Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Конструирование и производство приборов» КРИСТАЛЛОГРАФИЯ И МИНЕРАЛОГИЯ Лабораторный практикум Минск БНТУ 2013 Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Конструирование и производство приборов» КРИСТАЛЛОГРАФИЯ И МИНЕРАЛОГИЯ Лабораторный практикум для студентов специальности 1-52 02 01 «Технология и оборудование ювелирного производства» Минск БНТУ 2013 УДК 548/549(076.5)(075.8) ББК 22.37я7 К82 С о с т а в и т е л и: М. Г. Киселев, А. В. Дроздов Р е ц е н з е н т ы: Г. Д. Стрельцова, ведущий научный сотрудник отдела геологии и минерагении платформенного чехла Республиканского унитарного предприятия «Белорусский научно-исследовательский геолого- разведочный институт», кандидат геолого-минералогических наук; Г. Ф. Ловшенко, проректор по учебной, воспитательной, аналитической и информационной работе Белорусского национального технического университета, доктор технических наук, профессор К82 Кристаллография и минералогия : лабораторный практикум для студен- тов специальности 1-52 02 01 «Технология и оборудование ювелирного произ- водства» / сост. : М. Г. Киселев, А. В. Дроздов. – Минск : БНТУ, 2013. – 129 с. ISBN 978-985-525-756-2. Лабораторный практикум предназначен для изучения дисциплины «Кри- сталлография и минералогия» студентами специальности 1-52 02 01 «Техно- логия и оборудование ювелирного производства». В практикуме содержится семь лабораторных работ, включающих в се- бя цель работы, инструменты и принадлежности, используемые при ее вы- полнении, краткое изложение теории, порядок выполнения работы, вопро- сы для самопроверки и список литературы. Логически продуманная последовательность изложения материала, до- ступность теоретического описания изучаемых положений, изложение порядка выполнения практической части в каждой лабораторной работе повышает вероятность правильного выполнения студентом всех работ. Поэтому дан- ный лабораторный практикум может быть полезен также студентам других специальностей машино- и приборостроительного направления при изуче- нии ими кристаллографии и минералогии. УДК 548/549(076.5)(075.8) ББК 22.37я7 ISBN 978-985-525-756-2 © Белорусский национальный технический университет, 2013 3 СОДЕРЖАНИЕ Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Лабораторная работа № 1 ГОНИОМЕТРИЯ И ПРОЕКЦИЯ МОНОКРИСТАЛЛОВ. ЗАКОН ПОСТОЯНСТВА ГРАННЫХ УГЛОВ. . . . . . . . . . . . . . . 5 Лабораторная работа № 2 РЕШЕНИЕ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА СЕТКЕ ВУЛЬФА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Лабораторная работа № 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ СИММЕТРИИ НА МОДЕЛЯХ КРИСТАЛЛОВ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Лабораторная работа № 4 КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ ПЛОСКОСТЕЙ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Лабораторная работа № 5 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Лабораторная работа № 6 ИЗУЧЕНИЕ НЕКОТОРЫХ СТРУКТУРНЫХ ТИПОВ. . . . . . . . 77 Лабораторная работа № 7 ДИАГНОСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МИНЕРАЛОВ. . . . . . . . . . 96 4 Введение Развитие отечественного приборостроения, базирующееся на внед- рении новых технологий, совершенствовании производства прибо- ров и повышении эффективности их применения, предполагает под- готовку высококвалифицированных инженерных и научных кадров, которые должны владеть необходимым комплексом знаний для ре- шения технологических проблем, возникающих на всех этапах со- здания приборов, средств автоматизации и систем управления. Учебная дисциплина «Кристаллография и минералогия» играет важную роль и является неотъемлемой частью инженерной подго- товки специалиста в области технологии и оборудования ювелирно- го производства. Она объединяет фундаментальные геологические дисциплины, изучающие трехуровневую организацию вещества (кристалл – природное химическое соединение – минеральная пара- генетическая ассоциация), слагающего земную кору. Вместе с тем кристаллография и минералогия имеют важное прикладное значение, причем не только как разделы геологии, главной целью которой в конечном итоге является обнаружение месторождений полезных ископаемых, но и как самостоятельные науки, объекты изучения которых – кристаллы и минералы – широко применяются в разных областях промышленного производства. Цель преподавания дисциплины «Кристаллография и минерало- гия» состоит в том, чтобы ознакомить студентов с закономерностями строения кристаллического вещества, структурой, формой и симмет- рией кристаллов, типами кристаллических решеток, методами опре- деления структуры и описания кристаллических многогранников, физико-механическими свойствами и их зависимостью от особенно- стей строения кристаллов, ростом кристаллов, их классификацией и направлениями возможного промышленного использования. Несмотря на наличие учебной литературы, теоретически освещаю- щей вопросы образования и строения кристаллических веществ, при изучении дисциплины «Кристаллография и минералогия» специально- стью 1-52 02 01 «Технология и оборудование ювелирного производ- ства» возникает необходимость закрепить полученные знания путем проведения лабораторных занятий. Поэтому целью лабораторного практикума является улучшение условий подготовки студентов к про- ведению лабораторных занятий, а также повышение вероятности успешного усвоения ими полученных в теоретическом курсе знаний. 5 Лабораторная работа № 1 ГОНИОМЕТРИЯ И ПРОЕКЦИЯ МОНОКРИСТАЛЛОВ. ЗАКОН ПОСТОЯНСТВА ГРАННЫХ УГЛОВ Цель работы. Изучить особенности роста кристаллических мно- гогранников. Ознакомиться с основными методами измерения уг- лов между гранями и ребрами кристаллов. Изучить основные мето- ды изображения кристаллов на плоскости с точным соблюдением закономерностей, вытекающих из внутреннего строения данного вещества. На основе измерений угловых параметров модели кри- сталлического многогранника составить таблицу гранных углов. Инструменты и принадлежности для работы 1. Модель кристаллического многогранника. 2. Угломер 3УРИ с точностью измерения 1 . При росте кристалла из расплава или раствора структурные еди- ницы укладываются в параллельные слои, и грани растут парал- лельно самим себе. Т. к. скорость перемещения граней в сторону маточной среды различна (зависит от их ретикулярной плотности), в процессе роста изменяются их относительный размер, очертания и число, т. е. изменяется габитус – внешний вид кристалла. Однако параллельное перемещение граней приводит к тому, что независимо от габитуса пространственные двугранные углы между любыми двумя гранями остаются неизменными. Первый из основных зако- нов кристаллографии гласит: во всех кристаллах вещества данно- го состава и строения углы между соответствующими гранями при данных условиях постоянны. Закон постоянства гранных углов позволяет опознавать кристал- лы вещества независимо от их внешнего вида, определяемого усло- виями образования. Поэтому и в настоящее время важнейшее прак- тическое значение сохраняют гониометрия (измерение углов между гранями и ребрами кристаллов) и проекция (методы изображения кристаллов на плоскости с точным соблюдением закономерностей, вытекающих из внутреннего строения данного вещества). 6 Понятие о гониометрии кристаллов Первые измерения гранных углов кристаллов принадлежали М.В. Ломоносову (1749 г.). Первый широко известный кристалло- графический гониометр предложил Каранжо (ХVIII в.). Этот при- бор был прикладным (рис. 1.1), т. е. представлял собой сочетание транспортира и подвижной линейки, прикладываемых к измеряе- мому кристаллу. Недостатком этого прибора была не только малая точность, но и необходимость иметь для измерений достаточно круп- ные кристаллы с хорошо оформленными гранями и ребрами. Для многих веществ, особенно тугоплавких, это трудновыполнимо. Рис. 1.1. Схема измерения кристалла прикладным гониометром Каранжо В настоящее время в гониометрии кристаллов используются от- ражательные гониометры, где роль линейки исполняет световой луч, отражаемый плоскими гранями кристалла. В отражательном однокружном гониометре Г.В. Волластона, предложенном в 1805 г. (рис. 1.2), измеряемый кристалл К устанавливается в середине лим- ба так, чтобы одно из ребер совпало с осью O вращения лимба. От- счет по нониусу N берется в тот момент, когда луч света от источ- ника S, отразившись от грани кристалла 1, попадает в центр поля зрения зрительной трубки АВ. Затем та же операция проделывается для грани 2. Разность отсчета по лимбу для двух граней, образую- щих угол 1 – 0 – 2, равна углу между нормалями к этим граням. Однокружный гониометр без изменения установки кристалла позволяет производить измерения лишь для одного его пояса, т. е. для совокупности граней, пересекающихся по параллельным реб- рам (ось пояса вертикальна и при установке кристалла на гониометр совпадает с осью O). 7 Рис 1.2. Схема измерения гранного угла кристалла однокружным отражательным гониометром Двукружный отражательный гониометр построен по принципу теодолита, т. е. снабжен двумя лимбами, имеющими взаимно пер- пендикулярные оси вращения – вертикальную и горизонтальную, и впервые был применен Е.С. Федоровым. Такой прибор лишен недо- статков однокружного и позволяет без переклеивания кристалла измерить все гранные углы одной его половины. Этого в большин- стве случаев оказывается достаточно, т. к. кристаллы, не имеющие хотя бы одной плоскости симметрии, встречаются редко. Гониометр Федорова (рис. 1.3) кроме двух лимбов и соответ- ствующего комплекта угломерных устройств (нониусов с отсчет- ными трубками) имеет еще одно важное усовершенствование – предметный столик с установочными винтами, позволяющий наклонять кристалл в двух плоскостях при довольно широком диа- пазоне углов наклона, что избавляет кристаллографа от необходи- мости устанавливать кристалл вручную. 8 Рис. 1.3. Двукружный (теодолитный) отражательный гониометр Понятие о проекции Результатом работы над кристаллом с помощью теодолитного гониометра является таблица гранных углов, измеренных в двух взаимно перпендикулярных плоскостях – долгот φ (по вертикаль- ному лимбу) и широт ρ, или полярных расстояний (по лимбу гори- зонтальному). Обработку этих данных, т. е. изображение на плоско- сти кристалла не в его натуральном виде, а в той форме, какую он должен был бы иметь при идеальных условиях выращивания, мож- но производить двумя путями: а) графически, т. е. с помощью тригонометрии обработать ре- зультаты измерения и затем выполнить на плоскости точное изоб- ражение «идеального» вида кристалла в аксонометрии, планимет- рии или перспективе. Этот путь весьма точен и нагляден, но длите- лен, требует большого труда и очень высокой квалификации. б) проективно, т. е. заменить вычисления и построения механи- ческими операциями и непосредственными отсчетами. При этом изо- бражается не сам кристалл, а его наиболее существенный аспект – углы между его гранями и ребрами. 9 Кристаллографическая проекция должна удовлетворять следую- щим основным требованиям: – быть достаточно точной (на практике – до 30 угловых минут); – быть связанной с изображаемым кристаллом строго определен- ной зависимостью, позволяющей также обратный переход (от чер- тежа к наглядному изображению графическим методом); – наглядно выявлять элементы, существенные для кристаллогра- фической характеристики данного вещества (например, симметрию); – суммировать результаты наблюдений над целым рядом кристал- лов данного вещества (т. е. удовлетворять закону постоянства углов). Всем этим требованиям удовлетворяет наиболее широко приме- няемая в кристаллографии и рентгенографии стереографическая проекция. Этапы построения стереографической проекции Операции, необходимые для построения стереографической про- екции, производятся частично при работе с гониометром, частично при обработке полученных на нем данных: 1 В основе стереографического метода лежит тот факт, что раз- меры и взаимное отстояние граней и ребер кристалла или их рассто- яния от какой-либо одной точки, взятой внутри многогранника, не есть существенные его признаки. Существенным является взаимный наклон линейных и плоских элементов, составляющих кристалл. По- этому для удобства изучения все эти элементы мысленно переносят в одну и ту же точку пространства параллельно самим себе, и эту сово- купность граней и ребер называют кристаллическим пучком, а точку переноса O – центром пучка (рис. 1.4). Перенос осуществля- ется мысленным восстановлением к каждой грани нормалей, пересе- кающихся в одной точке O внутри кристалла; на практике эта опера- ция проводится в ходе измерений на гониометре (на рис. 1.2, напри- мер, такой нормалью для грани 1 является линия OP1 – биссектриса угла между падающим лучом источника S и лучом зрения трубки AB). 2. Взяв точку O за центр, проводим вокруг нее сферу проекций произвольного радиуса (обычно 20 см). Пересечение нормалей к граням со сферой проекций дает точки, называемые полюсами со- ответствующих граней (на рис. 1.4 обозначены малыми латинскими буквами с индексом 1). 10 3. Полюсы граней с учетом взаимных угловых расстояний пред- ставляют собой сферическую проекцию кристалла, т. е. его непрямое проективное изображение на поверхностях сферы. Для перевода это- го изображения на плоскость берем одну из точек сферы S (обычно это один из полюсов граней) за точку зрения и проводим через точку O плоскость проекции Q (она перпендикулярна плоскости риc. 1.4, а и имеет здесь вид прямой). Соединив мысленно точку зрения с полю- сами граней посредством лучей зрения (линии Sb1, Sd1, Sa1 и т. д.), получаем на плоскости Q точки a, b, с, d пересечения лучей с упомя- нутой плоскостью, совокупность которых для всех граней кристалла и является его стереографической проекцией (рис. 1.4, б). Примечание. Стереографическая проекция представляет собой совокупность точек, заключенных внутри круга проекции, образо- ванного пересечением плоскости проекций со сферой проекции. Если проектируемая грань оказывается на видимой половине кри- сталла (обращенной в сторону точки зрения S), ее проекция оказы- вается вне круга проекции (грань B и ее проекция b на рис. 1.4, а). Во избежание этого для граней, расположенных подобно B, точкой зрения считается противолежащий точке S конец диаметра сферы – точка N; проекция видимой грани B обозначается не точкой, а кре- стиком (рис. 1.4, б). а б Рис. 1.4. Этапы построения стереографической проекции кристалла: а – построение; б – проекция Пример. На рис. 1.5 изображено построение стереографической проекции сложного кристаллического многогранника с 26 гранями. b d O Q 11 Точкой зрения является точка 1ñ (001). При разборе проекции следует учесть, что проекции граней кристалла, расположенных на одной ли- нии, параллельной основному лучу зрения, сливаются в одну точку, поэтому, например, восемь малых граней, срезающих вершины куба, проектируются лишь в четыре точки, обозначенные {111}. Одним из основных свойств стереографической проекции явля- ется то, что окружность, проведенная на сфере проекций, проекти- руется на плоскость также кругом. Такими кругами на рис 1.5 яв- ляются дуги окружностей, соединяющие проекции граней одного пояса. Их существование обусловлено тем, что нормали ко всем граням одного пояса лежат в одной плоскости, проходящей через центр сферы проекций. Эти плоскости изображены в виде окружно- стей на проекции кристалла. Рис. 1.5. Построение стереографической проекции сложного кристаллического многогранника Стереографические сетки На рис. 1.4 и 1.5 показан общий принцип построения стереогра- фической проекции кристаллического многогранника. Для точного построения необходимо иметь угломерный инструмент, позволяю- щий производить необходимые отсчеты углов и обходиться без по- мощи циркуля и линейки. Таким инструментом являются стерео- графические сетки. 12 Сетка представляет собой стереографическую проекцию на плос- кость небесного глобуса, который отличается от географического тем, что, кроме вращения вокруг полярного диаметра, проходящего через полюсы, имеет еще и вращение вокруг диаметра, проходяще- го через экватор и центр шара. Эти два направления вращения соот- ветствуют двум направлениям возможного поворота кристалла, за- крепленного в теодолитном гониометре. Положение полюса грани кристалла задается на стереографиче- ской сетке координатами (рис. 1.6): долготой φ, отсчитываемой от произвольно выбранного нуле- вого меридиана и по смыслу соответствующей географической дол- готе; полярным расстоянием ρ, которое отличается от географиче- ской широты тем, что отсчитывается не от экватора, а от северного полюса глобуса и непрерывно до полюса южного, т. е. от 0 до 180°. а б Рис. 1.6. Принцип отсчета угловых координат точек и проекций граней на поверхности небесного глобуса Нанесение на сетку точек, сферические координаты которых из- вестны, наиболее просто производилось бы с помощью полярной сетки (рис. 1.7), при построении которой за точку зрения берется южный полюс небесного глобуса. Однако на этой сетке невозможно производить никакие другие операции, кроме названной выше (например, нельзя измерять углы между гранями). Поэтому в каче- стве стандартной сетки при стереографических построениях приме- 13 ня-ется экваториальная стереографическая сетка Вульфа, пред- ставляющая собой проекцию небесного глобуса диаметром 20 см при выборе в качестве точки зрения одной из точек экватора и при угловом расстоянии между меридианами и параллелями, равном двум градусам (рис. 1.8). Рис. 1.7. Полярная стереографическая сетка Рис. 1.8. Сетка Вульфа Вращение небесного глобуса вокруг диаметра, проходящего че- рез полюсы, не нуждается в изображении на сетке Вульфа, т. к. при 14 таком вращении изображение глобуса не изменяется. Вращение же вокруг горизонтального диаметра заменяется поворотом кальки, на- ложенной на сетку, вокруг ее геометрического центра. Сетка Г.В. Вульфа, предложенная им в 1897 г., обеспечивает ре- шение всех основных задач, связанных со стереографическим про- ектированием кристаллов. Задание и методические указания Порядок выполнения работы 1. Получить у инженера или преподавателя модель кристалличе- ского многогранника и ознакомиться с его формой. 2. Простым карандашом аккуратно обозначить цифрами все его грани. 3. Выполнить аксонометрическую и ортогональную проекции мо- дели кристаллического многогранника. Примерный вид представлен на рис. 1.9. а б Рис. 1.9. Проекция кристалла флюорита – CaF2: а – аксонометрическая проекция; б – ортогональная проекция 4. Произвести измерение наклона каждой грани модели кристал- лического многогранника относительно каждой прилегающей к ней грани. После этого выполнить ориентировку модели в простран- стве, выбрав направление, которое будет служить точкой зрения для последующего проектирования многогранника на сферу проекций. 15 5. Составить таблицу гранных углов для смежных граней модели кристалла. Таблица должна иметь следующий вид: Номер грани 1 Номер грани 2 Угол между гранями, Содержание отчета о работе Отчет о лабораторной работе должен включать: цель данной работы; инструменты и принадлежности для работы; краткие сведения о методах измерения углов между гранями и ребрами кристаллов; краткие сведения об основных методах изображения кристал- лов на плоскости; рисунки аксонометрической и ортогональной проекций выдан- ной модели кристаллического многогранника; таблицу гранных углов. Контрольные вопросы к лабораторной работе 1. Что такое габитус кристалла? 2. Сформулируйте закон постоянства гранных углов. 3. Какой принцип работы отражательного гониометра? Какие углы он измеряет? 4. В чем преимущество использования гониометра Федорова? 5. Как производится построение стереографической проекции? 