Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Экспериментальная и теоретическая физика» Ю. А. Бумай В. В. Чёрный ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЙ САМОИНДУКЦИИ И ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИИ Учебно-методическое пособие к лабораторной работе № 9 Минск БНТУ 2014 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Экспериментальная и теоретическая физика» Ю. А. Бумай В. В. Чёрный ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЙ САМОИНДУКЦИИ И ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИИ Учебно-методическое пособие к лабораторной работе № 9 для студентов специальностей 1-38 02 01 «Информационно-измерительная техника» и 1-38 02 03 «Техническое обеспечение безопасности» Рекомендовано учебно-методическим объединением по образованию в области приборостроения Минск БНТУ 2014 2 УДК 537.851(075.8) ББК 31.292я7 Б91 Рецензенты : И. И. Жолнерович, П. Г. Кужир Бумай, Ю. А. Изучение явлений самоиндукции и взаимной индукции : учебно- методическое пособие к лабораторной работе № 9 для студентов специальностей 1-38 02 01 «Информационно-измерительная техни- ка» и 1-38 02 03 «Техническое обеспечение безопасности» / Ю. А. Бумай, В. В. Чёрный. – Минск : БНТУ, 2014. – 19 с. ISBN 978-985-550-300-3. Учебно-методическое пособие содержит описание (теоретическую часть, схему экспериментальной установки и задание) лабораторной работы, посвященной изуче- нию явлений самоиндукции и взаимной индукции. На основании полученных ре- зультатов определяются величины индуктивностей и коэффициент самоиндукции. Издание предназначено для студентов инженерных специальностей, изучающих раздел «Электричество и магнетизм» курса общей физики. УДК 537.851(075.8) ББК 31.292я7 ISBN 978-985-550-300-3 © Бумай Ю. А., Чёрный В. В., 2014 © Белорусский национальный технический университет, 2014 Б91 3 Цель работы Изучить закон электромагнитной индукции, явления самоиндук- ции и взаимной индукции. Задачи работы 1. Измерить ЭДС самоиндукции и постоянные времени цепи, со- держащей катушку индуктивности, при включении и выключении источника питания. 2. Определить индуктивности и взаимную индуктивность кату- шек трансформатора. Явление электромагнитной индукции Предположим, в некоторой области пространства создано маг- нитное поле. Проведем в этой области некоторую поверхность S. Выделим малый элемент поверхности площадью dS, который мож- но считать плоским и в пределах которого вектор магнитной ин- дукции B остается неизменным по модулю и направлению. Маг- нитный поток dФ (поток вектора магнитной индукции) через пло- щадь dS равен произведению величины этой площади и проекции вектора индукции магнитного поля Bn на вектор n единичной нор- мали (перпендикуляра) к поверхности: dФ = Bn dS = B cosα dS, (1) где α – угол между векторами B и n (рис. 1). Магнитный поток через любую поверхность S определяется интегралом по этой по- верхности: dФ =   SS n dSnBdSB  , (2) где Bn – проекция вектора B  на единичный вектор нормали n в ка- ждой точке поверхности. В системе СИ единица измерения магнит- ного потока называется Вебер (Вб): 1 Вб = 1 Тл · м2 = 1 В · с. 4 Рис.1. Вычисление магнитного потока через поверхность площадью dS В экспериментах Эрстеда впервые было установлено, что элек- трический ток создаёт магнитное поле. В дальнейшем М. Фарадеем в 1831 г. было установлено, что, в свою очередь, магнитное поле (точнее его изменение) создает электрический ток. Им было откры- то явление электромагнитной индукции: в замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции (магнит- ного потока) через поверхность, ограниченную этим контуром, возникает электрический ток, называемый индукционным. Ес- ли контур не замкнут, между его концами возникает электродви- жущая сила индукции ɛi. Возникновение индукционного тока в проводящем контуре, маг- нитный поток через который изменяется, свидетельствует о возник- новении в этом контуре электрического поля (т.