Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика № 1» СБОРНИК ТЕСТОВ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ Минск БИТУ 2013 Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика № 1» СБОРНИК ТЕСТОВ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ студентов I курса инженерно-технических специальностей вузов М инск БИТУ 2013 \ Г Т \ Ъ Г с 1 Г Р іП к Q -\ j /J,IV ^ Б Б К 12Х Я 7 C 2 3 С о став и тел и ! ^.Я. Андриянчик, E.A. Бричикова, O.P. Габасова, E.A. Герасимова, О.Л. Зубко, И.Н. Катковская, И.М. Мартыненко, Г.Н. Рейзина Р ецензенты : В.Н. Русак, ГА. Романюк Данное издание содержит тестовые задания по высшей математике, которая излагается студентам первого курса инженерно-технических специаль­ ностей вузов. М ожет быть использовано для проведения тематических контролей на практических занятиях, итоговых контрольных работ. технический университет, 2013 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие.................................................................................................................4 Тест «Линейная алгебра»............................................................................................5 Тест «Векторы. Аналитическая геометрия»........................................................... 25 Тест «Последовательность. Предел последовательности»................................... 35 Тест «Функции. Предел функции».......................................................................... 45 Тест «Непрерывность и дифференцируемость функции одной переменной» ....55 Тест «Приложения дифференциального исчисления функции одной переменной»................................................................................... 65 Тест «Дифференцирование функций нескольких переменных».......................... 75 Тест «Неопределенный интеграл»................. 85 Тест «Определенный интеграл. Приложение определенного интеграла».........105 Тест «Кратные интегралы»..................................................................................... 115 Тест «Криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля» . 125 Тест «Дифференциальные уравнения»..... ............................................................ 135 Образцы решения вариантов тестов...................................................................... 145 п р е д и с л о в и е ; в технических вузах наблюдается тенденция уменьшения количества учеб­ ных часов, отведенных на изучение и контроль знаний по фундаментальным дисциплинам, к которым в первую очередь относится математика. В сложив­ шийся ситуации целесообразно уменьшить время и трудозатраты преподавате­ ля и студента на организацию самостоятельной работы обучаемых, которая протекает в процессе обучения, как под руководством преподавателя, так и без его непосредственного участия. Настояшее пособие предназначено для организации самостоятельной работы студентов и оперативного контроля усвоения изучаемого материала. Пособие содержит варианты тестовых заданий по всем разделам математики, изучаемых студентами первого курса инженерно-технических специальностей вузов. Наличие подробного решения одного из вариантов теста каждой темы окажет незаменимую помощь студентам в организации самостоятельного изучения ма­ териала. Использование тестовой системы повышает возможности преподавателя оперативно оценить правильность решения заданий, так как имеется таблица правильных ответов, объективно оценить успехи каждого студента, выявить пробелы в знаниях отдельных студентов и принять конкретные меры по их устранению. ТЕСТ «л и н е й н а я а л г е б р а » Вариант 1 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1-4 Для заданных матриц вьшолнить задания 1-4: А = 5 1 4 -2 -3 О ; в = (1 -1 Г '9 -3 ' "2 0' 2 3 0 ; С = ; D = -1 1 .2 7Ь -2 - h / . 4 3. Запишите, какие из следующих операций определены: А+В; А+С; А + Р ^ С + Р ^ Р + А ; А В ;В А ;А -С ;С А ;Р С ;В Р ; A ^ B ^ ? Вьшолнить, если возможно, действия: 2A-D^ 1) другой ответ; 2) ^ 8 3 4 ^ , - 4 -7 -3 f \2 1 3 ' -4 -6 3, 8 1 О -2 -4 ; 4) 8 3 4 -5 -5 О А \ 1) 3) 25 -1 16^ (25 1 16^ ; 2) о 4 9 0 25 1 16^ ^-4 - 9 о 5) другой ответ. ; 4) '29 10 16^ 4 - 9 0 B D . 1) 4) 7 1 v2 -3 -5 5^ 4^ 0"| [7 1 0 ^ ’ ' 2 3 -5 ; 3) 7 2 1 3 о -5 1 8 1 2 ; 5) другой ответ. 5. Записать разложение определи­ теля по элементам 3-го столбца и затем вычислить его: 1 8 2 - 3 3 - 2 0 4 5 - 3 7 - 1 3 2 0 2 1)220; 2)140; 3)180; 4)120; 5) другой ответ. НаКТИ rCing А К уКЗЗаТЬ КаКОИ- нибудь базисный минор; 1 о 3 n^ А= 1 -1 2 3 0 3 6 1— 1 -Л -3 0 4 -4 2 1 -2 -8 -2 2 14 1. 04 о. 'J4 'J. /14 /1. «4 Сх; 1, ту -т, -'У Решить систему АХ = В матричным способом. В ответе дополнительно вьшисать А ; 1)А-1 _ "1 -2 5^ Г 1 А = 3 0 6 ;В = 0 И 3 4у 1-1 ]_ 3 2) А - ' = i 3 3)A- ^ = - 3 -18 23 _1 'IV М 8 -23 -12 -18 12 V 9 ^-18 4) А -1 _ 12 9 Л Г -9 л -16 -11 , X = 34/3 П /Z у-У U у V -о J -12 9^ -9 л -16 11 х = -34/3 ; -9 6 ; V -6 у 23 - 12^ ^ - 2^ 1 -16 9 , X = 1 5 -11 6 у И J 23 - 12^ Г -2 '' -16 _с , X = -1 9 11 6 у 5) другой ответ. 8 . Решить систему методом Крамера, выписав дополнительно д : 2xj -%2 + 2^3 = 8, 4х; + Xj + 4хз = 22, Xj + ^ 2 + 2хз =11. 1)Х= 4)Х= ^5) 2 ; 2)Х = 2 ; 3)Х = ^4^ 2 ^Оу Го^ U ; l l j v5; ; 5) другой ответ. Исследовать систему на совместимость. В случае совместимости найти общее ре­ шение; Xj + 2x2 + 4хз = 2, 5х, + Х2 + 2Xj + 9X4 =19, Зх, - Xj + Хз + 2X4 = 9. 10. Для данной однородной системы найти фзшдаментальную систему решений; Ч - V I V П V С\~г л 2^ — •^ •^ 3 — *” Д-2 *^4 — 2xj + 2X2 + Зхз - Х4 = 0. Вариант 2 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1-4 Для заданных матриц вьшолнить задания 1-4 / . Г 1 О -1^ ^ - 1 3 О ^ А - 4 2 ; в - ■у 3 2 1 -2 1 -3 ;С = Г-11 4' ;D = У 3 1 0 -2 -1 1 Запишите, какие из следующих операций определены: А+В; А+С; А + Р ^ С + Р ^ ;Р + А ; А -В ;В -А ; А -С ;С -А ;Р -С ;В Р ; A ^ B ^ ? Выполнить, если возможно, действия: 2 А - Р Д 1) другой ответ; 2) ^1 6 - О 9 2 - 3 3) 7 1 -2 5) '0 1 Г І7 2 -3^ ^ Г-5 ; 4) 'У V у 6 1 " 6 -5 , 3. 1) 3) -1 9 0^ Г 1 ; 2) 16 4 4 -1 9 16 ,4 -4 о ^ Г 1 ; 4) 9 0^ 16 4 4 9' 16 4^ ; 5) другой ответ. 4. В Р . 1) другой ответ; 2) 3 о о -4 2 1 -П -2 -3 Г4 0 ' '2 2 ^ ' 2 0" 3) 8 0 ; 4) 10 2 ; 5) 8 8 1-3 .-3 - ъ .-3 5. 5. Записать разложение определи­ теля по элементам 3-ей строки и затем вычислить его: 3 1 2 3 4 - 1 2 4 1 - 1 1 1 4 - 1 2 5 1)8; 2 )-7 ; 3 )-5 ; 4 )4 ; 5) другой ответ. № ЗАДАНИЯ 6. Найти rang А и указать какой- нибудь базисный минор: А= 3 1 2 4 8 -4 2 4 -5 3 -1 -2 6 0 3 6 1 1 1 2 ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1)1; 2)2; 3 )3 ; 4 )4 ; 5) 5. /. Гешить систему АХ = В матричным способом. В ответе дополнительно выписать А : 1)А-1 _ 23 ПО -7 -11 П 3 2 ' А = 1 3 -1 ;В = 0 .4 1 Зу -7 -2 -9 4 2) А*’ = J. 23 3)А-’ = 4)А-‘ = - J_ 23 1 V ^10 -7 V-11 ^10 1 ■11V 1^0 10 3 -9^ 4 3 ^ -9^ -4 3 -21/23^ У 23 7 V-9 5) другой ответ. -7 -2 10 7 -2 -10 7 -11^ -2 -10 -4 3 , А = А = У 17/23 12/23 ^-19/23^ 11/23 V 14/23 ^-19/23^ -1 1 /2 3 14/23V у ^-21/23^ -1 7 /2 3 12/23 У 8 . Решить систему методом Крамера, выписав дополнительно д : 4xj +%2 +4хз =19, 2х, - Xj + 2xj = 11, Г. -1- Г, -ł- 7 Г- = Ял, . .V2 . — 3^ 1)Х= 4) Х= ^-0 1 v4y ^О^ -1 V5y г П f -1 ; 3)Х = -1 .4 У v O . ; 2)Х= ; 5) другой ответ. 9. Исследовать систему на совместимость. В случае совместимости найти общее ре­ шение: 2х, -г 2хз - 4xj + 2X4 =16, X, -2.Xj +ЗХ3 -Х 4 = 4, Зх, - 2x2 “ 5^ 3 + 2X4 = 7. 10. Для данной однородной системы найти фундаментальную систему решений: 3'Зх, + 2х, - Зх, + X, =0,'■1 2х, - Зх, -f i Ł и 5х, - X, - 2х, - X, 2x4 = о. 0 . Вариант 3 № ЗАДАНРІЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1-4 Для заданных матриц выполнить задания 1-4: ' 2 - 1 5 ' ' 0 -3 2 ' ' - 9 4 ^ ГЗ П А = ; в = 4 1 -1 ; с = ; D = 0 4 ^3 0 -4^ .-2 -1 1 . .11 - ь .-2 - 1 Запишите, какие из следующих операций определены: А+В; А+С; А + Р ^ С + Р ^ Р + А ; А В ;В -А ; А -С ;С -А ;Р -С ;В -Р ; А ^ ,В ^ ? Выполнить, если возможно, действия: 2 A -D 1) другой ответ; 2) ^ 1 -1 1 ^ 3) 5) 4 -2 -3 1 - 2 9 ' 1 -4 -7 ; 4) -1 -3 9 ' \ 4 -4 -7^ ? / ' \ -2 12" І5 -4 -7 . > у 3. А'. 1) невозможно; 2) Г4 1 25^ Г4 -1 2 5 ^ ; 3) 1,9 0 ló J [9 0 - l ó J 4) 4 1 9 О ; 5) другой ответ. 4. B-D. 1) невозможно; 2) у 4) -6 -12 12 7 -8 11 ; 5) ' 0 -3" Г-4 -14" 0 9 ; 3) 14 9 1-4 I 1J 7 0" .-8 - 7 . 14 9 -8 -7 5. Записать разложение опреде­ лителя по элементам 3-ей строки и затем вычислить его: 1)220; 2)200; 3)186; 4)180; 5) другой ответ. 3 2 0 -2 1 -1 2 3 4 5 1 0 -1 2 3 -3 № ЗАДАНИЯ ВАРИАШЫ О iBliJ и в 6. Найти rang А и указать какой- нибудь базисный минор: А= 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5) 5. / 1 z Г\-у 11 1 2 -4 0 1 -3 -2 -1 1 1 1-1 2 -14 2 5 7. Решить систему АХ = В матричным способом. В ответе дополнительно выписать А : 1 \ А -1l ) ż \ rv '- 2 3 4 ) Г П А = 3 -1 -4 ; В - 0 1-1 2 2 ; V-1. 2) А “’ = -8 4 6 -2 2 v5 ^ 6 3 )А - ' = - 0 -1 2 -2 0 5 ^ 1 -7 - 8 ^ -4 - 8^ 4 A = ^ 1 / 2 ^ 1 / 2 V ^7Л ■1 / 2 V U v6; ^ 7 л -3 4) А '‘ = - 2 -2 -8 5) другой ответ. V 1 - V V6 . 2 5 ^ ' 1/2 " 0 -1 , х = - 1 /2 -4 - 7 ; V-1/ 2, 8 . Решить систему методом Крамера, выписав дополнительно в ответ д : Зх, + Xj + Хз - -4 , -ЗХ; + SXj 4- 6X3 = 36, X, - 4 х з - 2 х з = - 1 9 . 1)Х= 4)Х= ^ -2 8 /9 16/3 V О л Г 3 ^ г-3^ ;2)Х= 0 ;3)Х= 3 У V-13; . 2 , v 3 y ; 5) другой ответ. 9. Исследовать систему на совместимость. В случае совместимости найти общее ре- Зх, + 2Хз + 4Хз - 2X4 = 2, шение: s Xj + 5X3 - 6X3 -f- Х4 = -15, 2х, - Зхз + Хз +15X4 = 9. 10. Для данной однородной системы найти фундаментальную систему решений: 5х, - Зхз + 4хз - Х4 = о, <1 Зх, + 2х, - Xj + 3X4 = о, [8х; - Хт + Зхз -I- 2X4 = 0. 10 Вариант 4 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ (3 А - U 1-4 Для заданных матриц вьшолнить задания 1-4: п Г-1 2 4 ) '8 -3^ ^0 -Д 0 ; В = 3 0 -2 ; с - ; D = 3 4-4 V J3 16jU -1 1 J \ 1-5 2J Запишите, какие из следующих операций определены: А+В; А+С; А+Р^; С+Р^; D+Ą; А-В; В-А; А-С; С-А; D-C; B-D; А \ В ^ ? Вьшолнить, если возможно, действия: 2 A - D ^ 1) другой ответ; 2) Гб 1 Р Д -4 12, (6 -3 3 ^ 3 -12 12 3) 5) ; 4) 6 3 -3"| 3 -4 I2 J '6 -3 7 5 -12 12 V- 'У 3. А \ 1) 3) V 9^ ^9 О 4 16 49 О 4 -16 49 1 ^ (9;2) J 1 ^ Г9; 4) ) о 1 ^ 4 16 49 О" 4 16, ; 5) другой ответ. 4. BD. 1) другой ответ; 2) '26 15) '14 13' 16 -3 ; 3) -4 3 . - 7 - 3. .-8 -V '-1 4 17 ' '-1 4 17' 4) 10 -7 ; 5) -10 -7 . - 8 -3 . 1 -8 - 5 . 5. Записать разложение определи­ теля по элементам 4-ого столб­ ца и затем вычислить его: 1)0; 2)1; 3 )-1 ; 4) 3; 5) другой ответ. 2 7 2 1 1 1 -1 0 3 4 0 2 0 5 -1 -3 11 № ЗАДАНИЯ b a fHAH i Ы u 1 в ы и в 6. Найти rang А и указать какой- нибудь базисный минор; А= 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5) 5. V 1 -3 5 о А—Ч 0 -1 1 2 -1 0 2 -2 -4 2 -2 5 1 4 -2 7. Решить систему АХ = В матричным способом. В ответе дополнительно выписать А : 1) л -1 _/-V — Г1 0 3 ' Г 1 А = 3 1 7 ;В = 0 U 1 8, 1- І 2) А'* = - 3) А ‘‘ = - 4 )А " ‘ = 1 f i -3 - з ^ 10 о -3 1 К f i 10 - I ] -3 2 1 u -3 f 1 3 -3 -10 2 3 V 1 -1 1 ^1 --10 - l ] 3 2 -1 , А" = Г 1 ^ 1 л / /1 1 J / Ч V о у Г і/2 ^ -1 , 1/ 2 , Л r 1 ^ , X = -1 3 /4 у V 0 . ^З 3 1 5) другой ответ._______ 1 , 1/ 2 , 8. Решить систему методом Крамера, вьшисав дополнительно в ответ д : + 3xj - 6x3 = -4, Xj + Х2 - Х3 = 2, 4х, -1-X2 -Зхз = -5. 1)Х= 4) Х= ^ О ^ 11/2 7 /2 Л ' 1 ^ ; 2)X = 14/3 ; 3)X = 6 у І 5 / 3 . к ; 5) другой ответ. 9. Исследовать систему на совместимость. В случае совместимости найти обш;ее реше- 5х, + Хз + 2X3 - Х4 = 6, Xj -I- 2хз + 4Хз + 2х ^= 3,ние: Зх, - ЗХз + Xj -Ь Х4 =11. 10. Для данной однородной системы найти ф}тідаментальную систему решений: x^ + Sxj + Х3 - 2X4 = о, 2х, -Зхз - 7хз + Х4 = о, Зх, + 2X3 - 6x3 -Х 4 = 0. 12 Вариант 5 № ЗАДАНРІЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1-4 Для заданных матриц выполнить задания 1-4: А = 5 2 0 -4 1 -3 ; в = 1 1 -3 ' "2 3' 19 4 4 -5 ; с = ; D = -1 1-2 7 -2 1 . \ / .0 4, Запишите, какие из следующих операций определены: А+В; А+С; А + Р ^ С + Р ^ ;Р + А ; А В ;В А; А С ;С -А ;Р -С ;В -Р ; A ^ B ^ ? Выполнить, если возможно, действия: 2 А - Р f 1) другой ответ; 2) ^ 8 3 0 ^ 8 о 3) 5) -11 о 5 11 о V ^ 8 ;4) -J -10 о -10 8 5 0 ' -10 2 -2 о -10 3. 1) 3) 25 4 о 16 -1 9 ; 2) 25 4 о 16 1 9 25 4 0 ^ (15 4^ -16 1 -9 ;4) 16 1 ; 5) другой ответ. 4. В Р . 1) другой ответ; 2) " 3 3 ' '- 8 -17" -2 -15 ; 3) -4 6 6 ; . 5 6 . Г-5 -17" "-3 -7 " 4) -4 -16 ; 5) -9 -15 v5 5 ^ . 5 5 . Записать разложение определителя по элементам 3-его столбца и за­ тем вычислить его: 1)0; 2)10; 3)20; 4)30; 5) другой ответ. 1 -1 0 3 3 2 1 -1 1 2 -1 3 4 0 1 2 13 ^АДАНЙЛ Ь АГИАН1Ы U 1 Ь Ы Ub 6. Найти rang А и указать какой- нибудь базисный минор; А= 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5) 5. Z' О 11 -7 -С—^ С ^ -2 1 -3 -1 -1 1 1 -1 1 -1 U 0 4 4 - 4 ; 7. Решить систему АХ - В матричным способом. В ответе дополнительно вьшисать А "’ : п А J. л.-1 '2 1 “ 0 г п А = 2 -1 1 ;В = 0 vl 0 1 / 1 - 1 4 2)А-* - - - 4 -1 -1 1 л V _ 1 т 1X ^ X 0 -4 -4 Г - 1 1 О ^ 1 3 4 1 -1 -4 > Ук — ^1/2^ I/O 1 / 3)А -1 -1 -1 О -1 3 -4 1 1 -4 , А = , Х = v-ly 1/4 3 /4 у-5 /4 ^ 1 /4 ^ -3 /4 -5 /4 4) А*’ = - - 5) другой ответ. 1 1 ^ ' 1/2 " 3 -1 , А = - 1/2 4 - 4 . V -1 . 8. Решить систему методом Крамера, выписав дополнительно в ответ д : Зх, - 2 x j +4хз =21, 3xj + 4xj - 2xj = 9, 2х, -Х2 -Xj = 10. 1)Х= 4)Х= ^17/3^ 11 \ Гз^ Г 5 ^ ; 2 ) Х = 2 ; 3 ) Х = - 1 у v4; 1 и ; 5) другой ответ. 9. Исследовать систему на совместимость. В случае совместимости найти общее реше- 2х, - Х2 - Xj + 2.Х4 = - 2, 3xj - 4Xj - 2X3 = о,ние: < Зх, + 6x2 + 4xj - 8x4 = 4. 10 . Для данной однородной системы найти фундаментальную систему решений: 2Х] - Х2 + 4Xj + 2X4 = о, 7х, - 5x2 + Зхз - ЗХ4 = о, 5Х( - 4x2 ~ ^ 3 “ 3^4 = 0- 14 Вариант 6 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1-4 / N ГЗ -1 2 ^ ^-3 0 О Для заданных матриц вьшолнить задания 1-4: 4 6 - 2 ; в = 2 1 4 -1 о -1 ; с = ГіЗ 8' -9 4 ; D ^-3 1 ^ о -4 v 2 5 , Запишите, какие из следующих операций определены: А+В; А+С; А + Р ^ С + Р ^ Р + А ; А -В ;В -А ; А -С ;С -А ;Р -С ;В -Р ; A ^ B ^ ? Выполнить, если возможно, действия: 2 A - D ‘ . 1) другой ответ; 2) ^ -7 -4 -2"^ 5 12 -6^ о о ^ 7 16 -9 ^ 0 - 4 0 ^ 7 12 -9 3) 5) V ^ -3 ;4 ) -3 о 5 16 -6 V V 1) 3) 9 0 - 1 16 36 4 -9 о 1 ; 2) о 1 16 36 -4^ 5) другой ответ. ; 4) Д 6 36 4у ^ 9 0 ^ 16 36V B D . 1) другой ответ; 2) 4) Г-5 17^ 2 18 1 -6 ; 5) Г-5 9 ' Г-6 17 ' 2 18 ; 3) 2 22 5 9 -6у \ U -6 . 2 18 1 -6 5. Записать разложение определителя по элементам 4-ой строки и затеям вычислить его: 1)-150; 2 )-100; 3 )-5 0 ; 4 )0 ; 5) другой ответ. 6 2 -10 4 -5 -7 -4 1 2 4 -2 -6 3 0 -5 4 15 J№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 6. Найти rang А и указать какой- нибудь базисный минор: А= 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5) 5. ^ 0 о 11 z -1 1 2 -3 1 1 2 -5 4 1 ^-2 5 1 -5 4; 7. Решить систему АХ = В матрич­ ным способом. В ответе дополни­ тельно вьшисать А “^: ' 3 1 2 ' Г -Л А = -1 0 2 ;В = 0 [ і 2 К 1)А-’ = - 2) А“' = - 13 13 ^-4 -3 V-2 ^-4 3 у2 ^-4 3 )А " ' = — 13 4) А “‘ - - 1 3 V-2 ^-4 13 -3 2 5) другой ответ. V -3 1 5 3 1 - 8 3 1 -5 -3 1 8 2^ 8 1 -2^ -5 2 ^ - 8 1 -2^ 5 1 А = ^-6/13^ -11/13 -3 /1 3V J ^-2/13^ Х = А = А = 8/13 , 1 / 1 3 , ^-6/13^ 11/13 , - 3 /1 3 , ^-2/13^ -8 /1 3 1/13 8. Решить систему методом Крамера, вьшисав дополнительно в ответ д : 2xj -Х 2 -1-X3 = 12, Xj + 2X2 •+ 4xj = 6, 5Х( + Х2 + 2Xj = 3. ^ 1 ^ "30/7" 1)Х= -2 0 /3 ; 2)Х = -7 ; 3 )Х - 6 /7 1 2 /3 , "4 2 /1 Г І 5 , 1 0 J 4)Х = 0 ; 5) другой ответ. 6/11 9. Исследовать систему на совместимость. В случае совместимости найти общее ре- X, + 5X2 + -^ 3 “ 2X4 = 8, Зх, + 4x2 + 2х, + 3X4 = -9, 2xj - Х2 шение: < ■Зхз -1-X4 = 27. 10. Для данной однородной системы найти фундаментальную систему решений: 5Xj + Xj - 6X3 + 4X4 = о, 4xj + ЗХ2 - 7хз ч- ЗХ4 = О, Xj - 2xj + Х3 + Х4 = 0 . 16 Вариант 7 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1-4 Для заданных матриц вьшолнить задания 1-4: . S Г-3 1 4^ ^ 5 - 1 0^ А = 2 3 - 4 ; в 2 - 1 2 о 3 1 ; С Г-2 4 ' 19 3, ' 2 -3" р = 1 0 .-4 - 1 Запишите, какие из следующих операций определены: А+В; А+С; A +D ^;C +D ^;D +A ; А -В ;В -А ; А С ;С -А ;Р -С ;В -Р ; A ^ B ^ ? Вьшолнить, если возможно, действия: 2 А - Р 1) другой ответ; 2) ^8 -3 -4^ 1 V ‘ 3) 5) V' 8^ 1 6 - I j -1 - 4 ' 6 -9, ;4) 8^ 7 5 '8 -3 J 6 4^ -9. 4^ - П 3. A^ 1) 3) Г25 1 П Г25 1 O'" ; 2) 4 9 16) '25 -1 о 9 -16 ;4) И 9 16; 2^5 О 4 9 5) другой ответ. В Р . 1) другой ответ; 2) 11 13 -5 8 -4 -4 ; 3) ^-13 5 ^ -5 4 V-4 -1у 4) '-2 1 -1 3 ' '-2 1 5 ^ -5 4 ; 5) -5 -8 V-1 - К . - 1 - К 5. Записать разложение определителя по элементам 3-ей строки и затем вычислить его: 5 0 4 2 1 - 1 2 1 4 1 2 0 1 1 1 1 1) -3 ; 2) -5 ; 3) -7 ; 4 )-9 ; 5) другой ответ. 17 \r.JNi! ЬА^ИАН 1Ы 0 1БИ 1 OB 6 . Найти rang А и указать какой- нибудь базисный минор: А= 1)1; 2 )2 ; 3 )3 ; 4 )4 ; 5) 5. 1 пV/ 1X - П 2 1 3 -2 -3 -1 -4 3 4 -1 3 -4 1 1 2 - К Решить систему АХ = В матрич­ ным способом. В ответе дополни­ тельно вьшисать А : 1 )А " = ------ 101 ' 8 -1 Г -П А = 5 -5 -1 ;В = 0 [ю 3 2 . ' - 7 1X =/1 Лт ' - з / ю Г 20 26 -3 , Х = 23/101 ^65 34 -35j ^100/ 101^ 2) А -‘ = ------ 101 ' -7 -1 -4 ' ^ -3 /1 0 1 " -20 26 3 -23/101 -34 -352 ^100/ 101^ "-1 -20 65^ f -7 2 /lO l^ 3 )А "’ = - 4) А "' = 101 1 101 -1 V-4 ^-7 1 V-4 26 3 20 26 -34 -35 65 34 33/101 31/101 -3 -35 N '- 7 2 /Ю Г , Х = -33/101 У ^ 31/101 ^ 5) другой ответ. 8. Решить систему методом Краме­ ра, выписав дополнительно в от­ вет д ; -3 jCj + 5x2 + 6^3 3jc, + Xj + Х3 = -4, jCi -4x j -2xj = -9. 1)X= 4)X= -1 0 ^ 0 ^ -16 л Г 2 ^ Г -П ; 2)Х = -58 ; 3)Х = 5 .4 8 V ; 5) другой ответ. Исследовать систему на совместимость. В случае совместимости найти общее реше- X, + 2^ + 2X3 - Х4 = - 1, 2xj - Х2 + 2X3 = -4,ние: < 4х, + Х2 + 4xj + 2X4 = -2 . 10. Для данной однородной системы найти фундаментальную систему решений: X, - 8X2 -h 7хз - ЗХ4 = О, < Зх, ч- 5x2 “ 4хз -I- 4X4 = о, 4.Xj - ЗХ2 + ЗХ3 + Х4 = 0. 18 Вариант 8 Хо ЗАДАНРІЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1-4 Для заданных матриц выполнить задания 1-4: А = "-4 2 - Г О -4 п '-13 7 ' ^1 - 2 ' ; В = 0 -2 3 ; с = ; D = 3 4 ^ 0 -3 6 , 0 -1 К . 8 -9 . .-1 0 . Запишите, какие из следующих операций определены: А+В; А+С; А + Р ^; С + Р ^ D+A; А В; В-А; А С; С-А; D C; B D; A ^ В^ ? Выполнить, если возможно, действия: 2A-D^ 1) другой ответ; 2) ^-9 1 -3' -2 -10 6 , 1 - Г -10 12, 3) 5) V ^-9 ^-2 ; 4) г -7 1 -3^ 2 12 / -7 1 - О 2 -2 12 ■J \ 1) 3) 16 4 -1 о 9 36 ; 2) Г-16 4 -Г V о -9 36 5) другой ответ. О б 4 Г у о 9 Збу Об 4^ ; 4) о 9 B D . Г 1) другой ответ; 2) 3) 5) V - -9 -1 8 ' Г-11 -9 -8 ; 4) -9 3 -10^ . 3 -11 -18 \ о -21 - 8 - 8 -18 -20^ - 8 -1 8 , - 8 - 8 3 -10 5. Записать разложение определите­ ля по элементам І-ой строки и за­ тем вьлислить его: 1) -12; 2) -18; 3) 24; 4) -30; 5) другой от­ вет. 3 2 0 -5 4 3 -5 0 1 0 -2 3 0 1 -3 4 19 № 6. ЗАДАНИЯ Найти rang А и указать какой- нибудь базисный минор: А= -1 -4 3 1 -1 2 -1 -1 -1 0 1 -1 0 -6 6 0 2 -2 0 2 BAFPlAH 1Ы и 1 В Ы О ь 1)1; 2 )2 ; 3)3; 4 )4 ; 5) 5. Решить систему АХ = В матрич­ ным способом. В ответе дополни­ тельно вьшисать А “' : НА-' = 43 '3 1 0 ' Г п А = 4 3 2 ;В = 0 .2 2 7. ч-Ь 2) А-' = 43 3) А -' = - 4) А*' = - 43 -32 V 2 ^-25 32 V 2 ^-25 -7 V 2 ^-25 7 -21 4 -7 6 5 2 ) Х = -2 1 - 6 -4 5 ,Х = 43 V 5) другой ответ. 7 2 32 -21 -6 -32 -21 6 У 2 ^ -4 5 2^ 4 5у ^27/43^ 38/43 V 3 /43 ^ 27 /43 ^ -3 8 /4 3 3 /43 У V х = 27/43 Х = 3/43 3 /43 ^27/43^ -3 /4 3 3 /43 Решить систему методом Крамера, выписав дополнительно в ответ д : л:, + 5x2 + ^ 3 ~ “ 3, 2х, -Х2 -3xj = 0, 3xj + 4х, + 2xj = 1. 1)Х= -1 2 /7 -2 4 /7 л '-9 /5 ' ; 2)Х= 0 у 1-6/5j f \ ] ГО ^ 3)Х = -1 ; 4)Х = 1 . 1 у 1- 8. 5) другой ответ. 9. Исследовать систему на совместимость. В случае совместимости найти общее ре- Xj - 2xj + 3xj + 2X4 = о. шение; Зx^ - 2xj - 5xj = 4, 2х, - 2x2 “ 4хз - 2X4 = -4. 10. Для данной однородной системы найти фундаментальную систему решений; 2х, + 4x2 ~ + ^ 4 = X, - ЗХз -ь 2X3 - 3X4 = о, Зх, + х, - Хз - 2X4 = 0. 20 Вариант 9 № 1-4 ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ / N Г4 1 -1^^-3 1 -4^ Для заданных матриц выполнить задания 1-4: А = 5 2 0 В = -2 1 5 -2 С = 18 5' -1 0 4 Го О -2 5 3 - 4 ; Запишите, какие из следующих операций определены: А+В; А+С; А + Р ^ С + Р ^ Р + А ; А -В ;В -А ; А С ; С - А ; Р - С ; В Р ; А ^ ,В ^ ? Вьшолнить, если возможно, действия: 2 A -D 1) другой ответ; 2) ^-6 о -5^ 3) 5) v9 ^-6 9 ^-7 - 10 ^-6 О-1 -4^ 4 -1 Г -1 4 / 4) V -3 - 4 \ 6 - 3 J ’ о - 1Г -1 - 4 , А^ 1) 3) ^ 9 - 1 ^ Г 9 ; 2) 25 4V ^-9 1 16 ^25 4 о у ^25, 4 о 5) другой ответ. 1 -16"l Г 9 ; 4) 25 4 B D . 1) другой ответ; 2) 7 13^ 6 -4 20 3) -5 13 7 6 -4 36 л Г-5 13 ' Г -1 13 ' 4) 7 -14 ; 5) -1 -14 [-1 6 36 у .-16 20 ^ 5. Записать разложение определите­ ля по элементам 1-ой строки и за­ тем вычислить его: 2 0 - 1 3 1)-204; 2)-208; 3 )-212; 4 )-216; 5) другой ответ. 6 3 - 9 0 2 - 1 4 2 0 6 о 3 21 J№ ЗА дА Н ил ЬА^ИАН 1Ы О i Ь Ь 1 и ь 6. Найти rang А и указать какой- нибудь базисный минор: ^ 1 - 1 - 1 5 1 ^ - 2 0 1 1 2 -3 1 2 - 4 1 5 - 1 - 3 3 - 3 1)1; 2 )2 ; 3 )3 ; 4 )4 ; 5) 5. А= Решить систему АХ = В матричным способом. В ответе дополнительно выписать А : 5^ 1 - 2^ Г П А = 1 3 -1 ; в = 0 ^8 4 - 1. l- iJ 1) А-' = 2) А ' 38 _1_ 38 3) А -' - — 38 ^ 1 7 V-20 ^ 1 -7 у-20 ^ 1 -7 5 4)A- ^ = — 38 12 -7 11 -12 -7 - 11 - 3 14 5 3 14 20^ 12 14 / - 4 / 3 8 ' А" = 10/38 5 \ -36/38^/ f -4 /3 8 Л -1 0 /3 8 2 [-3 6 /3 8 ^ ^21/38^ , АГ = 5/38 5 [-9 /3 8 ^ 7 - 20 ' '2 1 /3 8 ' 11 12 , Х = -5 /3 8 -3 14; ^-9/38^ 5) другой ответ. 8 . Решить систему методом Крамера, вьшисав дополнительно в ответ д : 2х, - Xj - Хз -9 , < Зх, - 2x2 + 4хз “ 12, Зх, + 4xj - 2хз = 6. 1)Х= 4)Х= ^-30^ -51 V о 2 ^ 1 ^ -1 V-12 '- 2 4 /1 1 ' ' 0^ 0 ;3 )Х = 4 J 4 7 /1 1 ; u ;2)Х= ; 5) другой ответ. 9. Исследовать систему на совместимость. В случае совместимости найти обшее ре- X, + 3xj - Xj = о, Xj - 2xj + 2xj -f- X4 = 5, 2X( + Xj + ЗХ3 - X4 = 5. шение: < 10. Для данной однородной системы найти фундаментальную систему решений: ЗХ] - 3xj + 4 X3 -I- 2X4 = о, 4Xj - ЗХ2 - 5xj - 2X4 = о. 7х, - 6x2 • Xj = 0. 22 Вариант 10 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1-4 Для заданных матриц выполнить задания 1-4: А = -1 3 -2 4 5 0 ; В = Г 1 3 - 3 ' '18 -8 ' ' 3 0 ' 0 -2 1 ; с = ; D = -1 4 .7 -1 0 ,2 4. . 2 -5. Запишите, какие из следующих операций определены: А+В; А+С; А + Р ^ С + Р ^ ;Р + А ; А -В ;В -А ; А -С ;С А ;Р С ;В Р ; A ^ B ^ ? Выполнить, если возможно, действия: 2 A -D 1) другой ответ; 2) 3) 5) f \ 7 -2 ' 8 6 - 5 ; 4) 1 5 -2 8 6 5 ^ -1 5 -6 ' 8 6 - 5 -5 7 -6^ 8 6 - 5 А'. /■ 1) 1 -9^ Vvl6 25 '-1 9 -4 ' Д6 25 о ^ Г I 9 ^ ; 2) 1 9 4 16 25 о ; 3) 4) 16 25 ; 5) другой ответ. B D . 1) другой ответ; 2) 12 27 4 3 -13 28 3) ^ -6 -3 ^ 4 -12 V 28 Г-6 27 ' '12 -3 ' 4) 4 -13 ; 5) 4 -12 .3 -1 2 ; .9 -1 2 . 5. Записать разложение определителя по элементам 3-ей строки и затем вычислить его: 2 - 3 4 1 4 - 2 3 2 3 0 2 1 3 - 1 4 3 1)27; 2)29; 3)31; 4)33; 5) другой ответ. 23 JNo ^АДАНШІ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 6. Найти rang А и указать какой- нибудь базисный минор: 1)1; 2)2; 3)3; 4)4; 5) 5. А= 4 11 11 — J 1— 1 -4 2 -2 2 2 0 3 1 1 -1 -2 4 0 2 0 7. Решить систему АХ = В матричным способом. В ответе дополнительно выписать А “' : 1) А-' = - - '2 2 5^ Г-Л А - 3 3 6 ; в = 0 .4 3 4. . 1 . -6 -7 -3 -12 -12 -3 -3 2) А- -2 7 12 -12 V ^-6 3) А '‘ = - - V-3 ^-6 7 -3 2 12 -12 3 О -3^ 3 Оу -3^ 2 О Г-П , х = -3 у l - l j У 4) А “' = — -7 -12 -3 -3 5) другой ответ._____ ^-6 -12 -3^ ■2 'I гО ^-П 3 v-ly ^ - П 5/3 V-ly у у -1 ^ -5 /3 -1 8 . Решить систему методом Крамера, вьшисав дополнительно в ответ д : х^+Х2+ 2xj = 4, 2х, -Х2+ 2Xj = О, 4х, -f Х2 -ь 4xj = 6. 1)Х= 4)Х = ^4/3^ 8/3 ^ О Г 1 V л Г-4^ Го^ ; 2)Х= 0 ; З)х= 2 у И у l b -1 V2y ; 5) другой ответ. 9. Исследовать систему на совместимость. В случае совместимости найти общее ре- X, -t- Х2 - Xj - Х4 = - 2 , шение: 4х, -I- Х2 - Sxj - Х4 =3, 8х, + 3x2 - ^ ^3 - 2-^ 4 = 2. 10. Для данной однородной системы найти фундаментальную систему решений: 2 xj - ЗХ2 + 2 X3 - Х4 = о, 4х, - Х2 -ь 5хз - 2X4 = О, 2Х( + 2x j -I- З хз - Х4 = 0. 24 ТЕСТ «ВЕКТОРЫ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ» Вариант 1 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Даны точки Я(1;2;3), 5(5; 2; 6), С (4 ;-4 ;-3 ). Найти l2AB-CAj. 1) 2 ; 2) V l5 7 ;3 ) ТбТ; 4) 6; 5) лЛз. 2. Даны векторы а = 5т - 4п, Ь =3т + 2п , где 1 m 1=1 Я1= 2 , Z (m ,n ) = тс/4 . Найти 2а-ЪЬ . 1) /^2 - 20 . 2) 5 2 2 F) 3 ) — + 15; 4) 168-2472; 2 5) -72 - 2472. 3. Даны векторы а = (2;-3;1), Ь = (1;1;4). Найти площадь параллелограмма, построенного на этих векторах. 1) 7 ^ ; 2 ) 1 5 ; 3 ) ^ ^ ; 4 ) 1 6 ; 5) 2713. 4. Вершины пирамиды находятся в точках Я(3;4;5), 5(1; 2; 1), С (-2 ;-3 ;6 ), D (3 ;-6 ;-3 ). Найти ее объем. 1)12; 2)252; 3)42; 4)6; 5) 8. 5. Даны точки Ą (3;l;4), Я2( - 1;6;1), Яз(-1; 1; 6) . Со­ ставить уравнение плоскости ^ ^ 2^ 3 . 1) x-i-2_y-i-2z-13 = 0; 2) x + 2_y-f-2z + 13 = 0; 3) x -2 y -2 z -1 3 = 0; 4) X 4- 2у^ - 2z -13 = 0; 5) x + >' + 2 z -1-13 = 0. 6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (0;3;1), параллельно прямой Я)Я2 , 4(1; 2; 3), ^ (0 ,^ 3 ) . 1) X = - t , y = 3,z = At + \', 2) x = - t ,y = 3,z = \', 3) x = l - / ,y = 3,z = 4; 4) x = t , y - t , z = t - \ \ 5) x = -t ,y = 3 + t,z = At + \ . 7. Найти синус угла между прямой, проходящей через точки 4 (3 ;-4 ; 5), ^^(2; 3; 0) и плоскостью х + у + z - \ = 0 . 1 ) і ; 2 ) 3 - ; Ъ ) ^ , 4 ) - i ; 2 15 2 2 5 ) - i . 7з 8. Даны вершины треугольника: Я(-2; 4), 5(2; 6),С(4; 0). Составить уравнение медианы В М . 1) 2x-ł->’- 5 = 0; 2) x-f 3> '-l = 0; 3) 4x->^ - 2 = 0; 4) 2x-t-2>'-5 = 0 ; 5) x-3_y-i-5 = 0. 9. Определить тип кривой, приведя ее уравнение к каноническому виду 2х^ -4x4- Ъу^ - 6;^ - 4 = 0. Сделать чертеж. 10. Определить тип поверхности, приведя ее уравнение к каноническому виду = 6z + y . Сделать чертеж. 25 вариант L № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Даны точки Я(4;6;3), 5 (-5 ;2 ;6 ), С (4 ;-4 ;-3 ). Найти В С . 1)5; 2) -Д 1 ;3 ) ^ . ./1ПА 4) 1 L ; 5) 10. VlOT 2. Даны векторы ^ 5тг5 = -5Й + 4Й. 6 = Зй + 2«, 1 й 1= 3. 1 й и 5, (й . И) = - , Т-Гртттм (^ /7-4-9^ /^^ —9л — 1)-2077; 2 )0 ; 3)100; 4)5; 5) 1800. 3. — д Даны векторы а = (2;-3;4), й =(1;2;1) и (а,Ь) = — . Найти площадь треугольника, построенного на этих векторах. Г pj 1)20; 2) 6л/3; 3 ) ^ ; 4 ) 1 5 ; з М ^ 4 4. Даны векторы о = (3;4;0), Ь = (0;-3;1), с = (0; 2; 5). Найти объем параллелепипеда, построенного на этих векторах. 1) 30; 2) 4; 3) 50; 4) 51; 5) 24. 5. Даны точки Я(7;6;1), 5(4;0;3), С(3,6,4). Составить уравнение плоскости А В С . 1) 18x-17y-24z + 58 = 0 ; 2) 18x-17y + 24z + 58 = 0; 3) 18x-17>' + 24z-58 = 0; 4) 18x-17> '-24z-58 -0 ; 5) 18x + 17y + 24z + 58 = 0. 6. Даны точки Я](1;7;3), ^2 (6; 5; 8). Записать парамет­ рические уравнения прямой. 1) X = 1 ч-ЗСу = 7 -2 ^ ,z = 5 /4-3; 2) x = 5t,y = 1 - 2t ,z =-3\ 3) X = 5 /'-l,y = 7 + 2f,z = 5 /-3 ; 4) x = l,y = 7,z = 3; 5 ) X = -St - \ , y = l + 2t,z = S t - 3 . 7. Найти косинус угла между прямыми .г — i >’•+■2 z X у — 3 z + i 2 ” 1 ~ 2 ’ 1 ~ 1 ~ 0 ■ /з 1n o - ІЛАС- I- d\ — ■ 2 z 5 ) - T 8. Даны вершины треугольника И (-3;-2), 5(1; 1), С (5;-1). Составить уравнение прямой, проходящей через вершину В параллельно АС. 1) X + 8y-t" 7 = 0; 2) X - 8_y -b 7 = 0; 3) 8 x -y -i-7 = 0; 4) 8x + у -1- 7 = 0; 5) x - 8 y - 7 = 0 . 9. Определить тип кривой, приведя ее уравнение к каноническому виду 2х^ + 5>’^ + 8 х -1 0 > '-1 7 = 0. Сделать чертеж. 1 n1 vy. Определить тип поверхности, приведя ее уравнение к каноническому виду + 3z^ - 8х +18z + 34 = 0. Сделать чертеж. zo Вариант 3 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Вычислить скалярное произведение векторов 2а-ЗЬ , если а = (0;-1; 5), Ь = (1;-2; 3). 1)0; 2 ) -1 0 2 ;3 )-3 ; 4) 102; 5) 23. 2. Найти [2а + ^ ], если а = 3і - j - 2 k ,b = i +2 j- к . 1)(10;2;14); 2) (-Ю;-2;14); 3)(-10;0;2); 4) (-10;-2;14); 5) (5;1;14). 3. Найти объем пирамиды, построенной на векторах а = (1;2;0), Ь = (3;0;-3), с = (0; 0;1) как на сторо­ нах 1 )6 ; 2) 2; 3)3; 4 )1 ; 5) 10. 4. Найти синус угла между плоскостью с - . л - ^ 25 х - у - г + 2 = 0и прямой — = ---- = — . 2 3 0 1) ^ 2) ^ 3) ^ 4) 12 2 2 117 5) 0. 5. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку М(0; 2; 7), перпендикулярно вектору Я(4;7; 8). 1) 4 x - 7 > '- 8 z - 7 0 = 0 ; 2) 4x-7y-i-8z = 0; 3) 4x + 7>’-i-8z-70 = 0; 4) 4х - 8_у + 8z -f 70 = 0; 5) 4х + 7у + 8z + 70 = 0. 6. Записать уравнение прямой, проходящей через точкуіЙ (3;-2; 8), параллельно прямой X = 2t,y = t - \ , z = -3/- + 2 . 1) x->^ = 0; ^чХ -З у + 2 z - 8 . 2 ~ 1 “ -3 ’ 'J^^x-2 y - l z + 3 . 3 ~ -2 ~ 8 ’ 4) 3x-2y + 8z = 0; 5) 5)2x + y -3 z = 0. 7. Записать общее уравнение прямой, проходящей, через т. М(3; 4), перпендикулярно вектору М,М„ М,{0--2\ М ,(3;5). 1) 7 x - 3 y - 9 = 0; 2) x - y - 9 = 0; 3) 7x + 3y + 9 = 0; 4) l x - 3 y = 0; 5) 7x-3_y+ 9 = 0. 8. Найти косинус >тла между прямыми 5 х - З у '- 2 = 0, Зх + 5>^ -1-1 = 0 . 1)0; 2 ) 1 ; 3)-l; 4)1; 5) i . 34 9. Определить тип кривой, приведя ее уравнение к каноническому виду х^-2х-1-у + 2 = 0. Сделать чертеж. 10. Определить тип поверхности, приведя ее уравнение к каноническому виду z - 2 = х^ . Сделать чертеж. 27 Вариант 4 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Найти косинус угла между векторами а=(2;3), 6=(4;-Г). 1)1; 2 ) - ^ ; 3 ) 5 ; 4)0; V2 V221 5) А . 2 2. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах Й = (1;-2;7), Ъ =(3;4;1). 1) 10Vi4; 2) 25 ;3 ) 5; 4) Vl4; 5) - lo V i4 . 3. Вычислить смешанное произведение векторов о, - Зс , если 5 = (3;4;1), 6 = (-1 ;2 ;-7 ), ? = (l;-2;7). 1) 6 0 ; 2 ) - 6 0 ; 3) 3 7 ; 4 ) 0 ; 5) 10. 4. Составить параметрическое уравнение прямой, проходящей через точку 0; 3), параллельно вектору ? (2 ;-3 ;5 ) . 1) x - 2 t , y - - 3 t , z = 5t', 2) х + 2у = 0 ; 3) x - 2t + 2 ,y - -3 t , z -5 t -3 ' , 4) X = 2f + 2, у -3t, z - 5 t + 3\ 5) X = 2,y = - 3 , z = 5 . 5. Найти косинус угла между плоскостью x - y + z - l = 0 и плоскостью, проходящей через точки4(3 ;-1 ; 2), Я2(3;0;1), Яз(1;7;3). 5 ) - i . VIO 6. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку М (2; 1; -1 ) , перпендикулярно вектору Я(1;-2; 3). 1) x - y - z = 0; 2) X - 2 y + 3z + 3 = 0; 3) x + 2 y + 3z + 3 = 0; 4 ) x - 2 y - 3 z - 3 = 0 ; 5) x + y + z + 3 = 0 . 7. Найти расстояние от точки Я(1;7) до прямой, про­ ходящей через точки 5 (-3 ;-1 )и С (10;-3). 1)24; 2 )-3 ; 3) 4 ) 1 ; л/з 2 5) ' І І . Vl73 8. Записать общее уравнение прямой, проходящей че­ рез точки Я(1; 0)и Б (-1; 4). 1) x = y ; 2) 2x - — 2 = 0 ; 3) 2x + y - 2 = 0; 4) 2x - у + 2 = 0; 1 5) x - y - l = 0. Гі У, Определить тип кривой, приведя ее уравнение к каноническому виду ^ ^л Oę _ Л тт'т'т— j y — -гл ~г 1 ‘Оу — — V . Xw.^ vjiair> rLvpiwix. ІО. Определить тип поверхности, приведя ее уравнение к каноническому виду Зх^ -г — 1. Сделать чертеж. Z5 Вариант 5 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ Выяснить, являются ли ортогональными векторы -2АВ и СА, если Д -9 ; 4 ;-5), Д 1 ;-2 ;4 ), С (-5 ;1 ;-2 ). 