МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  
РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ 
 
Белорусский национальный 
технический университет 
 
Кафедра «Сопротивление материалов  
машиностроительного профиля» 
 
 
 
 
 
 
 
 
ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА НА ПРОЧНОСТЬ  
СОСТАВНЫХ БАЛОК  
ИЗ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ 
 
Учебно-методическое пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Минск  
БНТУ  
2013  
1 
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ 
Белорусский национальный технический университет 
 
Кафедра «Сопротивление материалов  
машиностроительного профиля» 
 
 
 
 
 
 
 
 
ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА НА ПРОЧНОСТЬ  
СОСТАВНЫХ БАЛОК  
ИЗ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ 
 
Учебно-методическое пособие 
для студентов специальности 1-36 01 03 «Технологическое 
оборудование машиностроительного производства» 
 
 
Рекомендовано учебно-методическим объединением  
в сфере высшего образования Республики Беларусь  
по образованию в области машиностроения 
 
 
 
 
 
 
 
 
Минск  
БНТУ  
2013 
2 
УДК 620.172.251.224(075.8)  
ББК 34.41я7 
        О-75 
 
 
А в т о р ы : 
А. И. Дудяк, А. А. Хмелев,  
Т. А. Сахнович, О. И. Гурковская 
 
Р е ц е н з е н т ы :  
зав. кафедрой «Теоретическая механика» БГАТУ, 
д-р техн. наук, профессор А. Н. Орда; 
зав. кафедрой «Машины и технология обработки металлов  
давлением» БНТУ, д-р техн. наук, профессор К. Е. Белянин 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Особенности расчета на прочность составных балок из неодно-
родных материалов : учебно-методическое пособие для студентов 
специальности 1-36 01 03 «Технологическое оборудование машино-
строительного производства» / А. И. Дудяк [и др.]. – Минск : БНТУ, 
2013. – 27 с. 
ISBN 978-985-550-204-4. 
 
В данном пособии рассмотрена теоретическая задача расчета на прочность стерж-
ней, состоящих из двух разнородных материалов, прочно соединенных между собой  
и работающих на изгиб как единое целое. Установлены зависимости для определения 
местоположения нейтрального слоя и  показана методика по определению нормальных 
и касательных напряжений, возникающих в поперечных сечениях стержня. 
УДК 620.172.251.224(075.8)  
ББК 34.41я7 
 
ISBN 978-985-550-204-4 © Белорусский национальный  
технический университет, 2013 
О-75 
3 
Введение 
 
Во многих областях техники применяют стержни, состав-
ленные из различных материалов. Типичным примером явля-
ются стержни биметаллических пар, составленные из металлов 
с разными значениями модулей Юнга и работающие на изгиб 
как консольные или двухопорные балки. Другим примером  
являются конструкции или детали, изготовленные из компо-
зитных материалов. Идея здесь состоит в том, что при создании 
комбинированного материала основу армируют большим ко-
личеством тонких нитей из другого материала, более прочного 
и жесткого. В результате получают стержень, имеющий в наи-
более нагруженных частях сечения материал с повышенными 
упругими и прочностными характеристиками. В итоге сечение 
такой балки является составленным из двух и более материалов 
с соотношениями модулей упругости Е1 ≠ Е2. 
При этом обе части указанных стержней на всей длине на-
дежно соединены между собой либо за счет сил сцепления, ли-
бо создания специальных устройств в виде упоров, отгибов  
и т. п. Поэтому они работают при продольных деформациях 
стержня совместно, как единое монолитное сечение, и к такому 
составному стержню применима гипотеза плоских сечений, 
считая при этом справедливой гипотезу ненадавливания про-
дольных волокон друг на друга в поперечном направлении. 
Однако расчеты на прочность составных балок из неодно-
родных материалов имеют и существенные отличия от клас-
сических методов расчета балок из однородных материалов. 
Покажем это на примерах расчетов составных консольных  
и двухопорных балок из неоднородных материалов при Е1 ≠ Е2. 
 
