Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Электротехника и электроника» Применение MathCAD в решении задач электротехники Часть 2 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ. ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ Учебно-методическое пособие для студентов электротехнических специальностей М и н с к 2 0 1 3 2 УДК 621.38 (075.8) ББК 32.85я7 А в т о р ы : Ю.В. Бладыко, А.А. Мазуренко, И.В. Новаш Р е ц е н з е н т ы : О.И. Александров, доцент кафедры автоматизации производственных процессов и электротехники учреждения образования «Белорусский государственный технологический университет», кандидат технических наук; М.И. Полуянов, доцент Авиационного колледжа, кандидат технических наук В учебном пособии приводится методика расчета переходных процес- сов, нелинейных электрических цепей и электромагнитного поля с помо- щью MathCAD. Рассмотрена 41 задача с решениями. Большое внимание уделено компьютерному расчету в MathCAD, облегчающему изучение электротехники. Предложенный материал является базовой основой для дальнейшего изучения электротехники, а навыки работы в математическом пакете – в других дисциплинах. Соответствует программам изучения дисциплин «Теоретические основы электротехники», «Теория электрических цепей», «Электротехника и электроника», «Электротехника и промышленная электроника». Белорусский национальный технический университет пр-т Независимости, 65, г. Минск, Республика Беларусь Тел.(017)292-71-93 E-mail: eie@bntu.by http://www.electro.bntu.by/ Регистрационный № © Ю.В. Бладыко, А.А. Мазуренко, И.В. Новаш, 2013 © Т.А. Мархель, компьютерный дизайн, 2013 © БНТУ, 2013 3 СОДЕРЖАНИЕ СОДЕРЖАНИЕ ............................................................................................................................................... 3 ЛИТЕРАТУРА ................................................................................................................................................. 5 ЗАДАЧА 31. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЦЕПИ RL ......................................... 6 ЗАДАЧА 32. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЦЕПИ RC......................................... 9 ЗАДАЧА 33. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЦЕПИ RLC .................................... 12 ЗАДАЧА 34. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЦЕПИ ВТОРОГО ПОРЯДКА КЛАССИЧЕСКИМ МЕТОДОМ.......................................................................................... 14 ЗАДАЧА 35. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЦЕПИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ ............................................................................................ 19 ЗАДАЧА 36. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЦЕПИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА ...................... 23 ЗАДАЧА 37. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЦЕПИ RLC ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ НАПРЯЖЕНИЯ ИМПУЛЬСНОЙ ФОРМЫ....................................................................... 26 ЗАДАЧА 38. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ................................................................................................................................... 28 ЗАДАЧА 39. РАСЧЕТ ПРОСТОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА .......................... 39 ЗАДАЧА 40. РАСЧЕТ ПРОСТОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА .......................... 41 ЗАДАЧА 41. РАСЧЕТ СЛОЖНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ 1 ПОСТОЯННОГО ТОКА....................... 43 ЗАДАЧА 42. РАСЧЕТ СЛОЖНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ 2 ПОСТОЯННОГО ТОКА....................... 46 ЗАДАЧА 43. РАСЧЕТ НЕРАЗВЕТВЛЕННОЙ МАГНИТНОЙ ЦЕПИ .................................................... 49 ЗАДАЧА 44. РАСЧЕТ РАЗВЕТВЛЕННОЙ МАГНИТНОЙ ЦЕПИ 1 В MATHCAD ............................. 54 ЗАДАЧА 45. РАСЧЕТ РАЗВЕТВЛЕННОЙ МАГНИТНОЙ ЦЕПИ 2 В MATHCAD ............................. 60 ЗАДАЧА 46. РАСЧЕТ ВОЛЬТ-АМПЕРНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНОЙ КАТУШКИ ..... 64 ЗАДАЧА 47. РАСЧЕТ ПРОСТОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА КОМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ........................................................................................... 69 ЗАДАЧА 48. РАСЧЕТ СЛОЖНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА КОМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ........................................................................................... 71 ЗАДАЧА 49. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНОЙ ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ ПРИ СОЕДИНЕНИИ ФАЗ НАГРУЗКИ ЗВЕЗДОЙ БЕЗ НУЛЕВОГО ПРОВОДА....................................................... 73 ЗАДАЧА 50. РАСЧЕТ ПРОСТОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДОМ ................................................................................................. 78 ЗАДАЧА 51. РАСЧЕТ СЛОЖНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДОМ ................................................................................................. 83 ЗАДАЧА 52. РАСЧЕТ СЛОЖНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДОМ...................................... 88 ЗАДАЧА 53. РАСЧЕТ СЛОЖНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ С ДВУМЯ РАЗНОРОДНЫМИ НЕЛИНЕЙНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ ................................................................................... 95 ЗАДАЧА 54. РАСЧЕТ УТРОИТЕЛЯ ЧАСТОТЫ .................................................................................... 100 ЗАДАЧА 55. РАСЧЕТ ОДНОПОЛУПЕРИОДНОГО ВЫПРЯМИТЕЛЯ С ИДЕАЛЬНЫМ ИСТОЧНИКОМ НАПРЯЖЕНИЯ ..................................................................................... 105 4 ЗАДАЧА 56. РАСЧЕТ ОДНОПОЛУПЕРИОДНОГО ВЫПРЯМИТЕЛЯ С РЕАЛЬНЫМ ИСТОЧНИКОМ НАПРЯЖЕНИЯ ..................................................................................... 108 ЗАДАЧА 57. РАСЧЕТ ДВУХПОЛУПЕРИОДНОГО ВЫПРЯМИТЕЛЯ С ИДЕАЛЬНЫМ ИСТОЧНИКОМ НАПРЯЖЕНИЯ ..................................................................................... 111 ЗАДАЧА 58. РАСЧЕТ ДВУХПОЛУПЕРИОДНОГО ВЫПРЯМИТЕЛЯ ............................................... 114 ЗАДАЧА 59.1 РАСЧЕТ МОСТОВОГО ВЫПРЯМИТЕЛЯ С ИДЕАЛЬНЫМ ИСТОЧНИКОМ НАПРЯЖЕНИЯ .................................................................................................................. 117 ЗАДАЧА 59.2 РАСЧЕТ МОСТОВОГО ВЫПРЯМИТЕЛЯ С РЕАЛЬНЫМ ИСТОЧНИКОМ НАПРЯЖЕНИЯ .................................................................................................................. 121 ЗАДАЧА 60. РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНОГО ВЫПРЯМИТЕЛЯ ................................................................... 124 ЗАДАЧА 61. СРАВНИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЛИНЕЙНОЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ RL ................................................................................................. 128 ЗАДАЧА 62. СРАВНИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЛИНЕЙНОЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ RLC .............................................................................................. 130 ЗАДАЧА 63. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ТРАНСФОРМАТОРЕ.................................. 132 ЗАДАЧА 64. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ БЕЗ УЧЕТА ЗЕМЛИ ......... 134 ЗАДАЧА 65. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ С УЧЕТОМ ЗЕМЛИ......... 136 ЗАДАЧА 66. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ТРЕХФАЗНОЙ ЛИНИИ С УЧЕТОМ ЗЕМЛИ .................... 139 ЗАДАЧА 67. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ ....................................................... 143 ЗАДАЧА 68. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ И МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ БЕЗ УЧЕТА ЗЕМЛИ ........................................................................................................... 145 ЗАДАЧА 69. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТРЕХФАЗНОЙ ЛИНИИ ................................................................ 148 ЗАДАЧА 70. КРУГОВОЕ ВРАЩАЮЩЕЕСЯ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ................................................... 150 5 ЛИТЕРАТУРА 1. Бессонов, Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи : учебник для технических вузов/ Л.А. Бессонов . – 11-е изд. – М: Гардарики, 2006. – 701 с.: ил. 2. Бессонов, Л.А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле: учебник для вузов / Л.А. Бессонов . – 10-е изд. – М: Гардарики, 2003. – 316 с.: ил. 3. Теоретические основы электротехники: учебник для вузов в 3 т. / К.С. Де- мирчан [и др.]. – СПб.: Питер, 2006. 4. Сборник задач и упражнений по теоретическим основам электротехники / под ред. П.А. Ионкина. – М.: Энергоиздат. 1982. – 768 с. 5. Сборник задач по теоретическим основам электротехники / под ред. Л. А. Бессонова. – М.: Высшая школа, 1980. – 472 с. 6. Прянишников, В.А. Электротехника и ТОЭ в примерах и задачах : практиче- ское пособие / В.А. Прянишников, Е.А. Петров и Ю.М. Осипов; под общ. ред. В.А. Прянишникова. – СПб: Корона-Век, 2007. – 334 с.: ил.; дискета. – (Для высших и средних учебных заведений) 7. Потапов, Л.А. Теоретические основы электротехники: сборник задач: учеб- ное пособие для вузов/ Л.А. Потапов; кол. авт. Брянский государственный технический университет. – Изд. 2-е изд., доп. – Брянск: Из-во БГТУ, 2007. – 192 с.: ил. 8. Гольдин, О.Е. Задачник по теории электрических цепей / О.Е. Гольдин. – М.: Высшая школа, 1969. – 312с. 9. Шебес, М.Р. Задачник по теории линейных электрических цепей / М.Р. Ше- бес. –М.: Высшая школа, 1984. – 488 с. ЗАДАЧА 31. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЦЕПИ RL 1. Схема цепи и параметры элементов i R L e(t) u uR L E 100 f 50  30deg R1 10 R2 20 R3 40 L1 0.2 L2 0.2 L3 0.2 2. Система дифференциальных уравнений и ее решение t i1d d R L i1 e t( ) L  i1 R L t i1d d  e t( ) 6 F t X( ) R1 L1 X 0 EL1 NU 0 Z rkfixed NU 0 0.2 10000 F( ) t Z 0  i Z 1  Ur1 i R1 UL1 E Ur1 F t X( ) R2 L2 X 0 EL2 NU 0 Z rkfixed NU 0 0.2 10000 F( ) t Z 0  i Z 1  Ur2 i R2 UL2 E Ur2 F t X( ) R3 L3 X 0 EL3 NU 0 Z rkfixed NU 0 0.2 10000 F( ) t Z 0  i Z 1  Ur3 i R3 UL3 E Ur3 3. Графические диаграммы функций Ur(t), UL(t) 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Ur1 Ur2 Ur3 UL1 UL2 UL3 t R 20 L .2  72deg e1 t( ) E sin 2 f t ( ) e2 t( ) E sin 2 f t  90deg( ) e3 t( ) E sin 2 f t  90deg( ) F t X( ) R L X 0 e1 t( )L NU 0 Z rkfixed NU 0 0.2 10000 F( ) Ur1 i R i Z 1  F t X( ) R L X 0 e2 t( )L NU 0 Z rkfixed NU 0 0.2 10000 F( ) i Z 1  Ur2 i R F t X( ) R L X 0 e3 t( )L NU 0 Z rkfixed NU 0 0.2 10000 F( ) i Z 1  Ur3 i R 7 0 5 10 3 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 60 40 20 20 40 60 Ur1 Ur2 Ur3 t 8 ЗАДАЧА 32. