МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ 
РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ 
 
Белорусский национальный  
технический университет 
 
Кафедра «Теория механизмов и машин» 
 
 
 
 
П. П. Анципорович 
В. К. Акулич 
Е. М. Дубовская 
 
 
 
ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ  
МЕХАНИЗМОВ 
 
Пособие  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
М и н с к  
Б Н Т У  
2 0 1 3
 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ 
Белорусский национальный технический университет 
 
Кафедра «Теория механизмов и машин» 
 
 
 
 
 
П. П. Анципорович 
В. К. Акулич 
Е. М. Дубовская 
 
 
 
ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ  
МЕХАНИЗМОВ 
 
Пособие для студентов  
машиностроительных специальностей 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
М и н с к  
Б Н Т У  
2 0 1 3
  
УДК 621.01(075.4) 
ББК 34.41я7 
       А74 
 
 
 
 
 
Р е ц е н з е н т ы :  
В. М. Сурин, А. М. Тареев 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
А74 
Анципорович, П. П. 
Динамический анализ механизмов : пособие для студентов маши-
ностроительных специальностей / П. П. Анципорович, В. К. Акулич, 
Е. М. Дубовская. – Минск : БНТУ, 2013. – 31 с.  
ISBN 978-985-550-309-6. 
 
Пособие представляет собой текст лекций по одному из основных разделов 
курса «Теория механизмов и машин». Рассматриваются особенности определения 
реактивных нагрузок в кинематических парах плоских рычажных механизмов ки-
нетостатическим методом. 
Рекомендуется для студентов-заочников машиностроительных специальностей. 
 
УДК 621.01(075.4) 
  ББК 34.41я7 
 
 
ISBN 978-985-550-309-6  Анципорович П. П., Акулич В. К., 
  Дубовская Е. М., 2013 
   Белорусский национальный  
  технический университет, 2013
 3 
СОДЕРЖАНИЕ  
 
1. Задачи и методы силового расчета механизмов ........................... 4 
2. Определение сил инерции .............................................................. 4 
3. Условие статической определимости кинематических цепей .... 7 
4. Кинетостатический силовой расчет рычажных механизмов 
методом планов ................................................................................... 8 
5. Примеры решения задач ............................................................... 17 
Литература ..................................................................................... 30 
 
 4 
 
 
1. Задачи и методы силового расчета механизмов 
Задачами силового расчета механизма являются: 
а) определение реакций в кинематических парах механизмов; 
б) определение реактивного уравновешивающего момента УМ  
или уравновешивающей реактивной силы УF , действующей со 
стороны отброшенной части машины на исследуемый механизм. 
При движении звеньев механизма с ускорениями возникают до-
полнительные динамические нагрузки. Если они учитываются, 
например, в быстроходных  механизмах, то силовой расчет называ-
ется динамическим; если они не учитываются, например, в тихо-
ходных механизмах, то силовой расчет называется статическим. 
В теории механизмов и машин используется одна из разновид-
ностей динамического расчета – кинетостатический метод. 
Этот метод основан на принципе Даламбера: 
Если к числу внешних активных сил и реакций связей, дей-
ствующих на механическую систему, прибавить силы инерции, 
то эту систему можно рассматривать условно как находящую-
ся в равновесии и для ее решения использовать уравнения равно-
весия. 
Кинетостатический метод является формальным приемом, поз-
воляющим решать задачи динамики с помощью уравнений равнове-
сия за счет введения в рассмотрение сил инерции. 
2. Определение сил инерции 
Известно, что силы инерции звена, совершающего плоскопарал-
лельное движение, можно привести к главному вектору ИF  и глав-
ному моменту ИМ  сил инерции, причем 
 
И SF m a   ,    (1) 
И εSM I   ,    (2) 
 
где m  – масса звена; 
 5 
     Sa  – ускорение центра масс звена; 
     SI  – момент инерции звена относительно оси, проходящей че-
рез центр масс (центральный момент инерции); 
     ε  – угловое ускорение звена. 
Знаки «минус» в векторных выражениях показывают противопо-
ложность направлений ИF  и Sa , а также ИМ  и ε  (рис. 1). 
 