6. Какими координатами задается на стереографической сетке положение полюса грани кристалла? Литература 1. Шаскольская, М. П. Кристаллография / М. П. Шаскольская. – М. : Высшая школа, 1976. – 391 с. 2. Буланов, В. А. Решение кристаллографических задач с помо- щью стереографических проекций : учебное пособие / В. А. Була- нов, М. А. Юденко. – Иркутск : Иркутский гос. ун-т, 2006. – 175 с. 16 Лабораторная работа № 2 РЕШЕНИЕ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА СЕТКЕ ВУЛЬФА Цель работы. Ознакомиться с методикой работы на сетке Вуль- фа. Овладеть навыками построения стереографических направлений, заданных сферическим координатами. Изучить методику определе- ния углов между направлениями, заданными на сетке Вульфа. На основе проведенных в лабораторной работе № 1 измерений углов между гранями модели кристаллического многогранника выполнить его стереографическую и гномостереографическую проекции. Инструменты и принадлежности для работы 1. Модель кристаллического многогранника. 2. Таблица гранных углов. 3. Сетка Вульфа. 4. Калька. 5. Набор заданий для отработки навыков использования сетки Вульфа. Подготовка сетки к работе При решении задач сетка Вульфа сохраняет постоянное положе- ние – экватор ее располагается горизонтально. Построения произ- водятся не на сетке, а на наложенной на нее кальке. Чтобы иметь возможность всегда приводить кальку в одно и то же исходное по- ложение относительно сетки, на кальке отмечают центр сетки точ- кой с четырьмя черточками в виде креста, не доходящими до самой точки. Кроме того, у правого конца горизонтального диаметра (эк- ватора) сетки ставится небольшая черточка, проведенная вне круга проекций (рис. 2.1). Черточка справа служит нулевой точкой для долгот φ = 0, а центр сетки – нулевой точкой для полярных расстояний ρ = 0. Первая сферическая координата – долгота φ – отсчитывается по кругу проекций от нулевого индекса по часовой стрелке (каждое деление соответствует двум градусам). Полярное расстояние отсчи- тывается от центра сетки наружу. 17 Рис. 2.1. Построение стереографических проекций направлений, заданных сферическими координатами φ и ρ (задача 1) Примечание. Для точек нижней полусферы полярное расстояние превышает 90°. Такие ρ отсчитываются от центра до круга проек- ций и далее назад от круга проекций к центру сетки. Получающиеся проекции отмечаются крестиками, тогда как проекции точек верх- ней полусферы – обведенными точками. Производя построения с помощью сетки Вульфа, всегда необхо- димо помнить, что изображенные на ней меридианы и параллели служат лишь вспомогательными линиями. Истинный полюс сетки находится в ее центре, истинный экватор совпадает с кругом проек- ций, а из истинных меридианов изображены только два – верти- кальный и горизонтальный диаметры. Таким образом, истинные ко- ординаты для сетки Вульфа – полярные. 3адача 1 Построить стереографические проекции направлений, заданных сферическими координатами φ и ρ: b (309°, 55°), d (51°, 37°), e (122°, 90°), h (205°, 124°). Пример 1. Направление a задано координатами φ = 165° и ρ = 68°. Требуется найти стереографическую проекцию этого направления. 18 Последовательность решения задачи: 1. От нулевого индекса для φ по кругу проекций (по часовой стрелке) отсчитываем 165° и отмечаем результат на внешнем круге вспомогательной точкой (см. рис. 2.1). 2. Вращая кальку так, чтобы ее центр совпадал c центром сетки, совмещаем найденную вспомогательную точку с концом ближай- шего (в данном случае – горизонтального) диаметра сетки. 3. По этому диаметру от центра сетки в сторону вспомогатель- ной точки отсчитываем вторую координату – ρ (68°) – и отмечаем найденную точку a. 4. Возвращаем кальку в исходное положение, полученная точка является стереографической проекцией направления a. Задача 2 (обратная задаче 1) Определить сферические координаты произвольно выбранного направления K, заданного стереографической проекцией. Решение производится в обратном порядке, т. е.: 1. Вращением кальки (без сдвига с центра) приводим заданную точку на ближайший диаметр сетки. По этому диаметру от центра сетки до заданной точки отсчитываем координату ρ и отмечаем вспомогательной точкой ρK на круге проекций тот конец упомяну- того диаметра, в направлении которого лежит заданная точка. 2. Приводим кальку в исходное положение и по кругу проекций отсчитываем координату φ от нулевого индекса (по часовой стрел- ке) до вспомогательной точки. 3адача 3 Провести дуги больших кругов (а–b, b–d и а–d) через заданные стереографические проекции двух направлений. Направления а–b, b–d и а–d – из задачи 1. Порядок выполнения задачи: 1. Вращением кальки, по возможности не смещая центральной ее точки с центра сетки, добиваемся того, чтобы обе заданные точки a и b оказались на одной из вспомогательных меридиональных дуг сетки Вульфа. 19 2. Найденную дугу обводим карандашом (при этом концы дуги должны пройти через полюсы сетки) и возвращаем кальку в исход- ное положение. Если заданные точки изображают стереографические проекции ребер кристаллического многогранника, найденная дуга большого круга является стереографической проекцией грани, в плоскости которой лежат названные ребра. Задача 4 Измерить углы между двумя направлениями a и b, b и d, a и d, заданными их стереографическими проекциями. Пример определения угла между направлениями a и b: 1. Как и при решении задачи 3, вращением кальки выводим точ- ки a и b на одну из меридиональных дуг сетки. 2. Отсчитываем по этой дуге количество градусов, заключенных между точками a и b (рис. 2.2). Получаем угол ab = 113 . Если заданные точки являются стереографическими проекциями ребер, измеренный угол есть угол при вершине между этими ребрами. Рис. 2.2. Нахождение полюсов дуг больших кругов, заданных на стереографической проекции 20 Задача 5 Найти полюс для большого круга, заданного на стереографиче- ской проекции. Полюс дуги есть точка, равноотстоящая от всех то- чек дуги на 90°. Пример нахождения полюса дуги a–b: 1. Вращением кальки совмещаем заданную дугу с соответствую- щей меридиональной дугой сетки Вульфа, а концы заданной дуги – с северным и южным полюсами сетки. 2. Отсчитываем по горизонтальному диаметру сетки от точки пересечений заданной дуги с этим диаметром по направлению к центру сетки (и перейдя за него) угол 90° и отмечаем кружком найденную точку. 3. Возвращаем кальку в исходное положение и подписываем точку Pаb (см. рис. 2.2). Если заданная дуга представляет собой стереографическую про- екцию грани, найденный полюс дуги является стереографической проекцией направления, перпендикулярного к этой грани. Выполняющим лабораторную работу предлагается самостоятельно определить сферические координаты точки Рab. Задача 6 (обратная задаче 5) По заданному (произвольно выбранному) полюсу найти отвечаю- щую ему дугу большого круга. Порядок выполнения: 1. Вращением кальки приводим заданный полюс на горизон- тальный диаметр (экватор) сетки; 2. Отсчитываем по горизонтальному диаметру в направлении центра сетки угол в 90° (переходя за центр) и обводим проходящую здесь меридиональную дугу. Она и будет искомой. 3адача 7 Измерить угол между двумя дугами больших кругов. Порядок выполнения задачи: 1. Если требуется измерить угол между дугами а–b, а–d, b–d, вращением кальки совмещаем точку пересечения дуг а (вершину измеряемого угла) с горизонтальным диаметром сетки. 21 2. Приняв эту вершину за полюс, проводим отвечающую ему эк- ваториальную дугу (согласно решению задачи 6). 3. Количество градусов, заключенное в этой дуге между точками пересечения с нею двух заданных дуг, и является величиной иско- мого угла. Если заданные дуги больших кругов являются стереографиче- скими проекциями граней, измеренный угол представляет собой угол между гранями. Пример 2. Построить гномостереографическую проекцию кри- сталла (рис. 2.3) по углам между нормалями к граням (именно такие углы, как известно, измеряются на однокружном отражательном гониометре. Они же легко находятся и посредством прикладного гониометра). Рис. 2.3. Форма многоугольника к примеру 2 Решение. Для проектирования данного кристалла придаем ему такую про- странственную ориентировку, при которой грани В, Р, Q и В' станут вертикальными и изобразятся на внешнем круге проекций. Проек- цию одной из этих граней, например грани В, совместим с нулевым индексом для . В соответствии с рисунком кристалла отсчитываем по часовой стрелке углы между нормалями к граням В : Р = 42°, Р : Q = 54° и В : В' = 180°. Найденные на внешнем круге точки и будут проек- циями этих вертикальных граней. 22 Далее по углам В : С = 83° и Р : С = 72° находим точку С. Для этого приводим сперва точку В в один из полюсов сетки Вульфа, отсчитываем по кругу проекций в любую сторону 83° и прочерчи- ваем соответствующую параллель сетки. Затем совмещаем с полю- сом сетки точку Р, отсчитываем 72° и снова прочерчиваем парал- лель сетки. На пересечении двух полученных параллелей и нахо- дится проекция грани С. Для нахождения проекции грани О совмещаем точку В' с одним из изображенных полюсов сетки, отсчитываем 58° и рисуем парал- лель. Далее принимаем за стереографический центр точку С и стро- им малый круг радиусом в 54 . Этот круг пересекает параллель, вы- черченную вокруг В', в двух точках. Принимаем за проекцию грани О ту из них, которая отвечает расположению грани на рисунке. Задание и методические указания Порядок выполнения работы 1. Получить у инженера или преподавателя сетку Вульфа, а так- же кальку для работы с ней. 2. Получить у инженера или преподавателя лист с заданиями для отработки навыков использования сетки Вульфа, на котором будут изображены стереографические проекции направлений. 3. Из листа с заданиями выполнить задачи 2–7 для каждой пары направлений. Результаты работы представить преподавателю для проверки. 4. При успешном выполнении п. 3, с разрешения преподавателя, пользуясь таблицей гранных углов, полученной при выполнении лабораторной работы № 1, а также сеткой Вульфа, нанести на каль- ку гномостереографические проекции каждой грани модели кри- сталлического многогранника. Построение граней кристалла по сферическим координатам φ и ρ рассмотрено в задаче 1. 5. В отчете о лабораторной работе представить внешний вид мо- дели кристалла и его гномостереограмму. Примерная форма пред- ставления приведена на рис. 2.4. 23 а б Рис. 2.4. Аксонометрическая проекция модели кристалла (а) и его гномостереографическая проекция (б) Содержание отчета о работе Отчет о лабораторной работе должен включать: цель данной работы; инструменты и принадлежности для работы; краткие сведения о методике решения кристаллографических задач на сетке Вульфа; результаты проведенных по листу с заданиями измерений и по- строений; таблицу гранных углов; рисунки аксонометрической и гномостереографической про- екций выданной модели кристаллического многогранника. Контрольные вопросы к лабораторной работе 1. Как по данным координатам нанести точки на проекцию? 2. Как измерить угловое расстояние между точками? 3. Как через заданные точки провести дуги больших кругов? 4. Как построить точки, являющиеся полюсами для дуг больших кругов, и найти их координаты? 24 5. Как построить полюса больших кругов, заданных точками, и найти их координаты? 6. Как найти угол между двумя дугами больших кругов? Литература 1. Шаскольская, М. П. Кристаллография / М. П. Шаскольская. – М. : Высшая школа, 1976. – 391 с. 2. Буланов, В. А. Решение кристаллографических задач с помо- щью стереографических проекций : учебное пособие / В. А. Була- нов, М. А. Юденко. – Иркутск : Иркутский гос. ун-т, 2006. – 175 с. 25 Лабораторная работа № 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ СИММЕТРИИ НА МОДЕЛЯХ КРИСТАЛЛОВ Цель работы. Изучить элементы симметрии. Овладеть навыка- ми определения элементов симметрии на модели кристаллического многогранника. Построить стереографическую проекцию найден- ных элементов симметрии. Инструменты и принадлежности для работы 1. Модель кристаллического многогранника. 2. Гномостереографическая проекция этой модели, выполненная студентом в ходе лабораторной работы № 2. 3. Сетка Вульфа. 4. Калька. Кристаллы, имеющие идеальную огранку, представляют собой геометрически правильные многогранники. В их внешнем строении наблюдается закономерная повторяемость равных элементов огра- нения (граней, ребер, вершин), называемая симметрией. Кристаллы являются фигурами симметричными, т. е. им присущи элементы симметрии конечных фигур: центр инверсии, оси симметрии, плос- кости симметрии и инверсионные оси симметрии. Центр инверсии Центром инверсии (от лат. «инверсио» – переворачиваю) (крис- таллографическое обозначение – C) называется некоторая точка, рас- положенная внутри кристалла и характеризуемая тем, что на любой прямой, проведенной через эту точку, по обе стороны на равных расстояниях расположены равные и параллельные грани. Кристаллы могут иметь или не иметь центра инверсии, но если он есть, то только один. Для практического определения наличия центра инверсии необ- ходимо установить, для каждой ли грани исследуемого кристалла 26 существует равная и параллельная грань. С этой целью кристалл поочередно каждой гранью кладется на стол, и если хоть для одной грани, лежащей на столе, не окажется равной и параллельной, то в исследуемом кристалле нет центра инверсии. Пример 1. Даны модели двух кристаллов: октаэдр (рис 3.1) и тет- рагональный тетраэдр (рис. 3.2). При исследовании описанным вы- ше методом устанавливается, что октаэдр имеет центр инверсии, в тетраэдре же его нет. Октаэдр – фигура, ограниченная восемью гранями; поперечное сечение фигуры через середины ребер – правильный четырехуголь- ник (квадрат или тетрагон). Рис. 3.1. Октаэдр с центром инверсии (С). Грани попарно равны и параллельны Рис. 3.2. Тетраэдр без центра инверсии. Грани не имеют себе параллельных Плоскость симметрии Плоскостью симметрии (кристаллографическое обозначение – P или m) называется плоскость, которая делит фигуру на две зеркаль- но-равные части. Плоскость симметрии не является обязательным для всех много- гранников элементом симметрии. В некоторых кристаллах ее нет. В кристаллических многогранниках может быть следующее количе- ство плоскостей: одна, две, три, четыре, пять, шесть, семь и девять. Восьми или более девяти плоскостей симметрии в конечных кри- сталлических многогранниках не бывает. Плоскости симметрии мо- 27 гут проходить через середины граней и ребер (обязательно перпен- дикулярно к ним) или вдоль ребер. При любом из указанных распо- ложений плоскость должна проходить через центр кристалла. Для практического обнаружения плоскостей симметрии кристалл мысленно разрезается предполагаемой плоскостью на две части. Ли- ния разрыва наносится мелом на модель кристалла. Затем методом сравнения определяется, является ли одна половина кристалла зер- кальным отображением другой. Если да, то предполагаемая плос- кость – плоскость симметрии. После того как кристалл будет полно- стью исследован и на нем вычерчены все действительные плоскости симметрии, устанавливается взаимное расположение плоскостей. Это необходимо для вычерчивания стереографической проекции элемен- тов симметрии, которая делается следующим образом. Все элементы симметрии, в том числе и плоскости, проектируются на круглую, произвольного радиуса плоскость, лежащую в плоскости чертежа (подобно проекции на сетке Вульфа). Условно плоскость симметрии изображается двумя параллельными линиями. Кристалл устанавли- вается обычно перпендикулярно к столу своей высотой (если она в кристалле обнаруживается) или осью, принятой за высоту. Затем все элементы симметрии проектируются на плоскость проекций. Пример 2. В октаэдре имеется девять плоскостей симметрии (9P) (рис. 3.3). а б Рис. 3.3. Девять плоскостей симметрии (9P) в октаэдре: а – три плоскости (1, 2, 3) проходят через четыре ребра каждая; б – шесть плоскостей (4, 5, 6, 7, 8, 9) проходят через середины четырех ребер каждая 28 Стереографическая проекция плоскостей симметрии октаэдра показана на рис. 3.4. Рис. 3.4. Стереографическая проекция девяти плоскостей симметрии октаэдра Плоскость симметрии 1 параллельна плоскости чертежа, поэто- му она проектируется в окружность. Плоскости 2, 3, 4, 5 перпенди- кулярны первой и расположены под углом 45° друг к другу. Они проектируются в диаметральные прямые. Плоскости 6, 7, 8, 9 рас- положены к первой наклонно, под углом 45 , поэтому на стерео- графической проекции они представлены в виде дуг. Оси симметрии Осью симметрии называется воображаемая прямая, проходящая через центр кристалла, при повороте вокруг которой на некоторый угол кристалл самосовмещается, т. е. занимает положение, анало- гичное положению до поворота. Минимальный угол, на который необходимо повернуть многогран- ник до его самосовмещения, называется элементарным углом пово- рота α = 360 / n, где n – число самосовмещений фигуры при ее пово- роте на 360°. Величина n называется порядком оси симметрии. Часто ось симметрии называется гирой (от греч. «гирос» – вращение). В кристаллах возможны оси симметрии второго порядка – Z2, L2 (двойная ось, дигира), оси симметрии третьего порядка – Z3, L3 (тройная ось, тригира), оси четвертого порядка – Z4, L4 (четверная ось, тетрагира) и ось шестого порядка – Z6, L6 (шестерная ось, гекса- гира). Осей симметрии пятого порядка и порядка выше шести в 6 9 8 3 4 2 5 7 1 29 кристаллических многогранниках не бывает. Количество осей симметрии в кристаллах вполне определенное. Двойных осей может быть одна – 1Z2; три – 3Z2; четыре – 4Z2; шесть – 6Z2. Тройных осей: одна – 1Z3; четыре – 4Z3. Четверных осей: одна – 1Z4 или три – 3Z4. Шестерная ось может быть только одна – 1Z6. В кристаллах оси симметрии могут проходить через середины гра- ней, через середины ребер и через вершины многогранных углов. Условно на стереографической проекции элементов симметрии го- ризонтальные оси обозначаются прямой линией, проходящей через центр плоскости проекций. На концах этой линии ставятся знаки: – Z2, – Z3; – Z4; – Z6 (рис. 3.5). У наклонных и верти- кальных осей проектируется только один конец, идущий вверх от плоскости чертежа, поэтому они обозначаются одним соответствую- щим значком. Одна из осей, обычно ось наивысшего порядка в данном кристалле, принимается за высоту и называется главной осью сим- метрии. Она обозначается значком в центре плоскости проекций. От- носительно нее устанавливается расположение других осей симметрии. L2 L3 L4 L6 Рис. 3.5. Условное обозначение осей симметрии Для практического определения осей симметрии многогранник берется пальцами за точки выхода предполагаемой оси. На одной из граней ставится значок отсчета (X). Затем многогранник поворачи- вается на 360 . Считается число самосовмещений кристалла n, оно определяет порядок оси симметрии – Zn. Таким образом исследует- ся весь кристалл. Для быстрого нахождения мест выхода осей и их порядка следу- ет знать, что: 1. Через середины ребер проходят только оси симметрии второго 30 порядка – Z2. 2. Если ось проходит через центр грани, то форма грани пред- определяет порядок оси (рис. 3.6), а именно: Z2 – проходит через четырехугольные, шестиугольные и т. д. гра- ни (число ребер грани кратно двум) с попарно равными и парал- лельными ребрами; Z3 – проходит через грани, которые имеют форму правильного треугольника, а также шестиугольника, девятиугольника и т. д. (кратно трем), в которых все ребра можно разбить на три одинако- вые комбинации; Z4 – через грани, которые имеют форму правильного четырех- угольника, а также восьмиугольника и т. д. (кратно четырем), в кото- рых все ребра можно разбить на четыре одинаковые комбинации; Z6 – через грани, имеющие форму правильного шестиугольника или двенадцатиугольника и т. д. (кратно шести), в которых ребра разбиваются на шесть одинаковых комбинаций. 