Министерство образования Республики Беларусь 
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
Кафедра инженерной математики 
 
 
 
 
Н.А. Кондратьева 
О.Г. Вишневская 
Н.К. Прихач 
 
 
 
 
 
МАТЕМАТИКА 
 
Методическое пособие 
для текущего контроля знаний студентов 
общетехнических специальностей 
 
В 4 частях 
 
Ч а с т ь  3  
 
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ. 
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, 
ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ. 
ТЕОРИЯ ПОЛЯ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
М и н с к  
Б Н Т У  
2 0 1 1
УДК [51+512.64+514.742.2] (075.8) 
ББК 22.1я7 
        К 64 
 
 
Издается с 2009 года 
 
 
Р е ц е н з е н т  
В.И. Юринок 
 
 
 
К 
64 
Кондратьева, Н.А. 
Математика: методическое пособие для текущего контроля 
знаний сту-дентов общетехнических специальностей: в 4 ч. / 
Н.А. Кондратьева, О.Г. Виш-невская, Н.К. Прихач. – Минск: БНТУ, 
2011. – Ч. 3: Кратные интегралы и их приложения. Криволинейные 
интегралы, интегралы по поверхности и их при-ложения. Теория 
поля. – 69 с. 
 
         ISBN 978-985-525-412-7 (Ч. 3). 
 
Издание содержит вопросы по разделам курса математики треть-
его семестра для студентов общетехнических специальностей ПСФ, 
МТФ, а также провероч-ные тесты, соответствующие действующей 
рабочей программе. Часть 2 данного издания вышла в БНТУ в 2010 
году. 
 
УДК [51+512.64+514.742.2] (075.8) 
ББК 22.1я7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-985-525-412-7 (Ч. 3)   Кондратьева Н.А., Вишневская О.Г., 
ISBN 978-985-525-079-2                        Прихач Н.К., 2011 
                                                              БНТУ, 2011 
 Содержание 
 
Введение………………………………………………………………………………...3 
Тема 6. Двойные и тройные интегралы и их приложения…………………………..4 
          Теоретические вопросы………………………………………………………....4 
          Варианты заданий……………………………………………………………….6 
Тема 7. Криволинейные, поверхностные интегралы и их приложения.  
Задачи теории поля……………………………………………………………………36 
          Теоретические вопросы………………………………………………………..36 
          Варианты заданий…...…………………………………………………………38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
Введение 
 
Методическое пособие предназначено для текущего контроля знаний сту-
дентов общетехнических  специальностей  ПСФ и МТФ по математике. Включает 
контрольные вопросы и большой спектр задач по разделам математики третьего 
семестра обучения: «Кратные интегралы, их приложения. Криволинейные и по-
верхностные интегралы, их приложения. Теория поля», соответствующие дей-
ствующей учебной программе. 
Задачи представлены в виде тестов с несколькими вариантами ответов, от-
ражают программный материал с приложениями кратных интегралов, криволи-
нейных и поверхностных интегралов I и II  рода в физике, механике, технике, что 
способствует установлению межпредметных связей, вырабатывает навыки при-
менения этих знаний к решению задач прикладного характера. 
Методическое пособие предназначено для проведения письменного кон-
троля знаний студентов. 
Контрольные вопросы по изучаемым темам должны активизировать само-
стоятельную работу студентов, что позволит контролировать качество усвоения 
ими теоретического материала и приобретенных навыков решения задач. 
Данное пособие будет полезным подспорьем для преподавателей, ведущих 
практические занятия по курсу математики. Части 1 и 2 данного издания вышли в 
БНТУ в 2009 и 2010 годах по разделам математики первого и второго семестров 
обучения. Содержат темы «Линейная и векторная алгебра», «Аналитическая гео-
метрия», «Пределы», «Производная и ее приложения», «Определенный интеграл 
и его приложения». 
 4 
Тема 6. Двойные и тройные интегралы и их приложения 
 
Теоретические вопросы 
 
6.1. Определение двойного интеграла функции yxfz ,  по области D . 
6.2. Чему равна площадь области интегрирования D ? 
6.3. Физический смысл двойного интеграла. 
6.4. Геометрический смысл двойного интеграла. 
6.5. Свойства двойного интеграла. 
6.6. Понятие области интегрирования D , правильной в направлении оси xO  
(оси yO ). 
6.7. Правило вычисления двойного интеграла. 
6.8. Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле. 
6.9. Замена переменных в двойном интеграле. Якобиан преобразования 
yxI , . 
6.10. Формула замены переменных в двойном интеграле. 
6.11. Связь прямоугольных декартовых yx,  и полярных ,  координат. 
6.12. Переход от декартовых к полярным координатам в двойном интеграле. 
6.13. Вычисление площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла. 
6.14. Вычисление объемов тел с помощью двойного интеграла. 
6.15. Вычисление площадей поверхностей с помощью двойного интеграла. 
6.16. Вычисление массы материальной пластинки с помощью двойного инте-
грала. 
6.17. Вычисление статистических моментов материальной пластинки с по-
мощью двойного интеграла. 
6.18. Вычисление координат центра масс материальной пластинки с помо-
щью двойного интеграла. 
6.19. Вычисление моментов инерции материальной пластинки с помощью 
двойного интеграла. 
6.20. Определение тройного интеграла функции zyxf ,,  в области V . 
 5 
6.21. Чему равен элемент объема dv ? 
6.22. Свойства тройного интеграла. 
6.23. Физический смысл тройного интеграла. 
6.24. Понятие правильной области V . 
6.25. Правило вычисления тройного интеграла в случае простейшей правиль-
ной области V . 
6.26. Замена переменных в тройном интеграле. Якобиан преобразования 
zyxI ,, . 
6.27. Формула замены переменных в тройном интеграле при переходе от об-
ласти V  в область V . 
6.28. Цилиндрические координаты z,,  и якобиан I . 
6.29. Сферические координаты ,,r  и якобиан I . 
6.30. Вычисление объемов тел с помощью тройного интеграла. 
6.31. Вычисление массы тела с помощью тройного интеграла. 
6.32. Вычисление статических моментов тела относительно координатных 
плоскостей ,zyO  ,zxO  yxO . 
6.33. Вычисление координат центра масс тела с помощью тройного интегра-
ла. 
6.34. Вычисление момента инерции тел относительно начала координат тела 
3RV  с плотностью zyx ,, . 
6.35. Вычисление моментов инерции тел относительно координатных осей 
xO , ,yO  zO  с помощью тройного интеграла. 
6.36. Вычисление моментов инерции тел относительно координатных плос-
костей yxO , ,zyO  zxO . 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
 
Варианты заданий 
 
 
ВАРИАНТ 1 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл dyyxdx )(
1
0
2
0
2  
1. 11/3 2. 8/3 
3. 12/13 4. 3/4 
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых коор-
динатах при данной области интегрирования D 
,
2
2
dxdy
y
x
D
 где 2,
1
,: x
x
yxyD  
1. 7/6 2. 0 
3. –2 4. 9/4 
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных коорди-
натах по области D 
D
dxdyyx 22 , где 
xyxyyxyxD 3,,25,9: 2222  
1.  2. 43  
3. 32  4. 334  
4 
Вычислить площадь плоской фигуры, ограничен-
ной заданными линиями yxxy 95,253 22  
1. 5 2. 3/5 
3. 25/9 4. 15 
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плот-
ностью ),,( yx  ограниченной кривыми. 
2222 ),(,9: yxyxyxD  
1. 18 2. 18  
3. 3  4. 32  
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-
ординатах: 
20,30,10:, zyxVdzdydxzyx
V
 
1. 14 2. 18 
3. 10 4. –18 
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилин-
дрические или сферические координаты: 
,dzdydx
z
xy
V
 если V  – тело, ограниченное по-
верхностями 0 222 zyx  0,0 yx , ,1z  
,0x  ,0y  0z  
1. 171  2. 192  
3. 361  4. 223  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем 
тела, ограниченного указанными поверхностями: 
22222 ,3 yxzyxz  
1. 67  2. 617  
3. 627  4. 613  
9 
Вычислить координаты центра масс однородного 
тела, занимающего область V, ограниченную ука-
занными поверхностями: 0 81222 zzyx  
1. 329;0;0   2. 827;0;0  
3. 4;1;1    4. 0;825;1  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси ОХ 
однородного шара, занимающего область V, огра-
ниченную сферой zRzyx 2222 . Плотность 
тела принять равной 1 
1. 31524 R    2. 41327 R  
3. 31337 R    4. 51528 R  
 7 
 
ВАРИАНТ 2 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл 
2
0
3
22
x
x yx
xdy
dx  
1.  2. 13 
3. 6  4. 0 
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых коор-
динатах при данной области интегрирования D 
,cos dxdyyx
D
где xyyxD ,,0:  
1. –2 2. 12  
3. 2  4. –10 
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных коорди-
натах по области D dxdyyx
D
22ln , 
e,1: 2222 yxyxD  
1. 0 2. 5  
3.  4. 2ln  
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограни-
ченной заданными линиями 
042,4 2 yxyx  
1. 23  2. 12 
3. 7 4. 34  
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-
стью ),,( yx  ограниченной кривыми. 
,9,16: 2222 yxyxD  221),( yxyx  
1.  2. 2  
3. 3  4. 4  
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-
ординатах: dzdydxyx
V
, 
yxzxyxV 40,0,10:  
1. 413  2. 512  
3. 1 4. 513  
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилин-
дрические или сферические координаты: 
,2 dzdydxx
V
 если V  – тело, ограниченное по-
верхностями 122 yx  0x , ,2xz  xz 3  
1. 171  2. 192  
3. 154  4. 372  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем 
тела, ограниченного указанными поверхностями: 
,4222 zyx  zyx 322  
1. 317  2. 619  
3. 25  4. 313  
9 
Вычислить координаты центра масс однородного 
тела, занимающего область V, ограниченную ука-
занными поверхностями: 
0,03 22 xxzyx  
1. 1;0;2  2. 1;1;1  
3. 0;0;1  4. 10;0;1  
10 
Вычислить момент инерции относительно коорди-
натной плоскости OXY  однородного шара, зани-
мающего область V, ограниченную сферой 
9222 zyx . Плотность тела принять равной 1 
1. 5324  2. 3247  
3. 5344  4. 3128  
 
 8 
ВАРИАНТ 3 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл 
3
1
5
2
22yx
dx
dy  
1. 11/14  2. 14  
3. 1/2 3ln  4. ln 1114  
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых коор-
динатах при данной области интегрирования D 
,2 dxdyyx
D
 где 0,3,4,2: yxyxyD  
1. 8 2. 44 
3. –14 4. 3 
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных коорди-
натах по области D 
D yx
ydxdy
22
, где 
0,9,1: 2222 yyxyxD  
1. 2 /3 2. 8 
3. 3 4. 47  
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограни-
ченной заданными линиями ,01322 xyy  
0733 yx  
1. 125/18 2. 114 
3. 3/7 4. 2 
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плот-
ностью ),,( yx  ограниченной кривыми 
1,: 2 yxyD , yxyx ),(  
1. 1/2 2.  
3. 4/5 4. 1 
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-
ординатах: 
20,10,50:, zyxVdxzyx
V
 
1. 335  2. 45 
3. 40 4. 24 
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилин-
дрические или сферические координаты: 
,dzdydxxyz
V
 если V  – ограничена поверхностя-
ми 1222 zyx , ,0x  ,0y  ,0z  ,0x  ,0y  
0z  
1. 481  2. 193  
3. 421  4. 372  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем 
тела, ограниченного указанными поверхностями: 
,0x  ,0y  ,0z  ,3 xy  29 xz  
1. 27 2. 15514  
3. 8119  4. 4135  
9 
Вычислить координаты центра масс однородного 
тела, занимающего область V, ограниченную ука-
занными поверхностями: 02222 zyzyx  
1. 83;1;0  2. 1;1;0  
3. 1;0;21  4. 1;1;1  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси OY  
однородного тела, занимающего область V, огра-
ниченную данными поверхностями: 
,2222 zyx  ,222 yzx  0y . Плотность те-
ла принять равной 1 
1. 723  
2. 524154  
3. 5232  
4. 522  
 
 9 
ВАРИАНТ 4 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл dyyxdx
2
0
1
0
2 2  
1. 4/3 2. 3/2 
3. 9/11 4. 14/3 
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых коор-
динатах при данной области интегрирования D 
,2sin dxdyyx
D
где 0,2,2: xxyyD  
1. 3/10 2. 2/2  
3. 1023  4. 3  
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных коорди-
натах по области D dxdyyx
D
224 , 
0,2: 22 yxyxD  
1. 543  2. 18 
3. 24/7 4. 4394  
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограни-
ченной заданными линиями 0,22 yxyyx  
1. 1 2. 1/6 
3. 17/5 4. 3/11 
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-
стью ),,( yx  ограниченной кривыми. 
3),(,9,4: 2222 yxyxyxD  
1. 15  2. 3/4  
3. 2 4. 11 
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-
ординатах: dzdydxzxy
V
cos  
xzxyxV
2
0,0,
2
0:  
1. 323  
2. 4  
3. 1682  
4. 92  
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилин-
дрические или сферические координаты: 
,
222
V zyx
dzdydxzyx
 если V  – область, ограниченная 
поверхностями ,9222 zyx  ,0x  ,0y  0z  
,0,0 yx  0z  
1. 14280  
2. 40243  
3. 5179  
4. 40227  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем 
тела, ограниченного указанными поверхностями: 
,0z  ,9 2xy  yz 2  
1. 17 2. 18 
3. 29 4. 36 
9 
Вычислить координаты центра масс однородного 
тела, занимающего область V, ограниченную ука-
занными поверхностями: параболоидом 
zayxc 222 2  и конусом 22222 zayxc  
1. c;0;0  2. c;1;1  
3. a;0;0  4. 0;0;c  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси OZ  
однородного тела, занимающего область V, ограни-
ченную данными поверхностями: 
czzcyx ,222 . Плотность тела принять рав-
ной 1 
1. 331 c  2. 532 c  
3. 361 c  4. 232 c  
 
 10 
ВАРИАНТ 5 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл dy
y
x
dx
5
3
e
1
12
 