Рис. 1 
 
Рассмотрим частные случаи: 
а) звено совершает поступательное движение (рис. 2). 
 
 
Рис. 2 
 
В этом случае А В Sа а a  ., тогда И SF m a   . 
Так как ε 0 , то И 0М  . 
б) звено совершает вращательное движение относительно оси О, 
проходящей через центр масс S (например, зубчатые колеса, урав-
новешенный кривошип) (рис. 3). 
 
ε  
ИМ  
Sa  
ИF  
S 
А 
В 
Аa  
Вa  
Sa  ИF  S 
А 
В 
 6 
 
 
 
Рис. 3 
 
Поскольку расстояние от центра масс до оси вращения равно ну-
лю, то ускорение центра масс 0Sa   и И 0F  . Если при этом 
звено вращается с постоянной скоростью, ε 0 , и И 0М  . Если 
ε 0 , то И εSM I   . 
в) звено совершает вращательное движение относительно оси, не 
проходящей через центр масс (например, коромысло, неуравнове-
шенный кривошип) (рис. 4). 
 
Рис. 4 
 
Ускорение центра масс равно геометрической сумме нормально-
го и тангенциального ускорений 
 
n t
S S Sa а a  ,  где 
2ωn OSSa l  ,   ε
t
OSSa l  . 
Тогда 
       
2 2 2 22ω εn tS OS OSS Sa a a l l        
Sа  
S 
n
Sа  
t
Sа  ИF  
О 
ε 
МИ 
О, S 
ε 
МИ 
 7 
4 2ω εOSl   , 
4 2
И ω εOSF m l    , 
И εSM I   . 
 
3. Условие статической определимости  
кинематических цепей 
Силовой расчет может быть выполнен только для статически 
определимых кинематических цепей, т. е. таких кинематических 
цепей, для которых число уравнений равновесия равно числу неиз-
вестных параметров, характеризующих реакции в кинематических 
парах. 
Для одного звена в плоскости можно составить 3 уравнения рав-
новесия: 
0i XF  ; 
0iYF  ; 
  0iМ F  . 
 
Если кинематическая цепь состоит из n  звеньев, то для неё 
можно составить 3 n  уравнений равновесия. 
Реакция, как любой вектор силы, характеризуется 3 параметрами 
– величиной, направлением и точкой приложения.
 
При этом реак-
ция в низшей кинематической паре 5 класса содержит 2 неизвест-
ных параметра: 
а) во вращательной паре неизвестны величина и направление реак-
ции; 
б) в поступательной паре неизвестны величина и точка приложения 
реакции. 
На рис. 5 21F  – это реакция на  звено 2 со стороны звена 1, а 
12F  – реакция на звено 1 со стороны звена 2. 12 21F F  . 
 8 
 
 
 
    а        б 
Рис. 5 
 
Если рассматриваемая цепь содержит Нр  низших кинематиче-
ских пар, то число неизвестных параметров реакций равно Н2 р . 
Данная цепь является статически определимой, если для неё вы-
полняется условие  
Н3 2n р    
 
Аналогичный по записи вид имеет условие образования групп Ас-
сура. Следовательно, группы Ассура являются статически опреде-
лимыми кинематическими цепями. 
Таким образом, силовой расчет проводится по группам Ассура в 
порядке, обратном их присоединению в соответствии с формулой 
строения. 
4. Кинетостатический силовой расчет рычажных 
механизмов методом планов 
Рассмотрим силовой расчет кривошипно-ползунного механизма 
рабочей машины (рис. 6), для которого заданы: 
– массы звеньев 1m , 2m , 3m , моменты инерции звеньев ОI  и 2SI ; 
– размеры звеньев OAl , AВl , 2ASl , 3ВSl ; 
– кинематические характеристики 1φ , 1ω , 1ε . 
Механизм изображен в масштабе μ S . К ползуну 3 приложена 
сила полезного сопротивления ПСF , а к кривошипу 1, в связи с 
2 21F
 
