МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Техническая физика» ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО ФИЗИКЕ Методические указания Минск БНТУ 2014 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Техническая физика» ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО ФИЗИКЕ Методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов технических специальностей Минск БНТУ 2014 2 УДК 53 (076.5) ББК 22.3я7 В24 С о с т а в и т е л и : И. А. Хорунжий, Е. Е. Трофименко, С. И. Шеденков Р е ц е н з е н т ы : доцент кафедры физики, кандидат физико-математических наук П. Г. Кужир; доцент кафедры экспериментальной и теоретической физики, кандидат физико-математических наук Ю. А. Бумай В методических указаниях рассмотрен порядок проведения прямых и косвенных измерений. Кратко рассмотрена теория ошибок, возникающих при проведении измерений. Изложена методика обработка результатов из- мерений, позволяющая определять как наилучшее значение измеренной ве- личины, так и погрешность выполненного измерения. Даны рекомендации по оформлению отчетов по лабораторным работам, оформлению таблиц и графиков. © Белорусский национальный технический университет, 2014 3 Содержание 1. Виды измерений и их погрешности. . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2. Прямое измерение. Обработка результатов прямого измерения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3. Косвенные измерения. Обработка результатов косвенного измерения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4. Правила округления и записи результата измерения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5. Оформление отчета. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5.1. Правила построения графиков. . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.2. Правила оформления таблиц. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Приложение. Правила приближенных вычислений. . . . . . 22 4 1. Виды измерений и их погрешности Неотъемлемой частью физического эксперимента являются измерения. Измерением называется нахождение значения фи- зической величины опытным путем с помощью технических средств. Измерить физическую величину – означает сравнить ее с однородной физической величиной, принятой за единицу из- мерения. Измерения бывают прямые и косвенные. Прямыми называются измерения, при которых искомое значение физиче- ской величины находится непосредственно путем сравнения ин- тересующей величины с эталоном или копией эталона (из отсче- та по прибору). Например, измерение длины тела штангенцир- кулем или линейкой, силы тока амперметром, массы тела взве- шиванием и т. д. Измерения, при которых искомое значение физической величины вычисляется по формуле, в которую вхо- дят результаты прямых измерений других величин, связанных с искомой известной функциональной зависимостью, называется косвенными. Например, определение плотности вещества путем измерения массы и объема тела, а затем – вычисление плотности как отношение массы тела к его объему и т. п. Любое измерение дает результат, несколько отличающийся от истинного значения измеряемой величины, т. е. измерение сопровождается ошибками или погрешностями. Причины воз- никновения погрешностей разные и могут быть обусловлены особенностями исследуемого объекта, измерительными инст- рументами и другими причинами. Следует пояснить смысл термина «истинное значение» из- меряемой величины. На практике «истинного значения» изме- ряемой величины, как правило, не существует в природе. Дей- ствительно, если мы поставим задачу измерить длину стола, то сразу возникает вопрос, что понимать под «истинной» дли- ной стола? Длину передней или задней стороны столешницы, верхнего или нижнего края? (Вследствие неидеальной формы все эти значения различаются.) В другом примере, поставив задачу измерить диаметр проволоки, мы тут же столкнемся 5 с тем, что сечение проволоки не является идеально круглым, а представляет собой эллипс и, следовательно, не ясно, что рассматривать в качестве диаметра – большой или малый диа- метр эллипса. Кроме того, при детальном исследовании ока- жется, что при смещении вдоль проволоки ее диаметр тоже незначительно