1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Теоретическая механика» А. В. Чигарев К. Циммерманн В. А. Чигарев ВВЕДЕНИЕ В МЕХАТРОНИКУ Допущено Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов учреждений высшего образования по техническим специальностям Минск БНТУ 2013 2 УДК 621.865.8 ББК 34.816я7 Ч58 Р е ц е н з е н т ы : зав. кафедрой «Теоретическая и прикладная механика» Белорусского государственного университета, д-р физ.-мат. наук, профессор М. А. Журавков; профессор факультета компьютерных систем и сетей Белорусского государственного университета информатики и радиоэлектроники, д-р техн. наук, профессор С. Е. Карпович Чигарев, А. В. Введение в мехатронику : учебное пособие / А. В. Чигарев, К. Циммерманн, В. А. Чигарев. – Минск : БНТУ, 2013. – 388 с. SBN 978-985-550-008-8. Изложены начальные основополагающие принципы и методы анализа и синтеза мехатронных систем, основанные на теории механических, электрических, электрон- ных цепей с элементами теории регулирования и надежности. Пособие предназначено для широкого круга студентов специальностей «Меха- троника», «Роботы и робототехника», «Киберсистемы», «Информационные систе- мы», а также для преподавателей, инженеров и научных сотрудников, работающих в этих областях. УДК 621.865.8 ББК 34.816я7 ISBN 978-985-550-008-8 © Чигарев А. В., Циммерманн К., Чигарев В. А. , 2013 © Белорусский национальный технический университет, 2013 Ч58 3 В в е д е н и е Термин «мехатроника», несмотря на свое сорокалетнее сущест- вование, формулируется разными авторами в достаточно широких пределах детализации, хотя по сути одинаково. Например, в [2] сформулировано: мехатроника – средство принятия сложных решений для функ- ционирования физических систем. В образовательном стандарте России записано [3]: мехатроника – область науки и техники, основанная на синерге- тическом объединении узлов точной механики с электронными и компьютерными компонентами, обеспечивающими проектирование и производство качественно новых модулей, систем и машин с ин- теллектуальным управлением их функциональными движениями. Термин «мехатроника» был введен японской фирмой Yasakava Electric в 1970 г. для описания новых видов механических систем, в которых электроника выполняла функцию получения, переработки информации, принятия решений и реализацию управления, прежде выполнявшихся механическими или электрическими компонента- ми. Удешевление элементной базы процессоров привело к переходу от электроники к программному обеспечению как основной среде принятия решений. Мехатроника в узком смысле этого слова – наука о работе меха- нических, электрических, электронных и программных средств, объ- единенных в едином изделии (системе). В широком смысле – это подход в инженерии машин новых поколений, органично включаю- щий в себя процессы проектирования, интеграции, оптимизации, адаптации, модификации. На стадии проектирования важно помнить о надежности и безо- пасности эксплуатации системы при осуществлении требуемых функ- ций. Стадия проектирования включает в себя фазы: системного анализа состояния для данной области, требований заказчика, технических и финансовых возможностей; виртуальной инженерии, включающей в себя системный подход на основе конструктивного моделирования с использованием ком- пьютерных систем и модульного подхода, объединяющего требова- ния к динамике, эксплуатационным качествам, системам регулиро- вания и управления. 4 Модулируемое проектирование основывается на системном мо- делировании, которое определяет границы осуществимой детализа- ции с помощью описания закономерного и контролируемого пове- дения оборудования в математической форме. Моделирование по- зволяет установить математическое определение ожидаемого функ- ционирования мехатронной системы. Основой модели системного уровня является структурная схе- ма. У модели имеются входные сигналы, являющиеся проявлением внешних воздействий, и выходные сигналы – в данный момент. Входные и выходные сигналы отображают реальные величины: силы, скорости, ускорения, напряжения, деформации, температуру, электрическое напряжение, силу тока и т. д. Блоки (звенья) в схеме изображают математические операции меж- ду входными и выходными сигналами в модели. Например, блок (зве- но), изображающее электрический двигатель, имеет входное напря- жение, преобразуемое на выходе во вращающий момент. Основа модели системного уровня – это математическая модель системы с сосредоточенными и распределенными параметрами, опи- сываемая дифференциальными уравнениями. Однако математическая модель системы может стать очень слож- ной, требовать для решения много времени. В этом случае целесо- образно обращаться к другим способам моделирования системного уровня, таким как метод эмпирической модели, управляемой дан- ными идентификации системы, нейронными сетями, клеточными автоматами. Модулируемое проектирование позволяет инженерам начать процесс проектирования с модели системного уровня с малым ко- личеством деталей (модулей) и затем увеличивать ее детализацию, сложность. Технически система CAD-FEM включается в модулируемое проек- тирование на стадии создания трехмерной геометрической модели, учета механических характеристик: массы, инерции, деформаций, тем- пературы, имитации процесса эксплуатации изделия. Виртуальные испытания изделия предполагают разработку и оценку эффективности систем регулирования по разомкнутому и замкнутому циклам. На этой стадии модель системного уровня позволяет выявить и устранить причины динамической неустойчивости, обусловленной 5 геометрией масс, повреждений, разрушений вследствие наличия в конструкции концентраторов напряжений и т. д. Модулируемое проектирование включает в себя непрерывные вир- туальные испытания и верификацию на протяжении всего процесса разработки. С этой целью проектировщики разрабатывают набор стан- дартных тестов и средств тестирования, что гарантирует достовер- ность оценки эволюции системы в процессе ее разработки. Посто- янные испытания с использованием стандартных процедур позволя- ют непосредственно увидеть влияние на выходные сигналы любых конструктивных изменений в проекте. Таким образом, общепринятым в проектировании является сис- темный подход, в котором стремятся изначально учитывать связи и взаимодействия между отдельными частями и внешней средой. Как способ реализации системного подхода используется модульный метод, позволяющий решать задачи последовательного проектиро- вания сверху вниз или снизу вверх через создание математических моделей элементарных составляющих системы как звеньев единой мехатронной цепи, имеющих входы и выходы. В учебном пособии основное внимание уделяется методам анализа звеньев: механических, электрических, электронных, программных, т. е. микроуровню, на котором рассматриваются в основном элемен- тарные составляющие. Содержание пособия тематически соответству- ет монографии «Мехатроника» [1], в которой были сформулированы основные концепции предмета, отраженные в данном пособии. В первой главе рассматриваются общие вопросы, которые необ- ходимо решать при проектировании систем: математическое моде- лирование, надежность и безопасность, наблюдаемость, идентифи- цируемость, управляемость. Вторая глава посвящена вопросам описания механики рабочих частей мехатронной системы. Кинематические цепи и их динамика, зависящая от геометрии масс, описываются на основе вариационно- го принципа Гаусса. Более подробно эти вопросы изучаются в кур- сах теории машин и механизмов, деталей машин и др. Механика материалов описывается с помощью механических цепей, что удоб- но для целей проектирования. Здесь не рассматривается механика деформирования конструкций с учетом того, что эти вопросы изу- чаются в курсах сопротивления материалов, строительной механики машин, теории упругости, пластичности, разрушения. 6 В третьей главе рассматриваются вопросы описания гидро- и пневмоэлектроприводов на основе моделей звеньев механических и электрических цепей. Четвертая глава содержит элементарные сведения о некоторых звеньях электронных цепей, позволяющих реализовать булеву ло- гику для целей обработки информации и управления. В пятой главе содержатся начальные сведения из теории автома- тического регулирования и управления. Шестая глава посвящена изложению концепции мехатронной сис- темы с точки зрения теории конечных автоматов, что позволяет в единообразии рассматривать вопросы проектирования систем и ин- женерии программного обеспечения. В седьмой главе затрагиваются вопросы повышения надежности мехатронных систем, в первую очередь за счет программного обес- печения. Пособие предназначено для студентов, магистрантов, аспирантов специальностей, связанных с мехатроникой, автоматикой, робото- техникой, компьютерной механикой. Оно также будет полезно для инженерно-технических работников соответствующих направлений машиностроениия, приборостроения и энергетики. 7 1. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА СЛОЖНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СИСТЕМ Основные понятия, которые используются при моделировании систем различной природы, это – структура, функция. Для любой системы эти понятия не являются независимыми. Как правило, структура системы определяет ее функции, и наоборот, – задание функций накладывает на ее структуру определенные требования. Со- ответствие не является взаимно однозначным. Например, если объект должен летать, то эта функция может быть реализована системами с разной структурой. Техническая революция, положившая начало непрерывному процессу создания и эволюции машин, начиналась с систем, использующих законы механики как для собственного движения (совершения работы), так и для управления (регулирова- ния) этими процессами. С самого начала возникновения современно- го машиностроения механика системы и управление ею составляли две неразрывные части. Постепенно, с развитием электротехники, функции, связанные с управлением (получение информации о со- стоянии системы, передача информации персоналу для управления), стали реализовываться не с помощью механических датчиков, а при помощи электротехнических приборов. Пневмо- и гидроприводы машин постепенно заменялись на электроприводы. Развитие элек- троники привело к созданию приборов, которые вытеснили доста- точно громоздкие электрические системы и стали широко использо- ваться в сочетании с механическими компонентами для выполнения различных функций. Таким образом, современные машины на всех уровнях, начиная с бытовых, представляют сложные гетерогенные системы, различные части которых функционируют используя раз- личные физические законы, обладают различными свойствами. Со- единение разнородных систем в единую может приводить к двум прямо противоположным результатам: конгломерат, относительно некоторых критериев, может оказаться хуже, чем отдельные части, но может оказаться и лучше, опять же относительно определенных критериев, каждой из составляющих частей. Такое взаимовлияние компонентов на свойства единой системы называется синергизмом. Природные системы, в частности биомеханические, представляют собой пример систем, составляющие которых по отдельности обла- дают свойствами не лучшими, чем система в целом. 8 Для того чтобы оценить систему, являющуюся конгломератом подсистем различной физической или химической природы, необ- ходимо рассмотреть такие их свойства, которые были бы присущи всем компонентам и системе в целом. 1.1. Математическое моделирование сложных динамических систем Анализ и синтез мехатронных систем требуют разработки и ис- пользования методов исследования проектирования, которые позво- ляли бы наиболее полно учитывать, во-первых, наличие взаимосвя- зей между большим числом факторов, определяющих свойства и поведение рассматриваемой системы, и, во-вторых, неопределен- ность поведения системы в целом и составляющих ее частей. Не- обходимость такого рассмотрения определяют следующие отличи- тельные признаки, характеризующие мехатронную систему как боль- шую и сложную: 1. Наличие большого количества взаимно связанных и взаимо- действующих между собой элементов. 2. Сложность функции, выполняемой системой и направленной на достижение определенной цели функционирования. 3. Возможность разбиения системы на подсистемы, цели функ- ционирования которых подчинены общей цели функционирования всей системы. 4. Наличие управления, информационной разветвленной сети, интенсивных потоков информации. 5. Взаимодействие с внешней средой и функционирование в ус- ловиях воздействия случайных факторов. Изучение поведения систем, основанное на учете присущей им сложности и рассмотрении системы как единого целого, характерно для так называемого с и с т е м н о г о подхода к постановке и ре- шению задач управления. Сущность его составляют такие вопросы, как определение общей структуры системы, организация взаимо- действия между ее элементами, совокупное взаимодействие систе- мы и внешней среды и т. п. Основным методом исследования сис- тем в рамках системного подхода является метод математического моделирования, базирующийся на широком использовании средств аналоговой и цифровой техники. 9 Понятия модели и моделирования основываются на наличии не- которого сходства между двумя объектами изучения и, по сущест- ву, явно или неявно вводятся во всех науках. Между двумя объек- тами существуют отношения о р и г и н а л а и модели, если между ними может быть установлено сходство хотя бы в каком-либо од- ном определенном смысле. Моделирование – изучение каких-то свойств оригинала путем построения его модели и изучения ее свойств. Для мехатронных систем наиболее важным сходством, приводящим к отношениям оригинал–модель, является сходство их поведения, позволяющее моделировать движение. При изучении движения нас не интересует физическая сторона протекающих про- цессов и явлений. В связи с этим для постановки и решения задач исследования мехатронных систем с помощью моделирования од- ним из методов является понятие «черного ящика». Под этим пони- мается система, в которой внешнему наблюдению доступны лишь входные и выходные величины. Метод «ч е р н о г о ящика» заклю- чается в изучении свойств системы на основании знания и сопос- тавления ее входов и выходов при проведении эксперимента, по- зволяющих в дальнейшем построить модель системы и предсказы- вать ее поведение при любых заданных входах. По существу, «чер- ным ящиком» является любой объект, о котором можно судить лишь на основании изучения его внешних свойств; это понятие очень часто, хотя и не в явном виде, используется и в науке, и в технике. Метод «черного ящика» особенно важен для изучения по- ведения сложных систем, так как зачастую для них ответить на во- прос, как будет вести себя система в тех или иных условиях, можно лишь на основании изучения ее поведения в каких-то других усло- виях, создание которых доступно при экспериментировании, или изучения характера поведения в прошлом. Системы, характеризующиеся одинаковым набором входных и выходных координат и одинаково реагирующие на внешние воз- действия, называются изоморфными. Между любыми изоморфны- ми системами существует отношение оригинал–модель в том смыс- ле, что любая из совокупности изоморфных систем может рассмат- риваться как оригинал или как модель остальных. Система В, по- лученная из исходной системы А путем ее упрощения (за счет уменьшения числа рассматриваемых координат, за счет более гру- бой оценки их значений), называется гомоморфной или упрощенной 10 моделью системы А. Здесь уже А не может рассматриваться как го- моморфная модель В. Моделирование – один из наиболее распространенных способов изучения различных процессов и явлений. Различают физическое и математическое моделирование. При ф и з и ч е с к о м м о д е л и р о в а н и и модель воспроиз- водит изучаемый процесс (оригинал) с сохранением его физической природы (продувка моделей в аэродинамических трубах, макеты рус- ловых потоков и т. д.). Здесь между процессом-оригиналом и про- цессом-моделью сохраняются некоторые соотношения подобия, вы- текающие из закономерностей физической природы явлений. Под м а т е м а т и ч е с к и м м о д е л и р о в а н и е м понима- ют способ исследования различных явлений, процессов путем изуче- ния явлений, имеющих разное физическое содержание, но описывае- мых одинаковыми математическими соотношениями. В простейших случаях для этой цели используются известные аналогии между меха- ническими, электрическими, тепловыми и другими явлениями. В каче- стве примера такой аналогии можно рассмотреть линейную консерва- тивную систему. Общая форма уравнения свободных колебаний 2 2 02 d 0 d z z t    описывает движение как в механической, так и в электрической сис- теме. Действительно, положив 2 0 1 LC   , ( )q t z , получим уравнение изменения заряда q на емкости С контура LC: 2 2 d ( ) ( ) 0 d q t q tL Ct   . Положив 2 0 , ( )t zm     , 11 получим уравнение изменения отклонения центра масс ( )t пружин- ного маятника массой т от положения равновесия, если жесткость пружины  : 2 2 d ( ) ( ) d tm t t    . Математической моделью реальной системы называется ее описа- ние на каком-либо формальном языке, позволяющее выводить суж- дение о некоторых чертах поведения этой системы при помощи фор- мальных процедур. Математические модели могут представлять собой характеристики систем, заданные функциональными зависимостями или графиками; уравнения, описывающие движения систем; таблицы или графики переходов систем из одних состояний в другие и т. д. Абстрагируясь от физического существа явлений, процесс функ- ционирования любой системы можно рассматривать как последова- тельную смену ее состояний в некотором интервале времени 0, ft t . Состояния системы в каждый момент времени t из этого интервала характеризуются набором величин 1 2, , ..., nx x x . При переходе от одного мгновенного состояния к другому значения 1 2, , ..., nx x x в общем случае меняются и могут рассматриваться как функции по- следовательных моментов времени 1( ), ..., ( )nx t x t . Эти переменные величины называются переменными состояния. Переменные состоя- ния могут быть интерпретированы как координаты точки в n-мерном фазовом пространстве. Тогда процессу функционирования будет со- ответствовать фазовая траектория, которая может быть описана век- тор-функцией ( )x t с составляющими по осям 1( ), ..., ( )nx t x t . На- чальному состоянию системы (в момент t0) соответствует начальное состояние с характеристиками состояния 01 0, ..., nx x . На вход системы в общем случае могут поступать входные сиг- налы ( 1, 2, ..., )iu i q , оказывающие влияние на состояние систе- мы, так что характеристики состояний системы 1( ), ..., ( )nx t x t в про- извольный момент зависят от начального состояния 01 0, ..., nx x и входных сигналов iu , поступивших в моменты времени *t t . Сле- 12 дует отметить также, что характеристики состояния зависят и от некоторого числа постоянных или определенным образом меняю- щихся величин ( 1, ..., )jd j m , характеризующих свойства систе- мы и называемых параметрами системы. На выходе система в об- щем случае выдает сигналы ( 1, 2, ..., )ry r l , полностью опреде- ляемые ее состояниями. Детерминированные модели представляют собой совокупность неслучайных соотношений и дают возможность однозначного оп- ределения характеристик состояния и выходных сигналов через па- раметры: входные сигналы и начальные условия. На практике, од- нако, часто приходится рассматривать случаи, когда характеристи- ки состояний и выходные координаты представляют собой случай- ные функции времени. Это является результатом того, что по ука- занным ранее причинам фактически случайными величинами явля- ются начальные условия, случайными величинами или функциями являются входные воздействия и параметры, кроме того, на элемен- ты системы действуют случайные возмущения, возникающие внут- ри системы. В этом недетерминированном случае с помощью мате- матической модели однозначно должны определяться распределе- ния вероятностей для характеристик состояний системы, если зада- ны распределения вероятностей для начальных условий, парамет- ров, возмущений, входных сигналов. Для исследования такого рода процессов строится вероятностная модель. Отметим, что детерминированная модель может быть построена и для исследования случайных явлений. Примером таких моделей являются соотношения, связывающие числовые характеристики зако- нов распределений входов и выходов систем. С другой стороны, вероятностные схемы могут использоваться для решения детерми- нированных задач. В частности, это случайный поиск экстремумов функций, использование метода Монте-Карло для вычисления мно- гомерных интегралов и др. Общая характеристика метода математического моделиро- вания. Первый шаг исследований на основе моделирования – выяв- ление всех факторов, имеющих отношение к последующему построе- нию математической модели. На этом этапе важно включить в модель переменные величины, оказывающие основное влияние на характе- ристики состояния, и не менее важно опустить такие детали, кото- 13 рые не оказывают существенного влияния на результаты. Следует иметь в виду, что никаких формальных правил для решения этих вопросов не существует. Здравый смысл исследователя и проверка соответствия модели реальной системе на основе эксперимента в итоге приводят к построению приемлемой модели. Можно только отметить, что в качестве характеристик состояния целесообразно выбрать такие функции, которые, с одной стороны, обеспечивали бы удобство определения искомых величин при иссле- довании, а с другой – давали бы возможность получить достаточно простую модель. Выбор же параметров, характеризующих процесс функционирования системы, обусловлен теми факторами, которые должны учитываться при формализации процесса и обеспечивать достаточную полноту описания различных его сторон. Перечень на- чальных условий может быть определен однозначно только после построения математической модели. Естественно, он зависит от того, какими были выбраны характеристики состояния. Процесс составле- ния математического описания можно представить состоящим из следующих обобщенных этапов или шагов формализации: 1. Составление содержательного описания, представляющего со- бой перечень основных сведений об изучаемом процессе, постанов- ку задачи исследования и цели моделирования, перечень исходных данных. 2. Составление формализованной схемы в случае, если перейти к получению математической модели непосредственно по содержатель- ному описанию, не представляется возможным. Здесь устанавливают- ся характеристики процесса, система параметров, строго определяются все зависимости между ними, уточняются исходные данные. 3. Составление математической модели процесса, т. е. по сути за- пись в аналитической форме всех соотношений формализованной схемы с использованием тех или иных математических схем, по воз- можности типовых, таких, например, как вероятностные схемы слу- чайных явлений, дифференциальные уравнения, типовые логические схемы и т. п. Математическая модель является гомоморфной моде- лью относительно формализованной схемы. 4. В случае реализации математической модели на компьютере – составление моделирующих алгоритмов. После того как математическая модель получена и в первом при- ближении соответствует задачам и целям исследования, задача реша- 14 ется либо аналитически, либо с привлечением обширного арсенала моделирующих средств. Большинство задач исследования поведения систем не может быть решено аналитически, а решение представлено в замкнутой форме. Решение ряда задач вообще стало возможным лишь с появлением современных аналоговых и цифровых вычисли- тельных систем. Исследование системы можно было бы проводить непосредственно путем эксперимента в реальных условиях. Однако такой метод изучения слишком громоздок и дорог. Поэтому метод математического моделирования является основным в проведении исследований мехатронных систем. В настоящее время его широко используют для целей экспериментирования или численной оценки, как средство изучения новых систем, для проверки или демонстра- ции новой идеи, системы или метода и т. д. Этот метод предполагает построение действующей математической модели, обладающей свой- ствами (или характеризуемой соотношениями), которые подобны свойствам (или соотношениям) рассматриваемой реальной системы. При этом возникает возможность имитировать работу системы в ши- роком диапазоне условий и принимать решения относительно опти- мизации ее характеристик. Построение модели опирается прежде всего на формулировку проблемы. При статистических исследованиях довольно сложно най- ти решение задачи даже с использованием компьютерных систем, если пытаться получить математическую модель, связывающую не- посредственно статистические характеристики выходных координат со статистическими характеристиками входов, начальных условий, параметров. В настоящее время широкое распространение для иссле- дования мехатронных систем получил м е т о д с т а т и с т и ч е с- к и х и с п ы т а н и й. Моделирование с применением этого метода получило название статистического моделирования. Применительно к исследованию поведения мехатронных систем с использованием компьютера метод статистического моделирова- ния обычно заключается в том, что: а) составляется и реализуется на компьютере детерминированная математическая модель системы, отражающая связь значений вы- ходных координат системы со значениями входных воздействий и начальных условий; б) обеспечивается получение на ЭВМ отдельных реализаций слу- чайных событий, величин, функций, т. е. моделируется случайное 15 явление с некоторыми заданными характеристиками, соответствую- щими характеристикам случайных явлений, сопровождающих функ- ционирование реальной исследуемой системы (изменениям парамет- ров, внешних воздействий, начальных условий); в) производится многократное решение детерминированной зада- чи, где в каждом из решений условия определяются этими реализа- циями случайных явлений; г) производится статистическая обработка полученных результа- тов в соответствии с характером поставленной задачи. Каким же основным общим требованиям, не зависящим от цели исследования или характера решаемой задачи, должна удовлетворять математическая модель? Для какой бы из перечисленных выше целей ни строилась математическая модель при упрощенном подходе к ее построению, основными соображениями, которыми следует руково- дствоваться, являются точность, гибкость, постоянный учет основ- ных характеристик системы, конечной цели моделирования и затрат на эксплуатацию модели. Математическая модель должна быть отно- сительно простой в обращении и понятной тем, кто ее использует, представительной во всем диапазоне применения, достаточно слож- ной, чтобы с необходимой степенью точности отображать изучаемую систему, а также ориентированной на вычислительные возможности, имеющиеся в распоряжении экспериментаторов. Можно выделить три важных аспекта в решении общей задачи исследования поведения систем методом математического моделиро- вания. Это моделирование условий функционирования системы или моделирование «среды»; моделирование собственно системы; обра- ботка результатов исследования и их оценка. Каждый из этих аспек- тов связан с решением ряда проблем, из которых основные состоят в определении характеристик системы и воздействий на нее, составле- нии и реализации моделей воздействий и системы и алгоритмов об- работки результатов эксперимента, планировании компьютерного эксперимента. 1.2. Надежность технических систем Надежность системы – это ее способность выполнять свои функ- ции при сохранении структуры и основных характеристик в течение запроектированного интервала времени. 16 Надежность определяется характеристиками, которые носят ве- роятностный или статистический характер. Безотказная работа технической системы зависит от внутренней и внешней нагрузки на систему в целом и на отдельные элементы. Например, в электропроводящих элементах – это величины токов, тепловых потоков, в механических компонентах – механические на- пряжения, обусловленные внутренними и внешними причинами, на- пример, перегрузки статического и динамического характера, внеш- ней температуры, вибрации, ударов и т. д. Количественно мера надежности – это вероятность безотказной работы, т. е. вероятность того, что в предусмотренных условиях эксплуатации системы в пределах запроектированного времени от- каз не произойдет. Отказы подразделяют на два типа: 1) внезапные, редко возникающие; 2) усталостные отказы, которые обусловлены изменением (ста- рением) компонентов системы. Могут быть отказы комбинированные, обусловленные ускоренным по сравнению с проектируемым старением какого-либо компонента системы и его отказа, носящего внезапный (неожиданный) характер. Обозначим вероятность безотказной работы системы  P P t , где t – время, тогда вероятность внезапных редко возникающих отказов опреде- ляется функцией     0 exp d t P t t t       , где  t – интенсивность отказов. Интенсивность отказов вычисляется как относительное число от- казов в единицу времени. График функции  t изображен на рис. 1.1. В диапазоне 10 t t  идет приработка системы и выявляются скрытые дефекты, обуслов- ливающие высокий уровень интенсивности отказов. Основной пе- 17 риод работы 1 2t t t  характеризуется тем, что интенсивность от- казов практически не зависит от t, являясь величиной практически постоянной, при 2t t интенсивность отказов растет, что обуслов- лено выработкой ресурса системы (износ элементов, старение мате- риалов и т. д.). ttt (t) Рис. 1.1. График функции (t) При 2t t система становится ненадежной и требуется ее ремонт или утилизация. Таким образом, на интервале 1 2t t t  вероятность безотказной работы определяется соотношением   tP t e . (1.1) Рассмотрим теперь гетерогенную систему, состоящую из N раз- ных подсистем, вероятности безотказной работы которых равны Р1, Р2, …, РN. Если система построена так, что отказ любой подсистемы ведет к отказу всей системы, тогда 1 2 1 ... N n i i P P P P P        , или, учитывая, что зависимость  iP t согласно (1.1) имеет универ- сальный характер для всех технических систем, получим  18   1 exp exp N i i P t t          , где i – интенсивность отказа i-й подсистемы; 1 N i i    – интенсивность отказа всей системы. Для применяемых стандартных элементов (резисторы, конденса- торы и т. д.) i даются в справочниках, для других элементов они должны определяться из экспериментальных данных методами ста- тистической обработки. Например, выявляется т – число групп однотипных элементов, ni – число элементов в группе, тогда 1 m i i i n     . Среднее время безотказной работы системы определяется по формуле ср 1T   . Рассмотрим теперь отказы, обусловленные усталостью компо- нентов системы. В качестве модели здесь используется нормальный закон рас- пределения для времени t безотказной работы системы. Обозначим 0T t   – математическое ожидание,  220 t t       – дис- персию времени безотказной работы. Считаем, что внезапные и усталостные отказы несовместны и независимы. Тогда вероят- ность безотказной работы по причине усталости примет вид   0уст 0 1 1 2 T tP t         . 19 Для функции Ф примем выражение вида 2 /20 0 0 2 d 2 uT t e u         . Значения Ф затабулированы. Вследствие независимости двух процессов внезапного отказа и постепенного накопления повреждений общая вероятность безот- казной работы имеет вид   0 0 1 1 2 t T tP t e         . Таким образом, зная Т0, 0, , можно вычислить надежность сис- темы. Повышение надежности системы в процессе ее проектирования является одной из важнейших задач. Для достижения этой цели при- меняются различные методы. 1. Блочно-модульная структура системы используется с целью быстрой замены отказавших блоков, модулей, что позволяет сокра- тить время и стоимость ремонта. 2. Облегченный режим эксплуатации системы реализуется за счет снижения внутренних нагрузок типа напряжения тока, что увеличи- вает срок службы компонентов. 3. Поэлементное резервирование применяется в ответственных системах. Резервные элементы могут находиться как в рабочем ре- жиме, так и в режиме ожидания. В наиболее ответственных систе- мах, связанных с жизнью людей, резервироваться может вся систе- ма полностью. Ясно, что резервирование ведет к удорожанию системы, увели- чению ее массы, габаритов и т. д., поэтому при проектировании здесь возникают многокритериальные задачи математического про- граммирования. Например, можно поставить задачу: какова должна быть крат- ность mi резервирования системы, состоящей из n элементов, чтобы обеспечить требуемую надежность Pm. Решение этой задачи дает следующее выражение для mi: 20   ln ; ln 1 i i i z a a m P         ;ln 1ii i Ga P    1 , 1 n m i i m P a z P    где Gi – «цена» (масса, габариты, стоимость) резервирования i-й под- системы; z – математическое ожидание суммарного ущерба отказов. Очевидно, что резервирование является наиболее эффективным способом повышения надежности системы, однако технико-эконо- мическая цена его высока, и при проектировании системы следует учитывать, что не каждый отказ подсистем и даже системы в целом приводит к опасной (аварийной) ситуации. 1.3. Безопасность системы и методы ее повышения Более точной эксплуатационной характеристикой, чем надежность, является безопасность системы. Безопасность системы – это вероятность того, что параметры режима функционирования системы не выйдут за проектные допус- тимые пределы в случае отказа каких-либо подсистем. Эффективным путем повышения безопасности функционирования системы являются встроенные подсистемы контроля, которые вклю- чают в себя датчики (сенсоры) состояния компонентов системы, пере- дачи информации, обработка информации, принятия решений и ис- полнения необходимых управляющих (регулирующих) воздействий. Выделим два типа режимов функционирования системы. Опас- ные режимы – это режимы, при которых происходит отказ систе- мы, приводящий к прекращению ее функционирования. Безопасные режимы – это режимы, при которых не возникают опасные ситуа- ции (штатный режим). 21 Рассмотрим получение критерия оценки вероятности безопасно- сти функционирования системы и способ его вычисления методом статистического моделирования. Пусть состояние системы оценивается совокупностью компо- нент вектора  1 2, ,..., nx x x x . В любой динамической системе среди параметров 1 2, ,..., nx x x имеются такие, которые, изменяясь в некоторых пределах, могут достигать опасных значений. Перенумеруем параметры 1 2, ,..., nx x x так, чтобы m параметров, которые могут достигать опасных значений, составили подмноже- ство  1... mx x m n . В пространстве параметров 1... mx x построим об- ласть G, границами которой являются опасные значения этих пара- метров или их комбинаций. Построение области G для каждой конкретной системы должно проводиться индивидуально. Обозначим  * 1... mx x x – вектор параметров в области G. Если x G не достигает границ, то состояние системы безопасное. При достижении x границы области G состояние системы становится опасным. Достижение вектором *x границы будем рассматривать как случайное событие А, которое происходит совместно с одним из событий (гипотез) Н0, Н1, …, Нk, образующих полную группу собы- тий, оценивающих различные возможные отказы при функциони- ровании системы. Вероятность безопасного функционирования (событие А) вычис- ляется по формуле         0 1 / , 1 k k i i i i i P A P H P A H P H      , (1.2) где  iP H – вероятность попадания системы в состояние Нi;  / iP А H – вероятность безопасной работы при нахождении системы в состоянии Нi. 22 Очевидно,  iP H определяет надежность, а  / iP А H – безо- пасность функционирования системы в состоянии Нi. Из (1.2) сле- дует, что повышение безопасности может быть достигнуто за счет повышения надежности и за счет уменьшения опасных последствий отказов, т. е. увеличения  / iP А H . Вычисление  / iP А H производится на основе различных моде- лей аналитически или на основе метода статистического моделиро- вания. Метод статистического моделирования, как эксперименталь- ный метод, позволяет вычислять условные вероятности безопасной работы системы как в процессе ее проектирования, так и в процессе эксплуатации существующих систем. При отказах опасная ситуация развивается в течение некоторого времени, когда системы регули- рования (управления) или человек-оператор могут на основании ин- формации, полученной от датчиков, совершить действия, выводя- щие систему из опасного состояния. Разделим отказы системы на группы, в каждой из которых сосре- доточены отказы, приводящие к одинаковым последствиям, и при- своим каждой группе коэффициент вида  0/ 1,...,i i iS Q Q i p   , где iQ – математическое значение параметра объекта, достигаемо- го этим параметром за время переключения на резервную систему или за время, необходимое человеку-оператору для принятия реше- ния и управления после начала проявления отказа; 0iQ – предельно допустимое значение указанного параметра. Статистическое моделирование сводится к реализации функцио- нирования системы, состоящей из математической модели объекта и реальной (или смоделированной) системы в условиях действия на систему случайных возмущений и реальных отказов системы как случайных событий. Вероятность получения любого из возможных значений коэф- фициента iS вычисляется по формуле 23 1 o i j j i n P N   , где jn – количество отказов j-го элемента; i – число типов (групп) отказов; oN – общее количество отказов, полученных на основе обра- ботки данных эксплуатации. По результатам статистического моделирования строится функ- ция  iF S распределения вероятностей проявления различных по- следствий, характеризуемых значением iS . На рис. 1.2 изображена зависимость  iF S , из которой следует, что составляющая mP при 1iS  является условной вероятностью безопасной работы систе- мы. При 1iS  возникают опасные ситуации. F(S ) 0,7 0,8 0,9 1,0 1 2 3 4 i режим 1 режим 2 Si Рис. 1.2. Зависимость F(Si) Статистические данные показывают, что различия между значе- ниями надежности и безопасности могут достигать больших значений, например, в авиации безопасность на порядок больше надежности. Рассмотрим некоторые аналитические оценки безопасности. Обо- значим через В событие – отказ подсистемы В. Полная группа со- 24 стоит из двух событий: cистема работоспособна ( В – исправна), система неработоспособна (В – неисправна):     1P B P B  . Пусть отказы системы подчиняются экспоненциальному распре- делению, тогда согласно (1.2) можем записать      0 0 1 /B Bt tP A P e P e P A B    , (1.3) где 0P – вероятность безотказной работы системы исключая В; B – интенсивность отказов подсистемы В;  /P A B – условная вероятность безотказной работы системы после отказа В. В выражении (1.3) не учитывается вероятность опасных последст- вий из-за случайных воздействий при исправной системе. Обычно этой вероятностью по сравнению с другими в (1.3) можно пренебречь. С другой стороны, вероятность безопасной работы зависит от на- дежности, поэтому можно предположить, что распределение опас- ных последствий при отказах системы также имеет экспоненциальный вид. Для  P A возьмем приближение в форме   0 B Bs tP A P e , (1.4) где Bs – коэффициент, учитывающий степень влияния отказа В на безопасность всей системы. Приравнивая (1.3) и (1.4) и заменяя экспоненты их разложения- ми в ряд Тейлора 1 , 1 ,B B Bt s tB B Be t e s t        получим  1 / ;Bs P A B  (1.5)     0 exp 1 /BP A P P A B t     . (1.6) 25 Из (1.6) следует, что для увеличения Р(А) нужно уменьшить B (т. е. увеличить надежность) и увеличить Р (А / В). Также видно, что безотказность отличается от надежности тем, что в выражение на- дежности каждой подсистемы необходимо ввести коэффициент, учи- тывающий степень влияния отказа данной подсистемы на безопас- ность работы всей системы. Из (1.5) видно, что этот коэффициент определяется на основе обработки результатов статистического мо- делирования в зависимости от вызываемых этим отказом измене- ний, существенных для безопасности работы параметров системы, с учетом времени реакции человека-оператора на отказ или с учетом быстродействия локальной системы контроля (ЛСК). 1.4. Наблюдаемость Измерение (наблюдение) является необходимой составной частью управления. Даже тогда, когда программное управление формирует- ся как функция времени, определяемая, например, на стадии проек- тирования, исходным является измерение, доставившее необходимую информацию об управляемом процессе. Связь управления с инфор- мацией, получаемой посредством измерения, является органической и может быть положена в основу определения понятия управления. При автоматическом управлении предполагается, что наблюде- ние сопровождается измерением координат, параметров, и в поня- тия «наблюдение», «измерение» вкладывается практически одина- ковый смысл. В дальнейшем в основном будет применяться термин «наблюдение». Под наблюдаемостью обычно понимается возможность косвен- ного определения переменных состояний на основе измерения не- которых других величин и использования априорной информации. Косвенные измерения давно известны в классической метрологии. В теории управления под наблюдаемостью понимается возможность косвенных измерений, но в расширенном по сравнению с традицион- ной метрологией смысле. Можно рассматривать наблюдаемость как в пространстве состоя- ний, так и в пространстве сигналов. Однако компоненты вектора сиг- налов чаще всего выбираются измеримыми, так что в пространстве сигналов обычно имеет место непосредственная наблюдаемость. 26 Виды общей наблюдаемости в пространстве состояний. Дос- таточно общая постановка задачи определения состояния системы по наблюдениям заключается в следующем. Через наблюдение получено множество величин, связанное извест- ным оператором с множеством X, принадлежащим пространству со- стояний системы, описываемых математической моделью. Требуется определить X или некоторое его подмножество пX X . Самая распространенная постановка задачи наблюдения такая, при которой элементом множества X является вектор состояния в неко- торый начальный момент времени x (t0). Известно уравнение детер- минированного процесса, которому подчиняется x (t), задана функ- ция наблюдения z = h [ x (t), t], измеряемая на конечном интервале времени [t0, t1] и имеющая размерность меньше размерности x . Та- ким образом, элементом множества Z здесь служит функция z (t) на указанном интервале, причем число компонент векторной функции z (t) меньше числа компонент x (t), в частности z (t) = z1(t) может представлять скалярную функцию при многомерном пространстве состояний. Соответствующая иллюстрация приведена на рис. 1.3, а. Ясно, что задача определения (восстановления) x (t0) в этой поста- новке разрешима только за счет использования априорной инфор- мации об x (t), т. е. уравнения процесса. На практике решение последней задачи почти эквивалентно ре- шению задачи восстановления текущего вектора состояния по изме- рениям текущего значения наблюдения. Так как за начальный момент времени в данной задаче можно выбрать любой момент, предшест- вующий конечному моменту наблюдения t1, то при соблюдении со- ответствующих условий может быть восстановлено состояние про- цесса, непосредственно предшествующее текущему и для непрерыв- ных процессов мало отличающееся от текущего (рис. 1.3, б). Если в рассмотренных выше постановках задачи наблюдаемости множество X имеет такую же размерность, что и пространство со- стояний, тогда возможно определение (восстановление) полного век- тора состояния и говорят о полной наблюдаемости. Соответствую- щая система называется вполне наблюдаемой. Если же существует возможность восстановления лишь подмножества пX X , а имен- но, части компонент вектора состояния, другая же часть не может 27 быть определена в заданных условиях, то имеет место неполная на- блюдаемость, а система называется не вполне наблюдаемой. а б Рис. 1.3. Схема восстановления (определения) вектора состояния x (t) по наблюдениям вектора z (t) Изучение наблюдаемости, как и других свойств систем, нужда- ется в критериях (условиях), которые позволяли бы судить о на- блюдаемости на основе некоторых правил, оперирующих априор- ной информацией (заданными условиями). 1.4.1. Идентифицируемость Понятие идентифицируемости, по крайней мере параметричес- кой, можно рассматривать как частный случай наблюдаемости. Од- нако в практическом применении идентифицируемость представляет собой важное и специфическое свойство, так что его обычно выде- ляют в специальную категорию. Параметрическая идентифицируе- 28 мость представляет собой возможность определения параметров ма- тематической модели системы или процесса по результатам измере- ния определенных выходных величин в течение некоторого интерва- ла времени. Параметры, вектор которых в дальнейшем обозначается через a , отличаются от координат (вектор x ) скоростью изменения. Параметры, как правило, считаются медленно изменяющимися вели- чинами, а в идеальном случае – постоянными ( a = 0). При изучении идентифицируемости, так же как наблюдаемости, целесообразно, по крайней мере на первом этапе, рассматривать иде- альные условия, когда шумы (помехи) отсутствуют, а идентифици- руемые параметры постоянны. В соответствии с этим уравнения для задачи параметрической идентифицируемости непрерывного процесса записываются в виде  , , , ;x f x u a t  0, , , ,a z h x u a t  , где x – вектор переменных состояний; u – вектор управления; a – вектор параметров системы; z – вектор переменных наблюдения. В рамках этой постановки задачи возможны различные варианты и различные формы условий идентифицируемости. 1.4.2. Управляемость Понятие управляемости связано с возможностью перевода (пере- хода) системы посредством управления из одного состояния в дру- гое. Этому понятию придается либо структурно-качественный, либо количественный смысл. При рассмотрении структурно-качествен- ной стороны управляемости интересуются принципиальной возмож- ностью перехода управляемой системы из одного заданного множе- ства состояний в другое заданное множество состояний, как прави- ло, за конечное время. При количественном изучении управляемо- сти рассматривают те или иные характеристики переходных про- 29 цессов при простейших типовых управляющих воздействиях. Управ- ляемость рассматривают применительно как к детерминированным процессам, так и для стохастических аналогов задач управляемости. Можно рассматривать управляемость как динамических объектов, не оснащенных регуляторами, так и систем, содержащих множество замкнутых контуров управления. В большой системе с иерархиче- ской структурой обычно изучают управляемость каждого уровня, начиная от низшего и кончая высшим. В любом случае управляе- мость зависит от структуры системы, состава органов управления, значений параметров, располагаемой энергии управления. Применяется целая группа понятий управляемости, различающих- ся как условиями перехода системы, так и ограничениями, накла- дываемыми на управление. Различные виды переходов иллюстрирует рис. 1.4. В случае I рассматривается переход из произвольной точки n-мерного про- странства состояний в произвольную точку этого пространства, при- чем никаких ограничений на характер движения, кроме конечности времени перехода t1–t0, не накладывается. В случае II в пространст- ве состояний задана замкнутая область G и должен обеспечиваться переход из любой точки этой области в произвольную ее точку без выхода за пределы области G. Это случай существования ограниче- ний типа неравенств в пространстве состояний. Случай III соответствует переходу из заданной области прост- ранства состояний полной размерности n в заданную область мень- шей размерности. Например, управление должно обеспечивать пе- реход из любой точки пространства состояний на прямую, прохо- дящую через начало координат. Случай IV является противоположным предыдущему: здесь управ- ление должно обеспечить перевод системы из любой точки области меньшей размерности в любую точку полноразмерной области. Случай V соответствует управляемости в малом. Здесь управление должно обеспечить переход из любой точки пространства состояний х0 в любую точку малой n-мерной ε – окрестности точки x 0. Порядок малости окрестности может быть связан со временем перехода. Случаи VI соответствует управлению для перевода системы из ма- лой окрестности точки x (t0) в плоскости 3D в малую окрестность точ- ки x (t1) в объем 2D, что соответствует неполной управляемости. 30 Рис. 1.4. Типы переходов при различных видах управляемости Управляемости в малом может быть дано другое определение. Пусть при управлении u 0(t) и начальном условии x 00 = x (t0) имеет место процесс x 0(t). При управлении u = u 0(t) + ∆u (t) процесс описывается функцией x = x 0(t) + ∆ x (t). При этом каждая точка траектории x 0(t) служит центром. 31 Важное практическое значение имеет понятие управляемости, со- ответствующее случаю VII. Здесь задается множество программных траекторий 3x (t) перехода из одной точки 3x (t0) в другую 3x (t1). Система считается управляемой, если существуют управления, обес- печивающие движение по заданным траекториям при условиях x (t0) = 3x (t0); x (t1) = 3x (t1). Cуществует большое число видов управляемости. Наиболее эф- фективным в теоретическом и практическом отношении инструмен- том исследования управляемости является необходимый и доста- точный аналитический и структурный критерий управляемости того или иного вида. Подобные критерии получены для основных видов управляемости линейных систем. Во многих случаях приходится до- вольствоваться лишь необходимыми или достаточными критериями управляемости, а в ряде случаев – лишь условиями, способствую- щими управляемости, подобно тому как это имеет место при изуче- нии наблюдаемости. Наконец, во многих практических задачах аналитические и струк- турные подходы анализа управляемости оказываются неприемлемы- ми по причине чрезмерной громоздкости или неразработанности. В этих случаях приходится прибегать к численному эмпирическому изучению управляемости путем моделирования. 1.5. Устойчивость равновесия и движения систем Понятие устойчивости равновесия и движения динамических сис- тем появилось и получило значительное развитие главным образом в области механики. Это естественно, так как устойчивость является категорией, относящейся прежде всего к собственным движениям системы, порождаемым начальными условиями (возмущениями) и внутренними свойствами системы, но не внешними воздействиями. Поэтому устойчивость может рассматриваться применительно к лю- бой системе, как управляемой, так и неуправляемой. Неуправляемые механические системы, например в механике – колебания всех видов, явились первым предметом исследования в теории устойчивости. 32 Если рассматривать идеальные условия без влияния на систему шу- мов и постоянно имеющихся воздействий, т. е. исходить из тех же предпосылок, что и при определении управляемости, наблюдаемо- сти, идентифицируемости, то понятия устойчивости могут быть оп- ределены в пространстве состояний или в пространстве сигналов как некоторые свойства операторов системы. Здесь устойчивость рас- сматривается в пространстве состояний. Как уже отмечалось, устойчивость рассматривается как внутреннее свойство системы или движения. Поэтому система уравнений, описы- вающих движение или процесс, замкнута, а движение свободно. Устойчивость рассматривается в терминах пространства состояний. В целом нужно отметить, что понятия наблюдаемости, управляемости, идентифицируемости являются фундаментом для постановки и реше- ния задач анализа и синтеза в теории мехатронных систем. 1.5.1. Понятия устойчивости в пространстве состояний Для определения большинства понятий устойчивости будем ис- пользовать евклидово пространство состояний Rn. Для общего определения понятия устойчивости в Rn и времени t рассмотрим два множества (области) начальных состояний G0  Rn и множество конечных состояний или процессов GK. Множество GK в общем случае задается в пространстве Rn и времени. Элементы множества GK обычно удовлетворяют уравнению процесса (движе- ния). Для детерминированных процессов c непрерывным временем это уравнение без управления u имеет вид  ,x f x t . (1.7) Область G0  Rn обычно имеет ту же размерность, что и про- странство состояний, т. е. n, хотя в специальных задачах может рас- сматриваться устойчивость по отношению к начальным состояни- ям, образующим континуум или дискретное множество точек меньшей размерности, чем n. Множество GK, рассматриваемое в пространстве Rn, чаще всего имеет размерность, меньшую n, хотя в специальных случаях эти размерности могут совпадать. Так, если (1.7) имеет решение x = 0, то рассматривается устойчивость состояния равновесия, а множест- 33 во GK состоит из одной-единственной точки – начала координат. Здесь имеет место нулевая размерность области конечных состоя- ний. На рис. 1.5, а множество GK, состоящее из одной точки, нахо- дится внутри области G0, что является наиболее характерным слу- чаем. На рис. 1.5, б эта точка находится вне области G0. а б в г д е ж и Рис. 1.5. Иллюстрации понятий устойчивости состояний с доопределением поведения решений на границах областей 34 Если множество GK представляет собой одну из траекторий, удов- летворяющих уравнению (1.7) и имеющих параметрическое пред- ставление x (θ) (параметром θ может служить время t), то размер- ность множества GK есть единица. Этот случай, весьма распростра- ненный, иллюстрирует рис. 1.5, а, б. Движение по указанной траек- тории называется невозмущенным движением. В предыдущем при- мере точку GK можно рассматривать как частный случай невозму- щенного движения. Рис. 1.5, в иллюстрирует случай, когда невоз- мущенным движением являются автоколебания, траектория кото- рых называется предельным циклом. Автоколебания могут сущест- вовать в нелинейных системах как с гладкими, так и с разрывными функциями f(х, t). На рис. 1.5, г представлен случай, когда множество GK является отрезком прямой в пространстве состояний. Подобные случаи обыч- но не рассматриваются в классической качественной теории диффе- ренциальных уравнений, так как здесь само уравнение (1.7) заведомо не удовлетворяет условию существования и единственности реше- ния Липшица. Эти случаи, связанные, в частности, с так называе- мыми скользящими режимами, могут иметь место, когда функция f является разрывной или определена в соприкасающихся областях пространства. В качестве множества GK может фигурировать поверхность лю- бой размерности р < п, на которой лежат траектории, соответст- вующие решениям исходного уравнения (1.7). Уравнение поверхно- сти может иметь вид F(x, t) = const, (1.8) где размерность векторной функции F меньше n. В качестве по- верхностей (1.8) могут фигурировать цилиндры (рис. 1.5, д), торы и любые другие поверхности. Для разрывных и негладких функций f скользящих режимов поверхность (1.8) может иметь вид гиперпло- скости или даже участка гиперплоскости (рис. 1.5, е). Наконец, для систем специального вида, в частности систем, в которых функция f обращается в нуль в области GK размерности п, множество GK пред- ставляет поверхность полноразмерной области в пространстве со- стояний. Соответствующий случай иллюстрирует рис. 1.5, ж. Мно- жество GK будем называть множеством невозмущенных состояний 35 или множеством невозмущенных движений (процессов), множест- во G0 – областью притяжения (при наличии устойчивости). Одна система может иметь несколько множеств невозмущенных движе- ний и соответствующих областей притяжения. Классическим при- мером является автоколебательная система с несколькими предель- ными циклами. Так, на рис. 1.4, и одно невозмущенное состояние GK представлено началом координат. Два других невозмущенных движения соответствуют предельным циклам ,K KG G  . Множество невозмущенных состояний (движений) GK называется асимптотически устойчивым с областью притяжения G0, если вся- кое движение, начавшееся в G0, в силу уравнений (законов) дина- мической системы с течением времени приходит в сколь угодно малую окрестность GK . Сколь угодно малая окрестность области GK понимается в смыс- ле сколь угодно малого расстояния всех точек этой окрестности до границ области KG в метрическом (евклидовом) пространстве со- стояний. Если хотя бы одно движение, начавшееся в GK или в его сколь угодно малой окрестности, с течением времени в силу уравнений (законов) динамической системы выходит за пределы некоторой окрестности множества GK, то множество состояний (движений) GK называется неустойчивым. Данное общее понятие устойчивости может без каких-либо из- менений быть перенесено на процессы с дискретным временем, опи- сываемые уравнением вида    1 ,x k f x k k     . Устойчивость в целом. Если область притяжения G0 охватывает все пространство состояний, то соответствующую устойчивость называют устойчивостью в целом. В любой реальной системе су- ществует область ограничений, вне которой принятая математиче- ская модель и связанное с ней пространство состояний теряют силу. Поэтому для практики вполне достаточно понятия устойчивости в целом, при котором область притяжения совпадает с указанной об- ластью ограничений. 36 Устойчивость невозмущенного движения или процесса. Как следует из сказанного, элементами множества GK обычно являются процессы, движения или состояния, удовлетворяющие уравнениям свободного движения системы. Поэтому можно говорить об устой- чивости невозмущенного движения. Динамическая система (1.7), где функция f явным образом зави- сит от времени t, называется неавтономной или нестационарной. Соответственно система  x f x называется автономной или стационарной. Обозначим невозму- щенное движение индексом «0» вверху. Для случая (1.7) по опреде- лению   0 0 ,x f x t t . (1.9) Вычитая (1.9) из (1.7) и вводя обозначение      0x t x t x t   , получаем              0 0 0, , , , ,x f x t t f x t t f x t x t f x t t X x t        . (1.10) Уравнение (1.10) называется уравнением в отклонениях или урав- нением возмущенного движения. Уравнение  ,x X x t   (1.11) имеет нулевое решение 0x  . Путем введения уравнения в откло- нениях задача об устойчивости невозмущенного движения транс- формируется в задачу устойчивости состояния равновесия 0x  (устойчивости нулевого решения). Заметим, что, за исключением специальных случаев ( 0x = const или f – линейная, не зависящая 37 явно от времени функция), уравнение в отклонениях (1.11) является нестационарным (неавтономным), даже если исходная система ста- ционарна, т. е. имеет вид (1.10). Обозначим норму вектора x через x и допустим, что в на- чальный фиксированный момент времени вектор  0x t принадле- жит некоторой области 0 xG  пространства отклонений. Невозму- щенное движение  0x t называется асимптотически устойчивым с областью притяжения в отклонениях 0 xG  , если при любом  0 0 xx t G   в силу уравнения (1.11)   0x t  при t  . Устойчивость невозмущенного движения но Ляпунову. Невоз- мущенное движение  0x t называется устойчивым по Ляпунову, ес- ли для любого сколь угодно малого положительного числа ε сущест- вует положительное число δ такое, что из неравенства  x t < δ при t > t0 следует неравенство  x t < ε. Здесь t0 – фиксированный на- чальный момент времени. Устойчивость по Ляпунову является, вообще говоря, локальной устойчивостью, т. е. устойчивостью в малом. Этот вид устойчиво- сти иллюстрирует рис. 1.6. На рис. 1.6, а изображена трубка тра- екторий в окрестности невозмущенного движения  0x t и сфериче- ские окрестности этого движения в отдельные моменты времени. Показана также область начальных отклонений с радиусом δ. На рис. 1.6, а представлен случай, когда δ < ε. Устойчивость по Ляпунову здесь означает, что как бы ни были узки трубка и сфериче- ская окрестность невозмущенного движения, возмущенное движе- ние, начавшееся в окрестности δ, равной или меньшей окрестности ε, будет оставаться в указанной трубке и окрестности ε. Понятию не- асимптотической устойчивости в классической теории соответст- вует понятие нейтральности в инженерном представлении. Так, на- пример, система 0x  , нейтральная в инженерном понимании, явля- ется устойчивой неасимптотически в указанном выше смысле. 