Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Основы бизнеса» ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ ПРАКТИКУМ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭЛЕКТРОННЫХ ТАБЛИЦ Электронный учебный материал М и н с к 2 0 14 УДК 519.1 (075.8) ББК 22.18я73 А в т о р ы : В.П. Грибкова, С.М. Козлов, Г.И. Лебедева, А.Е. Филиченок Р е ц е н з е н т : А.Э. Малевич, доцент кафедры «Дифференциальные уравнения и системный анализ» БГУ, кандидат физико-математических наук; В учебном пособии рассматриваются модели, постановка и решение задач линейного программирования, транспортных, теории игр и сетевого планирования. Представлены основные методы оптимизации, а также практические рекомендации для их реализации в среде Excel. В каждой главе приводятся примеры решения типовых задач и упражнений для са- мостоятельной работы с ответами. Предлагаются 30 вариантов индивиду- альных заданий по всем темам. Для студентов и аспирантов всех экономи- ческих специальностей, изучающих «Экономико-математические методы и модели», «Экономико-математическое моделирование бизнес- процессов», «Эконометрика и экономико-математические методы и моде- ли», «Исследование операций в экономике». Белорусский национальный технический университет пр-т Независимости, 65, г. Минск, Республика Беларусь Тел.(017)292-77-52 факс (017)292-91-37 E-mail: emd@bntu.by http://www.bntu.by/ru/struktura/facult/psf/chairs/im/ Регистрационный № БНТУ/ © Грибкова В.П, Козлов С.М., Лебе- дева Г.И., Филиченок А.Е., 2014 © БНТУ, 2014 СОДЕРЖАНИЕ Глава 1 Задачи линейного программирования 1.1. Постановка задачи 6 Задачи для решения 12 1.2. Свойства решений задач линейного программирования 13 1.3 Графический метод решения задач линейного програм- мирования 15 Задачи для решения 21 1.4. Аналитическое решение задач линейного программиро- вания 23 1.4.1. Различные формы записи задач линейного программирования 23 1.4.2.Симплексный метод 25 Задачи для решения 40 1.4.3 Метод искусственного базиса 42 Задачи для решения 47 1.5. Теория двойственности в линейном программировании 48 1.5.1. Постановка задачи 48 1.5.2. Основные теоремы двойственности 53 Задачи для решения 56 1.5.3. Геометрическая интерпретация двойственных задач 58 1.5.4. Двойственный симплекс-метод 60 Задачи для решения 65 1.6. Экономическая интерпретация двойственности 67 1.6.1. Анализ моделей на чувствительность 67 1.7. Индивидуальные задания к главе 1 81 1.8. Применение компьютера 84 Глава 2 Транспортные задачи 2.1. Постановка задачи 96 2.2. Методы определения начального плана 99 2.2.1. Метод северо-западного угла 101 2.2.2. Метод минимального элемента 103 2.2.3. Метод Фогеля 107 2.2.4. Метод максимального элемента 112 Задачи для решения 114 2.3. Методы оптимизации опорного плана 117 2.3.1. Метод потенциалов 117 Задачи для решения 130 2.3.2. Распределительный метод 131 Задачи для решения 137 2.4. Транспортная задача по критерию времени 137 2.5. Транспортные задачи в усложнённой постановке 147 2.6. Транспортная задача в сетевой форме 168 2.6.1. Основные понятия теории графов 169 2.6.2. Математическая формулировка транспортной задачи на сети 175 2.6.3. Метод потенциалов для решения транспортной за- дачи на сети 177 Задачи для решения 190 2.7. Индивидуальные задания к главе 2 193 2.8. Применение компьютера 197 Глава 3 Элементы теории игр и принятия решений 3.1. Основные определения 202 3.2. Решение игры в чистых стратегиях 206 Задачи для решения 210 3.3. Решение в смешанных стратегиях 211 Задачи для решения 217 3.4. Решение матричной игры графическим методом 217 Задачи для решения 220 3.5. Решение задач теории игр в условиях частичной и пол- ной неопределённости. Игры с «природой» 220 Задачи для решения 229 3.6. Индивидуальные задания к главе 3 238 3.7. Применение компьютера 240 Глава 4 Сетевое планирование и управление 4.1. Основные понятия и определения 247 4.2. Критический путь 256 4.3. Методы построения критического пути на сетевом гра- фике 257 4.4. Временные характеристики сетевого графика 264 4.5. Индивидуальные задания к главе 4 269 Индивидуальные задания по всем темам 272 Ответы 305 Литература 331 Глава 1 ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ 1.1 Постановка задачи Линейным программированием называется раздел математики, изучающий методы определения условных экстремумов линейных функций. Задача линейного программирования (ЗЛП) состоит в том, что определяется экстремум (минимум или максимум) функции, кото- рая называется целевой (ЦФ) и зависит от n переменных ( 1, )ix i n= , при линейных ограничениях, накладываемых на эти переменные. Так как все задачи, рассматриваемые в данной работе, носят эконо- мический характер, то все переменные должны быть больше нуля (естественные ограничения). Следовательно, математическая по- становка задачи имеет вид: 1) целевая функция (1.1) 1 ( ) max(min) n j j j f x c x = = →∑r 2) ограничения (1.2) (1.3) (1.4) 1 1 1 2 1 2 1 , 1, ; , 1, , 1 n ij j i j n ij j i j n ij j i j a x b i m a x b i m m a x b i m m = = = ⎧ = =⎪⎪⎪⎪ ≤ = +⎨⎪⎪ ≥ = +⎪⎪⎩ ∑ ∑ ∑ ; , ; 3) естественные ограничения 0, 1, .jx j n≥ = (1.5) Целевая функция показывает тот эффект, который должен быть получен в результате решения задачи. Например, необходимо опре- делить максимальную прибыль в результате выпуска той или иной продукции при заданных ограничениях на имеющееся сырье или минимальные затраты на выпуск той же продукции и другое. 6 В каждом случае целевая функция имеет свое выражение в за- висимости от целей исследования. В матричной форме постановка задачи имеет вид: ( ) max(min),f X CX= → (1.1*) ( , ) ,AX B≤ = ≥ (1.2*-1.4*) (1.5*) 0.X ≥ Векторы xr , c r и b r в матричной форме будут: 1 2 ... n x x X x ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ , , , 1 2 ... n c c C c ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 1 2 ... m b b B b ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ и они соответственно называются векторами планов, стоимости и ресурсов (ограничений). Матрица называется матрицей ограниче- ний (затрат или технологической). 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜= ⎜⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎟⎟ Ограничения (1.2) – (1.4) и (1.2*) – (1.4*) называются основными, а ограничения (1.5) и (1.5*) прямыми или естественными (неос- новными). В дальнейшем для решения задач на максимум будет использо- ваться обозначение целевой функции F. Для решения задач на ми- нимум – f. В общем случае используется обозначение f, либо ( )f xr в векторной форме, либо ( )f X - в матричной форме. Задача с ограничениями (1.3) или (1.4) называется стандартной или симметричной, если отыскивается максимум (минимум) целе- вой функции все ограничения, которой записываются со знаками неравенств « » либо « » . ≤ ≥ Если отыскивается максимум (минимум) целевой функции, все ограничения которой имеют вид (1.2), то есть, имеют знак «=», то задача называется канонической или основной. 7 Вектор 1 2( , ,..., )nx x x x r , удовлетворяющий системе ограничений задачи, называется планом. Множество планов, удовлетворяющих системе ограничений (1.2) - (1.5), называется множеством допус- тимых планов. Допустимый план * 1 2( , ,..., )nx x x x uur , при котором дости- гается экстремальное значение целевой функции (1.1), называется оптимальным. Составление математических моделей задач линейного про- граммирования ведётся по следующей схеме. 1. Выбираются переменные , 1,jx j = n . В качестве переменных принимают величины, значения которых однозначно определяют одно из возможных состояний исследуемого процесса. 2. Составляются ограничения (1.2) - (1.4), накладываемые на переменные, выражающие взаимосвязи исследуемого процесса. 3. Составляется целевая функция ( )f х r (1.1). 4. На переменные накладываются естественные ограничения 0, 1,jx j≥ = n (1.5). Задачи линейного программирования могут решать проблемы следующих видов. 1) задачи определения оптимального ассортимента продукции (производственные задачи); 2) задачи транспортного типа; 3) задачи составления кормовой смеси (задачи о диете); 4) задачи об оптимальном раскрое; 5) задачи формирования кольцевых маршрутов (задачи комми- вояжера); 6) задачи многостороннего коммерческого арбитража. 7) задачи выбора портфеля ценных бумаг и др. Например, предприятие располагает m видами ресурсов Si, 1,i = m в количестве bi и изготавливает n видов продукции. Для из- готовления единицы продукции j-го вида ( 1,j n= ) необходимо ресурса i-го вида. Прибыль от реализации единицы продукции j-го вида равна ija jc . Определить оптимальный план производства про- дукции 1 2( , , , )nх x x x= r K . Задача линейного программирования имеет вид: 8 - максимизируется прибыль, полученная предприятием 1 ( ) max n j j j F x c x = = →∑r , - затраты ресурсов не могут превышать имеющихся в наличии 1 , 1, n ij j i j a x b i m = ≤ =∑ , - количество выпущенной продукции не может быть отрица- тельным числом (иногда дополнительно могут накладываться усло- вия целочисленности) 0, 1,jx j n≥ = . Задачу планирования производства можно представить в виде следующей табличной модели. Таблица 1.1 Расход ресурса на производство единицы продукции Ресурс x1 x2 … xn Запас ре- сурса S1 a11 a12 … a1n b1 S2 a21 a22 … a2n b2 … … … … … … Sm am1 am2 … amn bm Прибыль, у.е. c1 c2 … cn ЦФ Пример 1.1. Определение оптимального ассортимента продук- ции (производственная задача). Пусть определённая фирма выпускает два вида продукции П1 и П2, на производство которых используется сырьё трёх типов А, В и С. Максимально возможный расход сырья на единицу продукции, и доход (в условных единицах), получаемый фирмой от реализации единицы продукции, приведены в таблице 1.2. Требуется так организовать работу фирмы, чтобы её доход был максимальным. Решение. 1. Обозначим через 1x - количество продукции П1, выпускаемой фирмой; 2x – количество продукции П2. 9 Таблица 1.2 Расход сырья на произ- водство единицы про- дукции Сырьё П1 П2 Количество сырья А 4 2 100 В 2 3 400 С 3 1 300 Доход на единицу продукции 8 9 2. Целевая функция должна отражать доход, получаемый фир- мой (максимизируется): 1 28 9 maF x x x= + → . 3. Составляем систему ограничений. На производство продук- ции фирма может израсходовать сырья не больше, чем у неё имеет- ся. С учётом наличия сырья определённого типа на производство каждого вида продукции, получаем неравенства 1 2 1 2 1 2 4 2 100 2 3 400 3 3 x x x x x x + ≤⎧⎪ + ≤⎨⎪ + ≤⎩ ; ; 00; x 1 20, 0.x x≥ ≥ То есть, математическая модель задачи в соответствие с (1.1)- (1.5) имеет вид: 1 28 9 maF x x= + → , 1 2 1 2 1 2 4 2 100 2 3 400 3 3 x x x x x x + ≤⎧⎪ + ≤⎨⎪ + ≤⎩ ; ; 00; 1 20, 0.x x≥ ≥ Пример 1.2. Птицефабрика выращивает кур, гусей и уток, на кормление которых используется корм двух видов А и В. Опреде- лены минимальные суточные нормы потребления корма каждого вида, обеспечивающие необходимый питательный рацион для каж- дой породы птицы. Необходимое количество корма на одну птицу, и его стоимость приведены в таблице 1.3 (в условных единицах). 10 Требуется так организовать работу птицефабрики, чтобы её расхо- ды были минимальными. Таблица 1.3 Расход корма на одну птицу (в усл.ед) Нормы потребления корма Виды птиц А В Гуси 0,6 0,3 300 Куры 0,2 0,4 150 Утки 0,15 0,15 200 Цена корма (в усл.ед) 12 40 Решение. Переменными являются количества разводимых птиц: 1. 1x - количество расходуемого корма А, 2x - корма В. 2. Целевая функция будет отражать расходы фабрики (миними- зируется) 1 212 40 minf x x= + → . 3. Система ограничений представляет собой суточный расход корма для каждой породы птицы 1 2 1 2 1 2 0,6 0,3 300, 0,2 0,4 150, 0,15 0,15 200. x x x x x x + ≥⎧⎪ + ≥⎨⎪ + ≥⎩ Учитывая положительность естественных ограничений 1 20, 0x x≥ ≥ , математическая модель задачи будет иметь вид: 1 212 40 minf x x= + → 1 2 1 2 1 2 0,6 0,3 300, 0,2 0,4 150, 0,15 0,15 200, x x x x x x + ≥⎧⎪ + ≥⎨⎪ + ≥⎩ 1 20, 0x x≥ ≥ . 11 Задачи для решения 1.3. Составить математическую модель задачи. Нефтяная компания "РТ" для улучшения эксплуатационных ка- честв и снижения точки замораживания дизельного топлива, кото- рое она производит, добавляет в него определенные химикаты. В каждом бензобаке объемом 1000 л должно содержаться не менее 40 мг химической добавки X, не менее 14 мг химической добавки Y и не менее 18 мг химической добавки Z. Необходимые химические добавки в форме готовых смесей поставляют "РТ" две химические компании А и В. В компании А содержание химических добавок в каждом продукте A(4;3;2) - в компании В(5;1;1). Стоимость продук- та А – 2,00 ф. ст. за 1 л, а продукта В - 3,00 ф. ст. за 1 л. Найти ас- сортиментный набор продуктов А и В таким образом, чтобы общая стоимость добавленных в топливо химикатов была минимимальной. 1.4. Составить математическую модель задачи. Фирма производит определённые изделия. Затраты сырья на едини- цу изделия, объём имеющегося сырья на фирме, доход фирмы от реализации единицы изделия приведены в таблице 1.4. Требуется так организовать производство, чтобы доход фирмы ( )F x r был максимальным. Принятые обозначения: ( 1,3; 1,3)i j= = ija - затраты сырья i- го вида на производство изделия j – го ви- да, в усл. ден.ед., ib - объёмы сырья i- го вида в усл.ед., jc - доход фирмы от реализации товара j – го вида в усл.ед. 12 Таблица 1.4 Характеристики Вариант задания 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11a 4 2 4 1 3 3 2 4 3 2 12a 2 1 2 2 1 3 2 1 1 3 13a 3 2 4 4 3 2 3 4 3 2 21a 2 4 2 3 2 1 2 3 3 2 22a 5 2 4 8 5 4 3 5 2 1 23a 4 3 5 6 4 3 4 3 4 0 31a 3 4 2 4 1 1 4 2 3 0 32a 4 2 3 4 2 3 2 4 3 1 33a 3 4 1 3 2 4 1 1 1 2 1b 40 50 50 20 80 30 20 50 40 30 2b 80 90 40 70 40 30 60 80 80 40 3b 40 50 50 60 80 40 60 70 80 90 1c 1 2 3 1 4 5 1 2 1 1 2c 2 1 1 2 1 2 3 1 4 5 3c 1 3 1 1 3 6 1 1 2 2 1.2. Свойства решений задач линейного программирования Если 1 2, ,..., nx x x какие-либо точки линейного пространства, то выпуклой линейной комбинацией этих точек называется сумма 1 1 2 2 ... n nx x xλ λ λ+ + + , где ( 1, )j j nλ = - произвольные неотрицательные числа, удовлетво- ряющие условию 1 1, 0 n j j j λ λ = = ≥∑ . Множество точек линейного пространства называется выпук- лым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит и их произвольную линейную комбинацию. 13 Любая точка х выпуклого множества называется угловой, если она не может быть представлена в виде линейной комбинации ка- ких-либо двух других различных точек данного множества. Многогранником решений задачи линейного программирования называется множество планов (непустое) задачи линейного про- граммирования. Вершиной называется всякая угловая точка много- гранника. Допустимые планы задачи линейного программирования счи- таются базисными, если в многограннике решений им соответству- ют угловые (крайние) точки. Базисные планы с неотрицательными компонентами называ- ются опорными. Справедливы теоремы. Теорема 1.1. Множество планов основной задачи линейного программирования является выпуклым (если не является пустым). Теорема 1.2. Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение (в ограниченной области всегда, а в неогра- ниченной – в зависимости от условий, наложенных на функ- цию ( )f x r ), то оно совпадает, по крайней мере, с одним из опорных решений системы ограничительных уравнений. Теорема 1.3. 1) Целевая функция f задачи линейного программи- рования достигает своего экстремального значения в вершине мно- гогранника области допустимых решений (единственное решение). 2) Если линейная функция принимает экстремальное значение более чем в одной вершине, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих вершин (бесконечное множество решений). Задачи линейного программирования на минимум и на макси- мум могут быть преобразованы к одному виду задач, например на максимум. Так как справедливо соотношение min max( )f F= − − , то для отыскания минимума целевой функции 1 1 2 2 ... n nf c x c x c x= + + + , можно перейти к нахождению максимума функции 1 1 2 2 ... n nF c x c x c x− = − − − − . 14 1.3 Графический метод решения задач линейного программирования Случай двух переменных Постановка задачи в этом случае имеет вид: 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 max(min), , ( 1, ), , ( , ) 0, 0. i i i i i i f c x c x a x a x b i m a x a x b i m m x x = + → + ≤ = + ≥ = ≥ ≥ (1.6) Каждое из ограничительных неравенств области решений опре- деляет полуплоскость с граничными прямыми 1 1 2 2 , ( 1, )i i ia x a x b i m+ = = , 1 2 0, 0. x x = = Если рассматривается система неравенств, то областью её ре- шений может быть один из следующих случаев. 1) Система несо- вместна, когда область решений является пустым множеством. 2) Система неравенств совместна, то есть, область её решений выпук- лое непустое множество, называемое многоугольником решений (в отличие от «многогранника решений», когда число неизвестных ), либо выпуклая многогранная область, уходящая в бесконеч- ность. 3≥ Если система является совместной, то сторонами многоуголь- ника решений являются прямые, которые получаются при замене знаков неравенств в ограничениях на знаки равенств. Для определения экстремума ограниченной сверху целевой функции необходимо: 1. Из начала координат построить вектор – градиент целевой функции . Построить линию уровня перпендику- лярно градиенту, так как она проходит через начало координат, то такая линия называется опорной. Переместить её таким образом, чтобы она проходила через многоугольник решений. Тогда её урав- нение будет иметь вид 1 2( , )с gradF c c= = r 1 1 2 2c x c x h+ = , где - любая постоянная. Ес- ли , то передвигая линию уровня параллельно самой себе в h maxF → 15 направлении градиента, до тех пор, пока не будет достигнута по- следняя точка многоугольника решений (Рис.1.1), получим необхо- димую точку, где целевая функция достигает максимума. Координаты соответствующей точки дадут оптимальный план решений. Координаты точки можно уточнить аналитически, решая систему уравнений для прямых, которые пересекаются в данной точке. 2. Если , то линия уровня minf → 1 1 2 2c x c x h+ = передвигается в направлении, противоположном своему градиенту (в направлении антиградиента c r ) до достижения крайней точки многоугольника решений (Рис.1.2). При решении могут встретиться следующие случаи. 1) 1) Целевая функция F принимает максимальное значение maxF в единственной точке А рис.1.1 (единственное решение). c r В 0 1x 2x minf Рис. 1.2 2x А maxF 0 1x 2c с r 1c Рис. 1.1 А В 0 1x 2x с r maxF 2x F →∞ с r Рис. 1.3 0 1x Рис. 1.4 16 2) Целевая функция принимает минимальное значение minf в единст- венной точке В рис. 1.2 (единствен- ное решение). 2x 3) Целевая функция F принимает максимальное значение в любой точ- ке отрезка АВ рис 1.3. Прямая АВ перпендикулярна градиенту. (беско- нечное множество решений). 4) Целевая функция не ограни- чена сверху на множестве допустимых решений рис. 1.4. Максимум недостижим. 5) Система ограничений несовместна рис. 1.5. Решений нет. Таким образом, чтобы найти решение задачи линейного про- граммирования геометрическим способом, необходимо: 1. Построить область решений задачи, то есть, многоугольник решений: а) построить прямые, которые получаются из ограничений за- меной знаков неравенств на знаки равенства, б) найти полуплоскости, определяемые каждым из ограниче- ний. 2. Для определения целевой функции: а) построить градиент, 0 1x Рис. 1.5 maxf F= (2) (1) (3) D с r 2x * 2x * 1x 1x А 0 -6 -3 2 8 Рис.1.6. а) c r (2) 2x (1) А D 8 (3) 1x f В min 0 -6 -3 2 Рис.1.6. б) 17 перпендикулярно ему – опорную линию уровня, затем - линию уровня , проходящую через область допустимых значе- ний, 1 1 2 2c x c x h+ = б) передвигать линию уровня параллельно самой себе в на- правлении градиента c r (при отыскании максимума), либо в направ- лении антиградиента (при отыскании минимума), до точки, в кото- рой целевая функция либо принимает максимальное (минимальное) значение, либо устанавливается её неограниченность, в) определить координаты точки пересечения граничных пря- мых, где целевая функция принимает экстремальное значение. Пример 1.5. Найти максимальное и минимальное значения функции 1 2( ) 3 5f x x x= + , при ограничениях 1 2 1 2 1 2 8 3 24, (1) 5 6 30, (2 3 2 6, (3 x x x x x x ⎧ + ≥⎪− + ≤⎨⎪ − ≤⎩ ) ) 1 20, 0.x x≥ ≥ Решение. Строим координатную плоскость 1 2x Ox и наносим на неё прямые - ограничения (рис.1.6. а)). Первое уравнение неравен- ства можно преобразовать в равенство, уравнение границы или уравнение прямой (1) в отрезках 1 2 1 3 8 x x+ = и построить её, отклады- вая на соответствующих осях 1x и 2x отрезки 3 и 8. Если в неравен- ство (1) подставить координаты точки О(0;0), то неравенство будет , что неверно, отсюда следует, что области решений будет принадлежать полуплоскость со стороны, противоположной началу координат. Аналогичным образом преобразуем второе неравенство: 0 24≥ 1 2 1 6 5 x x− + = и построим прямую (2). Области решений будет при- надлежать полуплоскость с той стороны от прямой, где находится начало координат, так как при подстановке точки О(0;0) получим верное неравенство 0 30≤ . Преобразуем третье неравенство: 18 1 2 1 2 3 x x− = и построим прямую (3). Области решений будет принад- лежать полуплоскость с той стороны от прямой, где находится на- чало координат, так как при подстановке точки О(0;0) получим верное неравенство 0 6≤ . Таким образом, область решений задачи представляет собой треугольник АВD. Для определения максимума целевой функции строим градиент из начала координат (3;5)c =r линию уровня 1 23 5x x 0+ = , проходя- щую через начало координат. Затем перемещаем её в область реше- ний, градиент остаётся перпендикулярным к ней. В направлении этого вектора перемещаем линию уровня параллельно самой себе до точки А, которая является конечной точкой области решений. Эта точка, в которой целевая функция достигает максимума. Чтобы най- ти её координаты, решаем совместно второе и третье уравнения 1 2 1 2 1 2 5 6 30, 12, 15. 3 2 6, x x x x x x − + =⎧ ⇒ = =⎨ − =⎩ Таким образом, максимальное значение целевой функции будет . max 3 12 5 15 111f F= = ⋅ + ⋅ = Оптимальное решение *max (12;15)x =r . Чтобы найти минимальное значение целевой функции, линию уровня передвигаем в направлении антиградиента c r , до конечной точки В (рис.1.6. б)). Получаем minf . Координаты точки В получаем, решая совместно первое и третье уравнения 1 2 1 2 1 2 8 3 24, 2,64, 0,96. 3 2 6, x x x x x x + =⎧ ⇒ = =⎨ − =⎩ Следовательно, минимальное значение целевой функции будет minf = 3 2,64 5 0,96 12,72⋅ + ⋅ = . Оптимальное решение * minx =r (2,64;0,96) . Случай многих переменных Если задача линейного программирования решается с количест- вом переменных , то графическим методом решать её можно в том случае, когда выполняется условие 2n > 19 2,n m− ≤ (1.7) где n - число неизвестных, m – число линейно независимых уравне- ний системы ограничений. Если условие (1.7) не выполняется, то задача графическим мето- дом неразрешима. При выполнении условия (1.7) решение задачи осуществляется в следующей последовательности. 1. Выбираем две любые переменные, которые назовём свобод- ными. 2. Выражаем все остальные переменные через свободные, то есть, решаем систему ограничений задачи. 3. Выражаем целевую функцию через свободные переменные. 4. Полученную двухмерную задачу решаем обычным графиче- ским методом. 5. Определив координаты оптимального решения двухмерной задачи, подставляем их в ограничения исходной задачи и определя- ем остальные координаты оптимального решения. Пример 1.6. Найти решение задачи 1 2 44 2 8 maF x x x x= + + − → 2x14 1 2 3 2 4 1 2 5 1 2 6 2 1 8, 4, 2 3 6 x x x x x x x x x x x + + =⎧⎪ + =⎪⎨ + − =⎪⎪ 4, ,− − =⎩ 8 0, 1,6.jx j≥ = 4 Решение. В качестве сво- бодных переменных примем, например, 1x и 2x . Из уравне- ний ограничений выразим пе- ременные 3 4, , 5x x x и 6x через свободные: 3 -2 1x0 maxf F= с r А 7 4 Рис. 1.7 20 3 1 4 2 5 1 6 1 14 2 , 8 , 4 , 6 2 3 . 2 2 2 x x x x x x x x x x x = − − = − = − + + = − + − Выразим целевую функцию f через свободные переменные 1x и 2x 1 2 2 14 2 8 8 4 2.F x x x x x= + + − − = + Опуская неотрицательные переменные 3 4, , 5x x x и 6x , получа- ем задачу с двумя переменными 1 24 mF x x ax= + → , 1 2 2 1 2 1 2 2 1 8, 4, 2 3 6 x x x x x x x + ≤⎧⎪ ≤⎪⎨ + ≥⎪⎪ 4, ,− ≥⎩ 1 20, 0.x x≥ ≥ Графическое решение задачи показано на рис.1.7. Совместное решение уравнений, полученных из первого и чет- вёртого неравенств, даёт значения . При этом целевая функция будет равна * * 1 27, 0x x= = max 28f F= = . Значения других переменных оптимального плана определим из их выражений через свободные переменные: . * * * *3 4 5 60, 8, 3, 8x x x x= = = = Таким образом, оптимальный план имеет вид * max (7;0;0;8;3;8)x =r . Задачи для решения 1.7. Найти решения задач линейного программирования графи- ческим методом. 1. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 5 3 15, 3 2 6, 2, , 0. ,F x x max x x x x x x x x = + → + ≤⎧⎪− + ≤⎨⎪ + ≥⎩ ≥ 2. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 5 5 3 15, 4 5 40, 2 4, , 0. ,F x x max x x x x x x x x = + → − + ≤⎧⎪ + ≤⎨⎪ − ≤⎩ ≥ 21 3. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , 3 3, 4, 4 5 40, , 0. F x x max x x x x x x x x = + → − ≤⎧⎪ − ≥⎨⎪ + ≤⎩ ≥ 4. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 , 2 3 16, 5, 3, , 0. F x x max x x x x x x x х = − → + ≤⎧⎪ − ≤⎨⎪ − + ≤⎩ ≥ 5. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 8 2 6 12, 3 8 32, 16, 5, , 0. ,F x x max x x x x x x x х = + → − ≤⎧⎪ + ≥⎨⎪ ≤ ≤⎩ ≥ 6. 1 2 1 2 1 2 1 2 6 6 3 9, 2 3, , 0. ,F x x max x x x x x x = + → − + ≤⎧⎨ − ≤⎩ ≥ 7. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 , 3 7, 2 7, 2 2, , 0. F x x max x x x x x x x x = + → − + ≤⎧⎪ + ≤⎨⎪ + ≥⎩ ≥ 8. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , 2 2, 10 4 2, 20, , 0. F x x max x x x x x x x x = − + → − + ≤⎧⎪ − ≤⎨⎪ + ≤⎩ ≥ 9. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 , 2 3 24, 2 5 30, 2, , 0. F x x max x x x x x x x x = + → − + ≤⎧⎪− + ≥⎨⎪ − ≤⎩ ≥ 10. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , 4 0, 2 6, 2 3 2, , 0. F x x max x x x x x x x x = + → − ≤⎧⎪ + ≤⎨⎪ + ≥⎩ ≥ 11. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 5 2 3 6, 5, 7 2 14, , 0. ,F x x max x x x x x x x x = + → − ≥⎧⎪ − ≤⎨⎪ + ≥⎩ ≥ 12. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 4, 9 3 9, 2 2, , 0. ,F x x max x x x x x x x x = + → + ≤⎧⎪− + ≤⎨⎪ − ≤⎩ ≥ 22 13. 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 , 2 2, 5 2 10, 3, , 0. F x x max x x x x x x x = − + → + ≥⎧⎪ + ≤⎨⎪ ≤⎩ ≥ 14. 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 , 2 3 1, 2, 2 10, , 0. F x x max x x x x x x x = − → − ≥⎧⎪ ≥⎨⎪ + ≤⎩ ≥ 15. 16. 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 m 1, 8, 10, , 0. f x x x x x x x x x = − + → − ≤⎧⎪ ≤⎨⎪ + ≤⎩ ≥ in, , , , 1 2 1 2 2 1 2 1 2 4 6 min 2 0, 1, 2 6, , 0. f x x x x x x x x x = − → − ≤⎧⎪ ≥⎨⎪ + ≤⎩ ≥ 17. 18. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 3 min 2 0, 2 1, 3 2 6, , 0. f x x x x x x x x x x = − → − + ≤⎧⎪ − ≤⎨⎪ + ≤⎩ ≥ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 5 min 2 0, 3, 2 3 12, , 0. f x x x x x x x x x x = − → − + ≤⎧⎪ − ≤⎨⎪ + ≤⎩ ≥ 1.4. Аналитическое решение задач линейного программирования. 1.4.1. Различные формы записи задач линейного программирования Пусть задача линейного программирования (1.1)-(1.5) задана в симметричной форме, то есть, ограничения даны в виде неравенств вида (1.3), (1.4). Симметричную задачу можно привести к канони- ческому виду. Для этого, в левые части неравенств (1.3), при знаке , вводятся дополнительные (неотрицательные) переменные со знаком плюс, а в левые части неравенств (1.4), при знаке , – со знаком минус. Эти дополнительные переменные называются балан- совыми. Тогда все неравенства превращаются в равенства, и систе- " "≤ " "≥ 23 ма линейных уравнений может быть решена обычными методами линейной алгебры, например, методом Гаусса. Вводимые дополни- тельные, то есть балансовые, переменные отражают, например, ко- личество неиспользованного ресурса для определённого типа сырья при производстве продукции. Пример 1.8. Пусть дана система ограничений задачи линейного программи- рования в симметрической форме с ограничениями: 1 2 1 2 1 2 5 10 2 2 2 15 x x x x x x + ≤⎧⎪ + ≤⎨⎪ − ≥⎩ ; 0; ; 0; 0; 5; 3, 1 20, 0.x x≥ ≥ Преобразуем ограничения введением балансовых переменных 1 2 3 1 2 4 1 2 5 5 1 2 2 2 1 x x x x x x x x x + + =⎧⎪ + + =⎨⎪ − − =⎩ Тогда кроме условий добавляются неравенства . 1 20, 0.x x≥ ≥ 3 4 50, 0, 0x x x≥ ≥ ≥ Число новых вводимых неотрицательных переменных при пре- образовании ограничений – неравенств в ограничения - равенства равно количеству преобразуемых неравенств. Если задача дана в канонической форме, то её можно привести к симметричной форме с условием неотрицательности для базисных неизвестных, если методом последовательных исключений выра- зить базисные неизвестные через свободные и затем отбросить ба- зисные неизвестные, что превратит равенства в неравенства. Пример 1.9. Преобразовать систему ограничений, данную в ка- нонической форме, к симметрической форме при условии, что и 1 0x ≥ 3 0x ≥ 1 2 3 4 1 2 4 2 3 3 2 5. x x x x x x x + − + =⎧⎨ + − =⎩ Решение. В данном случае можно из второго уравнения выра- зить 1x , а из первого уравнения выразить 3x 24 1 2 45 3 2 ,x x= − + 3 1 2 43 2 3 x x x x x− + + + . = Затем воспользоваться выражением для 1x 3 2 4 2 43 2(5 3 2 ) 3 7 5 72 4x x x x x x x= − + − + + + = − + . Получили решение 1 2 3 2 5 3 2 , 7 5 7 . 4 4 x x x x x x = − +⎧⎨ = − +⎩ Учитывая условия и , можно отбросить переменные 1 0x ≥ 3 0x ≥ 1x и 3x . Тогда, будут справедливы неравенства 2 4 2 4 5 3 2 0, 7 5 7 0, x x x x − + ≥⎧⎨ − + ≥⎩ 1 0x ≥ , . 3 0x ≥ То есть, ограничения приведены к симметричной форме. 1.4.2.Симплексный метод Аналитическое решение задачи линейного программирования осуществляется в следующей последовательности. 1. Задача приводится к каноническому виду. 2. Выбираются базисные и свободные переменные. Перемен- ные являются базисными, если они линейно независимы и соответ- ствуют единичным векторам (чаще всего это балансовые перемен- ные): 1 1 0 0 , ... ... 0 0 k kx x + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 и так далее. Если в исходных ограничениях нет базиса, то он вводится в них искусственно. Остальные переменные являются свободными. 3. Целевая функция выражается через свободные переменные. 4. Находится решение, приводящее целевую функцию к экс- тремуму. Обычно задача поиска оптимального плана * x r состоит из задачи определения какого-либо начального опорного плана 1x uur , затем его оптимизации, то есть, последовательного перебора опорных планов 25 таким образом, чтобы целевая функция возрастала (или не убыва- ла). Геометрически это означает переход по рёбрам многогранника (по граничным прямым в случае многоугольника), являющегося областью решений, из одной вершины 1x uur в другую 2x uur и далее до достижения оптимального решения * x r . Пусть задача (1.1)-(1.5) максимизируется, а её система ограни- чений записана в симметричной форме 1 1 2 2 ... max,n nF c x c x c x= + + + → (1.8) 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... , ... , .............................................. ... . n n n n m m mn n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + ≤⎧⎪ + + + ≤⎪⎨⎪⎪ + + + ≤⎩ m 0, 1, .jx j n≥ = За счёт введения балансовых переменных 1 2, ,...,n n n mx x x+ + + задача приведена к каноническому виду с условиями 1 1 2 2 ... max,n nF c x c x c x= + + + → (1.9) 11 1 12 2 1 1 1 21 1 22 2 2 2 2 1 1 2 2 ... , ... , .................................................... ... , n n n n n n m m mn n n m a x a x a x x b a x a x a x x b a x a x a x x b + + + + + + + =⎧⎪ + + + + =⎪⎨⎪⎪ + + + + =⎩ m 0, 1, .jx j n m≥ = + (1.10) Если балансовые переменные принять за базисные и выразить их через остальные переменные 1 1 11 1 12 2 1 2 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ... , ... , .................................................... ... , n n n n n m m m m mn n n n x b a x a x a x x b a x a x a x x b a x a x a x + + + = − − − −⎧⎪ = − − − −⎪⎨⎪⎪ = − − − −⎩ то дальнейшие вычисления удобно свести в таблицу вида 1.5, кото- рая называется симплексной. В первом столбце таблицы 1.5 приводятся базисные переменные (Б.П.). Во втором столбце – свободные члены. 26 Таблица 1.5 С.П. Б.П. 1 1x− 2x− … nx− 1nx + = 2nx + = … n mx + = 1b 2b … mb 11a 21a … 1ma 12a 22a … 2ma … … … … … 1na 2na … mna f = 0c 1c− 2c− … nc− В столбцах (С.П.) приводятся свободные переменные с отрица- тельными знаками при переменных, за счёт чего коэффициенты при этих переменных остаются с такими знаками, как в системе нера- венств. Последняя строка таблицы называется f - строкой. Коэф- фициенты целевой функции также записываются с противополож- ными знаками и называются оценками. Алгоритм поиска решения будет следующим. Этап 1. Определение начального опорного плана. Просматриваем столбец свободных членов таблицы 1.5, если в нём все элементы положительны, то приравниваем свободные пе- ременные 1 2, ,..., nx x x к нулю и имеем опорный план 1 1 2(0,0,..., , ,..., )mx b b b= uur . Тогда можно перейти к поиску следующего опорного плана для оптимизации решения. Если найдётся хотя бы один отрицательный свободный член, то план не является опорным. Чтобы сделать план опорным, составляем следующую таблицу. Выполняем следующие действия: а) просматриваем строку, соответствующую отрицательному свободному члену, и выбираем в ней наименьший отрицательный элемент. Если отрицательных элементов в строке нет, то решения не существует. Столбец, содержащий выбранный отрицательный эле- мент, принимаем за разрешающий. Если одинаковых отрицатель- ных элементов несколько, то выбираем любой из них; б) находим отношение элементов столбца свободных членов к соответствующим элементам разрешающего столбца (симплексные отношения). Можно справа добавить к таблице ещё один столбец и 27 поместить в нём симплексные отношения. Это будет симплексный столбец (С.С.). Выбираем из полученных частных наименьшее по- ложительное. Наименьшее частное будет определять разрешающую строку. Пересечение разрешающего столбца и разрешающей строки определяет, соответственно, разрешающий элемент. в) Делаем шаг симплексных преобразований. Составляем новую таблицу, в которой: - разрешающий элемент заменяется обратной величиной; - остальные элементы разрешающей строки и разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент. Для решения задачи максимизации функции при делении элементов столбца знаки ме- няются на противоположные (для минимизации – знаки строки меняются на противоположные); - базисная переменная строки и свободная переменная столбца меняются местами. Замечание. 1*. Если в разрешающем столбце есть нулевой эле- мент, то строка, в которой он находится, остаётся без измене- ний. Если в разрешающей строке есть нулевой элемент, то соответ- ствующий столбец, остаётся без изменений. 2*. Если в процессе вычислений образуется строка, полностью состоящая из нулей, то она может быть отброшена. г) Все остальные элементы таблицы преоб- разуются по правилу прямоугольника. Пусть элемент является разрешающим, тогда элемент ija lka ′ очередного опорного плана, рас- положенный как показано на рис.1.8, вычис- ляется по формуле . . . . . . . . . . . . ik ij lk lj a a a a Рис.1.8 ij lk ik ljlk ij a a a a a a −′ = . (1.11) То есть, из произведения элементов, стоящих на главной диагонали (главной счи- тается та диагональ, на которой стоит раз- решающий элемент) ij lka a⋅ вычитается про- изведение элементов, стоящих на побочной . . . . . . . . . ik ij lk lj a a a a Рис.1.9 28 диагонали , и эта разность делится на разрешающий элемент . ik lja a⋅ ija Иногда вместо правила прямоугольника используют правило треугольника. Если в выражении для элемента новой таблицы lka′ разделить оба слагаемых правой части на разрешающий элемент , то получится выражение ija ik lj lk lk a a a a ( чением ija ′ = − . 1.11*) Оно представляет собой разность между исходным зна элем Этап 2. Определение оптимального опорного плана. Пусть существует начальный опорный план решения задачи на ешающего столбца тот, где отри- цат ента с индексами lk и выражением, вычисленным по правилу треугольника, как показано на рис. 1.9, то есть произведение эле- ментов, стоящих в вершинах ik и lj , делённых на разрешающий элемент ija , стоящий в третьей рш е ij . ве ин максимум и необходимо найти оптимальный план. Просматриваем F – строку: а) выбираем в качестве разр ельный элемент jс является наибольшим по абсолютной вели- чине. Если таких элементов несколько, то берём любой из них; б) находим отношения элементов столбца свободных членов к элем сто еобразований. Состав- ляем няется обратной величиной; эле- мен ентам разрешающего столбца. Это симплексные отношения, они вычисляются только для положительных элементов столбца. По наименьшему из них находим разрешающую строку; в) на пересечении разрешающей строки и разрешающего лбца находится разрешающий элемент. г) Делаем обычный шаг симплексных пр новую таблицу, в которой: - разрешающий элемент заме - элементы разрешающей строки делятся на разрешающий т; 29 - элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент, и знаки меняются на противоположные; - все остальные элементы новой таблицы находятся по правилу прямоугольника; - базисная переменная, стоящая в базисном столбце и свобод- ная переменная, стоящая в строке свободных переменных меняются местами; - если в процессе решения в столбце свободных членов вновь появляется отрицательный элемент, то возвращаемся к пункту 1.1 и повторяем все вычисления. Замечание 1. Если в разрешающем столбце есть нулевой эле- мент, то строка, в которой он находится, остаётся без измене- ний. Если в разрешающей строке есть нулевой элемент, то соответ- ствующий столбец, в котором он находится, остаётся без изме- нений. При оптимизации решения все вычисления пунктов а) – г) повторяются до тех пор, пока все коэффициенты F –строки не ста- нут положительными. Тогда значение целевой функции достигло максимального значения, а найденный вектор * x r является опти- мальным при нулевых свободных переменных и положительных базисных переменных, расположенных в первом столбце таблицы. Замечание 2. Если все элементы F –строки отличны от нуля, то существует единственное решение для оптимального плана. Если среди элементов есть хотя бы один, равный нулю, то оп- тимальных планов будет бесконечной множество. В таком слу- чае любая выпуклая линейная комбинация оптимальных опор- ных планов * * * 1 21 2 ... kk * x x x xλ λ λ= + + +r r r r , где , будет оптимальной. 0 1, 0 k j j j λ λ = = >∑ Существование неединственного оптимального решения удобно с практической точки зрения. Варьируя параметры , 1,j jλ = k , мож- но выбрать оптимальный план, который по другим показателям, не учтённым целевой функцией, будет наилучшим. Геометрически бесконечное множество решений означает, что все оптимальные 30 планы попали на одно и то же ребро многогранника решений. В двумерном случае - решение попало на одну из сторон много- угольной области допустимых планов. При решении задачи на минимум: - знаки элементов в f – строке первоначально – положительны (те, которые даны изначально), после всех преобразований все зна- ки должны стать отрицательными; - знаки меняются при делении элементов разрешающей строки на разрешающий элемент; - знаки не меняются при делении элементов разрешающего столбца на разрешающий элемент; - все остальные операции производятся по тем же правилам, что и при решении задачи на максимум. Случай вырождения Опорное решение, в котором хотя бы одна из базисных пере- менных принимает нулевое значение, называется вырожденным ре- шением. Задача линейного программирования, имеющая хотя бы одно вырожденное решение, - вырожденной задачей. Существование вырожденного решения может привести к за- цикливанию процесса вычислений. То есть, после нескольких шагов вычислений можно вернуться к ранее встречавшемуся набору ба- зисных и свободных переменных. Особенно опасно «зацикливание» при автоматизированных вычислениях. Устранение «зацикливания» возможно с помощью следующего правила. Если на каком-то этапе вычислений при выборе разре- шающей строки возникает неопределённость, то есть оказывается несколько равных минимальных отношений il ij a a , то следует выбрать ту строку, для которой будет наименьшим отношение элементов следующего столбца к разрешающему. Если при этом снова ока- жутся равными минимальные отношения, необходимо перейти к рассмотрению следующего столбца, и так до тех пор, пока разре- шающая строка не определится однозначно. 31 Пример 1.10. Найти какой-либо опорный план задачи 1 24 6 maF x x x= + → , 1 2 1 2 6, 2 4 8 x x x x + ≤⎧⎨ ,− + ≤⎩ 1 20, 0.x x≥ ≥ Решение. Приведем систему ограничений к каноническому ви- ду введением неотрицательных балансовых переменных 3x и 4x 1 2 3 1 2 4 6, 2 4 8 x x x x x x + + =⎧⎨ .− + + =⎩ Балансовые переменные сделаем базисными 3 1 4 1 6 , 8 2 4 . 2 2 x x x x x x = − −⎧⎨ = + −⎩ Составим симплексную таблицу (табл.1.6) Таблица 1.6 Таблица 1.7 С.П. С.С. С.П. Б.П. 1 1x− 2x− Б.П 1 1x− 4x− 3x = 6 1 1 6/1=6 3x = 4 3/2 -1/4 4x = 8 -2 4 8/4=2 2x = 2 -1/2 1/ 4 F = 0 -4 -6 F = 12 -7 3/2 Из таблицы (1.6) видно, что начальный опорный план есть, так как в столбце свободных членов все элементы положительны - . Можно найти другой опорный план. Для этого в F – строке выбираем элемент (-6), соответствующий переменной 2 1 (0;0;6;8)x = uur x , к как он является наибольшим по абсолютной величине отрицатель- ным числом в F – строке. Столбец 2 та x будет разрешающим. Затем находим отношение элементов столбца свободных членов к элемен- там разрешающего столбца. Поместим эти отношения в столбец (С.С.). Минимальное значение находится в строке 4x . Эта рока будет разрешающей. Разрешающий элемент стоит на пересечении этой строки и столбца, он равен 4. ст 32 В таблице .7: - строка 2 1 x получена делением разрешающей строки таблицы 1.6 на разрешающий элемент 4; - столбец 4x получен делением разрешающего столбца таблицы 1.6 на разрешающий элемент 4 и переменой знака на противопо- лож е вычисляе этот ный; Остальные элементы вычислены по правилу прямоугольников, в том числ и элементы F – строки. Например, для вычисления элемента 11a′ строим прямоугольник, показанный в таблице 1.6, и элемент по формуле прямоугольников (1.10) м 11 4 2 a′ = = . Аналогично вычислены остальные элемен 1 4 ( 2) 1 3⋅ − − ⋅ ты таблицы 1.7. В новой таблице меняем местами переменные 2x и 4x . В итоге, после одного шага симплексных преобразований, получен ещё один опорный план исходной задачи 2 (0;2;4;0)x = uur . Он так е, как и предшествующий не является оптимальным, так как в F – оки. Добавим к таблице 1.7 сим- плексный столбец, полученный делением свободных членов на элементы разрешающе Таблица 1.8 Таблица 1.9 С.П. .П. ж строке есть отрицательный элемент. Пример 1.11. Для предшествующей задачи найти оптимальный опорный план. Решение. В таблице 1.7 уже определён один из опорных планов, который можно считать начальным. Чтобы получить оптимальный план, выберем в качестве разрешающего столбца тот, в котором на- ходится коэффициент (-7) F – стр го столбца СБ.П. 1 1x− 4x− С.С. Б.П. 1 3x− 4x− 3x = 4 3/ 2 3 -1/4 8/ 1x = 8/3 2x = 2 -1/2 ¼ - 2x = 10/3 F = 12 -7 3/2 F = 92/3 14/3 1/3 33 В симплексном столбце таблицы 1.8 только один элемент, он и определяет разрешающую строку. Значит, разрешающим элементом будет элемент 3/2, расположенный на пересечении столбца, в кото- ром находится 1x , и строки, в которой находится 3x . В таблице 1.9 меняем местами 1x и 3x . Вычислим только столбец свободных чле- нов и элементы F – строки. Если в них все элементы будут положи- тельными, то оптимальное реше- ние достигнуто. В таблице 4 именно так и есть. Все элементы в столбце свободных членов и в F – строке положительны, значит достигнут оптимальный план. При этом 92 230 3max F = = 2x 6 А 3 , а опти- мальный план * (8 / 3;10 / 3;0;0)x = uur . Решение можно интерпретировать геометрически. На Рис.1.10. точ- ка О(0;0) является опорным планом , точка В(0;2) – опорным планом 1 (0;0;6;8)x = uur 2 (0;2;6;0)x = uur , точка А(8/3;10/3) - оптимальным опорным планом * (8 / 3;10 / 3;0;0)x =r . Ломаная ОВА (рис. 1.10) пока- зывает путь, продвигаясь по которому от одного опорного плана к другому, достигнуто оптимальное решение. Пример 1.12. Найти оптимальный опорный план задачи 1 26 5 maF x x x= + → , 1 2 1 2 2 8, 2 3 10 x x x x − ≤⎧⎨ − ≥⎩ , 1 20, 0.x x≥ ≥ Решение. Приведём систему ограничений к каноническому ви- ду, введя неотрицательные балансовые переменные 3x и 4x . 1 2 3 1 2 4 2 8 2 3 10 x x x x x x − + = − − = , . 2 Откуда 3 1 2 4 1 8 2 , 10 2 3 . x x x x x x = − + = − + − 1x 6 0 2 В -4 Рис.1.10 34 Составим симплексную таблицу (табл.1.10). Таблица 1.10 Таблица 1.11 С.П. С.П. Б.П. 1 1x− 2x− Б.П 1 4x− 2x− 3x = 8 1 -2 3x = 8 -1/2 -1/2 4x = -10 2− 3 1x = 5 -1/2 -3/2 F = 0 -6 -5 F = 30 3 -14 В столбце свободных членов есть отрицательный элемент, сле- довательно, данный план 1 (0;0;8; 10)x = − uur не является опорным. В строке, в которой находится неизвестная 4x , находим един- ственный отрицательный элемент (-2), который будет разрешаю- щим. Делим на этот элемент все остальные элементы раз- решающей строки, и меняем местами неизвестные 1x и 4x . Получаем табл. 1.11. 2x Полученный план явля- ется опорным, но не является оптимальным, так как один из элементов F – строки является отрицательным. Для отыскания оптимального плана необходимо выбрать в качестве разрешающего столбца тот, в котором находится элемент (-14). Но следует обра- тить внимание на то, что в соответствующем столбце нет ни одного положительного элемента. Это говорит о том, что задача не имеет решения. Геометрически это представлено на Рис. 1.11. Область решений является неограниченной. 5 -3/2 8 1x -2 Рис.1.11 Пример 1.13. Найти оптимальное решение задачи 1 22 3 maF x x x= + → , 1 2 1 2 1 2 5, 2 4 2, x x x x x x + ≤⎧⎪ ,− + ≥⎨⎪− + ≤⎩ 1 20, 0.x x≥ ≥ 35 Решение. Перейдём в ограничениях задачи от симметричной формы к канонической, для чего введём неотрицательные балансо- вые переменные 3 4 5, ,x x x 1 2 3 1 2 4 1 2 5 5, 2 4 2. x x x x x x x x x , + + = − + − = − + + = Балансовые переменные сделаем базисными. Выразим каждую из них через свободные переменные 1 2,x x 3 1 2 4 1 5 1 2 5 , 4 2 2 . x x x 2 ,x x x x x x = − − = − − + = + − Составим симплексную таблицу 1.12. Таблица 1.12 Таблица 1.13 С.П. С.П. Б.П. 1 1x− 2x− С.С. Б.П. 1 3x− 4x− С.С. 3x = 5 1 1 5 3x = 3 3/ 2 ½ 2 4x = -4 1 2− 2 2x = 2 -1/2 -1/2 - 5x = 2 -1 1 2 5x = 0 -1/2 ½ - F= 0 -2 -3 F= 6 -7/2 -3/2 Найденный план не является опорным, так как у него одна ко- ордината отрицательная (0;0;5; 4;2)x = −r . Чтобы найти опорный план, поступим следующим образом. Разрешающим столбцом бу- дет столбец 2x . Выберем в качестве разрешающей строку 4x , так как симплексное отношение в ней наименьшее. Тогда разрешаю- щим элементом будет 22 2a = − . Делим разрешающую строку на (-2), - разрешающий столбец – на 22( ) ( 2)a 2− = − − = . Все остальные эле- менты вычисляем по правилу прямоугольника. Меняем местами переменные 4x и 2x . Получаем таблицу 1.13. Найден начальный опорный план (точка С рис. 1.12), все координаты которого неотрицательны. Этот план не явля- ется оптимальным, так как в F – строке имеются отрицательные 1 (0;2;3;0;0)x = uur 36 элементы. Делаем шаг симплексных преобразований. Для этого вы- бираем в качестве разрешающего столбца тот, в котором наимень- ший элемент, а именно (-3/2). Вычисляем симплексные отношения. Единственное значение в симплексном столбце, которое даёт воз- можность определить разрешающую строку это значение 2, в стро- ке, в которой находится неизвестная 3x . Таким образом, разре- шающим элементом будет 11 3/ 2a = . Делаем обычные симплексные преобразования, получаем но- вую таблицу 1.14. Таблица 1.14 Таблица 1.15 С.П. С.П. Б.П. 1 3x− 4x− С.С. Б.П. 1 3x− 5x− 1x = 2 2/3 1/3 6 1x = 3/2 2x = 3 1/3 -1/3 - 2x = 7/2 5x = 1 1/3 2/3 3/2 4x = 3/2 F= 13 7/3 -1/3 F= 27/2 5/2 1/2 Очередной опорный план 2 (2;3;0;0;1)x = uur (точка В рис.1.12). Он не является оптимальным, так как в F – строке есть ещё один отри- цательный элемент. Необходимо сделать следующий шаг сим- плексных преобразований. Разрешающим столбцом будет столбец под переменной 4x . Вычисляем симплексные отношения. Наи- меньшим будет отношение 3/2, расположенное в строке, где нахо- дится переменная 5x . Тогда разрешающим элементом будет . 32 2 / 3a = Делаем обычный шаг симплексных преобразований, получаем таблицу 1.15, в которой все переменные и элементы F – строки по- ложительны. Значит, найден оптимальный опорный план * (3 / 2;7 / 2;3 / 2;0;0)x =r (точка А рис.1.12). Максимальное зна- чение целевой функции . max 27 / 2F = 2x Геометрическое решение изображено на рис.1.12. Точка c r maxf 1x А 5 В С 2 -2 -4 5 37 Рис. 1.12 С соответствует опорному плану 1 (0;2;3;0;0)x = uur . Точка В соответствует опорному плану 2 (2;3;0;0;1)x = uur . Точка А – оптимальному опорному плану . * (3 / 2;7 / 2;3/ 2;0;0)x =r Пример 1.14. Найти решение задачи 1 22 mf x x in= − + → , 1 2 1 2 1 2 2, 5 2 10 2 3, x x x x x + ≥⎧⎪ + ≤⎨⎪ ≤⎩ , 1 20, 0.x x≥ ≥ Решение. Для решения задачи используем соотношение: min max( )f F= − − , тогда получим 1 1 22 mf F x x ax= − = − → Ограничения преобразуем к каноническому виду введением не- отрицательных балансовых переменных 3 4 5, ,x x x 1 2 3 1 2 4 1 5 2 2 5 2 10 2 3. x x x x x x x x , , + − = + + = + = Балансовые переменные примем за базисные: 3 1 4 1 5 1 2 2 10 5 2 , 3 2 . 2 2 ,x x x x x x x x = − + + = − − = − Составляем симплексную таблицу 1.16. Таблица 1.16 Таблица 1.17 С.П. С.П. Б.П. 1 - 1x - 2x С.С. Б.П. 1 - 1x - 3x С.С. 3x = -2 -1 2− 1 2x = 1 ½ -1/2 2 4x = 10 5 2 5 4x = 8 4 1 2 5x = 3 2 0 - 5x = 3 2 0 -3/2 1f = 0 -2 1 1f = -1 -5/2 1/2 38 Полученное базисное решение не является опорным планом, так как в нём есть отрицательный элемент (0;0; 2;10;3)x = −r . Находим опорный план. В строке 3x там, где свободный член отрицательный, находим наименьший элемент (-2), этот столбец 2x удет разре- шающим. Вычисляем элементы симплексного столбца. Находим б { }min 1;5 1= . Следовательно, разрешающей строкой будет строка 3x , а разрешающим элементом будет (-2). Меняем местами 3x и 2x . Проделываем все вычисления одного шага симплексных преобразо- ваний. Получаем таблицу 1.17. Полученный план 1 (0;1;0;8;3)x = uur является опорным, так как все координаты его положительны, но не является оптимальным, так как в 1f – строке есть отрицательный элемент (-5/2). Чтобы найти оптимальный план, сделаем столбец с элементом (-5/2) разрешаю- щим. Вычислим симплексные отношения. Найдём { }min 2;2;3/ 2 3/ 2= . Следовательно, разрешающий элемент будет находиться в строке 5x . Проделываем вычисления очередного шага симплексных преобразований, получаем таблицу 1.18 Таблица 1.18 1 - 5x - 3x 2x = 1/4 4x = 2 1x = 3/2 1f 11/4 5/4 1/2 Вначале вычислим все свободные члены и элементы 1f – стро- ки. Так как все они положительны, то остальные элементы таблицы можно не вычислять. Получен оптимальный опорный план при этом значение функции * (3 / 2;1/ 4;0;2;0)x =r 1max 11/ 4f = . Тогда, минимум функции f будет 1min max 11/ 4f f= − = − . 