 
 
 
 
4 
1. Теоретический расчет  
нормальных напряжений 
 
Рассмотрим случай чистого изгиба консольной балки пря-
моугольного сечения составленного из двух неоднородных 
материалов, обладающих различными значениями модулей 
упругости, т. е. E1  > E2 при неравных площадях их сечений  
A1 < A2 (рис. 1). 
 
 
 
Рис. 1. Схема нагружения (а) и форма сечения балки (б) 
 
Для упрощения расчетов условно примем, что нейтральная 
ось сечения не совпадает с главной центральной осью х1,  
а проходит по границе раздела двух материалов (рис. 1, б). 
Составляющие сечения балки площади А1 и А2, не равные  
между собой, соединены жестко и работают как единое целое. 
Рассмотрим напряженно-деформированное состояние уча-
стка балки длинной dZ (рис. 2). В результате деформации 
верхние слои участка будут растянуты, а нижние сжаты, пра-
вое сечение балки этого участка повернется относительно ле-
вого сечения на угол d. 
Относительные деформации верхнего и нижнего слоев се-
чения будут 
 
1 2
1 2, ,
y a y c            
a б 
5 
где  – радиус кривизны нейтрального слоя; 
 y1, y2 – расстояния от нейтрального слоя до верхнего и ниж-
него слоев сечения соответственно; 
 a и с – толщина слоев составного сечения. 
 
 
 
Рис. 2. Деформированное состояние участка dZ длины балки 
 
По закону Гука напряжения растяжения и сжатия в этих 
слоях будут 
 
1 2
1 1 2, .z z
y yE E                               (1) 
 
Сумма элементарных сил  dA равна значению элементар-
ной силы в сечении, которая при чистом изгибе равна нулю, 
поэтому 
 
1 2
1 2
1 1 2 2d d 0.z
A A
y yN E A E A      
 
Учитывая, что 
 
1 2
1 1 1 2 2 2d , dX X
A A
y A S y A S     
6 
статические моменты верхней и нижней частей площади се-
чения, получим 
 
1 1 2 2 0,X XE S E S                                 (2) 
 
где 
2
1 2X
aS b  и 
2
2 2X
cS b . 
Подставив значения SX1 и SX2 в уравнение (2), получим 
 
2 2
1 2 0E a E c  .                                  (3) 
 
Учитывая, что c = h – a, и решая уравнение (3) относитель-
но величины «а», определим его значение, считая, что цент-
ральный слой совпадает с границей раздела двух материалов: 
 
2
1
2
1
1
Eh
E
a
E
E


   или   
1
h na
n
  ,                      (4) 
 
где n = E2 / E1. 
При значении n = 1 для сечения составной балки, состоя-
щей из двух половин одного и того же материала, нейтральная 
ось будет проходить при значении 
2
ha  , что соответствует 
положению центра тяжести площади сечения. В случае, если n 
отлично от единицы, то нейтральная ось будет смещена от цент-
ра тяжести площади сечения. 
Эпюра распределения напряжений по высоте сечения балки 
при совпадении нейтральной оси с линией раздела двух мате-
риалов приведена на рис. 3. 
7 
 
 Рис. 3. Распределение напряжений по сечению балки 
 
Из рис. 3 следует, что значение угла α1 > α2 если E1 > E2. 
Общий случай распределения напряжений по высоте сечения 
консольных балок для варианта, когда E1 > E2, а нейтральная 
ось проходит по площади материала с большим значением Е, 
приведен на рис. 4. Откуда следует, что при определении на-
пряжений по формулам (1) на границе раздела двух материа-
лов получается разрыв эпюры, так как в точках соприкоснове-
ния материалов напряжения будут отличатся в n раз. 
 
