МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра кораблестроения и гидравлики И. В. Качанов В. В. Кулебякин В. К. Недбальский МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА Курс лекций Ч а с т ь 4 Минск БНТУ 2014 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра кораблестроения и гидравлики И. В. Качанов В. В. Кулебякин В. К. Недбальский МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА Курс лекций В 4 частях Ч а с т ь 4 М и н с к Б Н Т У 2 0 1 4 2 УДК 532.5 – 533.6 ББК 30.123я7 К30 Рецензенты : доктор физико-математических наук С. П. Фисенко; доктор физико-математических наук В. А. Бабенко К30 Качанов, И.В. Механика жидкости и газа: курс лекций: в 4 ч. / И. В. Качанов, В. В. Кулебякин, В. К. Недбальский. – Минск : БНТУ, 2010–2014. – Ч. 4. – 58 с. ISBN 978-985-550-014-9 (Ч. 4). Издание содержит изложение основных разделов механики жидкости и газа в объеме курса лекций, предусмотренных учебным планом для строительных специ- альностей БНТУ. Может быть использовано в самостоятельной работе студентов, для подготовки к экзаменам и зачетам, при проведении лабораторных работ и прак- тических занятий, окажет большую помощь студентам других специальностей, изу- чающим гидравлику. Издается с 2010 г. Часть 3 настоящего издания вышла в 2012 г. в БНТУ. УДК 532.5 – 533.6 ББК 30.123я7 ISBN 978-985-550-014-9 (Ч. 4) © Качанов И. В., ISBN 978-985-525-261-1 Кулебякин В. В., Недбальский В. К., 2014 © Белорусский национальный технический университет, 2014 3 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТЕЙ 1.1. Общие положения При рассмотрении движения жидких и газообразных сред ряд его параметров (скорость, давление, энергия и т. д.) задается или определяется в виде функциональных зависимостей, опирающихся на фундаментальные физические законы и выраженных, как прави- ло, в виде дифференциальных уравнений. Эти уравнения служат как для выявления качественных особенностей того или иного типа движения, так и для определения численных значений характери- зующих его параметров с помощью различных математических операций. Однако зачастую при решении гидромеханических задач приходится сталкиваться с непреодолимыми математическими про- блемами, которые пока не позволяют получить аналитические ре- шения, необходимые для инженерной практики. В некоторых слу- чаях вообще отсутствует математическая постановка задачи, по- скольку рассматриваемое явление настолько сложно, что для него пока еще нет адекватной модели течения. При этом следует иметь в виду, что любая физико-математическая модель лишь с каким-то приближением описывает поведение изучаемого объекта, а степень этого приближения обусловлена упрощающими предпосылками и гипотезами, которые положены в ее основу. Общий принцип сво- дится к тому, что с усложнением математической модели какого- либо течения жидкости за счет более полного учета влияющих на него факторов уменьшаются возможности получения точного, имеющего практическое значение решения задачи. Но даже если модель разрешима, т. е. определяющие ее уравнения могут быть проинтегрированы, то считать, что поставленная конкретная задача решена, можно только тогда, когда полученные результаты удовле- творительно согласуются с тем, что наблюдается в реальности. Если модель более-менее адекватно отражает поведение и свойства ре- ального объекта, то ее можно улучшить, т. е. ввести дополнитель- ные факторы, не учтенные ранее. Вышесказанное подчеркивает определяющую роль эксперимен- тальных исследований в изучении сложных течений жидкостей и газов, особенно в случаях, когда отсутствует адекватная модель то- го или иного явления. Для правильной реализации эксперимента и 4 обработки его результатов необходимо вникать в сущность рас- сматриваемого явления и выполнить общий качественный его ана- лиз. При постановке опыта очень важно дать ответ на вопросы о выборе параметров модели и виде зависимостей, характеризующих исследуемые стороны явления. Этот анализ может быть проведен с использованием теории размерностей и подобия, с помощью кото- рой можно выбрать минимальное число безразмерных параметров, в наиболее удобной форме отражающих основные эффекты изучае- мого явления. Следует понимать, однако, что ролью теоретической основы эксперимента применение теории подобия не ограничивает- ся; она дает методы построения оптимальной структуры зависимо- стей и безразмерных комбинаций входящих в них физических па- раметров. В начальной стадии изучения сложных явлений теория размерностей иногда является единственно возможным теоретиче- ским методом. С помощью теории размерностей и подобия можно получить особо ценные выводы при рассмотрении явлений, кото- рые зависят от большого числа параметров. Одно из наиболее удачных определений понятия «подобие» принадлежит академику Л.И. Седову: «Два явления мы называем физически подобными, если по заданным характеристикам одного явления можно получить все характеристики другого явления про- стым пересчетом, аналогичным переходу от одной системы единиц измерения к другой системе». В общем случае различают три вида подобия: геометрическое, кинематическое и динамическое. Наиболее простым является подо- бие геометрическое, требующее, чтобы линейные размеры натуры и модели находились в постоянном соотношении, иначе говоря, мо- дель повторяет натуру в выбранном масштабе. Если параметры на- турного объекта (потока) отметить индексом 1, а модельного – ин- дексом 2, то все линейные размеры геометрически подобных пото- ков будут связаны соотношением 1 2 ,L L k L  где kL – линейный масштаб. 5 В геометрически подобных потоках вышеуказанным соотноше- нием связаны все линейные размеры, в том числе и координаты то- чек потоков, которые называются сходственными. Если в натурном потоке выбрать его характерный линейный размер (например, диа- метр трубы или обтекаемого тела) Lн, а в модельном – соответст- вующий размер Lм за единицы измерения всех линейных величин, то можно найти отношения 1 1 н ;L L L  2 2 м ,L L L  которые могут быть (в частности) безразмерными координатами сходственных точек потоков. Можно записать 1 1 н 1 2 2 м 2 L L L L L Lk k L L L L    и, следовательно, 1 2 1.L L  Таким образом, безразмерные координаты сходственных точек в натурном и модельном потоках одинаковы. Обозначим скорости в сходственных точках установившихся по- токов как iu и 2u , а их проекции на i-ю ось координат соответст- венно 1iu и 2iu . Если отношение 1 и 2 i i u k u  6 одинаково для любой пары сходственных точек, то такие потоки называются кинематически подобными. Легко показать, что кине- матическое подобие потоков предполагает геометрическое подобие их линий тока. Действительно, уравнения линий тока в натурном и модельном потоках (для случая плоского течения) 1 1 1 1 d d ; x y x y u u  3 2 2 2 d d , x y x y u u  и, если почленно разделить эти уравнения друг на друга, получим 1 21 1 1 1 2 2 2 1 2 2 d d d d1 d d d d x x и x y и u ux y y yk x y u u y k y    или 2 1 2 1 d d . d d y y x x  Последнее соотношение показывает, что углы наклона касатель- ных к линиям тока для двух потоков одинаковы в сходственных точках, что и определяет геометрическое подобие картины линий тока. Для установившихся течений это будет также геометрическим подобием траекторий движения жидких частиц. Если потоки неустановившиеся, то условие кинематического по- добия должно выполняться в сходственные моменты времени, оп- ределяемые соотношениями 1 2 .t t k t   Если Δt1 и Δt2 – малые интервалы времени, за которые жидкие частицы проходят сходственные отрезки путей, то 7 u1 = ΔL1 / Δt1; u2 = ΔL2 / Δt2; 1 1 2 2 2 1 const.Lt и t L u kk t L u k       Таким образом, в случае неустановившихся потоков, они будут кинематически подобными, если отношение отрезков времени, за- трачиваемых жидкими частицами на прохождение сходственных отрезков путей, является постоянной величиной. Если в кинематически подобных потоках выбрать характерные масштабы скоростей 1 и 2 и с их помощью определить безраз- мерные скорости 1 1 1 ;u u 2 2 2 ,u u то можно показать, что в сходственных точках безразмерные скоро- сти будут одинаковы: 1 1 2 2 2 1 1 1.