МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ 
РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ 
 
 
Белорусский национальный 
технический университет 
 
Кафедра «Высшая математика № 1» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
СБОРНИК ТЕСТОВ 
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Минск 
БНТУ 
2013 
 1 
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ 
Белорусский национальный технический университет  
Кафедра «Высшая математика № 1» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
СБОРНИК ТЕСТОВ 
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ 
 
для студентов II курса 
инженерно-технических специальностей вузов 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Минск 
БНТУ 
2013 
 
 2 
УДК 51(075.8) 
ББК 22.1я7 
С23 
 
 
 
 
 
Составители: 
А. Н. Андриянчик, Е. А. Бричикова, О. Р. Габасова, Е. А. Герасимова, 
О. Л. Зубко, И. Н. Катковская, И. М. Мартыненко 
 
Рецензенты: 
А. Д. Корзников, В. Н. Русак 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Издание содержит тестовые задания по высшей математике, которая излагается студентам второго 
курса инженерно-технических специальностей вузов. Может быть использовано преподавателями для 
проведения тематических контролей на практических занятиях, итоговых контрольных работ.  
 
© Белорусский национальный  
технический университет, 2013 
 
 3 
СОДЕРЖАНИЕ 
 
Предисловие........................................................................................................................... 4 
  
Тест «Ряды»............................................................................................................................. 5 
  
Тест «Теория функции комплексного переменного № 1»................................................. 15 
  
Тест «Теория функции комплексного переменного № 2»................................................. 31 
  
Тест «Операционное исчисление. Приложение операционного исчисления»................. 41 
  
Тест «Теория вероятностей»................................................................................................. 61 
  
Образцы решения вариантов тестов..................................................................................... 71 
 
 
 
 4 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
В технических вузах наблюдается тенденция уменьшения количества учеб-
ных часов, отведенных на изучение и контроль знаний по фундаментальным 
дисциплинам, к которым в первую очередь относится математика. В сложив-
шейся ситуации целесообразно уменьшить время и трудозатраты преподавате-
ля и студента на организацию самостоятельной работы обучаемых, которая 
протекает в процессе обучения как под руководством преподавателя, так и без 
его непосредственного участия. 
Настоящее издание предназначено для организации самостоятельной работы 
студентов и оперативного контроля усвоения изучаемого материала. Сборник 
содержит варианты тестовых заданий по всем разделам математики, изучаемым 
студентами второго курса инженерно-технических специальностей вузов. Нали-
чие подробного решения одного из вариантов теста каждой темы окажет незаме-
нимую помощь студентам в организации самостоятельного изучения материала. 
Использование тестовой системы повышает возможности преподавателя 
оперативно оценить правильность решения заданий, так как имеется таблица 
правильных ответов, объективно оценить успехи каждого студента, выявить 
пробелы в знаниях отдельных студентов и принять конкретные меры по устра-
нению этих пробелов. 
 5 
ТЕСТ «РЯДЫ» 
Вариант 1  
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Исследовать ряд на сходимость, используя опре-
деление суммы ряда. Найти, если возможно, сум-
му ряда 
1
1
( 3)n n n

 
 . 
1) сходится, 
11
18
S  ;  
2) сходится, 1S  ; 
3) расходится, 
11
18
S  ; 
4) расходится, 1S  . 
2 Установить, сходится ли ряд, используя необхо-
димый признак сходимости ряда: 
1
( 4)
2 1n
n n
n




 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
3 
Установить, сходится ли ряд 
2
3
1
4
1n
n
n




 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
4 
Установить, сходится ли ряд 
3
1
5n
n n


 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
5 
Установить, сходится ли ряд: 
2
2
1
1 1
7
n
n
n
n
n


 
 
 
 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
6 
Установить, сходится ли ряд 
2
1
ln (2 4)
2 4n
n
n




 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
7 Исследовать на абсолютную и условную сходи-
мость следующий ряд  
2
4
1
( 1) ( 5)
6
n
n
n
n


 

 . 
1) сходится условно;  
2) расходится; 
3) сходится абсолютно; 
4) другой ответ. 
8 Найти область сходимости функционального ряда 
 2
1
2
n
n
x


 . 
1)  3; 1 1; 3     ; 
2)  3; 3 ; 
3) 3; 1 1; 3     
   
;  
4)    3; 1 1; 3   ; 
5) 3; 3 
 
. 
9 Найти область сходимости степенного ряда 
2
1
4 ( 1)n n
n
n x


 . 
1) 
3 5
;
4 4
 

 
; 2)  3;5 ; 3) 
3 5
;
4 4
 
 
 
; 
4) 
1 3
;
4 4
 
 
 
; 5) 
3 5
;
4 4
 
 
 
. 
10 Используя разложение подынтегральной функции 
в степенной ряд, вычислить указанный опреде-
ленный интеграл с точностью до 0,0001: 
0,1
2
0
dxxe x . 
1) 0,0003; 
2) 0,004; 
3) 0,0043; 
4) 0,005; 
5) 0,0004. 
 6 
Вариант 2  
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Исследовать ряд на сходимость, используя опре-
деление суммы ряда. Найти, если возможно, сум-
му ряда 
1
1 1
2 7n nn


 
 
 
 . 
1) сходится, 
1
6
S  ;  
2) сходится, 
7
6
S  ; 
3) расходится, 1S  ;  
4) расходится, 1S  . 
2 Установить, сходится ли ряд, используя необхо-
димый признак сходимости ряда: 
8 4
2
1
4 4
4 5n
n n
n n


 
 
 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
3 
Установить, сходится ли ряд 
3
1
4
( 1)n n n

 
 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
4 
Установить, сходится ли ряд 
1
3 1
3 ( 1)!nn
n
n




 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
5 
Установить, сходится ли ряд 
2
1
3
3 1
n
n
n
n


 
 
 
 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
6 
Установить, сходится ли ряд 
23
1
ln (2 4)
2 4n
n
n




 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
7 Исследовать на абсолютную и условную сходи-
мость следующий ряд: 
2
2
1
( 1) ( 5)
6
n
n
n
n


 

 . 
1) сходится условно; 
2) расходится; 
3) сходится абсолютно; 
4) другой ответ. 
8 Найти область сходимости функционального ряда 
1
1 1 2
2 1 1 2
n
n
x
n x


 
 
  
 . 
 
1)  ; 0 ; 
2)  ; 1 ; 
3)  0; ; 
4) 
1 1
; ;0
2 2
   
      
   
; 
5)  ; 1 . 
9 Найти область сходимости степенного ряда 
1
4 ( 1)n n
n
x


 . 
1) 
3 5
;
4 4
 

 
;  2)  3;5 ; 
3) 
3 5
;
4 4
 
 
 
;  4) 
1 3
;
4 4
 
 
 
; 
5) 
3 5
;
4 4
 
 
 
. 
10 Используя разложение подынтегральной функции 
в степенной ряд, вычислить указанный опреде-
ленный интеграл с точностью до 0,0001: 
20,2
0
dxxe x . 
1) 0,0004; 
2) 0,004;  
3) 0,0043; 
4) 0,0196; 
5) 0,02. 
 7 
Вариант 3  
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Исследовать ряд на сходимость, используя опре-
деление суммы ряда. Найти, если возможно, сум-
му ряда 
1
1
( 2)( 3)n n n

  
 . 
1) расходится, 
1
6
S  ; 
2) сходится, 
7
6
S  ; 
3) сходится, 
1
3
S  ; 
4) расходится, 1S  . 
2 Установить, сходится ли ряд, используя необходи-
мый признак сходимости ряда: 
1
2
1
n
n
n
n


 
 
 
 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
3 
Установить, сходится ли ряд 
1
4
1n
n
n n




 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
4 
Установить, сходится ли ряд 
1
5
4 !
n
n n


 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
5 
Установить, сходится ли ряд 
2
2
1
1 1
5
n
n
n
n
n


 
 
 
 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
6 Установить, сходится ли ряд 
2
1
1
(3 4) ln (3 4)n n n

  
 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
7 Исследовать на абсолютную и условную сходи-
мость следующий ряд: 
1
( 1) tg
3
n
n
n


 
  
 
 . 
1) сходится условно; 
2) расходится; 
3) сходится абсолютно; 
4) другой ответ. 
8 Найти область сходимости функционального ряда 
1
x
nx
n
n
e


 . 
1)  ; 0 ; 
2)  ; 1 ; 
3)  ln 2; ; 
4)  0; ;  5)  ; 1 . 
9 Найти область сходимости степенного ряда 
1
( 2)
2
n
n
n
x
n




 . 
1) 
3 5
;
4 4
 

 
; 
2)  4;0 ; 
3)  4;0 ;  
4)  4;0 ; 
5)  4;0 . 
10 Используя разложение подынтегральной функции в 
степенной ряд, вычислить указанный определенный 
интеграл с точностью до 0,01: 
1
0
1
sin(2 ) dx x
x
 
 
 
 . 
1) 0,0004; 
2) 0,004; 
3) 1,0609; 
4) 1,609; 
5) –1,609. 
 8 
Вариант 4  
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Исследовать ряд на сходимость, используя опре-
деление суммы ряда. Найти, если возможно, сум-
му ряда 
1
1
( 1)
9
n
n
n




 . 
1) расходится, 
1
6
S  ; 
2) сходится, 
9
8
S   ; 
3) сходится, 
9
10
S   ; 
4) расходится. 
2 Установить, сходится ли ряд, используя необхо-
димый признак сходимости ряда 
1
1
4
1
1
n
n n


 
 
 
 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
3 
Установить, сходится ли ряд 
5
8
1
4
2 1n
n n
n n



 
 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
4 
Установить, сходится ли ряд 4
1
2
arctg
3nn
n


 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
5 
Установить, сходится ли ряд 
2
1
1 2 4
27
n
n
n
n
n


 
 
 
 . 
 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
6 
Установить, сходится ли ряд 
2
1
1
( 4) ln ( 4)n n n

  
 . 
 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
7 Исследовать на абсолютную и условную сходи-
мость следующий ряд 
1
( 1) 5
(2 1)
n n
n
n n




 . 
1) сходится условно; 
2) расходится; 
3) сходится абсолютно; 
4) другой ответ. 
8 Найти область сходимости функционального ряда 
 2
1
( 1) 6
n
n
n
x


  . 
 
1) 5; 7 
 
;  2)  ; 7  ; 
3)  5; 7  ; 
4)    7; 5 5; 7   ; 
5) 7; 5  . 
9 Найти область сходимости степенного ряда 
1
( 1) ( 5)
( 1) 3
n n
n
n
x
n


 
 
 . 
1)  3;3 ; 
2) (2;8]; 
3) (2;8]; 
4) [2;8]; 
5) [2;8) 
10 
Разложить функцию 
3
( )
3 1
x
f x
x


 в ряд по степе-
ням 0x x , если 0 2x  . 
 
 9 
Вариант 5  
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Исследовать ряд на сходимость, используя опре-
деление суммы ряда. Найти, если возможно, сум-
му ряда 
1
1
( 1)
11
n
n
n




 . 
1) расходится, 
1
6
S  ; 
2) сходится, 
10
;
9
S    
3) сходится, 
11
;
12
S    
4) расходится. 
2 Установить, сходится ли ряд, используя необхо-
димый признак сходимости ряда 
1
4
1
1
n
n n


 
 
 
 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
3 
Установить, сходится ли ряд 
2
1 1n
n n
n

 
 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
4 
Установить, сходится ли ряд 4
1
2
tg
3nn
n


 . 
 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
5 
Установить, сходится ли ряд 
2
1
1 4
10
n
n
n
n
n


 
 
 
 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
6 Установить, сходится ли ряд 
3
1
1
(3 4) ln(3 4)n n n

  
 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
7 Исследовать на абсолютную и условную сходи-
мость следующий ряд 
1
( 1) 3
(2 1)
n n
n
n n




 . 
 
1) сходится условно; 
2) расходится; 
3) сходится абсолютно; 
4) другой ответ. 
8 Найти область сходимости функционального ряда 
 
1
( 1) ln(1 )
nn
n
x


  . 
 
1) 11 ;1e e  
 
;  2)  ; 1 e  ;  
3)  11 ;1e e    ;  4)  
11 ;1e e  ;  
5) 1;e e . 
9. Найти область сходимости степенного ряда 
1
( 1) ( 4)
( 1) 3
n n
n
n
x
n


 
 
 . 
1)  3;3 ; 
2)  1;7 ; 
3)  1;7 ; 
4)  1;7 ; 
5)  1;7 . 
10 
Разложить функцию 
2
( )
2 5
x
f x
x


в ряд по степе-
ням 0x x , если 0 2x   . Указать область сходи-
мости. 
 
 10 
Вариант 6  
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Проверить, выполняется ли необходимое условие 
сходимости ряда 
 
2
1
1
cos
2n n


 . 
 
2 Исследовать на сходимость ряд  
2
3
1
4
n
n n
n n



 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
3 Исследовать на сходимость ряд  
1
5
!
n
n n


 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
4 Исследовать на сходимость ряд 
2
1
1 3 5
32
n
n
n
n
n


 
 
 
 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
5 Исследовать на сходимость ряд  
2
2
1
lnn n n


 . 
 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
6 Исследовать на абсолютную и условную сходи-
мости ряд 
 
1
1
1
1
2
n
n
n
n 


 . 
1) сходится условно;  
2) расходится; 
3) сходится; 
4) абсолютно сходится. 
7 Найти области сходимости степенного ряда 
1
5 ( 3)n n
n
n x


 . 
1) (2,8;3,2] ; 
2) [2,8;3,2] ; 
3) (2,8;3,2) ; 
4) ( ; )  ; 
5)  . 
8 Разложить функцию 2( ) sinf x x  в ряд Тейлора 
по степеням x , используя разложения основных 
элементарных функций. Указать область сходи-
мости. 
 
9 С помощью рядов вычислить приближенно опре-
деленный интеграл с точностью ε 0,001 : 
0,1
0
ln(1 )
d .
x
x
x

  
 
1) 0,0004; 
2) 0,004; 
3) 0,00975;  
4) 0,975; 
5) 0,0975. 
10 Найти 4 первых, отличных от нуля, члена разло-
жения в степенной ряд решения дифференциаль-
ного уравнения 
0, (0) 1, (0) 0y y y y     . 
 
 
 
 11 
Вариант 7 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Проверить, выполняется ли необходимое условие 
сходимости ряда 
1
0,01n
n


 . 
 
 
2 Исследовать на сходимость ряд 
2
3
1 1n
n
n n

  
 . 
 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
3 Исследовать на сходимость ряд 
/2
1 5
n
n
n

 . 
 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
4 Исследовать на сходимость ряд 
2
2
1
4 3 1
8 5
n
n
n n
n n


  
   
 . 
 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
5 Исследовать на сходимость ряд 
1/
2
2
n
n
e
n


 . 
 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
6 Исследовать на абсолютную и условную сходи-
мости ряд 
 
1
1
1
2 1
n
n
n
n





 . 
1) сходится условно;  
2) расходится; 
3) сходится; 
4) абсолютно сходится. 
7 Найти области сходимости степенного ряда 
1
( 2)
1
n
n
x
n n




 . 
1) [1;3] ; 
2) [1;3) ; 
3) (1;3) ; 
4) (1;3] ; 
5)  . 
8 
Разложить функцию 
2
1
( )
5 6
f x
x x

 
 в ряд  
по степеням 0x x , если 0 2x   . 
 
 
9 С помощью рядов вычислить приближенно опре-
деленный интеграл с указанной точностью 
0,5
5
0
sin d , ε 0,0001x x x  . 
1) 0,000446; 
2) 0,004;   
3) 0,00446; 
4) 0,0446; 
5) –1,609. 
10 Найти 4 первых, отличных от нуля, члена разло-
жения в степенной ряд решения дифференциаль-
ного уравнения 
, (0) 1, (0) 0xyy e y y    . 
 
 12 
Вариант 8  
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Проверить, выполняется ли необходимое условие 
сходимости ряда 
1
2
1n
n
n




 . 
 
 
2 Исследовать на сходимость ряд 
1
1
arcsin
n n


 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
3 Исследовать на сходимость ряд  
10
1
3n
n n


 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
4 Исследовать на сходимость ряд 
1
2 2 3
7 2
n n
n
n
n


   
   
   
 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
5 Исследовать на сходимость ряд  
 1
1
(3 1) ln 3 1n n n

  
 . 
 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
6 Исследовать на абсолютную и условную сходи-
мости ряд 
 
1
6
1
1
1
n
n n



 . 
 
1) сходится условно; 
2) расходится; 
3) сходится; 
4) абсолютно сходится. 
7 Найти области сходимости степенного ряда 
2
1
3
( 2)
!
n
n
n
x
n


 . 
1) 2x   ; 
2) [ 2;2] ; 
3) ( 2;2) ; 
4) ( ; )  ; 
5) х = 0 
8 
Разложить функцию
5
( )
1
x
f x
x


 в ряд Тейлора по 
степеням x , используя разложения основных 
элементарных функций. Указать область сходи-
мости. 
 
 
9 С помощью рядов вычислить приближенно опре-
деленный интеграл с указанной точностью: 
1
0
sin
d ,
x
x
x
 ε = 0,001. 
1) 0,009457; 
2) 0,0092;  
3) 0,09457; 
4) 0,9457; 
5) –1,609. 
10 Найти 4 первых члена разложения в  степенной 
ряд решения дифференциального уравнения 
1, (0) 1y y x y     . 
 
 
 13 
Вариант 9 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Проверить, выполняется ли необходимое условие 
сходимости ряда 
1
1
2n n


 . 
 
 
2 Исследовать на сходимость ряд 
1/2
1 1n
n
n

 
 . 
 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
3 Исследовать на сходимость ряд  
1
2 3
1
n
n
n
n


 
 
 
 . 
 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
4 Исследовать на сходимость ряд 
1
1
tg
2nn


 . 
 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
5 Исследовать на сходимость ряд 
2
1
arctg
1n
n
n

 
 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
6 Исследовать на абсолютную и условную сходи-
мости ряд 
 
1
2 1
1
1
n
n
n
n
n


 
  
 
 . 
 
1) сходится условно; 
2) расходится; 
3) сходится; 
4) абсолютно сходится. 
7 Найти области сходимости степенного ряда 
1
10
( 2)
!
n
n
n
x
n


 . 
1) 2x   ; 
2) [ 2;2] ; 
3)  ; 
4) ( ; )  ; 
5) х = 0 
8 
Разложить функцию 
2 5( ) xf x e  в ряд Тейлора, 
используя разложения основных элементарных 
функций. Указать область сходимости. 
 
9 С помощью рядов вычислить приближенно опре-
деленный интеграл с указанной точностью: 
20,5
0
cos d , ε 0,001
4
x
x  . 
1) 0,0004; 
2) 0,004; 
3) 0,5;   
4) 0,005; 
5) 0,002. 
10 Найти 4 первых члена разложения в степенной 
ряд решения дифференциального уравнения 
24 0, (1) 1, (1) 0,5x y y y y     . 
 
 
 14 
 Вариант 10  
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Проверить, выполняется ли необходимое условие 
сходимости ряда 
3
2
1 1n
n
n

 
 . 
 
 
2 Исследовать на сходимость ряд 
1
1
arctg
n n


 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
3 Исследовать на сходимость ряд 
2
1
( 1)
(3 )!n
n
n



 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
4 Исследовать на сходимость ряд 
1
1 3
7
n
n
n
n
n


 
 
 
 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
5 Исследовать на сходимость ряд 
2
2
1
arcctg
1n
n
n

 
 . 
1) сходится; 
2) расходится; 
3) другой ответ. 
6 Исследовать на абсолютную и условную сходи-
мости ряд 
 
1
!
1
(2 1)
n
n
n
n




 . 
1) сходится условно;  
2) расходится; 
3) сходится; 
4) абсолютно сходится. 
7 Найти области сходимости степенного ряда 
1
3n n
n
n x


 . 
1) 3x  ; 
2) 
1 1
;
3 3
 
 
 
; 
3) 
1 1
;
3 3
 
 
 
; 
4) ( ; )  ; 
5) 0x  . 
8 
Разложить функцию
2
2
( )
4 3
f x
x x

 
 в ряд Тей-
лора по степеням x , используя разложения ос-
новных элементарных функций. Указать область 
сходимости. 
 
9 С помощью рядов вычислить приближенно 
определенный интеграл с точностью ε 0,001  
2
0,2
2
0,1
d .
xe
x
x

  
1) 4,9; 
2) –4,901; 
3) 1,0609;   
4) 4,901; 
5) 0,4901. 
10 Найти 4 первых члена разложения в степенной 
ряд решения дифференциального уравнения 
, (0) 0yy e xy y    . 
 
 
 15 
ТЕСТ «ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО № 1» 
Вариант 1 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Сформулировать условия Коши-
Римана для функции  
( ) ( ; ) ( ; )f z u x y iv x y  . 
 
2 Дать определение функции, аналитиче-
ской в конечной точке z. 
 
