1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ Белорусский национальный технический университет Кафедра «Техническая физика» ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ АДИАБАТЫ ДЛЯ ВОЗДУХА Методические указания к лабораторной работе № 111 Минск БНТУ 2012 2 УДК 536.633(076.5)(075.8) ББК 22.317 Я7 О-62 С о с т а в и т е л и : Е. Е. Трофименко, М. А. Князев, Т. С. Кононова, С. И. Шеденков Р е ц е н з е н т доцент кафедры физики, канд. физ.-мат. наук П. Г. Кужир В методических указаниях подробно рассмотрены понятия тер- модинамической системы, внутренней энергии термодинамической системы, теплоемкости системы, работы и количества теплоты. Сформулировано первое начало термодинамики, приведено термо- динамическое описание всех изопроцессов. Также приведены опи- сание лабораторной установки и вывод рабочей формулы. © Белорусский национальный технический университет, 2012 3 Цель работы Изучить первое начало термодинамики, теорию теплоемко- стей, адиабатический процесс в газе; освоить метод определе- ния отношения теплоемкостей и получить численное значение этого отношения. Приборы и принадлежности 1. Микроманометр. 2. Насос ручной. 3. Труба стеклянная запаянная. Указания по технике безопасности Соблюдать осторожность при работе со стеклянными сосу- дами. Порядок теоретической подготовки к выполнению работы Изучить и законспектировать в тетрадь ответы на контроль- ные вопросы. Контрольные вопросы 1. Что называют внутренней энергией системы? 2. Дайте термодинамические определения работы и теплоты. 3. Что такое функция состояния, функция процесса? При- ведите примеры. 4. Сформулируйте первое начало термодинамики. 5. Дайте определение теплоемкости системы, удельной и мо- лярной теплоемкости. Как они связаны между собой? 6. Что называется числом степеней свободы молекулы? 7. Сформулируйте закон о равномерном распределении энер- гии по степеням свободы молекулы. 4 8. Какие процессы называются адиабатическими и какими двумя способами их можно осуществить? 9. За счет чего совершается работа при адиабатическом расширении газа? 10. Вывод рабочей формулы. Литература 1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Явор- ский. – М. : Высшая школа, 1989. – Гл. 9. 2. Трофимова, Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М. : Высшая школа, 2003. – § 52–55. 3. Сивухин, Д. В. Общий курс физики : в 5 т. / Д. В. Сиву- хин. – Т. 2. – М. : Наука, 1990. – Гл. 2. Отчет о лабораторной работе должен содержать: 1. Цель работы. 2. Приборы и принадлежности к работе. 3. Схему лабораторной установки. 4. Физическую модель. 5. Математическую модель. 6. Таблицы результатов измерений. 7. Результаты расчетов и погрешности. 8. Выводы. 5 Введение Совокупность макроскопических тел, которые обменива- ются энергией как между собой, так и с внешней средой, называется термодинамической системой. Величины, харак- теризующие состояние системы (давление, объем, температу- ра и др.) называются термодинамическими параметрами си- стемы. Переход системы из одного состояния в другое назы- вается термодинамическим процессом. Термодинамика количественно изучает процессы превра- щения энергии внутри термодинамической системы, не рас- сматривая внутреннее строение изучаемой системы и харак- тер движения отдельных ее частиц. Соотношения между раз- ными видами энергии позволяют изучать физические свойства исследуемой системы при самых разнообразных процессах, в которых участвует данная система. Полная энергия термодинамической системы складывается из кинетической энергии механического движения системы, потенциальной энергии системы во внешнем поле (например, в гравитационном) и внутренней энергии U, зависящей только от внутреннего состояния системы. Мы будем рассматривать только неподвижные системы, которые не подвержены дей- ствию внешних полей. Для таких систем значение полной энергии совпадает со значением внутренней энергии U. Внутренняя энергия, работа, количество теплоты. Первое начало термодинамики Внутренняя энергия системы U равна сумме всех видов энергий движения и взаимодействия частиц, составляющих данную систему за вычетом кинетической энергии системы как целого и потенциальной энергии системы во внешнем по- ле сил. Например, при определении внутренней энергии неко- торой массы газа не должна учитываться энергия движения газа вместе с сосудом и энергия, обусловленная нахождением газа в поле сил земного тяготения. 