38 а б Рис. 1.6. Иллюстрации понятия устойчивости движения по Ляпунову (а) и асимптотической устойчивости по Ляпунову (б) Асимптотическая устойчивость невозмущенного движения по Ляпунову. Движение  0x t называется асимптотически устойчи- вым в смысле Ляпунова, если оно устойчиво по Ляпунову и сущест- вует такое положительное число η, что при  0x t   имеет место   0x t  при t  . Понятие асимптотической устойчивости в смысле Ляпунова поясняет рис. 1.6, б. Здесь существует такая окре- стность η начального состояния  0 0x t невозмущенного движения (вообще говоря, сколь угодно малая), что все движения, начавшиеся в этой окрестности, стремятся с течением времени к  0x t . 39 Известно, что стремление к пределу может быть равномерным и неравномерным по отношению к тому или иному параметру. Если равномерность стремления к пределу имеет место по отношению к t0, то асимптотическая устойчивость называется равномерной относи- тельно t0. Если равномерное стремление к пределу имеет место по отношению к начальному значению  0 0x t с любым t0, то говорят, что невозмущенное движение равномерно асимптотически устой- чиво по отношению к начальным условиям. Оба вида равномерной устойчивости имеют место для стационарной системы с асимптоти- чески устойчивым невозмущенным движением. 1.5.2. Устойчивость линейных стационарных систем Рассмотрим систему описываемую уравнением ; constx Ax A  . Для системы вне зависимости от того, какое движение  0 0x t этой системы выбрано за невозмущенное, какой начальный момент време- ни t0 задан, имеет место либо асимптотическая равномерная устойчи- вость в целом, либо просто устойчивость в целом, либо неустойчи- вость. Все определяется собственными числами матрицы А. Поэтому, как отмечалось выше, для линейной стационарной системы свойство устойчивости приписывается не движению, а самой системе. Устойчивость невозмущенного движения системы с дискрет- ным временем. Все перечисленные выше виды устойчивости не- возмущенного движения распространяются на системы с дискрет- ным временем вида    1 ,x k f x k k     . Определения остаются практически без изменений. 1.6. Метод цепей и переходных функций в динамических системах Любую мехатронную систему можно представить в виде соеди- нения подсистем. Реальные модели и элементы динамических систем 40 могут иметь различные схемы, конструктивное оформление, в них могут использоваться разные физические явления, они могут вы- полнять различные функции внутри системы. Однако с точки зре- ния анализа и синтеза мехатронных систем проблемы могут быть сведены к определению зависимостей, связывающих входные и вы- ходные воздействия на моделях подсистем системы. Математически можно представить, что вход, определяемый век- тором ( ,..., )mx x x , и выход, определяемый вектором 1( ,..., )ny y y , связаны соотношением ˆ ( ),y x  где ˆ – оператор линейный или нелинейный, алгебраический, диф- ференциальный, интегральный. Наиболее распространенная связь между ( )x t и ( )y t записыва- ется в виде дифференциальных уравнений. В случае если 1m n  , можем записать ( ) ( ) 0 0 d d d d i kn m i ki k i k y xa b t t    . (1.12) В теории механических, электрических, электронных цепей для описания свойств звеньев цепи удобно пользоваться не дифферен- циальными уравнениями, а следующими взаимосвязанными вели- чинами, также полностью характеризующими связь между выход- ной и входной величинами звеньев: 1. Комплексный коэффициент передачи звена (ККП) – ( )K j пред- ставляет собой отношение комплексной амплитуды выходного сигна- ла ( )y j к комплексной амплитуде входного сигнала ( )x j , 1j   . Находится с помощью преобразования Фурье уравнения (1.12): вых вх ( )вых ( )вх ( )1 0 1 0 ( )( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) , ( ) ( ) ... j t j t m m i jm m n n i n n y j A eK j x j A e b j b j b A e a j a j a                        41 где ( )A  – модуль ККП, равный отношению амплитуд выходного и входного сигналов для данного значения частоты (амплитудно-час- тотная характеристика АЧХ): вых вх ( )( ) ( ) ( ) AA K j А      ; вых вх( ) arg ( ) ( ) ( )K j         . Здесь  – фаза, равная разности фаз этих же сигналов (фазочас- тотная характеристика – ФЧХ). Изменяя частоту входного воздействия в пределах (0, ) , полу- чим зависимость Im K от Re K , которая носит название амплитуд- но-фазовая характеристика (АФХ). ККП и АФХ находятся экспериментально путем подачи на вход звена синусоидального воздействия с постоянной амплитудой и ме- няющейся частотой. Измеряя для каждого фиксированного значе- ния частоты и фазы амплитуду выходного сигнала, находим АФХ, АЧХ, ФЧХ. Представим ( )K j в виде ( ) Re( ) Im( )K j K j K   , тогда связи между величинами ( ), ( ), Re( ), Im( )A K K   запишут- ся в виде    2 2( ) Re( ) Im( )A K K   ; Im( )( ) arctg Re( ) K K    ; Re( ) ( )cos ( )K A    ; Im( ) ( )sin ( )K A    . 2. Передаточная функция звена ( )K p представляет собой отноше- ние изображения по Лапласу выходной величины звена ( )y p к изо- 42 бражению входной величины звена ( )x p при нулевых начальных ус- ловиях, что соответствует отсутствию накопленной энергии в звене: 1 1 0 1 1 0 ...( )( ) ( ) ... m m m m n n n n b p b p by pK p x p a p a p a          . Преобразование от передаточной функции ( )K p к ККП ( )K j осуществляется заменой в ( )K p аргумента p на j . 3. Переходная функция звена ( )h t определяет форму выходного сигнала звена при подаче на его вход воздействия в виде единично- го скачка (функции Хевисайда) 1 ( )t : 0 0; 1( ) 1 0. t t t    Изображение по Лапласу ( )H p для функции ( )h t имеет вид ( )( ) ( ) ( ) ,K pLh t H p y p p    тогда, применяя обратное преобразование Лапласа 1 ( )L H p , полу- чим выражение для ( ) :h t 1 ( )( ) ( ) K ph t y t L p        . Таким образом, между переходной ( )h t и передаточной функ- цией ( )K p взаимно однозначное соответствие находится с помо- щью преобразования Лапласа. Элементарные линейные звенья. Реальные звенья динамических систем обладают большим структурным разнообразием. Однако пред- ставление сложных систем в виде цепей позволяет использовать под- ход, применяемый в теории механических, электрических, электрон- ных цепей для анализа и синтеза сложных звеньев, цепей систем. Если выделить элементарные (типовые) звенья, то сложные можно 43 скомпоновать путем параллельных и последовательных соединений элементарных. В качестве типовых звеньев выбираются такие, в ко- торых процессы описываются дифференциальными уравнениями не выше второго порядка. 1. Рассмотрим типовые звенья, которые описываются дифферен- циальными уравнениями первого порядка 1 0 1 0 d d d d y xa a y b b x t t    . (1.13) Тогда ККП находим с помощью преобразования Фурье в виде 1 0 1 0 ( ) j b bK j j a a      . Количество типовых звеньев, описываемых уравнением (1.13) при различных значениях коэффициентов ia , ib в случаях, имеющих смысл, равно 5: 1) безынерционное (усилительное) звено: а) 01 1 0 0 0 0, 0, 0, ( ) ba b a b K j a       ; б) 11 1 1 0 0 1 , 0, 0, ( ) , ( ) , ( ) 1( );ba b b a b K j k K p k h t k t a          2) инерционное звено: 1 0 0 10, 0, 0, 0,a a b b    0 1 0 ( ) , 1 b kK j j a a j T       где 0 0/k b a – коэффициент усиления звена; 1 0/T a a – постоянная времени звена. /( ) , ( ) (1 )1( ); 1 t TkK p h t k e t pT    44 3) интегрирующее звено: 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0, 0, 0, 0, ( ) , / ; 1( ) , 1 / , ( ) 1( ); b ka b a b K j k b a j a j tK p T k h t t pT T             4) дифференцирующее звено: 1 1 0 0 1 2 0 2 1 1 0, 0, 0, 0, ( ) , / , ( ) , 0 0, ( ) , ( ) ( ), ( ) 0; j ba b a b K j j k a k b a K j j T t K p pT h t T t t t                    5) форсирующее звено: 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0, 0, 0, 0. ( ) (1 ), / . ( ) (1 ), ( ) [1( ) ( )]. a b a b b j bK j k j T T b b a K p k pT h t k t T t                 2. Из звеньев, описываемых дифференциальным уравнением вто- рого порядка, отметим лишь колебательное звено вида 2 2 2 12 2 2 1 0 d d2 , 0, dd , 2 , 1, y yT T y kx b b tt a T a T a            тогда 0 2 2 1 0 ( ) . ( ) ( ) bK j a j a j a       45 2 2 1 1 2 2 1 0 ( ) , 2 1 ( ) 1 cos sin , 1 1 . t T KK p p T pT h t k e t t t T T                         Здесь Т – постоянное время звена, связанное с резонансной час- тотой звена 0 1 / T  ; k – коэффициент усиления звена;  – относительный коэффициент запаздывания. Синтез звеньев Звенья могут соединятся между собой последовательно (рис. 1.7, а) или параллельно (рис. 1.7, б, в, г). x 1 2 3 .... n у а x 1 2 n y: : б x 1 2 n y: : 1 x2 xn в x 1 2 n : : у1 у2 уn г Рис. 1.7. Виды соединений звеньев В дальнейшем для звеньев конкретной физической природы бу- дут рассмотрены механические, электрические, электронные звенья с последовательным и параллельным соединением. 46 1.7. Примеры решения задач З а д а ч а 1.1 Двустепенной интегрирующий гироскоп изображен на рис. 1.8. Рис. 1.8. Двухстепенной интегрирующий гироскоп При вращении основания гироскопа вокруг входной оси (оси чув- ствительности) с угловой скоростью y возникает гироскопичес- кий момент г yM H  , под действием которого гироскоп повора- чивается вокруг выходной оси х, чему противодействует демпфер, создающий момент Мд = hωx = hβ. Составить дифференциальное уравнение интегрирующего гиро- скопа. Решение В установившемся состоянии Мд = Мг, т. е. ,x yh H   откуда x yHh      , а угол поворота гиродвигателя вокруг выходной оси определяется соотношением dy H t h    . 47 З а д а ч а 1.2 Определить переходную и весовую функции усилительного y(t) = 5x(t) и запаздывающего y3(t) = 5x(t – 3) звеньев. Р е ш е н и е Переходные функции звеньев: усилительного  [1) 5 1h t  ; запаздывающего  3[ ) 5 1 3h t t   . Весовые функции звеньев: усилительного w[f) =56[t]; запаздывающего w3[t) =55 [t – 3]. З а д а ч а 1.3 Определить переходную и весовую функции апериодического звена, заданного уравнением T y + y = kx при Т = 2 с и k = 20. Найти момент времени, при котором весовая функция будет иметь значе- ние w(t) = 0,5, а переходная функция h(t) = 19. Р е ш е н и е Для получения переходной и весовой функций апериодического звена необходимо решить его дифференциальное уравнение соот- ветственно при x(t) = 1(t) и x(t) =  (t). Характеристическое уравнение апериодического звена имеют вид 1 0T  и его корень 1 / T   . 48 Общий вид решения уравнения . t Th k Ce   При t = 0 h = 0. Следовательно, C = –k. Тогда переходная функция звена 1 . t Th k e       При подстановке числовых значений k = 20 и Т = 2 с получим h = 20(1 – e–0,5t). Весовая функция d( ) d t Th kW t e t T   , или при подстановке численных значений W(t) = 10 e–0,5t. При t = 6 с = 3Т соответственно получим  3 19; (3 ) 0,5h Т W T  . З а д а ч а 1.4 Определить переходную и весовую функции апериодического неустойчивого звена, уравнение которого задано в виде Т y – у = kx. Р е ш е н и е Переходная функция ( ) 1 t Th t k e       . 49 Весовая функция ( ) t TkW t e T  . З а д а ч а 1.5 Определить переходную и весовую функции интегрирующего звена, уравнение которого задано в виде T y = kx. Р е ш е н и е Переходная функция h (t)= k t T . Весовая функция W(t) = 1(t). З а д а ч а 1.6 Определить переходную и весовую функции дифференцирующего звена, уравнение которого задано в виде y = Т x . Р е ш е н и е Переходная функция h (t) = Tδ (t). Весовая функция W(t) = T  (t). 50 З а д а ч а 1.7 Определить переходную и весовую функции форсирующего зве- на первого порядка, имеющего уравнение, заданное в виде y = k(x + Т x ). Р е ш е н и е Переходная функция h (t) = k{1 (t) + Tδ(t)}. Весовая функция W(t) = k {δ (t) + Tδ(t)}. З а д а ч а 1.8 Определить переходную и весовую функции форсирующего зве- на второго порядка, уравнение которого задано в виде y = k(x + 2  T x + T2 x). Р е ш е н и е Переходная функция h(t)= k{1(t)+2  Tδ(t) + T2  (t)}. Весовая функция W(t)= k{δ(t) + 2  Tδ(t)+T2  (t)}. З а д а ч а 1.9 Определить переходную и весовую функции колебательного зве- на, уравнение которого задано в виде 2 2 .T y Ty y kxT     51 Р е ш е н и е Для определения переходной функции колебательного звена его дифференциальное уравнение записываем в виде 2 2 1( )T h Th h k t      . (1.14) Общее решение уравнения (1.14) имеет вид 2sin 1 t T th k Ce T           . (1.15) Задавшись начальными условиями h(0+) = 0 и h (0+) = 0 и подста- вив их в (1.15), получим 0 = k + Csinφ, откуда С = –k/sinφ. Если уравнение (1.15) продифференцировать и подставить в него h (0+) = 0, то получим 20 sin 1 cos       , откуда 2 21tg ; sin 1 ; cos           . Окончательное выражение для переходной характеристики име- ет вид 2 2 1[ ) 1 sin 1 arccos 1 t T th t k e T               . Если продифференцировать h [t), то получим весовую функцию в виде 2 2 ( ) sin 1 1 t Tk tt e T       . 52 З а д а ч а 1.10 Определить переходную и весовую функции резонансного звена, уравнение которого задано в виде 2 0 1 y y kx   . Р е ш е н и е Переходная функция h(t) = k(1 – cos 0 t). Весовая функция W(t) = k 0 0 0sin sin t   . З а д ач а 1.11 Определить переходную и весовую функции неустойчивого ко- лебательного звена, уравнение которого задано в виде 2 2T y Ty y kx     . Р е ш е н и е Переходная функция 2 2 1[ ) 1 sin 1 arccos 1 t T th t k e T               . Весовая функция 2 2 [ ) sin 1 1 t Tk tt e TT       . 53 З а д а ч а 1.12 Определить переходную и весовую функции системы, состоящей из двух последовательно соединенных интегрирующих звеньев 2( )T y kx . Р е ш е н и е Переходная функция 2 2( ) 2 k th t T  . Весовая функция 2( ) 1( ) kW t t t T   . 54 2. МЕХАНИКА РАБОЧИХ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫХ ПОДСИСТЕМ Механическая подсистема мехатронной системы подразделяется на две подсистемы: несущую (рабочую) механическую подсистему (НМПС) и исполнительную подсистему (ИПС), исполнительно-уси- ливающую подсистему (ИУПС). Как было установлено в главе 1, НМПС обеспечивает надежность функционирования мехатронной системы в рабочей зоне за счет вы- бора материалов и геометрических параметров конструкций. ИПС обеспечивает динамику и статику звеньев НМПС в соот- ветствии с заданными параметрами: нагрузка, скорость, ускорение, точность. В ИУПС наиболее широко применяются пневмо-, гидро- и элект- роприводы для усиления управляющих (регулирующих) воздействий. 2.1. Координатные системы и кинематические цепи 2.1.1. Однородные координаты точки В трехмерном пространстве любые четыре числа (х1, х2, х3, х4), не все одновременно равные нулю и связанные с ее декартовыми ко- ординатами (х, у, z) равенствами 1 4 2 4 3 4/ , / , /x x x y x x z x x   , называются однородными координатами: 31 2 4 4 4 , , .xx xx y z x x x    Однородные координаты определены не однозначно. Если (х1, х2, х3, х4) – однородные координаты некоторой точки, то числа (λх1, λх2, λх3, λх4) при λ ≠ 0 тоже будут однородными координатами этой точки. Для каждой точки (х, у, z) пространства можно указать четверку чисел, являющуюся ее однородными координатами, например (х, у, z, 1). Обратное верно, если 4 0x  . В противном случае нельзя указать точку в пространстве, для которой числа (x1, x2, х3, 0) были бы ее однородными координатами. 55 Говорят, что любой четверке чисел (х1, х2, х3, х4) соответствует точка пространства, возможно, бесконечно удаленная в направле- нии вектора [λх1, λх2, λх3, λх4], 0  , если х4 = 0. Уравнение 1 1 2 2 3 3 4 4 0a x a x a x a x    задает плоскость. Два независимых уравнения: 1 1 2 2 3 3 4 4 0,a x a x a x a x    1 1 2 2 3 3 4 4 0b x b x b x b x    определяют прямую. Операции над векторами, заданными однородными координа- тами. Эти операции определяются так, чтобы формулы, по кото- рым вычисляются однородные координаты результирующего век- тора, не противоречили формулам, оперирующим с обычными де- картовыми координатами. Умножение вектора a = [а1, а2, а3, а4] на скаляр s определим как s a = [а1, а2, а3, а4/s]. Сложение и вычитание векторов a = [а1, а2, а3, а4] и b = [b1, b2, b3, b4], дающие результирующий вектор r = [r1, r2, r3, r4], будем оп- ределять по формулам 4 4 4 , 1, 2, 3, 1i ii a br i r a b     . Для скалярного и векторного произведений двух векторов будем иметь соответственно  1 1 2 2 3 3 4 4/ ,a b a b a b a b a b r a b      , где 1 2 3 3 2 2 3 1 1 3,r a b a b r a b a b    , 3 1 2 2 1 4 4 4,r a b a b r a b   . 56 Длина вектора a  1/22 2 21 2 3 4/a a a a a   . Эти формулы полезны, если необходимо выполнять операции над векторами в однородных координатах без предварительного пере- хода к обычным трехмерным координатам. Преобразование однородных координат. Обычные декартовы ко- ординаты – геометрические точки в прямоугольной системе коор- динат Oxyz – можно вычислить, если известны координаты этой точ- ки в другой прямоугольной системе координат O'x'y'z', по формулам преобразования: 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 3 , , x l x l y l z r y m x m y m z r z n x n y n z r                    , (2.1) где rl, r2, r3 – координаты начала отсчета системы координат O'x'y'z' в системе Oxyz; 1 1 1 3 3 3, , , ..., , ,l m n l m n – направляющие косинусы осей системы O'x'y'z' также по отношению к системе Oxyz. Если (х1, х2, х3, х4) обозначают однородные координаты этой точ- ки в системе Oxyz, а числа (х'1, х'2, х'3, х'4) обозначают ее однород- ные координаты в системе O'x'y'z', то можно считать, что x4 = х'4 (однородные координаты можно умножить на любое число, не рав- ное нулю). После подстановки однородных координат в формулы (2.1) по- лучим следующие преобразования: 1 1 1 2 2 3 3 1 4 2 1 1 2 2 3 3 2 4 3 1 1 2 2 3 3 3 4 4 4 , , , . x l x l x l x r x x m x m x m x r x x n x n x n x r x x x                       57 Таким образом, однородные координаты точки в различных сис- темах координат связаны линейным невырожденным однородным преобразованием. Матрицу этого преобразования структурируем: 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3 3 0 1 0 0 0 1 l l l r l rm m m r T n n n r                              , (2.2) обозначая матрицу направляющих косинусов относительного пово- рота размером 3  3 через l, а вектор переноса – через вектор-стол- бец r . Тем самым в матрице Т размером 4  4 можно выделить че- тыре подматрицы: l – размером 3  3, r – размером 3  1, нулевую матрицу размером 1  3 и единичную матрицу размером 1  1. Оп- ределитель матрицы Т = 1, если прямоугольные системы координат обе правые или обе левые, и –1 – в противном случае. Два преобразования систем координат: преобразование переноса и преобразование поворота в однородных координатах, определя- ются одним матричным преобразованием x = Т x '. (2.3) Это позволяет компактно записывать геометрические, кинемати- ческие, динамические соотношения для сложных пространственных механизмов. В формуле (2.3) и при записи других векторно-матрич- ных операций векторы представляются в виде вектор-столбцов. Если же необходимо записать вектор в виде вектор-строки, будем исполь- зовать индекс «Т», определяющий операцию транспонирования век- тора или матрицы общего вида, например, x = [х1, х2, х3, х4]Т. Отметим, что преобразование Т всегда можно представить как композицию вращения и переноса Т = ТrТα, где 58 ; 0 1 r E r T             0 , 0 1 l T             Е – единичная 3  3-матрица, а умножение 4  4-матриц выпол- няется по обычным правилам. Однородные преобразования в механике твердых тел. Матрицу (2.2) интерпретируем следующим образом. Пусть в пространстве с системой координат Oxyz находится твердое тело, имеющее связан- ную с ним систему координат O'x'y'z', относительно которой полно- стью определена конфигурация этого тела. Тогда положение тела в системе координат Oxyz определяется матрицей Т: подматрица l ха- рактеризует ориентацию тела, а подматрица r – положение некото- рой точки этого тела. По аналогии с понятием вектора состояния системы матрицу Т называют матрицей состояния тела. Положение системы координат O'x'y'z' в системе Oxyz можно за- дать шестью параметрами, например вектором r и тремя углами Эйлера. Для этой цели вычисление всех элементов матрицы Т или хранение их в памяти компьютера не обязательно. С другой сторо- ны, например для задач динамики или расчета операции взятия схва- том манипулятора какого-либо объекта, необходима дополнительная информация о конфигурации или распределении масс тела относи- тельно связанной системы координат. Однако во всех случаях в па- мяти компьютера для каждого твердого тела, будь то звено манипу- лятора или объект манипулирования, удобно иметь матрицу Т оп- ределенной выше структуры как важнейшую характеристику поло- жения, с помощью которой могут быть получены различные необ- ходимые характеристики путем простого умножения этой матрицы на векторы и другие матрицы. Такие преобразования выполняются по формуле (2.3). Если  Tρ , , , 1v v v vx y z   – вектор однородных координат некоторой точ- 59 ки твердого тела в системе координат O'x'y'z' и задана матрица Т этого тела, а также производные каждого элемента этой матрицы по времени, то обозначая матрицу, состоящую из первых производных по времени элементов Т, через T , матрицу, состоящую из вторых производных, через T и т. п., получим векторы положения, скоро- сти, ускорения точки в системе координат Oxyz, т. е.  T, , , 1 ;v v v zr x y z  T, , , 0 ;v v v zr x y z     T, , , 0 ,v v v zr x y z    которые вычисляются по формулам ;v vr T  ;v vr T  .v vr T  При обратных преобразованиях вместо матрицы Т требуется об- ратная матрица Т–1, которая может быть выражена через подмат- рицы Т следующим образом: T T 1 000 1 l l l r T              . 2.1.2. Кинематические пары Рассмотрим способ задания кинематических связей между раз- личными твердыми телами (звеньями). Пусть положения связанных систем координат двух твердых тел i и j относительно некоторой опорной системы координат определяются матрицами Тi и Тj. Запи- шем соотношение 60 Тi = Тj Аij, где 4  4 – матрица 1ij j iA T T имеет ту же структуру (2.2), что и матрица Т, и определяет положение звена i в j-й системе координат: 000 1 ij ij L a A             . Здесь 3  3-подматрица L состоит из столбцов направляющих косинусов осей системы координат звена i по отношению к j-й сис- теме координат, а вектор a определяет положение начала отсчета системы координат i также в системе координат j-го тела. На языке геометрических образов можно утверждать, что столбцы матрицы Aij состоят из однородных координат в системе отсчета зве- на j точек проективного пространства, которые в системе отсчета зве- на i имеют следующие однородные координаты: (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1). Три первые точки являются бесконечно уда- ленными точками осей системы координат i, а четвертая – началом отсчета этой системы. Действительно, возьмем точку на оси Оiхi на расстоянии 1/ω от начала отсчета (рис. 2.1). Эта точка в системе ко- ординат звена i будет иметь однородные координаты Ri = [1/ω, 0, 0, 1]T, а в системе координат звена j – координаты Rj = [α1 + L11/ω, α2 + L21/ω, α3 + L31/ω, 1]T, где L11, L21, L31 – направляющие косинусы оси Оiхi в j-й системе от- счета. Умножим очевидное соотношение TiBi = TJRJ на величину ω и уст- ремим ее к нулю. Тогда рассматриваемая точка будет удаляться в бес- конечность по оси Оiхi и в пределе окажется, что векторы [1, 0, 0, 0]Т и [L11, L21, L31, 0] содержат однородные координаты одной и той же бесконечно удаленной точки в различных системах координат. 61 Рис. 2.1. Соотношение между системами координат звеньев i и j кинематической цепи Аналогично можно рассмотреть бесконечно удаленные точки дру- гих осей и отдельно точку начала отсчета системы i. В итоге будут получены все четыре столбца матрицы Aij. Если звенья движутся в пространстве независимо друг от друга, то эта матрица определяется шестью независимыми параметрами (тело в свободном относительном движении имеет шесть степеней свободы), т. е. Aij = Aij(p1, …, pв). Если же звенья образуют кинематическую пару, то число усло- вий связи, наложенных на относительное движение каждого звена кинематической пары, может быть в пределах от одного до пяти. Иначе, имеются независимые уравнения связи fs (р1, …, р6) = 0, s = 1, …, K, 1 ≤ K ≤ 5, где число K определяет класс кинематической пары по числу поте- рянных степеней свободы относительного движения. Поэтому число 62 независимых параметров, определяющих относительное положение звеньев и, следовательно, матрицу Aij, уменьшается до 6 – K. Таким образом, в общем случае для кинематической пары K-го класса Aij = Aij(p1, …, p6–K) уравнения связей, не удовлетворяющие в совокупности условию не- зависимости, т. е. в избыточном числе, могут быть заданы матрич- ным равенством Ti = Tj Aij (p1, ..., p6–K). Уравнения связи относительно скоростей и ускорений получают- ся дифференцированием: ; , 2 i j ij j ij i j ij j ij j ij T T A T A T T A T A T A             где производные по времени матрицы Aij определяются производ- ными параметров, изменяющихся в относительном движении. Если число уравнений связей равно шести, то звенья теряют отно- сительную подвижность и кинематическая пара переходит в жесткое соединение двух звеньев, а матрица Aij становится постоянной. Например, в исполнительных органах роботов-манипуляторов наи- более распространены кинематические пары пятого класса: вращатель- ные и поступательные, обеспечивающие одну степень свободы отно- сительного движения. При этом относительное перемещение в кине- матической паре определяется одним параметром: углом относитель- ного поворота или линейной величиной относительного смещения. Кроме этого, исполнительный орган, как правило, представляет собой пространственную кинематическую цепь последовательно свя- занных твердых тел с номерами 0, 1, 2, ..., N. Например, стойка ма- нипулятора имеет номер 0, схват – номер N, а каждое звено с номе- ром i, i = 1, 2, …, N – 1, образует кинематическую пару как со зве- ном i – 1, так и со звеном i + 1. В этом случае уравнения связей за- даются рекуррентными соотношениями  1 , 1 , 1, 2,...,i i i i iT T A q i N   , 63 где параметры (обобщенные координаты) qi определяют относи- тельные перемещения звеньев в кинематических парах 5-го класса (рис. 2.2). Рис. 2.2. Простая кинематическая цепь 2.2. Представление силовых величин в кинематических цепях 2.2.1. Представление активных сил Рассмотрим структуру 4  4-матрицы Фi: 1 1 1 2 1 3 1 2 1 2 2 2 3 2 3 1 3 2 3 3 3 0 0 0 0 v v v v v v v i i i i i i i v v v v v v v v v v v i i i i i i i v v v vi v v v v v v v i i i i i i i v v v v F F F F F F F F F F F F                               . (2.4) 64 Четвертая строка этой матрицы всегда равна нулю, поэтому со- держательная часть матрицы сил имеет фактический размер 3  4. Существует связь этой матрицы с главным вектором и главным мо- ментом всех сил, приложенных к рассматриваемому телу. Предварительно отметим, что в записи (2.4) силы заданы в абсо- лютной системе координат, а радиусы-векторы – в связанной. Если это по каким-либо причинам неудобно, можно представить все ха- рактеристики в одной системе координат. Например, можно ис- пользовать другую матрицу сил  0 ,v vi i i v F r    полностью определенную в абсолютной системе координат и свя- занную с исходной матрицей Фi преобразованием 0 i i iT    . (2.5) Однако во многих задачах статики и динамики механизмов имен- но матрицы вида Фi в записи (2.4) возникают наиболее естествен- ным образом. Главный вектор и главный момент сил. Введем проектирующие 4  4-матрицы, которые используются при преобразованиях сил в задачах динамики: 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 , , , 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 , , . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0                                                                               65 Приведем все силы, действующие на i-e тело, к началу некоторой системы координат, тогда три проекции главного момента и три про- екции главного вектора сил на оси этой системы координат дают всю информацию о силах, необходимую для расчета движения твердого тела. Обозначим шестимерный вектор, состоящий из этих проекций, в абсолютной системе координат через  0 0 01 6, ...,i i iF F F , а в свя- занной системе – через  1 6, ...,i i iF F F . Тогда с помощью введен- ных проектирующих матриц и операции вычисления следа эти ха- рактеристики определяются следующим образом:  0 ,ki i i kF tr T     (2.6)  .ki i k iF tr T    (2.7) Формулы (2.6) и (2.7) при k = 1, 2, 3 дают моменты, в противном случае – силы. Обратное преобразование. Обратная задача вычисления 4  4- матриц сил по заданному главному вектору сил и главному моменту решается неоднозначно. Дело в том, что при эквивалентных преобра- зованиях сил, например при переносе некоторой силы вдоль линии ее действия, матрица Фi меняется. Другими словами, в матрицах Фi со- держится больше информации, чем это необходимо при расчетах движений твердых тел. Поэтому дадим некоторое вполне достаточ- ное представление 4  4-матриц сил по результатам приведения: 60 0 1 ,i ki k k k F      (2.8) где 1 / 2k  при k = 1, 2, 3 и 1k  , если k = 4, 5, 6. Это своеобразное ортогональное разложение матрицы сил, по- скольку подматрицы k обладают следующим свойством ортого- нальности:   1/ при ;0 при .ii j i jtr i j       66 Можно показать, что для любой совокупности сил матрица 0i приводится к виду (2.8) путем соответствующего переноса сил вдоль линии их действия, т. е. путем эквивалентных преобразований сис- темы сил. Аналогичным свойством ортогональности обладают множества матриц  , 1, ..., 6kT k  и  , 1, ..., 6kT k  . Это свойство по- зволяет определять коэффициенты разложений по указанным орто- гональным системам матриц различных матричных характеристик. Подобным образом определяются коэффициенты рядов Фурье в ма- тематическом анализе. Из выражения (2.4) вытекают также соотношения между матри- цами сил, заданных в различных системах координат: 6с 1 ;k k k k F      6c 1 ;k k k k T T F        0 cT T    , где Фс – матрица сил вида (2.4), в которой как сами силы, так и радиу- сы-векторы заданы в связанной системе координат твердого тела. Используя полученные формулы, для совокупности твердых тел меру принуждения в дифференциальном принципе Гаусса в теоре- тической механике представим в форме     1 1 ..., 2 n i i i i i i tr T H T tr T           (2.9) где заданы инерционные свойства каждого твердого тела, выражен- ные 4  4-матрицами Hi, и системы активных сил, действующих на каждое твердое тело, выраженные 4  4-матрицами Фi, i = 1, 2, …, п. Активные силы могут быть как внешними, так и внутренними. Внешние силы, такие как силы тяжести, силы гидравлического со- противления для механизма, работающего в жидкости, и т. п., воз- 67 никают при взаимодействии механизма с внешней средой. К внут- ренним активным силам, возникающим в кинематических парах, от- носят моменты или силы серводвигателей, а также силы трения. 2.2.2. Представление сил тяжести Представление сил тяжести в виде (2.4) дается следующими фор- мулами: i i i iGH m g     , где 4  4-матрица 1 1 2 2 3 3 0 0 0 0 0 0 , , 0 0 0 0 0 0 0 0 g g g g G g g g                     a g1, g2, g3 – проекции ускорения свободного падения на оси абсо- лютной системы координат;  1 2 3, , , 1i i i i      – однородные координаты центра масс i-гo тела в связанной системе координат. 2.2.3. Представление активных сил в кинематических парах Пусть два звена механизма с номерами s и r образуют кинемати- ческую пару пятого класса одного из возможных типов: вращатель- ную или поступательную. Матрицы положений связанных систем координат удовлетворяют условию  r s j jT T A  , (2.10) где j – номер кинематической пары; j – параметр, характеризующий относительное перемещение звеньев. 68 Выберем системы координат, связанные специальным образом. Пусть их оси zr и zs одновременно совпадают с осью относительного вращения или осью относительного поступательного перемещения. Тогда в первом случае           cos sin 0 0 sin cos 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 j j j j j jA       , (2.11) а во втором   1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 j j j A    . (2.12) Рассмотрим только такие силы, которые, действуя на одно звено, одновременно действуют и на другое в противоположном направ- лении. Иначе, среди всех возможных сил, действующих на звенья, рассматриваем только те, которые удовлетворяют условию 0 0 ,s r   или (см. (2.5) и (2.11)) s r jA    . (2.13) В число таких сил входят силы реакций идеальных связей, силы трения, а также силы, развиваемые двигателями. В последнем случае одно из звеньев называется ротором, а другое – статором двигателя. Условие связи (2.10) относительно ускорений имеет вид ...r s j s i jT T A T A       , (2.14) 69 где 3  для (2.11), 6  для (2.12). Вычислим соответст- вующее слагаемое в выражении меры принуждения (2.19) с учетом (2.13) и (2.14):       ... ... ... s s r r r j s j r s j j j tr T T tr A T tr T M                              (2.15) Сравнивая выражения (2.15) с (2.7), находим, что Мj является проекцией на ось относительного смещения главного момента или главного вектора всех сил, действующих на одно из звеньев и удов- летворяющих условию (2.13). Если звенья являются «ротором» и «статором» двигателя, a j – угол относительного поворота «ротора», то в Mj входит момент на валу «ротора», а также силы трения. В противном случае Mj – это только силы трения. Таким образом, активные силы, развиваемые в кинематических па- рах, приводят выражение для меры принуждения к следующему виду: 1 p j j j M    . Полученный результат позволяет сделать важный вывод: при пред- варительном формировании выражения для меры принуждения (2.9) в обобщенные координаты механизма целесообразно включать не- посредственно углы относительного поворота «роторов» двигате- лей системы приводов. Тогда соответствующий коэффициент Mj будет непосредственно моментом, развиваемым на валу двигателя (с учетом сил трения). Если окажется, что более выгодными явля- ются другие обобщенные координаты, например 1, ..., mq q , связан- ные с первыми уравнениями  1, ..., , 1, 2, ..., ,j j mq q j p    или 1 ..., m j j i i i q q     70 тогда вместо выражения (2.7) в функцию (2.9) необходимо вклю- чить приведенную сумму 1 1 1 pm mj j i i i i j ii M q Q q q            , в которой коэффициенты, взятые в круглые скобки и затем обозна- ченные через Qi, представляют собой обобщенные силы, отнесен- ные к новым координатам. 2.3. Силы инерции в кинематических звеньях мехатронной системы Инерционные свойства каждого звена, как твердого тела, опре- деляются 4  4-матрицей Hi. Эти матрицы являются симметричны- ми и имеют следующую структуру: i i i i xx xy xz x i i i i yx yy yz y i i i i i zx zy zz z i i i x y z i I I I S I I I S H I I I S S S S m  , где величины       2 2 1 2 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3 ; ; ; ; ; ; ; ; ; i v v i v v xx i i yy i i v v i v v i i v v v zz i i xy yx i i i v v i i v v v i i v v v xz zx i i i yz zy i i i v i v v i v v x i i y i i v i v v v z i i i i v v I m I m I m I I m I I m I I m v S m S m v S m m m                                    71 представляют собой соответственно три момента инерции относи- тельно координатных плоскостей, три центробежных момента инер- ции, три статических момента, а также массу твердого тела. Эта 4  4-матрица инерции, очевидно, от характера движения не зависит и несет в себе всю необходимую информацию о распределении масс в твердом теле относительно связанной системы координат. 2.4. Аналитическое представление «роторов» двигателей Механическая часть двигателей, применяемых в приводах, может рассматриваться как кинематическая пара твердых тел, называемых «ротором» и «статором». Эти твердые тела ничем не отличаются от других твердых тел – звеньев механизма. Однако «статоры» двигате- лей либо закреплены на неподвижном основании, например стойке робота-манипулятора, либо жестко связаны с какими-либо звеньями. Они не требуют особого изучения в качестве механических подсис- тем. «Роторы» двигателей – это отдельные твердые тела, требующие специального рассмотрения с целью как можно более простого и в то же время адекватного определения их динамической роли в механи- ческой системе. Рассмотрим следующее состояние. Статор двигателя в общем слу- чае представляет собой движущееся в абсолютной системе коорди- нат Oxyz тело. С ним связана система координат Osxsyszs с 4  4-мат- рицей положения Тs. Пусть начало отсчета этой системы координат совпадает с центром масс «ротора», а ее ось zs – с осью относитель- ного вращения. Следовательно, от распределения масс «ротора» тре- буются некоторые свойства симметрии: центр масс ротора в процес- се относительного движения не меняет своего положения в системе координат «статора». Это не принципиальное, но вполне естествен- ное для большинства задач практики ограничение, несколько упро- щающее выкладки. С «ротором» свяжем систему координат Orxryrzr с матрицей Тr, равной Тs при значениях угла относительного пово- рота 2 n   , п = 0, ±1, ±2, … В этом случае матрицы Тr и Тs связаны условием (2.10) с матри- цей преобразования А. Ускорение «ротора» rT определяется ускоре- нием «статора», а также скоростью и ускорением относительного движения: 72 r sT T A B C      , где 3 ;sB T A  2 2 3 32 s sC T A T A        . Тогда энергию ускорений «ротора» после выкладок можно пред- ставить в виде          2 3 1 1 1 2 2 2 2 ... r r r s r s r s r s s tr T H T tr T AH A T tr BH B tr T AH A T T                           (2.16) Остальные слагаемые либо равны нулю, либо не содержат уско- рений. Рассмотрим первое слагаемое выражения (2.16), в которое вхо- дит (как и в другие слагаемые) матрица rAH A – матрица инерции «ротора» относительно системы координат «статора». В общем случае эта матрица зависит от у, но если ротор обладает симметри- ей относительно оси zr, т. е. 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 xx yy r zz r I I H I m          и / 2xx yy rI I d  , где dr – момент инерции «ротора» относительно оси относительного вращения zr, то r rAH A H   (2.17) независимо от угла у. 73 Поэтому эту матрицу инерции «ротора» целесообразно добавить к матрице инерции звена «статора» Нs и принять сумму Hs + Нr в каче- стве новой матрицы инерции «статора». Другими словами, если мат- рица инерции некоторого звена вычисляется при закрепленном в этом звене «роторе» двигателя, то первое слагаемое    1/ 2 s r str T AH A T   автоматически войдет в общее выражение меры принуждения (2.9) и вторично в (2.16) вычислять его не нужно. Второе слагаемое в (2.16) представим в виде   2 21 1 .2 2r rtr BH B d     (2.18) Третье слагаемое в (2.16), учитывающее динамику взаимодейст- вия «ротора» и вращающегося в пространстве «статора», является произведением переносного и относительного движений и с учетом (2.17) может быть представлено в форме   3 2 .2r s s sd tr T T T         (2.19) Если звено «статора» в инерциальной системе отсчета участвует только в поступательном движении, то это слагаемое равно нулю. Выражения (2.18) и (2.19) в сумме составляют ту часть энергии ускорений (с учетом только слагаемых, содержащих ускорения), которую дополнительно вносит в меру принуждения «ротор» двига- теля, участвуя в относительном вращении. Поэтому эту составляю- щую можно представить еще и следующим образом:   2 21 12 2r s r s r r sd z z d           , (2.20) где s – угловая скорость «статора» в проекциях на связанные оси системы координат, rz – единичный вектор оси вращения в этой же системе коор- динат (в нашем случае zr = [0, 0, 1]). 74 Упрощая (2.20) или сумму выражений (2.18) и (2.19), получим простое выражение, в котором слагаемые, зависящие от ускорения, имеют вид  2 3 1 2 2 112rd                   . Однако, описывая движение сложного механизма в единых обо- значениях, будем сохранять форму представления этих слагаемых в виде (2.18) и (2.19). Отметим, что если связанная система координат звена «статора» выбрана из других соображений и никак не связана с расположением «ротора», то вместо кососимметрической матрицы Θ3 необходимо использовать другую кососимметрическую матрицу 1 1 2 2 3 3,e e e       где единичный вектор с компонентами е1, е2, е3 представляет собой орт оси «ротора» двигателя в системе координат «статора». Этот факт выводится из (2.19) путем замены специальной матрицы Тs на матрицу общего вида, связанную с первой 4  4 -преобразованием. Таким образом реализовано первое упрощение, порожденное сим- метричностью «ротора» относительно оси вращения. Возможны и дальнейшие упрощения. Например, в прикладных задачах слагае- мым (2.19) можно пренебречь по двум причинам: либо вращатель- ная составляющая переносного движения мала, либо влияние (2.18) существенно больше, чем (2.19). Последний случай типичен, например, для электромеханических манипуляторов, у которых передаточные числа редукторов, связы- вающие углы поворота двигателей γ с обобщенными координатами, очень велики (п = 1000 – 2000, nq   ). Поэтому приведенное зна- чение (2.18), зависящее от квадрата передаточного числа: 2 2 2 21 1 1 ; 2 2 2r r d d n q dq     2 rd n d 75 представляется более важной величиной, чем величина (2.19), при- веденное значение которой только пропорционально п. В большин- стве случаев, когда каждый двигатель управляет одной обобщенной координатой механизма через редуктор с постоянным передаточ- ным числом, вклад двигателей приводов в общее выражение меры принуждения будет оцениваться величиной 2 2 1 1 1 1 ..., 2 2 m m j j j j j j j j j Q d q Q q d q d              где dj – приведенные моменты инерции «роторов» двигателей; Qj – приведенная обобщенная сила, развиваемая двигателем. Если же необходимо учесть полную динамику взаимодействия «ро- торов» и вращающихся в пространстве «статоров», то в выражение меры принуждения необходимо включить более сложные слагаемые:  2 1 1 2 2 2 j j j m j j j j j s s j s i j j d d q Q q T T q T q n                         , (2.21) где nj – постоянное передаточное число редуктора; sj – номер звена механизма, являющегося «статором» для j-го двигателя. И наконец рассмотрим более общий случай, когда углы относи- тельных поворотов «роторов» двигателей связаны с обобщенными координатами механизма соотношениями общего вида  1, ..., , 1, 2, ...,k k mq q k p    . Тогда необходимое выражение предварительно следует сформи- ровать, используя исходные координаты , 1, 2, ...,k k p  . В резуль- тате получим  2 1 1 2 , 2 2 k k k k k p r r k k k s s k s k d d Q tr T T T                         (2.22) 76 после чего необходимо выполнить замену 1 2 1 1 1 , m k k j j j m m m k k k j s t j s tj s t q q q q q q q q                           (2.23) или учитывать эти уравнения в качестве условий связей (ограниче- ний) при минимизации меры принуждения. При использовании выражений (2.21) или (2.22) с учетом (2.23) единственное упрощение, которое допускается, это симметричность «роторов» двигателей относительно осей вращения. 2.5. Принцип Гаусса для механических систем с кинематическими парами пятого класса Сформулируем принцип Гаусса для механизма, состоящего из совокупности твердых тел, образующих между собой и другими не- подвижными телами кинематические пары пятого класса. Пусть имеется п твердых тел, с которыми произвольным обра- зом связаны системы координат с 4  4-матрицами положения , 1, 2, ...,iT i n , тогда каждая кинематическая пара с номером 1, 2, ...,j m дает условие связи относительно положений   , 1, 2, ...,rj sj j jT T A q j m  , где номера звеньев rj и sj, образующие j-ю кинематическую пару, могут быть любыми из совокупности номеров 1, 2,..., п, но ;j js r jq – координата, определяющая относительное положение звеньев. Дифференцируя соотношение, получим условие связи, линейное относительно ускорений: , 1, 2, ..., jrj s j j j jT T A B q C j m      , (2.24) 77 ;jj sj j dA B T dq  2 2 22 j j j sj j sj j j j dA d A C T q T q dq dq     . На каждое звено действуют внешние активные силы Ф1, ..., Фn. Кроме этих сил в каждой кинематической паре могут действовать активные силы, которые, будучи приведенными к координатам q1, ..., qm, характеризуются обобщенными силами Ql, ..., Qm. Все си- лы, конфигурация и скорость механизма в рассматриваемый момент времени считаются заданными. Принцип Гаусса. Истинные ускорения системы 1, ..., ,nT T  1, ..., mq q  отличаются от любых других ускорений, допустимых условиями связей (2.24), тем, что они сообщают минимальное зна- чение функции 1 1 1 2 n m i i i i i j j i j tr T H T T Q q               , (2.25) квадратической относительно ускорений. Формулировку задачи определения движения по заданным силам в таком виде нельзя считать завершенной. Дело в том, что в каждую матрицу iT входят двенадцать содержательных компонент (четвертая строка равна нулю), в то время как ускорения твердого тела опреде- ляются только шестью параметрами. Следовательно, элементы этих матриц взаимозависимы и связи между этими элементами в общем случае не определяются условиями связей (2.24). Например, для сво- бодного твердого тела условий связи (2.24) вообще нет. Вместе с тем существуют механизмы, для которых формулировка задачи (2.24)– (2.25) не требует дополнительных уточнений. Это такие механизмы, для которых значения ускорений 1, ..., mq q  определяют ускорения твердых тел , 1, 2, ...,iT i n . В этом случае функция  в конечном итоге зависит только от ускорений обобщенных координат. Напри- 78 мер, исполнительные органы манипуляционных роботов разомкнуто- го типа относятся именно к этому классу механизмов. Однако в общем случае необходимо дополнительно учитывать зависимость матриц ускорений твердых тел от минимального числа свободных параметров, определяющих ускорения. Использование таких зависимостей наглядно иллюстрируется при выводе уравне- ний движения свободного твердого тела. Применение принципа Гаусса к движению свободного твердого те- ла. Ускорение свободного твердого тела определяется матрицей T , которая в соответствии с принципом Гаусса должна удовлетворять условию минимума функции 1 2 tr THT T          , где условие связи представляет собой зависимость матрицы T от шести свободных параметров, однозначно (при заданной скорости) определяющих ускорение свободного тела:  T T x   , где  1 6, ...,x x x    . Необходимые и достаточные условия миниму- ма  дают шесть соотношений:   0, 1, ...,6 k Ttr TH k x           . (2.26) Выбор x в достаточной мере произволен. Пусть, например, ,x      – вектор скорости твердого тела, где  1 2 3, ,      – угловая скорость твердого тела в связанной системе координат;  1 2 3, ,         – скорость начала отсчета связанной системы координат в проекции на ее оси. 79 С учетом структуры матриц Т сначала получим следующее орто- гональное разложение: 61 1 k k k T T x     , дифференцирование которого по времени дает формулу 6 1 1 k k k T T x TT T       . Теперь уравнения движения твердого тела (2.26) можно предста- вить в форме    0, 1, ..., 6.ktr TH T k     (2.27) Таким образом из (2.27) находим, что здесь даны соотношения проекций на оси связанной системы координат равнодействующих всех сил (k = 4, 5, 6) и всех пар сил (k = 1, 2, 3), включая и силы инерции  TH . Рассмотрим другое представление. Пусть теперь 0 0 0,x x r        , где 0 0 0 01 2 3, ,        – угловая скорость твердого тела в абсо- лютной системе координат; 0r – скорость в абсолютной системе координат той точки твердо- го тела (или его продолжения), которая в данный момент времени сов- падает с началом абсолютной системы координат, т. е. 0 0r r r    . Тогда справедливо иное ортогональное разложение: 6 0 1 1 k k k T T Tx TT T       , 80 следствием которого будут следующие уравнения движения:    0, 1, ..., 6.ktr TH T k      (2.28) Хотя в уравнения (2.28) входят те же самые матрицы, что и в (2.27), здесь речь идет о проекциях сил и моментов на оси абсолютной системы координат. При вычислении следа произведения матриц АВ ... WZ возможны циклические перестановки tr {AB ... WZ} = tr {B ... WZA} = tv{ZAB ... W}, (2.29) т. е. след матричного произведения не изменяется при циклической перестановке его сомножителей. Кроме того, поскольку операция транспонирования не изменяет элементы произведения, стоящие на главной диагонали, то след матричного произведения равен следу транспонированного произведения: tr {AB} = tr{BTAT}. (2.30) Выражения (2.29) и (2.30) используются часто. Однако этих двух правил недостаточно, чтобы преобразовать одни уравнения (2.27) в другие (2.28). В этом смысле они различны. Рассмотренные модели динамики (2.27), (2.28) кинематических звеньев описывают абсолютно твердые тела, учитывающие лишь инерционное сопротивление твердых тел движению под действием приложенных сил. 2.6. Упругое (обратимое) деформирование сплошных твердых тел Материал механических подсистем, выполняющих работу под действием нагрузок, приложенных к ним, оказывает сопротивление изменению их формы и объема, называемому деформацией тела. Это является следствием того, что частицы тела оказывают сопротивле- ние их перемещениям относительно друг друга, что выражается в появлении сил противодействия, называемых напряжениями. 81 Из механики деформируемого твердого тела известно, что в трех- мерных телах перемещения определяются вектором  1 2 3, ,u u u u , деформации определяются тензором деформации ije , компоненты которого для малых деформаций выражаются через компоненты вектора u :  , ,1 / 2ij i j j ie u u  , j, i = 1, 2, 3. Тензор напряжения ij и тензор деформации ekl связаны законом Гука: ij ijk l kle   , (2.31) где по повторяющимся индексам идет суммирование, а ijk l – тен- зор упругих модулей, характеризующих свойства материала, и имею- щий в случае общей анизотропии 81 компоненту. Для однородной изотропной среды компоненты ijk l не зависят от пространственных координат и имеют вид  ijk l ij kl ik jl il jkK G          , где K – модуль объемного деформирования; G – модуль сдвига. Вместо K и G могут быть введены две другие независимые кон- станты материала. В общем случае при динамическом нагружении должно выпол- няться уравнение движения 2 , 2 , , 1, 2, 3, i ij j i uF i j t      (2.32) где  – плотность материала; t – время. 82 Величины  1 2 3, , ,u x x x t ,  1 2 3, , ,ije x x x t ,  1 2 3, , ,ij x x x t в на- пряженно-деформированном теле описывают поля перемещений, де- формаций, напряжений, распространяющихся в виде вибраций и волн. В случае если силами инерции в правой части уравнения (2.32) можно пренебречь, то , ,i ij iju e  не зависят от t, тогда получаем уравнения квазистатического нагружения или статического состояния. Начальные и граничные условия для уравнения (2.32) могут быть сформулированы в перемещениях:    01 2 3 1 2 30, , , , ,i iu x x x u x x x при t = 0; (2.33)    1 2 3, , , si isu t x x x u t при 1 2 3, ,x x x S . (2.34) Подставляя (2.31) в (2.32) получим замкнутую систему диффе- ренциальных уравнений (три уравнения) в частных производных относительно трех компонент вектора перемещений, что при усло- виях (2.33), (2.34) обеспечивает единственность решений начальной и граничной задачи. Если начальные и граничные условия формулируются в напря- жениях:    01 2 3 1 2 30, , , , ,ij ijx x x x x x   ; (2.35)  ij j isn P t  , (2.36) где nj – компоненты вектора нормали к поверхности тела; Рi – векторы сил, приложенных к телу на поверхности S, то в этом случае к уравнениям (2.32) необходимо добавить уравне- ния совместности, что позволяет получить замкнутую систему диф- ференциальных уравнений в напряжениях, имеющую единственное решение при условиях (2.35), (2.36). Также ставятся смешанные граничные условия, когда на части поверхности тела заданы перемещения (кинематические условия), а на оставшейся части заданы силовые условия. 83 При взаимодействии с другими телами рабочие органы мехатрон- ных систем испытывают деформации, которые после прерывания контакта (снятия нагрузки) исчезают полностью или частично. В пер- вом случае говорят об обратимом (упругом) деформировании, во втором случае – необратимом (пластическом). В первом случае отри- цательным следствием упругих деформаций может быть ухудшение точности выполнения операций, во втором необратимые деформации могут приводить к потере мехатронной системой возможности вы- полнять требуемые операции, опасным ситуциям, связанным с тем, что пластическое деформирование может являться началом возник- новения аварийной ситуации вследствие разрушения. При нагрузках энергия упругого формоизменения запасается, а при разгрузке полностью идет на работу по восстановлению геомет- рических параметров. Если нагрузки таковы, что возникают необра- тимые деформации, то часть энергии диссипирует в тепло. Появление диссипации связано с тем, что напряжения (их комби- нация) или скорости деформаций достигли некоторых предельных (опасных) значений. В обозначениях первой главы это означает, что параметры 1, ..., mx x достигли некоторой предельной поверхности, что может приводить к опасной ситуации. Таким образом, в пространстве напряжений (скоростей деформаций) существует поверхность, огра- ничивающая область допустимых напряжений (упругого деформиро- вания), когда деформирование компонентов системы безопасно. 2.7. Пластическое (необратимое) деформирование твердых тел Пластичность – свойство твердых тел приобретать остаточные деформации после снятия нагрузки. Экспериментально доказано, что объемная деформация металлов в широком диапазоне изменения деформации не вызывает измене- ния плотности. Это свидетельствует о том, что при пластическом деформировании металлов основным является сдвиговой механизм. На рис. 2.3 приведена одномерная диаграмма «напряжение–де- формация» при растяжении. 84 0 e A В С М D Р N ВА Рис. 2.3. Диаграмма е : ОА – линейная теория упругости, закон Гука; АВ – нелинейная теория упругости; ВС – площадка. текучести; CMD – упрочнение; D – разрушение Характерные точки диаграммы е : 1) напряжение A – предел пропорциональности, максимальное напряжение, при котором справедлив закон Гука; 2) B – предел упругости или предел пластичности, когда после снятия нагрузки не возникает остаточных деформаций. Материал помнит начальное состояние, в которое он должен вернуться. На практике различием между A и B часто пренебрегают; 3) B – предел текучести, определяющий начало площадки теку- чести. В хорошо выраженном виде она наблюдается для мягкой ма- лоуглеродистой стали и некоторых сплавов; 4) на участке CD напряжения растут с ростом деформаций. Если в точке М остановить нагружение и начать снижать нагрузку, то процесс разгрузки можно аппроксимировать отрезком МР||ОА. Пол- ная деформация е, соответствующая точке М, состоит из двух час- тей – упругой ее и пластической ер:  , ,e p p ee e e e ON e OP e PN     .  85 Если после разгрузки (т. Р) повторно приложить нагрузку, то ма- териал упруго деформируется до т. М, т. е. произошло упрочнение (наклеп) материала. В связи с этим отрезок CD определяет область упрочнения материала. У многих металлов участок упрочнения сле- дует непосредственно за пределом пластичности. Если после разгруз- ки из т. Р производится нагрузка противоположного знака (сжатие), то диаграмма будет подобна диаграмме при растяжении, однако на- клеп материала при растяжении понижает по абсолютной величине предел упругости при сжатии, и наоборот. Это явление называется эффектом Баушингера. Обычно в теории пластичности диаграмму е аппроксимируют схемой, состоящей из двух участков: 1) упругопластическое тело: упругоидеально пластическое тело, упругопластическое тело с упрочнением линейным и нелинейным; 2) жесткопластическое тело: упругими деформациями пренебрегаем по сравнению с пласти- ческими, тогда полные деформации совпадают с пластическими; жесткопластическое тело с упрочнением линейным и нелинейным. Жесткопластическое тело можно рассматривать как предельный случай упругопластического при 0ijke  , G  . Введем шестимерное пространство напряжений П, декартовы ко- ординаты точек которого являются компонентами симметричного тензора напряжений ij . Каждому значению ij в пространстве П соответствует точка или радиус-вектор  . Рассмотрим в пространстве П область Q, содержащую начало ко- ординат, в которой упругопластическое тело считаем упругим, под- чиняющимся закону Гука. Для жесткопластического тела в области Q материал жесткий. Обозначим  граничную поверхность области Q. Точки поверхности  соответствуют пределам упругости или пла- стичности, и поэтому  называется поверхностью пластичности. Идеально пластическим называется тело, для которого  фикси- рована в пространстве П. История нагружения определяется кривой в пространстве П. В иде- ально пластическом материале напряжения не могут превосходить определенного предела текучести (пластичности), упругая область Q 86 и поверхность текучести  фиксированы и не зависят от истории нагружения. Условие текучести записывается в виде   0ijf   . (2.37) При нагрузке и нейтральном нагружении (точка нагружения дви- жется по поверхности ) 0ij ij ff      . При разгрузке 0ij ij ff      . Рассмотрим некоторые вопросы теории предельного состояния твердого нагруженного тела. Для этого используем простейшую мо- дель жесткопластического тела – схему Прандтля. Будем предполагать: 1) упрочнение отсутствует; 2) материал тела остается изотропным; 3) тело нормально изотропно, т. е. отсутствуют различия в поведе- нии материала при различных нагружениях, отличающихся знаком; 4) поведение материала в процессе пластического деформирова- ния не зависит от действия всестороннего давления; 5) пренебрегаем упругими деформациями по сравнению с плас- тическими; 6) материал тела однороден. Если условие пластичности имеет вид (2.37), где  ijf  – диф- ференцируемая функция в окрестности т. ij , тогда в этой точке имеется единственная нормаль к . Элемент деформируемого тела находится в жестком состоянии, когда   0ijf   – деформации отсутствуют. 87 Кусочно-гладкие поверхности текучести, имеющие особенности в виде ребер или угловых точек, описываются при помощи некото- рого числа гладких функций текучести:   0, 1, 2, ...,p ijf p n   . Жесткому состоянию материала соответствуют   0,p ijf   1, 2, ...,p n . Пластическое состояние достигается, когда выполня- ется   0, 1, 2, ...,p ijf p n   , т. е. и   0, 1, ...,p ijf p m n    . Для изотропного идеального пластического тела функции pf зависят от инвариантов 2 3, ,   тензора напряжений ij , т. е.    2 3, ,p pijf f     или обычно    2 3, ,p pijf f       , (2.38) где  1/ 3 kk   , 2 ij ij      , 3 ij ik jk        . Через ij обозначаются компоненты девиатора напряжений: 3 1 1, 3ij ij ij iii         . Предположение о нормальной изотропии приводит к независи- мости пластического состояния от перемены знака напряжений на обратный, и, следовательно, выражение (2.38) должно иметь вид    2 3, ,p pijf f       . Независимость свойств металлов от действия всестороннего дав- ления дает    2 3,p pijf f      , (2.39) что эквивалентно условию 11 22 33 0 p p pf f f       . 88 Введем трехмерное пространство главных напряжений  1, 2, 3i i  , в котором декартовы координаты точки совпадают с компонентами главных напряжений. В пространстве главных напряжений условие пластичности (2.39) представляет собой цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными прямой 1 2 3     . Поэтому для определения свойств условия пластичности (2.39) достаточно рассмотреть кривую плас- тичности (текучести), лежащую на пересечении цилиндрической по- верхности текучести с девиаторной поверхностью 1 2 3 0      . Наиболее часто используются три условия: 1. Условие пластичности максимального касательного напряже- ния (Треска) имеет вид  max 1 2 2 3 3 11 max , , , const,2 k k             где max – максимальное касательное напряжение. На рис. 2.4 изображено условие пластичности Треска: а – в де- виаторной плоскости, б – в пространстве гладких напряжений в ви- де шестигранной призмы, равнонаклоненной к осям координат. 