12F  
1 
12F  
21F  2 
1 
 9 
тем, что механизм отсоединён от машинного агрегата (двигателя), в 
состав которого он входит, прикладывается уравновешивающий 
момент УМ , величина которого неизвестна. Он обеспечивает при-
нятый закон движения ( 1ω , 1ε ). К моменту рассмотрения выпол-
нен кинематический анализ механизма и построены планы скоро-
стей и ускорений в масштабах μV  и μа  соответственно. Требуется 
определить реакции во всех кинематических парах 10F , 21F , 23F , 
30F  и уравновешивающий момент УМ . Формула строения меха-
низма имеет вид    0;1 2;3I II . Силовой расчет выполняется 
в порядке от группы Ассура к механизму 1-го класса. 
 
Порядок решения  
 
Определяем силы тяжести звеньев, главные векторы и главные 
моменты сил инерции: 
звено 1: 1 1G m g  . 
             И1 0F  , так как кривошип уравновешен и центр масс 
находится на оси вращения. 
             И1 1εОM I  . 
звено 2: 2 2G m g  . 
              
2И2 2 2 2
πs μS aF m a m    . 
             
2 2
2
И2 2
μ
ε
a
S S
AB
n b
M I I
l
 
     . 
звено 3: 3 3G m g  . 
              И3 3 3 π μВ aF m a m b    .  
            И3 0M  . 
 10 
 
 
 
Рис. 6 
 11 
Отсоединяем от механизма группу Ассура (2, 3). Прикладываем к 
звеньям активные силы ( 2G , 3G , ПСF ), силы инерции ( И2F , 
И3F , И2М ), а действие отброшенных звеньев 1 и 0 заменяем реак-
циями 21F  и 30F . При этом неизвестную по величине и направле-
нию реакцию 21F  представим как сумму 21 21 21
n t
F F F  , где 21
n
F  
направлена вдоль звена АВ, а 21
t
F  направлена перпендикулярно 
звену АВ. Реакция 30F  известна по направлению, направлена пер-
пендикулярно направляющим ползуна, но неизвестна по величине и 
точке приложения. Требуется определить плечо ее приложения. 
Определим составляющую 21
t
F  из уравнения моментов сил, дей-
ствующих на звено 2, относительно точки В. 
 
2 2 И2 И2 И221 μ μ μ 0
t
S S SF АВ G h F h М          , 
 
2 2 И2 И2 И2
21
/ μSt G h F h M
F
AB
    
 . 
 
Здесь плечи сил 2h , И2h , АВ берутся непосредственно из чер-
тежа измерением в миллиметрах. 
 
Примечание. Если окажется, что 21
t
F  < 0, то первоначально выбран-
ное направление 21
t
F  следует изменить на противоположное. 
Составляющую 21
n
F , полную реакцию 21F  и реакцию 30F  нахо-
дим путем построения плана сил согласно уравнению равновесия 
группы, которое записываем в соответствии с принципом Даламбера: 
 
И2 2 И3 3 ПС 3021 21 0
n t
F F F G F G F F        . 
 
 12 
 
 
Уравнение решается графически, построением плана сил.  
План сил – это замкнутый векторный многоугольник, стороны 
которого параллельны и пропорциональны по величине векторам, 
входящим в уравнение равновесия. 
Выбрав масштабный коэффициент μ F , определяем отрезки, 
изображающие на плане все известные силы: 
 
  211 2
μ
t
F
F
   мм;                         И22 3
μF
F
   мм; 
  23 4
μF
G
   мм;                          И34 5
μF
F
   мм; 
  35 6
μF
G
   мм;                            ПС6 7
μF
F
   мм. 
 
В соответствии с векторным уравнением последовательно откла-
дываем отрезки  21 ,  32   и т.д. в направлении соответствую-
щих сил. Затем из точки 1 проводим направление силы 21
n
F , а из 
точки 7 – направление силы 30F . В пересечении этих направлений 
получаем точку 8. Тем самым многоугольник сил оказывается за-
мкнутым. В результате находим 
 
 21 8 1 μ
n
FF   , 
 21 8 2 μFF   , 
 30 7 8 μFF   . 
 