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЦЕПИ RC 1. Схема цепи и параметры элементов i R C e(t) u uR C E 100 f 50  30deg R 200 R1 200 R2 400 R3 600 C1 40 10 6 C2 40 10 6 C3 40 10 6 2. Система дифференциальных уравнений и ее решение i1 R Uc e t( ) i1 C t Ucd d t Ucd d 1 R C Uc 1 R C e t( ) D t X( ) 1 R1 C1 X 0 1 R1 C1 E NU 0 F rkfixed NU 0 0.2 10000 D( ) t F 0  Uc1 F 1  Ur1 E Uc1 D t X( ) 1 R2 C2 X 0 1 R2 C2 E NU 0 F rkfixed NU 0 0.2 10000 D( ) t F 0  Uc2 F 1  Ur2 E Uc2 9 D t X( ) 1 R3 C3 X 0 1 R3 C3 E NU 0 F rkfixed NU 0 0.2 10000 D( ) t F 0  Uc3 F 1  Ur3 E Uc3 3. Графические диаграммы функций Ur(t), Uc(t) 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Ur1 Ur2 Ur3 Uc1 Uc2 Uc3 t C 30 10 6 R 200  62deg e t( ) E sin 2 f t ( ) D t X( ) 1 R C X 0 1 R C e t( ) NU 0 F rkfixed NU 0 0.2 10000 D( ) t F 0  Uc1 F 1  e t( ) E sin 2 f t  90deg( ) D t X( ) 1 R C X 0 1 R C e t( ) NU 0 10 F rkfixed NU 0 0.2 10000 D( ) t F 0  Uc2 F 1  e t( ) E sin 2 f t  90deg( ) D t X( ) 1 R C X 0 1 R C e t( ) NU 0 F rkfixed NU 0 0.2 10000 D( ) t F 0  Uc3 F 1  4. Графические диаграммы функций Uc(t) 0 5 10 3 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 60 40 20 20 40 60 Uc1 Uc2 Uc3 t 11 ЗАДАЧА 33. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЦЕПИ RLC 1. Схема цепи и параметры элементов e(t) i R L C uR uL uC C 20 10 6 L 0.5 E 100 Исходные данные : R3 700 R2 280 R1 100 2. Система дифференциальных уравнений и ее решение i1 R L t i1d d  Uc e t( ) i1 C t Ucd d   t i1d d R L i1 1 L Uc e t( ) L  t Ucd d 1 C i1 D t X( ) R1 L X 0 1 L X 1 EL 1 C X 0   N 0 0   12 13 F rkfixed N 0 0.2 10000 D( ) t F 0  i1 F 1  Uc1 F 2  Ur1 i1 R1 D t X( ) R2 L X 0 1 L X 1 EL 1 C X 0    N 0 0   F rkfixed N 0 0.2 10000 D( ) t F 0  i2 F 1  Uc2 F 2  Ur2 i2 R2 D t X( ) R3 L X 0 1 L X 1 EL 1 C X 0    N 0 0   F rkfixed N 0 0.2 10000 D( ) t F 0  i3 F 1  Uc3 F 2  Ur3 i3 R3 3. Графические диаграммы функций Ur(t) 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 20 20 40 60 80 100 Ur1 Ur2 Ur3 t ЗАДАЧА 34. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЦЕПИ ВТОРОГО ПОРЯДКА КЛАССИЧЕСКИМ МЕТОДОМ 1. Схема цепи и параметры элементов R2 35 14 R1 276 L 65 10 3 C 1.9 10 6 Em 235 f 125  134 deg  2 f T 1f u t( ) Em sin  t ( ) j 1 Требуется определить функцию Uc(t) в переходном режиме 2. Расчет переходного процесса классическим методом 2.1. Общий вид решения: Uc t( ) Uy t( ) Ucb t( ) Um sin t ( ) A e bt sin î t ( ) 2.2. Характеристическое уравнение и его корни Z p( ) R1 R2 p L  R1 R2 p L  1 pC  0 R2 L C p 2 R1 R2 C L  p R1 R2  0 Для нахождения корней уравнения используем функцию polyroots p polyroots R1 R2 R1 R2 C L R1 L C     1222.701 2762.061j 1222.701 2762.061j   p 0 1222.701 2762.061j p 1 1222.701 2762.061j b Re p 0  1222.701 o Im p 0  2762.061 C L i2 i3 i1 R1 e(t) R2 о 2.3. Определение установившейся составляющей по методу двух узлов: Xc 1  C XL  L Z2 R2 j XL Um Em ej  R1 1 R1 1 Z2  1 j Xc    Um 48.931  arg Um( ) 176.844 deg Uy t( ) Um sin  t ( ) 2.4. Определение независимых начальных условий , Uc i3 0( ) 0( ) Uc t( ) u t( ) Uc 0( ) 169.045 Im3 Em ej  Z2   arg Im3  Im3 3.797 i3 t( ) Im3 sin  t ( ) i3 0( ) 3.72 2.5. Система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа i1 i2 i3 0 (1) i1 R1 Uc u t( ) (2) L t i3 d d  i3 R2 Uc 0 (3) i2 C t Ucd d  (4) 2.6. Определение зависимых начальных условий 15 i1 1 R1 u 0( ) Uc 0( )( ) из (2) выразим i1 i2 i1 i3 0( ) из (1) выразим i2 du i2 C  t Ucd d   0( ) du i2 C из (4) du 1957664.033 2.7. Определение постоянных интегрирования Представим общий вид решения для искомой функции и ее производной в развернутой форме: Uc t( ) Uy t( ) Ucb t( ) Um sin t ( ) e bt A1  sin o t( ) A2 cos o t( )  t Uc t( )d d Um  cos  t ( ) b e b t A1 sin o t( ) A2 cos o t( )    A1 o cos o t( ) A2 o sin o t( )  e b t Подставляем начальные условия и находим постоянные интегрирования: Uc 0( ) Um sin ( ) A2 A2 Uc 0( ) Um sin ( ) 166.351 16 du Um  cos ( ) b A2 o A1  A1. b A2 Um  cos ( ) du o 621.237 A 643.124  arg A( ) 165.009 deg A A1 j A2 2.8. Окончательное решение для искомой функции b 1222.701 Uc t( ) Um sin  t ( ) e b t A sin o t ( )( ) Um 48.931  176.844 deg  785.398 A 643.124  165.009 deg o 2762.061 2.9. Графическая диаграмма искомой функции 0 1 10 3 2 10 3 3 10 3 4 10 3 5 10 3 6 10 3 7 10 3 8 10 3 9 10 3 0.01 350 300 250 200 150 100 50 50 100 150 200 Uc t( ) t 3. Расчет переходного процесса численным методом 3.1. Независимые начальные условия: , i3 0( ) Uc 0( ) Uc t( ) u t( ) Uc 0( ) 169.045 Im3 Em e i Z2  i arg Im3  Im3 3.797 i3 t( ) Im3 sin  t i( ) i3 0( ) 3.72 3.2. Система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа i1 i2 i3 0 (1) i1 R1 Uc u t( ) (2) L t i3 d d  i3 R2 Uc 0 (3) i2 C t Ucd d  (4) 17 3.3. Приведение системы дифференциальных уравнений к форме Коши и ее решение t i3 d d R2 L i3 1L Uc tUc d d 1 C i3 1R1 C Uc 1 R1 C u t( ) D t Õ( ) R2 L Õ0 1L Õ1 1 C Õ0 1C R1 Õ1 1 C R1 u t( )    X X) X X1X 1 N i3 0( ) Uc 0( )   n 2000 F rkfixed N 0 0.02 n D( ) Uc F 2  i3 F 1  t F 0  3.4. Графическая диаграмма искомой функции Uc(t) 0 1 10 3 2 10 3 3 10 3 4 10 3 5 10 3 6 10 3 7 10 3 8 10 3 9 10 3 0.01 350 300 250 200 150 100 50 50 100 150 200 Uc Uc t t T 4. Анализ решения по графической диаграмме Из анализа графической диаграммы функции Uc(t) определяем: 4.1. Характер переходного процесса - колебательный, затухающий. 4.2. Время переходного процесса Тп = 0.0045 с. 4.3. Коэффициент затухания свободной составляющей b = 5/Т п = 1111. 4.4. Период свободных колебаний То = 0.0023. 4.5. Максимальное и минимальное значения Ucmax = 170 B, Ucmin = –330 B. 18 ЗАДАЧА 35. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЦЕПИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ 1. Схема цепи и параметры элементов R2 35 Ом R1 276 Ом i2 19 L 65 10 3 Гн C 1.9 10 6 Ф Em 115 B u t( ) Em j 1 Требуется определить функцию Uc(t) в переходном режиме 2. Расчет переходного процесса операторным методом 2.1. Операторная схема замещения i3o Em R2 3.286 Uco Em 115 2.3. Система операторных уравнений (по методу 2-х узлов) Uс p( ) Em p R1 Uco p p C L i3o R2 p L 1 R2 p C 1 R1 p L  2.2. Независимые начальные условия I1 R1 R2 Uco/p pL Li3o E/p 1/pC i3 i1 R1 e(t) R2 После преобразований получим решение для искомой функции в следую- щем виде Uc p( ) Em R2 p Em L R1 R2 Uco C R1 L i3o  p 2 R1 L Uco C p 3 R2 L C p 2 L R1 R2 C  p R1 R2  N p( ) M p( ) N p( ) Em R2 p Em L R1 R2 Uco C R1 L i3o  p 2 R1 L Uco C M p( ) p 3 R1 L C p 2 L R1 R2 C  p R1 R2  dM p( ) 3p 2 R1 L C 2p L R1 R2 C  R1 R2  2.4. Определение корней уравнения М(р) = 0 (используем функцию polyroots): p polyroots 0 R1 R2 L R2 R1 C R1 L C     1222.701 2762.061j 1222.701 2762.061j 0    20 2.6. Решение для искомой функции Uc t( ) 0 2 k N pk  dM pk  e p k t  2.7. Графическая диаграмма искомой функции 0 1 10 3 2 10 3 3 10 3 4 10 3 5 10 3 6 10 3 7 10 3 300 250 200 150 100 50 50 100 150 Uc t( ) t 3. Расчет переходного процесса численным методом 3.1. Независимые начальные условия: i3 , Uc 0( ) 0( ) i3o Em R2 3.286 Uco Em 115 3.2. Система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа i1 i2 i3 0 (1) i1 R1 Uc u t( ) (2) L t i3 d d  i3 R2 Uc 0 (3) i2 C t Ucd d  (4) 3.3. Приведение системы дифференциальных уравнений к форме Коши и ее решение t i3 d d R2 L i3 1L Uc t Ucd d 1 C i3 1R1 C Uc 1 R1 C u t( ) D t V( ) R2 L V 0 1L V 1 1 C V 0 1C R1 V 1 1 C R1 Em    N i3o Uco   n 2000 F rkfixed N 0 0.02 n D( ) t F 0  i3 F 1  Uc F 2  21 3.4.Графическая диаграмма искомой функции Uc(t) 0 1 10 3 2 10 3 3 10 3 4 10 3 5 10 3 6 10 3 7 10 3 300 250 200 150 100 50 50 100 150 Uc Uc t t 0.01 4. Анализ решения по графической диаграмме Из анализа графической диаграммы функции Uc(t) определяем: 4.1. Характер переходного процесса – колебательный, затухающий. 4.2. Время переходного процесса Тп = 0.0045 с. 4.3. Коэффициент затухания свободной составляющей b = 5/Тп = 1111. 4.4. Период свободных колебаний То = 0.0023. 4.5. Максимальное и минимальное значения Ucmax = 137 B, Ucmin = –280 B. 22 ЗАДАЧА 36. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЦЕПИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА 1. Схема цепи и параметры элементов R2 R3 i1 R1 L1 e(t) i2 i3 L2 C3 C 20 10 6 R1 10 R2 15 R3 1 L1 0.1 L2 0.3 E 30 Em 100 f 50  2 f  50deg e t( ) E Em sin  t ( ) 2. Система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа i1 i2 i3 0 i1 R1 L1 di1 dt  i3 R3 Uc e t( ) i2 R2 L2 di2 dt  i3 R3 Uc 0 C dUc dt  i3 t i1d d R1 R3( ) L1 i1 R3 L1 i2 1 L1 Uc 1 L1 e t( ) t i2d d R3 L2 i1 R2 R3( ) L2 i2 1 L2 Uc t Ucd d 1 C i1 1 C i2 23 3. Решение системы дифференциальных уравнений численным методом 24 F t X( ) R1 R3( ) L1 X 0 R3L1 X 1 1 L1 X 2 1L1 e t( ) R3 L2 X 0 R2 R3( ) L2 X 1 1 L2 X 2 1 C X 0 1C X 1    Y 0 0 0    Z rkfixed Y 0 0.2 10000 F( ) t Z 0  i1 Z 1  i2 Z 2  Uc Z 3  i3 i1 i2 Uab i3 R3 Uc 4. Определение времени переходного процесса 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 2 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 2 i3 i3 t t .1 Вывод: время переходного процесса составляет примерно Тп =.1 с. 5. Графические диаграммы функций токов 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 2 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 i1 i2 i3 t 25 ЗАДАЧА 37. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЦЕПИ RLC ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ НАПРЯЖЕНИЯ ИМПУЛЬСНОЙ ФОРМЫ 1. Схема цепи и параметры элементов L C e(t) i R u R uL uC Исходные данные: C 100 10 6 R 10 L 0.1 f 50 tk 0 .005 .010 .020 .025 .030 .1( )T uk 0 100 0 0 100 0 0( )T e t( ) linterp tk uk t( ) 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 100 75 50 25 25 50 75 100 e t( ) t 26 2. Система дифференциальных уравнений и ее решение i1 R L t i1d d  Uc u t( ) i1 C t Ucd d   t i1d d R L i1 1 L Uc u t( ) t Ucd d 1 C i1 D t X( ) R L X 0 1 L X 1 e t( ) 1 C X 0    X 0 0   27 F Rkadapt X 0 0.2 10000 D( ) t F 0  i1 F 1  Uc F 2  Ur i1 R UL e t( ) Ur Uc 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 i1 e t( ) .003 t ЗАДАЧА 38. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 1. Схема произвольной ветви и ее потенциальное уравнение i1 R1 L1 C1 u i1 R1 L1 t i1 d d  u1 e1 i1 C1 tu1 d d  2. Граф-схема сложной электрической цепи i2 i1 e1 e3 e2 i5 i4 i3 i6 3. Параметры элементов схемы в матричной форме ORIGIN 1 R 26 31 42 18 28 42    28 L 85 126 92 79 106 121   10 3 C 92 87 47 76 53 71   10 6 Em 100 130 120    a 10 150 40   deg T 1 f  f 50  2 f e1 t( ) Em1 sin  t a1  e2 t( ) Em2 sin  t a2  e3 t( ) Em3 sin  t a3  3. Система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа i1 R1 L1 t i1 d d  u1 u5 L5 t i5 d d  i5 R5 i4 R4 L4 t i4 d d  u4 e1 t( ) i2 R2 L2 t i2 d d  u2 i4 R4 L4 t i4 d d  u4 i6 R6 L6 t i6 d d  u6 e2 t( ) i3 R3 L3 t i3 d d  u3 i5 R5 L5 t i5 d d  u5 i6 R6 L6 t i6 d d  u6 e3 t( ) t i1d d t i2d d  t i4d d  0 t i1d d t i3d d  t i5d d  0 t i2d d t i3d d  t i6d d  0 4. Приведение системы дифференциальных уравнений к форме Коши 4.1. Вводим обозначения S1 e1 t( ) u1 i1 R1 u5 i5 R5 i4 R4 u4 S2 e2 t( ) u2 i2 R2 u4 i4 R4 i6 R6 u6 S3 e3 t( ) u3 i3 R3 u5 i5 R5 i6 R6 u6 L1 t i1d d  L4 t i4 d d  L5 t i5 d d  S1 L2 t i2d d  L4 t i4 d d  L6 t i6 d d  S2 29 L3 t i3d d  L5 t i5 d d  L6 t i6 d d  S3 t i1d d t i2d d  t i4d d  0 t i1d d t i3d d  t i5d d  0 t i2d d t i3d d  t i6d d  0 4.2. Решение методом Крамера D L1 0 0 1 1 0 0 L2 0 1 0 1 0 0 L3 0 1 1 L4 L4 0 1 0 0 L5 0 L5 0 1 0 0 L6 L6 0 0 1   0.016 D1 S1 S2 S3 0 0 0 0 L2 0 1 0 1 0 0 L3 0 1 1 L4 L4 0 1 0 0 L5 0 L5 0 1 0 0 L6 L6 0 0 1   D1 89353 S1 1000000 38027 S2 1000000  8823 S3 200000  D2 L1 0 0 1 1 0 S1 S2 S3 0 0 0 0 0 L3 0 1 1 L4 L4 0 1 0 0 L5 0 L5 0 1 0 0 L6 L6 0 0 1   D2 38027 S1 1000000 37447 S2 500000  10261 S3 250000  D3 L1 0 0 1 1 0 0 L2 0 1 0 1 S1 S2 S3 0 0 0 L4 L4 0 1 0 0 L5 0 L5 0 1 0 0 L6 L6 0 0 1   D3 81779 S3 1000000 10261 S2 250000  8823 S1 200000  D4 L1 0 0 1 1 0 0 L2 0 1 0 1 0 0 L3 0 1 1 S1 S2 S3 0 0 0 L5 0 L5 0 0 0 0 L6 L6 0 0 1   D4 9381 S2 500000 3339 S1 250000  3339 S3 250000  30 D5 L1 0 0 1 1 0 0 L2 0 1 0 1 0 0 L3 0 1 1 L4 L4 0 1 0 0 S1 S2 S3 0 0 0 0 L6 L6 0 0 1   D5 22619 S1 500000 3017 S2 1000000  1177 S3 31250  D6 L1 0 0 1 1 0 0 L2 0 1 0 1 0 0 L3 0 1 1 L4 L4 0 1 0 0 L5 0 L5 0 1 0 S1 S2 S3 0 0 0   D6 677 S2 20000 761 S1 125000  8147 S3 200000  31 4.3. Система дифференциальных уравнений в форме Коши t i1d d 1 D D1 1 D 89353 e1 t( ) u1 i1 R1 u5 i5 R5 i4 R4 u4  1000000 38027 e2 t( ) u2 i2 R2 u4 i4 R4 i6 R6 u6  1000000  8823 e3 t( ) u3 i3 R3 u5 i5 R5 i6 R6 u6  200000   t i2d d 1 D D2 1 D 38027 e1 t( ) u1 i1 R1 u5 i5 R5 i4 R4 u4  1000000 37447 e2 t( ) u2 i2 R2 u4 i4 R4 i6 R6 u6  500000  10261 e3 t( ) u3 i3 R3 u5 i5 R5 i6 R6 u6  250000   t i3d d 1 D D3 1 D 81779 e3 t( ) u3 i3 R3 u5 i5 R5 i6 R6 u6  1000000 10261 e2 t( ) u2 i2 R2 u4 i4 R4 i6 R6 u6  250000  8823 e1 t( ) u1 i1 R1 u5 i5 R5 i4 R4 u4  200000   t i4d d 1 D D4 1 D 9381 e2 t( ) u2 i2 R2 u4 i4 R4 i6 R6 u6  500000 3339 e1 t( ) u1 i1 R1 u5 i5 R5 i4 R4 u4  250000  3339 e3 t( ) u3 i3 R3 u5 i5 R5 i6 R6 u6  250000   t i5d d 1 D D5 1 D 22619 e1 t( ) u1 i1 R1 u5 i5 R5 i4 R4 u4  500000 3017 e2 t( ) u2 i2 R2 u4 i4 R4 i6 R6 u6  1000000  1177 e3 t( ) u3 i3 R3 u5 i5 R5 i6 R6 u6  31250   t i6d d 1 D D6 1 D 677 e2 t( ) u2 i2 R2 u4 i4 R4 i6 R6 u6  20000 761 e1 t( ) u1 i1 R1 u5 i5 R5 i4 R4 u4  125000  8147 e3 t( ) u3 i3 R3 u5 i5 R5 i6 R6 u6  200000   t u1d d 1 C1 i1 t u2d d 1 C2 i2 t u3d d 1 C3 i3 t u4d d 1 C4 i4 t u6d d 1 C6 i6 t u5d d 1 C5 i5 33 5. Решение системы дифференциальных уравнений по программе rkfixed NU 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0( )T B t X( ) 1 D 89353 e1 t( ) X7 X1 R1 X11 X5 R5 X4 R4 X10  1000000 38027 e2 t( ) X8 X2 R2 X10 X4 R4 X6 R6 X12  1000000  8823 e3 t( ) X9 X3 R3 X11 X5 R5 X6 R6 X12  200000   1 D 38027 e1 t( ) X7 X1 R1 X11 X5 R5 X4 R4 X10  1000000 37447 e2 t( ) X8 X2 R2 X10 X4 R4 X6 R6 X12  500000  10261 e3 t( ) X9 X3 R3 X11 X5 R5 X6 R6 X12  250000   1 D 81779 e3 t( ) X9 X3 R3 X11 X5 R5 X6 R6 X12  1000000 10261 e2 t( ) X8 X2 R2 X10 X4 R4 X6 R6 X12  250000  8823 e1 t( ) X7 X1 R1 X11 X5 R5 X4 R4 X10  200000   1 D 9381 e2 t( ) X8 X2 R2 X10 X4 R4 X6 R6 X12  500000 3339 e1 t( ) X7 X1 R1 X11 X5 R5 X4 R4 X10  250000  3339 e3 t( ) X9 X3 R3 X11 X5 R5 X6 R6 X12  250000   1 D 22619 e1 t( ) X7 X1 R1 X11 X5 R5 X4 R4 X10  500000 3017 e2 t( ) X8 X2 R2 X10 X4 R4 X6 R6 X12  1000000  1177 e3 t( ) X9 X3 R3 X11 X5 R5 X6 R6 X12  31250   1 D 677 e2 t( ) X8 X2 R2 X10 X4 R4 X6 R6 X12  20000 761 e1 t( ) X7 X1 R1 X11 X5 R5 X4 R4 X10  125000  8147 e3 t( ) X9 X3 R3 X11 X5 R5 X6 R6 X12  200000   1 C1 X1 1 C2 X2 1 C3 X3 1 C4 X4 1 C5 X5 1 C6 X6    u6 X 12 i6 X 6 u5 X 11 i5 X 5 u4 X 10 i4 X 4 u3 X 9 i3 X 3 u2 X 8 i2 X 2 u1 X 7 i1 X 1 Z rkfixed NU 0 .1 5000 B( ) t Z 1  i2 Z 3  i1 Z 2  i3 Z 4  i6 Z 7  i4 Z 5  i5 Z 6  u1 Z 8  u2 Z 9  u3 Z 10  u4 Z 11  u5 Z 12  u6 Z 13  5. Графические диаграммы токов в переходном режиме 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 3 2 1 1 2 3 i1 i2 i3 t 6. Графические диаграммы напряжений в переходном режиме 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 200 100 100 200 u1 u2 u3 t 7. Определение времени переходного процесса 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 i1 i1 t t .04 Вывод: продолжительность переходного процесса составляет 2 периода. 35 7. Обработка результатов расчета для 3-г о периода N 3000 7.1. Действующие значения токов и напряжений I1 1 1000 2001 N i i1i  2   0.876 U1 1 1000 2001 N i u1i  2   30.434 I2 1 1000 2001 N i i2i  2   2.033 U2 1 1000 2001 N i u2i  2   74.352 I3 1 1000 2001 N i i3i  2   1.23 U3 1 1000 2001 N i u3i  2   83.336 I4 1 1000 2001 N i i4i  2   0.662 U4 1 1000 2001 N i u4i  2   27.677 I5 1 1000 2001 N i i5i  2   1.458 U5 1 1000 2001 N i u5i  2   87.608 I6 1 1000 2001 N i i6i  2   0.886 U6 1 1000 2001 N i u6i  2   39.686 E1 1 T 0 T te1 t( ) 2  d 70.711 E2 1 T 0 T te2 t( ) 2  d 91.924 E3 1 T 0 T te3 t( ) 2  d 84.853 36 7.2. Гармонический анализ функций токов и напряжений  2 f j 1 B1 2 1000 2001 N i i1i sin  ti     0.339 C1 2 1000 2001 N i i1i cos  ti     1.191 i 1 arg Im1  74.107 deg 37 Im1 B1 j C1 Im1 1.238 ig1 t( ) Im1 sin  t i 1  D1 2 1000 2001 N i u1i sin  ti     41.41 F1 2 1000 2001 N i u1i cos  ti     11.733 u1 arg Um1  15.819 deg Um1 D1 j F1 Um1 43.04 ug1 t( ) Um1 sin  t u1   7.3. Мощность источников и приемников Pe1 1 1000 2001 N i e1 t( )i i1i    27.039 Pe2 1 1000 2001 N i e2 t( )i i2i    186.475 Pe3 1 1000 2001 N i e3 t( )i i3i    98.139 P1 1 1000 2001 N i R1 i1i  2    19.936 P2 1 1000 2001 N i R2 i2i  2    128.109 P3 1 1000 2001 N i R3 i3i  2    63.585 P4 1 1000 2001 N i R4 i4i  2    7.877 P5 1 1000 2001 N i R5 i5i  2    59.488 P6 1 1000 2001 N i R6 i6i  2    32.998 Pe Pe1 Pe2 Pe3 311.653 Pn P1 P2 P3 P4 P5 P6 311.993 38 ЗАДАЧА 39. РАСЧЕТ ПРОСТОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА 1. Схема цепи и параметры элементов U2U1 I1 R1 НЭ2 E E 140 R1 50 Вольтамперная характеристика нелинейного элемента задана в виде таб- лицы координат точек. Представляем ВАХ в матричной форме 39 Uk 0 10 24 36 49 64 81 100 121 144( )T Ik 0 .3 .5 .6 .7 .8 .9 1.0 1.1 1.2( )T 2. 1-ый вариант решения Нелинейная ВАХ I(U) аппроксимируется кубическими сплайнами I1 U2( ) interp s1 Uk Ik U2( ) s1 cspline Uk Ik( ) Нелинейное уравнение Кирхгофа решается по программе Given..Find.. Given U2 1 I1 U2( ) R1 U2 E U2 Find U2( ) 92.032 I1 U2( ) 0.959 U1 I1 U2( ) R1 47.968 3. 2-ой вариант решения Нелинейная ВАХ U(I) аппроксимируется кубическими сплайнами s2 cspline Ik Uk( ) U2 I2( ) interp s2 Ik Uk I2( ) Нелинейное уравнение Кирхгофа решается по программе Given..Find.. I2 1 Given I2 R1 U2 I2( ) E I2 Find I2( ) 0.959 U2 I2( ) 92.033 U1 R1 I2 47.967 4. 3-ий вариант – графическое решение Нелинейная ВАХ U(I) аппроксимируется кубическими сплайнами s3 cspline Ik Uk( ) U2 I3( ) interp s3 Ik Uk I3( ) U2 I3( ) E I3 R1 В соответствии с уравнением Кирхгофа в одном масштабе строятся две графические диаграммы, представляющие выражения слева и справа от знака равенства. Решению задачи соответствует точка пересечения двух диаграмм. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 U2 I3( ) E I3 R1 I3 40 ЗАДАЧА 40. РАСЧЕТ ПРОСТОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА 1. Схема цепи и параметры элементов I R1 НЭ2 E U1 U2 E 150 R1 140 Вольтамперная характеристика нелинейного элемента задана в виде таб- лицы координат точек. Представляем ВАХ в матричной форме 41 Uk 0 2 20 40 50 60 80 100 120 150( )T Ik 0 .01 1.0 1.2 .8 .4 .3 .7 1.1 1.6( ) T 2. Графический метод решения Нелинейная ВАХ I(U) аппроксимируется кубическими сплайнами I2 U2( ) interp s1 Uk Ik U2( ) s1 cspline Uk Ik( ) I1 U2( ) E U2 R1  I2 U2( ) E U2 R1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 I1 U2( ) I2 U2( ) U2 3. Аналитический метод решения Нелинейное уравнение Кирхгофа решается по программе Given...Find. U2 10 Given I1 U2( ) R1 U2 E U2 Find U2( ) 0 I1 U2( ) 1.071 U1 I1 U2( ) R1 150 U2 50 Given I1 U2( ) R1 U2 E U2 Find U2( ) 0 I1 U2( ) 1.071 U1 I1 U2( ) R1 150 U2 100 Given I1 U2( ) R1 U2 E U2 Find U2( ) 0 I1 U2( ) 1.071 U1 I1 U2( ) R1 150 42 ЗАДАЧА 41. РАСЧЕТ СЛОЖНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ 1 ПОСТОЯННОГО ТОКА 1. Схема цепи и параметры элементов I1 НЭ1 43 Вольтамперные характеристики (ВАХ) нелинейных элементов заданы в виде таблиц координат точек (таблично), которые представляем в матричной форме. E 150 R3 120 U1k 0 20 30 40 50 60 70 80 90 95( )T I1k 0 .03 .06 .12 .23 .39 .61 0.95 1.56 2.58( )T U2k 0 11 27 39 55 74 95 125 165 210( )T I2k 0 .3 .5 .6 .7 .8 .9 1.0 1.1 1.2( )T Выполняем аппроксимацию ВАХ нелинейных элементов по форме I(U) или U(I) в зависимости от их применения в уравнениях Кирхгофа Для НЭ1: s1 cspline I1k U1k( ) U1 I1t( ) interp s1 I1k U1k I1t( ) Для НЭ1: Для НЭ2: 2. Аппроксимация ВАХ нелинейных элементов I2 I3 НЭ2 R3 a E b 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 20 40 60 80 100 U1 I1t( ) I1t Для НЭ2: s2 cspline U2k I2k( ) I2 U2( ) interp s2 U2k I2k U2( ) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 I2 U2( ) U2 44 3. Решение системы нелинейных уравнений Система нелинейных уравнений Кирхгофа решается по программе Given...Find: I1t 1 I3 1 U2 6 Given I1t I2 U2( ) I3 0 U1 I1t( ) I3 R3 E U1 I1t( ) U2 E I1t I3 U2   Find I1t I3 U2( ) 1.277 0.531 63.689    I1t 1.277 I2 U2( ) 0.747 I3 0.531 U1 I1t( ) 86.311 U3 U2 63.689 45 ЗАДАЧА 42. РАСЧЕТ СЛОЖНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ 2 ПОСТОЯННОГО ТОКА 1. Схема цепи и параметры элементов E2 R3 U3 I2 46 2. Аппроксимация ВАХ нелинейного элемента НЭ1 производится уравне- нием степенного полинома вида U a I b I n . Коэффициенты аппроксимации определяются по методу выбранных точек. E1 180 E2 150 R3 40 I1k 0 .38 .58 .70 .78 .84 .92 .98 1.01 1.10( )T a 1 b 1 n 2 Given U1k3 a I1k3 b I1k3 n U1k6 a I1k6 b I1k6 n U1k9 a I1k9 b I1k9 n a b n   Find a b n( ) 25.475 70.123 4.911    U1 I11( ) a I11 b I11 n U1k 0 10 20 30 40 50 70 90 100 140( )T E1 U1 U2 I3 I1 НЭ1 НЭ2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 25 50 75 100 125 150 U1 I11( ) U1k I11 I1k 3. Аппроксимация ВАХ нелинейного элемента НЭ2 выполняется кубиче- скими сплайнами U2k 0 10 20 30 40 50 70 90 100 120( )T I2k 0 .2 .35 .45 .52 .57 .63 .80 1.00 1.90( )T I2 U2( ) interp cs U2k I2k U2( ) cs cspline U2k I2k( ) 0 25 50 75 100 125 0.5 1 1.5 2 I2 U2( ) I2k U2 U2k 47 4. Решение системы нелинейных уравнений Кирхгофа по программе Given...Find: I1 1 I3 1 U1 1 U2 1 U3 1 Given I1 I2 U2( ) I3 0 U1 U3 E1 U1 a I1 b I1 n U2 U3 E2 U3 I3 R3 A Find I1 I3 U1 U2 U3( ) 5. Результаты вычислений: I1 A0 1.038 I3 A1 1.732 U1 A2 110.725 U2 A3 80.725 U3 A4 69.275 I2 U2( ) 0.694 48 ЗАДАЧА 43. РАСЧЕТ НЕРАЗВЕТВЛЕННОЙ МАГНИТНОЙ ЦЕПИ 1. Эскизный рисунок магнитной цепи (а) и ее схема (б) 49 2. Исходные данные 2.1. Кривая намагничивания материала сердечника В = f(Н) задана таблично: Bk 0 .5 .8 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7( )T Hk 0 32 68 123 174 263 404 625 959 1450 2170( )T o 1.25 10 6 0 500 1 103 1.5 103 2 103 2.5 103 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 Bk Hk Графическая диаграмма функции В = f(Н): Rм2 Uм2 Ф Rм1 Iw Uм0 Rм0 Uм1 s2 l2 /2 I w Ф  l1 s1 а б 2.2. Геометрические размеры магнитной цепи заданы в единицах измере- ния системы SI: l1 0.3 s1 0.004 Iw 300 l2 