Д о к л а д ы  А к а д е м и и  н а у к  Б С С Р
1983 Том XXVII № 10
тК 523.035:535.36:539.125.523
Н. Н. Р О Г О В Ц О В
АСИМПТОТИКИ ПОЛЕЙ ИЗЛУЧЕНИЯ 
В ОПТИЧЕСКИ ТОЛСТЫХ РАССЕИВАЮЩИХ СРЕДАХ 
СЛОЖНОЙ ФОРМЫ
(Представлено академиком А Н  Б С С Р  Б. И. Степановым)
1. Метод «сложения слоев», предложенный в работах ( '’ ^), оказался
весьма плодотворным и получил дальнейшее развитие для плоскопарал­
лельных и сферически симметричных сред (см. и ссылки в них). 
Недавно в статьях было введено множество полугрупповых опера­
ций, которые оставляют почти везде инвариантными поля излучения в 
объектах, имеющих произвольную конфигурацию и подстилающие по- 
вер.хности с любыми физически допустимыми свойствами. Там же была 
дана формулировка общего принципа инвариантности (ОПИ). Эта фор­
мулировка содержит наиболее содержательную общую часть утвержде­
ний типа принципов инвариантности, которые были или могут быть 
сформулированы в рамках теории переноса и указанного подхода. 
Общий принцип инвариантности (’°) охватывает полугрупповой и ча­
стично групповой аспекты, которые неявно использовались в методе, 
предложенном в работах (‘'^ ). Заметим, что групповой аспект может 
быть учтен полностью введение.м дополнительного к сформулированным 
в ('“) типа операций.
В неявном и явном виде инвариантность поля излучения по отноше­
нию к выделению некоторого подслоя или подобласти из всей среды (это 
весьма важный частный тип операций,.определенных в (®“ '°)) использо­
валась соответственно в (^’ ®) и (^).
Цель этой статьи (см. также (“ ' '^ )) состоит в том, чтобы продемон­
стрировать эффективность предложенного в подхода к решению
задач теории переноса излучения для сред сложной формы. Сделаем это 
на примере получения асимптотик. При этом ниже будут использоваться 
обозначения, принятые в работах (®~“ ).
2. Для решения задач теории переноса в случае объектов любого 
типа сформулируем общую схему использования подхода, основанного 
на ОПИ. Используя операции, указанные выше, конструируем подходя­
щие общие соотношения инвариантности для данной проблемы, кото­
рые связывают между собой решения однотипных или различны.х 
задач. При этом удобным вспомогательным средством для их получения 
яв,тяется, в частности, разбиение «траекторий» фотонов, блуждающих в 
среде, на топологически неэквивалентные типы, что придает соотноше­
ниям инвариантности ясный физический смысл. Далее, на основе общей 
информации о свойствах источников, рассеивающих объемов и их гра- 
“иц, некоторых аналитических свойств величин, входящих в общие соот­
ношения инвариантности, выводятся более частные соотношения. Они 
уже сами по себе имеют непосредственный физический и математиче­
ский интерес, и из них могут быть получены конкретные данные о свой­
ствах решений рассматриваемых задач.
901
Следует особо подчеркнуть, что в рамках развитого в общего
подхода для решения задач теории переноса для сред произвольных 
конфигураций весьма важную роль играет относительность понятия 
границы одного и того же физического тела. Такая ситуация возникает 
вследствие наличия множества ('°) операций, с помощью которых мож­
но изменять геометрический и физический смысл, придаваемый границе 
тела. Например, по этой причине соотношения инвариантности, приве­
денные в ( ‘^ ), являются с точностью до несущественных изменений ча­
стными типами соотношений, выведенных ранее в работах
3. Рассмотрим невогнутый объем V однородной рассеивающей среды, 
который имеет границу а, полностью прозрачную для излучения. Пусть 
внутри V в точке, определенной г* (везде далее для краткости точки будем 
задавать их радиус-векторами), находится точечный диффузный источник 
/(Q * )6 (r  — г*) (Q*ęQ; /(й *) — почти везде ограниченная функция). Пред­
положим, что а почти везде имеет касательную плоскость. Обозначим через 
d(r' ,  г") длину перпендикуляра, опущенного из точки г' на касательную 
плоскость к 0 , проведенную в точке г". Пусть,т„ (г') =  m in[ad(r', r")|r"e<j], 
где а  — коэффициент ослабления. Обозначим через некоторую поверх­
ность, ограничивающую связный или несвязный объем Vi, являющийся 
частью V.