   а                                                               б    
 
 Рис. 4. Напряжения в составной балке при E1 > E2 
z, МПа 
8 
Из рис. 4 следует, что в большинстве случаев составных 
балок нейтральная ось сечения не будет совпадать с главной 
центральной осью xc, а будет смещаться, оставаясь параллель-
ной оси xc, в сторону материала с большим значением модуля 
Юнга. В связи с этим для определения значения осевого мо-
мента инерции площади сечения балки следует применять ме-
тод его определения при параллельном переносе осей. Для дан-
ного сечения представим, что нейтральный слой проходит через 
ось x. В итоге новая главная ось х делит площадь сечения  
на три части, для которых надо определить значения стати-
ческих моментов SX1, SX2, SX3 и осевых моментов инерции IX1,  
IX2, IX3. Определим значение a1 как расстояние от верхней 
кромки сечения до оси х. 
Из условия равенства нулю продольной силы Nz в сечении 
балки при чистом изгибе имеем 
 
1 2 3
1 2 3
1 1 1 2 2 3d d d 0z
A A A
y y yN E A E A E A        . 
 
После ряда преобразований получим 
 
1 1 1 2 2 3 0,X X XE S E S E S                            (5) 
 
где 
2
1
1 2X
a
S b ; 
2
1
2
( )
2
2X
h a
S b

  и 3 1( ( )).2 4 2X
h h hS b a    
Подставив значения статических моментов площадей в фор-
мулу (5), получим 
 
1
22 1
1 1 2 1
( )
2 ( ( )) 0.
2 2 2 4 2
hb aba h h hE E E b a

      
 
9 
После ряда преобразований получим 
 
1 2
1
1 2
( 3 ) (1 3 ) .
4( ) 4(1 )
h E E h na
E E n
                               (6) 
 
Значение а1 определяет место положения нейтрального 
слоя. 
Известно, что значение изгибающего момента в сечении z 
записывается в виде 
 
d ,z z
A
M y A   
 
которое для общего случая составного сечения балки можно 
записать в виде 
 
1 2 3
1 2 3
1 1 1 1 2 2 2 3 3d d d 0.z
A A A
y y yM E y A E y A E y A         
 
Учитывая, что 2d x
A
y A I  – момент инерции площади се-
чения, получим 
 
1 1 2
1 2 3,z X X X
E E EM I I I      
 
откуда определим значение 1 : 
 
1 1 1 2 2 3
1 ,z
X X X
M
E I E I E I
                            (7) 
10 
где 
 
3
21 1
1 1( ) ,12 2X
ba aI ba   
 
3
1 1 2
2 1
( )
2 2( )( ) ,
12 2 2X
h hb a ahI b a
 
    
 
3
2
3
( )
2 ( ( )) .
12 2 4 2X
hb h h hI b a     
 
В этом случае напряжения в точках верхнего участка сече-
ния балки относительно нейтральной оси с модулем упруго-
сти ܧଵ определим по формуле 
 
1
1 1
1 1 1 2 2 3
.zZ
X X X
M E y
E I E I E I
                         (8) 
 
На участке сечения балки с модулем Юнга Е1, расположен-
ного ниже нейтральной оси, напряжение определяют по фор-
муле 
 
1
2 2
1 1 1 2 2 3
.zZ
X X X
M E y
E I E I E I
                        (9) 
 
На третьем нижнем участке сечения балки с модулем упру-
гости Е2 напряжение определим по формуле 
 
2
3 3
1 1 1 2 2 3
.zZ
X X X
M E y
E I E I E I
                        (10) 
 
Эпюра напряжений и разрыв значений напряжений на гра-
нице раздела материалов приведены на рис. 4. 
11 
2. Касательные напряжения  
при плоском поперечном изгибе 
 
При плоском поперечном изгибе в поперечных сечениях 
балки действуют два внутренних силовых фактора: попереч-
ная сила Qz и изгибающий момент Mz. 
Схема нагружения составной консольной балки прямо-
угольного сечения и эскиз ее сечения приведены на рис. 5. 
 