0.1 s2 0.003  .0001 3. Расчет вебер-амперных характеристик отдельных участков магнитной цепи Для удобства чтения выразим магнитные потоки в мВб 3.1. Для 1-го участка: 1k 1000Bk s1 U1k Hk l1 мВб В 1k T 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 2 3.2 4 4.4 4.8 5.2 5.6 6 6.4 6.8  U1kT 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 9.6 20.4 36.9 52.2 78.9 121.2 187.5 287.7 435 651  3.2. Для 2-го участка: 2k 1000Bk s2 U2k Hk l2 мВб В 2k T 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 1.5 2.4 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 4.8 5.1  U2kT 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 0 3.2 6.8 12.3 17.4 26.3 40.4 62.5 95.9 145 217  3.3. Для 3-го участка: Uo ( )  o s1  .001 4. Аппроксимация вебер-амперных характеристик степенным полиномом вида U = aФ + bФn 4.1. Определение коэффициентов a1 и b1и n1 по методу выбранных точек (3, 6, 9): 50 a1 .01 b1 .0001 n1 5 Given U1k3 a1 1k 3 b1 1k 3 n1 U1k6 a1 1k 6 b1 1k 6 n1 U1k9 a1 1k 9 b1 1k 9 n1 a1 b1 n1   Find a1 b1 n1( ) 5.628 7.978 10 4 7.069    U1 ( ) a1  b1  n1 4.2. Определение коэффициентов и b2 и n2 по методу выбранных точек (3, 6, 9): a2 a2 .01 b2 .0001 n2 5 Given U2k3 a2 2k 3 b2 2k 3 n2 U2k6 a2 2k 6 b2 2k 6 n2 U2k9 a2 2k 9 b2 2k 9 n2 a2 b2 n2   Find a2 b2 n2( ) 2.501 2.032 10 3 7.069    U2 ( ) a2  b2  n2 4.4. Уравнение аппроксимации ВбАХ воздушного зазора: Uo ( )  o s1  .001 51 5. Система уравнений Кирхгофа и ее решение  1 Given U1 ( ) U2 ( ) Uo ( ) Iw  Find ( ) 4.73 6. Результаты расчета: U1 ( ) 73.683 U2 ( ) 131.716 Uo ( ) 94.601 Bo  s1 10 3 1.183 6. Аппроксимация вебер-амперных характеристик гиперболическим сину- сом вида U = сsinh(dФ) 6.1. Определение коэффициентов c1 и d1 по методу выбранных точек (3, 7): c1 1 d1 1 U1k3 c1 sinh d1 1k 3  Given U1k7 c1 sinh d1 1k 7  c1 d1   Find c1 d1( ) 1.269 1.016   U1 ( ) c1 sinh d1 ( ) 6.2. Определение коэффициентов c2 и d2 по методу выбранных точек (3, 7): c2 1 d2 1 U2k3 c2 sinh d2 2k 3  Given 52 U2k7 c2 sinh d2 2k 7  c2 d2   Find c2 d2( ) 0.423 1.354   U2 ( ) c2 sinh d2 ( ) 6.3. Уравнение аппроксимации воздушного зазора: Uo ( )  o s1  .001 7. Система уравнений Кирхгофа и ее решение Given U1 ( ) U2 ( ) Uo ( ) Iw  1  Find ( ) 4.729 6. Результаты расчета: U1 ( ) 77.418 U2 ( ) 127.997 Uo ( ) 94.585 Bo  s1 10 3 1.182 53 ЗАДАЧА 44. РАСЧЕТ РАЗВЕТВЛЕННОЙ МАГНИТНОЙ ЦЕПИ 1 В MathCAD 1. Схема цепи и параметры элементов Заданы: эскизный рисунок магнитной цепи (рис. 1, а) и геометрические размеры отдельных участков, числа витков обмоток и токи, протекающие в об- мотках, графическая диаграмма кривой намагничивания материала сердечника В = f(Н) (рис. 2). 54 Рис. 1 Геометрические размеры магнитной цепи заданы в единицах измерения системы SI: Требуется: выполнить расчет магнитной цепи и определить индукцию магнитного поля в зазоре Во. 1. На графической диаграмме кривой намагничивания В = f(Н) выбирают 10…15 точек. Координаты выбранных точек оформляют в виде матриц. l1 0.4 s1 0.002 w1 300 i1 2 l2 0.2 s2 0.004 w2 200 i2 2 l3 0.5 s3 0.003 w3 250 i3 3 B 0 .5 .8 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7( )T H 0 35 66 120 170 260 410 630 980 1560 2470( )T  Ф1 Ф2 Ф3 I1w1 I2w2 I3w3 U3(Ф3) U2(Ф2) U1(Ф1) а б w1 w2 w3 I1 I2 I3 0 500 1 103 1.5 103 2 103 2.5 103 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 B B H Рис. 2. Графическая диаграмма функции В = f(Н) 1-ый вариант решения задачи 2. Расчет вебер-амперных характеристик отдельных участков магнитной цепи производится по известным формулам Ф = В s, U = Hl, для удобства магнитные потоки выразим в [мВб]. k 1 10 1 k 1000 Bk s1 U1k Hk l1 – для 1-го участка 2 k 1000 Bk s2 U2k Hk l2 – для 2-го участка 3 k 1000 Bk s3 U3k Hk l3 – для 3-го участка 3. Аппроксимация вебер-амперных характеристик отдельных участков магнитной цепи выполняется степенным полиномом вида U = aФ + bФ n, ко- эффициенты аппроксимации a, b и n определяются по методу выбранных точек (3, 6, 9). Для 1-го участка: a1 1 b1 1 n1 1 55 U13 a1 1 3 b1 1 3 n1 Given U16 a1 1 6 b1 1 6 n1 U19 a1 1 9 b1 1 9 n1 a1 b1 n1   Find a1 b1 n1( ) 14.894 0.112 7.35    Для 2-го участка: a2 1 b2 1 n2 1 U23 a2 2 3 b2 2 3 n2 Given U26 a2 2 6 b2 2 6 n2 U29 a2 1 9 b2 2 9 n2 a2 b2 n2   Find a2 b2 n2( ) 48.024 22.447 1.634    Для 3-го участка: a3 1 b3 1 n3 1 U33 a3 3 3 b3 3 3 n3 Given U36 a3 3 6 b3 3 6 n3 U39 a3 3 9 b3 3 9 n3 a3 b3 n3   Find a3 b3 n3( ) 12.411 7.086 10 3 7.35    56 Уравнения аппроксимации вебер-амперных характеристик отдельных уча- стков: U1 1( ) a1 1 b1 1 n1 U2 2( ) a2 2 b2 2 n2 U3 3( ) a3 3 b3 3 n3 4. Составляется расчетная схема магнитной цепи (рис. 1, б). Для схемы составляется система уравнений по законам Кирхгофа. Решение системы уравнений производится по программе "Given...find" 1 0 2 0 3 0 Uab 0 Given Uab U1 1( ) i1 w1 Uab U2 2( ) i2 w2 Uab U3 3( ) i3 w3 1 2 3 0 1 2 3 Uab   Find 1 2 3 Uab( ) 2.64 2.449 5.089 420.644    Результаты вычислений: 1 2.64 2 2.449 3 5.089 Uab 420.644 2-ой вариант решения задачи 2.Расчет вебер-амперных характеристик отдельных участков магнитной цепи производится по известным формулам Ф = Вs, U = Hl, для удобства маг- нитные потоки выразим в [мВб]. 57 k 1 10 1 k 1000 Bk s1 U1k Hk l1 - для 1-го участка 2 k 1000 Bk s2 U2k Hk l2 - для 2-го участка 3 k 1000 Bk s3 U3k Hk l3 - для 3-го участка: 3.Аппроксимация вебер-амперных характеристик отдельных участков магнитной цепи выполняется гиперболическим синусом вида U = сsinh(dФ), коэффициенты аппроксимации c и d определяются по методу выбранных точек(3,7) 6.1.Определение коэффициентов c1и d1по методу выбранных точек (3,7): Для 1-го участка: c1 1 d1 1 U13 c1 sinh d1 1 3  Given U17 c1 sinh d1 1 7  c1 d1   Find c1 d1( ) 1.521 2.072   Для 2-го участка: c2 1 d2 1 U23 c2 sinh d2 2 3  Given U27 c2 sinh d2 2 7  c2 d2   Find c2 d2( ) 0.761 1.036   58 Для 3-го участка: c3 1 d3 1 U33 c3 sinh d3 3 3  Given U37 c3 sinh d3 3 7  c3 d3   Find c3 d3( ) 1.902 1.382   Уравнения аппроксимации вебер-амперных характеристик отдель- ных участков: U1 1( ) c1 sinh d1 1( ) U2 2( ) c2 sinh d2 2( ) U3 3( ) c3 sinh d3 3( ) 7.Система уравнений Кирхгофа и ее решение 1 1 2 1 3 1 Uab 1 Given Uab U1 1( ) i1 w1 Uab U2 2( ) i2 w2 Uab U3 3( ) i3 w3 1 2 3 0 59 1 2 3 Uab   Find 1 2 3 Uab( ) 2.7 2.435 5.134 395.29    Результаты вычислений: 1 2.7 2 2.435 3 5.134 Uab 395.29 ЗАДАЧА 45. РАСЧЕТ РАЗВЕТВЛЕННОЙ МАГНИТНОЙ ЦЕПИ 2 В MathCAD 1. Схема цепи и параметры элементов Заданы: эскизный рисунок магнитной цепи (рис. 1, а) и геометрические размеры отдельных участков, числа витков обмоток и токи, протекающие в об- мотках, графическая диаграмма кривой намагничивания материала сердечника В = f(Н) (рис. 2). l1 s1 s2 l2 I1 60 Геометрические размеры магнитной цепи заданы в единицах измерения системы SI: Требуется: выполнить расчет магнитной цепи и определить индукцию магнитного поля в зазоре Во . 1. На графической диаграмме кривой намагничивания В = f(Н) выбирают 10…15 точек. Координаты выбранных точек оформляют в виде матриц. Рис. 1. Эскизный рисунок и расчетная схема магнитной цепи l1 0.4 s1 0.0015 w1 200 I1 2.5 l2 0.4 s2 0.0025 w2 300 I2 2 l3 0.2 s3 0.004 o 4 10 7  5 10 4 B 0 .5 .8 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7( )T H 0 35 66 120 170 260 410 630 980 1560 2470( )T l3 3 s3 w1 I2 w2 Ф1 Ф3 Ф2 U3(Ф3) U2(Ф2) U1(Ф1) R30 Iw2 Iw1 а б 0 500 1 103 1.5 103 2 103 2.5 103 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 B B H Рис. 2. Графическая диаграмма функции В = f(Н) 2. Расчет вебер-амперных характеристик отдельных участков магнитной цепи производится по известным формулам Ф = В s, U = Hl, для удобства маг- нитные потоки выразим в [мВб]. k 1 10 1 k 1000 Bk s1 U1k Hk l1 - для 1-го участка 2 k 1000 Bk s2 U2k Hk l2 - для 2-го участка 3 k 1000 Bk s3 U3k Hk l3 - для 3-го участка Ro  o s3 Uo 3( ) Ro 3 .001 - для зазора 3. Аппроксимация вебер-амперных характеристик отдельных участков магнитной цепи выполняется степенным полиномом вида U = aФ + bФ n, ко- эффициенты аппроксимации a, b и n определяются по методу выбранных точек (3, 6, 9). Для 1-го участка: b1 1 a1 1 n1 1 61 U13 a1 1 3 b1 1 3 n1 Given U16 a1 1 6 b1 1 6 n1 U19 a1 1 9 b1 1 9 n1 a1 b1 n1   Find a1 b1 n1( ) 19.858 0.925 7.35    Для 2-го участка: a2 1 b2 1 n2 1 U23 a2 2 3 b2 2 3 n2 Given U26 a2 2 6 b2 2 6 n2 U29 a2 1 9 b2 2 9 n2 a2 b2 n2   Find a2 b2 n2( ) 12.383 0.017 7.557    Для 3-го участка: a3 1 b3 1 n3 1 U33 a3 3 3 b3 3 3 n3 Given U36 a3 3 6 b3 3 6 n3 U39 a3 3 9 b3 3 9 n3 a3 b3 n3   Find a3 b3 n3( ) 3.723 3.421 10 4 7.35    62 Уравнения аппроксимации вебер-амперных характеристик отдельных уча- стков: U1 1( ) a1 1 b1 1 n1 U2 2( ) a2 2 b2 2 n2 U3 3( ) a3 3 b3 3 n3 4. Составляется расчетная схема магнитной цепи (рис. 1, б). Для схемы со- ставляется система уравнений по законам Кирхгофа. Решение системы уравне- ний производится по программе "Given...find" 1 1 2 1 3 1 Uab 10 Given 1 2 3 0 Uab U1 1( ) I1 w1 Uab U2 2( ) I2 w2 Uab U3 3( ) Uo 3( ) 1 2 3 Uab   Find 1 2 3 Uab( ) 1.259 3.122 4.382 469.951    Результаты вычислений: 1 1.259 2 3.122 3 4.382 Uab 469.951 U1 1( ) 30.049 U2 2( ) 130.049 U3 3( ) 34.106 Bo 3 s3 .001 1.095 Uo 3( ) 435.845 Примечание: алгоритм решения задачи позволяет выполнять анализ влия- ния отдельных параметров исходных данных на конечные результаты, для это- го достаточно внести изменение нужного параметра в исходных данных задачи и повторить вычисления до конца алгоритма. 63 ЗАДАЧА 46. РАСЧЕТ ВОЛЬТ-АМПЕРНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНОЙ КАТУШКИ 1. Исходные данные 64 T 1 f  l 47 10 2 s 28 10 4 w 135 f 50  2 f B 0 .1 .5 .8 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7( )T H 0 2 35 66 120 174 263 404 625 959 1454 2170( )T Диаграмма функции В = f(Н ) 0 200 400 600 800 1 103 1.2 103 1.4 103 1.6 103 1.8 103 2 103 0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 B H 2. Расчет вебер-амперной характеристики: ik H l w  k B s w Диаграмма функции  = f(il) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 k ik Аппроксимация вебер-амперной характеристики: n 7 a 1 b 1 ik2 a k 2 b k 2 n Given ik6 a k 6 b k 6 n ik9 a k 9 b k 9 n a b n   Find a b n( ) 0.637 156.68 6.985    n 7 i ( ) a  b ( )n 65 Проверка качества аппроксимации вебер-амперной характеристики: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7  k i ( ) ik 3. Расчет вольт-амперной характеристики: U 0 20 40 60 80 100 110 120 130 140 150( )T m k Umk   k 6 Umk Uk 2 c1 0 c2 0.1 c3 0.1  t( ) m k sin  t( ) c1 m k sin 3 t( ) i t( ) a  t( ) b  t( )7 Id 1 T 0 T ti t( )2  d 0.722 I1 0 .04 .08 .13 .21 .46 .73 1.19 1.93 3.11 4.91( )T I2 0 .04 .08 .13 .20 .36 .54 .84 1.31 2.05 3.18( )T I3 0 .04 .08 .13 .25 .64 1.10 1.87 3.11 5.15 8.21( )T 66 Диаграмма функции U = f(I) 0 1 2 3 4 5 0 20 40 60 80 100 120 140 160 U U U I1 I2 I3 Аппроксимация вольт-амперной характеристики: Given c .1 d .1 I14 c sinh d U4  I18 c sinh d U8  c d   Find c d( ) 0.012 0.044   I1 U( ) c sinh d U( ) Проверка качества аппроксимации вольт-амперной характеристики: Ua Ia( ) 1 d asinh Ia c   67 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 20 40 60 80 100 120 140 160 Ua Ia( ) Ia 68 ЗАДАЧА 