Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Сопротивление материалов машиностроительного профиля» Л.Е. Реут КУРС ЛЕКЦИЙ И ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ» РАСТЯЖЕНИЕ–СЖАТИЕ Учебно-методическое пособие для студентов машиностроительных специальностей Рекомендовано учебно-методическим объединением высших учебных заведений Республики Беларусь по образованию в области машиностроительного оборудования и технологий Минск БНТУ 2011 УДК 620.1(075.8) ББК 30.121я7 Р 44 Рецензенты: доктор технических наук, профессор кафедры сопротивления материалов машиностроительного профиля БНТУ А.И. Дудяк; кандидат технических наук, доцент кафедры сопротивления материалов машиностроительного профиля БНТУ А.А. Хмелев Р 44 Реут, Л.Е. Курс лекций и практических занятий по дисциплине «Механика матери- алов». Растяжение–сжатие: учебно-методическое пособие для студентов машиностроительных специальностей / Л.Е. Реут. – Минск: БНТУ, 2011. – 148 с. ISBN 978-985-525-701-2. Учебно-методическое пособие издается под общим названием «Курс лекций и практических занятий по дисциплине “Механика материалов”» и представляет собой серию пособий, включающих основные темы и вопро- сы, необходимые для освоения курса. Первое издание серии посвящено те- ме деформации растяжения–сжатия. Она рассмотрена в полном теоретиче- ском аспекте и проиллюстрирована большим количеством примеров и задач и методами их решения. Издание предназначено для студентов машиностроительных специаль- ностей всех форм обучения для изучения предмета и подготовки к экзаме- нам, а также для преподавателей при подготовке к лекциям и практическим занятиям. УДК 620.1(075.8) ББК 30.121я7 ISBN 978-985-525-701-2 © Реут Л.Е., 2011 © БНТУ, 2011 3 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................ 5 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ ................................................................. 6 1. Общее определение. Внутренние усилия, напряжения и деформации при растяжении и сжатии ........................................ 6 1.1. Продольные силы. Эпюра продольных сил .............................. 7 1.2. Напряжения. Эпюра напряжений ............................................ 10 1.3. Расчеты на прочность при растяжении−сжатии ..................... 14 1.4. Деформации ............................................................................... 16 1.5. Объемная деформация .............................................................. 17 1.6. Связь между напряжениями и деформациями. Закон Гука .. 18 1.7. Потенциальная энергия деформации при растяжении и сжатии ............................................................................................ 22 2. Статически неопределимые системы при растяжении и сжатии ................................................................................................ 26 2.1. Статически определимые системы .......................................... 26 2.2. Статически неопределимые системы и их решение .............. 27 2.2.1. Метод деформаций .......................................................... 28 2.2.2. Метод сил ......................................................................... 36 2.2.3. Энергетический метод (принцип наименьшей работы) ..... 39 2.3. Сравнительный анализ статически определимых и статически неопределимых систем ............................................. 43 2.4. Некоторые свойства статически неопределимых систем ..... 47 2.4.1. Температурные напряжения .......................................... 48 2.4.2. Монтажные напряжения .............................................. ..55 2.5. Расчет статически неопределимых систем по предельному состоянию ............................................................. 58 3. Учет собственного веса при растяжении (сжатии) .................. 65 3.1. Призматический стержень постоянного сечения ................... 66 3.2. Стержень равного сопротивления ........................................... 68 3.3. Расчет ступенчатого стержня ................................................... 71 Вопросы для самоконтроля ................................................................. 73 4 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ ..................... 75 1. Статически определимые задачи ................................................ 76 1.1. Определение напряжений и деформаций. Расчеты на прочность и жесткость ................................................................ 76 1.2. Стержни. Построение эпюр. Проектировочные расчеты ...... 81 1.3. Шарнирно-стержневые системы. Расчеты на прочность. Перемещение узлов .......................................................................... 86 2. Статически неопределимые задачи ............................................ 92 2.1. Жестко защемленные стержни и уложенные с зазором. Подбор сечений и нагрузки ............................................................. 92 2.2. Статически неопределимые шарнирно-стержневые системы .............................................................................................. 97 2.3. Температурные напряжения ................................................... 109 2.4. Монтажные напряжения ......................................................... 118 2.5. Другие случаи статически неопределимых задач ................ 122 2.6. Расчет по предельному состоянию ........................................ 137 3. Учет собственного веса при растяжении (сжатии) ............. 143 ЛИТЕРАТУРА .................................................................................... 147 5 ВВЕДЕНИЕ Механика материалов представляет собой фундаментальную общетехническую дисциплину, изучаемую во всех технических ву- зах и являющуюся основой технического образования инженера любой специальности. Настоящее учебно-методическое пособие, которое издается под общим названием «Курс лекций и практических занятий по механи- ке материалов», представляет собой серию брошюр, включающую основные темы и вопросы, необходимые для освоения курса. Каж- дая отдельная брошюра посвящена определенной теме и включает теоретическую часть с выводом и анализом формул, практические примеры и задачи и их решение, а также вопросы для само- контроля, способствующие самостоятельному изучению предмета. Тема «Растяжение−сжатие» посвящена изучению деформации, которая часто встречается на практике. Здесь рассмотрены вопросы напряжений и деформаций и связь между ними, построение эпюр, расчеты на прочность и жесткость. Представлен широкий класс ста- тически неопределимых задач и методы их решения. Рассмотрены вопросы учета собственного веса, проектирование стержня равного сопротивления и ступенчатого стержня. В практической части предложено большое количество задач и их решение. Пособие может быть использовано студентами машинострои- тельных специальностей всех форм обучения в качестве литературы для изучения предмета и подготовки к экзаменам. Пособие также может быть полезным преподавателям, читающим соответствую- щие курсы, для подготовки лекций и практических занятий. 6 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 1. Общее определение. Внутренние усилия, напряжения и деформации при растяжении и сжатии В общем случае пространственного нагружения элемента в сече- нии возникает шесть внутренних усилий (рис. 1), которые опреде- ляются методом сечений и каждое из которых связано со своим ви- дом деформации: N – продольная сила, связанная с деформацией растяжения или сжатия; Qх и Qy – поперечные си- лы, связанные с деформацией сдвиг; Мх и Мy – изгибающие моменты, связанные с деформацией изгиб; Мz – крутящий момент, связанный с деформацией кручение. Если в сечении действует только одно внутреннее усилие, а остальные равны нулю, мы имеем дело с простейшей деформацией, и таких деформаций четыре: растяжение (сжатие), сдвиг, плоский изгиб и кручение. В данной теме будет изучаться первый случай нагружения, когда элемент испытывает только растяжение или сжатие вдоль геометрической оси, т. е. линии, проходящей через центры тяжести поперечных сечений. Центральным растяжением (сжатием) называется де- формация, вызываемая силами, результирующая которых проходит по геометрической оси стержня. В этом случае в сечении возникает продольная сила N, а все остальные внутренние усилия равны нулю. Прочность элементов при растяжении и сжатии может сильно отличаться, однако с точки зрения теории напряженного состояния эти деформации представляют собой единый вид – это линейное напряженное состояние. Поэтому в отношении применяемых фор- мул расчеты на сжатие не будут отличаться от расчетов на растяже- 7 ние. Но это допустимо при сжатии только жестких стержней. Ес- ли же сжатию подвергаются гибкие стержни, т. е. стержни большой длины с относительно малым поперечным сечением, то здесь при- меняются принципиально другие решения. Такие стержни при сжа- тии искривляются, т. е. теряют устойчивость, и их расчет требует совершенно иных формул и методик. 1.1. Продольные силы. Эпюра продольных сил Чаще всего растяжение или сжатие осуществляется силами, при- ложенными к концам стержня (рис. 2). Такой случай называется простым растяжением или сжатием. Величина продольной силы N, воз- никающей в поперечном сечении, определяется методом сечений и сос- тавлением уравнения равновесия для отсеченной части. В случае простого растяжения или сжатия во всех се- чениях стержня будут возникать оди- наковые силы N, равные внешней силе. При этом будем считать, что если си- ла N направлена от сечения – это растяжение и оно условно положи- тельно, если к сечению – это сжатие и оно условно отрицательно. Иногда на практике встречаются случаи, когда по оси стержня приложено несколько сил. Эти силы делят стержень на участки, границей участка является сечение, где приложена сила. В этом случае на каждом участке будет возникать своя продольная сила – N1, N2, N3 и т. д. Для оценки прочности стержня и установления наиболее нагруженного участка, необходимо знать характер изме- нения продольных сил вдоль его оси. Для этого методом сечений определяют продольные силы на каждом участке, а затем строят график, показывающий закон распределения продольных сил по длине стержня. Этот график называется эпюрой продольных сил. Понятие ЭПЮРА в данном учебном пособии вводится впервые и требует пояснения, так как при изучении различных видов дефор- 8 маций будет часто возникать необходимость в построении эпюр для различных параметров. Возвращаясь к деформации растяжения–сжатия, рассмотрим случай нагружения стержня и, используя метод сечений, построим эпюру продольных сил. Пример 1 Для стержня, закрепленного на опоре А и нагруженного на конце силой F (рис. 3), построить эпюру продольных сил. РЕШЕНИЕ ● В результате воздействия силы F на опоре А возникает реакция RА, которая из условия равновесия равна: :0Z FRA . ● Используя метод сечений, рассекаем стержень сечением 1−1, отбрасываем его левую часть, а для отсеченной части составляем уравнение равновесия и определяем N1: :0Z .0 11 FNNF ● Метод сечений позволяет отбрасывать любую часть стержня, но если рассматривать сечение со стороны заделки, то прежде необходимо определить реакцию RА. Для нашего случая RА = F, поэтому в сечении 2−2 будет возникать такая же продольная сила N2 = RА = F. Эпюра – это график, который показывает изменение ин- тересующего нас параметра (внутренние усилия, напря- жения, перемещения) по длине стержня или по его сече- нию. По сути, эпюра – это есть функция данного пара- метра по координате длины или сечения 9 ● Таким образом, при простом растяжении (сжатии) во всех сече- ниях возникает одинаковая продольная сила N, равная внешней силе F. ● По полученным результатам строим эпюру продольных сил. Эпюра строится на оси стержня. Положительное значение продоль- ной силы (растяжение) откладывается вверх, отрицательное (сжа- тие) – вниз с указанием на рисунке знака. Штриховку на эпюре сле- дует выполнять перпендикулярно к оси стержня, так как каждая линия в принятом масштабе является ординатой и показывает зна- чение силы N в данном сечении. Пример 2 Для стержня, закрепленного на опоре А и нагруженного систе- мой сил (рис. 4), построить эпюру продольных сил. РЕШЕНИЕ ● Стержень имеет два участка, границей участка является точка (сечение) приложения силы 5F. ● Определяем реакцию RА из условия равновесия стержня: :0Z 053 ARFF ; FRA 2 . Примечание. Определение реакции опоры необ- ходимо, если сечение предполага- ется брать от заделки. Это имеет смысл делать в случае, когда стержень состоит из нескольких участков. Тогда часть сечений удобно рассматривать, двигаясь с одной стороны, а часть – с дру- гой. ● Рассмотрим сечение 1−1 от свободного конца и левую часть стержня отбросим. Сечение следует брать в пределах участка меж- 10 ду двумя границами. Рассекать стержень прямо по границе нельзя! Составляем уравнение равновесия для отсеченной части: :0Z FNFN 303 11 (сжатие) . ● Сечение 2−2 проводим в пределах второго участка, по- прежнему рассматривая стержень от свободного конца. Составляем уравнение равновесия для отсеченной части: :0Z FNFFN 2035 22 (растяжение). ● Если сечение 2−2 брать от заделки, то было бы получено такое же значение для силы N2. Так как реакция RА нам известна, то из равновесия отсеченной части имеем: :0Z FRN A 22 (растяжение). Примечание. Если отсеченная часть стержня нагружена большим количеством сил и установить сразу правильное направление для силы N представляется сложным, ее следует направлять произвольно – к сечению или от него. Дальнейшее решение уравнения равновесия покажет: если сила N получена с положительным знаком, значит ее направление выбрано верно. Если с отрицательным знаком – ее следует перенаправить, зачеркнув неверное, а рядом показать правильное направление. И только теперь по правильному направлению продольной силы N устанавливать, растяжение или сжатие возникает на данном участке. ● Определив силы N на участках стержня, строим эпюру про- дольных сил. Скачок на эпюре продольных сил равен внешней си- ле, приложенной в этом сечении! 1.2. Напряжения. Эпюра напряжений Продольная сила, возникающая при растяжении (сжатии) и определяемая методом сечений, является величиной результирую- щей и представляет собой сумму всех сил, действующих в сечении. Однако для оценки прочности элемента недостаточно знать только значение результирующей, необходимо также знать, чему равны силы в каждой точке сечения и каков характер их распределения по сечению. Это позволит установить наиболее нагруженные точки, которые могут представлять опасность для прочности элемента. 11 Характеристикой интенсивности внутренних сил в сечении являет- ся напряжение. Чтобы установить, какие напряжения возникают в поперечных сечениях стержня при растяжении (сжатии), и определить характер их распределения, выполним простой эксперимент (рис. 5). На по- верхность призматического стержня нанесем сетку линий и приложим к нему на конце растягивающую силу F (рис. 5, а). Качественный анализ изменения этой сетки поз- волит ответить на вопрос о возникающих напряжениях и вывести формулу для их рас- чета. Сразу отметим, что все рассуждения и выводы от- носительно напряжений яв- ляются справедливыми как для растяжения, так и для сжатия. Поэтому расчет эле- ментов в отношении приме- няемых формул в обоих случаях будет одинаков, хотя их проч- ность при растяжении и сжатии бывает весьма отличной. Итак, по результатам изменения линий, нанесенных на поверх- ность (рис. 5, б), можно сделать следующие наблюдения и выводы: ► Продольные линии остаются прямыми, и это говорит о том, что поперечные сечения стержня при его растяжении не сдвигаются друг относительно друга (в противном случае продольная линия превратилась бы в ломаную линию). А так как деформация сдвига отсутствует, значит, в поперечных сечениях напряжения τ = 0. ► Поперечные линии, которые, по сути, являются периметрами сечений, также остаются прямыми. А это значит, что при растяже- нии стержня поперечные сечения остаются плоскими. Следова- тельно, гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли), которая для многих случаев деформирования принимается как допущение, при растяжении (сжатии) является реальным фактом. ► Так как расстояния между поперечными линиями (сечения- ми) увеличились (сечение АВ переместилось в положение А1В1), значит, здесь имеет место перемещение частиц вдоль оси, а такое а б в 12 перемещение могут вызвать только силы, перпендикулярные к се- чению. Такой силой в каждой точке сечения является нормальное напряжение σ. Следовательно, при растяжении и сжатии в попереч- ных сечениях действуют нормальные напряжения σ ≠ 0. ► Так как поперечные линии остаются горизонтальными и пер- пендикулярными к оси стержня, значит, каждая точка сечения опускается на одинаковое расстояние, т. е. получает одинаковую продольную деформацию. Поскольку при упругом деформировании силы и деформации связаны между собой пропорционально, значит, при одинаковых продольных деформациях напряжения также будут одинаковыми. Следовательно, при растяжении−сжатии нормальные напряжения равномерно распределены по сечению и имеют во всех точках одинаковое значение σ = const (рис. 5, в). Однако следует знать, что предположение о равномерном рас- пределении напряжений по сечению является справедливым только для участков стержня, удаленных от мест его закрепления и мест приложения нагрузки, а также участков без резкого изменения его геометрической формы (без отверстий, вырезов, выточек и т.д.). Здесь, в указанных местах, распределение напряжений будет иметь иной характер и расчеты на прочность потребуют соответствующей корректировки. Однако на участках с плавно изменяющейся гео- метрической формой, и частях, удаленных от мест закрепления и приложения нагрузки, где согласно принципу Сен-Венана внутрен- ние силы не зависят от способа приложения сил, выводы, рассмот- ренные выше, будут справедливы и могут служить основой для дальнейшего вывода формул. Используя интегральную зависимость между продольной силой N и напряжением σ, выведем формулу для напряжений: AdAdAN AA σσσ , где А – площадь поперечного сечения. Отсюда получаем → A N σ . (1) В случае простого растяжения (сжатия), когда силы при- ложены только по концам стержня, продольная сила N = F и тогда формула (1) принимает вид: A F σ . 13 Таким образом: А далее, определив по формуле (1) напряжения на каждом участке, можно построить эпюру напряжений, которая покажет ха- рактер их изменения по длине стержня и позволит установить наиболее опасный участок. Пример 3 Для стержня из примера 2, имеющего постоянное сечение пло- щадью А (рис. 6), построить эпюру напряжений. РЕШЕНИЕ Участок 1: . Участок 2: . Примечание 1. Напряжения σ имеют тот же знак, что и продольная сила N. Примечание 2. Размерность напряжений – [МПа] = Н/мм2. Об этом следует помнить при решении задач, когда для получения правильного результата необхо- димо выполнять перевод единиц для всех входящих в формулу величин в соответствии с размерностью напряжения. При центральном растяжении или сжатии в поперечных сечениях стержня возникают равномерно распределенные нормальные напряжения, равные отношению продольной силы к площади поперечного сечения. A F A N FN 2 σ 2 2 1 2 A F A N FN 3 σ 3 1 1 1 14 1.3. Расчеты на прочность при растяжении−сжатии Основной задачей при проектировании и расчете конструкции является обеспечение ее прочности и надежности на весь планиру- емый период эксплуатации. Конструкция считается прочной, если она способна в течение этого времени выдерживать рабочие напря- жения, возникающие в результате ее работы. Напряжения, при ко- торых конструкция теряет свою работоспособность и уже не может использоваться по назначению, называются предельными. При этих напряжениях элементы конструкции либо разрушаются, либо полу- чают необратимые повреждения – трещины, большие остаточные деформации и др. изменения, которые делают ее непригодной для дальнейшего использования. Таким предельным напряжением для хрупких материалов явля- ется предел прочности или временное сопротивление вσ – напря- жение, при котором происходит разрушение материала. Пластич- ные же материалы, прежде чем разрушиться (а их можно довести до разрушения только при растяжении, при сжатии их разрушить не- возможно), сначала получают заметные пластические деформации, которые также могут быть причиной нарушения работоспособности конструкции, так как приводят к необратимому изменению разме- ров и формы детали. Поэтому для пластичных материалов предель- ным напряжением является предел текучести тσ – напряжение, при котором в материале начинают интенсивно накапливаться остаточ- ные (пластические) деформации. Предельные напряжения для мате- риалов определяют опытным путем в результате испытаний на рас- тяжение, сжатие и др. виды нагружения. Однако следует помнить, что экспериментальное определение механических характеристик в силу приближенности методик рас- чета и эксперимента не является точным, а реальные условия рабо- ты элемента могут отличаться от условий испытания образца. Кро- ме того, при работе конструкции всегда возникают факторы, кото- рые могут способствовать снижению ее прочности, но которые в силу случайности характера невозможно предварительно учесть и предусмотреть. Поэтому, чтобы безопасность работы конструкции была обеспечена, она должна быть спроектирована таким образом, 15 чтобы напряжения не только не достигали предельных значений, но даже в некоторое число раз были бы ниже этих величин. Для этого при проектировании элементов конструкций для рас- четных напряжений устанавливают некоторый максимально допу- стимый предел значения, который является безопасным для данного материала и который не приведет к разрушению или появлению больших пластических деформаций. Такой наибольший предел зна- чения называется допускаемым напряжением и обозначается [σ]. Значение допускаемого напряжения определяют путем деления предельного напряжения ( вσ − для хрупких материалов или тσ – для пла- стичных) на величину n, называемую коэффициентом запаса прочности: . Выбор коэффициента запаса прочности и допускаемого напря- жения является очень важным и ответственным вопросом и его решение зависит от того, насколько точно могут быть определены условия работы конструкции. Чем ниже эта точность, тем больший запас прочности следует давать при установлении допускаемых напряжений. Более подробно эти вопросы будут рассмотрены в дальнейших темах нашего курса. Возвращаемся к деформации растяжения−сжатия. Определив напряжения в опасном сечении растянутого (сжатого) стержня по формуле (1) и установив допускаемое напряжение на основании вышесказанного, можно произвести оценку прочности элемента, сопоставив фактические напряжения в опасном сечении с допуска- емым напряжением: . (2) Формулу (2) называют условием прочности при растяжении (сжатии) и она служит основной формулой для выполнения про- верочных и проектировочных расчетов на прочность. Используя условие прочности (2), можно решать три типа задач:  По известной схеме нагружения элемента, заданным разме- рам и материалу определяют, обеспечена или не обеспечена проч- ность при данных условиях работы (проверочный расчет): σσ A N ; σ σ в n n тσσ 16  По известным нагрузкам для выбранного материала рассчи- тывают размеры поперечного сечения, которые обеспечат проч- ность элемента (проектировочный расчет): . σ N A  По известным размерам детали, материалу и схеме нагруже- ния определяют ее грузоподъемность, т.