МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Инновационный менеджмент» Н. И. Байкова А. А. Косовский И. И. Кондратенко ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ В ЛОГИСТИКЕ Методическое пособие Минск БНТУ 2014 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Инновационный менеджмент» Н. И. Байкова А. А. Косовский И. И. Кондратенко ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ В ЛОГИСТИКЕ Методическое пособие для слушателей РИИТ специальности 1-26 06 85 «Логистика» Минск БНТУ 2014 2 УДК 005.932:330.4 ББК 65.37 Б18 Рецензенты: заведующий кафедрой государственного строительства Академии управления при Президенте Республики Беларусь, кандидат экономических наук, доцент А. Г. Шумилин; кандидат экономических наук, доцент кафедры «Экономика управления на транспорте» БНТУ В. Л. Шабека Б18 Байкова, Н. И. Использование экономико-математических методов и моделей в логистике : методическое пособие для слушателей РИИТ специально- сти 1-26 06 85 «Логистика» / Н. И. Байкова, А. А. Косовский, И. И. Кондратенко. – Минск : БНТУ, 2014. – 65 с. ISBN 978-985-550-439-2. Издание составлено в соответствии с программой дисциплины «Экономико- математические методы и модели» на основе государственных образовательных стандартов в области высшей математики, экономико-математических методов и мо- делей для специалистов с высшим образованием по экономическим специальностям. В пособии рассматриваются общесистемные экономико-математические мето- ды и модели (линейного программирования, сетевого планирования и управления, систем массового обслуживания, управления запасами). Издание адресовано в первую очередь слушателям в системе последипломного образования, специализирующимся в области управления материальными потоками и логистики. УДК 005.932:330.4 ББК 65.37 ISBN 978-985-550-439-2  Байкова Н. И., Косовский А. А., Кондратенко И. И., 2014  Белорусский национальный технический университет, 2014 3 ВВЕДЕНИЕ Целью дисциплины «Экономико-математические методы и мо- дели» является изложение теоретических основ, методологических принципов и конкретных подходов постановки, решения на ЭВМ и анализа задач оптимального управления и экономического регули- рования производством, снабжением, сбытом на базе экономико- математических методов. Дисциплина «Экономико-математические методы и модели» на- ходится в тесной связи и базируется на таких предметах, как эконо- мика предприятия, менеджмент, маркетинг, производственные тех- нологии, прогнозирование и планирование экономики, финансы предприятий, денежное обращение, статистика и др. Методологиче- ской основой дисциплины является высшая и прикладная матема- тика. Без глубокого знания этих предметов нельзя моделировать конкретные экономические процессы или явления, составлять и решать на ЭВМ реальные экономико-математические задачи, про- изводить глубокий анализ и всесторонний анализ полученных ре- шений. В результате изучения изложенного в пособии материала долж- ны быть сформированы следующие навыки и умения: – самостоятельной смысловой постановки прикладных задач; – математического моделирования экономических объектов; – оценки пределов применимости полученных результатов. Структура и содержание издания соответствуют учебной про- грамме дисциплины. В главе I «Постановка и решение задач линейного программиро- вания» рассматриваются задания о постановке задач линейного программирования и решении их графическим и симплекс-методом, приводится решение транспортной задачи. В главе II «Математические методы сетевого планирования и управления» рассматриваются задачи о построении сетевого графи- ка и нахождении его временных параметров. В главе III «Модели управления запасами» предлагаются задания по определению оптимального размера партии при мгновенном и непрерывном поступлении заказа с условиями допущения и отсут- ствия дефицита. 4 В главе IV «Модели массового обслуживания» рассматриваются задачи массового обслуживания: многоканальная система массово- го обслуживания (СМО) с отказами, многоканальная СМО с ожида- нием и ограничением на длину очереди и многоканальная СМО с неограниченной очередью. Также в первых четырех главах приводится подробное решение заданий, даются некоторые методические рекомендации полезные для их успешного выполнения. В главе V рассматриваются примеры решения задач, позволяю- щие определять параметры систем обслуживания при детерминиро- ванном спросе на товар. В главе VI приводятся примеры решения задач на определение параметров системы обслуживания при случайном спросе на товар 5 Глава I ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Задание 1.1 Прядильная фабрика для производства двух видов пряжи ис- пользует три типа сырья – чистую шерсть, капрон и акрил. В табли- це 1.1 указаны нормы сырья, его общее количество, которое может быть использовано фабрикой в течение года, и прибыль от реализа- ции тонн пряжи каждого вида. Таблица 1.1 – Нормы расхода сырья на 1 т пряжи, т Тип сырья I вид пряжи II вид пряжи Количество сырья, т Шерсть 0,8 0,4 570 Капрон а 0,5 b Акрил а–0,1 0,2 c Прибыль от реализации 1 т пряжи, у. е. 1100 900 – Требуется составить задачу линейного программирования годо- вого производства пряжи с целью максимизации суммарной прибы- ли (таблица 1.2). Таблица 1.2 – Исходные данные к заданию 1.1 № варианта a b c 1,11 0,8 620 500 2,12 0,7 730 500 3,13 0,9 840 500 4,14 0,6 650 510 5,15 0,7 760 510 6,16 0,6 870 510 7,17 0,7 920 400 8,18 0,9 850 400 9,19 0,8 780 400 10,20 0,8 680 510 21 0,7 670 580 6 Решение (вариант 21) Считаем, что технология производства линейна, т. е. затраты сы- рья растут прямо пропорционально объему производства. Пусть х1 показывает планируемый объем производства пряжи I вида, х2 – пряжи II вида. Тогда допустимым является только такой набор про- изводимых товаров, при котором суммарные затраты каждого ре- сурса не превосходят его запаса, т. е. удовлетворяют следующим условиям: 1 2 1 2 1 2 0,8 0,4 570; 0,7 0,5 670; 0,6 0,2 580. х х х х х х       Кроме того, имеются следующие естественные ограничения: 1 0;x  2 0.x  Прибыль от реализации данного набора производимых товаров выражается величиной 1100х1 + 900х2. Тогда задача линейного программирования ставится следующим образом: 1100х1 + 900х2  max, 1 2 1 2 1 2 1 2 0,8 0,4 570, 0,7 0,5 670, 0,6 0,2 580, 0, 0. х х х х х х х х         7 Задание 1.2 Используя графический метод, найти решение следующей зада- чи линейного программирования (таблица 1.3):     1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 min, 3 , 4 , 3 2 11, , 0. aх х х b х b c х х c х х x x            Таблица 1.3 – Исходные данные к заданию 1.2 № варианта a b c 1, 