М инистерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра инженерной математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Руководство к решению задач для студентов механико-технологического факультета Ч а с т ь 3 М и н с к 2 0 0 9 Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра инженерной математики ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Руководство к решению задач для студентов механико-технологического факультета В 7 частях Часть 3 ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА Под редакцией В.А. Нифагина М и н с к 2 0 0 9 УДК 51(0765) .--БЕК 22.1*7 В 93 С о с т а в и т е л и : Е.А. Глинская, И. В. Прусова, О.В. Дубровина, А.Н. Мелешко Р е ц е н з е н т АД. Корзников Данное издание содержит теоретические сведения, подробный разбор типовых примеров и задач, задания для самостоятельной работы по разделам математического анализа. Часть 1 данного издания «Элементы линейной и векторной алгебры» (состави­ тели: Н.К. Прихач, Н.А. Кондратьева, О.Г. Вишневская, Е.А. Глинская) и Часть 2 «Элементы аналитической геометрии» (составители: О.Г. Вишневская, И.В. Прусова, Н.К. Прихач, Н.А. Кондратьева) вышли в БНТУ в 2008 г. ISBN 978-985-525-111-9 (Ч. 3) ISBN 978-985-479-903-2 © БНТУ, 2009 1.1.Числовая последовательность и ее предел Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция, определенная на множестве N . Она записывается в виде (д,; а2; а п \...) или со­ кращенно (ап), где ап = f ( n ) - общий член последовательности; п -н ом ер члена последовательности. Последовательность (ап) называется ограниченной {неограниченной), если существует число М > О такое, что для всех n e N выполняется \ап\< М (если существует число М > О такое, что для всех п е N выполняется \ап | > М ). Число а называется пределом последовательности («„), если для любого сколь угодно малого числа в > 0 найдется число vV(e), такое, что для всех членов последовательности с номерами п > N(s) выполняется неравенство |ап - а\ < в . При этом пишется lima = а или а —»■ а .Г П У! п ->оо С помощью логических символов это определение можно записать: lim ап = a o V e > о, 3iV(g), \ /n>N(z)^>\an - а \ < е . Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся. Если limап - 0, то (а ) называется бесконечно малой последовательностью п— (б. м. п.). Такие последовательности обладают следующими свойствами: 1. Алгебраическая сумма конечного числа б. м. п. есть б. м. п. 2. Произведение конечного числа б. м. п. есть б. м. п. 3. Произведение б. м. п. на ограниченную последовательность есть б. м. п. Последовательность (ап) называется бесконечно большой последовательно­ стью (б. б. п.), если lima = +со(-оо /7—» со 1. П Р Е Д Е Л Ы 3 Если (ап) и (bn) сходятся, то справедливы следующие теоремы о пределах: 1) lim(an ± Ьп)=\\тап ± limbn; Я —» о 0 П — >со л —>СО 2) Ишсап - с lim an, где с - const; п —*со п -¥ со 3) lim a Ъ = lim a li mb ;У /7/7 я п ‘л —>оо и —>00 /?—>00 lima /7—>с0 п п—>со 1. Найти lim- Примеры п «~>® п 2 + \ В большинстве случаев нахождение пределов последовательностей связано с преобразованием общего члена последовательности и дальнейшим использова­ нием понятий б. м. п. и б. б. п. и их свойств. Решение. Разделим числитель и знаменатель на nz: п 1Ы а п2+ 1 1 + 1/ п т. к. п - бесконечно большая последовательность, то — - бесконечно малая по­ т-7 следовательность, поэтому 1 г 1lim— п 1 • ^ 1 • VI ,'">со Yl Ulim—---- = lim ■■ = ----- т—J—^ ~ = ------= 0. п~ +1 п->х , . 1 Л . О 1 + 01 + — lim п "~>с0 1 + V п ) WCOs(7U«/3)2. Вычислить lim------ — :—- п_>” п~ + 1 Решение. Последовательность (см. пример 1), последовательность f п ' \П + 1J является б. м. п., т. к. lim п п 1 + 1 п% cos— V 3 у является ограниченном, так как cos- пп 3 < l V n e N . Таким образом, последовательность п cos- пп кп 2 +1 3 у есть про­ изведение б. м. п. на ограниченную последовательность, поэтому у п п%lim—----- cos— = 0. п +1 3 » тт „ 2 + 4 + 6 + ... + 2п 3. Наити lim— -------------------------------п . п + 2 Решение. В числителе сумма п членов арифметической профессии, поэтому s = ai + а„ 2 + 2 п / \п = ------— п = Ц + п) ■ п .. 2 + 4 + 6 + ... + 2и (l + п)п л. п2 + п - п 2- 2 п lim--------------------------п = lim-— — -----п ~ lim— п + 2 п + 2 /7 + 2 = lim— — = lim— = -1, “>0° п + 2 п_>0° - 21 + и т. к . ---- б. м. п. п 4. Найти lim (п + 3)! 2(и + 1 )-(« + 2)!' Решение. Учитывая, что (п + 3)!= (п + 3)(и + 2)(и + l)!, (и + 2)!= (и + 2)(п + l)l, имеем а = (и + 3)! (п + 3)(и + 2){п +1)! 2{п + 1)!-(/7 + 2)! 2{п + \)\-{п + 2)(« +1)! (п + 3)(и + 2){п +1)! и + 3 (п + 2){п +1)! V _ ? _ _ Л п + 2 у и + 2 -1 5 lim a = lim —^ +-~— = lim —-—— ■ lim(« + 3) = -1 ■ (oo)= -oo, _ _ M J 11_/ n —Vr-nП—+ОЭ n —>oo 2 n + 2 / )1-> 00 n + 2 T. K. б. М. П. n + 2 5. Найти limlw - л/я3 - n 2). n—ken ' ' Решение. Умножим и разделим ап на \п2 4- п3\ jn3 - гг + (\/«3 - и2") ) и вос­ пользуемся формулой (а - b){a2 + ab + Ь2)= а 3 - Ъ 3. Пшш - \1п - п2 = lim 3 ( 3 2 \п - \п - п ) п ‘ + п\1п - п “ + л/\п" - п2 1,3 2 3 ( 3 2 = lim- /7 и2 + n2J l - - + п \ V п \ V п ) - lim- 1 1 ,+H +if jV 1+1+1 зlV n j 5-3" . 5 2 6. Найти lim --------= lim------— = 5, т. к. —з» _ 2 1 2 3 - б. м. n. I - 7. Найти lim 3" \ n n n n Решение. an = — (l + 2 + 3 + • ■ • + (n - 1)); l + 2 + 3 + • • ■ + (n - 1) - арифметиче- n 2 ская прогрессия, поэтому: 1 + 2 + 3 + ----h (и - 1) = —0 [n - 1) = ~ (n - 1) : 2 2 n - n 6 1 1 1 - 1 п - п п — п ,. у, 1 - 0 1lima,, = lim— --------- = lim------— = lim---- — = ------= — n 2 л_>м 2n~ n~*x 2 2 2/?—>co n—>co 8. Найти lim( 1 1 1-2 2-3 + ••• + n{n + 1) Решение. Представим 1 1 n{n + l) П n + 1 , тогда lima = limn/7—>CC /7—>oow 2J + 2 3 V3 4 у 1 1 \л lim 1 1 1 1 1 1 1 \ V 1----- 1----------1----------Ь • • • H--- 2 2 3 3 4 n n + 1 = l i m n +1 = 1+ 0=1 1.2. Задачи для самостоятельного решения Найти пределы: 1) п-усо П + 1 2) lim п - п n — yjn 3) lim wп г + п - п ) \ 4) lim П—»С0 ' ' и—»сс п cos п п + 1 5) lim “V + — sinffz2); 6) lim(4 " - 2 Y5 " -З ) ; 7) lim V?7 «у V° /V i л 2” -1 W 8) Нтл/Зтт/и + 2 - л/и - 1); 9) lim 3 n 1 9n + 2 и + — cos2« ; 10) lim у л1п + 1 + л/ л/и2 - 5 п~ +п Ответы 1 о R 1 1)0; 2) + со; 3 ) - ; 4)0; 5)0; 6)6; 7 ) » ; 8 ) ^ - ; 9 ) - ; 10)1. 7 1.3. Предел функции Пусть функция / ( х ) определена в некоторой окрестности точки х0, за ис­ ключением, быть может, самой точки х0. Число Ъ называется пределом функции f { x ) в точке х0 при х -> х0, если для любого сколь угодно малого числа в > 0 найдется такое число б(в), что для всех х, удовлетворяющих условию 0 < |х - х01 < 5 , выполняется неравенство \ f { x ) - b \< z и записывается это так: lim f ( x ) = b или f i x ) —> b при X -» JC0 . При помощи логических символов это определение можно записать: lim f i x ) = b о Vs > 0, 35(s): Ух 0 < |х - х 0|< 5 => |/(х ) -/?] < 8. (1-1) Если в выражении (1.1) рассматривать только х < х0(х > х0), то имеем поня­ тия левого (правого) предела функции в точке х0, который обозначается или / ( * o - 0 ) f e / ( x ) ) или f ( X0 + 0)- С помощью логических символов определение предела функции f i x ) при х -* +оо записывается так: lim / ( х ) = b <=> Vs > 0, 3N{e), Vx > N {&)==> \ f{x ) -b \ < в. (1.2) X—>+00 Определение и обозначение предела при х —» -оо аналогичны. Если в выражениях (1.1) и (1.2) Ъ - 0, то / ( х ) называется бесконечно малой функцией (б. м. ф.) и записывается это так: lim/( х )= 0 . Функция f i x ) называется бесконечно большой функцией (б. б. ф.) в точке х0, если VM е R+, 3§(m ):V x 0 < |х - х 0|< 5 \ f { x J > M и записывается это так: lim /(х ) -о о , при этом, если / ( х ) > 0 ( /(х )< 0 ) V xe(x0 - 5 ,х 0 +5) и х ^ х 0, то .V—>Л' 0 пишут: lim /(x)= +oo llim /(x)=-оо. •V—>А‘П V—Ип ' Связь между б. м. ф. и б. б. ф. следующая. АЕсли f ( x ) - б. м. ф., то — ~ б- б. ф., где А - действительное число Ф 0. А х ) Если f { x ) - б. б. ф., то - б. м. ф., где 0<А<со. Д х ) Свойства функций, имеющих пределы при х —>х0, х —> х0 ± 0, х -» ±оо, вы­ ражаются следующей теоремой. Теорема 1.1. Если существуют lim f { x )= A lim g(x) = В, то х^х0 1) lim ( / W ± g(x )) = lim f ( x ) ± lim g(x) = А ± В;X—^Х() х-*хц х~*хь 2) lim /(x )g (x ) = А ■ В ; х->хп 3) lim f ( x ) / g(x) = ~ {В* 0). x -> x 0 £ > Свойства б. м. ф. аналогичны свойствам бесконечно малых последова­ тельностей. Произведение f ( x ) - g ( x ) при х -» х0 есть б. б. ф., если f ( x ) - б. б. ф. при х —> х0, a g(x) - или б. б. ф., или \g{xj < с в некоторой окрестности точки х0. По определению выполняются соотношения: 1) х + оо = +со, х - оо = -оо, Vx е R; 2) х(+оо) = +оо, х (-о о )= -о о , V x> 0; 3) х(+оо) = -оо, х(-со)=+оо, V x< 0; 4) (+ оо) + (+ оо) = +со, (—оо) + ( - оо) = —оо ; 5) (+ со)(+ со) = +00, (— оо)(— оо) = +00, (+ оо)(— оо) = —со . Операции (+ со)+ ( - оо) = со - оо и — не определены и называются неопреде- 00 ленностями. К неопределенностям относятся также отношения вида О 0-со; Г ; 0°; оо0 О В простейших случаях эти неопределенности раскрываются с помощью ал­ гебраических преобразований данного выражения. Кроме того, для всех элементарных функций в области их определения име­ ет место равенство lim / ( х ) = f { lim х] = f ( x 0). х-*х„ J При нахождении некоторых пределов полезно иметь в виду следующие свойства функций. 1. lim — = -оо; lim — = +со; lim— = 0, где а > О, а е R. х —>0—0 -у- х —>0+0 х+со Г0 при 0 < а < 1, 2. lim ах = < х^ +ю [+ со при а > 1. f+oo при 0 < а < 1 , 3 A i m a x =\ х-'-ю [0 при а > 1. (+оо при а> 1, 4. limloga х = s [ - оо при 0 < а < 1. Г -со при <я>1, 5. lim log х = <1 х^ +0 [+ со при 0 < а < 1. В дальнейшем будут использоваться первый и второй замечательные пределы .. sinx , lim------= 1, х-> 0 X limх—>соf , + A )V x j = lim(l + x)* = e = 2,71828... При вычислении пределов вида Нт(м(х))”(' ) необходимо иметь в виду, что х - » х () если Нт(и(х)) = а > 0, lim(v(x))= 6, то lim(w(x))v(t) = аь. Х-+Х» 10 П римеры 1. Доказать, пользуясь определением предела функции, что lim х - 1 = 2 . х~*1 х - 1 Решение. Пусть е > 0 , найдем такое 5 = 5(e), чтобы для всех значений х, отличных от 1 и удовлетворяющих неравенству |х - 1| < 5 , выполнялось неравен- х 2 - 1ство х - 1 < в . Так как * 1 1 о ( х - 1 ) 2 х - 1 х - 1 х — 1 Vx Ф 1, то для б > 0 суще­ ствует 5 = 5(e) (а именно: 5 = в), такое, что, для всех х, удовлетворяющих усло- х 2 - 1 вию 0 < х -1 < 5, будет выполняться неравенство х - 1 - 2 < в , то есть lim ----- 1 = 2. х — 1 Раскрытие неопределенностей вида 0 0 а) Пусть / ( х ) - рациональная дробь. В этом случае числитель и знамена­ тель разлагают на множители. Найти пределы. . . . х 4 + х3 х3(х + 1) х +1 1 2. lim—-------— = lim——^------ = lim------- = —. х^ ° х + 2х' х~*° х (х + 2) •t_>0 х + 2 2 _ .. х2 + Зх + 2 (х + 2)(х + 1) х + 1 -1 1 , 3. lim— ;---------- = lim— ---------------— = lrm------- = ----- = — (сокращение на -2 2х + х — 6 х^ “22(х + 2) / З л х ----- V 2 у ~ -2 2 х - 3 - 7 7 (х + 2) возможно, т. к. х ф ~ 2 , х —> -2 ). х 3 + х - 2 4. lim- м | х - х “ - X + 1 Многочлен х 3 + х - 2 при х = 1 равен 0, следовательно, он нацело разделит­ ся на (х -1 ) , т. е. х3 + х - 2 = (х - l)(x2 + х + 2), х3- х 2- х + 1 = х2(х - 1)- (х - 1)= (х - l)(x2 — l) = (х — l)2 (х + 1), поэтому 11 х + х - 2 (x - l) (x + x + 2 ) x + x + 2 .. 4 lim— ——------ — = lim 7- ---- v - lim----- — — = lim - = со. x - л: - x 4-1 х_и (x - l)(x - 1) x - 1 ***' 0-X -» l б) Пусть / ( x ) - дробь, содержащая иррациональные выражения. В этом случае иррациональность переводится из числителя в знаменатель или наоборот, а также используется замена переменной. 5. lim Х V- * = Hm л /хл /1-х = 0 х -» 0 + 0 ~ ' Х х -> 0 + 0 л/З + х —2 .. (л/з + х — 2Ул/ 3 + х + 2 ) .. х — 1 6. hm --------------= lim 1- / = lim-^— ^ — ----- v х - 1 Х^ 1 (х - 1Дл/3 + х + 2) х_>| (х - 1дл/3 + х + 2]х->1 л/9 + х — 2 .. (л/9 + х — 2 да/ 9 + х + 2 Дл/ 4 — х + 3 , 7, Inn — =----= lim- А^ -5 л/4 - х - 3 *~*~5 (л/9 + х + 2 XV 4 — х - 3 W 4 - х + 3; ^ (5 + х)(л/4 - х + з) ^ л/4 - х + 3 _ 6 _ 3 ~ (' ^ У 9 + х + 2 )(- 5 - х) ~ - ^ л /9 + х + 2 _ 4 2' n л/х — 1 (Ух - 1 Дл/х2 + л/х + 1 Дл/х + 1 | 8. hm-7=— = lim -У ;— А_ — — А'“и л/х - 1 (л/х2 + \[х + 1Дл/х - 1дл/х + 1 (х -1 ) (л /х + 1 ) л/х + 1 2 = lim г~т=^ -----7±-— хН— - = lim—р=---- —----= —. х->] ‘?/ ? + Vx + l j ( x - l ) m 1a/ ? + Vx + 1 з 9. lim------ j ......... x~>° 2 - л /х+ 4 Вычислим этот предел при помощи замены переменной. 12 ■) x t2 — 4Пусть x + 4 - t 1, тогда x - t 2 - 4 , lim ------ j = - lim-------= x~*° 2 - л/х + 4 2 2 - t (t — 2)(Y + 2) = lim ...... ........ = -lim (/ + 2) = -4 . '^ 2 2 - t l^ 2 00Раскрытие неопределенности вида — GO ч ct„x + <л,х +... + a а) Если вычисляется предел рациональной дроби вида —--------!— ------------ - Ь0х п +Ьхх п~ +... + Ьп при х —> со, то нужно разделить числитель и знаменатель дроби на х в старшей степени и перейти к вычислению предела. 3 _ А _ Х .. Зх4 - 2х - 7 х 2 х* I 10. lim---- --------------= lim---- ---- ~ = ~. *-ио 9х + Зх + 5 ^°° п + А + А 3 х3 х 4 J. _1_ , , X3 + X г г 3 0 Л11. lim—------- ---- = lim—* , = lim— = 0. х - Зх + 1 1 _ J_ + J_ 1 2 4X X 1 5 2 х 3 + х 2 - 5 2 + - “ Г ? 12. lim— ---------- = lim ------ ^ = lim— = со. х + х - 2 *-*•«= 1 1 2 0 ""^2 3X X X б) Если / (х) - дробь, содержащая иррациональности, то и в этом случае ее числитель и знаменатель делят на х в старшей степени. s i x 2 + 1 X л /8 х 4 + 1 -Jx2 + 1 f + x * 1 13. lim—р=. г = lim -у- =- = lim- г------- . -'Sx4 +1 ~ " У 8 1. M0° L 1 V8 \8+—X V x Раскрытие неопределенности вида со - со 0 оо Эта неопределенность преобразуется к неопределенности — или — . О оо 13 1 л i- ( г 2— о--------------------------------------------------------------------- 7 /.7..........^ х 2 - 2 х - 1 - ( х 2 - 7 х + з)14. Ь т л /х - 2х - 1 - Ух" - 7х + 3 = lim , ......v , = л/х2 — 2х — 1 + л/х2 - 7х + 3 lim 5х — 4 л/х2 - 2х — 1 + л/х2 - 7х + 3 00 00 5 - = lim х х х V х х Раскрытие неопределенности вида Ц при помощи первого замечательного предела Найти пределы. sin5x _ ------- 5х _ 5х 5 0 sin6x sin6x 6 ------- ох 6х 16. l i m l i m si n2x 2 = цт — 2— = _ - 2. х-»0 х 2xcos2x cos2x 1 17. lim х->0 arcsmx х arcsmx = у ==> x = s in j , у —» О у~*° sin_y = lim----Ц - = i = l y -+ 0 & [ n y j y 1 18. lim 2* - aret8* = l im . 