МмнмсГёрство обрвгования Республики Беларусь ЕЕЛОРУОСКАЯ ГОСУМРСГВВННАЯ ООЛИШНИЧЕСКАЯ АКАдаШЯ Кафад{м *№(ке1«рная графика иаииностроИтельного профиля' НАЧШ'АШЫШ! ЛгОИЕТРИЯ Иетодичес1а1в ухаэатя по выполнение контрольной работы для студентОв-эаочников иашиноетроительных специальностей Издание 2-е М и н с к 1 9 9 8 УДК 515 (1 7 6 ,1 ) №йтсш]|Ц1в методичеокве ^'казания являотоя дополнением к об­ идим ыетодичвоишл указаниям и коитро/ц>ным заданиям для огудеатов-« заочников. Их ц ель- продупредать типовые ошибки, допуокавмые оту~ двнтама-заочниками при выполнении контрольной работы, Б указаниях даютоя требования к оформление работ, раосмотрены решения типовых задач, указаны страницы в рекомендованных прог­ раммой литературных иоточнииах, где находится воответотвуюший ма­ териал, даны образцы оформления заданий, задачи для подготовки к экзамену. Соотавили: Л. С. Шабека ,'в. В. Вурейко, А.А.Врубедь 1и.В.Ввндиков) Рецензенты: П.Н. Чернявский, А.А. Леотеев © Ш аб ек а Л .С ., Е|урвйко В .В . , Врубель А .А ,, I составление, 1996 и ш п п п ж ж и ы аКРШЕШе ЧБРТЕ1БЙ КОНТРОЛЬШХ РАБОТ Все «юртехн выполняются в карвцдаве н» чертежной бумаге фор^ - мата АЗ (2 9 7 x 4 2 0 ). Первая страница (тшульный л аст) тилдой конт­ рольной работы должна соответствовать форме (р я с .Э ). Форматы чер­ тежа оформляются по образцу (р я с .1 ) , а основная надпись для них по образцу (р и с.2 ) . Линяя, недпися на чертежах, оформление пояс­ нительной записки и пощдок представления контрольных работ дол­ жны соответствовать требованиям [ 1 J , жтодафсаос; шзания к нгшвнию задач Ю1ШЮЛЬНАЯ РАБОТА > 1 Лист 1 , задача I Л и т е р а т у р а : [^1] , с . 7 - 9 ; [ 2 J , е . 9 2 — 9 6 , 122 - 123 ; [ З J , С .5 2 - 6 3 , 55 - 5 6 , 86 - 8 7 ; { 4 ] , о . 7 7 -7 8 . 143 - 144. Образец оформления дан на рис. 4 . Зацанные треугольники представляют собой две перееекавциеся плоскости. Линяя их пересвченая строятся по двум точкам, каждая КЗ которых есть результат ш ресечения 1фямой, лрянадяехащей <^ной плоскости, с другой плоскостью. Для лучшего понимания рассмотрш отдельные элементы решения этой задачи на наглядных изображениях к на чертежах. На рис. 5 (наглядное изображение) плоскости АВС и ДЕР. пересекаются по пря­ мой КТ, которая строится по двум точкам: точке К, являющейся точ­ кой пересечения прямой Щ с пяоскостью АВС, и точке Т - точке пересечения прямой ДР с плоскостью АВС. Для т о го , чтобы построить точку пересечения прямой ДБ с плоскостью АВС, надо через прямую ДБ провести плоскость - п о ­ средник И (см.наглядное изображение на р и с.6) . Затеи следует по­ строить линию пересечения 1т2 заданной плоскостя АВС с плоскостью посредником К. Точка Т , подученная в результате гиресвчения линий ДЕ и 1 - 2 , есть искомая. РВиение такой же задачи на построение точ­ ки пересечения прямой и плоскости, вьгаолнедаов на чертеже, дано на ри с.7 , где через прямую ДБ проведена фронтально-проецирухщая плоскость-посредник, заданная фронтальным следом . Видимость i L Основная наЭпись Г НочвР|| I JJT M S - - f g - ц|М!"и>; и 11? т а ~ ы ш ш т п отельная «воиетрия Some • 7 ? Г Рис, i Р и с , 2. _ Ж - Б Г П / Ц А Т ‘85-7б :Контрольная работа N‘1 по : НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГБ0METPИ^ Летроба Николая Ибанобима 220050 г. Минс к.7^ у я Ч к о л о б а 5 .к 6 9Г| A v c . J Р и с М Н вэд р тая ю л ьй о а еестеш ^ш я а г п А Контрольная р а б о та /1ис1!1^ Чертил Петроб^ ■ Подпись РйШ эеня АГЙ^'-763 проекций ДВ i d e icf'ff't р я с .7 ) отфедеяяется с поиоцьв конкурирур - цих точек, fh фронтальной проекции хонкурирурцит точкаин рнвра- ны I и 3 . Из {^положения их горизонтальных npoexqiA (3 нияе I ) видно, что прямая , которой принадлежит точка 3 , расположена перед АС, поэтоцу линия с/'б' до £ ' будет видимой, а после t ! - не­ видимой, так как точка Т является границей видимости прямой ДВ. С помодьр горизонтально-конкурирупцих точек 4 и 5 аналогично оп- редзля1от видимость ДЕ на горизонтальной проекции. Стрелки с ин­ дексом Н или V указывают проекцию взгляда на соответствупцур пяоскость проекций Н или I/ . Относительная видимость проекций треугольников АВС и Ш ? на рис.4 определяется: на фронтальной проекции по фромтвльно-ксАку- рирупдим точкам I я б , прянадяежшиш соответственно ЁР и ВС; на гориэошальной щ>оекцнн-по го{тонтаяьно-иониурирую1Д1М точкам 4 и 7 , принадлежащим АС и EF. Чтобы определить натуральную величину треугольника АВС, не­ обходимо преобразовать проекция (чертеж)' т а к , чтобы плоскость об­ щего положения АВС скачала заняла (фоецирующее положение, а затем положение уровня. Для преобрааовшня чертежа по условию задачя надо использовать метод плоскрпараллелького перемещения, в со о т ­ ветствии с которш* меняется положение п ^ к ц и й относительно'не - подвижной оси (в данном случае оси X ) , ри с.8 . Плсскость займет проецирующее положение в том случае, если линия уровня этой плоскости будет перпендикулярна плоскости !ф о- екш !в. На рис.8 такой линией уровня плоскости АВС есть гориэон - таль АН ( а'/г' ^ Л/г. } . Перенесем горизонтальную проекцию треу - гольника АВС в новое положение Л/ т а я , чтобы горизонталь - нал проекция горизонтали (fCf/i^sawixa. Вертикальное положение (<Э,Д, X X ) , при этом следует у ч есть , что форма и размеры п р о ек т« при переносе не меняются, не Д01у ск а вт ся также "зеркальное" располо­ жение треугольника Й-/ 4 fC f относительно горизонтальной проек­ ции горизонтали e lf A-J . При перемещения горизонтальной проекция треугольника в поло­ жение ü i i i G f фрокталыаю проекции вершин будут перемещаться по горизонтальным линиям ( //оси X ) , а пересечение этих прямых с с о - ответствуяцнии вертикальными ЯйН1имя свя зи , проведенными от н сю х гсриэоятальнмх гфоенций етих вервии, даст новую фронтальную про­ акции треугольник«—0^ / • которая выродяяаеь в пря1^ ли­ нию, то есть плоскость АВС заняла фронтально-проециру1Я(в« 1к>лохе- нне. Вторьш преобрааованиен следует перевести плоскость АВС из проецирующего положения в положение уровня. Для этого проекцию следует расположить горизонтально / / оси X ), в данном случае поворотом вокруг проецирущей оси , совпадающей с точкой С (с / } . Тогда фронтальная проекция займет положение ( С!