3. Если ось проходит через вершину, то ее порядок определяется числом одинаковых комбинаций из сходящихся в вершине ребер. При этом учитывается длина ребер и их расположение. L2 L3 L4 L6 Рис. 3.6. Пример определения порядка оси симметрии 31 по форме грани, ей перпендикулярной Пример 3. В октаэдре (см. рис. 3.1) имеются 3Z4, каждая из кото- рых проходит через две вершины четырехгранных углов. В вершинах сходятся по четыре равных по длине ребра, углы между каждой па- рой ребер равны. Одна из осей принимается за высоту. Она устанав- ливается перпендикулярно плоскости проекций и проектируется в центре круга (рис. 3.7). Две другие 2Z4 лежат в горизонтальной плоскости симметрии под углом 90° друг к другу. Их проекции сов- падают с проекциями плоскостей симметрии (2, 3) (см. рис. 3.4). Через центры каждых двух противолежащих граней проходят 4Z3 (восемь граней), т. к. грани имеют форму правильных треуголь- ников. Эти оси расположены наклонно к плоскости проекций, каж- дая имеет выход на пересечении двух плоскостей симметрии (8–7), (9–7), (6–9), (8–6), которые проходят через середины граней. Кроме 3Z4 и 4Z3, в октаэдре есть шесть осей второго порядка – 6Z2. Каждая проходит через середины двух ребер (всего ребер – 12). Две из этих осей лежат в горизонтальной плоскости симметрии – видны оба конца осей. Четыре других – под углом 45 на линии пересечения плоскостей симметрии (2–8), (2–9), (3–7), (3–6): виден один их конец. Общая совокупность элементов симметрии октаэдра: C 9P 6Z2 4Z3 3Z4. Их стереографическая проекция представлена на рис. 3.7. Рис. 3.7. Стереографическая проекция элементов симметрии октаэдра 32 Инверсионные оси симметрии Инверсионной осью симметрии называется воображаемая пря- мая, проходящая через центр кристалла, при повороте вокруг кото- рой одной половины кристалла на элементарный угол и последую- щем отражении повернутой части в некоторой точке как в центре инверсии повернутая часть совместится с неподвижной. Инверсионные оси обозначаются Zin, Lin, где n – порядок оси. Ча- сто инверсионные оси называются гироидами (т. е. «подобные ги- рам»). В кристаллических многогранниках определяются инверсионные оси четвертого – Zi4 и шестого – Zi6 порядков. Внешним признаком присутствия Zi6 является наличие в крис- талле Z3 и перпендикулярной ей плоскости симметрии P. Внешним признаком присутствия Zi4 является наличие в кристал- ле центра инверсии С и Z2. Если в кристалле есть Z2 и Zi4, то Zi4 все- гда проходит через Z2. Для практического нахождения Zi4 и Zi6 необходимо произвести следующие действия: 1. Исследуемый кристалл мысленно разрезается на две равные по высоте части. За высоту в данном случае принимается предпола- гаемая инверсионная ось. 2. Одна из частей, обычно верхняя, поворачивается вокруг оси на элементарный угол (90° или 60°). 3. Элементы огранения повернутой части отражаются в цент- ральной точке кристалла как в центре инверсии, т. е. все вершины, середины граней и ребер повернутой части соединяются с цен- тральной точкой воображаемыми прямыми. Если на продолжении этих прямых на соответственно равных расстояниях окажутся оди- наковые элементы огранения, то предполагаемая ось – ось инверси- онная. Условно Zi4 обозначается ; Zi6 – . Пример 4. В тетрагональном тетраэдре (см. рис 3.2) одна из осей второго порядка – Z2 – является инверсионной осью симметрии чет- вертого порядка – Zi4 (рис. 3.8). Совокупность элементов симметрии тетрагонального тетраэдра 3Z2 2P = 2Z2 2P Zi4. 33 Рис. 3.8. Тетрагональный тетраэдр: а – с осями симметрии; б – стереографическая проекция его элементов симметрии Полное сочетание элементов симметрии кристаллического много- гранника называется его классом симметрии, или точечной груп- пой симметрии. В кристаллографии применяется несколько типов обозначений элементов симметрии конечных фигур. Обозначение Бравэ Очень простая и наглядная система обозначений Бравэ состоит из записанных подряд всех элементов симметрии данного объекта. На первом месте принято писать оси симметрии от высших к низ- шим, на втором – плоскости симметрии, затем центр. Так, формула симметрии куба 3L4 4L3 6L2 9PC. Несмотря на громоздкость, форму- лы Бравэ все же не отражают всех операций данной группы, а кроме того, их нельзя использовать для описания симметрии кристалличе- ских структур. Обозначение Шенфлиса Символы Шенфлиса (табл. 3.1) используются гораздо шире, од- нако они, как и символы Бравэ, не привязаны к координатной си- стеме и, хотя их и употребляют при описании внутренней симмет- рии кристалла, в этом качестве недостаточно информативны. 34 Таблица 3.1 Обозначение 32 точечных групп (классов) симметрии по номенклатуре Шенфлиса Классы с единичным направлением Cn Классы с единственной осью симметрии n-го порядка Cnv Классы с одной главной осью n-го порядка и проходящих через нее n вертикальными плоскостями v Cnh Классы с одной главной осью n-го порядка и плоскостью h, перпендикулярной данной оси Cni (S2n) Классы с одной главной инверсионной осью, которую обычно обозначают через зеркальную ось: Ci = S2, C3i = S6, C4i = S4 Dn Классы с побочными осями 2-го порядка, перпендикулярными главной оси n Dnv Классы с главной осью n-го порядка, плоскостью h, ей перпен- дикулярной, и побочными осями 2-го порядка Dnd Классы с главной инверсионной осью, побочными осями 2-го порядка и n вертикальными плоскостями d, являющимися диа- гональными по отношению к координатным осям (плоскость d делит пополам угол между координатными осями x и y) Классы без единичных направлений T Классы с несколькими осями высшего порядка; осевой комп- лекс тетраэдра – 3L2 4L3 O Классы с несколькими осями высшего порядка; осевой комп- лекс октаэдра – 3L4 4L3 6L2 Th Классы с несколькими осями высшего порядка и координат- ными плоскостями – 3L2 4L3 3PC Oh Классы с несколькими осями высшего порядка и координат- ными плоскостями – 3L4i 4L3 6L2 9PC Td Классы с несколькими осями высшего порядка и диагональ- ными плоскостями – 3L4i 4L3 6P Категории и сингонии кристаллов Математически доказано, что для конечных кристаллических мно- 35 гогранников возможны всего 32 вида симметрии. Все они подразделяются на три группы, или категории: низ- шую, среднюю и высшую. Для видов симметрии низшей категории характерным является отсутствие осей выше второго порядка. В нее входят восемь видов симметрии. Виды симметрии средней категории характеризуются присутстви- ем только одной оси выше второго порядка. Ее называют главной осью симметрии. Средняя категория объединяет 19 видов симметрии. К высшей категории принадлежат остальные пять видов симмет- рии, каждый из которых имеет несколько осей симметрии выше второго порядка. Виды симметрии, принадлежащие каждой категории, делят на так называемые сингонии. Сингонией называется совокупность видов симметрии одной категории, обладающих одинаковым числом осей одного и того же порядка. Сингонии низшей категории В триклинную сингонию входят два вида симметрии, для которых характерно отсутствие осей выше первого порядка. В моноклинную сингонию входят виды симметрии, имеющие не более одной оси второго порядка. В ромбическую сингонию входят три вида симметрии, каждый из которых характеризуется присутствием трех осей второго порядка. Сингонии средней категории В тригональную сингонию входят пять видов симметрии, главной осью которых является ось симметрии третьего порядка. В тетрагональную сингонию входят семь видов симметрии, глав- ной осью которых является ось симметрии четвертого порядка. В гексагональную сингонию входят семь видов симметрии, глав- ной осью которых является ось симметрии шестого порядка. Сингонии высшей категории В кубическую сингонию входят пять видов симметрии, которые характеризуются обязательным присутствием четырех осей сим- 36 метрии третьего порядка. Проведенную классификацию видов симметрии для большей наглядности можно представить в виде табл. 3.2, удобной для прак- тического пользования. Принадлежность кристаллического многогранника к тому или иному виду симметрии устанавливается путем нахождения всех его элементов симметрии. При определении полной совокупности эле- ментов симметрии многогранника полезно учитывать следующие положения: а) L6 и Li6 могут присутствовать в кристаллах в единственном числе; б) L4 и Li4 могут встретиться или в единственном числе, или в ко- личестве трех; в) L3 могут встретиться или в единственном числе, или в количе- стве четырех; г) L2 могут встретиться или в единственном числе, или в количе- стве двух, трех, четырех или шести; д) Р могут встретиться или в единственном числе, или в количе- стве двух, трех, четырех, пяти, шести, семи, девяти. Таблица 3.2 Классификация видов симметрии кристаллов Категория Сингония Виды симметрии Низшая Триклинная (агирная) L1 = –1; Li1 = C Моноклинная (моногирная) L2; Li2 = P; L2 PC Ромбическая (тригирная) 3L2; L2 2Li2 = L2 2P; 3L2 3PC Средняя Тригональная (ромбоэдрическая) L3; L3 C (Li3); L3 3Р; L3 3L2; L3 3L2 3PC Тетрагональная (квадратная) L4; L4 PC; L4 4Р; L4 4L2; L4 4L2 5PC; Li4; Li4 2L2 2P Гексагональная L6; L6 PC; L6 6P; L6 6L2; L6 6L2 7PC; Li6; Li6 3L2 3P Высшая Кубическая 4L3 3L2; 4L3 3L2 3PC; 4L3 3L2 6P; 37 (полигирная) 3L4 4L3 6L2; 3L4 4L3 6L2 9PC Международные (интернациональные) символы классов симметрии Международные символы классов симметрии гораздо компакт- нее, и по написанию символа можно установить взаимное распо- ложение элементов симметрии, если знать теоремы о сочетании операций симметрии и правила установки каждой системы. В меж- дународном символе каждого класса пишутся не все, а только ос- новные, или так называемые порождающие, элементы симметрии (генераторы), а порожденные элементы симметрии, которые можно вывести из сочетаний порождающих элементов, не пишутся. В ка- честве порождающих элементов симметрии предпочтение отдается плоскостям (табл. 3.3). Таблица 3.3 Правила записи международного символа точечной группы Сингония Позиция в символе 1-я 2-я 3-я Триклинная Только один символ, соответствующий любому направлению в кристалле Моноклинная Единственная ось 2 или плоскость m по оси Y (1-я установка) или по оси Z (2-я установка) Ромбическая Ось 2 или плос- кость m вдоль X Ось 2 или плос- кость m вдоль Y Ось 2 или плос- кость m вдоль Z Тригональная и гексагональная Главная ось симметрии Оси 2 или m вдоль X, Y, U Диагональные оси 2 или плос- кости m Тетрагональная Главная ось симметрии Оси 2 или m вдоль X, Y Кубическая Координатные элементы сим- метрии Оси 3 Диагональные элементы сим- метрии Приняты следующие международные символы (символы Гер- мана–Могена): n – ось симметрии n-гo порядка; 38 n – инверсионная ось симметрии п-го порядка; т – плоскость симметрии; пт – ось симметрии n-го порядка и n плоскостей симметрии, проходящих вдоль нее (теорема 4); n m ; п/т – ось симметрии п-го порядка и перпендикулярная ей плоскость симметрии; п2 – ось симметрии n-го порядка и n осей 2-го порядка, ей пер- пендикулярных (теорема 3); n mm ; п/тт – ось симметрии n-го порядка и плоскости т, парал- лельные и перпендикулярные ей (п и n могут иметь значения 1, 2, 3, 4, 6). Задание и методические указания Порядок выполнения работы 1. Получить у инженера или преподавателя модель кристалличе- ского многогранника и ознакомиться с его формой. 2. На основании изложенной выше методики определить все имею- щиеся у модели элементы симметрии. 3. Построить стереографическую проекцию элементов симметрии. 4. Записать обозначение Бравэ для полученной модели кристал- лического многогранника. 5. Определить категорию и сингонию данной модели кристалли- ческого многогранника. 6. Записать обозначение Шенфлиса, а также обозначение Германа– Могена для полученной модели кристаллического многогранника. Содержание отчета о работе Отчет о лабораторной работе должен включать: цель данной работы; инструменты и принадлежности для работы; краткие сведения о способах обозначения элементов симмет- 39 рии и их записи; рисунок аксонометрической проекции выданной модели кри- сталлического многогранника с указанием расположения всех эле- ментов симметрии; стереографическую проекцию найденных элементов симметрии; запись обозначения Бравэ, Шенфлиса, Германа–Могена для эле- ментов симметрии модели кристаллического многогранника, а также вывод о принадлежности его к определенной категории и сингонии. Контрольные вопросы к лабораторной работе 1. Какие элементы симметрии возникают при рассмотрении гео- метрически правильных многогранников? 2. Как практически определить плоскость симметрии? 3. Перечислите возможные оси симметрии в кристаллических мно- гогранниках, их количество и порядок. 4. Назовите возможные места выходов осей симметрии из кри- сталлических многогранников. 5. Что является внешним признаком присутствия Zi4 в кристалле? 6. Что такое класс, или точечная группа, симметрии? 7. Какие существуют типы обозначений элементов симметрии конечных фигур? 8. Что такое категории и сингонии кристаллов? Литература 1. Шаскольская, М. П. Кристаллография / М. П. Шаскольская. – М. : Высшая школа, 1976. – 391 с. 2. Бокий, Г. Б. Кристаллохимия / Г. Б. Бокий. – М. : Мир, 1974. – 486 с. 40 Лабораторная работа № 4 КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ ПЛОСКОСТЕЙ Цель работы. Изучить правила установки в кристаллах семи син- гоний, а также способы определения кристаллографических симво- лов плоскостей и направлений. Овладеть навыками определения крис- таллографических осей на модели кристаллического многогранника, нахождения единичной плоскости, а также определения имеющихся в нем кристаллографических символов плоскостей и направлений. Инструменты и принадлежности для работы 1. Модель кристаллического многогранника. 2. Гномостереографическая проекция этой модели, выполненная студентом в ходе лабораторной работы № 2. 3. Сетка Вульфа. 4. Калька. Кристаллографический символ плоскости представляет собой сово- купность индексов Миллера h, k, l, взятую в круглые скобки – (hkl). Индексы Миллера – взаимно простые целые числа, обратно про- порциональные отрезкам, которые данная плоскость отсекает на кри- сталлографических осях, если эти отрезки измерены особыми мас- штабными единицами. За единицы измерения по осям принимаются отрезки, отсекаемые так называемой единичной плоскостью. Единичной плоскостью называется плоскость, которая пересе- кает три кристаллографические оси на расстояниях (от начала коор- динат), равных периодам повторяемости a , b , c или параметрам a, b, c конечной кристаллической фигуры (кристаллического много- гранника, элементарной ячейки). Следовательно, единицами измерения по осям являются пара- метры: по первой оси – a, по второй – b, по третьей – c. В кристаллах всех сингоний, за исключением тригональной и гек- сагональной, определяются три индекса – h, k, l – по числу кристал- лографических осей. Символ единичной плоскости: (hkl) = (111) = = (один один один). 41 В тригональной и гексагональной сингониях определяются че- тыре индекса – (hkil), т. к. число осей в этих случаях равно четырем. Единичная плоскость (грань) отсекает на двух горизонтальных осях равные отрезки. Индекс по третьей горизонтальной оси определяет- ся из условий h + k – i = 0. Символ единичной плоскости (грани) в указанных сингониях – (1 2 11), если она является гранью триго- нальной пирамиды, или (1 1 01) – если является гранью гексаго- нальной пирамиды. Символ (hkl) в общем своем значении относится не к одной плоскости, а ко всему семейству параллельных плоскостей с посто- янным для них межплоскостным расстоянием d. В данном случае индексы заключатся в фигурные скобки – {hkl}. Плоскости, имеющие индексы – числа целые, взаимно простые, редко превышающие 3, – являются реальными гранями кристалла (или могут быть в других кристаллах данного вещества). Это положение именуется законом рациональных индексов. Для каждой сингонии надо знать установленный условный поря- док расположения осей координат – так называемые правила кри- сталлографической установки, потому что от расположения осей зависят кристаллографические индексы. Правила кристаллографической установки В триклинной сингонии оси проводятся параллельно ребрам мно- гогранника. В моноклинной за ось III выбирается Z2 или, если Z2 нет, перпен- дикуляр к плоскости симметрии P. Оси I и II проводятся параллель- но ребрам многогранника. В ромбической сингонии за оси принимаются три взаимно пер- пендикулярных единичных направления. Если есть одна Z2, она яв- ляется третьей осью. В кубической сингонии за кристаллографические оси принимают три оси четвертого или второго порядка. Пример. На рис. 4.1 изображена простая форма кубической син- гонии – пентагон – додекаэдр, имеющий следующую формулу сим- 42 метрии: 3Z2 4Z3 3PC. Кристаллографические оси совмещены с 3Z2. Грань d отсекает от оси I один, а от оси II – два единичных отрезка. Ось III параллельна этой грани. Символ грани имеет вид 1 1 1 : : 2 :1:0 1 2 (210). Символы других граней находятся аналогично. Рис. 4.1. Ориентировка кристаллографических осей и символы граней пентагона – додекаэдра 3Z2 4Z3 3PC В тетрагональной сингонии одна Z4 принимается за ось III. Два взаимно перпендикулярных симметрично равных направления, перпендикулярных Z4, выбираются за две другие оси. В тригональной и гексагональной сингониях за ось IV – верти- кальную – с индексом l принимается Z3 или Z6 (соответственно), три другие оси (hki) направляются по трем направлениям, лежащим в плоскости, перпендикулярной четвертой оси. Положительные кон- цы располагаются под углом 120° друг к другу против движения часовой стрелки. 43 Правила назначения единичной грани Кубическая сингония В кубической сингонии координатные оси связаны равно- наклонной к ним осью третьего порядка, поэтому они равномас- штабны и три единицы измерения одинаковы: a = b = c. Таким об- разом, в кристаллах кубической сингонии единичная грань отсекает равные отрезки по всем трем координатным осям. На стереограмме проекция такой грани занимает строго определенную позицию – на выходе оси третьего порядка (рис. 4.2). Рис. 4.2. Гномостереограмма кубического кристалла (на рисунке представлена 1/4 стереограммы) Итак, для кубического кристалла h : k : l = OA0/OA : OB0/OB : OC0/OC = 1 1 1 : : Î À Î Â Î Ñ . Тетрагональная сингония В кристаллах тетрагональной сингонии единичная грань распо- лагается на биссектрисе угла между горизонтальными координат- 44 ными осями (рис. 4.3). Рис. 4.3. Гномостереограмма тетрагонального кристалла Если такой грани нет, то: 1) за масштабную грань принимают грань, лежащую на горизон- тальной оси, и ей присваивают символ (101) или (011) (рис. 4.4, а). Отсекаемые ею отрезки по осям (параметры Вейса) соответствуют искомым параметрам OA0 и ОС0 (или OB0 и ОС0). Тогда индексы остальных граней можно определить по соотношению h : l = OA0/OA : ОС0/ОС или k : l = OB0/OB : OC0/OC; 2) за масштабную грань принимают грань, пересекающую обе горизонтальные оси, и ей присваивают символ hk1 (рис. 4.4, б). Эта грань отсекает по координатным осям параметры OA, OB, OC = OC0. Тогда индексы этой грани будут равны h : k : 1 = OA0/OA : OB0/OB : OC0/OC (= OC0), h : 1 = OA0/OA : 1, k : 1 = OВ0/OB : 1, OA0 (= OB0) = OA h = OB k. 45 а б Рис. 4.4. Выбор масштабных граней для тетрагональных кристаллов Необходимо отметить, что в данном случае индекс 1 = 1 следует вписывать в символ лишь после того, как отношение h : k будет сведено к отношению целых чисел, иначе символ исходной (мас- штабной) грани окажется неоправданно усложненным. Гексагональная и тригональная сингонии В гексагональной и тригональной сингониях за масштабную грань принимается грань с символом (10 1 1) или (11 2 1) (рис. 4.5). Рис. 4.5. Гномостереограмма гексагонального кристалла Если таких граней нет, то индицирование граней производится 46 аналогично индицированию в тетрагональных кристаллах. Орторомбическая сингония За единичную грань в кристаллах орторомбической сингонии принимают любую наклонную грань, пересекающую три коорди- натные оси (рис. 4.6). Рис. 4.6. Гномостереограмма орторомбического кристалла Если такой грани нет, то масштабными гранями в таком случае могут быть лишь грани, пересекающие по две координатные оси, т. е. грани типа (hk0), (h0l), (0kl). Каждая из них дает относительные единицы измерения лишь по двум соответствующим осям, поэтому две любые грани такого типа принимают за (110) и (011), (110) и (101) или (101) и (011) (рис. 4.7). (110) и (011). h : k = OA0/OA1 : OB0/OB1 = 1:1, k : l = OB0/OB2 : OC0/OC2 = 1:1, OA0/OB0 = OA1/OB1, OB0/OC0 = OB2/OC2. Умножим и разделим правую дробь на один и тот же параметр соответственно (OB2/OB2) и (OB1/OB1): OA0/OB0 = (OA1/OB1) (OB2/OB2), 47 OB0/OC0 = (OB2/OC2) (OB1/OB1). Получим OA0 : OB0 : OC0 = (OA1 OB2) : (OB1 OB2) : (OC2 OB1). Рис. 4.7. Выбор возможной единичной грани по двум двуединичным в низшей категории Из рис. 4.7 следует, что параллельный перенос граней без изме- нения их символов позволяет уравнять отрезки (параметры Вейса) по той оси, которую пересекают обе грани, и получить таким обра- зом единицы измерения по всем трем координатным осям – пара- метры единичной грани OA0, OB0, OC0. Моноклинная сингония В кристаллах моноклинной сингонии единичная грань (111) пе- ресекает все три координатные оси (рис. 4.8). Если такой грани нет, то масштабными могут быть лишь грани типа (hk0), (h0l), (0kl), каждая из которых дает относительные еди- ницы измерения лишь по двум соответствующим осям, поэтому две любые грани такого типа принимают за (110) и (011), (110) и (101) или (101) и (011). Таким образом, поступают как и в случае орто- ромбического кристалла. 