47. РАСЧЕТ ПРОСТОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА КОМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ 1. Схема цепи и параметры элементов I R R0 i() C 69 Параметры отдельных элементов схемы заданы в единицах измерения системы SI. Вольтамперные характеристики нелинейных элементов заданы аналитически. E 50 R 20 Ro 4 Xc 30 a 2 10 5 I a UL3 2. Решение задачи методом законов Кирхгофа Система уравнений Кирхгофа дополняется уравнением аппроксимации в комплексной форме и решается по программе "Given...find". j 1 I1 1 j UL 10 j 10 Given I1 R Ro( ) j I1 Xc UL E I1 a UL 3 ej arg UL( ) 90deg( ) I1 UL   Find I1 UL( ) Ur I1 R Uk I1 Ro UL Uc I1 j Xc( ) E UR Uк UC Результаты расчета: I1 2.004 arg I1( ) 15.869 deg UL 46.446 arg UL( ) 105.869 deg Ur 40.079 arg Ur( ) 15.869 deg Uc 60.118 arg Uc( ) 74.131 deg Uk 47.133 arg Uk( ) 96.077 deg Va E Vc Uc Vb Vc Uk 3. Топографическая диаграмма потенциалов и векторная диаграмма токов V 0 Vc Vb Va 0( )T J 0 I1( )T 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 10 20 30 40 50 60 Re V( ) Re J( ) 20 Im V( ) Im J( ) 20 70 ЗАДАЧА 48. РАСЧЕТ СЛОЖНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА КОМПЛЕКСНЫМ МЕТОДОМ 1. Схема цепи и параметры элементов R I3I1 НЭR I2 71 Параметры отдельных элементов схемы заданы в единицах измерения сис- темы SI. Вольтамперные характеристики нелинейных элементов заданы анали- тически. Система уравнений Кирхгофа дополнена уравнениями аппроксимации в комплексной форме E 70 R 25 Xc 30 b 26 d 1.8 10 3 U1 b I1 2 ej arg I1( ) I3 d U4 4 ej arg U4( ) 90deg( ) 2. Решение задачи методом законов Кирхгофа j 1 I1 1 j I2 1 I3 1 U1 10 U4 10 Given I1 I2 I3 0 U1 j I2 Xc E U1 I3 R U4 E I3 d U4 4 ej arg U4( ) 90deg( ) U1 b I1 2 ej arg I1( ) I1 I2 I3 U1 U4   Find I1 I2 I3 U1 U4( ) U2 I2 j Xc( ) U3 I3 R U1 E U2 XC U4 НЭL U3 Результаты расчета: I1 1.315 arg I1( ) 13.036 deg I2 0.936 arg I2( ) 68.812 deg I3 1.105 arg I3( ) 31.402 deg U1 44.984 arg U1( ) 13.036 deg U2 28.073 arg U2( ) 21.188 deg U3 27.628 arg U3( ) 31.402 deg U4 4.978 arg U4( ) 58.598 deg 3. Топографическая диаграмма потенциалов и векторная диаграмма токов Vd 0 Va E Vb U2 72 Vc U4 V Vd Va Vb Vc Vd Vb( )T J 0 I1 0 I2 0 I3( )T 60 40 20 0 20 40 60 20 40 60 80 Re V( ) Re J( ) 50 Im V( ) Im J( ) 50 ЗАДАЧА 49. РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНОЙ ТРЕХФАЗНОЙ ЦЕПИ ПРИ СОЕДИНЕНИИ ФАЗ НАГРУЗКИ ЗВЕЗДОЙ БЕЗ НУЛЕВОГО ПРОВОДА 1. Условие задачи Для экспериментального определения порядка следования фаз в трехфаз- ной системе собирается трехфазная электрическая цепь по схеме звезды без ну- левого провода, в которой в одну из фаз включается конденсатор емкостью С, а в две другие фазы включаются электрические лампочки с номинальным напря- жением Un и номинальной мощностью Pn. Требуется по накалу лампочек уста- новить порядок следования фаз трехфазного источника. 2. Схема цепи и параметры элементов f 50 IB 73 3. Решение задачи методом линейной электротехники Un 220 C .5 10 6 Pn 40 Uf 220 j 1 Ua Uf ej 0 deg Ub Uf e j 120 deg Uc Uf ej 120 deg 3.1. Комплексные сопротивления фаз нагрузки (сопротивления ламп принимаем постоянными и равными их номинальным значениям) Rn Un2 Pn 1.21 103 Xc 1 2  f C 6.366 10 3 Za j Xc Zb Rn Zc Rn n IA IC B A ZB ZA ZC C 3.2. Расчет напряжений и токов по методу двух узлов Vn Ua Za Ub Zb  Uc Zc  1 Za 1 Zb  1 Zc   Vn 111.467 arg Un( ) 0 deg Uan 328.52 Uan Ua Vn arg Uan( ) 5.429 deg Ubn 221.626 Ubn Ub Vn arg Ubn( ) 90.764 deg Ucn 159.473 Ucn Uc Vn arg Ucn( ) 91.061 deg Ia Uan Za  Ia 0.052 arg Ia( ) 84.571 deg Ib Ubn Zb  Ib 0.183 arg Ib( ) 90.764 deg Ic Ucn Zc  Ic 0.132 arg Ic( ) 91.061 deg 74 3.3.Топографическая диаграмма потенциалов и векторная диа- грамма токов V 0 Ua Vn 0 Ub Vn 0 Uc Vn 0( )T J 0 Ia 0 Ib 0 Ic( )T 200 150 100 50 0 50 100 150 200 150 100 50 50 100 150 200 250 Re V( ) Re J( ) 1000 Im V( ) Im J( ) 1000 75 4. Решение задачи методом нелинейной электротехники 4.1. Сопротивление лампочек накаливания зависит от температуры нити, и эта зависимость может быть представлена нелинейной функцией вида U a I 2 , где коэффициент аппроксимации а может быть определен по номинальным параметрам. a Un3 Pn2 6.655 103 4.2. Система нелинейных уравнений, составленная для схемы по законам Кирхгофа и ее решение Ia 1 Ib 1 Ic 1 Ucn 10 j 10 Ubn 10 j 10 Given Ia j Xc( ) Ubn Ua Ub Ucn Ia j Xc( ) Uc Ua Ucn a Ic 2 ej arg Ic( ) Ubn a Ib 2 ej arg Ib( ) Ia Ib Ic 0 76 Ia Ib Ic Ubn Ucn   Find Ia Ib Ic Ubn Ucn( ) Uan Ia j Xc( ) Vn Ua Uan Ia 0.052 arg Ia( ) 80.087 deg Ib 0.193 arg Ib( ) 91.124 deg Ic 0.142 arg Ic( ) 92.079 deg Vn 119.518 arg Vn( ) 151.613 deg Uan 330.074 arg Uan( ) 9.913 deg Ubn 247.395 arg Ubn( ) 91.124 deg Ucn 133.792 arg Ucn( ) 92.079 deg 4.3.Топографическая диаграмма потенциалов и векторная диаграмма токов V 0 Ua Vn 0 Ub Vn 0 Uc Vn 0( ) T J 0 Ia 0 Ib 0 Ic( )T 200 150 100 50 0 50 100 150 200 150 100 50 50 100 150 200 250 Re V( ) Re J( ) 1000 Im V( ) Im J( ) 1000 5. Выводы 5.1. По отношению к фазе с конденсатором С на отстающей фазе нагруз- ки напряжение больше (лампочка горит ярко), а на опережающей фазе напря- жение меньше (лампочка горит тускло). Исходя из этого визуального наблю- дения устанавливается порядок следования фаз источника A-B-C. 5.2. Расхождение в результатах расчета двумя методами составило около 10%, что указывает на тот факт, что для точного решения этой задачи следует применять методы нелинейной электротехники. 77 ЗАДАЧА 50. РАСЧЕТ ПРОСТОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДОМ 1. Схема цепи и параметры элементов I R R0 i() C E UR Uк UC C 45 10 6 j 1 R 45 Ro 4 a .02 b 20 i a sinh b ( ) Em 170 f 50 78  2 f  0deg T 1 f  e t( ) Em sin  t ( ) 2. Система дифференциальных уравнений и ее решение i R i Ro t d d  uc e t( ) i t ucd d i a sinh b ( ) t d d R Ro( ) a sinh b ( )( ) uc e t( ) t ucd d 1 C a sinh b ( )( ) D t X( ) R Ro( ) a sinh b X 0   X 1 e t( ) 1 C a sinh b X 0      N 0 0   79 F rkfixed N 0 0.1 5000 D( ) tn F 0  n F 1  ucn F 2  in a sinh b n( )  t( ) linterp tn n t( ) uc t( ) linterp tn ucn t( ) i t( ) a sinh b  t( )( ) ur t( ) i t( ) R uk t( ) e t( ) ur t( ) uc t( ) 3. Определение времени переходного процесса 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 4 3 2 1 1 2 3 4 i t( ) i t .04( ) t t Вывод: время переходного процесса составляет примерно Тп = .025 с 4. Графические диаграммы функций напряжений 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 200 150 100 50 50 100 150 200 e t( ) uc t( ) uk t( ) ur t( ) t 5. Обработка результатов расчета для 3-го периода 5.1. Максимальное и минимальное значения Imax max in( ) 3.838 5.2. Среднее значение по модулю Is 1 T 2T 3T ti t( )  d 1.466 5.3. Среднеквадратичные (действующие) значения величин Id 1 T 2T 3T ti t( )2  d 1.957 5.4. Комплексное действующее значение основной гармоники: I1 2 T 2T 3T ti t( ) sin  t( ) d j 2T 3T ti t( ) cos  t( ) d    I1 1.801 I1 1.561 0.898j arg I1( ) 29.91 deg 80 5.5. Действующие значения высших гармоник: Ig Id 2 I1 2 0.766 5.6. Коэффициенты функции i(t): Ka Imax Id 1.962 Ku Ig I1 0.425 K Id Is 1.334 5.7. Гармонический состав функции i(t): M 9 k 1 M Imk 2 T 2T 3T ti t( ) sin k  t( ) d j 2T 3T ti t( ) cos k  t( ) d    Imk  2.547 -51.684·10 0.904 -51.714·10 0.483 -51.487·10 0.276 -51.192·10 0.167  arg Imk  29.91 -110.271 -57.89 -163.509 -99.424 149.677 -145.181 105.197 169.731 deg  ir t( ) 1 M k Imk sin k  t arg Imk      81 5.8. Совмещенная диаграмма исходной i(t) и расчетной ir(t) функций 0.04 0.045 0.05 0.055 0.06 4 3 2 1 1 2 3 4 i t( ) ir t( ) t Вывод: незначительные отклонения в некоторых точках расчетной функ- ции от заданной объясняются тем, что в расчетной функции не учтены гармо- ники выше 9-ой. 82 ЗАДАЧА 51. РАСЧЕТ СЛОЖНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДОМ 1. Схема цепи и параметры элементов i1 L1 R1 83 R1 30 R2 25 R3 20 C 78 10 6 L1 0.05 a 0.7 b 100 m 9 i3 a  b  m Em 500 f 50  30 deg  2 f T 1 f  e t( ) Em sin  t ( ) 2. Система дифференциальных уравнений i1 R1 L1 t i1d d  i2 R2 Uc u t( ) i2 R2 Uc i3 R3 t d d  0 i1 i2 i3 0 i3 a  b  m i2 C dUc dt  3. Решение системы дифференциальных уравнений t i1d d R1 R2( ) i1 L1 R2 L1 a  b  m  1 L1 Uc 1 L1 u t( ) t d d R2 i1 R2 R3( ) a  b  m  Uc 0 t Ucd d 1 C i1 1 C a  b  m  0 a11 R1 R2( ) L1  a12 R2 L1  a13 1 L1  b1 1 L1  a21 R2 a22 R2 R3( ) a23 1 a31 1 C  a32 1 C  b uab i () e(t) a i2 i3 R2 R3 C N 0 0 0( )T F t X( ) a11 X 0 a12 a X 1 b X 1 m  a13 X 2 b1 e t( )( ) a21 X 0 a22 a X 1 b X 1 m  a23 X 2 a31 X 0 a32 a X 1 b X 1 m     Z rkfixed N 0 0.1 5000 F( ) tn Z 0  i1n Z 1  n Z 2  ucn Z 3  i1 t( ) linterp tn i1n t( )  t( ) linterp tn n t( ) uc t( ) linterp tn ucn t( ) i3 t( ) a  t( ) b  t( )m i2 t( ) i1 t( ) i3 t( ) Uab t( ) uc t( ) i2 t( ) R2 4. Определение времени переходного процесса 0 5 10 3 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 8 6 4 2 2 4 6 8 i1 t( ) i1 t .04( ) t Вывод: время переходного процесса составляет примерно Тп = .03 с 84 5. Графические диаграммы функций i(t) 0.04 0.0425 0.045 0.0475 0.05 0.0525 0.055 0.0575 0.06 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 i1 t( ) i2 t( ) i3 t( ) t 6. Обработка результатов расчета для 3-го периода 6.1. Среднеарифметические значения (постоянные составляющие) I1sa 1 T 2T 3T ti1 t( )  d 7.649 10 7 I2sa 1 T 2T 3T ti2 t( )  d 9.08 10 8 I3sa 1 T 2T 3T ti3 t( )  d 2.859 10 8 6.2. Средние значения по модулю (средневыпрямленные значения) I1sm 1 T 2T 3T ti1 t( )  d 4.291 I2sm 1 T 2T 3T ti2 t( )  d 4.53 I3sm 1 T 2T 3T ti3 t( )  d 3.19 85 6.3. Среднеквадратичные значения (действующие значения) I1d 1 T 2T 3T ti1 t( )2  d 4.649 I2d 1 T 2T 3T ti2 t( )2  d 4.753 I3d 1 T 2T 3T ti3 t( )2  d 4.425 6.4. Гармонические составы функций токов M 9 k 1 M j 1 I1mk 2 T 2T 3T ti1 t( ) sin k  t( ) d j 2T 3T ti1 t( ) cos k  t( ) d    86 i1g t( ) 1 M k I1mk sin k  t arg I1mk      I1mk  6.486 -71.721·10 1.034 -71.091·10 0.265 -87.738·10 0.129 -85.954·10 0.065  arg I1mk  -38.203 46.984 -161.51 28.326 -116.591 19.605 -74.401 14.489 -21.712 deg  I2mk 2 T 2T 3T ti2 t( ) sin k  t( ) d j 2T 3T ti2 t( ) cos k  t( ) d    i2g t( ) 1 M k I2mk sin k  t arg I2mk      I3mk 2 T 2T 3T ti3 t( ) sin k  t( ) d j 2T 3T ti3 t( ) cos k  t( ) d    87 i3g t( ) 1 M k I3mk sin k  t arg I3mk      6.5. Совмещенная диаграмма исходной i1(t) и расчетной i1g(t) функций 0.04 0.042 0.044 0.046 0.048 0.05 0.052 0.054 0.056 0.058 0.06 8 6 4 2 2 4 6 8 i1 t( ) i1g t( ) t Вывод: незначительные отклонения в некоторых точках расчетной функ- ции от заданной объясняются тем, что в расчетной функции не учтены гармо- ники выше 9-ой ЗАДАЧА 52. РАСЧЕТ СЛОЖНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДОМ 1. Схема цепи и параметры элементов i1 L1 R1 88 j 1 R1 30 R2 25 R3 20 C 80 10 6 L1 0.05 a 0.639 b 100 m 9 f 50  2 f T 1 f  Eo 100 E1m 400 1 30 deg E2m 100 2 20deg e t( ) Eo E1m sin  t 1( ) E2m sin 2 t 2( ) 2. Система дифференциальных уравнений i1 R1 L1 t i1d d  i2 R2 uc e t( ) i2 R2 uc i3 R3 t d d  0 i2 C duc dt  i1 i2 i3 0 i3 a  b  m 3. Решение системы дифференциальных уравнений t i1d d R1 R2( ) i1 L1 R2 L1 a  b  m  1 L1 Uc 1 L1 u t( ) t d d R2 i1 R2 