ъ о з ч Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Строительная механика» В.М. Т репач ко Т . П . З д а н о в и ч ОСНОВЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ Учебно-методическое пособие М и н с к 2007 Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Строительная механика» В.М. Трепачко Т.П. Зданович ОСНОВЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ Рекомендовано учебно-методическим объединением высших учебных заведений Республики Беларусь по образованию в области строительства и архитектуры в качестве учебно-методического пособия М и н с к 2 0 0 7 Q 2 t , УДК 621.01:531.8(075.8) ВБК 3ftrt2 я-7 Т66 Р ец ен зен ты : Ю. В. Василевич, И. С.Куликов Трепачко, В.М. Т66 Основы строительной механики: учебно-методическое пособие для студентов экономических специальностей в области строитель­ ства/В.М. Трепачко, Т.П. Зданович. - Мн.: БИТУ, 2006. - 79 с. ISBN 928*985-479-605-5. В настоящем пособии приводятся методики расчета строитель­ ных конструкций на прочность и жесткость, излагается теория, необ­ ходимая для решения основных типов задач, освещаются вопросы подбора экономичных поперечных сечений конструкций и определе­ ния их геометрических характеристик. Пособие ориентировано на использование при изучении курса "Строительная механика", но мо­ жет быть полезно при освоении смежных курсов ("Сопротивление материалов", "Техническая механика"), а также конструкторских дисциплин. УДК 621.01:531.8(075.8) ББК 30.12 я 7 ISBN 9W-985-479-605-5 © Трепачко В.М., Зданович Т.П., 2007 © БИТУ, 2007 ВВЕДЕНИЕ Современный инженер-экономист строительной отрасли должен не только обладать качественными знаниями в экономических науках, но иметь четкое представление обо всех этапах расчета и проектирования сооружений. Это по­ зволит ему избежать ошибок и недоразумений при принятии решений в сфере экономики строительства. В настоящем пособии излагаются теоретические основы и практические методы расчета стержней и стержневых систем на прочность и жесткость, что является основой для экономичного проектирования зданий и сооружений. Авторами сознательно опущен углубленный анализ теории и некоторые ее темы в предположении того, что в курсе лекций студенты более подробно озна­ комятся с ними и сами смогут использовать их в практических расчетах. В по­ собии не излагается кинематический анализ расчетных схем сооружений, с ко­ торого начинается расчет любого сооружения, т.к. рассматриваемые в нем за­ дачи довольно просты и не требуют детального предварительного анализа. Ав­ торы полагают, что этот материал будет изучен в ходе занятий. 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ И СИЛ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ Неподвижность систем относительно земли обеспечивается опорными свя­ зями (или опорами). Реакции, возникающие в опорах, совместно с действую­ щими нагрузками, образуют уравновешенную систему внешних сил. С технической точки зрения опорные закрепления конструкций весьма разнообразны. При формировании расчетной схемы все многообразие сущест­ вующих опорных устройств схематизируется в виде ряда основных типов опор, из которых наиболее часто встречаются: шарнирно-подвижная опора (возмояс- ные обозначения для нее представлены на рис. 1.1,а), шарнирно-неподвижная опора (рис. 1.1,6) и жесткое защемление, или заделка (рис. 1.1,в). 3 а) t* /7 7 7 7 \ к б) Я я в) Я Рис. 1.1. Ввды опор В шарнирно-подвижной опоре возникает опорная реакция, равнодейст­ вующая R которой перпендикулярная опорной плоскости. Такая опора препят­ ствует смещению в направлении перпендикулярном опорной плоскости, но до­ пускает перемещение вдоль опорной плоскости и поворот опорного сечения. В шарнирно-неподвижной опоре возникает опорная реакция, равнодейст­ вующая которой, в общем случае, направлена произвольно. Поэтому для удоб­ ства расчетов равнодействующую представляют в виде двух проекций (см. рис. 1.1,6): вертикальной (V) и горизонтальной (Я). Такая опора делает невозмож­ ным линейные смещения опорного сечения, но. допускается его поворот. В жесткой заделке возникают опорные реакции, которые можно предста­ вить (см. рис. 1.1,в) в виде вертикальной (V) и горизонтальной (Н) составляю­ щих, а также опорного (реактивного) момента (М ). При этом опорное сечение не может смещаться и поворачиваться. Любая система произвольно расположенных сил может быть приведена в общем случае к главному вектору и главному моменту. Для равновесия систе- 4 мы необходимо, чтобы главные вектор и момент всех сил равнялись нулю. Та­ ким образом, для равновесия плоской системы произвольно расположенных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на оси координат равнялись нулю, и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно любой точки системы равнялась нулю, т.е. Уравнения равновесия (1.1) являются основными уравнениями при опре­ делении опорных реакций и сил взаимодействия элементов статически опреде­ лимых систем. Однако часто прибегают к разновидностям этих уравнений. Од­ на из них: Два первых уравнения систем (1.2) показывают, что главный момент равен нулю, а главный вектор проходит по линии АВ. Третье уравнение показывает существование главного вектора, причем оси Y и X соответственно не должны быть перпендикулярны к линии АВ. Другая разновидность системы (1/1): I X = О, 1 Г=О, £ М 0 = 0. (1.1) 'И М л = о, Y .M B = 0, 1 ^ = 0; или 'Л М а = 0, Т ,М в = °> IX = 0. ( 1.2) Z M a = 0, 1 ЛГ* = 0, Т.М С = о. (1.3) Первые два уравнения имеют тот же смысл, что и в (1.2), а третье уравне- ние исключает существование главного вектора. После определения опорных реакций выполняют их проверку. Для этого составляют какое-либо из уравнений равновесия (1.1), которое не было задей­ ствовано в определении реакций или уравнение моментов относительно любой точки системы. Пример 1. Определить опорные реакции в балке, изображенной на рис. 1.2, при cos а = 0,6 , sin а = 0,8 . Рис. 1.2. Расчетная схема балки Решение. 1. Опора А является шарнирно-неподвижной (см. рис. 1.1, б). Равнодейст­ вующую опорной реакции представим в виде двух проекций - вертикальной VA и горизонтальной НА (рис. 1.3). Рис. 1.3. Опорные реакции балки 2. Опора В является шарнирно-подвижной (см. рис. 1.1, а). Равнодейст­ вующая опорной реакции перпендикулярна опорной поверхности, т.е. верти­ кальна. Обозначим ее VB (см. рис. 1.3). 3. Представим наклонную силу F в виде двух составляющих - вертикаль- 6 ной Fy и горизонтальной Fx (см. рис. 1.3). Определим их величины: Fx = F ■ cos а = 50 • 0,6 = 30 к Н , Fy = F - s in a = 50-0,8 = 40K #. 4. Определим значения опорных реакций. Составляем систему уравнений равновесия вида (1.2): 'Ъ М а = °, ~ 4 • Fg + 6 ■ F v = 0, VB = 60 кН, Ъ М В = 0. => ■4-VA +2-Fy =0, => ■VA = -20 kH , = H a - F x = 0; H a =30 кН. Т.к. значение опорной реакции Va отрицательно, то ее истинное направле­ ние противоположно выбранному, т.е. она направлена вниз. На рисунках ее можно перенаправить, при этом ее значение сменится на положительное. 5. Проверим правильность вычисления опорных реакций. Составим урав ­ нение проекций всех сил на вертикальную ось: 2 ^ = 0: VA +VB - F y = 6 0 -2 0 -4 0 = 6 0 -6 0 = 0. Т.к. это уравнение равновесия удовлетворяется, то реакции определены верно. Пример 2. Определить опорные реакции в раме, изображенной на рис. 1.4. 7 Решение. 1. Опора Л является шарнирно-подвижной (см. рис. 1.1, а). Ее опорная ре­ акция перпендикулярна опорной поверхности и вертикальна. Обозначим ее VA (рис. 1.5). кУ 2. Опора В является шарнирно-неподвижной (см. рис. 1.1, б). Составляю­ щие опорных реакций VB и Нв направим, как показано на рис. 1.5. 3. Равномерно распределенную нагрузку заменим равнодействующей, ко­ торая прикладывается посередине участка, а ее величина равна Q = q-e = 2-6 = l2K H . 4. Определим значения опорных реакций. Составляем систему уравнений равновесия вида (1.1): 1 * = о, ’H B - Q = 0, Н в =12 кН, Ц М В = 0, => <- 6 . ^ + 1 . 0 = О, => ■V л - 2 кН , £ Y = 0. vB +vA =o. у в = -2 кН. 5. Проверим правильность вычисления опорных реакций. Составим урав­ нение моментов всех сил относительно опоры А : Т,М А = 0 : 2 -H B - 6 -VB - 3 -g = 2-12—6 ' ( - 2 ) - 3 -12 = 3 6 -3 6 = 0. Т.к. это уравнение равновесия удовлетворяется, то реакции определены верно. 