1 
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ 
Белорусский национальный технический университет 
Кафедра «Высшая математика № 3» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
РЯДЫ ФУРЬЕ 
 
Методические указания 
по дисциплине «Математика»  
для студентов строительных специальностей  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Минск  
БНТУ  
2013 
2 
УДК 517.518.45 
ББК 27.23.23 
       Р98 
 
 
С о с т а в и т е л и : 
Л. Я. Глушанкова, И. А. Голубева 
 
 
Р е ц е н з е н т ы : 
Л. Н. Гайшун, О. А. Мороз 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Методические указания составлены в соответствии с дисципли-
ной «Математика» для студентов строительных специальностей. 
Издание предназначено для студентов дневной и заочной форм 
обучения с целью помочь усвоить теоретический материал и закре-
пить его при решении задач. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© Белорусский национальный  
технический университет, 2013 
3 
Содержание 
 
Ряд Фурье 2-периодической функции ...................................... 4 
 
Ряды Фурье для четных и нечетных  
2-периодических функций ....................................................... 10 
 
Разложение в ряд Фурье функций,  
заданных на отрезке  0,  ......................................................... 13 
 
Ряд Фурье для функций с произвольным периодом 2l ........... 14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
Ряд Фурье 2-периодической функции 
 
В науке и технике часто приходится иметь дело с процес-
сами, повторяющимися через определенный промежуток вре-
мени, который называется периодом. Описываются такие пе-
риодические процессы периодическими функциями, состав-
ленными либо из конечного, либо из бесконечного числа сла-
гаемых вида xcos  и xsin . 
Тригонометрическим рядом называется функциональный 
ряд вида 
 
0
1 1cos sin cos sin2 n n
a a x b x a nx b nx         
= 


1
0 sincos
2 n
nn nxbnxa
a ,                         (1) 
 
где числа   ,1,,0 nbaa nn  называются коэффициентами ряда. 
Тригонометрический ряд (1), коэффициенты которого оп-
ределяются по формулам  
 
 


 dxxfa 10 ;                                  (2) 
 
 


 ,1,cos
1 nnxdxxfan ;                     (3) 
 
 


 ,1,sin
1 nnxdxxfbn ,                     (4) 
 
называется рядом Фурье периодической функции с перио-
дом 2 . 
5 
Для интегрируемой на отрезке   ,  функции  xf  запи-
сывают 
 
 xf ~ 


1
0 sincos
2 n
nn nxbnxa
a  
 
и говорят: функции  xf  поставлен в соответствие ее ряд Фурье.  
Если ряд Фурье сходится, то его сумму обозначают через  xS . 
Сформулируем одну из теорем, представляющую достаточ-
ное условие разложимости функции в ряд Фурье. 
Теорема I. Пусть периодическая функция  xf  с периодом 
2  на отрезке   ,  удовлетворяет двум условиям: 
1)  xf  кусочно-монотонна, то есть монотонна на всем от-
резке либо этот отрезок можно разбить на конечное число ин-
тервалов так, что на каждом из них функция монотонна; 
2)  xf  ограничена. 
Тогда ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится 
на этом отрезке, причем 
1) в точках х непрерывности функции  xf  сумма ряда  xS  
совпадает с самой функцией  xf :  xS  =  xf ; 
2) в точке 0x  разрыва функции  xf  сумма ряда равна сред-
нему арифметическому пределов слева и справа функции  xf   
в точке разрыва 0x , т. е. 
 
 0xS  =    2
00 00  xfxf ; 
 
3) на концах отрезка, то есть в точках x  и x , сум-
ма ряда равна 
 
       
2
00  ffSS . 
6 
Таким образом, для функции  xf , удовлетворяющей усло-
виям сформулированной выше теоремы, в каждой точке не-
прерывности отрезка   ,  имеет место разложение 
 
 xf = 


1
0 sincos
2 n
nn nxbnxa
a , 
 
а в точках х разрыва функции 
 
   
2
00  xfxf = 


1
0 sincos
2 n
nn nxbnxa
a , 
 
причем коэффициенты вычисляются по формулам (2), (3), (4). 
В силу периодичности исходной функции и суммы ряда 
Фурье указанное разложение может быть получено во всей 
области определения функции. 
Замечание. Выше речь шла о функции  xf , заданной на 
отрезке   , , но можно было говорить и о функции  xf , 
заданной на интервале   , , поскольку значения функции  
в точках  ,  на величину фигурирующих интервалов в 
формулах для коэффициентов Фурье влияния не оказывают. 
 
Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию  xf  периода 
2 , заданную формулой 
 
 xf  = 



.0при1
,0при0
x
x
 
 
Решение. 
Изобразим график функции  xf . 
 
7 
 
 
Эта функция удовлетворяет условиям теоремы, значит, мо-
жет быть разложена в ряд Фурье. 
Применяя формулы (2), (3), (4), найдем коэффициенты ряда 
Фурье. 
 
  1d1d01d1 0
0
0 


    


xxxxfa ; 
 
  


    


0
0
dcos101dcos1 xnxdxxnxxfan  
 
,2,1,0sin1 0 
 nxn
k
 
 
  


    


0
0
dsin101dsin1 xnxdxxnxxfbn  
 
 xnk cos
1      1111cos1 nnnn  
 
= 





,...1,0,12,2
2,0
kkn
n
kn
 
 
Здесь мы учли, что  nnn 1cos,0sin0sin  . 
8 
Следовательно, исходной функции  xf  соответствует ряд 
Фурье 
 
 xf  ~  
 

 0 12
12sin2
2
1
k k
xk . 
 
Функция  xf  непрерывна во всех внутренних точках отрез-
ка   , , кроме х = 0. Поэтому для всех точек     ,00,x  
имеет место равенство 
 
 xf =  
 

 0 12
12sin2
2
1
k k
xk = 
 
=   

 
 ...12
12sin...
3
3sin
1
sin2
2
1
k
xkxx . 
 
В точке разрыва х = 0 
 
 
2
1
2
100 S . 
 
На концах отрезка 
 
   
2
1 SS . 
 
График суммы  xS  ряда имеет вид 
 
 
9 
Замечание. Так как  f x   периодическая функция с перио-
дом 2 , то отрезок интегрирования в формулах (2), (3) может 
быть заменен произвольным отрезком  , 2a a    длиной 2 .  
В частности, если функция  xf  с периодом 2  удовлетворя-
ет условиям приведенной выше теоремы на отрезок  2;0 ,  
то для нее имеет место разложение (1) с коэффициентами, вы-
численными по формулам 
 
 


2
0
0 d
1 xxfa ,                                  (5) 
 
 


2
0
,1,dcos1 nxnxxfan ,                     (6) 
 
 2
0
1 sin d , 1, .nb f x nx x n

                            (7) 
 
Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию  xf  с перио-
дом 2 , заданную на отрезке  20 x  равенством   xxf  . 
 
Решение. 
График функции   xxf   
 
 
10 
Функция  f x x  удовлетворяет условиям теоремы на от-
резке  2;0 . В силу замечания коэффициенты этого разложе-
ния находим по формулам (5), (6), (7): 
 
  

 22
1d1
2
0
22
0
0
xxxfa , 
 
 




2
0 sin
1dcos
,dcos1
nx
n
vdvxnx
dxduxu
nxnxxfan  
 
0cos1dsin1sin11 202
2
0
2
0 




 
  xnnxnxnxnxn , 
 
 




2
0 cos
1dsin
dsin1
nx
n
vdvxnx
dxduxu
xnxxfbn  
 
=
n
xn
n
xnx
n
2sin1cos11 202
2
0 

 
 . 
 
Значит, во всех точках непрерывности 
 



1
sin2
n n
nxx , 
 
а в точках разрыва  ,4,2,0   
   ,...2,1,0,2  nnS  
11 
График суммы  S x  ряда 
 
 
 
Задание 1. 
Разложить в ряд Фурье 2 -периодическую функцию  f x , 
заданную на отрезке  ,  . 
 
