Министерство образования 
Республики Беларусь 
 
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ 
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
Кафедра высшей математики № 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
ВЫСШАЯ 
 
МАТЕМАТИКА 
 
Сборник заданий 
 
 
Часть 2   
 
 
 
 
 
 
 
М и н с к  
Б Н Т У  
2 0 1 0  
Министерство образования Республики Беларусь 
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ 
УНИВЕРСИТЕТ 
 
Кафедра высшей математики № 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
ВЫСШАЯ  
МАТЕМАТИКА 
 
Сборник заданий  
для аудиторной и самостоятельной работы  
студентов инженерно-технических специальностей  
 
В 2 частях 
 
Издание 2-е 
 
Ч а с т ь  2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
М и н с к  
Б Н Т У  
2 0 1 0
УДК 51 (075.8) 
ББК 22.1я7 
В 93 
 
 
 
С о с т а в и т е л и :  
А.Н. Андриянчик, Н.А. Микулик, Л.А. Раевская,  
Н.И. Чепелев, Е.А. Федосик, В.И. Юринок 
 
Р е ц е н з е н т  В.И. Каскевич 
 
 
 
В 93 
Высшая математика: сб. заданий для аудиторной и самостоятельной 
работы студентов инженерно-технических специальностей: в 2 ч. / 
сост.: А.Н. Адриянчик [и др.]. – Изд. 2-е. – Минск: БНТУ, 2010. –  
Ч. 2. – 180 с. 
 
В сборнике заданий для аудиторной и самостоятельной работы 
студентов приведены задачи и упражнения по основным разделам 
высшей математики в соответствии с действующей программой.  
В качестве основных рассматриваются 18 практических занятий для 
каждого из четырех семестров. К задачам, предназначенным для 
самостоятельной работы, предлагаются ответы, что поможет 
студенту контролировать правильность решаемых примеров. 
Приведены варианты типовых расчетов, являющихся 
обязательным элементом типовой учебной программы по 
математике учебных планов соответствующих специальностей 
БНТУ. 
Издание является дополнением к существующим задачникам, 
будет полезным как для студентов дневной, так и заочной формы 
обучения и послужит лучшей организации их самостоятельной работы. 
Ч. 1 издана в БНТУ в 2010 г. 
Первое издание вышло в БНТУ в 2010 г. 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-985-525-486-8 (Ч. 2) © БНТУ, 2009 
ISBN 978-985-525-487-5
 3 
СОДЕРЖАНИЕ 
 
I. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.  
ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  5 
Занятие 1. Методы исследования сходимости знакоположительных 
числовых рядов. Достаточные признаки . . . . . . . . . . . . . . . .  5 
Занятие 2. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная  
сходимость. Знакочередующиеся ряды.  
Признак Лейбница . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  7 
Занятие 3. Функциональные ряды. Область сходимости.  
Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  9 
Занятие 4. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена . . . .  11 
Занятие 5. Разложение функций в степенные ряды. Применение 
степенных рядов к приближенным вычислениям . . . . . .  14 
Занятие 6. Разложение функций в ряд Фурье на интервале ; , 
четных и нечетных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  17 
Занятие 7. Вычисление двойных и тройных интегралов  
в декартовых координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  21 
Занятие 8. Вычисление кратных интегралов в криволинейных  
координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  23 
Занятие 9. Вычисление криволинейных и поверхностных  
интегралов первого рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  26 
Занятие 10. Вычисление криволинейных и поверхностных  
интегралов второго рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  28 
Занятие 11. Приложения кратных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  31 
Занятие 12. Приложения криволинейных и поверхностных  
интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  34 
Занятие 13. Элементы теории поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  36 
Занятие 14. Функция комплексной переменной. Предел.  
Производная. Условия Коши–Римана . . . . . . . . . . . . . . . .  39 
Занятие 15. Интеграл от функции комплексной переменной . . . . . .  41 
Занятие 16. Ряды Тейлора и Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  43 
Занятие 17. Изолированные особые точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  47 
Занятие 18. Вычеты. Основная теорема о вычетах . . . . . . . . . . . . . . . .  49 
 
Типовой расчет № 1. Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  53 
 
Типовой расчет № 2. Кратные, криволинейные  
и поверхностные интегралы. Элементы теории поля . . . . . . . . . . . . . .  68 
 4 
II. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ . . . . . . . . . . . . .  87 
Занятие 1. Преобразование Лапласа. Изображение элементарных 
функций. Основные теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  87 
Занятие 2. Дифференцирование и интегрирование оригиналов  
и изображений. Свертка функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  89 
Занятие 3. Применение операционного исчисления к решению  
линейных дифференциальных уравнений и систем  
дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  93 
Занятие 4. Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  96 
Занятие 5. Классическое и статистическое определение  
вероятности события. Теоремы сложения  
и умножения вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  99 
Занятие 6. Формулы полной вероятности и Байеса . . . . . . . . . . . . .  105 
Занятие 7. Последовательность независимых испытаний. Схема 
Бернулли. Предельные теоремы Лапласа и Пуассона . .  108 
Занятие 8. Функция распределения и плотность распределения  
вероятностей случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  110 
Занятие 9. Математическое ожидание и дисперсия . . . . . . . . . . . . .  114 
Занятие 10. Законы распределения дискретных случайных величин . .  117 
Занятие 11. Законы распределения непрерывных случайных величин .  120 
Занятие 12. Двумерные случайные величины.  
Законы распределения. Числовые характеристики  
двумерных случайных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  124 
Занятие 13. Закон больших чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  131 
Занятие 14. Эмпирическая функция распределения. Полигон.  
Гистограмма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  134 
Занятие 15. Выборочная средняя, дисперсия, начальные  
и центральные эмпирические моменты распределения .  144 
Занятие 16. Точечные и интервальные оценки параметров  
распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  145 
Занятие 17. Нахождение параметров линейной регрессии  
по методу наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . .  149 
Занятие 18. Проверка статистических гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . . .  151 
 
Типовой расчет № 3 «Операционное исчисление» . . . . . . . . . . . . . .  154 
 
Типовой расчет № 4 Теория вероятностей и математическая  
статистика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  161 
 5 
I. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ. 
 ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПРЕМЕННОЙ 
 
З а н я т и е  1  
 
Методы исследования сходимости знакоположительных 
числовых рядов. Достаточные признаки 
 
Аудиторная работа 
 
1.1. Доказать сходимость следующих рядов и найти их суммы: 
а. .
1
1
1n nn
 б. .
5323
1
1n nn
 
в. .
15
53
1n
n
nn
 г. .
18
29
1n
n
nn
 
1.2. Исследовать сходимость следующих рядов с 
положительными членами: 
а. .
23
1
1n n
n
 б. .
110
1
1n n
n
 
в. .
3
1
1n
nn
 г. 
2 ln
1
n n
. 
д. .
11 3n n
n
 е. .
12
12
1
2
n n
n
 
ж. .
25
5
1
3
n n
n
 з. .
5
13
1n
n
nn
 
и. .
!321n n
n
 к. 
1
.
!
1
n
n
n
n
 
л. .
437
13
1
2
2
n
n
nn
nn
 м. .
15
sin
n
n
 
н. .
1
3
1
1
2
n
n
n n
n
 о. .
1
2
1
2
1
n
n
n n
n
 
 6 
п. .
ln
1
2n nn
 р. .
510ln510
1
1
2
n nn
 
с. .
3lnln3ln3
1
1n nnn
 т. .
4
sin13
1n
n
n  
у. .
!21
3
n n
n
 ф. .
52
3
arcsin
1
n
n n
n
 
х. .
85ln85
1
1
3
n nn
 
 
Домашнее задание 
 
1.3. Доказать сходимость ряда и найти его сумму: 
а. 
0
.
3212
1
n nn
 б. .
21
37
1n
n
nn
 
 
1.4. Исследовать сходимость следующих рядов с 
положительными членами: 
а. .
15
23
1n n
n
 б. .
1
1
2 2n n
 
в. .
52
1
1
2
n nn
 г. .
!23
1
5
n
n
n
n
 
д. .
2
12
1
2
n
n
n
n
 е. .
49ln49
1
1
2
n nn
 
 
Ответы 
1.1. а. б. 
15
1
. в. 
4
3
. г. 
8
7
. 1.2. а. Расходится. б. Расходится.  
в. Сходится. г. Расходится. д. Сходится. е. Расходится. ж. Сходится.  
з. Сходится. и. Сходится. к. Расходится. л. Сходится. м. Сходится.  
н. Сходится. о. Расходится. п. Расходится. р. Сходится. с. Расходится. 
 7 
т. Сходится. у. Сходится. ф. Сходится. х. Сходится. 1.3. а. 
2
1
. б. 
3
1
. 
1.4. а. Расходится. б. Расходится. в. Сходится. г. Расходится. д. 
Сходится. е. Сходится. 
 
З а н я т и е  2  
 
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. 
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница 
 
Аудиторная работа 
 
2.1. Исследовать следующие ряды на сходимость. В случае 
сходимости исследовать на абсолютную и условную сходимость: 
а. .
cos
1
2
n n
n
 б. .
2
1
1
2
1
n
n
n
nn
 
в. .
3
sin
1n
n
 г. .
1
1
3
n
n
n
 
д. .
1
1
4
n
n
n
 е. .
56
1
1
1
n
n
n
n
 
ж. .
31
1
1
1
1
n
n
n
n
 з. .
12
1
0n
n
n
 
и. .
19
1
1n
n
n
n
 к. 
1
1 .
35
4
1
n
n
n
n
n
  
л. .
ln
1
1
2n
n
nn
 м. .
12
1
1n
n
n
n
 
н. 
1 12
121
n
n
n
n
 о. .
1ln1
1
1
1
2
n
n
nn
 
п. .
2
12
1
1
1
n
n
nn
n
 
 8 
2.2. Найти приближенно (с точностью до 0,01) сумму следующих 
рядов: 
а. 
1
3 1
1
n
n
n
 б. 
1
4
1 .
1
1
n
n
n
 
в. 
2
.
21
1
n
n
nnn
 
 
Домашнее задание 
 
2.3. Исследовать следующие ряды на сходимость. В случае 
сходимости исследовать на абсолютную и условную сходимость: 
а. .
!
cos
1n n
n
 б. .
5
1
1
1
n
n
n
 
в. 
1
.
3
5
1
n
n
n n  г. 
1
1 .
13
1
n
n
n
n
 
д. 
1
.
1ln
3
1
n
n
n
 е. 
1
1 .
72
1
1
n
n
n
n
 
ж. Найти приближенно (с точностью до 0,01) сумму ряда 
1
1
.
!
1
n
n
n
 
 
Ответы 
2.1. а. Сходится абсолютно. б. Сходится абсолютно. в. 
Расходится. г. Сходится абсолютно. д. Сходится условно. е. 
Расходится.  
ж. Сходится абсолютно. з. Сходится условно. и. Расходится. к. 
Сходится абсолютно. л. Сходится условно. м. Расходится. о. 
Расходится. п. Сходится абсолютно. р. Сходится условно. 2.2. а. 
41,0 .  
б. 95,0 . в. 03,0 . 2.3. а. Сходится абсолютно. б. Сходится условно.  
в. Сходится абсолютно. г. Расходится. д. Сходится условно. е. 
Сходится абсолютно. ж. 0,63. 
 
 9 
З а н я т и е  3  
 
Функциональные ряды. Область сходимости. 
Степенные ряды 
 
Аудиторная работа 
 
3.1. Найти область сходимости следующих функциональных рядов: 
а. .
!2
!2
1
2
n
n
n
x
n
n
 б. .
8
1
2
3
n
n
n
x
 
в. .ln
1n
n x  г. .
21n nx
n
 
д. .
!
1n
nx
n
 
 
3.2. Найти область равномерной сходимости следующих рядов: 
а. .
cos
1
3
n n
nx
 б. .
!
sin
1n n
nx
 
в. .
2
cos
1n
n
nx
 
 
3.3. Найти область сходимости следующих степенных рядов: 
а. .
1
2
n
n
n
x
 б. .
2
1
1
2
n
n
nxn
 
в. .
10
1n
nn
n
x
 г. .
!
1n
n
n
n
xn
 
д. 
1
.!
n
nxn  е. .
1n
n
n
n
x
 
ж. .
2
2
1n
n
n
x
 з. .
8
1
2
n
n
n
x
 
 10 
и. 
1
.
32
1
n
n
n
n
x
 к. .2
1
2
1
0
3
n
n
n
x
n
n
 
л. 
1
2
.
1ln1
3
n
n
nn
x
 
 
Домашнее задание 
 
3.4. Найти область сходимости следующих функциональных рядов: 
а. .lg
1n
n
x  б. 
1
3
.
8n n
nx
 
в. 
1
.
!
1
n
nxn
 
 
3.5. Найти область сходимости следующих степенных рядов: 
а. .
51n n
nx
 б. 
1
.
2
n
nn
n
x
 
в. .1
1n
nxnn  г. 
1
2
.
5
5
n
n
n
n
x
 
д. 
1
.
1ln2
1
n
n
n
n
x
 е. 
1
.
212
2
n
n
n
n
x
 
 
Ответы 
3.1. а. .;  б. .7;9  в. .
1
ex
e
 г. .;31;   
д. . 3.2. а. .;  б. .;  в. .;  3.3. а. .1;1  
б. .2;2  в. .
10
1
;
10
1
 г. .; ee  д. 0. е. .;  ж. .4;0   
з. .7;9  и. .3;1  к. .3;1  л. .4;2  3.4. а. .10;
10
1
 б. .2;2   
в. ;00;  3.5. а. .5;5  б. 
2
1
;
2
1
. в. 1;1 . г. 10;0 . 
д. 3;1 . е. 4;0 . 
 11 
З а н я т и е  4  
 
Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена 
 
Аудиторная работа 
 
4.1. В следующих задачах найти четыре первых, отличных от 
нуля, члена разложения в ряд функции xf  по степеням 0xx . 
а. .2, 0xexf
x  б. .
2
,cos 0xxxf  
в. .1,sh 0xxxf  г. .4
,cos 0
2 xxxf  
д. .1,
2 0
x
x
x
xf  
 
4.2. В следующих задачах разложить функцию xf  в ряд 
Тейлора в окрестности указанной точки 0x . Найти область 
сходимости полученного ряда к этой функции. 
а. .2,
1
0x
x
xf  б. .1, 0xexf
x  
в. 2,
3
1
0x
x
xf . г. .2,
34
1
02
x
xx
xf  
д. .3,
52
1
0x
x
xf  
 
4.3. В следующих задачах разложить функцию xf  в ряд 
Маклорена, используя разложения основных элементарных 
функций. Указать область сходимости полученного ряда к этой 
функции. 
а. .
1ln
x
x
xf  б. .5cos xxf  
в. .sin 2xxf  г. .cossin 22 xxxf  
д. .83 xxf  е. .
34
53
2 xx
x
xf  
 12 
ж. .2ln xxf  з. 21ln xxxf . 
Домашнее задание 
 
4.4. Найти четыре первых, отличных от нуля, члена разложения в 
ряд функции xf  по степеням 0xx . 
а. .2,1ln 0xxxf  б. .4
,sin 0
2 xxxf  
в. .2,
1
1
0x
x
xf  
 
4.5. Разложить функцию xf  в ряд Тейлора в окрестности 
указанной точки 0x . Найти область сходимости полученного ряда к 
этой функции. 
а. .
5
2
,35ln 0xxxf  б. .3,
4
1
0x
x
xf  
 
4.6. Разложить функцию xf  в ряд Маклорена, используя 
разложение основных элементарных функций. Указать область 
сходимости полученного ряда к этой функции. 
а. .22 xexxf  б. .
1
6
x
x
xf  
в. .cos xxf  
 
Ответы 
4.1. а. .....
!3
2
!2
2
21
32
2 xxxeex  
б. ...
2!7
1
2!5
1
2!3
1
2
cos
753
xxxxx  
в. ...1
!3
1ch
1
!2
1sh
11ch1shsh 32 xxxx  
 13 
г. ...
415
2
43
2
42
1
cos
53
2 xxxx  
д. ...121212121
2
32
xxxx
x
x
 
4.2. а. .04;
2
21
0
1
x
x
x n
n
n
 
б. .,...1
!
1
...1
!2
1
11 2 Rxx
n
xxee
nx  
в. 
0
.13,21
3
1
n
nn
xx
x
 
г. .15,2
510
1
36
1
34
1
0
2
xx
xx
n
n
nn
 
д. .
2
17
2
5
,3
11
2
52
1 1
1
1
xx
x
n
n
n
n
 
4.3. а. .11...,1...
32
1
1ln 11
2
x
n
xxx
x
x nn  
б. .,
!2
51
5cos
0
22
x
n
x
x
n
nnn
 
в. ....,
!12
1...
!5!3
sin
24106
22 Rx
n
xxx
xx
n
n  
г. ....,
!2
4
1...
!4
4
!2
4
cossin
22
1
44
2
2
22 Rx
n
xx
xxx
nn
n  
д. 
.88,...,
8!3
3...521
1
...
8!33
521
8!23
21
83
1
128
3
3
32
2
2
3
x
x
n
n
xxx
x
n
n
n
n
 
е. .1,
33
2
1
34
53
0
2
xx
xx
x n
n
n
 
 14 
ж. 
.22
...,
2
1...
32222
2ln2ln 1
3
3
2
2
x
n
xxxx
x
n
n
n
 
з. .11,
12!2
!!12
11ln
12
1
2 x
n
x
n
n
xxx
n
n
n
n  
4.4. а. 32 2
81
1
2
18
1
2
3
1
3ln1ln xxxx  
б. 
53
2
415
2
43
2
42
1
sin xxxx  
в. 32 2
81
1
2
27
1
2
9
1
3
1
1
1
xxx
x
 
4.5. а. .
5
3
5
7
,
5
251
1
1
xx
nn
nnn
 
б. .24,3
!2
!!121
1
1
xx
n
n n
n
n
n
 
4.6. а. .,
!
2
!2
2
!1
2
1
2423
Rx
n
xxx nn
  
б. .1,6876 xxxxx n   
в. .,
!12
sin
!2
cos1
0
122
Rx
n
x
n
x
n
nn
n  
 
З а н я т и е  5  
 
Разложение функций в степенные ряды. 
Применение степенных рядов к приближенным вычислениям 
 
Аудиторная работа 
 
5.1. Вычислить указанную величину приближенно с заданной 
степенью точности , воспользовавшись разложением в степенной 
ряд соответствующим образом подобранной функции. 
 15 
а. .0001,0,
100
sin  б. .001,0,
1
3 e
 
в. .01,0,2505  г. .01,0,5ln  
5.2. Используя разложение подынтегральной функции в 
степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с 
точностью до 0,001. 
а. 
1
0
2 .
2
dxe
x
 б. 
5,0
0
3 .1ln dxx  
в. 
5,0
0
2
.
sin
dx
x
x
 г. 
5,0
0
3 .1 dxx  
д. 
1
0
2
.
2
arctg dx
x
 
 
5.3. Найти разложение в степенной ряд по степеням x  решения 
дифференциального уравнения (записать при первых, отличных от 
нуля, члена этого разложения). 
а. .00, yexyy y  б. .10,122 yyxy  
в. .
2
1
0,sin22 yxyyxy  
 
5.4. Методом последовательного дифференцирования найти 
первые k  членов разложения в степенной ряд решения 
дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. 
а. .3,
2
,1,sin kyyyey y  
б. 0,10,32 yyxyyyy .6,5,00,2 ky  
в. .7,10000,2 kyyyyxyxyy IV  
 
5.5. Найти частное решение дифференциального уравнения по 
методу неопределенных коэффициентов. 
а. .10,02 yxyy  
 16 
б. .000,01 yyyyxy  
 
Домашнее задание 
 
5.6. Вычислить приближенно с точностью до 0,001 2cos . 
5.7. Используя разложение подынтегральной функции в 
степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с 
точностью до 0,001. 
а. 
1,0
0
.
1ln
dx
x
x
 б. 
1
0
3
2
.
4
1 dx
x
 
 
5.8. Найти разложение в степенной ряд по степеням x  решения 
дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от 
нуля, члена этого разложения). 
.10,cos2 2 yxyxy  
 
5.9. Методом последовательного дифференцирования найти 
первые 6 членов разложения в степенной ряд решения 
дифференциального уравнения при указанных начальных условиях: 
.1000,2 yyyyxyey x  
 
5.10. Найти частное решение дифференциального уравнения по 
методу неопределенных коэффициентов: 
.10,0 yyy  
 
Ответы 
5.1. а. 0,0314.  б. 0,716.  в. 3,02.  г. 1,61.  
5.2. а. 0,856.  б. 0,015.  в. 0,124.  г. 0,508.  
д. 0,161.   5.3. а. ...
3
2
2
1 32 xxxy  
б. ...
3
1
1 3xxy   в. ...
12
1
4
1
2
1 32 xxy   
5.4. а. ...
22
1 2x
e
xy   
 17 
б. ...
240
101
48
29
12
11
4
21 543
2
xxx
x
xy   
в. ...
!7
9
!6
4
!5!3!2
1
76532 xxxxx
xy   
5.5. а. 
2
...
!
...
!3!2
1
264
2 x
n
e
n
xxx
xy   
б. ...
!22
!12
...
!8
53
!8
3
!4!2
228642
n
xnxxxx
y
n
  
5.6. 0,999.  5.7. а. 0,098.  б. 1,026.  
5.8. 2
2
1
21 xxy   
5.9. 5
432
0
!4!3!2
1 x
xxx
xy  
5.10. x
n
e
n
xxx
xy 
!!3!2
1
32
. 
 
Занятие 6 
 
Разложение функций в ряд Фурье 
на интервале ; , четных и нечетных функций 
 
Аудиторная работа 
 
6.1. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом 2 ) 
функцию xf , заданную на отрезке ; : 
а. 
.0,1
,0,0
xx
x
xf  б. 
.0,1
2
,0,0
x
x
x
xf  
 
6.2. Разложить в ряд Фурье функцию 2xxf  на отрезке 
; . 
 
 18 
6.3. Разложить в ряд Фурье функцию xxf 2  на отрезке 
; . 
6.4. Разложить в ряд Фурье функцию xf , заданную в 
интервале ;0 , продолжив (доопределив) ее четным и нечетным 
образом. Построить график для каждого продолжения. 
а. .5 2xxf  б. .43
x
xf  
 
6.5. Разложить в ряд Фурье в указанном интервале 
периодическую функцию xf  с периодом l2 : 
а. .5,55,34 lxxxf  
б. .2,31,22 lxxxf  
 
6.6. Воспользовавшись разложением функции xf  в ряд Фурье 
в указанном интервале, найти сумму данного числового ряда: 
а. .
12
1
,;,
1
2
n n
xxf  
б. .
1
1,;,
1
2
12
n
n
n
xxf  
 
Домашнее задание 
 
6.7. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом 2 ) 
функцию xf , заданную на отрезке ; : 
а. 
.0,2
,0,0
xx
x
xf   б. 
.0,3
,0,0
xx
x
xf  
 
6.8. Разложить в ряд Фурье функцию 23
x
xf , заданную в 
интервале ;0 , продолжив (доопределив) ее четным и нечетным 
образом. Построить графики для каждого продолжения: 
 
 19 
6.9. Разложить в ряд Фурье в интервале 33 x  
периодическую функцию xf  с периодом l2 , 3l : 
.32xxf  
6.10. Воспользовавшись разложением функции xxf  в ряд 
Фурье в интервале ;0  по косинусам, найти сумму числового ряда 
.
12
1
1
2
n n
 
 
Ответы 
6.1. а.
 
.
2
2sin
12
12sin2
12
12cos2
4
2
1
11
2
k
kk
k
kx
k
xk
k
xk
xf
 
б.
 
.
2
2sin
12
12sin
2
4
12
12cos1
8
4
1
11
2
k
kk
k
kx
k
xk
k
xk
xf
 
6.2. .
cos
14
3 21
2
2
n
nx
x
n
n  
6.3. .
sin1
42
1
1
n
n
n
nx
x  
6.4. а.
 
1
3
222
2
1
2
22
2
.sin
5212252
5
,cos
5154
3
7515
5
n
n
n
n
nx
n
nn
x
nx
n
x
 
 20 
б. 
1
22
3
3
1
22
3
3
3
.sin
4ln9
41118
4
,cos
4ln9
1414ln6
4ln
143
4
n
nx
n
nx
nxn
n
nx
n  
 
6.5. а. .
5
sin
140
334
1
1
xn
n
x
n
n
 
 
б. .
2
sin1
8
222
1n
n
n
xn
x  
 
6.6. а. .
8
2
 б. .
12
2
 
 
6.7. а.
 
1
1 1
2
.
2
2sin
12
12sin
4
4
12
12cos2
4
4
k
k k
k
kx
k
xk
k
xk
xf
 
 
б.
 
1
11
2
.
2
2sin
12
12sin6
12
12cos2
4
6
k
kk
k
kx
k
xk
k
xk
xf
 
 
6.8. 
1
22
2
2
2 ,cos
3ln4
3113ln4
3ln
312
3
n
nx
nx
n
 
 
 21 
 
1
22
2
2 .sin
3ln4
3118
3
n
nx
nxn
n
 
 
6.9. 
1
1
.
3
sin
112
332
n
n
nx
n
x  
 
6.10. .
8
2
 
 
З а н я т и е  7  
 
Вычисление двойных и тройных интегралов 
в декартовых координатах 
 
Аудиторная работа 
 
7.1. Вычислить следующие повторные интегралы. 
а. 
2
0
1
0
2 .2 dyyxdx  б. 
1
0 0
22
2x
dyyxdx . 
в. 
1
1
1 2
02
.4
x
dzzdydx  г. 
1
0
2 22
.
x
x
yx
xy
xyzdzdydx  
 
7.2. Изменить порядок интегрирования в интегралах: 
а. 
42
2 2
.,
x
dyyxfdx  б. 
y
dxyxfdy
2
0
3
1
.,  
в. В интеграле примера 7.1. в построить область интегрирования. 
г. Представить двойной интеграл 
D
dxdyyxf ,  в виде повторного 
интеграла при разных порядках интегрирования по x  и по y , если 
известно, что область D  ограничена линиями .3,0,2 xyxxy  
 
7.3. Вычислить двойные интегралы по областям, ограниченным 
указанными линиями: 
 22 
а. 
D
xydxdy; .2,4 2 xyxy  
б. ;2 dxdyyx
D
., 22 xyxy  
в. 
D
dxdyyx ;sin .
2
,,0 yxxyy  
 
7.4. Расставить пределы интегрирования в интеграле 
V
dxdydzzyxf ,, , если область V  ограничена плоскостями 
12432,0,0,0 zyxzyx . 
7.5. Вычислить 
V
dzdydxzyx 22 , если область V  определяется 
неравенствами .0,0,10 xyzxyx  
 
7.6. Вычислить 
V zyx
dxdydz
31
, если область V  ограничена 
плоскостями .1,0,0,0 zyxzyx  
 
Домашнее задание 
 
7.7. Вычислить повторные интегралы: 
а. 
2
0
3
0
2 .2 dyxyxdx  б. 
1
0 0
.
y
y
x
dxedy  
в. 
c b a
dxzyxdydz
0 0 0
222 .  г. .
22
10
1
0
x
x
x
dzydydx  
 
7.8. Расставить пределы интегрирования в повторном интеграле 
для двойного интеграла 
D
dxdyyxf , , если известно, что область 
интегрирования D  является треугольной областью с вершинами в 
точках О (0,0), А (1,3), В (1,5). 
 
 23 
7.9.Изменить порядок интегрирования 
4
2
4
.,
y
dxyxfdy  
 
7.10. Вычислить двойные интегралы по областям, ограниченным 
указанными линиями: 
а. ;2 dxdyyx
D
.;2;0 2yxyx  
б. .2,; 2 xyxyxdxdy
D
 
7.11. Вычислить 
V
dxdydzxz2 , если область V  ограничена 
поверхностями .3,0,2,2,2,0 2 zzyyxxyy  
Ответы 
7.1. а. .
3
14
  б. .
105
26
  в. .
3
40
  г. .
1728
5
  
7.2. а. .,
4
0
dxyxfdy
y
y
  б. .,,
3
2
6
2
3
1
2
0
dyyxfdxdyyxfdx
x
  
в. Параболический цилиндр.  
г. 
y
y
x
x
dxyxfdydxyxfdydyyxfdx
3
0
3
2
2
0
3
2
2
0
1
0
.,,,   
7.3. а. 90.  б. .
140
33
 в. .
2
1
  
7.4. .,,
4
3212
0
3
212
0
6
0
dzzyxfdydx
yxx
  7.5. .
100
1
  7.6. .
8
5
2ln
2
1
  
7.7. а. 26.  б. 
2
1e
.  в. 222
3
cba
abc
.  
г. 
12
1
.  7.8. 
x
x
dyyxfdx
5
3
1
0
.,   7.9. .,
2
4
2
x
dyyxfdx   
 24 
7.10. а. 11,2.  б. 
3
4
.  7.11. 30. 
 
З а н я т и е  8  
 
Вычисление кратных интегралов 
в криволинейных координатах 
 
Аудиторная работа 
 
8.1. Перейдя к полярным координатам, вычислить следующие 
интегралы: 
а. .
1
23
0
22
0
3
x
yx
dy
dx  б. .1ln
1
0
1
0
22
2x
dyyxdx  
в. .1
2
2
4
4
22
2
2
dxyxdy
y
y
 
 
8.2. Преобразовать к полярным координатам, а затем вычислить 
двойной интеграл по указанной области D : 
 
а. .41; 22
22
yx
yx
dxdy
D
 
 
б. .259;9 2222 yxdxdyyx
D
 
 
в. ;22
D
dxdyyx  область D  ограничена окружностью 
xyx 422  
 
г. 
D
dxdy
x
y
arctg ;  D  – часть кольца, ограниченного линиями 
.3,
3
1
,9,1 2222 xyxyyxyx  
 
 25 
8.3. Вычислить тройной интеграл, перейдя к цилиндрическим 
координатам: 
 
а. 
V
zdxdydz;  область V  ограничена поверхностями, ,222 ayx  
.,0 hzz  
 
б. .
0
1
1
1
0
2
2
ax
x
dzdydx  
 
в. 
V
zdxdydz , область V  ограничена поверхностями, 
.,222 azzyx  
 
8.4. Вычислить тройной интеграл с помощью сферических координат: 
а. ;
222
V zyx
dxdydz
 область V  – сферический слой между 
поверхностями .4, 22222222 azyxazyx  
б.
 
.0,0,0
,4:; 222222
zyx
zyxVdxdydzzyx
V  
в. .
222 1
0
222
1
0
1
0
dzzyxdydx
yxx
 
 
Домашнее задание 
 
8.5. Перейдя к полярным координатам, вычислить интеграл 
.
22
22
00
dyedx
xa
yx
a
 
 
8.6. Преобразовать к полярным координатам, а затем вычислить 
двойной интеграл по указанной области D . 
 26 
а. 
D
dxdyxy ;2  область D  ограничена окружностями 11 22 yx  
и .422 yyx  
б. ;222 dxdyyxa
D
 область D  – часть круга радиуса а с 
центром в точке 0;0O , лежащая в первой четверти. 
 