2. МЕТОД СЕЧЕНИЙ Внутри любого материала имеются внутренние межатомные силы, нали­ чие которых определяет способность тела воспринимать действующие на него нагрузки, сопротивляться разрушению, изменению формы и размеров. Внут­ ренние силы можно привести к главному вектору, который раскладывается на две составляющие (продольную и поперечную), и главному моменту. В общем случае для плоских систем внутри конструкции возникают сле ­ дующие внутренние силы: продольная сила N, поперечная сила Q и изгибаю ­ щий момент М (рис. 2.1). Рассмотрим общий прием определения внутренних сил (усилий), называе­ мый методом сечений. Этот метод лежит в основе расчета любой конструкции. Приведем последовательность расчета методом сечений. Этап 1. Проводится сечение к мысленно рассекающее заданную конст­ рукцию на две части (рис. 2.2). Q N Рис. 2.1. Виды внутренних сил Рис. 2.2. К этапу 1 9 Этап 2. Отбрасывается одна из частей (левая или правая, верхняя или нижняя). Целесообразно отбросить ту часть конструкции, для которой труднее составить уравнения равновесия или на которую действует больше сил. Напри­ мер, для конструкции на рис. 2.2 разумно отбросить правую часть, т.к. к ней приложены пять сил, а к левой - только две. Этап 3. Действие отброшенной правой части на оставшуюся левую заме­ няется соответствующими внутренними силами (рис. 2.3). Рис. 2.3. К этапу 3 Этап 4. Рассматривается равновесие оставшейся части от действия внеш­ них и внутренних сил (рис. 2.3), т.е. составляются уравнения равновесия типа ( 1.1). Правила знаков для внутренних сил: ■S продольная сила N считается п о л о ж и т е л ь н о й , если она вызывает р а с т я ж е н и е отсеченной части и о т р и ц а т е л ь н о й , если вызывает ее с ж а ­ тие ; ■S поперечная сила Q считается п о л о ж и т е л ь н о й , если она вращает от­ сеченную часть по ходу часовой стрелки и о т р и ц а т е л ь н о й , если вращение происходит против хода часовой стрелки; S изгибающий момент М п о л о ж и т е л ь н ы й , если он растягивает ниж­ ние волокна отсеченной части и о т р и ц а т е л ь н ы й , если растягивает верхние волокна. При рассмотрении равновесия левой отсеченной части положительные на­ правления внутренних сил показаны на рис, 2.3, для правой части - на рис. 2.4. 10 Рис. 2.4. Положительные направления внутренних сил при рассмотрении равновесия правой отсеченной части 3. ЭПЮ РЫ ВНУТРЕННИХ СИЛ И ИХ ОСОБЕННОСТИ Эпюра - это график, показывающий закон изменения внутреннего силово­ го фактора (усилия, напряжения) по длине конструкции. Для построения эпюры проводится ось параллельная оси конструкции и перпендикулярно к ней откладываются ординаты, показывающие в некотором масштабе значения (ординаты) усилий в поперечных сечениях. Построение эпюр осуществляется методом сечений. При этом для каждой конструкции выбираются характерные сечения, в каждом из которых опреде­ ляются усилия. Полученные значения усилий откладываются на эпюре для со­ ответствующего сечения. Примеры построения эпюр будут приведены ниже. К характерным сечениям относятся: S сечения, расположенные в местах изменения геометрических и механи­ ческих характеристик поперечных сечений; S сечения, расположенные бесконечно близко по обе стороны от точек приложения сосредоточенных сил и моментов; сечения, расположенные в начале и в конце каждого участка с распреде­ ленной нагрузкой (дополнительно можно рассматривать сечения на участке с распределенной нагрузкой); S сечения, расположенные бесконечно близко к опорам, а также на сво­ бодных концах. 11 Приведем характерные особенности эпюр: 1. На прямолинейном ненагруженном внешней нагрузкой участке стержня эгаора моментов М прямолинейна, а эпюра поперечных сил Q постоянна. 2. В точке приложения сосредоточенного изгибающего момента эгаора моментов М имеет скачек на величину этого момента (т.е. слева одно значение, справа - другое), а эпюра поперечных сил Q остается неизменной. 3. В точке приложения сосредоточенной поперечной силы эпюра изги­ бающих моментов М имеет излом, острие которого совпадает с направлением силы, а эгаора поперечных сил Q - скачек на величину этой силы. 4. В точке приложения сосредоточенной продольной силы эпюра продоль­ ных сил N имеет скачек на величину этой силы. 5. На участке с распределенной нагрузкой эпюра изгибающих моментов М очерчена по квадратной параболе с выпуклостью по направлению действия распределенной нагрузки, а эпюра поперечных сил Q имеет вид наклонной прямой. 4. РАСЧЕТ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СОСТАВНОГО БРУСА НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ЦЕНТРАЛЬНОМ РАСТЯЖЕНИИ-СЖАТИИ При центральном растяжении и сжатии внутри бруса (конструкции) возни­ кает только продольная сила N. Для определения величин N в характерных сечениях бруса используется метод сечений. При этом для каждого сечения составляется уравнение проек­ ций всех сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось стержня. При растяжении-сжатии в поперечных сечениях бруса возникают нор­ мальные напряжения, величина которых определяется по формуле: где N — продольная сила в рассматриваемом сечении бруса; А — площадь по­ перечного сечения. При построении эпюры нормальных напряжений о следует учитывать, что на участках, где значения продольной силы и площади поперечного сечения неизменны, нормальные напряжения постоянны. При этом на участках со сжи­ мающей силой (ее значение отрицательно) возникают сжимающие напряжения. Абсолютное перемещение концевых поперечных сечений участка бруса при центральном растяжении-сжатии определяется по формуле: где I - длина рассматриваемого участка бруса (расстояние между смежными характерными сечениями); Е - модуль упругости первого рода (модуль Юнга), зависящий от материала бруса. Перед построением эпюры перемещений w определяют характерные уча­ стки (где нормальные напряжения постоянны), для которых определяют абсо­ лютные перемещения. Следует учитывать, что на участках со сжимающими на­ пряжениями брус укорачивается (А£ отрицательно), а при растягивающих на­ пряжениях - удлиняется (М положительно). Построение эпюры перемещений начинают от заделки, где перемещение равно нулю. Для каждого последующе­ го сечения значение перемещения определяют как сумму (со своим знаком) из­ вестного перемещения предшествующего сечения и абсолютного перемещения характерного участка, т.е. (4.2) ИЛИ (4.3) Wi+l = -Wi+Mi- (4.4) 13 Порядок построения эпюр в составном брусе: 1. Намечаем характерные сечения, нумеруя их. 2. Определяем продольную силу N в каждом характерном сечении, исполь­ зуя метод сечений. По найденным значениям строим эпюру N. 3. Определяем нормальные напряжения в каждом характерном сечении по формуле (4.1). По найденным значениям строим эпюру ст. 4. Определяем абсолютные перемещения А£ участков бруса по формуле (4.3). Вычисляем значения перемещений w для характерных сечений бруса по формуле (4.4), начиная от заделки (где w = 0). По найденным значениям строим эпюру w. Основной задачей расчета конструкций является обеспечение ее прочности в условиях эксплуатации. Для этого необходимо, чтобы наибольшие напряже­ ния о тах, полученные в результате расчета конструкции (расчетные напряже­ ния), не превосходили некоторой величины (предела прочности), называемой допускаемым напряжением [а ] , т.е. выполнялось неравенство: Значения <зтах при растяжении (сжатии) определяются по формуле (4.1), а [ст] определяется по нормативным документам в зависимости от материала бруса. При расчете конструкций на прочность при растяжении-сжатии встреча­ ются три вида задач: 1. Проектный расчет (подбор сечения) - определяется требуемая площадь поперечного сечения (4.5) N,max (4.6) затем по сортаменту подбирается соответствующий профиль. 14 2. Проверочный расчет — по формуле (4.1) определяется наибольшее на­ пряжение, затем проверяется выполнение неравенства (4.5) и дается заключе­ ние о прочности конструкции. Если неравенство удовлетворяется, то прочность конструкции обеспечена, в противном случае - не обеспечена. 3. Определение допускаемой нагрузки - величина внешней нагрузки, кото­ рую может выдержать конструкция определяется по формуле: Пример 3. На двухступенчатый стержень (рис. 4.1) со следующими харак­ теристиками: Л} =200 см2, Л2 = 250 см1, 1г = 4 м , 12 = 5 м , Е=\0000М Па, [ст] = 5 МП а , действуют внешние силы: / j = 200кН, F2 = 150 к Н . [N] = lo]-A . (4.7) щ ш 'ш т Требуется: 1. Вычислить опорную реакцию. 