МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Техническая физика» ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ УПРУГОГО СОУДАРЕНИЯ ШАРОВ Методические указания к выполнению лабораторной работы № 124 Минск БНТУ 2013 1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Техническая физика» ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ УПРУГОГО СОУДАРЕНИЯ ШАРОВ Методические указания к выполнению лабораторной работы № 124 для студентов технических специальностей Минск БНТУ 2013 2 УДК 531.66(076.5)(075.8) ББК 22.213я7 И39 Составители: канд. физ.-мат. наук С. Ф. Мингалеев; канд. физ.-мат. наук С. М. Качан Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф., зав. кафедрой «Инженерная математика» М. А. Князев; доц. кафедры физики, канд. физ.-мат. наук П. Г. Кужир В методических указаниях кратко излагаются основы теории соударения упругих тел на примере упругих сил, возникающих в процессе соударения двух металличе- ских шаров. Дается объяснение силы упругости и таких стандартных характеристик упругих свойств материалов, как модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Показыва- ется нелинейный характер силы упругости, возникающей при соударении двух ша- ров, и выводятся основные следствия из этого, такие как зависимость продолжитель- ности соударения шаров от скорости их столкновения. Показывается возможность нахождения модуля Юнга для материала шаров путем измерений продолжительно- сти их соударения. Изучаются характерные силы и деформации, возникающие в про- цессе удара. Методические указания предназначены для студентов технических специально- стей дневного и заочного отделений БНТУ.  Белорусский национальный технический университет, 2013 3 Цели работы: 1. Изучить силы упругости и теорию упругого удара. 2. Определить зависимость продолжительности и силы удара шаров от скорости их соударения. 3. Определить модуль Юнга для материала шаров (сталь). Список литературы 1. Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М. : Выс- шая школа, 1998. 2. Степанов, М. А. Лабораторная работа № 124. Исследование динамики упругого соударения шаров / М. А. Степанов, Е. Е. Тро- фименко, С. И. Шеденков. – Минск : БНТУ, 2008. 3. Джилавдари, И. З. Методические указания к выполнению ла- бораторной работы № 124 / И. З. Джилавдари. – Минск : БГПА, 2001. 4. Васюков, В. И. Изучение явления центрального удара шаров : методические указания к выполнению лабораторной работы / В. И. Васюков. – М. : МИФИ, 1976. 5. Чертов, А. Г. Задачник по физике : учебное пособие для вту- зов / А. Г. Чертов, А. А. Воробьев. – 8-е изд., перераб. и доп. – М. : Физматлит, 2007. – 640 с. Порядок теоретической подготовки 1. Изучить теоретические сведения к работе. 2. Ответить письменно в рабочей тетради на контрольные вопросы. 3. Подготовить в рабочей тетради необходимые таблицы и фор- мулы. Контрольные вопросы 1. Что такое модуль Юнга? Как он связан с коэффициентом уп- ругости сжимаемого тела? 2. Что такое коэффициент Пуассона? В каком диапазоне меняет- ся его значение? 3. Запишите второй закон Ньютона в импульсной форме. 4 4. Выведите рабочие формулы для скорости соударения шаров и силы удара. 5. Каковы теоретически ожидаемые зависимости продолжитель- ности и силы удара шаров от скорости их соударения? Приборы и принадлежности 1. Частотомер-хронометр ЧЗ-32. 2. Источник тока. 3. Установка с двумя шарами. 4. Линейка и штангенциркуль. Отчет о лабораторной работе должен содержать 1. Цель работы. 2. Схему лабораторной установки. 3. Формулы, определяющие физическую и математическую мо- дели эксперимента. 4. Таблицы результатов измерений. 5. Результаты расчетов и погрешности. 6. График зависимости максимальной силы удара от скорости соударения шаров. 7. Выводы. 