2 x + arcsinx 'T >0 arctgx^ JC X ) 2 - 1 1 x 2 + arcsmx 2 + 1 3 x 19. lim 1 - sinx x-> — 2 71 \ 2 X % X = у 71 1 -s in = lim- y -*0 T^C v 2 ■y 2 У = lim v~»0 1 -c o sy y 2 2 sin" lim- v-»0 ( V i v 2 y 2 sin Г . Л f y \ sin У = lim- v -> 0 У v .2y v.2y 2 _ l 4 ~ 2 ' 14 co s2 x -co sx 20. lim—---- ----------- *~*° 1 -co sx о . . a + P . a - p cosa - cosp = -2 sm —— • sin---- — .. - 2sin2x • sinx(l + cosx) - 2 ■ 2sinxcosxsinx(l + cosx) hrn---------------------— ------- - = lim-------------------- r----- 1-------- — (1 - cosx)(l + cosx)*-»0 д:—>0 lim - 4cosx(l + cosx) = -4 • 1 • 2 = -8 . x->0 Раскрытие неопределенности вида Г с помощью второго замечательного предела Найти пределы. 21. lim х + 5 vx + 3y = lim x + 3 + 2^ x + 3 J = lim 1 + x + 3 lim \ Л T J J ' 2 ^ 1 + - ------------- V x + 3y x + 3 2 2 x+ 3 lim 1+3 \ 1 + 2 x + 3 2x_ x+3 7 lim ГГ" . = ем' х+3 = e™ 1+3/x = e . 1 s in x s in xlun 22. lim(l + sinx)* = lim(l + sinx)sinjc * = e '"“ x =e. x -> 0 x ->0 23. lim ^ x 1 + x + 2^ y X - X + 1 j x + x + 2 2x + 1 Разделив числитель на знаменатель, получим —— ------= 1 + х2 - х + 1 х2 - х + 1 lim / т \ 2 х х + х + 2 ^х2 — х +1 j 2х +1 \ 2х г - lim 1 + х - х + 1 = lim V х 2 - X + 1 V 2 x 1-1 X2 - х + 1 4 + 2 /х 4 х г + 2 х 1 1 lim — --------- 1— + — _ 0 Х-'"-С "Х+1 = Q Х Х — Q 4 15 24. l i m ^ ^ i - 4^ - = lim -lo g o(l + x) = limloga(l + x)x = *-> 0 j r x —>0 x ^0 = l°g, i \ lim(l + x )A = logo e. .y—>0 ,. ln(l + x) . , Если a = e , то имеем lim-----------= me = 1 . x -> 0 25. lim a x - 1 x ax - 1 = y, a x =l + y, x = logo(l + x), x - » 0 , y - » 0 i- У r 1 1= lim-------------- = lim------------- - = ------- '^° loga(l + 7 ) v^ ° l°go0 + У) logo e Если a = e , to lim ----- - = lne = 1. - In a. Результаты, полученные в примерах 24, 25 полезно использовать при реше­ нии примеров. ^ г е* — е"* е" '(е - 1 ) г е~*(е - 1 ) - 2 х26. lim--------- = lim— ---------- = lim— ------^ ----- sinx А^° sinx Л'~>0 2xsinx = lime ' l im------ - • lim—3 — = 1 • 1 ■ 2 = 2. ,м0 2x x~*° sinx X 1.4. Задачи для самостоятельного решения Найти пределы: 1 ) lim х + Зх + 2 х->-1 Зх + 4х +1 1 0 х3 + 3 х 2 4) lim д-—>00 2 х - 1 0 0 х + 1 ч 1 • л/9 + х - 27) lim —г ■ ■— : х—^ 5 л/ 4 X 3 2 ) lim х + х - 2 X3 - X2 — X + 1 5) lim Зх3 + х 2 — 4 - > ' 7х - х - 2 8 ) lim х - 8 х->64 \[х — 4 3) lim 4х6 - 2х2 +11 л-->со 5х2 + Зх4 + 2 s j a x - x 6 ) lim ---------- ; х— ЗС Cl 9) lim x + 1 + V x . x >c0 л/х3 +X - y[> 16 10) lim f^/(x + l)2 - д / ( х - 1 ) 2 1; 11) lim х2Г х -л /х 2 + Л 12) lim ^ ,SmX;. 3x—>004 / X—>co v / X—>0 X l - c o s 8 x , .. c o s x - c o s 3 x , . . л/l-COSX 13) l im -------------; 14) l im -------- ,-= 15) l im ------------- ; x—>01 cos x—>0 у 1 ' x^“ ^ ^ 16) lim tg- ~ tg a ; 17) l i m - ^ - ; 18) lim Sl n (x - - 3 ^ ; 19) l im ( l-4 x ) * ; x->a X — a x—>n x x-^3 X — 4x + 3 x-»0 1 _ 7 20) lim X—>00 ( 2 Л'*' 3x + ^ ; 21) lim (x + 2)(ln(2x +1) - ln(2x -1 )); 22) lim 6 ^ Kx 2 - l j 2 _ 1 ln(l + 5x) ex - c o s x eA- e .. . 23) lim -----------24) lim ------------- ------ ; 25) lim -------- ; 26) lim (cosx)*. x->0 3х -1 jc-»0 X X^ >1 In X *->0 Ответы l ) - { ; 2 ) w ; 3 )0) ; 4)5; 5)0; 6 ) - j ; 7 ) 8 ) 3 ; 9 ) ® ; 10)0; Z* A* 1 /О 1 1 11)-со; 1 2 ) - ; 13)4; 14)8; 1 5 ) ^ - ; 16)---- — ; 1 7 ) ^ ; 1 8 ) - ; 19) e"'; 2 2 cos a l l 20) e2; 21)1; 22)3; 23) 5/ln3; 24 )3 /2 ; 25) e; 26)1. 1.5. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций Чтобы сравнить две бесконечно малые функции (в дальнейшем б. м. ф.) а(х) и (3(х) при х -» х0, находят предел их отношения при х —» х0. При этом: ос(х) 1) если lim------= 0, то а(х) называется б. м. ф. более высокого порядка ма- Х >Х!> р(х) лости, чем (3(х) при х —>• х0 и записывается это так: а(х) = 0((3(х)); 2) если lim------ = с , сФ 0, то а(х) и (3(х) называются б. м. ф. одного по- р(х) ос( х^рядка малости; в частности, если lim------= 1 ,то а(х) и Р(х) называются эквива- х^ х« (3(х) лентными б. м. ф. при х —> хп и обозначается это так: а(х) ~ |3(х) при х —> хп; дри....-w-■!■■■■ ■■■'■ | - ши.— »■»......... . . п.». 17 cxfx) 3) если существует число к е R , такое, что lim - с и с^ О , то а(х) 3 (х) называется б. м. ф. порядка к по сравнению с (3(х) при х -* х0. Классификация б. б. ф. проводится аналогично, гг - 0 ооПри раскрытии неопределенностей — или — используют теорему о замене О оо б. м. ф. (б. б. ф.) эквивалентными им, пользуясь таблицей эквивалентных б. м. ф. при х —>■ х0. 1. sinа(х) ~ а ( х ) . 2 . arcsina(x) ~ а (х ) . 3. tga(x ) ~ а(х). 4. a rc tg a (x )~ a (x ). 5. l - c o s a ( x ) ~ “ a 2(x). 6. ln(l + а (х ))~ а (х ) . 7. lo g „ ( l - f a ( x ) ) ~ - - ^ . 8. аа{х) -1 ~ а(х)1па. 9. еа(" -1 ~ ос(х). 1 nb Здесь а(х) - б .м. ф. при х —>• х0. П р и м е р ы 1. Сравнить при х -» 0 б. м. ф. (3(х) = х со следующими б. м. ф.: а) а(х) = х - sinx; б) а(х) = \[xqx ; в) а(х) = xcos-^-; г) a(x) = sin3x. х" а(х) x - s in x х sinx Решение, a) lim------= lim------------= lim— lim-------= 1-1 = 0, следователь- ■t_*° (3(х) л'~>0 х w0 х -м0 х но х - sin х = 0(х); б) lim—— = lim e5 • lim ,—- = 1 • со = оо, следовательно a(x) = \Jxex естьX-+Q v л—>0 х—>0 5 / _4л V X б. м. ф. более низкого порядка малости, чем (3(х) = х при х —> 0; ( 1 ^X cos в) lim--------- -— = limcos-^- и этот предел не существует, то б. м. ф. 1 ,х->° х а(х) = х cos —~ не сравнима с (3(х) = х при х -> х0; х “ sm3x 3sin3x г) lim----- - = lim---------= 3, следовательно, б. м. ф. a(x) = sin3x и |3(x) = x x~*° x x~*° 3x одного порядка малости при х —» 0. 2. Определить порядок малости б. м. ф. а(х) по сравнению с б. м. ф. Р(х) = х при х -> 0, если а )а (х ) = — —— ; б) а (x) = V x+ V x . 1 + х а ( х ) \ [ х - л /х f 1 Л 1 - х 6 1 1 — X® \~к х-> 0 р 4 х ^ -0 х к ^ + х ) н О + х ^ * -> 0 1 + Х « О Решение, a) lim = lim -^ — — = lim—^------ = lim-— — ■ lim x3 = 1. если k = ^ , следовательно, порядок малости a(x) по сравнению с (3(х) при х -> О 1 равен 4 / X + л! X X4 1 { м 1 + х 12 V J - . 1б) lim----- -----= lim— -—;------ = 1 , если к А'->0 х А-° х 4 4X3. Определить порядок роста б. б. ф. f ( x ) = ~,-------у2 относительно б. б. ф. (х2 - 1 ) ф(х) = —-— при X -» 1 . х — 1 f ( -'ОРешение. Рассмотрим lim ^—— и подберем к такое, чтобы этот предел •с-и ф (х) имел конечное значение, отличное от нуля. х 4(х -1 )* X4 (х -1 )" 1 1Ч^_2 1 lim— :------------------------------------------------------------------------------ — = lim-----lim-- = — lim (x - l) = —, если/с = 2. ^ ( х 2 - \ у ^ ' ( x + l)2 ( х -1 ) 2 4 - ' 4 Значит, / ( х ) - б. б. ф. порядка к - 2 по сравнению с б. б. ф. ф(х) при х —> 1 . 4. Используя таблицу эквивалентных б. м. ф., найти пределы: 19 е2' - 1 - 7 х ! „ # 3’ - l ) 2 ч 1п3(1 + х) a) lim----- ;---------------- —; б) lim-5L^ - ——— ; в) lim------ ^ . х^ ° arcsin3x + arctg2x х^ ° tgx х^ ° 3sin х + х Решение. Ч1. е2х -1 - 7х2 a) lim ------------------------ Jr_>0 arcsin3x + arctg2x e * -1 ~ 2x, arctg2x ~ 2x arcsin3x~3x, при x ^ O .. 2 x - 7 x 2 = lim----------- x~*° 3x + 2x .. x ( 2 - 7 x ) 2 lim—--------- = —: x->o 5x 5 6) lim (е"-1У t g ( * 2) 2 ,„2t g x ~ X = lim x - » 0 3/(3x)2 V 9-x3 -— — - lim--------- kl9lim— -^ = oo; x ->0 x~ в) X^° 3sin" x + x l n ( l + x ) ~ X s i n x ~ X x3 X2 = lim — ^------= lim ——— = 0. x~>0 3x' + x x^ ° 3x +1 1.5. Задачи для самостоятельного решения Сравнить бесконечно малые функции: l ) a ( x ) = sh x ; (3(х) = х , х —>0; 2) a(x) = sin2(^/5x); Р(х) = х , х -> 0 . Найти пределы, используя таблицу эквивалентных б. м. ф.: 3) lim х а. а - а х —>0 х — а (а >0); 4 ) l i m ^ 5 ^ ; 5) Hn:"KV 6) lim sin ^ 7тЛ X — V З у - l -2 c o s x 7) lim ~3snT x + x" _ 1 -c o s 2x arcsin8x ■ arctg5x „ e' -c o s t x -> 0 arctg ; 8) lim x x~*° arcsin" x x^ ° x ’ - x J +x ; 9) lim —- j ' - " — ^ x - » 0 « ^ n i v 4 2 _ ' r_>n _ 4 _ 3 , _ 2 7 ' r-»0 Ответы 1) a(x)~ р(х); 2) a(x) и (3(х) одного порядка малости; 3) a aln a ; 4) 5)4; 6 )^ = 0 ; 7)2л/2; 8)6; 9)40; 1 0 ) - . л/З 2 1.6. Непрерывность и точки разрыва функции I. Функция / (х) называется непрерывной в точке х0 е D ( f ) , если она опре­ делена в этой точке и ее окрестности и lim/( х ) = / (х0). х -» х () На практике применяются и другие определения непрерывности функции в точке х0. II. Д х ) называется непрерывной в точке х0,если: а) / (х) определена в точке х0 и ее окрестности; б) существуют конечные односторонние пределы / ( х 0 - 0) и / (х0 + 0); в) и выполняются равенства / ( х 0 - 0) = / (х0 + 0) = /'(х0). III . Функция / ( х ) называется непрерывной в точке х0, если она определена в этой точке и ее окрестности и бесконечно малому приращению аргумента соот­ ветствует бесконечно малое приращение функции, то есть lim AД х) = 0. Если / ( х ) непрерывна в каждой точке некоторого множества, то она не­ прерывна на этом множестве. Все элементарные функции непрерывны в своей области определения. Точку х0 называют точкой разрыва функции / ( х ) в следующих случаях: 1) функция / (х) - не определена в этой точке; 2) / (х) определена в точке х0, но не существует lim / (х) или х -* х 0 lim /(x) * Д х 0) (то есть / ( х 0 - 0) = Д х 0 + 0) ф Д х 0)). Различают следующие случаи точек разрыва функции: 21 ]) если существует lim f ( x ) и при этом х0 & D ( f ) или l im /(x )^ / ( х 0), то х ~ *х {) ' х-*-х{) точка х0 называется устранимой точкой разрыва; 2) если не существует lim / (х), но существуют конечные односторонние пределы, причем / ( х 0 - 0) ^ / (х0 + 0), то точка х0 называется разрывом первого рода , а разность / ( х 0 + 0) - / (х0 - 0) - скачком функции / (х) в точке х0; 3) если хотя бы один из односторонних пределов равен + оо или - со или не существует, то точка х0 называется точкой разрыва второго рода. Сумма и произведение конечного числа непрерывных функций есть функ­ ция непрерывная. Частное от деления двух непрерывных функций есть функция непрерывная во всех точках, в которых знаменатель не равен нулю. П римеры 1. Исследовать на непрерывность функции: 1 ^ lV ”1 ч ^ ч х3 — 8 , Гх + 2, х е [ОД), X a) / ( х ) = a rc tg - ; б) Д х ) = - ; в) / (х) = ------ - ; г) f ( x ) х - 2 [ 4 -х , x g (1,4]. Решение, а) / ( х ) = arctg— определена на всем множестве R за исключени- х ем точки х = 0. Следовательно, точка х = 0 является точкой разрыва данной функции. Выясним характер разрыва. Для этого найдем односторонние пределы в этой точке: 1 71 / ( 0 - 0) = lim arctg— = lim arctg(-oo) = — ;jf-^ 0-0 x->0-0 2 1 . 7C/ ( 0 + 0) = lim arctg — = lim arctg (+00) = —.x-^ 0+0 -у х~»0+0 ОA Таким образом, существуют конечные односторонние пределы, но у (0 - 0) Ф / ( 0 + 0). Значит, х = 0 - точка разрыва первого рода. Скачок этой 22 71функции равен /(О + 0) - /(О - 0) = — - ^ - - 1 v = тс. График этой функции (рис. 4.1) построим с учетом того, что Е(у) = 2 2 и limarctg— = 0, lim arctg—= 0. X—>+со д - X—>-СЮ д . б) f i x ) : 1 U -1 v3y является элементарной и непрерывна на своем множестве задания R, кроме точки х = 1. Точка х = 1 - точка разрыва функции. Так как /(1 - 0) = limх—>1 ~ х-1 г п l i m ----- •V—»1-0х—1 ( 1Л — со | — 13у — v3j 3 °° = ОО /(1 + 0) = lim Г ] Х ^ f i y f e . ( I х —>1+0 v3y /1 \ V-V = 0 . V-V Один из односторонних пределов равен оо, значит х = 1 - разрыв второго рода. Укажем поведение графика функции (рис. 4.2) лишь в окрестности точки разрыва. 23 в) / (х) = х 3 - 8 х — 2 точка разрыва. Найдем односторонние пределы: не определена лишь в одной точке х = 2, значит х - 2 - 3 / ( 2 - 0) = lim lim х—>2—0 __ ^ х—>2-0 8 (х -2 ) (х + 2х + 4) / 2 \ - = ------- л -------------- '-= lim lx + 2х + 4 =12. ? х-*г-о ( х - 2 ) ^>2-° Аналогично / ( 2 + 0) = 12. Здесь / ( 2 - 0) = / ( 2 + 0) Ф / ( 2 ) , следовательно, х - 2 - точка разрыва пер­ вого рода, а именно, устранимый разрыв. Функцию / ( х ) = X3 -8 х - 2 можно доопределить в точке х = 2 таким образом, чтобы она была непрерывной на R , достаточно для этого значение функции в точ V - 8 ке х = 2 принять равным 12, то есть функция /,(х ) = Vx Ф 2, х - 2 ' будет уже 12, х = 2 непрерывной в точке х = 2. (х3+2, xe[0,l), г) f ( x ) = < г , является составной. Составляющие ее функции [4 х, х € (^ 1,4 J непрерывны на своей области задания. Точкой разрыва может быть лишь точка х = 1, в которой меняется аналитическое выражение функции. Найдем односторонние пределы: / ( 1 - 0) = lim(x3 + 2)= 3 ; /(1 + 0) = lim (4 - х) = 3 . х -> 1 -0 ' ^ л , г\х^ -1+0 Согласно заданию функции /(1) = 4 -1 = 3. Так как / ( 1 - 0) = / ( 1 + 0) = / ( 1 ) , то в точке х = 1 функция непрерывна. Ее график представлен на рис. 4.3. Рис. 4.3 24 1.7. Задачи для самостоятельного решения Исследовать на непрерывность функцию / ( х ) и указать характер точек разрыва: -- 1 [х2, 0 < х < 1 , 1 ) / ( х ) = е ‘ ; 2) / ( х ) = ------------------------------------------------------- г ; 3 ) / ( * ) = 1; 9 ) / W = _ i T ; 1 0 ) / ( * ) = 5Ш(* !) 1 + 4; * - з * + 2 Ответы 1) х = 0 -°разрыв второго рода; 2) х = 1 -°разрыв первого рода; 3) х = 1 -°разрыв первого рода; 4) х = 0 - “разрыв второго рода; 5) х = 0, х = -2 - “разрывы первого рода; 6) х = 0 - “разрыв первого рода; 7) х = 2 - “разрыв первого рода; 8) х = ±1 - “разрывы первого рода; 9) х = 0 - “разрыв первого рода; 10) х = 1 - “разрыв первого рода; х = 2 - “разрыв второго рода. 25 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 2.1. Производная функции. Дифференцирование сложных функций Пусть функция у = f ( x ) определена в некоторой 5 - окрестности точки х0 и Ау = f ( x 0 + Ах) - f ( x Q) - ее приращение в этой точке, соответствующее прираще­ нию аргумента А х - х - х0, где * е (х0 - 8; х0 + 5). f i x 4~ х ) — ) Предел отношения ——- — ■■ — при Ах -> 0 при условии, что послед- Ах нее произвольным образом стремится к нулю называется производной функции У = Л х ) в точке х0. Этот предел обозначается f ' ( x 0); у'(х0); f ' ( x ) \х=х . Таким образом, Д )= И т / к ± ^ Ы Ы . У v 0/ Ах Другие обозначения производной в точке х : ( /(* )) ; — ; — f ( x ) ; — ; ; у . dx dx dx Геометрический смысл производной состоит в том, что производная функ­ ции у - f { x ) при данном значении х0 аргумента равна угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке M 0(x0, f ( x 0)), т. е. /'(jc0) = tg a , где a - величина угла, образованного касательной с положительным направлением оси Ох, поэтому уравнение касательной к графику функции у = f ( x ) в точке м А хо‘’Уо)’ гДе У о = /(*<>)> имеет ВИД; У - У о = Г { х оХ*-*<>)■ Прямая, проходящая через точку М 0(х0;у0), перпендикулярно к касательной, на­ зывается нормалью к графику функции у = f ( x ) в этой точке. Если f ( x 0) = 0, нормаль имеет уравнение х = х0. 