Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики № 1 ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Сборник заданий для аудиторной и самостоятельной работы студентов инженерно-технических специальностей Часть 1 М и н с к Б Н Т У 2 0 1 0 Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики № 1 ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Сборник заданий для аудиторной и самостоятельной работы студентов инженерно-технических специальностей В 2 частях Ч а с т ь 1 Издание 2-е М и н с к Б Н Т У 2 0 1 0 УДК 51 (075.8) ББК 22.1я7 В 93 С о с т а в и т е л и : А.Н. Андриянчик, Н.А. Микулик, Л.А. Раевская., Н.И. Чепелев, Т.И. Чепелева, Е.А. Федосик, В.И. Юринок, Т.С. Яцкевич Р е ц е н з е н т В.И. Каскевич В 93 Высшая математика: сб. заданий для аудиторной и самостоятельной работы студентов инженерно-технических специальностей: в 2 ч. / сост.: А.Н. Андриянчик [и др.]. – Изд. 2-е. – Минск: БНТУ, 2010. – Ч. 1. – 156 с. В сборнике заданий для аудиторной и самостоятельной работы студентов приведены задачи и упражнения по основным разделам высшей математики в соответствии с действующей программой. В качестве основных рассматриваются 18 практических занятий для каждого из четырех семестров. К задачам, предназначенным для самостоятельной работы, предлагаются ответы, что поможет студенту контролировать правильность решаемых примеров. Приведены варианты типовых расчетов, являющихся обязательным элементом учебных планов соответствующих специальностей БНТУ. Издание является дополнением к существующим задачникам, будет полезным как для студентов дневной, так и заочной формы обучения и послужит лучшей организации их самостоятельной работы. Первое издание вышло в БНТУ в 2010 г. ISBN 978-985-525-485-1 (Ч. 1) © БНТУ, 2009 ISBN 978-985-525-487-5 3 СОДЕРЖАНИЕ I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕНОЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Занятие 1. Декартова и полярная системы координат. Построение графиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Занятие 2. Действия над матрицами. Вычисление определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Занятие 3. Обратная матрица. Решение невырожденных систем матричным методом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Занятие 4. Формулы Крамера. Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Занятие 5. Решение произвольных и однородных систем . . . . . 18 Занятие 6. Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Занятие 7. Векторное и смешанное произведения векторов . . . 24 Занятие 8. Прямая на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Занятие 9. Прямая и плоскость в пространстве . . . . . . . . . . . . . . . 28 Занятие 10. Кривые 2-го порядка на плоскости. Поверхности 2-го порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Занятие 11. Функция. Предел последовательности и предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Занятие 12. Сравнение бесконечно малых функций. Непрерывность функций. Точки разрыва . . . . . . . . . 37 Занятие 13. Дифференцирование функций. Логарифмическая производная . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Занятие 14. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно. Дифференциал функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Занятие 15. Производные и дифференциалы высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Занятие 16. Правило Лопиталя–Бернулли. Формула Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Занятие 17. Монотонность функции. Экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции . . . . 48 Занятие 18. Выпуклость и вогнутость графиков функций. Асимптоты. Построение графиков функций . . . . . . 50 4 Типовой расчет № 1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии . . . . . . . . . . . . . . . 52 Типовой расчет № 2. Предел функции. Производная и ее применение к исследованию функций и построению графиков . . . . . . . . . . 66 II. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ . . . . 85 Занятие 1. Комплексные числа и действия над ними. Простейшие приемы интегрирования . . . . . . . . . . . . . 85 Занятие 2. Интегрирование с помощью замены переменной в неопределенном интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Занятие 3. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Занятие 4. Интегрирование рациональных функций . . . . . . . . . . 94 Занятие 5. Интегрирование тригонометрических выражений и простейших иррациональных функций . . . . . . . . . . 96 Занятие 6. Вычисление определенных интегралов . . . . . . . . . . . 100 Занятие 7. Приложения определенных интегралов . . . . . . . . . . . 102 Занятие 8. Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 Занятие 9. Частные производные и полный дифференциал функций нескольких переменных. Производные и дифференциалы высших порядков . 107 Занятие 10. Производные сложных функций нескольких переменных. Производные функций, заданных неявно . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Занятие 11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Производная по направлению. Градиент . . . . . . . . 114 Занятие 12. Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области. Условный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Занятие 13. Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными и однородных дифференциальных уравнений первого порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5 Занятие 14. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений и уравнений Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах . . . . . . . . . . . 120 Занятие 15. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка . . . . . . . . . . . . . . . 123 Занятие 16. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . 124 Занятие 17. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида . . . . . . . . . . . . . 127 Занятие 18. Решение систем дифференциальных уравнений. Метод исключения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Типовой расчет № 3. Неопределенный и определенный интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 Типовой расчет № 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 6 I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕНОЙ З а н я т и е 1 Декартова и полярная системы координат. Построение графиков Аудиторная работа 1.1. Построить графики функций: а) x y coslog22 . б) |1|2 23 x xx y . в) .03,2 ,20,2 2 1 xxx x y x г) 1|2|2 xxy . д) 2 2cos1 x y . е) 1||sin xy . ж) 1log 22/1 xy . з) 1|| 1 x y . 1.2. Построить графики функций, заданных параметрически: а) tytx 2,21 . б) 4, 2tytx . в) tytx sin,cos2 . г) 32 ,1 ttytx . д) 32 , btyatx . е) tytx 33 sin2,cos2 . ж) tytx sin23,cos21 . з) )cos1(2),sin(2 tyttx . 1.3. Записать уравнения кривых в полярных координатах: а) xy . б) 1y . в) 422 yx . г) yyx 222 . д) 01yx . е) 222 ayx . 7 1.4. Построить графики функций: а) 1r . б) 2r . в) 2cosr . г) er . д) cos4r . е) 2sin3r . ж) )cos1(2r . з) cos23 6 r . и) sin1 2 r . к) 3cos2r . л) 2sin362r . Домашнее задание 1.5. Построить следующие кривые: а) |2| 2 xxy . б) |3| xxy . в) tytx ,12 . г) 23, tytx . д) sin2r . е) )sin1(3r . ж) 2cos4r . з) cos1 3 r . О т в е т ы 1.3. а) 4 . 1.3. б) sin 1 r . 1.3. в) 2r . 1.3. г) sin2r . 1.3. д) cossin 1 r . 1.3. е) 2cos 2 2 a . З а н я т и е 2 Действия над матрицами. Вычисление определителей Аудиторная работа 2.1. Найти CBA 32 , если 768 231 543 , 651 432 011 , 534 312 201 CBA . 8 2.2. Найти матрицу X , если 93 82 71 3 1 50 42 31 2 X . 2.3. Даны матрицы A и B . Найти AB и BA , если: а) . 531 423 172 , 504 310 201 BA б) 01 43 70 , 513 011 BA . в) 325, 2 4 3 BA . 2.4. Вычислить 1 1 05 22 11 103 012 103 . 2.5. Показать, что матрица 13 12 A является корнем многочлена 53)( 2 xxxf . 2.6. Решить уравнение 0 14 1 x xx . 9 2.7. Вычислить определители по правилу Саррюса и разлагая по элементам 1-й строки: а) 987 654 321 . б) 812 278 543 . 2.8. Вычислить определители, разлагая по элементам ряда: а) 8394 6183 2071 4052 . б) 3021 4152 1321 2142 . 2.9. Вычислить определители методом приведения их к треугольному виду: а) 9521 4711 4331 4321 . б) 6741 2120 6031 1512 . 2.10. Вычислить определители, предварительно упростив их: а) . 4113 2104 4122 0123 б) . 43123 31030 23212 15010 51321 в) . 136153 51102 1720 13251 г) . 1322 1312 6100 4213 10 д) . 0123 1012 2101 3210 е) . 1185 1021 5321 4132 Домашнее задание 2.11. Найти 2)3( BA , если 014 201 112 , 963 852 741 BA . 2.12. Найти те из произведений CBBCCAACBAAB ,,,,, , которые имеют смысл, если 202 311 A , 11 10 B , 0121 0021 0210 C . 2.13. Найти значение многочлена )(Af от матрицы A , если 722)( 2 xxxf , 12 01 A . 2.14. Решить уравнение 0 111 21 412 x x . 11 2.15. Найти )det(AB и проверить, что BAAB detdet)det( , если 234 112 302 , 211 112 321 BA . 2.16. Вычислить определители, разлагая их по элементам ряда: а) 1613 3213 1210 0112 . б) 5032 0126 2112 4332 . 2.17. Вычислить определители методом приведения их к треугольному виду: а) 1511 4321 2123 1512 . б) 3214 2143 1432 4321 . О т в е т ы 2.1. 21313 449 914 . 2.2. 39 06 399 . 2.3.а) 18321 8213 3076 , 291313 19110 1114 BAAB . 2.3. б) . 011 20115 35721 , 172 113 BAAB 12 2.3. в) 13, 6410 12820 9615 BAAB . 2.4. , 1 8 1 2.6. .4;1 xx 2.7. а) .0 б) .0 2.8. а) .0 б) 16 2.9. а) .20 б) .27 2.10. а) .38 б) .168 в) .192 г) 75. д) .12 е) .300 2.11. 1118551 85418 81296 . 2.12. 513 202 BA , 0662 0554 AC . 2.13. 114 07 . 2.14. 2,1 21 xx . 2.15. 40. 2.16. а) 0. 2.16. б) 48 2.17. а) 54. б) 160. З а н я т и е 3 Обратная матрица. Решение невырожденных систем матричным методом Аудиторная работа 3.1. Найти матрицы, обратные данным, если они существуют: 3.1. а) 53 21 . б) 216 524 312 . в) 142 321 103 . 13 3.1. г) 514 835 913 . 3.1. д) 0111 1011 1101 1110 . 3.2. Решить матричные уравнения: 3.2. а) 32 11 33 41 X . 3.2. б) 21 24 23 21 21 20 X . 3.2. в) 125 21 61 50 41 21 210 142 011 X . 3.3. Решить системы матричным методом: 3.3. а) .423 ,12 ,02 321 21 321 xxx xx xxx 3.3. б) .0723 ,063 ,0722 zyx zyx zyx 3.3. в) .534 ,122 ,23 321 321 321 xxx xxx xxx 3.3. г) .21325 ,053 ,452 zyx zyx zyx Домашнее задание 3.4. Найти матрицы, обратные данным, если они существуют: 3.4. а) 75 43 . 3.4. б) 325 436 752 . 14 3.5. Решить матричные уравнения: 3.5. а) 0152 095 038 125 231 135 X . 3.5. б) 123 321 21 45 X . 3.6. Проверить, являются ли системы невырожденными, и если являются, то решить их матричным методом. 3.6.а) .3 ,12 ,024 32 321 321 xx xxx xxx 3.6. б) .12 ,04 ,52 32 31 21 xx xx xx О т в е т ы 3.1. а) . 13 25 3.1. б) Не существует. 3.1. в) . 6128 1017 2410 38 1 3.1. г) . 1477 21217 35147 49 1 3.1. д) . 2111 1211 1121 1112 3 1 3.2. а) . 0 15 1 1 15 11 3.2. б) . 8 5 8 1 4 3 4 3 3.2. г) . 4 13 30 1 13 2 3 13 5 15 3.3. а) .1321 xxx 3.3. а) .1,1,2 zyx 3.3. а) .1,0,1 321 xxx 3.3. а) .2,2,4 zyx 3.4. а) 35 47 . 3.4.а) 242927 344138 111 . 3.5. а) 987 654 321 . 3.5. б) 2814 2410 6 1 . 3.6. а) 2,1,1 321 xxx . 3.6. б) . 3 2 , 3 1 , 3 8 321 xxx З а н я т и е 4 Формулы Крамера. Ранг матрицы Аудиторная работа 4.1. Решить системы, используя формулы Крамера: 4.1. а) .1843 ,82 21 21 xx xx 4.1. б) .1323 ,34 ,532 321 321 321 xxx xxx xxx 4.1. в) .534 ,923 ,122 zyx zyx zyx 4.1. г) .010243 ,0145 ,03327 321 321 321 xxx xxx xxx 4.2. При каких значениях ранг матрицы равен двум: 4.2. а) 334 10 431 . 4.2. б) 700 420 32 . 16 4.3. Проверить справедливость неравенств BABAAB rrrr , , если 013 321 201 A , 102 513 420 B . 4.4. Найти ранги матриц с помощью элементарных преобразований или методом окаймляющих миноров и указать какой-либо базисный минор. 4.4. а) 4842 6012 5421 . 4.4. б) 11111 11312 55718 . 4.4. в) 1977 7115 4312 1531 . 4.4. г) 14157 70531 43235 52313 . 4.4. д) 7710 2624 3511 1312 4201 . Домашнее задание 4.5. Решить системы по правилу Крамера: 4.5. а) .105 ,163 ,52 zy zx yx 4.5. б) .1625 ,16732 ,62 321 321 321 xxx xxx xxx 17 4.6. Проверить справедливость неравенства BABA rrr , если 111 222 111 , 423 312 111 BA . 4.7. Найти ранги матриц и указать какой-нибудь базисный минор. а) 124 600 024 312 . б) 451041 521131 11201 13112 . в) 1 1 0 3 2 0 1 1 2 1 5 3 2 1 2 2 1 1 0 1 . О т в е т ы 4.1. а) .3,2 21 xx б) .0,1,1 321 xxx в) .1,1,2 zyx г) .1,3,0 321 xxx 4.2. а) .3 б) .2,0 4.4. а) . 442 612 521 ,3r б) . 12 18 ,2r в) . 177 312 131 ,3r г) . 157 435 513 ,3r 18 4.4. д) . 12 01 ,2r 4.5. а) .5,3,1 zyx 4.5. б) .1,1,3 321 xxx 4.7. а) 2. 4.7.б) 3. 4.7. в) 3. З а н я т и е 5 Решение произвольных и однородных систем Аудиторная работа 5.1. Исследовать системы на совместность и в случае совместности решить их. 5.1. а) .323 ,132 ,22 zyx zyx zyx 5.1. б) .2749 ,42253 ,6372 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 5.1. в) .3232 ,142 54321 54321 xxxxx xxxxx 5.1. г) .547 ,323 ,132 54321 54321 54321 xxxxx xxxxx xxxxx 5.1. д) .13 ,102 ,82 ,752 ,1823 4321 5432 541 5421 5321 xxxx xxxx xxx xxxx xxxx 19 5.1. е) .10632 ,1232 ,522 ,2 4321 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx xxxx 5.1. ж) .6453 ,3532 ,243 431 4321 4321 xxx xxxx xxxx 5.1. з) .26204 ,03102 ,135 4321 421 4321 xxxx xxx xxxx 5.2. Решить однородную систему и найти фундаментальную систему решений. 