~Сг ) . Горизонтальные проекции вершин й / ; П р и етом переместятся по горизонтальным линиям. Пересе<юние атих ли­ ний с вертикальными линиями связи , проведенными из 4^ ,Д«ст новое положение гориаонтальньгх проекций точек - й^_4г С1 ~ ПроеН1Ци ¿Г*. равна натуральной величине треугольника АВС. На рис.4 при решении аналогичной еедачн в новое положение переносится также линия перееечекая Д'/ вместе со вспомога­ тельной точкой 5 , а затем и в ш юление <4 есть на на­ туральную величину треугольника АВС. Лист 2 , задача 2 Л к т в р а т у р а :;[1 ] , с . 9 ; С я ] , с . 9 9 -1 0 3 ; С.&9 - 6 0 ; [ 4 ] . С . 1 1 4 - П 7 . Образец оформления листа дан на рис.Э . Главным зтаЦом решения'этой задачи является построение реб­ ра пирамиды к £ . В соответствии с условием задачи ребро АЛ перпвцди1оглярно плоскости основания пирвмиф! АВС. Значится дашном случав надо из вершины А треугольника АВС восставить трпеццикуяяр и на нем от­ ложить отрезок заданной длины, равный высоте пирааомщ. Для Лучшего понимания вопроса рассмотрим элементы решения задачи 2 на отдельный чертежах (рис. Ю ; 1В . Известно, что для построения прямой, перпеадивулжрной плос­ кости общего положения, в этой плоскости необходимо построить го­ ризонталь я фронталь, так как если прямая перпендикулярна плос­ кости, то на чертеже фронтальнаж проекция трпендикужяра перпе1ЦЙ кудярна фронтальной проекции фронтаям плоскости, а гориэонтаяьнад проекция перпендикуляра перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтальной плоекости. ^Наносить чиспо&ш значения Н ачертательная геометрия б Г П А Контрольна» робота Лист 2 Мертил Петроб 1 Подпись. г Л М Реиензент - . ..... - ... 1-.................... г 85 - 765 Рис. 9 в заданном треугольнике АВС фронталь или горйеонталь иногда {иеится на чертеже, как, например, на р и с .10 , где сторона АВ я в­ ляется фронтельп плоскости, и поято»ог в данном сязгчае надо постро­ ить только горизонталь АН ( Л 'Х ', д ,Д .). На рис. 9 (см .образец) в треугольнике АВС построена горизон­ таль АН ( Л к ) г фронтальная проекция которой параллельна оси X, то есть для проведения горизонтали использована вершина А (А'й ) и точка а{Я'к-) на стороне ВС. Фронталь АР отроим также «ерез вершину А и точку Р( ) на стороне ВС, только у фронта яи горидпчтяяьная проекция параллельна оси X . Далее через точку к{ й ‘,0и ) проводим проекции перпендикуляра//¿'4 ,^ где и перпенди­ кулярна 1 Х ' , а перпендикулярна Так как прямая^ани- иает об>дев положение, то проекции ее отрезков не являются нету - ральиыми величинами,поэтому ни на одной из проекций нельзя отло­ жить задшшую числовую величину высоты пирамиды. Д*я определения натуральной величины отрезка перпендикуляра А^ на этой прямой на­ до задать произвольную точку//“{л -'/ ь ),а затем определить натурвль ную величину отрезка k ^ f , На р и с.10 показано определение натуральной величины отрезка /^Л^мэтодом прямоугольного треугольника. В треугольнике А -л ,**» один к а т ет - это горизонтальная проекция А л-, другой катет А.А» - это отрезок,равный разности высот точек А л f 2 A ~ 2 Гипотзиуэа Л гЛ -есть натуральная величина отрезка кЛГ^ на кото­ рой следует отложить заданную числовую величину высоты пираыддн (Н ^ и получить точку S o • Пропорциональным делениеы ( определяют горизонтальную проекцию точки ^ , а затеы,проводя вер тикальную линию связи , определяют и фронтальную проекг^ию . 1к рис. 9 я I I натуральная величина отрезка перпендикуляра определена способом вращения вокруг горизонтально-проецируадей оси, проходящей через точку А. При вращении горизонтальная проек­ ция точки-/I- перемещается в положение (Ь ( , так чтобы прямая & И-, заняла горизонтальное положение,’ тогда фронтальная проекция точки Ат' переместится й положение . Отрезок А-'Л/' есть натураль­ ная величина, не которой надо отложить заданную числовую величину высоты пирамиды Н’*. Затем пропорциональным делением, то есть пе­ ремещением ' по горизонтальной линия параллельно «/ V до пересе­ чения о й , А ’ определяют фронтальную проекцию вершины пирамиды II нроида аврФякаяьцув juhmb саяаи, опредвхммг гориаонуыыцпв аро- акцию «очхм S é З&кжючипмьыт м « ш м р в м н ш аедачн якаявтея соединение »«ришны онрашир! 5 ( ) с вершинами оановаввкГ АВС a i e ) и определение видимос^и ребер пирамиды на проекциях спосо­ бен кендурируацнх «очей. Лист 2 , задача 3 Л и т е р а т у р а : [ ] l j , о .9 - 1 0 ; ( 2 'j , c .I& ô - 162; [ Э ] , с .И ? - П 9 ; [ 4 ] , с -9 4 - 9 6 , 102, Дяя построения линии пересечения двух много:’ранннков надо построить точки пересечения ребер одного многогранника (пирамиды) с гранями второго (призмы) и наоборот. Псдучешше точки, прннад- яеявщие обоим многогранникам, надо соединить с учетом примадяех- ности гш.ры точек одной грани и видимости яяний. Б данной задаче призма зан ш ает гсриаонтальнс-нроецируодев пояояение, поэтому горизонтальная проекция линии пересечения на чертеяе е с т ь , так как она совпадает с выродденной проекцией приз­ мы. Точки ш ресечения ребер пирамиды с гранями призмы надо обоз­ начить на горизонтальной проекции ( Î - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 , ри с.9 ) и опреде­ лить их фронтальные проекции, как показано на рис. 12 , то есть нкогокрвтно решить задачу на пересечение прямой общего педожения с проецнруицей плоскостью иранью призмы). ^ В Данией задаче только одно ребро призмы £) ( ^ ^ ) пересе­ кается с двумя гранями пирамцды АВД И ВСД в точках 7 и Ö, то есть решается задача на переоечение горизонталъио-проецирущей прямой с илоскостью общего положения. На рис. 13 дано решение такой за ­ дачи, где горизонтальная проекция точки пересечения 7 соЕподает с вырожденной проекцией ребра К ( й - " 7 ) . ®ронтальн>'» npoeworo »той точки (7^) определяют из условия ее принедавяностн iujcükoc- та Aад ^ так как известно,что точка пересечения прямой и плоскос­ ти принадлежит и прямой и плрг.