3 
Вычислить 
6
3 3i
i
 
  
 
. 
1) 612 ; 
2) – 612 ; 
3) 312 ; 
4) – 312 ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
4 Описать множество точек плоскости, 
заданное соотношением 2 3z i  . 
1) круг с центром в точке 2i и радиусом 3;   
2) внешность круга с центром в точке –2i  
и радиусом 3; 
3) внутренность круга с центром в точке  
–2i и радиусом 3;   
4) внешность круга с центром в точке 2i  
и радиусом 3 ; 
5) все точки, лежащие правее точки –2i  
на расстоянии, большем трех. 
5 Какие из следующих множеств 
 вляяются областями?  
a) 1; б) 2 2; в) Im Re 0;
г)1 3 2; д) 2 2.
z z i z z
z z i
    
    
 
1) а;  
2) б; 
3) в; 
4) г; 
5) д. 
6 Вычислить cos(5 )i . 
1) 
1 1 1
cos5 sin5
2 2
i
e e
e e
   
     
   
; 
2) 
1 1 1
sin5 cos5
2 2
i
e e
e e
   
     
   
;   
3) 
1 1 1
cos5 sin5
2 2
i
e e
e e
   
     
   
;.   
4) 
1 1 1
cos5 sin5
2 2
i
e e
e e
   
     
   
;   
5) 
1 1 1
sin5 cos5
2 2
i
e e
e e
   
     
   
. 
7 Найти действительную и мнимую ча-
сти функции ( ) zf z z e  . 
1) Re ( ) ( cos sin )xf z e x y y y  ; 
2) Re ( ) ( cos sin )xf z e x y y y  ; 
3) Im ( ) ( sin cos )xf z e x y y y  ; 
4) Im ( ) ( sin cos )xf z e x y y y  ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
 16 
 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
8 Для данной функции ( )f z  проверить, 
выполняются ли условия Коши-
Римана, и, если да, найти ( )f z : 
2 2( ) 4 5 2 ( 3)f z xy i x y      . 
1) условия Коши-Римана не выполняются; 
2) ( ) 4 4f z x iy    ; 
3) ( ) 4 4f z y ix   ; 
4) ( ) 4 4f z y ix    ; 
5) ( ) 4 4f z x iy   . 
9 Найти угол поворота α  и коэффици-
ент растяжения k при отображении с 
помощью аналитической функции 
22 4w z iz   в точке 1z  . 
1) α , 4;
2
k

   
2) α , 4;
4
k

    
3) α , 4 2;
4
k

   
4) α , 4 2;
2
k

   
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
10 Найти аналитическую функцию ( )f z  
по заданной действительной части 
3
2Re ( ) 2
3
y
f z x y x    и заданному 
значению (0) 2f i . 
 
 
 17 
Вариант 2  
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Дать определение гармонической 
функции. 
 
2 Пояснить геометрический смысл 
0arg ( )f z . 
 
3 
Вычислить 
6
3 3
2
i
i
  
  
 
. 1) –9;   2) 27;   3) 
9 3 27
2 2
i ; 4) 
9 3 9
4 4
i  ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
4 Описать множество точек плоскости, 
заданное соотношением 2z i  . 
1) окружность с центром в точке i и радиу-
сом 2;   
2) все точки, лежащие между точками i и 2; 
3) внутренность круга с центром в точке i  
и радиусом 2;   
4) внешность круга с центром в точке i  
и радиусом 2; 
5) все точки, отстоящие от точки i на рас-
стоянии не более чем 2. 
5 Какие из следующих множеств явля-
ются областями?  
a) 3; б) 1 2; в) Im Re 0;
г)2 4; д) 3 2.
z z z z
z i z
    
    
 
1) а; 
2) б; 
3) в; 
4) г; 
5) д. 
6 Вычислить Ln(1 )i . 
1) 2 2
4
i k
 
   
 
;   2) ln 2 2 ki  ;   
3) 
1
ln 2
2 4
i

 ;  4) 
1
ln 2 2
2 4
i k
 
   
 
;   
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
7 Найти действительную и мнимую ча-
сти функции ( ) cosf z z . 
1) Re ( ) cos chf z x y ; 
2) Re ( ) cos shf z x y ; 
3) Im ( ) sin shf z x y ;   
4) Im ( ) sin shf z x y  ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
8 Для данной функции ( )f z  проверить, 
выполняются ли условия Коши-Рима-
на, и, если да, найти ( )f z : 
2 2( ) 6 2 (3 3 2 1)f z xy y i x y x       . 
1) условия Коши-Римана не выполняются; 
2) ( ) 6 2 6f z x iy     ; 
3) ( ) 6 (6 2);f z y i x     
4) ( ) 6 2 6 ;f z x iy     
5) ( ) 6 (6 2)f z y i x     . 
9 Найти угол поворота α и коэффициент 
растяжения k при отображении с по-
мощью аналитической функции  
zw e z   в точке z i  . 
1) 0, 1;k     2) , 1;k      
3) 0, 0;k     4) 
1
, ;
2
k     
5) , 0k    . 
10 Найти аналитическую функцию ( )f z  
по заданной действительной части 
2 2Re ( ) 6( 1) 6( 1)f z x y    и задан-
ному значению (0) 12f  . 
 
 18 
Вариант 3 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Дать определение конформного отоб-
ражения. 
 
2 Пояснить геометрический смысл моду-
ля производной функции в точке. 
 
3 
Вычислить 
8
2 2i
i
 
 
 
. 
1) –86; 
2) 84; 
3) 28 i ; 
4) 48 i ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
4 Описать множество точек плоскости, 
заданное соотношением 1 2z i   . 
1) внутренность круга с центром в точке i  
и радиусом 2; 
2) внешность круга с центром в точке –i  
и радиусом 1; 
3) кольцо с центром в точке i большого ра-
диуса 2 и малого радиуса 1; 
4) все точки, лежащие между точками 1 и 2; 
5) кольцо с центром в точке –i большого ра-
диуса 2 и малого радиуса 1. 
5 Какие из следующих множеств являют-
ся областями? 
a) Im 0; б) 4; в)1 1 2;
г) 2 3; д) 2 1.
z z i z
z i z i
     
   
 
1) а;   
2) б; 
3) в; 
4) г; 
5) д. 
6 Вычислить cos(1 5 )i . 
1)    5 5 5 51 cos1 sin1
2 2
i
e e e e    ;   
2)    5 5 5 51 cos1 sin1
2 2
i
e e e e    ;   
3)    5 5 5 51 cos1 sin1
2 2
i
e e e e    ;.   
4)    5 5 5 51 cos1 sin1
2 2
i
e e e e    ;   
5)    5 5 5 51 cos1 sin1
2 2
i
e e e e    . 
7 Найти действительную и мнимую части 
функции ( ) zf z e z  . 
1) Re ( ) cosxf z e y x  ;  
2) Re ( ) sinxf z e y x  ; 
3) Im ( ) sinxf z e y y  ;   
4) Im ( ) sinxf z e y y   ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
 19 
 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
8 Для данной функции ( )f z  проверить, 
выполняются ли условия Коши-Римана, 
и, если да, найти ( )f z : 
3 3
2 2( ) 2 2 .
3 3
y x
f z x y x i xy y
   
           
   
 
1) условия Коши-Римана не выполняются; 
2) 2 2( ) (2 2)f z x y i xy     ; 
3) 2 2( ) 2 2 ( )f z xy i y x     ; 
4) 2 2( ) ( 2 2)f z x y i xy       ; 
5) 2 2( ) 2 2 ( )f z xy i x y      . 
9 Найти угол поворота α и коэффициент 
растяжения k при отображении с помо-
щью аналитической функции 
22 3w z z    в точке z i . 
1) , 2;
2
k

     
2) , 2 2;
4
k

      
3) , 2;
2
k

     
4) , 2;
4
k

    
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
10 Найти аналитическую функцию ( )f z  
по заданной мнимой части 
2 2Im ( ) 7 7 1f z xy x y    и заданному 
значению (0) 1f i  . 
 
 20 
Вариант 4 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Дать определение правильных и осо-
бых точек функции ( )f z . 
 
2 Пусть ( ) ( ; ) ( ; )f z u x y iv x y   диффе-
ренцируема в точке z x iy  . Записать 
формулу для производной ( )f z  в этой 
точке. 
 
3 
Вычислить 
4
3 3
2
i
i
  
  
 
. 
1) 
27 9
3
2 2
i  ;   2) 27; 
3) 
9 9
3
2 2
i  ;    4) 
81 9
16 16
i  ;  
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
4 Описать множество точек плоскости, 
заданное соотношением Im 0z  . 
1) правая полуплоскость; 
2) верхняя полуплоскость; 
3) положительная полуось x; 
4) положительная полуось y; 
5) первая четверть. 
5 Какие из следующих множеств являют-
ся областями? 
a) 4; б) 3 5; в) 4 6;
г) Re Im 0; д)1 4.
z z i z
z z z i
    
    
 
1) а; 
2) б; 
3) в; 
4) г; 
5) д. 
6 Вычислить ln( 4 )i . 
1) ln 4 2
2
i k
 
    
 
;   2) ln 4 i  ;   
3) ln 4 2 ki  ;  4) ln 4
2
i

 ;   
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
7 Найти действительную и мнимую ча-
сти функции 2( ) 2f z z iz  . 
1) 2 2Re ( ) 2f z x y y   ;  
2) 2 2Re ( ) 2f z x y y   ; 
3) Im ( ) (2 2 )f z i xy x  ;   
4) Im ( ) 2 2f z xy x  ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
8 Для данной функции ( )f z  проверить, 
выполняются ли условия Коши-
Римана, и, если да, найти ( )f z : 
2 2( ) 6( 1) 6( 1) (12 3).f z x y i xy       
1) условия Коши-Римана не выполняются; 
2) ( ) 12 12f z y xi    ; 
3) ( ) 12 12f z x yi   ; 
4) ( ) 12 12 ;f z y xi    
5) ( ) 12 12f z x yi   . 
9 Найти угол поворота α и коэффициент 
растяжения k при отображении с по-
мощью аналитической функции  
 
2
2
zzw e 

 в точке z i  . 
1) α , 2;
4
k

     2) 
3
α , 2;
4
k

     
3) 
3
α , 2;
4
k

    4) α , 2 2;
4
k

    
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
10 Найти аналитическую функцию ( )f z  
по заданной действительной части  
 
2 2Re ( ) 2f z x y xy x y     и задан-
ному значению (0) 3f i . 
 
 21 
Вариант 5 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Дать определение функции, дифферен-
цируемой в точке z. 
 
2 Пояснить геометрический смысл 
0arg ( )f z . 
 
3 
Вычислить 
5
1
2 2
i
i
 
 
 
. 1) 
1
16
 ; 
2) 
64
i
 ; 
3) 
1
32
; 
4) 
32
i
;  
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
4 Описать множество точек плоскости, 
заданное соотношением 0 Re 2z  . 
1) интервал оси Ох с концами в точках 0 и 2; 
2) круг с выколотым центром в точке 0 и 
радиусом 2; 
3) полоса, ограниченная прямыми у = 0 и  
у = = 2; 
4) полоса, ограниченная прямыми х = 0 и  
х = = 2; 
5) интервал оси Оу с концами в точках 0  
и 2i. 
5 Какие из следующих множеств являют-
ся областями? 
a) 5; б)Re Im 0; в) 6 7;
г)1 7 2; д) 5 4.
z z z z i
z z i
    
    
 
1) а; 
2) б; 
3) в; 
4) г; 
5) д. 
6 Вычислить sin(1 5 )i . 
1)    5 5 5 51 sin1 cos1
2 2
i
e e e e    ; 
2)    5 5 5 51 sin1 cos1
2 2
i
e e e e    ; 
3)    5 5 5 51 sin1 cos1
2 2
i
e e e e    ;. 
4)    5 5 5 51 cos1 sin1
2 2
i
e e e e    ; 
5)    5 5 5 51 cos1 sin1
2 2
i
e e e e    . 
7 Найти действительную и мнимую части 
функции 2( ) (8 1) 4f z z i iz   . 
1) 2 2Re ( ) 16 4f z x xy y y    ;  
2) 
2 2Re ( ) 16 4f z x xy y y    ; 
3) 2 2Im ( ) 8 2 4 8f z x xy x y    ;   
4) 2 2Im ( ) 8 2 4 8f z x xy x y    ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
 22 
 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
8 Для данной функции ( )f z  проверить, 
выполняются ли условия Коши-Римана, 
и, если да, найти ( )f z : 
2 2
( ) 14
2 2
x y
f z xy     
2 23 ( 7 7 1).i xy x y      
1) условия Коши-Римана не выполняются; 
2) ( ) 14 ( 14 )f z x y i x y     ; 
3) ( ) 14 (14 )f z x y i x y     ; 
4) ( ) 14 ( 14 )f z x y i x y      ; 
5) ( ) 14 ( 14 )f z x y i y x     . 
9 Найти угол поворота α  и коэффициент 
растяжения k при отображении с помо-
щью аналитической функции 4 2w z   
в точке z i . 
1) α , 4;k     2) α , 4;
4
k

      
3) α , 4;
2
k

     4) α , 4;
2
k

   
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
10 Найти аналитическую функцию ( )f z  
по заданной мнимой части 
2 2Im ( ) 2 8 8 4f z xy x y x    и задан-
ному значению (0) 2f   . 
 
 23 
Вариант 6 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Сформулировать условия Коши-Римана 
для функции ( ) ( ; ) ( ; )f z u x y iv x y  . 
 
2 Дать определение конформного отоб-
ражения. 
 
3 
Вычислить 
5
3 3
2
i  
  
 
. 1) 
9 3 27
2 2
i ;  2) 3 3 ; 3) 
1 3
3
2 2
i
 
  
 
;  
4) 9 3 ;  
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
4 Описать множество точек плоскости, 
заданное соотношением 3 4z i  . 
1) окружность с центром в точке –i и радиу-
сом 4; 
2) отрезок, соединяющий точки 3i и 4; 
3) внутренность круга с центром в точке 3i  
и радиусом 4; 
4) внутренность круга с центром в точке  
 –3i и радиусом 4; 
5) внешность круга с центром в точке  
–3i и радиусом 4. 
5 Какие из следующих множеств являют-
ся областями? 
1
a) ; б) 3; в)7 9;
2
г) Re 5; д) 4 1.
z z i z i
z z
     
  
 
1) а;   2) б;   3) в;   4) г;   5) д. 
6 Вычислить ln( 3) . 1) ln3 ;   2) ln3 i ;  3) ln3 2 ki  ;.  
4) ln3 i ;  
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
7 Найти действительную и мнимую части 
функции ( ) sh2 2f z z i  . 
1) Re ( ) cos shf z y x ; 2) Re ( ) cos chf z y x ; 
3) Im ( ) sin ch 2f z y x i  ; 
4) Im ( ) sin ch 2f z y x  ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
8 Для данной функции ( )f z  проверить, 
выполняются ли условия Коши-Римана, 
и, если да, найти ( )f z : 
2 2
2 2
( ) 2
( 2 5).
f z x y xy x y
i y y xy x x
     
     
 
1) условия Коши-Римана не выполняются; 
2) ( ) 1 2 2 (2 2 1)f z x y i y x       ; 
3) ( ) 1 2 2 (2 2 1)f z x y i y x       ; 
4) ( ) 1 2 2 (2 2 1)f z x y i y x       ; 
5) ( ) 1 2 2 ( 2 2 1)f z x y i y x        . 
9 Найти угол поворота α  и коэффициент 
растяжения k при отображении  
с помощью аналитической функции 
cos izw z e   в точке 
2
z

 . 
1) α 0, 2;k     2) α , 2;k     
3) α , 2;
2
k

    4) 
1
α , ;
2
k    
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
10 Найти аналитическую функцию ( )f z  
по заданной действительной части 
2 2Re ( ) 4 8f z x xy y y    и заданному 
значению (0)f i  . 
 
 24 
Вариант 7 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Пусть ( ) ( ; ) ( ; )f z u x y iv x y   диффе-
ренцируема в точке z x iy  . Записать 
формулу для производной ( )f z   
в этой точке. 
 
2 Дать определение функции, аналитиче-
ской в конечной точке z. 
 
3 
Вычислить 
6
1
2 2
i
i
 
 
 
. 1) 16
i
;  
2) 
1
32
; 
3) 
1
64
 ; 
4) 
32
i
 ;  
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
4 Описать множество точек плоскости, 
заданное соотношением 1 Im 1z   . 
1) интервал оси Ox с концами в точках –1 и 1; 
2) интервал оси Oy с концами в точках –i и i; 
3) верхний полукруг с центром в точке 0  
и радиусом 1; 
4) полоса, ограниченная прямыми 1x     
и 1x  ; 
5) полоса, ограниченная прямыми 1y     
и 1y  . 
5 Какие из следующих множеств являют-
ся областями? 
a) 4; б) 1 6; в) Re 0;
г) 2 3 4; д)1 2 4.
z z z
z i z i
   
     
 
1) а; 
2) б; 
3) в; 
4) г; 
5) д. 
6 Вычислить sh( 3 )i  . 
1)    3 3 3 31 cos1 sin1
2 2
i
e e e e    ;   
2)    3 3 3 31 cos1 sin1
2 2
i
e e e e    ;   
3)    3 3 3 31 cos1 sin1
2 2
i
e e e e    ;   
4)    3 3 3 31 sin1 cos1
2 2
i
e e e e    ;   
5)    3 3 3 31 sin1 cos1
2 2
i
e e e e    . 
7 Найти действительную и мнимую части 
функции 
2 3
( )
z z
f z
i

 . 
1) Re ( ) 2 3f z xy y  ;  
2) Re ( ) 3 2f z y xy  ; 
3) 2 2Im ( ) 3f z x y x    ; 
4) 2 2Im ( ) 3f z x y x   ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
 25 
 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
8 Для данной функции ( )f z  проверить, 
выполняются ли условия Коши-Римана, 
и, если да, найти ( )f z : 
2 2
2 2
( ) 16 4 7
(2 8 8 4 ).
f z x xy y y
i xy y x x
     
   
 
1) условия Коши-Римана не выполняются; 
2) ( ) (16 2 4) (2 16 )f z x y i x y       ; 
3) ( ) 16 2 4 (2 16 )f z x y i x y      ; 
4) ( ) 2 16 (2 16 4)f z x y i y x      ; 
5) ( ) 2 16 (2 16 4)f z x y i y x      . 
9 Найти угол поворота α  и коэффициент 
растяжения k при отображении с помо-
щью аналитической функции 
22w z z   в точке 
1
4
z i   . 
1) α , 4;
2
k

   
2) 
1
α 0, ;
4
k    
3) α , 1;
4
k

    
4) 
1
α , ;
4
k     
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
10 Найти аналитическую функцию ( )f z  
по заданной мнимой части 
2 2Im ( ) 2 1 (2 1)f z x x y y      и за-
данному значению (0) 4f  . 
 
 26 
Вариант 8 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Дать определение гармонической 
функции. 
 
2 Пояснить геометрический смысл моду-
ля производной функции в точке. 
 
3 
Вычислить 
4
3
2
i
i
 
 
 
. 
1) 2;  2) 4;  3) 2 2i ;  4) –4;  
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
4 Описать множество точек плоскости, 
заданное соотношением 2 3z i   . 
1) кольцо с центром в точке i большого  
радиуса 3 и малого радиуса 2; 
2) кольцо с центром в точке –i большого  
радиуса 3 и малого радиуса 2; 
3) все точки, лежащие между точками 2 и 3; 
4) внутренность круга с центром в точке i  
и радиусом 3; 
5) внешность круга с центром в точке –i  
и радиусом 2. 
5 Какие из следующих множеств являют-
ся областями? 
a) Im 0; б) 5; в) 4;
г)3 5 8; д) 3 1.
z z z i
z i z
   
    
 
1) а; 
2) б; 
3) в; 
4) г; 
5) д. 
6 Вычислить Ln( 3 4 )i  . 1) ln3 4i  ;  2)  ln3 ln 4 2i k   ;   
3) 
4
ln 5 arctg
3
i  ; 4) 
4
ln5 (2 arctg )
3
i k   ;   
5) 
4
ln5 ( (2 1) arctg )
3
i k    . 
7 Найти действительную и мнимую части 
функции ( ) cosf z z . 
1) Re ( ) cos shf z x y ; 2) Im ( ) sin chf z x y ; 
3) Re ( ) cos chf z x y ; 4) Im ( ) sin shf z x y ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
8 Для данной функции ( )f z  проверить, 
выполняются ли условия Коши-Римана, 
и, если да, найти ( )f z : 
2 2
2 2
( ) 4 8
(2 2 2 8 1).
f z x xy y y
i xy y x x
    
    
 
1) условия Коши-Римана не выполняются; 
2) ( ) 2 4 (2 4 8)f z x y i y x      ; 
3) ( ) 2 4 (2 4 8)f z x y i y x      ; 
4) ( ) 4 2 8 (2 4 )f z x y i x y      ; 
5) ( ) 4 2 8 (2 4 )f z x y i x y      . 
9 Найти угол поворота α и коэффициент 
растяжения k при отображении с по-
мощью аналитической функции  
3 22 4 3w z z z     в точке z i . 
1) , 2;
4
k

      2) 
3
, 2 2;
4
k

      
3) , 2;
4
k

      4) , 2;
2
k

     
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
10 Найти аналитическую функцию ( )f z  
по заданной мнимой части 
3
2Im ( ) 2
3
x
f z y x y   и заданному 
значению (0) 2f  . 
 
 27 
Вариант 9 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Дать определение конформного отоб-
ражения. 
 
2 Сформулировать условия Коши-Римана 
для функции ( ) ( ; ) ( ; )f z u x y iv x y  . 
 