2. Определить продольные силы в характерных сечениях стержня и построить эпюру продольных сил. 3. Вычислить нормальные напряжения в характерных сечениях стержня и построить эпюру нормальных напряжений. Определить в каких се­ чениях стержня имеется перенапряжение. Рис. 4.1. двухступенчатого Расчетная схема стержня 4. Вычислить перемещения характерных сече­ ний стержня, перемещение свободного конца стержня и построить эпюру перемещений. 5. Определить размеры сечений верхней и нижней ступеней, если известно, что сечение - прямоугольное и отношение ширины сечения к его высоте равно 1:4. При подборе размеры сечения округлять до сантиметров. 15 Решение. 1. Определяем опорную реакцию. Для этого выбираем направление опор­ ной реакции вверх (рис. 4.2) и составляем уравнение равновесия (проекций всех сил на вертикальную ось): '£,}> = 0: R + Fx- F 2 - 0, R = -F t +F2 = - 5 QkH . Знак «-» означает, что истинное направление опорной реакции - противоположно. Поэтому на рисунке 4.2 покажем истинное направление опорной реакции. R=5QkH 200кН 150 кН Рис. 4.2. К определению опорной реакции Рис. 4.3. Выбор характерных сечений 2. Выбираем характерные сечения (рис. 4.3), как указано в п. 3: - сечение, расположенное бесконечно близко к опоре (сечение 1); - сечение на свободном конце (сечение 6); - сечения, расположенные в местах изменения геометрических характери­ стик поперечных сечений (сечения 2 и 3); - сечения, расположенные бесконечно близко по обе стороны от точек приложения сосредоточенных сил (сечения 2, 3, 5 ,6). Для определения продольных сил в характерных сечениях стержня используем метод сечений: 26 - последовательно рассекаем стержень в характерных сечениях; - рассматриваем равновесие одной из частей стержня относительно сече­ ния, а действие отброшенной части стержня заменяем продольной силой, воз­ никающей в рассматриваемом сечении (рис. 4.4); -д л я определения усилия, возникающего в каждом сечении, составляем для рассматриваемой части уравнение проекций всех сил на вертикальную ось. Сечение 1-1 Vl\ 5 ОкН 5> = 0 : - 5 0 - # ! = 0, =>#1=-50кЯ . Сечение 4-4 \ i ш 50кН А 200кН Сечение 2-2 I \ 50кН И а Т У = 0: - 5 0 - # 2 = 0, => #2 = -50кН. Сечение 5-5 1\ N, О 2> = 0 : # 5 = 0 . Сечете 3-3 т 50кН А 200кН | * э 1> = 0 : - 50 + 200 - # 3 = 0 , => # з = ISOklW . Сечение 6-6 AM; 2> = 0 : # 6 = 0 . f n 4 1 У = 0: - 5 0 + 2 0 0 -# 4 = 0, = > # 4 = 1 5 0 * # . Рис. 4.4. К определению продольных сил в v |M|luj" 1 17 По полученным значениям усилий строим эпюру продольных сил (рис. 4.5), 0,5 Рис. 4.5. Эпюры продольных сил N , нормальных напряжений о и перемещений со 3. Для построения эпюры нормальных напряжений на каждом из характер­ ных участков бруса определяем напряжение по формуле (4.1): ЛГд _ - 5 0 -10 200-10' = -2,5 МПа; N3 150-103 ЛЛ1ЛТ °>-‘ ‘ Т Г Ш ^ =6'0МПа: По полученным значениям о строим этору нормальных напряжений (см. рис, 4.5). По эпюре ст определяем, что о тах = ст3_4 = 6,0 МПа > [а] = 5,0 МПа, следо­ вательно, на участке 3-4 имеется перенапряжение. 18 4. Для построения эгпоры перемещений вычисляем абсолютное удлинение или укорочение участков бруса по формуле (4.2) и определяем перемещение каждого сечения по формуле (4.4): о»! = 0 , (т.к. сечение 1 проходит в непосредственной близости к опоре); Д/ = = -------- ~ 50—Ч — ---- = -О 001 м = - 1,0 м м ; ЕАг 10000-10 - 200-10 ш2 = CDj + A/j_2 = м м ; а>з = оо2 = —1 мм, (т.к. сечения 2 и 3 расположены в бесконечной близости друг к другу); ^ з - 4-/3-4 150-103 -4 ЛЛ1С 1СAfc_4 = - ■■—— L = ------------ -^------------т = 0,015 м = 1,5 м м ; ЕА2 10000-10-250-10 ш4 = ю3 + А/3_4 = -1 +1,5 = 0,5 мм ; = (О4 = 0,5 мм , (т.к. сечения 4 и 5 расположены в бесконечной близости друг к другу); ы 6 ^ 6 = 0 5 6 ЕА2 ©6 = ш5 + А/5_6 = 0,5 мм. По полученным значениям строим эпюру перемещений со (см. рис. 4.5). По эпюре определяем: перемещение свободного конца бруса равно 0,5 м м . 19 5. Определим размеры сечений верхней и нижней ступеней. Для 1-й ступени ( N ^ = |-50 | = 5 0 к Я > см. рис. 4.5) вычислим требуемую площадь поперечного сечения по формуле (4.6): A lp > = 0,01 м 1 = 100 см2. b 1 o ' ?Т.к. — = —,то h = 4-b и,следовательно, A = b - h -A -b >100см . h 4 Вычислим ширину поперечного сечения 1-й ступени: b = л/10074 = л/25 =5 см. Тогда высота поперечного сечения 1-й ступени к = 4-Ь = 4-5 = 20см . Т аким образом, поперечное сечение 1-й ступени - прямоугольник 5 см х 20 с м . Требуемая площадь поперечного сечения 2-й ступени ( N ^ =150 кН): .1 N max _ 1 5 0 ' 10 _ у , 2 -п.|2 Amp- |-CTJ _ 5 1Q6 -О.ОЗ-М — 300см . Ширина поперечного сечения 2-й ступени (с 01фуглением в большую сто­ рону до сантиметров): b = -s/300/4 = л/75 = 8,66см а 9 см. Тогда высота сечения 2-й ступени * = 4-6 = 4-9 = 36 см. Следовательно, поперечное сечение 2-й ступени - прямоугольник 9 см х 36 см . 20 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СОСТАВНЫХ СЕЧЕНИЙ Разберем основные геометрические характеристики составных сечений. Площадь поперечного сечения (А ) является простейшей геометрической характеристикой поперечного сечения. Если представить, что сечение состоит из п площадок площадью А, (рис. 5.1), то площадь всего сечения A = l A i . (5.1) (=1 О Рис. 5.1. К определению площади поперечного сечения Единица измерения площади - м2, но иногда используют более мелкие: единицы - см2, мм2. Статический момент сечения (S ) относительно некоторой оси есть взя­ тая по всей его площади А сумма произведений площадок At на расстояние от их центра тяжести до этой оси, т.е. S x = ’Z A i -y i , (5-2) 1—1 S ,= Z A r x i , (5-3) 1 = 1 где xh y t - расстояния от центра тяжести площади At до оси Оу и Ох соответст­ венно (рис. 5.2). 21 Рис. 5.2. К определению статических моментов сечения Единица измерения статического момента - м3 или см . Координаты центра тяжести сечения (хс, ус) определяются по формулам: S , Хс = - (5.4) Sx ^ =Т - (5.5) Осевой момент инерции сечения ( I ) относительно некоторой оси есть взятая по всей его площади А сумма произведений площадок A t на квадраты расстояний от их центра тяжести до этой оси, т.е. 1х= 1 А г у 1 i=i (5.6) I ,= Z A r x ? , (5.7) 1=1 где X/, у i - то же, что и в (5.2) и в (5.3). Единица измерения осевого момента инерции - -м4 или см4. Для вычисления указанных геометрических характеристик составное сече­ ние разбивается на ряд простых фигур, для которых достаточно просто опреде­ лить эти величины. В таблице 1 приведены моменты инерции наиболее распро­ страненных простейших сечений. 22 Таблица 1 — Моменты инерции простейших сечений Сечение Площадь Моменты инерции а 12 а 12 а У / / / 0 / / / / / I) а-Ь b-h 12 b3 -h 12 a b b3 h - a b b-h3 12 b3 -h 12 23 Продолжение таблицы 1 Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются центральными осями, а моменты инерции относительно этих осей - центральными моментами инерции. После определения центра тяжести составного сечения возникает необхо­ димость определить момент инерции сечения относительно осей, проходящих через этот центр. Для этого используется формула моментов инерции при па­ раллельном переносе осей (рис. 5.3): 1х -1хО + а2'А , (5.8) Iy = Jyo + b2-A , (5.9) где а, b - координаты центра тяжести сечения относительно осей Ох и Оу (а и b подставляются в формулы с учетом знаков); 1хо, /уо - моменты инерции сечения относительно осей Ох0 и 0у0, вычисляемые по формулам (5.6) и (5.7). 24 Рис. 5.3. К определению моментов инерции сечения Полярный момент инерции сечения ( / р) относительно некоторой точки (полюса) есть взятая по всей его площади А сумма произведений площадок Л, на квадраты расстояний до этой точки, т.е. / P= i U - p , 2. (5-Ю) 1=1 Т.к. р? = x f + У?> т° легко получить, что 1р = 1 х + 1 у (5 Л 1 ) Осевой момент сопротивления сечения ( W) относительно некоторой оси равен отношению осевого момента инерции сечения, вычисленного отно­ сительно той же оси, к расстоянию от этой оси до наиболее удаленного волокна (наиболее удаленной точки сечения), т.е. ЙГх = — , (5-12) У max Wy = ~ - (5-13) Xmax Единица измерения осевого момента сопротивления - м или см3, 25 Пример 4. Для заданного сечения, состоящего из швеллера №16 и листа 200x20 мм (рис. 5.3), требуется: 1. Определить положение центра тяжести сечения. 