е. какую наибольшую нагрузку она может выдержать без опасности разрушения или по- явления в ней больших пластических деформаций (проектировоч- ный расчет): По полученному значению Nmax затем определяют допускаемые внешние силы, которые можно безопасно приложить к элементу. 1.4. Деформации Как показывает опыт, при растяжении длина элемента увеличи- вается, а поперечный размер уменьшается. При сжатии – наоборот. Рассмотрим растяжение стержня (рис. 7) и введем определение деформаций: Абсолютные деформации ∆ℓ и ∆b имеют размерность длины, относительные деформации ε и ε* – величины безразмерные. Опыт показывает, что в пределах упругих деформаций между отно- сительной продольной ε и относительной поперечной ε* деформа- циями существует пропорциональная зависимость: .σmax AN . max A N 17 με*ε . (3) Коэффициент μ называется коэффициентом поперечной де- формации или коэффициентом Пуассона. Он является физиче- ской константой материала, характеризует его способность к попе- речной деформации, определяется экспериментально. Значение ко- эффициента Пуассона лежит в пределах 0 ≤ μ ≤ 0,5. Знак минус в формуле (3) означает, что продольная и поперечная деформации всегда противоположны по знаку: при растяжении продольный раз- мер увеличивается, а поперечный уменьшается. При сжатии – наоборот. Значения коэффициента Пуассона для некоторых матери- алов представлены в табл. 1. Таблица 1 1.5. Объемная деформация В некоторых задачах, решаемых при проектировании, требуется определить объемную деформацию элемента. Рассмотрим элемент на рис. 7 и предположим, что он имеет квадратное сечение: ● Его первоначальный объем равен: o 2 oo bV . ● После растяжения элемент принимает размеры, которые через относительные деформации можно привести к виду: .1*1* ;)1( oooooк ooooк bbbbbbb  ● Тогда новый объем элемента равен: Материал μ Материал μ Сталь 0,25–0,33 Цинк 0,21 Медь 0,31–0,34 Камень 0,16–0,34 Бронза 0,32–0,35 Бетон 0,08–0,18 Чугун 0,23–0,27 Каучук 0,47 Свинец 0,45 Стекло 0,25 Латунь 0,32–0,42 Фанера 0,07 Алюминий 0,32–0,36 Пробка 0,00 18 ,)μ21(ε1)εμμε2εεμμε21( )ε1()με1()ε1()με1( o 32222 o 2 o 2 oo 2 oк 2 кк VV bbbV  где величинами малого порядка можно пренебречь. ● Тогда абсолютная ∆V и относительная vε объемные дефор- мации соответственно равны: )μ21(ε)μ21(ε1 ooooк VVVVVV ; )μ21(εε oV V v ; )μ21(εε)μ21(εo vVV . (4) Как видно из формул (4), у материалов, коэффициент Пуассона которых близок к 0,5 (резины, каучуки, полиуретаны и др. эласто- меры), объемная деформация равна нулю. И хотя эти материалы являются твердыми и часто используются как конструкционные материалы, при деформировании они ведут себя как высоковязкие жидкости. Деформируясь, они не изменяют объем элемента, поэто- му их называют несжимаемыми. 1.6. Связь между напряжениями и деформациями. Закон Гука Для подавляющего большинства материалов, как показывает опыт, в пределах малых удлинений (укорочений) между относи- тельной продольной деформацией и напряжением существует про- порциональная зависимость, которая выражает основной закон ме- ханики материалов и называется законом Гука. При растяжении и сжатии закон Гука формулируется следующим образом: а математическая запись имеет вид . (5) Относительная продольная деформация прямо пропорцио- нальна нормальному напряжению. E σ ε 19 Эта пропорциональность нарушается, когда напряжения перехо- дят некоторую границу, называемую пределом пропорционально- сти σпц, которую определяют опытным путем. Однако элементы конструкций проектируются таким образом, что напряжения не вы- ходят за этот предел, а деформации, возникающие под нагрузкой, являются только упругими, а значит, бесконечно малыми. В этом случае закон Гука справедлив и может использоваться при расчетах. Коэффициент Е, входящий в формулу (5), называется модулем продольной упругости первого рода или модулем Юнга. Он явля- ется механической константой материала, характеризует его жест- кость, т. е. способность сопротивляться деформированию, определяется опытным путем. Как видно из формулы (5), модуль Юнга имеет размерность напряжения [МПа]. Значения модуля Юнга для неко- торых материалов представлены в табл. 2. Таблица 2 Заменив в формуле (5) значения σ = N/А и ε = ∆ℓ/ℓ, можно полу- чить другое выражение закона Гука при растяжении−сжатии: EA N  , (6) где ЕА – жесткость сечения, а С = ЕА/ℓ − жесткость всего элемента при растяжении−сжатии. Следует обратить внимание, что жест- кость элемента не зависит от величины и способа приложения нагрузки, она зависит только от геометрии элемента и механиче- ских свойств материала. Как видно из формулы (6), чем выше жест- кость элемента, тем меньшие деформации он получает, а, следова- тельно, и напряжения также будут меньше. Поэтому увеличение жесткости является одним из способов повышения прочности эле- Материал Е, МПа Материал Е, МПа Сталь 2·105 ÷ 2,2·105 Титан 1,1·105 Медь 1·105 Латунь 1·105 Чугун 0,75·105 ÷ 1,6·105 Текстолит 1·104 Бронза 1,2·105 Древесина 1·104 Алюминий 0,675·105 Стеклопластик 6·104 Дюралюминий 0,7·105 Углепластик 1,9·105 20 мента. Однако это справедливо только в условиях статического нагружения. Закон Гука, выражаемый формулой (6), позволяет определять изменение длины элемента в случае простого растяжения-сжатия, когда N = F, или его участков, если к стержню приложено несколь- ко сил. Определив продольную деформацию каждого участка, мож- но построить эпюру перемещений. Пример 4 Для стержня, рассмотренного в примере 2, построить эпюру пе- ремещений (рис. 8): РЕШЕНИЕ ● Определим изменение длины каждого участка: Участок 1: FN 31 (сжатие) EA F EA N   31 1 . Участок 2: FN 22 (растяжение) EA F EA N   22 2 . ● Обозначим буквами границы участков и определим перемеще- ние этих границы, начиная от заделки: EA F EA F EA F EA F CBA     32 ; 2 ;0 122 . В определенном масштабе откладываем точки, соответствую- щие этим перемещениям, и соединяем их прямыми линиями. Каж- дая линия штриховки на эпюре указывает в выбранном масштабе величину перемещения данного сечения, а стрелки – направление перемещения. Эпюра перемещений наглядно показывает куда и насколько смещаются сечения и какие сечения не получают пере- мещения вовсе, как сечение m−m из рис. 8. 21 Если при растяжении или сжатии требуется определить полное изменение длины стержня от действия всех сил, то это можно сде- лать следующими способами: ► По эпюре перемещений – перемещение торцевого сечения соответствует полному изменению длины стержня; ► Как алгебраическую сумму изменений длин каждого участка: ....21полн ii ii i AE N   ► На основании принципа независимости действия сил – как алгебраическую сумму изменения длины стержня от каждой силы в отдельности: .... 21полн iFFF  Используя данные из примера 4, определим на основании вы- шеуказанного принципа полное изменение длины стержня: EA F EA F EA F FF   523 53полн , что соответствует результату на эпюре перемещений (рис. 8). Полученные формулы (5)−(6) для определения деформаций поз- воляют решать вопросы жесткости элемента. Так же как материал не способен выдерживать сколь угодно большие напряжения, он также не может выдерживать и бесконечно большие деформации. Кроме того, даже если деформации не являются разрушающими для элемента, превышение их сверх установленных норм является так- же недопустимым, так как это может нарушить работоспособность конструкции. Поэтому при проектировании элементов помимо во- просов прочности, которые, безусловно, являются главными и пер- востепенными, часто приходится решать вопросы жесткости, огра- ничивая деформации некоторым допустимым значением: . ; σ max max    EA N E (7) 22 Выражения (7) называют условием жесткости при растяже- нии (сжатии) и они являются основными формулами для расчетов на жесткость. 1.7. Потенциальная энергия деформации при растяжении–сжатии При нагружении упругого тела внешними силами эти силы со- вершают работу (А), которая затрачивается на деформирование элемента и приводит к накоплению в нем потенциальной энергии деформации (U). Причина этого явления заключается в том, что как только происходит смещение частиц от их первоначального поло- жения, в элементе возникают силы упругого сопротивления, кото- рые стремятся вернуть частицы в исходное состояние. Энергия этих сил и представляет собой потенциальную энергию деформации, за- пасенную упругим телом. При разгрузке элемента эта энергия вы- свобождается, и она способна совершить работу. Таким образом, упругое тело является аккумулятором энергии, и это свойство ши- роко используется на практике, например, в заводных пружинных часовых механизмах, в упругих амортизирующих элементах (пру- жины, рессоры) и т.д. Чтобы определить численное значение потенциальной энергии деформации, следует рассмотреть вопрос о работе внешних и внут- ренних сил. Внешние силы, деформируя тело, совершают работу на смещениях частиц из их исходного состояния. Внутренние силы упругости, возвращая частицы после разгрузки в начальное поло- жение, совершают работу на тех же перемещениях, но в обратном направлении. При статическом нагружении системы суммарная ра- бота внешних и внутренних сил равна нулю: 0внутвнеш АА . Это так называемый принцип начала возможных перемещений, являю- щийся базовым принципом механики. На основании закона сохра- нения энергии, если деформирование системы происходит статиче- ски, потенциальная энергия деформации численно равна работе внешних, а значит, и внутренних сил: .внутвнеш UAA 23 Знак «минус» здесь имеет чисто физический смысл: под дей- ствием внешней силы потенциальная энергия тела увеличивается, а внутренние силы, возвращая частицы в исходное положение и со- вершая работу на тех же перемещениях, но в обратном направле- нии, уменьшают потенциальную энергию, накопленную элементом. Если деформирование происходит за предел текучести, полную работу внешних сил можно рассматривать как сумму работ , затраченных на упругую и пластическую деформации: оступрполн ААA , так как пластические деформации всегда сопро- вождаются упругими, которые продолжают расти и накапливаться в материале. Это так называемый закон наличия упругой деформации при пластическом деформировании. Однако накопление энергии, способной после разгрузки совершить работу, происходит только на упругих деформациях, так как они являются обратимыми и энер- гия после их исчезновения может быть возвращена. Работа внешних сил, затраченная на пластическую деформацию необратима, она идет на увеличение внутренней энергии пластически деформиро- ванного тела, что проявляется, например, в повышении его темпе- ратуры, но эта энергия не накапливается и не способна совершить работу при разгрузке. Поэтому величина накопленной потенциаль- ной энергии даже при наличии пластических деформаций будет определяться только работой сил на упругих деформациях: UAупр . Определение потенциальной энергии деформации в механике материалов связано со многими важными расчетами. С помощью потенциальной энергии можно вычислять деформации и перемеще- ния узлов при сложном нагружении элементов, производить расчеты на прочность, решать статически неопределимые задачи и т.д. Все эти вопросы будут рассмотрены далее по мере изучения курса, а в настоящей теме мы определим потенциальную энергию деформа- ции при растяжении и сжатии. Рассмотрим растяжение стержня силой F (рис. 9). В результате продольной деформации сечение, где приложена сила, перемещает- ся и на этом перемещении сила совершает работу. Для определения этой работы рассмотрим график изменения силы при удлинении стержня на величину  . 24 Так как сила F не остается постоянной, возрастая от нуля до ко- нечного значения, то работа, затраченная на удлинение  , может быть определена интегрированием по элементарным участкам дан- ной диаграммы. Если на перемещении )( d сила совершает рабо- ту )(* dFdAF , а это площадь заштрихованной части диаграм- мы, то полная работа силы на перемещении  будет опреде- ляться суммой элементар- ных площадок, составля- ющих площадь треуголь- ника ОВС, и она численно равна потенциальной энер- гии деформации: . 2 упр F UA Так как в пределах уп- ругости между нагрузкой и деформацией существует пропорцио- нальная зависимость, называемая законом Гука, то заменив F = N и подставив сюда значение  (6), получаем полную потенциальную энергию упругой деформации при растяжении (сжатии): [Дж] . (8) Разделив эту энергию на объем образца AV0 , определим удельную потенциальную энергию деформации, т.е. энергию, приходящуюся на единицу объема: EA N AEA N V U u 2 11 2 2 22 0   → 2 εσ 2 σ2 E u . (9) EA N U 2 2 25 Анализ формулы (8) показывает: ► Так как продольная сила N здесь в квадрате, потенциальная энергия деформации всегда положительна. И при растяжении, и при сжатии она накапливается в элементе, т.е. под действием внешней силы она увеличивается, о чем было сказано выше. ► Количество потенциальной энергии, накопленной в элементе, не зависит от последовательности приложения сил (это никак не отражено в формуле), а зависит только от конечного значения силы. ► Потенциальная энергия, вызванная группой сил, не равна сум- ме потенциальных энергий от каждой силы в отдельности, т.е. определение потенциальной энергии не подчиняется принципу не- зависимости действия сил. На примере 5 (рис. 10) показано, какая в этом случае возникает погрешность. Пример 5 Для заданного стержня, нагруженного системой сил F1 и F2, определить количество потенциальной энергии деформации, накоп- ленной на участке АВ. РЕШЕНИЕ ● Определим потенциальную энергию деформации на участке от каждой продольной силы в отдедь- ности, соответственно равной 11 FNF и 22 FNF , т.е. по принципу независимости действия сил: . 222 )( 2 )( 2 2 2 1 22 21 EA F EA F EA N EA N U FF  ● Определим потенциальную энергию, накопленную на участке АВ, от суммарной продольной силы 21 FF NNN : EA FF EA F EA F EA FF EA NN EA N U FF  21 2 2 2 1 2 21 22 2222 )( 2 21 . Как показывают расчеты, результаты решения отличаются на величину третьего слагаемого, так как сумма квадратов не равна квадрату суммы. При этом первое решение дает заниженное значе- ние потенциальной энергии, что в дальнейшем повлечет за собой 26 неверные результаты по прочности и жесткости. Следовательно, принцип независимости действия сил здесь неприменим. 2. Статически неопределимые системы при растяжении и сжатии Среди существующих конструкций в машиностроительной и строительной практике значительное место занимают системы, ко- торые называют статически неопределимыми. Эти конструкции для своих расчетов требуют особых методик и подходов и в эконо- мическом отношении являются более дорогостоящими. Однако с технической точки зрения статически неопределимые системы об- ладают целым рядом достоинств и преимуществ, которые полно- стью оправдывают их применение и стоимость. Для того чтобы дать определение, что такое статически неопре- делимая конструкция и каковы особенности ее расчета, установим понятие статической определимости системы. 2.1. Статически определимые системы 27 Примеры статически определимых конструкций представлены на рис. 11. Как видно из рис. 11, все неизвестные силы – реакции опор и внутренние продольные усилия 1N и 2N – можно опреде- лить только с помощью уравнений равновесия. 2.2. Статически неопределимые системы и их решение Система называется статически неопределимой, если ре- акции опор и внутренние усилия в элементах не могут быть определены с помощью одних только уравнений равновесия Примеры таких конструкций представлены на рис. 12. Все ста- тически неопределимые системы наделены дополнительными или Система называется статически определимой, если реак- ции опор и внутренние усилия в элементах могут быть определены с помощью одних только уравнений равновесия 28 так называемыми «лишними» связями в виде закреплений, подпо- рок, стержней и других элементов. Эти связи называют лишними, так как они не являются необходимыми для обеспечения равнове- сия системы и ее кинематической неподвижности, однако они предусмотрены условиями эксплуатации и служат для повышения прочности и жесткости конструкции, о чем будет рассказано ниже. Как видно из рис. 12, в статически неопределимых конструкциях из-за наличия лишних связей число неизвестных сил, подлежащих определению, больше, чем число уравнений равновесия, которые можно составить для системы. Разница между числом уравнений равновесия и числом неизвестных называется степенью статиче- ской неопределимости, которая, по сути, и определяется количе- ством лишних связей. Все системы, представленные на рис. 12, яв- ляются один раз статически неопределимыми. Для решения статически неопределимых задач существует не- сколько способов, известных в практике расчетов как метод сил, метод деформаций, метод, основанный на принципе наименьшей работы, и т.д. Выбор метода определяется геометрией и условиями работы конструкции, видом наложенных связей, удобством приме- нения и требуемой точностью расчетов. Рассмотрим некоторые из этих способов. 2.2.1. Метод деформаций Этот метод является наиболее удобным для систем, элементы которых работают на растяжение и сжатие. Сущность его заключа- ется в следующем. Так как для определения неизвестных сил уравнений равновесия недостаточно, к решению привлекаются дополнительные уравне- ния, число которых должно соответствовать степени статической неопределимости задачи. Эти уравнения получают из рассмотрения системы в деформированном состоянии и установления связи меж- ду деформациями и перемещениями отдельных ее частей. Для каж- дой конструкции они имеет свой вид, и называются уравнениями перемещений или уравнениями совместности (неразрывности) де- формаций. Связующим звеном между рассмотренными деформаци- ями и усилиями, входящими в уравнения равновесия, выступает закон Гука. Таким образом, решение задачи обеспечивается сов- 29 местным рассмотрением трех ее сторон − статической, геометри- ческой и физической: ► Статическая сторона. Для конструкции составляются урав- нения равновесия, и устанавливается степень ее статической неопределимости; ► Геометрическая сторона. Конструкция рассматривается в де- формированном состоянии и устанавливается связь между дефор- мациями ее элементов, т.е. составляется уравнение перемещений, которое отражает характер деформации системы; ► Физическая сторона. Это закон Гука, который связывает уси- лия, входящие в статическую сторону, и деформации, входящие в уравнение перемещений. Рассмотрим несколько примеров раскрытия статической неопределимости методом деформаций. Пример 6 Для ступенчатого стержня (рис. 13), жестко защемленного с двух сторон, определить реакции опор и продольные силы на участках. РЕШЕНИЕ: ● Под действием силы F стержень, деформируясь, воздействует на опоры, возникают две реакции опор. Раскрываем статическую неопределимость и определяем реакции RА и RВ : Статическая сторона (рис. 13а) → 0:0 FRRZ BA (1) 30 Примечание. Следует отметить, что направление реакций RА и RВ в начале задачи можно выбирать произвольно. Дальнейшее решение укажет правильное их направление: если в результате решения реакции получились положи- тельными, следовательно, их направление было выбрано верно, если от- рицательными – их направление следует изменить на противоположное и в дальнейших расчетах принимать со знаком плюс. Геометрическая сторона (рис. 13, б) → Для геометрической стороны мысленно отбрасываем опору В и заменяем ее действие силой RВ. Так как в действительности стер- жень закреплен между двумя жесткими плитами, то полное измене- ние его длины должно быть равно нулю. На основании принципа независимости действия сил полн может быть определено как ал- гебраическая сумма изменений длины от каждой силы в отдельности: (2) Физическая сторона → На основании закона Гука каждое слагаемое в выражении (2) можно определить как: (3) Решаем совместно три стороны задачи. Подставляем (3) → (2): 0 22 2 11 1 11 1 полн AEAE R AE F B   и отсюда получаем − 22 11 1 21 AE AE F RB   → (1) → 11 22 2 11 AE AE F RA   . Статическая неопределимость задачи раскрыта (рис. 13, в). .0полн BRF  .; 22 2 11 1 11 1 AE R AE R AE F BB RF B     31 BRF полн ● Определив реакции опор, далее методом сечений (рис. 13, г) находим продольные силы N1 и N2 на участках стержня. А зная про- дольные силы, можно определять напряжения и деформации и ре- шать вопросы прочности и жесткости стержня. Пример 7 Для ступенчатого стержня (рис. 14, а), уложенного между дву- мя плитами с зазором, определить реакции опор и продольные силы на участках. РЕШЕНИЕ: Под действием силы F стержень удлиняется, перекрывает зазор Δ и начинает воздействовать на опоры (рис. 14, б). Возникают реак- ции опор RА и RВ. Определяем эти реакции. Задача решается аналогично предыдущему примеру. Отличие заключается только в геометрической стороне (рис. 14, в). Так как стержень удлиниться больше, чем на величину зазора, не может, то полное изменение его длины равно: . А далее, записав на основании закона Гука (физическая сторона) деформации от каждой силы в отдельности и подставив в уравнение совместности деформаций, получаем: 32 22 2 11 1 11 1 полн AEAE R AE F B   → RВ → (1) → RА . Статическая неопределимость задачи раскрыта. Пример 8 Абсолютно жесткий брус АВ крепится на шарнирной опоре А и поддерживается двумя стержнями с заданными геометрическими размерами и материалом (рис. 15, а). Определить продольные силы и напряжения в стержнях 1 и 2. РЕШЕНИЕ ● Под действием силы F конец бруса В опускается, в результате чего стержни растягиваются и в них возникают силы N1 и N2. Статическая сторона → Используя метод сечений, рассекаем стержни 1 и 2, заменяем действие отброшенной части на оставшуюся силами N1 и N2, ука- зываем реакции на опоре А и со- ставляем уравнения равновесия для отсеченной части конструкции (рис. 15, б): 0:0 AHX 0:0 21 FNNRY A 022:0 21 aFaNaNM A FNN 22 21 . (1) Система один раз статически неопределима. Геометрическая сторона → Для составления уравнения перемещений представим, какую форму принимает конструкция после нагружения (рис. 15, в): брус АВ повернется на шарнирной опоре А, оставаясь прямым, а стержни растянутся на величину 1 и 2 соответственно. Учитывая, что 33 упругие деформации бесконечно малы, будем считать, что точки С и В получают строго вертикальное перемещение, направление ко- торого при такой форме конструкции будет совпадать с деформаци- ей стержней. Тогда из подобия треугольников имеем: ** ABBACC → aa 2 21  12 2  . (2) Физическая сторона → 22 22 2 11 11 1 AE N AE N     . (3) Решаем совместно три стороны задачи. Подставляем (3) → (2): 11 22 2 1 12 11 11 22 22 22 AE AE NN AE N AE N   . Объединяем полученное выражение с уравнением (1) и получа- ем систему двух уравнений с двумя неизвестными N1 и N2: 11 22 2 1 12 21 2 22 AE AE NN FNN   → 11 22 2 1 1 41 2 AE AE F N   22 11 1 2 2 4 4 AE AE F N   . ● Определив продольные силы в стержнях, можно из уравнений статики найти реакции на опоре А, а также решать любые вопросы прочности или жесткости стержней. Завершаем задачу определени- ем напряжений в стержнях: .