6 Следовательно, в понятие внутренней энергии включается: кинетическая энергия хаотического движения молекул; потенциальная энергия взаимодействия между молекулами; внутримолекулярная энергия (энергия химических связей, ядерная энергия и т. п.). Внутренняя энергия – однозначная функция состояния си- стемы. Это означает, что в каждом определенном состоянии система имеет определенное значение внутренней энергии, и это значение не зависит от того, посредством каких процессов система приведена в это состояние.1 Обмен энергией между термодинамической системой и окружающими ее телами может протекать в двух формах: 1) макроскопической – в форме работы; 2) микроскопической – в форме теплообмена. Рассмотрим газ, находящийся в сосуде, закрытом плотно при- гнанным поршнем (рис. 1). Газ очень медленно (обратимо) на- чинает расширяться и перемещает поршень на расстояние dx , настолько малое, что давление газа p можно считать в течение процесса расширения неизменным. Газ, действуя на поршень с силой F pS , совершает при расширении над поршнем элементарную работу d d cos0 dA F x pS x . Так как dS x пред- ставляет собой приращение объема газа d ,V то выражение для элементарной работы можно записать следующим образом: d dA p V . (1) 1 Подобно потенциальной энергии в механике, внутренняя энергия может быть количественно определена только с точностью до постоянного слагаемо- го U0, зависящего от выбора «начала отсчета» внутренней энергии, т. е. от выбора состояния, в котором внутреннюю энергию системы принимают равной нулю. Однако значение U0 несущественно, т. к. в термодинамических расчетах приходится определять не абсолютное значение U, а не зависящее от величины U0 изменение этой энергии U в различных термодинамических процессах. По той же причине под внутренней энергией обычно понимают те ее составляющие, которые изменяются в рассматриваемых процессах. 7 Работа, совершаемая газом при конечных изменениях объ- ема, вычисляется путем суммирования элементарных работ: 2 1 d . V V A p V (2) Геометрический смысл интеграла (2) – площадь на p, V- диаграмме. Элементарная работа d dA p V равна площади выделенного на рис. 2 прямоугольника. Полная работа газа при изменении его объема от 1V до 2V равна площади, за- штрихованной криволинейной трапеции. Рис. 1 Рис. 2 Из рис. 2 видно, что эта площадь зависит не только от па- раметров начального и конечного состояний системы, т. е. по- ложения точек 1 1( , )p V и 2 2( , )p V , но и от того, как происхо- дит переход, т. е. каким образом изменяется давление при из- менении объема (вида кривой ( )p p V ). При расширении газа d 0V и работа положительна d 0A , при сжатии d 0V и d 0A . Из курса механики известно, что работа против внешних сил совершается только за счет энергии системы. В нашем случае сосуд с газом покоится, т. е. кинетическая и потен- 8 циальная энергия рассматриваемой нами термодинамической системы как целого остается неизменной. Поэтому работа про- тив внешних сил совершается только за счет убыли внутрен- ней энергии U системы. Работу, совершаемую внешними телами над системой, обо- значим буквой A . Очевидно, что для одного и того же про- цесса A A (это следует из третьего закона Ньютона). Со- вершение работы над системой приводит к увеличению ее внутренней энергии. Работа A , совершаемая системой над внешними телами, – это количественная мера изменения энергии термодинамиче- ской системы при ее переходе из одного состояния в другое. Совершение работы сопровождается перемещением внешних тел (например, поршня), воздействующих на систему. Таким образом, работа представляет собой процесс передачи энергии упорядоченного движения. Теплообменом (или теплопередачей) называется такой спо- соб передачи энергии от одного тела другому, который осу- ществляется без совершения работы. Так, после приведения в контакт двух тел с различной температурой через некоторое время температуры обоих тел выравниваются. Такой процесс может протекать, например, при нагретых стенках сосуда (см. рис. 1), неподвижном поршне и холодном газе. При этом объ- ем газа не изменяется, т. е. работа газа против внешних сил равна нулю. Рассмотренный вид теплообмена называется теп- лопроводностью. Физическая природа теплопроводности за- ключается в том, что отдельные молекулы более нагретого тела передают энергию хаотического движения молекулам менее нагретого. Теплопередача может происходить также через излу- чение (поглощение молекулами тела электромагнитного излу- чения) и при перемешивании газа (конвекция). Количество теплоты (или просто теплота) Q – это коли- чественная мера энергии хаотического движения молекул, пе- реданной от одной термодинамической системы другой. 