5.2. а) .0392 ,02 321 321 xxx xxx 5.2. б) .0243 ,0352 ,023 321 321 321 xxx xxx xxx 5.2. в) .03 ,0322 4321 4321 xxxx xxxx 5.2. г) .020107 ,0252 ,0634 4321 4321 4321 xxxx xxxx xxxx 5.2. д) .0463 ,042 ,032 321 4321 4321 xxx xxxx xxxx 5.2. е) .02 ,0236 ,023 54321 54321 54321 xxxxx xxxxx xxxxx 20 Домашнее задание 5.3. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их. 5.3. а) .7653 ,3532 ,12 321 321 321 xxx xxx xxx 5.3. б) .444 ,2232 ,13 321 321 321 xxx xxx xxx 5.3. в) .154 ,12 ,143 ,132 21 21 21 21 xx xx xx xx 5.3. г) .26204 ,03102 ,135 4321 421 4321 xxxx xxx xxxx 5.4. Решить системы: 5.4. а) .034 ,023 ,02 321 321 321 xxx xxx xxx 5.4. б) .0242 ,023 4321 4321 xxxx xxxx О т в е т ы 5.1. а) Система несовместна. 5.1. б) RCCCC CCCC 2121 2121 ,,, 11 510 , 11 29 . 5.1. в) .,, ,,, 7 1374 , 7 149 321 321 321321 RCCC CCC CCCCCC 5.1. г) RCCCCCC CCCC 321321 2321 ,,,,, 5 4 , 5 51353 . 5.1. д) .2,1,3,4,5 54321 xxxxx 21 5.1. е) .3,2,1, RCCCCC 5.1. ж) Система несовместна. 5.1. з) ., 3 210 , 9 2553 ,, 21 1221 21 RCC CCCC CC 5.2. а) 5,1,3;, 5 , 5 3 11 1 1 RCC C C . 5.2. б) 0321 xxx . 5.2. в) 1, 7 5 ,0, 7 8 ;0,0,1,1;, 7 5 ,, 7 87 212 2 1 21 RCCC C C CC . 5.2. г) .1,0,7, 3 38 ,0,1, 2 7 , 3 19 ,,, 2 147 , 3 3819 2121 2121 RCCCC CCCC 5.2. д) ., 4 105 , 4 63 ,, 21 2121 21 RCC CCCC CC 5.2. е) .1,0, 26 11 , 26 23 , 26 9 ,0,1 13 11 , 13 3 , 13 4 ,,, 26 1122 , 26 236 , 26 98 2121 212121 RCCCC CCCCCC 5.3. а) Несовместна. 5.3. б) Rcc cc , 5 8 , 5 75 . 5.3. в) 1,1 21 xx . 22 5.3. г) Rcc cccc cc 21 1221 21 , 3 210 , 9 2553 ,, . 5.4. а) 0,0,0 321 xxx . 5.4. б) },|),,2,0{( 212121 Rcccccc . З а н я т и е 6 Векторы. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение векторов Аудиторная работа 6.1. Определить, для каких векторов a  и b  выполняются следующие условия: 1) |||||| baba  , 2) |||||| baba  , 3) |||| baba  , 4) 0|| ba  , 5) |||| b b a a     . 6.2. Даны векторы kjia  623 и jib  2 . Определить проекции на координатные оси следующих векторов: 1) b  2 1 ; 2) a  2 ; 3) ba  32 . 6.3. Проверить коллинеарность векторов )3;1;2(a  и )9;3;6(b  . Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположные стороны. 23 6.4. Найти направляющие косинусы вектора )3;2;6(a  . 6.5. Определить модули суммы и разности векторов kjia  853 и kjib  4 . 6.6. Даны точки )5;0;3(),3;1;2(),1;2;1( CBA . Подобрать точку D так, чтобы четырехугольник ABCD был параллелограммом. 6.7. Найти ( nmnm  ,2 ), если ,3,2 banbam  ;2|||| ba  )^,( ba  . 6.8. Даны вершины четырехугольника )1;1;4(),0;4;1(),2;2;1( CBA и )3;5;5(D . Доказать, что его диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. 6.9. Вычислить внутренние углы треугольника АВС, если )2;4;7(),7;1;3(),1;2;1( CBA . Убедиться, что этот треугольник равнобедренный. 6.10. Вычислить проекцию вектора kjia  525 на ось вектора kjib  22 . Домашнее задание 6.11. Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах )8;5;3(a  и )4;1;1(b  , и косинус угла между его диагоналями. 6.12. Даны три вектора )0;5;1(,)1;1;2( ba  и )2;4;4(c  . Вычислить )23(пр bac   . 6.13. При каком значении векторы kjia  23 и kjib  2 взаимно перпендикулярны? 6.14. Векторы a  и b  образуют угол . Зная, что 1||,3|| ba  , вычислить угол между векторами bap  и baq  . 6.15. Найти координаты вектора b  , коллинеарного вектору )1;1;2(a  , при условии что 3),( ba  . 24 О т в е т ы 6.2. 1) .0; 2 1 ;0 2) .12;4;6 3) .12;1;0 6.3. Векторы противоположно направленные, вектор b  длиннее вектора a  в 3 раза. 6.4. . 7 3 cos; 7 2 cos; 7 6 cos 6.5. .14;6 baba  6.6. .9;1;0D 6.7.–42. 6.9. . 14 122 cos; 14 122 cos; 49 12 cos CBA 6.10. . 3 2 6.11. 6|| ba  , 14|| ba  , 21 20 cos . 6.12. 11)23( baпрc   . 6.13. 6 . 6.14. arccos . 6.15. 2 1 ; 2 1 ;1b  . З а н я т и е 7 Векторное и смешанное произведения векторов Аудиторная работа 7.1. Векторы a  и b  ортогональны. Зная, что 4||,3|| ba  , вычислить: 1) |],[| ba  ; 2) |],[| baba  ; 3) |])(,)3([| baba  . 7.2. Даны векторы )1;2;1(),2;1;3( ba  . Найти координаты векторных произведений: ]2,2[)3;],2[)2;],[)1 bababbaba  . 7.3. Даны вершины треугольника )1;3;1(),2;6;5(),2;1;1( CBA . Вычислить площадь треугольника и длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC . 25 7.4. Найти вектор c  , ортогональный векторам )1;3;2(a  и )3;2;1(b  и удовлетворяющий условию 10)72,( kjic  . 7.5. Установить, компланарны ли векторы cba  ,, , если ),1;3;2(a  )11;9;1(),3;1;1( cb  . 7.6. Доказать, что четыре точки ),1;2;1(),5;1;0(),1;2;1( CBA )3;1;2(D лежат в одной плоскости. 7.7. Даны вершины тетраэдра: ),7;3;6(),2;1;4(),1;3;2( CBA )8;4;5(D . Найти объем тетраэдра и длину высоты, опущенной из вершины D . Домашнее задание 7.8. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах )1;1;0(a  и )1;1;1(b  . 7.9. Лежат ли точки )2;8;5(),10;5;3(),4;8;3(),4;5;5( DCBA в одной плоскости? 7.10. Выяснить, правой или левой будет тройка векторов ,)0;4;3(a  )5;2;0(,)1;4;0( cb  . 7.11. Найти длину высоты параллелепипеда, построенного на векторах kjickibkjia  ,24,5 , если за основание взят параллелограмм, построенный на векторах a  и b  . 7.12. Вычислить синус угла, образованного векторами )1;2;2(a  и )6;3;2(b  . О т в е т ы 7.1. 1) 12. 2) 24. 3) 48. 7.2. 1) (5,17). 2) (10, 2, 14). 3) (20, 4, 28). 7.3. 5;25 . 7.4. 1,5,7i . 7.5. Компланарны. 7.7. 11,308 . 7.8. 6 . 7.9. Нет не лежат. 7.10. Левая. 7.11. 143 16 . 7.12. 21 175 sin . 26 З а н я т и е 8 Прямая на плоскости Аудиторная работа 8.1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку )2;1(A , перпендикулярно вектору 21MM , если )2;3(,)7;2( 21 MM . 8.2. Написать каноническое и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку )2;3(A параллельно: а) вектору )5;1(S  ; б) оси Oу . 8.3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку )8;1(A и образующей с осью абсцисс угол, равный 4 3 . 8.4. Даны вершины треугольника ABC : )1;6(,)2;2(,)2;1( CBA . Найти: 1) уравнение стороны AB ; 2) уравнение высоты CH ; 3) уравнение медианы АМ; 4) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB ; 5) расстояние от точки C до прямой AB . 8.5. Найти расстояние между прямыми 026512 yx и 013512 yx . 8.6. Найти проекцию точки )6;2(A на прямую 0543 yx . Домашнее задание 8.7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 0723 yx и 063yx и отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный 3. 8.8. Найти точку O пересечения диагоналей четырехугольника ABCD , если )5;3(),2;5(),5;3(),3;1( DCBA . 27 8.9. Найти уравнения перпендикуляров к прямой 01553 yx , проведенных через точки пересечения данной прямой с осями координат. 8.10. Записать уравнение прямой, проходящей через точку )3;2(A и составляющей с осью Ox угол: а) 45о; б) 90о; в) 0о. 8.11. Найти точку B , симметричную точке )12;8(A относительно прямой 062yx . 8.12. Найти один из углов между прямыми: а) 0532 yx и 073yx ; б) 7 4 ty x и 23 13 ty tx . О т в е т ы 8.1. 0179yx . 8.2. а) . 52 3 , 5 2 1 3 ty txyx б) .3, 1 2 0 3 x yx 8.3. .079x 8.4. 4 2 1 1 1 yx , 1 1 4 6 2 yx , 1 2 1 1 3 yx .02544 yx . 17 19 5 8.5. 3 . 8.6. .2,1 8.7. 3x . 8.8. )3/1;3(O . 8.9. 0935,02535 yxyx . 8.10. а) 05yx ; б) 02x ; в) 03y . 8.11. )4;12(B . 8.12. а) 130 7 arccos ; б) 60 3 . 28 З а н я т и е 9 Прямая и плоскость в пространстве Аудиторная работа 9.1. Даны две точки )2;1;3(1M и )1;2;4(1M . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку 1M перпендикулярно вектору 21MM . 9.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки )2;0;3(),4;3;1( 21 MM и )7;5;2(3M . 9.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку )2;0;1(M перпендикулярно к плоскостям 052 zyx и 0132 zyx . 9.4. Найти расстояние между плоскостями 021632 zyx и 0351264 zyx . 9.5. Составить уравнения прямой, проходящей через точку )2;3;4(M перпендикулярно к плоскости 0523 zyx . 9.6. Найти угол между прямыми 012 ,012 zyx zyx и .012 ,01 zyx zyx 9.7. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку )3;0;2(M параллельно прямым 11 1 3 2 zyx и 121 zyx . 9.8. Найти проекцию точки )4;1;3(A на плоскость 052 zyx . 9.9. Найти проекцию точки )1;3;2(A на прямую 1 7x 3 2 2 2 zy и расстояние от этой точки до данной прямой. 29 Домашнее задание 9.10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку )3;2;1(M , параллельно плоскости, проходящей через точки )0;2;1(),5;4;3(),2;0;1( 321 MMM . 9.11. Найти расстояние от точки )1;1;2(M до плоскости 01zyx . 9.12. Определить, при каком значении параметра плоскость 05)12( zyx : а) параллельна плоскости 0432 zyx ; б) перпендикулярна плоскости 03 zyx . 9.13. Найти координаты точки Q , симметричной точке )9;1;3(P относительно плоскости 0734 zyx . 9.14. Вычислить угол между прямой 013 032 zy yx и плоскостью 0132 zyx . 9.15. Пересекаются ли прямые 3 4 2 3 1 2 zyx и 5 3 2 4 3 zyx ? 9.16. Найти координаты точки Q , симметричной точке )7;5;2(P относительно прямой, проходящей через точки )6;4;5(1M и )8;17;2(2M . 9.17. Составить параметрические уравнения медианы треугольника с вершинами )3;2;0(),4;1;5(),7;6;3( CBA , проведенной из вершины C . О т в е т ы 9.1. .023zyx 9.2. .01785 zyx 9.3. .01135 zyx 9.4. 5,5. 9.5. . 2 2 3 3 1 4 zyx 9.6. . 3 9.7. .01752 zyx 9.8. .5;2;1 30 9.9. .4;2;5 9.10. 0123 zyx . 9.11. 3 . 9.12. а) ; б) . 9.13. )10;2;1(Q . 9.14. 6345; 7 5 sin  . 9.15. Нет. 9.16. )3;1;4(Q . 9.17. 317,23,2 tztytx . З а н я т и е 1 0 Кривые 2-го порядка на плоскости. Поверхности 2-го порядка Аудиторная работа 10.1. Составить каноническое уравнение эллипса, если известно, что: а) расстояние между фокусами равно 8, малая полуось равна 3; б) малая полуось равна 6, эксцентриситет равен 4/5. 10.2. Найти координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 44 22 yx . 10.3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что: а) расстояние между фокусами равно 30, а расстояние между вершинами равно 24; б) действительная полуось равна 4 и гипербола проходит через точку )24;2(M . 10.4. Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы - в вершинах эллипса 3056 22 yx . 10.5. Составить каноническое уравнение параболы, если известно, что: а) парабола имеет фокус )2;0(F и вершину в точке )0;0(O ; б) парабола симметрична относительно оси Oxи проходит через точку )2;4(M . 31 10.6. Составить канонические уравнения парабол, фокусы которых совпадают с фокусами гиперболы 822 yx . 10.7. Выяснить, какая фигура соответствует каждому из данных уравнений, и (в случае непустого множества) изобразить ее в системе координат Оху: а) 046422 yxyx ; б) 02081243 22 yxyx ; в) 010432 yxy ; г) 0256632 22 yxyx . 10.8. Определить вид поверхности и построить ее: а) 0453222 zyxzyx ; б) 22 2zyx ; в) 42 222 zyx ; г) 032 222 zyx ; д) xz 42 ; е) 522 zx . Домашнее задание 10.9. Найти уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнениями 02yx , а расстояние между вершинами, лежащими на оси Ox , равно 4. 10.10. Составить каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки 1; 2 33 1M и 3 24 ;12M , и найти его эксцентриситет. 32 10.11. Найти длину общей хорды параболы 22xy и окружности 522 yx . 10.12. Написать уравнение параболы, проходящей через точки )0;0( и )4;2( , если параболы симметрична: а) относительна оси Ox ; б) относительно оси Oy . 10.13. Какая фигура соответствует каждому из данных уравнений? Сделать чертеж, если это возможно. а) 08104254 22 yxyx ; б) 02222 yxyx ; в) 011262 yxx . 10.14. Определить вид поверхности и построить ее: а) zzyx 2222 ; б) 0341883 22 zxzx ; в) 014106105 22 zyxyx ; г) 1xy . Ответы 10.1. а) 1 925 22 yx ; б) .1 10036 22 yx 10.2. 2 3 ,3,0,3,0 21 FF . 10.3. а) 1 81144 22 yx ; б) .1 416 22 xy 10.4. .1 51 22 xy 10.5. а) ;82 yx б) xy2 . 33 10.6. .162 xy 10.7. а) окружность .1232 22 yx б) гипербола ;1 4 2 3 1 22 xy в) парабола 232 2 xy ; г) пустое множество. 10.8. а) сфера; б) эллиптический параболоид; в) олнополостный гиперболоид; г) коническая поверхность; д) параболический цилиндр; е) круговой цилиндр; 10.9. 1 14 22 yx . 10.10. 3 5 ;1 49 22 yx . 10.11. 2. 10.12. а) xy 82 ; б) 2xy . 10.13. а) 1 4,0 )2,0( 5,2 )5,0( 22 yx ; б) 0;02 yxyx ; в) )1(2)3( 2 yx . 10.14. а) 1)1( 222 zyx ; б) 1 3 )3z( 9 )4( 22x ; в) 10 )3( 2 )1( 22 yx z . З а н я т и е 1 1 Функция. Предел последовательности и предел функции Аудиторная работа 11.1. Найти области определения функций: а) 562 xxy . б) x x y 1 2 arccos . 34 в) xxy sinlg25 2 . г) 2 2 2xy . 11.2. Проверить функции на четность или нечетность: а) 24 5)( xxxf . б) xxxf 2)( . в) 12 )( x x xf . г) 1 1 )( x x e e xf . 11.3. Построить графики функций: а) 1 32 x x y . б) |43| 2xxy . в) )22sin(2 xy . г) xxy sin . 