48 Рис. 4.8. Гномостереоргамма моноклинного кристалла Триклинная сингония В кристаллах триклинной сингонии, аналогично кристаллам ор- торомбической и моноклинной сингоний, единичная грань (111) пересекает все три координатные оси (рис. 4.9). Рис. 4.9. Гномостереограмма триклинного кристалла Если таких граней нет, то индицирование проводится так же, как 49 и для орторомбического кристалла. Кристаллографические символы направлений Кристаллографический символ направления представляет собой совокупность истинных координат узла, лежащего на данном направлении, взятую в квадратные скобки [u, v, w], если координа- ты выражены числом целых периодов повторяемости a , b , c или параметров a, b, c. Для определения символа направления выбираются два бли- жайших друг к другу узла, лежащих на данном направлении. В од- ном из узлов располагается начало отсчета. Координаты другого узла определяются путем проекции его на оси. Такой метод определения индекса направления (ребра) исполь- зуется в том случае, когда направление (ребро) наклонено хотя бы к одной из осей координат. В случае ортогонального и параллельного расположения направ- ления (ребра) к осям для определения его индекса обычно исполь- зуют другой метод, который является общим, т. е. пригоден для лю- бого расположения направлений (ребер). Ребро кристалла и кристаллографические направления представ- ляют собой линии пересечения двух плоскостей. Ребра и направле- ния группируются по зонам. Совокупность плоскостей (граней) кристалла, которые пересе- каются по параллельным прямым (ребрам), называется зоной. Направление этих ребер – ось зоны. Ось ребра и направления одной зоны характеризуются одним символом [u, v, w]. Для их определения необходимо знать числовые значения индексов Миллера двух плоскостей, параллельных данно- му направлению: (h1k1l1) и (h2k2l2). Из условий параллельности пря- мой и плоскости 1 1 1 2 2 2 0 , 0 h u k v l w h u k v l w откуда 1 1 1 2 2 2 0.h u k v l w h u k v l w (4.1) При решении в матричном выражении уравнение имеет следу- 50 ющий вид: 1 1 2 2 k l u k l ; 1 1 2 2 h l v h l ; 1 1 2 2 h k w h k (4.2) или 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) . ( ) u k l l k v h l l h w h k k h (4.3) Из уравнений (4.3) определяются индексы [u, v, w] оси данной зоны. Любое направление, имеющее числовые значения индексов, равные значениям индексов оси зоны, принадлежит данной зоне. Задание и методические указания Порядок выполнения работы 1. Получить у инженера или преподавателя модель кристалличе- ского многогранника (ту же, которая исследовалась при выполне- нии лабораторных работ №№ 1, 2, 3). 2. Простым карандашом аккуратно обозначить цифрами все его грани. 3. Выполнить аксонометрическую проекцию модели кристалли- ческого многогранника. 4. Пользуясь перечисленными выше правилами, а также учиты- вая полученные в лабораторной работе № 3 данные по сингонии модели кристаллического многогранника, выполнить его кристал- лографическую установку. 5. Пользуясь перечисленными выше правилами, а также полу- ченной в ходе выполнения лабораторной работы № 2 гномостерео- графической проекцией модели кристаллического многогранника, выбрать в нем единичную грань, т. е. единицы измерения по каждой кристаллографической оси. 6. На основании данного выбора определить символы всех дей- ствительных граней и ребер модели кристаллического многогранника. 7. Обозначить на гномостереографической проекции модели кристаллического многогранника символы всех действительных 51 граней и ребер. 8. С целью закрепления полученных навыков определить и вы- чертить другие плоскости и направления в кристалле по символам, заданным преподавателем. Содержание отчета о работе Отчет о лабораторной работе должен включать: цель данной работы; инструменты и принадлежности для работы; задание; описание проделанной работы с теоретическим обоснованием каждого этапа; зарисовку исследуемого кристаллического многогранника с указанием осей и единичной плоскости; вторичную зарисовку кристаллического многогранника с указа- нием плоскостей и направлений, найденных по заданным символам; гномостереографическую проекцию модели кристаллического многогранника с указанием символов всех действительных граней и ребер. Контрольные вопросы к лабораторной работе 1. Почему в кристаллах тригональной и гексагональной синго- ний символ единичной грани не (1111)? 2. В чем заключается закон рациональных индексов? 3. Назовите правила кристаллографической установки. 4. Назовите правила назначения единичной грани в орторомби- ческой сингонии. 5. Как определяется кристаллографический символ направления? 6. Что такое зона в кристалле? Литература 1. Шаскольская, М. П. Кристаллография / М. П. Шаскольская. – М. : Высшая школа, 1976. – 391 с. 2. Кузмичева, Г. М. Основные разделы кристаллографии : учеб- ное пособие / Г. М. Кузьмичева. – М. : МИТХТ, 2002. – 80 с. 52 3. Бокий, Г. Б. Кристаллохимия / Г. Б. Бокий. – М. : Мир, 1974. – 486 с. Лабораторная работа № 5 ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ Цель работы. Ознакомиться с описанием элементов симметрии, возникающих при рассмотрении периодически расположенных ча- стиц. Освоить принципы образования пространственных групп симметрии. Изучить двумерные пространственные группы. Путем использования мультимедийных средств изучить GIS-файлы, отоб- ражающие 32 пространственные группы. Инструменты и принадлежности для работы 1. Набор заданий для отработки навыков определения двумер- ных пространственных групп. 2. IBM-совместимый персональный компьютер с программным обеспечением, позволяющим отображать GIS-файлы. Точечные группы симметрии характеризуют симметрию внеш- ней формы кристалла и его физические свойства. Каждой точечной группе соответствует несколько пространственных групп симметрии. Пространственные группы симметрии характеризуют симметрию структуры кристалла. Они являются главным критерием, выделяю- щим кристаллические структуры из всех других образований. Кристалл – твердое тело, структура которого описывается од- ной из 230 пространственных групп симметрии. В кристаллах возможны только такие элементы симметрии, ко- торые не противоречат свойствам пространственной решетки. Од- нако внешняя симметрия кристалла является лишь частным случаем симметрии внутренней. Системе бесконечного множества периодически расположенных частиц присущи все элементы симметрии, рассмотренные выше, например, плоскости симметрии и др. Также в ней можно выделить новые элементы симметрии: оси трансляции, плоскости скользяще- го отражения и винтовые оси. В описании тех способов, какими эти элементы могут совмести- мо сочетаться с трансляцией, и состоит описание возможных про- 53 странственных групп. Пространственные группы играют очень важ- ную роль при расшифровке кристаллических структур. Дадим описание новых элементов симметрии, которые встреча- ются в кристаллах. Ось трансляции – это важнейший элемент внутренней симмет- рии. При одном симметричном преобразовании перенос осуществ- ляется на расстояние, которое равно промежутку между ближай- шими идентичными атомами на оси трансляции, т. е. на величину вектора трансляции t1, t2, t3 или t4 (рис. 5.1). Для кристалла трансля- ция заключается в параллельном переносе всей системы по направ- лению оси. Рис. 5.1. Элементы симметрии в решетке кристалла Следующим элементом внутренней симметрии является плоскость скользящего отражения. Действие, соответствующее ей, состоит из отражения в плоскости и переноса, параллельного этой плоскости. Это, например, преобразование точки А в А (см. рис. 5.1, где след плоскости скользящего отражения n показан пунктиром). Плоскости скользящего отражения обозначаются буквами a, b, c, d, n в зависимости от направления переноса. Если вектор переноса направлен вдоль ребра элементарной ячейки a (b или с), то соответ- ственно плоскость скользящего отражения обозначают буквами a (b или с). Если перенос осуществляется вдоль диагонали грани эле- ментарной ячейки, то плоскость скользящего отражения обознача- 54 ется буквами d (вектор переноса равен ¼ диагонали) или n (вектор переноса равен ½ диагонали). Если повторение объекта в кристалле происходит путем поворо- та на определенный угол вокруг оси и одновременного перемеще- ния (трансляции) в направлении, параллельном этой оси, операция симметрии соответствует наличию так называемой винтовой оси. Аналогичным образом повторение путем отражения в плоскости симметрии может сочетаться с компонентой трансляции, парал- лельной этой плоскости, что дает плоскость скользящего отраже- ния. Если в кристалле имеется, скажем, двойная ось симметрии, это означает, что некоторая структурная единица, или мотив, распола- гается вокруг этого направления так, что повторяется при повороте на 180° вокруг этой оси. Конфигурация, показанная на рис. 5.2, а, соответствует простой поворотной оси симметрии второго порядка. Однако поворот на 180° может сочетаться с трансляцией на поло- вину периода повторяемости решетки в направлении оси, что дает винтовую ось второго порядка, показанную на рис. 5.2, б. Она обо- значается символом 21. Операция повторения под действием плос- кости скользящего отражения показана на рис. 5.2, в. а б в Рис. 5.2. Повторение объекта под действием поворотных осей и плоскости скользящего отражения: а – простая ось второго порядка; б – винтовая ось второго порядка; в – плоскость скользящего отражения, перпендикулярная плоскости чертежа (штриховая линия) Винтовая ось и простая поворотная ось одного и того же порядка n повторяют трансляцию одинаково. Отсюда следует, что поворот- 55 ные компоненты винтовой оси могут быть только 2π / 1, 2π / 2, 2π / 3, 2π / 4 и 2π / 6 и что винтовые и простые поворотные оси n-го порядка должны быть расположены одинаково относительно оди- наковых групп трансляций. Возможные типы винтовых осей приведены в табл. 5.1. Таблица 5.1 Винтовые оси симметрии в кристаллах Наименования осей Символы осей Графическое обозначение Трансляция * Двойная винтовая 21 2 1 Тройные винтовые 31 3 1 32 3 2 Четверные винтовые 41 4 1 42 2 1 4 2 43 4 3 Шестерные винтовые 61 6 1 62 3 1 6 2 63 2 1 6 3 64 3 2 6 4 65 6 5 * В единицах периода идентичности вдоль оси правозаходного винта. Винтовая ось порядка nN соответствует повторению объекта при повороте на 360°/n с одновременной трансляцией на tN / n, где t – вектор повторяемости решетки в направлении оси. 56 Имеется пять типов шестерных винтовых осей. Например, 61 озна- чает поворот на 60° и трансляцию на t / 6, а 65 соответствует повороту на 60° и трансляции на 5t / 6. С помощью схемы легко показать, что оси 61, 41, 62 эквивалентны осям 65, 43, 64 (соответственно) с противо- положным направлением захода винта, т. е. правовинтовая ось 61 равноценна левовинтовой оси 65 и т. д. На рис. 5.3 приведена схема действия осей 31 и 32. Здесь А и А' – узлы рассматриваемой решетки. Операция 31 (рис. 5.3, а) пусть будет правой. Заметим, что, когда объект преобразуется симметричным действием оси 32, он попадает и на высоту 4/3, и на высоту 1/3, т. к. обе точки А и А' – узлы решетки, а узор тянется бесконечно в направлении, параллельном АА'. а б Рис. 5.3. Действие винтовых осей третьего порядка: а – действие оси 31; б – действие оси 32 Необходимо также отметить, что винтовые оси 42 и 63 равноцен- 57 ны чисто поворотным осям 2 и 3 соответственно, а оси 62 и 64 со- держат поворотные оси второго порядка. Плоскости скольжения, или плоскости скользящего отражения Комбинация отражения и поступательного перемещения пред- ставляет собой операцию отражения со скольжением вдоль плос- кости отражения (рис. 5.4). Рис. 5.4. Структурный мотив с зеркальными плоскостями m В зависимости от направления скольжения плоскости скользя- щего отражения обозначаются символами a, b, c, n, d. Если отражение происходит в плоскости, перпендикулярной оси X, и скольжение имеет место вдоль этой плоскости на τx / 2, то данная плоскость называется плоскостью скользящего отражения a (рис. 5.5). 58 Рис. 5.5. Структурный мотив с плоскостями скольжения a и b Если отражение происходит в плоскости, перпендикулярной оси Y, и скольжение имеет место вдоль этой плоскости на τy / 2, то данная плоскость называется плоскостью скользящего отражения b (рис. 5.6). Рис. 5.6. Структурный мотив с зеркальными плоскостями m и плоскостями скольжения b Если отражение происходит в плоскости, перпендикулярной оси Z, и скольжение имеет место вдоль этой плоскости на τz / 2, то данная плоскость называется плоскостью скользящего отражения c (рис. 5.7). Рис. 5.7. Структурный мотив с зеркальными плоскостями m и плоскостями скольжения с Если отражение происходит в плоскости, перпендикулярной оси X, и скольжение имеет место вдоль этой плоскости на τy / 2 + τz / 2 (или если отражение происходит в плоскости, перпендикулярной оси Y, и скольжение имеет место вдоль этой плоскости на τx / 2 + τz / 2, или если отражение происходит в плоскости, перпендикулярной оси Z, 59 и скольжение имеет место вдоль этой плоскости на τx / 2 + τy / 2), то эти плоскости называются клиноплоскостями n (рис. 5.8). Рис. 5.8. Структурный мотив с зеркальными плоскостями m, плоскостями скольжения с и клиноплоскостями n В ромбической структуре FeS2 (марказит) атомы связаны двумя вертикальными клиноплоскостями n (рис. 5.9). а б в г 60 Рис. 5.9. Структура марказита FeS2: а – общий вид; б – проекция структуры на плоскость осей YZ; в – проекция структуры на плоскость XY; г – пространственная (федоровская группа) Pnnm В I- и F-центрированных ячейках Бравэ возможно появление так называемых алмазных плоскостей симметрии, или диагональных плоскостей d. Действие этих плоскостей – сочетание отражения и диагональной трансляции или на τх / 4 + τу / 4, или на τx / 4 + τz / 4, или на τу / 4 + τz / 4 в зависимости от расположения плоскостей отраже- ния по отношению к координатным осям (рис. 5.10). Рис. 5.10. Проекция структуры алмаза на плоскость (001) с диагональными (алмазными) плоскостями d Пространственные (федоровские) группы симметрии Взаимодействие элементов микросимметрии и 14 типов ячеек приводит к 230 различным пространственным группам симметрии (Е.С. Федоров – 1890 г.; А. Шенфлис – 1891 г.). Для обозначения пространственных групп симметрии применя- ют международные символы (табл. 5.2). Международный (интернациональный) символ пространственной группы составлен так, что по виду символа при помощи теорем о соче- тании элементов симметрии можно наглядно представить всю сово- купность элементов симметрии этой группы. В символе простран- ственной группы пишутся только порождающие элементы симметрии. В международном символе пространственной группы на первом 61 месте всегда стоит буква, обозначающая тип ячейки Бравэ; далее – порождающие элементы симметрии, каждый на определенном месте. Нарушение порядка записи меняет смысл символа. Таблица 5.2 Обозначение пространственных групп симметрии по международной символике Сингония Позиция в символе 1 2 3 4 Триклинная Тип решетки Бравэ Имеющийся элемент сим- метрии Моноклинная Ось 2 или 21 и плоскость, ей перпенди- кулярная Ромбическая Плоскость, перпендикулярная, или ось, парал- лельная оси Х, оси Y, оси Z Тригональная Гексагональная Ось высшего порядка и плос- кость, ей пер- пендикулярная Координатная плоскость или ось (большая диагональ ром- ба с γ = 120°) Диагональная плоскость или ось (малая диа- гональ ромба с γ = 120°) Тетрагональная Ось высшего порядка и плос- кость, ей пер- пендикулярная Координатная плоскость или ось Диагональная плоскость или ось Кубическая Координатная плоскость или ось 3 Диагональная плоскость или ось При обозначении международными символами необходимо со- блюдать ряд правил: 1. Если в одном направлении есть и плоскости зеркального от- ражения, и плоскости скользящего отражения, то в символ группы вводится обозначение плоскости зеркального отражения. 2. Если в одном направлении есть и плоскости, и оси, то в сим- воле указывается плоскость. 