Министерство образования Республики Беларусь 
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ 
УНИВЕРСИТЕТ 
 
Кафедра «Высшая математика № 2» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, 
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 
И МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ 
 
Методические указания и контрольные задания  
для студентов-заочников  
инженерно-экономических специальностей 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
М и н с к 
Б Н Т У 
2 0 1 2
 2 
УДК 51 (075.8) 
ББК 22.1я7 
        М 54 
 
 
С о с т а в и т е л и: 
А.Д. Корзников, Л.Д. Матвеева,  
А.Н. Рудый, В.В. Павлов 
 
 
Р е ц е н з е н т ы: 
М.Б. Смирнов, П.Г. Ласый 
 
 
 
 
 
Издание содержит вопросы учебной программы по теории вероят-
ностей, математической статистике и системам массового обслужива-
ния, контрольные задания и методические указания по их выполнению.  
Предназначено для студентов-заочников инженерно-экономических 
специальностей. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© БНТУ, 2012 
 3 
СОДЕРЖАНИЕ 
 
Введение ................................................................................................ 4 
Тема 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ПРАВИЛА  
ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ .............................................................................. 4 
Задание 1 ............................................................................................. 11 
Задание 2 ............................................................................................. 15 
Тема 2. НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ БЕРНУЛЛИ.  
ТЕОРЕМЫ МУАВРА–ЛАПЛАСА И ПУАССОНА. ....................... 20 
Задание 3 ............................................................................................. 23 
Тема 3. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (СВ)  
И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ....................................... 26 
Задание 4 ............................................................................................. 31 
Тема 4. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ............... 35 
Задание 5 ............................................................................................. 46 
Тема 5. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. 
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ 
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ............................................................................ 51 
Задание 6 ............................................................................................. 56 
Тема 6. МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ .................... 58 
Задание 7 ............................................................................................. 63 
Тема 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО   
ОБСЛУЖИВАНИЯ ............................................................................ 67 
Задание 8 ............................................................................................. 70 
 
 4 
 
ВВЕДЕНИЕ 
 
Данное пособие может быть использовано при изучении теорети-
ческого материала и как методические указания при решении задач. 
Решение контрольных задач следует выполнять в отдельной тет-
ради, чернилами любого цвета (кроме красного), оставляя поля для 
замечаний рецензента. Решения задач необходимо располагать в по-
рядке возрастания их номеров, записывая полностью их условия. 
Если при проверке контрольной работы будут обнаружены ошиб-
ки, работа будет выслана студенту для их исправления. Работу над 
ошибками необходимо выполнить в этой же тетради и выслать на по-
вторную проверку. 
 
Тема 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ И ПРАВИЛА  
ЕЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ 
 
1. Пространство элементарных событий. 
2. Классификация событий (операции над множествами). 
3. Относительная частота и ее свойства.  
4. Аксиомы теории вероятностей. 
5. Методы задания вероятностей. 
6. Свойства вероятности (теоремы сложения и умножения веро-
ятностей). 
7. Условная вероятность. Независимость событий. 
8. Формула полной вероятности. 
9. Формулы Бейеса. 
 
Пространство элементарных событий. Непосредственный 
подсчет вероятности. 
 Элементарным событием называется любой возможный результат 
опыта или наблюдения. Элементарное событие является случайным, 
если в результате опыта или эксперимента оно может произойти, а 
может и не произойти. Совокупность всех элементарных событий Ω в 
 5 
данном эксперименте ( т.е. множество всех мысленно возможных ис-
ходов данного эксперимента) называется пространством элементар-
ных событий. 
При проведении некоторого эксперимента нас могут интересовать 
события более сложные, чем элементарные. Например, при бросании 
игральной кости нас может интересовать событие «выпало четное число 
очков». Событие произойдет, если в результате опыта появилось либо 2, 
либо 4, либо 6, т.е. интересующее нас событие состоит из множества 
элементарных событий 2, 4, 6A , которое является подмножеством 
пространства элементарных событий 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Таким об-
разом, событием А мы будем называть любое подмножество про-
странства элементарных событий. 
 Событие, которое в данном эксперименте обязательно произойдет, 
а значит, в него входят все элементарные события, называется досто-
верным событием. То есть достоверное событие – это пространство 
элементарных событий Ω. 
 Невозможное событие ( событие, которое в данном эксперименте 
не может произойти) совпадает с пустым множеством ( A ). 
 Два случайных события называются несовместными, если появле-
ние одного из них исключает появление другого в данном экспери-
менте. 
 Два события называются равновозможными, если при выполнении 
условий данного эксперимента одинаково возможны появления этих 
событий. 
 Вероятностью события А называется количественная оценка воз-
можности появления события. 
 Рассмотрим вероятностный эксперимент, в котором пространство 
элементарных событий 1 2, ,..., n  состоит из конечного чис-
ла n равновозможных элементарных событий 1 2, ,..., n . Событие 
А – некоторое подмножество  пространства элементарных событий из 
m элементарных событий: 
1 2
, ,...,
mi i i
A . Эти элементарные 
события , 1,...,
ki
k m , называются благоприятствующими собы-
тию А, то есть, если в результате эксперимента происходит одно из 
 6 
элементарных событий 
1 2
, ,...,
mi i i
, то наступает событие А. Если, 
например, эксперимент состоит в бросании игральной кости, а собы-
тие  А - «выпало четное число очков», то элементарными событиями, 
благоприятствующими событию А, будут: выпало 2 очка, или 4, или 
6, т.е. 2, 4, 6A , при этом 1, 2, 3, 4, 5, 6 . 
 Классической вероятностью события А, называется отношение 
числа A m  элементарных событий, благоприятствующих собы-
тию А, к общему числу n  элементарных событий, т. е. 
( )
A m
P A
n
. 
Пример 1.1. На склад поступает продукция из четырех пунктов. 
Наудачу отобраны два изделия. Требуется: 1) составить пространство 
элементарных событий; 2) найти вероятность того. что эти изделия 
принадлежат продукции одного и того же пункта. 
Решение. 1) Обозначим через ij элементарное событие, состоя-
щее в том, что первое изделие из двух выбранных – с i-го пункта,  
а второе – с j-го. Тогда пространство элементарных событий 
11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33
34 41 42 43 44
, , , , , , , , , , ,
, , , , .
 
 2) Пусть событие А состоит в том, что два отобранных изделия 
принадлежат продукции одного и того же пункта. Тогда событию А 
благоприятствуют элементарные события 11 22 33 44, , , ,  т. е. 
11 22 33 44, , ,A .  Если предположить, что все элементарные 
события равновозможны, то по формуле классической вероятности 
имеем 
4 1
( )
16 4
A
P A . 
 Таким образом, вероятность того. что два отобранных случайным об-
разом изделия будут произведены в одном и том же пункте, равна 
1
4
. 
 
 7 
Свойства вероятности 
 
 Поскольку под событием мы понимаем подмножество простран-
ства элементарных событий, то действия над событиями определяют-
ся аналогично тому, как определяются действия над подмножествами. 
 Событием A , противоположным событию А, называется собы-
тие, состоящее из тех элементарных событий эксперимента, которые 
не входят в событие А: A A . 
 Суммой (объединением) двух событий А и В называется событие С, 
содержащее те элементарные события, которые принадлежат хотя бы 
одному из этих событий: 
C A B A B A или B . Понятно, что 
A A . 
Произведением (пересечением) двух событий А и В называется со-
бытие С, содержащее те элементарные события, которые входят од-
новременно и в событие А, и в событие В: 
C A B A B A и B .  
 Два события А и В называются несовместными, если их одновре-
менное появление является невозможным событием, т.е. если 
A B A B . 
Разностью двух событий А и В называется событие, (которое при-
нято обозначать \A B ), состоящее из тех элементарных событий 
, которые входят в событие А, но не входят в событие В: 
\A B ,A но B . 
 Вычисление вероятностей наступления событий частного вида 
(суммы, произведения двух событий и т.п.) значительно упрощается, 
если использовать свойства вероятностной меры. 
 Теорема 1. Если событие В содержится в событии А ( )B A , то 
( ) ( ), ( \ ) ( ) ( )P B P A P A B P A P B . 
Теорема 2. (сложение вероятностей):  
( ) ( ) ( ) ( ).P A B P A P B P A B  
 Следствие. Если события А и В несовместны, то  
( ) ( ) ( ).P A B P A P B  
 8 
 Предположим, что на входе вероятностного эксперимента произо-
шло некоторое событие В. Эта информация может повлиять на веро-
ятности появления других событий, связанных с событием В. Напри-
мер, в урне находится пять белых и пять черных шаров. Наудачу вы-
бран шар (событие В). Если теперь нас интересует вероятность того, 
что из девяти оставшихся шаров выбран, к примеру, белый шар, то 
она естественным образом зависит от того, каким было событие В. 
Поэтому вводится понятие условной вероятности появления события 
А при условии, что событие В произошло. 
 Определение. Пусть А и В произвольные события, причем ( ) 0P B . 
Условной вероятностью наступления события А при условии, что со-
бытие В произошло, называется число ( )P A B , определяемое форму-
лой 
( )
( )
( )
P A B
P A B
P B
. Аналогично 
( )
( )
( )
P A B
P B A
P A
. 
 Из приведенных определений вытекает следующая 
 Теорема 3. (умножение вероятностей): 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B A P B P A B . 
 События А и В называются независимыми, если ( ) ( )P A P A B  и 
( ) ( )P B P B A . Для независимых событий теорема умножения веро-
ятностей принимает вид ( ) ( ) ( )P A B P A P B . 
 Пусть события 1 2, ,..., nH H H  (называемые гипотезами) образу-
ют полную группу событий, т.е. они попарно несовместны 
( )i jH H при i j  и их объединение совпадает с простран-
ством элементарных событий: 
 
 1 2 1 2( ... ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) 1n nP H H H P H P H P H P . 
 
 Пусть некоторое событие А может произойти только одновременно 
с одним из этих событий. Вероятности этих событий ( )iP H  и ус-
ловные вероятности ( ), 1,iP A H i n , предполагаются известными. 
 9 
Тогда вероятность интересующего нас события А определяется по 
следующей формуле, называемой формулой полной вероятности: 
 
1
( ) ( ) ( )
n
i i
i
P A P H P A H . 
 
 Если в результате эксперимента событие А произошло, то может 
возникнуть вопрос: «Какова вероятность того, что это событие осу-
ществилось одновременно с событием , 1,iH i n ». Эта вероятность 
может быть найдена по формулам Бейеса: 
 
( )iP H A
1
( ) ( ) ( ) ( )
, 1,
( )
( ) ( )
i i i i
n
i i
i
P H P A H P H P A H
i n
P A
P H P A H
. 
 Проиллюстрируем сказанное на примерах. 
 Пример 1.2. Заводом послана автомашина за необходимым материа-
лом на четыре базы. Вероятность наличия нужного материала на первой 
базе равна 0.9; на второй – 0,95; на третьей – 0,8; на четвертой – 0,6. 
Найти вероятность того, что только на одной базе не окажется нужно-
го материала. 
 Решение. Обозначим через 1 2 3 4, , ,A A A A  события, состоящие в 
том, что нужный материал находится на первой, второй, третьей и 
четвертой базах. 
 Пусть А – событие, означающее, что только на одной базе не ока-
жется нужного материала. Тогда имеем: 
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4A A A A A A A A A A A A A A A A A . 
 События 1 2 3 4, , ,A A A A  независимы. События 1 2 3 4A A A A , 
1 2 3 4A A A A , 1 2 3 4A A A A , 1 2 3 4A A A A  несовместны. 
 По теореме сложения несовместных событий получаем 
 
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4 1 2 3 4
( ) (
) ( ) ( )
( ) ( ).
P A A A A A A A A A A A A A
A A A A P A A A A P A A A A
P A A A A P A A A A
 
 
 10 
 По теореме умножения независимых событий имеем: 
1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4 1 2 3 4
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0,9 0,95 0,8 (1 0,6) 0,9 0,95 (1 0,8) 0,6
0,9 (1 0,95) 0,8 0,6 (1 0,9) 0,95 0,8 0,6 0,4866.
P A P A P A P A P A P A P A P A P A
P A P A P A P A P A P A P A P A
 
Пример 1.3. Среди поступающих на сборку деталей с первого 
станка 0,1%  бракованных, со второго – 0,2%, с третьего – 0,25%, с 
четвертого – 0,5%. Производительности их относятся как 4: 3: 2: 1 
соответственно. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти 
вероятность того, что она изготовлена на втором станке. 
Решение. Пусть А – событие, состоящее а том, что взятая наудачу 
деталь оказалась стандартной. Рассмотрим четыре гипотезы 
1 2 3 4, , ,H H H H , заключающиеся в том, что деталь изготовлена на 
первом, втором, третьем и четвертом станках. По условию задачи 
требуется найти вероятность 2( )P H A . 
По формуле Бейеса имеем 2( )P H A =
2 2( ) ( )
( )
P H P A H
P A
, где  
вероятность ( )P A  вычисляется по формуле полной вероятности 
1
( ) ( ) ( )
n
i i
i
P A P H P A H . 
Исходя из производительности станков находим вероятности 
( ), 1,4i iP H H . Поскольку события 1 2 3 4, , ,H H H H  образуют пол-
ную группу событий, то 1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) 1P H P H P H P H . 
Следовательно, 1 2 3 4
2 3 1 1
( ) , ( ) , ( ) , ( )
5 10 5 10
P H P H P H P H . 
Вероятность выпуска стандартной детали (с учетом данных задачи) 
на первом станке равна – 1( )P A H 1 0,001 0,999 ; на втором 
станке – 2( )P A H 1 0,002 0,998 ; на третьем – 3( )P A H  
1 0,025 0,975 ; на четвертом станке – 4( )P A H 1 0,005 0,995 . 
 11 
Подставляя полученные данные в формулу Бейеса, получаем 
 
2( )P A H =
0,3 0,998
0,3
0,4 0,999 0,3 0,998 0,2 0,975 0,1 0,995
. 
 