11.4. Вычислить пределы: а) 53 135 lim 2 2 xx xx x . б) 3 3 52 21 75 12 lim n n n n n . в) 20 492 lim 2 2 4 xx xx x . г) 54 592 lim 2 2 5 xx xx x . д) x x x 31 37 lim 2 . е) 22 ...321 lim n n n n . ж) 3712lim 22 nnnn n . з) 3 2 523 452 lim xx xx x . и) 416 11 lim 2 2 0 x x x . к) x xx x 2cos cossin lim 4 . л) 1 1 lim 3 1 x x x . м) x x x 1 sinlim . н) 1092 107 lim 2 2 2 xx xx x . 35 11.5. Используя замечательные пределы, найти: а) x x x 3sin lim 0 . б) x x x 2sin 3tg lim 0 . в) xx x x 3sin 6cos1 lim 0 . г) 20 3coscos lim x xx x . д) 30 sintg lim x xx x . е) x x x 4 cos22 lim 4/ . ж) x x x x 12 32 lim . з) x x x /32 0 tg1lim . и) x x x x /1 0 39 37 lim . к) 2 31 7 6 lim x x x x x . л) ))23ln()13)(ln(12((lim xxx x . м) 1 lim 1 x eex x . н) 13 )1ln( lim 0 xx x . о) x a x x 1 lim 2 0 . Домашнее задание 11.6. Найти пределы указанных функций: а) 107 342 lim 3 32 xx xx x . б) 110 20107 lim 23 2 xx xx x . в) 34 1 lim 2 23 1 xx xxx x . г) 21 25 lim 2 5 x x x . д) 15lim 22 xxx x . е) 21 1 2 1 1 lim xxx . 36 ж) x x x x 3 2 lim . з) xx x x 2sin3 4cos1 lim 0 . и) 20 11 cos3cos lim x xx x . к) x x x x 1 )41(lim 0 . л) 2/1 0 )(coslim x x x . м) )))35ln()32)(ln(4((lim xxx x . О т в е т ы 11.1. а) ;51; ; б) 1; 3 1 ; в) ;0;5x ; г) .; 11.2. а) Четная; б) Ни четная, ни нечетная; в) Ни четная, ни нечетная; г) Нечетная. 11.4. а) ; 3 5 б) 1; в) ; 5 2 г) 0; д) –1; е) ; 6 1 ж) 2 5 ; з) 0; и) 4; к) ; 2 1 л) ; 3 2 м) 0; н) 3; о) ; 2 2 11.5. а) ; 3 1 б) ; 2 3 в) 6; г) 4; д) ; 2 1 е) ; 4 2 ж) ;2e 37 з) ;3e и) ;32e к) ;1e л) ;2e м) ;e н) ; 3ln 1 л) .ln2 a 11.6. а) 3; б) 0; в) –1; г) 40; д) 2; е) 2 1 ; ж) 6e ; з) 3/4 ; и) –8; к) 4e ; л) 2/1e ; м) 1. З а н я т и е 1 2 Сравнение бесконечно малых функций. Непрерывность функций. Точки разрыва Аудиторная работа 12.1. Вычислить пределы, используя теорему об отношении двух бесконечно малых функций: а) x xx x cos1 2coscos lim 0 . б) x x x 3tg2 )1ln( lim 0 . в) )1ln( arcsin lim 21 0 x x x x . г) x e x x 10sin 1 lim 5 0 . д) 23 )2(3sin lim 22 xx x x . е) 25 )5tg( lim 25 x x x . 12.2. Исследовать функции на непрерывность, установить характер точек разрыва: а) 1 )( x x xf . б) 2 )2sin( )( x x xf . 38 в) 243)( x x xf . г) 1 12 )( 23 2 xxx xx xf . д) 3 1 arctg)( x xf . е) 1 |1| )( x x xf . ж) .1 ,1 ,1 ,2 )( 2 x x x xf х з) .2 ,21 ,1 ,1 ,3 ,sin )( 2 x x x x x x xf и) 15 15 )( 2 1 2 1 x x xf . к) 1 1 )( 3 x x xf . Домашнее задание 12.3. Вычислить пределы: а) x x x 2sin )71ln( lim 0 . б) xx e x x 3 1 lim 2 7sin 0 . в) )21arcsin( 14 lim 2 2 1 x x x . г) )23tg( 4 lim 2 2 2 xx x x . 12.4. Исследовать на непрерывность функции; установить характер точек разрыва: а) xx x xf 2 tg )( 2 . б) x xf 1 31 1 )( . в) .4 ,42 ,22 ,2 ,2 ,4 )( 2 x x x x x x xf Построить график функции. г) x xf xx ee )( . 39 О т в е т ы 12.1. а) 3; б) ; 6 1 в) –1; г) ; 2 1 д) 3; е) . 10 1 12.2. а) 1x – точка разрыва 2-го рода; б) 2x – точка устранимого разрыва, 12f ; в) 2x – точки разрыва 2-го рода; г) 1x – точка устранимого разрыва; д) 3x – точка разрыва 1-го рода; е) 1x – точка разрыва 1-го рода; ж) Функция непрерывна при Rx ; з) 0x – точка разрыва 1-го рода. 12.3. а) 7/2; б) 7/3; в) –2; г) 4. 12.4. а) 0x – точка устранимого разрыва, 2 1 )0(f ; 2x – точка разрыва 2-го рода; б) 0x – точка разрыва 1-го рода; в) 4x – точка разрыва 1-го рода; г) 0x – точка устранимого разрыва, 2)0(f . З а н я т и е 1 3 Дифференцирование функций. Логарифмическая производная Аудиторная работа 13.1. Исходя из определения, найти производные функций: а) 27)( xxy . б) xxy )( . в) )(tg5)( xxxy . 13.2. Найти производные функций: а) 4/735 5 7 34 xxxy . б) xxy sin3 . в) )1/()1( 44 xxy . г) 45 )13( xxy . д) 3 233 ))1/()1(( xxy . е) )32ln( 23 xxy . ж) xx xx y cossin cossin . з) 2 )22( 2 хеxxy . и) 24 2 arccos x x хy . к) 2 sinln2 2 ctg2 xx y . 40 л) x x y 211 arctg . м) xx y 1 12 2 . н) 3 cossin 3 sincos2 xx y . о) x x y ln2 . п) 21lnarctg xy . р) xaxxy aloglnlgln . с) 2 lntg2cos3 x xy . т) )ln( 22 xaxy . 13.3. Используя предварительное логарифмирование, найти производные функций: а) 3 25 432 )35()2()1()1( xxxxy . б) 3 2 )1( )12()3( x xx y . в) 3 5 2)1)(2( x xx y . г) 2)2( 13 xx x xy . д) xxy sin . е) 2xxy . ж) xxy arcsin)(sin . з) xxy /1)(ln . и) 4 )3(tg xxy . к) xxy 7arctg3)1( . 13.4. Составить уравнения касательной и нормали к параболе 4)( 2xxf в точке М(1;5). Домашнее задание 13.5. Найти производные функций: а) xxx eeey arcsin1 2 . б) )tg(sinln 2223 xxxy . 41 в) 12sin 1cos2 x x y . г) )sin(lg)(sin 24233 2 xxexy x . д) 32 -e1arctg3 xxxy . е) xxy 2tg3 )1( . ж) 3/45 2 43 )3( 2)1( xx xx y . з) )ln(arccos)(arccos 2 xxy . 13.6. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции 21 xey в точке 10x . О т в е т ы 13.4. .0112;32 yxxy 13.6. 012,032 yxyx . З а н я т и е 1 4 Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно. Дифференциал функции Аудиторная работа 14.1. Найти производные функций, заданных параметрически: а) 1,2 3 3 12 tytx . б) 2 1 , 1 1 t t y t x . в) )cos1(,)sin( ayax . г) 1,ln 2tytx . д) 2,arccos ttytx . е) )1ln(,arctg 2tytx . ж) taytax 33 sin,cos . з) ttytx 2cos22sin,tg . 14.2. Найти xy в указанных точках: а) 6 ;sin,cos tteytex tt . б) 2; 1 3 , 1 3 2 2 2 t t at y t at x . 42 14.3. Найти производные функций, заданных неявно: а) 02 22 yx eyxe . б) xyy ln2 . в) yxyx arcsinarcsin . г) yxyx 222 . д) 2arctg xyy . е) 0)cos()sin( xyxy . ж) 3/23/23/2 ayx . з) 0cossin xeye yx . 14.4. Найти xy в точке 1x , если 1)1(,0552 223 yyxyxx . 14.5. Найти xy в точке )1,0( , если exye y . 14.6. Найти дифференциалы функций: а) xxy 3tg . б) 2)(arcsinarctg xxy . в) )4ln( 2xxy . г) 125 xyy . 14.7. Найти приближенное значение функции xxexy 2 )( при 2,1x . 14.8. Вычислить приближенно: а) 05,0arcsin . б) 2,1ln . в) 4 17 . г) 6544tg  . Домашнее задание 14.9. Найти xy : а) t t y t t x 1 , 1 . б) teytex tt cos,sin . 14.10. Убедиться в том, что функция, заданная параметрически уравнениями t t y t t x ln23 , ln1 2 , удовлетворяет соотношению 1)(2 2yxyy . 43 14.11. Найти производные от функций, заданных неявно: а) 0333 axyyx . б) )tg()cos()sin( yxxyxy . 14.12. Убедиться в том, что функция у, определенная уравнением 1ln yxy , удовлетворяет соотношению 0)1(2 yxyy . 14.13. Найти дифференциалы функций: а) 31arcsin 2xxxy . а) yxey . 14.14. Вычислить приближенно: а) 29sin . б) 5)037,2( 3)037,2( 2 2 . Ответы 14.1. а) . 2 t б) . 1 2 t t в) . 2 ctg cos1 sin г) .2 2t д) .12t е) .2t ж) .tgt з) .cos2sin22cos2 2 ttt 14.2. а) .13 2 1 2 б) . 3 4 14.3. а) . 4 4 2 2 yxe xye y x б) . 1ln2 1 y в) . 111 111 22 22 xy yx г) . 22 22 yyx yxx 44 д) . 12 2 2 y yx е) . x y ж) .3 x y з) . coscos sinsin yexe yexe xy xy 14.4. . 3 4 14.5. .1e 14.6. а) . cos 3 tgtg 2 2 dx x x xx б) . 1 arcsin2 1 1 arctg2 1 22 dx x x xx в) . 4 2x dx г) . 15 2 4y xdx 14.7. 2,1 . 14.8. а) 0,05. б) 0,2. в) 2,02. 14.9.а) –1. б) t t tg1 tg1 . 14.11. а) axy xay 2 2 . б) 1))sin())(cos((cos 1))sin())(cos((cos 2 2 xyxyyxx xyxyyxy . 14.13. а) xdxarcsin . б) 1ye dx . 14.14. а) 0,485. б) 0,355. З а н я т и е 1 5 Производные и дифференциалы высших порядков Аудиторная работа 15.1. Найти производные 2-го порядка от следующих функций: а) xy 2cos . б) 2arctgxy . 45 в) 3 2 2 1log xy . г) xxxxxy arcsin1 3 2 1 3 1 222 . 15.2. Показать, что функция xx ececy 32 2 1 при любых постоянных 1c и 2c удовлетворяет уравнению 065 yyy . 15.3. Найти производные 2-го порядка от функций, заданных неявно: а) yxey 1 . б) xyyx 333 . в) xyyarctg . г) yxy ln . 15.4. Найти производные 2-го порядка от функций, заданных параметрически: а) 1 3 1 ,2 32 tytx . б) 21,arcsin tytx . в) taytax 22 sin,cos . г) 1,ln 2tytx . 15.5. Найти дифференциалы 1, 2 и 3-го порядков функции 3)32( xy . 15.6. Найти дифференциалы 2-го порядка функций: а) 2xey . б) 12yxy . 15.7. Найти дифференциал 3-го порядка функции x x y ln . 15.8. Найти приближенное значение 5 31 с точностью до двух знаков после запятой. Домашнее задание 15.9. Найти производные второго порядка следующих функций: а) xxy arcsin1 2 . б) 21ln xxy . 15.10. Найти )()( xy n , если xey . 46 15.11. Найти 2 2 dx yd , если: а) xye yx . б) ty t x tg, cos 1 . 15.12. Вычислить значение производной второго порядка функции y , заданной уравнением 42 22 yxxyyx , в точке )1;1(M . 15.13. Доказать, что функция xx eey 24 удовлетворяет уравнению 01213 yyy . Записать для этой функции yd 3 . 15.14. Вычислить приближенное значение функции 3 2 125xxy при 3,1x с точностью до двух знаков после запятой. Ответы 15.9. а) 32 2 )1( 1arcsin x xxx . б) 32)1( x x . 15.10. xne)1( . 15.11. а) 32 22 )1( ))1()1(( yx yxy . 15.11. б) t3ctg . 15.12. –1. 15.13. 34 264 dxee xx . 15.14. 1,93. З а н я т и е 1 6 Правило Лопиталя–Бернулли. Формула Тейлора Аудиторная работа 16.1. Применяя правило Лопиталя–Бернулли, найти пределы: 47 а) x ee xx x sin lim 0 . б) 2cos2 lim 2 4 0 xx x x . в) )ln( )ln( lim 0 axax ee ax . г) x x x 11ln arctg2 lim . д) 2/12 0 lim x x ex . е) )1ln( 1 )1ln( 1 lim 20 xxxx . ж) xx x x /1)10(lim . з) )1ln( 1 0 lim xex x . и) x x x 2)(tglim 2 . к) x x x2 1 1lim . 16.2. Разложить многочлен 9132)( 24 xxxxf по степеням двучлена 2x . 16.3. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции xxf 10)( в точке 00x . 16.4. Вывести приближенную формулу 6 sin 3x xx и оценить ее точность при 05,0|| x . 16.5. Вычислить с точностью до 10cos10 4 . 16.6. Найти пределы, используя разложение по формуле Тейлора: а) x xx x 11 lim 0 . б) 320 cos1 lim xx x x . в) 3 22 0 )1( 22 lim x xxxx x e eexexe . Домашнее задание 48 16.7. Найти пределы функций, применяя правило Лопиталя- Бернулли: 16.7. а) x xx x ln2 lim . б) 30 sin lim x xx x . в) xxx 1 arctg 1 lim 0 . г) 1lnlnlim 1 xx x . д) 2/3 0 )2(coslim x x x . 16.8. Написать формулу Тейлора 3-го порядка для функции x xf 1 )( при 10x . 16.9. Вычислить приближенно 1sin с точностью до 410 . 16.10. Вычислить предел xx xx x sin sin lim 20 , используя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. О т в е т ы 16.7. а) 1. б) 1/6. в) 0. г) 0. д) 6e . 16.8. .10 , ))1(1( )1( !42 7531 )1( !32 531 )1( !22 31 )1( 2 1 1 2/9 4 4 3 3 2 2 x x xxx 16.9. 0,0175. 16.10. 6 1 . З а н я т и е 1 7 Монотонность функций. Экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции Аудиторная работа 49 17.1. Найти интервалы монотонности и точки экстремума следующих функций: а) 4 9 6 2 11 2 4 23 4 xxx x y . б) x x y ln . в) 4 2 12 x x y . г) xxy sin2 . д) 3 2 2xxy . е) xexy 2 17.2. Найти экстремумы функций, пользуясь производной 2-го порядка: а) xxy 1 . б) 22 )( xaxy . в) xxy /1 . г) x x y ln . 17.3. Определить наибольшее и наименьшее значения данных функций в указанных интервалах: а) ]2,2[;52 24 xxy . б) ]4,0[;2 xxy . в) 33 11 xxy ; 10, . г) ]1,0[; 1 1 arctg x x . д) 1 1 2 2 x x y ; 12, . 17.4. Требуется изготовить ящик с крышкой, объем которого был бы равен 72 см3, причем стороны основания относились бы как 1 : 2. Каковы должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность ящика была наименьшей? 17.5. Найти высоту цилиндра наибольшего объема, который можно вписать в шар радиусом R. Домашнее задание 17.6. Найти интервалы возрастания и убывания и точки экстремума следующих функций: 50 а) 21 xxy . б) xxy arctgln . 17.7. Найти экстремум функции )0( 2 a x a xy , используя вторую производную. 17.8. Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных интервалах (или во всей области определения): а) 2 2 1 1 xx xx y ; 1,0 . б) 2 2x xey . 17.9. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб для подачи воды. При каком угле наклона боковых стенок к днищу желоба площадь поперечного сечения будет наибольшей? О т в е т ы 17.6. а) На )1;2/1()2/1;1( – убывает; на )2/1;2/1( – возрастает; 2/1)2/1(;2/1)2/1( maxmin yyyy . 17.6. б) Возрастает на всей области определения. 17.7. aayyaayy 2)(;2)( minmax . 17.8. а) 1 и 3/5. 17.8. б) e/1 и e/1 . 17.9. . З а н я т и е 1 8 Выпуклость и вогнутость графиков функций. Асимптоты. Построение графиков функций Аудиторная работа 18.1. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости графиков функций: 51 а) )1ln( 2xy . б) 3 4 13 x x y . в) 2 2 1 x xy . г) xxey . 18.2. Найти асимптоты графиков функций: а) 13 4 x x y . б) x x y ln . в) xxy sin . г) xexy /1)2( . 18.3. Провести полное исследование и построить графики функций: а) 4 2 12 x x y . б) xexy 2 . в) 21 xxy . г) 3 2 2xxy . д) xxy ln2 . Домашнее задание 18.4. Найти точки перегиба графиков функций: а) 2)1( 12 x x y . б) xxy arctg . 18.5. Найти асимптоты графика функции x exy 1 ln . 