1 2 3 0 а 13 2 0 б Рис. 2.4. Условие пластичности Треска в пространстве главных напряжений 89 2. Условие пластичности максимального приведенного напряже- ния имеет вид  max 1 2 3 2max , , 3S k         , где maxS – максимальное приведенное напряжение. На рис. 2.5 изображено условие пластичности: а – в девиаторной плоскости, б – в пространстве главных напряжений в виде шести- гранной призмы, равнонаклоненной к осям координат. 2 13 a1 0 а 13 2 0 б Рис. 2.5. Условие пластичности максимального приведенного напряжения в пространстве главных напряжений 3. Условие пластичности октаэдрического напряжения (Мизеса) 2 2 2 3ij ij k       . На рис. 2.6 изображено условие Мизеса: а – в девиаторной плос- кости, б – в пространстве главных напряжений в виде кругового цилиндра, равнонаклоненного к осям координат. 90 2 13 0 а 13 2 0 б Рис. 2.6. Условие пластичности Мизеса в пространстве главных напряжений В идеально пластическом теле напряжения не могут превосхо- дить предел текучести, следовательно, внешние силы, действующие на тело из идеально пластического материала, не могут возрастать неограниченно. Систему нагрузок, при которой в теле впервые возникает пла- стическое течение, называют предельной. Коэффициентом запаса, соответствующим системе нагрузок ,i iF p , не превышающих предельные, называют число 1n  , если нагрузки ,i inF np образуют систему предельных нагрузок. Распределение напряжений *ij называют статически допус- тимым, если в теле оно удовлетворяет уравнениям равновесия  , 0ij j iF   , граничным условиям в усилиях на pS и нигде в теле не превышает предела текучести  * 0ijf   . Распределение напряжений Sij называют статически безопас- ным, если в теле оно удовлетворяет уравнениям равновесия, гранич- ным условиям в усилиях на pS и нигде в теле не достигает предела текучести   0Sijf   . 91 Если системе внешних сил ,i iF p соответствует некоторое ста- тически безопасное поле напряжений Sij , то существует число *n такое, что напряжения * *Sij ijn    станут статически допустимыми для нагрузок * *,i in F n p . Число *n называют статически допусти- мым коэффициентом. Теорема 1: Тело может выдержать системы нагрузок, прило- женных в любой последовательности, если для каждой последо- вательности существует статически безопасное распределение на- пряжений. То есть существование статически безопасного распределения напряжений в теле является достаточным условием способности тела выдерживать внешние нагрузки. Эквивалентная формулировка теоремы 1: Коэффициент запаса n является наибольшим допустимым коэффициентом *n n . То есть статически допустимый коэффициент является линейной оценкой коэффициента запаса. Альтернативное утверждение к теореме 1: Тело не может выдер- живать систему внешних нагрузок, для которой не существует ста- тически допустимого поля напряжений. То есть существование статически допустимого распределения напряжений является необходимым условием способности тела выдерживать внешние нагрузки. Рассмотрим кинематическое нагружение твердого тела. Распределение скоростей перемещений 0i называют кинемати- чески допустимым, если оно удовлетворяет условию несжимаемо- сти на S  0, 0i i  . Распределение скоростей деформаций 0 0ij ije   , соответствующее кинематически допустимому полю скоростей перемещений, называ- ют кинематически допустимым. Системе внешних давлений ,i iF p , не превышающих предельные, и скоростям перемещений 0i соот- ветствует определенная скорость изменения работы внешних сил N 92 (мощность). Существует число 0n N D ( ij ijD    – диссипация). Число 0n называют кинематически допустимым коэффициентом. Теорема 2: Тело может выдержать допустимую систему нагрузок, если существует кинематически допустимое поле скоростей деформа- ции 0ij , для которого скорость изменения работы (мощность) всех внешних сил N больше диссипации механической работы во всем теле. То есть необходимым условием способности тела выдержать внеш- ние нагрузки является условие N D . Эквивалентная формулировка теоремы 2: Коэффициент запаса n является наименьшим кинематически допустимым коэффициен- том 0n n . То есть кинематически допустимый коэффициент является верх- ней оценкой коэффициента запаса. Альтернативное утверждение для теоремы 2: Тело может выдер- жать внешние нагрузки, если для всех кинематически допустимых полей скоростей деформации скорость изменения работы внешних сил меньше скорости диссипации механической работы N D . То есть неравенство N D для всех кинематически возможных полей скоростей деформации является достаточным условием спо- собности тела выдерживать нагрузки. Следствия теорем предельного равновесия 1. Если к части поверхности, свободной от внешних усилий, до- бавить материал, то предельная нагрузка не уменьшится. 2. Если от части поверхности, свободной от внешних усилий, уда- лить часть материала, то предельная нагрузка не увеличится. 3. Увеличение предела текучести в некоторых частях тела не мо- жет повысить предельную нагрузку. 4. Уменьшение предела текучести в некоторых частях тела не может увеличить предельную нагрузку. 5. Коэффициент запаса для внешнего условия текучести не мень- ше коэффициента запаса для внутреннего условия текучести. 93 2.8. Предельное состояние материала конструкции при квазихрупком разрушении Как следует из теорем и следствий предельного состояния иде- ально пластического тела, рассмотренных в параграфе 2.7, рабочее тело (модель) не может выдержать механических нагрузок, если мощ- ность внешних сил больше скорости диссипации энергии. В этом случае часть энергии, которая не идет на пластическое деформирова- ние, будет преобразовываться в другие виды энергии, например, об- разование внутренних свободных поверхностей в виде пор, микро- трещин, дислокаций. Дальнейшее нагружение тела ведет к возникно- вению и распространению в нем трещины (трещин). Разрушение рабочего тела (детали) машины предполагает исчер- пание его несущей способности выдерживать нагрузки и обуслов- лена его разделением на части одной или несколькими трещинами. Процесс роста трещины может быть быстрым, катастрофическим или медленным и, при определенных профилактическо-восстанавливаю- щих мероприятиях, безопасным. Первый тип разрушения называют хрупким (квазихрупким), второй – вязким. В теории разрушения существуют два основных подхода к оцен- ке несущей способности тела: энергетический подход, основанный на подсчете энергетического баланса для тела с трещиной, который берет свое начало от Гриффитса, и силовой подход, берущий начало от Ирвина. Первый подход для решения практических задач более труден, поэтому в приложениях более применим силовой подход. Согласно методу Ирвина для решения вопроса о развитии трещин в линейной упругой постановке задачи достаточно вычислить коэф- фициенты интенсивности напряжений на контуре трещины, которые позволяют полностью определить локальное распределение напря- жений, деформаций и смещений так, что дальнейшее решение зада- чи имеет чисто алгебраический характер. Развитие поверхностей разрыва (трещин, дислокаций) начинается с несовершенств структуры материала, которые в начальный момент времени рассматриваются как существующие a priori дефекты струк- туры материала. Дальнейшее развитие начальных несовершенств структуры происходит по разным сценариям. Для дислокаций прису- ще практически одновременное и стабильное развитие сразу многих дислокаций, образующих полосы скольжения и целые пластические 94 области. Рост трещин, как правило, характеризуется развитием одной, наиболее опасной трещины, обладающей способностью к быстрому неустойчивому росту, приводящему к разделению тела на части. При создании критерия прочности на основе теории трещин по- лучаются обычные феноменологические теории прочности (типа ус- ловия теорий пластичности), однако входящие в них константы за- висят от размеров начальной трещины. Теория предельного состояния и теория хрупких трещин состав- ляют содержание механики разрушения. Прочность реальных твердых тел зависит от материала, геомет- рии тела, времени, числа циклов нагрузки-разгрузки, температуры, степени агрессивности внешней среды, скорости деформирования, внешнего излучения (радиации), электромеханических полей и др. Существует переходная зона изменения указанных параметров, которая отделяет область вязкого разрушении от области хрупкого разрушения, в которой эксплуатация конструкций считается недо- пустимой. В области вязкого разрушения расчет прочности произво- дят или по теории предельного состояния, или по теории прочности. Вывод о недопустимости работы конструкции в области хрупкого разрушения связан с трудностью диагностирования методами нераз- рушающего контроля трещин, способных привести к разрушению. Пусть в теле имеется трещина, представляющая собой пересече- ния двух поверхностей (рис. 2.7, а). Поместим начало координат на линии пересечения поверхностей трещин (фронте трещины). Ось z направим по фронту, оси x, y – перпендикулярно оси z. y x z 0фронттрещины а y z yz  zy y yx х х  xz  xy  zх z б Рис. 2.7. Напряженно-деформированное состояние в окрестности трещины 95 Общее решение задачи о напряженно-деформированном состоя- нии в окрестности трещины зависит от трех параметров, обозначае- мых KI, KII, KIII и называемых коэффициентами интенсивности на- пряжений. Они зависят от геометрии тела, внешних нагрузок, рас- положения и длины трещины и имеют размерность силы, деленной на диаметр в степени три вторых. Сложное напряженно-деформированное состояние в окрестности трещины (рис. 2.7, б) можно представить в виде суперпозиции трех простейших состояний. 1. Нормальный разрыв или отрыв. Трещина локально представляет собой разрыв нормального смещения  (по оси у), симметричный относительно плоскостей xz, yz, смещения u (вдоль х) и w (вдоль z) равны нулю, рис. 2.8. Коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) в этом случае: I II III0, 0, 0K K K   . y z p p х Рис. 2.8. Разрыв нормального смещения 2. Поперечный сдвиг. Трещина вблизи своего фронта представля- ет собой разрыв касательного смещения u (вдоль оси х), симмет- ричный относительно плоскости xy и кососимметричный относи- тельно плоскости xz. Смещения v (вдоль оси у), w (вдоль оси z) рав- ны нулю рис. 2.9. 96 y zр х р 0 Рис. 2.9. Разрыв касательного смещения u КИН в этом случае: II I III0, 0K K K   . 3. Продольный сдвиг. Трещина вблизи края представляет собой разрыв касательного смещения w. Смещения u и v на разрезе равны нулю, рис. 2.10. y z р х р 0 Рис. 2.10. Разрыв касательного смещения w КИН в этом случае: III I II0, 0K K K   . 97 Не приводя выражений для напряжений и перемещений для ка- ждого из трех случаев, отметим, что все они обладают одной и той же структурой вида    ..., ..., I, II, III. 22 j jK K rf u g j r          (2.40) Из (2.40) видно, что для напряжений вблизи вершины трещины  0r  имеется особенность типа 1/2r . Различие между случаями определяется постоянным множителем jK , зависящим от внешних нагрузок и геометрии тела. Условие локального разрушения может быть сформулировано в пространстве параметров KI, KII, KIII, рассматриваемых как декартовы координаты точки, характеризующей состояние процесса развития трещин, и геометрии, представляющей собой замкнутую поверхность, охватывающую начало координат и записываемую в виде  I II III, , 0f K K K  . Попадание конца радиуса-вектора  I II III, ,K K K на поверхность свидетельствует о том, что в т.О фронта трещины происходит ло- кальное разрушение. Функция  I II III, ,f K K K определяется экспериментально из мо- дельных представлений. Для трещин основных трех типов критерий локального разрушения имеет вид: нормальный разрыв: I I II III, 0cK K K K   ; поперечный сдвиг: II II I III, 0cK K K K   ; продольный сдвиг: III III I II, 0cK K K K   . 98 Величины I II IIIc c cK , K , K называются коэффициентами вязкости разрушения и являются константами материала. 2.9. Усталостное разрушение Явление усталости металлов при циклическом нагружении было открыто Велером. Причиной преждевременного хрупкого разруше- ния конструкций при циклических нагрузках оказалось медленное развитие трещин в процессе эксплуатации. Выделяют два этапа роста усталостных трещин. 1-й этап (инкубационный) – характеризуется накоплением повреж- дений типа дислокаций и зарождением трещины. Если существует трещина, то на этом этапе она не растет; 2-й этап (роста трещины) – характеризуется ростом наиболее опасной трещины. Рассмотрим 2-й этап, который может быть описан уравнением  max mind ,d i il f K Kn  , (2.41) где l – длина трещины; n – число циклов; d d l n – скорость роста трещины; max min,i iK K – максимальное и минимальное значения коэффи- циента интенсивности напряжений за цикл. Согласно концепции существования Kc трещина в упругом твер- дом теле начинает расти только после того, как коэффициент ин- тенсивности напряжений на фронте трещины достигнет величины вязкости разрушения, причем в процессе квазистатического роста выполняется равенство i icK K . Если наибольшее и наименьшее значения нагрузки за цикл max min,p p не зависят от времени, измеряемого числом циклов, а форма и размер трещин определяются только параметром l, то ре- шение уравнения (2.41) имеет вид 99  0 max min d , l l i i ln f K K   . (2.42) В качестве f в (2.42) в общем случае можно взять       2 2 2 2 max min max 2 2 2 min 0 max min 0 max min β ln 2 exp / 2 / 2 . i I c i c c i i i i i K K K K f K K K V K K I K K                     (2.43) 0l l при 0n  . Константы 0, , ,cK V  определяются экспериментально. Функция f, взятая в виде (2.43), учитывает: амплитуду и среднее значения нагрузки за цикл; структуру тела, расположение и величину начального дефекта; геометрию тела; частоту цикла  ; температуру тела. В качестве верхнего предела интегрирования в (2.42) возьмем *l l , определяемое как минимальный корень уровня  max max *, .i cK p l K Величина n, определяемая формулой (2.42) представляет наи- больший практический интерес и определяет число циклов нагру- жения до разрушения. В каждом конкретном случае она вполне оп- ределенным образом зависит от параметров цикла max min,p p , от частоты  , размера 0l и формы начальной трещины, от конфигу- рации тела, температуры, внешней среды, от характеристик мате- риала 0, , ,cK V  . 100 2.10. Моделирование физико-механических свойств материалов методом механических цепей и диаграмм Различные материалы обладают тремя основными механическими свойствами – упругостью, пластичностью и вязкостью. Эти свойства проявляются в разной степени в зависимости от структуры материа- ла, условий работы (температуры, влажности и т. п.) и типа нагрузки (статической, динамической, импульсной или длительной и т. п.). При различных комбинациях этих трех факторов один и тот же мате- риал может проявлять одно из трех основных механических свойств или некоторую комбинацию из них. При изменении некоторых из названных факторов можно изменить поведение материала и полу- чить другую преобладающую комбинацию механических свойств. Теоретическое описание этого многообразного поведения мате- риалов производится посредством механико-математических моде- лей, которые идеализируют реальное поведение материала, отражая его наиболее характерные свойства. Большое разнообразие мате- риалов и свойств, проявляющихся при различных условиях работы, а также стремление к более подходящему описанию этого многооб- разия породили механико-математические модели определяющих соотношений. Одномерные эксперименты являются основой для создания одно- мерных механико-математических моделей. При помощи идеализа- ции зависимости между напряжениями и деформациями, полученной экспериментальным путем, находится определяющая связь между ними для соответствующей механико-математической модели. Рассмотрим некоторые одномерные механико-математические мо- дели, которые встречаются чаще всего. 2.10.1. Модель линейно-упругого тела Эксперименты при одномерном растяжении, сжатии и кручении показывают, что существуют материалы, обладающие линейно-упру- гими свойствами. Для них связь между напряжениями и деформа- циями представляется в виде идеализированной диаграммы – пря- мой линии (рис. 2.11, 2.12). 101 Рис. 2.11. Линейно-упругое тело Рис. 2.12. Линейно-упругое тело В аналитическом виде это выражается при помощи следующей оп- ределяющей связи между основными напряжениями и деформациями: при растяжении (сжатии) x xEe  ; (2.44) при кручении x xG    , (2.45) где Е = tg β = const – модуль упругости Юнга; G = tg α = const – упругий модуль сдвига. В этом случае коэффициент поперечной деформации также явля- ется константой и называется коэффициентом Пуассона  = const. Уравнения (2.44) и (2.45) представляют собой математическое выражение линейного закона Гука. Линейно-упругие материалы, имеющие различные модули упру- гости при растяжении и сжатии, называются разномодульными. Иде- ализированная диаграмма таких материалов дана на рис. 2.13. Определяющая связь между σх и ех имеет вид 1 2 , tg const (растяжение); , tg const (сжатие). x x x E e E E e E              102 Рис. 2.13. Разномодульное линейно-упругое тело 2.10.2. Модель нелинейно-упругого тела Связь между напряжениями и деформациями в телах с нелинейно- упругими свойствами представляется идеализированной кривой, по- казанной на рис. 2.14. а б Рис. 2.14. Нелинейно-упругое тело 103 Соответствующая определяющая связь имеет вид: при растяжении (сжатии) 1( )x xf e  ; при кручении 2 ( )x xf    . Для разносопротивляющихся нелинейно-упругих тел определяю- щая связь имеет вид ( ) (растяжение); ( ) (сжатие). x x x f e f e      Соответствующая идеализированная кривая показана на рис. 2.15. Рис. 2.15. Разнопрочное нелинейно-упругое тело 2.10.3. Модели пластических тел Материалы, проявляющие пластические свойства, в зависимости от вида этого проявления могут аппроксимироваться различными механико-математическими моделями, данными в табл. 2.1. 1 Та бли ца 2. 1 № Мо дел ь Оп ред еля ющ ие зав иси мо сти Рас тяж ени е ( сж ати е) Кр уче ни е 1 2 3 4 1 Уп ру го- ид еал ьно пла сти чес - кое те ло з 1 пр и 0 пр и 0 (на гру же ни е) ( ) пр и 0 (ра згр узк а) x p x p x p x x x Ee e e e иe E e e e                  пр и пр и и 0 (на гру же ни е) ( ) пр и 0 (ра згр узк а) x x p x p x p x p x x x G G                               2 Уп ру го- пла сти чес - кое те ло с л ин ейн ым упр очн е- ни ем 1 1 1 пр и ( ) пр и и 0 (на гру же ни е) ( ) (ра згр узк а) x x p p x p x p x x Ee E e e P E e e                     1 tg co ns t, tg co ns t E E     1пр и ( )п ри и 0 (на гру же ни е) ( ) пр и 0 (ра згр узк а) x x p p x p x p x t x x x t G G M G M                                   1 1 tg co ns t, tg co ns t G G       3 Уп ру го- пл аст иче с- кое те ло с н ели ней - ны м у про ч- нен ием 1 1 пр и ( ) пр и и 0( наг руж ени е) ( ) пр и 0 (ра згр узк а) x x p x x p x x E f P E e e P                       1 при ( )п ри и 0 (на гру же ни е) ( ) при 0 (ра згр узк а) x x p x x x p t x x x t G f M G M                                104 1 Ок онч ани е т абл . 2 .1 1 2 3 4 4 Не лин ейн о- уп ру го- пл аст ич ес- кое те ло 1 0 1 0 0 0 ( ) пр и 0 (на гру же ни е) ( ) при 0 (ра згр узк а) d tg d x x x x x f e P E e e P f E e                          1 0 ( )п ри 0 (на гру же ни е) ( ) пр и 0 (ра згр узк а) x t x x x x t f M G M                      1 0 0 d tg d x xf G                 5 Же стк о- ид еал ьно - пл аст ич ес- кое те ло x p   x p   6 Же стк о- пл аст ич ес- кое те ло с л ин ейн ым уп ро чн е- ни ем 1 1 tg x p x E e E     1 1 tg x p x G G         7 Же стк о- пл аст ич ес- кое те ло с л ин ейн ым уп ро чн е- ни ем ( ) (0 ) 0 x p x f e f    1 1 ( ) (0 ) 0 x p x f f       105 106 № 1. Модель упругоидеально пластического тела (№ 1, см. табл. 2.1, рис. 2.16) характеризуется определенной граничной величиной на- пряжений σх = σр, называемой пределом текучести при чистом рас- тяжении или сжатии, соответственно τх = τр – предел текучести при чистом сдвиге. До этого предела материал является линейно-упругим, а после его достижения он необратимо деформируется при постоян- ном напряжении, т. е. течет пластически. При разгрузке (уменьшении нагрузки) тело обладает линейно-упругим поведением с модулем уп- ругости, равным начальному, и, кроме того, возникает остаточная деформация. При повторном нагружении материал снова упруго деформируется до достижения предшествующего предела текучести, после чего снова начинает пластически течь. а б Рис. 2.16. Упругоидеально пластическое тело № 2. Материал модели упрутопластического тела с линейным упрочнением (№ 2, см. табл. 2.1, рис. 2.17) также деформируется упруго до достижения предела текучести. При превышении этого предела при нагружении (увеличении на- грузки) связь между напряжениями и деформациями также будет линейной, но с другим угловым коэффициентом. При разгрузке ма- териал является линейно-упругим, с образованием остаточных де- формаций. При повторном нагружении материал будет деформиро- 107 ваться линейно-упруго до достижения напряжения, с которого нача- лась разгрузка. Это напряжение играет роль нового предела теку- чести, превышающего первоначальный, вследствие чего мы счита- ем, что материал получил пластическое упрочнение. Если продол- жить нагружение, то связь между напряжениями и деформациями будет следовать первоначальной линейной зависимости. Поэтому говорят, что упрочнение является линейным. а б Рис. 2.17. Упругопластическое тело с линейным упрочнением № 3. Модель упругопластического тела с нелинейным упрочне- нием (№ 3, см. табл 2.1, рис. 2.18) обладает свойствами, подобными свойствам предыдущей модели. В обоих случаях материал характеризуется двумя различными аналитическими зависимостями между напряжениями и деформа- циями при нагружении и разгрузке. Отличие от предшествующей модели состоит в том, что при превышении предела текучести связь между напряжениями и деформациями является нелинейной, т. е. материал упрочняется нелинейно. 108 а б Рис. 2.18. Упругопластическое тело с нелинейным упрочнением № 4. В случае модели нелинейно-упругопластического тела (№ 4, см. табл. 2.1, рис. 2.19) предел текучести отсутствует и пластиче- ские деформации возникают с самого начала нагружения. а б Рис. 2.19. Нелинейно-упругопластическое тело 109 При нагружении связь между напряжениями и деформациями является нелинейной и материал упрочняется нелинейно. Разгрузка дает линейно-упругую зависимость между напряжениями и дефор- мациями с наклоном, равным наклону касательной в начальной точ- ке к кривой σх(εх) (соответственно τx(γx)). При повторном нагру- жении пластические деформации начинаются после достижения на- пряжений, при которых началась разгрузка. № 5–7. Если пластические деформации тела достаточно разви- ты и в значительной степени превышают упругие, то последними можно пренебречь и пользоваться моделями жесткопластических тел (см. модели № 5–7, см. табл. 2.1, рис. 2.20–2.22). Модель нелинейно-упругопластического тела может обладать и нелинейной пластической разгрузкой (рис. 2.23). Рис. 2.20. Жестко-идеально пластическое тело Рис. 2.21. Жесткопластическое тело с линейным упрочнением Рис. 2.22. Жесткопластическое тело с нелинейным упрочнением Рис. 2.23. Упругопластическое тело с нелинейным упрочнением 110 Если материалы обладают более сложными пластическими свой- ствами, можно пользоваться некоторыми модификациями указанных выше моделей. Так, например, в случае разносопротивляющихся ма- териалов, имеющих различные модули упругости и пределы текуче- сти при растяжении и сжатии, используются модели с идеализиро- ванными диаграммами типа, представленной на рис. 2.24. Рис. 2.24. Разнопрочное упругопластическое тело Для материалов, обладающих эффектом Баушингера, можно при- нять различные идеализированные диаграммы (рис. 2.25) в зависимо- сти от способа проявления этого эффекта. Изменение предела теку- чести можно представить различными аналитическими способами, принимая различные одноосные модели упругопластических тел, про- являющих анизотропное упрочнение (т. е. различное упрочнение в зависимости от предварительной пластической деформации). Согласно довольно общему случаю, если p p p      – началь- ный предел текучести, то вследствие предварительной пластичес- кой деформации растяжения p предел текучести при сжатии выра- зится формулой 1( ) ( ) ( ) p p p a p aA e B e        , 111 где Аа(ер) и Ва(ер) – однозначно определяемые из эксперимента функ- ции предварительной пластической деформации εр. В частном случае можно принять, что Аа = 1, Ва(ер) = Саер, Са = const, тогда 1( ) p p p aC e     . а б Рис. 2.25. Эффект Баушингера, уменьшение предела пластичности при повторном нагружении противоположного знака. 2.10.4. Модели линейно-вязкоупругих тел Линейные вязкие и упругие свойства проявляются по-разному. Кривые ползучести еx(t) и релаксации σx(t), а также влияние скоро- сти деформации на связь между напряжениями и деформациями можно идеализировать разными способами, пользуясь различными одноосными моделями линейно-вязкоупругих тел. Как правило, иногда эти механико-математические модели пред- ставляются механическими моделями, составленными из поршней и пружин. Такое представление делается со вспомогательной целью и имеет чисто условный характер. Следует подчеркнуть, что состав- ляющие элементы (поршни и пружины) не моделируют структуру материала. В табл. 2.2 даны некоторые одномерные механико-мате- матические модели линейно-вязкоупругих тел, их механические мо- 112 дели и определяющие связи, дающие возможность получить различ- ные зависимости между εx(t) и σx(t), приведенные на рис. 2.26. и 2.27. Таблица 2.2 Обозна- чение Механико- математическая модель Соответствующая механическая модель Определяющие зависимости 1 2 3 4 1Г Линейно-упру-гое тело Гука x r xE e  rE – модуль упругости Юнга 1Н Вязкая жидкость Ньютона x U xe    U – коэффициент вязкости 2М Вязкоупругая жидкость Мак- свелла 1 1 x x r U e E      2Ф Упруговязкое тело Фойгта x r x U xE e e     3П Упруговязкое тело Пойнтинга– Томсона ( )x x re r x x crE e e        м U re E   – время релаксации м м r cr U r E E E E    – время ползучести 3З Упруговязкое тело Зинера ( )x x re r x x crE e e        ф U re E   ф ф r cr U r E E E E    U U U U U 113 Окончание табл. 2.2 1 2 3 4 5Б Упруговязкое тело Бранкова м м ф м ф ф м м ф 1 1 1 1 U x r r U x r r U x U r U U x U x x U U E E E E E E E E E E E E E E e e                                   Обобщением этих моделей служит модель линейно-вязкоупруго- го тела, ведущая к следующей определяющей связи: x xB A et t              , где В и А – суть полиномиальные операторы степеней соответст- венно п и т. Степени полиномов дифференциальных операторов могут быть равными, т. е. п = т. В противном случае, чтобы модель имела физический смысл, должно соблюдаться условие т – п = 1. Можно применять и модели, ведущие к определяющим зависи- мостям в интегральном виде. Так, например, при применении одно- мерной механико-математической модели упругого тела с наследст- венностью актуальное деформированное состояние (соответственно напряженное) зависит от истории изменения напряжения (деформа- ции) до рассматриваемого момента времени, а также от актуальных значений напряжения (деформации). Это приводит к определяющим уравнениям типа 1( ) ( ) ( ) ( ) t x x t xe t t K t dE             U 114 или ( ) ( ) Г ( ) ( ) t x x t xt E e t t e d            . Рис. 2.26. Кривые ползучести для разных моделей линейно-вязкоупругих тел U U U U U U U 115 Рис. 2.27. Кривые релаксации для разных моделей линейно-вязкоупругих тел U U U U U U 116 Функция tK называется ядром ползучести, а функция Гt – ядром релаксации; обычно они определяются экспериментальным путем. Эти функции выражают эффект «памяти» материала: материал «пом- нит» всю историю напряженного и деформированного состояний, а актуальное состояние определяется этой историей. При подходя- щем выборе упомянутых функций модели, данные выше, можно по- лучить в качестве частных случаев. При помощи общего термодинамического подхода, использую- щего внутренние параметры состояния, можно описать разнообраз- ные термомеханические процессы, происходящие в деформируемых телах. Путем подходящего выбора энергетических функций, внутрен- них параметров состояния и уравнений эволюции можно получить рассмотренные выше модели линейно-упруговязких тел при изотер- мических условиях. 2.10.5. Модели упруговязкопластических тел Модели упруговязкопластических тел не обладают резко выражен- ным пределом текучести; у них упругие, вязкие и пластические свой- ства проявляются одновременно. Приведем некоторые примеры. 1. Упруговязкопластическое тело Одквиста с определяющим урав- нением вида e p u x x x xe e e e      , где 1ex xe E   – скорость мгновенной упругой деформации; ( )px p x xe kg    – скорость мгновенной пластической деформа- ции ( )px p xe g  , причем принимается k = 1 для нагружения и k = 0 для разгрузки; сг ( )ux xe f  – скорость вязкой деформации; она определяет ус- тановившуюся ползучесть материала. Функции gp(σx) и сг ( )xf  находятся экспериментально; для их ап- проксимации чаще всего принимают степенные функции. 2. Упруговязкопластическое тело с упрочнением Клепачко и Ле- метра: 117 1/ 1/1, , ( ) ( ) ;e a e a m a nx x x x x x u x xe e e e k e eE         0 ( ) ( )d t a a x xe t e    , где E, m, п, ku – константы материала, причем axe = 0 принимается при разгрузке и axe  0 при нагружении; axe играет роль меры пластического упрочнения материала; a xe – вязкопластическая деформация; exe – упругая деформация. К этим материалам также можно применить общий термодинами- ческий подход и предложить соответствующие одномерные механи- ко-математические модели с внутренними параметрами состояния. В табл. 2.3 приведены модели упруговязкопластических тел. Таблица 2.3 Механико- математичес- кая модель Определяющие зависимости Примечания 1 2 3 Упруговязко- пластическое тело Бингама , , , ; x x p x x p U x x p E e E                   E – модуль упругости, p – начальный предел текучести при одномерном растяжении, U – коэффициент вязкости Механическая модель имеет вид где элемент трения 1 дает деформацию при напряжении, превы- шающем предел теку- чести p . Материал не имеет пластичес- кого упрочнения 118 Продолжение табл. 2.3 1 2 3 Упруговязко- пластическое тело Шведова 1 2 1 1 , ( )1 1 , , x x p x x p x x p U E e E E                       1 2, , UE E  – константы материала; p – предел текучести при чистом растя- жении Механическая модель имеет вид Материал не имеет пластического упроч- нения Упруговязко- пластическое тело Малвер- на–Пэжины 1 1 ( ) , 0, , , , x x x p U x p x p e E                       – нелинейная функция разности; x p  , определяемая экспериментально и чаще всего аппроксимируемая степенной, экспоненциальной и другими функциями Модель можно при- менять и для тела с пластическим упрочнением, если ( )p pf   , где  – соответст- вующий параметр упрочнения, связан- ный с неупругой деформацией Упруговязко- пластическое тело Гилмана 0 , 1 , ( )( ) exp , 0 при ( ), 0 при ( ), e a x x x e x x a a a C c x x D D x x a a x x p x a a x x p x e e e e E D H ee A C e e e e                                0, , , , ,D D c cA C D H  – константы мате- риала, определяемые на основании микро- структуры материала и теории дислокации Модель основывается на микромеханизме вязкопластических деформаций, связан- ном с движением дислокации. Мате- риал обладает пла- стическим упрочне- нием 119 Окончание табл. 2.3 1 2 3 Упруговязко- пластическое тело с мгно- венной пла- стичностью по Кристеску , 1 , ( , ) ( , ) при ( ), 0 при ( ). e a x x x e x x a a a x K x x x K x x x p x a a x x p x e e e e E e f e g e e e e                       Функции Kf и Kf определяются экспери- ментально, а E – модуль упругости Скорость неупругой деформации состоит из скорости мгновен- ной пластической деформации (первый член) и скорости вяз- копластической де- формации (второй член) Упруговязко- пластическое тело с внут- ренними па- раметрами состояния Пэжины и Войно ПВ ˆ ( , ), ˆ ( , ), ( , ), x a x x a x x x a a x x x e e e e e f e e           – удельная свободная энергия; a xe – неупругая деформация; ПВf – принимается чаще всего в виде ПВ 1( ) x U a p x f e           , , ( ), 0, ( ) a x p x a x p x e e           Модель тела с внут- ренним параметром состояния – неупру- гой деформацией. Функции  и ПВf определяются экспе- риментально Подводя итоги рассмотренным моделям, в дальнейшем будем использовать определения для случая линейных звеньев: 1. Упругое звено, линейная связь между напряжением и дефор- мацией ;Ee  1e E   , будем называть усиливающим (ослабляющим), упругий коэффици- ент Е – коэффициент усиления. 120 2. Вязкое звено, линейная связь между напряжением и скоростью деформации e   , будем называть интегрирующим звеном: 1 de t   . 3. Звено сухого трения описывает пластические свойства мате- риала. Комбинируя звенья, можно наглядно видеть, какими свойствами обладают или должны обладать материалы для рабочих частей мехатронной системы. Такими свойствами, как жесткость, проч- ность, теплопроводность, должны обладать все компоненты сис- темы, причем не только те, которые выполняют механическую работу, но и компоненты электронных и электрических цепей. 2.11. Примеры решения задач З а д а ч а 2.1 В температурных регуляторах применяются биметаллические элементы. Биметаллический элемент представляет собой две жестко соединенные металлические пластинки с различными коэффициен- тами температурного расширения α1 и α2 (рис. 2.32). При нагреве биметаллическая пластинка изгибается за счет различного удлине- ния ее составляющих. Если один конец пластинки неподвижно за- крепить, то второй, свободный, конец переместится на некоторую величину. Получаемые таким образом перемещения используются как источник движения и необходимых механических усилий. Рис. 2.32. Схема к задаче 2.1 121 Установить, как меняется кривизна пластинки в зависимости от ее геометрических размеров и температуры нагрева. Р е ш е н и е Выделим из биметаллической полоски элементарный участок, имеющий длину ds и начальную кривизну поверхности спая 0 1  (би- металлические элементы часто делаются криволинейными) рис. 2.33. Рис. 2.33. Схема к задаче 2.1 Относительное удлинение волокна, отстоящего на расстояние z от поверхности спая, будет складываться из двух величин: из удли- нения в спае е0 и удлинения, обусловленного изгибом полоски: 0 1 1z      – новая кривизна. Таким образом, 0 0 1 1е е z        . 122 Вычитая отсюда температурное удлинение и умножая получен- ную разность на модуль упругости Е, находим напряжение, дейст- вующее в волокне, расположенном на расстоянии z от поверхности спая. Для первой пластинки имеем 1 1 0 1 1 0 1 1 (0 );E e z T z h               для второй – 2 2 0 2 2 0 1 1 ( 0);E e z T h z                 Е1 и Е2 – модули упругости первой и второй пластинок. Нормальное усилие и изгибающий момент в сечении биметалли- ческого элемента равны нулю. Поэтому 1 1 2 2 0 0 1 2 1 2 0 0 0, 0. h h h h bdz bdz bzdz bzdz              Подставляя сюда 1 и 2 и интегрируя, получим     2 20 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 0 1 1 ( ) 0, 2 qe E h E h E h E h T E h E h               2 2 2 2 3 20 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 0 1 1 1 1( ) ( ) 0. 2 2 3 qe E h E h E h E h T E h E h              Исключим отсюда 0е и найдем изменение кривизны: 1 2 2 2 0 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 6 ( )1 1 . ( ) 4( ) ( ) T E h E h h h E E h h h h        123 Изменение кривизны пропорционально изменению температуры и разности коэффициентов температурного расширения. Наибольшее изменение кривизны, как это видно из полученного выражения, будет иметь место тогда, когда толщины составляющих пластинок подобраны так, чтобы 2 2 1 1 2 2 .E h E h Тогда 1 2 0 1 2 1 1 3 2 T h h      . З а д а ч а 2.2 Спроектирован температурный регулятор термостата, в котором в качестве чувствительного элемента была применена биметалли- ческая пластинка, установленная так, как это показано на рис. 2.34. При повышении температуры пластинка по замыслу конструктора начинает изгибаться. Когда температура достигнет заданной вели- чины, контакт А замкнется и сработает командное реле, регули- рующее нагрев термостата. Будет ли работать подобный регулятор? Рис. 2.34. Схема к задаче 2.2 124 Р е ш е н и е Система работать не будет, так как биметаллическая пластинка, защемленная по концам, под действием равномерного нагрева не меняет своей кривизны. В самом деле, если бы пластинка была свободно оперта, она изо- гнулась бы при равномерном нагреве по дуге окружности. В данном случае на пластинку действуют еще и реактивные моменты заделок. Под их действием пластинка также изогнется по дуге окружности, но в обратную сторону (рис. 2.35, а). Рис. 2.35. Схема к задаче 2.2 При этом, накладывая требование равенства углов поворота 1 и 2 на концах пластинки, необходимо потребовать равенства кри- визны обеих окружностей, а это означает, что суммарные углы поворота и перемещения во всех точках пластинки (при соблюде- нии условия 1 = 2 ) равны нулю. Таким образом, защемленная по концам биметаллическая пластинка при равномерном нагреве не изогнется. Следовательно, для того чтобы указанная система (см. рис. 2.32) отвечала своему назначению, достаточно, например, заменить заще- мление пластинки шарнирным ее закреплением (рис. 2.35). З а д а ч а 2.3 Три бруса, имеющие одинаковую жесткость на изгиб, но раз- личную форму поперечного сечения (рис. 2.36, а), изгибаются в вертикальной плоскости моментами М. Построить для каждого а б 125 бруса зависимость изменения кривизны от момента М, если диа- грамма растяжения материала брусьев может быть схематически представлена упругоидеально пластическим телом (рис. 2.36, б). т 0,002. E   Рис. 2.36. Схема к задаче 2.3 Р е ш е н и е Пока балки работают упруго, имеем 4 1 12М Ea  или 312 a М Ea  , и между кривизной и моментом существует линейная зависимость, которая сохраняется до тех пор, пока максимальное напряжение не достигнет предела текучести т . Это произойдет при а б 126 т max4 12М y a   или т3 max 1 12 М a E yEa  . Соответственно по каждому из сечений получаем I. 43 33,3 10 М Ea   ; II. 43 2,36 10 М Ea   ; III. 43 2,92 10 М Ea   . При изгибающем моменте, большем указанного, в поперечном се- чении бруса следует рассматривать две зоны – упругую (0 )y y  и пластическую ò max( )y y y  (рис. 2.37). Рис. 2.37. Схема к задаче 2.3 Изгибающий момент в сечении определится следующим выра- жением: maxт т т 0 2 d 2 d yy y M yb y M yb y      . 127 Относительное удлинение yе   . В упругой зоне имеем yE   , а на границе зон ттy E   . Таким образом, max2 3 4 3 0 2 2d d yE E М a by y by y EEa a a             . Для каждого из сечений после интегрирования получаем I. 3 2т 3 3 2 1 1 4 3 М EEa E a     ; II. 3 2 4 3 3 3 2 4 3 2 2 1 6 3 3 М EEa E a E a          ; III. 3 2 2 44 3 1 1arcsin (3 ) (5 2 ) 1 3 6 6 М a E E aEa                    . 128 Кривые 3 M af Ea      показаны на рис. 2.38. Рис. 2.38. Схема к задаче 2.3 В каждом случае момент М = af     при a  имеет предель- ное значение (так называемый момент пластического шарнира). Им определяется предельная нагрузка для балки. Соответственно каждому из сечений при 0,002 E   получаем: I. пр3 0,0005 М Ea  ; II. пр3 0,000471 М Ea  ; III. пр3 0,000497 М Ea  . 129 Если бы сечения не были симметричными относительно гори- зонтальной оси, то решение значительно усложнялось. В этом слу- чае было бы необходимо предварительно определить положение нейтральной оси из условия d 0 F F  . З а д а ч а 2.4 Цилиндр с внутренним диаметром d1 и внешним d2 нагружен давлением, равномерно распределенным: а) по торцам; б) внутренней и внешней поверхностям; в) всей поверхности (рис. 2.39). Рис. 2.39. Схема к задаче 2.4 Определить изменение внутреннего диаметра и изменение объе- ма внутренней полости в каждом из указанных случаев нагружения. Р е ш е н и е а). В случае, представленном на рис. 2.39, а, диаметр увеличи- вается на 1pdE  , объем уменьшается на 1 2 V E   . б). В случае, представленном на рис. 2.39, б, диаметр уменьша- ется на 11 pdE  , объем уменьшается на 1 22 V E   . а б в 130 в). В случае, представленном на рис. 2.39, в, диаметр уменьшает- ся на 11 2 pdE   , объем уменьшается на 1 23 V E   , где V – началь- ный объём внутренней полости. З а д а ч а 2.5 Пластинка закреплена и нагружена так, как показано на рис. 2.40. Определить критическую силу для пластинки в двух случаях: 1) сила направлена вниз; 2) сила направлена вверх. Жесткость на изгиб средней части равна сумме жесткостей край- них частей. Рис. 2.40. Схема к задаче 2.5 Р е ш е н и е Рассмотрим контур изогнутой пластинки (рис. 2.41). 131 Рис. 2.41. Схема к задаче 2.5 Дифференциальные уравнения упругой линии для первой и вто- рой частей пластинки при силе Р, направленной вниз: / / 1 1 0EJy Py  ; / / 2 2 0EJy Py  . Обозначая 2P EJ   , получаем / / 2 1 1 0y y   ; / / 2 2 0y Py  , откуда 1 1 1sin cosy A x B x    , 2 1 2sh chy A x B x    . 132 Постоянные определяются из следующих условий: 1) при 10 0x y  , 2) при 1 2x l y y  , 3) при 1 2x l y y  , 4) при 20 0x y  . Из первого и последнего условий получаем 1 2 0B A  , из второго и третьего – 1 2sin chA l B l   , 1 2cos chA l B l   , откуда следует, что tg th 1l l   или кр 2 0,880,938; EJl P l    . Если сила Р направлена вверх, знак при 2 меняется на обрат- ный и трансцендентное уравнение принимает вид tg ( ) th ( ) 1i l i l   . Но thtg li l i    , а th tgi l i l   . Поэтому имеем tg th 1l l    , откуда кр 2 5,532,35, EJl P l    . 133 З а д а ч а 2.6 В трубку вставлен с зазором длинный болт (рис. 2.42). Определить силу затяжки болта Р, при которой система потеряет устойчивость. Размеры трубки таковы, что ее следует рассматривать как длинный стержень, а не как оболочку. Жесткость трубки на изгиб 1 1E J . Жест- кость болта 2 2E J . Рис. 2.42. Схема к задаче 2.6 Р е ш е н и е Снимем мысленно гайку с болта и рассмотрим силы, действую- щие на болт и трубку. На рис. 2.43 показаны оси болта и трубки по- сле потери устойчивости, а также внутренние силовые факторы ,P Q и 0M . Очевидно, для трубки изг 1 0M Py Qx M   , для болта изг 2 0M Py Qx M    . Рис. 2.43. Схема к задаче 2.6 134 Дифференциальные уравнения упругих линий трубки и болта будут следующими: 1 1 1 1 0E J y Py Qx M   ; 2 2 2 2 0E J y Py Qx M     . Обозначим 2 1 1 1 ;P E J   2 2 2 2 P E J   и тогда имеем 2 2 20 1 1 1 1 1 MQy y x P P       ; 2 2 20 2 2 2 2 2 MQy y x P P         . Решая эти уравнения, получим 0 1 1 1 1 1sin cos MQy A x B x x P P       ; 0 2 2 2 2 2sin ch MQy A x B x x P P       . Последние два слагаемых обоих выражений представляют собой частные решения уравнений. Постоянные величины 1 1 2 2, , , ,A B A B Q и 0M определяются из следующих условий: при 0x  1 2 1 20, 0,y y y y    ; 135 при x l 1 2 1 20, 0,y y y y    . Из первых трех условий находим 0 1 2 MB B P    ; 1 2 1 2 .A A   Последние три условия дают 0 1 1 1 1sin cos 0 MQA l B l l P P       ; 0 2 2 2sh (1 ch ) 0 MQA l l l P P       , 1 1 1 2 1 1 2 2(cos ch ) ( sin sh ) 0 MA l l l l P            . Приравнивая нулю определитель системы, получаем 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 2 2 sin 1 cos sh 1 ch (cos ch ) 0 sin sh l l l l l l l l l l                 = 0, откуда 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1(ch cos 1) ( )sh sinlz z z x z z x z   , где 1 1 2 2,z l z l    . 136 При заданном отношении жесткостей 2z можно выразить че- рез 1z , а затем, решая трансцендентное уравнение, определить кри- тическую силу затяжки P . В частности, при 1 1 2 2E J E J EJ  имеем 1 2 ,z z z  и тогда ch cos 1z z  , откуда 4,73z  , 2 кр 2 2 22,4z EJ EJP l l   . З а д а ч а 2.7 По мере натяжения струны частота ее колебаний увеличивается (тон повышается). Исследовать, как будет изменяться частота колебаний резиновой нити по мере ее натяжения в двух случаях закрепления, показанных на рис. 2.44. Диаграмма растяжения нити задана (рис. 2.45). Рис. 2.44. К задаче 2.7 Рис. 2.45. К задаче 2.7 Р е ш е н и е Частота колебаний струны в основном тоне определяется, как известно, формулой а б 137 1 2 T ml   , где Т – сила натяжения струны; m – ее масса; l – длина. В первом случае закрепления по мере увеличения силы натяжения изменяется масса колеблющейся струны при неизменной длине l0, причем эта масса, очевидно, будет 0 0 0 lm l l  , где m0 – масса ненатянутой струны, имеющей длину l0. Таким образом, получаем 0 1 02 0 00 0 1 1 1( ) 2 2 lT lT l l m lm l         ; 1 0 0 0 2 1 lv m l T l      . Во втором случае находим 2 0 0 1 2 ( ) T m l l     ; 2 0 0 0 2 1 Tv m l l l   . 138 В обоих случаях 0 l l  задается диаграммой на рис. 2.45 как функ- ция силы натяжения, поэтому легко определяется зависимость 1v и 2v от Т. На рис. 2.46 показана искомая зависимость. Рис. 2.46. К задаче 2.7 Таким образом, видно, что при первом способе натягивания час- тота колебаний нити с натяжением возрастает. Во втором случае при возрастающем усилии частота может уменьшиться. На опыте это явление хорошо наблюдается. Нужно только учесть, что не вся- кая резина обладает диаграммой растяжения того типа, что и рас- смотренная. 139 3. МЕХАНИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ИСПОЛНИТЕЛЬНО-УСИЛИТЕЛЬНЫЕ ПОДСИСТЕМЫ 3.1. Гидравлические и пневматические приводы Основным элементом исполнительных органов, работа которых основана на использовании находящейся под давлением жидкости или сжатого воздуха, является силовой гидро(пневмо)цилиндр, пред- ставленный на рис. 3.1. В цилиндре под действием напора жидкости (воздуха), поступающей от источника, в котором она содержится под давлением, происходит перемещение поршня. Рис. 3.1. Силовой гидро(пневмо)цилиндр Чтобы обеспечить непрерывное управление (с обратной связью) силового цилиндра, используют исполнительный клапан. На рис. 3.2 показана система управления, составленная из исполнительного (управляющего) клапана и силового гидро(пневмо)цилиндра. Рис. 3.2. Исполнительный (управляющий) клапан и гидро(пневмо)цилиндр 140 Пневмоприводы имеют низкие жесткостные характеристики и ограниченные возможности для программирования по сравнению с гидроприводами. Гидроприводы по сравнению с электроприводами обеспечивают более высокие значения рабочих параметров МС, однако имеют большие эксплуатационные расходы. Начиная с 1980 г. использова- ние превмо- и гидроприводов в мехатронных системах снижается, а электроприводов – растет (рис. 3.3). Рис. 3.3. Использование механических и электрических приводов в мехатронных системах: Δ – гидро-; □ – пневмо-; * – электроприводы Тем не менее пневмо- и гидроприводы достаточно широко ис- пользуются в различных мехатронных системах, что обусловлено появлением жидкостей с новыми реологическими свойствами и их применением. При непрерывном управлении с обратной связью датчик пре- образует координаты положения силового цилиндра в электрические сигналы, которые сравниваются с заданной величиной (уставкой). Разность между величиной электрического сигнала и заданной (тре- буемой) величиной определяет силу тока, который поступает на вход моментного двигателя, определяющего положение поршня (золотни- 141 ка) управляющего клапана. При сдвинутом влево золотнике клапана жидкость поступает в силовой цилиндр через канал В и перемещает поршень вправо. Если золотник управляющего клапана находится справа, жидкость протекает по каналу А и перемещает поршень си- лового цилиндра влево. Несмотря на свои небольшие размеры, гид- равлические и пневматические приводы позволяют развивать боль- шие усилия. Однако они требуют создания специальных источников, из которых должна поступать жидкость высокого давления или сжа- тый газ. При использовании гидропривода могут возникнуть пробле- мы, связанные с защитой окружающего пространства от загрязнений, что обусловлено возможной утечкой гидравлической жидкости. При использовании пневмопривода такой проблемы не возникает. Однако из-за сжимаемости воздуха возникают трудности, связанные с управ- лением точностью функционирования. 3.1.1. Гидроцилиндры. Модуль объемной упругости реальной жидкости Типовые схемы исполнения гидроцилиндров с двусторонним штоком показаны на рис. 3.4, а, с односторонним – на рис. 3.4, б, дифференциального действия, при котором в схеме управления ис- пользуется разность площадей F поршневой и F1 штоковой полос- тей гидроцилиндра, – на рис. 3.4, в и плунжерного – на рис. 3.4, г. Рис. 3.4. Типовые схемы исполнения гидроцилиндров При использовании гидроцилиндров в качестве силовых двига- телей в следящем приводе представляют интерес такие параметры, как сила, развиваемая цилиндром, скорость перемещения, количе- ство перетекания масла (утечек) между полостями цилиндра, поте- ри холостого хода, жесткость, передаточная функция, энергетиче- ские показатели. а б в г 142 Сила, развиваемая на поршне цилиндра, при подводе жидкости под давлением в одну из полостей цилиндра с двусторонним што- ком и соединении второй со сливом (с нулевым избыточным давле- нием) определяется уравнением 2 2п штп п ( ) 4 D dR Fp p   , где рп – подводимое в полость цилиндра давление, кгс/см2; Dп – диаметр поршня, см; dшт – диаметр штока, см. При подводе в каждую из полостей цилиндра давлений, разность которых составляет р = р1 – р2, сила на поршне цилиндра определится из выражения 2 2п шт( ) 4 D d R Fp p    . Коэффициент усиления по нагрузке определится по формуле R RK F p   . Аналогичные зависимости могут быть получены для цилиндров других типов. Скорость перемещения поршня цилиндра в квазистатике (при ус- тановившемся движении) определяется по уравнению Qu F  , где Q – расход масла, подводимого в полость цилиндра или отво- димого из нее, см3/с; F – рабочая площадь поршня в полости цилиндра, к которой подводится масло, см2. 143 Коэффициент усиления по скорости 1 u uK Q F   . Утечки жидкости (перетекание) между полостями цилиндра за- висят от величины зазоров между поршнем и стенками цилиндра, в замках поршневых колец, от неплотности прилегания поршневых колец к гильзе цилиндра, а также от разности давлений в полостях цилиндра. Обычно полагают, что утечки жидкости Qут между полостями цилиндра имеют ламинарный характер течения и поэтому пропор- циональны перепаду давления, т. е. ут утQ C р , где Сут – коэффициент утечек, см5/с·кг, определяющий величину утечки в см3/с при перепаде давления 1 кгс/см2, зависящий от раз- меров зазоров в элементах уплотнения поршня. Потери давления на перемещение поршня цилиндра на холостом ходу (без нагрузки) должны быть как можно меньше для обеспе- чения высокой чувствительности следящего привода и плавности движения. Эти потери определяются силами трения в уплотнениях поршня и штока и зависят от качества сборки цилиндра. Для цилиндров меньших размеров требуется больший перепад давления для пре- одоления силы холостого хода. В среднем можно положить, что для цилиндров с диаметром порш- ня 90–180 мм давление масла, необходимое для перемещения поршня со штоком в обоих направлениях, не должно превышать 2 кгс/см2. Жесткость гидроцилиндра как силового двигателя, восприни- мающего внешние нагрузки при рациональной конструкции, опре- деляется главным образом сжимаемостью жидкости, наполняющей его полости. Количественное содержание свободного воздуха в жидкости ра- ботающего гидропривода зависит от герметичности гидросистемы, возможности возникновения в магистралях гидросистемы давления ниже атмосферного, от конструкции маслобака, обеспечивающего 144 разделение воздуха и масла до поступления последнего в полость всасывания насоса, от количества воздуха, растворенного в масле, часть которого выделяется при дросселировании в рабочих щелях золотника и предохранительного клапана и других факторов. Расчет изотермического модуля объемной упругости двухфазной (масло с нерастворенным воздухом) жидкости можно произвести следующим образом. Объем Vcм двухфазной жидкости состоит из объема масла Vж и объема нерастворенного воздуха Vв. Таким образом Vcм = Vж + Vв. (3.1) Принимая в0 0в V pV p  , где в0V – объем воздуха в смеси при давлении р0, и дифференцируя уравнение (3.1) по р, получим см ж в0 0 2 d d d d V V V p p p p   . (3.2) Модуль упругости масла, выраженный в дифференциальной форме, определяется соотношением ж ж d d pE V   или ж ж ж d d V V p E   . Аналогично в приращениях для жидкостно-воздушной смеси в дифференциальной форме см см cм d d V V p E   , где Есм – модуль упругости жидкостно-воздушной смеси. 145 Подставляя значения жd d V p и смd d V p в уравнение (3.2) и решая его относительно Есм, находим 0 смсм ж в 0 ж ж 2 VЕ Е V p V Е p   . (3.3) Подстановка в последнее выражение значений Vсм, Vв с учетом, что 0ж ж0 ж 1 p pV V Е      ( ж0V – объем масла при давлении р0), окончательно получаем ж0 0 0 в0 жсм ж ж0 0 0ж 2в0 ж0 1 1 V р р р V Е рЕ Е V р р рЕ V Е р           . (3.4) Учитывая, что изменение объема жидкости при изменении дав- ления невелико, можем положить ж ж0V V . Тогда выражение (3.4) приобретает вид ж0 0 в0см ж ж0 0ж 2в0 V р V рЕ Е V рЕ V р    . (3.5) Полагая, что изменение от давления объемов Vж и Vв мало изме- няет общий объем смеси Vсм, в выражении (3.3) можно предполо- жить, что см см0 ж0 в0V V V V   и ж ж0V V . 146 Тогда упрощенное значение для модуля упругости жидкостно- воздушной смеси определится следующим образом: ж0 в0см ж ж0 0ж 2в0 1V VЕ Е V pЕ V p    . Сопоставление расчетных данных, полученных по формуле (3.3), с экспериментальными, показывает хорошее их совпадение. 3.1.2. Статическая и динамическая жесткости цилиндра Статическая жесткость стcC цилиндра с рабочей площадью поршня F и с объемом масла в сжимаемой полости W может быть определена как отношение статической нагрузки R к вызываемому ею смещению t поршня цилиндра: стц RС t   , где R = pF (р – давление масла, необходимое для уравновешивания этой нагрузки); Wl F   ( ц WW Е  = – уменьшение объема масла в полости ци- линдра). Таким образом, статическая жесткость цилиндра ст 2 цц F EС W  , где Ец – приведенный модуль упругости стенок цилиндра и на- ходящегося в нем масла, кгс/см2. Динамическая жесткость Сц цилиндра. При динамическом на- гружении в режиме автоколебаний поршня цилиндра, находящегося посередине длины Н хода и имеющего равные рабочие площади F при реверсировании, когда давления р1 и р2 по обе стороны от поршня при 147 управлении от дроссельного четырехщелевого золотника колеблются относительно среднего значения 1 2и2 2 2 2 п пp р p рp p      , же- сткость цилиндра имеет вид цц 4FERС l Н  , т. е. равна четырехкратной жесткости такого же цилиндра в конце хода, включенного в общую схему подачи и нагруженного ста- тической силой. Приведенные выше данные о влиянии свободного воздуха на мо- дуль объемной упругости масла следует учитывать в конкретных условиях анализа жесткости цилиндра. П р и м е р Смещение l поршня цилиндра с длиной полости L = 50 см, на- гружаемого силой R, эквивалентной давлению р = 32 кгс/см2, составит: при учете постоянного значения модуля упругости Ец = = 1,6·104 кгс/см2 4см 50 30 0,1 см 1 мм 1,6 10 pLWl F Е        , а при учете переменного значения, согласно формуле (3.5), и содержа- нии свободного воздуха при атмосферном давлении (р0 = 1 кгс/см2) в количестве 1 % 0 0 ж0 0ж 2см в0ж0ж в0 d d , 1 p p p p L L V pl p Е p E VV pE V              что после интегрирования и подстановки числовых значений дает 0,6 см 6 ммl   . Полученные результаты отличаются в шесть раз. 148 3.1.3. Передаточная функция гидроцилиндра Передаточная функция представляет собой отношение ц ц ( )( ) ( ) z pW p Q p  , где z(р) и Q(р) – изображения по Лапласу соответственно пере- мещения штока цилиндра и расхода жидкости на входе в цилиндр. Для составления передаточной функции необходимо вывести уравнение движения цилиндра. В качестве расчетной примем схе- му, показанную на рис. 3.4, а. Нагрузкой служат приведенные к оси штока цилиндра масса m рабочего органа, поршня, штока, жидкости и силы Т сухого и вязкого трения с коэффициентом f. Тогда уравнение сил zpF mz T fz z     и уравнение расхода жидкости имеет вид ц п ут дцQ Q Q Q   , (3.6) где Qп = Fz – расход, идущий на перемещение цилиндра; ут утQ k p – расход, идущий на утечки в уплотнениях поршня; цдц d( ) d W Q t  – расход, идущий на компенсацию деформации цW жидкости и стенок цилиндра при среднем положении поршня цилиндра. цц ц ц ; 2 W p W Е HFW      . 149 Суммарный модуль упругости Ец масла и стенок цилиндра пола- гаем постоянным. Тогда цдц ц Кd( ) d 2 d 2 d HF p pQ Е t t   , при изменении давлений р1 и р2 коэффициент упругости стенок ци- линдра и находящегося в нем масла ц ц К 2 HF E  . С учетом входящих величин уравнение (3.6) расходов запишется в виде цц ут КК 2 Q Fz p p   . 3.2. Электроприводы постоянного и переменного тока К преимуществам электропривода (ЭП) можно отнести то, что для него источником энергии служит сеть постоянного или переменного тока, отсутствует необходимость в использовании трубопроводов, а также проблемы загрязнения окружающей среды. Основным элемен- том электропривода обычно является электродвигатель постоянного тока, на выходе которого крутящий момент пропорционален силе тока на входе. В таком электродвигателе подача тока к ротору осуществля- ется через щетки, которые можно легко повредить, и поэтому они тре- буют должного внимания при обслуживании. По типу применяемых в ЭП двигателей различают ЭП постоян- ного и переменного тока, шаговые и на основе бесконтактных дви- гателей постоянного тока. ЭП переменного тока создаются на базе асинхронных двигате- лей с частотным управлением. ЭП на базе шаговых двигателей обладают тем достоинством, что они не имеют дорогостоящих датчиков обратной связи и позволяют получать приемлемые характеристики в разомкнутом контуре. 