Плечо действия реакции 30F  получим из равновесия моментов 
сил, действующих на звено 3, относительно точки В: 
 
30 3 3 3 0F h G BS    , 
 13 
3 3
3
30
G BS
h
F

 . 
 
Если все силы проходят через точку В, то 3 0h  . 
Внутреннюю реакцию 23F  во вращательной кинематической 
паре В найдем из условия равновесия сил, действующих на звено 2: 
 
И2 2 2321 21 0
n t
F F F G F     . 
 
Согласно этому уравнению на построенном плане сил достаточ-
но соединить точки 4 и 8. Тогда 
 
 23 4 8 μFF   . 
 
Производим силовой расчет механизма 1 класса. Начальное зве-
но 1 является статически определимым, так как при трёх уравнени-
ях равновесия есть три неизвестных параметра –  величина и 
направление реакции 10F  и величина уравновешивающего момента 
УМ . Вычерчиваем начальное звено в масштабе μ S . Прикладыва-
ем внешнюю силу 1G , известную уже реакцию 12 21F F  , глав-
ный момент сил инерции И1М , неизвестный уравновешивающий 
момент УМ . Действие отброшенной стойки заменяем реакцией 
10F , которую находим путем построения плана сил согласно урав-
нению равновесия: 
 
12 1 10 0F G F   . 
 
Уравнение решается графически, построением плана сил.  
 14 
 
 
Выбрав масштабный коэффициент μ F , определяем отрезки, 
изображающие на плане известные силы: 
 
  121 2
μF
F
   мм;                         12 3
μF
G
   мм. 
 
Согласно уравнению равновесия откладываем отрезки  1 2  и 
 32   в направлении сил 12F  и 1G , а затем, замыкая треугольник 
сил, соединяем точку 3 с точкой 1 отрезком  3 1 . Тогда 
 
 10 3 1 μFF   . 
 
Уравновешивающий (движущий) момент УМ  находим из урав-
нения моментов 
 
0 12 1 И 1 Уμ 0lM F h M M    , 
откуда 
 
У 12 1 И1μ lM F h M  . 
 
Уравновешивающий момент – это реальная нагрузка, действую-
щая со стороны отброшенной части машинного агрегата. Если рас-
сматривается рабочая машина, то уравновешивающий момент явля-
ется движущим моментом, если рассматривается машина – двига-
тель, то УМ  – момент сил сопротивления. 
В данном разделе рассмотрен силовой расчет механизма, в со-
став которого входит группа Ассура 2-го вида. Методика силового 
расчета других видов несколько отличается от приведенного.  
Последовательность силового расчета всех структурных групп 2-
го класса представлена в табл. 1.  
 15 
Табл. 1 
 
Расчетная схема группы Составить уравнения Определить 
1 вид 
0ВM   для звена 2 
0ВM   для звена 3 
0iF   для группы 
 
0iF   для звена 2 
21
t
F  
34
t
F  
21
n
F , 34
n
F , 21F ,
34F  
23F  
2 вид 
0ВM   для звена 2 
0iF   для группы 
0iF   для звена 2 
0ВM   для звена 3 
21
t
F  
21
n
F , 21F , 34F  
23F  
3h  
3 вид 
 
0ВM  для группы 
0iF   для звена 2 
0iF   для группы 
21F  
23 21F F   
34F  
 
 
4 
1 
3М
 
3F
 
34F
 
2 
3 
21F
 
В 
А 
2F
 
4 
2М
 
21
t
F  
3h
 
1 
3F
 
34F
 
2 
3 
21
nF  
В 
А 
С 
34
t
F  
34
nF  
3М
 
2F
 
4 
2М
 
21
t
F  
1 
3F
 
2 
3 
21
nF  
В 
А 
 16 
 
 
 
Продолжение табл. 1 
 
Расчетная схема 
группы 
Составить уравнения Определить 
4 вид 
 
0iF   для группы 
0iF   для звена 2 
0АM   для звена 3 
21F , 34F  
23 21F F   
3h  
5 вид 
 
