Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Теоретическая механика» СТАТИКА Сборник задач для расчетно-графических и индивидуальных работ по теоретической механике Минск БНТУ 2011 Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Теоретическая механика» СТАТИКА Сборник задач для расчетно-графических и индивидуальных работ по теоретической механике 2-е издание, переработанное и дополненное Минск БНТУ 2011 УДК 531.2(075.8) ББК 22.21я7 С 78 Составители: Г.Н. Алехнович, Л.Н. Беляцкая, Т.Ф. Богинская, Э.Э. Глубокая Рецензенты: заведующий кафедрой «Сопротивление материалов машиностроительного профиля» Белорусского национального технического университета Ю.В. Василевич; заведующий кафедрой «Теоретическая механика» Белорусского национального технического университета А.В. Чигарев С 78 Статика: сборник задач для расчетно-графических и индивидуальных работ по теоре- тической механике / сост.: Г.Н. Алехнович [и др.]. – 2-е изд., перераб. и доп. – Минск: БНТУ, 2011. – 120 с. Издание представляет собой сборник расчетно-графических индивидуальных работ и контрольных работ по теоретической механике для студентов заочной формы обучения. Изло- жены краткие теоретические сведения и предложены задачи, охватывающие основные темы раздела «Статика» в соответствии с программой технических вузов. Для успешного выполнения РГР или индивидуальной задачи студенту следует изучить теоретический материал, разобраться в методике решения задачи и только после этого при- ступать к решению задачи. Для студентов втузов всех специальностей дневной и заочной форм обучения. Первое издание вышло в 2005 г. в БНТУ (авт.: Л.Н. Беляцкая, Т.Ф. Богинская, Э.Э. Глубокая, Г.С. Соколовский, И.А. Киреева). ISBN 978-985-525-772-2 © БНТУ, 2011 ОГЛАВЛЕНИЕ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТАТИКИ ………………………………………… 4 Понятие тела ……………………………………………..…………………...... 4 Понятие силы …………………………………………….…………………….. 4 Понятие момента силы ………………………………….…………………….. 5 Момент силы относительно точки ………………………...………………….. 5 Момент силы относительно оси ……………………………..………………... 5 Понятие связи и ее реакции …………………………………………………… 6 УПРОЩЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ (ПЕРВАЯ ЗАДАЧА СТАТИКИ) ………... 8 Упрощение сходящейся системы сил ………………………………………… 9 Упрощение произвольной системы сил …………………………………….... 9 РАВНОВЕСИЕ ТЕЛ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛ (ВТОРАЯ ЗАДАЧА СТАТИКИ) ……………………………………………… 10 Методика решения задач по статике …………………………………………. 11 Равновесие системы сходящихся сил ……………………………………….... 11 Задание С 1 ……………………………………………………………………... 12 Задание С 2 ……………………………………………………………………... 15 Задание С 3 ……………………………………………………………………... 19 Равновесие систем тел…………………………………………………………. 26 Задание С 4 ……………………………………………………………………... 26 Задание С 5 ……………………………………………………………………... 30 Задание С 6 ……………………………………………………………………... 38 Задание С 7 ……………………………………………………………………... 43 Задание С 8 ……………………………………………………………………... 54 Задание С 9 ……………………………………………………………………... 60 Расчет плоских ферм …………………………………………………………….. 66 Понятие о ферме ………………………………………………………………… 66 Допущения, применяемые при расчете ферм ………………………………….... 67 Задание С 10 …………………………………………………………………..... 69 Равновесие системы сил с учетом трения ………………………………..…... 79 Задание С 11 ……………………………………………………………………. 80 Равновесие произвольной пространственной системы сил …………….…... 87 Задание С 12 ……………………………………………………………….…… 87 Задание С 13…………………………………………………………………….. 93 Задание С 14…………………………………………………………………….. 99 Задание С 15…………………………………………………………………….. 104 ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТЕЛ……………………………………………………..… 110 Координаты центра тяжести тела определяются по формулам……………... 110 Задание С 16…………………………………………………………………….. 112 Таблица вариантов заданий………………………………………………...…. 118 Литература ……………………………………………………………………... 120 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТАТИКИ Статикой называют раздел теоретической механики, в котором изучаются раз- личные преобразования сил и условия равновесия тел. Из определения вытекают две основные задачи статики: 1) упрощение системы сил, т.е. замена одной системы сил другой, более простой, но производящей на одно и то же тело одинаковое действие; 2) определение условий, при которых силы, при- ложенные к телу, уравновешиваются. Обе задачи могут быть решены геометриче- ским или аналитическим способом. Положения статики широко используются на практике. Различные сооружения (здания, мосты), машины и приборы могут выполнять свои служебные функции, находясь только в равновесном состоянии. Поэтому важно определить условия, при которых эти устройства находятся в равновесии под действием приложенных сил. Чтобы успешно решать отмеченные выше задачи, необходимо четко знать важ- нейшие понятия статики. К ним относятся, прежде всего, тело, сила, момент силы, связь и др. Понятие тела Телом, иначе – объектом, в механике называется любой предмет независимо от его формы, содержания и других свойств. Исключительно разнообразны тела, равно- весие которых приходится рассматривать в механике: детали машин и сами машины, элементы конструкций и сложные сооружения. Однако многие свойства тел не влия- ют на равновесие или влияют несущественно. Поэтому изучаемый объект часто упрощают, или идеализируют. Так, вводят понятие материальной точки, твердого те- ла, тела с гладкой поверхностью, невесомого тела и др. Часто рассматриваемые