1. 8 2. 16/3 
3. 21  4. 14 
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых коор-
динатах при данной области интегрирования D 
,2 dxdyyx
D
 где 0,2,4: xxyyD  
1. 40/3 2. 16/5 
3. 23  4. 13 
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных коорди-
натах по области D, ограниченной указанными ли-
ниями 
dxdyyx
D
4 , xyxD 2: 22  
1.  2. 24  
3. 3  4. 0 
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограни-
ченной заданными линиями 
52,4 22 xyxxy  
1. 38/3 2. 44 
3. 27/2 4. 9/4 
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плот-
ностью ),,( yx  ограниченной кривыми. 
xyyyxD ,0,4: 22 , 22sin),( yxyx  
1. 4sin8/  2. 2  
3. 2cos  
4. )4cos1(8/  
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-
ординатах: ,dzdydxzyx
V
 V : тетраэдр, 
ограниченный плоскостями ,azyx  0,x  
0,y  0z  
1. 42a  2. 33a  
3. 82a  4. 84a  
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилин-
дрические или сферические координаты: 
dzdydxx
V
3 , если  V  ограничено поверхностями 
222 zyx , ,1z  ,0x  0y  
1. 12  2. 24  
3. 23  4. 27  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем 
тела, ограниченного указанными поверхностями: 
,0x  ,0y  ,0z  ,22 yx  2yz  
1. 32  2. 43  
3. 81  4. 72  
9 
Вычислить координаты центра масс однородного 
тела, занимающего область V, ограниченную ука-
занными поверхностями: восьмой части эллипсои-
да ,19916 222 zyx  расположенной в первом 
октанте 
1. 2;2;1  
2. 81;1;81  
3. 89;89;23  
4. 85;85;32  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси zO  
однородного тела, занимающего область V, огра-
ниченную данными поверхностями: 
,92 22 xyz  ,0z  3y . Плотность тела 
принять равной 1 
1. 5432  2. 3371  
3. 13445  4. 7276  
 
 11 
ВАРИАНТ 6 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл dyydxx
2
0
2
0
2cos  
1. 1/2 2. 2  
3. 2sin  4. 4/  
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых коорди-
натах при данной области интегрирования D 
,9 2dxdyyx
D
где 
4,1,0223,0223: xxyxyxD  
1. ln 28 2. 24 
3. 2ln4 4. 4ln28 
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных координа-
тах по области D 
D yx
xdxdy
322
, где 
0,9,4: 2222 yyxyxD  
1. ln 4 2. 29ln4  
3. 94ln  4. 94  
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограничен-
ной заданными линиями 0,46,3 yxyxy  
1. 12 2. 2 
3. 16 4. 8 
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-
стью ),,( yx  ограниченной кривыми 
yyxD 3: 22 , 221),( yxyx  
1. 9  2. 6 
3. 10 4. 2/3  
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-
ординатах: 
52,30,31:,22 zyxVdzdydxzyx
V
 
1. 11720  2. 7725  
3. 1563  4. 3728  
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилиндри-
ческие или сферические координаты: 
,22 dzdydxyx
V
 если V  ограничено поверхно-
стями ,222 zyx  2z  
1. 316  2. 87  
3. 121  4. 518  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем 
тела, ограниченного указанными поверхностями: 
1991 222 zyx  
1. 8  2. 16  
3. 12  4. 6  
9 
Вычислить координаты центра масс однородного 
тела, занимающего область V, ограниченную ука-
занными поверхностями полушара: 16222 zyx , 
,0z  если плотность в каждой точке пропорцио-
нальна расстоянию точки от центра 
1. 23;0;0  
2. 58;0;0  
3. 21;0;1  
4. 57;0;57  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси OX  
однородного тела, занимающего область V, ограни-
ченную данными поверхностями: 2,922 zyx . 
Плотность тела принять равной 1 
1. 2117  
2. 2129  
3. 3214  
4. 2125  
 
 12 
ВАРИАНТ 7 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл 
4
3
2
1
2)( yx
dy
dx  
1. ln(24/25) 2. ln(2/3) 
3. ln(25/24) 4. ln(3/2) 
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых коорди-
натах при данной области интегрирования D 
,)3( dxdyyx
D
 где 0,0,2: yxyxD  
1. 26/3 2. 44 
3. 23  4. 21 
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных координа-
тах по области D, ограниченной указанными линия-
ми 
D
dxdyxyxy 22 , 
xyxyyxyxD ,3,9,4: 2222  
1. 23ln619  
2. 19/3 
3. 6ln23  
4. 3ln2  
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограничен-
ной заданными линиями ),3(342 yx  
0346 yx  
1. 15 2. 4 
3. 68 4. 8 
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-
стью ),,( yx  ограниченной кривыми 
xyyxD ,2,0: , )sin(),( yxyx  
1. 1/2 2. 4  
3.  4. 1 
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-
ординатах: ,dzdydxy
V
 0,: xV  0,y  0,z  
42 zyx  
1. 615  2. 316  
3. 417  4. 512  
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилиндри-
ческие или сферические координаты: 
,22 dzdydxyx
V
 если V : ,02 22 yxx  
2zx  
1. 2368  2. 1249  
3. 4564  4. 4271  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем 
тела, ограниченного указанными поверхностями: 
,4222 zyx  zyx 322  
1. 619  2. 518  
3. 617  4. 319  
9 
Вычислить координаты центра масс однородного 
тела, занимающего область V, ограниченную ука-
занными поверхностями: 
0,558,45 2 zyzxy  
1. 717;213;0  
2. 1716;715;0  
3. 1716;0;0  
4. 715;512;0  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси Oz  
однородного тела, занимающего область V, ограни-
ченную данными поверхностями: 229 yxz , 
0z . Плотность тела принять равной 1 
 
1. 3148  2. 9251  
3. 4217  4. 2243  
 
 13 
ВАРИАНТ 8 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл 
1
0
1
0
2
2
1 y
dyx
dx  
1. 13 2. /12 
3. 0 4. 3  
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых коор-
динатах при данной области интегрирования D 
,2 dxdyyx
D
где 2/,: xyxyD  
1. 16/3 2. 14  
3. 21  4. 1 
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных коорди-
натах по области D, ограниченной указанными ли-
ниями 
dxdyyx
D
22 , где xyxD 2: 22  
1. 6  2. 2ln  
3. 12 4. 49  
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограни-
ченной заданными линиями 44,2 2 xyxy  
1. 24/21 2. 1/2 
3. 2 4. 64/3 
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плот-
ностью ),,( yx  ограниченной кривыми. 
1: 22 yxD , 
22
e),( yxyx  
1. )1e(  2. 6 
3. e3  4. e  
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-
ординатах: 
azxhyzyxVdzdydxx
V
, 0,0,0,:,  
1. 63ha  2. 82ha  
3. 33a  4. 23ha  
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилин-
дрические или сферические координаты: 
,22 dzdydxyxz
V
 если V : ,222 xyx  ,0y  
,0z  3z  
1. 6 2. 16 
3. 8 4. 12 
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем 
тела, ограниченного указанными поверхностями: 
,22 yxz  ,2 22 yxz  ,xy  xy 2  
1. 412  2. 353  
3. 343  4. 352  
9 
Вычислить координаты центра масс однородного 
тела, занимающего область V, ограниченную ука-
занными поверхностями: 12,
12 22
2
zyx
R
z  
1. 4;0;0  2. 8;0;1  
3. 6;1;1  4. 8;0;0  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси Oz  
однородного тела, занимающего область V, огра-
ниченную данными поверхностями: 
2,2 22 zyxz . Плотность тела принять рав-
ной 1 
 
1. 3  2. 6  
3. 4  4.  
 14 
 
ВАРИАНТ 9 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл dyyxdx
x
x
)(
1
0 3
 
1. 4/105 2. 10/51 
3. 105 4. 44 
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых коорди-
натах при данной области интегрирования D 
,)3sin( dxdyyx
D
 где 
6,0,2,: xyxyxD  
1. /6 2. 61  
3. 2 4. 36 
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных координа-
тах по области D, ограниченной указанными линия-
ми 
D yx
dxdy
222
, где 0,1: 2 yxyD  
1. 3ln2  2. 23ln  
3. 2  4. 23ln2  
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограничен-
ной заданными  линиями 
03,0442 yxyxx  
1. 5/4 2. 1/3 
3. 9/25 4. 14 
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-
стью ),,( yx  ограниченной кривыми 
16: 22 yxD , 
2/12225),( yxyx  
1. 3 2/  2. 5 
3. 4  4. 4 
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-
ординатах: dzdydxz
V
 
2210,20,2
10: yxzxyxV  
1. 1375  2. 1813  
3. 1927  4. 1831  
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилиндри-
ческие или сферические координаты: ,dzdydxz
V
 
если V  ограничена верхней частью конуса 
169 222 zyx  и плоскостью 0,4 hz  
1. 36  2. 45  
3. 42  4. 28  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем 
тела, ограниченного указанными поверхностями: 
,22 yxz  22 yxz  
1. 3  2. 4  
3. 6  4. 8  
9 
Вычислить координаты центра масс однородного 
тела, занимающего область V, ограниченную ука-
занными поверхностями: 
0,8,8 22 RzyxRz  
1. 2;0;0  2. 6;0;0  
3. 6;0;6  4. 8;0;0  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси zO  
однородного тела, занимающего область V, ограни-
ченную данными поверхностями: 
2,2 22 zyxz . Плотность тела принять равной 1 
1. 712  2. 516  
3. 34  4. 316  
 
 15 
ВАРИАНТ 10 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл dyyxdx
x
x
2
1
2
2  
1. 9,3 2. 9 
3. 3/10 4. 31/3 
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых координа-
тах при данной области интегрирования D 
,dxdyyx
D
 где 22 4,: xyxyD  
1. 32  2. 23/3 
3. – 4 4. 
3
2
8  
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных координа-
тах по области D dxdy
yx
dxdy
D
224
, где 
0,2: 22 yxyxD  
1.  2. 2  
3. 2 +  4. 0 
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограничен-
ной заданными  линиями 121 2yx , 141 2yx  
1. 32  2. 322  
3. 21  4. 5/6 
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-
стью ),,( yx  ограниченной кривыми. 
32222 ),(,0,0,4: yxyxyxyxD  
1. 8 /5 2. 8 /3 
3. 3 /16 4. 2 
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных коор-
динатах: dzdydxyzx
V
2 , 
02 0,0,0,: zyxzyxV  
1. 31516  2. 21617  
3. 19815  4. 23516  
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилиндриче-
ские или сферические координаты: 
,222 dzdydxzyx
V
 V  шар 9222 zyx  
1. 26237  2. 5972  
3. 12831  4. 5172  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем те-
ла, ограниченного указанными поверхностями: ,0x  
,0z  ,1y  ,3y  32zx  
1. 17 2. 5 
3. 27  4. 29  
9 
Вычислить координаты центра масс однородного те-
ла, занимающего область V, ограниченную указанны-
ми поверхностями: 
0,1,1 2222 zyxyxz  
1. 97;0;0  
2. 83;0;0  
3. 92;0;0  
4. 91;0;1  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси yO  
однородного тела, занимающего область V, ограни-
ченную данными поверхностями: 2,222 yzxy . 
Плотность тела принять равной 1 
 
1. 712  2. 317  
3. 516  4. 3  
 
 16 
ВАРИАНТ 11 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл dyyxdx
x
x
)2(
2
0
12
12
 
1. 4/15 2. 44/15 
3. –13/5 4. 16/3 
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых коорди-
натах при данной области интегрирования D 
,e
3
dxdy
yx
D
 где 0,28,2: yxyxyD  
1. 2e54  
2. 2e1  
3. 2e154  
4. 1 
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных координа-
тах по области D, ограниченной указанными линия-
ми 
D yxyx
ydxdy
2222
2 , где 
xyxyyxyxD 3,3,1,4: 2222  
1. 2ln3  
2. 2ln13  
3. 23ln  
4. 2ln1321  
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограничен-
ной заданными  линиями 2)2(2/1 xy , 422 yx  
1. 12/  2. 3 2/  
3. 64/3 4. 3/4  
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-
стью ),,( yx  ограниченной кривыми 
xyxyxD ,,1: 2  3322 1612),( yxyxyx  
1. 1 2. 18 
3. 21              4. 8 
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-
ординатах: dzdydxzyx
V
222 , 
30,20,10: zyxV  
1. 18 2. 21 
3. 28 4. 18 
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилиндри-
ческие или сферические координаты: 
,22 dzdydxyx
V
 если V  ограничена поверхностями 
,122 yx  0z , 22 yxz  
1. 32  2. 27  
3. 48  4. 193  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем 
тела, ограниченного указанными поверхностями: 
,22 yxzh  hz  
1. 3h  2. 33h  
3. 23h  4. 32 h  
9 
Вычислить координаты центра масс однородного 
тела, занимающего область V, ограниченную ука-
занными поверхностями: 
0,4,3 2222 zyxyxz  
1. 21;0;0  
2. 1 ;1 ;1  
3. 1;0;0  
4. 41;0;0  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси yO  
однородного тела, занимающего область V, ограни-
ченную данными поверхностями: 222 zxy , 
2y . Плотность тела принять равной 1 
1. 316  2. 219  
3. 722  4. 519  
 
 17 
ВАРИАНТ 12 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл 
2
1 /1
2
2
x
x y
dy
dxx  
1. 3/2 2. 25/4 
3. ln2 4. 9/4 
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых коорди-
натах при данной области интегрирования D 
,315 dxdyyx
D
 0,1,1: xyxyxD  
1. 38/3 2. 23  
3. 5/3 4. 40/3 
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных координа-
тах по области D, ограниченной указанными линия-
ми dxdyyx
D
, где 0,,9: 22 xxyyxD  
1. 9/4 ln2 2. 3/2 ln2 
3. 4ln(2/3) 4. 4ln9  
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограничен-
ной заданными  линиями 6,4 2 yxyyx  
1. 6 2. 1/6 
3. 1/36 4. 1 
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-
стью ),,( yx  ограниченной кривыми 
222222 1),(,4,2: yxyxyyxyyxD  
1. 6 2.  
3. 4 +1 4. 4 
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-
ординатах. :,32 Vdzdydxzyx
V
 трехгранная 
призма, ограниченная плоскостями: 
3,0,0,2,0 yxyxzz  
1. 20 2. 35 
3. 28 4. 36 
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилиндри-
ческие или сферические координаты: 
,
3222 dzdydxzyx
V
 если V : 4222 zyx , 
,0y  0y  
1. 473  
2. 364  
3. 1175  
4. 92  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем 
тела, ограниченного указанными поверхностями: 
,4 2yz  ,422 yx  0z  
1. 10  2. 15  
3. 8  4. 12  
9 
Вычислить координаты центра масс однородного 
тела, занимающего область V, ограниченную ука-
занными поверхностями: 20,5 22 xzyx  
1. 0;0;15  
2. 0;0;10  
3. 15;0;1  
4. 0;0;12  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси OX  
однородного тела, занимающего область V, ограни-
ченную данными поверхностями: ,2 22 zyx  
2x . Плотность тела принять равной 1 
 
1. 3  2. 7  
3. 5  4. 8  
 
 18 
ВАРИАНТ 13 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл dy
y
x
dx
x
x
1
0 2
 