2. Найти площадь треугольника, построенного на векторах а = (-4;3;7), Ь = (4 ;6 ;-2 ) как на сторо­ нах. 1) VT08; 2) ЗлЛО;3) з7 І08 ; 4) л/з ; 5) 2n/42 . 3. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах -З а , Ь, 2с как на сторонах, если а = (4 ;-1 ;3 ) ,Ь = (2 ;3 ;-5 ) ,с = (7; 2;4). 1)480; 2) 10; 3)20; 4)30; 5) 100. 4. Записать уравнение плоскости, проходящей через точки 4(2;-1; 0), Ą ( 6; 3; 1), ^(3;2;1). 1) x - y + 3z-5 = 0; 2) 2x-3y + 3z-5 = 0; 3) x -3 y + 3z-5 = 0; 4) X + Зу + 3z + 5 = 0; 5) x - y - z - 5 = 0. 5. Найти расстояние от точки до плоско­ сти 3x + z - l = 0 1) 10; 2 )2 ; 3) Ч 4) ; 10 2 5) 10 6. Записать параметрическое уравнение прямой, про­ ходящей через точки Ą(3; 5;-3), ^2(0,1;0). 1) X = 3?,y = + l,z = -3 f; 2) x = -3?,y = -4?,z = 3l; 3) x = -3? + 3,y = -4H-5,z = 3 /-3 ; 4) X = 3l - 3, у = - 4, z = 3^ - 3; 5) x = 3,y = 5,z = 3. 7. Найти косинус угла между плоскостями x - 2 y + 3z = 0, 7 х - у + 7 = 0. 1)0- 2) • 3) — • ^ ’ 70 ■ ' 7 0 ’ 8. Даны три вершины треугольника Я (1 ;-3 ),5 (0 ;7),С (-2 ; 4). Записать уравнение вы­ соты В Н . 1) x - y - 4 9 = 0 ; 2) 3 x - y - 4 9 = 0; 3) 3 x -7 y = 0 ; 4) у = 49; 5) 3 x -7 y + 49 = 0. 9. Определить тип кривой, приведя ее уравнение к каноническому виду 5х^ +1 Ох -ь у^ = 0 . Сделать чертеж. 10 Определить тип поверхности, приведя ее уравнение к каноническому виду 9х^ -1-4у^ = 36. Сделать чертеж. 29 Вапиант 6 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Найти (4С5 - 2ЯС, М ) , если Я(2;4;3), В(Ъ: 1;-4), С(~1; 2; 2). 1) 176; 2 )0 ; 3)24; 4 )-176; 5) 120. 2. Найти модуль векторного произведения [46,7с], если Ъ = (4; 6 ;-2 ), с = (6 ;9 ;-3 ). 1) 10; 2) 24 ;3 ) 0 ; 4) 2у/3; 5) 5уі2. 3. Найти объем пирамиды ABCD , если Д2;4;1), 5 (-3 ;-2 ;4 ), С(3;5;-2), £>(4;2;-3) 1 ) 1 0 ; 2 ) ^ ; 3 ) ^ ; 4 ) 1 ; 3 3 7 3 7 4. Записать уравнение плоскости, проходящей через т. Л/(1;1;1), перпендикулярно вектору Ą Ą , Д(1;4;2), Ą (l;0 ;-1 ). 1) x + 4y + 3 z-7 = 0; 2) X - 4>’ + 3z - 7 = 0 ; 3) 4 y -3 z -7 = 0; 4) y + 3 z-7 = 0; 5) 4y + 3 z -7 = 0. 5. Записать уравнение прямой, проходящей через точ­ ки 4 (2 ;4;3) и 4(1;1;5). Х - 2 y - 4 z - 3 _ -1 -3 " 0 ’ -,n X -2 y - 4 z - 3 . -1 “ -3 “ 2 ’ -:j>^ X + l y + 3 z - 2 . 2 ” 4 " 3 ’ 4 )-^ - = ^ = ^ ; -1 -3 2 Х - 2 y - 4 z - 3 2 " -1 “ -3 ■ 6. Найти расстояние от точки М(1;0;1) до плоскости JC - 2 у + 2 z + 4 = 0 . l ) i ; 2 ) 1 ; 3 ) 1 ; 4 ) 1 ; 3 3 3 3 5 )3 . 7. Найти синус угла между прямой Задания № 5 и плоскостью 2 х - у + 3z = 0 . Я 1 1 1)0; 2 ) ^ ; 3 ) 1 ; 4 ) 1 ; 2 3 2 8. Составить общее уравнение прямой, проходящей через точку М (2; 5 ) , параллельно вектору s ( 2 ; 3 ) . 1) 3 x -2 y + 4 = 0; 2) x - 2 y = 0; 3) X - 2y + 4 = 0; 4) X - у -1 = 0; 51 r — г’ + 1 = 0.J_ . . . _ __ i О (^ rjfSf^ TTfkrrTTrpr пгтітт T^-JATTp/-VTT т-г»лтіт>/аттгг іЛЛ Ч7ТЛОТ>ТТ^»ХТТ1<а ТУ vaxTr4TJTTTT xjfxxi xv^ j^rjLi>v.'xrij xx^ 'x:xxjv^ j,yx w ^|-члх^хх\./аагхч^ хч x\ttxxvxxxx'xv-WAx^ yirA^ xjxx^ ^ 5x^ —lOx-i-y —5 = 0. Сделать чертеж. І0 Определить тип поверхности, приведя ее уравкенке к каноническому виду z — 2 — — 30 Вариант 7 ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Найти 1 а 1, если а = 2AĆ - З Й , Я(-2; -2 ; 4), 5(1; 3; -2), С(1; 4; 2). 1)200; 2)V l438; 3)314; 4) V l^ ;5 ) 1 0 0 . 2. Найти площадь треугольника, построенного на век­ торах 46,3с, если Ь = (1;-3;2), Ć = (0;-3; 2). 1) zVTT? ;2 ) л /ш ; 3) ; 4) V435 ; 5) VTl6. 3. Проверить, будут ли компланарны векторы - а , 26, с , если а = (-4 ; 3; 7), 6 = (-1; 1; 0), с = (5; 4; 1). 4. Записать уравнение плоскости, проходящей через точки Д1;3;1), Д-1;4;6), С(-2;-3;4). 1) x - y + z - 7 = 0; 2) l l x - y + z -7 = 0; 3) x -3 y + 5 z-7 = 0; 4) llx -3 y + 5 z-7 = 0; 5) 1 lx -3 y + 5z = 0. 5. Записать уравнение прямой, проходящей через т. Д(6;5;5), параллельно прямой, проходящей через точки Ą(l;4;10), Ą(2;3;3). .. x -1 y - 4 z -1 0 M ■ -1 -7 ’ .^ 4 x -6 y -5 z - 5 . 5 ~ 5 “ 5 ’ -^'^x-l y - 2 z - 1 . 2 ~ 1 ~ 0 ’ x - 6 _ y - 5 z - 5 , ^ 1 - 1 - 7 ’ 5 ) ^ = >^ = £ . 1 2 3 6. Найти косинус угла между плоскостями x -4 > ’ + z = 0 и 2x — y + z — l = 0. 1 ) ^ ; 2 ) 2 ^ ; 3 ) 2 ^ ; 4 ) 0 ; 18 18 3 5) 2 ^ . 2 7. Составить общее уравнение медианы Л М ,^(2 ;5 ),5 (-3 ;-2 ),С (1 ;4 ). 1) x - y - 7 = 0 ; 2 ) x - 3 y = 0 ; 3) 4 x -3 y + 7 = 0; 4) x - y = 0; 5) 4x + 3y + 7 = 0. 8. Найти расстояние от точки С(0; 4) до прямой Зх + 11у-26 = 0. ’ ’ VISO’ "’ 65 9^130 . 65 ’ 4) ^ " ^ ; 5 ) 3 5 9. Определить тип кривой, приведя ее уравнение к каноническому виду 2х^ - у ^ + 4х = 0 . Сделать чертеж. 10 Определить тип поверхности, приведя ее уравнение к каноническому виду = х ^+ . Сделать чертеж. 31 Вариант 8 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Найти скалярное произведение векторов (2Я5 + 5 ^ ,Я С ) ,е с л и Я(1;3;2), 5 (-2 ;4 ;-1 ), С(1;3;-2). 1) 0; 2) 10; 3) 4; 4) 24; 5) 2. 2. Проверить, будут ли коллинеарны или ортогональ­ ны векторы а(4;1;3), 6 (-1 2 ;-б ;9 ). 3. Найти объем пирамиды, построенной на векторах а(7;2;4), 6 (4;2;-3), с(2;0;1) 1 ) Н ;2 ) 2; 3) 1^; 4) 5; 5) I . 3 3 3 4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (1; 0; 1), перпендикулярно плоскости 2х - у + 4г -1 = 0. 1'^ х -1 у Z + 1 . 1 “ - l ‘“ 4 2 ) ^ = 2L = £ ; 2 - 1 4 ^ч Х -2 у + \ Z -4 . 2 ~ -1 ~ 4 ’ 4) л:-1 у Z - 1 . 2 - 1 4 ’ Х + 1 у Z + 1 2 “ - 1 ” 4 5. Найти косинус угла между прямыми X у + 1 г 2 " 1 ~ 3 ’ х-ь1 у-ь1 Z - 1 1 “ 1 1 l ) f ; 2 ) 5 ; 3 ) 1 ; 4 ) ' ^ ; 5 ) ^ . 7 7 6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (-1 ;2 ;2 ), параллельно плоскости Оху. 1) х - у = 0 ;2 ) z = 0 ;3 ) у = 2; 4) X = 2; 5) z - 2. 7. Записать параметрическое уравнение прямой, про­ ходящей через точки А(-2;-3), С (6;1). 1) x = 2 t - l , y = t + 2; 2) X = 4 ,^ у = - 9 t ; 3) X 4f - 2, у = -9t - 3; 4) X = 9? - 2, у - 4f - 3; 5) X = 9t,y = At. 8. Найти уравнение прямой, проходящей через точ­ ку Я (1;3) и точку пересечения прямых 2 х - у - 5 = 0 ,х -ь у -1 = 0. 1) 4x + y - 7 = 0; 2) x - i-y -7 = 0 ; 3) 4 x - y ~ 7 = 0 ; 4) x - 4 y - 7 = 0 ; 5) x + 4 y -7 = 0. 9. Определить тип кривой, приведя ее уравнение к каноническому виду 4х^ + 4у + 2х - 1 = 0. Сделать чертеж. 10 Определить тип поверхности, приведя ее уравнение к каноническому виду х ^+2уА — 9z^ = 27 . Сделать чертеж. i i Вариант 9 "№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Найти кйсинус угла между векторами 2Ь и а, если а = (-4 ;2 ;-1 ), ^ = (0 ;2 ;-3 ). П 14 . 7 . 3 . V480 V481 л /ш 4) 5) ‘ . 2. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а,2Ь , если а = (-4 ;2 ;-1 ), Ь = (3 ;5 ;-2 ). 1) 2sl3Ó4; 2) 7 ш ; 3 ) 4) 2ч/т02; 5) 10л/ІТ. 3. Проверить, будут ли компланарны векторы 5 = (4;-1;3),І> = (2 ;3 ;-5 ), с = (7 ;2 ;4 ). В случае от­ рицательного ответа указать, какую тройку обра­ зуют векторы. 4. Записать параметрическое уравнение прямой, про­ ходящей, через точки Д(9;5;5), Ą(5;7;S). 1) х = -4^ + 9,у = 2? + 5,z = 3/ + 5; 2) x -4 /-9 ,> ’ = -2/ + 5,z = -3 ? -5 ; 3) x = -4t,y = 2t,z = 'it', 4) x = 9ł,y = 2t,z-3it', 5) x = 4t,y = -2t, z = -3 t . 5. Записать уравнение плоскости, проходящей через т. М(1; -1; 4), перпендикулярно прямой х - 5 у - 8 Z + 1 -2 " -3 ^ 2 ■ 1) x -_ y - z + 9 = 0 ; 2) 2x + y - z + 9 = 0; 3) 2x + 3 y -z + 9 = 0 ; 4) x + >’- z = 0 ; 5) 2x + Зу - 2z + 9 = 0 . 6. Дан ААВС. Записать уравнение высоты С Н , опущенной на сторону А В , если Д1;0), 5(-1;4), С(9;5). 1) x - 2 y + 1 = 0; 2) 4x-2y + 2 = 0; 3 ) x - y = 0; 4 ) 2 x - y = 0; 5) x + y + l = 0. 7. Найти расстояние между прямыми 2 х - у + 7 = 0 и 2х-_у-1 = 0. I)V S ; 2 ) ' ; 3 ) 2 ;4 ) 8 ; V5 V5 VS 5 ) i « . ■Js 8. Записать общее уравнение прямой, проходящей через точки Л(3;4), j5(2;1). 1) 3 x - y - 1 3 = 0; 2) 3x + y -1 3 = 0 ; 3) x + y -1 3 = 0; 4) x + 3 y -1 3 = 0 ; 5) x + y + 13 = 0. 9. Определить тип кривой, приведя ее уравнение к каноническому виду 9х^ +18х = Ау^ - 8у . Сделать чертеж. 10. Определить тип поверхности, приведя ее уравнение к каноническому виду х ^= 2 z . Сделать чертеж. 33 Вариант 10 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Найти пр^(4а + Ь), если а = (1;-7), Ь = (-3 ;-1 ) . 1) 2V10; 2) 2V5;3) Зл/ІО; 4) V15 ; 5) V30. 2. Найти синус угла между векторами а = (-7;0;2) и 6 = (2;-6; 4). V 742 V 44 3 4) ^ ^ ; 5 ) f . 7 V3 3. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах а = (3;-2;1), Ь = (0;2;-3), с = ( -3 ;2 ;0 ) . 1)20; 2) 10; 3) 6; 4) 8; 5) 2. 4. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку А(1:0; 2 ), перпендикулярно вектору Я = (4;1;1). 1) x + y + z + 2 = 0; 2) x + 4y + z + 2 = 0; 3) 4x + y + z-2==0; 4) 4x + 4y + z = 0; 5) x + y + z + 4 = 0. 5. Найти синус угла между прямой х = / + 2,у' = ЗМ -4, г = 2^ + 3 и плоскостью x + y + z + \ = 0 . D ' f ; 2 ) f ; 3 ) ' ; 3 7 6. Записать уравнение плоскости, проходящей точ- к у М (3 ;6 ;7 ) , параллельно вектору s = (1;2;3) . x -3 y - 6 z -7 . 1 ^ 2 “ 3 ’ 2 ) £ = Z = £ ; 1 2 3 x-1 y - 2 z -3 . 3 ” 6 ' 7 ’ .. x + 3 y + 6 z + 7 4) ------ = 2:------= ------- ; 1 2 3 x + 1 y + 2 z + 3 '■i £i n Э u / 7. Найти расстояние от точки С (1; 7) до прямой, про­ ходящей через точки Я (-3 ;-1 ) , 5 (1 1 ;-3 ). 2 ) | ; 3)10ч/2; 3 8 8. Даны верщины треугольника АВС, Я(1;0), 5 (-1 ;4 ), С (9; 2 ). доставить уравнение медианы AAf . l ) x - y = 0 ; 2 ) x + y = 0; 3) x + y + l = 0 ; 4) x - y - l = 0; 5) x - y + l = 0 . 9. Определить тип кривой, приведя ее уравнение к каноническому виду 2х^ + 6х + у'" +1 = 0 . Сделать чертеж. 10. Определить тип поверхности, приведя ее уравнение к каноническому виду (х — 1)" + (у — 2)“ = 4 . Сделать чертеж. ^Л ТЕСТ «ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ» Вариант 1 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ ' 1. Что означает следующее высказывание для после­ довательности {л:„}: V £■ > 0 3 Hq = n{s) : Vh > «0 -a \< s . 1) lim = 0; 2) lim х„=а; П->00 «->00 3) lim = 00 ; П-^ 00 4) последовательность [х„] - ограниченная; 5) последовательность {д:„} - неограниченная. 2. Найдите выражение для общего элемента последо­ вательности: 1 - 1 1 - 1 1 2 ’ 4 ’ 8 ’ 16 ’ 3 2 ” " 2п п\ 2 (_1)« 2 п 3. Найдите сотый член последовательности: X = ” \п + 6 9 1) — ; 2) — ; 3) — ; 4) — ; 13 13 15 15 5 ) ^ . 14 4. Вычислите: .. 2 п - 5 l im --------. п->да Зн + 4 1)0; 2 ) ^ ; 3 ) - | ; 4 ) | ; 5) 00. 5. Вычислите: -5 п h m --------- . Зн + 4 1)0; 2 ) 1 ; 3 ) - 1 ; 4 ) - 1 ; 3 3 4 5) 00. 6. Вычислите: 9п^-5п^-5hm —-------z----- и~>®3и +4«- ^+7 1)0; 2)3; 3 ) - ^ ; 4 ) - | ; 5), 00. 7. Вычислите: ,. -sj п + 2 hm .------ ^ . П-^<Х> VH + 1 + VH 1)0; 2 )1 ; 3 ) у ; 4) «з; 5) предел не существует. 8. Вычислите: 3 '2 " + 2 2 "+ 5 1)0 ;. 2 )3 ; 3 ) | ; 4)1; 5) 00. 9. Вычі lim n—>00 іслйте: f u i f . V n j 1)с; 2 )V ^ ; 3 )^ ; 4 ) е ^ 5)1. 10. Поль lim И—>00 >зуясь определением предела последовательности, докажите, что: Г 3 - = 0 . VH У 35 Вариант 2 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Что означает следующее высказывание для после­ довательности {х„}: ' ^ £ > 0 3 щ = n{s) : \ / п > щ =>|х„| < £. 1) lim х„ = 0 ; 2) lim х„ = а ; л—>00 л—>00 31 lim г = 00 :- / -'П ’п—ух) 4) последовательность {х„} -ограниченная; 5) последовательность {х„} -неограниченная. 2. Найдите выражение для общего элемента последо­ вательности: 1 2 - 3 4 - 5 2 ’ 3 ’ 4 ’ 5 ’ 6 ’■■■ 1) < - ! ) - « ^ , , ( - 1 ) 4 « +1 п + \ 3) ( - 1 ) ” . ( - 1 ) " " ^ . 2" ’ 2" ’ (-1)" 5) п 3. Найдите сотый член последовательности: l)100^^ ; 2)100; 3 ) — ^ ; 100^^ 4 ) 1 0 0 '; 5 ) — . 100 4. Вычислите: - 5 п ^ - 5 п ^ + Ъ п ~ 9l i m -------------------------------, Зп^ + А п — 6 1)0; 2 ) ~ ; 3 ) - | ; 4 ) | ; 5) 00. 5. Вычислите: - п - А hm —г-------------. « -^ 0 0 п +Ап +А 1)0; 2 )1 ; 3 )-1 ; 4 ) - ^ ; 5) 00. 6. Вычислите: lim " ( " + 1)(" + 2 )(п -6 ) /-л.. 1Л/. .П-^ 00 \^АП — \.)Ш -t“ J Д^/7 І- :> ) 1)0; 2 )-2 ; 3 ) 1 ; 4 ) - ^ ; 5) 00. 7. Вычислите: lim (V2Ż7+T-V2n)-И—>-00 1)0; 2 )1 ; 3 )2 ; 4) со; 5) предел не существует. 8. Вычислите: 3-4" + 5 и^оо 2 - 7 - 4 " 1)0; 2 ) - | ; 3 ) | ; 4 )1 ; 5) со. 9. Вычислите: п у ( и - Г \з lim ! ------ п^со \ П ) 1)е; 2 ) ^ ; 3 ) ^ ; А) ; \ ^ 1-V 10. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что: г Г « V 1hm 1 1 — п^^'\Ъп-\-2) 3 36 Вариант 3 ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Что означает следующее высказывание для после­ довательности } : V £• > 0 3 «0 = : V n > «0 => > £•. 1) l im x „ = 0 ; 2) limx„=<3; л—>0О П—>00 3) lim = со; П->00 4) последовательность - ограниченная; 5) последовательность {х^] - неограниченная. л Найдите выражение для общего элемента последо­ вательности: 1 1 1 1 ’^ 2 ’ б ’ 2 4 ’ 120” " 1) > , 2) 3) ( - f ; п\ п+1 2 , ) 2 „ . ( - 1 ) у ^ ) 1 п п + Ъ 3. Найдите сотый член последовательности: 1) 200-^^°; 2) 100; 3 ) - ^ ; 200^^ 4)200; 5) ^ . 200 4. Вычислите: -5 п ^ + 3 п ^ + З п -9 h m -------------- г--------- . «->■'» Ъп + - 6 1)0; 2 ) - | ; 3 ) - | 4 ) | ; 5) 00. 5. Вычислите: 8 -п ^ hm —г------------ . +4п + 14 1)0; 2 )1 ; 3 )-1 ; 4 ) - j ; 4 5) 00. 6. Вычислите: lim (" + 2 ) (« -6 ) п->оо (2п - 1)(п + 3)(2п + 3) 1)0; 2 )-2 ; 3) у ; 4 ) - | ; 5) 00. 7. Вычислите: lim ^ п- о^о ^ ' 1 ) - 1 ; 2 )1 ; 3 )0 ; 4) сх>; 5) предел не существует. 8. Вычислите: 3-4” +5-3" „_^ оо 2 • 3'* - 7 ■ 4'^ 1)0; 2 ) ~ ; 3 ) | ; 4)1; 5) 00, 9. Вычі lim гслите: Г п -2 Т К п ) п 3 1)е; 2 ) Й ^ ; 3 ) - ^ ; 4) 5)1. 10. Полі lim й->оо >зуясь О (2п + Ъ 1 п + \ пределением предела последовательности, докажите, что: \ = 2 . / 37 Вапиант 4 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Что означает следующее высказьшание для последо­ вательности : V M > 0 3 Hq = п ( е ) : \/ п > nQ = > |х „ |> М . 1) lim = 0; 2) lim х„ = а ; п—^ Л—>со 3) ІІШ — ^ 1 П-^ ОО 4) последовательность {х„] - ограниченная; 5) последовательность і х Л - неогшниченная.К п J 2. Найдите выражение для общего элемента последо­ вательности: 1 1 1 1 10’ 25’ 46’ 73’" ’ 1 ( -1 )” *^ (-И ” « + 2- ^ 4) ; 5) ' п п+3 3. Найд] / х„ = \ ите сотый член последовательности: n v л ) 1) 50"’°°; 2) 50’°°; 3)50; 4 )-50 ; 5 ) - ^ . 50 4. Вычислите: -2 н '^ +3??^+ З п - 9 l i m -------------- г------- 2— . Ъп + А п ^ - 6 п 1 ) 0 ; 2 )^ ; 3 ) - | ; 4) | ; 5) 00. 5. Вычислите: 8 + и^ hm п +4п +14 1)0; 2 )1 ; 3 )-1 ; 4 ) ~ ; 4 5) 00. 6. Вычислите: (2п + 2)(п-6) п-^ <я {2п - 1)(н + 5)(2п + 3) 1 ) 0 ; 2 ) - 2 ; 3 ) і ; 4 ) - | ; 5) со. 7. Выч1 llłVł X U .X 1 . И->со делите: f 1---- 7 ^V.4 + 1 —п к^ лІНп-І -Ą-fl J 1 ) - і ; 2 )-1 ; 3 )0 ; 4) сю; 5) предел не существует. 8. Вычислите: 5-7'^ + 5-3” h m ---------------- . „ ^ ® 2 -7 " -7 -3 ” 1)0; 2 ) - у ; 3 ) j ; 4)1; 5) 00. 9. Вычислите: п f О \Т< . \ п — Z. 1 ч hm 1 П^ со \ Г} J 1 ) 4 - ; 2 ) V7; 3 )-4 - ; 4) е ые 5)1. ini \j. ТТп тпX. lim «-»со LOXrar*!- /ЛТТГ4/:іТТ#аттАйтЛ-АЛ^ ТТГЧАТТАТТа Т7ГЧГ'ТТАГГ/ЛХ»СІ’ТАТТХ.ХТГЧГ*'ТТД ГГГіТ/ЯМГТД'ТА XITn*J XX VS/y X^ _^«,V./X^VXX V'JXX^XXV'^ i' X XXj ,iJ,V-'XVbx-.»»'» ж Ł X w. xxw. (2п+ Ъ \ _ , 1 = ^ • V n - l J 38 Вариант 5 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Что означает следующее высказывание для после­ довательности {л:„}: З М > 0 V n e N < М. 1) И т х „ = 0 ; 2) l im x „ = o ; «—>00 «-^ 00 3) lim х„=<х>; П-»00 4) последовательность [х^] - ограниченная; 5) последовательность {х„} - неограниченная. 2. Найдите выражение для общего элемента последо­ вательности: 5 5 9 9 ’ 2 ’ 3 ’ 4 ’ 5 ” " 1 (-1)" 4) ; 5, > . п п + 3 3. Найдите сотый член последовательности; = з1 " -3 « ” \ п + 2 5 ‘ l ) - # ’ 2 ) - f 3 ) 0 ; 4 ) ^ | ; 4. Вычислите: -2п^+3п^+Зп-9 l im -------------- г----------. Зп + 8 п^-6 1)0; 2 ) - i ; 3 ) - | ; 4 ) | ; 5) 00. 5. Вычислите: 8 + 5 п - п ‘^ lim — г------ г------ . Зп + 4п + 24 1)0; 2)2; 3 ) | ; 4 ) - І ; 5) 00. 6. Вычислите: lim (2« + 2)(н + 7) п->оо (4п + 4){п + 5)(2п + 3) 1)0; 2 )-2 ; 3) І ; 4 ) - | ; 5) 00. 7. Вычі lim іслйте: f' 1---- 7 ^yjn + l+ n \_^n + \ - n , 1 ) - 1 ; 2)-1; 3 )0 ; 4 )« ,; 5) предел не существует. 8. Вычислите: 5-7" + 8-8” lu n ----------------. п->оо2 .8 " - 7 - 3 ” 1)0; 2 ) - | ; 3 ) | ; 4 )4 ; 5) 00. 9. Выч1 lim «->00 гслите: f n + з у ” Kn-\-2J 1 ) ^ ; 2)sTe-, 3 ) 4 - ; 4)е^; е sje 5)1. 10. Полі lim n-^ os >зуясь 0 f 1 \ 2 n - l J npeделением предела последовательности, докажите, что: _ 1 ~ 2 ‘ 39 Вариант 6 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Что означает следзтощее высказывание для после­ довательности {з:„} ; V £■ > О 3 «о = : Vn > «о - 3| < £•. 1) lim = О; 2) lim = 3 ; l i r n Y = С П *---- 5 Л—»00 4) последовательность {х„} - ограниченная; 5) последовательность {х„} - неограниченная. Найдите выражение для общего элемента последо­ вательности: 1 8 27 64 125 1!’ 2 !’ 3! ’ 4! ’ 5! ’ ' п\ З п ^ - 2 п+\ Г—I'i” ; 3) ^ ^ 4) п п\ 5) 1 п + 3 3. Найдите сотый член последовательности: Хп = (3«) ( - 1) 2й 1 ) - ^ ; 2) 300^°°; 3)300;300 4) 300 ^ ; 5 ) - ^200 300 200 • 4. Вычислите: Г4п + 3 1 п - \ ^lim /2->00V5n-l-l Ъпл-\) 1)0; 2 ) i ; 3 )3 ; 4 ) | ; 5) со . Вычислите: 94-5п + 8п'^ lu n -------- г------ пл-Ап л- 24 1)0; 2 )2 ; 3 ) ^ ; 4)9; 5) со . 6. Вычислите: (2п + 2)(п + 7 ) - ( п + 1) п-^ со (4п + 4 )(п -h 5)(2п + 3) 1)0; 2 )-2 ; 3) i ; 4 ) ~ ; 5) 00 . 7. Вычислите: lim Tul I 2 ^ ) n-»oo l ) i ^ ; 2)15; 3 )3 ; 4) «) ; / 5) предел не существует. Вычислите: 3” +1 lim и-^ оо 4 - 2 - 3 ” 1)0; 2 ) А ; 3) j ; 4 )4 ; 5) 00 . 9. Вычислите: ^2п+ ЗГ J lim и-хюv2n+l. 1 ) - V ; 2 )V ^ ; 3 ) - ^ ; 4 ) . ; yjee 5)1. 10. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что: ^ п + 3'\ 1lim И—»00V Зп - 1 , л Г\чи Вариант 7 ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Что означает следующее высказьшание для после­ довательности {х„} : 1) lim х„ = 0 ; Л—>00 2) lim х„ = 2 ; W-^ OO 3) lim = 00 ; W—>00 4) последовательность {х„} - ограниченная; 5) последовательность {х„} - неограниченная. 2. Найдите выражение для общего элемента последо­ вательности: . 3 4 ^ _6_ ’ 2 ’ б ’ 2 4 ’120’"' п\ Зп‘^ - 2 3) ; 4) 5) ^ . 2" п\ п + 3 3. Найдите сотый член последовательности: l-i-2-і-З + ...-і-п п + \ 1)50; 2)101; 3)100; 4) ‘O’ ; 5) 50 101 4. Выч! lim /г->со юлите: ^5н + 3 2н -1 ^ V 2н +1 Зи + 1 у 1)0; 2 ) | ; 3 )-1 ; 4) | 5) 00 . 5. Вычислите: 10 + 5« -7н '* l im ---------г---------Y- п + Ап +2Ап 1)0; 2 )2 ; 3) 4)9; 5) 00 . 6. Вычислите: lim п->оо (2н-1)(4н+4)(н+5) 1)0; 2 )-2 ; 3 ) 1 ; 4 ) - | ; 5) со . 7. Вычі lim «->00 юлите: п - 5 ' ^2и + Ь 5 1 ) 1 ; 2)32; 3 ) ^ ; 4 ) » ; 5) предел не существует. 8. Вычислите: 1)0; 2 ) - 1 ; 3 ) | ; 4 )2 ; 5) оо '. 9. Вычі lim П—>со гслите: 'З п - 2 ^ < Зн -н Ъ 2 п 1 ) - ^ ; 2 )^ /7 ; 3 ) ^ ; 4) е ; е ые 5)1. 10. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что: lim = 0 . «-»00 41 Ranufmx Я № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Что означает следующее высказывание для после- п дй са ісл Ь К й ч ^ іЙ Ху. — п+2 п'І S > 0 3 «0 = п { 8 ) : У п > щ = > -------------\ < S. п + 2 1) lim х„ = 0 ; 2) lim х^=2\ п^оо и—>со 3) И т = 1; П-»оо 4) последовательность {х^] -ограниченная; 5) последовательность w } “ неограниченная. 2. Найдите выражение для общего элемента последо­ вательности: 1 1 1 1 ’ V 2 ’ V 3 ’ ^ /4 ’ ^/5 ’■■■ п\ Vh 3) 4 ) ~ ; 5 ) ^ . у/п п\ п + Ъ 3. Найдите сотый член последовательности: 1 + 2 + 3 + ... + и х„ = --------------------- . п{п + 1) 1)50; 2)101; 3)100; 4) - ; 5 ) — . 2 101 4. Вычислите: 2п^ - 3« + 4 hm — г-------------. и ^ со 4- _ 7 1)0; 2 ) | ; 3 )-2 ; 4 ) - + 5) 00. 5. Вычислите: 10и + 5п^ - 1 п ^ hm и->оо п + Ап + 24и 1)10; 2 )2 ; 3 ) - ^ 1 ; 4) 24 5 24 ’ 5) 00 . 6 . Вычислите: (и + 1)^(3«+ 4) (2 п - \у {А п + 4)(и + 5) 1)0; 2 )-2 ; 3) у ; 4 ) - | ; 5 ) OD. 7 . Вьщ lim И->со ислите: 1 п + \ j l ) j ; 2)32; 3) i ; 4 ) « ; 5) предел не существует. 8. Вьгаислите: 1 іт ( 7 3 -^ -^ 3 - . . . - 2 7 з ) . /7->СО 1)0; 2 ) - i ; 3 )^ ; 4 )3 ; 5) 00. 9. Т^чттттр ТТТТ'Т'^ І • X U U i . XXXVJXXX 1. w > л ' j Уг% —jLhm 1 ----------- n->“ V3« + l . \Ъп } 1 ) 4 - ; 2) V e ; 3 ) ~ ; 4) е ; в У в С\ 1 I А- 10. Лtx Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что: lim = 0. «->со yf 42 Вариант 9 № ЗАДАНРІЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Что означает следующее высказывание для после- 2п довательности х„ = ------: " п+2 2ft V г > 0 3 «0 = > «0 = > --------- 2 < £■. н + 2 1) lim л:„ = 0 ; 2) lim = 2; Л-^ ОО «->00 3) lim = 00; «—>00 4) последовательность - ограниченная; 5) последовательность - неограниченная. 2. Найдите выражение для общего элемента последо­ вательности; 4 9 16 25 ’ V 2 ’ V 3’ V 4 ’ V J ’" ‘ п \ ' Л ■ , I V« п\ п + Ъ 3. Найдите сотый член последовательности: 2 + 4 + 6 + ... + 2п х„ = ---------------------- . п{п +1) 1)50; 2)200 3) 100; 4 ) [ ; 5 ) 2 . 4. Вычислите: З п ^ -Зп ^+ 4 п -1 lim п-^ со - r f + вп - 7 п + 5 1)0; 2 ) j ; 3 )-3 ; 4 ) - i ; 5) 00. 5. Вычислите: Юп^+5п^-1п^ lim . 1 + 4и + 24« 1)10; 2 )2 ; 3 ) - — ; 4 ) - ^ ; 24 24 5) 00. 6. Вычислите: lim + + „->со(2„-1)(4и-4 )(и + 5Г 1)0; 2 )-2 ; 3) i ; 4 ) - | ; 5) 00 . 7. Вычислите: п + \ ) 1 ) ^ ; 2)16; 3 ) 1 ; 4) <х=; 2 16 5) предел не существует. 8. Вычислите: «-»00 1)0; 2 ) - i ; 3 ) i ; 4)5; 5) 00. 9. Вычислите: «-»00 V 3« + 1 У 1 ) 1 ; 2 ) ^ ; 3 ) - ^ ; 4)0; е yje 5)1. 10. Пользуясь он ( Ъ п - 2 hm -------- «-»'»4 п ределением предела последовательности, докажите, что: \ = 3 . ) 43 Вариант 10 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Что означает следующее высказывание для после- Зп довательности х.. = ■ 1) lim х^=0; 2) lim = 3 ; п— и—^сс п + 2 V f’ > о 3 «о = п(е) : \ /п > щ ал ^и J 111І1 Зп п + 2 - 3 <е. «—>00 4) последовательность - ограниченная; 5) последовательность - неограниченная. 2 . Найдите выражение для общего элемента последо­ вательности: _ А А 2Ł ’ Ш ’ Ш ' I f i ' W " п\ yfn 3 ) Ц р ^ ; 4 ) 4 ; ^ п п\ 5) (-1)"+^п 3. Найдите сотый член последовательности: 1 + 4 + 7 + .., + (З и -2 ) Хп = п{п + \) 298 1 ) — ; 2)200; 3)100; 101 4 ) ^ ; 3 )2 9 8 202 202 4. Вычислите: lim вп^ - Зп^ + 4 п -1 Зп^ + вп^ - l n + 5 1)0; 2 ) | ; 3)2; 4 ) - i ; 5) 00. 5. Вычислите: \Qn^ + 5 n ^ - l h m ------- г-------- Й-+00 1 + 4и + 24n 1)10; 2)2; 3 ) -A i; 4) A 24 24 5) 00. 6. Вычислите: lim. (Зп + 1)ДЗи + 4) n->oo (2n - \){n - A){n + 5) 1)0; 2 ) -2 ; 3 ) | ; 4 ) - | 5 ) 00. 7. Вычислите: lim 3 « -8 ^ n + 3 J 1)81; 2 )0 ; 3 )3 ; 4) с»; 5) предел не существует. 8. Вычислите: l i m ( A - ^ - ^ - . . . - 2 T 7 ) . 1)0; 2 ) - i ; 3 ) i ; 4 )« .; 5) 7._______________ ___ lim «—>oó 3 /7 - 2 V 3/7 + 1 у n А :2 1 ^ ; 3 ) - А ; 4'» ' \1е ' 5) 1. 10. Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что: lim ( 1 = 5. «->®V/7 + 37 Л /f ТЕСТ «ФУНКЦИИ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ» Вариант 1 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Найдите область определения функции / W = 2 .•X - 4 1) [-2; 2]; 2) ( - о ) ; - 2 ] и [ 2 ; « .); 3) (_<»;_2)u (-2; 2)u (2; со); 4) [-4; 4]; 5) (-со; -4 ] U [4; оо). 2. Найдите множество значений функции / (х ) = s in X + co s X . 1)[-1;1]; 2)(-оо;со); 3 )[-^ /2 ;V 2]; 4)[0;1]; 5) L i -zeI . . 2 ’ 2J 3. Что означает следующее высказывание для функ­ ции / ( х ) ; \/£‘> 0 3<7=Хо 3) lim / ( х ) = 0; 4) lim / ( х ) = А ; 5) lim f ( x ) - c o , X— 4. Вычислите: х ^ -2 7 х ^ -9 х 1 3 1 4 1) — ; 2) 3) 4) 12 2 2 5 5) 00. 5. Вычислите: sinSx h m --------- . дг—>0 . Xa rc tg - 1)10; 2 )2 ; 3 ) і ; 4 ) - 3 ; 5 ) - 2 . 6. Вычислите: ( l + x ^ fhm ------ X-»ooV 1 + x у 1)0-; 2) V^; 3) ;4) л /7 ; 5) 00. 7. Вычислите: l - V l - 4 x h m -------------- . X 1 ) - 1 ; 2 )2 ; 3)1; 4 ) - і ; 5 ) Т 8. Вычислите: co s2 x -co sx h m ----------------- . л:-^ 0 • X Sin— 2 1)0; 2 ) і ; 3)4; 4)2; 5) 00. 9. Вычислите: ln(x-t-2) - In 2 lim — ------- . д;->0 X 1)-1 ; 2 )2 ; 3 )1 ; 4) 10. Пользуясь определением предела функции В точке, докажите, что: lim - —^1 = - —. х ^ 2 \ 2 ) 2 45 Вариант 2 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Найдите область определения функции / (л:) = • 1 )[-3 ; 3 ];2 ) [-9; 9]; 3) ( - < ю ; - 3 1 и [ 3 ; ю ) ; \ J L у 4 ) ( - « ; - 3 ) и ( - 3 ; 3 ) и ( 3 ; а>); 5) ( -оо ; - 3 ) и ( 3 ; со ) . 2. Найдите множество значений функции f {x) = x ^ - S x + 6. 1)[б;«>); 2) 3) 5) 1 ^ 7 ’ °° 4 у ^ 1 - о о ; - V 4 ; 4) 00 - с о ; ----- 3. Что означает следующее высказывание для функ­ ции / ( х ) ; VM >0 3 д - 6{М),Ч10 Vx : 0 < |х -Хо|<<5 => |/(х) 1) lim / ( х ) = 0 ; X — > JC o 2) И т / ( х ) = Д ; X — ^X q 3 ) łim / W = 0; Х->со 4) lim / ( х ) = со; X —>Xq 5) lim / ( х ) = oo. Д-—>0 4. Вычислите; v4_ lim 16 - 1 4 x 4 8 1 3 1 4 1 ) — ; 2 ) - ; 3 )-^ ; 4 ) - ; 12 2 2 5 5) 00 . 5. Вычислите: X cos- lim- 1)10; 2)2; 3 ) i ; 4 ) -3 ; 5 )-2 . x-*n TT — X 6. Вычислите: Л+І ~2xlim X—^00 4 ^ vx^ у 1)0; 2 )V e ; 3 ) e ^ 4) 5) 00 . 7. Вычислите: “ 1 -Ь л/ l + 5x^ lim ----------------- X 1 ) 0 ; 2 ) 2 ; 3 ) сю ; 4 ) - у ; 4 - о . о ы ч и с л и т с ; Sill х + Sill 2х lim -;---------- ;----- л— sin 2x+ sm 3x 1 ) 0 ; 2 ) - ; 3 ) - l ; 4 ) 1 ; 5 ) oo ' 5 ' 9. Вьшислите: І і ш ( х 4 - 3 V l n X — I n i X 4 - 1 A JC-^ +00 1 )-1 ; 2 )2 ; 3 ) l ; 4 ) - i ; 5 ) i 10. Пользуясь определением предела функции в точке, докажите, что: lim ІХ-6Л V 3 J1 = 6, 46 Вариант 3 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Найдите область определения функции / (х) = 1о§2 - 5л: + 6 ). 1) [2 ; 3 ] ; 2) (-оо; 2 ) и ( 3 ; со); 3) (-со; сю); 4) ( 2 ; 3 ) ; 5) ( - « ; 2 ] и [ 3 ; «>). 2. Найдите множество значений функции . 3 - х / (х) = arcsin . 1) 3 )[0 ;1 ]; 4 )(-со ;«> ); 5) [0 ; я ] . 3. Что означает следующее высказывание для функции f ix): V M > 0 3 <^ = < 5 ( M ) ,4 T o V x :0 < |x |< c 5 = > |/ ( x ) |> А 1) lim / ( х ) = 0 ; 2) lim f i x ) = А ; X-^ Xq 3) lim / ( x ) = 0; X—>00 4) lim / ( x ) = oo; 5) lim f i x ) = (X). x^0 4. Вычислите: lim --------- . 9 х -1 9 1 3 1 4 1) — ; 2) - ; 3 ) 4) 12 2 2 5 5) 00. 5. Вычислите: c o s 6 x - l h m ------- г— . вх^ 1)10; 2)2; 3 ) ^ ; 4 ) - 3 ; 5 ) - 2 . 6. Вычр lim іслйте: X Y *‘ ч х -2 7 1)0; 2) 4~e \ У) e' ^ ■, '4 ) V ? ; 5) 00. 7. Вычислите: ,. —3 + V X + 4 h m ---------------- . X—^5 X — 5 1)0; 2 ) - 3 ; 3 ) ® ; 4 ) - i ; 8. Вычислите: sinx+sin2x lim-----------------. x->0sin2x+sin3x 1)0; 2 ) 1 ; 3 ) - l ; 4)1; 5) 00. 9. Вычислите: lim (х + 2)(ln X - ln(x +1)). x->+oo 1)-1 ; 2 )2 ; 3)1; 4 ) - i ; 10. Поль lim 1x->— 2 >зуясь определением предела функции в точке, докажите, что: Г4х2 - 1 ^ 1 ^ 2 х -1 J 2 47 Вариант 4 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Найдите область определения функции / ( x ) = log2(-x^ + 5 х - 6 ) . 1) [2 ; 3 ] ; 2) ( - с о ; 2 ) и ( 3 ; оо); 3) (-0); ^ ) ; 4) (2; З) ; 5) ( - о о ; 2 ] и [З; о о ) . 2 . Найдите множество значений функции / (х) = arccos^—- . 1) [ - 1 ; 1 ] ; 2 ) л_ п 2 ’ 2 . 3 )[0 ;1 ]; 5) [0; п ] . 3. Что означает следующее высказывание для функции Лх): \/£ -> 0 3 < 5 = <5(£’), что V x :0 < |х - Xq I < ^ => | / ( х)| < £•. 1) lim Л х ) = 0 ; X -> X q 2) lim / ( х ) = А ; X-^ Xq 3) lim f ( x ) = 0; Х-^ со 4) lim Д х ) = со; X — ^X q 5) lim / ( x ) = oo. л--^ 0 4. Вычислите: х ^ -З х + 2 lim --------- г— х - > 2 4 - х^ 1 3 1 1 1) — ;2 ) - ; 3 ) - ; 4 ) 12 2 2 4 5) со. Вычислите: Iim (sin4xctg2x). х-^О 1)10; 2 )2 ; 3 ) | ; 4 ) - 3 ; 5 ) - 2 .___________________ Вычислите: lim г—>00 ^ 4 х + 0 ^ ^ , 4v_9V л-/ 1 )0 ;2 ) Л ; 3 ) Л ; 4) ; 5) 00. Вычислите: —3 + "ч/х + 6lim х-^З х - 3 1)0; 2 ) - 3 ; 3) оо; Вычислите: s in 3 x -s in xlim ----- ;---------- х->-п sin 2х 1)0; 2 )^ ; 3 )-1 ; 4 )1 ; 5) 00.__________________ Вычисли 1с: lim <'x + 4V1n X —1пГх + НТ л:->+оо 1 ) - 1 ;2 ) 2 ; 3 )1 ; 4 ) - ^ ; 5) Пользуясь определением предела функции в точке, докажите, что: lim 2х -f 1 Вариант 5 '№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Найдите область определения функции ч 3 - х / (х) = arccos —^ . 1) [1;5]; 2) (-с»; l]u [5 ; «>); 3) (-со; оо); 4) [О; д ] ; L 2 2J 2. 3Найдите множество значений функции / ( х ) = — . X 2) (-оо; 0 )и (0 ; оо); 3 )( -о о ;0 ) ; 4 )(-оо ;оо ); 5) (0; ^ ) . 3. Что означает следуюпзее высказывание для функ­ ции / ( х ) : V M > 0 3 А,что Vx; ІД > А =>|/(х)| >М. 1) lim / ( х ) = 0 ; X~^ Xq 2) 1 іт / ( х ) = Я; X—>Xq 3) lim / ( x ) = 0; a:—>00 4) l im /(x ) = oo; 5) lim / ( x ) = 00 . д:-^ 0 4. Вычислите: х ^ -З х + 2 hm -----г--------. х-^1 - 4 1 3 1 1 2 ) - ; 3)-!-; 4 ) - - ; 12 2 4 4 5) 00. 5. Вычислите: lim ‘8^^ . х-*о 2х 1)10; 2 )2 ; 3 ) i ; 4 ) | ; 5 )-2 . 6. Вычислите: •^->00 V X + 1 у 1 ) 4 - ; 2) V 7 ;3 ) e ^ - , 4 ) 4 7 ; e 5), 00. 7. Вычислите: V x -3 h m -------- . х^9 х - 9 1)0; 2 )-3 ; 3) сю; 4 ) - i ; 8. Вычислите: lim ^+ '8" . ^^_!ęl + ctgX 4 1)0; 2 ) | ; 3 ) - l ; 4)1; 5) 00. 9. Вычислите: lim (х + 4)(1п(х +1) - In х ) . Л-Н-оо 1 ) - 1 ; 2 )2 ; 3 )1 ; 4 ) - i ; 10. Пользуясь определением предела функции в точке, докажите, что: lim —- — = 1. x -> i \2 x - l j 49 Вариант 6 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Найдите область определения ф>лікцйй . 5 - х /Yx) = arcsm------ . - ' ' 2 1) [1;5]; 2) (-о); 3 ]и [7 ; оо) ; 31 f-oo: ООІ; 41 Г З :7 І ; ^ V ' / ' ' 1. ' J ' 5) [ -3 ;-7 ] . 2. Найдите множество значений ф}тікцйй т = - ^ . х + 1 1)[-1;1]; 2)(-<ю;0)и(0;<^); 3 )(-со ;0 ); 4 )(-о о ;о о ); 5) (0;<х^). 3. Что означает следующее высказывание для функции fix)- У S > 0 3 N , что \ / х : \ х \ > N ^ | / ( л : ) |< е. 1) lim /( х ) = 0 ; •Х:->Хо 2) lim Д х ) = А; х -щ 3) lim / ( х ) = 00 ; 4) lim /(x )= oo ; X-^Xq 5) lim / ( х ) = 0. х-^оо 4. Вычислите: X - 5 х + 6 lim -----г-------- . х ^ - 4 1 3 1 1 1) 2 ) - ; 3) f ; 4 ) 12 2 4 4 5) 00. 5. Вычислите; sin2x h m --------. sin7x 1)10; 2 ) | ; 3 ) 1 ; 4 ) - 3 ; 5 ) - 2 . 6. Вычислите: гlim ----- . x-^V x+ly 1 ) ^ ; 2 ) V ^ ; 3 ) - l - ; 4 ) l ? ; е е 5) 00. 7. Вычислите: л/х - 4 п т --------------. х ^ \6 X — 16 1)0; 2 ) - 3 ; 3) « . ; 4) - І ; 5 )^ . 8 8. Вычислите: lim ' + ‘8^ . ^_ ^ ll + ctgx 4 1)0; 2 ) | 3 ) - 1 ; 4 )1 ; 5) 00. 9. Вычислите: lim (х + 3)(1п(х + 1) - In х ) . л:->+00 1 ) - 1 ; 212; 311; 4 1 - - ; .........................................2 51 - . ' 2 10. / Л Пользуясь определением пределя ф^лпеции б точке, докяжите, что* lin i ! ----------- — 3. х -^ \ \ 2 х — 1 ) г r\ D V Вариант 7 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Найдите область определения функции f ( x ) = ^x^ - 6 х + 8 . 1) [1;8]; 2) (-со; 2 ]U [4; со); 3) {-со; со); 4) [2; 4]; 5 ) [ - 8 ; - 1 ] . 2. Найдите множество значений функции / (х) = . 2) ( - 00; 0 )и (0 ; оо); 3) (-оо; 2 ); 4) (-оо; со); 5) (0; О)). 3. Что означает следующее высказывание для функции f ( x ) : V S >0 3 А ,что Vx: |х| > N = > |/(х ) -Я | < г. 1) lim / ( х ) = 0 ; X—>^Xq 2) lim / ( х ) = А ; 3) lim f ( x ) = A; х- с^с 4) lim f i x ) = 00; X-^ Xq 5) lim / ( x ) = 0. X~>00 4. Вычислите: 4 ^ + 2ІШ1 ------------ . х->-1 X +1 1 3 4 1 1) 2) - ; 3) - ; 4) - ; 12 2 5 2 5) 00. 5. Вычислите: l-c o s 4 x h m ------------ . л-->0 хзіпЗх 1)10; 2 ) | 3 ) i ; 4 ) - 3 ; 5 ) - 2 . 6. Вычислите: f3 x + l f ' 'lim -------- х-коуЗх-2у 1 ) ^ ; 2) V I; 3 ) 4 ; 4) e e 5) 00. 7. Вычислите: 3 x ^ -5 2х “h 1 1)0; 2 ) - 3 ; 3) a,; 4) ^ 5 ) i . 8 ' 8. Вычислите: l -c o s 2 x h m ------ г-----. 1)0; 2 )1 ; 3 )-2 ; 4)2; 5) CO. 9. Вычислите: lim (x-2)(ln(x + l ) - ln x ) . х-Н-оо 1)-1 ; 2 )2 ; 3 )1 ; 4 ) - i ; 5 ) - . 2 10. ( Зх ^ 9 Пользуясь определением предела функции в точке, докажите, что: lim ------ = —. л:^зух-1у 2 51 Вариант 8 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Найдите область определения функции — 6х + 8 = ^ • 1) [2; 4]; 2) С-ок l1 u [ 4 ; ю1; ^ Ч ' J L ' / ' 3) ( 1 ;2 ] и [ 4 ;» ) ; 4) [2; 4 ]; 5) (1; 2]. 