изменяется от одного участка проволоки к дру- гому. Таким образом, на практике, как правило, решается зада- ча определения наилучшего значения измеряемой величины, которое наиболее точно характеризует исследуемый объект, а понятие «истинное значение» следует понимать не иначе, как некий гипотетический идеал. Отличие результата измерения от наилучшего значения ха- рактеризуется абсолютной и относительной погрешностями измерений. Абсолютная погрешность измерения некоторой физиче- ской величины X равна разности измеренного и наилучшего значений: н.X X X   (1) Абсолютная погрешность измеряется в тех же единицах, что и сама величина. Относительная погрешность равна от- ношению абсолютной погрешности к наилучшему значению данной физической величины: н 100 %.X X X    (2) По природе возникновения все погрешности подразделяют- ся на случайные, систематические, инструментальные (при- борные) и промахи. Случайной называется погрешность измерения, изменяюща- яся случайным, непредсказуемым образом при повторных изме- рениях одной и той же величины. Случайные погрешности обу- словлены нерегулярно меняющимися условиями эксперимента 6 (изменение температуры, вибрация, колебания воздуха и т. п.), плохой повторяемостью показаний приборов, несовершенством органов чувств самого экспериментатора (невнимательность, ошибки при считывании показаний приборов) и др. Немецкий математик К. Гаусс исследовал закономерности появления слу- чайных ошибок и показал, что случайные ошибки равноверо- ятны по знаку (т. е. с одинаковой вероятностью изменяют результат как в большую, так и в меньшую сторону), и чем больше величина ошибки, тем реже она появляется в опыте. Теоретически случайные ошибки могут лежать в очень ши- роких пределах, поэтому на практике нужен критерий, позво- ляющий реально оценивать с какой вероятностью измеряемая величина попадает в тот или иной интервал возможных зна- чений. Часто для оценки случайных ошибок используют стан- дартное отклонение, которое рассчитывают по формуле     2 н1 1 , 1 i n ii X Xn n      (3) где n – количество выполненных измерений; нX – наилучшее значение измеряемой величины; iX – результат i-го измерения. Смысл стандартного отклонения  иллюстрирует рис. 1, на котором представлена вероятность P появления некоторого значения измеряемой величины Х в результате измерения. При этом вероятность P появления того или иного результата X в опыте определяется соотношением ,NP N  (4) где N – количество измерений (опытов) в которых было по- лучено рассматриваемое значение Х; N – общее количество проведенных измерений. 7 При использовании стандартного отклонения  доверитель- ный интервал  н н,X X  , определяет область, в кото- рую попадают 68 % всех полученных при измерении резуль- татов (см. рис. 1). В интервал  н н2 , 2X X    попадает уже 95 % всех полученных при измерении результатов, а в интер- вал  н н3 , 3X X    попадает 99,7 % результатов. Рис. 1. Распределение Гаусса – зависимость вероятности появления результата измерения от его величины составляет 68 % Для корректного расчета стандартного отклонения  коли- чество измерений n должно быть достаточно большим (не- сколько десятков или более), чтобы смогли проявиться стати- стические закономерности. На практике не всегда есть возмож- ность и необходимость проводить такое большое количество измерений, поэтому существуют и другие способы оценки слу- чайных погрешностей. В простейшем случае в качестве слу- чайной погрешности берется среднее по модулю отклонение P = N/N Xн – 2 Xн –  Xн Xн +  Xн + 2 X 8 результата измерения от наилучшего значения измеренной ве- личины н:X сл н1 1 .i n iiX X Xn     (5) Эта оценка случайной ошибки не является строгой, она дает несколько завышенное значение ошибки и не позволяет точно оценить вероятность, с которой искомая величина должна по- падать в доверительный интервал, но ввиду своей простоты применяется достаточно часто. Устранить случайные погрешности нельзя, но можно умень- шить их влияние на конечный результат при увеличении чис- ла измерений и использовании методов, учитывающих законо- мерности появления случайных ошибок. Методика обработки результатов прямых измерений, применяемая