Из стационарных аналогов соотношений (11), (12) статьи ('*) с уче­
том формулы (6) работы (^), зависимости ( ‘^ ), имеющей место между 
средними интенсивностями излучения для точечного и плоского изотроп­
ных источников, явного выражения ( ‘^ ) функции Грина для бесконечной 
плоскопараллельной среды можно получить следующие асимптотики:
f d Q j c * ( - . - ) / i ( S ) / ( S * )  dQ* = \dQ  f  G .  ( . . . ) / ,  ( Q ) / ( Q * ) d Q * -
П a Q n
—  j j d n '  J (n ' - f i ' ) d Q ' j/ i (Q )G ,„ ( .  . . )^Й ,fG„ ( . . . ) / (Q*)dQ* +
О it), (To(r), To(r*)^oo). ( 1)
В левой части и в первом члене справа в (1) на месте многоточий должны 
стоять г, ft, г*, ft* (для G^{. . .) дополнительно еще будет стоять буква 
V). Во втором члене справа под многоточия.ми понимается (читая слева на­
право) соответственно г, ft, г', ft' и г', ft', г*, ft*. В (1) параметры То(г) 
и т„ (г*) стремятся к оо независимо друг от друга, /, (ft) — ограниченная 
почти везде на Q функция, а величина у задается одним из таких выра­
жений;
e .x p (- fe T o (r j )  Г г e x p ( - t e d ( r * ,  П ) ^  ^  ^
То (г) ‘ о ad (г*, г')
w (г*) 7 (г), со (г) со (г*) So, (2)
где k — наименьший неотрицательный корень характеристического уравне­
ния; So — площадь поверхности о.
Из стационарных аналогов формулы (9) работы (®) или выражения (И) 
статьи (“ ) с учетом принципа взаимности и ряда данных, использовацных 
при выводе (1), нетрудно получить такие асимптотики:
J  G* (. . .) /і (ft) dQ =  J Goo ( .. .) /і (ft) dQ +  0  (co (r)). To (r) oo. ( 3)
f G ^ . . .) /  (ft*) dQ* =  f G„ (.. .) /  (ft*) dQ* +  0  (co (r*)). To (r*) ^  oo. (4)
Под многоточиями в (3), (4) понимаем соответственно г, ft, г*, ft*. Асимп­
тотические выражения (3), (4) имеют смысл и для консервативного рассея-
902
ния. Заметим, что главные части выражений (1) можно, по-видимому, ис­
пользовать при й =7^= О в качестве приближенных формул, причем их область 
применимости будет более широкой, чем у главных членов в (3), (4).
В статье (‘^ ) был предложен эффективный и достаточно точный метод 
расчета светимостей и потоков излучения для случая невогнутых рассеива­
ющих тел. Приведем здесь асимптотику для потока излучения через Si при 
наличии в V источника вида / (й )б (г  —  г*), Обозначим эту величину через 
П(5,, г*, V). Из выражений (11), (12) работы (“ ) с учетом ограниченности 
при р =  О и По =  Иоо (V^ ■— бесконечная однородная среда) величины /*(...), 
определенной в (‘^ ), получим
n(Si, г*, У) =  (Si, г*) — J j d a '  j  (п'• й') П» (Si, г', Q')dii '  X
а
X f Go» (. . ,) /(Q * )d Q * -[■■ 0(y(r*)), То(г*)->оо, (5)
где Поо (si, г*) и Поо (Si, г', Q') — потоки излучения через s ,^ когда V 
«погружен» в V„ при наличии в ней соответственно источников /  (Й) б (г—■ 
— г*) и б (г — г ')б (й  — Й'). Под многоточиями понимается г', й ',  г*, й*. 