5 ВВЕДЕНИЕ Основная задача данной лабораторной работы – изучить дина- мику упругого соударения шаров. Все слова здесь ключевые, по- этому будет полезно начать с пояснения их смысла. Динамика – наука, изучающая причины движения тел. В срав- нении с кинематикой (геометрическим описанием движения, не рассматривающем его причин) в динамике вводятся две новые ос- новные физические величины – сила и масса. Именно сила, дейст- вующая на какое-либо тело, является причиной, заставляющей это тело изменять скорость своего движения. При одинаковой силе, бы- строта изменения скорости тела (т. е. его ускорение) обратно про- порциональна массе тела. Таким образом, изучить динамику упру- гого соударения шаров означает разобраться, какие силы возникают в процессе такого соударения, от чего эти силы зависят, как они ме- няются со временем, каких максимальных значений достигают и т. п. Главная задача – прочувствовать эти силы. Упругое соударение – термин, означающий что силы, возни- кающие в процессе соударения, являются полностью консерватив- ными: полная механическая энергия соударяющихся тел остается неизменной в каждый момент времени, хотя кинетическая энергия тел может переходить (и переходит) в потенциальную энергию их упругого взаимодействия. Важно, что в процессе такого упругого соударения всегда происходят временные, но полностью обратимые деформации формы тел. Именно эти деформации и ответственны за возникающие при этом силы упругого взаимодействия тел. Изучае- мые в данной работе соударения небольших стальных шаров явля- ются упругими с очень хорошей точностью (в отличие, скажем, от соударения деревянных шаров). Важным свойством упругих взаи- модействий между телами является то, что их сила полностью оп- ределяется текущим взаимным положением тел (степенью и харак- тером их деформации в данный момент времени) и не зависит от их текущих скоростей и / или от предыстории их движения. Шар – классическая форма тела, наиболее часто используемая для изучения самых разнообразных физических явлений. Это связа- но с тем, что с точки зрения математики, шар – это простейшая гео- метрическая форма (которая характеризуется только радиусом), для которой практически всегда можно найти точное аналитическое 6 решение физической задачи, причем очень часто это решение вы- ражается в достаточно простой форме. В частности, существует та- кое точное решение и для задачи соударения упругих шаров, кото- рое будет приведено ниже. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ В дальнейшем изложении предполагается наличие знаний о за- конах Ньютона (включая формулировку второго закона Ньютона в импульсной форме) и владение понятиями импульса и кинетиче- ской энергии движущихся тел, законами их сохранения (при необ- ходимости можно повторить эти вопросы по источнику [1]). Глав- ный для данной работы вопрос – вопрос о силах упругого взаимо- действия тел. Сила упругости, закон Гука и модуль Юнга Из жизни и школьных опытов известно, что под действием силы твердые тела деформируются, и, напротив, деформированное тело стремится восстановить свою форму, создавая восстанавливающую силу в направлении, обратном направлению деформации. Важно при этом, что для относительно небольших деформаций наблюдает- ся пропорциональность между восстанавливающей силой F и де- формацией тела Δl: .F k l   Это соотношение называется законом Гука по имени его перво- открывателя, современника Исаака Ньютона, английского физика Роберта Гука (1635–1703). Коэффициент пропорциональности k, Н/м, называется коэффи- циентом жесткости или просто жесткостью данного деформи- руемого тела (скажем, пружины) в выбранном направлении дефор- мации. Этот коэффициент зависит как от материала тела, так и от его геометрической формы и размеров. К примеру, для тонкого длинного стержня длиной l и площадью поперечного сечения S, ко- эффициент жесткости запишется как 7 .Sk E l  где Е – модуль упругости, измеряемый в единицах Н/м2 или Па и определяемый только свойствами материала тела, а не его формой и размерами. Обычно в приложениях к одностороннему или продольному растяжению и сжатию тел модуль упругости E называется модулем Юнга, по имени впервые введшего его в научное обращение Томаса Юнга (1773–1829) – английского физика, врача, астронома и лин- гвиста-востоковеда, одного из создателей волновой теории света. Полезно также запомнить, что скорость распространения продольного звука υ в тонком стержне, сделанном из материала с модулем Юнга E и плотностью ρ, выражается простой формулой: /E   Легко убедиться, что для стали (где обычно ρ = 7870 кг/м3 и υ = 5100 м/с) эта формула дает значение для модуля Юнга E = 205·109 Па. Это полно- стью согласуется с прямыми измерениями модуля Юнга – в зависимости от марки стали он обычно лежит в диапазоне