σ;σ 2 2 2 1 1 1 A N A N Пример 9 Шарнирно-стержневая система состоит из трех стержней, со- единенных в шарнире D (рис. 16, а). Стержни 1 и 2 выполнены из одинакового материала, имеют одинаковую длину и площадь по- перечного сечения: Е1 = Е2, ℓ1 = ℓ2, А1 = А2. Данные для стержня 3: Е3, ℓ3, А3. Конструкция в шарнире D нагружена силой F. Определить усилия и напряжения в стержнях. РЕШЕНИЕ 34 ● Так как все три стержня имеют на концах шарнирные соедине- ния, то реакции опор RА, RВ и RС направлены вдоль осей этих стержней, и продольные силы, возникающие в них, равны этим ре- акциям. Определим усилия N1, N2 и N3. Статическая сторона → Методом сечений рассекаем стержни и рассматриваем равнове- сие узла D (рис. 16, б). Для плоской системы сил, пересекающихся в одной точке, можно составить два уравнения равновесия: 3121 0αsinαsin:0 NNNNX :0Y 0αcos2 31 FNN (1) Геометрическая сторона → Рассмотрим конструкцию в деформированном состоянии и уста- новим связь между удлинениями стержней 1 и 3 (рис. 16, в). Удли- нение стержня 3 определяется по опусканию точки D. Чтобы опре- делить, насколько удлинился стержень 1, следует через точку D провести дугу радиусом АD. Однако, учитывая, что деформации бесконечно малы, можно дугу заменить перпендикуляром, а угол α между стержнями считать неизменным. Тогда уравнение совмест- ности деформаций будет иметь вид: (2) Физическая сторона → αcos31  35 Учитывая, что αcos13  , на основании закона Гука имеем: αcos; 33 13 33 33 3 11 11 1 AE N AE N AE N     (3) Решаем совместно три стороны задачи. Подставляем (3 ) → (2): αcosαcos 2 33 11 31 2 33 13 11 11 AE AE NN AE N AE N  . Объединяем полученное выражение с уравнением (1) и получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными N1 и N3: FNN AE AE NN 31 2 33 11 31 αcos2 αcos → отсюда получаем → ● Определив продольные силы, можно определить напряжения в стержнях и их деформации, а также реакции опор, равные этим продольным силам. Определение реакций опор необходимо в том случае, если, например, объектом расчета является конструкция опоры. Представленный выше метод деформаций для раскрытия стати- ческой неопределимости является удобным для многих конструк- ций и простым по методике расчета. Однако в силу приближенно- сти деформационных схем, которые рассматриваются в геометриче- ской стороне, а также часто несоответствия напряженного (силового) состояния деформированному состоянию данный метод не является точным и для более сложных конструкций может при- водить к ошибочному результату. В этом случае используют другие методы решения, как например, метод сил или энергетический ме- тод, основанный на принципе наименьшей работы. 11 333 2 21 αcos2 αcos AE AE F NN 1αcos2 3 33 11 3 AE AE F N 36 2.2.2. Метод сил Сущность метода сил заключается в следующем. Так как кон- струкция наделена «лишними» связями в виде опор, закреплений и т.д., эти лишние связи следует отбросить, в результате чего кон- струкция становится статически определимой. Она называется ос- новной системой. При этом, отбрасывая лишние связи и выбирая основную систему, необходимо следить за тем, чтобы конструкция не потеряла свою кинематическую неподвижность и сохраняла рав- новесие при любом нагружении. А далее, приложив в направлении отброшенной связи силу Х (пока неизвестную), следует задать условие по перемещению точки приложения этой силы. Решая по- лученное уравнение, определяем силу Х, которая обеспечивает за- данное перемещение и которая, по сути, представляет собой ранее отброшенную лишнюю связь. Так как раскрытие статической неопределимости сводится к нахождению силы, поэтому метод и называется методом сил. Рассмотрим его на примере. Пример 10 Абсолютно жесткий брус АВ подвешен на трех стрежнях и нагружается силой F, как показано на рис. 17, а. Для крайних стержней 3311 AEAE , для среднего − Е2А2. Определить усилия в стержнях. РЕШЕНИЕ ● Выбираем основную систему, для чего от заданной конструк- ции следует отбросить одну лишнюю связь. В качестве лишней свя- зи может выступать любой из стержней данной системы. Однако а б в г д 37 для симметричных конструкций наиболее рациональным будет вы- бор основной системы также симметричной. Поэтому за лишнюю связь принимаем стержень 2 и отбрасываем его. Чтобы условия ра- боты основной системы полностью соответствовали условиям рабо- ты заданной конструкции, загружаем ее силой F, а в направлении отброшенной связи прикладываем силу Х – силу взаимодействия между брусом АВ и отброшенным стержнем 2 в точке их соедине- ния Получаем эквивалентную систему (рис. 17, б). ● А далее, задаем условие перемещений, которое заключается в том, что вертикальное перемещение точки С в эквивалентной си- стеме равно удлинению стержня 2 (рис. 17, в): (1) ● Однако с другой стороны, перемещение точки С является ре- зультатом совместного действия сил F и Х и, согласно принципу независимости действия сил, может быть определено как: (2) ● Для определения перемещений )(FC и )( XC прикладываем к конструкции поочередно силы F (рис. 17г) и Х (рис. 17д). В силу симметрии конструкции они поровну распределяются между стержнями и вызывают равные продольные силы. Тогда (3) ● Объединяем выражения (1)−(3) и получаем: 221111 2 22 AE X AE X AE F  → 22 11 2 41 AE AE F NX )()( XCFCC 22 2 2 AE X C   1111 31)(31 1111 31)(31 2 5,0 5,0 2 5,0 5,0 AE X AE X XNN AE F AE F FNN XC FC     38 ● Тогда результирующая в точке С от совместного действия сил определится как (F – X), а продольные силы в крайних стержнях будут соответственно равны: Статическая неопределимость раскрыта. Пример 11 Стержень АВ, нагруженный силой F, защемлен одним концом, а другим опирается на пружину ВС (рис. 18, а) с коэффициентом по- датливости δ (это осадка пружины под действием силы, равной единице, например, 1 кН). Определить усилия и напряжения на участках стержня. РЕШЕНИЕ: ● Принимаем в качестве лишней связи пружину ВС, отбрасываем ее и получаем основную систему. Чтобы условия работы основной системы соответствовали условиям работы конструкции, загружаем ее силой F, а в направлении отбро- шенной связи прикладываем си- лу X – силу взаимодействия между стержнем и пружиной (рис. 18, б). Эта же сила X сжимает и пружину (рис. 18, в). ● Задаем условие по перемещению, которое заключается в том, что сечение В переместится вниз настолько, насколько сожмется пружина ВС: (1) ● С другой стороны, опускание сечения В является результатом совместного действия сил F и X на стержень АВ: )()( XBFBB EA X EA F EA X EA F  2 2/ . (2) XB пруж 11 22 31 4 2 2 )( AE AE FXF NN 39 ● Объединяем выражения (1) и (2) и получаем: Статическая неопределимость раскрыта ● А далее, методом сечений определяем продольные силы на участках стержня е)(растяжении(сжатие) верхнижн XFNХN и производим расчеты на прочность. Итак, рассмотренный выше метод сил, основанный на определе- нии отброшенных связей, не требует построения деформационных схем, которые для некоторых конструкций могут представлять сложную геометрическую задачу и в силу приближенности не дают точного результата. В этом отношении метод сил является более точным, однако он также требует рассмотрения условий по пере- мещениям и в зависимости от формы конструкции и выбранной ос- новной системы может являться задачей весьма трудоемкой. Пол- ностью свободным от этих недостатков, требующих привлечение деформаций к раскрытию статической неопределимости, является метод, основанный на принципе наименьшей работы. Этот метод удобен и компактен, хотя и он имеет ограничения и не всегда может быть использован при решении некоторых статически неопредели- мых задач. 2.2.3. Энергетический метод (принцип наименьшей работы) Метод определения лишних связей в статически неопределимых системах исходя из минимума потенциальной энергии был предло- жен Менабреа в 1857 г. и получил название «принцип наименьшей работы». В применении к деформированным телам этот метод ос- нован на том, что «из всех возможных состояний равновесию си- стемы, подверженной воздействию внешних сил, соответствует то, при котором полная энергия деформации системы принимает наименьшее значение» (Пуассон, 1833 г.). Рассмотрим этот метод на примерах.  EA F X δ 12 X EA X EA F δ 2  40 е)(растяжени2 02:0 )(1 )(1 FN aFaNM F FA сжатие)(2 02:0 )(1 )(1 XN aXaNM X XA Пример 12 Жесткая конструкция АВ, закреплен- ная шарнирно на опоре А и поддерживае- мая двумя стержнями, нагружена силой F, как показано на рис. 19. Размеры и жест- кость стержней указаны на рисунке. Определить усилия в стержнях. РЕШЕНИЕ ● Конструкция один раз статически неопределима. Принимаем в качестве лишней связи стержень 2, отсекаем его от системы и заменяем его действие си- лой Х – силой взаимодействия между стержнем и отсеченной частью кон- струкции в точке В. Эта же сила растяги- вает стержень 2 (рис. 19, а). ● В результате отбрасывания лишней связи конструкция стала статически опре- делимой и это дает возможность опреде- лить продольную силу в стержне 1 с по- мощью уравнения равновесия. Находим это значение, прикладывая поочередно к конструкции силы F и Х (рис. 19 б, в): (1) (2) ● Полная величина N1 определится как алгебраическая сумма продольных сил от действия каждой силы F и Х в отдельно- сти. Тогда на основании (1) и (2) получа- ем: . (3) )22()(1)(11 XFNNN XF 41 ● Так как стержень 2 растягивается силой Х, то XN2 . ● Используя формулу (8), определяем потенциальную энергию деформации, накопленную в обоих стержнях системы: ● Определяем силу Х из условия минимума потенциальной энер- гии деформации: :0 X U 048 FX FXFN FNX )(2 5,0 1 2 . Пример 13 Конструкция, состоящая из трех стержней указанной длины с одинаковой жесткостью сечения ЕА, нагружена силой F, как пока- зано на рис. 20. Определить усилия в стержнях. РЕШЕНИЕ ● Принимаем в качестве лишней связи стержень 3, отсекаем его и заменяем его действие на оставшуюся часть конструкции силой Х. Эта же сила Х растягивает и сам стержень 3 (рис. 20, а). ● При отсутствии стержня 3 система становится статически определимой и это позволяет определить усилия в стержнях 1 и 2 с помощью уравнений равновесия. ● Рассматриваем равновесие узла и определяем продольные уси- лия в стержнях от каждой силы F и X в отдельности (рис. 20, б, в): .442 2 2 2 )22( 22 2 )2(2 222 22 2 2 1 XFXF EA X XF EAEA N EA N U  42 0:0 )(1 FNX FNY F )(2:0 (растяжение) 025sin:0 )(1 o XNXХ → XN X 423,0)(1 (растяжение) 025cos:0 )(2 o XNXY → (сжатие) ● Полные усилия в стержнях от действия сил F и X с учетом вида деформаций равны: ● Определяем по формуле (8) потенциальную энергию деформа- ции, накопленную в во всех стержнях системы: ● Определяем значение силы Х из условия минимума потенци- альной энергии деформации: 0 X U : 0812,12,4 FX FN FN FNX 182,0 609,0 431,0 1 2 3 . Статическая неопределимость раскрыта. Таким образом, рассмотрены три способа раскрытия статической неопределимости. Основными критериями при выборе того или ино- го метода для заданной статически неопределимой системы является простота решения и необходимая точность получаемых результатов. 2.3. Сравнительный анализ статически определимых и статически неопределимых систем ).1,2812,1( 2 1,1)906,0()423,0( 22 1,1 22 22 222 2 3 2 2 2 1 XXFF EA XXFX EAEA N EA N EA N U   . ;906,0 ;423,0 3 )(2)(22 )(1)(11 XN XFNNN XNNN XF XF XN X 906,0)(2 43 В данном вопросе мы рассмотрим статически определимые и статически неопределимые конструкции с технической точки зре- ния и проведем сравнительный анализ относительно их преиму- ществ и недостатков, их экономической стоимости и целесообраз- ности. Рассмотрим вопрос на примере конструкций, представлен- ных на рис. 21 а, б. Статически определимые системы (рис. 21, а) ► Продольные силы, возникающие в элементах статически определимых конструкций, не зависят от размеров этих элементов и механических свойств материалов, из которых они изготовлены. Они зависят только от внешней нагрузки и при заданной силе F мо- гут принимать одно единственное значение, удовлетворяющее условию равновесия системы. Снижение внутренних сил, если того требует прочность конструкции, возможно только путем уменьшения внешней рабочей нагрузки. В этом отношении статически определимые системы однозначны и не дают вариантов для изменения внутренних сил путем варьи- рования жесткостями элементов, что ограни- чивает возможности при конструировании. ► Напряжения в элементах таких систем также являются независимыми и определя- ются только величиной продольной силы и площадью сечения данного конкретного элемента. А это означает, что для каждого стержня, входящего в систему, можно подо- брать такой размер сечения, при котором максимальные напряжения в нем будут до- стигать наибольшего значения, допускаемого для данного материала: Рис. 21, а 44 . σ σσ ; σ σσ 2 2 22 2 2 )2max( 1 1 11 1 1 )1max( N A A N N A A N Таким образом, статически определимую конструкцию можно сделать равнопрочной, обеспечив, тем самым, максимальное ис- пользование материала каждого элемента, т.е. полную его загрузку до максимально допустимых напряжений. В этом отношении стати- чески определимые конструкции являются наиболее рациональны- ми и экономичными. ► Деформации в элементах данных статически определимой конструкциях могут развиваться свободно, независимо от деформа- ций других элементов, и их величина определяются только соб- ственной жесткостью и действующими внутренними силами. Изме- нение размеров стержней происходит без нарушения их связи друг с другом, т. е. условие совместности деформаций здесь выполняется автоматически. Однако в случае возрастания нагрузки, если в одном из элементов возникает предельное состояние и напряжения дости- гают предела текучести, свободно развивающиеся деформации так- же увеличиваются, позволяя элементу «течь», что приводит к поте- ре работоспособности всей конструкции. В этом отношении стати- чески определимые системы являются чувствительными и не- способными сохранить прочность в указанных выше обстоятельствах. Статически неопределимые системы (рис. 21, б) ► Продольные силы в статически неопределимых конструкци- ях зависят не только от внешней нагрузки, но также от размеров элементов и материала, из которого они изготовлены. Эта зависи- мость от жесткостей элементов, а точнее от соотношения жестко- стей, дает значительное преимущество при конструировании таких систем. Задавая различные соотношения этих величин, можно по- лучить сколько угодно комбинаций усилий N1, N2, N3 и т.д. и все они будут удовлетворять уравнениям равновесия, т.е. любая комби- нация продольных сил не приведет к нарушению равновесия системы. 45 Важным свойством статически неопределимых систем является то, что элементы бóльшей жесткости всегда берут на себя бóль- шую долю нагрузки. Поэтому задаваясь различными соотношения- ми жесткостей, можно для одной и той же нагрузки осуществлять много вариантов распределения усилий между стержнями, разгружая одни и до- гружая другие элементы, что в результате позволяет выбрать наиболее рациональ- ную схему работы конструкции. ► Напряжения в статически неопре- делимых системах также зависят от соот- ношения жесткостей элементов. Но имен- но по этой причине систему нельзя сде- лать равнопрочной, т.е. обеспечить пол- ную загрузку элементов до максимально допустимых напряжений. Задав соотно- шение жесткостей и перераспределив уси- усилия в стержнях необходимым образом, подбор сечений осуществляют по наи- более нагруженному элементу. В этом случае только этот стержень будет за- гружен полностью с максимальным ис- пользованием его материала. Остальные элементы в большей или меньшей степени окажутся недогруженными. Но добиться равнопрочности такой конструкции не- возможно. Поясним вышесказанное на при- мере. Пример 14 Для конструкции, представленной на рис. 21б, считая, что все стержни выполнены из одинакового материала Е1 = Е2 = Е3 = Е и имеют [σ], определить продольные силы в стержнях и подобрать размеры их поперечного сечения. Принять o30α . Тогда Рис. 21, б 46 13,1 ; 3,1 75,0 3 1 3 1 3 21 A A F N A A F NN РЕШЕНИЕ Как видно из решения, представленного в таблице, изменяя со- отношение площадей сечений, можно перераспределять усилия в стержнях, разгружая или догружая их в зависимости от поставлен- ной задачи. Подберем сечения стержней для варианта 2 1 3 A A . Под- бор проводим по наиболее нагруженному стержню 3: σ 305,0 2σ 61,0 σ 61,0 σ 313 3 3 FA A F A A F Проверяем для подобранного сечения напряжения в стержне 1: σ75,0σ 305,0 23,023,0 σ 1 1 F F A F Стержень 1 загружен на 75 %. Соотношение жесткостей Продольные силы Напряжения 13 1 3 1 AA A A FN FN 43,0 33,0 3 1 3 3 1 1 43,0 σ; 33,0 σ A F A F 13 1 3 22 AA A A FN FN 61,0 23,0 3 1 3 3 1 1 61,0 σ; 23,0 σ A F A F 13 1 3 33 AA A A FN FN 69,0 17,0 3 1 3 3 1 1 69,0 σ; 17,0 σ A F A F 13 1 3 44 AA A A FN FN 76,0 14,0 3 1 3 3 1 1 76,0 σ; 14,0 σ A F A F Примечание. Для всех комбинаций продольных сил уравнения равнове- сия удовлетворяются полностью. 47 Таким образом, в силу указанных особенностей статически неопределимых систем принцип равнопрочности ее элементов не соблюдается, но это играет важную роль в увеличении несущей способности конструкции. В случае возрастания нагрузки, когда напряжения в наиболее нагруженном элементе достигнут предела текучести, остальные элементы, оставаясь «недогруженными», спо- собны сохранить конструкцию в рабочем состоянии. Чтобы исчер- пать ее несущую способность, потребуется увеличить нагрузку. Со- хранению работоспособности способствует также то, что дефор- мации в элементах не могут развиваться свободно, поэтому даже перенапряжение какого-либо элемента не вызовет в нем значитель- ных деформаций, представляющих опасность для ее работы. Кроме того, достижение напряжениями предела текучести в отдельных точках конструкции также не является опасным, даже с возрастани- ем нагрузки, и это связано со свойствами пластичного материала, способного выравнивать напряжения, приостанавливая рост одних и поднимая другие. Это тоже дает возможность в течение некоторо- го времени сохранить конструкцию в рабочем состоянии, пока ее несущая способность не будет полностью исчерпана. Таким обра- зом, внешняя неоднородность напряженного состояния, харак- терная для статически неопределимых систем, и внутренняя, обу- словленная свойствами пластичного материала, обеспечивают кон- струкции дополнительный запас прочности, который позволяет ей работать при большем нагружении, чем показывают расчеты по [σ]. Определение реальной грузоподъемности таких конструкций будет рассмотрено далее. Таким образом, сравнительный анализ показывает, что статиче- ски неопределимые системы во многих отношениях имеют пре- имущества, они полностью оправдывают свою стоимость, несмотря на перерасход материала, и целесообразность применения. 2.4. Некоторые свойства статически неопределимых систем Кроме рассмотренных выше свойств, статически неопредели- мые системы обладают еще целым рядом особенностей, которые заключаются в том, что в таких системах напряжения могут возни- кать не только от действия внешних сил, но также от изменения 48 температуры и при сборке конструкции в случае геометрической неточности изготовления ее элементов. Эти напряжения, суммиру- ясь с рабочими напряжениями, могут создавать опасность для прочности, поэтому умение их определять является крайне важным. Однако в то же время, возможность возникновение таких напряже- ний позволяет моделировать прочность конструкции на стадии про- ектирования, создавая в ней начальные напряжения необходимой величины и знака. Это позволяет разгружать конструкцию, повы- шая ее несущую способность, а также выравнивать напряжения по элементам, добиваясь ее равнопрочности. Рассмотрим эти вопросы. 