z z x y E E E                                                 65 6 3 9 6 3 9 6 3 9 τ 80 10 γ 1,040 10 ; 76,92 10 τ 70 10 γ 0,910 10 ; 76,92 10 τ 60 10 γ 0,780 10 . 76,92 10 xy xy yz yz zx zx G G G                        Запишем тензор деформаций 3ε 1 1 ε γ γ 2 2 1,015 0,520 0,390 1 1 γ ε γ 0,520 0,675 0,455 10 2 2 0,390 0,455 0,480 1 1 γ γ ε 2 2 x xy xz yx y yz zx zy z T                            . П р и м е р 7. Пусть в окрестности внутренней точки деформируемого тела задан тензор деформаций 3ε 1 1 ε γ γ 2 2 0,65 0,45 0,75 1 1 γ ε γ 0,45 0,84 0,32 10 2 2 0,75 0,32 0,96 1 1 γ γ ε 2 2 x xy xz yx y yz zx zy z T                            . Учитывая, что материал тела деформируется по закону Гука, вычислить напряжения и записать тензор напряжений. Принять модуль упругости и коэф- фициент Пуассона, соответственно, равными 200ГПаE  и ν 0,3 . Вычислим модуль сдвига, коэффициент Ляме и относительную объемную деформацию в окрестности рассматриваемой точки     200 76,92 ГПа; 2 1 ν 2 1 0,3 E G      2ν 2 0,3 76,92 115,38ГПа; 1 2ν 1 2 0,3 G            3 3θ ε ε ε 0,65 0,84 0,96 10 0,77 10 .x y z           66 По закону Гука вычислим напряжения 9 3 9 3σ 2 ε λθ 2 76,92 10 0,65 10 115,38 10 0,77 10 188,84МПа;x xG               9 3 9 3yσ 2 ε λθ 2 76,92 10 0,84 10 115,38 10 0,77 10 40,38МПа; yG                 9 3 9 3 zσ 2 ε λθ 2 76,92 10 0,96 10 115,38 10 0,77 10 236,53МПа;zG               9 3τ γ 76,92 10 0,45 10 2 69,23МПа;xy xyG          9 3τ γ 76,92 10 0,32 10 2 49,23МПа;yz yzG        9 3τ γ 76,92 10 0,75 10 2 57,69МПа.zx zxG        Запишем тензор напряжений σ τ τ 188,84 69,23 57,69 τ σ τ 69,23 40,38 49,23 ,МПа 57,69 49,23 236,53τ τ σ x xy xz yx y yz zx zy z T                     2.4. Плоская задача теории упругости в декартовых координатах П р и м е р 8. Пусть на площадках элементарного параллелепипеда, взя- того в окрестности исследуемой точки деформируемого тела действуют напря- жения xz120МПа; 100МПа; 90МПа.x z        Вычислить октаэдриче- ские полное, нормальное и касательное напряжения. Запишем тензор напряжений 120 0 90 0 0 0 ,МПа. 90 0 100 x xy xz yx y yz zx zy z T                    σ τ τ τ σ τ τ τ σ Очевидно, что материал в окрестности исследуемой точки тела испыты- вает плоское напряженное состояние, так как в тензоре напряжений одна строка и один столбец являются нулевыми. Учитывая наличие нулевых напряжений, вычислим инварианты тензора напряжений 120 100 20МПа;I x y z     σ σ σ σ 67     2 2 120 100 0 0 90 18400 МПа ; II          2 2 2 x y y z z x xy yz zxσ σ σ +σ σ +σ σ -τ -τ -τ = 2 2 22 0.III x y z xy yz zx x yz y zx z xy σ σ σ σ + τ τ τ -σ τ -σ τ -σ τ Кубическое уравнение 3 2σ σ σ σ σ σ 0I II III    можно записать в следующем виде  2σ σ σ σ σ 0I II   . Один корень кубического уравнения равен нулю  1σ 0 . Два других корня определяются решением квадратного уравнения 2 2σ σ σ σ σ 20σ 20100 0I II      ;   2 2 2 σ σ 20 20 σ σ 20100 152,13МПа 2 2 2 2 I I II                   ;   2 2 3 σ σ 20 20 σ σ 20100 132,13МПа 2 2 2 2 I I II                    . Расставим индексы главных напряжений 1 2 1σ 152,13МПа; σ 0; σ 132,13МПа;    Вычислим полное октаэдрическое напряжение    2 2 2 2 21 2 3 1 1 σ σ σ 152,13 0 132,13 116,34МПа. 3 3 octp        Вычислим нормальное октаэдрическое напряжение  1 2 3 1 σ σ σ σ 152,13 0 132,13 20МПа. 3 oct        Вычислим касательное октаэдрическое напряжение 68 2 2 2 2116,34 20 114,61МПа.oct oct octp      П р и м е р 9. Рассмотрим пластину, загруженную по торцам двумя па- рами сил с моментом M. Рис. 30. Балка, загруженная распределенной нагрузкой по торцам Из сопротивления материалов известно σ ; σ τ 0.x y xy M y J    Так как напряжения σ , σ , τx y xy выражаются линейными функциями, то уравнение неразрывности удовлетворяются тождественно     2 2 2 2 σ σ σ σ 0.x y x y x y         Чтобы убедиться в пригодности решения, предложенного сопротивлени- ем материалов, достаточно только проверить выполнение дифференциальных уравнений равновесия и условие на контуре пластины. Возьмем производные σ 0x M y x x J            ; σ 0 y y    ; τ τ 0 xy yx x y       . Подставим производные в дифференциальные уравнения равновесия τσ 0 xyx x y      ; τ σ 0 yx y x y       . Y Z Y X l/2 l/2 0 C C 69 Уравнения равновесия тождественно удовлетворяются. Следовательно, предложенные функции пригодны для решения задачи теории упругости. Тре- буется уточнить граничные условия. Подставим условие на торце пластины. Пусть 2 l x   . Напряжение на торцах пластины согласно предложенному решению имеет вид σ ; σ τ τ 0.x y xy yx M y J     То есть, по торцам пластины действуют только нормальные напряжения, которые распределены по высоте сечения по линейному закону. Из граничных условий на правом торце пластины имеем 1, 0, 0.l m n    Тогда проекции нагрузки на торцах пластины выражаются зависимостями ν σ τ 1 0 0 ;x x xy M M p l m y y J J        ν τ σ 0 1 0 0 0.y yx yp l m       Выразим продольную силу на правом торце пластины. При этом прини- маем толщину пластины равной единице. 2 ν 0. 2 CC C x CA A C C M M M M N p dA ydA ydy ydy y J J J J                   Очевидно, что продольная сила равна нулю. Выразим момент сил на тор- це пластины 2 .x A A A M M M p ydA y ydA y dA J M J J J              Аналогично получается и на правом торце пластины. Следовательно, решение, полученное в сопротивлении материалов, при- годно в том случае, если по торцам пластины приложены распределенные нагрузки, показанные на рисунке и создающие момент M. П р и м е р 10. Пластинка постоянной толщины произвольного очерта- ния равномерно сжата по наружному контуру давлением p. Доказать, что во всех точках пластинки касательное напряжение xy равно нулю, а нормальные напряжения x и y – давлению сжатия. 70 Вырежем элемент около произвольной точки контура пластинки. Пусть направляющие косинусы l и m наклонной площадки известны. Полное напря- жение на наклонной площадке равно давлению на контур пластинки p p   . Найдем проекции полного напряжения ; .x yp p l p p m     Запишем граничные условия x x xy y yx y p l m p l m p l m p m n                  (*) Рис. 31. Равномерно сжатая пластинка произвольного очертания постоянной толщины Решим полученную систему уравнений, принимая в качестве неизвест- ных напряжения , , ,x y xy yx    и учитывая, что, согласно закона парности ка- сательных напряжений, xy yx   . В результате получим уравнение, содержащее касательное напряжение 2 2m l lm p ml p        или  2 2 0m l   . (**) Это равенство должно выполняться при любых положениях наклонной площадки. При этом направляющие косинусы l и m могут принимать значения Y X Z Y P P P 0 0 Y X  P= P x P y  x  y  yx  xy  x 71 на отрезке  1, 1  . Учитывая соотношение направляющих косинусов для плоской задачи 2 2 1l m  уравнение (**) можно записать следующим образом  2 2 21 2 1 0m m m              . При различных положениях наклонной площадки множитель 22 1m    может принимать значения на отрезке  1, 1  . Поэтому, чтобы уравнение (***) всегда выполнялось, требуется, чтобы 0  . То есть, 0xy yx      . Из первого уравнения системы (*) получим значение