2. Найдите множество значений фзшкции / (х) = -3^“^. 2) (-со; 0) и ( 0; ^ ) ; 3 ) (-со ;0 ); 4) (-со; со); 5) ( 0; О)). 3. Что означает следующее высказывание для функции / ( х ) : V f > 0 3 Л'', что V x : |х] > А => | / ( х ) - 2| < £. 1) lim / (х ) = 0 i 2) lim / ( х ) = А ; X-*Xq 3) lim / ( х ) = А ; х- с^с 4) lim / ( х ) = со; X->Xq 5) lim f ( x ) = 2 . х - ^ 4. Вычислите; 2 - 4 ^lim — г----------. х-^1 X - 4 9 1 3 4 1 1) 2) - ; 3 ) - ; 4) 12 2 5 56 5) 00. 5. Вычислите: l- c o s 6 x lim -------------- . х-^о xsin2x 1)10; 2 ) | 3 ) і ; 4 )9 ; 5 ) - 2 . 6. Вычислите; л- w — z J l ) ^ - ; 2 )е З ; n o " • 7. Вычислите: х ^ -5 lim ---------. X—>1 "Ь1 1)0; 2 ) - 3 ; 3) со; 4 ) - | ; 5 ) - . 8 8. Вьтислите: 2 sin 4х lim ------т— . л-^о 1)0; 2)16; 3 ) - 2 ; 4 )2 ; 5) 00. 9. Вычислите: lim (х - 5)(1п(х + 1) - In х ) . л:-н-оо П _ 1- ОЛО- Т') 1- _ 1 -5 “ / “ 5 ‘-Z ' ? V 2 ’ ■t /ч i U. ( X ^ 3Пользуясь определением предела функции в точке, докажите, что: lim 1------- = —. л^з V X - и 2 Вариант 9 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 'l . Найдите область определения функции f i x ) = log3 . х - А 1) [ - 3 ; 4 ) ; 2 ) ( - ® ; 3 ] и [ 4 ; о о ) ; 3) ( - » ; - 3 ] и [ 4 ; ® ) ; 4) ( - “ ; - 3 ) и ( 4 ; ® ); 5) ( - 3 ; 4 ] . 2. Найдите множество значений функции /(х ) = :- (^ + 2)2+1. 1 ) [ -1 ;1 ] ;2 ) ( -® ;0 ) и ( 0 ;® ) ; 3) ( - * ; 1 ] ; 4) (-® ; ® ); 5) [1 ;» ) . 3. Что означает следующее высказьшание для функции f i x ) - V£->03 J = (5(£’),4toVx : 0 < |х - 2 і 1 ) И т / ( х ) = 0 ; X—^2 2) lim f i x ) = А ; X-^Xq 3) lim f i x ) = A ; л-»оо 4) lim / ( x ) = oo; X—^Xq 5) lim /(x ) = 2 • 4. Вычислите: 3 - л/х + 5 h m ------ , . х-^А 1 - V5 - X 1) — ; 2) 3) 1 ;4 ) ; 12 3 5 56 5) CO. 5. Вычислите: sin6x h m -------- . jc-^ o tg2x 1)3; 2 ) | 3 ) i ; 4 )9 ; 5 ) - 2 . 6. Вычислите: \ 3 x - 2 j l ) \ ; 2 ) ^ ; 3 ) \ - , 4 ) e ^ ; e e 5) 00. 7. Вычислите: ,. Х -5h m ------- . x->co 2x +1 1)0; 2 ) i ; 3 )® ; 4 ) - | ; 5 ) 7 8 8. Вычислите: lim . x->0 х^ - 1)0; 2)16; 3 ) - 2 ; 4 )9 ; 5) 00. 9. Вьршслите: lim (x - 5)(ln(x + 2) - In x ) . ;C“>+0O 1 ) - 1 ; 2 )2 ; 3)1; 4) - i ; 5 ) T 2 10. Пользуясь определением предела функции в точке, докажите, что: lim ( - —- = —. :c->4VX-ly 3 53 Вариант 10 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Найдите область определения функции N 1 ^ + ^Т 1 Y » — ІГЧСГ . ------J \-'J , •х - 4 ! ) [ - 5 ; 4]; 04 ( ^ . СІІ іГл. . V— ’ 3) ( - 00; 4] U [5; оо) ; 4) (-со;- 5 ) u (4; со); 5) (-5 ; 4]. 2, Найдите множество значений функции / ( х) = - ( х + 2)2 +1. 2 ) ( - « ;0 ) о ( 0 ;« ) ; 3 )(-со ;!]; 4) (-да; со); 5 ) [1; да.). 3. Что означает следующее высказывание для функции f{x): £>0 3 S -5{£),что Vx : 0<]х-2 |< ^ 1) lim / ( х ) = 0 ; х-^1 2) lim f i x ) = А ; х->хо 3) lim / ( х ) = А ; X—>2 4) lim / ( х ) = 2 ; X->Xq 5) lim /(X) = 2 . 4. Вычислите: 4 х - \ lim . vx -1 1 1 3 1 1) 2) 3) - ; 4 ) — 12 3 2 56 5) 0. 5. Вычислите: 1 -c o sx h m ---------- . x->o l-cos2x 1)3; 2 ) | ; 3 ) і ; 4 )9 ; 5 ) - 2 . 6. Вычислите: f" Зх + ОУhm -------- х-^<л\'Зх-2 j 1 ) - ^ ; 2 ) V 7 ; 3 ) ^ ; 4) е 5) 00, 7. Вычислите: x '^ -S hm 2x +1 1)0; 2 ) і ; 3)да; 4 ) - 2 ; 8. Вычислите: 5 Xlim -^ - r— . x-^0 1)0; 2)16; 3 ) - 2 ; 4)25; 5) 00. 9. Вычислите: lim (x + 6)(ln(x + 2) - In x ) . 1 ) - 1 ; 2 )2 ; 3 )1 ; 4 ) - | ; 4 - 10. ( х - Ъ \ Пользуясь определением предела функции в точке, докажите, что: lim ------ I “ ^ . х->0 V X -1 у 54 ТЕСТ «НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ» Вариант 1 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Что означает следующее высказывание для функции / ( х ) : lim f { x ) - A , lim X-*Xq-0 X-^ Xq+0 A = B = f(xQ). 1) Хд - точка разрыва первого рода; 2) Хд - точка разрыва второго рода; 3) Хд - точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функция в точке хд; 5) ни одно утверждение не верно. 2. Выяснить характер точки разрыва функции; [5, х > 2. 1) Хд = 2 - точка разрыва первого рода; 2) Хд = 2 - точка разрыва второго рода; 3) Хд = 2 - точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функция в точке Хд = 2; 5) ни одно утверждение не верно. 3. Выяснить характер точки разрыва функции: Я х ) = — х + 5 1) Хд = -5 - точка разрыва первого рода; 2) Хд = -5 - точка разрыва второго рода; 3) Хд = -5 - точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функция в точке Хд = -5 ; 5) ни одно утверждение не верно. 4, Найдите производную функции: f i x ) = 2 ^ . 1) 2 ^ ; 2) 4 ; 3) Зл/^; 4) ; 5) ^ 1 . 3 Щх 2л/х 3 }[х 5. Найдите производную функции в точке хо =1: C-Jx 5- arctg X 4 0 (л -8 ).^ ^ 40(тс1п5-8).,^ 40(тг In 5 -ь 8 ) . 7Г^ ТТ" , , 40(1п 5-8 ). 40(п 1п5-8) ^ 2 к л Ó. Найдите производную функции; /(x)=::x^tg(3x + l) . 2 2 1) 2xtg(3x + 1) 4--------------------- ;2) 2xtg(3x + 1)---------- -------------- ; cos"^(3x + l) cos"^(3x + l) 2 2 3)xtg(3x + l ) + -------------------- ; 4) 2xtg(3x + 1) + — ---------- ; cos"^(3x + l) sin "‘(Зх-1-1) 3x“ 5) 2xtg(3x-bl)-b------5—------------ cos^ (3x4-1) 7. Функция у { х ) задана параметрически­ ми уравнениями, найдите производную , fx = cos?; У х- \ [jy = / + sm^. 1-t-cosl, .,,jl4-COSl. 1 - c o s l . sin t sin t sin t sin? . sin^ 1 4- cos 1 1 4- cos t 8. Функция у і х ) задана неявно, найдите производную у : х^ + >>^ = 2 х у . х - У 2 1 - 3 / Х ~ У 2 Х - У х - З / 9. Найдите дифференциал функции: / ( ^ ) ~ (х^ + 5х + 4) • 1) 3 ( х Ч 5 х - ь 4 ^ dx; 2 ) 3 (д ;2 ^ 5^ + 4) ^2xdx ; 3 ) 3 (х^ + 5х + 4 ^ (2x4-5); 4) ( ^ 2 5^ + 4) ^d x ; 3) 3(x2+5x-r4)^(2x+5)dx. 10. Найдите / "(х): / ( х ) = х ^In х . 1) 2x; 2) 2ІПХ4-3; 3) 2 x ln x ; 4) 21nx4-2; 5) 21nx. 55 Т>__ '%Oitpusitll ^ № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Что означает следующее высказы­ вание для функции / (х ) ; lim f (x ) = A, lim f { x ) = B, X-^ Xq-0 X— А = Вфў{х^) . 1) Xq - точка разрыва первого рода; 2) Хд - точка разрыва второго рода; 31 V. — ТОЧК-Я VCTnBHMMOrn ПЯЗПЬТВЯ-- / --- — V ’ “Г--------- 1-- Г ---- J 4) / (х) - непрерывная функция в точке Хд; 5) ни одно утверждение не верно. 2. Выяснить характер точки разрыва функции: [1, X > 2. 1) Хд = 2 - точка разрыва первого рода; 2) Хд = 2 - точка разрыва второго рода; 3) Хд = 2 - точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функция в точке Хд = 2 ; 5) ни одно утверждение не верно. 3. Выяснить характер точки разрыва функции: х - 5 1) Хд = 5 - точка разрыва первого рода; 2) Хд = 5 - точка разрыва второго рода; 3) Хд = 5 - точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функция в точке хд = 5 ; 5) ни одно утверждение не верно. 4. Найдите производную функции: / (х) = -ь 4 х . 1) 2^ + 4 ; 2 ) 1 ^ ^ + 4 ; 3 ) ^ ^ ; 4 ) 1 ^ ^ + 4 ; 5 ) ^ ^ . 5 5 5 ^ 5 ^ 5. Найдите производную функции в точке Хо = 1: г-/х т = — ^ + 5 . arcctg X 40(71-8). 40(тг1п5-8). 40(ті1п5 + 8) . 7Т 7С 71 4 0 (1 п 5 -8 ). 40(71 In 5 - 8) .тгЗ гЛ 77 71 6 . Найдите производную функции: / ( x ) = x^ctg(2x4-l). 3 3 1) x^ctg(2x + l ) ----- ----------; 2) 3x^ctg(2x + l) + — ------ ; sin (2х-ЬІ) sin" (^2x + l) 3 3 3) xctg(2x + 1) + --------------; 4) 3x^ctg(2x + 1)------ ^ ------; cos" (^2x + l) sin"‘(2x-l-l) Зх^ 5) 2xtg(2x + l)+ - cos'^(2x + l) 7^ Функціія у’(х) задана параметри­ ческими уравнениями, найдите производную у \ ’- \ ’ [p = ^-i-sin^. j ^ J- 1 ^ ^ A ”T~ 1 ^ ^ ^^ SHT 1 sin? sin? sin? 1 + cos? 5) . 1 + cos? 8. функция у{х) задана неявно, найдите производную у '^ : х Ч / = 2у . , . 3 x ^ - 2 . 3 x ^ - 2 . -Ч x^ . ... 3x^ .< ;л Зх^ -у з / / 2 - / 2 -З у ^ з / 9. Найдите дифференциал функции: 1) 4 ( хЧ 5 х + 4 ) ' '^ ; 2) 4(;ę2^5;c + 4)"2xdx; 3) 4(„2 ^ (2v+5) ; 4) ( 2^ , , л)^(іх; 4 ( v2 _і_ 5 V + 4) (2x+5)dx. 10. Найдите /" (х ); f { x ) ^ l x \n x . . 1 ) 2) 2(1пх + 1); 3) 2х1пх; 4) 1 ; 5) 21пх. І ,v X Вариант 3 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Что означает следующее высказывание для функции f{x)'. lim / (з:) = А, lim / (х) - В, x-*Xq~0 x->X(j+0 А = х> или Д = 00. 1) Xq - точка разрыва первого рода; 2) Хд - точка разрыва второго рода; 3) хд - точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функция в точке хд; 5) ни одно утверждение не верно. 2. Выяснить характер точки разрыва функции; [6, X > 2. 1) Хд = 2 - точка разрыва первого рода; 2) Хд = 2 - точка разрыва второго рода; 3) Хд = 2 - точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функция в точке хд = 2; 5) ни одно утверждение не верно. 3. Выяснить характер точки разрыва функции: 2х -10 1) Хд = 5 - точка разрыва первого рода; 2) Хд = 5 - точка разрыва второго рода; 3) Хд = 5 - точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функщщ в точке хд = 5 ; 5) ни одно утверждение не верно. 4. Найдите производную функции: іА І Г х - . 3 ) « ^ ; 4 ) і г ' ; 5 ) І > . 5 5 5 5 ^ 5 ^ 5. Найдите производную функции в точке Хо = 1: 'i'Jx arctg X 24(71-8). 2 4 (7 tln 3 -8 ). 24(т:1пЗ + 8) . 1? 2 4 (1 п З -8 ). 24(71 In 3 - 8 ) п п 6. Найдите производную функции: / (х) = 2х“^ sin(2x + 1) . 1) 8x^sin(2x + 1) ; 2 ) 4х^ ^cos(2x + 1) ; 3) 8x^sin(2x + 1) + 2х‘^ cos(2x -i-1); 4 ) 8х ^cos(2x -t-1); 5 ) 8x^sin(2x + 1 ) -t- 4x^ cos(2x + 1 ) . 7. Функция у/(х) задана параметригаескими уравнениями, найдите производную у : | x = -cos(? + l); [у = ? + sin(r + l). 1-i-cos(? + l ) , .,^ 1-t-cosr. l-t-cos(^-i-l). sin(?-i-l) ^ sinf sin(/ ^+ l) sin/ ^ . sin(?-Hl) l + cosi ^ l-fcos(^-l-l) 8 . Функция у { х ) задана неявно, найдите про­ изводную у : х^ + у ^ = 21п у . 1) ; 2 ) • 3) ; 4 ) ; 2 - 3 / 2 - / 2 - / 2 - 3 / 5) 2 - 3 / 9. Найдите дифференциал функции: f { x ) = ^ \ n { x + \ ) . 1) ^ dx; 2 ) ]_________ ; 2(x + l ) 2(x + l),yin(x + l) 3) ____ d x ; 4 ) ]__________; 2/ n ( x -f 1) 2(x + l ) / n ( x -ь 1) 5 ) ----------- ^====rdx. 2(x - i- l) /n (x + l ) 10. Найдите /" (х ): / ( х ) = 2х1п(2х). 1) - ; 2) 2(ln(2x) + l ) ;3 ) 2xln(2x); 4) i ; 5 ) 21n(2x). X X 57 D о ж » І ’ТГГІ-І /1*т № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Что означает следующее высказыва­ ние для функции / (х) ; lim f { x ) - A , lim f { x ) = B, X-*Xq-0 X-^ Xq+0 A^B, U | 2 . 1) Хд = 2 - точка разрыва первого рода; 2) Хд = 2 - точка разрыва второго рода; 3) Хд = 2 -точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функция в точке хд = 2; 5) ни одно утверждение не верно. 3. Выяснить характер точки разрыва функции: / w = —2Х-И0 1) Хд = - 5 - точка разрыва первого рода; 2) Хд = -5 - точка разрыва второго рода; 3) Хд = -5 - точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функция в точке хд = -5 ; 5) ни одно утверждение не верно. 4. Найдите производную функции: / ( х ) = ^ С ^ . 1 ) - С ? ; 3 ) 1 ^ ; 4) ^ 1 _ ; 5) ^ 1 _ . 5 10 5 1 0 ^ 1 4 ^ 5. Найдите производную функции в точке Хд = 1: vlx f ( x ) = - ------^ - 3 . arcctg X ,, 2 4 ( д - 8 ) . 2 4 (д 1 п З -8 ). , , 24(д1пЗ + 8) . Т1 % % 2 4 (1 п З -8 ), 24(д1п З-8) ; 2 , 2 п п 6. Найдите производную функции: f ( x ) - x ^ sin(3x-bl). 1) 5x‘^ sin(3x + 1); 2) Зх ^cos(3x +1); 3) 5x"^sin(3x + l) + 3x ^cos(3x + l ) ; 4) 5x^ cos(3x +1); 5) 5x"*sin(3x +1) + x ^cos(3x +1). 7. Функция у(х) задана параметриче­ скими уравнениями, найдите произ­ водную у \ : \х = cos(2 ^+ 1); [у' = / + sin(2f-t-l). 1 + 2 cos(2 ^+ 1) , l + 2 co s2^^ l + 2cos(2^4- l ) . 2 sin(2/-f-l) I s i n l t 2 sin(2^-i-l) 2 sin? . 2sin(2r-f!) 1-I-2COS? l-i-2cos(2?-t-l) 8. Функция у{х) задана неявно, найди­ те производну’ю у : х ^Л-у ^= 2 \ п у . 1) 2) ^ . 3) ^ . 4) 1- / 1- / 1 + / 1- ь / 5) . 1- Т 9. Найдите дифференциал функции: 1 2 1 / ( х ) = ^ 1п(2х + 1) . ^J CLa > , ' ' - ' ЦХ > . '.I'.Tis.T СІЛ 5(2x + l) (2x + l\l\n (2x + \) J ln (2x + 1) . , 1 - . 1 ‘i ) ------------j = = = ' , ------------ =■■■.-dx. (2x + 1) J ln (2x + 1) (2x + 1)л/1п(2х + 1) 10. .ж. ^ агі.^ ,хх 1.>> j j . j j — Л j • 1) - ; 2) 2(ln(2x) + l); 3) 2xln(2x); 4) i ; 5) 21n(2x). X X 58 Вариант 5 ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ "l. Что означает следующее высказыва­ ние для функции / ( х ) : lim f ( x ) = A, lim f ( x ) = B, x-*Xc-0 х-^ .Хо+0 А или В не существует. 1) Xq - точка разрыва первого рода; 2) Xq - точка разрыва второго рода; 3) хд - точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функция в точке Хд; 5) ни одно утверждение не верно. ' 2. Выяснить характер точки разрыва функции: [4, X > 2. 1) Хд = 2 - точка разрыва первого рода; 2) Хд = 2 - точка разрыва второго рода; 3) Хд = 2 - точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функция в точке Хд = 2; 5) ни одно утверждение не верно. 3. Выяснить характер точки разрыва функции: 2х + 12 1) Хд = -6 - точка разрыва первого рода; 2) Хд = -6 - точка разрыва второго рода; 3) Хд = -6 - точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функция в точке хд = -6 ; 5) ни одно утверждение не верно. 4. Найдите производную функции: f i x ) = 2 ^ . 1 ) - ^ ; 2) 1 1 ^ ; 3 ) 1 ^ ; 4)^^ 5 5 5 5 ^ 5 ^ 5. Найдите производную функции в точке Xq =1 : ■yfx т = — ^ - 8 . arctg X 9 б (п -1 2 ) . 96 (д1п З-12). 96(тг1пЗ + 12). ' i ’ 3 ’ 4 ’ Д % Л 96(1пЗ-8) ę, 96(д1пЗ-12) ^ И ’ ’ ^4 п п 6. Найдите производную функции: / (х) = х ^cos(3x.+1). 1) 5х"*8Іп(Зх -ь 1); 2) -15х^ sin(3x + l); 3) 5х"* cos(3x +1) - Зх ^sin(3x +1); 4) 5х' ^cos(3x-ь 1); 5) Зх"* cos(3x +1) -1- Зх ^sin(3x -t-1). 7. Функция у{х) задана параметриче­ скими уравнениями, найдите произ­ водную у '^: Jx = cos(2? + l); [у = sin(2?-l-l). 1) -c tg (2/ + l); 2) ctg(2 0 ; 3) ctg(2f-t-l); 4) -tg(2? + l); 5) -2tg(2? + l). 8. Функция у(х) задана неявно, найди­ те производную у : х^- у^ =21пу . 1) ^ ; 2) ^ ; 3) 4) ; l - y ^ 1- y ^ 1-hy^ 1 + y^ 5) ^ . 1- y 9. Найдите дифференциал функции: 1 3 3 / ( х ) = ^1п(Зх + 1 ) . ' ил 9 i------------ UX 5 1------------ СіЛ 9 (3x + l) 2(3x + l)Vln(3x + l) 2^1п(3х + 1) 4) ; 5) J_______ dx. 2(3x + l)Vln(3x + ł) (3x + l)^ln(3x + l) 10. Найдите /" (х ): / ( х ) = х + 1п(2х). 1) 2 ) 1 + 4 3 )1 + ^ ; 4) 1 ; 5) 4 4x^ X 2x x ^ X 59 ОГЧТЖОЫ’Т' f\ л ^ * * ^ я м » * л ж я. V № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ Что означает следующее высказывание для функции / (д:): 1:_ г/..\ * Hill J - Х-> -0 II™ — т> 11111 J \^л) - и , л-->+0 А^В, Ui2. 1) Xq = 2 - точка разрыва первого рода; 2) Xq = 2 - точка разрыва второго рода; 3) Xq = 2 — точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функция в точке Xq = 2 ; 5) ни одно утверждение не верно.______________ 3. Выяснить характер точки разрыва функции: / ( х ) = a r c t g - i - . х - 2 1) Xq =2 - точка разрыва первого рода; 2) Xq = 2 - точка разрыва второго рода; 3) Xq = 2 - точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функция в точке xq = 2; 5) ни одно утверждение не верно.______________ 4. Найдите производную функции: т = - ^ 1 ) - — 2 ) - ? С ^ ; 3 ) 7 ^ ; 4 ) _ 7 ^ ; 7 5. Найдите производную функции в точке Xq =1: -jn/x т = - — 8 . JS 96(71-12). 96(д1п З-12) . 96(7т1п З + 12) , Za ’ ІЗ ’ ^ ■’п п п 96(1пЗ-8) . 96(л1пЗ-12) arcctg X Найдите производную функции: f i x ) = х^ “"". 1) х ‘"^"Чпх; 2) 2х’"*“’ 1пх; 3) 2х'"^1пх; 4)2х‘"^ ~~*; 5)21пх.___________________ Функция у(х) задана параметрически­ ми уравнениями, найдите производную 2)=ZBl-, 3 ) ^ : 2 2^ ^ - S i n t 4) 2£ ^ ; - s in f sm? 2е'2t 8 . Функция y(x) задана неявно, найдите производную у : х Ч / ^ 2 е ^ . - X1 ) ^ _ ; 2 ) - Л - ; 3 ) ^ - ^ ; 4) у + е ^ у - е ^ У У 5) -У + І 9. Найдите дифференциал функции: / (х) = л/1п(2х - 1) . І) 4) 1 -ах‘,^) 1 1 Г2х - П Г9х - П 4 іпГ2г - П 4 іпГ2х -ПV / V--- -/ --V-- - “X \---■ -/ 1 . . . 1 ох; 2(2х - 1) ^ X 2^ - 1) (2х - l)v'lri(2x - 1) с\ d^x. 10. Найдите /" (х ): / ( х ) = 2х - 1п(2х). 1. 1 . 1 -ЧЧ . 1 . лч 1 . .4 1— т> AM — , -V i----- ; — 4х^ 2х 60 Вариант 7 '№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Что означает следующее высказьгеа- ние для функции / ( х ) : lim f {x ) = A, lim f ( x ) - B , ж- -^0 х-^ +О А или в не существует. 1) Xq = 0 - точка разрыва первого рода; 2) Xq = 0 - точка разрыва второго рода; 3) Xq = 0 - точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функция в точке хд = 0; 5) ни одно утверждение не верно. ' 2. Выяснить характер точки разрыва функции: [4, л: > 2. 1) Хд = 2 - точка разрыва первого рода; 2) хд = 2 - точка разрыва второго рода; 3) хд = 2 - точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функция в точке Хд = 2; 5) ни одно утверждение не верно. 3. Выяснить характер точки разрьша функции: f i x ) = arctg . х + 2 1) Хд = -2 - точка разрыва первого рода; 2) Хд = -2 - точка разрыва второго рода; 3) Хд = -2 - точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функция в точке хд = - 2 ; 5) ни одно утверждение не верно. 4. Найдите производную функции: / ( х ) = 5 ^ . 2 ) 7 ^ ; 3 ) 7 ^ ; 4 )7 ^ ; 5) 5. Найдите производную функции в точке Xq = 1: f (x ) = -------- ^ - 8 . arcctg X , , 384(л1пЗ + 1). 384(71 In3 - 1 ) . .^ , 384(71 + 1). 4 ’ 4 ’ 4 ’ 7t 7t 71 16(7tln3+.l). 384(71 In3 + 1) тс TC 6. Найдите производную функции: / (х) = х ^cos(3x +1) . 1) 6x^sin(3x + l ) ; 2) -18x^sin(3x + l); 3) 6x ^cos(3x +1) - 3x^ sin(3x + 1); 4 ) бх^ cos(3x +1); 5) 6x ^cos(3x +1) + 3x^ sin(3x +1). 7. Функция у(х) задана параметриче­ скими уравнениями, найдите произ­ водную у '^: [х = sin(27-ь 1); [y = cos(27 + l). 1) -ctg(27 + l); 2) ctg(2/ ) ; 3) ctg(27 + l); 4) -tg(27 + l); 5) -2tg(27 + l) . 8. Функция у{х) задана неявно, найди­ те производную у : х ^- у ^ = 2е^. 1) ^ ; 2) ^ ; '3) ; 4) y + e ^ y - e ^ У У 5) ^ . - у + е^ 9. Найдите дифференциал функции: 1 3 3 / М = > ( З х - 1 ) . (З х -1 ) 2 (3 x - l ) V ln ( 3 x - l ) ......... 2V ln (3x-l) 4) ________ ; 5) 1________ dx. 2(Зх-1)лДп(Зх-1) (3 x - l)V ln (3 x - l) 10. Найдите / "(х): / ( х ) - х - 1п(2х). 1) ^ ; 2)1 ^ ; 3)1 ^ ; 4 ) 1 ; 5) ‘ . 4х X 2х X X 61 ьариант » № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ ł. Что означает следующее высказывание для функции / ( х ) : lim / ( х ) -А , lim / ( х ) = В, дг->-0 д:-»+0 А ^ В ^ Д х о ) . 1) Х() =0 - точка разрыва первого рода; 2) xq = 0 - точка разрыва второго рода; 3) Xq = 0 - точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функция в точке xq = 0; 5) ни одно утверждение не верно. 2. Выяснить характер точки разрыва функции: ■ ' х - 2 1) Xq = 2 - точка разрыва первого рода; 2) Xq = 2 - точка разрыва второго рода; 3) Xq = 2 - точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функция в точке Xq = 2; 5) ни одно утверждение не верно. 3. Выяснить характер точки разрыва функции: / ( х ) = arcctg х + 2 1) Xq = -2 - точка разрыва первого рода; 2) Xq = -2 - точка разрыва второго рода; 3) Xq = -2 - точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функция в точке xq = -2 ; 5) ни одно утверждение не верно. 4. Найдите производнзто функции: / ( х ) = Д - + 200 - 1) ^ ^ ; 2 ) ? С ^ ; Ъ)-1х^-Ч~х\ 4) 7 5) 1 _ + 200- 5. Найдите производную функции в точке хо = 1: f(x) = -------^ - 8 . arctg X 384(тс1пЗ + 1). 384(тс1пЗ-1), , , 384(ті + 1) . п 7Г 71 16(тс1пЗ + 1) , 384(ті1п3 + 1) ^ 3 и 71 6. Найдите производную функции: / ( х ) = х '-в « ’« . 1) х ^•e“ ®^ (6 -bxsinx); 2) 6х ^ s in x ; 3) х^-e®°^ '*(6 - s in x ) ; 4) х ^ •e®°®^ (6 - x s i n x ) ; 5) х ^•e®°^ '^ (6 - x c o s x ) . 7. функция у{х) задана параметрическими }фавнениями, найдите производную у : | х = е^'; [у = sin ł. 1) ; 2) 3) ; 4) ; 5) -cos»" 2е^‘ -cost cost 2е^‘ 8. функция у(х) задана неявно, найдите про­ изводную у : х ^- у? =3е^. 2 2 2 V V 2 1) 7 ; 2) / ; 3) ; 4) ^ ^ ; у +6-*^ у -е-^ у у „2 5) — ±------- -у^+рУ 9. Найдите дифференциал іЬчнкцйй: / ( х ) = > ( 3 х ) . 1) — dx; 2 )---- 3 ) — ~ d x ; Зх 2xJln(3x) 2л,/іп(3х) 4) i ____ ; 5) i ------- dx. 6xjln (3x) 3xjln(3x) 10. Найдите /" (х ): / ( х ) = 5х - 1п(2х). 1 . .4 , 1 . .4 , 1 1 - o 1Ч — y, i --- , 4 )1 ------, 4 ; ^ , 5 ) ----- .V --2 -И 62 Вариант 9 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Что означает следующее высказывание для функции f{x)'. lim f i x ) = А, lim f { x ) = В, х->-0 х->+0 А = В ^ / ( xq ). 1) Xq = 0 - точка разрыва первого рода; 2) xq = 0 - точка разрыва второго рода; 3) Xq = 0 - точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функция в точке Xq = 0; 5) ни одно утверждение не верно. 2. Выяснить характер точки разрыва функции; д ^ ) = к ± | х + 2 1) Xq - - 2 - точка разрыва первого рода; 2) Xq = -2 - точка разрыва второго рода; 3) Xq = -2 - точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функция в точке Xq = -2 ; 5) ни одно утверждение не верно. 3. Выяснить характер точки разрыва функции: 1 / ( х ) = 6- -^2. 1) Xq = 2 - точка разрыва первого рода; 2) Xq = 2 - точка разрыва второго рода; 3) Xq = 2 - точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функция в точке Xq = 2; 5) ни одно утверждение не верно. 4. Найдите производную функции: 1 ) — С " ; 2 ) 7 ^ ; 3 ) - 7 ^ ; 4) 7 ; 5) І - . С " 5. Найдите производную функции в точке хо =1: 4^ f i x ) - -------^ + 18- arctg X , 128(тг1п4-2). .,.1 2 8 (7 1 -2 ) . , , 1 2 8 (1 п 4 -2 ). 71 7Г 71 128(л1п4 + 2 ). 128(тг1п4-2) 3 ’ ~ 3 п тс 6. Найдите производную функции: Д х ) = х^-е^“ ^ 1) х ^•e*‘",^(6 + x c o s x ) ; 2) 6 х ^ cosx; 3) х ^■ е®*"* (6 - cos х ) ; 4 ) х ^• (6 - х cos х ) ; 5) х ^■e®“'^ (6 - x s in x ) . 7, Функция у(х) задана параметрическими уравнениями, найдите производную у : |х = е^'; [у = sin 2t. , , cos 27 . , , - c o s 2 f . , , е '^ . е^ '‘ е^‘ е^‘ - c o s 27 cos 27 -2 cos 27 8. Функция уіх) задана неявно, найдите про­ изводную у : х Ч / = З е Д 2 2 2 V V 2 1) / ; 2) / ;' 3 ) - / ; 4 ) ^ ^ ; у^+еУ у^-еУ / / 5) f . -у^ + 9. Найдите дифференциал функции: f ix) = л^1п(4х) . 1) -^ d x ; 2) — , ^ d x ; 3 ) -■■5 ^-dx; 4х 2х^1п(4х) уІН4х) 4) J ____ ; 5) і _____dx. 8хД п(4х) 4х.,уіп(4х) 10. Найдите f"ix)\ / ( х ) = 5х ■+1п(2х). 1 ) - - ^ ; 2 ) 1 + і ; 3 ) l + -L ; 4 ) - - L; 5 )1 . 4х л: 2х X X 63 in----1 ' ^” № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ Что означает следующее высказывание для функции / (х ) : 1: А i :. .. г г . л г» ши J \Л) = л, ши у = D, х-)~0 x->+0 А ф В , U | < oo, 1^1 < < 1) Xq = О - точка разрыва первого рода; 2) xq = О - точка разрыва второго рода; 3) xq = О - точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функция в точке xq = О ; 5) ни одно утверждение не верно.______________ 2. Выяснить характер точки разрыва функции: ІХ-ЗІ т = х-Ъ 1) Xq = 3 - точка разрыва первого рода; 2) Xq = 3 - точка разрыва второго рода; 3) Xq = 3 - точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функщм в точке Xq = 3; 5) ни одно утверждение не верно.______________ 3. Выяснить характер точки разрыва функции: I 1) Xq =:-2 - точка разрыва первого рода; 2) Xq = - 2 - точка разрыва второго рода; 3) Xq = -2 - точка устранимого разрыва; 4) / (х) - непрерывная функция в точке Xq 5) ни одно утверждение не верно._________ -2; 4. Найдите производную функции: - 10- 1) Х ^ - ^ ; 2) - 7 х ^ - ^ ; 3) 7 4 ) - 7 - y i ^ ; 5 ) 7 - ^ . х ^ ^ 5. Найдите производную функции в точке ^0 = 1: / ( х ) = - ^ - у - - 1 8 . arcctg X 128(тг1п4-2). ^^128(71-2). 128(1п4-2) .І) ------------------- J Z) ------------- , Ó) --------- -------- , 128(д1п4 + 2 ). 128(тг1п4-2) 7Г Л Найдите производную функции: / ( х) = (2х)'“(2х)_ x '" ^ ^ * h n (2 x ) . ( 2 x ) ‘" ^ ^ * h n (2 x ) . 2 1 n ( 2 x ) ,■ ) Z) ---------------------- , Зу ————— j X X X 4 ^ 2(2х)'"^^^^ ln ( 2 x ) . 2 ( 2 х ) '”^^ ^^ Функция у(х) задана параметрическими уравнениями, найдите производную у : sinf - s in / 2е^‘ ,, 2е^‘ - s in / i) ■ ■■ ■ ■ 2е2t ; 2.) 3) ■: 4 ) _ ; 5) е ‘^ - s in / sin / 2е21 \ ‘2t ^\х = е - 2; = cos/. Функция у(х) задана неявно, найдите про­ изводную у : х^ ^+у^ = 4еЗ'. 1) ^ ; 2) 3 ) f l_ E ^ ; 4) £ ^ л 1 / - е > ' У У 5) у +6'у ТІ^ .Ч------ ----- . . . . . . . . . . л . . . . ----- /іі./'-».. 1\ . Г" 1) З) (2 х -1 ) 1 -dx; 2) (2х - V)yjln{2x -1 ) -1- Ь 1гНг; 4) ' 7 іп(2х - 1 ) + 5 ’ " 2(2х - 1 ) 7 іп(2х - 1 ) + 5 ’ • ^ <— ------------ ') І /Ц 2х-1 )^ 1п (2х-1 ) + 5 jdx. 10. Найдите /" (х ): / ( x ) = -1 0 x - ln (2 x ) . _L 14 ^ • 04 1 ^ • -5Л 1 ^ • /!Ч ^ ^i ----! 1----- J ->)----• 4x"" X 2x x"^ X 64 ТЕСТ «ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ» Вариант 1 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Найти уравнение касательной к линии / (х) = tgx в точке пересе­ чения с прямой х = ~- 4 \) у = 2 - х \ 2 ) у ^ х + 2 - - - , Ъ) у ^ 1 х + \ - - - , 4 ) у = - - - , 2 2 2 5 ) у = х - \ . 2. С помощью правила Лопиталя 2 ^ -1найти: lim х->01п(1 + 2х) 1)0; 2)-2; 3) оо; 4) -21п 2; 5) ln V 2 . 3. С помощью правила Лопиталя найти: lim (sin хУ®*. 7tх~>—2 1)0; 2)1; 3)со; 4 ) 1 ; 5) 2 2 '4. Найдите в момент времени tg = 2 абсолютные величины скорости и ускорения точки, движущейся по закону s(t) + 1 ) V ^ , 2 ; 2)1, 2 ; 3)1, 0; 4 )15, 12; 5 )0 , 0. 5. Функция /(д:) = 1пд:-1-і-5- X 1) убывает на интервале (О; 1), возрастает на интервале (1;-|-оо); 2) убывает на интервале ( - 4; -2 ) u (-2; 0 ), возрастает на интер­ вале (-оо ;-4 )и (0 ;о о ); 3) возрастает на интервале (1;оо); 4) убывает на интервале (-оо; О) u (0; оо); 5) убывает на интервале (-1; О) u (0; оо), возрастает на интервале 6. Функция / (х) = ---. 1 + X 1) не имеет экстремумов; 2) имеет минимум в точке х = 2 In 3 ; 3) имеет максимум в точке х = 2; 4) имеет минимум в точке х = -1 и максимум в точке х = 1; 5) имеет минимум в точках х = +2 и максимум в точке х = 0 . 7. функция у(х) = х'^ - 6х^ + 5. 1) вогнута на интервале ( - c o ; - l )u ( l ;o o ) , выпукла на интервале 2) вогнута на интервале (-оо; О), выпукла на интервале (0; оо); 3) вогнута на интервале (0;оо), выпукла на интервале (—оо; 0); 4) вогнута на интервале (-оо; - 0,5) u (0,5; оо), выпукла на интер­ вале (-0 ,5 ;0 )и (0 ;0 ,5 ); , 5) вогнута на интервале (-0 ,5; 0) u (0; оо), выпукла на интервале (-< « ;-0 ,5 ). 8. Найдите асимптоты кривой 1 у = 2*+1. 1) х = - 2 ; 2) у = 0 ;3 ) х = -1 , >’ = х - 2 ; 4 ) х = -1 , у = \', 5) х = -1 , у = 2х-2. 9, Найдите наибольщее и наимень- щее значения функции f{x) = x + 4x на отрезке [О; 4] • У наиб. ~ у найм. ~ 0 , 2) — 2, — 0 , ^ У наиб. ~ Унаим. ~ ^ ' У наиб. ~ Унаим. ~ ^ ’ У наиб. ~ Унаим. ■ 10. Найдите стороны прямоугольника наибольшей площади, вписанного в 2 2 X Уэллипс-----h - — = 1, стороны кото- 16 25 poro параллельны осям координат. 1) л/2, 5 І 2 ; 2) З І2 , 5 ^ 2 ; 3) 4л/2, 5^/2 ; 4) 4уІ2, 4 І ; 5) 4V2 , 6V2 . 65 Вариант 2 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Найти уравнение касательной к ли­ нии x + ;; + sinj^ = 0 в точке (0; 0). 1 ) у - 2 - х ; 2 ) ;; = ;с + 2 - ^ ; 3 ) ; ; ^ 2 х + 1 - - ;2 2 4'! V-1•У J' — — 2. С помощью правила Лопиталя найти: 2C^OS X -1 lim In(sinx) 2 1)0; 2 )-2 ; 3) оо; 4) -21п 2; 5) ln V 2 . 3. с помощью правила Лопиталя найти: lim (cosx)^^^*п л 1)0; 2)1; 3 ) « ; 4 ) 1 ; 5 ) - . 2 2 4. Найдите в момент времени tQ=0 абсолютные величины скорости и ускорения точки, движущейся по закону s(t) = te~'. 1 )V '^ , 2; 2)1, 0; 3)1, 2 ; 4 )15 , 12; 5 )0 , 0. 5. Функция f ( x ) = -------+ 1- x-t-2 1) убывает на интервале (О; 1), возрастает на интервале (1; + с«); 2) убывает на интервале ( - 4; -2 ) u (-2 ; 0 ), возрастает на ин­ тервале (-со; - 4) u (0; оо) ; 3) возрастает на интервале (1; о о ) ; 4) убывает на интервале ( - о о ; О) u (0; 00); 5) убывает на интервале (-1; О) u (0; 00) , возрастает на интер­ вале (—оо;-1). 6. Функция / (x) = 2x + arctgx • 1) не имеет экстремумов; 2) имеет минимум в точке х = 2 In 3 ; 3) имеет макстіум в точке х = 2; 4) имеет минимум в точке х = -1 и максимум в точке х = 1; 5) имеет минимум в точках х = ±2 и максимум в точке х == 0 . 7. Функция j (x ) = 2x^ -h In X . 1) вогнута на интервале ( - о о ; - 0,5) u (0,5; 00) , выпукла на интервале f -0 ,5 ;0 )u (0 ;0 ,5 ) ; 2) вогнута на интервале ( - о о ; О), выпукла на интервале (0; о о ); 3) вогнута на интервале (0;оо), выпукла на интервале 0); 4) вогнута на интервале (-оо; -1 ) u (1; оо), выпукла на интер­ вале (-1;1); 5) вогнута на интервале (-0 ,5; 0) U (0; 00) , выпукла на интер­ вале (-со;- 0 ,5 ) . 8. Найдите асимптоты кривой Л 2х^У — ------ . х + 1 1 )х = -2 ; 2 ) у = 0 ; 3 ) х = -1 , j^ = x - 2 ; 4 ) x = - l , >' = 1; 5) х = -1 , JP = 2 х - 2 . 9. Наидитс каи6ольш€о и наи^юкыпбб значения функции / ( х ) = л/4 - х ^ -------------------------------- г -.^1 У наиб. ~ У найм. “ O’ У наиб. ~ У найм. “ ^’ 3) - 1 ^ ■ 4) 0 • ^ Унаиб. — У найм. ~ ^ У наиб. ~ У найм. ~ ~ ’ .> Л Унаиб. ~ 5^ У найм. ~ . 10. Найдите наименьщее значение сум­ мы двух положительных чисел, про- ТЖОТ>Л Т Т Л Т Т Т Га ТЛЛ"Т>Л»ЧТ T V *ЧГ»Т^ТТЛ /-» I W U V '^ I .V X l i r iV Г Ч Ч /І Ч /^ ^ Ш Л . р с т о п w U . 1)о"; 2 )2 V a ; 3 ) — ; 4 ) І £ ; 5 ) ^ , i Іб 2 8 J___________________________________________________________ 66 Вариант 3 J(° _ 1. ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ Найти уравнение касательной к линии Гл: = ^-5ІП?, 71 J в точке t = — ■ = 1 - cos t 2 1)> ^= 2 - х ; 2 ) jp = x + 2 - - ; 3 ) _ y = 2x + l - - ; 4 ) у = - £ ; 2 2 2 5) у = х - \ . 2. С помощью правила Лопиталя найти: ln(l + x^)hm ------— • 1п(^ - arctgx) 1)-2; 2)0; 3) оо; 4) -21п 2; 5) ln V 2 . 3. С помощью правила Лопиталя найти: ;t->0 1)0; 2)1; 3 )« ); 4 ) 1 ; 5 ) 1 . 2 2 4. Найдите в момент времени = 1 абсо­ лютные величины скорости и ускорения точки, движущейся по закону: x = 5 t , y - t ^ . . 1 ) 1 , 2)1, 2 ; 3)1, 0; 4 )15, 12; 5 )0 , 0. 5 25 5. Функция / ( х ) = -----• д: 1) убывает на интервале (О; 1),возрастает на интервале (1; + оо); 2) убывает на интервале ( - 4; - 2 ) u (-2; 0 ), возрастает на ин­ тервале [ -о о ;-4 )и (0 ;о о ); 3) возрастает на интервале (1;оо) ; 4) убывает на интервале (-оо; О) u (0; оо); 5) убывает на интервале (-1; О) u (0; оо), возрастает на интерва­ ле (-оо;-1). 6. Функция f (x ) = —— 2х -ь 3 . 1) не имеет экстремумов; 2) имеет минимум в точке х = 2 In 3; 3) имеет максимум в точке х = 2; 4) имеет минимум в точке х = -1 и максимум в точке х = 1; 5) имеет минимум в точках х = ±2 и максимум в точке х = 0 . 7. 1 Функция у{х) = е ^■ 1) вогнута на интервале (-оо; - 0,5) u (0,5; оо), выпукла на ин­ тервале (-0 ,5 ;0 )и (0 ;0 ,5 ); 2) вогнута на интервале (-оо; О), выпу'кла на интервале (0; оо); 3) вогнута на интервале (0; оо), выпукла на интервале (-оо; 0) ; 4) вогнута на интервале (-0 ,5 ; 0) u (0; оо), выпукла на интерва­ ле (-о о ;-0 ,5 ); 5) вогнута на интервале (-оо; -1 ) u (1;оо), выпукла на интерва­ ле (-1;1). 8. Найдите асимптоты кривой 3^ = ^ / 2- 1) х = -2 ;2 ) j = 0 ;3 ) х = -1 ,> ’ = х - 2 ; 4 ) х = -1,>’ = 1; 5) х = -1 , у = 2 х - 2 . 9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции / ( х ) = ^ на -1 отрезке [-0 ,5; 0 ,5]. У наиб. — У найм. У наиб. “ У найм. 1 ^ . 4^ О ^^ . ^ У наиб. ~ ~~^’ Унаим. ’ ' У наиб. ~ У найм. ~ ^ ’ У наиб. ~ У найм. ~ “ 13 . 10. В параболу, заданную уравнением >> = 3 - х^, вписать прямоугольник наибольшей площади так, чтобы одна его сторона лежала на оси Ох, а две другие вершины на параболе. 1) квадрат со стороной 2; 2) прямоугольник со сторонами 1 и 2; 3) квадрат со стороной 3; 4) ромб со стороной 2; 5) параллелограмм со сторонами 1 и 2. 67 Вариант 4 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Найти уравнение касательной к ли- 4 4 лНИИ X + у = 2ху в точке (i; i) . 