Задание 1 
 
Варианты 
 
1. Рабочий обслуживает 3 станка, работающих независимо друг от 
друга. Вероятность выхода из строя первого станка равна 0,1; второго – 
0,2; третьего – 0,15. Требуется:  
1) составить пространство элементарных событий;  
2) найти вероятность того, что из строя выйдут 2 станка. 
2. В двух ящиках находятся детали двух типов. Из каждого ящика вы-
нули по детали. Требуется:  
1) составить пространство элементарных событий;  
2) найти вероятность того, что среди двух вынутых деталей нет дета-
лей второго типа. 
3. По радиолинии передается сигнал в виде последовательности трех 
импульсов. Вероятность искажения каждого импульса равна 0,1. Тре-
буется: 1) составить пространство элементарных событий; 2) найти 
вероятность того, что будут искажены два импульса. 
4. Два стрелка произвели по одному выстрелу по мишени. Вероят-
ность ее поражения каждым стрелком равна 0,8. Требуется:  
1) составить пространство элементарных событий;  
2) найти вероятность того, что только один стрелок поразит мишень. 
5. В телевизионном ателье имеется три кинескопа. Вероятность того, 
что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно 
равна 0, 8; 0,85 и 0,9. Требуется:  
1) составить пространство элементарных событий;  
2) найти вероятность того, что хотя бы один кинескоп выдержит га-
рантийный срок. 
6. Прибор состоит из трех узлов, работающих независимо друг от друга. 
Вероятность безотказной работы каждого узла равна 0,85. Требуется:  
1) составить пространство элементарных событий;  
2) найти вероятность того, что откажут два узла. 
 12 
7. Из ящика, содержащего 5 деталей, из которых одно бракованное, 
наудачу последовательно извлекают по одной детали до появления 
бракованной. Требуется:  
1) составить пространство элементарных событий;  
2) найти вероятность того, что придется производить две серии извле-
чения деталей. 
8. Телефонный коммутатор располагает номерами, состоящими из 
трех цифр: 5, 6, 7. Требуется:  
1) составить пространство элементарных событий;  
2) найти вероятность того, что телефонный номер будет оканчиваться 
цифрой 6. 
9. Со станции отправления одновременно выехали три автобуса, ко-
торые должны прибыть на станцию назначения в заданное время. Ве-
роятность своевременного прибытия автобусов одинакова и равна 0,7. 
Требуется:  
1) составить пространство элементарных событий;  
2) найти вероятность того, что два автобуса опоздают. 
10. Автомат изготавливает однотипные детали. Вероятность брака 
равна 0,02. На проверку берут 3 детали. Требуется:  
1) составить пространство элементарных событий;  
2) найти вероятность того, что все три детали будут не бракованными. 
11. Вероятность попадания мяча в корзину при броске равна 0,9.  
Произведено 3 броска. Требуется: 1) составить пространство эле-
ментарных событий;2) найти вероятность того, что произошло три 
попадания. 
12. Вычислительное устройство состоит из трех элементов, работаю-
щих независимо друг от друга. Вероятности отказа первого, второго  
и третьего элементов соответственно равны 0,2; 0,4; 0,3. Требуется: 
1) составить пространство элементарных событий; 
2) найти вероятность того, что отказал: а) один из элементов; б) все 
три элемента; в) по крайней мере один элемент. 
13. В лотерее 4 билета, два из которых – выигрышные. Поочередно  
4 человека берут по одному билету. Требуется: 
1) составить пространство элементарных событий; 
2) найти вероятность того, что выигрышные и проигрышные билеты 
чередуются. 
14. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, 
что студент ответит на каждый из этих вопросов равна 0,8. Требуется: 
 13 
1) записать пространство элементарных событий;  
2) найти вероятность того, что студент ответит: а) на три вопроса;  
б) хотя бы на два вопроса. 
15. Из пункта А в пункт В выехали три велосипедиста. Вероятность 
их прибытия в пункт В в назначенное время одинакова и равна 0,5. 
Требуется: 
1) составить пространство элементарных событий; 
2) найти вероятность того, что а) два велосипедиста опоздают; б) хотя 
бы один велосипедист прибудет вовремя. 
16. Из ящика, содержащего 6 деталей, из которых 2 – бракованные, 
наудачу последовательно извлекают по одной детали до появления 
бракованной. Требуется: 
1) составить пространство элементарных событий; 
2) найти вероятность того, что придется производить 3 серии извле-
чения деталей. 
17. Вероятности определения качества проверяемых деталей на про-
межуточном контроле для каждого из трех контролеров соответ-
ственно равны 4/5, 3/4, 2/3. На одновременный контроль были взяты 
три детали. Требуется: 
1) составить пространство элементарных событий; 
2) найти вероятность того, что хотя бы один контролер ошибся. 
18. Из ящика, содержащего 3 билета с номерами 1, 2, 3 вынимают по 
одному все билеты. Предполагается, что все последовательности но-
меров билетов имеют одинаковые вероятности. Требуется:  
1) составить пространство элементарных событий; 
2) найти вероятность того, что: а) хотя бы у одного билета порядко-
вый номер совпадает с собственным; б) у всех трех билетов порядко-
вый номер совпадает с собственным. 
19. Эксперимент состоит в подбрасывании 3 монет. Требуется:  
1) составить пространство элементарных событий; 
2) найти вероятность того, что: а) выпадут два «герба», б) выпадет 
хотя бы один «герб». 
20. На пяти карточках написаны цифры 0, 1, 2, 3, 4. Две из них вынима-
ются наугад и укладываются на стол в порядке появления. Требуется:  
1) составить пространство элементарных событий; 
2) найти вероятность того, что число будет четным. 
 14 
21. Для участия в олимпиаде прибыла команда в составе 5-ти студен-
тов, 3 из них отличники. На первый тур по жребию из команды отби-
рают двух человек. Требуется: 
1) составить пространство элементарных событий; 
2) найти вероятность того, что по жребию: а) выбраны два отличника, 
б) не выбрано ни одного отличника, в) выбран хотя бы 1 отличник. 
22. Рабочий обслуживает 3 станка, работающих независимо. Вероят-
ность выхода из строя первого станка равна 0,1; второго – 0,2;  
третьего – 0,15. Требуется: 
1) составить пространство элементарных событий; 
2) найти вероятность того, что из строя выйдут 2 станка. 
23. Произведено 4 выстрела по удаляющейся цели. При первом вы-
стреле вероятность попадания равна 0,8, при каждом последующем 
выстреле вероятность уменьшается в 2 раза. Требуется:  
1) составить пространство элементарных событий; 
2) найти вероятность того, что произошло одно попадание. 
24. Деталь напряжения состоит из четырех резисторов. Вероятность 
неисправности каждого из резисторов равна 0,13. Производится про-
верка резисторов. Требуется:  
1) составить пространство элементарных событий; 
2) найти вероятность того, что неисправными окажутся: а) ровно 3 ре-
зистора; б) не более трех резисторов. 
25. В урне находятся черные и белые шары. Один за другим вынули три 
шара. Требуется: 1) составить пространство элементарных событий; 
2) найти вероятность того, что среди 3 вынутых шаров оказалось  
2 черных. 
26. Три письма раскладываются случайно по трем конвертам с адре-
сами. Требуется:  
1) составить пространство элементарных событий; 
2) найти вероятность того, что хотя бы одно письмо попадет в свой 
конверт. 
27. В двух ящиках находятся детали трех типов. Из каждого ящика 
вынули по детали. Требуется:  
1) составить пространство элементарных событий; 
2) найти вероятность того, что среди трех вынутых деталей нет дета-
лей первого типа. 
 
 15 
28. Абонент набирает номер телефона, забыв расположение 3-х по-
следних цифр 6, 8, 3. Требуется:  
1) составить пространство элементарных событий;  
2) найти вероятность того, что телефонный номер будет оканчиваться 
цифрой 8. 
29. В ящике содержатся детали 4-х заводов. Наугад извлекаются две 
детали. Требуется:  
1) составить пространство элементарных событий;  
2) найти вероятность того, что две извлеченные детали изготовлены 
на одном заводе. 
30. Вероятность попадания мяча в корзину при броске равна 0,9. Про-
изведено 3 броска. Требуется: 
1) составить пространство элементарных событий; 
2) найти вероятность того, что произошло три попадания. 
 
Задание 2 
 
Варианты 
 
1. 20% приборов монтируется с применением микромодулей, осталь-
ные – с применением интегральных схем. Надежность прибора с при-
менением микромодулей – 0,9, интегральных схем – 0,8. Найти:  
а) вероятность надежной работы наугад взятого прибора; б) вероят-
ность того, что прибор – с микромодулем, если он был исправен. 
2. Детали попадают на обработку на один из трех станков с вероятно-
стями, соответственно равными: 0,.2; 0,3; 0,5. Вероятность брака на 
первом станке равна 0,02; на втором – 0,03; на третьем – 0,01. Найти: 
а) вероятность того, что случайно взятая после обработки наугад де-
таль – стандартная; б) вероятность обработки наугад взятой детали на 
втором станке, если она оказалась стандартной. 
3. Среди поступивших на сборку деталей 30% - с завода № 1, осталь-
ные – с завода № 2. Вероятность брака для завода № 1 равна 0,02, для 
завода № 2 – 0,03. Найти: а) вероятность того, что наугад взятая де-
таль стандартная; б) вероятность изготовления наугад взятой детали 
на заводе № 1, если она оказалась стандартной. 
4. Три автомата изготовляют однотипные детали, которые поступают 
на общий конвейер. Производительности первого, второго и третьего 
 16 
автоматов соотносятся как 2:3:5. Вероятность того, что деталь с пер-
вого автомата – высшего качества, равна 0,8, для второго – 0,6, для 
третьего – 0,7. Найти вероятность того, что: а) наугад взятая с конвей-
ера деталь окажется высшего качества: б) взятая наугад деталь выс-
шего качества изготовлена первым автоматом. 
5. Комплектовщик получает для сборки 30% деталей с завода № 1, 
20% – с завода № 2, остальные – с завода № 3. Вероятность того, что 
деталь с завода № 1 – высшего качества, равна 0,9, для деталей с за-
вода № 2 – 0,8, для деталей с завода № 3 – 0,6. Найти вероятность то-
го, что: а) случайно взятая деталь – высшего качества; б) наугад взя-
тая деталь высшего качества изготовлена на заводе № 2. 
6. Заготовка может поступить для обработки на один из двух станков 
с вероятностями 0,4 и 0,6 соответственно. При обработке на первом 
станке вероятность брака составляет 2%, на втором – 3%. Найти веро-
ятность того, что: а) наугад взятое после обработки изделие – стан-
дартное; б) наугад взятое после обработки стандартное изделие обра-
ботано на первом станке. 
7. На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность 
брака для станка № 1 составляет 0,03, для станка № 2 – 0,02. Обрабо-
танные детали складываются в одном месте, причем деталей, обрабо-
танных на станке № 1, вдвое больше, чем на станке № 2. Найти веро-
ятность того, что: а) взятая наугад деталь будет стандартной; б) 
наугад взятая стандартная деталь изготовлена на первом станке. 
8. В дисплейном классе имеется 10 персональных компьютеров пер-
вого типа и 15 второго типа. Вероятность того, что за время работы  
на компьютере первого типа не произойдет сбоя, равна 0,9, а на ком-
пьютере второго типа – 0,7. Найти вероятность того, что: а) на слу-
чайно выбранном компьютере за время работы не произойдет сбоя;  
б) компьютер, во время работы на котором не произошло сбоя, – пер-
вого типа. 
9. В пяти ящиках с 30 шарами в каждом содержится по 5 красных ша-
ров, в шести – по 4 красных шара. Найти вероятность того, что: а) из 
наугад взятого ящика наудачу взятый шар будет красным; б) наугад 
взятый красный шар содержится в одном из первых пяти ящиков. 
10. По линии связи передано два сигнала типа А и В с вероятностями 
соответственно 0,8 и 0,2. В среднем принимается 60% сигналов типа 
А и 70% типа В. Найти вероятность того, что: а) посланный сигнал 
будет принят; б) принятый сигнал типа А. 
 17 
11. Для сигнализации о том, что режим работы автоматической линии 
отклоняется от нормального, используются индикаторы двух типов. 
Вероятности того, что индикатор принадлежит к одному из двух ти-
пов, соответственно равны 0,4 и 0,6. При нарушении работы линии 
вероятность срабатывания индикатора первого типа равна 0,9, второ-
го – 0,7. а) Найти вероятность того, что наугад выбранный индикатор 
сработает при нарушении нормальной работы линии. б) Индикатор  
сработал. К какому типу он вероятнее всего принадлежит? 
12. Резистор, поставленный в телевизор, может принадлежать к одной 
из двух партий с вероятностями 0,6 и 0,4. Вероятности того, что рези-
стор проработает гарантийное число часов, для этих партий соответ-
ственно равны 0,8 и 0,7. а) Найти вероятность того, что взятый наугад 
резистор проработает гарантийное число часов. б) Резистор прорабо-
тал гарантийное число часов. К какой партии он вероятнее всего при-
надлежит? 
13. При отклонении от штатного режима работы поточной линии сра-
батывают сигнализатор типа Т-1 с вероятностью 0,9 и сигнализатор 
типа Т-2 с вероятностью 0,8. Вероятности того, что линия снабжена 
сигнализаторами типа Т-1 и Т-2, соответственно равны 0,7 и 0,3.  
а) Найти вероятность того, что при отклонении от штатного режима 
работы сигнализатор сработает. б) Сигнализатор сработал. К какому 
типу он вероятнее всего принадлежит? 
14. Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено 
10 человек из первой группы и 8 из второй. Вероятность того, что 
студент первой группы попадет в сборную института, равна 0,8, а для 
студента второй группы – 0,7. а) Найти вероятность того, что случай-
но выбранный студент попал в сборную института. б) Студент попал 
в сборную института. В какой группе он вероятнее всего учится? 
15. На сборку поступают детали с трех конвейеров. Первый дает 25%, 
второй – 30% и третий – 45% деталей, поступающих на сборку.  
С первого конвейера в среднем поступает 2% брака, со второго – 3%, 
с третьего – 1%. Найти вероятность того, что: а) на сборку поступила 
бракованная деталь; б) поступившая на сборку бракованная деталь – 
со второго конвейера. 
16. В двух коробках имеются однотипные конденсаторы. В первой 20 
конденсаторов, из них 2 неисправных, во второй – 10, из них 3 неис-
правных. а) Найти вероятность того, что наугад взятый конденсатор 
из случайно выбранной коробки годен к использованию. б) Наугад 
 18 
взятый конденсатор оказался годным. Из какой коробки он вероятнее 
всего взят? 
17. В телевизионном ателье имеется 2 кинескопа первого типа и 8 вто-
рого типа. Вероятность выдержать гарантийный срок для кинеско- 
пов первого типа равна 0,9, а для второго типа – 0,6. Найти вероят-
ность того, что: а) взятый наугад кинескоп выдержит гарантийный 
срок; б) взятый наугад кинескоп, выдержавший гарантийный срок, 
первого типа. 
18. У сборщика 16 деталей, изготовленных на заводе № 1 и 10 дета-
лей, изготовленных на заводе № 2. Вероятности того, что детали вы-
держат гарантийный срок, соответственно равны; для деталей с заво-
да № 1 – 0,8; с завода № 2 – 0,9. а) Найти вероятность того, что взятая 
наугад деталь проработает гарантийный срок; б) взятая деталь прора-
ботала гарантийный срок. На каком из заводов она вероятнее всего 
изготовлена? 
19. Телеграфное сообщение состоит из сигналов «точка» и «тире», 
они встречаются в передаваемых сообщениях в отношении 5:3. Стати-
ческие свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообще-
ний «точка» и 1/3 сообщений «тире». Найти вероятность того, что:  
а) передаваемый сигнал принят; б) принятый сигнал – «тире». 
20. Для поисков спускаемого аппарата космического корабля выделе-
но 4 вертолета первого типа и 6 вертолетов второго типа. Каждый 
вертолет первого типа обнаруживает находящийся в районе поиска 
аппарат с вероятностью 0,6, второго типа – с вероятностью 0,7. а) Най-
ти вероятность того, что наугад выбранный вертолет обнаружит аппа-
рат. б) К какому типу вероятнее всего принадлежит вертолет, обнару-
живший спускаемый аппарат? 
21. Прибор состоит из двух узлов одного типа и трех узлов второго 
типа. Надежность работы в течение времени Т для узла первого типа 
равна 0,8, а для узла второго типа – 0,7. а) Найти вероятность того, 
что наугад выбранный узел проработает в течение времени Т. б) Узел 
проработал гарантийное время Т. К какому типу он вероятнее всего 
относится? 
22. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех 
касс вокзала А или в одну из пяти касс вокзала В. Вероятность того, 
что к моменту прихода пассажира в кассах вокзала А имеются  
в продаже билеты, равна 0,6, в кассах вокзала В – 0,5. а) Найти веро-
ятность того, что в наугад выбранной кассе имеется в продаже билет. 
 19 
б) Пассажир купил билет. В кассе какого вокзала он вероятнее всего 
куплен? 
23. В вычислительной лаборатории 40% микрокалькуляторов и 60% 
дисплеев. Во время расчета 90% микрокалькуляторов и 80% дисплеев 
работают безотказно. а) Найти вероятность того, что наугад взятая 
вычислительная машина проработает безотказно во время расчета.  
б) Выбранная машина проработала безотказно во время расчета.  
К какому типу вероятнее всего она принадлежит? 
24. В состав блока входят 6 радиоламп первого типа и 10 второго. Га-
рантийный срок обычно выдерживают 80 % радиоламп первого типа  
и 90 % второго типа. Найти вероятность того, что: а) наугад взятая  
радиолампа выдержит гарантийный срок; б) радиолампа, выдержав-
шая гарантийный срок, первого типа. 
25. На сборку поступают детали с трех автоматов, причем с I – 30 %, 
со II – 40 %, с III – 30 % всех деталей. Вероятность брака для первого 
автомата равна 0,02, для II – 0,03, для III – 0,04. а) Найти вероятность 
того, что взятая наугад деталь – бракованная. б) Взятая наугад деталь 
оказалась бракованной. С какого автомата она вероятнее всего посту-
пила: со второго или третьего? 
26. Имеется 6 коробок диодов типа А и 8 коробок диодов типа В. Ве-
роятность безотказной работы диода типа А равна 0,8, типа В – 0,7.  
а) Найти вероятность того, что взятый наугад диод проработал гаран-
тийное число часов. б) К какому типу он вероятнее всего относится? 
27. Для участия в спортивных студенческих соревнованиях выделено 
из первой группы 5 студентов, из второй и третьей – соответственно  
6 и 10 студентов. Вероятности выполнить норму мастера спорта, со-
ответственно, равны: для студентов первой группы – 0,3, второй – 0,4, 
третьей – 0,2. Найти вероятность того, что: а) наугад взятый студент 
выполнит норму мастера спорта; б) студент, выполнивший норму ма-
стера спорта, учится во второй группе. 
28. На участке, изготовляющем болты, первый станок производит 
25 %, второй – 35 %, третий – 40 % всех изделий. В продукции каждо-
го из станков брак составляет соответственно 5 %, 4 %, 2 %. Найти 
вероятность того, что: а) взятый наугад болт – с дефектом; б) случай-
но взятый болт с дефектом изготовлен на третьем станке. 
29. На сборку поступают детали с четырех автоматов. Первый обраба-
тывает 40 %, второй – 30 %, третий – 20 % и четвертый – 10 % всех 
деталей, поступающих на сборку. Первый автомат дает 0,1 % брака, 
 20 
второй – 0,2 %, третий – 0,25 %, четвертый – 0,5 %. Найти вероят-
ность того, что: а) на сборку поступит стандартная деталь; б) посту-
пившая на сборку стандартная деталь изготовлена первым автоматом. 
30. Производится стрельба по мишеням трех типов, из которых 5 ми-
шеней типа А, 3 мишени типа В и 3 мишени типа С. Вероятность по-
падания в мишень типа А равна 0.4, в мишень типа В – 0,1, в мишень 
типа С – 0,15. Найти вероятность того, что: а) мишень будет поражена 
при одном выстреле, если неизвестно, по мишени какого типа он был 
сделан; б) при одном выстреле (если неизвестно, по мишени какого 
типа он сделан) поражена мишень типа А. 
 