39 Задачи для решения 1.15. Привести к канонической форме и найти решение сим- плексным методом следующие задачи линейного программирова- ния. 1. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 max 5 3 1, 2 4 3 5, 3 5 2, 0, 1,3.j F x x x x x х x x x x x x x j = + − → − + ≤⎧⎪ + − ≤⎨⎪ + + ≤⎩ ≥ = , 2. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 5 2 max 2 3 4 12, 2 2, 3 4 2 5, 0, 1,3.j F x x x x x х x x x x x x x j = + + → − + ≤⎧⎪ + − ≤⎨⎪ + − ≤⎩ ≥ = , 3. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 m 3 2 2, 3 1, 2 3 2 5, 0, 1,3.j F x x x x x х x x x x x x x j = + + → + − ≤⎧⎪ + + ≤⎨⎪ − + ≤⎩ ≥ = ax, 4. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 m 5 2, 2 5, 2 3 3, 0, 1,3.j F x x x x x х x x x x x x x j ax,= + + → − + ≤⎧⎪ + − ≤⎨⎪ − + ≤⎩ ≥ = 5. 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 2 3 m 5 3, 2 3 4 2, 2 5, 0, 1,3.j F x x x x x x x x x x x x j = + + → − ≤⎧⎪ + − ≥⎨⎪ + + ≤⎩ ≥ = ax, 6. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 max 2 4 1, 3 5 3, 4 3 7 5, 0, 1,3.j F x x x x x х x x x x x x x j ,= + + → + + ≥⎧⎪ + − ≤⎨⎪ − + ≤⎩ ≥ = 7. 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 4 3 m 3 4 2 5, 3 2, 3 2 7, 0, 1,3.j F x x x x x х x x x x x x j = + + → + + ≥⎧⎪ + ≤⎨⎪ + + ≤⎩ ≥ = ax, 8. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 4 3 max 2 3 3, 3 2, 3 2 5 3, 0, 1,3.j F x x x x x х x x x x x x x j ,= + + → + + ≤⎧⎪ + + ≤⎨⎪ + + ≥⎩ ≥ = 40 9. 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 3 2 m 3 2 2, 1, 2 3 2 5, 0, 1,3.j F x x x x x х x x x x x x j = + + → + − ≤⎧⎪ + ≥⎨⎪ + + ≤⎩ ≥ = ax, 10. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 ma 2 3 2 3, 1, 5 2 3 2, 0, 1,3.j F x x x x x х x х x x x x x j x,= − + → + − ≥⎧⎪ − − ≤⎨⎪ + − ≤⎩ ≥ = 11. 1 2 3 1 2 1 2 3 3 6 m 5, 2 3 4, 4, 0, 1,3.j F x x x x x x x x x x j = − + → − + ≥ −⎧⎪ + − ≤⎨⎪ ≤⎩ ≥ = ax, 12. 1 2 1 2 1 2 1 2 max, 2 6, 2 2, 0, 0. F x x x x x x x x = + → + ≤⎧⎨ − ≤ −⎩ ≥ ≥ 13. 1 2 1 2 1 2 3 1 3 5 6 max 2 4, 2 6 8, 0, 1,3.j F x x x x x x x x x x j = − → + ≤⎧⎪ − + ≤⎨⎪− + ≥ −⎩ ≥ = , , 14. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 max 2 8 2 6, 3 4 2 5, 4 5, 0, 1,3.j F x x x x x x x x x x x x x j ,= − + → + − ≤⎧⎪− + + ≤⎨⎪ − + ≤⎩ ≥ = 15. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 m 1, 2 5 4 3, 4 5 2, 0, 1,3.j F x x x x x x x x x x x x x j = − − + → + − ≤⎧⎪ + + ≤⎨⎪− − − ≤ −⎩ ≥ = ax, 16. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 m 5 3 10, 1, 5 2 10, 0, 1,3.j F x x x x x x x x x x x x x j ax,= + − → + + =⎧⎪− + + ≤⎨⎪ + − =⎩ ≥ = 17. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 2 3 max 2 3 1, 3 2 2, 5 3 3, 0, 1,4.j F x x x x x x x x x x x x x x x j = − + + − → + − + =⎧⎪ − + + =⎨⎪ − = −⎩ ≥ = , 18. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 5 ma 8 2 8, 5 5, 4 3 4, 0, 1,3.j F x x x x x x x x x x x x x j x,= − + − → + + ≤⎧⎪− + + ≥ −⎨⎪ + + ≤⎩ ≥ = 41 19. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 max 2 3 2, 2 3, 4 4 6, 0, 1,3.j F x x x x x x x x x x x x x j = − − → + + ≤⎧⎪− + − ≥ −⎨⎪ − − ≤⎩ ≥ = , 20. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 5 m 2 6 6, 2 5, 8 8, 0, 1,3.j F x x x x x x x x x x x x x j ax,= − − + → + + =⎧⎪ − − ≥ −⎨⎪ + − =⎩ ≥ = 21. 22. 1 2 1 2 1 2 1 2 20 min, 6 8, 4 3, 0, 0. f x x x x x x x x = + → + ≤⎧⎨ + ≥⎩ ≥ ≥ 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 min 2 4 8, 3 2 6, 0, 0. f x x x x x x x x ,= − − → + ≤⎧⎨ − ≤⎩ ≥ ≥ 23. 24. 1 2 1 2 1 2 1 2 5 3 min 2 4, 5 3 15, 0, 0. f x x x x x x x x = + → + ≥⎧⎨ + ≤⎩ ≥ ≥ , n,1 2 1 2 1 2 1 2 4 mi 6, 2 4, 0, 0. f x x x x x x x x = − → + ≤⎧⎨ + ≤⎩ ≥ ≥ 1.4.3. Метод искусственного базиса Этот метод используется также для определения исходного опорного плана. Он особенно удобен, когда число переменных зна- чительно превосходит число уравнений. Метод состоит в том, что в ограничения исходной задачи вво- дятся некоторые искусственные переменные. В целевую функцию эти искусственные переменные входят с коэффициентом М (М – некоторое число). При этом для задачи на максимум искусственные переменные входят в целевую функцию со знаком «минус», для за- дачи на минимум - со знаком «плюс». В общем виде математическая модель задачи записывается следующим образом: (1.12) 1 1 max, n m j j n i j i c x M x + = = Ψ = − →∑ ∑ при ограничениях 1 , 1, n ij j n i i j a x x b i m+ = + = =∑ , (1.13) 42 0, 1, ,jx j n m≥ = + (1.14) где n ix + - дополнительные неотрицательные переменные. Составленная задача называется М – задачей. Для задачи на минимум целевая функция имеет вид: . (1.15) 1 1 min n m j j n i j i c x M xψ + = = = + →∑ ∑ Искусственные переменные могут вводиться не во все ограни- чения. Например, в случае, когда система исходных ограничений является заданной в виде, приведённом к единичному базису, ис- кусственные переменные дополнительно не вводятся. Может оказаться, что искусственные переменные требуется вве- сти только в некоторые из неравенств системы ограничений, а в ос- тальные, разрешенные относительно естественных базисных пере- менных, введение дополнительных переменных не требуется. Решение М – задачи осуществляется симплексным методом. При этом через некоторое число итераций либо будет найдено её опти- мальное решение, либо будет установлено, что целевая функция не ограничена. Между оптимальными решениями М – задачи и исход- ной существует связь, устанавливаемая следующей теоремой. Теорема 1.4. Если в оптимальном плане М – задачи все искусст- венные переменные равны нулю, то соответствующее решение яв- ляется оптимальным планом исходной задачи. Теорема 1.5. Если в оптимальном плане исходной М – задачи хотя бы одна искусственная переменная отлична от нуля, то сис- тема ограничений исходной задачи несовместна в области допус- тимых решений. Теорема 1.5. Если М – задача неразрешима, то исходная задача также неразрешима либо по причине несовместности системы ограничений, либо по причине неограниченности функции. Так как целевая функция состоит из двух частей 1 m n i i F M x + = Ψ = ± ∑ , (1.16) то при решении табличным симплекс – методом после F – строки необходимо ввести М – строку. Решение сначала осуществляется по М – строке. Выводимые из базиса искусственные переменные можно опускать, так как вводить их снова в базис нецелесообразно. 43 Процесс симплексных преобразований продолжается до тех пор, пока из базиса не будут исключены все искусственные переменные. Дальнейшие вычисления ведутся по F – строке, а М – строка опус- кается. Первоначальная симплексная таблица для М – задачи имеет вид: Таблица 1.19 С.П. Б.П. 1 - 1x - 2x … - nx 1 2 ... n n n m x x x + + + 1 2 ... m b b b 11 21 1 ... m a a a 12 22 2 ... m a a a ... ... ... ... 2 2 2 ... n n n a a a F 1c− 2c− … nc− М 1β− 2β− … nβ− где jβ - коэффициенты при переменных М – слагаемого целевой функции. Пример 1.6. Найти решение методом искусственного базиса следующей задачи 1 2 3 42 3 4 maF x x x x x= + + − → , 1 2 3 4 1 2 3 4 2, 14 10 10 24, x x x x x x x x + − + =⎧⎨ + + − =⎩ 0, 1,4jx j≥ = . Решение. 1. Составляем М – задачу. Уравнения системы огра- ничений не разрешены относительно естественных базисных пере- менных. Поэтому вводим в них искусственные переменные: 5x - в первое уравнение и 6x - во второе. В результате получим следую- щую М – задачу: 1 2 3 4 5 62 3 4 ( ) max x x x M x x xΨ = + + − − + → , 1 2 3 4 5 1 2 3 4 6 2, 14 10 10 24, x x x x x x x x x x + − + + = + + − + = 44 0, 1,6jx j≥ = . 2. Выразим целевую функцию и базисные переменные через свободные переменные 5 1 2 3 4 6 1 2 3 2 , 24 14 10 10 . x x x x x 4x x x x x = − − + − = − − − + Подставляем выражения для базисных переменных в целевую функцию М – задачи, получим: 1 2 3 42 3 4x x x x MΨ = + + − − ( 1 2 32 4x x x x− − + − + 1 2 324 14 10 10 4x x x x− − − + )= = 1 2 3 42 3 4x x x x M+ + − − ( 1 2 3 426 2 15 9 9 ) maxx x x x− − − + → . 3. Составим симплексную таблицу 1.20. Таблица 1.20 С.П. Б.П. 1 - 1x - 2x - 3x - 4x 5x = 2 1 1 -1 1 6x = 24 1 14 10 -10 F = 0 -1 -2 -3 4 М= -26 -2 -15 -9 9 4. Расчёт ведём по М – строке. Сделав шаг симплексных пре- образований с разрешающим элементом 14, придём к таблице 1.21. Переменную 6x после вывода из базиса мы исключили из дальней- шего рассмотрения (соответствующий ей столбец опустили). В этой таблице ещё содержится решение М – задачи . 1 (0;24 /14;0;0;2 /14;0)x = uur Таблица 1.21 С.П. Б.П. 1 - 1x - 3x - 4x 5x = 4/14 13/14 -24/14 24 /14 2x = 24/14 1/14 10/14 -10/14 F = 48/14 -12/14 -22/14 36/14 М= -4/14 -13/14 24/14 -24/14 45 5. В качестве разрешающего выберем столбец 4x и снова дела- ем шаг симплексных преобразований с разрешающим элементом 24/14, (таблица 1.22). Таблица 1.22 С.П. Б.П. 1 - 1x - 3x 4x = 1/6 13/ 24 -1 2x = 11/6 11/24 0 F = 3 9/4 1 М= -2/14 0 0 Полученное решение 2 (0;11/ 6;0;1/ 6;0;0)x = uur является оптималь- ным для М – задачи. Для исходной задачи оно ещё не является оп- тимальным, так как в F – строке есть отрицательный элемент. 6. Отбрасываем М – строку и по F – строке выбираем в качест- ве разрешающего первый столбец. В качестве разрешающего эле- мента принимаем 13/24. Делаем ещё шаг симплексных преобразо- ваний, результаты которого представлены в таблице 1.23. Таблица 1.23 Б.П. 1 - 2x - 4x 1x = 1 24/11 3x = 2 F = 10 41/11 1 Получили оптимальный план исходной задачи * (4;0;2;0)x = uur , . max 10F = 46 Задачи для решения 1.17. Найти решение задач методом искусственного базиса. 1. 2. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 8 6 5 4 max 4 16, 4 6 3 7 20, 0, 1,4.j F x x x x x x x x x x x x x j = + + + → + + + =⎧⎨ − + − =⎩ ≥ = , 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 16 12 10 4 max, 2 8 2 2 32, 8 12 6 14 40, 0, 1,4.j F x x x x x x x x x x x x x j = − − + → + − + =⎧⎨ − + − =⎩ ≥ = 3. 4. 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 2 3 max 2 3 15, 2 5 20, 2 10, 0, 1,4.j F x x x x x x x x x x x x x x x j = + + − → + + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + + =⎩ ≥ = , 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1 2 3 4 4 m 5 2 3 10, 2 5 20, 4 10 0, 1,4.j F x x x x x x x х x x x x x x x x j = + + − → + + + =⎧⎪ − + =⎨⎪ + + + =⎩ ≥ = ax, , 5. 6. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 2 min 3 2 2, 2 4 0, 1,5.j f x x x x x x x x x x x x x x x x j = − + − + → + + + + =⎧⎨ − + + + =⎩ ≥ = , 3, 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3 2 max 6 2 4 4, 2 4 0, 1,5.j F x x x x x x x x x x x x x x x x j = − + − + → + + + + =⎧⎨ − + + + =⎩ ≥ = , 6, 7. 8. f 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 6 2 max, 3 3 4 3 6, 5 2 2, 0, 1,6.j F x x x x x x x x x x x x x x x x x x j = + + + + + → + − + + + =⎧⎨ + + + − =⎩ ≥ = 1 2 3 4 5 6 1 4 6 1 2 3 6 1 2 5 6 min, 9, 3 4 2 2, 2 2 6, 0, 1,6.j x x x x x x x x x x x x x x x x x x j = − + + + − − → + + =⎧⎪ + − + =⎨⎪ + + + =⎩ ≥ = 47 1.5. Теория двойственности в линейном программировании 1.5.1. Постановка задачи Пусть исходная задача линейного программирования записы- вается в виде: (1.17) 1 ( ) max n j j j F x c x = = →∑r 1 1 1 1 , 1, ; , 1, n ij j i j n ij j i j a x b i m a x b i m m = = ⎧ ≤ =⎪⎪⎨⎪ = = +⎪⎩ ∑ ∑ ; (1.18) 0, 1, .jx j n≥ = (1.19) Двойственная к ней задача будет иметь вид: (1.20) 1 ( ) min, m i i i f y b y = = →∑ur 1 1 1 1 , 1, ; , 1 m ij i j i m ij i j i a y c j n a y c j n n = = ⎧ ≥ =⎪⎪⎨⎪ = = +⎪⎩ ∑ ∑ , ; (1.21) 10, 1, .iy i m≥ = (1.22) В матричной форме формулировка задачи будет следующей. Для прямой задачи: max,F CX= → (1.17*) ,AX B≤ (1.18*) (1.19*) 0.X ≥ Для двойственной – min,f BY= → (1.20*) ,TA Y C≥ (1.21*) (1.22*) 0.Y ≥ При записи двойственной задачи действуют следующие пра- вила. 48 1. Если прямая (исходная) задача решается на максимум (1.17) – (1.19) или (1.17*) – (1.19*), то двойственная к ней (1.20) – (1.22) или (1.20*) – (1.22*) – на минимум и наоборот. 2. Коэффициенты целевой функции прямой задачи jc стано- вятся свободными членами для ограничений двойственной задачи. 3. Свободные члены прямой задачи ib становятся коэффици- ентами двойственной целевой функции. 4. Матрица ограничений двойственной задачи является транс- понированной по отношению к матрице ограничений прямой зада- чи. 5. Если прямая задача решается на максимум, то её система ограничений имеет в неравенствах знак « ≤ » или « = ». Двойствен- ная ей задача решается на минимум, и её система ограничений име- ет вид неравенств типа « ≥ » или « = ». 6. Число ограничений прямой задачи равно числу переменных двойственной, а число ограничений двойственной – числу перемен- ных прямой. 7. Если прямая задача задана в симметричной форме с n пере- менными и при приведении её к канонической форме были добав- лены ещё m переменных, то между переменными ( 1, )x j j n m= + и ( 1, )iy i n m= + устанавливается взаимно однозначное соответствие 1 2 1 1 2 1 ... ... ... ... n n n m m m m n m x x x x x y y y y y + + + + + b b b b b . Замечания. 1. Исходной задачей может быть задача на минимум (1.20) – (1.22), тогда двойственная к ней будет задача на максимум (1.17) – (1.19). 2. В теории двойственности исходная задача должна быть упорядоченной. То есть, если целевая функция задачи макси- мизируется, то ограничения – неравенства должны быть вида « », если минимизируется, то вида « ≥ ». Если в некоторых ограничениях это условие не выполняется, то их выполнение достигается умножением соответствующих ограничений на (-1). ≤ 49 3. Если на j – переменную исходной задачи не наложено условие неотрицательности, то j – ограничение двойственной задачи будет равенством. В противном случае j – ограничение будет неравенством. 4. В двойственной задаче условие неотрицательности на- кладывается на те переменные, которым в исходной задаче со- ответствовали ограничения со знаком неравенства. Любой исходной задаче линейного программирования можно поставить в соответствие двойственную задачу, построенную по правилам, представленным в таблице 1.24. Таблица 1.24 1 max n j j j c x = →∑ 1 min m i i i b y = →∑ 1 n ij j i j a x b = ≤∑ yi ≥ 0 1 n ij j i j a x b = ≥∑ yi ≤ 0 1 n ij j i j a x b = =∑ yi — не имеет ограничений на знак xj ≥ 0 1 m ij i j i a y c = ≥∑ xj ≤ 0 1 m ij i j i a y c = ≤∑ xj — не имеет ограни- чений на знак 1 m ij i j i a y c = =∑ Некоторые частные случаи 1. Пусть исходная задача записана в каноническом виде: 50 1 1 2 2 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... min, ... , ... , ............................................. ... , 0, 1, . n n n n n n m m mn n m j f c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x j n = + + + → + + =⎧⎪ + + + =⎪⎨⎪⎪ + + + =⎩ ≥ = (1.23) Двойственной к ней будет задача 1 1 2 2 11 1 21 2 1 1 12 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... max, ... , ... , .............................................. ... . m m m m m m n n mn m m F b y b y b y a y a y a y c a y a y a y c a y a y a y c = + + + → + + + ≤⎧⎪ + + + ≤⎪⎨⎪⎪ + + + ≤⎩ (1.24) Задачи (1.23) и (1.24) образуют пару симметричных двойствен- ных задач. 2. Пусть исходная задача имеет вид: 1 1 2 2 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... min, ... , ... , ............................................. ... , 0, 1, . n n n n n n m m mn n m j f c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x j n = + + + → + + ≥⎧⎪ + + + ≥⎪⎨⎪⎪ + + + ≥⎩ ≥ = (1.25) Двойственная к ней задача запишется в виде: 1 1 2 2 11 1 21 2 1 1 12 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... max, ... , ... , .............................................. ... . 0, 1, . m m m m m m n n mn m m i F b y b y b y a y a y a y c a y a y a y c a y a y a y c y i m = + + + → + + + ≤⎧⎪ + + + ≤⎪⎨⎪⎪ + + + ≤⎩ ≥ = (1.26) Задачи (1.25) и (1.26) образуют пару симметричных двойствен- ных задач. 51 Пример 1.18. Записать задачу двойственную к задаче 1 2 34 4 mF x x x ax,= + − → 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 4 3 2 13 2 5 6 11 x x x x x x x x x − + ≤⎧⎪ + − =⎨⎪ + − ≤⎩ 12, , , 1 2 3, , 0x x x ≥ . Решение. Для исходной задачи двойственной к ней будет задача на минимум. Соответствующие матрицы A и TA будут: 2 1 4 2 1 2 1 3 2 , 1 3 5 2 5 6 4 2 6 TA A −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢= − = − ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . Тогда, двойственная задача будет иметь вид: 1 2 312 13 11 min,f y y y= + + → 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 3 5 1, 4 2 6 4 y y y y y y y y y + + ≥⎧⎪ 4, , − + + ≥⎨⎪ − − ≥ −⎩ 1 3, 0y y ≥ . В соответствие с пунктами 3 и 4 замечаний на неизвестную не наложено условие неотрицательности, так как во втором условии ограничений прямой задачи имеется знак равенства. 2y Пример 1.19. Записать задачу двойственную к задаче 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 2 m 3 2 8, 3 3 6, 5, 0, 0. f x x x x x x x x x x x x x x x x x x in,= − + + → − + + ≤⎧⎪ + + + =⎨⎪ + + − ≤⎩ ≥ ≥ Решение. Упорядочим запись исходной задачи. Так как реша- ется задача на минимум, то неравенства в ограничениях должны иметь знаки « ». Умножаем ограничения 1 и 3 на (-1). ≥ 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 2 8 3 3 5. x x x x x x x x x x x x , 6, − + − − ≥ −⎧⎪ + + + =⎨⎪ − − − + ≥ −⎩ 52 Двойственная задача имеет три переменные, так как исходная задача содержит три ограничения. Таким образом, 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 8 6 5 max 3 2, 2 3 1, 1, 3 1, 0, 0. F y y y y y y y y y y y y y y y y y = − + − → − + − ≤⎧⎪ + − = −⎪⎨ − + − =⎪⎪ − + + ≤⎩ ≥ ≥ , Второе и третье ограничения записаны в виде равенств, так как в исходной задаче на соответствующие переменные 2x и 3x не на- ложено условие неотрицательности. На переменные и накла- дываем условие неотрицательности, так как в исходной задаче им соответствуют ограничения в виде неравенств. 1y 3y 1.5.2. Основные теоремы двойственности Между решениями прямой и двойственной задач существуют определённые зависимости, которые характеризуются леммами и теоремами. Лемма 1. Если x r - некоторый план исходной задачи (1.17)- (1.19), а - произвольный план двойственной задачи (1.20) – (1.22), то значение целевой функции исходной задачи при плане y ur x r не пре- восходит значения целевой функции двойственной задачи при пла- не , то есть, y ur ( ) ( )F x f y≤r ur . Лемма 2. Если выполняется равенство * * ( ) ( )F x f y=r ur для некоторых планов * x r задачи (1.17) - (1.19) и *y ur задачи (1.20) - (1.22), то * x r - оптимальный план исходной задачи, а *y ur - опти- мальный план двойственной задачи. Теорема 1.7. (первая теорема двойственности). Если одна из пары двойственных задач (1.17) – (1.19) или (1.20) – (1.22) имеет оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план и значения 53 целевых функций задач при их оптимальных планах равны между собой, то есть max minF f= . Если целевая функция одной из пары двойственных задач не ограничена (для исходной задачи на максимум – сверху, для задачи на минимум – снизу), то другая задача вообще не имеет планов. Теорема 1.8. (вторая теорема двойственности). План * * * * 1 2( , ,..., )nx x x x= r задачи (1.17) – (1.19) и план * * * *1 2( , ,..., )my y y y= ur зада- чи (1.20) – (1.22) являются оптимальными планами этих задач тогда и только тогда, когда для любого номера ( 1,j j n= ) выполняются равенства ( )* * *1 1 ... 0.j mj m j ja y a y c x+ + − = При решении двойственных задач не имеет значения, исходная задача сформулирована на максимум или на минимум. В любом случае вначале можно решать задачу на максимум обычным сим- плексным методом, а затем, исходя из соответствия переменных, в той же симплексной таблице получить решение двойственной зада- чи на минимум. В этом случае можно таблицу строить следующим образом Таблица 1.25 Б.П f 1my + = 2my + = … m ny + = С.П С.П. Б.П 1 - 1x - 2x … - nx 1y 1nx + = 1 b 11a 12a … 1na 2y 2nx + = 2b 21a 22a … 1na … … … … … … … my n mx + = mb 1ma 2ma … mna 1 F = 0c - 1c - c 2 … - c n Прямая и двойственная задачи настолько тесно увязаны, что оптимальное решение одной задачи можно получить непосредст- венно (без дополнительных вычислений) из итоговой симплекс таб- лицы 1.23 другой задачи. Появляется возможность проведения вы- 54 числений именно по той задаче (прямой или двойственной), которая требует меньше вычислительных ресурсов. Например, если прямая задача имеет 10 переменных и 50 ограничений, то предпочтитель- нее нахождение оптимального решения двойственной задачи, т.к. она будет содержать только 10 ограничений (трудоемкость вычис- лений задачи линейного программирования в большей степени за- висит от количества ограничений, чем переменных). Пример 1.20. Найти решения прямой и двойственной задач, если даны следующие условия: 1 24 6 maF x x x= + → 1 2 1 2 6, 2 4 8 x x x x + ≤⎧⎨ ,− + ≤⎩ 1 20, 0.x x≥ ≥ Решение. Прямая задача максимизирует целевую функцию, следовательно, задача, двойственная к исходной, имеет вид: 1 26 8 minf y y ,= + → 1 2 1 2 2 4 4 6 y y y y , , − ≥⎧⎨ + ≥⎩ 1 20, 0.y y≥ ≥ При решении прямой задачи после трех шагов симплексных преобразований от таблицы 1.26 переходим к таблице 1.27, затем к таблице 1.28. Таблица 1.26 Таблица 1.27 С.П. С.П. Б.П. 1 - 1x - 2x Б.П. 1 - 1x - 4x 3x = 6 1 1 3x = 4 3/ 2 -1/4 4x = 8 -2 4 2x = 2 -1/2 1/4 F = 0 -4 -6 F = -12 -7 -3/2 55 Таблицу 1.28 можно представить так, чтобы в ней получить решение двойственной задачи, учитывая условия соответствия 1 2 3 4 3 4 1 2 x x x x y y y y b b b b . Базисным переменным исходной задачи 1x и 2x соответ- ствуют свободные переменные двойственной и . Свободным переменным исходной задачи 3y 4y 3x и 4x , соответствуют базисные пе- ременные двойственной и (табл.1.28). 1y 2y Откуда видно, что решение двойственной задачи находится в F - строке таблицы 1.28. Таким образом, оптимальное решение пря- мой задачи- * x r =(8/3;10/3), решение двойственной - *y ur =(14/3;1/3) и 92/3. max minF f= = Таблица 1.28 Б.П f 1y = 2y = С.П С.П. Б.П 1 - 3x - 4x 3y 1x = 8/3 4y 2x = 10/3 1 F = 92/3 14/3 1/3 Задачи для решения 1.21. Найти решение следующих задач через двойственные к ним. 1. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 m 2 6, 5 2 6, 0, 1,3.j f x x x x x x x x x x j = + + → + − ≥⎧⎨ + − ≥⎩ ≥ = in, 2. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 m 2 2, 3 3, 0, 1,3.j f x x x x x x x x x x j = + + → + − ≥⎧⎨ + + ≥⎩ ≥ = in, 56 3. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 8 4 6 min 8 6 2 8, 10 2 2 12, 0, 1,3.j f x x x x x x x x x x j = + + → + − ≥⎧⎨ + + ≥⎩ ≥ = , 4. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 3 min 2 2, 2 2 3, 0, 1,3.j f x х x x x x x x x x j = + + → + − ≥⎧⎨ + + ≥⎩ ≥ = , 5. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 4 min 2 3 2, 4 4, 0, 1,3.j f x x x x x x x x x x j = + + → + − ≥⎧⎨ + + ≥⎩ ≥ = , 6. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 4 min 4, 2 1, 0, 1,3.j f x x x x x x x x x x j = + + → + + ≥⎧⎨ + − ≥⎩ ≥ = , 7. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 3 min 4 3 2 1, 4 2 3, 0, 1,3.j f x x x x x x x x x x j = + + → + − ≥⎧⎨ + − ≥⎩ ≥ = , 8. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 m 4 2 2, 2 4 3, 0, 1,3.j f x x x x x x x x x x j = + + → + − ≥⎧⎨ + + ≥⎩ ≥ = in, 9. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 m 2 2 2, 6 4 8, 0, 1,3.j f x x x x x x x x x x j = + + → + − ≥⎧⎨ + + ≥⎩ ≥ = in, 10. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 8 4 min 2 1, 4 5 6, 0, 1,3.j f x x x x x x x x x x j = + + → + − ≥⎧⎨ + + ≥⎩ ≥ = , 11. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 mi 2 2 6, 5 3 2, 0, 1,3.j f x x x x x x x x x x j = + + → + − ≥⎧⎨ + − ≥⎩ ≥ = n, 12. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 m 3 2, 2 3, 0, 1,3.j f x x x x x x x x x x j = + + → + − ≥⎧⎨ + + ≥⎩ ≥ = in, 13. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 6 3 5 min 6 4 8, 7 2 10, 0, 1,3.j f x x x x x x x x x x j = + + → + − ≥⎧⎨ + + ≥⎩ ≥ = , 14. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 5 m 2 2 3, 3 2 4, 0, 1,3.j f x х x x x x x x x x j = + + → + − ≥⎧⎨ + + ≥⎩ ≥ = in, 15. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 m 2 2, 3 5 6, 0, 1,3.j f x x x x x x x x x x j = + + → + − ≥⎧⎨ + + ≥⎩ ≥ = in, 16. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 4 min 4, 2 1, 0, 1,3.j f x x x x x x x x x x j = + + → + + ≥⎧⎨ + − ≥⎩ ≥ = , 57 17. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 3 min 4 1, 5 3 3, 0, 1,3.j ,x x x x x x x x x x j + + → + − ≥⎧⎨ + − ≥⎩ ≥ = 18. f = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 m 4 2 1, 6 8 4, 0, 1,3.j f x x x x x x x x x x j = + + → + − ≥⎧⎨ + − ≥⎩ ≥ = in, 1.5.3. Геометрическая интерпретация Если число переменных прямой и двойственной задач, обра- зующ пары множество планов пуст 1.22. Пусть дана пара двойственных задач. Найти граф Двойственная задача 2 4 8, 2 6, 0, 0. x x x x x x + ≤⎧⎨ + ≤⎩ ≥ ≥ 2 2 6, 4 4, 0, 0. y y y y y y + ≥⎧⎨ + ≥⎩ ≥ ≥ Решение. Обе задачи содержат по две переменных. Следова- тельн двойственных задач их пару двойственных задач, равно двум, то при использова- нии геометрической интерпретации задачи линейного программи- рования, можно найти решение данной пары двойственных задач. Тогда, имеет место один из следующих случаев: 1) обе задачи имеют оптимальные планы; 2) планы имеет только одна задача; 3) для каждой задачи двойственной о. Пример ическое решение обеих задач. Прямая задача 1 26 4 max,F x x= + → 1 28 6 min,f y y= + → 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 о, они разрешимы. По системе ограничений исходной задачи строим область допустимых решений (Рис.1.13). Затем строим ли- нию уровня для функции F , и передвигаем её параллельно самой себе в направлении вектор cа r , пока не достигнем крайней точки области допустимых решений. 58 2x 6 Этой точкой будет являться точка А(8/3;2/3), то есть, . В точке А целевая функция достигает максимума * *1 28 / 3, 2 / 3x x= = * * max 1 2 8 2 56 4 6 4 3 3 3 F x x= + = ⋅ + ⋅ = 6 . Графическое решение для двойственной задачи (Рис 1.14). Строим область допустимых решений в соответствие с ограниче- ниями. Затем строим линию уровня для функции f , и перемещаем её параллельно самой себе в направлении противоположном векто- ру до тех пор, пока она коснется крайней точки области допусти- мых решений. Этой точкой будет являться точка В(1/3;8/3), то есть * 1 1y = очке В целевая функция достигает минимума и будет равна c′ur * 2/ 3, 8 / 3y = . В т * * min 8f y= 1 2 1 8 566 8 63 3 3y+ = ⋅ + ⋅ = . Между переменными существует взаимно однозначное соот- ветствие 1 2 3 4 3 4 1 2 x x x x y y y y b b bb . Базисным переменным исходной задачи 1x и 2x соответствуют свободные переменные двойственной и . Свободным пере- менным исходной задачи 3y 4y 3x и 4x , соответствуют базисные перемен- ные двойственной и . 1y 2y 1.5.4. Двойственный симплекс – метод c r 3 c′ur В А 4 2y 2 3 3 0 1x 1y 0 4 1 Рис.1.14 Рис.1.13 59 Для решения задач линейного программирования кроме пря- мого симплексного метода, изложенного в п.1.4.2 , используется двойственный симплекс метод. В этом случае решение задачи рас- падается на два этапа. На первом этапе определяется начальный опорный план - псевдоплан, для этого исключаются отрицательные коэффициенты в F – строке (для задачи на минимум, когда опреде- ляется f, тогда все коэффициенты этой строки записываются со своими знаками). На втором этапе определяется оптимальный план, для чего избавляются от отрицательных элементов в столбце сво- бодных членов. Алгоритм двойственного симплекс – метода состоит в сле- дующем. Этап 1. Определение начального опорного плана (псевдоплана). Заполняем исходную симплексную таблицу. 1.1. Просматриваем коэффициенты f - строки симплексной таблицы. Если среди них нет отрицательных, то делаем переход к пункту 2.1 поиска оптимального плана. 1.2. Если в f - строке имеются отрицательные элементы, то де- лаем следующие преобразования. - Выбираем в f - строке наибольший по абсолютной величине элемент. - В выделенном столбце находим наименьший отрицательный элемент, и содержащая его строка будет разрешающей. Если в вы- деленном столбце нет отрицательных чисел, то задача не имеет ре- шения. - Определяем отношения элементов f - строки к соответствую- щим элементам разрешающей строки и по наименьшему из этих отношений определяем разрешающий столбец. - Пересечение разрешающего столбца и разрешающей строки определяет разрешающий элемент. 1.3. По найденному разрешающему элементу делаем шаг сим- плексных преобразований. Этап 2. Определение оптимального плана. 60 2.1. Просматриваем столбец свободных членов. Если среди них нет отрицательных элементов, то оптимальное решение достигнуто. 2.2. Если в столбце свободных членов есть отрицательные элементы, то делаем следующие преобразования. - среди отрицательных элементов выбираем наименьший. Этот элемент определяет разрешающую строку. - Определяем отношения элементов f - строки к соответствую- щим отрицательным элементам разрешающей строки. Выбираем наименьшее по абсолютной величине отношение. Оно будет опре- делять разрешающий столбец и, следовательно, разрешающий эле- мент. Если в разрешающей строке нет положительных элементов, то задача не имеет решения. 2.3. С найденным разрешающим элементом делается шаг сим- плексных преобразований. Замечание 1. При решении двойственных задач могут быть следующие исходы: 1. Обе задачи имеют решения (планы). 2. Области решений обеих задач пустые. 3. Одна задача имеет неограниченную область допустимых решений, другая - пустую. Замечание 2. При решении задачи на максимум можно сделать замену f = - F и находить минимум полученной функции f, взятому со знаком минус. Пусть исходная двойственная задача сформулирована в виде 0 1 1 ... min,n nf c c x c x= + + + → при ограничениях 1 11 1 1 1 1 1 ... 0, .............................................. ... 0, n n n n m m mn n m x a x a x b x a x a x b + + = + + + ≥⎧⎪⎨⎪ = + + ≥⎩ 0, ( 1, ).jx j n≥ = Вычисления удобно проводить, используя следующую таблицу Таблица 1.29 61 С.П. Б.П. 1 1x … nx 1nx + = 1b 11a … 1na … … … … … n mx + = mb 1ma … mna f = 0c 1c … nc Пример 1.23. Двойственным симплекс-методом найти решение задачи 1 24 4 minf x x ,= − → 1 2 1 2 1 2 2 2 8 4 1 2 2 12, x x x x x x , 0, − ≥ −⎧⎪− + ≥ −⎨⎪ + ≥⎩ 1 2, 0x x ≥ . Решение. Так как в f - строке (таблица 1.30) имеется отрица- тельная оценка (-4), то второй столбец таблицы 1 считается выде- ленным, то есть, разрешающим. В нём содержится единственное отрицательное число (-2). Строка, содержащая этот элемент, будет разрешающей и, соответственно, разрешающим является элемент (- 2). Находим отношения 1 4 4min min , 2 2 2 i i b a ⎛ ⎞ −⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ −⎝ ⎠⎝ ⎠ . Из двух одинаковых отношений можем выбрать любое. На- пример, возьмём второй столбец. Делаем шаг симплексных преоб- разований (табл.1.31). Смотрим элементы f - строки таблицы 1.31. Среди них нет от- рицательных. Поэтому переходим ко второму этапу алгоритма - на- ходим оптимальный план. Таблица 1.30 Таблица 1.31 62 С.П. С.П. Б.П. 1 1x 2x Б.П. 1 1x 3x 3x = 8 2 2− 2x = 4 1 -1/2 4x = 10 -1 4 4x = 26 3 -2 5x = -12 -2 -2 5x = -4 4 -1 f = 0 4 -4 f = -16 0 2 Просматриваем элементы столбца свободных членов. Среди них есть отрицательный элемент (-4). Следовательно, полученный план не является оптимальным. Принимаем строку, содержащую этот элемент, за разрешающую. Так как в f - строке есть нуль, то имеет место случай вырождения. Над нулём имеется элемент, рав- ный 4, следовательно, этот элемент будет разрешающим. Соответ- ственно, разрешающим будет первый столбец. С этим разрешаю- щим элементом делаем шаг симплексных преобразований (табл.1.32). Таблица 1.32 С.П. Б.П. 1 5x 3x 2x = 5 4x = 29 1x = 1 f = -16 0 2 Найденный план является оптимальным, поскольку в столбце свободных членов нет отрицательных элементов * * * * * * 1 2 3 4 5( , , , , )x x x x x x= = r (1;5;0;29;0). Минимальное значение функции f ( )**min 16f f x= = −r . Так как в f- строке есть нулевой коэффициент, то решений за- дачи бесконечное множество. Например, еще одно решение: . * (27 / 20;107 / 20;0;601/ 20;0)x =r 63 Пример 1.24. Найти решение задачи двойственным симплекс – методом 1 2 35 3 mF x x x ax,= + + → 1 2 3 1 2 3 2 1 2 2 x x x x x x , , + − ≤⎧⎨ + + ≤⎩ 1 2 3, ,x x x ≥ 0 n, . Решение. Двойственной к исходной задаче будет: 1 22 mif y y= + → 1 2 1 2 1 2 2 5 1, 2 3 y y y y y y , , + ≥⎧⎪ + ≥⎨⎪− + ≥⎩ 1 20, 0y y≥ ≥ . Приведём ограничения к каноническому виду: 1 2 3 1 2 4 1 2 5 2 5, 1, 2 3 y y y y y y y y y + − =⎧⎪ + − =⎨⎪ .− + − =⎩ Выразим базисные переменные 3 1 2 2 , . y y y 4 1 5 1 2 5 2 1 , 3 2 y y y y y y = − + +⎧⎪ = − + +⎨⎪ = − − +⎩ Исходная таблица будет иметь вид (табл.1.33) Таблица 1.33 Таблица 1.34 С.П. С.П. Б.П. 1 - 1y - 2y Б.П. 1 - 1y - 3y 3y = -5 1 2 2y = 5/2 -1/2 1/2 4y = -1 1 1 4y = 3/2 -1/2 1/2 5y = -3 -2 1 5y = -1/2 -3/2 1/ 2 f = 0 1 2 f = 5 0 1 Строка будет разрешающей. В ней свободный член отрица- тельный и наименьший из всех свободных членов. Тогда столбец 3y 2y 64 будет разрешающим. С разрешающим элементом 2 делаем шаг сим- плексных преобразований, получаем таблицу 1.34. В полученной таблице нет оптимального решения, так как в столбце свободных членов есть отрицательный элемент (-1/2). Дела- ем следующие преобразования. Строка будет разрешающей, а элемент (1/2) - разрешающим элементом. С этим элементом делаем шаг симплексных преобразований (табл. 1.35). 3y Таблица 1.35 С.П. Б.П. 1 - 1y - 5y 2y = 3 4y = 2 3y = 1 f = 6 3 2 Среди элементов столбца нет отрицательных свободных чле- нов. Следовательно, полученное решение является оптимальным * * * * * * 1 2 3 4 5( , , , , )y y y y y y= = ur (0;3;1;2;0). Минимальное значение функции **min ( )f f y= =ur 6. Задачи для решения 1.25. Найти решение задач двойственным симплекс – методом. 1. 1 2 3 1 2 3 1 3 1 2 2 3 2 2 min 2 1, 2, 2 4 2 2 0, 1,3.j f x x x x x x x x x x x x x j = + + → + + ≥⎧⎪ + ≥⎪⎨ + ≥⎪⎪ + ≥⎩ ≥ = , 2. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 4 2 min 2 3 2, 3 7 10 1, 1, 0, 1,3.j f x x x x x x x x x x x x x j ,= + + → − + ≥⎧⎪− + + ≥⎨⎪ + + ≥⎩ ≥ = 65 3. 1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 2 mi 6 3 6, 2 5, 2, 0, 1,3.j f x x x x x x x x x x x j = + → − + ≥⎧⎪ − + ≥⎨⎪ − + − ≥⎩ ≥ = n, 4. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 min 3 2 5, 2 10, 2 3 2, 0, 1,3.j f x x x x x x x x x x x x x j ,= + + → − + ≥⎧⎪ + + ≥⎨⎪− + − ≥⎩ ≥ = 5. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 40 30 20 min, 4 3 4, 2 3 2 4, 0, 1,3.j f x x x x x x x x x x j = + + → + + ≥⎧⎨ + + ≥⎩ ≥ = 6. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 m 2, 2 4 2 2 6, 0, 1,4.j f x x x x x x x x x x x x x j = + + + → − + + − ≥⎧⎨ − + + ≥⎩ ≥ = in, 7. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 2 3 4 10 6 3 5 min, 2 2, 2 2, 2 1, 0, 1,4.j f x x x x x x x x x x x x x x x j = + + + → + − + ≥⎧⎪ − + ≥⎨⎪ + + ≥⎩ ≥ = 8. 1 2 1 2 1 2 1 2 11 8 min, 5 10, 6, 4 9 36, 0, 1,2.j f x x x x x x x x x j = + → + ≥⎧⎪ + ≥⎨⎪ + ≥⎩ ≥ = 9. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 2 4 1, 3 2 3, 2 1/ 2 2, 0, 1,4.j f x x x x x x x x x x x x x x x x x j = + + + → − − + ≥⎧⎪− + + − ≥⎨⎪− − + + ≥⎩ ≥ = min, 10. 1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 8 2 m 2 5, 1, 3 3, 0, 1,3.j f x x x x x x x x x x x j in,= + + → − + ≥⎧⎪ + ≥⎨⎪ − ≥⎩ ≥ = 11. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 m 2 1, 2 2, 0, 1,3.j f x x x x x x x x x x j = + + → − + ≥⎧⎨ + − ≥⎩ ≥ = in, 12. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 9 8 4 min 2 1, 3 2 2, 0, 1,3.j f x x x x x x x x x x j = + + → − + + ≥⎧⎨ + − ≥⎩ ≥ = , 66 13. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4 m 5 5 3 4 2 4, 3 2 3 1, 0, 1,4.j f x x x x x x x x x x x x x x x x x j = + + + → − + − ≥⎧⎪− + − − ≥⎨⎪ − + + ≥⎩ ≥ = in, , 14. 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 4 3 4 2 m 2 5 5, 2 2, 1, 0, 1,4.j f x x x x x x x x x x x x x x x x j in,= + + + → + − + ≥⎧⎪ − + − ≥⎨⎪ + + ≥⎩ ≥ = 1.6. Экономическая интерпретация двойственности 1.6.1. Анализ моделей на чувствительность. Анализ моделей на чувствительность проводится после получе- ния оптимального решения. Он позволяет выявить чувствитель- ность оптимального решения к определенным изменениям исход- ной модели. Например, в задаче об ассортименте продукции может представлять интерес вопрос о том, как повлияет на оптимальное решение увеличение и уменьшение спроса на продукцию или запа- сов исходного сырья. Также может потребоваться анализ влияния рыночных цен на оптимальное решение. При таком анализе всегда рассматривается комплекс линейных оптимизационных моделей. Это придает модели определенную ди- намичность, позволяющую исследователю проанализировать влия- ние возможных изменений исходных условий на полученное ранее оптимальное решение. Отсутствие методов, позволяющих выявить влияние возможных изменений параметров модели на оптимальное решение, может привести к тому, что полученное (статическое) ре- шение устареет еще до своей реализации. Для проведения анализа модели на чувствительность могут быть использованы графические методы или итоговая симплекс-таблица. Основные задачи анализа на чувствительность: 1. Анализ изменений запасов ресурсов позволяет ответить на два вопроса: 67 а) На сколько можно увеличить запас некоторого ресурса для улучшения полученного оптимального значения целевой функции? б) На сколько можно снизить запас некоторого ресурса при со- хранении полученного оптимального значения целевой функции? Если какой-либо ресурс используется полностью, его относят к разряду дефицитных ресурсов. Имеющиеся в некотором избытке ресурсы следует отнести к недефицитным. Таким образом, объем дефицитного ресурса не следует увеличи- вать сверх того предела, когда соответствующее ему ограничение становится избыточным. Объем недефицитного ресурса можно уменьшить на величину избытка. 2. Определение наиболее выгодного ресурса дает возможность определить, какому из ресурсов следует отдать предпочтение при вложении дополнительных средств. Для этого вводится характери- стика ценности каждой дополнительной единицы дефицитного ре- сурса (теневая цена) максимальное приращение ЦФ максимально допустимый прирост ресурсаi y i = . 3. Определение пределов изменения коэффициентов целевой функции делает возможным исследование следующих вопросов: а) Каков диапазон изменения того или иного коэффициента це- левой функции, при котором не происходит изменения оптимально- го решения? б) На сколько следует изменить тот или иной коэффициент целе- вой функции, чтобы сделать некоторый недефицитный ресурс де- фицитным, и, наоборот, дефицитный ресурс сделать недефицит- ным? Рассмотрим решение конкретной задачи линейного программи- рования от постановки до экономического анализа. Пример 1.26. Производственное предприятие может изготавливать два вида продукции П1 и П2, для изготовления которой используются три типа ресурсов Р1, Р2, Р3. Максимально допустимые суточные запасы ресурсов предприятия ограничены соответственно величинами b1 = 8, b2 = 40, b3 = 4. Удельный расход каждого типа ресурсов для 68 изготовления отдельного вида продукции соответственно составля- ет a11 = 1, a12 = 1, a21 = 4, a22 = 10, a31 = 1, a32 = 0 единиц. Отпускная цена единицы продукции 1-го вида равна c1 = 2 ден. ед., 2-го вида – c2 = 3 ден. ед. Найти объем выпуска продукции каждого вида, мак- симизирующий суммарный доход производственного предприятия. 1. Построить математическую модель и найти симплексным ме- тодом оптимальное решение задачи. 2. Построить математическую модель двойственной задачи и найти ее оптимальное решение. 3. Указать статус ресурсов. 4. Определить, на сколько можно уменьшить запасы недефицит- ных ресурсов. 5. Определить максимальное приращение дефицитных ресурсов. 6. Определить наиболее выгодный ресурс. 7. Оценить целесообразность приобретения Δb2 = 10 единиц 2-го ресурса стоимостью r2 = 5 ден. ед. 8. Установить целесообразность ввода в производство нового вида продукции П3, удельный расход ресурсов Р1, Р2, Р3 на изготов- ление которой составляет a13 = 2, a23 = 7, a33 = 3 единиц, а отпускная цена готовой продукции равна c3 = 5 ден. ед. 9. Привести пример анализа на чувствительность оптимального решения к изменению произвольного коэффициента целевой функ- ции. Решение. 1. Обозначим через x1 и x2 – объемы выпуска производствен- ным предприятием продукции П1 и П2 соответственно. Тогда математическая модель задачи примет вид (1.1)-(1.5): 1 22 3 maF x x x= + → , 1 2 1 2 1 8, 4 10 40 4, x x x x x + ≤⎧⎪ + ≤⎨⎪ ≤⎩ , х1 ≥ 0, х2 ≥ 0. 69 Использование графического метода. Изобразим вектор (2;3)c = , граничные прямые х1 + х2 = 8; (L1); 4х1 + 10х2 = 40; (L2); х1 = 4 (L3); и построим многоугольник решений OABC, как показано на рис. 1.15. Проведем линию уровня прямую F. Перпендикулярно к ней по- строим вектор с r . Для поиска максимального значения целевой функции перемещаем прямую F параллельно самой себе в направ- лении вектора . Целевая функция достигает своего экстремума в одной из вершин многоугольника решений. с r В нашем примере максимальное значение целевой функции дос- тигается в точке B – точке пересечения двух прямых: L2 и L3. Опти- мальное решение задачи: х1 = 4, х2 = 2,4, F =15,2. х2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Рис. 1.15 L1 х1 L2 L3 A B C D E G K O F c 70 Использование симплекс-метода. Преобразуем исходную математическую модель к каноническо- му виду 1 22 3 maF x x x= + → , (1*) (2*) 1 2 3 1 2 4 1 5 8, 4 10 40 4, x x x x x x x x + + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + =⎩ , х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, х3 ≥ 0, х4 ≥ 0, х5 ≥ 0. (3*) Здесь х3, х4, х5 – дополнительные балансовые (остаточные) перемен- ные, добавленные в неравенства для преобразования их в равенства. Допустимое базисное решение имеет вид 1 (0;0;8;40;4)x =r , 1F = 0. Построим начальную симплекс-таблицу 1.36. Решение 1x r не является оптимальным, так как в F - строке таб- лицы стоят отрицательные элементы. Таблица 1.36 С.П. Б.П. 1 -x1 -x2 С.С. x3 8 1 1 8/1=8 x4 40 4 10 40/10=4 x5 4 1 0 Fmax 0 –2 –3 Столбец x2 выберем в качестве разрешающего, поскольку в - строке симплекс-таблицы для столбцов свободных переменных имен- но в нем находится наименьшее отрицательное число (–3). F Строку x4 определим в качестве разрешающей, так как ей соот- ветствует наименьшее симплекс-отношение симплекс - столбца. На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца находится разрешающий элемент, равный 10. Делаем один шаг симплексных преобразований. Таким образом, симплекс-таблица примет вид (1.37). 71 Новое базисное решение 2 (0;4;4;0;4)x =r , 2F = 12, хотя и улучша- ет значение целевой функции по сравнению с начальным, но не яв- ляется оптимальным, поскольку в последней F - строке симплекс- Таблица 1.37 С.П. Б.П. 1 -x1 -x4 С.С. x3 4 0,6 –0,1 4/0,6=20/3 x2 4 0,4 0,1 4/0,4=10 x5 4 1 1 1 0 4/1=4 Fmax 12 –0,8 0,3 таблицы имеется отрицательный элемент (значение ( –0,8) в столб- це х1). Выберем столбец х1 в качестве разрешающего, как содержащий отрицательный элемент в F - строке симплекс-таблицы 1.37. Строку x5 определим в качестве разрешающей, так как ей соответст- вует наименьшее симплексное отношение. Делаем шаг симплексных преобразований. Получаем таблицу 1.38 Таблица 1.38 С.П. Б.П. 1 -x4 -x5 x3 1,6 –0,1 –0,6 x2 2,4 0,1 –0,4 x1 4 0 1 F 15,2 0,3 0,8 Оптимальное решение найдено, поскольку в последней строке симплекс-таблицы 1.38 отсутствуют отрицательные элементы. Для небазисных переменных значения элементов последней строки по- ложительны, следовательно, задача имеет единственное оптималь- ное решение , при этом * (4;2,4;1,6;0;0)x =r * max( )F x F=r 15,2. 2. Построим математическую модель двойственной задачи (1*) - (3*). 72 1 2 48 40 4 mif y y y n= + + → , , (4*) 1 2 3 1 2 4 2 10 3, y y y y y + + ≥⎧⎨ + ≥⎩ (5*) y1 ≥ , y2 ≥ 0, y3 ≥ 0. (6*) Оптимальное решение двойственной задачи (4*) – (6*) опреде- лить на основе оптимального решения прямой задачи Из теорем двойственности следует: 1) экстремальные значения целевых функций разрешимых пря- мой и двойственной задач совпадают, следовательно, 15,2; max minF f= = 2) компоненты оптимального плана двойственной задачи находят- ся в строке целевой функции итоговой симплекс-таблицы прямой задачи. Значение переменной yi двойственной задачи соответствует те- невой цене i-го ресурса прямой задачи. При приведении исходной задачи линейного программирования к каноническому виду в первое неравенство, соответствующее ре- сурсу Р1, для преобразования его в равенство добавлялась балансо- вая переменная х3. Таким образом, значение переменной y1 следует искать в последней строке итоговой симплекс-таблицы в столбце х3 и так далее. Исходя из принципа соответствия 1 2 3 4 5 4 5 1 2 3 x x x x x y y y y y b b b b b , нахо- дим остальные переменные. Симплексная таблица 1.39 с двойст- венными решениями будет иметь вид Таблица 1.39 Б.П. f = 2y = 3y = С.П. С.П. Б.П. 1 -x4 -x5 1y 3x = 1,6 –0,1 –0,6 5y 2x = 2,4 0,1 –0,4 4y 1x = 4 0 1 1 F= 15,2 0,3 0,8 73 Оптимальное решение двойственной задачи будет *y =r (0;0,3;0,8;0;0). 3. Определим статус ресурсов. Использование графического метода. Граничная прямая, соответствующая ограничению для дефицит- ного ресурса, будет проходить через точку максимума. В нашем примере максимальное значение целевой функции дос- тигается в точке B – точке пересечения двух прямых L2 и L3 (см. рис. 6). Таким образом, ресурсы Р2 и Р3 следует считать дефицит- ными. В свою очередь ресурс Р1 будет недефицитным. Действительно, подставив значения координат точки В в ограни- чения задачи, получим значения расхода ресурсов: для Р1: х1 + х2 =4 + 2,4 = 6,4 ≤ 8 – израсходован не полностью; для Р2: 4х1 + 10х2 = 16 + 24 = 40 – израсходован полностью; для Р3: х1 = 4 – израсходован полностью. Использование симплекс-таблицы. Статус ресурсов определяется по итоговой симплекс-таблице 1.38. Значения балансовых переменных содержат величину остатка соответствующего ресурса. Кроме того, положительное значение теневой цены ресурса свидетельствует о его дефицитности. У неде- фицитных ресурсов теневая цена равна нулю. Таким образом, можно сделать следующие выводы: 1) ресурс Р1 является недефицитным, поскольку соответствую- щая ему остаточная переменная х3 вошла в базис и равна 1,6 (вели- чина избытка), а теневая цена y1 = 0; 2) ресурс Р2 является дефицитным, поскольку соответствующая ему остаточная переменная х4 не вошла в базис и равна нулю (из- расходован полностью), а теневая цена y2 = 0,3 > 0; 3) ресурс Р3 является дефицитным, поскольку соответствующая ему остаточная переменная х5 не вошла в базис и равна нулю (из- расходован полностью), а теневая цена y3 = 0,8 > 0. 4. Запасы недефицитных ресурсов можно уменьшить на величи- ну избытка без изменения значения целевой функции. Действительно, как видно из рисунка 1.15, уменьшение запаса ресурса Р1 (перемещение прямой L1 вниз параллельно самой себе до 74 точки В) не меняет области допустимых решений и, следовательно, оптимального значения целевой функции. Максимальный расход ресурса Р1 в точке В составляет 6,4 ед., т.е. величина избытка равна 8 – 6,4 = 1,6 ед. (балансовая переменная х3 = 1,6). Таким образом, запас недефицитного ресурса Р1 можно уменьшить на величину 1,6 ед. Запасы дефицитных ресурсов уменьшать не следу- ет, так как это приведет к ухудшению значения целевой функции. 5. Как было отмечено выше, дефицитный ресурс израсходован полностью. Следовательно, его нехватка сдерживает производст- венный процесс, и необходимым является увеличение запаса такого ресурса с целью улучшения значения целевой функции. Однако рост запасов дефицитного ресурса не является беспредельным: на- ступает момент, когда уже другой ресурс выступает в качестве сдерживающего фактора, а данный переходит в разряд недефицит- ных. Поэтому запас дефицитного ресурса не следует увеличивать сверх того предела, когда соответствующее ему ограничение стано- вится избыточным. Таким образом, актуальной является задача определения макси- мального приращения каждого из дефицитных ресурсов. Использование графического метода. Увеличивая запас дефицитного ресурса Р2 (перемещая прямую L2 вверх параллельно самой себе), можно определить максимальное значение запаса второго ресурса. Как видно из рисунка 1.15, при перемещении прямой L2 точка максимума целевой функции будет вначале смещаться вдоль прямой L3 до точки D(4; 4), а затем вдоль прямой L1 до точки G(0; 8). Дальнейшее перемещение прямой L2 не будет изменять области допустимых решений и влиять на значение целевой функции. Таким образом, максимально допустимый запас ресурса Р2 равен 4х1 + 10х2 = 4 × 0 + 10 × 8 = 0 + 80 = 80. Значение целевой функции в точке G(0; 8) составит 2х1 + 3х2 = 2 × 0 + 3 × 8 = 0 + 24 = 24. Следует, однако, заметить, что при смещении точки максимума от точки D до точки G дефицитными будут уже ресурсы Р1 и Р2, в то время как ресурс Р3 станет недефицитным. 75 Если же рассматривать увеличение запаса ресурса Р2 при сохра- нении первоначального статуса всех ресурсов, то следует учитывать движение прямой L2 только до точки D(4; 4). При этом максимально допустимый запас ресурса Р2 будет равен 4х1 + 10х2 = 4 × 4 + 10 × 4 = 16 + 40 = 56. Значение целевой функции в точке D(4; 4) составит 2х1 + 3х2 = 2 × 4 + 3 × 4 = 8 + 12 = 20. Увеличивая запас дефицитного ресурса Р3 (перемещая прямую L3 вправо параллельно самой себе), можно определить максимальное зна- чение запаса третьего ресурса. Как видно из рисунка 1.15, при переме- щении прямой L3 точка максимума целевой функции будет смещаться вдоль прямой L2 до точки E(20/3; 4/3). Дальнейшее перемещение прямой L3 до точки K(8; 0) хоть и будет изменять область допустимых решений, но влиять на значение целевой функции уже не будет. Таким образом, максимально допустимый запас ресурса Р3 равен х1 = 20/3. Значение целевой функции в точке E(20/3; 4/3) составит 2х1 + 3х2 = 2 × 20/3 + 3 × 4/3 = 40/3 + 12/3 = 52/3. Использование симплекс-таблицы. Пусть запас ресурса Р2 изменился на величину Δ2. Тогда резуль- тирующая симплекс-таблица 1.40 примет следующий вид. Таблица 1.40 Б.