1.1 
 f x = 2 при 0
0 при 0
x x
x
  
  
  
Ответ: 
 
   
1
2
0 1
cos 2 14 sin2 1
2 2 1
n
k n
k x nx
nk
  
 
     
 S     
1.2 
 f x = 0 при 0
4 при 0
x
x x
  
  
  
Ответ:  
 
   
1
2
0 1
cos 2 18 sin4 1
2 1
n
k n
k x nx
nk
  
 
    
  2S     
1.3 
 f x = 3 при 0
0 при 0
x x
x
   
  
  
Ответ:  
 
   20 1
cos 2 13 6 sin3 1
4 2 1
n
k n
k x nx
nk
 
 
    
 
2
3
S     
1.4 
 f x = 0 при 0
5 при 0
x
x x
 
  

Ответ: 
 
   20 1
cos 2 15 10 sin5 1
4 2 1
n
k n
k x nx
nk
 
 
     
  5
2
S      
12 
 
1.5 
 f x =
2 при 0
2
0 при 0
x
x
x
  
 

Ответ: 
 
 21 1
cos 2 12 sin 2
22 1k k
k x kx
kk
 
 
     
   0
4
S S
    
1.6 
 f x =
0 при 0
при 0
2
x
x
x
 
  

Ответ: 
 
 21 1
cos 2 11 1 sin 2
8 2 22 1k k
k x kx
kk
 
 
      
   0
4
S S
    
1.7 
 f x = при 0
2 при 0
x x
x x
  
  

Ответ: 
 
   
1
2
1 1
cos 2 13 6 sin1
4 2 1
n
k n
k x nx
nk
  
 
    
  3
2
S     
1.8 
 f x = 2 при 0при 0
x x
x x
 
  
  
Ответ: 
 
   
1
2
0 1
cos 2 13 6 sin1
4 2 1
n
k n
k x nx
nk
  
 
     
  3
2
S      
1.9 
 f x = при 0
3 при 0
x x
x x
   
  

Ответ: 
 
   
1
2
0 1
cos 2 18 sin4 1
2 2 1
n
k n
k x nx
nk
  
 
       
 S     
1.10 
 f x = 3 при 0при 0
x x
x x
  
  

Ответ: 
 
   20 1
cos 2 14 sin4 1
2 2 1
n
k n
k x nx
nk
 
 
     
 S     
 
 
13 
Ряды Фурье для четных и нечетных  
2-периодических функций 
 
В некоторых случаях формулы (2)–(4) для вычисления ко-
эффициентов Фурье могут быть упрощены. Это имеет место 
для четных и нечетных функций. Известно, что если функция 
 f x  интегрируема на симметричном относительно нуля от-
резке  ;a a , то 
 
     
 
0
2 d , если четная функция;
d
0, если нечетная функция.
a
a
a
f x x f x
f x x
f x
   
  (8) 
 
Пусть надо разложить в ряд Фурье четную функцию  f x . 
Тогда  f x сos nx   четная функция, а  f x sin nx   нечетная 
функция, и на основании свойства (8) формулы (2), (3), (4) 
примут вид 
 
   0
0 0
2 2d , cos d , 0, 1, .n na f x x a f x nx x b n
 
         (9) 
 
Таким образом, ряд Фурье для четной функции, удовлетво-
ряющей условиям теоремы I на отрезке  ,  , в точках ее 
непрерывности будет иметь вид 
 
 f x  = 0
1
cos
2 nn
a a nx


  .                          (10) 
 
Итак, четная 2-периодическая функция разлагается в ряд 
Фурье только по косинусам. 
14 
Если в ряд Фурье разлагается нечетная функция, то произ-
ведение  f x сos nx   есть функция нечетная, а  f x sin nx   
четная. Следовательно,  
 
 
0
20, 0, , sin d , 1, .n na n b f x nx x n

           (11) 
 
и ряд Фурье для 2-периодической нечетной функции, удовле-
творяющей условиям теоремы I на отрезке  ,  , имеет вид 
 
 f x  =
1
sinn
n
b nx


  (в точках непрерывности).        (12) 
 
Значит, нечетная 2-периодическая функция разлагается  
в ряд Фурье только по синусам. 
Ряды (10) и (12) называются еще неполными рядами Фурье.  
 
Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию периода 2, 
заданную в интервале x     формулой  f x  = x . Най- 
ти с помощью полученного разложения сумму ряда 
2 2 2
1 1 11
3 5 7
     
 
Решение. 
 
 
 
15 
Функция  f x  = x  является четной, она удовлетворяет 
условиям теоремы I. Поэтому она разлагается в ряд по коси-
нусам, коэффициенты Фурье которого определяются по фор-
мулам (9): 
 
0
0
2 d ;a x x

     
 
0
2 cos d 1cos d sinn
x u dx du
a x nx x
nx v v nx
n
  
      
 
= 02
0 0
2 sin 1 2sin d cosx nx nx x n x
n n n
          
  
 
=  2
2
0 при 2 ;
2 1 1 4 при 2 1, 0, ,
n
n k
n k kn
nk
           
 
 
0, 1, .nb n    
 
Ее ряд Фурье 
  
 20
cos 2 14 .
2 2 1k
k x
k


     
 
Функция  f x  = x  после 2-периодического продолжения 
непрерывна на всей оси. Поэтому для x R   
  
 20
cos 2 14 .
2 2 1k
k x
x
k


     
16 
При х = 0 получаем 
 
 20
4 10 .
2 2 1k k


     
 
Откуда  
 
2 2 2
1 1 11
3 5 7
     =  
2
2
0
1
82 1k k


 . 
 
Задание 2.  
Разложить в ряд Фурье 2-периодическую функцию  f x  
(четную или нечетную), заданную на  ,  . 
 
2.1.  f x  = sin x  Ответ: 2
1
2 4 cos 2
1 4k
kx
k


    
2.2.  f x  = xe  
Ответ: 
 
2
1
1 11 2 cos
1
n
n
ee nx
n
 

      
2.3.  f x  = 2 x  
Ответ: 
 
2 2
1
2 1 12 1 2ln 2 cos
ln 2 ln 2
n
n
nx
n
 

      
2.4.  f x  = 2x  Ответ:   12 2
1
1 cos
4
3
n
n
x
n


    
2.5.  f x = xe  
Ответ:  
  
2
1
1 11 2 cos
1
n
n
ee nx
n
 

      
2.6.  f x  =   
1, 0;
1, ;0
x
x
   
Ответ:  
1
sin 2 14
2 1k
k x
k



   
17 
2.7.  f x  = х Ответ:   1
1
1
2 sin
n
n
nx
n


  
2.8.  f x  = sin ax ,  
где а – нецелое число Ответ: 
 
2 2
1
12sin sin
n
k
na nx
a n



   
2.9.  f x  = 3x  Ответ:   23
1
12 21 sinn
n
x
nn


       
2.10.  f x  =  , 0;2
2
x x   Ответ: 
1
sin
n
nx
n


  
 
Разложение в ряд Фурье функций,  
заданных на отрезке  0,   
 
Пусть функция  f x  задана на отрезке  0, . Чтобы разло-
жить ее на этом отрезке в ряд Фурье, надо доопределить ее на 
отрезке  ,0 . В результате получим функцию, которую 
можно уже разложить в ряд Фурье, и получившийся ряд будет 
зависеть от характера продолжения первоначальной функции 
на отрезок  ,0 .  
Если продолжить на отрезке  ,0  функцию  f x  четным 
образом, то есть положить  f x  =  f x , x  ,0 , то полу-
чим разложение в ряд Фурье по косинусам (10) с коэффици-
ентами, определяемыми по формулам (9). А при нечетном 
продолжении, то есть  f x  =  f x  x  ,0 , получаем не-
четную функцию, разлагающуюся в ряд Фурье по синусам (12) 
с коэффициентами (11). 
Ряд косинусов и ряд синусов для функции  f x , заданной 
на отрезке  0, , имеют одну и ту же сумму. В точке 0x  раз-
18 
рыва функции сумма как одного, так и другого ряда равна од-
ному и тому же числу    0 00 0
2
f x f x  
. 
 