Тема 2. НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ БЕРНУЛЛИ. 
ТЕОРЕМЫ МУАВРА–ЛАПЛАСА И ПУАССОНА 
 
Формула Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний 
вероятность появления события А постоянна и равна p, то вероятность 
того, что в n испытаниях событие А произойдет ровно m раз, опреде-
ляется по формуле Бернулли 
!
( ) ,  1
!( )!
m m n m m n m
n n
n
P m C p q p q q p
m n m
.        (2.1) 
Формула Пуассона. Если n велико, а p мало ( обычно p < 0,1; 
npq  9 ), то вместо формулы Бернулли применяют приближенную 
формулу Пуассона 
     ( )
!
m
nP m e
m
,               (2.2) 
где  = np. 
Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если n велико, то веро-
ятность P mn( )  может быть вычислена по приближенной формуле 
1
( ) ( )nP m x
npq
,       (2.3) 
где 
2
2
1
,  ( ) ,  ( 0,  1)
2
x
m np
x x e p p
npq
. 
 21 
Значения функции (x) определяются из таблицы ( ( ) ( ))x x . 
Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Вероятность 1 2( , )nP m m  
того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых веро-
ятность появления события А постоянна и равна p(0 < p < 1), собы-
тие А наступит не менее m1 раз и не более m2  раз, приближенно равна 
 
     1 2 2 1( , ) ( ) ( )nP m m x x ,     (2.4) 
 
где 
2
2
0
1
( )
2
x t
x e dt  – функция Лапласа; 11
m np
x
npq
, 22
m np
x
npq
. 
Значения ( )x  определяются из таблицы; ( )x =1/2 при x > 5, 
( )x  = – ( )x . 
Пример 2.1. В мастерской имеется 10 моторов. При существую-
щем режиме работы вероятность того, что в данный момент один  
мотор работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность то-
го, что в данный момент не менее 8 моторов работают с полной 
нагрузкой. 
Решение. Рассмотрим события: А – не менее 8 моторов из 10 в 
данный момент работают с полной нагрузкой;  B,  C,  D  –  события, 
состоящие в том, что работают соответственно 8, 9 и 10 моторов. То-
гда A = B + C + D. Так как события B, C и D несовместны, P(A) = P(B) + 
+ P(C) + P(D). Найдем вероятности событий B, C и D по формуле 
Бернулли (2.1): 
 
8 8 2 2 8 2 8 2
10 10 10
9 9 9 9 9
10 10 10
10 10 0 10 10
10 10
( ) (8) 0,8 0,2 45 0,8 0,2 ;
( ) (9) 0,8 0,2 10 0,8 0,2;
( ) (10) 0,8 .
P B P C p q C
P C P C p q C
P D P C p q p
 
 
Тогда  
3 2 9 10( ) 45 0,8 0,2 10 0,8 0,2 0,8P A 80,8 4,04 0,678 . 
 
Пример 2.2. Вероятность поражения мишени при одном выстре-
ле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень 
будет поражена ровно 75 раз. 
 22 
Решение. По условию n = 100, m = 75, p = 0,8, q = 0,2. Так как 
n = 100 велико, воспользуемся формулой (2.3) локальной теоремы Ла-
пласа. Для этого найдем 
75 100 0,8
1,25
100 0,8 0,2
x . По таблице нахо-
дим (–1,25) = 0,1826. Искомая вероятность 100
0,1826
(75) 0,04565
4
P . 
Пример 2.3. Предприятие отправило на базу 5000 изделий. Веро-
ятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002.Найти ве-
роятность того, что на базу прибудет ровно 3; не более 3 негодных 
изделий. 
Решение. Воспользуемся формулой Пуассона (2.2). В данном слу-
чае m = 3, p = 0,0002, n = 5000,  = np = 1; 15000
1
(3) 0,0613
3!
P e . 
Вероятность того, что на базу прибудет не более 3 негодных изделий, 
равна  
 
      
5000 5000 5000 5000 5000
1 1 1 1
1 1
(0 3) (0) (1) (2) (3)
1 1 1 1
0! 1! 2! 3!
1 1 8
1 1 0,9180 .
2 6 3
P m P P P P
e e e e
e e
 
 
Пример 2.4. Имеется 100 станков одинаковой мощности, рабо-
тающих независимо друг от друга, в одинаковом режиме, при вклю-
ченном приводе, в течение 0,8 всего рабочего времени. Какова веро-
ятность того, что в произвольно взятый момент времени окажутся 
включенными от 70 до 86 станков? 
Решение. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа (фор-
мула (2.4)): 1 2 2 1( , ) ( ) ( )nP m m x x , где ( )x  – функция Лапласа;  
 11
70 100 0,8 10
2,5
4100 0,8 0,2
m np
x
npq
; 
 22
86 100 0,8 6
1,5
4100 0,8 0,2
m np
x
npq
. 
 23 
Искомая вероятность 
 
 
100 (70;86) (1,5) ( 2,5) (1,5) (2,5)
0,4332 0,4938 0,927
P
. 
Задание 3 
 
Варианты 
 
1. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 85% 
случаев. Какова вероятность того, что из 6 больных поправятся:  
а) не менее 5; б) хотя бы один? 
2. При введении вакцины против полиомиелита иммунитет создается 
в 99,98% случаев. Какова вероятность, что из 1000 вакцинированных 
детей заболеет менее 3 детей. 
3. Посажено 500 семян кукурузы с вероятностью 0,8 прорастания для 
каждого семени. Найти границу абсолютной величины отклонения 
относительной частоты взошедших семян от вероятности р = 0.8  
(т. е. определить значение ε), если эта граница должна быть гаранти-
рована с вероятностью 0,995. 
4. Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для аудитор-
ской проверки случайно выбраны 5 сбербанков. Какова вероятность 
того, что хотя бы один из них окажется в черте города? 
5. Производство дает 2% брака. Какова вероятность того, что из взя-
тых на исследование 1200 изделий, число бракованных будет заклю-
чено в пределах от 2 до 18? 
6. Применяемый метод лечения приводит к выздоровлению в 90% 
случаев. Какова вероятность того, что из 6 больных поправится:  
а) 5 больных; б) по крайней мере 1 больной? 
7. Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что станок в те-
чение часа потребует внимания рабочего, равно 0,3. Предполагая, что 
неполадки в станках независимы, найти вероятность того, что в тече-
ние часа внимание рабочего потребуют не более двух станков. 
8. Вероятность положительного исхода отдельного испытания равна 
0,8. Оцените вероятность того, что при 1000 независимых повторных 
испытаний отклонение частоты положительных исходов от вероятно-
сти при отдельном испытании по модулю будет меньше 0,05. 
 24 
9. Вероятность того, что пассажир опоздает к поезду равна 0.01. 
Найти наиболее вероятное число опоздавших из 500 пассажиров и 
вероятность этого числа. 
10. Вероятность появления события А в опыте равна 0,2. Опыт повто-
рили независимым образом 400 раз. Какова вероятность того, что со-
бытие А произойдет не менее 70, но не более 90 раз. 
11. Обследуется 500 изделий продукции, изготовленной на предприя-
тии, где брак составляет 2%. Найти вероятность того, что среди них 
окажется ровно11 бракованных. 
12. Вероятность малому предприятию стать банкротом за время t рав-
на 0,2. Найти вероятность того, что из 6 малых предприятий за время t 
сохранятся хотя бы 2. 
13. Вероятность появления события в каждом из 800 независимых 
испытаний равна 0,5. Найти такое положительное число ε, чтобы с 
вероятностью 0,823 модуль отклонения частоты появления события 
от его вероятности 0,5 не превышала ε. 
14. Вероятность поражения в каждой шахматной партии для игрока 
равна 0.5. Найти вероятность того, что он выиграл в шести партиях:  
а) хотя бы один раз; б) два раза; в) на менее двух раз. 
15. В типографии имеется 5 печатных машин. Для каждой машины 
вероятность того, что она работает, равна 0,8. Определить вероят-
ность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина. 
16. Всхожесть семян лимона составляет 80%. Найти вероятность того, 
что из девяти посеянных семян взойдут: а) семь; б)не более семи;  
в) более семи. 
17. Среди поступающих в ремонт часов 40% нуждаются в общей 
чистке механизма. Какова вероятность того, что из 4 взятых наугад 
часов в чистке механизма нуждаются : а) все часы; б) только 1 часы? 
18. Вероятность того, что покупателю потребуется мужской костюм 
52 размера, равна 0,4. Найти вероятность того, что из пяти покупате-
лей по крайней мере двум необходим костюм 52-го размера. 
19. Аппаратура содержит 2000 одинаково надежных элементов, веро-
ятность отказа для каждого из которых равна 0,0005. Какова вероят-
ность отказа аппаратуры, если он наступает при отказе хотя бы одно-
го из элементов? 
20. В семье четверо детей. Принимая равновероятным рождение маль-
чика и девочки, найти вероятность того, что мальчиков семье: а) три; 
б) не менее трех; в) два. 
 25 
21. Монету бросают 6 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: 
а) по крайней мере три раза; б) менее трех раз. 
22. При штамповке изделий из пластмассы на каждые 6 изделий при-
ходится одно дефектное. Определить вероятность того, что из 80 из-
готовленных изделий число стандартных изделий будет находиться  
в пределах от 60 до 75. 
23. Вероятность того, что изделие пройдет контроль, равна 0,8. Найти 
вероятность того, что из шести изделий контроль пройдут: а) пять из-
делий б) не менее пяти изделий; в) не более пяти изделий. 
24. Среди деталей, изготавливаемых рабочим, в среднем 2% нестан-
дартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание пя-
ти деталей: а) три нестандартных; б) будет наивероятнейшее число 
нестандартных деталей (из пяти); в) ни одной нестандартной детали 
(из пяти). 
25. Вероятность появления события в каждом из 21 независимых ис-
пытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится  
в большинстве испытаний. 
26. Найти вероятность того, что число мальчиков среди новорожден-
ных: 1) больше 480, но меньше 540; 2) равно 470. (Вероятность рож-
дения мальчика 0,51). 
27. Вероятность поражения цели при одном выстреле равна 0,8. Про-
изведено 7 выстрелов. Найти вероятность того, что имело место:  
а) четыре поражения цели; б) шесть поражений; в) не более шести 
поражений. 
28. В семье 8 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей:  
а) не более двух девочек; б) хотя бы одна девочка. Вероятность рож-
дения мальчика 0,51. 
29. Вероятность поражения цели каждым из семи выстрелов равна 
0,8. Найти вероятность поражения цели: а) двумя выстрелами; б) хотя 
бы одним выстрелом; в) не менее чем тремя выстрелами. 
30. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор  
в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 800 або-
нентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонит 5 або-
нентов; позвонит хотя бы один абонент? 
 
 
 
 
 26 
Тема 3. ОДНОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ (СВ)  
И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 
 
1. Функция распределения и ее свойства. 
2. Дискретные СВ. 
3. Непрерывные СВ. Плотность вероятности. 
4. Числовые характеристики одномерной СВ. 
5. Основные вероятностные модели распределения СВ. 
Определение. Случайной величиной Х называется величина, кото-
рая в результате эксперимента может принимать некоторые значения, 
причем неизвестные до проведения эксперимента. 
Случайная величина (СВ) Х называется дискретной, если множе-
ство значений, которое она может принимать является конечным или 
может быть пронумеровано натуральными числами (т. е. является 
счетным множеством). 
Законом распределения дискретной СВ Х называется совокупность 
пар чисел ( , )i ix p , где ix  – возможные значения СВ Х, а ip  – веро-
ятности, с которыми она принимает эти значения, причем  1i
i
p . 
Простейшей формой задания закона распределения дискретной СВ 
является таблица, которую называют рядом распределения. 
 
ix  1x  2x  
. . . 
nx  
. . . 
ip  1p  2p  
. . . 
np  
. . . 
 
Функцией распределения СВ Х называется функция ( )F x  действи-
тельного переменного x , определяющая вероятность того, что СВ Х 
примет в результате эксперимента значение, меньшее этого числа x , 
т.е. ( )F x ( )P X x . 
 
Основные свойства функции распределения 
 
1. 0 ( ) 1F x . 
2. ( )F x  – неубывающая функция, т. е. для любых 1 2,x x  таких, 
что 1 2x x  имеет место 1 2( ) ( )F x F x . 
3. ( ) ( ) ( )P a X b F b F a . 
 27 
4. lim ( ) 0, lim ( ) 1
x x
F x F x . 
5. ( )F x  непрерывна слева в любой точке 0x  
0
0
0
lim ( ) ( )
x x
F x F x . 
Функция распределения ( )F x  для дискретной СВ Х вычисляется 
по формуле 
:
( )
i
i
i x x
F x p , т. е. она разрывна и является ступенча-
той функцией. 
Непрерывной СВ Х называют такую СВ, множество возможных 
значений которой – некоторый числовой интервал (или объединение 
интервалов). 
Распределение непрерывной СВ Х может так же определяться 
функцией ( )f x  (плотность вероятности), которая определяется как 
( ) ( )f x F x . 
Так как ( )f x
0
( ) ( )
lim
x
F x x F x
x
, то вероятностный смысл 
плотности вероятности состоит в том, что ее значение равно пределу 
отношения вероятности попадания СВ Х в интервал ,x x x  к 
длине этого интервала x  при стремлении последнего к нулю. Функ-
ция распределения и плотность вероятности связаны между собой 
следующими соотношениями: 
( ) ( ), ( ) ( )
x
f x F x F x f t dt . 
 