0iF   для группы 
0iF   для звена 2 
0СM   для звена 3 
21F , 34F  
23 21F F   
3h  
 
 
 
 
3h
 
4 
1 
3F
 
34F
 
2 
3 
21F
 
В 
А 
C В / 
3h
 
4 
1 
3F
 
34F
 
2 
3 
21F
 
В // 
А 
 17 
α x 
2 
3 
F3 
В 
А 
О 
1 
М1 
ω1 
3F  
21F  
30F  
2 
3 
В 
А 
α 
3 
3F  
21F  
30F  
2 
1 
23F  
21F  
2 
В 
А 
М1 
1 12
F  
10F  
А 
О 
5. Примеры решения задач 
Пример 1. В заданном положении механизма (рис. 7, а) определить 
реакции во всех кинематических парах и движущий (уравновеши-
вающий) момент 1М . К ползуну 3 приложена сила полезного со-
противления 3 3000НF  . Длины звеньев 0,08мOAl  , 
0,3мAВl  . 
 
 
 
    а 
 
 
 
 
    б 
 
 
 
 
   в 
 
 
 
 
   г 
 
 
 
 
 
    д 
 
 
Рис. 7 
 18 
 
 
Отделяем от механизма статически определимую структурную 
группу (2,3) и показываем действующие силы (рис. 7, б). Реакция во 
вращательной паре А 21F  направлена вдоль звена АВ, так как все 
остальные силы проходят через точку В. Реакция в поступательной 
паре 30F  направлена перпендикулярно линии движения ползуна 3. 
Уравнение равновесия группы (2,3) имеет вид 
 
21 3 30 0F F F   .    (3) 
 
Согласно уравнению (3) изображаем план сил (рис. 7, в). Из по-
строения вытекает подобие треугольников АВО и 3-1-2 и равенство 
углов 3 1 2 αАВО     . Это позволяет найти неизвестные 
реакции из геометрических соображений, не используя конкретный 
масштабный коэффициент сил. 
Из АВО  имеем 
 
0,08
tgα= 0,2667
0,3
OA
AB
l
l
    и  0α=14,93 . 
 
Из 3 1 2    следует, что 
 
 
 1 2
3 1
cosα

    и     2 3 1 2 tgα    
 
и соответственно  
 
3
21
3000
3105Н
cosα 0,9662
F
F    , 
30 3 tgα=3000 0,2667 800НF F   . 
 
Схема нагружения звена 2 показана на рис. 7, г, из которого сле-
дует, что реакция во вращательной паре В 23 21F F  . 
 19 
Далее рассматривается начальное звено 1 (рис. 7, д), при этом 
12 21F F  . Так как на звено 1 действуют только две силы 12F  и 
10F  (реакция во вращательной паре О), то они образуют пару сил. 
Следовательно, 10 12 3105НF F  . 
Движущий момент 1М  определяем из уравнения равновесия 
звена 1: 
0 12 1 0OAM F l M    , 
откуда 
1 12 =3105 0,08=248 Н мOAM F l    . 
 
Пример 2. В заданном положении механизма (рис. 8, а) определить 
реакции во всех кинематических парах, движущий (уравновешива-
ющий) момент 1М  и мощность, затрачиваемую на трение в посту-
пательной паре. К ползуну 3 приложена сила полезного сопротив-
ления 3 3000НF  , коэффициент трения в поступательной паре  
0,15f  , угловая скорость 1ω 30рад/с , 0,07мOAl  , 
0,3мAВl  . 
Отделяем от механизма статически определимую структурную 
группу (2,3) и показываем действующие силы (рис. 8, б). Реакция во 
вращательной паре А 21F  направлена вдоль звена АВ, так как все 
остальные силы проходят через точку В. Нормальная составляющая 
реакции в поступательной паре 30
n
F  направлена перпендикулярно 
линии движения ползуна 3, а сила трения ТF  направлена противо-
положно направлению движения ползуна. 
Уравнение равновесия группы (2,3) имеет вид 
 
21 3 Т 30 0
nF F F F    .   (4) 
 