8.7. Вычислить тройной интеграл, перейдя к цилиндрическим 
координатам: 
.4,,0,:; 22
322
zxyyyxzV
yx
xydxdydz
V
 
 
8.8. Вычислить тройной интеграл в сферических координатах: 
.
22222
000
yxaxaa
zdzdydx  
 
Ответы 
8.1. а. .
2
 б. .303,0
2
1
2ln
2
 в. .232,21155
3
2
  
8.2. а. 2π. б. .
3
128
 в. 24π. г. .
6
2
 8.3. а. .
2
22ha
 б. .
2
a
 в. .
4
4a
  
8.4. а. 26 a . б. .
5
16
 в. .
8
 8.5. .1
4
2ae  8.6. а. .0  б. .
6
3a
  
8.7. .
3
4
 8.8. .
16
4a
 
 
З а н я т и е  9  
 
Вычисление криволинейных и поверхностных 
интегралов первого рода 
 
Аудиторная работа 
 
 27 
9.1. Вычислить криволинейные интегралы первого рода: 
а. 
L yx
dl
,  если L  – отрезок прямой ,2
2
1
xy  заключенный 
между точками 2,0A  и 0,4B . 
б. ,
L
ydl  где L  – дуга параболы xy2 , отсеченная параболой 
2xy . 
в. ,2 dly
L
 если L  – первая арка циклоиды ,sin ttax  
.0,cos1 atay  
г. 
L
dlxyz  если L  – отрезок прямой между точками А(1, 0, 1) и 
В(2, 2, 3). 
д. ,dlyx
L
 где L  – дуга лемнискаты Бернулли ,2cos2  
.
44
 
е. ,
3
dl
zx
y
L
 где L  – дуга линии 
3
,
2
,
32 t
z
t
ytx  от 
0,0,0O  до .
3
22
,2,2B  
 
9.2. Вычислить поверхностные интегралы первого рода: 
а. 
S
xyzdS , где S  – часть плоскости 1zyx , лежащая в 
первом октанте. 
б. 
S
dSzyx 623 , где S  – часть плоскости 222 zyx , 
отсеченная координатными плоскостями. 
в. 
S
dSyx 22 , где S  – часть поверхности конуса ,222 zyx  
.10 z  
 28 
г. 
S
xdS , где S  – полусфера .1 22 yxz  
д. 
S
dSzyx 222 , где S  – сфера .1222 zyx  
е. 
S
dSyx 22 , где S  – поверхность, отсекаемая от 
параболоида zyx 222  плоскостью .1z  
 
Домашнее задание 
 
9.3. Вычислить криволинейные интегралы первого рода: 
а. 
L yx
dl
,
422
где L  – отрезок прямой, соединяющий точки 
0,0O  и 2,1A . 
б. dlzyx
L
222 , где L  – дуга кривой ,sin,cos tytx  
.20,3 ttz  
 
9.4. Вычислить поверхностные интегралы первого рода: 
а. 
S
dSzyx ,346  где S  – часть плоскости 632 zyx , 
расположенная в первом октанте. 
б. 
S
dSyx ,22  если S  – часть поверхности конуса 
,
91616
222 zyx
 расположенная между плоскостями 0z  и .3z  
 
Ответы 
 29 
9.1. а. .2ln5  б. .155
12
1
 в. .4 aa  г. .12  д. .2  е. .
2
1
  
9.2. а. .
120
3
 б. .
2
5
 в. .
3
22
 г. 0. д. .4  е. .
15
4324
  
9.3. а.  .
2
53
ln  б. 2414 . 9.4. а. 1454 . б. 
3
160
. 
 
З а н я т и е  1 0  
 
Вычисление криволинейных и поверхностных 
интегралов второго рода 
 
Аудиторная работа 
 
10.1. Вычислить данные криволинейные интегралы второго рода: 
а. 
OAL
xydydxyx ,222  где OAL  – дуга кубической параболы 
3xy  от точки 0,0O  до точки 1,1A . 
б. 
L
ydyxdxxy 21  от точки 0;1A  до точки 2;0B  по 
прямой 22 yx . 
в. ydyxdxxy
L
21 , где ABL  – дуга эллипса tx cos , ty sin2  
от точки 0;1A  до точки 2;0B . 
г. 
L
dyyxdxyx 2 , L  – окружность tx cos2 , ty sin2  
при положительном направлении обхода. 
д. dzyxydyxdx
ABL
1 , где ABL  – отрезок прямой, 
соединяющий точки 1,1,1A  и 4,3,2B . 
е. 
ABL
dzzdyyxydx 222 , где ABL  – дуга одного витка винтовой 
линии 4,0,1;0,0,1;2,sin,cos BAtztytx . 
 
 30 
10.2. Вычислить поверхностные интегралы второго рода: 
а. 
S
dxdyyx4 22 , где S  – верхняя сторона круга 222 ayx . 
б. 
S
ydxdz , где S  – верхняя сторона части плоскости azyx , 
лежащей в первом октанте. 
в. 
S
zdxdyydxdzxdydz , где S  – верхняя часть поверхности 
062 zyx , расположенная в первом октанте. 
е. 
S
zdxdyydxdzxdydz , где S  – внешняя сторона цилиндра 
222 Ryx  с основаниями 0z  и Hz . 
Результат проверить по формуле Остроградского. 
 
10.3. Применяя формулу Остроградского, вычислить 
поверхностные интегралы второго рода: 
а. 
S
zdxdyydxdzxdydz , S  – положительная сторона куба, 
составленного плоскостями 1,1,1,0,0,0 zyxzyx . 
б. 
S
yzdxdzxydydzxzdxdy , где S  – внешняя сторона 
пирамиды, составленной плоскостями 0,0,0 zyx  и 
1zyx . 
Домашнее задание 
 
10.4. Вычислить криволинейные интегралы второго рода: 
а. 
OBL
xdydxyxy 2 , где OBL  – дуга параболы 
2xy  от точки 
0,0O  до точки 1,1B . 
б. 
ABL
yx
xdyydx
22
, где ABL  – отрезок прямой 6,3;2,1; BAAB . 
 31 
в. 
L
xdyydx , где L  – дуга эллипса ,sin2,cos3 tytx  
«пробегаемая» в положительном направлении обхода. Результат 
проверить по формуле Грина. 
 
10.5. Вычислить поверхностные интегралы второго рода: 
а. 
S
ydxdz , где S  – поверхность тетраэдра, ограниченного 
плоскостями 0,0,0,1 zyxzyx . 
б. 
S
zdxdyydxdzxdydz , где S  – внешняя сторона сферы 
1222 zyx . 
 
10.6. Задачи 10а и 10.5б решить по формуле Остроградского. 
 
Ответы 
10.1. а. .
3
4
 б. 1. в. .
3
4
 г. .4  д. 13. е. .
3
64 3
 10.2. а. .
5
4 5a  
б. .
6
3a
 в. 54. г. .3 2HR  10.3. а. 3. б. .
8
1
 10.4. а. .
60
43
 б. .3ln
5
4
 
в. 12 . 10.5. а. 
6
1
. б. 4 . 
 
Занятие 11 
 
Приложения кратных интегралов 
 
Аудиторная работа 
 
11.1. При помощи двойного интеграла найти площадь области, 
ограниченной указанными линиями: 
а. 4xy  .5yx  
б. ,2, xyxy  и .4x  
в. cos2,cos . 
 
 32 
11.2. При помощи двойного интеграла найти объемы тел, 
ограниченных поверхностями: 
а. .0,4,1,2 zzyxyxy  
б. 4,4,0,0,0 yxzyx  и .1 22 yxz  
 
11.3. Вычислить площадь части поверхности конуса 22 yxz , 
расположенной внутри цилиндра .422 xyx  
 
11.4. Вычислить массу неоднородной пластины, ограниченной 
линиями 3,2 xxy , если поверхностная плотность в каждой ее 
точке .x  
 
11.5. Вычислить координаты центра масс фигуры, ограниченной 
линиями xyxy 22 , , если плотность фигуры в каждой ее точке 
равна xy . 
 
11.6. Вычислить моменты инерции относительно начала 
координат и осей координат пластины плотностью yx2 , лежащей в 
плоскости Oxy  и ограниченной линиями .1,2 yxy  
 
11.7. При помощи тройного интеграла вычислить объем тела, 
ограниченного поверхностями: 
а. .2, 2222 yxzyxz  
б. .0,0,1223,2 zyyxxz  
 
11.8. При помощи тройного интеграла вычислить массу тела, 
ограниченного поверхностями: 
а. 0,0,0,1 zyxzyx , если плотность тела 
.
1
1
,,
4
zyx
zyx  
 33 
б. 22,1,22 zyzyyx , если в каждой точке тела 
объемная плотность численно равна ординате этой точки. 
 
11.9. Найти координаты центра масс части однородного шара 
радиусом R  с центром в начале координат, расположенной выше 
плоскости Oxy . 
 
11.10. Вычислить момент инерции относительно плоскости Oyz  
тела, ограниченного плоскостями 0,0,0,22 zyxzyx , 
если его плотность .,, xzyx  
 
Домашнее задание 
 
11.11. С помощью двойного интеграла вычислить площадь 
плоской области, ограниченной линиями .0,3,42 yyxxy  
 
11.12. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 
.0,0,0,1,22 zyxyxyxz  
 
11.13. Вычислить площадь части плоскости 12236 zyx , 
которая расположена в первом октанте. 
 
11.14. Найти массу кругового кольца, если в каждой его точке 
поверхностная плотность обратно пропорциональна квадрату ее 
расстояния до центра кольца. 
11.15. Найти координаты центра масс однородной фигуры, 
ограниченной линиями .,2 xyxy  
 
11.16. Вычислить моменты инерции относительно начала 
координат и осей координат фигуры плотностью 1, yx , 
ограниченной линиями .2,2,2 yxyx  
 
11.17. При помощи тройного интеграла вычислить объем тела, 
ограниченного цилиндром 2yx  и плоскостями .0,1 zzx  
 34 
 
11.18. Найти массу тела, занимающего единичный объем 
10,10,10 zyx , если плотность тела в точке zyxM ,,  
задается формулой zyx . 
 
11.19. Вычислить координаты центра масс однородного тела, 
занимающего область, ограниченную поверхностями 
.8,2 22 zyxz  
 
11.20. Вычислить момент инерции относительно оси OZ  
однородного тела, занимающего область, ограниченную 
поверхностями .3,22 zyxz  Плотность тела  принять равной 
1. 
 
Ответы 
11.1. а. 2ln1615
2
1
. б. .
3
16
 в. .
4
3
 11.2. а. .
15
68
 б. .
3
560
  
11.3. .24  11.4. .
5
336
 11.5. .
14
9
,
14
9
cc yx  11.6. ,33
4
xI  
.
495
104
,
45
4
0II y  11.7. а. .6
5
 б. .32  11.8.а. .
48
1
 б. .
35
28
  
11.9. R
8
3
;0;0 . 11.10. .
15
4
 11.11. 
3
10
. 11.12. 
6
1
. 11.13. 14.  
11.14. 
1
2ln2
r
r
k . 11.15. 
2
1
;
5
2
cc yx . 11.16. 8;4 0III yx . 
11.17. 
15
8
. 11.18. 
2
3
. 11.19. 6,0,0 . 11.20. 
2
9
. 
 
З а н я т и е  1 2  
 
Приложения криволинейных и поверхностных интегралов 
 
Аудиторная работа 
 35 
12.1. Найти длину дуги кривой: 
а. 32 xy  (от точки 0,0O  до 8,4A ). 
б. первого витка винтовой линии .,sin,cos btztaytax  
в. cos1a . 
 
12.2. Найти массу дуги кривой при заданной плотности: 
а. xy ln , заключенной между точками с абсциссами 3x  и 
8x , если плотность дуги в каждой точке равна квадрату 
абсциссы этой точки. 
б. четверти эллипса tytx sin,cos2 , лежащей в первой 
четверти, если линейная плотность в каждой ее точке равна 
произведению координат этой точки. 
в. всей лемнискаты Бернулли 2cos22 a , если плотность в 
каждой ее точке выражается формулой k , где 0k  – 
коэффициент пропорциональности. 
 
12.3. Вычислить координаты центра масс однородной дуги 
первого витка винтовой линии .2,sin,cos tztytx  
 
12.4. Вычислить момент инерции относительно начала 
координат отрезка прямой, заключенного между точками 0,2A  и 
1,0B , если линейная плотность в каждой его точке равна 1. 
 
12.5. С помощью криволинейного интеграла второго рода 
вычислить площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой: 
а. .sin,cos tbytax  
б. taytax 33 sin,cos  (астроида). 
 
12.6. Вычислить работу силы F

: 
а.  jyxiyF

 при перемещении материальной точки из 
начала координат в точку 1,1  по параболе 2xy . 
 36 
б. jxiyxF

 при перемещении материальной точки вдоль 
окружности tytx sin2,cos2  по ходу часовой стрелки. 
12.7. Применяя поверхностный интеграл первого рода, найти: 
а. Площадь части поверхности 822 zyx , заключенной 
внутри цилиндра .122 yx  
б. Определить суммарный электрический заряд, распределенный 
на части поверхности двуполостного гиперболоида ,1222 yxz  
21 z , если плотность заряда в каждой точке пропорциональна 
аппликате этой точки kz . 
в. Найти координаты центра тяжести однородной треугольной 
пластинки 0,0,01 zyxzyx . 
 
Домашнее задание 
 
12.8. Найти длину дуги астроиды .sin,cos 33 taytax  
 
12.9. Найти массу всей координаты cos1a , если 
плотность в каждой ее точке выражается формулой k , где 
0k  – коэффициент пропорциональности. 
 
12.10. Найти координаты центра тяжести дуги AB  винтовой 
линии btztaytax ,sin,cos , если в каждой ее точке линейная 
плотность пропорциональна аппликате этой точки; BA tt ,0 . 
12.11. С помощью криволинейного интеграла второго рода 
вычислить площадь области, ограниченной линиями 2xy  и 
xy . 
 
12.12. Вычислить работу силы jyiyxF

2 , при 
перемещении материальной точки из начала координат в точку 
3,1  по параболе 23xy . 
 
 37 
12.13. Вычислить массу, распределенную на части конической 
поверхности 222 zyx , расположенной между плоскостями 0z  и 
2z , если плотность в каждой точке поверхности равна 22 yx . 
 
Ответы 
12.1. а. .11010
27
8
 б. .2 22 ba  в. .8a  12.2. а. .
3
19
 б. .
9
14
 
в. .2 2ak  12.3. .2;0;0  12.4. .
3
55
 12.5. а. .ab  б. .
8
3 2a
  
12.6. а. .
2
3
 б. .8  12.7. а. .3  б. .133
3
k
 в. .
3
1
;
3
1
;
3
1
  
12.8. a6 . 12.9. 22 aka . 12.10. b
aa
3
2
;
2
;
4
2
. 12.11. 
3
1
.  
12.12. 5,10 . 12.13. 
3
216
. 
 
З а н я т и е  1 3  
 
Элементы теории поля 
 
Аудиторная работа 
 
13.1. Найти значение производной вектор функции  
ktjtittr
 22 1lnarctg4  при 1t . 
13.2. Записать канонические уравнения касательной прямой и 
нормальной плоскости к кривой ktjtitr
 32  в точке 3t . 
13.3. Вычислить производную функции zxyxu 223ln  в 
точке 2,3,11M  по направлению к точке 0,5,02M . 
13.4. Найти ugrad  в точке 1,1,10M , если 
222 xyzzxyyzxu . 
13.5. Найти наибольшую крутизну  подъема поверхности 
22 25 yxyxz  в точке 4,1,10M . 
 38 
13.6. Построить поверхности уровня скалярного поля, 
определяемого функцией 
z
yx
u
22
. 
13.7. Построить линии уровня плоского скалярного поля xyz . 
13.8. Найти векторные линии векторного поля, если Ma
  
jyix

105 . 
13.9. Вычислить поток векторного поля kzjyixa

2  через 
верхнюю часть плоскости 0632 zyx , расположенной в 
первом октанте. 
13.10. Вычислить дивергенцию векторного поля izxyMa
 2  
kyzxjxyz
 22  в точке 5,3,1M . 
13.11. Найти ротор векторного поля jzyxixyzMa
  
kzyx

222  в точке 2,1,1M . 
13.12. Вычислить циркуляцию векторного поля kzjxiyMa
 2  
по окружности : 422 yx , 3z  в положительном направлении 
обхода относительно единичного вектора k

 двумя способами: 1) 
исходя из определения циркуляции; 2) с помощью поверхностного 
интеграла, используя формулу Стокса. 
13.13. Выяснить, является ли векторное поле iyxMa
 2  
kxyzjxy

22 2  соленоидальным. 
13.14. Выяснить, является ли векторное поле ixyzMa

2  
kxyjzyxz

 потенциальным. 
13.15. Выяснить, является ли векторное поле iyxMa
  
kzxjzy

 гармоническим. 
 
Домашнее задание 
 
13.16. Дано векторно-параметрическое уравнение движения 
точки M : ktjtittrr

54332 222 . Вычислить 
 39 
скорость 

 и ускорение 

 движения точки в момент времени 
5,0t . 
13.17. Записать каноническое уравнение касательной прямой и 
нормальной плоскости к линии, заданной векторно-параметри-
ческим уравнением ktgtjtitr
 22 sincos , в точке 
4
t . 
13.18. Найти производную функцию 133 223 xyyxxz  в 
точке М(3, 1) в направлении, идущем от этой точки к точке 5,6 . 
13.19. Дана функция 22 yxz . Найти zgrad  в точке 2,3 . 
13.20. Вычислить поток  векторного поля kzjyixMa

23  
через верхнюю часть плоскости 1zyx , расположенную в 
первом октанте. 
13.21. Найти kxzjyzixy

div . 
13.22. Выяснить, является ли векторное поле kxyjxziyzMa

 
потенциальным. 
13.23. Найти циркуляцию вектора kjxiya

 вдоль 
окружности 0,122 zyx . 
 
Ответы 
13.1. .
2
1
12 kji

 13.2. ,
27
27
6
9
1
3 zyx
 .0786276 zyx  
13.3. .
3
11
 13.4. .22 ki

 13.5. ,8tg 83 . 13.6. Круговые 
параболоиды. 13.7. Гиперболы. 13.8. ., 21
2 CzyCx  13.9. 0. 13.10. 
–1. 13.11. .33 kji

 13.12. .4  13.13. Да. 13.14. Нет. 13.15. 
Нет. 13.16. .292,29

 13.17. 
.022;
2
1
1
5,0
1
5,0
zyx
zyx
 13.18. 0. 13.19. .46 ji

 13.20. 1. 
13.21. .zyx  13.22. Да. 13.23. 2 . 
 
З а н я т и е  1 4  
 40 
Функция комплексной переменной. Предел. 
Производная. Условия Коши–Римана 
 
Аудиторная работа 
 
14.1. Описать области, заданные следующими соотношениями: 
а. .0 Rzz  
б. .21 iz  
Записать с помощью неравенств следующие открытые 
множества точек комплексной плоскости: 
 
в. Первый квадрант. 
 
г. Левая полуплоскость. 
Найти действительную и мнимую части функции zf : 
д. .2 2zzizf  
е. iziizzf 22 ImRe . 
 
Найти образы указанных точек при заданных отображениях: 
ж. iziz 20 ,1 . 
з. .,
2
1 2
0 iz
i
z  
 
Вычислить следующие пределы: 
и. .
34
lim
2
iz
izz
iz
 к. .
ch
cos
lim
0 zi
z
z
 
л. .
shch
sin
lim
4
ziz
zi
i
z
 м. .
1
lim
2
2
ie
e
iz
iz
z
 
14.2. Проверить выполнение условий Коши–Римана и в случае 
их выполнения найти zf : 
а. .3zezf  
б. .sh zzf  
 
 41 
Проверить гармоничность приведенных ниже функций в 
указанных областях и найти, когда это возможно, аналитическую 
функцию по данной ее действительной или мнимой части: 
а. .0,3, 23 zxyxyxu  
б. .0,sin2, zyeyxV x  
 
Домашнее задание 
 
14.3. Описать область, заданную соотношением .0 Rzz  
 
14.4. Записать с помощью неравенства открытое множество 
точек комплексной плоскости – полосу, состоящую из точек, 
отстоящих от мнимой оси на расстояние, меньшее трех. 
Найти действительную и мнимую части функции zf : 
 
14.5. 22 izzizf . 
 
14.6. .2 zizzf  
 
14.7. Вычислить .
23
lim
2
iz
ziz
iz
 
 
14.8. Проверить выполнение условий Коши–Римана и в случае 
их выполнения найти zf : .coszzf  
 
14.9. Проверить гармоничность функции в указанной области и 
найти, когда это возможно, аналитическую функцию по данной ее 
действительной части: 
zxyyxu 0,32, . 
Ответы 
14.1. а. Внутренность круга с центром в точке 0z  радиуса .R  
б. Внутренность кольца между окружностями радиусов 1 и 2 с 
центром в точке .0 iz  в. .0Im,0Re zz  г. .0Re z  
д. .4,22 22 xyxvyxyu  е. .12,22 xyvyxu  ж. .3i  
 42 
з. .
2
i
 и. .2i  к. 1. л. .  м. 0. 14.2. а. .3 3ze  б. .ch z  
в. .,3, 3332 CizCiiyxzfCyyxyxv  г. ,cos2, Cyeyxu x  
.2sincos2 CeCyiyezf zx  14.3. Внешность круга 
радиуса R  с центром в точке 0z . 14.4. .3Re z  14.5. 
;2, xyxyxu  .2, 22 yxyyxv 14.6. 
.,;21, 22 yyxyxvyxyxu  14.7. i . 14.8. 
.sincos zz  14.9. ;,;0 22 cyxyxvu  
ciizcixyiyxizf 332 222 . 
 
З а н я т и е  1 5  
 
Интеграл от функции комплексной переменной 
 
Аудиторная работа 
 
15.1. Вычислить интегралы по заданным контурам: 
а. 10,2,,Im 2 xxyyxlzdz
l
. 
б. 10,2,,Re 22 xxyyxldzzz
l
. 
в. 2arg,12 zzzldzzz
l
. 
г. 10,3,,ReIm 232 xxyyxldzzz
l
. 
 
15.2. Применяя формулу 12
2
1
zFzFdf
z
z
, вычислить 
интегралы: 
а. 21,,, 3 xxyyxldze
l
z . 
б. 
2
3
2
1
,,sin 2 tittzzlzdz
l
. 
 43 
в. 
l
lzdzz ,cos2  – отрезок прямой от точки iz0  до точки 11z . 
 
15.3. Вычислить интегралы, применив теорему Коши 
интегральную формулу Коши, или формулу, получаемую 
дифференцированием интегральной формулы Коши (обход 
контуров – против часовой стрелки): 
а. 
4
2
2z
dz
iz
z
;  б. 
4
2
2z
dz
iz
z
. 
в. 
1
2
z
z
dz
iz
e
;  г. 
1
2
z
z
dz
iz
e
. 
д. 
3
2 2z
dz
zz
dz
. е. 
1
2 2
2
sh
z
dz
zz
iz
. 
ж. 
2
2
1sinsin
z
dz
zz
zz
. з. 
1
3
sin
iz
dz
iz
z
. 
 
Домашнее задание 
 
15.4. ldzzz
l
,  – верхняя полуокружность 1z  с обходом 
против часовой стрелки. 
 
15.5. 
2
arg0,1, zzzldz
z
z
l
. 
 
15.6. ldzzz
l
,sin 5  – ломаная, соединяющая точки 11z  и 
,00z  iz 22 . 
Выполнить действия согласно п. 15.3. 
15.7 а. ;
1
2
1
2
z
z
dz
  б. ;
11
2
iz z
dz
  
 44 
в. .
11
2
iz z
dz
 15.8. 
4
22
.
cos
z
dz
z
z
  
15.9. .
1
1
11
2
2
z
dz
z
z
  15.10.  
1
3
2
.
z
dz
z
zsh
 
 
Ответы 
15.1. а. .2
3
2
i  б .
3
1
30
1
i в. .2  г. .
35
3456
4
51
i   
15.2. а. .1sin8sin1cos8cos eieee   
б. .
2
1
Sh
4
1
sin
2
3
Sh
4
9
sin
2
3
ch
4
9
cos
2
1
ch
4
1
cos i   
в. .1ch21Sh31sin1cos2 i  15.3. а.  0. б. .8 i  в. .2 i  г 0. 
д. 0. е. .  ж. 0. з. .1Sh 15.4. i . 15.5. .
3
1 i
 15.6. .
3
29
2ch  
15.7. а. 0; б. ; в. . 15.8. 0. 15.9. i2 . 15.10. i2 . 
 
З а н я т и е  1 6  
 
Ряды Тейлора и Лорана 
 
Аудиторная работа 
 
16.1. Используя разложение основных элементарных функций, 
разложить функции в ряд по степеням z  и указать область 
сходимости полученных рядов: 
а. 
2ze .  б. z2sin .  в. 
24 z
z
.  
г. 
221
3
zz
.  д. 21ln zz .  е. zz 2cos2sin . 
16.2. Разложить функции в ряд по степеням 0zz  и определить 
области сходимости полученных рядов: 
а. .4,252 0
23 zzzz   б. .2,
1
1
0z
z
 
 45 
в. .3,
1
1
0 iz
z
 г. .3,
56
1
02
z
zz
 
 
16.3. Найти область сходимости указанных рядов: 
а. 
0
.211
n
nn znn  б. .1
1n
n
zn  
в. .
1
3
0n
n
n
z
 
 
16.4. Разложить данную функцию в ряд Лорана в проколотой 
окрестности точки 0z : 
а. .1,
1
03
z
z
z
 б. .0,
cos
03
z
z
z
 в. .2,
2
1
sin 0z
z
 
г. .0, 0z
z
e z
 д. .0,
1
cos 0
2 z
z
z  е. .0, 0
1
3 zez z   
ж. .1,
1
1
0z
zz
 з. .2,
32
1
0z
zz
 
 
Домашнее задание 
 
Выполнить действия согласно п. 16.2. 
16.5. 3 27 z , z0 = 0. 16.6. ,
43 z
z
 z0 = 0. 
16.7. .1,35ln 0zz  16.8. .4,
23
1
02
z
zz
 
Выполнить действия согласно п. 16.3. 
16.9. .
2
1
1
2
n
n
n
n
z
 16.10. 
1
.!
n
n
izn  
16.11. .0, 0
1
2 zez z  
 
 46 
16.12. Разложить в ряд Лорана по степеням z  функцию 
21
1
zz
zf  в кольце .21 z  
 
Ответы 
16.1. а. .;
!
1
2
0
z
n
z n
n
n   б. .;
!2
2
1
2
1 2
1
1
z
n
z
n
n
n   
в. .2;
4
1
1
12
0
z
z
n
n
n
n   г. .
2
1
,211
0
1 zzn
n
nn   
д. .1;
12!2
!12
1
12
1
z
n
z
n
n
z
n
n
n
n   
е. .;
!12
2
1 12
0
14
zz
n
n
n
n
n  
16.2. а. .441445978 32 zzz  
а. .12;21
0
1
n
nn
zz  
б. .10313;
31
3
0
1
iiz
i
iz
n
n
n
 
в. .23;
4
3
0
1
2
k
k
k
z
z
 
16.3. а. .1z   б. .11z   
в. .13z   16.4. а. .1,
1
1
1
1
32
z
zz
  
б. .0;
!2
1
0
32
z
n
z
n
n
n   
в. .20;
2!12
1
0
1
z
znn
n
n
 
г. .0;
!0
z
n
z
n
n
  
 47 
д. .0;
!2
1
0
22
z
n
z
n
n
n  
е. .0;
!0
3
z
n
z
n
n
  
ж. 
0
,11
1
1
n
nn
z
z
 если ,110 z   
и ,
1
1
1
1
1
1
n
n
n
z
 если .11 z  
з. ,
5
2
1
25
1
25
1
0
n
n
n z
z
 если 520 z ,  
и ,
2
5
1
2
0
n
n
n
n
z
 если .52z  
16.5. 
2
14
.27,
3!
43...852
27
7
3
n
n
n
zz
n
n
 
16.6. 
0
1
1
.
4
3
,
3
4
1
n
n
nn
n
z
z
 
16.7. 
1
1 .
5
8
1,
8
15
12ln3
n
n
nn
n
z
n
z
 
16.8. 
0
11 .24,432
n
nnn zz  
16.9. .21z  
16.10. Расходится во всех точках, кроме точки .0 iz  
16.11. 
0
2
.0,
!
1
n
n
z
zn
 
16.12. 
0 0
11
.
1
2n n nn
n
z
z
 
 
З а н я т и е  1 7  
 
 48 
Изолированные особые точки 
 
Аудиторная работа 
 
17.1.  Указать все конечные особые точки заданных ниже 
функций и определить их характер: 
а. .
sin
z
z
 б. .
4
sin
23
2
zz
z
 
в. .
1
1
izz
 г. .
11
2
3
zzz
z
 
д. .
3zz
ez
 е. .
sin
1
z
 
ж. .
1sin
1
2 zz
 з. .tg2z  
и. .
1
3ize
 к. .
2
1
cos
iz
 
 
17.2. Определить тип особой точки 0z  для функций: 
а. .
6
sin
1cos
3
3
z
zz
z
 б. .
2
1cos
1
2
3
z
z
e z
 
в. 
3
2
cos
z
z . 
 
17.3. Определить порядок нуля функции 
а. .cos1 z  б. .
1
2
1cos
3
2
ze
z
z
 
 
Сравнить с ответом задачи 17.2б. 
 49 
17.4. Для заданных ниже функций выяснить характер бесконечно 
удаленной особой точки (устранимую особую точку считать 
правильной): 
а. .
25 2
2
z
z
 б. .
4
253
2
5
zz
zz
 
в. .
31 4z
z
 г. .321 2zz  
д. .cos z  
 
Домашнее задание 
 
Выполнить по условию п. 17.1 и 17.2. 
17.5. .
2sin z
zz
 17.6. .
21 53 izzz
z
 
17.7. .
cos1
2z
z
 17.8. .
sin
5z
z
 
17.9. .
1
zze  17.10. .
1
sin
2
3
z
z  
17.11. .sin 3z  17.12. .21 2zz  
17.13. .sin z  
 
Ответы 
17.1. а. 00z  – устранимая особая точка. 
б. 01z  – устранимая особая точка; 42
z  – полюс первого 
порядка. 
в. izz 21 ;1  – полюсы первого порядка. 
г. 1,0 21 zz  – полюсы первого порядка; 13z  – полюс 
третьего порядка. 
д. 1,1,0 321 zzz  – простые полюсы. 
е. Zkkzk ,  – полюсы первого порядка. 
 50 
ж. 01z  – полюс второго порядка, Zkkzk ,1  – полюсы 
первого порядка. 
з. Zk
k
kzk ,2
12
2
 – полюсы второго порядка. 
и. iz 3  – существенно особая точка. 
к. iz 2  – существенно особая точка. 
17.2. а. 0z  – простой полюс. 
б. 0z  – полюс третьего порядка. 
в. 0z  – существенно особая точка. 
17.3. а. 0z  – нуль второго порядка. 
б. 0z  – нуль третьего порядка. 
17.4. а. Правильная точка. 
б. z  – полюс третьего порядка. 
в. Правильная точка (нуль третьего порядка). 
г. Полюс второго порядка. 
д. Существенно особая точка. 
17.5. 21 ,0 zz  – устранимые особые точки, ,2
k
zk  
...,3,2,1k  – полюсы первого порядка. 
17.6. 11z  – полюс первого порядка. 22z  – полюс третьего 
порядка, iz3  – полюс пятого порядка. 
17.7. 0z  – устранимая особая точка. 
17.8. 0z  – полюс четвертого порядка. 
17.9. 0z  – существенно особая точка. 
17.10. 0z  – существенно особая точка. 
17.11. 0z  – нуль третьего порядка. 
17.12. Полюс второго порядка. 
17.13. Существенно особая точка. 
 