3. Если в одном направлении есть оси различных порядков, то записывается старшая из них. 4. Если на каком-то месте нет элемента симметрии, то пишется 62 цифра 1. Символ пространственной группы показывает, что пространствен- ные группы получаются, если совместить элементы симметрии то- чечной группы с каждым узлом соответствующей решетки Бравэ. Так, Fm3m означает гранецентрированную кубическую решетку, с каждым узлом которой ассоциируется точечная группа m3m; Р63/mmc означает гексагональную примитивную решетку, которая выводится из Р6/mmm путем замены шестерной поворотной оси винтовой осью 63, а одной из зеркальных плоскостей – плоскостью скользящего отражения с. Точечная симметрия групп Р63/mmc и Р6/mmm одинакова. Симметрия точечной группы любого кристалла выводится непосредственно из символа пространственной группы заменой в нем винтовых осей со- ответствующими простыми поворотными осями и плоскостей сколь- зящего отражения зеркальными плоскостями. Если хорошо понять плоские группы, то разобраться в таблицах трехмерных пространственных групп не составит труда. Пространственные группы получаются приложением симметрии точечных групп к конечным решеткам, причем принимается во внимание возможность трансляционной симметрии. Всего суще- ствует пять плоских сеток, показанных на рис. 5.11. На рис. 5.12–5.28 приведены 17 двумерных пространственных групп (или групп плоской симметрии). Обозначим символом p – примитивные и символом c – центри- рованные решетки. Единственный дополнительный элемент сим- метрии в двух измерениях – это линия скользящего отражения (g), которая на рис. 5.12–5.28 обозначается штриховой линией. Этот элемент симметрии включает отражение и трансляцию на ½ перио- да повторяемости сетки в направлении, параллельном линии. Название рисунков 5.12–5.28 состоит из: 1) сокращенного международного символа (табл. 5.3); 2) точечной группы; 3) типа решетки. Под чертежами указано положение начала координат, а в столб- цах (слева направо): 1) число эквивалентных позиций; 2) точечная группа симметрии этих позиций; 3) координаты эквивалентных позиций. Координаты позиций х и у выражаются в единицах, равных 63 длине соответствующих ребер элементарной ячейки (т. е. периодам решетки вдоль осей x и у). Рис. 5.11. Пять типов симметрий (оси симметрии проходят перпендикулярно плоскости чертежа): а – простая параллелограмматическая сетка; б – квадратная сетка; в – правильная а б в г д 64 треугольная сетка; г – прямоугольная сетка; д – центрированная прямоугольная, или простая ромбическая, сетка: – ось симметрии 2-го порядка; – ось 3-го порядка; – ось 4-го порядка; – ось 6-го порядка Начало координат на оси 1 Координаты эквивалентных позиций: 1 1 x, y Рис. 5.12. p1 1 Параллелограмматическая двумерная пространственная группа Начало координат в точке выхода оси 2 Координаты эквивалентных позиций: 2 1 x, y, x , y 1 2 1 2 , 1 2 1 2 1 2 , 0 1 2 0, 1 2 1 2 0, 0 65 Рис. 5.13. p2 2 Параллелограмматическая двумерная пространственная группа Начало координат на m Координаты эквивалентных позиций: 2 1 x, y, x , y 1 m 1 2 , y 1 2 0, y Рис. 5.14. pm m Прямоугольная двумерная пространственная группа Начало координат на g Координаты эквивалентных позиций: 2 1 x, y; x , 1 2 + y 66 Рис. 5.15. pg m Прямоугольная двумерная пространственная группа Начало координат на m Координаты эквивалентных позиций: (0, 0, 1 2 , 1 2 ) + 4 1 x, y, x , y 2 m 0, y Рис. 5.16. cm m Прямоугольная двумерная пространственная группа Начало координат в точке 2mm Координаты эквивалентных позиций: 4 1 x, y; x , y; x , y ; x, y 2 m 1 2 , y; 1 2 , y 2 m 0, y; 0, y 2 m x, 1 2 ; x , 1 2 2 m x, 0; x , 0 1 mm 1 2 , 1 2 1 mm 1 2 , 0 67 1 mm 0, 1 2 1 mm 0, 0 Рис. 5.17. pmm mm Прямоугольная двумерная пространственная группа Начало координат в точке выхода оси 2 Координаты эквивалентных позиций: 4 1 x, y; x , y ; 1 2 + x, y ; 1 2 – x, y 2 m 1 4 , y; 3 4 , y 2 2 0, 1 2 ; 1 2 , 1 2 2 2 0, 0; 1 2 , 0 Рис. 5.18. pmg mm Прямоугольная двумерная пространственная группа Начало координат в точке выхода оси 2 Координаты эквивалентных позиций: 4 1 x, y; x , y ; 1 2 + x, 1 2 –y; 1 2 – x, 1 2 + y 68 2 2 1 2 , 0; 0, 1 2 2 2 0, 0; 1 2 , 1 2 Рис. 5.19. pgg mm Прямоугольная двумерная пространственная группа Начало координат в точке пересечения 2тт Координаты эквивалентных позиций: (0, 0; 1 2 , 1 2 ) + 8 1 x, y; x , y; x , y ; x, y 4 m 0, y; 0, y 4 m x, 0; x , 0 4 2 1 4 , 1 4 ; 1 4 , 1 4 2 mm 0, 1 2 2 mm 0, 0 Рис. 5.20. cmm mm Прямоугольная двумерная пространственная группа Начало координат в точке выхода оси 4 Координаты эквивалентных позиций: 4 1 x, y; x , y ; y, x ; y , x 69 2 2 1 2 , 0; 0, 1 2 1 4 1 2 , 1 2 1 4 0, 0 Рис. 5.21. p4 4 Квадратная двумерная пространственная группа Начало координат в точке пересечения 4mm Координаты эквивалентных позиций: 8 1 x, y; x , y ; y, x ; y , x; x , y; x, y ; y , x ; y, x 4 m x, x; x , x ; x , x; x, x 4 m x, 1 2 ; x , 1 2 ; 1 2 , x; 1 2 , x 2 mm 1 2 , 0; 0, 1 2 1 4mm 1 2 , 1 2 1 4mm 0, 0 Рис. 5.22. p4m 4mm Квадратная двумерная пространственная группа Начало координат в точке выхода оси 4 Координаты эквивалентных позиций: 8 1 x, y; y, x ; 1 2 – x, 1 2 + y; 1 2 – y, 1 2 + x; y , x ; y , x; 1 2 + x, 1 2 – y; 1 2 + y, 1 2 + x 70 4 m x, 1 2 + x; x , 1 2 – x; 1 2 + x, x ; 1 2 – x, x 2 mm 1 2 , 0; 0, 1 2 2 4 0, 0; 1 2 , 1 2 Рис. 5.23. p4g 4mm Квадратная двумерная пространственная группа Начало координат в точке выхода оси 3 Координаты эквивалентных позиций: 3 1 x, y; y , x – y; y – x, x 1 3 2 3 , 1 3 1 3 1 3 , 2 3 1 3 0, 0 Рис. 5.24. р3 3 Правильная треугольная двумерная пространственная группа Начало координат в точке пересечения 3m Координаты эквивалентных позиций: 6 1 x, y; y , x – y; y – x, x ; x, x – y; y – x, y; y , x 3 m x, x ; x, 2x; 2 x , x 71 1 3m 2 3 , 1 3 1 3m 1 3 , 2 3 1 3m 0, 0 Рис. 5.25. p3m1 3m Правильная треугольная двумерная пространственная группа Начало координат в точке пересечения 31m Координаты эквивалентных позиций: 6 1 x, y; y , x – y; y – x, x ; y, x; x , y – x; x – y, y 3 m x, 0; 0, x; x , x 2 3 1 3 , 2 3 ; 2 3 , 1 3 ; 1 3m 0, 0 Рис. 5.26. p31m 3m Правильная треугольная двумерная пространственная группа Начало координат в точке выхода оси 6 Координаты эквивалентных позиций: 6 1 x, y; y , x – y; y – x, x ; x , y ; y, y – x; x – y, x 72 3 2 1 2 , 0; 0, 1 2 ; 1 2 , 1 2 2 3 1 3 , 2 3 ; 2 3 , 1 3 1 6 0, 0 Рис. 5.27. p6 6 Правильная треугольная двумерная пространственная группа Начало координат в точке пересечения 6тт Координаты эквивалентных позиций: 12 1 x, y; y , x – y; y – x, x ; y, x; x , y – x; x – y, y ; x , y ; y, y–x; x–y, x; y , x , x, x–y; y–x, y 6 m x, x ; x, 2x; 2 x , x ; x , x; x , 2 x ; 2x, x 6 m x, 0; 0, x; x , x ; x , 0; 0, x ; x, x 3 mm 1 2 , 0; 0, 1 2 ; 1 2 , 1 2 2 3m 1 3 , 2 3 ; 2 3 , 1 3 1 6mm 0, 0 Рис. 5.28. p6mm 6mm Правильная треугольная двумерная пространственная группа Пространственные группы, которые возникают в результате ком- бинации двумерных решеток и двумерных точечных групп, приве- дены в табл. 5.3. Кроме того, пространственные группы показаны в виде схем на рис. 5.12–5.28. На всех чертежах ось x направлена вниз, а ось y го- 73 ризонтальна; за положительное направление оси y принято направ- ление вправо. На каждом чертеже слева показаны эквивалентные общие позиции пространственной группы, т. е. полный набор пози- ций, получаемых под действием элементов симметрии данной про- странственной группы на одну исходную позицию, выбранную произвольным образом. Полное число общих позиций равно числу позиций, заключающихся в элементарной ячейке, но для того, что- бы показать симметрию узла, приведены также окружающие пози- ции. Правый чертеж иллюстрирует группу пространственно распо- ложенных операторов симметрии, т. е. истинную пространственную (плоскую) группу. Под каждым из чертежей на рис. 5.12–5.18, кро- ме общих позиций, указаны также частные позиции. Это позиции, расположенные на некоторых операторах симметрии; повторение этих исходных точек дает меньшее число эквивалентных позиций, чем в общем случае. Кроме того, для каждой частной позиции при- водится ее симметрия. Таблица 5.3 Двумерные решетки, точечные группы в пространственных группах Система и символ решетки Точечная группа Символ простран- ственной группы Номер прост- ранственной группы Полный Краткий Параллелограмматическая; р (примитивная) 1 2 p1 p2 p1 p2 1 2 Прямоугольная; р (примитивная) и с (центрированная) m 2mm p1m1 p1g1 c1m1 p2mm p2mg p2gg c2mm pm pg cm pmm pmg pgg cmm 3 4 5 6 7 8 9 Квадратная; р 4 4mm p4 p4mm p4gm p4 p4m p4g 10 11 12 74 Правильная треугольная (гексагональная); р 3 3m 6 6mm p3 p3m1 р31m p6 p6mm p3 p3m1 р31m p6 p6m 13 14 15 16 17 Замечание. Две различные группы p3m1 и р31m соответствуют двум различным ориентировкам точечной группы по отношению к решетке. В остальных случаях от этого не получаются различные группы. Группа p1 (№ 1) получается при сочетании параллелограммати- ческой сетки с поворотной осью симметрии первого порядка. Част- ные позиции в элементарной ячейке отсутствуют. Группа р2 (№ 2) возникает при сочетании параллелограмматической сетки и пово- ротной симметрии второго порядка. Наличие зеркальной плоскости симметрии требует прямоугольной сетки, и, если эта сетка сочета- ется с единственной плоскостью симметрии, получается простран- ственная группа pm (№ 3). Точки и зеркально симметричны друг другу. Если плоскость симметрии заменить линией скользяще- го отражения, получим пространственную группу pg (№ 4). В груп- пе № 4 линия скользящего отражения перпендикулярна оси x. Центрированная прямоугольная решетка обязательно обладает линией скользящего отражения (например, как в cm, № 5), но толь- ко одной, соответствующей плоской точечной группе т. Т. к. в этом случае сетка является многократно примитивной, в узле (1/2, 1/2) обязательно возникает мотив, симметричный узлу (0, 0). Следова- тельно, эти координаты эквивалентных позиций, будучи добавлены к (1/2, 1/2), дают дополнительные эквивалентные позиции. Если с прямоугольной решеткой сочетаются две зеркальные плоскости, пересекающиеся под прямым углом, мы получим двойные оси в точках пересечения этих плоскостей (pmm, № 6). Если одну из зер- кальных плоскостей заменить плоскостью g, двойные оси будут ле- жать посредине между точками их пересечения (pmg, № 7). Группа cmm (№ 9) обязательно включает наличие двух семейств линий скользящего отражения. Символ р4 означает квадратную ре- шетку и точечную группу 4; сочетание их обязательно приводит к образованию двойных осей (№ 10), однако зеркальные плоскости не обязательны. Если оси 4 лежат в точках пересечения двух семейств 75 зеркальных плоскостей, мы имеем группу p4m (№ 11), в которой обязательно имеются линии диагонального скольжения. Однако оси 4 могут также лежать на пересечении двух семейств линий скользя- щего отражения; в этом случае снова возникают два семейства зер- кальных плоскостей, но эти плоскости пересекаются по двойным осям, давая в точках пересечения симметрию точечной группы mm (№ 12). Правильная треугольная сетка и точечная группа 3 дают пространственную группу p3 (№ 13). Когда с тройной осью сочета- ются зеркальные плоскости, т. е. если мы имеем комбинацию то- чечной группы 3m и правильной треугольной сетки, тогда зеркаль- ные плоскости могут располагаться относительно точек сетки дву- мя различными способами, давая плоские группы p31m и p3m1 (№ 14, 15). В случае гексагональной точечной группы 6mm, которая обязательно имеет два семейства зеркальных плоскостей, аналогич- ная двойственность не возникает; соответствующие пространствен- ные группы – p6 и p6mm (№ 16, 17). Задание и методические указания Порядок выполнения работы 1. Ознакомиться с описанием новых элементов симметрии, а также двумерных пространственных групп, приведенным в теоре- тической части лабораторной работы. 2. Получить у инженера или преподавателя карточки заданий, отображающие графические мотивы, выражающие двумерные про- странственные группы. Путем изучения мотива определить задан- ные двумерные пространственные группы и обозначить их. 3. После выполнения п. 2, используя IBM-совместимый персо- нальный компьютер с программным обеспечением, позволяющим отображать GIS-файлы, изучить 32 пространственные группы. Содержание отчета о работе Отчет о лабораторной работе должен включать: цель данной работы; инструменты и принадлежности для работы; 76 карточки заданий с записанными на них двумерными прост- ранственными группами. Контрольные вопросы к лабораторной работе 1. Объясните разницу между точечной и пространственной груп- пами симметрии. 2. Назовите элементы симметрии, встречающиеся только в про- странственных группах симметрии. 3. Как выполняется обозначение пространственных групп сим- метрии по международной символике? 4. Опишите возможные типы плоских сеток. 5. Как определяются координаты эквивалентных позиций в про- странственных группах? 6. Что обозначает символ g в плоской группе pmg? 7. В чем выражается отличие между плоскими группами p31m и p3m1? Литература 1. Шаскольская, М. П. Кристаллография / М. П. Шаскольская. – М. : Высшая школа, 1976. – 391 с. 2. Келли, А. Кристаллография и дефекты в кристаллах : пер. с англ. / А. Келли, Г. Гровс ; под ред. М. П. Шаскольской. – М. : Наука, 1971. – 401 с. 3. Бокий, Г. Б. Кристаллохимия / Г. Б. Бокий. – М. : Мир, 1974. – 486 с. 77 Лабораторная работа № 6 ИЗУЧЕНИЕ НЕКОТОРЫХ СТРУКТУРНЫХ ТИПОВ Цель работы. Ознакомиться с описанием некоторых структур- ных типов. Используя мультимедийные средства, изучить 3D-мо- дели, отражающие кристаллическое строение ювелирных камней. По результатам изучения 3D-модели составить отчет, включающий скриншоты, отображающие иллюстрации, приведенные в описании некоторых структурных типов, описание элементарной ячейки, про- странственной группы симметрии, ее представления в виде коорди- национных тетраэдров, а также шаровой упаковки. Инструменты и принадлежности для работы 1. IBM-совместимый персональный компьютер с установленным пакетом Java. 2. Набор файлов, содержащих 3D-модели кристаллических ве- ществ. Структура алмаза В структурном типе алмаза кристаллизуются важнейшие элемен- тарные полупроводники, элементы IV группы периодической систе- мы элементов: германий, кремний, а также серое олово (табл. 6.1). Таблица 6.1 Характеристики элементарных полупроводников со структурой типа алмаза Элемент Параметр решетки, нм Температура плавления, С Алмаз 0,357 – Кремний 0,543 1420 Германий 0,566 936 Серое олово 0,649 232 Кристаллы принадлежат к классу m3m кубической сингонии. Тип ячейки Бравэ – гранецентрированная кубическая (ГЦК). Атомы 78 углерода занимают все узлы ГЦК-ячейки, а также центры половины октантов, на которые можно разбить куб (рис. 6.1), причем запол- ненные и незаполненные октанты чередуются в шахматном поряд- ке: рядом с заполненным октантом – незаполненный, под незапол- ненным – заполненный и т. д. Рис. 6.1. Структурный тип алмаза Это выглядит так, как если бы в элементарную ГЦК-ячейку вдвинули вторую такую же ячейку так, что атом [[000]] одной из ячеек совпадает с атомом [[¼, ¼, ¼]] второй ячейки. Пространственная группа структуры алмаза Fd3m; в координат- ных направлениях проходят плоскости скользящего отражения типа d («алмазные»), в диагональных – плоскости типа m. На их пересе- чениях порождаются винтовые оси 41. Все связи в структуре алмаза направлены по <111> и составляют друг с другом углы 109°28'. Каждый атом окружен четырьмя такими же атомами, располагающимися по вершинам тетраэдра (рис. 6.2); к. ч. = 4, к. м. – тетраэдр. Рис. 6.2. Координационный тетраэдр в структуре алмаза 79 На одну элементарную ячейку приходится 8 атомов: в вершинах ячейки – 8 1/8, на гранях – 6 1/2 и внутри ячейки – 4. Координаты базиса: [[000]], [[0, 1/2, 1 /2]], [[ 1 /2, 1 /2, 0]], [[ 1 /4, 1 /4, 1 /4]], [[1/4, 3/4, 3/4]], [[ 3/4, 1/4, 3/4]], [[ 3/4, 3/4, 1/4]]. Плотнейшей упаковки в структуре нет. Однако есть плоскости (слои), упакованные плотнее, чем любые другие. Они отчетливо вид- ны на рис. 6.3, где структура алмаза представлена со стороны плос- кости (110) так, что направление <111>, т. е. ось 3, вертикально. Рис/ 6.3. Структура алмаза в проекции на плоскость (110) В этом ракурсе явно выделяются слои плоскостей {111}, пер- пендикулярных осям 3. Ретикулярная плотность в таких слоях наибольшая, а направления <110> (диагонали граней куба), лежа- щие в этих слоях, являются наиболее плотно упакованными направлениями. На рисунке видно, что слои {110} двойные, как бы состоящие из двух подслоев: один подслой состоит из атомов, у ко- торых вертикально расположенные связи направлены вверх, второй – из атомов, у которых такие же связи направлены вниз. Подслои двойного слоя соединены между собой тремя связями на атом, а с двумя соседними двойными слоями – одной связью на атом. Такое расположение играет существенную роль в анизотропии механиче- ских свойств кристаллов со структурой алмаза. 80 На рис. 6.3 видно, что в структуре существуют шестисторонние «каналы» в направлениях <110>, проходящие насквозь. По этим каналам особенно легко идет диффузия примесей в кристалле. Также обратим внимание на четко вырисовывающуюся фигуру ступенчатого гексагона с вершинами, обращенными в разные стороны (на рис. 6.3 один из этих гексагонов для наглядности заштрихован). В точечной группе симметрии алмаза есть центр симметрии, все направления неполярны. В структуре центр симметрии располага- ется на середине связи между двумя любыми соседними атомами. Структура графита Графит – гексагональная модификация углерода, термодинами- чески устойчивая при температурах ниже 1000 °С. Структура графита (рис. 6.4) слоистая, причем каждый из чере- дующихся слоев (0001) построен по одному и тому же закону из гексагональных ячеек (рис. 6.5, а). Каждый слой смещен по отно- шению к двум соседним, точно повторяющим друг друга, на поло- вину большой диагонали гексагена. Поэтому структура двухслой- ная с чередованием слоев ...АВАВАВ... . Рис. 6.4. Структура графита (модель) 81 а б Рис. 6.5. Структура графита: а – схема плоскости сетки (0001); б – мотив расположения пары плоских сеток На рис. 6.5, б два соседних слоя А и В частично перекрываются. Это сделано для того, чтобы наглядно показать характер смещения соседних слоев. На фоне области перекрытия слоев показана эле- ментарная ячейка (заштрихованный ромб). Каждый из слоев со- ставлен из гексагональных ячеек. Под центром (незаполненным) гексагона одного слоя лежит вершина гексагона следующего слоя, вершины гексагонов верхнего слоя приходятся попеременно три над вершинами гексагонов нижнего слоя, три – над центрами этих гексагонов. Третий слой повторяет первый. В элементарной ячейке содержится четыре атома. Для подсчета координационного числа учитываются атомы, находящиеся в дан- ном слое на ближайшем расстоянии от данного атома, а затем, во вторую очередь, – ближайшие атомы в соседних слоях. При таком подсчете получаем для одних атомов к. ч. = 3 и 12, для других – к. ч. = 3 и 2. Пространственная группа структуры графита – P63/mmc. Парал- лельно большой диагонали элементарной ячейки проходит плос- кость m, параллельно малой диагонали – плоскость c. Структура графита является примером слоистой структуры: параметры решет- ки по оси с и осям, лежащим в плоскости слоев, различаются очень сильно – у графита c = 0,339 нм, a = 0,142 нм. Внутри слоя дей- ствуют прочные ковалентные связи, между слоями – слабые ван- дер-ваальсовы связи. В кристаллах со слоистой структурой очень сильно различие фи- зических свойств вдоль и поперек главной оси симметрии. Так, в графите электропроводность вдоль оси c в 105 раз больше, чем в 82 поперечных направлениях. Вследствие слоистости структуры кри- сталлы графита легко деформируются путем смещения вдоль плос- костей (0001), что позволяет применять графит в качестве смазки. Графитовые чешуйки, соскальзывающие вдоль плоскостей (0001), оставляют след на бумаге, когда пишешь графитовым карандашом. Структуры сфалерита и вюрцита Сульфид цинка ZnS кристаллизуется в виде кубического сфале- рита (цинковой обманки) или гексагонального вюрцита. Такие же структуры характерны для многих полупроводниковых кристаллов типа: CdS, CdSe, CdTe, GaAs, GaP, InSb, InAs, InP, AlP, AlSb и др. В сфалерите и вюрците каждый ион цинка тетраэдрически окру- жен ионами серы, а каждый ион серы – ионами цинка, расположен- ными по вершинам тетраэдра (рис. 6.6). Рис. 6.6. Координационный многогранник в структуре сфалерита Связи не только ковалентные, но и частично ионные. Эти структуры рассматриваются как плотнейшая упаковка ионов серы, в которой ионы цинка занимают половину тетраэдрических пустот. Структура сфалерита соответствует плотнейшей кубической упаковке ...АВСАВС..., плотнейшие слои нормальны к четырем по- лярным направлениям <111>. Структура вюрцита характеризуется плотнейшей гексагональной упаковкой ...АВАВАВ..., плотнейшие слои нормальны к единичному полярному направлению [0001]. На рис. 6.7 и 6.8 показаны структуры двух модификаций ZnS, построенные из координационных тетраэдров. В кубической упа- 83 ковке сфалерита треугольные основания тетраэдров любого слоя ориентированы так же, как и основания тетраэдров предыдущего слоя. В гексагональной упаковке вюрцита треугольные основания тетраэдров в последующих слоях повернуты на 60°. Каждая верши- на является общей для четырех тетраэдров. Рис. 6.7. Структура сфалерита, построенная из координационных тетраэдров Рис. 6.8. Структура вюрцита, построенная из координационных тетраэдров В структурах сфалерита и вюрцита нет центра симметрии, струк- туры полярны. В кристаллах, принадлежащих к полярным классам симметрии, возможны полярные физические свойства. Полупро- водники с такими структурами могут принадлежать к важному классу – пьезоэлектрикам. Сфалерит принадлежит к классу 43m , в котором нет центра симметрии, а оси 3, т. е. направления <111>, полярны. Возможны 84 простые формы – куб {100}, ромбический додекаэдр {110} и тетра- эдр {111}. Структура сфалерита (рис. 6.9) сходна со структурой алмаза: это гранецентрированная кубическая решетка (ГЦК), в которой заселе- на половина тетраэдрических пустот. Заселенные октанты череду- ются с незаселенными в шахматном порядке. Отличие от структуры алмаза заключается в том, что в алмазе все атомы одинаковы, а в сфалерите атомы одного сорта (например, серы) занимают узлы ГЦК-ячейки, а атомы другого (например, цинка) – центры четырех октантов. Структуру сфалерита можно описать как две ГЦК-ре- шетки – серы и цинка, смещенные друг относительно друга на чет- верть телесной диагонали кубической ячейки, или как плотнейшую упаковку ионов серы, смещенную на такое же расстояние от анало- гичной упаковки ионов цинка. Рис. 6.9. Элементарная ячейка структуры сфалерита Структуры алмаза и сфалерита имеют одну и ту же ГЦК-решетку Бравэ, но алмаз относится к голоэдрическому классу кубической сингонии m3m, а сфалерит – к гемиэдрии 43m . Соответственно у алмаза большее богатство наборов симметрично эквивалентных плоскостей и направлений, чем у сфалерита, но значительно мень- шая анизотропия физических свойств. Пространственная группа сфалерита – F43m (алмаза – Fd3m). В отличие от алмаза у сфалерита нет центра симметрии, струк- тура полярна. Геометрическая полярность структуры сфалерита хорошо видна на рис. 6.10, особенно если сравнить его со структурой алмаза на рис. 6.3. 