н. вихревого элек- трического поля). Это поле действует на свободные электрические заряды (в металлических проводниках это электроны), вызывая их направленное движение. Следовательно, в контуре действует элек- тродвижущая сила εi (ЭДС индукции). ЗАКОН ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ИНДУКЦИИ, установлен- ный Фарадеем, гласит, что ЭДС индукции, возникающая в кон- туре, прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока Ф через поверхность, ограниченную этим контуром: εi = dt dФ . (3) 5 При этом εi не зависит ни от способа изменения магнитного по- тока, ни от сопротивления контура. Знак минус в этой формуле свя- зан с тем, что магнитный поток, создаваемый индукционным током, стремится препятствовать изменению исходного магнитного пото- ка, которое и вызывает этот ток. Явление самоиндукции Предположим, что по некоторому замкнутому контуру протекает ток, сила которого равна I. Ток будет создавать в окружающем про- странстве магнитное поле. Силовые линии этого поля будут пересе- кать также и сам контур и создавать магнитный поток через этот же контур. По закону Био–Савара–Лапласа, модуль вектора магнитной индукции, создаваемой током, будет в любой точке пространства прямо пропорционален силе тока. Следовательно, полный магнит- ный поток через контур Ψ, называемый иначе потокосцеплением, будет также прямо пропорционален току: Ψ = L·I, (4) где L – коэффициент пропорциональности, называемый индуктив- ностью контура. Индуктивность зависит от формы и размеров кон- тура и магнитных свойств среды, в которой находится контур. Раз- мерность потокосцепления, как и магнитного потока, Вебер. Из (4) следует, что индуктивность численно равна потокосцеплению, пронизывающему контур при силе тока в контуре, равном 1 А. Единица индуктивности в системе СИ называется Генри (Гн): 1 Гн = 1 Вб/А = 1 Ом·с. Индуктивность тонкой длинной катушки (соленоида) длиной l, площадью поперечного сечения S и числом витков N можно опре- делить, используя известную формулу для индукции магнитного поля в соленоиде: I l NB  0 , (5) где μ0 – магнитная постоянная; 6 μ – относительная магнитная проницаемость среды внутри ка- тушки. Тогда магнитный поток через один виток соленоида I l NSBSФ  0 , а потокосцепление Ψ = NФ = I l SN 2 0 . С учетом (4) l SNL 2 0 . (6) Строго говоря, последняя формула выражает индуктивность участка бесконечно длинного соленоида длиной l. Конечно, реаль- ные соленоиды имеют конечную длину и индуктивность соленоида меньше. На практике это учитывается введением коэффициента k, значение которого меньше единицы и зависит от соотношения ме- жду длиной l соленоида и его радиусом R. l SNkL 2 0 . (7) Как отмечалось, ЭДС индукции возникает в контуре независимо от причин, вызывающих изменение магнитного потока, пронизы- вающего контур. При изменении тока в контуре изменится и маг- нитный поток, пересекающий этот контур, что приведет к возник- новению в контуре ЭДС индукции. Возникновение ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении тока, протекающего по нему, называется явлением самоиндукции. Такое название при- нято, поскольку ЭДС индукции в контуре возникает в результате изменения тока, протекающего в самом же контуре, а не в результа- 7 те каких либо внешних воздействий. Величину ЭДС самоиндукции εs найдём, если в (3) вместо Ф подставим выражение (4) для Ψ: εs = dt dIL . (8) Предполагается, что форма и размеры контура не изменяются, иначе формула усложнится. Знак минус в (8) означает, что ЭДС са- моиндукции направлена таким образом, чтобы препятствовать изменению тока в контуре (правило Ленца для ЭДС самоин- дукции). Иначе говоря, если ток I возрастает (см. рис. 2, а), то ток Is, создаваемый ЭДС самоиндукции, направлен против тока в кон- туре. Если же ток I убывает, ток Is совпадает по направлению с I (рис. 2, б). а б Рис. 2. Направления токов и ЭДС самоиндукции Явление взаимной индукции Пусть имеются два близко расположенных контура. При проте- кании по одному из них тока изменяется индукция магнитного поля и, следовательно, магнитный поток, пронизывающий второй кон- тур. В результате во втором контуре возникает ЭДС индукции, на- зываемая в данном случае ЭДС взаимоиндукции. Возникновение ЭДС индукции в одном из двух контуров, свя- занных магнитной связью, при изменении тока в другом, называет- ся явлением ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИИ. Количественно степень магнитной связи контуров (или любых элек- трических цепей) характеризуется ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТЬЮ. 8 Пусть ток I1 течет по первому контуру. Часть данного магнитно- го потока Ф12 пронизывает второй контур (рис. 3). Величина Ф12 также будет пропорциональна току I1, т.