26 Если функция х = f ( t ) описывает закон прямолинейного движения матери­ альной точки (координата х такой точки есть известная функция времени /), то dx производная — = f ' ( t ) есть ее скорость в момент времени t . В этом заключается dt механический смысл производной: v(f)= j'W- Операция нахождения производной функции называется дифференцирова­ нием этой функции. Если функции и = и{х) и v = v(x) имеют производные в некоторой точке х , то основные правила дифференцирования выражаются формулами: г (си) си ; г иЛ и \ с J , (где с - const); (2.1) с F (u + v) = и' + v '; (2.2) t {и ■ v) = u'v + v 'u ; (2-3) f Г' Л " W h . (2.4)u V2 Формулы (2.2) и (2.3) обобщаются на случай алгебраической суммы (произведе­ ния) любого конечного числа функций ик = ик{х) {к = 1.«), имеющих производную в точке х : t (иj + и2 + ... + Un ) — Mj + и'2 + ... + Un , t (u]u2...un) =u[u2...un +uxu'2...un + ... + ul u2...u'n. Приведем таблицу основных производных. 27 1. (с) = 0 ; (2.5) 2. (j*) = a i “'' a e R ; (2.6) 3. (a1) =ax Ina ( а е й ( ); 4. (e ')’ = e '; (2.7) 5. (logox) = —— ; x ln a 6. (lnx) = —; (2-8) x ! 7. (sinx) = co sx ; (2.9) f 8. (cosx) = - s in x ; (2.10) 9. (tgx) cos2 X ’ I I 10. (ctgx) = sin2 x r 11. (sh x) = ch x ; f 12. (chx) = s h x ; 13. (thx) = 1 14. (cthx) = - ch2 x 1 sh2 x ’ 15. (arcsinx) = r 16. ( arccosx) V T -x2 1 л/l ~ ■'X I ] 17. (arctgx) = ------ 1 + x 18. (arcctgx) = ——1— 1 + x 28 Производная сложной функции Пусть на множестве Т задана сложная функция у = /(ф(У)), причем функ­ ция x = cp(f), (х - промежуточный аргумент) имеет в некоторой точке t e T про­ изводную x' = cp'(V), а функция у - f { x ) - в соответствующей точке х е Х ( X - множество значений функции х = (р(7)) производную у ' = / '( х ) , тогда / ( 0 = /'(*М 0> т. е. производная сложной функции равна произведению производной этой функ­ ции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной. Аналогично находится и производная сложной функции с большим числом промежуточных аргументов. Например, если у = /(м ) , где и = ср(х), х = \|/(/) (два промежуточных аргумента), т. е. если у = /( то / ( 0 = / ' ( мУ (*У '(0- (2Л1) Производная обратной функции Если для функции у - f ( x ) существует обратная функция х = / л { у ) , при­ чем в рассматриваемой точке х производная функции у = / ( х ) не равна нулю, то для производной обратной функции в соответствующей точке у справедлива формула Из этой формулы следует, что / ' ( * ) = / ( Г (у)) ИЛИ 29 dy _ 1 dx dx dy (2.12) Пр имеры 1. Используя определение производной, найти производные следующих функций: a) f i x ) = 5х3 - 2х2 + 1; б) f ix ') = sin2 х . Решение, а) Согласно определению производной для ее нахождения необ­ ходимо составить отношение приращения функции к приращению аргумента Ах и затем рассмотреть предел этого отношения при произвольном стремлении Ах к нулю. Дадим фиксированному значению аргумента х приращение А х, тогда по­ лучим новое значение функции: f { x + Ах) = 5(х + Ах)3 - 2(х + Ах)2 +1 = 5х3 + 15х2Ах + 15(Ах)2 + 5(А х)3 - - 2х2 - 4хАх - 2(Ах)2 +1; Д7 = / ( х + А х )- /(х )= (5 х 3 +15х2Ах + 15(Ах)2 +5(Ах)3 - 2 х 2 -4хА х-2(А х)2 + 1 )- - (5х3 - 2х2 + 1) = 15х2Ах +15х(Ах)2 + 5(А х)3 - 4хАх - 2(Ах)2. Разделив приращение функции А у на приращение аргумента А х, получим: А у 15х2Ах + 15х(Ах)2 +5(Ах)3 -4 х А х -2 (А х )2 Ах Ах Перейдем в последнем равенстве к пределу при А х —» 0 : f i x ) = lim ^^- = lim(l5x2 - 4х + (l5x - 2)Ах + 5(Ах)2)= 15х2 - 4х Лг_4.П Л Лг—ifl ' Итак, / '( х ) = 15х2 - 4 х . 30 б) Поступая аналогично предыдущему случаю, найдем приращение функ­ ции в точке х : Ау = sin2 (х + А х) - sin2 х . Разделим приращение функции Ау на приращение аргумента А х , а затем перей­ дем к пределу при А х —> 0 : ч .. А у .. sin2(x + А х )- s i f \ x ) = lim—— = lim---- --------------- Л*~>0 A x л*~>0 A x sin X lim Ax->0 (sin(x + A x) - sin xXsin(x + A x) + sin x) Ax = lim Ax->0 2 sin— cos 2 f Ax^j Ax . f Ax') X + 2 cos ---- sin X + ----- V 2 J 2 \ 2 Ax 2 cos f A x^ f * <1 lim X H------ sin x +/U->0 v 2 , V 2 J . Ax \ sin \ о Ax cos— 2cosxsinx = sin2x ,Ax 2 ^ 'sj JC 2. Найти производные функций: a) f ( x ) = 2x3 ---------- - + —j= - 4 3 x 4 л/5 б) ф(х) = (l - x3 )ln x ; в) s{t) ■ e sin? 2 t 2 - 1 Решение, а) Вводя дробные и отрицательные показатели, преобразуем дан­ ную функцию: 2 1 - - f { x ) = 2х3------ х~4 + —г=х2 ~ 4х3. 3 v 5 Воспользовавшись последовательно формулами (2.1), (2.2), (2.5) и (2.6), получим: / ' (х ) = 6 х 2 - ( - 4)х 3 + —!= • —х 2 - 4 • —х 3 = 6 х 2 + л----- 1=-----— л/х2". V5 2 3 х 2л/5х 3 31 б) Применяя сначала формулы (2.2) и (2.3), а затем формулы (2.6) и (2.8), найдем: 1 1 ^ / (х ) = —Зх2 1пх н— (l — х 3) = -------— Зх21пх.Ф X X в) При нахождении производной данной функции мы воспользуемся после­ довательно формулами (2.4), (2.3) и (2.2), а также (2.7), (2.9) и (2.6): >( (Q‘ + е< cos ~ О- smt _ e*(sin ^+ cos t) 4 te‘ sin? ^ (2t2 - 1)2 2 t2 -1 (2t2 — l)2 ’ 3. Вычислить частные значения производных следующих функций при ука­ занных значениях аргумента: a 2t - b2f Л ч / ч А г , /—\2 а) г(ф) = фсозф + этф, ф = ^-;б) v(/) = ° ^ 2— --у, ? = 0;в) u ( r ) - ( \ f r - \ [ т , г = - 1. Решение, а) Найдем сначала производную в общем виде, используя форму­ лы (2.2), (2.3), (2.6), (2.9) и (2.10): г'(ф)= СОвф - фБШф + СОБф = 2сОЭф - фБШф . ЯПодставляя в полученное выражение значение ф = —, получим / л/2 к л/2_ 71 Л . К А/ ^ П / Z. Г ~ = 2 cos------- sin— = 2 --------------- = л/2 4 4 4 2 4 2 б) Воспользовавшись формулами (2.1), (2.2) и (2.4), а также учитывая, что а и Ъ являются постоянными, получим: ,/ ч [а2 - 3b2t 2\ t 2 + 1 ) - {a2t - b2t ^ 2 t ’ [>>= ab{t>+ l f Полагая t = 0, имеем: v(o) = — = — . ab b 32 1 \ в) Запишем сначала данную функцию в другом виде: и(г)= г 3 - 2т ъг ъ + т ъ. Тогда, учитывая, что т является постоянной, найдем: и'(г) = — г} 3 2I I 1 _2 2з - 2тг —г 3 = — г 3 ^3/ „23 К! г з У г Соответственно, при данном значении г = -1 1) = л/га = (l + V w /. v ' 3 3 3 v м 4. Для функции / ( x ) = x 2 + 4x + 5 найти / ' ( - 2 ) и / '( о ) . Истолковать гео­ метрически полученный результат. Решение. Найдем производную данной функции / '( х )= 2 х + 4 и ее частные значения / ' ( “ 2) = О и /'(О) = 4. Графиком данной функции является парабола, которую легко построить, если эту функцию записать в виде f ( x ) - ( x + l ) 2 + 1. Из рис. 2.1 видно, что в точке с абсциссой х = 0 касательная образует с положительным на­ правлением оси Ох угол, тангенс величины кото­ рого равен 4, а в точке с абсциссой х = -2 каса­ тельная параллельна оси О х . 5. Найти производные следующих сложных функций, записав их сначала х цепочкой основных элементарных функций: а) у — cosJ(2x - 5); б) у = 5 In ctg V V 4 / Решение, а) Запишем функцию у = cos3(2x - 5) цепочкой основных элемен­ тарных функций: у = и3 (степенная функция), и = cosv (тригонометрическая функция), v = 2х - 5 (линейная функция). Тогда согласно формуле (2.11) получим: У(х) = (w3(v)) w'(v)v'(x) = 3w2(cosv) (2х - 5) = 3и2(~ sinv)- 2 33 = 3 cos2 (2л; - 5)(- sin(2x - 5)) - 2 = -6 c o s2(2x - 5)sin(2x - 5). б) Запишем данную функцию в виде у = г ' х Vn c tg -l n . Поступив, как в пре- дыдущем случае, получим: у = и5, где и = lnv , v = ctg t , t = —, тогда / М = 7 1 - 1 1 и — V 1 sin t / 20 In V 1 Ctg —X 4 1 1 v j j 1 . 2 1ctg—X sin —x 4 4 2 0 5 In vC t g 4 X, • 2 1 1sin — x ctg—X 4 4 dy 6. Найти — , если a) x = e ^ 51" "; 6) x = 2 - 3y + у . d x ' Решение, а) Так как — = . dx д/1- Z то согласно формуле (2.12) . Заметим, что здесь можно выразить — через пере- dx еШИ1пу v ' dx менную х . Действительно, из аналитического выражения данной функции следу­ ет, что y = sinlnx. (2-13) Тогда — = л/1 - sin2 lnx х“‘ = dx cos lnx x Легко заметить, что такой же результат можно получить, если продиффе­ ренцировать выражение (2.13) по переменной х . б) В данном случае ^ = - з + з у = з ( / - 1 ), ах значит, 34 dy _ 1 dx 3(у2 - l) Так как уравнение х = 2 - 3 у + у 3 неразрешимо относительно у , то полученное ~ dyвыражение для производной — является окончательным. dx 2.2. Задачи для самостоятельного решения 1. Исходя из определения производной, найти производные следующих функций: а) у = х 3 - х ; б) у = (х - 2)"; в) у = cos2 х ; г) у = —; д) у — л/х . х Найти производные данных функций: С 1 1 2 2. у - З х 2 - 5 х + 2; З . у = л[х+ут=— -н-----4. f i x ) - Х Ы х2 Зх3 " х 2 +1 г \ Ю г ( \ co sactga _ 2 . 0 / ч 2t5. ф(?) = -----------———; 6. г[а ) = ------------------------------------------------------------------ — ; 7. у - х sinx; 8. v(?) = —— ; a s in t -b c o s t l + 2 tga t + 3 9. \|/(x)= %/xarctgx; 10. y = ^^~; 11. x(t)= e 'sin?; 12. ф(г) = - -------------— ; x er +\nr 13. i7(co) = shcocosco; 14. г(ф) = ф21пф; 15. s(?) = ------16. g(x) = — arcsinx . 1 - t x 17. Вычислить частные значения производных следующих функций при указанных значениях аргумента: _ (l - л[х) ___ , cos?a) v = е*arcsinx + arctgx при х = 0; б) / ( х )= ^ --------при х = 0,01; в) z = х 1 -sin? я . a + b 5х4 -1 г ч ч ^ \ Фпри ? = —; г ) у = --------+ ---------- при х = 0; д) р(ф] = —— - при ф = 2; 6 3 - 2 х а —Ъ 1 — ф е) F(x) = (х - l)(x ~ 2)(х - З) при х = 2. 18. Для функции / ( х ) = — найти /'(О) и / '( l ) . Истолковать геометриче- 1 + х ски полученный результат. 35 19. В каких точках угловой коэффициент касательной к параболе у - х 3 равен 3? 20. В какой точке касательная к параболе у = х 2 1) параллельна оси Ох; 2) образует с осью О х угол в 45°? 21. При каком значении независимой переменной касательные к кривым у = х 2 и у = х 3 параллельны? Найти производные сложных функций: 22. у = sin2(ax + b); 23. ^ = arcsinVx ; 24. / ( / ) = cos(3' +3"'); ------ f t 2 \ 25. F(v) = 10''*” '; 26. p(x) = l n—p — 27. r(tp) = ^ S - ; 28. s(f) = a - x 3sin ф v3t + 1 j 29. у - ln(x + л]a2 + x 2); 30. r((p) = l n j -— , , v ’ Д/1 - tg ф 2 + V4 + 5 32. г(ф) = — ? — ; 33. у - arcsin4 sinx ; 34. s(t) = sin41 + cos41; 35. H(v)= e2v ln tg—; cos" aq> 2 1 1 — QX 3 6 . y = 2'nx; 37. у = -------— :—; 38. y = tg------ 39. у = sin2 xsinx2; arctge 1 + ex , 2 _____________________________________ 40. h(x) = earc,gv,I7^ Ir+^ ; 4 1. v(?) = j—— r ;42. g(x) = \ / ( b f th 2(x))3 ; 43. ф(х) = е‘Л . e' + e Ответы l . a ) 3 x 2 - l ; 6) 2 (x -2 ) ; B )~ sin2x ; r ) д ) — 2. 6 x -5 . x 2л/х 1 5 2 1 2x _ 10(acos t + 6sin?)3____ _______ |---------- 4 . ___________________ . 5 . -------ь— ---------—— ш 2 л/х 3\[x* x 3 x4 (x2 + l)2 («sin? - bcos t)2 _ . 4 cosa cosa + 2 sin a н--------- ь 6 . ---------------— S1- a . 7. x(2s inx+ xcosx) . 8. (l + 2tga)2 ' — /• (r + 3)2 ' 9 ( L + x V t g £ + 2 * ^ 11. e f (siru + cos?). 12. ^ r ln r ^ . 2x(l + x 2) x r(er+lnr) 36 13. coscocho)- shcosinco. 4 ( -л/l - x2 arcsinx + x) 14. ф(21пф + ф). 15. (l + t + t 2 ~ t 3)t 16. Х2л/1 - X2 arcsmx + xl 1J a )2 . б) „ 9000; в) 2; r ) ~ { a + b)- д) e ) - l . 1 1 1 8 .0 ; - - . 19. x ,= - l ; x2 = l. 20. (0;0); 2 \ 2 4 . 21. При x = 0 и при x = 22. asin2(ax + b). 23. 1 2 л/хл/Г x 25. 10,,2+v+1(2v + l)ln l0 . 26. 4a2x 4 4a - X . 27. 24. (З" -3 ')ln3sin(3 ' + 3 '') . 2 8 . * f e ^ . 2 9 . 1 3sin! (p 13/ -t- I) 2 , 2 a + x 30. 1 52vln5 2соз2ф 31. s j4 + 5 lx 32. (l + 2£Kptg£Kp)---- ^ 33. cosx cos' aq> 34. - sin4/. 35. e2 2ex гТ Г -1' sinx)sinx 2e~2x - - — I-21ntg—j . 36. 2 lnJ— - Л п 2 . 37. — - v - c2 . Vsinv 2 ) ln-x (l + e~4'Xarctge~?T) 38. - (l + e ')2 2 COS ^ 1 - e * v 1 + ex 39. 2 sin x(x sinx cosx2 + cosx sinx2). J arctg л/ 1 -t-Vn ( 2.x -+-3) 4°' (2x + 3)(2 + ln(2x + ЗХ/l + ln(2x + 3))' 4L ( e '+ e " ) ? ^ +6 ^ ^ 6 42. >thx 2ch2xVl + th 2x 43. e *sh2x. 2.3. Логарифмическое дифференцирование Производные неявных функций и функций, заданных параметрически Логарифмическое дифференцирование заключается в том, что сначала ло­ гарифмируют данную функцию, а затем уже приступают к дифференцированию. Производную от логарифма функции у - / ( х ) , которая положительна и имеет производную в рассматриваемой точке х е X , называют ее логарифмической про­ изводной в точке х и находят по формуле 37 Логарифмическое дифференцирование используют при нахождении производной степенно-показательной функции у - w(x)vW . Его также целесообразно применять, когда заданная функция содержит операции умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня. Если уравнение F(x,_y)=0 задает у как неявную функцию аргумента х , т. е. у = у(х), то при нахождении производной этой функции предполагают, что в данное уравнение вместо у подставлено соответствующее выражение _у(х) и по­ лучено тождество F{x, у(х)) = 0. Затем дифференцируют по х это тождество (не забывая, что у есть функция аргумента х ) и решают полученное уравнение от­ носительно искомой производной. Как правило, она зависит от х и у . Пусть у как функция аргумента х задана параметрически: * = ф (4 , „, . . где t е Т . U = W A Тогда производную этой функции можно записать следующим образом: Примеры 1. Найти производные следующих степенно-показательных функций: а) у = (2х3 - 4х + 5)*+4; б) у = л/l + sin23 x ; в) / ( х ) = ' _ х _ ' \ x - l y ; г) ф(х) = (arctg4x)‘: Решение, а) Логарифмируя данную функцию по основанию е , находим: 1пу = (х 2 + 4)ln(2x3 - 4х + 5). Дифференцируем обе части этого равенства по х , учитывая что у есть функция х : — = 2х 1п(2х3 — 4х + 5) + (х2 + 4)— ---- -— . у Х V 2х - 4х + 5 Умножая обе части последнего равенства по у и подставляя (2х3 - 4х + 5)* 4 вме­ сто у , получим: У 2х1п(2х3 - 4х + 5)+ (х2 + 4 ) ^ - ^ ^ - — —1(2х3 - 4х + 5 f +4.2х - 4х + 5 б) Поступая, как и в предыдущем случае, находим 1п>’ = —ln(l + sin2 Зх). х Дифференцируя это равенство, получим У_ - ^ - l l n ( l + sin23x) 1 2sin3xcos3x • 3 х 1 + sin" Зх или у ln(l + sin2 Зх) 3sin6x у х2 x(l + sin 2 Зх)' откуда имеем у' = л/l + sin2 Зх 3sin6x ln(l + sin23x) x(l + sin2 Зх) x 2 в) Логарифмируя функцию, получаем: In/ ( х ) = x(lnx - 1п(х - l)). 39 Далее поступим уже известным образом: / ' (* ) / ( * ) = 1 п х - 1п(х - l) + X 1 1 X х —1 / ' ( х ) X X v — In------+ 1 - /( х ) х - 1 x - l ’ / ' ( * ) = 1п X х - 1 х -1 V X - l y г) Выполняя последовательно такие же действия, как и в предыдущих слу­ чаях, будем иметь: 1пф(х)= х2 lnarctg4x, ф'(х) ф(х) - = 2xlnarctg4x + х~ 1 arctg4x 1 + 16х2 ф'(х) = 2xlnarctg4x + х2 1 4 arctg4x 1 + 16х2 (arctg4x)r . 