П. 1 -x4 -x5 x3 1,6 – 0,1Δ2 –0,1 –0,6 x2 2,4 + 0,1Δ2 0,1 –0,4 x1 4 + 0Δ2 0 1 Fmax 15,2 + 0,3Δ2 0,3 0,8 Так как введение Δ2 сказывается только на элементах столбца свободных членов, то изменение запаса ресурса может повлиять только на допустимость решения. Поэтому Δ2 не может принимать значений, при которых какая-либо из базисных переменных стано- вится отрицательной. Поэтому должно выполняться 76 x3 = 1,6 – 0,1Δ2 ≥ 0; x2 = 2,4 + 0,1Δ2 ≥ 0; x1 = 4 + 0Δ2 ≥ 0. Откуда –24 ≤ Δ2 ≤ 16. Таким образом, любое значение Δ2, выходящее за пределы ин- тервала –24 ≤ Δ2 ≤ 16, приведет к недопустимости решения и новой совокупности базисных переменных. Запас ресурса Р2 можно увеличить на 16 ед. с 40 до 56. При этом значение целевой функции увеличится на 0,3 × 16 = 4,8 и составит 15,2 + 4,8 = 20. Возникает закономерный вопрос: почему результаты, получен- ные на основе графического метода и итоговой симплекс-таблицы 1.40, несколько отличаются друг от друга? Как получить одинако- вые результаты? Легко видеть, что полученные результаты совпадают с теми, что имели место при смещении прямой L3 до точки D(4; 4). Именно на интервале –24 ≤ Δ2 ≤ 16 изменения запаса ресурса Р2 находится диа- пазон устойчивости двойственных оценок нашей задачи линейного программирования. При выходе за этот диапазон ресурсы могут ме- нять свой статус. Кроме того, меняются теневые цены ресурсов. Для получения аналогичного результата необходимо решить задачу F = 2х1 + 3х2 → max; 1 2 1 2 1 8, 4 10 56 4, x x x x x + ≤⎧⎪ + ≤⎨⎪ ≤⎩ , х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, в которой уже учтен прирост второго ресурса. На основе полученной итоговой симплекс-таблицы 1.41 Таблица 1.41 Б.П. 1 -x3 -x4 x1 4 1,67 –0,17 x2 4 –0,67 0,17 x5 0 –1,67 0,17 Fmax 20 1,33 0,17 77 можно найти максимальный запас второго ресурса. Для этого нужно решить систему неравенств x1 = 4 – 0,17Δ2 ≥ 0; x2 = 4 + 0,17Δ2 ≥ 0; x5 = 0 + 0,17Δ2 ≥ 0. Откуда 0 ≤ Δ2 ≤ 24. Таким образом, запас ресурса Р2 можно увеличить на 24 ед. с 56 до 80. При этом значение целевой функции увеличится на 0,17 × 24 = 4 и составит 20 + 4 = 24. Как видим, результат полностью идентичен, полученному гра- фическим методом. Пусть запас ресурса Р3 изменился на величину Δ3. Тогда резуль- тирующая симплекс-таблица 1.42 примет следующий вид Таблица 1.42 Б.П. 1 x4 x5 x3 1,6 – 0,6Δ3 –0,1 –0,6 x2 2,4 – 0,4Δ3 0,1 –0,4 x1 4 + 1Δ3 0 1 Fmax 15,2 + 0,8Δ3 0,3 0,8 Как и для второго ресурса должно выполняться x3 = 1,6 – 0,6Δ3 ≥ 0; x2 = 2,4 – 0,4Δ3 ≥ 0; x1 = 4 + 1Δ3 ≥ 0. Откуда – 4 ≤ Δ3 ≤ 8/3. Таким образом, запас ресурса Р3 можно увеличить на 8/3 ед. с 4 до 4 + 8/3 = 20/3. При этом значение целевой функции увеличится на 0,8 × 8/3 = 32/15 и составит 15,2 + 32/15 = 52/3. 6. Теневая цена ресурса показывает, как изменится значение це- левой функции при увеличении запаса этого ресурса на единицу. Поэтому наиболее выгодным будет тот ресурс, который имеет наи- большее значение теневой цены. 78 Использование графического метода. Рассчитать значение теневой цены можно по формуле (1.22). Сведем результаты графического анализа из п.п. 4 и 5 в таблицу 1.43 и определим теневые цены ресурсов Таблица 1.43 Ресурс Тип Макс. увелич. ЦФ от изм. ре- сурса Макс. изм. ресурса уi Р1 н/д 15,2 – 15,2 = 0 6,4 – 8 = –1,6 0 / –1,6 = 0 Р2* деф. 20 – 15,2 = 4,8 56 – 40 = +16 4,8 / 16 = 0,3 Р2** деф. 24 – 20 = 4 80 – 56 = +24 4 / 24 = 0,17 Р2*** деф. 24 – 15,2 = 8,8 80 – 40 = +40 8,8 / 40 = 0,22 Р3 деф. 52/3 – 15,2 = +2,13 20/3 – 4 = +2,67 2,13 / 2,67 = 0,8 * при перемещении прямой L2 до точки D; ** при перемещении прямой L2 от точки D до точки G; *** при перемещении прямой L2 до точки G. Таким образом, дополнительные вложения в первую очередь следует направить на увеличение запаса ресурса Р3 (наиболее вы- годный ресурс). Использование симплекс-таблицы. Как было сказано в п. 2, значение переменной yi (теневую цену i- го ресурса) следует искать в последней строке итоговой симплекс- таблицы. Поэтому на основе полученной выше итоговой симплекс- таблицы 1.43 можно сделать следующий вывод: при изменении за- паса ресурса Р2 от 40 до 56 теневые цены ресурсов Р1, Р2, Р3 будут соответственно равны y1 = 0; y2 = 0,3; y3 = 0,8. Ресурс Р3 будет наи- более выгодным. Дальнейшее увеличение запаса ресурса Р2 от 56 до 80 изменяет статус ресурсов. Данную ситуацию мы анализировать не будем. 7. Увеличение запаса 2-го ресурса на Δbk = 10 единиц находится в пределах устойчивости двойственных оценок (ранее было показа- но, что при изменении запаса ресурса Р2 на 16 единиц от 40 до 56 теневая цена 2-го ресурса равна y2 = 0,3). Поэтому данное дополни- тельное приобретение ресурса приведет к увеличению значения це- левой функции (дохода предприятия) на 0,3 × 10 = 3 ден. ед. В то же 79 время затраты возрастут на r2 = 5 ден. ед. Итоговая прибыль уменьшится на 2 ден. ед. (3 – 5 = –3). Следовательно, данное приоб- ретение нецелесообразно. 8. С позиции эффективности производства в оптимальный план может быть включена лишь та продукция j-го вида, для которой выполняется условие 1 m ij i j i a y c = ≤∑ . В нашей ситуации a13 × y1 + a23 × y2 + a33 × y3 = 2 × 0 +7 × 0,3 +3 × 0,8 = 4,5 ≤ c3 = 5. Следовательно, предприятию выгодно вводить в производство новый вид продукции с указанными технологическими коэффици- ентами при отпускной цене готовой продукции равной c3 = 5 ден. ед. 9. Подобный анализ позволяет определить диапазон изменения коэффициента целевой функции при произвольной переменной, в котором оптимальные значения переменных остаются неизменными. Использование графического метода. Увеличение значения с1 или уменьшение значения с2 приводит к вращению прямой F, представляющей целевую функцию, вокруг точки B по часовой стрелке. Уменьшение значения с1 или увеличе- ние значения с2 – к вращению против часовой стрелки. Когда наклон прямой F станет равным наклону прямой L2, полу- чим две альтернативные оптимальные угловые точки A и В. Анало- гично для прямой L3 – получим точки B и C. В этом случае при раз- личных значениях переменных х1 и х2 целевая функция будет иметь одинаковые значения. Найдем предельные изменения коэффициента с2, при которых не происходит изменения оптимального решения. Зафиксируем коэффициент с1. При предельном увеличении зна- чения c2 тангенс угла наклона прямой F равен тангенсу угла накло- на прямой L2: 2/c2 = 4/10. Следовательно, c2 = 20/4 = 5. При уменьшении c2 до 0 прямая F совпадет с прямой L3. Поэтому при 0 < c2 < 5 точка B будет оптимальной точкой. 80 Использование симплекс-таблицы. Пусть доход, получаемый с единицы продукции П2 изменился на величину Δ2. Тогда последняя строка результирующей симплекс- таблицы примет вид Таблица 1.44 Базис Решение x1 x2 x3 x4 x5 Fmax 15,2 + 2,4Δ2 0 0 0 0,3 + 0,1Δ2 0,8 – 0,4Δ2 Для сохранения оптимальности решения необходимо, чтобы в последней строке симплекс-таблицы отсутствовали отрицательные элементы. Следовательно, должно выполняться 0,3 + 0,1Δ2 ≥ 0; 0,8 – 0,4Δ2 ≥ 0. Откуда –3 ≤ Δ2 ≤ 2. Таким образом, при изменении c2 – коэффициента целевой функции при переменной х2 – от 0 (3 – 3 = 0) до 5 (3 + 2 = 5) опти- мальные значения переменных остаются неизменными. 1.7. Индивидуальные задания к главе 1 Производственное предприятие может изготавливать два вида продукции П1 и П2, для изготовления которой используются три типа ресурсов Р1, Р2, Р3. Максимально допустимые суточные запасы ресурсов предприятия ограничены соответственно величинами b1, b2, b3. Удельный расход i-го типа ресурса для изготовления j-го вида продукции составляет aij единиц. Отпускная цена единицы продук- ции j-го вида равна cj ден. ед. Найти объем выпуска продукции ка- ждого вида, максимизирующий суммарный доход производствен- ного предприятия, если необходимые числовые данные приведены в таблице 1.45. 1. Построить математическую модель и найти симплексным ме- тодом оптимальное решение следующей задачи линейного про- граммирования. 2. Построить математическую модель двойственной задачи и найти ее оптимальное решение. 3. Указать статус ресурсов. 81 4. Определить, на сколько можно уменьшить запасы недефицит- ных ресурсов (если они имеются). 5. Определить максимальное приращение дефицитных ресурсов. 6. Определить наиболее выгодный ресурс. 7. Оценить целесообразность приобретения Δbk единиц k-го ре- сурса стоимостью rk ден. ед. 8. Установить целесообразность ввода в производство нового вида продукции П3, удельный расход ресурсов Р1, Р2, Р3 на изготов- ление которой составляет a13, a23, a33 единиц, а отпускная цена гото- вой продукции равна c3 ден. ед. 9. Привести пример анализа на чувствительность оптимального решения к изменению произвольного коэффициента целевой функ- ции. Таблица 1.45. Исходные данные для различных вариантов Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 c1 5 1 5 5 1 1 5 2 3 4 c2 4 4 2 1 2 3 3 3 2 3 a11 1 4 1 8 4 2 4 3 24 4 a12 2 3 1 5 5 4 4 0 15 10 a21 1 4 2 1 0 8 10 0 8 4 a22 1 8 1 1 1 6 20 2 12 3 a31 2 4 4 1 2 1 4 4 0 2 a32 1 2 6 4 1 0 2 2 6 1 b1 8 12 8 40 20 20 20 15 120 40 b2 6 32 8 5 2 48 80 6 36 24 b3 7 12 24 8 6 3 16 16 24 8 k 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 Δbk 2 3 4 3 2 2 4 1 4 3 rk 3 4 3 2 2 4 3 2 5 4 a13 2 3 1 5 2 4 5 5 10 2 a23 5 4 2 1 1 4 8 3 4 6 a33 3 2 3 2 1 0 2 8 4 1 c3 7 5 4 8 3 2 4 6 4 7 82 Продолжение таблицы 1.45 Номер варианта 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 c1 6 5 2 2 2 2 5 1 3 2 c2 1 10 3 5 4 3 2 3 2,5 4 a11 8 14 4 2 6 9 6 2 4 5 a12 2 8 7 0 0 18 3 8 3 6 a21 12 20 0 1 0 5 4 4 2 1 a22 15 25 2 0 3 0 3 2 3 0 a31 0 2 5 4 0 0 0 2 0 0 a32 3 0 4 8 8 2 1 1 1 1 b1 16 56 28 8 24 36 18 16 24 30 b2 60 100 5 5 15 15 24 12 18 6 b3 9 4 20 32 24 4 2 8 5 5 k 2 1 2 3 1 3 3 3 2 1 Δbk 4 5 4 2 4 4 5 2 2 3 rk 5 3 7 2 3 1 2 1 6 4 a13 2 7 4 2 8 6 3 4 4 3 a23 6 10 1 0 5 5 3 3 2 3 a33 3 0 5 8 3 0 0 2 1 1 c3 5 4 6 3 7 8 6 4 5 3 83 Окончание таблицы 1.45 Номер варианта 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 c1 3 4 1 3 1 2 2 1 2 4 c2 2 2 3 1 3 3 4 3 6 2 a11 1 0 1 0 4 12 4 3 2 1 a12 1 2 1 2 2 6 6 4 2 1 a21 9 1 4 1 0 3 0 0 0 0 a22 3 0 2 1 3 6 2 6 2 1 a31 0 4 0 2 1 1 4 3 1 2 a32 1 5 1 1 2 0 3 2 0 0 b1 5 10 6 8 16 36 36 12 16 6 b2 27 8 14 4 9 18 10 12 8 4 b3 1 40 3 6 7 4 24 12 6 10 k 2 2 2 1 3 2 2 3 2 1 Δbk 2 2 2 1 1 2 1 2 3 1 rk 5 3 2 2 3 4 3 4 2 3 a13 1 5 3 2 2 4 6 2 4 3 a23 3 2 2 2 3 3 5 3 2 1 a33 0 8 1 2 2 2 4 4 3 2 c3 4 6 4 2 4 1 3 2 5 3 1.8. Применение компьютера Инструкция по использованию надстройки «Поиск решения» Надстройка «Поиск решения» из пакета электронных таблиц Mi- crosoft Excel может быть использована для решения широкого спек- тра задач исследования операций, в том числе и задач линейного программирования. Диалоговое окно надстройки «Поиск решения» представлено на рис. 1.16. В поле «Установить целевую ячейку» указывается адрес ячейки, содержащей формулу для вычисления целевой функции. 84 Выбор вида экстремума осуществляется с помощью переключа- теля «Равной:» и позволяет найти максимальное значение целевой функции, минимальное значение или конкретное указанное зна- чение. В поле «Изменяя ячейки» задаются адреса ячеек, выделенных для хранения искомых неизвестных. Ячейки должны влиять (прямо или косвенно) на значение целевой функции. Рис. 1.16. Диалоговое окно надстройки «Поиск решения» Значения указанных ячеек изменяются в процессе поиска реше- ния до достижения целевой функцией своего экстремального или заданного значения при соблюдении наложенных ограничений. До- пускается до 200 изменяемых ячеек. Кнопка «Предположить» позволяет автоматически определить ячейки, влияющие на целевую функцию. Следует отметить, что начальное значение изменяемых ячеек может оказывать влияние на полученные результаты (например, при поиске альтернативных решений). В поле «Ограничения» с помощью кнопок «Добавить», «Изме- нить», «Удалить» надо сформировать список граничных условий. Процесс формирования граничных условий производится следую- щим образом. При первом нажатии на кнопку «Добавить» появля- ется диалоговое окно «Добавление ограничений» (рис. 1.17). В поле 85 «Ссылка на ячейку» указывается адрес ячейки (или диапазон ячеек), содержащей левую часть граничного условия. Затем в поле со спи- ском выбирается знак ограничения. Наконец, в поле «Ограничение» задается правая часть граничного условия. Рис. 1.17. Диалоговое окно «Добавление ограничений» Нажатие кнопки «Добавить» позволяет в том же окне перейти к вводу очередного граничного условия. Кнопка «ОК» служит для завершения ввода ограничений оптимизационной задачи. Кнопка «Восстановить» (рис. 1.16) предназначена для очистки полей диалогового окна и возврату к заданным по умолчанию па- раметрам поиска решения. Кнопка «Параметры» из диалогового окна «Поиск решения» (рис. 1.16) позволяет выполнять ряд настроек (рис. 1.18), влияющих на процесс поиска. Это дает возможность в некоторых случаях най- ти более точное решение либо получить решение задачи, которое при заданных по умолчанию параметрах не может быть найдено. Выделяют следующие параметры поиска решения. 1. Максимальное время – это время в секундах, которое может быть затрачено на поиск решения. Максимально допустимое значе- ние – 32767. По умолчанию задано 100 секунд. 2. Предельное число итераций (шагов) – количество действий (вычисление очередного значения и проверка, насколько оно под- ходит в качестве ответа), которые могут быть сделаны. Максималь- но допустимое значение – 32767. По умолчанию задано 100 проме- жуточных значений. 3. Относительная погрешность задает, насколько близко друг к другу расположены два последовательных приближения. Задается 86 числом в диапазоне от 0 до 1. Чем больше десятичных знаков ука- зано после запятой, тем выше точность вычислений. Рис. 1.18. Диалоговое окно «Параметры поиска решения» 4. Допустимое отклонение используется в случае целочислен- ных ограничений на изменяемые ячейки. Определяет допуск откло- нения полученного ответа от возможного наилучшего решения. За- дается в процентах. Увеличение допустимого отклонения приводит к уменьшению времени поиска. 5. Сходимость – относительное изменение значения в целевой ячейке за последние пять шагов. Если эта величина становится меньше указанного числа, поиск прекращается. Задается числом в диапазоне от 0 до 1. Параметр применим только к нелинейным зада- чам. Уменьшение значения в поле сходимость (улучшение сходимо- сти) приводит к увеличению времени поиска оптимального решения. 6. Линейная модель приводит к использованию методов линей- ного программирования, что ускоряет процесс поиска оптимального решения для линейных задач. 87 7. Неотрицательные значения позволяет задать нулевую ниж- нюю границу для тех изменяемых ячеек, для которых она не была указана в поле Ограничение. 8. Автоматическое масштабирование приводит к автоматиче- ской нормализации входных и выходных значений, существенно различающихся по величине. 9. Показывать результаты итераций выводит промежуточный результат и делает паузу после каждого шага вычисления. 10. Оценки – служит для выбора метода экстраполяции, исполь- зуемого для получения исходных оценок значений переменных в каждом одномерном поиске. Линейная используется для линейной экстраполяции вдоль касательного вектора. Квадратичная дает лучшие результаты при решении нелинейных задач. 11. Разности выбирает метод численного дифференцирования, ко- торый используется для вычисления частных производных целевых и ограничивающих функций. Прямые производные используются для гладких непрерывных функций, где скорость изменения ограничений относительно невысока. Центральные – для функций, имеющих раз- рывную производную. Данный способ требует больше вычислений, однако его применение может быть оправданным тогда, когда выдает- ся сообщение о том, что получить более точное решение не удается. 12. Метод поиска служит для указания алгоритма оптимизации. Метод Ньютона требует больше памяти, но при этом выполняется меньше итераций, чем в методе сопряженных градиентов. Метод со- пряженных градиентов следует использовать, если задача достаточ- но велика и необходимо экономить память, а также если итерации да- ют слишком малое отличие в последовательных приближениях. Математические модели могут быть сохранены и прочитаны с помощью кнопок «Сохранить модель» и «Загрузить модель» (рис. 1.18). Это позволяет хранить на рабочем листе более одной модели оптимизации. Кнопка «Выполнить» диалогового окна «Поиск решения» (рис. 1.16) запускает процесс поиска оптимального решения. Пре- рвать ход вычислений можно нажатием клавиши Esc. При успешном окончании поиска (рис. 1.19) можно сохранить найденное решение, восстановить исходные значения изменяемых ячеек, сформировать один или несколько типов отчетов (по резуль- татам, по устойчивости, по пределам). 88 Существует также возможность найти ряд решений с различны- ми исходными данными или параметрами задачи, а затем сравнить их между собой с помощью Диспетчера сценария (кнопка «Сохра- нить сценарий»). Рис. 1.19. Диалоговое окно «Результаты поиска решения» Отчеты позволяют провести анализ найденного оптимального ре- шения на чувствительность (устойчивость) к возможному изменению исходных условий математической модели. Для создания отчета выделите мышкой в одноименном списке (рис. 1.19) требуемый тип отчета (или все типы) и нажмите кнопку «ОК». Каждый отчет будет помещен на новый лист рабочей книги. Отчет по результатам состоит из трех таблиц. 1. Первая таблица содержит сведения о характере исследования функции (Максимум, Минимум или Значение); адрес (Ячейка) и имя (Имя) ячейки, содержащей формулу для вычисления целевой функции; значения целевой функции до начала (Исходное значение) и после проведения вычислений (Результат). 2. Вторая таблица содержит информацию об искомых переменных (изменяемых ячейках): их адреса (Ячейка) и имена (Имя); значения до (Исходное значение) и после вычислений (Результат). 3. Третья таблица содержит данные об ограничениях задачи: адре- са (Ячейка), имена (Имя) и значения (Значение) левых частей огра- ничений; вид ограничений (Формула). Столбец Статус показывает равны ли между собой левые и правые части ограничений (связан- ное) или нет (не связан.). Столбец Разница – разницу между правы- ми и левыми частями ограничений. Отчет по устойчивости состоит из двух таблиц. 89 1. Первая таблица содержит следующую информацию: адреса (Ячейка) и имена (Имя) изменяемых ячеек; оптимальное решение задачи (Результ. значение); Нормир. стоимость, показывающую, как изменяется значение целевой функции при принудительном уве- личении нижней границы изменения переменных на единицу; коэф- фициенты целевой функции (Целевой Коэффициент); предельные значения изменений коэффициентов целевой функции, при которых сохраняется набор переменных, входящих в оптимальное решение (Допустимое Увеличение, Допустимое Уменьшение). 2. Вторая таблица содержит аналогичные значения для ограниче- ний: адреса (Ячейка), имена (Имя) и значения (Результ. значение) левых частей ограничений; двойственные оценки, которые показыва- ют, как изменится целевая функция при увеличении правых частей ограничений на единицу (Теневая Цена); правые части ограничений (Ограничение Правая часть); предельные значения изменений ресурсов, при которых сохраняется оптимальный набор переменных, входящий в оптимальное решение (Допустимое Увеличение, Допус- тимое Уменьшение). Отчет по устойчивости для задач нелинейного программирования отражает вместо нормированной стоимости нормированный гради- ент, а вместо теневой цены – множитель Лагранжа. Значения коэф- фициентов целевой функции а также правых частей ограничений и их вариации не определяются. Отчет по пределам показывает адрес (Ячейка), имя (Целевое Имя) и оптимальное значение (Значение) целевой функции; адреса (Ячейка), имена (Изменяемое Имя) и оптимальное значение (Зна- чение) изменяемых ячеек; нижние пределы изменения значений переменных и значения целевой функции на нижнем пределе (Ниж- ний предел, Целевой результат); верхние пределы изменения значе- ний переменных и значения целевой функции на верхнем пределе (Верхний предел, Целевой результат). Отчеты по устойчивости и по пределам не создаются для задач це- лочисленного линейного программирования. Решение задачи с использованием пакета MS Excel Рассмотрим методику решения ЗЛП средствами пакета элек- тронных таблиц MS Excel и возможность поведения экономическо- 90 го анализа полученных результатов на примере решения задачи из примера 18. Реализация расчетных формул представленной математической модели средствами MS Excel показана на рис. 1.20. Ячейки B3:C5 содержат удельный расход ресурсов аij для изготов- ления каждого вида продукции. Ячейки E3:E5 – имеющиеся в наличии суточные запасы bi для каж- дого типа ресурсов. В ячейках B6:C6 находится цена cj единицы продукции каждого вида (удельный доход). Ячейки B7:C7 отведены под значения неизвестных хj (оптимальный план выпуска продукции). Рис. 1.20. Реализация расчетных формул ЗЛП средствами MS Excel В ячейке D6 задана целевая функция (ЦФ), вычисляющая сум- марный доход предприятия как сумму произведений цены каждого вида продукции на объем выпуска соответствующего вида продук- ции. Эту же формулу можно записать в более компактном виде =СУММПРОИЗВ(В6:C6;B7:C7), что особенно актуально при решении задач, содержащих большое количество переменных. Ячейки D3:D5 содержат формулы для расчета затрат ресурсов каждого типа при производстве указанного количества продукции каждого вида. 91 Выделим ячейку, содержащую целевую функцию (D6). Теперь на вкладке «Данные» в группе «Анализ» выберем команду «Поиск реше- ния» и заполним диалоговое окно надстройки «Поиск решения» как по- казано на рис. 1.21. Использование кнопки «Предположить» в нашем примере для по- пытки автоматического определения изменяемых ячеек приведет к неверному результату (B6:C6). Это обусловлено тем, что ячейки B6:C6 (цена единицы продукции каждого вида), хоть и влияют на формирование значения суммарного дохода предприятия, но не должны изменяться в ходе решения задачи. Рис. 1.21. Диалоговое окно «Поиск решения» для ЗЛП Не забудьте установить флажок параметра «Линейная модель». Нажмем кнопку «Выполнить» для поиска оптимального решения сформулированной ЗЛП. После того как компьютер успешно завершит вычисления, сге- нерируем все возможные типы отчетов, которые потребуются позже для проведения экономического анализа на устойчивость получен- ного оптимального решения. Решение сформулированной задачи дает следующие результаты: х1 = 4, х2 = 2,4. Максимальный доход предприятия при этом соста- вит 15,2 ден. ед. 92 Проведем экономический анализ полученного решения. Отчет по результатам (рис. 1.22) позволяет оценить статус имеющихся ресурсов. Ресурс относят к разряду дефицитных, если он израсходован полностью. Недефицитный ресурс, наоборот, имеется в избытке. В столбце «Статус» отчета по результатам состояние «связан- ное» определяет дефицитный ресурс, а «не связан.» – недефицит- ный. В нашем случае дефицитными ресурсами являются ресурсы Р2 и Р3. Суточный запас ресурса Р1, напротив, превышает потребность на 1,6 ед. (см. столбец «Разница»). Запас этого ресурса можно уменьшить на величину избытка без изменения значения целевой функции. Столбец «Теневая цена» отчета по устойчивости (рис. 1.23) по- казывает решение задачи f = 8y1 + 40y2 + 4y3 → min; 1 2 3 1 2 4 2 10 3, y y y y y ,+ + ≥⎧⎨ + ≥⎩ y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0, которая является двойственной к исходной. Решение двойственной задачи имеет вид: y1 = 0, y2 = 0,3, y3 = 0,8. Решение двойственной задачи также позволяет определить наи- более выгодный ресурс из дефицитных ресурсов. В нашем случае при вложении дополнительных средств предпочтение следует от- дать ресурсу Р3: у3 = 0,8 > у2. Значения в столбцах «Допустимое Уменьшение» и «Допустимое Увеличение» для изменяемых ячеек определяют вариации коэффи- циентов целевой функции, в пределах которых оптимальные значе- ния переменных хj не изменяются (не перемещается точка опти- мального решения), а изменяется только значение самой целевой функции. В нашем случае, если цены на продукцию П1 и П2 будут изме- няться в пределах 2 – 0,8 = 1,2 < с1 < 2 + ∞ = ∞; 3 – 3 = 0 < с2 < 3 + 2 = 5 оптимальным планом производства будет х1 = 4, х2 = 2,4. 93 Значения в столбцах «Допустимое Уменьшение» и «Допустимое Увеличение» для ограничений задачи определяют пределы измене- ния правых частей ограничений, в которых текущее решение оста- ется допустимым. При этом могут изменяться как оптимальные значения переменных хj, так и значение целевой функции. Так изменение запаса недефицитного ресурса Р1 в пределах 8 – 1,6 = 6,4 < b1 < 8 + ∞ = ∞ не меняет точку оптимального решения. В то же время при изменении запасов дефицитных ресурсов Р2 и Р3 в диапазоне 40 – 24 = 16 < b2 < 40 + 16 = 56; 4 – 4 = 0 < b3 < 4 + 2,67 = 6,67 точка оптимального решения перемещается. При этом верхняя гра- ница изменения правой части ограничений определяет точку, в ко- торой дефицитный ресурс становится недефицитным. Рис. 1.22. Отчет по результатам 94 Рис. 1.23. Отчет по устойчивости 95 Глава 2 ТРАНСПОРТНЫЕ ЗАДАЧИ 2.1 Постановка задачи Понятие «транспортная задача» (ТЗ) охватывает круг задач транспортного характера и других, связанных с транспортными об- щей математической моделью. Общим для них является распреде- ление ресурсов, находящихся у m поставщиков 1 2, ,..., mA A A (про- изводителей), по n потребителям 1 2, ,..., nB B B этих ресурсов. На автомобильном транспорте наиболее часто встречаются сле- дующие задачи, которые можно отнести к транспортным: 1) прикрепление потребителей ресурса к производителям; 2) привязка пунктов отправления к пунктам назначения; 3) взаимная привязка грузопотоков прямого и обратного направ- лений; 4) отдельные задачи оптимальной загрузки промышленного обо- рудования; 5) оптимальное распределение объемов выпуска промышленной продукции между заводами-изготовителями и др. В общем виде транспортную задачу можно сформулировать следующим образом. Имеется m поставщиков однородного груза ( 1, )iA i m= и n по- требителей ( 1,jB j n= ) . Запасы i-го поставщика обозначим ai, спрос j-го потребителя — bj, затраты на перевозку единицы груза от i-го поставщика до j-го потребителя — сij ( 1, ; 1, )i m j n= = (тарифы перевозки). Решение транспортной задачи линейного программиро- вания состоит в том, чтобы доставить необходимое количество гру- за от поставщиков к потребителям и обеспечить при этом минимум затрат на транспортировку. Обозначим через xij объем перевозок от i-го поставщика j-ому потребителю. Математическая модель задачи имеет вид: - общая сумма затрат на перевозку груза должна быть минимальной , (2.1.1) 1 1 min m n ij ij i j f c x = = = →∑∑ 96 - объем поставок i-го поставщика должен равняться количеству имеющегося у него груза 1 , 1, n ij i j x a i m = = =∑ ; (2.1.2) - объем поставок j-ому потребителю должен быть равен его спросу 1 , 1 m ij j i ,x b j n = = =∑ ; (2.1.3) - объемы поставок должны выражаться неотрицательными числами xij ≥ 0; 1,i m= , 1,j = n jb ; (2.1.4) - суммарный объем отправляемых грузов равен суммарному объе- му потребностей в этих грузах по пунктам назначения 1 1 m n i i j a = = =∑ ∑ . (2.1.5) Если транспортная задача имеет вид (2.1.1) – (2.1.5), то она на- зывается закрытой (сбалансированной), если не выполняется усло- вие (2.1.5), — открытой (несбалансированной). Открытую транспортную задачу необходимо свести к закрытой: 1) в случае перепроизводства – ввести фиктивного потребителя 1nB + , то есть фиктивный (n+1) столбец, с необходимым объемом потребления 1 1 1 m n n i i i b a+ = = = − jb∑ ∑ (2.1.5*) (элементы матрицы сij, связывающие фиктивные пункты с реаль- ными, имеют значения, равные затратам на хранение невывезенных грузов); 2) в случае дефицита – ввести фиктивного поставщика 1mA + , то есть фиктивную (m+1) строку, с недостающим объемом отправляе- мых грузов 1 1 1 n m m j i i a b+ = = = − ia∑ ∑ (2.1.5**) (элементы матрицы сij, связывающие фиктивные пункты с реаль- ными, имеют значения, равные штрафам за недопоставку продукции). 97 Если указанные затраты неизвестны (не указаны) соответствую- щие значения тарифов в фиктивных строках (или столбцах ), то их полагают равными нулю. В этом случае, при введении фиктивного потребителя поставки 1,m jc + , 1i nc + , 1i nx + показывают остатки продук- ции на складах поставщиков. Постановка транспортной задачи бывает в сетевой или матрич- ной формах. Матричная форма позволяет существенно сократить тру- доёмкость расчётов. Сетевая форма в наглядном виде даёт решение задачи. Модель транспортной задачи является моделью линейного про- граммирования. Её оптимальный план можно найти симплексным ме- тодом. Однако, матрица системы ограничений специфична, что позво- ляет существенно упростить решение задачи. Все данные транспортной задачи удобно размещать в таблице, которая называется транспортной или распределительной. Таблица 2.1 jB iA 1B 2B … nB Запасы 11c 12c 1nc 1A … 1a 21c 22c 2nc 2A … 2a … … … … … … 1mc 2mc mncmA … ma Потребности 1b 2b … nb Транспортные задачи имеют следующие особенности: 1) распределению подлежит однородный груз; 2) основные ограничения задачи описываются только уравне- ниями; 3) все неизвестные имеют одинаковые единицы измерения; 98 4) во всех уравнениях коэффициенты при неизвестных равны единице; 5) каждая неизвестная встречается только в двух уравнениях системы ограничений. Все методы решения транспортной задачи делятся на две группы: 1) последовательного улучшения опорного плана; 2) последовательного сокращения невязок. К первой группе относятся: распределительный метод, метод по- тенциалов и его модификации. Ко второй – методы: дифференциаль- ных рент, разрешающих слагаемых, венгерский метод и другие. Геометрически методы последовательного улучшения плана соот- ветствуют процессу направленного перемещения по вершинам выпук- лого многогранника решений до той вершины, в которой функция це- ли достигает экстремального значения. В методах последовательного сокращения невязок сначала выяв- ляют условно оптимальный план, лежащий вне многогранника реше- ний. Затем, от итерации к итерации он перемещается по кратчайшему пути к вершине многогранника, в которой функция цели достигает экстремального значения. Как правило, построение оптимального опорного плана проис- ходит в два этапа. Первый этап – построение начального опорного плана. Второй этап – оптимизация опорного плана. 2.2. Методы определения начального опорного плана Наиболее простыми методами построения начального опорного плана являются методы: северо - западного угла, минимального (максимального) элемента и Фогеля. При решении задачи в матричной форме заполняется таблица 2.1. Те клетки, которые будут содержать неизвестные ijx , отличные от нуля, называются занятыми или загруженными, а неизвестные в этих клетках являются базисными. Те клетки, для которых ijx =0, называются свободными или незагруженными, и, соответственно, неизвестные в этих клетках называются свободными. Решение задачи всегда начинается с определения начального опорного плана. В соответствие с теоремой о структуре координат опорного плана задачи линейного программирования, в невырож- 99 денном опорном плане должно содержаться r отличных от нуля координат, где r – ранг системы ограничений (2.1.2)-(2.1.4), равный . 1m n+ − Допустимый план транспортной задачи в матричном виде явля- ется опорным планом тогда и только тогда, когда: 1) по занятым клеткам нельзя построить замкнутый контур (цикл); 2) число запол- ненных клеток равно 1m n+ − . Циклом в матрице называется непрерывная замкнутая ломаная линия, вершины которой находятся в клетках матрицы, а звенья расположены вдоль строк и столбцов, при этом в каждой вершине цикла встречается два звена, одно из которых находится в строке, другое в столбце (рис. 2.1 а), б)) (то есть, ходом шахматаной ладьи). В цикл могут входить и самопересекающиеся линии (рис.2.1 в), но в этом случае точки самопересечения не являются вершинами цикла. а) б) в) Рис.2.1 Цикл начинается и заканчивается в той вершине, для которой он строится. В вершинах цикла ставятся знаки (+) и (-). В клетке, для которой строится цикл, ставится (+), затем знаки чередуются. Свойства цикла. 1. Число вершин в каждом цикле чётно. 2. Цикл, у которого помечены вершины, называется означен- ным. В означенном цикле число положительных и отрицательных вершин одинаково. 3. Если в матрице перевозок содержится опорный план, то для каждой свободной клетки можно образовать, и при том только один, замкнутый цикл, содержащий эту свободную клетку и неко- торую часть занятых клеток. 100 2.2.1. Метод северо - западного угла Заполнение распределительной таблицы начинается с клетки ле- вого верхнего («северо – западного») угла, двигаясь либо по строке вправо, либо по столбцу вниз. Алгоритм метода будет следующим. 1. Находим для клетки (1,1) { }1 1min ,a b . Если , то клетку (1,1) заполняем поставкой 1b a> 1 11 1x a= и вычёркиваем из рассмотрения первую строку как удовлетворённую. По первому столбцу опуска- емся вниз и рассматриваем клетку (2,1). В неё помещаем поставку { }21 1 1 2min ( );x b a a= − . 2. Если , то клетку (1,1) заполняем поставкой, равной , вычёркиваем первый столбец. По первой строке движемся вправо. Для клетки (1,2) вычисляем 1b a< 1 1b { }12 1 1 2min ( );x a b b= − . Если , то в клетку (1,2) записываем поставку, равную , и проверяем условие 1 1( )a b b− < 2 ) 11 1(a b− 1 1 1( )b a b a+ − ≤ . Если выполняется равенство, то переходим в клетку (2,2), а первую строку вычёркива- ем, как удовлетворённую. И так далее. Последней заполняется клетка , находящаяся в правом нижнем углу. Движение происходит как бы вдоль главной диагонали таблицы. ( , )m n Замечание. Если на каком – либо промежуточном шаге одновременно за- кроются j –столбец и i – строка, то переход может осуществить либо по строке, либо по столбцу, при этом помещаем в соот- ветствующую клетку нулевую поставку ( , 1i jx + или 1,i jx + ). Дан- ные нули, в отличие от нулей в свободных клетках, называются базисными или значащими. Они соответствуют нулевым зна- чениям базисных переменных, что указывает на вырождение решения. Недостатком метода является то, что построенный опорный план, как правило является далёким от оптимального, так как при его построении игнорируются тарифы . ijc 101 Пример 2.1 . Найти опорный план задачи, приведённой в табли- це2.2, методом «северо – западного» угла. Таблица 2.2 jB iA 1B 2B 3B 4B Запасы 2 1 3 4 1A 80 20 100 5 2 4 6 2A 100 60 160 3 7 2 1 3A 0 40 40 Потребности 80 120 60 40 300 300 Решение. Данная задача является закрытой моделью транспорт- ной задачи, так как выполняется условие (2.1.5) равенства всех за- пасов и потребностей 3 1 4 1 100 160 40 300, 80 120 60 40 300. i i j j a b = = = + + = = + + + = ∑ ∑ Построение начального опорного плана начинаем с клетки (1,1). Так как { } { }1 1min , min 100,80 80a b = = , то в клетку (1;1) помещаем поставку 11 80x = , и вычёркиваем первый столбец, так как потребности потребителя 1B удовлетворе- ны. Первая строка остаётся не удовлетворённой, поскольку , следовательно, движемся вправо по первой строке. 11 180 100x a= < = Рассматриваем клетку (1,2). Для неё максимальная поставка { } { }12 1 11 2min ( ), min (100 80),120 20x a x b= − = − = . 102 Тогда, первая строка получается удовлетворённой. Переходим ко второй строке. Переход ведём по столбцу, соот- ветствующему последней заполненной клетке, то есть - по второму. Рассматриваем клетку (2;2). Максимальная поставка для неё равна { } { }22 2 11 2min ( ), min (120 20),160 100x b x a= − = − = . Записываем в клетку (2;2) поставку 22 100x = . Вторая строка ещё не полностью удовлетворена, так как сумма поставок на ней равна . Движемся вправо по этой же строке, переходим к клетке (2;3). Для неё находим 2100 160a< = { } { }23 3 22 2min ( ), min 60, (160 100) 60x b x a= − = − = . Помещаем в клетку (2;3) 23 60x = . Вторая строка станет удовле- творённой. По третьему столбцу переходим на третью строку. Рас- сматриваем клетку (3;3). Для неё { } { }33 3 23 3min ( ), min (60 60), 40 0x b x a= − = − = . Записываем в клетку (3;3) поставку 33 0x = . Движемся вправо по третьей строке. Переходим к клетке (3;4). Для неё поставка { } { }34 4 3min , min 40,40 40x b a= = = . Полученный план является опорным, так как отсутствуют замк- нутые циклы и число заполненных клеток удовлетворяет условию =3+4-1= 6. Этот опорный план является вырожденным, так как одна базисная переменная 1r m n= + − 33 0x = . 80 2 20 1 100 2 60 4 0 2 40 1 660f = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = . 2.2.2. Метод минимального элемента Метод основан на использовании тарифов. Начинается распре- деление поставок с клетки с наименьшим тарифом. Причём, если таких клеток несколько, то лучше выбрать ту, которую можно за- грузить наибольшей поставкой. На каждом шаге делается переход в клетку, имеющую наименьший тариф в рассматриваемой строке или столбце. И так последовательно загружаются все поставки. Рассмотрим на примере. 103 Пример 2.2. Найти начальный опорный план методом мини- мального элемента. Таблица 2.3 jB iA 1B 2B 3B 4B Запасы 6 7 3 5 1A 0′ 50 40 90 1 2 5 6 2A 60 90 150 3 10 15 1 3A 60 60 Потребности 60 90 50 100 300 300 Решение. 1. Выбираем клетку (2;1) таблицы 2.3, имеющую наименьший тариф, равный 1. В неё можно поместить максимальную поставку, равную { }min 60,150 60= . Есть ещё одна клетка с таким же тари- фом (3;4). В неё можно поместить величину поставки такого же объёма, что и в рассмотренную клетку (2;1). Поэтому из них можно взять любую. Выберем клетку (2;1). Первый столбец вычеркнем, так как потребности потребителя 1B полностью удовлетворены. Далее переходим в клетку (2;2) с наименьшим в этой строке тари- фом 2. В эту клетку можно загрузить поставку { }min 90,150 60 90− = . Потребности второй строки полностью удовлетворены, и поэтому она может быть вычеркнута. Просматриваем второй столбец. В нём наименьший тариф 7 в первой строке. Однако потребности потре- бителя 2B уже удовлетворены, следовательно, в клетке (1;2) ставим значащий нуль и второй столбец можно вычеркнуть. Продвигаемся по первой строке. В ней наименьший тариф 3 в клетке (1;3). Зано- сим в эту клетку поставку { }min 90,50 50= . Потребности потреби- 104 теля 3B полностью удовлетворены. Следовательно, третий столбец может быть вычеркнут. Поскольку у поставщика 1A ещё не вывезен весь запас, то по первой строке переходим в клетку (1;4), так как в ней меньший тариф 5. Загружаем в неё поставку { }min 90 50,60 40− = . У поставщика 1A всё распределено, закры- ваем эту строку. По столбцу 4 перемещаемся в единственную, ос- тавшуюся свободной клетку (3;4) и помещаем туда оставшуюся по- ставку . Весь запас распределён. В результате получен на- чальный опорный план 34 60x = (1) 0 0 50 40 60 90 0 0 0 0 0 60 X ′⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . Он не содержит циклов и число загруженных клеток, включая зна- чащий нуль, равно 1m n+ − =3+4-1=6. Значение функции на этом плане равно 50 3 40 5 60 1 90 2 60 1 650f = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = . При большой размерности матрицы описанный метод требует больших затрат времени на пересмотр всех тарифов. Поэтому авто- рами Мюллером и Мербахом было предложено решение осуществ- лять либо по столбцам, либо по строкам. При просмотре включают- ся в первую очередь строки (столбцы), имеющие максимальную поставку. 2. Найдём опорный план исходной задачи, рассматривая по столб- цам таблица2.4. Решение начинаем с первого столбца. Минималь- ный тариф в нём равен 1 и находится в клетке (2;1). Заполняем эту клетку, поместив в неё поставку, равную { }min 60,150 60= . Пер- вый столбец заполнен. Он исключается из дальнейшего рассмотре- ния. Переходим ко второму столбцу. Минимальный тариф в нём ра- вен 2 и находится в клетке (2;2). Загружаем эту клетку поставкой { }min 90,150 60 90− = . Второй столбец и вторая строка оказыва- ются загруженными. Исключаем их из дальнейшего рассмотрения. 105 Таблица 2.4 jB iA 1B 2B 3B 4B Запасы 6 7 3 5 1A 50 40 90 1 2 5 6 2A 60 90 150 3 10 15 1 3A 0′ 60 60 Потребности 60 90 50 100 300 300 Рассматриваем третий столбец. Минимальный тариф в нём сре- ди свободных равен 3 и находится в клетке (1;3). Загружаем эту клетку поставкой { }min 50,90 50= . Третий столбец заполнен. Ис- ключаем его из дальнейшего рассмотрения. Переходим к четвертому столбцу. Минимальный тариф в нём равен 1 и находится в клетке (3;4). Загружаем эту клетку поставкой { }min 100,60 60= . Третья строка заполнена, а четвёртый столбец ещё нет. В нём осталась единственная свободная клетка (1;4). По- мещаем в неё поставку { }min 100 60,90 50 40− − = . Четвёртый столбец и третья строка - заполнены. Таким образом, получили план, в котором число заполненных клеток равно 5 и не равно 1m n+ − =3+4-1=6. Необходимо ввести нулевую поставку. Введём её так, чтобы по заполненным клеткам не было циклов. Например, в клетку (3;1). Окончательно опорный план будет иметь вид: (1) 0 0 50 40 60 90 0 0 0 0 0 60 X ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥′⎢ ⎥⎣ ⎦ . Значение функции на этом плане будет равно 50 3 40 5 60 1 90 2 60 1 650f = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = . 106 2.2.3. Метод Фогеля Этот метод даёт опорный план, в общем случае наиболее близкий к оптимальному. Построение начального опорного плана начинается с определения наибольшей разности между двумя наи- меньшими тарифами каждых строки и столбца. В ряду, соответст- вующем большей разности всех строк и столбцов, находится клетка с минимальным тарифом. В неё записывается поставка { }min ,ij i jx a b= . Заполненный ряд, соответствующий { }min ,i ja b , вычёркивается. С оставшейся матрицей поступают аналогично пре- дыдущему шагу и так далее. Построенный план проверяется на опорность: заполненные клетки не должны образовывать замкнутых циклов, и их число должно быть равно 1m n+ − . Таблица 2.5 1B 2B 3B 4B 5B ia 4 5 1 3 iA 2 100 3 4 7 6 8 iA 50 2 3 5 9 8 iA 20 1 4 6 7 9 iA 20 jb 20 20 40 60 50 190 190 Если число заполненных клеток окажется меньше 1m n+ − , то вво- дятся нулевые поставки с условием, чтобы не образовывались замкнутые циклы. Пример2.3. Найти опорный план задачи (таблица 2.5) методом Фогеля. 107 Решение. Таблица 2.6 Р тарифов ходам азность минимальных по до jB iA 1B 2B 3B 4B 5B ia 1A 40 10 50 10 0 1 2 1 2A 0 50 50 1 1 1 1 2 3A 0 20 20 1 1 1 1 (6) 4A 20 20 3 3 3 (3) jb 20 20 40 60 50 19 0 1 1 4 3 (6) 1 1 (4) 3 1 1 (3) 1 1 Разность между ми- нималь- ными тари- фами по ходам 1. Находим разность между двумя минимальными тарифами по столбцам и записываем в строку, соответствующую первому ходу (внизу таблицы 2.6).Для первого столбца минимальные тарифы равны 1 и 2. Разность между ними равна 2-1=1. Для второго столбца минимальными тарифами являются 3 и 4. Разность между ними также равна единице. И так производим вычисления по всем столб- цам. 2. Аналогично первому шагу находим разности между мини- мальными тарифами по строкам и записываем их в столбце, распо- ложенном правее таблицы. Для первой строки минимальными та- рифами являются 1 и 2. Их разность равна единице, и так вычисля- ем по всем строкам. 3. Из элементов полученных строки и столбца разностей выби- раем наибольший. В рассматриваемом примере максимальный эле- мент равен 6. Он соответствует пятому столбцу 5B . (В таблице 2.6 он взят в скобки). 108 4. В пятом столбце, соответствующем выбранному максималь- ному элементу, среди разностей минимальных тарифов помещаем поставку в клетку, соответствующую минимальному тарифу. Ми- нимальный тариф в данном случае . Объём помещаемой в вы- бранную клетку поставки определяем как в методе «северо- западного» угла: 15C { } { }15 1 5min , min 50,100 50x a b= = = . Заполнился пятый столбец. Исключаем его из дальнейшего рас- смотрения (в таблице 2.6 заштриховываем клетки, соответствую- щие пятому столбцу по последующим шагам). 5. С оставшейся таблицей поступаем аналогичным образом, то есть, переходим к пункту 1 – 4. Из таблицы 2 видим, что максимальная разность на втором шаге равна 4 и соответствует третьему столбцу 3B , на третьем шаге рав- на 3 и соответствует четвёртому столбцу. На четвертом шаге мак- симальная разность равна 3 и соответствует четвёртой строке 4A . На пятом шаге равна 6 и соответствует третьей строке 3A . После первого хода рассматриваем таблицу 2.7. Таблица 2.7 jB iA 1B 2B 3B 4B ia 4 5 1 3 1A 50 2 3 4 7 6 2A 50 1 2 3 5 9 3A 20 1 1 4 6 7 4A 20 3 jb 20 20 40 60 1 1 (4) 3 109 После второго хода рассматриваем таблицу 2.8, а после третьего хода рассматриваем таблицу 2.9. Таблица 2.8 jB iA 1B 2B 4B ia 4 5 3 1A 10 1 3 4 6 2A 50 1 2 3 9 3A 20 1 1 4 7 4A 20 3 j 20 20 60 b 1 1 (3) Таблица 2.9 jB iA 1B 2B 4B ia 3 4 6 2A 50 1 2 3 9 3A 20 1 1 4 7 4A 20 (3) jb 20 20 50 1 1 1 После четвёртого хода рассматриваем таблицу 2.10 110 Таблица 2.10 jB iA 2B 4B ia 4 6 2A 50 2 3 9 3A 20 (6) jb 20 50 На пятом ходе заполняем 2;4). Помещаем в неё поставку 24 50x 1 1 клетку ( = . Полученный в процессе решения план показан в таблице 2. Получили сло заполненных клеток равно 6< 1m n , что чи + − =8 му вводим две ну- левые поставки: 31 0x . Поэто ′= и 22 0x ′= . Нулевые поставки введены с условием, что в плане не будет замкнутых циклов. Окончательный опорный план имеет вид: 0 0 40 10 50 0 0 0 50 0 0 20 0 0 0 20 0 0 0 0 X ⎡ ⎤⎢ ⎥′⎢ ⎥= ′⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . Количество вычислений значительно сокращается при использо- вании модифицированного метода Фогеля. В этом методе разности выбираются обычным методом Фогеля, а в рассмотрение включа- ются строки или столбцы, имеющие наибольшее значение произве- дения разности на объём потребления или производства. Так для рассмотренного примера на первом шаге необходимо включить пя- тый столбец (6 50 30)⋅ = , на втором третий столбец (max 4 40)= ⋅ и так далее. Значение функции на этом плане равно 40 1 10 3 50 2 50 6 20 3 20 1 550f = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = . 111 2.2.4. Метод максимального элемента Данный метод используется в тех случаях, когда целевую функ- цию нужно максимизировать, то есть найти максимальный доход (2.2.1) 1 1 max m n ij ij i j F c x = = = →∑∑ при всех прочих условиях (2.1.2)-(2.1.5). В этом случае в распределительной таблице начинаем поиск на- чального опорного плана с наибольшего тарифа. Дальше действуем так же, как в методе минимального элемента. Пример2.4. Найти начальный опорный план методом макси- мального элемента. Таблица 2.11 jB iA 1B 2B 3B 4B Запасы 6 7 3 5 1A 90 1 2 5 6 2A 150 3 10 15 1 3A 60 Потребности 60 90 50 100 300 300 Решение. Начинаем с клетки (3;3) таблицы 2.11 с наибольшим тарифом 15. Загружаем в неё поставку { }3 3min ,a b = { }min 60,50 50= = . Третий потребитель 3B удовлетворён, значит вычёркиваем третий столбец, но не удовлетворён поставщик 3A . Следующий наибольший тариф в третьей строке равен 10. За- гружаем клетку (3;2) поставкой { }3 3 2min ,a b b− = 112 { }min 60 50,90 10= − = . Поставщик 3A удовлетворён, вычеркива- ем третью строку. Не удовлетворён потребитель 2B . Во втором столбце наибольший тариф в клетке (1;2) равный 7. Загружаем в эту клетку поставку { } { }1 32 1min , min 90 10,90 80b x a− = − = . Потре- битель 2B удовлетворён, но не удовлетворён поставщик 1A . Из ос- тавшихся не вычеркнутых столбцов 4 и 1 наибольший тариф в столбце 1, он равен 6. Загружаем в клетку (1;1) поставку { }1 12 1min ,a x b− = { }min 90 80,60 10= − = . Поставщик 1A удовле- творён, вычёркиваем первую строку. Потребитель 1B не удовлетво- рён. Загружаем в единственную оставшуюся свободной клетку по- ставку { } { }1 11 2min , min 60 10,150 50b x a− = − = . Потребитель 1B удовлетворён. Остаётся незагруженной единственная клетка (2;4). В неё загружаем оставшуюся во второй строке поставку 150-50=100. Начальный опорный план найден. В нём отсутствуют замкнутые циклы. Число загруженных клеток соответствует требо- ваниям =3+4-1=6 таблица 2.12. 1m n+ − Таблица 2.12 jB iA 1B 2B 3B 4B Запасы 6 7 3 5 1A 10 80 90 1 2 5 6 2A 50 100 150 3 10 15 1 3A 10 50 60 Потребности 60 90 50 100 300 300 Найденный план имеет вид: 113 10 80 0 0 50 0 0 100 0 10 50 0 X ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . Этому плану соответствует значение целевой функции 10 6 80 7 50 1 100 6 10 10 50 15 2120F = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = . Это значение функции может не быть оптимальным. Для оптимизации начального опорного плана существуют дру- гие методы. Задачи для решения Пример2.5. Найти опорные планы транспортных задач с помо- щью методов «северо – западного» угла, минимального элемента, Фогеля и методом максимального элемента: Таблица 2.13 Таблица 2.14 Таблица 2.15 jb ia 25 10 13 jb ia 30 40 20 jb ia 20 25 30 25 4 4 2 5 7 18 1 5 20 7 5 3 40 2 6 0 3 1 10 3 6 40 4 6 1 30 5 5 4 2 3 20 7 4 30 3 2 4 10 Табл 2.16 2.17 Таблица 2.18 ица Таблица 30 40 20 jb ia 20 30 20 20 jb ia jb ia 25 10 13 4 1 3 5 20 1 5 3 20 2 8 4 18 2 6 3 6 30 6 4 7 40 1 6 5 10 114 5 2 8 4 40 3 6 4 20 5 2 8 20 2.19 2.20 Таблица Таблица jb ia 20 25 30 25 20 30 20 10 jb ia 6 20 3 5 1 40 3 2 8 7 4 30 9 4 7 30 6 0 3 1 1 5 8 4 25 5 4 2 6 40 Таблица 2.21 Таблица 2.22 jb ia 8 8 6 180 0 0 0 jb ia 10 15 8 90 0 0 0 3 80 2 1 4 60 6 1 5 7 1 120 3 2 5 130 3 2 4 5 2 100 3 1 4 100 5 4 2 6 100 5 4 3 8 4 8 3 2 2 0 Таблица 2.23 Таблица 2.24 jb ia 20 10 10 30 200 0 0 0 0 jb ia 2 1 3 1 40 0 0 0 0 5 400 6 7 5 6 40 3 2 3 4 1 300 4 3 3 1 3 30 1 3 2 3 2 115 2 20 2 0 4 30 2 1 1 4 1 1 2 Таблица 2.25 Таблица 2.26 jb 6 4 4 3 10 0 0 0 0 12 18 14 16 100 0 0 0jb ia ia 0 5 60 2 0 7 3 200 3 2 1 1 2 6 40 1 4 2 8 400 2 1 3 2 3 7 70 4 3 6 1 100 3 3 2 1 1 30 1003 5 6 4 2 4 3 2 1 5 аблица 2.27 Таблица 2.28 Т 6 6 14 14 80 0 0 0 0 jb ia 10 10 20 10 600 0 0 0 jb ia 5 200 4 3 4 5 200 3 2 1 1 2 3 140 2 1 3 2 100 2 1 3 2 3 2 60 3 2 3 1 200 3 3 2 1 1 100 1004 5 2 3 4 4 3 2 1 5 Таблица 2.29 Таблица 2.30 jb ia 2 4 8 6 100 0 0 0 0 jb ia 6 8 12 40 40 0 0 0 2 50 3 1 4 5 100 2 1 3 1 1 5 80 1 1 2 3 80 1 2 3 1 1 100 1 2 1 3 1 100 2 3 1 3 2 116 100 50 2 1 4 3 1 3 2 2 2 4 Таблица Таблица 2.31 2.32 jb ia 100 60 40 120 180 jb ia 100 120 160 200 200 3 200 1 2 3 4 80 3 2 1 2 3 1 200 4 3 1 2 400 1 3 1 1 1 2 50 5 1 2 4 100 4 2 3 3 1 100 3 80 1 5 1 3 6 1 2 1 4 Таблица 2.33 Таблица 2.34 jb ia 50 4 15 25 30 0 10 jb ia 8 6 12 14 80 20 0 0 0 0 1 70 3 1 5 7 4 4 3 5 1 4 3 100 8 50 4 8 4 3 6 200 1 4 5 2 3 1 3 20 5 5 6 2 4 100 2 1 3 3 1 3 30 5 1 6 3 6 2 5 4 2 2 4 2 50 2.3. Методы оптимизации опорного плана 2.3.1. Метод потенциалов 117 Метод потенциалов является точным методом решения транс- портных задач. Он состоит из конечного числа однотипных опера- ций. Каждая операция разбивается на два этапа. На первом этапе про я. Если пла ходим ко в новый невырожденном о ии потенциалов. Потенциалами наз веряется на оптимальность план, полученный на предыдущем этапе. Если план оказывается оптимальным, то процесс вычислений заканчиваетс н не оптимальный, то пере торо- му этапу. Строим план перевозок, который в случае, связан с меньшими транспортными издержками. Метод основан на использ ван ывается система чисел, присвоенная соответственно каждому поставщику ( 1, )jv j n= .