коети'. Для »того проводя; через точку 7 в плескости АЕД линию ß ^ ic / 'p ) c /p ) и на пересечении í/ 'р 'и û'‘ определяют фронтальную проекцию искомой точки - 7 ' . Соединение построенных точек линии пересечения требует ана­ лиза задачи, который показывает, что на р и с.9 линия пересечения состоит из двух замкнуп'ых участков, один из которш 1 -2 -3 преД- 12 с т а м я е т собой пяос|щй т р в у г о х ы т !, так как прянадхеккт одной трл - т 9И • Второй участок лянян - ато пространственная ломанная 4 „ 5 -6 -7 -8 . Соединять мояно следупцие пары точек, принадлежащие од­ новременно граням пирамиды и п р и зж : прямая 4 - 5 принадлежит гра­ ням АОД и Е(А : 4 -7 граням ВОД 7 -6 - граням ВСД к ЕК; 6-6 - граням АВД и ЕК; 8 -5 - граням АВ|Д и Ё . В1адимнмн на фрон­ тальной проекции будут только те участки линии пересечения, кото­ рые принадлежат вцдимым граням призмы и пирамиды одновременно.От- носительнуп вддимость призмы и пираатдн опредеяяят по фройтально- конкурярущии точкам. Лист 3 , задача 4 12; [ г ] , 0 ,1 6 7 - 169;Л и т е р а т у р а : [1^ [З ] , с . 1 2 5 ,1 2 7 . Образец оформления листа дан на ряс. 15 . Развертка поверхности - Ъто фигура, полученная при совмеще­ нии поверхности с плоскостью. Построение развертки щпэмы ясно из методических указаний [ 1 ] , о . I I , р и с.З , Для построения развертки пярамщдн (р и с .15) необходимо опре­ делить натуральные величины всех ребер шфамщды, в том числе ре­ бер основания, с учетом распояоженных на них точек, 1финадлежа - цях линии пересечения. Кроме того надо определить натуралыфв ве­ личину образующих ТД и РД, пряяадяеиацях граням пирашцы ДВС я ДВА, на которых расположены точки линяя пересечения 7 я 8 . Для 01феделеняя натураяьш а величии ребер можно использовать любой известный ыетод определения натуральной величины отрезка иля отсека плоскости - треугольника. На р я с .14 натуральные вели­ чины бохомлс ребер пяршады определены иетодоы вращения вокруг проецирующей оси , проведенной <1в р е з верпину пяратцд! Д. Фронталь­ ные проекцю1 ребер АД и ДЦ (й-'с/' и е точками 2 - 5 - 3 - 6 , а также образующие ^ 1Д {р'с1'я ±У ') с т о ч к ^ 7 -6 вращают ДО со в­ мещения с горизонтальной линией. Ребро РД с точками I и 4 з а ­ нимает частное положение {.с'с!' / / о с о X У * поетому его натуральная величина есть на горизонтальной проекции ( с о / ) . Горизонтальные проекции точек (л^ и , 2 - 3 - 5 - 6 - 7 - в ) определяют на переое- чения вертикальных линий свя зи , проведенных от а .! 4/ и 73 Рыс: 2НсчергоаяельнсЕЯ геометрия в г п ^ Кантраяотя работа | ЛистЗ Чертил ПктрбВ Пайтись 2а Л. 93 Рецензент ¡/^TSS'7í5 Рис. /5 . с гормзоит&хькымм лиш ня, npoMAétuoifáH от горизон­ тальных ¡фоеицяй соотввтствупцнх точек Pl, í> p ~t и г - 3 - 5 - 6 - 7 - в . Натуриьиэт a&nraiHy основания пирамиды AÍBC определяют спо- (^обом шосвбпарадледьного 1юреив1Двния,как показано на рис. 4 я 8. На р я с .15 граня пирамиды (треугояьннки) строят с помощью з а ­ сечек по трем сторонам, нанося все точки линии пересечения, со в - диниь их в таком, же порядке, как и на проекциях. Линии изгиба,то е сть ребра пирамиды внутри контура развертки,изображают штрихпунк- тарной линией с диуыя нтрнкаю1. Лист 4 , задача 6 - « - Р а X у р з : [ Q , с Л Ь ; М , C .I&0 - 1 Ы ; W . с . 122 - 123. Образец офорыяения листа дан на р и с .16. Сквозное отверсти е,в варе (вар - ето геонетрическое тело, сфера - это поверхность шара) образовано путем его пересечения че­ тырьмя плоскостями, которые являются гранями фронтально-1троециру- щ ей призмы. Две граня ВС и АД параллельны горизонтальной плос - кости проекций Н, грань СД параллельна плоскости i V , а грань АВ непараллельна )ш одной из плоскостей проекций. Известно, что любая плоскость пересекает сферу только по окружности, но, в зави­ симости от положения плоскостей (граней АВ, ВС, (Щ, ДА), располо­ женные в них дуги окружностей будут пров1(Ироваться в виде пряных, окружностей я эллипсов. Решение задачи 6 (р и с .16) в виде отдель­ ных ее элементов подробно рассиотрено на р и с ,17 я 16 . На р и с .17 дано построение сечений шара, выполненных плоскостью о б , ((арал- лельной горизонтальной плоскости проекций Н, и плоскостью ^ . параллельной профильной плоскости проекций IV . Плоскость пе­ ресекает шар по окружности, которая проецируется на горизонтальную [фоекцию в виде дуги окружности 3 - 2 - 1 - 2 ^ , а на профильную - в виде отрезка прямой 24^ ~ 1 ~3'*2 '. Плоскость /Ъ пересекает шар по ок­ ружности, которм проецируется на гориэонталь>1ую проем^яю в виде отрезка 4р3р5-3 ’4 , а на профильную проекцию - в виде дуги oKpjrx- ностя 3 ,^ -5 ^ ^ ^ " . Радиусы зтих окруяностей А , и обозначены на проекциях. На рис. 17 линия пересечения плоскостей o i 3^3 не принадлежит поверхности сферы. Отсеченная часть очерков шара на всех проекцнлх вэображаател тонкими линиями. 16 Pue. /7 Pue. /á На рис. 18 дано решение задачи на построение линии пересече­ ния сферы с фронтально'ПроецирупцеЛ плоскостью , которая н е­ параллельна ни одной плоскости проекций. Окружность, образованная $ результате пересечения сферы плоскостью (ее диаметр ) , «а горизонтальную и профильную проекции проецируется в виде з л - липсов. Известно, что линия пересечения плоскости оС и сферы при­ надлежи! н сфере и плоскости, поэтому целесообразно на вырожден­ кой проекции плоскости ) наметить характерные и проме- 1^ точные точки линии пересечения, затем горизонтальные и профиль дае проекции этих точек определить из условия их принадлежности поверхности сферы. Так кек оси эллипсов взаимно перпендикулярны И делят друг друга на рар>:не части, то на фронтальной проекции можно отметить (характерные) точки ^ , ограничивающие концы отрезка оси симметрии эллипсов. На р и с .10 , кроме точек 4 - 4 < , етмечечн следующие характерные точки: I - наивысшая и точка на фронтальном очерке сферы; 3 - точка на горизонтальном очерке; 6 - течка на профильном очерке; 7 - наинизшая и точка на фронталь ном очерке. Точки 2 и б - промежуточные. Недостающи* вровк- пяи точек 1- 3-7 определяют проведением соответствующих линий сия 09Й и иоордвдаты У . Например, горизонтальная проекщр! точ-- ки 3 есть результат пересечения вертикальной линии свя