40 УДК 621.311.014.019.3 ПРИНЦИПЫ РАЗРАБОТКИ АЛГОРИТМОВ ОПТИМИЗАЦИИ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ НАДЕЖНОСТИ РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ФАКТОРОВ Докт. техн. наук, проф. ЕРХАН Ф. М., асп. ВОЙНЕСКО Д. А., инженеры ЛУПУШОР И. Н., БАНТАШ Р. Г. Государственный аграрный университет Молдовы E-mail: terhan@mail.ru PRINCIPLES FOR DEVELOPMENT OF OPTIMIZATION ALGORITHM FOR OPERATIONAL RELIABILITY OF DISTRIBUTIVE SYSTEMS WITH DUE ACCOUNT OF PROBABILITY IMPACT FACTORS ERKHAN F. M., VOYNESKO D. A., LUPUSHOR I. N., BANTASH R. G. State Agrarian University of Moldova Надежность распределительных систем электроснабжения потребителей является многокритериальной функцией. Поэтому при разработке алгорит- мов для определения оптимального уровня надежности распределительных сетей необходимо учесть вероятностный характер изменения соответствую- щих показателей. Разработаны математическая модель и алгоритм для определения оптимального уровня надежности систем электроснабжения с учетом вероятностного изменения показателей надежности составных элементов. Ключевые слова: надежность, распределительные системы электро- снабжения, математическая модель, алгоритм, оптимальный уровень на- дежности. Ил. 1. Библиогр.: 9 назв. Reliability of distributive systems for electric supply of consumers is consid- ered as a multi-criteria function. For this reason while developing an algorithm for determination of optimum reliability level of distributive networks it is necessary to take into account probability character of changes in corresponding indices. A mathematical model and algorithm have been developed for determination of optimum reliability level of electric supply systems with due account of probability changes in reliability indices of component elements. Keywords: reliability, distributive systems of electric supply, mathematical model, algorithm, optimum reliability level. Fig. 1. Ref.: 9 titles. Введение. Для того чтобы эффективность функционирования различ- ных потребителей была оптимальной, необходимо, чтобы технические условия и надежность электроснабжения потребителей соответствовали техническим условиям, предъявляемым источникам питания. Только со- блюдая соответствующие технические требования, можно достичь опти- мального уровня надежности электроснабжения. Для этого нужно прово- дить процесс оптимизации с учетом требований потребителей и техниче- ских требований, предъявляемых к распределительным системам. 41 Известно, что надежность – это технико-экономическая категория, функция от показателей как распределительных систем, так и потребите- лей [1]. Практически можно достигать любого заранее заданного уровня надежности технической системы, если не учитывать затраты на создание такой системы. Когда же они ограничены, возникает задача оптимизации. Из перечисленного выше следует, что для электроснабжения потребителей в зависимости от их категории необходимо, чтобы данная система была оптимальна с точки зрения надежности электроснабжения потребителей и распределительных сетей рассматриваемой системы. Решение поставленной задачи. Проблемы надежности электроснаб- жения различных потребителей носят вероятностный характер и зависят от ряда как определенных, так и неопределенных факторов. Проблемы могут быть следующего порядка [2]:  структурная надежность распределительных систем;  функциональная надежность составных элементов распределительных систем;  надежность потребителей;  результирующая надежность системы в целом. На результирующую надежность распределительных систем электро- снабжения влияют различные факторы, из которых можно выделить:  технические характеристики составных элементов распределительной системы и потребителей;  структурные схемы соединения составных элементов распредели- тельной системы и потребителей;  типы потребителей и требования, предъявляемые ими для обеспече- ния нормативного уровня надежности электроснабжения;  влияние как определенных, так и неопределенных факторов на надеж- ность электроснабжения потребителей. Следовательно, определение оптимального уровня надежности распре- делительных систем с учетом влияния внешних факторов – довольно сложная задача, так как показатели надежности носят вероятностный ха- рактер