 
 
Рис. 5. Схема нагружения и форма сечения балки 
 
В сечениях балки действуют нормальные напряжения z  
и касательные напряжения zy. Значения касательных напря-
жений проще всего вычислить через значения парных напря-
жений yz, возникающих в продольных сечениях балки.  
Рассмотрим элемент длины балки dZ (рис. 6), когда модуль 
упругости материала верхнего слоя балки E1 > E2 нижнего 
слоя балки. В этом случае нейтральная ось сечения балки 
должна проходить по площади сечения верхнего материала 
балки, см. формулу (4). 
 
 
 
12 
  а                                                  б 
 
 
Рис. 6. Распределение нормальных напряжений z, касательных  напряжений τzy и τyz выше нейтрального слоя х  
по высоте сечения составной балки 
 
Равнодействующая сил, вызванная действием нормальных 
напряжений z и касательных напряжений τzy, должна быть 
равна нулю, что можно представить следующим образом: 
 
( d )d d d 0.z z z yz
A A
A A b z          
 
Данные уравнение приводим к виду 
 
d d d .yz z
A
b z A                                  (11) 
 
С учетом уравнения (8), полученного для значения z, про-
изводная для 1z  будет иметь вид 
 
1
1
1 1 1 2 2 3
dd .zz
X X X
M E
E I E I E I
                        (12) 
13 
Совместное решение уравнений (11) и (12) дает 
 
1
1 1
1 1 1 2 2 3
dd d ,zyz
X X X A
M Eb z y A
E I E I E I
      
 
где отс1 1 1d X
A
y A S  – статический момент отсеченной площади 
сечения, т. е. площади, лежащей выше прямой AB (рис. 6, б). 
Значение касательных напряжений, действующих выше нейт-
рального слоя балки, с учетом статического момента отсечен-
ной площади можно выразить следующим образом: 
 
отс
1 1
1 1 1 2 2 3
d .
d ( )
z X
yz
X X X
M E S
z b E I E I E I
                  (13) 
 
Так как d
d
z
z
M Q
z
 , уравнение (13) получает вид 
 
отс
1 1
1 1 1 2 2 3
,
( )
z X
yz
X X X
Q S E
b E I E I E I
                       (14) 
 
где отс 1 11 1 1 1( )( )2X
a yS b a y y    .  
Для определения касательных напряжений на участке сече-
ния, расположенного между нейтральным слоем и линией раз-
дела материалов, необходимо учитывать значение касатель-
ных напряжений, действующих на третьем участке балки: 
 
отс отс
3 2 2 1
1 1 1 2 2 3
( ) ,
( )
z X X
yz
X X X
Q S E S E
b E I E I E I
                       (15) 
 
где отс 1 22 1 2 2( )( ),2X
c a yS b c a y y       отс3 1( ).2X
dS bd c a    
14 
На участке сечения ниже раздела двух материалов 
 
отс
4 2
1 1 1 2 2 3
,
( )
z X
yz
X X X
Q S E
b E I E I E I
                      (16) 
 
где отс 1 34 1 3 3( )( ).2X
h a yS b h a y y       
По формулам (14), (15) и (16) построена эпюра касательных 
напряжений (рис. 7) по высоте сечения балки h. 
 
 
 
Рис. 7. Распределение касательных напряжений по высоте сечения балки 
 
Из рис. 7 следует, что максимальные касательные напряже-
ния в сечении балки действуют на уровне расположения ней-
трального слоя х, что подтверждает известную классическую 
закономерность их распределения. 
 