зи , про­ веденной от 3 ' , с горизонтальным очерком сферы (экватором). Про­ фильную проекцию 3 определяем с помощью координаты ^ и гори - аонтадьной линии связи 3 '-3"^ о8п ад авт с осью сферы). Точку 5 це­ лесообразно сначала определить на профильной проекции, проводя гориэоитпльную лини» связи 5 - 5 " до пересечения о профильным очерком, а горизонтальную проекцию определить (по аналогии с точ­ кой 3 ) , используя координату^ . Чтобы определить недостающие пре икции точек 2 ^ 4 ,6 , через квдщую нэ этих точек следует провести окружность - параллель. Например, через точку 6 проведена окруж чость радиуса /?, (иж фронтальной проекция пряивя, на горизонталь­ ной проекции - окружность ! , для определения горизонтальной пре акции точки 6 надо Провести вертикальную линию связи от б ’ до пересечения с окружностью . Профильную проекцию 6" опреде­ ляют проведением горизонтал1»мой линии связи от б ' до б" , ис­ пользуя координату у . Полученные точки линии (гереевчения 1 . . . 7 соединяют плавной 19 кривой а учетом сикшвтржи ам н псов относительно их осей ( 4 - 4 ^ и 4 " - 4'1 ) . Если счи тать, что плоскость (рис. 18) отсекает нижнюю часть ш р а , то участок линии Э -4 -Ь -б -7 на горизонтальной проекции будет неввАИ1а 1М, а сестмтствуящ ие участки отсеченных очерков шара (ниже оС^ на фронтальной проекции, левее точки 3 на горизонтальной и ияхе точки 5 “ на профильной) надо изобразить тонкими линиями, Б задаче 6 на р и с.16 построение линий пересечения шара с гра­ нями ВС, АД и ОД выполняется так же, как в задаче на р и с .!? , Да­ нии пересечения с гранью АВ - как в задаче на р и с .18 , только на рис. 16 эллипс неполный, а недостащ ая часть эллипса 5-6 покаэвна тонкой линией. Удаленные участки очерков (горизонтального 2 - 0 ; фронтального 1* - I I ; профильного 4*~ 10 ) изображены тонкими линиями. Задача ? Л и т е р а т у р а : [ I ] , с . 16 - 18 ; [ г ] . с . 112 , 249 ; [ З ] , с . 79 - 80 , 215 - 2 1 6 ; [4 ] , о.ДЗб - 137 , 273 , Образец оформления листа дан на рис. 19. В решении этой задачи можно вцделить три этана: 1. Выбор новой плоскости проекций и построение новых пррек- ций секуцей плоскости и конуса. 2 . Построение проекции, линии пересечения проецирующей плос­ кости с поверхностью конуса в новой системе плоскостей проекций. 3 . Построение фронтальной проекции линии пересечения в пер­ воначальной старой системе. Начнем с выбора кевой плоскости проекций и построения новой проекции секущей плоскости. Так как по условию зада­ чи бснование конуса находится в плоскости Н, то целесообразно эту плоскость оставить без изменения, а заменить фронтальную плоскость. Для преобразования плоскости АВ'7 во фронтально-проециру; ¡чую (рис. 1 8 ) , необходимо в ней построить горизонталь. Такая го ­ ризонталь может быть, к а к 'в нашем случав АВ , й , ё ) , среди пряных, задающих плоскость (р и с .1 9 ) , Вводим новую ось проекций X/(рис.2 0 ) , перпендикулярно гори­ зонтальной проекции горизситали ( О '^ ) . Из горизонтальных проек­ ций точек проводим новые линии связи , перпендикулярно но­ вой оси проекции Х ( . От точек их пересечения с осью откладываем 20 \W P u e 21 V, ^ 22 отрезки, равные удаленно ваменяемых фронтальных ГфоекцяЙ точек Д .¡тарой оси Полученные таким образом новы* фронтальные проек- ами точек а/ , , С,’ определяют новую вырожденную проекцию плос-' кости (сна же является и следом втой плоскости на новой плос­ кости проекций). Затем строится новая проекйия конуса с основани­ ем на оси и вершиной J^'c координатой 2 г •. плоскость /ШС {Рщ) в новой системе/уД занимает превцирущее положение, то есть вырождается в прямую линию, то линия пересечения конуса и плоскости, 8 данном случав эллипс (см. конические сечения)^ совпа­ дает с этой прямой линией. Для построения'' искомых проекций линии пересечения надо на но­ вой вырожденной проекции этой линии наметить характерные и проме­ жуточные точки, определить их на горизонтальной, а затем и на фрои- тачьной проекции. На ри с.20 на вырожденной проекции сечения (^ , ) намечены и а- ЯБысшая и наинизшая точки !(■ (,') , Zi2',) на образующих iV -' и с о ­ ответственно, а также точки 3 .(3/ ) и 4 ( Ч !) на фронтальном очер­ ке конуса - кэ образующих н S f . Для определения горизон­ тальных проекций этих точек надо от новых проекций , 2 |, 3 j , 4| провести линии связи пергючдикулярно оси Х| до пересечения с ^со­ ответствующими обрезуицими на горизонтальной проекции. Фронтмь- ные проекции l ; 2f 3^ 4 'определяют на пересечении вертикальных линий связи , проведенных от горизонтальных проекций I ,2 y 3 j4 , с соответ­ ствующими образующими на фронтальной проекции slJ', х ' ? ' ) . Чтобы не дэпуот.чгь ошиоок,c,BK3aHfn« с графической неточностью, »ледувт проверить совпадение координат искомых, точек в системе i'lH и (например, З/ должна быть равна д.ля 3 ; - для к 4'; р и с.2 0 ) . На рис. 21 показано определение характерных точек 5„б , при- 9дле*ащях отрезку малой оси симметрии эллипса, которые получены ii результате деления большой оси эллипса I-ß на две равные части. iliW определения горизонтальной проекции точек 5у6 через 5 {»6 { • (юведена параллель ( ^ / ) . Её горизонтальная проекция-окроле - ".ость построена по радиусу Hi » » фронтальная Проекция - пржлая i---n o ксурдипате . Путем проведения соответствующих линий связи опреде пшш проекгщи точек б»о и 5у6* ограничивающих малуй ось эллипса. 23 Точки,принадлежащие хинни пересечения KoiQrca и пхоскости, 40SH0 опредехлть как на образупцих (р и с.20) , так и на параяхеяях (окрухностих), р и с,2 1 . ila рис. 19 для определения точек линии пересече>1ия использова­ ны я образующие и параллели. В заключение полученные точки искомой линии пересечения (эл- лшю^ соединяют : на горизонтальной проекции с учетом симметрии относительно оси 12 и характера кривой; на фронтальной проекция - I. учетом оидимости, где границей вддимосгк являются точки 3 ,4 (З ', 4 ' ) , принадлехащие фронтаяьному очерку ко»|уса. Задача 8 Л и т е р а т у р а ; [ l ] , с . 1 8 - 2 0 ; [ 2 ] , с . 298 - 2 9 9 ; iX J , с . 