9 Энергия в виде теплоты может как сообщаться системе ( d 0Q ), так и отбираться от нее ( d 0Q ). Еще раз подчеркнем, что можно говорить о приращении внутренней энергии U, но нельзя говорить о приращении ра- боты или тепла. Говорят только о количестве последних двух величин в том или ином процессе, т. е. A и Q являются функ- циями процесса.2 Первое начало термодинамики – это закон сохранения и пре- вращения энергии, примененный к тепловым явлениям. Для изменения внутренней энергии можно записать, что ,U Q A (3) где Q – сообщаемое системе количество теплоты; A – работа, совершенная системой. Уравнение (3) можно переписать в виде Q U A (4) или в дифференциальном виде d d dQ U A . (5) Уравнения (3) и (4) представляют собой математическую формулировку первого начала термодинамики, которая гла- сит: количество теплоты, сообщенное системе, идет на из- менение внутренней энергии системы и на совершение си- стемой работы над внешними телами. 2 С точки зрения математики различие функций состояния и функций про- цесса проявляется в том, что элементарное изменение внутренней энергии термодинамической системы dU является полным дифференциалом, инте- грал от которого по замкнутой траектории дает ноль: d 0U . В то же время элементарная работа dA и элементарное количество теплоты dQ в общем случае полными дифференциалами не являются, что часто фиксируется по- средством специальной символики: A и Q . Однако для простоты изложе- ния мы это не учитываем. 10 Внутренняя энергия идеального газа Идеальным газом называется такой газ, в котором силы взаи- модействия между составляющими его частицами пренебрежи- мо малы, а сами частицы можно считать материальными точка- ми. При этом столкновения частиц друг с другом и со стенками сосуда происходят по законам абсолютно упругого удара. Физи- чески – это модель маленьких упругих шариков, хаотически движущихся во всем доступном им объеме и взаимодействую- щих лишь при непосредственном соприкосновении. Согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории идеального газа давление идеального газа определяется кинетической энергией поступательного движения молекул: пост 2 3 p n , (6) где n – концентрация молекул; пост – средняя кинетическая энергия поступательного движения, приходящаяся на одну молекулу. Это уравнение имеет сходство с уравнением Клапейрона– Менделеева, которое является уравнением состояния идеаль- ного газа: pV RT , (7) где m M – количество вещества (число молей). Преобразуем (7). Универсальная газовая постоянная 8,31Дж/ моль КR связана с постоянной Больцмана 231,38 10 Дж/Кk и числом Авогадро 23 16,02 10 мольAN соотношением AR kN . (8) 11 Далее используем, что число молекул, содержащихся в молях газа AN N , (9) а концентрация молекул N n V . В итоге приходим к следую- щей форме уравнением Клапейрона–Менделеева: p nkT . (10) Сравнивая уравнения (6) и (10), находим пост 3 . 2 kT (11) Из формулы (11) видно, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа прямо пропорциональ- на его абсолютной температуре T. Следовательно, молекуляр- но-кинетический смысл абсолютной температуры газа T со- стоит в том, что она служит мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул. Молекулы, состоящие из более чем одного атома, могут дви- гаться не только поступательно, но и совершать колебательные и вращательные движения, которые также связаны с некоторым запасом энергии. Вращательное движение одноатомной моле- кулы не имеет смысла, т. к. по определению идеального газа такая молекула является материальной точкой, т. е. не имеет размеров. Прежде чем перейти к вопросу об энергиях враще- ния и колебания молекул, рассмотрим понятие числа степеней свободы молекулы. Любую молекулу можно рассматривать как