Основные свойства плотности вероятности ( )f x  
 
1. ( ) 0f x . 
2. ( ) 1f x dx , т.е. площадь под кривой ( )y f x  равна 1. 
3. ( ) ( )
b
a
P a X b f x dx . 
 28 
Математическим ожиданием М(Х), ( )xm СВ Х называется число 
описывающее центр распределения СВ Х и вычисляемое по формуле 
;
( )
( ) .
i i
i
x p для дискретной СВ Х
M X
xf x dx для непрерывной СВ Х
 
 
Свойства математического ожидания 
 
1. ( )M C C , где С – константа. 
2. ( ) ( )M CX C M X . 
3. ( ) ( ) ( )M X Y M X M Y . 
4. ( ) ( ) ( )M X Y M X M Y , где СВ Х и СВ Y взаимно независимые. 
Дисперсией D(X) СВ Х называется математическое ожидание квад-
рата отклонения СВ от ее математического ожидания  
2
( ) ( )D X M X M X . 
Дисперсия вычисляется по формулам: 
2
2
[ ( )] ;
( )
[ ( )] ( ) .
i i
i
x M X p для дискретной СВ Х
D X
x M x f x dx для непрерывной СВ Х
 
или 
2 2
2 2
[ ( )] ;
( )
( ) [ ( )] .
i i
i
x p M X для дискретной СВ Х
D X
x f x dx M X для непрерывной СВ Х
 
Средним квадратическим отклонением СВ Х называется арифме-
тический корень из дисперсии ( )x D X . 
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение характеризуют 
рассеивание СВ вокруг ее среднего значения. 
 
 29 
Свойства дисперсии 
 
1. ( ) 0D C , где С – константа. 
2. 
2( ) ( )M CX C D X . 
3. ( ) ( ) ( )M X Y D X D Y , где СВ Х и СВ Y взаимно независимые. 
Пример 3.1. Непрерывная СВ Х распределена по закону 
0, 0; ;
4
( )
cos 2 , 0; .
4
x
f x
a x x
 
Найти , ( ), ( )a F x M X . 
Решение. 1). Используя свойство плотности вероятности, получим 
равенство 
4
4
0
0
1
cos 2 1 sin 2 1 1 2
2 2
a
a xdx a x a . 
Итак, 
0, 0; ;
4
( )
2cos 2 , 0; .
4
x
f x
x x
 
2) ( )F x  будем находить, пользуясь соотношением 
( ) ( )
x
F x f x dx . 
а) ;0 ( ) 0 0
x
x F x dx  
б) 
0
0
0; ( ) ( ) 0 2cos 2 sin 2
4
x x
x F x f x dx dx xdx x ; 
 30 
в) 
0 4
0
4
4
0
; ( ) ( ) 0 2cos 2 0
4
sin 2 1.
x x
x F x f x dx dx xdx dx
x
 
 Итак, 
0, 0;
( ) sin 2 , 0;
4
1, .
4
x
F x x x
x
 
3) 
4
0
, ;
( ) ( ) 2 cos 2
2cos 2 , sin 2
u x du dx
M X xf x dx x xdx
dv xdx v x
 
4
4 4
0 0
0
1 1 2
sin 2 sin 2 cos 2
4 2 4 2 4
x x xdx x . 
Пример 3.2. Имеется 6 ключей, из которых только 1 подходит к 
замку. Составить ряд распределения числа попыток при открывании 
замка, если ключ, не подошедший к замку, в последующих опробова-
ниях не участвует. Найти математическое ожидание и среднее квад-
ратическое отклонение этой случайной величины. 
Решение. Опробования открывания замка заканчиваются на k-й 
попытке, если первые k-1 попытки не привели к успеху, а k-я попытка 
закончилась успешно. 
Случайная величина Х – число попыток при открывании замка – 
может принимать следующие значения: 1x  = 1, 2x  = 2, 3x  = 3, 4x  = 4, 
 31 
5x  = 5, 6x  = 6. Вероятности этих значений можно определить по 
формуле 
6 1 1 1
( )
6 6 1 6
k
k
p P X k
k
. 
Таким образом, возможные значения случайной величины равно-
вероятны. Запишем ряд распределения данной дискретной СВ: 
 
ix  1 2 3 4 5 6 
ip  1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 
 
На основании этого распределения получим 
6
1
1 7
( ) (1 2 3 4 5 6) ;
6 2
i i
i
M X x p
 
6
2 2 2 2 2 2 2 2
1
1 91
( ) (1 2 3 4 5 6 ) ;
6 6
i i
i
M X x p
 2 2
91 49 35
( ) ( ) [ ( )] ;  
6 4 12
D X M X M X
35
( ) ( )  .
12
X D X  
 
Задание 4 
В четных вариантах дана функция распределения F(x) СВ Х.  
Требуется найти плотность распределения вероятностей f(x), 
математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и вероятность 
попадания СВ Х на отрезок [a, b]. Во всех вариантах построить 
графики функций F(x) и f(x). 
 
Варианты 
 
1. В группе из десяти изделий имеется одно бракованное. Чтобы 
его обнаружить, выбирают наугад одно изделие за другим и каждое 
взятое проверяют. СВ Х – число проверенных изделий. 
Найти ( ), ( ), ( ), ( ), (1 4)F x M X D X X P X . 
 32 
2.  
2
0, если 0,
1
( ) (2 5 ), если 0 3, 1, 2.
33
1, если 3.
x
F x x x x a b
x
.  
3. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу ото-
браны 2 детали. СВ Х – число стандартных деталей среди отобран-
ных. Найти ( ), ( ), ( ), ( ), (1 2)F x M X D X X P X . 
4.  
2
0, 0,
1
( ) ( 2 ), 0 4, 0, 1,
24
1, 4 .
если x
F x x x если x a b
если x
 
5. Из ящика, содержащего 3 бракованных и 5 стандартных дета-
лей, наугад извлекают 3 детали. СВ Х – число вынутых стандартных 
деталей. Найти ( ), ( ), ( ), ( ), (1 2)F x M X D X X P X . 
6.  
2
0, если 0,
1
( ) ( ), если 0 4, 0, 3,
20
1, если 4 .
x
F x x x x a b
x
 
7. Батарея состоит из трех орудий. Вероятности попадания в цель 
при одном выстреле из I, II, III орудия батареи равны соответственно 
0,5; 0,6; 0,8. Каждое орудие стреляет по цели один раз. СВ Х – число 
попаданий в цель.  
Найти ( ), ( ), ( ), ( ), (1 2)F x M X D X X P X . 
8. 
0, если 0,
( ) 1 cos , если 0 / 2, 0, / 3.
1, если / 2 .
x
F x x x a b
x
 
9. Испытуемый прибор состоит из четырех элементов. Вероятно-
сти отказа каждого из них соответственно равны: 0,2; 0,3; 0,4; 0,5. От-
 33 
казы элементов независимы. СВ Х – число отказавших элементов. 
Найти ( ), ( ), ( ), ( ), (1 3)F x M X D X X P X . 
10.  
2
0, если 1,
1
( ) ( 1) , если 1 2, 1, 2,
9
1, если 2 .
x
F x x x a b
x
 
11. Партия, насчитывающая 50 изделий, содержит 6 бракованных. 
Из всей партии случайным образом выбрано 5 изделий. СВ Х – число 
бракованных изделий среди отобранных.  
Найти ( ), ( ), ( ), ( ), ( 3)F x M X D X X P X . 
12.  
3
0, 1,
1
( ) ( 1), 1 2, 1, 2,
9
1, 2 .
если x
F x x если x a b
если x
 
13. Из урны, содержащей 4 белых и 2 черных шара, наудачу из-
влекают два шара. СВ Х – число черных шаров среди этих двух.  
Найти ( ), ( ), ( ), ( ), (0 2)F x M X D X X P X . 
14. 
0, если 3 / 2,
( ) cos , если 3 / 2 2 , 3 / 2, 7 / 4,
1, если 2 .
x
F x x x a b
x
 
15. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту 
книга свободна, равна 0,3. В городе 4 библиотеки. СВ Х – число биб-
лиотек, которые посетит студент.  
Найти ( ), ( ), ( ), ( ), (1 3)F x M X D X X P X . 
16. 
 
0, если 1,
1
( ) ( 1), если 1 4, 0, 3,
5
1, если 4.
x
F x x x a b
x
 
 34 
17. В некотором цехе брак составляет 5% всех изделий. СВ Х – 
число бракованных изделий из 6 наудачу взятых изделий..  
Найти ( ), ( ), ( ), ( ), (1 5)F x M X D X X P X . 
18.  
3
0, если 0,
( ) ( 3 ) /14, если 0 2, 0, 1.
1, если 2 .
x
F x x x x a b
x
 
19. Монету подбрасывают 6 раз.. СВ Х – число появлений герба. 
Найти ( ), ( ), ( ), ( ), (1 4)F x M X D X X P X . 
20.  
2
0, если 0,
( ) ( ) / 6, если 0 2, 0, 1,
1, если 2.
x
F x x x x a b
x
 
21. Имеется 4 заготовки для одной и той же детали. Вероятность 
изготовления годной детали из каждой заготовки равна 0,9. СВ Х – 
число заготовок, оставшихся после изготовления первой годной дета-
ли. Найти ( ), ( ), ( ), ( ), (1 3)F x M X D X X P X . 
22. 
3
0, если 1,
1
( ) ( 2 ), если 1 2, 1,2, 1,5.
4
1, если 2.
x
F x x x x a b
x
 
23. Устройство состоит из трех независимо работающих элемен-
тов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. 
СВ Х – число отказавших элементов в одном опыте.  
Найти ( ), ( ), ( ), ( ), (1 3)F x M X D X X P X . 
24.  
0, если 0,
1
( ) , если 0 6, 2, 5,
6
1, если 6 .
x
F x x x a b
x
 
 35 
25. На участке имеется 5 одинаковых станков, коэффициент ис-
пользования которых по времени составляет 0,8. СВ Х – число рабо-
тающих станков. 
Найти ( ), ( ), ( ), ( ), (0 4)F x M X D X X P X . 
26.  
2
0, если 2,
( ) ( 2) , если 2 3, 2,5, 2,8.
1, если 3 .
x
F x x x a b
x
 
27. В партии деталей – 10% нестандартных. Наудачу отобраны 4 
детали. СВ Х – число нестандартных деталей среди четырех отобран-
ных. Найти ( ), ( ), ( ), ( ), (2 4)F x M X D X X P X . 
28.  
0, если / 2,
( ) cos , если / 2 , / 2, 5 / 6,
1, если .
x
F x x x a b
x
 
29. Охотник стреляет в цель до первого попадания, но успевает 
сделать не более 4 выстрелов. Вероятность попадания при одном вы-
стреле равна 0,7. СВ Х – число выстрелов, производимых охотником. 
Найти ( ), ( ), ( ), ( ), (1 3)F x M X D X X P X . 
30. Дана функция распределения F(x) СВ Х 
0, если 0,
1
( ) (1 cos ), если 0 , / 3, / 2.
2
1, если .
x
F x x x a b
x
 
 
Тема 4. МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 
 
1. Дискретные двумерные случайные величины (СВ). 
2. Функция распределения двумерной СВ и ее свойства. 
3. Непрерывные многомерные СВ. Плотность распределения дву-
мерной СВ. 
 36 
4. Распределение составляющих двумерной СВ. 
5. Условные законы распределения составляющих, зависимые и не-
зависимые СВ. 
6. Двумерное нормальное распределение. Модельное уравнение ре-
грессии. 
Часто результат опыта описывается не одной СВ Х, а несколькими 
СВ: 1 2, ,..., nX X X . В этом случае принято говорить, что указанные  
СВ образуют систему 1 2( , ,..., )nX X X . 
Систему двух СВ (X,Y) можно изобразить случайной точкой на 
плоскости. 
Событие, состоящее в попадании случайной точки (X,Y) в область D, 
принято обозначать в виде ( , )X Y D . 
Закон распределения системы двух дискретных СВ может быть за-
дан с помощью таблицы 1. 
 
Таблица 1 
 
X                 Y y1 y2 … ym 
x1 p11 p12 … p1m 
x2 p21 p22 … p2m 
… … .. … … 
xn pn1 pn2 … pnm 
 
Где ( , )( 1, ; 1, )ij i jp P X x Y y i n j m . При этом 
1 1
1
n m
ij
i j
p . 
Таблица может содержать бесконечное множество строк и столбцов. 
Определение. Функцией распределения или «совместной» функци-
ей распределения ( , )F x y  системы двух СВ(Х,Y) называется вероят-
ность совместного выполнения двух неравенств: ,X x Y y , то 
есть ( , ) ( )F x y P X x Y y . 
Функция распределения обладает следующими свойствами: 
 37 
1. ( , )F x y  – неубывающая функция обоих аргументов, т. е. если 
2 1x x , то 2 1( , ) ( , )F x y F x y ; если 2 1y y , то 2 1( , ) ( , )F x y F x y . 
2. lim ( , ) lim ( , ) lim ( , ) 0 
x y x
y
F x y F x y F x y . 
3. lim ( , ) 1 
x
y
F x y . 
4. 1( , ) ( ) ( ) ( )F x P X x Y P X x F x . 
2( , ) ( ) ( ) ( )F y P X Y y P Y y F y . 
Здесь 1( )F x  – функция распределения СВ Х; 2 ( )F y  – функция 
распределения СВ Y. 
5. 1 2 1 2 2 2 1 2( ) ( , ) ( , )P a X a b Y b F a b F a b  
2 1 1 1( , ) ( , )F a b F a b  
Для системы дискретных СВ функция распределения ( , )F x y  
находится по формуле ( , )F x y =
: :i j
ij
i x x j y y
p . 
Закон распределения системы непрерывных СВ(Х,Y) может быть 
задан с помощью функции плотности распределения ( , )f x y . 
Система двух СВ(Х,Y) является непрерывной, если ее функция 
распределения ( , )F x y  имеет смешанную вторую производную 
2 ( , )F x y
x y
 (за исключением, быть может, конечного или счетного 
множества точек). 
Определение. Плотностью распределения ( , )f x y  системы двух 
непрерывных СВ(Х,Y) называется предел отношения вероятности по-
падания случайной точки (Х,Y) в прямоугольник x yR  со сторонами 
x y , примыкающий к точке ( , )x y  к площади этого прямоугольни-
ка, при условии, что x  и y  стремятся к нулю: 
 
 38 
0
0
0
0
( , )
( , ) lim
lim
x y
x
y
x
y
P X Y R
f x y
x y
P x X x x y Y y y
x y
 
0
0
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
lim
x
y
F x x y y F x y y F x x y F x y
x y
= 
2 ( , )F x y
x y
. 
Функция плотности распределения обладает следующими свой-
ствами: 
1. ( , ) 0f x y . 
2. ( , ) 1f x y dxdy . 
3. ( , )F x y = ( , )
yx
f u v dudv . 
4. ( , ) ( , )
D
P X Y D f x y dxdy . 
Зная закон распределения системы СВ(Х,Y), можно найти законы 
распределения составляющих величин Х и Y. 
Рассмотрим систему двух дискретных СВ(Х,Y), закон распределе-
ния которой задан в виде матрицы распределения (таблица 1). Тогда 
законы распределения составляющих Х и Y имеют вид: 
 