2. Найти производную неявной функции у - у(х), заданной уравнением: .3 „ з . ху _ 2 ,2 . „„„ Уа) х - 2х_у^ + у = а ; б) ех х - у ; в) cos = у ;д) х у = у х. х Решение, а) Дифференцируем обе части уравнения по переменной х , счи­ тая у функцией аргумента х (тогда — (у2)=2уу ' и ~ ( у 3) = З у 2у ' ) и учитывая. dx dx что а3 = const. В итоге получим: Зх2 - 2(у2 + 2уу'х) + Ъу2 у' = 0. Отсюда найдем: (з>>2 - 4ху)у' = 2у 2 - Зх2, , 2у 2 - Зх2 У =■ d 3 / - 4ху б) Дифференцируя обе части уравнения по х с учетом, что у есть функция аргумента, имеем 40 еху(у + ху ,) = 2 х - 2 у у ' . Решив это уравнение относительно у , получим , 2х - уеху У = 2 у + хе в) Дифференцируя по х , имеем: - s in fz ] U J xy - у X = 2yyf , откуда У = . у _ysin — X 2х1 у + xsin— X г) Логарифмируем обе части данного уравнения (по основанию е ), затем дифференцируем по х , рассматривая у как функцию аргумента х : у lnx = xln у , У lnx + — = In у + х —- . х у Решив последнее уравнение относительно у ' , получим: In у - У lnx У X У 3. Найти производную — функции, заданной параметрически, если: dx а) х = а cos t, у - a sin31; б ) 1 + t X ■ у- 'х = а (ф -з т ф ) , [х = л/l - а 2, 1 - t dy Решение. Найдем производную исходя из ее представления в виде (2Л4). dx 41 а) Так как dy dt dx dt dy = 3asin2 1cos t , -3 a cos2 ?sin ? ,t o dy dt _ 3a sin ?cos ? dx dx^ - 3 a cos2? sin? dt = -tg ?. Окончательно искомую производную запишем как функцию, заданную парамет­ рически: dy - у = -tg?, dx х - acos 3?. В остальных случаях ход решения будет аналогичным. б) dy _ 1 dt t1 ’ dx 1 dt t ' ? > x 1 + ? B) dy d<$ dx = а ш ф , У ф - = a(l - соэф), dy БШф < dx 1 — COS9 5 x = а(ф - sin ф). 42 4. Найти при а = ^ производную функции, заданной параметрически: о ах fx = sin2a, [у = sin2 a, 71 _ 71 4 ’ 4 Решение. Так как dy da dx da = 2 s in a co sa = sin 2a, TO = 2cos2a, dy _ sin 2a 1 dx 2 cos 2 a 2 dy dx tg2a, dx \x = \ - t 2 fx = lnf, 5. Наити — , если: а) < б) < r dy \y = t - t 2-, \y = slt. xРешение. Будем считать, что здесь задана параметрически переменная как функция аргумента у . Тогда искомую производную можно записать следую­ щим образом: а) б) dx Т = ’dt ^ = 1-ЗГ>. dt dx _ 21 dy 3t2 -1 ’ y = t - t 3. dx _ 1 eft t ’ ф 1 1 dt 2s[t’ dx 2 dy *Jt’ y = 4 t . 2.4. Задачи для самостоятельного решения 1. Найти производные следующих функций: а) у = хх; б) r (a )= (cosa )sin2“ ; в) .у(ф) = феР; г) f ( x ) = (х - 1 )\J(x + l)2(x - 2): (l + t f д) фМ _ . w + х ) 1 ( 1 \2 ’ - х ) е) u(t)■ (2 + 1) (3 + 1) ; ж) у = Х4 х ; з) у = (х2 +У"Х; и) у = д/xsin W l - е* ; к) у ~ 1 - arcsinx 1 + arcsinx dy 2. Найти — , если: dx а) л/х + -yjy = л/а ; б) х3 + у 3 - 3аху = 0; в) х3 + ах1 у + Ъху2 + у 3 = 0; г) = cos(x + jy) д) 2х + 2У = 2Х+У; е) x s in ^ -co s j^ + cos2y = 0; ж) х - _у = arcsinx - arcsiny; з) arctg— = In д/х2 + у 2 . х dx 3. Найти — , если а) у 2 cosx = а2 sin3x; б) sin(xy)= е^. dy 4. Вычислить при х = 0 значение производной неявной функции у = у{х), заданной уравнением: а) х 2 + ху + у 2 - 3; б) е ' + ху = е . 5. Найти производную — функции, заданной параметрически: dx х = е sin/, у - е ‘ cos t; в) 3 at х = ■ У = i + t 3at2 Y+? г) x = t - t 4, fx = ln t, 3 Д ) 1y = t ; I = sin2/; ^ yjl - 1, fx = cos2(p, Гх = <я(8тф —фсовф), у = arcsin 4t\ [>> = sin ф; [у = «(cos ф + ф sin ф). 6. Найти — , если а) dx x — t , y - f + t 2\ ' [y = c tga. б) x = tg a , 7. Найти при a = — производную — функции, заданной параметрически: 8 dx ч х = sm a , а) < где а е [у = sin2a, 0 : - ; б ) х = — Л/2 а ’ , 3^ 1 2 У = - а ,2 где а е ✓ л fx = 3cosa, г . 8. Функция у = д х ) задана параметрически: < a e [ -7 i ;0 ) . Чему [у - 4 sin а, dy Зл/2 равна производная — , если: а) х = 0; б) х = ----- ? dx 2 Ответы 1. а) (l + lnx)xx; б) (2 cos 2 a In cos a - 2sin2 a)(cosa)sm2a; в) Ф + 1пф е‘У ; . 2х2 - З х - 1 . х3- З х 2- х - 1 lx( 1 + х2) . (t + l)(5/2 +14/ + 5) y e 45 з) 2xsinx 4- COSX1п(хг + ф 2+ 1 Г ; и ) ^ 1 е1— + ctg х ■ X W - VxsmxVl e' ; к) 1 - arcsinx л/l - x 2 ((arcsinx)2 v 1 + arcsinx 9 я\ _ [у . ы а у ~ х 2 . s Зх24-2 axy + by2 sin(x + ^) ^ Д| ’ ^ 2 5 ' 2 л ; о 7 ’ / 1 ■ ( \ ’ ’I x у - ax ax + 2ox_y + 3_y~ l + sm(x + _y) e) smj; ; ж ) Н Е Ш Е 4 ; 3 ) ^ 1 2 2sin2jy - siny - xcos_y ’ И - - y 2 l / l - x Х ~ У 2_ycosx e-v - xcos(x>)) 3a" cos3x + _yz sinx _ycos(x_y) 4. a) - 0,5 ; 6) - e- . 5. a) dy t dx 2 ’ 6) x = ln(l + ?2); dy = 1 - tg t dx 1 + tg t ’ в) x = e' sin?; dy t{ l - Г’) dx 1 - 2 ?3 3 at x = ----- r; 1 + f r) dy 312 dx 1 - 4 Г x = t — t4; Д) dy dx x = Inf; dy 1 2 t c o s 2 t , x ~ 7 ~ - — r > \ с/х e) \ d x V? ж) 1 x = л/l - t ; dy _ 1 dx 4sincp’ з) < x = соб2ф; dx ;ctg9, x = «(simp - фсоБф). dx 2 — = - tg a ,6. a) <{ dy 3? + 2 ’ 6) 0. Определение 2.2. Если приращение функции у = / ( х ) в точке х е X может быть представлено в виде (2.15), то главная часть этого приращения, линейная от­ носительно А х , называется дифференциалом функции у = f ( x ) в точке х . Дифференциал функции у = / ( х ) обозначается символом dy, df(x) или d f . Таким образом, dy - А А х . Обычно дифференциал функции находят, пользуясь его аналитическим вы­ ражением: d y - f ' { x ) A x . (2.16) Дифференциал независимой переменной равен ее приращению, т. е. dx — А х . Поэтому d y - f ' { x ) d x . (2-17) Из формул (2.16) и (2.17) следует, что задача нахождения дифференциала функ­ ции f [ x ) равносильна нахождению ее производной. Поэтому большинство тео­ рем и формул, относящихся к производным, сохраняют свою силу и для диффе­ ренциала. Так, например, если м(х) и v(x) - дифференцируемые функции аргу­ мента, то 47 d(cu) = cdu, d(u ± v ) = d u ± dv, (2.18) d(uv) = udv + vdu, Формула (2.17) сохраняет свою силу в том случае, если аргумент х сам яв­ ляется дифференцируемой функцией некоторой независимой переменной (х = ф(/)), т. е. форма дифференциала не зависит от того, является аргумент дан­ ной функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это важное свойство дифференциала функции принято называть инвариантностью его формы. Применение дифференциала к приближенным вычислениям основано на использовании приближенного равенства Приближенное равенство (2.19) позволяет по известному значению функции 1. Найти приращение и дифференциал функции у = х3 + 4 при переходе ар­ гумента от значения хх - 2 к значению х2 = 2,01. Решение. Найдем сначала приращение заданной функции при произволь­ ных значениях х и Ах: 48 A y ~ d y или / ( * о + А х)» / ( х 0) + / ' ( х 0 )Дх. (2.19) У = / (* ) и ее производной в точке х0 вычислить приближенное значение функ­ ции f ( x ) в точке, достаточно близкой к х0 (т. е. при достаточно малом прира­ щении Ах). Примеры Ay = f ( x + Ах) - f [ x ) = (х + Ах)3 + 4 - (х2 + 4) = = х 3 + Зх2Ах + Зх(Ах)2 + (Ах)3 + 4 - х3 - 4 = Зх2Ах + Зх(Ах)2 + (Ах)3. Таким образом, Ау = Зх2Ах + Зх(Ах)2 + (Ах)3. Первый член приращения функции содержит Ах в первой степени, т. е. яв­ ляется линейной частью приращения функции относительно Ах, следовательно, по определению 2.2. dy = 3x2Ax. Найдем теперь Ау и dy при заданных числовых значениях аргумента. Учи­ тывая, что Ах = х2 - Xj = 2,01 - 2 = 0,01, получим: Ау\ х~2 = 3 -2 2 - 0,01 + 3 -2-(0 ,0 l)2 +(0,0l)3 =0,12 + 0,0006 + 0,000001 = 0,120601 Дл~0,01 dy\ х=2 =3-2-0 ,01 = 0,12. Д л=0,01 Вычислим абсолютную погрешность, которую мы допустим, если заменим приращение функции ее дифференциалом: | Ay - dy\ = |0,120601 - 0,12| = 0,000601. Относительная погрешность I Ay — dy\ 0 000601 1 ,.. , = - - « 0,00498 « 0,005 (или 0,5 %). \Ау\ 0,120601 2. Найти dy, если: а) у = (х2 + 1){л/х + з); б ) у = 5 - cos2(2x - 1)’ в) у = б|lntg2 г) 3Vx + \Jy = Kfa. Решение. Воспользуемся формулой (2.17), согласно которой надо найти производную данной функции и умножить ее на дифференциал независимой пе­ ременной. 49 а) у' = 2х(л[х + з)+ (х2 + l)—\= - 2хл[х + 6х + — хл/х А— \= - —х 4 х Н-----т= + 6 х , 2л! х ^^ ~ о о _/V \ yv 1 г "" yv V I /" 1 ■ 2 2-vx 2 2 л/х = _у'й6с = xvx н-----f= + 6х X ; d x : б) у = 5 cosM2—О 1п5_ 2 cos (2х-1) ( - sin(2x - 1)) ■ 2 = -5 cos2{2x-l] In5 4sin(2x - 1) cos2 (2x - 1) ’ COS (2 x - l) d x ; ч / 1 ,в) У = 7 Intg 6 x * 1 x 1 1 1 -2tg . 2 x 4 2x 4 6tg — cos - 4 4 lntg 1 1 2sin^cos* 6 s in - J in 5 tg2 — 4 4 2 V 4 dy = dx ^ ■ X L , , X6sm — 6 In tg — 2 V 4 г) В этом случае будем считать, что данное уравнение задает неявную функцию у = у(х), следовательно, ее производную найдем, дифференцируя обе части этого уравнения по х: 1 -- 1 -- - X 3 + - v У =0; 3 3 х = - 4 = - 4 = - ^ у 3 X3 X Тогда dy = - у ^ - jd x . 3. Выразить дифференциал сложной функции через х и dx, а также через t и dt, если: а) у = х 2 + 2х, х = / 3 + 1 ; б) у = arcsinx, х = е ' ; в) у = tgx, x = Vv; v = cosr. 50 Решение, а) Воспользовавшись инвариантностью формы дифференциала, получим: dy = (2х + 2 )dx = 2 (х +1 )d x . Учитывая, что x = t3 +1 и dx = {t3 + 1) dt = 3 t 2dt, находим выражение диф­ ференциала через t и dt dy = 6t2(t3 + 2 ) d t . б) Поступая, как и в предыдущем случае, имеем: 1 е'dy = —j = d x ; dy = —===== dt. л/1 — x 2 V I - е 2' в) Здесь, кроме того, учтем, что промежуточный аргумент х сам является сложной функцией: d y - — —^—dx; d x - —\= dv\ dv = - s m t d t , cos x 2-Vv 7 sin? dy = - ,------ ----- ------ d t . 2ycos t cos д/cos t 4. Найти дифференциал функции /(x )= ln (x 2 + l)+ arctgV x в точке x = l, если Ax = 0,1. Решение. Найдем сначала дифференциал функции при произвольных х и Ах, воспользовавшись формулой (2.16): df(x) = \ х2 +1 2л[х{\ + х) А х {2 1 А Тогда dfix^ x=i = — + ----- -0,1 = 0,125. у 2 2 • 2 уЛ х= 0,1 Рассмотрим теперь задачи на применение дифференциала функции к при­ ближенным вычислениям. 5. Показать, что при х - » 0 с точностью до бесконечно малой функции высшего порядка малости, чем А х , имеет место приближенное равенство 51 (l + Ах)” « 1 + n A x . (2.20) Решение. Рассмотрим функции у = х п. Тогда Ау = (х + А х)п - х п; dy = п х ”~'Ах. Так как Ау & dy с точностью до бесконечно малой функции высше­ го порядка малости, чем Ах при А х -» 0 , то (х + Ах)” - х" « п х п~'Ах; (х + Ах)" « х" + и х и Ах. Полагая х = 1, получаем (l + А х)" «1 + пА х при достаточно малых А х . 6. Вычислить приближенно: a) (l,02)6; б) -\/0,9843 ; в) - ———. (1,003) Решение. Приближенные вычисления выполним, воспользовавшись фор­ мулой (2.20): а) (1,02)6 =(1 + 0,02)6 *1 + 6-0,02 = 1 + 0,12 = 1,12 (Ах = 0,02; п = б); ______ I 1 б) \/0 ,9843 = (1 - 0,0157)1«1 + - ( - 0,0157)«1 - 0,0052 = 0,995 ( пАх = -0,0157; п = - ; I 3J в) = (1.003Г = (1 + 0>03)"3 «1 + ( - 3)• 0,003 = 1 - 0,009 = 0,991 (Ах = 0,003; п = — 3). 7. Доказать, что с точностью до бесконечно малой функции высшего поряд­ ка малости, чем А х , при А х -> 0 справедливы приближенные равенства: a) sin А х « А х (Ах -выражается в радианах); г А х б) In 1 + IX V х j х в) еЛх «1 + Ах; Решение, а) Найдем приращение Ау и дифференциал dy функции у = sin х : 52 A y = sin(x + A x )- sinx, dy = cosx A x. Поскольку Ay « d y , to sin(x + Ax) - sinx « cosx A x . Отсюда sin(x + A x) « sin x + cos x Ax и при x = 0 получаем: sin A x « A x . б) Рассмотрим функцию _y = lnx. Ее приращение Ay = ln(x + Ax)- - ln x = ln 1 + Ax V x J и дифференциал d y - — A x . x A x \ A x Поскольку Ay * d y , to In 1 + V x j x В частности, при x = 1 ln(l + A x )« A x . в) Рассмотрим функцию у - ех. Найдем ее приращение и дифференциал: Ау = еЛх + А х dy = ехАх. Так как Ay w d y , то ех+&х - е* « еААх или ех+Лх « е 1 + ех А х . П рих = 0 еЛх« 1 + А х . и2 037)2—3 8. Вычислить приближенно: a) tg45°6'; б) л/82 ; в) У+5 ' Решение. Воспользуемся формулой (2.19), выбрав х0 таким образом, чтобы значение данной функции и ее производной в этой точке было известно или легко вычислялось. а) Рассмотрим функцию / ( x ) = tgx . Согласно условию, необходимо найти значение этой функции в точке х = 45°6'. Так как 45°6' = 45° + 6 ', то примем А Г ° ^ A f t ^х = 4 5 = - , а Дх = 6 0 4 1800 = 0,0017. Тогда / ( x 0) = / ^ J = tg 5 = 1; 1 cos2 X 1 53 Подставив значения / ( х 0), f ' ( x n) и Ах в формулу (2.19), получим: tg45° 6 '« 1 + 2 • 0,0017 = 1 + 0,0054 = 1,0034. б) Запишем прежде условие в другом виде: V82=V81 + l= 3 d /l + — . V 81 Следовательно, задача сводится к вычислению приближенного значения 4|1 + — . Рассмотрим функцию / ( х ) = Ух и, принимая х0 =1, а Ах = — » 0,012, V 81 81 найдем ее значение в точке х0 + А х = 1 + — , воспользовавшись формулой (2.19). 81 Так как / ( x 0) = / ( l ) = l и / '( x 0) = / ' ( l ) = —i 4 Vx Х=1 J l + — «1 + - -0,012 = 1,003. V 81 4 Тогда i/82 « 3 ■ 1,003 = 3,009 . в) Рассмотрим функцию /(х ) = х2 - 3 х 2 +5 и найдем ее значение в точке х = 2,037, предположив х0 = 2 , и Ах = 0,037 . Тогда / ( * „ ) = / ( 2) = | . IX +5 8х х 2 - 3 (х2 + 5)2 х - 2 16 27 и по формуле (2.19) найдем: ' (2>037.) 3 « I + . о,037 * 0,333 + 0,022 = 0,355. (2,037) + 5 3 27 54 1. Найти приращение и дифференциал функции: а) у = 3х2 - х + 3 при х = 1и Ах = 0,02; б) у = х 2 - 2х при х = 3 и Ах = 0,01; в) у - 2 х ъ - х 2 +3 при х = 3 и Ах = 0,001. 2. Дана функция _у = 3х2 + 5 х - 4 . Найти Ау и dy при произвольных значе­ ниях х и А х, а затем при переходе от значения х, = 2 к значению х2 =1,98. Чему равна относительная погрешность, получаемая при замене приращения диффе­ ренциалом? 3. Сторона квадрата равна 8 см. На сколько увеличится его площадь, если каждую сторону увеличить на: а) 1 см; б) 0,5 см; в) 0,1 см? Найти главную линей­ ную часть приращения площади этого квадрата и оценить относительную по­ грешность (в процентах) при замене приращения его главной частью. 4. Дана функция у = х 3- х . При х = 2 вычислить Ау и dy, давая Ах сле­ дующие значения: а) Лх = 1; б) Ах = 0,1; в) Ах = 0,01. Найти соответствующие значения относительной погрешности. 5. Период колебания маятника (в секундах) определяется по формуле где / - длина маятника в сантиметрах и g ^981 см /с2 - ускорение силы тяже­ сти. Если длина маятника / = 20 см , то на сколько нужно ее изменить, чтобы пе­ риод Т увеличился на 0,05 с? Найти дифференциалы функций. 2.6. Задачи для самостоятельного решения х3 +16 . у = ^ — -^. 7 . у = 5[пЧх. $. у = Intg —- — . 9. S(t) х - 1 cos t 1 - 12 10. у = д/arcsinx + (arctgx)2. 11. u{t) = e ' (2 - 2t. - 12). 12. / ( x ) = —-(l - nlnx). n~ 13. g((p) = (l - lnsincp)sin(p. 1 4 .//(x )= arccos2—. 15. F(x) = xln(l - x2). 55 16. i?(cp)= (sincp)C0S