150 ЭП на базе бесконтактных двигателей постоянного тока целе- сообразно применять в сложных условиях окружающей среды и для достижения больших ресурсов привода. Наиболее широкое распространение двигатели постоянного тока получили в силу того, что они обладают хорошими свойствами в отношении регулирования (управления), а также массы и габаритов. На выходе электродвигателя крутящий момент пропорционален силе на входе. Конструктивно ЭП состоит из электродвигателя, механической передачи (редуктор), сенсоров в виде датчиков скорости и блока позиционирования, который может включать ограничители (скоро- сти) и усилители (мощности). Обычно ЭП с датчиком скорости (тахогенератор) и механическая часть (редуктор) с датчиком положения на выходном валу состав- ляют электромеханический модуль (ЭММ) мехатронной системы. Важное значение играет механическая передача, соединяющая двигатель с нагрузкой и определяющая рабочие характеристики и конструкцию ЭММ. В качестве механических передач могут быть использованы: зубчатые, червячные, зубчато-реечные, шарико-винтовые, волновые редукторы и др. Редуктор ЭММ должен обладать высоким КПД, реверсом (обра- тимость хода), достаточной жесткостью конструкции, малой инер- ционностью вращающихся частей, малой величиной люфта (зазо- ра) выходного вала. Наличие люфта в редукторе является причиной возникновения автоколебаний, роста повреждений, разрушения, а также снижения точности позиционирования. В процессе проектирования зубчатой передачи необходимо вы- брать такую конструкцию и материал редуктора, при которых люф- ты имеют наименьшее значение. Жесткость (упругость) механической передачи в следящем при- воде также оказывает большое влияние на его работоспособность. Она также может явиться причиной возникновения в редукторе не- затухающих колебаний и приводить к его разрушению. Уравнение, описывающее зависимость угла поворота Q выход- ного вала от нагрузки, имеет вид 151 2 двн н р н р2 р d d ( ) dd QQ QJ D C Q M t C t ut     , (3.7) где Qдв – угол поворота вала электродвигателя; двр р Q C Q u      – упругий момент; Ср – крутильная жесткость; up – передаточное отношение редуктора; Dн – постоянная скоростного трения нагрузки. Из (3.7) видно, что чем больше Ср, тем выше возможность появ- ления незатухающих н 0D  (слабозатухающих н 0D  ) колебаний. Учет момента трения Dн редуктора особенно важен для следящих систем, работающих на малую статическую или чисто инерцион- ную нагрузку, так как именно он существенно влияет на точность следящего привода в режиме малых скоростей. Эквивалентный момент двигателя определяется по формуле 22 2мр max рн нэ дв р2р р р 2 M uM JM J J u u u                       . (3.8) Здесь Mн – момент нагрузки; Mтр – момент сухого трения на валу двигателя; up – передаточное число редуктора;  – КПД редуктора; нJ – момент инерции нагрузки; двJ – момент инерции якоря двигателя; рJ – момент инерции редуктора; max – максимальное ускорение на валу нагрузки. Из формулы (3.8) видно, что при минимальной нагрузке сущест- венное влияние на работу следящей системы оказывает момент су- хого трения (момент трогания вала) механической передачи. Наря- ду с использованием в электроприводах механических передач (ци- линдрических, конических, планетарных) широкое распространение 152 получают волновые зубчатые передачи (ВЗП), что объясняется их лучшими массогабаритными характеристиками и малой величиной люфта. Кинематика ВЗП исключает импульсные удары по поверх- ностям зубьев. Электромеханические передачи широко используются в различ- ных следящих системах, применяемых в мехатронных системах. 3.3. Математическая модель типового электрогидравлического преобразователя Блок-схема электрогидравлического преобразователя (ЭГД) уси- лителя показана на рис. 3.5. Входом электромеханического преобра- зователя (ЭМП) является ток управления I, выходом – перемещение h заслонки. Для двухкаскадного гидроусилителя сопло-заслонка-зо- лотник соответственно будут: входом – перемещение заслонки h и выходом – перемещение золотника х. Расход q и перепад давления р во внешней цепи золотника зависят от подсоединенной нагрузки и поэтому обычно относятся к параметрам привода. Между гидроуси- лителем и ЭМП существует обратная связь от действия на заслонку гидродинамических сил при истечении из сопл струй. Уравнение движения и структурная схема преобразователя-усилителя могут быть получены из совокупности уравнений входящих элементов. Рис. 3.5. Блок-схема электрогидравлического преобразователя-усилителя Статическая характеристика. Составим статическую характе- ристику х(I) при Qд = 0 и допущениях о линейности зависимостей между основными параметрами преобразователя, что не вносит значительных погрешностей для рабочей зоны (пренебрежение тре- нием золотника допустимо в связи с использованием при работе преобразователей осцилляции). Условие равновесия сил на заслонке Fд = Fп + Fp, (3.9) 153 где F = KFII – сила тяги ЭМП, приведенная к оси сопла; KFI – коэффициент усиления по силе тяги ЭМП; Fп = Cэмпh – сила, развиваемая пружинным элементом заслонки и якоря, приведенная к оси сопл; Сэмп – коэффициент жесткости этого элемента; Fp= 2 д д4 c с d p S p  – сила воздействия двух струй на заслонку. Взаимозависимость между параметрами h, рд и х устанавливают регулировочная характеристика гидроусилителя сопло-заслонка и условие равновесия сил, действующих на золотник: Fpд = Fпр + Fгд, (3.10) где Fpд – сила от перепада давления рд по торцам золотника с пло- щадью Sз = 2 3 4 d ; Fпр = Спрх – сила, развиваемая пружинами с жесткостью Спр по торцам золотника; Fгд = Сгдх – сила, развиваемая осевой гидродинамической силой, вызываемой реактивным действием потока жидкости, проходящим через рабочие щели золотника с жесткостью Сгд. Таким образом, уравнение (3.10) примет вид pдSз = (Спр + Сгд)х. (3.11) По этому уравнению можно определить жесткость пружины Спр, исходя из максимальных перепада давления рд mах и хода золотни- ка хmах. Совместное решение уравнений (3.9) и (3.11) позволяет оп- ределить статическую характеристику преобразователя: з эмп сз пр гд( )( ) FJ phK K Sх I C С С С   , где 2 д cз 4 c pdC h  – жесткость гидравлической пружины заслонки. 154 Введем обозначение з эгп эмп сз пр гд( )( ) FI phK K S K C С С С   . Тогда эгпx K I , где Kэгп – статический коэффициент усиления электрогидравличес- кого преобразователя-усилителя. Динамические характеристики. Для анализа динамики ЭГД не- обходимо составить систему уравнений, описывающих движение вхо- дящих в его состав элементов: ЭМП, гидравлического усилителя сопло-заслонка и золотника. Вывод уравнений произведем с допу- щениями, оговоренными выше при выводе статической характери- стики, пренебрегая в связи с относительной малостью массой золот- ника и утечками по золотнику. Тогда уравнение изменения силы F тяги ЭМП, приведенной к оси сопл от тока I в катушках ЭМП с уче- том их индуктивности LK, сопротивления RK и внутреннего сопро- тивления управляющего усилителя Ry, составит y d d K FI K L FK I F R R t    . (3.12) Уравнение сил, действующих на якорь ЭМП и заслонку, приве- денных к оси заслонки: F = Fп + Fр + Fия + Fвт, (3.13) где Fп и Fp – соответственно силы, развиваемые пружинным эле- ментом заделки заслонки и якоря, и сила воздействия двух струй, определяемые соотношением (3.9); 2 ия 2 d d hF m t  – сила инерции массы якоря, заслонки и жидкости, приведенная к оси сопл; вт d d hF f t  – сила вязкого демпфирования якоря и заслонки. 155 С учетом значений входящих величин уравнение (3.13) приобре- тает вид 2 эмп с д 2 d d dd h hF C h S p m f tt     . (3.14) Уравнение расходов в диагонали моста усилителя сопло-заслонка д дмхQ Q Q  , (3.15) где Qд – расход, поступающий в диагональ моста, для обобщенной статической характеристики гидроусилителя сопло-заслонка; d dx xQ S t  – расход, идущий на перемещение золотника; ддм d 2 d pVQ E t   – расход, идущий на компенсацию деформации объема жидкости в камере за торцом золотника и магистрали, иду- щей от балансного дросселя к сопло-заслонке при приведенном зна- чении объемного модуля упругости Е. С учетом значений входящих величин уравнение (3.15) приобре- тает вид дд з dd d 2 dQh Qp px VK h K p S t E t    . (3.16) Уравнение сил, действующих на золотник, определяется выраже- нием (3.11): РдSз = (Спр + Сгд) х. (3.17) Преобразуем полученную систему уравнений (3.12), (3.14), (3.16) и (3.17) по Лапласу при нулевых начальных условиях. Изложим подробнее порядок преобразования уравнения (3.12), в котором эK K y L T R R  и FIK – известные постоянные; ( )I t – известная заданная функция на входе преобразователя (на- пример, гармоническая или типа единичного скачка); F(t) – неизвестная функция времени на выходе преобразователя; I(0) = I(0) = I(0) = 0 – начальные значения входной величины. 156 Применим прямое преобразование Лапласа к обеим частям урав- нения (3.12). Обозначим изображение функции I(t) как I(р), т. е. примем L[I(t)] = I(р). Тогда    ( ) ( ) ( )FI FI FIL K L t K L I t K I р  . Обозначим изображение функции L[F(t)] = F(р), тогда  э эd dd d F FL T F T L L F t t             , где d ( ) (0) ( ) d FL рF р F рF р t        . Подставляя полученные изображения в исходное уравнение, по- лучаем KFII(р) = TэрF(р) + F(р). Последнее уравнение позволяет получить передаточную функ- цию W1 по току и силе тяги ЭМП: 1 э ( )( ) ( ) 1 FIF р KW р I р T р   . Подобно изложенному преобразуем по Лапласу остальные урав- нения электрогидравлического усилителя, в результате чего полу- чаем следующую систему уравнений в изображениях: э 2 2д эмп эмп эмп эмп эмп гу д ( ) ( ); 1 1 2( ) ( ) ( 2 1) ( ); ( ) ( 1) ( ); ( ) ( ), FI ph xp d KF р I р T р F р p р T р T s h р C C K h р T р p р K p р x р            , (3.18) 157 где эмп эмп mT C – электромеханическая постоянная ЭМП; эмп эмп ; 2 f mC   з xp пр гд SK С С  . Структурная схема электрогидравлического преобразователя, соответствующая системе уравнений (3.18), показана на рис. 3.6. Рис. 3.6. Структурная схема электрогидравлического преобразователя-усилителя Передаточная функция составит 1 2 3 4эгп 2 3 oc ( ) ( ) 1 x р W W W WW I р W W W    , (3.19) где 1 4W W передаточные функции (см. рис. 3.6). Подставив значение передаточных функций 1 4W W в выражение (3.19), получим эгпэгп 3 2э 3 2 1( 1)( 1) KW T р A р A р A р     , где Kэгп – коэффициент усиления преобразователя: 158 xp эгп эмп эмп ; 1 FI ph ph c K K K K K SС C      2эмп гу 3 эмп ; 1 ph c T T A K S С   (3.20) 2эмп эмп эмп гу 2 эмп 2 1 ph c T T T A K S С   ; эмп эмп гy 1 эмп 2 1 ph c T T A K S С   . Полученное значение передаточной функции электрогидравли- ческого привода позволяет произвести анализ устойчивости и по- строить переходный процесс работы привода. Основным фактором, влияющим на устойчивость усилителя, является отношение сопря- гаемых частот ЭМП и гидроусилителя, определяемых постоянными времени Tэмп и Tгу; электрическая постоянная Тэ влияет на частотную характеристику преобразователя и переходный процесс. В совре- менных электрогидравлических усилителях постоянные Тэ << Tгу и Tэмп < Тгу. Выполнению первого неравенства способствует переход к применению операционных усилителей с внутренними обратными связями, которые обеспечивают высокие внутренние сопротивления усилителя на входе в ЭМП. В этих условиях передаточная функция электрогидравлического преобразователя обычно описывается зави- симостью, близкой к апериодическому звену, и имеет вид эгпэгп эгп 1 KW Т s  . 159 Из выражения для А1 в уравнении (3.20) эгп гy эмп 1 1 ph c T T K S C   . Для электрогидравлических преобразователей, построенных по схемам, отличающимся от рассмотренной, уравнения движения вы- водятся по приведенной методике. При этом общие закономерности и выводы будут аналогичны изложенным выше. 3.4. Анализ и синтез электрических цепей в мехатронных системах Современные мехатронные системы содержат большое количе- ство электрических цепей, поэтому вопросы их анализа и синтеза имеют важное значение при проектировании и создании мехатрон- ных систем. Различают цепи постоянного и переменного (гармонического) тока. Электрической цепью называют совокупность устройств и объ- ектов, образующих путь для электрического тока, электромагнит- ные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий об электродвижущей силе, токе и напряжении. Каждой реальной электрической цепи соответствует эквивалент- ная cxема. Схемой электрической цепи является графическое изображение электрической цепи, содержащее условные обозначения ее элемен- тов и показывающее их соединение. В схему включают идеализи- рованные элементы, которые являются математической моделью, описывающей физические явления в реальном элементе. Геометрическая конфигурация схемы характеризуется понятия- ми ветвь, узел, контур, граф, дерево графа и т. п. 160 Характеристики понятий геометрической конфигурации схемы Определение топологических элементов электрической схемы Пример схемы Ветвь – участок электрической цепи, вдоль которого протекает один и тот же ток Узел – место соединения ветвей элект- рической цепи ab, bс, bd, ad, cd – ветви a, b, с, d – узлы Контур – любой замкнутый путь, обра- зованный ветвями и узлами Граф – изображение схемы электричес- кой цепи, в котором ветви схемы пред- ставлены отрезками – ветвями (дугами) графа, а узлы – точками (узлами графа) adb, abсd, dbc Дерево – любая совокупность ветвей гра- фа, соединяющих все его узлы без образо- вания контуров 161 Эквивалентные схемы источников энергии в электрических цепях Источник энергии Эквивалентная схема Внешняя вольт- амперная характери- стика Источник ЭДС Е. Характеризуется ЭДС Е и внутренним электрическим со- противлением Rвт втU E IR  втtg U I m R m   Идеальный источник ЭДС Е. Имеет внутреннее сопротивление, рав- ное нулю: Rвт = 0 Напряжение не зависит от тока Идеальный источник тока I. Имеет внутреннее сопротивление, рав- ное бесконечности: Rвт =  Ток не зависит от напряжения 162 Дуальные элементы и схемы Два элемента электрической цепи называют дуальными, если уравнение зависимости напряжения от тока и(i) одного элемента по форме аналогично уравнению зависимости i(u) тока от напряжения другого элемента. При этом устанавливается соответствие между сопротивлением резистора R и проводимостью резистора G, индук- тивностью катушки L и емкостью конденсатора С, источниками ЭДС Е и тока I. Дуальные элементы Дуальные элементы R Ru Ri R Ri G u   d d L L iu L t  d d C C ui C t   1 d t C Cu i tC    1 d t L Li u tL       e t  I t Две планарные электрические схемы называют дуальными, если уравнения, составленные по методу контурных токов для одной схемы, аналогичны уравнениям, составленным по методу узловых потенциалов другой схемы. В этом случае контурная матрица одной схемы совпадает с узловой матрицей другой схемы (и наоборот). Для дуальных схем уравнения, полученные по первому (второ- му) закону Кирхгофа для одной схемы, совпадают с уравнениями, составленными по второму (первому) закону Кирхгофа для другой схемы. 163 Дуальные схемы   d 1 d ; d tie t Ri L i t t C        ke t u  (закон Кирхгофа)   d 1 d ; d tuJ t G u C u t t L          ki t i  (первый закон Кирхгофа) Алгоритм графического построения дуальной планарной схемы 1. Задаются положительными направлениями контурных токов независимых контуров. 2. Внутри каждого независимого контура, а также вне схемы на- носят точки, соответствующие узлам дуальной схемы. 3. Полученные точки соединяют линиями (ветви дуальной схе- мы). Каждая линия пересекает один элемент смежной ветви. 4. Пересеченные элементы заменяют дуальными элементами, включенными между узлами дуальной схемы. Если направление ЭДС совпадает с положительным направлени- ем контурного тока, то дуальный источник тока направлен к узлу, находящемуся в этом контуре, и численно равен величине ЭДС. 164 Дуальные элементы численно равны между собой (пропорцио- нальны). 3.4.1. Электрические схемы постоянного тока Рассмотрим схемы, составленные из источников постоянных ЭДС, резисторов и идеальных конденсаторов. В идеальных конденсато- рах сопротивление между обкладками практически равно бесконеч- ности, и поэтому в установившемся режиме эти элементы препятст- вуют прохождению постоянного тока. В таком режиме при постоянных ЭДС напряжения и заряды на конденсаторах распределяются в зависимости от величин их емко- стей. Формально можно провести аналогию между величинами и законами, характеризующими схемы постоянного тока и электро- статические схемы. Схема постоян- ного тока, пара- метры и законы Электростатиче- ская схема, пара- метры и законы Схема постоян- ного тока, пара- метры и законы Электростатичес- кая схема, пара- метры и законы 1 d t С Cu i tC    1 d t L Li u tL     Первый закон Кирхгофа 0kI  Закон сохранения заряда 0kQ  Закон Ома I GU Закон Ома I CU Второй закон Кирхгофа E RI   Второй закон Кирхгофа 1 E Q C    165 Вид соединения (преобразования) Схема постоянного тока Электростатическая схема Последователь- ное соединение эк 1 2 3R R R R   1 2 3I I I I   1 2 3U U U U   эк 1 2 31/ 1/ 1/ 1/C C C C   1 2 3Q Q Q Q   1 2 3U U U U   1 1 2 2;U R I U R I  1 2Q Q Параллельное соединение  эк 1 2 1 2R R R R R  2 1 1 2 1 2 1 2 ;R RI I I I R R R R    эк 1 2 1 1;С С С Q C U   2 2Q C U 166 3.4.2. Электрические схемы переменного (гармонического) тока Гармоническим током называют переменный периодический ток, изменяющийся во времени по синусоидальному (косинусоидальному закону). Мгновенное значение гармонического тока    sin cos 90m mi I t I t          . Основные величины Обозначение и размерность 1 2 Амплитуда гармонического тока (напряжения, ЭДС) – максимальное значение функции , ,m m mI U E      , ,m m mI A U B E B   Период – время, за которое соверша- ется одно полное колебание   1, cT T  Частота – число периодов в секунду  1/ , Гцf T f  Угловая частота – скорость изме- нения фазы тока (ЭДС напряжения)   12 , cf      . При f = 50 Гц ω = 314 с–1 Фаза – аргумент синусоидального (косинусоидального) тока, отсчиты- ваемый от точки перехода тока че- рез нуль (максимум) к положитель- ному значению  , радt t       Начальная фаза – значение гармо- нически изменяющейся величины в начальный момент времени t = 0  , рад   167 1 2 Среднее значение гармонически из- меняющегося тока (напряжения, ЭДС) – значение, соответствующее положительной полуволне /2 ср 0 2 2sin d T T m mI I t t I    ср AI    cр ср 2 2;m mU U E E   ср ср,U B E В        Действующее значение гармонически изменяющегося тока (напряжения, ЭДС) – среднеквадратическое значе- ние электрического тока за период  2 0 1 d T I i t t T   2 2 0 1 sin d 2 T mII I m t t T    / 2mU U / 2mE E Коэффициент амплитуды – отноше- ние максимального (амплитудного) значения тока (напряжения, ЭДС) к действующему значению / 2a mK I I  Коэффициент формы – отношение действующего значения тока (напря- жения, ЭДС) к среднему значению ф ср/ / 2 2 1,11K I I    168 3.4.3. Комплексный метод расчета линейных электрических схем Расчет линейных электрических схем гармонического тока в уста- новившемся режиме аналогичен расчету электрических схем посто- янного тока. В обоих случаях составляют систему алгебраических уравнений по методам, основанным на законах Ома и Кирхгофа. Для схем постоянного тока уравнения составляют по действи- тельным значениям напряжений, токов, сопротивлений и проводи- мостей. В схемах же гармонического тока для алгебраизации ин- тегрально-дифференциальных уравнений применяют комплексные (символические) величины: U, I, Z R jX, Y G jB     . При этом все параметры записывают в виде комплексных чисел в алгебраи- ческой, показательной или тригонометрической форме. При пере- ходе от интегрально-дифференциальных уравнений дифференциро- вание мгновенного значения заменяют умножением j на соответ- ствующую комплексную величину, а интегрирование – делением комплексной величины на j : d ω d d ω i Ij I, i t t j    , если  Im sin ωmi I I t    или  Re cos ωmi I I t    . Полученную систему алгебраических уравнений решают относи- тельно неизвестного комплексного параметра, например, тока jI Ie  . При необходимости совершают переход от комплексной величины к ее мгновенному значению. 169 Пассивные элементы в электрических схемах гармонического тока Пассивный элемент Сопротивление току Проводимость тока постоян- ному I гармони- ческому i = Im sin ωt k-й гармо- ники не- гармони- ческого ik = Imk ×  sin kωt постоян- ного I гармони- ческого i = Im sin ωt k-й гармо- ники не- гармони- ческого ik = Imk ×  sin kωt Резистивный R Z = R; φ = 0 Zk = R G = 1/R G  1/R G = 1/R Индуктивный 0 Z = jL = = jXL = = XLe j90; φ = 90 Z = jkL = = jkXL = = kXLe j90; φk = 90  Y = 1/Z = = 1/L = = 1/jXL = = –jBL Yk = 1/Zk = = 1/jkL = = –jBLk Емкостный  Z = 1/jС = = –j/С = = –jХС = = XСe – j90; φ = –90 Zk = = 1/jkC = = –j/kC = = –j CX k = = CеX k – j90; φk = –90 0 Y = 1/Z = = jC = jBC Yk = 1/Zk = = jkC = = jkXC = = –jBCk Пассивный элемент Ток, напряжение, мощность Векторная диаграмма Мощностьпри посто-янном токе мгновенное значение комплексное значение 1 2 3 4 5 6 Резистивный UR = RI uR = Ri; p = UI(1 – – cos2t) RU RI  mR mU RI  * S U I  * S U I  2P I R UI  0Q  170 1 2 3 4 5 6 Индуктивный 0UL  d dL iu L t  p UI   sin 2 t  LU j LI   LjX I  mLU  L mjX I  * S U I   2 LjX I 0 1 d T P p t T   = 0 2 L LQ X I  LU I Емкостный CU Cu  1 dCi tC   p  sin 2UI t  CU  1 j I C     CjX I   CmU  C mjX I   * S U I   2 CjX I  P  0 1 d T p t T   = 0 2 C CQ X I  U IC 171 Соединения и преобразования пассивных элементов в электрических цепях Вид соединения (преобразования) Схема 1 2 Последовательное соединение 1 2 3эк 1 2 3;Z Z Z Z U U U U         Параллельные соединения двух сопротивлений 1 2эк 1 2 Z ZZ Z Z   эк 1 2 1 21 / 1/Y Z Z Y Y    2 1 2 1 1 2 ; ZI I I I I Z Z         ; 1 1 2 2 1 2 ; ZU U U I I Z Z          Параллельное соединение трех сопротивлений 1 2 3 1 2 3;I I I I U U U U             1 1 2 2 3 31 2 3/ ; / ; /I U Z I U Z I U Z        вх 1 2 1 21 / 1 / 1 /Y Z Z Y Y    вх 1 2 3Y Y Y Y   1 2 3вх 1 2 2 3 3 1 Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z    172 1 2 Смешанное соединение сопротивлений 2 3 1вх 1 вх 2 3 ; /Z ZZ Z I U Z Z Z      3 2 2 1 3 1 2 3 2 3 ;Z ZI I I I Z Z Z Z        23 2 3 1 2 1 3;U U U U U U U U             3.5. Примеры решения задач З а д а ч а 3.1 Принципиальное устройство гидравлического двигателя посту- пательного движения показано на рис. 3.7, где 1 – золотник; 2 – ра- бочий цилиндр; 3 – поршень. Гидросмесь под некоторым давлением поступает от насоса в полость I или II рабочего цилиндра и произ- водит перемещение поршня. Управление движением поршня осу- ществляется путем перемещения поршня золотника, который пере- крывает входные отверстия в полости цилиндра I или II. Рис. 3.7. К задаче 3.1 173 Составить дифференциальное уравнение гидравлического двига- теля. При этом внешней нагрузкой и массой поршня пренебречь. Считать, что скорость  прохождения жидкости через отверстие постоянна. Р е ш е н и е Используя условия непрерывности струи жидкости, получим d d yF bx t   , где F – площадь поршня; F d d y t – секундный объем масла, поступившего в полость цилиндра; dy/dt – скорость перемещения поршня; у – перемещение поршня;  – скорость жидкости в сечении ;b x b – ширина отверстия; х – перемещение золотника. Так как const , то dy/dt = kx или 0 d t y k x t  , где / .k vb F З а д а ч а 3.2 Найти передаточную функцию гидравлического исполнительно- го устройства (рис. 3.8, а), применявшегося совместно с центро- бежными измерителями угловой скорости (ЦИС) для регулирова- ния скорости вращения тепловых двигателей. За входную величину принять перемещение х муфты ЦИС 3, а за выходную – перемеще- ние у заслонки или регулирующего органа (РО) теплового двигате- ля (рис. 3.8, б). 174 Рис. 3.8. Гидравлическое исполнительное устройство Р е ш е н и е Гидравлический двигатель (золотник 2 с силовым поршнем 1) вме- сте с изодромом (пружина 5 с демпфером 6) могут находиться в покое только при одном определенном положении рычага 4, когда пружина находится в ненапряженном состоянии и золотник 2 – в среднем по- ложении. При этом муфта 3 ЦИС занимает положение, соответствую- щее заданной угловой скорости Q. При отклонении величины Q от заданной муфта 3 сдвинется, сместит золотник 2 и вся система придет в движение до тех пор, пока скорость Q вновь не станет заданной. 1. Уравнение гидравлического двигателя. Усилия, развиваемые си- ловым поршнем, значительно превосходят силы сопротивления и инерционные силы, поэтому их влиянием можно пренебречь. Тогда, если не учитывать сжимаемость жидкости и считать, что площадь окна, открываемого золотником, пропорциональна его перемеще- нию z, уравнение гидродвигателя будет 1 d d y k z t  или 1py k z , (3.21) где k1 – коэффициент передачи. а б 175 2. Уравнение рычага, связанного с муфтой, изодромом и золотни- ком. Перемещение муфты х указывает перемещение золотника z и си- лового поршня, который перемещает поршень демпфера OCx в сторо- ну, обратную перемещению муфты. Следовательно, имеем уравнение 2 3 OC( )z k x k x  , (3.22) где 2 ak a b  , 3 bk a  – коэффициенты передачи; а, b – длины плеч рычага (см. рис. 3.8). 3. Уравнение цепи обратной связи. В цепь обратной связи входят демпфер 6, пружина 5 и рычаг 4. Составим уравнение равновесия сил: 1 OC 2 OC 3с x c x c y   , (3.23) где 1 OC дс x F – сила демпфера, пропорциональная скорости переме- щения поршня демпфера OCx ; 2 OC пc x F – сила пружины; 3 cc y F – сила, развиваемая силовым поршнем; 1 2 3, ,c с с – постоянные коэффициенты. После преобразования уравнения (3.23) получим OC OC 4( 1)T p x k py  . (3.24) где 1OC 2 сT с – постоянная времени цепи обратной связи; 34 2 сk с – коэффициент передачи. Найдя хОС из (3.22) и подставив в его выражение z из (3.21), по- лучим 2 OC 3 1 3 1kx x py k k k   . (3.25) 176 Подставив (3.25) в (3.24), найдем дифференциальное уравнение гидравлического исполнительного устройства: OC( 1) ( ) ( 1) ( )Tp py t k T p x t   , где OC 1 3 4 ; 1 TT k k k   1 2 1 3 41 k kk k k k   , откуда искомая передаточная функция OC( 1)( ) ( 1) k T pW p p Tp   . З а д а ч а 3.3 Найти передаточную функцию гидравлического демпфера (рис. 3.9), если пренебречь влиянием массы подвижных частей и принять за входную величину силу F, а за выходную – перемещение поршня х. Р е ш е н и е Приложенной силе F будет противостоять демпфирующая сила д 1F c x  , где с1 – коэффициент демпфирования, пропорциональный вязкости жидкости и площади поршня и обратно пропорциональный площа- ди пропускного отверстия. Тогда имеем ,px kF где 11k c и      X p kW p F p p   . 177 Рис. 3.9. Поршень с цилиндром (демпфер) З а д а ч а 3.4 Составить в общем виде дифференциальное уравнение электромаг- нита с пружиной и демпфером (рис. 3.10, а), если за входную вели- чину принять напряжение и, а за выходную – перемещение якоря х и считать известными приведенные к точке А силы пружины Fп, демп- фера Fд, электромагнита Fэ и инерционную силу Fи. Влиянием сил сухого трения пренебречь. Рис. 3.10. Схема к задаче 3.4 а б 178 Р е ш е н и е Выберем начало отсчета, как показано на рис. 3.10, а. Составим уравнение равновесия сил, приведенных к точке А: 1 2 э( , )mx c x c x F i x    (3.26) и уравнение равновесия напряжений d d ( , )( , ) , d d i L iu iR L i i t t     (3.27) где mx = Fи – инерционная сила, пропорциональная ускорению x и приведенной массе подвижных частей m; 1 дc x F – сила демпфера, пропорциональная скорости x и коэф- фициенту демпфирования с1; c2x = Fп – сила пружины, пропорциональная перемещению х и коэффициенту упругости или жесткости пружины с2; Fэ = Fэ(i, x) – сила электромагнита, являющаяся функцией двух переменных; и, i – напряжение и ток обмотки электромагнита; R – активное сопротивление обмотки электромагнита; L = L(δ, i) – индуктивность обмотки электромагнита, зависящая в общем виде от рабочего зазора δ тока и i (при насыщении магни- топровода). Предположим, что всегда остается рабочий зазор 0 0  , причем такой, что справедливо соотношение Fэ(i, x) = c3i2x-2 при 0,   (3.28) где с3 – постоянный коэффициент. Наличие воздушного зазора (δ > δ0) и рабочих (ограниченных) зна- чений тока i исключает насыщение магнитопровода. Поэтому индук- тивность не зависит от тока, а только от перемещения L = L(x). На ос- новании гипотезы малых отклонений будем считать при L = L0 = const, что в окрестности выбранного постоянного значения x = x0. Тогда не- линейное уравнение (3.27) становится линейным: 0 d d iu iR L t   . (3.29) 179 В уравнениях (3.26), (3.28) и (3.29) только член в правой части уравнения (3.26) или его выражение (3.28) являются нелинейными. Линеаризуем его, для чего запишем в виде Fэ (Fг, i, x) = Fэ – c3i2x–2 = 0. Тогда линеаризованное уравнение в малых отклонениях относи- тельно установившегося статического значения имеет вид о э э 0.F F FF i x F i x                        З а д а ч а 3.5 Найти передаточную функцию и дифференциальное уравнение пассивной электрической цепи (рис. 3.11) относительно напряже- ний и1 и и2. Рис. 3.11. Схема к задаче 3.5 Р е ш е н и е Для нахождения передаточных функций электрических цепей, по- добных изображенной на рис. 3.11, удобно пользоваться оператор- ной формой записи сопротивлений; индуктивного – pL, емкостного – 1 pC и активного – R, где p = d dt – символ или оператор дифферен- цирования. Преобразуем электрическую цепь, рис. 3.11, в эквивалентную ей (рис. 3.12), где 180 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1)( ) ;1 1 L c R pC R T p T pZ p pL T pR pC       (3.30) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1)1( ) ; ( 1) L c R L p R T p T pZ p R L p C p p T p      (3.31) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , , ; , , L C L C LT C L T T R C R LT C L T T R C R        . (3.32) Рис. 3.12. Эквивалентная схема Размерность всех постоянных времени (3.32) [Т] = с. Так как падение напряжения на последовательно соединенных сопротивлениях пропорционально величине сопротивлений, то пере- даточная функция эквивалентной цепочки (см. рис. 3.12) находится как отношение 2 вых 2 1 вх 1 2 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U p z p Z pW p U p z p Z p Z p     . (3.33) Подставив (3.30), (3.31) в (3.33), получим искомую передаточную функцию электрической цепи: 181 3 2 2 0 1 2 3 3 2 4 3 2 2 0 1 2 3 1 0 1 2 3 ( )( ) ( ) ( ) R b p b p b p bW p R b p b p b p b R d p d p d p d p           ; 2 2 0 2 1 1 2 2 1 2 2 1 3, , , 1;C L C L Cb T T b T T T b T T b     2 2 2 2 2 0 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 3 2, , , .C L L C Cd T T d T T T T d T T T d T      Дифференциальное уравнение рассматриваемой электрической це- пи относительно напряжений имеет вид 3 3 2 0 3 1 0 4 3 2 2 0 3 1[ ( ... ) ( ... )] ( ) ( ... ) ( )R b p b R d p d p u t R b p b u t        . З а д а ч а 3.6 Составить дифференциальное уравнение и найти передаточную функцию трансформатора (рис. 3.13) относительно напряжений и1 и и2. Электрические параметры трансформатора приведены на рис. 3.13. Рис. 3.13. Схема трансформатора к задаче 3.6 Р е ш е н и е Дифференциальные уравнения равновесия напряжений цепей пер- вичной и вторичной обмоток трансформатора имеют вид 1 1 1 1 1 2u r i L pi Mpi   ; (3.34) 2 2 2 2 1 20 ,r i L pi Mpi u    (3.35) 182 где 1 2,u u – входное и выходное напряжения трансформатора; 1 1 1, ,r L i – сопротивление, индуктивность и ток первичной обмотки; r2, L2, i2 – то же для вторичной обмотки; М – коэффициент взаимоиндукции обмоток. Найдя выражение для тока i1 из уравнения (3.34) и подставив его в (3.35), получим дифференциальное уравнение трансформатора: 21 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L L M L r L R r MRp p u t pu t r R r r R r r R r            или 2 2 1 2 3 1 2 2 1 1( ) ( ) 1 ( ) ( ),T T T p T T p u t k pu t        (3.36) где 11 1 ;LT r  22 2 ;LT R r   2 3 1 2 ; ( ) MT r R r   2 Rk R r   ; 1 1 ;M r   R – сопротивление нагрузки. Размерность коэффициента 1 и всех постоянных времени   с ( 1, 2, 3)iT i  . Так как коэффициент связи 1 2/M L L в транс- форматоре со стальным сердечником близок к единице, то 1 2M L L , a 21 2 0L L M  или 21 2 3 0T T T  . Тогда уравнение трансформатора (3.36) упростится:  1 2 2 1 1( ) 1 ( ) ( )T T p u t k pu t    . (3.37) 183 Для режима холостого хода ( 2, 0R T   ) имеем 1 2 1 1( 1) ( ) ( )T p u t pu t   . На основании дифференциального уравнения (3.37) можно запи- сать передаточную функцию трансформатора по напряжению: 2 1 1 1 2 ( )( ) ( ) ( ) 1 U p k pW p U p T T p      , из которой видно, что трансформатор является инерционным диффе- ренцирующим звеном. Знак «минус» в дифференциальных уравнени- ях трансформатора означает, что фаза выходного напряжения изме- няется на 180° относительно входного. З а д а ч а 3.7 Составить дифференциальное уравнение движения и передаточ- ную функцию двигателя с независимым возбуждением (рис. 3.14, а) относительно угловой скорости  при моменте нагрузки Мн = 0. а б Рис. 3.14. Схема и механические характеристики к задаче 3.7 Р е ш е н и е Дифференциальное уравнение движения 2я м м вх( 1) ( ) ( )T Т р Т р t ku t    , d / d ,p t 184 где я вя я в L LТ R R   – электромагнитная постоянная времени цепи якоря; я я,L R – индуктивность и активное сопротивление якоря; Lв, Rв – индуктивность и внутреннее сопротивление оконечного каскада усилителя, питающего двигатель; ям м п xx е RT J J Jс с M     – электромеханическая постоянная времени двигателя; J – приведенный к валу двигателя момент инерции вращающих- ся частей; Мп – пусковой момент двигателя при 0  ; xx – угловая скорость холостого хода при моменте двигателя М = 0; 0 0вх м0 0 xx я.к.з ; ;пе U Мс с I   0 0 вхя.к.з я в UI R R   – ток короткого замыкания цепи якоря двигателя при 0  ; xx п d dM M     – коэффициент наклона механических характе- ристик двигателя; 0 xx 0вх 1 e k cU   – коэффициент передачи. Для двигателей постоянного тока с независимым возбуждением const  при вх var .u  Передаточная функция двигателя 2я м м ( ) . 1 kW p T T p T p    185 З а д а ч а 3.8 Найти дифференциальное уравнение движения и передаточную функцию двигателя с независимым возбуждением (рис. 3.15, а) от- носительно угла поворота  . Рис. 3.15. Схема к задаче 3.8 Р е ш е н и е 2м я м вх( 1) ( ) ( )T T p T p p t ku t    ; 2я м м ( ) ( 1) kW p p T T p T p    . З а д а ч а 3.9 Найти передаточные функции двигателя постоянного тока с не- зависимым возбуждением, пренебрегая влиянием электромагнит- ных переходных процессов в цепи якоря (см. задачи 3.7 и 3.8). Р е ш е н и е м ( ) ; 1 kW p T p   м ( ) . ( 1) kW p p T p   186 З а д а ч а 3.10 Найти передаточные функции двухфазного асинхронного двигате- ля (рис. 3.16, а) при моменте нагрузки Мн = 0. Механические характе- ристики имеют вид, показанный на рис. 3.16, б, а электромагнитными переходными процессами в статоре и роторе можно пренебречь. а б Рис. 3.16. Схема к задаче 3.10 Р е ш е н и е Аналогично предыдущей задаче передаточные функции асинхрон- ного двигателя по угловой скорости м ( ) 1 kW p T p   и по углу м ( ) . ( 1) kW p p T p   Электромеханическая постоянная времени Тм пропорциональна ко- эффициенту наклона механической характеристики β (см. задачу 3.7): 0 xxм 0 0п T J J M    , 187 где J – приведенный к валу двигателя момент инерции вращающих- ся частей; 0xх, М0п, β0 – соответственно угловая скорость холостого хо- да, пусковой момент и коэффициент наклона аппроксимированной прямой линии механической характеристики, соответствующей наи- более часто принимаемым значениям управляющего напряжения uy = 0yU в автоматической системе (см. рис. 3.16). З а д а ч а 3.11 Для компенсации индуктивного сопротивления обмотки управ- ления двухфазного асинхронного двигателя в ее цепь включают кон- денсатор емкостью С (рис. 3.17, а). Требуется найти передаточную функцию двигателя с учетом динамических свойств образовавшего- ся контура LCR в цепи обмотки управления. Рис. 3.17. Схема к задаче 3.11 а б в 188 Р е ш е н и е Динамические свойства, выражающиеся инерционностью электро- механических процессов двигателя, полностью определяются пере- даточными функциями ( )W p и ( )W p (см. задачу 3.10). Для определения передаточной функции контура LCR обмотки управления составим эквивалентную схему цепи обмотки управления, рис. 3.17, б, где L – индуктивность; 2y y P R I  – приведенное активное сопротивление обмотки управления; Ру – номинальная активная мощ- ность обмотки управления; Iу – номинальный ток; С – емкость конден- сатора, включаемого в цепь управления. Влиянием внутреннего сопро- тивления источника, питающего обмотку управления, пренебрегаем. Передаточная функция контура LCR по огибающей модулирован- ного сигнала с несущей частотой, равной частоте сети fc или круго- вой частоте сети с c2 f   , равна э 1( ) ; 1 W p T p   (3.38) э 2 LT R  . Передаточная функция (3.38) справедлива при выполнении усло- вий 2 ;LR C  c1 2 fLC   . При выполнении обоих условий передаточные функции двухфаз- ного асинхронного двигателя y э м ( )( ) ( ) ( 1)( 1) p kW p U p T p T p     ; y э м ( )( ) ( ) ( 1)( 1) p kW p U p p T p T p     . 189 Структурная схема двигателя принимает вид, изображенный на рис. 3.17, в. После незначительных преобразований можно получить новое вы- ражение для определения эквивалентной постоянной времени: 2 э c c 2 1 cos2 22 tg cos LL xT R R         , где c 0 1 ;LC    cLx L  – индуктивное сопротивление обмотки управления; cos – коэффициент мощности обмотки управления при работе без конденсатора (в номинальном режиме). 4. ЭЛЕМЕНТЫ СЕНСОТРОНИКИ И СХЕМОТЕХНИКИ – ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ, УСИЛИТЕЛЬНЫЕ, ДЕТЕКТОРНЫЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ ЗВЕНЬЯ Используемые в машинах датчики (первичные преобразователи) соответствуют органам чувств человека, т. е. «очувствляют» машину. Они являются инструментами, дающими сведения о состоянии самой машины и окружающей ее среды. На основе поступающей с датчиков информации процессор вырабатывает программу работы машины. Чем больше датчиков используется, тем больше информации мож- но получить об окружающей среде и системе. Однако следует иметь в виду, что в реальных условиях может существовать такая инфор- мация, которую невозможно непосредственно снять с помощью дат- чиков. Такая ситуация может иметь место, например, тогда, когда измеряемый сигнал искажен шумами, контролируемую величину нельзя преобразовать в электрический сигнал, а также когда из-за стоимостных или пространственных ограничений не удается исполь- зовать необходимый датчик. Если в таких случаях известны шумо- вые свойства или динамические характеристики объекта, за кото- рым ведутся наблюдения, то с помощью соответствующих алгорит- 190 мов расчетов можно оценить интересующий сигнал. Например, по контролируемому значению угла поворота шарнира можно оценить угловую скорость. 4.1. Моделирование непрерывных и дискретных информационных систем Замена аналоговых элементов машин на дискретные и технических средств – на программные изменила парадигму проектирования, кон- струирования и производства машин. Мехатроника выступает как новая технология, при которой машина, составленная из механиче- ских компонентов, органично включает в себя информационное обес- печение для получения, передачи, обработки информации и приня- тия решений. Перед тем как стало возможным применение микропроцессоров для обработки информации внутри машины, часто использовали тран- зисторные электрические аналоговые устройства или механические, классическим примером которых может служить регулятор скорости. Состояние в таких системах измерялось непрерывно, что позволило назвать эти системы непрерывными. При использовании компьюте- ров для обработки информации результаты обработки становятся прерывистыми, т. е. дискретными. Системы, в которых содержатся такие элементы, носят название дискретных систем. Если обработка выполняется достаточно быстро, то дискретную систему можно рас- сматривать как непрерывную. Математическую модель непрерывной системы можно представить дифференциальными уравнениями, а ма- тематическую модель системы дискретных величин – разностными уравнениями с соответствующей оценкой точности. Изложенное выше проиллюстрируем простым примером. На рис. 4.1, а имеется входная величина х, которая изменяется по сину- соидальному закону. В непрерывной системе сигнал х должен воз- расти в два раза, т. е. на выходе у = 2х. В аналитической дискретной системе, рис. 4.1, б, выполняющей аналогичную функцию, через интервал времени Т в компьютер по- ступает значение X(Т), которое на выходе у оказывается увеличен- ным в два раза (см. рис. 4.1, б). 191 а б Рис. 4.1. Изменение входной величины х: а – преобразование непрерывного сигнала в непрерывный; б – преобразование непрерывного сигнала в дискретной Уравнение состояния и модель наблюдения Рассмотрим пример электромеханической системы, представлен- ной на рис. 4.2. Рис. 4.2. Сосредоточенная масса, приводимая в движение электродвигателем 192 В ней с помощью электродвигателя Э.Д., создающего крутящий момент τ, приводится в движение сосредоточенная масса т. По- скольку момент электродвигателя пропорционален силе тока u , про- текающего через него, то .au  (4.1) Если положить радиус шкива равным r, то силу, действующую на сосредоточенную массу, определим с помощью формулы /F r  . (4.2) Для сосредоточенной массы можно записать следующее уравне- ние движения: mx F . (4.3) Если формулы (4.1) и (4.2) подставить в уравнение (4.3) и про- вести соответствующие преобразования, то получим следующий вид уравнения, описывающего движение сосредоточенной массы: /x au mr . (4.4) Чтобы знать положение сосредоточенной массы, можно измерять угол поворота шкива у. Тогда /у x r . (4.5) Здесь х – переменная состояния системы; у – измерение. В случае непрерывной системы связь выходного параметра у с силой тока u можно представить в виде дифференциального урав- нения, полученного из уравнений (4.4) и (4.5): auуx mx  . Перейдем к рассмотрению дискретного варианта системы. Поло- жим, что мы имеем дело с тем же устройством, представленным на рис. 4.2. Через интервал времени Т компьютер осуществляет выбор- ку координаты у. При этом результаты расчета выводятся как пара- 193 метр u . В рассматриваемом примере часть системы от параметра у до координаты и остается без изменения и является непрерывной. Поскольку в компьютере обрабатывается дискретная информация, соответствующая моменту времени kT, регулируемая величина (ре- гулируемый параметр) u(k) и выборка координаты у(k) являются дискретными. Здесь необходимо отметить, что u(t), у( t ) , . . . пред- ставляют собой величины, которые во времени являются непрерыв- ными. Что касается величин u(k), у(k), ..., где k = 0, 1, 2, ...., то это величины и и у, выбранные в момент времени kT. В терминах не- прерывная или дискретная отражается характер, который присущ рассматриваемой системе. В приведенном выше примере может су- ществовать такое положение, при котором часть системы будет не- прерывной (аналоговой). Однако и в таком случае систему в целом следует рассматривать как дискретную. Если ограничиться рассмотрением того состояния, которое име- ет место в момент времени kT, то для описания движения системы можно воспользоваться конечно-разностными уравнениями. В ка- честве примера рассмотрим определение регулируемого параметра u(k) по величине у(k). Вполне естественно, что целесообразно на- чать вычисление с у(k – 1). При  1kT t k T   можно положить, что u(t) = u(k) = const. Тогда в моменты времени kT и (k + 1)T реше- ния уравнения (4.4) удовлетворяют следующим зависимостям:        211 ; 2 ax k x k x k T T u k mr     (4.6)      1 ax k x k T u k mr      . При выводе выражений (4.6) использовали тот факт, что решение при начальных условиях x(0) = x0, x (0) = 0 соответствует функции x(t) = x0 + 0t + (1/2)at2. Функцию у(k) можно представить следующим образом:     / .y k x k r (4.7) 194 Выше говорилось о том, что состояние непрерывной системы мо- жет быть описано дифференциальным уравнением (4.4), а дискрет- ной системы – разностным уравнением (4.6). При этом измеряемые величины удовлетворяют выражениям (4.5) и (4.7). Уравнения (4.4) и (4.6) называются уравнениями состояния, а уравнения (4.5) и (4.7) – наблюдательными уравнениями (модель наблюдения). Уравнение состояния и вектор состояния. Уравнения состояния и уравнения наблюдения можно представить на основе единого под- хода, изложенного ниже. Уравнение состояния (4.4) непрерывной системы представляет со- бой дифференциальное уравнение второго порядка. Как известно, можно пользоваться следующей эквивалентной системой дифферен- циальных уравнений первого порядка, где х1 соответствует х, а 2 1x x  , тогда имеем 1 2 2, / .x x x au mr   (4.8) Уравнение (4.8) можно записать в матричном виде: 1 1 2 2 0 1 0d 0 0 /d x x u x x a mrt                      или d , d x Ax Bu t   (4.9) где 1 2 0 1 0 , , , . 0 0 / x x A B u u x a mr                   Наблюдательное уравнение (4.5) запишем в виде ,y Cx где y = у, С = [1/r, 0]. Компоненты вектора x называются переменными состояния, а x – вектором состояния. Если воспользоваться матрицами, то 195 уравнение состояния (4.6) и наблюдательное уравнение (4.7) для дис- кретной системы можно представить следующим образом:          1 ,x k T x k H T u k    (4.10)     ,y k Cx k где      ; x k x k x k        1 ; 0 1 T T         2 / 2 / aT mrH T aT mr      . Выражение (4.10) можно также получить непосредственно из вы- ражения (4.9). При  1kT t k T   можно получить решение диффе- ренциального уравнения (4.9), для которого удовлетворяются условия  x x k при t = kT и     constu t u k  при  1kT t k T   . Решение представляется в следующем виде:          dtA t kT A t kT x t e x k e Bu            0 d t kT A t kT Ae x k e Bu t              0 d . t kT A t kT Ae x k e B u k     196 Если принять во внимание, что t = (k + 1)T, то получаем       0 1 d . T AT Ax k e x k e B u k    (4.11) Сопоставляя выражения (4.10) и (4.11), можно заметить, что   ;ATT e    0 T AH Т e Bd  . 4.2. Дифференциальные уравнения для нелинейной системы Положим, что u – входная, а y – выходная величины. Рассмот- рим случай, когда уравнения и наблюдения состояния непрерывной системы можно представить следующим образом:  ,x f x u , (4.12)  y g x . (4.13) Следует отметить, что x , y и u представляют собой соответст- венно n, m, r-мерные векторы:  T1 2, , ..., ;nx x x x  T1 2, , ..., ;my y y y  T1 2, , ..., .ru u u u 197 Наряду с этим имеем       1 1 2 1 2 1 2 1 2 , , ..., , , ..., , ............................................... ; , , ..., , , ..., n r n n r f x x x u u u f x u f x x x u u u              1 1 2 1 2 , , ..., .......................... . , , ..., n m n g x x x g x g x x x        Согласно изложенному выше x1, ..., хn – переменные (параметры) состояния; x – вектор состояния; (4.12) – уравнение состояния; (4.13) – наблюдательное уравнение. Если правые части уравнений (4.12) и (4.13) линейны относи- тельно x и u или если в окрестности решения провести линеариза- цию, то сами уравнения (4.12) и (4.13) можно представить следую- щим образом:     ;x A t x B t u  (4.14)   .y C t x (4.15) Когда в окрестностях решений х*(t), u*(t) и у*(t) проводится ли- неаризация, тогда           * * 1 1 1 *1 * ... ... , 1, ..., , 1, ..., ; ... i ij x x t j u u t n n n x x tn u u t fA t a x f f x x i n j n f f x x                           198              * * * , 1, ..., , 1, ..., ; , 1, ..., , 1, ..., , i ij x x t j u u t i ij x x t j fB t b i n j r u gC t C i m j n x                    причем x – x *, u – u * и y – y * можно заменить на х, u, у соот- ветственно. Если в выражениях (4.14) и (4.15) время t не входит в явном ви- де, т. е. если A(t), B(t), C(t) – матрицы постоянных величин, то x Ax Bu  , (4.16) .y Cx (4.17) Здесь А – матрица размерностью ,n n B – матрица размерностью ,n n а С – матрица размерностью n m . Будем в основном рассмат- ривать системы, описываемые формулами (4.16) и (4.17). Решение уравнений состояния. Для непрерывных систем, опи- сываемых выражениями (4.16) и (4.17), важными являются приве- денные ниже свойства, изучаемые в курсах обыкновенных диффе- ренциальных уравнений. Для матрицы А размерностью n n и дей- ствительного числа t разложение матричной показательной функ- ции Ate можно представить следующим образом: 2 2 3 31 1 1 1... ..., 1! 2! 3! ! At k ke I At A t A t A t k        (4.18) где I – единичная матрица. Правую часть можно почленно продифференцировать и устано- вить, что она равномерно сходится к AtAe . Если воспользоваться функцией Ate , то решение уравнения x Ax с начальным условием   00x x (4.19) 199 можно записать в виде   0Atx t e x . (4.20) Воспользуемся этим выражением и найдем решение уравнения состояния. Например, уравнение 1 1 0 2 2 0 1d , 1 0d x x a x x x bt                     представляет собой дифференциальное уравнение, описывающее гар- моническое колебание с начальными условиями х(0) = а, x (0) = b, причем х1 = x и х2 = 1x . С помощью выражения (4.18), определяюще- го разложение функции eAt, ее можно вычислить в матричной форме: 2 2 3 31 1 1 ... 1! 2! 3! Ate I At A t A t      21 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 11! 2! t t                     3 40 1 1 0 ... 1 0 0 13! 4! t t             2 4 3 cos sin1 / 2! / 4! ... /1! / 3! ... . sin cos t t t t t t t t               Тогда решение можно представить в виде   0 cos sin cos sin .sin cos sin cosAt t t a a t b t x t e x t t b a t b t                     Рассмотрим другой способ определения функции eAt. Если вос- пользоваться несобственной матрицей Р и диагонализировать мат- рицу А, т. е. 200 1 1 2 0 , 0 n P AP        то можно установить следующее равенство: 1 1 1 1;At At P APte PP e PP Pe P     2 11 2 1 2 2 2 2 00 ... 1! 2! 0 0 P APt n n t tPe I                         1 2 1 2 00 ... . ! 0 0 n tk k tk k t n e t e k e                         Поэтому функцию eAt можно определить в виде   1 2 1 0 . 0 n t tAt t e e P e P e             (Если при невозможности диагонализации матрицы А преобразо- вать Р –1АР к стандартной форме Жордана, то получаются аргументы, аналогичные полученным выше.) В рассматриваемом примере 0 1 . 1 0 A      Если провести вычисления для уравнения det(А – ) = 0, то 2 + 1 = 0. 201 Следовательно, собственные значения имеют вид 1 = i, 2 = – i, а собственные векторы – вид 1 2 1 1 , .p p i i            Таким образом, используя матрицы 1 1 ;P i i      1 1 / 2 / 2 1 / 2 / 2 i P i       , функцию еAt можно представить следующим образом: 10 cos sin . sin cos0 it At it e t t e P P t te              В рассматриваемом случае следует обратить внимание на то, что даже тогда, когда собственные значения и собственные векторы пред- ставляют собой комплексные числа, элементы разложения функции eAt являются действительными числами. Устойчивость решения. В решении уравнения (4.19), представ- ленном функцией (4.20), при произвольном значении 0х можно счи- тать, что, если при t  , 0x  , имеет место асимптотическая ус- тойчивость. Если выражение для х расходится, то имеем дело с неус- тойчивостью. Если возможна диагонализация матрицы А, то асимпто- тическое решение уравнения (4.30) можно получить при условии, что 1 2 1 0 . 0 n t tAt t e e P e P e             Действительная часть i является отрицательной, т. е. Re(i) < 0 (i = l, ..., п). Это проверяется непосредственно. 202 Указанное условие можно также получить из выражения 1 ,w P APw которое представляет собой уравнение (4.19), преобразованное с по- мощью подстановки x = Pw. При использовании несобственной мат- рицы Р в ряде случаев можно провести следующую диагонализа- цию матрицы Р–1АР: 1 1 2 0 . 0 n P AP        В этом случае, поскольку  T1 2, , ..., nw w w w , можно получить следующие зависимости: 1 1 1 2 2 2 ; ; .n n n w w w w w w          Так как матрица Р является несобственной, то выражения x  и 0w имеют одинаковый смысл. Необходимым и достаточным условием стремления 0w является  0 1, ...,iw i n  . В общем случае i представляет собой комплексное число. Если 0iw  , то i имеет отрицательную действительную часть. Для обеспечения асимп- тотической устойчивости решения уравнения (4.19) все собственные значения матрицы А должны иметь отрицательные действительные части. При использовании стандартной формы Жордана можно прий- ти к таким же выводам даже тогда, когда невозможно провести диа- гонализацию матрицы Р–1АР. Если воспользоваться выражением для eAt, то условие удовлетво- рения решением (4.16) начальному условию х(0) = х0 можно пред- ставить в следующем виде:      0 0 d t A tAtx t e x e Bu    . (4.21) 203 Импульсная характеристика. При рассмотрении дифференци- ального уравнения (4.16) часто возникают проблемы нахождения решений x (t) при специальных (особых) видах входных сигналов  u t . Если  T1 2, , ..., , ...,i ru u u u u при начальном значении 0 0x  ,  ju t (при 0i j   , при i j    – дельта-функция), то реакция состояния x называется им- пульсной характеристикой по отношению к ui. Действие (t) запи- сывается в виде      d 0f f       . Поэтому импульсная характеристика, определяемая из выраже- ния (4.21), записывается в виде    T0...0 1 0...0Atx t e B (i-й элемент соответствует 1). Таким образом, для и1, u2, …, иr можно определить соответст- вующие импульсные характеристики. Понятно, что расположенные по порядку, начиная слева, члены представляют собой разложение функции eAtB. 4.3. Уравнения дискретной системы (система разностных уравнений) На рис. 4.3 с помощью компьютера производится дискретное пред- ставление выходной координаты y непрерывной системы  ,x f x u , y Cx , являющейся типичным примером дискретной системы. 204 Рис. 4.3. Наблюдение с помощью компьютера (выбор дискретных данных) В момент k-й выборки t = kT. В этот момент имеет место пере- менная состояния  x k . Интервал выборки Т является постоян- ным. Когда компьютер в непрерывной системе осуществляет управ- ление u , то этот параметр может изменяться только в момент вы- борки. В момент t = kT рассматриваемый параметр принимает зна- чение  u k . При kT ≤ t ≤ (k + 1)T можно считать, что     const.u t u k  Вполне допустимо такое положение, при котором время выборки отличается от времени изменения u . Однако в рассматриваемом случае воспользуемся допущением о том, что выборка и изменение указанного параметра происходят одновременно. При использова- нии этого допущения можно, руководствуясь значениями  x k и  u k , записать уравнение для x (k + 1). В частности, положим, что непрерывная система описывается следующим дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами: .x Ax Bu  205 Для x (k + l) и y (k + 1) можно составить следующие уравнения:          1 ;x k T x k H T u k        0 ; d ; T AT AT e H T e B    (4.22)    .y k Cx k Когда в выражениях (4.22) u = 0, то решение можно представить в виде          0 , .kx k T x y k Cx k   (4.23) Устойчивость решения. Как и при рассмотрении устойчивости решения дифференциального уравнения непрерывной системы, для дискретной системы важным является условие асимптотической устойчивости решения x(k) уравнений (4.23). Под асимптотической устойчивостью решения x(k) следует понимать   0lim k x k   . Из урав- нения (4.23) условие асимптотической устойчивости записывается в виде   0lim k k T    . Когда с помощью несобственной матрицы Р можно провести диагонализацию матрицы Ф, то получим следую- щее выражение:  1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ... 0 , 0 kk k k k n PP PP P P PP P P P P P AP P                          где 1 2, , ..., n   – собственные значения матрицы Ф. 206 Поскольку Р является несобственной матрицей, то пределы 0lim k k   и  1 0lim k k P P    эквивалентны. Условием эквивалент- ности служит предел  0 1, ...,lim ki k i n     . Поэтому для комп- лексных чисел i существует условие |i| < 1, все абсолютные ве- личины собственных значений меньше единицы. Известно, что для 0lim k k   условие аналогично даже тогда, когда матрицу Ф диаго- нализировать нельзя. Следовательно, в случае (4.22) необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости  x k яв- ляется такое условие, при котором все абсолютные величины соб- ственных значений Ф(Т) меньше единицы. 4.4. Сенсорные алгоритмы оценивания состояния системы Преимущество очувствления, проводимого с использованием ком- пьютера, состоит в том, что можно получить эффективную информа- цию на основе замеряемых в реальном масштабе времени сигналов. Простым примером может служить случай внесения соответствующих поправок в работу датчика (чувствительного элемента), выходной сиг- нал которого нелинеен. Допустим, что у объекта А возникает напряже- ние, пропорциональное квадрату приложенной силы. Если с помощью объекта измеряется сила, то необходимо извлекать квадратный корень из величины возникающего напряжения. Для компьютера эта опера- ция элементарна. Возможен такой случай, когда прикладываемая сила и возникающее напряжение связаны зависимостью, представленной на рис. 4.4. Эта зависимость может храниться в памяти компьютера в ви- де формулы или таблицы. С помощью данных, хранящихся в памяти, можно по величине замеренного напряжения определить действую- щую силу. Таким образом, если существует воспроизводимость вход- ных и выходных сигналов, то независимо от сложности их обмена ме- жду входом и выходом применение компьютера удобно при практиче- ском использовании датчиков. 207 Рис. 4.4. Нелинейная выходная характеристика датчика Выше был приведен пример очень простого очувствления, по- скольку между силой и напряжением существовало однозначное со- ответствие. Однако в реальных условиях приходится сталкиваться со сложными случаями, когда необходимо получить сведения о пере- менных состояния, число которых превышает количество выходных сигналов, поступающих с датчиков. В качестве примера можно рас- смотреть систему, приведенную на рис. 4.2, в которой сосредоточен- ная масса движется в горизонтальной плоскости. Величину скорости, которую в данном случае непосредственно наблюдать (измерять, конт- ролировать) не удается, можно определить с использованием сведе- ний о положении сосредоточенной массы, которое легко находится. Рассмотрим возможность оценки состояния в этом случае. Фильтр Калмана–Бьюси для оценки состояния. Параметр со- стояния x и наблюдаемая (контролируемая) величина y связаны следующими соотношениями: ,x Ax Bu  (4.24) y Cx . (4.25) Для примера, приведенного на рис. 4.2:  0 1 0, , 1 0 . 0 0 1 A B C            (4.26) 208 Если матрица С, входящая в уравнение (4.25), имеет обратную матрицу, то по наблюдаемой величине y можно непосредственно определить переменную состояния x . Даже при отсутствии обрат- ных матриц в (4.26) возможны случаи оценки величины x . Остановимся на рассмотрении приведенной ниже зависимости в том случае, когда для величин А, В и С, входящих в уравнения (4.24) и (4.25), существует такая величина G, для которой матрица А – GC становится устойчивой. Тогда для оценки z имеем уравнение z = (A – GC) z + G y +B u ; (4.27)     e z x A GC z Gy Bu Ax Bu          (4.28)        ,A GC z GCx Ax A GC z x A GC e         где e z x  – погрешность оценивания величины; e удовлетворя- ет уравнению (4.28). Для проведения соответствующих преобразований воспользуем- ся выражениями (4.24), (4.25) и (4.27). Если матрица А – GC устой- чива, то å → 0, т. е. z x . По истечении достаточно большого вре- мени независимо от начального значения величины z по ней мож- но сделать оценку величины x . Если остановиться на рассмотрении примера, приведенного на рис. 4.2, и положить  T1 2,G g g , то мож- но определить разность А – GC следующим образом:  1 1 2 2 10 1 1 0 . 00 0 g g A GC g g                   Для А – GC существует следующее характеристическое уравнение: 2 1 2 0g g     . Чтобы матрица А – GC была устойчивой, необходимо выбирать такие значения g1 и g2, которые были бы больше нуля. Представ- 209 ленная здесь оценочная формула (4.27) носит название формулы Калмана–Бьюси для оценки состояния (фильтр Калмана–Бьюси). Изложенную выше теорию можно аналогично применить к слу- чаю дискретной системы. Уравнения (4.24) и (4.25), описывающие дискретную систему, представим следующим образом: x (k) = Ф x (k – l) + H u (k – 1); y (k) = С x (k). Остановимся на рассмотрении оценки, которую можно получить с помощью приведенного ниже уравнения, соответствующего урав- нению (4.27): z (k) = (Ф – GC) z (k – l) + G y (k – l) + Нu (k – 1). Если положить e (k) = z (k) – x (k), то получим      e k z k x k   = {(Ф – GC) z (k – 1) + G y (k – 1) + H u (k – 1)} – – {Ф x (k – 1) + H u (k – 1)} = = (Ф – GC) z (k – 1) + GC x (k – 1) – Ф x (k – 1) = = (Ф – GC)( z (k – 1) – x (k – 1)) = (Ф – GC) e (k – 1). Следовательно, для величины G, для которой удовлетворяется условие (Ф – GC)n → 0, существует предел e (k) → 0, а это в конеч- ном счете означает, что z (k) → x (k) и z (k) дает оценочное значе- ние x (k). Структура оценки Калмана–Бьюси обладает динамикой, порядок которой соответствует уравнению (4.24). Этот порядок можно по- низить, однако в таком случае теория становится сложнее. 