Это, ( 1, )iu i m= и каждому потребителю соо ия по запасам перевозимого груза огра по ебностям тветственно, ограничен i ничения потр u и jv . дачи сист нц в, для которой Р тра ортной заешение нсп заключается в определении такой емы поте иало выполняются условия: для свободных клеток i j iju v c+ ≤ (2.3.1) Для заполненных клеток i j iju v c + = . (2.3.2) Если условия (2.3.1) и (2.3.2) выполняются, то решением будет план *X , соответствующий полученной системе потенциалов, яв- ляется оптимальным. В данном случае для любой пары пунктов iA и jB , связанных транспортными связями, разность потенциалов равна стоимости перевозо и между этими пук единицы продукци нк- тами. Решение *X называют потенциальным, а условия (2.3.1) и (2.3.2) – условиями потенциальности. Чтобы допустимый опорный план был оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы он удов- лет ачальный опорный план. Решение может быть ворял условиям потенциальности. Алгоритм метода. 1. Определяем н найдено любым из рассмотренных методов (северо-западного угла, минимального элемента, Фогеля и др.). Полученный план проверяется на оптимальность. 118 2. Составляется система потенциалов по формуле (2.3.2) для заполненных клеток. 3. Вычисляется система потенциалов. Так как всех потенциа- лов m n+ , а заполненных клеток 1m n+ − , то полученная система уравнений будет иметь бесчисленное множество решений, любое из которых составит искомую систему потенциалов. Решение может значение напри ное нулю, тогда все сист ся един . ия числ чис быть получено, если одной из неизвестных придать произвольное , мер рав остальные неизвестные емы определят ственным образом Для уменьшен а отрицательных ел нулевой потенци- ал лучше присваивать строке с большей стоимостью перевозок в занятых клетках. 4. Для небазисных (свободных) клеток определяют оценки ( ) 0ij i j iju v cΔ = + − ≤ . (2.3.3) Соотношения 0ijΔ ≤ для небазисных ,i j являются достаточ- ными, а в случае невырожденности, необходимыми для оптималь- ности базисного плана перевозок (в задаче на минимум). Оценки свободных клеток соответствуют оценкам небазисных переменных индексной строки симплексного метода. Если имеется хотя бы одна отри ая оценка свободных клеток (2.3.3), то опорный план не являе мальным и требует дальнейшег 5. Выбирается перспективная клетка. Перспективной называ- ется имею влетво- цательн тся опти о улучшения. клетка, щая наименьшее значение оценки, не удо ряющее условию оптимальности. Перспективная клетка вводится в базис и способствует улучшению плана перевозок. Пусть { } 0 00max ( )u v cij i j ij i jΔ ≥ = + − = Δ . (2.3.4) Клетку 0 0( , )i j включают в набор заполненных клеток. 6. Строим замкнутый контур (цикл), начиная с выбранной клет ки 0 0( , )i j и передвигаясь ходом шахматной ладьи по занятым клеткам с м расчётом, чтобы снова возвратиться в клетку 0 0( , )i j . таки 119 7. В вершинах контура ставим знаки: в перспективной верши не (+), в следующе - й (-) и так далее, чередуя знаки. Делается ли обх знак (- наименьшую пос од по часовой стрелке, или - против, безразлично. 8. Из всех вершин, где стоит ), выбираем тавку { }( )min ijxρ −= . Затем во всех вершинах цикла, где стоит знак (+) прибавляем величину ρ , в вершинах, где стоит знак (-) – вычитаем величину ρ . Клетка, соо ρ тветствующая выбранной остаётся свободной. Остальные перевозки не изменяются. За итерацию целевая функция уменьшается на величину 0 0i j ρ ⋅ Δ . Снова переходим к пункту 2. И так далее, до получения опти- мального решения, то есть, когда во всех загруженных клетках бу- дет удовлетворяться условие (2.3.3). 9. На каждой итерации потенциалы связанных замкнутым кон- туром строк и столбцов изменяются величину, равную наруше- 0 0i j Δ в выбранной клетке. Если за исходный потенциал принят ый нулю, то потенциалы связанных строк на нию не р ч , то потенциалы связанных строк еньшаются на величин ной максимум для оптимального плана все оце авн и столбцов увели- иваются на величину нарушения выделенной клетки. Если за ис- ходный принят потенциал, равный нулю и столбцов ум у нарушения в выбран- клетке. Если в оптимальном плане *X есть базисные переменные 0ijx = , то оптимальный план не единственный. задачи наПри решении нки должны удовлетворять условию 0ij i j iju v cΔ = + − ≥ . (2.3.5) Если хотя б з оценок не удовлетворяет этому условию, лан не является оптимальным и все операции ну ы одна и то п жно повторить, нач лет т иная с пункта 2. Так до тех пор, пока все оценки не станут удов- воря ь условию (2.3.5). Замечания. 1. Переходя к новому плану перевозок, следует всегда прове- рять его на опорность. Если число заполненных клеток окажет- 120 ся меньше 1m n+ − , то в вершинах полученного контура ста- вится требуемое количество нулевых поставок. 2. В некоторых опорных план мальной постав- ки ах величина мини ρ может вн ю н её расположение в таблице влияет на оптимальность плана и все вычисления по- тенциалов и проверка опорного на оптималь- ность необходимо проводить, ия этой нуле- вой поставки не зависит очередной опорный план. Пример 2.6. Метод потенциало й и птимальный план задачи минимизирующий транспортные а х ы табл.2.35) а . азаться ра ой нул . Од ако, очередного плана хотя от перемещен ом в на т о р с од ( Таблиц 2 35 ок jB iA 30 0 4 20 5 3 7 20 4 6 1 40 3 2 4 30 Решение. 1. Пусть опорный н полу е м минимального элемента (таб 6). и а 2.36 пла ч н методо л.2.3 Табл ц jB 30 40 20 iu iA (-) 7 5 (+) 3 20 10 10 * 0 4 6 1 40 20 (+) 20 (-) 3 3 2 4 30 30 3 jv 7 5 4 40 121 Опорный план (1) 10 10 0 20 0 20 0 30 0 X ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . Значение функции )( )f X (1 = 280. Количество заполненных клеток план имеет именно столько за- полненных клеток. 2. Д 1 3 3 1 5m n+ − = + − = . Опорный ля всех заполненных клеток составляем условие потенциально- сти 7;u v1 1+ = 0;u = 7;v = 1 1 2 3;u = − 2 5;v =1 2 5;u v+ = 2 1 4;u v+ = ⇒ 3 3;u = − 3 4;v = 2 3 1;u v+ = 3 2 2;u v+ = ех3. Для вс свободных клеток определяем оценки ijΔ и прове- ряем выполнение условий оптимальности при решении задачи на c− = − + − = − < 0.c− − − Оценки и минимум: 13 1 3 13 0 4 3 1 0;u v cΔ = + − = + − = > 22 2u vΔ = + 2 22 3 5 6 4 0; 31 3 1 31 3 7 3 1 0u v cΔ = + − = − + − = > ; 33 3 3uΔ = + 33 = 3 4 4 = <3−+ v 13Δ 3Δ 1 больше нуля. Выберем перспективную клет- ку (1;3) и обозначим (*) . 4. Для выбра й пер е ивной л и замкнутый контур (табл.2.36). ел чи и циклу её нно сп кт к е к сдв т строим В и на га по { }min 10;20 10 . ρ = = 5. Получим новый опорн й ла табл.2.37). Таблица .3 ы п н ( 2 7 jB 30 40 20 iu 122 iA 7 5 3 20 10 10 0 4 6 1 40 30 10 2 3 2 4 30 30 3 jv 6 5 3 40 То есть – 0 10 1 (2) 0 30 0 0 0 30 1 0 X ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . Целевая функция: 30 2 70f X = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ = . вно 5. плана составляем новую систему потенциалов: (2)( ) 10 5 10 3 30 4 10 1 2+ Количество занятых клеток ра . Для полученного опорного6 1 0;u = 1 6;v = 1 2 5;u v+ = 1 3 3;u v+ = 2 2;u = 2 5;v = 2 1 4;u v+ = ⇒ 3 3;u = 3 3.v = 2 3 1;u v+ = 3 2 2;u v+ = . Оценки свободных клеток 7 22 2 2 22 2 5 6 3 0;u v cΔ = + − = − + − = − < 11 1 1 11 0 6 7 1 0;u v cΔ = + − = + − = − < 31 3 1 31 33 3 3 33 3 3 4 4 0.u v cΔ = + − = − + − = − < 3 6 3 0;u v cΔ = + − = − + − = 123 Полученный план является оптимальным (2) *X X= * 0 10 10 30 0 10 0 30 0 X ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . Суммарные затраты – функция 0f Оптимальный план не единственный, так как среди е о е д а авн лю. Пример 2.7. Методом о н и а и транспорт- ной задачи минимизирующий тные расходы (табл.2.38) и .3 * 27= . оц н к сть о н р ая ну п те ц алов н йт решение транспор Табл ца 2 8 ЗапасыjB iA 1B 2B 3B 4B 3 2 4 1 40 1A 2 3 1 5 60 2A 3 2 4 4 3A 40 Потребности 30 35 35 0 140 140 4 Решение. 1. Ст им оп н й ето о минимального элемента (табл .39). бл 9 ро о ыр план м д м .2 Та ица 2.3 jB 1B 2B 3B 4B Запасы iA 3 2 4 1 1A 0′ 40 40 2A 124 5 60 2 (-) 3 (+) 1 30 30 * 3 2 4 4 (+) 5 (-) 35 40 3A 35 40 140 140 Потребности 30 35 Число занятых клеток равно 5. То есть, условие опорности 1m n+ − =3+4-1=6 не выполнено. Получили вырож е ый план. В запишем « д нн клетку (1;3) 0′ ». План имеет : вид (1) 0 0 0 40 30 30 0 0 0 5 35 0 X ′⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . Целевая функция буде равна: 30 4 2 35 4 70f X = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ . Для т (1)( ) 40 1 30 2⋅ 5 3+ = 2. Определяем потенциалы. занятых клеток записываем систему: 3 3 4;u v+ = 1 0;u = 1 2;v = − 2 4;u = 2 1;v = −3 2 2;u v+ = 2 1 2;u v+ = ⇒ 3 3;u = 3 4;v = 1 4 1;u v+ = 4 1.v = 2 2 3;u v+ = Присваиваем третьей строке 3 1 4;v u− = 3 0u = , затем последовательно оп- ределяем остальные переменные. 3. Определяем оценки для свободных клеток (по формуле (2.4.3)): 11 1 1 11 1 0 3 2 0;v u cΔ = − − = − − = − < 2 0 2 0;v u c12 2 1 12Δ = − − = − − = 23 3 2 23 4 1 1 4 0;v u cΔ = − − = + − = > 24 4v u2 24 1 1 5 3 0;cΔ = − − = + − = − < 125 31 1 3 31 1 0 3 2 0;v u cΔ = − − = − − = − < v u3 34 1 0 4 3 0.c34 4Δ = − <− = − − = − о, по- лученный план не является оптимальным. Его можно улучшить, если перспективной клеткой выбрать клетку (2;3). 4. Строим для клетки (2;3) замкнутый конт (табл.2.39). Вер- шинам контура присваиваем знаки (+) и (-), начиная с перспектив- ной клетки, обозначенной (*). 5. Находим минимальную поставку, которую нужн по конту у олучили положительную оценку 23 4Δ = . СледовательнП ур о переместить { }min 30,35 30ρ = =построенному р . 6. поставку перемещаем по полученному конту- ру. Новый оп ный план приведён в таблице 2.40, имеет вид: 4 0 0 3 ′ Минимальную ор (2) 0 0 0 0⎡ ⎤ 30 0 3 0 5 5 0 X ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎦ Т .40 , ⎣ аблица2 jB iA 1B 2B 3B 4B Запасы (+) 3 2 (-) 4 1 1A 40 40 * 0′ 2 3 1 5 2A 30 60 (-) 30 (+) 2 4 3 4 35 5 40 3A Потребности 30 35 35 40 140 140 Целевая функция – (2)( ) 40 1 30 2 30 1 35 2 5 4 220f X = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = . 126 7. Вычисляем потенциалы изменённых строк и столбцов: 2 1 2;u v+ = 1 0;u = 1 5;v = 3 2 2;u v+ = 2 3;u = − 2 2;v = 3 3 4;u v+ = ⇒ 3 0;u = 3 4;v = 2 3 1;u v+ = 4 1.v = 1 3 4;u v+ = 1 4 1;u v+ = 8. Проверяем свободные клетки: u v cΔ = + − = − − = − Полученны план не оптимальный, так как есть оценки не удовлетворяющие услов ю , есть ну 9. Перспект вной будет ле ка Для строим тый контур (табл.2.40). Мин п е щ емая поставка равна нулю. Перемещаем по т ру получим ий опор- ный план (табл.2.41 а лиц 1 11 1 1 11 0 5 3 2 0;u v cΔ = + − = + − = > 12 1 2 12 0 2 2 0;u v cΔ = + − = + − = 22 2 2 22 3 2 3 4 0;u v cΔ = + − = − + − = − < 24 2 3 1 5 7 0;u v cΔ = + − = − + − = − < 4 24 34 3 4 34 0 1 4 3 0.u v cΔ = + − = + − = − < 1 31 0 5 3 8 0;< 31 3 й и (2.3.3) то - большие ля. замкнуи к т (1;1). неё имальная ер ме а её ) кон у , следующ . Т б а 2.4 jB iA 1B 2B 3B 4B Запасы 3 2 4 1 1A 0′ 40 40 2 3 1 5 2A 30 30 60 3A 3 2 4 4 40 127 5 35 Потребности 30 35 35 40 140 140 Новый опорный план – 30 0 0 35 5 0 X (3) 0 0 0 40 30 ′⎡ 0 ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . Целевая функция не изм няется 10. Снова определяем отец алы для полученного плана: е . п и 2;1 2u v+ = 0;u = 3;v = 1 1 2 3;u = − 1 3 4;u v+ = 2 2;v = 2 3 1;u v+ = ⇒ 3 4;u = − 3 4;v = 2 4 5;u v+ = 4 8.v = 3 1 3;u v+ = 3 4 4;u v+ = 11. Для клеток определяем оценки: ;u v cΔ = + − = − + − = − < свободных 0 2 2 0;− =12 1 1 11u v cΔ = + − += 13 1 2 12 0 4 4 0;u v cΔ = + − = + − = 22 2 2 22 3 4 1 0 24 2 4 24 3 8 5 0;u v cΔ = + − = − + − = 31 3 1 31 4 3 3u v cΔ = + − = − + − = 34 3 4 34 4 8 4 0.u v cΔ = + − = − + − = 4 0; Все оценки удовлетворяют условию (2.3.3). Следовательно, получен оптимальный план *X 128 *0 0 0 40 30 0 30 0 0 35 5 0 X ′⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . Суммарные затраты на р во и ы = Так как все оценки не положительны е ть нулю то оптимальный план является не единст ым Пример2.8. Найти оп м л опорный ан симизирую- щий целевую функцию дл з . 2.42). пе е зк равн *f 220 . и с равные , венн . ти а ьный пл мак я адачи (табл Таблица 2.42 jB Запасы1B 2B 3B 4B iA 6 7 3 5 90 1A 1 2 5 6 150 2A 3 10 15 1 3A 60 Потребнос 0 90 0 100 300 ти 6 5 300 Решение. по н план йд н ето макси- мального элемента в за ач .2 3 Таблица 2.43 Начальный о р ый на е м дом д е (табл .4 ) jB 1B 2B 3B 4B Запасы iA 6 7 3 5 10 80 90 1A 1 5 6 2 2A 50 100 150 3A 3 1 60 10 15 129 10 50 Потребности 60 90 50 100 300 300 ления потенциалов и находим её решение Составляем систему уравнений для опреде 1 1 6,u v+ = 1 0,u = 1 6,v = 1 2 7,u v = + ⇒ 2 5,u = − 2 7,v = 2 1 1,u v+ = 3 3,u = 3 12,v = 2 4 6,u v+ = 4 11.v = 3 2 10,u v+ = 3 3 15,u v+ = Вычисляем оценки незагруженных клеток 13 1 3 13 0 12 3 9 0,u v cΔ = + − = + − = > 0,u v c14 1 4 14 0 11 5 6Δ = + − = + − = > 22 2 2 22 5 7 2 0,u v cΔ = + − = − + − = 23 2 3 23 5 12 5 2 0,u v cΔ = + − = − + − = > 31 3 1 31 3 6 3 6 0,u v cΔ = + = + − = > u − 4 34 3 11 1 14 0.v cΔ34 3= се оценки удовлетворяют условию (2.3.5). Следовательно, найденный план + − = + − = > В 10 80 0 0⎡ ⎤ * 50 0 0 100 0 10 50 0 X ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ является оптимальным и для него целевая функция принимает мак- имальное значение * 2120F = . с 130 Одна из оценок 22Δ = 0, значит оптимальное решение не един- стве 2 .34) при решении задач на минимум и мак 2.3.2. Распределительный метод В осн е началь- ного опорного плана к оптимальному. Приближение проводится м пер иклам), по- строенным для свободных клеток, имеющих отрицательные значе- ния туры нное. Задачи для решения Пример .9. Найти оптимальные опорные планы методом по- тенциалов для заданий (2.13-2 симум. ове метода лежит последовательное приближени путё емещения грузов по замкнутым контурам (ц оценок ijs (для задачи на минимум). Кон строятся так же, как для метода потенциалов. Оценки для свободных клеток определяются по формуле ij ij ijs c c − + = −∑ ∑ , где ijc∑ - сумма тарифов в нечётных вер (2.3.6) шинах контура, − ijc∑ - сумма тарифов в чётных вершинах контура. + Если для всех свободных клеток оценки 0ijs ≥ , то полученный план является оптимальным. Если хотя бы одна из оценок окажется отрицательной, то построенный план не будет оптимальным. Его улучшение возможно за счёт перемещения груза по замкнутому контуру любой из клеток, для которой 0ijs < . Величина переме- щаемого по контуру груза равна наименьшей из поставок, располо- женных в вершинах цикла со знаком (-). 131 Алгоритм распределительного метода 1. Располагаем исходные данные в таблице матричного типа. 2. Строим исходный опорный план по методу «северо- западного» угла, минимального элемента или Фогеля. 3. Производим оценку свободной клетки , строя для неё цикл, и вычисляем величину. Если 0ijs < , то переходим к пункту 4. Если 0ijs ≥ , то оцениваем след свободную клетку и так далее, пок . Если сво вает ующую а обнаружим клетку с отрицательной оценкой оценки всех бодных клеток окажутся положительными, то решение заканчи- . Полученное решение будет оптимальным. ся 4. По циклу, имеющему 0s < , перемещаем груз, равный наи-ij мен вободной. Далее возвращаемся к пункту 3. 1. Если число занятых клеток не равно ьшей из поставок, размещённых в чётных клетках цикла. То есть, в клетках, имеющих нечётные номера, груз увеличивается на минимальную поставку, а в чётных уменьшается. Клетка, по кото- рой выбиралась минимальная перемещаемая поставка, остаётся с Замечания. 1m n+ − , то вводится значащий нуль, и эта клетка считаетс . 2. Для оце ч ь и тс етки, имеющие наименьшие К недостаткам распределительного метода относится то, что в одной и той же табл делае нескольких свободных клеток, при вычис и к о ы строить много различных цик что приводит громоздким построениям. Пример 2.10. Распределитель м м а и оптимальный план задачи, заданной в таблиц абли я заполненной нок в первую о тарифы. еред выб раю я кл ице тся определение оценок лени от р х приходится лов, к ны етодом н йт е 2.44. Т ца 2.44 20 20 30 15 jB iA 30 3 1 4 2 132 2 4 6 3 30 7 5 8 4 25 Решение. альны план (1)X , построенный пр Нач й оп орный с по- мощью метода минимального элемента, ив ён таблице 2.45. аблица 2.45 ед в Т 20 20 30 15 jB iA (+) 3 4 (-) 2 1 30 20 10 2 4 3 6 30 (-) 20 (+) 10 7 5 8 4 25 (-) 20 (+) 5 (1) 0 20 0 10⎡ ⎤ Опорный план 20 0 10 0 0 20 5 X ⎢ ⎥ 0 = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . Транспортные расходы равны (1)( )f X = 290. Число заполненных клет 1m nок + − =3+4-1=6. Следовательно, план является опорным. роверим этот план на оптимальность. Для этого среди свобод- ных клеток находим клетку с минимальным тарифом – (1;1). Для неё в таблице 2 строим цикл перерасчёта, все вершины которого находятся в загруженных клетках (1;1)-(1;4)-(3;4)-(3;3)-(2;3)-(2;1)-(1;1). П 133 Находим оценку (3+4+3)-(2+8+2)= тельно, план не Для переместим по построенному контуру по- ставку 11s : 11s = -2<0. Следова оптимальный. его улучшения { }min 20,20,1 1Q = = . П иб и 0 вершинам со знаком (+), и вычтем эту ли н с зн ом Полу- ченный сдвиг 10, приводит в м опорному плану (табл. 2.46). Таблица 2.46 0 0 р ав м Q =1 к ве чи у из вершин о ак (-). на величину Q = к но о у jB 20 20 30 15 iA (-) 3 1 (+) 4 2 30 10 20 2 3 6 4 30 (+) 0 1 (-) 20 7 5 8 4 25 10 15 Опорный план (2) 10 20 0 0 10X 0 20 0 ⎡ ⎤⎢ ⎥= 0 0 10 15 ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ (2) . Транспортные расходы: ( )f X = 270. Располож ст (2+4)-(3+3)=0; (5+3+3)-(8+2+1)=0; им свободные клетки в порядке возра ания тарифов: (1;4), (2;2), (1;3), (3;2), (2;4), (3;1). Находим оценки: s = (2+8+2)-(4+3+3)=2; s = (3+4)-(2+1)=4; 14 22 13s = 32s = 134 24s = (6+8)-(4+3)=7; 31s = (7+1)-(2+8). Так как для всех свободных найденный в таб- лице 3 план – оп так клеток 0ijs ≥ , то тимален. Но как 1s 0 и 32s= =3 0, то оптималь- ный план не единственный и для этих клеток можно перерасчётом построить новые опорные . Общее оптимальное ение ах д т как клая линейная комбинация планов , планы реш н о и ся выпу (1)X (2)X и , то ( ) есть, * (1) 2(1 )X X Xλ= + − , где 0 1λ≤ ≤ λ . Задаваясь сленн м значен чи ы и иями из интервала [0;1], будем получать различные т м л ы ланы, для которых 270. пределительным методом найти решение зада- чи ( бл. 2.47). Табли оп и а ьн е п *( )f X = Пример2.11. Рас та ца 2.47 30 40 20 jB iA 7 5 3 20 4 6 1 40 3 2 4 30 Решение. 1. Пусть план получен методом минимального элемента (табл.2.48) Таблица 2.48 (1)X jB iA 30 40 20 20 (- 135 ) 7 5 (+) 3 10 10 4 6 1 40 (+) 20 (-) 20 3 2 4 30 30 Опорный план (1) 10 10 0 20 0 ⎡ ⎤ 20 0 30 X 0 ⎢ ⎥= . ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Транспортные (1)( )f X = расходы 280. 2. Выписываем бодны клетки к тания их та- рифов: (1;3), (3;1), (3;3), (2;2). 3. Для клетки (1,3) строи таб .2.48), и про- веряем его на оптимальность о есть s c c − + = − =∑ ∑ (3+4 +1 = ности не выполняется. Улучшим его за счёт клетки (3;1) (табл. 2.49). Получим контур (1;3)-(3;2)-(1;2)-(1;3)-(2;3)- (2;1)-(3;1). Переместим поставку сво е в поряд е возрас м замкнутый контур ( л , 0, т . ≥ij 13s )-(7 ) - 1<0. ij ij Условие оптималь { }min 20,10 10Q = = . Таблица 2.49 30 40 20 jB iA 7 (+) 5 3 20 10 10 (-) (-) 4 6 1 40 10 (+) 30 3 2 4 30 (+) (-) 30 136 Новый план (2)X (2) 0 10 10 30 0 0X 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ 0 30 0 ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ Транспортные расх . оды (2)( )f X = 270. Меньше, чем для пред- шес ность. Выпишем свободные клетки в порядке возрастания тарифов: (3;1), (3;3), (2;2), (1;1). оц твующего плана. Число загруженных клеток равно 1m n+ − = 5. По загруженным клеткам нет замкнутых контуров. Проверим этот план на оптималь- Их енки: 3+5+1)-(2+3+4)=0; s = (4+5)-(2+3)=4>0; 31s = ( 33 22s = (6+3)-(1+5)=3>0; 11s = (7+1)-(3+4)=1>0. Все оценки свободных клеток положительны, то есть, план удовлетворяет условию оптимальности. Значит план (2)X опти- мальный (2) *X X= и оптимальные транспортные расходы (2) *)f (X f= . Задачи для решения Пример 2.12. Распреде м решение лительны методом найти оптимальное Тр ортная задача ии перевозок часто определяющими являются не экономические, а менные требования. На ропортящих продуктов, материалов для аварийных ных работ. В таких случаях не считаются с дополнительными затра- тами. минимизирующее целевую функцию для задач (2.13-2.34). 2.4. ансп по критерию времени При планирован вре пример, перевозка ско- ся и спасатель- 137 П за времени на перевозку продук и от ставщика j- му потребителю. Имеем m поставщиков и n потребите- лей. усть ijt траты ци i-го по- ,ia iОбъёмы производства поставщиков - 1,m= , объёмы тре- бовани реб ей - , 1,jb j n= . й у пот ител Требуется составить такой план перевозок, при котором суммар- ные затраты времени будут минимальными.. Математическая модель задачи будет иметь вид: { }max ijT t= (2.4.1) ичениях: при огран 1 , 1, ;ij i j n x a i m = ≤ =∑ (2.4.2) 1 , 1, ; m ij j i x b j n = ≤ =∑ (2.4.3) 0, 1, , 1,ijx i m j n≥ = = , (2.4.4) для закрытой модели выполняется условие 1 1 m n i j i j a b = = =∑ ∑ (2.4.5) Система ограничений (2.4.2)-(2.4.4) не отличается от соответст- вующей системы ограничений модели обычной транспортной зада- чи. Изменила только целевая функция. Величины T определяет время, в течение которого производится план перевозок, то есть, = сь , так как каждому плану перевозок ет своё зн ься различны ды. . п строится начальный опорный план. План может быть найден любым из рассмотренных ранее методов. После этого ( )T T X соответству ачение целевой функции. Для решения таких задач могут применят е мето- Ра смотрим метод решения в матричной форме На ервом шаге составляется исходная матрица транспортной задачи. В правых верхних углах клеток матрицы ставятся затраты времени на пере- возку продукции между соответствующими поставщиками и потре- бителями. Затем 138 { }max ijT t= . определяем То есть, среди заполненных клеток вы- бира р и- вани ), так ние невыгодно, поскольку ведёт к росту личие троятся еоднозначно. После построе- ния за, пер ем клетку с наибольшим значением времени ijt . Это время бу- дет определять значение целевой функции. Все свободные клетки, для которых t >T, исключаем из ассмотрения.(например зачёркij ем ак их заполнек T . Затем освобождаем клетку, по которой определялось значение T . Для этого строим «разгрузочный» цикл. Он строится ходом шахматной ладьи, начиная с клетки, для которой ijt =T . Основным требованием цикла является на груза в вершинах со знаком (+). Очевидно, такие циклы с н цикла определяется величина гру емещаемого по циклу. Она равна { } ( ) min .ikклетQ x= Вычитаем найденное значени объёма перевозок клеток со знаком (+), и прибавляем ок − е из к грузу клеток со знаком (-). Получим но- вый план перевозок. При выборе Q могут возникнуть ситуации: 1. ijQ x= , для которой ijt T= . 2. для которой ijQ x< , ijt T= . В перв р сма ивае кл тка , ) полностью ос- вобождается и иск ючается из дальнейшего рассмотрения. Во вто- ром случае рассматриваемая клетка последовательно разгружается до тех пор, пока н получится ом случае ас тр мая е (i j л е 0ijx = . Н э о заканчивается одна итерация. Значение нкции а т м фу T (1)T= . Для нового плана определяем < . ля найденного зна- чения выполняем описанную . счё до тех пор, пока станет невозможным р и ь нул перевозку, которой соответствует последнее значение . то означает, построено оптимальное решение. (2) (1)T T Д выше итерацию Ра ты ведём об ат т в ь T ( )k Э что 139 Пример 2.13. По критерию времени найти решение следующей тран спортной задачи (табл. 2.50) Таблица 2.50 1B 2B 3B 4B jB iA ia 5 8 9 4 1A 10 5 7 6 2 2A 5 2 12 5 4 10 3A 5 2 60 5 20 25 10 60 jb Решение. 1. Данная задача является закрытой моделью, так как выполняется условие (2.4.5). оим план методом «северо – западного» угла (табл.2.51) Таблица 2.51 2. Стр 1B 2B 3B 4B ia jB iA (-) 9 (+) 4 5 8 1A 5 5 10 5 7 6 2 (+) (-) 5 20 25 2A 12 10 5 4 25 3A 0′ 25 60 jb 5 10 20 25 60 140 5 5 0 0 0 5 ⎡ ⎤⎢или - (1)X 20 0 0 0 0 25 ⎥= ⎢ ⎥′⎢ ⎥⎣ ⎦ 3. Определяем 0 9 ij T t > . (1) 11mx ij t ax= = = . В таблице клетку 4. Среди свободных ы те для ким клетки (3;1) (3;2). 5. Для клетки (1;1) имеющей ijt T= , строим цикл (табл.2.51). . Для построенного цикла эту выделяем. чёркиваем , которыхклеток в (1) 9ijt T> = . Та яи вляются и , (1) ыйзамкнут { }min 5;5 5Q = =6 . . Перемещаем Q =7 5 по построенному циклу, то есть в клетках со знаком (+) прибавляем эту величину, в клетках со знаком (-) вы- чита у величину. Получаем новый опорный план (табл.2.52) Таблица 2.52 ем эт jB iA 1B 2B 3B 4B ia 9 (-) 4 (+) 5 8 1A 10 10 5 2 7 6 2A 5 (+) 0′ 25 (-) 20 12 10 5 4 25 25 3A 0′ 60 jb 5 10 20 25 60 141 0 10 0 0 5 0 20 0 0 0 0 25 или (2)X = ⎡ ⎤⎢ ⎥′⎢ ⎥′⎢ ⎥⎣ ⎦ . В новой таблице а 1;1 . её вы- черкиваем и в дальне ш расчётах а ваем. 8. Определяем 9. Вычёркиваем клетки еющие В с вл клет 10. Для летки (2;3), имеющей T , оим ам тый цикл табл.2.52). 1. Для построенного контура кл й ет их ( ) оказалась к загру три женной Мы не рассм новое значение =7. из рассмотрения ае свободные яется , им (2) ijt T> . данном луч такой я ка (1;4). (2) 23t = стр з кнук ( { } ( ) min 10;20 10Q −= = . 1 12. Перемещаем 10 единиц груза по замкнутому контуру, полу- чаем й план (табл.2.53) Таблица 2.53 новы 1B 2B 3B 4B ia jB iA 9 4 5 8 10 10 1A 5 2 (-) 7 (+ 6 ) 5 10 10 25 2A 12 10 5 4 (-) 25 25 3A 0′ )(+ 60 5 10 20 25 60 jb 142 или 1 0 0 10 0 2 X ⎤ = . 13. Определяющая по данной (2 сь ещё загруженной (в 10). Поэтому д снова строим замкнутый цик табл 3) 14. 0 0 0⎡ (3) 5 1 50 0 0 ⎢ ⎥⎢ ⎥′⎢ ⎥⎣ ⎦ итерации клетка ;3) оказала й не перевозка 23x = ля неё л ( .2.5 . { }min 10;25 10Q = = . 15. Перемещаем 10 иниц уза икл новый план (табл.2.54) или ед гр по ц у и получаем перевозок 0 0 10 0⎡ ⎤ 5 10 0 10 0 0 10 15 X ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . Таблица 2.54 jB 1B 2B 3B 4B ia iA 9 4 5 8 1A 10 10 5 2 7 6 2A 5 10 10 25 12 10 5 4 3A 10 15 25 60 jb 5 10 20 25 60 143 16. Для построенного плана { }(3) (2)6 T< . 0 max ijT t>= = решение яв ется опти льным как нельзя построить разгрузочны икл для тки (2;4), определяющей . Следова- тель оптимальны план перевозок уществля я з ремя 6. Пример 2.14. Найти оптимал й пла ерегона вагонов со в пун погруз опреде ного , п котором зирую затраты емени постав под по- . Значения сij – затраты времени на перегон вагонов со станции в пункт погрузки груза (табл. 2.55). Решение. Строим начальный опорный пл задачи ет м (напри ер методом вер западног у а). Среди за женны чеек выбираем ячейку с значением времени ij. Это ячейка Б2, ля которой cБ2 = 3. Эта величина определяет т осущ вля- ется план перевозок. из рассмотре- ния все свободные ячейки, для которых cij > cБ . Это ячейки Б1, . Мы их перечеркиваем и в д ьнейши расч не рассматриваем (таб .2 Таблица 2.55 1 2 3 4 Запас ijx Это ля ма , так й ц кле (3)T но, й ос етс а в (3) minT T= = ьны н п станций миними гру у кты тся ки вр лён на груза ку вагонов ри зк ан о любым м одо м , се о- гл гру х я наибольшим c д время, в Далее следуе ечение которого т исключить ест 2 х А4 ал етах л .56). А 1 40 2 20 3 4 60 Б 4 3 2 0 80 40 40 В 0 2 2 40 1 60 100 Потреб- ность 40 60 60 80 144 Таблица 2.56 1 2 3 4 Запас А 1 40 2 20 3 4 60 Б 4 3 2 0 0 (+) 80 (-) 4 40 В 0 2 ) 2 40 1 60 (-) 100 (+ Потр ность 0 еб- 40 60 8 60 Строим цикл (контур) разгрузки, основными требованиями дл ; 2) ячейка Б2 явля- етс Таблица 2.57 я которого являются: 1) наличие груза в разгружаемых ячейках я разгружаемой. Определяем величину груза, перемещаемого по циклу (ми- нимальное значение объема перевозок среди всех разгружаемых ячеек): min {40; 40} = 40. Перемещая груз, получаем новый опорный план (табл. 2.57). 1 2 3 4 Запас А 2 3 4 1 40 (- 20 (+) 60 ) Б 4 3 2 80 0 80 В 0 (+) 40 ( 2 1 2 -) 60 100 Потребность 40 6 8 60 0 0 145 Ячей в даль ка Б2 оказалась руженной. Мы е реч ркиваем и нейших расчетах не рассматриваем. реди загруженных ячеек выбираем ячейку с наибольшим зн , (табл. 2.5 1 2 3 4 разг е пе е С ачением времени cij. Это, например, ячейка В2, для которой cВ2 = 2. Следует исключить из рассмотрения все свободные ячейки, для которых cij > cВ2. Это ячейка А3. Строим цикл (контур) разгрузки, определяем величину груза перемещаемого по циклу (минимальное значение объема пере- возок среди всех разгружаемых ячеек): min {40; 40} = 40. Перемещая груз, по орный планлучаем новый оп 8): Таблица 2.58 Запас А 2 3 60 1 60 4 Б 4 80 2 (-) 0 +) 80 3 ( В 0 40 2 (+) 60 (-) 100 2 1 Потреб- 0 6 80 60 ность 4 0 Ячейка В2 оказалась разгруженной. Мы ее перечеркиваем и в дальнейших расчетах не рассматриваем. ур) разгрузки для ячейки В3, определяем вел перемещаемого по циклу (минимальное значе- ние Перемещая груз, получаем новый опорный план (табл. 2.5 Для ячейки А2, у которой cА2 = 2, нельзя построить разгрузоч- ный цикл. Строим цикл (конт ичину груза, объема перевозок среди всех разгружаемых ячеек): min {80; 60} = 40. 9): 146 Таблица 2.59 1 2 3 4 Запас А 60 60 1 2 3 4 Б 4 3 2 0 80 20 60 В 0 40 2 2 60 1 100 Потреб- ность 40 60 80 60 Ячейка В3 осталась неразгруженной, но для нее нельзя по- строить новый разгрузочный цикл. Следовательно, оптимальный план перевозок осуществляется за время T = cБ3 = cА2 = 2. Замечание. Построенный оптимальный план, обеспечивающий перевозку грузов в минимальный срок, не является оптимальным для це- левой функции minij ij i j f t x= →∑∑ . .5. Транспортные задачи в усложнённой постановке При решении практических задач зачастую приходится учиты- вать ряд дополнительных ограничений. 2 необходимо определить минимальные сум- марные затраты на производство и транспортировку продукции. С 1. Отдельные поставки от определенных поставщиков некото- рым потребителям должны быть исключены (из-за отсутствия не- обходимых условий хранения, чрезмерной перегрузки коммуника- ций и т.д.). Это достигается искусственным значительным завыше- нием затрат на перевозки сij в клетках, перевозки через которые следует запретить. 2. На предприятии 147 подобной задачей сталкиваются при решении вопросов, связанных с оптимальным размещением производственных объектов. Здесь может оказаться экономически более выгодным доставлять сырье из ритерий оптимальности принимают сумму дство и транспортировку продукции. нап более отдаленных пунктов, но зато при меньшей его себестоимо- сти. В таких задачах за к затрат на произво 3. Ряд транспортных маршрутов, по которым необходимо доста- вить грузы, имеют ограничения по пропускной способности. Если, ример, по маршруту AiBj можно провести не более q единиц гру- за, то Bj-й столбец матрицы разбивается на два столбца – jB′ и jB′′ . В первом столбце спрос принимается равным j jb b q′ = − , во втором – jb q′′ = . Несмотря на то, что фактические затраты сij в обоих столбцах одинаковы и равны исходным, в столбце jB′ вместо ис- тинного тарифа сij ставится искусственно завышенный тариф М (клетка блокируется). Затем задача решается обычным способом. 4. Поставки по определенным маршрутам обязательны и должны войти в оптимальный план независимо того, выгодно это или нет. В этом случае уменьшают запас груза у поставщиков и спрос потребителей и решают задачу относительно тех поставок, которые необязательны. Полученное решение корректируют с учетом обяза- тел с- по ределении об В1, мо от ьных поставок. 5. Необходимо максимизировать целевую функцию задачи тран ртного типа (например, задача об оптимальном расп орудования). Рассмотрим на примерах особенности решения транспортных задач в других моделях. Пример 2.15. 1. Построить математическую модель следующей транспортной задачи. В пунктах А1, А2, А3 производится однородная продукция в коли- чествах 30, 190, 250 единиц. Себестоимость изготовления единицы продукции в каждом пункте производства различна и соответствен- но равна 2, 4, 3 ден. ед. Готовая продукция поставляется в пункты В2, В3, В4, потребности которых 70, 120, 150, 130 единиц. Стои- сти перевозки единицы продукции из пункта Аi в пункт Bj заданы матрицей cij 148 4 7 2 3 3 1 0 4 5 6 3 7 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ задачи. 4. Методом потенциалов найти план перевозок продукции, при котором минимизируются суммарные затраты по ее изготовлению и доставке потребителям. 5. Определить максимально возможные суммарные затраты по изготовлени лить, как изменится решение исходной транспортной зад маршруту А В перевозки не могут быть осуществлены из-за пр ть перевезено не менее 100 ед. груза; оптимальный план перевозок продукции, который обеспечивает мини и грузов. Количе- ство транспортных для организации перевозок. Время до Аi в пункт наз 1. Перед построение й и следует добавить себестоимость произво и к соответствую- щим строкам матрицы бы получить сово- купные 6 9 4 5 4 3 4 5 4 8 3 5 3 9 6 10 + +⎡ ⎤ ⎤⎢ ⎥ ⎥+⎢ ⎥ ⎥⎢ + + ⎥⎣ ⎦ ⎦ . ни . Найти план перевозок продукции, при котором минимизируются суммарные затраты по ее изготовлению и доставке потребителям. 2. Построить табличную модель транспортной задачи. 3. Построить начальный опорный план транспортной ю и доставке продукции потребителям. 6. Опреде ачи, если требуется учесть ряд дополнительных условий: - по 1 4 оведения дорожных ремонтных работ; - по маршрутуА В должно бы3 2 - по маршруту А3В1 должно быть перевезено не более 50 ед. груза. 7. Найти мальное время транспортировк средств считать достаточным ставки груза из пункта отправления начения Вj принять равным cij. Решение. м математическо модел т ед ц рдс ва ини ы п одукци о с пе ост имо ти рев зок, что изводство и транспортир затраты на про овку продукции. В нашем случае матрица совокупных затрат примет вид: 2 4 2 7 2 2 2 3+ + ⎡ 1 4 0 4 4 7⎢+ + + = 6 3 3 3 7 8 ⎢+ + ⎥ ⎢⎣ Данную матрицу следует использовать для дальнейшего реше- я задачи. 149 xij – объем перевозок из пункта отправления Аi в пункт назначе- ния Вj. Тогда математическую модель сформулированной транспортной задачи можн ь мини- ма 31 32 33 34 - объем пост вен по- требности 50; 0; - объемы поставок числами = 1, 2, 3, 4. Следует также от яется сбалансиро- ванной а т Так, если бы о составляли бы 30, 190, 270 единиц п математическая модель задачи прин й потребитель): f = 6 + 7 x21 + + 8 x31 35 → min; о записать в виде: траты на перевозку груза должны быт- суммарные за льными f = 6 x11 + 9 x12 + 4 x13 + 5 x14 + + 7 x21 + 5 x22 + 4 x23 + 8 x24 + + 8 x + 9 x + 6 x + 10 x → min; - объем поставок из пункта отправления Аi должен равняться за- пасу имеющегося груза x11 + x12 + x13 + x14 = 30; x21 + x22 + x23 + x24 = 190; x31 + x32 + x33 + x34 = 250; авок в пункт назначения Вj должен быть ра x + x + x = 70; 11 21 31 x12 + x22 + x32 = 120; x13 + x23 + x33 = 1 x14 + x24 + x34 = 13 должны выражаться неотрицательными xij ≥ , i = 1, 2, 3, 0 j метить, что данная задача явл й, поскольку объем спроса р или з кры о авен объему пред- ложения: 70 + 120 + 150 + 130 = 470 = 30 + 190 + 250. Примечание. Если задача является несбалансированной (спрос не равен пред- ложению), необходимо добавить фиктивного поставщика или потребителя с недостающим объемом груза, чтобы свести задачу к закрытой. бъемы производства продукции ри прежних объемах спроса, то яла бы вид (добавлен фиктивны x11 + 9 x + 4 x + 5 x + 2 x15 + 12 13 14 + 5 x + 4 x23 + 8 x + 4 x22 24 25 + 9 x32 + 6 x33 + 10 x34 + 3 x 150 x11 x21 ; x31 0; x11 x12 x13 x14 левой функции также сле фи Если бы спрос на продукцию составил бы величи 160 единиц при х объемах производства, то математическая модель задачи приня ы вид ( авлен ф ивный тавщ f = 6 x11 9 x12 + 4 13 + 5 x14 + + 7 x21 x22 + 4 x23 + 8 x24 + + 8 x 9 x32 + 3 + 10 x + 0 x x42 + 0 x43 + 0 x44 n; x11 + 1 + 14 21 + x2 + x24 0; x31 + x32 + x33 + x34 = 250; x12 + x22 + x32 + x42 = 120; x13 + x23 + x33 + x43 = 150; x14 + x24 + x34 + x44 = 160; xij ≥ 1, . j = 1 4. Поскольку в математическую модель добавлен по- ставщ а для н го н величина се произ- водства ницы проду ии, то целево функции при перем х x41, x42, x44 буд т нулевые коэфф циенты 2. Та чная модель исходной тра портно задачи будет имет + x12 + x13 + x14 + x15 = 30; + x22 + x23 + x24 + x25 = 190 + x32 + x33 + x34 + x35 = 27 + x21 + x31 = 70; + x22 + x32 = 120; + x23 + x33 = 150; + x24 + x34 = 130; x15 + x25 + x35 = 20; xij ≥ 0, i = 1, ..., 3, j = 1, ..., 5. Отметим, что поскольку в математическую модель добавлен фиктивный потребитель, то для него в це дует учитывать себестоимость производства продукции (коэф- циенты при переменных x15, x25, x35). ну 70, 120, 150, прежни ла б доб икт пос ик): + + 5 x 31 + 6 x 3 34 + 41 + 0 → mi x 2 + x13 2 + x23 x = 30; = 19x x41 + x42 + x43 + x44 = 30; x11 + x21 + x31 + x41 = 70; 0, i = .., 4, , ..., фиктивный ик, е е определена бестоимости еди x , кц в й енны 43 бли у и . нс й ь вид. блица .60 Та 2 151 jB iA B1 B2 B3 B4 Запас A1 6 9 4 30 5 A2 7 5 4 8 190 A3 8 9 6 10 250 Потребность 70 120 150 130 Для я ввода фи потребителя абличная ь тран задачи примет вид (та . 2.60*) случа ктивного т модел спортной бл Таблица 2.60* jB 4 B5 (ФП) Запас B1 B2 B3 B iA A1 6 9 4 5 2 30 A2 7 5 4 8 4 190 A3 8 9 6 10 3 270 Потребность 70 120 150 130 20 Для случая ввода фиктивного поставщика табличная модель транспортной задачи примет вид (табл. 2.60**). Таблица 2.60** jB iA B1 B2 B3 B4 Запас A1 6 9 4 5 30 A2 7 5 4 8 190 A3 8 9 6 10 250 A4 (ФП) 0 0 0 0 30 Потребность 70 120 150 160 152 3. Для построения начального опорного плана транспортной за- дачи могут применяться следующие методы: - «северо-западного» угла (диагональный); - минимального элемента (минимальной стоимости) и др. Воспользуемся методом «северо-западного» угла. Загрузим левую верхнюю клетку (1;1) транспортной таблицы 2.61. Исходя из объемов спроса (70 ед.) и предложения (30 ед.), в данную клетку можно записать значение объемов поставок 30 ед. Для пункта потребления B1 остался неудовлетворенным спрос в 40 ед. продукции. Поскольку запас первого поставщика (пункта произ- водства А1) исчерпан, то мы не будем больше рассматривать остав- шиеся клетки из первой строки транспортной таблицы Переходим к лежащей ниже клетке (2;1). Исходя из оставшихся объемов спроса (40 ед.) и предложения (190 ед.), в данную клетку можно записать значение объемов поставок 40 ед. Потребность пункта назначения B1 теперь удовлетворена полностью. Поэтому далее в столбце B1 оставшиеся клетки рассматривать не будем. В пункте отправления A2 остался запас в 150 ед. продукции. Переходим к клетке справа (2;2) . в поставок 120 ед. Потребность пу как и ранее в столбце B2 оставшиеся клетки рассматриваться не будут. В пункте отправления A ался за в 30 ед. дукции Переходим к клетке (2;3). Исходя из щих объемов (150 ед предложения (30 ед.), в анную клетку можн записать значени бъемов тавок 30 ед. Запас второго оставщика - та производства А исчерпан с . Поэтому мы не м больше сматри ь остав ся кле из вто ой строки с- портно блицы. пу потр л B3 н ов о- р 120 к клет 3;3). Исходя из о ихся мов спроса (120 ед.) и предложения (250 ед.), в данную клетку можно записать зна ения B3 те ос- тался вая клетка тра . Исходя из имеющихся на данный момент объемов спроса (120 ед.) и предложения (150 ед.), в данную клетку можно записать значение объемо нкта назначения B2 удовлетворена полностью. Поэтому также 2 ост пас про теку . спроса .) и е о д о пос п (пунк 2) ват полно шие тью тки буде тран рас р й та Для нкта у еб ения остался еуд летв енным спрос в Переходим к ед. прод ке ( ции. ставш объе чение объемов поставок 120 ед. Потребность пункта назнач перь удовлетворена полностью. В пункте отправления A3 запас в 130 ед. продукции. леПереходим к клетке справа (3;4). Это нижняя нспортной таблицы. В силу сбалансированности исходной транспортной задачи оставшиеся объемы спроса и предложения для 153 данного маршрута совпадают и равны 130 ед. продукции. Поэтому в клетку (3;4) записываем поставку в 130 ед. Условие сбалансиро- ванности транспортной задачи является обязательным условием для построения ее табличной модели. Таким образом, начальный опорный план нашей транспортной задачи будет иметь вид (табл. 2.61) Таблица 2.61 jB iA B1 B2 B3 B4 Запас A1 6 30 9 4 5 30 A2 7 40 5 120 4 30 8 190 A3 8 9 6 120 10 130 250 Потребность 70 120 150 130 Значение целевой функции на данном опорном плане равно f = 30 ⋅ 6 + 40 ⋅ 7 + 120 ⋅ 5 + 30 ⋅ 4 + 120 ⋅ 6 + 130 ⋅ 10 = = 180 + 280 + 600 + 120 + 720 + 1300 = 3200. Воспользуемся методом минимального элемента. Минимальная стоимость перевозок (4 ден. ед.) записана в двух кле агрузке подлежит клетка (2;3), как им стью. Поэтому далее в столбце B3 оставшиеся клетки рассматриваться не будут. В ления A2 остался запас в 40 ед. Среди остав ихс клеток мин льна - мость перевозок (5 д ед.) та запис в двух тках (1;4). Исходя из текущих спроса и предложения, в клетку (2;2) можно записать значение объемов поставок ед. апа 40 ед., спрос – 120 ед.), а в клетку (1;4 ед. ( 30 ., спрос – 130 ед оэтом загрузке длеж т тка как имеющая больший объем став к. нкта равления A2 исчерпаны. Поэтому далее в строк A2 оставшиеся клетк с- тках (1;3) и (2;3). Исходя из объемов спроса и предложения, в клетку (1;3) можно записать значение объемов поставок 30 ед. (за- пас – 30 ед., спрос – 150 ед.), а в клетку (2;3) – 150 ед. (запас – 190 ед., спрос – 150 ед.). Поэтому з еющая больший возможный объем поставок. Потребность пункта назначения B3 удовлетворена полно пункте отправ- ш я незаполненных ен. има кле я стои (2;2) икже ана объемов 40 ас – (з с – ) – 30 и зап (2;2), ед .). П у по по кле Запасы возможный о пу отп е и ра 154 сматриваться не б т. В п е назначения B2 ся неудовле- т с в 8 . прод . грузка ки (2;2) не пов ла на щее состоя- ни спроса и предложения в первой строке и четвертном столбце тра 1;4), куда пасы пункта отпр оке A1 ос- тав . уду ункт остал воренным спро оскольку за 0 ед клет укции П е лия теку нспортной таблицы, то далее загрузке подлежит клетка ( следует записать значение объемов поставок 30 ед. За авления A1 исчерпаны. Поэтому далее в стр шиеся клетки рассматриваться также не будут. В пункте назна- чения B4 остался неудовлетворенным спрос в 100 ед. продукции. Для рассмотрения осталась только одна третья строка транс- портной таблицы. Заполним оставшиеся клетки, исходя из объемов неудовлетворенного спроса: в клетке (3;1) – 70 ед. груза, в (3;2) – 80 ед. груза, в (3;4) – 100 ед. груза Таким образом, начальный опорный план нашей транспортной задачи будет иметь вид (табл. 2.62) Таблица 2.62 jB iA B1 B2 B3 B4 Запас A1 6 9 4 5 30 30 A2 8 190 7 40 5 4 150 A3 10 0 250 8 70 80 9 6 10 Потребность 20 150 130 70 1 Значение целевой функции на данном опорном плане равно f = 30 ⋅ 5 + 40 ⋅ 5 + 150 ⋅ 4 + 70 ⋅ 8 + 80 ⋅ 9 + 100 ⋅ 10 = = 150 + 200 + 600 + 560 + 720 + 1000 = 3230. Ни один из не является опти- мальным реше пает лишь в качест- ве начального опорного плана на оптимальность используем метод потенциалов. 4. Методом озок продукции, при котором минимизируются суммарные затраты по ее изготовле- найденных планов в общем случае нием транспортной задачи, а высту приближения к нему. Для проверки и последующего его улучшения потенциалов найдем план перев 155 ни ов таблицы. Расчет потенциалов проводим по загруженным клеткам транспорт- ной таблицы. u1 + v4 = 5; u1 = 0; v1 = 3; u3 = 10; u ; v2 u3 + 1 = 8; u3 v3 = 3; u + v 9; v = 5. 2 + v = + v3 Проверим опорный план ность. Для эт н а- груженным клеткам выч с ен ij = ui + vj – . Δ11 = u1 + v 0 + 3 – 6 = –3; 12 = v2 – 0 + = –5 Δ13 = v3 – = 0 + 3 4 = –1; Δ21 = u2 + v1 – c21 = 1 + 3 – 7 = –3; 33 3 3 33 ;3) будет перспек- тив льности (в качестве вершины максимальной неоптимальности выбирают ячейку с наи- большим положительным значением Δij) таблица 2.6 ца 3 ю или доставке потребителям. В качестве исходного опорного плана выберем план, полученный методом минимального элемента. Количество загруженных клеток равно 6, что равно числу 1m n+ − =3+4-1=6, то есть, план является опорным и невырожден- ным. Можно вычислять потенциалы строк и столбц + v4 v ⇒ 2 = 1 = 5; = 4; 3 u 2 = 4 2 = 5; u2 4; лим оц на оптималь ого по ез и ки Δ cij 1 – c11 = Δ u1 + c12 = 4 – 9 ; u1 + c13 – Δ24 = u2 + v4 – c24 = 1 + 5 – 8 = –2; Δ = u + v – c = 5 + 3 – 6 = 2 > 0. Опорный план не является оптимальным, поскольку среди неза- груженных ячеек имеется Δ33 = 2 > 0. Ячейка (3 ной или вершиной максимальной неоптима 3 Табли 2.6 jB iA B1 B2 B3 B4 Запас ui A1 6 9 4 5 30 30 0 A2 7 (+) 4 1 5 0 (-) 4 50 8 190 1 A3 8 9 6 10 250 5 156 70 (-) (+)* 100 80 Потребность 70 120 150 130 vj 3 4 3 5 Среди разгруж к аход и ую величину по- ставок: n 50; 0 Для всех разг л ок уменьша объем перевозок на эту величину, а д мы – увеличиваем. Таблица 2.64 аемых ячее н им мин мальн mi {1 80} = 8 . ружаемых к ет ем ля загружае х Получаем транспортную таблицу 2.64 вида jB B B2 B B4 Запас ui 1 3 iA A1 30 30 0 6 9 4 5 A2 7 5 120 4 70 8 190 3 A3 8 70 9 6 80 10 100 250 5 Потребность 70 120 150 130 v 3 2 1 5 j Количество загруженных клеток не изменилось, т.е. план остался невырожденным. Вычислим потенциалы по загруженным клеткам транспортной таб 3 1 3 3 u3 + v3 = 6; v4 = 5. u 2 + v3 = 4; u2 + v2 = 5; Проверим опорн план . Δ11 = u1 v1 – c11 – 6 = –3; Δ1 u1 v c12 –Δ13 = u1 v3 – c13 – 4 = –3Δ2 u2 + v = 3 + 3 – = лицы. u 1 + v4 = 5; u1 = 0; v1 = 3; u3 + v4 = 10; ⇒ u2 = 3; v2 = 2; u + v = 8; u = 5; v = 1; ый на оптимальность + + = 0 + 3 = 0 + 2 2 = 2 – 9 = –7; ; + = 0 + 1 1 = 1 – c21 7 –1; 157 Δ2 = u2 v – c24 – 8 = 0; Δ3 + v = 5 = лан я ется маль поскольку среди незагру- женных дл всех выполнен услови (2.3.3) то есть - Δij . при оптимальном пл 0 5 + 120 4 2 = + 4 2 – = 3 + 5 u3 вля c32 опти + 2 – 9 ным, –2. Опорный п клеток я о е , 0≤ Определим величину минимальных затрат ане перевозок: f = 3 ⋅ ⋅ 5 + 70 ⋅ 4 + 70 8 + 80 ⋅ ⋅ 6 + 100 ⋅ 10 = = 150 + 600 0 + 480 + 10 = 3070 ден. ед. Заметим, что д а ьный е ся единственным, поскольку сущес р енн т ), для которой . Рассмотрим о н еду щего вида (может быть полу- чен путем перераспределения поставок по контуру с вершиной мак- симальной неоптимальности в клетке (2;4)) таблица 2.65 Таблица 2.65 + 280 + 56 м 00 анный опти л план н являет твуют незаг уж ая кле ка (2;4 24 0Δ = порный пла сл ю jB iA B B2 B B1 3 4 Запас ui A1 5 30 0 6 9 4 30 A2 8 190 3 7 5 120 4 70 A3 8 70 9 6 150 10 30 250 5 Потребность 70 120 150 130 vj 3 2 1 5 От u3 = 5; v3 = 1; метим, что план является невырожденным. Вычислим потенциалы по загруженным клеткам транспортной таблицы. u 1 + v4 = 5; u1 = 0; v1 = 3; u2 + v4 = 8; ⇒ u2 = 3; v2 = 2; u3 + v4 = 10; u3 + v1 = 8; v4 = 5. u3 + v3 = 6; u2 + v2 = 5; 158 Проверим опорный план на оптимальность. Δ11 = u1 + v1 – c11 = 0 + 3 – 6 = –3; Δ12 = u1 + v2 – c12 = 0 + 2 – 9 = –7; Δ13 = u1 + v3 – c13 = 0 + 1 – 4 = –3; Δ21 = u2 + v1 – c21 = 3 + 3 – 7 = –1; Δ23 = u2 + v3 – c23 = 3 + 1 – 4 = 0; Δ32 = u3 + v2 – c32 = 5 + 2 – 9 = –2. Опорный план является оптимальным, поскольку среди незагру- женных клеток для всех выполнено условие (2.3.3) - Δij 0≤ . данном опти-Определим величину минимальных затрат при мальном плане : f = 30 5 + 120 перевозок ⋅ ⋅ 5 ⋅ ⋅ 8 + 150 ⋅ 6 + 30 ⋅ + 70 8 + 70 10 = 150 + 600 + 560 + 560 + 900 + 300 = 3070 ден. ед. Отметим, что оба оптималь ы лана различны значение целевой нкции для обо планов и ово 5. При определении м с мальн в н уммарных ат по изготовлению дост к ду ции потребителям ож о- с из дву осо знак в рице cij на отивоп ный и ре- ша ным, если все Δij ≥ 0. Рассмотрим подробнее второй способ решения. Поскольку задача решается на максимум, постро опорный план, оль сь методом максимального эл по о- стью аналогичен методу минимально леме но ую е- редь подлежат загрузке л аибольшим тари ом). Опорный план нашей т о а ачи буде меть ид (табл. 2.66) 2.66 = хотя н х п нак , фу их од . ак ав и о к озмож ых с затр и е про бо м но п тупить одним ) Изменить х сп мат в: затрат пр олож1 ть задачу аналогично описанному выше. Отрицательное итоговое значение затрат (максимальные затраты) считать положительным. 2) Выбирать в качестве вершины максимальной неоптимально- сти вершину, для которой Δij принимает наименьшее отрицательное значение. План будет оптималь им начальный п зуя емента ( в перв лн оч го э нта, к етки с н ф рансп ртной з д т и в Таблица jB iA B1 2 B3 B4 Запас B A 1 6 9 34 5 0 159 30 A2 7 70 5 4 120 8 190 A3 0 10 30 250 8 2 1 9 6 1 Потребность 70 150 130 120 Данный опорн л вырожденным, поскольку со- держит 5 загруж то необходимых 6. Поэтому в пр р,(1;2)) запишем ну- лев ю поставку (табл. 2.67) Таблица 2.67 ый план яв яется енных клеток вмес оизвольную незагруженную клетку (наприме у B j iA B1 B2 B3 B4 Запас ui 6 (+) 9 0′ (-) 4 5 30 30 0 A1 2 7 70 5 4 120 8 190 0 A3 8 (-) 9 120 6 (+) * 10 130 250 0 Потребность 70 120 150 130 vj 7 9 4 10 Вычислим потенциалы по загруженным клеткам транспортной таблицы. U + v = 4; u = 0; ; v = 7;1 3 1 1 u2 + v3 = 4; u2 = 0; v2 = 9; u1 + v2 = 9; u3 = 0; v3 = 4; u2 + v1 = 7; v4 = 10. u 2 = 9; u3 v4 = 10; Проверим опорный ан на оптимальность. Δ1 1 v – c11 0Δ1 1 + v c14 0 – 5 = 5; Δ2 u2 + v 22 = 0 + 9 – 5 = 24 = v4 0 8 = Δ31 = + v1 – = 0 + = –1 ; 3 + v + пл 1 = u 4 = u + 1 4 – = + 7 – 6 = 1; + 10= 2 = 2 – c 4; Δ u2 + – c24 = + 10 – 8 2; u3 c31 7 – < 0 160 Δ33 = u3 + v3 – c33 = 0 + 4 – 6 = –2 < 0. не является оптимальным, поскольку среди неза- гру . Стро рерасп ия к. Среди разгр е к н минимальную величину поставок: in 30; 0 Для всех раз клеток -) умень ъем перевозок на эту величину ж мы (+) – ув иваем. Таблица 2.68 Опорный план женных клеток имеются такие, для которых Δij < 0 (Δ31 = –1 < 0, Δ33 = –2 < 0). Клетка (3;3) будет вершиной максимальной неопти- мальности им контур пе л ределен поставо ужаемых к то аходим m { 120} = 3 . гружаемых а ( шаем об , для загру ае х елич Получаем транспортную таблицу 2.68 вида jB B1 B2 B3 B4 Запас ui iA A1 5 30 0 6 9 4 30 A2 70 120 190 –2 7 5 4 8 A3 8 9 90 6 10 30 130 250 0 Потребность 70 120 150 130 vj 9 9 6 10 К v = 9; ьность. оли невырожденным. чество загруженных клеток не изменилось, т.е. план остался Вычислим потенциалы по загруженным клеткам транспортной таблицы. U + v = 9; u = 0;1 2 1 1 u3 + v2 = 9; ⇒ u2 = –2; v2 = 9; u3 + v3 = 6; u3 = 0; v3 = 6; u3 + v4 = 10; v4 = 10. U2 + v3 = 4; u2 + v1 = 7; Проверим опорный план на оптимал Δ11 = u1 + v1 – c11 = 0 + 9 – 6 = 3; Δ13 = u1 + v3 – c13 = 0 + 6 – 4 = 2; 161 Δ14 = u1 + v4 – c14 = 0 + 10 – 5 = 5; Δ22 = u2 + v2 – c22 = –2 + 9 – 5 = 2; Δ = u + v – c = –2 + 10 – 8 = 0; 24 2 4 24 Δ31 = u3 + v1 – c31 = 0 + 9 – 8 = 1. Опорный план является оптимальным, поскольку для всех неза- гру енных клеток Δij Определим величину максимальных затрат пр плане перевозок: f = 30 9 + 70 0≥ . ж и оптимальном ⋅ ⋅ ⋅ 4 + 90 9 + 30 ⋅ ⋅ 6 + 130 ⋅ 7 + 120 10 = = 270 + 49 0 0 3530 д ед. 6. Найти решени исходной транспортной адачи с етом до- полнительных усл ви . Запрет перевозок по маршруту А В4 достигается путем искусст- венного завышения о мости перевозок в у занной я й а- пример анием личины 50 ден. ед.). Для выполнения лов типа «н менее» е. учет язатель- ных поставок по заданн м маршрутам) ет уменьшить о ы спроса и предложения в заданных пунктах отправления и назначе- н ю ч (т.