85 Рис. 6.10. Структура сфалерита в проекции на плоскость (110) Двойные слои, параллельные {111}, в сфалерите состоят как бы из двух подслоев разных ионов – подслой цинка и подслой серы. Поэтому плоскости (111) и ( 111 ) так же, как и направления [111] и [11 1 ], различны по своим физическим свойствам. Наиболее плотно упакованные плоскости – это плоскости {111}, перпендикулярные осям 3. Каждый ион серы в этой плоскости окружен шестью такими же ионами. Ионы соседних слоев находят- ся в пустотах между ионами исходного слоя, т. е. число ближайших соседей равно 12, что служит характерным признаком плотнейшей упаковки. Ионы цинка окружены четырьмя ионами, значит они рас- полагаются в тетраэдрических пустотах. Вюрцит принадлежит к классу 6mm, в котором ось 6 является не только полярным, но и единичным направлением. Поэтому анизо- тропия физических свойств в кристаллах со структурой вюрцита еще сильнее, чем в сфалерите. Элементарная ячейка вюрцита составлена из двух тригональных призм. Внутри правой из призм нет ионов, а левая призма заполне- на: в ней есть еще по одному катиону и аниону на линии, проходя- щей через центры ее оснований (рис. 6.11, а). На одну элементар- ную ячейку приходится по два аниона (8 1/8 + 1) и по два катиона (4 1/4 + 1). 86 а б в Рис. 6.11. Элементарная ячейка структуры вюрцита Обычно гексагональная структура описывается не такой ячей- кой, а гексагональной призмой, составленной из шести элементар- ных тригональных призм (рис. 6.11, б). Ионы одного элемента рас- полагаются в вершинах гексагональной призмы, в центрах ее базис- ных граней и в центрах трех тригональных призм, а ионы второго элемента – в тех же трех тригональных призмах и на всех верти- кальных ребрах гексагональной призмы. Пространственная группа вюрцита – P63mc. Винтовая ось 63 про- ходит через линию центров масс незаполненной тригональной призмы. Вдоль большой диагонали основания примитивной эле- ментарной ячейки проходит плоскость m, а вдоль малой диагонали – плоскость скользящего отражения типа c. На рис. 6.12 структура вюрцита спроектирована на плоскость ба- зиса (0001). Видно, что, как и сфалерит, вюрцит построен из двой- ных слоев, каждый из которых состоит из двух подслоев ионов раз- ного сорта. Ионы внутри двойного слоя соединены тремя связями на каждый ион, а между двойными слоями – одной связью на ион. Двойные слои параллельны плоскости базиса (0001). Плотнейшая упаковка в структуре вюрцита образована парал- лельными слоями анионов. Каждый анион окружен 12 анионами (рис. 6.11, в). Катионы находятся между четырьмя анионами на рав- ных расстояниях от них, заполняя половину тетраэдрических пустот. 87 а б Рис. 6.12. Структура вюрцита в проекции на плоскость базиса (0001): а – проекция в направлении [1120] ; б – проекция в направлении [1010] Структура шпинели Структура шпинели MgAl2О4 характерна для соединения типа 2+ 3+ 2 2 4 X Y O , где 2X и 3 2 Y – катионы, из которых хотя бы один принадлежит к группе переходных элементов, O – кислород. Кристалл шпинели имеет ГЦК-решетку, в узлах которой распо- ложены анионы, образующие плотнейшую кубическую трехслой- ную упаковку. Катионы располагаются в междоузлиях, заполняя их лишь частично. Элементарная ячейка шпинели – куб с удвоенным ребром: она состоит из 8 катионов X, 16 катионов Y и 32 анионов. На 32 аниона плотнейшей упаковки приходится 32 октаэдрические и 64 тетраэдрические пустоты, но из них катионы занимают 8 тет- раэдрических (A-узлы) и 16 октаэдрических (B-узлы). В общей формуле шпинели X[Y2]O4 или X[XY]O4 квадратными скобками выделены катионы, занимающие B-узлы. Каждый анион окружен одним X- и тремя Y-катионами (рис. 6.13). Каждый катион X окружен четырьмя анионами, удаленными от не- го на расстояние 1/8 пространственной диагонали элементарной ячейки, т. е. на 3 8 a , где a – параметр элементарной ячейки. Коор- динационный многогранник для Х-катионов – тетраэдр. Каждый Y-катион окружен шестью анионами, отстоящими от него на рас- стоянии a / 4, его координационный многогранник – октаэдр. Таким образом, структура построена из тетраэдров и октаэдров и каждый 88 ион кислорода принадлежит одному тетраэдру и трем октаэдрам. а б Рис. 6.13. Фрагмент ближайшего окружения аниона (а) и катиона в B-узле (б) в структуре шпинели Мысленно разделим элементарную ячейку шпинели на восемь октантов. Анионы расположены одинаково во всех октантах: в каж- дом октанте по четыре аниона, образующих тетраэдр. В противоположность этому, расположение катионов одинаково лишь в несмежных и имеющих одно общее ребро октантах, т е. только в заштрихованных или только в белых октантах. Тетраэдрические A-узлы образуют две ГЦК-решетки с ребром a, смещенные друг относительно друга на 3 4 a в направлении про- странственной диагонали куба, т. е. как бы структуру алмаза. В пра- вом октанте Х-катионы находятся в центре и в четырех из восьми вершин, а в левом они занимают четыре другие вершины, цен- тральное же место не занято ионом. Октаэдрические B-узлы располагаются в узлах четырех взаимо- проникающих ГЦК-решеток с ребром a, смещенных друг относи- тельно друга на расстояние 2 4 a в направлении диагоналей граней куба, т. е. <110>. B-узлы находятся только в несмежных октантах. Вместе с ионом кислорода они образуют в занятом квадранте куб с ребром a / 4 (рис. 6.14). Таким образом, в структуре шпинели имеются две различные ка- тионные подрешетки: тетраэдрическая, или A-подрешетка, и окта- эдрическая, или B-подрешетка. 89 Рис. 6.14. Два смежных октанта в структуре шпинели: двойные кружки – ионы кислорода: О – октаэдрические междоузлия; Т – тетраэдрические междоузлия Пространственная группа для структуры шпинели – Fd3m. В структуре чередуются плоскости типа d с взаимно перпендикуляр- ными направлениями скольжения. Заполненные и незаполненные октаэдрические пустоты в направ- лениях <100> чередуются через одну, образуя цепочки. В пределах одной элементарной ячейки умещается четыре «этажа» тетраэдриче- ских пустот, расположенных друг над другом. Цепочечный характер расположения пустот наблюдается по всем направлениям <100>. В структуре имеется два сорта слоев катионов: слои только из катионов X и смешанные слои, состоящие из катионов X и Y. Пространственная схема заполнения пустот очень сложна. Пере- сечение слоев катионов цепочками октаэдров происходит в направ- лениях <110>. Связи в структуре шпинели смешанные, ионно-ковалентные. Распределение катионов по междоузлиям может быть и иным. Если в нормальных шпинелях катионы Х2+ занимают тетраэдрические A-, а катионы Y3+ – октаэдрические B-междоузлия так, что общая фор- мула 22+ 3+ 2 4 X Y O , то в обращенных шпинелях октаэдрические меж- 90 доузлия заняты двумя сортами катионов: все катионы Х2+ занимают B-положения, половина катионов Y3+ тоже находится в B-поло- жениях, а вторая половина – в A-положениях так, что общая форму- ла будет 24+ 2+ 2 4 X Y O . К обращенным шпинелям относятся, напри- мер, MgFe2O4, CoFe2O4, Fe3O4 (= Fe Fe2O4). Как в нормальных, так и в обращенных шпинелях остаются не заполненные катионами пустоты обоих сортов. Кроме того, суще- ствует ряд шпинелей, промежуточных между нормальными и об- ращенными. Структура шпинели характерна для ферритов – неметаллических магнитных кристаллов, обладающих замечательным сочетанием полупроводниковых и магнитных свойств и играющих исключи- тельно важную роль в технике сверхвысоких частот, особенно в за- поминающих устройствах ЭВМ. Структура корунда Структуру корунда α-А12O3 можно описать как ромбоэдрически деформированную структуру NaCl, в которой ион Na или ион С1 заменен группой А12O3 (рис. 6.15). Рис. 6.15. Элементарная ячейка структуры корунда 91 Двухвалентные ионы кислорода образуют приблизительно гек- сагональную плотнейшую упаковку ...АВАВАВ..., а трехвалентные ионы алюминия заполняют ⅔ октаэдрических пустот, лежащих в направлениях <1010> (рис. 6.16). Рис. 6.16. Расположение ионов в плоскости базиса (0001) в структуре корунда: черные кружки – ионы алюминия, светлые кружки – ионы кислорода (малые – в плоскости чертежа, большие – под плоскостью чертежа) Группы из трех ионов кислорода образуют общую плоскость из двух смежных октаэдров, и каждый из этих октаэдров связан с од- ной и той же парой ионов алюминия. Пары заселенных октаэдров, чередуясь с одним незаселенным, создают винтовые оси 31, харак- теризующие так называемый корундовый мотив упаковки вдоль оси c. Расположение структурных единиц вдоль оси c повторяется через шесть слоев ионов кислорода с шестью промежуточными слоями ионов алюминия (рис. 6.17, 6.18). 92 а б Рис. 6.17. Чередование слоев атомов кислорода и алюминия вдоль главной оси симметрии (а) и схема расположения слоев (б) в структуре корунда (c – высота элементарной ячейки) а б Рис. 6.18. Фрагмент структуры корунда: а – винтовая ось 31 из спаренных октаэдров; б – элементарный ромбоэдр из октаэдров 93 Корунд кристаллизуется в классе 3m тригональной сингонии. Пространственная группа – 3R c . Из-за большого электростатического притяжения между катиона- ми алюминия и анионами кислорода слои кислорода несколько сближены по сравнению с их расположением в идеальной гексаго- нальной плотнейшей упаковке, а ионы алюминия смещены по отно- шению к плоскости (0001): они поочередно занимают места прибли- зительно на высотах, равных ⅓ и ⅔ расстояния между слоями ионов кислорода. Поэтому и отношение осей c / a отличается от идеального (1,33) и составляет 1,58. Параметр решетки по оси c равен 0,1297 нм. Сильное электростатическое притяжение наряду с плотной упаков- кой обусловливает также высокую твердость корунда. Корунд – один из самых твердых минералов, по твердости он уступает только алмазу. Чистые кристаллы корунда прозрачны и бесцветны. Примеси, ко- торые легко входят в структуру, окрашивают корунд в разные цвета: примесь хрома – в красный (рубин), титана – в синий (сапфир), ко- бальта, урана – в зеленый, железа, никеля, титана – в желтый. Рубин – кристалл корунда, в котором часть ионов алюминия изоморфно замещена трехвалентными ионами хрома. Содержание Cr2O3 от 0,05 до 0,5 % придает рубину цвет от бледно-розового до темно-красного, а при дальнейшем увеличении концентрации хрома (выше 8 %) цвет кристалла становится зеленым, что обусловлено возникновением связей между атомами хрома (чистый Cr2O3 имеет зеленый цвет). Радиус ионов хрома (0,065 нм) больше радиуса ионов алюминия (0,057 нм), поэтому при изоморфном замещении алюминия трехвалентным хромом параметры решетки a и c корун- да увеличиваются, и хотя каждый ион хрома окружен шестью ионами кислорода, т. е. находится в октаэдрической координации, он оказывается не в центре октаэдра ионов кислорода, а несколько смещенным вдоль оси c. Из-за этого в структуре возникают напря- жения, растущие по мере увеличения концентрации хрома. Задание и методические указания Порядок выполнения работы 1. Получить у инженера или преподавателя задание для изучения конкретных структурных типов. 94 2. Ознакомиться с описанием заданного структурного типа, при- веденным в теоретической части лабораторной работы. 3. После ознакомления, используя IBM-совместимый персональ- ный компьютер с установленным пакетом Java, загрузить 3D-модель, представляющую атомарное строение заданного структурного типа. 4. По мере изучения 3D-модели выполнять скриншоты, иллю- стрирующие взаимосвязь частиц модели и отображающие харак- терные особенности их расположения, приведенные в теоретиче- ском описании. 5. Сделанные скриншоты вставить в отчет, выполненный в ре- дакторе MS Word. При необходимости дополнить полученные кар- тинки поясняющими знаками с помощью простых или цветных ка- рандашей. 6. В отчете отобразить строение элементарной ячейки указанно- го структурного типа, его пространственную группу симметрии, а также представление в виде координационных тетраэдров и шаро- вой упаковки. Содержание отчета о работе Отчет о лабораторной работе должен включать: цель данной работы; инструменты и принадлежности для работы; краткое описание заданного структурного типа; выполненные скриншоты, дополненные поясняющими знаками; строение элементарной ячейки указанного структурного типа, обозначение и расшифровку его пространственной группы симмет- рии, а также представление в виде координационных тетраэдров и шаровой упаковки. Контрольные вопросы к лабораторной работе 1. Назовите типы связей, возникающих в структурах. 2. Сформулируйте определение понятия «структурный тип» и объясните его отличие от понятия «структуры кристалла». 3. В чем заключается принцип представления кристаллической структуры в виде шаровой упаковки? 95 4. В чем заключается принцип представления кристаллической структуры с помощью координационных полиэдров (многогран- ников)? 5. Какая решетка Бравэ характерна для структуры сфалерита и структуры алмаза и чем можно объяснить, что их пространственные группы симметрии различны? 6. В чем выражается особенность механических свойств в слои- стых структурах? Приведите примеры. 7. Чем обусловлена высокая твердость корунда? Литература 1. Шаскольская, М. П. Кристаллография / М. П. Шаскольская. – М. : Высшая школа, 1976. – 391 с. 2. Бокий, Г. Б. Кристаллохимия / Г. Б. Бокий. – М. : Наука, 1971. – 401 с. 96 Лабораторная работа № 7 ДИАГНОСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МИНЕРАЛОВ Цель работы. Ознакомиться с особенностями морфологии, глав- нейшими физическими и химическими свойствами минералов. Изу- чив предложенные образцы из рабочей минералогической коллек- ции, дать характеристику морфологии минеральных индивидов (об- лик, габитус, сингония), типов минеральных агрегатов; определить физические (цвет, цвет черты, блеск, спайность, твердость, хруп- кость/ковкость, магнитность), химические (растворимость в кисло- тах и основаниях) и особые свойства минералов. По результатам указанных диагностических свойств составить отчет, включающий характериcтику предложенного для изучения минерала. Инструменты и принадлежности для работы 1. Коллекция минералов. 2. Шкала твердости Мооса. 3. Минералогическая лупа шестикратного увеличения. 4. Стеклянные и фарфоровые пластинки. Минералы – природные физически и химически однородные тела, возникающие в земной коре в результате физико-химических процессов без какого-либо специального вмешательства человека. В минералогии часто используют термины «минеральный инди- вид» и «минеральный агрегат». Их нельзя путать, поскольку они имеют различное значение. Минеральный индивид – это отдельный монокристалл или ми- неральное зерно (рис. 7.1) с четко или менее четко выраженной по- верхностью раздела в минеральном агрегате. Минеральный индивид очень редко встречается обособленно, чаще всего он находится в срастании с такими же или другими ми- неральными индивидами. Отдельные минеральные индивиды могут иметь самую разнообразную форму: от идеального (рис. 7.1, а) до скелетного кристалла (рис. 7.1, б) или неправильного по форме кри- сталлического минерального зерна (рис. 7.1, в). Например, если условия нормального роста кристаллов нарушаются (пересыщение раствора, затруднение притока питающего раствора и др.), многие кристаллы не успевают нарастить полноценные грани, нарастание 97 происходит преимущественно по ребрам и вершинам, и кристаллы вырастают в форме реберных пучков, соответствующих «скелету» и часто образующих древовидные ветвящиеся сростки. Скелетный кристалл представляет собой остов кристалла (монокристалла), об- разованный реберными и вершинными формами при полном или частичном отсутствии граней. Реберные формы представлены па- раллельными многократно повторяющимися реберными пучками и каркасами («скелетом»). При заполнении промежутков между реб- рами скелета может образоваться обычный многогранный кристалл. Типичными скелетными кристаллами являются снежинки. а б в Рис. 7.1. Минеральные индивиды: а – гранаты андрадит и гроссуляр. Показана зависимость габитуса кристаллов от симметрии питающей среды: слева – изометричные кристаллы простых форм, выросшие в условиях равномерно-всестороннего питания; справа – искажение ромбододекаэдров и тетрагонтриоктаэдра до псевдопризматического облика по причине диссимметрии внешней среды; б – скелетные кристаллы гроссуляра (4 см) и андрадита (2,5 см); в – зерно корунда неправильной формы 98 Минеральный агрегат – это совокупность определенным обра- зом сросшихся минеральных индивидов, образующих руду или гор- ную породу (рис. 7.2). Внешне минеральный агрегат может иметь любую форму: куска, глыбы руды или горной породы, в виде по- верхности или уступа в горной выработке или скального выхода на поверхность земли в определенных геологических условиях. Все минеральные агрегаты состоят из сросшихся минеральных индиви- дов (кристаллов, зерен) определенной формы и размеров. а б в Рис. 7.2. Минеральные агрегаты: а – друза кристаллов магнетита; б – зернистый агрегат серпентин-хромитовой руды; в – кристаллы мелилита (белое) в шлаковом стекле (черное) Изучение морфологических особенностей минералов заключает- ся в определении их структурных и текстурных особенностей. Структура минералов Структура характеризует форму, размеры и характер срастания минеральных индивидов в минеральном агрегате. Форма минеральных индивидов При рассмотрении кристалла можно оценить степень совершенства его формы (выраженность граней, наличие дефектов формы и др.). Идиоморфные кристаллы (от греч. «идио» – сам, «морфо» – форма) по форме и симметрии близки к идеальным кристаллами данного минерального вида. Габитус идиоморфных кристаллов свя- зан с их внутренней кристаллической структурой, и такие кристал- 99 лы могут изучаться с применением методов геометрической кри- сталлографии. Но встречаются такие кристаллы нечасто. Они либо образуются в благоприятных нестесненных условиях, например, в магматическом расплаве или в полостях горных пород, либо вырас- тают в твердой среде среди других минералов, «расталкивая» их и «завоевывая» себе пространство. В последнем случае кристаллы разрастаются благодаря окружающим их тонким пленкам питающе- го раствора. Эта насыщенная химическими компонентами пленка питает растущие кристаллы и оказывает растворяющее воздействие на окружающие минералы. Пленка на границе растущего метакри- сталла и окружающего его кристаллического агрегата создает обо- лочку для растущего минерала, создавая пространство для роста. Замещая окружающие минералы, кристалл непосредственно с ними не соприкасается. Чтобы различать кристаллы, образованные этими двумя путями, необходимо иметь в виду, что в выросших в твердой среде кристаллах могут сохраняться захваченные при их росте ча- стицы замещаемых минералов или породы, «теневые структуры» – унаследованные контуры элементов строения замещенных минера- лов (зональность, трещины). Гипидиоморфные кристаллы (от греч. «гип» – почти) обла- дают частично собственной формой, частично искаженной на гра- нице с другими кристаллами (из-за необходимости «приспособле- ния» в ходе роста в стесненных условиях). Нередко в срастаниях гипидиоморфные кристаллы приобретают идиоморфный облик около окончаний. Ксероморфные кристаллы (от греч. «ксено» – вынужденный) имеют искаженные очертания, со всех сторон ограничены смежны- ми кристаллами. Формирование происходит в стесненных условиях, поэтому форма кристаллов зависит от пространства, которое они заполняют. Такие кристаллы имеют неправильную форму, часто образуют зернистые срастания. Облик минеральных индивидов Облик минерального индивида определяется характером его раз- вития в трех взаимно перпендикулярных направлениях линейными параметрами a, b, c, т. е. соотношением его высоты, ширины и дли- ны. По соотношению этих параметров различают следующие облики: 100 1. a ≈ b ≈ c – изометричный облик (рис. 7.3). 