нормального напряжения x 0 ;x xy x xl m l m p l p p             . Из второго уравнения системы (*) получим значение нормального напря- жения y П р и м е р 11 . Дана квадратная пластина и заданы функции для напря- жений 41σ ; 2 x Cx y  2 3σ ;y Cx y  3 2τ τ .xy yx Cx y  Требуется установить соответствующую нагрузку по контуру пластины. Р е ш е н и е. Проверим пригодность заданных функций для напряжений σ ,σ ,τx y xy для задачи тео- рии упругости. Так как функции σ ,σ ,τx y xy , их производные и взятые от них интегралы являются непрерывны- ми, то уравнения Сен-Венана (уравнения неразрывности деформаций) будут удовлетворяться. Следует проверить, будут ли выполняться условия равнове- сия, то есть дифференциальные уравнения равновесия (уравнения Навье). Возьмем производные c c c c X Y Рис. 32. Квадратная плита 72 3 3σ 1 4 2 ; 2 x Cx y Cx y x        2 2 σ 3 ; y Cx y y     3τ 2 ; xy Cx y y    2 2 τ 3 . yx Cx y x    Подставим производные в уравнения Навье 0; 0. xy yx yx x y x y            и получим 2 2 2 2 2 22 2 0; 3 3 0.Cx y Cx y Cx y Cx y     Очевидно, что заданные функции для напряжений удовлетворяют диффе- ренциальным уравнениям равновесия. Определим нагрузки по краям пластины на верхнем краю пластины , , 0, 1.C x C y C l m      4 3 2 3 2 3 31σ τ 0 1 ; 2 x x xyp l m Cx y Cx y Cx y C x          3 2 2 3 2 3 4 2τ σ 0 1 .y yx yp m l Cx y Cx y Cx y C x           на нижнем краю пластины , , 0, 1.C x C y C l m        4 3 2 3 2 3 31σ τ 0 1 ; 2 x x xyp l m Cx y Cx y Cx y C x             3 2 2 3 2 3 4 2τ σ 0 1 .y yx yp m l Cx y Cx y Cx y C x          на левом краю пластины , , 1, 0.x C C y C l m         4 4 5 1 1 1 σ τ 1 ; 2 2 2 x x xyp l m Cx y Cx y C y          3 2 3 2 4 2τ σ 1 .y yx yp m l Cx y Cx y C y         на правом краю пластины , , 1, 0.x C C y C l m       4 4 51 1 1σ τ 1 ; 2 2 2 x x xyp l m Cx y Cx y C y          3 2 3 2 4 2τ σ 1 .y yx yp m l Cx y Cx y C y       73 Рис. 33. Эпюры нормальных и касательных нагрузок 2.5. Плоская задача теории упругости в полярных координатах П р и м е р 12. Для плоского кольца известны выражения для напряже- ний 2 2 2 2 1 a b p b a r           ; 2 2 2 2 1r a b p b a r          ; 0r  . Проверить выполнение условия равновесия и найти нагрузку на кольцо. Рис. 34. Кольцо, загруженное распределенной нагрузкой Найдем слагаемые дифференциальных уравнений равновесия 2 2 2 2 3 2 1r a bp r b a r     ; 1 0 r    ; 1 0r r    ; 0r r    ; 2 0r r   ; 2 2 2 2 3 2 1r a bp r b a r      . Подставим в дифференциальные уравнения равновесия С6 С 6 С6 С6 0,5 С6 0,5 С6 0,5 С6 0,5 С6 Нормальные нагрузки Y X a b Y X С6 С6 С 6 С6 С6 С6 С6 С6 Касательные нагрузки 74 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 1 2 1 2 1 0; 21 0 0 0 0. r rr r r a b a b p p r r r b a r b a r r r r                             Оба уравнения удовлетворяются тождественно. Следовательно, условия равновесия соблюдаются. Найдем нагрузку, действующую на краях кольца. При = r b 2 2 2 2 2 1 0r a b p b a b           . При = r a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1r a b a a b p p p b a a b a a                     . На внутренний край кольца действует равномерно распределенная нагрузка –p. 2.6. Изгиб круглых пластин П р и м е р 13. Пластинка круглого очертания и постоянной толщина шарнирно опирается по своему контуру и загружена равномерно распределен- ной нагрузкой. Прогиб пластины задан функцией        2 45 2 3 1W C             , C const . Приняты: радиус пластины 2мa  ; толщина пластины 0,2мh  ; коэффициент 0,25  . Требуется найти функции для изгибающих моментов, поперечной си- лы, прогибов и построить эпюры. Рис. 35. Шарнирно опертая пластина круглого очертания, загружена распределенной нагрузкой r a 0 2a q 75 Перейдем к абсолютной координате r a   . Перепишем функцию проги- бов       2 4 2 4 5 2 3 1 r r W C a a             . Найдем производные     3 2 4 4 3 4 1 dW r r dr a a            ;     2 2 2 2 4 1 4 3 12 1 d W r dr a a            ;   3 3 4 24 1 d W r dr a        ;   4 4 4 1 24 1 d W dr a        . Проверим выполнение граничных условий на краю пластины Первое условие – при , 0.r a W          2 4 2 4 5 2 3 1 5 6 2 1 0 a a W C C a a                     . Второе условие – при 0rr a M  . Момент в радиальной плоскости         2 2 2 2 4 3 2 4 1 4 3 12 1 4 3 4 1 . r d W dW r M D r drdr a a r r r a a                                     После преобразования получим выражение    2 2 2 4 1 3 1r DC r M a a            . Согласно второму граничному условию, имеем    2 2 2 4 1 3 1 0r DC a M a a             . 76 Условия на краю пластины выполняется. Определим постоянный коэффициент C, используя дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластины. 4 3 2 4 3 2 2 3 2 1 1d W d W d W dW D q r drdr dr r dr r           . Подставим выражения для производных             2 4 4 2 2 4 3 3 2 4 1 2 1 1 24 1 24 1 4 3 12 1 1 4 3 4 1 . r r DC ra a r a a r r q r a a                                    Раскроим скобки, выполним сокращения и приведем подобные  24 48 12 4DC q    . В результате получим   4 64 1 qa C D   . Учитывая выражения для С, получим функцию прогибов       4 2 4 2 4 5 2 3 1 64 (1 ) qa r r W D a a              . Составим выражение для радиального изгибающего момента rM (полу- чено выше)    2 2 2 4 1 3 1r DC r M a a            . Составим выражение для тангенциального изгибающего момента M         2 3 2 2 4 2 2 4 1 1 4 3 4 1 1 4 3 12 1 . dW d W r r M D DC r dr rdr a a r a a                                    77 Раскроим скобки и приведем подобные. В результате получим       2 2 2 4 1 1 3 3 DC r M a a               . Составим выражение для поперечной силы           3 2 3 2 2 4 2 3 2 4 2 2 4 1 1 24 1 1 1 1 4 3 12 1 4 3 4 1 . r d W d W dW r Q D DC r drdr dr r a r r r r a a r a a                                        Раскроим скобки, приведем подобные и получим выражение для попе- речно силы   4 1r DC Q r a   . Выразим произведение коэффициентов CD через известные величины       4 4 42 64 1 64 1 64 1 0,25 5 qa qa q q DC D D        . Вычислим значения изгибающих моментов и поперечной силы в центре пластины, 0r  .       2 2 2 2 2 2 4 4 5 0 1 3 1 1 0,25 3 0,25 1 2 0.8125 ; r DC r q M a a a q                                       2 2 2 2 2 2 4 1 1 3 3 4 5 0 1 0,25 1 3 0,25 3 0,25 0,8125 ; 2 DC r M a a q q a                                  4 4 5 1 1 0,25 0 0 2 r DC q Q r a       . 78 Вычислим значения изгибающих моментов и поперечной силы на краю пластины, 2r a  .       2 2 2 2 2 2 4 4 5 1 3 1 1 0,25 3 0,25 1 0 2 r DC r q r M a a a                          ;             2 2 2 2 2 2 4 1 1 3 3 4 5 2 1 0,25 1 3 0,25 3 0,25 0,375 ; 2 2 DC a M a a q q                                  4 4 5 1 1 0,25 2 0,03125 2 r DC q Q a q a       . Вычислим прогибы пластины при 0r              4 2 4 2 4 4 2 4 2 4 5 2 3 1 64 (1 ) 2 0 0 5 0,25 2 3 0,25 1 0,25 1,05 ; 64 (1 0,25) 2 qa r r W D a a q q D Da                             при / 2 1r a              4 2 4 2 4 4 2 4 2 4 5 2 3 1 64 (1 ) 2 1 1 5 0,25 2 3 0,25 1 0,25 0,741 ; 64 (1 0,25) 2 2 qa r r W D a a q q D D                             при 2r a              4 2 4 2 4 4 2 4 2 4 5 2 3 1 64 (1 ) 2 2 2 5 0,25 2 3 0,25 1 0,25 0. 