З а н я т и е  1 8  
 
Вычеты. Основная теорема о вычетах 
 
Аудиторная работа 
 
 51 
18.1. Найти вычеты указанных ниже функций относительно 
каждого из ее полюсов, отличных от : 
а. .
2
12
z
z
 б. .
1
1
2zz
 
в. .
4 2
3
z
z
 г. .
1
1
2
2
zz
zz
 
д. .
1
2sin
4
z
z
 е. .ctg2z  
ж. .
cos
3
3
z
z
 
 
18.2. Найти вычеты функций относительно точки 00z : 
а. .
1
ze  б. .
1
sin
z
 
в. .
cos
4z
z
 г. .
1
3 zez  
 
18.3. Найти вычеты функций относительно точки 0z : 
а. .
1
sin
z
 б. .
1
z
z
e  
 
18.4. Используя теоремы о вычетах, вычислить следующие 
интегралы: 
а. 
C
zz
zdz
,
21
 где 22zzC . 
б. 
2
2
2
.
31z zz
dzz
 
в. 
C
z
zz
dze
,
922
 где 1zzC . 
 52 
г. 
C zz
dz
,
11 22
 где 1RzzC . 
д. 
C
dz
z
,
1
sin  где 0rzzC . 
 
18.5. При помощи вычетов вычислить определенные интегралы: 
а. 
2
0
.
cos2 x
dx
 б. .
1
1
22
dx
x
x
 
 
Домашнее задание 
 
18.6. Найти вычеты: 
а. .
12
5
z
z
 б. .
4
1
3 zz
z
 
в. .
1
22
2
z
z
 г. .
1
cos
z
 
д. .cos2
z
z  
 
18.7. Вычислить интегралы: 
а. 
C
z
dz
z
e
,
42
 где 3zzC . 
б. 
2
.
z
tgzdz   в. 
2
0
.
cos3 x
dx
 
г. .
161 2
22 xx
dx
 
 
Ответы 
18.1.а. выч .52;zf  
 53 
б. выч ,10;zf выч ,
2
1
1;zf выч .
2
1
1;zf  
в. выч ,22; izf выч .22; izf  
г. выч ,11;zf выч .00;zf  
д. выч .2cos
3
4
1;zf  
е. выч Zkkzf ,0; . 
ж. выч .
2
3
0;zf  
18.2. а. 1. б. 1. в. 0. г. .
24
1
 18.3. а. –1. б. .1e  18.4. а. i2 .  
б. .
5
i
 в. i
9
2
. г. 0. д. .2 i  18.5. а. .
3
2
 б. .
2
 
18.6. а. выч 1;zf  выч .
2
1
1;zf  
б. выч 
4
1
0;zf ; выч ;
4
1
8
1
2; iizf  выч .
4
1
8
1
2; iizf  
в. выч ;
4
1
; iizf  выч .
4
1
; iizf  
г. 0. д. .2  18.7. а. 2sin2sh ii . б. i4 . в. 
8
2
. г. 
100
3
. 
 
Т и п о в о й  р а с ч е т  №  1  
 
Ряды 
 
В задачах 1, 2 исследовать сходимость числового ряда. 
В задаче 3 исследовать сходимость знакочередующегося ряда.  
В случае сходимости исследовать на абсолютную и условную 
сходимость. 
В задачах 4, 5 определить область сходимости степенных рядов. 
В задаче 6 найти четыре первых, отличных от нуля, члена 
разложения в ряд функции )(xf  по степеням 0xx . 
 54 
В задаче 7 разложить функцию )(xf  в ряд по степеням x , 
используя разложения основных элементарных функций. 
В задаче 8 вычислить с помощью ряда определенный интеграл с 
точностью до 0,001. 
В задаче 9 найти первые k  членов разложения в степенной ряд 
решения дифференциального уравнения при указанных начальных 
условиях. 
В задаче 10 разложить в ряд Фурье функцию )(xf  на интервале ][ . 
 
Вариант 1 
 
1. 
1 2
1
n n
n
. 2. 
1 5
21
n
n
n
. 
3. 
1
1
13n
)1(
n
n
. 4. 
1n
n
nn
x
. 
5. n
n
n
x
n
n
)1(
3
1
1
. 6. 1,
1
)( 0x
x
xf . 
7. xxxf 22 cossin)( . 8. 
1
0
2
2
dxe
x
. 
9. 3,1)1(,2 kyyxy  
10. 
.0
,
,0
,
)(
x
xx
xf  
 
Вариант 2 
 
1. 
1
2 1
1
n n
n
. 2. 
1 )2(
12
n
n
n
. 
3. 
1
1)1(
n
n
nn
. 4. 
1 2n
n
x
n . 
5. 
1
2
)3(
n
n
n
x
. 6. 2,)( 0xexf
x . 
 55 
7. 
41
)(
x
x
xf . 8. 
0
1
3 38 x
dx
. 
9. 3,1)1(,2 3 kyyxy . 10. 
.0
,
,0
,12
)(
x
xx
xf  
 
Вариант 3 
 
1. 
1 23
1
n n
n
. 2. 
2 ln
1
n nn
. 
3. 
1
1
)1(
12
)1(
n
n
nn
n
. 4. 
1 3
1
n
n
x
n
n
. 
5. 
1
)5(
n
n
nn
x
. 6. 
2
,cos)( 0xxxf . 
7. 
x
x
xf
)1ln(
)( . 8. 
2,0
0
dxex x .  
9. 5,1)0(,
1
ky
y
xy . 10. 
,
.0,0
,
2
1
)(
x
xx
xf  
 
Вариант 4 
 
1. 
1 3
13
n nn
n
. 2. 
1
2
2
2
1
4
n n
n
.  
3. 
1 13
12
1
n
n
n
n
n
. 4. n
n
n
x
n
1 2
13
.  
5. 
1
)3(
n
nn xn . 6. 40, xxxf . 
7. xxxf ch . 8. 
2,0
0
cos dxxx . 
 56 
9. 3,10,1,02 2 kyyxy . 10. 
.0,0
,0,32
x
xx
xf  
 
Вариант 5 
 
1.
1 4
12
n
n
n
. 2. 
1 12
2
n
n
n
n
. 
3. 
1 12
)1(
n
n
n
.  4. 
1 2
)1(
n
n
nn xn
. 
5. 
1
)2(
n
nx . 6. 
4
,cos)( 0
2 xxxf . 
7. 3 8)( xxf . 8. 
5,0
0
21 dxx . 
9. 31,0)0(,2 kyxyxy . 10. 
.0
,
,0
,2
)(
x
xx
xf  
 
Вариант 6 
 
1.
1 110
1
n n
n
. 2. 
1
3
)!2(n n
n
. 
3. 
2
ln
)1(
n
n
n
. 4. 
1
2
n
n
n
x
n
. 
5. 
1
2
)3(
n
n
n
x
. 6. 1,)( 0
3 xexf x . 
7. xxf 2cos)( . 8. 
5,0
0
51 x
dx
. 
9. 3,1)0(,0)0(,2 kyyyyy .  
10. 
.0
,
,34
,0
)(
x
x
x
xf  
 
 57 
Вариант 7 
 
1.
1
3 2
3
n n
n
. 2. 
1 )12(3
5
n
n
n
n
. 
3. 
1 10
)1(
n
n
n
n
. 4. 
1 3n n
n
n
x
. 
5. 
1 )1ln()1(
)2(
n
n
nn
x
. 6. 
4
,ctg)( 0xxxf . 
7. 
24
)(
x
x
xf . 8. 
1,0
0
1
dx
x
ex
. 
9. 5,0)0(,cos2 kyyxy . 10. 
.0
,
,0
,5
)(
x
xx
xf  
 
Вариант 8 
 
1. 
1 15
23
n n
n
. 2. 
2
2)(ln
1
n nn
. 
3. 
1
1
5
)1(
n
n
n
. 4. 
1n
n
n
n
x
. 
5. 
1 2 1
)4(
n
n
n
x
. 6. 1,sh)( 0xxxf . 
7. 
34
53
)(
2 xx
x
xf . 8. 
5,0
0
2 3cos xdxx . 
9. 6,1)0()0()0(,2 kyyyyxyey x  
10. 
.0
,
,13
,0
)(
x
x
x
xf . 
 
Вариант 9 
 
 58 
1. 
1
2 52
1
n nn
. 2. 
1 3
1
n
n
n
n
. 
3. 
1
1
46
)1(
n
n
n
n
.  4. 
1 21n
n
x
n
n
.  
5. 
1
3 1
)5(
n
n
n
xn
. 6. 0,tg)( xxxf . 
7. 
29
1
)(
x
xf . 8. 
5,0
0
21ln x . 
9. 3,2)0(,3 2 kyyxy . 10. 
.0
,
,0
,23
)(
x
xx
xf  
 
Вариант 10 
 
1. 
1
2 sin
n
n
n . 2. 
1 )!12(
1
n n
. 
3. 
1
1)1(
n
n
n
n
. 4. 
1n
n
n
x
. 
5. 
1 2
2
n
n
x
n .  
6. 1,363)( 0
23 xxxxf . 
7. xxf 2ln)( . 8. 
4,0
0
4 dxex
x
. 
9. 4,1)0(,22 kyyxy . 10. 
.0,
2
,,0
)(
x
x
x
xf  
 
Вариант 11 
 
1. 
1
2
21
1
n n
n
. 2. 
1
3
!n n
n
. 
 59 
3. 
1
3
1
n
n
n
. 4. 
1
2)12(
n
nxn . 
5. 
1 1)12(
)3(
n
n
nn
x
. 6. 3,)( 0xxxxf . 
7. )cos()( xxf . 8. 
5,0
0
2
cos1
dx
x
x
. 
9. 4,0)1(,1)1(,
1
kyy
xy
y
y . 
10. 
.0
,
,0
,15
)(
x
xx
xf  
 
Вариант 12 
 
1. 
1
21
1
n n
n
. 2. 
1 !n n
n
. 
3. 
1
1
)1(
1
)1(
n
n
nn
n
. 4. 
1 12n
n
n
x
. 
5. 
1 3
)4(
n
n
n
n
x
. 6. 2,
1
1
)( 0x
x
xf . 
7. xxxf 2sin)( . 8. 
8,0
0
cos1
dx
x
x
. 
9. 3,0)0(,2,0 22 kyyxy . 10. 
.0
,
,41
,0
)(
x
x
x
xf  
Вариант 13 
 
1. 
1 )1(
1
n nn
. 2. 
1
2
13
12
n
n
n
n
. 
3. 
1
3
1
)1(
n
n
n
n
. 4. 
1 2n n
n
n
x
. 
 60 
5. 
1 2 1
13
n
nn
n
x
. 6. 1,ch)( 0xxxf . 
7. 
x
x
xf
1
)(
6
. 8. 
1
0
2sin dxx . 
9. 5,2)0(,4)0(,2 kyyxyyy . 
10. 
.0
,
,0
,23
)(
x
xx
xf  
 
Вариант 14 
 
1. 
1 )13)(23(
1
n nn
. 2. 
1
12
tg
n
n
n . 
3. 
1
2
1 1)1(
n
n
n
n
. 4. 
1 12
2
n
nn
n
x
. 
5. 
1 4
2
13
n
n
x
n . 6. 2,
3
1
)( 0x
x
xf . 
7. 2),1ln()( 0xxxf . 8. 
1,0
0
)1ln(
dx
x
x
. 
9. 3,1,0)0(,2 kyyxyy . 10. 
.0
,
,24
,0
)(
x
x
x
xf  
 
Вариант 15 
 
1. 
1
2)12(
1
n n
. 2. 
1
3 )85(ln)85(
1
n nn
. 
3. 
1 )!12(
1
)1(
n
n
n
. 4. 
1
36
5
n
n
nn
n
x
. 
5. 
1 5
)3(
n
n
n
n
x
. 6. 3,
52
1
)( 0x
x
xf . 
 61 
7. xxexf )( . 8. 
1
0
3cos dxx . 
9. 3,1)0(,2,0 2 kyyxy . 
10. 
.0,0
,,
)(
x
xх
xf  
 
Вариант 16 
 
1. 
1
2 2
1
n nn
n
. 2. 
1
12n n
n
. 
3. 
1
2
1
1
1
)1(
n
n
n
. 4. 
1
1
n
n
n
x
. 
5. 
1
1
n
n
n
x
. 6. 0
2 ,sin)( xxxf . 
7. 
2
sh)(
x
xf . 8. 
1
0
sin xdxx . 
9. 4,5,0)1(,2)1(,22 kyyyxy . 
10. 
.0
,
,56
,0
)(
x
x
x
xf  
 
Вариант 17 
 
1. 
1
3
1
n nnn
. 2. 
1
2 )1(2
1
n
n n
n
. 
3. 
1
1 !)1(
n
n
n
n
n
. 4. 
1n
n
n
x
.  
5. 
1 5
)1(
n
n
n
n
x
. 6. 2,sin)( 0x
x
xf . 
 62 
7. xexxf 22)( . 8. 
5,0
0
2 2
dx
x
e x
. 
9. 3,0)0(,2 kyexyxy x . 
10. 
.0
,
,0
,37
)(
x
xx
xf  
 
Вариант 18 
 
1. 
1 12
3
n n
n
. 2. 
1 3
sin2
n
n
n .  
3. 
1 )1ln(
3
)1(
n
n
n
. 4. 
1
2 5n
n
n
x
.  
5. 
1 10
)2(
n
n
nx
. 6. 3,
4
1
)( 0x
x
xf . 
7. xxxf cos)1()( . 8. 
1
0
2
4
cos dx
x
. 
9. 3,1)0(,0)0(,0 kyyyy . 
10. 
.0,
2
,,0
)(
x
x
x
xf  
 
Вариант 19 
 
1. 
1
21
2
n n
n
. 2. 
1
3
)!1(n n
n
.  
3. 
1 3)12(
)1(
n
n
n
n
. 4. 
1 !
3
n
n
n
x
n
.  
5. 
1
2)1(
)4(
n
n
n
x
. 6. 2,
1
1
)( 0x
x
xf . 
 63 
7. 
21
1
)(
x
xf . 8. 
5,0
0
arctg
dx
x
x
. 
9. 3,
3
0,1)0(,cos kyyxyyy . 
10. 
.0
,
,0
,26
)(
x
xx
xf  
 
Вариант 20 
 
1.
1
2 134
1
n nn
. 2. 
1 3
12
n
n
n
n
. 
3. 
1
1 1)1(
n
n
n
. 4. 
1 2
)!1(
n
n
n
x
n
.  
5. 
1 1
)4(
n
n
n
x
. 6. 1,
1
1
)( 0x
x
xf . 
7. xxf arcsin)( . 8. 
1
0 2
arctg dx
x
. 
9. 3,0)0(,cos 2 kyxxy . 
10. 
.0
,
,94
,0
)(
x
x
x
xf  
 
Вариант 21 
 
1. 
1 43
12
n n
n
. 2. 
1
2 )1(ln)1(
1
n nn
.  
3. 
1
1
3
)1(
n
n
n
n
. 4. 
1
!
n
nxn .  
5. n
n
x
n
nn
)3(
)3(
)2)(1(
1
2
. 6. 1,
2
2
)( 0x
x
xf . 
 64 
7. xxf arctg)( . 8. 
5,0
0
2
arctg
dx
x
xx
. 
9. 4,2)0(,024 32 kyexyyy x . 
10. 
.0,0
,0,3
3)(
x
x
x
xf  
 
Вариант 22 
 
1. 
1
4 1
5
n n
n
. 2. 
1 )2(3
10
n
n
n
n
.  
3. 
1
2 1
)1(
n
n
n
. 4. 
1 1n
n
n
x
.  
5. 
1 )2)(1(
)3(
n
n
nn
x
. 6. 1,)( 0xxexf
x . 
7. )1ln()( 2xxxf . 8. 
5,0
0
2
dxe x . 
9. 3,1)0()0(,0)1( kyyyyx . 
10. 
.0,310
,0,0
)(
xx
x
xf  
 
Вариант 23 
 
1. 
1
2
2
43
2
n n
nn
. 2. 
1
3
)!3(
)1(
n n
n
.  
3. 
1 1
)1(
n
n
nn
. 4. 
12n n
n
n
x
.  
5. 
1 23
)8(
n
n
n
x
. 6. 1,ln)( 0xxxf . 
 65 
7. 
2
2
1
)(
x
x
xf . 8. 
4,0
0
31 dxx . 
9. 3,
2
1
)1(,1)1(,04 2 kyyyyx  
10. 
.0,0
,,
4
1)(
x
x
x
xf  
 
Вариант 24 
 
1. 
1 5
1
n
n
n
. 2. 
1 12
2
n
n
n
n
. 
3. 
1 4
)1(
n
n
n
. 4. n
n
x
nn
nn
1 )22(2
)12)(12(
. 
5. 
1 )1(
)1(
n
n
nn
x
. 6. 2,
1
1
)( 0x
x
xf . 
7. 
x
x
xf
1
)( . 8. 
1
0
cos dxxx . 
9. 3,1)1(,2 32 kyyxy . 
10. 
.0,2
5
,0,0
)(
x
x
x
xf  
 
Вариант 25 
 
1. 
1 32
21
n
n
n
n
. 2. 
1 4
2
n
nn
n
. 
3. 
1
1
13
)1(
n
n
n
n
. 4. 
1 32
)1(
n
nx
n
nn
. 
5. 
1 1
)2(
n
n
n
xn
. 6. 3,)( 0xexf
x . 
 66 
7. 
21
1
)(
x
xf . 8. 
1
0
sin
dx
x
x
. 
9. 4,1)0(,22 kyyxyxy . 
10. 
.0
,
,0
,112
)(
x
xx
xf  
 
Вариант 26 
 
1. 
1 43
32
n n
n
. 2. 
1 )1ln()1(
1
n nn
. 
3. 
1 13
)1(
n
n
n
. 4. 
1
2
n
n
n
x
. 
5. 
1 3
)2(
n
n
n
xn
. 6. 9,)( 0xxxf . 
7. 5 1)( xxxf . 8. 
1,0
0
41 x
dx
. 
9. 4,1)1(,2)1(,0 kyyyyx  
10. 
.0
,
,83
,0
)(
x
x
x
xf  
 
Вариант 27 
 
1. 
1
2 2
12
n n
n
. 2. 
1 23
13
n
n
n
.  
3. 
1
1
)2)(1(
)1(
n
n
nn
. 4. 
1 )1(n
n
nn
x
.  
5. 
1 32
)3(
n
n
n
x
. 6. 3,1)( 0xxxf . 
 67 
7. 
x
e
xf
x2
)( . 8. 
1
0
10 sin xdxx . 
9. 5,1)0(,1)0(,01 kyyxyy  
10. 
.0
,
,0
,17
)(
x
xx
xf  
 
Вариант 28 
 
1. 
1 32
1
n n
n
. 2. 
1 4
31
n
n
n
. 
3. 
1 12
)1(
n
n
n
. 4. 
1
12
n
nn x .  
5. 
1
3 1
)3(
n
n
n
x
. 6. 1,)( 0xxexf
x . 
7. 
2
2
1
)(
x
x
xf . 8. 
1
0
3 cosxdxx . 
9. 5,1)1(,1)1(,02 kyyyyx . 
10. 
.0
,
,12
,0
)(
x
x
x
xf  
 
Вариант 29 
 
1. 
1
2 1
32
n n
n
. 2. 
1 )!4(
1
n n
. 
3. 
1 )1ln(
3
)1(
n
n
n
. 4. 
1n
n
n
x
. 
5. 
1 2
)1(
n
n
nx
. 6. 
4
,2sin)( 0xxxf . 
7. xxxf 2cos)( . 8. 
1
0
2
dxe x . 
 68 
9. 5,2)0(,1)0(,0cos kyyxyy  
10. 
.0
,
,1
,0
)(
x
x
x
xf  
 
Вариант 30 
 
1. 
1
2 4
1
n nn
. 2. 
1 54
13
n
n
n
n
.  
3. 
1 )!2(
)1(
n
n
n
. 4. 
1n
nx .  
5. 
1 )2)(1(
)4(
n
n
nnn
x
. 6. 
4
,cos2)( 0xxxf . 
7. 
x
x
xf
sin
)( . 8. 
1
0
sin
dx
x
x
. 
9. 3,0)0(,cos2cos kyyxyy . 
10. 
.0
,
,
,0
)(
x
x
x
xf  
 
Т и п о в о й  р а с ч е т  №  2  
 
Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. 
 Элементы теории поля 
 
Вариант 1 
 
1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 422 yx  и 
xy 142  (вне параболы). 
2. Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями 
;4222 zyx  zyx 322 , если плотность в каждой точке равна 
аппликате точки. 
 69 
3. Вычислить 
L yx
dS
22
 по отрезку прямой 2
2
1
xy  от точки 
2,0A  до точки 0,4B . 
4. Вычислить 
L
xydx по дуге синусоиды xy sin  от x  до 
0x . 
5. Вычислить площадь части поверхности 1226 zyx , 
лежащей в первом октанте. 
6. Вычислить поток вектора kzjxyiyxa

 через 
поверхность шара единичного радиуса с центром в начале 
координат. 
 
Вариант 2 
 
1. Найти массу фигуры, ограниченной линиями ;2xy  2yx , 
если плотность ее в каждой точке равна ординате этой точки. 
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями ;1 22 yxz  
3; xyxy , расположенного в первом октанте. 
3. Вычислить 
L
dlyx 22 , где L  – кривая, 
tttay
tttax
cossin
sincos
 
20 t . 
4. Найти функцию z  по ее полному дифференциалу 
dy
y
x
x
dx
x
y
y
dz
22
11
. 
5. Вычислить 
S
zdxdyzydxdzxdyd , где S  – положительная 
сторона поверхности куба, ограниченного плоскостями ;0;0 yx  
.4;4;4;0 zyxz  Вычислить непосредственно и с помощью 
формулы Остроградского. 
6. Найти ugraddiv , где .sin zyxu  
 
Вариант 3 
 70 
1. Найти массу фигуры, ограниченной параболой 21 xy  и 
осью Ox , если плотность 22, yxyx . 
2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями ;222 xyx  
0;22 zyxz . 
3. Вычислить 
L
xdl  по параболе 2xy  от точки 1,1  до точки 
4,2 . 
4. Вычислить dyyxdxyx
C
2222 , применяя формулу 
Грина, где C  – контур треугольника с вершинами в точках 
3,1,2,2,1,1 CBA , пробегаемый против часовой стрелки. 
5. Вычислить 
S
dSzyx 222 , где S  – поверхность конуса 
222 yxz , ограниченного плоскостями 0; zhz . 
6. Найти Frot , если kzjxiyF
 222 . 
 
Вариант 4 
 
1. Найти массу половины круга радиуса R  с центром в начале 
координат, лежащей в области 0y , если плотность равна 
квадрату полярного радиуса. 
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 
.0;0;
2
;4
2
2 zx
x
yyz  
3. Вычислить 
l
dlzyx 253 , где l  – отрезок прямой между 
точками 6,1,4A  и 8,3,5B . 
4. Поле образовано силой jaiyF

. Определить работу при 
перемещении массы m  по контуру, образованному осями 
координат и эллипсом tby
tax
sin
cos
, лежащим в I четверти. 
 71 
5. Найти площадь поверхности части конуса 22 yxz , 
заключенного внутри цилиндра xyx 222 . 
6. Найти vu,div , где kzjyixu

2 ; kxjziyv

2 . 
 
Вариант 5 
 
1. Вычислить dxdyyxa
D
222 , где D  – круг: axyx 22 . 
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 
.0,0;1223;2 yzyxxz  
3. Вычислить массу одной арки циклоиды ;sin ttax  
tay cos1 , если плотность в каждой точке кривой равна 
ординате точки. 
4. Вычислить 
l
xdydxyxy 2  от точки 0,0A  до точки 2,1B  
по кривой xy 2 . 
5. Вычислить с помощью формулы Остроградского 
S
xdydz  
zdxdyydxdz , где S  – внешняя сторона поверхности куба, 
ограниченного плоскостями ,1,1,0 yxx  1,0,0 zzy . 
6. Найти rar

,rot , где kjiakzjyixr

; . 
 
Вариант 6 
 
1. Вычислить dxdy
yx
yx
D
22
22ln
, где область D  – кольцо между 
окружностями радиусов e  и 1 с центром в начале координат. 
2. Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями 
0;0;0;0622 zyxzyx , если плотность в каждой его 
точке равна абсциссе этой точки. 
 72 
3. Вычислить 
L
dlxx 32 cossin , где L  – дуга кривой 
4
0cosln xxy . 
4. Найти функцию z  по ее полному дифференциалу 
dydxyxdz sin . 
5. Вычислить 
S
dxdyzy 22 , где S  – верхняя сторона 
поверхности 22 xaz , отсеченная плоскостями byy ,0 . 
6. Найти циркуляцию поля iyF

 по контуру ,costbx  
tbby sin . 
 
Вариант 7 
 
1. Вычислить dxdye
D
yx 22 , где область D  – круг радиуса r  с 
центром в начале координат. 
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 
0;14 22 zzyx . 
3. Вычислить массу m  дуги кривой L , заданной уравнениями 
2
2t
x , 20,
3
,
3
t
t
zty , если плотность в каждой ее точке 
2241 yx . 
4. Вычислить 
l ay
dy
y
xdx
 по отрезку циклоиды ;sin ttax  
tay cos1  от точки 
61
t  до точки 
32
t . 
5. Вычислить 
S
dxdyzdxdzydydzx  по верхней поверхности 
части плоскости azyx , лежащей в первом октанте. 
 73 
6. Доказать, что поле 
2
3
222 zyx
kzjyix
F


 является потенциальным. 
 
Вариант 8 
 
1. С помощью двойного интеграла найти площадь фигуры, 
ограниченной линиями 2;; yeyey xx . 
2. Вычислить объем той части шара 2222 4Rzyx , которая 
лежит внутри цилиндра 222 Ryx . 
3. Найти массу дуги кривой 10
2
1
; 2 ttytx , если 
плотность равна y2 . 
4. Вычислить 
L
dzyxydyxdx 1 , где L  – отрезок прямой, 
соединяющий точки 1,1,1А  и 4,3,2B . 
5. Найти площадь части поверхности 22 zxy , вырезанной 
цилиндром 122 xz  и расположенной в первом октанте. 
6. Найти поток вектора kxjziya

 через плоскость 
azyx , расположенную в первом октанте. 
 
Вариант 9 
 
1. С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, 
ограниченной линиями cos12 ; cos2 . 
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями ;2xy  
0;2 zzy . 
3. Найти массу дуги кривой 
3
2 xx
y  от точки 0,0O  до точки 
3
16
,4B , если плотность пропорциональна длине дуги. 
 74 
4. Вычислить 
L yx
xdyydx
22
, где L  – окружность tax cos , 
tay sin  (в положительном направлении). 
5. С помощью формулы Остроградского вычислить 
S
xdydz  
zdxdyydxdz , если S  – внешняя сторона цилиндра 422 yx  с 
основаниями 0z  и 3z . 
6. Найти Frot , если kyxjxzizyF
 222 . 
 
Вариант 10 
 
1. С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, 
ограниченной линиями 22;2 xyxxy . 
2. Найти массу тела, ограниченного поверхностями ;2azyx  
0;222 zayx , если плотность в каждой его точке равна 
22 yx . 
3. Вычислить 
L
dlzyx 222 , где L  – дуга винтовой линии 
20,;sin;cos tbtztaytax . 
4. Найти функцию z  по ее полному дифференциалу 
dyxdxxyedz xy 21 . 
5. Применяя формулу Остроградского, вычислить 
S
dxdzydydzx 33  
dxdyz3 , где S  – внешняя сторона поверхности сферы 2222 azyx . 
6. Найти циркуляцию вектора iyF
 2  по замкнутой кривой, 
составленной из верхней половины эллипса tbytax sin;cos  и 
отрезка оси Ox . 
 
Вариант 11 
 
 75 
1. Найти массу плоской фигуры, ограниченной линиями 
10;
3 22 yx
x
y , если плотность каждой ее точки равна абсциссе 
этой точки. 
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 
hzyxhz ;22 . 
3. Вычислить 
L
dlayx 222 , где L  – дуга спирали Архимеда 
0aar  между точками aaAO ,;0,0 2 . 
4. Вычислить с помощью формулы Грина 
C
xdydx
x
y
ln2 , где 
C  – треугольник, сторонами которого являются прямые 
0;1;24 yxxy . 
5. Вычислить 
S
dSz2 , где S  – часть плоскости 1zyx , 
расположенной в первом октанте. 
6. Найти линейный интеграл вектора jyixa
 33  вдоль дуги 
окружности tRytRx sin;cos . 
 
Вариант 12 
 
1. С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, 
ограниченной линиями 1;; 2 xeyey xx . 
2. Найти массу тела, ограниченного поверхностями ;2 22 yxaz  
2222 3azyx , если плотность в каждой точке равна аппликате 
этой точки. 
3. Вычислить 
L
dlx2 , где L  – верхняя половина окружности 
222 ayx . 
 76 
4. Выяснить, будет ли интеграл 
AB
dyyxyxdxyxy 61552 223  
зависеть от пути интегрирования, и вычислить его по линии AB , 
соединяющей точки 0,0 , 2,2 . 
5. Вычислить 
S
ydydzxdxdzzdxdy , где S  – внешняя сторона 
треугольника, образованного пересечением плоскости 1zyx  и 
координатными плоскостями. 
6. Найти arot , если jyzxixzyxa
 3222 233 kzyx

223 3 . 
 
Вариант 13 
 
1. Двойным интегрированием найти объем тела, ограниченного 
поверхностями yzzRyx ;0;222 . 
2. Вычислить 
V
dxdydzzxy cos , где V  – область, 
ограниченная цилиндром xy  и плоскостями 
0;0;
2
zyzx . 
3. Вычислить массу отрезка прямой xy 2 , заключенного 
между координатными осями, если линейная плотность в каждой 
его точке пропорциональна квадрату абсциссы в этой точке, а в 
точке 0,2  равна 4. 
4. Применяя формулу Грина, вычислить 
C
dyxyydxx 22 , где 
C  – окружность 222 ayx  (в положительном направлении). 
5. Найти площадь поверхности 
2
2
22 yx
z , расположенной 
над плоскостью xOy . 
6. Найти поток вектора kxjziya

 через часть плоскости 
azyx , расположенной в первом октанте. 
 
Вариант 14 
 77 
1. Переменив порядок интегрирования, записать данное 
выражение в виде одного двойного интеграла 
1
0 0
4
1
4
3
1
0
2x
x
dydxdydx . 
Вычислить площадь фигуры. 
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 
226 yxz ; 22 yxz . 
3. Найти массу дуги кривой 223ln xxy , если 
плотность в каждой точке равна квадрату ее абсциссы. 
4. Вычислить 
L
dyxyydx 2 , где L  – дуга параболы 22 xxy , 
расположенная над осью Ox , пробегаемая по ходу часовой стрелки. 
5. Применяя формулу Остроградского, вычислить 
S
zdxdyydxdzxdydz , где S  – положительная сторона 
поверхности, ограниченной плоскостями 
12;0;0;0 zyxzyx . 
6. Найти дивергенцию градиента функции 222333 3 zyxzyxu . 
 
Вариант 15 
 
1. С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, 
ограниченной линиями 4824;816 22 xyxy . 
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 
2222 ;2 yxzyxz . 
3. Вычислить 
L
dlyx 22 , где L  – окружность axyx 22 . 
4. С помощью формулы Грина вычислить dy
y
x
y
dx
x
y
xC
arctg
2
arctg
1
, 
где C  – замкнутый контур, составленный дугами двух окружностей 
04;1 2222 yyxyx  и отрезками прямых xy  и 
03 yxy , заключенных между этими окружностями. 
 78 
5. Найти массу полусферы 222 yxaz , если 
поверхностная плотность в каждой ее точке равна 2z . 
6. Найти F

rot , если kjxyziyxF

222 . 
 