210 4.5. Формирующие фильтры непрерывных сигналов в информационных системах Если информацию с сенсоров о динамике изменения состояния обработать в соответствии с вышеуказанными алгоритмами, то можно оценить параметры состояния. Чем точнее информация о динамике, тем точнее можно осуществлять оценку. Однако следует иметь в виду, что всегда существует расхождение между действи- тельностью и моделью. В некоторых случаях из рассмотрения нель- зя исключать влияние, оказываемое таким расхождением. Сигнал, генерируемый в той части действительности, которую не удается смоделировать, представляет собой шум. К шумам, которые необ- ходимо подавлять, относятся белый шум или шумы, имеющие час- тоту, превышающую 90 кГц. Если известна природа шумов, их можно выделить на фоне наблюдаемых данных и подавить (от- фильтровать). Остановимся на рассмотрении теории фильтрации, когда шумами являются высокочастотные составляющие. Часто используются фильтры, у которых связь между входным (у) и выходным (z) сигналами можно представить следующим ли- нейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффици- ентами:        1 1 1 0 1... ... , n n m m n mz a z a z b y b y b y         (4.29) где   d ; d n n nz zt    d , d m m my yt  а коэффициенты – действительные числа. Общее решение уравнения (4.29) складывается из общего реше- ния, полученного в случае равенства нулю правой части этого урав- нения и частного решения. При нахождении решения в случае ра- венства правой части нулю можно считать, что существует асим- птотическая устойчивость. Следует иметь в виду, что в рассматри- ваемом случае цель заключается в построении фильтра, описывае- мого уравнением (4.29). Поэтому решение этого уравнения не должно расходиться. 211 Сначала найдем стационарное решение (решение при t →∞), когда j ty e   , где α, , t – действительные числа. Выделим действительные части сигналов у и z и найдем реше- ние, относящееся к у = α cos t. При этом установим соответствие с действительностью. Положим j ty e   и подставим в уравнение (4.29). В результате получим следующее выражение:           1 1 1 0 1 ... ... . n n j t n m n j t m j a j a e b j b j b e                   (4.30) Если величина  удовлетворяет уравнению (4.30), то его реше- нием является функция j tz e   . Если из уравнения (4.30) определить отношение входного сигна- ла к выходному сигналу  / /z y    , то можно установить, что         1 0 1 1 1 ... . ... m m m n n n b j b j b j a j a              (4.31) Если положить  / H    , то обычно Н() является комп- лексным числом. Величина |Н()| характеризует отношение вход- 212 ной и выходной амплитуд, a argН() – фазовое рассогласование. Если с помощью величины , содержащейся в показателе экспо- ненты входного сигнала j ty e   , соответствующим образом менять амплитуду выходного сигнала, иными словами, если можно осуществить проектирование таким образом, что по отношению к частотным составляющим, которые можно рассматривать как шумы, амплитуда выходного сигнала будет достаточно малой, то (4.29) станет фильтром. Поскольку неудобно иметь дело с отношением амплитуды входного и выход- ного сигналов |Н()|, очень часто проектирование проводят исполь- зуя равенство |Н()|2 = Н () H () ( H – сопряженное комплексное число). Фильтр Баттерворта. Данный фильтр является классическим примером фильтра, «срезающего» высокочастотные составляющие. Фильтр Баттерворта можно описать выражением, приведенным ниже. Меняя стоящие в правой части этого выражения параметры с и N, можно получить характеристики различных фильтров:  22 1 / 1 / .NсH       (4.32) График этой зависимости представлен на рис. 4.5. При низких частотах в окрестности точки  = 0 отношение амплитуд входного и выходного сигналов почти равно единице. При высоких частотах это отношение максимально приближается к нулю. Чтобы спроек- тировать фильтр, имеющий характеристику в виде зависимости (4.32), необходимо на основании этой зависимости определить величину Н. Однако величина Н должна быть устойчивой и представимой в виде выражения (4.31). 213 Рис. 4.5. Характеристика фильтра Баттерворта Остановимся на рассмотрении случая, когда в выражении (4.32) N = 3 и с = 1, т. е.  2 61 / 1 .H    (4.33) Поскольку в зависимости (4.33) параметр ω стоит в шестой сте- пени, можно считать, что зависимость H от  является кубической. Здесь можно воспользоваться действительными значениями а1, а2, а3 и осуществить разложение на множители следующим образом:             6 3 2 1 2 3 3 2 1 2 3 1 1 1 1 . j a j a j a j a j a j a                    (4.34) Можно проверить, является ли величина Н устойчивой. В выра- жении (4.34) положим j = s. Тогда 6 3 2 3 2 1 2 3 1 2 3 1 1 1 . 1 s s a s a s a s a s a s a          214 Примем во внимание, что       6 /3 2 /3 /3 5 /31 1 1j j u j js s s e s e s s e s e            , а условием устойчивости фильтра является наличие решений урав- нения 3 2 1 2 3 0s a s a s a    с отрицательными действительными частями и также существова- ние для s –  сопряженного комплексного числа –s – . С учетом этих утверждений можно получить следующее выражение:      3 2 2 /3 4 /31 2 31 1 1j jH s s a s a s a s e s s e         3 2 1 . 2 2 1s s s     Таким образом, выражение (4.29) для фильтра может принять следующий вид:      3 2 12 2 .z z z z y    Фильтр дискретной системы. Рассмотрим проектирование фильтра для дискретной системы, соответствующего приведенному выше фильтру для непрерывной системы. В рассматриваемом слу- чае для дискретной системы разностное уравнение, соответствую- щее выражению (4.29), запишем следующим образом:               1 2 0 1 1 2 ... 1 ... , n m z k a z k a z k a z k n b y k b y k b y k m               (4.35) где a1, ..., am и b0, …, bm – действительные числа; y(k) и z(k) – входная и выходная величины соответственно при k-м дискретном представлении. Когда выражение (4.35) устойчиво, т. е. все абсолютные значе- ния решения уравнения 215 1 2 1 2 ... 0 n n n na a a          меньше единицы, то оно может описывать характеристику стацио- нарного фильтра. Проанализируем работу фильтра, когда на вход системы, имею- щей характеристику типа (4.35), подается синусоидальный сигнал. При этом воспользуемся подстановкой  ,i T ke y k    и   kz k   , где  – круговая частота входного сигнала; Т – период выборки. Тогда на основании теоремы о выборке (дискретного представ- ления величин) следует, что T   . После подстановки получим следующее выражение:  11 ...k k k nna a          10 1 ... .k k k nmb b b        Зависимость, соответствующая уравнению (4.31) и описываю- щая связь между входным и выходным сигналами, можно предста- вить в виде формулы 1 2 0 1 2 1 2 1 2 ... . 1 ... m m n n b b b b a a a                      (4.36) Если  / H    , то в общем случае Н будет представлять со- бой комплексное число. Так же как и у непрерывной системы, в данном случае |Н()| – отношение амплитуд входного и выходно- го сигналов, а arg Н() – фазовое рассогласование. В случае непре- рывной системы было использовано выражение для |Н|2 и опреде- лялась величина Н. Однако для выражения (4.36) следует иметь в виду, что Н не является рациональной функцией , что затрудняет рассмотрение. При этом обычно проводят замену переменной tg(Т/2) = W. Вместо ω используют W и определяют величину Н. 216 Итак, произведя замену tg(T/2) = W, можно перейти к следующим формулам: 1 ; 1 j T jWe jW      (4.37) 1 1 W j   . (4.38) Если выражение (4.37) подставить в выражение (4.36), то по- следнее станет рациональной функцией аргумента W. Это обстоя- тельство является очень важным. Согласно указанному выше усло- вию устойчивости для (4.36) меньше единицы должны быть все аб- солютные значения решения при приравнивании знаменателя к нулю, когда  считаем неизвестной величиной. При замене в (4.36)  на W в качестве условия устойчивости можно воспользоваться тем, что при неизвестной величине W положительным является ре- шение, полученное для знаменателя, равного нулю. Если Н(β/α) вы- разить через W, то необходимо, чтобы удовлетворялось следующее условие (фильтр Баттерворта):   2 2 1 . 1 / Nc H W W   (4.39) Как и в случае непрерывной системы, проведем соответствую- щие преобразования при Wc = l и N = 3. В результате получим фор- мулу, аналогичную формуле (4.34): 6 3 2 3 2 1 2 3 1 2 3 1 1 i i W W p W p W p W p W p W p         . Вновь примем во внимание, что       6 /6 5 /6 7 /6 11 /61 ,j j j jW W e W j W e W e W j W e           217 условием устойчивости является наличие положительных мнимых полюсов, а также существование для W – γ сопряженного комп- лексного числа W –  . Получим следующее выражение:    3 2 /6 5 /61 2 3 j jj jH W p W p W p W e W j W e         3 2 .2 2 j W jW W j     (4.40) С помощью формулы (4.38) выражение (4.40) можно преобразо- вать к следующему виду: 3 2 1 1 12 2 1 1 1 jH j j j j j                            1 2 33 3 2 1 1 1 1 1 6 2 2 6 .12 6 1 3                Следовательно, руководствуясь выражением (4.36), в рассматри- ваемом случае характеристику фильтра можно представить следую- щей зависимостью:            1 1 1 1 12 1 2 3 3 6 2 2 6 z k z k y k y k y k y k         . 4.6. Сенсорные, усилительные и детекторные электронные звенья Датчики являются одним из основных элементов мехатронных систем. Они преобразуют заданную или регулируемую (управляе- мую) величину (информацию) в сигнал, удобный для дистанцион- ной передачи и дальнейшей обработки. 218 Широко распространены датчики, преобразующие механические величины в электрические. Выделяют три типа сенсоров (датчиков): 1. Сенсоры аналоговые, к которым относятся датчики положе- ния, угла, расстояния, толщины, скорости, силы, момента вра- щения, давления, ускорения, температуры и др. 2. Сенсоры бинарные, характеризующиеся двузначным выход- ным сигналом типа «включено-выключено». Обычно бинарные сенсоры используются как передаточные звенья (переключатели) или аналоговые сенсоры с программным переключением значений. Когда входное значение сенсора достигает порога переключения, бинарный выходной сигнал изменяет значение. К бинарным сенсорам относятся: тактильные (контактные) сен- соры, бесконтактные сенсоры, индукционные сенсоры прибли- жения, конденсаторные сенсоры приближения, оптические сен- соры приближения, биметаллические сенсоры температуры и др. 3. Цифровые сенсоры генерируют информацию о значении из- меряемой величины в виде цифр, например, длина отрезка пути, значение энергии и т. д. Обычно сигналы аналоговых сенсоров преобразуются в цифровые сигналы и используются в специальных применениях, например, сенсорах, которые могут автоматически оценивать шероховатость материалов. Широко распространены инкрементальные (шаговые) сенсо- ры линейного и углового положения, кодовые линейки и цифербла- ты для измерения абсолютных величин. Сенсоризация (очувствление) наиболее действенна с использо- ванием микропроцессоров, так как позволяет получать эффектив- ную информацию в реальном масштабе времени. Особенно это важ- но в случае, если входной и выходной сигналы связаны нелинейной зависимостью, которая хранится в памяти процессора. Еще более эффективно применение процессоров в случае, если необходимо получить сведения о переменных состояния, число которых превы- шает количество выходных сигналов, поступающих с датчиков (доступных измерению). Нахождение алгоритмов получения оптимальных оценок (в смысле минимума погрешности) развивается в теории фильтрации. Наибо- лее известны фильтры Винера–Колмогорова, Калмана–Бьюси и др. 219 Рассмотрим простейший пример получения алгоритма оценива- ния состояния с помощью фильтра Калмана–Бьюси для линейной системы в общем виде. Переменная состояния системы x и наблюдаемая (контролируе- мая) величина y удовлетворяют уравнениям x Ax Bu  . (4.41) y Cx . (4.42) Истинное значение переменной состояния x представим в виде ˆx x e  . (4.43) где xˆ – оценка состояния x ; e – погрешность оценки. Очевидно, оценка ˆ ( )x t должна быть такой, чтобы при ( ) 0t e t  и ˆ ( )x x t . Подставляя (4.43) в уравнение (4.41) с учетом (4.42), получим уравнения (алгоритмы) для нахождения оценки и погрешности оце- нивания: ˆ ˆ( ) ;x A GC x Gy Bu    ( )e A GC e  , где G – матрица, элементы которой выбираются из условия 0e  при t  . В случае дискретной системы уравнения (4.41), (4.42) для линей- ной системы имеют вид ( ) ( 1) ( 1)x k x k Hu k     ; ( ) ( )y k Cx k , а уравнения для оценки и погрешности соответственно записыва- ются в виде 220 ˆ ˆ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1)x k GC x k Gy k Hu k        ; ( ) ( ) ( 1)e k GC e k    . (4.44) Из (4.44) следует, что для матрицы G , для которой выполняется условие ( ) 0GC   , соответственно ( ) 0e k  . Структура уравнений для фильтра Калмана–Бьюси подобна урав- нению системы (имеет тот же порядок), т. е. в принципе не упроща- ет задачу непосредственного решения систем уравнений динамики. Погрешность оценивания состояния системы возникает не только вследствие того, что не все переменные состояния являются наблю- даемыми, но также вследствие того, что в реальных системах диапа- зон частот, где данная линейная модель достаточно адекватна реаль- ной системе, ограничен, например областью частот менее 90 кГц. Тогда высокие частоты описываются как шум (например, белый) в модели системы. Полезный сигнал регистрируется на фоне шума, и для того чтобы его очистить (выделить), применяют фильтры, по- давляющие шум. Пусть фильтр, связывающий входной y и выходной z сигналы, описывается линейным дифференциальным уравнением с постоян- ными действительным и коэффициентами: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 d d ; d d m i n im n i im i n i i i z ya b t t        (4.45) 0 1.a  Представим ,j t j ty e z e     . (4.46) Тогда, подставляя (4.46) в (4.45), получим ( ) ( ) 0 1 ( ) ( ) m n m i j t n i j t i i i i a j e b j e            . 221 Отношение входного сигнала к выходному дает 1 1 ( ) ( ) n n i i i m m i i i b j a j          . Подставляем / ( )H    , тогда ( )H  характеризует отношение входной и выходной величин, arg ( )H  – фазовое рассогласование. Меняя величину  в показателе экспоненты входного сигнала j ty e   , получим изменение амплитуды выходного сигнала. Благодаря этому можно проектировать фильтр таким образом, что по отношению к час- тотным составляющим (которые можно рассматривать как шумы) ам- плитуда выходного сигнала будет достаточно малой, т. е. система (4.45) является фильтром низких частот. При проектировании фильт- ров, как было отмечено выше, удобнее использовать величину 2( ) ( ) ( )H H H    , где ( )H  – сопряженное значение H( ). 4.7. Усилительные устройства Существует большое число усилительных устройств, основная функция которых состоит в усилении частот рабочего диапазона. Физические основы их работы различные: 1. Магнитные усилители (МУ) представляют собой электромаг- нитные устройства, которые позволяют усиливать электрические сигналы как по мощности, так и по напряжению. Они не имеют движущихся частей и по своей конструкции похожи на трансфор- маторы. Единым для всех магнитных усилителей является исполь- зование физических свойств материалов, вследствие чего индук- 222 тивное сопротивление с ферромагнитным сердечником зависит от подмагничивания сердечника постоянным полем. Кривая зависимости между намагничиванием B и напряженно- стью Н имеет нелинейный характер, вследствие чего при неизмен- ном значении переменной составляющей индукции В, при увеличе- нии постоянных составляющих B B  и т. д. по мере перехода в область насыщения напряженность поля H  будет резко возрастать по амплитуде. С точки зрения динамических свойств МУ нужно рассматривать как инерционные звенья, тогда комплексный коэффициент передач (ККП) МУ записывается в виде ( ) 1 bx kK j j T     , где bxT – общая постоянная времени входного контура. Электромагнитные усилители (ЭМУ) используют энергию вспо- могательного двигателя вращающегося вала генератора. Эта меха- ническая энергия превращаются в электрическую на выходе ЭМУ. 2. Электромагнитный усилитель представляет собой последо- вательное соединение двух инерционных звеньев, соответствую- щих управляющей обмотке поперечной цепи. ККП ЭМУ записыва- ется в виде ЭМУ у ( ) (1 )(1 ) kK j j T j Tg       , где ЭМУk – коэффициент усиления; yT – постоянная времени управляющей обмотки; gT – постоянная времени поперечной цепи. 3. Многокаскадные усилители, например полупроводниковые, реализуются как состоящие из n одинаковых каскадов, каждый из которых является инерционным звеном, тогда передаточная функ- ция записывается в виде 223 ( ) (1 ) a n pnTn n a kK p k e pT   , (4.47) где aT – постоянная времени выходной цепи усилителя. Формула (4.47) справедлива в диапазоне частот 1,aT  и мно- гокаскадный усилитель представляет собой звено с чистым запаз- дыванием. 4. Усилители постоянного тока (УПТ). Применение постоянно- го тока в исполнительных устройствах, например, реверсивных двигателях, магнитных муфтах и т. д., требует усилительных уст- ройств, к которым предъявляются жесткие требования: коэффици- ент усиления должен быть порядка 8(3 5) 10  . Полоса пропускания должна быть достаточно широкой (от нуля до нескольких кило- герц), что обеспечивает достаточное быстродействие. УПТ должны обладать высоким уровнем стабильности в работе. 4.8. Детекторы (различители) Различители – сравнивающие устройства, простейшие типы уст- ройств регулирования, выполняющих операцию вычитания. Услов- ное обозначение сравнивающего устройства изображено на рис. 4.6. Рис. 4.6. Сравнивающее устройство Различители одновременно с операцией вычитания выполняют преобразование одного вида сигналов в другой или их усиление. 224 Сигнал обычно передается изменением какой-либо электриче- ской величины: уровня тока или напряжения, амплитуды, фазы или частоты синусоидальных колебаний. Различители уровня (РУ) предназначены для преобразования раз- ности двух входных напряжений в выходное напряжение. Выходное напряжение V зависит от входных напряжений 1 2, :u u 1 2( , )V k u u , где k – коэффициент усиления. Если частотный спектр входного сигнала так широк, что пренеб- речь параметрами схемы нельзя, то блок-схема различителя будет состоять из сравнивающего устройства и инерционного звена. Различители фазы (РФ) преобразуют разность двух фаз сину- соидальных колебаний одинаковой частоты в напряжение: ( )V F  , где ( )F  – однозначная, периодическая по  , непрерывная функ- ция, зависящая в общем случае от амплитуд входных сигналов;  – сдвиг фаз. 1 2 2 cosV V V ku    , где k – коэффициент усиления. Различители частоты предназначены для преобразования раз- ности частот в напряжение: 0( ) ( )V F F    , где 0 – эталонная частота. Различители амплитуд (РА) предназначены для преобразования разности амплитуд в напряжение. В цепи регулирования мехатрон- ной системы РА представляются безынерционным звеном и одним или двумя инерционными в зависимости от спектра входного воз- действия. 225 Если характерный масштаб изменения входного сигнала – по- рядка постоянной времени различителя, то полоса пропускания раз- личителя значительно шире спектра входных сигналов и различи- тель можно считать безынерционным звеном. 4.9. Электронные цепи Аналоговые стандартные блоки, состоящие из резисторов, кон- денсаторов, индукторов и транзисторов, требуют математического описания. Экспоненциальному возрастанию или убыванию пере- менных величин, а также производным (скорости изменения) не всегда удобно дать словесное описание, вследствие чего попытка проектирования аналоговых цепей без использования математиче- ских уравнений приводит к резкому ограничению сложности уст- ройства. Соотношения между током и напряжением, легко отра- жаемые на языке математики, плохо поддаются описанию на есте- ственных языках. Цифровые стандартные блоки на интегральных схемах (ИС), на- против, трудно описать математически. При проектировании ком- бинационных схем используют полуматричные методы, такие как метод карт Карно или методы Квайна и Мак-Класки, но область их применения в значительной степени ограничена. При введении сложных временных соотношений эти методы становятся бесполез- ными. Диаграммы переходов являются эффективным инструментом анализа систем, однако с точки зрения проектирования цифровых стандартных блоков они оставляют желать лучшего. Были разрабо- таны классические методы минимизации количества вентилей. В большинстве случаев более важными параметрами являются ко- личество выводов и число кристаллов. В большинстве случаев при проектировании цифровых систем достаточно использовать диаграммы логических схем, дополняемые описаниями на естественных языках (схематика). В системах машинного проектирования используются более мощ- ные полуматематические методы. До недавнего времени основным преобразованием являлось то- пологическое преобразование элементов, из которых строится сис- тема. Схемы на основе резисторов, конденсаторов, индукторов и нелинейных активных приборов подчиняются сложным уравнени- 226 ям. Например, напряжения на элементах могут быть описаны сле- дующим образом: 1) линейной зависимостью е = iR (резистор); 2) интегралом е = (1/C) di t (конденсатор); 3) производной е = L (di/dt) (индуктор); 4) нелинейной функцией e = f(i) (транзистор). Следствием этих соотношений является тот факт, что разработ- чик, желающий проектировать систему на базе этих основных эле- ментов, должен иметь дело с интегродифференциальными уравне- ниями, решение которых не всегда легко получить. Вместо указан- ных элементов можно использовать топологически преобразован- ные ИС, соединенные одна с другой, при этом интересующие про- ектировщика состояния описываются при помощи булевой алгебры и двоичной арифметики. Соотношениями, зависящими от времени, обычно являются простые неравенства. Отметим, что по сравнению с усилиями, затрачиваемыми на построение реальных аналоговых схем, цифровое проектирование является более простым. Переход от аналоговых стандартных блоков к цифровым устрой- ствам коренным образом меняет методы конструирования в резуль- тате упрощения соотношений, описывающих связи между устрой- ствами. Цифровые устройства должны быть изготовлены из анало- говых элементов: резисторов, конденсаторов и индуктивностей. Рассмотрим использование аналоговых элементов в цифровых устройствах, а также кратко опишем свойства таких основных уст- ройств, называемых логическими схемами. Интегральные схемы, состоящие из нескольких логических схем, называются интеграль- ными схемами с малым уровнем интеграции (МИС). Более сложные соединения логических схем в цифровых подсистемах известны как интегральные схемы со средним уровнем интеграции (СИС). 227 4.9.1. Двоичные устройства на аналоговых элементах Сопротивление электрическому току в среде является одним из ос- новных параметров для большей части электрических схем. К числу первых практических использований переменного сопротивления от- носится микрофон Белла, в котором изменение давления воздуха при- водит к изменению плотности угольного порошка и его сопротивления таким образом, что переменный электрический ток, протекающий че- рез угольный порошок, воспроизводит изменение давления воздуха. Зависимость величины тока, протекающего через резистор, от величи- ны сопротивления резистора определяется законом Ома U = IR, где U – напряжение; I и R – соответственно ток и сопротивление. Если вместо резистора с сопротивлением R использовать два по- следовательно соединенных резистора с сопротивлениями R1 и R2, то U = IR = I(R1 + R2) = IR1 + IR2 = U1 + U2. Если же к двум последовательно соединенным резисторам при- ложено постоянное напряжение и сопротивление одного из них из- меняется, то напряжение на каждом резисторе изменяется таким об- разом, что величина приложенного напряжения остается постоян- ной (рис. 4.7). Для того чтобы получить более полное представление об изме- нении входного напряжения Uвx в зависимости от изменения сопро- тивления, рассмотрим несколько случаев. Так, если R1 = R2, то Uвых = 1 2 U . Более интересным является случай, когда R1 = 99R2; тогда V = I(R1 + R2) = I(100R2), и, следовательно, I = U / 100R2. 228 Таким образом, падение напряжения на сопротивлении R2 опре- деляется произведением IR2 = (U / 100R2) R2 = 0,01U. Рис. 4.7. Схема двоичного устройства Если же R2 = 99R1, то падение напряжения на сопротивлении R2 составит 0,99U. Отсюда следует, что если поддерживать величину сопротивления R1 постоянной, а величину сопротивления R2 изме- нять в пределах от первого до четвертого порядка, выходное напря- жение можно получать в пределах 1– 99 % величины приложенного напряжения. Большая часть применений линейной электроники связана с использованием небольших напряжений для изменения сопротивления в целях получения больших изменений выходной величины. Все это относится к способам усиления сигналов. В циф- ровой электронике существенным является не изменение выходного напряжения в пределах некоторого диапазона, а тот факт, что оно может становиться приблизительно равным либо приложенному напряжению, либо потенциалу земли. В первом случае говорят, что на выходе высокий уровень, во втором – что он низкий (состояние Uвых U U 1 = IR 1 U 2 = IR 2 R1 R2 229 низкого уровня). Существуют также и другие названия этих состоя- ний: «Включено»/«Выключено», ИСТИНА/ЛОЖЬ, 1/0 и т. д. Поскольку рассматриваемые электронные процессы изучаются в физике твердого тела, то здесь будет приведено лишь краткое опи- сание физических явлений в электронных приборах. Как известно, атомы примесей вводятся в кристаллическую ре- шетку для изменения структуры энергетических зон таким образом, что приложение к кристаллу управляющих потенциалов обеспечи- вает изменение этих зон. Сопротивление электрическому току, про- текающему через кристаллическую решетку, в значительной степени зависит от энергетических зон. Следовательно, изменение структу- ры энергетических зон сильно влияет на величину сопротивления. Так как кристалл кремния покрыт слоем окиси металла, то соответ- ственно полупроводниковый прибор называют прибором со струк- турой металл-окисел-полупроводник (МОП-прибор). Приложение к затвору из окиси металла электрического поля обусловливает из- менение сопротивления. Таким образом, полевой транзистор со структурой металл-окисел-полупроводник (полевой МОП-транзис- тор) регулирует величину тока в зависимости от величины прило- женного электрического поля. Сущность работы полевого МОП- транзистора заключается в том, что его затвор управляет величиной тока между истоком и стоком. Физическая структура и схемное обозначение полевого МОП-транзистора даны на рис. 4.8. Рис. 4.8. Логический элемент «Истина–ложь» 230 Поскольку полевой МОП-транзистор можно представить в виде переменного сопротивления, управляемого потенциалом зазора, заменим переменное сопротивление R2 резисторной пары полевым МОП-транзистором (рис. 4.9). Рис. 4.9. Полевой МОП-транзистор Так как сопротивление полевого МОП-транзистора изменяется в зависимости от изменения потенциала затвора, то любое сопротив- ление (в пределах диапазона сопротивлений полевого МОП-тран- зистора) можно получить посредством приложения соответствующе- го потенциала к затвору полевого МОП-транзистора. Таким образом, постоянное сопротивление нагрузки, изображенное в схеме как со- противление R, можно также заменить полевым МОП-транзистором (см. рис. 4.9). Теперь резисторная пара образована полевыми МОП- транзисторами, при этом сопротивление верхнего резистора, соответ- ствующее сопротивлению нагрузки Rн, фиксируется подачей посто- янного потенциала затвора, а сопротивление нижнего, или перемен- ного, резистора регулируется переменным потенциалом затвора. Ограничивая величину Uвх значениями, которые обеспечивают удовлетворение величины сопротивления полевого МОП-транзис- тора RMОП одному из следующих условий: UвыхUвых Uвх = U3 Uвх RМОП Eu Eu Rн R Ec E3 Ec 231 RMОП > 9Rн или RMОП < (1/9)Rн, можно получить выходное напряжение Uвых либо больше 0,9Ес, либо меньше 0,1Ес соответственно. Пока мы пренебрегаем переходными значениями между этими уровнями. Выходное напряжение считают высоким (Uвых > 0,9Eс) или низким (Uвых < 0,1Eс), а полупроводнико- вый прибор, схема которого показана на рис. 4.8 справа, является базовым элементом схем на полевых МОП-транзисторах. В боль- ших интегральных схемах (БИС, схемы с большим уровнем инте- грации) в одном (монолитном) кремниевом кристалле размещаются тысячи таких приборов. Технология БИС, в которой используются р-канальные МОП- транзисторы, позволяет получать монолитный центральный про- цессор (ЦП). Соотношения между входными и выходными напря- жениями имеют логические аналогии, что следует из приводимого ниже анализа. Поскольку полупроводниковые приборы выполня- ются на одном кристалле, в схеме на рис. 4.10 изображена общая подложка. Схема работает таким образом, что низкому входному напряжению соответствует высокое выходное напряжение и, на- оборот, высокое входное напряжение обеспечивает низкое напря- жение на выходе. Способность этого физического прибора инвер- тировать напряжение имеет логическую аналогию с функцией НЕ, т. е. логическое описание этой зависимости есть ВЫХОД = НЕ (ВХОД). Но одной только схемы НЕ недостаточно для реализации различных других логических операций. Расширим область приме- нения МОП-транзисторов, рассмотрев схему с двумя последова- тельно включенными переменными сопротивлениями RA и RB. Так как нас интересуют только состояния с весьма большим и малым сопротивлениями (по отношению к сопротивлению нагрузки), то очевидно, что сумма обоих сопротивлений мала по сравнению с сопротивлением нагрузки только в том случае, когда величины RA и RB незначительны. 232 Рис. 4.10. Логический элемент НЕ И В схеме с двумя полевыми МОП-транзисторами, соединенными последовательно с нагрузочным полевым МОП-транзистором (рис. 4.11), выходное напряжение будет низким лишь в том случае, когда входные напряжения UA и UB высокие. Поскольку инверсия сохраняется, логическое выражение, описывающее эту зависимость, имеет вид Квых = НЕ(UA И UB). Это выражение настолько часто употребляется, что сокращенно названо логической функцией NAND (НЕ И). Черта над символами, плюс ( + ) и точка (•) в системе стандартных логических обозначе- ний в электронике соответствуют логическому отрицанию, опера- циям ИЛИ и И соответственно. В данной системе обозначений вы- ражение для выходного напряжения примет вид ВЫХОД = A B . Символы, соответствующие напряжениям, здесь вообще опуще- ны, поскольку для нас интерес представляют прежде всего логиче- ские соотношения и только затем – уже физические величины. При- бор с цепью общей подложки, реализующий эту логическую функ- цию, показан на рис. 4.10. Так как мы будем рассматривать только Uвых Uвх Eu Ec E3 233 полевые МОП-транзисторы на общей подложке, цепь подложки схематически изображать в дальнейшем не будем. Две схемы без цепи подложки показаны на рис. 4.12, при этом под каждой элек- трической схемой дано ее логическое обозначение. Рис. 4.11. Логический элемент ИЛИ И Рис. 4.12. Схема без цепи подложки 234 Из сказанного выше следует, что логическую схему ИЛИ можно построить на двух параллельно включенных полевых МОП-тран- зисторах. Фактически она выполняется в виде инвертора, или схемы НЕ ИЛИ, по тем же соображениям, что и схема НЕ. Можно было бы построить логические схемы И и ИЛИ, подав выходное напряжение на вход инвертора, но дополнительные затраты в этом случае, т. е. лишний инвертор, не оправданы. На языке теории множеств соответствующие схемы изображены на рис. 4.13. Рис. 4.13. Логические операции на языке множеств Причины, обусловившие переход к двоичным системам, весьма разнообразны, но, пожалуй, самым очевидным достоинством таких систем является снижение требований, предъявляемых к выходу дво- ичной схемы, по сравнению с выходом аналоговой схемы. Информа- ция в аналоговой схеме представлена в виде величины напряжения (или тока), и любые отклонения от требуемого значения, даже самые малые, приводят к потере информации. С двоичной схемой связан все- го лишь 1 бит информации, значение которого определяется тем, в ка- ком из двух возможных состояний находится выход схемы. Рассмотрим проблему передачи фиксированного количества ин- формации, например 20 бит, посредством электронного сигнала. Каждый бит информации позволяет сделать выбор между двумя равновероятными вариантами; поэтому с использованием 20 бит можно представить 220 или 1048576 возможных вариантов. Таким образом, весь диапазон выходного сигнала делят на 220 равных час- тей и, определяя, в какой части этого диапазона находится аналого- вый выходной сигнал, выделяют 20 бит информации. Для диапазона напряжений 0–10 В приращение составляет 10 мкВ, и сконструировать реальную схему с такой точностью в пределах 235 существующих диапазонов изменения рабочих температур и помех очень трудно или по крайней мере дорого. Один из вариантов ре- шения проблемы заключается в использовании 20 двоичных схем, каждый выход которых несет 1 бит информации. Хотя это и ведет к увеличению числа используемых схем, зато стоимость каждой такой схемы значительно снижается. Рассмотрим другой пример. Получение 40 бит информации обес- печивается либо аналоговой схемой, способной генерировать и выде- лять напряжение 10 пВ, либо 40 обычными двоичными схемами типа Включено/Выключено. Очевидно, что при обработке большого коли- чества информации из-за разницы в стоимости предпочтение отдает- ся двоичным схемам. Диаграммы на рис. 4.14 иллюстрируют инфор- мационные возможности аналоговой и двоичной схем. Рис. 4.14. Диаграммы информационных возможностей аналоговой и двоичной схем В аналоговой схеме напряжение помех в одно приращение, до- бавленное к выходному сигналу на любом уровне, искажает инфор- мацию, тогда как в двоичном устройстве это возможно лишь в оп- ределенной области от порога срабатывания. Добавление помех к любому другому значению двоичного выхода не оказывает ника- кого влияния на работу схемы. Даже эту критическую для двоич- ных схем область можно исключить, образовав «запрещенную зо- ну», разделяющую две области, при условии что (за исключением переходов) уровень выходного напряжения всегда должен быть выше (в состоянии «Включено») или ниже (в состоянии «Выключе- но») этой зоны. Данная зона является запрещенной в следующем смысле. Изготовитель прибора гарантирует, что при выполнении определенных, довольно простых, требований в процессе его экс- плуатации уровень напряжения включения никогда не станет ниже 236 минимального значения, а уровень напряжения выключения нико- гда не превысит установленной величины (при отсутствии помех). Большая часть СИС, используемых для сопряжения БИС на МОП- структурах, – биполярные ТТЛ-схемы; уровни напряжения для это- го семейства приборов показаны на рис. 4.15. Рис. 4.15. Уровни напряжения семейства приборов СИС: 1 – гарантированный диапазон выходного напряжения для логической 1; 2 – гаранти- рованный запас помехоустойчивости постоянной составляющей для логической 1; 3 – гарантированный запас помехоустойчивости постоянной составляющей для логи- ческого 0; 4 – гарантированный диапазон выходного напряжения для логического 0; 5 – допустимый диапазон входного напряжения для логической 1; 6 – для входных сигналов входного напряжения для логического 0 Самые простые вентильные схемы или просто вентили известны как схемы И, ИЛИ, НЕ ИЛИ и НЕ И. Название схем связано с их обычным использованием. Вентиль И — схема с N входами и од- ним выходом; при этом на выходе высокий уровень сигнала имеет место в том случае, когда на всех входах также высокий уровень сигналов (т. е. вход 1 И, вход 2 И, вход 3 И...). Работа такой схемы определяется таблицей истинности, представленной на рис. 4.16 вместе с условным обозначением вентиля. 237 Рис. 4.16. Схема ИЛИ Для простоты на рис. 4.16 дано условное обозначение схемы И только на два входа. Схема названа вентилем (gate) потому, что, как видно из таблицы истинности, один входной сигнал можно исполь- зовать для прохождения (gating) через схему другого сигнала. Так как схема полностью симметрична, сигнал на входе А назовем ус- ловно управляющим сигналом, а сигнал на выходе схемы – сигна- лом, управляемым сигналом А. Пусть сигнал на входе В – последо- вательность прямоугольных импульсов, а на входе А – последова- тельность импульсов гораздо большей длительности. Форма вы- ходного сигнала в зависимости от формы входных сигналов показа- на на рис. 4.17. Рис. 4.17. Схема действия вентиля Другой основной двоичной логической схемой является вентиль ИЛИ. Вентиль ИЛИ – схема с N входами и одним выходом, на ко- тором устанавливается сигнал высокого уровня в том случае, если хотя бы на одном из входов действует сигнал высокого уровня (т. е. вход 1 ИЛИ, вход 2 ИЛИ, вход 3 ИЛИ...). Таблица истинности и ус- ловное обозначение этого вентиля показаны на рис. 4.18. 238 Рис. 4.18. Схема И Форма выходного сигнала при действии на входах таких же сиг- налов, как и в рассмотренном выше случае, показана на рис. 4.19. Рис. 4.19. Форма выходного сигнала Простейшая вентильная схема – инвертор или схема НЕ, таблица истинности и условное обозначение которой приведены на рис. 4.20. Рис. 4.20. Схема–инвертор Использование инверторов в схемах показано на рис. 4.21. Таблица истинности инвертора Обозначение инвертора 239 Рис. 4.21. Использование инверторов в логических схемах Схема ИЛИ с инвертором (см. рис. 4.21 вверху слева) известна как схема НЕ ИЛИ. Другие схемы – вентили И и НЕ И с тремя вхо- дами и с инверторами на некоторых из них (см. рис. 4.21). Исходя из стоимости и эффективности, в качестве базовых схем ТТЛ-семей- ства используют схемы НЕ, НЕ ИЛИ и НЕ И. Еще одной базовой логической схемой является вентиль ИСКЛЮ- ЧАЮЩЕЕ ИЛИ, на выходе которого присутствует сигнал низкого уровня, если на обоих входах сигналы одинакового уровня, и высо- кого – в противном случае. Таблица истинности и условное обозна- чение вентиля ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ показаны на рис. 4.22. Рис. 4.22. Схема ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ Из таблицы истинности видно, что вентиль ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ можно использовать как компаратор для сравнения входных сигналов; на выходе вентиля всегда высокий уровень сигнала при несовпадении последних. Схема ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ, реализо- ванная на рассмотренных выше вентилях, показана на рис. 4.23. 240 Рис. 4.23. Вентиль схемы ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ Функция сравнения имеет существенное значение при выполне- нии арифметических и логических операций, однако схема ИСКЛЮ- ЧАЮЩЕЕ ИЛИ предоставляет еще большие возможности. Сле- дующая схема идентифицирует сумму S и перенос С. Из рассмотре- ния всех возможных комбинаций входных сигналов видно, что схе- ма вырабатывает соответствующий сигнал суммы и сигнал перено- са. Такая схема получила название полусумматора (рис. 4.24). Рис. 4.24. Полусумматор Схема носит такое название потому, что в ней производится сложение только первых разрядов чисел. Для сложения двух стар- ших разрядов в такой схеме предусмотрены прием и прибавление переноса из предыдущего разряда. Два полусумматора, включенные 241 так, как показано на рис. 4.25, выдают требуемый результат сложе- ния во всех случаях, что нетрудно проверить по таблице истинно- сти. Такие схемы можно включать в параллель для получения лю- бого числа разрядов. Следовательно, с учетом того, что вычитание, умножение и деление можно производить посредством инвертиро- вания и сложения, мы уже располагаем основными схемами, необ- ходимыми для использования двоичной арифметики. Рис. 4.25. Схема включения полусумматора При рассмотрении простых вентильных схем следует заметить, что согласно теореме де Моргана в курсе дискретной математики функцию НЕ ИЛИ можно выразить через функции И и НЕ, т. е. лю- бую логическую операцию можно свести к двум основным логиче- ским операциям – либо И НЕ, либо ИЛИ НЕ (рис. 4.26). 242 Рис. 4.26. Сведение логических операций к операциям И НЕ, ИЛИ НЕ Аппаратные средства на уровне вентильных схем – это инте- гральные схемы с малым уровнем интеграции. Имеются модули почти всех используемых логических cхем на два, три, четыре вхо- да. Например, основные интегральные схемы семейства TTL 7400 показаны на рис. 4.27. Рис. 4.27. Интегральные схемы семейства TTL 7400 243 Из анализа работы схемы на рис. 4.28 видно, что это вентиль ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ, состоящий из вентилей НЕ И. Рис. 4.28. Пример вентиля ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ На аналогичных примерах можно показать, что как функция НЕ И, так и функция НЕ ИЛИ являются основными функциями бу- левой алгебры, через которые можно выразить все остальные ло- гические функции. Ниже приведено аналитическое доказательство. Определим функцию НЕ И как f(a, b) = a b ; тогда     ( , ); ( , ), ( , ) ; ( , ), ( , ) . a f a a a b f f a b f a b a b f f a a f b b      Переход от булевой алгебры к логическим схемам достаточно прост. Рассмотрим равенство ( ) ( )y A B C D A B      , схемная реализация которого показана на рис. 4.29. Имеются четыре входа для переменных и один выход результа- та. Из рассмотрения схемы сразу нельзя сказать, можно ли ее пред- ставить в более простом виде. На основании булевых теорем приве- денное выше равенство преобразуем к виду ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y A B C D A B A B C D A B A B              . 244 Таким образом, существует более простой и дешевый путь полу- чения того же выхода – реализация функции НЕ ИЛИ переменных А и В, так как выход не зависит от переменных С и D. Рис. 4.29. Реализация перехода к логическим схемам В качестве примера использования дискретных логических вен- тилей рассмотрим следующий. П р и м е р Я пойду в кино, если идет хороший фильм и есть машина или если телевизор сломан и нет дождя. Построить схему, которая даст от- вет, пойду ли я в кино, при задании соответствующих условий. Ус- ловие можно записать в виде логического выражения F(A, В, С, D) = (A·B) + (C·D), где А – демонстрируется хороший фильм; В – есть машина; С – телевизор сломан; D – дождя нет. Схемная реализация этого выражения показана на рис. 4.30. Подсоединив выключатели к входам А, В, С и D и индикаторную лампочку к выходу, самостоятельно получить ответы на вопросы, сформулированные в виде выражения F (ДА, НЕТ, НЕТ, ДА). 245 Рис. 4.30. Схемная реализация выражения ДА, НЕТ 4.9.2. Цифровые стандартные блоки Самые простые из существующих в настоящее время стандарт- ных блоков – блоки, выполняющие логические операции И, НЕ И, ИЛИ, НЕ ИЛИ и ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ над одноразрядными двоичными словами, число которых находится в пределах 2–12. Имеются блоки сложения двоичных кодов различной длины, блоки для подсчета двоичных импульсов на входе и выдачи их суммы в двоичном коде, а также счетчики по модулю N, вырабатывающие один выходной импульс на каждые N входных импульсов. Блоки компараторов сравнивают два слова в двоичном коде, на- ходящихся в двух входных портах, и в третий порт выдают резуль- тат сравнения. Блоки умножения умножают два двоичных числа с прибавлением третьего для получения арифметического результата в двоичном коде. Существуют стандартные блоки-дешифраторы двоичных n-раз- рядных слов команд для выбора одной из 2n выходных линий и аналогичные функциональные блоки, выбирающие одну из 2n вход- ных линий. Фиксаторы принимают и хранят n-разрядные слова, предназначенные для последующего использования. Последова- тельные регистры получают последовательные данные и хранят их в виде цепочки рециркуляции. Преобразователи принимают n-раз- рядные последовательные слова, поступающие по входной линии, и выдают их в параллельном коде на n выходов или последователь- но на выходную линию. Имеются также стандартные блоки, выпол- няющие как ту, так и другую функцию. Шифраторы приоритетов выделяют сигнал с наивысшим приоритетом из любой комбинации 246 сигналов, поступающих по 2n входным линиям, и выдают n-разряд- ное двоичное слово, идентифицирующее эту линию. К увеличиваю- щемуся числу блоков всех типов относятся так называемые три- стабильные устройства, которые кроме обычных двух состояний Включено/Выключено имеют третье состояние, в котором они для остальной части схемы фактически «не существуют». Имеются блоки, преобразующие n-разрядные слова в m-разряд- ные слова, где т – любое целое число, а также блоки, предназна- ченные для накопления 16 384 бит данных и случайной выдачи лю- бого из них за один временной цикл. Многие из устройств можно группировать для увеличения либо числа обрабатываемых слов, либо длины последних, либо числа и длины слов одновременно. Одни стандартные блоки предназначены для выдачи последова- тельности импульсов в зависимости от входного слова, другие – для выработки признака четности при передаче или контроле на чет- ность принимаемых кодов. Некоторые запоминающие регистры из- меняют свое содержимое в зависимости от команды в порте управ- ления, а блоки памяти, адресуемые по своему содержимому, делают возможным ассоциативный поиск данных на основе некоторых ха- рактеристик самих данных. Многофункциональные блоки, такие как АЛУ и ЦП, выбирают команды и данные, выполняют команды и выдают результаты. Применяется блок асинхронного приемопередатчика, который в режиме передачи принимает параллельные слова, добавляет к ним признаки начала, четности и конца слова и передает эту информа- цию последовательно в аналогичный блок другой асинхронной сис- темы, работающей в режиме приема. Приемник идентифицирует признак начала слова, принимает последовательное слово, контро- лирует его на четность, отыскивает признак конца слова, исключает дополнительные признаки, затем выдает признак приема слова и само слово в параллельном коде. Другие внутрисистемные блоки принимают до п m-разрядных кодов с одной скоростью и передают их с другой скоростью. Импульсные синхронизаторы предназначены для синхронизации поступающих импульсов с тактовыми импульсами системы или с другой командой синхронизации. Блоки сопряжения имеют одинаковые характеристики, что по- зволяет их непосредственно соединять. Есть также блоки сопряже- 247 ния семейств, входы которых имеют характеристики одного семей- ства, а выходы – характеристики другого семейства. 4.9.3. Аналого-цифровые стандартные блоки Кроме чисто цифровых стандартных блоков, которые были описа- ны выше, имеется много различных аналого-цифровых блоков, вклю- чающих преобразователи кода во временные интервалы, цифроанало- говые (ЦАП) и аналого-цифровые преобразователи (АЦП) напряже- ния. По одному или более входу или выходу эти блоки совместимы с одним семейством ИС, по остальным входам и выходам – с цифро- выми преобразователями напряжения. Эти устройства можно эффек- тивно использовать для сопряжения цифровых систем с аналоговыми. В качестве наглядного примера таких устройств можно привести светоизлучающий диод, воспроизводящий буквенный символ светя- щимися точками или линиями. Блок противоположного типа – фо- тодиодная матрица, выдающая двоичные 0 или 1 в зависимости от интенсивности света на соответствующем фотодиоде. Еще одним подобным устройством является фотоматрица с автоматическим сканированием, состоящая из большого числа рядов элементов, ска- нирование которых осуществляется аналогично тому, как это делает- ся в телевидении. Входная величина – интенсивность света, выход- ная – последовательность импульсов зарядки, амплитуда которых прямо пропорциональна интенсивности света соответствующего фо- тодиода. Синхронизация автоматического сканирования матрицы может осуществляться тактовыми импульсами, совместимыми с уст- ройствами соответствующего семейства цифровых блоков. Сущест- вует также большое количество различных преобразователей свето- вых величин в код и кода в световые величины, которые можно счи- тать основными стандартными блоками для разработчиков. Цифроаналоговые преобразователи напряжения преобразуют n-разрядные двоичные коды, поступающие на дискретные входы, в один из 2n возможных уровней напряжения. Аналого-цифровые блоки, наоборот, устанавливают, какому из 2n уровней напряжения соответствует уровень входного напряжения, и выдают n-разряд- ный двоичный код, содержащий эту информацию. Другие блоки реагируют на переходы пороговых значений, из- меняя состояние своего выхода с двоичного 0 на двоичную 1, когда 248 такие переходы имеют место. Нуль-детекторы изменяют состояние своего выхода, если входное напряжение переходит уровень 0. Не- которые пороговые детекторы являются приборами мгновенного действия в том смысле, что в каждый момент времени выход опре- деляет состояние входа, тогда как другие устройства срабатывают только при переходе входным напряжением определенного порого- вого уровня, причем это состояние запоминается до поступления команды СБРОС. Более сложные блоки измеряют непрерывное входное напряже- ние и выдают четырехразрядный двоично-десятичный код для управ- ления дисплеями или другими цифровыми блоками. Таймер, со- вместимый с цифровыми блоками и вырабатывающий импульсы длительностью от микросекунд до часов, является в высшей степени универсальным стандартным блоком. Имеется довольно большое семейство линейных устройств. Так, для сопряжения стандартных цифровых блоков с нерегулируемым источником питания можно использовать прецизионные регуляторы напряжения. К другим линейным устройствам, которые редко ис- пользуются с дискретными системами, относятся усилители мощно- сти, видеоусилители, операционные и дифференциальные усилители. Имеются также детектор ЧМ-сигналов, блок ограничителя, телеви- зионные системы, блок балансного модема для системы связи. Таким образом, использование элементов с переменным сопротив- лением в схеме делителя напряжения дает возможность получить дву- стабильный или двоичный схемный элемент. Для простоты из боль- шого разнообразия двустабильных элементов здесь рассмотрено толь- ко использование полевых МОП-транзисторов. На нескольких прос- тых схемах с этими приборами (см. рис. 4.9–4.30) показано, что зави- симость выходных напряжений от входных напряжений определялась логическими функциями НЕ, И, ИЛИ и т. д. Затем посредством ком- бинации различных вентилей были получены схемы компаратора (ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ) и сумматора. Эти основные логические схемы можно использовать как для выполнения логических операций и операций двоичной арифметики в компьютере, так и для конструи- рования более сложных элементов со средним уровнем интеграции. Выше был рассмотрен перечень некоторых классов компонентов СИС. Что касается основных вентилей, то здесь следует заметить, что логическая интерпретация функции вентиля – дело разработчика. 249 Согласно принятому условию, в терминах «положительной логики» считают входной сигнал 5 В высоким уровнем или ИСТИНОЙ, а 0 В – низким уровнем или ЛОЖЬЮ. В этом случае устройства ра- ботают так, как описано выше. Если же для сигналов 0 и 5 В были приняты противоположные значения, то пришлось бы использовать теорему де Моргана для определения того, что вентиль НЕ И поло- жительной логики становится вентилем ИЛИ отрицательной логики и т. д. В принципе, возможно любое обозначение при условии по- стоянства его использования. 4.10. Запоминающие элементы Схемы, рассмотренные выше, являлись схемами мгновенного срабатывания в том смысле, что выходной сигнал следовал непо- средственно за входным сигналом. Во многих случаях необходимо сохранить информацию о том, что какое-то событие имело место. Вряд ли найдет применение счетчик импульсов, который всякий раз после прохождения импульса возвращается в исходное состояние. Необходима схема, которая могла бы переходить из своего исход- ного устойчивого состояния в другое устойчивое состояние, т. е. двустабильная схема, остающаяся во втором состоянии по прошест- вии события, вызвавшего ее переход в это состояние. Как уже было показано выше, все комбинационные логические схемы можно построить только на вентилях НЕ И; поэтому запоми- нающий элемент можно создать посредством использования лишь этих вентилей. В основу построения такого элемента положен сле- дующий метод: вентили соединены таким образом, чтобы входной сигнал, поступающий на один из них, как-то воздействовал и на другие вентили. Такое соединение является, вообще говоря, необ- ходимым, так как один вентиль НЕ И не может запоминать инфор- мацию. Поэтому выход одного вентиля НЕ И подсоединяется об- ратно ко входу (или входам) других вентилей НЕ И схемы. Проана- лизировав вопрос о необходимости обратной связи, попытаемся определить минимально необходимое число таких вентилей. В дан- ном случае интуитивно можно предположить, что двустабильности можно достигнуть обеспечив симметричность схемы, а для наибо- лее простой двухвентильной схемы обратная связь осуществляется таким образом, что выход одного вентиля НЕ И соединен со входом 250 другого вентиля. Такая схема с перекрестными соединениями пока- зана на рис. 4.31. Рис. 4.31. Схема с перекрестными соединениями Предположим, что на нижний вход схемы действует сигнал, со- ответствующий логической 1, а на выходе Q – логическому 0. Тогда на выходе Q будет сигнал, соответствующий логической 1, и если на вход R также воздействует сигнал, соответствующий логической 1, то схема будет находиться в устойчивом состоянии. Предположим, что вход R – управляющий. Рассмотрим, что произойдет со схемой, если на входе R установится низкий уровень. В соответствии с таб- лицей истинности вентиля НЕ И на выходе Q в этом случае устано- вится высокий уровень, который вызовет установку низкого уровня на выходе Q . То, что на выходе Q уровень сигнала стал низким, не скажется на уровне выхода Q, который останется высоким. Это со- стояние схемы также устойчивое. Важно то, что когда уровень на входе R становится опять высоким, уровень на выходе Q остается неизменным. Таким образом, схема в целом фиксирует тот факт, что «на вход R поступил 0 в какой-то момент времени в прошлом». Полная симметрия, разумеется, обеспечивает выполнение симмет- ричной операции. Вместо уровня, соответствующего логической 1, на нижнем входе может быть произвольный уровень S. Таблица ис- тинности для такой схемы, получившей название RS-триггера, при- ведена рядом с ее схемным обозначением на рис. 4.32. 251 Рис. 4.32. R–S-триггер Таким образом посредством простой и недорогой схемы обеспечи- вается запоминание информации. Подобная элементарная схема назы- вается фиксатором, так как происходящие на любом из ее входов со- ответствующие изменения переводят схему в другое состояние. В на- стоящее время имеется много других схем для запоминания инфор- мации, но все они работают по принципу элементарного фиксатора. Фиксатор вводит в рассмотренные схемы новый параметр – пре- дысторию. До его ввода состояние выхода любой схемы на венти- лях зависело от сигналов на ее входах в конкретный момент време- ни. Теперь же можно строить схемы, сигнал на выходе которых бу- дет зависеть не только от входных, но и от предшествующих сиг- налов. При такой возможности запоминания встает новая проблема. Во всех приведенных выше рассуждениях предполагалось, что, по- добно множеству электронов, основные элементы по существу иден- тичны. Тот факт, что элементы практически никогда не бывают в точности одинаковыми, означает, что одни из них будут изменять состояние быстрее других и поэтому могут возникнуть непреду- смотренные промежуточные состояния. Ранее эти состояния не ока- зывали никакого влияния из-за их скоротечности, однако сейчас появилась возможность запоминания информации, обусловленной этими (нежелательными) состояниями. Таким образом, проблема проектирования во многих случаях становится труднопреодолимой. 252 Эта особенность большинства комбинационных логических схем получила название проблемы состязаний или гонок. Прежде чем приступить к ее рассмотрению, определим элементарный RS-триг- гер в терминах перекрестных вентилей НЕ ИЛИ (рис. 4.33). Рис. 4.33. R–S-триггер, реализующий схему НЕ ИЛИ В таблице истинности Qn обозначает состояние выхода триггера до изменения состояния входов, a Qn+1 – состояние выхода триггера после изменения состояния его входов. Как нетрудно видеть, когда на обоих входах низкий уровень, никаких изменений не происходит. Поступле- ние импульса на вход «Установка» вызывает переход выхода Q в со- стояние с высоким уровнем, а сигнал, подаваемый по линии «Сброс», возвращает выход Q в исходное состояние, которому соответствует низкий уровень. Если на обоих входах будут одновременно находить- ся высокие уровни, то с установкой на входе «Сброс» низкого уровня определится состояние схемы, которое до этого не было определено. Произвольным образом за стандартную схему RS-триггера выберем эту схему, а не схему на вентилях НЕ И, рассмотренную ранее. Проблема состязаний в комбинационных схемах связана с тем, что сигналы, проходящие через различные логические вентили, могут изменяться от вентиля к вентилю на величину, достаточную для ложного переброса схемы. Предположим, что задержка распростра- нения сигнала в цепи А минимальная, а в цепи В – максимальная. Схематически такой случай показан на рис. 4.34. 253 Рис. 4.34. Схема задержки распространения сигнала Если бы все компоненты одной цепи имели значительно мень- шую величину времени задержки прохождения сигнала, чем ком- поненты другой цепи, ложное срабатывание наверняка имело бы место и было бы зафиксировано. Одним из способов устранения этого недостатка является блокировка срабатывания триггера на время максимальной задержки. RS-триггер с такой блокировкой (рис. 4.35) получил название синхронизируемого триггера. Синхро- низируемый RS-триггер срабатывает от высокого уровня, поступаю- щего по любому из входов «Сброс» или «Установка», если на входе «Синхроимпульсы» также высокий уровень. Подобное прохождение сигналов через схему является эффек- тивным способом решения проблемы «состязаний». В системах с такими схемами весь непрерывный временной интервал работы собственно комбинационных логических схем разделен на дискрет- ные временные интервалы, связанные с синхронизируемыми систе- мами. Схемы такого типа называются последовательностными, так 254 как в них вместо состязаний имеет место последовательная смена состояний. Система с одним синхронизирующим сигналом назы- вается синхронной последовательностной системой. Если же ис- пользуются несколько независимых синхронизирующих сигналов, то такая система называется асинхронной последовательностной системой. Скорость передачи информации в последовательност- ной схеме определяется частотой генератора синхроимпульсов. Высокочастотные сигналы с узкими синхронизирующими импуль- сами используются для получения максимальной скорости пере- дачи информации. Рис. 4.35. Синхронизируемый триггер Необходимость в запоминании значительных объемов информа- ции вызвала создание интегральных схем, состоящих из большого числа запоминающих элементов. Основной запоминающий элемент в таких схемах называется ячейкой памяти. Ячейки памяти изготов- ляют с использованием одного, трех, четырех, шести или большего числа транзисторов. Простейшая ячейка памяти – однотранзистор- ная схема на полевом МОП-транзисторе (рис. 4.36), который вы- полняет функцию вентиля, т. е. когда транзистор включен, схему можно рассматривать как замкнутую цепь с нулевым сопротивле- нием, а когда выключен – как разомкнутую цепь фактически с бес- конечно большим сопротивлением. 