3 
Вычислить 
5
3 i
i
 
  
 
. 
1) 16 16 3i ; 
2) 16 16 3i ;   
3) 32 32 3i ; 
4) 32 32 3i ;  
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
4 Описать множество точек плоскости, 
заданное соотношением 
 2 1z i  . 
1) круг с центром в точке –2i и радиусом 1; 
2) внешность круга с центром в точке –2i  
и радиусом 1; 
3) внешность круга с центром в точке 2i  
и радиусом 1; 
4) окружность с центром в точке 2i и радиу-
сом 1; 
5) все точки, лежащие правее точки 2i  
на расстоянии, большем 1. 
5 Какие из следующих множеств являют-
ся областями? 
a) Re 3 0; б) 2; в) 4 5;
г) 2 5 3; д) 7.
z z i z i
z z
     
   
 
1) а;  
2) б;  
3) в;  
4) г;  
5) д. 
6 Вычислить sin(3 )i . 
1)    1 11 sin3 cos3
2 2
i
e e e e    ;   
2)    1 11 sin3 cos3
2 2
i
e e e e    ;   
3)    1 11 sin3 cos3
2 2
i
e e e e    ;.   
4)    1 11 cos3 sin3
2 2
i
e e e e    ;   
5)    1 11 cos3 sin3
2 2
i
e e e e    . 
7 Найти действительную и мнимую части 
функции ( ) z
z
f z e
i
  . 
1) Re ( ) cosxf z e y y  ;  
2) Im ( ) cosxf z e y y   ; 
3) Re ( ) sinxf z e y x  ;  
4) Im ( ) sinxf z e y x   ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
 28 
 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
8 Для данной функции ( )f z  проверить, 
выполняются ли условия Коши-Римана, 
и, если да, найти ( )f z : 
2 2
( ) 6 2 2 2
(2 2 ).
f z y xy x
i x y x y
    
   
 
1) условия Коши-Римана не выполняются; 
2) ( ) 2 2 (2 2)f z x i y      ; 
3) ( ) 2 2 (2 2)f z x i y     ; 
4) ( ) 2 2 (2 2)f z y i x     ; 
5) ( ) 2 2 (2 2)f z y i x      . 
9 Найти угол поворота α  и коэффициент 
растяжения k при отображении с помо-
щью аналитической функции 
sinizw e z   в точке z   . 
1) α , 2;
4
k

   
2) α , 1;
2
k

     
3) α , 2;
2
k

    
4) α , 2;
4
k

    
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
10 Найти аналитическую функцию ( )f z  по 
заданной мнимой части 
2 2Im ( ) 2 2f z x y  и заданному значе-
нию (1 ) 4f i   . 
 
 
 29 
Вариант 10 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Дать определение функции, аналитиче-
ской в конечной точке z . 
 
2 Пусть ( ) ( ; ) ( ; )f z u x y iv x y   дифферен-
цируема в точке z x iy  . Записать 
формулу для производной ( )f z  в этой 
точке. 
 
3 
Вычислить 
6
1 3
2
i
i
 
  
 
 
1) i ; 
2) 1; 
3) 
1 3
2 2
i ; 
4) –1;  
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
4 Описать множество точек плоскости, за-
данное соотношением Re 0z  . 
1) отрицательная полуось х; 
2) отрицательная полуось у; 
3) левая полуплоскость; 
4) нижняя полуплоскость; 
5) третья четверть. 
5 Какие из следующих множеств являются 
областями? 
a) 4 2; б) 7; в) Im 2 0;
г)5 3 9; д) 6 3.
z z z
z i z i
    
    
 
1) а; 
2) б; 
3) в; 
4) г; 
5) д. 
6 Вычислить Ln( 1 )i  . 
1) 
3
ln 2 2
4
i k
 
   
 
;   
2) 
1 3
ln 2 2
2 4
i k
 
   
 
;   
3) 
3
ln1 2
4
i k
 
    
 
;   
4) 
3
2ln 2 2
4
i k
 
   
 
;   
5) 
1 3
ln 2
2 4
i

 . 
7 Найти действительную и мнимую части 
функции ( ) shf z z . 
1) Re ( ) cos shf z y x ;  
2) Im ( ) sin chf z y x ; 
3) Re ( ) cos shf z y x  ;  
4) Im ( ) sin chf z y x  ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
 30 
 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
8 Для данной функции ( )f z  проверить, вы-
полняются ли условия Коши-Римана, и, 
если да, найти ( )f z : 
3 3
2 2( ) 2 2 ( 2 ).
3 3
y x
f z x y x i y x y         
1) условия Коши-Римана не выполняются; 
2) 2 2( ) (2 2)f z x y i xy     ; 
3) 2 2( ) 2 2 ( )f z xy i y x     ; 
4) 2 2( ) (2 2)f z x y i xy     ; 
5) 2 2( ) 2 2 ( )f z xy i y x     . 
9 Найти угол поворота α  и коэффициент 
растяжения k при отображении с помо-
щью аналитической функции 
4 33 4 5w z z    в точке z i . 
1) α , 12;
2
k

    
2) α , 12 2;
4
k

     
3) α , 12;
4
k

    
4) α , 12 2;
2
k

    
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
10 Найти аналитическую функцию ( )f z  по 
заданной мнимой части 
2 2Im ( ) 3 2 1 3f z x x y    и заданному 
значению (0)f i . 
 
 
 31 
ТЕСТ «ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО № 2» 
Вариант 1  
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Для функции ( )f z  дать определение 
полюса m-го порядка. 
 
2 Сформулировать теорему Коши для 
односвязной области. 
 
3 Вычислить Re d
L
z z , где L – отрезок, 
соединяющий начало координат и 
точку 2 i . 
1) 2 i ; 
2) 2 i ; 
3) 2 2i ; 
4) 2 2i ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
4 
Вычислить 
2
4
d
2z
z
z
z i 
 . 
1) 0; 
2) 8 i ; 
3) 4 i ; 
4) 8 i  ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
5 
Вычислить 
2
2 2
d
( 4)( )
z
z
e
z
z z i   
 . 1) 0;  2) 
1
3
ie ;  3) 2iie ;  4) 2
3
ii e ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
6 Определить порядок нуля функции 
2 2( ) ( 1)zf z e z   . 
1) 1; 
2) 2; 
3) 3; 
4) 4; 
5) 5. 
7 Указать все конечные особые точки 
функции 
3
cos
( )
z
f z
z
  и определить их 
характер. 
1) 0z   – устранимая особая точка; 
2) 0z   – существенно особая точка; 
3) 0z   – простой полюс; 
4) 0z   – полюс второго порядка; 
5) 0z   – полюс третьего порядка. 
8 Найти вычеты функции 
( )
( 2)( 2 )
z i
f z
z z i


 
 в изолированных 
особых точках. 
1) 
1 1
Res ( 2) (3 ); Res (2 ) (1 );
4 4
f i f i i       
2) 
1 1
Res ( 2) (3 ); Res (2 ) (1 );
4 4
f i f i i      
3) 
1 1
Res ( 2) (3 ); Res (2 ) (1 );
4 4
f i f i i       
4) 
1 1
Res ( 2) (3 ); Res (2 ) (1 );
4 4
f i f i i        
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
9 С помощью вычетов вычислить 
2
d
( 2)( 2 )z i
z i
z
z z i 

 
 . 
1) 
1
(1 );
4
i    2) (1 );
2
i

   3) 0;  4) 
3
;
4
i   
5) среди ответов 1–4 верного нет.  
10 
Разложить функцию 
1
( )
( 2)
f z
z z


  
в ряд Лорана по степеням 2z    
в кольце 0 2 1z   . 
 
 32 
Вариант 2  
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Записать интегральную формулу Коши.  
2 Сформулировать связь между нулями 
и полюсами функции комплексного 
переменного. 
 
3 Вычислить d
L
z z , где L – дуга парабо-
лы 2y x , соединяющая начало коор-
динат и точку 1 i  . 
1) 
1
3
i ; 
2) 1
3
i
 ; 
3) 
3
i
; 
4) 
3
i
 ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
4 
Вычислить 
2
2
1 1
1
d
1z
z
z
z 


 . 1) 0;  2) 2 i ;  3) 12
i
 ;  4) 1 i  ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
5 
Вычислить 
2
4
sin d
( )z
z z
z 
 . 
1) 0;  2) 6 i  ;  3) 1 i ;  4) 2 i ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
6 Определить порядок нуля функции 
2 2( ) 1 cosf z z z   . 
1) 1; 
2) 2; 
3) 3; 
4) 4; 
5) 5. 
7 Указать все конечные особые точки 
функции 
3
sin
( )
z z
f z
z

  и определить 
их характер. 
1) 0z   – устранимая особая точка; 
2) 0z   – существенно особая точка; 
3) 0z   – простой полюс; 
4) 0z   – полюс второго порядка; 
5) 0z   – полюс третьего порядка. 
8 Найти вычеты функции 
( )
( 3)( 1)
z
f z
z z

 
 в изолированных 
особых точках. 
1) 
1 1
Res (3) ; Res ( 1) ;
64 64
f f     
2) 
3 1
Res (3) ; Res ( 1) ;
4 16
f f     
3) 
3 1
Res (3) ; Res ( 1) ;
4 4
f f    
4) 
1 1
Res (3) ; Res ( 1) ;
16 4
f f     
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
9 С помощью вычетов вычислить 
3
d
( 3)( 1)z i
z z
z z   
 . 
1) 
1
;
4
  2) ;
4
i
   3) ;
2
i
  4) 
1
;
2
i  
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
10 
Разложить функцию 2
1
( ) cosf z z
z
   
в ряд Лорана по степеням z . 
 
 33 
Вариант 3 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Сформулировать основную теорему  
о вычетах. 
 
2 Описать поведение функции ком-
плексного переменного в окрестности 
существенно особой точки. 
 
3 Вычислить Im d
L
z z , где L – дуга па-
раболы 22y x , соединяющая начало 
координат и точку 1 2i . 
1) 
1
3
i ; 
2) 
2
3
i ; 
3) 
2
2
3
i ; 
4) 
1 2
3 3
i
 ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
4 
Вычислить 
3 2
d
zi
z
e
z
z   
 . 
1) 0;  2) 1 ;  3) i ;  4) 2 i  ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
5 
Вычислить 
2 2
1 1
cos 2 d
( 1)( 9)z
z z
z z   
 . 
1) 0;  2) 1;  3) 2 i ;  4) 1 i ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
6 Определить порядок нуля функции 
( ) 4 1zf z   . 
1) 1;  2) 2;  3) 3;  4) 4;  5) 5. 
7 Указать все конечные особые точки 
функции 
1
( ) cosf z
z i


 и определить 
их характер. 
1) z i   – устранимая особая точка; 
2) z i   – существенно особая точка; 
3) z i   – простой полюс; 
4) z i   – полюс второго порядка; 
5) z i   – полюс третьего порядка. 
8 Найти вычеты функции 
( )
( 2 )( )
z
f z
z i z i

 
 в изолированных 
особых точках. 
1) 
1 2
Res ( 2 ) ; Res ( ) ;
3 3
f i f i    
2) 
1 1
Res ( 2 ) ; Res ( ) ;
3 3
f i f i     
3) 
2 1
Res ( 2 ) ; Res ( ) ;
3 3
f i f i    
4) 
2 1
Res ( 2 ) ; Res ( ) ;
3 3
f i f i     
5) 
2 1
Res ( 2 ) ; Res ( ) .
3 3
f i f i     
9 С помощью вычетов вычислить 
1 4
d
( 2 )( )z
z z
z i z i   
 . 
1) 0;   2) 
2
;
3
i
   3) 2 i   4) 
2
;
3
i
 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
10 Разложить функцию 
1
( )
( 3)( 2)
f z
z z

 
 в ряд Лорана  
по степеням 3z   в области 3 5z   . 
 
 34 
Вариант 4 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Записать обобщенную формулу Коши.  
2 Описать поведение функции ком-
плексного переменного в окрестности 
устранимой особой точки. 
 
3 Вычислить d
L
zz z , где L – дуга окруж-
ности 1, 0 argz z    . 
1) i ; 
2) 1 i  ; 
3) i ; 
4) 1 ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
4 
Вычислить 
2
sin
d
2z i
z
z
z i  
 . 
1) 0; 
2) 1; 
3) 2 i ; 
4) 2 i  ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
5 
Вычислить 
2
2
3
d
( )
z
z i
e z
z i   
 . 
1) 0; 
2) 2 i ; 
3) – i ; 
4) 4 i ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
6 Определить порядок нуля функции 
38
( ) sin 2 2
6
z
f z z z   . 
1) 1; 
2) 2; 
3) 3; 
4) 4; 
5) 5. 
7 Указать все конечные особые точки 
функции 3( ) ( 1) sin
1
f z z
z

 

 и опре-
делить их характер. 
1) 1z   – устранимая особая точка; 
2) 1z   – существенно особая точка; 
3) 1z   – простой полюс; 
4) 1z   – полюс второго порядка; 
5) 1z   – полюс третьего порядка. 
8 
Найти вычеты функции 
2
cos
( )
( )
z
f z
z


 
в изолированных особых точках. 
1) Res ( ) 0;f    
2) Res ( ) 1;f     
3) Res ( ) 1;f    
4) 
1
Res ( ) ;
2
f    
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
9 С помощью вычетов вычислить 
2
3 3
cos d
( )z i
z z
z   
 . 
1) 0;  
2) 2 i   
3) 2 i  
4) i  
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
10 
Разложить функцию 
2
1
( ) sinf z z
z
   
в ряд Лорана по степеням z . 
 
 35 
Вариант 5 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Сформулировать теорему Коши для 
многосвязной области. 
 
2 Описать поведение функции ком-
плексного переменного в окрестности 
полюса. 
 
3 Вычислить Re d
L
z z , где L – дуга пара-
болы 2y x , соединяющая начало ко-
ординат и точку 2 4i . 
1) 
2
4
3
i ; 
2) 2 16i ; 
3) 
16
2
3
i ; 
4) 
8
2
3
i ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
4 
Вычислить 
2
2 2
d
( )( 1)z i
z
z i z   
 . 
1) 0; 
2) 2 i ;  
3) 2 i  ; 
4) i ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
5 
Вычислить 
2
3 2
sin d
( 4)( 1)z
z z z
z z   
 . 
1) 0;  2) 4πi;  3) 6 i  ;  4) 2 i ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
6 Определить порядок нуля функции 
6
2 2( ) sin( )
6
z
f z z z   . 
1) 2; 
2) 4; 
3) 6; 
4) 8; 
5) 10. 
7 Указать все конечные особые точки 
функции 
2
( )
3 4
z i
f z
z iz


 
 и опреде-
лить их характер. 
1) , 4z i z i   – простые полюсы; 
2) , 4z i z i     – простые полюсы; 
3) , 4z i z i    – простые полюсы; 
4) , 4z i z i    – простые полюсы; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
8 
Найти вычеты функции 
3
sin
( )
( 1)
z
f z
z


 
в изолированных особых точках. 
1) Res (1) sin1;f   
2) 
sin1
Res (1) ;
2
f    
3) 
sin1
Res (1) ;
3
f   
4) Res (1) 2sin1;f    
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
9 С помощью вычетов вычислить 
3
1 2
sin d
( 1)z i
z z
z   
 . 
1) 0;   2) 2 sin1;i   3) sin1;i   4) 2 sin1;i   
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
10 
Разложить функцию 
2
1
( )
1
f z
z


  
в ряд Лорана по степеням 2z   в кольце 
1 2z i   . 
 
 36 
Вариант 6 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Дать определение вычета функции 
комплексного переменного в конечной 
изолированной особой точке z a . 
 
2 Записать интегральную формулу Коши.  
3 Вычислить 2 d
L
z z z , где L – полу-
окружность 3z   от точки –3 до точки 
3, лежащая в верхней полуплоскости. 
1) 27 ; 
2) 18 ; 
3) 54 ; 
4) 27 ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
4 
Вычислить 
1
cos d
z
z z
z  
 . 
1) 0; 
2) 1 ; 
3) 2 i ; 
4) i ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
5 
Вычислить 
2
3
2 3
d
( )z i
z z
z i  
 . 
1) 0; 
2) 1; 
3) 2 i ; 
4) i ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
6 Определить порядок нуля функции 
2 2( ) sinf z z z  . 
1) 1;  2) 2;  3) 3;  4) 4;  5) 5. 
7 Указать все конечные особые точки 
функции 
2
2 3
2
( )
( ) ( 7 )
z z
f z
z i z i


 
  
и определить их характер. 
1) z i  – устранимая особая точка,  
    7z i   – полюс третьего порядка; 
2) z i   – полюс второго порядка,  
    7z i  – полюс третьего порядка; 
3) z i   – полюс пятого порядка,  
    7z i  – полюс пятого порядка; 
4) z i  – полюс второго порядка,  
    7z i   – полюс третьего порядка; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
8 
Найти вычеты функции 
2 4
1
( )f z
z z


 
в изолированных особых точках. 
1) 
1 1
Res (0) 0; Res (1) ; Res ( 1) ;
2 2
f f f       
2) 
1 1
Res (0) 0; Res (1) ; Res ( 1) ;
2 2
f f f      
3) 
1
Res (0) 1; Res (1) ; Res ( 1) 0;
2
f f f       
4) 
1
Res (0) 1; Res (1) 0; Res ( 1) ;
2
f f f      
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
9 С помощью вычетов вычислить 
2 4
2 1 2
d
z
z
z z  
 . 
1) 0;   2) 2 i   3) i   4) 1;  
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
10 
Разложить функцию 
3
1
( ) ln(3 )f z z
z
   
в ряд Лорана по степеням z . 
 
 37 
Вариант 7 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Записать формулы для вычисления 
вычета функции ( )f z  в простом по-
люсе z a . 
 
2 Сформулировать теорему Абеля.  
3 Вычислить Im d
L
z z , где L – отрезок, 
соединяющий точки 1z   и 3 2z i  . 
1) 1 i ;  
2) 2 2i ; 
3) 2 i ; 
4) 1 2i ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
4. 
Вычислить 
2
2 1
d
4z i
z
z  
 . 
1) 0; 
2) i ; 
3) 2 i ; 
4) 
2

 ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
5 
Вычислить 
2 2
2 1
d
( ) ( 4)
z
z
ze z
z i z   
 . 
1) 0; 
2) i ; 
3) 2 i ; 
4) 
2
i

 ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
6 Определить порядок нуля функции 
2
( ) cos 1
3 18
z z
f z    . 
1) 1; 
2) 2; 
3) 3; 
4) 4; 
5) 5. 
7 Указать все конечные особые точки 
функции 
3 2
2
3 3
( )
( )( )
z z
f z
z i z i


 
 и опре-
делить их характер. 
1) z i  и z i   – полюсы третьего порядка; 
2) z i  – устранимая особая точка,  
    z i   – существенно особая точка; 
3) z i   – простой полюс,  
    z i  – полюс второго порядка; 
4) z i   и z i  – устранимые особые точки; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
8 
Найти вычеты функции 
3
cos
( )
( 1)
z
f z
z



 
в изолированных особых точках. 
1) Res (1) ;f     2) Res (1) 0;f   
3) 
2
Res (1) ;
2
f

   4) Res (1) 3 ;f    
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
9 С помощью вычетов вычислить  
3
2
cos d
( 1)z i
z z
z 


 . 
1) 0;   2) 2 ;i   3) 3 ;i   4) 26 ;i  
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
10 
Разложить функцию 
2
1
( )
4
f z
z


  
в ряд Лорана по степеням 2z    
в кольце 2 2 4z   . 
 
 38 
Вариант 8 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Дать определение ряда Тейлора функ-
ции ( )f z  в окрестности точки z a . 
 
2 Дать определение нуля функции ( )f z  
порядка т. 
 
3 Вычислить d
L
z z , где L – отрезок, со-
единяющий начало координат и точку 
1 i . 
1) 0 ; 
2) 1; 
3) 2 i ; 
4) 1 i ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
4 
Вычислить 
1
2
2 1
d
.
5
z
z i
ze z
z  
  
1) 0; 
2) 1; 
3) 2 i ; 
4) i ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
5 
Вычислить 
3
1 3
cos d
.
( )z
z z
z  
  
1) 0; 
2) 1; 
3) 2 i ; 
4) i ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
6 Определить порядок нуля функции 
1
( ) ( 1)
1
f z z
z
  

. 
1) 1; 
2) 2; 
3) 3; 
4) 4; 
5) 5. 
7 Указать все конечные особые точки 
функции 
1
( ) z if z e   и определить их 
характер. 
1) z i   – устранимая особая точка; 
2) z i   – существенно особая точка; 
3) z i   – простой полюс;  
4) z i   – полюс второго порядка; 
5) z i   – полюс третьего порядка. 
8 
Найти вычеты функции 2
1
( ) sinf z z
z
  
в изолированных особых точках. 
1) Res (0) 0;f       2) 
1
Res (0) ;
2
f   
3) 
1
Res (0) ;
6
f     4) 
1
Res (0) ;
4
f    
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
9 С помощью вычетов вычислить 
2
1 2
1
sin d
z i
z z
z  
 . 
1) 0;  
2) i  
3) ;
3
i

  
4) ;
2
i

  
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
10 
Разложить функцию 2
1
( ) ln(4 )f z z
z
   
в ряд Лорана по степеням z . 
 
 39 
Вариант 9 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Дать определение ряда Лорана функции 
( )f z  в окрестности точки z a . 
 
2 Записать интегральную формулу Коши.  
3 
Вычислить d
L
z
z
z
 , где L – дуга окруж-
ности 2z   от точки i  до точки i . 
1) 1; 
2) 4i ; 
3) 8i ; 
4) 16i ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
4 
Вычислить 
2 2
3 2
dz
z i
e z
z   
 . 
1) 0; 
2) –1; 
3) 2 i ; 
4) i ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
5 
Вычислить 
2
3 3
cos d
( 4)( 4)z
z z z
z z   
 . 
1) 0; 
2) –1; 
3) 2 i ; 
4) 4 i  ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
6 Определить порядок нуля функции 
( ) sinf z z z  . 
1) 1; 
2) 2; 
3) 3; 
4) 4; 
5) 5. 
7 Указать все конечные особые точки 
функции 
2 1
( )
z
f z
z i



 и определить их 
характер. 
1) 1z    – простой полюс; 
2) z i  – простой полюс; 
3) z i  – существенно особая точка;  
4) z i  – устранимая особая точка; 
5) 1z    – устранимая особая точка. 
8 
Найти вычеты функции 
2
1
3( ) zf z z e   
в изолированных особых точках. 
1) Res (0) 0;f   
2) Res (0) 1;f   
3) 
1
Res (0) ;
2
f   
4) 
1
Res (0) ;
6
f   
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
9 С помощью вычетов вычислить 
2
1
3
2 1 1
dz
z i
z e z
  
 . 
1) 0;  
2) 2 i  
3) ;i  
4) ;
3
i

 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
10 
Разложить функцию 
2
1
( ) cosf z z
z
   
в ряд Лорана по степеням z . 
 