е. 11212 IМФ  , (9) где 12М – коэффициент, характеризующий влияние первого конту- ра на второй. Рис. 3. Возникновение ЭДС индукции в одном контуре при изменении тока в другом Пусть теперь ток I2 течет по второму контуру (рис. 3). Рассуждая аналогично предыдущему случаю, для величины магнитного пото- ка, создаваемого током I2 и пронизывающего первый контур, можно записать: .22121 IМФ  Если отсутствуют ферромагнитные сердечники, коэффициенты 12M и 21M тождественно равны и взаимное влияние двух контуров описывается только одним коэффициентом ,2112 MMM  который зависит от размеров и формы контуров 1 и 2, от их взаим- ного расположения, а также от магнитной проницаемости окру- 9 жающей среды. Данный коэффициент называется ВЗАИМНОЙ ИНДУКТИВНОСТЬЮ или КОЭФФИЦИЕНТОМ ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИИ контуров 1 и 2 и численно равен величине магнитного потока (в Веберах), общего для двух контуров, когда в одном из них протекает ток, равный 1 А. При изменении тока в первом контуре, согласно закону электро- магнитной индукции, в нем возникает ЭДС самоиндукции: εs1= dt dIL 1 . (10) Во втором контуре при этом будет индицироваться ЭДС индукции: εi2 dt dIM dt dФ 112=  . (11) Если второй контур разомкнут, то тока в нём не возникает, сле- довательно, обратного влияния второго контура на первый не будет. Разделив равенства (10) на (11), получим: εs1/εi2 1L M . (12) Видно, что в любой момент времени отношение ЭДС, которые индуцируются в первом и во втором контуре током, протекающим по первому контуру, постоянно. Следовательно, ЭДС во втором контуре повторяет изменение ЭДС самоиндукции в первом. Это явление используется в трансформаторах для преобразования пере- менного напряжения в более низкое или в более высокое. Отноше- ние М/L1 называется КОЭФФИЦИЕНТОМ ТРАНСФОРМАЦИИ. Описание лабораторного стенда Электрическая схема стенда для изучения явлений самоиндук- ции и взаимной индукции показана на рис. 4. Он представляет собой разветвлённую цепь, содержащую источ- ник постоянного тока ε0, активные сопротивления R1 и R2 и две ка- 10 тушки индуктивности L1 и L2, имеющие общий ферромагнитный сердечник (т.е. катушки являются обмотками трансформатора). Ка- тушку L1 можно отключать при помощи переключателя Т. В рабо- чем состоянии переключатель замкнут и катушка подключена. Рис. 4. Схема лабораторного стенда Периодическое замыкание и размыкание цепи выполняется ав- томатически ключом K, управляемым электромагнитным реле. Реле периодически производит замыкание ключа K на промежуток вре- мени длительностью t0 и размыкание его на промежуток длительно- стью t1. Переходные процессы в цепи с индуктивностью при включении питания Упрощённая схема лабораторной установки для изучения явле- ния самоиндукции при замыкании ключа K приведена на рис. 5. При замыкании ключа K нарастание тока через катушку L1 будет происходить не мгновенно, а постепенно из-за возникновения ЭДС самоиндукции εs1, препятствующей росту тока. В случае не очень быстрого изменения тока в контуре (более медленных, чем время прохождения электромагнитной волны вдоль контура) для контура в каждый момент времени можно применять закон Ома и правила Кирхгофа. Для контура, показанного на рис. 5, второе правило Кирхгофа запишется в виде: 11 ε0 + εs1 = IR1, (13) т.е. падение напряжения на сопротивлении R1 равно алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре. Рис. 5. Упрощённая схема лабораторной установки для исследования явления самоиндукции при замыкании ключа K Согласно (8), εs1 = dt dIL1 . Подставляя в (13) это значение, полу- чим дифференциальное уравнение, описывающее закон нарастания тока в цепи с индуктивностью:  dt dI R LIR 1 1 1 ε0/R1. (14) Для решения этого уравнения необходимо задать начальные ус- ловия. Их можно записать, учитывая, что в начальный момент, т.