Пример 4.  
Разложить на отрезке  0,  функцию  f x  = x  в ряд 
Фурье по синусам. 
 
Решение. Продолжим функцию  f x  = x  на отрезок 
 ,0  нечетным образом: 
 
 
 
Тогда для любого  0,x   
 
 xf =
1
sinn
n
b nx


 , 
 
где    
0 0
2 2sin d sin dnb f x nx x x nx x
 
       
 
=   02 cos1sin d d cos
x u dx du x
n x
nnx x v v nx
n

          
 
  02
0
1 2 1 2cos d sinnx x n x
n n nn
           . 
19 
Итак,  
1
sin2 0, .
n
nxx x
n


      
    0 0.S S    
 
Ряд Фурье для функций с произвольным периодом 2l 
 
Часто приходится разлагать в тригонометрический ряд 
функции, период которых отличен от 2.  
Пусть функция  f x , определенная на отрезке  ,l l , имеет 
период 2l, то есть  2f x l  =  f x , l   , и удовлетворяет на 
этом отрезке условиям теоремы I. Можно показать, что ряд 
Фурье для такой функции имеет вид 
 
 f x  = 0
1
cos sin
2 n nn
a nx nxa b
l l


   ,                (13) 
 
где 
 0 1 d
l
l
a f x x
l 
  , 
 
 1 cos d ,ln
l
nxa f x x
l l
                            (14) 
 
 1 sin d , 1, .ln
l
nxb f x x n
l l
    
 
Заметим, что формулы (14) совпадают с формулами (2)–(4) 
при .l    Это значит, что все вышеизложенные рассуждения 
можно повторить и для 2l-периодических функций с заменой 
 на l. В частности, для функции  f x  с периодом 2l имеет ме-
20 
сто теорема I, замечание о возможности вычислять коэффици-
енты ряда, интегрируя по любому отрезку, длина которого 
равна периоду 2l, а также утверждение о возможности упро-
щения вычисления коэффициентов ряда, если функция явля-
ется четной или нечетной. Для четной 2l-периодической 
функции ряд Фурье имеет вид 
 
0
1
cos ,
2 nn
a nxa
l


   
 
где 
 
 0
0
2 d ,
l
a f x x
l
      
0
2 cos d , 1, ,
l
n
nxa f x x n
l l
    
 
а для нечетной  
 
1
sin ,n
n
nxb
l


  
где 
 
 
0
2 sin d , 1, .
l
n
nxb f x x n
l l
    
 
Последний факт дает возможность разложить в ряд Фурье 
по косинусам или синусам функцию, заданную на отрезке 
 0, l . 
Замечание. Непериодическая функция, заданная на всей оси, 
не может быть разложена в ряд Фурье, ибо его сумма, будучи 
периодической функцией, не может быть равна  f x  для всех х. 
Однако непериодическая функция  f x  может быть представ-
21 
лена в виде ряда Фурье на любом конечном промежутке  ,a b , 
на котором она удовлетворяет условиям теоремы I. 
 
Пример 5.  
Функция  f x  = xe  задана в промежутке  0; ln 2 . Получить 
разложение этой функции в ряд Фурье по косинусам и по си-
нусам. 
 
Решение. Функция  f x  = xe  непрерывна в промежутке 
 0; ln 2 . 
 
 
 
Для того чтобы написать разложение этой функции в ряд 
по косинусам, надо доопределить функцию  f x  на проме-
жутке  ln 2; 0  четным образом, а затем продолжить на всю 
ось  ln 2e  . 
 
 
 
22 
Ряд Фурье в этом случае будет иметь вид 
 
 f x  = 0
1
cos ,
2 ln 2nn
a na x


   
 
где    ln2ln2 ln2 00
00
2 2 2 2 2d 2 1 ;
ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2
x xa e x e e e        
 
ln 2
0
2 cos d .
ln 2 ln 2
x
n
na e x x   
 
Используя формулу 
 
ln 2ln 2
2 2
0 0
cos sincos d ,x xx xe x x e         
 
где 1, ,
ln 2
n     
 
получаем  
 
2 2 2 2
2 2
cos sin cos 0 sin 02 ln 2 ln 22 1
ln 2
1 1
ln 2 ln 2
n
n nn n
a
n n
                
 
 