 
 40 
Вариант 10 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Дать определение главной части ряда 
Лорана функции ( )f z  в окрестности 
точки z a . 
 
2 Сформулировать основную теорему  
о вычетах. 
 
3 Вычислить 2Re d
L
z z , где L – отрезок, 
соединяющий точки 1z   и 2z i . 
1) 1; 
2) 1 i  ; 
3) 2 i ; 
4) 1 2i  ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
4 
Вычислить 
1 1
sin d
( )( )z
z z
z z i    
 . 
1) 0; 
2) 2 ; 
3) 2 i ; 
4) 4 i  ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
5 
Вычислить 
2
2
3
( 1)d
( 2 )z
z z
z i


 . 
1) 0; 
2) 4π; 
3) 8  ; 
4) 12 i ; 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
6 Определить порядок нуля функции 
( ) ln(1 )f z z z   . 
1) 1; 
2) 2; 
3) 3; 
4) 4; 
5) 5. 
7 Указать все конечные особые точки 
функции 
1
( )
ze
f z
z

  и определить их 
характер. 
1) 0z   – устранимая особая точка; 
2) 0z   – существенно особая точка; 
3) 0z   – простой полюс;  
4) 0z   – полюс второго порядка; 
5) 0z   – полюс третьего порядка. 
8 
Найти вычеты функции 
1
( ) cosf z z
z
  
в изолированных особых точках. 
1) Res (0) 0;f        2) Res (0) 1;f   
3) 
1
Res (0) ;
2
f     4) 
1
Res (0) ;
24
f   
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
9 С помощью вычетов вычислить 
1 2
1
cos d
z i
z z
z  
 . 
1) 0;  
2) 2 i  
3) – ;i  
4) ;
6
i

 
5) среди ответов 1–4 верного нет. 
10 
Разложить функцию ( )
4
z
f z
z


 в ряд 
Лорана по степеням 2z   в кольце 
1 2 2z   . 
 
 
 41 
ТЕСТ «ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ» 
Вариант 1  
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Если ( )0( ), Re , 1,
k
kF p p s k n   – изоб-
ражения по Лапласу функций ( )
k
f t , 
где ( )0
k
s  – показатель роста функций 
( ), 1,
k
f t k n , и kc  – действительные 
или комплексные постоянные, то ( )F p  
функции 
1
( ) ( )
n
k k
k
f t c f t

   равно... 
 
2 Является ли функция 
( ) ( 0, 1)tf t a a a    оригиналом? Если 
да, то указать показатель роста. 
1) нет;  2) да, 0;  3) да, ln a ;  4) да, ln 2 ; 
5) да, а. 
3. Функция ( ) cosf t t  имеет изображение 
1) 
2
1
1 p
;  2) 
21
p
p
;  3) 
2
1
1p 
;  
4) 
2 1
p
p 
;  5) 
1
1p 
. 
4 Найти изображение функции 
1, 0 2;
( ) 1, 2 3;
0, 3.
t
f t t
t
 

   
 
 
1) 
3
22 1
p
p ee
p p p

   ;   
2) 
3
22 1
p
p ee
p p p

   ; 
3) 
3 22
3
p pe e
p p
 
 ;  4) 
3
2
2
1 2 2 pp ee
p pp

   ; 
5) 
2 3p p pe e e
p p p
  
  . 
5 Найти изображение функции 
4( ) sinf t t . 
1) 
2 2
1
(2 )( 4)p p p 
; 2) 
2 2(4 )( 16)
p
p p 
; 
3) 
2 2
2
(2 )( 16)p p 
;  
4) 
2 2
4!
(16 )( 4)p p p 
; 5) 
2 2
3!
(2 )( 4)p p 
. 
6 Найти свертку двух функций: 
1 2( ) 1, ( ) sinf t f t t  . 
1) 1 sin t ;  2) sin 1t  ;  3) sin cost t ;   
4) cos 1t  ;  5) 1 cos t . 
7 Найти изображение свертки двух 
функций 1( )f t  и 2( )f t  из № 6. 
1) 
21
p
p
;  2) 
2
1
( 1)p p 
;  3) 
2
1
( 1)p p 
;   
4) 
2 1
p
p 
;  5) 
2 2
1
( 1)p p 
. 
 42 
 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
8 Найти оригинал по заданному изобра-
жению 
2
1
( )
4 5
F p
p p

 
. 
1) sin 2te t ; 
2) 2 sinte t ; 
3) 2 coste t ;   
4) 2 coste t ; 
5) 2 cos2te t . 
9 Дифференциальному уравнению 
2cosx x t    с начальными условиями 
(0) 0, (0) 1x x    соответствует опе-
раторное 
1) 
2
2
2
( ) 1 ( )
1
p
p X p X p
p
  

;  
2) 
2
2
1
( ) ( )
1
p X p p X p
p
  

;   
3) 
2
2
( ) 1 ( )
1
p
p X p X p
p
  

;   
4) 
2
2
2
( ) ( )
1
p X p p X p
p
  

;   
5) 
2
2
( ) 1 ( )
1
p
p X p X p
p
  

. 
10 Решить задачу Коши из № 9 методом 
операционного исчисления. 
1) sint t ; 
2) (1 )sint t ; 
3) ( 1)cost t ;   
4) ( 1)sint t ; 
5) cost t . 
 43 
Вариант 2  
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Если 0( ), ReF p p s  – изображение по 
Лапласу функции ( )f t , то ( )f t , где α – 
любое положительное число, имеет 
изображение... 
 
2 
Является ли функция 
3
1
( )
1
f t
t


 ори-
гиналом? Если является, то указать по-
казатель роста. 
1) нет; 
2) да, 0; 
3) да, ln 2 ; 
4) да, 1;   
5) да, 2. 
3 Функция ( ) 1f t   имеет изображение 
1) 
1
p
;  
2) 
2
1
p
; 
3) 
1
1p 
; 
4) 
1
1p 
;   
5) 
2
1
1p 
. 
4 Найти изображение функции 
, 0 1;
( ) 1, 1 2;
0, 2.
t t
f t t
t
 

  
 
 
1) 
21 p pe e
p p p
 
  ;  2) 
2
2
1p pe e
p pp
 
  ; 
3) 
2
2 2
p pe e
p p
 
 ;  4) 
2
2 2
1 p pe e
pp p
 
  ; 
5) 
2
2 2 2
1 p pe e
p p p
 
  . 
5 Найти изображение функции 
( ) cos5 sin3f t t t . 
1) 
2 264 4
p p
p p

 
;  2) 
2 2
4 2
36 4p p

 
; 
3) 
2 2
4 1
64 4p p

 
;  4) 
2 2
1
64 4
p
p p

 
; 
5) 
2 2
2 4
4 36p p

 
. 
6 Найти свертку двух функций: 
1 2( ) , ( ) cosf t t f t t  . 
1) cos t ; 
2) 1 sin t ; 
3) 1 cos t ;   
4) cos 1t  ; 
5) sin t . 
7 Найти изображение свертки двух 
функций 1( )f t  и 2( )f t  из № 6. 
1) 
21
p
p
;  2) 
2
1
( 1)p p 
;  3) 
2
1
( 1)p p 
;   
4) 
2 1
p
p 
;  5) 
2 2
1
( 1)p p 
. 
 44 
 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
8 Найти оригинал по заданному изобра-
жению 
2
1
( )
4 3
F p
p p

 
. 
1) 3
1
( )
2
t te e ; 
2) 3
1
( )
2
t te e ; 
3) 3t te e  ;   
4) 3t te e  ; 
5) 3
1
( )
2
t te e  . 
9 Дифференциальному уравнению 
3 tx x e    с начальными условиями 
(0) 0, (0) 1x x    соответствует опе-
раторное 
1) 2
1
( ) 1 3 ( )
1
p X p pX p
p
  

;  
2) 2
1
( ) 1 3 ( )
1
p X p X p
p
  

;   
3) 
2 1( ) 1 ( )
1
p X p X p
p
  

;   
4) 
2
2
1
( ) 3 ( )
1
p X p p X p
p
  

;   
5) 2
1
( ) 3 ( )
1
p X p p pX p
p
  

. 
10 Решить задачу Коши из № 9 методом 
операционного исчисления. 1) 
31 5 2
4 12 3
t te e  ; 
2) 
31 5 4
2 6 5
t te e   ;   
3) 
21 6 2
2 7 3
t te e   ; 
4) 
31 5 2
4 12 3
t te e   ;   
5) 
31 5 4
2 12 3
t te e  . 
 45 
Вариант 3 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Если ( )f t  – оригинал с показателем ро-
ста 0s , тогда ( )f t  – оригинал с показа-
телем роста 0s  и 0( ), ReF p p s  – изоб-
ражение по Лапласу ( )f t , то ( )f t  имеет 
изображение... 
 
2 Является ли функция 2( ) tf t t  оригина-
лом? Если является, то указать показа-
тель роста. 
1) да, ln 2 ; 
2) да, 1; 
3) да, 2; 
4) нет;   
5) да, 0. 
3 Функция ( ) tf t e  имеет изображение 1) 
1
p
; 
2) 
2
1
1p 
; 
3) 
1
1p 
; 
4) 
1
1p 
;   
5) 
2
1
1p 
. 
4 Найти изображение функции 
2 , 0 2;
( )
0, 2 .
t t
f t
t
  
 
  
 
1) 
2
2
1 1pe
p p p

  ;  2) 
2
2 2
2 1 pe
p p p

  ; 
3) 
2 2
2 2 pe
pp p

  ;    4) 
2 2
2 2
1 p pe e
pp p
 
  ; 
5) 
2
2
1p pe e
p p p
 
  . 
5 Найти изображение функции 
2( ) sintf t e t . 
1) 
2( ) 4
pe
p

 
;  2) 
2( ) 4
pe
p

 
; 
3) 
2
2
( ) 4p  
;  4) 
2( ) 4
p
p

 
; 
5) 
2
2
( )(( ) 4)p p  
. 
6 Найти свертку двух функций: 
1 2( ) , ( )
tf t t f t e  . 
1) 1te t  ;  2) 1te t   ;  3) 1te t  ;   
4) 1
te t   ;  5) 2 1te t  . 
7 Найти изображение свертки двух функ-
ций 1( )f t  и 2( )f t  из № 6. 
1) 
1
( 1)p p 
;  2) 
1
( 1)p p 
;  3) 
2
1
( 1)p p 
;   
4) 
2
1
( 1)p p 
;  5) 
2
1
( 1)p p 
. 
 46 
 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
8 Найти оригинал по заданному изобра-
жению 
2
( )
(1 )
p
F p
p


. 
1) t te te ; 
2) t te te ; 
3) t te te  ;   
4) t te te  ; 
5) t tte e  . 
9 Дифференциальному уравнению 
22 tx x e    с начальными условиями 
(0) 0, (0) 0x x   соответствует опера-
торное 
1) 2
1
( ) 2 ( )
2
p X p pX p
p
 

;  
2) 2
1
( ) 2 ( )
2
p X p pX p
p
 

;   
3) 2
1
( ) 2 ( )
2
p X p X p
p
 

;   
4) 2
1
( ) 2 ( )
2
p X p X p
p
 

;   
5) 
2 1( ) ( )
2
p X p X p
p
 

. 
10 Решить задачу Коши из № 9 методом 
операционного исчисления. 1) 
2 21 (1 2 )
4
t te te  ; 
2) 
2 21 (1 2 )
2
t te te  ;   
3) 
2 21 (1 2 )
4
t te te  ; 
4) 
2 21 (1 )
2
t te te  ;   
5) 
2 21 (1 2 )
4
t te te   . 
 
 
 47 
Вариант 4 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Если 0( ), ReF p p s  – изображение по 
Лапласу функции ( )f t , то функция 
( ) ( 1) ( )n nt t f t    имеет изображение… 
 
2 Является ли функция 4 3( ) tf t e   ори-
гиналом? Если является, то указать по-
казатель роста. 
1) нет; 
2) да, 0; 
3) да, 4; 
4) да, 3; 
5) да, 1. 
3 Функция ( ) shf t t  имеет изображение 
1) 
2
1
1p 
; 
2) 
2 1
p
p 
; 
3) 
1
1p 
; 
4) 
2
1
1p 
;  
5) 
2 1
p
p 
. 
4 Найти изображение функции 
2, 0 4;
( ) 2, 4 5;
0, 5.
t
f t t
t
 

   
 
 
1) 
4 51 p pe e
p p p
 
  ;  2) 
4 5
2 2 2
1 2 p pe e
p p p
 
  ; 
3) 
4 5
2 2
1 2p pe e
p p p
 
  ;  4) 
4 5
2
2 p pe e
p pp
 
  ; 
5) 
5 42 2 4p pe e
p p p
 
  . 
5 Найти изображение функции 
3( ) ( 2) ( 2)f t t t    . 
1) 
2
4
6 pe
p

;  2) 
2
3
2 pe
p

; 
3) 
3
3
3 pe
p

; 4) 
2
4
6 pe
p
;  
5) 
2
4
4 pe
p
. 
6 Найти свертку двух функций: 
1 2( ) cos , ( ) sinf t t f t t  . 
1) sint t ;  2) cost t ;  3) 
1
sin
2
t t ;  4) 
1
cos
2
t t ;   
5) 
1
( sin )
2
t t . 
7 Найти изображение свертки двух функ-
ций 1( )f t  и 2( )f t  из № 6. 
1) 
2 2( 1)
p
p 
;  2) 
2 2
2
( 1)
p
p 
;  3) 
2 2
1
2 ( 1)
p
p 
;   
4) 
2 2
2
( 1)p 
;  5) 
2 2
1
2( 1)p 
. 
 48 
 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
8 Найти оригинал по заданному 
изображению 
3 2
1
( )
2
F p
p p p

 
. 
1) 1 t te te   ; 
2) 1 tte ; 
3) 1 t te te   ;   
4) 1 t te te   ; 
5) 1 tte . 
9 Дифференциальному уравнению 
2 3 tx x x e     с начальными 
условиями (0) 0, (0) 1x x   соот-
ветствует операторное  
1) 2
1
( ) 2 ( ) 3 ( )
1
p X p p pX p X p
p
   

;  
2) 2
1
( ) 1 2 ( ) 3 ( )
1
p X p pX p X p
p
   

;   
3) 2
1
( ) 1 2 ( ) 3 ( )
1
p X p pX p X p
p
   

;   
4) 2
1
( ) 1 2 ( ) 3 ( )
1
p X p pX p X p
p
   

;   
5) 
2 1( ) 2 ( ) 3 ( )
1
p X p p pX p X p
p
   

. 
10 Решить задачу Коши из № 9 мето-
дом операционного исчисления. 1) 
31 (3 2 )
4
t t te e e   ; 
2) 
31 (3 2 )
8
t t te e e   ;   
3) 
31 ( 3 )
8
t t te e e   ; 
4) 
21 (3 2 )
2
t t te e e   ;   
5) 
3 21 (3 2 )
8
t t te e e   . 
 
 
 49 
Вариант 5 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Если 0( ), ReF p p s  – изображение по 
Лапласу функции ( )f t , тогда функ-
ция
0
φ( ) (τ)dτ
t
t f   имеет изображение... 
 
2 
Является ли функция 
3
1
( )
8
f t
t


 ори-
гиналом? Если является, то указать по-
казатель роста. 
1) да, 0;  2) да, ln 2 ;  3) да, 2;  4) да, 1;   
5) нет. 
3 
Функция 
1
( ) cos
2
f t t  имеет изобра-
жение 
1) 
2
1
2
1
4
p

;  2) 
2
1
2 1
p
p 
; 3) 
2
1
4
p
p

;  
 4) 
2
1
1
4
p

;  5) 
2 1
p
p 
. 
4 Найти изображение функции 
, 0 2;
( ) 2, 2 4;
0, 4.
t t
f t t
t
 

  
 
 
1) 
4 2
2
2 2 p pe e
p pp
 
  ;  
2) 
2 4
2 2 2
1 2 p pe e
p p p
 
  ; 
3) 
2 4
2 2
1 2p pe e
pp p
 
  ;   
4) 
4 2
2
1 2 p pe e
p pp
 
  ; 
5) 
4 2
2
1 p pe e
p pp
 
  . 
5 Найти изображение функции 
2( ) ch2f t t t . 
1) 
2
2 3
( 12)
( 2)
p p
p


;  2) 
2
2 2
12
( 2)
p
p


;  3) 
2
2 2( 4)
p
p 
;  
4) 
2
2 3
2 ( 12)
( 4)
p p
p


;  5) 
2
2 3
( 12)
( 4)
p p
p


. 
6 Найти свертку двух функций: 
2
1 2( ) , ( ) sin3
tf t e f t t  . 
1) 
1
( 3cos 2sin )
11
te t t  ; 
2) 
21 ( 3cos3 2sin3 )
13
te t t  ; 
3) 
1
( 3cos3 2sin3 )
12
te t t  ; 
4) 
21 ( 3cos 2sin )
11
te t t  ; 
5) 
1
( 3cos 2 2sin 2 )
13
te t t   . 
 50 
 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
7 Найти изображение свертки двух 
функций 1( )f t  и 2( )f t  из № 6. 
1) 
2
13
( 2)( 9)p p 
; 
2) 
2( 1)( 9)
p
p p 
; 
3) 
2
5
( 1)( 4)p p 
; 
4) 
2
3
( 2)( 9)p p 
; 
5) 
2
11
( 2)( 1)p p 
. 
8 Найти оригинал по заданному изобра-
жению 
2 2
( )
( 1)
p
F p
p


. 
1) 
1
sin
2
t t ; 
2) 
1
cos
2
t t ; 
3) sint t ; 
4) cost t ;   
5) sint t . 
9 Дифференциальному уравнению 
1x x    с начальными условиями 
(0) (0) (0) 0x x x     соответствует 
операторное  
1) 
1
( ) ( )pX p X p
p
  ;  
2) 
3 1( ) ( )
1
p X p X p
p
 

; 
3) 
2 1( ) ( )p X p pX p
p
  ; 
4) 
1
( ) ( )
1
pX p X p
p
 

; 
5) 
3 1( ) ( )p X p pX p
p
  . 
10 Решить задачу Коши из № 9 методом 
операционного исчисления. 
1) sint t ; 
2) cost t ; 
3) sint t ; 
4) cost t ;   
5) sin cost t . 
 
 
 51 
Вариант 6 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 
Если 
( )f t
t
 – оригинал с показателем ро-
ста 0s , то ( )f t  – оригинал с показате-
лем роста 0s  и 0( ), ReF p p s  – его 
изображение по Лапласу, тогда 
( )f t
t
 
имеет изображение... 
 