11 1 4 5 9 2, 12 5 4 4 6 3, 13 9 2 7 8 4, 14 7 4 8 7 5, 15 5 2 6 6 6, 16 1 2 7 6 7, 17 5 2 4 7 8, 18 13 2 5 8 9, 19 2 3 6 7 10, 20 1 3 5 7 21 3 2 6 5 8 Решение (вариант 21) Заменяя знаки неравенств на знаки точных равенств, построим область решений по уравнениям прямых x1 + 3x2 = 6, x1 + x2 = 5, 3x1 + + 2x2 = 11 (рисунок 1.1). х2 5,5 А 5 В 2 c D Е 23 3 5 6 х1 Рисунок.1.1 – Графическое изображение области решения задачи Прямую x1 + 3x2 = 6 построим по двум точкам (0; 2) и (6; 0), ко- торые легко получаются в результате последовательного обнуления одной из переменных: x1 = 0, х2 = (6 – 0) / 3 = 2; х2 = 0, x1 = 6 – 3·0 = 6. Множеством решений нестрого неравенства является одна из плоскостей, на которую делит плоскость построенная прямая. Какая из них является искомой, можно выяснить при помощи контроль- ной точки: если в произвольно взятой точке неравенство выполня- ется, то оно выполняется и во всех других точках данной полуплос- кости и не выполняется во всех точках другой полуплоскости. В качестве контрольной точки удобно взять начало координат. Под- ставив координаты точки (0; 0) в неравенство, получим 0 + 3·0 = = 0 < 6, т. е. неравенство в данной полуплоскости не выполняется, следовательно, областью решения неравенства будет являться верх- няя полуплоскость. 9 Аналогично построим области решения двух других неравенств. Ограничения x1  0, х2  0 означают, что область решения будет лежать в первой четверти декартовой системы координат. Допустимая область задачи выделена штриховкой. Построим вектор-градиент c с координатами  3 / 2; 1 , для чего соединим точку  3 / 2; 1 с началом координат, и прямую уровня, перпендикулярную вектору c и проходящую через начало коорди- нат. Перемещая эту прямую параллельно в направлении вектора c , найдем первую точку пересечения прямой уровня и допустимой области. Это будет точка В, и ее координаты получаются при реше- нии следующей системы линейных уравнений: 1 2 1 2 3 7, 3 2 11; х х х х     1 2 1, 4. х х   Итак, точка минимума (1; 4). Минимальное значение функции min 3 / 2 1 1 4 5,5.f      Задание 1.3 Решить задачу линейного программирования симплекс-методом по данным таблицы 1.4. Таблица 1.4. – Исходные данные к заданию 1.3 № варианта Задача 1, 11 1 2 max,x x   1 2 1 2 1 2 1 2 2, 2 1, 3 3, , 0 х х х х х х х х        10 Продолжение таблицы 1.4 № варианта Задача 2, 12 1 2 max,x x   1 2 1 2 1 2 1 2 3, 2 1, 3 3, , 0 х х х х х х х х        3, 13 1 29 7 max,x x  1 2 1 2 1 2 1 2 2 1, 3 1, 2 1, , 0 х х х х х х х х        4, 14 1 29 12 max,x x  1 2 1 2 1 2 1 2 2 1, 3 3, 2 1, , 0 х х х х х х х х        5, 15 1 210 12 max,x x  1 2 1 2 1 2 1 2 2 1, 3 3, 2 1, , 0 х х х х х х х х        6, 16 1 23 4 max,x x  1 2 1 2 1 2 1 2 2 1, 3 3, 2 1, , 0 х х х х х х х х        11 Окончание таблицы 1.4 № варианта Задача 7, 17 1 2 max,x x   1 2 1 2 1 2 1 2 2, 2 1, 3 3, , 0 х х х х х х х х        8, 18 1 27 8 max,x x  1 2 1 2 1 2 1 2 2 1, 3 3, 2 1, , 0 х х х х х х х х        9, 19 1 2 max,x x  1 2 1 2 1 2 1 2 2, 2 1, 3 3, , 0 х х х х х х х х        10, 20 1 23 5 max,x x  1 2 1 2 1 2 1 2 2 1, 3 3, 2 1, , 0 х х х х х х х х        21 1 24 max,x x  1 2 1 2 1 2 1 2 3, 2 3 8, 2, , 0 х х х х х х х х        12 Решение (варианта 21) В математическую модель задачи введем дополнительные пере- менные y1, y2, y3, запишем ограничения в виде уравнений и таким образом приведем задачу к канонической форме: 1 2 1 34 0 0 max,x x y y      1 2 1 1 2 2 1 2 3 11 2 1 2 3 3, 2 3 8, 2, , , , , 0. х х у х х у х х у х х у у у           Теперь задачу можно представить в виде симплекс-таблицы (ри- сунок 1.2). В этой таблице свободные переменные x1, x2 по условию равны нулю, а базисные переменные y1, y2, y3, а также целевая функция f равны свободным членам, т. е. y1 = 3, y2 = 8, y3 = 2, f = 0. Базисные переменные Свободные переменные y1 y2 y3 x1 x2 y1 3 1 0 0 1 1 y2 8 0 1 0 –2 3 y3 2 0 0 1 –1 1 f 0 0 0 0 –4 1 Рисунок 1.2 – Симплекс-таблица к заданию 1.3 Выясняем, имеются ли в последней строке отрицательные числа. Находим число (–4), просматриваем столбец x1. В этом столбце единственный положительный элемент – 1. Следовательно, разре- шающим является элемент, стоящий на пересечении строки y1 и столбца x1. Выделим эту строку-столбец рамками. На следующей итерации переменную y1 нужно вывести из ба- зисных (→), а переменную х1 ввести в базисные (↑). Новый базис состоит из {x1, y2, y3}. 13 Для составления следующей таблицы разделим выделенную строку таблицы (см. рисунок 1.2) на разрешающий элемент и полу- ченную строку запишем на месте прежней (в данном случае эта строка не изменяется, так как разрешающий элемент равен 1). К ка- ждой из остальных строк прибавляем вновь полученную, умножен- ную на такое число, чтобы в клетках для столбца х1 появились нули, и вставляем преобразованные строки на месте прежних. Этим за- вершается первая итерация, и в результате переходим к таблице 1.5. Таблица 1.5 – Результаты первой итерации Базисные переменные Свободные переменные y1 y2 y3 x1 x2 х1 3 1 0 0 1 1 y2 2 –2 1 0 0 1 y3 5 1 0 1 0 2 f 12 4 0 0 0 4 Из симплексной таблицы 1.5 следует, что в столбце свободных членов все элементы положительные, следовательно, решение являет- ся допустимым. В строке целевой функции все элементы неотрица- тельные. Это означает, что решение является оптимальным при мак- симизации целевой функции f. При этом оптимальным планом явля- ется х1 = 3, х2 = 0, а целевая функция f = 12. Задание 1.4 На трех складах А1, А2, А3 находится 100, 150, 80 т горючего со- ответственно. Перевозка одной тонны горючего со склада А1 в пункты В1, В2, В3 соответственно стоит a1, b1, c1 денежных единиц. Перевозка одной тонны горючего со склада А2 в пункты В1, В2, В3 соответственно стоит a2, b2, c2. Перевозка одной тонны горючего со склада А3 в пункты В1, В2, В3 соответственно стоит a3, b3, c3. Необ- ходимо доставить в пункты В1, В2, В3 80, 140 и 110 тонн горючего соответственно. По данным таблицы 1.6 составить такой план пере- возки горючего, при котором транспортные расходы будут наи- меньшими. 