2 3 0 - 231 . Образец выполнения дан р и с.19. По условию задачи 'требуется построить линию пересечения ци­ линдрической и конической поверхностей (р и с .1 9 ) . Так как цилиндр занимает фронтальчо-проецирующее положение, то фронтальная проек­ ция линии пересе^гения е сть на чертеже - она ссвпадает с выродден- !ЮЙ фронтальной проекцией цилиндра (частью оирухнссти), так как линия пересечения принадлежит обеим поверхностям. Поэтому задача ссодитсн к определению горизонтальной проекции дю<ии пересечения из условия ее npHHaAxexHocTir поверхности конуса, fia первом этапе решения на имеющейся фронтальной проекции линии пересечекия следует наметить характерные точки: 1 и б -точ- ки на фронтальном очерке конуса; 3 ~ на горизонтальном очерке ци- xHtiApa; 5 - на окружности основания конуса.Затем намечают проме- xyïüiiHbie точки 2,.4 (их может быть больше). Далее следует oпIJвдв ячть горизонтальные проекции намеченных точек из условия ик при­ надлежности поверхности конуса. Для определения горизонтальных проекций точен доста - точно провести вертикальные линии овязи от до пересечения с соответствующими линиями на поверхности конуса. Чтобы определить горизонтальные проекции точек 2,-3^ 4,через эти точки на поверхности конуса следует провести параллели L\L,'i .Горизонтальные проекции этих параллелей - окружностей строят но соотввтствуюп1км радиусам (например, ) и на них опре- 24 двляют искомые проекции точек (2 ,3 ^ 4 ) . Все полученные гориаонтьль- ные проекции точек 1 ,2 -,3 ;4 ^5;6 следует соединить плавной кривой с учетом симметрии (отрезок 16) и вкциыости (граница видимости - точки 3 ) . Затем надо определить относительную видимость очеркоаил линий (линий, ограничивающих изображение поверхности на проек1ЩЯХ) конуса и цили1щра.На горизонтальной проекции от течки 3 горизон­ тальный очерк цилиндра закрывает очерк конуса, поэтому очерк кону­ са изображен штриховой линией. Участки очерков одной поверхности, расположенные внутри другой поверхности, (например, отрезок 1-о на фронтальной проекции и 3 -3 - на горизонтальной ) изображают тон­ кими линиями. Задача Ш Л и т е р а т у р а : [ I ] , с . 20 - 22 ; [ 2 ] , с . 302, Образец оформления листа дан на рис. 23. При решении этой задачи (р и с.22 ) на построение линии пересе­ чения фронтальао-проецирупдего цилиндра и отсека (участка) откры­ того тора следует сразу учесть (как в задаче В ) , что фронтальная проекция линии пересечения на чертеже ость - она совпадает с вы­ рожденной проекцией цилицдра (окружностью). Поэтому основным эта­ пом решения этой задачи Является определение горизенталышх провк- !р|й намеченких на линии пересечения характерных и промежуточных точек из условия их принадлежности поверхности тор«, последую­ щее их соединение с учетом характера линии (на рис. 22 - две от­ дельные линии, соприкасающиеся‘в точке I ) и ее видимости. На рис. 23 рассмотрена задача на оп[)е.цеяение горизонтальной проекции линии )* принадлежащей открытому тору. На чер­ теже задана фронтальная проекция линии —Л/ ' . ^ Для решения этой задачи на фронтальной гцюеиции линии (Л 1 ) намечают ряд точек, в том числе характерные Г ,3 ,5 : I - на фрон - тальнои очерке тора (¿ / / у )» 3 - на горизонтальном очерке то­ ра ’ (^ ( ¿2 L ¿ )^ Б - на окружности основания и про- межуто'шые 2 ,4 . Дня определения горизонтальных проекций 1 ,3 , 5 до- 'статочно от провести вертикальные линии связи до пересече­ ния с соответствующими линиями тора на горизонтальной проекции ^ ^ 3 ^ 3 ■ построить горизонтальные проекции точек 2 и 4, надо чере.з 2 ' и 4^ провести дуги окружностей (параллеяи)й!/Ужи 25 27 с центром в о ' * начаяом в соответственно. Искомые про­ екции точек 2 и 4 будут на горипонтальных проекциях этих ок1^ - ностей - я , спроецированных в вцде прямых линий, с нача­ лом в ТОЧКАХ (Цг ц ^ , Обозначенные на р и с.23 точки 1 ,2 ,3 ,4 ,5 определяют лишь половину искомой линии. Вторая половина располагается симметрич­ но относительно . Задача 10 решается аналогично, то есть на выролденной проек­ ции линии пересечения (окружности) намечены точки 1 - 8 (1»2<3^|4'> б’,б ‘ 7 | 8 ') и определены их горизонтальные проекции. Соединять го­ ризонтальные проекции точек надо о учетом строгого соблюдения по­ следовательности, принятой на фронтальной проекции. В заключение надо определить видимость линии пересечения я относительную ви­ димость очерков цилиндра и тора. Лист 7 , задача I I Л и т е р а т у р а : [ \ ] , с . 21 - 2 2 . Образец оформления листа дан на ри с.22 . По условию задачи требуется построить линию перессюния по­ верхностей фроитаяьно-проецирупцего цилиндра и наклонного эллип­ тического конуса YУ которого перпечдикуяярюе сечение эллипс^. Как в задачах 8 и 10 (рис. 19 и 2 2 ) ,фронтальная проекцяя ли­ нии пересечения на чертеже есть - она совпадает с вырожденной фронтальной проекцией цилинр!фа, то е сть с дугой окружности, за ­ ключенной внутри фронтального очерка коцуса. В других вариантах этой задачи проекцией линии пересечени.ч могут быть две дуги окруж­ ности, это значит, что линия пересечения состоит из дщгх участков. Для решения этой задачи надо на фронтальной проекции линии Пересе-^ чения наметить характерные и промежуточные точки, определить их горизонтальные [фоекции из условия принцдлежности поверхности ко­ нуса, соединить горизонтальные проекции точек в том же порадке, как и на фронтальной проекции,с учетом видимости линии. В заключение следует определить относительную видимость цилиндра и конуса. На рис.24 рассмотрено построение проекций точек, принадлежа­ щих наклонному конусу. Дано построение тсдак 1 ,2 , расположенных на обраэуацих фронтального очерка 1л, ^ А 28 фронтальные проекции этих образующих пересекают основание конуса в точках О* о , поэтому сначала надо определить горизонтальные проекции точек ( Л и 4 ) . чтобы построить горизонтальные проекции образующих S (lu S ^ ' . Проведением вертикальной линии связи от I ' и 8*до пересечения сУ Л и 5 / определяют горизонталымс проекции точек 1 , 2 . При построении горизонтальных проекций точен I , ? (р и с .24) часто дяпускавтся ошибка, которая состоит в три, что искомые про­ екции I , 2 строят на линиях и 5С вместо построения на линиях 5Аи 5 6 . На ри с.24 дано также построение фронтальных проекций обрааую- щкх конуса, принадлежащих гсризонтальноцу очерку ) f^SC^S'C■', ) . Их строят по проекциям точек е,'з' и с ' х ’ , где Е н С-точкя касания образующей с окружностью основания, J - вер­ шина конуса. Следует учесть , что на фронтальной проекции с образующей Х£ конкурирует ЗР ( Х ' / * ) , а с. образующей C S конкурирует и ' ^ ’ = Ы Г ) , При построении линии пересечения (задача I I ) каждая фронталь но-проецкрущая образующая цилиндра пересекает ко'^Сх^д двух точ­ ках, которые принадлежат фроиталыю-кснкурирующим образующим кону­ с а , поэтому надо строить горизонтальные проекции точек, прянадле - жащих обеим конкурирующим образующим конуса, так как в данном слу­ чае искомая горизонтальная проекция линии пересечения несимметрич­ на, как это имело место в задачах 8 и 10.