R3( ) a  b  m  uc 0 t Ucd d 1 C i1 1 C a  b  m  0 b uab i () e(t) a i2 i3 R2 R3 C a12 R2 L1  a11 R1 R2( ) L1  a13 1 L1  b1 1 L1  a31 1 C  a32 1 C  a21 R2 a22 R2 R3( ) a23 1 N 0 0 0( )T F t X( ) a11 X 0 a12 a X 1 b X 1 m  a13 X 2 b1 e t( ) a21 X 0 a22 a X 1 b X 1 m  a23 X 2 a31 X 0 a32 a X 1 b X 1 m     Z rkfixed N 0 0.1 5000 F( ) tn Z 0  i1n Z 1  n Z 2  ucn Z 3  i1 t( ) linterp tn i1n t( )  t( ) linterp tn n t( ) uc t( ) linterp tn ucn t( ) i3 t( ) a  t( ) b  t( )m 89 i2 t( ) i1 t( ) i3 t( ) u23 t( ) i2 t( ) R2 uc t( ) u1 t( ) e t( ) u23 t( ) 4. Определение времени переходного процесса 0 5 10 3 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 8 6 4 2 2 4 6 8 i1 t( ) i1 t .04( ) t Вывод: время переходного процесса составляет примерно Тп = .03 с 5.1. Графические диаграммы функций i(t) 0.04 0.0425 0.045 0.0475 0.05 0.0525 0.055 0.0575 0.06 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 i1 t( ) i2 t( ) i3 t( ) t 5.2. Графические диаграммы функций u(t) 0.04 0.0425 0.045 0.0475 0.05 0.0525 0.055 0.0575 0.06 500 400 300 200 100 100 200 300 400 500 e t( ) u1 t( ) u23 t( ) t 90 6. Обработка результатов расчета для 3-го периода 6.1. Среднеарифметические значения (постоянные сосавляющие) I1o 1 T 2T 3T ti1 t( )  d 2 I2o 1 T 2T 3T ti2 t( )  d 2.168 10 5 I3o 1 T 2T 3T ti3 t( )  d 2 U1o 1 T 2T 3T tu1 t( )  d 60 U23o 1 T 2T 3T tu23 t( )  d 40 6.2. Средние значения по модулю (средневыпрямленные значения) I1s 1 T 2T 3T ti1 t( )  d 4.184 I2s 1 T 2T 3T ti2 t( )  d 3.815 I3s 1 T 2T 3T ti3 t( )  d 2.501 U1s 1 T 2T 3T tu1 t( )  d 145.629 U23s 1 T 2T 3T tu23 t( )  d 168.321 6.3. Среднеквадратичные значения (действующие значения) I1d 1 T 2T 3T ti1 t( )2  d 4.516 91 I2d 1 T 2T 3T ti2 t( )2  d 4.228 I3d 1 T 2T 3T ti3 t( )2  d 3.772 U1d 1 T 2T 3T tu1 t( )2  d 158.819 U23d 1 T 2T 3T tu23 t( )2  d 191.758 6.4. Мощности источника и приемников: Pe 1 T 2T 3T te t( ) i1 t( )  d 1.343 10 3 P1 1 T 2T 3T tu1 t( ) i1 t( )  d 611.723 P2 1 T 2T 3T tu23 t( ) i2 t( )  d 446.852 P3 1 T 2T 3T tu23 t( ) i3 t( )  d 284.581 P 1.343 103 6.4. Гармонические составы функций токов M 9 k 1 M I1mk 2 T 2T 3T ti1 t( ) sin k  t( ) d j 2T 3T ti1 t( ) cos k  t( ) d    92 i1g t( ) I1o 1 M k I1mk sin k  t arg I1mk      I1mk  5.075 2.619 0.277 0.251 0.104 0.058 0.067 0.031 0.022  arg I1mk  -0.594 0.275 -2.749 1.827 -0.539 2.593 0.49 -1.708 1.705 I2mk 2 T 2T 3T ti2 t( ) sin k  t( ) d j 2T 3T ti2 t( ) cos k  t( ) d    93 i2g t( ) I2o 1 M k I2mk sin k  t arg I2mk      I3mk 2 T 2T 3T ti3 t( ) sin k  t( ) d j 2T 3T ti3 t( ) cos k  t( ) d    i3g t( ) I3o 1 M k I3mk sin k  t arg I3mk      U1mk 2 T 2T 3T tu1 t( ) sin k  t( ) d j 2T 3T tu1 t( ) cos k  t( ) d    u1g t( ) U1o 1 M k U1mk sin k  t arg U1mk      U23mk 2 T 2T 3T tu23 t( ) sin k  t( ) d j 2T 3T tu23 t( ) cos k  t( ) d    u23g t( ) U23o 1 M k U23mk sin k  t arg U23mk      6.5. Совмещенная диаграмма исходной i2(t) и расчетной i2g(t) функций 0.04 0.042 0.044 0.046 0.048 0.05 0.052 0.054 0.056 0.058 0.06 8 6 4 2 2 4 6 8 i2 t( ) i2g t( ) t Вывод: незначительные отклонения в некоторых точках расчетной функ- ции от заданной объясняются тем, что в расчетной функции не учтены гармо- ники выше 9-ой 94 ЗАДАЧА 53. РАСЧЕТ СЛОЖНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ С ДВУМЯ РАЗНОРОДНЫМИ НЕЛИНЕЙНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ 1. Схема цепи и параметры элементов i1 R1 L1 i3i2 95 R1 30 R2 10 R3 40 L1 0.1 C 80 10 6 Rp .1 Ro 100000 a 0.7 b 100 m 9 i2 ( ) a  b  m Em 250 f 50  60 deg  2 f e t( ) Em sin  t ( ) 2. Система дифференциальных уравнений и ее решение i1 R1 L1 di1 dt  i3 R3 Uc e(t) i3 C dUc dt  i1 i2 i3 0 i2 Rd i2 R2 d dt  i3 R3 Uc 0 i2 ( ) a  b  m t i1d d R1 R3( ) L1 i1 R3 L1 a  b  m  1 L1 Uc 1 L1 e t( ) t d d R3 i1 R2 R3 if  0 Rp Ro( )( ) a  b  m  Uc t Ucd d 1 C i1 1 C a  b  m  C i2() e(t) R2 R3 N 0 0 0( )T F t X( ) R1 R3( ) L1 X 0 R3L1 a X 1 b X 1 m  1L1 X 2 1L1 e t( ) R3 X 0 R2 R3 if X 1 0 Rp Ro   a X 1 b X 1 m  X 2 1 C X 0 1C a X 1 b X 1 m     96 Z rkfixed N 0 0.1 5000 F( ) tn Z 0  i1n Z 1  n Z 2  Ucn Z 3  i2n a n b n m i3n i1n i2n Uabn i3n R3 Ucn i1 t( ) linterp tn i1n t( ) i2 t( ) linterp tn i2n t( ) i3 t( ) linterp tn i3n t( ) 3. Определение времени переходного процесса 0 5 10 3 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 4 3 2 1 1 2 3 4 i1 t( ) i1 t .04( ) t Вывод: переходной процесс продолжается .2 с или 1 период. Начиная со 2-го периода режим в схеме можно считать установившимся. 3. Графические диаграммы функций токов 97 0.02 0.0225 0.025 0.0275 0.03 0.0325 0.035 0.0375 0.04 4 3 2 1 1 2 4 3 i1 t( ) i2 t( ) i3 t( ) t 4. Обработка результатов расчета для 3-го периода j 1 T 1 f  4.1. Среднеарифметические значения (постоянные составляющие) I1o 1 T 2T 3T ti1 t( )  d 0.864 I2o 1 T 2T 3T ti2 t( )  d 0.864 I3o 1 T 2T 3T ti3 t( )  d 8.005 10 6 4.2.Среднеквадратичные значения (действующие значения) I1d 1 T 2T 3T ti1 t( )2  d 2.288 I2d 1 T 2T 3T ti2 t( )2  d 1.496 I3d 1 T 2T 3T ti3 t( )2  d 2.142 4.3. Гармонические составы функций токов M 9 k 1 M 98 I1mk 2 T 2T 3T ti1 t( ) sin k  t( ) d j 2T 3T ti1 t( ) cos k  t( ) d    i1g t( ) I1o 1 M k I1mk sin k  t arg I1mk      I1mk  2.957 0.455 0.165 0.064 0.032 0.021 0.011 -36.899·10 -33.895·10  arg I1mk  -70.522 -71.37 62.344 -146.114 28.409 -172.61 -10.653 157.722 -40.644 deg  I2mk 2 T 2T 3T ti2 t( ) sin k  t( ) d j 2T 3T ti2 t( ) cos k  t( ) d    i2g t( ) I2o 1 M k I2mk sin k  t arg I2mk      I2mk  1.425 0.836 0.42 0.209 0.13 0.103 0.059 0.044 0.028  arg I2mk  -144.549 -13.401 129.849 -73.319 104.511 -94.248 69.345 -121.059 41.566 deg  I3mk 2 T 2T 3T ti3 t( ) sin k  t( ) d j 2T 3T ti3 t( ) cos k  t( ) d    99 i3g t( ) I3o 1 M k I3mk sin k  t arg I3mk      I3mk  2.908 0.709 0.388 0.199 0.126 0.1 0.058 0.043 0.028  arg I3mk  -42.408 -160.448 -26.968 124.424 -61.157 97.761 -100.33 67.999 -130.375 deg  4.4. Совмещенная диаграмма исходной (i2) и расчетной (i2g) функций 0.04 0.0425 0.045 0.0475 0.05 0.0525 0.055 0.0575 0.06 1 1 2 3 4 i2 t( ) i2g t( ) t Вывод: незначительные отклонения в некоторых точках расчетной функ- ции от заданной объясняются тем, что в расчетной функции не учтены гармо- ники выше 9-ой ЗАДАЧА 54. РАСЧЕТ УТРОИТЕЛЯ ЧАСТОТЫ 1. Схема цепи и параметры элементов 100 Ro 5 Rn 1000 a 0.8 b 20 m 5 I a  b  m Um 250 f 50  2  f Ua t( ) Um sin  t 0( ) Ub t( ) Um sin  t 120deg( ) Uc t( ) Um sin  t 120deg( ) 2. Система дифференциальных уравнений Ia Ro t ad d  In Ro Ua t( ) Ib Ro t bd d  In Ro Ub t( ) Ic Ro t cd d  In Ro Ucb t( ) Ia a a b a m Ib a b b b m Ic a c b c m Ia Ib Ic In Rn n А w1 R0 w2 B w1 w2 C w1 w2 N Uвых, 3f R0 R0 3. Решение системы дифференциальных уравнений t ad d a a b a m  Ro Rn( ) a b b b m  Rn a c b c m  Rn Ua t( ) t bd d a b b b m  Ro Rn( ) a a b a m  Rn a c b c m  Rn Ub t( ) t cd d a c b c m  Ro Rn( ) a b b b m  Rn a a b a m  Rn Uc t( ) N 0 0 0( )T F t X( ) a X 0 b X 0 m  Ro Rn( ) a X 1 b X 1 m  Rn a X 2 b X 2 m  Rn Ua t( ) a X 1 b X 1 m  Ro Rn( ) a X 0 b X 0 m  Rn a X 2 b X 2 m  Rn Ub t( ) a X 2 b X 2 m  Ro Rn( ) a X 1 b X 1 m  Rn a X 0 b X 0 m  Rn Uc t( )    Z Rkadapt N 0 0.2 10000 F( ) tn Z 0  an Z 1  bn Z 2  cn Z 3  Ia t( ) a a t( ) b a t( )m a t( ) linterp tn an t( ) Ib t( ) a b t( ) b b t( )m b t( ) linterp tn bn t( ) 101 Ic t( ) a c t( ) b c t( )m c t( ) linterp tn cn t( ) Un t( ) Rn( ) Ia t( ) Ib t( ) Ic t( )( ) Uan t( ) Ua t( ) Un t( ) Ubn t( ) Ub t( ) Un t( ) Ucn t( ) Uc t( ) Un t( ) Uâûõ t( ) Uan t( ) Ubn t( ) Ucn t( )( ) In t( ) Ia t( ) Ib t( ) Ic t( ) 4. Определение времени переходного процесса 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 Ia t( ) Ia t .1( ) t Заключение: переходной процесс продолжается .1 с или 5 периодов. Начиная с 6-го периода в схеме действует установившийся режим. 5. Графические диаграммы функций ψ(t) 0.1 0.105 0.11 0.115 0.12 0.125 0.13 0.135 0.14 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 a t( ) b t( ) c t( ) t 102 6. Графические диаграммы функций u(t) 0.1 0.105 0.11 0.115 0.12 0.125 0.13 0.135 0.14 400 300 200 100 100 200 300 400 Uan t( ) Ubn t( ) Ucn t( ) t 7. Графические диаграммы функций i(t) 0.1 0.105 0.11 0.115 0.12 0.125 0.13 0.135 0.14 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 Ia t( ) Ib t( ) Ic t( ) t 103 8. Графическая диаграмма функции Uвых(t) 0.1 0.105 0.11 0.115 0.12 0.125 0.13 0.135 0.14 400 300 200 100 100 200 300 400 Uâûõ t( ) Ua t( ) t вых t 4. Обработка результатов расчета для 6-го периода 4.1. Среднеквадратичное (действующее) значение Uâûõd 1 T 5T 6T tUâûõ t( )2  d 283.453 T 1 f  104 4.2. Гармонический состав функции Uвых(t) j 1 M 15 k 3 9 M Umk 2 T 5T 6T tUâûõ t( ) sin k  t( ) d j 5T 6T tUâûõ t( ) cos k  t( ) d    Umk  397.93 48.239 4.625  arg Umk  10.506 33.395 60.952 deg  Uâûõg t( ) 1 M k Umk sin k  t arg Umk      Вывод: в выходном напряжении содержатся нечетные гармонические составляющие, кратные трем (3-я, 9-я и т. д. гармоники) выхd вых вых вых вых ЗАДАЧА 55. РАСЧЕТ ОДНОПОЛУПЕРИОДНОГО ВЫПРЯМИТЕЛЯ С ИДЕАЛЬНЫМ ИСТОЧНИКОМ НАПРЯЖЕНИЯ 1. Схема цепи и параметры элементов i1 R1 L1 u i3 C i2 R2 105 C 500 10 6 R2 200 R1 0 L 0 Rdp .2 Rdo 100000 Rd if i1 0 Rdp Rdo( ) T 1 f  Um 100 f 50  0deg  2 f u t( ) Um sin  t ( ) 2. Система дифференциальных уравнений и ее решение i1 i2 i3 0 i1 R1 i1 Rd uc u t( ) i2 R2 uc 0 C duc dt  i3 i1 u t( ) uc R1 Rd i2 Uc R2 t ucd d 1 R1 Rd u t( ) uc( ) uc R2   1 C F t X( ) u t( ) X 0 R1 if u t( ) X 0 Rdp Rdo  X 0 R2   1 C  N 0( ) Z rkfixed N 0 0.1 5000 F( ) tn Z 0  ucn Z 1  uc t( ) linterp tn ucn t( ) i3 t( ) C t uc t( )d d   i2 t( ) uc t( ) R2  i1 t( ) i2 t( ) i3 t( ) 3. Определение времени переходного процесса 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 20 40 60 80 100 uc t( ) uc t .04( ) t Заключение: переходной процесс в цепи продолжается .02 с или 1период. Начиная со 2-го периода режим в схеме можно считать установившимся. 4. Графические диаграммы функций uc(t), i3(t) 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 20 20 40 60 80 100 uc t( ) i3 t( ) 10 t 5. Обработка результатов расчета для 3-го периода 5.1. Среднеарифметическое значение (постоянная составляющая) Uco 1 T 2T 3T tuc t( )  d 91.624 106 5.2. Среднеквадратичное (действующее) значение Ucd 1 T 2T 3T tuc t( )2  d 91.754 5.3. Среднеквадратичное (действующее) значение гармоник Ucg Ucd2 Uco2 4.878 5.4. Коэффициент пульсаций Kp Ucg Uco 0.053 107 ЗАДАЧА 56. РАСЧЕТ ОДНОПОЛУПЕРИОДНОГО ВЫПРЯМИТЕЛЯ С РЕАЛЬНЫМ ИСТОЧНИКОМ НАПРЯЖЕНИЯ 1. Схема цепи и параметры элементов i1 R1 L1 i2 i3 R2 108 R2 200 C 500 10 6 R1 2 L .001 Rdp .1 Rdo 10000 Rd if i1 0 Rdp Rdo( ) Um 100 f 50  0deg  2 f T 1 f  u t( ) Um sin  t ( ) 2. Система дифференциальных уравнений и ее решение i1 R1 i1 Rd L di1 dt  uc u t( ) C duc dt  i3 i2 R2 uc 0 i1 i2 i3 0 t i1d d R1 L i1 1 L i1 Rd( ) 1 L Uc 1 L u t( ) t ucd d 1 C i1 1 R2 C uc N 0 0( )T F t X( ) R1 X 0 if X 0 0 Rdp Rdo  X 0  L 1 L X 1 1L u t( ) 1 C X 0 1C R2 X 1    C u 109 Z Rkadapt N 0 0.1 5000 F( ) tn Z 0  i1n Z 1  ucn Z 2  i1 t( ) linterp tn i1n t( ) uc t( ) linterp tn ucn t( ) i2 t( ) uc t( ) R2  i3 t( ) i1 t( ) i2 t( ) 3. Определение времени переходного процесса 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 20 40 60 80 100 uc t( ) uc t .04( ) t Заключение: переходной процесс в цепи продолжается .04 с или 2 перида. Начиная с 3-го периода режим в схеме можно считать установившимся. 