64 (1 0,25) 2 2 qa r r W D a a q D                             79 Рис. 36. Эпюры прогибов, изгибающих моментов и поперечных сил Вычислим максимальные нормальные и касательные напряжения 2 2 6 6 0,816 122,4 0,2 r r M q q h      ; 2 2 6 6 0,816 122,4 0,2 M q q h        ; 3 3 0,031 0,233 2 2 0,2 r r Q q q h       . 2.7. Основы теории пластичности и ползучести П р и м е р 14. Абсолютно жесткий стержень AC шарнирно опертый в точке C удерживается тремя тяжами в точках A, B и Е, составленными из шести стержней с одинаковой площадью поперечных сечений A. Определить комби- нацию стержней, при которой предельная нагрузка F будет самой большой, ес- ли материал деформируется по диаграмме Прандтля. Рис. 37. Статически неопределимая система с учетом пластических деформаций материала тяжей C B D E A Fred a 3a 3a 3a 0   y W 1,05q/D 0,74q/D 0,74q/D Mr 0,813q 0,813q 0,375q 0,375q M Qr 0,031q 0,031q 80 Р е ш е н и е. Обозначим количество стержней в тяжах , , B D E , соответ- ственно, , ,B D En n n . Согласно условию задачи при всех комбинациях располо- жения стержней суммарное их количество равно шести, то есть 6B D En n n   . Система потеряет прочность, то есть способность восприни- мать сколь угодно малую дополнительную нагрузку, если во всех тяжах напря- жения будут равными пределу текучести σ y . Составим уравнение предельного равновесия заданной системы 4 7 10 0.C y B y D y E redM n A a n A a n A a F a          Из уравнения получим значение предельной нагрузки  4 7 10 y red B D E A F n n n     . Отсюда следует, что наибольшая нагрузка будет при наибольшем значе- нии выражения в скобках. Составим возможные варианты расположения стержней в тяжах , , B D E и посчитаем выражение в скобках для каждого вари- анта. Таблица 1 – Результаты расчета статически неопределимая система с учетом пластических деформаций материала тяжей Вариант Распределение стержней по тяжам Количество стержней Значение  4 7B D En n n  Bn Dn En 1 1 2 3 6 30 2 1 3 2 6 27 3 2 1 3 6 27 4 2 2 2 6 24 5 2 3 1 6 21 6 3 1 2 6 21 7 3 2 1 6 18 Очевидно, что заданная система может нести наибольшую предельную нагрузку при варианте распределения стержней по тяжам, обозначенным номе- ром 1. При этом наибольшая предельная нагрузка равна 3σred yF A . 81 3 КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ 3.1 Индивидуальные задачи для самостоятельной работы На квадратную пластинку, опирающуюся на упругое основание Фусса- Винклера, действуют четыре вертикальные силы F, приложенные к расчетным точкам (рис. 38), в соответствии с таблицей 3. Коэффициент Пуассона  = 0,25, размеры пластинки 9.59.5 м, ко- эффициент жесткости основания ko = 10 МН/м коэффициент запаса no = 1.5, опасное напряжение (предел текучести) y=20 МПа, размеры площадки нагружения 2525 см принимаются одинаковыми для всех вариантов. Другие данные вы- бираются из таблиц 2 и 3 по шифру студента (заочная форма обучения) или по указанию преподавателя. Т р е б у е т с я: 1. Изобразить конечно-элементную модель пластинки и все расчетные точки. 2. Подготовить исходные данные и выполнить расчет пластинки по программе Sturm, получить карты изолиний V, Mx, My и Mxy, сделать их анализ и выводы о деформации пластинки и о характере распределения в ней внутренних сил (только для студентов очной формы обучения) 3. В окрестности одной из точек приложения сил F (на усмотрение студента) определить - изгибающие и крутящие моменты, интенсивность давления и по- перечные силы от местной нагрузки; вычислить нормальные и касательные напряжения и изобразить их эпюры. 4. В окрестности выбранной точки (п.3) вблизи верхней поверхности пластинки вырезать элементарный объем показать все напряжения на его площадках, установить вид напряженного состояния, найти главные напряжения и положе- ние главных площадок. 5. Используя теорию прочности Губера-Мизеса-Генки, определить допускаемое значение нагрузки Fadm. 1 2 3 4 0.25 м 0.25 м 0.25 м 4.5 м 4.5 м 4.5 м 4.5 м X Y Рис. 38. Расчетные точки приложения нагрузки к пластинке 7 5 6 8 9 0.25 м I I 82 Таблица 2 – Данные к контрольной (расчетно-графической) работе Ва- ри- ант Модуль упруго- сти плас- тинки E, ГПа Тол- щина плас- тинки t, см Ва- ри- ант Координаты расчетных точек №точки 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X, м 0.25 4.75 9.25 0.25 4.75 9.25 0.25 4.75 9.25 Y, м 0.25 0.25 0.25 4.75 4.75 4.75 9.25 9.25 9.25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 80 18 1 F - F F F - - - - 2 58 20 2 - F F F F - - - - 3 44 22 3 F F - - F - F - - 4 34 24 4 F - - F F - - - F 5 27 26 5 - - F F F F - - - 6 21 28 6 - - F F F - F - - 7 17 30 7 - F - F - - F - F 8 14 32 8 - - F - F - F - F 9 12 34 9 - F - - F - F - F 0 10 36 0 - F - - F - - F F а б Таблица 3 – Значение силы F, приложенной к пластинке Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Сила F, кН 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 в П р и м е ч а н и е. Пример выполнения самостоятельной работы приведен в разделе 4.7. Для проверки решения задачи преподавателям можно использовать учебную компьютерную программу TUP, инструкция к которой дана в п.4.7. 83 3.2 Контрольные вопросы к зачету 1. Какое место и значимость имеет теория упругости среди других наук меха- ники твердого тела? 2. Какие основные гипотезы приняты в классической теории упругости? 3. Как обозначаются и как определяются полное, нормальное и касательное напряжения? 4. По каким правилам расставляются индексы и знаки напряжений? 5. Как записывается и какие особенности имеет тензор напряжений? 6. Что следует понимать под напряженным состоянием в точке? 7. Какие частные случаи напряженного состояния выделяют в теории упруго- сти и как записываются соответствующие им тензоры напряжений? 8. Какими уравнениями выражаются условия на границе тела? 9. Как обозначаются и как определяются направляющие косинусы площадки? 10. Как выражаются нормальное и касательное напряжения на наклонной пло- щадке? 11. Какие напряжения и площадки называются главными? 12. Как определить значения главные напряжений? 13. Как выражаются инварианты тензора напряжений через напряжения на ко- ординатных площадках? 14. Как найти значения максимальных (экстремальных) касательных напряже- ний при объемном напряженном состоянии? 15. Какие площадки и напряжения называются октаэдрическими? 16. Как выражаются октаэдрические напряжения через главные напряжения? 17. Как записывается шаровой тензор напряжения и тензор-девиатор напряже- ния? 18. Как записывается тензор деформации? 19. Как обозначаются и какие знаки принимаются для линейных и угловых де- формаций? 20. Как выражается относительная линейная деформация волокна по произ- вольному направлению через компоненты тензора деформации? 21. Как вычислить значения главных деформаций? 22. Как выражаются инварианты тензора деформаций через компоненты тензо- ра деформации? 23. Как записывается шаровой тензор деформации и тензор-девиатор деформа- ции? 24. Как записывается дифференциальные уравнения равновесия (уравнения Наве)? 