 
 20 
 
 
α x 
2 
3 
F3 
В 
А 
О 
1 
М1 
ω1 
3F  
21F  
30
n
F  
FТ 
2 
3 
В 
А 
α 
4 
3 
3F  
21F  
30
n
F  
FТ 2 
1 
23F  
21F  
2 
В 
А 
А 
М1 
1 
12F  
10F  
α 
О 
B AV V  
р а 
b 
e 
 
 
 
 
    а 
 
 
 
 
    б 
 
 
 
 
 
 
   в 
 
 
 
               
 
 
 
   г 
 
 
 
 
 
      д 
 
 
 
 
 
 
Рис. 8 
 21 
Согласно уравнению (4) изображаем план сил (рис. 8, в). Из по-
строения вытекает подобие треугольников АВО и 4-1-3 и равенство 
углов 4 1 3 αАВО     . Это позволяет найти неизвестные 
силы из геометрических соображений, не используя конкретный 
масштабный коэффициент сил. 
Из АВО  имеем 
 
0,07
sinα= 0,2333
0,3
OA
AB
l
l
    и  0α=13,49 . 
 
Из 4 1 3    следует, что 
 
   1 3 4 1 cosα     и     3 4 4 1 sinα    
 
и соответственно  
 
 3 Т 21 cosαF F F    и  30 21 sinαnF F .                (5) 
 
Так как Т 30
nF f F  , то из выражения (5) следует, что 
 
3 21 21sinα cosαF f F F    , 
откуда 
3
21
3000
3200Н
cosα - sinα 0,9724 0,15 0,2333
F
F
f
  
  
. 
 
Тогда  
30 3200 0,2333 747Н
nF    , 
Т 0,15 747 112НF    . 
 
Схема нагружения звена 2 показана на рис. 8, г, из которого сле-
дует, что реакция во вращательной паре В 23 21F F  . 
 22 
 
 
Далее рассматривается начальное звено 1 (рис. 8, д), при этом 
12 21F F  . Так как на звено 1 действуют только две силы 12F  и 
10F  (реакция во вращательной паре О), то они образуют пару сил. 
Следовательно, 10 12 3200НF F  . 
Движущий момент 1М  определяем из уравнения равновесия 
звена 1: 
0 12 1cosα 0OAM F l M     , 
откуда 
1 12 cosα=3200 0,07 0,9724=218Н мOAM F l      . 
 
Мощность, затрачиваемая на трение в поступательной паре, рав-
на 
Т Т BP F V  .    (6) 
 
Для определения скорости BV  точки В  строим план скоростей (рис. 
8, е) согласно уравнениям 
 
B A BAV V V  , 
0 0B В BB
V V V  , 
 
где AV OA , BAV AB , 0 0ВV 
, 
0
/ /BBV X . 
В результате получаем, что рb pa  и  
 
1ω 30 0,07 2,1м/сB A OAV V l      . 
Тогда по формуле (6) 
 
Т 112 2,1 235ВтP    . 
Пример 3. В заданном положении механизма (рис. 9, а) определить 
реакции во всех кинематических парах и движущий (уравновеши-
 23 
α 
2 
3 
F3 
В 
А О 
1 
М1 
ω1 
3F  
30F  
2 
3 
21F  
В 
А 
23F  
21F  
2 
А 
2 
3 
1 
А 
α 
О 
1 
М1 
10F  12F  
д 
в 
г 
вающий) момент 1М . К кулисе 3 приложена сила полезного сопро-
тивления 3 800НF  . Длины звеньев 0,2мOAl  , 0,6мВСl  , 
угол 0α=30 . 
                                   а                                    б  
    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рис. 9 
 
Изображаем схемы силового нагружения статически определи-
мой структурной группы (2,3) (рис. 9, б) и звена 2 (рис. 9, в). Реак-
ция в поступательной паре 23F BC . К звену 2 приложены только 
две силы 21F  и 23F , поэтому реакция во вращательной паре A 
21 23F F  . 
Из уравнения моментов 0ВM   находим реакцию 21F : 
 24 
 
 
 
3 21 0В ВС BAM F l F l     .  (7) 
 
Из ОАВ  следует, что 
 
0,2
= 0,4м
sinα 0,5
OA
BA
l
l   . 
 