3. Пример расчета составной консольной балки  
с разными значениями модуля Юнга 
 
На рис. 8 приведена расчетная схема и сечение консольной 
составной балки со значениями Е1 = 2·105 МПа, а Е2 = 1·105 МПа. 
Сечение балки прямоугольное, состоящее из двух одинаковых 
по высоте частей, равных 50 мм. Ширина балки b = 50 мм,  
а высота ее сечения h = 100 мм. 
15 
 
 
Рис. 8. Расчетная схема и эскиз сечения составной балки 
 
Требуется определить значения нормальных и касательных 
напряжений в характерных точках сечения и построить эпюры 
этих напряжений. 
На рис. 8 условно нейтральная ось сечения балки совпадает 
с центром тяжести площади сечения, но так как Е1 > Е2 по ус-
ловию задачи, нейтральная ось (н. о.) будет проходить по пло-
щади материала балки со значением Е1, т. е. выше условно 
принятого положения оси ХС. По формуле (6) определим поло-
жение нейтральной оси, обозначив его значением а1, отсчиты-
вая его положение от верхней кромки общего сечения балки: 
 
5 5
1 2
1 5 5
1 2
( 3 ) 100(2 10 3 1 10 ) 41,67 мм.
4( ) 4(2 10 1 10 )
h E Eа
E E
           
16 
Тогда расстояние до нейтральной оси сечения от централь-
ной оси ХС составит 
 
100 41,67 8,33мм.
2 2
hl a      
 
Отложим полученные значения на эскизе площади сечения 
(рис. 9). 
 
 
 
Рис. 9. Положение нейтральной оси в сечении (а) балки  
и эпюры нормальных и касательных напряжений (б) 
 
Из рис. 9 следует, что нейтральная ось сечения разделила 
это сечение на три участка, которые пронумерованы 1, 2, 3 
соответственно. Для каждого из этих участков определим зна-
чения осевых моментов инерции относительно нейтральной 
оси (н. о.) с учетом параллельного переноса осей: 
 
б а 
17 
3
2 5 4
1
50 41,67 41,6750 41,67( ) 12,06 10 мм ;
12 2X
I       
 
3
2 3 4
2
50 8,33 8,3350 8,33 ( ) 9,63 10 мм ;
12 2X
I        
 
3
2 5 4
3
50 50 50 50(25 8,33) 32,98 10 мм .
12X
I        
 
Значение 1/ρ определим по формуле (7): 
 
1 1 1 2 2 3
5 5 3 5 5 10
1
.
2 10 (12,06 10 9,63 10 ) 1 10 32,98 10 57,29 10
z
X X X
z z
M
E I E I E I
M M
   
         
 
 
Напряжение в точке А (рис. 9) определим по формуле 
 
1
( )
1 1 1 2 2 3
6 5
5 5 5 5 5 5
6
5
10 10 2 10 41,67
2 10 12,06 10 2 10 0,96 10 1 10 32,98 10
20 10 41,67 145,5МПа.
57,29 10
z
Z A A
X X X
M E y
E I E I E I
    
              
  
 
Напряжения в точке B, расположенной на нейтральной ли-
нии, равны нулю. 
На границе раздела материалов в точке D в материале с мо-
дулем упругости E1 напряжение z  определяется из выраже-
ния (9): 
18 
1
( )
1 1 1 2 2 3
6 5
10
10 10 2 10 8,33 29,08 МПа.
57,29 10
z
Z D D
X X X
M E y
E I E I E I
    
     
 
 
На границе раздела материалов в точке D в материале с моду-
лем упругости E2 напряжение z  определим из выражения (9): 
 
2
( )
1 1 1 2 2 3
6 5
10
10 10 1 10 8,33 14,54МПа.
57,29 10
z
Z D D
X X X
M E y
E I E I E I
    
    
 
 
Напряжение в точке К определим по формуле (10) при 
yk = 58,33 мм: 
 
2
( )
1 1 1 2 2 3
6 5
10
10 10 1 10 58,33 101,81МПа.
57,29 10
z
Z K К
X X X
M E y
E I E I E I
     
      
 