е. при замыкании ключа K, ток через катушку отсутствовал: I(0) = 0. (15) Уравнение (15) легко решается методом разделения переменных и его решение имеет вид: )(tI ε0 1 1 1 /)]exp(1[ Rt R L . (16) 12 График зависимости I(t), определяемой формулой (16), изобра- жён на рис. 6. Из данного графика и из формулы видно, что при достаточно большом времени t ток стремится к стационарному зна- чению: mI ε0/R1. (17) Рис. 6. Нарастание тока при замыкании цепи с индуктивностью Скорость нарастания тока при включении характеризуется вели- чиной 11 / RL , (18) которая носит название ПОСТОЯННОЙ ВРЕМЕНИ ЦЕПИ. За вре- мя  ток через катушку достигает величины 0,63 от стационарного значения:  )/11()( eII m 0,63 Im. (19) На практике вместо  часто удобнее использовать постоянную времени цепи ' , которая равна времени нарастания тока через ка- тушку до половины стационарной величины  )'(I 0,5 Im. Исполь- зуя выражение (16) можно показать, что:  1,44 ' . (20) 13 Закон изменения ЭДС самоиндукции в катушке L1 после замы- кания ключа K найдём, подставив в формулу (8) выражение (16): εs1(t) = –ε0 )exp(  t . (21) Отсюда видно, что в момент замыкания ключа (t = 0) возникает ЭДС самоиндукции, равная по величине ЭДС, подключаемой к ка- тушке, и направленная в противоположную сторону, т.е. εs1(0)= –ε0. График зависимости εs1(t) изображен на рис. 7. Как видно из гра- фика, величина ЭДС самоиндукции уменьшается по экспоненте с той же постоянной времени  , с которой происходит нарастание тока. Рис. 7. Зависимость ЭДС самоиндукции εs1 в катушке L от времени при замыкании ключа K Переходные процессы в цепи с индуктивностью при отключении источника питания Пусть в цепи, показанной на рис. 5 установилось стационарное значение тока через катушку. Рассмотрим теперь, что произойдет, если в некоторый момент времени t0 разомкнуть ключ K. Упрощен- ная схема стенда при размыкании цепи показана на рис. 8. Благодаря явлению самоиндукции ток в катушке исчезнуть мгновенно не может, так как при протекании тока от основного ис- точника энергия помимо нагрева проводников расходуется на соз- 14 дание магнитного поля, в котором запасается некоторое количество энергии. При выключении основного источника тока эта энергия возвра- щается из магнитного поля обратно в проводник и создает в цепи индуцированный ток. В контуре, показанном на рис. 8, после раз- мыкания ключа K будет действовать только ЭДС самоиндукции εs1. Под ее действием ток будет протекать по последовательно соеди- ненным с катушкой сопротивлениям R1 и R2. Поэтому по закону Ома ток в этом контуре в любой момент времени будет равен: )(tI = εs1/(R1 + R2). (22) Рис. 8. Возникновение индуцированного тока при размыкании цепи, содержащей индуктивность Подставляя в (22) значение εs1, получим дифференциальное уравнение, описывающее изменение тока в катушке индуктивности после размыкания ключа: 0 21 1  dt dI RR LI . (23) По аналогии с (12) введём постоянную времени для цепи после отключения источника питания: 21 1 1 RR L  . (24) 15 Решение уравнения (23) при начальном условии I(t0) = ε0/R1 име- ет вид: )(tI ε0 )exp( 1 0   tt /R1. (25) Закон изменения ЭДС самоиндукции катушки после размыкании можно получить, подставляя выражение (25) в формулу (8): εs1(t)= ε0 ).exp( 1 0 1 21   tt R RR (26) Из (25) и (26) видно, что ЭДС самоиндукции и ток через катушку спадают по экспоненте с постоянной времени 1 , т.е. быстрее, чем при замыкании ключа. Величина t0 в показателе степени отра- жает задержку во времени и говорит о том, что спад тока начинает- ся в момент времени t = t0 (см. рис. 9). ЭДС самоиндукции в момент размыкания ключа t = t0 будет равна: εS1(t0) = ε0 1 21 R RR  . (27) Сравнивая (27) и (21), видим, что εS1(t0)/εs1(0) = 11 21   R RR , (28) т.