’ = xy . 21. ln(l - x — y ) - a 2y . 22. Выразить дифференциал сложной функции через х и dx, а также через tw dt, если: г) у = arcsinx, х = е ' ; д) у = х • 4х, х = sh?; е) у = th х, х = — . 23. Доказать, что при х -> 0 с точностью до бесконечно малой функции высшего порядка малости, чем А х, имеет место приближенное равенство tg А х » А х . 24. Вычислить приближенно: a) VT7; б) arctg0,98; в) sin29°; г) In 1,01; д ) tg 44056'; е) arccos 0,4993; a)_y = lnx, x = cosZ; б) у = arctgx, х = t 2 - 1 ; в) у = х3 - 2х + 5, х = tg /; ж) cos 151°; з) Ответы 1. а) 0,1001; 0,1; б) 0,401; 0,04; в) 0,048017002; 0,048; 2 .-0 ,3388 ; -0 ,34; 0,3 %. 3. а) 16; 5,88 %; б) 8; 3,03 %; в) 1,6; 0,62 %; 4. а) 0,39; б) 0,0526; в) 0,0055. 5. Увеличить на 2,23 см. 2 sin — 2 2a arccos — 16. ((ctg2cp - lnsin(p)sin(p1+C0S

>-2xJ + 3 / 19 cos(x + y) ^ — r — sdx. 2 1 ,— ----- !-г— dx 22. a) — ; - tg tdt; 2y — cos(x + _y) Jc(l + ^) a (x + _y — l) — 1 x — ^ -Л2-; B) ( З х 2 - l)dx; (3tg2x - 2) —7 -; r ) - j = = ; - ~ dt ■ 1 + x l + ( r - l j c o s? V I - x Vl e2' д )4 х(1 + х1п4>&; 4sh,(l + sh?ln4)ch?^; e ) ■. 24. a) 2,031; 6 ) 0,7754; Ch * ?6ch2 1 t s в) 0,4848; г)0,0100; д) 0,9976; e) 60°3'; ж )-0 ,8747; з) 0,991; и) 15,246; к)4,997; л) 1,003. 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков Определение 2.3. Производной второго порядка функции у = / ( х ) называ­ ется производная от ее производной у' = / '( х ) . Вторая производная обозначается d 2 одним из символов: /" (х ); у" или — Таким образом, f " ( x ) - ( f ' ( x ) ) / . dx Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка: ' d 3 утретья производная f " ' ( x ) - ( f " ( x ) ) (другие обозначения у"' или — ~)\ четвертая dx производная / (4)(х) = ( / w(x)) (другие обозначения y 'Y, у А:, ——); производная п-го dx ( J п порядка / w(x) = ( / (пЧ)(х)) (другие обозначения _ytn) и л и — ~ ). dx1 Механический смысл второй производной. Если функция х = /(? ) описывает закон прямолинейного движения точки, то х" = /"(?) - ускорение этого движения в момент времени t. Для нахождения производной какого-либо высшего порядка последовательно находят все ее производные низших порядков. В разделе 2 был указан способ нахо­ ждения неявной функции у = .у(х), заданной уравнением F(x ,y ) = 0. При этом было 57 замечено, что полученное выражение для у ' , как правило, содержит х и у . Для отыскания второй производной у" неявной функции надо уже найденную пер­ вую производную продифференцировать по переменной х , считая у функцией х . Вторая производная, как правило, будет выражаться через х , у , у ' . Посколь­ ку у' уже найдена, то ее подставляют в полученное выражение для у" и тем са­ мым находят у " , выраженную окончательно через х и у . Аналогично находят ее первая производная в разделе 2 была записана как функция, заданная парамет­ рически. Аналогично записываются производные высших порядков: 1/1 IV ^у , у и т. д. Для функции у = у(х), заданной параметрически: 1 х = ф(?) X = ф(/) d i d 2 у или dx3 dx 58 Определение 2.4. Дифференциал от дифференциала от функции у = f ( x ) в данной точке х называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) в точке х . Обозначается второй дифференциал символом d 2у или d2f ( x ) . Таким образом, d 2y = d(dy). Аналогично определяются и обозначаются дифференциалы любого порядка: третий дифференциал d 3 у = d(d2y) ; дифференциал п-го порядка d nу = d(dn~'y). В случае, когда аргумент х является независимой переменной, для диффе­ ренциалов второго, третьего и п-то порядка справедливы соответственно пред­ ставления: d 2y = f " ( x ) (d x )2; (2 .21) d 3y = f " ( x ) ( d x f \ d"У = /" ( x ) ( d x j . Для сложной функции у = f ( x ) , гдех - ф(?), дифференциал второго порядка имеет вид d 2y = f " ( x ) (dx)2 + f ( x ) d 2x . (2 .22) Сравнив формулы (2.21) и (2.22) можно сделать вывод, что второй диффе­ ренциал (в отличие от первого) уже не обладает свойством инвариантности фор­ мы. Тем более не обладают свойством инвариантности последующие дифферен­ циалы. Примеры 1. Найти производные третьего порядка следующих функций: 5 3 1а) у = 2х —4х + 2х + 1; б) у = arctg2x; в) у = . . =-. # - 2 x f Решение, а) Найдем первую производную: 59 fТеперь найдем вторую производную: у" = (у') = 40х3 -2 4 х . Продифферен­ цируем еще раз и получим производную третьего порядка: / ' = ( / ') = 120х2 - 2 4 . у - 10х4 - 12 х 2 + 2 . б) Поступим, как в предыдущем случае: 2 У 1 + 4х \6х У =■ (l + 4x2)2 ’ 16(l + 4x2)2 - I 6 x - l ( \ + 4x2)&x Л + 4 х - 16х2 _ 1б(12х2 - l ) У (l + 4x2)4 (l + 4x2)3 (l + 4x2)3 в) Для нахождения первой и последующих производных здесь удобно вве­ сти отрицательный показатель степени: У = (1 - 2 х р . Тогда У = —j ( 1 -2 х ) s ( -2 ) = — (l - 2х) 5. Г У = '_7_л I 5 У 12 56 У 56 25 г 12 1344, У = 1344 1 125 (l - 2 x f # - 2х) 2. Найти производные п-то порядка следующих функций: а) / ( * ) = —!— ; б) g(x)= x ln x ; в) s(x) = 2 1 х + 2 х - З х + 2 60 Решение, a) f ' ( x ) ^ (х + 2) 1-2 2 ’ ~'"\Х I = — (х + 2)3 ’ 1-2-3 / (4,М = (х + 2)4 ’ 1 -2 -3 -4 ~ ^ + 2 f ' 3 \п+((х + 2)""" (х + 2) б) g'(x)= inx + i; g"(*)=~; ? ”(* )= — у; s" (x) 2 x 3 ’ " ■’x x x в) Представим функцию *y(x) = —— ------ в виде суммы двух дробей х” — Зх + 2 1 1 (х - l ) - ( х - 2 ) 1 1 S X X - З х + 2 ( x - l ) ( x - 2 ) ( x - l ) ( x - 2 ) (х - 2) ( x - l ) ’ 5л(х)= ( - 1)'1 • п\ (х - 2)л+1 (х - 1)пЧ 3. Найти вторую производную неявной функции у = у(х), заданной уравне­ нием: а) Ь2х 2 + а 2^ 2 = а 2Ь2; б) е;' = х у ; в) _у = sin(x + у ) . Решение, а) Дифференцируя по х обе части уравнения, где у есть функция аргументах, получаем: 2Ъ2х + 2а2у у' = 0. Отсюда найдем Ь2ху = — _ а' у 61 Дифференцируя последнее равенство по х и при этом снова рассматривая у как функцию аргументах, получаем: Заменив здесь у' на У Ъ2 х—— , имеем: а у Ъ2 у - х у ’ а2 у 2 / у — х У Ъгх V а 2У1 b2(a2y 2 + Ь2х 2) 7 1а 'у а 4 у 3 Ь4Приняв во внимание условие, окончательно получим: у = — ^~т ■ б) Дифференцируя обе части данного равенства по х, получаем: еуу' = ху' + у , откуда у' = —- — . QV - X Так как е у = х у , то полученную производную можно представить в виде: у х(у ~ О Поступая далее, как и в предыдущем случае, будем иметь: _ х (у ~ 1)у ' ~ у(у ~ 1 + ^ 0У х 2( у - 1)2 У - У у -1 + У У ( у - 1) у - l ) _ у ( у 2 - 2 у + 2) S(1 - у У ■ в) Дифференцируя обе части данного равенства по х, получаем: / = cos(x + y)(l + / ) , откуда cos(x + у) l- c o s (x + y) (2.23) (2.24) 62 Вторую производную найдем другим способом, который заключается в том, что дифференцируется равенство, не разрешенное относительно у ' , а затем полу­ ченное соотношение разрешается относительно у " . Для нашего случая дифференцирование равенства (2.23) по х дает: у" = - sin(x + у ) (l + у')2 + у" cos (х + у ). Отсюда, учитывая условие и равенство (2.24), имеем: У „ у ( х + у ' ) 2 _ У { х l- c o s (x + .y) 1 + 2 1 - cos(x л- у) 1 - cos(x + у) Выполнив несложные преобразования, окончательно получим: ' ' = - 1 — W -1 - cos (х + у) 4. Найти вторую производную неявной функции х = х(у), заданной уравне­ нием: а) 1п(х + у) = у ; б) arctgх = х + у . Решение, а) Дифференцируем обе части уравнения по у, считая х функцией аргумента у : х +1 х + _у откуда х = х + у - 1. Дифференцируя последнее равенство по>>, получаем: ft t , 1X = X + 1. Заменяя здесь х' через х + у - 1, имеем: х" = X + у . б) Поступая, как и в предыдущем случае, будем иметь: 5. Найти производную функции, заданной параметрически dx х = In ?, v = t2 - 1; x - a { t - sin?), 7 = a(l - cos ?). dy d 2y — и — ^ с/х dx Решение, а) Найдем последовательно производные 2 ч dy . dx 1а) В данном случае — = 2?, — - , поэтому: J? dt t dy = 2?2, dx х = In t Тогда dt \ \d x j = 4? и, следовательно, имеем: Л 2— — = At dx2 x = In?. б) Найдя —- ~ a dt sin?, — = cz(l-cos?), запишем: dt V 7 c/y sin t dx 1 -cos? Далее, найдем производную от — по параметру ?: dx d_ dt dy \d x j 1 2 sin" Таким образом, имеем: 1 d 2y dx2 2sin2?/2 a( 1 - cos ?)’ или x = a d 2y (? - sin?) 1 dx2 4 sin2 ?/2 x = a(t - sin?). 2 2 2 2 2 ~ ~ ~ 6. Найти d у , если а) у - 4~x ; б) x 3 + у 3 = а ъ. Решение. Воспользуемся формулой (2.21), определив прежде первую и вто­ рую производные. а) Для данной функции у' - 4~х7 ln 4 (-2 x )= -2 1 n 4 x -4 '* J ; У - 2 In4 (4 -*’ + х • 4~А'21п4(- 2х))= 2 In4 • 4~х1 (2х2 In4 - 1). Следовательно, d 2y = 2 In4 ■ 4 (2х2 In4 - ]\dx)2. б) Считая, что данное уравнение задает у как неявную функцию аргумента х, дифференцируем обе его части по х и находим у ' : 2 - А 2 - > п ' У3-X + - у Зу = 0, у = ---- р. X J Дифференцируя последнее равенство по х, имеем: 65 1 - , 1 3 ,-у У х - ~ х У' н 5 5У = - - - - - - - - - - - - - - - - - - Г — - - - - - - - - - х 3 , у 3 Заменив у н а ---- р, получим: х 2 1 2 2 2 ,3„ у j + х Jy х" + у _ сг у — ' 2 1 4 _ 1^ 4 Зх3 Зу3х 3 Зу3х 3 Следовательно, d 2y = - з ——-(dx)2. ЗУ х у 2.8. Задачи для самостоятельного решения 1. Найти вторые производные следующих функций: а) / ( х )= (х 2 + l)3; б) х(/)=е~'2; в) w(z) = ^ a 2 ~ z 2 ; г) H(v) = v\nkv; д) s(t) = — —^j=; е) ф(х) = (l + х2 )arctg х ; ж) \|/(х) = arcsin(asinx); з) F(x) = x \ (2 + л/1 2. Найти вторые производные данных функций при указанных значениях аргумента: а) /(х )= х6 - 4х3 + 4, /" ( l) ; б) ф(х) = arctg х, ф"(1); в) x(t) — t3 In/, х"(2). 3. Найти производные п-го порядка следующих функций: а) / (x )= s in 2x; б) ф(х) = ln(ax + Ь) ; в) x(f) = ; г) г(ф)= sin4 ф + cos4 ф; д) \\)(х) = x e J ; е) v(x) = х 2In х . ?2 4. Найти — j , если: а) 5х2 + Зху - 2у2 +1 = 0; б) у = tg(x + у ) ; dx в) у — х + 1пу; г) у + 2 In у — х ; д )е —х + у ; е) д/х + у — ciq {и > 0). 5. Найти , если: dy- вв а) х = sin(x + у); б) cosx secjy = с ; в) ех+у= х у ; г) е ‘ sinx = e~v cos jy. 6. Найти при x = \ и у = 1, если: dx2 У * а) х2 + у 2 — 2; б) х 2 + 5ху + у 2 — 2х + у — 6 = 0 . 7. Найти производную — у- функции, заданной параметрически: dx ^ fx = acos2?, ^ fx = arcsin?, ^ Гх = a?cos t, f x - a 2 + 2 a , {y = asin2?; [у = ln(l - ?2); [_y = afsin?; {>» = ln(a + l). о тт - 1 n [* = 2?3, _N8. Наити при t = — значение — у , если: а) < ; б) 2 dx \y = t 2; x = a\nt, r n y = t 4~ v t j d 2x x = —t~ dy у = arctg t; x — cos t, y = Q sin t. 10. Найти d 3y dx3 г) X 2 - xy + y 2 = 1; д) , если: a) у - cos2 x ; б) у = x 5 - 7x3 + 2; в) у 2 =2px: 'x = 2 t - t 2, Jx = l + ea\ ^y = 3 t — t 3; [_y = a

= 1п------ - , х = tg t; 1 + х2 г) _у = (х + l)5, X = In?. в) у = е А" , х = sin t ; 67 Ответы 1. а) б(5х4 + 6х2 + l); б) 2е“' (2?2 - l ) ; в) а 2 л 1 ч a + 3^ft ; г) д) 2х . \ ае ) - + 2arctgx; ж) 1 + х в) 121п2 + 10; ---------------- Г Г 5 1 ) ■> Д / г - / ’ 2 - z 2) v 4?-\/?(a + V?) (a2 - l)s in x ч Г л 1 \2 О * ^ л ^ I^ ------- ; з) (lnx + l) + - х . 2. а) 6; б ) - - ; 2 • 2 V a sin х) 3 п г) - V2 ; д) 2; е) 24ет 3. а) 2"^ sin 2х + (п - 1)— V 2 . W . . W(ах + b) п\ l I+ Л f \ п— I .(<+О”*' М Г . | 2 Н Г ' М ; г) 4” 1 cos ф + п — ; д) ех (х + и); V 2 у б ) _ 2 к 1 ± 0 ; в) У . У г ) 7~ ^ ( 3(1 + у 2У + 2 х ' у 2})’ V + y ) д) ф + у) .(х + у + l)3 е) (1 -v )3 ’ 2(х2 + у 2) (* - уУ 5. а) х ___. ч 4 ( j - 0 2 + ( ^ - 1)2) . г. А e - s in y + eysinx g . (cos(x + у) — l)3 y 2(l - x)3 ’ dy q' x cosy + e;' cosx 111 256 8. a) - 6) — . 9. a) 9 4a d 2y 2 d 2y 2 + t 2 d 2y 1 7. a) 0; 6) < dx2 t 2 -1 ’ в) < dx2 (a cos? - ?sin?)3 r) < dx2 2(a + 1)4 x = arcsin?; x = a?cos?; x = a 2 + 2a. d~x dy2 у = arctg ?; (l + f2 Xi + ) . ' d 2x 2e~' 6) < dy2 (cost + sin?)3 ’ Ю- a) 4sin2x; у = e' sin?. 6) 60x2 - 42; в) ; r) ; Д ) - ! * ’ 8 (1 -Л ” e ) ^ = 2e-J™ -6e-4» ' dx' x - 2? - ? ;X (x - 2y) 11. a) eC0Sj:(sin2 x - cosx ^ d x f ; 6) sm x (x + 1)3 ; r) (dx)2 2 V ’ - * j Д) - - ^ ( d x ) 2; e) - (e2(v J,) + ел~ ’ \ d x f . 4 у 68 d 2y - -г— г^(йЬс) н - - d 2x, d 2y = ( - 4cos2x)( d 2y - (~ 36/4 cos2r3 - 12/sin2f3 )dt2; d у = -4 sec 2t(dtY; V r d 2y - (4х2е-л’г - 2 ^ \ d x ) 2 ~ 2 x ^ d 2x^ d 2 у = 20(x+ l j (dx)2 + 5(x+ 1)* d 2x, B) d 2y = (Q-sml! sm 22 t-2 e~ sm2r cos2t)dt2; ’ ^ d 2y = ■1) ~ 5(ln ^+1I _ ^ 69 3. ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ 3.1. Теоремы о среднем Теорема Ролля. Если функция f i x ) непрерывна в замкнутом интервале [х,,х2], дифференцируема во всех его внутренних точках и имеет на концах ин­ тервала равные значения, то в этом интервале существует по крайней мере одно значение х = £ , для которого /'(£ ,) = 0 . Теорема Лагранжа. Если функция / (х ) непрерывна в замкнутом интервале [х,,х2], дифференцируема во всех его внутренних точках, то в этом интервале су­ ществует по крайней мере одно значение х - £,, для которого = у '(£). (3.1) х2 — х, Замечание 3.1. Теорема Ролля получается из теоремы Лагранжа при /(*2 )= /(*])■ Замечание 3.2. Из формулы (3.1) получается формула Лагранжа / ( х 2) - / ( х , ) = / '(У (х 2 - X,), х, < £ < х2. (3.2) Формула (3.2) означает, что приращение функции на интервале равно про­ изведению производной в некоторой промежуточной точке интервала на прира­ щение независимой переменной. Теорема Коши. Если функции f i x ) и ф(х) непрерывны в замкнутом интер­ вале [х,,х2], дифференцируемы во всех его внутренних точках, причем ф'(х) не обращается в нуль в этих точках, то в этом интервале существует по крайней мере одно значение х = £ , для которого / f e ) - / ( 3Ci ) = / /fe ) j ф(х2) -ф (х 1) ф'(£) 70 Замечание 3.3. В частном случае при ф(х) = х теорема Коши обращается в теорему Лагранжа. П римеры 1. Проверить, справедлива ли теорема Ролля для функции / (х) = х 2 - 2х на отрезке [—1;3], найти соответствующее значение параметра Решение. Функция f ( x ) = x 2 - 2 х непрерывна на отрезке [— 1; 3] и диффе­ ренцируема на интервале (-1; 3). Кроме того, / ( - 1 ) = /(3 ) = 3 , поэтому на данном отрезке выполняются все условия теоремы Ролля, значит теорема справедлива. Найдем значение ^ е ( - 1; 3), для которого выполняется равенство f ’i't) = 0. Так как / '( х ) = (х2 - 2х) = 2х - 2, то из равенства 2 х - 2 = 0 следует, что х = 1. Так как 1 е (-1; 3), то ^ = 1 есть искомое значение. 2. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции / ( х ) = |х| - 2 на от­ резке [-1: 1] , найти соответствующее значение параметра с, (если оно существует). Решение. Функция недифференцируема в точке х = 0, принадлежащей ин­ тервалу (-1; l). Следовательно, нарушается второе условие теоремы Ролля, и дан­ ную теорему нельзя применить для решения этой задачи. 