18.6. Исследовать функции и построить их графики: а) 2 3 1 x x y . б) xxey /1 . О т в е т ы 52 18.4. а) 9 8 , 2 1 . б) Точек перегиба нет. 18.5. e xy e x 1 ; 1 . Т и п о в о й р а с ч е т № 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии З а д а ч а 1 Исследовать систему уравнений и в случае совместности решить ее. 1.1. а) .43 ,32 ,1 41 4321 4321 xx xxxx xxxx б) .122 ,123 ,1 ,032 321 21 321 321 xxx xx xxx xxx 1.2. а) .532 ,0 ,522 321 432 431 xxx xxx xxx б) .337 ,154 ,1 ,032 321 321 321 321 xxx xxx xxx xxx 1.3. а) .1 ,02 ,232 421 4321 432 xxx xxxx xxx б) .0 ,3 ,23 ,12 321 321 321 321 xxx xxx xxx xxx 1.4. а) .152 ,2 ,042 421 431 432 xxx xxx xxx б) .02 ,02 ,043 321 321 321 xxx xxx xxx 1.5. а) .3223 ,333 ,0324 4321 421 432 xxxx xxx xxx б) .222 ,22 ,43 421 431 321 xxx xxx xxx 53 1.6. а) .222 ,12 ,332 4321 431 321 xxxx xxx xxx б) .0233 ,2 ,12 ,022 321 42 321 431 xxx xx xxx xxx 1.7. а) .063 ,03 ,0524 431 431 431 xxx xxx xxx б) .024 ,5 ,62 ,7 31 321 421 431 xx xxx xxx xxx 1.8. а) .023 ,022 ,0 421 431 431 xxx xxx xxx б) .0 ,123 ,0 ,522 432 421 431 321 хxx xxx xxx xxx 1.9. а) .022 ,02 ,0 421 4321 4321 xxx xхxx xхxx б) .63 ,75 ,0 ,123 21 32 321 321 xx xx xxx xxx 1.10. а) .04 ,0 ,0 43 432 421 xx xхx xxx б) .033 ,32 ,4 ,2 21 421 321 432 xx xхx xxx xxx 1.11. а) .032 ,0 ,042 321 421 43 xхx xхx xx б) .222 ,02 ,1 ,1 421 31 4321 432 хxx хx хxxx xxx 54 1.12. а) .03 ,02 ,03 21 421 421 хx xхx xхx б) .12 ,02 ,52 ,7 4321 432 421 321 ххxx ххx хxx xхx 1.13. а) .6234 ,323 ,3 ,02 4321 4321 431 321 хxхx хxхx xхx xхx б) .02 ,0 ,043 421 421 43 ххx хxx xx 1.14. а) .42 ,1 ,3 431 421 432 ххx xхx xхх б) .03 ,02 ,02 41 431 321 хx хxx xхx 1.15. а) .021385 ,04523 ,043 4321 4321 4321 хххx xххx xххx б) .336 ,122 ,023 ,42 321 4321 4321 4321 хxx хххx ххxx хxхx 1.16. а) .53 ,02 ,1 ,1 41 431 432 421 хх ххx xхх xхx б) .03 ,0 ,02 421 431 431 ххx хxx xхx 1.17. а) .0 ,02 ,02 431 321 431 ххx xхx xхx б) .04244 ,1 ,23 ,1422 4321 4321 4321 432 ххxx ххxх ххxx хxх 55 1.18. а) .032 ,0 ,042 321 321 321 xxx xxx xxx б) .236 ,1 ,023 ,32 4321 321 321 431 xxxx xxx xxx xxx 1.19. а) .032 ,0 ,043 41 431 432 xx xxx xxx б) .0262 ,12 ,1 ,025 4321 432 43 432 xxxx xxx xx xхx 1.20. а) .423 ,4 ,1 ,132 4321 43 421 431 xxxx xx xxx xxx б) .02 ,0 ,0 321 321 321 xxx xxx xxx 1.21. а) .24 ,1 ,33 421 431 432 xxx xxx xxx б) .023 ,02 ,0 ,032 4321 321 432 321 xxxx xxx xxx xxx 1.22. а) .023 ,022 ,0 321 421 431 xxx xxx xxx б) .9623 ,1 ,54 ,153 4321 432 421 321 xxxx xxx xxx xxx 1.23. а) .65 ,12 ,553 4321 421 431 xxxx xxx xxx б) .03 ,03 ,02 ,02 4321 4321 432 321 xxxx xxxx xxx xxx 56 1.24. а) .0 ,0210 ,17 ,23 321 4321 431 432 xxx xxxx xxx xxx б) .02422 ,023 4321 4321 xxxx xxxx 1.25. а) .2232 ,2322 ,02 ,22 431 321 432 421 xxx xxx xxx xxx б) .023 ,02 ,02 321 321 321 xxx xxx xxx З а д а ч а 2 2.1. Вычислить ),( ba  , где ;423 21;21 mmbmma  21, mm  – единичные векторы, угол между которыми равен 4 . 2.2. Найти проекцию вектора kjia  434 на направление вектора kjib  22 . 2.3. Найти ),( ba  , ba  , , если kjbkjia  2,2 . 2.4. Вектор c  , коллинеарный вектору kia  25 , образует острый угол с осью Oz. Найти координаты вектора c  , если 293c  . 2.5. Найти baba  ,32 , если 2,2 ba  , 4 ^, ba  . 2.6. Найти ),( ba  , ba  , , если pnmpmbpnma  ,,,4;32 – ортогональный базис и 4,3,2 pnm  . 2.7. Найти длину вектора nma  43 , если ,1nm  3 ^ nm  . 2.8. Найти вектор b  , коллинеарный вектору kjia  2 и удовлетворяющий условию 3),( ba  . 57 2.9. Найти baba  3,52 , если 3 2 ^,3,2 baba  . 2.10. Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма, сторонами которого служат векторы kjibkjiа  3,2 . 2.11. Найти вектор d  , удовлетворяющий условиям ,5, ad  3,,2, cdbd  , если 0,2,1a  , 5,0,1b  , 0,0,1c  . 2.12. Даны векторы kjickjibkjia  1243,54,63 . Найти проекцию вектора ba  на направление вектора c  . 2.13. Вектор b  , коллинеарный вектору kjia  5,786 , образует острый угол с осью Oz. Найти координаты вектора b  , если 50b  . 2.14. Найти площадь треугольника, построенного на векторах baAB  23 и baAC  36 , если 3,4 ba  6 ^ba  . 2.15. Найти ],[ ba  , если 96,,15,8 baba  . 2.16. Какой угол образуют векторы a  и b  , если bam  2 и ban  45 ортогональны, 1ba  ? 2.17. Вычислить accbba  ,,, , если 0cba  , 1cba  . 2.18. Даны точки А(–5, 7, –6) и B(7, –9, 9). Найти проекцию вектора kjia  3 на направление вектора АВ . 2.19. Найти координаты вектора a  , если , 3 ^ ia  6, 4 ^ aja  . 2.20. Найти вектор х  , ортогональный вектору 4,3,12a  , имеющий с ним одинаковую длину и лежащий в плоскости Oyz. 2.21. Найти угол между векторами nmbnma  и 42 , если 3 2 ^,1 nmnm  . 58 2.22. Найти проекцию вектора a  4,3,4 на направление вектора 1,2,2b  . 2.23. Какой угол образуют единичные векторы m  и n  , если векторы nma  2 и nmb  45 ортогональны? 2.24. Доказать, что скалярное произведение двух векторов не изменится, если к одному из них прибавить вектор, ортогональный другому сомножителю. 2.25. При каких значениях и векторы kjia  22 и kjib  5 коллинеарны? З а д а ч а 3 3.1. Найти bba  ,2 , где kjibkjia  2;23 . 3.2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах nmbnma  3 и 2 , если 6 ^,3;5 nmnm  . 3.3. Вектор с  перпендикулярен векторам a  и b  , угол между a  и b  равен 6 . Зная, что 3,3,6 cba  , вычислить ),,( cba  . 3.4. Найти baba  2,2 , где jikbkjia  23;2 . 3.5. Найти вектор x  , если известно, что он ортогонален векторам kjibkjia  32,3 и 51432, kjix  . 3.6. Найти координаты вектора x  , если он ортогонален векторам 3,1,1,1,3,2 ba  и x  =1. 3.7. Найти единичный вектор d  , компланарный векторам 3,1,2a  и 0,2,4b  и ортогональный вектору 1,1,1c  . 3.8. Вычислить площадь параллелограмма, сторонами которого являются векторы nma  2 и nmb  3 , если 6 ^,3,5 nmnm  . 59 3.9. Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма, сторонами которого служат векторы ,2 kjia  kjib  3 . 3.10. Вычислить высоту параллелепипеда, построенного на векторах kjickjibkjia  3,4,523 , если за основание взят параллелограмм, построенный на векторах a  и b  . 3.11. Вектор x  , перпендикулярный векторам kjia  324 и kjb  3 , образует с осью Oy тупой угол. Найти координаты вектора x  , если .26x  3.12. Вычислить площадь параллелограмма, сторонами которого являются векторы ACAB и , если 4,1,3,2,1,1 CBA . 3.13. Вершины треугольной пирамиды находятся в точках 0,0,0A , 1,4,3B , 5,3,2C , 3,0,6D . Найти длину высоты, проведенной из вершины А. 3.14. Проверить, лежат ли точки 2,1,2A , 5,0,3B , 3,2,1C , 1,2,0D в одной плоскости. 3.15. Проверить, компланарны ли векторы kjia  2 , kjib  23 , kjic  13147 . 3.16. Дана треугольная пирамида с вершинами 1,0,0A , 4,3,2B , 3,2,6C , 2,7,3D . Найти длину высоты пирамиды, проведенной на грань BCD. 3.17. Найти площадь параллелограмма, сторонами которого являются векторы kjia  3 и kjib  32 . 3.18. Найти aba  ,3 , если kjibkjia  2,42 . 3.19. Найти ),,( cba  , если векторы cba  ,, образуют правую тройку и взаимно перпендикулярны, .4,3,2 cba  3.20. Показать, что точки A(3, 1, –1), B(5, 7, –2), C(1, 5, 0) и D(9, 4, –4) лежат в одной плоскости. 3.21. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах jibjia  4,32 . 60 3.22. Найти единичный вектор, ортогональный векторам kjia  2 и kjib  2 . 3.23. Вершинами треугольной пирамиды являются точки A(-5, 4, 8), B(2, 3, 1), C(4, 1, –2) и D(6, 3, 7). Найти длину высоты, проведенной на грань BCD. 3.24. Вычислить синус угла между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах kjibkjia  3,2 . 3.25. Проверить, лежат ли точки A(–1, 2, 3), B(0, 4, –1), C(2, 3, 1) и D(–2, 1, 0) в одной плоскости. З а д а ч а 4 4.1. Написать уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой 01362 yx . 4.2. Найти угол между прямой 0132 yx и прямой, проходящей через точки 3;0,2;1 21 MM . 4.3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку 4;1M параллельно прямой 0432 yx . 4.4. Дан треугольник с вершинами в точках 2,1A , 1,0B и 4,1C . Написать уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно противоположной стороне. 4.5. При каком значении параметра α прямые x23 0841 y и 07425 yx взаимно перпендикулярны? 4.6. Даны вершины треугольника 5,3A , 3,3B и 8,5C . Определить длину медианы, проведенной из вершины С. 4.7. При каких значениях α прямые 012yax и 0346 yx : а) параллельны; б) имеют одну общую точку? 4.8. Написать уравнение прямой, проходящей через точку 3;4M перпендикулярно вектору 21MM , если 2,01M , 5,32M . 61 4.9. Дан треугольник с вершинами в точках 5,21M , 3,12M и 0,03M . Составить уравнение медианы, проведенной из вершины 3M . 4.10. Найти уравнение прямой, проходящей через точку 2,11M перпендикулярно прямой, соединяющей точки 3,22M и 1,03M . 4.11. На прямой 0112 yx найти точку, равноудаленную от двух данных точек 1,1A и 0,3B . 4.12. Написать уравнение прямой, проходящей через точку 1;1M параллельно прямой 054 yx . 4.13. Найти расстояние между прямыми 02543 yx и 05086 yx . 4.14. Найти уравнение прямой, проходящей через точку 3,2;1M параллельно вектору AB , если 4,2;1A , 8,5;3B . 4.15. Привести к каноническому виду уравнения прямой .032 ,09332 zyx zyx 4.16. Найти уравнение прямой, проходящей через точку 3;1M и точку пересечения прямых ,012 yx 043 yx . 4.17. Найти значения параметров a и d, при которых прямая tz ty tx 3 41 43 принадлежит плоскости 042 dzyax . 4.18. Дан треугольник с вершинами в точках А(1, 5), B( 4, 3), С(2, 9). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины А. 4.19. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 0425,0253 yxyx и точку А(1, 3). 62 4.20. Дан треугольник с вершинами в точках А(1, 1), B( 2, 3), С(4, 7). Написать уравнение медианы, проведенной из вершины А. 4.21. Найти уравнение прямой, проходящей через точку А(1, 1) параллельно прямой, соединяющей точки )3,2(1M и )1,5(2M . 4.22. Даны уравнения сторон треугольника ,012yx 0114,01745 yxyx . Составить уравнение прямой, проходящей через одну из вершин треугольника параллельно противоположной стороне. 4.23. Найти уравнение прямой, проходящей через точку )3,2(1M ортогонально вектору 21MM , если )5,4(2M . 4.24. Выяснить, принадлежат ли точки А( 1, 2), B(3, 4) и С(1, 2) одной прямой. 4.25. Даны точки А( 1, 2, 3), B(3, 1, 2) и С(1, 3, 1). Найти точку пересечения медиан треугольника ABC. Задача 5 Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Требуется найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) площадь грани А1А2А3; 4) объем пирамиды; 5) уравнение прямой А1А4; 6) уравнение плоскости А1А2А3; 7) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертеж. 5.1. 9,3,31A , 1,9,62A , 3,7,13A , 8,5,84A . 5.2. 4,5,31A , 3,8,52A , 9,9,13A , 8,4,64A . 5.3. 3,4,21A , 3,6,72A , 3,9,43A , 7,6,34A . 5.4. 5,5,91A , 1,7,32A , 8,7,53A , 2,9,64A . 5.5. 1,7,01A , 5,1,42A , 3,6,43A , 8,9,34A . 5.6. 4,5,51A , 4,8,32A , 10,5,33A , 2,8,54A . 5.7. 1,1,61A , 6,6,42A , 0,2,43A , 6,2,14A . 5.8. 3,5,71A , 4,4,92A , 7,5,43A , 6,9,74A . 5.9. 2,6,61A , 7,4,52A , 7,4,23A , 0,3,74A . 5.10. 1,3,11A , 3,2,32A , 3,3,33A , 4,0,24A . 63 5.11. 6,1,11A , 2,5,42A , 0,3,13A , 5,1,64A . 5.12. 1,1,11A , 0,4,32A , 6,5,13A , 5,0,44A . 5.13. 0,0,01A , 0,2,52A , 0,5,23A , 4,2,14A . 5.14. 2,1,71A , 2,3,52A , 5,3,33A , 1,5,44A . 5.15. 2,3,21A , 2,3,22A , 0,2,23A , 5,5,14A . 5.16. 1,1,31A , 1,4,12A , 7,1,13A , 1,4,34A . 5.17. 2,3,41A , 3,2,22A , 3,2,23A , 3,2,14A . 5.18. 0,1,51A , 1,0,72A , 4,1,23A , 3,5,54A . 5.19. 1,2,41A , 4,0,32A , 4,0,03A , 3,1,54A . 5.20. 2,0,01A , 5,0,32A , 0,1,13A , 2,1,44A . 5.21. 5,0,31A , 2,0,02A , 2,1,43A , 0,1,14A . 5.22. 0,1,11A , 2,1,42A , 2,0,03A , 5,0,34A . 5.23. 2,1,41A , 0,1,12A , 5,0,33A , 2,0,04A . 5.24. 0,0,01A , 1,2,32A , 0,4,13A , 3,2,54A . 5.25. )0,1,3(1A , 2,7,02A , 5,0,13A , 5,1,44A . З а д а ч а 6 Построить на плоскости кривую, приведя ее уравнение к каноническому виду. 6.1. 020282 yxx . 6.2. 0151843 22 xyx . 6.3. 07822 22 yxyx . 6.4. 01582 yxx . 6.5. 020104 22 yxyx . 6.6. 09183095 2 yxyx . 6.7. 0100364094 22 yxyx . 64 6.8. 0127645169 22 yxyx . 6.9. 01282 2 yxx . 6.10. 0364 22 yyx . 6.11. 0109325449 22 yxyx . 6.12. 0752 yxx . 6.13. 0111664 22 yxyx . 6.14. 0784 2 yxx . 6.15. 01849 22 xyx . 6.16. 0382 2 yyx . 6.17. 3864 22 yxyx . 6.18. 06105 2 yyx . 6.19. 242484 22 yxyx . 6.20. yxx 2562 . 6.21. 05040109 22 yyx . 6.22. 01991864916 22 yxyx . 6.23. 014122 2 yyx . 6.24. 01142 2 xyy . 6.25. 022 22 xyx . З а д а ч а 7 65 Построить поверхность, приведя ее уравнение к каноническому виду. 7.1. а) 221 yxz ; б) 24 xz . 7.2. а) 0422 222 zyxx ; б) 452 zyy . 7.3. а) 064 222 xzyx ; б) zzx 222 . 7.4. а) xzy 12 22 ; б) 4xy . 7.5. а) 32849 222 zyyx ; б) 0622 xyx . 7.6. а) 022 222 zzyx ; б) 020642 yzz . 7.7. а) 0453222 zyxzyx ; б) 142 xy . 7.8. а) 222 yxz ; б) 21 xz . 7.9. а) 91891636 222 zzyx ; б) 07822 xzz . 7.10. а) 0222 zyx ; б) 242 xy . 7.11. а) zzyx 2222 ; б) 2xy . 7.12. а) 223 222 zzyx ; б) 21 zx . 7.13. а) zzyx 242 222 ; б) xzx 252 . 7.14. а) 224 yxz ; б) yyx 222 . 7.15. а) 04442 222 zxxy ; б) 2 1xz . 7.16. а) 02 222 xzyy ; б) 2yx . 7.17. а) 12222 zyyx ; б) zyz 222 . 66 7.18. а) 6222 zyx ; б) 0622 zzx . 7.19. а) 3236849 222 zyyx ; б) 1052 2 yx . 7.20. а) zzyx 2222 ; б) xz 72 . 