от 200 до 210 ГПа. Коэффициент Пуассона При изучении соударения шаров (или других тел с большими поперечными размерами) необходимо учитывать упругие свойства тела не только в направлении столкновения, но и в поперечных на- правлениях. Из повседневного опыта известно, что относительное продоль- ное растяжение (сжатие) Δl/l тела (скажем, резинки или проволоки) всегда сопровождается его относительным поперечным сужением (расширением) Δd/d, где d – первоначальный поперечный размер тела (скажем, диаметр для проволоки с круглым сечением), а Δd – изменение этого размера после деформации. Для тела, объем которого остается при любых малых деформа- циях постоянным, отношение 8 d l d l      (1) всегда остается равным 0,5. Эксперимент показывает, что у реаль- ных тел объем тела при продольном растяжении немного увеличи- вается, из-за чего µ будет всегда меньше, чем 0,5. Важно, однако, что при этом µ все-же остается постоянным (не зависит от размеров и степени растяжения тела, если растяжение мало), являясь, таким образом, характеристикой материала тела в той же степени, что и модуль Юнга. Коэффициент µ называется коэффициентом Пуассо- на, по имени впервые введшего его в науку знаменитого француз- ского математика и механика Симеона Дени Пуассона (1781–1840). Как уже было указано, для несжимаемого тела µ = 0,5. К реальным ма- териалам с близким значением μ относятся резина и каучук. Для абсолют- но хрупкого материала µ стремится к нулю (скажем, у бетона µ = 0,1). Для большинства же материалов (в том числе и стали) коэффициент Пуассона близок к 0,3 (для некоторых хрупких марок стали он может понижаться до 0,25). Сила упругого соударения двух одинаковых шаров Рассмотрим подробнее, что происходит при соударении шаров. В момент их соприкосновения, оба шара обладают еще полностью сферической формой (см. верхнюю часть рисунка 1) с расстоянием между центрами шаров 2ּR, где R – это радиус шара (предполагается, что шары одинаковы). Однако в процессе соударения шары упруго «вминаются» друг в друга (см. нижнюю часть рисунка 1), из-за чего между ними появ- ляется сила отталкивания, которая вначале гасит скорость шаров, а потом заставляет их разлетаться. Обозначим сближение шаров (отклонение расстояния между их центрами от 2ּR) в процессе их соударения через x. 9   Рисунок 1 – Удар двух одинаковых шаров Как зависит сила F упругого отталкивания между шарами от x? Если бы рассматривалось соударение стрежней вдоль их оси (так, что площадь соприкосновения стержней в процессе удара остается неизменной), то по закону Гука эта сила была бы пропорциональна x: F = –kx, где коэффициент k характеризует упругость стержня. Ясно, однако, что для соударяющихся шаров модуль силы F должен возрастать с увеличением х быстрее – ведь для шаров с рос- том x увеличивается и площадь их соприкосновения (а значит, всё больше точек соударяющихся тел начинают отталкивать друг друга). В самом общем случае (для соударения тел произвольной формы) анализ дает степенную зависимость   ,nF x x  (2) где коэффициенты β и n зависят от геометрии и материалов сталки- вающихся тел. Случай соударения двух шаров впервые детально изучил в 1881– 1882 годах Генрих Рудольф Герц (1857–1894) – тот самый, который 10 чуть позже экспериментально доказал существование электромаг- нитных волн. Учитывая неравномерность распределения давления между шарами по поверхности их соприкосновения (убывающего от максимального значения в центре до нулевого по краям), он по- казал, что в квазистатическом приближении для них справедливо уравнение (2) с n = 3/2. Коэффициент пропорциональности β зави- сит от радиусов и материалов соударяющихся шаров. В частном случае соударения двух одинаковых шаров формулы Герца дают 3 , 2 n   2 2 ,3 1 E R   (3) где R – радиус каждого шара; E – модуль Юнга материала шаров; μ – коэффициент Пуассона. Сначала рассмотрим динамику упругого соударения двух тел в общем случае, считая, что сила отталкивания между соударяющи- мися телами описывается формулой (2). Воспользуемся третьим и вторым законами Ньютона, согласно кото- рым сила F(x) действует на оба тела и вызывает ускорение или замедление каждого из них, определяемое уравнениями  2 12 ,d d x m F x t   2 22 ,d d x m F x t   где m – масса каждого тела (рассматривается случай соударения двух оди- наковых тел); x1 и x2 – смещения первого и второго тела от состояния, соответст-вующего моменту их первого контакта. 