тела имеют сложную структуру. Их приходится расчленять на части, и рассматривать рав- новесие частей отдельно. Выбрать объект равновесия и определить его взаимодействие с окружающими телами – первое необходимое условие умения решать задачи статики. Понятие силы Все тела взаимодействуют с окружающими их другими телами. Эти взаимодей- ствия могут иметь различную природу, интенсивность и проявление. Поэтому для характеристики взаимодействия вводят меру, называемую силой. Силой называют количественную меру механического воздействия одного тела на другое. Сила характеризуется численным значением, местом приложения (точкой при- ложения) и направлением. Взаимодействия тел в природе и технике исключительно разнообразны. Поэтому наряду с силой в качестве меры принимают другие величины: пару сил, момент силы относительно точки или оси. Силы могут называться внешними или внутренними, активными или реактивны- ми, могут иметь равнодействующую, быть уравновешенными и др. Правильно определить силы, приложенные к выбранному телу – второе необхо- димое условие умения решать задачи статики. Понятие момента силы Различают момент силы относительно точки и момент силы относительно оси. Момент силы относительно точки Моментом силы относительно точки называется алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на кратчайшее расстояние от точки до линии дей- ствия силы. Сокращенно: момент силы относительно точки равен произведению си- лы на плечо, т.е. ( ) dFFmA ⋅±= . (1) F A MA d Знак «+» ставят, если сила стремится вращать тело против часовой стрелки, «–» – если – по часовой стрелке). При изучении пространственной системы сил вводится понятие векторно- го момента силы относительно точки следующим образом. Его модуль равен произведению силы на плечо; приложен в точке, относительно которой вычисляется момент; направлен перпендикулярно к плоскости, где лежат сила и точка, таким об- разом, что, глядя с конца этого вектора, видим силу, стремящуюся повернуть тело против часовой стрелки (см. AМ ). Момент силы относительно оси Моментом силы относительно оси называется алгебраическая величина, рав- ная произведению проекции этой силы на перпендикулярную к оси плоскость на кратчайшее расстояние от линии действия проекции до оси, т.е. ( ) 11dFFmz ±= . (2) Знак «+» ставится тогда, когда сила стремится повернуть тело против часовой стрелки, «–» – когда – по часовой стрелке (смотреть на силу с положительного конца оси). Таким образом, чтобы найти момент силы относительно оси, необходимо: d 1 F F 1x y z O спроектировать силу на перпендикуляр- ную к оси плоскость, т.е. найти 1F ; т.е. определить кратчайшее расстояние от ли- нии действия проекции силы до оси 1d , и составить затем алгебраическое произве- дение 11dF . Примечание. Иногда момент силы относительно оси (точки) проще вычислить следующим образом. Сначала силу раскладывают на составляющие, а затем опреде- ляют моменты каждой составляющей (теорема Вариньона). Момент силы относительно оси (точки) равен алгебраической сумме момен- тов составляющих сил относительно той же оси (точки). ( ) ( ) ( ) ( )zzyzxzz FmFmFmFm ++= . (3) Понятие связи и ее реакции Все тела можно разделить на две группы свободные и несвободные. Тело называют свободным, если оно может получать перемещение в любом направлении (свободно падающий камень). Тело называют несвободным, если оно не может получать перемещения хотя бы в одном направлении (шарик на нити не может удалиться от точки подвеса). Физические тела, ограничивающие свободу других тел, называют механически- ми связями, или просто связями. Сила, с которой связь действует на рассматриваемый объект, называется реакци- ей связи, или реактивной силой. В подавляющем большинстве тела являются несвободными. Это значит, что свя- зей имеется бесчисленное множество. Однако их можно объединить в группы (типы) по различным признакам. NA NB A B 1. Гладкая поверхность. Связь ограничивает перемещение тела лишь в одном направлении. Ее ре- акция совпадает с нормалью к поверхности связи в точке касания (см. AN ). Если в точке касания к связи нельзя провести нормаль (край стены, острие), то ре- акцию направляют по нормали к поверхности каса- ющегося тела (см. BN ). NFтр R 2. Негладкая (шероховатая) поверхность. В этом случае кроме нормальной реакции имеет- ся также составляющая в касательной плоскости (силы трения). 3. Гибкая связь (трос, канат, ремень, цепь, нить). Такая связь считается невесо- мой, нерастяжимой, гибкой. Ее реакция всегда направлена вдоль связи. N1 N2 4. Невесомый стержень. Такой стержень является промежуточным звеном между телом и опорой. Он соединен с ними посредством шар- ниров без трения, и его реакция всегда направ- лена вдоль прямой, соединяющей шарниры (см. 1N и 2N ). 