7.21. а) 02484155 222 zzyx ; б) 84 22 yx . 7.22. а) 3224 222 xyxz ; б) 4xy . 7.23. а) 484 222 yzyx ; б) 0322 yx . 7.24. а) 0222 zyx ; б) 0422 yx . 7.25. а) 02 222 zyxx ; б) 22 yx . Т и п о в о й р а с ч е т № 2 Предел функции. Производная и ее применение к исследованию функций и построению графиков З а д а ч а 1 Найти пределы функции, не пользуясь правилом Лопиталя. 1.1. а) 127 6 lim 2 2 3 xx xx x . б) 233 125 lim 23 2 xx xx x . в) xx x x sin cos1 lim 0 . г) 2 3 1 lim x x x x . 1.2. а) 23 62 lim 2 2 2 xx xx x . б) 345 128 lim 3 34 xx xx x . в) 2 cos1 lim x x x . г) x x x x 1 41lim 0 . 67 1.3. а) 253 45 lim 2 2 1 xx xx x . б) 143 1246 lim 26 5 xx xx x . в) 2 2 0 coscos lim x xx x . г) 2 23 43 lim x x x x . 1.4. а) 23 752 lim 2 2 1 xx xx x . б) 122 65 lim 4 23 xx xx x . в) xx x x tg 2cos1 lim 0 . г) x x x x 2 3 lim . 1.5. а) 143 23 lim 2 2 1 xx xx x . б) 547 18 lim 25 4 xx xx x . в) 2 3 0 coscos lim x xx x . г) x x xx xx 24 12 lim 2 2 . 1.6. а) 2 102 lim 2 2 2 xx xx x . б) 15 562 lim 2 3 xx xx x . в) x x x 2 tg lim 2 0 . г) 2 1 1 lim 2 2 x x x x . 1.7. а) 1 2 23 lim 2 2 x xx x . б) 22 33 11 11 lim xx xx x . в) x x x 4cos1 8cos1 lim 0 . г) x x x x 2 23 23 lim . 1.8. а) 20 492 lim 2 2 4 xx xx x . б) 364 132 lim 36 24 xx xx x . 68 в) x xx x 2sin 2ctg lim 2 0 . г) x x x 1 0 21lim . 1.9. а) 1092 107 lim 2 2 2 xx xx x . б) 364 352 lim 36 24 xx xx x . в) x x x 2cos1 6cos1 lim 0 . г) х x x x 12 12 lim . 1.10. а) 12 2 lim 2 2 1 xx xx x . б) 5 52 68 454 lim xx xx x . в) 3 sin lim 2 2 0 x x x . г) 12 2 1 lim x x x x . 1.11. а) 6 103 lim 3 2 2 xx xx x . б) 132 324 lim 26 45 xx xx x . в) 20 11 3coscos lim x xx x . г) x a x x 1 lim 2 0 . 1.12. а) 20113 20 lim 2 2 5 xx xx x . б) 53 135 lim 3 2 xx xx x . в) xx x x 4tg2 8cos1 lim 0 . г) x e x x 1 lim 3 0 . 1.13. а) 932 2154 lim 2 2 3 xx xx x . б) 7424 1511 lim 4 25 xx xx x . в) xxx x 3ctgsinlim 0 . г) x x x 2ctg2 0 )tg31(lim . 1.14. а) 252 273 lim 2 2 2 xx xx x . б) 143 557 lim 34 356 xx xxx x . 69 в) xx x x 2sin3 4cos1 lim 0 . г) x ee xx x sin2sin 0 lim . 1.15. а) 1572 152 lim 2 2 5 xx xx x . б) 2 2 241 532 lim xx xx x . в) 3 3 0 2sin lim x x x . г) 12ln12ln2lim xxx x . 1.16. а) 12 2 lim 2 23 1 xx xxx x . б) 3 2 631 32 lim xx xx x . в) 20 3cos1 lim x x x . г) 1ln2ln32lim xxx x . 1.17. а) 123 32 lim 2 2 1 xx xx x . б) 2 52 lim 2 23 xx xx x . в) xx x x 2tg2 4cos1 lim 0 . г) xaxx x lnlnlim . 1.18. а) 1 2 lim 3 2 1 x xx x . б) 12 53 lim 2 4 xx xx x . в) 1cos cos3cos lim 0 x xx x . г) xxx x 35ln32ln4lim . 1.19. а) 54 592 lim 2 2 5 xx xx x . б) 13 lim 24 3 xx xx x . в) xx xxtg x 2sin 2sin lim 2 2 0 . г) 12ln42ln52lim xxx x . 1.20. а) 1252 4495 lim 2 2 4 xx xx x . б) 25 123 lim 2 3 xx xx x . 70 в) 2 2 0 2 sin lim x x x . г) 42ln32ln2lim xxx x . 1.21. а) 152 5143 lim 2 2 5 xx xx x . б) 11002 310 lim 3 23 xx xx x . в) x x x 4cos1 18cos lim 0 . г) x ee xx x sin lim 0 . 1.22. а) 23 143 lim 2 2 1 xx xx x . б) 33 54 lim 2 24 xx xx x . в) 20 cos1 lim x mx x . г) x x x 1 0 31lim . 1.23. а) 1 2 lim 23 3 1 xxx xx x . б) 539 723 lim 4 24 xx xx x . в) x x x 2 3cos1 lim 0 . г) ecx x x cos 0 sin1lim . 1.24. а) 23 1 lim 3 23 1 xx xxx x . б) 325 452 lim 2 2 xx xx x . в) x xx x 2arctgarcsin 2 1 lim 0 . г) xx x x 2 1 1lim 0 . 1.25. а) 23 1222 lim 2 2 2 xx xx x . б) 3 35 100 8 lim x xx x . в) 20 3cos6cos lim x xx x . г) xxx x ln5lnlim . З а д а ч а 2 71 Исследовать данные функции на непрерывность и указать вид точек разрыва; в условии «б» дополнительно построить график функции. 2.1. а) 2 1ln x x xf . б) 4.при3 ;41при 2 ;1при12 xx x x xx xf 2.2. а) x xf 1 arctg . б) . 6 при 2 1 ; 6 1приsin ;0при2 x xx xx xf 2.3. а) 2 1 3xxf . б) 3.при3 ;31при1 ;10приln 2 xx xx xx xf 2.4. а) xe xf 11 1 . б) .при2sin ; 4 при 2 ; 4 0приtg xx x x xx xf 2.5. а) 12 12 1 1 x x xf . б) 2.при6 2;0при3 ;1при1 xx x xx xf x 72 2.6. а) 2 2 x x xf . б) 2.при4 2 ;21при2 ;10при2 2 x x xx xx xf 2.7. а) 3 2 23 xx xx xf . б) 4.при2 ;41при 2 ;1при12 xx x x xx xf 2.8. а) 21 2 1 1 xx xf . б) 4.при3 ;43при73 ;3при1 xx xx xx xf 2.9. а) xx xx xf 2 65 2 2 . б) .3при5 ;30при1 ;0приcos 2 xx xx xx xf 2.10. а) 34 3sin 2 xx x xf . б) . 4 при 4 ; 4 0приtg 0;при0 xx xx x xf 2.11. а) 24 2 x xf . б) .приsin ;0при ;0при3 xx xx x xf 73 2.12. а) 24 1 xexf . б) 2.при2 ;21при ;1при1 xx xx x xf 2.13. а) 1 1 x x xf . б) 1.при ;10при1 ;0при xx xx xe xf x 2.14. а) 4 2 x x xf . б) x xf 2 1 0 при при при .1 ;10 ;0 x x x 2.15. а) 3 1 2 xxf . б) 1.при1 ;10при ;0при 2 2 xx xx xx xf 2.16. а) xx x xf 3 2 2 . б) .1при ;10при1 ;0при0 xx x x xf 2.17. а) 9 3 2x xf . б) .1при1 ;10при ;0приsin 2 xx xx xx xf 2.18. а) xxf 4 1 4 . б) .1при1 ;10при1 ;0приcos xx x xx xf 74 2.19. а) 34 2 2 xx x xf . б) .1при2 ;10при2 ;0при0 xx x x xf 2.20. а) x x xf 2 2sin . б) .2при1 ;21при ;1при1 2 xx xx x xf 2.21. а) xx xx xf 3 9tg 2 2 . б) .4при1 ;42при1 ;2при4 2 xx xx xx xf 2.22. а) 2 1 5 xxf . б) .3при3 ;30при9 ;0при 2 3 xx xx xx xf 2.23. а) 322 cos1 xx x xf . б) .4при4 ;40при ;0при 2 xx xx xx xf 2.24. а) xx xx xf 3 65 2 2 . б) . 4 при1 ; 4 0приtg ;0при3 x xx xx xf 2.25. а) xxf 1 1 3 . б) .1приln ;10при1 ;0при 2 xx xx xx xf З а д а ч а 3 75 Найти производные функций. 3.1. а) ;1arcsin xxxy б) ;arcsinxxy в) .010015596 224224 yxyyxx 3.2. a) ; 4 12 lntg x y б) ;ln 1 xxy в) .0xy yx 3.3. а) ; sin1 sin1 ln x x y б) ;xxy в) .032xyyx ee 3.4. а) ;193ln 42 xxy б) ;ln xxy в) .032lnsin 222 xyxyxy 3.5. а) ; 1 2 arcsin 6 3 x x y б) ;sin xxy в) .03 x y e x y x y 3.6. а) ; 1 1 arctg x x y б) ;)(sin cosxxy в) .0132cossin 32 yxxyyx 3.7. а) ; sin1 sin arcsin 2 x x y б) ;)1( 2 xxy 76 в) .1 925 22 yx 3.8. а) ; 11 11 ln 2 2 x x y б) ;2sin 22 xexy x в) .2244 yxyx 3.9. а) ;cossincossin 33 xxxxx eeeeey б) ;ln 22 xexy x в) .ayx 3.10. а) ; 22 1 )1arctg( 2 xx x xy б) ;)1( 2 xxy в) .ln2 xyy 3.11. а) ;cos 3 1 cos 2 lntg 2 xx x y б) ;)(ln xxy в) .0cossin xeye yx 3.12. а) ; 11 1ln xx y б) ; )5( 12( 3 32 x xx y в) .arctg y x xy 3.13. а) ; 1 2 ln 2 x xx y б) ; )3( 24)1( 3 2 43 x xx y в) .3 2 3 2 3 2 ayx 3.14. а) ;12arccos 2xey б) ;1sin xexxy 77 в) .0)cos()sin( xyxy 3.15. а) ; 31 3 arctg 2 2 x xx y б) ; arcsin1 arcsin1 x x y в) .222 yxyx 3.16. а) ; 4 lntg sin2 xe y б) ; 1 xxy в) .arcsinsinarc yxyx 3.17. а) ; 1 ln 2 arctg 2x xx y б) ; 1 x x x y в) .222 ryx 3.18. а) ;)2)12((ln12 xxy б) ;2 xxy в) .lnarctg 22 yxx y 3.19. а) ; cos cosln1 x x y б) ;1 sin2 xxy в) .0333 axyy 3.20. а) ;arcsin1 2 xxx eeey б) ; 1 1 3 22 2 x xx y в) .)cos( xxy 3.21. а) ;1arccos xey б) ; 3 x xy в) ;3sincos 22 xaxy 78 3.22. а) ;sinlog 22 xy б) ;)(ln 1 xxy в) .023 32 xyy 3.23. а) ; 1 1 4 x x y б) ;)(sin arcsinxxy в) .1xye y 3.24. а) ;32ln 23 xxy б) ;)(sin tgxxy в) .0sinsin xyyx 3.25. а) ;222 xexxy б) ; cos x xy в) .03 x y e x y x y З а д а ч а 4 Найти производные второго порядка от функций: 4.1. xy 2cos . 4.2. 3arctgxy . 4.3. 3 4 2 1log xy . 4.4. 2xey . 4.5. 21 arcsin x x y . 4.6. 5 22 x x y . 4.7. 3ln2 4 1 2 xxy . 4.8. xxxxxy arcsin1 3 2 1 3 1 222 . 79 4.9. xxxy 3cos 27 2 3sin 9 1 . 4.10. xy 2sin . 4.11. xy tg . 4.12. 21 xy . 4.13. 32 23xxy . 4.14. 2xexy . 4.15. 31 1 x y . 4.16. xxy arctg1 2 . 4.17. 22 xay . 4.18. 21ln xxy . 4.19. xey . 4.20. xxy arcsin1 2 . 4.21. xay sinarcsin . 4.22. 21 xxy . 4.23. 21 x x . 4.24. 42 1ln xxy . 4.25. xxy ln . 4.26. 3 11 x y . З а д а ч а 5 Найти производные первого и второго порядков от функций, заданных параметрически: 5.1. 1 3 1 ;2 32 tytx . 5.2. 21;arcsin tytx . 5.3. 32; btyatx . 5.4. tytx sin;cos . 5.5. tayttax cos1;sin . 80 5.6. taytax 22 sin;cos . 5.7. 1;ln 2tytx . 5.8. 21ln;arcsin tytx . 5.9. tatytatx sin;cos . 5.10. 2;arccos ttytx . 5.11. ty t x tg; cos 1 . 5.12. 21ln;arctg tytx . 5.13. taytax 33 sin;cos . 5.14. RttRyRttRx coscos;sinsin . 5.15. 1ln;22 tyttx . 5.16. tt etyex ;1 . 5.17. tttytttx cossin;sincos . 5.18. tytx sin;cos2 . 5.19. 32; ttytx . 5.20. tt eyex 32 ; . 5.21. tytx 22 sin2;cos2 . 5.22. tt etyex ;1 . 5.23. ttyttx 2coscos2;2sinsin2 . 5.24. teytex tt sin;cos . 81 5.25. 5;4 32 tt eyex . З а д а ч а 6 Пользуясь правилом Лопиталя, найти пределы функций: 6.1. а) xx x x 2 112 lim 3 1 ; б) x x x ctg ln lim 0 . 6.2. а) x x x cos1 cos1 lim 0 ; б) 1lim 1 x x ex . 6.3. а) 20 cos1 lim x x x ; б) xx x lnarctg2lim . 6.4. а) 3 sin lim x xx x ; б) x x x 1ln 2 tg lim 01 . 6.5. а) x ee axax x 1ln lim 2 0 ; б) x x x ctg 1ln lim 01 . 6.6. а) 67 22 lim 3 23 1 xx xxx x ; б) xx x ctgarcsinlim 0 . 6.7. а) xx xee xx x sin 2 lim 0 ; б) 0 ln lim x x x . 6.8. а) x ee xx x sin lim 0 ; б) xx e x100 lim . 6.9. а) x x x 1 sin 1 1arctg 4 lim ; б) 2 tg1lim 1 x x x . 82 6.10. а) x ba xx x tg lim 0 ; б) 2 tg1lim 1 x x x . 6.11. а) x ex x 2sin 1 lim 0 ; б) 3 1 2 0 lim x x ex . 6.12. а) x x x 1 ln lim 1 ; б) xx x 13lim 1 . 6.13. а) 103 3ln lim 2 2 2 xx x x ; б) 5 lim x ex x . 6.14. а) x a x x ln 1 lim ln 1 ; б) 12 lim 100 1000 x x x . 6.15. а) x ee xx x sin lim 5 0 ; б) x x x1 1 lim . 6.16. а) x xx x 4cos1 tg 2 1 sin lim 2 4 ; б) x x x1 1 1 lim . 6.17. а) xx xx x sin sintg lim 0 ; б) xx x 3 lim 3 . 6.18. а) 34 23 lim 23 23 1 xx xx x ; б) x x x 1 sin 2 3 lim . 6.19. а) xe xe x x x cos cos lim 0 ; б) 10 1 ln lim x x x . 6.20. а) nn mm ax ax ax lim ; б) x x x tg 0 1 lim . 83 6.21. а) x xe x x 4sin 13 lim 2 3 0 ; б) xx x 3 lim 9 . 6.22. а) 1cos 1 lim 3 0 x ex x ; б) x a x x sinlim . 6.23. а) x xe x x 2sin 1 lim 5 0 ; б) x x x arctg 1 1ln lim . 6.24. а) xxx 1 tg 1 lim 0 ; б) x x x cos 2 2lim . 6.25. а) x ee xx x sin lim 0 ; б) 2 3 0 )2(coslim x x x . З а д а ч а 7 Написать формулу Тейлора третьего порядка с остаточным членом в форме Лагранжа для заданной функции в точке 0x . 7.1. 1, 0 2 xxe x . 7.2. 0, 2 0xee a a x a x . 7.3. 1, 0xe x . 7.4. 0,4 0x x . 7.5. 4, 0xx . 7.6. 1,23 0 2610 xxxx . 7.7. 0, 8 1 0x x . 7.8. 0,cos 0xxx . 7.9. 2, 1 0x x x . 7.10. 0, 0 sin xe x . 7.11. 0, 2 1 0xee xx . 7.12. 0,sin1ln 0xx . 84 7.13. 0,45ln 0xx . 7.14. 0,3 0x x . 7.15. 1, 1 0x x . 7.16. 0, 0 15 xe x . 7.17. 3, 2 1 0x x . 7.18. 0,arcsin 0xx . 7.19. 1,ln 0 3 xxx . 7.20. 1,ln 0xx . 7.21. 2,5 0 35 xxxx . 7.22. 0,5ln 0xx . 7.23. 0, 3 sin 0x x . 7.24. 0, 0xxe x . 7.25. 0, 23 1 0x x . З а д а ч а 8 Исследовать функцию и построить ее график. 8.1. 2 21 x x y . 8.2. 3 1 x x y . 8.3. x x y 14 2 . 8.4. 12 3 x x y . 8.5. 2 3 12 x x y . 8.6. x x y 2 23 . 8.7. 24 4 x x y . 8.8. 1 1 2 2 x x y . 8.9. 1 2 x x y . 8.10. x x y 54 3 . 8.11. 13 4 x x y . 8.12. 2 2 41 42 x x y . 8.13. 2 32 x x y . 8.14. 2 4 1 x x y . 8.15. 2 3 1 x x y . 85 8.16. 3 3 1 4 x x y . 8.17. x x y 1 2 . 8.18. 2 4 1 x x y . 8.19. 42 3 x x y . 8.20. 2 3 2x x y . 8.21. 2 3 1 x x y . 8.22. 1 4 3 3 x x y . 8.23. 3 52 x x y . 8.24. xexy 2 . 8.25. 21 xxy . II. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ З а н я т и е 1 Комплексные числа и действия над ними. Простейшие приемы интегрирования Аудиторная работа 1.1. Выполнить действия: а) ;45)4)(32( iii б) . 32 43 )3()52( 22 i i ii в) .14 21 31 i i i г) .43 53 )8( 2 i i i 2.1. Представить следующие комплексные числа в тригонометрической форме записи: а) .1 i б) .i в) . 2 3 2 1 i г) .45 i 3.1. Выполнить действия: 86 а) .)1( 5i б) .)22( 4i в) .)( 10i г) .333 i д) .i е) .313 i 4.1. Пользуясь таблицей интегралов, свойствами неопределенного интеграла и основными правилами интегрирования, найти неопределенные интегралы: а) .)1)(2( dxxx б) . )41( 23 dx x x в) . cossin 22 xx dx г) . )21( 31 22 2 dx xx x д) . 2 sin2 dx x е) dx x xx 2 2 324 . ж) dxxxcos3sin . з) dxx 5)32( . и) dxxx 8cos4cos . к) dx x x 2cos1 cos1 2 . 5.1. Найти неопределенные интегралы поднесением под знак дифференциала: а) dxx xsin2cos . б) 4)ln21( xx dx . в) dx xx x 23 32 2 . г) dx xx x 2 44 2 . д) x xdx 2cos tg . е) xx dx arctg)1( 2 . ж) dxxe x 2 . з) dx x x 2cos 2sin 4 3 . и) xx dx 4ln . к) dx xx x 54 25 2 . 6.1. Найти неопределенные интегралы и сделать проверку дифференцированием: 87 а) dxx )6/3(cos2 . б) x x dx 91 3 . в) dxxx )13cos( 32 . г) dxxx 4)5( . д) 41 x dxx . е) x x e dxe 21 . Домашнее задание 7.1. Найти неопределенные интегралы: а) dxx 34e . б) dxxx 42 . в) dxxx )2)(4( 2 . г) x dxx 2sin1 2cos 2 . д) dxex x 32 . е) xx dx 2ln . ж) 2042 xx dx . з) dx xx x 223 54 . и) 84 13 2 xx x . к) dxx3cos2 . О т в е т ы 4. а) .2 3 2 2 2 3 2 Cx xx б) .2424ln 3 23 Cxxx в) .ctgtg Cxx г) . 1 2arctg 2 1 C x x д) .sin Cxx е) . 3 ln24 C x xx ж) .2cos 4 1 4cos 8 1 Cxx з) . 12 32 6 С x и) .4sin 8 1 2sin 24 1 Cxx к) . 2 1 ctg Cxx 88 5. а) .2sin Cx б) . ln216 1 3 C x в) .23ln 2 Cxx г) .2ln2 2 Cxx д) . 2 tg2 C x е) .arctgln Cx ж) . 2 1 2 Ce x з) . 2cos2 1 2cos6 1 3 C xx и) .4lnln Cx к) .2arctg1254ln 2 5 2 Cxxx 6. а) .6sin 12 1 2 1 Cxx б) . 3ln 3arctg C x в) .13sin 9 1 3 Cx г) .5 6 5 5 6 Cx x д) .arcsin 2 1 2 Cx е) .arctge Cx 7. а) Ce x 34 4 1 . б) Cx 2/32 )4( 3 1 . в) Cxx xx 82 3 2 4 2 34 . г) Cx2sinarctg 2 1 . д) Ce x 3 3 1 . ж) Cx2ln2 . з) C x 4 2 arctg 4 1 . и) C x xx 2 1 arcsin234 2 . к) Cxxxx 4)2(2ln5843 22 . л) C x x 12 6cos 2 1 . З а н я т и е 2 89 Интегрирование с помощью замены переменой в неопределенном интеграле Аудиторная работа 2.1. Найти неопределенные интегралы: а) .)43( 5 dxxx б) .32 dxxx в) . ln2ln 2 x dxxx г) . sin4 2sin 2 dx x x д) . 