физическое тело, состоящее из системы материальных точек (атомов). При описа- 12 нии движения любого тела необходимо знать его положение от- носительно выбранной системы координат. Число независимых координат, которые полностью определяют положение тела в пространстве, называется числом степеней свободы тела. Положение материальной точки в пространстве определяется тремя координатами. Поэтому одноатомные молекулы (состоят из одного атома – материальной точки) имеют три степени сво- боды. Это, например, молекулы аргона Ar , гелия He и др. Жесткие двухатомные мо- лекулы (расстояние между атомами остается неизмен- ным) имеют пять степеней свободы (рис. 3). Они имеют три поступа- тельные степени свободы ( пост 3i ), связанные с посту- пательным движением вдоль осей OX , OY , OZ , и две вращательные степени свободы ( вр 2i ), обусловленные вра- щением вокруг осей OX и OZ . Вращением молекулы вокруг оси OY можно пренебречь, т. к. ее момент инерции относи- тельно этой оси пренебрежимо мал (в нашей модели равен ну- лю). При условиях, близких к нормальным, жесткими двух- атомными молекулами являются, например, молекулы водо- рода 2H и азота 2N . Молекулы, состоящие из трех и более жестко связанных атомов, не лежащих на одной прямой, имеют шесть степеней свободы: пост 3i и вр 3i . В случае, когда расстояние между молекулами может из- меняться (на рис. 3 это схематично изображено в виде пружи- ны), появляются дополнительные колебательные степени сво- боды. Для двухатомной молекулы – одна колебательная сте- пень свободы вдоль оси OY . Рис. 3 13 Все молекулы, независимо от числа атомов, имеют три по- ступательные степени свободы. Так как они равноправны между собой, то на основании (11) можно заключить, что на каждую из трех поступательных степеней свободы приходит- ся в среднем одинаковая энергия: пост 1 3 2 kT . В статистической физике доказывается закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы: в состоянии теплового равновесия на каждую вращательную и поступательную степень свободы молекулы приходится в среднем кинетическая энергия, равная 1 2 kT , а на колеба- тельную степень свободы – kT . Колебательная степень свободы обладает двойной энергети- ческой емкостью, т. к. колеблющаяся молекула обладает как кинетической энергией, так и потенциальной энергией упругой деформации, причем их средние значения равны между собой. Таким образом, согласно закону о равномерном распреде- лении энергии молекул по степеням свободы, средняя энергия молекулы 2 i kT , (12) где i – сумма числа поступательных, вращательных и удвоен- ного числа колебательных степеней свободы молекулы: пост вр кол2i i i i . (13) Говоря о колебательных степенях свободы, нужно отметить, что энергия колебаний становится существенной только при до- 14 статочно высоких температурах (порядка нескольких тысяч гра- дусов Кельвина). Поэтому для температур порядка комнатной (T 300 К) под величиной i имеют в виду сумму числа поступа- тельных и вращательных степеней свободы: пост врi i i . Молекулы идеального газа не взаимодействуют друг с дру- гом, поэтому его внутренняя энергия складывается из кинети- ческих энергий отдельных молекул: U N , (14) где N – число молекул. Заменяя в (14) среднюю энергию одной молекулы по фор- муле (12), а число молекул по формуле (9) и учитывая, что произведение постоянной Больцмана и числа Авогадро дает универсальную газовую постоянную (8), получаем . 2 i U RT (15) Из (15) следует, что внутренняя энергия идеального газа не зависит от давления и объема, а определяется природой газа и его температурой. Теплоемкость. Термодинамическое описание процессов в идеальных газах Теплоемкостью системы (обычно обозначается символом С) называется величина, равная количеству теплоты, которое необходимо передать системе для того, чтобы повысить ее температуру на один градус температурной шкалы. Поскольку теплоемкость может быть функцией температуры, то отноше- ние подведенной в систему теплоты к вызванному ею прира- щению температуры следует брать в дифференциальной фор- ме, т. е. 15 d d Q C T , Дж К C . (16) Удельная теплоемкость ( удc ) численно равна количеству теплоты, которое необходимо сообщить единице массы веще- ства, чтобы повысить его температуру на один градус: уд d d Q c m T , уд Дж кг К c , (17) где m – масса вещества. Молярная теплоемкость (c) численно равна количеству теплоты, которое необходимо сообщить одному молю веще- ства, чтобы повысить его температуру на один градус: d d d d Q Q c mT T M , Дж моль К c . (18) Теплоемкость C, удельная теплоемкость удc и молярная теплоемкость c связаны очевидными соотношениями: уд , c c M (19) уд . m C mc c M (20) Из определения теплоемкости видно, что ее величина зависит от условий передачи теплоты термодинамической системе, т. е. теплоемкость является функцией процесса, в котором в термо- динамическую систему поступает теплота. 