Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра инженерной математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Руководство к решению задач для студентов механико-технологического факультета Часть 4 Минск БНТУ 2010 Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра инженерной математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Руководство к решению задач для студентов механико-технологического факультета В 7 частях Часть 4 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Под редакцией В.А. Нифагина Минск БНТУ 2010 УДК 51(076.5) ББК 22.1я7 В 93 Издание выходит с 2008 года Составители: Е.А. Глинская, И.В. Прусова, О.Г. Вишневская, А.А. Литовко Рецензент В.В. Веременюк Данное издание содержит теоретические сведения, подробные решения ти- повых примеров и задач, задания для самостоятельной работы по разделам функ- ций нескольких переменных и неопределенного интеграла. Часть 3 «Элементы математического анализа» (авторы: Е.А. Глинская, И.В. Пру- сова, О.В. Дубровина, А.Н. Мелешко; под ред. В.А. Нифагина) вышла в БНТУ в 2009 г. ISBN 978-985-525-372-4 (Ч. 4) ISBN 978-985-479-903-2 БНТУ, 2010 3 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1.1. Область определения функции. Линии и поверхности уровня Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел ).,( yx Если каждой паре действительных чисел ),( yx принадлежащей множеству D , по определенному правилу f ставится в соответствие одно и только одно число REz , то говорят, что на множестве D задана функция f (или отображение) двух переменных, определенная на множестве D со значениями в R и записывают ),( yxfz или RDf : . Множество )( fDD называется областью определения функции. Множество E значений, принимаемых z в области определения, называется областью ее значений. Т.к. всякое уравнение ),( yxfz определяет, вообще говоря, в пространстве, в котором введена декартовая система координат ,Oxyz некоторую поверхность, то под графиком функции двух переменных будем понимать поверхность, образованную множеством точек ),,( zyxM пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению ).,( yxfz Геометрически областью определения функции может быть вся плоскость Oxy или ее часть, ограниченная линиями, которые могут принадлежать или не принадлежать этой области. В первом случае область D называют замкнутой и обозначают D , во втором – открытой. Значение функции ),( yxfz в точке ),( 000 yxM обозначают ),( 000 yxfz или )( 00 Mfz и называют значением функции. Определение функции двух переменных легко обобщить на случай трех и большего числа переменных ),...,,( 21 nxxxfu . Наглядное представление о функции двух или трех переменных может дать картина ее линий или поверхностей уровня. 4 Линии уровня функции ),( yxfz называется множество точек ),( yx плоскости Oxy , в которых функция f сохраняет постоянное значение, т.е. удовлетворяющих равенству ,),( Cyxf где C - постоянная. Поверхностью уровня функции ),,( zyxfu называется множество точек пространства, удовлетворяющих равенству ,),,( Czyxf где C - постоянная. Примеры 1. Найти частное значение функции 23 5 yxyxz при 3x и 2y . Решение. Подставляя заданные значения аргументов, получим: 61)2()2(353)2,3( 23z . 2. Найти область определения функции .222 yxaz Решение. Переменная zпринимает действительные значения при условии 0222 yxa или 222 ayx . Следовательно, областью определения данной функции является круг радиуса a с центром в начале координат, включая граничную окружность. Поверхность, соответствующая заданной функции, есть верхняя половина сферы 2222 azyx . 3. Найти область определения функции )6362ln( 222 yxzu . Решение. Данная функция зависит от трех переменных и принимает действительные значения при 06362 222 yxz ,т.е. 13/2/1/ 222 zyx . Областью определения функции является часть пространства, заключенная внутри полостей двуполостного гиперболоида. 4. Найти линии уровня функции 22 yxz . Решение. Уравнение семейства линий уровня имеет вид Cyx 22 )0(C . Придавая C различные действительные значения, получим концентрически окружности с центром в начале координат, т.е. линии пересечения поверхности 22 yxz с плоскостями Cz . 5. Найти поверхности уровня функции 222 yzxu . 5 Решение. Уравнение семейства поверхностей уровня имеет вид Cyzx 222 . Если 0C , то получает конус 0222 yzx ; если 0С , то семейство однополостных гиперболоидов; если 0С , то семейство двуполостных гиперболоидов. 1.2. Задачи для самостоятельной работы Найти области определения функций: 1. 122 yxz ; 2. 221/1 yxz ; 3. )arcsin( yxz ; 4. 22cos( yxz ; 5. )ln( yxz ; 6. xyz ; 7. xyz ; 8. )25ln(1 2222 yxyxz ; 9. )/arcsin( 22 yxzu ; 10. )1ln(/1 222 zyxu ; 11. zyxu ; Найти линии уровня функций: 12. yxz 2 ; 13. yxz / ; 14. xyz /ln ; 15. yxz / ; 16. xyz e ; 17. )4/(1 22 yxz ; Найти поверхности уровня функций: 18. zyxu 3 ; 19. 222 zyxu ; 20. 222 zyxu ; 21. zyxu 22 ; 22. )94/(1 222 zyxu ; 23. 22/ yxzu ; Ответы 1. 122 yx – часть плоскости вне единичного круга с центром в начале координат. 2. Часть плоскости внутри круга 122 yx . 3. Полоса между параллельными прямыми 1yx и 1yx . 4. Концентрические кольца ,...2/52/3,2/0 2222 yxyx . 5. xy – полуплоскость, лежащая выше биссектрисы xy . 6. Полуплоскость 0x . 6 7. Совокупность точек, лежащих на координатных осях и внутри первой и третьей четвертей. 8. Совокупность точек, расположенных на окружности с центром в начале координат и с радиусом 1R и внутренние точки кольца, ограниченного этой окружностью и окружностью с центром в начале координат и радиусом 5R . 9. Часть пространства вне конуса 0222 zyx . 10. Часть пространства внутри шара ,1222 zyx за исключением начала координат. 11. Часть пространства над плоскостью ,0zyx включая эту плоскость. 12. Семейство параллельных прямых Cyx2 . 13. Семейство прямых .Cxy 14. Семейство прямых ,e2 xy C или )0( 11 CxCy . 15. Семейство прямых Cxy . 16. Семейство равнобочных гипербол Cxy при( )0C ; совокупность координатных осей Ox и Oy при( )0C . 17. Семейство эллипсов 1 /14/1 22 C y C x )0при( C . 18. Семейство плоскостей Czyx 3 . 19. Семейство сфер Czyx 222 . 20. Семейство двуполостных гиперболоидов Czyx 222 при( )0C ; семейство однополостных гиперболоидов Czyx 222 при( )0C ; конус 022 zyx y при( )0C . 21. Czyx 22 . 22. Czyx 222 94 . 23. )( 2222 yxCz . 7 1.3. Предел и непрерывность функции двух переменных Множество всех точек ),( yxM плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству 20 2 0 )()(0 yyxx , называется проколотой - окрестностью точки ),( 000 yxM и обозначаются )( 0MO . Пусть функция ),( yxfz определена в некоторой окрестности точки ),( 000 yxM , кроме, быть может, самой этой точки. Число 0z называется пределом функции ),( yxfz (по Коши) при 0xx и 0xy (или )),(),( 000 yxMyxM , если для любого 0существует 0такое, что для всех 0xx и 0yy и удовлетворяющих неравенству 20 2 0 )()( yyxx выполняется неравенство 0),( zyxf : )()()(),(00),(lim 000 0 0 zOMfMOyxMyxfZ yy xx . Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому M стремиться к 0M . Повторными пределами функции ),( yxfz (или Mf ) в точке ),( 000 yxM называются следующие пределы yxf yyxx ,limlim 00 и yxf xxyy ,limlim 00 . Функции ),( yxfz ))(или( Mf называется непрерывной в точке ),( 000 yxM , если она: 1) определена в этой точке и некоторой ее окрестности, 2) имеет предел )(lim 0 Mf MM , 3) этот предел равен значению функции z в точке 0M , т.е. )()(lim 0 0 MfMf MM или ),(),(lim 00 0 0 yxfyxf yy xx . Если в точке 0M одно из указанных условий не выполняется , то она является точкой разрыва функции ),( yxfz . Точки разрыва могут образовывать линии и поверхности разрыва. 8 Функция непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Другое, равносильное определение непрерывности функции: функция ),( yxfz называется непрерывной в точке )( 0,00 yxM , если в этой точке бесконечно малым приращениям аргументов 0xxx и 0yyy соответствует бесконечно малое приращение ),(),( 00 yxfyxfz функции z . Примеры 1. Найти предел 22 22 0 0 lim yx yx y x . Решение. Будем приближаться в )0;0(0 по прямой ,kxy где k – некоторое число. Тогда 2 2 2 2 0222 222 022 2 0 0 1 1 1 1 limlimlim k k k k xkx xkx yx yx xx y y x . Функция yyx yx z 2 22 в точке )0;0(0 предела не имеет, т.к. при различных значениях k предел функции не одинаков (функция имеет различные предельные значения). 2. Вычислить 93 lim 0 0 xy xy у x . Решение. Преобразовав выражение под знаком предела, получим: )9(9 )93( lim )93)(93( )93( lim 93 lim 0 0 0 00 xy xyxy xyxy xyxy xy xy y x y x yy x = .6)93(lim 0 0 xy y x 3. Найти повторные пределы функции 22 22 ),( yx yx yxf в точке )0;0(0 . 9 Решение. Имеем 1limlimlim 2 2 022 22 00 y y yx yx yxy . 1limlimlim 2 2 022 22 00 x x yx yx xyx . Таким образом, повторные пределы не всегда равны между собой. 4. Показать, что функция xyxz 22 непрерывна на всей плоскости Oxy . Решение. Определим приращение функции z : .222)(22222 2)(2)2())((2)( 22 2222 yxxyyxxxxxyxyxxyyx xyxxxxxyxyyxxxxz т. к. 0lim 0 0 z y x в любой точке ),( yxM , то на всей плоскости Oxy функция непрерывна. 5. Исследовать на непрерывность функцию yx xy z 2 2 . Решение. Заданная функция z терпит разрыв в точках, где 2xy . Следовательно, функция z непрерывна в любой точке плоскости Oxy , исключая точки, расположенные на параболе 2xy . 6. Исследовать на непрерывность функцию )49/(1 22 yxz . Решение. Для функции z точки разрыва образуют множество точек плоскости Oxy , определяемое равенством 049 22 yx , т.е. точки прямых 2/3xy . 