и изменяются во времени. При определении и оценке оптимального уровня надежности распределительных систем исходили из того, что влия- ние всех факторов носит детерминированный характер. В таких случаях могут быть использованы несколько критериев оптимизации надежности распределительных систем на основе таких признаков, как:  суммарные интегральные минимальные приведенные затраты;  суммарные интегральные ожидаемые ущербы от ненадежного элек- троснабжения и ущербы системы от недоотпуска электрической энергии;  оптимизация схем распределительных систем с учетом показателей надежности используемого электрического оборудования;  оптимальное резервирование схем распределительных систем и си- стем электроснабжения. Определение оптимального уровня надежности схем распределитель- ных систем и систем электроснабжения и влияния внешних факторов пока- зывает, что эти проблемы необходимо рассматривать как технико-эконо- мические, решения которых основываются на критерии минимизации при- 42 веденных затрат. Уровень надежности в таких случаях оценивается исходя из анализа капитальных и дополнительных затрат, минимально необходи- мых для увеличения структурной надежности распределительной и пита- ющей систем и ожидаемых ущербов от ненадежного электроснабжения как у потребителей, так и в распределительной системе, которые могут воз- никнуть в результате воздействия внешних вероятностных факторов и низ- кого уровня надежности. Для такого случая аналитическая взаимосвязь между составными эле- ментами может быть представлена уравнением 3 1( , , , ).r b bR f C C I I (1) В этом уравнении составляющая приведенных затрат Сr, при помощи которой оценивается структурная надежность распределительной системы с учетом вероятностных функций к.з( ),C f I может быть определена че- рез суммарный объем недоотпущенной энергии потребителям ( )W f t  и значение ожидаемых ущербов (У) у потребителей и распределительной системы У ,i iW  (2) где i – коэффициент, характеризующий удельную составляющую надеж- ности составного оборудования распределительной системы в зависимо- сти от вероятностного значения функций, определяющих эффективность узлов, i = (0,30–0,75) у. е./(кВтч); (3) iW – математическое ожидание общего объема недоотпущенной энергии в распределительной системе из-за низкого уровня структурной и функцио- нальной надежностей составных элементов системы. Аварийные отключения в распределительных системах, вызванные низким уровнем надежности составных элементов, приводят к появлению ущербов как в распределительной системе, так и у потребителей из-за пря- мого недоотпуска энергии [3]. Для решения таких задач необходимо разра- батывать и использовать математические модели, которые позволяют находить не только ожидаемые ущербы у потребителей и в распредели- тельной системе, но и ожидаемые уровни надежности электроснабже- ния [4]. Определение ущербов в распределительных системах в зависимо- сти от продолжительности недоотпуска электрической энергии, где могут быть использованы минимальные и максимальные их значения в зависи- мости от типа потребителя, его установленной мощности, позволяет оце- нить ожидаемый уровень надежности электроснабжения потребителей. Продолжительность аварийного простоя может быть определена со- гласно [5]. Если аварийный перерыв электроснабжения меньше минималь- ного планируемого значения ав мин.доп( ),t t то в данных случаях считает- ся, что у потребителей не возникает ущерб (У = 0). Для таких слу- 43 чаев, согласно [6], ущербы отсутствуют и в распределительных системах (Ус = 0). Если аварийный перерыв электроснабжения больше минимального планируемого значения ав мин.