2. a ≈ b < c – удлиненный облик: c:a < 10:1 – столбчатый облик (рис. 7.4, а–в); c:a < 50:1 – шестоватый облик (рис. 7.4, г–д); c:a < 100:1 – игольчатый облик (рис. 7.4, е–ж); c:a > 100:1 – волокнистый облик (рис. 7.4, з–и). 3. a ≈ b > c – уплощенный облик: a:c < 10:1 – таблитчатый облик (рис. 7.5, а–в);; a:c < 100:1 – пластинчатый облик (рис. 7.5, г–е);; a:c < 1000:1 – листоватый, чешуйчатый облик (рис. 7.4, ж–и);. Рис. 7.3. Изометричные кристаллы шеелита а б в г д е ж з и Рис. 7.4. Удлиненный облик минеральных индивидов: а – удлиненно-ромбоэдрический; б – тетрагонально-призматический столбчатый; в – цилиндрически-зернистый столбчатый; г – шестоватый; д – шестовато-игольчатый; е – игольчатый; ж – остроигольчатый; з – волосовидный; и – волокнистый 101 а б в г д е ж з и Рис. 7.5. Уплощенный облик минеральных индивидов: а – триклинный толстотаблитчатый; б – ромбический пинакоидально-таблитчатый; в – ксеноморфно-зернистый таблитчатый; г – пинакоидальный пластинчатый; д – ромбоэдрический пластинчатый; е – пластинчатый зернистый; ж – тетрагональный листоватый; з – гексагональный листоватый; и – ксеноморфный листоватый Размеры минеральных индивидов Размеры минеральных индивидов могут быть относительные и абсолютные. По относительной шкале минеральные индивиды разделяют на равномерно-кристаллические (равномерно-зернистые) и нерав- номерно-кристаллические (неравномерно-зернистые). По абсолютной шкале минеральные индивиды делят на классы крупности (табл. 7.1). Таблица 7.1 Гранулометрическая классификация минералов Гранулометрический класс Диаметры индивида, мм Минеральные индивиды Метод определения 1 2 3 4 Гигантские кристаллы > 100 Макро- и средне- кристаллические Визуально, невооружен- ным глазом Грубокристаллические 10–90 Крупнокристаллические 1–9 Среднекристаллические 0,1–0,9 Лупа 102 Окончание табл. 7.1 1 2 3 4 Мелкокристаллические 0,01–0,09 Мелко- и скрыто- кристаллические Оптический микроскоп Тонкокристаллические 0,001–0,009 Микрокристаллические 0,0001–0,0009 Электронный микроскоп Криптокристаллические 0,00001–0,00009 Аморфные (стекла) < 0,000001 По каждому минералу определяют размеры самых больших, са- мых малых и наиболее распространенных минеральных индивидов. Если размеры различные и попадают в разные классы, грануломет- рическая структура описывается комбинированными терминами, например, среднекрупнозернистая. Для лучшего обзора исследуемого образца минералов линзу лу- пы максимально приближают к ресницам, а затем приближают об- разец к лупе, добиваясь максимальной резкости. При этом повора- чиваются к источнику света так, чтобы исследуемая часть образца была хорошо освещена. При таком наблюдении можно определить форму (облик) индивида, его размеры по всем линейным парамет- рам, спайность, блеск и цвет минерала. Определенные размеры ми- неральных индивидов записывают в миллиметрах и характеризуют соответствующим классом крупности. Срастания и прорастания минералов Срастания и прорастания минералов происходят при их форми- ровании. Эти срастания могут быть закономерные (двойники, па- раллельные, радиально-лучистые) и незакономерные. Двойники – закономерные срастания (рис. 7.6) или прорастания (рис. 7.7) минеральных индивидов. Различают двойники простые (рис. 7.6, б; 7.7, а) и полисинтетические (рис. 7.6, в; 7.7, б). 103 а б в Рис. 7.6. Двойниковые срастания: а – монокристалл гипса; б – простой двойник гипса типа «ласточкин хвост»; в – полисинтетический двойник плагиоклаза а б Рис. 7.7. Двойники прорастания: а – ставролит, двойник прорастания (5 см); б – полисинтетический двойник прорастания пяти октаэдров магнетита Параллельные срастания (рис. 7.8) образуются в процессе гео- метрического отбора растущих в стесненных условиях кристаллов. В процессе роста, соприкасаясь друг с другом, кристаллы выжива- ют только в том случае, если они ориентированы субперпендику- лярно к поверхности нарастания и субпараллельно друг другу. 104 Рис. 7.8. Целестин. Параллельно-шестоватый агрегат Примером субпараллельного срастания минеральных индивидов являются друзы. Друза – это закономерное субпараллельное срастание минера- лов, возникшее в процессе геометрического отбора при их росте (рис. 7.9). Если присмотреться, верхняя часть кристаллов друзы идиоморфна и многогранна, удлиненные, прилегающие друг к дру- гу кристаллы параллельны, стройно располагаются на общем осно- вании. А вот у основания часто видны небольшие, ориентирован- ные по-разному кристаллики. Следовательно, рост минералов начи- нался не в одном направлении, но одновременный рост множества кристаллов, изначально беспорядочно ориентированных на какой- либо поверхности, в конечном счете привел к образованию агрегата с закономерно ориентированными кристаллами. Это можно объяс- нить тем, что рост кристаллов на стенках трещин и полостей начи- нается с возникновения множества зародышей, ориентированных случайным образом и растущих в разных направлениях. По мере роста кристаллы соприкасаются друг с другом, что создает препят- ствие их росту. С этого момента могут продолжать расти лишь те кристаллы, которые изначально были ориентированы в направле- нии открытой полости (т. е. перпендикулярно поверхности нараста- ния). Кристаллы, ориентированные в иных направлениях, упирают- ся в соседние и не имеют пространства для дальнейшего роста. Та- ким образом происходит геометрический отбор. 105 а б Рис. 7.9. Друзовые срастания: а – кальцита; б – аметист, друза кристаллов (6 см) Радиально-лучистые срастания Сферолиты – близкие к сферическим минеральные агрегаты, сложенные волокнистыми, игольчатыми, столбчатыми или пла- стинчатыми кристаллами, расположенными по радиусам вокруг общего центра. Центром, вокруг которого происходит нарастание минерального вещества, выступает расщепленный в процессе быст- рого роста зародышевый кристалл. В процессе расщепления кри- сталл принимает сначала форму вязки, затем снопа, и наконец, сфе- ролита (рис. 7.10). Рис. 7.10. Схема расщепления кристалла и образования сферолита При рассмотрении таких агрегатов можно заметить концентри- ческую зональность в их строении, а еще более пристальное рас- 106 смотрение позволяет обнаружить радиально-лучистое строение, связанное с геометрическим отбором в процессе нарастания мате- риала. В случае, если рост в длину превышает разрастание кристал- лов в ширину, сферолиты могут приобретать форму игольчатых шариков. Часто сферолитовые агрегаты имеют полусферический вид, т. к. нарастают на подложку. Срастаясь между собой, они обра- зуют агрегаты в виде сферолитовых корок. Сходными по форме агрегатами являются оолиты, также образо- ванные за счет нарастания минерального вещества вокруг общего центра. Оолиты – это небольшие по размеру (d < 5 мм) образования шаровидной или эллипсоидальной формы. Обычно в центре оолита находится песчинка или фрагмент раковины какого-либо организ- ма, вокруг которого происходит последовательное нарастание тон- ких корочек осаждающегося вещества, вследствие чего оолиты име- ют концентрически-скорлуповатое или радиально-лучистое строе- ние. Образуются оолиты в процессе осадконакопления (в воде во взвешенном состоянии) и при циркуляции минерализованных рас- творов в пустотах осадочных и горных пород. Оолиты крупнее 5 мм называются пизолитами. В осадочных породах встречаются тела, резко отличающиеся от вмещающих пород по физическим свойствам, структуре и составу. Это – конкреции (d > 20 мм). Формирование конкреций происходит за счет концентрации рассеянных в породе компонентов вокруг цен- тров кристаллизации, в качестве которых могут выступать минераль- ные зерна или органические остатки. Рост минеральных зерен кон- креции происходит во всех направлениях от (или вокруг) одного или многочисленных центров. По форме конкреции чаще округлые, но в зависимости от условий роста могут иметь самые разнообразные, иногда причудливые, очертания. Для всех конкреций характерны от- четливо выраженная внешняя поверхность (они обычно легко извле- каются из вмещающей породы) и целостная внутренняя структура. Если агрегат в породе не обладает отчетливой внутренней структу- рой и внешними границами, к нему обычно применяется термин стяжение (например, землистые скопления вивианита в торфяниках) или желвак. Форма желваков изменчива, часто весьма причудлива. В глинисто-карбонатных конкрециях иногда образуются ради- альные трещины, расширяющиеся к центру конкреции, системы трещин и внутренние полости. Причина их возникновения – сокра- 107 щение в объеме усыхающего полужидкого сгустка исходного веще- ства конкреции (трещины усыхания). Конкреции такого облика называют септариями (рис. 7.11). Встречаются также концентриче- ски-зональные сферолиты (например, жемчуг). а б в г) Рис. 7.11. Радиально-лучистые срастания: а – сферолиты пренита на кристаллах эпидота; б – бирюза, 3 см с зональными конкрециями, внутри которых происходили зарождение и рост более мелких конкреций; в – радиально-лучистая конкреция целестина (10 см); г – карбонатно- глинистая конкреция септария с кальцитом в трещинах Текстура минералов Текстура характеризует форму, размеры и характер срастания минеральных агрегатов, отличающихся либо минеральным соста- вом, либо структурой, в массиве руды, шлака или горной породы. По форме минеральных агрегатов текстура может быть: 1) массивная, или однородная – состоит из одинаковых по форме и размерам агрегатов одного минерального вида или равно- мерно вкрапленных разных минералов (рис. 7.12); а б Рис. 7.12. Массивная текстура: а – магнетитовая руда; б – серпентинит 108 2) полосчатая – образуется при ритмичной кристаллизации, ха- рактерна для агрегатов, кристаллизующихся из расплава или при перекристаллизации в твердом состоянии при метаморфизме (рис. 7.13, а, б); 3) слоистая – образуется при осадкоотложении (рис. 7.13, в–е). а б в г д е Рис. 7.13. Полосчатая и слоистая текстуры: а – параллельно-полосчатая; б – неясно-полосчатая; в – параллельно- и косо-слоистая; г – размыто-слоистая; д – волнисто-слоистая; е – смещенно-слоистая 109 Такая текстура характерна для рыхлых минеральных агрегатов или минералов, отложившихся в рыхлом состоянии, но впоследствии за- цементировавшихся. В свою очередь делится на следующие виды: 3.1) параллельно-слоистая – мощность слоя на всем протяже- нии одинакова; 3.2) горизонтально-слоистая; 3.3) наклонно-слоистая; 3.4) косо-слоистая – мощность слоя в разных участках различ- ная, происходит выклинивание слоя в определенном направлении; 3.5) волнисто-слоистая; 3.6) перисто-слоистая – образуется при турбулентном осаж- дении; 3.7) прерывисто-слоистая; 4) вкраплено-пятнистая – состоит из среды – основной массы минералов и примесных минеральных включений, которые могут представлять собой вкрапления монокристаллов примесного мине- рала или пятнистые поликристаллические скопления (рис. 7.14); Рис. 7.14. Варианты вкраплено-пятнистых текстур 5) текстуры деформаций (нарушений): 5.1) трещинные – в минеральном агрегате образуются трещины, которые могут быть параллельными, скрещенными, образовывать сетку, покрывающую весь минеральный агрегат и др. (рис. 7.15); Рис. 7.15. Трещинные текстуры 110 5.2) прожилковые – трещины заполнены минеральным веще- ством (рис. 7.16); Рис. 7.16. Варианты прожилковых текстур 5.3) брекчиевые – остроугольные обломки, сцементированные более поздним минеральным веществом. Прожилковые часто пере- ходят в брекчиевые текстуры (рис. 7.17); 111 Рис. 7.17. Брекчиевая бокситная руда 5.4) конгломерат – крупнообломочный окатанный материал, сцементированный глинистым или карбонатным минеральным аг- регатом (рис. 7.18). Таким образом, брекчия состоит из сцементированных углова- тых кусков щебня, а конгломерат – из сцементированных окатан- ных галек; Рис. 7.18. Пример конгломерата 112 6) колломорфная, или метаколлоидная – характеризуется скры- токристаллической структурой и послойной или концентрически- послойной текстурой (натечные структуры: сосульки, наплывы, сталактиты в пещерах и др.) (рис. 7.19). Рис. 7.19. Натечные текстуры Оптические свойства минералов Цвет минералов. Цвет минерала обусловлен избирательной по- глощающей и отражающей способностью минерала к излучению разной частоты и длины световой волны и является одним из важ- нейших его свойств. Различают три рода окрасок по происхождению: идиохроматическую, аллохроматическую и псевдохроматическую. Идиохроматическая окраска обусловлена химическим соста- вом и кристаллической структурой минерала. Так, например, магне- тит (FeFe2O4) – черный, пирит (Fe2S) – желтый, киноварь (HgS) – красная, малахит – зеленый, азурит и лазурит – синие и т. д. Аллохроматическая окраска обусловлена примесью красящих веществ или хромофор. К ним относятся металлы переменной ва- лентности: Ti, V, Сr, Mn, Fe, Со, Ni – элементы семейства железа, также в меньшей степени – W, Мо, U, Cu. Окраска некоторых минералов может быть связана с изменением однородности строения кристаллических решеток в связи с их радиа- ционным облучением или изменением электростатического состоя- ния ионов, способных превращаться под влиянием тех или иных причин в нейтральные или возбужденные (слабо заряженные) атомы. Зачастую один и тот же минерал бывает окрашен в различные цвета и оттенки. Например, кварц, обычно бесцветный, совершенно 113 прозрачный (горный хрусталь), бывает окрашен в фиолетовый (аме- тист), розовый, желто-бурый (от окислов железа), золотистый (цит- рин), серый или дымчатый (раухтопаз), густой черный (морион), наконец, в молочно-белый цвета. Такими же свойствами изменения цвета обладает каменная соль. Окраска в таких минералах связана с посторонними тонко рассеянными механическими примесями, окрашенными в тот или иной цвет. Подобные окраски, не завися- щие от химической природы самого минерала, носят название ал- лохроматических (т. е. чуждых самим минералам). В некоторых прозрачных минералах иногда наблюдается «игра цветов», обусловленная интерференцией падающего света в связи с отражением его от внутренних поверхностей, трещин спайности, иногда от поверхности каких-либо включений. Примером ложной окраски является лабрадорит, в котором, особенно на полированных плоскостях при некоторых углах поворота, вспыхивают местами кра- сивые синие и зеленые переливы, обусловленные совершенной спай- ностью, вдоль которой выделились тончайшие пластинки ильменита. Подобные свойства минералов называют псевдохроматизмом. Цвет черты. Под этим термином подразумевается цвет тонкого порошка минерала. Этот порошок легко получить, если провести испытуемым минералом черту на матовой поверхности фарфоровой пластинки. Порошок получается в виде следа на пластинке, окра- шенного в тот или иной цвет, характерный для данного минерала. Этот признак по сравнению с окраской минералов является посто- янным и более надежным диагностическим признаком. Цвет черты в ряде случаев совпадает с цветом самого минерала (у киновари окраска и цвет черты красные, у магнетита – черные, у лазурита – синие, и т. д.), но может и резко отличаться (у гематита цвет кри- сталлического минерала стально-серый или черный, а черта крас- ная; у пирита цвет минерала желтый, а черта черная, и т. п.). Блеск. Блеск – это отражательная способность минералов. Ин- тенсивность блеска, т. е. количество отраженного света, тем боль- ше, чем больше разница между скоростями света при переходе его в кристаллическую среду, т. е. чем больше показатель преломления минерала. Блеск не зависит от окраски минерала. Принята следующая шкала интенсивности блеска минералов: 1. Стеклянный блеск свойствен минералам с показателем пре- ломления n = 1,3–1,9. Отражательная способность при стеклянном 114 блеске – менее 10 %. Сюда относятся лед (n = 1,309), криолит (n = 1,34–1,36), флюорит (n = 1,43), кварц (n = 1,544), многочислен- ные галоидные соединения, карбонаты, сульфаты, силикаты и дру- гие кислородные соли; заканчивается этот ряд такими минералами, как шпинель (n = 1,73), корунд (n = 1,77) и гранаты (n до 1,84). 2. Алмазный блеск характерен для минералов с показателем преломления n = 1,9–2,6. Отражательная способность при алмазном блеске – от 11 до 20 %. В качестве примеров сюда следует отнести: циркон (n = 1,92–1,96), касситерит (n = 1,99–2,09), самородная сера с алмазным блеском на плоскостях граней (n = 2,04), сфалерит (n = 2,3–2,4), алмаз (n = 2,4–2,46), гринокит (n = 2,5), рутил (n = 2,62), часто обладающий полуметаллическим блеском, свойственным гу- стоокрашенным разностям. 3. Полуметаллический блеск – для прозрачных и полупрозрач- ных минералов с показателем преломления n = 2,6–3,0. Отражатель- ная способность при полуметаллическом блеске – от 20 до 25 %. Пример: алабандин (n = 2,7), куприт (n = 2,85), киноварь (n = 2,91). 4. Металлический блеск – для минералов с показателями пре- ломления n выше 3. Отражательная способность при металлическом блеске – более 25 %. Примеры в порядке возрастающей отража- тельной способности: гематит (n = 3,01), пиролюзит кристалличе- ский, молибденит, пирротит, антимонит, галенит, халькопирит, пи- рит, арсенопирит, висмут и др. Эти четыре основных блеска в зависимости от структуры по- верхности минерала имеют разновидности, указанные в табл. 7.2. Таблица 7.2 Разновидности блеска Структура поверхности Разновидности блеска Совершенно гладкая Зеркальный Шероховатая Матовый Зернистая Сахаровидный Волокнистая Шелковистый Слоистая Перламутровый Поверхность растворенная, оплавленная Жирный, восковой, маслянистый 115 Прозрачность. Прозрачность – это способность минерала про- пускать лучи видимого спектра. Различают прозрачные, полупро- зрачные и непрозрачные минералы. Механические свойства минералов Спайность и излом. Спайностью называется способность кри- сталлов и кристаллических зерен раскалываться или расщепляться по определенным кристаллографическим направлениям. Это свой- ство обусловлено решетчатым строением кристаллов. При ударе минерал раскалывается по плоскостям, соответствующим плоским сеткам с максимальной ретикулярной плотностью и ослабленными межплоскостными связями. Спайность является характерным при- знаком при диагностике минерала. По степени совершенства спайной поверхности различают: 1. Спайность весьма совершенная (слюда, хлориты). Кристалл способен расщепляться на тонкие листочки с зеркально-гладкой поверхностью. Получить излом иначе как по спайности весьма трудно. 2. Спайность совершенная (кальцит, галенит, галит и др.). При ударе молотком всегда получаются выколки по спайности, внешне очень напоминающие настоящие кристаллы. Спайная поверхность зеркальная, но тонкослоистая. 3. Спайность средняя (плагиоклаз, ортоклаз, роговая обманка и др.). На обломках минералов отчетливо наблюдаются как плоскости спайности, так и неровные изломы по случайным направлениям. Структура спайной поверхности грубослоистая, ступенчатая. 4. Спайность несовершенная (апатит, касситерит, самородная сера, оливин и др.). Спайные плоскости обнаруживаются с трудом, их приходится искать на обломке минерала. Изломы распростране- ны и, как правило, представляют собой неровные поверхности. 5. Спайность весьма несовершенная, т. е. практически отсут- ствует (корунд, золото, платина, магнетит и др.). Она обнаружива- ется в исключительных случаях в форме ограниченных по площади ровных плоскостей. Минералы с такой спайностью обычно имеют раковистый излом, похожий на поверхность раковины с концентри- чески расходящимися слоями. 