и и u u k u u k    И, наконец, имея в виду, что механическое движение происходит под действием сил, вводится понятие динамического подобия, ко- торое требует, чтобы в сходственных точках натурного и модельно- го течений равнодействующие сил, приложенных к жидким части- цам, находились в постоянном соотношении. Если обозначить про- екции сил на координатные оси через F1i и F2i, то сформулирован- ное выше условие можно записать как 8 1 2 const.i F i F k F   Из приведенных определений понятно, что кинематическое и динамическое подобия могут существовать только при наличии геометрического подобия. Если же в сходственных точках двух геометрически подобных потоков выполняются условия еще и ки- нематического и динамического подобия, то такие потоки называ- ются механически подобными. Рассмотрим условие существования динамического подобия в случае действия на жидкие частицы сил инерции. Как известно, в этом случае движение любой механической системы подчиняется второму закону Ньютона d . d uf m t  Для двух жидких частиц (в натурном и модельном потоках) можно записать 1 2 1 1 2 2 1 2 d dи . d d u uf m f m t t   Разделив почленно первое уравнение на второе, получим 1 1 1 2 2 2 2 1 d d , d d f m u t f m u t  или, переходя к характерным масштабам физических величин: 1 1 1 2 2 2 2 1 .F M U T F M U T  9 Далее, учитывая, что 3,M V L    имеем 3 1 1 1 1 2 3 2 2 2 2 .F L U T F L U T   Очевидно, что LT есть скорость, поэтому 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 ,F L U F L U   т. е. 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 ,F F L U L U   что, собственно, является условием динамического подобия. Таким образом, для двух механически подобных систем сохра- няется числовое равенство в сходственных точках безразмерных комплексов 2 2 F L U . Этот комплекс, названный в честь И. Ньютона, обычно обозначается двумя первыми буквами его фамилии, а усло- вие динамического подобия коротко записывается как постоянство критерия подобия Ньютона: 2 2Ne idem. F L U   Из определений кинематического и динамического подобия вы- текает, что безразмерные координаты сходственных точек, безраз- мерные скорости и силы одинаковы. Вообще говоря, нетрудно убе- диться, что все физические параметры механически подобных по- токов, представленные в безразмерном виде, для сходственных точек одинаковы. Одинаковость безразмерных значений физиче- 10 ских параметров можно рассматривать как определение механиче- ского подобия. В свою очередь, должны быть одинаковыми систе- мы дифференциальных уравнений, представленные в безразмерном виде, из которых получаются эти параметры. Учитывая, что кон- кретное решение системы уравнений, описывающей рассматривае- мый гидродинамический процесс, может быть получено только при учете заданных начальных и граничных условий, приходим к выво- ду, что начальные и граничные условия, представленные в безраз- мерной форме, для механически подобных потоков также должны быть одинаковыми. Таким образом, если две системы описываются одинаковыми дифференциальными уравнениями и имеют одинаковые граничные условия и если значения всех параметров в этих уравнениях и гра- ничных условиях равны, то при условии существования единствен- ности решения эти две системы механически подобны. Следует, однако, понимать, что существуют качественно различ- ные (не подобные механически) физические явления, описываемые одинаковыми уравнениями. Такие явления называются аналогиями, например, электрогидродинамическая аналогия, в которой исполь- зуется одинаковость описания уравнением Лапласа распределения электрического потенциала и потенциала скорости. Важно отметить, что для обеспечения механического подобия в натурном и модельном потоках требуется постоянство безразмер- ных комплексов, называемых критериями подобия и включающих характерные параметры процессов. Это позволяет существенно со- кратить объем экспериментов при исследовании течений жидкостей и газов и рационально выбирать условия их проведения. Ответ на вопрос о выборе критериев подобия, характеризующих исследуе- мый процесс, является определяющим при моделировании. 1.2. Критерии механического подобия, понятие автомодельности В механике жидкости наиболее общими соотношениями, описы- вающими движение вязких сред, является система уравнений На- вье–Стокса. Рассмотрим одну из проекций этих уравнений в декар- товой системе координат и преобразуем ее в безразмерный вид. 11 В проекции на ось x имеем x x x x x y z u u u uu u u t x y z           2 2 2 2 2 2 1 .x x x u u upX x x y z                 Выберем характерные масштабы физических параметров L,  , T, P, X0 и с их помощью образуем безразмерные величины ; ; ;x y zx y z L L L    ; ; ;yx zx y z uu uu u u     0 ; ; .p X tp X t P X T    Плотность и вязкость считаем величинами постоянными, поэто- му выбирать для них характерный масштаб нет необходимости. По- сле замены размерных параметров на безразмерные уравнение при- мет вид 2 x x x x x y z u u u uu u u T t L x y z               2 2 2 0 2 2 2 2 . x x xu u uP pXX L x L x y z                 В этой форме уравнение еще не является безразмерным, по- скольку в нем имеются размерные комплексы перед каждым диф- 12 ференциальным членом. Чтобы получить безразмерный вид урав- нения, нужно разделить его на любой из этих комплексов, напри- мер, на 2 / L . Тогда получим действительно безразмерное уравнение: x x x x x y z u u u uL u u u T t x y z            2 2 2 0 2 2 2 2 2 , x x xX L u u uP pX x L x y z                  причем безразмерными являются не только члены уравнения, но и стоящие перед ними комплексы из характерных физических пара- метров процесса. В соответствии с принципами механического подобия, изложен- ными в предыдущем разделе, эти комплексы, входящие в уравнение в качестве коэффициентов, должны быть одинаковыми для подоб- ных потоков, т. е. 0 2idem; idem; X LL T    2 idem; idem. P L   Выписанные выше безразмерные комплексы являются, таким образом, критериями подобия и получили собственные наименова- ния (в честь выдающихся ученых-механиков): ShL T  – критерий гомохронности, или число подобия Струхаля; 2 Fr gL   – число Фруда (в случае действия силы тяжести X0 = g); 13 2 Eu p p   – число Эйлера; ReL  – уже известное число Рейнольдса. Обобщая изложенное, можно сделать вывод, что одинаковые безразмерные дифференциальные уравнения в сочетании с одина- ковыми безразмерными граничными и начальными условиями, а также с одинаковыми значениями критериев подобия являются не- обходимыми условиями механического подобия. Вопрос о доста- точности этих условий для существования механического подобия связан с теоремой существования и единственности решения урав- нений Навье–Стокса, которая в общем случае не доказана. На прак- тике существование и единственность класса потоков, подобного натурному, предполагают a priori, модель выполняют в соответст- вии с необходимыми условиями подобия, а ее принадлежность к указанному классу проверяют при сопоставлении результатов изме- рений на модели с данными (пусть и ограниченными), полученны- ми на натуре. Рассмотрим физический смысл критериев подобия, выражения для которых мы получены выше. Число Sh представляет собой от- ношение локальных сил инерции к конвективным. Чтобы показать это, рассмотрим отношение соответствующих членов в уравнении движения Навье–Стокса Sh. u Lt T u Tu x L         Число Эйлера Eu выражает отношение сил давления к силам инерции: 2 1 1 Eu. p p px L uu x L          14 Число Фруда Fr характеризует отношение сил инерции к силам тяжести: 2 Fr. uu x L g g gL      Число Рейнольдса Re представляет отношение сил инерции к си- лам вязкости: 2 22 Re. uu Lx L u Ly          Следует отметить, что соответствующие критерии дают только оценку отношения тех или иных сил по порядку величины (отно- шение – не значит равно), кроме того, вопрос о правильности ин- терпретации чисел подобия как отношения соответствующих сил ставился рядом исследователей. Во всяком случае, еще Прандтль высказывал мнение о том, что число Рейнольдса не всегда равно отношению силы инерции к силе внутреннего трения. Более точ- ным и правильным является утверждение, что если две системы геометрически подобны и течение в них происходят при одинако- вых числах Рейнольдса, то отношение сил инерции к силам трения в обоих потоках одинаково. Очевидно, что для достижения полного механического подобия необходимо одновременное равенство в сравниваемых потоках не- скольких критериев. Рассмотрим в этой связи, например, совмести- мость критериев Re и Fr. Если Fr = idem: 2 2 1 2 1 1 2 2 ; g L g L   2 2 2 1 1 1 .g L g L   15 Таким образом, масштабы характерных величин должны быть связаны между собой: .u L Fk k k Если Re = idem: 1 1 2 2 1 2 ;L L   1 1 2 2 2 1 .L L    Следовательно, масштабы величин должны удовлетворять соот- ношению .u L kk k  Получается, что для того чтобы выполнить условие подобия по числу Fr, скорость модельного потока должна быть меньше скоро- сти в натурном объекте, а удовлетворение требований подобия по числу Re требует противоположного. Практически следует считать, что критерии Фруда Fr и Рейнольдса Re несовместимы. Однако, учитывая, что в любом гидродинамическом явлении можно выде- лить лишь одну силу, влияние которой на характер движения явля- ется определяющим, можно проводить моделирование только по одному критерию подобия. В частности, течения со свободной по- верхностью в поле сил тяжести обычно моделируются с использо- ванием критерия Фруда, напорные течения в трубах и каналах без образования свободной поверхности – с помощью критерия Рей- нольдса. Если изучается установившееся движение, при котором параметры потока не изменяются с течением времени, то из рас- смотрения выпадает число Струхаля. Число Эйлера чаще всего яв- ляется неопределяющим критерием и представляет собой функцию Fr и (или) Re. Очевидно, что моделирование по какому-либо одному критерию подобия оставляет открытым вопрос о подобии других сил, этим критерием не учитываемых. Такое подобие является при- ближенным, однако теория подобия позволяет указать рациональ- ную методику внесения поправок на неточность соблюдения ее требований. 