Y y1 y2 … ym 
p 
1y
p  
2y
p  … 
my
p  
 
Где 
1
( ) , 1,
i
m
x i ij
j
p P X x p i n ; 
X x1 x2 … xn 
p 
1x
p  
2x
p  … 
nx
p  
 39 
1
( ) , 1,
j
n
y j ij
i
p P Y y p j m . 
Для системы двух непрерывных СВ справедливы формулы: 
1( )F x = ( , )
x
f u y dudy ; 2 ( )F y = ( , )
y
f x v dxdv , 
где 1( )F x  – функция распределения СВ Х; 2 ( )F y  – функция распре-
деления СВ Y. 
Рассмотрим обратную задачу. 
Определение. Две случайные величины называются независимы-
ми, если для любых ( , )x y  справедливо равенство ( , )F x y  
1 2( ) ( )F x F y . 
Для системы двух дискретных СВ Х и Y необходимое и доста-
точное условие независимости Х и Y имеет вид ,
i jij x y
p p p  
1, , 1,i n j m . 
В случае непрерывных СВ, входящих в систему, данное условие 
записывают в виде 1 2( , ) ( ) ( )f x y f x f y . 
Если случайные величины, образующие систему, зависимы, то не-
достаточно знать законы распределения отдельных величин, входя-
щих в систему. Требуется еще знать условный закон распределения 
одной из них. 
Определение. Условным законом распределения одной из состав-
ляющих СВ(Х,Y) называется ее закон распределения, вычисленный 
при условии, что другая составляющая приняла определенное значе-
ние (или попала в какой-то интервал). 
В общем случае функция распределения ( , )F x y  системы двух за-
висимых СВ может быть записана в виде 
( , )F x y = ( )P X x Y y P X x P Y y X x = 
1( ) ( )F x P Y y X x . 
Условная вероятность P Y y X x  – вероятность события 
( )Y y  при условии, что величина Х приняла значение. меньшее, 
 40 
чем x, называется условной функцией распределения СВ Y при условии 
( )X x : 2( ) ( )F y X x P Y y X x . 
Следовательно, имеем: ( , )F x y = 1 2( ) ( )F x F y X x , 
( , )F x y = 2 1( ) ( )F y F x Y y . 
Для плотности распределения системы двух зависимых непрерыв-
ных СВ(Х,Y) справедливы формулы: 
1
1 2 2
2 1
2
1
( , )
( )
( , ) ( ) ( ) ( )
( , ) ( ) ( ) ( , )
( ) .
( )
f x y
f x y
f x y f x f y x f y
f x y f y f x y f x y
f y x
f x
 
 
Математические ожидания и дисперсия составляющих дискретных 
СВ Х и СВ Y определяются по формулам: 
 
1 1 1
( )
i
n n m
i x i ij
i i j
M X x p x p ; 
1 1 1
( )
j
m n m
j y j ij
j i j
M Y y p y p . 
22 2
1 1 1 1
( ) ( ( )) ( );
n m n m
i ij i ij
i j i j
D X x M X p x p M X  
22 2
1 1 1 1
( ) ( ( )) ( )
n m n m
j ij j ij
i j i j
D X y M Y p y p M Y . 
 
Для непрерывных СВ Х и Y имеем: 
 
1( ) ( ) ( , )M X xf x dx xf x y dydx ; 
2( ) ( ) ( , )M Y yf y dy yf x y dxdy ; 
 41 
2( ) ( ( )) ( , )D X x M X f x y dxdy
 
2 2( , ) ( )x f x y dxdy M X ; 
2( ) ( ( )) ( , )D Y y M Y f x y dxdy
 
2 2( , ) ( )y f x y dxdy M Y ; 
Связь между составляющими Х и Y системы СВ(Х, Y) описывает-
ся ковариацией. 
 
cov( , ) ( ( )) ( ( ))
( ) ( ) ( ).
xyK X Y M X M X M Y M Y
M X Y M X M Y
 
Расчетные формулы для ковариации xyK  имеют вид 
xyK =
1 1
( ) ( ) ( , );
( , ) ( ) ( ) ( , ).
n m
i j ij
i j
x y p M X M Y для дискретных СВ X Y
xyf x y dxdy M X M Y для непрерывныхСВ X Y
 
 
 В случае независимых СВ Х и Y ковариация равна нулю ( xyK = 0). 
Коэффициент корреляции xyr  характеризует степень вероятност-
ной зависимости составляющих Х и Y и вычисляется по формуле 
xy
xy
x y
K
r . 
Пример 4.1. Два студента наудачу извлекают по одному шару из 
урны, содержащей 4 белых и 6 черных шаров (шары в урну не воз-
вращаются). СВ Х – число белых шаров у первого студента, СВ Y – у 
второго. Первым выбирает шар первый студент. Необходимо: 
 42 
1. Написать закон распределения двумерной СВ(Х,Y). 
2. Написать безусловные законы распределения составляющих Х и Y.  
3. Определить, зависимы или независимы СВ Х и Y. 
4. Написать условный закон распределения составляющей Х при 
условии, что 1Y . 
5. Найти коэффициент корреляции. 
Решение. 1. Составим закон распределения СВ(Х,Y). 
6 5 4
( 0) . ( 0 0) , ( 1 0) .
10 9 9
P X P Y X P Y X  
Т.е. 
6 5 1 6 4 4
( 0 0) . ( 0 1)
10 9 3 10 9 15
P X Y P X Y . 
4 6 2 3 1
( 1) . ( 0 1) , ( 1 1)
10 9 3 9 3
P X P Y X P Y X . 
4 2 4 4 1 2
( 1 0) . ( 1 1)
10 3 15 10 3 15
P X Y P X Y . 
 
Матрица распределения имеет вид 
 
X      Y 0 1 
 
0 
 
1 
1
3
 
4
15
 
4
15
 
2
15
 
 
2. Законы распределения составляющих: 
 
X 0 1 
ix
p  3
5
 
2
5
 
  
Y 0 1 
jy
p
 
3
5
 
2
5
 
 43 
3. Поскольку 
2
( 1 1)
15
P X Y , а 
2 2 4
( 1) ( 1)
5 5 25
P X P Y , то составляющие Х и Y СВ(Х,Y) 
являются зависимыми. 
4. Найдем условный закон распределения составляющей Х 
при условии, что 1Y . 
4
( 0 1) 4 5 215( 0 1)
2( 1) 2 15 3
5
P X Y
P X Y
P Y
. 
2
( 1 1) 2 5 115( 1 1)
2( 1) 2 15 3
5
P X Y
P X Y
P Y
. 
5. Найдем коэффициент корреляции 
xy x y
xy
x y
m m m
r . 
3 2 2 3 2 2
0 1 ; 0 1 ;
5 5 5 5 5 5
x ym m  
1 4 4 2 2
0 0 0 1 0 1 1 1
3 15 15 15 15
xym . 
2
2 2 23 2 2 2 4 6( ) ( ) 0 1
5 5 5 5 25 25
xD X M X m . 
6
( )
5
x D X .
2 2 6( ) ( )
25
yD Y M Y m .
6
5
y . 
2 4 10 12
2 25 115 25 75
6 6 75 6 9
25 25
xyr . 
 44 
Пример 4.2. Плотность вероятности двумерной СВ(Х, Y) задана 
выражением 
( ) 0 2, 0 2;
( , )
0 .
a x y при x y
f x y
в остальных случаях
 
Найти:  коэффициент а; 1( ), ( )f x f y x ; вероятность попадания 
двумерной СВ(Х, Y) в треугольник D, ограниченный прямыми 
1 0, 0, 0x y x y . 
Решение. Построим область D. 
 
                    Y 
 
                    2 
                              D 
 
                                      2             X 
 
 
1) Коэффициент а определяем из условия нормировки: 
( , ) 1
D
f x y dxdy . 
В нашем случае имеем ( ) 1
D
a x y dxdy . 
Перейдя к повторным интегралам, получаем: 
2 2 2
0 0 0
1
( ) 1, (2 2) 1, 8 1,
8
a x y dy dx a x dx a a . 
Следовательно имеем : 
1
( ) 0 2, 0 2;
( , ) 8
0 .
x y при x y
f x y
в остальных случаях
 
2) Найдем плотность вероятности 1( )f x СВ Х по формуле  
1( ) ( , )f x f x y dy . В нашем случае имеем: 
 45 
2
1 0
1
( ) 0 2;
( ) 8
0, 0 2.
x y dy при x
f x
x или x
 
После вычисления 
2
0
1
( )
8
x y dy  получаем  
1
1 1
0 2;
( ) 4 4
0, 0 2.
x при x
f x
x или x
 
1
, 0 2 (0 2);( , )
2( 1)( )
( )
0, 0 2.
x y
y xf x y
xf y x
f x
y или y
 
3) Вероятность попадания двумерной СВ(Х, Y) в треугольник D 
найдем по формуле  
1
( , ) ( , )
D
P X Y D f x y dxdy .     Y 
Сделаем чертеж. 
                                                               1 
                                                             
                                                                    D1 
                                                                             
                                                                                1         X 
Расставляя пределы интегрирования, получаем: 
 
1
21 1 1
1
0 0 0 0
1 1
(( , ) ) ( )
8 8 2
x
x y
P X Y D x y dy dx xy dx  
1
2
0
1 1 1 1
8 2 2 24
x dx . 
 
 
 
 46 
Задание 5 
 
  В четных вариантах необходимо: 
1) Написать закон распределения двумерной СВ(Х, Y). 
2) Написать безусловные законы распределения составляющих Х и Y. 
3) Определить, зависимы или независимы СВ Х и Y. 
4) Написать условный закон распределения составляющей Х при 
условии, что 1Y . 
5) Найти коэффициент корреляции. 
 
Варианты 
 
1. Двумерная СВ(Х, Y) равномерно распределена внутри круга ра-
диуса а с центром в начале координат. Требуется найти ( , ),f x y  
1 2( ), ( )f x f y . 
2. Подбрасывается один раз игральная кость. Составляющая Х 
принимает значение, равное 1, если выпадает четное число очков, и 
1X  в противном случае. Составляющая Y принимает значение, 
равное 1, если число очков делится на 3. В противном случае 1Y . 
3. Двумерная СВ(Х, Y) имеет плотность вероятности 
2 2 2
( , )
(4 )(2 )
b
f x y
x y
. 
Найти: 1) величину b; 2) функцию распределения ( , )F x y ; вероят-
ность попадания СВ(Х, Y) в квадрат, ограниченный прямыми 0,x  
0, 1y y . 
4. Студенты наудачу извлекают по одному шару из урны, содер-
жащей 3 белых и 1 черный шар. Составляющая Х – число белых ша-
ров у первого студента, составляющая Y – число белых шаров у вто-
рого студента. Выбор шаров производится без возвращения. Первым 
извлекает шар первый студент. 
5. Двумерная СВ(Х, Y) равномерно распределена в треугольнике, 
ограниченном прямыми 0, 0, 2 3 1x y x y . Найти 
( ), ( )D X D Y . 
 
 47 
 
6. Подбрасывается один раз игральная кость. Составляющая Х рав-
на 0, если число выпавших очков 3 , в противном случае 1X . Со-
ставляющая Y равна 0, если число выпавших очков > 2, в противном 
случае 1Y . 
7. Плотность распределения вероятности двумерной СВ(Х, Y) име-
ет вид  
 
;
( , )
0 ,
axy в области D
f x y
вне этой области
 
 
где D – треугольник, ограниченный прямыми 1 0,x y  0, 0x y . 
Найти: 1) коэффициент а; 2) xyr . 
8. Два студента наудачу извлекают по одному шару из урны, со-
держащей 3 белых и 1 черный шар. Составляющая Х – число белых 
шаров у первого студента, а составляющая Y – число белых шаров у 
второго студента. Первым извлекает шар первый студент и после из-
влечения возвращает шар в урну. 
9. Система СВ(Х, Y) подчинена закону распределения с плотно-
стью  
 
( ) ;
( , )
0 ,
a x y в области D
f x y
вне этой области
 
 
где область D – прямоугольник, ограниченный прямыми 0, 4,x x  
0, 5y y . 
Требуется: 1) определить коэффициент а; 2) найти 1 2( ), ( )f x f y ;  
3) вычислить вероятность попадания двумерной СВ(Х, Y) в квад-
рат, ограниченный прямыми 1, 2, 0, 1x x y y . 
10. Подбрасывается один раз игральная кость. Составляющая 
0X , если число выпавших очков 4 , в противном случае 1X . 
Составляющая 0Y , если число выпавших очков < 3, в противном 
случае 1Y . 
11. Функция распределения системы двух СВ(Х, Y) задана выра-
жением  
 48 
 
0 0, 0;
( , ) sin sin 0 ;0 ;
2 2
1 ; .
2 2
при x y
F x y x y при x y
при x y
 
Найти: 1) ( , )f x y ; 2) (0 ; 0 )
4 4
P X Y ; 3) М(Х), М(Y). 
12. Три раза подбрасывается симметричная монета. СВ Х – число 
выпадений герба; СВ Y – абсолютная величина разности числа выпа-
дений решки и герба. 
13. Двумерная СВ(Х, Y) равномерно распределена в треугольнике, 
ограниченном прямыми 0, 0, ( 0)x y x y a a . Найти: 1) ве-
личину а; 2) ( , )f x y ; 3) М(Х), М(Y). 
14. Дано распределение системы двух величин (Х, Y) 
 
  
 
 
 
 
 
 
Известна вероятность ( ) 0,3P Y X . 
15. Двумерная СВ(Х, Y) имеет плотность распределения 
2 3
, 1, 1;
( , )
0, 1 1.
b
x y
f x y x y
x или y
 
Найти: 1) величину b; 2) ( , )F x y ; 3) 1 2( ), ( )f x f y . 
16. По радиолинии передается сигнал в виде последовательности 
трех импульсов. Вероятность искажения каждого импульса равна 0,1. 
СВ Х – число искаженных импульсов, СВ Y – число правильных им-
пульсов. 
17. Двумерная СВ(Х, Y) имеет плотность распределения 
yj 
xi 
1 3 
-1 0,2 p12 
2 0,1 0,05 
4 P31 0,3 
 49 
0, 0
( , )
0 0 0.
x ye при x y
f x y
при x или y
 
 Найти: 1) ( , )F x y ; 2) М(Х), М(Y). 
18. Из урны, содержащей 5 белых и 5 черных шаров, случайным 
образом извлекают 3 шара. СВ Х – число белых шаров в выборке; СВ 
Y – отношение числа черных шаров в выборке к величине 1X . 
19. Случайные величины (Х, Y) независимы и имеют одинаковые 
плотности распределения: 1 22 2
( ) , ( )
1 1
a a
f x f y
x y
. Найти:  
1) величину а; 2) ( , )f x y ; 3) ( , )F x y ; 4) (0 10; 0 1)P X Y . 
20. Производится четыре независимых опыта в каждом из которых 
может появиться событие А с вероятностью 0,6. СВ Х – число появ-
ления события А. СВ Y – число появления противоположного собы-
тия A . 
21. Показать, что случайные величины Х и Y с совместной плотно-
стью 
12 0 1, 0 1
( , )
0
xy при x y
f x y
в остальных случаях
 
независимы. Найти: 1) M(X), D(X); 2) 
1 1 1 1
( ; )
4 2 4 2
P X Y . 
22. Производятся два выстрела по мишени. Вероятность попадания 
при одном выстреле равна 0,7. СВ Х – число выстрелов до первого 
попадания ( 2X , если попадания не было), СВ Y – число промахов. 
23. Плотность распределения двумерной СВ (Х, Y) имеет вид: 
2 2 2 2
2 2
(1 ), 1
( , )
0, 1.
a x y x y
f x y
x y
 
Найти: 1) а; 2) М(Х), М(Y), D(X), D(Y); 3) вероятность попадания 
СВ (Х, Y) в квадрат, вписанный в круг 
2 2 1x y . 
24. Бросаются две игральные кости. СВ Х – индикатор четности 
суммы выпавших очков, СВ Y – индикатор четности произведения 
выпавших очков. 
 50 
25. Система двух случайных величин (Х, Y) равномерно распреде-
лена в треугольнике со сторонами , 0, 2y x x x . Найти коэф-
фициент корреляции системы. 
26. Задано распределение системы СВ (Х, Y) 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
Известно, что ковариация
1
( , )
4
K X Y . 
27. Система двух случайных величин (Х, Y) равномерно распреде-
лена в квадрате D со стороной 2  и диагоналями, совпадающими с 
осями координат. Найти: 1) ( , )f x y ; 2) 1 2( ), ( )f x f y . 
28. Из множества 2, 3, ... ,10, 11  наудачу извлекаются два чис-
ла. СВ Х – количество нечетных чисел; СВ Y – количество простых 
чисел среди извлеченных. 
29. Система двух случайных величин (Х,Y) имеет плотность рас-
пределения 
 
, ( , )
( , )
0, ( , ) .
c x y D
f x y
x y D
 
15; 0 4D x y . 
 