Вариант 16 
 
1. Вычислить dxdyxyx
D
22 , где область D  ограничена 
прямыми 6;2; yxxyxy . 
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 
222222 ; azxayx . 
3. Вычислить массу дуги кривой ttytx arctg2;1ln 2  от 
0t  до 1t , если плотность равна 
xe
y
. 
4. Поле образовано силой jxiyxF

2 . Вычислить работу 
по перемещению единицы массы по окружности ;costax  
tay sin . 
5. Вычислить массу поверхности 222 yxz , заключенной 
между плоскостями 1;0 zz , если поверхностная плотность 
пропорциональна 22 yx . 
6. Найти F

rot , если kxzjzyiyxF
 3322 . 
 
Вариант 17 
 
1. С помощью двойного интеграла вычислить площадь плоской 
области, ограниченной линиями .0,3,42 yyxxy  
2. Определить массу пирамиды, образованной плоскостями 
0;0;0; zyxazyx , если плотность в каждой точке равна 
аппликате этой точки. 
 79 
3. Вычислить 
L
dly2 , где L  – дуга кривой yx ln  между 
точками 1,0A  и eB ,1 . 
4. Применяя формулу Грина, вычислить 
C
dyyxdxy
22  по 
контуру треугольника ABC  с вершинами aCaaBaA ,0;,;0, . 
5. Пользуясь формулой Остроградского, вычислить 
S
xdydz  
zdxdyydxdz , где S  – внешняя сторона поверхности пирамиды, 
ограниченной плоскостями 12432;0;0;0 zyxzyx . 
6. Найти циркуляцию вектора jxiyF

 по окружности 
11 22 yx . 
 
Вариант 18 
 
1. Изменив порядок интегрирования, записать данное 
выражение в виде одного двойного интеграла 
1
0 0
2
1
2
0
y y
dxdydxdy . 
Вычислить площадь фигуры. 
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями 
0;14 22 zzyx . 
3. Вычислить массу дуги кривой 3
2
3
2
3
2
ayx , лежащей в 
первой четверти, если плотность в каждой ее точке равна абсциссе 
этой точки. 
4. Доказать, что dyyxdxytg
AB
2sec  не зависит от пути 
интегрирования. Вычислить его, если 
4
;2;
6
,1 BA . 
5. Найти массу полусферы 222 zyRx , если 
поверхностная плотность в каждой точке пропорциональна 
квадрату расстояния этой точки до начала координат. 
 80 
6. Найти циркуляцию векторного поля kxjziyF

 вдоль 
замкнутого контура, полученного от пересечения сферы 
2222 Rzyx  координатными плоскостями, расположенными в 
первом октанте. 
 
Вариант 19 
 
1. Построить область, площадь которой выражается интегралом 
1
0
1
1
2
1
2
2
x
x
dydx . Вычислить этот интеграл. Поменять порядок 
интегрирования. 
2. Определить массу тела, ограниченного поверхностями 
hzzyx ;0222 , если плотность в каждой точке 
пропорциональна аппликате этой точки. 
3. Вычислить 
L x
xdl
2
2
cos1
cos
, где L  – дуга кривой 
xxy 0sin . 
4. Доказать, что выражение dyexdxex yy 13 32  является 
полным дифференциалом некоторой функции. Найти эту функцию. 
5. Вычислить 
S
dydzzx 22 , где S  – внешняя сторона 
поверхности 29 yx , отсеченной плоскостями 2;0 zz . 
6. Найти rar ,rot , где kjiakzjyixr

2,2 . 
 
Вариант 20 
 
1. С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, 
ограниченной линиями cos1a ; cosa . 
2. Определить массу сферического слоя между поверхностями 
22222222 4; azyxazyx , если плотность в каждой точке 
обратно пропорциональна расстоянию точки от начала координат. 
 81 
3. Вычислить 
L
ydl , где L  – дуга параболы xy 22 , отсеченная 
параболой yx 22 . 
4. Показать, что 
C
dyyxydx  по любому замкнутому 
контуру равен нулю. Проверить, вычислив интеграл по контуру 
фигуры, ограниченной линиями 4,2 yxy . 
5. Вычислить массу поверхности xz , ограниченной 
плоскостями 0;0;1 xyyx , если поверхностная плотность в 
каждой точке равна абсциссе этой точки. 
6. Найти циркуляцию вектора iyF
 2  по замкнутой кривой, 
составленной из верхней половины эллипса tytx sin;cos4  и 
отрезка оси Ox . 
 
Вариант 21 
 
1. С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, 
ограниченной линиями 02;;2 aayxyaxy . 
2. Определить массу полушара 0;2222 zazyx , если 
плотность его в каждой точке равна аппликате этой точки. 
3. Вычислить 
L
xdl3sin , где L  – дуга кривой xy sinln  от 
41
x  до 
22
x . 
4. Вычислить 
C
x dyxydxye 2122 , где C  – треугольник 
сторонами которого являются прямые xyxy ;0;2 . Доказать, 
что данный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю. 
5. Найти площадь части поверхности 22 zxy , вырезанной 
цилиндром 122 xz  и расположенной в первом октанте. 
6. Найти vu ,div , где kxjziyvkzjyixu

3;32 . 
 
 82 
Вариант 22 
 
1. С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, 
ограниченной линиями 03;42 yxxy . 
2. Определить объем тела, ограниченного поверхностями 
0;0;;2 222 yzaxyxaxz . 
3. Найти массу дуги винтовой линии ,sin4,cos4 taytax  
atz 3 , если плотность ее в каждой точке пропорциональна 
аппликате этой точки 20 t . 
4. Вычислить dy
yx
yx
dx
yx
x2,3
1,1
22
2
. 
5. Используя формулу Остроградского, вычислить 
S
dydzyx  
zdxdydxdzxy  через поверхность шара 1222 zyx . 
6. Найти F

rot , если kxzjzyiyxF
 22322 23 . 
 
Вариант 23 
 
1. С помощью двойного интеграла вычислить площадь фигуры, 
ограниченной линиями xyaxxay ;22 . 
2. Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями 
byzxy ;22 , если плотность в каждой его точке 
пропорциональна ординате этой точки. 
3. Вычислить 
L
xyzdl , где L  – дуга кривой 108
3
1 3 ttz  
;;
2
1 2 tytx . 
4. Найти работу силы jyxixyF

 при перемещении 
массы m  из начала координат в точку 1,1A  по параболе 2xy . 
 83 
5. С помощью формулы Стокса показать, что 
C
xydzxzdyyzdx  
по любому замкнутому контуру равен нулю. Проверить, вычислив 
интеграл по контуру треугольника с вершинами ;0,0,0O  
1,1,1;0,1,1 BA . 
6. Вычислить поток вектора kzjyixa
 33  через 
поверхность шара 2222 azyx . 
 
Вариант 24 
 
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ;ln xy  
3;1 xyx . 
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями ;34 22 axay  
hzaxy ;2 . 
3. Найти массу дуги полуокружности taytax sin;cos , если 
плотность ее в каждой точке равна yx2 . 
4. Найти работу, производимую силой jxyixF
 24  при 
перемещении массы m  вдоль дуги 3xy  от точки 0,0O  до точки 
1,1C . 
5. Вычислить 
S
zdxdydxdzydydzx 22 , где S  – внешняя 
сторона части сферы, расположенной в первом октанте. 
6. Доказать, что поле 
2
3
222 zyx
kzjyix
F


 является потенциальным. 
 
Вариант 25 
 
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ;xy  
0;222 yxyx . 
 84 
2. Определить массу тела, ограниченного поверхностями 
00;;;22 2 yyaxyayxazx , если плотность в каждой 
его точке равна ординате этой точки. 
3. Вычислить 
L
ydl , где L  – первая арка циклоиды ;sin3 ttx  
ty cos13 . 
4. Вычислить 
C
ydxxdy , где C  – треугольник со сторонами 
.1;0;0
b
y
a
x
yx  Доказать, что данный интеграл по любому 
замкнутому контуру равен нулю. 
5. Вычислить 
S
dSzyx 422 , где S  – часть поверхности 
2292 zxy , отсеченная плоскостью 00 yy . 
6. Найти циркуляцию векторного поля kxjziyF

 вдоль 
замкнутого контура, полученного от пересечения сферы 4222 zyx  
координатными плоскостями, расположенными в первом октанте. 
 
Вариант 26 
 
1. Построить область, площадь которой выражается интегралом 
a ya
ya
dxdy
0
22
. Вычислить этот интеграл. Поменять порядок 
интегрирования. 
2. Вычислить массу тела, ограниченного поверхностями ;azx  
0;;0;0 zayyx , если плотность его в каждой точке равна 
22 yx . 
3. Вычислить 
L
xdl , где L  – отрезок прямой от точки 0,0  до 
точки 2,1 . 
 85 
4. Вычислить работу силы jxyiyF

 при перемещении 
единицы массы по дуге параболы 
a
x
ay
2
 из точки 0;aA  к 
точке aB ,0 . 
5. Вычислить 
S
dxdyzdxdzydydzx 222 , где S  – внешняя 
сторона поверхности конуса 30;
3
2
2
22 xx
R
yz . 
6. Найти линейный интеграл вектора jyixa
 33  вдоль первой 
четверти окружности tytx sin3;cos3 . 
 
Вариант 27 
 
1. Построить область, площадь которой выражается интегралом 
a xa
x
dydx
0
2 22
. Вычислить этот интеграл. Поменять порядок 
интегрирования. 
2. Определить объем тела, ограниченного поверхностями 
2222222 ;0 azyxzyx  (внутри конуса). 
3. Найти массу дуги параболы 
2
2x
y , лежащей между точками 
2
1
,1  и 2,2 , если плотность равна 
x
y
. 
4. Вычислить zdzxdyyzdxxy
L
222 , где L  – отрезок прямой 
5,4,2;0,0,0; BOOB . 
5. С помощью формулы Остроградского, вычислить 
S
dydzx2  
dxdyzdxdzy 22  где S  – внешняя сторона куба 
;0;0 ayax  az0 . 
6. Найти arot , если kxzjxyizxa
 333 . 
 86 
Вариант 28 
 
1. Построить область, площадь которой выражается интегралом 
1
0
2 2x
x
dydx . Изменить порядок интегрирования. Вычислить интеграл. 
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями ;22 yxz  
22 yxz . 
3. Найти массу винтовой линии ;sin;cos taytax  
20 tbtz , если плотность в каждой ее точке 
пропорциональна квадрату расстояния этой точки до начала 
координат. 
4. Вычислить 
L
dyyxdxyx , где L  – отрезок прямой 
соединяющий точки 3,2A  и 5,3B . 
5. Вычислить площадь поверхности той части плоскости 
42 zyx , которая расположена в первом октанте. 
6. Найти F

rot , если kxyjxzizyF
 2223 4 . 
 
Вариант 29 
 
1. Построить область, площадь которой выражается интегралом 
0
2
0
42y
dxdy . Изменить порядок интегрирования. Вычислить интеграл. 
2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями ;22 yxz  
0;0;0;4 zyxyx . 
3. Вычислить 
L
dlyx 22 , где L  – верхняя половина 
кардиоиды cos1a . 
4. Поле образовано силой jxyiyxF

82 . Найти 
работу поля при перемещении материальной точки массы m  по 
дуге окружности от точки 0,a  до точки a,0 . 
 87 
5. Вычислить массу поверхности 222 yxz , заключенной 
между плоскостями 0z  и 1z , если поверхностная плотность 
пропорциональна 22 yx . 
6. Найти циркуляцию поля iyF

 по контуру окружности 
tytx sin22;cos2 . 
 
Вариант 30 
 
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями ;22 ayyax  
0yx . 
2. Определить массу тела, ограниченного поверхностями 
0;222 zyxaaz , если плотность его в каждой точке 
пропорциональна аппликате этой точки. 
3. Вычислить 
L
xydl  по периметру прямоугольника, 
ограниченного прямыми 2;4;0;0 yxyx . 
4. Вычислить 
L
dydxyx , где L  – верхняя половина 
окружности 222 Ryx  (в положительном направлении). 
5. Найти площадь части поверхности 42 zyx , которая 
расположена в первом октанте. 
6. Найти дивергенцию градиента функции zyxu 32ln . 
 
II. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.ТЕОРИЯ 
ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ 
СТАТИСТИКИ 
 
З а н я т и е  1  
 
Преобразование Лапласа. Изображение элементарных 
функций. 
Основные теоремы 
 88 
Аудиторная работа 
 
Всюду в дальнейшем под заданной с помощью формулы 
функцией )(tf  будем понимать произведение этой функции на 
функцию Хевисайда: 
 
,0,0
,0,1
)(1
t
t
t  
 
т. е. считать 0)(tf  при 0t . 
 
1.1. Проверить, являются ли следующие функции оригиналами: 
а. te5 .  б. 
3
1
t
.  в. 14te .  г. 
3te .  д. 3t .  е. te
1
. 
 
1.2. Используя определение преобразования Лапласа, найти 
изображение оригинала: 
а. 
.3,0
,32,1
,20,1
)(
t
t
t
tf   б. 
.2,0
,21,1
,10,
)(
t
t
tt
tf  
 
1.3. Пользуясь теоремой подобия, найти изображение оригинала 
а. t5sin .  б. t3cos . 
 
1.4. Пользуясь теоремой запаздывания, найти изображение 
оригинала: 
а. 
2
),
2
sin( tt .  б. ataate at ,0),sin( . 
1.5. Применяя теорему запаздывания, найти оригинал для функции: 
а. 
12
2
p
pe p
.  б. 
4
2
2p
e p
. 
 
1.6. Используя свойства преобразования Лапласа и таблицу 
изображений основных функций, найти изображения заданных 
функций: 
 89 
а. 1
2
1 2t .  б. 223 tee tt .  в. 
2
cossin2
t
t .  
г. t2cos .  д. tt 2cos3sh .  е. tet 23 .  
ж. tct 2h2 .  з. tte t sh . 
 
Домашнее задание 
 
1.7. Проверить, являются ли следующие функции оригиналами: 
а. t3sin .  б. t2sh .  в. 
92t
t
. 
 
1.8. Используя определение преобразования Лапласа, найти 
изображение оригинала: 
.1,1
,10,
)(
t
te
tf
t
 
 
1.9. Пользуясь теоремой подобия, найти изображение оригинала 
tsh , зная, что 
1
1
sh
2p
t . 
 
1.10. Пользуясь теоремой запаздывания, найти изображение 
оригинала 
2
),
2
cos( tt . 
 
1.11. Применяя теорему запаздывания, найти оригинал для функции: 
а. 
2
2
p
e p
. б. 
3
2
)1( p
e p
. 
1.12. Используя свойства преобразования Лапласа и таблицу 
изображений основных функций, найти изображения заданных 
функций: 
а. tet
2
12 .  б. t2sin2 .  в. ttt cos3sin . 
 
Ответы 
 90 
1.1. а. Да. б. Нет. в. Да. г. Нет. д. Да. е. Нет. 
1.2. а. pp ee
p
23 21
1
. б. .1
1 2
2
pp epe
p
 1.3. а. .
5
5
2p
 
б. .
92p
p
 1.4. а. .
12
2
p
e
p
 б. .
11 2p
e pa
 1.5. а. .2cos t  б. .12sh t  
1.6. а. .
1
3
2
p
p
 б. .
2
2
3
1
1
3ppp
 в. .
141
2484
22
23
pp
ppp
 
г. .
4
2
2
2
pp
p
 д. .
3613
133
222
2
pp
p
 е. .
2
6
4
p
 ж. .
4
122
32
2
p
pp
  
з. .
2
12
22 pp
p
 1.7. а. Да. б. Да. в. Нет. 1.8. 
11
11 1
p
e
pp
p
.  
1.9. 
22p
. 1.10. 
12
2
p
pe
p
. 1.11. а. 2t . б. )2()2(
2
1 tet . 
1.12. а. 
)1(2
12
3 pp
. б. 
)16(22
1
2p
p
p
. в. 
22
2
2 )1(
1
9
3
p
p
p
. 
 
З а н я т и е  2  
 
Дифференцирование и интегрирование оригиналов и 
изображений. 
Свертка функций 
 
Аудиторная работа 
 
2.1. Найти изображения дифференциальных выражений при 
заданных начальных условиях: 
а. 0)0(;)0(;2)(7)(5)( xxtxtxtx . 
б. 0)0()0()0()0(;5)(3)(2)(4)( xxxxtxtxtxtxIV . 
 91 
2.2. Пользуясь теоремой смещения и теоремой 
дифференцирования изображения, найти изображение оригинала: 
а. ttet cos .  б. ttt sinsh . 
 
2.3. Пользуясь теоремой об интегрировании оригинала, найти 
оригинал по его изображению: 
а. 
)1(
1
2pp
.  б. 
)1(
1
2 pp
. 
 
2.4. Используя теорему интегрирования изображения, найти 
изображение функции 
t
tsin
. 
 
2.5. Используя теорему Бореля об изображении свертки, найти 
изображение функции:  
а. 
t
det
0
2)cos( .  б. 
t
dt
0
2 2cos)( . 
 
2.6. Найти оригиналы для функций: 
а. 
2)1(
1
p
.  б. 
1
!
np
n
.  в. 
)3)(1(
2
pp
.  
г. 
34
1
2 pp
.  д. 
52
1
2 pp
. е. 
9
3
2
1
2
4
p
e
p
e
p
pp
.  
ж. 
4
2
4 22 p
pe
p
p p
.  з. 
126
52
2 pp
p
.  и. 
1982
193
2 pp
p
.  
к. 
)2()1(
1
2 pp
.  л. 
ppp
p
54
32
23
.  м. 
ppp
pp
2
13
23
2
. 
 
2.7. Применяя вторую теорему разложения, найти оригиналы для 
функций: 
 92 
а. 
34
1
2 pp
.  б. 
pp3
1
.  в. 
24
1
pp
. 
 г. 
1
1
4p
. 
Домашнее задание 
 
2.8. Найти изображение дифференциального выражения при 
заданных начальных условиях: 
1)0(;0)0()0();(2)()(6)( xxxtxtxtxtx . 
 
2.9. Пользуясь теоремой смещения и теоремой 
дифференцирования изображения, найти изображение оригинала 
ttsin . 
 
2.10. Пользуясь теоремой об интегрировании оригинала, найти 
изображение функции 
t
d
0
cos . 
 
2.11. Используя теорему интегрирования изображения, найти 
изображение функции 
t
tsh
. 
 
2.12. Используя теорему Бореля об изображении свертки, найти 
изображение функции 
t
t dte
0
)sin( . 
 
2.13. Найти оригиналы для заданных функций: 
а. 
)3)(1(
1
pp
.  б. 
1
1
2 pp
. 
 в. 
9
4
2p
p
.  г. 
pp
p
3
2
3
. 
 93 
д. 
32
1
24 pp
.  е. 
ppp
p
34
32
23
. 
 
Ответы 
2.1. а. .
2
752 p
p
pXpp   
б. .
5
324 234
p
pXpppp  
2.2. а. .
11
11
22
2
p
p
  б. .
11
12
11
12
2
1
2222
p
p
p
p
  
2.3. а. .cos1 t  б. .1tet   2.4. .arctg
2
p   
2.5. а. .
12 2pp
p
  б. .
4
2
22 pp
  2.6. а. .tte    
б. .nt   в. .3 tt ee   г. .sh2 te t   
д. .2sin
2
1
te t   е. .43sin412 ttte t  
ж. .12ch122cos ttt   з. .3sin
3
11
3cos2 33 tete tt  
и. .
2
11
sin
11
2
13
2
11
cos3
2
1 22 tete tt   к. .
9
1
9
1
3
1 2ttt eete  
л. .sin
5
4
cos
5
3
5
3 22 tete tt   м. .
2
3
2
1 2tt ee   2.7. а. .
2
1 3 tt ee   
б. .cos1 t   в. .sin tt  г. .sinsh
2
1
tt   
2.8. 1)()26( 23 pXppp . 2.9. 
22 )1(
2
p
p
. 2.10. 
1
1
2p
.  
2.11. 
1
1
ln
2
1
p
p
. 2.12. 
)22(
1
22 ppp
. 2.13. а. )(
4
1 3 tt ee .  
 94 
б. te
t
2
3
sin
3
2 2 .  в. tt 3cos3sin
3
4
. 
г. tt 3sin
3
1
3cos
3
2
3
2
.  
д. )3sin
3
3
(sh
4
1
tt . е. tt ee 3
2
1
2
1
1 . 
 
З а н я т и е  3  
 
Применение операционного исчисления к решению линейных 
дифференциальных уравнений и систем дифференциальных 
уравнений. 
Аудиторная работа 
3.1. Найти решения дифференциальных уравнений при заданных 
начальных условиях: 
а. 0)0(;3 2 xexx t . 
б. 0)0(;sin2 xtxx . 
в. 1)0(,0)0(;1 xxxx . 
г. 2)0(,0)0(;445 xxxxx . 
д. 1)0(,1)0(;844 2 xxexxx t . 
е. 0)0(,1)0(;2 xxexxx t . 
ж. 2)0(,1)0(;2sin4 xxtxx . 
з. 2)0(,1)0(,0)0(;0 xxxxx . 
и. 2)0(,3)0(,1)0(;0 xxxxx . 
к. 1)0(,0)0()0()0(;sh xxxxtxxIV . 
 
3.2. Найти общие решения дифференциальных уравнений: 
 95 
а. texxx 244 .  б. texxx 2 . 
 
3.3. Найти решения систем дифференциальных уравнений при 
заданных начальных условиях: 
а. 1)0(,1)0(
;0
,0
yx
yx
yx
. 
б. 1)0()0(
;
,
yx
exyy
eyxx
t
t
. 
в. 3)0(,2)0(
;42
,32
yx
xy
tyx
. 
г. 0)0()0()0()0(
;0
,1
yxyx
xy
yx
. 
д. 0)0(,2)0(,1)0()0(
;0
,0
yxyx
xy
yx
. 
е. 1)0()0()0(,1)0(
;sin2
,0
yyxx
tyx
yx
. 
ж. 0)0(,1)0(,0)0(
;sin
,sin32
yxx
tyx
tyxx
. 
з. 2)0(,1)0()0(
;02
,0
,02
zyx
yyz
zxyx
zyxyx
. 
е. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений 
.0
,
xy
tyx
 
 
Домашнее задание 
 
3.5. Найти решения дифференциальных уравнений при заданных 
начальных условиях: 
а. 0)0(,sincos xttxx . 
 96 
б. 0)0(,2)0(;1265 xxxxx . 
в. 2)0(,3)0(;134 xxxxx . 
г. 1)0(,0)0(;3 3 xxexx t . 
 
3.6. Найти общее решение дифференциального уравнения 
txx 3cos9 . 
 
3.7. Найти решения систем дифференциальных уравнений при 
заданных начальных условиях: 
а. 1)0()0(
;04
,02
yx
yxy
yxx
. 
б. 0)0()0(
;
2
3
,1424
2 yxtyxy
txyx
. 
в. 0)0()0(
;3752
,57
yx
tyxy
yxx
. 
г. 
.4)0(;4
,0)0(,
,5)0(,4
zyz
yzy
xzyx
 
 
Ответы 
3.1. а. .32 tt eetx   б. .sincos ttetx t   
в. .ttx  г. .21 4tt eetx   д. .43 2222 ttt etteetx   
е. .1
2
1 2 ttetx t    
ж. .2cos2cos
4
1
2sin
8
7
tttttx   
з. .
2
3
sin
3
1
2
3
cos 2
1
2
1
teteetx
tt
t  
 97 
и. .21 tettx   к. .sin
4
1
ttchttx   
3.2. а. .
2
1
12
22 CtCtetx t   б. .
3
2
21
tt eC
t
Cetx   
3.3. а. .
t
t
ety
etx
  б. 
.
,
t
t
ety
etx
 
в. 
.2sin
4
13
2cos3
2
3
,2sin32cos
4
13
4
5
tttty
tttx
  г. 
.cos
2
1
ch
2
1
1
,cos
2
1
ch
2
1
ttty
tttx
 
д. 
.sin
,sin
tety
tetx
t
t
  е. 
.cossin
,cossin
ttty
tttx
  
ж. 
.sin
,cos
ttty
tttx
 з. 
.3
,
,23
t
t
t
etz
ety
etx
  
3.4. 
.
2
cossin
,cossin
2
234
321
t
tCtCCty
ttCtCCtx
 
3.5. а. tsin .  б. 2.  
в. tt ee 3
3
1
3
3
1
. г. tt e
t
e 33
3
)1(
9
2
.  
3.6. t
t
tCtC 3sin
6
3sin3cos 21 .  
3.7. а. 
.23
,34
23
32
tt
tt
eey
eex
  б. 
.
2
1
,
2
2
ty
ttx
   
 98 
в. 
.sincos71
,cos1
66
6
tetety
tetx
tt
t
 г. 
.22
,
,31
22
22
22
tt
tt
tt
eez
eey
eex
 
 
З а н я т и е  4  
 
Элементы комбинаторики 
 
Аудиторная работа 
 
4.1. В соревнованиях участвует 8 команд. Сколько может 
быть вариантов при распределении мест между ними? 
4.2. Сколькими способами можно переставить буквы в слове 
ДИПЛОМ? 
4.3. Сколькими способами 10 человек могут встать в очередь 
друг за другом? 
4.4. Сколькими способами можно расположить в ряд на книжной 
полке 5 различных книг? 
4.5. Рассыльному поручено разнести телеграммы по шести 
различным адресам. Сколько различных маршрутов он может 
выбрать? 
4.6. При встрече 9 человек обменялись рукопожатиями. Сколько 
было сделано всего рукопожатий? 
4.7. Сколькими способами можно выбрать три различные краски 
из имеющихся пяти? 
4.8. Сколькими способами можно составить трехцветный 
полосатый флаг, если имеется материал пяти различных цветов? 
4.9. Из 12 разведчиков в разведку необходимо отправить троих. 
Сколькими способами можно сделать выбор? 
4.10. Сколькими способами можно выбрать три лица на три 
одинаковые должности из десяти кандидатов? 
4.11. Сколькими способами можно выбрать три лица на три 
различные должности из десяти кандидатов? 
4.12. 25 выпускников школы решили обменяться 
фотокарточками. Сколько было всего заказано фотокарточек? 
 99 
4.13. Сколько различных диагоналей можно провести в 
восьмиугольнике? 
4.14. Сколько словарей нужно издать, чтобы можно было 
непосредственно выполнять переводы с любого из 15 языков 
бывших союзных республик? 
4.15. Найти число способов, которыми можно рассадить за 
столы по два студента группу из 20 человек. 
4.16. Найти число партий в шахматных соревнованиях среди  
12 участников, если каждый участник играет только одну партию с 
другим. 
4.17. Найти число способов, которыми можно выбрать 
делегацию в составе 15 человек из группы в 20 человек. 
4.18. Подрядчику нужны четыре плотника, а к нему с 
предложением своих услуг обратились десять. Сколькими 
способами он может выбрать среди них четверых? 
4.19. На окружности выбрано 10 точек. Сколько можно провести 
хорд с концами в этих точках? Сколько существует треугольников с 
вершинами в этих точках? 
4.20. Колода игральных карт насчитывает 52 различные карты. 
Сколькими способами можно сдать 13 карт на руки одному игроку? 
4.21. Сколькими способами можно составить комиссию в 
составе трех человек, выбирая их среди четырех супружеских пар, 
если:  а) в комиссию могут входить любые трое из данных восьми 
человек; б) комиссия должна состоять из двух женщин и одного 
мужчины. 
4.22. Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв 
слова САПФИР? 
4.23. Доказать, что число трехбуквенных слов, которые можно 
образовать из букв, составляющих слово ГИПОТЕНУЗА, равно числу 
всех возможных перестановок букв, составляющих слово ПРИЗМА. 
4.24. Сколькими способами можно распределить первую, вторую и 
третью премии на конкурсе, в котором принимают участие 20 человек? 
4.25. Сколькими способами можно выбрать 5 радиоламп из 
партии, содержащей 15 ламп? 
4.26. Курс охватывает 10 разделов теории вероятностей и 8 
разделов других дисциплин. Экзаменационный билет по курсу 
состоит из пяти вопросов: три – по теории вероятностей и два – по 
 100 
другим дисциплинам. Сколькими способами можно составить 
экзаменационные билеты? 
4.27. Агрохимик проверяет 6 типов минеральных удобрений. 
Ему нужно провести несколько опытов по изучению совместного 
влияния любой тройки удобрений. Сколько всего опытов 
необходимо для проведения исследования? 
4.28. Сколько всего существует телефонных номеров, состоящих 
из 5 различных цифр? 
4.29. На железной дороге 25 станций. На каждом билете 
печатается станция отправления и станция назначения. Сколько 
всего различных билетов нужно печатать, если каждый билет 
действителен только в указанном направлении? 
 
Домашнее задание 
 
4.30. Сколькими способами 6 студентов могут разместиться на 
одной скамье? 
4.31. Сколькими способами можно расположить на книжной 
полке десятитомное собрание сочинений А.С.Пушкина? 
4.32. На кафедре математики 9 преподавателей. Сколькими 
способами можно составить расписание консультаций на 9 дней, 
если каждый преподаватель дает консультацию ровно один раз? 
4.33. 8 человек должны поделиться на 2 равные группы. 
Сколькими способами это можно сделать? 
4.34. Из спортивного клуба, насчитывающего 30 членов, надо 
составить команду из 4 человек для участия в беге на 1000 метров. 
Сколькими способами это можно сделать? 
4.35. Из 20 хорошо обученных пилотов составляются экипажи, 
состоящие из штурмана, радиста и стрелка. Сколькими способами 
может быть укомплектован экипаж? 
4.36. В турнире принимали участие 8 шахматистов и каждые два 
шахматиста встретились один раз. Сколько партий было сыграно в 
турнире? 
 
Ответы 
4.1. 40320. 4.2. 720. 4.3.3628800. 4.4. 120. 4.5. 720. 4.6. 36. 4.7. 10. 
4.8. 60. 4.9. 220.  
 101 
4.10. 120. 4.11. 720. 4.12. 600. 4.13. 20. 4.14. 210. 4.15. 190. 4.16. 
66. 4.17. 15504. 4.18. 210.  
4.19. 45; 120. 4.20. 635013559600. 4.21. а) 56; б) 24. 4.22. 360. 
4.23. 720. 4.24. 6840.  
4.25. 3003. 4.26. 3360. 4.27. 20. 4.28. 30240. 4.29. 600. 4.30. 720. 
4.31. 3628800. 4.32. 362880. 
4.33. 70. 4.34. 27405. 4.35. 6840. 4.36. 28. 
 