5. Шарнирные опоры. Различают три случая таких опор. YA XA A Тело соединено цилиндрическим шарниром с не- подвижной опорой (шарнирно-неподвижная опора). Соединение позволяет телу поворачиваться вокруг оси шарнира. Реакция в шарнире перпендикулярна к его оси и при решении задач раскладывается обычно на две перпендикулярные составляющие. RB B B RB α B RB Тело соединено цилиндрическим шарниром с опорой, которая может пере- мещаться по другой опорной поверхности (шарнирно-подвижная опора). Если эта поверхность – гладкая, то реакция направ- лена по нормали к опорной поверхности. Тело соединено сферическим шарниром с неподвижной опорой. Соединение позволяет телу поворачиваться вокруг центра шарнира. Реакция в шарнире может иметь любое направление и при решении задач обычно раскладывается на три пер- пендикулярные составляющие. а) x z y RA б) A XA YA ZA RA MA XA YA P Жесткая заделка. Если тело со связью соединено жестко (не допускаются никакие перемещения), то такое соединение назы- вают жесткой заделкой, или защемлением (конец балки в кирпичной или бетонной кладке, конец столба в земле). Реакция такой связи состоит из силы и пары. Силу раскладывают на две перпендикулярные составляющие, а пару сил прикладывают к защемленному концу, направляя ее по хо- ду или против хода стрелки часов (для плоской системы сил). Или на три перпенди- кулярные составляющие и на три пары сил вокруг трех перпендикулярных осей (для пространственной системы сил). RА МА Скользящая заделка. Связь ограни- чивает линейное перемещение тела в од- ном направлении и не позволяет телу по- ворачиваться вокруг опоры. Ее реакция раскладывается на силу AR , которая направлена по нормали к заделке и на пару сил приложенных к телу с момен- том AM . МА Двойная скользящая заделка. Связь препятствует повороту тела. Ее реакция представляет собой пару сил приложен- ных к телу с моментом AM . Следует помнить, что рассмотрен- ные выше связи во многом идеализиро- ваны (гладкая поверхность, невесомые стержни, шарниры без трения и прочее). Кроме того, в инженерных или даже в учебных задачах по теоретической механике часто не оговариваются типы связей, действующие на тело. В этих условиях необхо- димо самому проанализировать свойства связей и отнести их к тому или иному типу. Правильно определить типы связей и показать направление их реакций – третье необходимое условие умения решать задачи статики. УПРОЩЕНИЕ СИСТЕМЫ СИЛ (ПЕРВАЯ ЗАДАЧА СТАТИКИ) Упрощением (по иному – сложением) называют замену одной системы сил дру- гой, более простой, но оказывающей на одно и то же тело одинаковое действие (такие системы сил называются эквивалентными). Наиболее часто системы сил упрощают двумя способами: первый основан на ак- сиоме о сложении сил с помощью параллелограмма, – применяется для сходящихся сил; второй основан на теореме о параллельном переносе силы (Лемма Пуансо), – применяется для произвольной плоской и пространственной систем сил. Упрощение сходящейся системы сил Сходящиеся силы всегда могут быть заменены равнодействующей силой. Ее мо- дуль и направление находят: при графическом решении по замыкающей стороне многоугольника, построенного на силах; при аналитическом решении с помощью проекций сил на координатные оси по формулам ( ) ( ) ( )222 ∑∑∑ ++= iziyix FFFR ; ( ) ( ) ( ) RRkRRRjRRRiR zyx /,cos;/,cos;/,cos === , (4) где yxiziyix RRFFF ,,,, , zR – проекции сил и равнодействующей на координат- ные оси. x α F Fx Проекция силы на ось равна произве- дению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси. ( ) α⋅== cosпр FFF xx . (5) При решении многих задач приходится иметь дело с силами, лежащими не в плоскости, а в трехмерном пространстве. В этом случае: 1. Силу на оси координат проектируют обычно в два приема (метод двойного проецирования). Сначала ее проецируют на одну из осей (угол между которой и век- тором силы известен) и на координатную плоскость двух других осей. Проекция си- лы на плоскость является вектором. Этот вектор затем проецируют на оси координат, расположенные в плоскости. Fz y F Fу Fху Fх α β Пример использования метода двойного про- ецирования. 1. прz ( ) coszF F F α= = прxy ( ) sinxyF F F α= = 2. прx ( ) xF F= =пр x ( ) cos sin cosxy xyF F Fβ α β= = прy ( ) yF F= = пр y ( ) sin sin cosxy xyF F Fβ α β= = Упрощение произвольной системы сил Произвольную систему сил в общем случае можно заменить одной силой (глав- ным вектором – R ′ ) и одной парой (главным моментом относительно центра приве- дения – OM ), что принято записывать On MRFFF ;,...,, 21 → или On MRFFF ;~,...,, 21 . Модуль и направление главного вектора находят с помощью проекций сил на координатные оси по формулам ( ) ( ) ( )222 ∑∑∑ ++=′ iziyix FFFR ; ( ) ( ) ( ) RRkRRRjRRRiR zyx ′′=′′=′′′= ;cos;,cos;;cos , (6) где ∑ ∑ ∑=′=′=′ izziyyIxx FRFRFR ,, . Модуль и направление главного момента относительно центра находят с помо- щью моментов сил относительно координатных осей по формулам. ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]222 ∑∑∑ ++= iziyixO FmFmFmM ; ( ) ( ) ( ) OOzOOOyOOOxO MMkMMMjMMMiM /,cos;/,cos;/,cos === , (7) где ( ) ( ) ( )iziyix FmFmFm ,, – моменты сил относительно осей; OzOyOx MMM ,, – проекции главного момента на оси, причем ( )∑= 1FmM xOx ; ( ) ( )∑ ∑== izOziyOy FmMFmM ; . Примечание. В частных случаях систему сил можно заменить: парой сил, если 0=′R , а скалярное произведение – 0=⋅′+⋅′+⋅′=⋅′ OzzOyyOxxO MRMRMRMR ; динамой (динамическим винтом), если 0≠⋅′+⋅′+⋅′=⋅ OzzOyyOxx MRMRMRMR . РАВНОВЕСИЕ ТЕЛ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛ (ВТОРАЯ ЗАДАЧА СТАТИКИ) Изучение равновесного состояния тела в теоретической механике сводится, как правило, к определению неизвестных сил, приложенных к телу. Знание сил позволяет инженеру выбрать подходящий материал, размер и форму тела (сооружения, техни- ческого устройства) и рассчитать его на прочность, устойчивость и другие показатели качества. Поэтому определение условий равновесия тел и нахождение сил имеет важное практическое значение. Решая задачи статики, необходимо стремиться, чтобы наиболее коротким путем прийти к решению. Такая методика устанавливает, что надо делать и в какой после- довательности. Методика решения задач по статике 1 этап. Изучить задачу (что дано, что определить, что главное, что второстепен- ное – для этого иногда следует несколько раз читать условие задачи). 