Найти: 1) значение с; 2) M(X), D(X); 3) ( 3,5; 0 2)P X Y . 
30. Баскетболист дважды бросает мяч в корзину. Вероятность по-
падания при одном броске 0,6. СВ Х – число попаданий; СВ Y – число 
промахов до первого попадания. 
 
yj 
xi 
-1 0 1 
-1 p11 
1
12
 
1
12
 
1 
1
12
 P22 
1
12
 
 51 
Тема 5. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ. 
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ 
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 
 
1. Генеральная и выборочные совокупности. 
2. Статистическое распределение случайной величины. 
3. Эмпирическая функция распределения. Графическое изображе-
ние статистических рядов. 
4. Классификация точечных оценок. Метод моментов и метод 
наибольшего правдоподобия. 
5. Доверительная вероятность, доверительный интервал. Интер-
вальные оценки параметров распределения. 
6. Статистический критерий значимости проверки нулевой гипо-
тезы. 
7. Статистическая проверка гипотез о параметрах распределе-
ния (математическом ожидании, равенстве математических ожи-
даний, дисперсии). 
8. Статистическая проверка непараметрических гипотез. Крите-
рии согласия 
2
 и Колмогорова. 
9.Статистическая зависимость. Линейная регрессия. Метод 
наименьших квадратов. 
10. Эмпирический коэффициент корреляции и его свойства. 
 
Между составляющими двумерной ( , )CB X Y  может существо-
вать зависимость, не носящая функциональный характер. В этом слу-
чае мы не можем говорить о том, какое значение принимает одна со-
ставляющая, если вторая приняла некоторое конкретное значение, но 
мы можем говорить о законе распределения (условном) одной состав-
ляющей, если известно, какое значение приняла вторая. Такая зави-
симость называется статистической. 
 В практических приложениях при исследовании статистической 
зависимости СВ Х и Y рассматривают зависимость между значениями 
одной из них X и условным математическим ожиданием другой 
 
( )M Y X x y x        (5.1) 
 Уравнение (5.1) называется модельным уравнением регрессии Y на X . 
Если эта зависимость линейная, т.е. 
 52 
( )y x x ,        (5.2) 
 
то регрессия называется линейной. 
 Поскольку модельное уравнение регрессии неизвестно, то для его 
оценки используют эмпирическое уравнение регрессии 
 
( )y x a bx ,         (5.3) 
 
где коэффициенты a  и b находят по результатам выбор-
ки ( , ), 1,...,i ix y i n  объема n  методом наименьших квадратов, а 
именно a  и b выбирают так, чтобы они минимизировали функцию 
 
2
1
( , ) ( )
n
i i
i
S a b y a bx . 
 Используя необходимые условия экстремума 0, 0
S S
a b
, по-
лучают, систему уравнений: 
1 1
2
1 1 1
.
n n
i i
i i
n n n
i i i i
i i i
b x n a y
b x a x x y
 
И далее: 
2 ,
b X a Y
b X a X XY
        (5.4) 
где 
2 2
1 1 1 1
1 1 1 1
, , , .
n n n n
i i i i i
i i i i
X x Y y XY x y X x
n n n n
 Решая сис-
тему (5.4), получим 
 
22
;
XY X Y
b a Y bX
X X
.      (5.5) 
После подстановки в формулу (5.3) значений a  и b из (5.5) она 
примет вид: 
 53 
( )
y
x
x
y Y r x X , где 
2 22 2
22
1
; ;
1
; .
x y
n
i
ix y
X X Y Y
XY X Y
r Y y
n
     (5.6) 
 
 Число r  является выборочным коэффициентом корреляции, 
x y
XY X Y
r . При этом число  
2d r           (5.7) 
 
называется коэффициентом детерминации. 
Другая формула для d : 
 
d
2 2
1 1
2 2
1 1
( ) ( ( ))
1
( ) ( )
n n
i i i
i i
n n
i i
i i
a bx Y y a bx
y Y y Y
.   (5.8) 
 
 Поэтому d  показывает долю разброса результатов наблюдений 
( , )i ix y  относительно прямой y Y , которая объясняется выбороч-
ной регрессией (5.3). При этом числа ( )i i ie y a bx в формуле 
(5.8) называются остатками, а число 
 
        
2
1
n
e i
i
Q e           (5.9) 
 
– остаточной суммой квадратов. 
 Числа a  и b , полученные по методу наименьших квадратов явля-
ются несмещенными оценками параметров  и  из (5.2), то есть 
( ) ; ( )M a M b . 
 54 
 Число  
22
1
1 1
2 2
n
i e
i
s e Q
n n
      (5.10) 
 
называется остаточной дисперсией. 
В качестве примера рассмотрим задачу из задания 5, исходные 
данные возьмем для варианта 31*(см. ниже). 
Пример 5.1.  
Решение. 1) Зависимость между X и Y будем искать в виде 
( )y x a bx . Параметры a  и b  модели найдем из системы (5.4): 
2
;
.
b X a Y
b X a X XY
 
Тогда по формуле (5.5) 
 
2 22
29,02 6,65 4,1
0,622.
47,043 (6,65)
XY X Y
b
X X
 
Из первого уравнения 4,1 0,622 6,65 0,038a Y b X . 
Итак, уравнение прямой линии регрессии Y на x: 
0,622 0,038xy x . 
Вспомогательные вычисления соберем в таблицу 2. 
 
Таблица 2 
 
xi yi xiyi xi
2
 yi
2
 ei
2
 
4 2 8 16 4 0,2025 
4,5 3 13,5 20,25 9 0,057121 
5,5 3 16,5 30,25 9 0,146689 
6 4 24 36 16 0,0936 
6,5 4 26 42,25 16 0,00003 
7 5 35 49 25 0,4679 
7,2 5 36 51,84 25 0,31315 
7,8 4 31,2 60,84 16 0,66194 
8 5 40 64 25 0,00384 
10 6 60 100 36 0,03313 
 = 66,5  = 41  = 290,2  = 470,43  = 181 Qe = 1,9799 
6,65X  4,1Y  29,02XY  2 47,04X  2 18,1Y  s
2
 = 0,2475 
 55 
2) Построим корреляционное поле и график 0,622 0,038xy x , 
(4) 2,45, (10) 6,182y y . 
График линии регрессии 
 
2 4 6 8 10
x
1
2
3
4
5
6
7
y
 
3) Вычислим коэффициент корреляции r  по формуле (5.4) и коэффи-
циент детерминации 
2
d r : 
2 2 2 22 2
29,02 6,65 4,1
47,043 (6,65) 18,1 (4,1)
0,92.
XY X Y
r
X X Y Y  
4) Коэффициент детерминации 
 
2(0,92) 0,85d (с точностью до 0,01). 
 
 Поэтому 85% рассеивания зависимой переменной Y объясняется 
линейной регрессией Y на X, а 15%  рассеивания Y остались необъяс-
ненными. 
5) По формуле (5.9): 
2
1
n
e i
i
Q e 2
1
( ( )) 1,9799
n
i i
i
y a bx . 
6) По формуле (5.10): 
2 1 1 1,9799 0,2475
2 8
es Q
n
. 
 56 
7) Подставим точку ( , ) (6,65; 4,1)X Y  в уравнение 0,622 0,038y x , 
0,622 6,65 0,038 4,1y  (с точностью до 0,01). 
8) Вычислим d  по формуле (5.8), при этом используя равенство 
22 2
1
( ) ( )
n
i
i
y Y n Y Y  
d
2
1
2 222
1
( ( ))
1,9799
1 1 1
10 (18,1 4,1 )( )( )
n
i i
i e
n
i
i
y a bx
Q
n Y Yy Y
 
1,9799
1 0,85
12,9
 (с точностью до 0,01). 
9) Если 7,5l ; то 0,622 7,5 0,038 4,627xy , т. е. при энерго-
вооруженности 7,5l  тыс. кВт ч в год/ч можно ожидать среднюю 
производительность 4,627y (тыс. изд. в год/ч). 
Задание 6 
 
 Компания контролирует 10n  фабрик, выпускающих однород-
ную продукцию. В таблице 2 приведены данные о производительно-
сти труда iy (тыс. изд. в год на одного работающего) и энерговоору-
женности фабрики ix (тыс. кВт ч в год на одного работающего), 
1,...,i n . 
 Требуется: 
1) Установить зависимость между X и Y (выбирать линейную мо-
дель, параметры модели находить по методу наименьших квадратов). 
2) Построить корреляционное поле и график линии регрессии. 
3) Вычислить коэффициент корреляции r  (формула 5.6). 
4) Вычислить коэффициент детерминации d  (формула 5.7). Пояс-
нить его смысл. 
5) Найти остаточную сумму квадратов eQ (формула 5.9). 
 57 
6) Найти остаточную дисперсию 
2s  (формула 5.10). 
7) Проверить, что точка ( , )X Y  лежит на прямой (5.3). 
8) Вычислить d  по формуле (5.8) и проверить совпадение со зна-
чением d  полученным в пункте 4. 
9) Какую среднюю производительность труда  можно ожидать на 
фабрике энерговооруженность которой равна l  (см. таблицу 3). 
 
Таблица 3 
 
№ фабрики 
 
Вариант 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 l 
1 
xi 
yi 
6 
2 
6,5 
4 
7 
4 
7,5 
5 
8 
6 
8,5 
7 
9 
7 
9,5 
8 
10 
9 
11 
10 
10,5 
2 
xi 
yi 
9,4 
8 
10 
8 
10,5 
7 
11 
8 
11,4 
8 
12 
9 
12,6 
10 
13,6 
11 
14 
11 
15 
12 
12,4 
3 
xi 
yi 
7 
2 
7,3 
2 
8 
3 
8,3 
2 
9 
4 
9,7 
4 
10 
5 
11 
5 
11,7 
6 
12 
6 
9,5 
4 
xi 
yi 
2 
3 
2,5 
2 
3 
2 
3,4 
3 
3,6 
3 
4 
4 
4,5 
4 
5 
4,5 
5,2 
4,5 
6,8 
5 
6 
5 
xi 
yi 
10 
7 
12 
6 
12,5 
7 
13 
8 
14 
7 
14,5 
8 
15,2 
10 
15,8 
11 
16 
11 
16,5 
12 
15,5 
6 
xi 
yi 
7 
4 
7,5 
6 
8 
6 
8,5 
7 
9 
7 
9,5 
9 
10 
9 
10,5 
8 
11 
11 
12 
12 
9,8 
7 
xi 
yi 
10,4 
8 
11 
8 
11,5 
7 
12 
7 
12,5 
8 
13 
10 
13,4 
9 
14,6 
11 
15 
12 
16 
13 
14 
 
8 
xi 
yi 
6 
12 
6,3 
12 
7 
12 
7,3 
11 
8 
13 
8,7 
13 
9 
14 
9,5 
14 
10,7 
15 
11 
16 
8,3 
 
9 
xi 
yi 
3 
4 
3,5 
3 
4 
3 
4,6 
3 
4,8 
4 
5 
4 
5,5 
5 
6 
5,5 
6,4 
5,5 
7,2 
6 
4,2 
 
10 
xi 
yi 
11 
7 
12 
7 
13,5 
8 
14 
9 
15 
8 
15,5 
9 
16,2 
11 
16,8 
12 
17 
12 
17,5 
12 
14,5 
 
11 
xi 
yi 
5 
3 
5,5 
3 
6 
3,5 
6,4 
4 
7 
4,5 
7,4 
4,5 
8 
5 
8,6 
5 
9 
5,5 
9,5 
5,5 
7,2 
 
12 
xi 
yi 
7 
6 
8 
6,5 
8,5 
6,5 
9,2 
7,5 
9,5 
7,5 
10 
8 
11 
8 
11,5 
8 
12 
9 
14 
9 
9 
 
13 
xi 
yi 
6 
5 
7 
5,5 
7,3 
5,5 
7,8 
6 
8,5 
7 
9 
7 
9,5 
8 
10,5 
8 
11 
12 
12 
12 
6,5 
 
14 
xi 
yi 
2 
1 
3 
1 
4 
3 
4,5 
3 
5 
4 
6 
5 
7 
5 
7,5 
6 
8 
6 
9 
8 
10 
 
15 
xi 
yi 
6,5 
5 
7 
5 
7,5 
5,5 
8,5 
6 
9 
6 
10 
7 
10,5 
7 
11 
9 
12 
9 
12,5 
10 
9,5 
 
 58 
№ фабрики 
 
Вариант 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 l 
16 
xi 
yi 
3,5 
4 
4 
4 
4,5 
4,5 
5 
4,5 
6 
5,5 
7,5 
6,5 
9 
7 
9,5 
7 
11 
9 
12 
9 
6,5 
 
17 
xi 
yi 
5,5 
3 
6,5 
4 
7 
4 
7,3 
4 
8 
5,5 
8,5 
5,5 
9 
6 
10 
6,5 
11 
6,5 
13 
8 
9,5 
18 
xi 
yi 
4,5 
2 
5 
2 
5,5 
3 
6 
3,5 
6,5 
3,5 
7 
4 
8 
5,5 
9 
5,5 
9,5 
6 
11 
8 
8,5 
 
19 
xi 
yi 
7 
5 
7,5 
5,2 
8 
5,2 
8,3 
6 
9 
7 
9,5 
7 
11 
9 
12 
9 
12,8 
10 
14 
10 
16 
20 
xi 
yi 
2,5 
2 
3,5 
2 
4 
3 
4,3 
3 
5 
5 
5,5 
5 
6 
5,5 
6,5 
5,5 
7,5 
6 
9 
7 
11 
21 
xi 
yi 
15 
10 
13,5 
10 
13 
9,8 
12 
9 
11 
9 
10,5 
8,2 
10 
8 
9 
8 
8,5 
7 
5 
6 
12,5 
22 
xi 
yi 
14 
9 
13 
8 
13,5 
8 
13 
7 
12,5 
7 
11,5 
6 
10 
6 
9 
5 
7,5 
5,5 
4 
2 
10,5 
23 
xi 
yi 
14,5 
9 
13,5 
9 
12 
9 
11 
8 
10,5 
8 
9,5 
7 
8,5 
7 
8 
6 
7 
5,5 
6,5 
5 
11,5 
 
24 
xi 
yi 
12 
10 
11 
9 
10 
7 
9,5 
5 
9,2 
5 
9 
5 
8 
4 
7,5 
4 
7 
3,5 
4 
3,5 
8,5 
 
25 
xi 
yi 
16 
12 
14 
12 
12 
11,5 
11 
11 
10,5 
11 
10 
9 
9 
9 
8 
7 
7,5 
7 
6,5 
6 
4,2 
 
26 
xi 
yi 
15,5 
10 
13 
9 
10 
8 
9,5 
8 
9 
7,5 
8,5 
7,5 
8 
7,5 
7,5 
7 
6 
6,5 
5,5 
3 
6,5 
 
27 
xi 
yi 
13 
8 
12,5 
8 
12 
7 
10 
6 
9 
6 
8 
5 
7,5 
5 
7 
4,5 
6,5 
4 
4 
4 
5 
 
28 
xi 
yi 
16 
13 
15 
13 
13 
10 
12 
9 
11,5 
9 
10,5 
8 
10 
8 
9 
7 
8,5 
7 
7,5 
5 
14 
 
29 
xi 
yi 
16,5 
14 
15,5 
13 
13,5 
11 
13 
11 
11 
9 
10 
8 
9 
7,5 
8,5 
7,5 
8 
6 
7 
6 
14 
 
30 
xi 
yi 
18 
17 
16 
16 
15 
16 
14 
15 
13 
13 
12,5 
13 
12 
13 
11,5 
12,5 
11 
12 
10 
9 
17 
 
31* 
xi 
yi 
4 
2 
4,5 
3 
5,5 
3 
6 
4 
6,5 
4 
7 
5 
7,2 
5 
7,8 
4 
8 
5 
10 
6 
7,5 
 
 
 
Тема 6. МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ 
 
1. Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и 
дискретным временем. Матрица вероятностей переходов. 
 59 
2. Марковский случайный процесс с дискретными состояниями и 
непрерывным временем. Уравнения Колмогорова для вероятностей 
состояний. 
3. Граф состояний. 
4. Предельные вероятности состояний. 
 