1xx dx е) . 1x dxx ж) . cos21 sin x dxx з) . 22 axx dx и) . 1 xe dx к) .dx x e x л) . 2 2 /1 dx x x м) . )cos(ln dx x x н) . 2 sin2 2 cos x dx x о) . 13x dx п) . 1 )12( x dxx р) . ln 1ln dx xx x с) . sin cossin 22 dx xx xxx т) . 1 2xx dx у) .)ln1(4 ln dxxxx ф) dx x xx 21 arccos2 . 90 2.2. Найти неопределенные интегралы и сделать проверку дифференцированием: а) . cos sincos dx xx xxx б) .4 2 dxx в) . 1 arcctg 2 dx x x г) . arctg)1( arctg)1(2 22 22 dx xxx xxxx Домашнее задание 2.3. Найти неопределенные интегралы: а) . sin4 2sin4 2 x dxx б) . ln1 1ln dx xx x в) . e1 x dx г) . 1 1 dx x x д) . ln4 )1ln2( 2 dx xx xx е) . 2 3 /1 2 x dxx ж) .)54( 3 dxxx з) xx dx 2ln41 . О т в е т ы 2.1. а) . 27 432 63 43 67 C xx б) .32 20 32 3 5 Cx x в) .ln1 3 1 2 3 2 Cx г) .sin4ln 2 Cx 91 д) .1arctg2 Cx е) .121 3 2 3 Cxx ж) .cos21 Cx з) .ln 2 1 ln 1 2 2 22 2 Cx a ax a и) . 11 11 ln C e e x x к) .2 Cxe л) . 2ln 2 1 C x м) .lnsin Cx н) . 2 sin2ln2 C x о) .31ln 3ln 1 Cx x п) .1 3 12 2 3 Cx x р) .lnln Cxx с) . sin 1 C xx т) . 11 11 ln 2 1 2 2 C x x у) .4ln4 ln Cxx ф) .arccos12 22 Cxx 2.2. а) .cosln Cxx б) . 2 arcsin2sin 2 arcsin2 C xx в) . 3 3arctg2 C x г) .arctglnln2 Cxx 92 2.3. а) Cx2sin4ln . б) Cxx ln1ln . в) C e e x x 1 ln . г) Cxxxx )1ln(4)2 2 1 3 1 (2 2/3 . д) Cxx ln4ln 2 1 2 . е) Cx 2ln2 2 1 2/1 . ж) C xx ) 4 )54(5 5 )54( ( 16 1 45 . з) Cx)ln2arcsin( 2 1 . З а н я т и е 3 Интегрирование по частям в неопределенном интеграле Аудиторная работа 3.1. Найти неопределенные интегралы: а) .e)32( 4 dxx x б) .4ln dxxx в) .2arctg dxxx г) .)13cos()1( 2 dxxx д) .2cos dxxe x е) .ln2 dxx ж) .)sin(ln dxx з) . ln 3 dx x x и) . 1 arcsin x dxx к) .32 dxx x л) . 1 arcsin x x м) .4cos)13( 2 dxxx о) .)1ln(2 dxxx п) dxxa 22 . 93 Домашнее задание 3.2. Найти неопределенные интегралы: а) dxxxx 2cos)2( 2 . б) dxxe x sin2 . в) dx x xx 2sin cos . г) dxxarccos . д) dxe x . е) dxxxx cossin . О т в е т ы 3.1. а) . 8 1 4 32 44 Cee x xx б) . 3 2 4ln 3 2 2 3 Cxx в) .2arctg 8 1 4 1 2arctg 2 2 Cxxx x г) .13sin 27 2 13cos 9 1 13sin 3 12 Cxxxx x д) .cos2sin2 2 Cxx e x е) ;1lnln2 Cxxx ж) ;lncoslnsin 2 Cxx x з) . 4 1 ln 4 1 4 Cx x и) .141arcsin2 Cxxx к) . 3ln 3 3ln 32 3ln 3 32 22 C xx xx л) .41arcsin2 Cxxx м) .8cos 144 3 8sin 6 13 24 3 2 Cxx xx x н) .1ln 369 1ln 3 233 Cx xxx x x о) .ln 22222 Caxxaaxx 3.2. а) Cxxxxxx 2sin 4 1 2cos)1( 2 1 2sin)2( 2 1 2 . 94 б) Cxexe xx cos 3 1 sin 3 2 22 . в) C x x x 2 tgln sin . г) Cxxx 21arccos . д) Cxe x )1(2 . е) Cx x x 2cos 4 2sin 8 1 . З а н я т и е 4 Интегрирование рациональных функций Аудиторная работа 4.1. Записать разложение рациональной дроби на простейшие: а) 23 2 23 xx x . б) 222 )3()1( 54 xx x . в) 22 2 )2)(1( 22 xxx xx . 4.2. Найти неопределенные интегралы: а) . 4 1 3 3 dx xx x б) . 65 32 24 2 dx xx x в) dx xxx xxxx 45 4932 35 2346 . г) xxx dx 22 23 . д) dx xxx xx )3)(2)(1( 42 . е) dx x x 8 3 3 3 . ж) )4)(1( 22 xxx dx . з) dx x xx 1 13 4 4 . 95 и) dx xx xx )2)(1( 30306 2 24 . к) x dx x x 2 1 2 . Домашнее задание 4.3. Найти неопределенные интегралы а) dx xxx xxx )1)(2( 243216 2 24 . б) 23 xx dx . в) dx x xx 8 86 3 2 . г) dx xxx x )134)(1( 99 2 . д) 43 5 24 xx dxx . е) dx xxx xxx )45)(3( 262132 2 234 . О т в е т ы 4.2. а) .12ln 16 9 12ln 16 7 ln 4 1 Cxxxx б) . 2 2 ln 22 7 3 3 ln 32 9 C x x x x в) .2ln2ln1ln 2 1 1ln 2 3 ln 2 2 Cxxxxx x г) .1arctg 2 1 22ln 4 1 ln 2 1 2 Cxxxx д) .3ln 2 5 2ln21ln 2 1 Cxxx е) . 3 1 arctg 38 11 42ln 16 11 2ln 8 11 2 C x xxxx ж) .4ln 24 1 1ln 6 1 ln 4 1 22 Cxxx з) .arctg1ln 4 3 1ln 4 1 1ln 4 5 2 Cxxxxx и) .2ln21ln31ln123 2 Cxxxxx 96 к) . 1 9 1ln3ln4 C x xx 4.3. а) Cxxxxx 2ln101ln31ln2123 2 . б) C xx x 11 ln . в) C x xxx 3 1 arctg 3 1 42ln 2 1 2ln2 2 . г) C x xxx 3 2 arctg21ln134ln 2 1 2 . д) Cxxx 4ln 2 1 1ln 2 1 1ln 2 1 2 . е) Cxxxxx 4ln23ln1ln42 . З а н я т и е 5 Интегрирование тригонометрических выражений и простейших иррациональных функций Аудиторная работа 5.1. Найти неопределенные интегралы от тригонометрических функций: а) dxxx 3sin5sin . б) dxxx 3cos8cos . в) dxx2sin4 . г) dxx3cos5 . д) dxxx 2cos2sin 53 . е) dxxx 3cos3sin 33 . ж) dxxx 42 sincos . з) dxx2tg3 . и) dxx4ctg . к) x dxx 4 2 cos sin . л) x dx 2sin1 . м) x dx tg1 . 97 н) xxxx dx 22 cos12cossin8sin . о) x dx sin45 . 5.2. Найти неопределенные интегралы от иррациональных функций: а) xx dx 3)5( . б) dx x x x 1 11 . в) xx dx )4(3 . г) )( 5 2xxx dx . д) dx x xx 3 2 1 1 . е) 3 1212 xx dx . ж) dxxx )1( 2 . з) 411 1 xx dx . и) x x 3 41 . к) dx x x3 1 . Домашнее задание 5.3. Найти неопределенные интегралы: а) dxxx 83 cossin . б) dxxx 3cos3sin 24 . в) dxxxsincos5 . г) dxxx 2cos2sin 3 5 3 . д) xx dx sin4cos3 . е) xxx dx cossin8sin16 2 . ж) dx xx x 2 1 . з) dx xx x 1)11( 11 3 . и) dx xx xxx )1( 3 63 2 . к) dx xx xxx )1( 3 3 2 . О т в е т ы 5.1. а) .8sin 16 1 2sin 4 1 Cxx б) .5sin 10 1 11sin 22 1 Cxx 98 в) .8sin 64 1 4sin 8 1 8 3 Cxx x г) .3 5 1 3sin 3 2 3sin 3 1 3 Cxxx д) . 8 2cos 6 2cos 2 1 86 C xx е) . 3 6cos 6cos 48 1 3 C x x ж) .4cos 64 1 2cos 16 1 Cxx з) .2cosln 2 1 2tg 4 1 2 Cxx и) .ctg 3 ctg3 Cxx x к) . 3 tg3 C x л) .)tg2arctg( 2 1 Cx м) . 2 1 1tgln 4 1 1tgln 2 1 2 Cxxx н) . 6tg 6tg ln 4 1 C x x о) . 3 4 2 tg5 arctg 3 1 C x 5.2. а) . 2 3 arctg2 C x б) . 11 11 ln 1 1 arctg2 C xx xx x x в) . 2 arctg126 6 6 C x x г) .где,1lnln 1 2 1 3 1 4 1 10 10 234 xtCtt tttt д) .где, 7 6 8 3 6716 xtCtt е) .12где,1ln 23 6 23 xtCtt tt ж) Не берущийся. з) . 1 где, 3 2 52 1 4 435 x x tCt tt 99 и) .1где, 47 12 3 4 47 xtC tt к) .1где, 3 12 arctg341ln1ln26 32 xtC t tttt 5.3. а) Cxx 911 cos 9 1 cos 11 1 . б) Cxxx 6sin 144 1 12sin 192 1 16 1 3 . в) C x 6 cos6 . г) Cxx 5 185 8 2sin 36 5 2sin 16 5 . д) C x x 32/tg 3 1 2 tg ln 5 1 . е) C x x tg2 1tg2 ln 8 1 . ж) C x x x 22 22 ln 2 1 22 . з) 363 23 11ln316)1( 2 3 13 xxxx Cx6 1arctg6 . и) Cxx 6 3 2 arctg6 2 3 . к) Cxxx 66/13/2 arctg66 2 3 . З а н я т и е 6 Вычисление определенных интегралов Аудиторная работа 6.1. Вычислить определенные интегралы: 100 а) 9 2 3 1 dxx . б) 3 0 3 2 4 x dxx . в) 2 1 /1 3 21 dxe x x . г) e xx dx 1 2 )ln1( . д) e dx x x 1 lncos . е) 2 0 12 12 dx x x . ж) 4/ 0 3coscos dxxx . з) 2 0 24 dxx . и) 5 0 132 xx dx . к) 9 4 2 1 dy y y . л) 9 01 x dxx . м) e dxx 1 ln . н) 1 0 2 54xx dx . о) 0 cos)12( dxxx . п) 2/ 2/ cos1 x dx . р) 2/ 0 5 2sincos dxxx . с) 2/ 0 2 cos dxxe x . т) dxx 1 0 arctg . у) 3 2 23 52 157 dx xxx x . ф) 1 0 4 5 16 1 dt t t . Домашнее задание 6.2. Вычислить определенные интегралы: 101 а) 2/ 0 cos dxxx . б) e dxxx 1 2ln . в) 8 3 1 x dxx . г) 3 1 ln1 e xx dx . д) 5 0 132 xx dx . е) e dxx 1 3ln . ж) 3/ 4/ 2sin x dxx . з) dx xx xxxx2 2 24 357 13 23 . и) 2/ 0 cos23 x dx . к) 4/ 0 2sin21 x dx . О т в е т ы 6.1. а) . 4 45 б) . 4 31 ln 3 1 в) ).( 2 1 4 ee г) . 4 д) .1sin е) .5ln2 ж) 0. з) . 2. 6.2. а) 1 2 . б) )1( 4 1 2e . в) 3 32 . г) 2. д) 112ln 5 1 . е) e26 . ж) 3 2 ln 2 1 36 )349( . з) 0. и) 5 1 arctg 5 2 . к) 33 . З а н я т и е 7 Приложения определенных интегралов Аудиторная работа 102 7.1. Найти площади криволинейных фигур, ограниченных линиями: а) .0;;,ln 3 yexexxy б) .2,22 xyxxy в) .0,)( 4 ;2 322 ppx p ypxy г) .,2; 222222 ayaayyxayx д) ; 2 3 ; 2222 axyayx . е) .sin;cos 33 taytax ж) .осью),cos1(2);sin(2 Oxtyttx з) ).sin1(ar и) .кардиоиды)(ввнcos1;sin3 rr к) 3cosar . 7.2. Найти длину дуги кривой: а) .10;42 xxy б) .83;ln xxy в) .4/0;cosln xxy г) .20),cos1();sin( ttayttax д) .sin;cos tRytRx е) .sin,cos 33 taytax ж) ).cos1(ar з) 20,ar . 103 7.3. Найти объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривыми, около указанной оси: а) .,1,42 Oxxxy б) .;0,1,e Oxyxxy x в) .;, 22 Oyxyxy г) .,0;2 2 Oyyxxy д) Oxtayttax ),cos1(),sin( . Домашнее задание 7.4. Найти площади криволинейных фигур, ограниченных линиями: а) 2 ,0,0,cos,sin xyxyxy . б) 0,e)2( 2 yxxy x . в) 32 3,3 ttytx . г) ttytx 32 ;1 . д) 5cosar . е) 2sinar . Найти длину дуги кривой: ж) 2/10),1ln( 2 xxy . з) ttttRytttRx 0),cos(sin),sin(cos . и) 3/44/3;/1 . Найти объем тела вращения: к) Oxhhaxayx ),0(;222 . 104 л) Oxxxy ,10,arcsin . м) Oxtaytax ,2sin,cos . О т в е т ы 7.4. а) 22 . б) 4. в) 5 372 . г) 8/15. д) 4 2a . е) 4 2a . ж) 2 1 3ln . з) 2 2R . и) 12 5 2 3 ln . к) )3( 3 2 ha h . л) )2 4 ( 2 . м) 3 15 8 a . З а н я т и е 8 Несобственные интегралы Аудиторная работа 8.1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: а) . 2 dxxe x б) e xx dx ln . в) e xx dx 3ln . г) 1162 xx dx . д) 0 4 x dx . е) 0 cos dxxx . ж) 3 1 2)1(x dx . з) 0 2 24 x dx . и) 2/ 0 2sin 12 dx x x . к) 2 1 ln xx dx . 105 л) /2 0 2 /1cos dx x x . м) 2 0 2 3 4 x dxx . 8.2. Исследовать на сходимость интегралы: а) 1 2 345 xx dx . б) 1 3 sin4 dx x x . в) 2 2sin xx dx . г) 3 0 3 /1cos dx x x . д) 1 0 tg xx dx . е) 2/ 0 sinln dx x x . Домашнее задание 8.3. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость: а) 1 2 1x dxx . б) dx x x 1 21 arctg . в) 1 2)1( x dxx . г) 2 1 1x dxx . д) 1 0 ln dxxx . е) 2 0 2 34xx dx . ж) 0 1 2 /1 x e x . О т в е т ы 8.1. а) 0. б) Расходится. в) . 2 1 г) . 2 д) Расходится. е) Расходится. ж) Расходится. з) . 2 и) Расходится. к) .2ln2 л) Расходится. м) . 3 16 106 8.2. а) Сходится. б) Расходится. в) Расходится. г) Сходится. д) Расходится. е) Сходится. 8.3. а) Расходится. б) 32 3 2 . в) 42 1 . г) 3 8 . д) 4 1 . е) Расходится. ж) e 1 . З а н я т и е 9 Частные производные и полный дифференциал функций нескольких переменных. Производные и дифференциалы высших порядков Аудиторная работа 9.1. Найти частные производные от заданных функций: а) yx x z 2 arctg . б) xxyyxz 2/ . в) yxz cos)1( . г) 2 2cos)2( y x yxz . д) )ln( 222 zyx z xy u . е) 2 2 2)32( z xy ezyxu . 9.2. Найти полный дифференциал: а) yx yx z . б) )arcsin( 2yxz . в) 2 2 yx xy z . г) 2yxz . д) 1ln z yx u . е) zxyu )( . 9.3. Найти частные производные второго порядка: 107 а) )ln( 22 yxz . б) xy z 1 . в) xyez . г) 22 1 yx z . д) y xy z cos . е) yx z 32 1 . 9.4. Найти полные дифференциалы второго порядка: а) 32342 22 xyxyxz . б) y x z . в) 22 2 yx xy z . г) yxez sin . д) )ln( 22 yxz . е) 2)( 1 yx z . Домашнее задание 9.5. а) 22 33 yx yx z . Найти dz . б) y x z arctg . Найти y z x z , . в) y x z tgln . Найти dz . г) 222 2 zyxu Найти du . д) xyz ln . Найти 2 22 2 2 ;; y z yx z x z . е) )sin(xyz . Найти zd 2 . О т в е т ы 108 9.2. д) . 11 2 dz z yx dy z dx zzyx z du е) .)ln()( 1 dzxyxyzxdyzydxxydu z 9.3. а) .2; 4 ;2 222 22 2 2 222 2 222 22 2 2 yx yx y z yx xy yx z yx xy x z б) . 2 ; 1 ; 2 32 2 22 2 32 2 xyy z yxyx z yxx z в) .);1(; 2 2 22 2 2 2 xyxyxy ex y z xye yx z ey x z г) . 3 2; 8 ; 3 2 322 22 2 2 422 2 322 22 2 2 yx xy y z yx xy yx z yx yx x z д) .cos;cos 2 2 2 xyx yx z xyy x z . cos2sinsincos 322 2 y xyxyxy y xyxyxy x y z е) . )32( 18 ; )32( 12 ; )32( 8 22 2 2 2 22 2 yxy z yxyx z yxx z 9.4. а) ).644 222 dydxdydxzd б) . 21 2 32 2 dy y x dxdy y zd в) . 3446 2 34 2 322 22 322 4422 2 322 22 2 dy yx xyxy dxdy yx yxyx dx yx yxxy zd 109 г) .sincos sin1cossin 22sin sin2sin22 dyyxxe dxdyyxyedxyezd yyx yxyx д) ;2 4 2 2 222 22 222 2 222 22 2 dy yx yx dxdy yx xy dx yx yx zd е) . 6 22 4 2 dydxdydx yx zd 9.5. а) ).)23()23(( )( 1 32243224 222 dyyxyxydxxyyxx yx dz б) 2222 . yx x y z yx y x z . в) y x y dy y x dx dz 2 sin )(2 . г) 222 2 2 zyx zdzydyxdx du . д) . 1lnln . )1(lnln lnln 2 lnln 22 2 yxyx e xy yx yx z e x yy x z ; )1(lnln lnln 22 2 yxe y xx y z е) 22222 sin)sin(cos2sin xydyxdxdyxyxyxyxydxyzd . З а н я т и е 10 Производные сложных функций нескольких переменных. Производная функции, заданной неявно 110 Аудиторная работа 10.1. Найти указанные производные: а) ??;,,arcsin 22 v z u z uvyvux y x z б) ?;cos,2sin,2 dt dz tytxez yx в) ?;3,2,2 3222 dt dz tytxyxyxz г) ?);1ln(,arctg,1 222 dt dz tytxxytxz д) ?;arcsin,1,ln 22 dt dz tytxyxz е) ?;,,);ln( 23222 dt du eztytxzyxu t ж) ??;;;cos v z u z uvy v u xxz y 10.2. Найти частные производные от неявно заданных функций: а) ??;1 2 2 2 2 2 2 y z x z c z b y a x б) ??;1 2 y z x z y z zxy z xy в) ??;cos y z x z zxez xyz 111 г) ??;)ln( 2 y z x z eyxyzx z д) ??;1 1 arctg 22 2 y z x z yx z xyz е) ??;)2cos()2sin( y z x z eyxzzxy z ж) ??;0cos y z x z zz xy Домашнее задание 10.3. Найти указанные производные: а) ??;;,22 y z x z yxvyxuvuz б) ?;ln,2sin,22 dt dz tytxyxz в) ?;,;cossin 32 dt dz tytxxyyxz г) ??;1222 y z x z xzzyyx д) ??;22 y z x z azxyze xy е) ??;1lnlnln y z x z xyzyxzzxy О т в е т ы 10.1. а) .2 1 ;2 1 2222 u y x v xyv z v y x u xyu z 112 б) .sin22cos22 tte dt dz yx в) .2924 22 1 2 22 txytyx yxyxdt dz г) . 1 4 1 2 22 2 2 t xyt t ytx x dt dz д) . 11 ln2 2 2 2 ty x t yxt dt dz е) .23 2 2 222 tzetyxt zyxdt du ж) .lnsin cos );sin(ln 1 cos cos 2 1cos cos1cos ux v xyu v z уvxx v xy u z y y yy 10.2. а) .; 2 2 2 2 zb yc y z za xc x z б) . 