1) у = 2 - х ; 2) у = х + 2 - —;'2) >' = 2х + 1 - —;4) у = - —; 2 2 2 «л . . _ „ 1 у — л 1 • 2. С помощью правила Лопиталя 1п(1 + 2х^)наити: hm • 1п(7Г - 2arctgx) 1)0; 2 )-4; 3) оо; 4) -21п 2; 5) lnV2 ■ 3. С помощью правила Лопиталя .. .. Г 1 Унаити; hm 1 . л->іул:-І2 1)0; 2 ) 1 ; 3)со; 4)1; 5 ) 1 . 2 2 4. Найдите в момент времени tQ=0 абсолютные величины скорости и ускорения точки, движущейся по закону - St - 1 = 0, где 5 = s(t) . 1 ) V ^ , 2; 2)1, 2 ; 3)1, 0; 4 )15 , 12; 5 )0 , 0. 5. е-^ Функция f ( x ) = ----- • 2х 1) убывает на интервале (О; 1); 2) убывает на интервале ( - 4 ;-2 ) u (-2; 0 ), возрастает на ин­ тервале (_оо;-4 )и (0;оо); 3) возрастает на интервале (1;оо) ; 4) убывает на интервале (-оо; 0) u (0;оо); 5) убывает на интервале (-1; О) u (0; 00) , возрастает на интер­ вале (-оо;-1 ). 6. 2 Функция / (х) = х^ . 1) не имеет экстремумов; 2) имеет минимум в точке х = 2 In 3 ; 3) имеет максимум в точке х = е; 4) имеет минимум в точке х = -1 и максимум в точке х = 1; 5) имеет минимум в точках х = ±2 и максимум в точке х = 0. 7. функция у(х) = arctgx + 2х . 1) вогнута на интервале ( - о о ; - 0,5) u (0,5; 00) , выпукла на ин­ тервале (-0 ,5 ;0 )и (0 ;0 ,5 ); 2) вогнута на интервале (-оо; О), выпукла на интервале (0;оо); 3) вогнута на интервале (0;оо) , выпукла на интервале (-оо; 0); 4) вогнута на интервале (-оо; -1 ) cj (1; оо), выпукла на интерва­ ле (-1;1); 5) вогнута на интервале (-0 ,5; 0) u (0; 00), выпукла на интер­ вале (-о о ;-0 ,5 ). 8 . Найдите асимптоты кривой 1) X = - 2 ; 2) р = 0; 3) X - -1 , р = х - 2 ; 4) х = -1 , р = 1; 5) х = -1 , р = 2 х - 2 . 9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции /’/'ч 4 _______/ = X — ОХ ^ ка и ipciiKc [-2; 2]. Уиаиб, Уиагш. “ ® Уиаиб. “ Уиаим, ~ ® ’ ■ЗА i 4 ^ 103) у ^ = —1 у = — : 4) V ^ = 9 V = ----- ;■^ иаио. у HdiLM. 2 ' ' ' c^iuo. ^йайлі. ^ ' У наиб. Унаим.~~'У^‘ 10. Из круглого стержня диаметром d необходимо вырезать балку прямо­ угольной формы с основанием а и высотой h. При каких значениях а и п прочность оалки будет наиболь­ шей, если известно, что прочность балки пропорциональна ah^ . d , d-j2 „ч 2d , d 4 2 л^ za , d a = —r=, h = —r='> d i d i 4) a = y = . h = ^-^- ; i ) a = Ą = . h = d 4 i ■І'У ' . / 'З .І'І' "V V V 68 Вариант 5 № 1. ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ Найти уравнение касательной к ли­ нии X = в точке пересечения с прямой у = 0- 1) >^ = 2 - х ; 2 ) у’ = х + 2 - —;3) у = 2х + 1 - —',‘^ ) у = - —-, 2 2 2 5) j^ = x - l . 2. С помощью правила Лопиталя найти: lim ------------ x-»2t[ ln(C0S x) 1)0; 2)-2; 3) оо; 4) -21п 2; 5) ln V 2 . 'з. С помощью правила Лопиталя найти: ІІП, г ' Г . .X—>-1\Х + 1у 1)0; 2)1; 3 ) « ; 4) i ; 5 ) 1 . 2 2 4. Количество электричества протека­ ющее через проводник, начиная с момента ^= 0 определяется форму­ лой Q = 2t ^+ 3t + l . Найти силу тока в конце пятой секунды. 1)23; 2)24; 3)20; 4)22; 5)25. 5. функция / ( х ) = -------• х - 2 1) убывает на интервале (0; 1), возрастает на интервале (1; + оо); 2) убывает на интервале ( 0; 2) u (2; 4 ), возрастает на интер­ вале ( - 00; о) u (4; оо); 3) возрастает на интервале (1;оо); 4) убывает на интервале ( - о о ; О) u (0; оо); 5) убывает на интервале (-1; О) u (0; оо), возрастает на интер­ вале (-оо;-1). 6. 3 Функция / (х) = . 1) не имеет экстремумов; 2) имеет минимум в точке х = 2 In 3 ; 3) имеет максимум в точке х = е; 4) имеет минимум в точке х = — 1 и максимум в точке х = 1; 5) имеет минимум в точках х = ±2 и максимум в точке х = 0 . 7. функция у(х) = In 2х + 2х^ . 1) вогнута на интервале ( - о о ; - 0,5) u (0,5;о о ) , выпукла на интервале ( -0 ,5 ;0 )и (0 ;0 ,5 ) ; 2) вогнута на интервале (-оо;0), выпукла на интервале (0;оо); 3) вогнута на интервале (0;оо), выпукла на интервале ( -< » ; 0); 4) вогнута на интервале (-оо; -1 ) u (1; оо), выпукла на интер­ вале (-1;1); 5) вогнута на интервале (-0 ,5; 0) u (0; оо), выпукла на интер­ вале (-о о ;-0 ,5 ). 8. Найдите асимптоты кривой у = 1п(х + 2 ) . 1) X = -2 ; 2) V = 0; 3) X = -1, у = х - 2 ; 4 ) х = -1, >' = 1; 5) х = -1, у = 2 х - 2 . 9. Найдите наибольщее и наименьшее значения функции / ( х ) = х ^/ 3 - 2х^ + 2 на отрезке И ; 2]. Унаиб. ~ 6 , Унаим. —9 , 2) у^^^цў — 2 , З’нсггш. 4 Унаиб. Унаим. “ ' “ ‘J ’ Унаиб. ~ Унаим. Унаиб. ~ 2, Унаим. — " 'І З . 10. Найти наибольщую площадь тре­ угольника, у которого сумма основа­ ния и высоты равна а. \ ) а ^ ; 2 ) 2 у [ а \ 3 ) — ; 4 ) ^ ; 5 ) — . 1 6 2 8 69 Вапиант 6 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Найти уравнение касательной к линии X = 2е^ в точке пересечения с прямой /лу = и. 1) > ' = 2 - х ; 2 ) у = д: + 2 - ^ ; 3 ) ;^ = 2х + 1 - - ; 2 2 4) у = - ^ ; 5 ) v = i x - l . 2 2 2. с помощью правила Лопиталя найти; lim ^ • 1п(1 + Зх) 1)0; 2 )-2 ; 3) оо; 4) -21п 2; 5) lnV2 . 3. с помощью правила Лопиталя найти: И т ( л — 1)Х^-2). 1)0; 2)1; 3)е; 4 ) 1 ; 5 ) ^ . 2 2 4. Точка движется по закону Р ?x(t) = --------г т Зг • в какой момент 6 времени ее ускорение равно нулю. 1)2; 2)3; 3)0; 4)5; 5)6. 5 . Функция / ( j c ) = — + 4х- X 1) убывает на интервале (О; 1), возрастает на интервале 0 ; + « ) ; 2) убывает на интервале ^ _ l ; o j u ^ O ; l j > возрастает на ин­ тервале |^-оо; _ i j u | ^ l ; 00j ; 3) возрастает на интервале (1; оо) ; 4) убывает на интервале (-оо; О) и (0; оо); 5) убывает на интервале (-1; О) u (0; оо), возрастает на интер­ вале (-оо;-1 ). 6. Функция / ( х ) = 5 + 4х - х^ . 1) не имеет экстремумов; 2) имеет минимум в точке х = 2 In 3 ; 3) имеет максимум в точке х = 2 ; 4) имеет минимум в точке х = —1 и максимум в точке х = 1 ; 5) имеет минимум в точках х = ±2 и максимум в точке х = 0 . 7 . 2 Функция у(х) = е* . 1 ) вогнута на интервале ( - о о ; - 0,5) u (0,5; о о ) , выпукла на интервале (-0 ,5 ;0 )и (0 ;0 ,5 ) ; 2) вогнута на интервале (-оо ;0 ) , выпукла на интервале (0;со); 3) вогнута на интервале (О; о о ) , выпукла на интервале (-<^1 0 ) ; 4) вогнута на интервале (-1; О) и (0; о о ) , выпукла на интер­ вале ( - о о ; - 1 ) ; 5) вогнута на интервале (-0 ,5; 0) u (0; оо), выпукла на интер­ вале (-о о ;-0 ,5 ). 8 . З х ^и<атхттт»'т'л ooTłTkłTT /^^T^T т .. _ х - 1 1) X = - 2 ; 2) = 0 ; 3 ) X = -1 , = х - 2 ;4) х = -1 , у = 1; 5 ) х - 1 , > ’ = 3 х - 3 . 9 . Найдите наибольшее и наьшеньщее значения функции ■7 о/' ^v ^ — v* ^ / '^ -L 0 о . Л ый Г - 1 - о11 ‘ 7 " J • ^7 У наиб. ~ У найм. ~ ® ’ 7 ) У наиб. ~ Унагш. “ ^ ’ 04 50 ^ , 10 3) = — . V.,....... - 6 ' , 4) = 2 . v „ ..... = -------- ; 3 ' 3 -’7 У наиб. ~ У найм. — J • 10, Найти наибольшую площадь прямо­ угольника с периметром а. 1)а^; 2 ) — ; 3)2л/а; 4 )— ; 5 ) — .1 л т ож V u 70 Вариант 7 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Найти уравнение касательной к ли­ нии / (х) = ctgx в точке пересече- пния с прямой X = — • 4 1) у = 2-х ' , 2) у - x + 2 - —’,'i) >> = 2х-1-1-—; 2 ^ 2 4) у = - £ ; 5 ) у ^ х - \ . 1 . С помощью правила Лопиталя 2Sin^ x: найти: l im - ----------- ln(cos х) 1)0; 2 )-2 ; 3) оо; 4) -21п 2; 5) ln V 2. 3. С помощью правила Лопиталя найти: lim (ln(x-l-l))'^ . лг-^ О 1)0; 2)1; 3)с»; 4 ) 1 ; 5 ) 1 . 2 2 4. Точка движется по закону г (/) = (^ - sin t)i -ь (1 - cos f) J . Чему равно абсолютное значение ускоре­ ния в момент времени t - п 1)2; 2)4; 3)0; 4)0,25; 5)6. 5. Функция / ( х ) = ------ . X 1) убывает на интервале (О; 1), возрастает на интервале 0;+°о); 2) убывает на интервале ( - 4; -2 ) u (-2; 0 ), возрастает на ин­ тервале (-со ;-4 )и (0 ;о о ); 3) возрастает на интервале (1;оо); 4) убывает на интервале (-оо; О) u (0; оо); 5) убывает на интервале (-1 ;0 )и (0 ;оо ), возрастает на интер­ вале (-оо;-1). 6. х^функция / (х) = —--- - . 1-х^ 1) не имеет экстремумов; 2) имеет минимум в точке х - 0 ; 3) имеет максимум в точке х = 2 ; 4) имеет минимум в точке х = -1 и максимум в точке х = 1; 5) имеет минимум в точках х = ±2 и максимум в точке х = 0 . 7 . функция ;;(х) = 2х^ - In З х . 1) вогнута на интервале (-оо; - 0,5) u (0,5; оо), выпукла на интервале (-0 ,5 ;0 )и (0 ;0 ,5 ); 2) вогнута на интервале (-оо; О), выпукла на интервале (0;оо); 3) вогнута на интервале (0;оо), выпукла на интервале ( - « ; 0); 4) вогнута на интервале ( -o o ; - l)u ( l;o o ) , выпукла на интер­ вале (-1;1); 5) вогнута на интервале (-0 ,5; 0) u (0; оо), выпукла на интер­ вале (-о о ;-0 ,5 ). 8. Найдите асимптоты кривой 1 у = 3^-1. 1 )х = -2 ; 2 ) у = 0 ;3 )х=^-1 , у = х - 2 ; 4 ) х = 1, у = 1; 5) х = -1, у = 2 х - 2 . 9. Найдите наибольщее и наименьшее значения функции / (х) = х'* - 5х^ -t- 3 на отрезке [-2; 2]. У наиб. ~ Унайм. “ ® У наиб. ~ У найм. ~ ® > ' У наиб. “ У найм. У наиб. ~~ У найм. ~ ^ ’ 5) - 3 - - 1 1 ^ Унаиб. Унаим. ^ 10. Найти наибольшую площадь прямо­ угольника, вписанного в полукруг радиуса а. 1 ) а ^ 2 ) 2 V a ; 3 ) — -, 4 ) ^ ^ ; 5 ) ^ . 16 2 8 71 Ваоиант 8 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Найти уравнение касательной к ли­ нии / (х) = tg2x - 2 в точке пересе­ чения с прямой х = ж. 1)> ^= 2 - х ; 2 ) у = х + 2 - - ; 3 ) у . = 2х + 1 - - ; 2 2 ач — „ О.ТГ „ ОУ — > -'J у — ■ 2. С помощью правила Лопиталя наити: hm л->1 łn(2 - х) 1)0; 2 )-2; 3) оо; 4) -41п4; 5) 1пл/2 . 3. С помощью правила Лопиталя Г 1наити: Hm x ^ 2 V x - 2 y 1)1; 2)0; 3 ) ® ; 4 ) 1 ; 5)^1. 2 2 4. Найдите в момент времени = 2 абсолютные величины скорости и ускорения точки, движущейся по закону s(t) = 4 t - t ^ . 1 ) V ^ , 2; 2)1, 2; 3)1, 0; 4)15, 12; 5 )0 , 0. 5. Функция / ( х ) = ---------4- X 1) убывает на интервале (О; 1); 2) убывает на интервале ( - 4; -2 ) kj (-2 ; 0 ), возрастает на ин­ тервале (-о о ;-4 )и (0 ;о о ); 3) возрастает на интервале (1; оо) ; 4) убывает на интервале (-оо; О) u (0;оо); 5) убывает на интервале ^ _ l ; o j u ( 0 ; o o ) , возрастает на ин­ тервале 1 - 00--1 1. V ’ 1) 6. Функция / (х) = (х -1- 2) 1п(х + 2). 1) не имеет экстремумов; 2) имеет минимум в точке х = (1 — 2е)е~^; 3) имеет максимум в точке х = 2; 4) имеет минимум в точке х = -1 и максимум в точке х = 1; 5) имеет минимум в точках х — ±2 и максимум в точке х = 0 . 7. х^Функция f(x^ = ^ ^ 1 .. 1 — л 1) вогнута на интервале (-оо; - 0,5) u (0,5; °о), выпукла на ин­ тервале (-0,5; 0) u (0; 0,5); 2) вогнута на интервале (-оо;1), выпукла на интервале (1;оо); 3) вогнута на интервале (0;оо), выпукла на интервале (-оо; 0); 4) вогнута на интервале (-оо; - 1 ) u (1; оо) , выпукла на интер­ вале (-1;1); 5) вогнута на интервале (-0 ,5; 0) u (0; оо), выпукла на интер­ вале (-оо; - 0,5). 8. Найдите асимптоты кргаой 1 у = 4^+1. І) = '—Z J Z) у = 0 'у 3) X — у ~ X ~ Z t X = ~~\у у = 1 V - - 1 1 J -9 V - 9 ^ . 9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции / (х) = х - у[х на отрезке [О; 9]. Унаиб. “ У найм. ~ ^, 2) — 2, — 0 , ^ Унаиб. ~ Унайм. ~ ' Унаиб. ~ У найм. ~ ^ ’ Унаиб. — Унаіш. • 10. Найти наименьшее значение полу- периметра прямоугольника, пло­ щадь которого равна а. 2 cZ ,, yja , , i) а ; z.) 2vu ; 3) — ; 4 ) ---- ; 5) — . 16 2 8 72 Вариант 9 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Найти уравнение касательной к линии X - 2jp + sin у = 0 в точке (0; 0). 1) y = x ; 2 ) y = x + 2 - —;3) j^ = 2x - t - l -—; 2 2 4) = 5) y = x - l . 2 2. С помощью правила Лопиталя „ 4 * - 4 наити: hm х- 1^ 1п(2 - х) 1)0; 2 )-2; 3) oo; 4) -41n4; 5) lnV2 . 3. С помощью правила Лопиталя 1 найти: lim (i + sin2^)^- х->0 1)0; 2)1; 3)«); 4 ) 1 ; 5 ) ^ . 2 2 4. Найдите в момент времени = 0 абсолютные величины скорости и ускорения точки, движущейся по Itзакону s{ t ) - t e ■ 1 ) V ^ , 2; 2)1, 2; 3)1, 0; 4)15, 12; 5 )0 , 0. 5. Функция / ( х ) = ------ + 3. 2х 1) убывает на интервале (O; l ) ; 2) убывает на интервале ( - 4; -2 ) u (-2; 0 ), возрастает на ин­ тервале (-о о ;-4 )и (0 ;о о ); 3) возрастает на интервале (1;°о); 4) убывает на интервале (-оо; О) U (0; со); 5) убывает на интервале (-0 ,5 ; О) u (0; ос), возрастает на ин­ тервале (-оо; ^ - 0 , 5 ) . 6. Функция / (х) = (х - 2) 1п(х - 2). 1) не имеет экстремумов; 2) имеет минимум в точке х = (2е + 1)е~^; 3) имеет максимум в точке х = 2; 4) имеет минимум в точке х = -1 и максимум в точке х = 1; 5) имеет минимум в точках х = ±2 и максимум в точке х = 0 . 7. 2х^Функция / ( х ) = 1 + х 1) вогнута на интервале (-оо; - 0,5) u (0,5; оо), выпукла на ин­ тервале (-0 ,5 ;0 )и (0 ;0 ,5 ); 2) вогнута на интервале (-оо;0), выпукла на интервале (0;оо) ; 3) вогнута на интервале (-1;оо), выпукла на интервале ( - ^ ; - 1 ) ; 4) вогнута на интервале (-оо; -1 ) u (1; оо), выпукла на интерва­ ле (-1;1); 5) вогнута на интервале (-0 ,5; 0) u (0; оо), выпукла на интерва­ ле ( -оо;-0 ,5) . 8. Найдите асимптоты кривой у = 1п(х - 2 ). 1 ) х - - 2 ; 2)j ; = 0 ; 3 ) x = - l , у = х - 2 : 4 ) х = - 1 , у = \\ 5) х = -1, >’ = 2 х - 2 . 9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции / { х ) - \ І 9 -х ^ на отрезке [-3; З ]. У наиб. ~ у найм. У наиб. “ У найм. ' Унаиб. ~ Унаим. ~ ' Унаиб. ~ Унаим. ~ ^ ’ Унаиб. ~ Унаим. ~ ' 10. Найти траекторию движения и ве­ личину скорости в момент времени /q = 7Г, если задан закон движения: г(f) = 2 sin ti + 3 cos t j ■ 2 2 2 2 1) — + — = 1, у(л) = 0 ; 2 ) — = 1 v(tc) = 0; 4 9 9 4 3) 9х^ - 4у^ = 36, у(я) -1 ,5 ; 4) 4х^ - 9у^ - =36, у(я) = 1,5; 5) х ^ = 4у, у(я) = 3. 73 В а р к а н т 10 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Найти уравнение касательной к ли­ нии = 1ху - 1 в точке (1; 0). 1) y = 2 - x ; 2 ) y = x- i -2-7t /2;3) у = 2х + 1 - д / 2 ; 4) y = - x / 2 ; 5) y = 2 x - 2 . О С помоіцью прйБилз Лопитзля сХ г найти: lim ^ ■ х- 1^ 1п(2 - х) 1)0; 2 )-2; 3) oo; 4) -51n5; 5) lnV2 . 3. с помощью правила Лопиталя 1 найти: lim (і + соз2 х)2^-я - x^njl 1)0; 2)1; 3)«>; 4) i ; 5 ) - . 2 2 4. Найдите в момент времени ?q = 0 абсолютные величины скорости и ускорения точки, движущейся по закону - 1 s t - 2 - 0, где s - s { t ) . 1) 4 ^ , 2 ; 2) 1, 2 ; 3) 1, 0; 4) 15, 12; 5)21n2, 2 1 n 2 ( l - l n 2 ) . 5. Функция f ( x ) ~ 2 • 1) убывает на интервале (O; l ) , возрастает на интервале 2) убывает на интервале (3; 9), возрастает на интервале 0)u (0 ;3 ) u ( 9 ;c» ) ; 3) возрастает на интервале (1; оо) ; 4) убывает на интервале ( - о с ; О) u (0; оо); 5) убывает на интервале (-1; О) u (0; оо), возрастает на интер­ вале (-о о ;-1 ). 6. функция / (х) = (х + 5) 1п(х + 5) . 1) имеет минимум в точке х = (—5е + 1)е~^; 2) не имеет экстремумов; 3) имеет максимум в точке х — 2 ; 4) имеет минимум в точке х = —1 и максимум в точке х = 1; 5) имеет минимум в точках х = ±2 и максимум в точке х = 0 . 7. Функция / (х) = arctg3x + 3 . 1) вогнута на интервале ( - о о ; - 0,5) u (0,5; о о ) , выпукла на ин­ тервале (-0 ,5 ;0 )и (0 ;0 ,5 ); 2) вогнута на интервале (-о о ;0 ), выпукла на интервале (0;оо); 3) вогнута на интервале (0;оо), выпукла на интервале (-оо; 0); 4) вогнула на интервале (—оо; - i) cj (1; о о ) , выпукла на интерва­ ле (-1;1); 5) вогнута на интервале (-0 ,5; 0) u (0; оо), выпукла на интер­ вале (-о о ;-0 ,5 ). 8. Найдите асимптоты кривой ^ (1-х)2 1 ) х = - 2 ; 2 ) у = 0 ; 3 ) х = -1, jy = x - 2 ; 4 ) x = - l , у = 1; 5) х = -1, у' = 2 х - 2 . 9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции / ( х ) = х - л/х на отрезке ГО; 4 І .L ' J ‘) Унаиб. ~ У найм. ” ® У наиб. У найм. ~ ® ’ 4-^ у наиб. “ У найм. У наиб. У найм. У наиб. ~ У нат . . 10. Найти траекторию движения и вели­ чину скорости в момент времени iQ = Я . vCJlIi ЗаДаК Закон ДБЙЖёНРіл^ r{t) = 4 sin ti + 3 cos t j 2 2 2 2 л 1) — + — = 1, v(7t) = 0; 2 ) = 1 у(я) = — ; 16 9 9 16 4 2 2 2 2 , , X V X V 3 ------ — = 1, у(л) = и; 4 ) ------- —^ = 1 v(7t) = — ; 16 9 9 16 4 5) х^ = 16у, г(л) = 0 . /4 ТЕСТ «ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ» '№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Изобразить область определения функ­ ции г{х,у) = \ Ц у + \ . Л Найдите частные производные функции z = xy - 2 х + Ъу. 1) 7'^ = / - 2 ; 7 '^ , =2xj;-i-3; 2) z '^= у ^ - 2 ; z ' y = 2 x y - 3 . ; 3) z \ = 2 x y - 2 ; z ' y = 2xy + 3; 4) 7 ' ^= - 2;7 '^ = 2xy - 2 x ; 5) z \ = y ' ^ + 3y ,z 'y = 2xy + 3 . 3. Найдите , если z = у е ^ ^ . дх^ 1) y^(3 + xy)e'^; 2) {\ + xy)e^ ■, 3) x{2 + xy)e^ 4) y(2 + xy)e^ 5) y ^ e ^ . 4. Найдите производную сложной функ­ ции z = ху^ , если X = s\nf, у = е‘. 1) d7/dt = (1 -h 2tg0e^^ cos 2) dzjdt = (1 - cos t\ 3) d7/dt = (1 + 2oXgt)e^ ^cos f, 4) dzj dt = (1 -H tgt)e^ cos t; 5) d7/dt = {4-tigt)t^ cos t . 5. Для функции и = х yz найдите полный дифференциал d u . 1) 2xyzdx-x zdy + x _yd7; 2 22) 2xv7dx + x 7dy + x _yd7; 2 23) xyzdx + x 7dy-f-x ydz; 2 24) 2xyzdx + x yzdy-^x yd7; 5) 2xy7dx + x zdy + xydz. 6. В точке Я (1 ,1, 2) уравнение касатель­ ной плоскости к поверхности 2 2X + у = 4 - 7 имеет вид. l ) > ’-i-7 = 0 ; 2 ) 2 x + 2>’ + 7 - 6 = 0 ; 3) 4x+_y-5 = 0; 4) _y-27 + l = 0; 5) x-i-_y-2 = 0. 7. 2 2Функция z = 3х + 6у + х - х у + у имеет локальный... 1) Mhhhm}3vi в точке (-4, -5); 2) Минимум в точке (5, 5); 3) Минимум в точке (2, 0); 4) Минимум в точке (-1 ,-1 ); 5) Не имеет экстремума. 8. Найдите производную функции и = л]у + х^ В точке А по направлению вектора АВ, Я(2,0), 5(3,1). 1) l/y/lÓ; 2) л/2 ; 3) 5 ^ / 8 ; 4) -0,5; 5) 2V5/ 5 . 9. В точке Я(1, 0) градиент скалярного по­ ля u = xtgy равен... 1) ^ ; 2) l /e ( -27+ ] + 2 k ; 3) J ; 4) 27+1/е;-;5) 1/б7+ў + 5 /З Ь 10. Функция z = 4x + 4y + x^ +у^ в области x < 0;7 < 0;jc + >’> - 3 имеет наиболь­ шее 7| и наименьшее 72значения... 1) 7і =0,72 = - 6 ; 2) zj =3,72 = - 8 ; 3) 7j = 0,72 = - 7 ,5; 4) 7j = 0,72 = - 8 ; 5) 7і =3,72 = -9 . 75 в ариянт 2 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Изобразить область определения z(x, у) = !п(х + >’) . -лZ. Найдите частные производные функции z = arctg(^7 ) + 2 х . 1) = т / ( і + (ТУ)^) + 2; z ' y ^ y j i y + ixyY'y, 2) z ' , = i/ ( i + ( ^ ) 2 ) + 2 ; z '3 ,= i/ ( i + (x>;)2); 3) z \ = y l ( \ + { x y f ^ + 2-, z ' y ^ x j y + i x y f y 4) г'^, = у Д і + х^) + 2; z ' y = y j ( \ + y^y, 5) г'х = т / ( і + ^ Д + 2 ;а 'з ,= х Д і + / ) . 3. Найдите , если z = . ду^ 1) >'^(3 + x>')e^ -^ ; 2) ( l + xy)e^ ; 3) х(2 + л7 ) е ^ ; 4) y(2 + xy)e^ ; 5) 4. Найдите производную сложной функции z = ху^ , если 2x = cost; y = t . 1) (l-i-2tg0e^^ cos?; 2) (1-tgOe^^ cos?; 3) (l + 2ctg?)e^^ cos?; 4) (4-?tg?)?^cos?; 5) (4 + ?tg?)?^cos?. 5. Для функции и - хе^^ найдите пол­ ный дифференциал d u . 1) e-^ ^dx + xze^dy’-l-xye^dz; 2) e-^ ^dx + дуе-^ d^y + xye^dz; 3) xe-^dx + xze^dy-1-xye-’^ d^z; 4) g'^^dx + xze^^dy + xyze^^dz; 5) e-^dx + xze^^dy + e^^dz. 6. В точке Я (0 ,1,1) уравнение каса­ тельной плоскости к поверхности z' ^ = у имеет вид. 1) _y-i-z = 0; 2) 2x-t-2j + z - 6 = 0 ; 3) 4x + _K-5 = 0; 4) >’- 2 z + l = 0; 5) x + j - 2 = 0. 7. Ф>тткция г = у X + У у - ху имеет ло­ кальный... 1) Миним>лт в точке (-2, 0); 2) Максимум в точке (-1 ,-1 ); 3) Минимум в точке (2, 0); 4) Минимум в точке (5, 5); 5) Не имеет экстремума. 8. Найдите производную функции л и = х \п у в точке А по направле- ТТТТТ/^ ТД «л л и yf / 1 1 \ / Т о лxijriiU Bcivivpa Ли, 1 )1 /VW; 2 )V 2 ; 3) 5V2/ 8 ; 4)-0,5; 5) 2V5/ 5 . ОУ. r> / L,KJj 1 ^K. i^/ip~ него ПОЛЯ U — xzjу равен.. . 1) k\ 2) у е ( -2 І + ] + 2к); 3) } ; 4) 2І+Уе]\ 5) 1 /б 7 + у Ч 5 /З Ь 10. Функция z, - А х + Ау + х +у в об­ ласти -3 < л: < 0; - 3 < V < 0 имеет найбольпіее z. и наименьшее 1 Z2 значения... П Г. г= П 7- = -ń • 21 7. = Т = _8 •i j -J ' '; “2 “1 -'■>“2 г 3) Z| = 0, Zt = -8 ; 4) z, = 0, Z2 = -7 ,5 ; 5) zj =3,Z2 = -9 . 76 Вариант 3 ЗАДАНРІЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Изобразить область определения функции z(x,у) = s j x - у . 2. Найдите частные производные у функции z = X ^ (х у ) . 1) z'^ =2х1п(ху) + х; z '^ = х /у ; 2) z \ = 2х 1п(лу); z 'y= х ^ /у ; 3) z'^ =2х1п(ду) + х; z ' y = x ^ l y ; 4) z'^ =xln(xy) + x; z ' y = x / y ; 5) z'^ =2х1п(ду) + х; z'y = x ^ / y . 3. Найдите -■ - - , если z = . дхду 1) + 2) (l + xy )e^ ; 3) x(2 + x y ) e ^ ; 4) y(2 + xy)e^; 5) y ^ e ^ . 4. Найдите производную сложной функции z = ху^ , если X = In?; у = л/?. 1) (l + 2tg?)c^^cos?; 2) (l-tg?)e^^cos?; 3) 1 + ln?; 4) 1 + іпл/?; 5) (4-t-ftg?)?^cos?. 5. >уДля функции и = у]пх найдите полный дифференциал d u . 1) — dx + lnx^dy; 2) — dx + ybix^dy; X X 3) -^dx+ lnx^dy ; 4) — dx + lnx^dy; X X 5) —=^dx + Lnxdy. X 6. В точке ^(1, 1, 0) уравнение каса­ тельной плоскости к поверхности 2 2 2X + у = 2 - z имеет вид... 1) y + z = 0; 2) 2x + 2y + z - 6 = 0 ; 3) 4x + y - 5 = 0; 4) y - 2 z + l = 0; 5) x + y - 2 = 0. 7. Функция z = е '^' ^(х + у^) имеет ло­ кальный... 1) Минимум в точке (-2, 0); 2) Минимум в точке (5, 5); 3) Минимум в точке (2, 0); 4) Максимум в точке (-1 ,-1 ); 5) Не имеет экстремиста. 8. Найдите производную функции 1 2 2 2и - л^ ]х + у + Z В точке А по направлению вектора АВ, А(\Л,0), 5 (0 ,1Д). 1) l/VlO; 2) л/2 ; 3) s V I / s ; 4) -0,5; 5) 2V5/ 5 . 9. В точке А(1,е) градиент скалярного поля w = x^ ln y равен... 1) 2) 1/е(-2/ + у-1-2^); 3) у ; 4) 2/н-1/еу; 5) 1/67+}- + 5 /3 L 10. 9 9Функция z = 4х + 4у + X + у в об­ ласти - 4 < х < 0 ; - 4 < у < 0 имеет наибольшее Z| и наименьшее Z2 зна­ чения... 1) Zj = 0, Z2 = - 6 ; 2) Zj = 3, Z2 = - 8 ; 3) zi =0,Z2 = - 8 ; 4) Zj =0,Z2 = - 7 ,5 ; 5) zi =3,Z2 = -9 . 77 кариант ч № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Изобразить область определения функ- тттттт /0-V“__ 2. Найдите частные производные функ­ ции z = . y ) z \ ^ y e - y l ' l x ^ - z ' ^ ^ e - y l ‘ lx - ‘, ) z \ ^ - y z ^ y > y x ^ - , z ' , ^ - z - y i y x - , 5) z / л: ^; z = e~>'l‘ l x . 3. тт - X VН айдите------- , если z = уе . дудх 1) У ^(3 + ху)е^У; 2) (1 + xy)e"^ ; 3) x(2 + xy)e'^; 4) y{ l + xy)e^^ \ 5) y ^ e ^ . 4. Найдите частные производные слож- •у ной функции z = ху , если х = г/у; y = ujv. \) z '^^3u^lv; z \= -u^ lv^ - , 2) z'„ =«V v; z \ = - u ^ l v ^ \ 3) z '„ = 3 hV v; z V = wV v^ 4) z \ = 3 mV v; z ; = - u^Iv; 5) z ' ^ = u ^ l v ; z \ = - u ‘^ /v^. 5. Для функции и = yz sin X найдите пол­ ный дифференциал d u . 1) yzcosxdx-l-sinxdy-l->’sinxdz; 2) _yz cos xdx +z sin xdy + У'sin xdz; 3) yzcosxdx + zcosxdy’-l-ysinxdz; 4) -yzcosxdx + zsinxdy-fysinxdz; 5) y’zsinxdx-fzsinxdy-t-ysinxdz;. 6. В точке Д(2, -3, 0) уравнение касатель­ ной плоскости к поверхности -•ł о + Z = 1 - у имеет вид... 1) y + z = 0; 2) 2x-i-2y-i-z-6 = 0 ; 3) 4 x + > '-5 = 0; 4) y - 2 z + l = 0; 5) x + >^-2 = 0. 7. 3 3функция z = x +у -15х>^ имеет ло­ кальный... 1) Минимум в точке (-2, 0): 2) Минимум в точке (5, 5); 3) Минимум в точке (2, 0); 4) Минимум в точке (-1, -1); 5) Не имеет экстремума. 8. Найдите производную функции и = xyz в точке А по направлению век­ тора АВ, Д(1,1,1), 5(1,2,2). 1 )V 2 ; 2 )l/V lO ;; 3 ) 5 ^ / % ; 4)-0,5; 5) 2V5/ 5 . 9. В точке Д(1, 2,-1) градиент скалярного поля и = уе^jx равен... 1) к - , 2) 1/б7+}- + 5 /3 ^ ; 3) } •; 4) 2 .1 + 1/е у ; 5) 1/е (—2/ + / + 2 л ). 10. 9 9/^Чт тт-гті»тттт/пг _ Л 1 Л -* « 1 1 ■» »" 1-» ^ ТТЛ ' і ' 'У АІХЧІІІІЎІ ^ ■— ‘~ х Л i ' -Т V i 1 V' ІЗ І ІГІ V С\ » т . ^ Л • 1 л ТТ"» /"\ПП ХТГ\ ТХ^Ч /*Ч TXT л- — '-^5-А у ^ ixfcxirlV^ OjiJD” nieezi и наименьшее ^2значения... 1) Zł = 0, z-ł = —61 2) Zł = 3, z-ł = ^ 81 _ п = _й • д ') т, = 0 Т-. = _7 5 ■ - у “ 1 “ ł “ 2 > V “ 1 '7. — Т т - — —Q /6 Вариант 5 № ЗАДАНР1Я ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ Изобразить область определения функции z(x, у) = 1п(2х - у) . 2. Найдите частные производ­ ные функции г = агс8Іп,Уі-ду . 1) z \ = 0 ,5 ^y /{x ( i -xy ) ) ; z \ = 0 ,5^x /{y{ \ -xy ) ) ; 2) z \ = - ^ y l { x ( l - x y ) ) ; z ' y = - ^ x / { y ( l - x y ) ) ; 3) = -0 ,5 ^ т /(^ (1 -Т У )) ; z 'y= -0 ,5 ^x /{y ( l -x y ) ) - , 4) г'х=^ІУІ{х(^-ху)); z ' y = ^ x / { y ( l - x y ) ) ; 5) z ' ^= - 0 ,5 ^ у / (x ( l-xy )) ; z 'у = - 0 ,5 ^ х /(y ( l- xy)) . 3. Н айдите------- , если дудх z ^ y e ^ ^ y . 1) у \ 3 + ху)е^^У; 2) 2y{\ + 2 x y ) e ^ ; 3) 2x(l + 2xy)e^^; 4) 4y(l + xy )e^^ ; 5) 4. Найдите частные производ­ ные сложной функции 2Z = ху , если д: = wsinv; у = vlnw. 1 ) z 'y = v lnMsinv(lnw + 2); z'y =гл’1п m(vcosv + 2); 2 22) z'„ =v 1пм8Іпу(1пм-ь2); z '.j, =wvln M(v-b2sinv); 3) z'j^ = v lnwsmv(lnw-i-2); z \ =Mvlnw(vcosv-i-2sinv); 'У 4) z'j ^ = vlnwsinv(lnw-i-2); z'^ =Mvln w(vcosv4-2sinv); 5 ) z'j^=v 1пмыпу(1пм4-2); z у = wvln w(vcosv-i-2smv). 5. Для функции и = х 1п(ху) найдите полный дифферен­ циал dw. 1) (l-i-ln(25/’))dx+x/jyd_y; 2) \n(xy)dx+x/у dy; 3) (l-bln(3y))dx-i-l/_yd>’; 4) xdx + x/ydy; 5) \n{xy)dx + l/ydy;. 6. В точке Д(1, 1,-1) уравнение касательной плоскости к по- л л л верхности z = (х -1)^ -ь _у имеет вид... 1) y + z = 0; 2) 2x3-2y-bz-6 = 0 ; 3) 4x + > '-5 = 0; 4) y - 2 z + \ = Q\ 5) x + y - 2 = 0 . 7. Функция z = x л-у имеет локальный... 1)Минимум в точке (-2, 0); 2) Минимум в точке (5, 5); 3) Минимум в точке (0, 0); 4) Минимум в точке (-1 ,-1 ); 5) Не имеет экстремума. • 8. Найдите производную функ­ ции и = arctg(xy') в точке А по направлению вектора АВ, А(1,2), 5 (2 ,5 ). 1) l/VlO; 2) л/2 ; 3) 5 ^ ^ 2 / 8 4) -0,5; 5) 2^/5/5. 9. В точке ^ (1 ,1 ,1 ) градиент скалярного поля w = ^/l/2 + xV 2 + 3 / + 5 z ^ равен... 1) ł ; 2) 1/е(-2І+] + 2к); 3) ] ; 4) 2І+\/е]; 5) 1/61+] + 5ІЗк. 10. 2 2Функция z = 4x + 4y + x + у в области х > 0 ;у ’> 0 ;х + >'<3 имеет наибольшее Zj и наимень­ шее Z2 значения... 1) Zi =0,Z2 = - 6 ;2 ) zi =3,Z2 = - 8 ; 3) Z] = 0, Z2 = - 8 ; 4) Zj = 21, Z2 = 0 ; 5) Zj =3,Z2 = -9 . 79 ьариант 6 № ЗАДАНРІЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Изобразить область опреде­ ления функции z(x, у) = ln(x - 2у ) . 2. Найдите частные производ­ ные функции z = arccos ^ Jl-xy . 1) г 'х=0 ,5^у1{х( \ -ху ) ) ; z'y =0 ,5^х/{у(1-ху)) ; 2) г \ = - ^ у І ( х ( 1 - х у ) ) ; z ' y = - ^ x l { y ( l - x y ) ) ; 3) z'^ = -0 ,5 ^ /у /(х (1 -х у )); z',, = -0 ,5 jx / ( y ( l - x y ) ) ; 4) z \ = ^ y / { x i l - x y ) ) ; z ' y = ^ x / { y ( l - x y ) ) ; 5) z \ = -Q,5^y^l{x{\ - x y ) \ , z ' y = - 0 ,5 ^ x / { y ( l - x y ) ) . 3. Найдите — , если ду^ z = ye^”’. 1) у \ з + ху)е^^У; 2) (l + xy)^^^; 3) 4х(1 + ду)е^'^; 4) y(2 + xy)e^^-, 5) y ^ e ^ ^ . 4. Найдите производную о сложной функции z = ху , если x = sin/; у ^ е * 1) (l + 3tg/)e^^ cos/; 2) (l + tg/)e^^ cos/; 3) (l + sin/)e^^ cos/; 4) (1 - 3tg/)e^^ cos/; 5) (l-i-3tg/)e^^sin/;. 5. Для функции и = у 1п(ху) найдите полный дифферен­ циал d u . 1) y /xdx + (l-i-ln(;iy))dy; 2) 1п(ду)сЗх-Гу/хсіу; 3) (l-i-ln(xy))dx-l-l/xdy; 4) xdx+x/ydy; 5) \n.{xy)dx+\/ydy;. 6. В точке И(1, 1,-1) уравнение касательной плоскости к по- верхности z = (х -f 1) + у имеет вид... 1) y + z = 0; 2) 2x + 2y-i-z-2 = 0; 3) 4x + y - 5 = 0; 4) y - 2 z + l = 0; 5) x + y - 2 = 0. 7. Функция 2 2Z = - X - у ч-1 имеет ло­ кальный... 1) Минимум в точке (-2, 0); 2) Миним>'м в точке (5, 5); 3) Минимум в точке (2, 0); 4) Максимум в точке (0, 0); 5) Не имеет экстремума. 8. Найдите производную функции и = arcctg(xy) в точке А по направлению вектора АВ, /1(1,2), /1(2,5) . l ) - l /V l0 ; 2 )-V 2 ; 3) 5^2 /8 ; 4)-0,5; 5) 2V s/5 . 9, В точл/е 1 1 'І гпяттирит скалярного поля 1 2 2 2 и ^ X 3 V Ч" S z рЗ-ВСК.. . i) л , Z) у e { - z i + j + zK) ; z) j ; ‘^ ) zi + y e j , 5) 1/37+y - f -5/3 L 10. функция О Т -z = 4X0 - ч у - X' - у ^ в обла­ сти х > 0 ;у > 0 ;х + у < 4 имеет наибольшее Z| и наименьшее Z2значения... 1) Zi = 0,Z 2 = - 6; 2) z , = 3, Z2 = - 8; 3) Zi = 0 , Z 2 = - 8 ; 4) Zi = 0 , Z 2 = - 7 ,5 ; 5) Zi = 8,Z 2 =0. Вариант 7 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Изобразить область определе­ ния функции z(x, = 1п(2х + у ) . 2. Найдите частные производные 'У функции z = x 1п(лу) + 2 х . 1) z ' ^ = 2х 1п(х>^ ) + X + 2; z'y = х / у ; 2) =2х1п(ху); z ' y = x ^ l y \ 3) 2 х ki(x>’) + X-1-2; z '^ = х ^ /у ; 4) z'у. = х ln(x>’) + х', z 'у = x jу \ 5) z ' ^ = 2x 1п(лу) -h X + 2; z = x^/у . 3. Н айдите------- , если дхду z = ye^^y. \) у \ Ъ + ху)е=^- 2) 4y(l + xy)e^^; 3) 4x(l + xy)e^^; 4) y(2 + xy)e^’^ ; 5) 4. Найдите производную сложной функции z = ху^, если x = cost; у = е‘ 1) (l + 3tg0c^^ cos?; 2) (l + tg?)e^ ^cos?; 3) (1 + sint)e^‘ cos?; 4) (3 - tg?)c^ ^cos?; 5) (l + 3tg?)e^^sin?;. 5. Для функции u = yz cos X найдите полный дифференциал dw. 1) _yz cos xdx +sin xdy + y^ sin xdz; 2) y^zcosxdx-bzsinxdy ч-y^sinxdz; 3) y’zcosxdx + zcosxdy^ + y'sinxdz; 4) -y'zsinxdx + zcosxdy’ + y^cosxdz; 5) yz sin xdx + z sin xdy + у sin xdz;. 6. В точке А{0, 1 ,1) уравнение ка­ сательной плоскости к поверх- 2ности z = у+ х имеет вид. 1) x + y^-2z + l = 0; 2) 2x-i-2_y + z - 6 = 0; 3) 4x + _y-5 = 0; 4) y’- 2 z + l = 0; 5) x+>’- 2 = 0. 7. 3 3функция Z - X + у - %хуимеет локальный... 1) He имеет экстремума; 2) Минимум в точке (5,5); 3) Минимум в точке (2, 0); 4) Минимум в точке (-1 ,-1 ) ; 5) Минимум в точке (8/3, 8/3). 8. Найдите производную функции u = ^Jy + x ^ + 2 b точке А по направлению вектора АВ, А(2,0), 5(3,1). l)l/V T0; 2 )V 2 ; 3) 5л /з/і2 ; 4)-0,5; 5) л/з/4. 9. В точке А{\, п/2) градиент ска­ лярного поля и = xctgy равен... 1 )-у ; 2) 1/е (~2і + j + 2к ) ; 3 ) к ; 4 )2? + 1/еУ; 5) 1/6/ + j + 5/3 Л . 10, Функция z = 2х + 2у + х^ + у^ в области x > 0 ;> '> 0 ;x + jy<3 имеет наибольшее Zj и 1) Zi =0,Z2 = - 6 ; 2) zj =3,Z2 = - 8 ; 3) Zj = 16, Z2 = 0 ; 4) Zj = 15, Z2 = 0 ; 5) zj =3,Z2 = -9 . наименьшее Z2 значения... 81 TJ 0 » ^ » Ж О Ш Т Т Г ' о № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Изобразить область опреде­ ления ф>Т1КЦИИ 2 z(x,y)= ^ -------- ^ Ъ х - у 2. Найдите частные производ­ ные функции z = а г с щ ф ^ . 1) z \ = 4 y / [ ^ 4 x { \ - x y ) y , z ' y = 4 x l ( 2 ^ [ \ + xy)y, 2 ) ^ 'х = л /т / (2-Vx(1 + ху) ) \ z 'у {2-Jy ( і -t-x^y)j ; 3) z';, = л /ў Д 2 ^ х ( і + ху)); z ' y = 4 x l ( 2 ^ { \ + xy)y, 4) z \ = ^ l [ 2 x { \ + xy))\ z '^ = л /х /(2 у (і-ьх у )); 5) z';, = іД 2 л /х (і + ху)); z'j, = lД 2^/ў(l4■ xy)). 3. Н айдите------- , если дудх z = ye~^^y. 1) у2(3-ьху)е-2^; 2) {\ + xy)e~'^^- 3) -4x(l + x )e"^^; 4) - 4 y ( l - x y ) e '^ ^ ; 5) 4y . 4. Найдите производную слож­ ной функции 2 = ху^, если X = In у = 2t. 1) (1 -h 2tgr)e^^ cos t; 2) (1 - cos t; 3) 8/^(1-1-3InO; 4) 1-blnл/F ; 5) (4 + ftgO^^cosO 5. Для функции и = 2х 1п(х;;) найдите полный дифференци­ ал d u . 1) (2-b21n(^y))dx-i-2x/ydy; 2) 2\n{xy)dx + 2x/ydy; 3) (l-i-ln(^y))dx-bl/ydy; 4) 2xdx + 2x/ydy; 5) ln(xy)dx-f 1/ydy;. 6. В точке Я(1, 1,-1) уравнение касательной плоскости к по­ верхности z' ^= х^ + ( у - з ў имеет вид... l ) y - f z = 0 ; 2 )2x-i-2y-i-z-6 = 0 ; 3) 4x-i-y-5 = 0; 4) y - 2 z 4-1 = 0; 5) x -2y4-z4-2 = 0. 7. Функция z = х^ -1- - 8лу -f 6 имеет ло­ кальный... 1) Минимум в точке (8/3, 8/3); 2) Минимум в точке (5,5); 3) Минимум в точке (2, 0); 4) Минимум в точке (-1 ,-1 ); 5) Не имеет экстремума. 8. Найдите производную функ­ ции и = 2arctg(xy) в точке А по направлению вектора АВ, А(1,2), 5 (2 ,5 ). l)l/V T0; 2 )V 2 ; 3) 5 ^ / S ; 4)-0,5; 5) 2л/з/5 . Г\У. i l^ivC у'! i 5 ірЦДІіСхІІ _ / скалярного поля и = /х равен... 1) к; 2) е \ - 2 І + ] + 4к); 3) } ; 4) 2i + l / e j ; 5) 1/6/4-ў + 5/3 L 10. Функция z = 2х 4- 2у -ь х^ -f- в области X < 0;у < 0;хч-у > -3 имеет наибольшее zj и наименьшее Z2 значения... 1) zi =0,Z2 = - 6 ; 2) zj =3,Z2 = - 8 ; 3) zj = 16, Z2 = 0; 4) Zj = 15 ,Z 2= -1 ,5 ; 5) Zi =3,Z2 = -9 . j__________________________________________________ 82 Вариант 9 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Изобразить область определения функции z(x, _у) = log3 (2х - у ) . 