 Пусть некоторая система S  может находится в одном из n состоя-
ний 1 2, , ... , nS S S и в дискретные моменты времени 1 2, , ... , kt t t  мо-
жет переходить из состояния в состояние. Обозначим через ( )kS t  со-
стояния системы в момент времени kt , 1 2( ) , , ... ,k nS t S S S , и 
через ( )ijp k  условную вероятность перехода системы из состояния 
iS , в котором она находилась в момент времени 1kt , в состояние jS  
в момент времени kt : 
( )ijp k 1( ( ) ( ) )k j k iP S t S S t S . 
 Говорят, что в системе протекает Марковский процесс (определена 
цепь Маркова), если ( )ijp k  не зависит от того, в каком состоянии си-
стема находилась в предыдущие моменты времени 2, 3, ...k kt t . При 
этом цепь Маркова называется однородной, если ( )ijp k  не зависит от 
k , т.е. условная вероятность перехода из iS  в jS  не зависит от того, 
в какой момент времени это происходит. 
  Матрица 
11 12 1
1,...,
1,...,
1 2
...
( ) ... ... ... ...
...
n
j n
ij i n
n n nn
p p p
P p
p p p
     (6.1) 
 
называется матрицей вероятностей перехода. 
 Зная матрицу P , можно построить граф состояний системы: 
1) количество вершин графа равно числу состояний n ; 
2) если 0ijp , то вершины iS и jS  соединяются дугой, помечен-
ной ijp : 
 60 
iS
ijp
jS . 
 Матрица (6.1) задает условные вероятности перехода из состояния  
в состояние  за 1 шаг: (1)P P . При этом матрица ( )P m  условных 
вероятностей перехода из состояния в состояние за m шагов находит-
ся по формуле ( ) mP m P . 
 Если задана матрица-строка 0  вероятностей состояний в началь-
ный момент времени, то вектор 
    0 0( )
m
m P m P       (6.2) 
задает вероятности состояний системы через m  шагов. 
 Марковский процесс называется регулярным, если система может 
перейти в любое состояние из любого другого за конечное число ша-
гов, т.е. если m N  такое, что все элементы матрицы 
mP строго 
положительны. 
 Если Марковская цепь регулярна, то при m  она независимо 
от начального состояния будет функционировать в установленном 
режиме, т.е. вероятности состояний системы в этом режиме не зави-
сят от начального состояния. Такие вероятности, 1( , ..., )ф np p  
называются предельными или финальными и могут быть найдены из 
системы уравнений 
1 1( ... ) ( ... )n np p P p p  или  
1( ... ) ( ) 0np p P E ,                                                                  (6.3) 
где  
1 0 ... 0
0 1 ... 0
0 0 ... 1
E  – единичная матрица. 
 Для нахождения ф  решают систему (6.3) с дополнительным 
условием 1 ... 1np p . 
 Пример 6.1. Заданы матрица вероятностного перехода цепи Мар-
кова и вектор 0  начального распределения вероятностей. 
 61 
0,4 0,2 0,4
0,1 0,8 0,1 ,
0,1 0,2 0,7
P 0 (0,5; 0,5; 0) . 
 Требуется: 1) построить граф состояний системы; 2) найти вектор 
2  распределения вероятностей p  состояний системы через 2 шага; 
3) найти финальные вероятности. 
 Решение. 1) Система может находиться в одном из трех состоя-
ний: 1 2 3, ,S S S , при этом элемент ijp  матрицы P задает  вероятность 
перехода из состояния iS  в jS  за один шаг. Поэтому граф состояний 
системы имеет вид 
                                                                  0,4 
 
                                        0,1         S1       0,1 
                                              0,2        0,4 
                     
   S2           0,1                  S3 
                   0,8                                                           0,7 
                                                 0,2 
 
2) Вектор 2  распределения вероятностей состояний системы через 2 
шага находится по формуле (6.2): 
2
2 0 P . Применяя правило 
умножения матриц, получим: 
2 =
0,4 0,2 0,4 0,4 0,2 0,4
0,5; 0,5; 0 0,1 0,8 0,1 0,1 0,8 0,1
0,1 0,2 0,7 0,1 0,2 0,7
 
0,4 0,2 0,4
0,25; 0,5; 0,25 0,1 0,8 0,1 0,175; 0,5; 0,325
0,1 0,2 0,7
. 
3) Для нахождения финальных вероятностей 1 2 3( , , )p p p  решим си-
стему уравнений (6.3) 
 62 
1 2( , , ) ( ) (0, 0, 0)np p p P E ; 
1 2 3
0,4 0,2 0, 4 1 0 0
; ; 0,1 0,8 0,1 0 1 0 0; 0; 0
0,1 0, 2 0,7 0 0 1
p p p ; 
1 2
0,6 0,2 0,4
( , , ) 0,1 0,2 0,1 (0, 0, 0)
0,1 0,2 0,3
np p p . 
 
 Умножая матрицы, получим систему 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0,6 0,1 0,1 0;
0,2 0,2 0,2 0;
0,4 0,1 0,3 0.
p p p
p p p
p p p
 
 
 При этом необходимо учесть дополнительное условие 
1 2 3 1p p p . 
 Отбросим третье уравнение, т. к. оно является следствием двух 
первых (сумма двух первых уравнений дает третье). Получим систему 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0,6 0,1 0,1 0;
0,2 0,2 0,2 0;
1.
p p p
p p p
p p p
 
 
 Умножая первое уравнение на -10, а второе на 5, получим: 
 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
6 0;
0;
1.
p p p
p p p
p p p
 
 
 Решим систему по правилу Крамера, получим: 
 63 
1 2 3
0 1 1 6 0 1 6 1 0
0 1 1 1 0 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 1 1 12 7 5
; ; .
6 1 1 6 1 1 6 1 114 14 14
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
p p p
 
Поэтому вектор финальных вероятностей 
 
2 7 5
; ;
14 14 14
ф . 
 
Задание 7 
 
Заданы матрица 
1,2,3
1,2,3( )
j
ij iP p  вероятностного перехода цепи 
Маркова и вектор 0  начального распределения вероятностей. 
 Требуется: 1) построить граф состояний системы; 2) найти вектор 2  
распределения вероятностей p состояний системы через 2 шага; 3) най-
ти финальные вероятности. 
 
Варианты 
 
1. 
0,1 0,1 0,8
0,7 0,1 0,2 ,
0,1 0,4 0,5
P 0 (0,3; 0,2;0,5) . 
2. 
0,2 0,6 0,2
0,1 0,6 0,3 ,
0,6 0,2 0,2
P 0 (0,6; 0,4;0) . 
 64 
3. 
0,6 0,2 0,2
0,1 0,5 0,4 ,
0,1 0,4 0,5
P 0 (0; 0,5;0,5) . 
4. 
0,6 0,2 0,2
0,1 0,7 0,2 ,
0,1 0,1 0,8
P 0 (0,4; 0;0,6) . 
5. 
0,2 0,2 0,6
0,6 0,2 0,2 ,
0,1 0,3 0,6
P 0 (0,3; 0,2;0,5) . 
6. 
0,5 0,4 0,1
0,4 0,5 0,1 ,
0,2 0,2 0,6
P 0 (0; 0,6;0,4) . 
7. 
0,4 0,1 0,5
0,4 0,3 0,3 ,
0,1 0,3 0,6
P 0 (0,2; 0,3;0,5) . 
8. 
0,4 0,4 0,2
0,2 0,3 0,5 ,
0,1 0,5 0,4
P 0 (0,5; 0;0,5) . 
9. 
0,3 0,1 0,6
0,5 0,1 0,4 ,
0,1 0,4 0,5
P 0 (0; 0,5;0,5) . 
10. 
0,3 0,2 0,5
0,4 0,4 0,2 ,
0,5 0,1 0,4
P 0 (0,6; 0,4;0) . 
 65 
11. 
0,5 0,3 0,2
0,3 0,1 0,6 ,
0,1 0,3 0,6
P 0 (0,4; 0,6;0) . 
12. 
0,8 0,1 0,1
0,2 0,3 0,5 ,
0,2 0,1 0,7
P 0 (0; 0,5;0,5) . 
13. 
0,3 0,6 0,1
0,1 0,5 0,4 ,
0,5 0,4 0,1
P 0 (0,5; 0,2;0,3) . 
14. 
0,4 0,4 0,2
0,2 0,2 0,6 ,
0,1 0,6 0,3
P 0 (0; 0,4;0,6) . 
15. 
0,1 0,2 0,7
0,5 0,4 0,1 ,
0,2 0,2 0,6
P 0 (0,4; 0;0,6) . 
16. 
0,3 0,6 0,1
0,6 0,2 0,2 ,
0,2 0,4 0,4
P 0 (0,3; 0,5;0,2) . 
17. 
0,5 0,4 0,1
0,2 0,1 0,7 ,
0,8 0,1 0,1
P 0 (0,5; 0;0,5) . 
18. 
0,4 0,2 0,4
0,1 0,4 0,5 ,
0,2 0,5 0,3
P 0 (0; 0,5;0,5) . 
 66 
19. 
0,5 0,1 0,4
0,2 0,6 0,2 ,
0,4 0,1 0,5
P 0 (0,5; 0,5;0) . 
20. 
0,2 0,7 0,1
0,6 0,1 0,2 ,
0,1 0,1 0,8
P 0 (0,6; 0,4;0) . 
21. 
0,7 0,2 0,1
0,3 0,6 0,1 ,
0,3 0,2 0,5
P 0 (0,5; 0;0,5) . 
22. 
0,8 0,1 0,1
0,2 0,7 0,1 ,
0,2 0,1 0,7
P 0 (0;0,5;0,5) . 
23. 
0,6 0,3 0,1
0,2 0,7 0,1 ,
0,2 0,3 0,5
P 0 (0,2;0,3;0,5) . 
24. 
0,6 0,2 0,2
0,1 0,8 0,1 ,
0,1 0,2 0,7
P 0 (0;0,5;0,5) . 
25. 
0,7 0,2 0,1
0,1 0,8 0,1 ,
0,1 0,2 0,7
P 0 (0,2;0,5;0,3 ) . 
26. 
0,3 0,2 0,5
0,1 0,8 0,1 ,
0,1 0,2 0,7
P 0 (0,5;0,5;0 ) . 
 67 
27. 
0,8 0,1 0,1
0,2 0,7 0,1 ,
0,2 0,2 0,6
P 0 (0,5;0,2;0,3) . 
28. 
0,5 0,2 0,3
0,1 0,6 0,3 ,
0,1 0,2 0,7
P 0 (0,5;0,5;0 ) . 
29. 
0,7 0,1 0,2
0,2 0,6 0,2 ,
0,1 0,1 0,8
P 0 (0,5;0,5;0 ) . 
30. 
0,7 0,1 0,2
0,5 0,3 0,2 ,
0,1 0,1 0,8
P 0 (0,5;0,5;0 ) . 
 
Тема 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО 
ОБСЛУЖИВАНИЯ       
 
1. Классификация систем массового обслуживания, их основные 
характеристики. 
2. Входящий и выходящий поток требований. 
3. Процесс «гибели и размножения». 
4. Система массового обслуживания (СМО) с параллельными об-
служивающими устройствами и ограниченной очередью. 
5. СМО с отказами. 
6. СМО с неограниченной очередью для ожидания. 
7. Замкнутые СМО. 
  Теория массового обслуживания изучает зависимость между ха-
рактером потока заявок (требований), числом каналов (единицы об-
служивания), их производительностью, правилами работы систем 
массового обслуживания (СМО) и эффективностью обслуживания. 
 В СМО происходит случайный процесс, что обусловлено случай-
ным характером потока заявок и временем их обслуживания. Будем 
 68 
считать, что все потоки событий (потоки заявок, потоки обслужива-
ния заявок и т. д.), переводящие СМО из состояния в состояние, яв-
ляются пуассоновскими (тогда процесс, протекающий в системе, яв-
ляется Марковским) и интервал времени Т между поступлениями 
требований в СМО в этом потоке есть случайная величина, распре-
деленная по показательному закону ( ) , 0tf t e t ;  – интен-
сивность потока событий. Обслуживание заявки продолжается в те-
чение случайного времени .обсT , распределенного по показательному 
закону ( ) , 0tf t e t ;  – интенсивность обслуживания заявок. 
 При вычислении основных характеристик эффективности обслу-
живания СМО основываются на том, что Марковский процесс, проте-
кающий в них, является частным случаем процесса «гибели и раз-
множения», т. е. граф состояний имеет вид 
 
                        12            23                 … n-2,n-1                      n-1,n 
 
               S1              S2            S3                                   Sn-1              Sn 
                        21           32                    n-1,n-2                       n,n-1 
 
 Так как режим является установившимся, то дифференциальные 
уравнения Колмогорова для этого процесса имеют вид: 
 
12 1 21 2
23 2 32 3
1, 1 , 1
1 2
;
;
;
... 1,
n n n n n n
n
p p
p p
p p
p p p
       (7.1) 
 
где ip  – предельная вероятность состояния iS  системы; 
 ij  – интенсивность потока событий, переводящего систему из со-
стояния iS  в состояние jS . 
При решении системы получаем, что предельная вероятность со-
стояния kS  системы выражается через 1p : 
 69 
1, 2, 1 12
1
, 1 1, 2 21
...
, 2,
...
k k k k
k
k k k k
p p k n .     (7.2) 
 
 Из уравнения 1 2 ... 1np p p  находим 1p : 
1p =
1, 1223 1212
21 32 21 , 1 21
1
...
1 ...
...
n n
n n
.    (7.3) 
 В качестве примера вычислим характеристики одноканальной СМО 
с отказами. 
 Пример 7.1. Трехканальная СМО с отказами представляет собой 
АТС с тремя телефонными линиями. Заявка-вызов, пришедший в мо-
мент, когда все три линии заняты, получает отказ (соединения не про-
исходит). Интенсивность потока вызовов 0,8  в минуту. Средняя 
продолжительность разговора равна 1,5обсt  минут. Найти вероят-
ности состояний, абсолютную и относительную пропускные способ-
ности, вероятность отказа и среднее число занятых и простаивающих 
каналов. 
 Решение. Интенсивность обслуживания одной линией (среднее число 
разговоров, обслуженных одной линией за единицу времени) равна 
      
0
1
0,667
t
. 
 Приведенная интенсивность потока заявок 
      
0,8
1,2
0,667
. 
 Используя дифференциальные уравнения Колмогорова получаем: 
      1 0 01, 2
1!
p p p ; 
2
2 0 00,72
2!
p p p ; 
3
3 0 00,288
3!
p p p . 
 70 
0
1
0,312
1 1,2 0,72 0,288
p . 
1
2 3
1,2 0,312 0,374;
0,72 0,312 0,224; 0,288 0,312 0,090.
p
p p
 
 
 Вероятность отказа 3 0,090откp p . 
 Относительная и абсолютная пропускные способности равны 
 
 31 0,910; 0,8 0,910 0,728q p A q . 
 