1. 3/8 2. 12 
3. 35  4. 23ln  
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых координа-
тах при данной области интегрирования D 
,)( dxdyyx
D
 12,2: 2 xyxyD  
1. 12/7 2. 64/15 
3. 0 4. 4/3 
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных координатах 
по области D, ограниченной указанными линиями 
dxdyyx
D
422 , yyxD 6: 22  
1. 48 +  2. 36  
3. 18  4. 96 +36  
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограниченной 
заданными  линиями xyxyyy 2,2,2,2  
1. 4/3 2. 16 
3. 40/3 4. 3/14 
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-
стью ),,( yx  ограниченной кривыми 
yyxD 2: 22 , xyyx arctg),(  
1. 2 2. 3  
3.  4. 1 
6. 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных коор-
динатах: ,dzdydxx
V
 
23, 0,0,0,: zxyzyxV  
1. 6 2. 4 
3. 12 4. 8 
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилиндриче-
ские или сферические  координаты: 
,22 dzdydxyx
V
 если V : ограничена поверхно-
стями 422 yx , 1z , 222 yxz  
1. 14183  
2. 15203  
3. 15272  
4. 19108  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем те-
ла, ограниченного указанными поверхностями: 
,42 xz  xyx 422  
1. 17306  
2. 15512  
3. 13219  
4. 15611  
9 
Вычислить координаты центра масс однородного те-
ла, занимающего область V, ограниченную указанны-
ми поверхностями: 8,2 22 zyxz  
1. 8;0;0  2. 6;0;0  
3. 12;1;0  4. 6;0;6  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси OX  
однородного тела, занимающего область V, ограни-
ченную данными поверхностями: 223 zyx , 3x . 
Плотность тела принять равной 1 
1. 6  2. 4  
3. 3  4. 2  
 
 19 
ВАРИАНТ 14 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл 
2
0 2/
22
2
x
x
yx
dy
xdx  
1. 2arctg  2. 1/2 
3. 2ln  4. 9/3 
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых коорди-
натах при данной области интегрирования D 
,)23( dxdyxy
D
 )2(3,2: xyxyD  
1. 3/2 2. 6  
3. 0 4. 3 
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных координа-
тах по области D, ограниченной указанными линия-
ми dxdy
D
yx 22e , 0,2,1: 2222 yyxyxD  
1. ee2 2  
2. 1 
3. 2e2  
4. 1eln2  
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограничен-
ной заданными линиями 42,2 2 yxyx  
1. 3 2. 9 
3. 2  4. 36 
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-
стью ),,( yx  ограниченной кривыми ,1: 22 yxD  
2222),( yxyxyx  
1. 25 2. 1 
3. /3 4. 2 5/  
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-
ординатах: dzdydxy
V
, 
xzyxV 3210,31,30:  
1. 9 2. 18 
3. 3 4. 12 
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилиндри-
ческие или сферические координаты: 
,22 dzdydxyx
V
 если V  полушар 
,4222 zyx  0z  
1. 38  
2. 15128  
3. 1439  
4. 13128  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем 
тела, ограниченного указанными поверхностями: 
,0z  ,2zy  422 yx  
1. 7  2. 6  
3. 12  4. 8  
9 
Вычислить координаты центра масс однородного 
тела, занимающего область V, ограниченную ука-
занными поверхностями: ,9 22 yxz  36z  
1. 15;0;0  
2. 27;0;0  
3. 14;0;1  
4. 0;27;1  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси zO  
однородного тела, занимающего область V, ограни-
ченную данными поверхностями: 223 yxz , 
0z . Плотность тела принять равной 1 
 
1. 29  2. 38  
3. 27  4. 49  
 
 20 
ВАРИАНТ 15 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл drrd
2/
2/
cos2
0
3  
1. 3 2  2. 2cos  
3. 2  4. 0 
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых коорди-
натах при данной области интегрирования D 
D
yx dxdye  0,2,e: xyyD x  
1. 1e  2. e 
3. 2e  4. 1 
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных координа-
тах по области D, ограниченной указанными линия-
ми 
D yx
dxdy
2216
, 9,2: 2222 yxyxD  
1. arcsin 3/2 
2. 3ln  
3. )7/12ln(  
4. 2ln  
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограничен-
ной заданными линиями 0,2,1,2 yxxxy  
1. 12 2. 3 
3. 1 4. 14 
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-
стью ),,( yx  ограниченной кривыми 
xyyxxxyxyxD arctg),(,0,3,2: 22  
1. 2 2. 3  
3. 21arctg  4. 8/3 
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-
ординатах: ,dzdydxz
V
 :V  ,30 x  ,31 y  
)3(210 xz  
1. 37  2. 59  
3. 49  4. 85  
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилиндри-
ческие или сферические координаты: 
,22 dzdydxyxz
V
 где :V  ,20 x  
,20 2xxy  20 z  
1. 932  2. 715  
3. 319  4. 841  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем 
тела, ограниченного указанными поверхностями: 
0z , 2yx , 12 2yx , 21 yz  
1. 12 2. 58  
3. 516  4. 719  
9 
Вычислить координаты центра масс однородного 
тела, занимающего область V, ограниченную ука-
занными поверхностями: zyx 222 , 3z  
1. 1;0;0  2. 1;1;1  
3. 2;0;0  4. 2;1;1  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси yO  
однородного тела, занимающего область V, ограни-
ченную данными поверхностями: 222 zxy , 
4y . Плотность тела принять равной 1 
1. 5418  
2. 7213  
3. 8623  
4. 5512  
 
 21 
 
ВАРИАНТ 16 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл dyyxdx
2
1
2
0
2210  
1. 18/3 2. 8 
3. 38/3 4. 6  
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых координа-
тах при данной области интегрирования D 
,22 dxdyyx
D
 4,,2/: xxyxyD  
1. 152/3 2. 3/2 
3. 4/15 4. 9/20 
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных координатах  
по области D, ограниченной указанными линиями 
dxdyxyyx
D
, 3,,4: 22 xyxyxyxD  
1. 9 2. 3ln  
3. 33  4. 2ln4  
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограниченной 
заданными  линиями 042,4 2 yxyx  
1. 101 2. 4/3 
3. 9/10 4. 1 
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-
стью ),,( yx  ограниченной кривыми 
xyyyxyxD ,0,4,1: 2222 ,  
22221),( yxyxyx  
1. 2  2. /8 
3. 22  4. 2 /5 
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных коор-
динатах: ,)2( dzdydxyx
V
 :V  ,xy  ,0y  ,1x  
,1z  221 yxz  
1. 41 2. 7335  
3. 6223  4. 6041  
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилиндриче-
ские или сферические координаты: ,dzdydxy
V
 если 
0,,32: 222222 yzxyzyxV  
1. 128  2. 17  
3. 114  4. 64  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем те-
ла, ограниченного указанными поверхностями: ,0y  
,0z  ,2yx  2xz  
1. 3 2. 27  
3. 34  4. 5 
9 
Вычислить координаты центра масс однородного те-
ла, занимающего область V, ограниченную указанны-
ми поверхностями: 22 zxy , 4y  
1. 1;0;0  2. 0;0;3  
3. 0;2;0  4. 0;3;0  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси zO  од-
нородного тела, занимающего область V, ограничен-
ную данными поверхностями: 224 yxz , 2z . 
Плотность тела принять равной 1 
1. 20  2. 80  
3. 192  4. 1213  
 
 22 
ВАРИАНТ 17 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл dz
y
yz
dy
y
y
2
0
4
24
 
1. –2 + 4ln2 
2. 2ln4 
3. – 4 + ln2 
4. – 4ln2 
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых координа-
тах при данной области интегрирования D 
,2 dxdyyx
D
 12/1,7,0: xyxyxD  
1. 7/2 2. –72 
3. 12 4. 77 
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных координатах 
по области D, ограниченной указанными линиями 
dxdy
yx
dxdy
D
22
, yyxD 6: 22  
1. 2  2. 1/4 
3. 48 4. 12 
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограниченной 
заданными линиями xyxyD ,: 2  
1. 61  2. 121  
3. 4 4. 16 
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-
стью ),,( yx  ограниченной кривыми 
0,1: 22 yyxD , 
322),( yxyx  
1. 1/8 2. 3/7 
3. /8 4. 16/  
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных коор-
динатах: ,22 dzdydxzyx
V
 :V  ,10 x  ,0 xy  
xyz0  
1. 793  2. 1101  
3. 8315  4. 120 
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилиндриче-
ские или сферические координаты: ,dzdydxx
V
 если 
:V  ,8222 zyx  ,222 zyx  0x  
1. 12  2. 7  
3. 8  4.  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем те-
ла, ограниченного указанными поверхностями: 
122 yx , yxz 2 , 0z  
1. 2  2. 4  
3.  4. 34  
9 
Вычислить координаты центра масс однородного те-
ла, занимающего область V, ограниченную указанны-
ми поверхностями: 226 zyx , 322 zy , 0x  
1. 0;0;8  2. 2;2;2  
3. 1;0;4  4. 0;0;6  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси xO  од-
нородного тела, занимающего область V, ограничен-
ную данными поверхностями: 22 zyx , 3y . 
Плотность тела принять равной 1 
1. 37  2. 58  
3. 29  4. 59  
 
 23 
ВАРИАНТ 18 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл dyxydx
x
x
0
2
12
1
 
1. 3 2. 9/4 
3. ln2 4. 12 
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых коор-
динатах при данной области интегрирования D 
,22 dxdyyx
D
 0,2,: xyxxyD  
1. 4/3 2. 7/4 
3. 1/3 4. 16/9 
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных коорди-
натах по области D, ограниченной указанными ли-
ниями 
D yxyx
dxdy
2222
, 
0,0,4,1: 2222 yxyxyxD  
1. 2  2. 3 /4 
3. /4 4. 0 
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограни-
ченной заданными линиями 
yyxyxD 4,4: 2222  
1. 1/6 2. 6 
3. ln 3 4. /6 
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плот-
ностью ),,( yx  ограниченной кривыми 
8,4,3ln,2ln: xxyyD , 4e),( yxyyx  
1. 2 23/  
2. 2  + 3 
3. 32 
4. 3 22/  
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-
ординатах: ,23 3 dzdydxzyx
V
 :V  ,10 x  
,20 y  31 z  
1. –39 2. 45 
3. –26 4. 17 
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилин-
дрические или сферические координаты: 
,22 dzdydxyxy
V
 если :V  ,0z  ,2z  ,xy  
222 4 yxz  
1. 102  2. 117  
3. 52  4. 103  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем 
тела, ограниченного указанными поверхностями: 
,0z  ,2xz  ,022yx  7yx  
1. 42 2. 32 
3. 16 4. 26 
9 
Вычислить координаты центра масс однородного 
тела, занимающего область V, ограниченную ука-
занными поверхностями: yzx 422 , 9y  
1. 1;0;0  2. 0;0;6  
3. 2;0;0  4. 0;6;0  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси zO  
однородного тела, занимающего область V, огра-
ниченную данными поверхностями: 22 yxz , 
3z . Плотность тела принять равной 1 
1. 34  2. 27  
3. 59  4. 29  
 
 24 
 
ВАРИАНТ 19 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл dy
y
x
dx
x
x
2
1 /1
2
2
 
1. 2/3 2. 12/5 
3. 9/4 4. ln 2 
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых коорди-
натах при данной области интегрирования D 
,3dxdyx
D
 2,: 2 xyxyD  
1. 18/5 2. 16 
3. 38/3 4. 9/10 
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных коорди-
натах по области D, ограниченной указанными ли-
ниями 
D
yxdxdy 22 , yyxD 3: 22  
1. 2  2. 9/2 
3. 58  4. 6 
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограничен-
ной заданными линиями xyxxyx 2, 2222  
1. 2 3/  2. 3 /4 
3. 8 4. 34 
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-
стью ),,( yx  ограниченной кривыми 
xyxxyxyD ),(,12,2: 2  
1. 31/3 2. 12/3 
3. 
3
2
10  4. 9 
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-
ординатах: ,dzdydxz
V
 :V  ,1zyx  ,0z  
,0y  0x  
1. 241  2. 223  
3. 8 4. 193  
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилиндри-
ческие или сферические координаты: 
,22 dzdydxyx
V
 если :V  ,222 xyx  ,2zx  
0z  
1. 1338  2. 35149  
3. 45128  4. 2193  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем 
тела, ограниченного указанными поверхностями: 
,0y  ,0z  ,3x  ,2xy  2yz  
1. 48 2. 36 
3. 51 4. 54 
9 
Вычислить координаты центра масс однородного 
тела, занимающего область V, ограниченную ука-
занными поверхностями: 22 yxz , 4z  
1. 3;0;0  2. 9;0;0  
3. 1;1;0  4. 1;0;0  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси Oz  
однородного тела, занимающего область V, ограни-
ченную данными поверхностями: 223 yxz , 
3z . Плотность тела принять равной 1 
1. 3 2. 2  
3.  4. 2  
 
 25 
ВАРИАНТ 20 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл dydxyxdx
x
x
4
0 2/
2  
1. 24 2. 16/3 
3. 32  4. 0 
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых коор-
динатах при данной области интегрирования D 
,2 dxdyyx
D
 2,,: 2 xxyxyD  
1. 12/5 2. 13/3 
3. 8/5 4. 11/15 
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных коорди-
натах по области D, ограниченной указанными ли-
ниями 
D
x yxyxdxdy 222 , 
xyyyxyxD ,0,4,1: 2222  
1. /4 2. 2 
3. /8 4. 32  
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограни-
ченной заданными линиями 
yyxyyx 4,2 2222  
1.  2. 2  
3. 3  4. 4  
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плот-
ностью ),,( yx  ограниченной кривыми 
,4,: 2 yxyD  yxyx 2),(  
1. 11/21 2. 512/21 
3. 21/12 4. 244/21 
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-
ординатах: ,dzdydxz
V
 :V  ,10 x  ,0 xy  
220 yxz  
1. 92  2. 61  
3. 134  4. 71  
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилин-
дрические или сферические координаты: 
,222 dzdydxzyx
V
 если :V  ,4222 zyx  
,0x  ,0y  0z  
1. 173  2. 215  
3. 516  4. 47  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем 
тела, ограниченного указанными поверхностями: 
222 Ryx , 2222 yxRRz , 0z  
1. 23 2R  2. 25 3R  
3. R7  4. 47 2R  
9 
Вычислить координаты центра масс однородного 
тела, занимающего область V, ограниченную ука-
занными поверхностями: 225 yxz , 
222 yx , 0z  
1. 9;0;0  
2. 3;0;0  
3. 310;0;0  
4. 32;0;31  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси zO  
однородного шара, занимающего область V, огра-
ниченную данной поверхностью: 36222 zyx . 
Плотность тела принять равной 1 
1. 520736  
2. 510784  
3. 420971  
4. 21053  
 