2. Найдите частные производные функции: z = arcsin^jc^>^j. 1) z \ = \ ! ; z ' y = x / y l u ^ x ^ ; ^'x= УI V l - - x V ; z ' y = x ! yjl-x'^y^ ; 3) z \ = y / ^ l - x ' ^ y ' ^ \ z ' y = x ^ / ^ І -х '^ у^ ; 4) z \ = \ ! ^ 1 - x V ; 2 V ; 5) z \ = у I ^ / l - / ; z ’ = x ^ l ^ J l -y^ . d^z Найдите — ^ , если z = i y + 2)e~^^y. 1) -4x(l - x y - 2x)e~^^y; 2) -4x(l - 2х)е^^^У; 3) {1-ху-2х)е~^^У;і 4) -4х(\ -ху)е~^^; 5) -4хе-^^У;. Найдите частные производные сложной функции: z = 1п(х>’) , ес­ ли х = 5Іпм; у = е ^ . 1) z \ =cosw + v; z \ =и; 2) z'„ =ctgM + v; z \ =u; 3) z'j^ =ctgv + v; z \ = u ; 4) z'„ =ctgn + v; z \ =v; 5) z'„ =sinw + v; z'y =w;. Для функции w = + 2 найди­ те полный дифференциал d u . 1) e'^^i{l + xy)dx + 2x^dy); 2) e^^iil + 2xy)dx + x4y); 3) e^^(^ydx+2x^dy); 4) e^"^((l + 2> )^dx + 2x^d>'); 5) c^^((l + 2^y)dx+2x^dy);. В точке A(l, 1,-1) уравнение ка­ сательной плоскости к поверхно­ сти (z + 3)^ ~ { х - 1) ^+ у^ имеет вид... 1) >»-1-2 = 0 ; 2) 2x-f-2>»-bz-6 = 0 ; 3) 4х-1->’- 5 = 0; 4) > »-22-3 = 0; 5) x-t->^-2 = 0. 7. Функция z = ( х - у ^ ) имеет локальный... 1) Минимум в точке (-2, 0); 2) Минимум в точке (5, 5); 3) Минимум в точке (2, 0); 4) Максимум в точке (-1, -1); 5) Не имеет экстремума._____ Найдите производную функции и = 3x>»z в точке А по направле­ нию вектора АВ, А ( Ш ) , 5(1,2,2). l)l/V lÓ ; 2 )3^/2 ; 3)'5V2/S; 4)-0,5; 5) 2V5/ 5 . 9. В точке Я (1 ,1,1) градиент ска­ лярного поля и = ^/l/2-^x^/2-f-3>»^ - z ^ равен... \) к; 2) l fe{-2i + j + 2k); 3) 7 ; 4) 2гЧ 1 /е ;; 5) ^ /з/67-ł-V з}•-^/з/зL 10. л лфункция z = 2x-i-2>^-i-x + у в области х > 0 ;> /> 0 ;х + >’< 2 име­ ет наибольшее Zj и наименьшее Z2 значения... 1) zj =0,Z2 = - 6 ; 2) z i =3,Z2 = 3) Zj = 8,Z2 = о ; 4) zj =15,Z2 = -1 ,5 ; 5) Zj = 6, Z2 = 0. -8 ; 83 Вариант 10 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1, Изобразить область определения функции z(x, v) = 1о§з (2х — v ). 2. Найдите иастпые производ­ ные функции z = cos^(x^ +У^) ■ 1) z ’^ = -З х " sin(2x"+2yO ; z '^ = -З у ^ sin(2x" + 2у") ; 2) z \ = Зх^ sin(2x^ + 2y^); z ’у = Зу^ sin(2x^ + 2y^); 3) z ' ^ = -3x^ sin^ (x^ + y^); z '^ = -3y^ sin^ (x^ +y^)', 4) z ' = 3x^sin(x^ + v^); z \ . =3v^sin(’x^ + v ^ l:/ X ' ^ у ' у . / V 5) z ' ^ = -Зх^ sin^ (х^ + ); у - “ Зу ^ sin^ (х^ + ) • 3, d^z Найдите — ^ , если дх^ z = e~^'y. 1) 2 (2 х ^ -1 )е “^'^; 2) -2(2х^у-1)е"^^^; 3) (х ^ 2 -1 )е “^; 4) 2у(2х^у - 1)е~ '^>’; 5) 2 х ^ е “^'^ . 4. Найдите производную слож- л ной функции z = х у , если X = у = 21пЦ 1) Й^(41п/ + 1 /0 ; 2) 2Й Ч2 ІП/ + І/О; 3) 2 / ^ 4 In f+ 1/0; 4) 2е^Ч41пГ + 1/0; 5) 2е'^^Ы. 5. Для функции и = х cos(xy) найдите полный дифференци­ ал d u . о 1) (2xcos(xy)-ysin(xy))dx-x sin(3y)dy; 2) (2xcos(^y))dx; 3 ) -х^ sin(3y)dy; •3 4) (2x cos(xy) - у sin(xy))dx + x sin(2y)dy; 5) (2x cos(.xy) - у sin(xy))dx - sin(^y)dy;. 6. В точке Я(1, 1,-1) уравнение касательной плоскости к по­ верхности z^ = (х -1)^ + (jy +1)^ имеет вид... 1) y + z = 0; 2) 2x + 2y + z - 6 = 0 ; 3) 4 x + y —5 = 0; 4) y - 2 z + l = 0; 5) 2y + z - l = 0. 7. ^ 2 2 , ГПхгттглттттгт 'г — _ . ^ ^ у -y-i;j iixvj_»,jrx/x ^ ^ jriiVivVi X у локальный... 1) Минимум в точке (—2, 0); 2) Минимум в точке (5,5); 3) Минимум в точке (2, 0); 4) Максимум в точке (-1 ,-1 ); 5) Не имеет экстремума. 8. Найдите производную функ- ции и = sj у'^ + х'^ в точке А по направлению вектора АВ, А(2,0), 5(3,1). 1 )1 /VlO; 2 )л /2 /2 ; 3 )5^/2 /8 ; 4)-0,5; 5) 2V5 /5 . 9. В точке А(-\. 1.11 гпалиент\ у - ■'—> - скалярного поля м = ^^1/2 + х ^ / 2 -н 3 + 5z^ 1 \ и . ОЛ 1 / -. / Л J . J 1 7-N . 0\ J . /4 4 ОД . 1 / - .L) Л/ 5 \.f ii \—Z.l Т J ^ ) , D) у , Zyl Т Lf ii J у S i -^i/rv74- Т4-Л/Лй^J , w /V . 10 2 2ж______ - ____ _ ^ 1 -S ^Ч^уНКДНЯ ^ Л У ь ласти X > U; у > 0; X + у < 3 имеет наибольшее z, и наименьшее 2^ чняче- ния... 1) z, = 0,Z2 = - 6 ; 2) zi = 3,Z2 - -8 ; 3) Zj = 0, Z2 = - 8 ; 4) Z} = 0,5, ^2 = - 6 ; S ^ 71=* ^ 7/4= —Q " / "1 ~ i J_______________________________________ _ ___ ____________________________ 84 ТЕСТ «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Вариант 1 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Функция F ( x ) = cos X является од­ ной из первообразных функции / W - 1) s in x ; 2) - s in x ; 3) cosx; 4) - c o s x ; 5) tgx . Множество всех первообразных функции / ( х ) = - р 4 = равно 1) In X + л/х^ - + С ; 2) arcsinx + C ; 1 3 ) -a rcco sx ; 4) InVx^ - 1 + C ; 5) л /х ^ - І + С . 3. Найти неопределенный интеграл f dx 1) - I n 2 3) —In 4 5) - I n 4 x - 2 X + 2 2 - x 2 + x + C ; 2) - I n 4 1 x + 2 + C ;4 ) - I n 4 x - 2 x + 2 x - 2 + C ; x^ - 4 + C . 4. Найти неопределенный интеграл -dx . гЗх^ + x + x'^^ 1) - х Ч іп |х | + х‘^ Ч С ; 2 ) — + х + х * ^ 4 с ; 2 3) х^ + ln|x| — Y= + С ; 4) х^ + ln|x| - 2л/х + С ; Vx 5) x"^ + x — Ł + C . Найти неопределенный интеграл (■ 2x + 5 ,-------- dx. X + 4x + 5 l ) x +4x + 5 + ln X + 4x + 5 + C: 2) In X + 4x + 5 + arcsinx + C ; 3) x^ + 4x + 5 + arctg(x + 2)+ C ; 4) X +4x + 5 + arccosx + C ; 5) In X + 4x + 5 + arctg(x + 2 )+ C . 6. Найти неопределенный интеграл (4x + 3)dx 1) 2 л /? + 2x + 6 - arcsin(x + 1)+C ; j f j ^йл л/х + 2x + 6 2) 4л/х^ + 2x + 6 - In X +1 + л/х^ + 2x + 6 3) 2л/х^ + 2x + 6 + 21пх + 1 + л/х^ + 2x + 6 4) 2л/х^ + 2x + 6 - 2 arcsin(x + 1)+ C ; 5) 2л/х^ +2x + 6 + In X +1 + л/х^ +2x + 6 + C ; + C; + C, 85 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 7. Найти неопределенный интеграл [xe^^dx. I) + С ; 2) 5хе^^ + 25е^^ + С ; J) —е ■----- е + С ; 4) —е + — е + С ; 5 25 5 25 5 25 8. Найти неопределенный интеграл ^ dx х(х^ +2x + l] 1) 1пЫ-1п|х + і| + —^ + С ; ' ' ' ' х + 1 2) - — ^ + In|x + li + C ; X х + 1 3) Inlxl + Inlx + li---- + С ; х + 1 4 ) --------- 1--------- --------- + 2 Inlx + 1| + С 5 X х+1 ' ' 5) 21n|x| + 21n|x + l |---- ^ + С. 9. Найти неопределенный интеграл jcos3xcos5x(ix. 1) —с о з З х -—sin5x + C ; 3 5 2 ) - —cos2x + —cos8x + C 2 8 3) —s in 2 x - —sin8x + C : 2 8 4) —sin2x + — sin8x + C ; 4 16 5) - —cos2x— ^cos8x + C . 4 16 10. Найти неопределенный интеграл fVxcfe л/х-1 + C ; 1 J-X I . 1) 2V x+21n—7=— Vx+1 2) 2xfx + ln|l + x| + C ; 3) 2л/х+ 2 a rc tg ^ ~ + C 4 ) X + 2 In 1 + л/х + C j 5) 2л/х-2 a rc tg V x + C . 86 Вариант 2 № ЗАДАНРІЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ Функция i*’(x) = sinx является од­ ной из первообразных функции / W 1) cosx; 2 ) - c o s x ; 3 ) s in x ; 4 ) - s in x ; 5) ctgx. Множество всех первообразных функции / ( х ) = — ^ равно 1 + х 1) -a rc tg x + C ; 2) -a rcc tg x ; 3 ) -a rcctgx + C ; 4 ) tg x + C ; 5) ctg X -I- С . 3. Найти неопределенный интеграл 1) -е^^*^+С;2) 3 ) i e ^ + C ; 4 ) ^ е ^ ^ ^ Ч С ; 5) 4. Найти неопределенный интеграл х + - 1 dx. x j 1) Х ^+Зх^+Зх---- 2) — + З х Ч З х - ^ + С ; 3) — - х ^ - З х + Д г + С ; 4 2 2х^ .4 3 7 I I 1 ^4) — + —X" +ЗІПХ----- :г + С ; 4 ' 2 ' ' 2x2 5) — -х 2 + 3 1 п |х |---- 4 2 ' ' 2x2 + С 5. Найти неопределенный интеграл г 4х + 7 1) 2 In X + 2х + 10 -dx. х^ + 2х + 10 ^ л: + 1 ^+ a r c t g ^ - + C ; 2) In X + 2х + 10 + 3arctg(x + l ) + C ; 3) 2 In X + 2х + 10 _ ^ х + 1 _+ 3arctg—у - + С ; 4) Inх2 + 2х +1 о + arctg(x + 1)+ С ; 5) In X + 2х + 10 + 3arctg—^ Д С . 6. Найти неопределенный интеграл г 2х + 3 , 1- 7- Г = =с1х . х З - 2 х - х2 1 . х + 1 2 ' 1) 4л/з - 2 х - х2 + ^ a r c s i n " + С ; 2) -4 -у /3-2х-х^ + In X +1 + -\/х ^+ 2х - 3 3) 2л/з - 2 х - х2 --^ a rc s in ^ ^ ^ + C ; 2 2 4) - 4 у1х ^+ 2 х - 3 - In X +1 + л/х^ + 2 х -3 5) - 4л/ з - 2 х - х2 + a rc s in ^ -^ + С . 2 + С ; + С; 87 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ Найти неопределенный интеграл jxlnxcix:. x^ 1) x ln x ------ 2 x2 3) xlnxH----- 2 5)x^ ІПХ + — 4 2 2 + C ; 2) — ІПХ- — - 2 4 x^ x^ "b C 5 4) — In X Ч----- 2 4 - + C . 1) 21n[x|-ln x ^ + l + C ; 2) ln |x |-arctgx + C ; 3) 2 ln|x| + arctgx + C ; 4) ІПІХІ-—In x^+1 + C ; ' ' 2 5) l n |x |- | l n x^ +1 + -iarc tgx + C . 8. Найти неопределенный интеграл I dx ' х{х^ + l] 9. Найти неопределенный интеграл jsin" ^xcos^ xdx. cos^x cos^x _ 1 ) ---- + --------- + C ; 5 7 sin^x cos^x ^ 2 ) --+ ---------+ C; 5 1 fs оsin X sin X ^ 3 ) ------------- + C ; 6 8 f\ ftcos X cos X ^4 ) ---- + -------- + C; 6 8 sin^x sin^x ^ 5 ) ------------- + C . 10. Найти неопределенный интеграл j- dx ■ 1 + л/х 1) л / х a rc tg ^ ^ + C ; 2 ^ 2 2) x + -^ a rc tg -^ + C ; 3) 2 V x -2 1 n l + V^ + C ; 4) л[х + In 1 -six + C j 5) 2-y/x + 2\nl-- \ fx + C . 88 Вариант 3 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Функция Д(л’) = tg X является одной «/ \ из первообразных функции J\x). 1) . Оsin"x ; 2) — — • 3 ) — -— • Sin" X cos" X 4 ) - 1 cos^x ; 5) c tgx . 2. Множество всех первообразных функции f{x) = f J-..... равно l ) s in x + C ; 2 )c o sx + C ; 3) arccosx + C ; 4) arcsinx; 5) arcsinx + C . 3. Найти неопределенный интеграл rdx 'з х ■ l)^ ln |x | + C ; 2)1п|Зх| + С ; 3) ^ln|x |; 4 )^ lg |x | + C ; 5 ) | x + C . 4. Найти неопределенный интеграл Л2 d x . К x j х^ 1 х^ 11 ) — + 2Х + - + С ; 2)^^^— 2 Х - - + С ; 3 X 3 X х^ 1 х^ 1 3)^^— Х + - + С ; 4 ) — + Х + - + С ; 2 X 2 X х^ 1 5) — 2Х + - + С . 4 X 5. Найти неопределенный интеграл f 6x + 9 , ------------ dx. X + 6x + 10 1) 21nx^+6x + 10 + arctg(x + 3)+ C ; 2) 31nx^ + 6x + 10 +3arctg(x + 3 )+ C ; 3) Inx^+ 6x + 10+ 9arc tg (x+ 3)+ C ; 4) 31nx^ +6x + 10 -9arc tg (x + 3 )+ C ; 5) 31n x^ +6x + 10 + 9arctg(x + 3 )+ C . 6. Найти неопределенный интеграл г 2х + 5 , V х^ + 4х - 2 1) "\/х*" + 4х — 2 + 21nx + 2+ vX ^+ 4х 2 2) 2-\Jх^ + 4х - 2 + arcsin(x + 2 )+ С : 3) 2л/х^ + 4х — 2+1пх + 2 + "\/х ^+ 4х — 2 4) л/х^ + 4х - 2 + arcsin + С ; л/6 + С ; + С ; 51 — ]п л/х"^ + 4х - 2 + arcsin + С . л/62 ■ бУ № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 7. Найти неопределенный интеграл J^:cos3x(7x:. 1) 3xsin3x + 9co s3 x + C ; 2) 3xcos3x-9sin3x + C ; 3) —x s in 3 x -—cos3x + C ; 3 9 4) —xsin3x + —cos3x + C ; 3 9 5) x s in 3 x -s in 3 x + C ■ 8. Найти неопределенный интеграл I dx (x - l)(x^ - 5x + б) 1) In lx -ll— ^ + ln |x -3 | + C ; x -1 2) ^ ln |x - l [ - ln |x - 2 | + ^ ln |x -3 | + C ; 3) ln |x -l | + -^ ln |x-2 | + ln |x -3 | + C ; 4) ^ ln |x - l | + ln |x -2 |----^ + C ; 5) ln|x - 1| + —^ + ln|x - 2| + C . Найти неопределенный интеграл к ^. л 94cos x + sin X 1) ^ a r c t g ^ + C ; 2) a r c t g - ^ + C ; 3) - I n 2 tg x -1 tgx + 1 + C ; 4) - I n 2 t g x - 2 tgx + 2 + C ; 1 ^ tgx „ 5) - a r c t g - ^ + C. 10. Найти неопределенный интеграл |-УхсД J-1 - х 1) 2л/х -2arc tgV x + С ; 2) Х - І П І + Vxj + C ; 3) 2л/ ^+ - 1 п і І ^ + С ; 2 l - V x 4) - 2л/х + 2 arctgVx + C ; 1 + Vx5) - 2л/х + In 1-л/х + C . 90 Вариант 4 № 1. ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ f ix)- Функция F(x) = ctgx является одной из первообразных функции П 2't - - 1 2 ' COS X cos"^x S'! t a x : 4'^ sm'^x 5 ) - sin^x 2. Множество всех первообразных функции f {x ) = e^ равно 1 )е '^ + С ; З )е ^ + С ; 4)е~^^ + С; 5) е^^+ С ._______________________________ 3. Найти неопределенный интеграл (• dx 1) arcsin3x + C ; 2) arccos3x + C ; 3) —arcsin—+ С ; 4) arcsin—+ C ; 3 3 3 X5) arccos—+ C . 3 4. Найти неопределенный интеграл + 2 + x^ ,I---------------- (lx . 1) 2л/х+21n|x| + - ^ + C ; 1 , x^ 2 ) ---- j= + 2 Inlx H------ h C j 2vx 2 2 3) 2л/х +x + f ^ + C; 4) f x - ln|x| + x^ + C ; 5) Vx + ln|x| + x^ + C . Найти неопределенный интеграл г 2х + 10 X + 4х + 13 -dx . 1) Іп х^+4х + 13+6arctg(x + 2 )+ C ; 2) In 3) 2 In 4) 2 In х^ +4x + 13 ^ ^ x + 2 ^ + 2arctg--------hC; 3 X + 4x + 13 x ^+ 4x + 13 + 2arctg(x + 2 )+ C ; + 6arctg(x + 2 ) + C ; 5) In X + 4x + 13 , x + 2 „+ arctg—~ + C . 6. Найти неопределенный интеграл [• 6x + 6 ,I г- — dx . 1) бл/х^ + 6x + 14-121пх + 3 + л/х^ + 6x + 14 4 ? + 6x + 14 2) 3"\/x ^+ 6x + 14 + 6ІПХ + 3 + "\/x ^+ 6 x +14 + C ; + C ; 3) бл/х^ + 0 X + 14 -12arcsin - ^ - + C ; V5 4) 1 Зл/д ■6arcsin + C ; 'x" + 6 x + 14 51 6 \ / v ^ + 6 x + 1 4 - 1 2 1 n Vs л/ 4- 6x + 1 4 4-Г 91 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 7. Найти неопределенный интеграл \nxdx. х^ х^ х^ 1 ) — lnjc + — + С ; 2 )— ІПХ- — + С ; 3 9 3 9 х^ 3) ХІПХ— х^ х^ 5) — ІПХ- — + С . 2 4 8. Найти неопределенный интеграл I xdx \ х - 2 І х ^ + 4 } ' 1) -!-1п!і : - 2 | - І іпл:^ + 4 + С ;4 I I 4 2) -^ln |x-2 | + -^arctg-^ + C ; 3) - l n i x - 2 | - - l n 4 ' ' 4 x^ +4 + C ; x 4 4 + —arctg—+ C ; 5 2 4) —І П І Х -2 І -— In 5 ' ' 1 0 5) —ln |x - 2 |- —In x ^ + 4 + —arctg —+ C . 4 ' ' 8 4 2 9. Найти неопределенный интеграл г dx М + sin X 1) I n 2 t g | + 1 + C ; 2) arctg—7=^ + C ; V3 ^ л: , 2 2 t g - + l 4) - I n 2 2 t g i . l + C ; 5) In 2 , л: , _ 7 j . g 7 - i 4 C , 10. Найти неопределенньш интеграл (• dx 1) 2 x -21n + C ;+1 2) -2л /х + 41пл/х-1 + C ; 3) 2л/х + arctg 2 ^ + C ; 4) - 2 Vx - 2 In Vx -1 + C ; 5) 2л/х+ 21nV x- 1 + C . 92 Вариант 5 № ЗАДАНР1Я ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Функция F ( jc) = In /l + v-2' 4- I 4-- “ V л г является одной из первообраз­ ных функции / (х ) . 3 ) - ^ = L = ; 4 ) л/і + Х^ ; 5) л/Г'X + VI + X 2. Множество всех первообразных функции f {x ) = -— равно 1) tg x ; 2) tgx + C ; 3) c tgx ; 4 )c tg x + C ; 5) arctgx + C . cos^ X Найти неопределенный интеграл |cos(5x + 2)(ix:. 1 ) —sinx + C ; 2) — sin(5x + 2 )+ C ; 3 2 3) ■^sin(5x + 2 ) + C ; 4) ^cos(5x-i-2)-i-C; 5) ^cos(Sx + 2 )+ C . 4. Найти неопределенный интеграл f х^ + Зх + Ifx d x . ą ^ ^ --------- 1) — + 3x + -V x ^ + C ;2 ) — + 31nlx| + Vx^ + C ; 4 2 2 ' ' 3) — -31n|x| + - V ? ' + C ; 3 ' ' 4 4) — + 3x + ^ + C ; 2 x^ , , 3 5) — + ЗІПХ----- ^ + C . 2 " 2^ 5. Найти неопределенный интеграл f 4x + 13 X + 6x + 13 ■dx. 1) 2 In 2) In 3) In 4) 2 In 5) In X +6x + 13 x^ + 6x + 13 2 1 ^ x + 3 „ + -a rc tg —— + C ; 2 2 + arctg(x + 3 )+ C ; X +6x + 13 x^ + 6x + 13 x^ +6x + 13 1 ^ x + 3 _ + —arctg------- hC ; 2 2 - ^ x + 3 „+ 2arctg—^ + C ; . x + 3 „ + 4arctg------+ C . 6. Найти неопределенный интеграл 4x + 7 1) 4 л /8 -2 х -х ^ +ЗІП f . V8 - 2x - x'“ x + 1 + л/8 - 2x - x^ + C ; X - M 2) - 4 л /8 - 2 х - х ^ + 3arcsin22-3-2 + C ; 3 3) — 2 V 8 - 2 x - x “ + ln X + 1 + V 8 - 2x - X' + c ; 4) V 8 - 2 x - x " -31n 1 x + l + Vo — + C ; . /Г Т Г , — 4 . Л / ?ś — / r — X • Л T l ^= + :> arcsm------+ ь . 2 3 Уй № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 7. Найти неопределенный интеграл fxsin4xńi!x:. X 1 1) — cos4x + — sin4x + C ; 4 16 X 12) —cos4x----- cos4x + C ; 4 16 3) -4 x c o s4 x -1 6 co s4 x + C ; 4) 4xcos4x + 16cos4x + C ; X 15) — sin4x + — sin4x + C . 4 16 8. Найти неопределенный интеграл г 2dx х^ - 5х^ + 6х 1) 1п|х| + 1п|х - 2| + 31п|х - 3| + С ; 2) 1п|х| - 1п|х - 2| - 1п|х - 3| + С ; 3) ііп|х|-1п|х-2| + |іп |х -3 | + С; 4) —1п|х| + —1п|х-2І-—1п|х-3| + С ; 5) —ІПІХІ-—1п|х-2І-—ІПІХ-ЗІ + С . 2 ' ' 3 ' ' 3 ' ' 9. Найти неопределенный интеграл |sin4xcos2x(żc. sin2x sin6x „1 ) --------+ --------+ C ; 2 6 cos2x cos6x ^ ^ 4 12 ,, cos2x cos6x ^ 3 ) --+ ---------+ C ; 2 12 sin2x sin6x ^ 4 ) --------------- + C ; 2 12 sin2x sin6x ^5) —— + ------- + C . 4 12 10. Найти неопределенный интеграл j dx 1) In x +Vx x + 4x .1 v x+ -a rc tg — + C ; 2 2 2) In X + Vx - In VV 3) - I n x + V x - I n + C; Vx + C ; x +Vx 4) - I n x + Vx + 2 a rc tg V x + C ; 5) 2 In V x + 1 + c . 94 Вариант 6 ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1JL 9 ?14-X" Vl + x2 ; 4 n x + 1 2 x -1 - I n 2 x2 + - I n x -1 2 x + 1 Функция F(x) = arctgx является одной -/ \из первоооразных функции / (xj. ^ 3)1 + х2; VI+ Х^ VE7 2. Множество всех первообразных функ­ ции — — равно х ^ -1 + С ; 2) In х ^ -1 + С ; + С . 3. Найти неопределенный интеграл jsin(2x + S)Vx. 1) ^cos(2x + 5) + C ; 2) -^ c o s (2 x + 5 ) + C ; 3) js in (2 x + 5 ) + C ; 4) --jCos(2x + 5 ) + C ; 5) ^sin(2x + 5 ) + C . Найти неопределенный интеграл \3 V - - ]V x j dx. ^ ^ 1 1) — + -x ^ - 3 1 n |x | V + C ; 4 2 ' ' 2x2 x^ , , 1 2 ) 1- 3x + 3 In X H :r + C j 3 ' ' 2x2 3 ) Т + Д + з Ц ^ | _ ^ + С; 4) — -х2+ 31п |х | + Д г + С: ^ ^ ' ' 2x24 2 ,4 5) — + 2x2-31n |x |— ^ + C . 2x" 5. Найти неопределенный интеграл (• 2x + 7 j j Л aX . 1) 2 In T - .! X “Г 2 x H“ b 94 9ІГ»Лы J АІ.Х 3) In X + 2x + 5 + 2 arctg(x + ij + C j 5 ^ x + 1 „J orf'ict_____ L I •1 ^ ? 2 2 5 ^ x + 1 _+ —arctg------+ C ; 2 2 4) 2 In X + 2x + 5 o) —in ^ о 7 _x“ +ZX + 0 + 5arctg(x + l ) + C ; 2 x + 1 ^ + 7 a rc tg —: p + C . У0 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 6 . Найти неопределенный интеграл (• 2х + 3 J I . = а х . - 2 х - \ 1) 4л1х^ - 2 х - 1 + \ п х - 1 + -\1х^-2х-1 2) 4 л /? - 2 х - \ + a rc sin ^ ^? + С ; л/2 + С ; 3) л/х^ - 2 х - 1 + 2ІП :-1 + л/х^ - 2 х - 1 + С ; 4) 2 л /х ^ -2 х -1 + a r c s in ^ ^ + C ; 5) 2л/х^ - 2 х -1 + 5 InX-1 + л/х^ - 2 х - 1 + С . 7. Найти неопределенный интеграл г хсД cos^ X 1) xctgx + ln|sinx| + C ; 2) 3) x tgx-ln ]sinx | + C ; 4) x tg x + ln|cosx| + C ; cos^ X ■tgx + C ; 5) cos^x + tg X + C . 8 . Найти неопределенный интеграл f f e ż i k . x(x^ + 4) 1) — Inixl-—In 4 ' ' 8 3) — ІПІХІ-—In 4 ' ' 8 x^ + 4 + C ; 2) ln|xj- ^ a rc tg ^ + C ; x^ +4 + —arctg—+ C ; 4 2 4) ln|x| + —ln x " + 4 +C ; 5) łn|x| + —arctg —+ C . 2 8 2 9. Найти неопределенный интеграл (■ dx J 2 2 *cos x + 2cosxsinx + sin X 1) ln|tgx + l| + C ; 2) tgx + 1 + C ; 3) ln|tgx + l| + tgx + 1 + C ; 4) In .4 . 2 + C 5 ) - 1 ■ + C . 10. Найти неопределенный интеграл г xdx J 1 + C: 1 + л/ X 1) —x^^ ^+ X -—Vx +2ІПІ 3 2 О 2) — x '^" ^- х + 2л/х-2arc tgV x + C ; 3) -x^^^ - х + 2л/х-21n |l + Vx + C ; 2 4) — x^^^ + X + 2л[х + 2 arctg Vx + C ^ 5) |х ^ 'Ч л /х + 2 1 п |і + л/х| + С . 96 Вариант 7 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ /W - Функция F(x) = arccosx является одной из первообразных функции — :— • O'! ^ 2 ’ 1 1 + х" 1 - х 2 , - / .лА ГТ2. 4) ' ; 5 ) ' л і і -х^ л/і - х^ 2. Множество всех первообразных вно (а> О )/ł\X7XrtTTTTTTT /* I 1 IVl 1-1 J (x) = l ) a ^ + C ; 2 ) — + C ; 3 ) a " ^ + C ;H L/t*. iliO 4 ) — ; 5) — Inx Ina 3. Найти неопределенный интеграл j dx ; 2) з ^ X + 3 + С ! лЙх Ч 2 7 1) - I n x + V x 4 3 + С 3 3) Загссоз—+ С ; 4) — a r c s in - i + C ; 3 ' 3 л/З 5) Ь х ^ + 2 7 + С . 4. Найти неопределенный интеграл гх"^^Ч4 + 2х ^ 1— --------— ах. '2^ 1) |х^^Ч41п|х| + х Ч С ; 2 ) х'^^Чх + у + С; 3) х^ + 41п|х| + х^ + С j 4) х^^^ + 1п|х| + х^ + С j 5) - х ‘^ ^Ч41п|х| + 2х + С . 4 ' ' 5. Найти неопределенный интеграл г 6х +13 X + 4х + 8 ■dx. 1) In 2) In 3) 31n 4) 31n 5) 2 In X + 4x + 8 X + 4x + 8 x^ + 4x + 8 x^ + 4x + 8 1 x + 2 + -a rc tg — — + C ; 3 3 1 x + 2 + - a r c tg - — + C ; 2 3 X + 4x + 8 1 x + 2 _ + - a r c tg —— + C ; 2 2 1 ^ x + 2 _ + —arctg-------h C ; 3 3 1 ^ x + 2 _ + —arctg------ + C . 2 3 6. Найти неопределенный интеграл г 2 х -5 ,\—j = = ^ = d x . - / у 2 I г. ^ \ X "Г Za “Г 1) ^л/х^ +2х + 3 -51n х + 1 + -\/х^+2х + 3 + С ; . ГА I Г / I a Z- v- ^ I ' 7 л / - I ł* r» Q 1 г л " Т V “ Г Т ^ ---------Г C V 1 4 ^ 0 JL 1 1 • х - 1sin=— - + С ; ал /1,/-^2 , I а OU ^J ~7 У4 Л “Г 4І-А w/ — W АА 4) 2"v х^ + 2х + 3 — 7 In A I A 5 'V A I ^ Л I . 1 , . / . .2 , , лX i-i- t-xx i-z,x-r-i + C ; 5) — \/x ^+ 2 x + 3 - . x - i ^ ■3arcsin------- f-C . 97 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 7. Найти неопределенный интеграл 1) + 2) + С ; 3) i ^ e ^ x + i ^ 1^3х+і ^ 3 3 4 ) + 3 Зл:+1 , ^3;с+1+ - - + С ; 5) ^±1еЗдг+1_1^3дг+1^^_ 3 9 8. Найти неопределенный интеграл г Adx + Ах^ + 4х 1) — ІП ІХ І-—1п|х + 2І + —т-^— ч + С ; 4 ' ' 4 ' ' 2(х + 2) 22) In X - Inlx + 2І + 7------г + С ; ' ' ' ' (х + 2) 3) ІПІХІ- ч + С ; 4) ІПІХІ-—ІПІХ-2І + С : ' ' (х + 1) I I 4 I I 5) — ІПІХІ-—ІПІХ-2І + — —^ h C . 2 ' ' 2 ' ' х - 2 9. Найти неопределенный интеграл |4sin^ xcos^ x d x . sin^x cos^x ^ - .X cos4x ^ 1 ) ------- + -------- + C ; 2 ) - + --------- + C ; 5 5 ^ 2 8 -- X sin4x ^ X sin4x ^ 3 ) -------------+ C ; 4 ) - + + C ; 2 8 4 16 X cos4x ^5) - + --------+ C . 4 8 10. Найти неопределенный интеграл j ^fxdx -^ fx 1) -2-4x + 2 arctgVx + C ; 2) 2x + In Vx - 1| + C ; 3) 2л/х + 2 In Vx -1 + C ; 4) X + 2arctg Vx + C ; 5) V x - ln V x - 1 + С . 98 Вариант 8 Ко ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ Функция F ( x ) = е является од­ ной из первообразных функции / W - 1)е^; 2 ) - е " ; 3) е~^; 4)1 + е~-^; 5 ) -е^ Множество всех первообразных функции / ( х ) = — равно X 1)1п|х| + С ; 2)lg |x | + C ; 3) 1п|х|; 4 ) х + С ; х^ 5 ) 4 - + С . Найти неопределенный интеграл I dx V l^ 4х^ 1) 2л /і-4х^ + С ;2 ) |V l + 4x^ + С ; 3) — arcsin2x + C ; 2 4) 2arccos—+ С ; 5) 2arcsin—+ С . 2 2 4. Найти неопределенный интеграл ł х + -1 Л2 dx. X) 1 ) -----h Xн---- , 2 ) --------- h 2 х ---- 1" С , 2 X 3 X х^ 1 х^ 1 3 ) ^ — 2 х --^ + С ; 4)2^— Х - - + С-, 3 X 2 X 5) — + 2х + ^ + С . 3 х^ 5. Найти неопределенный интеграл с 4х + 15 , ------------ dx. X + 6х + 18 1) 31n 2) 31n 3) 2 In 4) 2 In X + 6x + 18 x^ + 6x + 18 X + 6x + 18 4-fiY4-l 8 5) In x^ +6x + 18 + 3arctg(x + 3 )+ C ; + arctg(x + 2 ) + C ; - ^ x + 3 „+ 3arctg— + C ; ^ x + 3 „4- ЯГСІСГ------- 1- (J • 1 x + 3 „ + —arctg - ..... + C ■ 3 3 . 6. Найти неопределенный интеграл f 4x + 4 , j-7===========rdx. 1) - 4 ^ 5 - 4 x - x^ - 4arcsin ^ '*'^ + C 3 4 s - •4 x -x 2) 4 л /5 -4 х -х ^ - 4 І П Х + 2 - -v 5 -4 x - 31 І л ІЗ - А х -х ^ + 2 arcsin ^ + C 3 4) - 4 л / з - 4 х - х ^ arcsin-^ ^ ^ + С + C 5) -2 л /5 - 4 х - х ^ •41n;X + 2 + V 5 — 4x — X + C , OQ № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 7. Найти неопределенный интеграл Jarctgxcic. 2 2 X X 1) a rc tg x - — + С ; 2) x a rc tg x - — + С ; 3) x a rc tg x --^ In l + x^ + С ; 4) x ln l + x - — + С • 2 ’ 15) xarctgx + —Inl + x ' + С . Найти неопределенный интеграл I xdx (х - 2 ) (х Ч З х + 2 ) ‘ 1) —1п|х-2| + ^ 1п|х + 2І + —ln|x + l| + C ; 2 3 6 2) —1 п |х -2 ]--— Inlx + li + C ; 2 ' ' [ x - l f 2 ' ‘ ’ 3) - Ь |х - 2[ + 7- - - : т + - ІПІХ + 2| + с ; 2 ' ' ( x - 2 f 2 ' ' ’ 4) —1 п |х -2 І-—1п|х + 2І + —ln|x + l| + C ; 6 2 3 5) Іп |х-2 | + 21п|х + 2| + 31п|х + і| + С . Найти неопределенный интеграл (• dx 3 + 2COSX 1) 1п|3 + 2 со8 х | + С ; 2) arctg—^— 1-С; 3) arctgftg ^ l- ł-C ; 4) ln3-ł-2 tg^ V 2 ; 25) —7= arctg —7^-1-С . Vs Vs + С; 10. Найти неопределенный интеграл (• VVć6t: \ + 4х 1) 4arctgV V-i-^x^'''^-4V x-i-C ; 2) 4 In Vx -1-1 4 4 3) arctgV x-(-—x^ "^^ - Vx ч-С ; 4 4) arctg Vx -t- X -H Vx -I- C ; 5) In Vx-b 1 ■+• Vx-f VX-i-C. 100 Вариант 9 ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Функция F(x) = ^ ln X + 1 Х -1 яв­ ляется одной из первообразных функции /(х ) . 1 ) ^ ; 2 ) ^ ; 3 ) ^ 4 — ; 4 ) ^ ; X - 1 1 - х V x ^ - 1 Х“ + 1 5) 1 V i ^ ' Множество всех первообраз- Т ТТ T V ГТТТ/*ТТТТТТ • f ' \ П О А Л . ч р Х ІХ \А Л ,ІГ1ІГ1 J равно Si n^ X l ) t g x + C ; 2 ) - c tg x + C ; 3 )c tg x + C ; 4 ) tg x ; 5 )c tg x . Найти неопределенный инте­ грал 1) 3 ^+ С ; 2) 3^^+ С ; 3) З ^ ^ ^ Ч С ; 4)3^''1пЗ + С ; 5 ) - 3 ^ ^ - ^ + С . 3 1пЗ 3;с+1 Найти неопределенный инте- г х ^ - ь ^ + 5х , грал J-------- 2------- X 4 1) ------- ^ + 1п|х| + С ; 3 о4/Ч ' ' 2) — - л / ? + х + С ; 2 4 х^ 4 II3) 4^ ---- :4= + 51п|х|-(-С; 4 ) - 2 з С ? 4 5 In X -t- С ; 5) х + - + 51п|х[-нС ■ Зух^ 5. Найти неопределенный инте- f 2х -ь 6 , грал —3^-------— ах. Л I "тл I 1) In 7^ In х^ +4x4-8 3) 2 In 4) 2 In 5) 31n X" +4x + 8 2 X + 2 _ + a rc tg -^ — + C ; + arctg(x + 2 )+ C ; x^ + 4x + 8 +2arctg(x + 2 ) + C ; 7 X “h 2 X +4x + 8 + 2arctg—^ — hC ; 2 a n X + 4x + 8 + arctg---------+ C . 1 A 1lUl № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 6. Найти неопределенный инте- (■ 10х + 7 J грал 1 . ах . у х ^ - 6 х + 20 1) 5л/х^ - 6 х + 20 + 3 0 1 п х -3 + л/х^ - 6 х + 20 2) 5л/х^ - 6 х + 20 + — arcsin ^ ^ + С ; 11 V n + С: 3) 10 л/х^ - 6 х + 20 + 37 In : - 3 + л /х ^ -^ х + 20 4) 10л/х^ - 6 х + 20 +37ІП Х -3 + - 6х + 20 5) - 5 л/;с2 - 6 х + 20+ 37 + С ; + С ; . л :-3 „'arcsin—р= ^+ С . V n Найти неопределенный инте­ грал Jare sin хйі!х. l)arcsinx + x V l ^ + C ;2) 1 2xarcsinx + —Inl + x + C ; 2 3) X arcsin X - 2 - J l - x ^ + C ; 4) x a rc tg x -V l-x ^ + C ; 5) Xarcsinx + л/ l -x ^ + C . 8 . Найти неопределенный инте- (■ 1 Oxdx 1) ln|x - 1| - In x^ + 9 + C ; 2) Injx - 1| + 3arctg-^ + C ; 3) ln |x - l |- -^ ln x ^ +9 +3arctg-^ + C ; 4) ln |x - l |+ - ln x^ +9 + —arctg—+ C ; 3 3 5) ln |x - l |- - ^ ln x ^ + 9 + a rc tg ^ + C . 9. Найти неопределенный инте­ грал Jsin5xsin4x 0 ) . 1 )а ^ ; 2 )а -^ ; 3 ) — ; 4 )а ^ 1 п а ; 5) Ina а ІПХ Множество всех первообразных функции / ( х ) = cos X равно 1) sinx-1-С ; 2) sinx; 3 )tg x -i-C ; 4 )c tg x + C ; 5) cosx. 3. Найти неопределенный интеграл f _ ^ ■^ cos^ 5х 1) cos^5x-t-C ; 2) ^ c tg ^ 5 х -ьС ; 3 )tg ^ 5 x + C ; 4 ) — sin^5x + C ; j ь ’ ^ 10 5) | t g 5 x + C . 4. Найти неопределенный интеграл х Ч 2 + Зх^^’ J ■dx. 2) y + 21n|x| + 2 1 x ^ ^ 4 C ; 5 о 3) y + 21n|x| + y ^ ^ Ч C ; х^ 3 5 о 5) у - 2 1 п |х 1 - у ^ ^ Ч с . 5. Найти неопределенный интеграл lOx + 13 1) Іп х^+2Х-1-10+arctg(x + 3)-i-C ; I X + 2x + 10 dx. 2) In 3) 5 In 4) 5 In x^ + 2x + 10 x^ +2x + 10 x^ + 2x + 10 x + 1 ^+ a r c t g - y + C ; + a rc tg -y ^ + C ; 1 ^ x + 1 „ + —arctg------+ C ; 3 3 5) 31nx^+2x + 10+3arctg(x + l)+ C . 6. Найти неопределенный интеграл f 4x + 3 ^= d x . J. Л V -L 0 1) 2л/7 + 4x + 2 + 5 In X + 2 + Vx^ + 4x> 2 4 ^ . x + 2 + C ; . и ^ 1 оV Hv T--^ л/2 Г' . 3) 4'v х^ + 4x + 2 —5 injx + 2 + "V X + 4x + 2 Г’- , / 2 ^ 2 +) +v X + +x + z 5 . x + 2 ^ f —p= arcsin — 7= - + (_ ; л/2 V2 5) 2л/х^ + 4x + 2 + 5 a r c s i n y y + C . + 2 103 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 7. Найти неопределенный интеграл 1— ^sin"^ X 1) - x c tg x + ln|sinxj + C ; 2) X ctg X - ln|sin x| + C ; 3) x tg x -ln |s in x | + C ; 4) x tg x -ln |co sx | + C ; 5) x c tgx -ln |cosx | + C . 8. Найти неопределенный интеграл f (х + 6)dx '(х + 2 ) (х Ч 4 ) ' 1) ln|x + 2 |- ^ l r 2) ln|x + 2 |+ ^a i 3) ln|x + 2| + lnx 4) lnx + 2 |- ^ l r 5) -ІПІХ + 2 І - - 2 ' ' 4 IX ^Ч--:] x t g i - ^+ 4 H ix^ Inx^ - ^+ C ; bC ; bC; ■ + —arctg—+ C ; 2 2 1-4 4-arctg-^-i-C. 9. Найти неопределенный интеграл jlOsin^xcos'^xfibc. _ sin^x sin^x „ 1 ) -+ -------- + C ; 5 7 cos4x sin^2x ^ 2) X + ------- + --------- + C : 4 3 cos^x cos"^x ^ 3) — — + -------- + C ; 5 7 .. sin4x sin^2x ^ 4) X---------- + - ----- — + C ; 4 3 cos4x cos^2x ^ 5) x + -------- + ---------- + C. 4 3 10. Найти неопределенный интеграл f dx ■^х-Vx 1) 2arctg\/x + V x+ C ; 2) 2 1 n V x - l+ C ; 3 ) arctgVx + C ; 4) 21nV x- 1 + V x + C ; 5) 21nV x- 1 + х + л /х+ C . 104 ТЕСТ «о п р е д е л е н н ы й и н т е г р а л . ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА» Вариант 1 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Если Г (х ) - какая либо первообразная функ- ь ции / (х ) , то чему равен интеграл ^ f {x )d x . а 1) F ( a ) -F (b ) ; 2 ) F (b) -F (a) ; 3) F ( a ) ;4 ) F(b); 5) F{a)±F(b). 2. Вычислите: 3 0 l ) i ( e = '+ l ) ; 2 ) i ( e ’' - l ) ; J z 3 ) - ( e ‘ - l ) ; 4 ) i ( e ‘ - l ) ; 5 ) І ( У ) . 3. Вычислите: 16 j - f / l + Vx 1) 25 + e ^ 2) 9 + l n ~ ; 3) l n | ; 4) oo; 5) 3 + ІП -. 4 4. Вьиислите: 7Г \ sin X , J 2 ^ 0 COS^ X 1) 2) 0 ; 3) 25 + V2 ; 4) In s in — ; 5) л /2 - l . 4 5. Вычислите: 4 Jln(x^)(ix: 1 1) 4 ІП І6 -6 ; 2) ІП І6-ІП І; 3) 4 ; 4) lne + 1; 5) интеграл не может быть вьшислен. 6. Вычислите: 2 3 \ - ^ d x 1) 2 + V2 ; 2) 1 -1 п 4 ; 3) 1 + е ^ 4) 1 + 1 п |; 5) 71 = 3.1428571 . 7. Вычислите: 7t 2 ^ |cos5xsin(— x)dx 0 2 1) 3 ;2 ) 0 ; 3) 49д ; 4) s i n ^ ; 5) л У 2 -2 д . 8. Вычислите площадь фигуры ограниченной 1 1 Г 71 Зтт Графиком фнункции у = cos Х , Х € 1 ) ^ ; 2 ) і ; 3 ) 0 ; 4 ) 3 л ; 5 ) 4 . 9. Вычислите объем тела, полученный враще­ нием вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у = х^, X е [0;5]. 1) 4ti; 2) ІЗ я ; 3) 7тг;4) 625тг; 10. Вычислить ДЛИНУ д^ти кривой у = 2 (х—1)^ ^^ , между прямыми х = 1 и х = 3. ................................ 201) 2U; 1) і ) ~ \ 4) ^ ( і 9 л / І 9 - і ) ; 5) - Ы . 105 Вариант 2 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Найдите новые пределы интегрирования I ^ f{x )dx , подстановка д: = s in f . 0 3 « 2 1) \(p{t)df, 2) \q}{t)dt\ 3) '^ę{t)dt\ -3 0 1 п 2 2 4) 5) j z 3) i ( e ‘ - l ) ; 4 ) y ( e = - l ) ; 5 ) i ( e > ) . 3. Вьлислите: 'f dx Q 1 + л[х 1) 25 + e '; 2 ) 2 -2 1 n 2 ;3 ) l n | ; 4) oo;5) 2 + ln3. 4. Вычислите: п is in ^ X , J---- 0 cos” X 1) 2) 0 ;3 ) — ; 4) oo; 5) — . 2 10 15 5. Вьлислите: п 2 J X sin xdx 0 1)1; 2 )25 ; 3 )4л ; 4 )lne + l; 5)интеграл не может быть вычислен. 6. Вьлислите: 'г 2х + 3 ^------------ dx 'х ^ - 7 х + 12 1)201п2-91пЗ; 2 )1 -1 п 4 ; 3 )45; 4)1п1 + 1 п |; 5)0 . 7. Вычислите: ^ (t)dt;2) ^q){t)dt-,3) ^ę{t)df, -3 0 1 п 2 2 4) l^ = cosx , х е [0 ;л ] 2 , 1 ) ^ ; 2 ) ^ ; 3) л ; 4)10лЗ; 5 )^ . 2 6 3 10. Вычислить длину дуги кривой г = , 0 < ф < 4л . 1 ) 2 ^ ( Й ” - 1 ) ; 2 ) 2 | і ( , " - е ) ; 3) у е ' ; 4 ) л/2л^;5) оо. 112 RarłiięiiiT ' О № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. а -а Верно ли, что J / { x ' ) d x = J / ( x ) d x -а а 1 )верно; 2)не верно; 3) верно, если / (х) четная; 4) верно, если / (х) не четная; 5) равенство не имеет смысла. 2. Вычислите: К г ' л ! ^ 1 ) ^ ; 2 ) 1 ; 3 ) ^ ; 4 ) 0 ; 5 ) « ) . 3 6 3. Вычислите: 1 2 f g Л/Х + 1 1) ^ ^ ^ ;2 ) ^ ;3 ) я ;4 ) ^ ;5 ) 3 6 2 15 4. Вычислите: п d x J 4 0 COS X 1)2л/3 ;2)4 ;3)25л /2 ; 4 ) а > ; 5 ) - ^ . 5. Вычислите: n j x c o s x d x 0 1)<х7 ; 2 ) 4 ; 3 ) - 2 ; 4 ) | ; 5) интеграл не может быть вьлислен. 6 . Вычислите: ’f d x jj + 2x + 5 -.4 Зя 5я .. 1) — ; 2) — ; З) — ; 4) — ; 5) я . 8 4 2 12 7. Вычислите 71 J cos x d x . 0 1) 1 2 я - \ / 2 я ; 2 ) е ^ - 2 ; 3 ) 16я; 8 . Вычислите площадь сектора, ограниченно- -TT 'TT го кривой г = 3 cos 3(р , — < ф < — . 6 6 Зтс 5тх Зтс ,, _ 1) — ;2 ) — ;3 ) — ;4 ) Зтг; Т* Ч- ^ 5) 41. 9. Вычислите объем тела, полученный вра- 1 щением вокруг оси О х фигуры у = (1пх)^, ограниченной линиями х е [ ^ ; ^ 4 ] . 1) п ; 2 ) 7г( 2 1 п 2 - 1 ) ; 3 ) - I n - ; 2 3 4 ) ^ ; 5 ) ^ . 12 16 10. Вычислить длину дуги кривой = (х + 1)^, 1 _ 12 м е ж д у iip>livlbiLviiri X — “ И X — ^ . l ) ^ ; 2 ) 3 ^ ^ ; 3 ) ; i ; 4 ) 3 E 2 v z ; 3 26 . . 61 0 ; ------. 27 113 Вариант 10 № ЗАДАНРІЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. а -а Верно ли, что J/ {x)dx = ~ \ f {x)dx -а а 1) верно; 2)не верно; 3) верно, если / (х) четная; 4) верно, если / (х) не четная; 5) равенство не имеет смысла. 2. Вычислите: ^rdx 1 17l ) i ; 2 ) 1 0 ; 3 ) ^ ; 4 ) 2 ; 5 ) c « . 3 о 3. Вычислите: N x ^ +1 1 ) 2 + | ; 2 ) 7 2 - 1 ; 3 ) ^ ; 4 ) | ; 5) 2 + V 2. 4. Вычислите: я j dx J 8 0 cos X 1) | ; 2 ) 0 ; 3) 25 + ^ ; 4) In(sin^); 5) V2 - I . 5. Вычислите: 1 jarcsinx(ix 0 1 ) | - 1 ; 2 ) а з ; 3 ) 7 х ; 4 ) 4 ; 5 ) З л - 2 . 6. Вычислите: \ dx ' x^ + 2x 1) IO + V2 ;2 ) 41п2;3) | ; 4 ) оо; 5) —ш —. 2 2 7. Вычислите 1) 1 2 л -(-2 ;2 )0 ;3 )1 6 л ;4 )4 ;5 )3 . Jcos^ xsinxfifx 0 8. Вычислите площадь фигуры, ограниченной спиралью Архимеда г = 3ę>, 0<ц><2п . 1 )4 ;2 )1 3 л ;3 ) л ; 4)12тс^ 5 )^ . 9. Вьиислите объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линия­ ми у = , X е [l;8] вокруг оси Ох. у X 1) 12л + 2 ; 2) 00, т.к. фигура незамкнутая; 3 ) 3 л ; 4) 22; 5 ) 5 л . 10. Вьиислить длину дуги кривой y = , x = t^ , t e [0,1]. 20 - 1 - 1) — ( 4 - 2 ') ; 2 ) -L (1 3 2 _ 8 ); 27 27 3) интеграл не может быть вьиислен; 20 -4) ^ ( 4 - 2 3 ) ; 5) О). 114 ПГТПУ^ПГ ..