2 этап. Выбрать объект равновесия (им может быть узел, тело любой формы, сложная конструкция или ее часть, машина, механизм и прочее). 3 этап. Показать заданные (известные) силы, приложенные к выбранному объек- ту равновесия. 4 этап. Установить связи, действующие на объект, определить типы связей и по- казать их реакции. 5 этап. Определить вид системы сил, действующей на объект, и записать для нее уравнения равновесия (каждый вид имеет свои уравнения). 6 этап. Выполнить действия, предусмотренные уравнениями равновесия (спро- ектировать силы, вычислить их моменты и прочее), найти искомые величины, ре- зультаты проанализировать. Равновесие произвольной плоской системы сил Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил на две оси и сумма моментов сил относительно любой точки равнялись нулю, т.е. ( )∑ ∑ ∑ === 0;0;0 iAiyix FmFF . (8) Вместо уравнений (9) иногда лучше использовать другую систему уравнений ( ) ( )∑ ∑ ∑ === 0;0;0 iBiAix FmFmF , (9) где A и B – произвольные точки; ось x не перпендикулярна к прямой AB , или тре- тью ( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑ === 0;0;0 iCiBiA FmFmFm , (10) где BA, и C – произвольные точки, не лежащие на одной прямой. Для равновесия сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проек- ций этих сил на координатные оси равнялись нулю, т.е. ∑ ==∑ .0,0 iyix FF (11) Задание С 1 Определить опорные реакции балки, если известны ее размеры и схема нагруз- ки. Весом балки пренебречь. Варианты задания показаны на рис. С 1-1 – С 1-2, а необходимые для решения данные приведены в табл. С 1. Таблица С 1 Вариант Схема Нагрузка Размеры, м Углы, в градусах P , кН q , кН а b c α β 1 1 3 - 3 1 2 30 90 2 4 - 4 2 1 45 120 3 2 4 - 8 4 5 45 30 4 6 - 12 6 7 90 45 5 3 3 - 8 3 2 45 45 6 4 - 10 4 3 60 30 7 4 4 - 3 2 - 120 45 8 10 - 6 4 - 120 30 9 5 4 - 5 5 - 30 60 10 8 - 15 10 - 60 120 11 6 5 - 2 2 - 30 45 12 9 - 2 3 - 30 90 13 7 - 2 10 5 - - 60 14 - 4 16 6 - - 30 15 8 - 3 14 7 4 30 45 16 - 4 15 6 5 60 60 17 9 - 2 4 3 - - 60 18 - 8 10 9 - - 30 19 10 - 1 6 2 10 - 30 20 - 5 10 4 8 - 60 21 11 5 - 5 7 2 90 60 22 8 - 8 10 4 60 90 23 12 - 2 10 3 4 - 60 24 - 5 20 5 5 - 30 25 13 - 4 10 10 - 45 30 26 - 9 16 10 - 30 60 27 14 - 3 7 3 4 - 60 28 - 8 11 7 10 - 30 29 15 - 4 8 8 - 60 30 30 - 6 10 12 - 60 45 1 A B D α P b a c β 2 B β α P A C b a c 3 β B A P α b c a C 4 β A B P α a b 5 A β α P a b B 6 A a b β P α B C 7 q A β b a B C 8 c β B A q C α b a Рис. С 1 – 1 9 a B A β qb C 10 B cβ A C q a b 11 A β B α P b a c 2a 12 A B q β a c b 13 A 2a b B β q a c 14 βB A qa 0,5b b c 15 A α α βB b q 2a a a Рис. С 1 – 2 Задание С 2 Найти реакции опор конструкции. Схемы конструкций представлены на рис. С 2 – 1 – С 2 – 4 (размеры в м), нагрузка указана в табл. С 2. Таблица С 2 Вариант (схема) G P М, кН· м q, кН/м α , град. Вариант (схема) G Р М, кН·м q, кН/м α , град. кН кН 1 10 5 20 1 30 10 10 8 9 1 30 2 12 8 10 4 60 11 – 4 7 0,5 45 3 8 4 5 2 60 12 10 6 8 – 45 4 14 – 8 3 30 13 12 10 6 2 30 5 – 6 7 1 45 14 10 6 10 1 45 6 – 10 4 2 60 15 4 4 4 2 60 7 – 6 5 1 45 16 20 10 – 2 45 8 16 7 6 2 60 17 25 5 – 0,5 45 9 6 6 4 2 30 18 20 10 10 – 30 19 – 4 8 1 45 25 – 14 20 0,5 45 20 – 10 6 0,5 45 26 – 16 14 1 30 21 – 8 7 0,5 30 27 5 4 8 2,5 45 22 – 10 8 1 30 28 – 10 7 3 30 23 – 7 10 2 30 29 – 6 8 1 15 24 – 6 7 1,5 30 30 15 10 14 – 30 1 q G M α 2 2 A B 2 C q G P A B M D α α 2 1 3 3 A B M α 2 2 P G q 4 G q A αM B 1 2 3 Рис. С 2 – 1 5 A C α M B D qP 4 2 6 B M A α 3 1 Pq 2 7 B α α M 2 A q P 2 8 A C M α α D E B F 4 1 3 q P G 9 B αα AC 1 1 2 MGP q 10 M E BP C α 2α 1 1 1,5 2 2,5 A D G q 11 A M α 2α B 4 3 P q 12 A M P BC α 1 1 2 G Рис. С 2 – 2 13 D A M α α F C B E F 1 1 1 1 P q G 14 AM α 3 2 P G q 1 1 15 A M G α 1 2 P q 4 16 A B α 2 2 P G q 2 17 A B α 4 1,5 q G P 2 18 A G M α α α 2 2 G P 2 B 19 M A B P α 3 1 2 q 2q 20 α A P α q M B C 2 43 Рис. С 2 – 3 21 q B A M P α α 4 4 2 22 A B M P α α q 2 2 2 23 A P M B C 2 1 2 q α 24 2 A B α P M 2α q 3 25 A 2 B q M P α 2 2 26 A B 2q P α q M 3 2 2 3 2 27 q M G α α 2 A B P 2 2 28 A B M P q 2α 2 2 Рис. С 2 – 4 29 A B MP 2α α 2 α q 1 2 30 B A M Gα α 0,5 1 2 P Рис. С 2 – 5 Задание С 3 Варианты 1 – 6 (рис. С 3 – 1, С 3 – 2) 1. Определить давление балки АВ на опорные поверхности, если =maxq 20 Н/м, F = 25 Н, =m 40 Н·м, 30=α , АС = ВС = 3 м. 2. На П-образную балку АВ действует сила 30=F Н, пара сил с моментом 10=m Н·м и нагрузка 2max =q Н/м, изменяющаяся по линей- ному закону. Определить реакции опор А и В, если 60=α , АС = 2 м, СD = 1,5 м. 3. Определить реакции опор однородной балки АВ весом 20 Н, если М = 10 Н·м, 4=q Н/м,  60,30 =β=α , АВ = 2 м, ВС = 1,5 м. 4. Стержни АС и ВС соединены шарнирно в точке С. Опреде- лить реакции опор А и В, если F = 15 Н, m = 8 Н·м, 6max =q Н/м, AD = CD = 3 м, 30=α . 5. Балка AD соединена шарнирно с невесомым стержнем BD. Определить реакции опор А и В, если F = 6 кН, m = 25 кН·м, 8,0max =q кН/м, АЕ = СЕ = 2 м, 60=α , СК = КD = 3 м. 6. На конце однородной горизонтальной балки весом 8 кН ле- жит однородная бетонная плита весом 4 кН. Определить реакции жесткой заделки А, если F = 6 кН, М = 20 кН·м, АС = BD = CD = 2 м, 60=α . α m qmax A C B F A B F α m C D qmax Рис. С 3 – 1 3. M q A C D B α β A D B 90° qmax m C F α 5. C A D m q α Kα EF B 6. A C B α F D M Рис. С 3 – 2 Варианты 7 – 8 (рис. С 3 – 3) 7. Однородный стержень АВ весом 10 кН упирается концом А в выступ и свободно лежит на гладкой поверхности полуцилиндра. Опре- делить реакции опор, если m = 10 кН·м, 5,1=q кН/м, 30=α , АС = 3/4 АВ, АВ = 4 м. 8. Определить реакции опор балки АВ весом 20 кН, если 1max =q кН/м, m = 9 кН·м, АС = ВС = 3 м, 30=α . 