14 Таблица 1.6 – Исходные данные к заданию 1.4 № варианта a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 1, 11 4 3 5 10 1 2 3 8 6 2, 12 3 2 4 9 0 1 2 7 5 3, 13 10 1 2 4 3 5 3 8 6 4, 14 9 0 1 3 2 4 2 7 5 5, 15 2 7 5 9 0 1 3 2 4 6, 16 3 8 6 10 1 2 4 3 5 7, 17 3 2 4 2 7 5 9 0 1 8, 18 3 2 4 9 0 1 2 7 5 9, 19 4 3 5 10 1 2 3 8 6 10, 20 10 1 2 4 3 5 3 8 6 21 4 3 5 3 8 6 10 1 2 Решение (вариант 21) Базисный план можно построить по правилу северо-западного угла. Данный метод прост и легко формализируем, однако не учи- тывает величину затрат, и исходное опорное решение часто может далеким от оптимального. Учитывая выше сказанное, более рационально будет использо- вать прием минимального элемента, который дает базисное реше- ние наиболее близкое к оптимальному по сравнению с другими методами. В этом случае построение исходного базисного плана начинаем с клетки с наименьшей величиной затрат сij, в данном примере с клетки (3, 2), где c32 = 1 (рисунок 1.3). В эту клетку заносим х32 = = min{а3, b2} = min{80, 140} = 80. В1 В2 В3 ai А1 40 4 60 3 5 100 А2 40 3 8 110 6 150 А3 10 80 1 2 80 bj 80 140 110 Рисунок 1.3 – Построение базисного плана 15 Строка а3 закрыта полностью, закрываем столбец b2, заполняя ячейку с минимальной стоимостью, в данном случае это клетка (1, 2), где c12 = 3. Сюда заносим х12 = min{а1, b2 – а3} = min{100, 140 – 80} = 60. Переходим к клетке(1,1), в которую заносим х11=min{а1 – b2, b1} = = min{100 – 60, 80} = 40, и закрываем строку а1. Заносим в клетку (2, 1) х21 = min{80, 80 – 40} = 40 и закрываем столбец b1. Наконец, переходим клетке (2, 3), куда заносим х23 = min{150 – 40, 110} = 110. Столбец b3 и строка а2 закрыты. Поскольку остатки по строке и столбцу равны, исходное опорное решение построено. Этому плану соответствуют затраты в количестве f = 40 · 4 + 60 · 3 + 40 · 3 + 110 · 6 + 80 · 1 = 1200 ден.ед. Имея опорный план, перейдем теперь к построению новых опор- ных решений, которые улучшают друг друга. Для этого применим метод потенциалов. Каждому пункту отправления Аi поставим в соответствие неко- торую величину ui, называемую потенциалом пункта Аi, и каждому пункту потребления Вj величину j – потенциал пункта Вj. Для базисных клеток свяжем эти величины равенством uk+ l = ckl, где ckl – стоимость перевозки одной тонны горючего из пункта Аk в пункт Вl. Таким образом получаем следующую систему: 1 1 1 2 2 1 2 3 3 2 4, 3, 3, 6, 1. u v u v u v u v u v           Значение одной неизвестной зададим произвольно, например, u1 = 0. Тогда u2 = –1, u3 = –2, v1 = 4, v2 = 3, v3 = 7. Далее вычисляем косвенные стоимости ijc для свободных клеток: 16 13 1 3 22 2 2 31 3 1 33 3 37, 2, 2, 5.c u v c u v c u v c u v               Подсчитаем теперь разности :pq pq pqc c   13 22 31 335 7 2, 8 2 6, 10 2 8, 2 5 3.                  Разностей δ13 и δ33 меньше нуля, следовательно, полученный план не оптимален и можно уменьшить f. Перераспределим постав- ки, переходя к новому базисному решению. Для этого: а) выберем клетку с отрицательной разностью; б) ходом шахматной ладьи (двигаясь строго вертикально или строго горизонтально) обходим базисные клетки таким образом, чтобы последним ходом вернуться в исходную. При этом поочеред- но базисные клетки помечаем «–» и «+». В каждой строке или столбце не должно быть более двух таких отметок; в) среди клеток, помеченных знаком «–» находим клетку с ми- нимальной поставкой. Эта поставка прибавляется в клетки, отмеченные «+», и вычита- ется из клеток, помеченных «–». Например, в нашей задаче пересчет можно произвести следую- щим образом (рисунок 1.4): В1 В2 В3 ai А1 40 __ 4 60 3 + 5 100 А2 40 + 3 8 110 __ 6 150 А3 10 80 1 2 80 bj 80 140 110 Рисунок 1.4 – Результаты первой итерации Из таблицы видно, что поставки в базисных клетках можно уве- личить / уменьшить на 40 единиц. Полученные результаты см. на рисунке 1.5. 17 В1 В2 В3 ai А1 4 60 3 40 5 100 А2 80 3 8 70 6 150 А3 10 80 1 2 80 bj 80 140 110 Рисунок 1.5 – Результаты второй итерации Затраты равны f = 60 · 3 + 40 · 5 + 80 · 3 + 70 · 6 + 80 · 1 = 1120. Найдем потенциалы из системы: 1 2 1 3 2 1 2 3 3 2 3, 5, 3, 6, 1; u v u v u v u v u v           u1 = 0, u2 = –2, u3 = –2, v1 = 5, v2 = 3, v3 = 8. Посчитаем косвенные стоимости: 11 22 31 335, 1, 3, 6.c c c c       Вычислим разности: δ11 = 4 – 5 = –1, δ22 = 8 – 1 = 7, δ31 = 10 – 3 = 7, δ33 = 2 – 6 = –4. Среди разностей есть отрицательные, значит, решение можно улучшить. Произведем цикл пересчета (см. рисунок 1.6). В1 В2 В3 ai А1 4 100 3 5 100 А2 80 3 8 70 6 150 А3 10 40 1 40 2 80 bj 80 140 110 Рисунок 1.6 – Результаты третьей итерации 18 Затраты в данном случае равны f = 100 · 3 + 80 · 3 + 70 · 6 + 40 · 1 + + 40 · 2 = 1080. Проверим полученное решение на оптимальность. 1 2 1 3 2 1 2 3 3 2 3, 5, 3, 6, 1; u v u v u v u v u v           u1 = 0, u2 = 2, u3 = –2, v1 = 1, v2 = 3, v3 = 4. Косвенные стоимости в данном случае равны: 11 22 131, 5, 4.c c c     Вычислим разности: δ11 = 4 – 1 = 3, δ22 = 8 – 5 = 3, δ13 = 10 – 4 = 6. Среди разностей нет отрицательных, следовательно, опорный план является оптимальным, транспортные расходы равны 1080 ден. ед. 19 Глава II МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ Задание 2.1 Построить сетевой график, рассчитать временные параметры свершения событий, выделить критический путь, определить его длительность на основании данных, представленных в таблице 2.1. Таблица 2.1 – Исходные данные к заданию 2 № вари- анта Параметр Значение 1, 11 Работы (1,2) (2,3) (2,4) (3,4) (3,5) (3,6) (4,7) (5,8) (6,7) (6,8) (7,8) Длительность 1 5 3 2 9 8 7 8 3 5 4 2, 12 Работы (1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (3,4) (3,5) (3,6) (3,7) (4,5) (5,6) (6,7) Длительность 2 3 4 5 4 5 4 8 2 6 7 3, 13 Работы (1,2) (1,3) (1,5) (2,4) (3,6) (4,5) (4,7) (5,6) (5,7) (6,7) – Длительность 2 4 5 3 6 4 6 2 7 4 – 4, 14 Работы (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,5) (3,4) (3,5) (3,6) (4,6) (5,6) – Длительность 3 6 4 2 5 7 4 4 6 2 – 5, 15 Работы (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,5) (3,4) (3,6) (4,6) (4,7) (5,6) (6,7) Длительность 3 6 5 4 7 5 5 7 8 3 9 6, 16 Работы (1,2) (1,3) (1,5) (2,4) (3,6) (4,5) (4,7) (5,6) (5,7) (6,7) – Длительность 2 2 4 3 4 5 2 6 4 7 – 7, 17 Работы (1,2) (1,3) (2,4) (2,5) (3,5) (3,6) (4,6) (4,8) (5,7) (6,8) (7,8) Длительность 2 6 3 5 10 9 6 9 4 6 3 8, 18 Работы (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4) (3,5) (3,6) (4,5) (5,6) – Длительность 2 5 3 5 2 4 3 2 6 3 – 9, 19 Работы (1,2) (1,3) (1,5) (2,3) (2,6) (3,4) (4,6) (5,6) (5,7) – – Длительность 2 4 5 2 8 4 6 2 9 – – 10, 20 Работы (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4) (3,5) (3,6) (4,6) (5,6) – Длительность 3 5 5 2 6 6 4 4 4 1 – 21 Работы (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,6) (3,4) (3,5) (3,6) (4,5) (5,6) – Длительность 3 4 4 6 2 1 1 3 5 2 – Произведенные расчеты представить в виде таблицы 2.1. Таблица 2.2 – результаты расчетов для задания 2 Работа Продол- житель- ность Раннее начало Раннее окончание Позднее начало Позднее окончание Полный резерв Свобод- ный резерв 20 Решение (вариант 21) Построим сетевой график, рассчитаем ранние и поздние сроки свершения событий и их резервы времени (см. рисунок 2) и запи- шем результаты расчетов в таблицу 2.3. Ранний срок свершения со- бытий