16 Теплоемкость зависит от условий, в которых происходит нагревание тела. Наибольший интерес представляет молярная теплоемкость газа, когда нагревание происходит при постоян- ном объеме (обозначается Vc ) или при постоянном давлении ( pc ). Чтобы получить выражения для Vc и pc , применим пер- вое начало термодинамики к изопроцессам. Напомним, что изопроцессы – это процессы, при которых один из основных параметров состояния остается постоянным. Изохорный процесс – процесс, протекающий при постоянном объеме. Поскольку в изохорном процессе V = const и d 0V , то d d 0A p V , т. е. при изохорном процессе газ работу не совершает. Первое начало термодинамики запишется в этом случае в виде соотношения d dQ U , (21) т. е. в изохорном процессе вся сообщенная газу теплота идет на изменение его внутренней энергии. Согласно (18) для изохорного процесса d dVQ c T . (22) Если газ состоит из молекул, каждая из которых имеет i степеней свободы, то согласно (15) элементарное изменение внутренней энергии газа d d 2 i U R T . (23) Сопоставляя (22) и (23), получаем выражение для молярной теплоемкости при постоянном объеме: 17 2 V i c R . (24) Изобарный процесс – процесс, протекающий при постоянном давлении (p = const). Применим первое начало термодинамики к изобарическому процессу: d d dQ U A . Элементарное коли- чество теплоты выразим согласно (18) через молярную теплоем- кость при постоянном давлении pc : d dpQ c T . При p = const элементарную работу dA с помощью уравнения Клапейрона– Менделеева можно представить следующим образом: d d dA p V R T . 3 Если далее учесть выражение (23) для элементарного изме- нения внутренней энергии газа, то первое начало термодина- мики преобразуется к виду d d d 2 p i c T R T R T . Отсюда находим, что теплоемкость газа при постоянном давлении 2 2 p i c R . (25) Сравнивая выражения (24) и (25), получим соотношение между молярными теплоемкостями при изобарном и изохор- ном процессах: 3 Из полученного выражения для dA вытекает физический смысл уни- версальной газовой постоянной R: d d A R T , т. е. универсальная газовая постоянная R численно равна работе изобарного расширения 1 моля иде- ального газа при нагревании его на 1 К. 18 p Vc c R . (26) Соотношение (26) называется уравнением Майера. Оно по- казывает, что молярная теплоемкость идеального газа при по- стоянном давлении больше его молярной теплоемкости при постоянном объеме на величину универсальной газовой по- стоянной. p Vc c , т. к. в изобарном процессе, в отличие от изохорного, теплота, сообщаемая газу, расходуется не только на изменение его внутренней энергии, но также и на соверше- ние газом работы. Изотермический процесс – процесс, протекающий при по- стоянной температуре. Поскольку в изотермическом процессе T = const и d 0T , то согласно (15) d 0U , т. е. в изотерми- ческом процессе внутренняя энергия газа остается неизмен- ной. Первое начало термодинамики для изотермического про- цесса записывается в виде d dQ A , (27) т. е. передаваемая газу теплота полностью идет на совершение газом работы. Поэтому при изотермическом процессе тепло- емкость газа равна бесконечности: d d d 0 T Q Q c T . Адиабатный процесс Адиабатическим (адиабатным) называется процесс, при ко- тором отсутствует теплообмен между системой и окружающей средой (d 0Q ). Теплоемкость газа в адиабатическом процессе равна нулю: d 0 d Q C T . Адиабатический процесс можно реа- 19 лизовать и при отсутствии хорошей теплоизоляции. Практиче- ски адиабатический процесс осуществляется при достаточно быстром расширении или сжатии газа, так что теплообмен меж- ду газом и внешней средой не успевает произойти. Из первого начала термодинамики для адиабатического