Пример:точки J и I I ,р и с .2.2. На р я с .24 на фронтально-конкурирующих образующих и 5 С заданы точки 4 и б ( 4 и 5 и 7 ( 5 '= 7^ . Их горизонтальные проекции определяют: 4 ~ на .5^ > ; 6 - н а ; б - на^^ ; 7 - наХ<^ Не ри с.24 показано построение точки 3 ( ) , принадлежащей окружности основания конуса- В задаче I I требуется также определить точки пересечения об­ разующей, принадлежащей горизонтальному очерку цилиндра, с поверх ностью конуса, то есть определить горизЪнтальные проекции точек 5 и 10 (рис.2 2 ) . Такая задача отдельно решена на ри с.2 5 , где фрон- тально-проецирующая прямая Л ( ) пересекается с поверхностью конуса. . 30 Так как точка пересечения прямой и поверхности принадлежит и п^шмой и поверхности, то фронтальная проекция точек пересачения совпадает с вырожденной проекцией прямой { M'~ S'!=Jû' ) ; горизон- тальнАпо проекции точек 5 и 10 определяют из условия их прИ11адлеж- ности поверхности конуса. На р и с.25 для этого че{>ез точки Ь и 10 проведена окружность >г) { A i'Л( ) , фронтальная проекция которой параллельна основанию KOriyca, а горизонтальная проекция (окру* - иость) определяется центром£?{ î7^ î? ) , полученным не пересечении М ' и 5'К^, и радиусом Л . 11а этой окру:жности определяют гори­ зонтальные проекции точек 5 и 10. Эти точки можно сгцжделить с по­ мощью образующих, как на ри с.24 определены точки 4 и о . на рис.2Ь показано определение произвольных точек 1 ,2 , принадлежащих конку­ рирующим образующим SA и S B Лист в , задача 12 Л и т е р а т у р а : { 1 7 , с . 22 - 2 3 ; [ 2 ] , с .2 В 1 ,2 а 4 - 2й5; [З] , с . 227 ; [А] , с . 297. Образец оформления листа дан на р и с.2 6 . Задача решается с применением метода вспомогательных концент­ рических сфер, так\ как имеются все необходимые для этого условия: 1. Пересекаются поверхности вращения. 2 . Оси вращения поверхностей пересекаются. 3 . Пересекающиеся оси находятся в плоскости, параллельной гиоскости проекций. Рассмотрим пример применения этого метода на р и о,27, где пе- уюсекаются цилиндрическая и коническая поверхности вращения. Реше­ ние дается в одной проекции с целью получения более четкого изоб­ ражения и начинается с отыскания и обозначения уже имеющихся на чертеже фронтальных :1роекций двух характерных точек линии пересе­ чения 1 и 2 , принадлежащих образующим фронтальных очерков пересе­ кающихся поверхностей. Центром вспомогателы-1ых сфер (посредников) является точка Е( В' ) . построения ГфоекциЙ точек искомой ли­ нии пересечения используются фронтальные проекции сфер - окружнос­ ти с центром в Наименьший радиус окружности (сфеу*|) опреде­ ляется путем сравнения длин нормалей, проведенных из Е к пересе­ кающимся поверхностям. Фронтальные проекции этих нормалей (дейст- 31 ЗаЗоча 12. ЗаЗача 3^ Начертательная геометрия БГПА Контрольная ра5ота Л и ст Чертил ^етро5 fíi^ - 15.XII.3S Рецензент ; Ибоноб ЙТ&5-765 Р и с . ‘1§' Pue. 2 7 Put 29 ÊS вительняя длина) строятся как пернвндйнуляры из фронтальной проек­ ции центра сфер на одноименные проекции очерковых образующих 1РСЛИ образутцив прямолинейные) или как радиусы вписанных в очерки поверхностей окр>'жностей. В рассматриваемом на рис.27 примере про­ екциями нормалей являются отрезки Л 'б ' и 6'&' . Сравнение их длин показывает, что большей нормалью является . Поэтому омя и является минимальным радиусом сфер - посредников - Сфера этого радиуса И ' касается конуса по параллели >*//* я пересекает цилиндр по параллели M¿ . Эти параллели проецируются в виде отрезков прямых, и на их пересечении получают характерную точку 3 (наиболее глубокого внедрения поверхности цилиндра в конус). Промежуточные точки линии пересечения строятся с помощью ряда офег, радиусы которых ^ должны удовлетворять условию ^ Р ' • Величина определяется расстоянием [■т проекции центра сфер О.' до наиболее удаленной точки пересечения очерков пересекаопихся поверхностей. ¡1а рис.27 это точка 2 . На рис .27 промежуточная течка строится на пересечении парая.пвлей I ^ и , полученных от пересечения сферы с поверхнос­ тями конуса и цилиндра соответственно. Решение задачи 12 на р и с.26 выполняется аналогично опи­ санному выше. Определение горизонтальных проекций точек линии пересечения необходимо производить из условия принадлежности одной из пересекающихся поверхностей, в данном случае удобнее из условия принадлежности поверхности закрытого тора. Для этого через точки 3 ,4 ,5 проводят параллели (окружности). Соединяют точки линии пере­ сечения сначала на фронтальной проекции и по.чучают проекцию точки 6 ( 6 ' ) , которая является точкой видимости на горизонтальной проек­ ции, так как принадлежит образующим горизонтального очерка цилиндра (на фронтальной проекции они совпадают с осью цилиндра). В заключение определяют относительную видимость отсеков по­ верхностей цилиндра в тора на горизонтальней проекции. Лист 8 , задача 13 Л и т е р а т у р а : [1 ] , с . 23 - 2 5 ; ^ 2] , с . 286 - 287 ; [ з ] , с . 363 ; [А] , с . 