рассчитывается, начиная с события 1, причем tp(1) = 0. Позд- ний срок свершения события рассчитывается начиная с последнего, в нашем случае с события 6, причем tп(6) = tp(6). Рисунок 2. Графическое изображение сетевой модели Таблица 2.3 – Результаты расчетов для задания 2 (вариант 21) Событие Ранний срок свершения события tp(j) = max{tp(i) + tij} (i, j)  jU  Поздний срок свершения события tп(i) = min{tп(j) – tij} (i, j)  iU  Резерв времени события R(i) = tп(i) – tp(i) 1 0 0 0 2 3 5 2 3 6 6 0 4 7 7 0 5 12 12 0 6 14 14 0 Примечание. jU – набор работ, входящих в событие j; iU  – набор работ, исхо- дящих из события i. 2 1 4 6 3 5 2 3 5 1 3 6 4 1 2 2 21 Таким образом, критическое время равно 14. События, для кото- рых резерв времени равен нулю, являются критическими, через них проходит критический путь. Для нашего примера критический путь проходит через события 1–3–4–5–6, он выделен жирной линией. Рассчитаем сроки выполнения работ и их резервы времени. Рас- четы оформим в виде таблицы 2.4. Таблица 2.4 – Выходные данные задания 2 Работа Продол- житель- ность Раннее начало Раннее окончание Позднее начало Позднее окончание Полный резерв Свободный резерв (i, j) tij tijр.н = tр(i) tijр.о = = tijр.н + tij tijп.н = = tijр.о – tij tijп.о = = tп(j) Rijп = tп(j) – – tр(i) – tij Rijс = tр(j) – – tр(i) – tij (1, 2) 3 0 3 2 5 2 0 (1, 3) 6 0 6 0 6 0 0 (1, 4) 4 0 4 3 7 3 3 (2, 3) 2 3 5 4 6 1 1 (2, 6) 2 3 5 12 14 9 7 (3, 4) 1 6 7 6 7 0 0 (3, 5) 1 6 7 11 12 5 0 (3, 6) 3 6 9 9 14 5 3 (4, 5) 5 7 12 7 12 0 0 (5, 6) 2 12 14 12 14 0 0 Обратим внимание на то, что работы (1, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6) с нулевыми полными резервами времени являются критическими, т. е. определяют продолжительность выполнения проекта. 22 Глава III МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ 3.1. Модель Уилсона (простейшая модель) Задание 3.1 Магазин реализует некоторый товар, спрос на который в течение года составляет v ед. Затраты на реализацию одной партии товара – K ден. ед., издержки по хранению одной единицы товара в течение года – s ден. ед. (см. таблицу 3.1). Определите: 1) оптимальную партию поставки; 2) оптимальное число поставок за год; 3) интервал времени между поставками; 4) суммарные затраты на хранение и реализацию данного товара. Сравните полученные затраты с затратами в случае отклонений от оптимальной партии поставки в любом направлении в два раза. Таблица 3.1 – Исходные данные к заданию 3.1 № варианта  K s 1, 11 600 18 6 2, 12 750 24 5 3, 13 900 16 8 4, 14 640 20 8 5, 15 720 18 5 6, 16 700 21 6 7, 17 600 24 4 8, 18 800 18 8 9, 19 880 22 5 10, 20 810 16 5 21 800 20 5 Решение (вариант 21) Оптимальный размер партии товара находим по формуле Уилсона: 2 ,Kq s   23 2 20 800 64 100 80 шт. 5 q      Оптимальное число поставок за период Т = 1 г.  800 1 10 10 ед. 80 Tn q               Интервал между заказами 80 1 г. = 36 дн. 800 10 q    Наименьшие затраты на хранение и реализацию товара опреде- ляются по формуле 2 ,L Ks   2 20 5 800 400 ден. ед.L      В случае отклонения от оптимальной партии в два раза партия товара составит q1 = 40 ед. или q2 = 160 ед. В этом случае затраты на хранение и реализацию товара составят   , 2 i i qKL q s q      1 20 800 405 500,40 2L q      2 20 800 1605 500,160 2L q     ден. ед. в год. 24 Таким образом, если действительная партия поставки товара от- личается от оптимальной в любом направлении в два раза, то из- держки увеличиваются на 100 единиц в год или на 25 % по сравне- нию с оптимальной. 3.2. Модель с дефицитом при учете неудовлетворенных требований Задание 3.2 Торговое предприятие в течение года закупает у завода  еди- ниц товара для розничной реализации. Издержки хранения одной единицы данного товара составляют s ден. ед. в год. Издержки раз- мещения заказа – K ден. ед. Все неудовлетворенные требования бе- рутся на учет. Удельные издержки дефицита составляют d ден. ед. за нехватку одной единицы товара в течение года. Определите: 1) величину партии товара; 2) максимальную величину задолженного спроса; 3) максимальную величину текущего запаса; 4) интервал возобновления поставки; 5) время существования дефицита; 6) оптимальную величину цикла; 7) минимальные годовые издержки, связанные с заказом и хра- нением товара; 8) величину экономии, которая достигается при введении систе- мы планирования запасов в условиях дефицита. Таблица 3.2 – Исходные данные к заданию 3.2 № варианта  K s d 1, 11 1000 50 10 41 2, 12 1050 60 11 45 3, 13 1100 70 12 49 4, 14 1150 80 13 53 5, 15 1200 90 14 57 6, 16 1250 100 15 61 7, 17 1300 110 16 65 8, 18 1350 120 17 69 25 Окончание таблицы 3.2 № варианта  K s d 9, 19 1400 130 18 73 10, 20 1450 140 19 77 21 1500 150 20 81 Решение (вариант 21) В условиях планирования дефицита оптимальная партия товара равна 2 1 ,K sq s d     2 150 1500 20 1011 150 167,5 ед. 20 81 81 q        Максимальная величина задолженного спроса составит 2 1 , 1 s Ky d s s d     20 2 150 1500 1 33 ед. 81 20 201 81 y      Максимальная величина текущего запаса ,Y q y    167 33 134 ед.Y     26 Период возобновления поставки 1 , Y    1 154 0,1027 1500    г. ≈ 32 дн. Время существования дефицита 2 , Y    2 33 0,022 1500    г. ≈ 8 дн. Оптимальная величина цикла 1 2 ,        0,124  г. = 40 дн. При этом минимальные годовые издержки, связанные с заказом и хранением товара, составят 12 , 1 L Ks s d      12 150 20 1500 2686,6 ден. ед. 201 81 L        27 Если дефицит товара не допускается, то партия состоит из 2 ,u Kq s  2 150 1500 150 ед. 20u q    При этом издержки содержания запасов составят 20 150 3000 ден. ед.uL    При планировании дефицита экономия составит L = 3000 – 2686,6 = 313,4 ден.