11 Отсюда уравнение для смещения x = x1 – x2 запишется как  22 2 .d d x F x mt  Выразив ускорение смещения тел в виде: 2 2 2 d d d d 1 d , d d d d 2 dd d x x t x t x xt          где υ – относительная скорость шаров, мы найдем зависимость этой скорости от сближения x:    2 2 10 0 0 4 4 4d d , 1 x x n nF x x x x x m m n m            (4) где υ0 – относительная скорость шаров в момент начала соударения. В момент наибольшего сближения шаров мы имеем x = xmax и υ = 0, от- куда:  1/ 1 2 max 0 1 . 4 nnx m       (5а) Соответствующее наибольшее значение ударной силы составляет:      / 11/ 1 2max max 0 1 .4 n n n n nF x m           (5б) Продолжительность соударения можно найти при помощи интегриро- вания по времени уравнения (4), которое с учетом, что υ = dx/dt, можно переписать в виде:  2 10 d 4 . d 1 nx x t n m     Отсюда следует (в предположении абсолютно упругого удара, для ко- торого продолжительность этапа сближения тел равна продолжительности этапа их расхождения): 12   max 0 2 1 0 d2 . 4 1 x n x x n m        После замены переменных y = x/xmax (а значит и dx = xmaxdy) мы можем записать время соударения в виде 1max max 0 10 0 d2 2 К , 1 nn x xy y       (6) где коэффициент Кn обозначает интеграл   1 0 1 2Г d 1К , 31 Г 2 1 n n n y n ny n               значение которого может быть выражено через так называемую Гамма- функцию Γ(z). Это важная специальная функция, частным случаем кото- рой является факториал Γ(k + 1) = k!, если k – целое число. Для закона Гука (n = 1) К1 = π/2 = 1,57080, а для формулы Герца (n = = 3/2) К3/2 = 1,47164. Подставляя в уравнение (6) выражение (5а), окончательно найдем, что время соударения:        1/ 11/ 1 1 / 1 0 12К . 4 nn n n n n m              (7) Таким образом, видно, что характер зависимости продолжительности τ соударения двух тел от скорости υ0 их столкновения определяется исклю-чительно показателем n в силе отталкивания (2). Если сила отталкивания между телами определяется законом Гука (скажем, при столкновении двух поездов с амортизирующими пружинами), то , 2 m    т. е. продолжительность соударения не зависит от скорости соударения. Это согласуется с тем, что период колебаний пружины не зависит от ам- плитуды ее колебаний (из-за чего пружинные маятники часто и использу- ются в механических часах). 13 Динамика и время соударения двух одинаковых шаров Рассмотрим более внимательно динамику столкновения двух одинаковых шаров, изучаемую в данной лабораторной работе. Для них n = 3/2 и, следовательно, мы получим 2/5 1/5 02,438838 , m       т. е. продолжительность соударения должна медленно уменьшаться с увеличением относительной скорости столкновения шаров υ0. Отсюда найдем 5 0 9,288748 .m    (8) Зная теперь коэффициент β, найдем из формулы (3) модуль Юн- га материала шаров:  23 1 . 2 E R   (9) Формула (5а) для максимального сближения упростится в случае двух одинаковых шаров до вида: max 00,339758 .x    (10) Наконец, наибольшее значение ударной силы, вычисляемой по формуле (5б), упростится до вида max 01,839547 / .F m   (11) 14 Средняя сила упругого соударения двух тел Средняя сила упругого соударения двух тел может быть оценена даже без знания точной зависимости силы от степени сближения тел. Действительно, возьмем второй закон Ньютона в импульсной форме d d pF t  и проинтегрируем его по продолжительности соударения τ. Получим:  2 1 /F p p     (12) где – средняя сила, действующая в процессе удара на второй (вначале неподвижный) шар; p1 и p2 – импульсы второго шара до и после соударения. В предположении, что удар является абсолютно упругим и цен- тральным, а массы шаров одинаковы, можно показать, что импульс первого шара полностью переходит ко второму шару, так что p1 = 0 и p2 = mυ0. Окончательно получаем 0 / .F m     Сравнивая это выражение с формулой (11), получим, что макси- мальная сила соударения шаров (возникающая в момент макси- мального их сближения) примерно в 1,84 раза превышает среднюю силу удара. Масса шаров Масса каждого шара вычисляется по формуле ,m V  (13) где плотность материала шаров берется из таблиц [5], а объем ша- ров находится по их радиусу: 15 34 . 