2.4.1. Температурные напряжения Как известно из физики, нагрев или охлаждение элемента приводит к изменению его размеров – удлинению или укорочению соответственно. Если возникающие деформации происходят в не- стесненных условиях, то это не вызывает появления внутренних сил и напряжений. В случае, когда деформации элемента не могут раз- виваться свободно, и ограничены, например, опорой или другими элементами, возникают внутренние силы и напряжения, называе- мые температурными напряжениями. Следует понимать правиль- но, что температурные напряжения являются результатом не самого факта нагрева или охлаждения как такового, а результатом взаимо- действия элементов, не имеющих возможности свободно изменять свои размеры, поскольку внутреннюю силу может вызвать только внешняя сила. Рассмотрим, как влияет изменение температуры на состояние статически определимых и статически неопределимых систем. Статически определимые системы При нагреве статически определимого стержня (рис. 22) его длина увеличивается, и это удлинение можно определить по известной фор- муле из физики: oα tt  , 49 где α – коэффициент линейного расширения материала, град−1. Значения коэффициента линейного расширения α для некоторых материалов представлены в табл. 3. Таблица 3 Так как ничто не препятствует изменению длины стержня, в нем не будут возникать внутренние продольные силы. Таким обра- зом, в статически определимых системах деформации, вызванные действием температуры, не приводят к появлению внутренних сил и, следовательно, к возникновению температурных напряжений. Статически неопределимые системы В статически неопределимых системах изменение температуры всегда сопровождается появлением внутренних сил, и возникают они не от температуры непосредственно, а как было сказано выше, от взаимодействия элементов, стесняющих деформации друг друга. Рассмотрим определение температурных напряжений на примерах. Пример 15 В стержне (рис. 23), плотно уложенном между двумя жесткими плитами, определить температурные напряжения. РЕШЕНИЕ ● При нагревании стержня на Δt° в ре- зультате его стремления увеличить свою длину, он начинает давить на опоры, распирая их. Со стороны опор возникают реакции RA и RB (рис. 23а), сжимающие этот стержень. В результате такого воз- действия появляется продольная сила, и возникают температурные напряжения. Материал α, град−1 Материал α, град−1 Сталь 125·10−7 Алюминий 225·10−7 Медь 165·10−7 Никель 130·10−7 Бронза 175·10−7 Цинк 354·10−7 Чугун 104·10−7 Бетон (100−140)·10−7 50 ● Раскрываем статическую неопределимость, используя метод деформаций, и определяем реакции RA и RB: Статическая сторона (рис. 23, а) → 0:0 BA RRZ tBA RRR (1) Вследствие отсутствия других нагрузок на стержне, реакции будут равны между собой и равны силе Rt. Геометрическая сторона (рис. 23, б) → Отбрасываем опору В и заменяем ее действие силой Rt. Услови- ем перемещения является: 0полн 0полн tRt  (2) Физическая сторона → EA R t tR o t t   ;α (3) Решаем совместно (3) и (2): oo полн α0α tEAR EA R t t t .  Температурные напряжения можно определить как ARtt /σ : (10) Примечание. Формула (10) справедлива только при отсутствии другой внешней нагруз- ки и только для стержня, имеющего постоянное сечение и уложенного между плитами без зазора. В других случаях задачу следует решать с учетом всех действующих факторов (температуры, нагрузки и т.д.) од- ним из рассмотренных выше методов. При этом решение можно осу- ществлять двумя способами: 1. Одновременный учет всех факторов, что должно быть отражено в уравнении совместности деформации. Тогда полученные в результате расчета усилия и напряжения являются окончательными. 2. По принципу независимости действия сил, когда усилия и напряже- ния определяются от каждого фактора в отдельности, а затем для по- лучения окончательного результата алгебраически суммируются. oασ tEt 51 BRFt полн Пример 16 В ступенчатом стержне, подвергающемся одновременному воз- действию нагрева и силы F, определить продольные силы и напря- жения на участках (рис. 24). РЕШЕНИЕ ● В результате одновременного дей- ствия силы F и нагрева стержень удли- няется, перекрывает зазор и начинает воздействовать на опоры А и В, вызывая реакции опор (рис. 24, а): Статическая сторона (рис.24, а) → . (1) Геометрическая сторона (рис. 24, б) → полн . (2) Физическая сторона → . (3) Решаем совместно (2) и (3): ,)()(α 22 2 11 1 22 2 21полн AE R AE R AE F t BBo   откуда определяем реакцию RВ, а затем из (1) – реакцию RА.  Продольные силы и напряжения на участках будут соответ- ственно равны: BRN1 1 1 )1(σ A N t и ARN2 2 2 )2(σ A N t . Температурные напряжения, возникающие в конструкциях при температурных перепадах, могут быть очень значительными и да- же превышать допускаемые напряжения. Это необходимо учиты- 22 2 11 1 22 2 21 ;;)(α AE R AE R AE F t BBRF o t B     0BA RRF:0Z 52 вать при проектировании конструкций и расчет элементов произво- дить таким образом, чтобы либо температурные напряжения не возникали вовсе, либо их значения были невелики и не представля- ли опасности для прочности элементов. Это достигается особым укреплением концов, оставлением специальных температурных за- зоров (швов), как например, при укладке железнодорожных рельсов и т.д. Пример 17 Жесткий брус ВС опирается на опору А и поддерживается двумя стержнями (рис. 25). Данные для стержней: стержень 1 – ℓ1 = ℓ, А1 = А, Е1 = 2Е, α1 = α; стержень 2 – ℓ2 = 0,4ℓ, А2 = 4А, Е2 = Е, α2 = 1,3α. Определить температурные напряжения в стержнях при нагреве конструкции на Δt°. РЕШЕНИЕ ● В результате нагрева конструкции оба стержня стремятся уве- личить свою длину, однако из-за стесненности деформаций стерж- ни начинают воздействовать друг на друга, вызывая появление уси- лий и напряжений. Используем для раскрытия статической неопре- делимости метод деформаций. ● Так как в начале решения неизвестно, какие внутренние уси- лия – растягивающие или сжимающие – элементы вызывают друг в друге, то предположим, что в обоих стержнях возникают растяги- вающие силы N1 и N2. Знак продольных сил задается произвольно и выбирается из соображения более простого построения деформаци- 53 онной схемы. Дальнейшее решение позволит установить правиль- ное направление продольных сил и характер их действия. Статическая сторона (рис. 25, а) → 0230cos30sin:0 o2 o 1 aNaNM A (1) Геометрическая сторона (рис. 25, б) → o 1 o 2 o 1 Co 2 В 11 30sin 2 30cos30sin30cos где ,22 2  и a a AC AB ACCABB CB C B 21 29,0  (2) Физическая сторона → При рассмотрении деформаций в задачах на температурные напряжения следует помнить, что изменение длины элементов явля- ется результатом совместного действия двух факторов – темпе- ратуры и продольной силы и определяется как алгебраическая сум- ма свободного удлинения от нагрева (укорочения от охлаждения) и упругого удлинения (укорочения) от действия внутренней силы N: EA N t   oα . Здесь знак перед первым слагаемым соответствует нагреву (+) или охлаждению (–), а знак перед вторым слагаемым соответствует знаку продольной силы, возникающей в элементе. Так как в начале задачи было принято предположение о том, что в обоих стержнях возникают растягивающие силы (+N1 и +N2), то на основании этого деформации элементов определяются как: .1,052,0 4 4,0 4,03,1 ;5,0 2 2o2o 22 22o 222 1o1o 11 11o 111 EA N t AE N t AE N t EA N t EA N t AE N t             (3) 073,15,0 21 NN 54 Подставляем (3) → (2): )1,0α52,0(29,0)5,0α( 2o1o EA N t EA N t     , преобразовываем и совместно со статической стороной (1) получа- ем систему двух уравнений с двумя неизвестными N1 и N2: 073,15,0 α7,1058,0 21 o 21 NN tEANN → o 2 o 1 α48,0 α67,1 tEAN tEAN . Знак «минус» перед N1 указывает на то, что в действительности в стержне 1 будет действовать сжимающая продольная сила, т.е. де- формации в нем будут стеснены, а в стержне 2 – растягивающая. Статическая неопределимость раскрыта. ● Температурные напряжения в стержнях соответственно равны: ..)раст(α12,0 4 σ; сж.)(α67,1σ o2)2( o1 )1( tE A N tE A N tt Примечание. В случае изменения температуры только одного из стержней, в физиче- ской стороне задачи (3) следует указывать только второе слагаемое, т.е. изменение длины стержня от возникающей продольной силы. ● Свойство статически неопределимых систем, связанное с по- явлением внутренних усилий в элементах при изменении темпера- туры, позволяет путем создания различных температурных условий для конструкции управлять этими усилиями (а значит, и напряже- ниями), изменяя их необходимым образом. Так, для конструкции, рассмотренной в примере 17, нагрев только одного из стержней из- меняет внутренние усилия следующим образом: а) Нагревается только стержень 1: EA N EA N t   21o 1,029,05,0α 073,15,0 α058,0 21 o 21 NN tEANN → .)раст(α28,0 сжат.)(α98,0 o 2 o 1 tEAN tEAN . 55 б) Нагревается только стержень 2: )1,0α52,0(29,05,0 2o1 EA N t EA N    0N73,1N5,0 tEAα3,0N058,0N 21 o 21 → .)сжат(α09,0 .)(α29,0 2 1 o o tEAN растtEAN . Таким образом, изменение температурных условий позволяет перераспределять продольные силы и даже изменять их действие на противоположное, вызывая появление температурных напряжений соответствующего знака. Для конструкций, работающих под нагрузкой, надлежащим изменением температурного режима для элементов можно выровнять напряжения по конструкции, добив- шись ее равнопрочности. 2.4.2. Монтажные напряжения При изготовлении деталей машин и механизмов часто встреча- ется ситуация, когда элементы конструкций оказываются изготов- ленными неточно, т.е. с отклонением от проектного размера. В ре- зультате сборки такой конструкции происходит следующее. ► Если конструкция статически опре- делима, неточность изготовления деталей не потребует при сборке приложения дополни- тельных сил и, следовательно, не вызовет в элементах появление внутренних усилий и напряжений. Отклонение размеров элемен- тов от расчетных значений приведет лишь к незначительному нарушению формы кон- струкции (рис. 26), однако никак не повлияет на ее работу. При отсутствии рабочей силы усилия в стержнях будут равны нулю, незави- симо от того, с какой точностью они изготов- лены. Напряжения здесь будут возникать 56 только от действия рабочей нагрузки, определяться ее величиной и размерами сечений элементов. ► В статически неопределимой конструкции свободная сборка возможна только при очень точном изготовлении элементов. Если элементы выполнены с отклонением от проектных размеров, это потребует при сборке приложения сил, и как результат, приведет к появлению внутренних усилий и начальных напряжений, даже при отсутствии внешних воздействий на конструкцию. Рассмотрим пример определения монтажных напряжений. Пример 18 Жесткий брус АВ должен быть под- вешен на трех стержнях с жесткостями сечений 223311 Е и АAEAE . Однако средний стержень 2 оказался короче проектного размера на величину Δ (рис. 27, а). Определить монтажные напряжения в стержнях, возникающие при сборке конструкции. РЕШЕНИЕ: ● Для закрепления стержня 2 на брусе АВ его следует растянуть или предварительно нагреть, чтобы обес- печить необходимое удлинение. По- сле сборки конструкции в стержне 2 возникает растягивающая сила N2, а в крайних стержнях – сжимающие силы N1 и N3. Определим эти силы методом деформаций: Начальные напряжения, возникающие при сборке статически неопределимой конструкции в случае неточного изготовления ее элементов, называются монтажными напряжениями. 57 22 11 11 2 11 22 22 31 41 2 ; 4 AE AE AE N AE AE AE NN  Статическая сторона (рис. 27, б) → 3131 0:0 NNaNaNMC :0Z 02 12 NN (1) Геометрическая сторона (рис. 27в) → (2) Физическая сторона → 22 2 22 22 2 11 1 11 11 1 2 ; AE N AE N AE N AE N     , (3) где, учитывая, что неточность изготовления стержня 2 очень мала, принимаем его длину  2)2(2 . Подставляем (3) в (2) и совместно со статической стороной (1) получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными, решением которой являются искомые N1 и N2: . ● Монтажные напряжения будут соответственно равны: 1 1 31 σσ A N (сжатие) и 2 2 2σ A N (растяжение) . ● Если к данной конструкции в точке С приложить рабочую нагрузку, то усилия от этой нагрузки во всех стержнях будут растя- гивающими и равными значениям, которые были ранее рассчитаны в примере 10. Суммируя эти усилия с монтажными с учетом их зна- ка и принимая EAАAEAE 332211 Е , получаем:    5 2 44 2 11 22 22 11 22 1 EAF AE AE AE AE AE F N ; 02 2 12 22 2 11 1 NN AE N AE N  21  58    5 2 41 2 41 22 11 11 22 11 2 EAF AE AE AE AE AE F N . Суммарные напряжения в стержнях будут соответственно равны: A EAF A N A EAF A N     5 2 σ; 5 2 σ 22 1 1 . Как видно из вышеприведенных расчетов, для конструкций, ра- ботающих под нагрузкой, неточность изготовления элементов мо- жет быть успешно использована для перераспределения усилий между стержнями и выравнивания напряжений по конструкции в целом. Задавая для элемента необходимую величину зазора Δ, т.е. подбирая «ошибку» необходимым образом, можно искусственно регулировать усилия и напряжения в стержнях, создавая в них напряженное состояние, обратное тому, которое будет вызвано нагрузкой. На этом принципе основано широкое применение в тех- нике предварительно напряженных конструкций (например, тугие прессовые и горячие посадки, натяжение арматуры до затвердения бетона в железобетонном элементе и т.д.). Правильным выбором зазора за счет создания начальных напряжений можно даже добить- ся равнопрочности элементов под нагрузкой. Приравняем в рас- смотренном примере напряжения 21 σиσ и определим величину зазора Δ, обеспечивающую равенство напряжений в элементах кон- струкции: 2.5. Расчет статически неопределимых систем по предельному состоянию Основным способом расчета конструкций в механике материа- лов является расчет по допускаемым напряжениям. В основе этого расчета лежит предположение о том, что потеря работоспособности конструкции происходит в тот момент, когда напряжения в каком- либо элементе выходят за предел упругости и достигают опасных значений, соответствующих предельному состоянию материала. .33,0 EA F 59 Для пластичных материалов, которые чаще всего используются в машиностроении, предельным состоянием является текучесть, и достижение напряжениями предела текучести хотя бы в одной ка- кой-то точке считается опасным и недопустимым, так как предпо- лагается, что работоспособность конструкции тотчас нарушается. Работа элемента рассматривается возможной только в упругой об- ласти и появление текучести не допускается ни в каком его микро- объеме. Поэтому расчеты на прочность и, в частности, определение грузоподъемности конструкции, производят по допускаемому напряжению σ , определяемому путем уменьшения опасного напряжения в некоторое число раз n/σσ т , что обеспечивает возникновение в элементах исключительно упругих деформаций. Ограничив расчетные напряжения величиной σ , несущая способ- ность конструкции согласно данному способу определяется как: где F – допускаемая нагрузка, при которой напряжения ни в од- ной точке элемента не достигают предела текучести. Текучесть опасна и недопустима, так как ее появление считают эквивалентом разрушения конструкции. Однако, как показывает практика, опасность потери работоспо- собности конструкции в связи с возникновением в отдельных ее частях пластических деформаций не соответствует действительно- сти. Многие конструкции способны работать не только, когда теку- честь возникает в отдельных точках элемента, но даже тогда, когда пластической деформацией охвачена значительная часть его объе- ма. Несущая способность таких конструкций оказывается больше, чем это показывает расчет по допускаемым напряжениям. Рассчи- танные по допускаемым напряжениям, они работают с излишне большим запасом прочности, а это приводит к неоправданному пе- рерасходу материала. В чем заключается дополнительный запас прочности, который обеспечивает работоспособность конструкции даже в условиях по- явления текучести? ,σσσmax AF A F 60 Прежде всего, этот запас обусловлен свойствами самого пла- стичного материала, способного выравнивать напряжения по сече- нию, не допуская резкого их возрастания в отдельных точках до разрушающих значений. Механизм пластической деформации та- ков, что с увеличением нагрузки напряжения, достигшие в отдель- ных точках предела текучести, приостанавливают свой рост, ожи- дая, пока напряжения в остальных точках сечения «подрастут» до этой величины. Этот процесс не происходит мгновенно и обеспечи- вает конструкции дополнительное рабочее время. Разрушение эле- мента или эквивалентная ему излишне большая деформация про- изойдет только тогда, когда почти все точки опасного сечения ока- жутся в предельном состоянии. Именно эта внутренняя неоднородность напряженного состояния и обуславливает до- полнительный запас прочности, которым обладают пластичные ма- териалы. Поэтому для выявления истинной несущей способности конструкции расчет необходимо проводить с учетом не только упругих, но и пластических деформаций, которые позволяют реа- лизовать действительный запас прочности конструкции. Второй причиной дополнительного запаса прочности является статическая неопределимость конструкции, которую, как было рассмотрено выше, нельзя сделать равнопрочной, т.е. загрузить все элементы до максимально допустимых напряжений. А это значит, что при увеличении нагрузки первым предельного состояния до- стигнет самый нагруженный элемент, другие останутся «недогру- женными». Однако именно это и позволит сохранить конструкцию в рабочем состоянии, так как исчерпание несущей способности од- ного элемента не повлечет за собой исчерпание несущей способно- сти конструкции в целом. Таким образом, внешняя неоднород- ность напряженного состояния, характерная для статически неопределимых конструкций, также обуславливает для них допол- нительный запас прочности. Наличие дополнительного запаса прочности обеспечивает бóльшую грузоподъемность конструкции, поэтому наиболее рацио- нальным для нее с точки зрения расхода материала будет расчет не по допускаемым напряжениям, а по предельному состоянию, ко- торый по сравнению с упругим расчетом дает возможность выявить истинный запас ее прочности. Рассмотрим это на примере и прове- дем сравнительный анализ результатов расчетов. 61 Пример 19 Для конструкций, представленных на рис. 28 и 29, определить их несущую способность F . Расчет произвести по допускаемым напряжениям и предельному состоянию. Сравнить результаты. Статически определимые системы  Расчет по допускаемым напряжениям Так как элементы системы имеют одинаковое поперечное сече- ние, значит, при равных N напряжения в стержнях будут также одинаковы. Приравниваем их к σ и определяем допускаемую нагрузку F , обеспечивающую работу элементов в пределах упру- гих деформа- ций: αcosσ2AF . (1) Примечание. Если напряжения в элементах неодинаковы, то при расчете грузоподъемности конструкции к допускаемому напряжению следует приравнивать бóльшее из напряжений, т.е. σσmax .  Расчет по предельному состоянию Как было рассмотрено ранее, внутрен- ние усилия в статически определимых систе- мах не зависят от размеров элементов и ме- ханических свойств материала, а зависят только от силы F, приложенной к конструк- ции. Следовательно, и напряжения здесь, яв- ляясь независимыми для каждого элемента, будут также опреде- ляться этой силой и при определенном ее значении могут достигать предела текучести. При центральном растяжении и сжатии возник- новение напряжений, равных тσ , происходит одновременно во всех точках поперечного сечения наиболее нагруженного стержня и, если система статически определима, то исчерпание несущей способно- σ αcos2 σ )2(1 )2(1 A F A N 62 сти хотя бы одного поперечного сечения какого-либо стержня равно- сильно потере несущей способности всей конструкции в целом. Нагрузка, приводящая конструкцию к такому состоянию, называется предельной нагрузкой предF . Определим величину предельной нагрузки для кон- струкции, представленной на рис. 28: тпредт пред)2(1 )2(1 σαcos2σ α2cos σ АF A F A N . Однако для безопасной работы конструкции рабочая нагрузка должна быть рассчитана таким образом, чтобы она не только не достигала предельного значения, приводящего систему к аварийно- му состоянию, но и была меньше его с некоторым запасом. Поэтому для расчета грузоподъемности используют предельно допускаемую нагрузку предF , при которой элементы работают только в упругой стадии деформирования, не достигая состояния текучести. Опреде- ляют предельно допускаемую нагрузку предF делением предель- ной нагрузки предF на нормативный коэффициент запаса прочности « n », который устанавливается таким образом, чтобы напряжения во всех точках конструкции при действии предF были меньше предела текучести. И поскольку в пределах упругих деформаций в силу пропорциональности между усилиями и напряжениями коэф- фициент запаса прочности является одинаковым и по напряжениям, и по нагрузке, получаем: αcos n σ 2 n σαcos2 n ттпред пред A AF F αcosσ2пред AF . (2) Таким образом, как показывают результаты (1) и (2), расчет статически определимых систем на несущую способность кон- струкции по допускаемым напряжениям и предельному состоянию совпадает → предFF . Статически неопределимые системы Решение данной конструкции рассмотрено выше в примере 9 и на рис. 29 представлен случай, когда все стержни выполнены из одинакового материала и имеют одинаковое поперечное сечение: 63 EAAEAEAE 332211 .  Расчет по допускаемым напряжениям Наибольшая допускаемая нагрузка подбирается по наиболее нагруженному элементу, которым в данной конструкции является стержень 3 (N3 > N1 = N2): . (1) В результате этого под действием силы F только в среднем стержне напряжения будут равны допускаемым, а стержни 1 и 2 окажутся «недогруженными»: αcosσ )1αcos2( αcos σσ 2 3 2 1 21 A F A N .  Расчет по предельному состоянию Так как средний стержень нагружен больше, чем крайние, то по мере увеличения нагрузки в нем раньше, чем в других, напряжения достигнут предела текучести, что будет соответствовать продольной силе АNN тт3 σ , остальные стержни будут продолжать упруго сопротивляться дальнейшей деформации. При этом усилие в среднем стержне с момента достижения т3 NN будет оставаться постоянным, в результате чего система становится статически определимой и усилия в крайних стержнях можно определить из условия равнове- сия: . αcos2 σт 21 АF NN По мере возрастания нагрузки, в то время как рост напряжений в среднем стержне, достигших тσ , приоста- навливается, напряжения в крайних стержнях продолжают расти. Как только эти напряжения становятся равными пределу текучести, а продольные силы АNNN т т21 σ , несущая способность кон- струкции исчерпана полностью. Нагрузка, соответствующая дости- σ )1αcos2( σσ 3 3 max3 A F A N )1αcos2(σ 3AF 64 жению состояния текучести для всей конструкции в целом, является предельной нагрузкой предF и ее можно определить, рассматривая конструкцию в состоянии предельного равновесия, т.