процесса следует, что d d ,A U (28) т. е. работа совершается за счет изменения внутренней энер- гии системы. Из выражения (27) следует, что при адиабатическом расши- рении газа (d 0V ) происходит охлаждение газа (d 0T ), а при адиабатическом сжатии газа (d 0V ) – нагревание (d 0T ). Уравнение, связывающее два параметра газа, например дав- ление и объем, в адиабатическом процессе, называют уравне- нием Пуассона, и оно имеет следующий вид: const,pV (29) где p V c c – показатель адиабаты.4 График, изображающий адиабатический процесс, на- зывают адиабатой. На p,V- диаграмме адиабата изобра- жается кривой, похожей на изотерму, но идущей круче (рис. 4), т. к. 1 (посколь- ку p Vc c ). Это и понятно, т. к. при адиабатном расширении газ совершает работу за счет его внутренней энергии, и его 4 Вывод уравнения (28) приведен на странице 22. Рис. 4 20 температура падает, что еще больше уменьшает давление по сравнению с изотермическим расширением. Все рассмотренные процессы являются частными случаями политропического процесса, который протекает при посто- янной теплоемкости и описывается уравнением constnPV , (30) где P V C C n C C называется показателем политропы. Возможные значения показателя политропы находятся в пре- делах +n . Ниже приводятся его значения для рассмот- ренных процессов: const ( ); 0 const ( ); 1 const ( ); г d 0 0 г . V P P V n V C C n P C C n T C C n Q C , C при при при при Классическая теория теплоемкости идеального газа Рассмотренная теория теплоемкости идеального газа назы- вается классической. Согласно этой теории (см. (24) и (25)) теплоемкости Vc и pc определяются только числом и харак- тером степеней свободы идеального газа. Т. е. в модели иде- ального газа, например, все газы, молекулы которых состоят из двух атомов, независимо от их температуры, давления, массы молекул, химических свойств, молярных масс и т. д., имеют одни и те же значения Vc и pc . На рис. 5 приведена экспериментальная зависимость Vc от температуры для двухатомного газа. Как видно из рисунка, теплоемкость не зависит от температуры только в пределах 21 отдельных температурных интервалов. Причем в различных интервалах теплоемкость имеет значения, соответствующие раз- личному числу степеней свободы молекулы. Так, на участке 1 1 3 2 Vc R . Это означает, что молекула ведет себя как си- стема, обладающая только поступательными степенями сво- боды. На участке 2 2 5 2 Vc R , следовательно, при темпера- турах, соответствующих этому участку, у молекулы, в допол- нение к проявляющимся при более низких температурах, к трем поступательным степеням свободы добавляются еще две – вращательные. Наконец, при достаточно больших темпера- турах 7 2 Vc R , что свидетельствует о наличии при этих тем- пературах колебаний молекулы. Рис. 5 В промежутках между указанными интервалами теплоем- кость монотонно растет с ростом температуры, т. е. соответ- ствует как бы переменному числу степеней свободы. Объяс- нение такого поведения дается квантовой механикой. Как устанавливает квантовая теория, энергия вращательного и ко- 22 леба-тельного движения молекул оказывается квантованной. Это означает, что энергия вращения и энергия колебания мо- лекулы могут иметь не любые значения, а только дискретные (т. е. отдельные, отличающиеся друг от друга на конечную величину) значения. Следовательно, энергия, связанная с эти- ми видами движения, может меняться только скачками, что и наблюдается на опыте. Вывод уравнения адиабаты Воспользовавшись уравнением Клапейрона–Менделеева (2) и выражением для молярной теплоемкости при постоянном объеме (24), формулу (10) для внутренней энергии можно пе- реписать в виде VcU pV R . Учитывая далее уравнение Майера (26) и определение по- казателя адиабаты получаем 1 pV U . Отсюда элементарное изменение внутренней энергии d d d d 1 1 pV p V V p U . Подставляя это выражение в (27) и учитывая выражение (1) для элементарной работы, имеем d d d 1 p V V p p V или 23 d d 0p V V p . Умножая обе части последнего уравнения на 1V , получа- ем в левой части полный дифференциал 1d d d 0pV V V p pV . В результате приходим к уравнению Пуассона (29): pV = const. Используя уравнение Менделеева–Клапейрона, уравнение Пуассона можно переписать в виде связи между другими па- раметрами состояниями газа в адиабатическом процессе 1 г г const;Tp (31) г 1 const.TV (32) Описание установки и вывод рабочей формулы Прибор для определения отношения г p v c c состоит из стек- лянного баллона Б, микроманометра М и насоса Н (рис. 6). 