255 Рис. 4.36. Простейшая ячейка памяти Таким образом в течение цикла «Запись» конденсатор заряжает- ся до уровня, соответствующего логической 1 или логическому 0, от шины выбора столбца полевого МОП-транзистора, управляемого шиной выбора ряда. Во время цикла «Чтение» заряд конденсатора изменяет потенциал отключенной шины выбора столбца, которая соединена с входом усилителя считывания. Конденсатор должен иметь достаточно большую емкость для получения считываемого сигнала требуемой величины и небольших размеров для большей плотности расположения элементов. Во избежание уменьшения за- ряда конденсатора вследствие утечки требуется его периодическая регенерация, а так как процесс чтения связан с разрушением дан- ных, содержимое ячейки необходимо восстанавливать после каждо- го цикла чтения. Ячейки памяти с регенерацией называются дина- мическими в отличие от статических ячеек, в которых не требуется дополнительных синхронизирующих и управляющих схем, связан- ных с этим процессом. Число запоминающих ячеек на кристаллах памяти определяется технологией изготовления кристаллов. Статические ЗУ имеют па- мять 4096 бит, организованную в виде матриц из 32  32 запоми- нающих элементов. Стандартная память динамических ЗУ на кри- сталле включает 16384 бит. Статические элементы проще использо- вать в схемах, но при этом увеличивается потребляемая мощность 256 и размер кристалла. В динамических ячейках на полевых МОП- транзисторах для обеспечения временного хранения данных в виде заряда используется паразитная емкость. Это делает ненужными элементы нагрузки, но приводит к появлению проблемы утечки за- ряда. Поскольку время утечки заряда с конденсатора определяется миллисекундами, необходима регенерация, или восстановление, заряда. Для схем регенерации обычно требуются специальные схе- мы синхронизации, которые усложняют аппаратуру и увеличивают ее стоимость. Это оправдано лишь в том случае, когда стоимость элементов нагрузки больше стоимости дополнительных схем. Так как с каждым разрядом памяти связаны два элемента нагрузки, зна- чительная экономия имеет место лишь при большом числе разря- дов (более 20000). Таким образом, память объемом 16 кб слов и более следует строить на динамических элементах, в других случаях можно ис- пользовать статические элементы. Многие запоминающие устрой- ства могут работать при пониженных уровнях напряжения, что приводит к уменьшению потребляемой мощности без потери дан- ных. Такой режим работы, называемый режимом хранения, эффек- тивен во многих случаях. Время обращения к МОП-памяти состав- ляет 0,1–2,0 мкс. Время обращения к ТТЛ-памяти гораздо меньше (50–150 нс), но зато больше потребляемая мощность и меньше чис- ло разрядов на один кристалл при большей стоимости. 4.11. Счетчики На рис. 4.37 для сравнения приведены выходной сигнал схемы с двумя устойчивыми состояниями, или T-триггера, и входной син- хронизирующий сигнал. Легко заметить, что двум входным син- хронизирующим импульсам соответствует только один выходной импульс. Такое соотношение входного и выходного сигналов – ха- рактерная особенность схем деления на два. Так как метод деления на два с выделением остатка используется для преобразования десятичных чисел в двоичные, то ясно, что по- следовательное соединение схем деления на два можно использо- вать для выдачи в двоичном виде любого произвольного числа им- пульсов. На рис. 4.38 показаны три схемы деления на два, соеди- ненные последовательно для получения схемы деления на восемь. 257 Рис. 4.37. Схема с двумя устойчивыми состояниями Рис. 4.38. Схемы деления на два 258 Здесь применяются JK-триггеры с единичными уровнями на обоих входах. Для иллюстрации счета на временной диаграмме по- казан выход каждого триггера. Так как для синхронизации общий синхронизирующий сигнал не используется, то эта схема асинхрон- ная. Поскольку триггеры ТТЛ-типа обычно перебрасываются отри- цательным фронтом входного сигнала, уровень выходного сигнала каждого каскада изменяется с изменением уровня входного сигнала до нуля. Когда уровень входного синхронизирующего сигнала пер- вого каскада становится низким, уровень выходного сигнала этого каскада делается высоким. Выходной сигнал первого каскада явля- ется входным синхронизирующим сигналом для второго каскада. Однако уровень выходного сигнала второго каскада не изменится до тех пор, пока уровень его входного синхронизирующего сигнала не станет низким. Уровень выходного сигнала первого каскада так- же останется прежним, пока на его вход не поступит следующий синхронизирующий импульс, по заднему фронту которого выход- ной уровень станет высоким. Аналогичным образом при поступле- нии двух импульсов на счетный вход каждого каскада вырабатыва- ется только один выходной импульс. Следовательно, N-каскадная схема делит частоту входных импульсов на 2N. Предположим, что схема находится в исходном состоянии, т. е. на выходе каждого каскада – низкий уровень. Характерная особен- ность схемы деления на N проявляется в том случае, если просмат- ривать состояния всех ее каскадов перед поступлением первого и каждого последующего входных импульсов. Ниже в таблице при- ведены состояния всех выходов QA, QB и QC , просмотренные перед приходом каждого входного синхронизирующего импульса. Число входных импульсов QC QB QA 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 259 Как видно из таблицы, выходы каскадов подсчитывают двоич- ные импульсы, поступающие на вход такой схемы. Цикл работы счетчика равен 2N. Соединяя выходы последующих каскадов с вхо- дами предшествующих каскадов, можно получить счетчик по лю- бому модулю, а затем его зациклить. Имеются различные конфигу- рации таких счетчиков и делителей частоты. 4.12. Сдвиговые регистры Выше была приведена схема двоичного счетчика, ряд триггеров которой соединен таким образом, что выход каскада п связан со счетным входом каскада п + 1. Схему используют для управления дисплеем или другими цифровыми схемами. Рассмотрим, какие еще схемы можно получить посредством последовательного соединения триггеров. Схема на триггерах D-типа, в которой выход каждого предыдущего каскада соединен с входом последующего, показана на рис. 4.39. Рис. 4.39. Схема на триггерах D-типа Цепь синхронная, так как использован единый синхронизирую- щий сигнал. Предположим, что первоначально она находится в ис- ходном состоянии (на всех выходах низкий уровень). Анализ работы такой схемы показывает, что сигнал на входе первого каскада про- ходит на его выход QA с поступлением первого синхронизирующего импульса. С приходом второго синхронизирующего импульса эти данные передаются на выход второго каскада QB. Аналогичным образом первый разряд данных с приходом каждо- го последующего синхронизирующего импульса сдвигается вправо. Так как процесс сдвига всех разрядов одинаков, входные данные 260 записываются в виде выходных сигналов триггеров каскадов таким образом, что их первый разряд оказывается самым крайним справа. Таким образом, для записи п-разрядного слова данных необходимо п синхронизирующих импульсов. Такие схемы временного хранения данных называются регистрами. Регистры, обладающие возможно- стью ввода и вывода данных посредством их последовательного сдвига влево и вправо, получили название сдвиговых регистров. Аналогично другим эффективным модулям имеется большое число сдвиговых регистров на ИС различной конфигурации. Диапа- зон изменения длины регистров – от 4 до 1000 разрядов и более, т. е. возможно более 1000 последовательных разрядов на модуль. Сдвиговые регистры с несколькими разрядами используются для вычислений и временного хранения данных, тогда как сдвиговые регистры с большим числом разрядов – для построения запоми- нающих устройств на ИС. В регистрах небольшой длины выход имеют все разряды, тогда как в длинных регистрах возможен дос- туп только ко входу первого и выходу последнего разряда. В при- водимой ниже таблице даны состояния четырехразрядного регистра при последовательной записи кода 1101 четырьмя синхронизирую- щими импульсами. Состояние элементов Вход данных QA QB Qc QD Начальное состояние Тактовый импульс 1 Тактовый импульс 2 Тактовый импульс 3 Тактовый импульс 4 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Способом хранения данных в сдвиговых регистрах с периодиче- ским обращением к каждому разряду памяти является петля рецир- куляции. Выход такого регистра связан с его входом, и данные сдви- гаются по бесконечному циклу. Очевидно, что для ввода данных в память должен существовать способ прерывания рециркуляции. Ввод производится по импульсу «Запись», который управляет рабо- той вентиля входной цепи. 261 4.13. Кодирование и стандартные СИС-блоки В предыдущих разделах на основе сочетания значений некоторо- го числа входных двоичных переменных были получены значения меньшего числа выходных двоичных переменных, являющихся функ- цией сочетания входных сигналов. Так, например, в соответствии с уравнением Y = АВ + CD четыре двоичные переменные А, В, С и D заменяются одной пере- менной Y, которая определяет истинность или ложность логического отношения между переменными в правой части уравнения. Это од- но из множества возможных отношений, которые могут существо- вать между переменными А, В, С и D. В соответствии с двоичной интерпретацией этих четырех переменных мы можем последова- тельно рассмотреть все возможные комбинации их значений, ис- пользуя обычное условие 1 = ИСТИНА, а 0 = ЛОЖЬ. Таким образом, между «полностью ложным» (А, В, С, D) = (0, 0, 0, 0) и «полностью истинным» (1, 1, 1, 1) входами находится набор всех возможных комбинаций переменных. Было отмечено наличие одно- значного соответствия между этими состояниями и числами в двоич- ной системе счисления. Теперь заметим, что для каждой комбинации значений переменных существует возможность построения по крайней мере одного уравнения, принимающего истинное значение только для этой комбинации. Простейшей иллюстрацией является функция И, представленная в приведенной ниже таблице. Двоичное число Возможная функция И четырех переменных 0000 0001 0010 0011 0Y A B C D    1Y A B C D    0Y A B C D    0Y A B C D    262 Из этой таблицы видно, что для N двоичных разрядов на входе легко получить два разных логических уравнения, которые можно использовать для определения требуемой комбинации значений пе- ременных. Нас интересуют логические схемы, генерирующие мно- жество битов информации на выходе в результате воздействия не- скольких битов на входе. Схемы такого рода необходимы для реше- ния задач выбора или адресации устройств. Выше было рассмотрено одновременное, или параллельное, по- ступление на схему входных сигналов. Существует множество си- туаций, в которых сигналы поступают на вход в последовательной форме. В этом случае, как и при кодировании параллельных сигна- лов, с каждой последовательностью входных сигналов можно со- поставить некоторый двоичный код. Примером подобного шифра- тора является двоичный счетчик импульсов. Если допустить, что вентиль на входе открыт в течение восьми временных периодов, в каждый из которых может поступить импульс, то возможные по- следовательности входных сигналов могут быть однозначно опре- делены при помощи восьмиразрядных двоичных чисел. Выходом двоичного счетчика является двоичный код, который содержит информацию о входной комбинации импульсов. Однако такая простейшая схема шифратора отображает входные последова- тельности сигналов D, F и G в одну точку, что приводит к потере ин- формации, содержащейся во входном потоке. Различия в перестанов- ках можно сохранить за счет введения дополнительных разрядов, необходимых для хранения этой информации. В то время как для описания входной комбинации из п единиц и (8 – п) нулей достаточ- но трех разрядов, для сохранения относительного расположения еди- ниц и нулей необходимо восемь разрядов. При соответствующем расположении триггеров всю информацию последовательности им- пульсов можно легко записать восемью битами. Это как раз то, что обычно получают в случае сдвигового регистра. Однако необходимо подчеркнуть, что счетчик не сохранит всей информации. В случае аналогового сигнала логические уравнения, приведен- ные вначале, не позволяют различать все 2 – 1 ложных состояний при выдаче неизменяемого сигнала истинного состояния. Потеря информации при использовании любого одного логического урав- нения, связывающего значения нескольких переменных, характерна 263 для многих цифровых систем, о чем необходимо помнить при про- ектировании систем. 4.14. Примеры решения задач Задача 4.1 Определить изменения выходных напряжений дифференциаль- ного усилителя (рис. 4.40) при подаче на его входы напряжений вх1 1U  мВ и вх2 2U   мВ, если коэффициенты усиления 1 2 20U UK K  и режим линейный. Найти дифференциальный коэффициент усиления. Рис. 4.40 Р е ш е н и е Изменения напряжений на отдельных выходах усилителя, по оп- ределению, равны 3вых1 1 вх1 вх2( ) 20(1 2) 10 60UU K U U        мВ; вых2 2 вх1 вх2( ) 60UU K U U      мВ. При симметричном включении нагрузки вых2 вых1 вых2 ) 120U U U     МВ. 264 По определению, дифференциальный коэффициент усиления вых вх1 вх2 1 2/ ( ) 40U U UK U U U K K     . З а д а ч а 4.2 Изобразить передаточные характеристики вых1 вх( )U U и вых вх( )U U дифференциального усилителя, схема которого приведена на рис. 4.41, а, если вх вх1 вх2U U U  . Рис. 4.41. Схема (а) и передаточные характеристики (б) дифференциального усилителя Ответ: характеристики приведены на рис. 4.41, б, в. З а д а ч а 4.3 На рис. 4.42 изображена типовая схема включения операционного усилителя в масштабном преобразователе. Определить сопротивле- ния резисторов R1, R2 и R3, если KU = 100 и Rн = 10 кОм, Rвх = 50 кОм, Rвых = 1 кОм, Rr = 100 Ом. а б в 265 Рис. 4.42. Типовая схема включения операционного определителя Р е ш е н и е Для получения высокой стабильности коэффициента усиления сопротивления R1 выбирают из условия 1 вхrR R R  , поэтому R1 = 2 кОм. При 2 выхR R из-за большого KU (около 1000) для операционного усилителя без отрицательной обратной связи (ООС) 2 1/UK R R . Поэтому R2 = 100 · 2 · 103 = 200 кОм. Эквивалентное сопротивление нагрузки усилителя н н 2 н 2/ ( )R R R R R   (или равно значению, рекомендованному в паспорте ОУ). В нашем случае н 9,5R  кОм выхR . Для симметричного ОУ необходимо, чтобы 1 2 3 1 2 ( )r r R R RR R R R    . 266 З а д а ч а 4.4 Для масштабного преобразователя, параметры которого приве- дены в задаче 4.3 (рис. 4.43), найти наибольшее напряжение вхU  в линейном режиме, если вых 7U  В. Рис. 4.43. Схема масштабного преобразователя Ответ: вхU  = 70 мВ. З а д а ч а 4.5 Найти выражение для относительной амплитудно-частотной харак- теристики избирательного усилителя ( )UK v рассчитать наибольший коэффициент усиления, соответствующую частоту и полосу пропуска- ния. Схема усилителя приведена на рис. 4.43, а и имеет следующие параметры элементов: R 1= 200 Ом, R2 = 20 кОм, выходное сопротив- ление ОУ Rвых = 1 кОм, индуктивность L = 0,1 мГн, С = 6,32 нФ. Р е ш е н и е Амплитудно-частотную характеристику усилителя можно полу- чить из схемы замещения, рис. 4.43, б. Активный двухполюсник Еэк и Rэк отображает ОУ с цепью ООС со стороны выходных полюсов. Поэтому 3 2эк вх вх вх 1 20 10 100 200 RЕ U U U R    ; 1 2 выхэк 1 2 вых ( ) (0,2 20) 1 0,95 0,2 20 1 R R RR R R R         кОм. а б 267 При гармоническом входном сигнале комплексное выходное на- пряжение вых эк к эк к/ ( )U Е Z R Z   . Здесь Zк – комплексное сопротивление параллельного колеба- тельного контура: к 2 1 . 1 1 jL j LCZ j LCj L C              Для упрощения записи введем характеристическое сопротивление резL   , где 6рез 1 / 1,26 10LC    рад/с – резонансная частота контура, и относительную частоту рез/    . Тогда ρ = 126 Ом и к 2 1 Z     . Комплексный коэффициент усиления    вых 2 2 22вх 1 эк к эк 1 100 . / 1 11 1 7,51 U U R RK U R R Z R jR j                 268 Зависимость относительного коэффициента усиления от частоты имеет вид * 22 1 . 11 57,5 UK        Наибольший коэффициент усиления достигается при v = 1 (ω = ωрез) и равен 100. Граница полосы пропускания по уровню KUmin = 0,707, KUmax = 70,7, определяется из уравнения 22 1 1 . 2 11 57,5        Отсюда следует уравнение v2 ± 0,132v – 1 = 0, которое позволяет рассчитать относительные граничные частоты: н 0,132 0,132 1 0,94; 2 4 v      в 0,132 0,132 1 1,07. 2 4 v      Полоса пропускания в относительных единицах Δv = vв – vн = 1,07 – 0,94 = 0,13, при этом Δω = Δvωрез = 0,166 · 102 рад/с и Δf = Δω/(2π) = 26,4 кГц. 269 З а д а ч а 4.6 Определить наибольший коэффициент усиления, резонансную частоту и полосу пропускания избирательного усилителя, схема ко- торого изображена на рис. 4.44, если R1 = 200 Ом, Rвых = 1 кОм, L = 10 мГн, Ск = 632 пФ, Rк = 100 Ом. Рис. 4.44. Схема избирательного усилителя Р е ш е н и е Комплексное сопротивление колебательного контура       к кк 2 к к 1 . 1 1 R jL j C Qv jZ v j v QR j L C                Здесь v = ω/ωpeз, ωрез  1/ 60,4 10LC   рад/с, ρ = Lωрез = 4,0 кОм, Q = ρ/Rк = 40 (Q – добротность контура). 270 Наибольшее значение Zк достигается на частоте v = 1: 2 3к 1 158 10Z Q Q       Ом, и значительно превышает Rвых, R1. Поэтому max KU = Zк/R1 = 158 · 103/200 = 790. Полосу пропускания усилителя можно определить по добротнос- ти контура: Δω = ωрез /Q = 0,4 · 106/40 = 104 рад/с и Δf = Δω/(2π)  1,6 кГц. 271 5. УПРАВЛЯЮЩИЕ ПОДСИСТЕМЫ – СИНТЕЗ КИБЕРНЕТИКИ И ИНФОРМАТИКИ 5.1. Аналоговое и цифровое управление Чтобы целенаправленно перемещать предметы с помощью элек- тродвигателей постоянного тока или гидро(пневмо)приводов и др., необходимо использовать управляющие устройства. До появления микропроцессоров в качестве таких устройств использовались ана- логовые системы. В качестве примера рассмотрим управление элек- тродвигателем по углу поворота вала (рис. 5.1, а). а б Рис. 5.1. Сопоставление аналоговой обратной связи (а) с обратной связью, использующей программные средства (б) Для осуществления такого управления можно воспользоваться по- тенциометром, поворачивающимся вместе с валом двигателя. Напря- жение, снимаемое с потенциометра, сравнивается с напряжением, со- ответствующим задаваемому углу. Определяется разность этих на- пряжений, которая усиливается в несколько раз и подается на вход электродвигателя. (Следует иметь в виду, что в такой цепи довольно легко могут возникать колебания.) В рассматриваемом случае с помо- щью аналоговой цепи можно просто определять разность двух вход- ных сигналов, умножать на постоянную величину, дифференцировать 272 и интегрировать. В большинстве случаев вполне достаточно управ- ляющего устройства, основанного на использовании такой цепи. Если воспользоваться способом, при котором задаваемая вели- чина (см. рис. 5.1) будет устанавливаться с помощью микропроцес- соров, то угол поворота двигателя можно регулировать по програм- ме, реализующей алгоритм управления. К робототехническим устройствам часто предъявляются требова- ния обеспечения точного управления. Например, когда необходимо определять положение «пальцев» схвата манипулятора, обеспечивать их движение с определенной скоростью, с заданной силой захватывать предмет, целесообразно использовать разнообразные способы управ- ления. В таких случаях за счет соответствующей организации про- граммных средств удобно обеспечить переключение с одного способа управления на другой. Структурная схема управления, которую можно использовать в таком случае, представлена на рис. 5.1, б. При этом в большинстве случаев можно отказаться от использования цепи ана- логовой обратной связи, ибо тогда процессор может выполнять вычис- ления, соответствующие работе аналоговой обратной связи. На рис. 5.1 показаны два классических примера соответственно аналоговой и цифровой систем с обратной связью. Следует отметить, что возможны различные комбинации, образованные из элементов обеих систем. Что касается использования процессора, то можно сказать следу- ющее. В примере, приведенном на рис. 5.1, а, процессор не может «знать» величины угла поворота двигателя, именно эта величина задается процессором. Следовательно, при сравнении примеров на рис. 5.1, а и б, необходимо отметить важную особенность, заклю- чающуюся в том, что в случае рис. 5.1, а объем вычислений, осуще- ствляемых процессором, небольшой. 5.2. Модель и алгоритм управления звеньями манипулятора Остановимся на рассмотрении некоторых основных моментов тео- рии управления, осуществляемых на основе использования процессора. Движения многих управляемых объектов (или их динамические ха- рактеристики) можно описать дифференциальными уравнениями. К управляющим воздействиям (регулирующим, управляющим, вход- ным величинам), которые непосредственно изменяются регуляторами, 273 можно отнести моменты, возникающие в шарнирах, величину и на- правление вектора тяги ракетного двигателя, конфигурацию крыла самолета и т. д. Используя изменения этих параметров, можно необхо- димым образом управлять углами поворота шарниров манипуляторов, траекториями искусственных спутников Земли, положением и ориен- тацией в пространстве летательных аппаратов и т. д. В том случае ко- гда объектом управления является техническое устройство связи, су- ществующие между указанными выше входными и выходными пара- метрами можно описать дифференциальными уравнениями. Следует иметь в виду, что зависимости входных и выходных параметров, опи- сываемые дифференциальными уравнениями, представляют собой всего лишь приближенные выражения динамических характеристик. С повышением точности аппроксимации происходит усложнение диф- ференциальных уравнений. Часто это может привести к увеличению времени счета и создавать такое положение, когда можно потерять сущность решаемой проблемы. Поэтому при выводе дифференциаль- ных уравнений следует по возможности их упрощать и так пользо- ваться аппроксимацией, чтобы динамические характеристики реали- зуемого движения оказались удовлетворительными. В качестве примера рассмотрим представленный на рис. 5.2 ры- чажный механизм, составленный из двух звеньев. Рис. 5.2. Двухзвенный механизм манипулятора 274 Выведем уравнение движения для этого механизма. Данный при- мер является классическим, содержащим проблемы, присущие ма- нипуляционным роботам. Рычажный механизм содержит два звена, которые можно охаракте- ризовать массой im , моментом инерции относительно центра тяжес- ти Ji и длиной li (i = l, 2). Будем считать, что движение этого механизма происходит в вертикальной плоскости. При работе механизма воз- можны только повороты в его шарнирах, которые на рассматриваемом рисунке характеризуются соответствующими углами i. У каждого шарнира имеется исполнительный орган. Звенья механизма поворачи- ваются под действием моментов ui. Положение центров тяжести звень- ев (х1, у1) и (х2, y2) можно представить следующим образом: (х1, у1) =  1 1 1 1cos , sinp p  ,    2 2 1 1 2 1 2, cos cos ,x y l p       1 1 2 1 2sin sinl p     . Тогда для скоростей движения центров тяжести получаются вы- ражения    1 1 1 1 1 1, sin , cosx y p p        ;      2 2 1 1 1 2 1 2 1 2, sin sin ;x y l p                 1 1 1 2 1 2 1 2cos cosl p            . В этом случае кинетическую энергию Т представим в виде      22 2 2 2 21 1 1 1 1 2 2 2 2 1 21 1 1 12 2 2 2T m x y J m x y J                    22 2 2 2 2 21 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 21 1 2 cos2 2m p J m l p l p                            2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 11 1 2 cos2 2J J J m p m l p l p                  2 2 22 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 211 cos 2J m p m l lp J m p           , (5.1) 275 а потенциальную U – в виде   1 1 1 2 1 1 2 1 2sin sin sinU m gp m g l p        . Под действием моментов u1 и u2 происходит поворот звеньев на углы 1 и 2 . При этом совершается работа 1 1 2 2u u   , которую можно представить в виде разности L = T – U. Уравнения Лагранжа имеют вид 1 2 1 21 2 , .d L L d L Lu u dt dt                    (5.2) После проведения соответствующих преобразований уравне- ния (5.2) приводятся к двум дифференциальным уравнениям вида   2 2 2 21 2 1 1 2 1 2 1 2 2 12 cosJ J m p m l p l p            2 22 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2cos sin 2J m p m l p m l p                 1 1 1 2 2 1 2 2 1 2cos cos ;u m p m p g m gp             2 2 22 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 1cos sinJ m p m l p J m p m l p              2 2 2 1 2cos .u m gp     Эти выражения удобно представить в векторно-матричном виде:      ,W u        ; (5.3) 276 1 2 ;       1 2 u u u      ;    2 2 2 21 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 cos cos cos J J m p m l p l p J m p m l p W J m p m l p J m p                   ;       2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 sin 2 , ; sin m l p m l p                          1 1 2 1 1 2 2 1 22 2 1 2 cos cos cos m p m l g m p g m p g                  . Из выражения (5.3) видно, что уравнение движения, в котором в качестве переменной выбран параметр  , представляет собой до- вольно сложное нелинейное дифференциальное уравнение. Из выражения (5.1) следует, что  TW    соответствует кине- тической энергии Т. Поскольку  W  – положительная постоянная величина, то у нее обычно существует обратная матрица. Если обе части уравнения (5.3) умножить на   1W  и провести соответст- вующие преобразования, то получим следующее выражение:  1 1 1 , ,W W W u h u             , которое представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. Если для  T1 2,   положить 1 1 2 1 3 2 4 2, , ,x x x x       T1 2 3 4x x x x x , то получим выражение 277     21 12 43 24 ,d d , xx h x ux xxt h x ux                    . (5.4) Правая часть этого выражения представляет собой функцию f( x , u ), и выражение (5.4) можно записать в виде  d , d x f x u t  . (5.5) Отметим, что для пространственного рычажного механизма уравнение движения, представленное в общем виде, можно запи- сать как (5.5). Поэтому в дальнейшем при рассмотрении вопросов теории управления механической системой будем пользоваться этим уравнением. 5.3. Проектирование регулятора Из рассмотрения уравнения движения рычажного механизма (5.5) в пространстве можно видеть, что в большинстве случаев динамиче- ские характеристики управляемого объекта удовлетворяют системе нелинейных дифференциальных уравнений и уравнениям наблюдения  , ,x f x u (5.6) .y Cx Остановимся на рассмотрении управления системой, удовлет- воряющей уравнениям (5.6). Если особые условия не оговорены, в наблюдательном уравнении y Cx можно положить С = Е, т. е. считать, что y x . Это означает, что все переменные, характери- зующие состояние системы, находятся под контролем (под наблю- дением). Здесь Е – единичная матрица. Непосредственное (прямое) управление. Чтобы обеспечить необ- ходимое движение, например робота, обычно следует заранее опре- делить его поведение в каждый момент времени. Это можно назвать 278 траекторным планированием. Если можно реализовать спланирован- ную траекторию    *x t x t , то существует управление  *u u t , причем *x и *u должны удовлетворять уравнению (5.6), т. е.    * x*, *x t f u , (5.7) где *x и *u – решения уравнения (5.6). При отсутствии внешних возмущающих воздействий с помощью одного управления *u можно реализовать уравнение   *x t x . Управление, осуществляемое в зависимости от *u , носит название непосредственного (прямого) управления. Если можно установить такую величину u , для которой вели- чина x , входящая в уравнение (5.6), будет устойчивой в окрест- ностях параметра *x , то даже при наличии внешних воздействий можно обеспечить такое движение робота, которое будет близким к запланированному. Воспользуемся уравнением (5.6) и проанали- зируем *x и *u , а также те движения, которые имеют место в ок- рестностях этих параметров. Положим, что рассматриваемое состояние x возмущено отно- сительно состояния *x . Соответствующее возмущение x можно представить следующим образом: * .x x x  (5.8) При x → 0, т. е. при *x x , рассматривая управляющее вход- ное воздействие u для u , можно записать * .u u u  (5.9) Подставив выражения (5.8) и (5.9) в уравнение (5.6), получим  * * , *x x f x x u u     . (5.10) Проведем разложение (5.10) и для x и u ограничимся рас- смотрением членов первого порядка. Если воспользоваться уравне- 279 нием (5.7) и выполнить соответствующие действия, то можно полу- чить следующее соотношение:     .x A t x B t u     (5.11) Если в выражение (5.11) входит такая величина u , при которой x → 0, то на основании *u u u  получаем, что *x x . В этом отношении представляет интерес рис. 5.3. Задача определения величины *u из уравнения (5.7) в принципе решаема, однако тре- бует выполнения довольно большого объема вычислений. В связи с этим целесообразно использовать различные способы, позволяю- щие ускорить процесс вычисления. Рис. 5.3. Прямое управление и управление с обратной связью Следует иметь в виду, что задача определения такого u , при котором x → 0, является довольно сложной. Ниже рассмотрим решение этой задачи. Обычно имеют дело с дифференциальным уравнением для переменной x , когда при x → 0 необходимо опре- делить u . Если имеют дело с дифференциальным уравнением (5.14) для переменных x и u , то логично вместо х использовать x , а вместо u использовать u . Управление с обратной связью. П р и м е р 5.1 Рассмотрим движение сосредоточенной массы в горизонтальной плоскости, описываемое уравнением движения x u . Если жела- тельно, чтобы сосредоточенная масса останавливалась в точке х = 0, 280 то вполне естественно с помощью текущей координаты х опреде- лять необходимое значение и. Например, в качестве регулятора с обратной связью можно рассмотреть случай u = – х, при этом уравнение движения примет вид 0x x  . Решением этого уравнения в окрестности x = 0 является гармо- ническая функция (х не сходится к 0). Рассмотрим другой случай: и = – х – x . Подставляя u в уравнение движения, получим 0x x x    . При t → ∞ x → 0. Такой способ управления, при котором, как показано выше, по состоянию управляемого объекта х и x оп- ределяют значение и, называется управлением с обратной связью. В рассматриваемом примере значение и определяется в виде линей- ной связи от x и x . Вполне естественно, возможны и такие случаи, когда величина и нелинейно зависит от х и x . При управлении с обратной связью могут возникнуть два случая: первый, когда обеспечивается сходимость (стремление) состояния управляемого объекта к нулю, и второй, когда такая сходимость (стремление) не обеспечивается. При рассмотрении управления с обратной связью представляют интерес такие условия, при которых состояние управляемого объекта стремится к нулю. Рассмотрим теперь линейное управление с обратной связью в об- щем виде. Пусть управляемый объект можно описать дифференциаль- ными уравнениями с постоянными коэффициентами. Будем полагать, что имеем дело с обычным управлением с обратной связью: ,x Ax Bu y Cx   . (5.12) Для простоты положим y x , т. е. С = Е. 281 Рассмотрим управление с обратной связью в виде u Fx , где F – коэффициент усиления обратной связи. Поскольку величины u и x связаны между собой линейной за- висимостью, рассматриваемое управление называется линейным управлением с обратной связью. Если подставить u Fx в уравне- ния (5.12), получим  x A BF x  . (5.13) Чтобы решение уравнения (5.13) было асимптотически устой- чивым (t → ∞, x → 0), необходимо, чтобы все собственные значе- ния A + BF имели отрицательные действительные части. Следова- тельно, при соответствующем выборе F, обеспечивающем устойчи- вость A + BF, можно гарантировать по крайней мере, что х → 0. В уравнении (5.12) среди различных величин u, удовлетворяю- щих условию х → 0, существуют такие, которые можно представить в виде u Fx . Важной проблемой является выбор величины u . Для решения этой проблемы используются методы, которые позво- ляют определять штрафную функцию и найти такую величину u, при которой эта функция принимает минимальное значение. 5.4. Оптимальное линейное управление с обратной связью Пусть заданы функции      1 2, ,..., nx t x t x t ,        1 2, ,..., nx t x t x t x t    . Рассмотрим функционал     0 , , d . a F x F x x t t   (5.14) При изменении вида x (t) величина F также меняет свое значе- ние. Если при рассмотрении величины x , для которой F принимает минимальное значение, воспользоваться вариационным методом, то 282 решением для минимума функционала (5.14) будет  x t , удовле- творяющее уравнениям Эйлера: d, , 0, dx x F F t   где ,xF и ,xF  – частные производные по x и x , которые можно определить следующим образом: 1 2 , , , ..., ;x n F F FF x x x          1 2 , , , ..., .x n F F FF x x x             Пусть величины x , x , входящие в (5.19), связаны векторной функ- цией  , 0s x x  . По своей сути функция  , 0s x x  представляет собой ограничение на x и x . В этом случае имеем дело с задачей ми- нимизации уравнения (5.14) при наличии ограничения  , 0s x x  . Воспользуемся методом неопределенных множителей Лагранжа  T1 2, , ..., n     и добавим ограничение к уравнению (5.14), тогда получим задачу на безусловный экстремум для функционала вида     T 0 , , , d a F F x x t s x x t     . Уравнение Эйлера можно представить в другом виде. При опре- делении x должны одновременно удовлетворяться уравнение Эйлера и ограничения, приведенные ниже:    Td d, , 0dtx xF s F sx x            ,  , 0s x x  . 283 Для нахождения u , удовлетворяющего условию х → 0, рассмотрим типичный пример. Сначала рассмотрим определение величины x , для которой минимизируется оценочная функция для x Ax Bu  (урав- нение (5.12)), имеющая вид  T T 0 1 d 2 F x Qx u Ru t    , (5.15) где T Tx Qx u Ru – квадратичная форма; Q и R – матрицы постоянных. Когда x и u не равны нулю, то это симметричные матрицы по- ложительных постоянных T 0x Qx  , T 0u Ru  . Так как имеется ограничение x Ax Bu  , то, используя метод неизвестных множи- телей Лагранжа, выражение (5.15) можно преобразовать к виду     T T T 0 1 d 2 F x Qx u Ru x Ax Bu t         . (5.16) Уравнение Эйлера с переменными x и u можно записать сле- дующим образом:  T d 0;dQx A t     (5.17)   T 0Ru B   . (5.18) Поскольку R – симметричная матрица положительных постоян- ных, то существует обратная матрица R–1. Из выражения (5.18) следует 1 Tu R B  . Это позволяет исключить величину u из ограничения x Ax Bu  и выражения (5.18) и записать следующее: 1 T ;x Ax BR B   (5.19) TQx A    . (5.20) 284 Решение дифференциальных уравнений (5.19) и (5.20) можно представить в виде Sx  (S – матрица постоянных). Подставим решение Sx  в систему уравнений (5.19) и (5.20) и получим 1 Tx Ax BR B Sx  ; (5.21) TSx Qx A Sx   . (5.22) Умножим обе части уравнения (5.21) на S и из полученного ре- зультата вычтем уравнение (5.22). Это позволяет исключить x : {SA + SBR–1BТS – Q + AТS} x = 0. Следовательно, имеет место равенство 0x  : SA + AТS + SBR–1BТS = Q. (5.23) В этом случае можно положить, что существуют такие значения x и u , при которых удовлетворяются ограничение x Ax Bu  и уравнения Эйлера (5.17) и (5.18). При этом функционал F, описы- ваемый выражением (5.15), принимает минимальное значение. При более тщательном рассмотрении можно установить, что при опреде- ленном условии существует несколько решений S уравнения (5.23). Ясно, что среди величин 1 1 Tu R B R B Sx    (5.24) существуют такие, которые делают устойчивыми уравнения (5.12) и для которых интеграл (5.15) принимает минимальное значение. Поскольку выражение (5.34) имеет вид Fx  , то произведение R–1BТS представляет собой коэффициент усиления обратной связи. Квадратное уравнение (5.23) называется уравнени- ем Риккати. 285 П р и м е р 5.2 Воспользуемся изложенным выше и определим величину u для системы, в которой движение управляемого объекта описывается уравнением x = и, а функция штрафа имеет вид  2 2 0 1 d 2 F x u t    . Это соответствует случаю, представленному в (5.16), когда А = 0, В = 1, R = 1, Q = 1. Исходя из (5.23) уравнение Риккати примет вид S2 = 1. Если подставить его в выражение (5.24), можно получить u = ±х. (5.25) Для обеспечения устойчивости решения уравнения x = и в вы- ражении (5.25) необходимо использовать нижний знак, т. е. такое значение и = –х, при котором минимизируется интеграл F. 5.5. Релейное управление Рассмотрим случай, когда уравнение u обеспечивает x → 0. При этом будем считать, что штрафную функцию (5.15) можно представить следующим образом: TSx Qx A Sx   . (5.26) Для состояния x можно положить x = 0x при t = 0 и x = 0 при t = tf. Смысл минимизации интеграла (5.26) связан с определением такой величины u , для которой за минимальное время происходит переход из состояния x = 0x в состояние x = 0. В рассматривае- мом случае зависимость, соответствующую выражению (5.16), мож- но представить в виде    0 1 d ft TF x Ax Bu t      . (5.27) 286 Интегралу (5.27) соответствуют следующие уравнения Эйлера: T d 0; d A t      (5.28) T 0.B   (5.29) Таким образом, проблема сводится к тому, чтобы определить та- кие величины x ,  , u , которые удовлетворяют уравнениям (5.28), (5.29) и ограничению x Ax Bu  . Однако следует иметь в виду, что приведенным уравнениям Эйлера (5.28) и (5.29) соответствуют решения, не имеющие смысла ( = 0 представляет собой решение, не имеющее смысла). В качестве примера можно привести следующее. Для уравнения x = u, описывающего движение сосредоточенной массы в горизон- тальной плоскости, можно записать 1 2x x , 2 .x u (5.30) Уравнения, соответствующие (5.28) и (5.29), имеют вид 10 0;   1 2 0;    2 0  . В данном случае решением является 1 2 0    . Это означает, что при отсутствии ограничений для управления u (при исполь- зовании больших u ) можно сколь угодно быстро достичь состоя- ния, соответствующего начальной точке. Ограничения по u , при- емлемые с точки зрения физического смысла, означают, что в регу- лировании u имеется предел. Когда в штрафной функции   0 , , λ, d a F h x x u t   , 287 величина u не ограничена, уравнения Эйлера можно записать сле- дующим образом: d 0; 0 x d h h h t x u           . (5.31) В этом случае уравнение (5.31) можно рассматривать как усло- вие, при котором функция h имеет минимум, если в качестве пара- метра, изменяющегося без ограничений, использовать величину u . Следовательно, рассматривая условие минимума функции h (урав- нение (5.31)) даже при наложении ограничения на величину u , по- сле тщательного исследования можно доказать справедливость из- ложенного выше соображения. При определении минимального зна- чения интеграла F, связанного с ограничением величины u , целесо- образно определить границу такого ограничения. Вновь рассмотрим пример, представленный формулой (5.30). При | u | < 1 проанализируем проблему минимального времени, опи- сываемую интегралом (5.26). Уравнения Эйлера по переменной х и ограничения можно представить следующим образом: 10 0   , 1 2 0    , (5.32) 1 2x x , 2x u . Функция h в зависимости от параметра и имеет вид    1 1 2 2 21h x x x u        и должна принимать минимальное значение. Поскольку h – ли- нейная функция и, условия, при которых имеют место мини- мальные значения, можно записать в виде u = 1 при λ2 > 0 и и = – 1 при λ2 < 0. Если решить систему уравнений (5.32), то можно установить, что λ1 = c, а λ2 = – ct + d, где с и d – постоянные. Вполне очевидно, что в рассматриваемом случае и является такой функцией, которая в за- висимости от знака λ2 меняет свой знак не более одного раза. Обратим внимание на состояние (х1, х2), когда и = 1 и –1. Проинтегрируем урав- нение dx1/dx2 = ±c2, в котором исключен дифференциал dt из 1 2x x 288 и 2 1x   . Можно считать, что рассматриваемые состояния в про- странстве состояний имеют место при 21 2 / 2 constx x  . В таком слу- чае можно получить семейство кривых, представленное на рис. 5.4. Рис. 5.4. Плоскости точки, характеризующей состояние в фазовой плоскости Здесь следует обратить внимание на то, что величина и меняет свой знак не более одного раза, а также на то, что управление (см. рис. 5.4), при котором за кратчайшее время происходит перемещение из некото- рого начального состояния S в исходную точку О, реализуется вдоль сплошной линии. Таким образом, необходимо отметить то обстоятель- ство, что при использовании в качестве величины и лишь границы и = ±1 можно реализовать управление за кратчайшее время. Такое управление носит название релейного управления. 5.6. Деинтерферентизация Рассмотрим уравнение движения, которое можно представить в виде (5.12). Когда имеется возможность измерения величины x (размерность которой мала), с помощью изложенного выше метода можно сравнительно легко обеспечить устойчивость. Если для сис- тем, имеющих высокую размерность, удается осуществить их раз- ложение на системы с одним входом, имеющим физический смысл, и являющихся взаимно независимыми, то такую операцию будем называть деинтерферентизацией. Однако у большинства объектов 289 управления, с которыми приходится иметь дело, при управлении по одной входной координате обычно изменяются несколько выход- ных координат. Поэтому непосредственное (прямое) разбиение на взаимно независимые системы с одним входом оказывается доволь- но затруднительным. В качестве примера рассмотрим двухзвенный рычажный механизм, приведенный на рис. 5.2, в котором под дей- ствием исполнительного органа возникает момент и2 и происходит вращение: звено 2 поворачивается с возрастанием угла θ2. В резуль- тате противодействия будет поворачиваться звено 1 и уменьшаться угол θ1. Таким образом, момент и2 влияет не только на угол θ2, но и на угол θ1. Рассмотрение этой системы упростится, если ее можно разделить на взаимно независимые системы с одним входом. Рассмотрим пример системы из двух единичных сосредоточен- ных масс, связанных друг с другом пружиной с коэффициентом же- сткости k (рис. 5.5). Положения равновесия можно представить ис- ходными точками, а положения сосредоточенных масс – координа- тами q1 и q2. На сосредоточенные массы действуют силы и1 и и2. Уравнения движения системы запишем следующим образом:     1 1 2 1 2 2 1 2 ; . q k q q u q k q q u           (5.33) Рис. 5.5. Две сосредоточенные массы (материальные точки), соединенные пружиной Из рис. 5.5 можно заключить, что сила и1 оказывает влияние на координату q2. Управляющие входные сигналы представим в виде     1 1 2 1 2 2 1 2 ; . u k q q v u k q q v       (5.34) 290 Параметры v1 и v2 – новые управляющие входные сигналы. Если подставить в систему (5.33) зависимости (5.34) то получим, что 1 1 2 2 ; . q v q v     (5.35) В системе (5.35) v1 оказывает влияние только на координату q1, a v2 – только на координату q2, что удовлетворяет указанному выше требованию. Обычно проектировщик определяет, каким образом регулировать параметры v1 и v2. Например, когда хотят отсчитывать координаты q1 и q2 соответственно от положений *1q и *2q , целесо- образно считать, что  *1 11 1 1 12 1;v f q q f q     *2 11 2 2 22 2v f q q f q    . В общем случае можно полагать, что в случае системы, динами- ческая характеристика которой удовлетворяет линейному дифферен- циальному уравнения второго порядка       ,ij j ij j j ij jq t q t q t u               (5.36) где  ij t   – регулярная целая функция, можно воспользоваться выражением  10i ij ij j ij ju q q                и с помощью 10 i i ij ju u v       провести деинтерферентизацию. Уравнение (5.36) можно представить в виде дифференциального уравнения первого порядка 291 11 12 1311 11 12 12 2321 2221 21 22 22 0 0 00 1 0 0 0 0 00 0 0 1x x u                                                  . 5.7. Компьютерное управление непрерывной системой Рассмотренное выше управление с обратной связью относится к теории непрерывных систем. В реальных условиях при проведе- нии управления с помощью компьютера могут возникать ситуации, при которых желаемые характеристики управления не достигаются и требуемая устойчивость не обеспечивается. Это обычно связано с системой дискретного представления данных. Компьютер «не знает», как изменяется состояние управляемого объекта за период выборки от одного момента времени до другого. Следовательно, при использовании теории непрерывных систем необходимо доста- точно быстро проводить выборку дискретных данных по сравнению с движениями управляемого объекта. Вновь в качестве примера рассмотрим движение сосредоточен- ной массы в горизонтальной плоскости. В рассматриваемом случае уравнение движения имеет вид x = и. Если воспользоваться матричной формой записи, то можно полу- чить следующее выражение: x Ax Bu  . (5.37) Положим, что для состояния x рассматриваемой системы с по- мощью компьютера производится дискретное представление данных, при котором период выборки равен Т. Тогда x (k) – состояние, соот- ветствующее k-й выборке. Можно предположить, что на интервале выборок k – (k + 1) имеет место управляющее входное воздействие u (k). Было показано, что между величинами x и u можно устано- вить связь, которая представляется следующей зависимостью: x (k + 1) = Ф (T) x (k) + H(T) u (k), (5.38) 292 где   1 ; 0 1 T T         2 / 2TH T T      . Для случая уравнения (5.37), можно осуществлять непрерывное управление, с обратной связью в виде u = Fx, когда x → 0 при t → ∞. Можно положить, что F = [f1, f2]. Тогда будем иметь дело с управлением u = f1x1 + f2x2. В рассматриваемом случае уравнение (5.37) можно представить в виде x = (A + BF) x , (5.39) причем A + BF можно преобразовать к матричной форме:  1 2 1 2 0 10 1 0 0 0 1 A BF f f f f                   . Условием, при котором x → 0 при t →∞, в уравнении (5.35) яв- ляется тот факт, что все собственные значения A + BF имеют отри- цательные действительные части. Собственные значения представ- ляют собой решения следующего характеристического уравнения: det(A + BF – λЕ) = 0. (5.40) Раскладывая определитель (5.40), получим 2 2 1 0f f     . (5.41) Из алгебры известно, что f2 < 0 и f1 < 0 представляют собой усло- вия, при которых все решения квадратного уравнения (5.41) имеют отрицательные действительные части. 293 По аналогии с непрерывной системой можно считать, что и в случае дискретизированной системы, описываемой уравнением (5.38), эффек- тивным является управление с обратной связью вида u (k) = F x (k). Конечно, можно иметь в виду также, что u (k) = F x (k – 1) и т. д. В дальнейшем воспользуемся выражением u (k) = F x (k). Если положить, что F = [f1, f2], то для u(k) = Fx(k) функция управ- ления будет иметь вид u(k) = f1x1(k) + f2x2(k). Тогда уравнение (5.38) примет форму x (k + 1) = (Ф(T) + H(T)F) x (k). (5.42) Выражение Ф (Т) + Н (Т) F можно записать в матричной форме:   2 22 1 21 2 1 2 1 1 / 2 / 2/ 2 0 1 1 T T f T T fTHF f f Tf TfT                     . Необходимым и достаточным условием того, что в уравнении (5.42) все абсолютные собственные значения Ф + HF меньше еди- ницы, является условие при x(k) → 0 k →∞. Они являются решени- ем следующего уравнения: det (Ф + HF– λЕ) = 0. (5.43) Если разложить определитель в формуле (5.43), то получим 2 2 2 1 2 1 2 1 12 1 0 2 2 T f Tf T f Tf                   . Легко показать, что 1 0;a b   1 0; 1a b ab    294 являются условиями, при которых все абсолютные значения реше- ния уравнения 2 0x ax b   (a, b – действительные числа) меньше единицы. Следовательно,    2 21 2 1 21 2 / 2 1 / 2 0;T f Tf T f Tf            2 21 2 1 21 2 / 2 1 / 2 0;T f Tf T f Tf          2 1 21 / 2 1.T f Tf   Таким образом, условия можно определить в виде 1 2 1 2 0; 2 / ; 2 0. f f T Tf f       (5.44) На рис. 5.6 показаны области f1 и f2, в которых удовлетворяются условия (5.46). Рис. 5.6. Область устойчивости автоматической импульсной системы относительно коэффициента усиления обратной связи В том случае, когда по переменной состояния x (t), руководст- вуясь u = F x , непрерывно определяют величину u , областью ус- 295 тойчивости является f1 < 0 и f2 < 0. Следует иметь в виду, что при использовании x (k), получаемых при дискретном представлении данных, происходит некоторое сужение области устойчивости. При этом с уменьшением интервала выборки Т происходит расширение области устойчивости. Причину этого можно легко представить по приведенным на рис. 5.7 результатам моделирования с использова- нием усиления в окрестностях точки А, где f1 = (– 2/Т)2 и f2 = – (2/T) (см. рис. 5.6). а б Рис. 5.7. Сопоставление непрерывной системы с импульсной (T = 0,1; f1 = –360; f2 = –18): а – аналоговая система (система непрерывного управления); б – автоматическая импульсная система Для непрерывной системы, рис. 5.7, а, имеем дело со случаем урав- нения (5.39), при котором система стремится к нулю. Импульсной сис- теме, рис. 5.7, б, соответствует случай уравнения (5.42), при котором возникают колебания с периодом, примерно в два раза превышающим период дискретного представления данных. Причина заключается в следующем. При высоком коэффициенте усиления обратной связи движения системы становятся быстрыми. При этом регулятор утрачи- вает способность в достаточной степени «осознавать» изменения со- стояния системы. Интервал дискретного представления данных может оказывать большое влияние на характеристики импульсной системы. У интервала дискретного представления данных имеется нижний пре- дел, обусловленный скоростью обработки данных в процессоре. Этот интервал нельзя сделать сколь угодно малым. 296 5.8. Классификация систем управления мехатронными системами В любой мехатронной системе можно выделить две основные части: объект регулирования (ОР) и автоматическое управляющее (регулирующее) устройство (АУУ). Объектом регулирования может быть любая динамическая система, у которой характеристики и зна- чения величин, определяющих состояние объекта, изменяются во времени под влиянием внешних воздействий (рис. 5.8). Рис. 5.8. Динамическая система: 1 – задающее устройство; 2 – датчик значений выходной величины; 3 – сравнивающее устройство; 4 – усилитель; 5 – исполнительное устройство; 6 – последовательные корректирующие устройства; 7 – параллельные корректирующие устройства Состояние объекта регулирования характеризуется рядом вели- чин, часть из которых определяющие и должны измеряться непре- рывно или дискретно в процессе регулирования. Эти величины на- зываются контролируемыми (выходными). Внешние (возмущающие) воздействия изменяют состояние объекта регулирования, что выра- жается в отклонении контролируемых (выходных) величин и задан- ных (желаемых) значений. Для ликвидации этих отклонений выра- батываются регулирующие (управляющие) воздействия, поступаю- щие на объект управления от автоматического регулирующего (управляющего) устройства (системы). Системы могут быть построены по разомкнутой и замкнутой схемам. 3 297 Разомкнутая система регулирования имеет один канал связи объекта регулирования с регулятором, в результате чего поток ин- формации движется от регулирующего устройства к объекту регу- лирования (например, станок с ЧПУ). Разомкнутые системы могут обеспечить требуемое качество ре- гулирования только в том случае, если объект регулирования абсо- лютно точно выполняет регулирующие воздействия и отсутствуют такие внешние воздействия, которые нарушают заданный (запро- граммированный) ход процесса. Замкнутые системы имеют два информационных канала: канал передачи сигналов регулирования и канал обратной связи для пере- дачи информации о фактических значениях контролируемых вели- чин в объекте регулирования (см. рис. 5.8). Мехатронная система, как правило, состоит из объекта управле- ния и управляющего устройства и представляет собой замкнутую систему, в которой объект воздействует на управляющее устройст- во, а оно в зависимости от величины и знака отклонения воздейст- вует на объект управления. Если к системе приложить воздействие любого вида (возмущающее или управляющее), то в ней возникает п е р е х о д н ы й п р о ц е с с. После окончания переходного про- цесса устойчивая система перейдет в у с т а н о в и в ш е е с я с о- с т о я н и е, при котором характер управляющих и возмущающих воздействий остается неизменным. По характеру реакции на управляющие и возмущающие воздей- ствия системы делятся на статические и астатические. В с т а т и- ч е с к и х с и с т е м а х в установившемся режиме отклонение стремится к определенному постоянному значению, зависящему от величины воздействия и параметров системы. В а с т а т и ч е с к и х с и с т е м а х при установившемся режиме, т. е. при постоянном значении воздействия, отклонение регулируемой величины под действием управляющего воздействия стремится к нулю независи- мо от величины воздействия. Следует отметить, что одна и та же система в зависимости от точки приложения воздействия может быть как статической, так и астатической. Если систему разомк- нуть, то у статических систем выходная величина будет пропор- циональна входной величине, а у астатических – интегралу входной величины. Такая особенность астатических систем связана с тем, что в их состав входит хотя бы одно интегрирующее звено. 298 П р и м е р 5.3 Разница в функционировании статической и астатической систем Рассмотрим систему автоматической подстройки частоты (АПЧ), блок-схема которой показана на рис. 5.9. Рис. 5.9. Статическая система автоматической подстройки частоты Входной сигнал, имеющий частоту c , поступает на вход прием- ника. На выходе смесителя 1 получается сигнал промежуточной час- тоты ( пр с r    ), который после прохождения усилителя 2 по- ступает на выход АПЧ и дискриминатор 3. В дискриминаторе произ- водится сравнение заданного пр0 и фактического значения частоты пр . В результате этого сравнения дискриминатор вырабатывает на- пряжение, пропорциональное отклонению частоты пр от заданного значения. Это напряжение повышается усилителем 4 и поступает на управляющий элемент гетеродина 5 в виде управляемой емкости (ва- рикап, варактор) или управляемой индуктивности на феррите, кото- рый меняет частоту колебаний r , генерируемых гетеродином. Задачей АПЧ является поддержание заданного значения проме- жуточной частоты пр0 , следовательно, эту систему можно рас- сматривать как систему автоматической стабилизации, у которой регулируемой величиной является значение промежуточной часто- ты, а возмущающим воздействием – изменение частоты сигнала на входе приемника. Если же в качестве регулируемой величины рассматривать частоту гетеродина r , то АПЧ можно считать следящей системой, в которой 299 частота гетеродина следит за частотой входного сигнала. В этом слу- чае частота входного сигнала будет управляющим воздействием. Проанализируем работу статической АПЧ в установившемся ре- жиме. Будем считать, что регулируемой величиной является пр , т. е. что АПЧ работает в режиме автоматического стабилизатора. Пусть в начальный момент времени напряжение на выходе дис- криминатора будет равно нулю, т. е. промежуточная частота будет равна заданному значению, при этом частота гетеродина 0 с0 пр0r    , где с0 – средняя частота входного сигнала; пр0 – заданное значение промежуточной частоты. Если частота входного сигнала отклонилась от среднего значе- ния на с , то, так как частота гетеродина осталась неизменной, промежуточная частота также изменится на величину пр с   . Изменение промежуточной частоты вызовет появление напря- жения на выходе дискриминатора, причем знак и величина этого напряжения будут зависеть от знака и величины отклонения про- межуточной частоты от заданного значения: д д прU k  , где дk – коэффициент усиления дискриминатора. Это напряжение будет подано на усилитель на его выходе и вы- зовет появление управляющего напряжения у у д у д прU k U k k   , где ky – коэффициент усиления. Управляющее напряжение изменит частоту гетеродина на величину у у д прr r rk U k k k    , (5.45) где rk – коэффициент усиления гетеродина. 300 В результате отклонение промежуточной частоты от заданного значения (ошибка регулирования) будет пр с r     . (5.46) Если в уравнение (5.46) подставить значение r из уравнения (5.45), то получим с спр у д1 1rk k k k      , (5.47) где k – общий коэффициент усиления системы. Из уравнения (5.47) видно, что величина ошибки регулирования в статической системе пропорциональна величине возмущающего воздействия c и уменьшается с ростом к о э ф ф и ц и е н т а у с и л е н и я с и с т е м ы k, равного произведению коэффициентов усиления звеньев. Эта ошибка называется статической, так как она имеется и в установившемся режиме. Для уменьшения статической ошибки следует увеличивать коэф- фициент усиления системы. До известной степени можно считать, что величина коэффициента усиления определяется требованиями к величине статической ошибки. Если бы такое же изменение частоты сигнала произошло в неав- томатизированной системе, то оно привело бы к такому же по вели- чине изменению промежуточной частоты, т. е. ошибка в величине промежуточной частоты была бы пр с   . Использование системы автоматического управления позволяет уменьшить ошибку в 1 + k раз. Следует еще раз подчеркнуть, что в статической системе ошибка имеется всегда, так как она обуслов- ливает работу всей системы. Возмущающее воздействие не обязательно должно быть приложе- но на входе системы. Аналогичные процессы в системе происходят, если бы под влиянием каких-либо воздействий, например изменения величины напряжения питания, изменилась частота гетеродина. 301 П р и м е р 5.4 Рассмотрим другой вариант системы АПЧ: астатическую систе- му АПЧ (рис. 5.10). В этой системе имеется интегрирующее звено, например двигатель 1, у которого угол поворота выходной оси про- порционален интегралу от угловой скорости ее вращения. Рис. 5.10. Астатическая система автоматической подстройки частоты Если пренебречь инерционностью ротора и влиянием индуктив- ности управляющей обмотки двигателя, то угловую скорость вра- щения ротора двигателя можно считать пропорциональной напря- жению, поданному на управляющую обмотку двигателя. С выходной осью двигателя, на который подается напряжение с усилителя 2, через редуктор 3 связана переменная емкость или ин- дуктивность, управляющая частотой гетеродина 4. Если промежу- точная частота равна заданному значению, то напряжение на выхо- де дискриминатора 5 равно нулю и ось двигателя неподвижна. При отклонении промежуточной частоты, получаемой на выходе смеси- теля 6, от заданного значения ось двигателя начнет вращаться, из- меняя частоту гетеродина так, чтобы уменьшалась ошибка регули- рования – отклонение промежуточной частоты от заданного значе- ния. Если считать, что напряжение трогания ротора двигателя близко к нулю, то двигатель будет менять частоту гетеродина до тех пор, пока ошибка регулирования не станет равной нулю. Следовательно, при известных допущениях можно считать, что в астатической сис- теме АПЧ ошибка в установившемся режиме равна нулю. В каждом конкретном случае проектирования динамических сис- тем приходится делать выбор между более простыми статическими системами, не содержащими интегрирующих звеньев, но имеющими 302 ошибку в установившемся состоянии, и более сложными астатиче- скими системами, не имеющими ошибки в установившемся режиме. Следует заметить, что одна и та же система может быть статиче- ской по отношению к возмущающему воздействию и астатической по отношению к управляющему воздействию. Рассмотренная астатическая система АПЧ имела астатизм первого порядка, т. е. обеспечивала нулевую ошибку при скачкообразном из- менении частоты входного сигнала. При этом предполагалось, что в дальнейшем частота входного сигнала сохранит свое новое значе- ние. Если же частота входного сигнала будет линейно изменяться, то в астатической системе АПЧ появится ошибка, пропорциональная скорости изменения частоты входного сигнала. Действительно, если изменение частоты входного сигнала будет пропорционально време- ни, то при неизменном значении частоты гетеродина промежуточная частота будет также изменяться по линейному закону. Такое измене- ние промежуточной частоты вызовет появление линейно изменяю- щегося напряжения на выходе дискриминатора, а значит и на выходе усилителя. При подаче напряжения на двигатель скорость вращения его ротора будет возрастать, что приведет к изменению частоты гете- родина. Когда переходный процесс закончится, скорость изменения частоты гетеродина будет такой же, как и у входного сигнала, а от- клонение промежуточной частоты от заданного значения – таким, которое обеспечит необходимую скорость вращения ротора двигате- ля. Очевидно, что чем выше общий коэффициент усиления системы, тем меньшее рассогласование необходимо для обеспечения требуе- мой скорости вращения ротора двигателя. Таким образом, система является статической для воздействия, линейно изменяющегося во времени. Если систему усложнить и, в частности, ввести в нее до- полнительно еще одно интегрирующее звено, то она будет астатиче- ской и для такого управляющего воздействия, т. е. получится система с астатизмом второго порядка. Этот вывод можно распространить на все виды астатических систем и считать, что могут быть системы с астатизмом первого, второго и высших порядков. Практически ис- пользуются системы с астатизмом первого и второго порядков. В приведенных описаниях работы систем АПЧ предполагалось, что после окончания переходного процесса системы переходят к но- вому установившемуся, равновесному состоянию, т. е. что эти сис- темы у с т о й ч и в ы. Известно, что в ряде случаев система при 303 подаче возмущения может перейти в режим колебаний, т. е. она не придет к новому установившемуся состоянию. Такая система назы- вается н е у с т о й ч и в о й. В подавляющем большинстве случаев неустойчивые системы нельзя использовать, поэтому одной из главных задач анализа систем является выяснение условий их ус- тойчивости, а одной из главных задач синтеза является обеспечение устойчивости систем. Рассмотрим основные признаки классификации систем автомати- ческого управления, положив в основу следующие характеристики: – характер изменения задающего воздействия (цель управления); – принцип формирования сигналов; – характер взаимной зависимости между сигналами. В зависимости от характера изменения задающего воздействия системы подразделяются: – на системы стабилизации, в которых задающее воздействие постоянно. Эти системы предназначены для поддержания постоян- ного значения одной или нескольких регулируемых величин при произвольно меняющихся внешних возмущениях. К таким систе- мам можно отнести, например, системы стабилизации частоты, на- пряжения, температуры и т. п.; – системы программного управления, в которых задающее воз- действие изменяется по определенным законам, заданным в виде функции времени или какого-либо параметра, характеризующего работу системы. Примерами таких систем могут служить системы временного автоматического регулирования усиления, системы пе- рестройки частоты по программе и т. п. Системы автоматической стабилизации являются частным случаем систем программного управления при неизменяемой программе; – следящие системы, у которых характер задающего воздействия заранее неизвестен, например радиолокационные системы сопро- вождения цели по дальности и угловым координатам; в этом случае характер задающего воздействия определяется движением объекта и его положением относительно системы наблюдения. Следует подчеркнуть, что указанные три вида систем, несмотря на различие в характере задающего воздействия, решают одинако- вую задачу: обеспечение возможно более точного соответствия между текущим значением задающего воздействия и фактическим значением управляемой величины. 