доп( ),t t то в таких случаях считается, что возникают ущербы у потребителей (У  0) и в распределительных систе- мах (Ус > 0) [6]. Так как практически все составные элементы распреде- лительных систем восстанавливаемые, используя принципы резервирова- ния отдельных составных элементов, можно достичь оптимального уровня надежности, предварительно определенного с учетом вероятностного вли- яния различных внешних факторов (технически такие проблемы могут быть решены, а экономически необходимо обосновать допустимые допол- нительные капитальные вложения) [7]. С точки зрения капитальных вло- жений, для решения таких проблем необходимы большие приведенные ка- питальные затраты для повышения уровня надежности электроснабжения, в результате чего значительно снизятся ущербы как у потребителей, так и в распределительной системе, которые всегда технически могут быть обос- нованы, но экономически не всегда поддержаны. Разработка алгоритма оптимизации надежности распределитель- ных систем электроснабжения потребителей. Распределительные систе- мы электроснабжения потребителей динамически преобразуются и посто- янно развиваются, поэтому надежность таких динамических систем явля- ется функцией от ряда как определенных, так и неопределенных факторов. Если подобные системы содержат п составных элементов с надежностью каждого 1 2, , ..., nr r r и у i-го составного элемента надежность будет ri, то в таком случае надежность системы представляет собой непрерывную функ- цию 1 2( , , ..., )nR f r r r и аналитически может быть выражена формулой 1 2 1 1 2 0[ ( , , ..., ) ] (1 )[ ( , , ..., ) ].j ji n r i n rR r r r r r r r r      (4) Так как надежность отдельных составных элементов 1 2( , , ..., )nr r r рас- пределительных систем относительно высокая (0,86 0,95),kr  то она увеличивается с повышением надежности составных элементов. Если надежность составного элемента j рассматриваемой системы увеличивает- ся от rj до rq, что соответствует росту надежности на ,q jr r r   то необ- ходимы минимально допустимые дополнительные приведенные затра- ты Kj(r). При этом надо учитывать, что полные капитальные затраты K таких систем носят линейный характер, лимитированы и не должны пре- вышать заранее заданные величины C(t), прогнозируемые при разработке технико-экономического обоснования рассматриваемой системы. Для та- ких вариантов прогнозируемые приведенные капитальные затраты опреде- ляются по формуле C( ) K ( ).kt r   (5) Практически это означает, что Cj(rj) является непрерывной, монотонно возрастающей функцией, зависящей от значения надежности составных 44 элементов rj. В таком случае рассматриваемая задача состоит в нахождении величины Cj(rj), которая определяет оптимальную надежность распреде- лительной системы. Так как суммарные капитальные вложения детерми- нированы для заданной структуры распределительной системы, в данном случае выполняются условия, представленные уравнением C( ) K ( ) const.kt r    (6) Решать подобные проблемы предлагается методом неопределенных множителей Лагранжа. Для такого случая можно определить множество значений rq, при котором удовлетворяются условия уравнения (7) [8] 1 2( , , ..., ) 0,nf r r r  (7) где ( )f – вариация рассматриваемой функции в зависимости от установ- ленного предела изменения, для которого выполняется условие C K ( ).ij jr   (8) Для такого случая оптимальная структурная надежность распредели- тельной системы определяется из выражения 1 2( ) ( , , ..., ) C K ,j n j jR r R r r r r      (9) где  – постоянная величина, которая зависит от структуры графа рассмат- риваемой распределительной системы и очень часто носит неопределен- ный характер. Если будет учтено, что частные производные функции 1 2( , , ..., ),nR f r r r при помощи которой определяется надежность системы в зависимости от изменения надежности составных элементов, описываются уравнением, то в итоге получится формула, представляющая собой изменение функцио- нальной надежности системы в зависимости от изменения функциональ- ной надежности составных элементов во времени: 1 2 1 1 2 0( , , ..., ) ( , , ..., ) ;j jn r n r j R R r r r R r r r r       (10) 1 2 1 1 2 0 dC ( , , ..., ) ( , , ..., ) . dj j j n r n r j R r r r R r r r r     (11) Оптимальная надежность составных элементов rj распределительной системы определится уравнениями типа (11), составленными для всех су- ществующих элементов системы, когда их индекс j изменяется в пределах 1, 2, 3, ..., ,j n и может быть найдена при помощи неопределенного мно- жителя . Для вычисления  необходимо, чтобы были известны значе- ния надежности составного элемента rj и дополнительных затрат, мини- 45 мально необходимых для повышения надежности соответствующего эле- мента Kk(r). Анализ уравнения (11) показывает, что если найдены пределы измене- ния надежности составных элементов, надежность распределительной си- стемы становится оптимальной тогда, когда