З а н я т и е  5  
 
Классическое и статистическое определение вероятности  
события. Теоремы сложения и умножения вероятностей 
Аудиторная работа 
 
5.1. В урне имеются 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Из урны 
наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что этот 
шар черный? 
5.2. Из 2000 рабочих завода 150 не выполняют нормы 
выработки. Определить вероятность того, что случайно взятый 
рабочий выполняет нормы. 
5.3. В группе 25 студентов. Из них на экзамене пять получили 
отличные оценки, двенадцать – хорошие, шесть – 
удовлетворительные, двое – неудовлетворительные. Определить 
вероятность того, что произвольно выбранный студент получил 
оценку не ниже хорошей. 
5.4. Из 35 экзаменационных билетов, занумерованных с помощью 
целых чисел от 1 до 35, наудачу извлекается один. Какова 
вероятность того, что номер вытянутого билета есть число, кратное 
трем? 
5.5. Четырехтомное собрание сочинений расположено на полке в 
случайном порядке. Чему равна вероятность того, что тома стоят в 
должном порядке справа налево или слева направо? 
5.6. Декан факультета вызвал через старосту трех студентов из 
группы, состоящей из пяти не выполнивших задания человек. 
Староста забыл фамилии вызванных студентов и послал наудачу 
 102 
трех студентов из указанной группы. Какова вероятность того, что к 
декану явятся именно вызванные им студенты? 
5.7. Длины пяти отрезков равны соответственно 2, 3, 4, 6, 8. 
Найти вероятность того, что с помощью взятых отрезков можно 
построить треугольник. 
5.8. Студент пришел на экзамен, зная лишь (аж?) 20 из 25 
вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Найти 
вероятность того, что студент знает все эти вопросы. 
5.9. Из 60 вопросов, включенных в экзамен, студент подготовил 
50. Какова вероятность того, что из предложенных ему трех 
вопросов он знает два? 
5.10. В группе 20 студентов, среди которых 12 отличников. 
Определить вероятность того, что в числе шести наудачу 
вызванных из этой группы студентов окажется 4 отличника. 
5.11. После бури на участке между 40-м и 70-м километрами 
телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность 
того, что разрыв произошел между 50-м и 55-м километрами? 
5.12. Точка появляется в эллипсе .1
2
2
2
2
b
y
a
x
 Найти 
вероятность того, что она окажется внутри эллипса .
2
1
2
2
2
2
b
y
a
x
 
5.13. В круг радиуса 3R наудачу ставится точка. В круге 
проведены две концентрические окружности с радиусами R и 2R. 
Определить вероятность попадания точки в кольцо с внутренним 
радиусом R и внешним 2R. 
5.14. Найти вероятность того, что корни уравнения 
02 qpxx  окажутся действительными, если p и q наудачу 
выбраны среди чисел, удовлетворяющих условиям .1,1 qp  
5.15. В шар вписан куб. Точка наудачу зафиксирована в шаре. 
Найти вероятность того, что точка попадет в куб. 
5.16. Из 500 взятых наудачу деталей оказалось 8 
бракованных. Найти частоту бракованных деталей. 
5.17. Среди 1000 новорожденных оказалось 515 мальчиков. 
Чему равна частота рождения мальчиков? 
 103 
5.18. Контролер, проверяя качество 400 изделий, установил, что 
20 из них относятся ко второму сорту, а остальные – к первому. Найти 
частоту изделий первого сорта, частоту изделий второго сорта. 
5.19. Для выяснения качества семян было отобрано и высеяно 
в лабораторных условиях 100 штук. 95 семян дали нормальный 
всход. Какова частота нормального всхода семян? 
5.20. Товарная станция доставляет получателям груз 
автотранспортом. Вероятность того, что в определенный день 
товарной станции потребуется двухтонная машина, равна 0,9, 
пятитонная – 0,7. Определить вероятность того, что товарной станции 
потребуется: а) обе автомашины; б) только одна автомашина; в) хотя 
бы одна автомашина. 
5.21. Три стрелка производят по одному выстрелу по цели, 
вероятности попадания в которую равны: для первого стрелка 0,7, 
для второго 0,8, для третьего 0,9. Найти вероятность: а) трех 
попаданий; б) только двух попаданий; в) хотя бы одного попадания. 
5.22. Экзаменационный билет содержит три вопроса. 
Вероятность того, что студент ответит на первый и второй вопросы 
билета, равна по 0,9, на третий – 0,8. Найти вероятность того, что 
студент сдаст экзамен, если необходимо ответить: а) на все 
вопросы; б) хотя бы на два вопроса; в) хотя бы на один вопрос. 
5.23. Между точками M и N составлена электрическая цепь по 
приведенной схеме. Выход из строя за время T различных 
элементов цепи независимые события, имеющие вероятности, 
указанные в таблице. Определить вероятность разрыва цепи за 
указанный промежуток времени: 
а. 
 
 
b1 
b2 
a1 a2 M N 
 
 
 
Элемент 1a  2a  1b  2b  
 104 
Вероятность 0,3 0,2 0,1 0,4 
 
б. 
 
 
b 1 
b 2 
a 1 a 2 c 1 c 2 M 
 
N 
 
 
Элемент 1a  2a  1b  2b  1c  2c  
Вероятность 0,5 0,6 0,1 0,3 0,4 0,2 
 
5.24. В урне 6 белых и 4 красных шара. Из нее извлекают 
подряд два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые? 
5.25. В ящике 15 шаров, из которых 5 белых и 10 красных. Из 
ящика последовательно вынимают 2 шара; первый шар в ящик не 
возвращают. Найти вероятность того, что первый вынутый шар 
окажется белым, а второй – красным. 
5.26. Студент знает ответы на 20 вопросов из 26. 
Предположим, что вопросы задаются последовательно один за 
другим. Найти вероятность того, что три подряд заданных вопроса 
– счастливые. 
5.27. Слово ПАПАХА составлено из букв разрезной азбуки. 
Карточки с буквами тщательно перемешаны. Четыре карточки 
извлекаются по очереди и раскладываются в ряд. Какова 
вероятность получить таким путем слово ПАПА? 
5.28. Вероятность того, что событие появится хотя бы один 
раз в трех независимых испытаниях, равна 0,973. Найти 
вероятность появления события в одном испытании 
 105 
(предполагается, что во всех испытаниях вероятность появления 
события одна и та же). 
5.29. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок 
попадает в десятку, равна 0,6. Сколько выстрелов должен сделать 
стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,8 он попал в десятку хотя 
бы один раз? 
 
Домашнее задание 
 
5.30. Группа туристов из 15 юношей и пяти девушек выбирает 
по жребию хозяйственную команду в составе четырех человек. 
Какова вероятность того, что в составе команды окажутся два 
юноши и две девушки? 
5.31. В мастерскую для ремонта поступило 15 телевизоров. 
Известно, что шесть из них нуждаются в общей регулировке. 
Мастер берет первые попавшиеся пять телевизоров. Какова 
вероятность того, что два из них нуждаются в общей регулировке? 
5.32. Владелец одной карточки лотереи «Спортлото» (5 из 36) 
зачеркивает 5 номеров. Какова вероятность того, что им будут 
угаданы все 5 номеров в очередном тираже? 
5.33. В круг вписан квадрат. В круг наудачу бросается точка. 
Какова вероятность того, что точка попадет в квадрат? 
5.34. При стрельбе по мишени частота попаданий w = 0,75. 
Найти число попаданий при 40 выстрелах. 
5.35. В процессе эксплуатации двигателя возможны 
следующие неисправности: большое отложение слоя накипи и 
подтекание воды из радиатора. Вероятности этих неисправностей 
во время эксплуатации соответственно равны 0,8 и 0,7. Найти 
вероятность того, что за время одной рабочей смены обнаружатся: 
а) обе неисправности; б) только одна неисправность; в) хотя бы 
одна неисправность. 
5.36. Машина при проверке проходит три вида испытаний. 
Первое испытание проходит в 90 %, второе – в 80 и третье – в 75 % 
случаях. Найти вероятность того, что машина пройдет испытания:  
а) трех видов; б) только одного вида; в) хотя бы одного вида. 
5.37.  
 
 106 
 
а2 
b1 
a1 
b2 
a3 
M N 
 
 
Элемент 1a  2a  3a  1b  2b  
Вероятность 0,1 0,5 0,3 0,2 0,4 
 
5.38. В ящике находятся 10 деталей, из которых 4 первого 
типа и 6 второго. Для сборки агрегата нужно сначала взять деталь 
первого типа, а затем – второго. Какова вероятность того, что при 
выборке наугад детали будут взяты в нужной последовательности? 
5.39. Слово ЛОТОС, составленное из букв-кубиков, 
рассыпано на отдельные буквы, которые затем перемешаны и 
сложены в коробке. Из коробки наугад извлекается одна за другой 
три буквы. Найти вероятность того, что при этом появится слово 
СТО. 
 
Ответы 
5.1. 0,7. 5.2. 0,925. 5.3. 0,68. 5.4. 0,314. 5.5. 0,0833. 5.6. 0,1.  
5.7. 0,4. 5.8. 0,496. 5.9. 0,358. 5.10. 0,358. 5.11 0,167. 5.12. 0,5.  
5.13. 0,333. 5.14. 0,542. 5.15. 0,368. 5.16. 0,016. 5.17. 0,515. 5.18. 0,95; 
0,05. 5.19. 0,95. 5.20. а. 0,63; б. 0,34; в. 0,97. 5.21. а. 0,504; б. 0,398;  
в. 0,994. 5.22. а. 0,648; б. 0,954; в. 0,998. 5.23. а. 0,4624. б. 0,80312. 
5.24. 0,333. 5.25. 0,238. 5.26. .438,0
130
57
 5.27. 0,0333. 5.28. 0,7.  
5.29. 2n . 5.30. 0,217. 5.31. 0,42. 5.32. 0,00000265. 5.33. 0,637.  
5.34. 30. 5.35. а) 0,56; б) 0,38; в) 0,94. 5.36. а) 0,54, б) 0,08; в) 0,995. 
5.37. 0,3562. 5.38. 4/15. 5.39. 1/30. 
 
З а н я т и е  6  
 
Формулы полной вероятности и Байеса 
 
 107 
Аудиторная работа 
 
6.1. В цехе работает 20 станков. Из них 10 марки А, 6 – марки 
В и 4 – марки С. Вероятность того, что качество детали окажется 
отличным, для этих станков соответственно равна 0,9; 0,8 и 0,7. 
Какова вероятность того, что наугад взятая деталь, выпущенная 
цехом, отличного качества? 
6.2. При разрыве снаряда образуется 10 % крупных осколков, 
60 % средних и 30 % мелких. Вероятность пробивания брони 
крупным осколком равна 0,7, средним 0,2 и мелким 0,05. Известно, 
что в броню попал один осколок. Определить вероятность того, что 
броня пробита. 
6.3. В тире имеется 5 ружей, вероятности попадания из 
которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Определить 
вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий 
берет одно из ружей наудачу. 
6.4. Детали изготовляются на трех автоматах, после чего они 
поступают на общий конвейер. Вероятность изготовления 
бракованной детали на первом автомате равна 0,04, на втором – 
0,07, на третьем – 0,05. Производительности первого и третьего 
автомата равны между собой, а производительность второго 
автомата в 1,5 раза выше производительности первого. Найти 
вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь 
бракованная. 
6.5. Вероятности того, что во время работы цифровой 
электронной машины произойдет сбой в арифметическом 
устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, 
относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в 
арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных 
устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность 
того, что возникший в машине сбой будет обнаружен. 
6.6. На двух автоматических станках изготовляются 
одинаковые детали. Известно, что производительность первого 
станка в два раза больше, чем второго, и что вероятность 
изготовления детали  
высшего качества на первом станке равна 0,9, а на втором – 0,81.  
Изготовленные за смену на обоих станках нерассортированные 
 108 
детали находятся на складе. Найти вероятность того, что наудачу 
взятая деталь окажется высшего качества. 
6.7. По цели производится стрельба из двух различных 
установок. Вероятность поражения цели первой установкой равна 
0,85, второй – 0,9, а вероятность поражения цели двумя установками 
равна 0,99. Найти вероятность поражения цели, если известно, что 
первая установка срабатывает с вероятностью 0,8, а вторая – с 
вероятностью 0,7. 
6.8. В группе 10 студентов решают задачу. Из них 2 студента 
учатся на «отлично», 5 – на «хорошо» и 3 – на «удовлетворительно». 
Вероятность того, что задача будет решена отличником, равна 0,9, 
хорошистом – 0,8, троечником – 0,5. Какая вероятность решения 
задачи одним из студентов? 
6.9. Автомобиль, собранный из высококачественных деталей, 
имеет надежность (вероятность безотказной работы за определенное 
время) 0,9. Если автомобиль собирается из деталей обычного 
качества, его надежность равна 0,75. Автомобиль испытывался в 
течение указанного времени и работал безотказно. Какова 
вероятность того, что автомобиль собран из высококачественных 
деталей, если их количество равно 35 % по отношению к общему 
числу деталей. 
6.10. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на 
котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых 
автомашин, проезжающих по тому же шоссе, как 3:2. Вероятность 
того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для 
легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке 
подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это 
грузовая машина. 
6.11. Счетчик регистрирует частицы трех типов: ,  и . 
Вероятности появления этих частиц соответственно равны 0,2; 0,5; 
0,3. Частицы каждого из этих типов счетчик улавливает с 
вероятностями 0,8; 0,2; 0,4. Счетчик отметил частицу. Определить 
вероятность того, что это была частица . 
6.12. Для участия в студенческих отборочных спортивных 
соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй – 6, 
из третьей группы – 5 студентов. Вероятности того, что студент 
первой, второй и третьей групп попадает в сборную академии, 
соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в 
 109 
итоге соревнования попал в сборную. Найти вероятность того, что 
выбранный студент из первой группы. 
6.13. Три автомата штампуют одинаковые детали, которые 
поступают на конвейер. Производительности первого, второго и 
третьего автоматов относятся как 2 : 3 : 5. Вероятности брака, 
выпускаемого автоматами, соответственно равны 0,05; 0,1; 0,02. С 
конвейера наугад взята деталь. Оказалось, что она не имеет брака. 
Найти вероятность того, что она изготовлена первым автоматом. 
6.14. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены 
оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит 
мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 
0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 
0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Найти 
вероятность того, что стрелок стрелял из винтовки без оптического 
прицела. 
 
Домашнее задание 
 
6.15. На наблюдательной станции установлено четыре 
радиолокатора различных конструкций. Вероятность обнаружения 
цели с помощью первого локатора равна 0,86, второго – 0,90, 
третьего – 0,92, четвертого – 0,95. Наблюдатель наугад включает 
один из локаторов. Какова вероятность обнаружения цели? 
6.16. При передаче сообщения сигналами «точка» и «тире», 
эти сигналы встречаются в отношении 5:3. Статистические свойства 
помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений «точка»  
и 1/3 сообщений «тире». Найти вероятность того, что произвольный 
из принятых сигналов не искажен. 
6.17. Из десяти студентов, пришедших сдавать экзамен по 
теории вероятностей и взявших билеты, Иванов и Петров знают 20 
билетов из 30, Сидоров плохо занимался весь семестр и успел 
повторить только 15 билетов, остальные студенты знают все 30 
билетов. По прошествии отведенного на подготовку времени 
экзаменатор наудачу вызывает отвечать одного студента. Какова 
вероятность того, что вызванный сдал экзамен, если знание билета 
гарантирует сдачу экзамена с вероятностью 0,85, а при незнании 
билета можно сдать экзамен лишь с вероятностью 0,1? 
 110 
6.18. В сборочный цех поступили из I цеха 600 деталей, из II – 
500 и из III – 900. Известно, что брак по I цеху составляет 5 %,  
по II – 8 % и по III – 3 %. Определить вероятность того, что первая 
попавшая на сборку пригодная деталь выполнена I цехом. 
6.19. В батарее из 10 орудий одно непристрелянное. 
Вероятность попадания из пристрелянного орудия 0,73, а из 
непристрелянного – 0,23. Произвели один выстрел, не попавший в 
цель. Найти вероятность того, что выстрел произведен из 
непристрелянного орудия. 
 
Ответы 
6.1. 0,83. 6.2. 0,205. 6.3. 0,7 6.4. 0,0557. 6.5. 0,87. 6.6. 0,87.  
6.7. 0,8844. 6.8. 0,73. 6.9. 0,393. 6.10. 0,429. 6.11. 0,263. 6.12. 0,305. 
6.13. 0,2. 6.14. 0,558. 6.15. 0,9075. 6.16. 0,625. 6.17. 0,763. 6.18. 0,30. 
6.19. 0,241. 
 
З а н я т и е  7  
 
Последовательность независимых испытаний. Схема 
Бернулли. Предельные теоремы Лапласа и Пуассона 
Аудиторная работа 
 
7.1. Формула Бернулли. 
А. В цехе имеется шесть моторов. Для каждого мотора 
вероятность того, что он в данный момент включен, равна 0,8. 
Найти вероятность того, что в данный момент включены: а) два 
мотора;  
б) не менее пяти моторов; в) по крайней мере один мотор. 
Б. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что 
«герб» выпадет: а) три раза; б) не более двух раз; в) хотя бы один 
раз. 
В. Вероятность брака равна 0,1. Определить вероятность того, 
что из четырех изделий, проверяемых ОТК: а) забраковано одно;  
б) забраковано не менее трех; в) все изделия годные. 
 111 
Г. Доля плодов, пораженных болезнью в скрытой форме, 
составляет 25 %. Случайным образом отбирается 6 плодов. 
Определить вероятность того, что в выборке пораженных болезнью 
окажется:  
а) три плода; б) менее двух плодов; в) по крайней мере один плод. 
7.2. Наивероятнейшее число появления события. 
а. На факультете 20 % студентов-отличников. Определить 
наиболее вероятное число отличников в группе из 30 студентов этого 
факультета. 
б. Найти наивероятнейшее число наступлений ясных дней в 
течение первой декады сентября, если по данным многолетних 
наблюдений известно, что в сентябре в среднем бывает 11 ненастных 
дней. 
в. Батарея дала 14 выстрелов по объекту, вероятность 
попадания в который равна 0,2. Найти наивероятнейшее число 
попаданий. 
г. При стрельбе по мишени вероятность попадания при одном 
выстреле равна 0,7. При каком числе выстрелов наивероятнейшее 
число попаданий равно 16? 
7.3. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. 
А. На автомобильном заводе рабочий за смену изготовляет  
300 деталей. Вероятность того, что деталь окажется первого сорта 
равна, 0,75. Какова вероятность, что деталей первого сорта будет:  
а) ровно 225 шт.; б) от 210 до 240 шт. 
Б. Испытывается 25 двигателей. Вероятность безотказной 
работы каждого двигателя одинакова и равна 0,9. Определить 
вероятность того, что безотказно сработают: а) ровно 21 двигатель; б) 
от 18 до 24 двигателей. 
В. Вероятность того, что из взятого наудачу яйца выведется 
петушок, равна 0,5. В инкубатор заложили 10000 яиц. Определить 
вероятность того, что среди выведенных цыплят будет: а) ровно 
5000 петушков; б) от 4900 до 5100 петушков. 
7.4. Формула Пуассона. 
а. Завод отправил потребителю партию из 500 изделий. 
Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти 
вероятность того, что потребитель получит 3 поврежденных 
изделия. 
 112 
б. Во время стендовых испытаний подшипников качения 
0,4 % отходит в брак. Какова вероятность того, что при случайном 
отборе 500 подшипников обнаружится 5 бракованных? 
в. Вероятность появления бракованной детали, изготовляемой 
станком-автоматом, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 
200 деталей, изготовляемых этим станком, будет 4 бракованных. 
 
Домашнее задание 
 
7.5. Вероятность приема радиосигнала равна 0,75. Какова 
вероятность того, что при пятикратной передаче сигнала он будет 
принят: а) три раза; б) не менее четырех раз; в) хотя бы один раз. 
7.6. Вероятность нарушения точности в сборке прибора 
составляет 0,2. Определить наиболее вероятное число точных 
приборов в партии из 9 штук. 
7.7. В ОТК поступила партия изделий. Вероятность того, что 
наудачу взятое изделие стандартно, равна 0,9. Найти вероятность 
того, что из 100 проверенных изделий окажется стандартных:  
а) ровно 87 изделий; б) от 81 до 96 изделий. 
7.8. Вероятность того, что любой абонент позвонит на 
коммутатор в течение часа, равна 0,005. Телефонная станция 
обслуживает 600 абонентов. Какова вероятность того, что в течение 
часа позвонят 5 абонентов? 
 
Ответы 
7.1.А. а) 0,01536; б) 0,65536; в) 0,999936. Б. а) 0,3125; б) 0,5;  
в) 0,96875. В. а) 0,2916; б) 0,0037; в) 0,6561. Г. а) 0,1318; б) 0,5339; 
в) 0,822. 7.2. а. 6. б. 6. в. 2; 3. г. 22; 23. 7.3.А. а) 0,05319; б) 0,9544.  
Б. а) 0,1613; б) 0,84. В. а) 0,007978; б) 0, 9544. 7.4. а. 0,06. б. 0,0361. 
в. 0,09. 7.5. а) 0,2637; б) 0,6328; в) 0,999. 7.6. m0 = 7; 8. 7.7. а) 0,08067;  
б) 0,9759. 7.8. 0,101. 
 
З а н я т и е  8  
 
Функция распределения и плотность распределения вероятностей 
случайных величин 
 113 
Аудиторная работа 
 
8.1. Составить закон распределения числа попаданий мячом в 
корзину при двух бросках, если вероятность попадания при каждом 
броске равна 0,4. Построить многоугольник распределения, найти 
функцию распределения и построить ее график. 
8.2. Имеется 4 заготовки для одной и той же детали. 
Вероятность изготовления годной детали из каждой заготовки равна 
0,9. Составить ряд распределения числа заготовок, оставшихся 
после изготовления первой годной детали, построить 
многоугольник распределения, найти функцию распределения и 
построить ее график. 
8.3. Два стрелка стреляют по одной мишени независимо друг от 
друга. Первый стрелок выстрелил один раз, второй – дважды. 
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого 
стрелка равна 0,4, для второго – 0,3. Составить закон распределения 
общего числа попаданий, построить многоугольник распределения, 
найти функцию распределения и построить ее график. 
8.4.  Дана функция распределения 
10.при1
,105при)1
5
(
5,при0
)(
x
x
x
a
x
xF  
Найти a, f(x), вероятность попадания в 64 X , построить 
графики F(x), f(x). 
 
8.5. Дана функция распределения 
.
2
при1
,
2
0при)cos21(
0,при0
)(
x
xxa
x
xF  
Найти a, f(x), )4/0( XP , построить графики f(x), F(x). 
 
8.6. Дана плотность распределения 
 114 
.
6
при0
,
66
приacos3
,
6
при0
)(
x
xx
x
xf  
Найти a, F(x), )12/12/( XP , построить графики f(x), F(x). 
 
8.7. Дана плотность распределения 
.при0
,0приasin
,0при0
)(
x
xx
x
xf  
Найти a, F(x), )4/0( XP , построить графики f(x), F(x). 
 
Домашнее задание 
 
8.8. Батарея состоит из трех орудий. Вероятности попадания в 
цель при одном выстреле из I, II, III орудия батареи равны 
соответственно 0,5; 0,6; 0,8. Каждое орудие стреляет по некоторой 
цели один раз. Случайная величина X – число попаданий в цель. 
Составить закон распределения СВ X, построить многоугольник 
распределения, найти функцию распределения и построить ее 
график. 
 
8.9. Дана функция распределения 
.1при1
,10при
,0при0
)( 3
x
xax
x
xF  
Найти a, f(x), )2/1( XP , построить графики f(x), F(x). 
 
8.10. Дана функция распределения 
 115 
.1при
a
,1при0
)(
2
x
x
x
xf  
Найти a, F(x), )32( XP , построить графики f(x), F(x). 
 
Ответы 
8.1.  
0 1 2 
0,36 0,48 0,16 
.2,1
,21,84,0
,10,36,0
,0,0
)(
x
x
x
x
xF  
 
8.2.  
0 1 2 3 
0,
001 
0,
009 
0,
09 
0,
9 
.3,1
,32,1,0
,21,01,0
,10,001,0
,0,0
)(
x
x
x
x
x
xF  
 
8.3.  
0 1 2 3 
0
,294 
0,
448 
0,
222 
0,03
6 
 116 
.3,1
,32,964,0
,21,742,0
,10,294,0
,0,0
)(
x
x
x
x
x
xF  
 
8.4. .1a
.10при,0
,105при,
5
1
,5при,0
)(
x
x
x
xf  2,0)64( XP . 
 
8.5. .
2
1
a
.
2
,0
,
2
0,2sin
0,,0
)(
x
xx
x
xf  
2
1
4
0 XP . 
 
8.6. .
2
3
a   
.
6
,1
,
66
),13(sin
2
1
,
6
,0
)(
x
xx
x
xF  
2
1
4
0 XP . 
8.7. .
2
1
a
.,1
,0),cos1(
2
1
0,,0
)(
x
xx
x
xF  
 
8.9. 1; 1/8. 8.10. 1; 1/6. 
 
З а н я т и е  9  
 
 117 
Математическое ожидание и дисперсия 
 
Аудиторная работа 
 
9.1. Дискретная СВ X задана рядом распределения. Найти 
числовые характеристики M(X), D(X), )(X . 
а.  
xi 2 4 8 
Pi 
0,
1 
0,
5 
 
 
б. 
xi 3 5 7 9 
Pi 0,
2 
0,
1 
0,
4 
 
 
в. 
xi 0,
1 
2 1
0 
2
0 
Pi 0,
4 
0,
2 
0,
15 
 
 
9.2. По мишени производится три выстрела, вероятности 
попадания при каждом выстреле равны соответственно 0,1; 0,2; 0,3. 
Построить ряд распределения числа попаданий при трех выстрелах, 
найти M(X), D(X), )(X . 
9.3. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту 
книга свободна, равна 0,3. В городе 4 библиотеки. Случайная 
величина X – число библиотек, которые посетит студент. Построить 
ряд распределения, найти M(X), D(X), )(X . 
9.4. Рабочий обслуживает 3 независимо работающих станка. 
Вероятности того, что в течение часа I, II, III станок не потребует 
внимания рабочего, равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9. Случайная 
величина X – число станков, которые не потребуют внимания 
рабочего в течение часа. Построить ряд распределения, найти M(X), 
D(X), )(X . 
 118 
9.5. Дана f(x). Найти M(X), D(X), )(X . 
а.  
.1,0
,10,22
,0,0
)(
x
xx
x
xf  
б.  
.
3
,0
,
36
,3sin3
,
6
,0
)(
x
xx
x
xf  
в.  
.
2
0,
,
2
,cos
2
)(
2
x
xx
xf  
г.  
.1,
3
,1,0
)(
4
x
x
x
xf  
 
9.6. Дискретная случайная величина X задана законом 
распределения 
 
xi 1 2 
Pi 0,4 0,6 
 
Найти центральные моменты первого, второго и третьего 
порядков СВ X. 
9.7. Найти моменты первого, второго и третьего порядков СВ X с 
плотностью вероятности 
 
 119 
.0при
,0при0
)(
xe
x
xp
x
 
 
Домашнее задание 
 
9.8. Дискретная СВ X задана рядом распределения 
 
xi 0 1 2 3 4 
Pi 0,
2 
0,
25 
0,
35 
0,
10 
 
 
Найти M(X), D(X), )(X . 
9.9. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается 
один выигрыш в 50 у.е. и десять выигрышей по 1 у.е. Найти закон 
распределения СВ X – стоимости возможного выигрыша для 
владельца одного лотерейного билета, найти M(X), D(X), )(X . 
 
9.10. Дано 
 
.2,0
,20,
4
1
,0,0
)( 3
x
xx
x
xf  
 
Найти M(X), D(X), )(X . 
 
9.11. СВ X задана функцией распределения 
 
.1при,1
,10при,
,0при,0
)( 3
x
xx
x
xF  
 
Найти начальные и центральные моменты первых трех порядков 
СВ X. 
Ответы 
 120 
9.1. а. 5,4; 4,84; 2,2. б. 6,6; 4,64; 2,15. в. 6,94; 67,6404; 8,2244.  
 
9.2.  
 
0 1 2 3 
0,
504 
0,
398 
0,
092 
0,
06 
 
0,6;  0,46;  0,6782. 
 
9.3.  
 
0 1 2 3 
0,
3 
0,
21 
0,
147 
0,
343 
 
2,533;  1,535;  1,239. 
 
9.4. 
 
0 1 2 3 
0,
504 
0,
398 
0,
092 
0,
006 
 
0,6;  0,46;  0,68. 
9.5. а. 
23
1
;
18
1
;
3
1
. б. 
3
3
;
9
3
;
3
1
. в. 
32
6
;
12
6
;0
22
. 
г. 
2
3
;
4
3
;
2
3
. 9.6. 0; 0,24; –0,048. 9.7. 1; 2; 6.  0; 1; 2. 9.8. 1,65; 1,4275; 
1,1948. 9.9. 0,6; 2,24; 1,497. 
9.10. 1,6; 0,1; 0,316. 9.11. .
160
1
;
80
3
;0;
2
1
;
5
3
;
4
3
 
 
З а н я т и е  1 0  
 
Законы распределения дискретных случайных величин 
 
Аудиторная работа 
 
10.1. Биномиальное распределение. 
 121 
а. Вероятность попадания в цель составляет при отдельном 
выстреле P = 0,8. Найти вероятность пяти попаданий при шести 
выстрелах. 
б. По данным ОТК, на 100 металлических брусков, 
подготовленных для обработки, приходится 30 с зазубринами. 
Какова вероятность того, что из случайно взятых 7 брусков 
окажется без дефектов не более 2? 
в. Всхожесть семян данного сорта растений составляет 80 %. 
Какова вероятность того, что из 5 посеянных семян взойдет не меньше 
4? 
г. Что вероятнее – выиграть у равносильного противника в 
игре, в которой нет ничейных исходов, не менее четырех партий из 
пяти или не менее пяти партий из восьми? 
д. Монета брошена 4 раза. Написать в виде таблицы закон 
распределения СВ X – числа выпадений герба. Найти M(X), D(X), 
)(X . 
е. Производятся три независимых выстрела по цели. Составить 
ряд распределения СВ X – числа попаданий в цель, если 
вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. Найти 
M(X), D(X), )(X . 
ж. В партии деталей 10 % нестандартных. Наудачу отобраны  
4 детали. Составить закон распределения нестандартных деталей 
среди четырех отобранных. Найти M(X), D(X), )(X . 
з. На участке имеется несколько одинаковых станков, 
коэффициент использования которых по времени составляет 0,8. 
Составить закон распределения работы пяти таких станков при 
нормальном ходе производства. Найти M(X), D(X), )(X  СВ X – 
числа работающих станков. 
10.2. Распределение Пуассона. 
а. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. 
Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. 
Какова вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия? 
б. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность 
обрыва нити на одном веретене в течение 1 мин равна 0,002. Найти 
вероятность того, что в течение 1 мин обрыв произойдет более чем 
на трех веретенах. 
 122 
в. Радиоаппаратура состоит из 1000 электроэлементов. 
Вероятность отказа одного элемента в течение одного года работы 
равна 0,001 и не зависит от состояния других элементов. Какова 
вероятность отказа не менее двух элементов за год? 
г. Аппаратура состоит из 1000 элементов, каждый из которых 
независимо от остальных выходит из строя за время Т с 
вероятностью 4105Р . Найти вероятности следующих событий: 
А = {за время Т откажет ровно 3 элемента}, В = {за время Т откажет 
хотя бы один элемент}, С = {за время Т откажет не более 3 
элементов}. 
д. При испытании легированной стали на содержание углерода 
вероятность того, что в случайно взятой пробе процент углерода 
превысит допустимый уровень, равна Р = 0,01. Считая применимым 
закон редких явлений, вычислить, сколько в среднем необходимо 
испытать образцов, чтобы с вероятностью Р = 0,95 указанный 
эффект наблюдался по крайней мере 1 раз. 
 
Домашнее задание 
 
10.3. Срок службы шестерен коробок передач зависит от 
следующих факторов: усталости материала в основании зуба, 
контактных напряжений и жесткости конструкции. Вероятность 
отказа каждого фактора в одном испытании равна 0,1. Составить 
ряд распределения СВ X – числа отказавших факторов в одном 
испытании. Найти M(X), D(X), )(X . 
10.4. Производится четыре независимых выстрела. Вероятность 
поражения цели при каждом выстреле равна 0,6. Составить ряд 
распределения СВ X – числа попаданий в цель и найти M(X), D(X), 
)(X . 
10.5. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для 
каждого абонента вероятность того, что в течение часа он позвонит 
на станцию, равна 0,01. Найти вероятности следующих событий: а) 
в течение часа 5 абонентов позвонят на станцию; б) в течение часа 
не менее трех абонентов позвонят на станцию; в) в течение часа не 
более четырех абонентов позвонят на станцию. 
 