4. Графические диаграммы функций uc(t), i3(t) 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 20 40 60 80 100 uc t( ) i3 t( ) 20 t 5. Обработка результатов расчета для 4-го периода 5.1. Среднеарифметическое значение (постоянная составляющая) Uco 1 T 3T 4T tuc t( )  d 89.418 5.2. Среднеквадратичное (действующее) значение Ucd 1 T 3T 4T tuc t( )2  d 89.542 5.3. Среднеквадратичное (действующее) значение гармоник Ucg Ucd2 Uco2 4.71 5.4. Коэффициент пульсаций Kp Ucg Uco 0.053 110 ЗАДАЧА 57. РАСЧЕТ ДВУХПОЛУПЕРИОДНОГО ВЫПРЯМИТЕЛЯ С ИДЕАЛЬНЫМ ИСТОЧНИКОМ НАПРЯЖЕНИЯ 1. Схема цепи и параметры элементов i1 R1 L1 111 R1 0 R2 0 L1 0 L2 0 R3 200 C 500 10 6 Um 100 f 50  0deg  2 f T 1 f  u1 t( ) Um sin  t ( ) u2 t( ) Um sin  t ( ) Rp1 .1 Ro1 10000 Rp2 .1 Ro2 10000 R1 if u1 t( ) 0 Rp1 Ro1( ) R2 if u2 t( ) 0 Rp2 Ro2( ) 2. Система дифференциальных уравнений и ее решение i1 R1 i1 Rd1 Uc u1 t( ) i2 R2 i2 Rd2 Uc u2 t( ) i1 i2 i3 i4 0 i3 Uc R3 C dUc dt  i4 N 0( ) F t X( ) 1 C u1 t( ) X 0 if u1 t( ) X 0 Rp1 Ro1  u2 t( ) X 0 if u2 t( ) X 0 Rp2 Ro2  X 0 R3     R2 L2 i3 u1 i4 C R2 u2 i2 112 Z Rkadapt N 0 0.1 5000 F( ) tn Z 0  ucn Z 1  uc t( ) linterp tn ucn t( ) i4 t( ) C t uc t( )d d   i3 t( ) uc t( ) R3  3. Определение времени переходного процесса 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 20 20 40 60 80 100 120 uc t( ) uc t .04( ) t Заключение: переходной процесс в цепи продолжается .04 с или 2 пе- риода. Начиная с 3-го периода режим в схеме можно считать устано- вившимся. 4. Графические диаграммы функций 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 20 20 40 60 80 100 uc t( ) i4 t( ) 10 t 5. Обработка результатов расчета для 4-го периода 5.1. Среднеарифметическое значение (постоянная составляющая) Uco 1 T 3T 4T tuc t( )  d 95.808 5.2. Среднеквадратичное (действующее) значение Ucd 1 T 3T 4T tuc t( )2  d 95.842 5.3. Среднеквадратичное (действующее) значение гармоник Ucg Ucd2 Uco2 2.542 5.4. Коэффициент пульсаций Kp Ucg Uco 0.027 113 ЗАДАЧА 58. РАСЧЕТ ДВУХПОЛУПЕРИОДНОГО ВЫПРЯМИТЕЛЯ 1. Схема цепи и параметры элементов i1 R1 L1 114 R1 1 R2 1 R3 200 L1 .01 L2 .01 C 300 10 6 Um 100 f 50  0deg  2 f T 1 f  u1 t( ) Um sin  t ( ) u2 t( ) Um sin  t ( ) Rdp1 .1 Rdo1 10000 Rdp2 .1 Rdo2 10000 R1 if i1 t( ) 0 Rdp1 Rdo1( ) R2 if i2 t( ) 0 Rdp2 Rdo2( ) 2. Система дифференциальных уравнений и ее решение i1 R1 i1 Rd1 L di1 dt  Uc u1 t( ) i2 R2 i2 Rd2 L di2 dt  Uc u2 t( ) i1 i2 i3 i4 0 i3 R3 Uc 0 C dUc dt  i4 t i1d d R1 L1 i1 Rd1 L1 i1 1 L1 Uc 1 L1 u1 t( ) t i2d d R2 L2 i2 Rd2 L2 i2 1 L2 Uc 1 L2 u2 t( ) R2 L2 i3 u1 i4 C R2 u2 i2 X 0 0 0( )T F t X( ) 1 L1 R1 X 0 1L1 if X 0 0 Rdp1 Rdo1  X 0  1L1 X 2 1L1 u1 t( ) 1 L2 R2 X 1 1L2 if X 1 0 Rdp2 Rdo2   X 1  1L2 X 2 1L2 u2 t( ) 1 C X 0 1C X 1 1 C R3 X 2    Z Rkadapt X 0 0.2 10000 F( ) tn Z 0  i1n Z 1  i2n Z 2  ucn Z 3  i3n ucn R3  i4n i1n i2n i3n uc t( ) linterp tn ucn t( ) i4 t( ) linterp tn i4n t( ) 3. Определение времени переходного процесса 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 20 20 40 60 80 100 120 uc t( ) uc t .1( ) t Заключение: переходной процесс продолжается .08 с или 4 периода. Начиная с 5-го периода режим в схеме можно считать установившимся. 115 4. Графические диаграммы функций uc(t),i4(t) 0.1 0.102 0.104 0.106 0.108 0.11 0.112 0.114 0.116 0.118 0.12 20 20 40 60 80 100 uc t( ) i4 t( ) 30 t 5. Обработка результатов расчета для 5-го периода 5.1. Среднеарифметическое значение (постоянная составляющая) Uco 1 T 4T 5T tuc t( )  d 91.4 5.2. Среднеквадратичное (действующее) значение Ucd 1 T 4T 5T tuc t( )2  d 91.46 5.3. Среднеквадратичное (действующее) значение гармоник Ucg Ucd2 Uco2 3.289 5.4. Коэффициент пульсаций Kp Ucg Uco 0.036 116 ЗАДАЧА 59.1 РАСЧЕТ МОСТОВОГО ВЫПРЯМИТЕЛЯ С ИДЕАЛЬНЫМ ИСТОЧНИКОМ НАПРЯЖЕНИЯ 1. Схема цепи и параметры элементов i0 R0 L 117 R5 200 C 1000 10 6 R0 .2 L 0 Rp1 .1 Rp2 .1 Rp3 .1 Rp4 .1 Ro1 100000 Ro2 100000 Ro3 100000 Ro4 100000 Um 100 f 50  2 f T 1 f  u t( ) Um sin  t( ) R1 if u t( ) uc Rp1 Ro1( ) R2 if u t( ) uc Rp2 Ro2( ) R3 if u t( ) uc Rp3 Ro3( ) R4 if u t( ) uc Rp4 Ro4( ) 2. Система дифференциальных уравнений i1 R1 i3 R3 u t( ) i0 R0 i1 R1 i2 R2 uc i1 i2 i0 uCu(t) i6 C i5 R5 i2 i3 i1 D2 D1 D4 D3 i4 i3 R3 i4 R4 uc i3 i4 i0 i1 i3 1 R5 uc C t ucd d   3. Решение системы дифференциальных уравнений i2 i0 i1 i1 R1 i0 i1( ) R2 uc i1 uc i0 R2 R1 R2 i4 i0 i3 i3 R3 i0 i3( ) R4 uc i3 uc i0 R4 R3 R4 0 u t( ) i0 R0 R1 uc i0 R2 R1 R2 R3 uc i0 R4 R3 R4 t ucd d 1 C 1 R5  uc uc i0 R2 R1 R2 uc i0 R4 R3 R4   i0 R0 R1 R2 R1 R2 R3 R4 R3 R4   u t( ) uc R1 R1 R2 uc R3 R3 R4 t ucd d 1 C uc 1 R5  1 R1 R2 1 R3 R4   i0 R2 R1 R2 R4 R3 R4     118 i0 R0 R1 R2( ) R3 R4( ) R1 R2 R3 R4( ) R3 R4 R1 R2( )[ ] u t( ) R1 R2( ) R3 R4( ) uc R1 R3 R4( ) R3 R1 R2( )[ ] i0 u t( ) R1 R2( ) R3 R4( ) uc R1 R3 R4( ) R3 R1 R2( )[ ] R0 R1 R2( ) R3 R4( ) R1 R2 R3 R4( ) R3 R4 R1 R2( )[ ] t ucd d 1 C uc 1 R5  1 R1 R2 1 R3 R4   u t( ) R1 R2( ) R3 R4( ) UC R1 R3 R4( ) R3 R1 R2( )[ ] R0 R1 R2( ) R3 R4( ) R1 R2 R3 R4( ) R3 R4 R1 R2( )[ ] R2 R1 R2 R4 R3 R4     NU 0 D t X( ) 1 C X0 1 R5  1 if u t( ) X0 Rp1 Ro1  if u t( ) X0 Rp2 Ro2  1 if u t( ) X0 Rp3 Ro3  if u t( ) X0 Rp4 Ro4     + + u t( ) if u t( ) X 0 Rp1 Ro1  if u t( ) X 0 Rp2 Ro2   if u t( ) X 0 Rp3 Ro3  if u t( ) X 0 Rp4 Ro4    R0 if u t( ) X 0 Rp1 Ro1  if u t( ) X 0 Rp2 Ro2   if u t( ) X 0 Rp3 Ro3  if u t( ) X 0 Rp4 Ro4     X 0 if u t( ) X 0 Rp1 Ro1  if u t( ) X 0 Rp3 Ro3  if u t( ) X 0 Rp4 Ro4     if u t( ) X 0 Rp1 Ro1  if u t( ) X 0 Rp2 Ro2  if u t( ) X 0 Rp3 Ro3  if u t( ) X 0 Rp4 Ro4    if u t( ) X 0 Rp3 Ro3  if u t( ) X 0 Rp1 Ro1  if u t( ) X 0 Rp2 Ro2    if u t( ) X 0 Rp3 Ro3   if u t( ) X 0 Rp4 Ro4  if u t( ) X 0 Rp1 Ro1  if u t( ) X 0 Rp2 Ro2      if u t( ) X 0 Rp2 Ro2  if u t( ) X 0 Rp1 Ro1  if u t( ) X 0 Rp2 Ro2  if u t( ) X 0 Rp4 Ro4  if u t( ) X 0 Rp3 Ro3  if u t( ) X 0 Rp4 Ro4   ] Z rkfixed NU 0 .1 5000 D( ) tn Z 0  ucn Z 1  uc t( ) linterp tn ucn t( ) i5 t( ) uc t( ) R5  i6 t( ) C t uc t( )d d   4. Графические диаграммы функций uc(t), i6(t) 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 uc t( ) i6 t( ) 10 t ЗАДАЧА 59.2 РАСЧЕТ МОСТОВОГО ВЫПРЯМИТЕЛЯ С РЕАЛЬНЫМ ИСТОЧНИКОМ НАПРЯЖЕНИЯ 1. Схема цепи и параметры элементов i0 R0 L 121 R5 200 C 500 10 6 R0 .1 L 0.001 Um 100 f 50  2 f u t( ) Um sin  t( ) Rp1 1 Rp2 1 Rp3 1 Rp4 1 Ro1 10000 Ro2 10000 Ro3 10000 Ro4 10000 R1 if u t( ) uc Rp1 Ro1( ) R2 if u t( ) uc Rp2 Ro2( ) R3 if u t( ) uc Rp3 Ro3( ) R4 if u t( ) uc Rp4 Ro4( ) 2. Система дифференциальных уравнений i R1 i3 R3 u t( ) i0 R0 L t i0d d   i1 R1 i2 R2 uc i1 i2 i0 i3 R3 i4 R4 uc uCu(t) i6 C i5 R5 i2 i1 D2 D1 D4 D3 i3 i4 i3 i4 i0 i1 i3 1 R5 uc C t ucd d   3.Решение системы дифференциальных уравнений i2 i0 i1 i1 R1 i0 i1( ) R2 uc i1 uc i0 R2 R1 R2 i4 i0 i3 i3 R3 i0 i3( ) R4 uc i3 uc i0 R4 R3 R4 t i0d d 1 L u t( ) i0 R0 R1 uc I0 R2 R1 R2 R3 uc i0 R4 R3 R4   t ucd d 1 C 1 R5  uc uc i0 R2 R1 R2 uc i0 R4 R3 R4   NU 0 0( )T D t X( ) 1 L u t( ) X 0 R0 if u t( ) X 1 Rp1 Ro1  X 1 X 0 if u t( ) X 1 Rp2 Ro2 if u t( ) X 1 Rp1 Ro1  if u t( ) X 1 Rp2 Ro2  if u t( ) X 1 Rp3 Ro3  X 1 X 0 if u t( ) X 1 Rp4 Ro4  if u t( ) X 1 Rp3 Ro3  if u t( ) X 1 Rp4 Ro4    1 C 1 R5 X 1 X 1 X 0 if u t( ) X 1 Rp2 Ro2  if u t( ) X 1 Rp1 Ro1  if u t( ) X 1 Rp2 Ro2  X 1 X 0 if u t( ) X 1 Rp4 Ro4  if u t( ) X 1 Rp3 Ro3  if u t( ) X 1 Rp4 Ro4       Z Rkadapt NU 0 .1 5000 D( ) tn Z 0  i0n Z 1  i0 t( ) linterp tn i0n t( ) ucn Z 2  uc t( ) linterp tn ucn t( ) i6 t( ) C t uc t( )d d   4. Графические диаграммы функций uc(t), i0(t), i6(t) 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 uc t( ) t 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 i0 t( ) i6 t( ) t ЗАДАЧА 60. РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНОГО ВЫПРЯМИТЕЛЯ 1. Схема цепи и параметры элементов u1 i1 R1 L1 124 R1 2 R2 2 R3 2 R4 200 L1 .1 L2 .1 L3 .1 C 200 10 6 Um 100 f 50  2 f T 1 f   30deg u1 t( ) Um sin  t ( ) u2 t( ) Um sin  t  120 deg( ) u3 t( ) Um sin  t  120 deg( ) ik .05 .02 .005 0 .1 5 10( )T uk 200 50 1 0 1 5 20( )T ud1 i1( ) linterp ik uk i1( ) ud2 i2( ) linterp ik uk i2( ) ud3 i3( ) linterp ik uk i3( ) i4 C i5 R4 i2 R2 L2u2 i3 R3 L3u3 Графическая диаграмма ВАХ диода 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 110 10 20 30 40 50 ud1 i1( ) i1 2. Система дифференциальных уравнений и ее решение i1 R1 ud1 L1 di1 dt  Uc u1 t( ) i2 R2 ud2 L2 di2 dt  Uc u2 t( ) i3 R3 ud3 L3 di3 dt  Uc u3 t( ) i4 R4 Uc 0 C dUc dt  i5 i1 i2 i3 i4 i5 0 t i1d d R1 L1 i1 1 L1 ud1 1 L1 Uc 1 L1 u1 t( ) t i2d d R2 L2 i2 1 L2 ud2 1 L2 Uc 1 L2 u2 t( ) t i3d d R3 L3 i3 1 L3 ud3 1 L3 Uc 1 L3 u3 t( ) t Ucd d 1 C i1 1 C i2 1 C i3 1 R4 C Uc 125 F t X( ) 1 L1 R1 X 0 1L1 ud1 X 0  1L1 X 3 1L1 u1 t( ) 1 L2 R2 X 1 1L2 ud2 X 1  1L2 X 3 1L2 u2 t( ) 1 L3 R2 X 2 1L3 ud3 X 2  1L3 X 3 1L3 u3 t( ) 1 C X 0 1C X 1 1 C X 2 1C R4 X 3    X 0 0 0 0    Z rkfixed X 0 0.2 10000 F( ) tn Z 0  i1n Z 1  i2n Z 2  i3n Z 3  ucn Z 4  i4n ucn R4  i5n i1n i2n i3n i4n uc t( ) linterp tn ucn t( ) i5 t( ) C t uc t( )d d   3. Определение времени переходного процесса 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 20 20 40 60 80 100 120 uc t( ) uc t .1( ) t Заключение: переходной процесс продолжается .04 с или 2 периода. Начиная с 3-го периода режим в схеме можно считать установившимся. 126 4. Графические диаграммы функций токов uc(t), i5(t) 0.06 0.065 0.07 0.075 0.08 0.085 0.09 0.095 0.1 40 20 20 40 60 80 100 uc t( ) i5 t( ) 100 t 5. Обработка результатов расчета для 5-го периода 5.1. Среднеарифметическое значение (постоянная составляющая) Uco 1 T 4T 5T tuc t( )  d 74.036 5.2. Среднеквадратичное (действующее) значение Ucd 1 T 4T 5T tuc t( )2  d 74.047 5.3. Среднеквадратичное (действующее) значение гармоник Ucg Ucd2 Uco2 1.299 5.4. Коэффициент пульсаций Kp Ucg Uco 0.018 127 ЗАДАЧА 61. СРАВНИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЛИНЕЙНОЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ RL 1. Схема цепи и параметры элементов i R L e(t) u uR L E 100 R1 100 L1 0.2 a .02 b 20 i2 a sinh b ( ) 2. Дифференциальное уравнение и его решение для линейной цепи t i1d d R L i1 e t( ) L  i1 R L t i1d d  e t( ) D t X( ) R1 L1 X 0 EL1 NU 0 128 F rkfixed NU 0 0.1 5000 D( ) t F 0  i F 1  Ur1 i R1 3. Дифференциальное уравнение и его решение для нелинейной цепи i2 R t d d   E i2 a sinh b ( ) t d d R a sinh b ( )( ) E D t X( ) R1 a sinh b X 0   E N 0 F rkfixed N 0 0.1 5000 D( ) t F 0   F 1  i2 a sinh b ( ) Ur2 i2 R1 4. Графические диаграммы функций Ur(t) 0 1 10 3 2 10 3 3 10 3 4 10 3 5 10 3 6 10 3 7 10 3 8 10 3 9 10 3 0.01 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Ur1 Ur2 t 129 ЗАДАЧА 62. СРАВНИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ЛИНЕЙНОЙ И НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ RLC 1. Схема цепи и параметры элементов i R L C e(t) uR uL uC Исходные данные: C 50 10 6 E 200 L 0.3 R 50 a .2 b 10 i2 a sinh b ( ) 2. Система дифференциальных уравнений и ее решение для линейной цепи i1 C t Ucd d   i1 R L t i1 d d  Uc E t i1d d R L i1 1 L Uc1 E L  t Uc1d d 1 C i1 D t X( ) R L X 0 1 L X 1 EL 1 C X 0    N 0 0   130 F rkfixed N 0 0.2 10000 D( ) t F 0  i1 F 1  Uc1 F 2  Ur1 i1 R 3. Система дифференциальных уравнений и ее решение для нелинейной цепи i2 R t d d  Uc2 E i2 t Uc2d d i2 a sinh b ( ) 131 t Uc2d d 1 C a sinh b ( )( ) t d d R a sinh b ( )( ) Uc2 E D t X( ) R a sinh b X 0   X 1 E 1 C a sinh b X 0      N 0 0   F rkfixed N 0 0.2 10000 D( ) t F 0   F 1  Uc2 F 2  i2 a sinh b ( ) Ur2 i2 R 4. Графические диаграммы функций напряжений Ur(t) 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 40 20 20 40 60 80 100 120 140 Ur1 Ur2 t ЗАДАЧА 63. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА В ТРАНСФОРМАТОРЕ 1. Схема цепи и параметры элементов  а б u фs ф0 i u u0 R0 L1 ia ip i1 R1 Xs R1 .3 Ro 5000 L1 0.01 a .1 b 20 m 9 Em 250 f 50  10deg  2  f e t( ) Em sin  t ( ) 2. Система дифференциальных уравнений и ее решение 132 R1 i1 L1 t i1d d  ia Ro e t( ) i1 ia ip 0 ia Ro t d d ip a  b  m t i1d d R1 Ro( ) L1 i1 Ro L1 a b m  1 L1 e t( ) t d d Ro i1 Ro a b m  F t X( ) R1 Ro( ) L1 X 0 RoL1 a X 1 b X 1 m  1L1 e t( ) Ro X 0 Ro a X 1 b X 1 m     N 0 .2   Z Rkadapt N 0 2 100000 F( ) t Z 0  i1 Z 1   Z 2  3. Графическая диаграмма функции тока i1(t) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 10 10 20 30 40 50 60 70 i1 t 5. Кратность импульса пускового тока Imax max i1( ) 59.217 Imin min i1( ) 1.869 Kp Imax Imin 31.687 133 ЗАДАЧА 64. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ БЕЗ УЧЕТА ЗЕМЛИ 1. Исходные данные U 200 X1 4.5 Y1 4.5 X2 14.5 Y2 4.5 R 0.01 Xn 7.5 Yn 6 j 1 2. Расчет зарядов проводов T1 U ln d R   28.953 d X1 X2( )2 Y1 Y2( )2 10 T2 T1 28.953 3. Расчет вектора Еn в заданной точке n R1 X1 Xn( )2 Y1 Yn( )2 3.354 R2 X2 Xn( )2 Y2 Yn( )2 7.159 Ex T1 Xn X1( ) 1 R12  T2 Xn X2( ) 1 R22  11.675 Ey T1 Yn Y1( ) 1 R12  T2 Yn Y2( ) 1 R22  3.013 En 12.058 En Ex j Ey arg En( ) 14.47 deg 4. Расчет потенциала Vn в заданной точке n Vn T1 ln 1 R1   T2 ln 1 R2   21.951 134 5. Графическая диаграмма поля R1 x y( ) X1 x( )2 Y1 y( )2 R2 x y( ) X2 x( )2 Y2 y( )2 Ex x y( ) T1 x X1( ) 1 R1 x y( )2  T2 x X2( ) 1 R2 x y( )2  Ey x y( ) T1 y Y1( ) 1 R1 x y( )2  T2 y Y2( ) 1 R2 x y( )2  n 20 m 10 i 0 n j 0 m xi i yj j E1i j Ex xi yj  E2i j Ey xi yj  E1 E2( ) 135 ЗАДАЧА 65. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ С УЧЕТОМ ЗЕМЛИ 1. Исходные данные V1 100 V2 100 X1 4.5 Y1 4.5 X2 14.5 Y2 4.5 R 0.01 Xn 5 Yn 6 j 1 2. Расчет зарядов проводов d X1 X2( )2 Y1 Y2( )2 10 D X1 X2( )2 Y1 Y2( )2 13.454 A12 ln d D   A1 ln 2 Y1 R   A2 ln 2 Y2 R   T1 A2 V1 A12 V2( ) A1 A2 A12 A12 14.086 T2 A1 V2 A12 V1( ) A1 A2 A12 A12 14.086 3. Расчет вектора Еn в заданной точке n R1 X1 Xn( )2 Y1 Yn( )2 1.581 R2 X2 Xn( )2 Y2 Yn( )2 9.618 R3 X1 Xn( )2 Y1 Yn( )2 10.512 R4 X2 Xn( )2 Y2 Yn( )2 14.16 Ex T1 Xn X1( ) 1 R12  T1 Xn X1( ) 1 R32  T2 Xn X2( ) 1 R22  T2 Xn X2( ) 1 R42  Ey T1 Yn Y1( ) 1 R12  T1 Yn Y1( ) 1 R32  T2 Yn Y2( ) 1 R22  T2 Yn Y2( ) 1 R42  En 8.401 En Ex j Ey arg En( ) 65.134 deg 136 4. Расчет потенциала Vn в заданной точке n Vn T1 ln R3 R1   T2 ln R4 R2   21.236 5. Графическая диаграмма поля 137 R1 x y( ) X1 x( )2 Y1 y( )2 R2 x y( ) X2 x( )2 Y2 y( )2 R3 x y( ) X1 x( )2 Y1 y( )2 R4 x y( ) X2 x( )2 Y2 y( )2 T2 x X2( ) 1 R4 x y( )2  T2 y Y2( ) 1 R4 x y( )2  n 20 m 10 i 0 n j 0 m xi i yj j E1i j Ex xi yj  E2i j Ey xi yj  Ex x y( ) T1 x X1( ) 1 R1 x y( )2  T1 x X1( ) 1 R3 x y( )2  T2 x X2( ) 1 R2 x y( )2   Ey x y( ) T1 y Y1( ) 1 R1 x y( )2  T1 y Y1( ) 1 R3 x y( )2  T2 y Y2( ) 1 R2 x y( )2   E1 E2( ) 138 ЗАДАЧА 66. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ТРЕХФАЗНОЙ ЛИНИИ С УЧЕТОМ ЗЕМЛИ 1. Исходные данные Um 100 t 30deg Va Um sin t( ) Vb Um sin t 120deg( ) Vc Um sin t 120deg( ) Xa 4.5 Ya 6.5 Xb 10.5 Yb 6.5 Xc 16.5 Yc 6.5 R 0.02 Xn 17 Yn 6 Va 50 Vb 100 Vc 50 2. Расчет зарядов проводов dab Xa Xb( )2 Ya Yb( )2 6 dbc Xb Xc( )2 Yb Yc( )2 6 dca Xc Xa( )2 Yc Ya( )2 12 Dab Xa Xb( )2 Ya Yb( )2 14.318 Dbc Xb Xc( )2 Yb Yc( )2 14.318 Dca Xc Xa( )2 Yc Ya( )2 17.692 Aaa ln 2 Ya R   Abb ln 2 Yb R   Acc ln 2 Yc R   Aab ln dab Dab   Abc ln dbc Dbc   Aca ln dca Dca   A Aaa Aab Aca Aab Abb Abc Aca Abc Acc    V Va Vb Vc    T 6.246 13.762 6.246    T A 1 V Ta T0 6.246 Tb T1 13.762 Tc T2 6.246 139 3. Расчет вектора Еn в заданной точке n Ra Xa Xn( )2 Yb Yn( )2 12.51 Rb Xb Xn( )2 Yb Yn( )2 6.519 Rc Xc Xn( )2 Yc Yn( )2 0.707 Raz Xa Xn( )2 Ya Yn( )2 17.678 Rbz Xb Xn( )2 Yb Yn( )2 14.089 Rcz Xc Xn( )2 Yc Yn( )2 12.51 Exa Ta Xn Xa( ) 1 Ra2  Ta Xn Xa( ) 1 Raz2  Exb Tb Xn Xb( ) 1 Rb2  Tb Xn Xb( ) 1 Rbz2  Exc Tc Xn Xc( ) 1 Rc2  Tc Xn Xc( ) 1 Rcz2  Eya Ta Yn Ya( ) 1 Ra2  Ta Yn Ya( ) 1 Raz2  Eyb Tb Yn Yb( ) 1 Rb2  Tb Yn Yb( ) 1 Rbz2  Eyc Tc Yn Yc( ) 1 Rc2  Tc Yn Yc( ) 1 Rcz2  Ex Exa Exb Exc 4.821 Ey Eya Eyb Eyc 5.986 En 7.686 j 1 En Ex j Ey arg En( ) 51.154 deg 140 4. Графическая диаграмма поля Ra x y( ) Xa x( )2 Ya y( )2 Rb x y( ) Xb x( )2 Yb y( )2 Rc x y( ) Xc x( )2 Yc y( )2 Raz x y( ) Xa x( )2 Ya y( )2 Rbz x y( ) Xb x( )2 Yb y( )2 Rcz x y( ) Xc x( )2 Yc y( )2 Exa x y( ) Ta x Xa( ) 1 Ra x y( )2  Ta x Xa( ) 1 Raz x y( )2  Exb x y( ) Tb x Xb( ) 1 Rb x y( )2  Tb x Xb( ) 1 Rbz x y( )2  Exc x y( ) Tc x Xc( ) 1 Rc x y( )2  Tc x Xc( ) 1 Rcz x y( )2  Ex x y( ) Exa x y( ) Exb x y( ) Exc x y( ) Eya x y( ) Ta y Ya( ) 1 Ra x y( )2  Ta y Ya( ) 1 Raz x y( )2  Eyb x y( ) Tb y Yb( ) 1 Rb x y( )2  Tb y Yb( ) 1 Rbz x y( )2  Eyc x y( ) Tc y Yc( ) 1 Rc x y( )2  Tc y Yc( ) 1 Rcz x y( )2  Ey x y( ) Eya x y( ) Eyb x y( ) Eyc x y( ) n 20 m 12 i 0 n j 0 m xi i yj j E1i j Ex xi yj  E2i j Ey xi yj  141 E1 E2( ) 142 ЗАДАЧА 67. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ 1. Исходные данные I 100 X1 4.5 Y1 6.5 X2 14.5 Y2 6.5 j 1 R 0.01 Xn 7.5 Yn 4.5 2. Расчет вектора Hn в заданной точке n R1 X1 Xn( )2 Y1 Yn( )2 3.606 R2 X2 Xn( )2 Y2 Yn( )2 7.28 H1x I Yn Y1( ) 1 R12  15.385 H2x I Yn Y2( ) 1 R22  3.774 H1y I Xn X1( ) 1 R12  23.077 H2y I Xn X2( ) 1 R22  13.208 Hx H1x H2x 11.611 Hy H1y H2y 36.284 Hn 38.097 Hn Hx j Hy arg Hn( ) 107.745 deg 3. Графическая диаграмма поля R1 x y( ) X1 x( )2 Y1 y( )2 R2 x y( ) X2 x( )2 Y2 y( )2 H1x x y( ) I y Y1( ) 1 R1 x y( )2  H2x x y( ) I y Y2( ) 1 R2 x y( )2  H1y x y( ) I x X1( ) 1 R1 x y( )2  Hx x y( ) H1x x y( ) H2x x y( ) 143 144 H2y x y( ) I x X2( ) 1 R2 x y( )2  Hy x y( ) H1y x y( ) H2y x y( ) n 20 m 12 i 0 n j 0 m xi i yj j H1i j Hx xi yj  H2i j Hy xi yj  H1 H2( ) ЗАДАЧА 68. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ И МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ БЕЗ УЧЕТА ЗЕМЛИ 1. Исходные данные U 200 I 100 X1 4.5 Y1 5.5 X2 14.5 Y2 5.5 j 1 R 0.01 Xn 7.5 Yn 7.5 2. Расчет зарядов проводов T1 U ln d R   28.953 d X1 X2( )2 Y1 Y2( )2 10 T2 T1 28.953 3. Расчет вектора Еn в заданной точке n R1 X1 Xn( )2 Y1 Yn( )2 3.606 R2 X2 Xn( )2 Y2 Yn( )2 7.28 Ex T1 Xn X1( ) 1 R12  T2 Xn X2( ) 1 R22  10.505 Ey T1 Yn Y1( ) 1 R12  T2 Yn Y2( ) 1 R22  3.362 En 11.03 En Ex j Ey arg En( ) 17.745 deg 3. Расчет вектора Hn в заданной точке n H1x I Yn Y1( ) 1 R12  15.385 H2x I Yn Y2( ) 1 R22  3.774 H1y I Xn X1( ) 1 R12  23.077 H2y I Xn X2( ) 1 R22  13.208 Hx H1x H2x 11.611 Hy H1y H2y 36.284 Hn 38.097 Hn Hx j Hy arg Hn( ) 72.255 deg 145 4. Расчет потенциала Vn в заданной точке n Vn T1 ln 1 R1   T2 ln 1 R2   20.344 5. Графическая диаграмма электрического поля R1 x y( ) X1 x( )2 Y1 y( )2 R2 x y( ) X2 x( )2 Y2 y( )2 Ex x y( ) T1 x X1( ) 1 R1 x y( )2  T2 x X2( ) 1 R2 x y( )2  Ey x y( ) T1 y Y1( ) 1 R1 x y( )2  T2 y Y2( ) 1 R2 x y( )2  n 20 m 10 i 0 n j 0 m xi i yj j E1i j Ex xi yj  E2i j Ey xi yj  E1 E2( ) 146 6. Графическая диаграмма магнитного поля H1x x y( ) I y Y1( ) 1 R1 x y( )2  H2x x y( ) I y Y2( ) 1 R2 x y( )2  H1y x y( ) I x X1( ) 1 R1 x y( )2  Hx x y( ) H1x x y( ) H2x x y( ) 147 H2y x y( ) I x X2( ) 1 R2 x y( )2  Hy x y( ) H1y x y( ) H2y x y( ) H1i j Hx xi yj  H2i j Hy xi yj  H1 H2( ) ЗАДАЧА 69. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ТРЕХФАЗНОЙ ЛИНИИ 1. Исходные данные t 10FRAME ( ) deg j 1 Im 100  30 Ia Im sin t( ) Ib Im sin t 120deg( ) Ic Im sin t 120deg( ) Xa 4.5 Ya 2.5 Xb 10.5 Yb 9.5 Xc 16.5 Yc 2.5 R 0.02 Xn 17 Yn 6 Ia 50 Ib 100 Ic 50 2. Расчет вектора Hn в заданной точке n Ra Xa Xn( )2 Yb Yn( )2 12.981 Rb Xb Xn( )2 Yb Yn( )2 7.382 Rc Xc Xn( )2 Yc Yn( )2 3.536 Hxa Ia Yn Ya( ) 1 Ra2  1.039 Hxc Ic Yn Yc( ) 1 Rc2  14 Hxb Ib Yn Yb( ) 1 Rb2  6.422 Hya Ia Xn Xa( ) 1 Ra2  3.709 Hyb Ib Xn Xb( ) 1 Rb2  11.927 Hyc Ic Xn Xc( ) 1 Rc2  2 Hx Hxa Hxb Hxc 21.461 Hy Hya Hyb Hyc 6.217 Hn 22.343 Hn Hx j Hy arg Hn( ) 16.157 deg 4. Графическая диаграмма поля Ra x y( ) Xa x( )2 Ya y( )2 Rb x y( ) Xb x( )2 Yb y( )2 Hxa x y( ) Ia y Ya( ) 1 Ra x y( )2  Rc x y( ) Xc x( )2 Yc y( )2 148 Hxc x y( ) Ic y Yc( ) 1 Rc x y( )2  Hxb x y( ) Ib y Yb( ) 1 Rb x y( )2  Hx x y( ) Hxa x y( ) Hxb x y( ) Hxc x y( ) Hya x y( ) Ia x Xa( ) 1 Ra x y( )2  Hyb x y( ) Ib x Xb( ) 1 Rb x y( )2  Hyc x y( ) Ic x Xc( ) 1 Rc x y( )2  Hy x y( ) Hya x y( ) Hyb x y( ) Hyc x y( ) n 20 m 12 i 0 n j 0 m xi i yj j H1i j Hx xi yj  H2i j Hy xi yj  H1 H2( ) 149 ЗАДАЧА 70. КРУГОВОЕ ВРАЩАЮЩЕЕСЯ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ 1. Исходные данные t 10FRAME ( ) deg j 1 Im 100  30 Ia Im sin t( ) Ib Im sin t 120deg( ) Ic Im sin t 120deg( ) Iaz Im sin t( ) Ibz Im sin t 120deg( ) Icz Im sin t 120deg( ) Xa 4.5 Ya 8.5 Xc 12.5 Yc 14.5 Xb 12.5 Yb 2.5 Xaz 14.5 Yaz 8.5 Xcz 6.5 Ycz 2.5 Xbz 6.5 Ybz 14.5 150 R 0.02 Xn 17 Yn 6 Ia 50 Ib 100 Ic 50 2. Расчет вектора Hn в заданной точке n Ra Xa Xn( )2 Yb Yn( )2 12.981 Rb Xb Xn( )2 Yb Yn( )2 5.701 Rc Xc Xn( )2 Yc Yn( )2 9.618 Raz Xaz Xn( )2 Ybz Yn( )2 8.86 Rbz Xbz Xn( )2 Ybz Yn( )2 13.509 Rcz Xcz Xn( )2 Ycz Yn( )2 11.068 Hxa Ia Yn Ya( ) 1 Ra2  0.742 Hxb Ib Yn Yb( ) 1 Rb2  10.769 Hxc Ic Yn Yc( ) 1 Rc2  4.595 Hxaz Iaz Yn Yaz( ) 1 Raz2  1.592 Hxcz Icz Yn Ycz( ) 1 Rcz2  1.429 Hxbz Ibz Yn Ybz( ) 1 Rbz2  4.658 Hya Ia Xn Xa( ) 1 Ra2  3.709 Hyb Ib Xn Xb( ) 1 Rb2  13.846 Hyc Ic Xn Xc( ) 1 Rc2  2.432 Hyaz Iaz Xn Xaz( ) 1 Raz2  1.592 Hybz Ibz Xn Xbz( ) 1 Rbz2  5.753 Hycz Icz Xn Xcz( ) 1 Rcz2  4.286 Hx Hxa Hxb Hxc Hxaz Hxbz Hxcz( ) 20.599 Hy Hya Hyb Hyc Hyaz Hybz Hycz 7.829 Hn 22.037 Hn Hx j Hy arg Hn( ) 159.19 deg 3. Графическая диаграмма поля Ra x y( ) Xa x( )2 Ya y( )2 Rb x y( ) Xb x( )2 Yb y( )2 151 Rc x y( ) Xc x( )2 Yc y( )2 Raz x y( ) Xaz x( )2 Yaz y( )2 Rbz x y( ) Xbz x( )2 Ybz y( )2 Rcz x y( ) Xcz x( )2 Ycz y( )2 Hxa x y( ) Ia y Ya( ) 1 Ra x y( )2  Hxb x y( ) Ib y Yb( ) 1 Rb x y( )2  Hxaz x y( ) Iaz y Yaz( ) 1 Raz x y( )2  Hxbz x y( ) Ibz y Ybz( ) 1 Rbz x y( )2  Hxc x y( ) Ic y Yc( ) 1 Rc x y( )2  Hxcz x y( ) Icz y Ycz( ) 1 Rcz x y( )2  Hx x y( ) Hxa x y( ) Hxb x y( ) Hxc x y( ) Hxaz x y( ) Hxbz x y( ) Hxcz x y( ) Hya x y( ) Ia x Xa( ) 1 Ra x y( )2  Hyb x y( ) Ib x Xb( ) 1 Rb x y( )2  Hyaz x y( ) Iaz x Xaz( ) 1 Raz x y( )2  Hybz x y( ) Ibz x Xbz( ) 1 Rbz x y( )2  Hyc x y( ) Ic x Xc( ) 1 Rc x y( )2  Hycz x y( ) Icz x Xcz( ) 1 Rcz x y( )2  Hy x y( ) Hya x y( ) Hyb x y( ) Hyc x y( ) Hyaz x y( ) Hybz x y( ) Hycz x y( ) n 20 m 16 i 0 n j 0 m xi i yj j H1i j Hx xi yj  H2i j Hy xi yj  H1 H2( ) 152