ед. 3.3. Модель с дефицитом при потере неудовлетворенных требований Задание 3.3 Предприятие выпускает некоторую продукцию, среднегодовой спрос на которую составляет  шт. Издержки наладки оборудова- ния равны K ден. ед., издержки хранения s ден. ед. Неудовлетво- ренные требования теряются. Удельный вес дефицита – d ден. ед., в году 240 рабочих дней. Определите: 1) величину партии, при которой издержки минимальны; 2) время между выпуском партий; 3) время выпуска партии продукции; 4) количество партий, производимых в течение года; 5) количество производимой в течение года продукции; 6) издержки работы системы в течение года; 28 Таблица 3.3 – Исходные данные к заданию 3.3 № варианта  K s d 1, 11 450 120 7 35 2, 12 500 125 8 40 3, 13 550 130 9 45 4, 14 600 135 10 50 5, 15 650 140 11 55 6, 16 700 145 12 60 7, 17 750 150 13 65 8, 18 800 155 14 70 9, 19 850 160 15 75 10, 20 900 165 16 80 21 800 160 30 90 Решение (вариант 21) Определим оптимальную величину партии 2 2 160 800 11 80шт. 30 301 90 K sq s d           Партии должны выпускаться через 2 2 160 301 1 0,133 г. 0,133 240 32 дн. 30 800 90 K s s d              Время производства партии составляет 1 80 1 г. 0,1 240 24 дн. 800 10 q       время дефицита 2 1 32 24 8 дн.          29 В течение года будет выпущено 1 7,5 0,133 n  партий. Это соста- вит 7,5 · 80 = 600 шт. продукции. Годовые издержки системы 2 1 3200 ден. ед.sL Ks d       30 Глава IV МОДЕЛИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ 4.1. Многоканальная СМО с отказами Задание 4.1 Справочная служба некоторого торгового предприятия обслужи- вает клиентов по телефону, разветвленному на n линий. В среднем за один час работы поступает λ запросов. Среднее время перегово- ров диспетчеров службы обслt . Дайте оценку работы такой СМО (таблица 4.1). Таблица 4.1. – Исходные данные к заданию 4.1 № варианта n λ обслt 1, 11 4 90 3,0 2, 12 5 120 2,5 3, 13 6 140 2,0 4, 14 8 160 2,5 5, 15 5 150 2,0 6, 16 6 120 3,0 7, 17 7 150 3,5 8, 18 8 150 4,0 9, 19 7 120 3,5 10, 20 5 110 2,0 21 4 100 2,5 Решение (вариант 21) обсл 2,5мин 0,042 ч.t   Определим: – интенсивность обслуживания обсл 1 1 23,81 заявки/ч; 0,042t     – интенсивность нагрузки обсл 100 0,042 4,2.t        31 Доля времени простоя диспетчеров предприятия Р0 определяется как вероятность того, что система свободна: 1 12 3 4 2 3 4 0 4,2 4,2 4,21 1 4,2 0,026. 2! 3! 4! 2! 3! 4! Р                          Вероятность того, что заявка, поступившая в систему, получит отказ, равна вероятности занятости всех четырех линий: 4 4 отк 4 0 4,2 0,025 0,327. 4! 4! Р Р Р      Относительная пропускная способность системы обсл отк1 1 0,324 0,673.q P P      Абсолютная пропускная способность системы 100 0,676 67,35 клиента/ч.А q      Среднее число занятых каналов 3 4,2 0,676 2,8.N q      Коэффициент занятости каналов 3 3 2,8 0,7. 4 Nk n    Таким образом можно сделать вывод о неэффективности работы системы: доля обслуженных клиентов составляет 68 %, необслу- женных – 32 %. Абсолютная пропускная способность равна 67 кли- ентов/ч; каждый канал занят обслуживанием 70 % времени. Для по- вышения эффективности можно рекомендовать предприятию уве- личить число линий и снизить время обслуживания. 32 4.2. Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением длины очереди Задание 4.2 В парикмахерскую в среднем в час приходят λ клиентов. Если в очереди уже находятся m человек, то пришедшие не желают терять времени в ожидании обслуживания и покидают парикмахерскую. Среднее время обслуживания одного клиента – обслt мин, в зале ра- ботают n мастеров (таблица 4.2). Определите: 1) интенсивность обслуживания; 2) интенсивность нагрузки; 3) вероятность того, что система свободна; 4) вероятность того, что пришедший клиент получит отказ (не бу- дет обслужен); 5) относительную пропускную способность; 6) абсолютную пропускную способность; 7) среднее число занятых каналов; 8) коэффициент занятости каналов; 9) среднее число клиентов, находящихся в очереди; Сделайте вывод об эффективности работы парикмахерской Таблица 4.2 – Исходные данные к задаче 4.2 № варианта n m λ обслt 1, 11 5 8 9 25 2, 12 3 4 5 30 3, 13 2 3 8 35 4, 14 3 7 8 18 5, 15 5 8 9 30 6, 16 5 11 9 28 7, 17 2 3 5 40 8, 18 3 5 7 25 9, 19 5 9 9 28 10, 20 6 13 9 35 21 2 3 9 20 33 Решение (вариант 21) обсл 20 мин 1/ 3 ч.t   Определим: – интенсивность обслуживания обсл 1 1 3 чел/ч;1 3t     – интенсивность нагрузки обсл 3;t       3 1,5; 2n     – вероятность того, что система Р0 свободна     12 2 0 / / 1 2! 2! 1 / n nР n              12 33 3 1,5 1,51 3 0,025. 2! 2! 1 1,5           Вероятность того, что заявка, поступившая в систему, получит отказ, определяется по формуле 5 отк 0 3 3 0,025 0,37, ! 2 2! n m n m mP P Pn n          что показывает долю потенциальных клиентов, которые не получи- ли возможность воспользоваться услугами парикмахеров. Относительная пропускная способность системы 34 обсл отк1 1 0,37 0,63.q P P      Абсолютная пропускная способность системы 9 0,63 5,63;A q      3 3 0,63 1,88.N m q     Коэффициент занятости каналов 3 3 1,88 0,94. 2 Nk n    Среднее число клиентов, находящихся в очереди     1 0оч 2 1 1 ! 1 mn m mPL n n               33 2 1 1,5 3 1 3 1,53 0,025 1,79. 2 2 1 1,5        Абсолютная пропускная способность равна 5,63 клиентов/ч; средняя длина очереди составляет 1,79 чел. Несмотря на то, что ко- эффициент занятости каналов достаточно высок – 0,94, система ра- ботает в напряженном режиме, так как средняя доля потерянных заявок составляет 38 % от числа поступивших. Эффективность сис- темы можно повысить путем увеличения числа парикмахеров и снижения времени обслуживания. 35 4.3 Многоканальная СМО с ожиданием и неограниченной очередью Задание 4.3 На вокзале n касс по продаже билетов, интенсивность потока по- купателей составляет λ чел/ч, а среднее время обслуживания – обслt мин (см. таблицу 4.3). Определите: 1) интенсивность обслуживания; 2) интенсивность нагрузки; Проведите анализ работы СМО. Таблица 4.3 – Исходные данные к заданию 4.3 № варианта n λ обслt 1, 11 4 35 6 2, 12 2 20 6 3, 13 1 30 4 4, 14 2 20 5 5, 15 3 25 5 6, 16 4 25 6 7, 17 5 35 4 8, 18 4 35 5 9, 19 3 25 6 10, 20 2 30 6 21 1 30 5 Решение (вариант 21) обсл 15мин ч. 12 t   Определим: – интенсивность обслуживания 36 обсл 1 1 12 чел/ч;1 12t     – интенсивность нагрузки обсл 2,5.t       Так как ρ > 1, продажа билетов не может осуществляться в стацио- нарном режиме, очередь будет все время увеличиваться. В данной си- туации необходимо либо уменьшить время обслуживания до 1,9 мин, тогда ρ = 0,95 < 1, либо ввести еще хотя бы две кассы, тогда нагрузка на один канал будет / 2,5 / 3 0,83 1,n      и таким образом ста- ционарный режим продажи билетов станет возможным. 37 Глава V ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОМ СПРОСЕ НА ТОВАР 5.1. Расчет параметров системы обслуживания при известной интенсивности поступления товара Потребность производства в товаре составляет Q = 1530 т за время Т = 365 дн. На склад товар доставляется партиями и затраты на доставку его не зависят от размера партии (условно). Пусть они составляют Сд = 1000 у. е. Товар со склада на производство посту- пает непрерывно и не изменяется во времени. Пусть затраты на хранение составляют Сх = 20 у. е./т. дн. и ин- тенсивность поступления товара на склад 1,1 /Q T  . Необходимо определить оптимальный размер партии поставки то- вара на склад, при котором суммарные издержки на доставку и хране- ние товара были бы минимальны. Также необходимо найти период времени между поставками товара, суммарные годовые издержки, норму и норматив оборотных средств на складе (рисунок 5.1). Рисунок 5.1. – График оптимального размера партии поставки товара на склад при известной интенсивности поступления товара τ – время одного цикла; N – запас оборотных средств на складе 38 ,Q T   T Qn t q   , 1,1 4,6 т/дн.,Q T    4,2 т/дн., 1,1 Q T     1 1, QK q q T         1 ;Q q QK q q T T           Σ 1ц 1ц 1ц 1цд д д xx XC C C С С n C n C n           1цд 1 2 x C n K C n         1ц 1цд д 1 1 1 2 2x x Q T Q Q TC K C C q C q q T                       1цд 1 min 2 2 x x Q q CQC q C T q          д 2 1 1 0; 2 2x x C Q QC C T C q q            39 д 2 1 1 0. 