Последний член в (5) можно заменить на 0(SoCo(r*)). Подчеркнем, что 
формула (5) справедлива при любом расположении Si относительно границы 
0. Асимптотику (5) возможно использовать для оценки энергии излучения, 
поглощенной в
Заметим, что функции Грина Goo(...} для однородной бесконечной 
среды, входящие в (1), (3) — (5), можно в ряде случаев (см. ссылки в 
( ® ‘^ )) найти в явной аналитической форме точными или приближен­
ными методами. На основе результатов работ (®“ " )  можно также полу­
чить асимптотики полей излучения и при наличии в V точечного моно- 
направленного источника.
Отметим, что на основе ОПИ нетрудно выписать общие соотношения 
инвариантности и с учетом поляризации. В (®''“ ) для простоты были 
приведены соотношения инвариантности только для скалярного вариан­
та теории переноса. Подчеркнем, что число таких соотношений, вообще 
говоря, принципиально не ограничено ввиду наличия бесконечного мно­
жества указанных в (*°) операций. Однако наибольщий интерес для 
приложений, по-видимому, будут иметь наиболее простые среди них.
В заключение автор выражает свою признательность А. М. Самсону 
за полезное обсуждение результатов.
Summary
On the basis of the general invariant relations obtained by the author earlier, a 
number of asymptotic formulas for characteristics of the radiation fields in optically thick 
scattering complicate-configuration media are derived.
Литература
' А м б а р ц у м я н  В. A.— ДАН СССР, 1943, т. 38, № 8, с. 257—260. - А . мб а р -  
цумян В. А. Научные тр.— Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1960, т. 1.— 430 с.  ^ С о ­
болев В. В. Рассеяние света в атмосферах планет.— М.: Фнзматгиз, 1972.—.336 с.
B e l l ma n  R. Е., К a g i  w a d a  Н. Н., K a i  а b a  R. Е.— J. Math. Physics, 1968, vol. 
9. N 6, р. 909—912. " Е н г и б а р я н  Н. Б., М н а ц а к а н я н  М. А.— ДАН СССР, 
1974, т. 217, № 3, с. 533—535. " И в а н о в  В. В.— Астрон. журн., 1975, т. 52, № 2, 
с 217—226. ’’  Я н о  в и ц  к и й  Э. Г. Препринт ИТФ-79-117Р.—Киев, 1979.—39 с. * Р о-, 
ювцов Н. Н , -  Изв. АН СССР. ФАО, 1980, т. 16, № 3, с. 244—253. ® Р о г о в ц о в  
И. Н .- ЖПС, 198L. т. 34, № 2, с. 335—342. “> Р о г о в ц о в  Н. Н.— ДАН БССР, 1981, 
т 25, У® 5, с. 420—423. " Р о г о в ц о в  Н. Н.— ЖПС, 1981, т. 35, № 6, с. 1044— 1050. 
" Р о г о в ц о в  Н. Н.— ДАН БССР, 1983, т. 27, № 1, с. 34—37. П и к и ч я н О .  В.— 
ДАН СССР, 1982, т. 262, № 4, с. 860—863. ' « Ф а н о  У., С п е н с е р  Л.,  Б е р г е р  М. 
Перенос гамма-излучения.—М.: Госатомиздат, 1963.—284 с. M i k ą  J. R.— Nuci. Sci. 
Eng., 1961, vol. 11, N 4, p. 415—427.
Ие.юрусский политехнический институт Поступило 15.12.S2