3. Записав формулу Лагранжа для функции / ( х ) = л/Зх3 + Зх на отрезке [0; l], найти на интервале (0; l) соответствующее значение параметра Решение. Функция /(х )= л /3 х 3 +3х непрерывна на отрезке [0; l], ее произ­ водная существует во всех точках интервала (0; 1) и равна f { x ) = Зл/Зх2 + 3. Та­ ким образом, выполняются условия теоремы Лагранжа. Значение параметра найдем по формуле (3.2): = т е ^ /з +3 = 3л/3£2 + 3 . Откуда 71 ^ = ±-^=. Значение t> = — не принадлежит интервалу (0; l). Следовательно, ис- V 3 л/3 р 1 комое значение параметра с, равняется л/3 ' 3.2. Задачи для самостоятельного решения Проверить справедливость теоремы Ролля для заданной функции и найти соответствующее значение параметра £, (если оно существует). 1. / ( х ) = |х| на отрезке [-2,2]. 2. f ( x ) = ~ x 2 + 4 х -3 на отрезке [0;4]. 3. / ( х ) = cos х на отрезке Л _ 371 2 ’ Т I .Г 3 ’ 2 4. / ( х )= л/х^ на отрезке [-1; l] . 5. / ( х ) = х 2 на отрезке [ 1;3], Проверить справедливость теоремы Лагранжа для следующих функций и найти соответствующее значение параметра £, (если оно существует). 6. / ( х ) = |х[ на отрезке [-2 ; 2]. 7. f { x ) ~ — на отрезке х 8. / (х)-- х 1; на отрезке [0;3]. 9. Доказать, что если производная / '( х ) тождественно равна нулю на ин­ тервале (a,b), то функция f i x ) постоянна на этом интервале. 5 — х 2 г 1 10. Функция / ( х ) = ---- -— имеет на концах отрезка [-1; lj равные значения. х Ее производная / '( х ) равна нулю только в двух точках х = ±л/Го , расположенных за пределами этого отрезка. Какова причина нарушения заключения теоремы Ролля? 72 Ответы 1. Теорема Ролля неприменима, так как функция недифференцируема в точ­ ке х = 0, принадлежащей интервалу [ -2 ;2 ] . 2. Теорема справедлива, £, = 2. 3. Условия теоремы выполнены, £, = п . 4. Условия теоремы не выполнены, так как производная функции f ( x ) = \ [ x 2 не определена в точке х = 0 интервала [— 1; l] . 5. Условия теоремы не выполнены, так как / ( l ) ^ /(3 ) . 6. ^ = ln ( e - l ) . 7. = Л/6 8. Теорема Лагранжа неприменима, так как функция f ( x ) = |jc — lj недифференци­ руема в точке х = 1 отрезка [0;3]. 3.3. Правило Лопиталя О оо Раскрытие неопределенностей вида — и —. Пусть при х —> а функции О оо f(x) и ф(х) обе бесконечно малые или обе бесконечно большие. Тогда их отно- f ( x )шение у не определено в точке х = а, и в этом случае говорят, что оно пред- ф(х) ставляет собой неопределенность вида jj или соответственно — . Однако это от­ ношение может иметь предел в точке х = а, который может быть как конечным, так и бесконечным. Нахождение этого предела называется раскрытием неопреде- 0 со ленности. Одним из способов раскрытия неопределенностей вида — и — является О со правило Лопиталя, основанное на следующей теореме. Теорема Лопиталя. Пусть в некоторой окрестности точки х = а функции /(х ) И ф(х) дифференцируемы всюду, кроме, может быть, самой точки х = а и пусть ф '(х )^ 0 в этой окрестности. Если функции / ( х ) и ф(х) при х —>а совме­ стно стремятся к нулю или к бесконечности и существует предел отношения 73 J y -i- этих производных при x —> a , тогда существует также и предел отношения ф'(х) \ самих функций, и этот предел равен пределу отношения производных ф(х) ™ ф (х ) ™ ф '(х )' Замечание 3.4. Правило применимо и в случае а = оо . Замечание 3.5. Правило Лопиталя называют также правилом Лопиталя- Бернулли. Раскрытие неопределенностей вида 0 • оо. Для вычисления lim/(х)ф(х), где /(х ) - бесконечно малая, а ф(х) - бесконечно большая при х -» а следует преоб­ разовать произведение к виду (неопределенность вида —) или к виду 1/ф(х) О (неопределенность вида —) и далее использовать правило Лопиталя. f ' {x) ОО1 //М Раскрытие неопределенностей вида со — оо. Для вычисления Н т (/(х )-ф (х )), где / ( х ) и ф(х) - бесконечно большие при х —> а , следует пре­ образовать разность к виду \ / М , а затем раскрыть неопределенность вида — . Если lim-^7 - ^ 1 , то l im ( / (x ) - ф(х))= оо.Если же l im -^ ^ = l, то / ( х ) 00 *->а / ( х ) ^ х^ а f \ x ) получаем неопределенность типа 0 • оо, рассмотренную выше. Раскрытие неопределенностей вида 0°, со0, 1 ". Во всех трех случаях име­ ется в виду вычисление предела выражения ( /(х ))ф(а), где / ( х ) есть в первом слу­ чае бесконечно малая, во втором случае - бесконечно большая, в третьем случае - функция, имеющая предел, равный единице. Функция ф(х) в первых двух случаях является бесконечно малой, в третьем случае - бесконечно большой. Логарифмируем предварительно равенство у = ( / (х ) )ф \ получаем 74 1пу = ф(х)1п(/(х)), (3.3) и находим предел In у , после чего находим и предел величины у . Во всех трех случаях величина In у в силу равенства (3.3) является неопределенностью типа О • оо, метод раскрытия которой приведен выше. П римеры 1пх х Решение. Так как lim lnx = co, имеем неопределенность вида .X—>00 рой применимо правило Лопиталя: .. 1пх lim—— х 00 ОО lim- 1 х к х к lim—^ = 0, кх 00 00 , к кото- X 2. Вычислить предел lim— , а > 1. х^ °° а Решение. По правилу Лопиталя lim х а 00 оо = И т ­ ог In а 0. X 3. Вычислить предел П т — , к > 0 , b > 1 . х->оо J y X XРешение. В соответствии с правилом Лопиталя lim— = lim Х->00 г VX . Вве- X дем замену а = Kfb , тогда lim — = lim Х~»СО J j X ^ х Л \ а х, О1 = 0. 4. Вычислить предел lim х - х cosx х—>0 х - sinx Решение. Так как lim (x- xcosx)= 0 и lim(x -s in x ) = 0, то можно приме­ нить правило Лопиталя: х-> 0 75 lim x - x c o s x x - s in x (x —xcosx) lim--------------j— (x -s in x ) lim x-^ 0 1 - cosx + xsinx 1 - cosx Здесь также предел числителя и знаменателя равен нулю при х -» О 1 ¥ ' - cosx + xsinx)= 0 и Hm(l - cosx) = 0. Следовательно, нужно повторно при- х->-0 менить правило Лопиталя: 1 -c o sx + xsinx lim---------------------- х_>0 1 -c o sx (1 - cosx + xsinx) 2sinx + xcosx hm ----------------- — — = lim---------- --------- x—>0 / - \ x ^ O (l - cosx) sinx .. 3 c o sx -x s in x „ hm -------------------= 3.x-»0 cosx 5. Найти предел lim xlnx. x->+0 Решение. Имеем неопределенность вида 0 • оо, которую раскроем, сведя к ОО неопределенности вида — , а далее воспользуемся правилом Лопиталя ОО lim х lnx = lim ^-^ X—>+0 А’—>+0 j y у- оо 00 Hm - Нш ~~— т - lim (- х) - 0.Л-+0 (l/x) Х-++0 — l/x ' ->+0 6. Найти limsin(x - l)tg тех Решение. В данном случае также имеем неопределенность вида 0 ■ с о . По­ лучаем: limSi n ( x ^ l ) t g ^ = limSin(x~'l)v у о ? ж хX ctg = lim х—>1 i (sin(x - 1)) cos 2 ctg % X 2 lim X-*] % (x - 1) 1 2 . 7 7ix sin” — 2 2 / .x .- j ju x 2 -limcos(x -1 jsm" TCX—>1 2 71 76 7. Вычислить предел lim Л'— ,х - 1 InxJ Решение. Имеем неопределенность вида со - с о . Сведем ее к неопределен- 0 ности вида —, приведя дроби к общему знаменателю: 1 lim х - 1 In X 1 ^ .. x l n x - ( x - l ) — = lim —7-------------Г--- ) х ^ (х - 1 Jin X l im ((х - l)ln х) *->1 х - 1m х н------- xlnx = lim-------------- - Х^ 1 xln X + х - 1 = lim .... f e jS fL , =iim x -> l / , - \ x —>1 lnx + x 1 x lnx + l 1 — = l i m - (xln X + x - l) lnx + x - + 1 lnx + 2 2 Следовательно, l imx—>1 1 x — 1 lnxy 2 8. Вычислить предел lim(x - In3 x). x-*+co ' Решение. Имеем неопределенность вида оо - с о . Раскроем ее. Для этого преобразуем выражение под знаком предела: lim(x - In3 х)= limx X Так как l im X- = l im™ ^ = l i m / \ X—»--KO (x) 31n2 x ■I X ln2X (in2 x) . lnx — = 3 lim ------= 3 lim -------Л = 6 Ь т ----3 li x ™ x i = 6 lim - П X) = 6 l im — = 0 , t o (x) X lim(x - In3 x)= +co . 9. Вычислить предел lim x*. x--»0 Решение. Имеем неопределенность вида 0°. Обозначим у = х х . Тогда 77 lim In у = limln(xx ) = lim xlnx = lim---- - x —>0 x -> 0 x —>0 x -> 0 1 / x Применим правило Лопиталя, получим l i m = lim — * 1 = lim '^"X—- = lim (-x ) = 0 . m0 1 /x x-+° (l/д;) x_+0 - l / x x^ ° Таким образом, In lim y = lim In у = 0 , откуда lim y = 1, следовательно, limx" = 1. oo 00 3.4. Задачи для самостоятельного решения Вычислить пределы, используя правило Лопиталя: tg %х х3 + х -Ю _ .. 5 х - 2х ех - 1 lnx ~ 2 . I) lim—— -----2) lim—— — ; 3) l im—— 4) lim - ; 5) lim- x->2 x — 3x — 2 .x—>0 I х - У x->0 sinx X ln(l - x) ’ 6 ) l im x V x; 7) lim(x - 2 )ctg7i(x - 2); 8 ) l im x s in - ; 9) lim^ - - 1 ^ X 1 0 ) lim 1 - x 3 1 - x ' 1 1 ) lim*-►0 1 2 ) lim x^ ° 'x sm x j \1 1 2 (1 - v x ) з ( Г ч Я , si n5x , .. - 13) h m - 7 = —7 ; 14) lim —: ev + e~x x^ ° V x+T-1 0 sin2 x ^arctg x x ( 1 ^ ; 15) limx e l -1 ; 16) lim xtgx; 17) lim V / A'—>0 1 + — V ) 18) lim(cos2x)*J ; 19) lim x1+lnt; 20) lim ^sinx^ X->0 Ответы 1 ) ] i . 2) 3) 1; 4 )0 ; 5) -oo ; 6)0; 7) - ; 8) a; 9 )0 ; 10) 1; 11)0; 9 In 7 - ln 3 12)— ; 13)10; 14)1; 15)1; 16)1; 17)1; 18) e"2 ; 19) e ; 20 )-!= 1 2 Ve 78 3.5. Формула Тейлора Предположим, что функция у = / (х) имеет все производные до (п + 1)-го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку х = а . Представление функции / (х) в виде многочлена по степеням х - а называ­ ется формулой Тейлора в окрестности точки х = а и записывается в виде: /у \ v 1 Y f \ f " ( a ) ( V/ 0 ) = Е (х ~ а ) = / W + —~ \ x ~ a ) + ~ b 1 {x - a ) +•••Аг=о /С! 1! 1\ (3-4) + 1^ 2 ± { х - а Г + К , { Х) п\ где Rn (х) называется остаточным членом формулы Тейлора. Остаточный член можно записать в форме Лагранжа: д „ м = / ' " ’' ( я + е ( * ■ 0 < 6 < 1[п + 1 )\ или в форме Пеано (*) = где o((jc - аУ ) - бесконечно малая порядка выше п по сравнению с х - а . Если а = 0, то формула (3.4) принимает вид х и+\f t \ , i \ / '( « ) / " ( а ) г / (л’М » / ’"“’(е*)f \ x ) = f (а) + -- — х + —■— х + ... + -— — х W 1! 2! «! (и + l) где 0 < 0 < 1 и называется формулой Маклорена. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена 2 3 кX X X Xе =1 + - + — + — + ... + — + ... 1! 2! 3! к\ 2 4 6 2 к COSX = 1 — — Ь —--— + ... + (-1)* J - + . . . (3.5) 2! 4! 6! (2 к). 19 2 А + 1х3 х5 х 1 к хsmx = x ----- н------------- к . . + (-1) -у—---- 3! 5! 7! (2£ + 1)! 2 4 6 2 к, X X X X c h X = 1 Н-----------1-------- Ч------------I- . . . + 7— + . . . 2! 4! 6! (2к)\ 2k + iх х5 х х sh x = x4------1------1------h ... + 7------- Г- 3! 5! 7! i l k + 1)! ( U x ) - = l + « » + a ( a ~ l) » 1 + a ( a ~ lX a ~ 2)*i +2 ! 3! + a (a ~ 1Xa - 2) ■ ■ • • • (a - (и - 1)) + _ n\ П римеры 1. Разложить по формуле Маклорена функцию /(х ) = arctg х до o(xJ). Решение. Данную функцию необходимо представить в виде a rc tg , = arctg(0) + ^ ^ * + 5 ^ x ! + * ( ,’), х ^ О . 1! 2 ! Вычислим производные функции /(х ) = arctg х в точке х = 0: 1 мarctg х г -------, arctg xj = 1; 1 ~Ь х arctg х = 2х U + *2J (i + * 2)2 arctg'тх ~ V(l + х2) l лз > arctgwx|^o = -2 . (1 + x-J Значение функции /(x )= arc tg x в точке х = 0 равняется 0. Таким образом, получаем требуемое разложение arctg х = х - ~ + о 3 ( х 3). 2. Многочлен 2х3 - Зх2 + 5х +1 разложить по степеням двучлена х +1. Решение. Вычислим значение функции f ( x ) = 2х3 - Зх2 + 5х + 1 в точке х = -1: / ( - 1) = -9 , а также значения ее производных в этой точке: f ' ( x ) = 6 x 2- 6 x + 5, / ' ( — 1) = 17 ; / ' ( * ) = 1 2 * - 6 , / ' ( - 1 ) = - 1 8 ; Г ( х ) = 12, / • { -1) = 12; / ^ \ х ) = 0 , к >3. Тогда по формуле (3.4) / ( х ) = - 9 + — (x + l ) - — (x + l)2 + — (х + 1)3 = = -9 + П(х + 1 )- 9(х + 1)2 + 2(х + 1)3. 3. Записать формулу Тейлора для функции у — — в точке х = 1 и построить л/х графики данной функции и ее многочлена Тейлора третьей степени. Вычислим значение функции у = -^= в точке x - l , y(l) = l , а также значе- 'х ния производных этой функции до третьего порядка включительно в точке х = 1. 1 '■(*) = - т ^ т . / (О т( \ «Л Л у [ х ) = ~ Ш ’ у ( х у - ~ ^ По формуле (3.4) получаем Тогда многочлен Тейлора третьей степени имеет вид: Р ( х ) = 1 - — (х -1 )ч - - (х -1 )2 ( x - l ) 3 2 8 16 или, раскрывая скобки, и , ч 5 , 21 , 35 35Рлх) = -----х ч-----х ' ------ хч----- 3V ' 16 16 16 16 Построим в одной системе координат графики функций _у(х) и Р3(х) (рис. 3.1). Рис. 3.1 Как видно из рис. 3.1, в окрестности точки х = 1 графики этих функций сов­ падают. 4. Используя разложение элементарных функций в ряд Маклорена, полу­ чить разложение для функции у = sin2 х . Преобразуем функцию y = sin2x , используя формулы понижения степени: l- c o s 2 x 1 cos2x 2 2 2 у = sm х = Воспользуемся формулой (3.5), подставив в качестве аргумента 2 х : (2 х)2(2х)2 (2х)4 (2х)6 . . cos2x = 1 - -— '— + ±— — -^ + ... + (-1) . ч 2! 4! 6! (2 к) + ... = 82 /•"> 2 2 <^4 4 r*6 6 2 /г 2 к1 х 1 х 2 х , , 2 х : 1-------- + -----------------+ ... + (-1)" — г- + ... 2! 4! 6! (2А:)! ^ 1 cos2x 1 1 Т о г д а ------------- = -------- 2 2 2 2 f 2 2 ^ 4 4 <-ч 6 6 2к 2к \' 2 х 2 х 2 х , лхк2 х1---------+ -----------------+ _ + (_!)* + .. v 2! 4! 6! (2 к) , 9 2 9 3 4 - 5 6 9 2*=1 2* ю о 2 Ы 2 tА, Л jL Л , ...£ Л Х"'/ 1\£ =1 Г + ^ г “ ^ г + - +(_1) » " W 22,ы х2* Таким образом, y = sin i=i (2£)! 3.6. Задачи для самостоятельного решения Разложить по формуле Тейлора следующие функции. 1. / (х ) = 2х в точке х0 = log2 3 . 2. / (х ) = в точке х0 = 1. 3. f { x ) - x Q x в точке х0 = -1 . Разложить по формуле Маклорена функции. 4. /(х ) = е2' 1 до о(х4). 5. / (x ) = arcsinx до о(х’). 6. Разложить многочлен Р (х )- х4 - Зх" + х -1 по степеням х + 2 . 7 1 7. Разложить многочлен Р(х) = х ’ + 4х? + 8х + — по степеням х — . w 8 2 8. Разложить функцию /(x ) = tg x по формуле Маклорена до о(х*), к = 1, 2,3, построить в одной системе координат графики / ( х ) и соответствующих многочленов Тейлора Рх (х), Р2 (х), Ръ (х). Используя разложение элементарных функций в ряд Маклорена, получить разложение для следующих функций 9. _y = s i n ^ . 10. _у = 1п(4 + х2). 11. y = \J% + x 2 . 83 Ответы 31п2 2 ■ (х - log2 З)2 3In'7 2 ■ (х - log, З)'1 1. 3 + 3 In 2 • (х - log2 3)4----------- -^------ ^ - ^ - + . . . +--------- ^ + 2 ! + o ((x -lo g 23)”), х —>■ log2 3 ; 1 / ч з(х-1)" ( * - i ) 3 (x _ i)4 (x _ 02. — (х — l) н— -----J- + ±-------' - - ± ------J- + ±------ 2 2-2! 3! 2 -3 -4 3-4-5 (х -1 )” + ( - l ) ” - + ° ( ( х - ! ) ” ) >п х 1; 1 , ( х - 1)2. 2 (х - О 3 ^ 3 (х - 1 ) \ ^ (п 1 )(л: О е 2!е 3!е - + 4!е + о\[ х n'.Q Л 1 ">4. е- - е 'х + 2 2 2 3 2 4е х е х е х+ 6-Х.+ о(х4), х —>• 0; 2! 3! 4! 5. х + — + о(х6), х —» 0; 6 6. (х + 2)4 -8 (х + 2)3 +21(х + 2)2 -19(х + 2) + 1; 7. Г Ох ---- I 2 J 11 + - 2 х V + 51 4 + 6; 9 + (5*) 2 » + 1 2 2 J • 3! >2/7 + 1 (2 п + 1) 10. 21n2 + ---------^ _ + _iL_ + ... + ( - i) ' +1 х' 11. 2 1 + 4 42 ■ 2 43 • 3 1 х2 1 х 4 1-3 х6 ■■ — + —------ - + ...