116 Твердость. Твердость – это способность минерала противосто- ять внедряющему или царапающему воздействию другого эталон- ного по твердости минерала. В минералогической практике применяется способ определения твердости царапанием одного минерала другим, т. е. устанавливает- ся относительная твердость минералов. Для оценки этой твердости принимается шкала Мооса, представленная десятью минералами, из которых каждый последующий своим острым концом царапает все предыдущие. За эталоны этой шкалы приняты следую-щие минера- лы в порядке возрастания твердости от 1 до 10 баллов: 1. Тальк (8 HV) – мягче кожи. 2. Гипс (50 HV) – мягче ногтя. 3. Кальцит (170 HV). 4. Флюорит (190 HV). 5. Апатит (550 HV) – равен стеклу и стальному ножу. 6. Ортоклаз (800 HV). 7. Кварц (1100 HV). 8. Топаз (1400 HV). 9. Корунд (2100 HV). 10. Алмаз (12500 HV). Определение твердости исследуемого минерала производится путем установления, какой из эталонных минералов он царапает последним. Например, если исследуемый минерал царапает апатит, а сам царапается ортоклазом, это значит, что его твердость заклю- чается между 5 и 6. Прочие свойства минералов Существует очень немного минералов, которые обладают явно выраженными магнитными свойствами. Сильными ферромагнит- ными свойствами обладает магнетит – FeFe2O4. Минералы со сла- быми парамагнитными свойствами легко притягиваются магнитом (бедные серой разности пирротина). Диамагнитным минералом, от- талкивающимся магнитом, является сфалерит. Испытание на маг- нитность производится с помощью свободно вращающейся магнит- ной стрелки, к концам которой подносится испытуемый образец. Запах, издаваемый некоторыми минералами при ударе или раз- ломе, иногда указывает на присутствие тех или иных элементов в 117 руде. Например, самородный мышьяк, арсенопирит (FeAsS) и неко- торые другие арсениды металлов при резком ударе издают харак- терный чесночный «запах мышьяка», особенно сильно чувствуемый при нагревании и прокаливании на огне. Нефтяные газы часто со- держат сероводород, также обладающий характерным запахом. Некоторые минералы, особенно в порошковатых массах, иногда легко узнаются на ощупь. Тальк на ощупь кажется жирным, чем отличается от похожего на него пирофиллита. При определении качества некоторых полезных ископаемых, употребляемых в пищу, прибегают к вкусовым ощущениям. Например, галит обладает нормально соленым, а похожий на него сильвин – горько-соленым вкусом. Карбонаты, похожие друг на друга, можно диагностировать по реакции с соляной кислотой: кальцит бурно вскипает, доломит реагирует только в виде порошка, магнезит не вступает в реакцию. Удельный вес минерала – это безразмерная единица, равная отношению плотности минерала к плотности воды. Рудные минера- лы, содержащие тяжелые элементы, как правило, обладают высо- ким удельным весом. Большим удельным весом обладают минера- лы с металлическим и полуметаллическим блеском. Минералы со стеклянным блеском обычно имеют малый удельный вес. Исключе- ние составляет барит BaSO4. Парагенетические ассоциации минералов Совместное образование минералов в природе называют пара- генезисом. Парагенетическая ассоциация минералов (или мине- ральный парагенезис минералов) – это группа минералов, законо- мерно образовавшаяся в ходе единого процесса, ограниченного в пространстве и во времени и протекающего в определенных физи- ко-химических условиях. Так, в зависимости от процесса минерало- образования выделяют магматические, пегматитовые и др. мине- ральные парагенезисы минералов. Знание минеральных парагенези- сов существенно помогает в определении минералов. По наличию некоторых легкоузнаваемых минералов можно предположить, а за- тем и найти другие минералы, характерные для данного парагенези- са. Например, знание типичных и широко распространенных мине- ральных парагенезисов магматических пород позволяет легко опре- 118 делить их минеральный состав: узнав в светлоокрашенной породе черный листоватый биотит, можно предположить наличие кварца и полевых шпатов. Не менее важно знание и так называемых запре- щенных парагенезисов, т. е. пар и групп минералов, которые не мо- гут образовываться совместно. К запрещенным парагенезисам в магматических породах относят, например, пару кварц–нефелин. Наиболее типичные минеральные парагенезисы приведены в мине- ралогических таблицах. Задание и методические указания Порядок выполнения работы 1. В начале занятия получить коробку с пятью образцами мине- ралов. Образцы могут состоять из одного, двух и более минералов. Задача студента заключается в подробном описании и определении всех минералов, входящих в состав образцов. 2. Поочередно, согласно приведенному ниже порядку работы при диагностике минералов, для каждого минерала образца опреде- лить и записать в рабочую тетрадь его диагностические признаки. 3. Результаты работы представить преподавателю в рекомендуе- мой ниже форме и сопроводить устным отчетом. В записях и при отчете указывать только те из признаков, которые отнесены к глав- ным диагностическим. Порядок работы при диагностике минералов 1. Сначала надо внимательно рассмотреть образец и определить число содержащихся в нем минералов, наметить последователь- ность их диагностики по принципу «от простого к сложному». 2. Затем следует определить и зафиксировать в рабочей тетради важнейшие диагностические признаки выбранного минерала в сле- дующей последовательности: • морфология (облик и габитус кристаллов, тип минерального агрегата); • цвет кристаллов и агрегатов, цвет черты. Тон окраски минералов является легко устанавливаемым и часто используемым диагностическим признаком. Среди темноокрашен- 119 ных минералов можно различить черную, темно-серую, буровато- черную, зеленовато-черную и близкие к ним тона окраски. Бесцвет- ные, белые, светло-серые и бледно окрашенные минералы слагают другую градацию окрасок, особенно характерных для минералов немагнитной фракции. Ярко окрашенные минералы характеризуют- ся визуально оцениваемым тоном и оттенком: фиолетовые; чисто синие и голубые; синевато-зеленые, зеленые, желтовато- и бурова- то-зеленые; желтые, оранжевые, розовые; красные, малиновые; бу- рые, коричневые. У некоторых минералов тон и оттенок окраски бывает стабиль- ным, становясь важным диагностическим признаком; у других окраска изменчива и зависит от вариаций состава. Иногда окраска распределяется зонами или пятнами, что характерно для немногих минералов; • блеск. Блеск надежно устанавливается на гранях кристаллов, спайных плоскостях или очень хорошо окатанных зернах. Минералы со спайностью при окатывании приобретают неровную поверхность и жирный блеск (рутил, ставролит, оливин и др.). Правильность оцен- ки степени блеска можно подтвердить по просвечиваемости мине- рала (и наоборот): минералы с металлическим блеском непрозрачны и, как правило, дают черную черту, минералы просвечивающие да- ют окрашенную черту; • твердость (по шкале Мооса). Для определения твердости зерно минерала при небольшом сдав- ливании перемещают между двумя стеклами. Появление мелких царапин свидетельствует о твердости больше 5 по шкале Мооса. Мелкий порошок растирают на стекле и наблюдают царапинки под бинокуляром. У минералов со спайностью и твердостью не выше 6 царапины иногда не появляются. Твердые минералы без спайности (циркон, шпинель, корунд, турмалин и др.) оставляют на стекле ца- рапины или выбоины, а при их раздавливании слышен щелчок- хруст. Ковкие минералы, даже твердые, царапин не оставляют; они расплющиваются между стеклами и не рассыпаются в порошок; • хрупкость/ковкость (пластичность); • спайность: а) совершенство; б) число плоскостей; 120 в) кристаллографическая ориентировка плоскостей или вели- чина углов между плоскостями спайности. Если зерно – спайный обломок, то при его переворачивании за- метны плоскости спайности, дающие отблески. У хорошо окатанного зерна или целого кристалла заметить спайность труднее. Для выяв- ления у такого зерна спайности его накрывают стеклами и стараются раздавить, прилагая усилие к верхнему стеклу. Необходимое усилие зависит от твердости, вязкости, упругости и спайности минерала. Не очень твердые зерна можно раздавить на 2–3 обломка, наблю- дая этот процесс под лупой. При наличии спайности на обломках бу- дут заметны зеркальные отблески, а сами обломки могут принять правильную форму. Минерал без спайности раздавить труднее, а твер- дые минералы оставляют при этом выщерблины на стекле. Зерна мо- гут раздавиться на очень мелкие осколки, а стекло – лопнуть. Таким образом, раздавливаемость – свойство, зависящее от ряда механиче- ских характеристик минерала и часто используемое при диагностике. Мелкозернистые агрегаты раздавливаются легко, даже если сам мине- рал отличается высокой твердостью и отсутствием спайности. Твердые минералы со спайностью при окатывании приобретают неровную, шероховатую поверхность и специфический жирный блеск; • плотность (в случаях, когда образец представлен преимуще- ственно одним минералом). Точное определение плотности производят в лабораторных усло- виях. При макроскопической диагностике минерала важно уметь определить его плотность приблизительно, путем взвешивания ми- нерала на руке, и установить его принадлежность к легкой, средней или тяжелой по плотности группе, дать оценку «легкий», «сред- ний», «тяжелый». При приблизительной оценке плотности исполь- зуют либо отдельные кристаллы, либо мономинеральные агрегаты минерала. Для сравнения по плотности различных минералов ис- пользуют близкие по размерам образцы. Некоторые пористые агре- гаты могут демонстрировать пониженную плотность минералов в сравнении с истинной. Определять плотность минералов, слагаю- щих полиминеральный агрегат, не представляется возможным, т. к. взвешивание образца в руке покажет его усредненную плотность, а не плотность каждого минерала в отдельности; • особые свойства: магнитность, радиоактивность, люминес- ценция и др. 121 У темноцветных минералов необходимо проверить наличие маг- нитных свойств. Светлые минералы следует проверить на реакцию с разбавленной соляной кислотой. Также необходимо изучить плот- ность или удельный вес минерала и наличие прочих свойств: запа- ха, в исключительных случаях – вкуса. 3. Найти в табл. 7.3 минерал, подходящий под описание. При этом алгоритм поисков таков: находится часть таблицы, в которой приводятся минералы с блеском, соответствующим описанию (металлическим, полу- металлическим или неметаллическим); в случае минералов с неметаллическим блеском находится подраздел таблицы, включающий минералы с определенным цветом черты (белым или цветным); находятся минералы, имеющие соответствующий цвет черты; среди них находятся минералы, которые могут иметь соответ- ствующую окраску в агрегате или кристалле; среди них находятся минералы, имеющие соответствующую твердость по шкале Мооса; из них исключаются минералы, имеющие слишком высокую или слишком низкую плотность (определение производит- ся качественно: большинство минералов имеет плотность 2,5–3,0 г/см3, слишком легкий или тяжелый агрегат указывает на отклонение от средних значений); среди оставшихся находятся минералы, имеющие соответ- ствующую спайность; при необходимости результат уточняется по излому, форме агрегатов или особым отметкам. 4. Убедиться, что выбранный вариант диагностики подтвержда- ется парагенезисом данного минерала и наличием в нем типичных вторичных изменений. 5. После положительных результатов проверки (в соответствии с пп. 3 и 4) минерал относят окончательно к тому или иному мине- ральному виду, к той или иной разновидности, выделяемой по осо- бенностям морфологии, составу, структуре или свойствам. Таблица 7.3 Диагностические признаки минералов № Минерал Блеск Цвет Цвет черты Твер- дость Плот- ность, г/см3 Спайность Излом Особые замечания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. Минералы с металлическим и полуметаллическим блеском 1 Графит Полуметал- лический Серо- стальной Серо- стальной 1,5 2,2 Совершенная по одной плос- кости Зернистый 2 Пирит Металлический Латунно- желтый Черный 6,0–6,5 5,2 Ясная по трем плоскостям Раковистый 3 Халькопи- рит Металлический Латунно- желтый Черный 3,5–4,0 4,2 Ясная по трем плоскостям Раковистый 4 Галенит Металлический Свинцово- серый Серо- черный 2,0–3,0 7,5 Совершенная по кубу Раковистый 5 Ильменит Металлический Железно- черный Черный 5,0–6,0 4,8 Несовершенная Раковистый 6 Бронзит Полуметалли- ческий Бронзовый, зеленоватый, коричневый Серый 5,0–6,0 3,4 Ясная Раковистый 7 Сера Жирный Желтый, оранжевый, красный Соломен- но-желтый 1,5–2,0 2,0 Несовершенная Раковистый Таблитча- тые кри- сталлы 8 Сидерит Матовый Серый, бежевый, коричневый Серый, коричне- вый 4,0–4,5 3,7 Ясная Раковистый Ромбоэдры с искрив- ленными гранями 1 2 2 Продолжение табл. 7.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. Минералы с неметаллическим блеском 2.1. Минералы, дающие цветную черту 9 Малахит Матовый, шел- ковистый Зеленый Светло- зеленый 3,5–4,0 4,0 Ясная Раковистый 10 Лимонит Полуметалли- ческий, мато- вый, жирный От желтого до черного Бурый 5,0–5,5 4,0 Несовершенная Раковистый 11 Гематит Матовый, полу- металлический От красного до черного Вишневый 5,5–6,5 5,0 Несовершенная Раковистый 12 Магнетит Жирный, полу- металлический Черный Черный 5,5–6,0 5,0 Несовершенная Раковистый 13 Боксит Матовый От белого до коричне- вого От белого до корич- невого 2,5–3,0 3,0 Несовершенная Землистый 14 Вивианит Стеклянный, перламутровый Синий, зеленый Синева- тый 2,0 2,7 Совершенная по одной плос- кости Занозистый 15 Галит Жирный Белый, реже цветной Белый 2,0 2,2 Совершенная Раковистый Соленый 16 Сильвин Жирный, стеклянный Произволь- ный Белый 2,0 2,0 Совершенная Раковистый Горький 17 Флюорит Стеклянный Бесцветный, зеленый, фиолетовый Белый 4,0 3,2 Совершенная Раковистый 18 Кальцит Стеклянный, перламутровый Белый, бес- цветный или перла- мутровый Белый 3,0 2,6 Совершенная по ромбоэдру Раковистый 1 2 4 1 2 4 1 2 3 Продолжение табл. 7.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 Доломит Стеклянный, матовый Произволь- ный Белый, реже цветной 3,5–4,0 2,8 Совершенная по ромбоэдру Раковистый 20 Кварц Стеклянный Произволь- ный Белый (!) 7,0 2,7 Несовершенная Раковистый 21 Опал Жирный, перла- мутровый Произволь- ный Белый (!) 5,5–6,5 2,0–2,5 Несовершенная Раковистый или зано- зистый Аморфный 22 Апатит Стеклянный, жирный Серый, зеле- ный, желтый Белый 5,0 3,2 Несовершенная Раковистый 23 Корунд Стеклянный Произволь- ный Белый (!) 9,0 4,0 Несовершенная Раковистый 24 Гранат Стеклянный Красный, желтый, коричневый, зеленый Белый (!) 6,5–7,5 4,3 Несовершенная Раковистый 25 Гипс Стеклянный, жирный, пер- ламутровый, шелковистый Белый, бес- цветный, серый Белый 2,0 2,3 Совершенная по одной плос- кости Занозистый, ступенчатый 26 Барит Стеклянный Произволь- ный Белый 3,0–3,5 4,5 Совершенная по одной плос- кости Раковистый Тяжелый 27 Оливин Стеклянный От черного до зеленого Белый (!) 6,5–7,0 3,5 Ясная по одной плоскости Раковистый 28 Роговая обманка Стеклянный, шелковистый Серый, зеле- ный, черный Белый 5,5–6,0 3,4 Совершенная по призме Занозистый Игольча- тые агре- гаты 1 2 4 Окончание табл. 7.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 29 Тальк Жирный, перла- мутровый Белый, сере- бристый, зеленый Белый 1,0 2,8 Совершенная по одной плос- кости Землистый 30 Биотит Перламутровый Темно-корич- невый, темно- зеленый, чер- ный Белый 2,5–3,0 2,8 Совершенная по одной плос- кости Раковистый Слюда 31 Мусковит Перламутровый, стеклянный Белый, серый, темно-корич- невый Белый 2,5 2,8 Совершенная по одной плос- кости Раковистый Слюда 32 Каолинит Матовый, пер- ламутровый Белый Белый 2,0–2,5 2,6 Совершенная по одной плос- кости Землистый 33 Серпентин Матовый, стек- лянный, жирный Зеленый, серо-жетый Белый 3,0–4,0 2,5 Совершенная по одной плос- кости Раковистый Иногда волокни- стый 34 Плагиоклаз Стеклянный, перламутровый Белый, серый, черный (обыч- но бледно окрашенный) Белый (!) 6,0–6,5 2,7 Совершенная по одной плос- кости Раковистый 35 Калиевый полевой шпат Стеклянный, перламутровый Красный, белый, зеле- ный (обычно ярко окрашен) Белый (!) 6,0 2,6 Совершенная по одной плос- кости Раковистый 36 Нефелин Стеклянный, жирный Грязно-крас- ный, зеленый, серый Белый 5,5–6,0 2,6 Несовершенная Раковистый (!) – минерал высокой твердости, не оставляющий черты на бисквите. 1 2 5 126 Форма представления результатов выполнения лабораторной работы Рекомендуется придерживаться следующей примерной формы записей результатов выполнения лабораторной работы. Образец № 3. Крупнокристаллический агрегат двух минералов. Минералы: 1. ГАЛЕНИТ – PbS. Кристаллы величиной 0,5–1,0 см. • Облик кристаллов – изометрический. • Цвет – свинцово-серый. • Черта – свинцово-серая, блестящая. • Блеск – металлический. • Твердость – 3, слабоковкий. • Спайность – совершенная, три системы плоскостей, ориентиро- ванных взаимно перпендикулярно. Заметна отдельность по октаэдру. 2. СФАЛЕРИТ (марматит) – (Zn, Fe)S. Одиночные зерна (5–7 мм в поперечнике), срастающиеся с галенитом. • Облик кристаллов – изометрический. • Цвет – темно-коричневый. • Черта – светло-бурая, матовая. • Блеск – алмазный. • Твердость – 3–4. • Спайность – совершенная, несколько систем плоскостей, ори- ентированных под тупым углом друг к другу. • Под действием разбавленной HCl мгновенно распространяется запах сероводорода. Образец № 2. Обломок крупнокристаллического агрегата. Минералы: 1. ГРАНАТ (андрадит) – Ca3Fe2[SiO4]3. Представлен сростком идиоморфных кристаллов ромбододекаэдрического габитуса. • Цвет – темно-коричнево-красный. • Блеск – стеклянный. • Твердость – 7. • Спайность – весьма несовершенная. • Характерная для андрадита ассоциация с эпидотом и кальцитом. 127 2. ЭПИДОТ – Ca2(Al2Fe)[SiO4][Si2O7]O(OH). Представлен агрега- тами игольчатых кристаллов, нарастающих на грани кристаллов андрадита в виде друз. • Облик кристаллов – удлиненный, игольчатый. • Цвет – темно-фисташково-зеленый. • Блеск – стеклянный. • Твердость – 6. • Спайность – наблюдается одна плоскость совершенной спайно- сти вдоль удлинения. • Характерна ассоциация с андрадитом и кальцитом. Содержание отчета о работе Отчет о лабораторной работе должен включать: цель данной работы; инструменты и принадлежности для работы; краткое описание основных диагностических свойств минералов; результаты выполнения лабораторной работы в рекомендуе- мой форме. Контрольные вопросы к лабораторной работе 1. Приведите примеры минеральных индивидов и минеральных агрегатов. 2. Назовите необходимые условия образования идиоморфных кристаллов. 3. Поясните механизм геометрического отбора при образовании друз. 4. Приведите примеры радиально-лучистых срастаний. 5. Какая может быть текстура минеральных агрегатов? 6. Назовите причины различной окраски минералов. 7. Объясните разницу между цветом минерала и цветом его черты. 8. Приведите порядок определения твердости минералов. 128 Литература 1. Бетехтин, А. Г. Курс минералогии / А. Г. Бетехтин. – М. : Гос- научтехиздат, 1961. – 538 с. 2. Ермолов, В. А. Кристаллография, минералогия и геология кам- несамоцветного сырья / В. А. Ермолов, В. А. Дунаев, В. В. Мойсей- кин. – М. : Издательство МГГУ, 2001. – 386 с. 3. Смольянинов, Н. А. Практическое руководство по минерало- гии / Н. А. Смольянинов. – М. : Госгеотехиздат, 1955. – 430 с. 129 Учебное издание КРИСТАЛЛОГРАФИЯ И МИНЕРАЛОГИЯ Лабораторный практикум для студентов специальности 1-52 02 01 «Технология и оборудование ювелирного производства» Составители: КИСЕЛЕВ Михаил Григорьевич ДРОЗДОВ Алексей Владимирович Редактор В.О. Кутас Компьютерная верстка Н.А. Школьниковой Подписано в печать 12.04.2012. Формат 60 84 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 7,5. Уч.-изд. л. 5,86. Тираж 50. Заказ 1036. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Пр. Независимости, 65. 220013, г. Минск.