1.4. Задачи для самостоятельного решения Найти предел функции. 1. yxy y x /)sin(lim 0 1 ; 2. )/()(lim 223 2 1 yxyx y x ; 3. )/()lim( 4422 0 0 yxyx y x ; 4. )/(1lim 44 0 0 yx y x ; 10 5. )1/(4)1(lim 2222 0 1 yxyx y x ; 6. xxy y x /)(tglim 3 0 ; Найти точки разрыва функции: 7. ))2()1/((1 22 yxz ; 8. 22 )4()3(/1 yxz ; 9. )/()32( 22 yxyxyxz ; 10. |)2()1(1|ln 22 yxz ; 11. )/(1 22 zyxu ; 12. )/1sin( xyzu ; 13. )/(1 222 zyxu ; 14. ))()()(/(1 2222 czbyaxRu ; 15. Непрерывна ли функция )/()(),( 2222 yxyxyxf : а) в круге радиусом 2R с центром в начале координат? б) в круге радиусом 2R с центром в точке )4;3(C ? в) в круге радиусом 5R с центром в точке )3;2(C ? 16. Непрерывна ли функция )/()(),( 22 yxxyyxf в области: а) содержащей начало координат? б) не содержащей начало координат? Ответы 1. -1. 2. -1/5. 3. не существует. 4. + . 5. + . 6. 3. 7. )2,1(N . 8. )4;3(N . 9. Точки, лежащие на прямой 0yx . 10. Точки, лежащие на окружности 1)2()1( 22 yx . 11. Точки, лежащие на параболоиде вращения zyx 22 . 12. Точки, лежащие на координатных плоскостях. 13. Точки, лежащие на конусе 0222 zyx . 14. Точки, лежащие на сфере радиусом R с центром в точке ),,( cbaS . 15. а) разрывна в точке );0;0(0 11 б) непрерывна; в) разрывна в точке )0;0(0 . 16. а) разрывна в точке );0;0(0 б) непрерывна. 1.5. Дифференцирование и дифференциал. Производная по направлению. Градиент. Производная в направлении градиента 1˚. Частные производные Частным приращением функции n xxfz ,,1  , соответствующим приращению i x переменной i x называется разность niniii xxxfxxxxfz ,,,,,,,, 11  . В случае если функция z – функция двух переменных yxfz , , то yxfyxxfz x ,, . zx - частное приращение функции yxfz , по переменной x , а yxfyyxfz y ,, , zy - частное приращение функции yxfz , по переменной y . Частной производной функции n xxfz ,,1  по переменной ix называется предел отношения частного приращения функции n xxfz ,,1  по переменной i x к приращению самого аргумента функции i x , при условии, что последнее приращение стремится к нулю, то есть i ninii ox x xxxfxxxxf i ,,,,,,,, lim 11  . Частные производные обозначаются одним из следующих образов: ix z , i x z , ix f , i x f . Процесс нахождения частных производных функции n xxfz ,,1  называется дифференцированием функции. В случае если функция z – функция двух переменных yxfz , , то x yxfyxxf x f z ox x ,, lim 12 и y yxfyyxf y f z oy y ,, lim , где xz и yz - частные производные функции yxfz , по переменным x и y соответственно. Частные производные функций нескольких переменных вычисляются по тем же самым правилам, что и производные функций одной переменной, но при этом надо считать, что все переменные, кроме переменной, по которой берется производная, являются константами. 2˚. Частные производные высших порядков Частная производная от частной производной функции n xxfz ,,1  называется частной производной второго порядка функции n xxfz ,,1  . Вводятся следующие обозначения: ij xi ij xx x z x z xx z z jjij )( 2 , ii xx i xx x z x z x z z ijii )( 2 2 . Аналогично определяются частные производные s -ого порядка функции n xxfz ,,1  . В случае если частная производная высшего порядка функции n xxfz ,,1  получена дифференцированием функции n xxfz ,,1  по разным переменным, то она называется смешанной. Если при нахождении смешанной производной s -ого порядка функции n xxfz ,,1  все промежуточные производные являлись непрерывными в точке n xx ,,1  , то ее вычисление не зависит от того в каком порядке брались производные по ее переменным. В этом случае, запись nk n k s xx z 11 , где skk n 1 , обозначает, что s -ая смешанная производная функции n xxfz ,,1  получена 1k раз дифференцированием по переменной 1x , 2k раз дифференцированием по переменной 2x , …, nk раз дифференцированием по переменной n x , при этом порядок дифференцирования не имеет значения. В случае функции двух переменных yxfz , имеем x z x z x z z xxxx )( 2 2 , 13 x z y z xy z z yxxy )( 2 , y z x z yx z z xyyx )( 2 , y z y z y z z yyyy )( 2 2 . 3˚. Дифференциал функции Полным приращением функции n xxfz ,,1  , при приращениях ее аргументов 1x , …, nx на 1x , …, nx соответственно называется разность nnn xxfxxxxfz ,,,, 111  . Если полное приращение функции n xxfz ,,1  можно представить в виде xoxAxAz nn 11 , где n xxAA ,,111  , …, nnn xxAA ,,1  и xo – такая функция, что 0lim 22 10,,01 nxx xx xo n  , то функция n xxfz ,,1  называется дифференцируемой, а выражение (главной или линейной части полного приращения) nn xAxA 11 называется дифференциалом функции n xxfz ,,1  и обозначается nn xAxAdz 11 . (1.1) По определению, дифференциалом независимых переменных называются сами их приращения, то есть 11d xx , …, nn xxd , поэтому формулу (1.1) можно переписать в следующем виде nn xAxAz ddd 11  . (1.2) Достаточным условием дифференцируемости функции n xxfz ,,1  является непрерывность всех ее частных производных, в этом случае имеет место следующие равенства 1 111 ,, x z xxAA n  , …, n nnn x z xxAA ,,1  , а значит формула (1.2) примет вид 14 n n x x z x x z z ddd 1 1  . (1.3) В случае непрерывности частных производных функции yxfz , , ее дифференциал равен y y z x x z z ddd . Дифференциал функции нескольких переменных, как и для функции одной переменной, используется для приближенного вычисления значений функций. А именно, для дифференцируемой функции при маленьких приращениях аргументов 1x , …, nx приращение функции приближенно равно ее дифференциалу, то есть nn xxfxxf ,,d,, 11  . Если расписать подробно, получим nnxnxnnn xxxfxxxfxxfxxxxf n ,,,,,,,, 111111 1  . Для функции двух переменных yxfz , данная формула примет следующий вид 1,,,, yyxfxyxfyxfyyxxf yx . (1.4) 4˚. Дифференциал высшего порядка Дифференциалом 2 порядка функции n xxfz ,,1  называется дифференциал от дифференциала первого порядка функции n xxfz ,,1  , считая дифференциалы независимых переменных константами. Дифференциалом s -го порядка функции n xxfz ,,1  называется дифференциал от дифференциала 1s -го порядка функции n xxfz ,,1  , считая дифференциалы независимых переменных константами и обозначается zsd . В случае, если функции n xxfz ,,1  обладает всеми непрерывными частными производными до s -го порядка включительно, то символически можно записать zx x x x z s n n s ddd 1 1  . Данная формула раскрывается по формуле бинома Ньютона. s -й дифференциал независимой переменной x , вместо записи sxd , обозначается sxd . 15 Для функции двух переменных yxfz , , при выполнении соответствующих условий, второй дифференциал равен 2 2 22 2 2 2 2 ddd2dd y y z yx xy z x x z z . Для функции трех переменных zyxfu ,, , при тех же условиях, имеем 2 2 22 2 2 222 2 2 2 2 dzdd2ddd2dd2dd z z zy yz z y y z zx xz z yx xy z x x z z . (1.5) 5˚. Дифференцирование сложных функций Пусть функция n xxfz ,,1  дифференцируема в точке nxx ,,1  , а функции m ttgx ,,111  , …, mnn ttgx ,,1  имеют частную производную по jt в точке m tt ,,1  , тогда сложная функция mnm ttgttgfz ,,,,,, 111  имеет частную производную по j t в точке m tt ,,1  и верна следующая формула j n njj t x x z t x x z t z 1 1 . Частными, являются следующие случаи: 1) Пусть функция n xxfz ,,1  дифференцируема в точке nxx ,,1  , а функции tgx 11 , …, tgx nn дифференцируемы в точке t , тогда сложная функция tgtgfz n ,,1  дифференцируема в точке t и имеет место следующая формула t dx x z t dx x z t z n n ddd d 1 1  . 2) Пусть функция xfz дифференцируема в точке x , а функция m ttgx ,,1  имеет частную производную по j t в точке m tt ,,1  , тогда сложная функция m ttgfz ,,1  имеет частную производную по jt в точке mtt ,,1  и верна следующая формула jj t x x z t z d d . Для функции двух переменных вышесказанное имеет следующую форму. Пусть функция yxfz , дифференцируема в точке yx, , а функции vugx , и vuhy , имеют частную производную по u (по v ) в точке vu, , тогда сложная функция vuhvugfz ,,, имеет частную производную по u (по v ) в точке vu, и верны следующие формулы 16 u y y z u x x z u z ; . v y y z v x x z v z Частным является следующий случай: Пусть функция yxfz , дифференцируема в точке yx, , а функции tgx и thy дифференцируемы в точке t , тогда сложная функция thtgfz , дифференцируема в точке t и имеет место следующая формула t y y z t x x z t z d d d d d d . (1.6) В случае, если xhy , то x y y z x z x z d d d d . Аналогичная формула имеет место, если переменная x является функцией от переменной y . 6˚. Дифференцирование неявно заданных функций Пусть дифференцируемая функция n xxfy ,,1  задана неявно 0,,,1 yxxF n , тогда y x x F F y i i . (1.7) Если функция одной переменной xfy задается неявно 0, yxF , то формула (1.7) имеет вид y x F F y . (1.8) Для функции yxzz , заданной неявно 0,, zyxF имеем z x x F F z и z y y F F z . (1.9) 7˚. Производная по направлению, градиент и производная по направлению градиента функции трех переменных Производной функции zyxfu ,, по направлению zyx aaaa ;;  называется предел 17 taaa zyxftaztaytaxf a u zyx zyx t 2220 ,,,, lim . В случае если функция zyxfu ,, дифференцируема, то coscoscos z u y u x u a u  , где вектор cos,cos,cosb  – вектор единичной длины, сонаправленный с вектором zyx aaaa ,,  , т. е. a a x cos , a ay cos , a az cos и 222 zyx aaaa  – длина вектора a  . Градиентом ugrad функции zyxfu ,, называется направление, по которому функция zyxuu ,, быстрее всего возрастает. Если функция zyxuu ,, дифференцируема, то z u y u x u u ,,grad и производная по направлению градиента равна 222 grad z u y u x u u u . Аналогичные понятия вводятся и для функции двух переменных. Примеры 1. Найти частные производные функции z yx u 232 arcctg . Решение. Имеем: 22222 2 22 32 22 32 1 132 32 1 1 yxz z z z yxz yx z yxx u x , 2222 2 22 32 66 32 1 132 32 1 1 yxz yz z y z yxz yx z yxy u y , 2 2 22 2 22 32 32 1 132 32 1 1 z yx z yxz yx z yxz u z 22 2 32 32 yxz yx . 