25. Как записываются геометрические уравнения (уравнения Коши)? 26. Как записываются и что выражают уравнения неразрывности деформаций (уравнения Сен-Венана)? Их физический и энергетический смысл? 27. Как записываются физические уравнения (закон Гука) для объемного напряженного состояния? 28. Как записываются закон изменения объема и закон изменения формы? 84 29. Как формулируются гипотезы наступления предельного состояния Кулона- Геста и Губера-Мизеса-Роша? 30. Как формулируется решение задачи теории упругости в перемещениях? 31. Как формулируется решение задачи теории упругости в напряжениях? 32. Как записываются основные уравнения для плоской задачи теории упруго- сти – плоское напряженное состояние? 33. Как записываются основные уравнения для плоской задачи теории упруго- сти – плоское деформированное состояние? 34. Как получить решение плоских задач теории упругости с использованием функции напряжений (функции Эри)? 35. Какие понятия и допущения приняты в теории тонких пластин? 36. Какие классические модели грунтовых оснований применяются для расчета строительных сооружений? 37. Как записывается уравнение упругой поверхности тонкой пластины. (урав- нение Софи-Жермен)? 38. Как выражаются внутренние силы через разрешающую функцию прогибов W? 39. Как выражаются граничные условия для тонких прямоугольных пластин? 40. Как вычисляются нормальные и касательные напряжения в тонкой пла- стине от изгибающих моментов и поперечных сил? 41. Как выражаются напряжения, вызванные действием местной нагрузки? 42. Какая модель принимается для расчета тонкой пластины методом конечных элементов (суть метода)? 43. Как обозначаются напряжения и деформации в полярной системе коорди- нат? 44. Как записываются основные уравнения теории упругости в полярной си- стеме координат? 45. В каких случаях используется цилиндрическая система координатных осей при решении задач теории упругости? 46. Как записываются основные уравнения теории упругости в цилиндрических координатах? 47. Какие понятия принимаются в теории пластичности? 48. Что заложено в понятиях простое нагружение и простое разгружение? 49. Какие основные постулаты приняты в теории малых упруго пластических деформаций А.А.Ильюшина? 50. Как записываются основные уравнения в теории пластичности? 85 4 ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЙ РАЗДЕЛ 4.1 Модули курса Модуль 1 Теория напряженно-деформированного состояния в точке Нагрузки и напряжения. Напряженное состояние в точке. Его полное математическое описание с помощью тензора напряжений. Компоненты тензора, его симметричный характер (закон парности касательных напряже- ний). Напряжения на наклонных площадках. Представление тензора напряжений в диагональной форме. Главные напряжения. Их экстремальные свойства. Шаровой тензор и девиатор напря- жений. Инварианты напряженного состояния. Наибольшие касательные напряжения. Октаэдрические напряжения. Интенсивность напряжений, их связь со вторым инвариантом девиатора. Перемещения и деформации в точке тела. Деформированное состояние в точке тела. Его полное математическое описание с помощью тензора деформа- ций. Компоненты и инварианты тензора деформаций. Главные оси деформации и главные деформации. Их свойства. Шаровой тензор и девиатор деформаций. Интенсивность деформаций. Модуль 2 Основные уравнения теории упругости Три группы основных уравнений. Дифференциальные уравнения равно- весия. Геометрические соотношения Коши. Уравнения неразрывности (сов- местности) деформаций (Сен-Венана). Физические уравнения теории упруго- сти. Частные случаи. Упругие постоянные. Обобщенный закон Гука для изо- тропного и анизотропного тела. Уравнения равновесия в перемещениях (уравнения Ламе). Уравнения неразрывности деформаций в напряжениях (уравнения Бельтрами- Митчела). Формулировка основной задачи теории упругости: полная система уравнений в напряжениях и перемещениях, типы граничных условий на по- верхности тела. Теорема о единственности решения. Понятие о температурных напряжениях и деформациях в упругих телах. Задачи теплопроводности и термоупругости. Основные уравнения пространственной задачи теории упругости в ци- линдрической системе координат. Осесимметрическая пространственная за- дача теории упругости. Модуль 3 Плоская задача теории упругости в декартовых координатах Два вида плоской задачи: плоская деформация и обобщенное плоское напряженное состояние. Кинематическая и статическая гипотезы. Запись тен- 86 зоров напряжений и деформаций, основных уравнений и граничных условий плоской задачи в декартовых координатах. Решение плоской задачи в перемещениях и напряжениях. Уравнение Ле- ви. Функция напряжений Эри. Бигармоническое уравнение. Понятие о реше- нии бигармонического уравнения в полиномах, тригонометрических рядах, методом конечных разностей. Модуль 4 Плоская задача теории упругости в полярных координатах Запись тензоров напряжений и деформаций, основных уравнений и гра- ничных условий плоской задачи в полярных координатах. Простое радиальное напряженное состояние. Сжатие и изгиб клина сосредоточенной силой. Дей- ствие на полуплоскость одной и нескольких сосредоточенных сил, распреде- ленных нагрузок. Задачи Грюблера и Кирша о концентрации напряжений в пластинке около круглых отверстий. Описание результатов решения задач о концентрации напряжений вокруг отверстий некруглой формы. Понятие о зонах концентра- ции напряжений в конструкциях. Модуль 5 Изгиб прямоугольных и круглых пластин Классификация пластин. Основные понятия и гипотезы. Выражение де- формаций, напряжений, изгибающих, крутящих моментов и поперечных сил через функцию прогибов пластины. Уравнения равновесия элемента пластины. Основное дифференциальное уравнение изгиба пластин в прямоугольных ко- ординатах (уравнение Софи Жермен-Лагранжа). Формулировка граничных условий для основных случаев закрепления краев пластины. Элементарные примеры изгиба пластин. Энергия деформации при изгибе пластин. Дифференциальное уравнение изгиба круглых и кольцевых пластин. Внутренние усилия в пластине в полярной системе координат. Осесимметрич- ный изгиб пластин. Общее решение задачи и частные случаи осесимметрично- го изгиба. Понятие об изгибе многослойных пластин. Особенности расчета орто- тропных пластин. Изгиб пластин на упругом основании. Понятие об устойчивости пластин и методах определения критических нагрузок. Дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба пря- моугольных пластин. Примеры определения критических сжимающих нагру- зок для шарнирно опертых прямоугольных пластин. Модуль 6 Вариационные методы решения задач теории упругости Сущность вариационных методов. Работа внешних сил и потенциальная энергия деформации. Ее вид для пространственных и плоских задач, изгибае- мых пластин. Дополнительная энергия. Принципы Лагранжа и Кастильяно. Вариационные методы Релея-Ритца-Тимошенко, Бубнова-Галеркина и Власова - Канторовича. 