16 Следует отметить некоторые особенности моделирования тече- ний жидкости и газа, не рассматриваемые теоретически. Первая из них обусловлена невозможностью практической реализации полно- го геометрического подобия, в связи с чем возникли понятия гео- метрического подобия в «большом» и «малом». Кажется очевид- ным, что, по определению, геометрическое подобие натурного объ- екта и модели может быть легко реализовано, ведь, по существу, это введение некоего числа – геометрического – масштаба для пере- счета размеров. Однако подобие геометрических характеристик на- турного и модельного объектов относится к подобию в «большом». Вместе с тем в реальности стенки как натурного проекта, так и мо- дели имеют какую-то шероховатость. Очевидно, что моделирование естественной шероховатости практически невозможно и геометри- ческое подобие в «малом» недостижимо. Вторая особенность в об- щем связана с этим и называется «масштабным эффектом». Суть его в том, что моделирование, основанное на классических принци- пах теории подобия, не обеспечивает масштабный переход. Это оз- начает, что эффективность различного рода промышленных техно- логических аппаратов оказывается не такой, какая должна была бы быть по результатам, полученным пересчетом с модельных испыта- ний. Более того, она ухудшается по мере увеличения размеров ап- паратов. Это зачастую вынуждает отказываться от испытаний на моделях и переходить к испытаниям на объектах, построенных в натуральную величину, что резко повышает стоимость эксперимен- тов, а при создании особо крупных аппаратов такой подход вообще невозможно реализовать. Исследования, выполненные в последние годы, показали, что в основе масштабного эффекта лежат чисто гидродинамические явления: неравномерность распределения пото- ков по сечению аппарата, увеличение масштабов турбулентности, соотношение этих масштабов и шероховатости поверхности и т. п. В заключение рассмотрим понятие автомодельности, широко употребимое в теории подобия. При моделировании какого-либо явления значения критериев подобия можно определить лишь для тех из них, которые заданы в постановке задачи. Например, рас- сматривая течение в трубе, можно определить число Re (по разме- рам канала и средней скорости на входе), но нельзя определить чис- ло Eu, поскольку величины давлений заранее неизвестны и могут быть определены только из решения задачи. Таким образом, в любой 17 задаче некоторые из критериев могут быть вычислены только после ее решения и, следовательно, являются функциями других критери- ев, которые определяются через исходные параметры и называются определяющими. Следует понимать, что в зависимости от поста- новки задачи определяющие критерии могут становиться неопреде- ляющими, и наоборот. Может также сложиться ситуация, когда ни один из критериев не является определяющим, тогда комбинация из них будет играть роль определяющего критерия. Представим, что в интересующем нас процессе (течение в трубе) определяющим критерием является число Рейнольдса и связь меж- ду критериями подобия выражается зависимостью вида Eu = f(Re). Как показывает опыт, при увеличении числа Рейнольдса зависи- мость Eu = f(Re) при некотором конкретном для каждого случая значении числа Re, называемом граничным, «вырождается», т. е. число Эйлера перестает зависеть от числа Рейнольдса. Очевидно, при этом механизм процесса таков, что никаких условий для подо- бия не требуется и все процессы такого типа автоматически подоб- ны между собой. Этот случай и называется автомодельностью, т. е., вообще говоря, под автомодельной понимают область, в которой неопределяющее число подобия перестает зависеть от определяю- щего. Действительно, в области, где Eu = f(Re) экспериментатор должен заботиться о том, чтобы значения определяющего критерия подобия для натурного объекта и модели совпадали: Reн = Reм, что далеко не всегда возможно. В автомодельной же области достаточ- но, чтобы значение этого критерия превышало некоторое граничное Reн  Reгр. Нужно лишь помнить, что какого-то универсального значения Reгр не существует, это число всегда зависит от природы изучаемого процесса. 1.3. Метод размерностей, π-теорема Зависимости, связывающие между собой различные параметры гидродинамических процессов, представляют, как правило, физиче- ские законы (или следствия из них), поэтому их структура и форма не должны зависеть от используемой системы единиц измерения. Учитывая это, а также возможность использования для выражения физических величин различных систем единиц, можно установить общие свойства соотношений, описывающих физические процессы. 18 Если некоторые из этих физических величин принять за основные и установить для них единицы измерения, то единицы измерения прочих величин будут выражаться с использованием связывающих их зависимостей через единицы измерения основных величин. При- нятые для основных параметров единицы измерения называются основными, а все остальные – производными. Число основных еди- ниц измерения можно выбирать произвольно, однако увеличение количества основных единиц приводит к введению дополнительных физических постоянных. В механике достаточно выбрать единицы измерения только для трех основных величин: единицы длины, массы и времени. После выбора основных единиц измерения еди- ницы измерения остальных механических величин получаются ав- томатически из их определения с использованием физических зако- номерностей. Под размерностью понимают выражение (иногда его называют формулой) в виде зависимости, связывающей символ производной единицы измерения с символами основных единиц. Так, если вве- сти символ единицы длины L, символ единицы массы М, символ единицы времени Т, то размерностью площади будет L2, размерно- стью скорости L/T или LT–1, размерностью силы MLT–2. При этом важно понимать, что любое правильное физическое соотношение, выраженное в виде уравнения, должно быть размерностно однород- ным, что означает строго одинаковую размерность величин как в правой, так и в левой его частях. Достаточно очевидным является также такое утверждение: отношение двух численных значений ка- кой-нибудь производной величины не должно зависеть от выбора масштабов для основных единиц измерения. Например, отношение площади, занимаемой окнами дома, к площади стен должно остать- ся неизменным, если сами площади выражать в м2, мм2 или км2. Рассмотрим, например, некую функциональную зависимость между размерной величиной А и другими размерными величинами А1, А2,…,Аn, причем некоторые из этих параметров могут быть пе- ременными:  1 2 1, , , , , , .k k nA f A A A A A   19 Установим структуру функции f, полагая, что она выражает не- который физический закон. Допустим, что первые k среди размер- ных величин А имеют независимые размерности (число основных единиц измерения, естественно, должно быть больше или равно k). Независимость размерности означает, что формула размерности любой из величин не может быть представлена как степенная ком- бинация из формул размерностей других величин. Так, например, размерности длины L, скорости LT–1 и энергии ML2T–2 независимы, а размерности длины L, скорости LT–1 и ускорения LT–2 – зависимы. Среди механических величин, как правило, встречается не более трех с независимыми размерностями. В соответствии с вышеска- занным, размерности параметров A, Ak + 1, …, An можно выразить через размерности величин A1, A2,…, Ak. Если для k независимых величин в нашем функциональном со- отношении ввести обозначения для их размерностей [A1] = R1, [A2] = R2, …, [Ak] = Rk, то размерности остальных величин будут иметь вид   1 21 2 ;kmm m kA R R R     1 2 1 21 1 2 1 2, , .k kp qp p q qk nk kA R R R