2. Определить центральные моменты инерции и моменты сопротивления сечения. А* _L (X. 5,645 см А Уг 200x20 § г - r£l z: С №16 1,8 см 10 см 10 см Рис. 5.3. Составное сечение Решение. 1. Разбиваем составное сечение на две фигуры: 1 - швеллер №16 и 2 - лист 200x20 мм. Определяем геометрические характеристики простых фигур: S швеллера (принимаем согласно ГОСТ 8240-89, см. приложение 2): Лх —18,1 см2 , = 747 см4 , J п = 63,3 см*, z0 = 1,8 см . •S листа (определяем по формулам таблицы 1): 26 3. Выбираем в качестве вспомогательных осей центральные оси швеллера. Для определения положения центра тяжести сечения воспользуемся формулами (5.4) и (5.5): 40-(8 + 1) Ус 40 + 18,1 = 6,196 см , __ 40-(10-1.8) Х с“ 40 + 18,1 = 5,645 см . Отложив полученные значения ординат вдоль осей х1 и у\ (см. рис. 5.3), получим положение центра тяжести сечения (точка С). Через эту точку прово­ дим оси х и у . 3. Вычисляем центральные моменты инерции относительно осей х и у по формулам (5.8) и (5.9): 4. Вычисляем осевые моменты сопротивления по формулам (5.12) и (5.13): J x = J xi + 4 ’Я? + Л 2 + л 2 ' а \ - = 747 +18,1 ■ 6,1962 +13,333 + 40 • (9 - 6,196)2 = 1769,696 см4; Jy =JУ1 +Л} ■bi+Jy2 +Л7 -bl- = 63,3 +18,1 • 5,6452 +1333,333 + 40 ■ 2,5552 = 2234,529 см4. J x 1769,696 8 + 6,196“ 14,196 = 124,662 см3; 6. РАСЧЕТ ПРОСТЫХ ФЕРМ Фермой называется система, состоящая из стержней, соединенных между собой шарнирами (рис. 6.1). Расстояние между осями опор фермы называется пролетом. Совокупность стержней, ограничивающих контур фермы сверху, образует верхний пояс, а снизу - нижний пояс. Внутренние стержни образуют решетку. Вертикальные элементы решетки называют стойками (С), а наклонные - раскосами (Р). Совокупность элементов фермы между соседними (смежными) узлами поясов фермы называется панелью. Узлы фермы для удобства расчета принято нумеровать. Как правило, нагрузка, действующая на фермы, представляет собой сосре­ доточенные силы, приложенные в узлах. В этом случае в элементах фермы (стержнях) возникают только продольные силы (усилия). Усилия в стержнях обычно обозначают N ,- j , где г и j - номера соеди­ няемых узлов. Верхний пояс (ВП) Рис. 6.1. Ферма 28 Определение внутренних усилий можно выполнять следующими способами: I. Аналитическими-. - способ вырезания узлов; - способы, основанные на методе сечений (способ сквозных сечений (Рит­ тера), способ замкнутых сечений, способ 2 сечений). II. Графическим (веревочный многоугольник или диаграмма Максвелла- Кремоны). Примечание: следует помнить, что прежде, чем определять усилия в стержнях ферм в некоторых случаях необходимо предварительно определить опорные реакции. Способ вырезания узлов Этот способ является самым простым из указанных выше. Последователь­ ность расчета этим способом заключается в следующем: 1. Вырезается узел, в котором сходятся стержни, в 2 из которых усилия неизвестны. Усилия, которые определяются, направляются от узла (положи­ тельное направление); 2. Составляются уравнения равновесия (проекций на оси, причем оси вы­ бираются произвольно) 3. Из решения системы уравнений определяются величины неизвестных усилий. Если в результате значение усилия отрицательно, значит стержень сжат, если положительно - растянут; 4. Переход к следующему узлу. 1 * = 0, 1 Г = 0. 29 Пример 5. Определить усилия в стержнях 1-2 и 2-3 фермы, изображенной ка рис. 6.2. 2,25 л 1,0 м Рис. 6.2. Расчетная схема фермы Решение. 1. Определяем реакции опор. Т.к. опора А представляет собой шарнирно-подвижную опору, то в ней возникает только одна вертикальная реакция VA, а в шарнирно неподвижной опоре В - две: VB и Нв- Определим их величины из уравнений равновесия: 2. Находим усилия в стержнях 1-2 и 2-3 способом вырезания узлов: 2.1. Вырезаем узел 2, в котором сходятся два неизвестных усилия, которые нам нужно определить. Неизвестные усилия направляем от узла (рис. 6.3), обозначая их как Nj.2 (усилие в стержне 1-2) и N2.3 (усилие в стержне 2-3). Z X = 0: Н в = 0, Ъ М а = 0: Л-V в +2-50-2-40-4-20=0, => И М в = 0: - 4-Кл+240+6-50=0. 'Нв = 0, Vg =15кН, VA = 95 кН. 30 1У NX.2 Рис. 6.3. Узел 2 2.2. Проведем через узел оси координат как показано на рис. 6.3 и соста­ вим уравнения проекций на ось Ох и 0у. ( Т . ^ - 0 : N 2- i -cosa = 0, |2 Т = 0 : N 2_2 - s in a - N ^ 2 - 5 0 = 0. 2.3. Решая эту систему уравнений, находим: PV2-3=0, [Лг1_2 = 5 0 жДг. Таким образом, усилие в стержне 1-2 равно 50 кН, причем стержень сжат, а в стержне 2-3 усилие равно 0. Примечание: В приведенном примере не определялись значения тригоно­ метрических функций, т.к. при решении системы они не задействованы. Их значения могут быть легко определены графически из рис. 6.2. В практических расчетах, зачастую, усилия в элементах фермы можно оп­ ределить без применения способа вырезания узлов или других способов. Дга этого используются частные случаи равновесия узлов (рис. 6.4). 31 Частные случаи равновесия узлов дг а) узел из 2 стержней без внешней на- грузки (рис. 6.4 а) M i=N2=0. 6) б) узел из 2 стержней, загруженный внешней нагрузкой по направлению одного из стержней (рис. 6.4 б) N i = ±P , N 2=0 . в) в) узел из 3 стержней, 2 из которых лежат на одной прямой, без внешней нагрузки (рис. 6.4 в) ^ i = ^ 2, N 3 =0. г) У г) узел из 3 стержней, 2 из которых лежат на одной прямой, загруженный W Рис. 6.4. Частные случаи равновесия узлов внешней нагрузкой по направлению Р третьего стержня (рис. 6.4 г) ЛГ, =ЛГ2, N 3 =±Р Р\ д) Д д) узел из 3 стержней, 2 из которых расположены под одинаковым углом к третьему (рис. 6.4 д) N \- N z . 32 Способ сквозных сечений Приведем последовательность расчета этим способом: 1. Проводится сквозное сечение; пересекающее три стержня с неизвестны­ ми усилиями; 2. Отбрасывается одна из частей (левая или правая). Неизвестные усилия направляются от сечения; 3. Составляется одно из следующих уравнений: - моментов относительно характерных точек, которые выбираются в мес­ тах пересечения линий действия двух неизвестных усилий, - проекций на ось перпендикулярную общему направлению усилий (если они параллельны). Таким образом, в каждое уравнение входит по одной неизвестной. 4. Из решения уравнения определяются величины неизвестных усилий. Расчет на прочность элементов фермы производится по формулам (4.5)...(4.7). Пример 6. Для фермы, изображенной на рис. 6.5, требуется: - определить «нулевые» стержни (усилия в которых равны нулю); - вычислить усилия в отмеченных стержнях; - для стержня 6-9 подобрать квадратное поперечное сечение, если [сг] = 160 М П а . Размер стороны сечения округлить до миллиметров. 33 Решение. 1. Определяем опорные реакции. Для этого составляем уравнения равновесия: 1 * = о , o '1!1 Н А = 5кН , 'Е.Мл = 0 , => ■20 -6 + 1 0 -1 2 -5 -2 -1 ^ -1 5 = 0, => • VB -1 5 ,3 3 кН, - 5 - 2 - 1 0 - 3 - 2 0 - 9 + ^ - 1 5 = 0; VA =14,67 кН. (D Проверим правильности вычисления опорных реакций: 1 Г = 0: 1 4 ,6 7 -2 0 -1 0 + 15,33 = 3 0 - 3 0 = 0. 2. Определяем «нулевые» стержни с использованием частных случаев рав­ новесия узлов фермы (см. рис. 6.4). Рассмотрим равновесие узла 1, в котором сходятся два стержня. Так как в этом узле отсутствует внешняя нагрузка (частный случай, см. рис. 6.4, а), следова- ^ Ф тельно, усилия в этих двух стержнях равны нулю: Рис. 6.6. Узел 1 ^1-2 = ® ’ ^ - л ~ ® • Рассмотрим равновесие узлов 10 и 12 (рис. 6.7, 6.8). N10-11 ^4-10= 0 N9-10 N :---- »■■■■ С>| . I ----3, Рис. 6.7. Узел 10 12 -А N11-12 (12) Рис. 6.8. Узел 12 В каждом из этих узлов сходятся три стержня, два из которых лежат на од­ ной прямой, и отсутствует внешняя нагрузка (частный случай, см. рис. 6.4, в). Следовательно, jV4_10 = 0 , N 2- l2 = 0 • 3. Вычислим усилия в отмеченных стержнях. 34 3.1. Для определения усилия, возникающего в стержне 6-6 , вырезаем узел В и рассматриваем его равновесие. 1 д/- Внешней нагрузкой, действующей на узел, явля- Ж 6-5 I ется опорная реакция RB. Рассматриваемый узел ^9-В С®) | ^S-B относится к частному случаю (см. рис. 6.4, г): Nf,_R = -15,33 кН (стержень сжат). Дя=15,33 кН Рис. 6.8. Узел В 3.2. Определяем усилие в стержне 6-7, для чего вырезаем узел 7 (рис. 6.8, а). Составляем уравнение проекций всех сил на го- а) v ризонтальную ось: © 5 кН 5 — 2 ^ = 0, # 6_7 ■cosa + 5 = 0 ^ A r6_7 = — cos a Определим cos а и sin a из треугольника 6-7-С б) (см. рис. 6.8, б): (£) а ilM c o s a = —- — - = 0,949, sin a = - , ^ - - = 0,316. 