2 Является ли функция ( ) ctgf t t  ориги-
налом? Если является, то указать пока-
затель роста. 
1) нет;  
2) да, 1; 
3) да, 2; 
4) да, ln 2 ;  
5) да, ln1 . 
3 Функция ( ) tf t e  имеет изображение 1) 
1
1p 
;     2) 
2
1
1p 
; 
3) 
1
p
;          4) 
2
1
1p 
; 
5) 
1
1p 
. 
4 Найти изображение функции 
3 , 0 3;
( )
0, 3 .
t t
f t
t
  
 
  
 
1) 
3
2 2
2 1pe
p p p

  ;      2) 
3
2 2
3 1pe
p p p

  ; 
3) 
3
2
3 1pe
p pp

  ;      4) 
3
2
2 1pe
p p p

  ; 
5) 
3
2
1 3 3pe
p pp

  . 
5 Найти изображение функции 
0
sh
( ) d .
t
f t

 

  
1) 
1 1
ln
2 1
p
p


;  2) 
1
ln
1
p
p
p


;  3) 
1 1
ln
2 1
p
p p


;  
4) 
1 1
ln
2 1
p
p p


;  5) 
1 1
ln
2 1
p
p


. 
6 Найти свертку двух функций: 
1 2( ) cos , ( ) cosf t t f t t  . 
1) 
1
(sin cos )
2
t t t ; 2) 
1
( sin cos )
2
t t t ; 
3) 
1
(sin cos )
4
t t t ; 4) 
1
(sin cos )
2
t t t ; 
5) 
1
(cos sin )
2
t t t . 
7 Найти изображение свертки двух функ-
ций 1( )f t  и 2( )f t  из № 6. 
1) 
2 2( 1)
p
p 
;  2) 
2 2
2
( 1)
p
p 
;  3) 
2
2 2( 1)
p
p 
;   
4) 
2
2 2
2
( 1)
p
p 
;  5) 
2
2 2
1
2 ( 1)
p
p 
. 
 52 
 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
8 Найти оригинал по заданному изобра-
жению 
2
1
( )
2 3
F p
p p

 
. 
1) 3
1
( )
2
t te e ; 
2) 3
1
( )
4
t te e ;   
3) 3
1
( )
2
t te e  ; 
4) 3
1
( )
4
t te e ;   
5) 3
1
( )
2
t te e  . 
9 Дифференциальному уравнению 
4x x t    с начальными условиями 
(0) 1, (0) 0x x   соответствует опера-
торное 
1) 
2
2
1
( ) 4 ( )p X p p X p
p
   ;  
2) 
2
2
1
( ) 1 4 ( )p X p X p
p
   ; 
3) 2
1
( ) 4 ( )p X p p X p
p
   ; 
4) 
2 1( ) 1 4 ( )p X p X p
p
   ; 
5) 2
1
( ) 4 ( )p X p p X p
p
   . 
10 Решить задачу Коши из № 9 методом 
операционного исчисления. 1) 
1
cos sin
4
t t t  ; 
2) 
1 1
cos 2 sin 2
2 4
t t t  ;   
3) 
1 1 1
cos 2 sin
2 2 4
t t t  ; 
4) 
1 1 1
cos sin
4 4 4
t t t  ;   
5) 
1 1
cos 2 sin 2
4 8
t t t  . 
 53 
Вариант 7 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Пусть 0( ), ReF p p s  – изображение по 
Лапласу функции ( )f t , тогда функ-
ция ( )f t  , где τ – любое положитель-
ное число, имеет изображение… 
 
2 Является ли функция 3( )f t t  оригина-
лом? Если является, то указать показа-
тель роста. 
1) нет; 
2) да, 1; 
3) да, 2; 
4) да, 0; 
5) да, 5 . 
3 Функция ( )f t t  имеет изображение 
1) 
2
1
p
;  2) 
1
p
;  3) 
2
1
1p 
;  4) 
2
1
1p 
;  5) 
3
2
p
. 
4 Найти изображение функции 
3, 0 3;
( ) 3, 3 6;
0, 6.
t
f t t
t
 

   
 
 
1) 
6 3
2 2
6 6 6p pe e
p p p
 
  ;   
2) 
6 3
2 2
12 6 3p pe e
p p p
 
  ; 
3) 
6 3
2 2 2
1 3 p pe e
p p p
 
  ;  
4) 
6 3
2 2 2
3 3 6p pe e
p p p
 
  ; 
5) 
6 33 3 6p pe e
p p p
 
  . 
5 Найти изображение функции: 
( ) ch sinf t t t . 1) 4
1
2
p
p


;  2) 
2
4
2
4
p
p


;  3) 
2
2
1
( 1) 2
p
p

 
;  
4) 
2
2
2
( 1) 4
p
p

 
;  5) 
4
2
4
p
p


. 
6 Найти свертку двух функций: 
1 2( ) , ( )
t tf t e f t e  . 
1) sht t ; 
2) 2 cht t ; 
3) sht ; 
4) cht ; 
5) ch +sht t . 
7 Найти изображение свертки двух функ-
ций 1( )f t  и 2( )f t  из № 6. 
1) 
2
1
1p 
;  2) 
2 1
p
p 
;  3) 
2 2
2
( 1)
p
p 
; 
4) 
2
2 2
1
( 1)
p
p


;  5) 
1
1p 
. 
8 Найти оригинал по заданному изобра-
жению 
2
1
( )
( 1)
F p
p


. 
1) 
tte ; 
2) sht ; 
3) cht ; 
4) 
te ; 
5) 
tte . 
 54 
 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
9 Дифференциальному уравнению 
2 sinx x x t     с начальными усло-
виями (0) 0, (0) 1x x    соответ-
ствует операторное 
1) 
2
2
1
( ) 2 ( ) ( )
1
p X p p pX p X p
p
   

;  
2) 
2
2
1
( ) 1 2 ( ) ( )
1
p X p pX p X p
p
   

; 
3) 
2
2
( ) 1 2 ( ) ( )
1
p
p X p pX p X p
p
   

; 
4) 
2
2
( ) 2 ( ) ( )
1
p
p X p p pX p X p
p
   

; 
5) 
2
2
1
( ) 1 ( ) 2 ( )
1
p X p pX p X p
p
   

. 
10 Решить задачу Коши из № 9 методом 
операционного исчисления. 
1) cost tte e t   ; 
2) 
1
( cos )
2
t te te t   ;   
3) 
1
( sin )
2
t te te t   ; 
4) 
1
( cos )
2
t te te t   ;   
5) 
1
( sin )
2
t te te t   . 
 55 
Вариант 8 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Пусть 0( ), ReF p p s  – изображение 
по Лапласу функции ( )f t , тогда функ-
ция ( )te f t , имеет изображение... 
 
2 Является ли функция ( ) 2tf t   ориги-
налом? Если является, то указать пока-
затель роста. 
1) да, 2; 
2) да, ln 2 ; 
3) да, 1; 
4) да, ln1 ; 
5) нет. 
3 Функция ( ) sinf t t  имеет изображение 
1) 
2 1
p
p 
;  2) 
2
1
1p 
; 
3) 
2 1
p
p 
;  4) 
2
1
1p 
; 
5) 
21
p
p
. 
4 Найти изображение функции 
, 0 3;
( ) 3, 3 4;
0, 4.
t t
f t t
t
 

  
 
 
1) 
3 4
2 2
1 3p pe e
pp p
 
  ;  2) 
3 4
2 2 2
1 2p pe e
p p p
 
  ; 
3) 
3 4
2
1 3p pe e
p p p
 
  ;  4) 
3 4
2
3 6p pe e
p pp
 
  ; 
5) 
4 31
2
p pe e
p p p
 
  . 
5 Найти изображение функции 
3 2( ) tf t t e . 
1) 
3
4
( 2)p 
; 
2) 
4
6
( 2)p 
; 
3) 
3
4
( 2)p 
;  
4) 
3
2
( 2)p 
; 
5) 
4
6
( 2)p 
. 
6 Найти свертку двух функций: 
1 2( ) , ( ) sinf t t f t t  . 
1) sint t ; 
2) sint t ; 
3) cost t ;   
4) cost t ; 
5) cos sint t . 
7 Найти изображение свертки двух 
функций 1( )f t  и 2( )f t  из № 6. 
1) 
2
1
( 1)p p 
;  2) 
2 2
1
( 1)p p 
;  3) 
2
2
1
( 1)
p
p p


;   
4) 
2
2 2
1
( 1)
p
p p


;  5) 
2
2 2
1
( 1)
p
p p


. 
 56 
 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
8 Найти оригинал по заданному изоб-
ражению 
3 2
2 3
( )
4 5
p
F p
p p p


 
. 
1) 2
2 1
(1 cos ) sin 2
5 5
te t t  ;   
2) 2 2
4 2
(1 sin ) cos
5 5
t te t e t  ;  
3) 2 2
3 4
(1 cos ) sin
5 5
t te t e t   ;  
4) 2 2
1 2
cos sin
5 5
t te t e t   ;   
5) 2 2
3 4
cos sin
5 5
t tt e t e t   . 
9 Дифференциальному уравнению 
2 tx x x e     с начальными услови-
ями (0) 0, (0) 1x x   соответствует 
операторное 
1) 2
1
( ) 1 2 ( ) ( )
1
p X p pX p X p
p
   

;  
2) 
2 1( ) 2 ( ) ( )
1
p X p p pX p X p
p
   

; 
3) 
2 1( ) 1 2 ( ) ( )
1
p X p pX p X p
p
   

; 
4) 
2 1( ) 1 2 ( ) ( )
1
p X p pX p X p
p
   

; 
5) 
2 1( ) 1 ( ) 2 ( )
1
p X p pX p X p
p
   

. 
10 Решить задачу Коши из № 9 методом 
операционного исчисления. 
1) t tte e ; 
2) t tte e ; 
3) 2 t tt e te  ;  
4) 
1
( )
2
t tte e  ; 
5) 
21
2
t tt e te . 
 
 57 
Вариант 9 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Если ( )f t  – периодический оригинал 
с периодом 0T  , то его изображе-
ние... 
 
2 Является ли функция ( ) ln( 1)f t t   
оригиналом? Если является, то ука-
зать показатель роста. 
1) да, 0; 
2) да, 1; 
3) да, ln1 ; 
4) да, ln 2 ; 
5) нет. 
3 Функция ( ) chf t t  имеет изображение 
1) 
2 1
p
p 
;  2) 
2
1
1p 
; 
3) 
1
1p 
;  4) 
2
1
1p 
; 
5) 
2 1
p
p 
. 
4 Найти изображение функции 
4 , 0 4;
( )
0, 4.
t t
f t
t
  
 

 
1) 
3 4
2
1 p pe e
p p p
 
  ;  2) 
3 4
2 2
1 3 4p pe e
pp p
 
  ; 
3) 
4
2 2
4 1pe
p p p

  ;  4) 
3 4
2 2 2
1 4 p pe e
p p p
 
  ; 
5) 
4 4
2
1 3 4p pe e
p p p
 
  . 
5 Найти изображение функции 
0
1
( ) d
t e
f t

 

 . 
1) 
1 1
ln 1
p p
 
 
 
;  2) 
1 1
ln 1
p p
 
 
 
;   
3) 
2
1 1
ln 1
pp
 
 
 
;  4) 
2
1 1
ln 1
pp
 
 
 
;   
5) 
1
ln 1
p
 
 
 
. 
6 Найти свертку двух функций: 
1 2( ) sin , ( ) sinf t t f t t  . 
1) 
1
( cos sin )
2
t t t ; 
2) 
1
( sin cos )
2
t t t ;   
3) cos sint t t ; 
4) sin cost t t ;   
5) 
1
(sin cos )
2
t t t . 
7 Найти изображение свертки двух 
функций 1( )f t  и 2( )f t  из № 6. 
1) 
2
2 2( 1)
p
p 
;  2) 
2
2 2
1
( 1)
p
p


;  3) 
2
1
1p 
;   
4) 
2
2 2
1
( 1)
p
p


;  5) 
2 2
1
( 1)p 
. 
 58 
 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
8 Найти оригинал по заданному изоб-
ражению 
2
1
( )
7
F p
p p

 
. 
1) 2
2 3
sin
7 2
t
e t ; 
2) 2
2 3
cos 3
9
t
e t ;  
3) 3
3
sin 2
7
t
e t ; 
4) 2
2 3 3 3
sin
9 2
t
e t ;   
5) 3
2 3 3 3
cos
9 2
t
e t . 
9 Дифференциальному уравнению 
2 2 1x x x     с начальными услови-
ями (0) (0) 0x x   соответствует 
операторное 
1) 
2 1( ) 1 2 ( ) 2 ( )p X p pX p X p
p
    ;  
2) 2
1
( ) 2 ( ) 2 ( )p X p p X p pX p
p
    ; 
3) 
2 1( ) 2 ( ) 2 ( )p X p pX p X p
p
   ; 
4) 2
1
( ) 1 2 ( ) 2 ( )p X p pX p X p
p
    ; 
5) 
2 1( ) 2 ( ) 2 ( )p X p p pX p X p
p
    . 
10 Решить задачу Коши из № 9 методом 
операционного исчисления. 1) 
1
( sin cos )
2
t te t e t  ;   
2) 
1
(1 cos sin )
2
t te t e t  ;   
3) 
1
( cos sin )
2
t te t e t ;  
4) 
1
(1 cos sin )
4
t te t e t  ;   
5) 
1
( sin cos )
2
t te t e t . 
 
 59 
Вариант 10 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Пусть (1)1 0( ), ReF p p s  – изображе-
ние по Лапласу функции 1( )f t  и 
(2)
2 0( ), ReF p p s  – изображение по 
Лапласу функции 2( )f t , тогда функ-
ция 1 2
0
( ) ( ) ( )d
t
t f t f t      имеет 
изображение... 
 
2 
Является ли функция 
4
( ) tf t e  ори-
гиналом? Если является, то указать 
показатель роста. 
1) да, 4; 
2) да, ln 4 ; 
3) да, 1;  
4) да, ln1 ; 
5) нет. 
3 Функция 2( )f t t  имеет изображение 1) 
1
p
;  2) 
2 1
p
p 
;  3) 
3
2
p
;  4) 
2
1
p
;  5) 
2
1
1p 
. 
4 Найти изображение функции 
4, 0 4;
( ) 4, 4 6;
0, 6.
t
f t t
t
 

   
 
 
1) 
4 61 4p pe e
p p p
 
  ;  2) 
4 6
2
4 p pe e
p pp
 
  ; 
3) 
4 6
2 2
1 p pe e
pp p
 
  ;  4) 
6 44 4 8p pe e
p p p
 
  ; 
5) 
6 4
2 2
4 4 2p pe e
pp p
 
  . 
5 Найти изображение функции 
( ) sin cosf t t t t  . 1) 2 2( 1)
p
p 
;  2) 
2 2
2
( 1)p 
;  3) 
2 2
2
( 1)
p
p 
;  
4) 
2 2
1
( 1)p 
;  5) 
2 2
1
( 1)
p
p


. 
6 Найти свертку двух функций: 
1 2( ) 1, ( ) cosf t f t t  . 
1) cos t ; 
2) sint t ; 
3) cost t ;  
4) sint t ;   
5) sin t . 
7 Найти изображение свертки двух 
функций 1( )f t  и 2( )f t  из № 6. 
1) 
2 2( 1)
p
p 
;  2) 
2
1
( 1)p p 
;  3) 
2 1
p
p 
;   
4) 
2
1
1p 
;  5) 
2 2
1
( 1)p 
. 
8 Найти оригинал по заданному изоб-
ражению 
2
1
( )
( 1) ( 2)
F p
p p

 
. 
1) 
21 ( 3 )
9
t t te e te   ;  2) 2
1
( 3 )
3
t t te e te   ;  
3) 
21 ( 3 )
6
t t te e te   ;  4) 2 2
1
( 3 )
3
t t te e te   ;   
5) 
2 21 ( 3 )
9
t t te e te   . 
 60 
 
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
9 Дифференциальному уравнению 
cosx x t    с начальными условия-
ми (0) 0, '(0) 2, ''(0) 0x x x     соот-
ветствует операторное  
1) 
2
2
1
( ) 2 ( )
1
p X p pX p
p
  

;  
2) 
3
2
( ) 2 ( )
1
p
p X p pX p
p
  

; 
3) 
3
2
1
( ) 2 ( )
1
p X p p X p
p
  

; 
4) 
3
2
( ) 2 ( )
1
p
p X p p pX p
p
  

; 
5) 
3
2
( ) 2 ( )
1
p
p X p p pX p
p
  

. 
10 Решить задачу Коши из № 9 методом 
операционного исчисления. 1) 
1
(cos sin )
2
t t ;  
2) 
3 1
sin cos
4 4
t t t ;   
3) 
3 1
sin cos
2 2
t t t  ; 
4) 
3 1
sin cos
2 2
t t t ; 
5) 
3 1
cos sin
2 2
t t t  . 
 
 61 
ТЕСТ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» 
Вариант 1  
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Сколько различных трехзначных чисел можно запи-
сать с помощью цифр 2, 3, 4, 7, 8, из которых ни одна 
не повторяется? 
1) 10;  2) 20;  3) 60;  4) 25; 
5) среди ответов 1–4 пра-
вильного нет. 
2 Компьютерная программа требует авторизации. Из-
вестно, что пароль состоит из четырех цифр и двух 
букв, ни цифры, ни буквы не повторяются. Сколько 
различных вариантов пароля можно составить из  
10 различных букв и 10 различных цифр?  
1) 28 350;  2) 453 600;   
3) 5130;     4) 675; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
3 Пятитомное собрание сочинений расположено на пол-
ке в случайном порядке. Какова вероятность того, что 
книги стоят слева направо в порядке нумерации томов 
(от 1 до 5)? 
1 1 1 11) ; 2) ; 3) ; 4) ;
60 30 25 120
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
4 В вазе 3 банана, 2 киви и 5 апельсинов. Из вазы взяли 
4 фрукта. Вычислить вероятность того, что из вазы 
взяли 1 банан, 1 киви и 2 апельсина. 
2 1 1 11) ; 2) ; 3) ; 4) ;
7 14 28 112
 
5) другой ответ. 
5 Страховая компания разделяет застрахованных по 
классам риска: I класс – малый риск, II класс – сред-
ний, III класс – большой риск. Среди этих клиентов  
50 % – первого класса риска, 30 % – второго и 20 % – 
третьего. Вероятность необходимости выплачивать 
страховое вознаграждение для первого класса риска 
равна 0,01, второго – 0,03, третьего – 0,08. Какова ве-
роятность того, что застрахованный получит денежное 
вознаграждение за период страхования? 
1) 0,035; 
2) 0,03; 
3) 0,012; 
4) 0,024; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
6 Какова вероятность того, что застрахованный из зада-
чи № 5, получивший денежное вознаграждение, отно-
сится к группе малого риска? 
8 31 11) ; 2) ; 3) ; 4) ;
3 15 10 6
 
5) другой ответ. 
7 В среднем 20 % пакетов акций на аукционах продают-
ся по первоначально заявленной цене. Найти вероят-
ность того, что из 9 пакетов акций в результате торгов 
по первоначально заявленной цене не будут проданы  
5 пакетов. 
1) 0,096;  2) 0,066;   
3) 0,036;  4) 0,086; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
8 В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каж-
дую десятую единицу товара денежный приз размером 
1 тыс. руб. Составить закон распределения случайной 
величины – размера выигрыша при пяти сделанных 
покупках. Найти математическое ожидание этой слу-
чайной величины. 
1) М(Х) = 500; 
2) М(Х) = 450; 
3) М(Х) = 400; 
4) М(Х) = 398; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
9 Установлено, что время ремонта телевизоров есть слу-
чайная величина X, распределенная по показательному 
закону. Определить вероятность того, что на ремонт 
телевизора потребуется не менее 20 дней, если среднее 
время ремонта телевизоров составляет 15 дней. 
3 4 3
300 34 41) ; 2) ; 3) ; 4) ;e e e e
 
5) другой ответ. 
10 Случайная величина X имеет нормальное распределе-
ние с математическим ожиданием а = 25. Вероятность 
попадания Х в интервал (10; 15) равна 0,09. Чему рав-
на вероятность попадания X в интервал (35; 40)? 
1) 0,09;        2) 0,01; 
3) 0,099;      4) 0,081; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
 62 
Вариант 2  
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Сколько различных четырехзначных чисел можно за-
писать с помощью цифр 1, 3, 4, 7, 8, из которых ни од-
на не повторяется? 
1) 5; 
2) 120; 
3) 60; 
4) 24; 
5) среди ответов 1–4 пра-
вильного нет. 
2 Компьютерная программа требует авторизации. Из-
вестно, что пароль состоит из трех цифр и двух букв, 
ни цифры, ни буквы не повторяются. Сколько различ-
ных вариантов пароля можно составить из 10 различ-
ных букв и 10 различных цифр?  
1) 810;       2) 165; 
3) 64 800;  4) 5400; 
5) среди ответов 1–4 пра-
вильного нет. 
3 Пятитомное собрание сочинений расположено на пол-
ке в случайном порядке. Какова вероятность того, что 
книги стоят слева направо в порядке нумерации томов 
(от 5 до 1)? 
1 1 1 11) ; 2) ; 3) ; 4) ;
120 30 25 60
5) среди ответов 1–4 пра-
вильного нет. 
4 В вазе 4 банана, 4 киви и 6 апельсинов. Из вазы взяли 
5 фруктов. Вычислить вероятность того, что из вазы 
взяли 2 банана, 1 киви и 2 апельсина. 
1) 0,001;  2) 0,28; 
3) 0,012;  4) 0,18; 
5) другой ответ. 
5 В данный район изделия поставляются тремя фирмами 
в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы 
стандартные изделия составляют 90 %, второй – 85 %, 
третьей – 75 %. Найти вероятность того, что приобре-
тенное изделие окажется нестандартным. 
1) 0,1725;  2) 0,8275; 
3) 0,1735;  4) 0,8265; 
5) среди ответов 1–4 пра-
вильного нет. 
6 Приобретенное изделие из задания № 5 оказалось не-
стандартным. Найти вероятность того, что оно было 
поставлено третьей фирмой. 
1) 0,493;  2) 0,507; 
3) 0,607;  4) 0,393; 
5) другой ответ. 
7 В среднем 20 % пакетов акций на аукционах продают-
ся по первоначально заявленной цене. Найти вероят-
ность того, что из 9 пакетов акций в результате торгов 
по первоначально заявленной цене будет продано  
менее 2 пакетов. 
1) 0,664;  2) 0,564;   
3) 0,436;  4) 0,456; 
5) среди ответов 1–4 пра-
вильного нет. 
8 В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каж-
дую десятую единицу товара денежный приз размером 
1 тыс. руб. Составить закон распределения случайной 
величины – размера выигрыша при четырех сделанных 
покупках. Найти математическое ожидание этой слу-
чайной величины. 
1) М(Х) = 350;  2) М(Х) = 450; 
3) М(Х) = 300;  4) М(Х) = 400; 
5) среди ответов 1–4 пра-
вильного нет. 
9 Установлено, что время ремонта телевизоров есть слу-
чайная величина X, распределенная по показательному 
закону. Определить вероятность того, что на ремонт 
телевизора потребуется не менее 30 дней, если среднее 
время ремонта телевизоров составляет 15 дней. 
1) 1–е–2; 
2) е–2; 
3) 
1
2e