 26 
ВАРИАНТ 21 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл dyyxdx
4
0
e
0
ln  1. 8 2. 1/3 
3. 15 4. 1 
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых коорди-
натах при данной области интегрирования D 
,)( dxdyyx
D
 где 12,2: 2 xyxyD  
1. 4/5 2. 11/15 
3. 44/15 4. 44/5 
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных координа-
тах по области D, ограниченной указанными линия-
ми 
dxdyyx
D
, xyyyxD ,2: 22  
1. 22  2. /4 
3. 1/12 4. 82  
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограничен-
ной заданными линиями 
01,42,42 yyxxy  
1. 16 2. 18 
3. 4 4. 9 
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-
стью ),,( yx  ограниченной кривыми ,2: 22 yxD  
2222),( yxyxyx  
1. 8 5/  2. 8 52  
3. 28  4. 58  
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-
ординатах: ,)( dzdydxzyx
V
 :V  тетраэдр, огра-
ниченный плоскостями ,3zyx  ,0x  ,0y  
0z  
1. 413  2. 1269  
3. 9117  4. 881  
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилиндри-
ческие или сферические  координаты: ,dzdydxyx
V
 
если :V  ,82 222 zyx  ,222 yxz  ,0x  
0z  
1. 4321328  
2. 5241531  
3. 52518  
4. 22396  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем 
тела, ограниченного указанными поверхностями: 
yyx 422 , 12222 zyx  
1. 733  
2. 352  
3. 53276  
4. 53698  
9 
Вычислить координаты центра масс однородного 
тела, занимающего область V, ограниченную ука-
занными поверхностями: 2247 xyz , 0z , 
2y , 0y  
1. 1528;58;0  
2. 1319;73;0  
3. 1429;58;0  
4. 1528;1;0  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси xO  
однородного тела, занимающего область V, ограни-
ченную данными поверхностями: 222 zyx , 
122 zy , 0x . Плотность тела принять равной 1 
1. 71  2. 32  
3. 52  4. 72  
 
 27 
ВАРИАНТ 22 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл dyyxdx
x
x
)2(
2
1
2
 
1. 1/3 2. 3/5 
3. 11 4. 9/10 
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых координа-
тах при данной области интегрирования D 
,22 dxdyyx
D
 2,1,0,: yyxxyD  
1. 5 2. 0 
3. 1 4. 3 
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных координа-
тах по области D, ограниченной указанными линиями 
D
yxydxdy 22 , yyxD 2: 22  
1.  2. 3 /2 
3. 4 4. 1/12 
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограничен-
ной заданными  линиями 0,2, xyxyx  
1. 7/6 2. 13/6 
3. 2 4. 7/8 
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-
стью ),,( yx  ограниченной кривыми ,1: 22 yxD  
22
e),( yxyx  
1. e/  2. e  
3. 1e1  4. 1e  
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных коор-
динатах: ,dzdydxz
V
 :V  ,30 x  ,20 xy  
xyz0  
1. 819  2. 1138  
3. 481  4. 473  
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилиндриче-
ские или сферические координаты: ,dzdydxy
V
 если 
:V  ,164 222 zyx  ,3xy  ,0y  0z  
1. 215  2. 27  
3. 18  4. 417  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем те-
ла, ограниченного указанными поверхностями: 
0822 xyx , 222 zyx , 0z  
1. 81053  
2. 92048  
3. 82161  
4. 41195  
9 
Вычислить координаты центра масс однородного те-
ла, занимающего область V, ограниченную указанны-
ми поверхностями: 1yx , 22 yxz , 0x , 0y , 
0z  
1. )31;2;2(  
2. )329;51;51(  
3. )318;51;21(  
4. )307;52;52(  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси Oy  од-
нородного тела, занимающего область V, ограничен-
ную данными поверхностями: 225 zxy , 1y . 
Плотность тела принять равной 1 
1. 527  2. 431  
3. 332  4. 338  
 
 28 
 
ВАРИАНТ 23 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл dyyxdx
x
x
)(
1
3
2
12
2
 1. 16/15 2. 15
4
4  
3. 15/64 4. – 4/5 
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых координа-
тах при данной области интегрирования D 
,23 2 dxdyyxyx
D
 2, ,0: 2 yyxxD  
1. 2/21 2. –9/4 
3. 244/21 4. 56/3 
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных координатах 
по области D, ограниченной указанными линиями 
dxdyxy
D
221 , 222: yxD  
1. 43  2. 23 2  
3. 2 3  4. 4 2  
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограниченной 
заданными  линиями 0,2,,1 2 xyyxyx  
1. 23ln2  
2. 3ln4  
3. 2ln32  
4. 3ln2ln  
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-
стью ),,( yx  ограниченной кривыми 
,4,2: 2222 yxyxD  
2222
1
),(
yxyx
yx  
1. 2  
2. 12  
3. 13  
4. 2  
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных коор-
динатах: ,dzdydxzyx
V
 :V  ,2xy  ,2yx  ,xyz  
0z  
1. 961  2. 83  
3. 721  4. 113  
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилиндриче-
ские или сферические координаты: 
,222 dzdydxzyx
V
 если :V  ,36222 zyx  
,0y  ,0z  xy  
1. 95  2. 21913  
3. 81  4. 240  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем те-
ла, ограниченного указанными поверхностями: 
222 yxz , 4zy  
1. 792  2. 481  
3. 371  4. 495  
9 
Вычислить координаты центра масс однородного те-
ла, занимающего область V, ограниченную указанны-
ми поверхностями: xyz 2 , 5x , 5y , 0z  
1. )319;2;2(  
2. )3129;4;4(  
3. )1948;2;2(  
4. )3245;3;3(  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси yO  од-
нородного тела, занимающего область V, ограничен-
ную данными поверхностями: 22 zxy , 2y . 
Плотность тела принять равной 1 
1. 32  2. 34  
3. 27  4. 35  
 
 29 
ВАРИАНТ 24 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл dyyxdx
x
x
)2(
3
2
2
 1. 3
1
25  2. 
3
1
5  
3. 75/3 4. 3/76 
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых координа-
тах при данной области интегрирования D 
,2 dxdyyx
D
 xyxyD ,: 2  
1. –8/21 2. 14/3 
3. 3/10 4. 9/20 
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных координатах 
по области D, ограниченной указанными линиями 
D
yxdxdy 122 , 0,1: 2 yxyD  
1. 2 2ln  
2. 2ln1  
3. 1/2 ln2 
4. 2ln  
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограниченной 
заданными линиями 
2,2,2,42 yyxyxy  
1. 13/3 2. 56/3 
3. 47/3 4. 6/53 
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-
стью ),,( yx  ограниченной кривыми 
1),(),(,8,4: 2222 yxyxyyxyxD  
1. 83  2. 38  
3. 13/24 4. 18 
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных коор-
динатах: ,222 dzdydxzyx
V
 :V  ,40 x  
,20 y  10 z  
1. 28 2. 56 
3. 38 4. 22 
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилиндриче-
ские или сферические координаты: ,dzdydxy
V
 если 
0,,8: 2222 yyxzyxzV  
1. 128  
2. 423  
3. 512  
4. 234  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем те-
ла, ограниченного указанными поверхностями: 
zzyx 2222 , 222 zyx  
1. 2  2. 23  
3.  4. 5  
9 
Вычислить координаты центра масс однородного те-
ла, занимающего область V, ограниченную указанны-
ми поверхностями: 22 zyx , 4x  
1. )0;0;32(  
2. )0;0;58(  
3. )21;58;23(  
4. )0;0;516(  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси yO  од-
нородного тела, занимающего область V, ограничен-
ную данными поверхностями: 223 zxy , 3y . 
Плотность тела принять равной 1 
1.  2. 6  
3. 2  4. 8  
 
 
 30 
ВАРИАНТ 25 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл dyxdx
x
x
)4(
4
0
2
 
1. 44/15 2. 12/5 
3. 28/3 4. 128/15 
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых координа-
тах при данной области интегрирования D 
,)2( dxdyyx
D
 2)5(3/4;3;2/3: xyyxyD  
1. 15/10 2. 50/9 
3. 
10
9
10  4. 
10
9
105  
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных координатах 
по области D, ограниченной указанными линиями 
dxdyyx
D
22 , 36,9: 2222 yxyxD  
1. 26  2. 6  
3. 126  4. 118 
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограниченной 
заданными  линиями 0,1,cos xyxyx  
1. 1/2 2. 2/3 
3. 22  4. 1 
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-
стью ),,( yx  ограниченной кривыми 
yxyxxxyxyD ),(,2,2,: 2  
1. 208/27 2. 7/28 
3. 8/3 4. 213/34 
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных коор-
динатах: ,)32( dzdydxzyx
V
 :V  трехгранная 
призма, ограниченная плоскостями ,0z  ,5z  ,0x  
,0y  3yx  
1. 1261  2. 13222  
3. 4225  4. 19112  
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилиндриче-
ские или сферические координаты ,
22
V yx
dzdyzdx
 если 
0,4,4: 22 zzyyyxV  
1. 25358  
2. 451472  
3. 431222  
4. 1260 
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем те-
ла, ограниченного указанными поверхностями 
4zyx , 3x , 2y , 0x , 0y , 0z  
1. 323  2. 647  
3. 548  4. 655  
9 
Вычислить координаты центра масс однородного те-
ла, занимающего область V, ограниченную указанны-
ми поверхностями: 2242 yxz , 0z  
1. )32;0;0(  
2. )31;0;0(  
3. )34;0;0(  
4. )31;0;1(  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси zO  од-
нородного тела, занимающего область V, ограничен-
ную данными поверхностями: 222 yxz , 
422 yx , 0z . Плотность тела принять равной 1 
1. 316  2. 332  
3. 229  4. 548  
 
 31 
ВАРИАНТ 26 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл dyyxdx
x1
0
1
0
22  
1. 11/5 2. 1/2 
3. 3/2 4. 1/6 
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых коорди-
натах при данной области интегрирования D 
,dxdyyx
D
4,: 2 xxyD  
1. 28/5 2. 
15
1
8  
3. 128/15 4. 22  
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных координа-
тах по области D, ограниченной указанными линия-
ми 
dxdyyx
D
322 , 1: 22 yxD  
1. 2/3  2. 10/  
3. 2 /5 4. 4 7/  
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограничен-
ной заданными линиями xxyxy 2,4 22  
1. 15 2. 9 
3. 4 4. 17 
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-
стью ),,( yx  ограниченной кривыми 
yyxxxyxyD 2),(,4,2: 2  
1. 64/3 2. 35  
3. 13/4 4. 
3
1
20  
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-
ординатах: ,dzdydxzyx
V
 :V  тетраэдр, огра-
ниченный плоскостями ,2zyx  ,0x  ,0y  
0z  
1. 3 2. 83  
3. 2 4. 8 
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилиндри-
ческие или сферические координаты: ,2 dzdydxz
V
 
если 0,0,,361: 22 zxxyyxV  
1. 14137  
2. 112535  
3. 121555  
4. 2815  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем 
тела, ограниченного указанными поверхностями: эл-
липсоидом 1494 222 zyx  
1. 16  2. 12  
3. 24  4. 18  
9 
Вычислить координаты центра масс однородного 
тела, занимающего область V, ограниченную ука-
занными поверхностями: 228 zyx , 21x  
1. )0;0;21(  
2. )0;0;83(  
3. )0;0;81(  
4. )0;1;1(  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси xO  
однородного тела, занимающего область V, ограни-
ченную данными поверхностями: 222 zyx , 2x . 
Плотность тела принять равной 1 
1. 512  2. 38  
3. 518  4. 516  
 
 
 32 
ВАРИАНТ 27 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл drrrd
2
0
2
0
34  
1. 2  2. 2 3/  
3. 24 2  4. 8  
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых коорди-
натах при данной области интегрирования D 
,)(cos dxdyyxx
D
 xyxyD ,,0:  
1. 3 2/  2. 22  
3. 2  4. 5 3/  
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных координа-
тах по области D, ограниченной указанными линия-
ми 
dxdyyx
D
22 , где xyxD 4: 22  
1. 24  2. 4/  
3. 48  4. 11 3/  
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограничен-
ной заданными линиями 
0,0,31,2 22 yxyxyx  
1. 38/3 2. 6 
3. 16/3 4. 18 
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-
стью ),,( yx  ограниченной кривыми 
53 6),(,1,2,: yyxxxyxyD  
1. 47/3 2. 74/3 
3. 
3
1
15  4. 46/13 
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-
ординатах: ,3 dzdydxyzx
V
 :V  ,21 x  
,10 y  10 z  
1. 83  2. 49  
3. 81  4. 37  
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилиндри-
ческие или сферические координаты: 
,22 dzdydxyx
V
 если V  – верхняя половина ша-
ра 2222 Rzyx  
1. 383 R  
2. 5134 R  
3. 5154 R  
4. 583 R  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем 
тела, ограниченного указанными поверхностями: 
922 yx , 1z , 11zyx  
1. 90  2. 80  
3. 76  4. 121  
9 
Вычислить координаты центра масс однородного 
тела, занимающего область V, ограниченную ука-
занными поверхностями: 223 zxy , 
3622 zx , 0y  
1. )3;41;0(  
2. )0;317;0(  
3. )31;8712;1(  
4. )0;427;0(  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси xO  
однородного тела, занимающего область V, ограни-
ченную данными поверхностями: 22 zyx , 
122 zy , 0x . Плотность тела принять равной 1 
1.  2. 3  
3. 2  4. 8  
 
 33 
ВАРИАНТ 28 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить повторный интеграл 
dyyxdx
4/
0
4/
0
22 sincos  
1. 4 2  2. 2/  
3. 1 4. 2 /16 
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых коорди-
натах при данной области интегрирования D 
,2 dxdyyx
D
 xyxyD 22 ,:  
1. 33/14 2. 36/121 
3. 33/140 4. 11/12 
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных координа-
тах по области D, ограниченной указанными линия-
ми 
D
x yxydxdy 2 , yyxD 3: 22  
1. 9 2  2. 6 
3. 16 4. 4 3  
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограничен-
ной заданными линиями 0,1,cos yxyxy  
1. 3/2 2. 1/2 
3. 1 4. 22  
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-
стью ),,( yx  ограниченной кривыми 
2),(,8,2: 222222 yxyxyxyxD  
1. 48  2. 42  
3. /4 4. 21/  
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-
ординатах: ,25 3 dzdydxzyx
V
 :V  ,10 x  
,20 y  31 z  
1. 14 2. –20 
3. 12 4. –22 
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилиндри-
ческие или сферические координаты: 
,22 dzdydxyxz
V
 если V ограничена цилиндром 
xyx 222  и плоскостями 0y , 0z , 3z  
1. 8 2. 20 
3. 16 4. 12 
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем 
тела, ограниченного указанными поверхностями: 
xyx 1022 , xyx 1322 , 22 yxz , 0z , 
0y  
1. 112 2. 136 
3. 266 4. 98 
9 
Вычислить координаты центра масс однородного 
тела, занимающего область V, ограниченную ука-
занными поверхностями: xzy 822 , 2x  
1. )0;0;31(  
2. )0;0;34(  
3. )0;1;32(  
4. )34;0;34(  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси xO  
однородного тела, занимающего область V, ограни-
ченную данными поверхностями: 22 zyx , 2x . 
Плотность тела принять равной 1 
1. 32  2. 35  
3. 34  4. 27  
 