18 2. Найти дифференциал функции zx y xyu ln2 при 1;1;2,, zyx . Решение. Т. к. 2 2222 1ln 1 ln zx y zx y xy zx y y zx y zx y xy zx y y x u x zx xy zx y y 2 2 ln , 21;1;2 x u , zx zx y xy zx y xy zx y zx y xy zx y xy y u y 11 ln2 1 ln2 22 xy zx y xy ln2 , 21;1;2 y u , zx xy zx y zx y xy zx y zx y xy z u z 2 2 22 11 , 21;1;2 z u , то по формуле (1.3) zyxu d2d2d21;1;2d . 3. Найти полное приращение и дифференциал функции 22 532 yxyxz при 3;2, yx . Решение. Имеем 3;23,23;2 zyxzz 353532322 22 yyxx 355304539618288 22 yyyxxyxx . Значит, приращение функции равно 22 532243;2 yyxxyxz . Т. к. yxz x 34 , 13;2xz , yxz y 103 и 243;2yz , то yxz d24d3;2d . Вспомнив, что xxd и yyd , видим что 3;2dz главная часть приращения 3;2z . 4. Вычислить приближенно 97,0 02,1 arctg . Решение. Введем в рассмотрение функцию y x yxz arctg, . И пусть 10x , 10y , 02,0x и 03,0y . Так как 22 yx y z x и 22 yx x z y то, используя формулу (1.4) имеем 19 yyxxzz 00 ,97,0;02,197,0 02,1 arctg yyxzxyxzyxz yx 000000 ,,, 805,003,0 2 1 02,0 2 1 4 . Если вычислить 97,0 02,1 arctg более точно, то получим 810519,0 . 5. Найти первый и второй дифференциал функции zyxzyzxu 52332 e2 при 1;1;1,, zyx . Решение. Так как, zyxxyzxz x u 52323 e2336 и 41;1;1 x u , zyxzyzxz y u 52323 e224 и 51;1;1 y u , zyxyzyzxz z u 523223 e65510 и 31;1;1 z u , zyxxyzxz x u 52323 2 2 e2129918 и 41;1;1 2 2 x u , zyxzxyzxz yx u xy u 52323 22 e346612 и 111;1;11;1;1 22 yx u xy u , zyxyxzyzxz zx u xz u 523223 22 e31018151530 и 11;1;11;1;1 22 zx u xz u , zyxzyzxz y u 52323 2 2 e24 и 121;1;1 2 2 y u , zyxzyzyzxz zy u yz u 523223 22 e15212101020 и 101;1;11;1;1 22 zy u yz u , zyxzyzyzxz z u 523223 2 2 e121060252550 и 81;1;1 2 2 z u . Отсюда, используя формулы (1.3) и (1.5) имеем zyxu d3d5d4)1;1;1(d 20 и 2222 d8dd20d12dd2dd22d41;1;1d zzyyzxyxxu . 6. Найти t z d d при 4 t , если 2 22 yx yx z , tx tg и ty ctg . Решение. Рассмотрим два способа решения Первый способ. tt tt tytxz 2 2 ctgtg ctgtg2 , . 22 2222 2 2 ctgtg ctgtgctgtg2ctgtgctgtg2 ctgtg ctgtg2 d d tt tttttttt tt tt t z tt t 22 22 22 22 ctgtg sin ctg 2 cos 1 ctgtg2ctgtg sin 1 cos tg4 tt t t t tttt tt t . Отсюда, 2 11 4 220 11 42121128 4d d 2t z . Второй способ. При 4 t имеем 1yx . Т. к. функция z является сложной, а также, tt x 2cos 1 d d и 2 4d d t x , tt y 2sin 1 d d и 2 4d d t y , 22 22 24 yx yxyxx x z и 4 7 1;1 x z , 22 22 22 yx yxyyx y z и 11;1 y z , то, используя формулу (1.6) имеем 2 11 212 4 7 4d d 1;1 4d d 1;1 4d d t y y z t x x z t z . 7. Найти первую и вторую производную функции xyy , заданной неявно уравнением 13 xyy при 1;1, yx . Решение. Функция xyy задается уравнением 0, yxF , где 1, 3 xyyyxF . Так как 1 x F и 13 2yF y , то используя формулу (1.7) имеем 13 1 2y y . 21 Выражение для производной y можно также получить, продифференцировав равенство 13 xyy по x учитывая, что y функция от x и выразив y . xx xyy 13 , 013 2 yyy , 0113 2 yy , 13 1 2y y . Отсюда, 4 1 113 1 1 2y y . Для нахождения y продифференцируем y по x (учитывая, что y функция от x ). Получим 322222 2 13 6 13 6 13 13 y y y yy y y y . Отсюда, 32 3 113 16 1 32y y y . 8. Функция yxzz , задана неявно уравнением 02322 xyyzz . Найти частные производные первого порядка. Непосредственно проверить, что смешанные производные второго порядка совпадают и найти их при 1;1;1,, zyx . Решение. Частные производные функции yxzz , можно найти, используя формулу (1.9) или непосредственным дифференцированием уравнения 02322 xyyzz по обеим переменным. xx xyyzz 02322 , 032 yzzz xx . Отсюда, 12 3 z y z x и 11;1xz . yy xyyzz 02322 , 0322 xyzzz yy . Отсюда, 12 23 z yx z y и 3 5 1;1yz . 3 2 2 12 236123 12 6123 12 3 )( z yxyz z zyz z y zz y yyxyx 3 22 12 312181212 z yxyzz , 3 2 2 12 236123 12 232123 12 23 )( z yxyz z zyxz z yx zz xxxyxy yx z z yxyzz 3 22 12 312181212 , 22 3 1 1;11;1 yxxy zz . 9. Найти производную функцию 2232 e3 zyxzyxu по направлению 2;1;2a  при 2;3;1,, zyx . Решение. Имеем: 22 32 e 3 zyx zyx x x u и 3 4 2;3;1 x u , 22 32 e 32 1 zyx zyxy u и 6 7 2;3;1 y u , 22 32 2 e2 32 3 zyx zyx z z u и 42;3;1 x u , 3a  , 3 2 cos , 3 1 cos и 3 2 cos . Поэтому, 6 19 3 8 18 7 9 8 cos2;3;1cos2;3;1cos2;3;12;3;1 x u y u x u a u  . 10. Найти градиент и производную по направлению градиента функции yxfz , при 0;1;1,, zyx , заданной неявно 01ln 22 yzzyx . Решение. Продифференцировав уравнение по x и по y имеем: 0 1 2 x x z z z xy , 2 1 2 z z xyz x , 11;1xz и 02 1 2 yz z z x y y , 2 1 2 2 z z xyz y , 2 1 1;1yz . Отсюда, 2 1 ;11;1grad z и 2 3 2 1 11;1 grad 2 2 z z . 23 1.6. Задачи для самостоятельного решения Найти частные производные функций: 1. 3223 1xxyyxyxz ; 2. 2 3 x y y x z ; 3. 254332 222 yxyxz при 3;2, yx ; 4. 22ln yxxyxz при 4;5, yx ; 5. 1122 2 z yxu ; 6. Вычислить zyx u z u y u x 322 , если 322ln zyxu . 7. Найти полное приращение и дифференциал функции yzzyxu 22 при 3;1;2,, zyx . Найти полный дифференциал функции: 8. 5323 3 yxyxyyxz при 1;1, yx ; 9. yxz 22e при 8;2, yx . Вычислить приближенно: 10. 44 99,001,2 ; 11. 301,602,7 22 . 12. Непосредственным вычислением проверить, что вторые смешанные производные yx z и xy z совпадают для функции yxz 2 . 13. Найти первый и второй дифференциал функции yxyxz 53ln 2 при 1;1, yx . 14. Найти x z d d при 32x , если y yx z 29ln и 5 xy . 15. Найти t z и u z при 2t и 1u , если 2 e yx y x z , 1 ut ut x и 2 2 u u t y . 16. Найти первую и вторую производную при 1;1, yx функции xyy , заданной неявно уравнением 2e 1yxy . 17. Найти дифференциал первого и второго порядка при 1;1;1,, zyx функции yxfz , , заданной неявно уравнением 22 yxzz . Непосредственным вычислением проверить, что вторые смешанные производные функции yxfz , совпадают. 18. Найти производную функции 32ln zyxu при 3;6;2,, 000 zyx по направлению к точке 6;2;10,, 111 zyx . 24 19. Найти производную функции yxfz , , заданной неявно уравнением 0zzzyyxx в точке 1;1;1,, zyx по направлению 4;3a  . 20. Найти градиент и производную по направлению градиента функции 22 4 2yx yx z при 2;7, yx . 21. Найти градиент и производную по направлению градиента функции yxfz , , заданной неявно 3645432 222 zzyxyx при 2;12;20,, zyx . Ответы 1. 12313 22 2223 yxyyxxxyyxyx x z ; 1213 2 2223 xyxxxyyxyxx y z . 2. 3 3 2 1 x y yx z ; 3 223 3 1 yxy x y z . 3. 23;2 x z ; 93;2 y z . 4. 27 7 4;5 x z ; 54 11 4;5 y z . 5. 21222 1224 z yxzzxy x u . 212222 1222 z yxzzx y u ; yxyxz z u z 21122 ln124 2 . 6. 1. 7. yxzzyyxxzyxu 222 45743,1,2 . zyxu d5d7d43;1;2d . 8. yxz d3d51;1d . 9. yxz dd88;2d . 10. 52,15 . 11. 02,4 . 12. 322 yx x zz xyyx . 13. yxz d 3 2 d 3 1 1;1d ; 222 d 9 4 dd 9 14 d 9 5 1;1d yyxxz . 14. 160 79 2;3 d d x z . 25 15. 2 19 1;2 t z ; 11;2 u z . 16. 2 1 1y ; 8 3 1y . 17. yxz d 3 1 d 3 1 1;1d ; 222 d 27 2 dd 27 4 d 27 2 1;1d yyxxz . 18. 650 37 3;6;2 a u  . 19. 5 21 1;1 a z  . 20. 8; 2 3 2;7grad z ; 2 265 2;7 grad z u . 21. 2;112;20grad z ; 512;20 grad z u . 1.7. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности Пусть дана поверхность yxfz , и такая точка 000 , yxM , что в ней функция yxfz , дифференцируема. И пусть 000 , yxfz . Касательной плоскостью к поверхности yxfz , в точке 000 , yxM называется плоскость, проходящая через точку 000 ,, zyx с направляющими векторами 00 ,;0;1 yxza x  и 00 ,;1;0 yxzb y  . Уравнение касательной плоскости можно записать следующим образом 0000000 ,, zyyyxzxxyxzz yx или в общем виде 0,, 0000000 zzyyyxzxxyxz yx . Нормалью к поверхности yxfz , в точке 000 , yxM называется прямая, проходящая через точку 000 , yxM и перпендикулярная к касательной плоскости, проходящей через эту точку. Уравнение нормали имеет вид 1,, 0 00 0 00 0 zz yxz yy yxz xx yx . В том случае, если поверхность задана в неявном виде 0,, zyxF , то уравнение касательной плоскости, проходящей через точку 000 , yxM поверхности, имеет вид 0)(,,,,,, 000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyx . 26 А уравнение нормали имеет вид 000 0 000 0 000 0 ,,,,,, zyxF zz zyxF yy zyxF xx zyx . Пусть даны две поверхности yxfz , и yxgz , , которые пересекаются в точке 000 , yxM , тогда углом между поверхностями yxfz , и yxgz , в точке 000 , yxM называется угол между касательными плоскостями, проведенными в данной точке к данным поверхностям, или что, то же самое, угол между нормалями, проведенными в данной точке к данным поверхностям. Примеры 1. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности x z yx 1e при 4;3, yx . Решение. Т. к. 3 1 4;3z , 2 1 2 11 e1ee x x x x z yxyxyx x , 9 2 4;3xz , yx z yx y 2 e 1 и 12 1 4;3yz то, направляющим вектором нормали к поверхности в точке 3 1 ;4;30M является вектор 1;12 1 ; 9 2 n  , или коллинеарный ему 36;3;8~n  . Отсюда следует, что уравнение касательной плоскости в точке 3 1 ;4;30M имеет вид 3 1 4 12 1 3 9 2 yxz , или в общем виде 03638 zyx . Уравнение нормали в точке 3 1 ;4;30M имеет вид 36 3 1 3 4 8 3 zyx . 2. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности ,, yxzz заданной неявно 22 2 y z xy zzx в точке 2;1;20M . Решение. Данная поверхность задается уравнением 0,, zyxF , где 22,, 2 y z xy zzxzyxF . Так как zzx F x 2 2 1 , 14 z y F y и 2 2 21 2 1 z xy zx F z , то 4 3 2;1;2xF , 12;1;2yF и 4 1 2;1;2zF . 