в учебной лабо- ратории физики, будет рассмотрена далее в разделе «Прямое измерение. Обработка результатов прямого измерения». Систематической называется погрешность или ошибка измерения, величина которой от опыта к опыту не изменяется. Систематическая ошибка изменяет результат опыта все- гда в одну и ту же сторону, на одну и ту же величину, т. е. постоянна по знаку и величине. Систематические ошибки могут быть обусловлены неисправностью или неправильной регулировкой измерительного прибора (неточная разбивка шка- лы линейки, неточный вес гирь, замедленный ход секундоме- ра и т. п.), а также особенностями самого исследуемого объек- та и не зависят от числа измерений. Систематические ошибки, обусловленные особенностями изучаемого объекта, можно разделить на те, которые можно предсказать и при необходимости учесть, и на ошибки, кото- рые невозможно предсказать заранее. Например, при опреде- лении массы тела путем взвешивания на лабораторных весах, масса исследуемого тела отличается от массы разновесов (гирь) вследствие наличия силы Архимеда, действующей на тело, по- 9 мещенное в жидкость или газ. При необходимости, поправку обусловленную силой Архимеда можно рассчитать и учесть. В другом случае, при определении косвенным путем плотности материала, из которого изготовлена деталь, может оказаться, что внутри детали имеется полость (например, воздушный пу- зырь, сформировавшийся при отливке детали), о которой экс- периментатор не знает. Тогда при делении массы детали на из- меренный объем, всякий раз будет получаться значение плот- ности, отличающееся от истинного значения в меньшую сторо- ну. Установить наличие полости внутри детали можно, лишь используя специальные методы (рентгеновское исследование, ультразвуковое зондирование и т. п.). В данном примере без применения специальных методов обнаружить присутствие в результате измерения систематической ошибки не представ- ляется возможным. Систематическую ошибку, обусловленную неточностью или неисправностью измерительного прибора можно установить путем поверки прибора. Т. е. необходимо сравнить результаты одинаковых измерений, выполненных поверяемым прибором и надежным прибором более высокого класса точности. Раз- личие в полученных результатах указывает на присутствие в результатах поверяемого прибора систематической ошибки. При обнаружении систематической ошибки, обусловленной при- бором, можно: 1) заменить прибор на исправный; 2) отрегули- ровать или отремонтировать прибор; 3) определить знак и ве- личину ошибки и ввести поправку; 4) в некоторых случаях можно изменить методику проведения измерения с тем, чтобы устранить систематическую ошибку. Например, при исполь- зовании для взвешивания тела рычажных весов, одно из плеч всегда немного короче другого. Поэтому, помещая исследуе- мое тело на одну и ту же чашку весов, а разновесы на другую, мы будем получать систематическую ошибку. Но если при взвешивании тело и разновесы от опыта к опыту менять ме- стами, а результат определять как среднее арифметическое 10 результатов измерений, то эта систематическая ошибка ком- пенсируется. При работе в учебной лаборатории предпола- гается, что все используемые приборы исправны, поверены и систематической ошибки не вносят, поэтому в дальней- шем эта ошибка не учитывается. Инструментальная (приборная) ошибка – ошибка, обус- ловленная ограниченной точностью используемого прибора. Например, используя обычную миллиметровую линейку, нельзя добиться микронной точности, а с помощью обычных наручных часов – измерить время с точностью до миллисекунды. Т. е. применение того или иного прибора определяет максимальную точность, которую можно достичь с его помощью. Считается, что при считывании результата со шкалы аналогового прибора максимальная точность, которую можно обеспечить, не превы- шает половину цены деления прибора. Поэтому инструмен- тальную (приборную) ошибку полагают равной половине це- ны деления аналогового прибора или, если прибор снабжен нониусным устройством, половине цены деления нониусного устройства. При использовании цифрового прибора инстру- ментальная ошибка равна цене деления цифрового прибора. Грубые погрешности или промахи – это чрезмерно боль- шие ошибки, совершенно искажающие результат измерений. Они обусловлены резкими изменениями условий эксперимента (скачки напряжения в сети) или невнимательными действиями экспериментатора. Результаты, содержащие грубые промахи, необходимо выявить и исключить из рассмотрения. На прак- тике для более надежного исключения промахов часто специ- ально делают несколько дополнительных измерений и перед началом обработки результатов отбрасывают самые большие и самые малые значения. Обобщая вышесказанное, можно заключить, что любое изме- рение представляет собой задачу, в которой необходимо: во- первых, определить наилучшее значение измеряемой величины, во-вторых, оценить погрешность, с которой было выполнено это 11 измерение. Конечный результат измерения любой величины, обозначим ее Х, принято записывать в следующей форме: н .Х Х Х   (6) Эту запись следует понимать следующим образом: наиболее вероятным значением измеряемой величины является нX – наилучшее значение, полученное в результате опыта, в то же время, измеряемая величина с высокой вероятностью попадает в пределы так называемого «доверительного интервала»: н н .X X X X X     (7) Чем уже доверительный интервал, тем выше точность про- веденного измерения. Оценка доверительного интервала поз- воляет судить о качестве проведенного опыта. 2. Прямое измерение. Обработка результатов прямого измерения Рассмотрим порядок проведения прямого измерения и пра- вила обработки результатов прямого измерения. Прежде всего следует запомнить, что никогда нельзя ограни- чиваться единственным измерением, необходимо сделать как минимум несколько измерений, чтобы накопить массив данных. Общее количество измерений, которые следует выполнить, экс- периментатор определяет с учетом множества факторов: нали- чия времени на проведение измерений, имеющихся средств, не- обходимой точности, особенностей изучаемого объекта, личного опыта, интуиции и т. д. В лабораторном практикуме, вследствие недостатка времени, часто ограничиваются тремя–пятью изме- рениями (это количество результатов, которое должно остаться для обработки после исключения промахов). Как уже отмеча- лось ранее, случайные ошибки равновероятны по знаку. Это 12 означает, что при проведении достаточно большого числа опы- тов примерно в половине опытов будут присутствовать положи- тельные ошибки, а в другой половине опытов – отрицательные. При вычислении среднего арифметического положительные и отрицательные ошибки взаимно компенсируются, и мы получим более точное значение измеряемой величины, которое будем да- лее называть наилучшим. Таким образом, наилучшее значение измеряемой величины вычисляется по формуле н 1 1 .i n iiX Xn    (8) При вычислении нX встает вопрос о том, сколько знача- щих цифр необходимо оставить в вычисленном результате. Чтобы ответить на этот вопрос необходимо воспользоваться правилами приближенных вычислений (см. прил. 1). Для определения погрешности выполненного измерения сна- чала вычислим среднюю случайную ошибку по следующей формуле: сл н1 1 .i n iiX X Xn     (9) Разность между результатом каждого измерения и наилуч- шим значением берется по модулю, чтобы при суммировании вычисленные случайные ошибки не компенсировались. После этого вычисляем полную ошибку X , с которой была изме- рена величина Х, по формуле    2 2сл инстр ,X X X     (10) здесь инстрX – инструментальная ошибка. 13 Абсолютную погрешность в учебных лабораториях при- нято округлять до одной значащей цифры, если это не 1 или 2, и до двух в противном случае. Число значащих цифр, которые оставляют в приближенном числе, однозначно определяется его абсолютной погрешностью. Последняя значащая цифра числа должна находиться в том же разряде, что и последняя значащая цифра абсолютной по- грешности. Окончательный результат опыта будет представлен в виде н ,X X X   (11) где нX – наилучшее значение измеренной величины; X – полная ошибка проведенного измерения. 