ТЛ ТЬ ▲ 'Т ’Т Т Т Т Т ? Т Т Т Т Т П Т Т Ч ^Т » А ТТГ Tvv1Ł-V^ 1 ^^ivr/л. ± nJOJ-JŁ I fX X X llL ^ X X ż \ . J Ł U Ł n Вариант 1 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1 2 І* Л Вычислить интеграл: j йЬс j (х + y)dy 1)2; 2 )3 ; 3)-2; 4)-3; 5)4. о о Изменить порядок интегрирования: 2 у 4 2 \dy \ f {x ,y )dx + ^dy ^ f { x ,y )d x . о у/2 2 УІ2 Вычислить интеграл из задания 2, если /(х,>^) = 1 - ; ; . 1 )-2 ; 2)-1; 3 )-3 ; 4 )2 ; 5 ) - Т 3 4. Вычислить интеграл jj = область D Вл[х^+у^ ограниченна линиями: х ^+ = 9, х = О, х > О. 1) ; 2) j 7 i ; 3) Зп ;4) - З л ; 5) 3,6. 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной ли­ ниями: у = х^, у = 1. 3 2 2 .4 4 - . 5 1) —; 2) —; 3) — ; 4) —; 5) —. 4 3 3 3 2 6 . 1 2 3 Вьршслить интеграл ^dx^dy ^ xyzdz . 0 0 0 l ) j ; 2 ) - ^ ; 3 ) ^ ; 4 ) - 3 ; 5 ) 3 . 4 4 2 7. Вычислить интеграл JJ|(x + у + z)dxdydz, если V область V ограничена поверхностями: x + y + z = 0, х = О, у = О, z = 0. 1) - - ; 2 ) - ; 3 ) - ; 4 ) - - ; 5 ) - ^ 8 8 4 4 8 8 . Вычислить интеграл jjj(x + y)dxdydz , если об- V ласть V ограничена поверхностями: X = ^ 4 -у^ , z = О, z = 5. 3 3 3 80 5) 40 9. . . . I т о 2 - - -Вычислить интеграл JJJ \jx^ +у"' + z dxdydz, V если область V ограничена поверхностями: z = а/ 4 - х ^ - у ^ , z = о . 1) |-7г ;2 ) 4л ;3 ) ^ тт ;4 ) 8л; 5) - 4 л . 10. Найти массу тела, ограниченного поверхностя­ ми z = д /з З —х'^ J z = у 1 б — х ^ — , X > о, у > о , если плотность vCх. v, zl = ^ . ^х^ + у^ +z^ 1) | я ; 2 ) - ^ T t ;3 ) 9л ; 4) 4л; 5) - л . ^ 4 115 Вариант 2 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. 1 0 Вычислить интеграл: Jcic J(3 - y )dy . -1 -3 1)27; 2 ) — ; 3)9; 4)-9; 5)6. 2. Изменить порядок интегрирования: \ X 2 1 j f i x , y)dy + 1 f i x , y )d y . 0 xjl 1 x/2 3. Вычислить интеграл из задания 2, если f i x , y ) = x + y . 1 ) - ; 2 ) - - ; 3 ) - : 4 ) - - ; 5 ) - . ^ 5 5 6 ' 6 2 4. Вычислить интеграл Ц^х^' +у^ dxdy область D D ограниченна линиями: = 4. 1 ) | д ; 2 ) у 7 т ;3 ) 2л ;4) - | я ; 5 ) ----- 7Г . 3 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у + х = 2, у = 0, х = 0. 1 ) | ; 2 ) | ; 3 ) - 2 ; 4 )2 ; 5)4. 6. 2 4 3 Вычислить интеграл ^dx ^ dy . 0 0 0 1) 27; 2) 47; 3) 72; 4) 74; 5) 57. 7. Вычислить интеграл |JJ(x + y)dxdydz, если V область V ограничена поверхностями: х + у = 1, х = 0, y = 0,z = 2, 2 = 0. 2 3 2 4 5 1) - ; 2 ) - ; 3 ) - - ; 4 ) - ; 5 ) - . ^ 3 2 3 3 2 8. Вычислить интеграл \\\zdxdydz, если область V V ограничена поверхностями: Х^ + = 1, 2 = 0, 2 = 2. 1) З к ;2 ) - 3 п ;3 ) | ^ ; 4 ) | л ; 5) 2п. 9. ^ dxdydz Вычислить интеграл JJJ—= = = = , если V f x ^ +у^ +2^ область V ограничена поверхностями: 2 = —\ / 9 - Х ^ , 2 = 0. 1) |т г ; 2 ) 9тс;3) 27г;4) |т ^ ;5 ) |л : . 10. Найти массу тела, ограниченного поверхно­ стями х-ьу + 2 = 2, х = 0, у = 0, 2 = 0, если плотность у(х, у , 2) = X -1- у . 3 3 2 4 20 1) - - ; 2 ) - ; 3 ) - ; 4 ) - ; 5 ) — . 4 ’ ^ 4 ’ ^ 3 ’ ^ 3 3 116 В я п и а н т № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. 4 3 Вычислить интеграл: j ф - 5)их . 2 и 1)22; 2)21; 3 )~ 2 1 ; 4) у ; 2. Изменить порядок интегрирования: 1/2 2>' 2 1 J /(х ,р ) іА + J f ( x , y )d x . 0 У і '2 1/2 /^2 3. Вычислить интеграл из задания 2, если f ( x , y ) = l - x . 1)4; 2 ) i ; 3 ) - 4 ; 4 ) 1 ; 4 4 4. Вычислить интеграл | | область D ограни- D X ^+y ченна линиями: х^ + у^ = А, х^ + у^ = \6 . 1) 2ті1п2; 2) 1п4; 3) 4% ; 4) 8тг1п2;5) -41п2 . 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линия­ ми: у = х , у = 2х, X = 1. 1)1; 2 ) - 1 ; 3 ) | ; 4 ) | ; 5 ) Т2 6. 1 3 3 Вьиислить интеграл ^dx^dy jy zd z . 0 0 0 1 ) ^ ; 2 ) ^ ; 3)40; 4 ) ^ ; 5 ) ^ . 2 7. Вычислить интеграл JjJ(x + z + Y)dxdydz, если об- V ласть V ограничена поверхностями: х + г = 2, х = 0, у = -2 , у = 2, z = 0. 1 ) « ; 2 ) І 1 ; 3 ) 1 1 ; 4) 1 1 ; ^ 3 3 3 2 5 ) | . 8. Вычислить интеграл ^^jz^dxdydz, если область V V '1 2ограничена поверхностями: х +z =4, у = 0, у = \. 1) 4 я ; 2) 2л; 3) -2 л ; 4) З л ; 5) 5 л . 9. Вычислить интеграл JJj . ^ qQ. ласть V ограничена поверхностями: _ /-ЛГ ,,2 _.2_ /а -,2 ,.2 ^ А -V. А Аz = 'y z j — л —у = \jy — л —у 5 1) л 1 п |; 2) 1 п |; 3) | l n | ; 4) i n - ; 5) - i n - . 3 2 3 10. Найти uijbcM iOJiB, ограничении! и ПОвсрХНОСіЯІУій x + >> + 2 = 3, х = 0, у = 0, z = 0 . 2 9 9 1 ) | ; 2 ) | ; 3 ) - - ; 4 ) 9 ; 5 ) 2 . 117 Вариант 4 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. 2 2 Вычислить интеграл: |й6с J(x - y)dy . 1 1 1)1; 2 )-1 ; 3 )2 ; 4 )-2 ; 5) 0. 2. Изменить порядок интегрирования: 1 X 2 2 - х ^dx^f{x ,y)dy + ^ dx ^ f { x ,y )d y . 0 0 1 0 3. Вьлислить интеграл из задания 2, если f { x , y ) = x - y . 3 3 2 2 1 ) - ; 2) — ; 3 ) - - ; 4 ) - ; 2 2 3 3 4. Вьршслить интеграл JJ , область D D y j 9 - x ^ -у'^ ограниченна линиями: х^ + у^ =9, у = 0, у >0 . 1) 2я ; 2 )3 ; 3) Зтс ; 4) -3%; 5) 2 . 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной лини­ ями: _у-ьх = 3, 3^ = 0, х = 0 . 9 3 2 5 5 ) Т 9 6. 5 6 1 Вычислить интеграл ^dx ^ dy . 0 0 0 5 15 5 3 1) - ; 2) — ; 3) 4) - ; 2 2 2 2 5) 15. 7. Вычислить интеграл + z + 2)dxdydz, если об- V ласть V ограничена поверхностями: >'-i-z = 3, х = -1, х = 1, ^ = 0, z = 0. 1 ) ^ ; 2 )9 ;3 ) 37; 4)36; 4 5) 42. 8. Вычислить интеграл Щл/х^ + у' ^dxdydz, если об- V ласть V ограничена поверхностями: х^ + 3^ ^ = 9, z = -2 , z = 2. 1) Збл; 2) 72л; 3)72; 4)36; 5) 48тс. 9. Вычислить интеграл JjJ . . :7.. , если у М - ( ? ^ у 2 + ,2-^^^ область V ограничена поверхностями: z = -Jl - х^ - 3> ,^ z = 0 . 2 3 4 1) - я ; 2) - я ; 3) - я ; 3 2 3 4 ) ^ ; 5 ) 1 . 2 3 10. Найти массу тела, ограниченного поверхностями 2 2 2 2X +3’ = 4 , X + 7 =16, z = 4, z = 0 , если плот­ ность у(х, у, z) = х ^ . 1) 2 я ;2 ) 3 0 0 я ;3 ) 2 4 я ;4 ) 200я; 5) 2 40я . 118 DnWXWWibTWnn S Л^ €іў9ЖКЛа Ł щJ № ЗАДАНР1Я ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. 1 2 Вычислить интеграл: J й6с | ( x + \)dy . 0 -2 1 ) | ; 2 ) f ; 3)5 ; 4 )6 ; 5 О 5)3. 2. Изменить порядок интегрирования: 2 yjl 3 3-y 1 f (x ,y )dx + jdy J f ( x , y ) d x . 0 0 2 0 3. Вычислить интеграл из задания 2, если f ( x , y ) = l + y . 1 ) | ; 2) у ; 3 ) | ; 4 )3 ; 5)4. 4. Вычислить интеграл - у^' dxdy об- D ласть D ограниченна линиями: =16, х = 0, х < 0 . ПО у. 1) — ж; 2) — ж; 3) Зл ; 3 98 4) 9 8 я ;5 ) 48л. 5. Вычислить массу пластинки, ограниченной линиями: х = а, х = Ь, у = с, y = d , если по­ верхностная плотность у(х, у) = у . 1) ф - с у ^ ' ; 2) ( 6 - с ) — 3 ) ( 6 '- С = ) А і £ і ; 4 ) ( J _ c) ^ ; 5)(Ь‘ - У ) ^ . 6. 2 2 2 Вычислить интеграл ^dx^dy ^ xyzdz . 0 0 0 1)16; 2 )4 ; 3 )8 ; 4 )9 ; 5)27. 7. Вычислить интеграл J ||(x - у + \)dxdydz, ес- V ли область V ограничена поверхностями: х - у = 1, х = 0, ^ = 0, z = 0, z = l . 1 ) | ; 2 ) - | ; З У у 4)6 ; 0 ^ 0 8. Вычислить интеграл [ff— если V ^ 9 - х ^ - у ^ область V ограничена поверхностями: = 4, z = -1 , z = l . 1) 4л; 2) 12л; 3) 4л/3л; 4) 4 л (3 -л /5 ); 5) 4 л (л /3 -5 ). 9. Вычислить интеграл Ш\|1 ” ^ dxdydz, если область 'У О 0V ограничена повеохностью: х^ -ь + z^ ~ 1 . 1) - л ; 2) - л ; 3) 9л ; ^ 9 8 4) - л ; 5) 8л . 9 1 n A \ / . Найти объем тела, ограниченного поверхко- стями; х^ + уР' = Z, х^ +у^ =1, z = 0 . 1) - ; 2 ) - л ; 3 ) - ; 4 ) — ;5 ) — . Ó J ^ І Z- 11Q Вариант 6 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. I 1 Вычислить интеграл: jdy j ) d x . -1 -1 и ! . o f » 1 - 2. Изменить порядок интегрирования: -1 2+х 0 - X Jfifx J / ( х , y)dy + J f i x , y ) d y . - 2 0 - 1 0 3. Вычислить интеграл из задания 2, если /(x ,j ; ) = l + x . 1)1; 2 )-1 ; 3 )0 ; 4 )2 ; 5 )-2 . 4. Вычислить интеграл JJ dxdy область D ^j lS-x^' -у^ ' D ограниченна кривыми: х^ +у^ =16, х ^+_у ^ = 9 . 1 ) - 2 д ; 2 )3 л ; 3) у ; 4) 2 д ; 5 ) у . 5. Вычислить массу пластинки, ограниченной кривой х ^+ у^ = 9, если поверхностная плотность у(х,у) = х^. 1) 8 1 ^ ; 2) « у 3 ) 8 1 ” ; 4) 5) . 4 6. 3 4 2 Вычислить интеграл ^dx Jt/y JxzJz. 0 0 0 1)36; 2)72; 3)54; 4)38; 5)64. 7. Вычислить интеграл |J|(1 - х - y)dxdydz, если V область V ограничена поверхностями: х + у = 2, х = 0, у = 0, z = -3, z = 3 . 1)4; 2 )-4 ; 3 )-2 ; 4 )2 ; 5 )-6 . 8. „ rrr dxdydz Вычислить интеграл JjJ , , если V л/4 + х^ +у^ область V ограничена поверхностями: х^ + = 5, z = -4 , z = 4 . 1) 8л; 2) бтс; 3) 12л:; 4) 18л:; 5) 16л. 9. Вычислить интеграл |Л ^9 + |х^ + + z^ j ^ dxdydz, если область V ограничена поверхностью: 9 9 9 X + у + z = 4. 3) y ( V l 7 - 2 7 ) ; 4) - 2 і у , 4 10. Найти объем тела, ограниченного поверхно­ стями: х^ -f- у^ + z^ = 4, х^ = у^ + z^ (внутри конуса). 3 ) | ( 3 - Д ) ; 4 ) 1 | : ( Л - 2 ) ; 5) 8л(3-л /3). 120 Вариант 7 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. 1 2 Вычислить интеграл: jiix: ^xydy. 0 0 1)-1 ; 2 )3 ; 3 )1 ; 4 )0 ; 5)2. 2. Изменить порядок интегрирования: X - у 2 - у \dy I f {x ,y )dx + ^ dy ^ f { x ,y )d x . 0 - 2 у 1 -2 3. Вьршслить интеграл из задания 2, если -f ( У тЛ=1 — Л} 1)0; 2 )1 ; 3 )-1 ; 4 )2 ; 5 )-2 . 4. Вычислить интеграл jj(4 - х ^ - у ^ )dxdy об- D ласть D ограниченна линиями: = 4 , >^ = 0,>’> 0 . 1) 2л; 2) 4л; 3) -2 л ; 4) -4 л ; 5) Зл. 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми: х^ +у^ = 9 , х^ +у'^ = 16. 1) 5л; 2) 4л; 3) 6л; 4) З л ; 5) 7л. 6. 3 1 2 Вычислить интеграл ^dx^dy ^ y^zdz. 0 0 0 1)-2 ; 2 )0 ; 3 )1 ; 4 )2 ; 5)3. 7. Вычислить интеграл |J j(x - у + z)dxdydz, ес- V ли область V ограничена поверхностями: x - y + z = l, х = 0, у = 0, z = 0. 1) - - ; 2) - ; 3) - - ; 4) - ; 5) — . 8 8 4 4 16 8. Вьмислить интеграл |J|(x^ - y^)dxdydz, если V область V ограничена поверхностями: х '^ + у^ = 4, X = у, у = 0, z = 0, z = 5 . 1) 20л; 2)20; 3)40; 4) 40л; 5)60. 9. ^ fi-f dxdydz Вычислить интеграл -----------------------, если область V ограничена поверхностью: х^ + = 1 . 4 3 4л 1) - л ; 2) -1 п 2 ; 3) — 1п2; ^ 3 4 3 1 16 4 ) — л1п2; 5 ) — 1п2. 3 3 10. Найти массу тела, ограниченного поверхно- 2 2стями 4 - z = x + у , z = 0 , если плотность y(x,y,z) = ^x^' +у^ . 1 ) ^ ; 2 ) ^ ; 3 ) ^ ; 4 ) І ^ ; 5) 15 121 Вариант 8 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. 2 0 Вычислить интеграл: Jcit: | xy ’d y . 0 -3 1 ) у ; 2)18; 3 ) | ; 4)12; 5)17. 2. Изменить порядок интегрирования: 2/3 2ж 2 2-JC J J / ( х , + J сД: 1 Д х , y )d y . 0 0 2 / 3 0 3. Вычислить интеграл из задания 2, если /(х,>^) = 1 - х . 1)4; 2) — ; 3)27; 4) — ; 5) 4. Вычислить интеграл | | -----— область D f ) 2 5 - x ^ - y ^ ограниченна кривыми: + У =1, + У = 9 . 1)1п2; 2 ) л Ь 2 ; 3) In-^ ; 4) ЛІП—; 5) ЛІП—. 3 2 5. Вычислить массу пластинки, ограниченной линиями: х - у = 2, х = 0, у = 0, если поверх­ ностная плотность у(х, у) = х у . 1 ) | ; 2)3; 3)2; 4 ) | ; 5)5. 6. 3 2 6 Вычислить интеграл ^dx ^ dy ^ y^dz . 0 0 0 1)36; 2)54; 3)72; 4)64; 5)32. 7. Вычислить интеграл JJJ(х - у - z)dxdydz, ес- V ли область V ограничена поверхностями: x - y - z = 2, х = 0, jF = 0, z = 0 . 1 ) | ; 2 ) | ; 3)2; 4 )3 ; 5)4, 8. Вычислить интеграл j j j^j9-x^ - у ^ dxdydz, V если область V ограничена поверхностями: х ^ + у ^ = 4 , z = 0, z,= 2 . 1 ) у ( 2 7 - Д ) ; 2) у ; 3 ) ~ ( Д - 9 ) ; 4 ) у ( 2 7 - 5 ^ / Ъ ; 5) ^ ( 2 7 - 7 7 ) . 6 9. Вычислить интеграл ^+ dxdydz, если область V К V ) ограничена поверхностями: z = - \ j4-x^- у ^ , z = 0 , x > 0 , y > 0 . 10 9 2тт 1) — ; 2) - л ; 3) — 3 2 3 лл 3 10 “ ) 2 ’ 10. Найти объем тела, ограниченного поверхно- 2 9 9 2 "2стями: X -t-j +Z =16, X +у = 4 (внутри цилиндра). 1 ) ^ ( 8 - з Т з ) ; 2 ) ^ ; 3) '^ ; ( 8 - 3 ^ /^ ) ;4 ) 5 ) i(3 3 /2 _ g ) . 122 Вапиант 9 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. 3 4 Вычислить интеграл: J a j j (х - y ) d x . 2 5 l ) i ; 2 ) | ; 3 )2 ; 4 )1 ; 5)0. 2. Изменить порядок интегрирования; 1/2 0 1 0 \ d y \ f i x , y )d x + J Ф J f i x , y ) d x . 0 -y 1/2 ><-l 3. Вычислить интеграл из задания 2, если ^ 3 6 3 ' 3 6 4. Вычислить интеграл ff ^— — область D ограниченна кривыми: X = ^J^6-у ^ , x = a/ 2 5 - j ^ . 1 )2 л (л /7 -8 ) ; 2)1б7г; 3) 7t(8 -V 7 ) ; 4) 2л/7тх; 5) ti(4 -V 7 ) . 5. Вычислить массу пластинки, ограниченной кривыми: х ^+ = 1, х ^+ = 4, X > 0, J > 0 , если поверхностная плотность у(х, у ) = х . 4 «ч 3 7 «ч 2 ^ 1) — j 2) — ^ 3) — j 4) — ', 5) —. 3 4 3 3 4 6. 3 3 3 Вычислить интеграл |сйс J<7>’ ^x^y^dz . 0 0 0 1)243; 2)443; 3)125; 4)349; 5) 228. 7. Вычислить интеграл jjj(x + j - z )d x d y d z , ес- V ли область V ограничена поверхностями: x + j - z = 3, х = 0, j = 0, z = 0. 1 ) 1 1 ; 2 ) - І 1 ; 3 ) 1 1 ; 4 ) - 5 1 ; 8 8 4 8 5 )5 1 . 8 8. Вычислить интеграл || |( х - y )d x d y d z , если V область V ограничена поверхностями: J = V l6 - x ^ , J = 0, z = -2 , z = 2 . 1 ) 1 ^ ; 2) 3) 4 ) ^ '« ; 5) ’ Ъ 5 9. _ (^xdyciz Вьиислить интеграл ------x----- ^ ,есл и у Х ^+ y ^ +Z^ область V ограничена поверхностями: x ^ + j^ + z ^ = 4, х > 0 , j > 0 , z > 0 . тТС .Z, 1)2тг; 2)тг; 3 ) у ; 4 ) - т с ; 5)0. 10. Найти объем тела, ограниченного поверхно- 2 2стями; X + у = z , z = 4 . 1) 2тт; 2) 4л ; 3) 6л; 4) 7ті; 5) 8ті. 193 Вариант 10 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. I 3 Вычислить интеграл: jtfe J(x + >> - \)dy. - г 2 1)0; 2)1; 3)5; 4 )2 ; 5)3. 2. Изменить порядок интегрирования: 1 У І 2 3 1 \dy ^ f {x ,y )dx + ^ dy ^ f { x ,y )d x . 0 у!ъ 2 у!ъ 3. Вычислить интеграл из задания 2, если f { x ,y ) = y + 2. 1) — ; 2) — ; 3) — ; 4) - ; 5) - . ^ 6 3 11 6 5 4. Вычислить интеграл - Adxdy об- D ласть D ограниченна кривыми: =16, + У = 9 , j^> 0 . 1)4V12k ; 2) д (і 2^^^-5^/^); 3 ) ^ ( V 5 - V i 2 ) ; 4)^(12^/^-5^/^); 5) a4 ś% . 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х^, X = 1, у = 0 . 2 1 3 1 1 6. 9 2 1 Вычислить интеграл ^dx^dy ^ xyzdz . 0 0 0 1) 11; 2 ) ^ ; 3 ) І 1 ; 4 , « ; 2 2 3 2 5 ) ^ .2 7. Вычислить интеграл Jj|(y - х - z)dxdydz, ес- к ли облаеть V ограничена поверхностями: >’- z - x = 4, х = 0, у - 0, z = 0. 3 3 3 314 214 4) ; 5) . 3 3 8. Вычислить интеграл JJJ(z + x)dxdydz, если V область V ограничена поверхноетями: x = sIa - z^, у - 3, у=^0. 1) 16; 2)8; 3 )-8 ; 4)32; 5)-16 . 9. Вычислить интеграл |||( 4 + х^ + + z^ 1 dxdydz, если область V ограничена поверхностями: z = - i / 4 - x ^ - y ^ , z = 0. 256 256л 512л 1 ) -----2 ) ------------ ; 3 ) ------- ; 15 5 3 512 482 4) 5) J 10. Найти объем тела, ограниченного поверхно- стями: X +у +Z = 2 ,x +y - z (внутри параболоида). 3 ) ^ ( 8 V 2 - 7 ) ;4 ) ^ ( 7 - 4 V 2 ) ; 6 6 5 ) | ( 4 Д - 5 ) . 124 ТЕСТ «к р и в о л и н е й н ы е и п о в е р х н о с т н ы е и н т е г р а л ы . ЭЛЕМЕНТЫ т е о р и и ПОЛЯ» № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Вычислите: Г— . гле L - отпезок прямой между точками (0; - 2) и (4; 0). 1) 4л; 2 ) 8 ; 3) V51n2; 4)1; 5) ^(4V 2-1). 2. Вьиислите: \A x d l , где I - участок L кривой у = х ^между точками (0;0) и 1) 1); 2) 8; 3) 4)1; 3 3 5) i(5 V 5 -l) . 3. Вычислите: \—j = = d l , где Z-: г = 2(1 + cos ф), 0 < ф < - . 2 1)8; 2 ) " ^ ; 3 ) ^ ^ ^ ; 4) ; 5) . 3 3 3 3 4. Вычислите: j x d y , где L fx = COS^ , 71 L \ \ 0 < t < ~ . [y = sin/; 2 l ) f ; 2 ) 0 ; 3 ) - i ; 4)1; 5 ) - ^ . 4 2 2 5. Найдите работу векторного поля F = y i - x j при перемещении точки вдоль линии у = —, 1 < X < 2. X ĄĄrr 8тГ 1 ) ^ ; 2) у ; 3) 4л; 4) 21п2; 2(2V2-1) 6. Вычислите: (х^ - y)d x + (х + у ^) d y , L где L-. х ^+у^ = А, при положительном направлении обхода. ^44т1 Sn _ .. г - ч 1) ^ ; 2) ^ ; 3) 8л; 4) л ; 5) 2л. 7. ГГ/'Л,- , . i C —\JC rrip С — ...^ Ы xliwj.xxic. — ^ i- s часть плоскости x + у + z = 2 , отсечен­ ная координатными плоскостями. 1)8V3; 2)2V3; 3 ) 8 ; 4 ) 4 ^ ^ ; 5 ) 4 . 8. Применяя формулу Остроградского- Гаусса, вычислите: ^jxdydz + ydxdz + zd x d y , где S — внеш- 5 няя сторона части сферы х^ -ь -Н z^ = 4 , расположенной в пер­ вом октанте. 4л 1) у ; 2) 4л; 3) 8л; 4) л ; 5) 16л. 9. Вычислите дивергенцию векторного поля а - (ху - z^ )z + (2yz -f- х“ )у + (3zx -Ь у “ )к в точке М (\\ 0; - 2 ) . 1)1; 2 )-4 ; 3)4; 4 ) -5 ; 5 )-1 . 10. Вычислите ротор векторного поля а = {ху + z^ )i + (2 y z — х “^ ) j -I- (3zx - y ^ )k . 1) (-4у ; z; -З х ); 2) (-4 у ; z; Зх); 3 )(-4 у ; - z; -З х ); Л \ / Л . . . __ О - . Ч . Г \ / л . . .- JA;, J ) z, J X J . Вариант 2 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Вьлислите: f , где L - отрезок прямой l X + у между точками (-4; 0) и (0; - 2 ) . 1) 47г; 2 ) 8 ; 3)-2V51n2; 4)1; 5 ) 2 д . 2. Вычислите: | x^ d l, где L - участок кривой L у = 2 In JC между точками (1; 0) и (е; 2). 1) (4 + e^f^~5y[5; 2) i | ( 4 + e)3'2_57^j; 3)(4 + e ^ f " ; 4)1; 5) ^-[(4 + e ^ f ^ - 5 ^ y 3. Вьлислите: J ^dl, где L: r = 2(l + cos(p), 0 <(р<—. L^Jx^+У^ 2 1) 8 ; 2) 3 ) ^ ^ ; 4) 8(4-V2). 3 3 3 8(4+ V2) 4. Вычислите 1 (2х + у)сЙ£:, где I = Д + 12, L L\ - отрезок прямой между точками (0; 1) и (1; 2), І 2 - отрезок прямой между точками (1; 2) и (0; 2). 1 ) | ; 2) о; 3 ) - i ; 4) 1; 5 ) j . 5. Найдите работу векторного поля F = y i - 2х j при перемещении точки вдоль линии у , 1 < х < 4 . X 44л 8л 2J 2 1) — ;2) - j - ;3 ) 4л; 4) 61n2;5) . 6. Вьлислите: (х^ - y)dx + (х + )dy , где L L: контур прямоугольника с вершинами в точках А(1; 0), 5(5; 0), С(5; 5), D(l; 5) при положительном направлении обхода 1) 40; 2) 20; 3) 50; 4) 30; 5) 10. 7. Вьлислите: J |(x - у + 5z)dS , где S - часть 5 плоскости X + 2у + z = 2 , отсеченная коор­ динатными плоскостями. J) 11; 2) llV6 ; 3) 11^ 6 . 4) Vó. 5^ 3 3 3 3 8. Применяя формулу Остроградского- Г аусса, вычислите: jjxdydz + lydxdz -I- Szdxdy, где S - внешняя s сторона части сферы х^ + = 2 , рас­ положенной в первом октанте. 1) 8л/2л; 2) 2л; 3) 4>/2л; 4) л; 5) 2л/2л. 9. Вьлислите дивергенцию векторного поля a = (xyz )ż + (8yz + x ) j + {3zx-y )k в точке Д1; 3 ; - 2 ) . 1)1; 2 )-1 ; 3)4; 4 )-5 ; 5 )-1 . 10. Вьлислите ротор векторного поля а = X І + У j + 3zxk . 1) (y;-3z; 0); 2) (0;3z; 0); 3)(0; -3z;0); 4) (-y ;-3z; 0); 5) (0;3z; Зу). 126 К я п и я н т № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Вычислите; | ( 4 ^ - ) d l , где L - отрезок L ' прямой между точками (0; 0) и (4; 1). 1) ^ ( 6 4 ^ ^ - 4 5 ) ; 2 ) j - (64 /^4 -45 ); 20 20 5 20 5) (6 4 ^ -4 5 ) . 2. Вычислите: \ x d l , где L | Х = С05/, п £:< 0 < t < - . [>’ = sin?; 2 1) 4л; 2) 1; 3) V51n2; 4) 3; 5) |(4 - Л -1 ) . 3. Вычислите: 2гХ 7Х f , =-(7/, где L : r - 4(1 + cos ср), 0 <ф < —. 1) 8; 2) 4 ; 3) 4) ; 3 3 3 5) 3 4. Вычислите: х ф + y d x , где L L - прямоугольник: х = 0, у = 0, х = 4, у = 2, при положитель­ ном направлении обхода. ) | ; 2 ) 0 ; 3 ) - і ; 4)1; 5 ) | . 5. Найдите работу векторного поля F = 2у1+ х] при перемещении точки вдоль линии у = — , 1 < х < 2 . 2х _ 44л . . .8 л ^ 44 11 ^ 1) 3 ’ 3 ’ 2 ^ ^ ’ 5) 6. Вычислите: (х^ - y )d x + (х + 4 y ^ )d y , где 1 L: х^+у^=16 при положительном направ­ лении обхода. 1 ) ^ ; 2 ) у , 3 ) 16л ; 4) л ; 5) 32л. 7. Вычислите: ||(2 х - у + z ) d S , где S - часть с плоскости 2х + у + z = 2, отсеченная коорди­ натными плоскостями. 1 ^ ^ 2-\/б . 2л/б . 4^^ /^6 . ^ 9 ^ ? -'У ^ 9 V . 9 3 3 3 3 5)2. 8. Применяя формулу Остроградского-Гаусса, вычислите; ^\2xdydz + Aydxdz + zd x d y , где S s - внешняя сторона части сферы 9 7 ') ^X + у -гz —у , располи.жснний в первом пк-тянте 1 ) у л ; 2)2л ; 3) 252л; 4) л ; 5) 28л/3л. 9. Вычислите тивет>генцию вектооного поля a = 3xyz i + (Syz + 4x ) / + (3zx — у )k в точке P(0; 3; - 2 ) . nOR- 2^1Л■ ТЧОП- A^_2Q• 5 )-52 10. НтцптиСТТИТР ППТОГ> векторного ПОЛЯ w» *' 1 / J ' • п т---Хт- _п- гп-'і-,- п- 'гч/'і.*/ V-'> “ 5 *./? J -/Ч.*5 4) (-y :-3 z ; -1): 5) (0;3 z; -1). 127 Вариант 4 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Вычислите: J^ 4 ^ + , где L - отре- L зок прямой между точками (0; 0) и (2; 2). 1) ^ ( 6 4 ^ + 45); 2) ^ ( 6 4 ^ + 4 5 ^ ) ; 3) зН^іЦі; 4) 2 ^ ( б 4 ^ + 4 5 ^ ) ; 5 10 5) 4 5 ^ . 2. Вычислите: |,Ді^с?/,где L Г X = / - sin L -первая арка циклоиды < [y = l-cos^. 1) 2пу[б; 2) 8; 3) V51n2; 4) l; 5) -1. 3. Вычислите: Vfarctg—б//, где L: г = 4(l + cos(p), 0<(р< —. L X 2 1) 4(7tV2-2V2-4); 2) 4(тгл/2 + 4л/2-8); 3) 7tV2-2V2 + 4; 4) 4(tiV2 + 4); 5) 4(2^2+ 4). 4. Вычислите: xdy + ydx , где L L - треугольник, образованный осями ко­ ординат и прямой х + у - 1 при положи­ тельном направлении обхода. 1 ) 1 ; 2 ) 0 ; 3 ) _ i ; 4 )1 ; 5 ) 1 . 4 2 2 5. Найдите площадь цилиндрической поверх­ ности х^ +у^ =1, заключенной между по­ верхностями 2 = 0 И Z = Х^ . 1) 2) 3) 1671; 4) л; 3 3 5) 32л. 6. Вычислите: ^(9х^ - 5y)dx -f (х -t- )dy, где L L: х^ л-у^ =\ при положительном направ­ лении обхода. 1) 2) 3) 6л; 4) л; 5) 32л. 3 3 7. Вычислите: ч-у 4-z^ -A)dS , где 5 - S часть поверхности y = 9 - x ^ - z ^ , отсечен­ ная плоскостью у = 0, у > 0. 1) ’ ’'(37V37-1); 2) 6 6 3) l ( 3 7 ^ /^ - l ) ; 4 )1 (3 7 7 ^ + 1 ) ; 6 6 5 ) 5 : . 6 8. Применяя формулу Остроградского- Гаусса, вычислите: \^xdydz - Aydxdz -ь zdxdy, где S S - внешняя сторона поверхности пирами­ ды, ограниченная плоскостями х = 0; y = 0;z = 0; x + 2y + z = l . 1 ) - - ; 2 ) 1 ; 3 ) 1 ; 4 ) - — ; 5 ) - 1 . 3 12 6 12 6 9 . Вычислите дивергенцию векторного поля а = 3xyz^i + 4х^у j + (3z^x-у^)к в точке РФ; 4 ; - 2 ) . 1)24; 2)12; 3)48; 4 )-2 0 ; 5)-52. 10. Вычислите ротор векторного поля а = (2х^ + 3y)i + (у^ - x ) j - 3zxk . 1) (0;-3z; -4); 2) (0; -3 z ; 4); 3)(0; -3z;0); 4) (0 ;3z;-4 ); 5) (0;3z; 4). 128 Вариант 5 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Вычислите: f , где L - отрезок І41І.Х-У) прямой между точками (0; - 2) и (4; 0). 1)4тс; 2 )8 ; 3 ) 2 ^ іп2; 4)1 ; V7 5) ^ (4 ^ 2 -1 ). 2. Вычислите: | + y^ d l , где L L -окружностью^ +у^ = 4 при положитель- UOrTr^ OlSrrprJTłW rNf^ VriTTQ XXCTIX^CVDiJxVxXXXxX V/ 1) 8л; 2) 8; 3) л/51п2; 4) 1; 5) |(4 V 2 -1 ) . 3. Вычислите: farctg — dl, где Z : г = 4(1 + cos cp), L ^ — < Ф < —. 2 2 1) 4(я7 2 - 2 л/ 2 - 4 ) ; 2) 4(л7 2 - 2 л/2 + 4 ) ; 3) лл/2-2>/2 + 4; 4) 0 ; 5) 4(272 + 4). 4. Вычислите: c|xdy + y d x , где i L - треугольник, образованный осями ко­ ординат и прямой X + у = 2 при положи­ тельном направлении обхода. 1 )ІІ ; 2 ) 0 ; 3 ) - і ; 4 )1 ; 5) 4 2 2 5. Найдите площадь цилиндрической поверх­ ности х^ + = 4 , заключенной между по­ верхностями z = 0 и z = х^ . 1) 2) 3) 1б7с; 4) ж; 5) 8л. 3 3 6. Вычислите: <^{9х ^~ 5 y ) d x У (2x + 4 y ^ ) d y , L где L: х ^ + у ^ = 2 5 при положительном направлении обхода. 1) 2) 3) 175тг; 4) тг; 3 3 5) 8л. 7 . Вычислите: | |(х ^ +y^-i-z^-бісй ', где S - S часть поверхности = 1 - х^ - z^ , отсеченная плоскостью J = 0, у > 0. 1 ) — (sV s-i) ; 2 ) - ^ ( 5 7 5 + 1 ) ; 6 6 ^ /г /г і\ • ял /7 і \ ' ---- i 5 v J —1)? ------ (JVJ—і ь 6 ' ' 6 5) 6 8. Применяя формулу Остроградского-Гаусса, вычислите: jj2xdydz — Aydxdz + zdxdy ? где S — s внешняя сторона поверхности пирамиды, ограниченная плоскостями X = 0 ; у = 0 ; z = 0 ; 2х + 2_у + z = 1 . 1) 2) 3) - ; 4) 5) . 3 24 6 12 24 9 . Вычислите дивергенцию векторного поля а = 3 x y z ^ i - 4x^W + (3z^x -Н 3 y ' ^ ) k в точке r y i ; 4; z ) . П 80: 2112: 3148: 41-20: 5)-52 . 10. Вычислите ротор векторного поля _L Т Т Лт J- 1 V t -- Т '7-V Ir \ \ ГГ\. ^ _-.3 лл fC\. о -.3 о\ ) \ у . V -/у . i .) \ у . у 4 ) (0; 3z; 0); 5 ) ( 0 ; 3z; у +3). 129 Вариант 6 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Вычислите: | , где L - отрезок пря- L ^ - y мой между точками (О; - 2; 1) и (4; 0; 2). 1)4тг; 2 )8 ; 3) " ^ 1 п 2 ; 4 )1 ; 2 5) |(4 V 2 -1 ) . 2. Вычислите: |х<7/ ,гд е L 1д:-со5/, п L : \ 2 1 ) 1 ; 2 ) 0 ; 3 ) _ i ; 4 )1 ; 5 ) 1 . 4 2 2 3. Вычислите: V 7tJarctg —(7/, где L:r = l + cos(p, — <ср<д. 1 X 2 1) 4т1 - ■л:^ /2 - ; 2) 4л - тгл/І; 3) 471-2^2; 4) 0; 5) 4u- тгV2 + 2V2 . 4. Вычислите: j + y ) d x - { х + ў - ) d y , где А^ВС - ломаная ACB\ ДО; 0); 5(5; 0); C(5; 5). 1 )6 6 - ; 2 )6 6 ; 3 ) i ° ; 4 ) - 6 6 - ; 3 3 3 5) -66. 5. Найдите площадь цилиндрической по­ верхности х ^ + у ^ = 9 , заключенной меж­ ду поверхностями z = 0 и z = x^+y^. 1)'^'^'^; 2) 5471; 3)16тг; 4) д; 5) 8л. 3 6. Вычислите: с| (4х^ - 9 y ) d x + (8х + 4у^ ) d y , L где L: х ^ + у ^ = 9 . 1) 17л; 2) 90л; 3) 16л; 4) 153л; 5) 8л. 7. Вычислите: ||(д;2 + y ^ + z + 6 ) d S , где 5 S - часть поверхности z = \ - x ^ - у ^ , от­ сеченная плоскостью z = 0, z > 0. 1 ) — (5V5-1); 2 ) -^ (5 л /5 + 1 ); 6 6 3 ) - £ ( 5 Л - 1 ) ; 4 ) Д ( 5 Л ^ 1 ) ; 6 6 5) -2 1 . 6 8. Применяя формулу Остроградского- Гаусса, вычислите: Ijxdydz - l y d x d z + S z d x d y , где 5 - внешняя S сторона поверхности пирамиды, ограни­ ченная плоскостями х = 0; y = 0;z = 0; x + 2y + 2z = l. 1 )0 ; 2 ) — ; 3 ) 1 ; 4 ) - — : 5 ) - — . 12 6 12 24 9. Вычислите дивергенцию векторного по­ ля a = - 6 x y z ^ i - 4 x ^ y j + ( 9 z^ x + 3 y ^ ) k в точке 5(1; 1; 2). 1)-52; 2)12; 3)48; 4)-20; 5)80. 10. Вьиислите ротор векторного поля а = (2х^ + Зу)г + (у"* + x ) j - Ъ г х к . 1) (0;-3z; 2); 2) (0; 3z; 2); 3)(0; 3z;-2); 4)(0;3z; -2); 5)(0;3z;3). 130 Вариант 7 № ЗАДАНРІЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Вычислите: [ , где L - отрезок пря- [ х + у мой между точками ( 0 ; - 2; 1) и (4; 0 ; 2). 1 )4 я ; 2 )8 ; 3) ^ 1 п 2 ; 4 )1 ; 6 5) |(4 л /2 -1 ). 2. Вычислите: f , где z ; ^ . 1 [y = 2sinn o < r < - . 2 1) 4; 2) 8; 3) V sin2; 4) 1; 5) 2. 3. Вычислите: \-y==^=dl, где L: г = 4(1 + cosф), 0 < ф < - . 2 1) 32. 2) 8 ^ ; 3 ) 8л/2 -3 2 . 4 ^ Q. 3 3 3 8^2 + 32 3 4. Вычислите: 12ху(1х - y'^dy, где Z - дуга па- L раболы у = ~ между точками ( 0 ; 0 ) и (3; 3) • 1) 11;2 ) 11,25;3 ) 11,75; 4) -и ,2 5 ; 5) 11,5. 5. Найти циркуляцию поля F - yi по конту- Гх = 2cosr,РУ окружности J при положи- [>’ = 2 + 2sin?; тельном направлении обхода. 1) 2я; 2 ) - 8 я ; 3 ) -4 я ; 4) 4л ; 5) 8л . 6. Вычислите: Aydx - I x d y , где L\ дуга эл- L липса X = 9cost-, y^ s in t при положитель­ ном направлении обхода. 1) 17л; 2) -99л; 3) 16л; 4) 99л; 5) 8л. 7. Вычислите: | | ( х ^ + / + 2 + 5)й?5 ,где S - S часть поверхности z - 4 - х " - у ^ , отсечен­ ная плоскостью z = 0 , z > 0 . 1) — (17Vi7+l); 2) _ і !1(і 7 7Г 7- і); iZ Z’ 3 ) ^ ( i7 V l7 - i ) ; 4 ) ^ ( i7 V n - i ) ; 5 ) ^ V i 7 . 2 8. Применяя формулу Остроградского- Гаусса, вычислите: j^xdydz + ydxdz + zdxdy, s где 5 - внешняя сторона сферы +у‘^ + z^ - 4. 1) |^ 2 л ; 2) 4^2л ; 3) 8л/2л; 4) л; 5) 2 ^ 2 л . 9. Вычислите дивергенцию векторного поля а = (~6xyz^ + 2x)i - 4х^уj + (z^x + Ъу‘^ )k в точке Р ( -1 :1; 2 ) . 1)-52; 2)12; 3 )40; 4 )-3 8 ; 5)80. 10. Вычислите ротор векторного поля а = (Зх^ + 3y)i + 2у^х j - (3zx + 9)к . 1) (0;3z; 3); 2 )(0 ;-3 z ; 2 /+ 3 ) ; 3) (0; -3z; 2 / ) ; 4) (0; -3z ; 2 / -3); 5) (0; 3z; 2y- -3). 131 Вариант 8 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Вычислите: | xydl , где L - отрезок прямой L между точками (0 ;-2 ; 1) и (4; 0; 2). 1) 4ті; 2) 8; 3) л/з1п2; 4) 1; 5 ) 4 Д Т . 3 2. Вычислите: | ( х + у)<7/ , где L fx = 3cos/‘, тс L \ \ 0 < t < - - [y = 3sin^; 2 1) 18; 2) 8; 3) л/51п2; 4) 1; 5) |(4 V 2 -1 ) . 3. Вычислите: 1 ■ г J/, где Z : г = 3(l + coscp), 0 < ф < - . 2 1 ) ^ ; 2) V 2 ;3 ) 6V2 - 8 ; 4 ) 0 ; 3 5) 6V2 + 8 . 4. Вычислите j xcfy+ y d x , m t L = Li + L2 , L L\ - отрезок прямой между точками (0; 1) и (1; 2), І 2 - отрезок прямой между точками (1; 2) и (0; 2). 1)1^; 2 ) 0 ; 3 ) - i ; 4 )1 ; 5 ) 1 . 4 2 2 5. Найти циркуляцию поля F - xi по контуру f X = 3 cos t,окружности J при положитель- [у = 3 + 3sin/; ном направлении обхода. 1)2; 2 )4 ; 3)0; 4)0,25; 5)6. 6. Вычислите: ^Ъу0х - 6xdy, где L: дуга эллип- L са x = 2cos/; y = 4sin^ при положительном направлении обхода. 1) 17тс; 2) 72тс; 3) Ібтс; 4) -72тс; 5) 87г. 7. Вычислите: + / + х + 5)с/5', где S - часть поверхности x - A - z ^ - y ^ > отсеченная плос­ костью X = 0, X > 0. 1 )3 1 1 (1 7 ^ + 1); 2 ) - ^ ( 1 7 л/Г7-1); 2 2 3) Д (1 7 Л ? -1 ) ; 4) | ( 1 7 ^ - 1 ) ; 5 ) ^ ^ . 2 8. Применяя формулу Остроградского-Гаусса, вычислите: \\lxdydz + 4ydxdz + zdxdy ,m ^ S - S внешняя сторона сферы х ^+у^ +z^ - 1 . 1 ) — тс; 2) І тс; 3) 8V2tc;4 ) тс; 3 3 5) 2л/2тг. 9. Вычислите дивергенцию векторного поля а = (-бхуг^ + 2х)і - (4х^у + 4z)J + (z^x + Зу' ^)к в точке 7*(-1; 1; 0 ) . 1)-2 ; 2 )2 ; 3 )-5 ; 4 )-4 ; 5)8. 10. Вьиислите ротор векторного поля а = (Зх^ + 3_у + 4)г + 2>’^ х j - (3zx + 9)k . 1) (0;3г; 3); 2) (0; - 3 z; 2 / + 3); 3) (0;-3z; 2 / ) ; 4) (0; -3z ; 2/ -3); 5) (0; 3z; 2 / -3). 132 Вариант 9 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Вычислите: ^xzdl, где L - отрезок прямой L ■» іГо%т/*ттт7 'т'лтттлг»» #тт /"А. А. 14 - _ f Л . А . А4 1VAV/1VJ,J i. V ЧГЧ.СА1У1Ж1 — Z,, ij ii \J, L) * 1) 4п; 2) 8; 3) V H ln2; 4) 1; 5) 12 v n . 3 2. Вычислите: 1 +y^dl, где L L - окружность X + у =9 . 1) 36%; 2) 8; 3) V51n2; 4) 1; 5) |(4 V 2 -1 ) . 3. Вычислите: V ___ 1 > ■^ dl, где L : r - 3(l + cos(p), L^x^yy '^ n —< ф < л . 2 1) 2) V 2 ;3 ) 4 -6 ^ 2 ; 4) 0; 3 5) 6л/2+4. 4. Вычислите: | - j ; ) ^ , где L , Г X = 2 cos t, 7t [>’ = 2sin/; 2 1 )-8 -4тг; 2 ) 0 ; 3 ) - i ; 4 )1 ; 2 5) 71-2. 5. Найти циркуляцию поля F = y i - x j по конту­ ру окружности 1 ^ 2 г, положи- [у = 2 + 2sin/; тельном направлении обхода. 1) -8-4тг; 2) 0 ; 3) -871; 4) 1; 5) 71 —2. 6. Вычислите: (cos х - 4у)с6с - I x d y , где L L. контур прямоугольника с вершинами в точках ^(1; 0), 5(3; 0), С(3; 5), £>(1; 5) при по­ ложительном направлении обхода. 1 )-1 5 ; 2 )3 0 ; 3 ) -3 0 ; 4 ) -4 5 ; 5 )4 5 . 7. Вычислите: \\{z^+у^+x + €)dS S - часть поверхности х = 2 - - у ^ , отсеченная плос­ костью X = 0, X > 0. 1) 2) 26тх. 4 ^ 2 іп2; 3 3 2(2V2-l)Tt 3 8. Применяя формулу Остроградского-Гаусса, вычислите: ^xdydz - 5ydxdz + zdxdy, где S - s внешняя сторона сферы х ^+ у^ + = 4. 1) у т г ; 2) І7 і; 3) Syfln; 4) -32тг; 5) 2уі2п . 9. Вычислите дивергенцию векторного поля а = (-6xyz^ + 2х^ )г - (4х^у + 4z) j + ( z^x - Зу ^ )k в точке Р(-\; I; І). 1 )-52 ; 2 )-1 7 ; 3)17; 4 )-4 0 ; 5)80. ІО. Вычислите ротор векторного поля а = (х''у + Зу ^ - 4)г + 2 у 'х j - (3zx + 9)к. 1) (0 ;3z;3);2 )(0 ;-3z; 2у^-у); 3) (0;-3z; 2у^); 4) (0; 3z; 2у^ -6у); 5) (0; 3z; 2у^ -б у -х ^ ). 133 Вариант 10 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Вычислите: | lyzdl > где L - отрезок прямой L между точками (0 ;-2 ; 1) и (4; 0; 2). 1) 4тт; 2) 3) 4) 1; 3 2. Вычислите: j +y^dl, где L 7 7z, - окружность z + у =9. 1) 18л; 2) 8; 3) V51n2; 4) 1; 5) |(4 V 2 -1 ) . 3. Вычислите: \—^ Ł = Z = d l , где L : г = 3(l + coscp), ^ 2 2 L / 1) 2) V 2 ;3 ) 8- 10V2 ; 4) 0 ; 3 5) 6V2 + 4 . 4. Вычислите: jxdy+ydx, где L L - прямоугольгійк: x = \, y = l, x = 4, y - 3 , при положительном направлении обхода. 1 ) - 8 - 4 л ; 2 ) 0 ; 3 ) - l ; 4 )1 ; 2 5) Л - 2 . 5. Найти массу винтовой линии x-cost; y-ńnt ' , z -2 f , 0 < ^< 2 я , если ПЛОТ­ НОСТЬ в каждой ее точке равна j = x^ +у^ ^-z^. 1) (2 л + ^ л ^ ) ; 2) 0; 3) л/5(2л + у л ^ ) ; 4 ) 1; 3 6. Вычислите: с| 4_уй5с - (7х + sin y ) d y , где L L\ контур прямоугольника с вершинами в точ­ ках Д(0; 0), 5(3; 0), С(3; 5), 1>(0; 5) при положи­ тельном направлении обхода. 1 )-1 5 ; 2 )6 5 ; 3 )-3 0 ; 4 )-165 ; 5) 165. 7. Вычислите: |j(z2 + у ^ + х - 5)dS, где 5 - часть S поверхности х == 1 - , отсеченная плоско­ стью X = 0, X > 0. l ) y ( 5 V 5 + l ) ; 2 ) - ^ ( 5 V 5 - 1 ) ; 3) ^ ( s V s - i ) ; 4) _ |1 (5 V 5 + i); 10\/5л 3 8. Применяя формулу Остроградского-Гаусса, вы­ числите: jjxdydz + ydxdz-lzdxdy^^^ ^ — внеш- S няя сторона сферы х ^+ + z ^= 3. 1) у л; 2) l u ; 3) 2 0 ^ л ; 4) 20л ; 5 ) -2 0 л/Зл . 9. Вычислите дивергенцию векторного поля а = {-6xyz + 2х^ )i - (2x^3' + 4zy) j 4- (z^x - Зу^ )k в точке Р(-1; 3; 1). 1)-31; 2 )-1 7 ; 3)31 4)-40; 5) 80. 10. Вычислите ротор векторного поля а = (х^у + Зз^ ^- 4)г + (4з’^ х - 1)у - (3zx + 9)к . 1) (0 ;3z;3 );2 )(0 ;-3z;2y^-6y); 3) (0 ;-3 z ; 4у^); 4) (0 ;3z; 4 у ^ - 6 у - х ^ У , 5) (0; -3z ; 4у^ - 63^ + х^). 