3 V R  (14) Радиус шаров измеряется штангенциркулем (важно убедиться, что радиусы двух шаров равны). Скорость соударения шаров Определим скорость υ0 соударения шаров. Для этого воспользу- емся законом сохранения энергии. Первоначально первый шар от- клоняется от вертикального положения на угол α, в результате чего он приобретает потенциальную энергию U = mgh, где h – высота, на которую поднимается этот шар при отклонении (см. рисунок 2). Рисунок 2 – Подъем шара при отклонении После отпускания шара, он начинает двигаться, и его потенци- альная энергия постепенно переходит в кинетическую. К моменту столкновения шаров вся потенциальная энергия U первого шара перейдет в кинетическую энергию 20 / 2T m  . Отсюда 0 2 .gh  16 Из рисунка 2 видно, что cos() = (L – h)/L, где L – расстояние от точки крепления до центра шара. Отсюда  22 sin / 2h L  , и значит скорость шаров будет равна 0 2 sin .2 gL   (15) Измерение времени соударения шаров Время соударения стальных шаров легко измерить при помощи простой электрической цепи и электронного частотомера- хронометра (ЧХ), как указано на рисунке 3, а. В процессе соударения шары замыкают электрическую цепь, со- стоящую из последовательно включенных источника тока и ЧХ. До тех пор, пока шары находятся в контакте, по цепи проходит ток. Длительность такого импульса тока измеряется с помощью ЧХ. При этом реальный импульс тока (имеющий обычно достаточно слож- ную форму) преобразовывается внутри ЧХ в импульс прямоуголь- ной формы, длительность которого и принимается за время соуда- рения шаров (см. рисунок 3, б). а б Рисунок 3 – Измерение времени соударения шаров при помощи частомера-хронометра 17 ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 1. С помощью линейки измерьте расстояние L от точки подвеса до центра шара. В процессе измерения линейка должна распола- гаться параллельно нити подвеса. В качестве погрешности измере- ния ΔL используйте приборную погрешность вашей линейки (поло- вина деления – обычно это 0,5 мм). Запишите окончательный ре- зультат измерения в форме .L L 2. С помощью штангенциркуля измерьте диаметр D шаров. Из- мерения диаметра проведите не менее двух раз для каждого шара, вдоль разных осей шаров. Полученные данные занесите в таблицу 1. Таблица 1 – Результаты измерений № п/п D, 10–3 м ∆D, 10–3 м ∆Dпр, 10–3 м ∆Dполн, 10–3 м 1 2 3 4 среднее D  D  Найдите средний диаметр шаров D , случайную погрешность для каждого измерения ∆D и среднюю случайную погрешность D . После этого по формуле 2 2полн прD D D     где ∆Dпр – прибор- ная погрешность штангенциркуля (обычно равная 0,05 мм), рассчи- тайте полную погрешность прямых измерений диаметра. Запишите окончательный результат измерения в форме полн .D D D  3. Разделите найденный средний диаметр и его погрешность на два (обоснуйте, почему ошибка тоже делится), чтобы получить со- ответствующие величины для радиуса шаров. Запишите оконча- тельный результат в форме .R R R  4. По формулам (13)–(14) найдите массу шаров m. Плотность стали ρ = 7870±50 кг/м3. Выведите из формул (13)–(14) выражения для относительной и абсолютной погрешностей косвенных измере- ний массы: 18 3 ;m m R m R       .mm m   Учтите, что это выражение для εm верно только при использова- нии достаточно точного значения числа π (воспользуйтесь инже- нерным калькулятором или выведите и используйте формулу с уче- том погрешности используемого вами приближенного значения π). Запишите окончательный результат в форме m m с указанием также и относительной точности m в процентах. 5. Подготовьте к работе ЧХ. Для этого проверьте положение пе- реключателей:  переключатель «Род работ» должен находиться в положении «τ»;  переключатель «Время отсчета» – в положении «1»;  переключатель «УПТ» – в положении «1/1»;  переключатель «Метки времени» – в положении «1»;  переключатель режима работы – в положении «ручн. внешн.». Включите ЧХ (выключатель – в правом верхнем углу) и дайте ему прогреться 3–5 мин. 6. Отведите правый шар на угол α = 10o. Примечание: значения уг- лов в таблице 2 – это рекомендуемые величины; уточните у препода- вателя, какие значения углов следует взять вам. Отпустите шар, ста- раясь, чтобы произошел центральный удар. После столкновения запи- шите показания ЧХ в таблицу 2. Обратите внимание, что