27 Поэтому, направляющим вектором нормали к поверхности в точке 2;1;20M является вектор 4 1 ;1; 4 3 n  , или коллинеарный ему 1;4;3~n  . Отсюда следует, что уравнение касательной плоскости в точке 2;1;20M имеет вид 021423 zyx , или в общем виде 0443 zyx . Уравнение нормали в точке 2;1;20M имеет вид .1 2 4 1 3 3 zyx 3. Для поверхности, заданной уравнением 935 22 yzxzyxyx , найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости 072 zyx . Решение. Т. к. касательная плоскость к поверхности параллельна плоскости 072 zyx , то у них общий нормальный вектор 1;1;2n  . Заданную поверхность можно записать следующим уравнением 0,, zyxF , где 935,, 22 yzxzyxyxzyxF . Отсюда, zyxF x 352 , zyxF y 25 и yxF z 3 . Значит, направляющим вектором нормали к поверхности является вектор yxzyxzyxFFFn zyx 3,25,352,,1  , который параллелен вектору n  , поэтому nan  1 , где a – действительное число. Отсюда, получаем систему ayx azyx azyx 3 25 2352 . Разрешив данную систему относительно x , y и z получаем 5 3 5 5 2 a z a y a x . Т. к. точка 5 3 ; 5 ; 5 2 ,, aaa zyx должна удовлетворять уравнению поверхности 0,, zyxF , то имеем 09 25 3 25 18 25 1 5 2 25 4 22222 aaaaa , 9 5 4 2a . Значит, 5 2 3 a . 28 Так как при 5 2 3 a 10 59 ; 10 53 ; 5 53 ,, zyx , и при 5 2 3 a 10 59 ; 10 53 ; 5 53 ,, zyx и направляющим вектором нормали в данных точках поверхности является вектор 1;1;2n  , то 0 10 59 10 53 5 53 2 zyx , 05125510 zyx и 0 10 59 10 53 5 53 2 zyx , 05125510 zyx – искомые касательные плоскости. 4. Под каким углом пересекаются конус 222 34 yxz и гиперболический параболоид xyz при 1x и 1y . Решение. Так как при 1x и 1y гиперболический параболоид принимает значение 1z , то данные поверхности пересекаются в точке )1;1;1(0M . Первый способ. Так как точка )1;1;1(0M принадлежит конусу 222 34 yxz , то уравнение данного конуса можно записать в виде 2 3 22 yx z . Отсюда, 22 32 yx x z x и 22 32 3 yx y z y . Т. к. 4 1 1;1xz и 4 3 1;1yz , то направляющим вектором нормали к конусу в точке )1;1;1(0M является вектор 4;3;11n  (он коллинеарен вектору 1; 4 3 ; 4 1 n  ). Для гиперболического параболоида xyz имеем, yz x и xz y . Значит, направляющим вектором нормали к гиперболическому параболоиду в точке )1;1;1(0M является вектор 1;1;12n  . Отсюда, 78 8 326 8 cos 21 21 nn nn   . Поэтому, угол между конусом и гиперболическим параболоидом равен 78 8 arccos . Второй способ. Уравнение конуса можно переписать в виде 0,, zyxF , где 222 34,, yxzzyxF . Так как, xF x 2 , yF y 6 и zF z 8 , то направляющим вектором нормали к конусу в точке )1;1;1(0M является вектор 29 8;6;2~n  , который параллелен вектору 1n  . Дальше решение такое же, как и в первом способе. 1.8. Задачи для самостоятельного решения Найти уравнения касательной плоскости и нормали к следующим поверхностям в указанных точках: 1. 2543 22 yxyxyxz при 2;1, yx . 2. yxz sincos2 при 3 ; 3 , yx . 3. xyz sin 2 e при 1; 2 , yx . 4. Найти расстояние от точки 1;1; 20 M до касательной плоскости к поверхности yxz ctg1 , проведенной в точке с координатами 4 ;0, yx . 5. Найти углы, которые образует нормаль к поверхности yxz 21 2 в точке 2;1, yx с осями координат. 6. Для поверхности 635 2 xyxz найти уравнение касательной плоскости, параллельной плоскости 141216 zyx . 7. Найти угол между поверхностями 121 xyxz и 1 22 2 yxz при 1;1, yx . Найти уравнения касательной плоскости и нормали к следующим поверхностям в указанных точках: 8. 12)2)()(132( yzzxyx в точке 1;1;20M ; 9. 844 yzxz в точке 1;1;10M ; 10. 02353232 222 yyzxyxyxxzzz в точках пересечения с осью Oy . 11. Для поверхности 129432 22 zyxzx найти уравнение нормали, параллельной прямой 3 2 4 4 5 6 zyx . 12. Под каким углом пересекаются поверхности 222 3 yxzz и 52 yxzz в точке 2;1;20M . Ответы 1. 09149 zyx ; 1 10 14 2 9 1 zyx . 30 2. 033524318 zyx ; 1 83 81 3 43 3 zyx . 3. 0ee2 zy ; 1 e e2 1 0 2/ zyx . 4. 36 . 5. С осью Ox : 3 ; с осью Oy : 3 ; с осью Oz : 4 . 6. 0734 zyx . 7. 714arccos . 8. 095128 zyx ; 5 1 12 1 8 2 zyx . 9. 042zyx ; 2 1 1 1 1 1 zyx . 10. а) 0285 zyx ; 81 2 5 zyx ; б) 0134 zyx ; 31 1 4 zyx . 11. 3 6 4 7 5 2 zyx . 12. 87877arccos . 1.9. Экстремум функции нескольких переменных Локальные экстремумы функции двух переменных Функция ),( yxfz имеет локальный максимум (минимум) в точке ),( 000 yxM , если значения функции в этой точке больше (меньше), чем ее значение в любой другой точке ),( yxM некоторой окрестности точки 0M , т.е. ),(),( 00 yxfyxf [соответственно ),(),( 00 yxfyxf ] для всех точек ),( yxM , удовлетворяющих условию ММ 0 , где - достаточно малое положительное число. Локальные максимум и минимум функции называются ее локальными экстремумами. Точка 0M , в которой достигается экстремум, называется точкой локального экстремума. Необходимые условия экстремума 31 Если дифференцируемая функция ),( yxfz достигает экстремума в точке ),,( 000 yxM то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т.е. ,0 ),( 0 x yxf o 0 ),( 0 y yxf o . Эти уравнения эквивалентны одному: 0),( 00 yxdf . Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Не всякая стационарная точка является точкой экстремума. В стационарной точке касательная плоскость к поверхности ),( yxfz параллельна плоскости Oxy . Достаточные условия локального экстремума Пусть ),( 000 yxM – стационарная точка дважды дифференцируемой в некоторой окрестности точки 0M функции и пусть 2 00 '' 00 '' 00 '' ),,(),,(),,( BAC CB BA yxfCyxfByxfA yyxyxx 2 00 '' 00 '' 00 '' ),,(),,(),,( BAC CB BA yxfCyxfByxfA yyxyxx 2 00 ' 00 ' 00 ' ),,(),,(),,( yxfyxfyxf yxyx . Тогда 1. если 0 , то функция ),( yxf в точке ),( 000 yxM имеет экстремум: максимум, если 0A ; минимум, если 0A ; 2. если 0 , то функция ),( yxf в точке ),( 000 yxM экстремума не имеет; 3. если 0 , требуются дополнительные исследования. В этом случае используются неравенства ),(),( 00 yxfyxf или ),(),( 00 yxfyxf . Эти условия эквивалентны следующим. 1) если 0),( 00 2 yxfd , то ),( 00 yxf – максимум функции ),( yxfz ; 2) если 0),( 00 2 yxfd , то ),( 00 yxf – минимум функции ),( yxfz . Примеры 1. Исследовать на экстремум функцию 2263 yxyxyxz . 32 Решение. Находим частные производные первого порядка: .26;23 '' yxzyxz yx .26;23 '' yxzyxz yx Решая систему yx yx 26 023 , находим 0x и .3y Следовательно, )3;0(0M – стационарная точка функции .z Находим частные производные второго порядка и их значения в найденной стационарной точке .0M .2;1;2 2 22 2 2 y z yx z x z Имеем: .0314;2;1;2 CBA Так как 0 и 0A , то в точке )3;0(0P функция имеет максимум: 9918maxz . 2. Исследовать на экстремум функцию 152 2223 yxxyxz . Решение. Находим стационарные точки. .22;106 '22' yxyzxyxz yx 022 0106 22 yxy xyx или 0)1(2 0106 22 xy xyx . Решение последней системы дает 4 стационарные точки: ).2;1();2;1();0;3/5();0;0( 4321 MMMM ).2;1();2;1();0;3/5();0;0( 4321 MMMM Находим частные производные второго порядка: .22;2;1012 '''''' xzyzxz yyxyxx Исследуем каждую стационарную точку. 1) В точке )0;0(1M : .20;2;0;10 CBA Так как 0 и 0A , то в этой точке функция имеет минимум: .1)0;0(min zz 2) В точке :0; 3 5 2M .3/40;3/4;0;10 CBA Так как 0 и ,0A то в этой точке функция имеет максимум: .271750; 3 5 max zz 3) В точке 16;0;4;2:)2;1(3 CBAM . T.к. 0 , то в этой точке экстремума нет. 4) В точке 16;0;4;2:)2;1(4 CBAM . T.к. 0 , то в этой точке экстремума нет. 33 3. Исследовать на экстремум функцию 44 yxz . Решение. Вычислим частные производные первого порядка функции .4,4: 3'3' yzxzz yx Решая систему уравнений 04 04 3 3 y x , находим стационарную точку )0;0(0M данной функции. T.к. ,0)(,0)(,0)( 0 '' 0 '' 0 '' MzCMzBMzA yyxyx ,0)(,0)(,0)( 0 '' 0 '' 0 '' MzCMzBMzA yyxyx то .0 2BAC Следовательно, нельзя ответить на вопрос о существовании экстремума в точке ).0;0(0M В данном случае стационарная точка )0;0(0M является точкой локального минимума, поскольку 0z для любой точки ),( yxM из окрестности точки )0;0(0M .0)0;0(min zz 1.10. Условный экстремум функции нескольких переменных Условным экстремумам функции ),( yxfz , называется экстремум этой функции, достигнутый при условии, что переменные x и y связаны уравнением 0),( yx (уравнением связи). Отыскание условного экстремума можно свести к исследованию на обычный безусловный экстремум так называемой функции Лагранжа ),,(),(),( yxyxfyxF где - неопределенный постоянный множитель. Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид: 0, 0 0 yx F yy f y F xx f x F . Из этой системы трех уравнений можно найти неизвестные .,, yx Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании исследования знака второго дифференциала функции Лагранжа 34 2''''2''2 2 dyFdxdyFdxFFd yyxyxx для испытуемой системы значений ,,, yx при условии, что dxи dy связаны уравнением ).0(0 2 dydxdy y dx x Функция ),( yxf имеет условный минимум, если ,02Fd и условный максимум, если .02Fd Примеры 1. Исследовать на экстремум функцию 1262 yyxz при условии, что переменные x и y связаны уравнением .042 yx Решение. Уравнение связи представляет параболу .4 2xy Заменив в заданной функции z переменную y через ,4 2x получим: 1)4(26)( 22 xxxxz или .763)( 2 xxxz Полученную функцию )(xz исследуем на экстремум. ;066;66 xx dx dz 10x - стационарная точка функции ).(xz Находим вторую производную: .6 2 2 dx zd Так как вторая производная положительна, то в найденной стационарной точке функция )(xz имеет минимум. Подставив 10x в уравнение связи, получим .3140y Следовательно, точка )3;1(0M – точка условного экстремума. В этой точке функция ),( yxz имеет минимум .101661)3;1(min zz Определим теперь точку условного экстремума, пользуясь методом множителей Лагранжа. 