+ 4" ■ п + 2 8 222! 82 233! 83 / ^„-1 1 • 3 ■... - (2п - 3) х ' ' 2” п\ ' 8 84 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 4.1. Монотонность, точки экстремума функции Пусть функция у = / ( х ) задана на конечном или бесконечном промежут­ ке (a,b). Определение 4Л. Функция f (x ) , x e ( a ,b ) называется возрастающей на промежутке (a,b), если для любых х,, х2 е (а,Ъ) таких, что xt < х 2, выполняется неравенство / ( х , ) < / ( х 2) (41) (рис. 4.1, 4.2) я убывающей, если из неравенства х, < х2 следует: / ( х , ) > / ( х 2) (4.2) (рис. 4.3, 4.4). 85 Если в определении неравенства (4.1), (4.2) заменяются нестрогими нера­ венствами /(х ,)< / (х2) и /(х ,)> / (х2), соответственно употребляются термины: неубывающая и невозрастающая функция. Возрастающая, убывающая, неубы­ вающая, невозрастающая функции объединяются понятием монотонной функции. Теорема 4.1. Пусть функция у = f ( x ) определена и непрерывна в промежут­ ке (a,b) и внутри его имеет конечную производную f i x ) . Для того, чтобы /(х ) не убывала (не возрастала) на (a,b) необходимо и достаточно, чтобы было / ' { х )> 0, ( / ' ( х ^ о ) для всех x e (a ,b ) . Если же для любого х е (a,b) / ' (х)> 0, ( / (х)< О), то функция f { x ) возрастает (убывает) на этом интервале. Условия теоремы для возрастающей и убывающей функции достаточны, но не необходимы. Например, функция у = х 3 возрастает на (-1, l), но У(о)= 0. Установленная связь между знаком производной и направлением изменения функции геометрически объясняется просто, так как производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции. Если касательная образует с осью Ох острый угол a ( tg a > 0 ) , то функция возрастает в данном промежутке (см. рис. 4.1, 4.2), если же угол a - тупой (tga < 0), то функция убы­ вает (см. рис. 4.3, 4.4). Особую роль в исследовании поведения функции на промежутке играют точки, разделяющие интервалы возрастания и убывания функции. Определение 4.2. Точка х0 называется точкой локального максимума (ми­ нимума) функции f i x ) , если существует 5 - окрестность О&{х0) точки х0, такая, что для всех х е 0 5 (х0) выполняется неравенство А/ ( * о ) = / М - / ( л ) <0 86 (4 Ф о )= /(* )-/(* < > )> °)- Значение f i x о) называют локальным максимумом (минимумом) функции и обозначают т а х f ( x ) = f { x Q) ( m m f { x ) = f i x , ) ) х<=Оь (ха) \ x z O s (xо) У Точки максимума или минимума функции называют точками экстремума функции, а максимумы и минимумы называют экстремумами функции. Экстремумы функции носят локальный характер - это наибольшее или наименьшее значения функции по сравнению с близлежащими ее значениями. Если функция / ( ; с) на (a,b) имеет несколько максимумов и минимумов, то может оказаться, что локальный максимум функции меньше ее локального минимума. Например, на рис. 4.5 точки хр х3, х5 есть точки локальных максимумов, а точки х2, х4 - точки локальных минимумов функции f ( x ) . ► X Рис. 4.5 Наибольшее или наименьшее значения функции f ( x ) в области ее опреде­ ления или на отрезке \a.,b\ в отличие от локальных ее экстремумов называют со­ ответственно абсолютными (или глобальными) максимумом и минимумом f ( x ) и обозначают max f ix ) , min f ix ) . хе[а,Ь] Из теоремы Вейерштрасса следует, что непрерывная на отрезке \а,Ь] функ­ ция f ( x ) имеет на этом отрезке наибольшее и наименьшие значение. 87 Эти значения функция принимает в одной из точек экстремума в интервале (a,b) или в одной из граничных точек а,Ь. Например, для функции / ( х ) на рис. 4.5 на отрезке \a,b\ абсолютный мак­ симум f ( x x) достигается в точке х ,, абсолютный минимум равен f (b ) . Необходимое условие экстремума функции выражается теоремой Ферма. Теорема 4.2. Если дифференцируемая в точке х0 функция f i x ) имеет в этой точке локальный экстремум, то ее производная f ( x ) = 0. Теорема имеет простой геометрический смысл: касательная к графику диф­ ференцируемой функции в точке экстремума параллельна оси Ох (см. рис. 4.5). Точки, в которых / У (х) = 0, называются стационарными. Функция может достигать экстремума также и в точке, в которой конечная производная не существует. Например, функция у = |х + 3| не имеет производной в точке х - - 3 (у7( - 3 - 0) = -1, У ( - 3 + 0) — —l), но достигает в ней минимума у = 0 (рис. 4.6). Точки, в которых функция непрерывна, а ее производная равна нулю или обращается в бесконечность, или не существует, называются критическими точ­ ками или точками возможного экстремума функции. Критическая точка х0 на­ зывается угловой точкой функции f i x ) , если существуют _/'/ (х0 - 0 ) ^ / (х0 + 0) (рис. 4.7) и точкой возврата функции, если ее левая / ' (х0 - 0) и правая f ' { x Q + 0) 88 производные бесконечны (касательная к графику f i x ) в точке х0 параллельна оси Оу) (рис. 4.8). Вместе с тем не всякая критическая точка функции является точкой ее экс­ тремума. Например, для функции у - х3 точка х = 0 - стационарная, но в этой точке нет экстремума. Для того, чтобы выяснить, является ли критическая точка функции точкой ее локального экстремума требуются дополнительные исследо­ вания. Эти исследования состоят в проверке достаточных условий для существо­ вания экстремума. Теорема 4.3 (первый достаточный признак существования экстремума функции). Пусть х0 - критическая точка непрерывной функции f ( x ) . Если произ­ водная f ' { x ) при переходе через точку х0 меняет знак с на то х0 - точка локального максимума, если / ' (х) при переходе через точку х0 меняет знак с на то х0 - точка локального минимума, если / (х) при переходе через точку х0 не меняет знак, то х0 не является точкой локального минимума. Так, в примере 1 для функции / (х )= х3 - 6х2 + 9х - 2 точки х, = 1 и х2 = 3, являются стационарными, так как / /(х,) = / ' ( х ?) = 0. Согласно теореме 4.3 точка х, = 1 есть точка максимума, а точка х, = 3 - точка минимума данной функции. Теорема 4.4 (второй достаточный признак существования экстремума). Стационарная точка х0 функции /(х ) , дважды дифференцируемой в ее 5 - окре­ 89 стности О&(х0), является точкой локального максимума функции, если /" (х 0)< 0 , и точкой локального минимума, если f " {x0) > 0. Для функции / { х ) ~ х 3 - 6х2 + 9х - 2 в примере 1 /"(х ) = 6х -1 2 = б(х - 2), /" (О < 0 > / " f t ) > 0. По теореме 4.4 стационарные точ­ ки х, = 1 и х2 = 3 являются соответственно ее точками максимума и минимума. Теорема 4.5 (третий достаточный признак существования экстремума функции). Пусть функция / ( х ) п раз непрерывно дифференцируема в точке х0 и / ' (х„ ) = / '(* „ ) = ... = / ' - " ( л ) = О, /« ( * „ ) * 0. Тогда, если п - четное и / (й,(х0)< 0, то х0 - точка локального максимума, если п - четное и / (,,)(х0)> 0, то х0 - точка локального минимума, если п - нечет­ ное, то х0 не является точкой локального экстремума. Пусть функция / ( х ) определена и непрерывна на отрезке \a,b]. Чтобы най­ ти абсолютные (глобальные) экстремумы, т. е. наименьшее min / ( х ) и наиболь- х е [ а , Ь \ шее ее значение max f i x ) на отрезке [а,Ь], следует вычислить ее значения в точ- x e { a , b \ ках локального экстремума, принадлежащих отрезку, а также на концах отрезка, и выбрать соответственно наименьшее и наибольшее из них. На концах отрезка в силу характера своего поведения функция может принимать значения большие или меньшие, чем значения в точках экстремума (см. рис. 4.5), поэтому концы от­ резка включаются при отыскании абсолютных экстремумов. П р и м еры 1. Найти промежутки возрастания и убывания функции /(х ) = х3 - 6х2 + 9х - 2. Реш ение./ '( х )= Зх2 - 12х + 9 = 3(х - l)(x - 3). Если х<1 и х > 3 , то f i x ) > 0, следовательно, функция возрастает в промежутках ( - оо, 1), (3,+ оо). При 1 < х < 3 , где f i x ) < 0 , функция убывает. 90 2. Найти локальные экстремумы функции /(х ) - х5 + 2х3. Решение. Функция определена, непрерывна и дифференцируема при всех x e R . Найдем стационарные точки. / '( х )= 5х4 + 6х2, 5х4 + 6х2 = О, х = 0 - стационарная точка; /" (х ) = 20х3 +12х, /" (о ) = 0; /'"(х) = 60х2 +12, /"'(О) = 1 2 ^ 0 . Согласно теореме 4.5 стационарная точка х = 0 не является точкой локаль­ ного экстремума. Функция / ( х )= х 5 + 2х3 экстремумов не имеет. 3. Определить экстремум функции f [ x ) ~ e'v + е"х + 2cosx в точке х = 0. Решение. Функция определена, непрерывна и дифференцируема при всех х е R . f '{x)= qx - е~х - 2sinx, / '( о ) = 0 - следовательно, точка х = 0 - стацио­ нарная точка функции; f i x ) = еЛ + е”Л - 2 cos х, /" (0 ) = 0; /'"(х) = ех - е“А + 2sinx, /" '(0) = 0; / (4)(х)= е" + е“* + 2cosx, / (4)(о)= 4. По теореме 4.5, так как / (4)(о)> 0 , х = 0 является точкой локального минимума. f mm - / ( о )= 4 . 4. Исследовать на экстремум функцию /(х ) = 4х - х 2. Решение. Функция определена, непрерывна и дифференцируема при всех x e R . / '(х ) = 4 - 2х; 4 - 2х = 0, х = 2 есть стационарная точка функции. /" (х )= -2 < 0 при всех х, в том числе и при х = 2, следовательно, х = 2 яв­ ляется точкой локального максимума / тах = / ( 2 ) - 4 . 5. Найти наибольшее и наименьшее значения функции /(х) = VlOO - х ^ на отрезке [- 6;8]. 91 Решение. Найдем критические точки на отрезке [- 6; 8]. / '( х ) = — Х ; / '( х ) = 0 при х = 0, легко видеть, что х = 0 есть точка л/lO O -x2 локального максимума, f i x ) - оо при х = 10 и х = -1 0 , но эти точки не принад­ лежат отрезку. Вычислим / (0 )= л/lOO - О2 =10; / ( - б) = л/lOO - 62 =8, /(8 )= л /Ю 0 -8 2 = 6. min / ( х ) = /(8 ) = 6 (на конце отрезка).хе[-6;8] max / ( х ) = / (о )= 10 (в точке локального максимума). хб[-6;8]' 6. При каких значениях а функция у = хеЛ' убывает на всем отрезке [а — 5; а + 3]. Решение. у = хех, у' = ех + хе* = ex(l + х). Так как е т >0, то у ’< 0 при х < — 1, следовательно функция убывает на промежутке (-oo;-l). Таким образом, правая граница отрезка должна быть а + 3 < -1 , отсюда а < - 4. На всем данном отрезке функция убывает при любом а < - 4. 4.2. Задачи для самостоятельного решения Найти промежутки возрастания и убывания, экстремумы функции. 1. у = х 3 + х2 - 5х + 4 . 2. у = х + — . 3. у = ------- . 4. у х х + 2 х - 2 5. у - х - д/ 2х - 1 . 6. у = е3~х+ х + 2. 7. _у = lnx - arctgx. 8. _у = х5- 5 х 3. 9. у = 2х4 - х 3. 10. у — 2х2 н——-. 11. у = х2lnx . 12. у = 3 - х + ех+2. х 13. у = х + Vi - х . 14. у = ——у • 15. у = — + - . 16. у = х е^ . 17. у = (х + 2)e'"f 1 + х" х 92 18. у = л/2х — х 2 . 19. у - х ^ е ' . 20. у = 1п 1 Найти наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке. 21. _у = З х - х 3; [— 3;0]. 22. у = х + - 1 ;4 . 23. у = х + ---- -; [-2 ;0]. х — \ 24. у - sin 2х - 2 х ; п п 2 ’ 2 25. _у = х lnx - х ; 1-;е 26. При каких значениях /и функция _у = Зх3 - т 2х - 5 имеет одну точку экстремума на отрезке [— 5; 3]? 27. При каком значении а функция ^ = <я1пх + х2 - х имеет экстремум в точке х = 1 ? 28. Найти все значения t такие, что функция у = 2х3 - Зх2 + 7 возрастает в интервале (t -1 ;/ + l). 29. Найти все значения t такие, что функция у = - х 3 + Зх + 5 убывает в ин­ тервале (t; t + 0,5). 30. При каких положительных значениях параметра а максимум функции у = lnx - ах равен 2? Ответы 1. Возрастает при х е 5- о о ;- - V 3 j ( 5 Л и (l; + со), убывает при х е — ;1 , х = — V 3 ) точка максимума, х = 1 - точка минимума. 2. Возрастает при х е (-о о ;-2 )и (2 ; + оо), убывает при х е ( —2 ;0 )и (0; 2), -v„, = Я - 2) = - 4 , у тin = Я 2) = 4. 3. Возрастает при х е ( - оо;-4)и (0; + со), убывает при х е ( - 4 ; - 2 ) и ( - 2; 0), Ута х = Я -4) = - 8 > = Я 0 )= 0 - 4. Убывает при х е ( - оо; 2 )и (2; 3), возрастает при хе(3 ; + оо), Л .= Я 3)=27. 93 I 1 I5. Убывает при х е ---- ; 0 , возрастает при х е (0; + со), у тт = j(o ) = -1 . V 2 J 6. Убывает при х е ( - оо; 3), возрастает при х е (3; + оо), _ymin = у ( з )= 6 . 7. Возрастает во всей области определения. 8. Возрастает при х е ( - оо;—7 з ) и (л/3; + со), убывает при х е (- л/3; л/з). х = — л/3 - точка максимума, х = л/3 - точка минимума. 9. Убывает при х ( ( 'х \ з V , возрастает при х , х = — - точка 8 максимума. 10. Убывает при х е ( - со; - 1) и (0; l) , возрастает при х е (-1; 0) и (l;+co), Хш„ = Я - 1) = Я 1) = з . 11. Убывает при х € (О; е~'/2), возрастает при х е (е~1/2; оо), х = е“1/2 - точка минимума. 12. Убывает при х е ( - оо; - 2), возрастает при х е ( - 2;+ оо), _уш.п = 6 . 13. Возрастает во всей области определения. 14. Убывает при х е ( - оо; - l ) u (l; + со), возрастает при x e ( - l ; l ) , y mitl = = у ( - l ) = - 2 , у тах=у( 1) = 2. 15. Возрастает при х е ( - o o ; - l ) и (l; + со), убывает при х е ( - 1; 0) и (0; 1), Уж = У ( - 1 ) = ~ 4 , Уmin =У( ! ) = 4 16. Возрастает при х е ( - со;0) u (l; + со), убывает при х е (0; l), у тт = у( l) = е . 17. Возрастает при х е ( - со; - 1), убывает при х е (-1; + со), у тах = у { - 1) = е2. 18. Возрастает при х е (0;l ) , убывает при х е (l; 2), у тлх = _y(l) = 1. 19. Возрастает при х е ( - оо;3), убывает при х е (3; + со), _утах = у(з) = 27е“3. 20. Убывает при х е ( - оо; - 1), возрастает при х е (l;+ оо). 2 1 . ^ = Я - 3 ) = 1 8 , ^ = Я - 1 ) = " 2 . 22. у тах =у(0,5)=\&,5, у тт =у(3 ) = 6 . 23- у1ШХ = у ( - \ ) = - 3 , у тт = у(0) = -4 . 94 25■ Л,» =у{е)=0, у тт = у{ 1 )= -1 . 26. т е [ -1 5 ;-9 )и (9 ;1 5 ] . 27. а - - 1 . 28. /e ( -o o ;- l ]u [2 ; + oo). 29. t е ( - oo;-l,5]u [l; + со). 30. a - Q ~3. 4.3. Выпуклость и точки перегиба функции Важной характеристикой функции, а тем самым и ее графика, является по­ нятие выпуклости. Определение 4.3. Функция / (х ) , определенная и непрерывная в промежут­ ке (а, Ъ) , называется выпуклой вверх {выпуклой вниз) в этом промежутке, если для любых х]гх2 е{а,Ь) выполняется неравенство Рассмотрим геометрический смысл понятия выпуклости (рис. 4.9, рис. 4.10). Г х, + х2Л > / ( х ,) + / ( х 2) (4.3) V v ^ J c f { x x) + f { x S *■ а 0 х\ х, + х 2 х 2 Ъ ^ ^ а Х\ 2 Рис. 4.9 х, Xj + х 2 Х2 Л 2 Рис. 4.10 95 Пусть М {, М 2, М 0 - точки графика функции y = f ( x ) с абсциссами соот- х ~\~ х f (х ") Н" f (х )ветственно х15 х2, х0 = -1- -— Тогда .