24 Рис. 6 Микроманометр предназначен для измерения избыточного над атмосферным давления в баллоне. Кран К перекрывает со- общение баллона с атмосферой. Если закрыть кран К и накачать дополнительно воздух в баллон, то давление р в нем станет вы- ше атмосферного р0 на величину, пропорциональную разности уровней жидкости в манометре h. Примем данное состояние за начальное. На диаграмме в координатах (р, Т) (рис. 7) этому со- стоянию соответствует точка 1, в которой параметры системы принимают значения Т1, р1, V. Если открыть кран К на короткое, но достаточное для выравнивания давления в баллоне с атмос- ферным время, а затем закрыть его снова, то произойдет адиа- батный процесс, в результате которого давление в баллоне Б упа- дет до внешнего давления р0, а температура примет значение Т2. Этому состоянию соответствуют параметры Т2, р0, V (точка 2 на рис. 7). Используя соотношение (31) процесс адиабатического расширения газа будем описывать уравнением 25 1 г 1 г г г 1 21 0T p T p или 1 г г 01 2 1 . pT T p (33) Рис. 7 После закрытия крана температура газа в баллоне в течение 2–3 минут повышается и выравнивается с внешней темпера- турой T1, а давление повышается до р2. Этот процесс протека- ет изохорно, и его ход можно описать законом Шарля: 1 2 2 0 . T p T p (34) Конечное состояние газа имеет параметры T1, р2, V (точка 3 на рис. 7). Из уравнения (33) и (34) следует соотношение 1 г г 02 0 1 . pp p p (35) 26 Преобразовав уравнение (35), можно записать равенство 1 г 1 г г 2 0 1 .p p p (36) Поскольку р1 = р0 + ρgh1 и р2 = р0 + ρgh2, где h1 и h2 разно- сти уровней жидкости в манометре в состояниях 1 и 3 (ρ – плотность жидкости в манометре), то, подставив значения р1 и р2 в (36), получим соотношение 1 г 1 г г 0 2 0 10с ( с ) .p gh p p gh (37) Разделив левую и правую части (37) на р0, получим: г 1 г2 1 0 0 с с 1 (1 ) . gh gh p p (38) Прологарифмируем уравнение (38) 2 1 0 0 с сг 1 ln 1 ln(1 ). г gh gh p p (39) Избыточное давление в баллоне ρgh намного меньше внеш- него давления р0, поэтому отношение ρgh/р0 << 1. А т. к. ln(1 )x x при условии, что x << 1, то уравнение (39) можно переписать в виде 2 1 0 0 с сг 1 ( ) . г gh gh p p (40) После необходимых сокращений получим уравнение 27 2 1 г 1 г h h . (41) Из этого уравнения получаем рабочую формулу 1 1 2 г h h h . (42) Порядок выполнения работы 1. Закрыть кран К. С помощью насоса Н создать в баллоне такое давление, чтобы разность уровней жидкости в коленах манометра h была равна примерно 25–30 см. Давление необхо- димо повышать осторожно, чтобы жидкость не выплеснулась из манометра. Подождать 3–4 минуты, пока газ в баллоне охла- диться, снять показание манометра h1 и занести его табл. 1. 2. Открыть кран К примерно на 1 с и затем закрыть. Подо- ждать 3–4 мин пока охладившийся после адиабатического рас- ширения газ не нагреется до комнатной температуры. Снять показания манометра h2 и занести в табл. 1. 3. Повторить измерения по пп. 1–2 не менее четырех раз. Данные занести в табл. 1. Таблица 1 № h1 h2 i = – i 1 2 3 4 5 – – – г = г = 28 4. Используя рабочую формулу = h1/(h1 – h2), рассчитать значения для пяти случаев. 5. Рассчитать наиболее вероятное значение г как среднее арифметическое всех измерений. 6. Рассчитать абсолютную ошибку определения как сред- нее арифметическое значение отклонений от среднего: г = г – гi / n. 7. Найти относительную ошибку измеряемой величины: Дг е 100 % г . 8. Записать окончательный результат в виде = г . 9. Сделать выводы. 29 Учебное издание ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ АДИАБАТЫ ДЛЯ ВОЗДУХА Методические указания к лабораторной работе № 111 Составители : ТРОФИМЕНКО Евгений Евгеньевич КНЯЗЕВ Михаил Александрович КОНОНОВА Татьяна Сидоровна ШЕДЕНКОВ Сергей Игнатьевич Редактор В. О. Кутас Компьютерная верстка Н. А. Школьниковой Подписано в печать 17.09.2012. Формат 60 84 1/16. Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 1,63. Уч.-изд. л. 1,27. Тираж 100. Заказ 420. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Пр. Независимости, 65. 220013, г. Минск.