; 
4) е–450; 
5) другой ответ. 
10 Случайная величина X имеет нормальное распределе-
ние с математическим ожиданием а = 25. Вероятность 
попадания Х в интервал (10; 15) равна 0,09. Чему равна 
вероятность попадания X в интервал (40; 45)? 
1) 0,099; 
2) 0,01;   
3) 0,09; 
4) 0,081; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
 63 
Вариант 3  
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Сколько различных четырехзначных чисел (цифры в 
числе могут повторяться) можно записать с помощью 
цифр 1, 3, 4, 7, 8? 
1) 625;    2) 125;   
3) 3125;   4) 120; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
2 Сколько существует способов рассадить в ряд 7 чело-
век так, чтобы два определенных человека сидели  
рядом? 
1) 5040;     2) 1440;   
3) 64 800;  4) 2520; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
3 Слово составлено из семи карточек, на каждой из ко-
торых написана одна буква. Карточки смешивают и 
вынимают без возврата по одной. Найти вероятность 
того, что карточки с буквами вынимаются в порядке 
следования букв заданного слова событие?  
1 1 1 11) ; 2) ; 3) ; 4) ;
120 5! 6! 7!
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
4 Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгры-
ваются четыре билета, причем каждый может выиг-
рать только один билет. Какова вероятность того, что 
среди обладателей билета окажутся три юноши и одна 
девушка? 
1) 0,01; 
2) 0,162; 
3) 0,142; 
3) 0,568; 
5) другой ответ. 
5 Вероятность изготовления изделия с браком на дан-
ном предприятии равна 0,04. Перед выпуском изделие 
подвергается упрощенной проверке, которая в случае 
бездефектного изделия пропускает его с вероятностью 
0,96, а в случае изделия с дефектом – с вероятностью 
0,05. Определить, какая часть изготовленных изделий 
выходит с предприятия.  
1) 0,09;  
2) 0,048; 
3) 0,0782; 
4) 0,9218; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
6 Какова вероятность того, что изделие из задания № 5, 
выдержавшее упрощенную проверку, бракованное? 
1) 0,0022;  2) 0,9998; 
3) 0,0002;  4) 0,9978; 
5) другой ответ. 
7 В среднем 20 % пакетов акций на аукционах продают-
ся по первоначально заявленной цене. Найти вероят-
ность того, что из 9 пакетов акций в результате торгов 
по первоначально заявленной цене будет продано бо-
лее 2 пакетов. 
1) 0,7382;    2) 0,2618;   
3) 0,436;      4) 0,4562; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
8 В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каж-
дую десятую единицу товара денежный приз разме-
ром 1 тыс. руб. Составить закон распределения слу-
чайной величины – размера выигрыша при четырех 
сделанных покупках. Найти дисперсию этой случай-
ной величины. 
1) D(Х) = 0,4; 
2) D(Х) = 3,6; 
3) D(Х) = 0,36; 
4) D(Х) = 0,09; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
9 Установлено, что время ремонта телевизоров есть слу-
чайная величина X, распределенная по показательному 
закону. Определить вероятность того, что на ремонт те-
левизора потребуется не более 30 дней, если среднее 
время ремонта телевизоров составляет 15 дней. 
2 2
1
4502
1) 1 ; 2) ;
3) ; 4) ;
e e
e e
 
 

 
5)  другой ответ. 
10 Случайная величина X имеет нормальное распределе-
ние с математическим ожиданием а = 45. Вероятность 
попадания Х в интервал (30; 35) равна 0,09. Чему рав-
на вероятность попадания X в интервал (55; 60)? 
1) 0,099;  2) 0,01;  3) 0,09; 
4) 0,081;  5) среди ответов 1–4 
правильного нет. 
 64 
Вариант 4  
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Сколько различных четырехзначных чисел (цифры в 
числе могут повторяться) можно записать с помощью 
цифр 1, 3, 4, 7, 0? 
1) 500;  2) 125;   
3) 625;  4) 120; 
5) другой ответ. 
2 Сколько существует способов рассадить в ряд 7 чело-
век так, чтобы три определенных человека сидели 
рядом? 
1) 120;   2) 5040;  3) 720; 
4) 840;  5) среди ответов 1–4 
правильного нет. 
3 Теща Кисы Воробьянинова зашила фамильные брил-
лианты в один из двенадцати одинаковых стульев. 
Два из них впоследствии остались в Старгороде, а 
десять стульев отправились в Москву. Какова веро-
ятность отыскать бриллианты в одном из двух стуль-
ев, оставшихся в Старгороде? 
1 1 1 11) ; 2) ; 3) ; 4) ;
2 6 12 10
 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
4 Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыг-
рываются четыре билета, причем каждый может вы-
играть только один билет. Какова вероятность того, 
что среди обладателей билета окажутся два юноши и 
две девушки? 
1) 0,0119; 
2) 0,9881; 
3) 0,6265; 
4) 0,3735; 
5) другой ответ. 
5 По статистике 70 % курильщиков выкуривают более 
10 сигарет в день. Для них вероятность умереть от 
рака легких составляет 0,4, а для остальных куриль-
щиков она равна 0,2. Какова вероятность того, что 
курильщик умер от рака легких? 
1) 0,34; 
2) 0,66; 
3) 0,6; 
4) 0,06; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
6 Какова вероятность того, что умерший из задачи № 5 
выкуривал более 10 сигарет в день? 
1) 0,0022;  2) 0,824;  3) 0,176; 
4) 0,9978;  5) другой ответ. 
7 В вопросах к зачету имеются 75 % вопросов, на кото-
рые студент знает ответ. Преподаватель выбирает из 
всех вопросов два и задает их студенту. Определить 
вероятность того, что среди полученных студентом во-
просов есть хотя бы один, на который он знает ответ. 
1) 0,7382;  2) 0,2618;   
3) 0,0625;  4) 0,9375; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
8 В рекламных целях торговая фирма вкладывает в  
каждую десятую единицу товара денежный приз раз-
мером 1 тыс. руб. Составить закон распределения 
случайной величины – размера выигрыша при трех 
сделанных покупках. Найти математическое ожида-
ние этой случайной величины. 
1) М(Х) = 0,4;  
2) М(Х) = 0,09; 
3) M(Х) = 0,3;  
4) M(Х) = 2,7; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
9 Установлено, что время ремонта телевизоров есть 
случайная величина X, распределенная по показа-
тельному закону. Определить вероятность того, что 
на ремонт телевизора потребуется не более 20 дней, 
если среднее время ремонта телевизоров составляет 
15 дней. 
3
3004
4 4
3 3
1) 1 ; 2) ;
3) 1 ; 4) ;
e e
e e

 


 
5) другой ответ. 
10 Полагая, что рост мужчин определенной возрастной 
группы есть нормально распределенная случайная 
величинах X c параметрами а = 173 и σ2 = 36, найти 
доли костюмов 4-го роста (176–182 см), которые 
нужно предусмотреть в общем объеме производства 
для данной возрастной группы. 
1) 21,47 %;  2) 19,15 %;   
3) 43,32 %;  4) 78,53 %; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
 65 
Вариант 5  
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Сколько различных четырехзначных чисел (цифры в 
числе не повторяются) можно записать с помощью 
цифр 1, 3, 4, 6, 0? 
1) 500;  2) 96;   
3) 625;  4) 120; 
5) другой ответ. 
2 Сколько существует способов рассадить в ряд 6 человек 
так, чтобы два определенных человека сидели рядом? 
1) 720;  2) 1440;  3) 240;  
4) 840;  5) другой ответ. 
3 В городе работают 20 офисов различных банков. Ба-
буля выбирает один из этих банков наугад и открыва-
ет в нем вклад на 100 000 рублей. Известно, что во 
время кризиса 6 банков разорились, и вкладчики этих 
банков потеряли все свои деньги. Какова вероятность 
того, что бабуля не потеряет свой вклад? 
1) 0,7;  
2) 0,3; 
3) 0,0006; 
4) 0,007; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
4 При включении зажигания двигатель начнет работать с 
вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что двигатель 
начнет работать при третьем включении зажигания. 
1) 0,144;  2) 0,096;  3) 0,856; 
4) 0,904;  5) другой ответ. 
5 В монтажном цехе к устройству присоединяется 
электродвигатель. Электродвигатели поставляются 
тремя заводами-изготовителями. На складе имеются 
электродвигатели этих заводов соответственно в ко-
личестве М1 = 13, М2 = 12 и М3 = 17 штук, которые 
могут безотказно работать до конца гарантийного 
срока с вероятностями соответственно 0,91, 0,82 и 
0,77. Рабочий берет случайно один электродвигатель 
и монтирует его к устройству. Найти вероятность то-
го, что смонтированный электродвигатель проработа-
ет безотказно до конца гарантийного срока.  
1) 0,34; 
2) 0,66; 
3) 0,172; 
4) 0,828; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
6 Смонтированный электродвигатель из задачи № 5 
проработал безотказно до конца гарантийного срока. 
Найти вероятность того, что он изготовлен на треть-
ем заводе. 
1) 0,283;  2) 0,341; 
3) 0,376;  4) 0,624; 
5) другой ответ. 
7 В вопросах к зачету имеются 75 % вопросов, на кото-
рые студент знает ответ. Преподаватель выбирает из 
всех вопросов три и задает их студенту. Определить 
вероятность того, что среди полученных студентом во-
просов есть хотя бы один, на который он знает ответ. 
1) 0,7382; 
2) 0,984;   
3) 0,016; 
4) 0,624;  5) среди ответов 1–4 
правильного нет. 
8 По многолетним статистическим данным известно, 
что вероятность рождения мальчика равна 0,515. Со-
ставить закон распределения случайной величины X – 
числа мальчиков в семье из 4 детей. Найти математи-
ческое ожидание этой случайной величины. 
1) М(Х) = 2,06;  
2) М(Х) = 1,94; 
3) M(Х) = 0,9991;  
4) M(Х) = 2,7; 
5) другой ответ. 
9 Среднее число заказов на такси, поступающих на дис-
петчерский пункт в одну минуту, равно 3. Найти веро-
ятность того, что за две минуты поступит 4 вызова. 
1) 
32 ;
3
e  2) 
62 ;
3
e  3) 54е–3; 
4) 54е–6;  5) другой ответ. 
10 Полагая, что рост мужчин определенной возрастной 
группы есть нормально распределенная случайная 
величинах X c параметрами а = 173 и σ2 = 36, найти 
доли костюмов 3-го роста (170–176 см), которые 
нужно предусмотреть в общем объеме производства 
для данной возрастной группы. 
1) 21,47 %;  2) 19,15 %;   
3) 43,32 %;  4) 80,85 %; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
 66 
Вариант 6  
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 В розыгрыше кубка страны по футболу принимают уча-
стие 17 команд. Сколько существует способов распре-
делить золотую, серебряную и бронзовую медали? 
1) 680;  2) 4080;  3) 625;  
4) 120;  5) другой ответ. 
2 Сколько существует способов рассадить в ряд 6 человек 
так, чтобы три определенных человека сидели рядом? 
1) 24;    2) 720;  3) 144;  
4) 840;  5) другой ответ. 
3 За одну 12-часовую смену рабочий изготавливает на 
станке с числовым программным управлением  
600 деталей. Из-за дефекта режущего инструмента на 
станке получено 9 бракованных деталей. В конце ра-
бочего дня мастер цеха берет одну деталь наугад 
и проверяет ее. Какова вероятность, что ему попадет-
ся именно бракованная деталь? 
1) 0,0017; 
2) 0,985; 
3) 0,005; 
4) 0,015; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
4 В вазе с цветами 15 гвоздик: 5 белых и 10 красных. Из 
вазы наугад вынимают сразу 2 цветка. Какова вероят-
ность того, что эти цветки белые? 
1) 2/3;  2) 1/3;  3) 2/21; 
4) 19/21;  5) другой ответ. 
5 В монтажном цехе к устройству присоединяется элек-
тродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя 
заводами-изготовителями. На складе имеются элек-
тродвигатели этих заводов соответственно в количе-
стве М1 = 13, М2 = 12 и М3 = 17 штук, которые могут 
безотказно работать до конца гарантийного срока с 
вероятностями соответственно 0,91, 0,82 и 0,77. Рабо-
чий берет случайно один электродвигатель и монти-
рует его к устройству. Найти вероятность того, что 
смонтированный электродвигатель не проработает 
безотказно до конца гарантийного срока. 
1) 0,17; 
2) 0,83; 
3) 0,172; 
4) 0,828; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
6 Смонтированный электродвигатель из задачи № 5 не 
проработал безотказно до конца гарантийного срока. 
Найти вероятность того, что он изготовлен на третьем 
заводе. 
1) 0,163;  2) 0,46; 
3) 0,3;       4) 0,54; 
5) другой ответ. 
7 Вероятность появления события А по крайней мере 
один раз в пяти независимых испытаниях равна 0,9.  
Какова вероятность появления события А в одном ис-
пытании, если при каждом испытании она одинаковая? 
1) 0,7382;  2) 0,984;   
3) 0,37;      4) 0,71; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
8 По многолетним статистическим данным известно, 
что вероятность рождения мальчика равна 0,515. Со-
ставить закон распределения случайной величины X – 
числа мальчиков в семье из 4 детей. Найти дисперсию 
этой случайной величины. 
1) D(Х) = 2,06;  
2) D(Х) = 0,9991; 
3) D(Х) = 1,94;  
4) D(Х) = 2,7; 
5) другой ответ. 
9 Среднее число заказов на такси, поступающих на 
диспетчерский пункт в одну минуту, равно 3. Найти  
вероятность того, что за две минуты не поступит ни 
одного вызова. 
 
1) е–6;       2) е–3; 
3) 54е–3;   4) 54е–6; 
5) другой ответ. 
10 Текущая цена акции может быть смоделирована с  
помощью нормального закона распределения с мате-
матическим ожиданием 15 ден. ед. и средним квадра-
тическим отклонением 0,2 ден. ед. Найти вероятность 
того, что цена акции не выше 15,3 ден. ед.  
1) 0,5;        2) 1; 
3) 0,4332;  4) 0,9332; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
 67 
Вариант 7  
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Маша на свой день рождения пригласила в гости трех 
лучших подруг – Дашу, Глашу и Наташу. Когда все 
собрались, то по случаю дня рождения Маши решили 
обняться – каждая пара по одному разу. Сколько полу-
чилось разных пар? 
1) 6; 
2) 24;    
3) 36; 
4) 4;   
5) другой ответ. 
2 В ларьке продаются 15 роз и 18 тюльпанов. Студент 1-
го курса хочет купить 3 цветка для своей одногруп-
пницы, причем все цветы должны быть одинаковыми. 
Сколькими способами он может составить такой бу-
кет? 
1) 33; 
2) 816; 
3) 455;  
4) 1271; 
5) другой ответ. 
3 В фирме такси в данный момент свободно 15 машин: 
2 красных, 9 желтых и 4 зеленых. По вызову выехала 
одна из машин, случайно оказавшихся ближе всего 
к заказчице. Найти вероятность того, что к ней прие-
дет желтое такси. 
1) 0,4;  2) 0,3; 
3) 0,6; 
4) 0,15; 
5) среди ответов 1–4 пра-
вильного нет. 
4 В вазе с цветами 15 гвоздик: 5 белых и 10 красных. Из 
вазы наугад вынимают сразу 2 цветка. Какова вероят-
ность того, что эти цветки разного цвета? 
1) 5/21;  2) 10/21; 
3) 1/7;    4) 4/21; 
5) другой ответ. 
5 Страховая компания разделяет застрахованных по 
классам риска: I класс – малый риск, II класс – сред-
ний, III класс – большой риск. Среди этих клиентов 50 
% – первого класса риска, 30 % – второго и 20 % – 
третьего. Вероятность необходимости выплачивать 
страховое вознаграждение для первого класса риска 
равна 0,01, второго – 0,03, третьего – 0,08. Какова ве-
роятность того, что застрахованный не получит де-
нежное вознаграждение за период страхования? 
1) 0,17; 
2) 0,83; 
3) 0,03; 
4) 0,97; 
5) среди ответов 1–4 пра-
вильного нет. 
6 Застрахованный из задачи № 5 не получил денежное 
вознаграждение. Найти вероятность того, что он отно-
сится к группе большого риска. 
1) 0,016;  2) 0,46;  3) 0,19; 
4) 0,81;    5) другой ответ. 
7 Вероятность присутствия студента на лекции равна 
0,8. Найти вероятность того, что из 100 студентов на 
лекции будут присутствовать не меньше 75 и не боль-
ше 90. 
1) 0,8882;  2) 0,4938;   
3) 0,3944;   4) 0,71; 
5) другой ответ. 
8 В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотноше-
нии 2:3. Куплено 4 пары обуви. Найти закон распреде-
ления числа купленных пар обуви, изготовленной пер-
вой фабрикой. Найти математическое ожидание этой 
случайной величины. 
1) М(Х) = 2,06;  
2) М(Х) = 0,96; 
3) М(Х) = 2,4;  
4) М(Х) = 1,6; 
5) другой ответ. 
9 Среднее число заказов на такси, поступающих на дис-
петчерский пункт в одну минуту, равно 3. Найти веро-
ятность того, что за две минуты поступит более четы-
рех вызовов. 
 
1) 18е–6; 
2) 18е–3; 
3) 54е–3; 
4) 54е–6; 
5) другой ответ. 
10 Цена некой ценной бумаги нормально распределена. В 
течение последнего года 20 % рабочих дней она была 
ниже 88 ден. ед., а 75 % – выше 90 ден. ед. Найти ма-
тематическое ожидание цены ценной бумаги. 
1) 80;     2) 80,9351;   
3) 81,2;  4) 83,45; 
5) среди ответов 1–4 пра-
вильного нет. 
 68 
Вариант 8  
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Сколькими способами можно покрасить пять елок в 
серебристый, зеленый и синий цвета, если количество 
краски не ограничено, а каждую елку красим только в 
один цвет? 
1) 10; 
2) 24;    
3) 60; 
4) 243;   
5) другой ответ. 
2 В группе из 20 студентов, среди которых 2 отличника, 
надо выбрать 4 человека для участия в конференции. 
Сколькими способами можно выбрать этих четверых, 
если отличники обязательно должны попасть на кон-
ференцию? 
1) 306; 
2) 153; 
3) 455;  
4) 1271; 
5) другой ответ. 
3 В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в 
двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене 
школьнику достается один случайно выбранный би-
лет. Найти вероятность того, что в этом билете не бу-
дет вопроса о грибах. 
1) 0,92; 
2) 0,08; 
3) 0,6; 
4) 0,15; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
4 В вазе с цветами 15 гвоздик: 5 белых и 10 красных. Из 
вазы наугад вынимают сразу 2 цветка. Какова вероят-
ность того, что эти цветки одного цвета? 
1) 5/21; 
2) 11/21; 
3) 1/7; 
4) 4/21; 
5) другой ответ. 
5 По статистике 70 % курильщиков выкуривают более 
10 сигарет в день. Для них вероятность умереть от ра-
ка легких составляет 0,4, а для остальных курильщи-
ков она равна 0,2. Какова вероятность того, что ку-
рильщик умер не от рака легких? 
1) 0,17;  2) 0,83; 
3) 0,66;  4) 0,34; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
6 Какова вероятность того, что умерший из задачи № 5 
выкуривал менее 10 сигарет в день? 
1) 1/11;    2) 10/11;  3) 3/17; 
4) 14/17;  5) другой ответ. 
7 Предполагается, что 10 % открывающихся новых ма-
лых предприятий прекращают свою деятельность в 
течение года. Какова вероятность того, что из шести 
малых предприятий не более двух в течение года пре-
кратят свою деятельность? 
1) 0,531;  
2) 0,354;   
3) 0,02; 
4) 0,98; 
5) другой ответ. 
8 В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотно-
шении 2:3. Куплено 4 пары обуви. Найти закон рас-
пределения числа купленных пар обуви, изготовлен-
ной первой фабрикой. Найти среднее квадратическое 
отклонение этой случайной величины. 
1) σ(Х) = 2,06;  
2) σ(Х) = 0,98; 
3) σ(Х) = 0,96;  
4) σ(Х) = 1,6; 
5) другой ответ. 
9 Среднее число заказов на такси, поступающих на дис-
петчерский пункт в одну минуту, равно 3. Найти ве-
роятность того, что за две минуты поступит менее че-
тырех вызовов. 
 