е. при размыкании цепи ЭДС самоиндукции больше чем при за- мыкании в 11 21   R RR раз. Предположим, что размыкание цепи, содержащей индуктив- ность, производится тумблером или выключателем. Тогда величина последовательного сопротивления контакта в течение короткого времени возрастает от нуля до очень большой величины. Стремясь поддержать величину тока, ЭДС самоиндукции может на коротком промежутке времени достигнуть величины, много- 16 кратно превышающей ЭДС источника тока. Формально это следует из формулы (27) при условии, что величина сопротивления R2 силь- но возрастает. Рис. 9. График изменения ЭДС ε(t) в цепи (а), изменения тока I(t) в катушке L1 (б) и ЭДС самоиндукции в ней εs1 (t) (в) при замыкании ключа в моменты времени t = 0 и t = t0 + t1 и размыкании в момент t = t0 При большой величине индуктивности, если не предпринять мер по защите цепи, могут возникнуть нежелательные эффекты (искре- ние, поражение током персонала, выход из строя отдельных эле- ментов из-за недопустимо высокого напряжения). Поэтому в по- добных цепях обязательно предусматриваются дополнительные элементы или устройства, исключающие негативное влияние ЭДС самоиндукции в момент отключения источника питания. 17 Порядок выполнения и задание 1. При отключенной катушке L1 с помощью осциллографа изме- рить амплитуду ε0 и длительность t0 прямоугольных импульсов на- пряжения на сопротивлении R2, полученных автоматическим замы- канием и размыканием источника питания ключом K, а также дли- тельность временного промежутка между соседними импульсами t1 (см. рис. 8, а)1. 2. Присоединить катушку L1. По кривой нарастания напряжения на сопротивлении R1 (рис. 6) при автоматическим замыкании ис- точника питания ключом K определить постоянную времени цепи τ'. По формулам (20) и (18) определить τ и индуктивность катушки L1. Вывести формулу для погрешности измерений 1L , пользуясь методикой расчета погрешностей при косвенных измерениях. Рас- считайте 1L . Выполнить всё для трех значений сопротивления R1. 3. По зависимости напряжения на катушке L1 от времени (рис. 8, в) определить ЭДС самоиндукции в момент замыкания εs1(0) и в момент размыкания цепи εs1(t0) при трех различных значениях величины сопротивления R1. Вычислите величину сопротивления R2 из (28). 4. По зависимости напряжения на катушке L2 от времени опреде- лить ЭДС взаимной индукции в момент размыкания цепи εi2(t0) для трех значений R1. 5. Используя формулу 1LM  εi2(t0) / εs1(t0), которая следует из (12), вычислите взаимную индуктивность кату- шек трансформатора M для трех значений R1. Выведите формулу для погрешности измерений ,М пользуясь методикой расчета по- грешностей при косвенных измерениях. Рассчитайте величину .М 1 При измерениях ЭДС и постоянных времени результат измерения опре- деляйте путём умножения коэффициентов отклонения или развёртки на линейные размеры измеряемых параметров сигнала, выраженные в деле- ниях шкалы. 18 Контрольные вопросы 1. Что такое поток магнитной индукции? 2. Сформулируйте закон электромагнитной индукции Фарадея и правило Ленца. 3. Что такое явления самоиндукции и взаимной индукции? 4. Что такое индуктивность и от чего зависит величина индук- тивности катушки? 5. Почему при замыкании и размыкании цепи величина напря- жения на катушке различна? 6. Чем определяется длительность нарастания и спада тока в це- пи с индуктивностью? Литература 1. Савельев, И. В. Курс общей физики: в 3 т. / И. В. Савельев. – М.: Наука, 1988. – Т. 2. – С. 181–195. 2. Савельев, И. В. Курс общей физики: в 3 т. / И. В. Савельев. – М.: Наука, 1988. – Т. 2. – С. 196–211. 3. Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М.: ВШ, 2007. – С. 221–233. 4. Наркевич, И. И. Физика / И. И. Наркевич, Э. И. Волмянский, С.И. Лобко. – Минск: Новое знание, 2004. – С. 386–393. 5. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: ВШ, 2007. – С. 328–340. 6. Путилов, К. А. Курс физики: в 3 т. / К. А. Путилов. – 6-е изд. – Т. 2. – М.: Физматгиз, 1963. – С. 372–395. 19 Учебное издание БУМАЙ Юрий Александрович ЧЁРНЫЙ Владимир Владимирович ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЙ САМОИНДУКЦИИ И ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИИ Учебно-методическое пособие к лабораторной работе № 9 для студентов специальностей 1-38 02 01 «Информационно-измерительная техника» и 1-38 02 03 «Техническое обеспечение безопасности» Технический редактор Д. А. Исаев Компьютерная верстка Д. А. Исаева Подписано в печать 30.01.2014. Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 1,10. Уч.-изд. л. 0,86. Тираж 100. Заказ 736. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Пр. Независимости, 65. 220013, г. Минск.