Ответы 
 123 
10.1. а. 0,3932. б. 0,0257. в. 0,7373. г. .3633,0;1875,0 11 PP  
д.  
0 1 2 3 4 
16
1
 
16
4
 
15
6
 
16
4
 
16
1
 
2;  1;  1. 
е.  
0 1 2 3 
0
,008 
0,
096 
0,
384 
0,
512 
2,4;  0,48;  0,693. 
 
ж.  
0 1 2 3 4 
0,
6561 
0,
2916 
0,
0486 
0,
0036 
0
,0001 
0,4;  0,36;  0,6. 
 
з.  
0 1 2 3 4 5 
0,
00032 
0,0
064 
0,0
512 
0,2
048 
0,4
096 
0,3
2768 
4;  0,8;  0,894. 
 
10.2. а. 0,0613. б. 0,1429. в. 0,264. г. 0,0126; 0,3935; 0,9982. д. 300. 
10.3. 0,35; 0,27; 0,5196. 10.4. 2,4; 0,96; 0,9798. 10.5. а) 0,1563;  
б) 0,7619; в) 0,6289.  
 
З а н я т и е  1 1  
 
Законы распределения непрерывных случайных величин 
 
Аудиторная работа 
 
11.1. Равномерное распределение. 
а. СВ Х равномерно распределена на отрезке [2, 7]. Записать 
плотность распределения p(х) этой СВ. 
б. СВ Х равномерно распределена на отрезке [-3, 2]. Найти 
функцию распределения F(x) этой СВ. 
 124 
в. Все значения равномерно распределенной СВ лежат на 
отрезке [2, 8]. Найти вероятность попадания СВ в промежуток (3, 
5).  
г. Найти M(X), D(X), )(X  СВ Х, равномерно распределенной на 
отрезке [2, 8]. 
11.2. Показательное распределение. 
а. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение 
показательного распределения, заданного интегральной функцией 
xexF 4,01)( . 
б. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение 
показательного распределения, заданного дифференциальной 
функцией xexf 1010)( . 
в. Среднее время обслуживания покупателя 20 минут. Чему 
равна вероятность простоя в очереди от 20 до 40 минут? 
г. Время Т безотказной работы радиотехнической системы 
распределено по показательному закону. Интенсивность системы 
02,0 . Найти среднее время безотказной работы и вероятность 
безотказной работы за 80 часов. 
д. Время Т безотказной работы двигателя автомобиля распределено 
по показательному закону. Известно, что среднее время наработки 
двигателя на отказ между техническим обслуживанием 100 часов.  
Определить вероятность безотказной работы двигателя за 80 часов. 
11.3. Нормальное распределение. 
а. Записать плотность распределения вероятностей и функцию 
распределения нормальной СВ Х, если M(X) = 3, D(X) = 4. 
б. СВ Х имеет нормальное распределение с параметрами 0m  и 
1 . Что больше: )1,05,0( XP  или )21( XP ? 
в. СВ Х – ошибка измерительного прибора – распределена по 
нормальному закону со среднеквадратическим отклонением 3 мм. 
Систематическая ошибка прибора отсутствует. Найти вероятность 
того, что в трех независимых измерениях ошибка хотя бы один раз 
окажется в интервале (0; 2,4). 
г. Браковка шариков для подшипников производится следующим 
образом: если шарик не проходит через отверстие диаметром d1, но 
проходит через отверстие диаметром d2 > d1, то его размер 
считается приемлемым. Если какое-нибудь из этих условий не 
 125 
выполняется, шарик бракуется. Известно, что диаметр шарика d 
есть СВ с характеристиками 
2
21 ddmx , 4
12 dd
x . 
Определить вероятность того, что шарик будет забракован. 
д. Вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону 
распределения с параметрами г 375m , г 25σ . Найти 
вероятность того, что вес одной рыбы будет: а) от 300 до 425 г; б) 
не более 450 г; в) больше 300 г. 
е. Для замера напряжений используются специальные 
тензодатчики. Определить среднюю квадратичную ошибку 
тензодатчика, если он не имеет систематических ошибок, а 
случайные распределены по нормальному закону и с вероятностью 
0,8 не выходят за пределы 2,0 мк. 
ж. Автомат штампует детали. Контролируется длина детали Х, 
которая распределена нормально с математическим ожиданием 
(проектная длина) 50 мм. Фактически длина изготовленных деталей 
не менее 32 и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина 
наугад взятой детали больше 55 мм. Указание. Из равенства 
1)6832( XP  предварительно найти σ . 
з. Производится взвешивание некоторого вещества без 
систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания 
подчинены нормальному закону со средним квадратическим 
отклонением г20 . Найти вероятность того, что взвешивание 
будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной 
величине 10 г. 
и. Автомат изготавливает шарики для подшипника. Шарик 
считается годным, если отклонение Х диаметра шарика от 
проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. 
Считая, что СВ Х распределена нормально, где 4,0 мм, найти, 
сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных. 
к. Среднее квадратическое отклонение СВ, распределенной 
по нормальному закону, равно 2 см, а математическое ожидание 
равно 16 см. Найти границы, в которых с вероятностью 0,95 следует 
ожидать значение СВ. 
л. Станок-автомат изготовляет валики, причем контролируется 
их диаметр Х. Считая, что Х – нормально распределенная СВ с 
 126 
математическим ожиданием 10 мм и средним квадратическим 
отклонением 0,1 мм, найти интервал, симметричный относительно 
математического ожидания, в котором с вероятностью 0,9973 будут 
заключены диаметры изготовленных валиков. 
 
Домашнее задание 
 
11.4. СВ Х равномерно распределена на отрезке [3, 8]. Записать 
плотность распределения p(х), функцию распределения F(x), найти 
M(X), D(X), )(X , вероятность попадания в интервал (4, 7). 
11.5. Длительность времени безотказной работы каждого из 
трех элементов, входящих в техническое устройство, имеет 
показательное распределение. Среднее время безотказной работы 
для каждого элемента равно 500 часов. Техническое устройство 
работает при условии безотказной работы всех трех элементов. 
Определить вероятность безотказной работы устройства в течение 
не менее 800 часов. Время безотказной работы каждого элемента не 
зависит от времени работы двух других элементов. 
11.6. СВ Х с математическим ожиданием 1,2 и средним 
квадратическим отклонением 2,9 распределена по нормальному 
закону. Записать плотность распределения и функцию 
распределения СВ Х. Найти вероятность попадания Х в интервал (1; 
4). 
11.7. Станок изготовляет стержни, длины которых Х 
представляют собой СВ, распределенную по нормальному закону, 
математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение 
величины Х соответственно равны 15 и 0,1 см. Найти вероятность 
того, что отклонение длины стержня в ту или иную сторону от 
математического ожидания не превзойдет 0,25 см. 
11.8. Отклонение длины изготовленных деталей от стандарта 
является СВ, распределенной по нормальному закону. Если 
стандартная длина равна m = 40 см и среднее квадратическое 
отклонение равно 4,0 см, то какую точность длины изделия 
можно гарантировать с вероятностью 0,8? 
11.9. На станке изготовляются втулки. Длина втулки 
представляет собой СВ, распределенную по нормальному закону, 
имеет среднее значение 20 см и дисперсию 0,04 см2. Найти 
 127 
вероятность того, что длина втулки заключена между 19,7 и 20,3 см, 
т.е. отклонение в ту или в иную сторону не превзойдет 0,3 см. 
Какую длину изделия можно гарантировать с вероятностью 0,95? 
 
Ответы 
11.1. а. 
.7,0
,72,
5
1
,2,0
x
x
x
 б. 
.2,1
,23,
5
3
,3,0
x
x
x
x
 в. .
3
1
 г. 5; 3; .3  
11.2. а. 6,25; 2,5. б. 0,01; 0,1. в. 0,23. г. 50; 0,2. д. 0,4493.  
11.3. а. .
2
3
2
1
)(;
22
1
)( 8
)3( 2
x
xFexP
x
 б. 1,05,0( XP  
.1359,0)21(1517,0 XP  в. 0,6392. г. 0,0456. д. а) 0,9759;  
б) 0,9987; в) 0,9987. е. 0,156. ж. 0,0823. з. 0,383. и. 92. к. (12,08; 19,92). 
л. (9,7; 10,3). 11.4. 5,5; 
5
3
;
32
5
;
12
25
. 11.5. 0,008. 11.6 . 0,3594. 11.7. 0,9876. 
11.8. 0,512. 11.9. 0,87; 20 0,4 см. 
 
З а н я т и е  1 2  
 
Двумерные случайные величины. Законы распределения. 
Числовые характеристики двумерных случайных величин 
 
Аудиторная работа 
 
12.1. Найти распределения составляющих двумерной СВ (для 
деталей, работающих на изгиб Х и кручение Y), заданной 
следующей таблицей: 
 
xi 
yi 
x1 x2 x3 
y1 0,18 0,22 0,16 
y2 0,08 0,16 0,20 
 
 128 
12.2. Число рабочих циклов двигателя Х и пробег автомобиля Y 
взаимосвязаны. Найти распределения составляющих СВ (Х, Y ), 
заданных следующей двумерной таблицей распределения 
вероятностей:  
 
xi 
yi 
x1 x2 x3 
y1 
0,10
6 
0,06
2 
0,08
2 
y2 
0,11
6 
0,16
0 
0,07
0 
y3 
0,11
1 
0,11
1 
0,18
2 
 
12.3. Контроль партии шариков после первой доводки 
производится по овальности (наибольшее отклонение диаметра от 
номинала)  
и гранности (отклонение среднего значения диаметра). При 
установившемся процессе производства около 6 % шариков после 
первой доводки не удовлетворяет техническим требованиям, причем 2 
% брака вызвано овальностью шариков, 3 % – гранностью и 1 % – 
обоими признаками. Найти распределения СВ (X, Y) и ее 
составляющих. 
12.4. Станок-автомат изготавливает валики. Чтобы деталь была 
годной, она должна удовлетворять допустимым значениям по длине 
и диаметру. Вероятность того, что валик будет признан годным по 
длине, равна 0,8, а по диаметру – 0,7. Найти распределения СВ (X, Y) и 
ее составляющих. 
12.5. По цели производятся два выстрела. Вероятность 
попадания при одном выстреле равна 0,7. Найти распределение СВ 
(X, Y), считая, что Х – число попаданий, а Y – число промахов. 
12.6. Станок-автомат изготавливает кольца. Для того чтобы 
деталь была годной, она должна удовлетворять допустимым 
значениям по внутреннему и наружному диаметрам. Вероятность 
того, что кольцо будет признано годным по внутреннему диаметру, 
равна 0,75, а по внешнему – 0,80. Найти распределения СВ (X, Y) и 
ее составляющих. 
 129 
12.7. Функция распределения СВ (X, Y) имеет вид 
 
.0или0при   0
,0,0при1
),(
yx
yxeee
yxF
yxyx
 
 
Найти плотность распределения вероятностей ),( yxf . 
12.8. Найти дифференциальную функцию ),( yxf  СВ (X, Y) по 
известной интегральной функции yxyxF sinsin),(  ,
2
0( x  
)
2
0 y . 
12.9. Плотность распределения вероятностей СВ (X, Y) имеет вид  
 
случаяхостальных  в0
,10,0при)(
),(
xxyyxC
yxf . 
 
Определить константу С. 
12.10. Плотность распределения вероятностей СВ (X, Y) имеет вид:  
 
)25()16(
),(
222 yx
A
yxf . 
 
Найти: а) величину А; б) функцию распределения F(x, y). 
12.11. Внутри квадрата, ограниченного прямыми ,
2
,0 xx  
2
,0 yy , дифференциальная функция СВ (X, Y) )sin(),( yxCyxf , 
вне квадрата 0),( yxf . Найти: а) величину С; б) интегральную 
функцию F(x, y). 
12.12. Найти вероятность того, что составляющая Х двумерной 
СВ (X, Y) примет значение 
2
1
x  и при этом составляющая Y 
 130 
примет значение 
3
1
y , если известна интегральная функция 
),( yxF  )
2
1
3arctg
1
()
2
1
2arctg
1
( yx . 
12.13. Существует несколько способов фиксации величины зерна 
аустенита в стали. Определение величины зерна производится под 
микроскопом при стократном увеличении путем сравнения видимых 
на шлифе зерен с их эталонными изображениями. Размеры X, Y зерен 
распределены равномерно внутри прямоугольника, ограниченного 
абсциссами bxax ,  и ординатами ),(, cdabdycy . 
Найти плотность распределения вероятности и функцию 
распределения СВ (X, Y). 
12.14. Двумерная СВ (X, Y) определена законом распределения 
 
X 
Y 
-2 3 
-1 
0,1
5 
0,1
0 
0 
0,3
5 
0,2
5 
1 
0,0
5 
0,1
0 
Найти математические ожидания составляющих M(X), M(Y), 
условное математическое ожидание Мx(X/Y=1), дисперсии 
составляющих D(Х), D(Y), корреляционный момент xy , 
коэффициент корреляции xyr . 
12.15. Двумерная СВ (X, Y) определена законом распределения 
 
X 
Y 
0 1 2 
0 1/4 0 0 
1 1/3 1/6 0 
2 1/9 1/9 
1/3
6 
 
 131 
Найти математические ожидания составляющих M(X), M(Y), 
условное математическое ожидание Мx(X/Y=2), дисперсии 
составляющих D(Х), D(Y), корреляционный момент xy , 
коэффициент корреляции xyr . 
12.16. Плотность распределения вероятностей СВ (X, Y) 
(координат амплитуд колебаний кузова автомобиля при движении)  
 
точках.остальных  в0
,2/0,2/0),sin(5,0
),(
yxyx
yxf  
 
Найти математические ожидания составляющих M(X), M(Y) и 
корреляционный момент xy . 
12.17 Плотность распределения вероятностей СВ (X, Y) имеет вид 
 
.0,0,0
,0,0,10
),(
)25(
yx
yxe
yxf
yx
 
 
Найти математические ожидания составляющих M(X), M(Y) и 
корреляционный момент xy . 
 
Домашнее задание 
 
12.18. Найти законы распределения составляющих дискретной 
двумерной СВ, заданной законом распределения. 
 
xi 
yi 
x1 x2 x3 
y1 0,12 0,18 0,10 
y2 0,10 0,11 0,39 
 
12.19. Один раз подбрасывается игральная кость. СВ (X, Y): Х – 
индикатор четного числа выпавших очков (Х = 1, если выпало 
четное число очков, и Х = 0 в противном случае), Y – индикатор 
числа очков, кратного трем (Y = 1, если выпало число очков, 
 132 
кратное трем, и Y = 0 в противном случае). Описать закон 
распределения СВ (X, Y) и ее составляющих. 
12.20. Найти дифференциальную функцию СВ (X, Y) по известной 
интегральной функции )0,0()1()1(),( 32 yxeeyxF yx . 
12.21. Задана функция распределения двумерной СВ (X, Y) ),( yxF  
0,0),1()1( yxee yx . Найти вероятность того, что в 
результате испытания составляющие X и Y примут значения 
соответственно 4,2 YX . 
12.22. Дифференциальная функция СВ (X, Y) 
)9()4(
),(
22 yx
C
yxf . 
Найти: а) величину С; б) интегральную функцию. 
12.23. Двумерная СВ (X, Y) определена законом распределения 
 
X 
Y 
-1 0 1 
0 
1/1
2 
1/2 
1/1
2 
2 
1/1
2 
1/6 
1/1
2 
 
Найти математические ожидания составляющих M(X), M(Y), 
условное математическое ожидание Мx(X/Y = 2), дисперсии 
составляющих, корреляционный момент xy , коэффициент 
корреляции xyr . 
12.24. Плотность вероятностей СВ Х имеет вид 
 
.
2
,
2
,0
,
2
,
2
,cos5,0
)(
x
xx
xf  
 
Найти корреляционный момент СВ Х и Y=Х2. 
 
Ответы 
 133 
12.1.  
x
i 
x
1 
x
2 
x
3 
 
y
i 
y
1 
y
2 
P
i 
0
,26 
0
,38 
0
,36 
 
P
i 
0
,56 
0
,44 
 
12.2.  
x
i 
x
1 
x
2 
x
3 
 
y
i 
y
1 
y
2 
y
3 
P
i 
0
,333 
0
,333 
0
,334 
 
P
i 
0
,250 
0
,346 
0
,404 
 
12.3.  
x
i 
y
j 
0 1  
x
i 
0 1  
y
i 
0 1 
0 
0
,94 
0
,02 
 
P
i 
0
,97 
0
,03 
 
P
i 
0
,96 
0
,04 
1 
0
,03 
0
,01 
        
 
12.4. 
x
i 
y
j 
0 1  
x
i 
0 1  
y
i 
0 1 
0 
0
,56 
0
,14 
 
P
i 
0
,8 
0
,2 
 
P
i 
0
,7 
0
,3 
1 
0
,24 
0
,06 
        
 
12.5. 
x
i 
y
j 
0 1 2  
x
i 
0 1 2  
y
i 
0 1 2 
 134 
0 0 
0 0
,49 
 
P
i 
0
,09 
0
,42 
0
,49 
 
P
i 
0
,49 
0
,42 
0
,09 
1 0 
0
,42 
0 
   
 
    
 
 
2 
0
,09 
0 0 
   
 
    
 
 
12.6. 
x
i 
y
j 
0 1  
x
i 
0 1  
y
i 
0 1 
0 
0
,6 
0
,2 
 
P
i 
0
,75 
0
,25 
 
P
i 
0
,8 
0
,2 
1 
0
,15 
0
,05 
        
 
12.7. 
.00,,0
0,0,
),(
yx
yxe
yxf
yx
  
12.8. 
2
0;
2
0coscos),( yxyxyxf . 
12.9. 2. 12.10. А = 20. 
2
1
5
arctg
1
2
1
4
arctg
1
),(
yx
yxF .  
12.11. а) С = 0,5; б) ))sin(sin(sin5,0 yxyx . 12.12. 
16
9
. 
12.13. 
.,,,,0
;,,
))((
1
),(
cydyaxbx
dycbxa
cdabyxf  
),()(),(;
))((
))((
),( 21 yFxFyxF
cdab
cyax
yxF   
где 
.,1
;,
;,0
)(1
bx
bxa
ab
ax
ax
xF
.,1
;,
;,0
)(2
dy
dyc
cd
cy
cy
yF  
 135 
12.14. М(X) = 0,25, M(Y) = –0,1, Mx(X/Y = 1) = 4/3, D(X) = 6,1875, 
D(Y) = 0,39, xy  = 0,225, xyr  = 0,145. 12.15. М(X) = 1/3, M(Y) = 1, 
Mx(X/Y = 2) = 2/3, D(X) = 5/18, D(Y) = 1/2, xy  = 1/6, xyr  = 0,447. 
12.16. М(X) = /4, M(Y) = /4, D(X) = D(Y) = 2/16+ /2–2, xy  =  
= /2–1– 2/16. 12.17. М(X) = 1/5, M(Y) = 1/2, xy  = 1/2. 
12.18. 
x
i 
x
1 
x
2 
x
3 
 
y
i 
y
1 
y
2 
P
i 
0
,22 
0
,29 
0
,49 
 
P
i 
0
,40 
0
,60 
12.19. 
X 
Y 
0 1  
x
i 
0 1  
y
i 
0 1 
0 
1
/3 
1
/3 
 
P
i 
1
/2 
1
/2 
 
P
i 
2
/3 
1
/3 
1 
1
/6 
1
/6 
        
 
12.20. )32(6 yxe . 12.21. 0,849. 12.22. а) 
2
6
; б) 
2
1
2
arctg
1 x  
2
1
3
arctg
1 y
. 12.23. М(X) = 0, M(Y) = 2/3, Mx(X/Y = 2) = 0, 
D(X) = 1/3, D(Y) = 8/9, xy  = 0, xyr  = 0. 12.24. xy  = 0. 
 
З а н я т и е  1 3  
 
Закон больших чисел 
 
Аудиторная работа 
13.1. Неравенство Маркова. 
а. Средний срок службы мотора 4 года. Оценить снизу 
вероятность того, что данный мотор не прослужит более 20 лет. 
б. Средний вес клубня картофеля равен 120 г. Какова вероятность 
того, что наугад взятый клубень картофеля весит не более 360 г? 
 136 
в. Среднее число молодых специалистов, ежегодно 
направляемых в аспирантуру, составляет 200 человек. Оценить 
вероятность того, что в данном году будет направлено в 
аспирантуру не более 220 молодых специалистов. 
г. Оценить вероятность того, что при 3600 независимых 
подбрасываниях игрального кубика число появлений 6 очков будет 
не меньше 900. 
д. Сумма всех вкладов в некотором банке составляет 2 млн. у.е., 
а вероятность того, что случайно взятый вклад не превышает 10000 у.е., 
равна 0,8. Что можно сказать о числе вкладчиков данного банка? 
13.2. Неравенство Чебышева. 
а. Электростанция обслуживает сеть из 18000 ламп, вероятность 
включения каждой из которых в зимний вечер равна 0,9. Оценить 
вероятность того, что число ламп, включенных в сеть зимним 
вечером, отклоняется от своего математического ожидания по 
абсолютной величине не менее чем на 200. 
б. Оценить вероятность того, что отклонение любой СВ от ее 
математического ожидания по модулю будет меньше трех средних 
квадратических отклонений этой величины. 
в. Среднее значение длины детали равно 50 см, а дисперсия 
равна 0,1. Оценить вероятность того, что изготовленная деталь 
окажется по своей длине не меньше 49,5 см и не больше 50,5 см. 
г. При изготовлении конической поверхности детали в среднем 
75 % деталей укладывается в поле допуска. Оценить вероятность 
того, что среди 2000 деталей в поле допуска окажутся от 1450 до 
1550 деталей включительно. 
д. Всхожесть семян некоторой культуры равна 0,75. Оценить 
вероятность того, что из посеянных 100 семян число взошедших 
окажется от 700 до 800 включительно. 
13.3. Теорема Чебышева. 
а. Для определения средней продолжительности горения 
электроламп в партии из 200 одинаковых ящиков было взято на 
выборку по одной лампе из каждого ящика. Оценить снизу 
вероятность того, что средняя продолжительность горения 
отобранных 200 электроламп отличается от средней 
продолжительности горения во всей партии по абсолютной 
величине меньше, чем на 5 ч, если известно, что среднее 
 137 
квадратическое отклонение продолжительности горения любой 
лампы в каждом ящике меньше 7 ч. 
б. Для определения средней урожайности поля площадью 1800 га 
взяли на выборку по 1 м2 с каждого гектара. Известно, что по 
каждому гектару поля дисперсия не превышает 6. Оценить 
вероятность того, что отклонение средней выборочной 
урожайности отличается от средней урожайности по всему полю не 
более чем на 0,25 ц. 
в. Дисперсия каждой из 1000 независимых СВ 1000...,,2,1kXk  
равна 4. Оценить вероятность того, что отклонение средней 
арифметической этих величин от средней арифметической их 
математических ожиданий по модулю не превзойдет 0,1. 
г. Сколько раз нужно измерять данную величину, истинное 
значение которой равно т, чтобы с вероятностью, не меньшей чем 
0,95, можно было утверждать, что среднее арифметическое 
значение этих измерений отличается от т по абсолютной величине 
меньше чем на 2, если среднее квадратическое отклонение каждого 
из измерений меньше 10? 
д. Определить, сколько надо произвести замеров поперечного 
сечения деревьев на большом участке, чтобы средний диаметр 
деревьев отличался от истинного значения т не более чем на 2 см с 
вероятностью, не меньшей 0,95. Среднее квадратическое 
отклонение поперечного сечения деревьев не превышает 10 см, и 
измерения проводятся без погрешностей. 
13.4. Теорема Бернулли. 
а. Вероятность положительного исхода отдельного испытания 
.8,0p  Оценить вероятность того, что в 1000 независимых 
повторных испытаниях отклонение частости положительных 
исходов от вероятности при отдельном испытании по абсолютной 
величине будет меньше 0,05. 
б. Найти вероятность того, что частота появления шестерки в 
10000 независимых подбрасываниях игрального кубика отклоняется 
от вероятности появления шестерки по модулю меньше чем на 0,01. 
в. При штамповке пластинок из пластмассы брак составляет 3 %. 
Найти вероятность того, что при проверке партии в 1000 пластинок 
выявится отклонение от установленного процента брака меньше 
чем на 1 %. 
 138 
г. При каком числе независимых испытаний вероятность 
выполнения неравенства 2,0p
n
m
 превысит 0,96, если 
вероятность появления события в отдельном испытании 7,0p ? 
д. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью, не 
меньшей чем 0,997, можно было утверждать, что частость 
выпадения герба будет между 0,499 и 0,501? 
 
Домашнее задание 
 
13.5. Для некоторого автопарка среднее число автобусов, 
отправляемых в ремонт после месяца эксплуатации на городских 
линиях, равно 5. Оценить вероятность того, что по истечении 
месяца в данном автопарке будет отправлено в ремонт меньше 15 
автобусов. 
13.6.  Вероятность наступления события А в каждом из 1000 
независимых опытов равна 0,8. Найти вероятность того, что число 
наступлений события А в этих 1000 опытах отклонится от своего 
математического ожидания по модулю меньше чем на 50. 
13.7. Среднее квадратическое отклонение каждой из 2500 
независимых СВ не превосходит 3. Найти вероятность того, что 
абсолютная величина отклонения среднего арифметического их 
математических ожиданий не превзойдет 0,3. 
13.8. Всхожесть семян некоторого растения составляет 70 %. 
Найти вероятность того, что при посеве 10000 семян отклонение 
доли взошедших семян от вероятности того, что взойдет каждое из 
них, не превзойдет по модулю 0,01. 
 
Ответы 
13.1. а. 0,8. б. .
3
2
 в. 0,091. г. .
3
2
 д. .1000n  13.2. е. 0,9595.  
13.2. а. 0,8889. б. 0,6. в. 0,85. г. 0,925. 13.3. а. 0,9902. б. 0,947. в. 0,6. 
г. 500. д. 500. 13.4. а. 0,936. б. 0,86. в. 0,709. г. .132n  д. 8333333. 
13.5. .
3
2
 13.6. 0,936. 13.7. 0,96. 13.8. 0,79. 
 
З а н я т и е  1 4  
 139 
Эмпирическая функция распределения. Полигон. Гистограмма 
 
Аудиторная работа 
 
14.1. В следующих задачах требуется: 
а) составить статистический ряд распределения частот и 
статистический ряд распределения частостей наблюденных 
значений дискретной СВ Х; 
б) построить полигон частот и полигон частостей; 
в) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее 
график. 
а. Возраст студентов одного потока представляется 
следующими данными: 17, 20, 18, 19, 18, 17, 20, 21, 24, 22, 20, 21, 
20, 19, 18, 20, 21, 22, 25, 20. 
б. В магазине продана мужская обувь следующих размеров: 
36, 38, 37, 41, 37, 41, 38, 42, 39, 39, 42, 42, 42, 39, 42, 39, 40,40, 40, 
39. 
в. Через каждый час измерялось напряжение тока в 
электросети. Были получены следующие данные (в вольтах): 227, 
219, 215, 230, 232, 223, 220, 222, 218, 219, 222, 221, 227, 226, 226, 
209, 211, 215, 218, 220, 216, 220, 220, 221. 
г. В течение недели регистрировались разладки в работе 25 
однотипных станков, потребовавшие их кратковременной остановки 
для регулировки. В результате регистрации получили статистические 
данные: 4, 1, 3, 2, 0, 0, 0, 1, 3, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 5, 3, 4, 2, 1, 2, 1, 3, 1, 2. 
д. Отделом технического контроля завода было проверено 10 
партий по 100 изделий в каждой партии. Число обнаруженных 
бракованных изделий в партиях приведено в таблице. 
 
Номер 
партии 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 
1
0 
Количество 
бракованных 
изделий xi 
4 2 0 3 2 3 1 2 1 2 
 
14.2. В следующих задачах дополнительно построить 
гистограмму частот: 
 140 
а. В таблице дан интервальный ряд распределения 500 рабочих 
автотранспортного предприятия по стажу работы. 
 
Интервалы 
наблюденных значений стажа 
работы (в годах) 
1
–3 
3
–5 
5
–7 
7
–9 
Число рабочих 
(частоты) mi 
1
60 
2
10 
1
00 
3
0 
 
б. В таблице дано распределение 25 кроликов по весу. 
 
Вес кролика, кг Частоты 
3,0–3,5 1 
3,5–4,0 1 
4,0–4,5 3 
4,5–5,0 3 
5,0–5,5 7 
5,5–6,0 5 
6,0–6,5 3 
6,5–7,0 1 
7,0–7,5 1 
в. Результаты исследования прочности 200 образцов бетона на 
сжатие представлены в виде интервального статистического ряда. 
 
Интервалы прочности, 
 кг/см2 
Частоты mi 
190–200 10 
200–210 26 
210–220 56 
220–230 64 
230–240 30 
240–250 14 
 
г. Дан интервальный вариационный ряд распределения рабочих 
по заработной плате на смену. 
 
Заработная плата, руб. 
Число 
рабочих 
 141 
230–240 20 
240–250 40 
250–260 100 
260–270 120 
270–280 200 
280–290 80 
 
Домашнее задание 
 
14.3. В следующих задачах требуется:  
а) составить статистический ряд распределения частот и 
статистический ряд распределения частостей наблюденных 
значений дискретной СВ Х; 
б) построить полигон частот и полигон частостей; 
в) найти эмпирическую функцию распределения и построить ее 
график. 
а. В результате проверки партии деталей получены следующие 
результаты по сортам: 1; 2; 1; 2; 1; 1; 1; 3; 4; 1; 1; 2; 2; 3; 1; 1; 1; 2; 1; 
1; 4; 2; 2; 1; 1. 
б. Имеются статистические данные о фактическом пробеге 10 
автомобилей ЗИЛ-130 В до капитального ремонта (тыс. км): 140, 0; 
156, 0; 140, 0; 162, 0; 140, 0; 130, 0; 156, 0; 140, 0; 160, 0; 156, 0. 
14.4. В следующих задачах дополнительно построить 
гистограмму частот. 
а. В таблице представлены статистические данные о пробеге 70 
грузовых автомобилей до отказа подшипников крестовины 
карданного вала (в тыс. км). 
 