1) 18е–6; 
2) 18е–3; 
3) 64,8е–6; 
4) 64,8е–3; 
5) другой ответ. 
10 Текущая цена акции может быть смоделирована с по-
мощью нормального закона распределения с матема-
тическим ожиданием 15 ден. ед. и средним квадрати-
ческим отклонением 0,2 ден. ед. Найти вероятность 
того, что цена акции не ниже 15,4 ден. ед. 
1) 0,228;    2) 0,097;   
3) 0,9772;  4) 0,0228; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
 69 
Вариант 9  
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 У бармена есть 6 сортов зеленого чая. Для проведения 
чайной церемонии требуется подать зеленый чай ров-
но трех различных сортов. Сколькими способами 
бармен может выполнить заказ? 
1) 20;     2) 24;    
3) 60;     4) 243;   
5) другой ответ. 
2 Сколько пятибуквенных слов, каждое из которых со-
стоит из трех согласных и двух гласных (буквы в сло-
ве не повторяются), можно образовать из букв слова 
уравнение? 
1) 306;   2) 153; 
3) 72;     4) 6; 
5) другой ответ. 
3 Родительский комитет закупил 30 пазлов для подар-
ков детям на окончание учебного года, из них 12 с 
картинами известных художников и 18 с изображени-
ями животных. Подарки распределяются случайным 
образом. Найти вероятность того, что Вовочке доста-
нется пазл с животным. 
1) 0,92;  2) 0,08; 
3) 0,6;    4) 0,15; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
4 В вазе с цветами 15 гвоздик: 5 белых и 10 красных. Из 
вазы наугад вынимают 2 цветка. Какова вероятность 
того, что эти цветки красные? 
1) 3/7;  2) 6/7; 
3) 1/7;  4) 4/7; 
5) другой ответ. 
5 В пирамиде стоят 11 винтовок, их них 3 с оптическим 
прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим 
прицелом, может поразить мишень с вероятностью 
87/100, а стреляя из винтовки без оптического прицела – 
с вероятностью 52/100. Найти вероятность того, что 
стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой 
винтовки. 
1) 0,17;    2) 0,83; 
3) 0,385;  4) 0,615; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
6 Стрелок из задания № 5 поразил мишень. Найти веро-
ятность того, что он стрелял из винтовки с оптиче-
ским прицелом. 
1) 0,614;  2) 0,386; 
3) 0,2;      4) 0,8; 
5) другой ответ. 
7 Строительная фирма, занимающаяся установкой летних 
коттеджей, раскладывает рекламные листки по почто-
вым ящикам. Прежний опыт работы компании показы-
вает, что примерно в одном случае из двух тысяч следу-
ет заказ. Найти вероятность того, что при размещении 
100 тыс. листков число заказов будет равно 48. 
1) 0,3683; 
2) 0,4;   
3) 0,054; 
4) 0,07366; 
5) другой ответ. 
8 Вероятность поражения вирусным заболеванием куста 
земляники равна 0,2. Составить закон распределения 
числа кустов земляники, зараженных вирусом, из че-
тырех посаженных кустов. Найти математическое 
ожидание этой случайной величины. 
1) М(Х) = 0,8;  
2) М(Х) = 0,2; 
3) М(Х) = 0,64;  
4) М(Х) = 3,2; 
5) другой ответ. 
9 Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом  
2 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный 
момент времени. Какова вероятность того, что ждать 
пассажиру придется не больше полминуты? 
1) 0,75;  2) 0,5; 
3) 0,25;  4) 1; 
5) другой ответ. 
10 Текущая цена акции может быть смоделирована с по-
мощью нормального закона распределения с матема-
тическим ожиданием 15 ден. ед. и средним квадрати-
ческим отклонением 0,2 ден. ед. Найти вероятность 
того, что цена акции находится в пределах от 14,9 до 
15,3 ден. ед. 
1) 0,4332;  2) 0,6247;   
3) 0,1915;  4) 0,2417; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
 70 
Вариант 10  
№ ЗАДАНИЯ ВАРИАНТЫ ОТВЕТОВ 
1 Имеется набор из 5 ручек разных цветов. Сколькими 
способами можно выбрать 3 ручки для обводки чер-
тежа? 
1) 20;     2) 24;    
3) 60;     4) 10;   
5) другой ответ. 
2 Сколько различных перестановок можно образовать 
изо всех букв слова перестановка при условии, что 
слова начинаются с буквы п и оканчиваются буквой а? 
1) 1/2·10!;   2) 10!;  
3) 3·11!;      4) 12!;  
5) другой ответ. 
3 В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсме-
нок: 8 – из России, 7 – из США, остальные – из Китая. 
Порядок, в котором выступают гимнастки, определя-
ется жребием. Найти вероятность того, что спортс-
менка, выступающая последней, окажется из Китая. 
1) 2/5; 
2) 1/4; 
3) 7/20; 
4) 3/4; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
4 В вазе с цветами 15 гвоздик: 5 белых и 10 красных. Из 
вазы наугад вынимают сразу 3 цветка. Какова вероят-
ность того, что эти цветки красные? 
1) 48/91; 
2) 43/91; 
3) 24/91; 
4) 67/91; 
5) другой ответ. 
5 В пирамиде стоят 11 винтовок, их них 3 с оптическим 
прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим 
прицелом, может поразить мишень с вероятностью 
87/100, а стреляя из винтовки без оптического прицела – 
с вероятностью 52/100. Найти вероятность того, что 
стрелок не поразит мишень, стреляя из случайно взя-
той винтовки. 
1) 0,385; 
2) 0,615; 
3) 0,035; 
4) 0,349; 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
6 Стрелок из задания № 5 не поразил мишень. Найти 
вероятность того, что он стрелял из винтовки без оп-
тического прицела. 
1) 0,89; 
2) 0,11; 
3) 0,092; 
4) 0,908; 
5) другой ответ. 
7 В вузе обучаются 3650 студентов. Вероятность того, 
что день рождения студента приходится на опреде-
ленный день года, равна 1/365. Найти наиболее веро-
ятное число студентов, родившихся 1 мая. 
1) 9;         2) 10;   
3) 100;     4) 90; 
5) другой ответ. 
8 Клиенты банка, не связанные друг с другом, не воз-
вращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Соста-
вить закон распределения числа возвращенных в срок 
кредитов из пяти выданных. Найти математическое 
ожидание этой случайной величины. 
1) М(Х) = 0,45;  
2) М(Х) = 4,5; 
3) М(Х) = 0,5;  
4) М(Х) = 0,95; 
5) другой ответ. 
9 Поезда метрополитена идут регулярно с интервалом  
2 мин. Пассажир выходит на платформу в случайный 
момент времени. Какова вероятность того, что ждать 
пассажиру придется не больше минуты? 
1) 0,5;    2) 0,75; 
3) 0,25;  4) 1; 
5) другой ответ. 
10 Текущая цена акции может быть смоделирована с по-
мощью нормального закона распределения с матема-
тическим ожиданием 15 ден. ед. и средним квадрати-
ческим отклонением 0,2 ден. ед. С помощью правила 
трех сигм найти границы, в которых будет находиться 
текущая цена акции. 
1) (14,2; 15,8);  
2) (14,9; 15,1);   
3) (14,8; 15,2);  
4) (14,4; 15,6); 
5) среди ответов 1–4 правиль-
ного нет. 
 71 
ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ВАРИАНТОВ ТЕСТОВ 
 
ТЕСТ «РЯДЫ» 
Вариант 1  
1. 
1
1
( 3)n n n

 
 . Зная, что сумма ряда равна lim ,n
n
S S

  где 
1
n
n i
i
S a

   – п-я частичная сумма 
ряда, вычислим п-ю частичную сумму заданного ряда. 
 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
...
( 3) 1 4 2 5 3 6 4 7 5 8 6 9 ( 2)( 1) ( 1) 2 ( 3)
1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ... ...
1 4 4 7 ( 2)( 1) 2 5 5 8 ( 1)( 2) 3 6 6 9 ( 3)
1 1 1 1 1
1
3 4 3 4 7
n
n
i
S
i i n n n n n n
n n n n n n

          
           
     
                 
               
   
       
   

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... ...
3 2 1 3 2 5 3 5 8 3 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... 1 ...
3 3 6 3 6 9 3 3 3 4 4 7 2 1
1 1 1 1 1 1 1
...
3 2 5 5 8 1 2
n n n n
n n n n
n n
          
                   
             
        
                      
          
      
 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
... 1
3 3 6 6 9 3 3 1 3 2 2
1 1 1
.
3 3 3
n n n n
n
       
                  
         
 
  
 
Тогда 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11
lim lim 1 .
3 1 3 2 2 3 3 3 3 6 9 18
n
n n
S S
n n n 
      
                
        
 
Ответ: 1. 
2. 
1
( 4)
2 1n
n n
n




 . Согласно необходимому признаку сходимости ряда имеем, что если ряд 
1
n
n
a


  сходится, то lim 0n
n
a

 . В нашем случае 
2
2
4
1
( 4) 4 1
lim lim lim lim 0
2 12 1 2 1 0
n
n n n n
n n n n na
n n
n n
   

   
       
   
, значит, ряд расходится. 
Ответ: 2. 
3. 
2
3
1
4
1n
n
n




 . Используем предельный признак сходимости ряда: 
  
2 2
3 3
4 1
1
n n
n n
a b
nn n

  

. 
Известно, что 
1
1
n n


  – расходящийся гармонический ряд. Тогда 
 72 
2 3 2
3 3
3
4
1
4 1 4
lim lim : lim lim 1 0
11 1 1
n
n n n nn
a n n n n
b nn n
n
   
  
           
. На основании предельного 
признака сходимости ряда делаем вывод, что ряды 
2
3
1 1
4 1
,
1n n
n
nn
 
 


   ведут себя одинаково. 
Значит, исходный ряд расходится. 
Ответ: 2. 
4. 
3
1
5n
n n


 . Исследуем на сходимость данный ряд с помощью признака Даламбера: 
1lim ,n
n n
a
l
a


 если 1) l < 1 – ряд сходится; 
 2) l > 1 – ряд расходится; 
 3) l = 1 – признак не работает. 
В нашем случае 
1
13 3
5 5
,
( 1)
n n
n na a
n n

 

. 
1 3 3
1
3 3 3 3 3
5 5 5 5 1
lim lim : lim 5 lim 5 lim 5 1
( 1) ( 1) 5 ( 1) 1
1
n n n
n
nn n n n nn
a n n
a n n n n
n


    
   
                       
 
, 
значит, ряд расходится. 
Ответ: 2. 
5. 
2
2
1
1 1
7
n
n
n
n
n


 
 
 
 . Исследуем на сходимость данный ряд с помощью радикального призна-
ка Коши: 
lim ,n n
n
a l

 если  1) l < 1 – ряд сходится; 
 2) l > 1 – ряд расходится; 
 3) l = 1 – признак не работает. 
В нашем случае 
2
2
1 1
7
n
n n
n
a
n
 
  
 
. 
2
2 2
( 1)
1
1 1 1 1 1 1
lim lim lim lim 1
497 7
второй замечательный 1 1 1
lim 1 1,
предел49 49
n n n
nn
n nn n n n
n
n
n n
a
n n n
e
n
   
  


      
           
     
  
         
   
 
значит, ряд сходится. 
Ответ: 1. 
6. 
2
1
ln (2 4)
2 4n
n
n




 . Исследуем на сходимость данный ряд с помощью интегрального признака 
Коши. 
 73 
 
2
2 3 3
1 1
1 1
3 3
ln (2 4) 1 1 1 1
d ln (2 4)d(2 4) ln (2 4) lim ln (2 4)
2 4 2 2 3 6
1
lim ln (2 4) ln 6 .
6
A
A
A
n
n n n n n
n
A
  



        

    
 
 
Значит, интеграл расходится и, согласно интегральному признаку сходимости, ряд расходится. 
Ответ: 2. 
7. 
2
4
1
( 1) ( 5)
6
n
n
n
n


 

 . Рассмотрим ряд из абсолютных величин 
2
4
1
5
6n
n
n




 . Используем пре-
дельный признак сходимости: 
   
2 2
4 4 2
5 1
6
n n
n n
a b
n n n

  

. 
Известно, что 
2
1
1
n n


  – сходящийся обобщенный гармонический ряд (р = 2 > 1). Тогда 
2 4 2 2
4 2 4
4
5
1
5 1 5
lim lim : lim lim 1 0
66 6 1
n
n n n nn
a n n n n
b n n n
n
   
  
           
. На основании предельного 
признака сходимости ряда делаем вывод, что ряды 
2
4 2
1 1
5 1
,
6n n
n
n n
 
 


   ведут себя одинаково. 
Значит, ряд 
2
4
1
5
6n
n
n




  сходится, тогда исходный ряд 
2
4
1
( 1) ( 5)
6
n
n
n
n


 

  сходится абсолютно. 
Ответ: 3. 
8.  2
1
2
n
n
x


 . Данный ряд является функциональным. Пусть х – фиксированное число. То-
гда используем радикальный признак Коши: 
2 2lim lim 2 2
n
nn
n
n n
a x x
 
    . Для того чтобы ряд сходился, необходимо, чтобы  
   
2 2 2
2
2 2 2
1,
2 1, 1, 1,
1,2 1 3; 1 1; 3
2 1; 3; 3;
3 3;
x
x x x
xx x
x x x
x
 
                          
              
. 
Исследуем поведение ряда в точках 3, 1  . 
Пусть 3x   . Тогда      2
1 1 1
2 2 3 1
n n n
n n n
x
  
  
        – ряд расходится. 
Пусть 1x   . Тогда      2
1 1 1
2 2 1 1
n n n
n n n
x
  
  
       – ряд расходится. 
Значит, область сходимости данного ряда    3; 1 1; 3x    . 
Ответ: 4. 
 
 74 
9. 2
1
4 ( 1)n n
n
n x


 . Найдем радиус сходимости данного степенного ряда с помощью форму-
лы 
1
lim n
n n
a
R
a 
 . В нашем случае 2 2 114 , ( 1) 4
n n
n na n a n

   .  
Получаем 
 
2 2 2
2 1 2 2 2
1
4 4 1 1 1 1
lim lim lim lim lim
4 4 4( 1) 4 ( 1) 4 4 ( 1) 11
n n
n
n nn n n n nn
a n n n
R
a n n n
n
    
     
    
. 
Известно, что областью сходимости степенного ряда является множество 0R x x R    . В 
нашем случае 0
1
, 1
4
R x  , тогда 
1 1 1 1 3 5
1 1 1
4 4 4 4 4 4
x x x            . Исследуем 
поведение ряда в точках 
3 5
,
4 4
. 
При 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
3 3 1 ( 1)
4 ( 1) 4 1 4 4 ( 1)
4 4 4 4
n n n
n n n n n n
n
n n n n n
x n x n n n n
    
    
   
            
   
      – 
ряд расходится, так как 2lim lim ( 1) 0nn
n n
a n
 
     . 
При 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
5 5 1 1
4 ( 1) 4 1 4 4
4 4 4 4
n n
n n n n n
n
n n n n n
x n x n n n n
    
    
   
          
   
      – ряд рас-
ходится, так как 2lim lim 0n
n n
a n
 
    . 
Значит, область сходимости 
3 5
;
4 4
x
 
 
 
. 
Ответ: 5. 
10. 
0,1
2
0
dxxe x . Известно, что при x R  функция 
xy e  имеет разложение в ряд  
2 3 4
1 ... ...
1! 2! 3! 4! !
n
x x x x x xe
n
        , тогда  
2 3 4
2
2 2 3 3 4 4
2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
1 ... ...
1! 2! 3! 4! !
2 2 2 2 ( 1) 2
1 ... ... .
1! 2! 3! 4! !
n
x
n n n
x x x x x
e
n
x x x x x
n
             

       
 
Значит,  
2 2 3 3 4 4
2
2 2 3 3 4 4 5 1
2 2 2 2 ( 1) 2
1 ... ...
1! 2! 3! 4! !
2 2 2 2 ( 1) 2
... ... .
1! 2! 3! 4! !
n n n
x
n n n
x x x x x
xe x
n
x x x x x
x
n


 
          
 

       
 
Таким образом, 
 75 
 
2 2 3 3 4 4 5 10,1 0,1
2
0 0
0,1
2 3 2 4 3 5 4 6 2
0
2 2 2 2 ( 1) 2
d ... ... d
1! 2! 3! 4! !
2 2 2 2 ( 1) 2 1 3 1
... ... ... 0,0043.
2 3 1! 4 2! 5 3! 6 4! ( 2) ! 200 300 20000
n n n
x
n n n
x x x x x
xe x x x
n
x x x x x x
n n



 
          
 
 
                    
 
 
Третий и последующие элементы числового ряда отбрасываем, так как уже 
1
0,00005 0,0001
20000
  , где 0,0001 – заданная точность. 
Ответ: 3. 
 
ТЕСТ «ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО № 1» 
 
Вариант 1  
 
3. Комплексное число удобнее всего возводить в степень в показательной форме, поэтому 
представим число 
6
3 3i
i
 
  
 
 именно в такой форме: 
 
3
arctg2 2 arctg 33 3
2
3 3 3 3
3 3 3 3 3 ( 3) 12 12 .
i i
ii i i e e e
i i i
                        
Тогда  
6 66
6 3 2 3 33 3
3 3
12 12 . 12 12 (cos( 2 ) sin( 2 )) 12
i i
ii e e e i
i
 
   
 
    
                         
. 
Ответ: 3. 
4. Равенство 0z z R   задает множество точек, удаленных от точки z0 на расстояние, рав-
ное R, т. е. окружность с центром в точке z0 и радиусом R. Соответственно, неравенство 
0z z R   задает множество точек, удаленных от точки z0 на расстояние, меньшее R, т. е. 
внутренность круга с центром в точке z0 радиусом R. И, наконец, неравенство 0z z R   за-
дает внешность круга с центром в точке z0 радиусом R. 
Тогда неравенство 2 3z i   задает внешность круга с центром в точке –2i и радиусом 3. 
Ответ: 2. 
5. Областью называется открытое связанное множество. Открытое множество содержит каж-
дую свою точку с некоторой окрестностью. Таковым из данных множеств являются 
2 2; Im Re 0; 1 3 2.z i z z z        Но при этом множество Im Re 0z z   не является свя-
занным, так как не для любых двух точек из этого множества можно «проложить путь», со-
единяющий их. Например, между точками 1 i   и 1 i . Связанность в данном случае нару-
шается в точке 0, которая не принадлежит множеству (рис. 1). 
Таким образом, областями являются множества 2 2z i   (внутренность круга с центром в 
точке 2i и радиусом 2) и 1 3 2z    (кольцо с центром в точке –3, малым радиусом 1 и 
большим радиусом 2. 
Ответ: 2, 4. 
 
 76 
 
 
 
 
6. Воспользуемся формулой cos
2
iz ize e
z

 . 
 
(5 ) (5 ) 5 1 5 1
5 1 51cos(5 ) (*)
2 2 2
i i i i i i
i ie e e ei e e e e
     
          . 
Для дальнейшего вычисления используем формулу Эйлера: cos sinie i    . 
   
 
1 1
1 1
1 1
1 1
(*) (cos5 sin5) (cos( 5) sin( 5)) (cos5 sin5) (cos5 sin5)
2 2
1
( )cos5 ( )sin5 cos5 sin5 ch1cos5 sh1sin5.
2 2 2
e i e i e i e i
e e e e
e e i e e i i
 
 
 
          
 
       
 
Ответ: 4. 
7. Представим переменную z в алгебраической форме z x iy  . Тогда 
2
( ) ( ) ( ) ( ) (cos sin )
cos sin cos sin ( cos sin ) ( sin cos ).
z x iy x iy x
x x x x x x
f z z e x iy e x iy e e x iy e y i y
xe y ixe y iye y i ye y e x y y y ie x y y y
             
       
 
Таким образом, Re ( ) ( cos sin )xf z e x y y y  , 
 Im ( ) ( sin cos )xf z e x y y y  . 
 
Ответ: 2, 4. 
8. Условия Коши-Римана для функции ( ) ( ; ) ( ; )f z u x y iv x y   имеют вид:  
u v
x y
 

 
 и 
u v
y x
 
 
 
. 
В данной задаче 2 2( , ) 4 5; ( , ) 2( 3)u x y xy v x y x y      .  
Найдем частные производные:  
   2 24 5 4 ; 2( 3) 4x y
u v
xy y x y y
x y
          
 
. Значит, 
u v
x y
 

 
 – и первое условие вы-
полняется. 
   2 24 5 4 ; 2( 3) 4y x
u v
xy x x y x
y x
          
 
. Значит, 
u v
y x
 
 
 
 – и второе условие то-
же выполняется. Следовательно, функция дифференцируема. Найдем производную данной 
функции по формуле ( ) 4 4
u v
f z i y xi
x x
 
     
 
. 
Ответ: 4. 
Рис. 1 
 77 
9. Найдем угол поворота α в точке z = 1 и коэффициент растяжения k при отображении с по-
мощью аналитической функции 2( ) 2 4w f z z iz   , используя геометрический смысл мо-
дуля и аргумента производной в точке z0: 0 0( ) , arg ( )k f z f z    . В данном случае 
(1) , arg (1)k f f    . Найдем производную функции ( ) 4 4f z z i   . Тогда (1) 4 4f i   . 
Следовательно,  
2 2(1) 4 4 32 4 2,
4
tg 1 , .
4 4
k f
k k Z
    

       
 
Учитывая, что 0arg ( )
2 2
f z
 
   , получаем 
4

  . 
Ответ: 3. 
10. Для аналитической функции ( ) ( ; ) ( ; )f z u x y iv x y   выполняются условия Коши-Римана: 
u v
x y
 

 
 и 
u v
y x
 
 
 
.  
В данной задаче 
3
2( , ) Re ( ) 2
3
y
u x y f z x y x    , тогда 2 2
u
xy
x

 

. 
Учитывая, что 2 2
v u
xy
y x
 
  
 
, получаем: 
2(2 2)d 2 ( )v xy y xy y x     , где ( )x  – некоторая функция переменной х. 
Найдем ( )x , используя равенство 
u v
y x
 
 
 
. Тогда 2 2
u
x y
y

 

, 2 ( )
v
y x
x

 

. 
Значит, 
2 2 2
2
2
3
2
( ( )),
( ),
( ) ,
( ) ( )d .
3
x y y x
x x
x x
x
x x x C
   
 
  
     
 
Тогда 
3
2 2
3
x
v xy y C    , где С – константа. 
Следовательно, 
3 3
2 2( ) 2 2
3 3
y x
f z x y x i xy y C
 
        
 
.  
Найдем С из условия (0) 2f i . (0) 0f Ci  , тогда 2 2Ci i C   . 
Значит, 
3 3
2 2( ) 2 2 2
3 3
y x
f z x y x i xy y
 
        
 
. 
Ответ: 
3 3
2 2( ) 2 2 2
3 3
y x
f z x y x i xy y
 
        
 
. 
 
 
 
 
 
 78 
ТЕСТ «ТЕОРИЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО № 2» 
Вариант 1  
3. Так как L – отрезок прямой, соединяющий начало координат и точку 2 i , тогда L – отре-
зок прямой, соединяющий 2 точки с координатами (0; 0) и (2; 1). Составим уравнение пря-
мой, проходящей через две заданные точки: 
0 0
2 0 1 0 2 1 2
x y x y x
y
 
    
 
, при этом 0 2x   (*). 
Учитывая алгебраическую запись комплексного числа z x iy   и то, что Re z x , а 
d í àõî äèì  èç ( )
1
d d d d d 1 d1
d d d 2 2
2 2
y
i
z x i y x i x xx
y x

 
         
    
 
, получаем 
2
22 2
0 0 0
4
Re d 1 d 1 d 1 1 2
2 2 2 2 2 2L
i i i x i
z z x x x x i
       
                
       
   . 
Ответ: 2. 
4. Для вычисления интеграла 
2
4
d
2z
z
z
z i 
  воспользуемся интегральной формулой Коши. 
Пусть L – граница области D,  f(z) аналитична в области D и точкаa D , тогда 
1 ( )d
( )
2 L
f z z
f a
i z a

 
 , где L обходится в положительном направлении. 
Таким образом, для вычисления заданного интеграла перепишем эту формулу в виде 
( )d
2 ( )
L
f z z
if a
z a
 

 . 
 