304 Наиболее перспективны классы систем автоматического управ- ления, которые называются а д а п т и в н ы м и (с а м о п р и с п о- с а б л и в а ю щ и м и с я). В этих системах состояние объекта управления характеризуется некоторым п о к а з а т е л е м к а ч е- с т в а, который является функцией одного или нескольких пара- метров объекта управления. Задачей адаптивной системы является поддержание заданного, как правило экстремального, значения показателя качества, несмот- ря на воздействие внешних возмущений или изменение характери- стик объекта управления. Понятие адаптации для системы аналогично соответствующему понятию в биологии, означающему приспособление растения или животного к изменившимся внешним условиям. При адаптации в системе может происходить изменение не только управляющего воздействия, но и способа функционирования автоматического управ- ляющего устройства, т. е. его структуры и закона управления. На рис. 5.11 показана блок-схема адаптивной системы. Кроме объ- екта управления и автоматического управляющего устройства в адап- тивную систему входит устройство автоматической адаптации, опре- деляющее по значениям входной и выходной величин текущее значе- ние показателя качества и вырабатывающее управляющее воздейст- вие, вводимое либо в управляющее устройство (сплошная линия), либо на вход системы вместо задающего воздействия (пунктирная линия). Рис. 5.11. Блок-схема адаптивной системы В адаптивных системах также используется принцип отклоне- ния, но уже не от некоторого задающего воздействия, а от экстре- 305 мального значения показателя качества. При этом отклонение мо- жет быть определено только в результате анализа в течение некото- рого времени реакции системы на возмущение, так как иначе нельзя удостовериться в экстремальности показателя качества. Следова- тельно, для фиксации экстремального значения показателя качества необходимо, чтобы на систему воздействовало некоторое возмуще- ние, и в результате анализа влияния этого возмущения на показа- тель качества может быть выявлено отклонение от экстремального значения показателя качества и направление движения к экстрему- му. В качестве такого возмущения могут быть использованы специ- ально создаваемые внутри системы пробные возмущения, а также и естественные (тестовые) возмущения, всегда имеющиеся в системе. Системы с пробным возмущением называются п о и с к о в ы м и, а использующие естественные возмущения – б е с п о и с к о в ы м и. Адаптивные системы делятся на следующие группы: э к с т р е м а л ь н ы е с и с т е м ы, в которых экстремальное значение показателя качества обеспечивается благодаря введению поиска в управляющее воздействие, подаваемое на объект. Устрой- ство адаптации анализирует реакцию объекта управления на поис- ковые воздействия и вырабатывает управляющий сигнал, который изменяет выходную величину в нужном направлении, т. е. в на- правлении экстремального значения показателя качества. При дос- тижении экстремальной точки система совершает колебательные движения вокруг нее, при этом среднее значение показателя качест- ва будет близко к экстремальному; с а м о н а с т р а и в а ю щ и е с я с и с т е м ы, у которых цепь автоматической адаптации выполнена в виде замкнутого контура, т. е. представляет собой систему автоматического регулирования или сис- тему автоматического поиска. На основе анализа изменения показате- ля качества при поиске в этом контуре вырабатывается корректирую- щее воздействие, изменяющее характеристики автоматического управляющего устройства, но не воздействующее на его структуру; с а м о о р г а н и з у ю щ и е с я с и с т е м ы, по своей структуре аналогичные самонастраивающимся, но для обеспечения экстремаль- ного показателя качества в них устройство адаптации изменяет не только характеристики управляющего устройства, но и его структуру; с а м о о б у ч а ю щ и е с я с и с т е м ы, в которых в течение не- которого промежутка времени происходит накопление информации 306 об изменении показателя качества под действием возмущений. Ана- лизируя накопленный опыт управления объектом, система автомати- чески совершенствует свою структуру и способ управления, обеспе- чивая поддержание экстремального значения показателя качества. Из приведенного описания разновидностей адаптивных систем видно, что все они для своей работы требуют меньшего объема све- дений о характеристиках управляемого процесса, чем обычные сис- темы. Это весьма важное свойство адаптивных систем вытекает из самого принципа адаптации – приспособления, который реализован в таких системах. В зависимости от принципа формирования сигналов системы делятся на системы непрерывного и прерывного (дискретного) управ- ления. Это разделение определяется применяемым методом переда- чи сигналов: непрерывным или дискретным. У н е п р е р ы в н ы х систем в любой момент времени имеется необходимая информация для управления, следовательно, в таких системах сигналы непрерывны во времени. Кроме того, сигналы непрерывны по уровню, так как они могут принимать бесконечно большое число значений. В п р е р ы в н ы х (д и с к р е т н ы х) системах в какой-либо точке системы производится квантование непрерывных сигналов по времени или по уровню или как по уровню, так и по времени. Если производится квантование по времени, то информация содержится в сигнале только для определенных фиксированных моментов вре- мени и отсутствует для промежутков между этими моментами: та- кой сигнал называется дискретным по времени. Так как при дис- кретном по времени сигнале информация передается импульсами, системы, в которых применяется такая передача информации, обыч- но называются и м п у л ь с н ы м и. Если в системе имеется элемент с релейной характеристикой, при которой выходная величина в зависимости от значений входной величины может принимать два или три постоянных значения, то такую систему называют релейной. В настоящее время широко применяются системы, в которых осуществляется квантование сиг- нала не только по времени, но и по уровню. Благодаря квантованию по уровню в таких системах амплитуда сигнала может принимать определенное конечное число значений, выражаемых в виде кода. Такие системы называются ц и ф р о в ы м и. 307 По виду зависимости между входными и выходными сигналами системы подразделяются на линейные и нелинейные. В л и н е й н ы х системах все элементы описываются линейны- ми дифференциальными или разностными уравнениями, что озна- чает наличие во всех звеньях системы линейной связи между вход- ной и выходной величинами этого звена. Благодаря этому свойству к линейным системам применим принцип суперпозиции. У н е л и н е й н ы х систем есть хотя бы один элемент, в кото- ром имеется нелинейная связь между входными и выходными сиг- налами, из-за чего при анализе и синтезе этих систем нельзя приме- нять принцип суперпозиции. Релейные системы являются частным случаем нелинейных систем. Встречаются системы, у которых параметры элементов меняют- ся во времени независимо от входных сигналов. Такие системы на- зываются п а р а м е т р и ч е с к и м и. Процессы в этих системах описываются линейными, нелинейными дифференциальными или разностными уравнениями с переменными коэффициентами. В со- ответствии с видом уравнения параметрические системы могут быть как линейными, так и нелинейными. Следует заметить, что описанная классификация, особенно в час- ти адаптивных систем, не является окончательной и справедливой на большой промежуток времени, так как теория и техника систем развиваются, что, безусловно, приведет к созданию новых классов систем, не учитываемых приведенной классификацией. 5.9. Алгоритмы оптимального регулирования (управления) приводами Рассмотрим структурную схему объекта, который совершает ме- ханическую работу за счет подвода энергии. Обозначим T1( , ..., )ru u u – входные величины (регулирование, управление), T1( , ..., )my y y – выходные величины, T1( , ..., )nx x x – переменные (параметры) состояния. Уравнение состояния (динамики) объекта в общем случае запи- шем в виде ( , )x f x u . (5.48) 308 Модель наблюдения имеет вид ( )y g x , (5.49) где T T1 1( ( , ), ..., (( , )) , ( ( ), ..., ( ))n mf f x u f x u g g x g x  – вектор функ- ции размерности n и m соответственно. В случае линейной модели объекта и наблюдения уравнения (5.48), (5.49) соответственно имеют вид ( ) ( ) ;x A t x B t u  (5.50) ( )y С t x , где ( )A t – матрица размерности n n ; ( )B t – матрица размерности n r ; ( )C t – матрица размерности m n . Рассмотрим случай, когда матрицы , ,A B С не зависят от t , C – единичная матрица. В случае, когда u зависит от x (рис. 5.12, пунктирная линия), система называется системой с обратной связью, если нет, то управ- ление осуществляется без учета состояния объекта (программное управление). Рис. 5.12. Структурная схема дискретной системы, управляемой микропроцессором Алгоритм регулирования (управления) выбирается из множества возможных по какому-либо критерию. Рассмотрим нахождение оптимального линейного управления объ- ектом с обратной связью, описываемое линейным уравнением (5.50). Наиболее широко используются критерии в интегральном виде: 309 0 ( , , )d a I F x u t t  , (5.51) где I – функционал, значение которого зависит от вида ( )x t . Оптимальное решение находится из условия минимума функ- ционала (5.51). Пусть обратная связь реализуется в виде u Dx  , где D – матрица n r , постоянная. Для простоты положим r n , тогда D – единичная матрица. Как известно из вариационного исчисления, решение, обеспечи- вающее минимум (5.51), является решением уравнения Лагранжа– Эйлера d 0 d F F t x x         . В случае если x и x связаны между собой соотношением ( , ) 0s x x  , (5.52) нахождение оптимального решения приводится к задаче на услов- ный экстремум методом неопределенных множителей Лагранжа. Требуется найти такое ( )u t , которое обеспечивает минимум I при условии (5.52): T 0 ( , , ) ( , ) d a I F x x t s x x t      . Уравнение Лагранжа–Эйлера в этом случае имеет вид T Td( ) ( ) 0 d F Fs s x x t x x                 ; ( , ) 0s x x  . 310 Обобщением рассмотренной задачи является задание функции ( , , )F x u t в виде T T 0 1( , , ) ( )d 2 а F x u t x Qx u Ru t  (5.53) для уравнений динамики (5.50) при ( ) const, ( ) constA t C t  . Тогда оптимальное управление u находится из условия мини- мума T T 0 1 ( )d 2 I x Qx u Ru t    , (5.54) где ( , , )F x u t – квадратичная форма; Q и R – симметричные матрицы положительных постоянных коэффициентов: T 0;x Qx  T 0u Ru  . Если на переменные ,x u наложены ограничения (связи), то, ис- пользуя метод неизвестных множителей Лагранжа, критерий каче- ства регулирования (5.50) можно записать в виде (5.54):  T T T 0 1 ( ) ( ) d 2 I x Qx u Ru x Ax u t         . Уравнение Эйлера в переменных ,x u можно записать следую- щим образом: T d 0 d xQx A t     ; T 0Ru B   . (5.55) 311 Находя из (5.55) 1 Tu R B  и подставляя его в ограничение x Ax Bu  , получим 1 T ;x Ax BR B   (5.56) TQx A    . (5.57) Представляя решение дифференциальных уравнений (5.57) в ви- де Sx  ( S – матрица произвольных постоянных) и подставляя в (5.56), находим 1 T ;x Ax BR B Sx  (5.58) T .Sx Qx A Sx   (5.59) Исключая x из уравнений (5.58), (5.59), получим систему алгеб- раических уравнений для нахождения матрицы S: T 1 TSA A S SBR B S Q   . (5.60) Таким образом, вектор u представляется в виде 1 T 1 Tu R B R B Sx   . Здесь 1 TR B S представляет собой коэффициент усиления обрат- ной связи. Квадратное уравнение (5.60) является уравнением Риккати. Рассмотрим случай, когда динамика системы описывается разно- стными уравнениями в дискретные моменты времени: ( 1) ( ) ( ) ( ) ( );x k T x k H T u k    ( ) ;ATT e  0 ( ) d ; T AH T e   ( ) ( ).y k Сx k 312 Цифровое управление с помощью микропроцессора осуществля- ется на базе измерений и регулирующих воздействий в дискретные моменты времени , 0,1, 2,...t kT k  , причем при ( 1)kT t k T   считается, что ( ) ( ) constu t u k  . Структурная схема дискретной системы, управляемой микропроцессором, изображена на рис. 5.12. Для линейной системы имеем 21 2( ) , ( ) 01 TT T H T T              . Критерий качества регулирования (5.53) в дискретном виде име- ет вид T T 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n k I x k Qx k u k Ru k    . 5.10. Использование z-преобразования для анализа дискретных систем Для анализа дискретных систем также может применяться пре- образование Лапласа. Если поведение системы достаточно полно описывается значе- ниями выходной функции только в дискретные моменты времени, то более удобным математическим аппаратом для анализа может служить z-преобразование. Непрерывная функция времени  x t с помощью преобразования представляется изображением по Лапласу:     0 dptF p x t e t    . (5.61) Если взять конечный интервал времени Δt = Т и представить те- кущее время в виде t = пТ, где п = 0, 1, 2, 3,..., то интеграл в послед- нем выражении можно заменить суммой:     0 pnT n F p T x nT e      . (5.62) 313 Предел этого выражения при Т → 0 даст преобразование Лапласа непрерывной величины  x t согласно (5.61). Введем обозначение pTe z . (5.63) Тогда формулу (5.62) можно представить в следующем виде:     0 n n F p T x nT z      . Второй сомножитель в правой части носит название z-пpeобразо- вания дискретной функции времени:     0 n n F z x nT z      . (5.64) Иногда применяется символическая запись    F z Z x nT    . Выражение (5.64) является, по существу, деленным на Т преобра- зованием Лапласа дискретной функции времени при использовании подстановки (5.63). В качестве примера найдем z-преобразование для единичной сту- пенчатой функции 1(t). Суммируя геометрическую прогрессию в со- ответствии с (5.64), получаем   0 1 . 1 n n zF z z z        Предел, к которому стремится сумма бесконечного числа слагае- мых в последнем выражении, записан на основании формулы для суммы членов геометрической прогрессии. Аналогичным путем можно найти z-преобразование для других функций времени. Составлены подробные таблицы z-преобразований, не уступающие по полноте таблицам для преобразований Лапласа. В качестве иллюстрации в табл. 5.1 приведены z-преобразования для некоторых функций времени при условии, что f(t) = 0 при t < 0. 314 Таблица 5.1 z-преобразования функций времени № п/п Оригинал f(t) Обыкновенное преобразование F(z) Модифицированное преобразование F(z, ε) 1  1 t 1 z z  1 z z  2 t  21 Tz z   2 11 zTz T zz   3 21 2 t     2 3 1 2 1 T z z z             222 3 2 1 2 2 11 2 1 T z T zT z zz z       4 te , T z d e z d  , T zd d e z d   5 1 te     1 , 1 Td z d e z z d    ,1 Tz zd d e z z d     6 sin t 2 sin 2 cos 1 z T z z T     2 2 sin sin , 1 2 cos 1 z T z T z z T         7 cos t 2 2 cos 2 cos 1 z z T z z T      2 2 cos cos , 1 2 cos 1 z T z T z z T         8 sinte t  2 2 sin , 2 cos T zd T z zd T d d e      2 2 sin sin , 2 cos T z T d Tzd z zd T d d e            9 coste t  2 2 2 sin , 2 cos T z zd T z zd T d d e       2 2 cos cos , 2 cos T z T d Tzd z zd T d d e            Обратный переход от z-преобразования к функции времени мо- жет быть осуществлен по формуле обращения     11 d 2 nx nT F z z z i    , 315 причем интегрирование ведется по окружности: cTz e , где с – абсцисса абсолютной сходимости. 5.11. Пример решения задачи Передаточная функция непрерывной части системы регулирова- ния с ЦВМ имеет вид    21K pW p p   , где K = 100 с–2 – общий коэффициент усиления разомкнутой цепи регулирования; τ – постоянная времени корректирующего устройства. Определить допустимое значение периода дискретности компь- ютера и требуемое значение постоянной времени корректирующего устройства, чтобы показатель колебательности не превышал значе- ния М = 1,3, если запаздывание в компьютере равно нулю, а влия- нием квантования по уровню можно пренебречь. Р е ш е н и е Определим передаточную функцию разомкнутой системы со- вместно с компьютером:     3 21 1W pz z K KW z Z Zz p z p p              . (5.65) В соответствии с табл. 5.1       2 0 0 3 2 3 2 1 2 1 1 KT z zK K KT zZ p p z z           . 316 Далее из (5.65) находим      2 0 0 2 1 12 1 KT z KTW z zz     . Перейдем к ω-преобразованию, использовав подстановку 1 1 z    . В результате получаем    2 00 2 1 2 1 4 TKTW         . (5.66) Теперь получим частотную передаточную функцию посредством подстановки 0 2 Tj   , (5.67) где λ представляет собой абсолютную псевдочастоту. Используя подстановку (5.67), из (5.66) имеем       0 2 1 1 2 TK j j W j j          . Модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы   2 2 2 20 2 1 1 4 , TK j W j          (5.68) а фаза   0T180 arctg arctg . 2        (5.69) 317 По выражению (5.68) на рис. 5.13 построены ЛАХ. Рис. 5.13. Зависимость ЛАХ – L от λ и ЛФХ – ψ от λ По виду фазовой характеристики (5.69) этот случай сводится к ЛАХ типа 2 – 1 – 2. В результате получаем следующие формулы для расчета: базовая псевдочастота ЛАХ 0 10K   с–1, требуемое значение постоянной времени корректирующего устройства 0 1 1 1,3 0,21 1 10 1,3 1 M M      с; требуемая протяжность участка ЛАХ с наклоном 20 дб/дек 1 1,3 1 7,7 1 1,3 1 Mh M      ; допустимое значение периода дискретности 0 0,21 2 7,7 T h   с, откуда 0 0,054T  с. ЛАХ – линейно-амплитудная характеристика. ЛФХ – линейно-фазовая характеристика. 318 6. КОНЕЧНЫЕ АВТОМАТЫ В МЕХАТРОННЫХ СИСТЕМАХ Теорию конечных автоматов можно рассматривать как часть общей математической теории систем. Она изучает абстрактные математические модели и их общие свойства. С другой стороны, на конечные автоматы можно смотреть как на идеализированные мо- дели многих реальных устройств и явлений. Идеи и методы, разви- тые в теории конечных автоматов, полезны в самых различных об- ластях науки и техники, в том числе в мехатронике. Конечный автомат имеет конечное число входов и выходов. В момент времени t на каждый вход конечного автомата поступают сигналы, а на его выходах появляются сигналы, являющиеся его ре- акцией на эти входные сигналы. Смена сигналов происходит в дис- кретные моменты времени t0, t1, ..., и они отождествляются с целыми неотрицательными числами. Переменная времени t принимает значе- ния 0, 1, 2, ... Этот класс моделей не рассматривает физическую при- роду сигналов. Он предполагает, что в момент времени t на каждый вход конечного автомата поступает только один сигнал и на выходе вырабатывается тоже только один сигнал. Число входных и выход- ных сигналов конечно. Будем обозначать входы конечного автомата переменными х1, х2, ..., хп, а его выходы 1 2, , ..., my y y . На рис. 6.1 схематически изображен конечный автомат М. Рис. 6.1. Конечный автомат Входные сигналы входа xi заданы буквами входного алфавита ( 1, ..., )iX i n . Выходные сигналы выхода jy заданы буквами вы- ходного алфавита ( 1, ..., )iY j m . Из требования конечности мно- жеств входных и выходных сигналов вытекает, что алфавиты 1 1, ..., , , ...,n mX X Y Y конечны. Если конечный автомат М имеет п входов х1, ..., хп, на которые подаются входные сигналы из алфави- m 319 тов Х1, ..., Хп, то без потери общности его можно рассматривать как имеющий один вход х, на который поступают сигналы алфавита 1 ... nX X  . Аналогично обстоит дело с выходом. В зависимости от потребностей можно рассматривать конечный автомат, имеющий как один, так и несколько входов или выходов. 6.1. Функционирование конечного автомата. Состояния. Переходы Под функционированием автомата понимают его способность преобразовывать буквы входного алфавита в буквы выходного ал- фавита. Предположим, что автомат имеет один вход и один выход. Будем считать, что поведение автомата описано, если указана функ- циональная зависимость выходного сигнала от входного в момент времени t. Однако у автомата выход в момент t определяется не только входом, но и всей предыдущей работой автомата или памя- тью о предыдущей работе. Это означает, что существуют внутрен- ние переменные, от которых зависит выход в момент t. Будем учи- тывать суммарное влияние этих переменных, вводя понятие неко- торой в е л и ч и н ы — с о с т о я н и я, которая по входному сигналу и значению внутренней переменной позволяет однозначно определить выходной сигнал. Основным ограничением, налагае- мым на класс рассматриваемых моделей, является конечность числа состояний автомата. Дадим точное математическое определение конечного автомата. Конечным автоматом М называется совокупность пяти объектов: 1) конечного непустого множества Х = {а1, ..., ар}, называемого входным алфавитом автомата М, его элементы называются вход- ными символами-буквами; 2) конечного непустого множества Y = {b1, ..., bt}, называемого выходным алфавитом автомата М; его элементы называются вы- ходными символами-буквами; 3) конечного непустого множества Z = {q1, ..., qs}, называемого множеством состояний автомата М; его элементы называются со- стояниями; 4) переходной функции состояний f, отображающей множество всех упорядоченных пар (aj, qi) в множество Z; 320 5) выходной функции g, отображающей множество всех упорядо- ченных пар (aj, qi) в множество Y. Таким образом, конечный автомат М – пятерка (Х, Y, Z, f, g). В каждый момент t на вход автомата М поступает одна из букв х(t) алфавита X, при этом в тот же самый момент времени t на выходе появляется одна из букв y(t) алфавита Y, а состояние автомата z(t) меняется. Исходя из 4-го и 5-го пунктов определения конечного автомата, имеем соотношения z(t + 1) = f (x(t), z (t)); (6.1) y(t) = g(x(t), z(t)), где )(tz и ( 1) , ( ) , ( )z t Z x t X y t Y    . Если дано z(0) – начальное состояние конечного автомата М, то последовательность l входных букв (входное слово длины l) в силу (6.1) однозначно определит последовательность состояний и вы- ходное слово той же самой длины. Конечный автомат М, для кото- рого указано z(0), называется инициальным автоматом. Автоматы М1 =  1 1 1 1 1, , , ,X Y Z f g и М2 =  2 2 2 2 2, , , ,X Y Z f g называют изоморфными, если: 1) 1 2 ;X X X  2) можно установить взаимно однозначное соответствие между Z1 и Z2 так, что если 11 Zq  соответствует 2 2q Z , то 1 1 1( ) ( , )i ia a X f a q  соответствует 2 2( , )if a q и 1 1 1 2 2( , ) ( , )ig a q g a q . Таким образом, автоматы М1 и М2 отличаются только метками состояний. В дальнейшем конечные автоматы будем различать с точностью до изоморфизма. 6.2. Классификация конечных автоматов В зависимости от мощности множеств X, Y, Z и вида функций f и g различаются следующие виды автоматов. 1. А в т о м а т б е з п а м я т и. В этом случае множество Z со- стоит из одного элемента, т. е. автомат есть тройка (Х, Y, g). Рекур- 321 рентные соотношения (6.1) вырождаются в функциональное соот- ношение y(t) = g(x(t)). 2. А в т о н о м н ы й а в т о м а т. Множество X состоит из одно- го элемента, т. е. автомат М есть четверка  , , ,Y Z f g . Рекуррент- ные соотношения (6.1) вырождаются в соотношения ( 1) ( ( ))z t f z t  ; ( ) ( ( ))y t g z t . 3. А в т о м а т б е з в ы х о д а. Множество Y состоит из одного элемента, т. е. автомат М есть тройка (Х, Z, f). Рекуррентные соотно- шения (6.1) вырождаются в соотношение ( 1) ( ( ), ( ))z t f x t z t  . 4. А в т о м а т с з а д е р ж к о й. Функция g зависит только от состояния z(t); соотношения (6.1) имеют вид ( 1) ( ( ), ( ))z t f x t z t  ; ( ) ( ( ))y t g z t . 5. А в т о м а т М у р а. Функция g зависит от состояния z ( t + l ) ; соотношения (6.1) имеют вид ( 1) ( ( ), ( ))z t f x t z t  ; ( ) ( ( 1))y t g z t  . 6.3. Задание конечных автоматов таблицами и графами Функции перехода f и выхода g, поскольку области определения и изменения их конечны, могут быть заданы таблицами, которые 322 называются таблицей переходов и таблицей выходов соответствен- но. Таблицы переходов и выходов имеют вид табл. 6.1 и 6.2. Таблица 6.1 Таблица 6.2 Переходы Выходы x(t) z(t) z(t + 1) a1 a2 ... ap q1 q2 . . . qs x(t) z(t) y(t) a1 a2 ... ap q1 q2 . . . qs Строки таблиц занумерованы состояниями, а столбцы – входны- ми символами. В табл. 6.1 переходов на пересечении qi строки и aj столбца стоит f (aj, qi), а в табл. 6.2 выходов на пересечении qi стро- ки и aj столбца стоит ( , )j ig a q . Другим способом задания конечного автомата является задание с помощью ориентированного графа, называемого графом перехо- дов. Граф переходов автомата M имеет s вершин, которым приписа- ны s состояний автомата M. Если {ai1, ..., air} – множество входных символов, таких что ( , ) vi i jf a q q и ( , ) ( 1, ..., )v vi i ig a q b r  , то существует ребро, идущее из вершины qi в вершину qj, и этому реб- ру поставлено в соответствие выражение 1 1 / ... / r ri i i ia b a b  (если множество 1 1 , ..., ri i i a a   пусто, то таких ребер нет). Задание конеч- ного автомата графом является более наглядным. Например, при s = 6 граф автомата имеет вид, показанный на рис. 6.2. 323 Рис. 6.2. Граф автомата при s = 6 6.4. Эквивалентные состояния автомата Состояние qi называется достижимым из состояния qj, если суще- ствует входное слово, под действием которого автомат, находящий- ся в состоянии qj, перейдет в состояние qi. Если автомат M имеет s состояний и состояние qi достижимо из qj, тогда состояние qi достижимо из qj входным словом длины s – 1 или меньше. Действительно, если состояние qi достижимо из состояния qj, то в графе переходов автомата M существует путь, ведущий из верши- ны qj в вершину qi. Опуская в нем все циклы, получаем путь из qj в qi, который проходит через любое состояние не более чем один раз. Так как число состояний в автомате s, то ребер в пути не больше чем s – 1. Состояние q1 автомата M1 = (Х, Y, Z1, f1, g1) называется k-эквивалентным состоянию q2 автомата M 2 = (Х, Y, Z2, f2, g2), 324 если при действии всякого входного слова длины k или меньше на автомат M в состоянии q1 и на автомат M2 в состоянии q2 получают- ся одинаковые выходные слова. В этом случае пишут 1 2k kq q . В противном случае состояния называют k-различимыми. Предположим, что 1 2Z Z  (этого всегда можно добиться переименованием элементов множеств Z1 или Z2). Тогда множество состояний 1 2Z Z Z  можно разбить на клас- сы k-эквивалентных состояний так, что два состояния принадлежат одному классу тогда и только тогда, когда они k-эквивалентны. Бу- дем обозначать такое разбиение через k . Состояния q1 и q2 называются эквивалентными, если они k-экви- валентны для любого конечного k. В этом случае пишут 1kq  q2. В противном случае их называют различимыми. Множество состояний Z можно разбить на классы так, что два состояния принадлежат одному классу тогда и только тогда, когда они эквивалентны. Это разбиение представляет собой отношение эквивалентности в Z. Обозначим его через  . С в о й с т в а р а з б и е н и я k 1. Разбиение k единственно. Доказательство этого свойства очевидно. 2. Если k   , то число классов в 1k больше, чем в .k Число классов в любом разбиении не может превзойти числа со- стояний, поэтому получаем следующее свойство .k 3. Если Z содержит s состояний, то 1s   . В силу сказанного выше  можно найти следующей процеду- рой. Строим 1 . В один класс попадают два состояния, если они 1-эквивалентны или если в таблице выходов им соответствуют оди- наковые строки. Теперь укажем, как по разбиению k построить 1k . Если состояния q1 и q2 принадлежат разным классам k или 325 если состояния q1 и q2 принадлежат одному классу k , но существует входная буква ia такая, что состояния 1 1( , )if a q и 2 2( , )if a q принад- лежат разным классам k , то состояния q1 и q2 принадлежат разным классам 1k . Полученное разбиение 1k является разбиением  , если либо k = 1k , либо k + 1 = s – 1. 6.5. Минимальная форма автомата Автоматы М1 и М2 называются эквивалентными (М1 М2), если каждому состоянию iq автомата М1 найдется по крайней мере одно состояние jq автомата М2 такое, что iq  jq , и наоборот. В против- ном случае автоматы М1 и М2 различимы. Рассмотрим автомат М =(X, Y, Z, f, g). Пусть разбиение π множества Z состоит из классов 1 2, , ..., l   и iq – произвольный элемент из i . Определим автомат  = , , , ,M X Y Z f g   следующим образом. Множество состояний Z состоит из l состояний 1, ..., l   и функции f и g таковы, что ( , )j i kf a     , если ( , )j i kf a q  ; ( , )j i kg a b  , если ( , )j i kf a q b . Из определения эквивалентных состояний следует, что построе- ние автомата М не зависит от выбора состояния qi из класса i . По- этому автомат M – единственный с точностью до изоморфизма для автомата М. 326 Автомат M обладает следующими свойствами: 1) никакие два состояния автомата M не эквивалентны; 2) M M ; 3) не существует автомата M  такого, что M M  и содержит меньше состояний, чем автомат M . Автомат M называется минимальной формой автомата М. 6.6. Сенсорные автоматы Понятие испытания и классификация. Процесс применения входных слов к автоматам, наблюдения соответствующих выход- ных слов и получения заключений относительно внутренней струк- туры автомата называется испытанием. Испытание может быть б е з у с л о в н ы м , когда входное слово определяют заранее, или у с л о в н ы м п о р я д к а k, когда входное слово состоит из k слов и каждое слово (исключая первое) опреде- ляют на основе предыдущих наблюдений. Испытание может быть п р о с т ы м , когда используют только один автомат, или к р а т - н ы м кратности l, когда используют l тождественных автоматов с одним и тем же начальным состоянием. Длина испытания равна числу букв во входном слове. Испытание реализуется, если его дли- на конечна. Длину, порядок и кратность испытания можно рассмат- ривать как грубую меру их стоимости и использовать как критерии для сравнения различных экспериментов. В дальнейшем допустимым множеством А автомата М будем на- зывать множество состояний, про которые известно, что они могут быть начальными состояниями автомата М. 6.6.1. Диагностические испытания Сформулируем диагностическую задачу. Даны автомат М своей минимальной формой и множество допустимых состояний  1 , ..., mi iA q q . Требуется найти начальное состояние автомата М. Решить эту задачу – значит выполнить такое испытание, чтобы об истинном начальном состоянии можно было сделать вывод по на- 327 блюдению входного и выходного слов. Испытание, которое решает задачу, называется диагностическим испытанием. Диагностическая задача, очевидно, всегда решается для допус- тимого множества, состоящего из одного элемента. Диагностическая задача для автомата с s состояниями и до- пустимым множеством из двух состояний всегда решается про- стым безусловным испытанием длины, меньшей или равной s – 1. Действительно, так как автомат М дан минимальной формой, то любые два его состояния различимы. Входное слово, различающее состояния, принадлежащие допустимому множеству, будет решать диагностическую задачу. Длина такого слова не больше чем s – 1. Входное слово, решающее диагностическую задачу, называется диагностической последовательностью. Диагностическая после- довательность минимальной длины называется минимальной диаг- ностической последовательностью. Найти минимальную диагно- стическую последовательность ( , )i jq q для автомата М допус- тимого множества  ,i jA q q можно следующей процедурой. Пусть число l таково, что состояния qi, qj находятся в разных клас- сах l и в одном классе 1l . Тогда существует входная буква 1va такая, что состояния 1iq и 1jq , получаемые из состояний qi и jq по- дачей буквы 1va , являются (l – 1)-различимыми и (l – 2)-эквива- лентными. По состояниям 1i q и 1j q можно найти входную букву 2v a и состояния 2iq и 2jq , которые будут (l—2)-различимы и (l – 3)- эквивалентны. Продолжив этот процесс, получим входное слово 1 ,...,va lva . Оно и есть искомая минимальная диагностическая по- следовательность. Рассмотрим диагностическое испытание в случае, когда допус- тимое множество А содержит т элементов (т > 2). При построении простого безусловного испытания для автомата М с допустимым множеством  1 ,..., mi iA q q надо найти входное слово, при подаче которого на вход автомата М для каждого из т состояний множества А на выходе получаются разные слова. Возьмем входное слово  . Пусть ( )vA – множество состояний, которое получается из состояний 328 А при подаче v букв слова  . Различных множеств  ( )vA Z s мо- жет быть не больше чем 1 . m i s i C   Следовательно, после подачи слова длины 1 m i s i C   множество А перейдет в множество ( ) ,vmA которое по- являлось раньше. Таким образом, если первые 1 m i s i C   букв слова  не составляют диагностическую последовательность, то слово  не будет ею. Диагностическую последовательность можно найти пере- бором всех входных слов длины 1 ; m i s i C   их не более чем 1 m i s i C p   , где р – число букв в алфавите X. Процесс нахождения диагностической последовательности можно упорядочить. Для этого надо построить дерево диагностического эксперимента. Рассмотрим дерево с корнем, обладающее свойствами: 1) оно ориентированное; 2) из каждой вершины исходит р ребер, если X p ; 3) в каждую вершину, исключая корень, входит одно ребро; 4) каждому исходному ребру приписана буква входного алфави- та, разным исходящим ребрам одной вершины – разные буквы входного алфавита; 5) корню дерева приписано допустимое множество А; 6) остальным вершинам приписаны множества ( )vA , которые по- лучаются из А подачей входного слова длины v, приписанного пути, ведущему из корня в эту вершину; 7) множество ( )vA есть объединение множеств ( )1 ,... ,vA ( )vvlA , где множество ( ) ( 1,..., )v vijA j l получается из тех состояний множества А, которые неразличимы подачей входного слова. Полученное дерево является бесконечным; из него, обрезая вет- ви дерева, можно получить дерево диагностического испытания. Будем обрезать ветвь дерева в тех случаях, если: 329 1) множество встречалось ранее; 2) ( )vjA содержит два одинаковых элемента; 3) все ( ) ( 1, ..., )v vjA j l состоят из одного элемента. В результате мы получим дерево диагностического испытания. Диагностической последовательностью будут являться входные сло- ва, приписанные ветвям дерева, обрезанным в силу условия 3). Диагностическая задача не всегда решается простым безуслов- ным экспериментом. Например, для автомата М, заданного графом переходов (рис. 6.3), и множества допустимых состояний А = {1, 2, 3, 4} диагностическую задачу нельзя решить простым безусловным испытанием. Ясно, что диагностическая последовательность долж- на начинаться с буквы β, второй буквой не может быть ни буква  , в этом случае состояния 1 и 2 неразличимы, ни буква β, в этом слу- чае состояния 3 и 4 неразличимы. Однако диагностическая задача для этого множества допустимых состояний может быть решена простым условным испытанием. Надо сначала подать слово β и затем в зависимости от выходного слова подать либо слово α, либо слово β. Рис. 6.3. Граф переходов автомата М Например, диагностическая задача для множества допустимых состояний {5, 6, 7, 8} не решается простым экспериментом. Однако диагностическая задача всегда решается кратным ис- пытанием, рис. 6.4. 330 Рис. 6.4. Решение диагностической задачи кратным испытанием Действительно, во множестве А допустимых начальных состоя- ний любые два состояния различимы. На первую копию автомата подадим входное слово  , различающее некоторые два состояния множества А. Множество А можно представить как объединение множеств 1,..., (l i jA A A A  Ø), где iA состоит из состояний, не различимых словом  . В каждом множестве iA любые два состоя- ния различимы, рис. 6.5. Рис. 6.5. Различимые состояния множества А 331 На следующую копию автомата подадим входное слово  , раз- личающее некоторые два состояния множества iA . Этот процесс надо продолжать до тех пор, пока не удастся различить все состоя- ния множества А. Очевидно, что эта процедура конечна в силу ко- нечности множества А. 6.6.2. Установочные испытания Сформулируем установочную задачу. Даны конечный автомат М своей минимальной формой и допустимое множество A = { 1 ,..., mi iq q }. Требуется перевести автомат М в известное состояние (провести такой эксперимент, что о состоянии, достигнутом в конце экспери- мента, можно судить наблюдая входное и выходное слово). Испы- тание, которое решает эту задачу, называется установочным испы- танием для автомата М и допустимого множества А. Установочная задача всегда решается простым безусловным испытанием. Действительно, построим серию множеств 1,..., lA A , где каждое множество 1 ... rjj j j A A A   , a kj A – подмножество состояний авто- мата М, может быть с повторяющимися элементами. Множество А1 совпадает с допустимым множеством A = { 1 ,..., mi iq q }. Если каждое множество ( 1,..., ) kj jA k r состоит из одного, может быть, повто- ряющегося, элемента множества Z, то множество Aj совпадает с Аl, т. е. с последним множеством в серии. Если множество Aj не совпадает с множеством Аl, то из него можно получить множество Aj + 1 сле- дующим образом. Пусть множество kj A – произвольное из Aj, которое содержит по крайней мере два различных состояния q и q'. Они разли- чимы входным словом ( , )j jq q   . Пусть 1 ,..., rjj jA A  означают множества состояний, в которые входное слово j переводит множе- ства 1 ,..., . rjj j A A По слову j определим разбиение множества .kjA Два состояния множества kj A принадлежат одному классу, если они не различимы словом j . По разбиению множества kjA определим 332 разбиение множества . kjA Если два состояния множества kjA при- надлежат разным классам, то состояния, в которые они переходят при подаче слова j , тоже принадлежат разным классам kjA . Множество Aj+1 получается как множество всех классов, получающихся из разбие- ния всех kj A . Множество kj A разбивается по крайней мере на два класса, поэтому число множеств в Aj+1 всегда превосходит их число в Aj. После самого большого количества т применений описанной процедуры получается множество Аl, где каждое klA есть множество, содержащее, может быть, только один повторяющийся элемент. Вход- ное слово 1 2, ,..., l   переводит множество А в множество Al и по по- строению обладает тем свойством, что каждое состояние из Al дости- гается с его помощью из A с разными выходными словами. 6.7. Синтез конечных автоматов Языки, применяемые для описания конечных автоматов, можно разбить на две группы: языки, в которых используется переменная, определяющая внутреннее состояние, и языки, оперирующие толь- ко с понятиями «вход-выход». К первой группе относятся описания автомата с помощью таблиц и графов. Ко второй группе относятся разные варианты языка регулярных формул, предикатный язык и т. п. Последние являются более удобными для разговора между заказчи- ком и исполнителем. Поэтому желательно уметь переходить от опи- сания автоматов с помощью языков второй группы к описанию ав- томатов на языках первой. Такой переход называют абстрактным синтезом конечного автомата. 6.7.1. Регулярные выражения Пусть дан алфавит Х = {а1, ..., ар}, символы  , Ø, +,  , * и скоб- ки. Регулярным выражением являются: 1) всякая буква алфавита X и символы  , Ø; 2) выражения (Е1·Е2), (Е1 + Е2), 1E *, если E1 и Е2 – регулярные выражения. Других регулярных выражений не существует. 333 Регулярные выражения применяют для описания множеств слов в алфавите X, при этом символы  , Ø, +,  и * интерпретируют следующим образом: 1) символ  – пустое слово (слово нулевой длины); 2) символ Ø – пустое множество слов; 3) множество (Е1 + Е2) – теоретико-множественное объединение множеств слов Е1 и Е2; 4) множество (Е1·Е2) есть множество всех слов вида  , где  – слово из E1 и  – слово из Е2. Символ • называют умножением; 5) множество (Е1*) есть множество  1 1 1 1 1 1( ) ( ) ...E E E E E E        Символ * называют итерацией. Например, выражение 3321 )( aaaa  следует понимать как совокупность слов 321 aaa и 33aa , а выражение *)( 21 aa  – как совокупность всех слов, состоящих из букв а1 и а2, т. е. 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1, , , , , , , , ...a a a a a a a a a a a a a Не к о т о ры е с в о й с т в а о п е р а ц и й 1 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 1 2 3 1 3 2 3 1) ; 2) ( ) ( ) ; 3) ( ) ( ) ; 4) ( ) ( ) ( ); 5) ( ) ( ) ( ); E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E                          4) E1 + Ø = Ø + E1 = E1; 5) E1·Ø = Ø·E1= Ø; 1 1 1 1 1 1 * * 1 1 1 8) ; 9) ; 10) ( ); E E E E E E E E E             * * 1 1 1 111) ( ) ( ) ;E E E E   334   * * * 1 1 1 * * 1 2 1 2 12) ( ) ( ) ; 13) ( )* ( ) ( ) *; 14) * ; E E E E E E E         15) Ø * . 6.7.2. События. Регулярные события Множество входных слов называется событием. Событие предста- вимо в инициальном автомате М выходной буквой bi, если выходные слова, которые получаются при подаче на автомат М события, конча- ются символом bi. Событие представимо в инициальном автомате М множеством выходных букв Y Y  , если событие есть объединение событий, представимых всеми элементами множества Y  . Рассмотрим конечный автомат М в начальном состоянии q1. По- ведение этого автомата полностью можно задать совокупностью событий 1 ,..., tb bE E , где ibE – множество всех входных слов, кото- рые переходят в выходные слова, кончающиеся на букву ,...,i tb b , – выходной алфавит. Так, если дано входное слово 1 ,..., li ia a , то мож- но определить, в какое выходное слово оно перейдет, если известны события 1 ,..., tb bE E для автомата М. С. К. Клини показал, что всякое событие, представимое в авто- мате, может быть записано в виде регулярного выражения и, наобо- рот, – всякое событие, представимое в виде регулярного выражения, представимо в автомате. Докажем эту теорему для некоторого част- ного случая, а именно, будем полагать, что X = Y = {0, 1} и автомат задан уравнениями ( ) ( ( 1));y t g z t  (6.6) ( 1) ( ( ), ( )).z t f x t z t  Теорема Клини (прямая теорема). Всякое событие, представи- мое в автомате, регулярно и может быть записано в виде регуляр- ного выражения. 335 Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть дан автомат М с  1,..., sZ q q , где q1 = z(0) – начальное состояние автомата. В случае когда автомат М задан системой (6.2) и X = Y = {0, 1}, считают, что событие представимо в автомате, если слова из этого события переводят начальное состояние q1 в состояние, которое да- ет на выходе букву 1. Докажем индукцией по р, что множество jipe всех входных слов, переводящих состояние qi в состояние qj без прохождения через со- стояния qk, с номерами k, большими номера р, регулярно. Множество 0 ije всех входных слов, переводящих состояние qi в qj непосредственно без прохождения других состояний, есть {0}, {1}, {0 + 1},  или Ø. Пусть 1pije  – регулярное событие, покажем, что pije – регулярное событие. Событие pije можно представить в виде 1p ije + 1 1 1( )*p p pppip pje e e    . Выписанное выражение является регулярным, так как построено из регулярных событий 1pije  , 1 1, ( )p pppipe e  и 1ppje  с помощью опера- ций +, ·, * . Теперь рассмотрим автомат М с начальным состоянием q1. Пусть 1 ,..., kl lq q – состояния, которые ассоциируются с выходом 1, тогда событие, реализуемое автоматом, имеет вид 11 1... h s s l le e  . Таким образом, показано, что событие, реализуемое в автомате, является регулярным. Покажем, что имеет место и обратное утверждение. Для этого введем вспомогательные понятия и их свойства. Производная события. Свойства производной Если дано событие Е, то под п р о и з в о д н о й этого события по входному слову a понимается множество /E E      . 336 Можно дать другое определение производной для случая, когда событие представимо в виде регулярного выражения. Это опреде- ление будет иметь индуктивный характер в силу аналогичного ха- рактера определения регулярного выражения. Даны алфавит X = {a1, ..., ар}, событие Е и слово  . Производ- ная от события Е по слову  определяется следующим образом: 1) если iE a и ia  , то ia E   ; 2) если iE a и ( )ja i j   , то ja E  Ø; 3) если E Ø и ia  , то ia E Ø; 4) если E   и ia  , то ia E Ø; 5) если 1 2E E E  и ia  , то 1 2i i ia a aE E E    , 6) если 21 EEE  и ia  , то 1 1 2 1 1 2 2 1 ( ) , если , ( ) , если ; i i a a a a E E E E E E E E E            7) если *1EE  и ia  , то *1)( EE ii aa  ; 8) если Е – произвольное событие и , E E     ; 9) если Е – произвольное событие и 1 1 ,..., k ki i ia a a  , то 1 1 ( ,..., ) i ikka i i E a a E   . Любое регулярное выражение Е имеет конечное число t различных производных, каждая из которых равна некоторой производной регу- лярного выражения Е по слову длины, меньшей или равной t – 1. Теорема Клини (обратная теорема). Всякое регулярное событие представимо в конечном автомате. Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть дано регулярное событие Е. Пост- роим конечный автомат МЕ, который будет представлять событие Е. Если событие Е имеет s различных производных, то у автомата МЕ будет s состояний. Состояние, соответствующее производной E  , обозначим через Eq ~ . Если на вход автомата МЕ в состоянии Eq   подают 0, то он перейдет в состояние 0 Eq    , а если 1, то – в состоя- ние 1 Eq    . Если производная содержит слово  , то состояние 337 Eq   определяет выход 1, все остальные состояния – выход 0. На- чальным состоянием автомата МЕ является состояние Eq  E. По построению входные слова, которые переводят автомат МЕ из со- стояния Eq  в состояние E  , начинаются со слова  . С другой стороны, слово  принадлежит событию Е тогда и только тогда, когда слово  принадлежит E  . Следовательно, множество всех входных слов, переводящих автомат МЕ из состояния Eq  в со- стояния, дающие выход 1, есть событие Е. 6.8. Структурный синтез конечных автоматов 6.8.1. Операции над автоматами До сих пор автомат рассматривался с функциональной точки зрения, т. е. как нечто неделимое, выполняющее функцию. Теперь будем предполагать, что он состоит из элементов — «элементар- ных» автоматов, соединенных между собой, т. е. будем рассматри- вать структурную модель автомата. Рассмотрим связь между функ- циональной и структурной моделями автоматов, а именно, нахож- дением структурной модели по функциональной модели, и наобо- рот. Первая задача называется задачей структурного синтеза, вто- рая — структурного анализа. Задача структурного синтеза. Даны инициальный конечный ав- томат (его таблица, система уравнений, граф), базис с и н т е з а — список «элементарных» автоматов и правила соединения элементар- ных автоматов. Найти структурную схему автомата, заданного функ- циональной моделью. Последнее означает соединить «элементар- ные» автоматы по указанным правилам так, чтобы функциональная модель полученного автомата совпадала с функциональной моделью заданного автомата. Под «элементарными» автоматами понимают любые автоматы, которые в задаче синтеза рассматриваются как не- делимые блоки, из которых строится структурная модель. Остановимся на способах соединения элементарных автоматов. В этом параграфе будем полагать, что каждый автомат может иметь произвольное конечное число входов и выходов. Соединение авто- матов есть отождествление входов и выходов (или входных и вы- 338 ходных полюсов). Произвольное отождествление полюсов может быть не корректно, так как, в силу определения конечного автомата, должны выполняться условия наличия в любой момент времени сигнала на всех входах и выходах и однозначности сигнала на каж- дом входе и выходе. Некорректность возникает, например, при при- соединении к одному входу нескольких выходов или в случае петли в структурной схеме. Можно избежать некорректности, вводя огра- ничения на способы соединения элементарных автоматов. Объединение автоматов. Пусть даны два автомата М1 и М2, имеющие п1 и п2 входов и m1 и т2 выходов соответственно. Автомат М1 задан системой 111 11 11 1 1( ) ( ( ),..., ( ), ( ));ny t g x t x t z t ...................................................... 1 1 11 1 11 1 1( ) ( ( ),..., ( ), ( ));m m ny t g x t x t z t (6.3) 11 )1( ftz  111 1 1( ( ),..., ( ), ( ));nx t x t z t 1 11(0)z q , а автомат М2 – системой 221 21 11 2 2( ) ( ( ),..., ( ), ( ));ny t g x t x t z t 2 2 22 2 21 2 2( ) ( ( ),..., ( ), ( ));m m ny t g x t x t z t (6.4) 22 )1( ftz  221 2 2( ( ),..., ( ), ( ));nx t x t z t 2 21(0)z q . Объединением автоматов М1 и М2 называется автомат М с 1 2n n входами и m1 + m2 выходами и заданный системой уравнений, яв- ляющейся объединением уравнений (6.3), (6.4). Объединение авто- матов М1 и М2 схематически изображено на рис. 6.6. 339 Рис. 6.6. Объединение автоматов М1 и М2 Композиция автоматов. Пусть даны два автомата М1 и М2, за- данные системами (6.3) и (6.4) соответственно. Композицией авто- матов М1 и М2 называется автомат М, который получается отожде- ствлением выходов 11 1,..., ikiy y автомата М1 и входов 12 2,..., kj jx x автомата М2. Автомат задан системой 1 1 1 1 1 1 1 1 11 11 11 1 1 1( 1) 1( 1) 11 1 1 1( 1) 1( 1) 11 1 1 1( 1) 1( 1) 11 1 1 1( 1) 1( 1) ( ) ( ( ),..., ( ), ( )); ( ) ( ( ),..., ( ), ( )); ( ) ( ( ),..., ( ), ( )); ( ) ( ( ),..., ( ), ( )); ( ) ( k k k k n i i n i i n i i n i i y t g x t x t z t y t g x t x t z t y t g x t x t z t y t g x t x t z t y t g x              111 1 1( ),..., ( ), ( ));nt x t z t ……………………………………............ (6.5) 1 1 11 1 11 1 1( ) ( ( ),..., ( ), ( ));m m ny t g x t x t z t 1 1 1 1 1 11 1 1 21 21 2( 1) 1 2( 1) 1 ( 1) ( ( ),..., ( ), ( )); ( ) (..., ( ), ( ), ..., ( ), ( ),...); k k n j i j i z t f x t x t z t y t g x t y t x t y t     ………………………………..........…… 2 2 1 1 1 1 2 2 2( 1) 1 2( 1) 1 2 2 2( 1) 1 2( 1) 1 ( ) (..., ( ), ( ), ..., ( ), ( ),...); ( 1) (..., ( ), ( ), ..., ( ), ( ),...); k k k k m m j i j i j i j i y t g x t y t x t y t z t f x t y t x t y t        2 21(0)z q . 340 Графическое представление этой операции изображено на рис. 6.7. В силу данного определения один входной полюс можно отождест- вить с одним выходным. Рис. 6.7. Операция композиции автоматов Отождествление входов. Пусть автомат М1 задан системой урав- нений (6.5). Автомат М, полученный отождествлением 1ix и 1 jx входов, задается системой уравнений 1 1 1 11 11 11 1 1( 1) 1 1 1 1 1 11 ( ) ( ( ),..., ( ), ..., ( ), ( ), ..., ( ), ( )); ............................................................................................................ ( ) ( ( ),.. i j i n m m y t g x t x t x t x t x t z t y t g x t   1 1 1 1( 1) 1 1 1 1 1 11 1 1( 1) 1 1 1 ., ( ), ..., ( ), ( ), ..., ( ), ( )); ( 1) ( ( ),..., ( ), ..., ( ), ( ), ..., ( ), ( )); i j i n i j i n x t x t x t x t z t z t f x t x t x t x t x t z t      (6.6) 1 11(0)z q . 341 Графическое изображение этой операции представлено на рис. 6.8. Рис. 6.8. Операция отождествления ходов Операция обратной связи. Пусть дан автомат М1, заданный системой уравнений (6.6), и функция 1 jg существенно не зависит от входной переменной 1ix . Тогда автомат М, полученный отождеств- лением 1 jy выхода с 1ix входом автомата М1, есть автомат, полу- ченный операцией обратной связи. Он задается системой 111 11 11 1( 1) 1 1( 1) 1 1 11 11 11 ( ) ( ( ),..., ( ), ( ), ..., ( ), ..., ( ), ( )); ......................................................................................................... ( ) ( ( ),... i j i ny t g x t x t y t x t x t z t y t g x t    1 1 1 1( 1) 1( 1) 1 1 1 1 11 1( 1) 1 1( 1) , ( ), ( ), ..., ( ), ( )); .......................................................................................................... ( ) ( ( ),..., ( ), ( ), ,.. i i n m m i j i x t x t x t z t y t g x t x t y t x     1 1 1 1 1 1 11 1( 1) 1 1( 1) 1 1 ., ( ), ( )); ( 1) ( ( ),..., ( ), ( ), ( ),..., ( ), ( )); n i j i n x t z t z t f x t x t y t x t x t z t     (6.11) 1 11(0)z q . Графическое изображение этой операции представлено на рис. 6.9. 342 Рис. 6.9. Операция обратной связи Выделение выхода. Пусть дан автомат М1, заданный системой уравнений (6.7). Тогда автомат М с 1n входами и 1( )k k m выходами, полученный из М1 выделением выходов 11iy , …, iky1 , есть автомат, полученный операцией выделения выходов. Он задан системой 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 1 1 11 1 1 ( ( ),..., ( ), ( )); ....................................................... ( ( ),..., ( ), ( )); ( 1) ( ( ),..., ( ), ( )); k i i n i i n n y g x t x t z t y g x t x t z t z t f x t x t z t     (6.12) 1 11(0)z q . Графическое изображение этой операции представлено на рис. 6.10. Прежде чем перейти к решению задачи синтеза, остановимся на во- просе выбора базиса. Не всякий набор элементарных автоматов позво- ляет решить задачу структурного синтеза. Поэтому сначала необходи- мо решить задачу о возможности построения автомата с заданным функциональным поведением из данного набора элементарных авто- матов, т. е. выяснить, удовлетворяет ли базис условию полноты. Базис называется полным относительно некоторого класса авто- матов, если в нем может быть синтезирован любой автомат из дан- ного класса. 343 Рис. 6.10. Операция выделения выхода 6.8.2. Структурный синтез автоматов без памяти Рассмотрим задачу структурного синтеза автоматов без памяти, т. е. конечных автоматов, у которых Z = 1 и система имеет вид 1 1 1 1 ( ) ( ( ),..., ( )); .......................................... ( ) ( ( ),..., ( )). n m m n y t g x t x t y t g x t x t   (6.8) Введем еще одно ограничение – будем решать задачу синтеза для важного как с теоретической, так и практической точки зрения случая, когда входной и выходной алфавиты автомата совпадают и состоят из 0 и 1. Тогда функции выхода автомата есть булевы или переключательные функции. Формулируя задачу синтеза в случае автоматов без памяти, следует отказаться от операции обратной связи, которая ведет к некорректности. Вопрос о выборе полного базиса в этом случае сводится к исследованию полноты системы булевых функций. Задача синтеза для автомата без памяти может быть сформу- лирована так: дана система уравнений (6.8) и полная система буле- 344 вых функций; найти представление функций g1, ..., gm через функ- ции полной системы. Естественно попытаться найти какой-либо универсальный метод синтеза, которым можно было бы пользоваться при любом базисе. Одним из таких методов является метод перебора логических схем, составленных сначала из одного элемента базиса, затем из двух, трех и т. д. При этом реализуемость функций g1,..., gm проверяется перебираемыми схемами. Очевидно, что в конце концов решение будет получено и можно говорить о принципиальной возможности решения задачи синтеза. Однако эффективность этого метода на- столько низкая, что нет смысла в его практическом применении. Поэтому задачу синтеза рассматривают для конкретного базиса. Предпочтение отдается следующим полным базисам: конъюнкция, дизъюнкция и отрицание, штрих Шеффера, стрелка Пирса. Рассмотрим реализацию автоматов без памяти в базисе конъюнк- ция, дизъюнкция, отрицание. Известно, что каждую булеву функ- цию можно представить в виде дизъюнктивной или конъюнктивной нормальной формы. Эти формы можно рассматривать как соответ- ствующую суперпозицию элементарных автоматов с функциями выхода: конъюнкцией, дизъюнкцией и отрицанием. Ясно, что задача синтеза, как правило, решается неоднозначно, поэтому естественно ввести понятие сложности схемы М, реали- зующей автомат М, – величины L(М), являющейся функциона- лом, и требовать такого решения задачи синтеза, при котором функционал оптимален. Функционал может быть определен как число вхождений симво- лов переменных в функцию выхода автомата без памяти. В других случаях он может характеризовать надежность схемы или время работы и т. п. Поэтому задачу синтеза можно уточнить так: для лю- бой системы булевых функций g1, ..., gm найти схему  , реализую- щую ее, для которой сложность L( ) экстремальна. Другой подход к задаче синтеза состоит в отказе от поиска экстремальной схемы для каждой функции и перехода к поиску ал- горитмов синтеза экстремальных в некотором классе функций. Остановимся на этом подходе. В качестве класса функций будем рассматривать булевы функции, зависящие от п переменных. Опре- делим функцию L(n): 345 L(n) = max min = L( f) по всем функциям по всем схемам, реализующим от п переменных функцию f(x1, ..., xn) Здесь L( f) – сложность схемы  f, реализующей функцию f. Функционал L(n) называется функцией Шеннона. Очевидно, что любую функцию от п переменных можно реализовать схемой слож- ности не большей чем L(n). Рассмотрим случай, когда в качестве базиса используются авто- маты, реализующие конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание. В этом случае L( f) определим как L( f) = 1 2 3n L n L n L    , где п1 – число элементов конъюнкции; п2 – число элементов дизъюнкции; п3 – число элементов отрицания; , ,L L L  – – сложности элементов конъюнкции, дизъюнкции и от- рицания. Тогда можно указать метод синтеза, при котором  2( ) 1 0(1)nL n L n    . Этот метод является наилучшим, так как можно показать, что ( )L n ~ 2 n L n  . 