87 Модуль 7 Решение задач теории упругости методом конечных эле- ментов Метод конечных элементов (МКЭ). Построение конечно-элементных мо- делей. Регулярные и нерегулярные конечно-элементные сетки. Типы конечных элементов. Плоские конечные элементы: треугольные, прямоугольные, полиго- нальные. Объемные конечные элементы: тетраэдры, параллелепипеды, кольце- образные элементы. Система нумерации в МКЭ. Понятие о векторе узловых сил и векторе узловых перемещений. Координатная функция. Совместные и несовместные КЭ. Связь перемещений и узловых сил. Понятие о матрице жесткости КЭ. Объединение матриц жесткости. Особенности структуры объединенной матри- цы жесткости: разреженность и симметрия. Учет кинематических и статиче- ских граничных условий. Вычисление напряжений и деформаций в КЭ. Методы решения систем разрешающих конечно-элементных уравнений: точные и итерационные. Понятие об ошибках аппроксимации, вычислительных ошибках и об устойчивости численных решений. Алгоритмизация МКЭ. Реализация этих методов на современных ЭВМ. Сведения о библиотеке прикладных программ. Модуль 8 Основы теории пластичности и ползучести Механические свойства конструкционных материалов при напряжениях выше предела пропорциональности. Два типа задач теории пластичности. Модели идеально-пластического, упруго-пластического и жестко- пластического тел. Критерии пластичности Сен-Венана и Мизеса. Активная, пассивная и нейтральная деформации. Теория малых упруго-пластических деформаций Ильюшина. Решение за- дач упруго-пластического деформирования в перемещениях. Метод упругих решений. Теория пластического течения. Решение частных задач теории пластичности: чистый изгиб балки, кру- чение бруса круглого сечения, действие внутреннего давления на толстостен- ную трубу. Линии скольжения. Задача о вдавливании жесткого штампа. Общие понятия о ползучести. Модели вязкоупругого тела. Зависимость между напряжениями и деформациями при линейной ползучести. Вариацион- ные принципы теории вязкоупругости. Принцип Вальтеры. Плоская задача теории ползучести. Изгиб пластин из вязкоупругого материала. Численные ме- тоды решения задач ползучести строительных конструкций. 88 4.2 Тематический план дисциплины Таблица 4 – Наименование тем и разделов дисциплины Н о м ер м о д у л я и з ан я- ти я Наименование разделов, модуля, занятия, перечень изучаемых вопросов Количество аудиторных работ л ек ц и и п р ак ти ч ес к и е за н ят и я л аб о р ат о р н ы е за н ят и я у п р ав л яе м ая с а- м о ст о ят ел ьн ая р аб о та с ту д ен то в 1 2 3 4 5 9 Раздел II ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ И ПЛАСТИЧНОСТИ 17 17 – – М 1 Теория напряженно-деформированного состояния в точке 4 2 – – 1.1 Понятие о напряжениях. Тензор напряжений. Главные напря- жения и главные площадки. Наибольшие касательные напря- жения. Октаэдрические напряжения. 3 2 – – 1.2 Понятие о перемещениях и деформациях. Тензор деформации. Главные оси деформации и главные деформации. Октаэдриче- ские деформации. 1 – – – М 2 Основные уравнения теории упругости 3 3 – – 2.1 Основные уравнения теории упругости в декартовых коорди- натах. 1. Уравнения Навье. 1. Уравнения Коши. 2. Уравнения Сен-Венана.. 2 2 – – 2.2 Основные уравнения теории упругости в цилиндрических ко- ординатах. 1. Уравнения Навье. 1. Уравнения Коши. 2. Уравнения Сен-Венана. 1 1 – – М 3 Плоская задача теории упругости в декартовых координатах 2 3 – – 3.1 Плоское напряженное и деформированное состояние. 1. Тензор напряжений и тензор деформаций. 2. Основные уравнения теории упругости для плоской задачи. 2 – – – 3.2 Решение плоской задачи теории упругости. 1.Решение в перемещениях. 2.Решение в напряжениях. Функция Эри. 2 2 – – М 4 Плоская задача теории упругости в полярных координатах 1 – – – 4.1 Решение плоской задачи теории упругости в полярных коор- динатах. 1.Тензор напряжений. Основные уравнения. 2.Сжатие и изгиб клина 1 – – – М 5 Изгиб прямоугольных и круглых пластин 3 5 – – 5.1 Основные понятия о пластинах. 1.Выражение деформаций, моментов и напряжений. 1 3 – – 5.2 Прямоугольные пластины. 1.Ур. Софи-Жермен 2.Граничные условия. 1 2 – – 5.3 Устойчивость и продольно-поперечный изгиб. 1.Понятия. 2.Примеры. 1 – – – 89 Продолжение таблицы 4 1 2 3 4 5 9 М 6 Вариационные методы решения задач теории упругости 1 – – – 6.1 Вариационные методы. 1.Метод Релея-Ритца-Тимошенко. 2.Метод Бубнова-Галеркина 3.Метод Власова-Контаровича. 1 – – – М 7 Решение задач теории упругости методом конечных эле- ментов 1 2 – – 7.1 Построение конечно-элементной модели. Конечные элементы. Матрицы жесткости конечных элементов. Методы решения систем разрешающих уравнений. Алгоритмы МКЭ. 1 – – – М 8 Основы теории пластичности и ползучести 2 2 – – 8.1 Основы теории пластичности. 1.Понятия в теории пластичности. 2.Теория Ильюшина. 1 2 – – 8.2 Основные понятия о теории ползучести. 1.Модели ползучести. 2.Численные методы решения задач ползучести 1 – – – Всего 17 17 – – 4.3 Учебно-методическое обеспечение дисциплины Основная литература 1. Александров А.В. Основы теории упругости и пластичности/ А.В.Александров, В.Д.Потапов. – М.: Высш. шк.,1990.– 400 с. 2. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести / Н.И.Безухов. – М.: Высш. шк., 1968. – 512 с. 3. Безухов Н.И. Примеры и задачи по теории упругости, пластичности и ползу- чести / Н.И.Безухов – М.: Высш. шк., 1965. – 320 с. 4. Хечумов Р.А. Применение метода конечных элементов к расчету кон- струкций: учебное пособие для технических вузов / Р.А.Хечумов, Х.Кепплер, В.И.Прокопьев. – М.: Изд-во Ассоциации строительных вузов, 1994. – 353 с. Дополнительная литература 1. Тимошенко С.П. Теория упругости / С.П.Тимошенко, Дж.Гудьер. – М.: Наука, 1975. – 576 с. 2. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности / В.И.Самуль.– М.: Высш. шк., 1982. – 264 с. 3. Шевчук Л.И. Методические указания к контрольным (расчетно- графическим) работам по теории упругости и пластичности/ Л.И.Шевчук, О.Л.Вербицкая, А.Е.Кончиц. – БНТУ, 2003. – 42 с. 90 Компьютерные программы и другие научно-методические материалы 1. Макаров Е.Г. Сопротивление материалов на базе Mathcad – СТБ: БХВ – Пе- тербург, 2003. – 512 с. 2. Компьютерная программа STURM – Расчет прямоугольных плит переменной жесткости на упругом основании методом конечных элементов. 3. Учебная компьютерная программа TUP по исследованию напряженного со- стояния в точке. 4.4 Информационное обеспечение дисциплины Для успешного усвоения всех разделов дисциплины используются сле- дующие средствa: 1. Учебная литература по курсу; 2. Конспект лекций; 3. Плакаты по разделам МКЭ и МКР; 4. Компьютерное и программное обеспечение кафедры. 91 4.5 Пример решения индивидуальной задачи БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Сопротивление материалов и теория упругости» САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА по теории упругости «Расчет пластинки на упругом основании методом конечных элементов» Шифр 832 Исполнитель Студент(ка) Группы _____________ Ф. И. О._____________ ____________________ ____________________ Руководитель Ф.И.О.