 
Эпюра нормальных напряжений по высоте сечения балки 
приведена на рис. 9, где на границе раздела материалов получа-
ем скачок напряжений, равный n = E1 / E2 = 2 ·105/(1·105) = 2, 
что подтверждает правильность решения задачи. 
Определяем значения касательных напряжений в характер-
ных точках по высоте сечения балки (рис. 9). Напряжения  
в точках А и К равны нулю. 
Касательные напряжения в точке B определим по фор- 
муле (14): 
19 
отс
2
( )
1 1 1 2 2 3
,
( )
z XB
yz B
X X X
Q S E
b E I E I E I
     
 
где отс 5 341,6750 41,67 0,434 10 мм ;
2XB
S        
 
3 5 5
( ) 10
10 10 0,434 10 1 10 3,03МПа.
50 57,29 10yz B
         
 
Напряжение в точке D определим по формуле (15): 
 
отс
2
( )
1 1 1 2 2 3
,
( )
z XD
yz D
X X X
Q S E
b E I E I E I
     
 
где отс 35050 50 ( 8,33) 83325мм ;
2XD
S       
 
3 5
( ) 5
10 10 83325 2 10 2,9 МПа.
50 57,29 10yz D
        
 
Эпюра касательных напряжений по высоте сечения балки 
приведена на рис. 9. 
 
4. Нормальные напряжения при плоском изгибе  
прямого стержня, возникающие в результате надавливания  
волокон друг на друга 
 
В данной работе приводится доказательство, что в продоль-
ных сечениях бруса при поперечном изгибе, вызванным дей-
ствием сосредоточенной силы, возникают нормальные напря-
жения в результате надавливания волокон друг на друга.  
Из курсов «Сопротивление материалов» и «Теория упругости» 
известно, что при таком изгибе в поперечных сечениях бруса 
20 
возникают только нормальные напряжения в поперечном на-
правлении, а в перпендикулярном поперечном направлении 
они отсутствуют. 
Рассмотрим двухопорную балку прямоугольного сечения, 
нагруженную сосредоточенной силой на середине пролета 
(рис. 10). 
 
 
 
Рис. 10. Схема нагружения и форма сечения балки 
 
Из курса «Сопротивление материалов» расчетные формулы 
для определения нормальных и касательных напряжений  
в сечениях балки, без учета гипотезы о надавливании волокон  
в поперечном направлении, имеют вид 
 
,zz
x
M y
I
                                      (17) 
 
отс
,z xzy
x
Q S
I b
                                    (18) 
 
где 
2 2отс 2 2
2
1 4( ) ( ( )) (1 ) ( 4 ).
2 2 2 2 8 8x c
h h h bh y bS A y b y y h y
h
            
ݕ 
21 
Подставив значение отсxS  в формулу (18), получим 
 
2 2
2 2( 4 ) ( 4 )8 .
8
z
z
zy
X X
bQ h y Q h y
I b I
                   (19) 
 
Уравнения равновесия для плоской задачи без учета ком-
понента объемных сил имеют вид 
 
0
.
0
y zy
yz z
y z
y z
            
                                (20) 
 
Из первого уравнения системы уравнений (20) следует, что 
 
1,zzy yz y cz
                                 (21) 
 
тогда, используя уравнение (17), получим 
 
.z z z
x x
M y Q y
z z I I
                                 (22) 
 
Решая совместно уравнения (22) и (21), получим 
 
1.zzy
x
Q y y c
I
                                   (23) 
 
Постоянную интегрирования определим из граничных ус-
ловий при 
2
hy   , zy = 0: 
 
2
1 02 4
z
x
Q h c
I
       и   
2
1 8
z
x
Q hc
I
 .                   (24) 
22 
Совместное решение (23) и (24) дает 
 
2 2( 4 ).
8
z
zy
x
Q h y
I
                               (25) 
 
Выражение для zy полностью совпадает с уравнением (19), 
полученным с помощью методов сопротивления материалов. 
Из второго уравнения системы уравнений (20) следует, что 
 
2,
zy
y y cz
                                  (26) 
 
2 2 2 21 ( 4 ) ( 4 ),
8 8
zy z z
x x
Q qh y h y
z z I I
                (27) 
 
где qz – интенсивность распределенной нагрузки в рассматри-
ваемом слое изгибаемой балки, значение которой можно рас-
сматривать как величину касательных напряжений zy в дан-
ном слое (рис. 11). 
 