для всех составных элементов системы соотношения между повышением надежности r и минимально необходимыми капитальными затратами Kk являются максимальными. Так как надежность составных элементов 1 2, , ..., nr r r распределительных систем носит вероятностный характер и изменяется в пределах 0 < rj < 1, минимально необходимые затраты должны удовлетворять условию (8). В таких случаях для решения уравнений типа (10) могут быть использова- ны различные методы, но для рассматриваемого варианта применяли ме- тоды, представленные в [8]. Исходя из предположения, что рассматриваемая распределительная си- стема содержит смешанные схемы соединения составных элементов, воз- никает необходимость определения оптимального числа резервированных элементов, которые обеспечивают оптимальный уровень надежности в за- висимости от минимально допустимых затрат, ограниченных начальными условиями. Для такого случая надежность системы определяется согласно формуле 0 1 . n j j R r   (12) Надежность составного элемента j может быть рассчитана 1 ,j x j jr q  (13) а надежность распределительной системы, у которой часть элементов ре- зервирована, может определяться: 1 ;j jq r  (14) с 1 . n j j R r   (15) Если полная стоимость системы определяется cC C , n i i i   (16) где Сj – стоимость одного элемента, и выполняется неравенство С0 < Сс, то получим c[log (C C )]. n j i i i T r x     (17) Максимальное значение логарифма рассматриваемой функции опреде- ляет уровень надежности составных элементов распределительной систе- мы, а оптимальное распределение xj находится по формуле 46 d 0 d ix i i i g C x    при i = 1, 2, 3, …, n. (18) Эквивалентное замещение logrj через gi в (17) приводит к аналитиче- скому уравнению log /(1 ) C 0.i i x x i i i ig g g   (19) Если учесть аналитические выражения (18) и (19), то значение ixig определяется по формуле C / log /(1 ).i i x x i i i ig g g   (20) Решение (19) с учетом заданных значений gi и xi дает аналитическое уравнение C / log .j i ig  (21) Эквивалентное замещение xlog gj, согласно (21), позволяет получить формулу (22), при помощи которой можно определить приведенные за- траты 1 C C . n i j j j x   (22) При определении оптимального уровня надежности R распределитель- ной системы можно использовать метод последовательной аппроксимации составных элементов согласно [9]. На первом шаге аппроксимации фикси- руется значение уровня надежности R. Выражая R через приведенные за- траты в соответствии с (11), можно определить xj. Если подставлять полу- ченное значение xj, можно определить и минимальные величины приве- денных затрат, необходимых для получения оптимального значения надежности: 1 K K . n i ij j j j x    (23) Если выполняется неравенство K ( ) K ( ),i jt t то достигнутый уровень надежности R распределительной системы превышает оптимальное значе- ние, так как величине Ri соответствует детерминированное значение K ( ) K ( ).i jt t Для составных элементов распределительной системы считается, что их надежность практически выполняет условие 0,86 0,95,kr  из которого следует, что надежность составных элементов распределительных систем довольно высока. Для таких аналитических случаев с учетом (21) получа- ется уравнение (log / log ).j i ix g  (24) 47 Если исходить из предположения, что (24) численно определено, то мо- гут быть найдены минимально необходимые приведенные затраты для со- здания распределительной системы с оптимальным уровнем надежности, которая определяется опт 1` 1 C log( ) / log( ). n n j j j j         (25) Из (25) можно найти значение множителя  1 1 exp C log( ) / . n n j j j j                        (26) Вычисленное таким образом значение  может быть использовано как первый шаг итерации для определения оптимального уровня надежности распределительных систем. Необходимо отметить, что значение xi может быть только целым числом параллельно соединенных элементов в рас- сматриваемой распределительной системе. При аналитических расчетах в соответствии с (24) xj может получать произвольные значения и быть не целым числом. В таких случаях эту величину необходимо округлять до значения целого числа в соответствии с существующими правилами. В общем случае для решения этих уравнений необходимо, чтобы выполня- лось условие C C C .j j ix   (27) Если условие (27) выполняется, то для множества значений xj выполня- ется уравнение (25). В таких случаях xj является решением для оптималь- ного уровня надежности распределительной системы. Если выполняется условие C C C ,j j ix   (28) то для множества значений xj нельзя определить оптимальный уровень надежности с учетом заранее заданных величин для распределительной системы. Учитывая, что надежность распределительных систем носит как веро- ятностный, так и детерминированный характер, для ее расчета можно ис- пользовать следующий алгоритм:  для каждого электрического узла распределительной системы опреде- ляется соотношение между значением прироста надежности и минималь- ными приведенными затратами, необходимыми для достижения данного прироста надежности;  для электрического узла системы рассматриваются и учитываются все резервируемые элементы с учетом уменьшения соотношения между уве- личением надежности и приведенных затрат. 48 При соответствующем анализе определяется минимально необходимое число резервных элементов для обеспечения оптимального уровня надеж- ности распределительной системы. Пусть xi – число параллельных элементов в распределительной системе. Если исходить из предположения, что к электрическому узлу i распредели- тельной системы будет присоединен еще и элемент k, то, обозначая через k(xk) соотношение, получим 1 1 (1 ) log(1 ) log(1 ) ( ) . C m m m n m x x x j j j j j k k j q q q x            (29) Уравнение (29) может быть преобразовано 1( ) C log 1 /(1 ).m m x x k k j j j jx q r q        (30) Вероятность отказа любого элемента распределительных систем опи- сывается уравнением (1 ) 1.q r   (31) А если величина xj – целое положительное число, то будет выполняться неравенство 0 < 10 (1 ) (1 ) 1.x r x ri i jq q q     (32) Из (32) следует ( 1) ( ).i ix x    (33) Видно, что для каждого значения элемента k величина k(xk) как функ- ция от xj является монотонно убывающей. Из всего представленного следу- ет, что разработанный алгоритм для оптимизации надежности электриче- ских узлов и распределительных систем может быть разбит на несколько ступеней и описан следующим образом:  определяется значение k(xk) для различных xj 0( 1, 2, 3, ..., );jx n  определяется значение k(xk) в зависимости от степени убывания функции;  в соответствии с индексом k составных элементов последовательности k(xk) в электрических узлах суммируется и определяется суммарное значе- ние для анализируемого узла или интегральное значение для рассматрива- емой распределительной системы;  этот цикл повторяется, пока не будет определено значение затрат для рассматриваемого узла или соответствующей системы;  проводится анализ последовательностей с идентичными индексами (у1, у2, у3, …); если последний индекс совпадет с k0(xk0), то оптимальное решение соответствует числу параллельных элементов xk0. Часто при решении таких задач оптимальному числу xk0 соответствует один элемент. Разработанный алгоритм для оптимизации надежности рас- пределительных систем с учетом их вероятностного изменения во времени приведен на рис. 1. 49 Нет Нет Нет Нет Да Да Да Рис. 1. Структура алгоритма аналитического расчета показателей надежности распределительных систем В Ы В О Д Ы Надежность распределительных систем является многофункциональной проблемой, которая зависит от ряда определенных и неопределенных фак- торов и носит вероятностный характер. Определение оптимального уровня надежности распределительных систем – актуально, так как устанавлива- ется зависимость между приведенными капитальными затратами и ожида- емыми ущербами от ненадежного электроснабжения потребителей. Начало счета Сбор и обработка исходной информации Классификация вероятных отказов составных элементов Аналитический расчет показателей надежности составных элементов и их сравнение с нормативными Определение влияния вероятных факторов на показатели надежности Определение основных показателей надежности составных элементов Сравнение основных показателей надежности составных элементов и принятые решения Конец Классификация устойчивых отказов элементов системы Определение вероятно-технических параметров 50 Установлено, что ущербы от ненадежного электроснабжения имеются не только у потребителей, но и в самой распределительной системе. Для опреде- ления оптимального уровня надежности распределительных систем разрабо- тан алгоритм с учетом динамики развития системы и изменения во времени показателей надежности, которые носят вероятностный характер. Л И Т Е Р А Т У Р А 1. E р х а н, Ф. М. Токи короткого замыкания и надежность энергосистем / Ф. М. Eр- хан. – Кишинев: Штиинца, 1985. – 256 с. 2. E р х а н, Ф. М. Взаимосвязь между токами короткого замыкания и надежностью электрооборудования / Ф. М. Eрхан // Энергетика… (Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ). – 1991. – № 11. – С. 13–17. 