2 x Q QC C T Tq          д д2 2 2 ; 1 1x x C Q C Q q q Q QC T C T T T                    2 1000 1530 68,63т; 20 365 0,089 q     68,63 365 16 дн.; 1530 q T Q      д 1 1 min; 2 x Q QС С q C T q T            1530 11000 68,63 0,089 20 365 44 588 у. е. 68,63 2 С         1 1 1 3651 68,63 0,089 0,73 дн. 2 2 2 1530 T Q TN K q Q T Q               1 1 11 68,63 0,089 1700 5191,9 у. е. 2 2 2T T Qn K C q C T                153068,63 1 6,09 т. 365 4,6 K       Норма – показатель, отражающий минимально необходимый средний уровень оборотных средств, выраженный в днях запаса. 40 Норматив оборотных средств – показатель, отражающий мини- мально необходимый средний уровень оборотных средств, выра- женный в денежной форме. 5.2. Определение параметров системы обслуживания с учетом убытков из-за неудовлетворенного спроса Данный пункт предусматривает рассмотрение однопродуктовой детерминированной задачи с учетом убытков из-за неудовлетво- ренного спроса. Пусть существует потребность производства в товаре состав- ляющего Q = 2090 т за время Т = 365 дн. На склад товар доставляет- ся партиями и затраты на доставку его не зависят от размера партии (условно). Пусть они составляют Сд = 1000 у. е. Товар со склада на производство поступает непрерывно и не изменяется во времени. Пусть затраты на хранение составляют Сх = 20 у. е. / т.·дн. Товар в определенное время на складе заканчивается, предпри- ятие берет товар взаймы у других субъектов хозяйствования и воз- вращает его из новой партии товара. Затраты, связанные с займом товара, составляют Су = 50 у. е. / т.·дн. Причем берется взаймы вся партия сразу. Необходимо определить оптимальный размер партии поставки товара на склад и величину партии, закладываемой на хранение, при условии, что суммарные издержки на доставку и хранение то- вара будут минимальны. Также необходимо найти период времени между поставками товара, суммарные годовые издержки, норму и норматив оборотных средств на складе (см. рисунок 5.2). 41 Рисунок 5.2 – График оптимального размера партии поставки товара на склад с учетом убытков из-за неудовлетворенного спроса 1 2 ;T Qn V     1 ;S V   2 .V S V    д 1ц 1ц 1цΣ д ,x xC C C C n C С n         1ц 1 21 1 .2 2x x уC S C V S C         42  1ц 1ц 1цд 1 21 12 2x уС С S C V S C n                  1ц 1ц 1цд 1 21 12 2x у Q T TC S C V S C V                 221ц 1ц 1цд 1 1 min;2 2x у V S ТQ S ТC C C V V V           2 21ц 2д 1ц 1ц 2 2 2 1 0; 2 2x у T V SC QС S TC C V V V V            1ц 1ц2 ( ) 0. 2x у С S T T V SC C S V V          Получим следующую систему и выразим S и V из нее:     1ц 1ц 2 2 2 1цд 1ц 1ц 2 0, 0; x у x у C Q C T S T V S C C S T T V S C                 1ц 2 1ц 2 1ц 1цд 1ц 1ц 1ц 2 , ; у у x x у у C Q T V C S C T C T C S T T S C T V C                     1ц2 1ц2 1ц 1ц1ц 2 2 1ц 1цд 1ц 1ц 1ц 1ц 2 2 , ; у x у x у x у у x у V C C C C C Q T S S C T C T C C C S C                 43  1ц 1ц 1ц21ц 2д 1ц 1ц 1ц 1ц 2 ; , x у x у у x у V C T C T C C Q S C C C S C             1ц 1цд2 1ц 1ц 1ц2 1ц 1ц 1ц 2 , ; у x у x у x у V С Q C S C T C Т С C C S C            Если 1ц 1ц 1ц , у у x C С С   тогда 1цд 1ц 2 , x C Q S T С     1цд 1ц 2 1 , x C QSV T C      50 0,714, 20 50 y x y C C C      2 1000 1530 1 24,23 т/сут, 20 365 0,714 V     0,714 24,23 17,3 т,S V      44 24,23 365 6 дн. 1530 V T Q      1 17,3 6 4,28 дн. 24,23 S V        217,31530 11000 20 365 24,23 2 24,23 С         224,23 17,31 50 365 126 316 y. e. 2 24,23      2 2 11 1 1 (17,3) 365 1,47дн. 2 2 2 1530 24,23 S T S TN Q Q V               221 17,3 17001 1 1 10 499,2 y. e. 2 2 2 24,23 T T S S Cn C V           5.3. Определение точки заказа Точка заказа – это тот уровень запаса товара на складе, при ко- тором необходимо производить заказ на доставку новой партии то- вара. Пусть время выполнения заказа 30 дн,  r – точка заказа, т:  опт опт опт ,Qr V V ST       ;S V r S   Q T   – количество расходуемого товара за время θ, т; 1530 3030 24,23 (24,23 17,3) 2,3 т. 365 5,8 r        45 Рисунок 5.3 – Графическая интерпретация определения точки заказа Определим точки заказа для задачи с непрерывной интенсивно- стью поступления товара на склад. Рассмотрим два случая: Если 2 ,      где  – количество совершаемых циклов за время θ,    – время, которое не входит в цикл, дн., то .r q      Если 2 ,     то 46 ( ) ( )r                                  ( ) 1                   1 ( ) 1 1 ,q                                   2 1 68,6316 1,08 дн., 4,6 q           3030 16 14 дн. 1,08 дн. 16t        Так как 14 > 1,08, то рассчитываем по второй формуле: 30 4,630 (4,2 4,6) 1 1 68,63 1,07 т. 16 4,2 r              т 5.4. Определение нормы и норматива запаса товара на складе при нелинейной функции среднедневного расхода Пусть товар на складе расходуется по следующей функции:   2 .q t t a t b     Необходимо определить параметры данной функции, а также отыскать норму и норматив. Пусть S = q(t) = 17,3 т, а τ1 = 4,28 дн. Рассмотрим данную функ- цию в двух точках: (τ1; 0) и (0; S). В первой точке имеем S = b = = 17,3; во второй – 20 4,28 4,28 17,3.a     47 Рисунок 5.4 – Графическая интерпретация определения нормы и норматива товара на складе Тогда b = 17,3; а = 0,24. Получим функцию 2( ) 0,24 17,3.q t t t     Норма запаса рассчитывается по формуле 1 2 0 ( )d . t a t b t N Q T           4,28 2 0 0,24 17,3 d 15306 365 t t t N         3 24,28 4,280,24 17,3 4,28 3 2 2,0 дн.15306 365         1700 2,0 4,6 15 640 . .Tn C N y e       48 Глава VI ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ НА ТОВАР 6.1. Определение параметров спроса с незначительными затратами на хранение товара Постановка задачи: спрос имеет случайный характер и он неиз- вестен. Однако известен закон распределения этого спроса: – q – величина спроса за время T; – P(q) – вероятность того, что спрос за время T составит q. Если величина запаса на складе S больше спроса, то избыток то- вара продается с издержками C1; если величина спроса больше за- паса на складе, то товар приобретается с издержками C2 на единицу товара. Решение: 1 2 0 1 ( ) · ( )· ( ) · ( ) ( ); q S q q q S C S C S q P q C q S P q           1 2 0 1 · ( ) · ( ) 0; q S q q q S дС C P q C P qдS          0 0 1 ( ) ( ) ( ) 1; q q S q q q q S P q P q P q             1 2 0 0 · ( ) (1 ( )); q S q S q q C P q C P q        1 2 2 0 ( )· ( ) ; q S q C C P q C     2 0 1 2 250( ) 0,714, 100 250 q S q CP q C C       49 где C(S) – математическое ожидание общих издержек; q  (0, S) – уровень запаса, который необходимо найти. Плотность распределения вероятности имеет график геометри- ческой прогрессии. Затраты, связанные с реализацией 1 т излишне- го товара, составляют 100 у. е./т. Затраты на приобретение недос- тающего товара составляют 250 у. е./т. Распишем нормировочные условия: 0 ( ) 1. q q P q    Вероятность спроса распределена по геометрической прогрессии.      