 34 
ВАРИАНТ 29 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить повторный интеграл 
dyyxdx
x
x
1
0
1
315  
1. 4/9 2. 
9
1
1  
3. 74/3 4. 914  
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых коорди-
натах при данной области интегрирования D 
,22 dxdyyx
D
 3,,/1: xxyxyD  
1. – 49/2 2. 16 
3. 3/4 4. 21 
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных координа-
тах по области D, ограниченной указанными линия-
ми 
dxdyyx
D
229 , 9: 22 yxD  
1. 18  2. 48  
3. 2  4. 3  
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограничен-
ной заданными линиями ,42 22 yx  
42 22 yx  
1. 2 + 4 2. 2 2/  
3. 22  4. 24  
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-
стью ),,( yx  ограниченной кривыми 
yxyxxxyxyD 2),(,2,,: 2  
1. 28/5 2. 12/5 
3. 25/16 4. 15/2 
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-
ординатах: 
V
dxdydzzyx2 , :V  21 x , 30 y  
32 z  
1. 9120  2. 4135  
3. 110 4. 398  
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилиндри-
ческие или сферические координаты: 
,
3222 dzdydxzyx
V
 если V ограничена цилин-
дром 122 zx  и плоскостями 0y , 1y  
1. 35  2. 53  
3. 23  4. 37  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем 
тела, ограниченного указанными поверхностями: 
0x , 0y , 0z , 2yx , 22 yxz  
1. 38  2. 9 
3. 16 4. 32  
9 
Вычислить координаты центра масс однородного 
тела, занимающего область V, ограниченную ука-
занными поверхностями: 223 yxz , 922 yx , 
0z  
1. )8;0;0(  2. )12;0;0(  
3. )81;0;0(  4. )9;0;0(  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси xO  
однородного тела, занимающего область V, ограни-
ченную данными поверхностями: 222 zyx , 2x . 
Плотность тела принять равной 1 
1. 516  2. 213  
3. 517  4. 512  
 
 35 
ВАРИАНТ 30 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 Вычислить повторный интеграл dyyxdx
x
x
4
0 2
22  
1. 52/3 2. 
3
2
5  
3. 13/15 4. 152/3 
2 
Вычислить двойной интеграл в декартовых коорди-
натах при данной области интегрирования D 
,e dxdy
D
yx  0,3,e: xyyD x  
1. e(1 + e) 2. 1 
3. e 2  4. e 3 + e 
3 
Вычислить двойной интеграл в полярных координа-
тах  по области D, ограниченной указанными лини-
ями 
D
yxxdxdy 22 , xyxD 3: 22  
1. 6 2. 3 /2 
3. 33  4. –6 
4 
Вычислить площадь плоской фигуры D, ограничен-
ной заданными линиями 4,2 2222 yxxyx  
1. 2  2. 3  
3. 2/  4. 5  
5 
Найти массу плоской фигуры D с заданной плотно-
стью ),,( yx  ограниченной кривыми 
,4: 22 yxD  222),( yxyx  
1. 4  2. 4 
3. 22  4. 8  
6 
Вычислить тройной интеграл в прямоугольных ко-
ординатах: ,222 dzdydxzyx
V
 :V  ,20 x  
,50 y  20 z  
1. 220 2. 100 
3. 78 4. –170 
7 
Вычислить тройной интеграл, используя цилиндри-
ческие или сферические координаты: ,2 dzdydxx
V
 
если V  – шар 2222 Rzyx  
1. 283 R  
2. 3125 R  
3. 5154 R  
4. 5917 R  
8 
С помощью тройного интеграла вычислить объем 
тела, ограниченного указанными поверхностями: 
0y , 0z , 4x , xy 2 , 2xz  
1. 130 2. 128 
3. 142 4. 64 
9 
Вычислить координаты центра масс однородного 
тела, занимающего область V, ограниченную ука-
занными поверхностями: 223 zxy , 9y  
1. )0;427;0(  
2. )0;319;0(  
3. )0;429;0(  
4. )0;841;0(  
10 
Вычислить момент инерции относительно оси yO  
однородного тела, занимающего область V, ограни-
ченную данными поверхностями: 222 zxy , 
2y . Плотность тела принять равной 1 
1. 2  2. 3  
3. 4  4. 5  
 
 36 
Тема 7. Криволинейные, поверхностные интегралы 
 и их приложения. Задачи теории поля 
 
Теоретические вопросы 
 
7.1. Определение криволинейного интеграла первого рода по длине дуги 
AB
L  
от функции zyxf ,, . 
7.2. Вычисление криволинейного интеграла первого рода в параметрическом 
виде в случае задания гладкой кривой L  в пространстве 3R  и на плоскости. 
7.3. Вычисление криволинейного интеграла первого рода, если уравнение 
плоской кривой задано в полярных координатах. 
7.4. Вычисление криволинейного интеграла первого рода, если плоская кри-
вая задана непрерывной и непрерывно-дифференцируемой на ba;  функцией 
xyy . 
7.5. Геометрический смысл криволинейного интеграла первого рода. 
7.6. Механический смысл криволинейного интеграла первого рода (вычисле-
ние массы материальной дуги). 
7.7. Вычисление координат центра масс материальной дуги 
AB
L . 
7.8. Вычисление моментов инерции относительно начала координат O , осей 
координат xO , ,yO  zO  материальной дуги 
AB
L . 
7.9. Вычисление моментов инерции относительно координатных плоскостей 
,zyO  ,zxO  yxO  материальной дуги 
AB
L  с заданной линейной плотностью. 
7.10. Вычисление площади части цилиндрической поверхности с образую-
щими, параллельными оси zO  и проходящими через точки дуги 
AB
L . 
7.11. Определение криволинейного интеграла второго рода (по координатам). 
7.12. Свойства криволинейных интегралов второго рода. 
7.13. Вычисление криволинейного интеграла второго рода, если главная кри-
вая 
AB
L  задана параметрическими уравнениями в пространстве, в плоскости yxO . 
7.14. Вычисление криволинейного интеграла второго рода, если кривая 
AB
L  
лежит в плоскости yxO  и задана уравнением xfy . 
 37 
7.15. Физический смысл криволинейного интеграла второго рода. 
7.16. Формула Грина. 
7.17. Вычисление площади S  области D  с помощью криволинейного инте-
грала второго рода. 
7.18. Определение поверхностного интеграла первого рода от функции 
zyxf ,,  по поверхности S . 
7.19. Определение площади поверхности с помощью поверхностного инте-
грала первого рода. 
7.20. Определение массы поверхности S  с помощью поверхностного инте-
грала первого рода. 
7.21. Вычисление поверхностного интеграла первого рода с помощью двой-
ного интеграла по области D , если поверхность yxFz , . 
7.22. Понятие ориентированной поверхности. 
7.23. Координаты единичного вектора нормали n . 
7.24. Определение поверхностного интеграла второго рода от функции a  по 
поверхности S . 
7.25. Свойства поверхностных интегралов второго рода. 
7.26. Формула, сводящая вычисление поверхностного интеграла второго рода 
к вычислению двойного интеграла (с учетом проекции поверхности S  на плоско-
сти ,yzO  zxO ). 
7.27. Формула Остроградского – Гаусса. 
7.28. Определение потока векторного поля через поверхность. 
7.29. Физический смысл поверхностного интеграла второго рода. 
7.30. Вычисление потока вектора RQPa ,,  через замкнутую кусочно-
гладкую поверхность S . 
7.31. Формула потока векторного поля, связывающая поверхностный инте-
грал второго рода и тройной интеграл по области V . 
7.32. Формула Стокса, связывающая криволинейный и поверхностный инте-
гралы. 
 38 
 
 
 
 
 
Варианты заданий 
 
ВАРИАНТ 1 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода 
L
dly3 , где L – отрезок прямой, заключенный между 
точками 1;1A  и 3;3B  
1. 210  2. 235  
3. 220  4. 210  
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
L
dyyxdx 22sin , где L – дуга кривой xy cos , за-
ключенная между точками x0  
1. 322  2. 4  
3. 412  4. 522  
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
dl
x
3
1  txL 2sin3: , tty cossin3 , tz cos3 , 
20 t  
1. 29  2. 39  
3. 79  4. 49  
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пу-
ти интегрирования 
L
yxyx dyydxx
2222
e3e2 2  
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
dyxyydxx 22 11  
окружность:L  222 yx , пробегаемая против хода 
часовой стрелки 
1. 2  2. 3  
3.  4. 
2
 
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(S
dsyxz , где 4: 222 zyxs ; 0x ; 0y ; 0z  
1. 4 2. 7 
3. 5 4. 3 
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
xdydzydxdzzdxdy  
 – внешняя плоскости 1zyx , заключенная 
между координатными плоскостями 
1. 23  2.  31  
3. 21  4.  34  
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения 
функции 2323 zxzxyxMu  в точке 
3;2;10M  
1. 160  2.  190  
 
3. 150  4.  170  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного 
поля kzjxyixMa 222  в точке 
2;1;00M  
1. 2  2. 1 
3. 4  4. 3  
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидаль-
ным, потенциальным или гармоническим: 
kzyzjxyixyMa  
 
1. потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 39 
ВАРИАНТ 2 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
L
dlyx )( , где L – отрезок прямой, соединяющей точки 
2;1A  и 4;4B  
1. 
3
13
 2. 
4
13
 
3. 
2
13
 4. 13  
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
L
xdxyydyx 22 , где L – кривая tx cos ; ty sin ; 
20 t  
1. 
4
 2. 
3
 
3. 
7
 4. 
8
 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
dzyxdyzxdxzy )()()( , где L – кривая tx , 
2ty , 3tz , 10 t  
1. 2 2. 3 
3. 1 4. 5 
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути 
интегрирования 
dyyxydxyxx
L
2222 54sin1054sin8  
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
dyyxxydxxyyx
L
2222 22 , где L – граница обла-
сти 0,2),(: 22 yxyxyxD  при положительном 
направлении обхода контура 
1. 
2
 2. 
3
 
3. 
4
 4.  
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(
222
S
dszyx , где 222: zyxs , 20 z  
1. 24  2. 27  
3. 28  4. 29  
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
dxdyz 1  
 – внешняя сторона поверхности сферы 
16222 zyx  
1. 
13
258
 2.  
13
256
 
3. 
13
300
 4.  
13
254
 
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения 
функции yxzMu sin  в точке 1;
6
;
20
M  
1. 23  2.  25  
 
3. 27  4.  23  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного 
поля kxzjyzixyMa  в точке 3;0;20M  
1. 13  2. 11  
3. 15  4. 14  
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, 
потенциальным или гармоническим: 
kxxyzjxyziyzxMa 22 2  
1. потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 
 40 
ВАРИАНТ 3 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
L
dlyx 23 2 , где L – периметр треугольника с вер-
шинами )0;1(A , )4;1(B , )4;0(C  
1. 57,6 2. 58,4 
3. 57,7 4. 58,8 
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
dyyxdxyx
L
2222 , где L – часть кривой 
2xy , расположенной между точками 01x , 22x  
1. – 4,24 2. – 4,31 
3. – 4,08 4. – 4,27 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
xydzdyzxdxx )(2  
L – дуга кривой tx , 3ty , 5tz , 10 t  
1. 2,012 2. 2,105 
3. 2,014 4. 2,112 
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пу-
ти интегрирования 
L
dyyxdxyx 1ln1 2222  
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
dyyxxxyydxyx
L
2222 ln , 
где L – граница области 20;41),( yxyx  при 
положительном направлении обхода контура 
1. 9 2. 10 
3. 8 4. 11 
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(
2 41
S
dszx   zyxs 22: , 90 z  
1. 25,507  
2. 35,506  
3. 25,506  
4. 45,507  
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
zdxdy  
 – внешняя сторона эллипсоида 1
1694
222 zyx
 
1. 35  2.  30  
3. 31 4.  32  
8 
Найти величину и направление наибольшего измене-
ния функции 
z
yx
Mu  в точке 1;0;20M  
1. 5  2. 6  
  
3. 3  4.  7  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного 
поля kxjyzixyMa 222  в точке 
0;2;10M  
1. 5  2. 54  
3. 53  4. 52  
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидаль-
ным, потенциальным или гармоническим: 
kxzyjzxyizyMa 2322  
 
1. потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 
 41 
ВАРИАНТ 4 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
L
dlyx 22 , где L – окружность xyx 1022  
1. 250 2. 200 
3. 300 4. 350 
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
L
dyyxdxyx 22 )()( , где L –ломаная ОАВ: )0;0(O , 
)0;3(A , )3;4(B  
1. 91,343 2. 92,333 
3. 92,353 4. 91,233 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
dzyxdyzyxdxzx )5()3()2( , 
где L – первый виток винтовой линии tx cos , ty sin , 
tz  )20( t  
1. 2  2.  
3. 4  4. 3  
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути 
интегрирования 
L
dyxyxydxyxx 423523 3124  
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
dyyxdxyx )()( , где L – эллипс 1
94
22 yx
, про-
бегаемый против хода часовой стрелки 
1. 12  2. 13  
3. 14  4. 16  
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(
2
S
zdsyx , где s – часть поверхности 2522 yx , 0x , 
30 z  
1. 1250 2. 1350 
3. 1255 4. 1310 
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
xydxdyxzdxdzyzdydz  
 – внешняя сторона тетраэдра, ограниченного плоско-
стями 0,0,0,1 zyxzyx  
1. 2  2.  3  
3. 1 4.  0  
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения 
функции 22arctg zyxMu  в точке 0;1;10M    
1. 
52
1
 2.  
53
1
 
 
3. 
55
1
 4.  
5
1
 
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного по-
ля kyzjzixzMa  в точке 1;0;30M  
1. 4  2. 1 
3. 3  4. 2  
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, 
потенциальным или гармоническим: 
kyzxjyxixyzxMa 2332  
 
1. потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 
 
 42 
ВАРИАНТ 5 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
L
dly 2 , где L: 
2
0,cos1,sin),( ttyttxyx  
1. 0,325 2. 0,525 
3. 0,425 4. 0,125 
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
L
dyyyxdxyxx 3223 33 , 
где L: xyxyx 2;21),(  
1. 
20
7
 2. 
20
9
 