7. α q B A mC 8. A C B αqmax m Рис. С 3 – 3 Варианты 9 – 14 (рис. С 3 – 4) 9. Определить реакции, возникающие в заделке А балки АВ, если F = 8 кН, Р = 10 кН, 2,1max =q кН/м, m = 30 кН·м, 60=α , AC = CD = BD = 2 м. 10. Определить реакции опор А и В балки AD, если F = 12 кН, 45=α , q = 1,4 кН/м, m = 22 кН·м, AC = CD = 4 м. 11. Определить реакции опор А и В балки AС и ее вес, если m = 20 кН·м, q = 0,8 кН/м, AB = 2,5 м, ВС = 2 м и в положении равновесия угол 30=α . 12. Определить реакции опор балки АВ, если F = 9 кН, q = 3 кН/м, m = 32 кН·м, АС = ВС = 1,5 м, 60=α . 9. AC D B m qmax Fα P 10. A m D q F α B C 11. q B C A m α 12. A C m B α qmax α F Рис. С 3 – 4 Варианты 13 – 14 (рис. С 3 – 5) 13. На балку AD действует сила F = 8 кН, пара сил с моментом m = 26 кН·м и равномерно распределенная нагрузка интенсивности q = 0,8 кН/м. Определить реакции опор А и В, если 45=α , 60=β , АЕ = СЕ = CD = 1 м. 14. Определить реакции опоры А Г-образной балки, изображен- ной на чертеже, и невесомого стержня ВС, если F = 6 кН, 5,1max =q кН/м, m = 24 кН·м, 30=α , АС = СЕ = ED = 3 м. 13. A qm α F β EC B D 14. qmax D C F m A B α E Рис. С 3 – 5 Варианты 15 – 20 (рис. С 3 – 6) 15. Консольная балка находится под действием пары сил с мо- ментом m = 16 Н·м и распределенной нагрузки интенсивности q = 2 Н/м. К концу балки В подвешен груз Р = 30 Н. Определить реакцию заделки, если 60=α , АС = ВС = 1 м. 16. Определить реакции опор А и В балки, изображенной на чер- теже, если F = 8 кН, m = 30 кН·м, q = 1,2 кН/м, 30=α , АЕ = ЕС = BD = 2 м. 17. Определить реакцию жесткой заделки Г-образной балки АВС, если F = 6 кН, Р = 10 кН, 5,1max =q кН/м, 60=α , АВ = ВС = 3 м. 18. Найти реакции опор Г-образной балки АВ, если F = 5 кН, m = 30 кН·м, q = 0,9 кН/м, 60=α , АС = ВС =2 м, CD = BD. 19. Однородная балка АВ весом 40 кН и длиной 4 м упирается концом А в выступ пола, а промежуточной точкой D опирается о ребро ступени. Определить реакции опор, если 4,1max =q кН/м, m = 18 кН·м, BD = 0,5 м, CD = 1 м, 30=α . 20. Однородная балка АВ весом 25 Н и длиной 6 м находится под действием пары сил с моментом m = 8 Н·м и равномерно распределенной нагрузки интенсивности q = 4 Н/м, АС = ВС. Определить реакции опор. 15. C BA q m Pα 16. BA C D F α m q α E 17. qmax F α P αC A B m 18. C A m q B α α F D 19. A α D qmax C B m 20. m A C B q 45° Рис. С 3 – 6 Варианты 21 – 26 (рис. С 3 – 7) 21. Определить реакции опор балки АС, если F = 8 кН, М = 30 кН·м, 8,0max =q кН/м, 45=α , BC = BD = 2 1 AD = 2 м. 22. Балка АВ весом 10 кН и длиной 4 м опирается одним концом на наклонную плоскость, а в точке А на цилиндрическую поверхность ра- диуса R = 1 м. Определить давление балки на опорные поверхности, если q = 1 кН/м, m = 32 кН·м, 30=α , BD = 1,5 м, 60=β . 23. Определить усилия в стержнях, поддерживающих балку АС, если F = 6 кН, m = 25 кН·м, q = 0,8 кН/м, 60=α , АВ = 2ВС = 2 м. 24. Однородный стержень АВ весом 50 Н удерживается в равновесии невесо- мым стержнем CD и грузом Р, подвешенным к веревке, перекинутой через блок О. Определить реакцию опоры А и усилие в стержне, если Р = 100 Н, q = 60 Н/м, m = 12 Н·м, 60=α , BD = 0,5AD = 2 м. 21. A α D C M qmax B F α 22. A m B q D α β 23. m FA C q B α α 24. C B A q m D α P O Рис. С 3 – 7 Варианты 25 – 30 (рис. С 3 – 8) 25. Определить давление балки АВ на опорные плоскости, если 20=F H, m = 1,6 H·м, q = 20 H/м,  30,30 == βα , АС = СВ = 0,8 м. 26. Определить реакцию жесткой заделки Т-образной балки, если F = 15 H, q = 10 H/м, m = 14 H·м, 45=α , BС = ВD = 1 м, AB = 3 м. 27. Определить реакции опор А и В однородной балки АС длиной 2 м и ее вес, если m = 15 H·м, 30=α , R = 0,8 м. 28. Определить реакции опор А и В балки, если q = 15 H/м, m = 12 H·м, AC = 1 м, BC = 2 м, 45=α . 29. Определить реакцию опоры А и усилие, возникающее в неве- сомом стержне ВС, если, F = 25 H, m = 10 H·м, 45=α , АЕ = ЕС = СД = 1,5 м. 30. Определить реакцию жесткой заделки балки АВ, если F = 40 H, m = 18 H·м, 60=α , АС = 1,5 м, ВС = 2,5 м. 25. A M C q B β α F 26. B α q A m C F D 27. B α C A m 28. A α q B C m 29. A m α E D F B 30. F α A C B m Рис. С 3 – 8 Равновесие систем тел Под системой тел понимается конструкция, состоящая из нескольких твердых тел, взаимодействующих между собой через какие-либо связи, допускающие относи- тельные перемещения этих тел (они могут соединяться шарнирами, гибкой нитью, опираться друг на друга и т.д.). При равновесии системы тел как каждое тело, так и вся система в целом находят- ся в равновесии. В связи с этим имеется два способа решения задач, связанных с ис- следованием равновесия системы тел. 1. Поскольку каждое тело системы находится в равновесии, то составляются урав- нения равновесия каждого из тел (тогда уравнения равновесия системы в целом могут быть использованы для проверки правильности решения). 2. Сначала записываются уравнения равновесия системы в целом, а затем уравне- ния равновесия отдельных тел системы (в этом случае нет необходимости в составле- нии уравнений равновесия по крайней мере одного из тел системы, но они могут быть применены для проверки). Замечания: 1. При составлении уравнений равновесия всей системы в целом она рассматри- вается как абсолютно твердое тело, поэтому в эти уравнения не войдут силы взаимо- действия между отдельными телами системы. 