10 · 0 ... · 0 ;nnS P d P d P         1· 0 ... · 0 · 0 ;n nndS d P d P d P         1 0 1 ;nnS d P d       0 1 , 1 n n P d S d    где n = ; d < 1, так как n   то d n = 0; (0) 1; 1n PS d     91 0 1 1 0,91, 100 100 Nd P       где N – номер варианта. Ищем такой размер запаса, при котором будут минимальны суммарные издержки: 50 2 0 1 2 (0) ; q s q CP C C       20 1 0,714; 1s P d S d   0,09·0,7140,91 1 0,91 0,286; 0,09 s s    ln 0,286 13,27 т. ln 0,91 S   Принимаем, что s = 14 т. Значит, для хранения товара необходим склад вместимостью 14 т. Найдем суммарные издержки при данном объеме запаса на складе: 1( ) (0)· ;qP q P d  1 (0);d P           1 11 2 0 1 · · 0 · · · 0 · . q S q q q q q S C S C S q P d C q S P d            Так как 1 1 1 0 1 , q q S q q q S q d d          то     1 20C S P C C           1 1 2 0 0 · 1 0 1 0 · 0 1 , q S q Sq q q q S P q P C P S                 51    0,09 100 250C S         14 141 1 0 0 14· 0,91 0,91 250·0,09 13 2252,39 у. е.q qq q q q q                6.2. Определение параметров складской системы с учетом затрат на хранение товара Спрос на хранение на складе товара имеет случайный характер. Ве- роятность распределения данного спроса отражает геометрическая про- грессия. Затраты на хранение единицы товара в единицу времени Сх составляют 20 у. е. / т · дн. затраты, связанные с неудовлетворением спроса на единицу товара в единицу времени Су – 50 у. е. Необходимо определить размер товара S, закладываемого на склад, с тем условием, чтобы суммарные издержки на хранение и издержки, связанные с неудовлетворением спроса, были минимальны. Так как спрос на товар имеет случайный характер, необходимо рассматривать два случая: 1. Спрос за время τ не превысит размера хранимого на складе то- вара (рисунок 6.1). Рисунок 6.1 – Графическая интерпретация определения параметров складской системы в случае, если спрос не превышает размера хранимого на кладе товара 52 ;S q   . 2 2 S S q qS S     2. Спрос за время τ превысит размер хранимого на складе товара (рисунок 6.2). Рисунок 6.2 – Графическая интерпретация определения параметров складской системы в случае, если спрос не превышает размера хранимого на кладе товара ;S q так как 1 ,S q   то 2 . 2 SS q   2( ) ; 2 q SS     53 так как 2 ,q S q   то 2( ) . 2H q SS q   Найдем математическое ожидание суммарных издержек:     0 ( ) · · 2 q S x q qМ С S C S P q               22 1 · · · min; 2 2 q x y q S q SSC C P q q q                      0 1 ( ) ·· · · 0; q S q x x y q q S M C S C S q SC P q C P q S q q                        0 1 1 · · · 0; q S q q x x y y q q S q S P q C P q S C C C P q q                   1 0 1; q q S q S q P q P q             1 0 ; q q S y y y q S q C P q C C P q                   0 1 ; q S q x y x y y q q S P q C C P q S C C C q           ;y x y C C C        0 1 . q S q q q S P q P q S q           54 Далее необходимо произвести расчет, когда     0 1 . q S q q q S P q P q S q           По итогу расчетов неравенство будет иметь решение при S ≥ 7. 6.3. Определение параметров складской системы на основе массового обслуживания 6.3.1. Расчет системы массового обслуживания с потерями Пусть имеется простейший поток требований, который удовле- творяет следующим условиям: – ординарности (в малый отрезок времени не может поступить сразу два требования): 1 1( ) ( );P t P t   0 1( ) ( ) 1P t P t    – за время Δt может поступить одно или ни одного требования 1( )P t – вероятность того, что за время Δt поступит ровно одно требование; – стационарности (вероятности не зависят от расположения дан- ного интервала на временной оси – λ = const); – отсутствию последействия (вероятность времени обслужива- ния канала не зависит от того, сколько он обслуживался до этого). Простейший поток требований описывается законом Пуассона: ( )( ) ! k t k tP t e k    (вероятность поступления k требований за время t; 0 ( ) ( ) 1 ( ) tP t e P T t P T t         (не поступило ни одного требования); 55 ( ) 1 tP T t e   (вероятность того, что интервал между поступлениями двух смеж- ных требований будет меньше t), где T – интервал времени между поступлениями двух смежных тре- бований. Пусть имеется n-канальная система. Пусть время обслуживания одного требования имеет показательный закон распределения: ( ) 1 ;tF t e  1 M T   где v – интенсивность обслуживания требования (сколько требова- ний имеется возможность обслужить за единицу времени). Будем рассматривать систему массового обслуживания в момент времени t и дадим бесконечно малое приращение Δt. Состояние системы массового обслуживания определяется количеством требо- ваний, находящихся в системе. Обозначим состояние системы: X – некоторое состояние системы; Xk – в системе находится k требований. На рисунке 6.3 представлен граф состояний. Рисунок 6.3 – Граф состояний системы массового обслуживания в момент времени t t + Δt – система будет находится в состоянии А. 56 Событие А: в момент времени t система находится в состоянии Xk–1. Событие В: ни одно из требований k-1 не будет обслужено за время Δt. Событие С: за это же время поступило ровно одно требо- вание. 1. Рассчитаем вероятность события А: Пусть Pk(t) – вероятность того, что в системе находиться k тре- бований в момент времени t. 1 0( ) 1 ( ) 1 1 (1 ) ; tP t P t e t t              10 0 0 ( )( ) ( ) 0( ) ! kk n k k k f xf x x x x k          (ряд Тейлора). Предположим, что 0 0,x  а ,x x  тогда 0 2 0 0 0 1 1 ... ! ! ! 1! 2! k k kn n nx n n n x e x x x xe k k k                 ( ) 1 ( ) tP T t P T t e       – вероятность того, что время обслуживания одного требования будет больше Δt. Вероятность того, что за время Δt не будет обслужено ни одного k–1 требования, будет определяться по следующей формуле: ( ) 1( ) 1 ( 1) . k l t kP t e k t           В формулу Тейлора подставляем вместо x (–λ·Δt), тогда 2 0, 2! x  т. е. 2 2( ) 0 1 1 , 2! 