е авить обяз ны поста- вок). После нахождения тима ого решения от орректиру- етс с учетом обязательных поставок. тра но возможному объему поставок, а другого – ос- тавшемуся спросу. Тарифы в обоих столбцах одинаковы и равны ис- ходным. Исключение составляет лишь одна ячейка из в (по заданному маршруту), которая должна быть блокир С учетом д полнительных условий табличная модель на й транспортной зад р ви абл. 2.69) Таблица 2.69 0 + 480 + 81 + 180 + 13 0 = ен. е й з уч о 1 , зад ст и ка че ке (н ве ус ий е (т. а об ы следу бъем ия на указанну вели ину оп . изб льн ся от атель вет к х я Ограничение типа «не более» реализуется путем разбиения столбца нспортной таблицы на два столбца. Спрос одного из них полагают равным максималь торого столбца ована. о ше ачи п имет д (т jB iA B1( B1 B 3 B4 Запас 1) (2) 2 B A1 6 6 9 50 30 4 162 A2 7 7 5 4 8 190 A 8 50 9 6 10 150 3 Потребность 50 20 20 150 130 Построим на ный п о нимального эле- мента (табл. 2.7 Таблица 2.70 чальный опор лан мет дом ми 0) jB B1(1) B1(2) B2 B3 B4 Запас ui iA 9 4 50 (-) 6 (+) 6 0A1 30 ′ 30 0 190 1 7 (-) 7 5 4 (+) 8 20 20 150 * A3 20 0 2 8 50 9 6 10 15(+) 130 (-) Потребность 5 0 20 20 150 130 vj 6 6 4 3 8 Количество загр диницу меньше Следовательно, опорный план является вырожденным. За- v (1) = 6; u = 0; v (1) = 6; = 6; u2 + v2 = 5; v = 3; u2 + v3 = 8. уженных клеток равно 6, что на е 1m n+ − . пишем нулевое значение в клетку (1;1 (2) ) и будем считать ее загру- женной. Вычислим потенциалы по загруженным клеткам транспортной таблицы. u 1 + 1 1 1 u1 + v1(2) = 6; u2 =1; v1(2) u2 + v1(2) = 7; ⇒ u3 = 2; v2 = 4; 3 4; v4 = u 3 + v1(1) = 8; u3 + v4 = 10; 163 Проверим опорный план на оптимальность. Δ = u + v2 – c12 = 0 + 4 – 9 = –5; 1 v3 13 = 0 + 3 – 4 = –1; Δ = u1 + v4 – c = 0 + 8 – 50 = –42; (1) 2 + v1(1) (1) = + 6 – 7 = 0 2 4 – c = 1 + 8 8 = 1 ; Δ31 = 3 (2) + 6 – 5 = Δ = u 2 c = 4 9 – 33 u3 + 3 – c33 = 2 + 3 – 6 = –1. Опорный план явл тся оптимальным, поскольку среди неза- гру естве вершины максималь- но ием ij). конту д ени о Среди разгр т к на минимальную величину поставок: { ; 20 = Для всех раз клеток меньша ем перевозок на эту величину, а ем х – увеличиваем. Получаем тр таблицу .71 вида Таблица 2.71 12 Δ13 1 = u + – c 14 21 14 –Δ Δ = = u u c21 1 ; 24 + u v 24 – – 2 > 0 0(2) + v1 v – c31(2) = 2 + –42; 32 3 + 32 – = 3; Δ = v не яе женных клеток имеется Δ24 = 1 > 0. Клетка (2;4) будет вершиной максимальной неоптимальности (в кач й неоптимальности выбирают клетку с набольшим положитель- ным значен Δ Строим р перераспре ел о я постав к. ужаемых кле ходим min 30 ; 130} 20. гружаемых у ем объ для загружа ы анспортную 2 jB iA B апас ui 1(1) B1(2) B2 B3 B4 З A1 0 6 10 6 9 4 50 30 20 A2 190 0 7 7 5 4 8 20 150 20 A3 40 110 150 2 8 50 9 6 10 Потребность 50 20 20 150 130 v 6 6 5 4 8 j 164 Количество загруженных клеток не изменилось. Следовательно, опорный план остался невырожденным. Вычислим потенциалы по загруженным клеткам транспортной таблицы. u1 + v1(1) = 6; u1 = 0; v1(1) = 6; + v1(2) = 6; u2= 0; v1(2) = 6; 3 + v (1) 8; u3 = 2 v2 = 5; u3 + v4 10; v3 = 4. U2 + v4 = 8 v 8; u2 2 = 5; u2 + v3 = 4 Проверим опорный план птима ть. Δ = u1 + c12 – = u1 + 3 = 0 4 = Δ u + v = 0 + 8 = u + v (2) – c (2) = 0 + 6 – 7 = –1; - е- ⇒u1 u 1 = = ; ; 4 = + v ; на о льнос 12 Δ v2 – v = 0 + 5 9 –4; 0 13 = = 3 – c1 – c + 4 – – 50 = – ; 42; 14 1 4 14 Δ21(1) = u2 + v1(1) – c21(1) = 0 + 6 – 7 = –1; Δ21(2) 2 1 21 Δ31(2) = u3 + v1(2) – c31(2) = 2 + 6 – 50 = –42; Δ = u + v – c = 2 + 5 – 9 = –2; 32 3 2 32 Δ33 = u3 + v3 – c33 = 2 + 4 – 6 = 0. Опорный план является оптимальным, поскольку среди незагру женных клеток нет таких, для которых Δij > 0. Учтем обязательные поставки, которые были исключены ранее, вернем прежние знач ния тарифов и объединим столбцы B1(1) и B1(2). В результате получим таблицу2.72 следующего вида Таблица 2.72 jB iA B1 B2 B3 B4 Запас A1 6 30 9 4 5 30 A2 7 5 20 4 150 8 20 190 A3 8 40 9 6 10 110 2100 50 Потребность 70 120 150 130 165 Минимальные суммарные затраты на возку дополни- т равн f пере с учетом ельных условий ы = 30 ⋅ 6 + 20 ⋅ 5 + 150 ⋅ 4 + 20 ⋅ 8 + 40 ⋅ 8 + 100 ⋅ 9 + 110 ⋅ 10 = = 180 + 100 + 600 + 160 + 320 + 900 + 1100 = 3360 ден. ед. Таким образом, в силу учета дополнительных условий суммарные затраты по изготовлению и доставке продукции потребителям уве- личились на 3360 – 3070 = 290 ден. ед. 7. ку груза из пункта отправ- ления Аi в пункт назначения Вj. Построим начальный опорный план транспортной дом «северо-зап дного» угла (табл. 2.73) абли Построим табличную модель транспортной задачи без учета за- трат на производство продукции. В качестве тарифов используем матрицу cij – затраты времени на достав задачи мето- а Т ца 2.73 jB iA B1 B2 B3 B4 Запас A 1 4 7 2 3 30 30 A2 3 40 1 12 0 4 0 30 190 A3 5 6 3 120 7 130 250 Потребность 70 120 150 130 Среди загруженных кл ку с наибольшим зна- чен ели- чина определяет время, в течение которого осуще перевозок. Далее следует исключить из рассмотрен ные клетки, для cij > c34. Таких клеток в данном плане нет. Строим цикл (конт разгру основными требованиями - торо о являются: 1) наличие груза в разгружаемых клетках; 2) клетка (3;4) является разгр ( бл. 2. ) лиц 4 еток выбираем клет ием времени cij. Это клетка (3;4), для которой c34 = 7. Эта в ствляется план ия все свобод- которых ур) зки, для ко г ужаемой та 74 Таб а 2.7 jB B1 3 З iA B2 B B4 апас A1 4 7 2 3 30 166 30 A2 40 120 30 * 3 1 (-) 9 (+) 4 190 A3 130 250 5 6 (+) 3 120 (-) 7 Потребность 70 120 150 130 Определяем величину груза, перемещаемого по циклу (минималь- ное значение объема перевозок среди всех разгружаемых клеток): min {30; 130} = 30. Перемещая груз, получаем новый опорный план (табл. 2.75) Таб иц 5 л а 2.7 jB iA B 1 B2 B3 4 Запас B A1 4 30 7 2 3 30 A2 3 40 (-) 1 120 0 (+) 4 190 30 A3 5 (+) 6 * 3 150 (-) 7 100 250 Потребность 70 120 150 130 Клетка (3;4) осталась еще загруженной. Поэтому для нее строим ещ груза, перемещаемого по циклу: m Пе е контур. Определяем величину in {120; 100} = 100. ремещая груз, получаем новый опорный план (табл. 2.76): Таблица 2.76 jB iA B1 B2 B3 B4 Запас A1 4 30 7 2 3 30 A2 40 (-) 3 20 (+) 1 0 4 130 190 A3 * (+) 5 6 100 (-) 3 150 7 250 167 Потребность 70 120 150 130 Клетка (3;4) оказалась разгруженной. Мы ее перечеркиваем и в дал уженных клеток выбираем клетку с наибольшим зна- сключаем из ij c32. Такая клетка , пе- ремещаемого по циклу: min {40; 100} = 40. Перемещая груз, п чаем новый опорный план ( . 2.7 Таблица 2.77 ьнейших расчетах не рассматриваем. Среди загр чением времени cij. Это клетка (3;2), для которой c32 = 6. И рассмотрения все сво орых c > бодные клетки, для кот одна –(1;2). Для клетки (3;2) строим контур. Определяем величину груза олу табл 7) jB iA B1 B2 B3 4 З B апас A1 (-) 30 4 7 2 (+) * 3 30 A 2 3 60 0 4 130 (-) 190 (+) 1 A3 5 40 (+) 6 60 (-) 3 150 7 250 Потребность 70 120 150 130 Клетка (3;2 е строим еще контур. О ) осталась еще загруженной. Поэтому для не пределяем величину груза, перемещаемого по циклу: min {30; 130; 60} = 30. Перемещая груз, получаем новый опорный план (табл. 2.78) Таблица 2.78 jB iA B1 B2 B3 B4 Запас A1 4 7 2 3 30 30 A2 3 1 0 4 190 168 90 100 A3 5 6 3 7 250 70 30 150 Потребность 70 120 150 130 ь узочный цикл для клетки (3;2). Следовательно, оптимальный пл 2.6. Транспортная задача в сетевой форме матричной формы ранспортная задача может быть представлена виде сх ы сети. Сетевая рма транспортной зада- чи является более наглядной, так как хорошо отражает реальную картину перевозок. Кроме того, сетевой метод позволяет учесть пропускную способность отдельных участков дорожной сети, тогда как матричная форма позволяет уч пропускную способ- ность п пунктов. Сетевая фор портной дачи тре- буе меньше подготовительных работ. Если погрузка выгрузка сов Данное решение является оптимал ным, так как нельзя построить разгр ан перевозок осуществляется за время T = c32 = 6. Кроме т в ем фо есть только ма трансриёмных за ит ершаются в узлах, то для решения задачи требуется всего лишь раз составить макет сети с указанием расстояния или стоимости пе- ревозки. Рассматриваемая задача непосредственно связана с теорией графов. 2.6.1. Основные понятия теории графов Графом называется множество точек, соединённых линиями. Обозначается граф ( , )G I K , где I = 1, 2, …, n –множество то- чек. очки, входящие в о I , Т множеств называются вершинами гра- фа. - множество отрезков, соединяющих вершины графа. Эти отрез- ки называются рёбрами графа. Пример графа показан на рисунке 2.6.1. K 169 Точки 1, 2, 3, 4, 5 являются вершинами графа. Рёбрами являются отрезки (1-2), (1-3), (1-4), (1 Если рёбра ориентированы , ук движе (ри ванные называется смешанным (рис. 2.6.4). вер афа называются смеж ли они - единены ребром. Для графа, показанного на рис. 2.6.3, смежными явл ыми, если между их вершинами существу- ет ветствие, сохраняющее смежность (рис.2.7.5). -5), (2-3), (3-4), (2-5), (3-5), (4-5). графа , то есть азано направление - ния, то граф называется ориентированным (рис.2.6.2). Если рёбра графа не ориентированы, то граф называется неориентированным с.2.6.3). Граф, в котором есть и ориентированные ребра, и неори- ентиро ными, есЛюбые две сошины гр яются пары вершин: (1-2), (1-3), (1-5), (2-4), (3-4), (4-5). Два гра- фа называются изоморфн соот 1 2 3 5 4 Рис. 2.6.4 1 2 3 5 4 Рис. 2.6.3 1 2 3 4 2 5 53 4 1 Рис. 2.6.2 Рис. 2.6.1 170 Изоморфизм графов означаютоб G H≅ . Подграфом графа на- зывается граф, у которого все вершины рёбра принадлежат графу Для графа, приведённого на рис.2.6.6, подграф на рис. 2.6.7. G и G . показан Граф, у которого все вершины соединены между собой, называ- ется полным (рис.2.6.8). 1 12 2 3 34 Рис.2.6.7 Рис.2.6.6 1 2 3 6 5 4 Рис.2.6.5 G 1 3 2 3 4 5 6 6 H 2 1 3 1 3 5 44 2 Рис. 2.6.9 Рис. 2.6.8 171 Степенью вершины называется число рёбер графа, которым принадлежит эта вершин Для графа, показан ого на рис. 2.6.9, степень первой вершины равна 1, степень второй вершины равна 2. Степень вершины может быть чётно или нечётной. Число вершин нечётной степени – чётно. Это утверждение справедливо для лю- бого графа. Дугой на графе вается ориентированная пара а. н й назы ( , )i jx x вершин ix и jx . Например, для графа, показанного на рис. 2.6.10, дугами являются: (1-2), (2-1), (3-4) и (4-3). тём (маршрутом) на называется последовательность сцепленных ду позволяющих пройти из одной вершины в другую. Для графа, показанного на рис. 2.6.11, примерами пу являются: (1-2-5-6), (1-2-5-4), (1-4-6), (1-4-6-5)Б (1-4-5-2). Маршрут называется , если все его рёбра различны. При- мером цепи является рис. 2.6.12. Цепь называется простой, если все её р остая цепь. Пу графе г, ти цепью вершины азличны. На приведённом примере показана пр Рис. 2.6.12 1 2 3 4 5 6 7 1 2 4 3 2 1 3 5 4 6 Рис.2.6.10 Рис.2.6.11 172 Замкнутая простая цепь называется циклом. Пример цикла пока- зан на рис. 2.6.1 Цикл, содержащий отличные друг друга рёбра , называется простым, в противном случае – сложным. Контур, об- разованный одной дугой, назы ается петлёй. На рис. 2.7.13. показа- на петля на вершине 6. 2.6.13 Рис. 2.6.14 Гамильтоновым циклом (путём) на графе называется цикл, про- ходящий через каждую вершину графа только один раз. Гамильтонов цикл (путь) всегда является простым. Он может не содержать все рёбра графа. Граф, обладающий гамильтоновым циклом, называется гамиль- тоновым графом. Пример гамильтонова графа приведён на рис. 2.6.14. Гамильтонов цикл показан пунктирной линией. На графе может быть несколько гамильтоновых циклов. 3. от в Рис. 2 2 1 5 3 61 3 4 4 5 5 2 3 1 5 Рис.2.6.15 4 1 2 3 6 4 Рис.2.6.16 173 Если в графе существует маршрут, соединяющий две любые вершины, то граф называется связным. (рис. 2.6.15). Связный граф, не содержащий циклов, называется деревом. Для графа, показанного на с. 2.6.16, деревом является граф, приведён- ный на ри 17. ри с.2.6. еди тс дён с. , висячими будут верши Ветвями дерева являются рёбра графа, входящие в дерево. Для расс имера (рис.2.6.1 4), (4- (3-5). Граф без циклов в ет собой деревьев аф, элементам ветствие некоторые параметры, называется сетью. Параметры за- н г графа. Параметром вершины i являет- ся называемое интенсивностью или диверген- ист 5 2 3 4 Дерево не имеет петель и кратных рёбер, и любые две вершины связаны единственной цепью. Вершины дерева, степень которого равна нице, называе я висячей. Например, для дерева, приве- 6 Рис.2.6.17 Рис.2.6.18 1 ного на ри 2.6.17 ны 1, 2, 5 и 6. матриваемого пр 7) ветвями являются рёбра (1- 6), (3-4). (2-3) и , состоящий из несколь- ких деревье , называется лесом. То есть, лес представля объединение (рис. 2.6.18). Ориентированный гр которого поставлены в соот- даются для верши и для ду некоторое число ia , цией idiva . Вершины, для которых 0idiva > , называются очниками, вершины, для которых - 0idiva < называются сто- ками. Если 0idiva = , то - нейтральными. Для транспортной сети источниками являются пункты отправле- ния грузов и пассажиров, стоками – грузо - и пассажиро - погло- щающие пункты. Нейтральными являются все пункты, в которых 174 нет ду некоторое число называемое п ю дуг Пропускная пособность тр ортной сети максимальным количеством груза, которое со муникация может пропустить еди Потоком на сети называется фун дуге целое число ни потребления, ни производства. Параметром ги является ропускной способность и ансп определяется ответствующая ком- ницу времени. кция, сопоставляющая каждой ijd , ( , )i j . с за ( , )i j ijx и обладающ ij ая следующими свойствами: ( , ),0 ijx d i j G≤ ≤ ∈ , (2.6.1) 1 1 m n ik kj i j x x = = =∑ ∑ , (2.6.2) для вершин k , не являющихся ни источником, ни стоком, sk ks k k x x ′=∑ ∑ , (2.6.3) где s - источник, s′ - сток. Условия означают: - поток п ревышать пропускную спо-о любому ребру не может п собность ребра (2.6.1); м- для вершин, не являющихся ни источником, ни стоко , коли- чество ввозимого груза должно равняться количеству вывозимого груза (2.6.2); - сколько груза вывозится от грузоотправителей, сколько и вво- зится грузополучателям (2.6.3). Разрезом в сети, отделяющим источник s и сток s′ , называется множест дуг во вида ( , )X X , 2 где s X∈ , а s X′∈ , X X I∪ = - множест шин графа. Подмноже во вер- ства и X 51 X - не пересекаются. Множе- ство X (рис.2.6.19) составляют вершины 3, 4 и 6, а множество X вершины 1, 2 и 5. Разрез составляют дуги (1- 3 4 6 - Рис.2.6.19 175 3), (2-3),(2-4), (2-6), (5-6). То есть, в разрез входят только те дуги, которые начинаются во множестве X и заканчиваются во множе- стве X . Проп способность разреза равна сумме собн входящих в разрез: ускная пропускных спо- остей дуг, ( , ) ij i X j X d X X d ∈ ∈ = ∑ . (2.6.4) Для любой сети максимально возможный поток из в s s′ равен ности разреза, отделяющего от ся насыщенной, если пот пу сти. Если поток на дуге насыщенной, а если поток равен лировка нспорт Пуст анспортная с каждой дуги минимальной пропускной способ s s′ . Дуга называет ок на ней равен её про- скной способно меньше её пропускной способности, то дуга является не нулю, то свободной. 2.6.2. Математическая форму тра ной задачи на сети ь дана тр еть с n вершинами и m дугами. Для ( , )i j задана стоимость перевозки единицы продукции ность - И ков и потребности потребителей ij и пропускная способ звестны мощности поставщи-c ijd . ia jb . - Требуется так прикрепить поставщиков к потребителям, чтобы суммарные транспортные рас- ходы были минимальными. Математически это выражается сле- дующим образом, что: в данном случае f - целевая функция f = minij ij i j c x →∑∑ , (2.6.5) ограничения , ,ik kj i k j x x a k I+ = ∈∑ ∑ (2.6.6) где I - множество поставщиков, 176 , ,ij kj j i k x x b j J+ = ∈∑ ∑ (2.6.7) где J - множество потребителей, , ,ik kj i k x x k T= ∈∑ ∑ (2.6.8) где T - множество промежуточных пунктов, ,ij ijx d≤ (2.6.9) 0,ijx ≥ (2.6.10) ,i j i I j J a b ∈ ∈ =∑ ∑ (2.6.11) Ограничени количество авщика, должно бы ом, ни елем, но быть равно количеству вывозимого я означают: груза, вывозимого от пост- (2.6.6) ть равно его мощности, - (2.6.7) количество груза, ввозимого к потребителю, не должно превышать его потребности, для любой вершины, не являющейся ни поставщик- (2.6.8) потребит количество ввозимого груза долж из него гру , за - (2.6.9) количество груза, перевозимого по каждой дуге ( , )i j , не должно превышать её пропускной способности, - (2.6.10) количество перевозимого груза является величиной нео ть равно потребностям всех потребителей (задача будет зак ске о отока трицательной, - (2.6.11) количество груза, вывозимого от всех поставщиков, должно бы рытой). Решение задачи заключается в пои птимального п *X (потока минимальной стоимости), который удовлетворял бы усло- ви ся к клас- су ям (2.6.5)-(2.6.11). Сетевая транспортная задача относит задач линейного программирования и является специальной. Особенность задачи связана с тем, что матрица ограничений содер- жит лишь ( (2 / ( ))100% (2 / )100%m m n n⋅ = ненулевых элементов (m - число дуг, n - число узлов(вершин)). Для решения такой зада- 177 чи н с 2.6.3. Метод потенциалов для решения транспортной задачи на сети , и . Алгоритм метода потенциалов 1. Строится начальный опорный пла План по воз- можным ршрутам еревозок. Опорный план должен удовлетво- рять следующим требованиям: а) все запасы грузов должны быть вывезены от поставщиков; б) потребности потребителей должны бы полностью удовле- творены: в)общее количество нап дуг должно быть на еди ни аиболее приемлемым является метод потенциалов, являющийся етевой детализацией прямого симплекс - метода. Требуется найти оптимальный план перевозок грузов на сети, обеспечивающий минимум транспортных затрат. Груз является од- нородным пропускная способность сети не ограничена н. строится ма п ть m равленных - цу меньше числа вершин, то есть, ( 1)n − . Иначе, если 1m n< − , то вводятся дуги с нулевыми поставками; г) дуги не должны образовывать замкнутых контуров. 2. Проверяем построенный опорный план на оптимальность. Для этого одной из верши циала. Затем, двигаясь н присваиваем произвольное значение потен- по дугам, определяем потенциалы остальных вершин. Рас ве е с. 2.6.20 а л в тарифа c , то есть, затрат на перевозку груза из вершины в вер- чёт дётся по правилу: а) если дуга выходит из в ршины i (ри ), то к потенциалу этой вершины прибав яем еличи- ну ij шину j : j i ijП П c= + , (2.6.12) б) если стрелка (дуга) направлена к вершине (рис. 2.6.20 б)), то величину ijc вычитаем из потенциала вершины i . j i ijП П c= − (2.6.13) 178 После определения всех потенциалов находим оценки всех рё- бер, не имеющих направленных дуг. Для этого из большего потен- циала вершин рассматри ребра вычитаем меньший, и полу-ваемого чен ифа соответствую- щег ную разность вычитаем из значения тар ij о данному ребру: c , ( )max( , ) min( , )ij ij i j i jc П П П ПΔ = − − , (2.6.14) где iП и jП - потенциалы вершин соответственно i и j ребра ( ,i j) . Если для всех рёбер, не имеющих направленных дуг (не загружен- ных выполняется условие ) 0ijΔ ≥ , (2.6.15) вию то построенный план является оптимальным. Если хотя бы для одного ребра оценка не удовлетворяет усло- (2.6.15), то есть, 0ijΔ < , то построенный план не является оп- мальным и требует улучшения. ти 3. Улучшение опорного плана. Для улучшения опорного плана необходимо: а) из рёбер, имеющих отрицательные оценки 0ijΔ < , выбираем с наибольшей по абсолюребро тной величине отрицательной оцен- кой и его меняем дугой авление от верши- ны с меньшим потенциа ьшим потенциалом. Эта ученном за. Величина перемещаемого груза выбирается равной минималь- за . Новая дуга имеет напр лом к вершине с бол дуга соответствует ведущей переменной в симплексной табли- це; б) по пол у замкнутому контуру перемещаем часть гру- ijc Рис.2.6.20 i i iП j j а) б) j i ijП П c= + iП j i ijП П c= − iП 179 ной поставке на дугах, имеющих направление, противоположное введённой новой дуге. м пе й план проверяется на оптимальность, то есть, озвращаемся к пункту 2. 1. С целью удобства вычислений первый потенциал лучше брать равным не нулю, а некоторому положительному числу. Например: 10; 20 и так далее. Таким образом, что- бы исключить появление отрицательных потенциалов, неудобных в вычислениях. 2. в симплексном методе мы от одной таб- лицы к другой, то есть, от одного опорного плана к дру- му, то в данном сетевом методе переходим от одно- го дерева к угому. Вырождение плана Оптимальный пла перевозок одноро ого за н з ог- раничений про скной способности всегда образу дерево с чис- лом звеньев При решении некоторых зад может на сети оявиться два дерева, не соединённых между собой. Это случай вы- ож ния. Перемещение груза ведётся по правилу: - на дугах, имеющих то же направление, что и новая, объё - ревозок увеличивается на выбранную поставку; - на дугах, имеющих противоположное направление – вычита- ется. Дуга, соответствующая минимальной поставке, аннулируется. Общее число дуг остаётся прежним. Новый опорны в Замечания. Если переходим го мы др н дн гру а сети бе пу ет ач 1m n= − . п р де Вырождение транспортной задачи наблюдается в том случае, когда число дуг в построенном плане окажется меньше, чем 1n − , где n – общее число вершин. Вырождение устраняется введением необходимого до ( 1n − ) количества дуг с нулевыми поставками. апН равление вводимых дуг берётся произвольным, но с условием, чтобы они не образовывали замкнутый контур с другими загружен- ными дугами сети. 180 Пример 2.16. Построить начальный опорный план для транс- портной задачи , приведённой на рис 2.6.21 а). 10−10− Решение. Поставщиками ми – п кты , 4 и 6. Распреде ие грузо по пост вщик б). Распределение грузов дало два дере жду собой. Общ коли во дуг равно рождения страняем вырождение введе = с нулевой поставкой, учи ывая, что ввод дугами не долж а образовывать замкну дугу можно ввести либ по ребру (2-3), л ребру (3-6), бру (4-6). Ни в од л мы не получим тур. Замени ебро (3-6) дугой (рис.2.6.21). Теперь общее число дуг равно являются пункты 1 и 2. Потребителя- ам приведено на рис 2.6.21 ва, которые не связаны ме- 4< n-1=5. Это случай вы- нием одной дуги (5 – 4 1) имая дуга с загруженными тый контур на сети. Тогда, ибо по ребру (3-5), либо по ном из указанных с учаев м р ун 3 лен в а ее чест . У т н о либо по ре замкнутый кон 1n − =5. Следова ельно, построенный план является опорным. т Пример 2.17. Найти оп м ый план перевозок транспортной задачи рис. 2.6. Решение. Поставщиками являют ты 1 и 4. Потребителя- ми – пункты 2, 3, 5 и 7. Объё по единицам. Объёмы ти альный опорн 22. ся пунк м ставок равен 90 1 4 4 40− 20 10− 40 5 4 2 2 1 3 3 1 4 3 2 5 6 б) 40− 20 10− 40 5 4 2 2 1 3 3 4 1 3 2 5 6 а) Рис. 2.6.21 181 потребления поставлены в в ши м минус. Объём по- требления – (30+20+10+30)=90. Т ь транспортной зада- чи является закрытой. ого ги не образуют контур. Их ко- равно 50, (3-7): 37Δ =4-(18-12)= - 2<0, Рис 2 7 22Рис. 2.6.22 10− 50 30− 20− 40 5 5 4 4 2 2 1 3 3 3 2 1 73 54 6 182 (5-7): 57Δ =3 (5-6): -(18-11)= - 4<0, Δ56 =4-(13-11)=2>0. 4. Не все оценки удовлетворяют усло ю (2.6.15) 30− ви 0ijΔ ≥ . а пере Сле- довательно, план не оптимальный. Улучшение план возок произведём по ребру (5-7), им наибольшую по абсолютной вел еющему ичине отрицательную оценку 57Δ =-4. Дугу (5-7) направим от ершины 5 к вершине 7, ть от меньшего потенциала к больше- у. На рис. 2.7.23 дуга нарисована пунктиром. 5. В полученном ци имеют направление, противо- оложное построенной д о дуги (4-6) и (6-7). вательно величи груза равна в то ес м кле две дуги п уге (5-7). Эт наСледо перемещаемого { }min 10,10 10= . Увеличим объём п тав 4-5) и (5-7) на 10 единиц. На гах (4-6) и (6-7) ум ньш иниц, и аннулируем дугу (4-6) как дугу, содержащ ю величину перемещаемой поставки груза. 6. ос ок на дугах ( ду е им на 10 ед у минимальную 3 2 1 1 3 50 30− 20− 40 5 5 4 4 2 2 1 3 3 3 1 2 3 4 5 7 6 Рис. 2.6.23 13 0 12 18 1 10 11 13 183 Улучшенный план ок .6.24. 7. Снова вычисляем поте (рис. 2.6.24). 8. Оценк дл графа, не меющих дуг: (3-7): перевоз показан на рис. 2 30− нциалы вершин графа и я рёбер и 37Δ =4-(18-12)= - 2<0, (6-5): 65Δ =4-(15-13)=2>0, (6-4): 64Δ =3-(14-13)=2>0, (1-4): 14Δ =2-(14-10)= - 2<0. Так как есть оценки ij 0Δ < , то план не является оптимальным. =10 =1 +5=1 = -5=15-5=10, = -3=18-3=15, = -1=15-1=14. 1П , 2П =+3=13, 3 =10+2=12, П 7 =П 2П 8, 6П 7П 5П 7П 4П 5П 0 10− 2 10 0 30 50 30− 20− 40 5 5 4 4 2 2 1 3 3 3 1 111 2 3 1 4 5 7 6 Рис. 2.6.24 1 14 11 1 1 15 184 9. Улучшаем план перевозок за счёт дуги (3-7) (рис. 2.6.24). Минимальная постав ) равна «0». Пе- реместим её по конту ш возок показан на рис. 2.6.25. 10. Вычисляем потенциалы ве 6.25): , 1=+3= 0+2=12, , =13-1=12. Находим оценки для свободных графа: (2-7): ка из встречных дуг дуге (3-7 ру. Улуч енный план пере ршин графа (рис. 2. 1П =10 2П = 13, 3П =1 7П = 3П +4=16 6П =16-5=16-5=11, =16-3=13, 5П 4П рёбер 27Δ =5-(16-13)= 2>0, (6-5): 65Δ =4-(13-11)=2>0, (6-4): 64Δ =3-(12-11)=2>0, 0 10− 40 20 10 0 50 30− 20− 40 5 5 4 4 2 2 1 3 3 1 2 3 4 5 7 6 Рис. 2.6.25 113 16 12 11 12 11 10 13 185 (1-2): 12Δ =2-(12-10)= 0. Получили все оценки 0ijΔ ≥ Следовател. ьно, построенный план является оптимальным. Минимальное значение функции min 3 30 2 20 4 0 40 30 0 5 10 250f = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + + ⋅ = . Решений бесконечное множество (рис.2.6.26). 30− Определение кратчайшего пути на транспортной сети Определение кратчайшего пути на транспортной сети позволяет снизить эксплуатационные расходы, а следовательно, и себестои- мость перевозок, при одном и том же объёме перевозимого груза за 0 10− 40 20 10 0 30 50 30− 20− 40 5 5 4 4 2 2 1 3 3 3 1 2 3 4 5 7 6 13 13 16 12 11 12 1518 10 13 Рис. 2.6.26 186 счёт уменьшения пробега автомобиля. Для пассажирских перевозок расстояние влияет на затраты времени населения на передвижение. Затраты времени приводят к транспортной усталости, с которой они язаны прямой зависимостью. Поэтому при разработке маршрутов дви теющими узлами тран Рассмотрим наиболее широко распространённый стоянии. ачальной вершине присваивается потенциал, равный нул м - равные некоторому большому слу М. с шин я св жения транспортных средств стремятся как можно больше ис- пользовать кратчайшее расстояние между тяго спортной сети. алгоритм Минта для задачи о кратчайшем рас Алгоритм метода 1. Н ю, а остальны чи 2. Просматриваем вершины, связанные начальной вер- ой, и определяем их потенциалы. Вычислени ведутся по сле- дующему правилу. Если i ij jП c П+ < , где ijc - расстояние меж рассду матриваемы- ми ами то вершине j смежными вершин i и j , присваивается по- тенциал, равный j i ijП П c′ = + . Если i ij jП c+ П> , то за вершиной j сохраняется прежнее зна- чение потенциала jП . 3. Выбираем любую вершину из рассмотренных. Для неё рассматриваем все смежные, являющиеся конечными по отноше- нию к фиксированной вершине. Вычисление потенциалов произво- дит сети. сам кратчайший путь. Для этого рассматриваем тра у. Д м образом, определяется кратчайший путь на тра ат ий путь от точки А до точки В транспортной сети, приведённой на рис. 2.6.27. ся по правилу, приведённому в пункте 2, и так далее. Шаг 3 по- вторяется до тех пор, пока не будут присвоены наименьшие потен- циалы всем вершинам транспортной 4. Строим нспортную сеть от конца к начал ля каждого ребра определя- ем разность между потенциалами его вершин. Рёбра, для которых эта разность равна расстоянию между их вершинами, включаются в кратчайший путь. Таки нспортной сети. Пример 2.18. Определить кр чайш 187 Решение. 1. Присваиваем вершине А потенциал 0АП = , а всем остальным вершинам – потенциал , 2,10iП M i = , где М – неко- тор ис им ины, смежные с вершиной А, и вычислим их потенциалы. = ое большое ч ло. 2. Рассмотр верш Вершина 2. 2 12 20 2 2АП П с П M′ = + = + = < = . Так к вычиак сленное значение потенциала 2П′ меньше ранее присвоенного вершине 2 потенциала 2П М= , то за вершиной 2 закрепляется наименьшее значение потенциала 2П′ =2. Вершина 3 12 30 3 3АП П с П M′ = + = + = < = . 3. Следовательно, за вершиной 3 закрепляем потенциал 3П ′ . 3 14 40 1 1АП П с П M′ = + = + = < = . потенциал Вершина 4. Следовательно, за вершины 4 принимаем 4П ′ . Таким образом, рассмотрены все вершины, связанные с началь- ной вершиной А. Теперь рассм ныатриваем последовательно верши : 2, 3 и 4. Связанными с ней являются вершины 3 и 5. Вы : Вершина 3. Возьмём вершину 2. числяем их потенциалы 3 2 23 32 4 6 3П П с′′ ′ П= + = + = > = . исл значение 3П′′Так как выч енное больше ранее присвоенного вершине 3 потенциала 3П′′ =3, то за вершиной 3 сохраняем прежнее зна 3П′′чение потенциала =3. 5. 2 4 6П П с П МДля вершины 55 2 25′ ′= + = + = > = . но, имаем 5П ′Следователь прин =6. ину 3. Связанными с ней являют вершины 6 и 4 еем П М+ = > = . Рассмотрим верш ся . Для них им : 6 3 36П П с′ = + = 63 3 6 6П ′Принимаем =6. 4 3 34П П с′′ ′= + = 43 2 5 1П′+ = > = . 188 Следовательно, за вершиной 4 сохраняем прежнее значение по- тенциала 4П ′ =1. Теперь имеем конечными рассмотренными вершинами вершины 5, 6 и 4. Рассмотрим связанные с ними вершины. Для вершины 5 – бу т вершины 8 и 6, для вершины 6 – будут 8, 10 и 7, Для вершины 4 – будет 7 Вершина 5. ду . 8 5 58 86 6 12П П с П М′ ′= + = + = > = . Принимаем 8П ′ =12. = . за вершиной 6 сохра 6 5 56 66 3 9П П с П′′ ′ ′= + = + = < 6 Следовательно, няем ранее вычисленное значение потенциала 6П ′ =6. Вершина 6. 8 6 8 12П П68 6 1 7П с′′ ′ ′= + = + = < = . Принимаем 8П′′ =7. 10 6 6,10 106 6 12П П с М′ ′= + . Принимаем 10П П= + = < = ′ =12. П М= + = < =7 6 6П П с′ ′= + . Принимаем 7 76 3 9 7П ′ =9. П сВершина 4. 7 9П П′ 4 47 71 6 7′ ′= + = + = < = . Принимаем П7′′ =7. ы 8: 10 8 102 7 2 9 12П П П′′ ′′ ′= + = + = < = . Для вершин Принимаем П10′′ =9. Для вершины 7: 9 7 79 97 5 12П П с П М′ ′′= + = + = < = . Принимаем П9′ =12. ы 9: Для вершин 10 9 9,10 1012 1 13 9П П с П′ ′′= + = + = > = . Следовательно, за вершиной 10 сохраняем ранее вычисленное значение потенциала П10′′ =9. Теперь потенциалы всех вершин определены. Строим сам крат- чайший путь. Для этого для каждого ребра проверяем условие 189 П i j ijП c− = . (2.6.16) Ребро (8-10): 8,107 9 2 2с− = = = . Следовательно, это ребро включается в кратчайший пу . Ребро (9-10): ть 9 10 9,103 1П П с′ ′′− = ≠ = . Так как условие (2.6.16) не выполняется, то ребро (9-1-) не включается в кр й путь. Ребро (6-10): атчайши 6 10 6,103 6П П с′ ′′− = ≠ = - ребро не включается в кратчайший путь. 5-8): 5 8 581 6П П с′ ′′− = ≠ =Ребро ( - ребро не включа ся в кратчайший путь. Ребро (6-8): ет 6 8 681 1с′′П П′ − = ≠ = - ребро включается в крат- чай бро (6-7): ший путь. Ре 6 1 3П П с′ ′′7 67− = ≠ = - ребро не включается в кратчайший путь. Ребро (3-6): 3 6 363 3П П с′ ′− = = = - ребро включается в крат- чайший путь Ребро (2-3): . 2 3 361 4с′П П′ − = ≠ = - ребро не включается в кр йш . Ребро (1- атча ий путь 3): 1 3 133 3П П с′ ′− = = = реб лючается в крат- чайший пу Таким образом, мы еде и кр уть ки А до точ В На 2.6 пока жирн линие - ро вк ть. опр лил атчайший п от точ ки рис. .27 он зан ой й. 190 ада ля решения 5 8 2 ВА 1 1 6 3 4 97 Р 2.6.27 ис. З чи д Пример 2.19. Найти решение следующих транспортных задач на сети { },S I U= , где 1,6I = , 10U ≤ . Узлы 1 и 2 – источники, 3 и 4 - стоки, остальные промежуточные. Стоимости перевозок единицы гру а по соответствующим дугам и отличные от нуля интенсив- ности ов заданы. 1. = 4, = 8, ijc узл ka з 23c 45c 16c = 10, 56c = 2, 35c = 6, 24c = 10, 36c = 8, = 4, 34c = 6, c12 1a = 2, 2a = 18, 3a = - 4, 4a = -16. 2. 10, = 8, 35c 45c 12c = 2 56c = 1, 45c = 7, 24c = 2, 36c == , 7, 9, 3, 18c = 13c = 16c = 10, 26c = 10, 1a = 2, 2a = 18, 3a = - , a = 6 4 -14. 3. 10, = 2, 35c = 45c 12c = 9, 56c = 24c 6, 36c = 10, 16c ==3, 8, 1, 4, 13c = 34c = 1a = 2, 2a = 18, 3a = - 12, 4a = -8. 4. = 1, 45c 12c = 1, 56c = 10, 14c = 5, 36c = 10, 26c = 6, 13c = 1, 1, 3, 46c = 16c = 1a 2a = 10, 3a = - 3, 4a == 10, -17. 5. 2, 35c = 36c = 8, 13c = 1, 12c = 1 15c = 10, 26c = 1, 16c =0, 4, 3, 10, 56c 45c = 14c = 8, 1a = 16, 2a = 4, 3a = - 18, 4a == -2. 191 = 2, 56c =5, c6. 35c = 5, 36c = 3, 45c = 5, c = 1, c =14 13 26 10, 5, 12c = 9, 16c = 1a = 5, 2a = 15, 3a = - 10, a4 = -10. 10, 7. 35c = 16c = 6, 14c = 8, 15c = 10, 25c = 3, 56c =4, 12c = 9, 045c 13c = 1 , a 3, 2a= 6, 1 = 1 = 7, 3a - 7, a= =4 -13. = 8. c35 10, 36c = 10, 45c = 10, c26 = 6, 14c = 5, 15c = 6, 56c = 8, ,12c 23c = 8 a1= 1, = 5, 2a 5, a 14, a4 == = -1 -63 . 9. c36 = 8, 13c = 2, 46c = 7, 12c = 10, 26c = 10, 16c = 5, 56c = 9, , c 845c 26 = , a 2a = 12, 3a - 8, a4 == 10 = 8 = , -11 2. 10. 10, c36c = 5, 13c = 5, 45c = 9, 14c = 6, 15c = 26 =10, 12c = 5, 56c 1a = 10, 2a 3a 4a = -14.= 2, = = - 6,10, мер 0 о о к ч и у между к А В гра рис Р то и ж в м ф в таб 1. При 2.2 . П стр ить рат айш й п ть точ ами и фа ( .2.6.27). асс ян я ме ду ершина и гра а приведены лице А 3 2 5 1 4 7 6 8 В 9 Рис.2.6.28 192 Численные фа (по вариантам) Таблица 2.81 значения расстояний между вершинами гра Вариант Ребро 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1-2 4 6 8 10 6 10 12 8 4 8 6 10 1-6 12 6 4 8 10 12 16 8 10 10 10 8 1-8 20 16 14 8 14 16 20 10 14 16 16 16 2-3 8 6 4 2 3 6 4 12 3 6 4 4 2-5 8 9 10 8 6 4 6 2 4 6 8 10 6-5 10 10 10 10 10 10 10 68 10 6 10 12 6-7 18 10 12 10 16 14 12 10 8 10 12 14 6-8 2 4 3 1 2 3 4 6 2 4 6 2 3-4 10 12 10 14 16 18 16 14 10 10 12 10 3-5 8 6 4 10 8 10 12 14 6 8 10 12 5-4 10 12 14 10 12 10 16 10 10 10 12 14 5-7 12 16 14 8 10 12 10 10 128 12 13 16 4-9 8 6 8 4 6 8 10 6 14 10 8 6 4-7 4 6 8 10 12 16 4 12 6 16 18 10 7-9 4 6 6 4 6 6 16 6 18 6 6 4 7-8 12 16 14 12 14 16 18 12 20 16 14 10 8-9 16 16 18 19 16 20 16 16 6 16 20 16 193 2.7. Индивидуальные задания к главе 2 1. П рои математическую оде сле ще задачи п тах i = ..., д о од пр ц к че х = 1 m н еб им изготовления н ы продукции в каждом нкт оизводст различна и отв с н авна i = ..., m . Гот ая п укц пос ляе в нкт Вj (j 1, .. ), потребности которых j = ..., n . Стоимо и пе озк ницы пр укц из п та в пу т Bj даны м ице ij (i , ..., j = 1, ..., n) й пла е ок к и, п котором м ими рую с ма е з ы е о н т е если необходимые в а п е таблице П ро табличну д ра рт задачи. П ро нач ны о п задачи. . М одом най пла одук и, ро и зир тся ммарные затраты ее ото ению авк р ител . . О едел ь максимально возможные с мар е затраты тов нию доставке продук потребителям. . О едел ь, к изменится еше е ис дно чи ли требуется учесть ряд опо тел х у вий по ршр у А перевозки мо бы осуществлены из ед я дорожн рем тны або по ршр у Аp долж бы перевезено е ме x е з по ршр у Аs должно быть пер езен бо е y е гру . Найти им ный одукции, тор пе ает ини ьно врем транспортировки рузо Вре авк груз п та отправления пу на чен Вj р . ост ть м ль дую й транспортной . В унк Аi ( 1, m) произво ится днор ная одук ия в оли ства ai (i , ..., ) еди иц. С есто ость еди- иц пу е пр ва со ет- твен о р ci ( 1, ) ден ед. ов род ия тав тся пу ы = ., n bj ( 1, ) единиц ст рев и еди од ии унк Аi нк за- атр й c = 1 m, . На ти н пер воз проду ци ри ин зи тся ум рны атрат по е изг товле ию и доставке по ребит лям, число ые д нные ривед ны в 2. 2. ост ить ю мо ель т нспо ной 3. ост ить аль й оп рный лан транспортной 4 ет потенциалов ти н перевозок пр ци при кото м мин ми ую су по изг вл и дост е пот еб ям 5 пр ит ум ны по изго ле и ции 6 пр ит ак р ни хо й транспортной зада , ес д лни ьны сло : - ма ут k l ых В не гут ть -за пров ени он х р т; - ма ут В q В но ть н нее д. гру а; - ма ут d ев о не ле д. за. 7 опт аль план перевозок пр ко ый обес с чив м мал е я г в. мя до т и а из унк Аi в нкт зна ия ав- но cij 194 Таблица 2.79 – Исходные данные для различных вариантов 2.16 Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 m 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 a1 30 60 22 200 300 800 450 350 450 500 a2 55 15 18 600 450 300 200 750 200 250 a3 40 45 35 350 550 500 350 300 350 600 a4 – – – – – – – – – – c1 3 2 4 3 1 2 2 2 2 1 c2 2 3 4 4 1 1 3 2 3 2 c3 2 4 2 1 2 3 3 1 1 1 c4 – – – – – – – – – – n 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 b1 35 22 40 150 350 600 150 200 150 250 b2 50 55 30 750 250 300 300 50 300 100 b3 25 32 25 450 150 500 50 650 550 300 b4 60 24 15 550 300 700 400 400 1 3 00 50 c11 1 6 5 2 5 5 3 5 6 11 c12 6 2 1 4 6 1 1 4 3 2 c13 4 1 3 1 7 7 7 7 4 7 c14 3 7 6 3 4 10 2 3 11 4 c21 7 2 2 2 8 3 4 8 3 7 c22 6 3 4 7 3 7 3 11 8 2 c23 2 4 5 1 9 5 8 6 6 8 c24 3 3 1 4 2 6 5 4 5 4 c31 4 5 5 7 1 2 7 4 2 4 c32 3 6 1 3 3 7 5 2 3 5 c33 1 1 4 8 4 1 2 6 4 6 c34 9 4 2 2 9 5 6 10 9 13 c41 – – – – – – – – – – c42 – – – – – – – – – – c43 – – – – – – – – – – АkВl А1В1 А3В4 А2В1 А3В4 А3В2 А3В3 А1В4 А3В2 А2В4 А3В1 АpВq А3В2 А3В1 А3В4 А1В2 А1В4 А2В1 А1В2 А3В3 А1В3 А2В1 x 20 10 10 100 100 150 200 70 200 200 АsВd А2В4 А1В2 А3В2 А2В3 А3В1 А1В1 А2В1 А2В3 А1В2 А3В3 y 50 45 10 300 100 200 50 500 200 250 195 Продолжение таблицы 2.79 Номер варианта 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 m 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 a1 600 300 500 600 400 800 700 600 300 800 a2 400 600 100 200 500 700 300 450 800 400 a3 700 150 600 750 600 600 600 750 750 300 a4 – – – – – – – – 400 600 c1 2 3 2 1 2 3 3 3 2 4 c2 1 2 4 2 1 2 3 1 2 3 c3 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 c4 – – – – – – – – 1 1 n 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 b1 500 500 600 300 150 400 350 500 200 250 b2 350 700 400 200 200 350 550 750 250 350 b3 700 400 750 150 250 600 250 250 400 750 b4 2 3 3 4 3 2 6 6 50 50 50 00 00 00 50 50 – – c11 2 10 10 3 5 8 2 5 3 4 c12 7 4 2 9 3 3 5 8 8 5 c13 4 1 6 5 10 12 1 10 9 6 c14 9 5 3 7 4 6 6 4 – – c21 5 8 2 6 9 6 7 6 6 4 c22 7 3 11 9 7 7 4 3 4 9 c23 12 7 6 5 10 2 9 4 5 5 c24 6 5 5 8 8 3 3 5 – – c31 9 7 6 7 4 3 8 7 8 4 c32 6 5 1 10 7 8 5 4 2 2 c33 4 2 5 3 5 5 7 7 8 4 c34 3 10 4 7 8 6 6 8 – – c41 – – – – – – – – 3 2 c42 – – – – – – – – 7 4 c43 – – – – – – – – 4 8 АkВl А2В2 А1В3 А2В1 А3В3 А3В1 А3В1 А1В2 А2В4 А3В2 А3В3 АpВq А2В1 А2В3 А3В3 А1В4 А1В2 А3В4 А3В4 А2В1 А2В3 А1В3 x 200 150 250 150 120 180 220 240 160 130 АsВd А3В4 А2В2 А3В2 А1В1 А1В4 А2В3 А2В4 А1В4 А4В3 А2В3 y 150 300 300 250 250 430 170 490 210 180 196 Окончание таблицы 2.79 Номер варианта 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 m 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 a1 400 800 400 750 55 60 65 60 35 700 a2 650 600 350 350 45 55 75 40 65 400 a3 700 750 750 400 80 75 80 35 25 600 a4 800 250 600 250 75 25 30 70 45 300 c1 2 3 1 2 1 3 1 3 3 2 c2 1 1 1 2 2 1 1 2 4 1 c3 2 1 1 1 1 2 2 4 1 1 c4 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 n 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 b1 350 400 0 600 60 70 35 45 80 450 80 b2 800 250 0 250 35 25 45 70 70 250 75 b3 250 300 250 300 25 40 55 25 40 350 b4 – – – – – – – – – – c11 8 9 5 7 6 8 3 2 3 7 c12 6 5 8 10 10 6 8 3 6 3 c13 10 3 7 2 4 3 7 4 5 8 c14 – – – – – –– – – – c21 4 4 7 5 3 4 11 7 4 3 c 6 322 4 3 4 3 4 2 4 10 c23 9 6 10 8 8 6 6 7 3 6 c24 – – – – – – – – – – c31 2 5 2 3 11 4 4 4 6 6 c32 7 9 3 5 3 5 9 8 2 2 c33 4 8 6 5 2 5 3 6 6 4 c34 – – – – – – – – – – c41 5 8 5 8 6 8 7 10 8 4 c42 10 6 6 5 9 5 4 3 7 4 c43 4 4 8 4 6 4 4 5 2 6 АkВ В3 А4В3 А4В2 А3В3 l А4В3 А4В3 А4В2 А1В3 А2В1 А3В1 А3 А pВq А1В2 А3В3 А1В1 А1В1 А1В1 А1В3 А3В1 А4В2 А2В1 А4В1 x 0 50 120 190 25 30 20 40 230 27 33 АsВd А3В1 А2В1 А1В3 А2В2 А3В2 А2В1 А2В2 А1В1 А2В3 А3В2 y 320 300 200 100 25 25 22 40 21 80 197 2.8. Применение компьютера Практическ часть: На конкретном примере рассмотрим все основные действия для решения задачи транспортного типа в среде пакета электронных таблиц MS Excel с пом адстр ки «Поиск решения». Пример 2.21. Опре оптим ьный ан перевозок некото- рого груза из трех пунктов отправления, имеющих запас продукции, собой матрицу тар должен об ⎢ ⎥ ая ощью н ой делить ал пл заданный матрицей А, в четыре пункта назначения, спрос в которых описывается матрицей В. Матрица С представляет ифов на перевозку единицы груза. Оптимальный план еспечивать минимальные затраты на транспортировку груза. 60 80A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ; [ ]40 60 80 60B = ; 1 2 3 4 4 3 2 0C 100⎣ ⎦ 0 2 2 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥ . ⎢ ⎥⎣ ⎦ Решение. В соответствии с общепринятыми обозначениями за- пишем исходные данные задачи в виде таблицы 2.80 Таблица 2.80 Потребители Поставщики Запасы 1B 2B 3B 4B 1A 1 2 3 4 60 2A 4 3 2 0 80 3A 0 2 2 1 100 Потребность 40 60 80 60 Представленная задача транспортного типа является закрытой, поскольку спрос 40 + 60 + 80 + 60 = 240 равен предложению 60 + 80 + 100 = 240. Математическая модель задачи имеет вид: f = х11 + 2х12 + 3х13 + 4х14 + 4х21 + 3х22 + 2х23 + 2х32 + 2х33 + х34 → min; 198 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 60; 80; 100; х х х х х х х х х х х х + + + =⎧⎪ + + + =⎨⎪ + + + =⎩ хij ≥ 0, 11 21 31 12 22 32 13 23 33 14 24 34 40; 60; 80; 60; х х х х х х х х х х х х + + =⎧⎪ + + =⎪⎨ + + =⎪⎪ + + =⎩ 1, 3i = , 1, 4j = . Реализация расчетных формул представленной математической модели средствами MS Excel показана на рис. 2.8.1. В ячейки (клетках) B4:E6 введены стоимости перевозок. Ячейки B12:E14 отведены под значения неизвестных (объемы перевозок). Ячейки F4:F6 содержат запасы груза у поставщиков, а ячейки B7:E7 – назна- чения. В ячейке С17 задана целевая функция, вычисляющая общие за- траты на транспортировку как су му произведений тарифов на со- ответствующие объемы перевозок. В ячейки F12:F14 введены формулы для вычисления объемов груза, вывозимого из каждого пункта отправления. Ячейки B15:E15 содержат формулы для определения объемов груза, поставляемого в соответствующие пункты назначения. Выделим ячейку, содержащую целевую функцию (C17), в меню «Сервис» выберем команду «Поиск решения…» и заполним диало- говое окно надстройки «Поиск решения» как показано на рис. 2.8.2. Поле «Изменяя ячейки» содержит адреса искомых переменных (B12:E14). Кнопка «Добавить» позволяет ввести систему ограничений транспортной задачи. Если при вводе задачи возникнет необходи- мость в изменении или удалении внесенных ограничений, это мож- но сделать при помощи кнопок «Изменить», «Удалить». Установите флажок параметра «Линейная модель». После ения» находит ми- нимальные транспортные расходы (рис. 2.8.3). потребность в грузах на соответствующих пунктах м нажатия кнопки «Выполнить» надстройка «Поиск реш оптимальный план перевозок и соответствующие ему 199 Рис. 2.8.1 Реализация расчетных формул транспортной задачи средствами MS Excel Рис. 2.8.2 Диалоговое окно «Поиск решения» для транспортной задачи 200 Рис. 2.8.3 Оптимальный план перевозок Транспортные издержки по оптимальному плану составляют 280 ден. ед. Рис. 2.8.4. Реализация задачи средствами MS Excel расчетных формул транспортной 201 202 Рис.2.8.5. Диалоговое окно «Поиск решения» для транспортной задачи Рис. 2.8.6. Оптимальный план перевозок Глава 3 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ИГР И ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ 3.1. Основные определения Теорией игр называется раздел математики, изучающий кон- фликтные ситуации на основе их математических моделей. Кон- фликтными называются ситуации, когда имеется ряд сторон, инте- ресы которых противоположны. Решения, принимаемые в ходе кон- фликта каждой из сторон, зависят от действий другой стороны и не могут быть заранее известны. То есть, ни одна из сторон не может полностью контролировать ситуацию. Решения приходится прини- мать в условиях неопределённости. Таким образом, теория игр – это математическая теория конфликтных ситуаций, вырабатывающая рекомендации по наиболее рациональному образу действий, в ре- зультате которых каждый из участников конфликтной ситуации имел бы наилучший результат. Примерами конфликтных ситуаций могут быть: 1. Военные учения, когда каждая из сторон желает выиграть. 2. Арбитражные споры. 3. Спортивные игры. 4. Требования к скорости движения автомобилей со стороны во- дителя и работника ГАИ. В экономике выигрышем могут быть: эффективность использова- ния производственных фондов, дефицитных ресурсов, себестои- мость, величина прибыли и так далее. Рекомендации теории игр применимы только к таким ситуациям, которые многократно повторяются. Если конфликтная ситуация реа- лизуется единственный или конечное число раз, то рекомендации теории игр не имеют смысла. Игрой называется упрощённая математическая модель конфликт- ной ситуации. В отличие от реальной ситуации она ведётся по опре- делённым правилам. Цель теории игр – выработка рекомендаций по разумному пове- дению участников конфликта в предположении о полной разумности участников конфликта. 202 Исход игры – значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша (платёжной функцией), которая может быть задана либо в виде аналитического выражения, либо в виде матрицы. Партией называется каждый вариант реализации игры. В партии участники игры совершают конкретные ходы. Ход – это выбор и реализация игроком одного из допустимых ва- риантов поведения. Ходы бывают личные – при самостоятельном выборе исходя из ситуации и случайные – при выборе действия, с помощью какого – либо механизма случайного выбора (таблица или генератор случайных чисел). Стратегия – это совокупность правил, однозначно определяю- щих последовательность действий игрока в процессе игры. В зави- симости от числа стратегий игры делятся на конечные и бесконеч- ные. Конечная игра, если у игрока имеется конечное число стратегий. Стратегия называется оптимальной, если она обеспечивает игроку наилучшее положение в данной игре. Классифицируются игры по разным признакам. 1. По количеству участников: а) двух «лиц» (парная игра), б) нескольких «лиц» (множественная игра). 2. По отношению участников друг к другу: а) коалиционные (кооперативные), б) бескоалиционные. 3. По характеру выигрышей: а) с нулевой суммой (когда выиг- рыш одного равен проигрышу другого), б) ненулевой суммой. В реальных конфликтных ситуациях каждый из игроков созна- тельно стремится найти наилучший для себя личный ход, имея общее представление о множестве допустимых для партнёра ответных дей- ствий, но, не зная, какое именно решение будет выбрано. Игры, в ко- торых участники стремятся добиться для себя наилучшего результа- та, сознательно выбирая способы действий, называются стратеги- ческими. В таких играх каждый из участников постоянно ожидает от партнёра наихудший для себя ответный ход. Если один из партнёров безразличен к исходу игры, то такие иг- ры называются играми с «природой» (статистическими, так как сознательного игрока называют «статистиком»). Например: 1) объ- ём выпускаемой продукции в ожидании наибольшего спроса, 2) вы- бор участка для посева определённой культуры в надежде на благо- приятные погодные условия, 3) формирование на выпускаемую про- 203 дукцию портфеля заказчиков в надежде на их платежеспособность и так далее. Парные матричные игры Рассмотрим игру двух игроков (А и В) с нулевой суммой. Инте- ресы игроков прямо противоположны: выигрыш игрока А равен про- игрышу игрока В и наоборот. Число стратегий у игроков является конечным. Предполагается, что для каждого игрока существует не- которая единственная стратегия, называемая чистой, следуя одно- значно которой игрок А стремится максимизировать свой выигрыш (игрок В – минимизировать проигрыш). Пусть у игрока А имеется возможных конечных действий - чистых стратегий: m 1 2, , ..., mA A A . У игрока В - чистых стратегий: . Ве- личина - выигрыш игрока А при применении им стратегии n 1 2, , ..., nB B B ija iA , а игроком В – стратегии jB . Если выигрыш известен для всех воз- можных пар стратегий ija iA , jB , то игру можно свести к матричной иг- ре (выигрышей для игрока А и проигрышей для игрока В) с нулевой суммой. Результаты парной игры с нулевой суммой обычно определяют- ся платежной матрицей 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . Для большей наглядности игру представляют в виде таблицы 3.1. Таблица 3.1 jB iA 1B 2B … nB 1A 11a 12a … 1na 2A 21a 22a … 2na … … … … … mA 1ma 2ma … mna 204 о игрока требуется сде- лат атегию. ечная игра двух лиц с нулевой суммой имеет хот х игр, как правило, начинается с упрощения пла а Игра сводится к одноходовой: от каждог ь только один ход – выбрать стр Основная теорема теории игр. Теорема. Любая кон я бы одно решение. Решение матричны тёжной м трицы. Строка kA называется й строку i дублирующе A , если все их соот- ветствующие элемен ты ( 1, )ij kja a= = ны между собой. Анало- гично для столбцов k j n рав B и jB - ( 1, )ij ika a i m= = . При исключении одной из дублирующих стратегий (строк или столбцов) матрица упростит- ся. рСт атегия iA игрока А называется доминирующей на страте- гией k д A , если выигрыши (элементы матрицы) в строк iе A больше, оолибо равны тветствующим выигрышам строки с kA , то есть , 1,kja j n= ратегия ija ≥ . Ст jB игрока В назыв ся доминирующей над стратеги- ей r ает B , если выигрыши столбца jB меньше ы , либо равн соответст- вующим выигрышам столбца rB , то есть , 1,ij ira a i m≤ = . Так как игрок А стремится сделать свой выигрыш наибо шим, а игрок В – свой проигрыш наименьшим, то стратегии k ль A и rB , назы- ваемые доминируемыми, заведомо не могут быть выбраны для ре- шен с платёжной матрицей таблица 32. Необходимо упростить матрицу. аблица 3.2 ия.Значит, они могут быть исключены из платёжной матрицы. Пример 3.1. Дана парная игра Т jB iA 1B 2B 3B 4B 5B 6B 1A 3 5 6 7 9 8 2A 2 4 6 7 9 8 3A 3 5 6 7 8 8 4A 4 6 3 2 4 4 205 5A 3 5 6 7 8 8 Решение. В рассматриваемой матрице стратегия 5A дублирует стратегию 3A , поэтому её можно исключить из матрицы. В строке 1A все элементы больше или равны соответствующим элементам строки 3A . Следовательно, стратегия 1A является доминирующей над стра- тегией 3A , поэтому стратегия 3A может быть удалена из матрицы, как доминируемая. Таблица примет вид 3.3. Рассмотрим столбцы. Столбцы 2B , 5B и 6B имеют элементы, которые больше соответст- вующих элементов столбца 1B , значит, они являются доминируемы- ми и могут быть удалёны. В итоге остаётся табл 3.4. Таблица 3.3 jB iA 1B 2B 3B 4B 5B 6B 1A 3 5 6 7 9 8 4A 4 6 3 2 4 4 Таблица 3.4 jB iA 1B 3B 4B 1A 3 6 7 4A 4 3 2 В полученной таблице нет ни дублирующих, ни доминируемых стратегий. Следовательно, на этом процесс упрощения матрицы за- канчивается. 