Интервалы 
наблюденных 
значений пробега 
автомобилей (в тыс. 
км) 
0
–10 
1
0–20 
2
0–30 
3
0–40 
4
0–50 
Количество 
автомобилей 
(частоты) mi 
2
3 
2
4 
1
1 
9 3 
 142 
 
б. Дано распределение выборки: 
 
Номер  
интервала 
Частичны
й  
интервал 
Сумма частот 
варианта  
частичного интервала 
1 10–15 2 
2 15–20 4 
3 20–25 8 
4 25–30 4 
5 30–35 2 
 
Ответы 
14.1. а. a) 
ix  
1
7 
1
8 
1
9 
2
0 
2
1 
2
2 
2
4 
2
5 
im  2 3 2 6 3 2 1 1 
iw  
0
,1 
0
,15 
0
,1 
0
,3 
0
,15 
0
,1 
0
,05 
0
,05 
 
в) 
.25,1
,2524,95,0
,2422,90,0
,2221,80,0
,2120,65,0
,2019,35,0
,1918,25,0
,1817,1,0
,17,0
)(*
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xF  
б. 
х
i 
3
6 
3
7 
3
8 
3
9 
4
0 
4
1 
4
2 
т 1 2 2 5 3 2 5 
 143 
i 
w
i 
0
,05 
0
,1 
0
,1 
0
,25 
0
,15 
0
,1 
0
,25 
 
в) 
.42,1
,4241,75,0
,4140,65,0
,4039,5,0
,3938,25,0
,3837,15,0
,3736,05,0
,36,0
)(*
x
x
x
x
x
x
x
x
xF
 
в а) 
х
i 
2
09 
2
11 
2
15 
2
16 
2
18 
2
19 
2
20 
2
21 
2
22 
2
23 
2
26 
2
27 
2
30 
2
32 
т
i 
1 1 2 1 2 2 4 2 2 1 2 2 1 1 
w
i 
24
1  
24
1  
24
2  
24
1  
24
2  
24
2  
24
4  
24
2  
24
2  
24
1  
24
2  
24
2  
24
1  
24
1  
 
 144 
в) 
.232,1
,232230,2423
,230227,2422
,227226,2420
,226223,2418
,223222,2417
,222221,2415
,221220,2413
,220219,249
,219218,247
,218216,245
,216215,244
,215211,242
,211209,241
,209,0
)(*
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xF
 
г. а) 
 
ix  0 1 2 3 4 5 
im  3 6 8 5 2 1 
iw  0
,12 
0
,24 
0
,32 
0
,2 
0
,08 
0
,04 
 
в) 
.5,1
,54,96,0
,43,88,0
,32,68,0
,21,36,0
,10,12,0
,0,0
*
x
x
x
x
x
x
x
xF  
 
д. а) 
 
 145 
ix  0 1 2 3 4 
im  1 2 4 2 1 
iw  0,1 0,2 0,4 0,2 0,1 
 
в) 
.4,1
,43,9,0
,32,7,0
,21,3,0
,10,1,0
,0,0
*
x
x
x
x
x
x
xF  
 
14.2. а. а) 
 
ix  1–3 3–5 5–7 7–9 
im  160 210 100 30 
iw  0,32 0,42 0,2 0,06 
в) 
.9,1
,97,1
,75,94,0
,53,74,0
,31,32,0
,1,0
*
x
x
x
x
x
x
xF  
 
б. а) 
 
ix  
3
,0–
3,5 
3
,5–
4,0 
4
,0–
4,5 
4
,5–
5,0 
5
,0–
5,5 
5
,5–
6,0 
6
,0–
6,5 
6
,7–
7,0 
7
,0–
7,5 
im  1 1 3 3 7 5 3 1 1 
iw  
0
,04 
0
,04 
0
,12 
0
,12 
0
,28 
0
,2 
0
,12 
0
,04 
0
,04 
 
 146 
в) 
.5,7,1
,5,70,7,1
,0,75,6,96,0
,5,60,6,92,0
,0,65,5,80,0
,5,50,5,60,0
,0,55,4,32,0
,5,40,4,20,0
,0,45,3,08,0
,5,30,3,04,0
,0,3,0
*
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xF  
 
в. а) 
ix  
19
0–200 
200
–210 
21
0–220 
22
0–230 
230
–240 
24
0–250 
im  
1
0 
26 
5
6 
6
4 
30 
1
4 
iw  
0
,05 
0,
13 
0
,28 
0
,32 
0,
15 
0
,07 
в) 
.250,1
,250240,1
,240230,93,0
,230220,78,0
,220210,46,0
,210200,18,0
,200190,05,0
,190,0
*
x
x
x
x
x
x
x
x
xF  
 
г. а) 
 
 147 
ix  2
30–240 
2
40–250 
2
50–260 
2
60–270 
2
70–280 
2
80–290 
im  2
0 
4
0 
1
00 
1
20 
2
00 
8
0 
iw  
28
1
 
28
2
 
28
5
 
28
6
 
28
10
 
28
4
 
 
в) 
.290,1
,290280,1
,280270,
28
24
,270160,
28
14
,260250,
28
8
,250240,
28
3
,240230,
28
1
,230,0
*
x
x
x
x
x
x
x
x
xF  
 
 
14.3. а. а) 
 
ix  1 2 3 4 
im  
1
4 
7 2 2 
iw  
0
,56 
0
,28 
0
,08 
0
,08 
 
 148 
в) 
.1,1
,43,92,0
,32,84,0
,21,56,0
,1,0
*
x
x
x
x
x
xF  
 
б. а)  
 
ix  
1
30,0 
1
40,0 
1
56,0 
1
60,0 
1
62,0 
im  1 4 3 1 1 
iw  
0
,1 
0,
4 
0
,3 
0
,1 
0,
1 
 
в) 
.0,162,1
,0,1620,160,9,0
,0,1600,156,8,0
,0,1560,140,5,0
,0,1400,130,1,0
,0,130,0
*
x
x
x
x
x
x
xF  
 
14.4. а. а) 
 
ix  0
–10 
1
0–20 
2
0–30 
3
0–40 
4
0–50 
im  2
3 
2
4 
1
1 
9 3 
iw  
70
23
 
70
24
 
70
11
 
70
9
 
70
3
 
 149 
в) 
.50,1
,5040,1
,4030,
70
67
,3020,
70
58
,2010,
70
47
,100,
70
23
,0,0
x
x
x
x
x
x
x
xF  
 
б. а) 
 
ix  
1
0–15 
1
5–20 
2
0–25 
2
5–30 
3
0–35 
im  2 4 8 4 2 
iw  
0
,1 
0,
2 
0
,4 
0
,2 
0,
1 
 
в) 
.35,1
,35301
,3025,8,0
,25206,0
,20152,0
,1510,1,0
,10,0
*
x
x
x
x
x
x
x
xF  
 
 
 
 
З а н я т и е  1 5  
 150 
 
Выборочная средняя, дисперсия, начальные и центральные 
эмпирические моменты распределения 
Аудиторная работа 
 
15.1. В следующих задачах вычислить числовые характеристики 
выборки: среднее арифметическое, выборочную дисперсию и 
выборочное среднее квадратическое отклонение 
а. В результате наблюдения за работой пяти станков получены 
следующие значения срока службы до выхода за пределы норм 
точности (в месяцах двусменной работы): 31, 35, 34, 36, 34. 
б. Даны результаты шести измерений длины xi детали (мм): 
18,309; 18,306; 18,308; 18,304; 18,304; 18,305. 
15.2. Вычислить эти же числовые характеристики выборки для 
задач 14.1, а–д, 14.2, а–г из занятия 14. 
15.3. В задаче 14.1д из занятия 14 дополнительно вычислить 
четыре первых начальных и 2, 3, 4-й эмпирические центральные 
моменты, найти выборочный коэффициент асимметрии и 
выборочный коэффициент эксцесса. 
 
Домашнее задание 
 
15.4. В следующих задачах вычислить числовые характеристики 
выборки: среднее арифметическое, выборочную дисперсию и 
выборочное среднее квадратическое отклонение. 
а. Измерительным прибором, практически не имеющим 
систематической ошибки, было сделано 5 независимых измерений 
некоторой величины. Результаты измерения приведены в следующей 
таблице: 
 
Номер  
измерения  
1 2 3 4 5 
Результа
т  
измерения 
4
0,28 
4
0,25 
4
0,26 
4
0,25 
4
0,21 
 151 
 
б. Воспользоваться данными задачи 14.1 д из занятия 14. 
Ответы 
15.1.1. .673,1;8,2;34 2 SSx   
15.1.2. .0019235,0;0000037,0;306,18 2 SSx  
15.2. 14.1. а. .047,2;19,4;1,20 2 SSx  
б. .8241,1;3275,3;65,39 2 SSx  
в. .41,5;27,29;708,220 2 SSx  
г. .265,1;6,1;2 2 SSx  
д. .095,1;2,1;2 2 SSx  
14.2. а. .744,1;04,3;4 2 SSx  
б. .9047,0;8184,0;29,5 2 SSx  
в. .329,12;152;221 2 SSx  
г. .9156,12;8138,166;1429,267 2 SSx  
15.3. 
.5,0;093,6;6,3;8;2,1;0
;4,48;2,15;2,5;2
4321
4321
xa
vvvv
 
15.4. а. .023,0;00052,0;25,40 2 SSx  
15.4. б. .575,11;973,133;143,17 2 SSx  
 
З а н я т и е  1 6  
 
Точечные и интервальные оценки параметров распределения 
 
Аудиторная работа 
 
16.1. Даны результаты 5 независимых равноточечных измерений 
длин детали (в мм): 18,306; 18,305; 18,311; 18,309; 18,304. 
Предполагая, что результаты измерений распределены по 
нормальному закону, требуется:  
а) найти точечные оценки математического ожидания и среднего 
квадратического отклонения; 
 152 
б) найти доверительный интервал, накрывающий истинную 
длину детали с заданной надежностью 95,0)1( , считая среднее 
квадратическое отклонение  известным и равным несмещенной 
оценке S;  
в) найти доверительный интервал, накрывающий длину детали с 
заданной надежностью 95,0)1( , считая  неизвестным; 
г) найти доверительный интервал, накрывающий неизвестное 
среднее квадратическое отклонение  с заданной надежностью 
95,0)1( . 
16.2. При снятии показаний измерительного прибора десятые 
доли деления шкалы оцениваются на глаз наблюдателем. Шесть 
наблюдателей произвели считывание со шкалы измерительного 
прибора и получили следующие данные (в десятых долях шкалы): 
4, 2, 3, 5, 3, 1. Предположим, что ошибка отсчета по шкале является 
случайной величиной, имеющей равномерный закон распределения, 
т.е. плотность вероятности этой случайной величины выражается 
формулой 
ab
xf
1
)( . 
Требуется, пользуясь методом моментов, найти точечные оценки 
параметров а и b равномерного закона распределения. 
16.3. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного 
математического ожидания m с надежностью 0,99 нормально 
распределенного признака Х генеральной совокупности, известны: 
16,2,10,4 nx . 
16.4. Выборка из большой партии электроламп содержит 100 
ламп. Средняя продолжительность горения лампы из выборки 
оказалась равной 1000 ч. Найти с доверительной вероятностью 0,95 
доверительный интервал для средней продолжительности t горения 
лампы всей партии, если известно, что среднее квадратическое 
отклонение продолжительности горения лампы 40 ч. 
16.5. Среднее значение расстояния до ориентира по четырем 
независимым измерениям равно 2250 м, среднеквадратическая 
ошибка измерительного прибора 40м, систематических ошибок 
нет. Найти с надежностью 95 % доверительный интервал для 
измеряемой величины. 
16.6. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 10: 
 153 
 
x
i 
-
2 
1 2 3 4 5 
m
i 
2 1 2 2 2 1 
 
Оценить с доверительной вероятностью 0,95 математическое 
ожидание m нормально распределенного признака генеральной 
совокупности по выборочному среднему с помощью 
доверительного интервала. 
16.7. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 12: 
 
x
i 
-
0,5 
-
0,4 
-
0,2 
0 
0
,2 
0
,6 
0
,8 
1 
1
,2 
1
,5 
m
i 
1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 
 
При помощи доверительного интервала оценить с надежностью 
0,95 математическое ожидание m нормально распределенного 
признака генеральной совокупности. 
16.8. Станок-автомат штампует валики. По выборке объема 
n = 100 вычислена выборочная средняя диаметров изготовленных 
валиков. Найти с надежностью 0,95 точность , с которой 
выборочная средняя оценивает математическое ожидание 
диаметров изготовляемых валиков, зная, что их среднее 
квадратическое отклонение 2  мм. 
16.9. Найти минимальный объем выборки, при котором с 
надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания 
нормально распределенной генеральной совокупности по 
выборочной средней будет равна 0,2, если известно среднее 
квадратическое отклонение генеральной совокупности 5,1 . 
16.10. Измеряется длина металлического стержня. 
Предполагается, что результаты измерения подчинены 
нормальному закону. Сколько следует произвести измерений, 
чтобы с доверительной вероятностью 0,95 можно было бы 
утверждать, что, принимая среднее арифметическое за истинную 
 154 
длину стержня, совершают погрешность, не превышающую 0,04 
мм, если среднее квадратическое отклонение 01,0 см? 
 
Домашнее задание 
 
16.11. СВ Х распределена нормально со средним квадратическим 
отклонением 2 . Найти доверительный интервал для 
математического ожидания по данным выборки: n = 40, 4,1x  с 
надежностью 0,95. 
16.12. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 
0,99 неизвестного математического ожидания m нормально 
распределенного признака Х генеральной совокупности, если даны: 
генеральное среднее квадратическое отклонение , выборочная 
средняя x  и объем выборки n: 25,8,16,5 nx . 
16.13. Определение скорости автомобиля с прицепом было 
проведено на мерном участке в пяти испытаниях, в результате 
которых вычислена оценка v = 52,2 км/ч. Найти доверительный 
интервал с надежностью 95 %, если известно, что рассеивание 
скорости подчинено нормальному закону со среднеквадратичным 
отклонением 126,0  км/ч. 
16.14. Найти минимальный объем выборки, при котором с 
надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания 
генеральной совокупности по выборочной средней будет равна 
 = 0,3, если известно среднее квадратическое отклонение 2,1  
нормально распределенной совокупности. 
 
Ответы 
16.1. а) ;00261,0;307,18 Sx  б) ;00292,00S  
;3096,18;3044,18  в) ;3106,18;3034,18  г) .08380,0;00175,0  
16.2. .24,5;76,0 ba  16.3. .78,12;62,7  16.4. .84,1007;16,992   
16.5. .2,2289;8,2210  16.6. .7,3;3,0  16.7. .88,0;04,0   
16.8. 0,392 мм. 16.9. .179n  16.10. .25n  16.11. 0,28,0 m . 
16.12. 37,1923,14 m . 16.13. (52,11; 52,33). 16.14. n = 81. 
 
З а н я т и е  1 7  
 155 
Нахождение параметров линейной регрессии 
по методу наименьших квадратов 
 
Аудиторная работа 
 
17.1. Данные опыта приведены в таблице. 
 
xi 2 4 6 8 10 
yi 4,5 7,0 8,0 7,5 9,0 
 
Полагая, что x и y связаны зависимостью baxy , найти a и b. 
 
17.2. Данные опыта приведены в таблице. 
 
x
i 
0 4 
1
0 
1
5 
2
1 
2
9 
3
6 
5
1 
6
8 
y
i 
6
6,7 
7
1,0 
7
6,3 
8
0,6 
8
5,7 
9
2,9 
9
9,4 
1
13,6 
1
25,1 
 
Полагая, что x и y связаны зависимостью baxy , найти a и b. 
 
17.3. Данные опыта приведены в таблице. 
 
x
i 
7 8 9 
1
0 
1
1 
1
2 
1
3 
y
i 
3
,1 
4
,9 
5
,3 
5
,8 
6
,1 
6
,1 
5
,9 
 
По методу наименьших квадратов подобрать квадратическую 
функцию cbxaxy 2 . 
 
17.4. По методу наименьших квадратов подобрать зависимость 
cbxaxy 2 , используя данные таблицы. 
 
x
i 
-
4 
-
3 
-
2 
-
1 
0 1 2 3 4 
 156 
y
i 
6 3 1 
0
,3 
-
0,1 
-
0,2 
0 
0
,2 
1 
 
17.5. Результаты измерений предела прочности (Y, кг/мм2) и 
предела текучести (X, кг/мм2) у 50 марок стали приведены в 
корреляционной таблице. 
 
X 
Y 
Предел текучести X 
ny 4
0 
6
0 
8
0 
1
00 
1
20 
1
40 
П
ре
де
л 
пр
оч
но
ст
и 
1
60 
   
 1 3 4 
1
40 
   
3 5  8 
1
20 
  4 
8 1  1
3 
1
00 
 2 7 
4   1
3 
8
0 
1 3 3 
   7 
6
0 
4 1  
   5 
n
x 
5 6 
1
4 
1
5 
7 3 n 
= 50 
 
Требуется: 
а) по данным корреляционной таблицы найти числовые 
характеристики выборки – rKSSyx xyyx ,,,,, ; 
б) построить корреляционное поле. По характеру расположения 
точек на корреляционном поле подобрать общий вид функции 
регрессии; 
в) найти эмпирические функции регрессии y на x и x на y и 
построить их графики. 
 
Домашнее задание 
 
17.6. Получены следующие результаты измерений: 
 157 
 
x
i 
1 
1
,5 
2 
2
,5 
3 
y
i 
2
,1 
2
,2 
2
,7 
2
,8 
2
,85 
 
По методу наименьших квадратов подобрать линейную 
функцию baxy . 
17.7. По методу наименьших квадратов подобрать линейную 
функцию baxy  по данным таблицы. 
 
x
i 
0 
0
,1 
0
,2 
0
,3 
0
,4 
0
,5 
0
,6 
0
,7 
y
i 
1
,02 
2
,81 
2
,57 
2
,39 
2
,18 
1
,99 
1
,81 
1
,85 
17.8. По методу наименьших квадратов подобрать функцию 
cbxaxy 2  по результатам таблицы. 
 
x
i 
-
3 
-
2 
-
1 
0 
1 2 
y
i 
-
1,4 
-
4,3 
-
5,2 
-
4,1 
-
1,1 
4
,2 
 
Ответы 
17.1. .
20
87
40
19
xy  17.2. .5,6787,0 xy   
17.3. .794,12324,3145,0 2 xxy  
17.4. .275,0515,0288,0 2 xxy   
17.5. а) ;782,27;2785,26;6,109;8,88 yx SSyx  
.892,0;52,651 rKxy  
в)
 
.67,3844,0,6,109
782,27
2785,26
892,08,88
.862,25943,0,8,88
2785,26
782,27
892,06,109
yxyx
xyxy
 
 158 
17.6. 69,142,0 xy . 
17.7. 958,2802,1 xy . 
17.8. 126,4116,2011,1 2 xxy . 
 
З а н я т и е  1 8  
 
Проверка статистических гипотез 
 
Аудиторная работа 
 
18.1. В следующих задачах дан интервальный статистический 
ряд распределения частот экспериментальных значений СВ Х. 
Требуется: 
1) составить интервальный статистический ряд частостей 
наблюденных значений непрерывной СВ Х; 
2) построить полигон и гистограмму частостей СВ Х; 
3) по виду гистограммы и полигона и исходя из механизма 
образования исследуемой СВ Х сделать предварительный выбор 
закона распределения; 
4) предполагая, что исследуемая СВ Х распределена по 
нормальному закону, найти точечные оценки параметров нормального 
распределения, записать гипотетическую функцию распределения СВ 
Х; 
5) найти теоретические частоты нормального распределения, 
проверить согласие гипотетической функции распределения с 
нормальным законом с помощью критерия согласия 2  (уровень 
значимости принять равным 05,0 ); 
6) найти интервальные оценки параметров нормального 
распределения (доверительную вероятность принять равной 
95,01 ). 
а. В таблице приведены статистические данные о трудоемкости 
операции (в минутах) «Ремонт валика водяного насоса автомобиля 
ЗИЛ-130»: 
 
 159 
xi – 
трудоемкость 
операции (мин) 
0
–10 
1
0–20 
2
0–30 
3
0–40 
4
0–50 
Частота mi 7 
2
5 
3
6 
2
4 
8 
 
б. Даны значения температуры масла в двигателе автомобиля 
ЗИЛ-100 при средних скоростях 
 
xi значения 
температуры масла 
град. 
4
0–42 
4
2–44 
4
4–46 
4
6–48 
4
8–50 
Частота mi 8 
2
5 
3
5 
2
2 
1
0 
 
Домашнее задание 
 
18.2. Даны результаты измерения диаметров валиков. 
 
xi диаметр 
валика 
(мм) 
9
,74–
9,76 
9
,76–
9,78 
9
,78–
9,80 
9
,80–
9,82 
9
,82–
9,84 
Частота mi 8 
2
4 
4
8 
1
4 
6 
 
 
Ответы 
18.1. а. 4) .
492,10
1,25
2
1
;492,10;1,25 0
x
xFSx  
5) .1418,02  6) .181,12211,9;182,27018,23 m  
18.1. б. 4) .
193,2
02,45
2
1
;193,2;02,45 0
x
xFSx  
5) .4696,02  6) .546,2925,1;455,45585,44 m  
18.2. ;7909,97835,9;2852,5;0188,0;7872,9 20 mSx  
 160 
0218,00165,0 . 
 
Т и п о в о й  р а с ч е т  №  3  
 
Операционное исчисление 
 
В задаче 1 найти изображение функции. 
В задаче 2 найти частное решение дифференциального 
уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. 
В задаче 3 найти частное решение системы дифференциальных 
уравнений, удовлетворяющее заданным начальным условиям. 
 
Вариант 1 
 
1. tnet . 
2. 0)0(,1)0(,1 xxxx . 
3. 0)0()0()0(
,02
,2122
yxx
xyx
tyxyx
. 
 
Вариант 2 
 
1. wte t sin . 
2. 0)0(,2)0(,cos xxtxx . 
3. 1)0(,0)0()0()0(
,045
,023
yyxx
yyyxx
yyxxx
. 
 
Вариант 3 
 
1. wte t cos . 
2. 1)0(,0)0(,2 xxtxx . 
3. 1)0()0(
,22
,
yx
yxy
yx
. 
 
Вариант 4 
 
 161 
1. tt cos . 
2. 0)0(,2)0(,0)0(, xxxexx t . 
3. 
.1)0(,3
1)0(,
0)0(,
zyxz
yzxy
xzyx
 
 
Вариант 5 
 
1. t2sin . 
2. 0)0()0(,2 xxtxxx . 
3. 0)0()0(
,cos22
,
yx
tyyx
eyyx t
. 
 
Вариант 6 
 
1. tt sin . 
2. 0)0(,1)0(, xxtexx t . 
3. 
1)0(,
0)0(,
1)0(,
zyxz
yzxy
xzyx
 
 
Вариант 7 
 
1. t4sin . 
2. 0)0()0()0()0(,1 xxxxxxIV . 
3. 4)0(,2)0(
,2
,2
yx
tyyx
tyxx
. 
 
Вариант 8 
 
 162 
1. 
t
wtdt
0
cos . 
2. 0)0()0(, xxtexx t . 
3. 0)0()0(
,034
,123
yx
yyx
yxx
. 
 
Вариант 9 
 
1. t3cos . 
2. 0)0(,1)0(,4 xxtxx . 
3. 
1)0(,
1)0(,3
yexyy
xxyx
t
. 
 
Вариант 10 
 
1. 
t
tdt
0
sin . 
2. 1)0(,1)0(,sin2 xxtxx . 
3. 
.0)0(,23
,1)0(,
,1)0(,2
zzyxz
yzxy
xzyxx
 
 
Вариант 11 
 
1. tt 3sinch 2 . 
2. 0)0(,0)0(,2 2 xxtxx . 
3. ,2)0(,1)0(,3)0(
.
,
,
zyx
yxz
xzy
zyx
. 
 
Вариант 12 
 
1. tt 2sinsin . 
2. 0)0(,0)0(,sin xxtxx . 
 163 
3. .1)0(,0)0(,2)0(
,282
,2
,8
zyx
zyxz
zy
yx
 
Вариант 13 
 
1. te t 22 cos . 
2. 0)0(,0)0(,8 xxtexx t . 
3. .3)0(,2)0(
,0
,03
yx
yxy
yxx
 
 
Вариант 14 
 
1. t4cos . 
2. 0)0(,0)0(,132 xxxxx . 
3. 
.1)0(,2)0(1
0)0()0(0
yyeyx
xxyx
t
 
 
Вариант 15 
 
1. t
t
3cos
2
sin2 . 
2. 0)0()0(,2 xxtxx . 
3. .1)0(,1)0(
,6
,52
2
yx
eyxy
exyx
t
t
 
 
Вариант 16 
 
1. tt 3sin2sh . 
2. 0)0()0(,sin22 xxtxxx . 
3. 1)0(,2)0(
,cos
,sin34
yx
tyx
txyx
. 
 
Вариант 17 
 
1. tt 3cos2cos . 
 164 
2. 1)0()0(,44 2 xxexxx t . 
3. 
.2)0(,1)0(,1
,0)0(,1)0(,
yyyx
xxexyx t
 
Вариант 18 
 
1. tt 3sin5cos . 
2. 0)0()0(,1)0(, xxxexx t . 
3. .0)0()0()0()0(
,0
,1
yxyx
xy
yx
 
 
Вариант 19 
 
1. 
2
sin23
t
e t . 
2. 0)0()0(,cos24 2 xxtxx . 
3. 0)0(,2)0(
,332
,943
2
2
yx
eyyx
eyxx
t
t
. 
 
Вариант 20 
 
1. 
2
cos2ch 2
t
t . 
2. 0)0(,2)0(,sin2 xxtxx . 
3. 1)0(,0)0()0(,1)0(
,0
,1
yyxx
xy
yx
. 
 
Вариант 21 
 
1. tt 4sin2sin . 
2. 
2
3
)0(,0)0(,62 2 xxtxx . 
3. .1)0()0(
,0
,03
yx
yxy
yxx
 
 
 165 
Вариант 22 
 
1. 
2
sin 4
t
. 
2. 
2
1
)0()0(,012 xxxx . 
3. 15)0(,3)0(
,062
,044
yx
yxy
yxx
. 
 
Вариант 23 
 
1. tt 4cos3sin . 
2. 2)0(,1)0(,2 xxexx t . 
3. 4)0(,2)0(
,2
,2
yx
tyxy
tyxx
. 
 
Вариант 24 
 
1. 
2
cos4
t
. 
2. 
3
1
)0(,0)0(,013 xxxx . 
3. ,0)0()0(,1)0(
.2
,2
,
zyx
yxz
xzy
zyx
 
 
Вариант 25 
 
1. tt 5sin3sin . 
2. 
36
1
)0(,0)0(,6 xxtxx . 
3. 
.2)0()0(,cos2
,0)0()0(,0
yxtyx
yxyx
 
 
 166 
Вариант 26 
 
1. t3ch2 . 
2. 13)0(,2)0(,92 2 xxexxx t . 
3. 
3)0(,2
,1)0(,2
yyxy
xyxx
. 
 
Вариант 27 
 
1. t4sh2 . 
2. 4)0(,0)0(,84 xxtxx . 
3. 
.1)0(,3
,0)0(,5
yyxy
xyxx
 
 
Вариант 28 
 
1. tte e sh . 
2. 3)0(,2)0(,623 xxtxx . 
3. 
.1)0(,2
,0)0(,4
yyxy
xyxx
 
 
Вариант 29 
 
1. t2ch2 . 
2. 1)0(,0)0(,4107 3 xxexxx t . 
3. 
.3)0(,5
,2)0(,
3
3
yexy
xeyx
t
t
 
 
Вариант 30 
 
1. t3sh2 . 
 167 
2. 
2
9
)0(,
2
5
)0(,23 3 xxexxx t . 
3. 
.3)0(,24
,2)0(,2
ytxy
xtyx
 
 
Т и п о в о й  р а с ч е т  №  4  
 
Теория вероятностей и математическая статистика 
 
В задаче 4 составить закон распределения СВ Х, найти 
математическое ожидание )(XM  и дисперсию )(XD , найти 
функцию распределения )(XF . 
В задаче 5 СВ Х с математическим ожиданием m и средним 
квадратическим отклонением  распределена по нормальному 
закону. Записать плотность распределения и функцию 
распределения СВ Х. Найти вероятность попадания Х в интервал ( , 
). 
В задаче 6 подобрать по методу наименьших квадратов 
функцию baxy  по данным таблицы. 
 