300 - 301. Образец оформления'листа дан на ри с.2 6 . По условию задачи требуется построить линию пересечения по- 34 верхностей вращения (тора и конуса), оси которых не пересекается, поэтому здесь не может быть применен метод концентрических сфер- посредникое. Однако обе переевкапощиеся поверхности имеют круговые сечения и общую фронтальную плоскость симметрии, а это означает, что круговые сечения могут быть результатом пересечения каждой по­ верхности с общей сферой. Если эти круговые сечения спроецируются В виде прямых линий и пересекутся между собой, то точки их п ер есе­ чения принадлежат обеим поверхностям, значит^и искомой линии пере­ сечения. иоэтоцу здесь можно использовать метод эксцоитрических сфер - посредников. Основным этапом решения задачи является опре­ деление центров сфер - посредников. Рассмотрим решение аналогичной задачи на рис^^д, где пересе­ каются тор и цилиндр, имеющие общую плоскость симметрии , парал - лельную плоскости проекций . Иоьерхности заданы только фрон­ тальной проекцией. Линия пересечения здесь заключена между харак­ терными точками 1 ,2 (1*,2‘) , построенными на пересечении фронтальных очерков. Промежуточные точки строят следующим образом. Центры всех сфер, пересекающих цилиндр по окружностям, могут быть расположены только на оси цилиндра (в задаче 13 , рис.26 - на оси конуса), а . круговые сечения тора могут быть получены от секущих плоскостей ^ S^У I и ) . проведенных через ось вращения тора Е ( ) . Для построения проекции центра сферы О/ , которая пересечет тор по окружности Д /3 ( Л ' 6 ' ) , надо из середины отрезка £1'<í точки Л" провести перпендикуляр до пересечения с осью цилицдра, из цент­ ра провести сферу радиусом (¿?^ '") . Эта же сфера пересе­ чет цилиндр по паргьллели С ( С' Ы' ) . ¡)а пересечении проекций Л - ' й ' '¿у"получают З ' - проекцию точки, принадлежащей линии пересечения. Для построения Точки 4 ( 26. По­ этому в Таких случаях следует продолжить очерковую образующую ко­ нуса так,* чтобы получить вспомогательную точку 5 (.5”^ на пересече­ нии очерков тора и цилиндра. При соединении построенных точек ли­ нии пересечения на участке между 4 ' и 5 'э т а линия пересекает основа­ ние конуса в характерной точке б (6^) - после которой участок ли­ нии пересечения "6-7-2 ( 6 - 7 - 2 ') становится плоским,так как получен Б результате пе[)есвчения плоскости •'Х!- с поверхностью тора.Точки 35 2 и 7 опредехяжгг яэ условия их принадлежности поверхности тора на соогветствущ мх параллелях (окружностях^ т [ М ' Л1 ) и ¿ ( ¿ * ¿ ) . Горичснтаяьные проекции точек линии пересечения 3 и 4 целесообразно определять иэ условия принадлежности поверхности конуса на соо твет- ствупцих параллелях. В заключение на горизонтальной проекции (рис^% ) определяю^ ввдимость линии пересечения. Если считать, что основатге конуса закрыто плоскостью ^ то видимш участком линии пересе­ чения будет только 6 - 7 - 2 ,как на ри с.2 6 . В методаческих указаниях I основание конуса не закрыто плоскостью (конус - воронка ), поэтому яиння пересечения на горизонтальной проекции вдцина. Затем следует определить относительную видимость отсеков тора и цилиндра. 36 П р и л о х е НИИ С целью закрепления знаний, приобретенных в процессе «зуче- няя начертательной геометрии, а также развития навыков в постро­ ении и чтении чертежа, студентам предлагается решить ряд комплек­ сных задач, вкяючащих основные вопросы курса начертательной гео­ метрии. Решение предложенных задач послужит таксе хорошей подго­ товкой к экзамену. Графические условия задач даны на рис.29 (вместе с текстом условий) к на р и с.30 . На р и с.31 приведены примеры решения анало­ гичных задач. Тексты условий задач к рис.ЗР и краткие методичес­ кие указания к (юшенио всех задач (ри с.29 и 30) приводятся ниже. Методические указания к решению задач на р и с.29 Задача I , рйе<29. Линия пересечения плоскостей ) и (> / У ,'а/л ) принадлежит обеим плоскостям, поэтому задача сводится к ог11>0 делвнию двух точек, принадлежащих одновременно оОв- иы плоскостям. В данном случав такими точками, определяющими ли­ нию пересечения,будут точки пересэченйя двух прямых Л 7( Л//V ) и Ь' ( ) с плоскостью АВС. В заключение следует определить от­ носительную видимость двух плоскостей. Решение аьниогичной задачи дано на рис. 4 , 5 и б . Задача 2 . р и с.2 9 . Для построения точек пересечения прямой / ¿^ ¿ ) с псвв,\дкостыо конуса надо выполнить следующие построения: I ) з а ­ ключить прямую а проецирующую плоскость; 2 ) построить линию пере- сечеикя конуса и этой nяocкoc^'b^) (это будет одно из известных ко­ нических сечений); 3) искомые точки определяют на пересечении прямой с ]юстг;)енным сечением. В данном случае, если прямую зак ­ лючить во фрсггально-проецирующую плоскость, то сечением будет 0 ЛЛИПС, которой строят по совокупности точек, принадлежащих кону­ су и плоскости (см. рис. 20 и 2 1 ) . В .заключение следует определить относительную видимость прямой и конуса. Задача 3 . рис.2 9 , Известно, что если прямая перпендикулярна плос­ кости, го ее фронтальная проекция перпандикулярна фронтальной проекции фронтоля, а горизонтальная - горизонтальной проекции 37 I . построить линию пересечения 2 . Построить точки пересечения плоскостей сС ) и^ прямой с конусом и в одной из ( /У//Л/) II установить их относи- точек построить плоскость, ка­ сательную к конусу. 3 . Определить расстояние от точки Е до плоскости АВСД. 4 , Построить сечение пирамиды S 2>£Р , , плоскостью АВС и определить его натуральную вели- чи'ту (методом замены) плоскостей Рис г В 39 горизонтали. На ри с.31 (задача 4 ) дано решение аналогичной задачи, в ко­ торой горизонталью является сторона АС, а фронталь А1 построена, поэтому направление проекций перпендикуляра будет такт:е'^гу>'/л1'У, а € 1 гор ( а с)^ Следующим, этапом будет определение точки пересече­ ния прямой с плоскостью АВС, для этого прямую Е заклю­ чают в плоскость ( о ^ ) , строят линию пересечения с АВС - 1 -2 (1“ 2', 1 -2 ) и на пересечении линии £ с линией 1 -2 опре­ деляют искомую точку Т И Ч ) . Построение точки пересечения пря>; мой и плоскости показано на ри с.5 и 6 . Отрезок ЕТ определяет рас­ стояние от точки Е до плоскости АВС, однако на чертеже, р и с ,3€ , имеются только его проекции ^ ^ ) . Определение натураль­ ной величины отрезка показано на р и с.10 и I I . Отметим, что в задаче 3 (рис.2Э) в пяоскостй АВСД на черте­ же уже имеется и фронталь ДЦ и горизонталь АВ. Задача 4 . ри с.3 0 .