3м л/з2 + 12 ’ ’ л/32 + 12 Рис. 6.8. Узел 7 Тогда JV6_7 = ----- — = -5,27 кЯ (сжатае). 0,949 3.3. Для определения усилия, возникающего в стержне 4-9, используем способ сквозных сечений. Для этого проводим сечение I-I и рассматриваем равновесие правой части фермы (рис. 6.9), действие левой части фермы заме­ ним усилиями, возникающими в рассеченных стержнях # 4_5, # 4-9, Щ_10. Усилия в этих стержнях направляем в сторону отброшенной части, предпола­ гая, что стержни работают на растяжение. 35 ^ 4-5 © Так как стержни 4-5 и 9-10 параллельны между собой, то линии действия усилий TV4_5 и N 9_l0 не пересекаются. Следовательно, для определения N ^ g составляем уравнение проекций на вертикальную ось: £ 7 = 0: -10 + 15,33 + N4_9 sinP = 0. (6.1) Значение sinfi найдем из треугольника 4-9-10 (рис. 6.10): 4 4м sinP = 4:3 +4 = 0,8 . Подставив полученное значение sinp в (6.1), получим Рис. 6.10. К опре­ делению sin Р Ы4-9 = " 6>66 кН (стержень сжат). 3.4. Чтобы определить усилие в стержне 6-9, необходимо провести сечение IMI и рассмотреть равновесие правой части (рис. 6.11). Т.к. стержни 5-6 и 9-В не параллельны между собой, т.е. линии действия усилий в этих стержнях пересе­ каются в точке К. Следовательно, чтобы определить продольную силу, возникаю­ щую в стержне 6-9, необходимо составить уравнение моментов относительно точки К: 36 VB=15.33 кН Рис. 6.11. Сечение П-II (правая часть) Ъ М К = 0 : -5■ 2 + 15,33-(х + З ) - JV6_9 -/j = 0 . (6.2) Рассотяние х находим из подобия треугольников 7-8-К и 6-В-К (см. рис. х х *+■ 3 6.11), для чего составляем пропорцию: — = , из которой находим х = 6 м . Плечо силы N 6_9, равное найдем из треугольника 9-D-K (см. рис. 6.11). Т.к. треугольник 6-В-9 - прямоугольный и 16_в = /9_в , то у = 45°. Отсюда л/2 h ~ h - K -sin450 =1 2-— = 8,49jw. Тогда из (6.2) вычисляем N 6_9 = 15,08кН (стержень растянут). 3.5. Чтобы определить усилие Л^_и> вырежем узел 3 (рис. 6.12). Составим уравнение проекций на вертикаль­ ную ось: N 20 кН N. 2-3 3-4 N3-11 1 Г = 0: - 2 0 - A r3_n -Ar2_3-sina = 0. (6.3) Согласно пп. 3.2 (рис. 6.8) sinф = 0,316. Из (6.3) находим Л^ 3_п = -20 - N 2-3 ■ 0,316. Рис. 6.12. Узел 3 37 Из последнего равенства следует: чтобы найти усилие в стержне 3-11, нужно найти усилие N 2_з • Для этого в заданной ферме проводим сечение Ш-Ш и относительно этого сечения рассматриваем равновесие левой части фермы (рис. 6.13). Рис. 6.13. Сечение Ш-Ш (левая часть) Для определения N 2_3 составляем уравнение моментов относительно узла 11, т.к. линии действия усилий N 2_n и N l2_n пересекаются в этом узле: 2 Л / И = 0 : 14,67-6+W2_3 -/2 =0. Расстояние /2 находим из подобия треугольников Е-3-11 и L-2-3: h-L _ h h -ъ h -u Т.к. 12_з = -Vl2 + 3 2 = 3,162м , то l2 = 3' 4 = 3,795 м . (6.4) 3,162 Из (6.4) находим N = - 14-’-6-7— = -23,19 к Н . 2 3 3,795 38 Подставляя полученное значение # 2-з в (6.3), получаем: Аг3_1, = -12,67 кН (стержень сжат). 4. Подберем для стержня 6-9 квадратное поперечное сечение. По формуле (4.6) определяем требуемую площадь: л > Е ± ± = 15’08 ' -1 ^ - = 0.943 • 10 ~лм 2 = 94,3 мм2. тр [а] 160 10б Пусть сторона квадрата равна а, тогда площадь поперечного сечения равна а2, следовательно а2 > 94,3 мм2. Из последнего неравенства вычисляем сторону квадрата: а > -J94,3 » 9.71 м м . Округляя до миллиметров, получаем а = 10мм . Следовательно, попереч­ ное сечение - квадрат 10 мм х 10 м м . 7. РАСЧЕТ ПРОСТЫХ БАЛОК И РАМ Стержень, работающий главным образом на изгиб, называется балкой. Стержневая система, элементы которой жестко соединены между собой во всех или некоторых узлах называется рамой. В сечениях балок и рам, загруженных произвольными нагрузками, возни­ кают три внутренних силовых фактора - поперечная сила Q, изгибающий мо­ мент М, продольная сила N. Приведем последовательность расчета балок на прочность. Этап 1. Определение опорных реакций. Этап 2. Построение эпюр усилий и их проверка. Этот этап выполняется с помощью метода сечений. Положительные на­ правления внутренних силовых факторов показаны на рис. 7.1. 39 NРис. 7.1. Положительные направления внутренних сил При построении эпюр Q и N положительные значения ординат откладыва­ ются вверх от оси эпюры, а отрицательные - вниз. При построении эпюры М по­ ложительные значения ординат откладываются вниз от оси эпюры, в результате ординаты оказываются расположенными со стороны растянутых волокон балки. При проверке правильности построения эпюр учитываются их особенно­ сти, перечисленные в п. 3. Этап 3. Выбор опасных сечений. По эпюрам усилий определяются опасные сечения, в которых эти усилия достигают наибольших значений. В большинстве случаев основным внутрен­ ним усилием при расчетах балок на прочность является изгибающий момент и связанные с ним нормальные напряжения. Этап 4. Вычисление наибольших нормальных напряжений и проверка вы­ полнения условия прочности. Нормальные напряжения при изгибе вычисляются по формуле: где М тах - наибольшее значение изгибающего момента в сечениях балки; I - момент инерции поперечного сечения балки; W - осевой момент сопротивле­ ния поперечного сечения балки; у тах - расстояние от нейтральной оси попе­ речного сечения балки до наиболее удаленного волокна. М. (7.1) М,max (7.2) После определения наибольших расчетных напряжений в балке их значе­ ние сравнивают с допустимыми напряжениями по формуле (4,5). Касательные напряжения при изгибе вычисляются по формуле: _ QmaxS _ > (7.3) где Qmax - наибольшее значение поперечной силы в сечениях балки; S - стати­ ческий момент полусечения балки; Ъ - наименьшая ширина поперечного сече­ ния балки. Если необходимо подобрать поперечное сечение балки, то на этапе 4 вы­ полняются следующие действия: S определяется требуемый осевой момент сопротивления; S подбирается соответствующий профиль (подбор профиля осуществляет­ ся по сортаменту или при заданном профиле сечения определяется требуемый параметр); ^ подобранное сечение проверяется на прочность по касательным напря­ жениям согласно формуле (7.3). Пример 7. Для балки, изображенной на рис. 7.2, определить опорные реак­ ции и построить эпюры внутренних сил. (7.4) Рис. 7.2. Расчетная схема балки 41 Решение. 1. Определяем значения опорных реакций, возникающих в опорах А и В. Для этого воспользуемся уравнениями равновесия (1.2), предварительно зада­ ваясь произвольным направлением этих усилий, полагая, что вертикальные на­ правлены снизу вверх, а горизонтальные - справа налево (рис. 7.3). Так как в результате решения системы уравнений, значения вертикальных опорных реакций положительны, то их направления выбраны верно. Выполним проверку правильности вычисления опорных реакций. Для это­ го составим уравнение проекций всех сил на вертикальную ось: Z y = 0: 7 ,5 -10 + 2,5 = 10-10 = 0. 2. Назначаем характерные сечения балки (их будет 4, см. рис. 7.3). Для вы­ числения усилий в характерных сечениях воспользуемся методом сечений: по каждому из сечений рассечем заданную конструкцию на две части; мысленно отбрасывая одну часть, а ее действие на оставшуюся часть заменяем внутрен­ ними силами, возникающими в сечениях, предварительно задаваясь их положи­ тельными направлениями. Проводим сечение 1, отбрасываем правую часть и рассматриваем равнове­ сие левой части (рис. 7.4): кУ Рис. 7.3. К определению опорных реакций % М А = 0, fl0 1 -F B -4 = 0, Т,М В = 0, => • -10 -3 + - 4 = 0, => - Y,x = 0; - Н в =0; VA ~ 7,5 кН, VB = 2,5 кН, 42 VA =7,5 кН I 1 а # , Рис. 7.4. Сечение 1 1 М ,= 0, 1 * = 0, 1 ^ = 0; /я, = 0, # 1= 0, { Q ^ 1 , 5 kH. - тх + 7,5 • 0 = О, (.7 ,5-6, = 0; Проводим сечение 2, отбрасываем правую часть и рассматриваем равнове­ сие левой части (рис 7.5): V.=7,5 кН N2 2 м Рис. 7.5. Сечение 2 1 М 2 =0, 1 ^ = 0, Е Г = 0; - т2 + 7,5 • 2 = 0, # 2 = 0 , [ 7 ,5 - е 2 =0; => • m2 = 15 к //, # 2 = 0, е 2 =7,5кЯ . Чтобы определить усилия, возникающие в сечении 3, удобнее рассмотреть равновесие правой части балки относительно сечения 3 (рис. 7.6). т. о ч Г1 М 3 =0, т3 - 2,5 ■ 6 = 0, ( а , ГГо"II # з = 0, Ь — г * 1 7 = 0; .2,5 + бз = 0; I , 1 К=2,5 кЯ 1 .б* > * m3 = 15кЯ, Рис. 7.6. Сечение 3 # з = 0, Q3 =-2,5 кН. Для определения усилий, возникающих в сечении 4, рассматриваем равно­ весие правой части балки относительно этого же сечения (рис. 7.7). 