1! xt xe x        т. е. 1 ( ) 1 ,te t t          1 1( ) ( ) 1 ( 1) ( ) .k kP A P t t k t P t t           57 2. Рассчитаем вероятность события B:  1( ) ( ) ( ) 1 ( ) .t t kP B P t e e P t k t          3. Рассчитаем вероятность события С, вероятность того, что ровно одно из k–1 находящихся в системе требований будет обслужено: ( ) 1 ;tP T t e t       1 1 ( 1) (1 ) ( 1) ; k t kC t e k t k t k t                 1 1( ) ( )(1 )( 1) ( 1) ( );k kP C P t t k t k t P t             где ( )P T t  – вероятность того, что время обслуживания будет меньше Δt; 1 1kC  – число сочетаний из k + 1 по одному. Таким образом, вероятность того, что система находиться в со- стоянии Xk в момент времени t + Δt равна: ( ) ( ) ( ) ( ),kP t t P A P B P C      1 1( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 1) ( ),k k k kP t t P t t P t k t k t P t                 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ),k k k k k P t t P t P t k P t k P t t                  1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1) ( ),k k k k дP t P t k P t k P tдt              0 0 1 ( ) ( ) ( ),дP t P t P tдt       58 1 ( ) ( ) ( ),n n n дP t P t n P tдt       где n – число каналов обслуживания. Решив систему уравнений, можно найти вероятности для любого состояния системы. Однако на практике используют установив- шийся режим функционирования системы массового обслуживания, т. е. такой режим, когда t  . Таким образом, для установившегося режима ( ) constkP t  т. е. не зависит от времени t, и производная ( )kP t равна нулю, система преобразуется к следующему виду:     0 1 1 1 0 ; 0 ; 0 1 1 . n n k k P P P n P Pk k P k P                           Сделаем следующую подстановку: 1 0 1 ; 0; 0; k k k k k Z P k P Z Z Z            0;kZ  1;k kP Pk     1 0;P P   2 2 1 0 1 . 2 2 P P P         59 Пусть    , тогда 0;! k kP Pk   0 0 0 0 0 11 1 , ! ! kk n k n k kk nk k k P P P k k               где nP – вероятность того, что все каналы будут заняты, т. е. веро- ятность отказа поступившего требования на обслуживание; А – вероятность обслуживания; обслуж отказа1P P  – вероятность того, что одно требование, по- ступившее в систему будет обслужено. Абсолютная пропускная способность системы: обслуж (1 ).nN P P      6.3.2. Определение параметров складской системы 1530Q  т – годовой грузооборот склада; 365T  дн; 24,23q  т – средний размер партий груза; 1 4,28  дн; 0,55d  т/м2 – средняя нагрузка груза на площадку склада. Необходимо определить площадь склада, практически обеспечи- вающую хранение грузооборота. Вероятность обслуживания долж- на быть не менее обслуж0,95( 0,95)P  . 1530 0,173 24,23 365 Q q T      партий/день; 60 1 1 0,23 4,28     партий/день, где  – интенсивность обслуживания; s – площадь, занимаемая одной партией груза: 24,23 44,05 0,55 qs d    м2. Необходимое количество площадок под одну партию товара min 0,173 4,28 0,74n     площадки; обслуж 1 ;nP P  ;   0.! n nP Pn      Нахождение вероятности обслуживания на количество мест: n 1 2 3 обслужP 0,57 0,86 0,97 n = 3 (результаты расчетов приведены в таблице 6). 61 Таблица 6 – Результаты расчетов k k ! k k  0 ! kk n k k    Р0 Рn обслужP 0 1 1 1 1 1 0 1 0,74 0,74 1,74 0,574713 0,425287 0,574713 2 0,5476 0,2738 2,0138 0,496574 0,135962 0,864038 3 0,405224 0,067537333 2,081337 0,48046 0,032449 0,967551 44,05 3 132,15S s n     м2. обслуж 0,173 0,97 0,17N P      т/дн. 62 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Минюк, С. А. Математические методы и модели в экономике : учебное пособие / С. А. Минюк, Е. А. Ровба, К. К. Кузьмич. – Минск : ТетраСистемс, 2002. – 432 с. 2. Кузьмицкая, Э. Е. Экономико-математические методы и модели : Практикум для студентов специальности 1-08 01 01-08 «Экономика и управление» / Э. Е. Кузьмицкая. – Минск : МГВРК, 2003. 3. Гусева, С. Т. Экономико-математические методы и модели : практикум для студентов экономических специальностей / С. Т. Гу- сева, Л. П. Махнист, В. С. Рубанов – Брест : БГТУ, 2000. – 92 с. 4. Экономико-математические методы и модели : практикум / С. Ф. Миксюк [и др.]; под ред. С. Ф. Миксюк. – Минск : БГЭУ, 2008. 5. Экономико-математические методы и модели : учебное посо- бие / Н. И. Холод [и др.]; под общ. ред. А. В. Кузнецова. – 2-е изд. – Минск : БГЭУ, 2000. – 412 с. 63 СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………….. 3 Глава I. ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ……………………… 5 Глава II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ И УПРАВЛЕНИЯ…………………………. 19 Глава III. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ……………. 22 3.1. Модель Уилсона (простейшая модель)…………………….. 22 3.2. Модель с дефицитом при учете неудовлетворенных требований………………………………… 24 3.3. Модель с дефицитом при потере неудовлетворенных требований………………………………… 27 Глава IV. МОДЕЛИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ……… 30 4.1. Многоканальная СМО с отказами………………………….. 30 4.2. Многоканальная СМО с ожиданием и ограничением длины очереди……………………………………………………. 32 4.3. Многоканальная СМО с ожиданием и неограниченной очередью…………………………………….. 35 Глава V. ПРИМЕРЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ ПРИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОМ СПРОСЕ НА ТОВАР……………………………………………... 37 5.1. Расчет параметров системы обслуживания при известной интенсивности поступления товара…………….. 37 5.2. Определение параметров системы обслуживания с учетом убытков из-за неудовлетворенного спроса…………… 40 5.3. Определение точки заказа…………………………………… 44 5.4. Определение нормы и норматива запаса товара на складе при нелинейной функции среднедневного расхода… 46 Глава VI. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ ОБСЛУЖИВАНИЯ ПРИ СЛУЧАЙНОМ СПРОСЕ НА ТОВАР………………………………………………………… 48 6.1. Определение параметров спроса с незначительными затратами на хранение товара........................................................ 48 64 6.2. Определение параметров складской системы с учетом затрат на хранение товара……………………………………….. 51 6.3. Определение параметров складской системы на основе массового обслуживания……………………………… 54 6.3.1. Расчет системы массового обслуживания с потерями…… 54 6.3.2. Определение параметров складской системы……………. 59 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА…………………………… 62 65 Учебное издание БАЙКОВА Надежда Иосифовна КОСОВСКИЙ Андрей Аркадьевич КОНДРАТЕНКО Ирина Игоревна ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ И МОДЕЛЕЙ В ЛОГИСТИКЕ Методическое пособие для слушателей РИИТ специальности 1-26 06 85 «Логистика» Редактор Т. А. Зезюльчик Компьютерная верстка А. Г. Занкевич Подписано в печать 18.12.2013. Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 3,72. Уч.-изд. л. 2,91. Тираж 100. Заказ 1233. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Пр. Независимости, 65. 220013, г. Минск.