    2 22 2 2 2 2 2 2 2 21 2 ln 22 1 ln 2 2ln 2 2 1 1ln 2 ln 2 ln 2 ln 2
n
n
n n n
                 
 
 
=
2 2 2
2 2 2
2 ln 2 , 2 ,
ln 2
6ln 2 , 2 1.
ln 2
n k
n
n k
n
      
 
23 
Итак,  
 
 2 22 2 2 20 0
2 12cos cos1 ln2 ln2ln4 ln64 ;
ln2 2 ln 2 2 1 ln 2
x
k k
kk x x
e
k k
 
 
 
         
 , .x     
Доопределяя теперь функцию  f x  = xe  на промежутке 
 ln 2; 0  нечетным образом, мы можем написать разложение 
этой функции в ряд по синусам: 
 
 
 
 f x  =
1
sin ,
ln 2nn
nb x


  
 
где                         
ln 2
0
2 sin d
ln 2 ln 2
x
n
nb e x x   
2 2 2 2
2 2
sin cos sin 0 cos 02 ln 2 ln 22
ln 2
1 1
ln 2 ln 2
n nn n
n n
              
 
  1
2 2 2
2 1 ln 2 ln 22
ln 2 ln 2
n n n
n
         
2 2 2
2 2 2
2 , 2 ,
ln 2
6 , 2 1.
ln 2
n n k
n
n n k
n
       
 
24 
Здесь мы воспользовались формулой 
 
ln 2ln 2
2 2
0 0
sin cossin d .x xx xe x x e         
 
В точках непрерывности 
 
 
 
 2 22 2 2 20 0
2 12sin sin
ln 2 ln 24 6 .
2 ln 2 2 1 ln 2
x
k k
kkk x x
e
k k
 
 
 
           
 
В точках разрыва ln 2, 0, 1, 2,...,x n n     сумма ряда 
Фурье равна нулю:  ln 2 0, 0, 1, 2,...S n n     
 
Задание 3.  
Разложить в ряд Фурье в указанном интервале периодиче-
скую функцию  f x  с периодом 2Т l . 
 
3.1.  f x  = 2, 1 1x x    Ответ:   1
1
122 sin
n
n
n x
n


   
3.2.  f x  = 4 2, 1 1x x    Ответ:   1
1
182 sin
n
n
n x
n


    
3.3.  f x  = 7 3, 2 2x x     Ответ:  
1
1283 sin
2
n
n
n x
n


     
25 
3.4.  f x  = 5, 2 2x x     Ответ:  
1
145 sin
2
n
n
n x
n


      
3.5.  f x  = 2 1, 3 3x x    Ответ:   1
1
1121 sin
3
n
n
n x
n


   
3.6.  f x  = 2 7, 3 3x x     Ответ:  
1
1127 sin
3
n
n
n x
n


     
3.7.  f x  =3 1, 4 4x x    Ответ:   1
1
1241 sin
4
n
n
n x
n


      
3.8.  f x  = 5 4, 4 4x x     Ответ:  
1
1404 sin
4
n
n
n x
n


     
3.9.  f x  = 4 3, 5 5x x     Ответ:  
1
1403 sin
5
n
n
n x
n


     
3.10.  f x  = 2 3, 5 5x x    Ответ:   1
1
1203 sin
5
n
n
n x
n


    
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Учебное издание 
 
РЯДЫ ФУРЬЕ 
 
Методические указания 
по дисциплине «Математика»  
для студентов строительных специальностей  
 
Составители: 
ГЛУШАНКОВА Лариса Яковлевна 
ГОЛУБЕВА Ирина Анатольевна 
 
Редактор Л. Н. Шалаева 
Компьютерная верстка Н. А. Школьниковой 
 
Подписано в печать 25.10.2013. Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Ризография. 
Усл. печ. л. 1,51. Уч.-изд. л. 1,18. Тираж 70. Заказ 1257. 
Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический  
университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Пр. Независимости, 65.  220013, г. Минск.