Вариант 1 
 
1. Из партии деталей для проверки отбирают 3 детали. Известно, 
что в партии содержится 20 деталей, из которых 5 бракованных. Найти 
вероятность того, что в числе отобранных только годные детали. 
2. С первого автомата на сборку поступает 40 % деталей, со 
второго – 35 %, с третьего 25 %. Среди деталей с первого автомата 0,2 
% бракованных, со второго – 0,3 %, с третьего – 0,5 %. 
Поступившая на сборку деталь оказалась бракованной. Найти 
вероятность того, что она изготовлена на первом автомате. 
3. Техническое устройство, состоящее из четырех узлов, 
работает в течение некоторого времени t. За это время первый узел 
оказывается неисправным с вероятностью 0,1; второй – с 
вероятностью 0,15; третий – 0,2; четвертый – 0,05. Найти 
вероятность того, что за время t станут неисправными: а) все четыре 
 168 
узла; б) только один узел;  
в) хотя бы один узел. 
4. В партии из 6 изделий имеется 4 стандартных. Наудачу 
отобрали 3 детали. СВ Х – число стандартных деталей среди 
отобранных. 
5. ;10m    ; ;12  .14  
6.  
ix  0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 
iy  1,67 1,32 1,10 0,81 0,48 0,18 
 
Вариант 2 
 
1. Четверо сотрудников случайным образом рассаживаются за 
круглым столом для обсуждения текущих проблем. Какова 
вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом? 
2. Изделие проверяется на стандартность одним из двух 
контролеров. Первый контролер в среднем проверяет 60 % всех 
изделий, второй – 40 %. Вероятность того, что изделие будет 
признано стандартным первым контролером, равна 0,8, вторым – 
0,7. Случайно выбранное изделие после проверки признано 
стандартным. Найти вероятность того, что оно проходило проверку у 
второго контролера. 
3. В студии телевидения имеются 3 телевизионные камеры. 
Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный 
момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент 
включены: а) все три камеры; б) только две камеры; в) хотя бы одна 
камера. 
4. К концу дня в магазине осталось 5 арбузов, среди которых 
3 спелых. Покупатель выбирает 2 арбуза. СВ Х – число спелых 
арбузов среди выбранных покупателем. 
5.  ;20m  ;5  ;15  .25  
6.  
ix  0 4 10 15 21 29 
iy  66,7 71,0 76,3 80,6 85,7 92,9 
 
Вариант 3 
 169 
1. В группе 15 студентов, среди которых 6 троечников. 
Определить вероятность того, что в числе 4 наудачу вызванных из 
этой группы студентов окажется 2 троечника. 
2. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе 
№ 1, 20 деталей – на заводе № 2 и 18 деталей – на заводе № 3. 
Вероятность того, что деталь изготовленная на заводе № 1, 
отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на 
заводах № 2 и 3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. 
Найти вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется 
отличного качества. 
3. Вероятность того, что при одном измерении некоторой 
физической величины будет допущена ошибка, превышающая 
заданную точность, равна 0,4. Произведены три независимых 
измерения. Найти вероятность того, что допущенная ошибка 
превысит заданную точность: а) во всех трех измерениях; б) только 
при двух измерениях; в) хотя бы при одном измерении. 
4. По мишени производится три выстрела, вероятности 
попадания при каждом выстреле равны соответственно 0,1; 0,2; 0,3. 
СВ Х – число попаданий при трех выстрелах. 
5.  ;0m  ;3  ;0  .4,2  
6.  
ix  0,30 0,91 1,50 2,00 2,20 2,62 
iy  0,20 0,43 0,35 0,52 0,81 0,68 
 
Вариант 4 
 
1. Из 40 вопросов, включенных в экзамен, студент подготовил 
30. Какова вероятность того, что из предложенных ему трех 
вопросов он знает два? 
2. Хлебозавод получает муку в мешках (без этикетки) с двух 
мельниц: с мельницы № 1 – 60 % и с мельницы № 2 – 40 %. На 
каждые 100 мешков мельницы № 1 приходится 80 мешков муки 
высшего сорта, а с мельницы № 2 – 70 мешков высшего сорта. 
Какова вероятность того, что случайно взятый на складе 
хлебозавода мешок окажется с мукой высшего сорта? 
3. 30 % изделий данной партии изготовлены заводом № 1. Из 
партии наудачу берутся (последовательно с возвратом) три изделия. 
 170 
Найти вероятность того, что из трех взятых изделий заводом № 1 
будут изготовлены: а) все три изделия; б) только два изделия; в) 
хотя бы одно изделие. 
4. Производится четыре независимых опыта, в каждом из 
которых событие А появляется с вероятностью 0,4. СВ Х – число 
появлений события А в четырех опытах. 
5. m = 1,2;  = 2,9;  = 1;  = 4. 
6.  
хi 1 4 9 16 25 
yi 0,1 3 8,1 14,9 29,3 
 
Вариант 5 
 
1. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна 
из букв: а, m, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Найти 
вероятность того, что на четырех, вынутых по одной и 
расположенных  
«в одну линию» карточках, можно будет прочесть слово «трос». 
2. Для контроля продукции из трех партий деталей взята для 
испытания одна деталь. Как велика вероятность обнаружения 
бракованной продукции, если в одной партии 2/3 деталей 
бракованные, а в двух других – все доброкачественные? 
3. Вероятности того, что нужная сборщику деталь находится в 
первом, втором, третьем, четвертом ящике, соответственно равны 
0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что деталь содержится:  
а) во всех четырех ящиках; б) только в одном ящике; в) хотя бы в 
одном ящике. 
4. Охотник, имеющий пять патронов, стреляет в цель до 
первого попадания (или пока не израсходует все патроны). 
Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. СВ Х – 
число израсходованных патронов. 
5. m = 2,8;  = 0,4;  = 0,5;  = 3,8. 
6.  
хi 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 
yi 3,02 2,81 2,57 2,39 2,18 1,99 1,81 
 
Вариант 6 
 171 
 
1. В партии из 20 изделий имеется 4 бракованных. Из партии 
наугад выбирается 10 изделий. Определить вероятность того, что 
среди 10 изделий будет ровно 2 бракованных. 
2. Имеется 22 одинаковые радиолампы. Из них 10 
изготовлено на заводе № 1, а остальные – на заводе № 2. 
Статистически установлено, что на заводе № 1 брак в среднем 
составляет 2 % готовой продукции, а на заводе № 2 – 4 %. Найти 
вероятность того, что взятая наудачу лампа изготовлена на заводе 
№ 1, если она оказалась нестандартной. 
3. Имеется 3 детали. Вероятность оказаться стандартной для 
первой детали равна 0,95, для второй – 0,9 и для третьей – 0,8. 
Определить вероятность того, что стандартными окажутся: а) все 
три детали; б) только одна деталь; в) хотя бы одна деталь. 
4. В партии из 8 деталей имеется 3 стандартные. Наугад 
отобраны 4 детали. СВ Х – число стандартных деталей среди 
отобранных. 
5. m = 3,4;  = 1,1;  = 0,8;  = 2,9. 
6.  
хi 50 55 65 70 90 100 
yi 20 30 25 45 55 60 
 
Вариант 7 
 
1. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным 
номерам наугад отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что 
среди отобранных лиц окажутся 3 женщины. 
2. Изделие проверяется на стандартность одним из двух 
товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому 
товароведу, равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что 
стандартное изделие будет признано стандартным первым 
товароведом, равна 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие при 
проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что 
это изделие проверил второй товаровед. 
3. Устройство состоит из трех элементов, работающих 
независимо. Вероятности безотказной работы (за время t) первого, 
второго и третьего элементов соответственно равны 0,7; 0,75; 0,8. 
 172 
Найти вероятность того, что за время t безотказно будут работать: 
а) все три элемента; б) только один элемент; в) хотя бы один 
элемент. 
4. Производится три независимых выстрела по цели. 
Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. СВ Х – 
число попаданий в цель. 
5. m = 1,5;  = 2,2;  = 0,9;  = 4,1. 
6.  
хi 40 60 80 100 120 140 
yi 5 6 14 15 7 3 
 
Вариант 8 
 
1. В партии из 100 изделий 10 изделий бракованных. Какова 
вероятность того, что среди взятых четырех изделий 3 будут не 
бракованные? 
2. На распределительной базе находятся электрические 
лампочки, произведенные двумя заводами. Среди них 70 % 
изготовлены первым заводом и 30 % – вторым. Известно, что из 
каждых 100 лампочек, произведенных первым заводом, 90 штук 
удовлетворяют стандарту, а из 100 штук, произведенных вторым 
заводом, удовлетворяют стандарту 80 штук. Определить 
вероятность того, что взятая наудачу с базы лампочка будет 
удовлетворять требованиям стандарта. 
3. В двух ящиках находятся детали: в первом – 10 (из них 3 
стандартных), во втором 15 (из них 6 стандартных). Из каждого 
ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, 
что стандартными окажутся: а) обе детали; б) только одна деталь; в) 
хотя бы одна деталь. 
4. Из партии в 25 изделий, среди которых имеется 6 
нестандартных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки 
их качества. СВ Х – число нестандартных изделий, содержащихся в 
выборке. 
5. m = 1,8;  = 0,6;  = 1,3;  = 4,8. 
6.  
хi 1 2 3 4 5 6 
yi 3,1 4,9 7,2 8,8 10,8 13,1 
 173 
Вариант 9 
 
1. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях 
каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. 
Найти вероятность того, что на вынутых по одному и 
расположенных  
«в одну линию» кубиках можно будет прочесть слово «СПОРТ». 
2. Производится стрельба по мишеням трех типов, из которых  
5 мишеней типа А, 3 мишени типа В и 2 мишени типа С. 
Вероятность попадания в мишень типа А равна 0,4, в мишень типа 
В – 0,1, в мишень типа С – 0,15. Найти вероятность поражения 
одной из мишеней при одном выстреле, если неизвестно, в мишень 
какого типа он будет сделан. 
3. Прибор, работающий в течение времени t, состоит из трех 
узлов, каждый из которых независимо от других может в течение 
времени t отказать (выйти из строя). Отказ хотя бы одного узла 
приводит к отказу прибора в целом. За время t надежность 
(вероятность безотказной работы) первого узла равна 0,8; второго – 
0,9; третьего – 0,7. Найти вероятность выхода прибора из строя за 
время t в результате отказа: а) всех трех узлов; б) только одного 
узла;  
в) хотя бы одного узла. 
4. Срок службы шестерен коробок передач зависит от 
следующих факторов: усталость материала в основании зуба, 
контактных напряжений и жесткости конструкции. Вероятность 
отказа каждого фактора в одном испытании равна 0,1. СВ Х – число 
отказавших факторов в одном испытании. 
5. m = 2,3;  = 0,7;  = 2,1;  = 3,2. 
6.  
хi 2 4 6 7 9 
yi 1,1 6,8 12,9 15,8 22,2 
 
Вариант 10 
 
1. Из партии деталей для проверки отбирают 3 детали. 
Известно, что в партии содержится 20 деталей, из которых 5 
бракованных. Найти вероятность того, что в числе отобранных 
только одна годная деталь. 
 174 
2. Сборщик получил 3 ящика деталей: в первом ящике 40 
деталей, из них 20 окрашенных; во втором – 50, из них 10 
окрашенных; в третьем – 30 деталей, из них 15 окрашенных. Найти 
вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу 
взятого ящика окажется окрашенной. 
3. Три исследователя независимо один от другого производят 
измерения некоторой физической величины. Вероятность того, что 
первый исследователь допустит ошибку при считывании показаний 
прибора равна 0,15. Для второго и третьего исследователей эта 
вероятность соответственно равна 0,2 и 0,25. Найти вероятность 
того, что при однократном измерении допустят ошибку: а) все три 
исследователя; б) только один исследователь; в) хотя бы один из 
исследователей. 
4. В кафетерии имеется 3 автомата для приготовления кофе. 
Вероятность отказа автомата в течение дня равна 0,2. СВ Х – число 
автоматов, отказавших в течение дня. 
5. m = 2,4;  = 1,2;  = 3,3;  = 5,2. 
6.  
хi 1 3 4 6 7 9 
yi -2,9 5,2 8,9 16,9 22,2 30 
 
Вариант 11 
 
1. Пять сотрудников случайным образом рассаживаются за 
круглым столом. Какова вероятность того, что два определенных 
лица окажутся рядом? 
2. Станок обрабатывает три вида деталей, причем все его 
время распределяется между ними в отношении 1:5:4. При обработке I 
детали он работает с максимальной для него нагрузкой в течение 70 % 
времени, при обработке II детали в течение 50 % и III – 20 % 
времени. В случайно выбранный момент станок работал с 
максимальной нагрузкой. Определить вероятность того, что он в это 
время обрабатывал деталь вида I. 
3. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех 
справочниках. Вероятность того, что формула содержится в первом, 
втором, третьем справочниках, соответственно равна 0,6; 0,7; 0,8. 
Найти вероятность того, что формула содержится: а) во всех трех 
 175 
справочниках; б) только в одном справочнике; в) хотя бы в одном 
справочнике. 
4. Производится четыре независимых выстрела. Вероятность 
поражения цели при каждом выстреле равна 0,6. СВ Х – число 
попаданий в цель. 
5. m = 2,8;  = 1,4;  = 3,1;  = 4,1. 
6.  
хi 2 4 6 7 9 10 
yi 2,5 3,1 3,9 4 5,01 4,9 
 
Вариант 12 
 
1. Из десяти билетов выигрышными являются два. Чему равна 
вероятность того, что среди взятых наудачу пяти билетов один 
выигрышный? 
2. Характеристика материала, взятого для изготовления 
продукции с вероятностями 0,09; 0,16; 0,25; 0,25; 0,16 и 0,9, может 
находиться в шести различных интервалах. В зависимости от 
свойств материала вероятности получения первосортной продукции 
равны соответственно 0,2; 0,3; 0,4; 0,4; 0,3 и 0,2. Определить 
вероятность получения первосортной продукции. 
3. Для сигнализации об аварии установлены два независимо 
работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии 
сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 
для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) 
оба сигнализатора; б) только один сигнализатор; в) хотя бы один 
сигнализатор. 
4. На участке имеется пять одинаковых станков, коэффициент 
использования которых по времени составляет 0,8. СВ Х – число 
работающих станков при нормальном ходе производства. 
5. m = 8,2;  = 4,3;  = 5,4;  = 7,2. 
6.  
хi 1 2 4 6 8 9 
yi -3,1 0,9 8,9 17,2 24,8 29,1 
 
Вариант 13 
 
 176 
1. Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 3 
бракованных, наудачу извлекают 3 изделия. Найти вероятность 
того, что в полученной выборке одно изделие бракованное. 
2. В группе 20 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. 
Вероятность выполнить квалификационную норму равна: для 
лыжника – 0,9; для велосипедиста – 0,9 и для бегуна – 0,75. Найти 
вероятность того, что спортсмен, вызванный наудачу, выполнит 
норму. 
3. Вероятность установления в данной местности устойчивого 
снежного покрова с октября равна 0,1. Определить вероятность 
того, что в ближайшие три года в этой местности устойчивый 
снежный покров с октября установится: а) три раза; б) только два 
раза;  
в) хотя бы один раз. 
4. Охотник стреляет в цель до первого попадания, но успевает 
сделать не более 4 выстрелов. Вероятность попадания при одном 
выстреле равна 0,7. СВ Х – число выстрелов, производимых 
охотником. 
5. m = 7,4;  = 0,5;  = 0;  = 10. 
6.  
хi 2,2 3 4,3 5,4 6 
yi 12,8 17,1 22,8 28,8 32,2 
 
Вариант 14 
1. На плоскости начерчены две концентрические окружности, 
радиусы которых 6 и 12 см соответственно. Какова вероятность 
того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в 
кольцо, образованное указанными окружностями? 
2. На некоторой фабрике машина А производит 40 % всей 
продукции, а машина В – 60 %. В среднем 9 единиц из 1000 единиц 
продукции, произведенных машиной А, оказываются браком, а у 
машины В – брак 2 единицы из 500. Некоторая единица продукции, 
выбранная случайным образом из дневной продукции, оказалась 
браком. Какова вероятность того, что она произведена на машине А? 
3. Рабочий обслуживает три станка, работающих независимо 
друг от друга. Вероятность того, что в течение часа станок не 
потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9, для 
 177 
второго – 0,8, для третьего – 0,85. Найти вероятность того, что в 
течение часа внимания рабочего потребуют: а) все три станка; б) 
только один станок; в) хотя бы один станок. 
4. В партии 10 % деталей нестандартных. Наудачу отобраны  
4 детали. СВ Х – число нестандартных деталей среди 4 отобранных. 
5. m = 6,3;  = 0,9;  = 5,1;  = 8,2. 
6.  
хi 1 3 5 7 9 
yi -3,9 4,1 11,8 19,9 28,2 
 
Вариант 15 
 
1. На складе готовой продукции находится 20 изделий, из 
которых 12 – первого сорта, остальные изделия второго сорта. 
Производится выборка без возвращения 5 изделий. Какова 
вероятность того, что в выборке будет ровно 3 изделия первого 
сорта? 
2. Электрическая лампочка может принадлежать одной из 
четырех партий с вероятностями 0,3; 0,4; 0,1; 0,2. Вероятности того, 
что взятая лампочка может гореть положенное число часов для этих 
партий, соответственно равны 0,22; 0,15;0,46; 0,38. Найти вероятность 
того, что взятая лампочка сможет гореть положенное число часов. 
3. Вероятность того, что расход электроэнергии в течение 
одних суток не превысит установленной нормы, равна 0,75. Найти 
вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии 
не превысит нормы в течение: а) трех суток; б) не менее пяти суток; 
в) по крайней мере одних суток. 
4. Устройство состоит из трех независимо работающих 
элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте 
равна 0,1. СВ Х – число отказавших элементов в одном опыте. 
5. m = 0,7;  = 0,1;  = 0,5;  = 1,1. 
6.  
хi 2,2 3,1 4,3 5,2 6 
yi 3,3 5,1 7,5 9,3 11,2 
 
Вариант 16 
 
 178 
1. Шесть человек случайным образом рассаживаются за 
круглым столом. Какова вероятность того, что два определенных 
лица окажутся рядом? 
2. Детали изготовляются на трех автоматах, после чего они 
поступают на общий конвейер. Вероятность изготовления 
бракованной детали на первом автомате равна 0,04, на втором – 
0,07, на третьем – 0,05. Производительности первого и третьего 
автомата равны между собой, а производительность второго 
автомата в 1,5 раза выше производительности первого автомата. 
Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь 
бракованная. 
3. На склад магазина поступают изделия, из которых 80 % 
оказывается высшего сорта. Найти вероятность того, что из 100 
взятых наудачу изделий высшего сорта окажется: а) от 72 до 84 
изделий;  
б) ровно 78 изделий. 
4. Из урны, содержащей 4 белых и 2 черных шара, наудачу 
извлекают 2 шара. СВ Х – число черных шаров среди этих двух. 
5. m = 3,3;  = 2,3;  = 3,2;  = 4,7. 
6.  
хi 1 2 3 4 5 6 
yi 0,4 0,38 0,49 0,58 0,72 0,78 
 
Вариант 17 
1. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два 
изношены. При включении устройства включаются случайным 
образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными 
окажутся неизношенные элементы. 
2. Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся 5 
белых и 5 черных шаров, а во второй 3 белых и 2 черных шара, в 
третьей – 7 белых и 3 черных шара. Из одной наугад выбранной 
урны извлекается один шар. Определить вероятность того, что шар 
будет белый. 
3. Имеется некоторое количество однотипных изделий. 
Известно, что 70 % из них первого сорта и 30 % – второго. 
Определить вероятность того, что из 4 наудачу взятых изделий 
 179 
первого сорта окажется: а) одно изделие; б) не менее трех изделий; 
в) хотя бы одно из изделий. 
4. Из ящика, содержащего 3 бракованных и 5 стандартных 
деталей, наугад извлекают 3 детали. СВ Х – число вынутых 
стандартных деталей. 
5. m = 4;  = 5;  = 2;  = 11. 
6.  
хi 0,2 0,4 0,7 0,9 1,1 1,5 
yi -3,5 -2,9 -2 -1,4 -0,68 0,49 
 
Вариант 18 
 
1. Из партии, состоящей из 20 радиоприемников, для 
проверки произвольно отбирают три приемника. Партия содержит 
пять неисправных приемников. Какова вероятность того, что в 
число отобранных войдут только исправные приемники? 
2. На сборку поступают детали с двух автоматов. Первый дает 
в среднем 0,2 % брака, второй – 0,1 %. Найти вероятность 
попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата 
поступило 2000 деталей, а со второго – 3000. 
3. Вероятность выхода из строя за определенное время t 
одного станка равна 0,1. Определить вероятность того, что из 100 
станков в течение данного промежутка времени t выйдут из строя: 
а) от 7 до 13 станков; б) ровно 10 станков. 
4. Два стрелка стреляют по одной мишени, делая независимо 
друг от друга по два выстрела. Вероятность попадания для первого 
стрелка равна 0,5, для второго – 0,6. СВ Х – общее число попаданий. 
5. m = 3;  = 2;  = 3;  = 10. 
6.  
хi 2 3 5 7 9 10 
yi 11,8 16,8 26,9 36,9 46,9 52,2 
 
Вариант 19 
 
1. Партия из 100 деталей подвергается выборочному 
контролю. Условием непригодности всей партии является наличие 
хотя бы одной бракованной детали среди пяти проверяемых. Какова 
 180 
вероятность для данной партии быть принятой, если она содержит 5 
% неисправных деталей? 
2. В цехе 3 группы автоматических станков (по степени 
амортизации) производят одни и те же детали. Производительность 
их одинакова, но качество работы различно. Известно, что станки 
первой группы производят 0,9 деталей первого сорта, второй – 0,85 
и третьей – 0,8. Все произведенные в цехе за смену детали в 
нерассортированном виде сложены на склад. Определить 
вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется первого 
сорта, если станков первой группы 5 штук, второй – 4 и третьей – 1 
штука. 
3. В цехе работает 5 станков. Для каждого станка вероятность 
того, что он в данный момент включен, равна 0,9. Какова 
вероятность того, что в данный момент включены: а) три мотора; б) 
не менее четырех моторов; в) по крайней мере один мотор. 
4. Вероятность попадания при каждом выстреле 0,4. СВ Х – 
число промахов в мишень при четырех выстрелах. 
5. m = 5;  = 1;  = 1;  = 12. 
6.  
хi 0 1 2 4 6 8 
yi -2,1 2,2 4,9 14,2 21,9 30,1 
 
Вариант 20 
 
1. Из партии деталей для проверки отбирают 3 детали. 
Известно, что в партии содержится 20 деталей, из которых 5 
бракованных. Найти вероятность того, что в числе отобранных хотя 
бы одна из трех деталей годная. 
2. Прибор может собираться из высококачественных деталей 
и из деталей обычного качества; вообще 40 % приборов собирается 
из высококачественных деталей. Если прибор собран из 
высококачественных деталей, то его надежность (вероятность 
безотказной работы за время t) равна 0,95, если из деталей 
обычного качества – его надежность равна 0,7. Прибор 
испытывался в течение времени t и работал безотказно. Найти 
вероятность того, что он собран из высококачественных деталей. 
 181 
3. 100 станков работают независимо друг от друга, причем 
вероятность бесперебойной работы каждого из них в течение смены 
равна 0,8. Найти вероятность того, что в течение смены 
бесперебойно проработают: а) от 70 до 82 станков; б) ровно 76 
станков. 
4. Сигнальное устройство магазина состоит из 3 независимо 
работающих элементов, вероятность отказа каждого из которых 
равна 0,2. СВ Х – число отказавших элементов. 
5. m = 2;  = 4;  = 6;  = 10. 
6.  
хi -3 -2 0 1 3 4 
yi -3 -2,5 -1,9 -1,68 -1 -0,78 
 
Вариант 21 
 
1. Из партии, содержащей 10 стандартных и 5 нестандартных 
деталей, отобрано случайным образом 5 деталей. Найти 
вероятность того, что среди 5 отобранных деталей 3 стандартные. 
2. На сборочный конвейер поступают детали с четырех 
автоматов, работающих с различной точностью. Первый автомат дает 
0,5 % брака, второй – 0,44, третий – 0,7, четвертый – 0,6 брака. С 
первого автомата поступило 1200 изделий, со второго – 1500, с 
третьего – 2000, с четвертого – 1300. Определить вероятность того, 
что на конвейер попадет бракованная деталь. 
3. Вероятность выхода из строя за время t одного 
конденсатора равна 0,2. Определить вероятность того, что за время t 
из 100 конденсаторов выйдут из строя: а) от 15 до 26 конденсаторов; 
б) ровно 21 конденсатор. 
4. Монету подбрасывают 4 раза. СВ Х – число появлений 
герба. 
5. m = 8;  = 1;  = 4;  = 9. 
6.  
хi 0 1 2 4 6 10 
yi 0,9 7,1 12,8 25,1 36,8 61,4 
 
Вариант 22 
 
 182 
1. В ящике 10 шаров, из которых 2 белых, 3 красных и 5 
голубых. Наудачу извлечены 3 шара. Найти вероятность того, что 
все 3 шара разного цвета. 
2. Имеется два набора деталей. Первый набор содержит 10 
деталей, второй – 15. Вероятность того, что детали первого набора 
стандартные – 0,8, а второго – 0,9. Найти вероятность того, что 
взятая наугад деталь (из наугад взятого набора) стандартная. 
3. В цехе имеется 5 автоматов. Вероятность того, что каждый 
из них будет остановлен для смены деталей, равна 0,1. Определить 
вероятность того, что будет остановлено: а) три автомата; б) не 
более двух автоматов; в) хотя бы один автомат. 
4. Из партии в 15 изделий, среди которых имеются 2 
бракованных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки 
их качества. СВ Х – число бракованных деталей, содержащихся в 
выборке. 
5. m = 10;  = 4;  = 2;  = 13. 
6.  
хi 0,1 0,2 0,4 1 2 4 
yi -1,9 -1,5 -1,3 0,1 2,1 5,8 
 
Вариант 23 
 
1. В ящике содержатся 6 деталей первого сорта и 4 – второго. 
Наудачу берут 2 детали. Какова вероятность того, что они окажутся 
первого сорта? 
2. Брак в продукции завода вследствие дефекта А составляет 5 
%, причем среди забракованной по признаку А продукции в 10 % 
случаев встречается дефект Е, а в продукции, свободной от дефекта 
А, дефект Е встречается в 1 % случаев. Найти вероятность встречи 
дефекта Е во всей продукции. 
3. Вероятность соединения с абонентом равна 0,8. Найти 
вероятность того, что при 100 вызовах число соединений будет: а) 
от 68  
до 81; б) ровно 74. 
4. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу 
отобраны 2 детали. СВ Х – число стандартных деталей среди 
отобранных. 
 183 
5. m = 9;  = 5;  = 5;  = 14. 
6.  
хi 1 3 5 7 9 11 
yi 2,1 3,9 6,2 7,8 10,2 11,8 
 
Вариант 24 
 
1. Из урны, содержащей 4 белых, 6 красных и 5 зеленых 
шаров, вынимаются наугад одновременно 3 шара. Какова 
вероятность того, что среди вынутых трех шаров окажутся два 
белых и один красный? 
2. На конвейер поступают однотипные изделия, 
изготовляемые двумя рабочими. При этом первый поставляет 60 
%, второй – 40 % общего числа изделий. Вероятность того, что 
изделие, изготовленное первым рабочим, окажется 
нестандартным, равна 0,002, вторым – 0,01. Взятое наудачу с 
конвейера изделие оказалось нестандартным. Определить 
вероятность того, что оно изготовлено первым рабочим. 
3. В зимнее время вероятность своевременного прибытия 
поезда на станцию принимается равной 0,8. Определить 
вероятность того, что из четырех ожидаемых поездов прибудут 
своевременно: а) один поезд; б) не менее трех поездов; в) по 
крайней мере один поезд. 
4. Рабочий обслуживает 3 независимо работающих станка. 
Вероятности того, что в течение часа I, II, III станок не потребует 
внимания рабочего, равны соответственно 0,7; 0,8; 0,9. СВ Х – 
число станков, которые не потребуют внимания рабочего в течение 
часа.. 
5. m = 6;  = 3;  = 2;  = 11. 
6.  
хi 0,1 0,2 0,4 0,5 0,7 0,9 
yi 2,4 2,5 3,3 3,6 4 4,8 
 
Вариант 25 
 
 184 
1. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 
окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти 
вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными. 
2. Электрические приборы поставляются в магазин тремя 
заводами. Первый поставляет 50 %, второй 20 и третий 30 % всей 
продукции. Вероятности изготовления прибора высшего качества 
каждым заводом соответственно равны 0,92; 0,85; 0,80. Определить 
вероятность того, что купленный в магазине прибор будет высшего 
качества. 
3. По данным длительной проверки качества выпускаемых 
запчастей определенного вида, брак составляет 10 %. Определить 
вероятность того, что в непроверенной партии из 400 изделий 
годных будет: а) от 354 до 369 шт.; б) ровно 363 шт. 
4. В партии из 10 изделий содержатся три нестандартных. 
Наудачу отобраны два изделия. СВ Х – число нестандартных 
изделий среди двух отобранных. 
5. m = 3;  = 1;  = 0,5;  = 3,5. 
6. 
хi -1 0 1 2 4 6 
yi 2,9 5,1 6,69 8,9 12,8 17,2 
 
Вариант 26 
 
1. Семь студентов случайным образом рассаживаются за 
круглым столом. Какова вероятность того, что два определенных 
лица окажутся рядом? 
2. На двух станках производятся одинаковые детали. 
Вероятность того, что деталь, производимая первым станком, 
стандартна, равна 0,86, а вторым – 0,97. Производительность 
первого станка вдвое больше производительности второго. Найти 
вероятность того, что взятая наудачу деталь будет стандартной. 
3. В некотором водоеме карпы составляют 80 % всех рыб. 
Какова вероятность того, что из пяти выловленных в этом водоеме рыб 
окажется: а) два карпа; б) не менее четырех карпов; в) хотя бы один 
карп. 
 185 
4. Подбрасываются две монеты, подсчитывается число гербов 
на обеих верхних сторонах монет. СВ Х – число выпадений гербов 
на обеих монетах. 
5. m = 1;  = 4;  = -5;  = 0. 
6.  
хi -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,4 
yi -1,6 -1,28 0,1 -0,68 -0,41 0,1 
 
Вариант 27 
 
1. В коробке пять одинаковых изделий, причем три из них 
окрашены. Наудачу извлечены два изделия. Найти вероятность того, 
что среди двух извлеченных изделий окажется одно окрашенное 
изделие. 
2. На трех автоматических линиях изготовляются однотипные 
детали. Вследствие разладки станков возможен выпуск бракованной 
продукции первой линией с вероятностью 0,02, второй – с 
вероятностью 0,01 и третьей – с вероятностью 0,05. Первая линия 
дает 70 %, вторая 20 % и третья 10 % всей продукции. Определить 
вероятность получения брака. 
3. Процент вывода гусят в среднем равен 80. В инкубатор 
заложено 225 яиц. Найти вероятность того, что выведется: а) от 165 
до 180 гусят; б) ровно 171 гусенок. 
4. В коробке 7 карандашей, из которых 4 красные. Из этой 
коробки наудачу извлекаются 3 карандаша. СВ Х – число красных 
карандашей в выборке. 
5. m = 2;  = 1;  = 0;  = 3. 
6.  
хi -3 -2 -1 0 1 2 
yi -3,9 -2,1 0,1 1,9 4,2 6,1 
 
Вариант 28 
 
1. На тепловой электростанции 15 сменных инженеров, из них  
3 женщины. В смену заняты три человека. Найти вероятность того, 
что в случайно выбранную смену мужчин окажется не менее двух. 
2. На складе готовой продукции находится пряжа, 
изготовленная двумя цехами фабрики, причем 20 % пряжи 
 186 
составляет продукция цеха № 2, а остальная – цеха № 1. Продукция 
цеха № 1 содержит 90 %, а цеха № 2 – 70 % пряжи первого сорта. 
Взятый наудачу со склада моток пряжи оказался первого сорта. 
Определить вероятность того, что этот моток является продукцией 
цеха № 1. 
3. Производится четыре независимых выстрела по некоторой 
цели, причем вероятность  попадания при одном выстреле 0,25. 
Найти вероятности: а) двух попаданий; б) не менее трех попаданий; 
в) хотя бы одного попадания. 
4. В урне 7 шаров, из которых 4 голубых, а остальные 
красные. Из этой урны извлекается 3 шара. СВ Х – число голубых 
шаров в выборке. 
5. m = 2,5;  = 0,5;  = 1;  = 3. 
6.  
хi 0 1 2 3 4 5 
yi -2,1 2,9 7,9 13,1 17,8 23,2 
 
Вариант 29 
 
1. Собрание, на котором присутствуют 25 человек, в том числе 5 
женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Считая, что каждый из 
присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, 
найти вероятность того, что в делегацию войдут две женщины и 
один мужчина. 
2. На двух станках обрабатываются однотипные детали. 
Вероятность брака для станка № 1 составляет 0,03, а для станка № 2 
– 0,02. Обработанные детали складываются в одном месте, причем 
деталей со станка № 1 складывается вдвое больше, чем со станка № 
2. Вычислить вероятность того, что взятая наудачу деталь не будет 
бракованной. 
3. Вероятность рождения бычка при отеле коровы 0,5. Найти 
вероятность того, что от четырех коров будет: а) два бычка; б) не 
менее трех бычков; в) по крайней мере один бычок. 
4. Вероятность изготовления нестандартного изделия при 
налаженном технологическом процессе постоянна и равна 0,1. Для 
проверки качества изготовленных изделий ОТК берет из партии не 
более 4 деталей. При обнаружении нестандартного изделия вся 
 187 
партия задерживается. СВ Х – число изделий, проверяемых в ОТК 
из каждой партии. 
5. m = 2;  = 5;  = 4;  = 9. 
6.  
хi 2 4 6 8 10 12 
yi 1,3 1,39 1,7 1,78 2,1 2,3 
 
Вариант 30 
 
1. Восемь сотрудников случайным образом рассаживаются за 
круглым столом для обсуждения текущих проблем. Какова 
вероятность того, что два определенных лица окажутся рядом? 
2. В трех одинаковых коробках лежат товары: в первой – два 
изделия первого сорта и одно – второго сорта, во второй – три 
изделия первого сорта и одно второго сорта, в третьей – два изделия 
первого сорта и два – второго сорта. Наудачу берется коробка и из 
нее изделие. Определить вероятность того, что это изделие первого 
сорта. 
3. К электросети подключено 125 приборов, каждый 
мощностью 5 кВт. Каждый прибор потребляет в данный момент 
энергию с вероятностью, равной 0,8. Найти вероятность того, что 
потребляемая в данный момент мощность окажется: а) от 475 до 
520 кВт; б) ровно 500 кВт. 
4. Вероятность попадания при каждом выстреле 0,8. Имеется 
3 снаряда. Стрельба ведется до первого попадания или пока не 
кончатся снаряды. СВ Х – число израсходованных снарядов. 
5. m = 7;  = 2;  = 3;  = 10. 
6.  
хi 0 0,1 0,2 0,4 0,6 0,7 
yi 0,9 1,3 1,5 1,8 2,18 2,5 
 
  
Учебное издание 
 
 
ВЫСШАЯ  
МАТЕМАТИКА 
 
Сборник заданий  
для аудиторной и самостоятельной работы  
студентов инженерно-технических специальностей  
 
В 2 частях 
 
Ч а с т ь  2  
 
 
С о с т а в и т е л и :   
АНДРИЯНЧИК Анатолий Николаевич 
МИКУЛИК Николай Александрович 
РАЕВСКАЯ Лариса Алексеевна и др. 
 
 
Редактор Т.Н. Микулик 
Технический редактор О.В. Дубовик 
Компьютерная верстка О.В. Дубовик 
Подписано в печать 17.10.2010. 
Формат 60 841/16. Бумага офсетная. 
Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс. 
Усл. печ. л. 10,52. Уч.-изд. л. 8,23. Тираж 600. Заказ 
1045. 
Издатель и полиграфическое исполнение: 
Белорусский национальный технический университет. 
ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. 
Проспект Независимости, 65. 220013, Минск.