2. Силы, которыми действуют друг на друга тела системы, в соответствии с акси- омой о действии и противодействии равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Если несколько тел взаимодействуют в одной точке, то суммы проекций всех сил, действующих на эту точку со стороны контактирующих с ней тел, а также суммы моментов соответствующих пар сил должны быть равны нулю. 3. Если внешняя сила приложена к точке контакта исследуемых тел, ее следует относить только к одному из тел системы. Задание С 4 Найти реакции опор и давление в промежуточном шарнире составной конструк- ции. Схемы конструкций представлены на рис. С 4 – 1 – С 4 – 5. Размеры – в м), нагрузка указана в табл. С 4. Таблица С 4 Вариант (схема) 1P 2P М, кН·м q, кН/м Вариант (схема) 1P 2P М, кН·м q, кН/м кН кН 1 6,0 - 25,0 0,8 16 8,0 11,0 31,0 0,8 2 5,0 8,0 26,0 - 17 9,0 15,0 26,0 1,1 3 8,0 10,0 33,0 1,1 18 7,0 16,0 27,0 0,8 4 10,0 - 25,0 1,3 19 6,0 18,0 35,0 1,4 5 12,0 - 27,0 1,0 20 7,0 16,0 32,0 0,8 Вариант (схема) 1P 2P М, кН·м q, кН/м Вариант (схема) 1P 2P М, кН·м q, кН/м кН кН 6 14,0 12,0 - 0,9 21 8,0 17,0 30,0 1,2 7 16,0 8,0 18,0 1,4 22 5,0 6,0 34,0 1,5 8 12,0 6,0 20,0 1,0 23 14,0 10,0 36,0 1,2 9 14,0 - 28,0 1,4 24 10,0 13,0 28,0 1,3 10 8,0 - 26,0 0,9 25 11,0 10,0 33,0 1,0 11 15,0 10,0 29,0 1,0 26 15,0 15,0 18,0 1,4 12 15,0 8,0 28,0 1,5 27 11,0 14,0 36,0 1,5 13 7,0 6,0 15,0 1,1 28 12,0 12,0 30,0 1,1 14 5,0 - 30,0 0,9 29 10,0 9,0 35,0 1,3 15 6,0 10,0 24,0 1,5 30 9,0 10,0 29,0 1,5 1 M A q B 90° C P1 4 2 2 3, 5 2 A B P1 M C 90° 1, 5 1, 5 2 2 4 P2 3 A B MP1 P2 q3 1 5 2 C 30° 4 C B M P1 A q 3 411 5 A B C M P1 30° q D 4 4 44 6 A q C B P2 P1 45° 45° 2 2 1 2 2 Рис. С 4 – 1 7 A B D q M P1 P2 60° C 1 3 2 3 3 8 A B q P1 M C P2 30° 3 3 3 1 2 9 B C A q P1 M 45° 3 2 2 2, 5 10 A C B P1 90°q M1 3 2 1,5 1,5 11 D 30° B A qP1 45°P2 C M 2 1 1 2 1 2 12 B A q4 D P2 P1 60° 2 1 1 2 2 3 C M 13 P1 D 90° A M 60° C q B P2 2 2 2 3 2 4 14 5 P1 90° 4 4 4 M C q A B Рис. С 4 – 2 15 C 30° q M P1 P2 A B 45° 2 2 3 3 3 16 A q C B P2 M 90° 60° D P1 1 4 1 3 2 17 A P2 B P1 45° q 2 2 3 3 C M 18 q B C P1 30° 60° P2 2 2 2 2 2 M A 19 C B P1 60° M q 30° P2 A 2 2 2 3 2 20 C B A q DP1 60° P2 M 2 2 2 3 2 2 21 A Cq P2 45° P1 M 2 2 2 2 1 3 B 22 M P1 45° P2 q A D B C 1 2 1 1 3 30° Рис. С 4 – 3 23 A P1 45° MP2 D CB q 1 2 1 1,5 2 1 24 A B P1 qP2 60° MD C 2 4 5 2,5 2,5 4 4 25 P1 B A P2 q M C D 45° 90° 3 2 1 1 1,5 1,5 26 P2 60° M A F 2 2 2 2 q 30° B C 4 D P1 30° 27 P1 AB C60° q P2 M D F 44 4 4 4 2 28 C BA q P2 60° 45° M D P1 2 3 2 3 29 q CBA D 30° P1 M 45° P2 4 4 4 4 30 30° D 60° P2 q P1 M A BC 2 4 2 2 Рис. С 4 – 4 Задание С 5 Для заданных систем тел определить реакции опор и реакции внутренних связей между телами. 1 m A C B F G α E 20=G H 40=F H =m 80 Н·м 60=α 1=АВ м 6,0=AE м 2 A B α F qmax E D m C 130=F H =m 250 Н·м 20max =q Н/м 8,0=АВ м CEBDСD 32 == 60=α 3 A B C ED α β 90° F m N 100=F H =m 180 Н·м 45=α 60=β ADАВ 3= ECBNBС 32 == 4 α B m F 1 BM E C F 2 β D A N 501 =F H 1202 =F H =m 100 Н·м BDNDAN == BMECBE 2== 60=α , 45=β Рис. С 5 – 1 5 B βγ α 90° F 1 F 2 A D C E m 801 =F H 1102 =F H =m 120 Н·м 8,02 == AEAB м 15=α , 45=β 30=γ 6 Bqmax m α A D β F 1 F 2 601 =F H 702 =F H =m 90 Н·м 20max =q Н/м 2,12 == ADAB м 30=α , 60=β 7 F 1 α m C A E B D q β =1F 90 H =m 150 Н·м =q 20 Н/м AEAB 2= 45=α , 60=β 6,0=ВС м 8,0=СD м 8 A D B m C q α F 1 F 2 α E 1501 =F H 802 =F H =q 60 Н/м =m 120 Н·м 8,02 == ADAB м CEBC 2= 60=α Рис. С 5 – 2 9 A α C B qmax G1 D m β G2 =m 100 Н·м 801 =G Н 502 =G Н 20max =q Н/м 9,02 == ADAB м 30=β=α 10 A q m B D C E αF 80=F H =q 20 Н/м =m 120 Н·м 8,02 == BEAB м CEBC 2= 30=α 11 C A D m q N α E BF 1 α F 2 M 1501 =F H 802 =F H =q 30 Н/м =m 100 Нм 2,12 == BCAB м NEMDNMCN 2=== 60=α 12 D A C m F 2 E B α α F 1 90° N qmax =m 240 Н·м 1201 =F H 2002 =F H =maxq 50 Н/м 6,14222 ===== BNDEBCADВD м CEBC 2= 60=α Рис. С 5 – 3 13 D A qmax m α α β E C B F 30=α , 60=β =F 210 H =m 100 Н·м 50max =q Н/м 2,12 == ADAB м ACECВС == 2 14 α m F 2 A D E C F 1 βO N B 801 =F H =2F 120 H =m 50 Н·м 30=α , 45=β 8,0=AO м ENAN 3= 15 m1 D E B C F A m2 α 5,0=DE м 90=F H мH1001 ⋅=m H2202 =m 2,1=СD м 30=α 16 m C q A DE B F α β =m 60 Н·м =q 30 Н/м 150=F H 2,13 == BDAB м ECВС 2= 60=α , 30=β 17 F α D qmax A N B CE m β =m 140 Н·м =F 90 H =maxq 50 Н/м 2,12 == ANAB м ECВС 2= =15 м 45=α , 120=β Рис. С 5 – 4 18 A C q α m E N B D F 1 F 2 2001 =F H 60=q Н/м =m 240 Н·м 1502 =F Н 8,0=== AEENBE м 8,02 == BDBC м 60=α , 30=β 19 B F 2 α γA D m F 1q β =m 120 Н·м =q 40 Н/м 601 =F H 1002 =F Н 6,12 == ADAB м 30=α , 45=β , 60=γ 20 A α F E C B M qmax αm G 140=F H 80=G H =m 40 Н·м =maxq 30 Н/м 8,044 === BEANAB м 6,0== BMMC м 30=α 21 A D m CB qmax F E90° α 90=F H =m 30 Н·м =maxq 60 Н/м 6,02 === AEBCAB м 45=α 22 F 1 m F 2 α β D A B =m 120 Н·м 401 =F H 602 =F Н ADDB = 45=α , 60=β Рис. С 5 – 5 23 m α A qmax B G CF β =m 50 Н·м =maxq 25 Н/м 40=F H 30=G H 6,02 == ACAB м 30=α , 60=β 24 A B C F 1 F 2 m qmax 90° α β =m 100 Н·м =maxq 50 Н/м 701 =F H 602 =F Н 6,02 == ACAB м 30=α , 60=β 25 B CA D m F 1 F 2 F 3 α βM N m = 30 кН·м 1F =20 кН 2F =20 кН 3F = 50 кН АМ = 1 м ВN =ND AC =BD = 2 м  30,60 == βα 26 A B m D C α F P m = 30 H·м F = 60 H Р = 180 Н АС = 1 м AD = CD 30=α Рис. С 5 – 6 27 Bα α A q F P a 2a 2a C F = 80 H q =30 H/м Р = 60 Н а =1 м 30=α 28 m α F K A E C D NM B P β m = 