______________ Минск 20__ 92 Согласно шифра (выданного преподавателем задания) дано. На квадратную пластинку 9.5 х 9.5 м, опирающуюся на упругое основа- ние с коэффициентом жесткости ko = 10 МН/м, действуют четыре силы F=550 кН (табл.3), приложенные в расчетных точках 1, 2, 5, 7 (табл. 2). Принимаем коэффициент Пуассона  = 0.25, опасное напряжение dan = y = 20 МПа, площадку приложения нагрузки F квадратной со сторо- ной 25 см. Модуль упругости и толщина пластинки соответственно равны E = 14 ГПа и t = 32 см (табл. 2). Р е ш е н и е. 1. Изобразим конечно-элементную модель пластинки, все ее расчетные точки и нагрузку (рис. 39). 2. Подготовим исходные данные для расчета пластинки по программе Sturm. Длина пластинки 9.5 м 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 5 10 15 20 1 5 10 15 20 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 250 250 250 250 Рис. 39. Конечно-элементная модель пластинки, расчетные точки и нагрузка (жирно напечатанные номера расчетных точек, соответствуют местам приложения сил) сил F) F F F F 93 Ширина пластинки 9.5 м Количество узлов вдоль пластинки 20 Количество узлов поперек пластинки 20 Модуль упругости материала пластинки 14 ГПа Коэффициент Пуассона материала пластинки 0,25 Толщина пластинки 32 см Коэффициент жесткости основания 10 МН/м Нагрузка F, приложенная к ячейке, распределяется по четырем соседним узлам, примыкающим к этой ячейке в виде сил, равных F/4 = 550/4 = 137.5 кН Таблица 5 – Значения сил и их место приложения Нагрузка, кН Номер вертикали Номер горизонтали Нагрузка, кН Номер вертикали Номер горизонтали 137.5 1 1 137.5 10 10 137.5 2 1 137.5 11 10 137.5 1 2 137.5 10 11 137.5 2 2 137.5 11 11 137.5 10 1 137.5 1 19 137.5 11 1 137.5 2 19 137.5 10 2 137.5 1 20 137.5 11 2 137.5 2 20 Примечание. Вертикали и горизонтали нумеруются, соответственно, от левого и нижнего краев пластины. Рис. 40. Карты изолиний прогибов и изгибающих моментов Mx 94 Рис. 41. Карты изолиний прогибов, изгибающих и крутящего моментов Рис. 42. Эпюры прогибов W, изгибающих моментов Mx, My и крутящих моментов Mxy в сечении I-I 95 В результате расчета пластины на упругом основании по программе Sturm получены карты изолиний (рис. 40, 41) и эпюры (рис. 42) в среднем сечении для прогибов пластины, изгибающих и крутящих моментов. На основе анализа эпюр установлен характер распределения прогибов, изгибающих и крутящего моментов в среднем сечении пластины:  наибольший прогиб пластина имеет в средней части сечения направлен вниз и достигает 2,25 мм, а на правом краю сечения – направлен вверх и равен 0,84 мм;  изгибающий момент Mx в левой части сечения искривляет пластину выпук- лостью вверх и равен 16,84 кНм/м, а в средней части сечения – искривляет пла- стину выпуклостью вниз и равен 31,83 кНм/м;  из эпюры изгибающего момента My видно, что на левом краю сечения пла- стины искривляется выпуклостью вверх от момента 34,86 кНм/м, а в средней части сечения – выпуклостью вниз от момента 19,95 кНм/м;  эпюра крутящих моментов Mxy кососимметрична с максимальными значени- ями моментов 6,38 кНм/м;  из карты изолиний прогибы пластины установлено, что максимальные про- гибы свыше 15 мм наблюдаются на верхнем и нижнем краях пластины слева;  максимальные изгибающие моменты Mx и My превышают 40 кНм/м и появ- ляются не левых углах пластины. К пластине приложены четыре силы F = 550 кН в расчетных узлах конеч- но-элементной модели 1 – xF = 0.25 м, yF = 0.25 м; 2 – xF = 4.75 м, yF = 0.25 м; 5 – xF = 4.25 м, yF = 4.25 м; 7 – xF = 0.25 м, yF = 9.25 м; Выпишем изгибающие и крутящие моменты в этих точках от совместного действия всех четырех сил. Для этого используем результаты расчета пластины по программе Sturm. Таблица 6 – Изгибающие и крутящий моменты в расчетных узлах Моменты, кНм/м Координаты расчетных узлов, м xF=0,25; yF=0,25 xF=4,75; yF=0,25 xF=4,25; yF=4,25 xF=0,25; yF=9,25 Mx 3,06 61,22 31,83 -5,29 My 3,34 1,25 19,95 -5,33 Mxy 39,17 20,57 0 36,59 Выберем точку 4 и проведем исследование в ней напряженно- деформированного состояния. Определим давление местной нагрузки на по- верхность пластины, принимая площадку приложения нагрузки квадратной со стороной равной 0,25 м. 3 2 2 550 10 = 8,80МПа 0,25 F p a    . Определим поперечные силы от местной нагрузки F 96 3550 10 550кН м 4 4 0,25 zx zy F Q Q a        . Найдем момент инерции сечения шириной в один метр 3 3 332 2731см 12 12 h J    . Вычислим максимальные нормальные напряжения от изгибающих мо- ментов, которые появляются в узле 4 Mx = 5.29 кНм/м и My = 5.33 кНм/м. 3 max max 6 5,29 10 0,32 0,310МПа 2 22731 10 x x x M M h z J J             ; 3 max max 6 5,33 10 0,32 0,312 МПа 2 22731 10 y y y M M h z J J              . Вычислим касательные напряжения от крутящего момента в узле 4 3 max max 6 36,59 10 0,32 2,144 МПа 2 22731 10 xy xy xy M M h z J J         . Определим максимальное нормальное напряжение от местной нагрузки p = 8.80 МПа 8,800МПаz p    . Вычислим максимальное касательное напряжение, вызванное попереч- ными силами Qzx и Qzy 3 max max 3 3 550 10 2,578МПа 2 2 0,32 zy x zy zx zy Q S Q J h           .. Построим эпюры нормальных и касательных напряжений, вызванные внутренними силами в рассматриваемой расчетной точке 4 97 Z P = 8,800 МПа 16 см Рис. 45. Вертикальные нормальные напряжения от местной нагрузки 0 16 см 8,800 4,400 0,00 Y X zx X Y Рис. 43. Касательные напряжения zx и zy в поперечных сечениях пластинки в окрестности точки 4 zy 2.578 Qzx Qzy 2.578 Эпюры zx и zy, МПа Y X 0.310 Mx My X Y Mxy Myx Рис. 44. Нормальные и касательные напряжения в поперечных сечениях пластин- ки от изгибающих и скручивающего моментов 0.312 2.144 2.144 Эпюры нормальных напря- жений x и y, МПа Эпюра касательных напря- жений xy, МПа 0.310 0.312 98 В окрестности выбранной точки на верхней поверхности пластинки вы- режем элементарный объем в форме кубика, покажем все напряжения, дей- ствующие на его площадках, и запишем тензор напряжений Рис. 46. Элементарный объем и напряжения на его площадках 0,310 2,144 0 2,144 0,312 0 , МПа 0 0 8,800 x xy xz yx y yz zx zy z T                           На всех площадках элементарного объема действуют напряжения (рис.46). Поэтому материал в окрестности исследуемой точки испытывает объ- емное напряженное состояние. Вычислим инварианты тензора напряжений 0,310 0,312 8,800 8,178МПаI x y z          ;       2 2 2 22 0,310 0,312 0,312 8,800 8,800 0,310 2,144 0 0 9,976 МПа ; II x y y z z x xy yz zx                                  2 2 2 32 2 2 2 0,310 0,312 8,800 2 2,144 0 0 0,310 0 0,312 0 8,800 2,144 4,597 МПа . III x y z xy yz zx x yz y zx z xy                                Решим кубическое уравнение 3 2 0I II III      . Подставим значения инвариант в кубическое уравнение x = -0.310 МПа y =-0.312 МПа z = -8.800 МПа xy = 2.144 МПа xy = 2.144 МПа X Y Z 99 3 28,178 9,976 4,597 0      . Сделаем подстановку 3Iy   и приведем уравнение к виду 3 3 2 0y py q   . В полученном приведенном уравнении коэффициенты равны     2 2 21 1 8,178 9,976 10,756 МПа 3 3 3 3 I IIp                       ;           3 3 3 1 2 1 2 27 3 1 2 1 8,178 8,178 9,976 4,597 14,053 МПа . 