A R R R     Изменим теперь единицы измерения величин с независимыми размерностями А1, А2, …, Аk соответственно в α1, α2, …, αk раз. Тогда все величины изменят свои численные значения в новой системе единиц (со штрихом) и будут выражаться соотношениями 1 2 1 1 1 1 2; ;k mm m kA A A A       1 2 2 2 2 1 11 2; ;k pp p k kkA A A A        …………………………………………… 1 2 1 2; .k qq q k k k n nkA A A A       20 Важно отметить, что вид исходной функциональной зависимо- сти при этом не должен измениться, поскольку, как было условле- но, она выражает некий физический закон. В новой системе единиц эта зависимость примет вид  1 2 1 2 1 21 2 1 2 , , ,k km mm m m m nk kA A f A A A                 1 2 1 21 1 11 2 1 2, , , , , , , , , .k kp qp p q qk k k nk kf A A A A            Поскольку на выбор масштабов не накладывалось никаких огра- ничений, т. е. они произвольны, то их величины можно определить таким образом, чтобы сократить число аргументов в функции f: 1 2 1 2 1 1 1; ; ; .k kA A A       Таким образом, первые k аргументов функции f примут постоян- ное значение, равное единице и, следовательно, число аргументов сократится на величину k. В этой относительной системе единиц значения других параметров определятся формулами 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 ; ; ; . k k k k n k nm p qm m p p q q k k k A AAA A A A A A A A A A A A             Очевидно, что полученные комплексы являются безразмерными и вообще не зависят от выбора системы тех единиц измерения, че- рез которые выражаются величины А1, А2, …, Аk. Вводя для них обозначения π, π1,…, πn–k, рассматриваемое исходное соотношение можно записать, как  11,1, , , , n kf      или  1 2, , , , 0.n k      21 Таким образом, выражающая некий физический закон функцио- нальная связь между n + 1 размерными величинами, из которых k величин имеют независимые размерности, может быть представле- на в виде соотношения между n – k + 1 безразмерными величинами π, π1,…, πn–k, представляющими собой комбинации из k + 1 размер- ных величин. Это основная теорема теории подобия, получившая название π-теоремы. В приложении этой теоремы к задачам о движении вязкой упру- гой жидкости можно классифицировать три группы размерных па- раметров: – геометрические характеристики, выражающие размеры и фор- мы граничных поверхностей (L1, L2 и т. д.); – кинематические и динамические характеристики течения: ско- рость u, давление p, касательное напряжение τ, сила сопротивления F; – характеристики физических свойств жидкости: плотность ρ, вязкость μ, поверхностное натяжение σ, упругость ε. Использование анализа размерностей для решения конкретных практических задач связано с необходимостью составления функ- циональной зависимости, которая на следующем этапе обрабатыва- ется специальными приемами, приводящими в конечном итоге к получению чисел  (чисел подобия). Основным, носящим творче- ский характер является первый этап, так как получаемые результа- ты зависят от того, насколько правильно и полно представление ис- следователя о физической природе процесса. Другими словами, на- сколько функциональная зависимость правильно и полно учитывает все параметры, влияющие на изучаемый процесс. Составление пол- ного списка параметров, определяющих исследуемый процесс, та- ким образом, является важной частью решения задачи методом размерностей. В качестве конкретного примера использования метода размер- ностей рассмотрим задачу о течении вязкой несжимаемой жидкости в круглой трубе. Предположим, что проблема состоит в определе- нии структуры зависимости падения давления Δp на участке трубы длиной l. Из геометрических параметров для труб можно указать длину участка l и диаметр трубы d. При этом разумно считать, что потери должны быть как-то связаны с состоянием внутренней поверхности трубы, т. е. с шероховатостью k ее стенок. Полагаем, что при тече- 22 нии заданной жидкости (плотность ρ и вязкость μ) между характер- ной скоростью υ и падением давления на мерном участке устанав- ливается однозначное соответствие. Падение давления вдоль трубы обусловлено затратами энергии на преодоление сил вязкого трения и, очевидно, обратно пропорционально ее длине, поэтому с целью сокращения числа переменных целесообразно рассматривать не Δp, а ∆р / l, т. е. потери давления на единицу длины трубы. Таким обра- зом, зависимость в данном случае будет иметь вид , , , , , 0.pd k l         Число размерных параметров, влияющих на решение, 6, число параметров с независимой размерностью 3 (скорость υ, плотность ρ и диаметр d). Следовательно, число безразмерных комплексов 3, а искомая зависимость примет вид  1 2 3, , 0,F     где числа π – безразмерные критерии подобия. Вопрос – как их найти? Самый незамысловатый способ – рас- смотреть всевозможные комбинации определяющих параметров и выбрать из них безразмерные, но независимые. Существует, однако, простой алгоритм, предложенный еще Рэлеем, которым мы вос- пользуемся. Из определяющих параметров задачи выбираем три, содержащих основные единицы измерения. Пусть это будут пара- метры с независимой размерностью υ, d, ρ. Образуем из них числа π в виде степенных функций, умноженных на один из остальных па- раметров: 1 1 1 1 ; x y z pd l     2 2 2 2 ; x y zd     3 3 3 3 . x y zd k    23 Теперь остается найти показатели степеней x, y, z, исходя из ус- ловия безразмерности образованных таким способом комплексов. Составим формулы размерности:          1 1 1 11 1 13 2 11 3 2 21 ;zx z x yy zLT L ML ML T L M                  2 2 2 22 2 2 23 1 1 11 3 1 12 ;zx z x yy x zLT L ML ML T L T M                 3 3 3 33 3 3 33 11 33 .zx z x yy x zLT L ML L L T M       1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 2 0, 2 0, отсюда Eu . 1 0, x y z p p d dx d l l l z                  2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 3 1 0, 1 0, отсюда Re . 1 0, x y z x d d d z                       3 3 1 3 3 3 3 1 0, 0, отсюда . 0, x y z kx d k d z           Таким образом, структура искомой зависимости потерь давления по длине трубы, выраженная через безразмерные критерии, образо- ванные из размерных параметров течения, имеет вид 2Eu , Re , , 0. d k p d d dF F l d l l             Учитывая, что число Эйлера Eu в данном случае является неоп- ределяющим критерием подобия, эту зависимость можно перепи- сать в виде 24 2Eu Re, p l k d d         или 2Re, .k lp d d        Обозначив 2 Re, ,k d       получим известную (уже не раз упоминавшуюся в данном курсе лекций) формулу Дарси–Вейсбаха для потерь давления при течении вязкой жидкости в цилиндрической трубе: 2 . 2 lp d    Таким образом, методы теории размерностей позволяют из об- щих соображений получить структуру связи параметров течения в виде функциональной зависимости безразмерных критериев, со- ставленных из размерных параметров движения жидкости, ее физи- ческих свойств и геометрических характеристик области течения. При этом конкретный вид того или иного соотношения либо вели- чину коэффициентов, входящих в эту функциональную зависи- мость, следует уточнять по результатам численного расчета и экс- периментальным данным. 25 2. СИЛОВОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ ПОТОКА ЖИДКОСТИ НА ОГРАНИЧИВАЮЩИЕ ЕГО ТВЕРДЫЕ ПОВЕРХНОСТИ Используя теорему об изменении количества движения жидко- сти и предполагая течение одномерным, можно в общем виде полу- чить решение задачи о величине и направлении сил, с которыми установившийся поток жидкости (или газа) воздействует на твер- дые поверхности. Рассмотрим применение уравнения количества движения для случая плоской задачи о силовом воздействии сво- бодной струи, натекающей на преграду. Расчетная схема такого те- чения приведена на рис. 2.1. Рис. 2.1 Представим, что двумерная струя жидкости истекает со скоро- стью υ0 из плоского сопла в пространство, заполненное газом, и сталкивается с криволинейной цилиндрической стенкой. При этом происходит разделение потока на две неравные части со скоростями υ1 и υ2. Направления скоростей этих потоков, как естественно пред- положить, определяются касательными к поверхностям стенки. В предположении идеальности жидкости (т. е. пренебрегая силами трения по сравнению с инерционными силами) из уравнения Бер- нулли для элементарной струйки, распространяющейся вдоль по- верхности стенки, для сечений 0–0 и 1–1 можно получить 2 2 0 1 0 1 .2 2 p p    26 Поскольку давление в любом поперечном сечении струи равно давлению в окружающем пространстве, т. е. p0 = p1 = pатм, то, очевидно, υ0 = υ1. Если провести такую же операцию для сече- ний 0–0 и 2–2, то можно убедиться, что υ0 = υ2, т. е. скорость при растекании по преграде сохраняет свою величину. Это естественно, поскольку