Тогда из уравнения (7) 
 
3
21
800 0,6
1200Н
0,4
BC
BA
F l
F
l
 
   . 
 
Реакцию во вращательной паре В 30F  получим путём построе-
ния плана сил согласно уравнения равновесия группы: 
 
21 3 30 0F F F   . 
 
В рассматриваемом случае все силы располагаются вдоль одной 
прямой линии (рис. 9, г). Отрезок  1 2  соответствует силе 21F , 
отрезок  2 3  – силе 3F , а замыкающий отрезок  3 1  – ис-
комой реакции 30F . Таким образом,      3 1 1 2 2 3      и 
соответственно 
 
30 21 3 =1200-800 400НF F F   . 
 
Схема нагружения звена 1 показана на рис. 7, д, причём 
12 21F F  . Так как к звену 1 приложены только две силы 12F  и 
 25 
B AV V  
р 
а 
b 
Аa  
α 
π  B
a  
t
ВАа  
a, n2 
b 
x 
S2 
α 
2 
3 
FИ3 
В 
А 
О 
1 И2M
 
ω1 
a 
б в 
10F , то они образуют пару сил. Следовательно, реакция во враща-
тельной паре О 10 12 1200НF F  . 
Движущий момент 1М  находим из уравнения: 
0 12 1sinα 0OAM F l M     ,  
откуда 
1 12 sinα=1200 0,2 0,5=120Н мOAM F l      . 
 
Пример 4. В заданном положении механизма (рис. 10, а) опреде-
лить силу инерции И3F  ползуна 3 и момент сил инерции И2М  ша-
туна 2. Угловая скорость кривошипа 1 постоянна и равна 
1ω 40рад/с . Масса ползуна 3 2кгm  , центральный момент 
инерции шатуна 
2
20,05кг мSI   , 0,1мOAl  , 0,3мAВl  .  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рис. 10 
 
 26 
 
 
Для определения искомых параметров необходимо определить 
ускорение точки В Bа  и угловое ускорение звена 2 2ε . Для этого 
строим план скоростей и план ускорений. Для построения плана 
скоростей используем уравнения: 
 
B A BAV V V  , 
0 0B В BB
V V V  , 
 
где AV OA , BAV AB , 0 0ВV 
, 
0
/ /BBV X . 
Из построения (рис. 10, б) следует, что 0аb   и 0BAV  . 
Для построения плана ускорений используем уравнения: 
 
n t
B A BA BAа а а a   , 
0 0B В ВВ
а а а  , 
 
где 
0
0Ва  , 0 / /BBа X
, 
2 2 2
1ω 40 0,1 160м/с
n
А OAAа а l      , 
2
0
BAn
ВА
AB
V
а
l
  . 
 
Вектор Аа  направлен вдоль АО, вектор 
t
ВАа АВ . 
Из построения (рис. 10, в) вытекает подобие треугольников 
АВО  и πаb  и равенство углов π αАВО ab   . Это позволяет 
найти Ва  и 
t
ВАа  из геометрических соображений, не используя 
конкретный масштабный коэффициент ускорений. 
Из АВО  имеем 
 
 27 
0,1
sinα= 0,3333
0,3
OA
AB
l
l
    и  0α=19,47 . 
 
Из πab  следует, что 
 
   π π tgαb a  и 
 
2
π
cosα
a
n b     
 
и соответственно  
 
2tgα=160 0,3536 56,6м/сB Aa a   , 
2160 170м/с
cosα 0,9428
At
BA
a
a    , 
2
2
170
ε 567рад/с
0,3
t
BA
AB
a
l
   . 
Таким образом, 
 
И3 3 2 56,6 113HBF m a     , 
2И2 2
ε 0,05 567 28,3Н мSM I      . 
 
Направление силы И3F  противоположно ускорению Ва  (на 
плане отрезок πb ), а направление момента И2М  противоположно 
угловому ускорению 2ε . 
 