43 к у Z Л/ 4 = о, \т4 - 2,5-0 = 0, £ * = 0, => - # 4 = 0, 1 7 = 0; ( 2,5 + 0 4 = 0; К —2,5 кН к ± о , Щ = о, => • # 4 = 0 , е 4 = -2 ,5 кН. Рис. 7.7. Сечение 4 3. Строим эпюры усилий. Для этого по полученным значениям усилий на оси балки под каждым сечением откладываем ординаты, соответствующие этим усили­ ям. На эпюре Q положительные ординаты откладываем свверху, а отрицательные - снизу. На эпюре изгибающих моментов М отрицательные ординаты откладываем сверху, а положительные - снизу (рис. 7.8). F = \Q kH ( к В м ) Рис. 7.8. Эпюры изгибающих моментов (М ), поперечных (Q) и продольных (N) сил 44 Пример 8. Для балки, изображенной на рис. 7,9, требуется: - определить опорные реакции; - построить эпюры внутренних сил; - подобрать поперечное сечение (швеллер) из условия прочности по нор­ мальным напряжениям ([сг] = ЮОМПа) и проверить его на прочность по каса­ тельным напряжениям ([т] = 120МПа ). <7=3 к Н / м Ф Ф Ф h/ 1 \ 4 м F = 5 к Н Рис. 7.9. Расчетная схема балки Решение. 1. Определяем опорные реакции. Так как на балку действуют только вер­ тикальные нагрузки, в жестком защемлении возникают только изгибающий момент и вертикальная реакция (рис. 7.10). ч т д=4 кН'М <7=3 к Н /м Ы _V V V F = 5 kH Л Рис. 7.10. К определению опорных реакций Для определения опорных реакций составим уравнениями равновесия: ' Ц М А = о, + 3 -4 -2 -5 -4 = 0, VA + 5 -3 - 4 = 0; тА = 4 кН, Va =7 кН . 2. Выбираем характерные сечения (их будет 3, см. рис. 7.10). Для вычисле­ ния усилий в характерных сечениях воспользуемся методом сечений. По каж- 45 дому характерному сечению рассечем конструкцию на две части и рассмотрим равновесие той части, для которой уравнения равновесия проще. ( \ -----У Va= 1 kH \ .-*01 Рис. 7.11. Сечение 1 Z A f!= 0, ЕЛГ = о, 1 1 ^= 0; -/И] - 4 + 7 -0 = 0, # , = 0, 7 - й = 0 ; т 1 = -4 к Н ■ м, # i = 0, |Д = 7 к Я . Рис. 7.12. Сечение 2 1 М 2 = 0, ■1 ^ = 0, => 2Т = 0; т 2 - 5 - 2 + 3-2-1 = 0, n 2 = o, - 3 - 2 + 5 + 0 2 =О; т2 = 4 к/7 • л<, Л^2 = 0, е 2 = 1к я . Аналогично получим значения усилий в третьем сечении: Щ = 0, • # з = 0, 0 з = 1 • 3. Строим эпюры усилий по соответствующим значениям в характерных сечениях (рис. 7.13). Т.к. продольные силы во всех сечениях балки равны нулю, то эпюру продольных сил можно не изображать. 46 <7=3 кН/м Рис. 7.13. Эпюры изгибающих моментов (М) и поперечных сил ( 0 В точке К значение изгибающего момента примет максимальное значение, т.к. в этом сечении поперечная сила равна нулю. Вычислим расстояние от пра­ вого конца балки до сечения К: х = — = 1,67 м . 3 Значение изгибающего момента в сечений К определим из условия равно­ весия правой части балки: ^т а х = 5-1,67 — = 4,17 кН ■ м. 4. Подберем поперечное сечение (швеллер) из условия прочности по нор­ мальным напряжениям. Для этого воспользуемся формулой (7.4): 47 wmp = = 4,17;10,3 = 0,0199 ■ 10~3 m 3 = 19,9 CM3. p [o] 210-106 Принимаем по ГОСТ 8240-89 (приложение 2) швеллер №10, Wz = 34,8 см3. 4. Проверим выбранное поперечное сечение на прочность по касательным напряжениям по формуле (7.3) 7 10 -20 4 10" t = ------------г- 2---------- - = 18,24 МПа < [т] = 120 М П а. 0,45 ■ 10 • 174-10 Т.к. условие вьшолняется, то прочность сечения обеспечена. Пример 9. Для балки, изображенной на рис. 7.14, требуется: - определить опорные реакции; - построить эпюры внутренних сил; - подобрать поперечное сечение (двутавр) из условия прочности по нор­ мальным напряжениям ([ст] = 210МПа ) и проверить его на прочность по каса­ тельным напряжениям ([т] = 120М7а). F=10kH кН/м ^^ \|г ^ J J J J J ^ ^ [ Ъм J. 2м J._______ 6м Рис. 7.14. Расчетная схема балки Решение. 1. Определяем опорные реакции. Так как на балку действуют только вер­ тикальные нагрузки, в шарнирно неподвижной опоре возникает только верти­ кальная реакция (рис. 7.15). 48 F = 10 kH 8.6=48 кН Рис. 7.15. К определению опорных реакций Составим уравнения равновесия: 2Ж л = о , % М В = 0; -1 0 -3 + 8 - 6 - 5 - F g- 8 + 10 = 0, -10-11 + Р ^ - 8 -8 -6 -3 + 10 = 0; ^ VB = 27,5 кН, VA = 30,5 кН. Выполним проверку правильности вычисления опорных реакций. Для это­ го должно удовлетворяться следующее уравнение равновесия: £ 7 = 0: -1 0 + 3 0 ,5 -8 -6 + 27,5 = 58,0-58,0 = 0. 2. Выбираем характерные сечения (их будет 8, см. рис. 7.15). Для вычисле­ ния усилий в характерных сечениях воспользуемся методом сечений. Для сечений 1-4 удобнее рассмотреть равновесие левой отсеченной части балки, для сечений 5-8 - правой часта. ч L I 10 кН т £ Л /]= 0 , - т 1-1 0 -0 = 0, 1 ^ = 0, = > - ^ = 0, 1 7 = 0; 1- 10- 01 = 0; т1 = 0, # 1= 0, Q1= - W kH. Рис. 7.16. Сечение 1 49 ,10 кН Рис. 7.17. Сечение 2 1 ^ 2 = 0, 1 * = 0, 2 Т = 0; - т 2 -10 -3 = 0, ^ 2 = 0, - 1 0 - 0 2 = 0 ; т2 — —30кН ■ м, # 2 = 0, Q2 = - \ 0 kH. у I 110 кН L I з f ' =30,5 кН | Q 3 I..Ъм Рис. 7.18. Сечение 3 Е ^ з = 0, 2 ^ = 0, 1 ^ = 0; - т 3 -1 0 -3 + 30,5-0 = 0, # з = 0, -1 0 + 3 0 ,5 -0 3 = 0 ; т 3 = -ЪОкН • м, # з = 0, 0з = 20,5 кН. =30,5 кН | Q J l J U 3m Рис. 7.19. Сечение 4 Z M 4 = о, I * = 0, £ Г = 0; -Я14 -Ю -3 + 30,5-2 = 0, iV4 = 0, -1О + ЗО ,5-04 = О; т4 = 11кЯ ■ м, #4 =0, 0 4 = 20,5 кН, 50 8 3=24 кН N< 10 кН м У k I ^=27,5 кН L^S. j. Зл< LW Рис. 7.20. Сечение 5 т< N,s УА Щ _ ^ 1 0 к/?л< | Rg=27,5 кН i . Рис. 7.21. Сечение 6 1 М 5 = 0, 1 * = 0, => .1 7 = 0; ти5 +24-1,5-27,5-3 + 10 = 0, # 5 = 0 , => 2 7 ,5 -2 4 + 0 5 =0; т 5 = 36,5кН-м, # 5 = 0 , б 5 = -3 ,5 кЯ. 1 М 6 = 0, 1 * = 0, =* £ 7 = 0; /п6 -2 7 ,5-0+10 = 0, # 6 = 0, 27,5 + 0 6 = 0; т6 = - \0 к Н -м , #6 = 0. 06 =-27,5 кЯ. 10 к Я ж L^L Рис. 7.22. Сечение 7 I М 7 = 0, Е * = 0, £ 7 = 0; Wy =-10кЯ-л<, # 7 = 0 , 0 7 = 0 . т 7 +10 = 0, # 7= 0, => Й7=0; m s ^8 Г * ) 10 к # л < Рис. 7.23. Сечение 8 1 М 8 = 0, Е* = о, => 1 7 = 0; mg = — ЮкЯ ■ м, # 8 = 0, 108= 0- /и8 + 10 = 0, # 8 = 0, 0 8 =О; 51 3. Строим эпюры усилий по соответствующим значениям в характерных сечениях (рис. 7.24). Т.к. продольные силы во всех сечениях балки равны нулю, то эпюру продольных сил можно не изображать. I F —\ О кН д= g кН/м "йГГ^ т=\0 кН- \М ) (кН-м) м Рис. 7.24. Эпюры изгибающих моментов (М) и поперечных сил ( 0 В точке С значение изгибающего момента примет максимальное значение, т.к. в этом сечении поперечная сила равна нулю. Вычислим расстояние от пра­ вого конца балки до сечения С: 27 5 * = = 3,4375 м . Значение изгибающего момента в сечении С определим из рассмотрения правой части балки: Ч 447S М мах = -1 0 + 27,5 • 3,4375 - 8 • 3,4375 • - = 37,27 кН ■ j 52 4. Подберем поперечное сечение (двутавр) из условия прочности по нор­ мальным напряжениям. Для этого воспользуемся формулой (7.4): W — Ммах тр~ н 37,27-10 п л т ч 1 п-з 3 т с з :---------- т~ = 0,1775-10 м — \11,Ъсм . 210-10 Принимаем по ГОСТ 8239-89 (приложение 3) двутавр №20, Wx =184,0 см . 5. Проверим выбранное поперечное сечение на прочность по касательным напряжениям по формуле (7.3) 27 5-103 -104-10-6 т = ~ — - — -■ = 29,89 МПа < [т] = 100 МПа. 0,52-10 -1840-10 Прочность обеспечена. Пример 10. Для рамы, изображенной на рис. 7.25, требуется: - вычислить опорные реакции; - определить усилия в характерных сечениях стержней и построить эпюры продольных и поперечных сил, изгибающих моментов; - проверить равновесие узлов. <7=2 кН/м (Ч Рис. 7.25. Расчетная схема рамы Решение. 1. Определяем опорные реакции. Для этого принимаем направления неиз­ вестных опорных реакций как показано на рис. 7.26, и составляем уравнения равновесия: 53 '2 > = 0, \H A - 5 -1 0 = 0, {Нл = 15 кН, 'LM a = 0, => j2 2 - 2 ,5 -5 -4 -1 0 -2 -F s - 8 = 0, => | г й =1,875кЯ, Z M B = 0; (2 2 -5 ,5 -5 -4 -1 0 -2 + F* - 8 = 0; [F< = 20,125 кН. q=2 kH/m 3 " i I 6l u8 2' 11-22 кН 9. .10 kH ™ я ,= 1 5 к т 8 л< F/=20,125 кЯ FB=1,875 кЯ Рис. 7.26. К определению опорных реакций Выполним проверку правильности вычисления опорных реакций. Для это­ го должно удовлетворяться следующее уравнение равновесия: £ 7 = 0: 20,125 + 1,875-2-11 = 22,0-22,0 = 0. 2. Выбираем характерные сечения (их будет 10, см. рис. 7.26). Для вычис­ ления усилий в характерных сечениях воспользуемся методом сечений (прави­ ла знаков усилий см. п. 7). М х = 0, Qx= - \ 5 kH , jVj =-20,125 кН. М 2 = -15 • 4 = -60 кН ■ м (слева) , Q2 = -15 кН, N z = -20,125 кН. М 2 =0, е 3 =0, N 3 = 0. М 4 =-2-3-1,5 = - 9 к Н ■ м (сверху), £>4 = -2 -3 = -6 к Я , N 4 =0. 