силами трения пренебрегали, и это обстоятельство дает возможность распределения скоростей по поперечным сечениям потоков считать однородными. Запишем уравнение количества движения для замкнутой контрольной поверхности, состоящей из свободной поверхности струи, поперечных сечений 0–0, 1–1, 2–2 и поверхности стенки, пренебрегая также силами тяжести: 0 0 1 1 2 2P Q Q Q             . В этом выражении отсутствуют силы давления в соответствую- щих поперечных сечениях потоков жидкости 0–0, 1–1 и 2–2, по- скольку избыточные давления в них равны нулю. Запишем полу- ченное уравнение в проекциях на оси координат, показанные на рис. 2.1: 0 0 1 0 1 2 0 2cos cos ;xP Q Q Q         1 0 1 2 2 2sin sin ,yP Q Q        где β1 > 0 и β2 < 0 – углы схода струи с преграды. На практике часто реализуются ситуации, когда преграда распо- ложена симметрично относительно натекающей струи. В этом слу- чае Q1 = Q2 = Q0/2 и β1 = –β2, поэтому предыдущие формулы упро- стятся:  0 0 1 cos ;xP Q     0.yP  При этом из выражения для силы давления следует, что в случае β = π/2 27 0 0 ,xP Q   но может возрастать для значений угла β > π/2, поскольку в этом случае cos β < 0. Максимальное значение силы давления достигается, если β = π, т. е. когда поток на преграде разворачивается в обратную сторону: max 0 02 .xP Q   Это обстоятельство используют в конструкциях гидравлических турбин, придавая ковшам их рабочего колеса форму, изображенную на рис. 2.2. Рис. 2.2 Рассмотрим широко распространенный случай натекания струи на плоскую преграду под углом α между осью струи и плоскостью стенки (рис. 2.3). Рис. 2.3 28 Очевидно, что сила давления при этом будет направлена по нор- мали к поверхности преграды, поскольку действующим остается предположение о пренебрежении силами трения по сравнению с силами инерции. Тогда проекция силы давления на направление, перпендикулярное поверхности стенки, выразится как 0 0 sin .P Q    Проекция этого же уравнения для силы давления на направление скорости υ1 позволяет определить соотношение между расходами Q1 и Q2: 0 0 1 0 2 0cos 0Q Q Q         или 0 1 2cos .Q Q Q   Используя очевидное соотношение Q0 = Q1 + Q2 можно получить зависимости для расходов разделившегося потока: 1 0 1 cos ; 2 Q Q   2 0 1 cos . 2 Q Q   Отметим в заключение, что полученные решения справедливы лишь в случае, если размер преграды достаточно велик по сравне- нию с поперечным размером струи на выходе из сопла. 29 3. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ НЕУСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Рассмотрим произвольный отрезок элементарной трубки тока в нестационарном движе- нии вязкой несжимаемой жид- кости (рис. 3.1). Уравнения движения жидкости, записан- ные в форме Громеки–Лэмба, имеют вид (см. часть 2) 2grad ,uE u u t          где 2 ; 2 p uE     π – потенциал массовых сил; р – давление; ρ – плотность жидкости; u – вектор мгновенной скорости; ν – кинематический коэффициент вязкости; rot u   – завихренность течения. Выберем на линии тока в момент времени t направленный отре- зок дуги dS и скалярно умножим на него все члены уравнения дви- жения:  2grad d d d d .uE S u S S u St               Очевидно, что векторное произведение A u   направлено по нормали к плоскости, в которой расположены образующие его век- торы, а поскольку векторы dS и u – коллинеарны, то последний член в правой части уравнения будет тождественно равен нулю и уравнение перепишется как Рис. 3.1 30 2grad d d d .uE S u S S t           Следует отметить также, что для каждого данного момента вре- мени grad d d d d dS E E EE S x y z E x y z           является полным дифференциалом функции Е по направлению S. Учитывая вышесказанное, уравнение можно записать в виде 2d d d .S uE u S S t         Если проинтегрировать полученное уравнение вдоль линии тока от некоторого сечения 1 до сечения 2 (для определенного момента времени), получим 2 2 2 1 2 1 1 d d .uE E u S S t           Полагая, что массовые силы, действующие на жидкость, являют- ся силами тяжести, т. е. их потенциал определяется как π = gz, мож- но привести уравнение к привычному виду: 2 2 1 1 2 2 1 2 тр ин ,2 2 p u p uz z h h g g g g          где 2 ин 1 1 duh S g t      – потери напора, обусловленные нестационар- ностью течения, а 31  2 22 2 2 2тр 1 1 d d d dx y zh u S u x u y u zg g             – потери напора вследствие вязкого трения соответственно. Все члены полученного уравнения имеют размерность длины, но по физическому смыслу представляют собой удельную энергию на единицу веса. Продемонстрируем это на примере величины p g . Если рассмотреть какое-либо живое сечение dS элементарной трубки тока (рис. 3.2), где скорость равна u, а давле- ние соответственно р, то при перемеще- нии частиц жидкости, первоначально расположенных в этом сечении, за время dt на расстояние udt силы давления рdS произведут работу d dp Su t . Если отнести ее величину к весу жидкости в объеме d dSu t , т. е. разделить на величину ρg d dSu t , то получим величину p g , представляющую собой удель- ную работу сил давления на единицу веса жидкости. Физический смысл величины трh очевиден из вида формулы, ее определяющей. Поскольку величины 2 xu , 2 yu , 2 zu пред- ставляют собой проекции сил вязкости на оси координат, отнесен- ные к единице массы жидкости, то интеграл определяет работу этих сил на пути от сечения 1 к сечению 2 (см. рис. 3.1). Множитель 1/g переводит величину этой удельной работы на единицу веса. Меха- ническая энергия, расходуемая на преодоление вязких сил трения, необратимо диссипирует в тепло, поэтому трh называют потерей удельной энергии или потерей напора вследствие вязкости. Для общего случая неустановившегося течения в правой части уравнения Бернулли имеется член инh , который называется инерци- онным напором. Его величина зависит от локального ускорения Рис. 3.2 32 жидких частиц и положительна, если течение ускоряется, или отри- цательна в случае замедления течения. Инерционный напор пред- ставляет обратимые (в отличие от напора вязкого трения) измене- ния кинетической энергии потока, обусловленные нестационарно- стью течения. Рассмотрим теперь применение полученного выше нестационар- ного уравнения Бернулли для элементарной струйки вязкой несжи- маемой жидкости к одномерному неустановившемуся потоку в рамках струйной модели течения. При этом ограничимся рассмот- рением только потоков, в которых форма линий тока не меняется во времени, т. е. большинства течений в трубах и каналах с недефор- мируемыми стенками. Для таких движений можно обобщить неста- ционарное уравнение Бернулли на поток конечных размеров, как ранее это было сделано для установившихся течений. Поскольку предполагается, что форма линий тока не меняется во времени, то векторы u t    и dS коллинеарны и их скалярное произ- ведение можно заменить произведением модулей. Тогда среднее по живому сечению потока F значение инерционного напора можно вычислить по выражению 2 ин ин 1 1 1 1d d d . F F uh h gu F u F S gQ Q g t       Ввиду того, что жидкость несжимаема, а форма линий тока не- изменна, расход в элементарной трубке тока udF постоянен в каж- дый данный момент по всей длине трубки, т. е. не зависит от S. По- этому можно поменять порядок интегрирования: 22 2 ин 1 1 1 1d d d d 2F F u uh S u F S F Qg t Qg t          2 220 0 1 1 1 1d 2 d , 2 2 F S F S Qg t Qg t          33 где  – средняя по сечению скорость; 2 0 2 d F u F F     – коэффициент количества движения, который полагаем не зависящим от времени. При наших предположениях расход Q зависит от времени, но не зависит от координаты S, следовательно, можно записать       ,Q t V t F S  и далее 2 2 2 2 0ин 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 d 1 dd d d d . d d Q Qh F S S S S Qg t g t g F t g t F              Когда течение происходит в цилиндрической трубе постоянного поперечного сечения (F = const), можно принять α0 = = const, тогда 0ин 0 d , d d L Q L dh g F t g t     (3.1) где 2 1L S S  – расстояние между выбранными сечениями. Таким образом, уравнение одномерного неустановившегося движения (нестационарного уравнения Бернулли) можно записать в виде 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 ин тр ,2 2 p pz z h h g g g g            где α1 и α2 – коэффициенты Кориолиса, как раньше, в стационарном случае, hин выражается формулой (3.1). Отметим, что усреднение по поперечному сечению потока для ос- тальных членов (кроме инерционного) нестационарного уравнения Бернулли не отличается от аналогичных операций, проделанных ранее с членами уравнения Бернулли для установившегося течения. 