2 3233 2233 zzxyxyy zzxyxyz y z в) . sin1 ; sin1 cos zxxye xze y z zxxye zyze x z xyz xyz xyz xyz г) . )(2 1 ; )(2 1 22 zz eyxyzxzxy xz y z eyxyzxzxy yz x z 113 д) . )1)(arctg)1(2( 2)1( ; )1)(arctg)1(2( 2)1( 2222 2222 2222 2222 yxxyyxz yzxyxzx y z yxxyyxz zxyyxzy x z е) . )2cos()2cos(2 )2sin(2)2sin( ; )2cos()2cos(2 )2sin()2cos( z z eyxzx yxzzx y z eyxzx yxzzxy x z ж) . sin ln ; sin ln 11 zxyz zxx y z zxyz zyz x z xy xy xy xy 10.3. а) .22;22 2222 vuuv y z vuuv x z б) )/2cos2( 1 22 tytx yxdt dz . в) 2)coscos(32)sin(sin txyxtxyy dt dz . г) zxy zxy x z zxy yzx y z 2 2 ; 2 2 2 2 2 2 . д) 22 2 2 ; xye xyzxze y z xye zyyze x z xy xy xy xy . е) zxyxyyx yxzxzzx y z zxyxyyx xyzyzzy x z /lnln /lnln ; /lnln /lnln . З а н я т и е 11 114 Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Производная по направлению. Градиент Аудиторная работа 11.1. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке ),,( 000 zyxM : а) ). 4 ;1;0(, 1 arctg M y x z б) ).1;2;1(,15232 222 Mzxxzyx в) ).7;4;3(,22 Mxyyxz г) ).1;2;1(,06333 Mxyzzyx 11.2. Найти производную функции 33 223 xyyxxz в точке )2;1(M в направлении, идущем от этой точки к точке )5;4(N . 11.3. Найти производную функции 22 yxxyz в точке )4;3(M в направлении, составляющем с осью Oxугол 60 . 11.4. Найти производную x y z arctg в точке )2/3;2/1(M , принадлежащей окружности 0222 xyx , по направлению этой окружности. 11.5. Доказать, что производная функции x y z 2 в любой точке эллипса 12 22 yx по направлению нормали к эллипсу равна нулю. 11.6. Найти градиент функции в указанной точке: а) ).1;2(,4 22 Myxz б) ).2;0;1(,5222 Mxyzzyx 115 11.7. Каково направление наибольшего изменения функции zyzxu cossin в начале координат? 11.8. Даны две функции )1ln( 22 yxz и xyyxz 322 . Найти угол между градиентами этих функций в точке )1;1(M . Домашнее задание 11.9. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке ),,( 000 zyxM : а) ).5;0;1(,24 22 Myxz б) ).2;;(,lnln eeeMxyyxz в) ).1;1;1(,632 222 Mzyx 11.10. Дана функция yx x z arcsin . Найти угол между градиентами этой функции в точках )1;1(1M и )4;3(2M . 11.11. Найти точки, в которых модуль градиента функции 2/322 )( yxz равен 2. 11.12. Найти производную функции )ln( yxz в точке )2;1( , принадлежащей параболе xy 42 , по направлению этой параболы. О т в е т ы 11.1. а) . 2 4 1 1 1 ; 2 12 z yx zyx б) . 3 1 12 2 5 1 ;0323125 zyx zyx в) . 5 7 11 4 17 3 ;6051117 zyx zyx г) . 5 1 11 2 1 1 ;018511 zyx zyx 116 11.2. .313 11.3. .33,126,13 11.4. . 2 1 11.6. а) .2 3 1 ji  б) . 2 1 ji  11.7. Отрицательная полуось .y 11.8. . 11.9. а) 0 092 ;032 y xz xz . б) 1 2 22 ;0222 ezeyex eyxz . в) 3 1 2 1 1 1 ;0632 zyx zyx . 11.10. 8;99,0cos . 11.11. точки на окружности 3/222 yx . 11.12. 3/2 . З а н я т и е 12 Экстремум функции нескольких переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции нескольких переменных в замкнутой области. Условный экстремум Аудиторная работа 12.1. Исследовать на экстремум следующие функции: а) yxxyxz 12153 23 . б) yxyxyxz 222 . в) yxyxz 2323 . г) 362 xyxyxz . 12.2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции ),( yxfz в замкнутой области, ограниченной линиями: 117 а) 3;0;0;5642 22 yxyxxxyyxz . б) 2;1;0;0;8422 yxyxyxxyxz . в) 4);32( 2222 22 yxyxez yx . г) 4; 2222 yxyxz . 12.3. Исследовать функции на экстремум при заданном условии: а) yxz 2 при условии 522 yx . б) yx z 11 при условии 222 111 ayx . в) yx z 11 при условии 2yx . г) 2 4yx z при условии 122 yx . Домашнее задание 12.4. Исследовать на экстремум а) 2223 52 yxxyxz ; б) yxyxyxz 6322 . 12.5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области: а) ;6,0,0),4(2 yxyxyxyxz б) .2,1,0,0,8422 yxyxyxxyxz 12.6. Исследовать функцию на условный экстремум а) 422 yxxyyxz при 03yx . б) 2xyz при 12yx . О т в е т ы 118 12.1. а) 0)0;0(min zz ; б) 9)3;0(min zz . 12.5. а) 64)2;4(наим zz , 4)1;2(наиб zz ; б) 3)0;1(наим zz , 17)2;1(наиб zz . 12.6. а) 4/19)2/3;2/3(min zz ; б) 0)0;1(min zz , 27/1)3/1;3/1(max zz . З а н я т и е 13 Интегрирование дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными и однородных дифференциальных уравнений первого порядка Аудиторная работа 13.1. Решить уравнения: а) 0)1( ydxdyx . б) 21 xyxy . в) 011 22 dyxydxy . г) yxey . д) 1)1(,0 yydxxdy . е) 1)0(,cos yxyy . ж) eyyyxy 2 ,lnsin . з) )1)(( 22 yxxy . и) 2 2 2 x y y . к) 22 2 yx xy y . л) 0)1(,0)( 22 yxdydxyxy . м) 0)1(, 2 1 yyxyx . н) 0)()( dyxydxxy . 119 о) )ln(ln xyyyx . п) 1)1(, 2 2 22 22 y xxyy xxyy y . Домашнее задание 13.2. Решить уравнения: а) 22 11 yxy . б) 0)1( 22 dyedxye xx . в) )cos( yxy . г) 1)1(,0)()( 22 ydxyyxdyxxy . д) 1 2 ,tg yyxy . е) y x x y y . ж) 1)1(,0)( yydxdyxxy . з) 0)1(, ye x y y x y . О т в е т ы 13.1. а) . 1 x c y б) .ln222 cxyx в) .11 22 xcy г) .0cee yx д) .xy е) .sin xey ж) 2 tg x еу з) . 23 tg 23 c xx y и) . 1 2 3 3 cx cxx y к) .22 cyyx л) .22 yxy м) .24 2 yxx н) .arctgln 22 x y yxc 13.2. а) Cxy arcsinarctg . 120 б) xeCy 21 . в) Cx yx 2 tg . г) 1ln)( 2 1 22 x y yx . д) xy sin . е) Cxxy ||ln2 . ж) 22||ln y x y . з) )ln1ln( xxy . З а н я т и е 14 Интегрирование линейных дифференциальных уравнений и уравнений Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах Аудиторная работа 14.1. Решить дифференциальные уравнения: а) 2 2 xxexyy . б) 1ln2 x x y y . в) 0)0(, cos 1 tg y x xyy . г) 1 21 2 y x x y . д) 4 1 )0(,2 yxeyy x . е) 1)1(, 23 3 y xx y y . ж) x y xyy sin ctg 3 . з) yxexyy x 2 24 . и) yxyyx 24 . к) 3322 yxxyy . л) 1)0(,2 yxyyy . м) 0)2()2( dyyxdxyx . н) 0)2( dyyxedxe yy . о) 0)ln( 3 dyxydx x y . п) 0)2sin2(cos2 22 dyyxyydxx . 121 р) dx yx y yx xdy 1 2222 . с) 0)0(;0)2()( 22 ydyexxydxyyx y . Домашнее задание 14.2. Решить дифференциальные уравнения: а) 222 )1(2)1( xxyyx . б) 3 2 x x y y . в) 2 2 1 )(,ln ln eeyxx xx y y . г) 5434 yxeyyx x . д) 4 9 )0(; 2 1 yyeyy x . е) 22 ye x y y x . ж) 0)( dyeydxye xx . з) 0)5(,0)2( ydyyxedxe yy . О т в е т ы 14.1. а) . 2 2 2 x cey x б) .ln x c xxy в) .sin xy г) . 1 2 1 2 x ecxy x д) . 4 1 2 1 2xx exey е) . 12 32 xx y ж) . cos2 sin cx x y з) . 2 1 2 222 2 xcey x и) .ln 2 1 2 4 cxxy к) . 2 11 222 2 xcex y 122 л) . 1 1 x y м) .22 cyxyx н) .2 cyxey о) . 4 1 ln 4 c y xy п) .cos 22 cyyx р) .arctg cx y x с) .1 3 1 23 yexyxyx 14.2.а) yCxx ))(1( 2 . б) 2 4 6 1 x C xy . в) xxy ln 2 1 2 . г) 34 )( xCey x . д) 2 1 2 1 xx eey . е) Cexeey xxx 222 8 1 2 1 . ж) Cyyex 2 2 1 . з) 52yxe y . З а н я т и е 15 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка Аудиторная работа 15.1. Решить дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка: а) xxy ln . б) xxy . в) xy arctg . г) .0yyx д) 1)(2 2yyyx . е) x y yyx ln . 123 ж) 2)(2tg yyy . з) 2)(yyy . и) .00,10,4)(32 22 yyyyyy Домашнее задание 15.2. Проинтегрировать уравнения: а) xxey . б) 2xy . в) 0ctg yyx . г) 2xyyx . д) 13 yy . е) )1(yyyy . О т в е т ы 15.1. а) . 64 3 ln 2 1 21 3 22 CxC x xxxy б) . 315 8 32 2 1 4 CxCxCxxy в) . 2 1 1ln 2 1 arctg1 2 1 21 22 CxCxxxxxy г) 21 ln CxCy . д) .149 3 1 2 2 2 1 xССyС е) .2 1 2 11 1 CeCxCy C x ж) .0tg21 yCCxC з) .,12 CyeCy xC е) . cos 1 2 x y к) 32 2 1)3( CxCxCexy x . л) 32 2 1 2/7)2( 125 8 CxCxCxy . 124 м) 2 22 1 1 1 1 1 arccos CxC C xCxy . н) 21 2 ln 4 2 CxC x xy . о) 221 2 1 )(1 CxCyC . п) xCyeCyC xC 121 ,1 1 . З а н я т и е 16 Решение линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа Аудиторная работа 16.1. Решить дифференциальные уравнения: а) 054 yyy . б) 04yy . в) 044 yyy . г) 096 yyy . д) 033 )()( yyyy IVV . е) 0)( yy V . ж) 045 yyy IV . з) 02 yyy IIIV . и) 1)0()0(,096 yyyyy . к) 1)0(,0)0(,022 yyyyy . 16.2. Решить дифференциальные уравнения методом Лагранжа: а) 1x x e e yy . б) x yy 2cos 1 4 . 125 в) x yy sin 1 . г) xe yyy 1 1 23 . д) 24 2 x e yyy x . Домашнее задание 16.3. Решить уравнения: а) 043 yyy . б) 02 yyy . в) 054 yyy . г) 043 yyy IV . д) x yy 2sin 1 4 . е) x e yyy x 2 . О т в е т ы 16.1. а) .521 xx eCeCy б) .421 xeCCy в) .21 2 1 xCCey x г) .21 3 xCCey x д) .254321 xCxCCexCCy x е) .54 2 321 xx eCeCxCxCCy ж) .2sin2cossincos 4321 xCxCxCxCy з) .sincossincos 4321 xCxCxxCxCy и) .413 xey x 126 к) .sin xey x 16.2. а) .1ln 2 1 2 1 1ln 2 1 21 xxxxxx eeeexeCeCy б) .2cos2sin2cosln 4 2cos 2sin 2 21 xCxCx x x x y в) .cossinsinln 21 xxCxxCy г) .1ln2221 xxxxx eeeeCeCy д) . 2 arcsin4 221 x xxxCCey x 16.3. а) xx eCeCy 421 ; б) )( 21 xCCey x . в) )sincos( 21 2 xCxCey x . г) xCxCeCeCy xx cossin 43 2 2 2 1 . д) xxxCxxCy 2sin)ctg 2 1 (2cos|)sin|ln( 21 . е) ||ln)( 21 xxeexCCy xx . З а н я т и е 17 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида Аудиторная работа 17.1. Решить дифференциальные уравнения: 127 а) 1324 2 xxyy . б) xeyyy 82 . в) xexyyy 2)32(34 . г) xyyy sin543 . д) xexyyy 4106 2 . е) xyy 2cos2 . ж) xexyy 243sin13 . з) xxyy 2cossin24 . и) .2)0(,1)0(,134 yyxyy к) 1)0(,0)0(,3cos39 yyxyy . Домашнее задание 17.2. Решить дифференциальные уравнения: а) 12xyy . б) xexyyy )1234(23 . в) 0)0(,2)0(,2sin92cos122 yyxxyyy . г) 0)0(,2)0(,3216 4 yyeyy x . д) 8)0(,1)0(,4 2 yyeyy x . О т в е т ы 17.1. а) . 4 3 2 1 2sin2cos 321 xxxCxCy б) .4 221 xxx exxeCeCy в) .32 2321 xxx exeCeCy г) .sin 34 15 2 4 1 xeCeCy xx 128 д) . 4250 1000425510221 sincos 2 3 2 3 1 x xx exxxeCxeCy е) .3sinsinsin153coscoscos9 6 1 sincos 2221 xxxxxxxCxCy ж) .3sin3cos 18 1 5 2 3 2 2 3 1 xxe x CeCy xx з) .2sin162cos5 40 12 2 2 1 xxeCeCy xx и) .24283925 64 1 24 xxey x к) .3sin93cos3107 90 1 9999 xexeeey xxxx 17.2. а) xxeCCy x 3221 . б) xxx exeCeCy )24(221 . в) xxeey xx 2sin342 . г) xexxy 44sin4cos . д) xxx xeeey 222 223 . З а н я т и е 18 Решение систем дифференциальных уравнений. Метод исключения Аудиторная работа 18.1. Решить системы дифференциальных уравнений: 129 а) . )1( )12( , xt yxy dt dy t y dt dx б) .6 ,52 2t t eyx dt dy exy dt dx в) .0 , 22 yxzxz yyx г) .5,1)0(1 ,0)0( yxy xyx д) . , yxy yxx е) .sin2 ,cos2 txy tyxx ж) .43 ,2 yxy yxx з) . 1 , 1 x y y x Домашнее задание 18.2. Решить системы дифференциальных уравнений: а) xy z z z y 1 1 . б) y x y x y x 2 2 . в) 0)0(74 1)0(23 yyxy xyxx   . г) yxy yxx 3 4   . О т в е т ы 18.1. а) ., 1 2 21 1 21 21 CtC tC y CtC CtC x б) , 40 7 5 1 27 2 4 1 tttt eeeCeCx 130 . 40 1 10 3 2 1 27 2 4 1 tttt eeeCeCy в) .1, 2 1 2 21 CxCzxCy г) .cos5,1sin,sin5,1cos1 ttyttx д) .1212, 22 2 1 2 2 2 1 tttt eCeCyeCeCx е) .sin 2 1 cos21,cos 2 1 1221 tteCtCytetCCx tt ж) .15, 521 5 21 tttt eCeCyeCeCx з) .2,2 21 2 2 2 1 CtCyCtxC 18.2. а) xCxC eCze CC xy 11 2 21 , 1 . б) tttt eCeCyeCeCx 22 2 1 22 2 2 1 2 , . в) teyttex tt 2sin2),2sin2(cos 55 . г) tt eCtCyeCtCx )(,)122( 2121 . 131 Т и п о в о й р а с ч е т № 3 Неопределенный и определенный интегралы В заданиях: № 1–6 – найти неопределенные интегралы; № 7 – вычислить определенный интеграл; № 8 – вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость. В а р и а н т 1 1. . 12x dxx 2. .sin)12( 2 dxxx 3. . 42 x dxx 4. .2cos2sin 23 dxxx 5. dx x xx 8 32 3 24 . 6. . 41 2arctg 2 dx x x 7. . 1 1 0 2 x x e dxe 8. . 40 2x dxx 9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,cosa cos2a . 10. Найти длину полукубической параболы 22 )1( 3 2 xy , заключенной внутри параболы 3 2 xy . В а р и а н т 2 1. . 32 dxex x 2. .ln3 dxxx 3. . sin 2sinsin 2 2 dx xx xxx 4. . 2 3 sin 4 dxx 5. . )32( 32 2 dx xxx x 6. . 1 13 dx x x 7. . ln41 e xx dx 8. 1 0 3)1(x dx . 132 9. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями xyxy 2,2 . 10. Найти длину кардиоиды )sin1(2 . В а р и а н т 3 . cos4 sin .1 2 x dxx .2cos.2 dxxex .cossin.3 2 dxxx . sin3cos .4 xx dx . 4 )1( .5 23 2 xx dxx . 1 .6 x dxx . 1 .7 4 1 2 dy y y 0 2 .8 dxxe x . 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией )cos1(a . 10. Найти объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями ,0,2,2 yxyxy вокруг оси Ox . В а р и а н т 4 . 9 .1 3 2 x dxx .2arctg.2 dxx . sin1 .3 2 x dx . ln2 .4 x dxx . )4)(1( .5 22 3 xx dxx . 4 .6 x dxx . cos sin .7 4/ 0 3 dx x x e xx dx 1 2ln .8 . 133 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .7,6 yxxy 10. Найти периметр фигуры, ограниченной линиями xyxy ,2 . В а р и а н т 5 . ctg1sin .1 2 xx dx .4ln.2 dxx . 1arccos .3 2xx dx . cos1 cossin6 .4 dx x xx . 1 .5 3 4 x dxx . 2 1 .6 3 2 dx x x . 4ln .7 1 2e dx x xx 0 22 )1( .8 x dxx . 9. Найти длину дуги кривой 1xey от точки )0;0( до точки )1;1( e . 10. Найти объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями 2,0,2 xyxy , вокруг оси Oy . В а р и а н т 6 . sin cos .1 4 2 x dxx .2arccos.2 dxxx . cos2sin 3tg2 .3 22 dx xx x .)31sin(.4 2 dxxx . 1 12 .5 4 5 dx x xx . 124 12 .6 x dxx .sin.7 3/ 0 2 dxx . 1 .8 0 2x dx 9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой ,sin ttx tty 0,cos1 . 134 10. Найти объем тела полученного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями ,3,1 xxy .3y В а р и а н т 7 . cos tg1 .1 2 dx x x . cos 12 .2 2 dx x x .31.3 32 dxxx . sin3cos .4 xx dx . 32 13 .5 23 2 dx xxx xx . 