 
 
Рис. 11. Вариант эквивалентности zy и qz 
23 
Решая совместно уравнения (25) и (26) получим 
 
2 2
2( 4 ) ,8
z
y
x
q h y y c
I
       
 
2 3
2
4( ) .
8 3
z
y
x
q h y y c
I
      
 
С учетом того, что в рассматриваемом слое z zyq   , получим 
 
2 2 2 3
2
1 4( 4 ) ( ) .
8 8 3
z
y
x x
Q h y h y y c
I I
        
 
После ряда преобразований получим 
 
2 2 2 3
22
4( 4 )( ) .
364
z
y
x
Q h y h y y c
I
       
 
Значение постоянной с2 определим из граничного условия 
2
hy   , y = 0   с2 = 0. 
В итоге получаем окончательное уравнение для определе-
ния нормальных напряжений в сечениях балки, вызванных 
надавливанием горизонтальных слоев балки при плоском по-
перечном изгибе: 
 
2 2 3 2
2
4( 4 )( ).
364
z
y
x
Q h y y h y
I
                      (28) 
 
Эпюры распределения нормальных и касательных напря-
жений по высоте сечения балки, полученные по формулам (25) 
и (28) приведены на рис. 12 для положительного значения по-
перечной силы Qz. 
24 
 
 
Рис. 12. Распределение касательных и нормальных напряжений  
по высоте сечения балки 
 
Из приведенных на рис. 12 эпюр следует, что при y = 0  
и при y = ±h / 2 нормальные напряжения в продольных волок-
нах стержня y будут равны нулю и достигают своего макси-
мального значения при y = ±h / 4. Изменения этих напряжений 
по высоте бруса описывается кубической параболой в соот-
ветствии с формулой (28). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
Список литературы 
 
1. Феодосьев, В. И. Сопротивление материалов / В. И. Фео-
досьев. – М. : Наука, 1972. – 541 с. 
2. Сопротивление материалов / Г. С. Писаренко [и др.]. – 
Киев : Технiка, 1967. – 783 с. 
3. Тимошенко, С. П. Теория упругости / С. П. Тимошенко, 
Дж. Гудьер. – М. : Наука, 1972 – 559 с. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26 
Содержание 
 
Введение ........................................................................................ 3 
 
1. Теоретический расчет нормальных напряжений ................... 4 
 
2. Касательные напряжения при плоском  
поперечном изгибе ...................................................................... 11 
 
3. Пример расчета составной консольной балки 
с разными значениями модуля Юнга ........................................ 14 
 
4. Нормальные напряжения при плоском изгибе  
прямого стержня, возникающие в результате  
надавливания волокон друг на друга ........................................ 19 
 
Список литературы ..................................................................... 25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Учебное издание 
 
ДУДЯК Александр Иванович 
ХМЕЛЕВ Александр Афанасьевич 
САХНОВИЧ Татьяна Александровна 
ГУРКОВСКАЯ Ольга Игоревна 
 
ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА НА ПРОЧНОСТЬ  
СОСТАВНЫХ БАЛОК  
ИЗ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ 
 
Учебно-методическое пособие 
для студентов специальности 1-36 01 03 «Технологическое  
оборудование машиностроительного производства» 
 
Редактор Т. А. Зезюльчик 
Компьютерная верстка Н. А. Школьниковой 
 
Подписано в печать 19.06.2013. Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Ризография. 
Усл. печ. л. 1,57. Уч.-изд. л. 1,23. Тираж 100. Заказ 350. 
Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический  
университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Пр. Независимости, 65.  220013, г. Минск.