3. Косвенные измерения. Обработка результатов косвенного измерения Правила проведения и обработки результатов косвенных измерений рассмотрим на следующем примере. Пусть интере- сующая нас величина Y определяется по формуле: 2 3 , aY b c  (12) в которой величины ,a bи c определяются прямыми измере- ниями. Наша задача – найти наилучшее значение косвенно измеряемой величины нY и погрешность, с которой она изме- рена .Y Сначала выполняются прямые измерения величин ,a b и c по методике, описанной в пункте 2 данного издания, и их об- работка. В результате определяются наилучшие значения н н,a b , нc и полные погрешности, с которыми определены эти вели- 14 чины, ,a b  и .c После этого рассчитывается наилучшее значение величины Y путем подстановки в расчетную фор- мулу (12) наилучших значений величин, измеренных прямы- ми измерениями: 2нн 3н н .aY b c  (13) При вычислении нY число оставляемых в результате зна- чащих цифр определяется правилами приближенных вычис- лений (см. прил. 1). Для расчета погрешности косвенно измеряемой величи- ны необходимо продифференцировать рабочую формулу. Дифференцирование позволяет определить, как изменяется ве- личина Y при отклонениях (погрешностях) величин ,a b и c от их наилучших значений. В соответствии с правилами диффе- ренцирования полный дифференциал функции  , , ,Y f a b c  вычисляется по формуле 2 2 2 3 3 2 3 4 d d d d d 2d d d 3 d . f f f fY a b c a b c a a a aa b c bc bc b c bc                  (14) Здесь значками f и т. д. обозначены частные производные от функции  , , ,Y f a b c  по всем переменным. (Напомним, что частная производная вычисляется при условии, что все величины, кроме той, по которой вычисляется производная, остаются фиксированными.) После выполнения процедуры диф- ференцирования с выражением (14), полученным для полного дифференциала, необходимо выполнить следующие действия: 15 1. Перейти от дифференциалов величин (бесконечно ма- лых изменений) к малым изменениям. Формально это означа- ет замену обозначений дифференциала d на значки : 2 2 2 3 3 2 3 4 2 3 .a a a aY a b c bc bc b c bc           (15) 2. Все знаки в числителях заменить на «+», так как погреш- ности всегда рассчитываются по наихудшему сценарию, то при подсчете все ошибки следует суммировать: 2 2 2 3 3 2 3 4 2 3 .a a a aY a b c bc bc b c bc           (16) 3. В формуле (16) в качестве величин ,a b и c следует ис- пользовать их наилучшие значения н н,a b , нc , а вместо вели- чин ,a b  и c следует подставить полные погрешности, с которыми эти величины были измерены: 2 2 2н н н н 3 3 2 3 4н н н н н н н н 2 3 .a a a aY a b c b c b c b c b c           (17) Особо следует пояснить учет погрешности, вносимой в ко- нечный результат, подстановкой числа  . Строго говоря, чис- ло  – это константа, поэтому при вычислении полного диф- ференциала величины Y дифференциал d должен быть ра- вен нулю. Однако, на практике, при проведении вычислений, невозможно подставить точное значение числа  . Число  либо обрывают на каком-то знаке, либо округляют, а это вно- сит погрешность в конечный результат. Поэтому при наличии в формуле таких постоянных, как , e и т. п., необходимо учитывать погрешность, обусловленную их неточной подста- 16 новкой. Поэтому при дифференцировании величина  рассмат- ривается как переменная, и в качестве величины  следует подставить половину единицы последнего разряда, учтен- ного при подстановке числа  . Например, если вместо чис- ла  подставлено значение 3,14, то последний учтенный раз- ряд – сотые, а половина единицы последнего учтенного раз- ряда – 0,005. В то же время, следует понимать, что при под- становке числа  , как правило, не представляет затруднений использовать более точное значение числа  , уменьшая тем самым величину  и вносимую в окончательный результат погрешность. Оценка погрешности, вносимой подстановкой не- точного числа  , делается, прежде всего, для того, чтобы вы- яснить с точностью до какого порядка нужно подставить чис- ло  , чтобы вносимая при этом в окончательный результат погрешность была мала по сравнению с другими погрешно- стями, обусловленными прямыми измерениями. Из приведенной выше методики обработки результатов кос- венного измерения видно, что расчет погрешности косвенного измерения может оказаться довольно сложной и громоздкой задачей. В некоторых случаях процедуру вычисления полно- го дифференциала можно упростить, если предварительно прологарифмировать