34 Потери напора hтр, связанные с вязкостью, при неустановившем- ся течении также следует учитывать. Приближенно их определяют по формулам для установившегося движения, однако результаты некоторых исследований указывают на зависимость этих потерь от ускорений, сопровождающих нестационарные течения жидкостей. Полученное выше уравнение для одномерного неустановивше- гося движения жидкости в прямолинейных трубах не является стро- гим, при его выводе использованы не вполне обоснованные при- ближения и допущения, однако оно достаточно успешно применя- ется в инженерных расчетах и дает приемлемые практические результаты. 35 4. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ УДАР В ТРУБАХ Как показано в главе 3, в случае больших ускорений потока жидкости в трубе влияние инерционного напора может быть весьма существенным. Ситуации, приводящие к подобным явлениям, воз- никают, как правило, при резком открытии или закрытии затворов, включении-выключении насосов и т. п. Если формально рассматри- вать уравнение Бернулли для потока жидкости, полученное в пре- дыдущем разделе, то при очень быстром (мгновенном) закрытии задвижки d dt    , и, следовательно, инh  , а это приводит к выводу о том, должно выполняться 2p  , что не подтверждается опытными данными. Причина этого парадокса заключается в том, что уравнение Бернулли получено в предположении несжимаемо- сти жидкости, а в условиях высоких давлений, сопровождающих явление гидравлического удара, учет упругости жидкости становит- ся существенным. Вначале рассмотрим качественную сторону процесса, называемо- го гидравлическим ударом, который происходит при больших уско- рениях потока в трубе, приводящих к резкому изменению давления. Представим, что в цилиндрической трубе (рис. 4.1), выходящей из большого резервуара с постоян- ным уровнем, в установившемся режиме течет жидкость со сред- ней скоростью 0 . В определенный момент вре- мени затвор А закрывается, в результате чего слои жидкости, непосредственно с ним соприка- сающиеся, останавливаются, затем происходит последовательное торможение жидкости в других слоях, отстоящих на некотором рас- стоянии от затвора. При этом вследствие действия сил инерции происходит уплотнение (сжатие) остановившейся массы жидкости и, соответственно, повышение давления, под действием которого несколько расширяется участок трубы и повышаются напряжения в ее стенках. Расширение трубы сопровождается входом в нее неко- торого дополнительного объема жидкости из резервуара. Рис. 4.1 36 Граница области повышенного давления будет распространяться по трубе в направлении, противоположном первоначальному тече- нию жидкости, и через некоторое время достигнет входа трубы в резервуар. Поскольку емкость резервуара полагается большой и, соответственно, уровень жидкости в нем неизменен, то давление в начальном сечении трубы будет сохраняться постоянным. Таким образом, при достижении волной повышенного давления входа в резервуар заканчивается первая фаза гидравлического удара. Вторая фаза удара начинается с того, что часть уплотненной жидкости будет вытолкнута из трубопровода в резервуар, давление в конце трубы, прилежащей к резервуару, понизится, и волна пони- женного давления будет распространяться по направлению к затво- ру. Появление этой волны изменения давления называют отраже- нием ударной волны от входного конца трубы. В момент, когда от- раженная волна достигнет выходного конца с полностью закрытым затвором, произойдет новое отражение (без перемены знака) и нач- нется третья фаза удара с течением жидкости в трубе по направле- нию к резервуару. Таким образом, в течение второй и третьей фазы из трубы обратно в резервуар выльется объем жидкости, вошедший в трубу в первой фазе. В момент когда волна пониженного давления достигнет началь- ного сечения трубы (у резервуара), начнется четвертая фаза, кото- рая сопровождается распространением по трубе волны повышенно- го давления. При этом жидкость вновь потечет в трубу, к концу четвертой фазы в трубе создадутся условия, близкие к началу пер- вой фазы удара, и процесс повторится. Таким образом, в каждом поперечном сечении трубы возникают колебания давления, которые будут постепенно затухать под дейст- вием сил вязкости. С практической точки зрения важно уметь опре- делять максимальное повышение давления или безопасное время закрытия задвижки, соответствующее предельно допустимому по- вышению давления. Поэтому рассмотрим основные соотношения, характеризующие это явление. Пусть в некоторый момент времени затвор А частично закроется, это приведет к уменьшению скорости на величину 0    вна- чале непосредственно у затвора, а затем это уменьшение распро- странится (как описано выше) на область жидкости, расположен- 37 ную вверх по течению. Допустим, что в момент t это изменение достигнет сечения 1–1, а через малый промежуток времени Δt – се- чения 2–2 (рис. 4.2). Рис. 4.2 Очевидно, что наряду с изменением скорости будут меняться другие параметры, характеризующие течение (давление, плотность и т. д.). Поскольку возмущение распространяется с некоторой ско- ростью а, то, очевидно, .xa t   Массу жидкости, находившуюся между сечениями 1–1 и 2–2 в момент времени t прихода возмущения к сечению 1–1, можно вы- числить как ,m S x   где S – площадь поперечного сечения трубы. После прохождения возмущения эта масса увеличится (вследствие уплотнения жидкости при повышении давления) и станет равной   .m m S x      Следовательно, увеличение массы жидкости определится как .m S x    38 С другой стороны, это увеличение можно определить как раз- ность масс жидкости, вытекающей через сечение 1–1 со скоростью 0   и втекающей через сечение 2–2 со скоростью 0 , т. е. .m S t       Приравнивая выражения для приращения массы, получим ,S t S x S a t          или, преобразуя: ,a    т. е. соотношение, связывающее скорость распространения ударной волны с изменениями плотности и скорости жидкости. Применим к объему жидкости, находящейся между сечениями 1–1 и 2–2, теорему об изменении количества движения, которую в данном случае можно сформулировать, так: изменение импульса массы жидкости срS x   за время Δt равно силе давления, дей- ствующей на нее, :p S  ср ср xp S S S a t         или ср .p a    Полагая изменение плотности малой величиной (что подтвер- ждается практическими результатами), можно считать ρср ~ ρ, тогда .p a    39 Заменив полученным выражением для изменения скорости жид- кости соответствующий член в выведенном ранее уравнении для скорости распространения ударной волны, получим 2 .pa   При выводе этого соотношения не накладывалось никаких огра- ничений на параметры жидкости и изменения ее скорости, поэтому оно справедливо для любого малого возмущения, возникшего (по тем или иным причинам) в потоке любой жидкости или газа. Как известно, полученная формула является определением скорости звука в данной среде при заданных ее параметрах, т. е. малые воз- мущения в потоках жидкостей и газов распространяются со скоро- стью звука, обусловленной их упругими свойствами. В свою оче- редь, упругость сред характеризуется коэффициентом сжимаемо- сти, который определяется как 1 V V V p     или ,V V p V     а учитывая, что для постоянной массы жидкости относительное из- менение объема эквивалентно относительному изменению плотно- сти: ,V V     получим 1 ,V p     т. е. 1 , V p E     40 где Е = 1/β – величина, обратная коэффициенту сжимаемости, назы- ваемая модулем объемной упругости. Таким образом, формула для скорости распространения малых возмущений в капельных жидкостях может быть переписана как .p Ea    Модуль объемной упругости зависит от температуры и давления и, например, для воды составляет величину около 2·109 Па при нор- мальных условиях, что определяет скорость звука равной примерно 1435 м/с. Величина повышения давления определится из полученного выше соотношения p a    или  0 ,p a a          которое при полностью закрытой задвижке (υ = 0) будет наиболь- шим и выражается формулой Жуковского 0.p a    (4.1) Если жидкость считать идеальной, а стенки трубопровода неде- формируемыми, то повышение давления при гидравлическом ударе будет рассчитываться по формуле (4.1) и процесс колебаний давле- ния в трубе будет бесконечным. В реальности из-за наличия вязких напряжений и деформации стенок трубопровода колебания давле- ния меньше по величине и быстро затухают. В частности, учет де- формации стенок трубопровода приводит к коррекции формулы для определения скорости распространения малых возмущений, прини- мающей вид 41 ст 1 , 1 a d E E       где ρ – плотность жидкости; d и δ – диаметр трубопровода и толщина его стенок; Е и Ест – модуль упругости жидкости и материала трубы соот- ветственно. Очевидно, что при повышении жесткости стенок (увеличении толщины и повышении модуля упругости материала) величина ско- рости распространения возмущений будет расти, достигая макси- мального значения в случае недеформируемой трубы. 