20 Н·м F = 30 Н Р = 40 Н АК = ВК, КЕ = ВЕ СD =2 МN = 4DN =4 м АВ = 4 м  45,30 == βα 29 β 90° A F E BD m C α P m = 50 Н·м F = 120 H Р = 200 Н АD = BD = 2 м BE = ЕС 30=α , 60=β 30 m B β D P A q αF EC СЕ = ED m = 18 Н·м q = 10 Н/м F = 20 H P = 12 H AB = 2 м АВ = 2ВС = 2СD  60,30 == βα Рис. С 5 – 7 Задание С 6 Определить опорные реакции и реакции в промежуточных шарнирах состав- ной конструкции от заданной нагрузки. Варианты задания показаны на рис. С 6 – 1 – С 6 – 5, а необходимые для решения данные приведены в табл. С 6. Таблица С 6 Ва- ри- ант P , кН q , кН/м М, кН·м 1l , м 2l , м 3l , м 4l , м 1h , м 2h , м 3h , м α , гр. β , гр. γ , гр. а, м b, м 1 4 1 8 10 12 14 – – – – 30 60 – 2 9 2 5 1,2 10 9 11 13 15 – – – 45 30 60 5 4 3 6 1,4 12 8 10 12 14 – – – 30 45 60 6 10 4 8 1,6 16 7 9 11 – 13 – – 45 30 – 4 6 5 10 1,8 20 6 8 10 – 12 6 – 45 60 – 8 6 6 12 2 24 5 7 9 – 11 5,5 – 60 30 – 4,5 6 7 14 2,2 30 4 6 8 – 10 5 – 45 30 60 4 5,5 8 16 2,4 32 3 5 – – 9 8 – 30 60 – 4 3,5 9 18 2,6 40 4 4 – – 8 4 – 60 45 – 2 6 10 20 3 50 3 3 2 – 7 3,5 0,5 30 45 60 1 2 11 4 1 10 14 12 10 – 16 8 – 30 60 45 3 16 12 5 1,2 15 9 11 – – 15 7,5 4,5 30 45 – 3 7 13 6 1,4 16 12 10 8 – 14 7 7,5 30 60 – 6 8 14 8 1,6 20 7 9 – – 13 6,5 10 45 60 30 4 5 15 10 1,8 30 10 8 6 – 12 6 3 30 60 45 3 7 16 12 2 36 7 5 9 – 11 5 4,5 45 30 – 5 6 17 14 2,2 40 6 4 8 10 10 5 4 45 60 – 5 6 18 16 2,4 32 5 7 3 – 9 4 8 30 60 45 2 7 19 18 2,6 42 6 4 2 – 8 4 6 35 45 60 3 4,5 20 20 3 50 1 3 5 – 7 – – 30 60 – 4,5 3 21 4 1 12 10 12 16 – 10 14 – 45 30 – 8 15 22 5 1,2 10 14 9 11 – 14 15 – 45 60 30 8 10 23 6 1,4 18 8 10 12 14 14 7 – 30 60 – 3,5 16 24 8 1,6 18 7 9 – – 6 13 – 60 – – 3 6 25 10 1,8 20 6 18 – – 6 12 – 30 – – 9 7 26 12 2 36 5 7 9 – 7 9 – 45 – – 8 6 27 14 2,2 30 4 10 – – 3 6 – 60 – – 3 5 28 16 2,4 28 4 5 2 – 2 1 3 30 – – 3 3 29 18 2,6 40 6 4 2 – 8 4 – 30 – – 3 4 30 20 3 46 5 3 2 – 7 3 – 60 – – 2 5 1 A M B P α b qa β C l1 l2 l3 2 C β α P b q B A M γD a l1 l2 l3 l4 3 β γ C A a P α B D b q M l1 l2 l3 l4 4 A B α P q bM βC a l1 l2 h1 l3 5 A B C M q b β α P a h1 l1 l2 l3 h2 6 A B qb α P β M h2 C ah 1 l1 l2 l3 7 h2 A M qb α P B h1 l3l2l1 β C γ D a 8 A M C β b qα P B l1 l2 h1 a h2 Рис. С 6 – 1 9 h1 A B C b q M P α β a l1 l2 h2 10 D h2 A B γ M q b α P a β l1 l2 l3 h1 h3 C 11 γ A q b C β α P M B D a l1 l2 l3 h1 h2 12 A B β P α a b q l2l1 M h 1 h2 h3 C 13 A B β α Pa Mb q l1 l2 l3 h1 h2 h 3 C 14 γ C β α P b q M a l1 l2 h1 h2 h3 B A 15 β M b qγ α P B A D C a l1 l2 l3 h1 h2 h3 16 A β M P α a q b C B l1 l2 l3 h1 h2 h3 Рис. С 6 – 2 17 A α P a M B C β q l1 l2 l3 l4 h1 h2 h 3 18 A C γ Bα P a M β l1 l2 l3 h1 h2 h3 D b q 19 b q A γ B C M β α P l1 l2 l3 h1 h 2 h3 D a 20 q b B A C M β α P a h1 l1 l2 l3 21 C h2 h1 A B M β b q α P l1 l2 l3 a 22 A b B β α P D γ l3l2l1 h1 h2 C Mq a 23 α P a q b β M l1 l2 l3 l4 h1 h 2 A B C 24 A b B q α P a M l1 l2 C h 1 h2 Рис. С 6 – 3 25 M A B C P α a b q l1 l2 h1 h2 26 A b q B C M P α a l1 l2 l3 h1 h2 27 A C M P α Ba b q l1 l2 h1 h2 28 A q b α P M B C a l1 l2 l3 h1 h2 h3 29 α A C a P q b M l1 l2 l3 h1 h 2 B 30 b q M α P l1 l2 l3 h1 h2 A B C a Рис. С 6 – 4 Задание С 7 Невесомые стрежни AD и BC соединены шарниром С и крепятся к вертикальной стене шарнирами А и В. Груз Q удерживается невесомой нерастяжимой нитью, пере- брошенной через невесомые неподвижные блоки 1 и 2, и прикрепленной к стержню ВС в точке Е. На стержни действуют сосредоточенная сила Р, распределенная нагрузка интенсивности q или q0 и пара сил с моментом М. Определить реакцию в шарнире В. Данные приведены в табл. С 7. Примечание. В вариантах 10–14, 20–29 блок 2 отсутствует. Таблица С 7 Вариант Р, кН Q, кН М, кН ∙ м q, кН/м q0, кН/м 1. – 10 6 – 2 2. 10 8 – – – 3. – 12 6 – 2 4. 10 10 4 – – 5. 2 10 5 – – 6. 1 6 4 – – 7. 2 3 – – 1 8. – 10 2 – – 9. – 12 – – 1,5 10. 10 10 – 2 – 11. – 6 4 – 2 12. 6 10 4 2 – 13. 2 6 5 2 – 14. 5 8 4 1,5 – 15. 5 6 3 – – 16. 3 4 – – – 17. – 5 – – 2 18. – 4,5 6 2 – 19. – 8 5 – 2 20. 6 10 4 – 3 21. 5 8 5 2 – 22. – 10 3 1 – 23. – 8 4 – 1,5 24. 4 10 5 2,5 – 25. 5 10 2 – 3 26. 6 10 – – 3 27. 4 10 – – 2 28. – 5 3 2 – 29. – 10 2 – 3 30. 2 10 5 – – 1 2, 5 2,5 3 1,6 2,4 3,5 2 1 М Q DCА В Е q0 F 2 2, 5 3 32 1 А В Е Q D 1,5 45°60° Р С 2 1 2 F 3 3, 5 Q 2,4 1 4 2 2 1 Е В А С D q0 М F Рис. С 7 – 1 4 1,6 2 1,6 2,5 3,5 2,5 1 DF CА В Е М Q 0,5 60° Р 2 5 2 22 1 3 4 3 А F С D 4 В Е Р М Q 6 2 F Р 1 2 А В Е М 3 3 3 D 1 С Q 3 4 Рис. С 7 – 2 7 3 F 2 2 D Q 1 3 4 3,5 3 q0 Р 1, 6 А В Е С 8 3 В 1 2 F 3 D Q 2 4 4 А Е М С 1 9 А В 2 1 2 F 3 D Q 1 3 3 4 Е q0 С Рис. С 7 – 3 10 3 А В 1 2 q С 2 D Q 1 45° Р 2 4 4 Е 11 3 А В 4 3 q0 3 D 1 Q 2,5 С Е М 12 3 А В 4 3 q 3 D 1 Q 5 С Е М 3 60° Р Рис. С 7 – 4 13 3 А В С 2 D Q 1 Р 2 4 4 М Е q 1, 5 14 5 3 D 1 Q 53 2 М В А q С 1 1 30° Р Е 15 4 А В 2 2 F 3 D 1 Q 2,5 2,5 4 С 1 60° Р Е М Рис. С 7 – 5 16 3 В 2 А 3 F 2 Q 11 D 3 3,5 С 2 45° Р Е 17 В А 1 3 D 1 Q 4 2 2,5 2 F 3 q0 Е С 4 18 В А 1 2 F 3 D 1 Q С 4 2,5 2,5 1 2 q ЕМ Рис. С 7 – 6 19 4 В А 1 2 F D Q С 4 2 3 1 2 Е Мq0 2 1 20 4 А В С 2 D Q 1 3 7 60° Р 1 3 2 М Е q0 21 4 А В С 2 D Q 1 3 5 60° Р 2,5 М 2 Е q Рис. С 7 – 7 22 3 В 2 D Q 1 1 3 5 3 q Е С М 23 4 А В С 4 4 М Е 4 D 1 Q q0 24 4 А В 1,6 1D 60° Р q 2 2 3 2 3 М Q С Е Рис. С 7 – 8 25 4 А В 2 D Q 1 q0 1,5 1 Р 4 2 4 М С Е 26 А В 2 D Q 1 1 4 3 q0 2 2 60° С Е Р 27 А В D Q 1 1,5 6 5 q0 3 45° С Е Р Рис. С 7 – 9 28 А В 2 D Q 1 5 5 3 С Е 3 q М 29 3 А В D Q 1 q0 2 5 4 М СЕ 30 2 22 1 3 3 3 А F С D В Е Р М Q4 Рис. С 7 – 10 Задание С 8 Два невесомых стержня АС и СD, соединенные