е. в момент, непосредственно предшествующий ее разрушению, когда еще вы- полняются условия равновесия для внешних и внутренних сил, достигших предельных значений (рис. 29): Тогда предельно допускаемая нагрузка предF , при которой элементы будут работать упруго и напряжения в них не будут до- стигать предел текучести, будет определена как: A nn F F т пред пред σ 1αcos2 1αcos2σпред AF (2) Сравнивая результаты решения, полученные по допускаемым напряжениям (1) и предельному состоянию (2), нетрудно заметить, что последний расчет показывает бóльшую несущую способность конструкции → предF > F . Так, для α = 30° расчет по предельно- му состоянию позволяет повысить несущую способность конструк- ции почти на 20 % ; для α = 45°– на 40 % ; для α = 60°– на 60 % . Сравнивая также эти расчеты для статически определимых и ста- тически неопределимых конструкций, можно заметить, что расчет по предельному состоянию может дать эффект по сравнению с рас- четом по допускаемым напряжениям только при наличии одного из следующих условий: либо напряжения должны быть неравно- мерно распределены по опасному сечению (как например, при из- гибе или кручении), либо конструкция должна быть наделена до- полнительными лишними связями, делающими ее статически неопределимой. Учет пластических деформаций здесь и механизм их распространения позволяет реализовать скрытый запас прочно- сти, заключенный в этих системах, и повысить тем самым расчет- предтт31 σαcosσ20αcos2:0 FААFNNY .σ1αcos2 тпред АF 65 ную грузоподъемность конструкции, добиваясь при этом равно- прочности всех ее частей. Следует иметь ввиду, что расчет по предельному состоянию может быть выполнен только для конструкций, элементы которых изготовлены из пластичных материалов, допускающих пластиче- ские деформации без появления в них трещин. Недопустимо появ- ление пластических деформаций в деталях машин, длительно рабо- тающих при переменных напряжениях, так как при этом резко сни- жается число циклов до разрушения, т.е. долговечность детали. Метод расчета по предельному состоянию также неприменим для конструкций из хрупких материалов. 3. Учет собственного веса при растяжении (сжатии) В машиностроении влиянием собственного веса деталей, как правило, пренебрегают, так как детали машин имеют сравнительно небольшие размеры и их вес по сравнению с нагрузками, которые они несут, является весьма незначительным. Однако в ряде инже- нерных конструкций собственный вес может быть соизмерим с действующими силами и даже превышает их, являясь основной нагрузкой, способной привести элемент к разрушению (канаты шахтных подъемников, штанги бурильных установок и т.д.). В этом случае пренебрегать собственным весом нельзя и он должен вво- дится в расчет как добавочная сила, действующая на элемент и вли- яющая на его прочность. При этом следует напомнить, что согласно классификации внешних сил вес является объемно-распределенной нагрузкой, т.е. нагрузкой, действующей на каждую единицу объема. В элементах стержневого типа, расположенных вертикально, соб- ственный вес вызывает центральное растяжение или сжатие в зави- симости от того, какой конец стержня – верхний или нижний – за- креплен. Поэтому собственный вес вертикального стержня можно рассматривать как продольную внешнюю нагрузку, распределен- ную вдоль его оси. Рассмотрим вертикальные стержни различной конфигурации и определим для них продольные силы, напряжения и деформации, возникающие с учетом собственного веса. 66 3.1. Призматический стержень постоянного сечения Рассмотрим прямой стержень постоянного сечения (рис. 30, а), закрепленный верхним концом, находящийся под действием силы F и собственного веса. Определим для него закон изменения продольных сил, напряжений и перемещений вдоль его оси от вышеуказанных нагрузок. На расстоянии Z от свободного конца отсечем часть стержня и «откроем» сечение (рис. 30б):  Продольная сила zN в этом сечении, т.е. сила, растягивающая оставшуюся часть стержня, будет определяться силой F и весом от- сеченной части → AZFNz γ , где γ – удельный вес материала. Задавая значения Z по концам стержня, получаем: – при Z = 0 (на торце) FNz ; – при Z (в заделке) AFNz γ . По полученным данным строим эпюру продольных сил (рис. 30в). Прямоугольная часть эпюры, отсеченная пунктирной линией, пред- ставляет собой эпюру N от действия только силы F , оставшаяся треугольная часть – от действия собственного веса.  Напряжения в сечении определяются как и для концевых сечений соответственно рав- ны → γσиσ z A F A F z . Z A F A N z z γσ 67 Эпюра напряжений представлена на рис. 30, г, в которой также прямоугольная часть соответствует напряжениям только от дей- ствия силы F, треугольная – от веса стержня. Как видно из эпюры, наиболее нагруженным местом на стержне с учетом его веса явля- ется сечение в заделке. Чтобы прочность стержня была обеспечена, напряжения, действующие в этом сечении не должны превышать σ . Записав для него условие прочности, можно подобрать необхо- димую площадь поперечного сечения, которая для данного стержня является постоянной по длине:   γσ σγσmax F A A F . Рассмотрим случай, когда на стержень действует только соб- ственный вес (F = 0). Тогда максимальные напряжения, возникаю- щие в заделке от собственного веса, будут равны: γσmax . а) Приравняем эти наибольшие напряжения к допускаемым → γ σ σγσ прmax  , где пр – предельная длина стержня, при которой он уже не спо- собен нести никакой полезной нагрузки. б) Приравниваем наибольшие напряжения к пределу прочно- сти материала вσ → γ σ σγσ крmax в в  , где кр – критическая длина стержня, при которой он разруша- ет сам себя от собственного веса.  Определим деформацию стержня, вызванную силой F и его соб- ственным весом. Так как продольная сила не является величиной постоянной и изменяется по длине стержня, то для определения его удлинения и перемещения сечений следует сначала определить удлинение бесконечно малой части стержня длиной dZ (рис. 30, а): ZdZ EEA dZF EA dZZAF EA dZN dZ z γγ )( 68 22 2 2 γ)( 2 γγ Z EEA ZF E Z EA FZ ZdZ E dZ EA F z z zzz      , где z – это перемещение сечения Z, определяемое удлинением верхней части стержня z . Как видно из последнего выражения, перемещение сечений стержня от собственного веса является квадратичной функцией от Z. Задавая значения 0ZиZ и учитывая, что перемещение сво- бодного конца определяет полное удлинения стержня, получаем значения перемещений и строим эпюру Δ (рис. 30, д): 0zZ  EA Q EA F E A EA F А А EEA F Z z 22 γ 2 γ 0 2 полн   , где AQ γ – полный вес стержня. Для случая, когда сила F = 0, полное удлинение стержня по- стоянного сечения от собственного веса равно: EA Q 2 полн   . (11) Таким образом, удлинение стержня от собственного веса в два раза меньше, чем удлинение от силы, равной весу Q и приложенной на его свободном конце. 3.2. Стержень равного сопротивления Из предыдущего примера видно, что опасным сечением, где возникают наибольшие напряжения, вызванные собственным ве- сом, является сечение в заделке. По этому сечению подбирается его площадь А, которая по всей длине стержня остается постоянной. Однако, как видно из эпюр (рис. 30, в, г), по мере опускания вниз продольные силы и напряжения уменьшаются, а площадь сечения, подобранная по наиболее нагруженному месту, остается прежней. 69 В результате, все сечения, кроме сечения в заделке, оказываются недогруженными, материал стержня используется не полностью, а значит такая конструкция стержня является нерациональной и неэкономичной. Поскольку продольная сила изменяется по длине стержня, воз- никает вопрос о целесообразности создания такой его формы, что- бы по мере уменьшения продольной силы уменьшалась бы и пло- щадь поперечного сечения, но не произвольно, а таким образом, чтобы во всех сечениях возникали бы одинаковые напряжения, рав- ные [σ]. Создание такого стержня является возможным и называет- ся он стержнем равного сопротивления. Стержень равного сопротивления пред- ставлен на рис. 31, а. Спроектируем его форму и установим закон изменения пло- щади сечения по длине. ● Отсечем бесконечно малую часть стержня длиной dZ (рис. 31, б) и рассмот- рим равновесие этой части: 0)(:0 zzzz dQNdNNZ , (1) где dZAdQ zz γ – вес отсеченной части. ● Так как во всех сечениях стержня напряжения одинаковы и равны [σ], полу- чаем для нижнего и верхнего сечений отсе- ченной части: σσσ zz z z AN A N (2) σσσ zzzz zz zz dAAdNN dAA dNN (3) ● Подставляем значения продольных сил (2) и (3) в уравнение равновесия (1): Стержень, у которого во всех сечениях действуют одинако- вые напряжения, равные [σ], называется стержнем равного сопротивления dZAdAdZAAdAA zzzzzz γσγσσ 70 , σ γ ln σ γ σ γ ZCAdZ A dA dZ A dA z z z z z где С – постоянная интегрирования, определяемая из граничного условия: при Z = 0 Аz = А0 → 0ln AC ,e σ γ ln σ γ lnln σ γ oo o Z zz z A A Z A A ZAA откуда окончательно получаем закон изменения площади попереч- ного сечения, описывающий форму боковой поверхности стержня равного сопротивления: Z z AA σ γ o e . (12) ● Так как в торцевом сечении напряжения, исходя из определе- ния стержня равного сопротивления, также равны [σ], то σ/o FA . Тогда формула (12) принимает вид Z z F A σ γ e σ . (13) Соответственно, площадь сечения в заделке, т.е. при Z , будет равна:  σ γ max e σ F A . ● Определим удлинение стержня равного сопротивления от соб- ственного веса, для чего найдем сначала удлинение его части дли- ной dZ (рис.31, а, б): E dZ E dZ EE dZ A N EA dZN dZ z z z z   σσσ 0 полн . ● Сравним удлинение от собственного веса стержня постоянного сечения и стержня равного сопротивления: 71 а) для призматического стержня постоянного сечения полное удлинение определяется формулой (11), и учитывая, что площадь его поперечного сечения рассчитана по наиболее опасному сече- нию, где σσmax , полн получаем в виде:    EEA Q EA Q 2 σ 22 полн . б) для стержня равного сопротивления имеем: E   σ полн . Сравнивая полное удлинение этих стержней, нетрудно заме- тить, что стержень равного сопротивления удлиняется от собствен- ного веса в два раза больше, чем стержень, имеющий постоянное сечение. Следовательно, стержень равного сопротивления, как и все элементы этого типа, обладает большей деформируемостью, подат- ливостью. Это качество является очень важным для элементов, ра- ботающих в условиях динамических нагрузок – при ударах, колеба- ниях и проч., и значительно повышает их прочность за счет способ- ности поглощать бóльшее количество энергии без опасности разрушения. Именно по этой причине листовые рессоры больше- грузного транспорта проектируют как балку равного сопротивления. 3.3. Расчет ступенчатого стержня Для создания стержня равного сопротивления необходимо придать его боковой поверхности криволинейное очертание, опи- сываемое формулами (11)−(12). Однако изготовление такой конфигурации, изме- няющейся по заданному закону, является технологически сложной задачей. По- этому на практике изготавливают при- ближенную форму стержня равного со- противления либо в виде усеченной пи- рамиды, либо чаще в виде ступенчатого стержня, разделяя стержень по длине на ряд участков с постоянным сечением. В результате получают альтернативу стержня равного сопротивления, однако 72 значительно более простую в изготовлении, что обеспечивает сту- пенчатым стержням широкое распространение. Так, например, в виде ступенчатых стержней изготавливают опоры мостов, а также длинные канаты или растянутые штанги. Спроектируем ступенчатый стержень (рис. 32) и при заданной длине каждой ступеньки подберем площадь ее сечения, так, чтобы в опасном сечении, находящемся в конце каждого участка, напря- жения были равны допускаемым, аналогично расчету для стержня постоянного сечения (см. выше). Участок 1 – растягивается силой F и собственным весом: 1 11 1 1 γσ σγσ   F A A F . Участок 2 – растягивается силой F, весом участка 1 и собствен- ным весом: 2 11 22 2 11 2 γσ γ σγ γ σ     AF A A AF . Участок 3 – растягивается силой F, весом участков 1 и 2 и соб- ственным весом: 3 2211 33 3 2211 3 γσ γγ σγ γγ σ     AAF A A AAF . Аналогичным образом выполняется расчет остальных ступенек. Разбив элемент на большое количество участков малой длины, можно получить ступенчатый стержень, форма боковой поверхно- сти которого по своей конфигурации будет максимально прибли- жена к форме стержня равного сопротивления. Деформацию сту- пенчатого стержня вычисляют по частям, определяя удлинение каждого призматического участка. Полная деформация определяет- ся суммированием удлинений отдельных участков. 73 Вопросы для самоконтроля 1. Что называется центральным растяжением (сжатием) и ка- кие внутренние усилия возникают в сечении? 2. Как определяются продольные силы? Что такое эпюра про- дольных сил? Что такое «скачок» на эпюре продольных сил? 3. Какие возникают напряжения в поперечных сечениях и как они распределены по сечению? Формула для определения напряжений. Как строится эпюра напряжений? 4. Что означает расчет на прочность и какие основные задачи он решает? Записать условие прочности при растяжении (сжатии). 5. Как устанавливается допускаемое напряжение для материала? 6. Продольная и поперечная деформации при растяжении- сжатии, абсолютные и относительные значения. Размерность. 7. Что такое коэффициент поперечной деформации, что он ха- рактеризует, как определяется и в каких пределах изменяется? 8. Абсолютная и относительная объемная деформация. Какие материалы называются несжимаемыми? 9. Связь между напряжениями и деформациями. Закон Гука при растяжении-сжатии. 10. Что такое модуль продольной упругости первого рода, что он характеризует и как определяется? 11. Что такое жесткость сечения и элемента при растяжении- сжатии? 12. Потенциальная энергия деформации при растяжении- сжатии. Полная и удельная потенциальная энергия. Подчиняется ли потенциальная энергия принципу независимости действия сил? 13. Статически неопределимые системы при растяжении- сжатии и их особенности. Основные способы их решения. 14. Раскрытие статической неопределимости методом дефор- маций. Как строится деформационная схема? Что такое уравне- ние совместности (неразрывности) деформаций? 15. Раскрытие статической неопределимости методом сил. Что такое лишняя связь? Что такое основная система? Какая основ- ная система является наиболее рациональной для симметричных конструкций? 16. Раскрытие статической неопределимости методом, осно- ванным на принципе наименьшей работы. 74 17. Особенности статически неопределимых систем. Как влияет жесткость элементов на распределение усилий в статически неопределимых системах? 18. Что такое принцип равнопрочности элементов и можно ли его осуществить в статически неопределимых конструкциях? 19. Свойства статически неопределимых систем. Температур- ные и монтажные напряжения. Могут ли такие напряжения воз- никать в статически определимых системах? 20. Как можно с помощью температурных изменений и началь- ных напряжений от сборки перераспределять усилия и напряжения в статически неопределимых системах? 21. В чем заключается дополнительный запас прочности стати- чески неопределимых систем? Как это связано с пластическими деформациями и статической неопределимостью конструкций? 22. Как производится расчет статически неопределимых систем по предельному состоянию? В чем его экономическая целесообраз- ность? 23. Как учитывается собственный вес при растяжении (сжатии)? Что такое предельная и критическая длина стержня? 24. Что такое стержень равного сопротивления и как проекти- руется его форма? Чему равно удлинение стержня равного сопро- тивления от собственного веса? 25. Что такое ступенчатый стержень? В чем его преимущество по сравнению с призматическим стержнем постоянного сечения и как он проектируется? 75 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ A F A N σ;σ Напряжения при растяжении−сжатии Размерность – МПа [Н/мм2] σσmax A N Условие прочности при растяжении и сжатии    ε;0k Абсолютная и относительная про- дольная деформация 0 0 *ε; b b bbb k Абсолютная и относительная попе- речная деформация με*ε 5,0μ0 Связь между относительной про- дольной и относительной попереч- ной деформациями μ – коэффициент Пуассона )μ21(εε )μ21(ε0 v VV Абсолютная и относительная объ- емная деформация EA N E  ; σ ε Закон Гука при растяжении-сжатии Е – модуль Юнга [МПа]    EA N E max max ε σ ε Условие жесткости при растяжении и сжатии EE u EA N U εσ 2 σ ; 2 22 Полная и удельная потенциальная энергия при растяжении и сжатии Z Z Z Z e F AeAA σ γ σ γ 0 σ ; Закон изменения площади сечения стержня равного сопротивления    EEA Q σ 2 полн Удлинение стержня равного сопро- тивления от собственного веса 76 1. Статически определимые задачи 1.1. Определение напряжений и деформаций. Расчеты на прочность и жесткость Задача 1 Определить полное удлинение стального стержня длиной ℓ = 60 см, если растягивающее напряжение равно σ =100 МПа. Принять Ест = 2·10 5 МПа. РЕШЕНИЕ мм3,0 102 600100σ 5 стст полн EAE F   . Задача 2 Определить силу, растягивающую стальной цилиндрический стержень диаметром d = 1 см, если относительное удлинение стержня равно ε = 0,0007. Принять Ест = 2·10 5 МПа. РЕШЕНИЕ кН1110990 4 0007,01021014,3 4 π εεσ 522 стст H d EAEAF . Задача 3 Полая чугунная колонна круглого поперечного сечения высотой ℓ = 5 м с наружным диаметром D = 30 см и толщиной стенки t = 30 мм сжимается силой F, вызывающей напряжения σ = 60 МПа. Определить величину силы, сжимающей колонну, и ее укорочение. Принять Ечуг = 1,2·10 5 МПа. РЕШЕНИЕ ;см34,254 4 )2430(14,3 см242 4 )(π 2 2222 tDd dD A мм5,2 102,1 10560σ ;кH15261034,25460σ 5 3 чуг 2 Е AF   . 77 Задача 4 Работающий на растяжение элемент представляет собой стальную трубу с внешним диаметром D = 9 см и площадью попе- речного сечения А = 15 см2. Определить растягивающую силу F, которая вызывает уменьшение диаметра ΔD = 0,012 мм. Принять Ест = 2,1·10 5 МПа, μ = 0,3. РЕШЕНИЕ EA F D D EA F E μμε*ε1σ ε με*ε кН140 903,0 1015101,2012,0 μ 25 D EAD F . Задача 5 Стальной стержень (Ест = 2,1·10 5 МПа) круглого поперечного сечения растягивается усилием F = 100 кН. Подобрать диаметр стержня таким образом, чтобы напряжения в нем не превышали [σ] = 120 МПа, а относительное удлинение было не более [ε] = 0,0005. РЕШЕНИЕ  Определяем диаметр стержня из условия прочности: мм6,32 12014,3 101004 σπ 4 σ 4 π σ 3 2 F d d F A F .  Определяем диаметр из условия жесткости: мм7,35 0005,010214,3 101004 επ 4 ε 4 π σ ε 2 3 2 E F d d E F EA F E . Окончательно принимаем бóльший диаметр − d = 35,7 мм ≈ 36 мм. Примечание. Если размер сечения подбирается из двух условий, то окончательно всегда принимается бóльшее значение. 78 Задача 6 Стержень квадратного поперечного сечения, ослабленный сквозным отверстием диаметром d = 2 мм, растягивается силой F = 1,5кН. Подобрать размер сечения «а», если для материала [σ] = 100 МПа. РЕШЕНИЕ  Определяем размер сечения из условия прочности стержня: ,σσгде,σσ 2max 2 ослаб ослаб max ada F adаА A F откуда получаем квадратное уравнение вида 0 σ 2 Fada , решением которого являются два корня: а1 = 5 мм и а2 = – 3 мм. Принимаем размер а = 5 мм.  Если бы стержень не был ослаблен сквозным отверстием, размер его сечения был бы равен: мм9,3 100 105,1 σ σσ 3 2max F a a F . Примечание. Подбор сечения в данной задаче производится без учета концентрации напряжений, которая всегда имеет место при наличие в элементах раз- ного рода вырезов, выточек, отверстий и т.д. Однако для пластичных материалов, способных к выравниванию напряжений по сечению, такое решение справедливо. Задача 7 Стальной канат свит из 96 проволок диаметром каждой d = 2 мм. Какую наибольшую нагрузку можно безопасно приложить к канату и какая нагрузка разорвет канат, если для материала прово- лок [σ] = 60 МПа, а разрушающее напряжение вσ = 560 МПа? РЕШЕНИЕ 79 Так как проволоки имеют одинаковое сечение и выполнены из одинакового материала, т. е. имеют одинаковую жесткость, то при растяжении каната на одну проволоку приходится сила 96 1 F F .  Условие прочности для проволоки: σ π24 4 π 96 σ 2 безоп 2 безоп 1 1 1 d F d F A F кН1860214,324σπ24 22безоп dF .  Условие разрушения для проволоки: в2 разр 2 разр 1 1 1 σ dπ24 4 π 96 σ F d F A F кН169560214,324σπ24 2в 2 разр dF . Задача 8 Трос, состоящий из проволок диаметром d = 2 мм, растянут уси- лием F = 75 кН. Определить число проволок в тросе, если допуска- емое напряжение для троса с учетом наклона проволок равно [σ] = 300 МПа. РЕШЕНИЕ  Из условия прочности троса определяем площадь его поперечно- го сечения: 2 3 тр тртр тр тр мм250 300 1075 σ σσ F А A F .  Площадь поперечного сечения одной проволоки равна: 2 22 1 мм14,3 4 214,3 4 πd A .  Считая, что проволоки в тросе плотно прилегают друг к другу и их поперечные сечения полностью заполняют сечение троса, опре- деляем их количество: 80 .шт806,79 14,3 250 1A A k Задача 9 Рабочее давление в цилиндре двигателя внутреннего сгорания с внутренним диаметром D = 350 мм составляет 2мм Н 1атм10p . Какое количество болтов диа- метром d = 18 мм необходимо для того, чтобы прикрепить крышку к стенке цилиндра, если для материа- ла болтов [σ] = 40 МПа? РЕШЕНИЕ  Полное усилие на крышку равно: кН2,96 4 35014,3 1 4 π 22D pApF .  Усилие, которое безопасно может выдержать один болт: σ π 4 4 dπА σ 2 б 2 б б б б d FFF кН2,10 4 401814,3 4 σπ 22 б d F .  Необходимо установить болтов: .