„У 2,, есть 0рдИнаха точки X - сере­ дины отрезка М х М 2, а / ( х 0) есть ордината точки М 0 графика функции с абсцис­ сой, равной абсциссе точки К. Условие (4.3) выпуклости функции вверх (вниз) означает, что для всех точек М х и М 2 графика функции у = / ( х ) середина К хор­ ды М ХМ 2 лежит ниже (см. рис. 4.9), либо выше (см. рис. 4.10) соответствующей точки М 0 графика или совпадает с точкой М 0. Приведем еще одно определение выпуклости графика функции. Определение 4.4. График дифференцируемой функции f ( x ) называется выпуклым вверх (или выпуклым) на (а,Ь), если дуга кривой у - f i x ) для всех хе (а ,Ь ) расположена ниже любой касательной, проведенной к графику этой функции (см. рис. 4.9). Г рафик дифференцируемой функции / (х) называется выпуклым вниз (или вогнутым) на (а, Ь) , если дуга кривой у = f { x ) для всех х е (а, Ъ) расположена выше любой касательной, проведенной к графику этой функции (рис. 4.10). Далее будем называть графики выпуклыми или вогнутыми соответственно. Достаточным признаком выпуклости (вогнутости) функции (графика функ­ ции) является следующая теорема. Теорема 4.6. Если функция у = / (х) на (а, Ь) дважды дифференцируема и /" (х ) < 0 для любых х е (а,Ь), то график функции на (а,Ь) выпуклый. Если /(х ) на (а,Ь) дважды дифференцируема и f \ x ) > 0 для всех хе (а ,Ь ) , то график этой функции на (а,Ь) вогнутый. Определение 4.5. Точка M(x*,f(x*)) называется точкой перегиба графика дифференцируемой функции у = / ( х ) , если в этой точке направление выпуклости меняется на противоположное. 96 При этом точка х* называется точкой перегиба функции / ( х ) . В точке перегиба кривая у = / ( х ) переходит с одной стороны касательной в этой точке (если такая касательная существует) на другую сторону, т. е. кривая и касательная взаимно пересекаются (рис. 4.11). Рис. 4,11 Теорема 4. 7 (необходимое условие существования точки перегиба). Если х ’ является точкой перегиба функции / (х)? и функция имеет в точке х* непрерыв­ ную вторую производную f " ( x *), то f " (x ) - 0. Теорема 4.8 (достаточное условие существования точки перегиба). Если функция / (х) имеет вторую производную f " ( x ) в некоторой окрестности точ­ ки х* и в этой точке f " ( x ) обращается в нуль или не существует, а при перехо­ де через нее меняет свой знак, то точка М ( х ',/(х * )) является точкой перегиба графика / (х ) . П римеры 1. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции / (х) = х3 - 6х2 + 9х + 1. Решение. f ' ( x ) - Зх2 - 12х + 9, f ( x ) = 6 x - 12, f " ( x ) - 0 при х = 2, /"(х) < 0 при х < 2, f " ( x ) > 0 при х > 2. 97 Г рафик функции является выпуклым в интервале (-о о ; 2) и вогнутым в ин­ тервале (2 ;+ о о ) . Так как при переходе через точку х = 2 f"{x) меняет знак и /" (2 ) = 0, то х = 2 - абсцисса точки перегиба, а точка Л/(2;3) есть точка перегиба. 4.4. Задачи для самостоятельного решения Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба кривых. \ . у = х г\пх. 2. у - - х ъ +3х2. 3. у = х3 - Зх2 +1. 4. у = х 4 ~ 6 х2 +5 ,— 4 5. jy = xex. 6 . у = х 2 - л / х . 7 . у = х 2+ — . 8. у = х7 + 7х +1. 9. _у = х4 + 6х2 4X 10. у = 3д/(х + 1)2 + \ 1 ( х - I )2 . Ответы I - У \ I - V \ ( - У 5 -1 /Л1. Выпукла на 0^; е /6 ], вогнута на е^ /6 ;+оо J; е /6;— е 7 2 - точка перегиба. 2. Вогнута на ( - °o;l), выпукла на (l;+oo); (l;2) - точка перегиба. 3. Выпукла на ( - оо; l ) , вогнута на (l;+co); (l;- 1) - точка перегиба. 4. Вогнута на ( - оо; - 1) и (l;+°o), выпукла на ( - l;l); ( - 1;0) и (i;o) - точки перегиба. 5. Выпукла на ( - оо; - 2), вогнута на (- 2;+ос); (- 2 ; -2 е“2) - точка перегиба. 6. Вогнута на всей области определения. 7. Вогнута на всей области определения. 8. Выпукла на ( - оо;0), вогнута на (0;+оо); (0;l) - точка перегиба. 9. Вогнута на всей области определения. 10. Выпукла на всей области определения. 98 4.5. Исследование функций и построение графиков Геометрические и физические задачи Под исследованием функций понимают изучение их изменения в зависимо­ сти от изменения аргумента. На основании исследования функции строят ее график. Исследование функции можно проводить по следующей схеме. 1. Найти область определения функции, определить точки разрыва, верти­ кальные асимптоты, если они существуют, нули, точки пересечения графика функции с осью O Y , периодичность, симметрию (четность, нечетность). 2. Исследовать функцию на монотонность и экстремум. 3. Определить промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба. 4. Изучить изменение функции при стремлении аргумента к концам проме­ жутка области определения. Найти наклонные асимптоты графика функции, если они существуют. 5. По результатам исследований построить график функции. Порядок исследования целесообразно выбирать исходя из конкретных осо­ бенностей данной функции. Например, если функция четная или нечетная, то ее достаточно исследовать при неотрицательных значениях аргумента из области ее определения и принять во внимание, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной - относительно начала координат. При исследовании поведения функции при х —> +оо или х —> - о о , или вбли­ зи точек разрыва второго рода часто оказывается, что расстояния между точками графика функции и точками некоторой прямой с теми же абсциссами сколь угод­ но малы. Такую прямую называют асимптотой графика. Различают вертикаль­ ные х = х0 (в точках х0 разрыва второго рода) и наклонные асимптоты. Частным случаем наклонной асимптоты является горизонтальная. 99 Наклонная асимптота определяется уравнением у = кх + Ь, при к = О имеем f (*^ 0горизонтальную асимптоту. Здесь к - lim — — , Ъ = lim ( / (х) - кх) . х ~ » ± со х —>± оо При вычислении пределов часто приходится раскрывать неопределенности, что можно сделать с помощью производных. Теорема 4.9 (правило Лопиталя-Бернулли). Если функции / (х) и g(x) оп­ ределены и дифференцируемы в окрестности точки х0, за исключением, быть мо­ жет, точки х0, причем g ( x ) ^ 0 , g ' ( x ) ^ 0 для любых х из этой окрестности, lim /(x ) = lim g(x) = 0 (или равны ±оо) и существует конечный или бесконечный предел lim Щ = А, ’c~*x° s X x ) то существует l i m Z W = U m Z M . t_>x° _g-(x) х^ х« g'(x) Другие виды неопределенностей могут быть приведены к указанным в тео­ реме. Правило Лопиталя можно применять до тех пор, пока не будет получена дробь, для которой условия, предусмотренные теоремой, уже не выполняются. В математике, физике и других науках встречаются задачи на отыскание наибольших и наименьших значений некоторых величин. Общая схема решения таких задач состоит в следующем. Устанавливается зависимость рассматриваемой величины у от некоторой величины х. Из условия задачи определяется промежуток возможного изменения аргумента х. Построен­ ная функция y - f (х) исследуется на экстремум. П р и м е р ы 3X 1. Исследовать функцию у = ------ - и построить ее график. 3 - х " 100 Решение. Функция определена при всех х, кроме х = +л/з . В этих точках функция имеет разрыв второго рода. Следовательно, прямые х = ±л/3 являются вертикальными асимптотами. При х = 0, у = 0. Других точек пересечения с осями и координат нет. Функ­ ция непериодическая, нечетная, / (-х ) = - / (х ). Ее график симметричен относи­ тельно начала координат, благодаря этому достаточно исследовать ее при х > 0. .У = f 3 \х 3 - х 2 х 2(9 - х 2) “(3 у ' = 0, х 2( 9 - х 2) = 0, х = 0, х = 3. / 2 ?ч\ У 6х(9 + х2) и з - х 2) 2 ; ( з - х 2) 3 у" = 0 при х = 0. х ( 9 - х " ) Составим таблицу (для х > 0 ) , в которой сведем результаты исследования функции с помощью производных. X 0 (0;73) (7з;з) 3 (3; + оо) у ' 0 + + 0 — 0 точка перегиба + — — — У 0 возр.| вогнут, и возр.| выпукл, п 9 Утах ~ ^ убыв4 выпукл, п . Наклонная асимптота у = кх + Ь При вычислении пределов применили правило Лопиталя. Получаем у = - х . Вследствие симметрии графика относительно начала координат получим, что т(0,0) есть точка перегиба. График функции показан на рис. 4.12. 2. Вырыть яму объемом 32 м3, имеющую квадратное дно, так, чтобы на об­ лицовку ее дна и стен пошло наименьшее количество материала. Определить раз­ меры ямы. Решение. Пусть сторона дна равна х, тогда площадь дна равна х2, высоту 32 32 32 ямы определим по заданному объему — , площадь одной стенки х ■ — = — . X X" X ? 32Сумма площадей дна и четырех стен S(x) = x ' + 4 ---- . Найдем наименее х 4-32 возможную площадь при заданном объеме. S ' = 2 х ------— , 0, т. е. при х = 4 функция S(x) имеет минимум. 32 Ответ: сторона дна х = 4 м, высота ямы равна — = 2 м. 3. Суточные расходы при плавании судна состоят из двух частей: постоян­ ной, равной а руб. и переменной, возрастающей пропорционально кубу, скорости. При какой скорости v плавание судна будет наиболее экономичным? Решение. Плавание будет наиболее экономичным, если затраты на 1 км пу­ ти будут наименьшими. По условию за сутки расходы составят a + k v 3, к - 102 коэффициент пропорциональности, при этом за сутки пути судно пройдет 24 v км. Тогда расходы на 1 км пути составят Р(у) = — , 24v v > 0 по смыслу задачи. 2kv3 - а П у) = - 24v' Критическое значение v получим при Р' = 0 v = ■ При переходе через это значение v P'(v) меняет знак с минуса на плюс, следовательно, функция P(v) при а v = з — имеет минимум. V 2 к Ответ: наиболее экономичная скорость плавания судна равна v = Ц~~ ■ Следует заметить, что еще много других, не рассмотренных здесь задач, решаются с применением дифференциального исчисления. 4.6. Задачи для самостоятельного решения Исследовать функцию и построить ее график. 3 1 3 1 I. у - ~ ---- . 2. у ~ —-----. j . у — ■—■— . 4. у = х - 1 + In*. 5. У' х2- 1 х2 - 4 х 2 (* + l)2 6. у = л!х2 + 2х + 2 . 7. у = ------— . 8. у = — х 4 — ~ х 2. 9. у = е х х 4 2 10. у - ln(x2 + l). 11. у = _ 12, у = — ш 13. у = ^ х 2 - 2х е' + 1 х 14. у = (х - 2)е~х. 15. у = х + --. х 16. Каким должен быть угол при вершине равнобедренного треугольника, вписанного в данный круг, чтобы его периметр был наибольшим? 103 17. Число 180 разбить на три слагаемых так, чтобы два из них относились как 1 : 2, а произведение трех слагаемых было наибольшим. 18. По двум взаимно перпендикулярным шоссе в направлении их пересече­ ния одновременно начинают двигаться два автомобиля соответственно со скоро­ стями 80 км/ч и 60 км /ч . В начальный момент времени каждый автомобиль на­ ходится на расстоянии 100 км от перекрестка. Через какое время после начала движения расстояние между ними будет наименьшим? Какое это расстояние? 19. Нужно построить прямоугольную площадку возле стены так, чтобы с трех сторон она была огорожена проволочной сеткой, а четвертой примыкала к стене. Имеется сетка длиной 40 м. При каких размерах площадка будет иметь наибольшую площадь? 20. Какие размеры нужно придать радиусу основания и высоте открытого цилиндрического бака, чтобы при данном объеме v = 21 к на его изготовление пошло наименьшее количество листового металла. Найти асимптоты кривых. сс Найти пределы, применяя правило Лопиталя. Vx-1 \п х ) ( I п 29.: 30. lim x1’ Ответы Оглавление 1. ПРЕДЕЛЫ............................................................................................................................. 3 1.1.Числовая последовательность и ее предел.............................................................. 3 1.2. Задачи для самостоятельного решения................................ .................................. 7 1.3. Предел функции............................................................................................................ 8 1.4. Задачи для самостоятельного решения..................................................................16 1.5. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций..................... 17 1.5. Задачи для самостоятельного решения................................................................. 20 1.6. Непрерывность и точки разрыва функции........................................................... 21 1.7. Задачи для самостоятельного решения................................................................. 25 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ......................................................................................................26 2.1. Производная функции. Дифференцирование сложных функций...................26 2.2. Задачи для самостоятельного решения..................................................................35 2.3. Логарифмическое дифференцирование................................................................ 37 2.4. Задачи для самостоятельного решения...................................................... ........... 44 2.5. Дифференциал функции. Применение дифференциала к приближенным вычислениям....................................................................................................................... 47 2.6. Задачи для самостоятельного решения..................................................................55 2.7. Производные и дифференциалы высших порядков...........................................57 2.8. Задачи для самостоятельного решения..................................................................66 3. ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ........................................... 70 3.1. Теоремы о среднем..................................................................................................... 70 3.2. Задачи для самостоятельного решения..................................................................72 3.3. Правило Лопиталя...................................................................................................... 73 3.4. Задачи для самостоятельного решения..................................................................78 3.5. Формула Тейлора....................................................................................................... 79 3.6. Задачи для самостоятельного решения.................................................................. 83 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ............................... 85 4.1. Монотонность, точки экстремума функции......................................................... 85 4.2. Задачи для самостоятельного решения..................................................................92 4.3. Выпуклость и точки перегиба функции.................................................................95 4.4. Задачи для самостоятельного решения..................................................................98 4.5. Исследование функций и построение графиков................................................. 99 4.6. Задачи для самостоятельного решения................................................................ 103