время столкновения τ отображается на ЧХ в микросекундах (1 мкс = 10–6 с). Опыт повторите не менее десяти раз. В таблицу 2 следует занести только три значения времени столкновения – те, что встречаются в вашей серии чаще всего и чьи величины незначительно отличаются друг от друга. Это позволит избежать грубых ошибок, возникаю- щих из-за нецентральности удара. Перед каждым опытом очищайте табло ЧХ нажатием кнопки «сброс», которая находится под пере- ключателем «ручн. внешн.». Выполните аналогичные измерения для углов α, равных 20, 30 и 40o. Окончательно заполните таблицу 2, рассчитав также средние значения времен соударения шаров  для всех углов, и среднюю случайную погрешность  для случая α = 10o. 19 Таблица 2 – Результаты измерений № п/п α = 10 o α = 20o α = 30o α = 40o τ, 10–6с Δτ, 10–6с τ, 10–6с τ, 10–6с τ, 10–6с 1 2 3 среднее  =  =  =  =  = 7. Перенесите найденные средние значения времён соударения шаров  для всех углов в таблицу 3. Таблица 3 – окончательные результаты измерений № п/п α  , 10-6с υ0, м/с Fmax, Н xmax, 10–6м β, 1010кг/(м1/2с2) Δβ, 1010кг/(м1/2с2) 1 10o 2 20o 3 30o 4 40o среднее –     8. По формуле (15) вычислите для каждого угла отклонения α значение скорости шара υ0 в момент удара. Учитывайте, что уско- рение свободного падения в г. Минске равно 9,81347±0,00001 м/с2. Занесите вычисленные значения скорости соударения в таблицу 3. Определите относительную и абсолютную погрешность косвен- ного измерения скорости соударения υ0 для угла отклонения α = 10o по формулам 1 ctg , 2 2v g L g L               0 ,    которые нужно уметь вывести из формулы (15). Считайте, что угол отклонения известен с точностью Δα = 2o (не забудьте перевести этот угол в радианы!). 9. По формуле (11) вычислите для каждого угла отклонения α значение максимальной силы удара Fmax. Занесите вычисленные 20 значения силы в таблицу 3. Определите относительную и абсолют- ную погрешность косвенного измерения максимальной силы удара Fmax для угла отклонения α = 10o по формулам, которые нужно уметь вывести из формулы (11). 10. По формуле (10) вычислите для каждого угла отклонения α значение максимального сближения шаров xmax. Занесите вычис- ленные значения в таблицу 3. Определите относительную и абсо- лютную погрешность косвенного измерения xmax для угла отклоне- ния α = 10o по формулам, которые нужно уметь вывести из форму- лы (10). 11. По формуле (8) вычислите для каждого угла отклонения α значение коэффициента упругости шаров β. Занесите вычисленные значения в таблицу 3. Найдите среднее значение  , случайную по- грешность для каждого измерения  , и среднюю случайную по- грешность  . 12. По формуле (9) вычислите для найденного выше среднего значения  модуль Юнга E. Считайте, что коэффициент Пуассона μ равен 0,3. Пренебрегая погрешностью в значении μ, определите от- носительную и абсолютную погрешность косвенного измерения модуля Юнга по формулам 1 , 2E E R E R       ,EE E   которые нужно уметь вывести из формулы (9). Запишите окончательный результат в форме E E с указанием также и относительной точности E в процентах. Сравните полу- ченный результат с табличными данными (от 200 до 210 ГПа, где 1 ГПа = 109 Па). 13. Согласно формуле (7), зависимость log(τ) от log(υ0) будет прямой линией, наклон которой определяется исключительно пока- зателем степени n из формулы (2). Используя полученные вами зна- чения τ и υ0 для различных углов отклонения α, постройте на мил- 21 лиметровке вышеуказанную линейную зависимость и оцените экс- периментально получаемое значение для n. Сравните его с теорети- ческим значением n = 3/2. 14. Сделайте выводы. В частности, проанализируйте, как можно увеличить точность измерения модуля Юнга данным методом? 22 Учебное издание ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ УПРУГОГО СОУДАРЕНИЯ ШАРОВ Методические указания к выполнению лабораторной работы № 124 для студентов технических специальностей Составители : МИНГАЛЕЕВ Сергей Федорович КАЧАН Светлана Михайловна Редактор Т. А. Зезюльчик Компьютерная верстка А. Г. Занкевич Подписано в печать 25.11.2013. Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 1,28. Уч.-изд. л. 1,00. Тираж 100. Заказ 1416. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Пр. Независимости, 65. 220013, г. Минск.