2 27 3 I I II IIIq                           Определим параметр r p  , знак которого должен совпадать со зна- ком q 10,756 3,280r    . Вычислим вспомогательный угол  0 3 3 14,053 arccos arccos 66,523 3,280 q r              . Корни промежуточного уравнения равны 0 1 66,523 2 cos 2 3,089 cos 6,074 МПа; 3 3 y r                    0 02 66,523 2 cos 60 2 3,280 cos 60 5,181 МПа; 3 3 y r                    ; 0 0 0 3 66,523 2 cos 60 2 3,280 cos 60 0,893МПа. 3 3 y r                   100 Проверим решение промежуточного уравнения 1 2 3 6,074 5,181 0,893 0,000y y y       . Вычислим значения главных напряжений   11 8,178 6,074 8,800МПа 3 3 I y           ;   22 8,178 5,181 2,455МПа 3 3 I y         ;   33 8,178 0,893 1,833МПа 3 3 I y          . Расставим индексы главных напряжений в соответствии с условием 1 2 3 1 2 3; 2,455МПа; 1,833МПа; 8,800МПа.             Проверим полученные значения главных напряжений 1 2 3 2,455 1,833 8,800 8,178МПа I          ;          1 2 2 3 3 1 2 2,455 1,833 1,833 8,800 8,800 2,455 9,976 МПа ; II                    ;      3 1 2 3 2,455 1,833 8,800 39,597 МПа III          . Определим положение главных площадок. Так как на верхней (нижней) площадке касательные напряжения отсутствуют, то эта площадка и нормальное напряжение 3 8,800МПаz     , действующее на ней, являются главными. Следовательно, 3 3 30, 0, 1.l m n   Найдем положение главной площадки, на которой действует 1 2,455МПа  . Для этого воспользуемся первым уравнением равновесия, разделив его на m1, и учтем, что 1 0n  , получим 1 11 1 1 ( ) ( 0,310 2,144) 2,578 0x xy l l m m          . Отсюда имеем 1 1 1,000 l m  . Учитывая, что 2 21 1 1l m  , найдем направляющие косинусы площадки, на которой действует главное напряжение 1 101 1 0n  ; 1 2 22 12 1 1 1 0,707 1 1,000 1 m l m           ; 11 1 1 1,000 0,707 0,707 l l m m           . Аналогично определим направляющие косинусы для площадки, где дей- ствует главное напряжение 2 = ,833МПа -1 . Для этого воспользуемся тем же первым уравнением равновесия, разделив его на 2m , и учтем, что 2 0n  , полу- чим 2 22 2 2 ( ) ( 0,310 1,833) 2,144 0x xy l l m m          . Из уравнения найдем 2 2 1,000 l m   . Учитывая, что 2 22 2 1l m  , найдем направляющие косинусы площадки, на которой действует главное напряжение 2 2 0n  ; 2 2 22 22 2 1 1 0,707 1 1,000 1 m l m           ; 22 2 2 1,000 0,707 0,707 l l m m             . Проверим ортогональность (взаимно перпендикулярность) главных пло- щадок.  1 2 1 2 1 2 0,707 0,707 0,707 0,707 0 0 0;l l m m n n              2 3 2 3 2 3 0,707 0 0,707 0 0 1,000 0;l l m m n n             3 1 3 1 3 1 0 0,707 0 0,707 1,000 0 0.l l m m n n            Ортогональность соблюдается. Покажем положение нормалей главных площадок в окрестности иссле- дуемой точки (рис. 47). Используя теория прочности Губе- ра-Мизеса-Генки, определим допускае- мую нагрузку Fadm, из условия наступле- ния предельного состояния в окрестно- сти расчетной точки eqw i dan     , Рис. 47. Положение нормалей главных площадок l1 l2 m1 m2 X Y Z 1 2 3 102 где dan – опасное напряжение, соответствующее предельному состоянию мате- риала, полученное при испытании на осевое растяжение dan = y = 20 МПа, где i – интенсивность напряжения 2 2 22 1 2 2 3 3 1 2 2 22 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 (2,455 1,833) ( 1,833 8,800) ( 8,800 2,455) 9,839 МПа. 2 i                           Вычислим допускаемую нагрузку 20 550 745,35кН 740кН 9,839 1,5 dan adm i o F F n           . 103 4.6 Описание и инструкция к программе Sturm 4.6.1 Назначение программы Компьютерная программа Sturm составлена на алгоритмическом языке Delphi-7 (Pascal) и предназначена для расчета прямоугольных плит переменной жесткости на упругом винклеровском основании. Интерфейс программы Sturm приведен на рисунке. Программа отличается простотой ввода исходных данных и вывода результатов расчета в цифровом и графическом виде. Расчет плиты выполняется методом конечных элементов. Для построения конечно-элементной модели использованы прямоугольные несовместные ко- нечные элементы с четырьмя узлами и двенадцатью степенями свободы. Ко- нечно-элементная модель ограничена и не может содержать более 400 элемен- тов. Винклеровское основание моделируется вертикальными упругими стержнями, верхние концы которых соединяются с узлами конечно-элементной сетки, а нижние – опираются на абсолютно жесткую опору. Упругое винкле- ровское основание характеризуется одним параметром – коэффициентом жест- кости. 4.6.2 Установка и запуск программы Для подготовки программы к работе достаточно поместить выполняемый файл программы на жесткий диск в отдельный каталог. Для запуска программы требуется щелкнуть указателем мышки по имени выполняемого файла. После этого на экран компьютера выводится меню и окно для ввода данных. При этом управление передается программе. Рис. 48. – Интерфейс программы Sturm 104 4.6.3 Управление работой программы Управление работой программы осуществляется с помощью меню, состо- ящего из списков команд, имеющих иерархическое строение. Программа снаб- жена диагностикой ошибок в исходных данных, а также контролем процесса работы, сопровождающегося активизацией или деактивизаций команд меню. Список команд и их назначение приведены в таблице Таблица 7 – Меню программа Sturm Команды Назначение команды ФАЙЛ Открыть Считываются исходные данные из файла на жестком диске, подготовленного и сохраненного в предыдущих сеансах рабо- ты с программой. Сохранить Сохраняет исходные данные в файле на жестком диске. Пред- варительно программа требует проверки данных. Сохранение возможно, если программа не нашла ошибок в данных. Закончить Завершает работу и передает управление Windows. ДАННЫЕ Проверить данные Проверяет считанные из файла, введенные или откорректиро- ванные исходные данные. Если в исходных данных програм- ма не обнаружила ошибок, то выводится сообщение – ОШИБКИ НЕ ОБНАРУЖЕНЫ. При этом активизируются команды для выполнения расчета плиты. Если программа об- наружила ошибку, то на экран выводится диагностическое сообщение о характере этой ошибки и выполнение расчета блокируется. Показать схему Команда открывается только после успешной проверки ис- ходных данных. По этой команде рисуется конечно- элементная сетка с изображением узловых нагрузок. РАСЧЕТ Выполнить Выполняется расчет плиты с индикацией процесса выполне- ния. После выполнения расчета становится активным список команд – РЕЗУЛЬТАТЫ РЕЗУЛЬТАТЫ ТАБЛИЦЫ Перемещения В табличной форме выводятся перемещения и углы поворота узлов конечно-элементной сетки. Внутренние силы В табличной форме выводятся значения изгибающих и кру- тящих моментов в конечных элементах численной модели. ЭПЮРЫ Прогибов V Строится эпюра прогибов плиты по указанному сечению. Моментов Mx Строится эпюра изгибающих моментов Mx по указанному се- чению. Моментов My Строится эпюра изгибающих моментов My по указанному се- чению. Моментов Mxy Строится эпюра крутящих моментов Mxy по указанному сече- нию. Прогибов V Строится карта изолиний прогибов плиты. Значение каждой изолинии задается пользователем. 