3. 
20
11
   4. 
20
3
 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
dlzyx 222 , где L – отрезок прямой, соединяющей 
точки )1;1;1(A  и )3;0;3(B  
1. 25 2. 27 
3. 26 4. 29 
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути 
интегрирования 
L
dyxyxydxyxyx 4235223 32  
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
dyyxydxx 22 , где L – окружность 322 yx , про-
бегаемая против хода часовой стрелки 
1. 5,4  2. 5,3  
3. 5,5  4. 5,7  
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(
3 )3(
S
dsyxz  
6: 22 yxs , 0z , 2z  
1. 140  2. 134  
3. 155  4. 144  
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
dxdyzdxdzydydzx 333  
 – внешняя сторона сферы 4222 zyx  
1. 
5
384
 2.  
5
381
 
3. 
5
383
 4.  
5
382
 
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения 
функции zyxMu  в точке 2;1;00M  
1. 3  2.  4  
 
3. 2  4.  1 
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного по-
ля kxjxyzixyMa  в точке 3;0;10M  
1. 3  2. 2  
3. 5  4. 7  
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, 
потенциальным или гармоническим: 
kxyzjxziyzMa 21 22  
1. потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 
 
 
 
 43 
ВАРИАНТ 6 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
dl
y
x
L
2
3
, где L – дуга линии 3yx  от точки )3;1(A  до 
точки )1;3(B  
1. 15,23 2. 15,03 
3. 15,14 4. 15,28 
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
L
dyxydxx )1( , где L – дуга окружности 122 yx  от 
точки )0;1(A  до точки )1;0(B  
1. 0,548 2. 0,538 
3. 0,518 4. 0,544 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
dzyxydyzdx 22 , где L: tx ch2 , ty sh2 , 
tz 3   10 t  
1. 16,91 2. 16,93 
3. 16,97 4. 16,92 
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути 
интегрирования 
L
dzyxzdyyzxdxxyzx 22232 49851033  
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
dyxdxyx 212 , где L – граница области 
9;),(: 2 yxyyxD  
1. 0 2. 1 
3. 2 4. 4 
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(
)1(
S
dsx  
zzyxs 2: 222  
1. 
4
3
 2. 
7
3
 
3. 
8
3
 4. 
2
3
 
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
zdxdyydxdzxdydz  
 – внешняя сторона сферы 1222 zyx  
1. 5  2.  4  
3. 3  4.  2  
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения 
функции zyxMu 2  в точке 2;0;20M  
1. 11 2.  13  
 
3. 12  4.  14  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного по-
ля kxyzjziyzMa 2  в точке 1;1;20M  
1. 11  2. 13  
3. 15  4. 17  
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, 
потенциальным или гармоническим: 
kyzzxyjzxyzizyMa 1232 222332  
 
1. потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 44 
ВАРИАНТ 7 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
L
dlx61 , где L – дуга линии 44 xy  от 
4
1
;1A  до 
)4;2(B  
1. 
7
133
 2. 
7
134
 
3. 
7
131
 4. 
7
130
 
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
L
dyyxydxx 22 , где L – дуга линии tx ch , ty sh  
10 t  
1. – 0,442 2. – 0,437 
3. – 0,448 4. – 0,439 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
zdl , где L: ttx cos , tty sin , tz 3  20 t  
1. 160,9 2. 159,1 
3. 163,4 4. 158,6 
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути 
интегрирования 
L
dzyzdyyxydxxzx 2233 664106  
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
dyxdxy )3(241 , где L – граница области 
20;1)1(),(: 2 xyxyxD   
при положительном направлении обхода контура 
1. 4,181 2. 4,208 
3. 4,172 4. 4,217 
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(
)972(
S
dszxy   
s – часть плоскости 222 zyx , расположенная в 
первом октанте 
1. 13 2. 14 
3. 19 4. 12 
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
zdxdyydxdzxdydz  
 – внешняя сторона поверхности куба, ограниченного 
плоскостями  10,10,10 zyx  
1. 3  2.  1 
3. 4  4.  2  
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения 
функции zyxMu 2  в точке 0;2;10M  
1. 3  2.  4  
 
3. 1 4.  2  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного по-
ля kzjxyiyMa 22  в точке 1;1;20M  
1. 2  2.  3  
3. 1 4.  4  
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, 
потенциальным или гармоническим: 
kyxjyzixzMa 22  
 
1. потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 
 
 
 
 
 45 
ВАРИАНТ 8 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
dl
x
x
L
2
2
cos1
cos
, где L – дуга линии xy sin  )0( x  
1.  2. 
2
 
3. 
4
 4. 
3
 
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
L
dyyxdxyx 222 , где L – дуга линии tx 2cos3 , 
ty sin2  )20( t  
1. 6  2. 3  
3. 8  4. 9  
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
ydzxdyzxdxx )(2 , где L: tx sin  ty 2sin  
tz 3sin   20 t  
1. 1,7 2. 1,8 
3. 1,6 4. 1,9 
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути 
интегрирования 
L
dzyxdyzxdxyz 222222  
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
dyyxxydxyxxy )()( , где L – окружность 
xyx 422  при положительном направлении обхода 
контура 
1. 7  2. 8  
3. 10  4. 6  
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(
)623(
S
dszyx  
s – часть плоскости 222 zyx , расположенной в пер-
вом октанте 
1. 2,6 2. 2,8 
3. 2,5 4. 2,4 
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
dxdyzdxdzydydzx 222  
 – внешняя сторона сферы 
4111 222 zyx  
1. 30  2.  32  
3. 33  4.  31 
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения 
функции yxzMu  в точке 0;1;10M  
1. 2  2.  3  
 
3. 1 4.  4  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного по-
ля kxjxyzixzMa 2  в точке 1;1;00M  
1. 1 2.  3  
3. 2  4.  4  
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, 
потенциальным или гармоническим: 
kzxyjzxyizyMa 222 3121  
 
1. потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 
 
 
 46 
ВАРИАНТ 9 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
L
dlx4cos1 , где L – дуга линии xy tg  
4
0 x  
1. 1,645 2. 1,631 
3. 1,639 4. 1,643 
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
L
xdydxxy 32 , где L – дуга линии ttx cos  
ty cos1  )0( t  
1. –1,626 2. –1,586 
3. –1,596 4. –1,617 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
xdl , где 
L: tx sin  ty  
t
t
z
sin1
sin1
ln
4
1
  
4
0 t  
1. 0,343 2. 0,346 
3. 0,347 4. 0,349 
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути ин-
тегрирования 
L
dyyxzydxyxzx 2323 3541532
dzzzxy 892 22  
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
xx ydyydx cheshe , где L – граница области 
30;03),(: xyxyxD   
при положительном направлении обхода контура 
1. –50,24 2. –50,28 
3. –50,27 4. –50,22 
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода  
)(
)5(
S
dszyx  
s – часть плоскости 222 zyx , расположенной в пер-
вом октанте 
1. 5 2. 6 
3. 7 4. 9 
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
ydxdyxzdxdzxydydzz  
 – верхняя сторона плоскости 4zyx , отсеченной 
координатными плоскостями 
1. 31 2.  33 
3. 32 4.  34 
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения 
функции zxyMu  в точке 2;2;00M  
1. 33  2. 3   
 
3. 34  4.  32  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля 
kxzjzyixyMa 2  в точке 1;2;00M  
1. 15  2. 17  
3. 19  4. 13  
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, по-
тенциальным или гармоническим: 
kxyjxziyzMa  
 
1. потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 
 
 47 
 
ВАРИАНТ 10 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
L y
dl
, где L – часть кривой 
2
ee xx
y , расположенной 
между точками, абсциссы которых 00x ; 4Ax  
1. 3 2. 5 
3. 4 4. 7 
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
L
dyyxdxyx )()( , где L – дуга кривой 
)cos1(cos ttx  )sin1(sin tty  )0( t  
1. –3 2. – 4 
3. –2 4. –1 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
dlz , где L: tx t cose  ty t sine  tz e  10 t  
1. 0,77 2. 0,75 
3. 0,76 4. 0,73 
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути 
интегрирования 
dydx
x
y
x
y
L
x
y
e11e  
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
xdydxy2 , 
где L – граница области 30;e1),(: 2 xyyxD x   
при положительном направлении обхода контура 
1. – 40490 2. – 40491 
3. – 40399 4. – 40398 
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(
2
S
zdsyx  
s – часть параболоида 22 yxz , отсеченного плоско-
стью 3z  
1. 1 2. 0 
3. 2 4. 5 
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
zdxdyyx 22  
 – внешняя сторона нижней поверхности сферы 
9222 zyx  
1. 
5
328
 2.  
5
324
 
3. 
6
322
 4.  
5
326
 
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения 
функции 2zyxMu  в точке 1;0;30M  
1.  3 2.  4 
 
3.  2 4.  1 
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного по-
ля kzyjyixzMa  в точке 2;1;00M  
1.  4 2.  1 
3.  3 4.  2 
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, 
потенциальным или гармоническим: 
kxyjxziyzMa  
 
1. потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 
 
 
 
 48 
 
ВАРИАНТ 11 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода 
L
xydl , 
где L – дуга гиперболы tx ch4 ; ty sh4 ; 20 t  
1. 410,214 2. 410,315 
3. 410,414 4. 410,319 
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
ABL
dyyxydx 2tg  по прямой от точки 6;1A  до точки 
4;2B  
1. 0,949 2. 0,954 
3. 0,951 4. 0,952 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
dz
z
yx
xdyzdx , L – кривая ttx cos   tty sin   tz   
2
0 t  
1. –0,324 2. –0,321 
3. –0,318 4. –0,325 
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути 
интегрирования 
L
dzyxzdyzxydxzyx 222222  
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
dyxydxyx )3()( , L – эллипс 1
8116
22 yx
, пробега-
емый против хода часовой стрелки 
1. 226,08 2. 226,14 
3. 226,04 4. 226,17 
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода  
)(
22
S
dsyx  
s – верхняя половина сферы 1222 zyx  
1. 
5
4
 2. 
3
4
 
3. 
5
3
 4. 
7
3
 
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
xzdxdyyzdxdzxydydz  
 – внешняя сторона сферы  4222 zyx , лежащая 
в первом октанте 
1. 
16
7
 2.  
16
5
 
3. 
16
 4.  
16
3
 
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения 
функции 22 xzyMu  в точке 1;1;00M  
1. 3  2. 5  
  
3. 2  4.  7  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного по-
ля kzjxyiyMa 222  в точке 1;2;10M  
1. 8 2. 7 
3. 6 4. 9 
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, 
потенциальным или гармоническим: 
kzxjyxixMa 43 2  
 
1. потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 49 
 
ВАРИАНТ 12 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
L
dlyx 22 , где L – верхняя половина кардиоиды 
)cos1(4  
1. 85,4 2. 85,3 
3. 85,5 4. 85,1 
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
L
dy
y
xdx
2
3 1sin , где L – кривая xy ctg  30 x  
1. –1,413 2. –1,504 
3. –1,524 4. –1,513 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
yzdzxdyzxyxxdxzyyyx 222 2222 , 
где L – отрезок прямой, соединяющей точки 1;1;1M  и 
2;2;2N  
1. 24 2. 27 
3. 29 4. 28 
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути 
интегрирования 
L
dy
yx
y
dx
yx
x
2222
1  
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
dyxydx 2 , где L – граница области  
xxyxyxD 20;20),(:  , 
пробегаемая в положительном направлении 
1. 0,2 2. 0,4 
3. 0,3 4. 0,5 
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(
22
S
zdsyx , s – часть поверхности 
2
2
22 yx
z , распо-
ложенная над плоскостью XOY  
1. 7,67 2. 7,52 
3. 7,44 4. 7,69 
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
dxdyzxdydz 12  
 – внутренняя сторона цилиндра  422 yx , отсекае-
мая плоскостями 0z  и 1z  
1. 4  2.  6  
3. 2  4.  8  
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения 
функции zyxMu  в точке 2;1;00M  
 
1. 3 2. 1 
 
3. 4 4. 2 
  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного по-
ля kzjxyixyMa 22  в точке 1;1;10M  
1. 3  2. 4  
3. 2  4. 1 
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, 
потенциальным или гармоническим: 
kyxjxyiyzxMa 122 32  
 
1. потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 50 
 
ВАРИАНТ 13 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
L
xydl , где L – периметр треугольника, ограниченного 
прямыми 623 yx ; 0x ; 0y  
1. 3,5 2. 3,4 
3. 3,7 4. 3,6 
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
L
dyyxdxy )(2 , где L – часть циклоиды ttx sin ; 
ty cos1   )0( t  
1. 4,34 2. 4,28 
3. 4,21 4. 4,37 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
xdzzdyydx , где L – ломаная ОАВС: 0;0;0O ; 
0;0;1A ; 0;1;1B ; 1;1;1C  
1. 1 2. 2 
3. 3 4. 4 
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути 
интегрирования 
L
yxyx dyxdxy )5(e)5(e  
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
x dyxydxxy 23cos3
2
1
e 22
2
, где L – граница 
области 0;03;022),(: yyxyxyxD , 
пробегаемая в положительном направлении 
1. 
7
8
 2. 
5
8
 
3. 
3
8
 4. 
9
8
 
6. 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(
2)64(
S
dszyx  
s – часть плоскости 132 zyx , расположенная в 
1-м октанте 
1. 0,45 2. 0,43 
3. 0,47 4. 0,49 
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
dxdyzdydzx 22  
 – часть поверхности конуса, нормальный вектор кото-
рой образует тупой угол с ортом k , лежащий между плос-
костями 1,0 zz  
1. 
2
5
 2.  
2
7
 
3.  
2
 4.  
2
3
 
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения 
функции zyxMu  в точке 1;2;10M  
1. 3  2. 5   
 
3. 2  4. 6  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного по-
ля  kxzjyziyxMa в точке 0;1;20M  
1. 5  2. 3  
3. 7  4. 2  
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, 
потенциальным или гармоническим: 
kyzxyjxyzyiyxMa 2222  
 
1. потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 51 
 
ВАРИАНТ 14 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
L
dl
x
yx
21
3
, где L – граница области  
21;ln0),(: xxyyxD  
1. 3,482 2. 3,483 
3. 3,484 4. 3,485 
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
L
dyxydxyx 22 22 , где L – часть линии 
29 xy от точки )0;3(A  до точки )3;0(B  
1. 140,4 2. 140,3 
3. 140,1 4. 140,2 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
dzyxdyzxydx 2)()( , где L: tx cos   ty sin  
2costz   2;0t  
1.  2. 2  
3. 7  4. 4  
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути инте-
грирования 
22
211
yx
x
dx
yx
y
L
 
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
x dyxydxxy 22222 23sin2e3 , где L – граница 
области )1(23;4),(: 2 yxxyyxD , 
пробегаемая в положительном направлении 
1. – 68,4 2. – 68,2 
3. – 68,7 4. – 68,3 
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(
2 417)23(
S
dszyx , s – часть поверхности 24 xz , 
заключенной между плоскостями 1y , 0y , 0z  
1. 113,054 2. 113,057 
3. 113,061 4. 113,067 
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
dydzzy 22  
 – часть поверхности параболоида 229 zyx , нор-
мальный вектор которой образует тупой угол с ортом i , отсе-
ченная плоскостью 0x  
1. 
2
83
 2.  
2
81
 