1) Составим вспомогательную функцию Лагранжа. Так как по условию 126),( 2 yxxyxf и ,4),( 2 yxyx то ).4(126),,( 22 yxyxxyxF 2) Находим частные производные .4;2;262.,, 2'''''' yxFFxxFFFF yxyx 3) Приравняв каждую частную производную нулю, получаем систему: 35 .04 ,02 ,0262 2 yx xx Из второго уравнения ,2 тогда из первого следует ,1x а из третьего .3y Таким образом, )3;1(0M – точка условного экстремума. 2. Найти экстремум функции yxz 689 при условии, что аргументы его удовлетворяют уравнению .2522 yx Решение. Геометрически задача сводится к нахождению экстремальных значе- ний аппликаты z плоскости yxz 689 для точек ее пересечения с цилиндром .2522 yx Составляем функцию Лагранжа: );25(689),,( 22 yxyxyxF находим ее частные производные: .26,28 '' yFxF yx Составляем систему уравнений: .25 ,026 ,028 22 yx y x или .25 ,03 ,04 22 yx y x . Решив эту систему, получим: .3,4,1;3,4,1 2 2 2111 yxyx На- ходим вторые частные производные: 2,0,2 '''''' yyxyxx FFF и выражения для дифференциала второго порядка ).(2 222 dydxFd Поскольку 02Fd при ,3,4,1 111 yx то функция ),,( yxF в этой точке имеет условный минимум. Если ,3,4,1 222 yx то ,0 2Fd поэтому в данном случае функция ),,( yxF имеет условный максимум. Следовательно, .4136489)3,4(,59)3(6)4(89)3;4( minmax fzfz 36 1.11. Наибольшее и наименьшее значения (глобальные экстремумы) функции двух переменных в замкнутой области Пусть требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции ),( yxfz в некоторой замкнутой области .D Эти значения функция достигает либо во внутренних точках области, которые являются стационарными точками функции, либо на границе области. Следовательно, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в заданной замкнутой области, необходимо: 1) найти стационарные точки, лежащие внутри области, и вычислить значения функции в этих точках; исследовать на экстремум эти точки нет необходимости; 2) найти наибольшее и наименьшее значение функции на границе области; если граница области состоит из нескольких линий (участков), то исследование проводится для каждого участка в отдельности; 3) сравнить все полученные значения функции; наибольшее из них будет наибольшим, а наименьшее – наименьшим значением функции в заданной области. Пример Найти наибольшее и наименьшее значения функции 5822 22 yxyxz в замкнутом треугольнике AOB , ограниченном осями координат и прямой .04yx Решение. Найдем стационарные точки. .84;22 '' yzxz yx Решая систему: 084 022 y x , находим стационарную точку ).2;1(0M Эта точка лежит внутри области. Вычислим значение функции в этой точке: .451681)2;1()( 0 zMz Граница заданной области состоит из отрезка OA оси Ox , отрезка OB оси Oy и отрезка .AB Определим наибольшее и наименьшее значение функции z на каждом из этих участков. На отрезке OA ,0y а .40 x При 0y функция 37 522 xxz есть функция одной независимой переменной .x Находим наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке .1;022;22:4;0 ' xxxzx .1;022;22:4;0 ' xxxzx )0;1(1M – стационарная точка. .4)0;1()( 1 zMz Вычислим значения функции на концах отрезка OA , то есть в точках O и :A .13)0;4()(;5)0;0()( zAzzOz На отрезке OB 0x и .40 y При 0x имеем .582 2 yyz Находим наименьшее и наибольшее значение этой функции z от переменной y на от- резке .4;0 )2;0(,2,084,84 2 ' Myyyzy – стационарная точка. .3)2;0()( 2 zMz Вычислим значения функции zна концах отрезка ,OB то есть в точках O и B : .5)4;0()(,5)0;0()( zBzzOz Исследуем теперь отрезок .AB Уравнение прямой .4: xyAB Подставив это выражение для y в заданную функцию ,z получим 5)4(82)4(2 22 xxxxz или .5103 2 xxz Определим наибольшее и наименьшее значения этой функции на отрезке .4;0 )3/7;3/5(,3/5,0106,106 3 ' Mxxxzx – стационарная точка. .3/10)3/7;3/5()( 3 zMz Значения функции в точках A и B найдены ранее. Сравнивая полученные результаты, заключаем, что наибольшее значение заданная функция z в заданной замкнутой области достигает в точке )4;0(A , а наименьшее значение – в стационарной точке ).2;1(0M Таким образом, 13)0;4(zzнаиб и .4)2;1(zzнаим 1.12. Задачи для самостоятельного решения Исследовать на экстремум следующие функции: 1. xyyxz 633 ; 2. 2244 yxyxz ; 38 3. 206922 yxyxyxz ; 4. 2263 yxyxyxz ; 5. 168 33 xyyxz ; 6. xyyxz 333 ; 7. yxxyxz 12153 23 ; 8. 22 4)1( yxz ; 9. )3( 22 22 yxez yx ; 10. 221/)221( yxyxz ; Найти условный экстремум функции: 11. yxz 428 при 122 22 yx ; 12. 22 yxz при 062yx ; 13. 104522 yxxyyxz при 4yx ; 14. 22 yxz при 13/4/ yx ; 15. xyz при 0532 yx ; 16. 222 zyxu при 022 zyx и 02 zyx . 17. Из всех прямоугольных треугольников с заданной площадью S найти такой, гипотенуза которого имеет наибольшее значение. 18. Найти прямоугольный параллелепипед наибольшего объема, если его полная поверхность равна S . Найти наименьшее и наибольшее значения функции. 19. yxxyyxz 22 в замкнутом треугольнике, ограниченном осями координат и прямой 03yx . 20. yxyyxyxz 264 22 в замкнутом треугольнике, ограниченном осями координат и прямой 0632 yx . 21. 4422 xyyxz в квадрате, ограниченном осями координат и прямыми 4x и 4y . 22. 24622 yxyxz в прямоугольнике с вершинами );3;1(A ).3;4();2;4();2;1( DCB 23. 22 22 yxz в круге .922 yx 39 24. )sin(sinsin yxyxz в области .2/0;2/0 yx 25. )cos(coscos yxyxz в области .0;0 yx 26. Разложить число a на три положительных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим. 27. Из всех треугольников, вписанных в круг, найти тот, площадь которого наибольшая. 28. Из всех треугольников, имеющих данный периметр, найти наибольший по площади. 29. Найти прямоугольный параллелепипед данного V, имеющий наименьшую полную поверхность. 30. Дан треугольник с вершинами ).1;1(),6;3(),2;4( CBA B плоскости треугольника ABC найти точку, для которой сумма квадратов расстояний до его вершин будет наименьшей. Ответы 1. 8)2;2(min zz . 2. 8)2;2(max zz . 3. 1)1;4(min zz . 4. 9)3;0(max zz . 5. 0)2/1;1(min zz . 6. 1)1;1(min zz . 7. 28)1;2(min zz . 8. 28)1;2(max zz . 9. 1max e3)0;1()0;1( zzz ; 0)0;0(min zz . 10. 3)2;2(max zz . 11. 4)2;2(min zz ; 20)2;2(max zz . 12. 12)4;2(min zz . 13. 14/15)2/3;2/5(min zz . 14. 25/144)25/48;25/36(min zz . 15. 24/25)6/5;4/5(max zz . 16. 0)0;0;0(min uu ; 30)1;5;2(max uu . 17. 22( yxz при )2/ sxy катеты равны. 18. xyzu( при ),)(2 szxyzxy куб со стороной 6/s . 19. .6;1 наибнаим zz 20. .0;9 наибнаим zz 40 21. .4;36 наибнаим zz 22. .26;11 наибнаим zz 23. .18;18 наибнаим zz 24. .2/33;0 наибнаим zz 25. .1;8/1 наибнаим zz 26. при 3/a . 27. Равносторонний. 28. Равносторонний. 29. Куб с ребром v3 . 30. )1;2(N . 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решалась задача нахождения производной )(' xf , или дифференциала dxxfdf )( функции. В интегральном исчислении решается обратная задача. По функции )(xf требуется найти функцию )(xF такую, чтобы выполнялись равенства )()( xfxF или .)()()( dxxfdxxFxdF Определение 2.1. Функция )(xF называется первообразной для функции )(xf на множестве X , если она дифференцируема для любого Xx и )()( xfxF . Теорема 2.1. Любая непрерывная функция xf на отрезке ];[ bа имеет на этом отрезке первообразную )(xF . Теорема 2.2. Если )(1 xF и )(2 xF – две любые первообразные для )(xf на X , то CxFxF )()( 21 , где C – постоянная. Следствие. Если )(xF – некоторая первообразная функция )(xf на множестве X , то все первообразные функции имеют вид CxF )( , где C – постоянная. 41 Операция нахождения первообразной )(xF функции )(xf называется интегрированием. Определение 2.2. Совокупность CxF )( всех первообразных функции )(xf на множестве X называется неопределенным интегралом и обозначается CxFdxxf )()( , где dxxf )( – подынтегральное выражение, )(xf – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования. Основные свойства неопределенного интеграла 1. xfdxxf и dxxfdxxfd ; 2. CxFxdF )()( ; 3. dxxfadxxaf )()( ,где 0a , a - постоянный множитель; 4. dxxfdxxfdxxfdxxfxfxf nn )()()())()()(( 2121 ; 5. CbaxF a dxbaxf )( 1 ; 6. СиFdииfCxFdxxf )()()()( , т.е. любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирования заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной. Таблица основных неопределенных интегралов В приведенной ниже таблице буква и может обозначать, как независимую переменную )( хи , так и функцию от независимой переменной ))(( хии . 1. )1( 1 1 nC n u duu n n ; 2. )1,0( ln aaC a a dua u u ; 3. Cdu u u ee ; 4. Cu u du ln ; 5. Cuudu cossin ; 6. Cuudu sincos ; 42 7. Cu u du tg cos2 ; 8. Cu u du ctg sin 2 ; 9. Cuudu chsh ; 10. Cuudu shch ; 11. Cu u du th ch2 12. Cu u du cth sh2 ; 13. C ua ua aua du ln 2 1 22 ; 14. C au au aau du ln 2 1 22 ; 15. )0(arctg 1 22 aC a u aau du ; 16. auCauu au du 22 22 ln ; 17. auC aua du u arcsin 22 . 2.2. Основные методы интегрирования Непосредственное интегрирование. Оно основано на приведении подынтегрального выражения к табличному виду и использовании свойств интеграла. Примеры 1. dxdxxxdxdxdxxxdxdxxxdxx 2 1 2 22)12(1 Cxx x Cx xx 2 322 3 2 3 4 2 2 3 2 2 ; 2. Cxxdx x dx dx xx xxdx tg cos 1 cos 1 cos 1 tg1tg 222 22 ; 3. 222 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 21 1 1 x dx x dx dx xx x dx xx x dx xx xx dx xx x 43 Cxx arctg2ln ; 4. Cdxdxdx x xxxxx 2 2 222 e2ln e2 e2e2e2 ; 5. 