Пример 5. В заданном положении механизма (рис. 11, а) опреде-
лить силу инерции И3F  ползуна 3 и момент сил инерции И2М  ша-
туна 2. Угловая скорость кривошипа 1 постоянна и равна 
 28 
 
 
a 
б в 
е 
С 
x 
S2 
α 
2 
3 
FИ3 
В 
А 
О 
1 
И2M  
ω1 
A BAV V  
р,b 
а 
n
ВАа  
a А
a  
α 
π  Ba  
t
ВАа  
n2 
b 
1ω 20рад/с . Масса ползуна 3 4кгm  , центральный момент 
инерции шатуна 
2
20,2кг мSI   , 0,1мOAl  , 0,4мAВl  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Рис. 11 
 
Для определения искомых параметров необходимо определить 
ускорение Bа  точки В  и угловое ускорение 2ε  звена 2. Для этого 
строим план скоростей и план ускорений. Для построения плана 
скоростей используем уравнения: 
 
B A BAV V V  , 
0 0B В BB
V V V  , 
 
где AV OA , BAV AB , 0 0ВV  , 0 / /BBV X . 
 29 
Из построения (рис. 11, б) следует, что аb pa  и  
 
1ω 20 0,1 2м/сBA A OAV V l      . 
 
Для построения плана ускорений используем уравнения: 
 
n t
B A BA BAа а а a   , 
0 0B В ВВ
а а а  , 
 
где 
0
0Ва  , 0 / /BBа X
, 
2 2 2
1ω 20 0,1 40м/с
n
А OAAа а l      , 
2 2
22 10м/с
0,4
BAn
ВА
AB
V
а
l
   . 
 
Вектор Аа  направлен вдоль АО, вектор 
n
ВАа  – вдоль ВА, а вектор 
t
ВАа АВ . 
Из построения (рис. 11, в) вытекает подобие треугольников 
ВОС  и 2πb n  и равенство углов 2π αВОС b n   . Это позво-
ляет найти Ва  и 
t
ВАа  из геометрических соображений, не исполь-
зуя конкретный масштабный коэффициент ускорений. 
Из ВОС  имеем 
 
0,07
sinα= 0,14
0,1 0,4OA AB
e
l l
 
 
  и  
0α=8,05 . 
 
Из 
2πb n  следует, что 
 
 30 
 
 
 
  2π
π
cosα
a аn
b
     и   2 2π tgαn b a an         
 
и соответственно  
 
240 10 50,5м/с
cosα 0,9902
n
A BA
B
a a
a
 
   , 
    2tgα= 40 10 0,1414 7,07м/сt nABA BAa a a     , 
2
2
7,07
ε 17,7рад/с
0,4
t
BA
AB
a
l
   . 
Таким образом, 
 
И3 3 4 50,5 202HBF m a     , 
2И2 2
ε 0,2 17,7 3,54Н мSM I      . 
 
Направление силы И3F  противоположно ускорению Ва , а 
направление момента И2М  противоположно угловому ускорению 
2ε . 
 
Литература 
1. Артоболевский, И. И. Сборник задач по теории механизмов 
и машин / И.И. Артоболевский, Б. В. Эдельштейн. – 2-е изд. 
– М.: Наука, 1975. – 256 с. 
2. Филонов, И. П. Теория механизмов, машин и манипуляторов 
/ И.П. Филонов, П.П. Анципорович., В. К Акулич. – Минск: 
Дизайн ПРО, 1998. – 656 с. 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Учебное издание 
 
 
АНЦИПОРОВИЧ Петр Петрович 
АКУЛИЧ Валерий Константинович 
ДУБОВСКАЯ Елена Михайловна 
 
 
ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ  
МЕХАНИЗМОВ 
 
Пособие для студентов  
машиностроительных специальностей 
 
 
Технический редактор О. В. Песенько 
 
Подписано в печать 30.08.2013. Формат 60841/16. Бумага офсетная. Ризография. 
Усл. печ. л. 1,80. Уч.-изд. л. 1,41. Тираж 300. Заказ 835. 
Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический  
университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Пр. Независимости, 65. 220013, г. Минск.