42 5. ИСТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ИЗ ОТВЕРСТИЙ И НАСАДКОВ Для успешного решения ряда практических задач необходима связь между давлением в емкости, содержащей жидкость с извест- ными физическими характеристиками, и расходом струи, вытекаю- щей из нее в газовую атмосферу. При этом истечение может осуще- ствляться через отверстие в стенке либо через короткую трубку специальной формы, называемую насадком. Следует различать случай истечения струи жидкости или газа в среду с теми же физи- ческими свойствами (такая струя называется затопленной) от рас- сматриваемого в данном разделе течения струи жидкости в среде с резко отличающимися плотностью и вязкостью (соответственно эта струя называется незатопленной). Рассмотрим истечение жидкости из резервуара (рис. 5.1), в кото- ром создается определенное избыточное давление, в окружающую атмосферу через отверстие с острой кромкой. Вследствие проявле- ния сил инерции в области за кромками отверстия наблюдается сжатие струи, т. е. уменьшение ее поперечного сечения с после- дующим незначительным расширением и, в дальнейшем, распадом свободной поверхности струи на отдельные капли. Если отверстие некруглое, то наблюдается явление, называемое инверсией струи, т. е. изменение формы ее поперечного сечения по длине. Объясня- ется это явление взаимодействием сил поверхностного натяжения и инерции. Рис. 5.1 43 Для вывода расчетных соотношений воспользуемся методами теории одномерных течений, а именно, запишем уравнение Бернул- ли для сечения а–а, совпадающего со свободной поверхностью жидкости в резервуаре, и c–c, представляющего сжатое сечение струи на выходе из отверстия (см. рис. 5.1). При выборе плоскости сравнения, проходящей через центр отверстия, уравнение Бернулли имеет вид 2 2 2 0 1 0 ,2 2 2 a c c cp pH g g g g g           где ζ0 – коэффициент местного сопротивления, обусловленного входом жидкости в отверстие. Поскольку отверстие полагается малым, т. е. его размеры весьма малы по сравнению с размерами резервуара, то из условия сохране- ния расхода жидкости следует, что скорость опускания свободной поверхности a пренебрежимо мала по сравнению со скоростью истечения струи c . Поэтому ее величиной можно пренебречь и решить уравнение относительно скорости в сжатом сечении: 0 1 0 1 0 0 0 1 2 2 .c p p p pg H g H g g                     Величину 0 0 0 1     называют коэффициентом скорости, который показывает отличие скорости истечения вязкой жидкости от аналогичной величины в случае идеальной жидкости. Очевидно, что для идеальной жидко- сти ζ0 = 0, α0 = 1, и, если принять, что избыточное давление отсутст- вует (p0 = p1), то получим формулу Торричелли 2 .c gH  Объемный расход жидкости через отверстие определится как 44 0 1 0 1 0 0 02 2 ,c c c p p p pQ S S g H S g H g g                     где 0 cS S  – коэффициент сжатия струи, показывающий умень- шение поперечного сечения струи на выходе из отверстия по отно- шению к площади самого отверстия. Обычно вводят также коэффициент расхода 0    , поэтому соотношение для расхода можно окончательно переписать в виде 0 1 0 0 д2 2 , p pQ S g H S gH g          (5.1) где 0 1д p pH H g    – действующий напор. Коэффициент расхода зависит от числа Рейнольдса, на его вели- чину влияют также числа Фруда и Вебера, определяющие отноше- ния сил инерции к силам тяжести и поверхностного натяжения. Од- нако, по данным А.Д. Альтшуля, в диапазоне 0 2Fr 10H d  и 0 2We 2500gH d  влияние оказывает только число Рейнольдса. От этого числа также зависит коэффициент сжатия, поскольку им определяются условия течения при подходе к отверстию. Результаты обработки А.Д. Альт- шулем опытных данных многих ав- торов для истечения жидкости из круглого отверстия в тонкой стенке приведены на рис. 5.2 в виде зави- симости коэффициентов ε, φ, μ от числа Рейнольдса, построенного по диаметру отверстия, скорости исте- чения идеальной жидкости и коэф- фициенту кинематической вязкости. Рис. 5.2 45 Параметры струи можно изменять, если присоединять к отвер- стию короткие трубки различной формы – насадки. Один из наибо- лее распространенных типов насадков – внешний цилиндрический насадок – показан на рис. 5.3. Он представляет небольшой отрезок цилиндрической трубы  н н10l d , присоединенный к отверстию с внеш- ней стороны. При входе в него струя жидкости испытывает сжатие точно так же, как при истечении из отвер- стия, но поскольку она ограничена бо- ковой стенкой насадка, то внутри него образуется кольцевая вихревая область (в сечении с). Ввиду того, что скорость в сжатом сечении больше, чем в выходном (это следует из условия неразрыв- ности или постоянства расхода), давление в сжатом сечении стано- вится меньше атмосферного в соответствии с уравнением Бернулли, примененным для этих двух сечений. Таким образом, в сжатом се- чении насадка возникает вакуум и, следовательно, течение жидко- сти на участке от свободной поверхности жидкости в резервуаре до сжатого сечения в насадке происходит под большим напором, не- жели в случае его отсутствия. Поэтому скорость в сжатом сечении насадка будет больше, чем в сжатом сечении струи, вытекающей из отверстия при одинаковом напоре H. Это значит, что расход через насадок будет больше, чем через отверстие, при одинаковой их вы- ходной площади. Следует, однако, отметить, что в случае использо- вания насадка появляются дополнительные потери, обусловленные расширением потока после сжатого сечения, и потери на трение о стенки насадка. Как показывают расчетные и экспериментальные данные, при длине насадка н н4l d эти потери меньше, чем выиг- рыш в действующем напоре. Поэтому данный насадок увеличивает расход жидкости, а еще большего эффекта можно достичь, исполь- зуя конический расходящийся насадок с безотрывным режимом те- чения в диффузоре. Расчетные формулы для насадков имеют такой же вид, как для отверстия, однако величина коэффициентов в них Рис. 5.3 46 будет определяться конкретным типом насадка и зависеть не только от числа Рейнольдса, но и от относительной длины насадка н н l d . В случае истечения из резервуара с переменным уровнем жидко- сти, вообще говоря, для расчетов следует использовать уравнение Бернулли в нестационарной форме. Однако если процессы опорож- нения или наполнения резервуара происходят достаточно медленно и ускорения жидкости малы, то можно применить уравнение Бер- нулли для установившегося течения, рассматривая течение как по- следовательную смену стационарных состояний, для каждого из которых применимы уравнения установившегося движения. Рассмотрим процесс наполнения (опорожнения) резервуара, при котором часть жидкости вытекает через отверстие или насадок, но имеет место также приток жидкости в резервуар с постоянным рас- ходом Qп, не равным, вообще говоря, расходу истечения Q0. Чтобы связать время изменения уровня жидкости в резервуаре с расходами, составим уравнение баланса объемов жидкости для слоя жидкости, расположенного на уровне z от выходного сечения отверстия (рис. 5.4). Если за время dt уровень жидкости изменился на dz, то очевидно, что  п 0d d ,z Q Q t    где Ω – площадь поперечного се- чения. Отсюда  п 0dd zt Q Q  и время изменения уровня от Н1 до Н2 может быть определено ин- тегрированием: 2 1 п 0 d . H H T z Q Q   Рис. 5.4 47 Полагая для простоты форму резервуара цилиндрической и за- меняя расход истечения по формуле (5.1) (уровень жидкости Н = z): 1 0 0 0 2 , p pQ S g z g       а принимая, что избыточное давление отсутствует, т. е. р1 = p0, по- лучим 2 10 0 d , 2 H H zT S g H z    где Н1 и Н2 – начальное и конечное положение уровней жидкости в процессе ее течения; Т – время, за которое это произошло. В вышеприведенной формуле введено обозначение напора Н0 как уровня, при котором приток жидкости равен расходу истечения: п 0 0 02 .Q Q S gH   Если теперь вычислить интеграл, то получим 1 0 1 2 0 0 2 0 2 ln . 2 H H T H H H S g H H         Из данного соотношения очевидно, что если 2 0H H , то T  , что означает установление стационарного режима, когда приток равен расходу и устанавливается режим течения с постоян- ным уровнем в резервуаре. Если же Н0 = 0, т. е. приток отсутствует, то время опорожнения резервуара определится более просто:  0 1 2 0 2 , 2 T H H S g   48 а в случае наличия над свободной поверхностью избыточного дав- ления pм = p1 – p0 соответственно по формуле м м 1 1 2 0 2 . 