134 ТЕСТ <<ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» Вариант 1 № ЗАДАНИЯ ВАРРРАНТЫ ОТВЕТОВ 1J. . Проверить, ЯБЛЯсТСЯ ЛК фуккцрія у = Со решением уравнения у '+2у = 0. 2. Найти общее решение дифференциального уравнения: xydx + (х + \)dy = 0 . l ) ^ = С(х + 1)е~^; 2)у=^ Се~^ ', 3)^ = с + е^ ;4 )у = х + 1 ;5 )у = с . 3. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения: хУ = у - х е ^ ' \ 1) >’ = !пу /х ; 2) х = С1пу/х; 3) = In Сх; 4) -у / X = In Сх; 5) С - у !X . 4. Рещить задачу Коши: х у '- 2у = 2х'‘, у (1) = 0 . 1)у = х ' '- х У 2) у = СхУ 3 )у = х^; 4) х = / - / ; 5 ) у = хУ 5 Решить дифференциальное уравнение: (е"' + у п п y)dx + {е^ +x + xcosy)dy = 0 . 1) е"' -i-xsiny-bl + e-*' = С ; 2) е"' -г ух -1- sin у -н = С ; 3) е"" + ху + X sin у + = С ; 4) е"" + x s in y + e-^ = С ; 5) е"' + ух + у sin у + = С . 6. Найти частное решение дифференциального уравнения: y" = sinx, у (0) = 1, у'’(0) = 0= / ( 0) = 0 - l ) y = s in x ; 2) у = cosx+x^/2 ; 3) y:=cosx; 4) y = cosx + x; 5) у = х^/ 2 . 7. Найти общее решение дифференциального уравнения: (1- х ^ ) / - х у ' = 2 . 1) у = arcsin^ х + С ; 2) у = С, arcsin X + С2; 3) y = C arcsinx ; 4) у = arcsin^ X + Cj arcsin x + C2 i 5) у — C^+ C2 arcsin X . 8. Найти решение дифференциального уравне­ ния: / + У = 2х - 1 . 1) у = C| + C2 + х ^— Зх j 2) у = Cj -l- C26 '* + X j 3) у = C] -r -1- x^ - 3 x ; 4) у = x ^- 3 x ; 5) у = C,x^ -ЪхС^ ■ 9. Решить дифференциальное уравнение: f - 2 y ' + y = - . X 1) у = e''(xlnlx|-i-C ,-i-C2x); 2) у = X in 1X1 -I-Cj; 3) у = C] + CjX ; 4) y = e" 'x ln |x l; 5) у = еД С ,-f-C2X). 1 п А V / . Решить систему дифферекциальньк уравне­ ний: |х ' = 2х + у, [ у ' = Зх + 4 у. 1) X = Cl + CjS’,y — Су + Cj ', і Лу - r Л.Г o' Л, - Г ■-j-~ ■'-Г- ■ -'J - - - І - - > J . Г' J .j ) Л — Cjfc’ -Г C-2C , у — -t-0-2*^' 5 4) X = C,e^' + C2e^', у = С,е' - C j d ; 5) X = C,y‘ -b C jc ', у = СУ'' - C j d . Вариант 2 № ЗАДАНРІЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Проверить, является ли функция у = Сх^ решением уравнения 3 у -л ^ ' = 0. 2. Найти частное решение диффе­ ренциального уравнения: y'ctgx + y = 2,y(0) = - l . l)>' = sinx; 2)j; = -3cosx + 2; 3)>'=:-cosx; 4)jr = -sinx-(-l; 5)y = sinxC. 3. Найти общее решение дифферен­ циального уравнения: у^ +х^у' = хуу’ 1) Су - ; 2) X = СеУ^^; 3) e~y^ ^= С ; 4) е^с = у; 5) хС = у. 4. Решить задачу Коши: ху'+ у + хе~"‘' = 0, >-(1) = 1 / (2 е ). = 2 ) у = х^; 3 ) у = е^; 4 ) у = е -" '/2 х ; 5 ) у = / . 5. Решить дифференциальное урав­ нение: (1 Оху - 8;/ -1- \)dx + (5х^ - 8х + 3 )ф = 0 1) 5х^ _у - 8ху + X + 3_у = С ; 2) 5х^у + Sxy + х + Зу = С; 3) 5 x ^ jr-8 x ;;-x + 3y = С ; 4) Sx j^y - 8ху + X + 3 = С ; 5) 5х^у - 8х>> + 3>^ = С . 6. Найти частное решение диффе­ ренциального уравнения: / = xc^ Х 0) = 1, у'(0) = 0. 1) у = е - '(х -2 ) + х-1-3; 2) ;r = e^cosx; 3) у = е^(х-2)', 4 ) ^ = х + 3; 5 ) у = х - 2 . 7. Найти частное решение диффе­ ренциального уравнения: / = У e^ Х 0) = 0, у-(0) = 1. 1) _у = 1пх; 2) _у = 1 п |1 -х |; 3) >^ = - 1 п |1 - х |, 3^ = 0 ; 4) з' = 1 п |х |,у = 0; 5) 3^ = 0. 8. Найти решение дифференциально­ го уравнения: у " -2 у ' + 5у = \ cos2 х . 1) у cos2x-fC 2 sin2x) + e"'' cos2x ; 2) з^ = С, cos 2х + Cj sin 2x + e"' cos 2 x ; 3) у = CjC”’' + cos 2 x ; 4) у = e"' (C, cos 2x + sin 2x + cos 2 x ); 5) у = CjC”'' - ЗХС2 -t- cos 2 x . 9. Решить дифференциатьное урав­ нение: у" + Зу' + 2у = 1/(е^+\). 1) y = (e-^ +e-^^)\n(e^ +\); 2) з; = 1пе^+С,е""+С2е''"; 3) 3; = (g-" + g-'") ln(e" +1) + ; 4 ) y = C,e-^ + Q e - 'y 5) 3' = ln(e^ +1) + C,e‘" + Q e " '" . 10. Решить систему дифференциаль­ ных уравнений: {х' = - 2 x - y + smt, [у ' = -4х + 2у + cos t. 1) X = Cj -i- Cjt, у ~ ~2C] + C2 (^ '2‘t + 1) 2) X = Cj + у — ~2C^ + C2 (2t + 1) — 2 cos t j 3) X = Cj -f С^2І + 2 sinf, у ~ —2Cj + 02(2? +1) \ 4 ) x = Cj -і-С2^ ,>' = -2Cj + 02(2^+ l) -3 s in ? -2 c o s O fx = C, +C,? + 2sinT 5 ) ^ [y = -2C, +C2(2f + l) -3 s in f -2 c o s^ . 136 иариант ^ № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Проверить, является ли функция у = — X решением уравнения ху'+ у = у " . 2. Найти общее решение (общий инте­ грал) дифференциального уравнения: (x + 2x^)dx + {y + 2y^)dy = 0 . 1)у'*=С; 2)х^+у^+х'^+у'^ =С ; 3)у = с - х ^ - у ^ ; 4)у = Сх^+у^; 5 )х ^ -у ^ -х ‘^ -у^ =С. 3. Найти обтттее иешение (общий инте- грал) дифференциального уравнения: x>’' = y co sln (y /x ). 1)С у = 1п у /х ; 2) ctg(-jlny) = x; 3) tg(lny/x) = lnx; 4) - у !х- \пСх\ 5) ctg(l/2 In (у /х )) = In С х . 4. Решить задачу Коши: лу»'+ у = 4х^ -t- Зх^, у (2) = 1. 1)х = у Ч у ^ 2) у = х^-гх^ 3 )у = х^+х; 4) у = х ^ -х '‘ ; 5) у = х ^ 5. Найти частное решение дифференци­ ального уравнения: ye^'dx ■+ (у + е* )dy = 0, у (0) = 0 . 1 )у е " = 3 /2 ;2 ) е " + у '/ 2 = 1 /2 ; 3) у + у ' / 2 = 1 /2 ;4) у ' / 2 = 3 /2 ; 5) уе^ + у '= 3 / 2 . 6. Найти общее решение дифференциаль­ ного уравнения: у'" = х + cos х . 1) у = sinx ; 2)y = x'*-sinx + CiX + C2; 3) у = — х"^ -sinx + CrX ;^ 24 ^ 4) у = — х'^-sinx + Cix^+С9Х + С3;24 i i i 5) у = Х4 / 24 - sin X + С]Х + С2 . 7. Найти общее решение дифференциаль­ ного уравнения: х ^ " + х^у' = 1. 1) у = Cj In X + 1 / X + C j; 2) у = Cj In X 4- С2; 3) y = C jłn x ;4 ) y = Ci+C2 /x ; 5) y = C lnx. 8. Решить дифференциальное уравнение: ^ J' — .sm x 1) у = (C, + In 1 sin X1) -ь (Cj - x) cos X; 2i V = ГС 4- In 1 sin X П sin X 4- (C- - x ) : 3) У = (Cj 4- In 1 sin X1) sin X 4- (Cj - x) cos X; 4) у = Cj sin X 4- C2 cos X ; 5) у = Cj 4- C2. 9. Найти решение дифференциального уравнения: у "-1 2 у ' + 36у = 14еД 1) y = C /"4 -C 2 x e '^ + —1 X 1 2 25 ’ 2) у = C| 4- 4- X^ j 3) у = xe^^C + + x ^- 3 x : 4) у = l x ^ ł ^ : 5) у = ł^C,xd . 1 АX V/, ОлТТТТТПГТ r^rxr'nrci'h г ТТТг/К/4ліа-»-ЧЛТТТТТТО ТТТ ТТТ TVi vxivxvmj уравнений | x ' = X - у , 1 у ' = —4x ■+■ 4 у. 1) X = b, -i- 0-2^ ^ 5 T = Ч + *-2 ’ 2) X = C^ł' 4- C-f' , у = З ц е '' - C-^Q'; 3) X = С / 4- 02^"', у = ЗСі + ; 4) X = С / ' + , у = С,е' - 02^ '; r\ „5/ .. лг ^ 5^t J) Л — "1" ^у — '-✓ j--- 137 Вариант 4 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Проверить, является ли функция _у = 3sinx решением уравнения >-'tgx-;V = l . 2. Решить задачу Коши: {ху^ + x)dx + (х^у - y)dy = 0, ХО) = 1 • 1 )Х = 1 ;2 ) Х + Х = 2 /(1 - х^); 3)1-ьХ =2/(1-х^); 4)1 = Х + Х ; 5 ) Х - Х =1- 3. Решить задачу Коши: ( у \(Aj;'-Xarctg - =х ,Х 1) = 0. \ х ) 2 ) X 3) \.%{\пу!х) = \п—', 4) у1х-С х \ У -arctg- у 5) е" X 4. Найти общее решение дифференци­ ального уравнения: У'+У = х4 у - 1) 7 = (х е" '^ -2 е^ 'Ч С )е -" ; 2 ) 7 = х е " 'Ч С ; 3) у = 2е^'^+С 4) y = x V '^ - 2 e “"; 5) у = Се^‘\ 5. Найти общее решение дифференци­ ального уравнения: {Зх^у + sin x)dx + (х^ - cos y)dy - 0 . l ) x X “ Cosx = C ; 2) x X -c o sx -s in _ y = С ; 3) х^у - sin _у = С ; 4) х^у = С ; 5) х^у 4- cos X 4- sin _у = С . 6. Найти общее решение дифференци­ ального уравнения: >>" = х sin х . 1) 7 = -x s in x ; 2) у = -XCOS X 4- Qx 4- С2; 3) ;^ = -sinx4-Cj; 4) у = -sinx4-CjX^ ; 5) ;^ = -xsinx-2cosx4-CjX4-C2. 7. Решить задачу Коши: > --Ч 2 у / = 0,Х 0) = 1,;^'(0) = 1. 1) 7 = (1-ь Зх / 2 Х ^ 2) y = l ± 3 x /2 ; 3 ) у = 2; 4) J^;-(l±Зx/2У^^;; = l; 5) y = l. 8 . Найти решение дифференциального уравнения: у" + 2у’ + у = 3 е - ^ у / ^ . 1) y = e-’^ {q+C,x);2) >; = e-^(4(x + l f XS) ; 3) ;^ = 4(x + lfX 5 4 -C i+ C 2 x ; 4) y = e-" (4(x -b 1)''X 5 + Q + Q x ) ; 5) 3; = e“"Cx. 9. Найти решение дифференциального уравнения: X - ЗУ + 2_у = 3 cos X-ь 19 sin X. 1) 7 = CX" 4-03X6^"; 2) у = Cjc"' 4- CjC*'' 4- cos X; 3 ) 7 = Cjc'' 4- 4- 6 cos X 4- sin X; 4) _y = 4- c ''; 5) 7 = CjX - . 10. Решить систему дифференциальньк уравнений J x ' = -X - 2_у -ь 2е~‘, [ у ' = 3x4-4;;-he’'. 1) x = -2e~‘,y = e~'; 2) X = -2e-' + C / + 2C,e^', 7 = c" - C,d - 3 Q e ''; 3) X = C,c' + 2 ą e ^ ' , 7 = С,е' - ЗС^е^'; 4) x = -2 e " '+ 2 C X ',7 = e"' - C e ' ; 5) X = -2е~' + С,е' - С^е^',у = е ~ ' - С,е' 4 - . 138 Вариант 5 Хо ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Проверить, является ли функция у = х(5 - In х) решением уравнения (х - y)dx + xdy = 0 . 2. Найти общее решение дифференциального уравнения: sin ху' = у cos X + 2 cos X . l)y ’ = C sin x -2 ; 2 ) y - C c o s x ’, 3)y = sinx + 2; 4)С = sinx + cosx; 5)у = Ccosx + 2 . 3. Решить задачу Коши: (у^ - 2 x y - x ^ ) d x + (x^ - 2ху- y^)dy = 0,>’(1) = -1 1) у = х; 2) у = 1пх; 3) у = -X ; 4) у = Сх; 5) Сх + 1 = у . 4. Найти общее рещение дифференциального уравнения: у '+ 2у = у'^е\ 1)у = С е '"+ е " ;2 ) у = Се^'^; 3 ) у = е^; 4) у ^І /іСе^’^ +е^); 5) у = е^^+Се\ 5 Найти общее рещение дифференциального уравнения: +2x^)dx + + 4 / ) ф = 0. 1) е " " ^ + х Ч / = С ; 2 ) х Ч / = С ; 3 )е ^ ^ ''= С ; 4)с"^^ + х '= С ; 5) е " " ^ + / = С 6. Решить задачу Коши: / ^ cosx+ c' '^jXO)= -с“”,у'(0)=1 • 1) у = -COSX ; 2) у = -cosx + e“^ + 2 х -е “’' ; 3) у = -cosx + 2 x -e “’' ; 4) y = -cosx + e”’'; 5) у - е~^+С1Х + С2 ■ 7. Найти общее решение дифференциального уравнения: 1) у = х ^/ 2 ; 2 ) у = С ,+С 2; 3 ) ; ; = С,; 4 ) у = с , ^ + С2; 5 ) у = с , ^ . 8. Найти решение дифференциального уравне- иттсгLXXXTl. у" - 2 у '+ у = х~^е\ 1) y = C j- in x + С2Х ; 2) y = (Ci+C2x)e"';3) y = r ; 4)у = (С, + Cj )е^ ;5) у = (Cj - In X+ С2х)е* 9 Найти решение дифференциального уравне­ ния: у"-%у' + \ 1 у ^ Ш ^ \ 1) y = C /" + Q x H " ; 2) у = (Cj cos X -ь Cj sin х) -ь 2е ’^‘ ; 3) у = (С, cos X + Cj sin х ) ; 4) у = cos X -1- sin X -i- 2e '^*; 5) у = 2e‘^. 10. Решить систему дифференциальных уравне­ ний: | х ' = -2х, 1) X Cj + C2C , у = CjC* + C2 j 2) X = , у = C^e‘ + C2; 3) X = Cl + a c ■', у = C / ' + Q ; /ІЛ Г' J .Л - W j . y — , Ъ) X — Cj -h L^2 , у — L"! -i- C2 . 1 О гч ЮУ Вариант 6 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Проверить, является ли функция г -2^ ^у = 5е + — решением уравнения dy + {2y-e^)dx = 0. 2. Решить задачу Коши: ху '^ / , У(е) = 1. тх l)j^ = C lnx; 2 '}у - \п х ’, З)у = 1пх + С; 4)х = 1п>'; 5)д ^= 1пх+1. 3. Решить задачу Коши: (у^ + x^)dx = Ixydy, у(4) = 0 . 1) (х - 2 ) 2 - / ^ 4 ; 2 ) j; = (x - 2 ) 2 ; 3 ) х - 2 = >^ ; 4 ) x = { y - l f - , 5) ( х - 2 ) Ч / = 4 . 4. Найти общее решение дифферен­ циального уравнения: xy'+2_y + x V V = 0 . 1) у = 1 /(х^2(е^ + С )); 2) >; = l/(x 'V 2 ); 3) у = ] / х ^ ^ ; 4) у = 1/^(С + е^); 5 ) у = х \ 5. Решить задачу Коши: (х^ +у^ + y)dx + (2ху + X + e^)dy = 0, у(0) = 0. 1) х^/3 + х>’^ +лз; = 1; 2)х>’ + е-^=1; 3) xV 3 + = 1; 4) х ^/ 3 + = 1; 5) х ^/ 3 + х_у^ + ху + = 1. 6. Найти решение дифференциально­ го уравнения: / = 1 /х '. 1) у = -1п |х |; 2) у = -1п1х|+С; 3) у = - In 1X1 +Cjx+ С2; 4) у = - In IX! +С] + С2 ; 5) у = In 1X1 +CjX + Cj • 7. Найти частное решение дифферен­ циального уравнения: / = 2 - у , у(0) = 2, > '^(0) = 2. l ) y = 2cosx ; 2) у = 2 s in x ; 3) у = 2 ; 4) y = 2cosx + 2; 5 )y = 2sinx + 2. 8. Найти решение дифференциально­ го уравнения: у'' + 4у%4у = е - ^ Ч х \ 1) у = e - ^ \q + C ,x ) ; 2) y = e -^^ (Q + ąx + l / x ) ; 3) y = c-'"(C,+C2X + l /2 x ) ; 4 ) y = e - 'V 2 x ; 5)y = e“'^(C + l / 2 x ) . 9. Найти решение дифференциально­ го уравнения: у "-1 4 У + 49у = 144sin7x . 1) y = C y ' ‘ +ąxe^'^; 2) y = C]c’'*+C2xe’^-f-2cos7x; 3) y = 2cos7x; 4) у = e’"" + xc’’' ; 5) у = C, + 2 c o s7 x . 10. Решить систему дифференциаль­ ных уравнений (х' = - у + е ‘^, \ у ' = - х + 2е^‘. 1) X = q d + Q e " ,y = - q e ' + q e~ ‘ ; 2) x = qe ' + q e - ‘ +e^‘, y = -C ,e ' + q e " +5e^'; 3) x = q e ‘ + q e " +-e^‘, y = - q e ‘ + q e " +-e^‘ ;1 2 g .X 1 2 g . 4) X = CjC* + (^2^ ‘ +1 / 8, у = —CjC* + 02^ ^+ 5 / 8 j 5) X = qe ' + C2C"' + - a " ' , у = -C a ' + q e " +-e^ ' .1 2 g 1 2 g 140 Вариант 7 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Проверить, является ли функция у - х " + 3 решением уравнения х / = у ' . 2. Найти общее решение (общий инте­ грал) уравнения: Л -X - 4 1)у = 1 п |х -2 |+ С ; 2)у = 1пх; 3) у = In 1 (х - 2) /(х + 2) 1+С ; 4 ) у = 1п|1/(х + 2)1+С; 5 ) у = 1п 1х + 2 |. 3. Решить задачу Коши: Л1) = 1.X у 1) ( х - 2 ) ^ - у ^ - 4 ;2 ) у ^ = х ^ 3) у^ = 2 In X +1 ;4) X = 2 In у ; 5) у^ = х^(21пх + 1). 4. Найти общее решение дифференциаль­ ного уравнения; (1 + х ^ )у '-2 х у = (1 + х^)^. 1) у = (С + х)(1 + х ') ; 2) у = С + х;3) у = С + х^; 4) у = 1 + х ';5 ) х = (С + 1 )(у Ч 1 ). 5. Найти общее решение дифференциаль­ ного уравнения; 2х cos^ ydx + (2у - х^ sin 2y)dy = 0. 1) x^cos^y + y^ = С ';2 ) у = -1 /(х ^ + С ); 3) х ^cos^ у = С ; 4) у = - С / х'*; 5 ) у = -С /(х '+ 1 ) . 6 . Найти общее решение дифференциаль­ ного уравнения; y"ctgx + y' = 2 . 1 ) y = CjSinx; 2) y = 2x + C]Sinx; 3) у = 2х + Cj sin X + С2; 4) y:=:Ci+C2; 5) у = 2х. 7 . Найти частное решение дифференци­ ального уравнения; y" = l/cos^(x /2),y(0) = 0 ,y ’(0) = l . 1 ) у = х ; 2) у = -4 1 n |co sx /2 1 + x ; 3) у = c o sx /2 ; 4) y = -41n|cosx/2 | ;5) y = ln |cosx/2 |. 8. Найти решение дифференциального уравнения; у" - у ' = cos(e^). 1) у = cos(e’^ ) + sin(e''); 2) у = С + cos(e''); 3) у = -c o s (e '') ; 4) у = С( - c o s ( r ) ; 5) у = С, + CjC*. 9 . Найти общее решение дифференциаль­ ного уравнения: у" + 4 у ’ = 15еА 1) у = Cl + ; 2) у = С, + Q e ''" + Зе" ; 3) у = Зе"; 4) у = С,е^ + ; 5) у = Cj + С2с'‘ . 10. Решить систему дифференциальных уравнений Г t л л . ^X = НХ — [у ' = -8 х + 4у. 1) X = Cj + , у = С / ^ ‘ + Q ; 2) х = С2,у = С / ^ ‘ +С2; Т'» У = л, = - Г р ^^‘ -/ - W J W - 5 ^ 5 4) X = , у = С е'" ' - С е ’" ' ; 5) X = CiC-"' + Q e " ' , у = CiC-"' - . 1 /11 X " Г А Вариант 8 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Проверить, является ли функция _у = — +1 решением уравнения 2. Решить задачу Коши: y ' t g x - y = l, X V 2 ) = 1. l)y = sinx; 2)y = 2 s in x -l; 3)y = cosx; 4)y = cosx-i-l; 5)y ==2cosx-l. 3. Решить задачу Коши: хУ = у(1 + 1п^), X I) = X 1) х^уе"'^^; 2) y = x; 3 ) у = е-" 'У 4 ) y = xe-^^^; 5 ) y = e \ 4. Найти общее решение дифференци­ ального уравнения: 2хУ - у = ЗхУ 1)у = Сл/х + хУ 2) у = хУ 3) y = Cx^; 4) у = cV x ; 5) у = Сх^ - х . 5. Найти общее решение дифференци­ ального уравнения: ( 1 /х - Х +Ą)dx + { - \ l у~Ъху^)с1у = 0 . l ) l n |x / y |= C ; 2) ln |x /y |- x y ^ = С ; 3) Ь і |х /у |+4x = C ; 4 )х у Х 4 х = С ; 5) k i |x /y |- x y ^ + 4 x = C . 6. Найти общее решение дифференци­ ального уравнения: У" = cos3x. l ) y = - s in 3 x /2 7 ; 2)у=іС іх^/2; 3) у = -8 ІпЗх/27 + СіХ^/2 + С2Х + Сз ; 4) у = -sin3x/27-i-CjX^/2; 5) у = -8 ІпЗх/27-ы -Сз . 7. Найти частное решение дифферен­ циального уравнения:. / = і/,/Ў , у(0) = >.'(0) = 0. 1 )х = 2у^ 'Х З; 2 ) y = 2x^'V 3; 3) х = 2у"'У З + С ; 4) у = 2х/3; S) у = х ^ ' \ 8. Найти решение дифференциального уравнения: у " -2 у ' + у = е Ч ^ А - х ^ . 1) у = л /д -х^+xarcsin(x/2); 2) y = e*(V 4-x^+хагс8Іп(х/2)); 3) у = е*(С + ^ 4 - х ^ +хагс8Іп(х/2)); 4) у -еД С і+ С зх); 5) у = е^(Сі+ С2Х + V4-x^ +xarcsin(x/2)). 9. Найти решение дифференциального уравнения: у '_ 4 у = 8 -1 6 х . 1) у = Cl + Q e y ; 2) у = Q +С 2У" + 2 х ' - х ; 3) у = С і+ 2 х ^ -х ; 4) y = Ci + C2/ " - x ; 5) у = 2х^ - X. 10. Решить систему дифференциальных уравнений J 5 х 2 у '+ 4х - у = е"', [х'+ 8 х -3 у = 5е~'. 1) X = 2е"' - С,а' - C jc"'', у = Зе'' - С / - е"'' 2С^; 2) X = 2е~' + Се”^ ', у = Зе"' ч- 2 С ; 3) X = Cjs' + C jg-'', у = С / + 2 Q ; 4) х = 2е"',у = 3е“' ; 5) X = 2е '' + С / + , у = Зе~‘ + ЗС,е ^+ 2 Q . 142 Вариант 9 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Проверить, является ли функция у = 4е^ + 2е^ "‘ решением уравнения У '- 4 У + Зу = 0. 2. Найти общее решение (общий инте­ грал) >фавнения: у ' = у^ cosх . l)y = l/(C -sinx ); 2 )y ^ i/c o sx ; 3)y = cosx; 4)у = i/(cosx + C); 5)y = l/C . 3. Найти общее решение (общий инте­ грал) уравнения; -2ху)у ' ^ х у - у ^ . 1) x/y-t-2łnx:=y; 2 ) x ! y = C', 3) x /y + 21ny/x = -lnC x; 4) y -2 1 n y /x ; 5 ) x /y = -lnC x. 4. Решить задачу Коши: у' + 2ху = хе~'^, у(0) = 0. l ) y = 0 ,5 x V " ';2 ) у = 0,5хУЗ) y = 0,5e-^^ 4) у = x^e'*^ ;5) у = 0 ,5 x . 5 Найти честное решение дифференци­ ального уравнения: (2х + уе^^ )dx + (1 + хе’‘^ )dy = 0, у(0) = 1. 1) y + e ^ = 0 ; 2 ) e ^ + x ^ - 2 = 0 ; 3) y + e " ^ + x '- 2 = 0 ;4 ) c"-^+x' = 0 ; 5 ) y = c^ . 6. Найти общее решение дифференциаль­ ного уравнения: / - А - = х (х -1 ) . х -1 1) y - x V 8 - x V 6 ; 2) у = хУ 8 - х^ 6 + Сіх2 /2 -С і / х + С2; 3) у = хУ 8 -С і / х+С2; 4) у =: C]X^ / 2 - С] / X + C2; 5) у = Q / X + C2 • 7. Найти частное решение дифференци­ ального уравнения: / = l / x ^ у(1) = 3, У(1) = 1. 1) y = - l n l x | ; 2 ) y = - ł n | x | -f-2x; 3) х = -1 п |у 1 ; 4) y = -ln |x |+ 2 x + l; 5) y = - ln |x |+ l . 8. Найти общее рещение однородного дифференциального уравнения; У '+ у = 1/(cos 2х)^'У 1) у = CiCosx-i-C2 8Іп х -і- л/ сов2 х ; 2) у = C[ cos X 4- C2 sin X ; 3) у = C]Cosx-t-C2s in x -V c o sx ; 4) у = CjCosx + C2 s in x -V co s2 x ; 5) у = C jC osx -i-C 2sm x-ysin2x . 9. Найти общее решение дифференциаль­ ного уравнения: У + У - 6 у = (6х + 1)е'К 1) у = С ,е-'"+С 2с'У 2) у = С іС -'^+ (х-1)У у 31 v = C e - ^ " + C 2 ^ : 41 v = Ce"'" + C y ^ + xe^H' L X. ' C \ 10. Решить систему дифференциальных уравнений: f X' = 4х - у , | у ' = - х + 4>’. 1) X = CjC’' + C ^ e''', у = CjC"' - C 2 e '^’ ; 2) х = С іУ '- С У ',у = СіУ'; 3) X = С,У' - С гс'' , у = - С2с ' ' ; 4) х = С „у = С ,У '-С 2 е ''; л. — П -----^ /7^ ' ^ .J j Л’ — 9 у — •1 . ^ ^ 1 л Вариант 10 № ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 1. Проверить, является ли функция у = 1 / 4 решением уравнения / - 4 У + 4у = 1. 2. Найти частное решение (частный интеграл) уравнения: у ' = х /л / і - т ^ , у(0) = 1- 1)у- \[х + 2 ;2 )у = -V l-x^ +2', 3 ) y = -V l-x ^ ; 4) у = +2; 5)y = V c. 3. Найти частное решение (частный интеграл) уравнения: ху' + у = sinX, у(ж 12) = 2 / п . 1) у = 1 /х ; 2) у = (l-cosx ); 3) у = (l-co sx )/x ; 4) у = (l + cosx)/x; 5) у = (l-s in x )/x . 4. Найти общее решение дифферен­ циального уравнения: xdy-ydx = yjx^ + y^dx . 1) у = Сх^; 2) л/х^+у^ =Сх^; 3) y + Vx =С х^; 4) у + л/х^ +у^ =1; 5)y + ^ jx^ +у^ =Сх^. 5. Найти общее решение дифферен­ циального уравнения: d x lу - xdy / = 0 . 1 ) х /у = С ; 2 ) х ^ /у = С ; 3 ) х / у ^ = С ; 4) х = С ; 5) у = С . 6. Найти общее решение дифферен­ циального уравнения: у" = COS^ X . 1) y = Cix; 2) y = qx+ C 2; 3) у = cos 2х / 8 + Cjx + С2 ; 4) у = х ^/ 4 - cos 2х / 8 + CjX + С2; 5) у = х ^/ 4 + (2jX + C2 * 7. Найти частное решение диффе­ ренциального уравнения: / / = -1, у(1) = 1, У(1) = 0. 1) у = л/2х-х^ ; 2 ) у = л / ^ ; 3) х = д /2у-у^ ; 4) х = ^ / ^ ; 5) у = ^/х. 8. Найти общее решение дифферен­ циального уравнения: у" + у = 1 / COS^ X . 1) у = С; Sinx + C2 COSX ; 2) у = Cj sin X + C2 cos X +1 /(2 cos x ); 3) y = Ccosx; 4) у = Csinx + l/(2cosx); 5) у = 1/(2 cos x). 9. Найти общее решение дифферен­ циального уравнения: 4у" - 4у' -ь у = -25 cos х . 1) у = 3cosx-l-4sinx; 2) у = + Qxe"^^ + 3 cos X ; 3) у = + 3 cos X -1- 4 sin X ; 4) y = C ,e" '4 C 2 x e" ''; 5) у = ч- -h 3 cos x + 4 sin x . 10. Решить систему дифференциаль­ ных уравнений: Г х '-у = -c o s^ [y'+x = sint. 1) X = Cj -1-C2 - /c o s / ,y = -C , +C 2 +?sint 2) x = C s in / - /c o s / ,y = Ccos/-i-/sint 3) x = C c o s /- /c o s / ,y = -C s in / + /s in t; fx = CjCOs/ + C2sin/, [y = -C j sin / + C2 cos / + / sint; I x = C, cos/-i-C2s in /- /c o s / , | y = -C | sin/ + C2 cos/ + /sint. 144 Обпазііы оешения ваоиантов тестов ТЕСТ «л и н е й н а я а л г е б р а » Вариант 1 С - 2 x 2 , матрица D - 3 x 2 , матрица = 1. Ойределіім размерность каждой из заданных матриц, Матритта А имеет размерность: 2 x 3 , 2 - количество строк, 3 - количество столбцов. Матрица В имеет размерность: 3 x 3 , матрица ^2 -1 4^ - 2 x 3 . Известно, что операцию сложе- 0^ 1 3j ния можно применять к матрицам одинаковой размерности. Значит, не определены опера­ ции: А+В; А+С; C+D^; D+A, определена опреация - A.+D^. Операцию умножения можно применять только к согласованным матрицам, т. е. к матрицам у которых количество столб­ цов первой матрицы совпадает с количеством строк второй матрицы. Следовательно, опре­ делены операции: А 2,з -Вз,з ; С2,2 -Аз,з ; Оз,2-С2,2 ; В^=Вз,з 'В з,з ; Вз,з -Оз,2-Н е определены 2x3 ■операции: Вз,з-А2,з; А =А2,з-А Ответ: Определены операции: A+D^; А -В ; С А ; D C ; В"; B D .H e определены: А+В; A + C ;C + D ^D + A ; B A ; A -C ; А ^ '5 1 4 ' '2 -1 4 ' '10 2 8 ' '2 -1 4 ' f , - 2 -3 0, ,0 1 3^ х - 4 - 6 0 , хО 1 3 , V 2. 2A -D ^= 2 Ответ: 3. 3. Из задания 1 известно, что операция А^ невозможна. Ответ: 5. 8 3 4 -4 -7 -3 f i -1 n ' 2 0 ' ' « 1 , «12 ' 4. B-D= 2 3 0 -1 1 = « 2 , «22 -2 - ъ 3; х^31 « 3 2 / «12 =1-0 + (--1)-1 + 1- 3 = 2; «21 2-2 + 3 -( - , где Оц =1-2 + (-1)-(-1) + 1-4 = 7;41 4 = 1; «22 = 2 -0 «31=1-2 + (-2) -(-1) + (-1) -4 = 0; «32 = 1 • о + (-2) -1 + (-1) -3 = -5 . / Значит, B -D= Ответ: 3. ^7 2 ^ 1 3 Vо -5 5. Вычисляем определитель разложением по э.лементам 3-его столбца: А = 1 8 2 -3 О О Г\ л\J 5 / 1— 1 3 2 0 2 8 -33 —2 4 i = (-іУ ^^-2 5 - 3 -1 + ( -1 ) '^ '-7 3 - 2 4 3 2 2 а 2 2 145 Определитель 3 - 2 4 5 -3 -1 3 2 2 получен из основного определителя путем вычеркивания 1-ой строки и 3-его столбца. Определитель 1 8 -3 3 - 2 4 3 2 2 получен из основного определителя путем вычеркивания 3-ей строки и 3-его столбца. Определители ЛИМ по методу треугольников. 3 - 2 4 3 -2 4 1 8 -3 5 -3 -1 и 3 -2 4 3 2 2 3 2 2 ВЫЧИС- 5 -3 -1 3 2 2 = 3(-3)2 + 5 • 2 • 4 + 3(-2)(-1) - 3(-3)4 - 5(-2)2 - 2(-1)3 = -18 + 40 + 6 + 36 + 20 + 6 = 90 8 -2 2 :1(-2)2 + 3(-3)2 + 8 -4 -3 -3 (-2 ) ( -3 ) -3 -8 -2 -1 -2 -4 = - 4 - 1 8 + 9 6 - 1 8 - 4 8 - 8 = 0. В итоге: А = 2 -90+ 7- 0 = 180. Ответ: 3. 6. С помощью элементарных преобразований приведем матрицу к трапециевидной форме: ^ 1 -1 -2 3 -3 О 1 -2 ^1 [3]~ [6]. о о vO ^1 о о о 2 6 4 - 8 -1 1 -3 -1 -1 1 О о V 3 0^ -1 2 -4 2 -2 2 2 3 10 5 10 5 -10 -5 2 3 0^ 10 5 2 10 5 2 о о 4у [1] 0'^ 2 2 2у ^ 1 о -3 ^ 1 [4 ]- -1 1 о -2 а о О vO 2 10 4 - 8 -1 1 о -1 3 5 -4 -2 2 10 40 -10 0^ 2 2 2^ 3 5 20 -5 м - о 0 1 0^ 2 8 и - где выполнены следующие действия: [1] - умножаем 1->то строку на 2 и складываем со 2-ой строкой. [2] - умножаем 1-ую строку на 3 и складываем с 3-ей строкой. [3] - умножаем 1-ую строку на -1 и складываем с 4-ой строкой. [4] - умножаем 2-ую строку на 3 и складываем со 3-ей строкой. [5] - умножаем 2-ую строку на 1 и складываем с 4-ой строкой. [6] - делим третью строку на 4. -1 2^ 3 0 ' 1 10 5 2 ~[3] -3 10 5 2 -2 -8 -2 2. f i -1 2 3 0 ' 0 1 10 5 2 0 0 40 20 8 .0 0 0 0 -[6 ] 146 Гак как конечная матрица имеет 4 ненулевые строки, то rangA=Ą. Базисный минор - 1 2 3 0 1 10 5 2 о 10 5 4 п о п аV» V» V/ I - 1 2 3 = 4 1 10 5 0 10 5 = 4(10(-1)5 + 2-5-0 + М 0 -3 -0 -1 0 -3 -1 -2 -5 -5 (-1 )1 0 ) = 20 9^0 Ответ: 4. 7. Система АХ = В в матричной форме имеет решение X = А'^В, где А'^=— - обратная матрица, X - столбец неизвестных, В - столбец свободных членов. 1 -2 5 ■ )10) ^ . f A^11 А21 А ^■^31 А |2 А 22 А31 4^13 Агз АЗЗУ Вычислим определитель системы: 3 0 6 4 3 4 =^ 0+45 - 48 - о -18+24=3. Вычислим Ау - ал­ гебраические дополнения: Ап=(-1)1+1 А22=(-1> 2+2 0 6 3 4 1 5 4 4 1> 3+2 1 5 3 6 = - 1 8 .A i2=(-1)‘^' = -16. А2з=(-1)'^' = 6. 3 6 4 4 = 12.Аіз=(-1) 1 -2 = - 11. 4 3 1+3 3 о 4 3 = 9.А21=(-1) 2+1 -2 5 3 4 Аз.=(-1)^"^ -2 5 о 6 = -12 , = 23. А з2 = (- = 9.Азз=Н) Q 3+3 1 -2 3 о Тогда А‘‘= — Ответ: 3. 9 -11 -1 2 ' 9 . Значит, Х =— '-1 8 12 23 -16 -1 2 ' 9 Г п 0 _ 1 Г-6^ 3 f-2') 1 6 . 3 . 9 - И 6 . . - 1 ' з . 3 ; 8. Для того, чтобы решить систему методом Крамера, вычислим А и Д, (г = 1,2,3), где А,. - определитель, полученный из основного определителя заменой г-ого столбца столбцом сво­ бодных членов. = 16 + 4 4 - 4 4 - 2 2 - 3 2 + 44 = 6. 2 -1 2 8 -1 2 А = 4 1 4 = 4 + 8 - 4 - 2 - 8 + 8 = 6 . А ,= 22 1 4 1 1 2 11 1 2 А2 - Аз = 2 8 2 4 22 4 1 11 2 2 -1 8 4 1 22 1 1 11 = 88 + 32 + 8 8 - 4 4 - 6 4 - 8 8 = 12. = 22 + 32 - 22 - 8 + 44 - 44 = 24. X — — 9 — 1 = ^; X, = - ^ = — = 2;х . “ А “ 6 ” ‘ А 6 А 6 Ответ: 2. 1Д7 9. Система совместна, если ранг основной матрицы А равен рангу расширенной матрицы А . Определим ранг расширенной матрицы А методом элементарных преобразований: ~[4] п 2 4 0 2 ' ' 1 2 4 0 2'' ' 1 2 4 0 2 ' А = 5 1 2 9 19 0 -9 -18 9 9 - [ 3 ] - 0 - 1 - 2 1 1 . 3 -1 1 2 9 J ^0 - 7 -11 2 3 . ^0 - 7 -11 2 V [4]~ О о 2 4 О I 2 - 1 - 2 1 I 1 ^0 0 3 -5 I -4^ [1] - умножаем 1-ую строку на -5 и складываем со 2-ой строкой. [2] - умножаем 1-ую строку на -3 и складываем с 3-ей строкой. [3] - делим 2-ую строку на 9. [4] - умножаем 2-ую строку на 7 и складываем с 3-ей строкой. Так как основная матрица и расширенная матрица системы содержат по три ненулевых стро­ ки, то ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен 3. 1 2 4 о -1 - 2 = 3 ^ 0 , то в качестве базисных неизвестных выбираем: Xj,X2,X3, о о Т.к. X, = с, с е R - свободная неизвестная. Знашіт, Ответ; X, = 4 - 2с, 5 7 X, = -------с, ' 3 3 4 5 X, = — + —с. ' 3 3 5 7 4 5 4 - 2 с , ------ с , ----- h—с, с V 3 3 3 3 . , c e R . 10. Преобразуем матрицу системы с помощью элементарных преобразований '5 1 -2 0 ' Г1 -3 -2 2 ' 3 -1 1 1 ~[1] • и - 5 1 -2 0 ~ .2 2 3 - ъ г 2 3 - ъ а -3 -2 2 ' '1 -3 -2 2 И - 0 8 4 -5 - [ 6 ] ~ 0 8 4 5 1о 8 7 - 5 ; ^0 0 3 0 / М ,[4 ] . 1^ о Vо -3 16 8 -2 8 7 2 -10 -5 [5] где выполнены следующие действия: [1] - умножаем 3-ую строку на -1 и складываем со 2-ой строкой. [2] - меняем местами 2-ую и 3-ю строки. [3] - умножаем 1-ую строку на -5 и складываем со 2-ой строкой. [4] - умножаем 1-ую строку на -2 и складываем с 3-ей строкой. [5] - делим 2-ую строку на 2. [6] - умножаем 2-ую строку на -1 и складываем с 3-ей строкой. 148 1 -3 - 2 Т.к. 0 8 4 0 0 3 = 24 о , то Xj,Xj,X3 - базисные неизвестные, х^=с, c s R - свободная неиз­ вестная. Значит, Xj = — с. Пусть с = 1, тогда фундаментальная система решений имеет вид: 8 Xj = 0. ^ 1 5 ^ V 8 8 Ответ: - І Д .0 .1 8 8 л ТЕСТ «ВЕКТОРЫ . АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМ ЕТРИ Я» Вариант 1 1. Найдем координаты векторов АВ(5 -1 ,2 - 2,6 - 3) = (4,0,3), СА{1 - 4,2 + 4,3 -ь 3) = (-3 ,6 ,6). Тогда 2 Д Л -Й =2(4,0,3) - (-3,6,6)=(8,0,6) - (-3,6,6)=(11, -6,0). Значит, Ответ: 2 2АВ-СА = = V m + ^ = V i ^ . 2. 2a-3b = 2{5m- Ап)Ъ{Зт + 2n) = 6(15m^ +1 Omn- \ 2 n f h - 8й^) = \jn-n = n-m^ = = 90|m|^ -12 |w ||n |cosZ (w ,n )-48 |« |^-2 — 2 т = т _ _ = 90m^ -1 2 т й -4 8 й ^ = 360-12-4-^^ 192 = 168-24V'2 2 Ответ: 4. 3. Известно, что площадь параллелограмма, построенного на векторах равна длине векторно­ го произведения этих векторов. Найдем векторное произведение данных векторов: __ I J 7 П i \— ' - ' U l — / J ~Г І ] к—“1 - 3 1 2 1 2 - 3 а , Ь = о - 3 11 = i ~ J 1т rvL J 1 4 1 4 1 1 i 1 Ч- Тогда S = Ответ: 1. [а ,й ] | = ^ /( -1 3 )4 ( - 7 ) 4 5 ' = ^ / ^ . 4. Известно, что объем пирамиды равен модулю смешанного произведения векторов A u , иЯИДсМ КООрДЙНйіЫ ДАННЫХ БсКТОрОБ ЛІ5Ц — Э, z — 4*51 — —z,,—-tj. с п Л \ А Г \ А Г \ 1 А О Л л 4 \ —j f — / 5 i Л і - / \ — i и , “ О Ь 149 Тогда AB-АС -AD^ Значит, V= |-252|=252. Ответ: 2. -2 -2 -4 -5 -7 1 0 -10 -8 = -1 1 2 -2 0 0 -2 0 + 80 = -252, 5. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, имеет вид: х - х . У -У а Z - Z , ■Ха, Уа, - У а, Xą - Xa Уа, - У а, х - 3 т - 1 Z - 4 х - 3 у - \ Z - 4 получаем: - 1 - 3 6 -1 1 -4 = 0 <:> - 4 5 - 3 - 1 - 3 1-1 6 - 4 - 4 0 2 = 0. Подставляя координаты точек и вычисляя определитель. ^ ( х - 3 ) 5 -3 о 2 - ( Т - 1 ) + ( z - 4 ) -4 -3 -4 2 (x -3 ) + 2(>’- l ) + 2 (z -4 ) = о <:> x + 2_y + 2 z -1 3 = 0 . Ответ: 1. - 4 5 - 4 о = 0, o ( x - 3 ) 1 0 + 20(j^ -l) + 2 0 (z -4 ) = 0<=> 6. Так как искомая прямая параллельна прямой А^А2, то вектор AiA2(-l,0,0) является направляющим вектором данной прямой, тогда параметрические уравнения искомой прямой имеют вид: x = -t , т = з, z = l.-Л,Л2" ^ Ответ: 2. 7. Известно, что синус угла между прямой и плоскостью находится по формуле: ( й ,Д 4 ) X = 0 - l t . У^У м +Уа а^,<^- у = 3 + 0i ,c^ • ^^ = ^m +^ąaJ- z = 1 +Ot. smcp = д д , где Я(1,1,1) - нормальный вектор заданной плоскости, а Д Д (-1 ,7 ,-5 ) направляющий вектор прямой. Тогда 8Іпф = (я, а л ) 1-(-1) + 1-7 + 1-(-5) 1 1 _ 1 И1 д д Д і Ч і Ч П y j i - l f + 7 Л { - 5 ў S 4 t5 15 Ответ: 2. 8. Для составления уравнения медианы найдем координаты точки М ^Xą +Xc . 2 2 вид: X-XiA _ У-Ум о = (1,2), тогда уравнение прямой, проходящей через две точки имеет х -1 у - 2 х -1 у - 2 ■Хм Ув-Ум 2 -1 6 - 2 <»• 1 ■ о 4 х - 4 = _у-2<=>4х-_у-2 = 0. Ответ: 3. 150 Q ТТтгст т т п х т и р я р и и а -i/n aT Ju rf^ -u w a ь -m /r n r v w v v a tr m jM tr f> r ir n A /r ^ r отлттл/ п ьтттаттттлл и л т я т з и р и т а г и ггп т т іт т ,т р^ J ^ С І І З Г І Wx-L-LJkyA. -ŁV^ Л.Л.І_» V> -ŁX AV -*. VW*-i. * V-' l-t-i-t. X ^ V X > V 1. 2^-62 = у 2^-62 4-9 = у + 9 (2 - 3)^ = у -1-9 . Замена: ^ Следова­ тельно, каноническое уравнение поверхности имеет вид: = Y . Данное уравнение является уравнением параболического цилиндра образующая которого параллельна оси Ох. Ответ: параболический цилиндр. ТЕСТ «ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ» Вариант 1 1. Данное высказывание V £: > 0 3 Wq = n{s) : V« > «q =>|x„ - a \< e , согласно определению означает, что lim х „ = а . и-^ оо Ответ: 2. ! -1 1 -1 1 1 -1 1 - 1 12. Преобразуем данную последовательность: —,— ,— ,— ,...: —,—т -,— —г, . . . югда ^ 2 4 8 16 32 2 2^ 2^ 2^ 2^ общий член последовательности имеет вид: Ответ: 4. (-1) п+\ 2" 3. Найдем сотый член: Хщп =. 1 0 0 -36 64 8 '100 + 69 V169 13 vjTBeT: г. 2 - —2,4-5 V, 2 54. l im ------^ = [разделим числитель и знаменатель на 4] = l im -----+ = —, так как lim — = 0, и—І 00 3 и + 4 и—VOO . . 4 3 У1' І + — п lirVT __ — П І Л Х Х Х ---- ч / , «->^00 п Ответ: 4. 151 5. lim г?' -5n 1 -= [разделим числитель и знаменатель на ] = lim - — п^оо Зп + 4 ^ ^ 2п .0 = 00 , Ответ: 5. 6. ь .lim ^ ^ - [р а з д е л и м ч и с л и т е л ь и зн а м е н а т е л ь н а л ] = lim пч-соЗп'* +4п"^ + 7 ^ 4 / п 3 + - + - = 0- п п Ответ: 1. 2 , и(1 + - ) п^ Vh + 27. hm ■■ ——----j= = hm .------------ n-^ x> y/fj + 1 + л/n n-*co 1 ^ Jn ( l + - ) + y/n Ответ: 3. Vh Л /1 + — = lim «-->00 n 1 + 2 n n yjn 1 + - + 1 n lim - «->00 I 1 J1 + - + 1 V n 1_ 2' 8. lim 3-2"+2 3 + - n-^ co 2” + 5 = (разделим числитель и знаменатель на2” ) = lim 2« _ и—>СО ^ 5 3, так как 2” lim — = 0, «->00 2" lim — = 0. «~>оо 2” Ответ: 2. 9. lim И—>00 f i + i l V ну = lim И—>со 1 + - V п лУг гЯ=7~е. Ответ: 2. 10. lim «->00 г 3 2 3 [з ^= 0 o V s > 0 Эпо = h(s) ; V n > Hq ^ <£=>Н > — => п> . —=>ЭП() = \ Г\ п у е V 8 V Е +1. Доказательство окончено Нл + 1. 152 1. /(X ) = х^ - 4 ТЕС Т «ФУНКЦИИ. ПРЕДЕЛ Ф УНКЦИИ» Вариант 1 . Областью определения данной функции являются множество значений не­ зависимой переменной х, удовлетворяющих условию: & ( - 00, -2 )[J ( - 2 ,2)(J (2, оо). Ответ: 3. 2. Преобразуем данную функцию с помощью метода введения вспомогательного аргумента Y 1 1 ^ / (х) = sin X + cos X = ^/2 1 . 1-7=г sin X + —рз cos X V2 V2 = V2 / 71 . . 7t cos—sin X + sin—cos X V 4 4 = V2 sin хн— У 1 4 j Так как -1 < sin Ответ: 3. ^ тг'^ x + — I 4y <1 , TO -V 2 03(5=^(£),чю Vx : 0 < | x - X q|<(J = > |/(х) - Л |< £ означает,что lim f { x ) = A. х- Х^о Ответ: 2, х^ - 1 1 4. lim- ^->3 X - 9 х О vOy (х -3 )(х ^ + З х + 9) х ^ + З х + 9 3 ^+ 3-3 + 9 3 = hm ^ = h m ---------------= -----------------= — х-^з х (х -3 )(х + 3) х(х + 3) 3(3 + 3) 2 Ответ: 2. 