рабочую формулу. Логарифмирование целесообразно выполнять, если расчетная формула включает только операции умножения, деления и возведения в степень. В рассмотренном нами примере формула (12) удобна для при- менения предварительного логарифмирования. Поэтому про- логарифмируем соотношение (12): ln ln 2 ln ln 3ln .Y a b c    (18) учитывая, что дифференциал логарифмической функции име- ет вид dd(ln ) ,YY Y  (19) 17 выполним дифференцирование соотношения (18): d d d d d2 3 .Y a b c Y a b c     (20) В полученном соотношении (20), содержащем полный диф- ференциал d ,Y как уже отмечалось ранее, выполняем следую- щие действия: 1) заменяем дифференциалы на малые величи- ны, т. е. заменяем d на  ; 2) все знаки в числителях меняем на «+»; 3) вместо величин подставляем их наилучшие значе- ния, вместо , ,a b c   – полные погрешности, с которыми были измерены эти величины, а вместо  – половину едини- цы последнего учтенного разряда. Таким образом, выражение (20) после указанных измене- ний примет вид н н н н 2 3 .Y Y a b c Y a b c           (21) Причем величина н Y Y  представляет собой не что иное, как относительную погрешность Y , с которой определена величи- на Y . Абсолютная погрешность легко вычисляется по формуле н.YY Y    (22) Окончательный результат косвенного измерения записыва- ется в виде н .Y Y Y   (23) 18 4. Правила округления и записи результата измерения При обработке данных физического эксперимента прихо- дится иметь дело с точными и приближенными числами. Точными числами являются все коэффициенты и показате- ли степени в формулах, коэффициенты, отражающие кратность единиц измерения, числа, заданные определениями и т. д. Так, в формуле объема шара 34 3 V R  , коэффициент 4 3 и показа- тель степени 3 являются точными. Погрешность точных чисел равна нулю. К приближенным числам относятся результаты измере- ний различных величин, округленные значения точных вели- чин, табличные значения математических, физических, хими- ческих постоянных и других величин. Значащими цифрами приближенного числа называются все его цифры, в том числе и нули, если они не расположены в начале числа. При этом нули, следующие из множителя 10n, не учитываются. Так, числа 0,9040, 0,0172, 18102 имеют четыре, три и две значащих цифры соответственно. Приближенные числа можно округлять, т. е. уменьшать ко- личество значащих цифр. При этом руководствуются следу- ющими правилами: если первая из отбрасываемых цифр мень- ше пяти, то последняя из сохраняемых цифр не изменяется; если же первая из отбрасываемых цифр больше или равна пя- ти, то последняя из сохраняемых цифр увеличивается на еди- ницу. Поэтому абсолютная погрешность округленного числа не превышает половины единицы последнего сохраненного разряда (= 3,14,  = 0,005, g = 9,8 м/с2, g = 0,05 м/с2). Число значащих цифр, которые оставляют в приближенном числе, однозначно определяется его абсолютной погрешно- стью. Последняя значащая цифра числа должна находиться в том же разряде, что и последняя значащая цифра абсолют- ной погрешности. Абсолютную погрешность в учебных ла- 19 бораториях принято округлять до одной значащей цифры, если это не один или два, и до двух в противном случае. В конечном результате рекомендуется выделять десятичный порядок числа, т. е. первая значащая цифра результата должна находиться в разряде единиц, а правильный порядок числа до- стигается умножением на десять в необходимой для этого степени. Такой же множитель должна иметь и абсолютная по- грешность. Например, вместо числа 128 455 ± 720 рекоменду- ется писать (1,285 ± 0,007) 105. Окончательный результат измерений принято записывать в виде  н 10 .nX X X   . Примечание: При проведении промежуточных вычисле- ний пользуются правилами приближенного определения ко- личества сохраняемых значащих цифр (см. прил.). 5. Оформление отчета Отчет о лабораторной работе оформляется в соответствии с требованиями ГОСТ на техническую документацию и дол- жен содержать: 1. Название работы. 2. Цель работы. 3. Перечень приборов и принадлежностей. 4. Описание и схему лабораторной установки. 5. Физическую модель изучаемого явления. 6. Математическую модель изучаемого явления. 