 
                                                                              Рис. 2 
 
В нашей задаче L является окружностью 4z   с центром в точке (0; 0) и радиусом 4, D – 
кругом 4z  , точка 2a i   лежит внутри данного круга (см. рис. 2), поэтому 
2
2 2
4
d 2 ( 2 ) 2 4 8
2z
z
z i i i i i
z i
        

 . 
Ответ: 4. 
y 
x 0 4 
–2i 
–4  
 79 
5. Для вычисления интеграла 
2
2 2
d
( 4)( )
z
z
e
z
z z i   
  воспользуемся теоремой Коши. Если L – 
граница области D,  f(z) аналитична в области D , то ( )d 0
L
f z z  .  
 
 
Рис. 3 
 
В данной задаче D является кругом с центром в точке (2; 0) и радиусом 2 (см. рис. 3). Функ-
ция 
2
( )
( 4)( )
ze
f z
z z i

 
 не является аналитичной только в точках 2 ,i i , которые обращают 
ее знаменатель в нуль. Но данные точки лежат вне области D , поэтому внутри круга функ-
ция 
2
( )
( 4)( )
ze
f z
z z i

 
 аналитична и 
2
2 2
d 0
( 4)( )
z
z
e
z
z z i 

 
 . 
Ответ: 1. 
6. Так как 
2 2( ) ( 1) 0zf z e z     при 0z  . Разложим ( )f z  в ряд Тейлора в окрестности ну-
ля. Для этого воспользуемся разложением  
2 3 4
1 ... ...
2! 3! 4! !
n
z z z z ze z
n
        . 
Тогда 
2
2 2 2 3 2 4 2
2 2 2
4 6 8 2 4 6 8 2
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( 1) 1 ... ... ( 1)
2! 3! 4! !
1 ... ... ( 1) ... ... .
2! 3! 4! ! 2! 3! 4! !
n
z
n n
z z z z
f z e z z z
n
z z z z z z z z
z z
n n
             
               
 
Младший ненулевой коэффициент в этом разложении стоит при 4z , тогда точка 0z   – нуль 
четвертого порядка. 
Ответ: 4. 
7. Функция ( )f z  представляет собой частное двух аналитических на всей комплексной 
плоскости функций, поэтому особыми являются те точки, которые обращают знаменатель в 
нуль. 
В данном случае это точка 0z  , которая является нулем третьего порядка для знаменателя и 
не является нулем числителя, значит, точка 0z   – полюс 3-го порядка для 
3
cos
( )
z
f z
z
 . 
Ответ: 5. 
y 
x 0 4 
–2i 
2i 
 
2 
i 
 80 
8. Особыми точками функции ( )
( 2)( 2 )
z i
f z
z z i


 
 являются точки 2z    и 2z i . Обе эти 
точки – простые полюсы для ( )f z .  
Вычислим вычеты в этих точках, воспользовавшись формулой 
 Res ( ) lim ( ) ( )
z a
f a z a f z

  , где а – простой полюс. 
2 2
2
2
2 1 2 1 (2 )(1 )
Res ( 2) lim ( 2) lim
( 2)( 2 ) 2 2 2 2 1 2 (1 )(1 )
1 2 2 1 3 1
(3 ).
2 2 2 41
z z
z i z i i i i i
f z
z z i z i i i i i
i i i i
i
i
 
       
         
        
   
     

 
2 2
2
2
2 (1 )
Res (2 ) lim ( 2 ) lim
( 2)( 2 ) 2 2 2 2(1 ) 2(1 )(1 )
1 1
(1 ).
2 2 42(1 )
z i z i
z i z i i i i i i
f i z i
z z i z i i i i
i i i
i
i
 
    
       
       
 
   

 
Ответ: 2. 
9. Для вычисления интеграла 
2
d
( 2)( 2 )z i
z i
z
z z i 

 
  используем формулу 
1
( )d 2 Res ( )
n
i
iL
f z z i f a

  , где ( )f z  – функция, аналитическая в области D, ограниченной 
контуром L, всюду, кроме конечного числа особых точек 1 2 3, , , ..., na a a a . Для функции 
( )
( 2)( 2 )
z i
f z
z z i


 
 особыми точками являются 2z    и 2z i .  
 
                                                                                Рис. 4 
В область 2z i   – круг с центром в точке (0, 1) и радиусом 2 (см. рис. 4) – попадает толь-
ко точка 2z i , являющаяся простым полюсом, значит, 
2
1
d 2 Res (2 ) 2 (1 ) ( 1) (1 )
( 2)( 2 ) 4 2 2z i
z i
z i f i i i i i
z z i 
  
           
 
  (см. задание 8). 
Ответ: 2. 
10. Для разложения в ряд Лорана функции 
1
( )
( 2)
f z
z z


 по степеням 2z   в кольце 
0 2 1z    преобразуем дробь: 
y 
x 
i 
–i 
3i 
2i 
2 0 
 
 81 
1 1 1 1 1 1 1
2( 2) 2 2 2 2 2
2 1
2
zz z z z z z z
     
       
 
 
. 
Так как 0 2 1z   , то 
2 1
1
2 2
z 
  . Воспользуемся формулой суммы бесконечно убыва-
ющей геометрической прогрессии: 2 3
1
1 ... ( 1) , 1
1
n nz z z z z
z
       

. Получим 
2 3
2 1
2 3 4 1
1 1 1 2 2 2 2
1 ...( 1)
22 2( 2) 2 2 2 2
2 1
2
1 1 2 ( 2) ( 2)
... ( 1) .
2( 2) 2 2 2 2
n
n
n
n
n
z z z z
zz z
z z z
z


         
                         
 
  
      

 
Значит, 
1
( )
( 2)
f z
z z


=
2 1
2 3 4 1
1 1 2 ( 2) ( 2)
... ( 1)
2( 2) 2 2 2 2
n
n
n
z z z
z


  
     

 – искомое разло-
жение. 
 
ТЕСТ «ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 
ПРИЛОЖЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ» 
Вариант 1  
1. Если ( )0( ), Re , 1,
k
kF p p s k n   – изображения по Лапласу функций ( )kf t , где 
( )
0
k
s  – пока-
затель роста функций ( ), 1,
k
f t k n , и kc  – действительные или комплексные постоянные, то 
( )F p  функции 
1
( ) ( )
n
k k
k
f t c f t

   выражается формулой 
1
( ) ( )
n
k k
k
F p c F p

   – свойство линей-
ности изображения. 
2. ( ) ( 0, 1)tf t a a a   : 1) непрерывна;  2) 
, 0,
( )η( )
0, 0;
ta t
f t t
t
 
 

  3) 0
s tta Me , так как 
0 0
lim lim 0
tt
s t st t
a a
e e 
 
  
 
, где 0 0ln
s
a e a s   . 
Ответ: 3. 
3. 1 способ. По определению ни как нельзя  
0
0 0
0
0
0
d cos d
( ) cos d sin sin d
d d sin
d sin d
lim sin sin d
d d cos
0 cos cos d li
pt
pt pt pt
pt
pt
pt pt
ptt
pt pt
u e v t t
F p t e t e t p e t t
u pe t v t
u e v t t
e t p e t t
u pe t v t
p e t p e t t p
 
  


 


 
  
      
    
  
    
     
 
     
 
 

  
 
2
0
2
0
2 2
2
0 0
m ( cos ) 1 cos d
0 1 cos d
cos d cos d ( ) ( ) ( ) .
1
pt pt
t
pt
pt pt
e t p e t t
p p e t t
p
e t t p e t t p F p p F p p F p
p

 



 
 
  
   
       



 
 
 82 
2 способ. По таблице 
2
( )
1
p
F p
p


 – изображение по Лапласу функции ( ) cosf t t . 
Ответ: 2. 
4. 
1, 0 2;
( ) 1, 2 3;
0, 3.
t
f t t
t
 

   
 
  
По определению  
2 3 2 3
0 2
0 2 3
2 3 2 3 2
1 1
( ) 1 d ( 1) d 0 d 0
1 1 2
.
pt pt pt pt pt
p p p p p
F p e t e t e t e e
p p
e e e e e
p p p p p p p

    
    
           
       
  
 
Ответ: 1. 
5. 
2
4 21 cos 2 1 1 1 cos4( ) sin (1 2cos2 cos 2 ) 1 2cos2
2 4 4 2
t t
f t t t t t
    
           
   
 
1 1 1 1 3 1 1
cos2 cos4 cos2 cos4
4 2 8 8 8 2 8
t t t t       . 
По таблице основных изображений 
2
cos
1
p
t
p
, 
1
1
p
. 
По теореме подобия 
2 2
1 2cos2
2 4
1
4
p
p
t
p p



, 
2 2
1 4cos4
4 16
1
16
p
p
t
p p



. 
Тогда 
2 2 2 2 2 2
4
2 2 2 2
4 2 2 4 2 2 4
2 2 2 2
2 2 2 2
3 1 1 3(4 )(16 ) 4 (16 ) (4 )
( ) sin
8 2 84 16 8 (4 )(16 )
3( 4 16 64) 4 64 4 192
8 (4 )(16 ) 8 (4 )(16 )
24 4!
.
(4 )(16 ) (4 )(16 )
p p p p p p p p
f t t
p p p p p p
p p p p p p p
p p p p p p
p p p p p p
     
    
   
      
  
   
 
   
 
Ответ: 4. 
6. 1 2( ) 1, ( ) sinf t f t t  . 
1 2 1 2
0 0 0
0
( ) ( ) ( ) ( )d sin( )d sin( )d( )
cos( ) cos0 cos 1 cos .
t t t
t
f t f t f f t t t t
t t t
                 
      
  
 
Ответ: 5. 
7. 1 2( ) ( ) ( )F p f t f t , 2
1
sin
1
t
p
, 
1
1
p
. 
По теореме Бореля 
2
1 1
( )
1
F p
p p
 

. 
Ответ: 3. 
 
 83 
8. 
2 2 2 2 2
1 1 1 1
( )
4 5 4 4 1 2 2 2 1 ( 2) 1
F p
p p p p p p p
   
          
. 
По таблице основных изображений 
2
1
sin
1
t
p
 и по теореме смещения 
2
2
1
sin
( 2) 1
te t
p

 
. 
Ответ: 2. 
9. 2cosx x t   , (0) 0, (0) 1x x   . 
По теореме дифференцирования оригинала, если ( ) ( )x t X p , тогда 
2 2( ) ( ) (0) (0) ( ) ( ) 1x t p X p px x x t p X p      . 
По таблице основных  изображений 
2
cos
1
p
t
p
, по теореме линейности 
2
2
2cos
1
p
t
p
. 
Запишем соответствующее операторное уравнение: 
2 ( ) 1 ( )p X p X p  
2
2
1
p
p
. 
Ответ: 1. 
10. Решим уравнение из № 9. 
2 ( ) 1 ( )p X p X p  
2
2
1
p
p
; 
2( 1) ( )p X p 
2
2
1
1
p
p


; 
( )X p 
2 2 2
2 1
(1 ) 1
p
p p

 
. 
По таблице основных изображений 
2
1
sin
1
t
p
. 
По теореме дифференцирования изображений 
 
2 2 2 2 2 2 2
1 2 2 2
sin sin .
1 (1 ) (1 ) (1 )
p p p
t t t t
p p p p
   
         
 
Получаем ( ) sin sin ( 1)sin .x t t t t t t     
Ответ: 4. 
 
ТЕСТ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ» 
Вариант 1 
1. Одна комбинация чисел отличается от другой либо цифрой, либо позицией в числе. Так 
как из пяти цифр, представленных для составления чисел, нет нуля и по условию ни одна 
цифра не повторяется, то количество трехзначных чисел равно числу размещений из пяти по 
три, т. е.  
3
5
! 5! 5!
3 4 5 60
( )! (5 3)! 2!
m
n
n
A A
n m
       
 
. 
Ответ: 3. 
2. Поскольку ни цифры, ни буквы в пароле не повторяются и мы имеем 10 неповторяющих-
ся цифр и 10 неповторяющихся букв, то количество комбинаций составления пароля будем 
искать из следующих соображений: 
 84 
 событие А = {выбор двух букв из десяти данных для составления пароля}. Количество 
различных способов наступления данного события 21 10n A  (количество размещений без по-
вторений двух элементов из десяти); 
 событие В = {выбор четырех цифр из десяти данных для составления пароля}. Количество 
различных способов наступления данного события 42 10n A  (количество размещений без по-
вторений двух элементов из десяти). 
В данном случае мы имеем дело с произведением событий, тогда количество различных ва-
риантов пароля будет 
2 4
1 2 10 10
10! 10!
9 10 7 8 9 10 453 600
8! 6!
n n n A A             . 
Ответ: 2. 
3. Пусть событие А = {книги стоят слева направо в порядке нумерации томов}. Тогда веро-
ятность наступления события А равна отношению числа благоприятных исходов к числу 
всех возможных исходов:  
     ( )
k
p A
n
 . 
Количество все возможных исходов п равно числу перестановок всех книг, т. е. 5!n  . Коли-
чество благоприятных исходов в данном случае равно k = 1, так как существует только один 
способ расстановки книг так, чтобы расстановка удовлетворяла условию задачи. Значит,  
1 1
( )
5! 120
p A   . 
Ответ: 4. 
4. Пусть событие А = {из вазы взяли 1 банан, 1 киви, 2 апельсина}. Тогда вероятность 
наступления события А равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех воз-
можных исходов:  
     ( )
k
p A
n
 . 
Подсчитаем количество все возможных исходов п. Всего в вазе 3 2 5 10    фруктов. Так 
как неважно в каком порядке будут извлечены фрукты из вазы, то количество способов вы-
тащить 4 фрукта из 10 имеющихся будет равно 
4
10
! 10! 10! 7 8 9 10
210
( )! ! (10 4)! 4! 6! 4! 1 2 3 4
k
m
m
n C n C
m k k
  
       
       
 (количество сочетаний  
4 элементов из 10).  
Подсчитаем число т благоприятных исходов: 
 11 3
3! 3!
3
(3 1)!1! 2!1!
k C   
  
 – количество способов выбрать 1 банан из 3 бананов, нахо-
дящихся в вазе (количество сочетаний 1 элемента из 3). 
 12 2
2! 2!
2
(2 1)!1! 1!1!
k C   
  
 – количество способов выбрать 1 киви из 2 киви, находящих-
ся в вазе (количество сочетаний 1 элемента из 2).  
 23 5
5! 5! 4 5
10
(5 2)! 2! 3! 2! 2
k C

    
  
 – количество способов выбрать 2 апельсина из 5 
апельсинов, находящихся в вазе (количество сочетаний 1 элемента из 3). 
Так как в данном случае мы имеем дело с произведением событий, то окончательно количе-
ство благоприятных исходов будет равно: 1 2 3 3 2 10 60k k k k       . 
Значит, вероятность наступления события 
60 2
( )
210 7
k
p A
n
   . 
Ответ: 1. 
 85 
5. Пусть событие А = {застрахованный получит денежное вознаграждение}. Данное событие 
может произойти совместно с одной из гипотез: 
 Н1 = {застрахованный находится в I классе риска}; 
 Н2 = {застрахованный находится во II классе риска}; 
 Н3 = {застрахованный находится в III классе риска}. 
Вероятности наступления гипотез согласно условию: 
Р(Н1) = 0,5;   Р(Н2) = 0,3;   Р(Н3) = 0,2. 
Пусть события 
А / Н1 = {застрахованный, получивший денежное вознаграждение, находится в I классе риска}; 
А / Н2 = {застрахованный, получивший денежное вознаграждение, находится во II классе риска}; 
А / Н3 = {застрахованный, получивший денежное вознаграждение, находится в III классе риска}. 
Из условия Р(А / Н1) = 0,01;   Р(А / Н2) = 0,03;   Р(А / Н3) = 0,08. 
Используя формулу полной вероятности, получаем  
3
1 1 2 2 3 3
1
( ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / )
0,5 0,01 0,3 0,03 0,2 0,08 0,005 0,009 0,016 0,03.
i i
i
P A P H P A H P H P A H P H P A H P H P A H

        
         

 
Ответ: 2. 
6. Пусть событие А = {застрахованный получит денежное вознаграждение}. Найдем вероят-
ность наступления гипотезы Н1 (см. задание 5) при условии, что событие А уже произошло, 
используя формулу Байеса: 
 1 11
( ) ( / ) 0,5 0,01 5 1
( / )
( ) 0,03 30 6
P H P A H
P H A
P A
 
    . 
Ответ: 4. 
7. Вероятность того, что не будут проданы 5 пакетов акций по первоначально заявленной 
цене равна вероятности того, что будут проданы 9 – 5 = 4 пакета акций. Тогда: 
 р = 0,2 – вероятность продажи одного пакета акций по первоначально заявленной цене; 
 q = 1 – р = 0,8 – вероятность не продажи одного пакета акций по первоначально заявлен-
ной цене; 
 п = 9 – количество всех пакетов; 
 k = 4 – количество проданных пакетов. 
Значит, вероятность ( )nP k  того, что из п пакетов акций будет продано по первоначально за-
явленной цене k пакетов, определяется с помощью формулы Бернулли: 
 ( ) k k n kn nP k C p q
   . 
В нашем случае 
 
4 5
4 4 9 4
9 9 4 5
9! 2 8
(4) (0,2) (0,8) 0,066
(9 4)! 4! 10 10
P C       
 
. 
Ответ: 2. 
8. Пусть случайная величина Х (СВХ) – размер выигрыша при 5 сделанных покупках. 
 
1
0,1
10
p    – вероятность выигрыша при 1 сделанной покупке; 
 1 0,9q p    – вероятность проигрыша при 1 сделанной покупке. 
При 5 сделанных покупках возможны следующие результаты: 
1) ни одно выигрыша, и вероятность такого события равна 
 0 0 5 0 5 55 5
5!
(0) (0,1) (0,9) 0! 1 (0,9) 0,59049
5! 0!
P C p q         

; 
 
 
 
 86 
2) 1 выигрыш, и вероятность такого события равна 
1 1 4 1 4 4
5 5
5!
(1) (0,1) (0,9) 5 0,1 (0,9) 0,32805
4!1!
P C p q         

; 
3) 2 выигрыша, и вероятность такого события равна 
2 2 3 2 3 2 3
5 5
5!
(2) (0,1) (0,9) 10 (0,1) (0,9) 0,0729
3! 2!
P C p q         

; 
4) 3 выигрыша, и вероятность такого события равна 
3 3 2 3 2 3 2
5 5
5!
(3) (0,1) (0,9) 10 (0,1) (0,9) 0,0081
2! 3!
P C p q         

; 
5) 4 выигрыша, и вероятность такого события равна 
4 4 1 4 1 4 1
5 5
5!
(4) (0,1) (0,9) 5 (0,1) (0,9) 0,00045
1! 4!
P C p q         

; 
6) 5 выигрышей, и вероятность такого события равна 
5 5 0 5 0 5
5 5
5!
(5) (0,1) (0,9) (0,1) 0,00001
0! 5!
P C p q       

. 
Получаем закон распределения в виде следующей таблицы: 
 
хi 0 1000 2000 3000 4000 5000 
pi 0,59049 0,32805 0,0729 0,0081 0,00045 0,00001 
 
Находим математическое ожидание 
6
1
( ) 0 0,59049 1000 0,32805 2000 0,0729 3000 0,0081
4000 0,00045 5000 0,00001 500.
i i
i
M X x p

          
    

 
Ответ: 1. 
9. Время ремонта телевизора подчиняется показательному закону распределения. Напом-
ним, что показательное распределение имеет плотность распределения 
 
0,,
( )
0.0,
x xe
p x
x
 
 

 
α – параметр распределения, причем математическое ожидание 
1
( )M X 

. Функция распре-
деления имеет вид 
 
0,1 ,
( )
0.0,
x xe
F x
x
 
 

 
В условии задачи дано среднее время ремонта телевизора, равное 15 дням, т. е. задано мате-
матическое ожидание, тогда 
1 1
( ) 15 15
15
M x     

. Тогда вероятность того, что на 
ремонт телевизора потребуется не менее 20 дней будет равна 
 
1 1 1
20 0 20
4 315 15 15( 20) 1 (0 20) 1 (20) (0) 1 1 1P X P X F F e e e e
     

 
               
 
 
. 
Ответ: 3. 
10. Известно, что для нормального закона распределения верно равенство  
( ) Ô Ô .
a
P X
    
        
    
 
В нашем случае а = 25, тогда 
 87 
 
15 25 10 25 10 15
(10 15) Ô Ô Ô Ô = Ô( ) Ô( )
10 15
Ô Ô 0,09.
P X õ õ
          
                
          
   
      
    
 
40 25 35 25 15 10 10 15
(35 40) Ô Ô Ô Ô Ô ÔP X
            
                   
                
. 
Очевидно, что вероятность попадания СВХ в интервал (10; 15) равна вероятности попадания 
в интервал (35; 40), тогда (35 40) 0,09P X   . 
Ответ: 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 88 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Учебное издание 
 
 
СБОРНИК ТЕСТОВ 
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ 
 
для студентов II курса 
инженерно-технических специальностей вузов 
 
Составители:  
АНДРИЯНЧИК Анатолий Николаевич 
БРИЧИКОВА Елена Алексеевна 
ГАБАСОВА Ольга Рафаиловна и др. 
 
 
Редактор В. О. Кутас 
Компьютерная верстка А. Г. Занкевич 
 
Подписано в печать 12.03.2013. Формат 6084 1/8. Бумага офсетная. Ризография. 
Усл. печ. л. 10,23. Уч.-изд. л. 4,0. Тираж 400. Заказ 785. 
Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический  
университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Пр. Независимости, 65. 220013, г. Минск.