3. 
2
85
 4.  
2
79
 
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения функ-
ции zyxMu 2  в точке 1;1;10M  
1. 2  2.  5  
 
3.  6  4. 7  
  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля 
kxzjzyixyMa  в точке 1;0;40M  
1. 23  2. 2  
3. 24  4. 22  
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, потен-
циальным или гармоническим: 
kyxzjyxziyzxMa 222  
 
1. потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 
 52 
ВАРИАНТ 15 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
L
dlyx 22 , где L – периметр треугольника, ограничен-
ного прямыми xy 3 , xy 3 , 2y  
1. –12,91 2. –12,94 
3. –12,95 4. –12,92 
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
L
dyxydxxy 22 cos)12( , где L: часть линии 
xy sin  от )0;0(O  до 1;2A  
1. 
3
1
 2. 
3
4
 
3. 
3
7
 4. 
3
2
 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
dlyxzz 222 22 , где L – дуга кривой 
ttx cos ; tty sin ; tz  )20( t  
1. 429,2 2. 429,1 
3. 429,7 4. 429,3 
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути 
интегрирования 
L
dyyxxdxxyxy 222 656cos5  
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
dyxxyydxyxxy 2222 2532 , где L – граница 
области 3;4),(: 22 xyxyxyxD , пробегаемая в 
положительном направлении 
1. –0,645 2. –0,635 
3. –0,655 4. –0,675 
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(
22 2
S
dszyx , где s – конечная часть поверхности 
2242 yxz , отсеченная плоскостью 0z  
1. 23,81 2. 23,72 
3. 23,79 4. 23,84 
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
dxdyz2  
 – внешняя сторона поверхности эллипсоида 
22 222 zyx  
1. 4 2. 0 
3. 3 4. 5 
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения 
функции 2zyxMu  в точке 4;1;00M  
 
1. 24 2. 22 
 
3. 26 4. 20 
  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного по-
ля kzxjzyixMa 2  в точке 2;0;30M  
1. 10 2. 14 
3. 8 4. 12 
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, 
потенциальным или гармоническим: 
kyzxyjxyzyiyxMa 2222  
 
1. потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 
 
 53 
ВАРИАНТ 16 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
L
dly)41( , где L – часть линии 6
6
1
tx ; 4
4
1
ty  
4 51 t  
1. 10,23 2. 10,21 
3. 10,25 4. 10,24 
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
L
dyxydxyxx 22233 , где L – дуга линии 
)2ln(xy  от точки )0;3(A  до точки )3ln;5(B  
1. 368,2 2. 368,4 
3. 368,3 4. 368,7 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
dzyxdyzxdxx )()(2 , где L – отрезок прямой, со-
единяющей точки )0;0;0(A  и )1;1;1(B  
1. 57  2. 38  
3. 37  4. 58  
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути 
интегрирования 
dzzyxyzx
dyyzzxyxdxxyzxyz
L
32
2322232
10712
1452715186
 
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
y dyyxxdxyxx 2222 2e3sin
2
, где L – граница 
области 0;1;),(: 2 xyyxyxD , пробегаемая в поло-
жительном направлении 
1. 1,8 2. 1,7 
3. 1,6 4. 1,5 
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(
22
S
dszyx , где s – полусфера 221 zyx  
1. 37  2. 34  
3. 38  4. 9  
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
dxdyzxdxdzyzdydzxy  
 – внутренняя сторона замкнутой поверхности, образо-
ванной конусом 222 zyx  и плоскостью 1x  
1. 4  2. 3  
3. 2  4.   
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения 
функции 2yzxMu  в точке 2;2;20M  
 
1. 214  2.  212  
 
3. 216  4. 210  
  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного по-
ля kxjyziyxMa 22  в точке 4;0;10M  
1. 4 2. 1 
3. 2 4. 3 
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, 
потенциальным или гармоническим: 
kxyjyxzixyzMa 22  
 
1. потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 54 
 
ВАРИАНТ 17 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
L
ydl , где L – часть параболы xy 2 , находящаяся в 
верхней полуплоскости )10( x  
1. 2,447 2. 2,438 
3. 2,431 4. 2,432 
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
dyxdxy
L
22 , где L – дуга эллипса tx cos3 ; ty sin ; 
)0( t  
1. –3 2. –5 
3. – 4 4. –6 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
xydzdyxdxzy 2 , где L: дуга кривой tx ; 2ty ; 
3tz   )10( t  
1. 1,583 2. 1,573 
3. 1,591 4. 1,585 
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути 
интегрирования 
L
dzzyxdyzxdxzxyx 23322 9432124  
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
x dyxxyydxxyyx 3
2
1
sine 22 , где L – гра-
ница области 0;2;)1(),(: 2 yyxxyyxD , 
пробегаемая в положительном направлении 
1. 7,727 2. 7,817 
3. 7,712 4. 7,812 
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(
)(
S
dszxy , где s – часть поверхности 29 zy , от-
сеченной плоскостями 0x , 2x  
1. 34 2. 35 
3. 38 4. 36 
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
zdxdyydxdzxdydz 24  
 – внешняя сторона поверхности сферы 4222 zyx  
1. 
3
163
 2.  
3
152
 
3. 
3
155
 4.  
3
160
 
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения 
функции xyzyxMu 22  в точке 1;0;10M  
1. 2  2. 3  
 
3. 6  4. 5  
  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного по-
ля kyzjxixyMa  в точке 2;2;20M  
1. 17  2. 13  
3. 15  4. 11  
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, 
потенциальным или гармоническим: 
kzyjxyizxMa 2222 3  
 
1. потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 
 55 
ВАРИАНТ 18 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
L
dlxy 2161 , где L – часть линии tx cos ; ty 2cos , 
для которой 20 t  
1. 
13
12
 2. 
15
11
 
3. 
15
13
 4. 
13
14
 
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
L
dyyxdxyx )4(2 2 , где L – часть линии 
542 xxy  от )5;0(A  до )1;2(B  
1. 
3
71
 2. 
3
80
 
4. 
3
73
 4. 
3
70
 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
dl
zx
y
3
, где L – часть линии tx ; 22ty ; 33tz   
20 t  
1. 
2
1
 2. 
2
3
 
3. 
2
1
 4. 
2
5
 
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути инте-
грирования 
L
dzyxzdyzxydxzyx 222222  
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
x dyyxyxxdxxyyx 23222 5
3
1
e , где L – гра-
ница области 2;2;),(: xxyxyyxD , пробегае-
мая в положительном направлении 
1. –16 2. –15 
3. –11 4. –21 
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(
222 53
S
dszyx , где s – часть поверхности 
22 zxy , отсеченной плоскостями 0y , 2y  
1. 253  2. 252  
3. 254  4. 250  
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
dxdzzydxdydydzx 22  
 – часть поверхности параболоида zyx 422 , нор-
мальный вектор которой образует острый угол с ортом k , отсе-
каемая плоскостью 0z  
1. 0 2.  1 
3. 2 4.  3 
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения функ-
ции 222 zyxMu  в точке 1;2;10M  
1. 64  2. 6  
 
3. 62  4. 63  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля 
kyzjyixzMa  в точке 4;1;00M  
1. 4 2. 3 
3. 2 4. 1 
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, потен-
циальным или гармоническим: 
kzjyzyixyzMa 12  
 
1. потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 
 56 
ВАРИАНТ 19 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
L
dlyx 322 , где L – линия 24 xy  между точками 
)0;2(A и )2;0(B  
1. 67  2. 65  
3. 64  4. 60  
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
L
dyyxdxyx )2(2 2 , где L – часть линии 
322 xxy  между точками )2;1(A  и )3;0(B  
1. 4,83 2. 4,71 
3. 4,87 4. 4,79 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
xdzzdyydx , где L – окружность tx cosαcos3 ; 
tty sincos3 ; αsinz  (α – константа) 
1. cos6  
2. αcos3  
3. cos8  
4. cos9  
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути инте-
грирования 
L
dz
z
xy
dy
y
x
z
x
dx
z
y
y 22
1
1  
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
dyxyxydxyyxx 2222 2sin3sin , где L – гра-
ница области 1;2),(: 2 yxxyyxD , пробегаемая в 
положительном направлении 
1. –12,24 2. –13,25 
3. –11,15 4. –11,25 
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(
222222 32
S
dszyzxyx , где s – часть поверхности 
223 yxz , заключенной между плоскостями 1z , 
2z  
1. 360  2. 362  
3. 363  4. 364  
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
dxdyzdxdzydydzx 222  
 – внешняя сторона поверхности сферы 16222 zyx , 
лежащая в первом октанте 
1. 96  2.  94  
3. 90  4.  92  
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения функции 
2e zyMu xy  в точке 1;1;00M  
1. 2  2. 5  
 
3. 6  4. 3  
  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля 
kxjzyxiyxMa  в точке 3;1;40M  
1. 34  2. 32  
3. 31  4. 33  
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, потен-
циальным или гармоническим: 
kzjxyiyxMa 2232  
 
1. потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 
 57 
ВАРИАНТ 20 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
L
ydlx , где L: 21;ch3;sh3),( ttytxyx  
1. 609,5 2. 610,1 
3. 610,2 4. 609,3 
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
L
dyyxdxyx )2(3 22 , где L – часть линии 2e
x
y  от 
)1;0(A  до e);2(B  
1. 9,729 2. 9,718 
3. 9,691 4. 9,698 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
dlz 2 , где L: ttx cos   tty sin   tz 3   )01( t  
1. 0,719 2. 0,715 
3. 0,629 4. 0,691 
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути 
интегрирования 
L
dy
yx
yx
dx
yx
yx
22
2
22
2
1
2
3
1
2
 
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
dyyxdxy )433()44( , где L – контур треугольни-
ка, образованного прямыми: 0x ; 0y ; 632 yx  
1. – 4 2. –5 
3. –2 4. –3 
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(
222 243
S
dszyx , где s – часть сферы 
226 yxz  )0(z  
1. 70  2. 69  
3. 71  4. 72  
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
xydxdzxzdydzyzdxdy  
 – верхняя часть плоскости 1zyx , отсеченной ко-
ординатными плоскостями 
1. 22  2. 23  
3. 24  4. 25  
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения 
функции 222ln zyxMu  в точке 4;1;10M  
1. 
3
7
 2.  
3
2
 
 
3. 
3
11
 4. 
3
5
 
  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного по-
ля kyjxziyxMa  в точке 0;1;40M  
1. 3  2. 7  
3.  5  4. 11  
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, 
потенциальным или гармоническим: 
kzjyxiyzMa  
 
1. потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 
 58 
 
ВАРИАНТ 21 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода 
L
dlyyxx 22 32 , где L – периметр треугольника, огра-
ниченного прямыми 0632 yx , 0x , 0y  
1. 47,7 2. 48,7 
3. 51,2 4. 50,4 
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
L
dyxyxdxyxy 22 22 , 
где L: 10;2),( yyxyx  
1. 5 2. 8 
3. 6 4. 4 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
dlyx 2 , 
где L: ttx 23 , tty 23 , 2324 tz , )10( t  
1. 2,241 2. 2,195 
3. 2,182 4. 2,204 
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути ин-
тегрирования 
L
dyyyx
yx
dxxyx
yx
4sinsin
1
3coscos
1 2  
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
dyyxdxyx 2332  
L – граница области 162),( 22 yxyx , пробегаемая в 
положительном направлении 
1. 37  
2. 36  
3. 34  
4. 310  
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(
342
S
dsyxz ; где s – часть плоскости 
11346 zyx , для которой 0x ; 0y ; 0z  
1. 615  2. 613  
3. 612  4. 614  
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
dxdyzyx 222 355  
 – внешняя сторона части поверхности 22 yxz , от-
сеченная  плоскостями 0z  и 1z  
1. 2               2.   
3. 4  4.  3  
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения 
функции 22 zzyxMu  в точке 1;4;20M  
 
1.  5 2.  6 
 
3.  4 4.  7 
  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля 
kxyzjzizyMa 2  в точке 1;0;30M  
1. 3  2.  32  
3.  33  4.  34  
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, по-
тенциальным или гармоническим: 
kyxjzxizyMa  
 
1. потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 
 
 59 
 
ВАРИАНТ 22 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
L
dlyx 22 , где L – линия 22 xxy  между точками 
)1;1(A  и )0;2(B  
1. 5,201 2. 5,137 
3. 5,142 4. 5,149 
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго  рода 
L
dy
y
x
dxyx
1
22 , где L – часть линии 
12
1
x
x
y  
между )0;1(A  и 25;41B  
1. –0,911 2. –0,921 
3. –0,917 4. –0,924 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
xdzzdyydx , где L – виток винтовой линии tx cos2   
ty sin2   tz 4 , пробегаемый в направлении возрастания 
параметра t  
1. 7  2. 4  
3. 6  4. 5  
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути ин-
тегрирования 
L
dy
y
xy
dx
yx
yx
2
 
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
y dyyxdxxyx 32222 e34233sin , 
где L – граница области 
0;0;02;01),(: yxyxyxyxD , 
пробегаемая в положительном направлении 
1. – 4,3 2. – 4,4 
3. – 4,9 4. – 4,8 
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(
222222 324
S
dszyzxyx , где s – часть поверхности 
223 yxz , заключенной между плоскостями 1z , 
3z  
1. 
3
2910
 2. 
3
2814
 
3. 
3
2917
 4. 
3
2912
 
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода dxdzy2  
 – полусфера 224 zxy , внешняя сторона  
1.  6              2.  5  
3.  8  4.  7  
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения 
функции zxyMu 2  в точке 1;2;10M  
1. 33  2.  32  
 
3. 31  4. 34  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля 
kzyxjziyzMa 2  в точке 0;3;10M  
1. 0 2. 3 
3. 1 4. 2 
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, по-
тенциальным или гармоническим: 
kxyzjxyiyxMa 223 22  
1. потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 
 60 
ВАРИАНТ 23 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
L
dlyx 22 , где L – линия 22 yyx  между )1;1(A  и 
)2;0(B  
1. 23  2. 22  
3. 2  4. 24  
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
L
dyyxdxyxx 222 32 , где L – часть линии 
1
25
2
2 yx  от )0;1(A  до )5;0(B  
1. –117,9 2. –119,9 
3. –109,9 4. –118,9 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
dlx2 , где L: tx cos3   ty sin3   tz 6   )20( t  
1. 527  2. 526  
3. 524  4. 520  
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути ин-
тегрирования 
L
yy
dy
x
dx
x
x
1
1
e
1
e12
222
 