3.2. Решение игры в чистых стратегиях Введём в таблицу 3.1 столбец значений iα и строку значений jβ . Величины: mini ijj a= max, iji a= (табл. 3.5) α jβ Для поиска решения в чистых стратегиях вначале определяется величина α , называемая нижней чистой ценой игры 206 max min ijji aα = . Ей соответствует максиминная стратегия, придерживаясь кото- рой, игрок А при любых стратегиях противника обеспечит себе га- рантированный выигрыш, не меньший α. Таблица 3.5 jB iA 1B 2B … nB iα 1A 11a 12a … 1na 1α 2A 21a 22a … 2na 2α … … … … … … mA 1ma 2ma … mna mα jβ 1β 2β … nβ α β Затем находится β верхняя чистая цена игры min max ijj i aβ = , соответствующая минимаксной стратегии игрока В, придерживаясь которой, игрок В при любых стратегиях противника обеспечит себе проигрыш, не больший β. Следует отметить, что β α> для любой платежной матрицы А. Если β α= , то игра имеет седловую точку, а соответствующие чистые стратегии игроков iA и jB называются оптимальными. Цена игры v β α= = определяет средний выигрыш игрока А и сред- ний проигрыш игрока В при использовании ими оптимальных стра- тегий. Решение игры записывается в виде ( , , )i jA B v . Игра может иметь не единственное решение. Тогда записываются все варианты возможных решений. Пример3.2. Дизайнер должен разработать изделие (например, туфли) с различными вариантами оформления 1 2 3, , , 4D D D D . Ка- ждый вариант может быть изготовлен одним из трёх технологиче- ских процессов . Предположим, что фасон одинаковый, но 1 2 3, ,T T T 207 различные варианты отделки. Пусть вариант дизайнера iD с техно- логическим исполнением jT оценивается стоимостью . Нужно выбрать такой вариант, который был бы оптимальным как с точки зрения внешнего вида, так и стоимости исполнения. Конфликтная ситуация возникает из-за разницы в затратах на реализацию раз- личных вариантов. Данные находятся в таблице 3.6 ija Таблица 3.6 jT iD 1T 2T 3T 1D 2 3 1 2D 7 3 5 3D 4 2 3 4D 5 3 5 Решение. Дополним таблицу 3.6 ещё одним столбцом и одной строкой. В них разместим решение iα и jβ Таблица 3.7 jT iD 1T 2T 3T iα 1D 2 3 1 1α =1 2D 7 3 5 2α =3 3D 4 2 3 3α =2 4D 5 3 5 4α =3 jβ 1 7β = 2 3β = 3 5β = Для дизайнера 1α = { }min 2,3.1 1= , 2α = { }min 7,3.5 3= , 3α = { }min 4,2.3 2= , 4α = { }min 5,3,5 3= , то { }max max 1,3,2,3 3iiα α= = = , 208 Для технолога { }1 max 2,7,4,5 7β = = , { }2 max 3,3,2,3 3β = = , { }3 max 1,5,3,5 5β = = , то { }min min 7,3,5 3jjβ β= = = . Цена игры 3v = . Таким образом, решением игры являются два варианта и . 2 2( , ,3)D T 4 2( , ,3)D T Если платёжная матрица не имеет седловой точки, то решение следует искать другими методами. Примечание. При использовании подобного подхода к решению задачи более удобно, чтобы все элементы платежной матрицы были положитель- ными. Для этого достаточно ко всем элементам платежной матрицы прибавить одно и то же положительное число С. Тем самым увели- чить цену игры на С. Отметим, что данная операция не меняет ис- комых оптимальных стратегий, но после нахождения оптимального решения цену игры вновь следует откорректировать: вычесть из полученного значения величину С. Так, например, платежную матрицу вида 10 8 20 5 20 8 20 5 30 − −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ следует преобразовать к положительной матрице путем прибавления числа 25 ко всем элементам исходной матрицы. В результате получим 10 25 8 25 20 25 35 17 5 5 25 20 25 8 25 20 45 33 20 25 5 25 30 25 5 30 55 + − + − +⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢− + + + =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢− + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎤⎥⎥⎥⎦ . После нахождения оптимального решения вычисленную цену игры v следует уменьшить на величину C = 25. 209 Задачи для решения 3.3. Упростить платёжные матрицы и найти решения в чистых стратегиях, если они есть. 1. . 2. 2 7 3 4 1 4 1 2 5 2 6 1 3 9 2 5 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 1 4 5 1 3 2 3 6 1 7 1 0 2 0 2 3 3 1 4 −⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 3. 3 1 2 3 0 4 6 2 3 6 2 2 2 1 2 1 − −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 4. . 5. 5 3 3 1 5 1 2 1 1 4 3 4 2 2 0 7 6 5 0 3 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ 4 1 3 1 1 2 0 5 3 0 6 3 4 6 6 7 7 7 3 7 5 2 3 1 5 3 1 0 2 3 −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 6. 5 4 0 6 1 0 3 2 2 1 1 0 1 5 3 3 2 3 4 2 6 4 4 3 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 7. . 8. 2 3 3 2 2 2 1 3 0 1 6 1 5 0 1 5 1 1 4 2 1 4 3 2 6 3 4 6 7 1 −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 6 0 2 0 3 4 1 4 1 6 8 5 3 5 2 2 0 3 7 3 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ . 9. 4 2 5 3 1 2 6 3 5 4 0 3 4 2 3 2 6 3 5 4 3 1 3 6 5 −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 10. 2 2 3 6 1 3 1 0 2 4 0 3 2 5 1 1 2 3 0 2 3 2 4 3 5 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 210 11. . 12. 6 3 4 2 2 1 0 3 1 1 3 2 1 3 3 5 2 0 2 2 8 1 3 5 5 2 2 4 1 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ 5 2 3 2 0 3 3 2 1 0 1 3 4 1 4 5 1 4 5 2 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 13. . 14. 4 3 6 2 0 2 1 4 1 6 6 1 3 5 3 4 3 8 2 12 −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 1 4 2 3 6 3 2 4 5 8 4 3 6 1 3 1 6 2 5 5 2 3 2 3 ⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ . 15. . 16. 4 0 2 5 2 3 5 6 6 5 1 3 1 3 5 5 3 7 3 4 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 2 2 1 2 2 5 2 6 3 1 6 2 1 4 2 2 4 1 0 7 4 6 7 3 5 5 2 3 3 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 3.3. Решение в смешанных стратегиях Пусть платёжная матрица не имеет седловой точки, тогда игро- кам следует придерживаться смешанной стратегии. Смешанной стратегией игрока называется вектор, каждая ком- понента которого показывает относительную частоту использова- ния игроком соответствующей чистой стратегии. Обозначим через pi – вероятность выбора i-ой стратегии игроком А, а через qj – веро- ятность выбора j-ой стратегии игроком В. Игроку А желательно свой выигрыш сделать как можно большим: maxF α= → , 1 m ij i i a p α = ≥∑ , 1,j n= , где α - нижняя цена игры. 211 Игроку В желательно свой проигрыш сделать как можно мень- шим: min,f β= → 1 n ij j j a q β = ≤∑ , 1,i m= , где β - верхняя цена игры. Справедливы следующие теоремы. Теорема 1. Для всякой матричной игры с нулевой суммой суще- ствует решение в смешанных стратегиях. Следовательно, для смешанных стратегий существует единст- венное оптимальное решение с ценой игры *vα β< < . Пусть v – цена игры 1 1 m n ij i j i j v a p = = = ∑∑ q . 1 1 m i i p = =∑ ; , 0ip ≥ 1,i m= . 1 1 n j j q = =∑ ; , 0jq ≥ 1,j n= . Теорема 2. Для того чтобы число было ценой игры, а и - оптимальными стратегиями, не- обходимо и достаточно выполнение неравенств *v * * * * 1 2( , ,..., )тP p р р * * * * 1 2( , ,..., )nQ q q q * * 1 , ( 1, ) m ij i i a p v j n = ≥ =∑ и * * 1 , ( 1, ) n ij j j a q v j m = ≤ =∑ . Следует отметить, что для одного из игроков, применяющих свою оптимальную смешанную стратегию, его выигрыш равен цене игры , независимо от того, с какими частотами второй игрок бу- дет применять свои стратегии. *v Решение задач теории игр в смешанных стратегиях основано на сведении задачи к задаче линейного программирования. При использовании этого подхода необходимо, чтобы все элементы пла- тежной матрицы были положительными. 212 Чтобы сделать все элементы платёжной матрицы положитель- ными следует использовать свойство преобразования матриц. Если от матрицы А перейти к матрице A′ с помощью линейного преоб- разования ( )A P A bA c′ = = + , то для всех её элементов будет спра- ведливо , ( )ij ij ija P a ba c′ = = + ( 1, , 1, )i m j n= = в том числе и для цены игры . При этом цена игры изменится, но не изме- нятся стратегии, для которых достигается оптимальное решение. После получения оптимального решения ( )v P v bv c′ = = + * *( , , )i jA B v′ всегда можно вернуться к цене игры v и решению * *( , , )i jA B v . В дальнейшем для того, чтобы в матрице не было отрицательных элементов, ко всем элементам платежной матрицы будет прибав- ляться одно и то же положительное число С. Тем самым, цена игры будет увеличиваться на величину С. После того, как будет найдено оптимальное решение, из цены игры будет вычтено значения вели- чины С. Полагая, что , 1 m ij i i a p v = ≥∑ 1,j = n , (3.3.1) введём обозначения ii px v = ( 1,i = m ) и, выполняя деление левой и правой частей неравенства (3.4.1) на v, получим 1 1 1 m m i ij ij i i i pa a x v= = = ≥∑ ∑ , 1,j n= . Так как игрок А стремится получить максимальный выигрыш, то он должен минимизировать величину 1 v . Следовательно, определе- ние оптимальной стратегии игрока А сводится к определению ми- нимального значения функции 1f v = . Поскольку справедливо выражение (11) функция f равна 1 1 1 1 1 m m mi i i i i i pf p x v v v= = = = = = =∑ ∑ ∑ . 213 Справедливо соотношение 1max min minF f F = = . 1) Для игрока А имеем следующую ЗЛП: 1 min m i i f x = = →∑ ; (3.3.2) 1 1, 1, ; 0, 1, . m ij i i i a x j n x i m = ⎧ ≥ =⎪⎨⎪ ≥ =⎩ ∑ (3.3.3) Если оптимальное решение X* , то выполняется * min 1v f = ; ,* * *vi ip x= 1,i m= . Введём обозначения jj q y v = ( 1,j n= ) и поступаем аналогично предшествующему случаю. 2) Для игрока В имеем следующую ЗЛП. 1 max n j j F y = = →∑ ; (3.3.4) 1 1, 1, ; 0, 1, . n ij j j j a y i m y j n = ⎧ ≤ =⎪⎨⎪ ≥ =⎩ ∑ (3.3.5) Для оптимального решения Y* выполняется * max 1v F = ; ,* * * . j jq y v= j 1,n= Задачи (3.3.2), (3.3.3) и (3.3.4), (3.3.5) – взаимодвойственные. Решая одну из них, можно найти решение другой. Пример 3.4. Для данной платёжной матрицы найти решение игры 2 3 6 4 5 2 0 1 2 A −⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ . 214 Решение. Необходимо проверить, нет ли решения игры в чис- тых стратегиях. Составим таблицу 3.8. Следовательно, нижняя цена игры { }max 3;2; 2 2α = − − = , верхняя цена игры { }min 4;5;6 4β = = . Так как α β≠ , то нет решения игры в чистых стратегиях. Следует искать решение в смешанных стратеги- ях. Таблица 3.8 jB iA 1B 2B 3B iα 1A 2 -3 6 -3 2A 4 5 2 2 3A 0 1 -2 -2 jβ 4 5 6 р у элементу матрицы число 3. Тогда матрица будет иметь вид: Для этого нужно, чтобы все элементы матрицы А были положи- тельны. П ибавим к каждом A′ 5 0 9 7 8 5 3 4 1 A ⎡ ⎤⎢ ⎥′ = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . Её нижняя цена игры будет 3 5α α′ = + = , а ерхняя цена игры - 3 в 7β β′ = + = . Значит, цена игры для матрицы A′ будет заключена в пре оставим ЗЛП для игры с платёжной матрицей делах 5 7v′< < . A′ . С Исходная задача Двойственна ача , , я зад 1 2 3 maxF x x x= + + → 1 2 3 minf y y y= + + → 215 1 3 1 2 3 5 1,x⎧ 5 1 1 2 33 4 1,x x x⎪ + + ≤⎩ 1 2 39 5 1,y y y 9 7 8 5 1, x x x x + ≤ + + ≤ 7 3 , 8 4 1, y y y y y⎪⎨ 1 2 3 2 3 + + ≥⎧⎪ + ≥⎨⎪ + + ≥⎩ 0, 1,3.x j≥ = 0, 1,3.jу j≥ = j Можно решать любую из этих задач. Остановимся на решении исходной задачи на максимум. Введём балансовые переменные 4 5 6, ,x x x и заполним таблицу 3.9. Чтобы избежать зацикливания, вычислим все столбцы и вы ере из них малень симплексные б м самый кий элемент 1 ющ ец / 9 . Он оп- ределит разрешающу строку и зреша . Таблица 3.9 ю ра ий столб 1 - 1x - 2x - 3x Симплексны столбцы е 4x = 1 5 9 9 1/5 - 1/ 9 5x = 1 7 8 5 1/ 7 1/8 1/5 6x = 1 3 4 1 1/3 1/4 1 F = 0 -1 -1 -1 1/ 9 С этим элементом делаем первый шаг симплексных преобразо- ваний. Получим таблицу 3.10. По симплексному опр д ющий элемент столбцу е еляем разреша 8 . Делаем следу и аг х б аний. ющ й ш симплексны п еор разов Таблица 3.10 1 - 1x - 2x - 4x С.С. 3x = 1/9 5/9 0 1/9 - 5x = 4/9 38/9 8 -5/9 1/18 6x = 8/9 22/9 4 -1/9 2/9 F = 1/9 -4/9 -1 1/9 216 Получаем таблицу, в орой вс значения свободных членов и коэффициенты в - строке жи льны Следовательно, опти- мальное решение д стигнуто Таблица 3.11 Б. кот е F поло те . о П. f 4y = 2y = 1y = С . .П 1 - 1x - 5x - 4x = 6 3y x 1/9 5y 2x = /18 1 = 2/3 3y 6x 1/6 1/12*F = 1/8 1/24 Цена игры *1/ 6v F′ = = ть ус 5 6 7v, то ес ловие α β′= < = < = вы- ения * (0;1/18;1/ 9;0;0;2 / 3)X = , * (1/ 24;1/ 8;0;1/12;0;0)Y = . Находим вероятности полняется. Оптимальные реш : * * , 1,3j jp x v j′= ⋅ = и вектор * (0;1/ 3;2 / 3)P = , вероятности * * , 1,3j jq y v j′= ⋅ = и вектор 3 * 1 1j j p = * (1/ 4;3/ 4;0)Q = . Условия 3 * 1 1j j q = =∑ =∑ и выполняются. Решени- рекомендация. Для игрока А: использовать стра- тегию ем задачи является 2А на 100/3 %, стратегию 3А - на 200/3 %. Для игрока В: ис- пользовать стратегию на 25 % стратегию - на 75 %. Задачи для решения .5. , ре- шить в если размерности платёжных матриц , 1В , 2В 3 Задачи 3.3, не имеющие решения в чистых стратегиях смешанных стратегиях. 3.4. Решение матричной игры графическим методом Решение матричных игр можно получить графическим методом, 2 2× 2 n× , или 2m × . 217 Следует помнить: 1) когда в оптимальном плане задачи пере- менная положительна, то соответствующее ограничение двойст- вен , 2) в о равна для в строго не- рав Р ной задачи её оптимальным планом обращается в равенство птимальном плане двойственной задачи переменная нулю соответствующего ограничения, обращающегося е енство. Рассмотрим на примерах особенности решения таких задач. Пример 3.6. ешить игру с платёжной матрицей 1 7 2 1 A ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ . Решение. Проверим, есть ли решение игры в чистых стратегиях. 1 21, 1 1α α α= = ⇒ = , 2, 2.1 2 7β β β= = ⇒ ак как = Т α β≠ , то решения в чистых стратегиях нет. Следует иск ых те ны игры будет выполняться ать решение в смешанн стра гиях, при этом для це 1 2v< < . неравенство Сформулиру м прямую и обратную задачи. Прямая задача: Двойственная задача: y y= + → 2 2 1, 7 1, 0, 0. x x x x x x + ≥⎧⎨⎩ ≥ ≥ . в все обыч- ные и, получим точку А, в к функция е 1 2 min,f x x= + → 1 2 max,F 1 2 1 2 7 1, (1) 2 1, (2) y y y y + ≤⎧⎨ + ≤⎩ 1 2 1 + ≥ 1 20, 0.y y≥ ≥ Найдём графическое решение двойственной задачи Вначале решим задачу на максимум. Продела 1 2 операци оторой F достигает максимума. Решаем совместно систему уравнений 7 1,y y 1 2 1 22 1.y y + =⎧⎨ + =⎩ Получаем значения * *y y= = * 7 /13.F = 1 26 /13, 1 /13, 1y*Fc r (2) А 0 1/7 1 2y 1/2 1 (1) Рис. 3.1 218 Для двойственной задачи, с учетом свойств, указанных ранее, то есть, если в оптимальном плане задачи переменная положительна, то соответствующее ограничение двойственной задачи её опти- мальным планом обращается в тождество, получим систему ра- венств 1 2 1 2 2 1, 7 1. x x x x + =⎧⎨ + =⎩ истИз этой с емы равенств следует, что цена игры Таким образом, решение игры: P * *1 21/13, 6 /13x x= = , 13 / 7v = . * (6 / 7;1/ 7)Q = , * (1/ 7;6 / 7)= и 13 / 7v = . Пример 3.7. Найти решение игры с платёжной матрицей 3 6 5 5 2 4 ⎡ ⎤A = ⎢ ⎥⎣ ⎦ . Решение. Проверим, существует ли решение в чистых стратеги- ях. данном случае 3, 5В α β= = . Следовательно, нет решения в чи ред ия страте- гиях составим прямую и двойственную задачи. Прямая задача: Двойственная задача min, 3 5 1, (1) 6 2 1 (2) f x x x x x x = + → + ≥⎧⎪ + ≥ max, 3 6 5 1, F y y y y y y = + + → + + ≤⎧ .x x≥ ≥ y чка А является точ- кой пересечения двух пря- мых (1) и (2). Координаты этой точки определяются из стых стратегиях. Для оп елен решения в смешанных : 1 2 1 2 1 2 1 25 4 1, (3)x x ⎨⎪ + ≥⎩ 1 2 35 2 4 1.y y y ⎨ + + ≤⎩, 1 2 3 1 2 3 1 20, 0 1 2 30, 0, 0.y y≥ ≥ ≥ Вначале удобнее найти решение задачи на мини- мум. То 2x 1/2 cr 1x А c r *f f 1/5 1/4 2191/3 11/6 /5 (1) (2) (3) Рис. 3.2. решения системы уравнений , . 1 2 1 2 3 5 1 6 2 1 x x x x + =⎧⎨ + =⎩ и будут равны 1 1/8,x = 2 1/8x = , тогда * 1/ 4f = , *1/ 4v f= = , * 1 1 4 1/ 2 8 q = ⋅ = , *2 1 4 1/ 28q = ⋅ = , * (1/ 2;1/ 2)Q = . Неравенство (3), при подстановке значений 1x и 2x , является стная 3 0y = . тся в строгим, следовательно, в двойственной задаче неизве Поэтому ограничения двойственной задачи превращаю равенства, решая которые yполучим значения 1 и 2y 1 2 1 2 1 2 3 6 1,y y+ = 1 1, . 5 2 1. 6 12 y y y y ⎧ ⇒ = =⎨ + =⎩ Вероятности будут равны 1 2 1 2 14 , 4 6 3 12 p p 1 3 = ⋅ = = ⋅ = , * (2 / 3;1/ 3)P = . Задачи для решения 3.8. Д анных ных матриц найти р ие графи ским методом. 1. ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 2. 3. 0 2 ля зад платёж ешен че- 4 . . 1 3 3 5 2 2 3 1 5 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 5 2−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎦ . 4. ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ . 5. 4 0 5 1 3 2 6 2 4 3 1 4 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ . ⎣ 6. 1 4 3 ⎡ ⎤⎥− . 7. 0 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 8. 6 2 1⎢⎢ ⎥ 3 4 . ⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 2 5 2 1 6 3 4 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 9. 4 5 1 2 3 6 ⎡ ⎤⎢ ⎥−⎣ ⎦ . 10. 0 4 2 6 1 7 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ . 1 . 12.1 . ⎢ ⎥⎣ ⎦ 5 3 2 2 4 7 −⎡ ⎤ 1 1 2 3 4 5 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ . 220 3.5. Решение задач теории игр в условиях частичной и пол- ной неопределённости. Игры с «природой» Если рассматриваются задачи, когда один игрок не проявляет интереса к исходу игры, то такие задачи называются играми с «при- ро вывод о наилучшей стратегии дл акие задачи могут быть решены и в смешанных стратегиях, но пр он может поступить непредсказуе- мо новую продукцию определя- ют 16 тыс. шт. в год. Цена реали- зац рицу в условиях частичной нео 3; p2 = 0,5; p3 = 0,2. При вычислениях по критерию Лапласа спрос на новую продукцию считается равновероятным. дой». В этом случае при формулировке задачи может быть час- тично задана некоторая информация о состоянии игрока, называе- мого «природой». Тогда решение задачи получается в условиях частичной неопределенности. В этом используются методы Байеса и Лапласа. Однако, бывают ситуации, когда о состоянии «природы» заранее нет никаких сведений, то есть состояние полной неопределённости. Тогда применяются методы Вальда, Сэвиджа и Гурвица. И на осно- вании всех исследований делается я решения поставленной задачи. Т и этом получаются рекомендации только для игрока А , игрок В рекомендаций не воспринимает, и даже более выгодно игроку А. Рассмотрим решение таких задач на примере. Пример 3.9. Используя игровой подход, построить платежную матрицу для следующей задачи. Предприятие планирует организацию выпуска нового вида про- дукции. Различные оценки спроса на ся значениями b1 = 12, b2 = 14, b3 = ии единицы продукции составляет c1 = 17 ден. ед. при себестои- мости производства в c2 = 10 ден. ед. Имеющийся опыт показывает, что потери, вызванные отказом в поставке единицы готовой про- дукции, оцениваются в c3 = 4 ден. ед. 1) Составить платежную матрицу 2) Проанализировать платежную мат пределённости. При вычислениях по критерию Байеса следует учесть, что вероятности спроса на новую продукцию в объемах b1 = 12, b2 = 14, b3 = 16 тыс. шт. в год составляют p1 = 0, 221 3) Дать обоснованные рекомендации по определению объемов выпуска новой продукции при условиях полной неопределённости на основе критериев, Вальда, Сэвиджа, Гурвица (γ = 0,7). примем ни ос а данн опи в в коне 4) Найти решение сформулированной парной матричной игры с нулевой суммой путем сведения к задаче линейного программиро- вания (в смешанных стратегиях). Решение. 1) Будем считать в качестве первого игрока А отдел предприятия (или должностное лицо), который должен принимать решение о необходимых объемах производства нового вида про- дукции. В качестве второго игрока П совокупность внеш- х факторов, формирующих спр н ый вид продукции (при- рода). Таким образом, данная ситуация может быть сана иде чной парной игры с природой. Стратегиями первого игрока 1A , 2A , 3A будут его решения об организации производства продукции в объемах 1s = 12, 2s = 14, 3s = 16 тыс. шт. в год соответственно на тся тремя состояниями природы соответству щими уровню спроса в 12, 14, 16 тыс. шт. в го . Представим все данные в таблицы. Таблица 3.12 . Значения объемов спроса продукцию предприятия также определяю 1П , 2П , 3П , ю д виде 1П ( 1s = 12) 2П ( 2s = 14) 3П ( 3s = 16) 1A ( 2) 1a = 1 84 76 68 2A ( 2a = 14) 64 98 90 3A ( 3a = 16) 44 78 112 Выигрышами aij (i = 1, ..., 3; j = 1, ..., 3) первого игрока будут значения показателя прибыли предприятия при различных соотно- шениях объема выпускаемой продукции и уровня спроса на нее. Элемент платежной матрицы a11, соответствующий прибыли пред- приятия при стратегии А1 – организации производства продукции в объеме 12 тыс. шт. в год при состоянии спроса на эту продукцию П1 – 12 шт. в год ед- тыс. , определится как разность между доходом пр 222 при затратам ия полностью реализо ятия и и на производство (вся произведенная продукц вана): a11 = 1 1 1 2s c a c− = 17 ⋅ 12 – 10 ⋅ 12 = 204 – 120 = 84 тыс. ден. ед. Аналогичным образом определяются элементы a22 и a33: a22 = 2 1 2 2s c a c− =17 ⋅ 14 – 10 ⋅ 14 = 238 – 140 = 98 тыс. ден. ед.; a33 = 3 1 3 2s c a c− =17 ⋅ 16 – 10 ⋅ 16 = 272 – 160 = 112 тыс. ден. ед. Если произведено продукции больше, чем можно ее реализовать. Элемент a21 – прибыль при объеме производства 14 тыс. шт. в год в условиях спроса 12 тыс. шт. в год. Элемент a31 – прибыль при объеме производства 16 ты д. Эле a32 – при в усл спроса 1 исключительно по ны зат с. шт. в год в условиях спроса 12 тыс. шт. в го мент быль при объеме производства 16 тыс. шт. в год овиях 4 тыс. шт. в год. Доход предприятия формируется факту реализации продукции, а расходы рав ратам на общий объем производства: a21 = 1 1 2 2s c a c− =17 ⋅ 12 – 10 ⋅ 14 = 204 – 140 = 64 тыс. ден. ед.; a31 = 1 1 3 2s c a c− = 17 ⋅ 12 – ⋅ 10 16 = 204 – 160 = 44 тыс. ден. ед.; a32 = 2 1 3 2s c a c− =17 ⋅ ⋅14 – 10 16 = 238 – 160 = 78 тыс. ден. ед. В си с обхо- димо дополнитель ь потери, вызв отказом в по- ставке : туации, когда спро больше объемов производства, не но учитыват анные готовой продукции 1 1 1 2 3 2 1( )s c a c c a s− − −a12 = = =17 ⋅ 12 – 10 ⋅ 12 – 4 ⋅ 2 = 204 – 120 – 8 = 76 тыс.ден.ед.; a13 = 1 1 1 2 3 3 1( )s c a c c a s− − − = =17 12 – 10⋅ ⋅ 12 – 4 ⋅ 4 = 204 – 120 – 1 = 68 тыс.ден.ед.; a23 = 6 1 2 2 2 3 3 2( )s c a c c a s− − − = =17 14 – 10⋅ ⋅ 14 – 4 ⋅ 2 = 238 – 140 – 8 = 90 тыс.ден.ед. Найдем верхнюю α и нижнюю β це рмулам: ну игры по фо б max min ji ijsa a= = 223 1 2 3 1 2 3 1 2 31 2 3 , , , , , ,, , max min {84; 76; 68}; min {64; 98; 90}; min {44; 78;112} s s s s s s s s sa a a ⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ] 1 2 3, , max 68; 64; 44 68 a a a = = тыс. ден. ед.; в min max j i ijs a a= = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , , , , min max {84; 64; 44}; max {76; 98; 78}; max {68; 90;112} s s s a a a a a a a a a ⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ] 1 2 3, , min 84; 98;112 84 s s s = = тыс. ден. ед. Поскольку α ≠ β, задача не имеет решения в чистых стратегиях и следует искать решение в смешанных стратегиях. 2) Согласно к ю пр еш в условиях час- тичной неопредел и ие вероятностей у о гии ai (i = 1, ..., 3) по критерию Байеса вычисляется по фор- му где ) а в с о- са на новую про в год соответ- ств ожидаемое значение прибыли предприятия составит ритери Байеса ( инятие р ения ённост либо известно распределен наст пления различных сост яний природы, либо считается, что все исходы равновероятны) ожидаемый платеж (прибыль предприятия) Vi для страте ле Vi = ai1 q (s1) + ai2 q (s2) + ai3 q (s3), q (s1) = 0,3; q (s2) = 0,5; q (s3 = 0,2 – з данные ероятно ти спр дукцию в объемах 12, 14, 16 тыс. шт. енно. Таким образом, при производстве 12 тыс. ед. продукции в год (стратегия a1) V1 = a11 q (s1) + a12 (s2) + a13 q (s3) = 84 ⋅ ,3 + 76 ⋅ 0,5 + 68 ⋅q 0 0,2 = = 25,2 + 38 + 13,6 = 76,8 тыс. ден. ед. Соответственно при производстве 14 и 16 тыс. ед. продукции в год (стратегии и предприятия будет равно V2 = a (s1) + a23 s3) = 0,3 + 98 a2 и a3) ожидаемое значение прибыл ⋅ ⋅ ⋅ 0 a22 (s2) +q q ( 64 0,5 + 90 ,2 = q21 = 19,2 + 4 + 18 с. ден V3 = a 1) + a3 s2) + a33 ( 4 ,3 + 7 9 = ты 86,2 . ед.; 31 q (s 2 q ( 4 ⋅ 0 8 ⋅ 0,5 + 112 ⋅ 0,2 = s3) =q = 13,2 + 39 + 22,4 = 74,6 тыс. ден . аблиц . ед Т а 3.13 224 1 1П ( s = 12) 2 2П ( s = 14) 3 3П ( s = 16) iV 1A (12) 84 76 68 76,8 2A (14) 64 98 90 86,2 3A (16) 44 78 112 74,6 jq 0,3 0,5 0,2 бого 3 , ,a a a Согласно критерию л что поскольку распре- деление вероятностей состояний p(s ) неизвестно, нет причин счи- тат - теж ия a е Поскольку работа лю субъекта хозяйствования, естественно, ориентирована на максимизацию получаемой прибыли, то опти- мальной стратегией предприятия будет стратегия А2 – производство 14 тыс. ед. продукции в год, обеспечивающая ожидаемое значение прибыли 1 2 3 * 1 2, , max { ; ; } max {76,8; 86,2; 74,6} 86,2Б a a aV V V V= = = тыс. ден. ед. 1 2 3 Лап аса считается, j ь их различными, то есть вероятности всех состояний природы равны между собой p(s1) = p(s2) = … = p(sn) = 1/n. Ожидаемый пла (прибыль предприят ) Vi для стратегии i (i = 1, 2, 3) вычисля- тся по формуле Vi = 1 3 (ai1 + ai2 + ai3). Таким образом, при производстве 12 тыс. ед. продукции в год (стратегия a1) ожидаемое значение прибыли предприятия составит 1 1 3 ( 1 3 1 3 ⋅ 228 = 76 тыс. ден. ед. a + a + a ) = V = (84 + 76 + 68) = 11 12 13 Соответственно при п оизводстве 14 и тыс. ед. продукции вр 16 год (стратегии А2 и А3) ожидаемое значение прибыли предприятия будет равно V2 = 1 (a21 + a22 + a 1 3 (64 + 98 + 90) = 1 3 ⋅ 3 23 ) = 252 = 84 тыс. ден. ед.; V3 = 1 3 (a31 + a32 + a33) = 1 3 1 3 ⋅ 234 = 78 тыс(44 + 78 + 112) = . ден. ед. 225 Оптимально критерию Лап а буде ратегия А2 – произ- водство 14 тыс про в , обес ваю ожидаемое зна m {76; 84; 78} 84 a a = тыс. ден. ед. й по лас т ст . ед. дукции год печи щая чение прибыли 1 2 3 2 * 1 2 3, , , max { ; ; } axЛ a a a aV V V V= = 1 3 Таблица 3.14 1П (12) 2П (14) 3П (16) iV , 1A (12) 84 76 68 76 2A (14) 64 98 90 84 3A (16) 44 78 112 78 Таким образом, в условиях частичной неопределённости целесо- образно выбрать страт 2A . егию 3) Критерии Вальда, Сэвиджа, Гурвица предназначены для анализа сит возможным со я sj Согласно критерию Вальда (выбор наилучшей альтернативы из наи Vi = min уации, связанной с принятием решения в условиях полной неоп- ределенности (о вероятностном распределении, соответствующем стояни м природы ничего неизвестно). худших) ожидаемый платеж (прибыль предприятия) Vi для стра- тегии Аi (i = 1, ..., 3) вычисляется по формуле 1 , ,s 2 3s s {a ; a ; a }. Таким образом при производстве (стратегия А1 ени i1 i2 i3 , 12 тыс. ед. продукции в год ) ожидаемое знач е прибыли предприятия составит V1 = 1 2 3, , min s s s {a11; a12; a13} = 1 2 3, , min s s s {84; 76; 68} = 68 тыс. ден. ед. Соответственно при производстве 14 и 16 тыс. ед. продукции в год (стратегии А и2 А3) ожидаемое значение прибыли риятия будет равно предп V2 = , , min 1 2 3s s s {a21; a22; a23} = , , min 1 2 3s s s {64; 98; 90} = 64 тыс. ден. ед.; V3 = 1 2 3, , min s s s {a31; a32; a33} = 1 2 3, , min s s s {44; 78; 112} = 44 тыс. ден. ед. Оптимальной по критерию Вальда будет стратегия А1 – произ- водство 12 тыс. ед. продукции в год, обеспечивающая ожидаемое значение прибыли 226 1 2 3 1 2 3 * 1 2 3; } } 68V = , , , ,max { ; max {68; 64; 44a a a a a aV V V= = тыс. ден. ед. а. Согласно критерию Сэвиджа предварительным этапом, пред- шествующим анализу, является замена исходной платежной матри- цы матрицей рисков. Элементы матрицы рисков в случае, когда ис- ходная платежная матрица представляет собой доходы первого иг- ро rij = , ax { a a a a – . 84 44 98 78 112 112 40 20 0 ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − ax Критерий Вальда называется критерием пессимизм ка, определяются по формуле 1 3, m ; ; }j j ja a aij2 3 1 2 В нашем случае матрица рисков будет иметь вид: 84 84 98 76 112 68 0 22 44− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢84 64 98 98 90 20 0 22⎥ ⎢ ⎥− − − =⎥ ⎢ ⎥ . 112 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Ожидаемый риск Ri для стратегии Аi (i = 1, ..., 3) вычисляется по формуле Vi = 1 m s 2 3, ,s s {ri1 образом водств од (стратегия А1) о к пред ; ri2; ri3}. Таким , при произ е 12 тыс. ед. продукции в г жидаемый рис приятия составит R1 = 1 2 3, , max s s s {r11; r12; r13} = 1 2 3, , max s s s {0; 22; 44} = 44 тыс. ден. ед. Соответственно при производс ве 14 и 16 тыс. ед. продукции в год (стратегии А и А ) ож т 2 3 идаемое значение ри ия бу- дет равно R {20; 0; 22} = 22 тыс. ден. ед.; а будет стратегия А2 – произ- водство . ед. нимиза- цию максим риска ска предприят 2 = , , max 10 s s s {r21; r22; r23} = , , max 10 s s s1 2 3 1 2 3 R3 = 1 2 3, , max 10 s s s {r31; r32; r33} = 1 2 3, , max 10 s s s {40; 20; 0} = 40 тыс. ден. ед. Оптимальной по критерию Сэвидж 14 тыс продукции в год, обеспечивающая ми ального 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , min { ; ; } min {44; 22; 40} 22 a a a a a a R R R R тыс. ден. ед. Критерий минимального риска. * = = = 227 Соглас итери тимизма) ожидаем егии Аi (i = 1, ..., но кр ю Гурвица (учитывается степень оп ый платеж (прибыль предприятия) Vi для страт 3) вычисляется по формуле Vi = γ 1 2 3, , max 10 s s s {ai1; ai2; ai3} + (1 – γ) 1 2 3, , min s s s {ai1; ai2; ai3}, где γ = 0,7 – показатель оптимизма (0 ≤ γ ≤ 1). Таки м, пр тыс в год (стратегия ожидаемое авит V1 11 12 13 mi м образо и производстве 12 . ед. продукции А1) значение прибыли предприятия сост = 0,7 {a ; a ; a } + 0, n 1 2 3, ,s s s 1 2 3, , max 10 3 s s s =0,7 max 10 {84; 76; 68} + 0,3 min {a ; a ; a }=11 12 13 s s ,1 2s 1 ,3, , 2 3s s s {84; 76; 68} = ⋅ 84 + 0,3 ⋅ 68 = 58,8 + 20,4 = 79,2 тыс. ден. ед. ри производстве 1 16 тыс. ед. прод = 0,7 Соответственно п 4 и укции в год (стра приятия бу тегии А2 и А3) ожидаемое значение прибыли пред дет равно V2 = 0,7 1 2 3, , max 10 s s s {a21; a22; a23} + 0,3 1 2 3, , min s s s {a21; a22; a23}= =0,7 max 1 1 2 3, , 0 s s s {64; 98; 90} + 0,3 1 2 3, , min s s s {64; 98; 90} = = 0,7 98 + 0,3 ⋅ ⋅ 64 = 68,6 + 19,2 = 87,8 тыс. ден. ед.; s s s V3 = 0,7 max 10 {a31; a32; a33} + 0,3 min 1 2 3, , 1 2 3, ,s s s =0,7 s s s ; 78; + 0, {a31; a32; a33}= 0 {44 112} 3 1 2 3, , max 1 1 2 3, , min s s s {4 112 + 0, 4; 78; 112} = = 0,7 ⋅ 3 ⋅ 44 8,4 + 17,6 = 96 тыс. д ед Оптим й п итери рвиц дет атегия А - водство с. е родук в год спе аю ожидаемое значение ли = 7 ен. .; ально о кр ю Гу а бу стр 3 – произ 16 ты прибы д. п ции , обе чив щая 1 2 3 1 2 3 * 1 2 3, , , , max { ; ; } max {79,2; 87,8; 96} 96 a a a a a a V V V V= = = тыс. ден. ед. Все приведённые вычисления удобно проводить в таблице Таблица 3.15 1П (12) 2П (14) 3П (16) *BV *CV *ГV 1A (12) 84 76 68 68 44 79,2 2A (14) 64 98 90 64 87,822 3A (16) 44 78 112 44 40 96 228 Рассмотренные критерии дают разные ответы, не позволяющие сделать определённый вывод. В этом случае можно привлечь, на- пример, вывод, полученный для критерия Лапласа, так как он рас- сматривает равновероятные исходы. Критерий Лапласа рекоменду- ет стратегию 2A и критерий Сэвиджа рекомендует эту стратегию. Следовательно, можно сделать вывод, что наилучшей стра й дл приятия будет стратегия 2 тегие я данного пред A – производство 14 тыс. ед. продукции в год. стратегию. Рассмотрим шанных стратегиях, когда для решения задачи может быть использована комбинация нескольких стратегий. 4) Проверка матрицы А на решение в чистых стратегиях показа- ла, что решения в чистых ет, так как Все приведённые критерии рекомендуют одну определённую выбор решения в сме 68α = , стратегиях не существу а 84β = и α β≠ . Задача в смешанных страте- гия Составим за вого игрока. х 76 98 78 1,x x может быть решена х. дачу линейного программирования для пер f = 1 + х2 + х3 → min; 1 2 384 64 44 1,x x x 1 2x + + ≥⎧⎪ + 3 1 2 368 90 112 1,x x x + ≥⎨⎪ + + ≥⎩ х1 ≥ 0; х2 ≥ 0; х3 ≥ 0. Решая задачу симплекс-методом, получим f = 0,013; х1 = 0,011; х2 = 0; х3 = 0,002. Откуда v = 1/f = 76,9; q 1 = x1v = 0,011 ⋅ 76,9 = 0,85; q 2 = x2v = 0 ⋅ 76,9 = 0; q 3 = x3 v = 0,002 ⋅ 76,9 = 0,15, * (0,85;0;0,15) . Q = среднее значение прибыли предприятия); , , тегий где v – цена игры ( q 1 q 2 q 3 – вероятности выбора руководством предприятия стра 1A , 2A , 3A соответственно. То есть, ратегию ст 1A использовать на 85%, стратегию 3A - на 1 С практической точки зрения, олученные результаты следует трактовать следующим образом: предприятию необходимо выпускать 5%. п 229 1 1 2 2 3 3a q a q a q+ + = 12 ⋅ 0,85 + 14 ⋅ 0 + 16 ⋅ 0,15 = 10,2 + 2 = 12,6 тыс. ед. продукции в год. ,4 я При этом значение прибыли составит 76,9 тыс. ден. ед. Задачи для решени 3.10. Фирма посредник закупает товар по цене p усл.ед. за еди- ницу товара. Спрос на товар может ыть в объёмах: 1В , 2В , 3В , 4В . Если товар б не будет раскуплен, то за хранение до следующего по цене а у.е. за одну единицу товара. цене b усл.ед. ( b> сезона необходимо платить Если товара окажется не достаточно для обеспечения спроса, то его придётся докупать по p ). Товар продаётся в з Если он про его цена продаж повышается на усл.ед. Составить матрицу до- хода фирмы. Указание к решению. Для составлен л тежной ма риц следует сле- дующие рекомендации. Товар может ыть закуплен в объёмах: данном се оне по цене q ( )b> . даётся в следующем сезоне, то вследствие инфляции и q r ия п а т ы использовать б 1 1 2 2; ;A B A B= = 3 3 4; 4A B A B= = . Тогда платёжная матриц описывается элементами а , 1,4, 1,4ija i j= = . Таблица 3.16 A\B 2В 4В 1В 3В 1A 1 1A B= 11а 12а 13а 14а 2A 2 2A B= 21 22а 23 24аа а 3A 3 3A B= 31а 32а 33а 34а 4A 4 4A B= 41а 42а а43 44а куплен товар объёмом За 1 1A B= . - закуплен товар объёмом 1 по цене 11а В p , продан весь объём по цен q . Тогда 11а = 1 1 1( )B p B q B q p е − + = − . 230 12а - закуплен товар объёмом 1В по цене , p но спрос его в объё- ме тогда необходимо риобрести товар ещё в объёме ( ) по 2В п, 2В - 1В цен . Продан весь товар по цен q . Тогда 12а 1 2 1 2( )B p B B b B q− − − + . е b е = 13а - закуплен товар объёмом 1В по цене , p но спрос его в объё- ме тогда необходимо иобрести товар ещё в объёме ( ) по цене Тогда ле 3В пр, 3В - 1В цене b. Продан весь товар по q . 12а = 1 3 1 3( )B p B B b B q− − + . 14а - закуп н товар объёмом 1В по цене − p , но спрос его в объё 4В , тогда необходимо приобрести товар ещё в объёме ( 4В - 1В ) по цене b. Про сь товар = - ме дан ве по цене Тогда q . 12а 1 4 1 4( )B p B B b B q− − − + . Закуплен товар объёмом 2 2A B= . 21а - закуплен товар об мо ъё м по цене 2В p , спрос оказался рав- не З н пр 1 2 1( ) ( )( )B p B B a B q B B r B q p B B r a− − + = − + − − . ным бъёму 1В ,проданному по це q . Остаток товара в объёме ( 2В - 1В ). а него придётся доплачивать за хранение по цене а, о одан он по цене ( )q r+ . Тогда = ( )− + − о 21а 1 2 1 1 2 1( ) - закуплен товар объёмом по цене22а 2В p . Продан в полном объёме по цене q . Тогда 22а = 2 2 2 ( )B p B q B q p− + = − . 23а - закуплен товар объёмом 2В по цене p . Спрос на него в объ- ёме Следовательно, придётся докупать в объёме ( по цене Тогда 3 . его 3В - 2В ) В цене b. Весь товар продан по q . 23а 2 3 2 3( )B p B B b B q− − + . 24а - закуплен товар объёмом 2В по цене = − p . Спрос на него в об - е 4В . Следовательно, придётся его докупать в объёме ( 4В - 2В ) по цене b. Весь товар п по цене q ъ ём родан Тогда 4 . 24а = 2 4 2( )B p B B b B q− − − + . Закуплен товар объёмом 3 3A B= . 31а - закуп н товар объёмом 3В по ценеле p , спрос оказался рав- ным объёму проданному по товара в объёме ( 1В , цене q . Остаток 3В - 231 1В ). За него придётся доплачивать за хранение по цене а, но он бу- дет продан по цене (q r)+ . Тогда = a B q B B q r− − − + + − + )3 3 1 1 3 1( ) ( )( )B p B = . 3 1( ) (B q r p a B a r= + −31а B − + − закуплен товар объёмом по цене32а - 3В p , спрос оказался рав- о придётся доплачивать по цене а, но он бу- дет ным бъёму 2В ,проданному по цене q . Остаток товара в объёме ( 3В 2В . За него хранение - ) за продан по цене ( )q r+ . Тог 32а = 3 3 2 2 3 2( ) ( )( )B p B B a B q B B q r да − − − + + − + = . 3 2( ) ( )B q r a B rp a= + − + 33а − − закуплен товар объёмом по цене- 3В p , и весь продан по це- B qне q . Тогда 33а = 3 3B p B q p3( )− + = − . з п34а акуплен товар объёмом 3В о цене- . p Спрос на него в объё- ме 4В Следоват льно, придётся его докупать в объёме ( 4В - 3В ) цене b. Вес товар продан . е по ь по цене Тогда 4 q . 34а = 3 4 3( )B p B B b B q− − − + . Закуплен товар объёмом 4 4A B= . а - закуплен товар объёмом 4В по цене 41 p . Продан товар в объ ёме 1В по цене q . л овательно, придётся - С ед оплатить за хранение товара в объёме по цене Тогда ) 4В - 1В ) а. ( 41а = 4 4 1 1 4 1( ) ( )( )B p B B a B q B B q r− − − + + − + = . 4 1( ) (B q r p a B a r= + − − + − - закуплен товар объёмом по цене 42а 4В p . Продан товар в объ- ёме 2 по цене . Следовательно, придётся оплатить за хранение товара в объёме В 2В ) по цене а. Тогд В ( а ) q 4 - =42а 4 4 2 2 4 2( ) ( )(B p B B a B q B B q r− − − + + − + = ) . 4 2( ) (B q r p a B a r= + − − + − - закуплен товар объёмом 4 по цене43а В p . Продан товар в объё ме по цене . Следо тел - ва ьно, придётся оплатить за хранение то- огда = 3В q вара в объёме ( 4В - 3В ) по цене а. Т 43а 4 4 3 3 4 3( )B p B B a B ( )( )q B B q r− − + − + =− + . 4 3( (q r p a B r) )B a = + − − + − 232 к ен ва ъ п а - за упл то р об ёмом В о цене p . Пр44 4 о об м ц г B p B дан товар в ъё- е 4 по ене . То да а = 4 4q BВ q 44 4 (q )p− + = − . с таблиц . а 3.17 № У ловия задач в е 3 17. Таблиц a b jq γ 1В 2В 3В 4В p q r 1 90 100 130 150 13 18 q 10% 7 15 (0,1;0,1;0,4;0,3) 0,7 2 20 50 80 100 10 15 q 10% 8 16 (0,5;0;04;0,1) 0,6 3 ,7 100 120 150 180 12 14 q 10% 5 13 (0,1;0,3;0,4;0,2) 0 4 100 120 150 180 10 14 q 10% 7 12 (0,3;0,5;0;0,2) 0,6 5 80 100 110 120 15 20 q 10% 9 13 (0,4;0;0,4;0,2) 0,6 6 60 70 90 110 13 17 10% 7 15 (0,2;0;0,6;0,2) 0,7 q 3.11. Дать рекомендации в условиях задачи 3.9 таким обра омз , что ьшим: ) проверить, есть ли решение задачи в чистых стратегиях. бы доход фирмы был наибол 1 2) Дать рекомендации если: а) известны вероятности спроса jq (j=1, 2, 3, 4) объемов jВ продукции; б) все возможности спроса яв- ляются равновероятными; 3) в условиях полной неопределенности, пользуясь критериями: а) Вальда; б) Сэвиджа; в) Гурвица при заданном коэффициенте γ ; 4) в смешанных стратегиях. 3.12. Предприятие выпускает сезонную продукцию объем, кото- рой зависит от спроса высокого В, среднего - С или пониженного - П. Себестоимость одного изделия р ден. ед. Стоимость одного из- делия при продаже в течение сезона 1b ден. ед., если часть изделий осталась невостребованной, то они хранятся до следующего сезона, при этом на хранение тратится 2b ден ед. В следующем сезоне из- дел для плана вы доход - шим; 2) проверить, есть ли решение в чистых с дать . ия продаются по цене 3b ден. ед. Если спрос на изделие не удов- летворен, то потери от недопоставки 4b ден.ед. за одно изделие (см. таблицу 3.18). Найти: 1) матрицу дохода предприятия пускаемой продукции таким образом, чтобы был наиболь тратегиях; 3) 233 рекомендации в р стра еги а) сли звестны вероятности спрос р ц по ыбо у т и: е и а п одук ии jq , б) е мо о о яв т р о ; ус- ловия о п е нн ти ользуяс р ) ьда; б) Сэвидж ) ф и (j=1, 2 3); вс воз жн сти спр са ляю ся авн вероятными 4) в х п лной нео ред ле ос , п ь к итериями: а Вал а; в Гурвица при заданном коэ фиц енте γ . 4) й е и с ы тр г . Таблица 3.18 На ти р шен е в мешанн х с ате иях γ № В С П р 1b 2b 3b 4b jq 1 100 80 50 9 15 3 10 7 (0,6; 0,3; 0,1) 0,6 2 60 50 30 14 20 15 10 (0,4; 0,4; 0,2) 0,7 5 3 40 30 20 6 10 7 5 (0,5; 0,1; 0,4) 0,6 2 4 80 60 50 18 30 20 14 (0,6; 0,1; 0,3) 0,7 6 5 100 90 70 13 18 5 15 14 (0,2; 0,3; 0,5) 0,6 6 120 100 90 12 18 15 14 (0,2; 0,3; 0,5) 0,6 6 Указания к составлению матрицы дохода задачи 3.12 b ; )*( )a B p C b B C b b= − + + − − ; a B p П b B П b b+ + − ; * *a С p + объема таблицу овер- оцесса производство оставшего- ся . 2) Прове- рить есть ли решение игры в чистых стратегиях. 11 1* *a B p B= − + 12 1 3 2* * ( 13 1 3 2* * ( )*( )− − 22 1* *a С p С b= − + ; 3 2( )*( )С b С П b b= − + − − ; 31 1 4* * ( )*a П p П b B П b= − + − − ; 31 1 4* * ( )*a П p П b С П b= − + − − ; 33 1* *a П p П b= − + . 3.13. Предприятие может производить некоторое изделие, при- обретая сырье у трех поставщиков по цене a усл. ед. в объемах iV ( 1 2 3, ,i i iv v v ) 1,2,3i = . Первоначально производство изделий на трех ви = 23 1 дах оборудования обходится в 1b у.е., до тех пор пока будет про- изведено соответственно 1h % ( 11 12 13, ,h h h ) либо 2h %( 21 22 23, ,h h h ) про- центов первоначального (см. 3.19). После ус шенствования технологического пр количества изделий обходится в 2b у.е. за одну единицу изделия. 1) Составить платежную матрицу издержек предприятия 234 3) Дать рекомендации для выбора стратегии в условиях частич- но неопределенности: а) при известных вероятностях спроса на изделие й jq (j=1, 2, 3); ) при равновероятном спросе; ) в условиях полной неопределенности, пользуясь критериями : а) а; б) Сэвиджа; в) Гурвица при коэффициенте б 4 γ . Вальд 5 ) Найти решение игры в смешанных стратегиях. Таблица 3.19 № 1V 2V 3V 1h % 2h % a 1b с 2b jq γ 1 200; 20 5 22 0,1;0,5;0,4 0,6 150; 100 120; 140; 190 160; 180; 120 0,6; 0,5; 0,8 0,3; 0,6; 0,4 12 2 50; 20 15 0,1;0,9 0,7 30; 80 30; 80; 50 20; 40; 100 0,4; 0,7; 0,1 0,6; 0,3; 0,2 10; 8; 15 3 80; 20 15 0,7;0,3 0,6 60; 120 130; 50; 80 100; 80; 80 0,8; 0,7; 0,4 0,4; 0,8; 0,8 15; 20; 12 4 200; 130; 150; 180; 0,3; 0,8; 10; 15 10 0,6;0,4 0,7 130; 100; 0,8; 0,3; 8; 100 150 150 0,7 0,5 7 5 180; 50; 230 150; 250; 160; 80; 0,5; 0,3; 0,3; 0,7; ,5 10; 15; 0,7 60 220 0,8 0 10 419 15 0,6;0, 6 70; 90; 100; 100; 80; 110; 0,3; 0,7; ; 0,2 0; 15 25 0,7 150 110 120 0,5 0,7; 0,8 12; 1 19 0,6;0,4 Указания к составлению матрицы ек задачи 3.13 Считаем, что являются векторами: Введем векторы и издерж 1 2 3 1 2, , , , ,V V V h h a ur ur ur r r r . 3 11 21 31(1 ,1 ,1 )h h h h= − − − r 4 12 22 32(1 ,1 ,1 )h h h h= − − − r . Скаляр- 235 ным произведением векторов 1V ur a r и будет и так алее. Тогда, 3 каждом варианте получим матрицу с отрицательными элемен- там к 1 11 1 21 2 31 3( , ) * * *V a V a V a V a= + + ur r д 1 1 1 111 1 2( , ) * ( , ) *( , )a V a b V h b V h= − − − ur r ur r ur r ; 1 1 2 1 412 1 2( , ) *( , ) *( , )V a b V h b V h= − − − ur r ur r ur r ; 2 2 1 2 321 1 2( , ) * ( , ) *( , )a V a b V h b V h= − − − ur r ur r ur r 2 2 2 2 422 1 2( , ) *( , ) *( , )a V a b V h b V h= − − − ur r ur r ur r ; 3 3 1 3 331 1 2( , ) *( , ) *( , )a V a b V h b V h= − − − ur r ur r ur r 3 3 2 3 432 1 2( , ) *( , ) *( , )a V a b V h b V h= − − − ur r ur r ur r . a ; В и. Удобнее иметь дело с матрицами, элементы, которых поло- жительны, поэтому к каждому элементу полученной матрицы при- бавляем число С. Обозначаем та ую матрицу A′ , соответственно д п лу ены целе ая бу ут о ч в функция f ′ и цена р vы ′ .иг После вычис- ления этих величин можно получить v v C′= − . 3.14. Сельскохозяйственная фирма для уборки урожая намерена е о ть ехнику к единиц техники: зерноуборочные комбайны, картофелеуборочные комбайны и но осилки в количествах, ), либо 2b ( 21b , 22b , 23b ), либо 3b ( 31b , 32b , 33b ) в зависимо- сти от погодных условий и видов на урожай. Если она заказывает технику предварительно, в начале календарного года, то стоимость аренды каждой единицы техники может быть соответственно 1c ( 11c , 12c 13c ) у.е. (см. таблицу 3.20). При заказе перед сбором уро- цены возможно изменятся и станут соответственно 2c ( 21c , 22c 23c ). ар нд ва т се к Найти ю фирмы; 2) случаях вероятности цен на моменту сбора урожая невозможно; 4 ть мендации для выбора ст те и в усл виях по ой неоп д ст з и : а и ; в) Гурвица за эф ен 1b ( 11b , 12b , 13b жая : 1) платежну матрицу издержек проверить, есть ли решение в чистых стратегиях; 3) дать рекомен- дации какую стратегию лучше выбрать для фирмы, чтобы затраты на сбор урожая были минимальными в : а) аренду техники зависят от ожидаемого урожая и могут быть 1 2,q q ; б) заранее предсказать ситуацию к ) да реко ра ги о лн ре еленно и, поль уясь кр териями а) Вальд ; б) Сэв джа , если дан ко фици т γ ; 236 5 на ш с ны т е и о - бы и ер ир ли . Та . ) йти ре ение в мешан х с рат гиях так м образ м, что зд жки ф мы бы минимальными блица 3 c 20 № 1b 2b 3b 1q 2q 1c 2 γ 1 10;8;7 13;4;8 9;6;10 0,6 0,4 20;35;50 28;20;55 0,7 2 5;2;7 6;1;8 2;5;7 0,4 0,6 22;30;15 33;21;12 0,6 3 8;2;10 6;4;10 7 ;3 0, ,3 25;30;18 22;20;30 0,7 ;10 7 0 4 15 ;8 13;8;7 1 0,2 0,8 30;15;40 ;5 10;7;1 43;20;12 0,6 5 12;7; 8;10;7 0,4 0,6 10;15;6 15;10;5 0,8 6 6;15;4 6 10;12;10 15;7;10 ;10;5 0,7 0,3 15;5;13 10;10;15 0,7 17 Указания к составлению матрицы издержек задачи 3.14. Считаем векторами 1b r , 2b r , 3b r , 1c r , 2c r . Скалярное произведение векторов 1b r и 1c r будет - 1 1( , )b c r r и так далее. Тогда: 1 111 ( , )a b c= − r r ; 1 212 ( , )a b c= − r r ; 121 ( , )a b c= − 2 r r ; 2 222 ( ,a b c= − r ) r ; 3 131 ( , )a b c= − r r ; 3 232 ( , )a b c= − r r . каждом варианте получим матриВ цу с отрицательными элемен- тами. Удобнее иметь дело с матрицами, элементы, которых поло- жительны, поэтому к каждому элементу полученной матрицы при- бавляем число С. Обозначаем такую матрицу A′ , соответственно будут получены целевая функция f ′ и цена игры v′ . После вычис- ления этих величин можно получить v v C′= − . 3.1 . Торговая фирма может закупить некоторое изделие у про- изводителя по цене a усл. ед. в объеме iV ( 1 2 3, ,i i iv v v ) ед. 1,2,3i 5 = . Первоначально товар пользуется повышенным спросом и его про- дают по цене 1b у.е. Когда будет продано 1h % ( 11 12 13, ,h h h ) процен- тов первоначального объема, то на оставшееся количество изделий цену снижают до c у.е. Если объем товара снизился до 2h %( 21 22 23, ,h h h ) от первоначального объема, то его хранят до сле- дующег сезона, при этом платят за хранение d у.е и затем про- даю о . т по цене 2b у.е. за одну единицу товара. 1) Составить платеж- ную матрицу дохода фирмы при различных выборах заку- паемой продукции. 2) Проверить, есть ли решение объемах в чистых стратегиях. 3) Дать рекомендации для выбора стратегии: а) в усло- 237 виях частичной неопределенности при известных вероятностях спроса jq (j=1, 2, 3); б) при равновероятном спросе. 4) В условиях полной неопределенности - пользуясь критериями а) Вальда; б) Сэвиджа; в) Гурвица при коэффициенте : γ . 5) Найти оптимальный ии Указания к 11b h план объема закупаемой продукц в смешанн х стратегиях таким образом, чтобы доход фирмы был наибольшим (табл.3.21). к составлению матрицы дохода задачи 3.15 Введем оэффициенты 21 2 21* (1 )* *k a h h c b h ы : 1 1 11= − + + − + ; b= + Тогда коэффициенты мат- рицы у − 2 1 12 12 22 2 22* (1 )* *k a b h h h c b h= − + + − − + ; 3 1 13 13 23 2 23h . * (1 )* *k a b h h h c +− + − − б дут: 11 11v 1*ka = ; 12 1*k12a v= ;; 21 = 21 * 2 ; a v k 22 22 2*ka v= ; *a v= a v2k ; a23 23 31 31 3*k ; v= 32 32 3*k= ; 33 33 3*a v k= . Т и c абл ца 3.21 № 1V 2V 3V 1h % 2h % a 1b 2b jq γ 1 200; 150; 100 120; 140; 190 160; 180; 120 60; 50; 80 30; 60; 40 12 20 5 22 0,1; 0,5; 0,4 0,6 2 50; 100; 80 70; 80; 80 70; 90; 70 50; 30; 70 40; 20; 80 50 80 15 90 0,1; 0,5; 0,4 0,6 3 80; 30; 50 40; 50; 70 50; 70; 40 70; 50; 40 50; 80; 60 30 50 10 70 0,4; 0,3; 0,4 0,7 4 100; 130; 80 120; 160; 30 70; 100; 140 30; 80; 50 40; 60; 70 15 30 8 40 0,3; 0,1; 0,6 0,6 5 180; 100 130; 140 ; 160; 170 40; 60 80; 60 15 30 8 40 0,1; 0,6 0,6 150; 160; 100 50; 20; 0,3; 6 80; 30; 50 60; 20; 40; 70; 80; 30; 60; 40; 25 40 6 50 0,4; 0,3; 0,7 80 50 50 70 0,3 3.6. Индивидуальные задания к главе 3 238 1) Используя игровой подход, построить платежную матрицу для следующей задачи, если все необходимые числовые данные приве- дены в таблице 1. Предприятие планирует организацию выпуска нового вида продук- ци отказом в по- ста ласа. Учесть, что ве- ро и в условиях полной неопределённости на основе критериев Сдел 4) Найти решение сформулированной парной матрич левой суммой путем сведения программирования (в смешанны ). И дны анн для зли х иан в з ни бли 3.2 е и. Различные оценки спроса на новую продукцию определяются значениями b1, b2, b3 тыс. шт. в год. Цена реализации единицы продук- ции составляет c1 ден. ед. при себестоимости производства в c2 ден. ед. Имеющийся опыт показывает, что потери, вызванные вке единицы готовой продукции, оцениваются в c3 ден. ед. 2) Проанализировать платежную матрицу в условиях частичной неопределённости по критериям Байеса и Лап ятности спроса на новую продукцию в объемах b1, b2, b3 тыс. шт. в год в случае критерия Байеса составляют p1, p2, p3. 3) Дать обоснованные рекомендации по определению объемов выпуска новой продукци , Вальда, Сэвиджа, Гурвица. ать вывод. ной игры с ну- к задаче линейного х стратегиях схо е д ые ра чны вар то ада я Та ца 2 Ном р варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 b1 18 8 10 8 20 30 6 6 25 17 b2 20 9 11 11 24 35 8 7 26 20 b3 22 10 12 14 28 40 10 8 27 23 c1 12 14 16 12 11 10 8 15 9 6 c2 8 9 10 9 7 8 5 11 7 5 c 5 4 7 6 5 5 4 7 5 3 3 p 0,25 0,20 0,10 ,25 0,35 0,25 0,25 0,20 0,20 0,30 01 p2 0 0 0 0,60 0,55 0,75 ,70 0,65 0,40 ,45 0,35 0,50 ,40 p3 0 0 0 0 0,15 ,25 ,15 ,10 0,15 0,30 0,30 0,30 0,25 ,35 γ 0,6 0,4 0,8 0,6 0,9 0,7 0,5 0,2 0,9 0,1 239 Номер варианта 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 b1 17 11 25 22 50 100 200 150 120 10 b2 27 15 30 33 60 120 250 160 150 20 b3 37 19 35 44 70 140 300 170 180 30 c1 20 17 3 10 13 7 13 22 30 46 c2 15 13 2 7 10 6 10 18 25 40 c3 10 7 2 5 6 3 5 10 15 25 p1 0,40 0,20 0,35 0,15 0,15 0,10 0,15 0,45 0,40 0,20 p2 0,40 0,40 0,45 0,45 0,70 0,85 0,55 0,35 0,30 0,30 p3 0,20 0,40 0,20 0 30 0,20 0,30 0,50 ,40 0,15 0,05 0, γ 3 ,8 0, 0 0,4 0,8 0,9 0,8 0,2 0,5 0,1 0,7 ме ар таНо р в иан 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 b1 25 20 30 300 100 50 70 40 400 250 b2 50 40 50 400 300 100 75 50 450 350 b 3 75 60 70 500 500 150 80 60 500 450 c1 37 54 19 44 32 33 100 40 70 50 c2 30 45 14 35 30 23 70 33 50 45 c3 20 30 8 22 25 16 45 20 30 25 p1 0,30 0,60 0,50 0,15 0,55 0,70 0,25 0,75 0,70 0,40 p2 0,45 0,30 0,30 0,45 0,35 0,25 0,35 0,15 0,20 0,50 p 0,25 0,10 0,10 0,10 0,10 0,20 0,40 0,10 0,05 0,40 3 γ 0,3 0,8 0,6 0,4 0,9 0,7 0,5 0,3 0,7 0,4 3.7. Применение компьютера Пример 3.16. На технологическую линию поступает сырье с ма- лым и большим количеством примесей. Линий может работать в трех режимах. Доход от реализации единицы продукции, изготов- ленной из сырья первого вида при различных режимах работы тех- нологической линии, составляет соответственно 2, 5, 6 ден. ед., а из 240 сырья второго вида – 5, 3, 1 ден. ед. В каких режимах и сколько времени должна работать технологическая линия, чтобы доход от выпущенной продукции был как можно большим? едовать одной из тре ратегиями (поступление сырья с малым и большим количеством примесей). Построим платежную матрицу игры, как показано на рисунке 3.3, и определим нижнюю и верхнюю цену игры. Как показывают результаты расчетов, игра не имеет седловой точки (α = 3, β = 5, α ≠ β). Поэтому решение задачи следует искать в смешанных стратегиях. а) Решение. Имеет место задача теории игр, в которой первый иг- рок (игрок А – работники предприятия) может сл х допустимых стратегий (выбирать режим работы технологиче- ской линии), а второй игрок (игрок В – природа) – пользуется толь- ко двумя допустимыми ст б) Рис. 3.3. Реализация расчетных формул (а) и результаты вычислений (б) для поис едствами MS Excel верхней и нижней цены ры за- дачи теории игр Рассмотрим два варианта реализации решения на компьютере. Вариант 1. Запишем соответствующую ЗЛП: ка ср иг 241 - для игрока А - для игрока В f x x x= + + → ; axF y y1 2 3 min m= 1 2+ → ; 2 5 6 1; 5 3 1 1; x x x x x x + + ≥⎧⎨ + +⎩ 2 5 1; 5 3 1 y y y y1 2 3≥ ; 1 2 1 2 + ≤⎧⎪ 1 2 3 1 26 1 1;y y + ≤⎨⎪ + ≤⎩ 1 0x ≥ , 2 0x ≥ , 3 0x ≥ ; 1 0y ≥ , 2 0y ≥ . Реализация расчетных формул для решения поставленной задачи для игрока А и пример заполнения диалогового окна «Поиск реше- ния» представлены на рисунках 3.3 и 3.4 соответс твенно. В ячейках В13:В16 находятся формулы для обратного преобразования реше- ния ЗЛП в решение исходной задачи теории игр. Рис. 3.4 Реализация расчетных формул ЗЛП для игрока А средствами MS Excel 242 Рис. 3.5. Диалоговое окно «Поиск решения» ЗЛП для игрока А Рисунок 3.5 отражает следующие результаты решения сформу- лированной задачи: х1 = 0,105263158; х2 = 0,157894737; х3 = 0; f = 0,263157895; 1р = 0,4; 2р = 0,6; 3р = 0; v = 3,8. Рис. 3.6. Результаты решения ЗЛП для игрока А Таким образом, чтобы добиться наибольшего среднего дохода в 3,8 ден. ед., 40% рабочего времени технологическая линия должна работать в первом режиме и 60% – во втором. Третий технологиче- ский режим использовать не рекомендуется. 