шт1043,9 2,10 2,96 бF F k 1.2. Стержни. Построение эпюр. Проектировочные расчеты 81 Задача 10 Для ступенчатого стержня, выполненного из разных материа- лов – стали и меди, построить эпюры продольных сил, напряжений и перемещений. Дано: F1 = 100 кН, F2 = 160 кН, F3 = 110 кН, А1 = 18 см 2, А2 = 16 см 2, А3 = 12 см 2, ℓ1 = 0,3 м, ℓ2 = 0,6 м, ℓ3 = 0,4 м. Принять Ест = 2·10 5 МПа, Ем = 1·10 5 МПа. РЕШЕНИЕ  Определяем реакцию в заделке: 0:0 321 FFFRZ A RА = 100 – 160 + 110 = 50 кН  Продольные силы Методом сечений, двигаясь от свободного конца, рассекаем стержень на каждом участке и определяем продольные силы: Участок 1 0:0 11 FNZ N1 = F1 = 100 кН (сжатие) Участок 2 0:0 221 NFFZ N2 = F2 – F1 = 160 – 100 = 60 кН (растяжение) Участок 3 0:0 3NRZ A N3 = RА = 50 кН (сжатие) По полученным данным строим эпюру продольных сил (N, кН). Проверяем правильность построения эпюры: «скачок» на эпюре продольных сил всегда равен силе, приложенной в этом сечении. 82  Напряжения Определяем напряжения на каждом участке по формуле (1). Напряжения имеют тот же знак, что и продольная сила. Участок 1 МПа6,55 1018 10100 σ 2 3 1 1 1 A N (сжатие). Участок 2 МПа5,37 1016 1060 σ 2 3 2 2 2 A N (растяжение). Участок 3 МПа7,41 1012 1050 σ 2 3 3 3 3 A N (сжатие). По полученным данным строим эпюру напряжений (σ, МПа).  Деформации Деформацию каждого участка определяем по закону Гука по формуле (6): мм083,0 1018102 103,010100 25 33 1ст 11 1 АE N   ; мм225,0 1016101 106,01060 25 33 2м 22 2 АE N   ; мм167,0 1012101 104,01050 25 33 3м 33 3 АE N   . Полное изменение длины стержня можно определить как ал- гебраическую сумму изменения длин каждого участка: мм025,0167,0225,0083,0321полн  , т.е. стержень от действия внешних сил укорачивается на 0,025 мм.  Перемещения ΔА = 0 (сечение в заделке). ΔВ = Δℓ3 = – 0,167 мм. ΔС = Δℓ3 + Δℓ2 = – 0,167 + 0,225 = 0,058 мм. ΔD = Δℓ3 + Δℓ2 + Δℓ1 = – 0,167 + 0,225 – 0,083 = – 0,025 мм. По полученным данным строим эпюру перемещений (Δ, мм). Точки пересечения эпюры с осью стержня обозначают сечения, ко- торые не получают перемещений. 83  Полное изменение длины стержня можно также определить на основании принципа независимости действия сил: 321полн FFF  мм792,0 1012101 104,010100 1016101 106,010100 1018102 103,010100 25 33 25 33 25 33 3м 31 2м 21 1ст 11 1 AЕ F АE F АE F F   мм133,1 1012101 104,010160 1016101 106,010160 25 33 25 33 3м 32 2м 22 2 AЕ F АE F F   мм366,0 1012101 104,010110 25 33 3м 33 3 АE F F   мм025,0366,0133,1792,0полн , что полностью совпадает с предыдущими расчетами. Задача 11 Спроектировать равнопрочный ступенчатый стержень круглого поперечного сечения, если для материала [σ] = 160 МПа. РЕШЕНИЕ  Методом сечений определяем продольные силы на участках стержня и строим эпюру продоль- ных сил (N, кН): кН40:0 кН20N:0Z кН10:0 3213 212 11 FFFNZ FF FNZ  Подбираем диаметр для каждого участка стержня, исходя из условия их равнопрочности, т.е. чтобы напряжения во всех сечениях были одинаковы и равны допускае- мым [σ] : 84 Участок 1 мм9мм9,8 16014,3 10104 σπ 4 31 1 N d . Участок 2 мм31мм6,12 16014,3 10204 σπ 4 32 2 N d . Участок 3 мм81мм8,17 16014,3 10404 σπ 4 33 3 N d . По полученным результатам вычерчиваем ступенчатый стержень. Задача 12 В заданном медном стержне определить перемещение сечения m–m. Принять Е = 1·105 МПа. РЕШЕНИЕ Перемещение любого сечения определяется суммарным измене- нием длины участков, расположенных между заделкой и заданным сечением. Следовательно, сечение m–m переместится туда и настолько, насколько в сумме изменится длина 2-го и 3-го участков. Определяем продольные силы на участках: кН80:0 12 FNZ (растяжение); кН4012080:0 213 FFNZ (сжатие). Тогда перемещение сечения m–m будет определено как: мм24,0 1020101 108,01040 1010101 105,01080 2 25 33 25 33 3322 AE N EA N mm  . Сечение m–m переместится вправо на 0,24 мм. σπ 4 σ π 4 4π σ 22 N d d N d N A N 85 Задача 13 Для заданного стального стержня длиной ℓ = 3 м определить, при каком соотношении сил F1 и F2 перемещение сечения m–m равно нулю, а также чему должны быть равны эти силы, если полное из- менение длины стержня .мм1полн Принять Е = 2·10 5 МПа. РЕШЕНИЕ Перемещение сечения m–m определяется алгебраической сум- мой изменения длин участков, рас- положенных между заданным сече- нием и заделкой, т.е. участков 2 и 3. Так как по условию задачи Δm–m = 0, значит один из этих участков должен удлиниться, а другой уко- ротиться на эту же величину. Как видно их схемы нагружения, на 2-м участке возникает сжимающая продольная сила N2 , значит, про- дольная сила N3 должна быть растягивающей, и из условия равновесия отсеченной части эти силы соответственно равны: )растяжение(;сжатие)(:0 12312 FFNFNZ 0 3/3/3/3/ 12132 32 EA FF EA F EA N EA N mm   12 2FF . Так как сечение m–m не получает перемещение, то полное изменение длины стержня полн будет определяться изменением длины только 1-го участка, на котором 11 FN : .кН802FкН40 101 1021021 3/ мм1 3/3/ 123 25 полн 1 11 1полн F EA F EA F EA N     86 1.3. Шарнирно-стержневые системы. Расчеты на прочность. Перемещение узлов Задача 14 К чугунному кронштейну подвешен груз F = 50 кН. Подобрать диаметры стержней d1 и d2, если допускаемые напряжения на растя- жение и сжатие для чугуна равны [σ]р = 30 МПа и [σ]сж = 50 МПа. Определить вертикальное перемещение узла В. Дано: Е = 1,5·10 5 МПа, ℓ1 = 1 м, ℓ2 = 1,15 м. РЕШЕНИЕ  Методом сечений отсекаем узел В и составляем уравнения его равновесия: 030sin:0 030cos:0 o 2 1 o 2 FNY NNX N1 = 86,6 кН (растяжение) N2 = 100 кН (сжатие)  Подбираем диаметр стержня 1 из условия прочности на растяжение: мм.60 3014,3 106,86 σπ 4 σ π 4 4π σ 3 р 1 1 р2 1 1 2 1 1 1 1 1 N d d N d N A N  Подбираем диаметр стержня 2 из условия прочности на сжатие: мм.50 5014,3 10100 σπ 4 σ π 4 4π σ 3 сж 2 2сж2 2 2 2 2 2 2 2 2 N d d N d N A N 87  Чтобы определить новое положение узла В от действия силы F, необходимо определить деформации стержней и построить дефор- мационную схему: .мм39,0 5014,3105,1 1015,1101004 4π ;мм2,0 6014,3105,1 101106,864 4π 25 33 2 2 22 2 22 2 25 33 2 1 11 1 11 1 dE N EA N dE N EA N      Так как изменение длины стержня происходит вдоль его оси, от- кладываем найденные значения Δℓ1 и Δℓ2 (для наглядности они по- казаны крупнее) и получаем длину стержней после деформации – АВ1 и СВ2. Новое положение узла В будет находиться на пересече- нии дуг, проведенных к новой длине стержней. Однако в силу ма- лости деформаций дуги можно заменить перпендикулярами, прове- денными в точках В1 и В2, и тогда узел В окажется в положении В*. В результате дальнейших геометрических построений и расчетов определяем вертикальное перемещение узла – ΔВ: мм13,1 30sin 30cos2,039,0 30sin 30cos 30sin * 30sin * o o o o 12 oo DBKDKB B . Задача 15 К двум стальным стержням одинако- вой длины ℓ = 1 м, но различного сечения – d1 = 30 мм и d2 = 40 мм подвешен груз F. Определить, какую наибольшую нагрузку способна выдержать конструкция, если для материала стержней [σ]1 = 160 МПа и [σ]2 = 60 МПа. Определить вертикальное пе- ремещение узла В под действием этой нагрузки. Принять Е = 2·105 МПа, α = 30o. РЕШЕНИЕ  Определяем продольные силы в стержнях, вы- раженные через F, для чего отсекаем узел В и рассматриваем его равновесие: 88 030cos2:0 030sin30sin:0 o 1 21 o 2 o 1 FNY NNNNX o21 30cos2 F NN  Подбираем силу F из условия прочности стержня 1: 12 1 o 1 1 1 σ 4π30cos2 σ d F A N кН8,195 4 1603014,330cos2 4 σπ30cos2 2o1 2 1 o 1 d F .  Подбираем силу F из условия прочности стержня 2: 22 2 o 2 2 2 σ 4π30cos2 σ d F A N кН5,130 4 604014,330cos2 4 σπ30cos2 2o2 2 2 o 2 d F . Для безопасной работы конструкции принимаем меньшее зна- чение силы – F = 130,5 кН. Тогда продольные силы равны: кН3,75 30cos2 5,130 o21 NN .  Для определения вертикального перемещения узла В определяем деформации стержней и строим схему деформаций: ; мм53,0 3014,3102 4101103,75 4 π 25 33 2 1 1 1 1 1 d E N EA N   . мм3,0 4014,3102 4101103,75 4 π 25 33 2 2 2 2 2 2 d E N EA N    Выполняем геометрические построения: показываем удлинения стержней, проводим перпендикуля- ры к их новой длине до пересече- ния, указывающего положение узла 89 . 30cos o )2(1 B В, и в результате расчетов получаем: Δ АСВ* – равнобедренный тре- угольник, так как углы у основания равны. Следовательно: мм83,0 2 06,16,0 22 BCABAC AD . Вертикальное перемещение узла В равно высоте DВ*: мм48,03083,030* oo tgtgADDBB . Примечание. В случае, когда жесткости элементов одинаковы, их удлинения будут равны Δℓ1=Δℓ2 и перемещение узла В можно определить как: Задача 16 В заданной конструкции определить напряжения в стержнях и перемещение точки приложения силы F. Дано: ℓ1 = ℓ2 = ℓ3 = 4 м, А1 = А2 = А3 = 5 см 2, Е1 = 2·10 5 МПа, Е2 = Е3 = 1·10 5 МПа. РЕШЕНИЕ  Продольные силы в стержнях: ;мм6,0 30sin * o 2ABABA .мм06,1 30sin * o 1BCСВС 90 .кН3,69 30cos2 120 30cos2 030cos2:0 ;030sin30sin:0 кН;120 oo 1 32 1 o 2 32 o 3 o 2 1 N NN NNY NNNNX FN Напряжения в стержнях: . МПа6,138 105 103,69 σσ ; МПа240 105 10120 σ 2 3 2 2 32 2 3 1 1 1 A N A N  Деформации стержней: ;мм8,4 105102 10410120 25 33 11 11 1 AE N   . мм544,5 105101 104103,69 25 33 22 22 32 AE N    Перемещение точки приложения силы: .мм2,118,4 30cos 544,5 30cos o 10 2 1   AB Задача 17 Абсолютно жесткий брус АВ нагружен силой F и поддерживается стальным стержнем СD круглого по- 91 перечного сечения диаметром d = 20 мм и длиной ℓ = 1,15 м. Опреде- лить, какую наибольшую нагрузку F может выдержать конструк- ция, если для материала стержня [σ] = 160 МПа. Определить опус- кание узла В. Принять Е = 2·105 МПа. РЕШЕНИЕ  Продольная сила в стержне СD равна: 05,2130sin:0 o FNM A .5 130sin 5,2 o F F N  Из условия прочности стержня СD определяем силу F: . кН10 20 1602014,3 20 σπ σ π 20 4 π 5 σ 22 22 d F d F d F A N  Удлинение стержня равно: . мм92,0 2014,3102 1015,1101054 4 π 5 25 33 2d E F EA N    Опускание узла В равно: . мм6,4 5,01 92,05,2 30sin1 5,2 5,230sin15,21 ** o o   B BBCACCABB 92 2. Статически неопределимые задачи 2.1. Жестко защемленные стержни и уложенные с зазором. Подбор сечений и нагрузки Задача 18 Стальной ступенчатый стержень (Е = 2·105 МПа) жестко закреп- лен концевыми сечениями и нагружен силами F1 = 120 кН и F2 = 60 кН, как показано на рисунке. Подобрать площадь сечения стержня А, если для материала [σ] = 160 МПа. Определить перемещение сечения С. РЕШЕНИЕ  Раскрываем статическую неопре- делимость методом деформаций: Статическая сторона → 0:0 21 FFRRZ BA . (1) Геометрическая сторона → 0полн ; .0 21полн ARFF  (2) Физическая сторона (3) → ;мм)( 1024 5,1 103,01060 2 104,01060 5,12 63333 2212 2 EAAEAEAE F AE F F   AE R EA R AE R AE R AAAA RA 2 104,010 5,12 33 321  ;мм)( 1024 2 104,010120 2 633 11 1 EAAE AE F F   93 .мм)( 106,0102,010 5,1 103,010 63333 A AA R EAEA R AE R Объединяем три стороны задача и определяем реакции опор: 0 106,010241024 666 AR EAEAEA → кН100R кН80 B AR .  Методом сечений определяем продольные силы на участках стержня, строим эпюру продольных сил и устанавливаем, на каком из участков возникают максимальные напряжения: .)МПа( 1080 σ ;)МПа( 103,13 5,1 1020 5,1 σ ;МПа)( 1050 2 10100 2 σ 3 3 3 33 2 2 33 1 1 AA N AAA N AAA N  По наиболее нагруженному участку подбираем площадь сечения: .мм500 160 1080 σ 1080 σσσ 2 33 max3 A A  Перемещение сечения С определяется изменением длины первого участка: .(влево)мм2,0 5002102 104,010100 2 5 33 11 AE N С  Задача 19 Стальной стержень АВ (Е = 2·105 МПа) длиной ℓ = 4 м и площадью поперечного сечения А = 20 см2, нагруженный силой F, закреплен одним концом, а другим опирается на пружину ВС с коэффициентом податливости δ = 0,015 мм/кН (δ – осадка пружины под действием силы в 1 кН). Определить, при каком 94 значении силы F пружина сожмется на мм5,1пруж , а также напряжения на участках стержня АВ. РЕШЕНИЕ  Раскрываем статическую неопределимость методом сил. Для этого мысленно разрываем связь между стержнем АВ и пружиной и определяем силу взаимодействия между ними:  Задаем условие по перемещению, которое заклю- чается в том, что сечение В стержня АВ опустится настолько, насколько сожмется пружина: .пружB (1)  С другой стороны, перемещение сечения В стержня на основании принципа независимости дей- ствия сил определяется суммарным воздействием двух сил – F и RВ: .)()( BRBFBB (2)  Так как пружина сжимается силой RВ и ее осадка известна, определяем эту силу: .кН100 015,0 5,1 δ δ пруж пруж BB RR  Определяем слагаемые в выражении (2): .мм1 1020102 10410100 ;мм)(005,0 1020102 102102/ 25 33 25 33 )( EA R F F EA F B )B(R FB B   (3)  Приравниваем выражения (1) и (2) с учетом (3) и находим силу F: 5,11005,0 F кН500F .  Продольные силы и напряжения на участках стержня АВ соот- ветственно равны: 95 ;(сжатие) МПа50 1020 10100 А σкН100 2 3 нижн нижннижн N RN B .(раст.) МПа200 1020 10400 А σкН400 2 3 верх верхверх N RFN B Задача 20 Составной ступенчатый стержень, состоящий из двух материа- лов, уложен с зазором между двумя плитами и нагружается силой F, как показано на рисунке. Определить усилия, напряжения и деформации на участках стержня, по- строить эпюры. Дано: F = 450 кН, ℓм = 1 м, ℓст = 2 м, Ам = 50 см 2, Аст = 20 см 2, Δ = 0,06 мм Ем = 1·10 5 МПа, Ест = 2·10 5 МПа. РЕШЕНИЕ  Определяем реакции опор, исполь- зуя методом деформаций: Статическая сторона → 0:0 BA RRFZ (1) Геометрическая сторона → полн BRF полн (2) Физическая сторона (3) → ;мм9,0 1050101 10110450 Е 25 33 мм м А F F   96 .мм)(007,0 1020102 10210 1050101 10110 Е 25 33 25 33 стст ст мм м B BB BB R R RR АЕ R А R B   Решаем совместно три стороны задачи: 06,0007,09,0 BR → кН330R кН120 A BR .  Определяем продольные силы и напряжения на участках стержня и строим эпюры: .МПа66 1050 10330 А σ(раст.)кН330 ;МПа60 1020 10120 А σ)сжатие(кН120 2 3 м м мм 2 3 ст ст стст N RN N RN A B  Определяем деформации участков стержня: .мм06,06,066,0 ;)(удлинениемм66,0 1050101 10110330 ;)укорочение(мм6,0 1020102 10210120 стмполн 25 33 мм мм м 25 33 стст стст ст      АЕ N АЕ N  Определяем перемещения сечений, начиная от жесткой заделки , и строим эпюру перемещений: .мм06,06,066,0 ;мм66,0;0 стм м   B CА 97 2.2. Статически неопределимые шарнирно-стержневые системы Задача 21 Три стальных стержня одинаковой длины ℓ и одинакового поперечного сечения А шарнирно скреплены в одной точке и нагружены силой F = 120 кН, как показано на рисунке. Опреде- лить диаметры стержней, если для материала [σ] = 160 МПа. Принять α = 30о. РЕШЕНИЕ  Раскрываем статическую неопределимость системы методом деформаций и определяем продольные силы в стержнях: Статическая сторона → 3232 0αsinαsin:0 NNNNX :0Y 0αcos2 12 FNN (1) Геометрическая сторона → Строим деформационную схему и уста- навливаем связь между деформациями стерж- ней. Получаем уравнение неразрывности де- формаций: (2) Физическая сторона → EA N EA N     22 1 1 ; (3) Объединяем (2) и (3) и вместе с уравнением (1) получаем систе- му двух уравнений с двумя неизвестными N1 и N2: αcos12  98  Так как N1 > N2 = N3, то при одинаковых размерах сечения наибо- лее нагруженным является стержень 1 (σ1 > σ2 = σ3). Поэтому из условия прочности именно этого стержня подбирается диаметр для всех трех стержней: .мм20 16014,3 10484 σπ 4 σ 4 π σσ 3 1 2 11 max1 N d d N A N Задача 22 Абсолютно жесткий брус, опирающийся на шарнирную опору, поддерживается двумя стальными стержнями и нагружен силой F = 250 кН, как показано на рисунке. Проверить прочность стержней, если [σ]1 = 60 МПа и [σ]2 = 160 МПа. Дано: а = 2,4 м, b = 1,8 м, с = 3 м, ℓ1 = 2 м, ℓ2 = 1,5 м, А1 = 6 см 2, А2 = 8 см 2, Е1 = Е2 = Е РЕШЕНИЕ  Раскрываем статическую неопределимость системы методом деформаций и определяем продольные силы в стержнях: Статическая сторона → 0)(45sin30sin:0 o2 o 1 bFcbNaNM A ; FNN 8,14,32,1 21 . (1) Геометрическая сторона → Из схемы деформаций получаем: ,** cba ACCABB CB o 2 o 1 45sin ; 30sin где  CB . кН6,41 кН48 32 1 NN N αcos αcos2 αcos 12 1212 NN FNN EA N EA N  99 o 2 o 1 45sin)(30sin cbа  (2) Физическая сторона → 2 22 2 1 11 1 EA N EA N     (3) Подставляем (3) → (2): 22 2 1 1 2 1 2 22 1 11 2,035,035,0 NN A A N EA N EA N    Для сравнения результатов решения раскроем статическую неопределимость системы энергетическим методом, т.е. по прин- ципу наименьшей работы:  Отбрасываем в качестве лишней связи стержень 2 и заменяем его действие на систему силой Х. Определяем продольную силу N1: От действия силы F → кН6,123250496,0494,0 кН7,24250099,0099,0 2 1 FN FN 21 35,0  21 21 2,0 8,14,32,1 NN FNN .кН375 30sin4,2 8,1250 30sin 030sin:0 oo)(1 o )(1 a bF N bFaNM F FA 100 От действие силы X → 0)(45sin30sin:0 oo)(1 cbХaNM ХA .кН)(83,2 30sin4,2 )38,1(45sin 30sin )( o o o)(1 X Х a сbХ N X  Окончательно продольные силы в стержнях равны:  Потенциальная энергия деформации, накопленная в системе:  Определяем значение силы Х из условия минимума потенци- альной энергии системы: 014,175,2122:0 X X U кН7,2483,2375 кН8,123 1 2 XN NX . Таким образом, оба способа решения задачи дают одинаковый результат. Однако вопрос применения того или иного метода необ- ходимо решать отдельно в каждом конкретном случае в зависимо- сти от вида конструкции.  Завершаем задачу. Определяем напряжения в стержнях и прове- ряем их прочность: .МПа5,154 108 106,123 σ;МПа2,41 106 107,24 σ 2 3 2 2 22 3 1 1 1 A N A N Так как σ1 < [σ]1 и σ2 < [σ]2 , прочность обоих стержней обеспечена. .)(;кН)(83,2375 2)(1)(11 кНXNXNNN XF .57,85,2122140625 282 65,1 )83,2375( 2222 2 1 12 2 1 12 2 2 1 1 22 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 XX EA X X EA N A A N EAEA N EA N U     101 Задача 23 Жесткая конструкция АВС крепится к фундаменту с помощью шарнира А и двух стержней – стального и чугунного и нагружается силой F, как показано на рисунке. Определить, какую нагрузку F может выдержать конструкция, если для стали [σ]ст = 160 МПа, а для чу- гуна [σ]чуг = 100 МПа. Дано: Ест = 2·10 5 МПа, Аст = 30 см 2, ℓст = 2 м, Ечуг = 1,2·10 5 МПа, Ачуг = 50 см 2, ℓчуг = 1 м. РЕШЕНИЕ  Раскрываем статическую неопределимость методом деформаций и определяем значения продольных сил в стержнях, выраженные через силу F: Статическая сторона → 0 :0 чугст aFbNаN M A FNN чугст 2 . (1) Геометрическая сторона → ** ACCABB b а чуг ст   стчуг 2  . (2) Физическая сторона → . (3) чугуг угчуг стст тст ст АЕ N АЕ N ч ч чуг с     102 Подставляем (3) → (2) и вместе со статическим уравнением (1) получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными Nст и Nчуг: ст чуг ст ст чуг ст чуг стчуг стст стст чугуг чугчуг 422 N А А Е Е NN АЕ N АЕ N ч   стчуг чугст 4 2 NN FNN FNFN 9 4 ; 9 1 чугст .  Из условия прочности каждого стержня определяем силу F, ко- торую можно безопасно приложить к конструкции: .кН1125 4 10501009 4 σ9 σ 9А 4 А σ ;кН432010301609σ9σ 9А σ 2 чугчуг чугчуг чугчуг чуг чуг 2 стстстст стст ст ст А F FN АF A FN Окончательно принимаем меньшее значение – [F] = 1125 кН. Задача 24 В заданной конструкции, состоящей из пяти стальных стержней одинакового попе- речного сечения площадью А = 5 см2 и нагруженной силой F =100 кН, определить опускание узла С. Принять Е = 2·105 МПа. РЕШЕНИЕ  Раскрываем статическую неопределимость системы методом деформаций и определяем продольные силы в стержнях: 103 Статическая сторона → Равновесие узла С 21 o 2 o 1 045sin45sin:0 NNNNX 045cos2:0 3 o 1 FNNY → FNN 3141.1 (1) Равновесие узла В 54 o 4 o 5 045sin45sin:0 NNNNX 045cos2:0 3 o 4 NNY → 041.1 34 NN (2) Геометрическая сторона → Опускание узла В: o 4 45cos  B . (3) Опускание узла С: Опускание узла С определяется, с одной стороны, опусканием узла В (3) и плюс удлинение стержня 3, но с другой стороны, его можно выразить через деформацию стержня 1: o 1 3o 4 o 1 3o 4 3 45cos45cos 45cos 45cos       C BC (4) Физическая сторона (5) → Учитывая длину стержней aa 341 ,41,1  , их деформа- ции будут соответственно равны: EA aN EA N EA aN EA N EA aN EA N 444 4 333 3 111 1 41,1;;41,1       . 041,141,1 431  104 Подставляем (5) → (4): .022041,141,1 431 42312 NNN EA aN EA aN EA aN Объединяем последнее выражение с уравнениями статики (1) и (2) и, учитывая заданное значение силы F, получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными N1, N3 и N4: 022 041,1 41,1 431 34 31 NNN NN FNN кН2,26N кН9,36N кН8,44 54 3 21 N NN .  Определяем опускание узла С: .мм89,0 45cos 63,0 45cos ;мм63,0 105102 10141,1108,4441,1 oo 1 25 33 111 1    С EA aN EA N Задача 25 Конструкция, состоящая из трех стержней, выполненных из разных материалов, нагружена силой F = 160 кН, как показано на ри- сунке. Подобрать сечения стержней, если [σ]1 = 80 МПа, [σ]2 = 60 МПа, [σ]3 = 120 МПа и Е1 = 0,6Е, Е2 = 0,5Е, Е3 = Е. РЕШЕНИЕ  Определяем продольные силы в стержнях энергетическим способом, т.е. по принципу наименьшей работы. Для данной конструкции этот метод раскрытия статической неопределимости является наиболее рациональным, поскольку построение деформационной схемы и нахождение уравнения неразрывности деформаций геометрически затруднено и потребует громоздких расчетов: 105  Отбрасываем в качестве лишней связи стержень 2 и заменяем его действие на систему силой Х. Определяем продольные силы N1 и N3 от действия каждой из приложенных нагрузок: От действия силы F → 0:0 0:0 )(3 )(1 FNY NX F F От действия силы X → 030sin:0 030cos:0 o )(3 o )(1 XNY XNX X X  Полные значения продольных сил соответственно равны:  Потенциальная энергия деформации с учетом длин стержней – ,577,030;155,130cos/; o13 o 121  tg равна: EA N AE N AE N AE N AE N AE N U 2 577,0 25,02 155,1 26,02222 2 3 2 2 2 1 33 3 2 3 22 2 2 2 11 1 2 1  .577,0577,0924,1 2 )5,0(577,0155,1)866,0(833,0 2 22 222 XFFX EA XFXX EA   FN F )(3 (кН)5,0 )кН(N кН)(866,0 )(3)(33 2 )(1)(11 XFNNN X XNNN XF XF )кН(5,0 кН)(866,0 )(3 )(1 XN XN X X 106  Определяем значение силы Х из условия минимума потенци- альной энергии системы:  Статическая неопределимость раскрыта. Определяем, какой из стержней является наиболее нагруженным: .МПа)( 10148 σ;МПа)( 1012 2 1024 2 σ ;МПа)( 104,10 2 108,20 2 σ 3 3 3 33 2 2 33 1 1 AA N AAA N AAA N  Наибольшие напряжения возникают в стержне 3, поэтому из условия прочности именно этого стержня подбираем сечение А: .