2 p pT H H g gS g           Наибольший вакуум, возникающий внутри цилиндрического на- садка в сжатом сечении струи, можно вычислить, используя урав- нение Бернулли для выходного и сжатого сечений струи:  22 2а , g 2 2 2 cc cp p g g g g         где последний член определяет потери напора при резком расшире- нии потока от сжатого сечения до выходного, вычисленные в соот- ветствии с формулой Борда. Преобразуя это выражение, можно по- лучить   2 2 2а вак 1 2 1 11 1 2 1 . g c c p p p gH H g g g g                                   Здесь использовано также условие постоянства расхода c   . Из полученной формулы следует важный для практики вывод: истечение через цилиндрический насадок в атмосферу с заполнени- ем выходного сечения возможно только при напорах, меньших пре- дельного Нпр, который соответствует снижению давления в сжатом сечении до давления насыщенных паров жидкости при данных ус- ловиях, т. е. рс = рн.п:  а н.ппр 2 .12 1p pH g    49 При Н > Нпр происходит срыв режима работы насадка: струя жидкости отрывается от стенок и процесс истечения осуществляет- ся как из отверстия с острой кромкой. В случае истечения через насадок затопленной струи жидкости при некотором предельном напоре, конкретная величина которого определяется давлением насыщенных паров жидкости и заглубле- нием насадка, будет наблюдаться кавитационный режим течения, сопровождающийся образованием и схлопыванием газовых пу- зырьков. 50 6. ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ТРУБОПРОВОДНЫХ СИСТЕМ Трубопроводы, используемые в различных технических устрой- ствах обычно подразделяются на две группы: 1) простые, не содержащие ответвлений и представляющие со- бой одну или несколько последовательно соединенных труб, вооб- ще говоря, разной длины и диаметров; 2) сложные, образованные путем разветвлений, боковых отводов, замыканий труб в кольцевые ветви различных длин и диаметров. Принципиальная схема простого трубопровода приведена на рис. 6.1. Основными расчетными соотношениями для него являются уравнение Бернулли, уравнение неразрывности или постоянства расхода и формулы, определяющие коэффициенты сопротивления для различных режимов течения. Рассмотрим типовые задачи гидравлического расчета вначале простых, а затем и элементов слож- ных трубопроводов. Для рис. 6.1 выберем плоскость сравнения 0–0 и расчетные сечения 1–1 и 2–2. За- пишем уравнение Бернулли для выбранных сечений, полагая скорости на свободных поверхностях резервуаров пренебрежимо малыми по сравнению со скоростями в трубопроводах из-за большого различия в их размерах: 1 2 1 1 , n m wi fj i j p pH h h g g          где n – число участков труб постоянного диаметра, на каждом из которых потери напора составляют hwi; m – число местных сопротивлений, на каждом из которых поте- ри составляют hfj. Введем, как раньше, понятие действующего напора: Рис. 6.1 51 1 2д . p pH H g    (6.1) Тогда уравнение перепишется как д 1 1 . n m wi fj i j H h h      Если истечение по системе трубопроводов из резервуара 1 проис- ходит не под уровень, как изображено на рис. 6.1, а в атмосферу (отсутствует резервуар 2), то уравнение Бернулли можно записать как 2а1 1 1 , g 2 n m k wi fj i j ppH h h g g          где k – скорость на выходе из трубопровода. Потери по длине и на местных сопротивлениях 2 ; 2 i i wi i i lh d g   2 . 2 j fj jh g   Если принять диаметр какого-либо участка (например, k-го) тру- бопровода за расчетный, то, исходя из условия постоянства расхода, можно записать ;ki k i S S    ;kj k i S S    52 2 2 2 ;2 i k k wi i i i l Sh d gS   2 2 2 .2 k k fj j j Sh gS   Тогда исходное уравнение Бернулли можно переписать как 2 2д 2 2 1 1 1 2 n m k i i k j i ji i j lH S g d S S            или, решая его относительно k : д 2 2 1 1 1 2 . 1 k n m i i k j i ji i j gH lS d S S        Расход по трубопроводу запишется в виде т д2 ,kQ S gH  где μт – коэффициент расхода трубопровода, определяемый по формулам т 2 2 1 1 1 n m ji i k i ii i j lS d S S       – для рассматриваемой схемы с исте- чением под уровень; т 2 2 1 1 1 1 n m ji i k i ii i j lS d S S       – для случая истечения в атмосферу. 53 В частном случае, когда трубопровод имеет одинаковый диаметр на всех участках, выражение для коэффициента расхода упрощается: т 1 1 m j j L d       – для истечения под уровень; т 1 1 1 m j j L d        – для истечения в атмосферу. Здесь 1 n i i L l    – полная длина трубопровода. Вышеприведенные формулы используют при расчете коротких трубопроводов, когда потери по длине сравнимы с потерями на ме- стных сопротивлениях и, следовательно, необходимо учитывать и те и другие в совокупности. На практике зачастую потери на местных сопротивлениях ока- зываются много меньшими, чем потери по длине (в этом случае трубопровод называется длинным), поэтому ими пренебрегают или учитывают способом эквивалентной длины. В соответствии с этим каждое местное сопротивление с потерей напора hм виртуально (в расчетах) заменяют участком трубы длиной Lэкв, выбираемой так, чтобы потери напора на этом участке равнялись бы hм: 2 2эквм 2 2 Lh g d g      или экв .L d   В результате получается так называемая расчетная длина трубо- провода, равная 54 0 экв. 1 , m j j L L L     а формула для вычисления средней скорости (в случае трубопрово- да постоянного диаметра) принимает вид д д 0 экв. 1 2 2 , m j j d dgH gH L L L           а для расхода, соответственно д д 0 0 2 H HgdQ S K L L   . Величину K называют модулем расхода или расходной характе- ристикой трубопровода. Его величина для круглых труб постоян- ного диаметра определяется как 2 52 . 8 gd gdK S    Для квадратичной зоны сопротивления величина K зависит толь- ко от диаметра трубопровода и шероховатости его стенок, поэтому в диапазоне промышленного сортамента труб его значения табули- рованы и содержатся в справочниках. Формулу, связывающую напор и расход с параметрами трубы, иногда используют в другой форме: 2 2 0 02 1 ,H L Q AL Q K   где А – удельное сопротивление трубопровода: 21 ,A K величина которого также табулирована в справочниках для квадратичной зо- ны сопротивления. 55 При параллельном соединении труб, т. е. когда начала трубопро- водов сходятся в одной точке, так же как их концы – в другой, оче- видно, что потери напора для каждого трубопровода между этими точками будут одинаковы. Но при этом расходы по каждой из труб, их соединяющих, будут различны и, как следует из вышеприведенной формулы, обратно пропорциональны их удельному сопротивлению. При последовательном соединении трубопроводов, т. е. когда начало следующей трубы выходит из конца предыдущей, постоян- ным вдоль всей трубы остается расход, а потери напора будут скла- дываться из потерь на отдельных участках. В заключение рассмотрим основы расчета трубопроводов с рав- номерной раздачей расхода по пути. Если на участке трубопровода длиной L имеется распределенный расход на единицу длины пQ L , то полный путевой расход по длине L составит Qп. Расход жидкости, движущейся дальше по трубопроводу, называют транзитным Qт. При этом через некоторое сечение, расположенное на расстоянии x от начала трубы, будет проходить расход    п пт т п .Q Q xQ Q L x Q QL L      На бесконечно малом участке трубы dx потери напора составят   22 пт п2 21d d d .QQh x Q Q xLK K        Если проинтегрировать это выражение по всей длине трубопро- вода и произвести необходимые вычисления, то можно получить соотношение 2 2т т п п2 1 , 3 Lh Q Q Q Q K       а при Qт = 0 56 2 2п п2 1 1 . 3 3 Qh L SQ K   Для определения расчетного расхода на практике удобнее ис- пользовать приближенную формулу расч т п ,Q Q Q   где α = 0,55 – коэффициент эквивалентности. 57 СОДЕРЖАНИЕ 1. Основы теории подобия и размерностей..…............................. 3 1.1. Общие положения…………………………………………… 3 1.2. Критерии механического подобия, понятие автомодельности…………………………………………………. 10 1.3. Метод размерностей, π-теорема……………………………. 17 2. Силовое воздействие потока жидкости на ограничивающие его твердые поверхности…………………. 25 3. Уравнение Бернулли для неустановившегося движения вязкой несжимаемой жидкости………………………………… 29 4. Гидравлический удар в трубах……………………………….. 35 5. Истечение вязкой жидкости из отверстий и насадков………. 42 6. Гидравлический расчет трубопроводных систем…………… 50 58 Учебное издание КАЧАНОВ Игорь Владимирович КУЛЕБЯКИН Виталий Васильевич НЕДБАЛЬСКИЙ Викентий Константинович МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА Курс лекций В 4 частях Ч а с т ь 4 Редактор Т. Н. Микулик Компьютерная верстка А. Г. Занкевич Подписано в печать 14.01.2014. Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 3,37. Уч.-изд. л. 2,64. Тираж 100. Заказ 869. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Пр. Независимости, 65. 220013, г. Минск