243 Решение задачи, двойственной к данной можно получить на ос- нове отчета по устойчивости. Решение двойственной задачи имеет вид (то, что полученные значения схожи с решением прямой ЗЛП, является исключительным совпадением): y1 = 0,105263158; y2 = 0,157894737. Полученные рекомендации для игрока В им не будут использо- ваны, так как игроком является «природа». Однако, реализация рас- четных формул, пример заполнения диалогового окна «Поиск ре- шения» и полученные результаты для игрока В представлены на рисунках 23, 24 и 25 соответственно. Рис. 3.7 Реализация расчетных формул ЗЛП для игрока В средствами MS Excel 244 Рис. 3.8 Диалоговое окно «Поиск решения» ЗЛП для игрока В Рис. 3.9 Результаты решения ЗЛП для игрока В Оптимальные значения вероятностей для игрока В (природы) го- ворят о том, что для получения наименьшего среднего проигрыша в 3,8 ден. ед. 40% поступающего сырья должно содержать малое ко- личество примесей и 60% – большое. Описанный выше подход к решению задачи теории игр основан на классическом преобразовании исходной задачи в форму, удоб- ную для «ручного» счета симплекс-методом. Использование вычислительной техники (в частности, пакета электронных таблиц MS Excel) позволяет избежать «лишних» ма- тематических преобразований и сразу получить решение сформу- лированной задачи. Вариант 2. Обозначим через – вероятность работы техноло- гической линии в i-ом режиме. Пусть также v – доход предприятия от реализации выпущенной продукции (цена игры). Тогда решение задачи теории игр в смешанных стратегиях для игрока А сводится к решению следующей задачи линейного программирования. iq F = v → max; 1 2 3 1 2 3 2 5 6 5 3 р р р v р р р v , , + + ≥⎧⎨ + + ≥⎩ 1 2 3 1р р р+ + = , 1 0р ≥ , , . 2 0р ≥ 3 0р ≥ 245 Реализация расчетных формул для решения поставленной задачи и пример заполнения диалогового окна «Поиск решения» представ- лены на рисунках 3.10 и 3.11 соответственно. Рис. 3.10 Реализация расчетных формул задачи теории игр средствами MS Excel В результате решения задачи средствами MS Excel получены следующие значения искомых переменных: 1р = 0,4; = 0,6; = 0; v = 3,8; F* = 3,8. 2р 3р Рис. 3.11 Диалоговое окно «Поиск решения» для задачи теории игр 246 Предлагаемый материал затрагивает темы «Принятие решений в условиях риска и неопределенности», «Методы решения матричных игр». Рекомендуется использование компьютерной техники для поис- ка оптимального решения после сведения матричной игры к задаче линейного программирования. 247 Глава 4 СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ 4.1. Основные понятия и определения Сетевое планирование это метод математического моделиро- вания различных систем, технологических процессов и так далее. Оно широко применяется при планировании, анализе и контроле управления. Сетевое планирование позволяет получить чёткое представление об общем объёме комплекса работ, обеспечивает наглядность тех- нологической последовательности выполняемых работ, выявить работы, которые являются решающими с точки зрения сроков вы- полнения, позволяет на практике осуществить принцип выборочно- го управления. Например, на автомобильном транспорте сетевое планирование применяется при планировании и анализе работы автотранспортных и авторемонтных предприятий, в области перспективного и опера- тивного планирования автомобильных перевозок, для анализа транспортных сетей, при определении взаимоотношений авто- транспортных предприятий с клиентурой и так далее. Основано сетевое планирование на использовании сетевых мо- делей.(добавить о других экономических задачах) Сетевая модель представляет собой математический аппарат изучения и управления сложным комплексом взаимосвязанных ра- бот. Как правило, она изображается графически. Её изображение называется сетевым графиком. Этот график даёт возможность с необходимой степенью детализации отобразить во времени техно- логический процесс, сохранив существующую взаимосвязь его час- тей. Такой график служит инструментом управления. Сетевой график представляет собой ориентированный граф, без контуров, дугам которого поставлены в соответствие некоторые числовые характеристики. Эти числовые характеристики являются характеристиками работ, которые предстоит выполнить. Характе- ристики задаются либо временными параметрами, либо трудоёмко- стью выполнения. 247 На графике работы изображаются дугами (рёбрами), события являются вершинами графа (узлами). Они представляют собой на- чало или окончание, какого – либо действия (операции). Событие, соответствующее началу выполнения комплекса работ, называется начальным. Событие, соответствующее окончанию все- го комплекса работ, называется конечным. Примером сетевого гра- фика может служить граф, показанный на рис. 4.1 25t Начальным событием на рис. 4.1 является событие 1, конечным – событие 7. Весь комплекс включает выполнение следующих работ: (1-2), (1-3), (1-4), (2-5), (2-6), (3-6), (4-6), (4-7), (5-7), (5-6), (6-7). Продолжительность выполнения каждой работы (i j)− равна . Для того, чтобы началось выполнений рассматриваемого комплекса работ, необходимо, чтобы произошло событие 1. Затем начинается параллельное выполнение работ (1-2), (1-3) и (1-4). После заверше- ния работы (1-2) начинают выполняться работы (2-5) и (2-6). По окончании работы (1-3) начинается выполнение работы (3-6). По окончании работы (1-4) начинается выполнение работы (3-6). По окончании работы (1-4) начинается выполнение двух параллельных работ (4-6) и (4-7). И так процесс ведётся последовательно до ко- нечного события. ijt При построении сетевого графика необходимо учитывать сле- дующие правила. 1. События нумеруются так, чтобы для каждой работы номер начального события был меньше, чем номер конечного. Например, для работы (1-2), номер начального события – 1, конечного, 2 : 1<2. 67t 56t 57t 47t 46t 36t 26t 14t 13t 12t 2 5 1 3 4 6 7 Рис.4.1 248 2. Каждая работа кодируется двумя символами: (1-2), (1-3) и так далее. Первая цифра означает начало работы и соответствует номеру предшествующего события. Вторая цифра означает оконча- ние работы и соответствует номеру последующего события. 3. Стрелки работы на сетевом графике направляют так, чтобы конец находился правее начала. 4. Для удобства на сетевом графике следует избегать пересе- чения. 5. На графике не может быть 2 и более работ, имеющих одина- ковые коды. 6. В сети не должно быть тупиков, то есть, событий, из кото- рых не выходит ни одна работа (кроме последней). 7. В сети не должно быть событий (кроме начального), кото- рым не предшествует хотя бы одна работа. 8. Два смежных события не могут быть связаны более чем од- ной работой. Например, нельзя изображать работы, как показано на рис. 4.2. Эти работы выполняются параллельно. Для правильного изображения необходимо ввести дополнительное событие и фик- тивную работу (рис 4.3). Фиктивная работа (обозначается пунктир- ной линией) будет отражать логическую связь. Продолжительность фиктивной работы принимается равной нулю. 2 9. Ни одно событие не может произойти до тех пор, пока не будут закончены все входящие в него работы. 10. Ни одна работа, выходящая из данного события, не может начаться до тех пор, пока данное событие не произойдёт. 11. Если какие – то работы могут начаться до полного заверше- ния предыдущей работы, то её следует разбить на части и считать каждую из них самостоятельно. Например, фрагмент сетевого графика, показанный на рис. 11 2 3 Рис. 4.2 Рис. 4.3 3f 2f 1F 1f 3F2F 249Рис. 4.4 4.4, где работа F разбита на три части: 1 2,F F и 3F . После выпол- нения 1F начинаются работы 2F и 1f , после 2F - 3F и 2f , после 3F - 3f . Построение сетевого графика начинается с выделения событий и составления полного перечня работ, которые необходимо выпол- нить. Работы следует выбирать возможно более простыми, а время ха- принимаются нии данных опытных ктике при- мен иболее вероятную оценки време- ни ( нькая их выполнения должно быть сравнимым. Продолжительность выполняемых работ в зависимости от рактера и условий определяется одним из следующих способов. 1. Методом от достигнутого уровня. Этот метод используется в тех случаях, когда рассматриваемый комплекс работ неоднократ- но выполнялся и есть отчётные данные по трудоёмкости состав- ляющих работ. При этом обязательно во внимание условия производства. 2. По нормативным данным (если они есть). 3. Методом экспертных оценок на основа специалистов и ответственных исполнителей. 4. С использованием вероятностных оценок. На пра яются двух – трёх – вероятностные системы оценок. На основании данных, полученных от исполнителей, выделяют минимальную, максимальную и на для систем с тремя оценками). Минимальное время mint - это время, минимально необходимое для выполнения работы в лагоприятных условиях. Его вероятно- стная оценка мале б (≈0,01). Иногда эту оценку называют оп- тим ловиях. Его вероятно- стна время выполнения данн схо ными для определения ожидаемого врем Для ьного времени выполн истической. Максимальное время maxt - это время, затрачиваемое на выпол- нение работы в наиболее неблагоприятных ус я оценка называется пессимистической. Наиболее вероятная оценка .н вt - возможное ой работы при отсутствии неожиданностей. Эти оценки являются и д ени выполнения работ ожt . нормал ения работ min . max4 6 н в ож t t tt + += . (4.1) 250 Если продолжительность выполняемых работ описывается бета распределением min max( ) ( ) ( )f t C t t t tα β= − − , (4.2) где ( )f t - вероятность принятия значения , С – постоянная, t ,α β - параметры распределения, то при 1, 2α β= = min max3 2 5ож t tt += . (4.3) После составления перечня работ определяется последователь- ность их выполнения. Эта часть анализа работ является наиболее важной и занимает много времени. Поэтому этой части анализа следует уделять больше внимания. Пример 4.1. Требуется построить сетевой график организации движения автотранспорта на вновь вводимой в строй дороге. Решение. Выделяем следующий состав работ, которые необхо- димо выполнить. 1. Анализ характеристик дорожной сети. 2. Анализ состояния и размещения заправочных станций, сто- ловых и ремонтных мастерских. 3. Расчёт режимов движения автомобилей. 4. Разметка дорожного полотна. 5. Установка контрольных пунктов ГАИ. 6. Установка дорожных знаков. 7. Оборудование автобусных остановок. 8. Оборудование мест стоянки автомобилей. 9. Организация дорожного движения. 10. Выездной контроль над движением на дороге. 11. Контроль над состоянием дорожной сети. 12. Контроль над дорожными сооружениями. 13. Контроль над состоянием дорожных знаков. 14. Анализ дорожно–транспортных происшествий. 15. Разработка мероприятий по устранению конфликтных (ава- рийных) точек на дороге. 16. Устранение конфликтных точек на дороге. Начальным событием является событие 1. Оно соответствует моменту окончания строительства дорожной сети и началу анализа характеристик дорожной сети, состояния и размещения заправоч- ных станций, столовых и ремонтных мастерских. 251 Событие 2 соответствует моменту окончания анализа характе- ристик дорожной сети и началу расчётов режимов движения авто- мобилей. Событие 3 соответствует окончанию анализа состояния и раз- мещения заправочных станций, столовых и ремонтных мастерских. Две работы: (1-2) – анализ характеристик дорожной сети и (1-3) – анализ состояния и размещения заправочных станций и ремонтных мастерских, - выполняются параллельно, так как не связаны друг с другом. Работа (4-5) является фиктивной. Она отражает только логиче- скую связь и никакой физической работы не отражает. Её продол- жительность берётся равной нулю. Событие 4 соответствует моменту, который соответствует окончанию расчёта режимов движения автомобилей и началу раз- метки дорожного полотна. Событие 5 соответствует моменту окончания разметки дорож- ного полотна и началу установки контрольных пунктов ГАИ, уста- новки дорожных знаков, оборудованию автобусных остановок и мест стоянки автомобилей. Эти работы могут выполняться парал- лельно. Окончанию указанных работ соответствуют события 6, 7, 8 и 9. После завершения этих работ начинается эксплуатация дороги. Событие 10 соответствует этому моменту. Эксплуатация до- рожной сети включает организацию дорожного движения, выездной контроль на линии, контроль над состоянием дорожной сети, до- рожных сооружений и дорожных знаков, которые выполняются па- раллельно. Параллельно с этими вопросами ведётся анализ доржно- транспортных происшествий, разработка мероприятий по устране- нию конфликтных точек и их устранение. Конечным событием является событие 18. Оно соответствует окончанию рассматриваемого периода. Сетевой график для данного примера приведён на рис. 4.5. Работы на графике означают: (1-3) – анализ характеристик дорожной сети, (1-2) – анализ состояния и размещения заправочных станций, столовых и ремонтных мастерских, (3-4) – расчёт движения автомобилей, (2-4) - фиктивная работа, (4-5) – разметка дорожного полотна, 252 253 (5-6) - установка контрольных пунктов ГАИ, (5-7) – установка дорожных знаков, (5-8) – оборудование автобусных остановок, (5-9) – оборудование мест стоянки автомобилей, (6-10), (7-10), (8-10), (9-10) – фиктивные работы, (10-18) – организация дорожного движения, (10-11) – выездной контроль над движением на дороге, (10-12) – контроль над состоянием дорожной сети, (10-13) – контроль над дорожными сооружениями, (10-14) – контроль над состоянием дорожных знаков, (10-15) – анализ дорожно- транспортных происшествий, (15-16) – разработка мероприятий по устранению конфликтных точек на дороге, (16-17) – устранение конфликтных точек на дороге,, (12-18), (11-18), (17-18), (13-18), (14-18) – фиктивные работы. Продолжительность выполняемых работ показаны над стрелка- ми. В качестве исследуемого периода взят один год. 0 0 0 0 0 0 30 40 4 3 40 40 4 200 0 0 0 10 20 20 15 40165 4 18 1716 12 11 13 15 14 10 254 Рис. 4.5 1 3 2 4 9 8 6 7 5 Пример 4.2. Требуется построить график перевозки населения по заявкам хозяйств. Решение. В соответствие с технологией пассажирских перевозок выделяются следующие виды работ: - получение заявок на перевозки, - анализ пассажиропотоков на транспортной сети, - составление маршрутов движения автобусов, - выбор подвижного состава, - составление расписания движения автобусов, - перевозка пассажиров, - анализ работы автобусов, - составление отчёта о выполненной транспортной работе, - управление транспортным процессом. Сетевой график будет иметь вид, показанный на рис. 4.6. 0,5 0,5 Работы на графике означают: (1-2) – получение заявок на перевозки, (2-3) – анализ пассажиропотока на транспортной сети, (3-4) - составление маршрутов движения автобусов, (4-5) – выбор подвижного состава, (5-6) – составление расписания движения автобусов, (6-7) – перевозка пассажиров, (6-8) – контроль над работой подвижного состава на линии, (7-8) – анализ работы автобусов, (8-9) – составление отчёта о работе, (1-9) – управление транспортным процессом. 15 22 6 6 2 1 615 1 641 8 2 7 3 9 Рис. 4.6 255 Продолжительность работы в условных единицах поставлена над дугами графа. Начальным событием является событие 1, конеч- ным – событие 9. 4.2. Критический путь После построения сетевого графика необходимо решить вопрос о продолжительности выполнения комплекса работ в целом. Есте- ственно, что она не может быть меньше длины самого «неблагопри- ятного» пути. Этот «неблагоприятный» путь называется критиче- ским. Критический путь представляет собой непрерывную последова- тельность взаимосвязанных работ и событий от начального до ко- нечного события, имеющую наибольшую длину. Например, для се- тевого графика, показанного на рис. 4.7, критическим будет путь, выделенный жирной линией. Работы и события, через которые проходит критический путь, на- зываются критическими. Для рассматриваемого сетевого графика критическими будут события: 1, 2, 3, 6, 7 и работы (1-2), (2-3), (3-6), (6-7). Пути, близкие по времени к критическим, называются подкри- тическими. Любой некритический путь на сетевом графике имеет определённый резерв времени, который равен разности между сум- мой критических работ, лежащих на критическом пути, замыкаю- щем дугу, и некритических, лежащих на самом пути. Наличие ре- зервов времени у некритических работ даёт возможность свободно 10 8 8 12 14 6 4 5 5 2 5 1 3 64 7 Рис. 4.7 256 маневрировать внутренними ресурсами и этим ускорять выполне- ние критических и подкритических работ. 4.3. Методы построения критического пути на сетевом графике Для определения критического пути на сетевом графике можно пользоваться методом потенциалов, методом динамического про- граммирования и другими. Наиболее применяемыми являются ме- тод потенциалов и динамического программирования. Метод потенциалов Метод заключается в определении потенциалов вершин графа, отражающих расстояние от начальной вершины до рассматривае- мой. Метод потенциалов рассматривается в направлении увеличе- ния потенциалов вершин графа. Потенциалы вершин вычисляются по формуле , ,j i ij нП П t i J j J к= + ∈ ∈ , (4.4) где нJ - множество начальных событий, кJ - множество конечных событий, - потенциал предыдущей вершиной iП j , - продолжи- тельность работы ijt (i j)− , то есть, это длина ребра между вершинами иi j . Если j iП П> , то вершине j присваивается потенциал jП . Если j iП П< , то потенциал вершины j принимается равным . Потен- циал конечной вершины является длиной критического пути. Перед началом расчёта всем вершинам (событиям) графа (сетевого графи- ка) присваиваются самые малые потенциалы – 0. iП Пример 4.8. Рассмотрим сетевой график, показанный на рис. 4.8. Решение. События пронумерованы цифрами в кружках: 1 – на- чальное событие, 16 – конечное событие. Продолжительность работ показана цифрами над рёбрами. Найдём критический путь с помо- щью метода потенциалов. Присвоим всем вершинам графа (сетевого графика ) 1П = 0. 257 258 2 1 12 20 10 0П П t П= + = + > = 2П 1. Рассматриваем все вершины, связанные с вершиной 1 (со- бытием 1): . Следовательно, принимаем = 10. 3 1 13 3 30 16 0 16П П t П П′ = + = + > = ⇒ = 6 1 16 6 60 10 0 10П П t П П′ = + = + > = ⇒ = 4 2 24 4 410 4 14 0 14П П t П П′ = + = + = > = ⇒ = 4 3 34 416 16 32 14П П t П′′ = + = + = > = 4П . . 2. Рассмотрим вершину 4, связанную с событием 2: . 3. Для вершин, связанных с событием 3: . Вычисленное значение ′′ = 14 больше ранее определённого потен- циала 14. 4П = 4П = 5 3 35 5 516 13 29 0 29П П t П П′ = + = + = > = ⇒ = 6 3 36 6 616 11 27 10 27П П t П П′′ = + = + = > = ⇒ = 5 3 35 5 516 13 29 0 29П П t П П′ = + = + = > = ⇒ = 7 4 47 7 732 12 44 0 44П П t П П′ = + = + = > = ⇒ = 7 5 57 729 39 44 4П П t П П′′ = + = + = > = ⇒ = 7 76 33 44 44П П t П П′′′= + + = = ⇒ = 10 6 610 10 1027 30 57 0 57П П t П П′ = + = + = > = ⇒ = 8 6 68 827 7 34 0 34t П П= + = + = > = ⇒ = 9 7 79 9 944 9 53 0 53П П t П П′ = + = + = > = ⇒ = 10 7 710 10 1044 20 64 57П П t П П′′ = + = + = > = ⇒ 10 8 810 10 1034 3 37 64 64П П t П П′′′ = + = + = > = ⇒ = 12 8 812 1234 10 44 44П П t П П′ = + = + = > ⇒ = Следовательно, событию 4 присваиваем новое значение потен- циала 32 (наибольшее из сравниваемых потенциалов). . . 4. Для вершин, связанных с событием 4: . . 5. Для вершины 7, связанной с событием 5: 7 6. Для вершин, связанных с событием 6: 10 4 . 7 6 67 27= > . . 8 7. Для вершин, связанных с событием 7: 8. Для вершин, связанных с событием 8: П П′ 0= 12 . . . 64= . 16 96П = 14 90П = 10 74П = 4 12П = 2 10П = 13 82П = 11 67П = 7 44П = 15 89П = 12 72П =8 34П = 5 29П =3 16П = 6 17П = 1 0П = 4 8 10 5 87 149 12 12 7 10 4 7 75 330611 612201013 16 16 10 10 16 15 14 13 12 11 10 9 71 2 3 4 5 6 8 Рис. 4.8 259 9. Для вершин, связанных с событием 9: 11 9 911 11 1153 12 65 40 65П П t П П′′ = + = + = > = ⇒ = . 10 9 910 10 1053 14 67 64 67П П t П П′ = + = + = > = ⇒ = . 10. Для вершин, связанных с событием 10: 11 10 1011 11 1167 7 74 65 74П П t П П′′′ = + = + = > = ⇒ = . 13 10 1013 13 1367 12 79 57 79П П t П П′ = + = + = > = ⇒ = . 12 10 1012 12 1267 5 72 44 72П П t П П′ = + = + = > = ⇒ = . 11. Для вершин, связанных с событием 11: 13 11 1113 13 1374 8 81 79 82П П t П П′ = + = + = > = ⇒ = . 14 11 1114 14 1474 10 84 0 84П П t П П′ = + = + = > = ⇒ = . 12. Для вершин, связанных с событием 12: 15 12 1215 15 1572 4 76 0 76П П t П П′ = + = + = > = ⇒ = 13. Для вершин, связанных с событием 13: 14 13 1314 14 1482 8 65 84 90П П t П П′′ = + = + = > = ⇒ = . 16 13 1316 16 1682 6 88 0 88П П t П П′ = + = + = > = ⇒ = . 15 13 1315 15 1582 7 89 76 89П П t П П′ = + = + = > = ⇒ = . 14. Для вершины 16, связанной с событием 14: 16 14 1416 16 1690 5 95 88 95П П t П П′′ = + = + = > = ⇒ = . 15. Для вершины 16, связанной с событием 15: 16 15 1516 16 1689 7 96 95 76П П t П П′′′ = + = + = > = ⇒ = . 16 96П t= = критическому. Поставим значения потенциалов над соответствующими вер- шинами и рассмотрим их в обратном порядке. Работы (i j)− , для которых j i iП П t− = j 9 включаются в критический путь. На схеме кри- тический путь выделен жирной линией. Для него: 16 15 151696 89 7П П t− = − = = , 15 13 131589 82 7П П t− = − = = , 13 11 111382 74 8П П t− = − = = , 11 10 101174 67 7П П t− = − = = , 10 9 91067 53 14П П t− = − = = , 9 7 753 44 9П П t− = − = = , 260 7 4 47 , 44 32 12П П t− = − = = 4 3 ример 4.4. Для того же сетевого графика, что в предшест- вую но принципу оптимальности Беллмана, опти- мал 4 3 332 16 16П П t− = − = = , 3 1 116 9 7П П t− = − = = . П щем примере, найти критический путь методом динамического программирования. Решение. Соглас ьное управление на каждом этапе определяется целью управле- ния, и состояния на начало этапа. Для свершения конечного собы- тия 16Х необходимо свершение предшествующих. Возможные со- стоя на начало последнего этапа работ – это свершение событий 13 14, ния Х Х и 15Х . Максимальная продолжительность пути, ведущая 6, ра а 15 16t −из 15 в 1 вн = 7, из 14 в 16 - 14 16t − = 5, из 13 в 16 - 13 16t − = 6. Вычисленные зна i jtчения − поставим на тветствующими - тиями в квадратиках. Дл того, чтобы было выполненное событие 15, необходимо выполнение событий 13 и 12. Определяем для них maxt . Вершина 13 имеет 3 управления: 13-14, 13-16, 13-15. Для этих авлений i jt − равно: 13 14 5 8 13t − = + = , 13 16t − д соо собы я упр , 13 15 7 7 14t − = + = . 6= Следовательн вер ны 13 - = 14. Д в енное. Для него t − м 1 ля событие 11. Д о, для ши maxt ля события 12 управление ынужд 12 15 7 4 11= + = . Предыдущим событие для вершины 4 яв ется ля него имеются два управления: 11-14 и 11-13: 11 14 5 10 15t − = + = , 11 13 14 8 22t − = + = . Следовательно, для события 11 проводятся ия до события 1. Получили кри- еское maxt =96. Для опр елени maxt =22. И так вычислен тич ед я самого критического пути рассматриваем сете- вой яние сетевых графиков обычно ведётся в 4 этапа. график в обратном направлении от t наибольшего. Получен- ный критический путь на графе (рис. 4.9 ) выделен жирной линией. Как видно из графика, он совпал с критическим путём, вычислен- ным методом потенциалов. Следовательно, решение найдено пра- вильно. Состо 261 262 схема разработки. ится анализ построенного графи- к сли критический путь окажется больше принятого времени вы- _______________________ язанных работ и у 1. На первом этапе формулируется задание. 2. На втором этапе составляется структурная 3. На третьем этапе рассчитывается и строится график. Про- должительность работ определяется ответственными испол- нителями или экспертами. 4. На четвёртом этапе провод а. Е полнения комплекса работ, то проводятся работы по сокращению критического времени. ___________________ При планировании сложных комплексов взаимосв правления ходом их выполнения наиболее эффективны методы сетевого планирования и управления (СПУ). Разновидности этих методов получили названия PERT (Program Evaluation and Review Technique — оценка программ и способ проверки) и CPM (Critical Path Method — метод критического пути). Оба метода проводят анализ проектов для составления временных графиков распределе- ния фаз проектов. Методы, разработанные независимо друг от друга в разных странах, отличаются друг от друга тем, что в методе СРМ длительность каждого этапа проекта является детерминированной, а в системе PERT — стохастической. 5 64 68 13 29 52 7 11 32 62 80 59 96 4 8 10 5 87 149 12 12 7 10 4 7 75 330611 612201013 16 16 10 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 22 Рис. 4.9 263 4.4. Временные характеристики сетевого графика Построенный сетевой график требует временной оценки. Оценивание происходит по событиям и по работам. Характеристиками событий являются: - наиболее ранний срок наступления события на сети ( pT ), - наиболее поздний срок наступления события на сети ( ), nT - допустимый срок наступления события ( ). дT Характеристиками работ являются: - раннее начало работы ( . .р нt ), - ранее окончание работы ( . .р оt ), - позднее начало работы ( ), . .п нt Позднее окончание работы ( ), . .п оt - полный запас времени ( ). T Рассмотрим названные характеристики событий и работ. Характеристики событий 1. Наиболее ранний срок наступления каждого события на се- ти – это минимально необходимое время между наступлением на- чального и данного событий. Для начального события 0pT = . Для любого другого события ( ) ( )maxj ip p ijT T t⎡ ⎤= +⎣ ⎦ , (4.5) где - наиболее ранний срок наступления события i , предшест- вующего событию ( )i pT j , - продолжительность работы ijt (i )j− . Наибо- лее ранний срок наступления события j определяется по пути наибольшей длины. Это обеспечивает уверенность в возможности действительного выполнения работ, следующих за событием с учётом их длительностей. Для конечного события i ( )p критичT j t= . 2. Наиболее поздний срок наступления события на сети ( )iпT - это наиболее допустимое время наступления события, не требую- щее увеличения времени для всего комплекса работ. Для критических событий 264 . (4.6) ( ) ( )in pT T= i Для начального (1) 0nT = . Для других событий: ( ) ( )mini jn nT T ijt⎡ ⎤= −⎣ ⎦ , (4.7) где ( )jnT - наиболее поздний срок наступления последующего собы- тия. Расчёт ( )jnT проводится от конечного события к начальному. Для конечного события k делается предположение, что . (4.8) ( ) ( )kn pT T= k j Для критического пути . (4.9) ( ) ( )jn pT T= 3. Допустимый срок наступления события j ( ( )jдT ) удовлетво- ряет условию ( ) ( ) ( )j j p д nT T T≤ ≤ j k . (4.10) Для критических событий . (4.11) ( ) ( ) ( )k kp д nT T T≤ ≤ Пример 4.5. Для каждого из трех фрагментов сетевых графиков, представ- ленных на рис. 4.10, подсчитать . (7)nT Решение. Принимаем, что поздние сроки следующих событий уже известны и проставлены в квадратиках. 3 2 13 15 15 8 6 7 7 8 9 а) б) Рис. 4.10 265 97 10 в) 28 32 30 8 7 9 1 Рис. 4.10 На рис. 4.10 а) за событием 7 следует работа (7-8). Причём . Это означает, что работа (7-8) может начаться не позднее, чем за 6 временных единиц до события 8. Известно ещё, что . Следовательно, поздний срок наступления события 7 7 8 6t − = (8) 15nT = (7) 15 6 9nT = − = . На рис. 4.10 б) за событием 7 следуют две работы : (7-8) и (7-9). Причём . Работа (7-8) может начаться не позднее, чем за 2 временные единицы до события 8, а работа (7-9) – не позднее, чем за 3 временные единицы до события 9. 7 8 7 92, 3t t− −= = Так как , а (8) 13nT = (9) 15nT = , то поздний срок наступления собы- тия 7 равен наименьшей из разностей: [ ](7) min (13 2),(15 3) 11nT = − − = . Если событие 7 наступит позднее, то работа (7-8) не закончится на 13-й временной единице и это вызовет задержку наступления события 8. Аналогичным образом определяется для рис. 4.10 в): (7)nT [ ](7) min (30 10),(32 6),(28 7) 20nT = − − − = . Если событие 7 наступит позднее, чем на 20 –той временной единице, и это увеличит срок завершения всего комплекса работ. 266 Характеристики работы 1. Раннее начало работы - ( ). .i jp нt − . Оно определяется как про- должительность пути наибольшей длины от начального события до предшествующего ( ) ( ). . . .maxi k i jр н р н ijt t− − t⎡ ⎤= +⎣ ⎦ , (4.12) Раннее начало работ, выходящих из первого события, равно ну- лю. 2. Раннее окончание работы - ( ). .i jp ot − : ( ) ( ). . . .i j i jр o р н ijt t− − t= + . (4.13) То есть, раннее окончание работы меньше или равно значению наиболее раннего срока наступления последующего события j данной работы ( i j− ). 3. Позднее начало работы - ( ). .i jp пt − представляет собой самый поздний срок начала работы, который не вызывает задержки вы- полнения всего комплекса работ в целом. Расчёт ведётся в обратном направлении: от конца сетевого графика к началу, и определяется, как разность между продолжительностью критического пути и наи- большей длиной пути от конечного события графика до предшест- вующего. 4. Позднее окончание работы – ( ). .i jп оt − ( ) ( ) . . . . i j i j п o п н ijt t − − t= + . (4.14) Если известно позднее окончание последующей работы, то для данной работы ( ) ( ) . . . . i j j k п o п н jkt t − − t= + . (4.15) Для работы (8-9) (рис. 4.11) . (8 9) (9 10). . . . 9 10 23,5 3 20,5п o п нt t t− − −= + = − = 267 В общем случае ( ) ( ). . . .mini j j kп o п о jkt t− − t⎡ ⎤= +⎣ ⎦ (4.16) - позднее окончание определяется минимальной разностью поздне- го окончания и продолжительности последующих работ. Изменение рассмотренных параметров даёт возможность уве- личивать или сокращать продолжительность выполнения каждой работы сетевого графика. 5. Полный общий запас времени представляет собой вре- мя, на которое можно перенести начало работы ( )i jT − ( )i j− ( ) ( ) ( ). . . .i j i j i jп н р нT t t− −= − − ijt . (4.17) Например, для графа, показанного на рис. 4.11 для работы (5-9) . (5 9) 43 17 3 23T − = − − = 5. Свободный ( независимый) запас времени свT рассчитывает- ся для одной или нескольких работ графика и определяется по фор- муле ( ) ( )i j j iсв p nT T T− = − − . (4.18) Он представляет собой отсрочку начала выполнения работы без изменения ожидаемого срока наступления события(i j− ) j . Например, для сетевого графика, показанного на рис. 4.11 61 42 20 4(1) 10(7) 6(0)13(0) 6(16) 8(0) 9(0) 7(0) 5(14)6(0) 9(11) 10(0)4(1) 8(2)6(9) 33(43) 3(13) 17(40) 9(0) 8(9) 13(0) 9(11) 8(0) 5 962 1083 1 124 11 7 Рис. 4.11 268 (5 9) 33 17 3 13свT − = − − = , 269 − = − − = T и так далее. (9 10) 48 33 5 10св 4.5. Индивидуальные задания к главе 4 1. Составить сетевой график движения автобусов по вновь от- крываемому маршруту. Определить критический путь этого графи- ка и его временные параметры. 2. Для сетевого графика, показанного на рис. 4.12, найти крити- ческий путь и с помощью таблицы рассчитать временные парамет- ры. Продолжительность выполняемых работ приведена в таблице 4.1 Рис. 4.12 25 24 19 17 18 14 13 12 10 11 15 16 23 26 27 22 20 21 6 7 8 4 9 3 2 1 10 8 112 139 4 71 12 15 53 14 6 Таблица 4.1 Вариант задания № п/п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1-2 4 6 15 3 5 10 12 4 3 4 10 10 8 1-3 6 4 13 8 6 12 10 5 2 5 4 12 7 1-4 3 8 10 7 7 11 9 8 8 10 6 13 3 2-9 8 10 7 9 10 9 11 12 10 12 12 12 2 2-4 10 3 9 2 12 8 13 10 12 10 11 10 4 3-4 8 5 4 5 11 7 14 10 10 9 10 4 5 3-5 6 7 6 8 10 10 12 10 9 7 9 6 6 3-6 12 9 3 4 9 12 10 13 7 12 12 8 7 4-7 10 13 8 6 7 13 10 12 6 18 13 7 9 4-5 12 12 10 9 6 15 16 11 3 20 7 5 4 5-6 11 10 8 6 5 12 8 15 12 16 9 4 6 6-12 14 8 10 7 4 11 4 14 10 4 15 3 3 6-14 8 3 11 7 8 13 12 12 9 5 13 4 2 7-8 7 6 16 3 9 12 12 10 8 12 14 7 8 7-12 5 9 18 4 10 11 10 15 7 11 12 9 10 8-9 12 10 12 7 12 13 11 13 10 6 11 8 12 8-10 13 18 8 4 11 10 12 10 10 4 10 5 13 9-10 10 15 5 8 10 9 10 6 10 7 9 6 14 9-11 9 13 7 5 9 6 9 6 9 7 7 3 13 10-13 7 12 10 9 6 8 6 3 7 7 6 7 10 11-12 6 11 15 4 5 7 12 2 6 5 12 6 8 11-13 10 8 12 3 9 45 14 10 5 10 13 4 9 12-13 7 6 11 6 13 8 8 12 3 12 10 5 8 12-14 4 10 9 8 12 10 4 15 12 13 7 8 6 12-15 3 9 4 7 11 10 7 14 10 4 15 10 5 13-15 8 7 10 4 8 15 6 10 7 2 16 10 4 14-15 10 6 9 5 20 13 18 16 18 16 21 23 16 270 Продолжение таблицы 4.1 Вариант задания № п/п 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 1-2 6 11 7 16 8 4 3 8 5 6 10 15 9 1-3 4 3 4 12 5 6 7 4 13 5 11 8 3 1-4 5 15 10 17 8 3 5 7 7 6 15 5 8 2-9 8 6 7 12 10 1 9 8 7 8 8 7 12 2-4 10 8 3 11 8 9 9 2 4 6 6 3 13 3-4 11 9 8 10 8 8 5 8 9 10 4 9 15 3-5 12 10 9 9 4 17 8 6 8 7 9 12 14 3-6 13 12 6 5 13 8 7 9 7 8 3 15 10 4-7 10 14 9 8 13 5 8 4 10 18 8 18 11 4-5 9 5 10 11 2 7 6 3 17 8 15 7 13 5-6 10 8 7 13 4 3 16 7 5 9 12 4 18 6-12 12 7 4 9 8 13 9 8 10 9 9 3 16 6-14 16 9 8 8 7 9 10 6 13 12 7 6 12 7-8 18 10 7 12 6 5 13 3 5 8 4 10 7 7-12 20 11 3 14 12 16 8 4 16 8 20 6 10 8-9 4 12 8 12 5 8 18 12 13 4 11 15 7 8-10 6 16 15 11 13 13 6 10 8 6 15 12 9 9-10 12 13 9 10 20 16 4 8 9 5 12 15 14 9-11 16 6 8 15 4 13 20 13 17 8 10 9 8 10-13 12 19 11 8 6 15 5 10 7 13 4 7 9 11-12 20 11 7 4 2 10 5 14 10 18 8 4 3 11-13 4 7 13 5 6 9 13 6 9 18 7 16 13 12-13 6 4 10 11 19 5 8 12 8 8 15 10 18 12-14 12 8 4 13 9 10 14 4 8 8 12 16 20 12-15 16 9 8 15 11 4 7 8 10 12 6 15 13 13-15 12 10 6 9 13 20 5 8 18 5 3 13 11 14-15 13 4 8 7 14 14 20 6 11 20 5 12 8 271 272 Индивидуальные задания по всем темам 1. Решить задачу геометрическим методом. 2. Предприятие располагает m видами ресурсов в количествах B1, B2, …, Bm. Возможен выпуск n видов продукции A1, A2, …, An. Удельный расход каждого вида ресурса aij, максимально возмож- ный расход ресурсов в течение месяца bi, доход cj от реализации единицы каждого вида продукции заданы матрицами A, B и C соот- ветственно. Необходимо: а) составить математическую модель задачи определения ассор- тиментного плана производства, при котором расход ресурсов не превосходит его запасов, а суммарная прибыль от реализации про- изводственной продукции будет максимальной (известно, что сбыт обеспечен); б) привести задачу к каноническому виду и объяснить экономи- ческий смысл балансовых переменных; в) найти симплексным методом оптимальный ассортиментный план производства, дать экономическую интерпретацию получен- ных результатов; г) составить двойственную задачу для исходной. Определить ка- кова должна быть цена единицы каждого из ресурсов при их про- даже, чтобы при заданных объёмах ресурсов и величинах прибыли от реализации единицы продукции общая стоимость ресурсов, не- обходимых для производства продукции была минимальной; д) определить цены на ресурсы, при которых их прямая реализа- ция не менее выгодна, чем организация производства продукции из этого сырья, при условии, что рыночные цены на ресурсы соответ- ствующего типа заданы вектором P; е) оценить целесообразность введения в план производства ново- го (n + 1) вида продукции, если удельные затраты ресурсов на про- изводство этой продукции приведены в матрице-столбце A5 (в неко- торых вариантах A4), а доход c5 (либо c4) от реализации единицы этой продукции равен Z. 3. Методом потенциалов найти оптимальное решение следую- щих задач транспортного типа. а) Коммерческие банки Ai (i = 1, …, m) выделяют предприятиям Bj (j = 1, …, n) кредиты на развитие производства с целью увеличе- 273 ния выпуска продукции. Банки хотят получить максимально воз- можную прибыль от использования кредитов предприятиями. При- ведены суммы аi, которые банки могут выделить на кредиты, по- требность предприятий bj в кредитах и банковские процентные ставки cij в расчете на 100 ден. ед., зависящие от срока возмещения кредита. Найти оптимальное распределение банковских кредитов между предприятиями, максимизирующее общую прибыль, кото- рую могут получить банки за пользование взятыми предприятиями кредитами. б) Определить оптимальный план перевозок некоторого груза из m пунктов отправления в n пунктов назначения, обеспечивающий минимальные затраты на перевозку, если запасы груза в пунктах отправления и потребность в пунктах назначения заданны матрица- ми А и В соответственно. Известна также матрица тарифных пере- возок С. 4. Приведены исходные данные для транспортной задачи на се- ти. Необходимо: а) построить сеть, учитывая, что узлы, в которых указаны поло- жительные величины ресурсов, являются источниками, в которых отрицательные величины – стоками. Остальные узлы являются промежуточными. Известны интенсивности узлов и тарифы перево- зок cij единицы груза по соответствующим дугам между узлами; б) найти оптимальное решение транспортной задачи на сети. 5. Фирма-поставщик закупает оптом сезонный товар для обеспе- чения спроса на розничном рынке по цене р ден. ед. за одну едини- цу товара. Ожидаемый спрос на товар не известен, но предполагает- ся, что он может принять значение b1 (пониженный), b2 (средний) или b3 (повышенный). Если товар не будет распродан, то придется оплатить хранение до следующего сезона по цене а ден. ед. за одну единицу товара. Если товара не хватит для удовлетворения спроса, то придётся его докупать по цене b ден. ед. (b > p). Требуется: а) составить платежную матрицу затрат фирмы-поставщика; б) проверить наличие решения задачи в чистых стратегиях; в) при отсутствии решения в чистых стратегиях найти его в сме- шанных стратегиях сведением к двойственной задаче; г) дать обоснованные рекомендации об оптимальном уровне за- купки товара, при котором затраты на приобретение и хранение то- 274 вара будут минимальными. Выводы сделать на основе анализа пла- тежной матрицы с помощью указанных ниже критериев и соответ- ствующих предположений: • спрос на товар в количествах b1, b2, b3 определен вероятностя- ми q1, q2, q3 (критерий Байеса); • потребность в товаре в количествах b1, b2, b3 является равнове- роятной (критерий Лапласа); • о вероятности потребности в товаре ничего определённого ска- зать нельзя (критерии Вальда, Сэвиджа и Гурвица с заданным пара- метром γ). Вариант №1 275 ; ; ; = ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ 34 16 22 B 1. F = x1 + x2 → max; 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 6 2 8 2 3 ; 0. х х х х х х х х + ≥⎧⎪ − ≤⎪⎨− + ≤⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 2 4 1 5 4 1 4 1 2 3 1 2 A ⎡ ⎤⎢ ⎥⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎦ ; ; [ ]7 3 4 2C = ⎣ 5 3 0,5 1 ; 0,7 ; 10. 2 1,3 А Р Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. ; 155 200 100 145 A ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]90 210 190 110B = ; 17 15 19 16 20 19 18 21 18 17 16 19 19 14 17 15 C ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 4. a5 = 40; a2 = –30; a8 = –10; c78 = 9; c13 = 5; c23 = 2; c36 = 8; c45 = 8; c56 = 3; c68 = 10; c58 = 9; c12 = 3; c14 = 3; c34 = 4; c27 = 6; c67 = 3. 5. р = 5; а = 2; b = 7; γ = 0,6; [ ]0,3 0,4 0,3Q = ; [ ]10 15 20B = . Вариант №2 276 ; ; 1. F = 2x1 + x2 → max; 1 2 1 2 2 1 2 3 3 8 3 24 5; ; 0. х х х х х х х + ≥⎧⎪ + ≤⎪⎨ ≤⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 1 0 2 1 0 1 3 2 4 2 0 4 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 180 210 800 B ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; ; [ ]9 6 4 7C = 5 2 3 1 ; 1,5 ; 15. 3 2 А Р Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. ; 10 21 15 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]7 12 14 13B = ; 5 4 6 9 3 9 8 4 6 3 5 7 C ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 4. a1 = 50; a6 = –20; a5 = –30; c12 = 5; c13 = 4; c14 = 5; c23 = 6; c34 = 5; c25 = 4; c35 = 5; c36 = 4; c46 = 5; c56 = 7. 5. р = 7; а = 2; b = 9; γ = 0,7; [ ]0,2 0,5 0,3Q = ; [ ]20 25 30B = . Вариант №3 277 ; ; 1. F = –x1 + x2 → max; 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 3 6 4; ; 0. х х х х х х х − + ≥⎧⎪− + ≤⎪⎨ ≤⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 2 1 0 1 3 2 1 0 0 4 2 4 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 120 330 960 B ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; ; [ ]4 7 9 6C = 5 3 4 2 ; 1 ; 25. 1 2 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. ; 30 40 80 60 A ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]20 70 20 100B = ; 5 9 7 4 11 8 3 2 8 7 9 6 7 12 3 5 C ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 4. a1 = 60; a6 = –30; a7 = –30; c12 = 5; c13 = 4; c24 = 6; c34 = 5; c67 = 8; c45 = 6; c56 = 5; c57 = 8; c47 = 6. 5. р = 3; а = 1; b = 6; γ = 0,6; [ ]0,4 0,3 0,3Q = ; [ ]100 120 150B = . Вариант №4 278 ; ; ⎣ ⎦ 28 30 32 B 1. F = –x1 + 2x2 → max; 1 2 1 2 2 1 2 5 3 15 8 3 24 4; ; 0. х х х х х х х + ≥⎧⎪ − ≤⎪⎨ ≤⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 2 4 1 0 3 5 0 3 4 2 0 8 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ − ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎦ ; [ ]1 3 0 5C = ; ⎣ 5 2 0,5 1 ; 0,8 ; 8. 3 1,2 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = 3. ; 30 80 70 40 A ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]10 60 50 100B = ; 8 7 3 2 2 4 9 1 9 5 5 8 3 4 9 11 C ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 4. a3 = 40; a8 = –30; a6 = –10; c12 = 3; c13 = 3; c14 = 4; c25 = 3; c45 = 3; c68 = 8; c26 = 6; c56 = 8; c57 = 4; c47 = 8; c58 = 8; c78 = 9; c35 = 4. 5. р = 9; а = 3; b = 12; γ = 0,6; [ ]0,5 0,3 0,2Q = ; [ ]50 70 90B = . Вариант №5 1. F = 3x1 + 4x2 → max; 279 ; ⎣ ⎦ 14 15 16 B 1 2 1 2 2 1 2 6 7 42; 3 5 15 1; ; 0. х х х х х х х + ≤⎧⎪− + ≤⎪⎨ ≥⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 1 2 0 4 0 3 3 5 0 4 8 2 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ − ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎦ ; [ ]0 1 5 3C = ; ⎣ 5 4 2 1 ; 0,7 ; 10. 3 1 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. ; 160 90 140 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]110 80 70 130B = ; 5 3 2 4 7 6 5 3 8 9 4 5 C ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 4. a1 = 60; a5 = –20; a7 = –30; c12 = 3; c14 = 4; c26 = 5; c23 = 5; c34 = 6; c35 = 5; c37 = 6; c47 = 8; c56 = 3; c68 = 5; c58 = 7; c78 = 9. 5. р = 8; а = 2; b = 10; γ = 0,7; [ ]0,2 0,4 0,4Q = ; [ ]25 35 45B = . Вариант №6 1. F = x1 + x2 → max; 280 ; ; = ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ 16 34 22 B 1 2 1 2 1 2 1 2 4; 2 4 2 6 ; 0. х х х х х х х х + ≥⎧⎪ − ≤⎪⎨− + ≤⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 4 5 2 1 1 1 4 4 3 2 2 1 A ⎡ ⎤⎢ ⎥⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎦ ; ; [ ]3 2 7 4C = ⎣ 5 2 1,5 1 ; 2 ; 12. 4 3 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. ; 30 20 50 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]30 25 45B = ; . 7 6 13 1 7 6 4 3 2 C ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 4. a1 = 100; a6 = –40; a8 = –20; a9 = –40; c12 = 4; c13 = 4; c23 = 5; c34 = 7; c35 = 6; c26 = 7; c24 = 3; c45 = 4; c46 = 8; c47 = 5; c57 = 6; c58 = 9; c78 = 6; c79 = 8; c69 = 8; c89 = 10. 5. р = 10; а = 3; b = 12; γ = 0,6; [ ]0,4 0,2 0,4Q = ; [ ]80 100 130B = . Вариант №7 281 ; ; 1. F = –2x1 + x2 → max; 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 4 5 20 2 1; ; 0. х х х х х х х х + ≥⎧⎪ + ≤⎪⎨ − ≤⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 4 2 1 3 1 3 1 2 5 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 180 210 236 B ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; [ ]10 14 12C = ; 4 3 2 2 ; 1,5 ; 7. 4 1,3 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = 3. ; 45 20 35 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]40 10 50B = ; . 5 6 3 3 8 2 4 7 4 C ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 4. a4 = 60; a7 = –50; a8 = –10; c12 = 5; c13 = 4; c14 = 5; c23 = 5; c27 = 8; c34 = 6; c36 = 5; c45 = 8; c67 = 5; c56 = 8; c78 = 9; c68 = 10; c58 = 12. 5. р = 5; а = 1; b = 8; γ = 0,6; [ ]0,5 0,4 0,1Q = ; [ ]50 60 80B = . Вариант №8 282 ; ; 1. F = x1 + x2 → max; 1 2 1 2 1 2 1 2 2 5 20 3 4 12 2; ; 0. х х х х х х х х + ≤⎧⎪ + ≥⎪⎨ − ≤⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 2 4 1 1 3 3 2 1 5 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 60 70 78 B ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; [ ]14 10 12C = ; 4 2 2 3 ; 1 ; 10. 4 1,2 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. ; 52 60 85 200 A ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]147 100 150B = ; 4 2 1 3 5 3 1 3 2 2 6 4 C ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 4. a6 = 80; a1 = –60; a4 = –20; c12 = 5; c13 = 8; c14 = 6; c23 = 5; c25 = 7; c35 = 6; c34 = 8; c56 = 8; c46 = 2,; c36 = 7. 5. р = 10; а = 4; b = 13; γ = 0,8; [ ]0,2 0,5 0,3Q = ; [ ]30 40 60B = . Вариант №9 1. F = 3x1 + 4x2 → max; 283 ; 1 2 1 2 2 1 2 3 2 6; 2 3 6 1; ; 0. х х х х х х х − ≤⎧⎪− + ≤⎪⎨ ≥⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 1 3 0 1 0 2 1 3 2 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 4 7 12 B ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; [ ]3 8 5C = ; 4 1 0,5 0 ; 0,7 ; 12. 3 1,3 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. ; 20 40 50 40 A ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]10 90 50B = ; . 1 5 3 1 2 4 5 5 1 3 5 2 C ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 4. a3 = 40; a5 = –30; a7 = –10; c12 = 2; c13 = 4; c14 = 5; c24 = 6; c34 = 7; c45 = 3; c46 = 8; c57 = 6; c67 = 10. 5. р = 8; а = 3; b = 10; γ = 0,6; [ ]0,1 0,4 0,5Q = ; [ ]70 90 110B = . Вариант №10 1. F = 4x1 + 3x2 → max; 284 ; ; 1 2 1 2 1 2 1 2 3 5 15; 5 6 30 3 4 6 ; 0. х х х х х х х х + ≥⎧⎪ + ≤⎪⎨− + ≤⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 3 0 1 0 2 1 3 2 1 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 8 14 24 B ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; [ ]8 5 3C = ; 4 2 0,2 5 ; 0,7 ; 10. 1 0,5 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. ; 490 450 470 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]500 550 360B = ; 7 5 1 3 4 5 4 2 1 C ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 4. a4 = 60; a2 = –30; a8 = –30; c12 = 6; c13 = 8; c14 = 10; c23 = 5; c26 = 8; c34 = 6; c36 = 8; c37 = 8; c47 = 10; c35 = 8; c56 = 8; c57 = 8; c78 = 10; c58 = 8; c68 = 10. 5. р = 6; а = 3; b = 9; γ = 0,6; [ ]0,4 0,1 0,5Q = ; [ ]20 40 60B = . Вариант №11 285 ; ; 1. F = 3x1 + 4x2 → max; 1 2 1 2 1 2 1 2 5 8 40 5 4 20 2; ; 0. х х х х х х х х + ≤⎧⎪ + ≥⎪⎨ − ≤⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 2 1 6 2 3 9 2 1 2 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 12 27 6 B ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; [ ]12 27 6C = ; 4 1 1 0 ; 1,5 ; 14. 3 2 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. ; 25 20 35 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]30 20 12 18B = ; 4 2 4 7 7 6 6 8 2 2 3 6 C ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 4. a7 = 100; a2 = –50; a3 = –20; a1 = –30; c12 = 7; c13 = 8; c14 = 9; c23 = 6; c26 = 7; c34 = 5; c35 = 6; c37 = 8; c47 = 9; c56 = 8; c68 = 9; c58 = 7; c78 = 10. 5. р = 10; а = 2; b = 15; γ = 0,7; [ ]0,3 0,2 0,5Q = ; [ ]50 100 150B = . Вариант №12 286 ; 1. F = 3x1 + x2 → max; 1 2 2 1 2 1 2 6 5 30 5; 2; ; 0. х х х х х х х + ≥⎧⎪ ≤⎪⎨ − ≤⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 2 3 2 3 1 2 5 2 1 2 1 3 A ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 8 5 9 4 B ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; [ ]6 5 7,5C = ; 4 3 0,3 1 0,5 ; ; 0 1,2 2 0,8 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 23. 3. ; 175 125 140 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]180 160 60 40B = ; 9 7 5 3 1 2 4 6 8 10 12 1 C ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 4. a6 = 80; a1 = –60; a4 = –20; c12 = 5; c13 = 4; c14 = 6; c23 = 5; c27 = 6; c36 = 4; c34 = 5; c45 = 7; c67 = 5; c56 = 4; c78 = 9; c68 = 8; c58 = 9. 5. р = 5; а = 3; b = 10; γ = 0,7; [ ]0,3 0,5 0,2Q = ; [ ]200 250 300B = . Вариант №13 287 ; ; = ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ 17 8 11 B 1. F = x1 + x2 → max; 1 2 1 2 2 1 2 2 8 2 3 6 1; ; 0. х х х х х х х + ≤⎧⎪− + ≤⎪⎨ ≥⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 4 5 1 2 1 1 4 4 3 2 1 2 A ⎡ ⎤⎢ ⎥⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎦ ; ; [ ]3 2 4 7C = ⎣ 5 2 1,3 1 ; 1 ; 13. 0 0,3 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. ; 120 50 190 110 A ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]160 140 170B = ; 7 4 9 8 5 2 1 9 3 2 8 6 C ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 4. a1 = 60; a4 = –40; a6 = –20; c12 = 8; c13 = 5; c14 = 6; c23 = 7; c25 = 8; c35 = 9; c36 = 7; c34 = 6; c46 = 7; c56 = 10. 5. р = 9; а = 2; b = 13; γ = 0,8; [ ]0,1 0,3 0,6Q = ; [ ]80 160 240B = . Вариант №14 288 ; = ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ 48 24 15 B 1. F = 3x1 + x2 → max; 1 2 1 2 1 2 1 2 5 17 85 4 3 12; 4 5 20; ; 0. х х х х х х х х + ≤⎧⎪ − ≤⎪⎨ + ≥⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 4 2 2 8 2 10 6 0 1 0 2 1 A ⎡ ⎤⎢ ⎥⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎦ ; ; [ ]6,5 7,0 6,0 12,0C = ⎣ 5 2 1,5 4 ; 1,2 ; 25. 1 0,5 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. ; 180 60 80 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]120 40 90 70B = ; 2 3 4 3 5 3 1 2 2 1 4 2 C ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 4. a3 = 70; a6 = –40; a5 = –30; c12 = 2; c13 = 3; c24 = 5; c34 = 4; c45 = 6; c46 = 5; c47 = 6; c57 = 8; c67 = 9. 