 Среднее число занятых каналов  
 
 3(1 ) 1,2 0,91 1,09k p . 
 
 Таким образом, в установившемся режиме работы СМО в среднем 
будет занято чуть больше одного канала, остальные будут простаи-
вать. Этой ценой достигается относительно высокий уровень эффек-
тивности обслуживания – около 91% поступивших вызовов будет об-
служено. 
 
Задание 8 
 
Варианты 
 
1. Погода на некотором острове через длительные периоды времени 
становится то дождливой, то сухой. Вероятности ежедневных изме-
нений заданы матрицей 
     
0,7 0,3
0,4 0,6
P . 
Построить граф, соответствующий этой матрице. Если в среду погода 
дождливая, то какова вероятность, что она будет дождливой в бли-
жайшую пятницу? 
2. Двухканальная СМО с отказами представляет одну телефонную 
линию. Заявка-вызов, пришедший в момент, когда линия занята, по-
лучает отказ. Интенсивность потока вызовов 0,8  (вызовов в ми-
нуту). Средняя продолжительность разговора 1,5t  мин. Все потоки 
событий простейшие. Определить предельные (при t ) значения: 
1) относительную пропускную способность q; 
 71 
2) абсолютную пропускную способность А; 
3) вероятность отказа ротк. 
3. Пусть  (S1, S2, S3) – возможные состояния системы и Р – матрица 
вероятностей перехода за один шаг. 
   
1 0 0
1 1
0
2 2
2 1
0
3 3
P . 
Построить граф состояний и найти финальные вероятности. 
4. Исследуется работа СТО автомобилей, в распоряжении которой 
имеется 4 подъемника (n=4). Станция работает с отказами 8 часов в 
сутки. На станцию поступает простейший поток заявок с плотностью 
3  автомобиля в час. Время обслуживания распределено по пока-
зательному закону и характеризуется средней продолжительностью 
2t  часа на автомобиль. Требуется построить граф состояний си-
стемы и вычислить основные числовые характеристики функциони-
рования станции. 
5. На окружности расположены шесть точек, равноотстоящих друг от 
друга. Частица движется из точки в точку следующим образом: из 
данной точки она перемещается в одну из ближайших соседних точек 
с вероятностью 
1
4
 или в диаметрально противоположную точку с ве-
роятностью 
1
2
. Выписать матрицу вероятностей перехода для этого 
процесса и построить граф, соответствующий этой матрице. 
6. АЗС представляет собой СМО с одним каналом обслуживания. 
Площадка при станции допускает пребывание в очереди на заправку 
не более 3-х машин одновременно ( 3m ). Если в очереди уже нахо-
дится три машины, то очередная машина, прибывающая к станции, в 
очередь не становится, а проезжает мимо. Поток машин, прибываю-
щих для заправки, имеет интенсивность 0,8  (машин в мин.). 
Процесс заправки продолжается в среднем 2,5 мин. Определить: 
1) вероятность отказа; 
 72 
2) относительную и абсолютную пропускную способность СМО; 
3) среднее число машин, ожидающих заправки; 
4) среднее число машин, находящихся на АЗС (включая и обслужи-
вающую); 
5) среднее время ожидания машины в очереди; 
6) среднее время пребывания машины на АЗС (включая и обслужи-
вающую). 
7. В учениях участвуют два корабля, которые одновременно произво-
дят выстрелы в друг друга через равные промежутки времени. Ко-
рабль А поражает корабль В с вероятностью 
1
2
, корабль В – корабль 
А с вероятностью 
3
8
. При любом попадании корабль выходит из 
строя. Найти матрицу вероятностей перехода, если состояниями цели 
являются комбинации кораблей оставшихся в строю, и построить 
граф, соответствующий этой матрице. 
8. Рассматривается 4-ех канальная СМО с отказами, представляющая 
собой АТС. Интенсивность потока вызовов 0,7  (вызовов в мин.). 
Средняя продолжительность разговора 2,5t  мин. Все потоки собы-
тий простейшие. Найти вероятности состояний, абсолютную и отно-
сительную пропускную способности, вероятность отказа и среднее 
число занятых каналов. 
9. Машина может находится в одном из двух состояний: «работает 
хорошо» или «нуждается в регулировке». Если машина работает хо-
рошо сегодня, вероятность того, что она будет работать хорошо зав-
тра, равна 0,7, а вероятность того, что она завтра будет нуждаться в 
регулировке, равна 0,3. А если же она нуждается в регулировке сего-
дня, то вероятность того, что она завтра будет нуждаться в регули-
ровке, равна 0,4. Найти матрицу вероятностей перехода, построить 
граф и вычислить предельные вероятности. 
10. АЗС с тремя колонками ( 2n ) может вместить на своей площад-
ке очередь не более 3-х машин ( 3m ). Все остальные машины полу-
чают отказ. Поток машин прибывающих на АЗС имеет интенсивность 
2  (машины в мин.), среднее время обслуживания одной машины 
3 мин. Требуется построить граф состояний системы и найти характе-
ристики СМО: 
 73 
1) вероятность отказа; 
2) относительную и абсолютную пропускную способности; 
3) среднее число занятых колонок; 
4) среднее число машин в очереди; 
5) среднее время ожидания и пребывания машины на АЗС. 
11. Для выборочных экспериментов используется однородная марков-
ская цепь со следующей матрицей вероятностей перехода: 
    
0,6 0,4 0 0
0,1 0,5 0,4 0
0 0,1 0,7 0,2
0 0 0,1 0,9
P . 
Данный случайный процесс обнаруживает тенденцию системы сохра-
нять то состояние, в котором она находится до момента смен состоя-
ний, а при изменении состояния переходить только в соседние. Такая 
система хорошо согласуется со многими процессами в экономике. 
Построить граф, соответствующий данной матрице и найти вектор 
финальных (предельных) вероятностей для данного процесса. 
12. Дана АЗС, на которой имеется 3 заправочные колонки ( 3n ). 
Заправка одной машины длится в среднем 3 мин. В среднем на АЗС 
каждую минуту прибывает машина, нуждающаяся в заправке бензи-
ном. Число мест в очереди практически неограниченно. Все машины, 
вставшие в очередь на заправку, «терпеливо» дожидаются своей оче-
реди. Определить среднее время, проходящее с момента прибывания 
машины на заправку, до момента ее заправки, а также другие харак-
теристики работы АЗС: среднее число занятых мест; среднее число 
машин в очереди; среднее время простоя колонки между заправками. 
13. В некоторой местности никогда не бывает двух ясных дней под-
ряд. Если сегодня ясно, то завтра с одинаковой вероятностью пойдет 
дождь или снег. Если сегодня снег (или дождь), то с вероятностью 
1
2
 
погода не изменится. Если же изменится, то в половине случаев снег 
заменяется дождем или наоборот, и лишь в половине случаев на сле-
дующий день будет ясная погода. Найти матрицу вероятностей пере-
хода, построить граф, соответствующий матрице и вычислить пре-
дельные вероятности. 
 74 
14. Группа из 5 станков обслуживается одним рабочим. Среднее вре-
мя наладки станков равно 15 мин, каждый станок останавливается в 
среднем 2 раза в час. Определить характеристики СМО: вероятность 
занятости рабочего; его абсолютную пропускную способность; сред-
нее количество неисправных станков; среднюю относительную поте-
рю производительности группы станков; среднюю относительную 
потерю производительности группы станков за счет неисправностей. 
15. Некоторая совокупность семей поделена на три группы: S1 – семьи 
не имеющие машины и не намеревающиеся ее приобрести; S2 – семьи 
не имеющие машины, но собирающиеся ее приобрести и S3 – семьи, 
имеющие машину. Матрица вероятностей перехода оказалась такой 
 
   
0,8 0,1 0,1
0 0,7 0,3
0 0 1
P . 
Построить соответствующий граф и вычислить вероятность того. что 
семья, не имеющая машины и не собирающаяся ее приобрести, будут 
находится в той же ситуации через два года. 
16. 3 рабочих обслуживает группу из 6 станков. Остановки каждого 
(работающего) станка случаются в среднем, через каждые 45 мин. 
Процесс наладки занимает у рабочего, в среднем, 15 мин. Определить 
характеристики замкнутой СМО: среднее число занятых рабочих; аб-
солютную пропускную способность; среднее количество неисправ-
ных станков. 
17. Система S может находиться в одном из состояний: S0, S1, …, Sn. При 
этом в моменты перехода система, находясь в состоянии Sj (j = 1, 2,…) 
может перейти только в одно из соседних состояний Sj-1 или Sj+1, в 
первое с вероятностью р, а во второе с вероятностью 1q p . Попав 
в состояние S0, система остается в этом состоянии все остальное вре-
мя (состояние S0 – поглощающее). Написать матрицу вероятностей пере-
хода. Чему равна вероятность системы S попасть в поглощающее состо-
яние S0, если начальный момент система находилась в состоянии S1. 
18. Предприятие может находится в одном из следующих пяти состо-
яний: выполнить месячный план на 80%, 90%, 100%, 110% и 120%. 
Если план выполнен на 80% или на 120%, то план пересматривается и 
то, что будет сделано в течение следующего месяца принимается за 
 75 
100%. Если же план выполнен на 100%, то в следующем месяце пред-
приятие может выполнить план на 100% с вероятностью 0,6, на 110% 
– с вероятностью 0,2; на 120% – с вероятностью 0,1, на 90% – с веро-
ятностью 0,1; если план был выполнен предприятием на 110%, то в 
следующем месяце выполнение плана 90%, 100%, 110%, 120% имеет 
следующие вероятности 0,1; 0,1; 0,6; 0,2, а при выполнении плана на 
90% вероятности выполнения плана предприятием в сле-дующем ме-
сяце на 80%, 90%, 100% такие – 0,2; 0,6; 0,2. Найти матрицу вероят-
ностей перехода и финальные вероятности (предельные). 
19. Опрос посетителей столовой в первоначальный момент времени 
показал, что 20% из них готовы брать первый комплексный обед, 30% – 
второй и 50% – третий комплексный обед. Поведение посетителей 
можно рассматривать как Марковский процесс с матрицей вероятно-
стей перехода 
     
0,6 0,3 0,1
0,4 0,2 0,4
0,2 0,5 0,3
P  
 
где моменты перехода состояний друг в друга даны на одни сутки.  
В каком отношении должны быть заготовлены комплексные обеды: 
а) на завтра; 
б) на послезавтра; 
в) в будущем. 
20. Пусть (S1, S2, S3) – возможные состояния системы и Р – матрица 
вероятностей перехода за один шаг. 
 
   
1 0 0
1 1 1
3 3 3
1 2
0
3 3
P . 
 
Построить граф состояний и найти финальные вероятности. 
21. Автоматическая линия представляет собой одноканальную СМО с 
отказами. Заявка-вызов, пришедший в момент, когда линия занята, 
 76 
получает отказ. Интенсивность потока вызовов 0,9 (вызовов в 
мин.). Средняя продолжительность изготовления детали 2,7t мин. 
Все потоки событий простейшие. Определить предельные (при 
t ) значения: 
1) относительную пропускную способность; 
2) абсолютную пропускную способность; 
3) вероятность отказа. 
22. Некоторая совокупность семей поделена на три группы: семьи, не 
имеющие дачу и не намеревающиеся ее приобрести; семьи, не имею-
щие дачу, но собирающиеся ее приобрести и семьи, имеющие дачу. 
Матрица вероятностей перехода оказалась такой: 
 
   
0,7 0,2 0,1
0 0,8 0,2
0 0 1
P . 
 
Построить соответствующий граф и вычислить вероятности того,. что 
семья, не имеющая дачу, но собирающаяся ее приобрести, будет 
находиться в той же ситуации через два года. 
23. На станции тех. обслуживания автомобилей имеется три подъем-
ника. Станция работает с отказами 14 часов в сутки. На станцию  
поступает простейший поток заявок с плотностью 4  автомобиля  
в час. Среднее время продолжительности обслуживания автомобиля 
2,5t  часа и распределено по показательному закону. Требуется 
вычислить основные числовые характеристики функционирования 
станции. 
24. Станок с ЧПУ может либо хорошо работать, либо нуждаться в ре-
гулировке. Если он хорошо работает сегодня, то вероятность того, что 
он будет работать хорошо завтра равна 0,9, а вероятность того, что зав-
тра он будет нуждаться в регулировке, равна 0,1. И наоборот, если он 
нуждается в регулировке сегодня, то вероятность того, что он будет 
хорошо работать завтра, равна 0,7, а вероятность того. что он завтра 
будет нуждаться в регулировке, равна 0,3. Найти матрицу вероятностей 
перехода, построить граф и вычислить предельные вероятности. 
25. В качестве СМО рассмотрим АЗС с двумя колонками. Интенсив-
ность потока машин, прибывающих на станцию, равна 3  (маши-
 77 
ны в мин.); среднее время обслуживания одной машины 2 мин. Пло-
щадка у АЗС может вместить очередь не более 4 машин. Машина, 
прибывшая в момент, когда все 4 места в очереди заняты, покидает 
АЗС. Построить граф состояний и найти характеристики СМО. 
26. Для выборочных экспериментов используется однородная марков-
ская цепь со следующей матрицей вероятностей перехода: 
 
   
0,5 0,5 0 0
0, 2 0,4 0, 4 0
0 0, 2 0,7 0,1
0 0 0,2 0,8
P . 
 
Система сохраняет то состояние, в котором она находится до момента 
смен состояний, а при изменении состояния переходит только в со-
седние. Построить граф, соответствующий данной матрице и найти 
вектор предельных вероятностей для данного процесса. 
27. Рабочий обслуживает 4 станка. На наладку одного станка в сред-
нем требуется 10 мин., каждый станок останавливается, в среднем, 
один раз в час. Построить граф состояний СМО и найти ее характери-
стики: 
1) вероятность занятости рабочего; 
2) его абсолютную пропускную способность; 
3) среднее количество неисправных станков; 
4) среднюю относительную потерю производительности группы стан-
ков за счет неисправностей. 
28. Четырехканальная СМО с отказами представляет одну линию об-
служивания. Заявка поступившая в момент, когда линия занята, полу-
чает отказ. Интенсивность потока заявок 2  (заявок в мин.), сред-
няя продолжительность обслуживания 4обсt  мин. Построить граф 
состояний системы и вычислить характеристики работы СМО. 
29. АЗС имеет 2 колонки, площадка вмещает не более 5-и машин. 
Машина, прибывающая к станции в момент, когда все места заняты, 
проезжает мимо. Поток машин для заправки имеет интенсивность 
0,9  (машин в мин), среднее время заправки 3 мин. Найти основ-
ные характеристики работы СМО. 
 78 
30. Пусть 1 2 3( , , )S S S  - возможные состояния системы и Р – матрица 
вероятностей перехода за один шаг 
 
0,7 0,1 0,2
0,2 0,4 0,4
0,1 0,3 0,7
P . 
 
 Построить граф состояний системы и найти финальные вероятности. 
 
 
 79 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Учебное издание 
 
 
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ,  
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ 
И МАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ 
 
Методические указания и контрольные задания  
для студентов-заочников 
инженерно-экономических специальностей 
 
 
С о с т а в и т е л и: 
КОРЗНИКОВ  Александр Дмитриевич 
МАТВЕЕВА  Людмила Дмитриевна 
РУДЫЙ  Александр Никодимович 
ПАВЛОВ  Валерий Валентинович 
 
 
Технический редактор О.В. Песенько 
Подписано в печать 18.05.2012. 
Формат 60 841/16. Бумага офсетная. 
Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс. 
Усл. печ. л. 4,59. Уч.-изд. л. 3,59. Тираж 300. Заказ 1258. 
Издатель и полиграфическое исполнение: 
Белорусский национальный технический университет. 
ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009.  
Проспект Независимости, 65.  220013, Минск.