Для решения этой задачи следует 1Ч»образовать чертеж так , чтобы плоскость АВС ( л '6 с\ €1 - 6 с ) стала проециру­ ющей, а проекция основания пирамиды ^ оставалась прямой ли­ нией. Такому условию удодлетворит замена фронтальной плоскости проекций У на И . Э т о значит, что задача сначала будет ре­ шаться в системе Н¡\^, , где вырожденная проекция линии пересе­ чения совпадает с новой проекцией плоскости сс , . Реше­ ние аналогичной задачи (сечение конуса) дано на рис. 19 , 2 0 , 21 (задача 7 ) , однако данная задача гораздо проще,так как её решение сводится к определению трех или четырех точек, принадлежащих реб­ рам пирамиды. Содержание задач к ри с.30 и краткие методические указания к их решению Задачи I и 2 . оис.ЗО. Дана фронтальная проекция призмы и пирами­ ды со срезами, образованными фронтально-проецирушими плоскостя­ ми. На гориэонт8и1ьной проекции даны только очерки геометрических фигур. Требуется достроить горизонтальные и построить профильные проекции заданных фигур. 40 ¡Ьчертить заданную фронтальную проекцию, » затем в тонкид линиях горизонтальную и профильную проекции фигур без ср е зо в .В е с­ ти построение сечений, то есть определять недостаю4ц1в проекции обозначенных точек, надо последовательно, от каддой плоскости отдельно, сразу на трех проекциях. При построении некотори про­ фильных (иногда гор изон таль««) проекций точек следует пользовать­ ся координатой у , как на р и с.3 1 , задачи 1 ,2 ,3 . В заключение при определении очерков на горизонтальной и профильной проекциях отсеченную часть очерка (кв1ф1^ иер,2 -7 в задаче I , ри с.31) изобра­ жать тонкими линиями. Пример решения пирамиды дан на ри с.3 1 , задача I . Задачи 3 и 4 . ри с.3 0 . Даны фронтальные проекции циличдрА я кону­ са со срезами, образованными фронтально-проецирующини плоскостями. Требуется построить горизонтальные и профильные проекции за ­ данных геометрических фигур. Методические указания к решению задач 3 и 4 , ри с.30 Начертить заданную фронтальную проекцию, а затем в тонких линиях горизонтальную и профильную проек1{ии без ср езо в. Вести построение, то есть определять недостапцие проекции обозначенных точен, надо последовательно, от каждоЦ плоскости отдельно, сразу на трех про екциях, при этом вначале надо выяснить характер искомой линии пе­ ресечения (эллипс, окружность,прямая,парлбояа и д р ,) . Некоторые про<(|илыше (иногда горизонтальные) проекции точек следует строить помощью координаты у , как на рно.ЗТ. Отсеченную часть очер­ ков изобразить тонкими линиями. Пример решения uилн^iдpa дан на рис. И , задача 2 , где сечениями являются; эллипс - от плоскости .тк. ; пара прямьск - от плоскости _у0 ; окружность - о? плоскости^; Задачи Ь и 6 , рис .3 0 . Данн фронталы-ме нроетдии шара и тора со (врезами, образова11Ннми фропгально-проецирующими плоскостями. Тре­ буется достроить горизонтальные и построить профильные проекции гес5мелрических фигур. Цетодические указания к решвнио задач I и 2. рис. 30 41 42 Начертить эаданцув фронталькуи проекцию, а затеи а тонких линиях без срезов гориэонтадьцую й про(^ьцу1>. Проанализировать характер линий, в виде которых будут проецироваться круговые сечения вара (дуги ок1^ хностей. эллипсов, прямые) на горизонтальной и профиль­ ной проекциях. Вести построение, то есть определить недостающие проекции обозначенных точек, надо последовательно, от каждой пясс кости отдельно, сразу на трех проекциях. Дуги окружностей на про­ екциях строят только по радиусу. Решение аналогичной задачи на по­ строение сечений шара дано на р и с .16 , I ? и 18. При решении зада­ чи 6 (сечение тора) надо опрсщелить недостающие проекции обоэнач ченньос точек 1 - 5 (следует добавить еще несколько проыенуточных т е ч е к ). Определение недостающих проекций точек на поверхности то­ ра показано на ри с.22 и 2 4 . Отсеченную часть очерков изображать тонкими линиями. Задачи 7 и 8 . рис,3 0 . Дана фронтальная и горизонтальная проекции фигуры, состоящей из двух геометрических тел со срезами и отвер­ стиями. Требуется достроить горизонтальную и построить профильную проекции геометрической фигуры. Методические указания к решению задач 7 и 8 , рис. 30 . Начертить заданную фронтальную проекцию, а затем в тонких линиях горизонтальную и профильную без срезов и выреэов.Построить плоские сечения. Построить линию пересечения горизонтального от­ верстия с внешней повегясностью фигуры с учетом того , что фронталь­ ная проекция линии пересечения, на чертеже е ст ь . Затем (в задаче 6 ) надо построить линии взаимного пересечения отверстий. В заключе­ ние следует определить видимость линий. Построение линии взаимного пересечения поверхностей, если одна из пересекающихся поверхностей занимает проецирующее положе­ ние, показано на р и с .19 , задача 8 . На р и с.3 1 . задача 3 , дан пример решения аналогичной задачи, в которой комбинированная поверхность состоит из призмы и конуса. Методические указания к решении задач > 5 и 6, рис.30 43 Об» эти поверхности пересенвются о фронтально-проецирущим иклиН11‘<- ром (отверстие) по линии: ХхйгЗ - коцус т цяяиццр, по линии 4-;5г6 - пиличдр и приэиа. Кроме то го , я я о н ^ е имеется вертикальное отвер­ сти е, сооспое с конусом и пврвсвкахя|евся с ним по окружности ¿ { I I! с " ) . Соосные поверхности- вращения - это такие, кото­ рые имеют ось вращения и пересекаются между собой по окружности. Вертикальное отверстие пересекается также с горизонтальным отверс­ тием по линии 1 -7 . В заключение построены горизонтальная и профиль­ ная проекиии очерков, определв»м видимость линий. 44 Литература 1 . Начертательная геометрия и черчение.Методические указания и контрольные задания для студентов за ­ очников. -М. :Высшая ш кола,1978. 2 . Гордон О . В . .Сеиенцов-ОгиевскиЯ И . А . Куре начерта­ тельной геометрии.-М .: Наука,1977. 3 . Бубенников А.В.(Громов М .Я.(кчертательная геомет­ рия. -М. ¡Высшая школа,1973. 4 . Курс начертательной геометрии / Под {¡ед.Н.В.Чвт- верухина.--М. ¡Высшая школа, 1968.