1 .6 33 2 dx xx x . 1 arctg .7 3 1 2 dx x x . ln .8 1 e xx dx 9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией 3cos2 . 10. Вычислить длину кривой tytx 33 sin,cos . В а р и а н т 8 . 1 .1 4 3 x dxx .)1ln(.2 2 dxx ..3 x dx e x . cos3sin25 .4 xx dx . )1)(1( 2 .5 2 23 dx xx xx . )11(1 11 .6 3 xd xx x .4.7 2 0 2 dxx . 9 .8 3 0 2x dx 9. Вычислить длину кривой xy ln от точки )0;1( до точки )1;(e . 10. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями 2/0,sin3,cos ttytx . 135 В а р и а н т 9 . )1( .1 5 x dxx .)12(.2 4 dxex x . 10 .3 7 6 x dxx .2cos2sin.4 24 dxxx dx xx x 23 8 34 .5 . . 2 .6 xx dx . 1 1 .7 9 4 dx y y ..8 1 x dx e x 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией sin2a . 10. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями 4,2 xxy . В а р и а н т 10 .sin.1 32 dxxx .3sin.2 2 dxxx .)1(.3 32 3 dxex xx . cos sin .4 5 x dxx . 32 1 .5 23 2 dx xxx x ..6 6 3 dx xx xx . 1 .7 4ln 0 xe dx . 1 arccos .8 1 0 2 dx x x 9. Найти длину кривой .sin4 10. Найти площадь фигуры, ограниченную линиями ,cos4 tx .sin3 ty В а р и а н т 11 ; sin )ctg1(.1 2 3 x dx x ;ln)1(.2 2 dxxx ;9.3 2 dxx 136 ; 3cos2 .4 x dx ; 4 .5 3 2 dx xx x ; 1212 12 .6 63 xx dxx ;2cos.7 2/ 0 sin dxx x . 16 .8 2 1 4 3 x dxx 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ,4162 yxx .4 yx 10. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями .2,222 axayx В а р и а н т 12 . cos .1 dx x x . ln .2 4 dx x x ..3 443 dxex x .3tg.4 4 dxx . 12 92 .5 24 dx xx x ..6 3 6 xx dxx . ln .7 2 1 2e dx x x . )1( .8 1 43 2 x dxx 9. Найти длину кривой xy cosln от точки )0;0( до точки .) 2 2 ln; 4 ( 10. Найти площадь фигуры, ограниченной одним витком .2 В а р и а н т 13 .3tg.1 dxx .2cos)14(.2 2 dxxx . 1 .3 dx x x 137 . cos3sin5 .4 22 xx dx . 65 43 .5 23 dx xxx x . 1 .6 4 x dxx .1.7 3 0 23 dxxx . )1( .8 2 1 2x dxx 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: ,52 xy .42 xy 10. Найти длину кривой )10(sine,cose ttytx tt . В а р и а н т 14 . 1 .1 2xx dx .2ln.2 2 dxx .cose.3 dxe x x .3ctg.4 3 dxx . 83 .5 3 dx xx x . 11 1 .6 3 6 dx xx x . 1 .7 4 1 x dx . ln .8 1 2 dx x x 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией .2sin4 10. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями .0,92 xxy В а р и а н т 15 .sin1cos.1 dxxx . 2sin .2 2 x xdx .4.3 2 dxx x . cos2 .4 x dx . 65 12 .5 24 dx xx x . 1 .6 2 dx x x 138 .cossin.7 3/ 0 2 dxxx . 1 sin .8 1 3 2 dx x x 9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , 1 1 2x y . 2 2x y 10. Найти длину кривой ,)sin(cos2 tttx ,)cos(sin2 ttty .0 t В а р и а н т 16 . ln21 .1 dx x x .sin.2 2 2 dxxe x . 2 32 .3 2 dx xx x .2cos2sin.4 44 dxxx . 143 .5 24 2 dx xx xx ..6 6 3 dx xx xx .tg.7 3/ 6/ 2 dxx . 1 .8 4 1 2x dxx 9. Найти длину кривой 32 )1(xy от точки )0;1( до точки .)125;6( 10. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями .0,2 yxxy В а р и а н т 17 ;212.1 dxxx ; 3cos 53 .2 2 dx x x ; 22 34 .3 2 dx xx x ; cossin4 2sin .4 22 xx dxx ; 98 1 .5 24 24 dx xx xx ; 1 .6 63 3 dx xx xx 139 ;2sin.7 6/ 0 3 dxx . 1 .8 2 1 3 2 x dxx 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,92 xy xy 3 . 10. Вычислить длину кривой tytx 22 sin5,cos5 )2/0( t . В а р и а н т 18 . 32 14 .1 2 dx xx x .2arctg.2 dxxx .cos2sin.3 2 dxxx .2tg.4 5 dxx . 4 34 .5 24 2 dx xx xx . )1( 1 .6 3 dx xx x . cos53 .7 2/ 0 x dx . 42 .8 1 0 3 x dx 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,4xy ,1y .0,4 xy 10. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями .3,,2 xxyxy В а р и а н т 19 . sin ctg .1 2 3 dx x x . ln .2 2 2 dx x x . 12 .3 2 2 x dxx . cos1 sin .4 x dxx . 8 12 .5 3 4 dx x xx . 11 2 .6 dx x x 4/ 0 5 .sin.7 dxx 1 ..8 2 dxxe x 9. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями .)0(0,sin xyxy 140 10. Найти длину кривой ,cos6sin8 ttx tty cos8sin6 .)2/0( t В а р и а н т 20 . 3cos 3.1 2 3tg x dxx ..2 32 dxex x . 2 14 .3 dx x x . cos16cossin6sin .4 22 xxxx dx . 2 1 .5 23 3 dx xxx xx . 2 1 .6 dx xx x . cos4 2sin .7 2/ 2 dx x x . sin 4.8 4/ 0 2 ctg x dxx 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией .cos3 10. Найти длину кривой xey от точки )1;0( до точки .);5( 5e В а р и а н т 21 . 53 32 .1 2 dx xx x .2arccos.2 dxx .2tg2.3 dxxx . cos1 cos3sin2 .4 dx x xx . )134)(1( 384 .5 2 2 dx xxx x . 3 .6 3 2xx dxx . 3cos .7 4/ 0 2 x dxx . lnlnln .8 2e xxx dx 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линией .3cos4 10. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями .)0(0,2,2 xxxyxy 141 В а р и а н т 22 . ln .1 3 2 dx x x .2)32(.2 dxx x . 22 14 .3 2 dx xx x .3ctg.4 6 dxx . 1 6 .5 3x dxx . 31 3 .6 3 x dxx .3ctg.7 9/ 12/ dxx . 1 arcsin .8 1 0 2 dx x x 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,cos4 tx .sin9 ty 10. Найти длину кривой .)sin1(4 В а р и а н т 23 .sin12sin.1 2 dxxx .)13(log.2 2 dxx . 613 1 .3 2 dx xx x . 3cos3sin2 .4 xx dx . 3613 13 .5 24 dx xx x . )1( .6 3 3 2 dx xx xxx 12/ 16/ 2 .4cos.7 dxx 2 1 4 32 . )1( .8 x dxx 9. Найти длину кривой .) 36 (sinln xxy 10. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями .1,,4 xxyxy В а р и а н т 24 142 . sin .1 cos dx e x x . 1 arctg .2 2 dx x xx . 136 43 .3 2 dx xx x . cossin8sin4 .4 2 xxx dx . 45 .5 24 4 xx dxx . 2 .6 4 x dxx .2ln.7 2/ 1 e dxx ..8 0 dxex x 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,9xy ,xy .5x 10. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy фигуры, ограниченной линиями .4,2 xxy В а р и а н т 25 . 1 arctg .1 2 2 dx x x .)12(.2 32 dxexx x . 54 58 .3 2 dx xx x .4ctg.4 5 dxx . 16 32 .5 4 3 dx x xx . 4 .6 3 2xx dxx .4.7 3 1 2 dxxx . 1 arcsin .8 1 0 2 dx x x 9. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями ,2xy .34 2xy 10. Найти длину кривой .)cos1(5 Т и п о в о й р а с ч е т № 4 Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы дифференциальных уровней 143 В заданиях: № 1–8, 10, 11 найти общее решение дифференциальных уравнений. Если даны начальные условия, то решить задачу Коши; № 9 решить методом Лагранжа; № 12 – решить систему дифференциальных уравнений. В а р и а н т 1 .lnsin.1 yyxy .coscos.2 x x y y x y yx .34)1(.3 2 xyyx . 4 .4 yx x y y .0)ln(.5 3 dyxydx x y .4)(32.6 22 yyyy . 1)1( 2/1)1( ,)ln1(.7 y y x y x y y .02.8 yyy IV . 2cos 1 .9 x yy .e)32(2.10 2xxyy .sin4122.11 xyyy . 3 3 .12 yxy yxx В а р и а н т 2 .tg)12(.1 xyy .)ln(ln.2 xyyyx .01.3 2 xyyx .22.4 2xyyyx .0)1()2(.5 // dye y x dxex yxyx .2))((.6 2yye y . 0)0( 1)0( ,1)(.7 y y eye xx .043.8 yyy IV 144 .44.9 3 2 x e yyy x .1.10 2xyy .cos932.11 2 xeyyy x . 23 12 .12 xyy xyx   В а р и а н т 3 . ln .1 2 y e y x .)2(.2 dxxydyy .0.3 2xxeyyx .22.4 2 2 yexxyy x .)(.5 22 yyyyy .0)385()1810(.6 2 dyxxdxyxy .)1( ,)1( ,ln.7 ey ey x y x y y .032.8 yyy . cos 54.9 2 x e yyy x .2cos344.10 xyyy .3254.11 xxexyyy teyxy yxx 33 42 .12   . В а р и а н т 4 .0cos)1()(sin3.1 dyyedxye xx . 2 .2 22 xyy dy xxy dx .)(2.3 2 yxxy .22.4 33yxxyy .0)2()2(.5 2323 dyyxydxxyx 6. .)( 3eyyy . 2)( 1)( ,cos.7 y y xx x y y .0.8 yy IV 145 .132.9 xeyyy x .3cos49.10 xyy .4124.11 2xexyy . 22 364 .12 texyy tyxx   В а р и а н т 5 .3.1 22 x yyxy ..2 y x x y y .ctgcos2ctg.3 2 xxyxy .ln.4 2 xyyyx .0)2e(e.5 dyyxdx yy .)(.6 2 yyyy .1)1()1(,)(.7 yyyxyx .0.8 yy IV .tg.9 xyy .sin3136.10 2 xeyyy x .122.11 xeyyy x .823 ,532 .12 teyxy tyxx   В а р и а н т 6 .0cos1.1 22 yxy .)(4.2 22 dxyxdyxy .03.3 322 xexyxy .)(9.4 3/2252 yxxyxy .1.5 2222 dx yx y yx dyx ..6 xyy .1)5,0()5,0(,1.7 3 yyyy .098.8 yyy IV 146 . 1 .9 2 x x e e yy .54.10 2xeyy .3cos324.11 xxyy . cos22 sin34 .12 tyxy tyxx   В а р и а н т 7 .)1(.1 33 dyedxxe yy .ln.2 x y yyyx .)1(.3 32 xxxyyx ..4 2xyyyx .0.5 dyydxx .)()1(.6 2yyyy .2)1()1(,.7 yyyyx .022.8 yyy IV .tg24.9 xyy .344.10 2xeyyy .cos2sin4136.11 xxyyy . 2 1 .12 2 yz z y y В а р и а н т 8 .0)1()2(.1 2 dyxdxxyx .)2(.2 dyxxydxy .2.3 3xeyy ..4 2yyyx .0.5 2 dy y x y dx .)(2.6 22 yyyy . 2 5 )1(, 2 1 )1(,2)1(.7 yyyyx .0168.8 yyy IV 147 . 1 1 .9 xe yy .)13(2610.10 xexyyy .cos414.11 4 xyy .sin ,cos .12 txy tyx   В а р и а н т 9 .0)1)(12()1(.1 2/322 dyxyydxy .033.2 22 yxxyy .1ln2.3 x x y y . cos 22 .4 2 x y x y y .)1(.5 yyyy .0)cos()sin(.6 dyxyxedxyye yx .1)2(,0)2(,.7 yy y x y .0.8 yy IV .2ctg4.9 xyy .cos3.10 xyy .444.11 22 xexyyy .96 ,4025 .12 t t etyx etyy В а р и а н т 10 .0)3()2(.1 22 dyyxydxxxy .0)()(.2 dyyxdxyx .)1( 1 2 .3 2xe x y y x . 1 .4 2 yx x xy y .0 1 .5 x yyx 148 .0)2sin2(cos2.6 22 dyyxydxyx .1)0()0(,2.7 yyyyy .08.8 yy . 2cos 1 4.9 x yy .26294.10 xeyyy .524.11 3xxexyy . 43 .12 yxy yx   В а р и а н т 11 .0)(.1 dxydyxxy .tg.2 x y xyyx ..3 xeyyx .0cos.4 2 xyyy .0)2(2.5 22 dxxyxdyxy .0 1 )( .6 2 y y y .1)4/(,0)4/(,sinctg2.7 3 yyxyxy .044.8 yyy IV . sin 1 .9 x yy .2cos323612.10 xyyy .)14(322.11 2xexxyyy . .2 ,32 .12 txyy xyx   В а р и а н т 12 .4)2(.1 2 yyxx .ln)(.2 x yx yxyyx 149 . 1 .3 x x y yx . sin ctg.4 3 x y xyy .2.5 yyy .0)3()23(.6 2223 dyyyxdxxyx .045.7 yyy IV .3)0(,1)0(,2)1(.8 2 yyyxxy .2.9 x e yyy x ..10 xxeyy .cos3sin103.11 xxyyy . 5 18 .12 yxy tyxx   В а р и а н т 13 .0.1 22 xyy .lncos.2 x y yyx .cos.3 xyy ..4 2 y x x y y .)1()(2.5 2 yyy .0)2()(.6 22 dyexxydxyyx y .2)1(,1)1(,ln.7 yyxyxy .033.8 yyyy . 4 2.9 2x e yyy x .1296.10 2xyyy .cos454.11 2 xxeyyy x .34 ,2 .12 3texyy xyx   В а р и а н т 14 150 .0)1()1(2.1 2 dxexdyxe yy ..2 22 dxyxdxydyx ..3 x x y y .2.4 2 xeyyy .0)1 2 ()ln(.5 2 dyx y x dxyxy .1)(2.6 2yyyx .1)0(,0)0(,.7 yyeyy y .054.8 yyy IV .tg.9 2 xyy .3cos594.10 xyy .32 ,22 .11 4t t eyxy eyxx   .3132178.12 22 xexxyyy В а р и а н т 15 .ln.1 yyxx ..2 22 xy yx y .1 1 .3 2 x x y y .024.4 2 yxyyx .)1( 1 .5 xx x y y .0)cos()sin3(.6 32 dyyxdxxyx . 3 1 )0(,2)0(,0)(2.7 3 yyyyy .08126.8 yyyy . 1 2 23.9 x x e e yyy .3cos454.10 xeyyy x .4cos3e544.11 2 xyyy x .2 ,2 .12 texy yxx   151 В а р и а н т 16 .0161)4(.1 22 dxydyx ..2 222 yxyxyx . 2 .3 3x x y y ..4 322 yxyxy .0)cos 3 1(sin.5 3 2 dyy x dxyx .24.6 2xyy .2)0(,2)0(,2.7 yyyy .0.8 yy IV . sin 1 4.9 2 x yy .3cos39.10 xyy .434.11 2xexyy . sin5 2 .12 txy yxx   В а р и а н т 17 ..1 2 yxeyy .)(.2 2222 yxyyxxyxyx .1tg.3 yxy ..4 xyyx .0)2(.5 dxxyedye xx .)(.6 22 yyx .0)0(,1)0(, 1 .7 3 yy y y .02.8 yyy IV .2.9 x e yyy x .352.10 2xxeyyy .3cos51344.11 xxyyy .182 ,2 .12 txyy yxx   152 В а р и а н т 18 ..1 2yyyx . 4 4.2 2 22 x xy y .2cos.3 xx x y y ..4 22 ye x y y x .0)()(ln.5 dyy y x dxxy .)(2)32(.6 2yyy .2)1(,1)1(,1.7 23 yyyxyx .033.8 yyyy IV .ctg.9 xyy .316.10 4xxeyy .2cos345.11 xxyy . 3cos .12 txyy yxx   В а р и а н т 19 . 1 1 .1 x y y .arctg)(.2 x x y yyx ..3 xeyyx . 1 arctg4 1 2 .4 22 y x x x xy y .ln.5 xyyx .0 sin2sin .6 2 2 dy y x ydxx y x .2)0(,1)0(,0)(.7 3 yyyyy .08118.8 yyy IV . cos 1 .9 2 x yy .)32(65.10 xexyyy .5)13(4.11 2 xxexyy . 2 1 .12 txy tyx   153 В а р и а н т 20 .0coscossinsin.1 dyyxdxyx ..2 22 yyxyxy .012.3 2 xyyx ..4 42 yx x y y .0 2 1.5 2 2 dy x y dx x y .ctg)1(2.6 xyy .02.7 yy IV .2)0(,1)0(,)(.8 22 yyyyyyy .ln44.9 2 xeyyy x .sincos2.10 xxxyyy .959.11 42 xexyy .32 ,43 .12 2 2 t t eyxy eyxx   В а р и а н т 21 .0)2(.1 2dyxdxy . 3 .2 x y y x y ..3 2 xexyyx .02.4 35 xeyxyyx ;0)4()5(.5 22 dyyxydxxyx .23.6 yyy .0)0(,1)0(,)(.7 yyyyyx .02.8 yyy IVV . 1 1 65.9 2xe yyy .)3(32.10 xexyyy .3cos614.11 xyy .2 ,cos5 .12 yxy tyx   В а р и а н т 22 154 .3.1 22 dyyxdyydxy .)2(.2 dxxydyy . 1 .2 x x y yx . 1 2.4 2 y x x xy y .)(.5 yxyx .0)1cos 2 3 ()1sin3(.6 2 dyyxdxyx .05.7 yy IV .0)0(,2)0(,1)(3.8 3 yyyyyy .3tg39.9 xyy .)1(4.10 2xyy .123cos43.11 2xexyyy . ,2 .12 2txy eyx t   В а р и а н т 23 .)1(.1 xyyx .)(.2 2 yxyyx .))(1(.3 xeyyx ..4 2 yy y x .0 1 .5 2 dy x xy dx x y .)()1(.6 2 yyxyx .03613.7 yyy IV .2)2(,1)2(;3))(1(.8 2 yyyyy .)sin(cos496.9 xxeyyy x .44.10 3 2 x e yyy x .5324.11 32 xexxyy . , .12 zyz x y y 155 В а р и а н т 24 .0ln2.1 xyy .0)34()34(.2 2222 dyxxyydxyxyx .cossincos.3 xxxyy .3.4 3 yxyy .0 312 1.5 4 2 23 dy y x y dx y x .ln2)ln1(.6 x x y xy .1)2(,1)2(,32.7 2 yyyy .054.8 yyy IV .ln2.9 xeyyy x .3cos3sin492.10 xxyy .53496.11 3xexyyy .234 , .12 tyxy tyxx   В а р и а н т 25 .0)3()4(.1 22 dyyxydxxyx ..2 xeyy x y . cos 1 tg.3 x xyy ..4 23 xeyxyy .0)(cos) 4 3(.5 3 2 2 dyxydx x yx .)()1(.6 2yyy .2)(,1)(,2ln.7 eyeyyxxy .01615.8 yyy IV . 4 44.9 2 2 x e yyy x .5444.10 2 xxyyy 156 .2sin4208.11 2xxexyyy .2 , .12 3 3 t t exy eyx   157 Учебное издание ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Сборник заданий для аудиторной и самостоятельной работы студентов инженерно-технических специальностей В 2 частях Ч а с т ь 1 С о с т а в и т е л и : АНДРИЯНЧИК Анатолий Николаевич МИКУЛИК Николай Александрович РАЕВСКАЯ Лариса Алексеевна и др. Редактор Т.Н. Микулик Технический редактор О.В. Дубовик Компьютерная верстка О.В. Дубовик Подписано в печать 17.09.2010. Формат 60 841/16. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 9,07. Уч.-изд. л. 7,09. Тираж 600. Заказ 1044. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Проспект Независимости, 65. 220013, Минск.