105 Продолжение таблицы 7 ИЗОКАРТЫ Моментов Mx Строится карта изолиний изгибающих моментов Mx. Значение каждой изолинии задается пользователем. Моментов My Строится карта изолиний изгибающих моментов My. Значение каждой изолинии задается пользователем. Моментов Mxy Строится карта изолиний крутящих моментов Mxy. Значение каждой изолинии задается пользователем. СПРАВКИ О подготовке данных Изложены требования к исходным данным. Об управлении Дано пояснение об управлении работой программы. О программе Приведены сведения о создании программы. 4.6.3.1 Ввод исходных данных Если исходные данные заранее не введены и не сохранены на жестком диске, то выполняется их ввод в следующей последовательности. 1 Количество узлов конечно-элементной модели по длине плите. 2 Количество узлов конечно-элементной модели по ширине плиты. 3 Выбирается способ закрепления краев пластинки – свободно, шарнирно или защемлено. 4 Модуль упругости материала плиты. 5 Коэффициент Пуассона материала плиты. 6 Количество узлов по длине плиты. 7 Количество узлов по ширине плиты. 8 Номера зон плиты – каждому конечному элементу присваивается номер зо- ны, к которому он принадлежит (рисунок 49). 9 Для каждого узла конечно-элементной сетки задается значение нагрузки в виде вертикальной сосредоточенной силы. 10 Для каждого узла конечно-элементной сетки задается значение нагрузки в виде сосредоточенного момента Mx. 11 Для каждого узла конечно-элементной сетки задается значение нагрузки в виде сосредоточенного момента My. 12 Задается толщина плиты в каждой помеченной зоне. 13 Задается значение коэффициента жесткости основания. Рис. 49. Таблицы ввода номеров зон пластинки (слева) и нагрузки (справа) 106 4.6.3.2 Проверка исходных данных Для выполнения расчета плиты предварительно требуется выполнить проверку данных. Для этого следует обратиться к команде «Проверить данные» из списка «ДАННЫЕ». Программа осуществляет проверку исходных данных и в случае обнаружения ошибок выводит сообщение о характере ошибки. Требу- емые для выполнения расчета команды меню остаются неактивными до тех пор, пока не будут внесены все исправления в исходных данных. 4.6.3.3 Изображение конечно-элементной модели плиты Для наглядности и визуальной проверки исходных данных воспользо- ваться командой «Показать схему». Программа изображает на дисплее конечно- элементную сетку модели плиты и отмечает узлы, где приложена нагрузка. 4.6.3.4 Расчет плиты Расчет плиты выполняется по команде «Выполнить» из списка «РАС- ЧЕТ». Программа выполняет расчет. Процесс выполнения сопровождается ин- дикацией. 4.6.3.5 Вывод результатов расчета плиты в цифровой форме Для вывода в цифровой форме следует воспользоваться командами из списков «РЕЗУЛЬТАТЫ», «ПЕРЕМЕЩЕНИЯ» или «ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ». Программа выводит таблицу прогибов плиты в каждом узле конечно- элементной сетки или многостраничную таблицу внутренних сил в каждом ко- нечном элементе. На первой, второй и третьей страницах таблицы, соответ- ственно, выводятся изгибающие и крутящие моменты Mx, My и Mxy. Рисунок 50 – Таблицы вывода внутренних сил в плите 4.6.3.6 Вывод результатов расчета плиты в графической форме Для вывода эпюр воспользоваться списком команд «РЕЗУЛЬТАТЫ», «ЭПЮРЫ». Выбрать необходимую команду «Прогибов V», «Моментов Mx», «Моментов My» или «Моментов Mxy». Затем следует указать номер ряда узлов в конечно-элементной схеме. По этой команде программа выводит на экран эпю- ру выбранной величины. 107 Рис. 51 – Эпюры прогибов V и изгибающих моментов Mx Рис. 52 – Эпюры изгибающих My и крутящих моментов Mxy Для вывода карты изолиний воспользоваться списком команд «РЕЗУЛЬ- ТАТЫ», «ИЗОКАРТЫ». Затем следует выбрать одну из команд: «Прогибов V», «Моментов Mx», «Моментов My» или «Моментов Mxy». Программа выведет максимальное и минимальное значения выбранной величины. Выбрать цвет изолинии и ее значение. После этого программа строит изолинию с указанным значением. Карта изолиний может быть откомментирована – подписаны значе- ния на изолиниях и помещены на поле графического ввода пояснения. 108 Рис. 53 – Карта изолиний прогибов V и изгибающих моментов Mx Рис. 54 – Карта изолиний изгибающих Mx и крутящих Mxy моментов 4.6.3.7 Вывод справки Для вывода справки воспользоваться списком команд «СПРАВКИ», ко- торый содержит три команды: «О подготовке данных», «Об управлении про- граммой» и «О программе». Обращаясь к этим командам, можно получить краткую информацию о подготовке исходных данных и возможностях про- граммы, о способах управления работой программы и о происхождении самой программы. 109 4.7 Описание и инструкция к программе TUP 4.7.1 Назначение программы Компьютерная программа TUP составлена на алгоритмическом языке Delphi-7 (Pascal) и предназначена для проверки самостоятельной работы сту- дентов по исследованию напряженного состояния в окрестности выбранной точки плиты. Интерфейс программы TUP приведен на рисунке. Программа от- личается простотой ввода исходных данных и вывода результатов расчета. 4.7.2 Установка и запуск программы Для подготовки программы к работе достаточно поместить выполняемый файл программы, файл со списком студентов и файл исходных данных на жест- кий диск в отдельный каталог. Для запуска программы требуется щелкнуть ука- зателем мышки по имени выполняемого файла. После этого на экран компью- тера выводится меню и окно для ввода данных. При этом управление передает- ся программе TUP. Рис. 55 – Интерфейс программы TUP 4.7.3 Управление работой программы Управление работой программы осуществляется с помощью меню, состо- ящего из двух команд: «ФАЙЛ»–«Закончить» и «ВЫПОЛНИТЬ»–«Расчет». 4.7.4 Ввод исходных данных Списки студентов и все исходные данные готовятся и вводятся заранее. Для каждого студента задается отдельный блок исходных данных, состоящий из набора значений для величин: 110  номера узлов, к которым приложена нагрузка в виде вертикальных сосре- доточенных сил;  значение модуля упругости материала плиты;  толщина плиты;  значение сосредоточенной нагрузки;  коэффициент жесткости основания;  коэффициент Пуассона материала плиты;  размер площадки приложения нагрузки;  изгибающие и крутящий момент в расчетной точке. 4.7.5 Расчет Расчет выполняется по команде «Выполнить» из списка «РАСЧЕТ». Про- грамма выполняет расчет. Вся работа разделена на пять разделов. Перед вы- полнением следует отметить те разделы работы, которые планируется выводить на экран. 4.7.6 Вывод результатов расчета Результаты расчета выводятся на экран компьютера в той последователь- ности, которая соблюдается студентами при оформлении отчета о самостоя- тельной работе. Последовательность вывода приведена на рисунках Рис. 56 – Вывод исходных данных TUP 111 Рис. 57 – Вывод первого раздела результатов расчета по программе TUP Рис. 58 – Вывод второго раздела результатов расчета по программе TUP Рис. 59 – Вывод третьего раздела результатов расчета по программе TUP 112 Рис. 60 – Вывод четвертого раздела результатов расчета по программе TUP Рис. 61 – Вывод пятого раздела результатов расчета по программе TestTU