см3,12 120 10148 σ σσσ 2 3 3 3 3 3 max3 N A A N Задача 26 Жесткий брус АС, шарнирно укрепленный в стене и поддержи- ваемый двумя стальными стержнями одинакового поперечного сечения А = 6 см2 и длиной ℓ1 = 1 м и ℓ2 = 1,2 м, нагружен, как показано на рисунке. Проверить прочность стержней и определить, с ка- ким запасом прочности они работают, если для материала σт = 240 МПа. Принять Е = 2·105 МПа. РЕШЕНИЕ  Раскрываем статическую неопределимость методом сил, для че- го от заданной конструкции отбрасываем в качестве лишней связи стержень 1 и заменяем его действие силой Х. Задаем условие по пе- ремещению точки В, которое заключается в том, что в полученной системе перемещение точки В является, с одной стороны, результатом кН1485,0 кН8,20866,0 кН2415,0 3 1 2 XFN XN FNX 0577,0848,3:0 FX X U 107 совместного действия нагрузки q и силы Х, а с другой стороны, оно равно удлинению стержня 1, который растягивается той же силой Х: EA X 1 1B XBqBB   )()( .)()( EA X 1 XBqB  (1) Прикладываем к системе по- очередно нагрузки q и Х и от каждой силы в отдельности определяем продольную силу в стержне 2 и его деформацию, а затем по полученному изменению длины находим перемещения точек С и В – BC и : От действия распределенной нагрузки q 05,1260sin:0 o)(2 aaqaNM qA кН5,190 60sin2 21105,1 60sin2 5,1 oo)(2 qa N q мм2,2 60sin мм9,1 106102 102,15,190 o )(2 )(25 6 2)(2 (q)2 q qC q EA N   a a ACCABB qB qC 2 ** )( )( мм1,1 2 )( )( qC qB . От действия силы Х 108 (кН)577,0 60sin2 0260sin:0 o)(2 o )(2 X X N aXaNM X XA (мм)0068,0 60sin 0058,0 60sin (мм)0058,0 106102 102,110577,0 oo )(2 25 33 2)(2 )(2 X X X X EA N X (Х)С X X    a a ACCABB XB XC 2 ** )( )( мм)(0034,0)( XXB . Удлинение стержня 1 от силы Х мм)(01,0 106102 102,110 25 33 1 1 X X EA X   . Подставляем найденные значения 1)()( и, XBqB в выраже- ние (1) и определяем силу Х – силу взаимодействия между брусом и стержнем 1: XX 01,00034,01,1 кН4,47577,0N кН82 2 1 X NX .  Статическая неопределимость раскрыта. Определяем напряжения в стержнях: 109 .МПа79 106 104,47 σ;МПа137 106 1082 σ 2 3 2 22 3 1 1 A N A N Прочность стержней обеспечена. Коэффициент запаса прочности для каждого стержня равен: .3 79 240 σ σ ;75,1 137 240 σ σ 2 т 2 1 т 1 nn 2.3. Температурные напряжения Задача 27 Ступенчатый стержень, выполненный из разных материалов, уложен без зазора при температуре C10oo1t , после чего нагрет до C40oo2t . Определить температурные напряжения на участках стержня. Дано: Ам = 16 см 2 , Аст = 12 см 2 , ℓм = 0,5 м, ℓст = 0,8м, Ем = 1·10 5 МПа, Ест = 2·10 5 МПа αм = 165·10 −7 град−1 , αст = 125·10 −7 град−1 РЕШЕНИЕ  Стержень нагревается на температуру: C301040 oooo1 o 2 ttt В результате нагрева, стремясь удли- ниться, он начинает воздействовать на опоры и возникают реакции опор. Имен- но эти реактивные силы сжимают стер- жень и вызывают появление в нем темпе- ратурных напряжений. Определяем реак- ции опор методом деформаций: Статическая сторона → 0:0 BA RRZ BA RR . (1) Геометрическая сторона → 0oполн BRt  . (2) Физическая сторона (3) → 110 мм).(00646,0 1012102 108,010 1016101 105,010 Е мм547,030108,01012530105,010165 25 33 25 33 стст ст мм м o37o37 o стст o мм B BBBB R t R RR АЕ R А R tt B    Подставляем (3) → (2): 000646,0547,0 BR кН7,84AB RR .  Статическая неопределимость раскрыта. Продольные силы и температурные напряжения на участках стержня равны: кН7,84стм BA RRNN .МПа71 1012 107,84 σ;МПа53 1016 107,84 σ 2 3 ст ст )ст(2 3 м м м)( A N A N tt Задача 28 На некоторых железных дорогах сваривают рельсы в одну нитку. В каком интервале температур должна быть произведена сварка, чтобы при перепадах температуры от ─40ºС до +40ºС наибольшие растягивающие напряжения не превышали 150 МПа, а наибольшие сжимающие ─75 МПа? При какой температуре следует сваривать рельсы, чтобы наибольшие напряжения растяжения и сжатия при колебаниях температуры были одинаковыми по абсолютной вели- чине? Принять α = 125·10−7 град−1 и Е = 2·105 МПа. РЕШЕНИЕ Каждый отдельный рельс, сваренный с соседними, можно рас- сматривать как стержень постоянного сечения, уложенный без за- зора между двумя плитами и подвергающийся воздействия темпе- ратуры. В этом случае при нагреве в нем будут возникать сжимаю- щие температурные напряжения, а при охлаждении – растягивающие, которые определяют по формуле oασ tEt (10):  при повышении температуры o1 oo 1 o 2 o 1 40 tttt : 111 C103040C30 10210125 75 МПа75ασ oooo 1 o 57 o 1 o 1сж)( tt tEt  при понижении температуры )40( oo1 o 2 o 1 o 2 tttt : C204060C60 10210125 150 t МПа150ασ oooo 1 o 57 o 2 o 2раст)( t tEt Таким образом, для выполнения указанных условий сварка должна производиться в диапазоне температур от +10 ºС до +20 ºС. Чтобы наибольшие напряжения растяжения и сжатия при коле- баниях температуры были одинаковыми по абсолютной величине, должно выполняться равенство o2 o 1 tt : C0)40(40 oo1 oo 1 o 1 o ttt , т.е. сварка должна производиться при tº = 0 ºС. Однако сваривание при 0 ºС может вызвать появление трещин в среднеуглеродистых сталях. Поэтому в реальных условиях сварку следует производить при температуре не ниже +10 ºС, для чего рельсы при сваривании необходимо подогревать. Задача 29 Три пластинки – медная и две стальные – одинаковой длины ℓ и одинакового поперечного сечения площадью А плотно соединены между собой и подвергаются нагреву на ∆tº = 100 ºС. Определить температурные напряжения в пластинках. Принять: Ем = 1·10 5 МПа, Ест = 2·10 5 МПа, αм = 165·10 −7 град−1 , αст = 125·10 −7 град−1 . РЕШЕНИЕ 112 Так как αм > αст, то увеличение температуры вызовет в медной пластинке сжатие, поскольку ее стремление к большему удлинению будет сдерживаться стальными пластинками. Последние же, наобо- рот, будут растягиваться удлиняющейся медной пластинкой.  Определяем продольные силы в элементах: Статическая сторона → :0Z 02 мст NN (1) Геометрическая сторона → мст  (2) Физическая сторона → (3) Подставляем (3) → (2), объединяем со статическим уравнением (1) и получаем систему двух уравнений относительно Nст и Nм : AAtАЕNN tN Е Е АE АЕ N t АЕ N t м 8010010125165102αα2 ααN 1 αα o75o стстмст o стмм м ст ст ст м мo м ст стo ст     АNN NN 802 02 мст мст АN АN 32 16 м ст .  Температурные напряжения в пластинках соответственно равны: (сжатие)МПа32σ )е(растяжениМПа16σ )м( ст ст)( A N А N м t t Задача 30 АЕ N t АЕ N t м мo мм ст стo стст α;α     113 мст  Конструкция, состоящая из стального стержня, установленного внутри медной втулки, подвергается действию силы F. Определить напряжения в стержне и втулке. Как изменятся внутренние силы, если конструкцию нагреть на 20 ºС? При каком увеличении темпе- ратуры нагрузка полностью будет передаваться только на медную втулку? На какую температуру следует нагреть конструкцию, чтобы сделать элементы равнопрочными? Дано: D = 20 см, d = 10 см, Ем = 1·10 5 МПа, αст = 125·10 −7 град−1 . РЕШЕНИЕ Площади сечений равны:  Внутренние усилия и напряжения от заданной силы F: Статическая сторона → :0Z 0мст FNN (1) Геометрическая сторона → (2) Физическая сторона → (3) Решаем совместно (3), (2) и (1) и получаем: стст ст м ст м м мм м стст ст 5,1 NN A A E E N АЕ N АЕ N  → (1) → кН2406,0 кН1604,0 м ст FN FN → МПа2,10σ МПа4,20σ м м м ст ст ст A N A N . .см5,235 4 )(π ;см5,78 4 π 2 22 м 2 2 ст dD А d A мм м м стст ст ст ; АЕ N АЕ N     114 Как было указано ранее, для конструкций, работающих под нагрузкой, изменение температурных условий позволяет изменять продольные силы, перераспределяя их необходимым образом меж- ду элементами, и даже добиваться равнопрочности последних. По- этому рассмотрим заданную конструкцию, работающую под нагрузкой, в условиях дополнительного нагрева. В этом случае, возникающие продольные силы Nст и Nм, показанные на рисунке, будут являться результатом совместного действия силы F и темпе- ратуры. При этом равновесие системы (1) и условие совместности деформаций (2) сохраняются, а изменяется только физическая сто- рона (3), поскольку деформация элементов теперь определяется суммарным действием силы и нагрева: мм мo мм стст стo стст α;α АЕ N t АЕ N t     . (4)  Определяем продольные силы при дополнительном нагреве кон- струкции на 20ºС. На основании выражений (4) и (2) получаем: мм мo м стст стo ст αα АЕ N t АЕ N t     . (5) Преобразовываем к виду: oстмммст стт мм м αα tAEN AE AE N с , подставляем сюда цифровые значения параметров и получаем до- полнительное уравнение к статической стороне (1): кН)(4,1885,1 )(кН400 стм мст NN FNN кН315 кН85 м ст N N .  Определяем, при каком увеличении температуры ∆tº нагрузка полностью будет передаваться только на медную втулку. В этом случае Nст = 0, а Nм = F =400 кН. Тогда выражение (5) принимает вид: .С 5,42 10125165105,235101 10400 o 725 3 стммм o мм o м o ст AE F t АЕ F tt   115  Определяем, на какую температуру следует нагреть конструк- цию, чтобы сделать элементы равнопрочными. Условием равно- прочности является равенство напряжений: .3σσ стст ст м м м м ст ст мст NN A A N A N A N Тогда из статического уравнения (1) получаем значения про- дольных сил, обеспечивающих равнопрочность конструкции: .кН300;кН100 мст NN Необходимый для этого нагрев определяем из выражения (5): .С16 10125165 105,78102 10100 105,235101 10300 αα o 7 25 3 25 3 стм стст ст мм м o AE N AE N t Задача 31 Жесткий брус АВ шарнирно укреплен в стене и поддерживается стальным и медным стержнями одинакового поперечного сечения А. Определить температурные напряжения в стержнях, если конструк- ция нагревается на ∆tº = 30 ºС. Как из- менятся температурные напряжения, если нагреть только стальной стержень? Принять: Ем = 1·10 5 МПа, Ест = 2·10 5 МПа, αм = 165·10 −7 град−1, αст = 125·10 −7 град−1. РЕШЕНИЕ: Из представленной схемы конструкции длины стержней равны: .м83,2 45cos 2 ;м6,3 7,33cos 3 oмoст   Поскольку на начало решения задачи неизвестно, в каких усло- виях будут проходить деформации элементов при нагревании системы, предположим, что в обоих стержнях возникают растягивающие про- дольные силы. Определяем эти силы методом деформаций: 116 Статическая сторона → 0245sin37,33sin :0 o м o ст NN MB 041,166,1 мст NN (1) Геометрическая сторона → o м o ст o м o ст 45sin27,33sin3 45sin ; 7,33sin 23 **   CA CACDCABA мст 18,1  (2) Физическая сторона (3) → ;мм)(1835,1 102 106,310 30106,310125 α ст 5 33 стo37 ст стстo стстст A N A N AE N t   .(мм)3,284,1 101 1083,210 301083,210165 α м 5 33 o37 м ммo ммм A N A N AE N t м   Подставляем (3)→ (2): A N A N мст 3,284,118,11835,1 ─ и после вычислений получаем дополнительное уравнение к стати- ческой стороне (1): (кН)041,166,1 (кН)017,086,1 мст мст NN ANN (кН)0053,0 (кН)0063,0 ст м АN АN . 117 Таким образом, расчеты показывают, что деформация медного стержня происходит в стесненных условиях, поэтому в нем возни- кают сжимающие продольные силы. В стальном стержне, наоборот, продольная сила растягивающая, и это означает, что помимо удли- нения от нагрева он дополнительно растягивается удлиняющимся медным стержнем. Температурные напряжения в стержнях равны: .е)(растяжениМПа3,5 100053,0 σ ;(сжатие)МПа3,6 100063,0 σ 3 ст )ст( 3 м )м( А А A N A A A N t t  Определяем температурные напряжения, если нагревается только стальной стержень. В этом случае, предполагая, что в обоих стерж- нях возникают растягивающие силы, статическая (1) и геометриче- ская (2) стороны задачи не изменятся, а физическая (3) принимает вид: .(мм)3,28 101 1083,210 ;мм)(1835,1 102 106,310 30106,310125 α м 5 33 м м мм м ст 5 33 стo37 ст стстo стстт A N A N AE N A N A N AE N tс     Подставляем выражения в (2): A N A N мст 3,2818,11835,1 и после вычислений получаем дополнение к статической стороне (1): (кН)041,166,1 (кН)075,086,1 мст мст NN ANN (кН)0235,0 (кН)0277,0 ст м АN АN . Температурные напряжения соответственно равны: .(сжатие)МПа5,23 100235,0 σ ;е)(растяжениМПа7,27 100277,0 σ 3 ст )ст( 3 м )м( А А A N A A A N t t 118 Таким образом, теперь стальной стержень будет деформиро- ваться в стесненных условиях, а медный – растягиваться. 2.4. Монтажные напряжения Задача 32 Шарнирно закрепленный жесткий брус АD предполагается под- весить на трех стальных стержнях одинаковой длины ℓ = 1 м и оди- накового поперечного сечения площадью А = 20 см2. Однако в процессе сборочных работ обнаружилось, что средний стержень выполнен короче проектного размера на ∆ = 0,5 мм. Определить монтажные напряжения в стержнях, возникающие после сборки конструкции. Принять Е = 2·105 МПа. РЕШЕНИЕ:  Для закрепления среднего стержня на брусе АD его следует рас- тянуть или предварительно нагреть, чтобы обеспечить необходимое удлинение. В результате сборки конструкции в стержнях возникают начальные продольные силы – в стержне 2 растягивающая сила N2, а в крайних стержнях – сжимающие N1 и N3: Статическая сторона → 032 :0 321 aNaNaN M A 032 321 NNN (1) Система дважды статически неопределима. Геометрическая сторона → 119 EA N EA N EA N EA N       33 22 2 1 1 ; )( ; При построении схемы деформаций брус АD после за- крепления на трех стержнях следует располагать таким об- разом, чтобы его новое поло- жение AD* проходило в про- межутке зазора ∆, не доста- вая до нижнего конца средне- го стержня, как показано на рисунке. В противном случае на деформационной схеме будет потеряно удлинение стержня 2, а это противоречит смыслу задачи: если в элементе есть продольная сила, значит, должна быть и деформация. Поскольку конструкция два раза статически неопределима, в геометрической части необходимо найти два дополнительных уравне- ния: aa ADDABB 3 ** 31  13 3  (2а) 21 1 Xно,2 2 **   X a X a ACCABB → 212  (2б) Физическая сторона → (3) Подставляем (3) → (2а): 13 13 33 NN EA N EA N  (4) Подставляем (3) → (2б): EA N EA N  212 кН)(200 101 5,01020102 2 3 25 21  EA NN (5) Объединяем уравнения (1), (4) и (5) и получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными силами N1, N2 и N3: 120 2002 3 032 21 13 321 NN NN NNN кН8,85 кН9,142 кН6,28 3 2 1 N N N .  Монтажные напряжения соответственно равны: .(сжатие)МПа9,42 1020 108,85 σ ;е)(растяжениМПа5,71 1020 109,142 σ ;(сжатие)МПа3,14 1020 106,28 σ 2 3 3 3 2 3 2 2 2 3 1 1 A N A N A N Задача 33 Жесткий брус АВ предполагается укрепить на трех стальных стержнях одинакового поперечного сечения площадью А = 10 см2 и длиной ℓ1 = ℓ2 = 2 м и ℓ3 = 0,8 м. Однако один из стержней выполнен короче про- ектного размера на ∆ = 2,5 мм. Опреде- лить монтажные напряжения в стержнях после сборки конструкции. Опреде- лить, какой величины следует выполнить зазор ∆, чтобы при нагружении конструк- ции силой F = 28 кН посередине бруса стержни стали равнопрочными. Принять Е = 2·105 МПа. РЕШЕНИЕ  Для закрепления среднего стержня на брусе АВ его необходимо растянуть, в результате чего после сборки конструкции в стержнях возникают начальные продольные силы N1, N2 и N3: Статическая сторона → 040sin2:0 :0 3 o 1 21 NNY NNX 121 EA N EA N EA N 3333 3 11 1 )( ;     028,1 31 NN (1) Геометрическая сторона → 3A 1o 1 56,1 40sin   А 3156,1  (2) Физическая сторона → (3) Подставляем (3) → (2) и вместе со статической стороной (1) по- лучаем систему двух уравнений: кН)(250 102 5,21010102 2 8,0 56,1 56,156,1 3 25 31 1 3 1 3 1 3311 NN EA NN EA N EA N   (кН)0N28,1 (кН)2504,056,1 31 31 N NN кН4,154 кН6,120 3 21 N NN .  Монтажные напряжения соответственно равны: .МПа4,154 1010 104,154 σ ;МПа6,120 1010 106,120 σσ 2 3 3 3 2 3 1 21 A N A N  Рассмотрим конструкцию в нагруженном состоянии и определим необходимую величину зазора, обеспечивающую равнопрочность стержней: 122  При действии рабочей нагрузки и в случае, когда конструк- ция была собрана в условиях неточного изготовления одного из элементов, продольные силы, возникающие в стержнях, будут являться результатом совместного действия этих двух факторов и стати- ческое уравнение (1) принимает вид: 040sin2:0 :0 3 o 1 21 FNNY NNX 028,1 31 FNN (1*)  Из условия равнопрочности σ1 = σ2 = σ3 при одинаковой площади се- чений имеем → NNNN 321 ;  Тогда из уравнения (1*): .кН100 28,0 28 28,0 F N  Схема деформаций и физическая сторона задачи сохраняются, и тогда, подставляя (3) → (2), получаем: 1 3 1 3 1 3311 56,156,1   EA NN EA N EA N мм96,1 . 2.5. Другие случаи статически неопределимых задач Задача 34 Квадратная плита, укрепленная на четырех одинаковых симмет- рично расположенных стойках, нагружается силой F = 200 кН, как показано на рисунке. Стойки жестко соединены с фундаментом, что позволяет им воспринимать как растягивающие, так и сжимающие усилия. Определить продольные силы в стойках. 3 25 33 102 1010102 10100 2 8,0 1010056,1 123 РЕШЕНИЕ Особенность данной задачи состоит в том, что, начиная ее решение, трудно с уве- ренностью установить характер деформа- ции конструкции и вид деформационной схемы. Приложение силы F, как показано на рисунке, может вызвать в стойках 1-2-3 как укорочение, так и удлинение, и это, очевидно, зависит от смещения этой силы от цента плиты. Вид конструкции в дефор- мированном состоянии можно задать про- извольно, но при этом силовая схема долж- на обязательно соответствовать схеме де- формаций. Можно, например, предположить, что все четыре стойки укоротятся и продольные силы в них будут сжимающими. Но также вероятна и ситуация, что стойка 4 укоротится, а стойки 1-2-3 ─ удлинятся, что потребует принятия соответствующей силовой схе- мы. Из-за неопределенности характера деформации для систем дан- ного типа предпочтительнее применять методы раскрытия статиче- ской неопределимости, исключающие построение деформационных схем. Произвольно заданная схема деформаций может внести ошибку в самом начале решения и приведет к неверному результа- ту, а также к возможному противоречию между силовым и дефор- мированным состоянием конструкции. Для решения данной задачи используем энергетический метод, основанный на принципе наименьшей работы:  Отбрасываем в качестве лишней связи стойку 4 и заменяем ее действие на систему силой Х. Определяем продольные силы N1, N2 и N3 от действия каждой из приложенных нагрузок. Так как без стойки 4 система стала статически определимой, указанные силы можно определить из уравнений равновесия. Направление сил N задаем произвольно, но решение уравнений равновесия покажет: если сила N получилась 124 положительной – ее направление выбрано верно, если отрицатель- ной – ее следует перенаправить. Правильное направление укажет вид деформации, возникающей в стойке от заданной нагрузки: От действия силы F → 02:0 02:0 :0 )(2)(1 )(1)(2 )(3)(200 bNbaNM FNNZ NNM FFmm FF FF сжатие)(65,0 2 N )растяжение(3,0 2(F) )(1 FF a ba FF a b N F От действия силы X → 02 :0 02:0 :0 )(2)(1 )(2)(1 )(3)(200 baXbNbaN M XNNZ NNM XX mm XX XX е)(растяжени (сжатие) )(2 )(1 XN XN X X  Полные силы в стойках с учетом вида деформаций равны: сжатие)( 65,0 3,0 4 )(2)(232 )(1)(11 XN FXNNNN XFNNN FX XF 125 Здесь первое слагаемое в N1, N2 и N3 соответствует растяжению, а второе – сжатию, поэтому результирующая сила и возникающая от нее деформация будут зависеть от того, какое из слагаемых окажет- ся бóльшим.  Полная потенциальная энергия, накопленная в стойках, равна: .42,3935,0 2 65,023,0 222 2 2 22 222 2 4 2 2 2 1 XXFF EA XFXXF EAEA N EA N EA N U    Из условия минимума потенциальной энергии определяем значение силы X и продольные силы в стойках: 02,38:0 FX X U (сжатие)5025,065,0 (сжатие)201,03,0 (сжатие)804,0 32 1 4 кНFFXNN кНFXFN кНFNX . Таким образом, во всех стойках возникает сжимающая продольная сила, они укорачиваются и конструкция принимает вид:  Как видно из рисунка, дефор- мации связаны между собой соотно- шением: .2/41)3(2   Тогда на основании закона Гука продольные силы будут также связаны между собой соотношением 2/41)3(2 NNN , что соответству- ет полученным результатам расчетов. Задача 35 Внутри стальной втулки площадью поперечного сечения А = 20 см2 и длиной ℓст = 250 мм установлен алюминиевый стержень такой же площади сечения, но длиннее втулки на ∆ = 0,04 мм. Определить 126 стал  AE F AE N AE F AE N ст ст ст стст ст ал ал ал алал ал 2 2     силу F, которая вызовет в стержне и втулке одинаковые напряже- ния. Принять Ест = 2·10 5 МПа, Еал = 0,75·10 5 МПа. РЕШЕНИЕ  Из условия равенства напряжений σст = σал и при одинаковой площади сечений элементов имеем → Nст = Nал = N.  Определяем продольные силы в элементах методом деформаций: Статическая сторона → FNFNNZ 20:0 алст 2/FN (1) Геометрическая сторона → (2) Физическая сторона → (3) Подставляем (3) → (2): ал ст ст ал ал ал т ст ал ал 1 2 22    E E AE F AE F AE F с Задача 36 Конструкция состоит из трех стоек одинаковой длины, из которых две крайние – стальные площадью поперечного сечения Аст = 20 см 2, а средняя – чугунная площадью сечения Ачуг = 50 см 2. На стальных стойках установлены две одинаковые пружины с коэффициентом .кН8,76 04,250 250 102 1075,0 104,250 10201075,004,02 1 2 5 5 25 ал ст ст ал ал ал    Е Е АЕ F 127 податливости δ = 0,005 мм/кН (δ – осадка пружины под действием силы в 1 кН), на которых крепится плита, как показано на рисунке. Между плитой с средней стойкой имеется зазор ∆ = 0,5 мм. Определить напряжения в стойках при нагружении плиты силой F = 350 кН. Принять Ест = 2·10 5 МПа, Ечуг = 1,2·10 5 МПа. РЕШЕНИЕ  Определяем продольные силы в стойках методом деформаций: Статическая сторона → Так как в силу симметрии продольные си- лы в крайних стойках одинаковы, имеем: 02:0 чугст FNNZ (1) Геометрическая сторона → чугст  , где пружстст  чугружст  п (2) Физическая сторона → (мм)0017,0 1050102,1 10110 (мм)005,0δ (мм)0025,0 1020102 10110 чуг25 33 чуг чугчуг чуг чуг стстпруж ст25 33 ст стст ст ст N N AE N NN N N AE N     (3) Подставляем (3) → (2): 5,00017,0005,00025,0 чугстст NNN 128 5,00017,00075,0 2 чугст чугст NN FNN → кН149 кН5,100 чуг т N Nс .  Напряжения в стойках равны: .МПа30 1050 10149 σ;МПа3,50 1020 105,100 σ 2 3 чуг чуг чуг2 3 т ст ст A N A N с Если в данной конструкции пружину установить на средней стойке, это позволит разгрузить средний (чугунный) стержень и снизить напряжения в нем на 20%. Расчет для этого случая предла- гается провести самостоятельно. Задача 37 Бетонная стойка АС площадью сечения 40×40см2 с установленными двумя стальными тягами закреплена между жесткими плитами и в среднем сечении нагружена силой F = 320 кН, как показано на рисунке. Какую площадь сече- ния должны иметь тяги, чтобы растягивающие напряжения в верхней части стойки не превы- шали 0,5 МПа? Чему в этом случае будут равны напряжения в тягах? Принять: Ест = 2·10 5 МПа, Ебет = 1,5·10 4 МПа. РЕШЕНИЕ  Под действием силы F стойка и тяги деформи- руются и, воздействуя на опоры, вызывают реак- ции опор: :0Z 02 тяг FRRR СА (1) Продольные силы, возникающие в тягах и на участках бетонной стойки, соответственно равны этим реакциям: .;;тягтяг CBCAAB RNRNRN 129  Определяем RА из условия задачи, что напряжение в стойке на участке АВ не должно превышать МПа5,0σAB : бетбет σ A R A N AAB AB кН801040405,0σ 2 бетAR ABA .  