2242 3 sin2 1 9 1 sin2 x dx xdxdx xx x C xx xdxx 33 arctg 3 1 cos2 3 4 ; 6. Cx x dx x dx arcsin 5 1 1555 22 ; 7. C -x x xdx x dxdx x x x dxx 1 1 ln 2 1 1 1 1 1)1( 1 22 2 2 2 ; 8. dx x x dx x x dx x x dx x x 32 233232 3 2 32 23 3 2 323 232 23 32 ; 3 2 ln 9 5 3 2 32 32 9 5 3 2 32 65 1 3 2 32 6532 3 2 Cxx x xd xdx x dx x x 9. dxdx dxdx dxdx dx dx xx xxx x x x x xx 2 5 1 52 25 1 5 2 52 55 52 22 10 52 111 Cxdxddxxd xx xx 2ln 2 5 1 5ln 5 2)(2 5 1 )(52)( ; 10. C x C x x dx x dx 2 3 arctg 6 1 32 arctg 32 1 3 1 323 1 32 222 . Проверим результат интегрирования примера 10 дифференцированием. Найдем 222 32 1 2 3 1 1 2 1 2 3 2 3 1 1 6 1 2 3 arctg 6 1 xx x C x . Производная от первообразной равна подынтегральной функции, т.е. интеграл вычислен верно. 44 «Подведение» подынтегральной функции под знак дифференциала. По определению дифференциала функции )()( xddxx . Переход от левой части равенства к правой называется подведением множителя )(' x под знак дифференциала. В этом методе интегрирования используют свойства дифференциала сложной функции: baxudu a baxd a dx 11 . Поэтому: Cxddx , где C – произвольная постоянная, cxd c dx 1 . Например: ; 3 1 3 1 3'32 dxdxxdxx xddxxdx coscossin ' , 22 e 2 1 e xx ddxx и т.д. Примеры 1. u du x xd x-dxdxdx x x xdx cos cos cossin cos sin tg CxCu coslnln ; 2. C x xdxdxxdxdxxx 23 1 11212 2 3 2 22 1 222 Cx 2 3 2 1 3 2 ; 3. 23 1 223 1 22 3 2 11 2 1 2 1 1 2 1 1 xdxdxxdxxdx x xdx 3 2 23 2 2 1 4 3 3 2 1 2 1 xCC x ; 4. Cx x xd dxdxx x dxx 1ln 6 1 1 1 6 1 6 1 1 6 6 6 65 6 5 ; 45 5. Cxdxd x dx x dx xx x arctgarctg 22 arctg earctgearctg 11 e ; 6. Cxxxdxdx 3sin 3 1 33cos 3 1 3cos ; 7. C x xxdx-dxdxxdxx 6 cos coscoscossinsincos 6 55 ; 8. Cxxdxxd x dx x dxx 2 5 2 32 3 ln 5 2 lnlnln ln ; 9. C d ddx dx x x x xx x x arctg3 3ln 1 31 3 3ln 1 3 3ln 1 3 91 3 2 ; 10. Cxddxdxdxxdxx -xx-x x 3333 e 3 1 e 3 1 3 1 e 3 1 e 33322 ; 11. 75cos 75 5 1 4 1 75cos4 1 4 1 75cos 42 4 42 4 43 42 3 x xd x dx dxdxx x dxx Cx 75tg 20 1 4 ; 12. Cx x xd xd x dx xx dx lnln ln ln ln ln ; 13. Cdddxdx xxxxxxx esineecoseeecose ; 14. C x x xd x dx x dx 7 5 arctg 7 1 5 1 57 5 5 1 5757 22222 Cx 7 5 arctg 35 1 ; 15. Cxxddxdxx 91cos 9 1 91 9 1 91sin ; 16. Cx x xd x dx 35ln 3 1 35 35 3 1 35 ; 46 17. C x x xd x dx x dx 3 8 arcsin 8 1 83 8 8 1 8383 2222 ; 18. 222 2 222 23 7 432 1 43 7 4343 7 x dx x dx x dx x xdx dx x x C x x x xd x xd 2 3 arctg 32 7 43ln 6 1 23 3 3 7 43 43 6 1 2 222 2 ; 19. C x x xd x dx x dx 6 2 arcsin 2 1 26 2 2 1 2626 22222 C x 3 arcsin 2 1 ; 20. Cxx x xd x dx 622ln 2 1 62 2 2 1 62 2 222 ; 21. Cxdxddxdx x- xx 545454 e 5 1 54e 5 1 54 5 1 e ; 22. 12ln 2 1 12 12 2 1 1212 12ln xd x xd x dx dx x x CxCxxdx 12ln 3 1 12ln 3 2 2 1 12ln12ln 2 1 2 3 2 3 2 1 ; 23. Cx x xd xd x dx xx dx arcsinln arcsin arcsin arcsin 11arcsin 22 ; 24. C dx dxxdx xdx -x xx 2 22 3 3 2 2 3 e 2 1 e2 1 2 1 e ; 25. C x x C x x x xd x dx 25 25 ln 54 1 25 25 ln 22 1 5 1 25 5 5 1 45 223 . 2.3. Задачи для самостоятельного решения 47 Вычислить интегралы, используя «подведение» множителя под знак дифференциала и непосредственное интегрирование. 1. dxx 323 ; 2. dx x xx 4 22 1 11 ; 3. dxx2sin1 ; 4. dx xx x 22 2 1 21 ; 5. dx x 2 cos2 2 ; 6. 277 x dx ; 7. dx x x 3 3 1 ; 8. x x 2cos1 cos1 2 ; 9. dx x x 1 3 2 2 ; 10. dx x 23 dx 2 ; 11. dxx75 ; 12. 3 92 x dx ; 13. dxx3 2311 ; 14. x dx 34 ; 15. 138x dx ; 16. dxx 15 32 ; 17. 1cos sin x xdx ; 18. dxx56sin ; 19. 47 3 2x dx ; 20. 35 2x dx ; 21. 72 9 2x dx ; 22. 232 x dx ; 23. 234 2 x dx ; 24. 13ln13 2 xx dx ; 25. xdxx 2sin2cos7 ; 26. xx dx 32 ctgsin ; 27. dx x x 2 4 1 arcsin ; 28. dxxx 2 32 ; 29. 28 3 x dxx ; 30. 12xx dx . Ответы 1. Cxxxx 753 7 1 5 9 927 ; 2. Cxxx arcsin1ln 2 ; 3. )0cos;0sin(,cossin xxCxx ; 4. C x x 1 arctg ; 5. Cxx sin ; 6. Cxarcsin 7 1 ; 7. Cxxxx 6 13 3 5 6 7 3 2 13 6 5 9 7 18 2 3 ; 8. Cxxtg ; 48 9. C x x 1 1 ln2 ; 10. Cxx 233ln 3 1 2 ; 11. Cx 2 3 75 21 2 ; 12. Cx 3 2 92 6 1 ; 13. Cx 3 5 311 5 1 ; 14. Cx34ln 3 1 ; 15. Cx 138ln 8 1 ; 16. Cx 1632 32 1 ; 17. ;1cosln xC 18. Cx56cos 5 1 ; 19. Cxx 477ln 7 3 2 ; 20. Cxx 355ln 5 1 2 ; 21. C x x 72 72 ln 142 9 ; 22. C x x 32 32 ln 62 1 ; 23. C x 2 3 arctg 3 1 ; 24. C x 13ln3 1 ; 25. xC 2cos 16 1 8 ; 26. C x2ctg2 1 ; 27. Cx5arcsin 5 1 ; 28. C xx 9ln 9 6ln 6 2 ln 4 4 ; 29. C x x 2 2 ln 8 2 4 4 ; 30. 0;1 11 ln 2 xC xx . 2.4. Интегрирование подстановкой (замена переменной) Требуется вычислить интеграл ,dxxf который не является табличным. Суть метода подстановки состоит в том, что переменную x заменяют переменной t по формуле ,tx тогда dttdx ' . Теорема 2.3. Пусть функция tx определена и дифференцируема на некотором множестве T и пусть X - множество значений этой функции, на котором определена функция xf . Тогда, если на множестве xfX имеет первообразную, то на множестве T справедлива формула: dtttfdxxf ' , 49 которая называется формулой замены переменой в неопределенном интеграле. После вычисления интеграла следует вернуться к переменной x по формуле xt 1 . При интегрировании заменой переменной нельзя дать общее правило выбора подстановки для любой функции. Однако это можно сделать только при интегрировании отдельных классов функций (тригонометрических, иррациональных и т.д.). Так, например, интегралы вида: dxxaxRdxxaxRdxaxxR 222222 ,,,,, . При помощи тригонометрических подстановок соответственно: t a x cos или ; sint a x tax cos или ;sin tax .tgtax Примеры Вычислить интегралы при помощи подстановок. 1. dttttdttt tdtdx txtx dxxx 242 2 2222 ;2 2;2 2 ;2 3 4 2 5 2 3 4 5 2 3 5 35 CxxC tt 2. dt t dt t t t tdt tdtdxtxtx x dx 1 1 12 1 11 2 1 2 2;; 1 2 CxxCtt t td dt 1ln221ln22 1 1 22 ; 3. 1 2 2ln;1lnln1ln ln ln1 ln ln1 2 2 t tdtt tdtxdtxtxxd x x dx xx x C t t tdt t dt t t 1 1 ln 2 1 22 1 1 12 1 11 2 22 2 ; 1ln1 1ln1 lnln12 C x x x 4. 1 2 1 2 1 2 ,1ln,1e;1e 1e 222 22 t dt tt tdt t tdt dxtxtt dx xx x 50 ; 11e 11e ln 1 1 ln 2 1 2 CC t t x x 5. Cttdt t tdtt tdtdxtxtxdx x x sin2cos2 2cos 2,, cos 2 ;sin2 Cx 6. 142 1 1414 1 1 ; 1 ; 1 4 2 2 2 2 2 2 222 t dt t tdt t dt t t dt t dx t xt xxx dx ;1 4 4 1 214 8 1 1414 8 1 2 2 1 222 1 2 x CCttdt 7. 2 2 2 2 2 22 11 1 1 ; 1 ; 1 1 t tt t dt t tt dt t t dt t dx t xt xxxx dx Cttt t td t dt tt dt 1 2 1 ln 4 3 2 1 2 1 4 3 2 11 2 222 ; 12 ln1 11 2 11 ln 2 2 C x xxx C xxx 8. tdttttdttdxtxdxx cos3cos3cos39sin-9,3cos;sin39 22 Cttdtdtdt t tdt 2tsin 4 9 2 9 2cos 2 9 2 2cos1 9cos9 2 ;9 2 1 3 arcsin 2 9 3 arcsinsin3 2 Cxx xx ttx 51 9. dt t t dt tt ttt t t t x dt t t dxx dx x x 2 2 2 2 2 22 cos sin coscos sincossin cos sin 1 cos 1 1 cos sin ; tcos 1 1 ,tg coscos cos1 22 2 Cttdt t dt dt t t где ; 1 arccos x t 10. t dt ttt tx t dt dxtxdx x x 24 22 24 2 costgcos 1 cos 1 tg11; cos ;tg 1 , 3sin 1 3 sin sinsin sin cos sincos cos 3 3 4 443 4 t CC t ttddt t t dt tt t где xt arctg . 2.5. Интегрирование по частям Пусть функции xuu и xvv – непрерывно дифференцируемые функции на некотором интервале, тогда имеет место формула vduuvudv , называемая формулой интегрирования по частям. Метод интегрирования по частям удобно применять в следующих случаях: 1) Интегралы вида: ,cos;sin,e axdxxPaxdxxPdxxP nn ax n где xP n – мно- гочлен степени ;n a число. В этих интегралах полагаем ,xPu n и, применив интегрирование по частям n раз, получаем результат. 2) Интегралы вида: ;arctg;arccos;arcsin;ln xdxxPxdxxPxdxxPxdxxP nnnn ;arctg;arccos;arcsin;ln xdxxPxdxxPxdxxPxdxxP nnnn ;arctg;arccos;arcsin;ln xdxxPxdxPxdxxPxdxxP nnnn ;arctg;arccos;arcsin;ln xdxxPxdxxPxdxxPxdxxP nnnn ,arcctgxdxxPn где xPn многочлен степени .n Их можно вычислить по частям, принимая за u функцию, являющуюся множителем при .xP n 3) Интегралы вида: ,cose,sine bxdxbxdx axax ( ba, - числа), dxxlnsin и т.д. Эти интегралы вычисляются двукратным интегрированием по частям, после чего получается снова исходный интеграл с некоторым коэффициентом. Имеем 52 равенство, которое является линейным алгебраическим уравнением относительно искомого интеграла. Примеры 1. 2 2 2 2 1 1 2 1 arctg 1 arctg , 1 ;,arctg arctg x xd xx x xdx xx xv x dx du dxdvxu xdx ;1ln 2 1 arctg 2 Cxxx 2. dxxxxdxx vxdxdu dxdvxu dxx xxxx x x x e2e2ee e;2 e; e 2-2 2 2 ;e2e2eee2e e, e, 2--2 Cxxdxxx vdxdu dxdvxu xxxxxx x x 3. 2 2 2 2 2 2 1ln 1 2 1ln , 1 2 ,1ln 1ln xx x xdxx xx xv x xdx du dxdvxu dxx 1 221ln 1 1 121ln 1 11 2 2 2 2 2 2 2 x dx dxxxdx x xxdx x x ;arctg221ln 2 Cxxxx 4. xxxdxxx xvdxdu xdxdvxu xdxx 7cos 7 1 7cos 7 1 7cos 7 1 7cos 7 1 , 7sin, 7sin ;7sin 49 1 Cx 5. 2 2 22 e,2 e, e 2 1 ee 22 2223 x x xxx vxdxdu dxdvxu dxxxdxxdxx Cxdxxdxxx xxxxxx 222222 e 2 1 e 2 1 e 2 1 e 2 1 e2e 2 1 2222 ;1e 2 1 e 2 1 e 2 1 22 222 CxCx xxx 53 6. dxxxx vdxxdu dxdvxxu dxxx -x-x x -x x e52e45 e,52 e,45 e45 2 2 2 dxxxx vdxdu dxdvxu -x-xx -x x e2e52e45 e,2 e,52 2 ;117ee2e52e45 22 xxCCxxx -x-x-x-x 7. x x xx dx x x x dx x x x vdxdu x dxx dvxu dx x xx sin 2 cos 2 sin2sinsinsin sin 1 , sin cos , sin cos 2 2 ; 2 tgln sin 2 tg 2 tg sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 2 C x x x x x d x x x x x x d 8. xx x xdx xxxv x dx du dxdvxu xdx arccos 1 arccos, 1 ,arccos arccos 22 ;1arccos21 2 1 arccos11 2 1 22 1 222 1 2 CxxxCxxxxdx 9. xxdx x xxxx xvdx x xdu dxdvxu xdx lnsin 1 lncoslnsin , 1 lncos ,lnsin lnsin dx x xxxxxx xvdx x x du dxdvxu xdx 1 lnsinlncoslnsin , lnsin ,lncos lncos ;lnsinlncoslnsin xdxxxxx Имеем уравнение относительно .lnsin xdx ;sinlncoslnsinlnsinln xdxxxxxdx ;coslnsinlnsinln2 xxxxdx 54 ;coslnsinln 2 1 sinln Cxxxxdx 10. bxdx b a bx вbx b vdxadu bxdxdvu bxdx axaxax ax ax sinesine 1 sin 1 ,e cos,e cose bxdx b a bx bb a bx bbx b vdxadu bxdxdvu axaxax ax ax cosecose 1 sine 1 cos 1 ,e sin,e ;cosecosesine 1 2 2 2 bxdx b a bx b a bx b axaxax Имеем ,cosecossine 1 cose 2 2 bxdx b a bx b a bx b bxdx axaxax или ;cossine 1 cosecose 2 2 bx b a bx b bxdx b a bxdx ax axax bxdxbx b a bx b bxdx b ab axaxax cosecossine 1 cose 2 22 ;: cossin e 1 2 22 b ab b bxabxb b ax Cbxabxb ba bxdx axax cossine 1 cose 22 . 