3. Х а м ф р и с, А. Переходное восстанавливающее напряжение в режиме не удаленно- го короткого замыкания / А. Хамфрис // Отключение токов в сетях высокого напряжения / под. ред. К. Ригаллера. – М.: Энергоатомиздат, 1981. – C. 39–70. 4. Е р х а н, Ф. М. Оценка влияния уровней токов короткого замыкания на статическую устойчивость узлов электроэнергетических систем / Ф. М. Eрхан // Известия АН МССР. Сер. физ.-техн. и матем. наук. – 1980. – № 2. – С. 77–87. 5. H а д е ж н о с т ь систем электроснабжения / В. В. Зорин [и др.]. – Киев: Вища шк., 1984. – 192 с. 6. Е р х а н, Ф. М. Исследование влияния уровней токов короткого замыкания на надежность выключателей / Ф. М. Eрхан // Известия АН СССР. Сер. Энергетика и транс- порт. – 1991. – № 6. – С. 89–94. 7. Е н д е р и, Д. Надежность электроэнергетических систем / Д. Ендери. – М.: Энер- гоатомиздат, 1983. – 421 с. 8. E р х а н, Ф. М. Выбор критерия оптимизации схем электроснабжения сельскохозяй- ственных потребителей / Ф. М. Eрхан, Е. Я. Заика // Известия АН МССР. Сер. физ.-техн. и матем. наук. – 1987. – № 2. – С. 62–67. 9. E р х а н, Ф. М. Определение влияния уровней токов короткого замыкания на надеж- ность распределительных электрических сетей и установленного электрооборудования электроэнергетических систем: автореф. дис. … д-ра хабилитата техн. наук / Ф. М. Ерхан. – Кишинев, 2002. – 42 с. R E F E R E N C E S 1. E r k h a n, F. M. (1985) Short-Circuit Currents and Reliability of Power Systems. Kishi- nev: Shtiintsa. 2. E r k h a n, F. M. (1991) Interrealtion Between Short-Circuit Currents and Reliability of Electri- cal Equipment. Izvestiia Vysshikh Uchebnykh Zavedenii i Energeticheskikh Ob’edinenii – Energetika. [Proceedings of the Higher Education Institutions and Power Engineering Associations – Power Engi- neering], 11, 13–17. 3. H u m p h r i e s, A. (1981) Transient Recovery Voltage in the Short-Line Fault Regime. Current Interruption in the high voltage networks. Moscow: Energoatomizdat, 39–70. 4. E r k h a n, F. M. (1980) Impact Assessment of Short-Circuit Current on Static Stability of Interconnected Power System Units. Izvestiia Akademii nauk Moldavskoi SSR. Ser.: Fiziko- Tekhnicheskikh i Matematicheskikh Nauk [Proceedings of the Academy of Sciences of the Molda- vian SSR. Ser.: Physico-Technical and Mathematical Sciences], 2, 77–87. 5. Z o r i n, V. V., Tislenko, V. V., Kleppel', F., & Gerkhard A. (1984) Reliability of Electric Supply Systems. Kiev: Visha Shkola. 6. E r k h a n, F. M. (1991) Impact Investigation of Short-Circuit Current on Circuit Breaker Reliability. Trudy AN SSSR. Seriia: Energetika i Transport [Proceedings of AN SSSR. Series: Power Engineering and Transport], 6, 89–94. 7. E n d e r y, D. (1983) Reliability of Electrical Power Systems. Moscow, Energoatomizdat. 8. E r k h a n, F. M., & Zaika, E. Ya. (1987) Selection of Optimization Criteria for Electric Supply Diagrams of Agricultural Consumers. Izvestiia Akademii Nauk Moldavskoi SSR. Ser.: Fizi- ko-Tekhnicheskikh i Matematicheskikh Nauk [Proceedings of the Academy of Sciences of the Mol- davian SSR. Ser.: Physico-Technical and Mathematical Sciences], 2, 62–67. 9. E r k h a n, F. M. Opredelenie Vliianiia Urovnei Tokov Korotkogo Zamykaniia na Nadezh- nost' Raspredelitel'nykh Elektricheskikh Setei i Ustanovlennogo Elektrooborudovaniia Elektro- energeticheskikh Sistem. Avtoref. dis. d-ra Khabilitata Tekhn. Nauk [Determining the impact of levels of short-circuit currents on the reliability of electric distribution networks of electrical equipment and electric power systems. Dr. tech. sci. diss.]. Kishinev, 2002. Представлена кафедрой электрификации и автоматизации сельского хозяйства Поступила 03.05.2013