7. Таблицы результатов измерений. 8. Результаты вычисления измеряемых величин и их по- грешности. 9. Графики. 10. Выводы. 20 5.1. Правила построения графиков 1. График строится на миллиметровой бумаге. 2. При построении графиков значение функции отклады- ваются по оси ординат, значение аргумента – по оси абсцисс. 3. На каждой из осей приводят только тот интервал изме- нения соответствующей физической величины, в котором ве- лось исследование. Причем совсем не обязательно, чтобы от- счет начинался с нуля (рис. 5.1). 4. Шкалы на осях наносят в виде равноотстоящих целых чисел. Масштабы на каждой из осей выбирают независимо друг от друга. 5. На осях указывают обозначения и единицы измерения соответствующих физических величин. В случае очень боль- ших или очень малых величин множители типа 10n записы- ваются на осях рядом с обозначением соответствующей физи- ческой величины ( 3, 10 , BU ). 4 6 8 10 12 14 16 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 I, m A U, V Рис. 5.1. Образец построения графика 21 6. Точки на график наносятся карандашом. Кривую по на- несенным точкам проводят плавно, без изломов и перегибов. Не следует стремиться проводить кривую через каждую точ- ку. Она должна располагаться так, чтобы по обе стороны от нее было приблизительно равное количество эксперименталь- ных точек. Отклонение точек от кривой отражает наличие по- грешностей измерений. 7. Если на одном графике строят несколько кривых, то ис- пользуют различные линии (штриховые, сплошные и т. д.). 8. Поведение графика должно быть обосновано и объяснено. 5.2. Правила оформления таблиц Данные, полученные в эксперименте, заносятся в таблицу. При оформлении и заполнении таблицы необходимо следо- вать следующим требованиям (см. табл.): 1. Колонки или строки таблицы должны быть озаглавле- ны. В заглавии необходимо указать название величины или ее буквенное обозначение, а также ее размерность ( , кгm ). 2. Таблица заполняется только численными значениями ве- личин. Если числа данной колонки имеют общий множитель, то его нужно вынести в заголовок таблицы (р105, Па). 3. При отсутствии данных в графах таблиц следует ставить прочерк. 4. Если в отчете содержится более одной таблицы, то над таблицей справа помещают слово «Таблица» с порядковым номером. Таблица Образец оформления таблиц результатов измерений № п/п р103, кг/м3 l10–2, м d10–2, м 1 2 3 4 22 Приложение Правила приближенных вычислений Правила приближенного определения количества сохраня- емых значащих цифр при вычислениях: 1. При сложении и вычитании приближённых чисел в ре- зультате следует сохранить столько десятичных знаков, сколь- ко их имеет приближенное число с наименьшим числом деся- тичных знаков, например: 6,28 + 13,1 + 8,482 = 24,862 = 24,9. 2. При умножении и делении приближенных чисел следует сохранять в результате столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное число с наименьшим числом значащих цифр, например: 3465,2 = 1799,2 = 18102. 3. При возведении в степень (извлечении корня) в резуль- тате сохраняется столько значащих цифр, сколько их имеет возводимое в степень приближенное число, например: 20,37 0,1369 0,14,  5, 208 2,282. 4. В мантисе логарифма приближенного числа сохраняется столько значащих цифр сколько их имеет само число. Анало- гичное правило справедливо и при нахождении числа по лога- рифму: количество значащих цифр в искомом числе должно быть равным их количеству в мантисе. Так, например: lg 22,15 1,345, и если lg 0,649,x  то 4, 46x  . 23 Учебное издание ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ ПО ФИЗИКЕ Методические указания к выполнению лабораторных работ для студентов технических специальностей Составители: ХОРУНЖИЙ Игорь Анатольевич ТРОФИМЕНКО Евгений Евгеньевич ШЕДЕНКОВ Сергей Игнатьевич Редактор Т. А. Зезюльчик Компьютерная верстка Н. А. Школьниковой Подписано в печать 17.02.2014. Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 1,28. Уч.-изд. л. 1,00. Тираж 100. Заказ 511. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. Свидетельство о государственной регистрации издателя, изготовителя, распространителя печатных изданий № 1/173 от 12.02.2014. Пр. Независимости, 65. 220013, г. Минск.