2.6. Задачи для самостоятельной работы Вычислить интегралы, используя замену переменной. 1. ;53 dxxx 2. dxxx 102 ; 3. ; 12 dx x x 4. ; 1 21 dx x x 5. ; 33 dx x x 6. ; 13x dx 7. ; e x dxx 8. ; cos21 sin x xdx 9. ; 1 2xx dx 10. xx dx 2ln41 . 55 Вычислить интегралы с помощью интегрирования по частям. 11. ;ln xdxx 12. ;4e 2 dxxx 13. ;2arctg xdxx 14. ;32 dxx x 15. ; sin cos 2 dx x xx 16. ;2sin xdxx 17. ;arccosxdx 18. ;ln 3xdx 19. ;sine2 xdxx 20. dx x x 2 21 . Ответы 1. ; 5 2 53 25 2 3 Cxx 2. ; 66 1 12 1 2 11 Cxx 3. ; 1 arccos 1 arccostg C xx 4. ;1ln662 Cxxx 5. ; 10 27 5 3 33 2 Cxx 6. ; 13 3 ln 3ln 1 C x x 7. ;e2 Cx 8. ;cos21 Cx 9. ; 11 ln 2 C x x 10. ;2lnarcsin 2 1 Cx 11. ; 3 2 ln 3 2 2 3 Cxx 12. ;62e 2 Cxxx 13. ; 4 1 2arctg 8 1 2 2 Cxx x 14. ; 3ln 2 3ln 2 3 3ln 1 2 2 C x xx 15. ; 2 tgln sin C x x x 16. ;2cos 8 2sin 16 1 Cx x x 17. ;1arccos 2 Cxxx 18. ;6ln6ln3ln 23 Cxxxx 19. ;cos 3 1 sin 3 2 e2 Cxxx 20. Cxx x x 2 2 1ln 1 . 56 2.7. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения их на простейшие дроби Рациональной дробью называется дробь вида )( )( xQ xP n m , где )(xPm , )(xQn – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т.е. nm ; в противном случае (если nm ) рациональная дробь называется неправильной. Простейшей дробью называется правильная дробь одного из следующих четырёх типов: 1) ax A ; 2) kax A )( ),2( Nkk ; 3) qpxx NMx 2 (корни знаменателя комплексные, т.е. 042 qp ); 4) kqpxx NMx )( 2 ( 2k , корни знаменателя комплексные), где A, a, M, N, p, q – действительные числа. Теорема 2.4. Всякую правильную рациональную дробь )( )( xQ xP n m , знаменатель которой разложен на множители mS mm Skk n qxpxqxpxxxxxxQ )...()...()()()( 2 11 2 21 121 можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей: ... )( ... )()( ... )()( )( 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 k k k k n m xx B xx B xx B xx A xx A xx A xQ xP mm S SS qxpx NxM qxpx DxC qxpx DxC qxpx DxC 2 11 11 22 11 2 22 11 2 11 ... )( ... )( ... 1 11 57 , )( ... )( 222 22 m mm S mm SS mm qxpx NxM qxpx NxM где ,...,,...,,,...,,,...,, 11112121 NMDCBBAA - некоторые действительные числа. Поясним формулировку теоремы на следующих примерах: 1) ; )3()3(32)3)(2( 4 323 2 x D x C x B x A xx x 2) ; 1)1( 1 2222 3 x DCx x B x A xx x 3) . )1(121)1)(2)(1( 987 22222 2 xx NMx xx DCx x B x A xxxx xx Перед интегрированием рациональной дроби )( )( xQ xP n m необходимо выполнить следующие алгебраические преобразования и вычисления: 1) Если дана неправильная рациональная дробь, выделить из неё целую часть, т.е. представить эту дробь в виде )( )( )( )( )( 1 xQ xP xM xQ xP nn m , где )(xM - многочлен, )( )(1 xQ xP n - правильная рациональная дробь. 2) Разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители: ...,))...(()()( 2 rm qpxxbxaxxQ где квадратичные множители имеют комплексные корни. 3) Правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби. 4) Вычислить неопределённые коэффициенты ,,...,,,,...,, 21 2121 kk BBBAAA mm SSS NNNMMMDDCCC ,...,,,,...,,,...,,,,...,, 21212121 1 , для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять в числителе коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. В результате интегрирование рациональной дроби сведётся к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей. 58 Примеры 1. Найти dx xxx x 65 12 23 2 . Решение. Разложим на множители знаменатель подынтегрального выражения: )3)(2()65(65 223 xxxxxxxxx . Так как каждый из множителей 3,2, xxx входит в знаменатель в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей типа I: 32)3)(2( 12 2 x C x B x A xxx x . Освободившись от знаменателей, получим: )2()3()65(12 2222 xxCxxBxxAx . Сгруппируем члены при одинаковых степенях x: AxCBAxCBAx 6)235()(12 22 . Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем систему уравнений: 6 1 16 3 17 0235 2 7 2 AA CCBA BCBA . Итак, .3ln 3 17 2ln 2 7 ln 6 1 33 17 22 7 6 1 )3)(2( 12 2 Cxxx x dx x dx x dx dx xxx x 2 . Найти dx xxx xxx 133 533 23 234 . 59 Решение. Выделим целую часть данной неправильной рациональной дроби, разделив её числитель на знаменатель по правилу деления многочленов. Тогда . )1( 2 1 1 2 2 )1(4 1 )1( 2)1( 4 )1(2)1( 4)1( 2 )1( 5 133 5 133 533 2 2 212 32 2 3 2 32323 234 C xx x C xxx x dx x dxx dx x xx dx x x xdx xxx x xdx xxx xxx 3 . Найти интеграл dx x xx 9 2 )1( , не применяя метода неопределённых коэффициентов. Решение. Подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, поэтому можно было бы найти интеграл, представив эту дробь в виде суммы простейших дробей. Однако нахождение интеграла можно значительно упростить, если произвести замену переменной tx 1 , тогда 1tx , dtdx . Находим dt t tt dt t tt dtdx txtx dx x xx 9 2 9 2 9 2 231)1(1,1 )1( , 4 1 7 3 6 1 8 2 7 3 6 )23( 876 876 987 c ttt c ttt dtttt где 1xt . 2.8. Задачи для самостоятельного решения 1. dx xx x 2)2)(1( 1611 ; 2. dx xxx x 44 145 23 ; 3. 2223 xxx dx ; 4. 82x dx ; 5. dx xxx x 52 157 23 ; 6. dx xx x 44 1 24 ; 7. dx xx x ))(1( 1 22 ; 8. dx xx xxx )2()1( 518175 3 23 ; 60 9. )1)(1( 22 xx dx ; 10. )1()1( 22 5 xx dxx ; 11. 4 2 1 x dxx ; 12. dx xxx x 1 1 23 4 ; 13. dx xxx xxx 234 35 22 442 ; 14. dx xx x )1)(2( 4 2 ; 15. dx x x 1 )1( 3 3 ; 16. dx xx xxx 4 82295 3 23 ; 17. 22 2 )4()2( xx dxx ; 18. 23 )1(xx dx ; 19. )54)(34( 22 xxxx dx ; 20. 14 4 x dxx ; 21. dx xxx x 45 25 23 3 ; 22. dx xx xx )1( 1 2 3 ; 23. xxx dx 376 23 ; 24. 23 24 xx xdx ; 25. dx xx x 322 4 )1( 43 ; 26. 254 23 xxx dx ; 27. dx xx xx )2()4( 14 3 2 ; 28. dx xx xx )1()1( 22 22 3 ; 29. dx xxx xxx )134( 1343 22 23 ; 30. dx xx x 22 3 )1)(1( 3 . Ответы 1. C xx x 2 2 2 )1( ln3 ; 2. C xx x )2()2( )1( ln 2 3 ; 3. C x x x 2 arctg 23 1 2 1 ln 3 1 2 ; 4. C x xx x 3 1 arctg 34 1 42 )2( ln 24 1 2 2 ; 61 5. C x x xx 2 1 arctg2 52 ln3 2 ; 6. C x x x 2 arctg 8 2 )2(4 2 2 ; 7. C x x x x 3 arctg 24 1 arctg 8 1 9 1 ln 16 1 2 2 ; 8. Cxx x 2ln31ln2 )1(2 1 2 ; 9. Cx x x arctg 2 1 1 1 ln 4 1 ; 10. Cxx xx x 1ln 8 1 1ln 8 31 )1(4 9 )1(4 1 2 )2( 2 2 ; 11. Cx x x arctg 2 1 1 1 ln 4 1 ; 12. Cx x xx arctg 1 1 ln 2 )1( 2 2 ; 13. Cxxx x x x )1(arctg2)22ln(2 2 2 2 2 2 ; 14. C x x x 2 2 )2( 1 lnarctg9( 2 1 ; 15. Cxxx x x 11ln 3 1 3 12 arctg 3 1 28 ; 16. Cxxxx 2ln42ln3ln25 ; 17. C x x xx )2( )4( ln2 )4( 4 )2( 1 ; 18. C x x xxx 1 ln3 )1( 12 2 1 2 ; 19. Cxxxxx )2(arctg 130 7 )54ln( 65 1 1ln 20 1 3ln 52 1 2 ; 20. Cx x x x arctg 2 1 1 1 ln 4 1 ; 21. C x xx x 3 7 6 161 2 1 )1( )4( ln5 ; 22. C x xx x 3 7 6 161 2 1 )1( )4( ln5 ; 23. Cxxx ln 3 1 32ln 33 2 13ln 11 3 ; 62 24. C x x 1 2 ln 2 2 ; 25. C xx xx x 22 24 )1(8 3210357 arctg 8 57 ; 26. C x x x 1 2 ln 1 1 ; 27. C x x xx 2 4 ln2 4 3 )4(2 13 2 ; 28. Cxx x arctg 2 3 )1ln( 2 1 )1(2 1 2 ; 29. C x xxx x 3 2 arctg 3 4 134ln 2 31 2 ; 30. Cxxx x x arctg2)1ln( 4 1 1ln 2 1 )1(2 2 2 2 . 2.9. Интегрирование тригонометрических выражений с помощью подстановок и формул тригонометрии Интегрирование тригонометрических выражений с помощью подстановок. Условимся через ),( vuR обозначать рациональную функцию относительно u, v, т.е. выражение, которое получено из любых величин u, v с помощью четырёх арифметических действий. Рассмотрим интегралы вида dxxxR )cos,(sin , где R – рациональная функция аргументов xsin и xcos . Такие интегралы приводятся к интегралам от рациональных функций, т.е. рационализируются с помощью универсальной тригонометрической подстановки 2 tg x t . В результате этой подстановки имеем: 22 1 2 2 tg1 2 tg2 sin t t x x x ; 2 2 2 2 1 1 2 tg1 2 tg1 cos t t x x x ; tx arctg2 ; 21 2 t dt dx ; 22 2 2 1 2 1 1 ; 1 2 )cos;(sin t dt t t t t RdxxxR . 63 Универсальная подстановка 2 tg x t во многих случаях приводит к сложным вычислением, так как при её применении xsin и xcos выражаются через t в виде рациональных дробей, содержащих 2t . В некоторых случаях нахождение интегралов вида dxxxR )cos;(sin можно осуществить с помощью других подстановок. Укажем эти случаи: 1. Если )cos,(sin xxR - чётная функция относительно xsin , xcos , т.е. )cos,(sin)cos,sin( xxRxxR , то интегралы рационализируются подстановкой xt tg . При этом используются формулы: x x x 2 2 2 tg1 tg sin ; x x 2 2 tg1 1 cos . 2. Если )cos,(sin xxR - нечётная функция относительно xsin ; т.е. )cos,(sin)cos,sin( xxRxxR , то интегралы dxxxR )cos;(sin рационализируются с помощью подстановки xt cos . 3. Если )cos,(sin xxR - нечётная функция относительно xcos , т.е. )cos,(sin)cos,(sin xxRxxR , то интегралы dxxxR )cos;(sin рационализируются с помощью подстановки xt sin . 4. Интегралы dxxR )tg( приводятся к рациональному виду с помощью подстановки xt tg . 5. Интегралы dxxR )ctg( приводятся к рациональному виду с помощью подстановки xt ctg . Примеры 1. Найти интеграл с помощью тригонометрической подстановки: xx dx 22 cos7sin4 . Решение. Так как выполняется условие )cos,(sin)cos,sin( xxRxxR , то применяем подстановку xt tg 64 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 1 74 1 1 1 cos, 1 sin 1 ,arctg,tg cos7sin4 t t t dt t x t t x t dt dxtxtx xx dx C t t t td t dt 72 72 ln 74 1 7)2( )2( 2 1 74 222 , где xt tg . 2. Вычислить интеграл x xdx 6 5 sin cos . Решение. Так как выполняется условие )cos,(sin)cos,(sin xxRxxR , то применив подстановку xt sin , имеем dt t tt dt t t tx xdxdtxt x xdx 6 42 2 22 226 5 211 1cos cos,sin sin cos C ttt dtttt 1 3 2 5 1 2 35 246 , где xt sin . Интегрирование тригонометрических выражений с помощью тригонометрических формул. Рассмотрим следующие случаи: 1. Интегралы вида nxdxmxcossin , nxdxmxcoscos , nxdxmxsinsin находят с помощью формул тригонометрии: xnmxnmnxmx )sin()sin( 2 1 cossin , xnmxnmnxmx )cos()cos( 2 1 coscos , xnmxnmnxmx )cos()cos( 2 1 sinsin . 