6.8.3. Структурный синтез автоматов с памятью Так же, как в случае автоматов без памяти, будем рассматривать автоматы, входной и выходной алфавиты которых состоят из сим- волов 0 и 1. Тогда функция выхода такого автомата будет булевой. Чтобы в системе уравнений полностью перейти к булевым функци- ям, закодируем состояния автомата 1,..., sq q последовательностями из 0 и 1 длины l = [log2s]. 346 Ясно, что при разных способах кодирования состояний получа- ются разные варианты функций выхода и перехода. Поэтому можно говорить о задаче экстремального кодирования, ибо сложность схе- мы зависит от вида функций входа и перехода. Если задача кодиро- вания решена, то можно решить задачу синтеза автомата с памятью, сводя ее к решению задачи синтеза автомата без памяти. В качестве исходного базиса рассмотрим базис, состоящий из трех автоматов без памяти, у которых функции выхода есть соответственно конъ- юнкция, дизъюнкция и отрицание, и автомата М3 с системой ( ) ( ); ( 1) ( ); (0) 0. y t z t z t x t z     Такой базис удовлетворяет условию полноты. Последнее следует из возможности представить любой автомат с закодированными состояниями в виде схемы, данной на рис. 6.11. Рис. 6.11. Схема автомата с закодированными состояниями Такое представление конечного автомата позволяет свести зада- чу его синтеза к задаче синтеза автомата без памяти. 6.9. Примеры решения задач З а д а ч а 6.1 Дан последовательный двоичный сумматор с двумя входами, т. е. устройство, на входы которого поступают две последовательности 347 двоичных цифр, причем каждая последовательность представляет собой число в двоичной записи. Последовательность на выходе есть сумма двух чисел, подаваемых на входы. Показать, что это устрой- ство можно рассматривать как конечный автомат. Р е ш е н и е В момент времени t на входы устройства, их два, поступают сиг- налы, соответствующие символам 0 или 1, следовательно, множе- ство Х = {00, 01, 10, 11} является входным алфавитом. На выходе устройства появляется сигнал, соответствующий 0 или 1, поэтому множество Y = {0, 1}– его выходной алфавит. Выходной сигнал оп- ределяется входным сигналом и переносом, поэтому множество Z = {q0 – нет переноса, q1 – есть перенос} – множество состояний и функции выхода g(x(t), z ( t ) ) и перехода f(x(t), z(t)) определяются следующим образом: 0 0 0 0 0 0 0 1(00, ) ; (01, ) ; (10, ) ; (11, ) ;f q q f q q f q q f q q    1 0 1 1 1 1 1 1(00, ) ; (01, ) ; (10, ) ; (11, ) ;f q q f q q f q q f q q    0 0 0 0(00, ) 0; (01, ) 1; (10, ) 1; (11, ) 0;g q g q g q g q    1 1 1 1(00, ) 0; (01, ) 0; (10, ) 0; (11, ) 1.g q g q g q g q    З а д а ч а 6.2 Построить таблицы переходов и выходов для последовательного двоичного сумматора, рассмотренного в задаче 6.1. Таблицы пере- ходов и выходов имеют вид x(t) z(t) z(t + 1) 00 01 10 11 q0 q1 q0 q0 q0 q1 q0 q1 q1 q1 x(t) z(t) y(t) 00 01 10 11 q0 q1 0 1 1 0 1 0 0 1 348 Р е ш е н и е Табличное задание конечных автоматов удобно использовать при мощностных оценках. Если фиксировать алфавиты X, Y и мно- жество Z, то таблица переходов может быть заполнена sps способа- ми, а таблица выходов – tps. Следовательно, общее число автоматов с заданными алфавитами будет равно (st)ps. З а д а ч а 6.3 Построить граф перехода для последовательного двоичного сум- матора, рассмотренного в задаче 6.1. Р е ш е н и е Из описанного построения графа переходов следует, что граф последовательного двоичного сумматора имеет вид, представлен- ный на рис. 6.12. Рис. 6.12. Граф последовательного двоичного сумматора З а д а ч а 6.4 Дан автомат M с входным алфавитом  ,X    , выходным ал- фавитом Y = {0, 1} и множеством состояний Z = {1, 2, 3, 4}, его граф перехода дан на рис. 6.13. Показать, что его состояния 1 и 2 являются 1-эквивалентными и 2-различимыми. Рис. 6.13. К задаче 6.4 349 Р е ш е н и е Действительно, если на автомат M, находящийся в состоянии 1 или в состоянии 2, подать любое слово длины 1, то получим одни и те же выходные слова. Но если подать слово  длины 2, то полу- чим разные выходные слова 11 и 10. З а д а ч а 6.5 Показать, что состояния 2 и 3 автомата M, данного в задаче 6.4, эквивалентны. Р е ш е н и е По графу переходов автомата M (см. рис. 6.13) видно, что слово α переводит состояния 2 и 3 в одно и то же состояние 4, при этом на выходе появляется буква 1; слово  – в состояние 3, при этом на выходе появляется 0. Так как после подачи слов длины 1 состояния 2 и 3 переходят в одно и то же состояние, то любое слово длиной больше 1 не сможет различить состояния 2 и 3 автомата M. Следова- тельно, состояния 2 и 3 эквивалентны. З а д а ч а 6.6 Построить  разбиение состояний автомата M, заданного таб- лицей. x(t) z(t) z(t + 1) y(t)     1 2 3 4 5 6 7 1 1 7 4 4 7 7 4 3 7 1 6 3 7 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 350 Р е ш е н и е Процесс построения  начнем с построения 1 . Разбиение 1 состоит из двух классов:  11 1, 4, 7 и  12 2, 3, 5, 6 . Это видно из таблицы выходов автомата M. Разбиение 1 ( 1, 2, 3, 4)i i  строим по разбиению i и таблице перехода автомата:      2 21 22 231, 4, 7 ; 2, 5, 6 ; 3 ,             3 31 32 33 341, 4, 7 ; 2, 6 ; 3 , 5 ,        4 3   . Следовательно 3   . З а д а ч а 6.7 Показать, что автоматы М1 и М2, данные на рис. 6.14 и 6.15, эк- вивалентны. Рис. 6.14. Автомат М1 Рис. 6.15. Автомат М2 Р е ш е н и е Легко видеть, что состояние 1 эквивалентно состоянию 1 , со- стояние 2 – состоянию 2' и состояние 3 – состоянию 2'. Следова- тельно, автоматы М1 и М2 эквивалентны. 351 Чтобы установить, являются ли автоматы М1 и М2 эквивалентными, надо построить разбиение π множества Z = Z1 2 1 2(Z Z Z   Ø). Если каждый класс разбиения содержит элементы из множеств Z1 и Z2, тогда М1  М2, в противном случае автоматы различимы. З а д а ч а 6.8 Найти минимальную форму для автомата, рассмотренного в за- даче 6.5. Ответ. Из построенного в задаче 6.6 разбиения π следует, что ми- нимальная форма имеет граф переходов, представленный на рис. 6.16. Рис. 6.16. Граф переходов З а д а ч а 6.9 Построить минимальную диагностическую последовательность для автомата М, заданного таблицей, и допустимого множества А = {1, 2}. x(t) z(t) z(t + 1) y(t)     1 2 3 4 5 4 5 1 4 5 4 5 1 4 5 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 352 Р е ш е н и е Построим l разбиения:                             1 11 12 2 21 22 23 3 31 32 33 34 4 41 42 43 44 45 : 1, 2, 3 ; 4, 5 , : 1, 2 ; 3 ; 4, 5 , : 1, 2 ; 3 ; 4 ; 5 , : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 .                                 При l = 4 состояния 1 и 2 попадают в разные классы 4 и нахо- дятся в одном классе 3 . При подаче буквы  они переходят в со- стояния 4 и 5, которые находятся в разных классах 3 , но в одном классе 2 . Эти два состояния при подаче символа β переходят в со- стояния 3 и 2, которые находятся в одном классе 1 и в разных 2 . Наконец, при подаче буквы    они переходят в состояния 1, 5 (5, 1), которые находятся в разных классах 1, т. е. различимы подачей бук- вы β. Диагностическая последовательность будет  или  . З а д а ч а 6.10 Построить диагностический эксперимент для автомата М, задан- ного графом переходов (рис. 6.17), и допустимого множества А = {1, 2, 3, 4}. Рис. 6.17. Граф переходов 353 Р е ш е н и е По дереву диагностического эксперимента, представленному на рис. 6.18, видно, что в качестве диагностической последовательно- сти можно взять либо слово  , либо слово  . Рис. 6.18. Дерево диагностического эксперимента З а д а ч а 6.11 Построить установочное испытание для автомата М (рис. 6.19) и допустимого множества А = {1, 2, 3, 4}. Рис. 6.19. Схема автомата М к задаче 6.11 Р е ш е н и е Состояния 1 и 2 различимы входным словом  . Подадим это слово на автомат М. Получим, что если автомат М был: 354 1) в состоянии 1, он перейдет в состояние 3 и на выходе его поя- вится слово ; 2) в состоянии 2 или 3 – перейдет в состояние 4 и его выходе появится слово ; 3) в состоянии 4, то он перейдет в состояние 1 и на его выходе будет cлово . Теперь осталось различить состояния 1 и 4, они различаются входным словом α. Установочной последовательностью будет вход- ное слово αα. З а д а ч а 6.12 Показать, что множество всех последовательностей из 0 и 1, ко- торые содержат две последовательные единицы, может быть пред- ставлено регулярным выражением. Ответ. Регулярное выражение (0 + 1) * 11 (0 + 1) * представляет все последовательности, содержащие две последовательные единицы. З а д а ч а 6.13 Найти производную события (0 + 1)* 0 + 0 по слову 01. Р е ш е н и е Из определения производной имеем    01 1 0(0 1)* 0 0 (0 1)*0 0 ;         0 0( 0 1)(0 1)*0 (        Ø) (0 1)* 0     (0 1)* 0 ;      1 1 1((0 1)*0 ) (0 1)* 0             1(0 1) (0 1)* 0      Ø = 1 1( 0 1)(0 1)* 0 (0 1)*0       . 355 З а д а ч а 6.14 Построить автомат, реализующий событие 1 + 0*. Р е ш е н и е Найдем производные события 1+0*: 0 1(1 0*) 1 0*; (1 0*); (1 0*) ;          00 01(1 0*) 0*, (1 0*)     Ø, 10(1 0*)   Ø; 11(1 0*)   Ø; 000 001(1 0*) 0*, (1 0*)     Ø, 010(1 0*)  Ø; 100(1 0*)   Ø; 011(1 0*)   Ø, 101(1 0*)   Ø, 110(1 0*)   Ø; 111(1 0*)   Ø. Автомат, реализующий событие 1 + 0*, представлен на рис. 6.20. Рис. 6.20. Автомат, реализующий событие 1 + 0* З а д а ч а 6.15 Пусть дан конечный автомат М, его функции выхода представ- лены в таблице. Построить схему, его реализующую. Выпишем функции выходов у1 и y2 автомата М. Они имеют вид 1 2y x x  и 2 2 1 2( )( )y x x x x   . Эти формулы реализуют супер- позицию автоматов базиса, в результате которой получается схема с функциями выхода у1 и y2. Таблица имеет вид 356 х1 х2 y1 y2 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 11 0 1 0 11 Схема представлена на рис. 6.21. Рис. 6.21. Схема автомата к задаче 6.15 Используя методы, изложенные ранее, упростить схему, умень- шив число элементарных автоматов. З а д а ч а 6.16 Дан конечный автомат М, функции выхода представлены в табли- це. Построить схему, его реализующую. х1 х2 х3 y1 y2 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 Р е ш е н и е Минимальные функции y1 и у2 будут 2 3 1 3x x x x и 1x соответст- венно. Схема, реализующая автомат М, представлена на рис. 6.22. 357 Рис. 6.22. Схема, реализующая автомат М З а д а ч а 6.17 Построить схему автомата, данного в задаче 6.16. Р е ш е н и е У автомата всего два состояния, поэтому их кодирование воз- можно одним из способов: либо 0 – код состояния q0, а 1 – код со- стояния q1, либо наоборот. Если использовать описанный принцип реализации автомата без памяти и добавить обратные связи через автомат М3, то получится схема, представленная на рис. 6.23. Рис. 6.23. Схема к задаче 6.17 358 7. МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ МЕХАТРОННЫХ СИСТЕМ Путем соответствующего объединения чувствительных элемен- тов, исполнительных органов, регуляторов и процессоров можно создать мехатронную систему, обладающую заданными функция- ми. К одной из особенностей мехатроники можно отнести то, что в ней посредством исполнительных органов осуществляется взаи- модействие с внешней средой. При этом односторонним оказывает- ся такой подход, при котором усилия сосредоточиваются на прове- дении функционального проектирования без логических противо- речий. Рассматривая устройство как единое целое, необходимо обра- щать особое внимание на надежность устройств, подверженных воздействиям окружающей среды, а также на его эксплуатационные характеристики. Следует иметь в виду, что при проектировании мехатронных из- делий с устойчивой системой управления применяется встраивание в изделие систем локального управления, т. е. децентрализация вы- числительных средств. Вследствие этого проблемы повышения на- дежности систем управления необходимо решать с точки зрения применяемого программного и аппаратного обеспечения, что явля- ется важным фактором, стимулирующим децентрализацию. Проектирование и производство систем, основанных на кон- цепции централизации и противоположной концепции децентрали- зации, основано на «масштабном факторе», согласно которому стоимость одного изделия уменьшается при росте объемов его про- изводства. Это обусловлено тем, что в партии изделий с централизованной системой управления можно исключить некоторые элементы дуб- лирования и, следовательно, снизить затраты на производство сис- темы в целом. Эта зависимость описывается экспериментальной кривой Сильверстоуна (рис. 7.1), полученной на основе статистиче- ских данных аппаратного конфигурационного управления. 359 Рис. 7.1. Кривая Сильверстоуна 7.1. Концепция аппарата конфигурируемого управления мехатронными системами Машина, спроектированная на основе использования концепции аппарата конфигурируемого управления (АКУ), может реализовать свои функции только благодаря существованию системы управле- ния. Обычные машины, как правило, обладают самоустойчивостью. В случае же АКУ существует механическая неустойчивость, кото- рая часто оказывается необходимой для обеспечения соответст- вующих динамических характеристик. Устойчивость достигается благодаря наличию контуров управления. В настоящее время кон- цепцию АКУ широко используют в самолетостроении, например в истребителях Cу, F16. Для реализации концепции АКУ неизбежным, несомненно, явля- ется существование информационной системы и системы управле- ния. В этом смысле концепцию АКУ можно отнести к основным руководящим принципам мехатроники и считать, что она относится к понятиям самого высокого ранга. Системы управления машинами и аппаратами первых поколений обычно обладали централизован- ной структурой, в которой компьютер выполнял функции управле- ния, а к нему звездообразно подсоединялись многочисленные дат- чики и исполнительные механизмы, и их проектирование осущест- влялось на базе спроектированной машины. Однако если иметь в виду концепцию АКУ, то в большинстве случаев необходимость рассматривать систему управления как подсистему, добавленную к готовой машине, будет отсутствовать. 360 По мере интеграции механики и электроники информационные подсистемы перестали играть вспомогательную роль и стали равно- правными наряду с механическими подсистемами. При этом в неко- торых случаях они стали играть более значительную роль. Инфор- мационным системам, интегрированным с механическими система- ми, часто приходится работать в очень жестких условиях, которые не идут в сравнение с условиями, существовавшими ранее. Если в вычислительных центрах обычные компьютеры работают в спе- циально контролируемой среде, то информационные системы меха- троники очень часто не могут быть обеспечены такой средой. На- пример, промышленным роботам приходится работать в заводских условиях непосредственно в цехах. Компьютеры и другая электро- ника, устанавливаемая в автомобилях, самолетах, реакторах и т. д., по существу подвергаются воздействиям таких же жестких условий внешней среды, как и сами механические системы автомобиля, самолета и др. 7.2. Отказы в мехатронных системах Мехатронное изделие состоит из аппаратного обеспечения, ко- торое представляет собой совокупность механических, электриче- ских, электронных компонентов и программного обеспечения, пред- назначенного для управления аппаратными средствами. Существуют два основных подхода повышения уровня надежности рассматри- ваемых изделий. Один из подходов заключается в снижении уровня отказов компонентов, входящих в состав системы. При другом под- ходе допускается появление отказа, но обеспечиваются такие усло- вия, при которых отказ не является фатальным. При реализации первого подхода одним из типичных решений является замена функций, выполняемых механическими элемента- ми, функциями, осуществляемыми средствами электроники. Следу- ет иметь в виду, что какие бы усилия не прикладывались, при ис- пользовании механических элементов не удается избавиться от тех нежелательных явлений, которые возникают в результате трения, обусловленного их движением. По сравнению с механическими компонентами электронные обладают более высокой надежностью. У механических элементов механизмы отказов довольно сложные, а у электронных – просты. При расчете отказов электронных ком- 361 понентов можно довольно легко воспользоваться соответствующи- ми теоретическими методами. При создании технических устройств это обстоятельство принимают во внимание. Другим важным фак- тором помимо электронизации является широкое использование программного обеспечения, поскольку в принципе программное обеспечение не портится. Однако при разработке программного обеспечения необходимо быть внимательным к ошибкам, которые могут возникнуть при проектировании. В настоящее время при проектировании мехатронных устройств важной тенденцией является электронизация механических деталей и повышение надежности программных средств. По мере интеллектуализации машин более важными становятся проблемы ошибок программного обеспечения. При этом все больше усилий необходимо затрачивать на разработку надежного програм- много обеспечения. Использование электронных компонентов позволяет устранить нелогичное поведение. Однако при проектировании следует иметь в виду, что такие компоненты являются довольно чувствительными к воздействиям факторов внешней среды (высокой температуры, электромагнитного и радиационного излучений, колебаний и т. д.). Это сдерживает широкую электронизацию устройств, предназна- ченных для работы в жестких условиях. Например, радиоактивное излучение может нарушить работу электронного компонента в ре- зультате того, что на том участке, который подвергался радиоак- тивному облучению, мгновенно происходит образование электри- ческого заряда, который скапливается в местах соединения с полу- проводником. Следует отметить, что электрический заряд легко скапливается в тех местах, где возникают деформации. Поэтому, например при разработке компонентов, стойких к воздействию ра- диоактивного излучения, следует обращать внимание на то, чтобы в деталях машин не было остаточных деформаций. Второй подход заключается в повышении нечувствительности к отказам (допустимых пределов отказов). При реализации такого подхода необходимо обнаружить возникшие отказы и организовать работу таким образом, чтобы даже в случае появления отказа функ- ционирование продолжалось так, как будто бы отказа и не было. Первая часть подхода носит наименование способности обнаруже- 362 ния отказов, а вторая – способности маскирования отказов. В слож- ных системах такой подход оказывается очень эффективным. Вполне естественно, что распределение системы эффективно с точки зрения маскировки отказов. В большинстве случаев воз- можна такая организация, при которой даже в случае полного вы- хода из строя некоторой части системы остальная ее часть может продолжать функционировать без отказавшей части. При рассмот- рении надежности такое качество системы называют живучестью. 7.2.1. Диагностика отказов К технике диагностики отказов относятся операции, необходи- мые для обследования состояния машины, выявления аномалей, если они возникли, и принятия соответствующих мер. Диагностика отказов имеет несколько уровней, в частности уровень, на котором проверяют наличие или отсутствие отказа, а также уровень, на ко- тором устанавливают то место, где произошел отказ. При определении отказов можно воспользоваться изменениями параметров состояния машины. Такими параметрами могут быть уровень вибраций, давление, частота вращения и т. д. Следует иметь в виду, что параметры состояния представляют собой вели- чины, изменения которых носят случайный характер. Очень часто в нормальном и аномальном случаях распределения накладываются друг на друга. Поскольку в этом случае мы имеем дело со случайными события- ми, необходимо принимать во внимание вероятность ошибки. Во- первых, существует вероятность того, что аномальный случай будет принят за нормальный, т. е. вероятность недосмотра. Во-вторых, су- ществует вероятность того, что аномальный случай примут за нор- мальный по причине неверной информации (дезинформации). Обе вероятности могут противоречить друг другу. При нахождении ком- промиссного решения обычно руководствуются тем, что было ранее. Если вероятность недосмотра невелика, то возрастет вероятность не- верной информации (дезинформации). При этом необходимо провес- ти техническое обслуживание, в котором нет непосредственной не- обходимости. Когда дезинформация невелика, возрастает вероят- ность недосмотра и у машины может произойти грубый отказ. 363 7.2.2. Надежность структур, составленных из элементов Интенсивность отказов деталей. Интенсивность отказов пред- ставляет собой величину, которой традиционно пользуются при ко- личественном рассмотрении отказов. Пусть у некоторой машины существует вероятность отказа F(t) в течение времени 0 < τ < t. Функция F(t) носит название кумулятивной (совокупной) интенсив- ности отказов. Понятно, что F(0) = 0, F(∞) = l. Вероятность  R t безотказной работы можно представить сле- дующим образом: R(t) = 1 – F(t). Эта величина называется функцией надежности. Если поло- жить, что плотность вероятности f(t) = dF/dt, то будем иметь дело с плотностью распределения вероятностей, которое называется рас- пределением интенсивностей отказов. Другим важным параметром является математическое ожидание случайной величины t, которое записывается в виде        0 0 0 0 d d dt tf t t tR t R t t R t t              . Этот показатель носит название наработки до отказа или сред- ней наработки на отказ. Первый термин используется в приме- нении к изделиям, которые нельзя ремонтировать, а второй – в при- менении к ремонтопригодным изделиям. Предположим, что λ(t) – вероятность мгновенного отказа у су- ществующей системы в момент времени t. Тогда можно записать следующую зависимость: f(t) = λ(t)R(t). Если провести преобразование и воспользоваться только функ- цией R(t), то получаем     d ln d R t t t    . 364 Обычно зависимость вероятности возникновения отказов от вре- мени имеет вид, представленный на рис. 7.2. Такую графическую зависимость называют корытообразной кривой. Рис. 7.2. Кривая интенсивности отказов Традиционно на этой кривой выделяют три участка: участок, на котором происходит уменьшение интенсивности отказов, участок, где интенсивность отказов является постоянной, и участок возрас- тания интенсивности отказов. Первый участок соответствует интер- валу времени, на котором отказы могут возникать из-за того, что не удалось в достаточной степени устранить недоработки, имевшие место при проектировании технических и программных средств. Такой интервал времени называют интервалом начальных отказов. За счет принятия соответствующих мер на этапе проектирования можно добиться снижения интенсивности появления отказов на на- чальном интервале. Однако даже если удается полностью устранить начальные отказы, то это не означает, что интенсивность отказов становится равной нулю. Второй участок рассматриваемой кривой, на котором интенсив- ность отказов постоянна, можно назвать интервалом случайных от- казов. Возникновение таких отказов носит совершенно случай- ный характер. При рассмотрении таких отказов можно довольно просто воспользоваться вероятностными методами и довольно лег- ко осуществить моделирование. Когда λ(t) = λ (λ – const), то рас- 365 пределение интенсивности отказов можно представить экспонен- циальным законом    expf t t    . Надежность можно представить в виде    expR t t    . Самый последний участок на кривой интенсивности отказов но- сит название интервала усталостных отказов. На этом участке интенсивность отказов возрастает по мере старения системы. Повышение надежности путем параллельного соединения компонентов. Когда интенсивность отказов отдельных компонентов уменьшить не удается, рассматривают совокупную интенсивность отказов за счет резервирования путем использования избыточного количества компонентов. В системах, работающих в реальном мас- штабе времени (например, мехатронных устройствах), необходимо использовать резервирование. Положим, что система состоит из п компонентов, каждый из ко- торых обладает надежностью  1,...,ir i n . Если при выходе какой- либо компоненты нарушается функционирование всей системы, то можно считать, что она имеет последовательную структуру, пред- ставленную на рис. 7.3, а. Надежность такой системы можно опре- делить произведением iR r  . Наиболее простым способом, позволяющим повысить надежность системы, является параллельное соединение компонентов. Остано- вимся на рассмотрении случая, при котором детали представляют собой реле. Наиболее простым преобразованием приведенной выше системы является такое, при котором получаем m параллельных подсистем, как показано на рис. 7.3, б. 366 а б в г д Рис. 7.3. Повышение надежности систем: а – система последовательного типа; б – параллельно-последовательная система (резервирование путем параллелизации): в – последовательно-параллельная система; г – мажоритарная система 2/3; д – система с ненагруженным резервом 367 В таком случае надежность системы R можно записать следую- щим образом:  1 1 mR R    . Естественно, что R > R. Если предположить, что появление от- казов носит случайный характер, а интенсивности отказов у всех деталей равны, то можно считать, что  expir r t   . Для системы с параллельным соединением nR r  ; 1 /t n    . Для системы с последовательным соединением  1 1 mnR r    ;  1 1 / 2 ... 1 / /t m n       . Понятно, что имеем ,R R t t         . Можно расположить детали так, как показано на рис. 7.6, в. Ос- тановимся на рассмотрении такого способа соединения, при кото- ром блоки расположенных параллельно деталей связаны последова- тельно. Для этого случая надежность R можно представить сле- дующим образом:  1 1 miR r    . Положим, что величина λ невелика, а 1 – r представляет собой малую величину . Тогда для R и R можно записать R 1 – (n)m; R 1 – nm. 368 Необходимо обратить внимание на то, что R > R . Этот эффект особенно значительно проявляется при больших значениях п. Изложенные выше соображения можно назвать параллелизацией системы. Если воспользоваться резервированием, при котором ко- личество деталей увеличивается в m раз, то вполне понятно, что предпочтительным оказывается способ расположения, приведенный на рис. 7.3, в. Однако следует иметь в виду, что в действительности анализ надежности не всегда оказывается таким простым, как изло- жено выше. Факты свидетельствуют о том, что в таких сложных машинах, как мехатронные устройства, важным является подход, при котором необходимо решить проблемы отказов по возможно- сти на локальном уровне. Мажоритарные системы. Часто возникают опасения, что какой- либо компонент, возможно, отказал. В таких случаях часто исполь- зуют мажоритарные системы. На рис. 7.3, г показаны располо- женные параллельно три системы, имеющие надежности R. По- скольку в двух системах одновременно вряд ли могут возникнуть отказы, создаются такие условия, что система (в целом) не отказы- вает. При этом надежность можно оценить следующим образом: 2 3* 3 2R R R  . Когда R приближается к единице, R* > R. При этом можно ожидать, что происходит повышение надежности. Например, если R = 0,9, то R* = 0,972. В частности, если допустить существование случайного отказа, то при    expR t t  можно считать, что       * 3 2exp exp 2R t t t     . Средняя наработка на отказ будет составлять 5 / 6t    . Принцип мажоритарности не влияет на увеличение средней на- работки на отказ. 369 Система с ненагруженным резервом. В параллельной системе обычно функционируют две и более подсистемы. Есть вероятность возникновения мнения о том, что происходит бесполезное расходо- вание ресурса резерва. Можно организовать работу так, что в обыч- ных условиях избыточная система не будет находиться в рабочем состоянии. Когда же произойдет отказ, можно выполнить замену отказавшей детали. В рассматриваемом случае в момент замены надежность новой подсистемы должна быть очень высокой. Поэто- му можно повысить надежность всей системы в целом. Организо- ванная таким образом система носит название системы с ненагру- женным резервом. На рис. 7.3, д показана система с m-кратным не- нагруженным резервом. Если предположить, что в такой системе произошел случайный отказ, и не принимать во внимание возмож- ный отказ переключателя, то можно записать      * exp / !.k k R t t t k   Если считать, что m = 2 (двойная система), то можно установить, что      * 1 exp ;R t t t   *t  = 2/λ. Если исключить из рассмотрения время, требуемое на пере- ключение, то можно считать, что по отношению к случайным отказам система с ненагруженным резервом очень эффективна. Однако следу- ет иметь в виду, что такая система не всегда оказывается хорошей в тех случаях, когда не допускается остановка системы даже на мгно- вение. Если иметь дело с элементами систем, то в большинстве случа- ев возникает вопрос: не происходит ли фактическое снижение надеж- ности в процессе ожидания? Однако на практике ситуация оказывается не столь опасной, как это может показаться с точки зрения теории. П р и м е р Высоконадежная система Кратко остановимся на конкретном рассмотрении возможности разработки высоконадежной системы на основе использования из- ложенных выше соображений. 370 На рис. 7.4 приведена структура надежного компьютера, разрабо- танная в Стэндфордской лаборатории. Рассматриваемая система со- кращенно называется системой с отказоустойчивым программным обеспечением (SIFT – Software Implemented Fault Tolerant). В системе используется восемь компьютеров, которые предназначены для вы- полнения одной и той же программы. После выполнения каждой программы осуществляется посылка результатов счета и их согласо- вание. В конце концов с помощью соответствующих программных средств реализуется принцип мажоритарности и маскируются ошиб- ки, обусловленные отказами. Синхронизация программ осуществля- ется с помощью таймера. Для отказавшей части системы можно пре- дусмотреть соответствующие резервные аппаратные средства и обес- печить необходимую перестройку всей системы. Рис. 7.4. Пример повышения надежности системы за счет использования отказоустойчивого программного обеспечения На рис. 7.5 представлен разработанный Драперовской лаборато- рией отказоустойчивый мультипроцессор (FTMP – Fault Tolerant Multi Processor). По сравнению с предыдущей в рассматриваемой системе удается обеспечить более высокую надежность на уровне аппаратных средств. В этой системе обработка и обмен информацией 371 между процессорами и устройствами памяти организуется в битовых единицах. При этом используется мажоритарность. Процессоры, уст- ройства памяти и шины являются системами с тройным резервирова- нием, которые соответственно носят наименования «процессорная триада», «шинная триада» и «триада устройств памяти». Рис. 7.5. Пример повышения надежности системы за счет использования отказоустойчивого аппаратного обеспечения 7.3. Надежность программных средств Современные мехатронные системы содержат микро- и макро- процессоры, поэтому для систем контроллеров и компьютеров не- обходимо иметь программное обеспечение соответствующего фор- мата. По мере мехатронизации растет потребность в различных программных средствах, создается все больше машин, «конфигури- руемых управлением». Разработке программного обеспечения уделяется такое же вни- мание, как и проектированию самой машины. При этом необходимо обратить внимание на принятие соответствующих мер, направлен- ных на искоренение ошибок, которые могут возникнуть в програм- мном обеспечении. Необходимо подчеркнуть, что в мехатронике 372 создание программного обеспечения является таким же важным де- лом, как проектирование самой машины и ее компонетов. Существуют два подхода, позволяющих повысить надежность программного обеспечения. Один из подходов направлен на то, что- бы на этапе программирования не допустить появления ошибок. Если с самого начала программа составлена без ошибок, то в даль- нейшем проблемы возникать не будут. Впервые эти соображения изложил Дейкстра в 1969 г. на техни- ческой конференции НАТО по программному обеспечению. Оно базируется на следующем убеждении. Проверка программы может свидетельствовать о том, что в ней не существует ошибок. Однако это не может служить доказательством того, что ошибок фактиче- ски нет. С помощью структурной лингвистики можно конкретизи- ровать это положение. Для этого необходимо соответствующим об- разом организовать прохождение программы, а также разработать целесообразную структуру переменных. При этом удается в более простой форме выразить то, что должно быть запрограммировано. К настоящему времени издано много книг, в которых рассматрива- ются проблемы структуризации программирования. Однако накопленный опыт не свидетельствует о том, что в про- граммах совершенно отсутствуют ошибки, даже если исходить из то- го, что они написаны на языке структурного и объектно-ориенти- рованного программирования. В таком случае если на этапе составле- ния программы не удается полностью исключить ошибки, то необхо- димо использовать проверки. В этом состоит суть второго подхода. Проверка программы (программный тест) представляет собой понятие, которое существенно отличается от понятия отладки. За- дача теста состоит в том, чтобы устранить ошибки (неполадки), содержащиеся внутри программы. При отладке с программой не- посредственно работает тот, кто ее разрабатывал. Тестирование же является процессом, который объективно и систематически выпол- няется другими сотрудниками. При этом обнаруженные на месте ошибки не исправляются, а возвращаются обратно в программу. Рассмотрим некоторые свойства, которыми должен обладать хоро- ший тест. Первым таким свойством является детективность. Вполне естественно, что тестирование должно правильно обнаруживать ошиб- ки, которые могут существовать в программе. Вторым свойством яв- ляется покрывающая способность, характеризуемая количеством воз- 373 можных входных условий программы, которые можно проверить тес- тированием (с их помощью меняется управление программой). Оно свидетельствует о том, сколь хорошей является детектирующая спо- собность, поскольку невозможно выявить все ошибки при выполнении тестирования только для некоторой части входных условий. Третьим свойством является воспроизводимость (повторяемость), которая характеризует, в какой степени можно свободно задавать входные условия программы. Ошибки, обнаруженные в процессе тестирования, определяются в программе и исправляются. Для скор- ректированной программы это требует вторичного выполнения процесса тестирования. При этом необходимо провести соответст- вующие проверки для входных условий, при которых были обна- ружены ошибки. Четвертым свойством является модульность. С точки зрения покрывающей способности и воспроизводимости одноразовое тес- тирование всей программы неэффективно. Поэтому программу раз- бивают на несколько модулей и отдельно проводят тестирование каждого модуля. Такой подход оказывается эффективным. Понятно, что проведение тестирования на модульных единицах требует обес- печения входной среды, необходимой для работы. Чтобы можно было осуществить функционирование модульной единицы, анало- гичное функционированию по всей рассматриваемой системе, не- обходимо проводить соответствующее моделирование. При тести- ровании модулей низшего уровня необходимо выполнить замену управляющей программы верхнего уровня, т. е. необходим драйвер (формирователь). При выполнении тестов для модулей верхнего уровня следует использовать соответствующие макеты подпро- грамм, которые приводятся в действие этими модулями. К хороше- му тестированию модулей можно отнести такое тестирование, при котором точно воссоздаются окружающие условия, соответствую- щие реализации системы в целом. Естественно, что во всей системе, образованной из отдельных протестированных модулей, необходи- мо полностью устранить возможные ошибки. Тестирование программ можно грубо разделить на статическое и динамическое. Первое представляет собой тестирование, при ко- тором объектом являются только исходные коды программы. При этом программа фактически не выполняется. Второе связано с фак- тическим выполнением программы при каких-либо систематически 374 заданных условиях, при которых осуществляется проверка выпол- нения желаемых функций. Статическое тестирование обычно проводится в несколько этапов. На первом этапе осуществляется проверка формата исход- ного кода, которую можно назвать инспекцией кода. У программы, прошедшей такую проверку, совершенствуется формат, и она ста- новится легко читаемой. Можно считать, что по крайней мере по внешнему виду ее качество становится более совершенным. На втором этапе разрешаются те противоречия, которые могут содержаться в структуре данных. Этот этап совместно с третьим этапом можно назвать статическим анализом. Он проводится с по- мощью программы, у которой значительно выражены функции грам- матических проверок, содержащиеся в компиляторе. Например, про- водится поиск неопределенных переменных, к которым ни разу не обращались. Объектом проверки может также служить возможность проведения операций над переменными различных типов. На третьем этапе выполняется тестирование, связанное с пото- ком управления, которое может включать проверки на бесконечные циклы, т. е. проверки на так называемые мертвые коды (участки программы, не выполняемые при любых входных условиях) и т. д. Указанные выше этапы можно отнести к проверкам программы с синтаксической стороны. Осуществление таких проверок можно автоматизировать. К четвертому этапу относятся тесты, входящие в содержание программы. Следует обратить внимание на то, что автоматизация тестирования является довольно сложной процедурой, поэтому в настоящее время для тестирования необходимо использовать так- тику «лавины». Может сложиться впечатление, что статическое тестирование яв- ляется неэффективным. Однако по сравнению с динамическим такое тестирование является полезным в отношении воспроизводимости и покрывающей способности. Перед динамическим тестированием очень важно достаточно полно провести статическое тестирование. Многие специалисты считают, что статическое тестирование являет- ся наиболее эффективным при проведении проверок системных про- грамм операционных систем, управляющих выполнением несколь- ких программ в реальном масштабе времени. Программные средст- ва мехатроники во многих случаях используются в неавтономном 375 режиме функционирования оборудования. При этом у мехатронных устройств необходимо также учитывать тенденцию к увеличению числа датчиков. Поэтому, в сущности, развитие происходит в таком направлении, в котором полное динамическое тестирование оказы- вается невозможным, и можно считать, что возрастает важность статического тестирования как средства, позволяющего теоретиче- ски гарантировать надежность программного обеспечения меха- тронных устройств. Впрочем, среди статических тестов проверки, выполненные до третьего этапа, в некоторых случаях могут приво- дить к таким выводам, согласно которым на основании имеющихся фактов утверждается, что среди ошибок, выявленных с помощью статического тестирования, лишь 10 % можно отнести к фактиче- ским ошибкам. Однако следует учитывать, что статическое тести- рование представляет собой единственный метод, с помощью кото- рого можно логически доказать (подтвердить) правильность про- граммы. Можно надеяться, что в дальнейшем роль такого тестиро- вания не уменьшится, а, наоборот, возрастет (рис. 7.6). После завершения статического тестирования проводится дина- мическое тестирование. При нем возникает проблема охвата, вы- бора входных воздействий для проведения испытаний, при которых обеспечивается работа программы в реальных условиях. Часто вход- ные данные выбираются произвольно, что может в конечном счете приводить к определенным упущениям. В рассматриваемом случае имеет место следующий вопрос. Какое сочетание выбрать среди многочисленных сочетаний входных параметров, чтобы эффектив- но провести тестирование программы? Согласно рис. 7.6, а выпол- нение программы представляет собой не что иное, как установление соответствия между точкой Р, принадлежащей пространству вход- ных параметров, и точкой Q, принадежащей пространству выход- ных параметров. Предположим, что некоторая программа четыре раза подвергается динамическому тестированию. При таком выборе входных параметров, как показано на рис. 7.6, б, можно было про- вести лишь одно тестирование. Целесообразно руководствоваться случаем, представленным на рис. 7.6, в. В нем часто используется степень охвата, которая представляет собой показатель покры- вающей способности, характеризующий, насколько исчерпывающе проводятся проверки программы с помощью динамического тести- рования. Можно считать, что при динамических испытаниях сте- 376 пень охвата показывает, какая часть всей программы оказалась за- действованной. Для существующих в настоящее время мехатрон- ных устройств очень часто этот этап реализуется при проведении натурных испытаний. Однако по мере возрастания удельного веса программных средств необходимо будет пользоваться системати- ческими методами, подобными рассмотренному ниже. а б в Рис. 7.6. Выполнение программы и выбор тестовых данных: а – выполнение программы; б – тестовые данные выбраны плохо; в – тестовые данные выбраны хорошо Допустим, что мы имеем дело с программой, представленной на рис. 7.7, на котором кружками обозначены операторы (высказыва- ния), а стрелками – потоки управления. 377 Рис. 7.7. Программа и степень охвата С0 Наиболее простым показателем покрывающей способности яв- ляется такой, который измеряет число выполненных операторов в процентах к общему числу операторов. Такой показатель носит название степень охвата С0. Например, в том случае, когда совершен про- ход abcef, степень охвата С0 будет составлять 100 %. В этом случае такие проходы, как d, g, h, во внимание не принимаются. Можно харак- теризовать степень охвата по доле пройденных проходов, что можно назвать степенью охвата С1 (рис. 7.8). Обычно в настоящее время, когда говорят о степени охвата, очень часто имеют в виду степень охвата С1. Такой степенью охвата очень часто пользу- ются как показателем покрывающей способно- сти. Однако в большинстве случаев управление программой может зависеть от количества вы- полненных циклов. Поэтому не всегда этого Рис. 7.8. Пример, пока- зывающий, что недоста- точно использования одной лишь степени охвата C1 378 оказывается достаточно. Здесь можно привести еще такой пример. Как показано на рис. 7.7, при тестировании проходов ас и bd степень охва- та С1 становится равной 100 %. Однако в сущности необходимо про- вести также тестирование проходов ас, ad, be и bd. Таким образом, степень охвата С1 нельзя считать совершенным показателем. При динамическом тестировании следует обращать должное вни- мание на выбор входных данных. Тесты, при которых входные дан- ные полностью выбираются только из внешней спецификации (опи- сания названия программного изделия), называют функциональными тестами. Помимо этого существуют еще и структурные тесты, при проведении которых приходится вмешиваться также в блок- схему программы. При проведении функциональных тестов тестовые данные состав- ляются только по внешней спецификации программы. Область вход- ных переменных программы (пространство входных параметров) разбивается на несколько классов. Для тестирования используются характерные точки, представляющие классы. В данном случае ис- пользуется метод эквивалентного разбиения (МКР), являющийся типичным для функционального тестирования. При существовании значительных различий в классах программы также должны отли- чаться. Поэтому при определении классов следует выполнять дейст- вия, которые бы учитывали различия программ. Помимо МКР также находит применение метод анализа граничных значений (МАГЗ), при котором выбор характерных точек оказывается более ограниченным. Характерные точки выбираются на границах эквивалентных облас- тей или в непосредственной близости от этих границ. Обнаружение граничных ошибок можно выполнить более эффективно (рис. 7.9). В обоих случаях при составлении эквивалентных классов необходи- мо пользоваться эвристическими методами. При этом степень охвата всей программы не обязательно будет высокой. После завершения функционального тестирования степень охва- та С1 обычно составляет примерно 40–50 %. Если даже воспользо- ваться таким сильным средством, как первично-следственные гра- фики, значение этой величины оказывается равной не более 70 %. Поэтому необходимо обнаружить еще не реализованные проходы, определить наборы входных параметров, обеспечивающих прохож- дение через эти проходы и, таким образом, повышение степени ох- вата. Данные действия относятся к структурному контролю. Сле- 379 дует обратить внимание на то, что при проведении такого контроля автоматически воссоздать соответствующие данные тестирования по проходам не всегда достаточно легко. а б Рис. 7.9. Выбор характерных точек тестовых данных (области соответствуют различным проходам) 380 Одним из подходов в этом направлении может служить так на- зываемая знаковая реализация, при использовании которой реали- зация программы фактически не является цифровой. При использо- вании установленных проходов условия прохождения через них последовательно заменяются знаками. Обычно знаковая реализация осуществляется в направлении назад (рис. 7.10). Рис. 7.10. Знаковая реализация 381 Таблица к рис. 7.10 Выполняемые операторы и ветви Ветвь 4 Ветвь 3 Ветвь 2 Ветвь 1 4 d = K (3) d – 1 = K 3 d – 1 = K a  c 2 d – 1 = K a  c d ≠ K (3) d – 2 = K f(a)  c d – 1 ≠ K (2) d – 2 = K f(a)  c d – 1 ≠ K 1 d – 2 = K f(a)  c d – 1 ≠ K a < c (1) d – 2 = K f(a)  c b – 1 ≠ K a < c  END Надежность программных средств находится в обратной зависи- мости от стоимости. Чтобы исключить все проходы, потребуется бесконечное время. При этом затраты также возрастут до бесконеч- ности. На рис. 7.11 представлена зависимость накопленного числа выявленных ошибок от времени, затраченного на тестирование. Рис. 7.11. Зависимость надежности программного обеспечения от продолжительности тестирования Из этой зависимости видно, что с возрастанием числа выявлен- ных ошибок резко затрудняется обнаружение новых. Чтобы полно- 382 стью исключить ошибки, вероятно, потребуется время, близкое к бесконечности. Следовательно, целесообразно останавливаться на некоторой ограниченной надежности. Во-первых, широко исполь- зуемый показатель надежности программного обеспечения пред- ставляет собой упомянутую выше степень охвата, в частности сте- пень охвата С1. С его помощью можно провести некоторую оценку того, насколько серьезно прошло проверку программное средство. Во-вторых, можно попытаться подогнать кумулятивную кривую обнаруженных ошибок к результатам имеющегося опыта и оценить окончательное число ошибок. В-третьих, можно воспользоваться экспериментальным методом, который носит наименование мута- ционного анализа. Например, в программу искусственно вводится J ошибок. При этом по результатам тестирования можно устано- вить, что количество ошибок равно j. Если количество ошибок, найденных в самой исходной программе, равно i, то общее число существующих в программе ошибок можно оценить следующим образом: I = Ji/j. С помощью такого подхода можно провести про- верку совершенства данных тестирования. 383 ЛИТЕРАТУРА 1. Мехатроника / Т. Исии [и др.]. – М. : Мир, 1988. – 314 с. 2. Ослэндер, Д. М. Управляющие программы для механических систем / Д. М. Ослэндер, Дж. Р. Риджли, Дж. Д. Рикгенберг. – М. : Бином. Лаборатория знаний, 2009. – 413 с. 3. Подураев, Ю. В. Мехатроника : основы, методы, применение / Ю. В. Подураев. – М. : Машиностроение, 2007. – 255 с. 4. Попов, Е. П. Манипуляционные роботы. Динамика и алго- ритмы / Е. П. Попов, А. Ф. Верещагин, С. Л. Зенкевич. – М. : Наука, 1978. 5. Воробьев, Е. И. Механика промышленных роботов : в 3 т. / Е. И. Воробьев, О. Д. Егоров, А. С. Попов. – М. : Высшая школа, 1988. – Т. 1. – 365 с. 6. Коларов, Д. Механика пластических сред / Д. Коларов, А. Бал- тов, Н. Бокчева. – М. : Мир, 302 с. 7. Ишлинский, А. Ю. Математическая теория пластичности / А. Ю. Ишлинский, Д. Д. Ивлев. – М. : Физмалит, 2009. – 898 с. 8. Ивлев, Д. Д. Теория пластичности / Д. Д. Ивлев, Г. И. Быков- цев. – Владивосток : Дальнаука, 2008. – 528 с. 9. Гиттис, Э. М. Техническая кибернетика / Г. А. Данилевич, В. И. Самойленко. – М. : Советское радио, 1969. – 485 с. 10. Сборник задач по теории автоматического регулирования / под ред. В. А. Бесекерского. – М. : Наука, 1969. – 588 с. 11. Лещенко, В. А. Гидравлические следящие приводы станков с программным управлением / В. А. Лещенко. – М. : Машинострое- ние, 1975. – 288 с. 12. Татур, Т. А. Основы теории электрических цепей / Т. А. Та- тур. – М. : Высшая школа, 1980. – 271 с. 13. Капустин, Н. М. Автоматизация конструкторского и техноло- гического проектирования : в 6 т. / Н. М. Капустин, Г. Н. Васильев. – Минск : Вышэйшая школа, 1988. – 191 с. 14. Чигарев, А. В. Курс теоретической механики / А. В. Чигарев, Ю. В. Чигарев. – Минск : Новое знание, 2010. – 245 с. 15. Основы кибернетики / Ю. И. Дегтярев [и др.]. – М. : Высшая школа, 1976. – 408 с. 16. Задачник по теории автоматического управления / Н. И. Анд- реев [и др.]. – М. : Энергия, 1971. – 496 с. 384 17. Хоровиц, П. Искусство схемотехники : в 2 т. / П. Хоровиц, У. Хилл. – М. : Мир, 1986. – Т. 1. – 598 с.; Т. 2. – 590 с. 18. Титце, У. Полупроводниковая схемотехника / У. Титце, К. Шенк. – М. : Мир, 1982. – 512 с. 19. Кунву, Ли. Основы в САПР, CAD/CAM/CAE / Ли Кунву. – СПб. : Питер, 2004. – 559 с. 20. Чигарев, А. В. ANSYS для инженеров / А. В. Чигарев, А. С. Кравчук, А. Ф. Смалюк. – Минск : Машиностроение, 2006. – 427 с. 21. Zimmermann, K. Mechanics of Terrestrial Locomotion, Springer / K. Zimmermann, I. Zeidis, C. Behn. – Verlag Berlin Heidelberg, 2009. – 289 p. 22. Turowski, Janusz. Podstawy mechatroniki / Janusz Turowski. – Lódz : Wydawnictwo wyższej ztkoly Humanistyczno-Ekonomicznej w Lodzi, 2008. – 255 s. 23. Acal, M. Mechatronics. The Basis of New Industrial Development / M. Acal, J. Macra, E. Penney. – Computational mechanics. Southampton UK : Inc. Aghunst Lodge, 1994. 24. Heimann, B. Mechatronika. Komponenty, metody, przyklady / B. Heimann, W. Gerth, K. Popp. – Warszawa : PWN, 2001. 385 СОДЕРЖАНИЕ Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА СЛОЖНЫХ ГЕТЕРОГЕННЫХ СИСТЕМ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1. Математическое моделирование сложных динамических систем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Надежность технических систем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3. Безопасность системы и методы ее повышения. . . . . . . . . 20 1.4. Наблюдаемость. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4.1. Идентифицируемость. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.2. Управляемость. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.5. Устойчивость равновесия и движения систем. . . . . . . . . . . 31 1.5.1. Понятия устойчивости в пространстве состояний. . . 32 1.5.2. Устойчивость линейных стационарных систем. . . . . 39 1.6. Метод цепей и переходных функций в динамических системах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.7. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2. МЕХАНИКА РАБОЧИХ ИСПОЛНИТЕЛЬНЫХ ПОДСИСТЕМ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.1. Координатные системы и кинематические цепи. . . . . . . . 54 2.1.1. Однородные координаты точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.1.2. Кинематические пары. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.2. Представление силовых величин в кинематических цепях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.2.1. Представление активных сил. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.2.2. Представление сил тяжести. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.2.3. Представление активных сил в кинематических парах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.3. Силы инерции в кинематических звеньях мехатронной системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.4. Аналитическое представление «роторов» двигателей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.5. Принцип Гаусса для механических систем с кинематическими парами пятого класса. . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.6. Упругое (обратимое) деформирование сплошных твердых тел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 386 2.7. Пластическое (необратимое) деформирование твердых тел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.8. Предельное состояние материала конструкции при квазихрупком разрушении. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 2.9. Усталостное разрушение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 2.10. Моделирование физико-механических свойств материалов методом механических цепей и диаграмм. . . . . . . 100 2.10.1. Модель линейно-упругого тела. . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 2.10.2. Модель нелинейно-упругого тела. . . . . . . . . . . . . . . . 102 2.10.3. Модели пластических тел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 2.10.4. Модели линейно-вязкоупругих тел. . . . . . . . . . . . . . . 111 2.10.5. Модели упруговязкопластических тел. . . . . . . . . . . . 116 2.11. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3. МЕХАНИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ИСПОЛНИТЕЛЬНО-УСИЛИТЕЛЬНЫЕ ПОДСИСТЕМЫ. . . . 139 3.1. Гидравлические и пневматические приводы. . . . . . . . . . . 139 3.1.1. Гидроцилиндры. Модуль объемной упругости реальной жидкости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 3.1.2. Статическая и динамическая жесткости цилиндра. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 3.1.3. Передаточная функция гидроцилиндра. . . . . . . . . . . . 148 3.2. Электроприводы постоянного и переменного тока. . . . . . 149 3.3. Математическая модель типового электрогидравлического преобразователя. . . . . . . . . . . . . . . . . 152 3.4. Анализ и синтез электрических цепей в мехатронных системах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 3.4.1. Электрические схемы постоянного тока. . . . . . . . . . . 164 3.4.2. Электрические схемы переменного (гармонического) тока. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 3.4.3. Комплексный метод расчета линейных электрических схем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 3.5. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 4. ЭЛЕМЕНТЫ СЕНСОТРОНИКИ И СХЕМОТЕХНИКИ – ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ, УСИЛИТЕЛЬНЫЕ, ДЕТЕКТОРНЫЕ ЭЛЕКТРОННЫЕ ЗВЕНЬЯ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 4.1. Моделирование непрерывных и дискретных информационных систем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 387 4.2. Дифференциальные уравнения для нелинейной системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 4.3. Уравнения дискретной системы (система разностных уравнений). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 4.4. Сенсорные алгоритмы оценивания состояния системы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 4.5. Формирующие фильтры непрерывных сигналов в информационных системах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 4.6. Сенсорные, усилительные и детекторные электронные звенья. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 4.7. Усилительные устройства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 4.8. Детекторы (различители). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 4.9. Электронные цепи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 4.9.1. Двоичные устройства на аналоговых элементах. . . . . 227 4.9.2. Цифровые стандартные блоки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 4.9.3. Аналого-цифровые стандартные блоки. . . . . . . . . . . . 247 4.10. Запоминающие элементы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 4.11. Счетчики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 4.12. Сдвиговые регистры. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 4.13. Кодирование и стандартные СИС-блоки. . . . . . . . . . . . . . 261 4.14. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 5. УПРАВЛЯЮЩИЕ ПОДСИСТЕМЫ – СИНТЕЗ КИБЕРНЕТИКИ И ИНФОРМАТИКИ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 5.1. Аналоговое и цифровое управление. . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 5.2. Модель и алгоритм управления звеньями манипулятора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 5.3. Проектирование регулятора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 5.4. Оптимальное линейное управление с обратной связью. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 5.5. Релейное управление. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 5.6. Деинтерферентизация. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 5.7. Компьютерное управление непрерывной системой. . . . . . 291 5.8. Классификация систем управления мехатронными системами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 5.9. Алгоритмы оптимального регулирования (управления) приводами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307 5.10. Использование z-преобразования для анализа дискретных систем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 388 5.11. Пример решения задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 6. КОНЕЧНЫЕ АВТОМАТЫ В МЕХАТРОННЫХ СИСТЕМАХ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 6.1. Поведение конечного автомата. Состояния. Переходы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 6.2. Классификация конечных автоматов. . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 6.3. Задание конечных автоматов таблицами и графами. . . . . 321 6.4. Эквивалентные состояния автомата. . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 6.5. Минимальная форма автомата. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325 6.6. Сенсорные автоматы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 6.6.1. Диагностические испытания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 6.6.2. Установочные испытания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 6.7. Синтез конечных автоматов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 6.7.1. Регулярные выражения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 6.7.2. События. Регулярные события. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 6.8. Структурный синтез конечных автоматов. . . . . . . . . . . . . 337 6.8.1. Операции над автоматами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 6.8.2. Структурный синтез автоматов без памяти. . . . . . . . . 343 6.8.3. Структурный синтез автоматов с памятью. . . . . . . . . 345 6.9. Примеры решения задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 7. ПОВЫШЕНИЕ НАДЕЖНОСТИ МЕХАТРОННЫХ СИСТЕМ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 7.1. Концепция аппарата конфигурируемого управления мехатронными системами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359 7.2. Отказы в мехатронных системах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 7.2.1. Диагностика отказов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 7.2.2. Надежность структур, составленных из элементов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 7.3. Надежность программных средств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 ЛИТЕРАТУРА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383 389 Учебное издание ЧИГАРЕВ Анатолий Власович ЦИММЕРМАНН Клаус ЧИГАРЕВ Виталий Анатольевич ВВЕДЕНИЕ В МЕХАТРОНИКУ Учебное пособие Редактор Т. Н. Микулик Компьютерная верстка Н. А. Школьниковой Подписано в печать 27.05.2013. Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 22,55. Уч.-изд. л. 17,64. Тираж 200. Заказ 845. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Пр. Независимости, 65. 220013, г. Минск.