Так как стойка АС жестко закреплена между плитами, условие деформации для нее имеет вид: 0полн 0ВСАВполн  , (2) где деформации участков АВ и ВС определяются по закону Гука: бетбетбетбет бетбетбетбет AE R АЕ N AE R AE N CBC ВС AAB AB     (3) Подставляем (3) → (2) и получаем → кН80CA RR , а из ста- тического уравнения (1) определяем продольную силу в стальных тягах → кН80тягтяг RN . Таким образом, все реакции опор в данной конструкции одинаковы и равны 80 кН.  Подбираем площадь сечения тяг из условия равенства их удли- нения и деформации участка стойки АВ. Учитывая, что  АВтяг и ААВ RRNN тягтяг , получаем: бетбеттягст тяг бетбеттягст тяг тяг AE R AE R AE N AE N AAB AB   2 5 4 бет ст бет тяг см1204040 102 105,1 А Е Е А .  Напряжения в тягах соответственно равны: МПа7,6 10120 1080 σ 2 3 тяг тяг тяг тяг тяг A R A N . 130 04 деруг FNN деруг  Задача 38 Короткая деревянная колонна квадратного сечения 25×25см2, усиленная четырьмя стальными уголками 40×40×4 (Ауг = 3,08 см 2), сжимается силой F, как показано на рисунке. Какую наиболь- шую безопасную нагрузку может выдержать конструкция, если [σ]ст = 160 МПа и [σ]дер = 12 МПа? Вычислить, насколько следует укоротить уголки, чтобы напряжения в деревянной колонне были равны [σ]дер. Насколько при этом увеличится грузоподъемность конструкции? Принять: Ест = 2·10 5 МПа, Едер = 1·10 4 МПа. РЕШЕНИЕ  Под действием силы F уголки и колонна сжимаются и в них возникают продольные силы Nуг и Nдер. Определяем эти силы: Статическая сторона → :0Z (1) Геометрическая сторона → (2) Физическая сторона → дердер дер дер гст уг уг ; AE N AE N у     (3) Подставляем (3) → (2), а затем результат → (1) : угуг угст дердер дер дердер дер угст уг 10NN AE AE N AE N AE N  (1) → FNFN 14 10 ; 14 1 деруг .  Подбираем допускаемую нагрузку F из условия прочности уголка и деревянной стойки: 131 ст угуг г уг σ 14 σ A F A N у ;кН6901601008,314σ14 2стугAF дер дерер дер дер σ 14 10 σ A F A N д .кН105012102525 10 14 σ 10 14 2 дердер хAF Окончательно принимаем допускаемую силу [F] = 690 кН – меньшее значение, обеспечивающее прочность уголка. Однако де- ревянная стойка в этом случае будет недогружена на 34 %.  Изменим конструкцию, выполнив уголки короче, что позволит перераспределить продольные силы в ее элементах и догру- зить деревянную стойку. Определим, на какую величину ∆ следует укоротить угол- ки, чтобы напряжения в стойке достигли значения [σ]дер: Из заданного условия по напряжениям для деревянной стойки определяем в ней продольную силу Nдер : дер дер дер дер σσ A N  Из уравнения (1) продольная сила в уголке Nуг равна: 4 дер уг NF N . (4)  Записываем условие прочности для стального уголка и опре- деляем допускаемую силу F: ст уг дер уг уг уг σ 4 σ A NF A N .кН9471601008,3410750σ4 23стугдер ANF .кН75012102525σ 2дердердер AN 132  Тогда из выражения (4) → кН3,49угN . Таким образом, укорочение уголков, т.е. выполнение монтажного зазора, позволит повысить нагрузку на конструкцию на 37 %.  Определяем величину этого зазора. Из уравнения совместности деформаций (см. рис.) имеем: угдер  , (5) где на основании закона Гука: .(мм)0008,08,0 1008,3102 101103,49 ;мм2,1 102525101 10110750 25 33 угст деруг уг 24 33 дердер дердер дер AE N хAE N     Подставляем последние выражения в (5) и получаем: 0008,08,02,1 мм4,0 . Задача 39 Стальной болт пропущен сквозь медную втулку, как показано на рисунке. Шаг нарезки болта h = 3 мм. Определить напряжения в болте и втулке при завинчивании гай- ки А на ¼ оборота. Принять Ест = 2·10 5 МПа, Ем = 1·10 5 МПа. РЕШЕНИЕ  При завинчивании гайки А медная втулка сжимается, а болт − растягивается. Определяем продольные силы в элементах методом деформаций: Статическая сторона → 0:0 втб NNZ oвтб FNN (1) где oF – сила затяжки болта (сила, сжи- мающая втулку и растягивающая болт). Геометрическая сторона → 133 втб 4 1 h Уравнением перемещений является равенство между полным перемещением гайки А влево и укорочением медной втулки: .вт влево A Суммарное перемещение гайки А влево ( влевоА ) определяется как результат двух ее перемещений: ← влево – при повороте гайки на ¼ оборота и оно равно ∆А=¼ h; → вправо – вследствие растяжения болта на б при затягива- нии гайки. Тогда уравнение перемещений принимает вид: (2) Физическая сторона → , (3) где площади сечений болта и втулки соответственно равны: .мм1100 4 π ;мм314 4 π 2 2 вт 2 вт вт 2 2 б б dD A d A Подставляем (3) → (2) и получаем: втм o бст o 4 1 AE F AE F h  .кН40 1100101 314102 17504 3141023 14 5 5 5 втм бст бст o AE AE AEh F   Напряжения в болте и втулке соответственно равны: .(сжатие)МПа4,36 1100 1040 σ ;е)(растяжениМПа4,127 314 1040 σ 3 вт o вт вт вт 3 б o б б б A F A N A F A N втм o втм вт вт бст o бст б б ; AE F AE N AE F AE N     134 цилб  Решая задачу в обратном направлении, можно определить, при какой затяжке болта нарушается его прочность и напряжения до- стигают предела текучести. Предлагается провести решение само- стоятельно. Задача 40 Чугунный цилиндр длиной ℓ имеет раз- меры сечения – Dнар = 30 см и dвн = 25 см. Торцы цилиндра закрыты жесткими крыш- ками, через центральные отверстия в кото- рых пропущен стальной болт, стянутый гайками. Сила затяжки болта Fо = 200 кН. Размеры болта – длина ℓ и площадь поперечного сечения Аб = 35 см 2. Вся конструкция работает под действием силы F = 180 кН, как показано на рисунке. Определить напряжения в болте и чу- гунном цилиндре. Принять Ест = 2·10 5 МПа, Ечуг = 1,2·10 5 МПа. РЕШЕНИЕ: При решении данной задачи рассмотрим два случая. Случай 1 ─ Под действием силы F стыки А и В не раскрываются.  Определим продольные силы в цилин- дре и болте, вызванные действием силы F: Статическая сторона → :0Z FNN цилб (1) Геометрическая сторона → (2) Физическая сторона → цилчуг цил ил бст б б ; AE N AE N ц     , (3) 135 где .см9,215 4 π 2 2 вн 2 нар цил dD A Подставляем (3) → (2) и совместно с (1) получаем: 7,3где, бст цилчуг бцил цилчуг цил бст б AE AE kNkN AE N AE N  . 1 ; 1 цилб k Fk N k F N  Полные продольные усилия в цилиндре и болте с учетом силы затяжки болта Fо, вызывающей его растяжение и сжатие ци- линдра, равны: .кН3,58200 7,31 1807,3 1 NN ;кН3,238200 7,31 180 1 ooцил(полн)цил ooб(полн)б F k Fk F F k F FNN (4)  Напряжения в элементах соответственно равны: .(сжатие)МПа7,2 109,215 103,58 σ ;е)(растяжениМПа1,68 1035 103,238 σ 2 3 цил (полн)цил цил 2 3 б (полн)б б A N A N Случай 2 ─ Стыки А и В раскрываются. Определим силу F*, ко- торая приводит к раскрытию стыков.  Условием раскрытия стыка является 0(полн)цилN , так как в этом случае нагрузка с чугунного цилиндра сбрасывается – он не испытывает больше сжатия, создаваемого силой затяжки болта при закрытых стыках. Тогда на основании выражений (4) имеем: 0 1 * NN ooцил(полн)цил F k Fk F .кН254 7,3 7,312001 * o k kF F (5) 136  С момента раскрытия стыков внешняя нагрузка полностью пере- дается на болт и продольная сила в нем на основании (4) и (5) будет определена как: кН254* 1 1 1 * o o ooб(полн)б FF kk kF F k F FNN , т.е. она становится равной внешней растягивающей силе.  Напряжения в болте при раскрытии стыков равны: .МПа6,72 1035 10254* σ 2 3 бб (полн)б б A F A N Проанализируем полученные результаты. Пусть болтовое соединение работает на растяжение и подвер- гается действию основной внешней силы F:  Пока стыки соединения не раскрываются, болт испытывает внутреннее растягивающее усилие (полн)бN , равное: , 1 ooбo(полн)б FmF k F FNFN где k m 1 1 – коэффициент основной нагрузки, зависящий от со- отношения жесткостей промежуточных втулок и стержня болта;  Так как m < 1, следовательно, предварительная затяжка в болтовых соединениях позволяет снизить воздействие дополни- тельной внешней нагрузки на болт, поскольку болт в этом случае воспринимает только часть этой силы – mF, а не всю силу целиком. При этом, чем более высокой жесткостью обладает втулка, тем меньше будет коэффициент m и тем меньшая доля внешней нагруз- ки придется на болт. Поэтому, чтобы усилие на болт при приложе- нии внешней (основной) нагрузки возрастало незначительно, т.е. для уменьшения коэффициента m, надо делать «жесткие фланцы – податливые болты». Это – правило конструирования болтовых соединений. Для случая абсолютно жесткой втулки (ЕвтАвт = ∞) ко- эффициент m = 0 и усилие в болте всегда будет равно силе затяжки болта Fо (до раскрытия стыков) при любой внешней растягиваю- щей силе F; 137  Как только стыки раскрываются, продольная сила во втулке становится равной нулю → 0втN , откуда можно определить силу F*, приводящую к раскрытию стыков. С этого момента вся нагрузка полностью ложится на болт → *б FFN . Таким образом, пока внешняя сила F не достигала F*, она вос- принимается болтом не полной своей величиной, а частично – FmFN o(полн)б . После раскрытия стыка внешняя сила *FF полностью передается на болт. Это очень важно знать для болтовых соединений, особенно, работающих в условиях переменных нагру- зок. Поэтому здесь принимаются специальные меры для предот- вращения отворота гаек (контргайки, шайбы и т.п.). А в условиях статического нагружения все параметры болтового соединения можно рассчитать, как это было сделано в задаче 39. 2.6. Расчет по предельному состоянию Задача 41 Составной короткий цилиндр выполнен из внутреннего (из дуралюмина) и наружного стального цилиндров и нагружается че- рез жесткую плиту силой F, как показано на рисунке. Определить допускаемую нагрузку на цилиндр по допускаемым напряжениям и по предельному состоянию при одинаковом коэффициенте за- паса n = 2, считая, что каждый материал, достигнув предела текуче- сти, не оказывает дополнительного сопротивления дальнейшей де- формации. Результаты сравнить. Принять Ест = 2·10 5 МПа, Едур = 0,7·10 5 МПа σт(ст) = 240 МПа, σт(дур) = 190 МПа. РЕШЕНИЕ  Определяем продольные силы в цилин- драх (раскрытие статической неопределимо- сти возможно любым методом): Статическая сторона → FNN стдур (1) Геометрическая сторона → стдур  (2) 138 Физическая сторона → стст ст ст дурдур дур дур ; AE N AE N     , (3) где .см04,113 4 1620π ;см92,87 4 1216π 2 22 ст 2 22 дур А А Решаем совместно три стороны задачи и получаем: стст стст дурдур дур стст ст дурдур дур 27,0 NN AE AE N AE N AE N  (1) → FNFN 21,0;79,0 дурст .  Расчет по допускаемым напряжениям Определяем нагрузку F из условия прочности цилиндров, при- нимая для них допускаемые напряжения соответственно равные: ;МПа95 2 190σ σ;МПа120 2 240σ σ (дур)т дур (ст)т ст nn ст стст ст cт)(max σ 79,0 σ A F A N ;кН1717 79,0 1201004,113 79,0 σ 2стст ст А F дур урур дур дур)(max σ 21,0 σ дд A F A N .кН3977 21,0 951092,87 21,0 σ 2дурдур дур А F Принимаем окончательно допускаемую силу [F] = 1717 кН, при этом цилиндр из дуралюмина будет недогружен на 43 %. 139  Расчет по предельному состоянию Так как напряжения в стальном цилиндре больше, чем в цилин- дре из дуралюмина → 3 04,113 92,87 21,0 79,0 σ σ ст дур дур ст дур ст F F A A N N , то при возрастании нагруз- ки первым предельного состояния достигнет стальной цилиндр. Как только напряжения в нем станут равны пределу текучести, их рост останавливается и продольная сила в стальном цилиндре будет равна: ст(ст)т(ст)т σ AN . При этом цилиндр из дуралюмина остается недо- груженным, поэтому работоспособность конструкции сохраняется, однако напряжения здесь продолжают расти по мере увеличения нагрузки. Как только они достигают предела текучести и продоль- ная сила в дюралюминиевом цилиндре становится равной дур(дур)т(дур)т σ AN , несущая способность конструкции исчерпана полностью. Рассматривая составной цилиндр в состоянии предель- ного равновесия, т.е. в момент, непосредственно предшествующий его разрушению, на основании статического уравнения (1) опреде- ляем предельную нагрузку Fпред, соответствующую достижению состояния текучести в обоих цилиндрах: преддур(дур)тст(ст)тпред(дур)т(ст)т σσ FААFNN .кН43831092,871901004,113240 22предF  Тогда предельно допускаемая нагрузка [F]пред , принимая тот же коэффициент запаса прочности, будет равна: Сравнивая результаты расчета, видно, что [F]пред больше [F] примерно на 28 %, т.е. расчет по предельному состоянию показы- вает бóльшую несущую способность конструкции по сравнению с расчетом по допускаемому напряжению. Использование этих ре- зервных возможностей делает конструкцию более экономичной и рациональной. Задача 42 Абсолютно жесткий брус АВ шарнирно закреплен на опоре и под- .кН7,2191 2 4383пред пред n F F 140 FNFN 4,0;2,0 21 держивается двумя стальными стержнями с одинаковой площадью поперечного сечения А = 10 см2. Конструкция нагружается силой F, как показано на рисунке. Определить допускаемую нагрузку. Расчет выполнить по допускаемым напряжениям и по предельному состо- янию. Результат сравнить. Принять: σт = 240 МПа, коэффициент запаса прочности n = 1,5. РЕШЕНИЕ  Определяем продольные силы в стержнях, раскрывая статиче- скую неопределимость одним из рассмотренных выше способ (предлагается сделать самостоятельно) и получаем: .  Расчет по допускаемым напряжениям Определяем допускаемую силу [F] по упругому расчету, т.е. по допускаемым напряжениям, равным → МПа160nσσ т . Так как при равной площади сечения наиболее нагруженным является стержень 2 (N2 > N1), определяем силу [F] из условия его прочности: σ 4,0 σ 22 A F A N .кН400 4,0 1601010 4,0 σ 2A F  Расчет по предельному состоянию Так как стержень 2 наиболее нагружен, то при увеличении нагрузки он первым достигнет предельного состояния и напряже- ния в нем станут равны пределу текучести. При этом стержень 1, являясь «недогруженным», будет поддерживать конструкцию в ра- бочем состоянии. Однако при дальнейшем повышении нагрузки напряжения в нем также достигают предела текучести, что приво- дит конструкцию к полному исчерпанию несущей способности. В этот момент продольные силы в стержнях равны Nт(1) = Nт(2) = σтА, и рассматривая предельное состояние системы, получаем: ;02 :0 )2(т)1(т aFaNaN M A FАА тт σ2σ ;кН72010102403σ3 2тпред АF 141 FN FN FN 431,0 609,0 182,0 3 2 1 .кН480 5,1 720пред пред n F F Таким образом, расчет по предельному состоянию показывает, что реальная несущая способность конструкции на 20 % больше, чем дает результат расчета по допускаемым напряжениям. Задача 43 Для стержневой конструкции, представленной на рис. 20 (При- мер 13), определить допускаемую силе F, рассчитав ее по допускае- мым напряжениям и по предельному со- стоянию. Стержни имеют одинаковое се- чение и выполнены из одинакового мате- риала. Принять: А = 10 см2, Е = 2·105 МПа, σт = 240 МПа, коэффи- циент запаса прочности n = 1,5. РЕШЕНИЕ  Продольные силы в стержнях по результатам решения при- мера 13, равны:  Расчет по допускаемым напряжениям При одинаковой площади сечения наиболее нагруженным явля- ется стержень 2, поэтому подбираем силу [F] из условия прочности этого стержня: σ 609,0 σ 22 A F A N кН263 5,1609,0 2401010 609,0 σ 609,0 σ 2т n AA F .  Расчет по предельному состоянию Так как стержень 2 наиболее нагружен, напряжения в нем первыми достигнут предела 142 текучести. Затем по мере возрастанию нагрузки предела текучести достигнут напряжения в стержне 3. Однако достижение напряже- ниями предела текучести в всех трех стержнях в этой конструк- ции невозможно, так как равновесие системы в этом случае будет нарушено. Если предположить, что при возрастании нагрузки про- дольные силы во всех элементах достигнут значений, равных АNNN т(3)т(2)т(1)т σ , то из уравнение равновесия видно, что оно не выполняется: 0125sinσσ25sinσ:0 oтт o т ААAX . Это означает, что несущая способность конструкции будет исчерпана полностью, когда предела текучести достигнут напряжения в стержнях 2 и 3, а стержень 1 еще будет работать в упругой стадии. Продольная сила в нем, определяемая из уравнения равновесия, будет равна: ,σ42,0025sinσ:0 т11 o т ANNAX т.е. рабочие напряжения будут составлять только 42 % от σт. Исходя из этого, определяем Fпред и [F]пред по наступлению теку- чести в стержнях 2 и 3: 025cosσσ025cos:0 oтт o (3)т(2)т FААFNNY ;кН45825cos1101024025cos1σ o2oтпред AF ,кН305 5,1 458пред пред n F F что превышает результат расчета по допускаемым напряжениям и показывает, что действительная несущая способность конструкции на 16 % больше. Таким образом, из рассмотренной задачи видно, что существуют системы, у которых несущая способность исчерпывается в то время, когда еще не все стержни достигли состояния текучести. Поэтому при определении предельной нагрузки, задавая условия достижения предела текучести в отдельных ее элементах, следует для каждого варианта наступления текучести рассматривать систему в состоя- нии предельного равновесия и устанавливать, при какой комбина- ции продольных сил не обеспечивается ее равновесие. Это позволит определить, текучесть каких элементов приведет конструкцию к 143 полному исчерпанию ее несущей способности и рассчитать пра- вильную предельную нагрузку. 3. Учет собственного веса при растяжении (сжатии) Задача 44 Круглая штанга шахтного насоса длиной ℓ = 30 м растягивается приложенной на конце силой F = 8 кН. Какого диаметра d следует сделать штангу с учетом ее собственного веса, если [σ] = 70 МПа? Принять γст = 7,8·10 −5 Н/мм3 (7,8∙103 кг/м3). РЕШЕНИЕ Из условия прочности штанги с учетом ее собственного веса → σγσmax  A F , где 4 π 2d A , определяем ее диаметр: .мм3,12 )1030108,770(14,3 1084 )γσ(π 4 35 3  F d Задача 45 Найти удлинение квадратной вертикально подвешенной шахт- ной штанги длиной ℓ = 200 м, нагруженной собственным весом и силой F = 60 кН, приложенной на конце, если известно, что для материала σmax = 60 МПа. Принять: Е = 2·10 5 МПа, γ=7,8·10−5 Н/мм3. РЕШЕНИЕ  Определяем площадь сечения штанги: maxmax σγσ  A F .мм4,1351 10200108,760 1060 γσ 2 35 3 max  F A  Вес штанги равен: .кН1,21102004,1351108,7γ 35AQ  Определяем удлинение штанги с учетом ее веса: 144 .мм2,52 4,13511022 10200101,21 4,1351102 102001060 2 3 33 5 33 полн EA Q EA F   Задача 46 Вертикальный стальной стержень с площадью поперечного сече- ния А и длиной ℓ = 300 м работал под продольной нагрузкой F при напряжении σmax = 60 МПа. Насколько можно удлинить стержень, не меняя ни сечения, ни нагрузки на него, если повышение напряжения допустимо до [σ] = 65 МПа ? Принять γ = 7,8·10−5 Н/мм3. РЕШЕНИЕ  Для первоначальной длины стержня максимальные напряжения, возникающие в нем, заданы и определяются как: .γσоткудаγσ maxmax  A F A F  Для новой длины ℓ1 допускаемые напряжения также заданы и определяются по аналогичной формуле. Подставляя сюда значение AF из выражения выше, получаем: 1max1 γγσγσ  A F . м364 108,7 10300108,760(65 γ )γσ(σ 5 35 max 1   Удлинение стержня возможно на .м641  Задача 47 Ступенчатая штанга шахтного насоса состоит из четырех ча- стей разного диаметра, но равной длины ℓ = 7,5 м. К нижнему концу штанги приложен груз F = 8 кН. Подобрать диаметры участков штанги так, чтобы максимальные напряжения на каждом участке не пре- вышали допускаемое напряжение [σ] = 70 МПа. Определить выиг- рыш в весе, который дает использование ступенчатой штанги по сравнению с равной по прочности штангой постоянного сечения. Принять γ = 7,7·10−5 Н/мм3. РЕШЕНИЕ 145  Определяем диаметр штанги постоянного сечения из условия ее прочности с учетом собственного веса: откуда,4πАгдеσ4γσ 2max d A F  .мм3,12 )105,74107,770(14,3 1084 )4γσ(π 4 35 3  F d Вес штанги полученного диаметра равен: .Н8,278105,74 4 3,1214,3 107,744πγ4γ 3 2 52  dAQ  Определяем из условия прочности диаметр каждого участка штанги: Участок 1 → σγ 4π γσ 12 1 1 1 max  d F A F .мм1,12 )105,7107,770(14,3 1084 )γσ(π 4 35 3 1 1  F d Вес участка равен: .H3,66 4 1,1214,3 105,7107,74πγγ 2 352 11111 dAQ  Участок 2 → σγ 4π γσ 22 2 1 2 2 1 max  d QF A QF .мм15,12 )105,7107,770(14,3 )3,66108(4 )γσ(π )(4 35 3 2 1 2  QF d Вес участка равен: .H7,66 4 15,1214,3 105,7107,74πγγ 2 352 22222 dAQ  Участок 3 → σγ 4dπ QQF γ A QQF σ 32 3 21 3 3 21 max  → 146 .мм22,12 )105,7107,770(14,3 )7,663,66108(4 )γσ(π )(4 35 3 3 21 3  QQF d Вес участка равен: .H7,67 4 22,1214,3 105,7107,74πγγ 2 352 33333 dAQ  Участок 4 → σγ 4π γσ 42 4 321 4 4 321 max  d QQQF A QQQF .мм27,12 )105,7107,770(14,3 )7,677,663,66108(4 )γσ(π )(4 35 3 4 321 4  QQQF d Вес участка равен: .H3,68 4 27,1214,3 105,7107,74πγγ 2 352 44444 dAQ  Полный вес ступенчатой штанги равен: что меньше веса штанги постоянного сечения примерно на 10Н ≈ 1кг. ,Н9,2684321полн QQQQQ 147 ЛИТЕРАТУРА 1. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов / В.И. Федосьев. – М.: Наука, 1986. – 512 с. 2. Биргер, И.А. Сопротивление материалов / И.А. Биргер, Р.Р. Мавлютов. – М.: Наука, 1986. – 560 с. 3. Беляев, Н.М. Сопротивление материалов / Н.М. Беляев. – М.: Наука, 1976. – 607 с. 4. Татур, Г.К. Общий курс сопротивления материалов / Г.К. Та- тур. – Минск: Вышэйшая школа, 1974. – 462 с. 5. Дарков, А.В. Сопротивление материалов / А.В. Дарков, Г.С. Шпиро. – М.: Высшая школа, 1975. – 742 с. 6. Писаренко, Г.С. Сопротивление материалов / Г.С. Писаренко [и др.]. – Киев: Вища школа, 1979. – 693 с. 7. Степин, П.А. Сопротивление материалов / П.А. Степин. – М.: Высшая школа, 1968. – 424 с. 8. Подскребко, М.Д. Сопротивление материалов / М.Д. Под- скребко. – Минск: Вышэйшая школа, 2007. – 797 с. 9. Сборник задач по сопротивлению материалов / под ред. В.К. Качурина. – М.: Наука, 1970. – 432 с. 10. Сборник задач по сопротивлению материалов / под ред. А.С. Вольмира. – М.: Наука, 1984. – 407 с. 11. Сборник задач по сопротивлению материалов / под ред. А.А. Уманского. – М.: Наука, 1973. – 495 с. 12. Иванов, Н.И. Сборник задач по сопротивлению материалов / Н.И. Иванов.– М., 1956. – 276 с. Учебное издание РЕУТ Лариса Ефимовна КУРС ЛЕКЦИЙ И ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МЕХАНИКА МАТЕРИАЛОВ» РАСТЯЖЕНИЕ–СЖАТИЕ Учебно-методическое пособие для студентов машиностроительных специальностей Подписано в печать 09.08.2011. Формат 60 84 1/16. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 8,60. Уч.-изд. л. 6,73. Тираж 100. Заказ 632. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Проспект Независимости, 65. 220013, Минск.