2. Интегралы вида Nnmndxx nm ,,cossin , находят при нечётном n с помощью подстановки xt sin , при нечётном m - с помощью подстановки xt cos . Если же m и n – чётные положительные числа, то подынтегральную функцию необходимо преобразовать с помощью формул тригонометрии: 65 xxx 2sin 2 1 cossin , )2cos1( 2 1 sin 2 xx , )2cos1( 2 1 cos2 xx . 3. Интегралы вида xdxmtg , xdxmctg , где Nm , находят с помощью формул: 1 cos 1 tg 2 2 x x , 1 sin 1 ctg 2 2 x x , последовательно понижая степень тангенса или котангенса. 4. Интегралы вида dx x x n m cos 1 tg , dx x x n m sin 1 ctg , где n – целое чётное положительное число и интегралы вида x dx n2sin , x dx m2cos , где m, n – целые положительные числа, находят с помощью формул: 1 cos 1 tg 2 2 x x , 1 sin 1 ctg 2 2 x x . Примеры 1. Вычислить dx x x 4 6 cos 1 tg . Решение. Применяя формулу x x 2 2 tg1 cos 1 , получаем . 9 tg 7 tg )tg(tg)tg(tg )tg()tg1(tg cos )tg1(tg cos 1 tg 97 86 26 2 26 4 6 C xx xdxxdx xdxx x dx xxdx x x 2. Вычислить x dx 6sin . 66 Решение. Используя формулу x x 2 2 ctg1 sin 1 , имеем .ctg 5 1 ctg 3 2 ctg )(ctg)ctgctg21()ctg()ctg1( sinsin 1 sin 53 4222 2 2 26 Cxxx xdxxxdx x dx xx dx 2.10. Задачи для самостоятельного решения 1. xx dx 2sinsin2 ; 2. dx x x 2sin tg1 ; 3. x dx cos3 ; 4. 2)cos(sin xx dx ; 5. x dx 4cos ; 6. xx dx cossin23 ; 7. x dx sin45 ; 8. xx dx 33 cossin ; 9. x dx 8tg ; 10. xx xdx 33 cossin cos ; 11. xdx8sin ; 12. 2)cos1( cos x xdx ; 13. xdxx 3cos2cos ; 14. dx x x sin1 sin1 ; 15. xxx dx 22 cos)tg5tg( ; 16. dx x xx 2sin3 cossin ; 17. xx dx cos7sin48 ; 18. xxxx dx 22 cos5cossin4sin ; 19. xx dx cos4sin3 ; 20. x xdx tg1 sin ; 21. xx dx cos3sin5 ; 22. 3cos sin 3 x xdx ; 67 23. xx dx 22 sin4cos3 ; 24. xdxx 25 sincos ; 25. dx x x 1sin4 cos 2 3 ; 26. xdxx 2coscos ; 27. dxxx )tgtg( 42 ; 28. xdx4sin ; 29. xx xdx 2tgtg1 tg ; 30. xx dx sincos7 . Ответы 1. C xx 2 tg 8 1 2 tgln 4 1 2 ; 2. )tglntg( 2 1 Cxx ; 3. C x 2 2 tg arctg 2 1 ; 4. C xtg1 1 ; 5. Cx x tg 3 tg3 ; 6. C x 1 2 tgarctg ; 7. C x 3 4 2 tg5 arctg 3 2 ; 8. )tgln2)ctg((tg 2 1 22 Cxxx ; 9. 3ctgctg 3 1 ctg 5 1 ctg 7 1 357 xxxxx ; 10. C x xx x 3 1tg2 arctg 3 3 1tgtg 1tg ln 6 2 3 ; 11. Cxxxxx 8sin 1024 1 2sin 24 1 4sin 128 7 2sin 4 1 128 35 3 ; 12. C xx 2 3 ctg 6 1 2 ctg 2 1 ; 13. Cxx sin 2 1 5sin 10 1 ; 14. C xx 2 3 ctg 6 1 2 ctg 2 1 ; 15. C x x tg 5tg ln 5 1 ; 68 16. C xx xx 2cossin 2cossin ln 4 1 ; 17. C x x 3 2 tg 5 2 tg ln ; 18. Cx 2tgarctg ; 19. C x x 2 1 2 tg 2 1 2 tg ln 5 1 ; 20. C x xx 82 tgln 22 1 )cos(sin 2 1 ; 21. C x 15 1 2 tg2 arctg 15 2 ; 22. Cxx x 3cosln8cos3 2 cos2 ; 23. C x 3 tg2 arctg 32 1 ; 24. Cxxx 753 sin 7 1 sin 5 2 sin 3 1 ; 25. C x x x 1sin2 1sin2 ln 16 3 sin 4 1 ; 26. Cxx sin 2 1 3sin 6 1 ; 27. Cx3tg 3 1 ; 28. Cxxx 4sin 32 1 2sin 4 1 8 3 ; 29. C x x 3 tg21 arctg 3 2 ; 30. Cxx tg2tg 5 2 5 . 2.11. Интегрирование иррациональных функций Рассмотрим интегралы вида dx dcx bax dcx bax xR r r n m n m ,...,, 1 1 , где R – рациональная функция: rr nmnm ,,...,, 11 - целые ненулевые числа. С помощью подстановки t dcx bax , где ),...,( 1 rnnk , ),...,( 1 rnnk - наименьшее общее кратное чисел r nn ,...,1 , указанный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции. Рассмотрим два частных случая. 69 1. Если 0c , 1d , то данный интеграл имеет вид dxbaxbaxxR r r n m n m ,...,, 1 1 и преобразуется в интеграл от рациональной функции с помощью подстановки tbax , где ),...,( 1 rnnk . 2. Если 0cb , 1da , то интеграл имеет вид dxxxxR r r n m n m ,...,, 1 1 и приводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки tx , где ),...,( 1 rnnk . Примеры Найти интегралы: 1. xx dx 43 Решение. Так как имеет вид dxxxR 3 1 2 1 ,..., , а 6)3,2(k , т.е. 6 , то применим подстановку 6tx . Тогда dt t t t dtt tt dtt dttdx tx xx dx 4 4)4( 6 4 6 )4( 6 64 2 2 2 2 32 5 5 6 3 C t tC t tdt t 2 arctg126 2 arctg26 4 4 16 2 , где 6 xt . 2. dx x xx 3 2 1 1 . Решение. Интеграл имеет вид dxxxxR 3 1 2 1 )1(,)1(, , поэтому применим подстановку 61 tx , так как 6)3,2(k , 6 . Тогда имеем: 16tx , dttdx 56 dtttttdtt t tt dttdx tx dx x xx )12(66 )1( 6 1 1 1 361235 2 326 5 6 3 2 CttttC tttt dttttt 741016 741016 36915 7 6 2 3 5 6 8 3 74516 6)2(6 , 70 где 6 1 xt . 3. x dx x x 1 1 . Решение. Это интеграл вида dx x x xR 2 1 1 1 , . Применив подстановку 2 1 1 t x x , 1 1 2 2 t t x , 22 )1( 4 t tdt dx , получим )1)(1( 4 )1()1( )1( 4 1 1 22 2 222 22 tt dtt dt tt tt x dx x x . Разложим рациональную дробь )1)(1( 22 2 tt t на простейшие. Тогда 111)1)(1)(1( 22 2 t D t C t BAt ttt t . Освободившись от знаменателей, получим: )1)(1()1)(1()1)(( 2222 ttDttCtBAtt , BDCtADCtDCBtDCAt )()()( 232 . Полагая 1t , находим: 14C , 4 1 C ; при 1t имеем: 14D , 4 1 D . Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получим систему уравнений: 0DCA , 1DCB , 0ADC , 0BDC . Подставляя в неё 4 1 C , 4 1 D , находим: 0 4 1 4 1 A , 0A , 2 1 B . Тогда 1 4 1 1 4 1 1 2 1 )1)(1)(1( 22 2 tttttt t , т.е. Cttt t dt t dt t dt tt dtt 1ln1lnarctg2 111 2 )1)(1( 4 222 2 71 , 1 1 lnarctg2 C t t t где x x t 1 1 . 2.12. Задачи для самостоятельного решения 1. dx x x 4 31 ; 2. dx x x 12 1 ; 3. 3 1212 xx dx ; 4. dxxax ; 5. dx x x 3 13 1 ; 6. 1x dxx ; 7. dx xx x 2 1 ; 8. 3 3 )1(1 1 x dx x x ; 9. 3 2xx dxx ; 10. 3 3 431 43 x dxx ; 11. 3 32x xdx ; 12. dx xx x 1)1( 21 2 ; 13. xx dx 1)2( ; 14. 2x dxx ; 15. 3)1(1 xx dx . Ответы 1. ,1ln 3 4 33 Ctt где 4 xt ; 2. C xx 3 12)2( ; 3. ,1ln3 2 3 323 Ctttt где 6 12xt ; 4. Cxaaaxx 22 23 15 2 ; 5. Cx x 3 2)13( 5 2 ; 6. Cxxx 1ln22 ; 7. C x x 2 2 arctg222 ; 72 8. C x x x x 3 7 3 4 1 1 28 3 1 1 16 3 ; 9. C x x xx 1 1 ln362 6 6 6 ; 10. Cxxxx 33 1 3 2 43ln)43()43( 2 1 )43( 3 1 ; 11. Cxx 3 23 5 32 8 9 32 20 3 ; 12. C x xx x 3 112 arctg 3 2 12 11 ln 2 ; 13. Cx1arctg2 ; 14. C x x 2 arctg222 ; 15. Cx1arctg2 . Оглавление 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ......................................................... 3 1.1. Область определения функции. Линии и поверхности уровня ....................... 3 1.2. Задачи для самостоятельной работы .................................................................. 5 1.3. Предел и непрерывность функции двух переменных ....................................... 7 1.4. Задачи для самостоятельного решения .............................................................. 9 1.5. Дифференцирование и дифференциал. Производная по направлению. Градиент. Производная в направлении градиента ................................................. 11 1.6. Задачи для самостоятельного решения ............................................................ 23 1.7. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности ....................... 25 1.8. Задачи для самостоятельного решения ............................................................ 29 1.9. Экстремум функции нескольких переменных ................................................. 30 1.10. Условный экстремум функции нескольких переменных ............................. 33 1.11. Наибольшее и наименьшее значения (глобальные экстремумы) функции двух переменных в замкнутой области ................................................... 36 1.12. Задачи для самостоятельного решения .......................................................... 37 2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ....................................................................... 40 2.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл .................................... 40 2.2. Основные методы интегрирования ................................................................... 42 2.3. Задачи для самостоятельного решения ............................................................ 46 2.4. Интегрирование подстановкой (замена переменной) ..................................... 48 2.5. Интегрирование по частям ................................................................................ 51 2.6. Задачи для самостоятельной работы ................................................................ 54 2.7. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения их на простейшие дроби ............................................................................................ 56 2.8. Задачи для самостоятельного решения ............................................................ 59 2.9. Интегрирование тригонометрических выражений с помощью подстановок и формул тригонометрии .................................................................... 62 2.10. Задачи для самостоятельного решения .......................................................... 66 2.11. Интегрирование иррациональных функций .................................................. 68 2.12. Задачи для самостоятельного решения .......................................................... 71 Учебное издание ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Руководство к решению задач для студентов механико-технологического факультета В 7 частях Часть 4 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ, НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Составители: ГЛИНСКАЯ Евгения Алексеевна ПРУСОВА Ирина Васильевна ВИШНЕВСКАЯ Ольга Геннадьевна ЛИТОВКО Александр Анатольевич Технический редактор О.В. Дубовик Подписано в печать 11.05.2010. Формат 60 841/8. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 9,42. Уч.-изд. л. 3,68. Тираж 200. Заказ 299. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Проспект Независимости, 65. 220013, Минск.