54 5 к Н А Л 20,125 к Н з m j . J . I8 ) Рис. 7.27. Сечение 5 Af5 = -2 - 3-1,5-15-4 = -6 9 к Н ■ м (сверху) , б 5 = -2 -3 + 20,125 = 14,125 *Я, Я 5 = -1 5 к Я . М6 = -2 -7 -3 ,5 -15 -4+ 20 ,125-4 = = -28,25 кН ■ м (сверху), Q6 = -2 ■ 7 + 20,125 = 6,125 кЯ, 15 к Н Qi N , А , 20,125 к Я 3 л< |, 4 л< |. ЛГ6 = -15 кН. Рис. 7.28. Сечение 6 М 7 =10-2 = 20кН-м(справа), g 7 =-1,875 «Я, 7Vv = - 5 -1 0 = -15кЯ . М8 = 10 ■ 2 = 20 кЯ ■ {справа), g 8 = 10 кЯ, TVg = -1,875 кЯ. М д = 0, Q9 =10 кН, N 9 = -1,875 кН. M \q = 0, Qiq = 0 , #io =-1,875 кЯ. М ,, = 0 , £?п = 0 , Я и = -1 ,875кЯ. 3. Строим эпюры усилий по соответствующим значениям в характерных сечениях (рис. 7.29). 55 9,0 60,0 \\ >><69,0 28,25 15,12 i t ✓ 20,0 а (кН-м) Рис. 7.29. Эпюры изгибающих моментов (М), поперечных (Q) и продольных (N) сил 56 2 кН /м 5~у_у 5 к Ни :M iL л ts 1,875 к Н Рис. 7.30. К вычислению изгибающего момента в сечении 11 Так как в сечении 11 эпюра Q пересекает ось стержня, на эпюре изгибающих момен­ тов в этом сечении будет локальный экстре­ мум. Из эпюры 0 (см. рис. 7.29) определяем 1,875 1,875 п п „ х = ----- = ------ = 0,94 м. Определяем значение изгибающего момента в сечении 11 (рис. 7.30) и откладываем это значение на эпюре: М ц = -2 ■ 0,94 ■ 0,47 +10 • 2-1,875 • 0,94 = 15,12 кН ■ м (сверху). 4. Проверим равновесие узлов рамы. Для этого вырежем два узла рамы (рис. 7.31,7.32) и составим для каждого из них три уравнения равновесия. т^=9кН-м т 5=69 кН-м N - 0 4 и 5= 15 кН =14,125 кН т 2~60 кН-м | 0 2 = 1 5 КН N 2 =20,125 кН Рис. 7.31. Проверка равновесия трехстержневого узла I Z = 0: 0 2 - N s = 1 5 -1 5 = 0, £ 7 = 0: N 2 - 0 4 - 0 5 = 20,125 - 6-14,125 = 0, Х М = 0: - т 2 + т5- т 4 = -6 0 + 6 9 -9 = 0. 57 /я б=20 кН м N 6 = 1 5 кН б 6=1,875 кН 5 кН /и?=20 к Н м 0 7=Ю кН l^y T # 7= 1,875 кН Рис. 7.31. Проверка равновесия двухстержневого узла Г£Х = 0: - 0 7 + Л г6 - 5 = -1О + 1 5 -5 = О, 1 7 = 0: - 0 б + # 7 =-1,875+ 1,875 = 0, (£ М = 0: - т 6+т1 = -2 0 + 20 = 0. Т.к. уравнения равновесия удовлетворяются, то узлы находятся в равновесии. 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В ПРОСТЫХ БАЛКАХ И РАМАХ При расчете конструкций возникает необходимость их проверки на жест­ кость. Для этого необходимо, чтобы наибольшие перемещения д тах, получен­ ные в результате расчета конструкции (расчетные перемещения), не превосхо­ дили некоторой величины (предельных перемещений), называемой допускае­ мым перемещением [Д] (определяются по нормативным документам), т.е. вы­ полнялось неравенство: (8.1) Наиболее удобной и универсальной для определения перемещений в упру­ гих системах является формула Максвелла-Мора. Для упругих балок и рам, за­ груженных внешними силами, она имеет следующий вид: 58 n M fc'M Д * = 1 J - ~ T ^ dx, (8.2) (=1 0 E h где Д kp ~ перемещение к-той точки (или сечения) от действия внешней на­ грузки; i - номер участка интегрирования; п - количество участков интегрирования; £ - длина участка интегрирования вдоль оси стержня; J f k - аналитические выражения изгибающих моментов, продольных и по­ перечных сил от действия обобщённой единичной силы, приложенной в точке К, перемещение которой необходимо найти, по направлению искомого пере­ мещения; М р — аналитическое выражение изгибающих моментов на i-м участке от заданной внешней нагрузки; Eli - жёсткость поперечного сечения стержня при изгибе на г-м участке. Приведем последовательность вычисления перемещений по формуле (8.2): 1. Строится эпюра изгибающих моментов М Р от действия заданной внеш­ ней нагрузки (сосредоточенных сил, распределенных нагрузок). 2. Строится эпюра изгибающих моментов м к от действия единичной си­ лы, приложенной в точке (сечении), перемещение которой определяется. Если определяется линейное перемещение (горизонтальное или вертикальное), то единичная сила представляет собой безразмерную сосредоточенную силу Р к = 1 (горизонтальную или вертикальную соответственно). Если определяет­ ся угол поворота сечения, то единичная сила представляет собой безразмерный сосредоточенный момент М к ~ 1 • 3. Определяются участки интегрирования, в пределах каждого из которых обе эпюры не имеют точек перегиба (перелома) и жесткость на участке посто­ янная. 59 4. Вычисляется интеграл (8.2). В формуле (8.2) выражения и Р и Мк яв' ляются ординатами эпюр, поэтому способ вычисления интеграла часто назы­ вают перемножением эпюр. Для вычисления интеграла можно использовать метод непосредственного интегрирования, правило Верещагина, формулу Симпсона. Наиболее удобны для вычисления интегралов последние два метода, поэтому ниже будут приведены особенности вычисления этими способами. Правило Верещагина Согласно правилу Верещагина, результат перемножения двух эпюр равен произведению площади со одной из эпюр на ординату у с другой эпюры, взя­ тую под центром тяжести площади первой эпюры (рис. 8.1), т.е. Правило знаков: если центр тяжести площади одной эпюры и ордината у с расположены с одной стороны от оси стержня, то принимается знак плюс. При использовании правила Верещагина приходиться вычислять площади различных геометрических фигур и определять положение их центра тяжести. Для упрощения использования этой формулы созданы таблицы, позволяющие быстро определить указанные геометрические параметры (табл. 8.1). (8.3) Центр тяжести Рис. 8.1. К правилу Верещагина 60 Таблица 8.1 - Площади некоторых фигур и расстояния до их центра тяжести 61 Формула Симпсона В случае более сложных эпюр для вычисления интеграла в формуле Мак­ свелла-Мора целесообразно применять формулу Симпсона: ес М к' М П t - [ ---- ?-dx = - ^ - ( a a + 4 - b b + c-c) , (8.4) I E l 6EI где а, а , с, с - значения изгибающих моментов в крайних точках интерва­ ла инте1рирования (рис. 8.2); Ь , Ъ - значения в средних точках интервала интегрирования. Ъ с Ц1М.1 1 1 1 I I IL.1 i J 1.1 I 1_________- J ________- 4 Рис. 8.2. К методу Симпсона Для увеличения точности результатов интегрирования нужно уменьшить длину участка интегрирования. Если обе эпюры прямолинейные, ось стержня на участке - прямая линия, а жёсткость E l = const, то формула (8.4) с помощью подстановок , а + с т а+ с о = ------ и Ь = ------ » 2 2 преобразуется в формулу ег М к-М п £ _ ----------~-dx = --------(2-а-а + а-с + а с + 2-с-с) , (8.5) 0J E l 6EI 1 62 которую часто называют формулой трапеций (рис. 8.3). ■ГТТ—т | | . j С ЙЖ -1 с 1 . . ' . - 4 Рис. 8.3. К формуле трапеций (8.5) Правило знаков: если перемножаемые ординаты эпюр М Р и м к лежат с од­ ной стороны, то принимаем знак плюс (+), в противном случае - знак минус (-). Согласно этому правилу для эпюр, показанных на рис. 8.4, f — -— £ -d x = - ^ —-(2 -a ‘a - a - c + a - c - 2 - c - c ) . (8.6) J E l 6EI 1 Г Т гт ^ J. ' Щ | ' Рис. 8.4. К формуле трапеций (8.6) 63 Пример 11. Для рамы, изображенной на рис. 8.5, от действующей нагрузки требуется определить: - горизонтальное перемещение шарнирно подвидвижной опоры В; — угол поворота сечения К. Решение. 1. Строим грузовую эпюру М р (эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки). 1.1. Определяем опорные реакции (рис. 8.6). Составляем уравнения равновесия: Рис. 8.6. К расчету рамы от заданной нагрузки Z X = 0: 5-6 + Н Л =0, Т .М Л = 0 : 6-5-2,5 + 15-9 -F s - 6 = 0, Х М в = 0: 3 0 -5 -6 -5 -2 ,5 + 15-3 + ^ - 6 = 0; Н А = 3 0 кН, VB =35 кН, VА = -20 кН. 64 1.2. Проверяем правильность вычисления опорных реакций: £ 7 = 0: - 2 0 + 35 -15 = 3 5 -3 5 = 0. 1.3. Выбираем характерные сечения и строим грузовую эпюру (рис. 8.7). 45,0 Рис. 8.7. Грузовая эпюра изгибающих моментов от действия заданной нагрузки 2. Определяем горизонтальное перемещение опоры В. 2.1. Строим единичную эпюру изгибающих моментов М \ (эпюру от гори­ зонтальной силы Р = 1, приложенной в точке В, т.к. определяется горизонталь­ ное перемещение). Определяем опорные реакции (рис. 8.8): £ Х = 0: -1 + Н А =0, £ М Л = 0 : -1 • 5 + Fg • 6 = 0, £ М Я = 0: -1 ■ 5 + ■ 6 = 0; Н А = 1, К* = 5 /6 , = 5 /6 . Проверка правильности определения опорных реакций: £ 7 = 0: 5 /6 — 5 /6 = 0. Выбираем характерные сечения и строим единичную эпюру (см. рис. 8.8). 