5. р = 6; а = 3; b = 9; γ = 0,8; [ ]0,4 0,3 0,3Q = ; [ ]20 40 70B = . Вариант №15 289 ; = ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ 96 48 30 B 1. F = 4x1 + 3x2 → max; 1 2 1 2 2 1 2 2 6 2; 2; ; 0. х х х х х х х − + ≤⎧⎪ − ≤⎪⎨ ≥⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 8 4 2 2 0 2 10 6 1 1 0 2 A ⎡ ⎤⎢ ⎥⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎦ ; ; [ ]13 14 12 24C = ⎣ 5 1 2 3 ; 2,5 ; 15. 5 1 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. ; 50 30 10 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]25 35 5 25B = ; 1 2 4 1 2 3 1 5 3 2 4 4 C ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 4. a2 = 120; a7 = –60; a8 = –40; a6 = –20; c12 = 4; c13 = 5; c14 = 6; c23 = 5; c34 = 5; c47 = 8; c37 = 6; c36 = 5; c26 = 5; c35 = 4; c56 = 8; c57 = 9; c78 = 10; c58 = 8; c68 = 10. 5. р = 8; а = 4; b = 12; γ = 0,7; [ ]0,3 0,2 0,5Q = ; [ ]80 100 120B = . Вариант №16 290 ; 1. F = –2x1 + x2 → max; 1 2 1 2 1 2 1 2 4 15 60 4 3 12; 3 3; ; 0. х х х х х х х х + ≤⎧⎪ + ≥⎪⎨− + ≥⎪⎪ ≥⎩ 2. ; ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 4110 0322 2113 A 37 20 30 B ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; [ ]11 6 9 6C = ; 5 1 1,4 3 ; 0,8 ; 20. 4 2 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. ; 180 350 20 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]110 90 120 230B = ; 7 12 4 6 1 8 6 5 6 13 8 7 C ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 4. a8 = 90; a1 = –40; a4 = –50; c12 = 5; c13 = 4; c14 = 5; c23 = 6; c26 = 5; c34 = 7; c47 = 8; c37 = 9; c35 = 6; c56 = 7; c68 = 20; c58 = 8; c78 = 10. 5. р = 10; а = 2; b = 16; γ = 0,6; [ ]0,5 0,2 0,3Q = ; [ ]100 160 200B = . Вариант №17 291 ; ; = ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ 74 40 60 B 1. F = –2x1 + x2 → max; 1 2 1 2 1 2 1 2 3 6 5 3 15 4; ; 0. х х х х х х х х − + ≤⎧⎪ − ≤⎪⎨ + ≥⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 1 2 1 3 2 0 3 2 1 4 1 0 A ⎡ ⎤⎢ ⎥⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎦ ; ; [ ]12 12 18 22C = ⎣ 5 2 1 1 ; 2 ; 15. 3 1,5 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. ; 140 180 160 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]160 70 120 130B = ; 2 3 4 2 8 4 1 4 9 7 3 7 C ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 4. a1 = 50; a8 = –30; a7 = –20; c12 = 5; c13 = 6; c14 = 7; c23 = 5; c27 = 5; c36 = 6; c34 = 5; c45 = 6; c56 = 5; c58 = 8; c68 = 9; c67 = 20; c78 = 10. 5. р = 6; а = 4; b = 12; γ = 0,7; [ ]0,1 0,3 0,6Q = ; [ ]30 40 50B = . Вариант №18 292 ; ; = ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ 10 5 12 B 1. F = –2x1 + x2 → max; 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 4; ; 0. х х х х х х х − ≥⎧⎪− + ≥⎪⎨ ≤⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 1 2 2 1 2 1 0 0 0 1 4 1 A ⎡ ⎤⎢ ⎥⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎦ ; ; [ ]2 40 10 15C = ⎣ 5 3 0,7 1 ; 1,5 ; 30. 2 2 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. ; 160 140 170 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]120 50 190 110B = ; 7 8 1 2 4 5 9 8 9 2 3 6 C ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 4. a5 = 30; a1 = –10; a4 = –20; c12 = 2; c13 = 4; c14 = 3; c23 = 4; c25 = 5; c35 = 6; c34 = 5; c46 = 7; c36 = 8; c56 = 9. 5. р = 10; а = 5; b = 20; γ = 0,7; [ ]0,4 0,1 0,5Q = ; [ ]80 120 160B = . Вариант №19 1. F = x1 + x2 → max; 293 ; 1 2 1 2 1 1 2 1; 2 1 5; ; 0. х х х х х х х − ≥⎧⎪− + ≥⎪⎨ ≤⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 2 1 1 2 1 2 0 0 1 0 1 4 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 20 10 24 B ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; ; [ ]20 1 7,5 5C = 5 2 1 3 ; 3 ; 10. 1 0,8 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. ; 110 190 90 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]40 60 170 120B = ; 8 1 9 7 4 6 2 12 3 5 8 9 C ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 4. a3 = 40; a5 = –30; a7 = –10; c12 = 5; c13 = 4; c14 = 5; c24 = 3; c34 = 5; c45 = 8; c46 = 7; c57 = 6; c67 = 8; c47 = 9. 5. р = 8; а = 4; b = 15; γ = 0,8; [ ]0,6 0,3 0,1Q = ; [ ]50 120 170B = . Вариант №20 294 ; 1. F = –x1 + x2 → max; 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 12 2 6; 4; ; 0. х х х х х х х х − + ≤⎧⎪ − ≤⎪⎨ + ≥⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 10 1 3 20 2 3 23 2 3 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 21 36 37,8 B ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; ; [ ]60 3 14C = 4 2 0,5 3 ; 0,8 ; 20. 5 1,2 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. ; 510 90 120 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]270 140 200 110B = ; 1 4 7 3 5 6 8 9 7 2 4 8 C ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 4. a1 = 100; a7 = –30; a8 = –70; c12 = 3; c13 = 4; c14 = 4; c23 = 5; c26 = 4; c34 = 5; c37 = 8; c47 = 9; c35 = 6; c56 = 8; c68 = 9; c58 = 7; c78 = 8. 5. р = 9; а = 4; b = 13; γ = 0,6; [ ]0,4 0,2 0,4Q = ; [ ]80 100 150B = . Вариант №21 295 ; ; 1. F = x1 + 2x2 → max; 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 3 6 3; ; 0. х х х х х х х − + ≥⎧⎪ + ≥⎪⎨ ≤⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 2 3 4 1 4 5 3 4 2 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 90 70 60 B ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; [ ]8 7 6C = ; 4 1 1 3 ; 1,5 ; 15. 4 0,7 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. ; 115 175 130 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]100 220 70 30B = ; 4 5 2 8 3 1 9 7 9 6 7 2 C ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 4. a1 = 14; a2 = 6; a3 = –10; a4 = –10; c53 = 10; c64 = 6; c14 = 8; c15 = 10; c25 = 3; c56 = 4; c16 = 1; c63 = 6; c34 = 10. 5. р = 6; а = 2; b = 9; γ = 0,8; [ ]0,5 0,3 0,2Q = ; [ ]100 120 140B = . Вариант №22 1. F = x1 + 3x2 → max; 1 2 1 2 2 1 2 2; 5; 3; ; 0. х х х х х х х − ≤⎧⎪ + ≥⎪⎨ ≤⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 2 3 2 1 1 2 5 2 1 3 1 3 A ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 8 5 9 4 B ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; [ ]5,756=C ; 4 3 0,3 1 0,5 ; ; 0 0,8 2 1,2 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 12. 3. ; 100 140 60 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]70 100 50 80B = ; 5 4 3 4 3 2 5 5 1 6 3 2 C ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 4. a1 = 8; a2 = 10; a3 = –4; a4 = –14; c63 = 10; c13 = 1; c64 = 1; c14 = 5; c54 = 1; c15 = 2; c25 = 6; c56 = 8; c16 = 4. 5. р = 5; а = 2; b = 9; γ = 0,8; [ ]0,2 0,4 0,4Q = ; [ ]50 70 100B = . 296 Вариант №23 297 ; ; 1. F = x1 + x2 → max; 1 2 1 2 2 1 2 7 9 63 3 4 6 1; ; 0. х х х х х х х + ≤⎧⎪− + ≤⎪⎨ ≥⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 4 2 1 3 1 3 1 2 5 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 180 210 236 B ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; [ ]10 14 12C = ; 4 3 2 4 ; 1,5 ; 7. 2 1,3 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = 3. ; 160 90 140 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]110 80 70 130B = ; 5 3 2 4 7 6 5 3 8 9 4 5 C ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 4. a1 = 4; a2 = 12; a3 = –6; a4 = –10; c23 = 4; c54 = 8; c15 = 10; c56 = 4; c16 = 10; c64 = 8; c36 = 8; c34 = 6. 5. р = 7; а = 3; b = 10; γ = 0,7; [ ]0,1 0,3 0,6Q = ; [ ]40 60 80B = . Вариант №24 1. F = 2x1 + x2 → max; 1 2 1 2 1 1 2 3; 4; 4; ; 0. х х х х х х х − + ≤⎧⎪ + ≥⎪⎨ ≤⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 2 1 6 2 3 9 2 1 2 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 12 27 6 B ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; [ ]12 27 6C = ; 4 1 1 0 ; 1,5 ; 14. 3 2 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. ; 25 5 15 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]6 14 12 13B = ; . 5 4 6 9 3 9 8 4 6 3 5 7 C ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 4. a1 = 10; a2 = 15; a3 = –7; a4 = –18; c53 = 4; c63 = 3; c54 = 6; c14 = 1; c64 = 2; c65 = 6; c25 = 4; c15 = 9; c16 = 6. 5. р = 10; а = 5; b = 12; γ = 0,7; [ ]0,3 0,5 0,2Q = ; [ ]40 50 60B = . 298 Вариант №25 299 ; ; 1. F = x1 + 2x2 → max; 1 2 1 2 1 2 1 2 2 6 2 4 4; ; 0. х х х х х х х х − ≤⎧⎪− + ≤⎪⎨ + ≥⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 3 0 1 0 2 1 3 2 1 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 8 14 24 B ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; [ ]8 5 3C = ; 4 2 2 5 ; 1 ; 10. 1 1,5 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. ; 50 30 10 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]25 45 5 15B = ; 1 2 4 1 2 3 1 5 3 2 4 4 C ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 4. a1 = 12; a2 = 6; a3 = –12; a4 = –6; c53 = 4; c63 = 6; c13 = 1; c64 = 8; c15 = 10; c25 = 2; c16 = 4; c54 = 10; c34 = 8. 5. р = 9; а = 5; b = 16; γ = 0,7; [ ]0,6 0,3 0,1Q = ; [ ]40 80 120B = . Вариант №26 1. F = 3x1 + 4x2 → max; 300 ; 1 2 1 2 1 2 1 2 6; 2 4 2; ; 0. х х х х х х х х + ≤⎧⎪ + ≥⎪⎨− + ≤⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 2 3 2 3 1 2 5 2 1 2 1 3 А ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 8 5 9 4 B ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; [ ]6 5 7,5C = ; 4 3 0,8 2 0,3 ; ; 0 1,2 1 0,3 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 12. 3. ; 175 125 140 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]180 110 60 40B = ; 9 7 5 3 1 2 4 6 8 10 12 1 C ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 4. a1 = 40; a2 = 80; a3 = –60; a4 = –60; c53 = 10; c63 = 6; c13 = 4; c54 = 2; c15 = 8; c25 = 1; c16 = 8; c56 = 5. 5. р = 8; а = 5; b = 16; γ = 0,6; [ ]0,2 0,4 0,4Q = ; [ ]50 150 250B = . Вариант №27 301 ; ; 1. F = 3x1 + x2 → max; 1 2 1 2 1 2 1 2 5 3 15 3 3 2; ; 0. х х х х х х х х − ≤⎧⎪− + ≤⎪⎨ + ≥⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 2 3 4 1 4 5 3 4 2 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 90 70 60 B ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; [ ]8 7 6C = ; 4 1 1,5 3 ; 0,7 ; 15. 4 1 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. ; 160 140 60 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]100 90 120 50B = ; 5 4 3 4 3 2 5 5 1 6 3 2 C ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 4. a1 = 4; a2 = 18; a3 = –10; a4 = –12; c53 = 8; c63 = 6; c13 = 3; c54 = 6; c64 = 2; c14 = 4; c65 = 2; c15 = 10; c16 = 10; c26 = 10. 5. р = 10; а = 5; b = 15; γ = 0,6; [ ]0,4 0,2 0,4Q = ; [ ]60 160 200B = . Вариант №28 1. F = –2x1 + x2 → max; 302 ; 1 2 1 2 1 2 1 2 3; 3 3 3; ; 0. х х х х х х х х − + ≤⎧⎪ − ≤⎪⎨ + ≥⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 1 3 0 1 0 2 1 3 2 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 4 7 12 B ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; [ ]3 8 5C = ; 4 1 1,3 0 ; 0,5 ; 14. 3 0,7 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. ; 80 140 70 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]60 90 40 100B = ; 1 5 2 4 6 1 3 5 2 4 5 2 С ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 4. a1 = 8; a2 = 12; a3 = –8; a4 = –12; c63 = 8; c13 = 4; c64 = 7; c15 = 8; c26 = 8; c16 = 10; c56 = 10; c54 = 10; c34 = 10. 5. р = 8; а = 3; b = 16; γ = 0,8; [ ]0,2 0,5 0,3Q = ; [ ]100 150 180B = . Вариант №29 303 ; ; 1. F = x1 + 2x2 → max; 1 2 1 2 1 2 1 2 2 5 3 6 3; ; 0. х х х х х х х х + ≤⎧⎪ + ≥⎪⎨− + ≤⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 4 2 1 3 1 3 1 2 5 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 180 210 236 B ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; [ ]10 14 12C = ; 4 2 1,5 3 ; 2 ; 12. 4 1,3 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. ; 80 140 70 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]20 100 60 110B = ; 4 2 3 1 6 3 5 6 3 2 6 3 C ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 4. a1 = 15; a2 = 5; a3 = –10; a4 = –10; c53 = 10; c63 = 10; c54 = 8; c64 = 8; c14 = 6; c15 = 8; c65 = 10; c16 = 2; c26 = 10. 5. р = 6; а = 2; b = 10; γ = 0,7; [ ]0,4 0,4 0,2Q = ; [ ]50 100 150B = . Вариант №30 304 ; 1. F = –x1 + x2 → max; 1 2 2 1 2 1 2 4 5 20 3 3; 3; ; 0. х х х х х х х х − ≤⎧⎪− + ≤⎪⎨ + ≥⎪⎪ ≥⎩ 2. ; 2 4 1 3 1 3 2 1 5 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 60 70 78 B ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; [ ]14 10 13C = ; 4 4 1 2 ; 1,2 ; 11. 3 2 A P Z ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3. ; 180 90 170 A ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ [ ]40 50 100 160B = ; 6 7 3 2 5 1 4 3 3 2 6 2 C ⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 4. a1 = 13; a2 = 12; a3 = –10; a4 = –15; c53 = 8; c64 = 6; c14 = 8; c15 = 10; c25 = 4; c56 = 6; c16 = 2; c63 = 6; c34 = 10. 5. р = 8; а = 3; b = 12; γ = 0,8; [ ]0,2 0,5 0,3Q = ; [ ]20 50 80B = . ОТВЕТЫ Глава 1 305 , 1.3. ЭММ задачи имеет вид: 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 min 4 5 40, 2 14, 3 18, , 0. f x x x x x x x x x х = + → + ≥⎧⎪ + ≥⎨⎪ + ≥⎩ ≥ 1.4. Указание. Математическая модель задачи будет следую- щей: 1 1 2 2 3 3 11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3 min, , , , 0, 1,3j f c x c x c x a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x j = + + → + + ≤⎧⎪ + + ≤⎨⎪ + + ≤⎩ ≥ = 1.7. 1) 2) беск. множ. реш. или 1 2186 /19; 12 /19; 75/19.F x x= = = 40;F = 1 245 / 37; 260 / 37x x= = 1 2100 /13; 24 /13x x= = . 3) 163/17;F = 1 2135/17; 28 /17x x= = . 4) 1 256 / 5; 31/ 5; 6 / 5.F x x= = = 5) 6) 1 288; 16, 5.F x x= = = F - неограниченна нет решений. 7) беск. множ. реш. ⇒ 7;F = 1 27 / 2; 0x x= = или 1 22; 3x x= = . 8) . 9) 7;F = 1 25; 12x x= = 1 288; 30; 28.F x x= = = 10) 16; 0;F x= = 2 6.x = 11) 38;F = 1 29; 4x x= = . 12) 13) 1 234 / 3; 10 / 3; 2 / 3.F x x= = = 1 23; 0; 3.F x x= = = 14) 15) .1 22; 6; 2.F x x= = = 2/9;2/11;2/13 21 ==−= xxf 16) .6;0;36 21 ==−= xxf 17) .7/12;7/6;7/6 21 ==−= xxf 18) .3;2/3;9 21 ==−= xxf 1.15. 1) 3/ 2; (1/ 2;1/ 2;0;0;2;0).F X= = 2) 123/8;F = (11/ 4;0;13/8;0;7 /8;0).X = 3) F=1; X=(0;0;1;4;0;3), либо X=(4/5;0;1/5;0;0;3) 4) 41/ 4; (0;27 / 4;7 / 4;0;0;43/ 2).F X= = 5) 400 / 61;F = (55/ 61;92 / 61;66 / 61;0;0;0).X = 6) 81/ 25; (26 / 25;0;3/ 25;13/ 25;0;0).F X= = 7) 29 / 3; (2;5 / 3;0;23/ 3;0;0).F X= = 8) 33/8; (0;3/8;7 /8;0;0;17 /8).F X= = 9)беск. множ. реш. 3; (3/ 5;1;2 / 5;0;0;0)F X= = или (0;1;1;3;0;0)X = . 10) . 11) ∅ 157 / 3; (26 / 3;11/ 3;4;0;0;0).F X= = 12) F=16/5; X=(2/5;14/5;0;0) 13) беск.множ.реш. 10;F = (2;0;0;0;2;6)X = или (2;0;2;0;0;8)X = . 14) . 41/ 4; (4;5 / 4;6;0;0;0)F X= = 15) . 16) 3 / 4; (0;0;3/ 4;7 / 4;0;7 / 4)F X= = 4; (2;0;0;3)F X= = - реше- ние вырожденное. 17) 1; (0;0;0;1)F X= − = . 18) . 4; (0;4;0;0;9;0)F X= = 19) . 2; (1;0;0;0;2;2)F X= = 20) . 5; (0;1;0;4)F X= − = 21) f=3/4; X=(0;3/4;7/2;0). 22) беск.множ.реш. 8;f = − (5/ 2;3/ 4;0;0)X = или X=(0;2;0;10) . 23) . 10; (2;0;0;5)f X= = 24) Х=(0;4;2;0). 16;f = − 1.17. 1) . 2) . 112; (12;0;0;4)F X= = 208; (12;0;0;4)F X= = 3) . 4) . 15; (5 / 2;5 / 2;5 / 2;0)F X= = 8; (2 / 3;4 / 3;4;0)F X= = 5) f=-3; X=(0;0;0;5/3;1/3). 6) F=10/3; X=(0;0;2/3;0;4/3) 7) . 8) . 26; (0;0;18;0;0;0)F X= = 4; (0;0;1;6;0;3)f X= = 1.21. 1) беск.множ.реш. 6; (1/ 3;2 / 3;0;0;8 / 3),F Y= = (0;6;0;0;0;0)X = или (1;0;2;0;2),Y = (0;6;0;0;0;0)X = . 2) беск.множ.реш. 2; (0;2 / 3;0;1/ 3;1/ 3), (1;0;0;0;0;0)F Y X= = = или (1;0;0;0;2),Y = (1;0;0;0;0;0)X = . 3) . 48 / 5; (0;4 / 5;0;12 / 5;22 / 5), (6 / 5;0;0;8 / 5;0)F Y X= = = 4) 7; (2;1;0;0;3),F Y= = (4 / 3;1/ 3;0;0;0)X = . 5) . 64 /13; (4 /13;14 /13;4 /13;0;0), (0;12 /13;10 /13;0;0)F Y X= = = 306 6) . 17 / 3;F = (4 / 3;1/ 3;0;7 / 3;0), (5 / 3;0;7 / 3;0;0)Y X= = 7) . 3/ 2; (0;1/ 2;0;3/ 2;4), (3/ 4;0;0;2;0)F Y X= = = 8) 12 / 7;F = (3/ 7;2 / 7;0;0;5 / 7), (10 / 7;1/ 7;0;0;0)Y X= = . 9) ,5; (0;4;1;0;0)F X= = (1/ 2;1/ 2;0;0;0),Y = или X=(6/5;0;1/5;0;0), . (1/ 2;1/ 2;0;0;0)Y = 10) 48 / 7;F = (18 / 7;5 / 7;0;5 / 7;0), (11/14;0;4 / 7;0;0)Y X= = . 11) . 3; (1/ 2;0;0;1/ 2;4), (3;0;0;0;0;13)F Y X= = = 12) 3;f = (0;1;1;0;0)Y = , (0;5/ 2;1/ 2;0;0)X = или Х=(0;3;0;1;0), . (0;1;1;0;0)Y = 13) ,60 / 7;F = (0;6 / 7;0;15 / 7;23/ 7),Y = (10 / 7;0;0;4 / 7;0)X = . 14) . 4; (0;1;1;0;4), (0;4;0;1;0)F Y X= = = 15) . 50 /13; (1/13;8 /13;0;4 /13;0), (16 /13;0;6 /13;0;0)F Y X= = = 16) . 17 / 3; (4 / 3;1/ 3;0;7 / 3;0), (5 / 3;0;7 / 3;0;0)F Y X= = = 17) . 9 / 5; (0;3/ 5;0;7 / 5;24 / 5), (3/ 5;0;0;7 / 5;0)F Y X= = = 18) . 21/ 23; (17 / 23;1/ 23;0;0;65 / 23), (15 / 23;2 / 23;0;0;0)F Y X= = = 1.25. 1) . 4; (2;0;1;2;1;0;0), (0;0;1/ 2;1;0;1/ 2;0)f X Y= = = 2) . 3) 2; (0;0;1;1;9;0), (0;0;2;1;2;0)f X Y= = = ∅ . 4) . 17; (7 / 2;7 / 2;3/ 2;0;0;0), (3/ 5;6 / 5;1;0;0;0)f X Y= = = 5) Х=(0;4/3;0;0;0) 40;f = (10;0;0;0;10)Y = 6) . 3; (0;0;5 / 2;1/ 2;0;0), (0;1/ 2;1;3;0;0)f X Y= = = 7) беск.множ.реш. 10; (0;2;0;0;0;0;1), (5;0;0;0;1;8;0)f X Y= = = или (0;0;0;2;0;0;1),X = (5;0;0;0;1;8;0)Y = . 8) f=51; X=(1;5;0;0;13); Y=(3/4;29/4;0;1;0). 9) 33/ 7; (0;0;13/ 7;5 / 7;0;0;3/ 7), (9 / 7;8 / 7;0;20 / 7;8 / 7;0;0)f X Y= = = 10) . 35; (4;3;0;0;6;0), (4;0;5;0;0;13)f X Y= = = 11) . 3; (1;0;0;0;0), (1;1;0;1;0)f X Y= = = 12) Х=(0;1;0;0;0) ; 8;f = (16 / 3;4 / 3;43/ 3;0;0)Y = . 13) Х=(11/7;13/7;0;0;1;0;0); 5;f = (1;0;1;0;0;5;1)Y = . 14) 47 / 7;f = (15 / 7;0;0;1/ 7;0;0;9 / 7),X = (5/ 7;11/ 7;0;0;13/ 7;11/ 7;0)Y = . 307 Глава 2 2.5 таблица 2.13 метод сев.-зап. угла метод мин. эл-та метод Фогеля метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − −− 137 37 18 f=196 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − 137 10 108 f=149 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − 137 10 108 f=149 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − 1010 10 315 f=255 таблица 2.14 метод сев.-зап. угла метод мин. эл-та метод Фогеля метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − −− 2010 3010 20 f=460 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − − 30 2020 1010 f=280 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − − 30 1030 1010 f=270 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − −− 2010 2020 20 f=410 таблица 2.15 метод сев.-зап. угла метод мин. эл-та метод Фогеля метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −− −− −− 20 55 255 2020 f=220 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −−− −− −− 20 10 525 2020 f=265 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −−− −− −− 1010 10 525 2020 f=215 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −−− −− −− 515 10 1020 2515 f=440 таблица 2.16 метод сев.-зап. угла метод мин. эл-та метод Фогеля метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −−− −−− 2020 30 20 f=460 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− −−− 201010 1020 20 f=270 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− −−− 201010 1020 20 f=270 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− −−− 101020 1020 20 f=340 308 таблица 2.17 метод сев.-зап. угла метод мин. эл-та метод Фогеля метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − − −− 10 1010 3010 20 f=330 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− − − 10 20 2020 200 f=260 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− − −− 10 20 1030 20 f=210 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− − −− 10 20 1030 20 f=410 таблица 2.18 метод сев.-зап. угла метод мин. эл-та метод Фогеля метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − −− 137 37 18 f=177 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − 137 10 018 f=114 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− −− 137 10 18 f=114 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − 1010 10 315 f=190 таблица 2.19 метод сев.-зап. угла метод мин. эл-та ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −−−− −− 101020 30 0020 f=590 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −−− −− 2020 2010 10100 f=300 метод Фогеля метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −−− −−− 2020 1020 1010 f=240 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −−− −−− 2020 1020 1010 f=440 309 таблица 2.20 метод сев.-зап. угла метод мин. эл-та метод Фогеля метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −− −− −− 5 205 255 2020 f=305 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −−− −− − 5 25 525 20515 f=280 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −−− −− −− 5 25 255 2020 f=175 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −− −− −− 5 1510 1020 1030 f=560 таблица 2.21 метод сев.-зап. угла метод мин. эл-та метод Фогеля метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −− −− −−− 100 8020 4080 80 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −− −− −− 100 8020 4080 6020 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −− −− −−− 100 4060 4080 80 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− −−− −− 2080 6040 120 6020 f=1100 f=880 f=860 f=1540 таблица 2.22 метод сев.-зап. угла метод мин. эл-та метод Фогеля метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−− −− −− −− −−− 50 4040 4060 9040 60 f=1180 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−− −−− − −− −−− 50 80 108010 9040 60 f=790 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− −−− −− −− −−− 1040 80 8020 9040 60 f=780 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−− −−− −− − −−− 50 80 3070 802030 60 f=2040 таблица 2.23 метод сев.-зап. угла метод мин. эл-та ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−−− 200 300 00100100200 f=3000 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −−−− − 100100 300 2000100100 f=3000 310 метод Фогеля метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −−−− −−− 100100 300 200200 f=2800 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− −− −− 200 100100100 100100200 f=3800 таблица 2.24 метод сев.-зап. угла метод мин. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−−− −−− − 10 30 1020 0101020 f=210 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−− −− −−− 10 2010 101010 400 f=130 метод Фогеля метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−− −−− −−−− 10 2010 1020 40 f=110 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− −− −−− −−− 10 101010 2010 3010 f=260 таблица 2.25 метод сев.-зап. угла метод мин. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−−− −−−−− −− 2010 3040 40 00060 f=660 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −−− −−−−− −− 30 103030 40 204000 f=530 метод Фогеля метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −− −−−− −−−− 30 20101030 2020 4020 f=470 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −−−− −−−− −−− 30 1060 1030 201030 f=840 311 таблица 2.26 метод сев.-зап. угла метод мин. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −−−−− −−− −− 100 100 160140100 0080120 f=1460 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−−−− −−− −−− 6040 100 100180120 1001000 f=1060 метод Фогеля метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −−−−− −−− −−−− 100 100 100180120 60140 f=820 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −−−−− −− −−−− 100 100 10010016040 80120 f=1760 таблица 2.27 метод сев.-зап. угла метод мин. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−−−− −−−− −− 2080 60 8060 0806060 f=1580 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −−−−− −−−−− 100 60 140 20204006060 f=1300 метод Фогеля метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−−−− −−−−− − 20100 60 140 2020406060 f=1300 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−−− −−−− −− −− 80 100 60 206060 806060 f=1760 312 таблица 2.28 метод сев.-зап. угла метод мин. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−−− −−−−− −− 4060 100100 100 00100100 f=1400 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −−− −−−−− −− 100 6010040 100 4016000 f=900 метод Фогеля метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −−− −−−−− −−−−− 100 4060100 100 200 f=760 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−− −−−−− −−− 6040 4010060 100 4010060 f=1480 таблица 2.29 метод сев.-зап. угла метод мин. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−− −−−− −−−− 3070 306010 7010 3020 f=500 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−− −−−− −−−− 4060 602020 4040 3020 f=420 метод Фогеля метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −−− −−−− −−−−− 305020 503020 6020 50 f=360 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−− −−− −−−−− 2080 204040 105020 50 f=1080 313 таблица 2.30 метод сев.-зап. угла метод мин. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−− −−− −−− −−− 10 3020 2080 4040 4060 f=660 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−− −−−− −− −−− 10 3020 100 102050 2080 f=440 метод Фогеля метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−− −−−− −−− −− 10 3020 100 2060 101080 f=380 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−− −−− −−−− −− 10 4010 4060 80 401050 f=960 таблица 2.31 метод сев.-зап. угла метод мин. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −−−−− −−−− −−− 504010 50 18020 0100100 f=1190 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−−−− −−− −−− 4060 50 6040100 5030120 f=910 метод Фогеля метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−−−− −− −−−− 4060 50 50605040 80120 f=680 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −−−− −−− −−− 100 4010 1080110 4060100 f=1970 314 таблица 2.32 метод сев.-зап. угла метод мин. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−−− −−−− − −−− 120 80 100 10016012020 080 f=1580 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−− −−−− −−− −− −−−− 20100 80 8020 12020080 80 f=680 метод Фогеля метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−− −−−− −−−− − −−−− 8040 80 100 2020080100 80 f=660 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−− −−−− −−−− − −−−− 20100 80 100 40100140120 80 f=1580 таблица 2.33 метод сев.-зап. угла метод мин. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −−−−− −− −−− 30 20 5151020 02050 f=445 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −−−−− −−− −− 30 20 30515 0101050 f=415 метод Фогеля метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −−−−− −− −−− 30 20 2051510 101050 f=405 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−−− −−−− −−− 2010 155 1040 302515 f=925 315 таблица 2.34 метод сев.-зап. угла метод мин. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−−−− −−−−− −−− −−− 2030 50 100 4012040 02080 f=1720 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −−−−− −−−− − −−−−− 50 50 4060 2040407030 100 f=900 метод Фогеля метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −−−−− −−−− − −−−−− 50 50 4060 2040402080 100 f=700 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−−−− −−−− −−− −−−− 4010 50 2080 2012060 8020 f=1830 2.9 таблица 2.13 таблица 2.14 метод мин. эл-та метод макс. эл-та метод мин. эл-та метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − 137 10 108 f=149 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − 1010 10 315 f=255 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − − 30 1030 1010 f=270 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− 20010 40 20 f=490 таблица 2.15 метод мин. эл-та метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −−− −− −− 200 10 255 2020 f=165 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −−− −− −− 515 10 1020 2515 f=440 316 таблица 2.16 метод мин. эл-та метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− −−− 201010 1020 20 f=270 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− −−− 02020 2010 20 f=460 таблица 2.17 таблица 2.18 метод мин. эл-та метод макс. эл-та метод мин. эл-та метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− −− 10 20 01030 20 f=210 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− − − −− 10 020 2020 20 f=480 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − 137 10 018 f=114 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −− − 1010 10 135 f=230 таблица 2.19 метод мин. эл-та метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −− −−− 2020 10200 1010 f=240 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − −−−− −−−− 1010200 30 20 f=590 таблица 2.20 таблица 2.21 метод мин. эл-та метод макс. эл-та метод мин. эл-та метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −−− −− −− 50 25 255 2020 f=175 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −− −− −− 5 1510 1020 1030 f=560 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −− −− −− 100 8020 4080 4040 f=860 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −− −−− −− 2080 2080 120 4040 f=1580 317 таблица 2.22 метод мин. эл-та метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −− −−− −− −− −−− 1040 80 8020 9040 60 f=780 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−− −−− −− −− −− 50 80 2080 5080 4020 f=2090 таблица 2.23 метод мин. эл-та метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −−−− −− 0100100 300 2000200 f=2800 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−− − 200 100200 2001001000 f=4300 таблица 2.24 метод мин. эл-та метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −−− −−− −−− 100 2010 1020 400 f=110 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− −− −−− −−− 10 101010 2010 3010 f=260 таблица 2.25 метод мин. эл-та метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −− −−−− −−−− 30 20101030 3010 4020 f=460 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −−−− −−− −−− 30 3040 101020 203010 f=1050 318 таблица 2.26 метод мин. эл-та метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −−−− −− −−−− 100 1000 1000180120 60140 f=820 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −−−−− −− −−− 100 100 1000160140 080120 f=2060 таблица 2.27 метод мин. эл-та метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −−−−− −−−− − 100 60 20120 2040206060 f=1280 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−− −−− −−−− −− 80 4060 060 140 140060 f=2000 таблица 2.28 метод мин. эл-та метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −− −−− −−−−− −−−−− 406000 6040100 100 200 f=760 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−− −−−−− −−− 6040 1001000 100 4010060 f=1540 таблица 2.29 метод мин. эл-та метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−− −−−− −−−− 8020 206020 6020 3020 f=360 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−− −−− −−−−− 2080 204040 105020 50 f=1080 319 таблица 2.30 метод мин. эл-та метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−− −−−− −−− −− 10 2030 100 3050 104050 f=380 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−− −−− −−− −−− 10 4010 4060 7010 5050 f=970 таблица 2.31 метод мин. эл-та метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −−−−− −−− −−−− 504010 50 605090 80120 f=680 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −−−− −−− −− 100 050 508070 404060100 f=2010 таблица 2.32 метод мин. эл-та метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−− −−−− −−−− − −−−− 4080 80 100 1002008020 80 f=660 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−−− −−− − −−−− 120 80 0100 4020040120 80 f=1680 таблица 2.33 метод мин. эл-та метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −−−− −−− −−− 30 200 251510 101050 f=385 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− −−−−− −−−− −− 1020 20 2030 10251520 f=970 320 таблица 2.34 метод мин. эл-та метод макс. эл-та ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −−−−− −−−− − −−−−− 50 50 4060 2040402080 100 f=700 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −−−−− −−−−− −−−− −− −−−− 50 50 2080 101012060 7030 f=1840 2.12 таблица 2.13 таблица 2.14 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +− −− −−+ 13)()(7 10 )(10)(8 f=149 f=270 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−− − −+− )()(30 1030 )(10)(10 таблица 2.15 таблица 2.16 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−−− −−− −+− −− )()(20 10 )(25)(05 2020 f=165 f=270 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −+ −+−− −−− 20)(1010)( )(10)(20 20 таблица 2.17 таблица 2.18 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −+− −− −+ −− )()(10 20 )(0)(1030 20 f=210 f=114 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −+ +−− −− )(13)(7 )(0)(10 18 таблица 2.19 таблица 2.20 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−−− −−−+ −−− )(20)(20 )(1020)(0 1010 f=240 f=175 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−−− −−− −+− −− )()(5 25 )(25)(05 2020 321 таблица 2.21 таблица 2.22 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −+−− +−−− −− −− )(100)( )(80)(20 4080 4040 f=860 f=780 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ +−− −−− −−−+ −− −−− 10)()(40 80 )(80)(20 9040 60 таблица 2.23 ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−−− −−+−− −+−− )()(100100 )(300)(0 )(200)(0200 f=2800 таблица 2.24 таблица 2.25 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−−− +−−− −−− −−−+ 10 )(20)(10 1020 )(40)(00 f=110 f=460 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−−−−− −−−+ −−−− −−−− )()(30 )(201010)(30 3010 4020 таблица 2.26 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−−−−− −−−− −+−− −−+−− )()(100 0100 )(100)(0180120 )(0)(60140 f=820 таблица 2.27 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−−−− −−−−− −−− −−+−− )()(2080 60 206060 )(20)(12060 f=1280 таблица 2.28 f=760 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −−− −+−− −−−−− −−−−+ 10000 4060)()(100 100 )(2000)(0 322 таблица 2.29 таблица 2.30 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −+−− −+−−− −−−+−− −−−−− 30)(30)(40 )(70)(1020 )(60)(20 50 f=360 f=380 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −+−−− −−− −−−− −−− +−−− )(10)( 2030 100 2060 )(10)(4050 таблица 2.31 таблица 2.32 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−−− −−−−− −−−−+ −−−− 5040)()(10 50 )(6050)(90 80120 f=680 f=660 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ −+−− −−−− −−−− +−− −−−− )(80)(40 80 100 )(20)(20080100 80 таблица 2.33 таблица 2.34 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−−−− −−−−− −−−+− −−− 0)()(30 20 )(2515)(10 101050 f=385 f=700 ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ +−−−−− −−−−− −−−− −+− −−−−− )()(50 50 4060 )(204040)(2080 100 2.19 1) (1;2;2)+(2;3;4)(+(2;4;16)+(1;5;0);+(5;6;0); *f =184 – не единств. 2) (2;1;4)+(1;3;6)+(2;4;14)+(4;5;0)+(5;6;0): *f =54 – не единств. 3) (2;1;10)+(1;3;12)+(2;4;8)+(4;5;0)+(6;5;0): *f =150 – не единств. 4) (2;1;10)+(1;3;3)+(1;6;17)+(6;4;17)+(4;5;0): *f =81 – не единств. 5) (2;6;4)+(6;5;4)+(5;3;4)+(1;3;14)+(1;4;2): *f =54 – не единств. 6) (2;1;15)+(1;3;10)+(4;5;0)+(1;4;10)+(2;6;0): *f =165 – не единств. 7) (1;3;7)+(1;4;6)+(2;5;7)+(5;4;7)+(5;6;0): *f =181 – не единств. 8) (2;1;1)+(1;4;6)+(2;3;14)+(1;5;0)+(2;6;0): *f =153 – не единств. 323 9) (1;3;5)+(2;4;12)+(1;6;3)+(6;4;3)+(6;5;0): *f =142 – единств. 10) (1;3;6)+(1;4;4)+(2;6;10)+(6;5;10)+(5;4;10): *f =268 – единств. Глава 3 3.3. 1) ; 2 3 4 5 6 1 3 2 5 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎥⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ α =2; β =5, нет. 2) ; 6 1 3 3 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ α =3; β =3 ⇒ v = 3, решение игры ( 5 2, ,3A B ). 3) ; 0 2 3 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ α =1; β =2, нет. 4) ; 3 1 2 1 6 0 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ α =1; β =1⇒ v = 1, решение игры ( 2 4, ,1A B ). 5) ; 3 6 7 3 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ α =3; β =6, нет. 6) 0 3 2 2 4 1 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; α =2; β =3, нет. 7) ; 3 3 2 2 3 4 7 1 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ α =1; β =2, нет. 8) 1 4 5 3 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ ; α =3; β =4, нет. 9) ; 2 1 1 5 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ α =1; β =2, нет. 10) 0 3 3 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ ; α =2; β =3, нет. 11) ; 3 4 2 2 1 3 1 3 5 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎥⎢⎢ ⎥−⎣ ⎦ α =2; β =3, нет. 12) 5 2 2 4 1 5 1 4 2 −⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; α =2; β =4, нет. 13) ; 1 5 3 2 −⎡ ⎤⎥⎢⎣ ⎦ α =2; β =3, нет. 14) 3 6 1 6 2 5 − −⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ ; α =2; β =5, нет. 15) ; 2 3 5 6 5 1 3 7 3 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎥⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ α =3; β =5, нет. 16) 2 1 5 0 4 3 5 2 2 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; α =2; β =4, нет. 3.5. 1) F = 2/7; v = 7/2; 1x = 0; 1p = 0; 2x = 1/7; 2p = 1/2 50% -⇒ 2А ; 3x = 1/7; 1/2⇒50% - 3p = 3А . 324 3) F = 2/3; v = 3/2; 1x = 1/6; 1p = 1/4⇒25% - 1А ; 2x = 1/2; 2p = 3/4; 75% - ⇒ 2А . 5) 7/33; F = v = 33/7; 1x = 3/11; 1p = 0,428 42,8% - ⇒ 1А ; 2x = 4/33; 0,571 57,1% - 2p = ⇒ 2А . 6) 1/2; F = v = 2; 1x = 1/6; 0,333 33,3% - 1p = ⇒ ⇒ 1А ; 2x = 1/3; 0,667 66,7% - 2p = ⇒ 2А . 7) 5/8; F = v = 8/5; 1x = 0; 1p = 0; 2x = 1/16; 2p = 0,1 10% - ⇒ 1А ; 3x = 9/16; 0,9 90% - 3p = ⇒ ⇒ 3А . 8) 5/17; F = v = 17/5; 1x = 1/17; 1p = 0,2 20 - ⇒ 1А %; 2x = 4/17; 0,8⇒80% - 2p = 2А . 9) 7/11; vF = = 11/; 1x = 6/11; 1p = 0,545 54,5% - ⇒ 1А ; 2x = 1/11; 0,091⇒9,1% - 2p = 2А . 10) 4/9; F = v = 9/4; 1x = 1/9; 0,25⇒25% - 1p = 1А ; 2x = 1/3; 0,75 75% - 2p = ⇒ 2А . 11) 5/13; F = v = 13/5; 1x = 0; 1p = 0; 2x = 3/26; 2p = 0,3 30% -⇒ 2А ; 3x = 7/26; 0,7 70% - 3p = ⇒ 3А . 12) 8/21; F = v = 21/8; 1x = 1/7; 3/8=0,375 37,5% - 1p = ⇒ 1А ; 2x = 1/2; 0,5 ⇒50% - 2p = 2А ; 3x = 1/21; 3p = 0,125 ⇒12,5% - 3А . 13) 7/17; F = v = 17/7; 1x = 3/17; 1p = 0,428⇒42,8% - 1А ; 2x = 4/17; 0,572 57,2% - 2p = ⇒ ⇒ 2А ; 3x = 0; 3p = 0, либо второе решение 5/13; F = v = 13/5; 1x = 3/13; 1p = 0,6 60% - ⇒ 1А ; 2x = 0; 0; 2p = 3x = 2/13; 3p = 0,4 ⇒40% - 3А . 14) 5/16; F = v = 16/5; 1x = 0; 1p = 0; 2x = 3/16; 2p = 0,6⇒60% - 2А ; 3x = 1/8; 0,4 40% - 3p = ⇒ 3А . 15) 2/7; F = v = 7/2; 1x = 1/7; 1p = 0, 50% - ⇒ 1А ; 2x = 0; 2p = 0; 3x = 1/7; 0,⇒50 -3p = 3А %. 16) 10/27; F = v = 27/10; 1x = 7/81; 1p = 0,233 23,3% - ⇒ 1А ; 2x = 4/27; 0,148⇒14,8% - 2p = 2А ; 3x = 11/81; 3p = 0,367⇒36,7% - 3А . 3.8. 1) ; 1/ 3F f= = 1x = 1/3; 2x = 0; 1/3; 1y = 1/3; 2y = 0. 325 2) ; 1F f= = 1x = 1; 2x = 0; 1/3; 1y = 0; 2y = 1. 3) ; 9 /17F f= = 1x = 5/17; 2x = 4/17; 2/17; 1y = 2y = 7/17; 3y = 0. 4) ; 1/ 2F f= = 1x = 1/4; 2x = 1/4; 3x = 0 ; 1y = 1/6; 2y = 1/3. 5) ; 1/ 2F f= = 1x = 0; 2x = 1/2; 3x = 0; 1/2; 1y = 2y = 0. 6) ; 1/ 3F f= = 1x = 0; 2x = 1/3; 1y = 0; 2y = 0; 3y = 1/3. 7) ; 1F f= = 1x = 1; 2x = 0; 1y = 1; 2y = 3y = 0. 8) ; 2 / 7F f= = 1x = 1/7; 2x = 1/7; 1y = 1/14; 2y = 0; 3y = 3/14. 9) ; 11/ 26F f= = 1x = 5/26; 2x = 0; 3x = 3/13; 1y = 4/3; 2y = 3/26. 10) ; 3 / 8F f= = 1x = 1/8; 2x = 1/4; 3x = 0; 1y = 5/24; 2y = 1/6. 11) ; 5 /13F f= = 1x = 7/26; 2x = 3/26; 3x = 0; 1y = 1/13; 2y = 4/13. 12) ; 1/ 3F f= = 1x = 1/3; 2x = 0; 3x = 0; 1y = 0; 2y = 1/3. 3.10. 1) ; 2) 450 480 570 630 398 500 590 650 442 494 650 710 762 490 640 750 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 100 70 40 20 95 250 220 200 10 205 400 380 40 175 370 500 ⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; 3) 200 220 250 280 128 240 270 300 300 18 300 330 352 144 252 360 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; 4) ; 5) 400 440 500 560 288 480 540 600 320 432 600 660 552 384 552 720 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 400 540 610 680 260 500 570 640 340 480 550 620 640 460 610 680 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; 6) 240 260 300 340 187 280 320 360 201 254 360 400 379 228 334 440 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ . 3.11. 1) 1. α =490; β =500; 2. а) 4А ; б) 4А ; 3. а) 4А ; б) 4А ; в) 4А ; 4. F = 0,00201; v = 498,27; 1x = 0, 0,000538; 1p = 0,0267 2,67 % - ⇒ 1А ; 2x = 0,002001; 2p = 0,994; 99,4 % - ⇒ 2А ; 3x = 0; 4x = 0. 2) 1. α =40; β =100; 2. а) 4А ; б) 4А ; 3. а) 4А ; б) 4А ; в) 4А ; 4. F = 0,0112; v = 89,03; 1x = 0, 0,00714; 1p = 0,636 63,6 % - ⇒ 1А ; 2x = 0,00685; 2p = 0,822; ⇒ 82,2 % - 2А ; 3x = 0; 4x = 0. 3) 1. α =200; β =240; 2. а) 4А ; б) 4А ; 3. а) 1А ; б) 4А ; в) 4А ; 4. F = 0,00833; v = 120,1; 1x = 0, 0,00148; 1p = 0,1778⇒ 17,8 % - 1А ; 2x = 0,00685; 2p = 0,822; ⇒ 82,2 % - 2А ; 3x = 0; 4x = 0. 4) 1. α =400; β =480; 2. а) 4А ; б) 4А ; 3. а) 1А ; б) 4А ; в) 4А ; 326 4. F = 0,00233; v = 429,2; 1x = 0, 0,00063; 1p = 0,269 26,9 % - ⇒ 1А ; 2x = 0,00170; 2p = 0,731; ⇒ 73,1 % - 2А ; 3x = 0; 4x = 0. 5) 1. α =460; β =540; 2. а) 4А ; б) 4А ; 1А ; 3. а) 4А ; б) 4А ; в) 4А ; 4. F = 0,00198; v = 505; 1x = 0,000495; 1p = 0,25 25 % - ⇒ 1А ; 2x = 0,001485; 2p = 0,75; ⇒ 75 % - 2А ; 3x = 0; 4x = 0. 6) 1. α =240; β =280; 2. а) 4А ; б) 4А ; 1А ; 3. а) 1А ; б) 4А ; в) 4А ; 4. F = 0,00384; v = 260,2; 1x = 0,000819; 1p = 0,213 21,3 % - ⇒ 1А ; 2x = 0,00302; 2p = 0,787; ⇒ 78,7 % - 2А ; 3x = 0; 4x = 0. 3.12. 1) 1. ; 2. 600 440 200 340 480 690 50 90 300 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎥⎢⎢ ⎥−⎣ ⎦ α =340; β =480; 3. а) 2А ; б) 2А ; 4. а) 2А ; б) 2А ; в) 2А ; 5. F = 0,00217; v = 461,3; 1x = 0,000289; 1p = 0,133 13,3 % - ⇒ 1А ; 2x = 0, 001879; 2p = 0,8667 ⇒ 86,7% - 2А 3x = 0. 2) 1. ; 2. 360 260 60 200 300 500 120 20 180 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎥⎢⎢ ⎥− −⎣ ⎦ α =200; β =30; 3. а) 2А ; б) 2А ; 4. а) 2А ; б) 2А ; в) 2А ; 5. F = 0,00357; v = 280; 1x = 0,002619; 1p = 0,733 ⇒ ⇒ 73,3 % - 1А ; 2x = 0; 2p = 0; 3x = 0,000952; 3p = 0,267 26,7 % - ⇒ 3А . 3) 1. ; 2. 160 110 60 70 120 170 20 30 80 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎥⎢⎢ ⎥−⎣ ⎦ α =70; β =12 0; 3. а) 2А ; б) 2А ; 4. а) 2А ; б) 2А ; в) 2А ; 5. F = 0,008696; v = 115; 1x = 0,00478; 1p = 0,55 ⇒ ⇒ 55 % - 1А ; 2x = 0; 2p = 0; 3x = 0,00391; 3p = 0,45⇒ 45 % - 3А . 4) 1. ; 2. 960 640 480 440 720 860 180 460 600 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎥⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ α =480; β =720; 3. а) 2А ; б) 1А ; 4. а) 1А ; б) 1А ; в) 1А ; 5. F = 0,00136; v = 682,7; 1x = 0,000618; 1p = 0,442 44,2 % - ⇒ 1А ; 2x = 0; 2p = 0; 3x = 0,000846; 3p = 0,578 57,8 % - ⇒ 3А . 5) 1. ; 2. 500 420 260 310 450 650 70 70 350 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎥⎢⎢ ⎥−⎣ ⎦ α =310; β =450; 3. а) 2А ; б) 2А ; 4. а) 2А ; 327 б) 2А ; в) 2А ; 5. F = 0,00237; v = 421,4; 1x = 0,001596; 1p = 0,672 67,2 % - ⇒ 1А ; 2x = 0; 2p = 0; 3x = 0,000777; 3p = 0,32⇒ 32,8 % - 3А . 6) 1. ; 2. 720 540 450 320 600 690 120 400 540 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎥⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ α =310; β =450; 3. а) 2А ; б) 2А ; 4. а) 2А ; б) 2А ; в) 2А ; 5. F = 0,001814; v = 551,25; 1x = 0,00068; 1p = 0,375 37,5 % - ⇒ 1А ; 2x = 0; 2p = 0; 3x = 0,001134; 3p = 0,625 62,5 % - ⇒ 3А . 3.14. 1) 1. ; 2. 13088 13052 212 248 12736 13078 ; 13300; 564 222 13152 13222 148 76 C A − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎥⎥⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢′− − = =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢− −⎣ ⎦ ⎣ α =222; β =248; 3. а) 2А ; б) 2А ; 4. а) 2А ; б) 2А ; в) 2А ; 5. 1f = 0,004073; 1v = 245,52; - 13054,5;v = 1x = 0,003685; 1p = 0,905 90,5 % - 1А ; 2x = 0,000388; 0, 0952⇒ 9,5% - 2p = 2А ; 3x = 0; 3p = 0. 2) 1. ; 2. 4705 4735 1295 1265 4775 4670 ; 6000; 1225 1330 5890 5920 110 80 C A − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎥⎥⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢′− − = =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢− −⎣ ⎦ ⎣ α =1265; β =1295; 3. а) 2А ; б) 1А ; 4. а) 1А ; б) 1А ; в) 2А ; 5. 1f = 0,004073; 1v = 245,52; v = - 4726; 1x = 0,003685; 1p = 0,905 90,5 % - 1А ; 2x = 0,000388; 2p = 0, 0952⇒ 9,5% - 2А ; 3x = 0; 3p = 0. 3) 1. ; 2. 8510 8620 390 280 8665 8590 ; 8900; 235 310 8800 8800 100 100 C A − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎥⎥⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢′− − = =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢− −⎣ ⎦ ⎣ α =280; β =310; 3. а) 1А ; б) 1А ; 4. а) 1А ; б) 1А ; в) 1А ; 5. 1f = 0,003358; 1v = 297,84; v = - 8602,16; 1x = 0,001361; 1p = 0,405 40,5 % - ⇒ 1А ; 2x = 0,001996; 0, 595 59,5% - 2p = ⇒ 2А ; 3x = 0; 3p = 0. 4) 1. ; 2. 9245 8970 5 280 9160 9060 ; 9250; 90 190 9145 9195 105 55 C A − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎥⎥⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢′− − = =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢− −⎣ ⎦ ⎣ α =90; β =105; 3. а) 2А ; б) 1А ; 4. а) 2А ; б) 2А ; в) 1А ; 5. 1f = 0,01; 1v = 100; 328 v = -9150; 1x = 0; 1p = 0; 2x = 0,00333; 2p = 0,333 33,3 % -⇒ 2А ; ; 3x = 0,00667; 3p = 0,667⇒ 66,7% - 3А . 5) 1. ; 2. 15720 13790 30 1980 15120 15250 ; 15750; 630 500 15630 14040 120 1710 C A − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎥⎥⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢′− − = =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢− −⎣ ⎦ ⎣ α =300; β =630; 3. а) 1А ; б) 1А ; 4. а) 2А ; б) 3А ; в) 3А ; 5. 1f = 0,001689; 1v = 592,14; v = -15158; 1x = 0,000107; 1p = 0,631; 6,3% - ⇒ 1А ; 2x = 0,001582; 0,937 93,7 % -2p = ⇒ 2А ; ; 3x = 0; 3p = 0. 6) 1. ; 2. 10910 11056 190 44 11012 10970 ; 11100; 88 130 11039 10974 61 126 C A − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎥⎥⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎢′− − = =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢− −⎣ ⎦ ⎣ α =88; β =130; 3. а) 1А ; б) 1А ; 4. а) 2А ; б) 1А ; в) 1А ; 5. 1f = 0,009026; 1v = 110,79; v = -10989,2; 1x = 0,002017; 1p = 0,223; 22,3% - ⇒ 1А ; 2x = 0,00701; 0,77 7 ⇒ 77,7 % -2p = 2А ; ; 3x = 0; 3p = 0. 3.14. 1) 1. А= 830 825 830 800 884 884 890 922 922 − − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ; 120 125 120 950; 150 66 66 60 28 28 C A ⎡ ⎤⎢ ⎥′= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 2. α =-830; β =-825; 3. а) 1А ; б) 1А ; 4. а) 1А ; б) 1А ; в) 2А ; 5. F = 1/120; v = -830; 1x = 1/120; 1⇒ 100% - 1p = 1А ; 2x = 0; 2p = 0 0% - ⇒ 2А ; 3x = 0; 0⇒ 0 % - 3p = 3А . 2) 1. А= ; 275 291 291 282 315 315 299 255 299 − − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ 55 39 39 310; 48 15 15 31 75 31 C A ⎡ ⎤⎢ ⎥′= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 2. α =-291; β =-275; 3. а) 3А ; б) 3А ; 4. а) 3А ; б) 3А ; в) 3А ; 5. F = 1/39; v = -291; 1x = 1/39; 1 100% - 1p = ⇒ 1А ; 2x = 0; 2p = 0 0% - ⇒ 2А ; 3x = 0; 0⇒ 0 % - 3p = 3А . 3) 1. А= ; 440 516 516 450 512 512 529 444 529 − − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ 100 24 24 540; 90 28 28 11 96 11 C A ⎡ ⎤⎢ ⎥′= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 2. α =-291; β =-275; 3. а) 1А ; б) 1А ; 4. а) 2А ; б) 2А ; в) 1А ; 5. F = 1/28; v = -512; 1x = 0; 0⇒ 0% - 1p = 1А ; 2x = 1/28; 2p = 1 100% - ⇒ 2А ; 3x = 0; 0⇒ 0 % - 3p = 3А . 329 4) 1. А= ; 845 841 845 790 803 803 845 702 845 − − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ 5 9 5 850; 60 47 47 5 148 5 C A ⎡ ⎤⎢ ⎥′= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 2. α =-803; β =-790; 3. а) 3А ; б) 3А ; 4. а) 2А ; б) 3А ; в) 3А ; 5. F = 1/47; v = -803; 1x = 0; 0⇒ 0% - 1p = 1А ; 2x = 1/47; 2p = 1 100% - ⇒ 2А ; 3x = 0; 0⇒ 0 % - 3p = 3А . 5) 1. А= ; 261 280 280 272 255 272 309 260 309 − − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ 59 40 40 320; 48 65 48 11 60 11 C A ⎡ ⎤⎢ ⎥′= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 2. α =-803; β =-790; 3. а) 3А ; б) 3А ; 4. а) 2А ; б) 3А ; в) 3А ; 5. F = 1/47; v = -803; 1x = 0; 0⇒ 0% - 1p = 1А ; 2x = 1/47; 2p = 1 100% - ⇒ 2А ; 3x = 0; 0⇒ 0 % - 3p = 3А . 6) 1. А= ; 340 370 370 390 370 390 370 345 370 − − −⎡ ⎤⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ 60 30 30 400; 10 30 10 30 55 30 C A ⎡ ⎤⎢ ⎥′= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 2. α =-370; β =-345; 3. а) 1А ; б) 1А 4. а) 1А , 2А ; б) 1А ; в) 1А ; 5. F = 1/30; v = -370; 1x = 0; 0 0% - 1p = ⇒ 1А ; 2x = 0; 0⇒ 0% - 2p = 2А ; 3x = 1/30; 1⇒ 100 % - 3p = 3А . 3.15. 1) 1. 1. 1360 816 1088 975 910 1170 740 1406 888 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ; 2. α =910; β =1170; 3. а) 3А ; б) 1А ; 4. а) 2А ; б) 2А ; в) 2А ; 5. F = 0,00096102; v = 1042,66; 1x = 0,000177; 0,185 18,5% - 1p = ⇒ 1А ; 2x = 0,000337; 2p = 0,351;⇒ 35,1% - 2А ; 3x = 0,00044; 3p = 0,464 44,4 % - ⇒ 3А . 2) 1. ; 1375 1925 1925 2650 2120 2385 2280 2280 1995 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 2. α =2120; β =2280; 3. а) 2А ; б) 2А ; 4. а) 2А ; б) 2А ; в) 2А ; 5. 0,000455; F = v = 2197,1; 1x = 0; 1p = 0; 2x = 0,000323; 0,709; 70,9 % - 2p = ⇒ 2А ; 3x = 0,000132; 3p = 0,291 29,1% - ⇒ 3А . 330 331 ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦ 3) 1. ; 2. 1840 920 1150 750 1250 1750 1300 1820 1040 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎥ α =1040; β =1750; 3. а) 3А ; б) 3А ; 4. а) 3А ; б) 3А ; в) 3А ; 5. F = 0,000762; v = 312,1; 1x = 0,000241; 0,316 31,6% - 1p = ⇒ 1А ; 2x = 0,000186; 2p = 0,244; 24,4 % - ⇒ 2А ; 3x = 0,000335; 3p = 0,440 ⇒ 44% - 3А . 4) 1. ; 1640 1968 1148 2002 2464 1540 1280 480 2240 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 2. α =1540; β =2002; 3. а) 3А б) 2А ; 4. а) 2А ; б) 2А ; в) 2А ; 5. 0,000566; F = v = 984,93; 1x = 0,000270; 1p = 0,492⇒ 49,2% - 1А ; 2x = 0; 0; 2p = 3x = 0,000287; 3p = 0, 508 ⇒ 50,8% - 3А . 5) 1. ; 2. 2400 2560 1600 2916 2106 2592 1580 2212 2688 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ α =2106; β =2560; 3. а) 3А ; б) 2А ; 4. а) 2А ; б) 2А ; в) 2А ; 5. F = 0,000436; v = 2293,1; 1x = 0,000031; 0,071 7,1% 1p = ⇒ 1А ; 2x = 0,000289 2p = 0,663; 66,3% - ⇒ 2А ; 3x = 0,000116; 3p = 0,266 ⇒ 26,6 % - 3А . 6) 1. ; 1264 948 632 534 356 1246 850 1360 850 ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ 2. α =850; β =1246; 3. а) 3А ; б) 3А ; 4. а) 3А ; б) 3А ; в) 3А ; 5. 0,001114; F = v = 897,4; 1x = 0,000416; 1p = 0,373 37,3% - ⇒ 1А ; 2x = 0,000104; 2p = 0,093; 9,3% - ⇒ 2А ; 3x = 0,000595; 3p = 0,534 53,4 % - ⇒ 3А . 332 Литература 1. Козлов, С.М. Руководство к решению задач математического программирования в среде MS Excel / С.М. Козлов, В.П. Грибкова – Мн.: ВУЗ-ЮНИТИ, 2003. – 61 с. 2. Лебедева, Г.И. Прикладная математика. Математические модели в транспортной системе / Г.И. Лебедева, Н.А. Микулик – Мн.: «АСАР», 2009. – 496 с. 3. Козлов, С.М. Методическое пособие по выполнению рас- четно-графической работы по исследованию операций в экономике / С.М. Козлов, В.П. Грибкова – Мн.: БНТУ, 2007. – 54 c. 4. Руководство к решению задач по математическому програм- мированию / А.В. Кузнецов [и др.]; – 2-е изд., перераб. и доп. – Мн.: Выш. шк., 2001. – 448 с. 5. Таха, Хемди А. Введение в исследование операций / Х.А. Та- ха. – 7-е изд.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. – 912 с. 6. Хачатрян, С.Р. Методы и модели решения экономических за- дач: учеб. пособие / С.Р. Хачатрян, М.В. Пинегина, В.П. Буянов. – М.: Изд-во «Экзамен», 2005. – 384 с. 7. Мур, Д. Экономическое моделирование в Microsoft Excel / Д. Мур, Л. Р. Уэдерфорд. – 6-е изд.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2004. – 1024 с.: ил. 6. Федосеев, В.В. Экономико – математические методы и прикладные модели: учеб пособие / под ред. В.В. Федосеева – М: ЮНИТИ, 2000. – 391 с. 7. Минюк, С.А. Экономико математические методы и модели в экономике / С.А. Минюк [и др.] – Мн.:ТетраСистемс, 2002. – 432 с.