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
y dyyxxdxyxx 2222 2e32sin
2
, 
где L – граница области 
1;0;1;1),(: xxxyxyyxD , 
пробегаемая в положительном направлении 
1. 4,169 2. 4,161 
3. 4,167 4. 4,159 
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)( 4321S zyx
ds
, где s – часть плоскости 1zyx , 
расположенной в первом октанте 
1. 0,201 2. 0,219 
3. 0,304 4. 0,211 
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
dxdyzy22  
 – часть поверхности гиперболоида 22 yxz , нормаль-
ный вектор n  которой образует тупой угол с ортом k , отсе-
каемая плоскостью 2z  
1. 3                   2.  2 
3. 0 4.  1 
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения 
функции zyxMu 2  в точке 1;2;20M  
1. 6 2. 7 
 
3. 8 4. 9 
  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля 
kzjxzizMa 22  в точке 1;2;10M  
1. 7  2. 6  
3. 2  4. 5  
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, по-
тенциальным или гармоническим: 
kzjyxixyMa 236 2  
1. потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 61 
 
ВАРИАНТ 24 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
L
ydlx , где L – часть окружности sin2 , для которой 
20  
1. 3 2. 4 
3. 1 4. 2 
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
L
dyxydxyx 2)( , где L – часть линии 23 yx  от 
)0;3(M  до 3;0N  
1. –2,77 2. –2,75 
3. –2,79 4. –2,73 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
dzzyydydxx2 , где L – отрезок прямой, соединяю-
щий точки 3;0;11M  и 8;4;62M  
1. 
3
55
 2. 
3
54
 
3. 
3
50
 4. 
3
53
 
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути 
интегрирования 
L
dyyxyxdxxxyyx sinsincos2cossin2 2  
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
dyyxydxxyx 223arctg)2(ln , 
где L – граница области xyxyyxD ;2),(: 2 , про-
бегаемая в положительном направлении 
1. – 47,5 2. – 49,5 
3. – 46,5 4. – 44,5 
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(
22 423
S
dszyx , где s – часть поверхности 
zyx 24 22 , отсеченная плоскостью 0z  
1. 143,01 2. 143,03 
3. 143,05 4. 143,02 
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
122 yx
dxdy
 
 – часть поверхности гиперболоида 1222 zyx , 
нормальный вектор n  которой образует тупой угол с ортом 
k , отсекаемая плоскостями 0z , 3z  
1.  3         2.  32  
3. 33  4.  34  
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения 
функции 22 yzxMu  в точке 2;1;10M  
1. 21  2.  23  
 
3. 20  4. 24  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного по-
ля kxyjzxixyMa  в точке 1;0;00M  
1. 5  2. 7  
3. 11  4. 6  
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, 
потенциальным или гармоническим: 
kyzjxyxiyzxMa 22  
1.  потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 62 
 
ВАРИАНТ 25 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
L
dlyx 2
1
222 , где L – линия 21 yx  между точками 
)1;0(A  и 23;21B  
1. 
3
5
 2. 
7
5
 
3. 
6
5
 4. 
2
5
 
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
L
dyxydxyx 2)2( , где L – часть линии 2)3(xy  от 
)9;6(M  до )0;3(N  
1. –193,5 2. –191,5 
3. –190,5 4. –194,5 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
dzzyxdyzxdxzxyx 23222 9432124 , 
где L – отрезок прямой между точками )2;1;1(1M  и 
1;0;12M  
1. 19,27 2. 19,25 
3. 18,25 4. 19,05 
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути интегри-
рования 
L
dzzyxdyzyxdxzyx 2223232 322  
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
dyxdxy 22 , где L – 
граница области xyxyxD sin0,0),(: , пробегае-
мая в положительном направлении 
1. 5,1  2. 4,1  
3. 6,1  4. 7,1  
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(
222 42
S
dszyx , где s – часть плоскости 44 zx , 
вырезанная плоскостями 3y ; 0y ; 0x ; 0z  
1. 1772  2. 1773  
3. 1771  4. 1770  
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
zdxdydxdzydydzx 22  
 – часть поверхности конуса 222 yxz , нормальный вектор 
n  которой образует острый угол с ортом k , отсекаемая плоско-
стями 0z  и 3z  
1.  18           2.  17  
3.  16  4.  15  
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения функции 
22 3 zyxMu  в точке 1;1;10M  
1. 11  2.  112  
 
3.  113  4.  114  
  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля 
kzxjyxixzMa 2  в точке 2;1;10M  
1.  20  2. 22  
3.  24  4. 26  
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, потенци-
альным или гармоническим: 
kxzjxyzizyMa 3  
1.  потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 63 
 
ВАРИАНТ 26 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
L
dlxy 8332 , где L – граница области 
22,240),(: 2 yyxyxD  
1. 98,7 2. 98,5 
3. 98,4 4. 98,8 
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
L
dyyxdxyx 2222 , где L – часть линии 26 yx  
от 6;0A  до 6;0B  
1. 23,57 2. 23,54 
3. 23,52 4. 23,59 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
zdzyxdyzxyxxdxzyyyx 222 2222 , 
где L – отрезок прямой от точки )0;0;0(O  до точки )1;1;1(B  
1. 3 2. 4 
3. 5 4. 1 
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути инте-
грирования 
L
dy
x
y
x
y
dx
x
y
x
y
cossincos1
2
 
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
dyyxdxyx
2222 , где L – контур треугольника 
АВС, пробегаемая в положительном направлении и )1;1(A ; 
)2;2(B ; )3;1(C  
1. 
3
5
 2. 
3
1
 
3. 
3
4
 4. 
3
7
 
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(
22 32
S
dszyxx , где s – часть плоскости 33 yx , 
вырезанная плоскостями 2z ; 0z ; 0x ; 0y  
1. 5,425 2. 5,375 
3. 5,475 4. 5,525 
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
zdxdydxdzzdydzx 22  
 – часть поверхности параболоида 223 yxz , нор-
мальный вектор n  которой образует острый угол с ортом k  
1. 
2
5
                2.  
2
3
 
3. 
2
9
  4. 
2
7
 
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения функ-
ции 22 zyxMu  в точке 1;2;10M  
1. 17  2.  13  
 
3. 11  4. 15  
  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля 
kzyjxyiyxMa 2  в точке 1;2;20M  
1.  24  2. 22  
3.  21  4. 20  
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, по-
тенциальным или гармоническим: 
kzjyxxiyxxyMa 22 3443  
1. потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 
 64 
 
ВАРИАНТ 27 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
L
dlyx )( , где L – правый листок лемнискаты 
2cos42  
1. 23  2. 25  
3. 22  4. 24  
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
L
xdydxy)6( , где L – арка циклоиды )sin(3 ttx  
)cos1(3 ty   )20( t  
1. 16  2. 18  
3. 20  4. 14  
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
dzxzdyydxzy 222 2 , где L: кривая tx   2ty   
3tz   )10( t , 
пробегаемая в направлении параметра t 
1. 
25
1
 2. 
15
1
 
3. 
35
1
 4. 
20
1
 
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути инте-
грирования 
L
yxyx dyyxdxyyx 1ee2ee  
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
dyxxyxdxyyxx 2253 222 , где L – граница 
области xxyxxyyxD 2;2),(: 22 , пробегаемая 
в положительном направлении 
1. 
3
40
 2. 
3
35
 
3. 
7
40
 4. 
7
35
 
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(
223
S
dszzyyx , где s – часть плоскости 623 zy , 
вырезанная плоскостями 2x ; 0x ; 0y ; 0z  
1. 5,2 2. 4,4 
3. 5,1 4. 4,5 
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
dxdyydxdzxyzdydz 22  
 – часть поверхности конуса 222 yzx , нормальный 
вектор n  которой образует тупой угол с j  ортом, отсекаемая 
плоскостями 0y , 1y  
1. 
3
                 2.  
2
 
3. 
4
 4.   
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения функ-
ции zyxMu 2  в точке 1;2;10M  
1. 11  2. 14   
 
3.  13  4. 12  
  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля 
kxyjzxixyMa  в точке 1;0;00M  
1.  24  2. 23  
3.  22  4. 21  
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, по-
тенциальным или гармоническим: 
kyzjxyxiyzxMa 22  
1.  потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 65 
 
ВАРИАНТ 28 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
L
dlyx 22 32 , где L – часть линии tx 2cos , 
tty cossin , для которой 
2
0 t  
1. 
16
3
 2. 
16
1
 
3. 
16
5
 4. 
16
4
 
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
L
dyxydxyx 22)( , где L – часть линии 224 yx  
от )0;4(A  до 2;0B  
1. –9,91 2. –9,82 
3. –9,94 4. –9,89 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L yx
dlz
22
2
, где L – первый виток винтовой линии tx cos , 
ty sin , tz , )20( t  
1. 115,8 2. 116,9 
3. 116,1 4. 115,9 
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути инте-
грирования 
L
dzyzxdyzyxdxzyx 3222 58156412  
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
dyyxxdxyxyx 3
2
1
2 223 , где L – граница об-
ласти 0;0;2;1),(: xyxyxyyxD , 
пробегаемая в положительном направлении 
1. 
6
5
 2. 
6
1
 
3. 
6
7
 4. 
6
11
 
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(
)232(
S
dszyx , где s – часть плоскости 22 zyx   
)0,0,0( zyx   
1. –6,42 2. –6,53 
3. –6,59 4. –6,49 
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
dxdyydxdzydydzx 222 2  
 – часть поверхности параболоида  22 yxz , нормаль-
ный вектор n  которой образует острый угол с ортом k , отсе-
каемая плоскостью 1z  
1.  
2
5
           2.  
2
 
3.   
2
7
 4.  
2
3
 
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения функ-
ции 22 yzxzMu  в точке 1;3;10M  
1. 21  2. 22  
 
3. 23  4. 24  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного поля 
kzjyizyMa 2  в точке 1;2;10M  
1. 6  2. 5  
3. 3  4. 2  
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, по-
тенциальным или гармоническим: 
kyzxyxzjxyxzyzixzyzxyMa  
1.  потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 66 
 
ВАРИАНТ 29 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
L
dlyx 22 , где L – окружность 16)4( 22 yx  
1. 15  2. 13  
3. 16  4. 17  
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
L
xdyydx sinsin , где L – отрезок прямой между 
);0(A  и )0;(B  
1. 0 2. 1 
3. 5 4. 2 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L zyx
dl
222
, где L – первый виток винтовой линии 
tx cos6 , ty sin6 , tz  
1. 0,81 2. 0,82 
3. 0,83 4. 0,84 
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути 
интегрирования 
L
xdyyxydxyx )cos1()cos1(  
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
dyyxyxdxyxxx 22224
2
1
51032 , 
где L – граница области 
0;0;3;1),(: xyyxyxyxD , 
пробегаемая в положительном направлении 
1. 
3
14
 2. 
3
20
 
4. 
3
17
 4. 
3
25
 
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(
32
S
dszxzyxy , где s – часть поверхности 
4222 zyx , расположенная в первом октанте 
1. 
3
20
 2. 
3
17
 
3. 
3
19
 4. 
3
16
 
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
zdxdyydxdzxdydz  
 – верхняя часть поверхности  062 zyx , распо-
ложенная в первом октанте 
1. 51                2. 53 
3. 52 4. 54  
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения 
функции 222 xyzzxyyzxMu  в точке 1;1;10M  
 
1. 3  2. 32   
 
3. 33  4. 34  
  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного 
поля kxzjxiyxMa  в точке 2;2;00M  
1. 4 2. 3 
3. 2 4. 1 
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, 
потенциальным или гармоническим: 
kzyxxyjzyxxzizyxyzMa 222  
1. потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 67 
 
ВАРИАНТ 30 
№ 
п/п 
Условие Варианты ответа 
1 
Вычислить криволинейный интеграл первого рода  
L
dlyx 22 , где L – кривая tttx sincos   
ttty cossin   )20( t  
1. 409,38 2. 409,21 
3. 409,42 4. 409,32 
2 
Вычислить криволинейный интеграл второго рода 
L
dyyxdxyx 2)2()2sin2( , где L – ломаная ОАВ: 
)0;0(O , )0;1(A , )3;2(B  
1. –71 2. –65 
3. –69 4. –73 
3 
Вычислить интеграл по пространственной кривой 
L
dlzx )( , где L – дуга кривой tx , 
2
3 2t
y , 3tz  
)10( t  
1. 2,615 2. 2,701 
3. 2,792 4. 2,725 
4 
Проверить, зависит ли криволинейный интеграл от пути 
интегрирования 
L
dyy
yx
x
dxx
yx
y
6
1
2
1 2222
 
1. зависит 
2. не зависит 
5 
Применив формулу Грина, вычислить 
L
dyyxdxyx 22 32)3( , где L – эллипс: 1
96
22 yx
  
(обход контура – положительный) 
1. 119,4 2. 119,3 
3. 119,1 4. 119,7 
6 
Вычислить поверхностный интеграл первого рода 
)(
222 23
S
dszyx , где s – часть поверхности 
222 yx , расположенная между плоскостями 0z , 
2z  
1. 7  2. 9  
3. 11  4. 5  
7 
Вычислить поверхностный интеграл второго рода 
dxdyzxdydz 3  
 – внешняя сторона сферы  1222 zyx  
1. 
15
31
            2. 
15
34
 
3. 
15
32
 4. 
15
35
 
8 
Найти величину и направление наибольшего изменения 
функции yzxzxyMu ln  в точке 1;1;00M  
1. 2  2. 3  
 
3. 7  4. 6  
  
9 
Найти наибольшую плотность циркуляции векторного 
поля kxyjyizxMa  в точке 0;1;10M  
1. 0 2. 1 
3. 2 4. 3 
10 
Выяснить, является ли векторное поле соленоидальным, 
потенциальным или гармоническим: 
kyzxjyxixyzxMa 2332  
1. потенциальное 
2. соленоидальное  
3. гармоническое 
4. не является никаким 
 68 
Учебное издание 
 
 
КОНДРАТЬЕВА  Наталья Анатольевна 
ВИШНЕВСКАЯ  Ольга Геннадьевна 
ПРИХАЧ  Наталья Константиновна 
 
 
МАТЕМАТИКА 
 
Методическое пособие 
для текущего контроля знаний студентов 
общетехнических специальностей 
 
В 4 частях 
 
Ч а с т ь  3  
 
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ. 
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, 
ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ. 
ТЕОРИЯ ПОЛЯ 
 
 
Редактор И.Ю. Никитенко 
Подписано в печать 03.01.2011. 
Формат 60 841/8. Бумага офсетная. 
Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс. 
Усл. печ. л. 8,02. Уч.-изд. л. 3,14. Тираж 200. Заказ 584. 
Издатель и полиграфическое исполнение: 
Белорусский национальный технический университет. 
ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. 
Проспект Независимости, 65.  220013, Минск.