65 Рис. 8.8. Единичная эпюра изгибающих моментов от действия горизонтальной силы 2.2. Вычисляем горизонтальное перемещение по формуле (8.2). Для пере­ множения эпюр М р и М5 на участке АС будем использовать формулу Симп­ сона (8.4), а на участке СВ — формулу трапеции (8.5): А7 = £ ■ = — 1(0 -о - 4 • 56,25 • 2,5 - 75 • 5)+ В 1 E l 3 E I 6 ' + — -( -2 -7 5 -5 + 5-45-0 + 45-5 + 75-0) = 2 E I 6 7 = — (- 260,417 - 262,5) = - 5- 1 - л<. Е Г ’ EI Знак «-» показывает, опора В переместится в сторону, противоположную направлению силы Р , т.е. вправо. 3. Определяем угла поворота сечения К. 3.1. Строим единичную эпюру изгибающих моментов M i (эпюру от еди­ ничного безразмерного момента, приложенного в точке К, и направленного по часовой стрелке). Определяем опорные реакции (рис. 8.9): 66 ' £ Х = 0: Н А =0 , {НА = 0, Т .М А = 0: 1 - P i -6 = 0, => • VB =1/6 , £ М В =0: 1 - ^ - 6 = 0; =1/6. Проверка правильности определения опорных реакций: £ Г = 0: 1 / 6 - 1 / 6 = 0. Выбираем характерные сечения и строим единичную эпюру (см. рис. 8.9). Рис. 8.9. Единичная эпюра изгибающих моментов от действия единичного безразмерного момента 2.2. Вычисляем угловое перемещение по формуле (8.2). Дня перемножения эпюр М р и M i на участке СВ будем использовать формулу трапеции (8.5), а на участке ВК - формулу Верещагина (8.3). ФД рЛ^ 2— = — -( -7 5 -1 + 2-1-45) + — - - 45 - 3 - 1^ в s E l 2 E I 6 K ’ 2 E I2 = — (7,5 + 33,75) = рад. E l ’ E l Так как фв положительно, то сечение К повернется по направлению еди­ ничного момента, т.е. по часовой стрелке. 67 ЛИТЕРАТУРА 1. Сборник задач по сопротивлению материалов / Афанасьев, А.М. [и др.]. - М.: Высшая школа, 1975. - 290 с. 2.Дарков, А.В., Шпиро, Г.С. Сопротивление материалов. - М.: Высшая школа, 1975. - 654 с. 3.Довнар, Е.П., Коршун, Л.И. Строительная механика. - Мн.: Вышэйшая школа, 1986. - 310 с. 4.Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механике. Статика стержневых систем / Клейн, Г.К. [и др.]. - М.: Высшая школа, 1980. - 384 с. 5.Мухин, Н.В. Статика сооружений в примерах. - М.: Высшая школа, 1979. -304 с. 6.Селюков, В.М. Расчетно-проектировочные работы по строительной ме­ ханике. - Мн.: Вышэйшая школа, 1989. - 205 с. 7.Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 2002.-416 с. 8.Беляев, Н.М. Сборник задач по сопротивлению материалов. - М.: Наука, 1966.-302 с. 9.Степин, П.А. Сопротивление материалов. - М.: Высшая школа, 1988. - 367 с. В ес 1 по г. м КГ V)1—1 1.8 5 | ZYZ 2. 08 ГО сч 3. 37 I Сп ра во чн ы е ве ли чи ны дл я ос ей 1? СМ ! 1. 09 1. 13 ! 1, 21 1. 26 1. 30 к1 н -3 "яО ГОтМ 6. 35 8. 53 9. 04 12 .1 15 .3 £1 к К ■3 СМ СЛ 1—< ! 0. 79 0. 78 0. 89 6 8 0 8 8 0 к Е о 1Н 1. 47 061 ! 2. 12 2. 74 3. 33 !? >? ■1 см I ю 1 1. 55 1. 53 1. 75 1. 74 1. 72 5 4 W 0 7 5. 63 vo 40 45 И ГИ ф оС Й ! 1«и 4. 5 69 пр од ол же ни е та бл иц ы V) 2. 32 3. 05 Г*-г^ СП 3. 03 3. 44 4. 25 3. 90 4. 81 5. 72 Г-00 5. 38 6. 39 7. 39 8. 37 5. 80 6. 89 7. 96 9. 02 10 .1 1. 33 1. 38 ZYI 1. 50 1. 52 1. 57 1. 69 1. 74 1. 78 ОО00 1. 90 1. 94 1. 99 2. 02 2. 02 2. 06 2. 10 2. 15 2. 18 *н (N 16 .6 20 .9 20 .3 23 .3 29 .2 33 .1 41 .5 Оо 51 .0 56 .7 68 .4 Г08 | 616 969 83 .9 98 .3 СП Г*“< 12 7 12 I О О 0. 99 0. 98 1. 12 III 0Г1 1. 25 i 1. 25 1. 24 1. 39 1. 39 1. 38 1. 37 1. 37 1. 49 00 00•’ф 1. 47 1. 46 11 I 2. 95 3. 80 4. 63 О00 5. 41 6. 59 00 9. 52 11 .2 j 12 .0 13 .2 15 .5 17 .8 20 .0 Y 9\ 19 .3 ггг 24 .8 27 .5 О 1. 95 1. 94 1. 92 2. 18 2. 18 9 гг 2. 45 2. 44 2. 43 1 2. 72 ZL'Z o i 2. 69 2. 68 2. 91 2. 90 2. 89 2. 87 2. 86 ©\ 11 .3 14 .6 00 18 .4 00 О 117, 9. 21 11 .2 911 13 .1 16 .0 18 .9 23 .1 27 .1 29 .0 31 .9 37 .6 43 .0 48 .2 39 .5 46 .6 53 .3 59 .8 Г 99 40 96Z 3. 89 О00 3. 86 4. 38 5. 41 4. 96 6. 13 7. 28 6.2 0 j 6. 86 8. 15 ZY 6 10 .7 7. 39 00Г-; 00 Г01 11 .5 12 .8 V) ОО сч 2. 3 i 2 .7 СП ''t 5. 5 \о Г- 00 ON го СО <Г) 3. 5 40 4. 5 40 Г- 00 чо ["• 00 а\ сч 50 56 63 70 75 1-1 5. 6 6. 3 Г" 7. 5 70 пр од ол же ни е та бл иц ы «Л 6. 78 7 .3 6 8. 51 9. 65 8. 33 9 .6 4 10 .9 12 .2 10 .1 10 .8 12 .2 15 .1 17 .9 2 0 .6 2 3 .3 11 .9 13 .5 >т ON 1 «и СПCS С-'гч СП4^* 1> *0 00VO fH г - wnг-- СПoo l-H Os 0 \Os 40О 40 On оо *■4 CS гч CS CS CS CS CS CS cs CS cs cs CS cs СП cs СП ?игН 9 3 .2 (SО ONг-н 13 7 L 14 5 о\40 19 4 OS>—н CS 1-Н cs 1-Н СП cs 2 6 5 33 3 j 4 0 2 4 7 2 5 4 2 3 0 8 3 5 3 сч OsVO ОО*Г) 00 Г-V*) 0 \г - 00 г - Г" Г-> OS OS 00 ON 00 ON 40 Os ON OS •*r ON OS 00 1-Н г-Н г-. г-4 ^н »»н *-н T—H 1-H ^H CS CS 00 О СП о Os оо 40 t - cs On 1—H OS cn CS r*- 00 1-1 CS СП CS CS О СП СП 00 СП СП Tt- 00 Tf о m in о 40 s 40 00 Os ON »—н cs 00 о - - ONО 00 о О OS 00 VO ч+ oo oo 00 00 r - oo oo i-H 00 OO E'­ Os cs 00 cs СП СП СП СП СП сп СП СП cn СП СП cn СП en СП 0\ 8 3 .6 9 0 .4 ог—< 40 1 3 0 1 15 0 16 8 4000 1-Н £61 r -o Г* 2 3 3 2 8 4 33 1 3 7 5 4 1 6 2 7 9 ^н СП 00 1> v-> Tf 00 г - г - 40 г-> vn Os © 00 о l> o О СП о Оо OO Os о T}- ON СП CS CS CS cS cs CS CS CS СП СП СП СП сп m cs cn СП г- 5 2 .7 5 7 .0 6 5 .3 7 3 .4 CS оо 9 4 .3 40о 00»-н CScs »*“< СП 14 7 Os r^ 2 0 9 2 3 7 2 6 4 17 6 00 ON1—ч СП 00 00 СП 40 СП OS 40 00 00 VO cs 00 СП r - CS CS 40 40 ОО СП о\ о CS»—ч о (S СП «О»«н cs СПF™< »n Os cscs 40cs OScs y>1—4 Г" «л СП 3. 3 Tf- OS о cs CS го 5. 5 40 г - 00 40 о 00 OS 6. 5 г - 00 оr-H cs1—H Tt , . — | i6 00 N 80 90 оо о1-Н *■•4 ОО OS о - 71 пр од ол же ни е та бл иц ы V)т** 15 .5 17 .3 on 22 .7 26 .2 29 .6 19 .4 21 .5 25 .5 24 .7 27 .0 29 .4 34 .0 38 .5 43 .0 47 .4 30 .5 33 .1 4tтН 3. 36 3. 40 3. 45 3. 53 3. 61 3. 68 3. 78 : 3. 82 3. 90 4. 30 4. 35 4. 39 4. 47 4. 55 4. 63 4. 60 4. 85 On00 го 51 6 58 2 64 9 78 2 VO -i o \ 10 51 00 oo 91 1 10 97 13 56 14 94 16 33 ! 19 11 21 91 24 72 27 56 21 28 23 24 NгЧ 2. 49 2. 48 LVZ 2. 46 2. 45 2. 44 2. 79 00 9 U Z 3. 19 3. 18 3. 17 3. 16 3. 14 3. 13 3. 12 3. 59 3. 58 12 2 13 5 Os 17 4 20 0 I 22 4 19 2 21 1 24 8 31 9 00 37 6 i- 1 CO 00 '«t r -ro vn On00 Vй) 50 0 54 0 О 00 4.8 6 I 00 29 4 .. . 32 7 36 0 42 2 CS00 53 9 46 6 51 2 60 2 77 4 84 4 m os 10 46 11 75 12 99 14 19 j 12 16 13 17 'С 19 .7 --- --- --- --- --- -- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- -- --- --- --- --- --- 1 22 .0 24 .3 j 28 .9 33 .4 00 ГО 24 .7 27 .3 32 .5 31 .4 34 .4 37 .4 43 .3 49 .1 54 .8 60 .4 OO00*rn 42 .2 1Л i 4. 6 1- 4 .6 5. 3 Cf *s ■) ■J 4t 2 rj- VOГ-* 40 ГП 00 On О•—4 <4 r \ 01 1 О О 12 ОT“W Y0Z 31 .2 45 .4 57 .5 кt н OS NТН VOZ 29 .6 ООd 45 .1 Шгн 8 3. 99 00г - т}-' 5. 60 5. 66 bt ■ъо О тН 34 .8 50 .6 70 .2 00 S r - < ''яо 0 \ 17 4 30 4 Оч Ю lO в и н э ь э о «ОГйпоиц Тео 00 10 .9 13 .3 15 .6 17 .0 Я & 2 Я Рч с ■ Г- ОГО О СО О CO* О CO 40 О S О oo p OO - 1Г) 40 ОО r-i00 00 •ч u-i ОО ON On •о СП 40т CN OO CN40 сч оо оCN о■*t О2 | ккифосЬх 5>f *н о CN &rt 74 ок он ча ни е та бл иц ы Г—тН 14 .2 15 .3 16 .3 17 .4 об 19 .8 21 .0 22 .6 24 .0 25 .8 L'LZ 31 .8 36 .5 41 .9 48 .3 V© О00 2. 00 1. 94 2. 13 2. 07 2. 28 2. 21 2. 46 . 2.4 2 ! 2. 67 LY Z 2. 52 2. 59 2. 68 2. 75 V)т“< 00 2. 01 2. 04 2. 18 2. 20 2. 35 2. 37 2. 55 2. 60 2. 78 го (N 2. 84 2. 97 ЗЛ О 3. 23 14 I оо го >“Н 16 .4 17 .0 20 .0 20 .5 24 .2 25 .1 30 .0 31 .6 37 .2 37 .3 43 .6 ОО ш 61 .7 73 .4 <очН 63 .3 00об 86 .0 10 5 СО•—■4 13 9 »-н1П 18 7 20 8 25 4 26 2 С-' чоб 9. 0 Г- об 9. 3 9. 0 9. 7 9. 5 10 .2 Оd 10 .7 10 .5 11 .0 11 .7 12 .6 13 .5 5. 0 5. 0 f“H in г-Ч in 5. 2 5. 2 5. 4 5. 4 5. 6 5. 6 0‘9 6. 5 7. 0 7. 5 О об го 64 68 о|> Г*' 76 08 2. 5 3. 0 3. 0 3. 5 3. 5 <=ь; V© 7. 0 7. 5 8. 0 8. 5 9. 0 •*»» V) 7. 2 7. 3 j 7. 5 00 00 чг 4. 5 00 4. 9 ! 5. 0 1 .. .. г-■« <п -Ci <п »г> ’«tVO СОГ* ОО 90 •J3 N оо ОCN*"Н § *—н оVO 1— 1 18 0 ЮГИфсхЗи ojsf 1М о CN VO ОО 76 ок он ча ни е та бл иц ы 'О ▼•4 2 1 .0 2 4 .0 2 7 .3 3 1 .5 3 6 .5 4 2 .2 4 8 .6 56 .1 6 5 .2 7 6 ,8 8 9 .8 10 4 15 I 2 .0 7 2 .2 7 2 .3 7 2 .5 4 2 .6 9 2 .7 9 2 .8 9 3 .0 5 3 .1 2 3 .2 6 3 .4 4 3 .6 0 2 3 .1 2 8 .6 3 4 .5 4 1 .5 4 9 .9 5 9 .9 V IL 8 5 .9 © 12 2 1 5 0 00 rn W in in i 19 8 2 6 0 3 3 7 1 4 1 9 5 1 6 9 9 9 8 0 7 10 4 0 1 3 5 0 17 2 0 гч s т—( СП 1 16 3 ОT—H CN 2 6 8 3 3 9 4 2 3 5 4 0 6 6 9 9 0 5 11 .5 0 1 4 5 0 8 .2 8 9 .1 3 9 .9 7 11 .2 12 .3 13 .5 14 .7 16 .3 1 8 .2 2 0 .0 2 2 .0 2 3 .9 Отн r f OO ♦—4 2 3 2 2 8 9 ГИr - 4 7 2 5 9 7 7 4 3 9 4 7 1 2 2 0 1 5 7 0 2 0 0 0 2 5 1 0 <3\ ! 1 8 4 0 2 5 5 0 3 4 6 0 5 0 1 0 О 00о | 9 8 4 0 1 3 3 8 0 1 8 9 3 0 2 7 4 5 0 3 9 2 9 0 5 5 1 5 0 7 5 4 5 0 00 2 6 .8 3 0 .6 3 4 .8 4 0 .2 1 4 6 .5 5 3 .8 6 1 .9 7 1 .4 8 3 .0 9 7 .8 1 1 4 ГМ fO h 4 .0 О 4 .0 4 .5 5 .0 5 .0 6 .0 6 .0 7 .0 7 .0 7 .0 © 00 40 9 .5 О d 10 .5 1 1 .0 1 2 .0 13 .0 14 .0 15 .0 1 6 .0 1 7 .0 © 00•“H © ©