5. lim JC—>0 з і п З х Г О ^ ^ . . . ^ х хsm5x ~ 5х, arctg------- ,прих -+ О у 2 2arctg I vOy = lim — = 10. Д-—>0 X Ответ: 1. 6. lim л->-оо \ х -Z + X V l + X .2 /i _.4 “І = lim 1 + X / X-* . \ Л \ X А -t | Л + ± П | = lim 1+. ‘ х-^ ооV 1 + ху = ( Г ) = lim ' ' Л--^ СО 1+—^ V 1 + Х \л:+Сі V .J .1 X ' lim 7 4_ gX-»« Q 1 lim 1 1 тельный предел lim 1—>00 Ответ: 5. 7. = (е“ ) = оо. При вычислении предела был использован второй замеча- Гі lY1 + - - е . \ t ) 1 - v l - 4х хххтх д:-»0 X /' r\ \u VOJ умножим ЧИСлИгСлЬ И знаменаісль на выражение, сопряженное числителю дроби ■ lim ^ ....... г------ ^= lim л->0 — = lim — - И I /1 _ '- " Г л ; X — "t X J I /і л. V 1 v_>.n / 1' “ X ^ І - Г 'V J-— j '■ ' ' ' ^ 1 - ■ Vl — 4x I ■ 2. Ответ: 2. 8. lim x - * 0 COS 2 л :-COS jc . Xsin — 2 ^ . 2 x - x . 2 x + x \ -2 sin--------sin-------- = lim ----------- ------------ -— д:-^ 0 sm- = lim x - > 0 ^ . X . 3 x -2 s m —sin— 2 2 r sm- = lim д-->0 . 3x -2 sin— 2 y = 0. Ответ: 1. . ln(x + 2 ) - ln 2 fO^ 9. lim x - * 0 v0y = lim x-^0 ( V' -In ^x + 2^^ \ ^ J = lim л'-^ О К Л f - I n X 1+ - V 2 y y - lim x-^0 In V ^ x^ 1+ - V 2y l /^ / / 2 ' 2 lim In f х^ 1 + - X = lim f !/^lne^2 х -> 0 1 2 j x-^O у 1 > 1 2 ' Был использован второй замечательный предел lim (l + r)/r = е . t~^ o Ответ: 5. f x -ЗЛ 1 10 . lim I ------ = — < » V s > 0 3 6 = 5(s), что V x : 0 < |x - 2| < 5 Л—>2\ 2 > x - 2 x - 3 1------- 1--- 2 2 <8 0 |x-2|<2s<=>35(8) = 28. Доказательство окончено 5(8) = 28. ТЕСТ «НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ» Вариант 1 1. По условию lim /(х ) А , lim /(х ) А = В ^ / ( xq) > т.е. предел слева равен пределу х -> Л ()-0 , х -> Х о + 0 справа функции / ( х ) при х -> Xq и равен значению функции в точке Xq , значит, / (х) - не­ прерывная функция в точке xq . Ответ: 4. (х^ X < 2" 2 . / ( х ) = < ’ ’ Так как функция /Д х) = х^-непреры вна прих<2, функция /г (х ) = 5 - (5, X > 2. непрерывна при х > 2 , то только точка х = 2 является возможной точкой разрыва. Вычислим предел данной функции слева и справа от точки х = 2 и значение функции в данной точке, lim /(х )= lim х^=4, lim /(х )^ lim 5 = 5, /(2 ) = 5 • Так как Ит /(х)ть lim /(х ) , то точка л - > 2 - 0 х - > 2 - 0 х -> 2 -н 0 х - * 2 + 0 х - > 2 - 0 х - ^ 2 + 0 X = 2 - точка разрыва первого рода. Ответ: 1. 154 х е R, то возможной точкой разрыва является точка л: = -5 . Вычислим предел данной функ­ ции слева и справа от точки х = - 5 . 3. f ( x )=^ — Так как функция представляет собой частное двух непрерывных функций при lim о f О \ 2 ^= — = -OD, lim = I — I = +О0. Следовательно, точка х = -5 является точкой л■ + Э V У д;->-з+и X -t- :> y+'J J разрыва второго рода. Ответ: 2. 4. / \ х ) = ( 2 Щ =.[(€/)'^СГ] = 2 [ Щ = . 2 %-1 4 -X 4 1= 2 = —X =--;7=г. 3 3 3 ^ Ответ: 2. V,/ w -"'а"* - 2 Ч У (х") '-« х "-‘ 5- /'(х) = 1п5^л/х j arctg^x-5'^^2arctgx(arctgx) ^ ^ ^ + ( ^ f 12 ^arctg X ^ ^arctg^x^ (5-^)(arctg^x)-(5-^)(arctg^x) ^ ■Л 4х 1 arctg X 1 arctg X 4arctg X Тогда / ’(1) = 5 '^ l n 5 ^ a r c t g 2 l - 5 ^ 2 a r c t g l ^ ^ іЛ і 1 + r _ 2 16 /-г ^ - І п З - 1 320 f n ^ - І п З - 1 U ; U J arctg'^1 % Tl n 40(л1п5-8) % Ответ: 2. / 'W = (-^ t^g(3x + l)] =(x^) tg(3x + l) + x^(tg(3x + l)) =2xtg(3x + l) + x^— — = ^ / V / cos^(3x + l) = 2xtg(3x + l) + - 3x' cos'^(3x + l) Ответ: 5. fx = cost; 7. ’^ ) =2(xj^) о 3x^ +3y^y' = 2(x'y + xy')<::> <^3x^‘ +3y^y' = 2(y + xy') c ^3 y ^ y ' -2 x y ' = 2 y -3 x ^ о о '(Зу^ -2 x ) = 2 y -3 x ^ c ^ y ' = ~ 3y - 2 x Ответ: 2. 9. Используем формулу для нахождения дифференциала: df(x) = / \ x ) d x . Найдем f ' ( x ) : / '( ^ ) = |(х ^ + 5 х + 4) ) = 3 (д;2 ( j 2 = 3(^2 (2х + 5).Т огда df(x) == 3 (д;2 + 5д; + 4)^ (2х + 5)dx. Ответ: 5. 10. Производная второго порядка есть производная от производной первого порядка: /" (х ) = ( / '( х ) ) . Вычислим f \ x ) \ f \ x ) = {x^^ lnx+x^(lnx)' = 2x l nx+x^- — = 2xlnx + x . Тогда /" (x ) = (2xlnx + x)' = (2x)'lnx + 2x(lnx) '+ х ' = 21пх+2х-—+ l = 21nx+3. Ответ: 2. ТЕСТ «ПРИЛОЖ ЕНИЯ ДИФ Ф ЕРЕНЦИАЛЬНОГО И С ЧИ СЛ ЕН И Я ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМ ЕННОЙ» Вариант 1 1. Уравнение касательной прямой к функции у = / ( х ) в точке х^ имеет вид: Яу = / '(xq ) (х - Xq ) + / ( xq ) .в нашем случае / (х) = tgx, • Вычислим значение производной Я 1 функции и значение функции в точке Xq = — . / '(х ) = (tgx)' = — — : 4 cos^ X ■ /' 1 cos ''п'' v4y ■ 2 . (— = tg - U J U J f J Tl'] y = 2 X— I 4 j Ответ: 3. = 1. Подставляя найденные значения в уравнение касательной, получаем п+ \< ^у = 2х — + 1, 2 2. lim- 2 " '- ! х->01п(1 + 2х) т.к. п р и х - > 0 2 ^ - 1 - » 0 1п(1 + 2х )-> 0 , ото имеем неопределенность вида 1ІШ х-»о (1п(1 + 2х))' = lim (2^ In 2 - 0): = lim 2^ In 2: = lim + = 1 in 2 = In V2. ■^»0 1 + 2x jc-»o 1 + 2x д:—>0 2 2 Ответ: 5. 156 3. !im (sin = (і'* L Тяте как имеем неопоелеленность вида: ), то пустьл / \ ~ - Ł ' ’ V / " ’ х —>- А= lim (sinx)*®^- 7tл:->— 2 Прологарифмируем последнее равенство по основанию е, получаем Г \ In ^ = In lim (sinx)‘®^П V 2 lim In ^ (sin хЎ ^ ] = lim (tgx In (sin x)) = (oo • O) = lini ln(sin x) f С'л-ГУ v'i * _1Xj; _ ^ ^ = lim (Ctgx) x->-2 20SX Ctgx 2 Л sm x sm ^x -1 - cos X sin X lim ------ : — ^ = lim ------------------ ^_^^sinx sin^x 2 2 sm x 2 2 = lim (-co sx s in x ) = 0. Тогда \пА = 0=>А = \=> lim (sinx)*^ =1 • X-^~ 3C->- Ответ: 2. 4. Известно, что v(0 = s'(t), a{t) = s \ t ) . Вычислим : s \ t ) = (3t + P y = 3 + 3 t ^ , s "(0 =(3 + 3t^y = 6t. Тогда v(2) = ^'(2) = 3 + 3 • 2^ = 15, a(2) = 5 "(2) =6-2 = 12. Ответ: 4. 5. Область определения функции: (0;оо) . Для нахождения промежутков возрастания и убы­ вания функции вьшислим производную данной функции: 1 л l nx- f -^-5 X ; 1 1 _ х - 1 2 “/ ' « = х; Х^ X" Определим знаки производной, учитывая, что, если / '( х ) > 0 при х е (а,Ь), то на данном ин­ тервале функция возрастает, { / ' ( х ) < 0 - функция убывает). + / V ) -►X о 1 Лх) Следовательно, функция убывает на интервале (0,1) и возрастает на интервале (1, + со). Ответ: 1. 6. Область определения функции x g R. Для нахождения экстремумов функции вычислим производную данной функции: /'{Х) = '] x'(l + x ^ )-x ( l- f х^)' 1 + х ^ - х - 2 х _ 1-х'^ _ (1-х)(1 + х)~ I \ 1 “Г л /j- v ^ ) (l + x^ )" ^ 0 + х: )^ ^ n-bv^V\ X I л / Определим знаки производной: 10/ +-1 Лх) f \ x ) mm max Следовательно, функция имеет минимум в точке х = -1 и максимум в точке х = \. Ответ: 4. 7. Область определения функции х € R. Для нахождения промежутков выпуклости и вогну­ тости кривой, заданной уравнением у = f { x ) , найдем f " (x ) и определим знаки /" (х ) на промежутках: I / '(х) = - 6 x 4 5) = 4х^ - 1 2х, / "(х) = (4х^ -12х)' = 12х^-12 = 12(х^ -1 ) = 12(х - 1)(х +1). + /"(X ) Лх) Следовательно, вогнута на интервале ( -с о ;- 1 )и (1;со), выпукла на интервале (-1;1). Ответ: 1. 8. у=2^+К Область определения функции ( - q o ; - 1 ) u ( - 1 ; o o ) . Значит, прямая х = -1 являет­ ся вертикальной асимптотой, так как 1 ( 1 Г ^ ^ lim 2 = 2+0 = (2"-“ ^ = +00, lim 2^+ ^ = 2-0 jc-^-1+О V J \ J х ^ -1 -О V у = (2"“ ) = 0. Проверим наличие наклонных асимптот: у = кх + Ь, где 4 ( х ) ^ ( Л ) Г Пк = lim Х -У » \ X J = lim X—>00 2Х+1 V X у асимптота имеет вид: >" = 1. Ответ: 4. = О, Ь= lim ( /(х ) - Ах) = lim ( ^ 1 = 1. Значит, наклонная x-»oo Х‘^ \2^ '^Ч 9. / ( х ) = х + л/х . Область определения функции: [0;со). Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [0;4] необходимо найти критические точки функции на заданном отрезке из условия: / '( х ) = О. / '( х ) = (х + л/х)' = 1 + —^ 1 + 1^- = О X 6 0 , значит, критических точек функция не 2yjx 2vx имеет. Вьиислим значения функции на концах отрезка / ( 0 ) = О, / ( 4 ) = 4 + V4 = 6. Следовательно, у„^^_ = О, y„^ ^Q = 6. Ответ: 1. 158 то остальные вершины прямоугольника, принадлежаицие эллипсу, имеют координаты: I ^ ( x , - v \ ( ~ х , у ) , f - x , - у ), причем v = 5 j l ~ — (см. рис. 1). .................................. ■ ' ■ V 16 ' ' Д.2 „2 10. — + ~ = l. Если вершина прямоугольника с координатами {х,у) принадлежит эллипсу, 16 25 Тогда площадь прямоугольника найдем по формуле: S = 4ху => S' = 20хJ1 - — = 5 х л /і6 -х ^ , х е [0, 4]. В задаче необходимо найти стороны пря- V 16 моугольника наибольшей площади, поэтому найдем наибольщее значение функции S(x) = 5хл/і6 -х^ на отрезке [0, 4]. 5"(х) = (5 х \ / і6 -х ^ ) = 5 л /і6 -х ^ +5 х — +5х - 2х 2у1ы - 2лЯ6 -х " = 5V1^ ■х^ +5х 5 (1 6 -х ^ )-5 х ^ 10(8-х^) 1 0 ( 2 7 2 - х ) ( 2 ^ 2 + х ) Л ^ /1 6 ^ \ / l ^1 6 - х V10-X V1P-X V1P-X" Критическая точка, принадлежащая отрезку [0, 4], х = 2^2 , тогда 5(2л/2) = ІОлЯл^ = 40, 5(0) = 5(4) = о . Следовательно, при х = 2л/2 прямоугольник имеет наибольшую площадь. I "2 2 ^ 5л/2 Вьшислим значение у при х = 2л/2:у = 5Л1------= —л/16-(2л/2)^ = —2 л / 2 =------ . V 1 6 4 ' ' 4 2 Значит, стороны пряліоугольнйка: 2х = 4%/2, 2у = 5л/2 . Ответ: 3. 159 ТЕСТ <ЩИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ» Вариант 1 1. Областью определения функции z(x,y) = + l является множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих системе неравенств: i ^ ’ (см. рис. 2). \x e R . z'y = (ху^ - 2 х + Зу)'у = \ х - константа] = 2ху + 3 , Ответ: 1. 3. Для нахождения второй производной вычислим: У );ę " (^У)х дх^ Ответ: 5. 4. Известно, что производная сложной функции z = z (x ,y ) , где х = х(^ ), у = y(t) вычисляет- , dz dz dx dz dy ^ dz / 2\' 2 Sz: / 7\СЯ no формуле:— = -------+ ----- Вычислим— = xy = y , — = \xy =2xy, dt dx dt dy dt dx ^ ' x dy ^ ' v dx , . dy — = (sinr)'^ = c o s — = ie‘] = e^ Тогда dt dt ^ > t dz dz dx dz dy ? ^ t it ^ 7t . i t , ^ ^ it ^— = ------- H------- — = У cos t + 2xye =e cos t + 2e sin t = e (cos ^ + 2 sin O = e cos t(\ + 2tgO . d t d x d t d y d t Ответ: 1. 160 5. Для нахождения полного дифференциала функции и = x""yz найдем частные производные функции и \ = j = 2xyz, и 'у= (^x^yz^ = x^z, и \ = j = х^у . Тогда О 'Уdu = Ixyzdx + X zdy + х ydz . Ответ: 2. 6. Уравнение касательной плоскости к поверхности F (x , у, г) = О в точке А(хо, уо, го) имеет вид F (х - хо) + F '^ 1 ^( у - уо) + F ( z - Zq) = О . В нашем случае F(x, у, z) = х^ + у^ + z - 4 , A(\, 1, 2 ),тогда F \ (x, y, z) = ( x 4 y^ + z - 4) = 2x, где F \ (A) = 2x|^ i 2) = F y x ,y ,z ) = (x^+ y^ + z - 4 ) '^ = 2 у ,г д е F 'y(A ) = = 2 , F ’^ x ,y ,z ) = (x^+ y^ + z -4 ) '^ = 1 ,гд е ^2) 1- Следовательно, уравнение касательной плоскости имеет вид: 2 (x - l) + 2 ( y - l ) + ( z - 2 ) = 0 « > 2 x + 2y + z - 6 = 0 . Ответ: 2. 7. Для вычисления экстремума функции найдем стационарные точки функции из системы: Д ........ . , 2 v | Z ' , = 0 , | г ' , = 0 ; <=>< (Зх + 6у + х - х у + у ) '^ = 0 , Г3 + 2 х - у = 0, Гу = 3 + 2х, (Зх + б у+ х ^ -х у + у^)'^ = 0; [ 6 - х + 2у = 0; [ 6 - х + 2у = 0; [ у = 3 + 2х, |у = 3 + 2х. Т = -5 ,, О i Тогда М (-4 ,-5 ) - стационарная точка. [ 6 - х + 2(3 + 2х) = 0; [ б - х + 6 + 4х = 0; [х = -4 . Находим: d^z А = ~ = {Ъ + 2х - у ) \ = 2 , С = d^z d^z дх^ ( 6 - х + 2 у У у = 2 ,В - ду дхду = (3 + 2 х - у ) ’ = -1 . Тогда Д = АС - Д ^ = 4 - 1 = 3 >0 , А = 2 > 0 . Значит, М(-4, -5 ) - точка минимума. Ответ: 1. 8. Производная функции и = л/у + х^ в точке Л по направлению вектора АВ, ^4(2,0), 5(3,1) ди, ди ди находится по формуле: — = — dl дх ди дх ди 'Лоу / 1----------- \' = i p + x ^ \ A ' П / /----------- / = {J y + X ^ \ A ' ^ 2х cos а + и ( X cos (3 . Находим: І2л/ У + х^ 9 /,. , ..2Z\i у -г X ич » • 4 V + X А COS (X и cos р HaiipciBJiaiOŁju.r^ ^кооикусы вектора АВ — j^ — z, і — (i, іj . _ ^АВ _ 1 1 AB г, _ X ji— = —7=, COSp = У ĄR 1 1 V2 AB\ V2 161 Значит, ди _ ди dl дх ди cos а + — А 5 5V 2 ; / ? ^ 4 V r ~ 4 V 2 " 8 • « 1 1c os p = 1 •— — Ответ: 3. 9. Градиент скалярного поля и = xtgy в точке ^ (1 ,0 ) вычисляем по формуле: gradu _ ди А ~ дх t ди I ч— А ^ j . Находим: ди дх = (^gy)';cL = tg rL = 0’ ди = (^ g y )’i _ ди А дх т ди I И— А А 7 = 7 А ^ Значит, gradu Ответ: 3. 10. Найдем стационарную точку М из системы: cos^ у = 1. И -- 0; (4х + 4у + — о, Г4 + 2х = 0, Гх ——2, о S -о ^ (4х + 4у + х Ч / ) ' з , = 0 ; [4 + 2у = 0; [у = -2 . Получили точку М(-2, -2 ), принадлежащую областиD: х< 0 ;у <0;х + у > -3 (см. рис. 3). Z i(-2 ,-2) = - 8 -8 + 4 + 4 = - 8 . Исследуем функцию на границе области D. 1) X = о, у 6 [-3, о ] : z = 4у + . Задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезке [-3 ,0 ] . Находим z ' = 4 + 2yz' = 0c:>4 + 2y = 0<:^>y = -2 , х = 0. Тогда Z 2 ( 0 , - 2 ) = -8 + 4 = - 4 . 2) у = о, X е [-3, о ] : z = 4х + х^ . Находим z ' = 4 + 2 x < » z ' = 0<::>4 + 2x = 0<=>x = -2 , у = 0 . Тогда Яз(-2,0) = -8 + 4 = - 4 . 3) у = - 3 - х , х б [-3 ,0 ] : z = 4х + 4 ( - 3 - х ) + х ^ + ( -3 -х )^ = 2х^ + б х - 3 . Находим z ' = 4x + 6 < » z ' = 0c:>4x + 6 = 0 < » x = - l ,5 , у = -1 ,5 . Тогда Z4 (-1,5; -1 ,5) = -6 - 6 + 9/4 + 9/4 = -1 5 /2 . Вычислим значения функции в крайних точках области D. Z5(0, 0) = 0, Z6(-3, 0) = -1 2 + 9 = -3 , Z5(0,-3) = -3 . 162 Сравнивая все полученные значения z , заключаем, что = О, Ответ: 4. ТЕСТ «НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ» Вариант 1 -8. 1. Так как F '(x) = (cosx) = / ( х ) = - s i n x . Ответ: 2. -sinx, то F (x) = cosx является одной из первообразных 2. Так как f (x)+ C = = In л/х^ -1 функции — является In х + х + ліх '^ - I + С , то множеством всех первообразных + С .л/х^ - Ответ: 1. 3. J x ' - 4 Ответ: 3. .2 - ^ In x - 2 + C = -^ ln x - 2 + C = -^ln 2 - x 2-2 x + 2 4 x + 2 4 x + 2 + с . f 3 x ^ -ł-X + х ^ ^ ^ , с 4. J----------------- d x= \ Зх' ^ 1 х ^ х^ л: d x - 3 jx^'dx + j— + Jx ^^^dx = _4 x^ , , X 2 , I I 2 = 3-----hln X + ---Г + С' = X^ + ln X — ^ + C . 3 ' ' 1 ' ' Ответ: 3. 0 v4-5 ^ r • -J J Z > . J — r--------------------------------U X = X + 4x + 5 в числителе дроби выделим производную знаменателя ^ (2х + 4 ) ^ ^ dx ^ с ^ (х Ч 4 х + з) ^ х^+4х-1-5 x^-f4x-t-5 х ^ + 4 х + 5 (х + 2)'^+1 T9t 4-4W i J 2 ..: ...^X + 4х + 5 dx = 1п X + 4х + 5 -f arctg (х + 2 ) -f С , г (4х + 3)й6і: ь. М====^ ====== \/х‘ +2x-f 6 в числителе дроби выделим производную знаменателя f 4х + 4-1 J , ----- ах = з/х^ + 2х + 6 __ т / л т и ] j. СІХ ^ V X ” + Z X + u " у Х " - г 2 Х + и V х ” + Z X -І-и -^(^X + l j + 5 / /-Ч . ^Ч т » _ г (zx + z)ńDc (• ЦХ с т у ^ М л Т Т и , 2 -------------------m 1 /9 (x + l) + v x ' -ь2х + б| + С = 4 v x ' -ł-2x-t-6-lnI 7 ^ (x-t-l) + Vx^ + 2x + 6 -fC. 163 Ответ: 2. 7. jxe^'^dx = (по формуле интегрирования по частям) = и = х dv = е dx du = dx v = — 5 5 5 J 5 e = ^ _ _ e « + C . 25 Ответ: 3. 8. f dx f dx x^x^+2x + l j x (x + l) Разложим подинтегральную дробь на сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов; А В С ■ = —+ ------+- x(x + l f X ' х + 1 ' (x + l f А ^ х^ + 2х +1 j + В ^ х ^ + х | + Сх х(х + і)^ Ах + 2v4x + у4 + Вх^ + Вх + Сх — 1 х ^ + 5 = 0 В = - \ 2А + В + С = 0 С = -1 А = 1 = 1 1 1 X х + 1 V Ответ: 1. (х + 1)" л = f— - f— - f •’ X •’х + І •* dx 1 v = ln X - I n х + 1 + ^ — + C, (x + 1)^ ' ' ' ' X + 1 9. |cos3xcos5xdx = — J(cos(3x- 5x) + cos(3x + 5x))cic = — jco s2xdx + — Jcos8x<źc = = —sin2x + — sin8x + C . 4 16 Ответ: 4. 10. f - J 1 4xdx + x Введем новую переменну t по формуле: t = Vx, dx - 2tdt x = t^, dt rt-2tdt ^ r t^ d t r (^ ^ + l)- l_ r • ziai _ 2 f ' wf _ 2 fv‘ + r dt = = 2 ^ d t-2 ==2?-2arctgr + C = 2->/x - 2 arctg Vx + C . Ответ: 5. 164 ТЕС Т «ОПРЕДЕЛЕННЫ Й ИНТЕГРАЛ. П РИ Л О Ж ЕН И Е О ПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА» Вариант 1 ___ . \h 1. p {x )d x = t \ x ) l = t \ b ) ~ t \ a ) . а Ответ: 2. 2. \е^Чх = ^е^^ = - ( e ' - l ) Ответ: 4. 3. f d x = 1\ + у1х -2J1 V 1 1 + ? 1 + f 4 х = t , x = t ^ ,x = \ ^ t = \ dx = 2tdt, x = 16= > / = 4 ^ ^-^(r-l)(r + l) , 1 ^ A f ^ ^ j ^ f t J о f(^ - 1 ) + 1 j= ----- =2 ------------ d t= 2 \-------------- dt = + ^ Jl4-^ i 1-1-f1 + ^ V d t= 2 \ 1 + ? \ + t V d t - 2 \ 1 V ^“ 14- ■ 1 Л 1 + f dt =2l — - f + ln(l + 0 = 2 (8 -4 + l n 5 - - + l - l n 2 ) = 9 + ln — . 2 4 Ответ: 2. . \ sinx , " it/(-cosx ) ic /(cosx) 4. \ — ^ d x = J 1 0 cos X Ответ: 5. 0 cos X 0 cos X COSX0 V2 5. |1п(х^)с& = 2 Г j X = t , x = d t , dx = — p 2dt x = l=>? = l, x = 4=s>/ = 16 16 16 16 = J kitdt ! 24t U = ] n t ^ dU dt ( 1ń гіЛ 2r’/ 'ln ? [ - = 4 1 n l6 - J r ’^ V? = 4 1 n l6 -2 A | = 4 1 n l6 -8 + 2 = 4 1 n l6 -6 . Ч ' 1 W 1 1 Ответ: 1. ^ x^ 6. f—r-----d x - fJ v2 Д. 9 J 2 / „ 3(x + 2x) - 2x 2 C „3 i 4 - 2 2. 2_ v'2 V2 x 4 2 . . 2X =1. dx = X + 2x 2x + 2 + 2 , , V x(x^ + 2) j 2x -ci): = v'2 •L V/т •''' V2Ł Xj = V2 => /"] = 2, X, = 2 => = 4 ■Ji - J ^ = 2 - l - l n | r + 2 [ = l - l n |4 + 2| + ln|2 + 2| = = 1 - In 6 + In 4 = 1 + In —.9 Ответ: 4. ito я TT 71 Я 2 д 2 i 2 j 2 Jcos5xsin(— x)dx= Jcos5xcosxc6c=— j(cos(5x -x ) + cos(5x + x))- 4 2 2 2х о ;с Исходя из рисунка области D получаем: ^dy j / {х, y)dx + J f{x , y)dx = J /(x , y)dy. о y j l 2 УІ2 2 2x Ответ: Jtic J / ( x , y)dy . 0 X 2 2x 3. Так как f{ x ,y ) = \ - y v i Jtic J /(x , у ) ф , тогда о X 2 2x 2 2x 2 / ч2 Л X / \dx^f{x ,y)dy= ^d x ^ i\-y )d y = \d x \--------^ =J O x O x 0 V , 2 , = - - f(-2x + 3x^)tfe = - - ( - x 4 x ' ) '2JV 2^ Л УГ (y _ 2 x f (1-x)^^ -------------1--------- dx = = - 2 . Ответ: 1. . _ ff dxdy4. Для вычисления интеграла , — построим область интегрирования D: o J J T y х^ +у^ =9, X = О, X > О - правая часть окружности с центром в точке (О, 0) и радиусом 3 (см. рис. 7) 168 Так как область интегрирования представляет собой часть круга, ограниченного окружно­ стью, для вычисления двойного интеграла удобно перейти к полярным координатам: X - pcoscp. г _ _1 у = psincp, (pe /1 J l ІІ.1 . . Я- dxdy Ti/2 = J ^Ф{- , ре [0,3]. р ф п/ 2 3•= J pdp D +у^ -njl о р^ cos^ ф + Р ^sin^ ф -л/2 0 р^(cos^ ф + sin^ ф) 7г / 2 3 г т і / 2 3 л / 2 / . ч = j I ф | ф = J ф |р |^ ) = 3фр^^2=37і. - л / 2 0 - у р - л / 2 0 - л / 2 Ответ: 3. 5. Построим фигуру площадь, которой надо найти (см. рис. 8): Площадь фигуры найдем по формуле: 1 1 S = ^^dxdy = j = = -1 х‘ ^3 'nX X V 3 3 3 Ответ: 4. 1 2 3 1 2 3 6. Данный интеграл ^dx jxyJz является повторным, тогда ^dx Jxytfe = ^xdx ^ ydy J j z . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Так как в последнем интеграле все переменные разделены и пределы интегрирования посто­ янные, то: Ixdx f vdv {dz = —J J" " J 7 0 0 0 ^ r 2 ,3 1 4 zL = ------ 3 = 3. 2 2 Ответ: 5. 7. Построим область интегрирования V: x + y + z = l - плоскость, отсекающая на координат- ____ ____ . Г \ . Г \ — А ........................................... ........................ . _____/ _ . _ ___ Ox^C>jivid ДцЛ1і..ііОі;1 i 5 dC Vy'j v/ i i J iO O iv O ^ i i i 2/у» 1 /СО 1 l - x - y Значит, | | j ( x + + z)dxdydz = Ц с& ф J (x + _y + z)d z , где D: x + _y = l, x = 0, _y = 0 (cm. рис. V D O 10). Таким образом, 1 l ~ x l - x - y 1 l - x \\dxdy J {x + y-^z)dz= \dx ^ dy j {x + у + z)dz = \dx \ dy ^ 0 0 0D 0 1 l -x 0 0 1 - Х - Д 0 — J(ix: J ( \- { x + y)^)dy = —\dx '0 0 1 ^ ( x ^ ^ 0 V 3 \ - X 1 0 ov 1 1 ^ l - x — + — 3 3 dx = — 2 о 2 42 X X —X------- h — 3 2 12 2 0 1(2 I П 1 8 -6 + 1 1 ---- + - 2 U 2 12 Ответ: 2. 2 12 8 8. Построим область интегрирования V: х = ^]4--у^' => х^ + у^ =4, х> 0, z = 0, z = 5 - часть эллиптического цилиндра заключенная между плоскостями: z = 0, z = 5 (см. рис. 11). 170 Тгж как проекция тела на плоскость хОу представляет собой часть круга, ограниченного окружностью с центром б точке (О, 0) и радиусом 2 (см. рис. 12), то для вычисления интегра­ ла: \\\{x + y)dxdydz перейдем к цилиндрическим координатам: V Y5 у = р8ІПф, z = z lk l= p ; x '^ +y^' +z^ =4 представляет собой верх­ нюю половину шара. Для вычисления интеграла удобно перейти к сферическим координатам: X = р8ІП0СО8ф, у = р8Іпб8ІПф, z = рСО80, |/| = р ^8ІП 0; Таким образом. 0 € о, п , ф е [0 ,2 л ], р е [0,2]. я 2 +y^+Z^dxdydz = j8in0t/0 J с/ф Jp^^/p^ 8ІП“ 0 C08^ Ф + р^ 8ІП^ 0 8ІП^ ф + р^ С08^ 0<ір = 0 0 I A l l A f-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------— ---------------- — [8ІП0с/0 i t/ф Jp ^ a/ p ^8ІП ^0(cO8 ^Ф + 8ІП ^ф) + ©Ф = 0 я 2 2 я 2 j ^ФІ 0 0 2 я 2 я 2 0 0 0 = - ( 0 - 1 ) - 2 л ~ = 8л. Ц- Ответ; 4. z Г—----------------— г 2я 2 1 4 = ]8ІП0<І0 J й?ф|р а/ р ^(8ІП ^0 + СО8^ 0 )Jp = |8ІП0<І0 j с/ф Jp^i/p = -СО8 0|^ -ф|^ • —р 0 0 10. Масса тела V, ограниченного поверхностями: ^ / 'А ^ - -2 - .2 _ /і /г '...2 - ,2 ^ /А ^ о ллтт.т тт tt/ЧТ'ТТ/../.Л.Т V 1) 'т'\ '.1^ — л л- у 5 л й- V/. Z-. V 5 WVJiii / вычисляется по формуле: I L / 1 т = ^^^y{x,y,z)dxdydz = ^ 2 5 - х2 - / , = ^J\6—x^ — у ^ , =s> ■ х>0, у >0; у л ] Х^ + У ^ + Z ‘ = 2 5 - х ^ - у ^ , z^ = \в - х ^ - у ^ , ■ x>Q, y>Q, z>Q\ ■ dxdydz . Область интегрирования V\ -^у^ л-Р' = 25, X + J + z = 16, представляет собой часть X > О, >> > О, z > 0. шарового пояса. Для вычисления интеграла перейдем к сферическим координатам: x = psin0cos(p, у = psinSsin ф, z = pcos0, = р ^sin0; 0 е ^ 2Г , фе L 2 j L 2 j , р е [4,5]. Значит, т П П 1 2 2 5 = Ш т 2 ~...2 ~ dxdydz = |s in 0J 0 j j 9 j - ^ V \Х + у + z о о 4 л / р 3 1 p^dp sin"' 0 COS'^ ф + р ^sin^ 0 sin'' Ф + р'' cos'' 02 „ „ „ 2 , 2 5 = Jsin ddQ Jc/ф ^ = - cos 0| 2 • ф| 2 ■ — р ^ о о 4 p 2 Ответ: 5. = ^ .1 ( 2 5 - 1 6 ) = ^ 2 2 4 ТЕСТ «к р и в о л и н е й н ы е и п о в е р х н о с т н ы е и н т е г р а л ы . ЭЛЕМ ЕНТЫ т е о р и и ПОЛЯ» Вариант 1 1. Составим уравнение прямой, проходящей через точки .4(0, -2 ) и 5(4, 0): ( x -x ^ + (x g -x ^ ) t , Jx = 0 + (4 -0 )C Jx = 4r, [у = Уа +(Ув -У аУ> 1>’ = - 2 + (0 + 2)П | у = -2 + 2/; ■ х > ( 4 0 ' = 4, _ у ',= (-2 + 2 0 ' = 2_ dt P r dt Вычислим dl = s j ix 'p + {y \Y d t ■ .. '4 0 .1 ] - = yj\6 + 4dt - 2yl5dt. _ r dl \ 2p5dtТогда J------ = I------------- L ^ ~ y ()4 t-(-2 + 2t) Ответ: 3. 2. Вычислим dl = rjl + (y '(x ) fd t = [у '(x) = (х^)' = 2x] = P + 4x^dx . Тогда \4xdl= j4xyll + 4x'^dx= 2\P + 4x'^dix^)=^x^ =t'^ = 2]yl\ + 4tdt=2]i\ + 4 tp ^ d t= - - - { \ + 4t)3/2 = i ( ( l + 4-l)’/ 2 - l ) = i ( 5 , / 5 - l ) . 3 Ответ: 5. 3. Вычислим dl = +{r'Yd(^ = \r '(ф) = (2(1 + cos ф)' = -2 sin ф] = д^(2(1 + созф))^ +4sin^ фс/ф ^ 172 = i/4 + 8cos(p + 4cos^ cp + 4sin^ фй?ф = ^4 + 8cos(p + 4(cos^ ф + sin ^(р)<іф = -JS + Scosę d ^ - Я I о гпя^ - . Ф:ч/л / / ^г]сг\ — Аог\С^Йсг\ Тпгття\ XJ І j6^ V 'V /k J l / t V p ----- I ^ о VT- \ p . -Ł Xw' ж ' Г i +y^ rdl^ X = г СОЗф, ф = г ЗІПф 7Т 2 = J Г СОЗф 4C0S —й?ф = 4 |с08фС08 —й?ф = 0 у г " С08"" ф + г" 81П‘ ф 2 0 2 ,ф 1 2 = 4 - - j Ответ: 4. Ф _ Зф''cos—+ cos— 2 2 ) -7,- ^аф =z о • Ф , 2 . Зфz 8111-----1---- 8Ш ----- 2 3 2 П Лл /"о— ^ УО ,, , 7Т 2 . Зтт---і---S1H" V 4 3 \ - 0 — ж \ і 2 + Я / 3 J 4. I х ф : L dy = y 'd t, у ' = (8ІП ty = cost I Я1-І-С082? , 1 ^ \ j,Jcos?-cosra? = J----------- dt = — \ [l + cos2t)dt ■ I f 1 .?+ —sin 2t 2V2 Ответ: 1 Tljl 0 7t 4' 5. Работа векторного поля F = y i - x j при перемещении точки вдоль линии у = ~ , \< х < 2 X вычисляется по формуле; 1 1 2 1 у \ 2 xdy = у = ~ , dy = ----:rdx = J ----X 2 dx = \X X 1(x \ X ) / 1U J й 6с= 21п х |^ = 2 In 2 . Ответ: 4. 6. Так как L\ х ^+ = 4 - замкнутая кривая, то для вьщисления интеграла применим форму- , / я г ) яр'^( I I V'. ду и Х и у . 1 VJ1 д алу Грина: С^Р(х,у)^& + б(л%>=)ф == I = (^{х^-y )d x + {x-¥y^)dy= Л i{x + y ^ ) ^ - { x ^ - y ) ^ d x d y = 2 |J dxdy = 2S , где S - д:^ +у^ <4 'У площадь круга, радиуса 2. Значит, / = 2ті2 = 8 я . Ответ: 3. F+y^<4 1. Вычислим dS == Я + (гУ У + {z\,] dxdy = z = 2 - x - y , z \ = - l , r Z r e у ■ -J3dxdy. Тогда J j (2x - y + 5z)dS = V 3 ||(2 x -> ’ + 5 ( 2 - x ~ y))dxdy = V 3 jj (-3 x - 6 y + \ 0)dxdy ■ s D D Перейдем к повторному интегралу по области П :х + у < 2 , х > 0 , у > 0 (см. рис. 13). 173 о о 2 2 - х О V3 j (-Зх(2 - х) - 3(2 - х ) Ч 10(2 - x))dx = л/з J(-4х + Щск=4ъ (-2х^ + 8х) = 8^3. о Ответ: 1. 8. По формуле Остроградского-Гаусса: \\xdydz + ydxdz + ~ ^ \\\dxdydz ~ 3 ~ Vmapa “ ^ ^ ~ Ответ: 2. 9. Дивергенция векторного поля а = Pi + Q j + Rk вычиеляется по формуле: diva(M) = (^P'^+Q'y+ .В нашем случае a = {xy-z^')i + {2yz + x^ )j + (3zx + >^^)ł, тогда diva{M) = ({xy-z '^)\+ {2yz + х^) '^ + (3xz + у ^ ) ' ^) ^ = (у + 2z + Зх)(і. о-_2) = -1 ■ Ответ: 5. 10. Ротор векторного поля а = Pi + Q j + Rk вычисляется по формуле: rota = i j к д д д дх. ду dz Р Q R В нашем случае a = {xy + z^)i + {2 y z -x ^ )j + (3zx- y ^ ) k , тогда к д_ 8z Л л......... 2 rota = i J д д дх ду 2xy + z 2 y z-x 2^^d (3 zx-y^) d {2 yz-x^) V ду dz 2^^d (3 zx -y ) d(xy + z ) dx dz J + + ^ d (2 yz-x^) d{xy + z^)^ dx \ Ответ: 3. ду к = -4 y г - z j - Зхк 174 ТЕСТ «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» Вариант 1 1. Проверим, является ли функция у = Се решением уравнения у '+ 2у = 0. у ' = -2Се , тогда -2Се~^^ + 2Се~ '^‘ = О О = 0. Ответ: да. 2. Данное дифференциальное уравнение является дифференциальным уравнением 1-го по­ рядка с разделяющимися переменньми, тогда dv xdx xvdx -ь (х + V)dy = О о (х -I- \)dy = -xydx о — = --------о у х + \ ^ ^ j^j^l + ^ ln|y| = - ---- (ix Injyl = -x-i-ln|x + l|-i-ln|c| <=> УО In C(x-f-l) Ответ: 1. = -x < ^ - У C(x + 1) = e ^ <=>y = C(x + l)e ■*. 3. xy' = y - xe^ "^" о у ' = — - e""'' - данное уравнение является однородным, т.к. X f(tx,ty) = - - e '^ ^ =--6^^^ = f f { x , y ) . tx X Делаем замену: у = и х ^ у ' - и 'х + и , тогда и 'х + и = и -е '‘ ^ и 'х = -с " <=> — X = —е “ dx д.у. с разделяющимися переменными <^-е " = — <=>- fe Vw = " = Inlxl + Inicl <=> e " = InjCxI о e = InlCxI - общее решение исходного уравнения. Ответ: 3. 4. Данное уравнение х у 2 у = 2х'‘ является линейкьш дифференциальным уравнением 1-го порядка. Решим уравнение методом Бернулли; решение ищем в виде: у - w(x)v(x), где w = w(x), v = v(x) -неизвестные функции. Тогда > ' = m'v + wv', значит, х(м' V ч- WV ’) - 2wv = 2х'‘ с» хм' V -ь XWV2WV = 2х‘ о хм' V 4- w ( X V 2v) = 2х‘*. Данное уравнение fx v '- 2v = О, равносильно системе; , Рещим первое уравнение xm'v = 2х . rdx • ~ ^ d v . d x r a v ^ ffltX , ] I I j 2 ГТ■-ZV = 0 <=> X— = 2 v o — = 2— ^ — = 2 — <=> In V = 21n x ci> v = x“. Подставим л, у i л, i г ' ' ' ' d dxXV dv dx V X •' V •' X найденное значение v во второе уравнение системы, получим хм' х ^= 2х'* <:i> м' = 2х о — = 2х £/м = 2xdx \dn = 2 \xdx и = х ^-I- С . .Значит, dx •- ^ у - х^(х^ + С) - общее рещение исходного уравнения. Найдем частное рещение, удовлетво­ ряющее начальному условию: у(1) = 0=>0 = 1 + С = > С - - 1 = ^ у = х ''(х ''-1 )= > > ’ = х '* - х ^ - частное решение. Ответ: 1. 17'^ 5. Данное дифференциальное уравнение (е’ + у + sin y)dx + (e^ ' +х + xcos y)dy = О является уравнением в полных дифференциалах, так как — = (e'‘ + >' + sin>^)' = l + cosy^, — = (е^ +x + x c o sy )\ = l + cos>». бу ^ дх Найдем решение дифференциального уравнения в виде функции U(х, у) такой, что dU = О исходя из условия: ---- = Р{х,у) = е'' + y + sm y, =^U (x,y)= + у + siny )^(ix: = с’' + х у + xsiny' + cp(y), дх ^ dU = Q(x,y) = + X + XCOSX; где ф(у )^ - неизвестная функция. = + х у + x siny + (pO'’)) = x + xcosy + (p'(>') • ду ^ Приравнивая правые части исходного и полученного равенства, получаем: X + X cos у + ф '(у) = + X + X cos у, Ф'(у) = ^ ф(у) - е ^ +С. Следовательно, IJ(х, у) = е"" + ху + х sin у + + С => общее решение дифференциального уравнения: е"" + лу + х sin у + + С = О. Ответ: 3. 6. Данное дифференциальное уравнение у" = sinx является уравнением 3®"^° порядка, допус­ кающее понижение порядка. Решение уравнения найдем, применяя последовательное инте­ грирование: у "= |sinx(A: = -c o sx + Cj .Поусловию: у"(0) = 0 о о = -cosO-bCj <» С] = 1 <» у" = -COSX-I-1. Значит, у '= J(-cosx-i-l)<źc = -sinx-t-x + C2 . По условию: у'(0) = 0<=> 0 = -sin0-t-0-t-C2 Cj = 0 < » y ' = -s in x + x . fСледовательно, у = ( - sin х + x)dx = cos х -t- — -h C j . Найдем Сз исходя из условия: •' 2 х^ у(0) = 1 о 1 = созО + 0 + Сз <=> Сз = 0 « > y = cosx-i--^ . Ответ: 2. 7. Дифференциальное уравнение (1 - х ^)у " - ху' = 2 является дифференциальным ур)авнением второго порядка, допускающим понижение порядка с помощью замены: у ' = р{х) ^ у " = р \ х ) , тогда (І-х^)р '-хр» = 2 - линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Решение ищем в виде: p = u v ^ р ' = u ' v + u v ',тотда (I - х^)(й'V + uv')- xuv = 2 => (l-x^)M'v-t-(l-x^)wv'-XMV = 2=> (1- x^)m'v-i-w( (1 - x^)v ' - xv) = 2 . Последнее уравнение равносильно системе: |( l - x ^ ) v '- x v = О, [ ( l-x ^ )u 'v = 2. 176 Решим первое уравнение системы dv 1, dv dv xdx(1 - X )v '- = О (1 - X ) ------ XV = О о (1 - X")— = XV (1 - X )dv = xvdx <=> — = dx dx V l-x' ^ dv xdx cdv r xdx , i . 1 rrf(x") , , , 1, , ,l = ------- 1 = ------------- Inivl = — I——ilnlvl = In 1 — V = 11 - > V 1-x^ J v J l - x ^ 2 J l - x ^ ....... ^ ■ Подставим V во второе уравнение системы, получим ( l - x^ ) w' ( l - x^ ) ^ = 2 о ( і - х ^ ) ^ ^ ^ = 2с:>й?м = 2- <» \ x - . f О ^du = 2 J- dx VT w = 2 arcsin X + C ,. / 2Значит, p> = ( l - x 1 (2 arcsinx + C[). Тогда . 2\-V2 ._ . f2arcsinx + C , . r arcsin x , ^ г , у =(^l -x j (2arcsinx + Cj) о у = I-----j = = — -д 6 с о у = 2 | ------= Т /Ъ г Ъ < а1 Л (:^ г Т Т Т Т Л Г < а T T t т т г ч л \ r t - \ O T ł T T / a T T T r p 1 .. /^ ___ л ? — . ЯГгДЯСТСЯ ДНііСЙІІЫГм уравнением 11-го порядка. Решим его методом Лагранжа (метод вариации произвольных по­ стоянных) 1 ш аі. Решаем линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффи­ циентами: 177 у"~2у ' + у = 0. Составим характеристическое уравнение; - 2 ł +1 = О (А: -1)^ = О А:, = 2^ = 1 • Значит, у = . 2 шаг. Общее решение исходного j-paBKemia ищем в виде: у = Cj (.х)е'‘ + Cj , где СЛх) и С^Сх) - неизвестные функции. Найдем С,(х) и CjCx) из системы: С; \х)е’‘ + Cj \х)е'‘х = О, <=> < С,'{хХе^У+С,\х)(е^хУ = — ,"1 V-^ /V'' / ' ^2 i Г ' с , '( х К + С 2 '( х К ^ = о, о С, '(х)е^ + С2 \х){е^х + е") = — ; X С[ '{х)е^ + Cj \х)е'‘х = О, <=^> i С, ’(х)е" + С2 \х)е^х + С2 = — ; ^ ''^ ^ ^ " ^ ^ ’ ^ | с , ( х ) = - х + С;, Cj ’(л:) = - ; ^ [С2 (х) = In |х| + Q . С ,'(х К + С 2 '(л :К х = 0,'2 i С2’( х К = — ; X С.'(х) = -1, 1 <» С г\х) = - ; X Следовательно, у = (-х + С,)е'^ +(1п|х| + С2)е''х <=>>» = e'*(-x + Cj +х1п|х| + С2х) = у = e'*(Ci +х1п|х| + (С2 -1 )х). Ответ: 1. 10. Гх' = 2х + у, [у ' = 3х + 4у. Сведем решение системы дифференциальных уравнений к решению дифференциального уравнения 2°'^ ° порядка с постоянными коэффициентами. Продифференцируем первое урав­ нения системы: х " = 2 х '+ у ' => X" = 2х '+ Зх + 4у , т.к. из первого уравнения системы: у = х 2 х , тогда X" = 2х '+ Зх + 4 ( х 2 х ) X" = 6 х 5 х <=> X 6 х '+ 5х = о - линейное уравнение с постоянны­ ми коэффициентами. Составим характеристическое уравнение: к ^ -6 к + 5 = 0=>к^ =1, к2 = 5. Значит, X = С,е' + С2в ‘^, тогда у = х 2 х = Cjc' + 5С2е^‘ - 2С\е‘ - 2С2б '^ = -Ц е ' + ЗС2в^'. Ответ: 2. Учебное издание СБОРНИК ТЕСТОВ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ студентов I курса инженерно-технических специальностей вузов С о с т а в и т е л и : АНДРИЯНЧИК Анатолий Николаевич БРИЧИКОВА Елена Алексеевна ГАБАСОВА Ольга Рафаиловна и др. Технический редактор О. В. Песенько Подписано в печать 29.04.2012. Формат 60x84 Vg, Бумага офсетная. Ризография. Уел. печ. л. 20,81. Уч.-изд. л. 8,14. Тираж 100. Заказ 1024. Издатель и полиграфическое исполнение; Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.032009. Пр. Независимости, 65. 220013, г. Минск.