между собой шарниром С, нахо- дятся в равновесии под действием сосредоточенной силы Р, пары сил с моментом М и распределенной нагрузки, изменяющейся по закону q = q(s). Определить реакции в заделке А и усилие в невесомом стержне ВD. Данные приведены в табл. С 8. Направление оси s показано на чертеже. Начало отсчета для вариантов 1, 2, 4, 8, 10–14, 22, 24, 26, 28 – в точке А; для вариантов 3, 5, 15, 16, 18-20, 27, 29 в точке С; для вариантов 6, 7, 9, 21, 23, 25 – в точке D; для варианта 17 – в точке Е. Для вариантов 2, 8 коэффициент К=1 м. Таблица С 8 Вари ри- ант Р, кН М, кН· м q(S) q0, кН q01, кН q02, кН/ м2 q03, кН/ м3 1 4 4 2 0325,0 Sq при 20 ≤≤ S 0 при 2〉S - - - 1 2 - 2 )sin(5,0 101 −πSKq при 20 ≤≤ S 0 при 1〉S - 1 - - 3 - 4 1 0 −Sq при 31 ≤≤ S 0 при 31 〉〉 S 1 - - - 4 4 3 Sqq 0201 + при 20 ≤≤ S 0 при 2〉S - 1 0,5 - 5 4 2 01 2 0325,0 qSq − при 42 ≤≤ S 0 при 24 〈〈 S - 1 - 1 6 - 4 2 030201 22 SqSqq +− при 20 ≤≤ S 0 при 2〉S - 1 1 1 7 - 4 2 0302 25,0 SqSq − при 40 ≤≤ S 0 при 4〉S - - 1 1 8 6 4 )5,0cos( 101 SKq π − при 53 ≤≤ S 0 при 53 〉〉 S - 1 - - 9 - 6 2 0301 Sqq − при 10 ≤≤ S 0 при 1〉S - 1 - 1 10 - 6 1 02 −Sq при 42 ≤≤ S 0 при 42 〉〉 S 1 - - - Вари ри- ант Р, кН М, кН· м q(S) q0, кН q01, кН q02, кН/ м2 q03, кН/ м3 11 - 6 2 03025,0 Sq при 41 ≤≤ S 0 при 41 〉〉 S - - - 1 12 10 4 2 03125,0 Sq при 104 ≤≤ S 0 при 104 〉〉 S - - - 1 13 - 8 2 03 1 01 94 Sqq −− при 63 ≤≤ S 0 при 63 〉〉 S - 1 - 1 14 - 4 1 03 −Sq при 62 ≤≤ S 0 при 62 〉〉 S 1 - - - 15 10 - 2 0301 125,05,0 Sqq −− при 42 ≤≤ S 0 при 42 〉〉 S - 1 - 1 16 - 4 2 035,0 Sq при 30 ≤≤ S 0 при 3〉S - - - 1 17 - 4 2 032,0 Sq при 11 −≥≥ S 0 при 11 〉〉− S - - - 1 18 6 4 2 031,0 Sq при 60 ≤≤ S 0 при 6〉S - - - 1 19 - 6 2 03023 SqSq − при 30 ≤≤ S 0 при 3〉S - - 1 1 20 - 4 1 04 −Sq при 42 ≤≤ S 0 при 42 〉〉 S 1 - - - 21 - 4 2 03024 SqSq − при 40 ≤≤ S 0 при 4〉S - - 1 1 22 10 4 1 03 −Sq при 31 ≤≤ S 0 при 31 〉〉 S 1 - - - 23 - 4 constq =01 при 40 ≤≤ S 0 при 4〉S - 2 - - 24 10 - 1 08,0 −Sq при 41 ≤≤ S 0 при 41 〉〉 S 1 - - - 25 2 4 2 0305,0 Sq при 40 ≤≤ S 0 при 4〉S - - - 1 Вари ри- ант Р, кН М, кН· м q(S) q0, кН q01, кН q02, кН/ м2 q03, кН/ м3 26 10 4 constq =01 при 60 ≤≤ S 0 при 6〉S - 2 - - 27 10 4 2 03008,0 Sq при 50 ≤≤ S 0 при 5〉S - - - 1 28 10 6 2 0301 2,05,0 Sqq + при 40 ≤≤ S 0 при 4〉S - 1 - 1 29 4 4 2 0301 1,01,0 Sqq + при 40 ≤≤ S 0 при 4〉S - 1 - 1 30 150 100 20 - - - - 1. 2 3. 4. 5. 6 Рис. С 8 – 1 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. Рис. С 8 – 2 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. Рис. С 8 – 3 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. Рис. С 8 – 4 Задание С 9 Жесткая рама представленная на рис. С9 – 1 и С9 – 6, состоящая из трех соеди- ненных между собой связями конструкций крепится с помощью внешних опор, ука- занных на рисунках к фундаменту. На конструкции действуют: пара сил с моментом М, равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q и силы P , F составляющие с элементами конструкции соответственно углы β и ϕ . Значение момента М пары сил, интенсивности q распределенной нагрузки, сил P и F , а так же углов β и ϕ указаны в табл. С 9. Определить давления рамы на внешние опоры, а так же усилия в связях соединя- ющих конструкции между собой в раму вызванные заданными нагрузками. Таблица С 9 Вариант Нагрузка М q P F β ϕ кН ∙ м кН/м кН кН град. град. 1. 8 1 12 20 60 75 2. 6 4 6 18 45 135 3. 12 2 40 10 15 30 4. 4 3 25 18 30 45 5. 7 6 12 24 75 60 6. 12 5 6 30 15 120 7. 10 0,8 8 14 45 15 8. 6 1,6 4 8 30 45 9. 5 4 12 26 60 75 10. 3 1 5 4 45 30 11. 7 2 12 14 30 45 12. 13 4 16 8 15 60 13. 17 6 8 12 165 30 14. 6 0,5 9 23 120 45 15. 14 3 5 10 45 30 16. 5 2 7 5 60 75 17. 3 4 11 4 30 15 18. 4 7 20 12 30 45 19. 8 8 19 6 15 75 20. 9 6 8 16 30 120 21. 11 4 14 15 105 45 22. 15 12 17 12 15 135 23. 7 5 7 18 45 15 Вариант Нагрузка М q P F β ϕ кН ∙ м кН/м кН кН град. град. 24. 6 4 5 6 60 105 25. 9 3 4 4 30 75 26. 8 7 2 12 45 30 27. 4 6 3 6 60 30 28. 17 2 6 17 120 75 29. 21 4 8 20 30 15 30. 6 5 9 7 75 60 1 1 2 2 2 С М Е K D 3 A В Р q 1 45° 6 F β ϕ 2 С М Е K A В q 1 1 2 1F P D 6 3 2 ϕ β 3 2 2 2 С М Е K D 3 A В q 1 45° 2 2 6 β P ϕ F 4 F С Е K В q 2 6 3 2 45° 1 М А 1 5 βD А P ϕ Рис. С 9 – 1 5 42 2 С Е K D 3 A В P 1 β 2 2 6 М 1 F 45° q ϕ 6 С Е D В 6 2 45° А 5 L А 2 2 1 P 2 K q 75° 1 F ϕ β M 7 E М A q 1 F D 3 2 1 2 ϕ 5 В В 60° С С 60° 2 2 2 β P 8 E М A q F 3 ϕ 5 В 60° 2P 2 В В 60° С С 2 4 D 9 2 Е М 3 A 1 30° 2 2 С С q В В 45° 1 β P ϕ FD 6 10 E М A qР 3 β 2 2 2 С F ϕ В В 45° 1 D 2 4 Рис. С 9 – 2 11 М A В q 3 3 5 Р β D 1 С С 60° 2 4 ϕ Е F 2 45° K K 1 12 2 2 A 2 1 ϕ F 45° М Е 1 β 2 P 2D С С 6 q В 13 A q 2 60° А 2 2 1 1 5 В М D 4 β P F ϕ С Е 6 1 14 В В 60° q 3 2 2 DЕ 2 2 Р β А Fϕ М 6 15 2 3 q 2 2 В В 30° β PМЕ F ϕ 4 D А 16 q 4 2 В В 2 F ϕ Р β А С М 3 2 2 6 Е 4 Рис. С 9 – 3 17 2 С Е D 3 A В 1 2 6 М q 2Pβ ϕ F 2 3 18 2 В D 4 Е 6 С 2 3 М 2 F ϕ 2 Р β А q 19 2 2 В М DЕ 6 2 С 45° С 1 А 1 F ϕ 3 q β 1 P 20 2 2 В DK 6 С Е А 1 Р β 3 Е С q М В 2 ϕ F 2 21 2 В DЕ 6 С А Р β С ϕ F 2 М 1 2 3 q 1 2K K 22 A Р 2 Е 2 2 D 6 2 3 В β С С Fϕ q М Рис. С 9 – 4 23 2 2 D 6 А F ϕ 3 Е q 2 М 1 Рβ1 С 2 В В 45° 24 2 2 М D Е 6 2 С А 3 2 ϕF q 60° А B 60° В 1 β Р 25 М 2 2 В 4 K 6 А F ϕ 3 q 2β Р 2 С 1 ЕD 2 26 М 2 2 В 4 K 6 А F ϕ 3 q 2 2 С 1 ЕD 2 β Р 27 A q 2 60° А 2 2 5 В 4 С Е 6 1 βР 2 2Fϕ 2 K М D 28 A Р 2 D 2 2 Е 2 3 В β Fϕ q С 45° С М 6 Рис. С 9 – 5 29 A 22 В q М F 45° 2 2 1 K D β Р 6 Е Сϕ 30 A q 2 45° А 2 2 2 βР С 2 3 3 В 6 Fϕ М D Е Рис. С 9 – 6 Расчет плоских ферм Понятие о ферме Фермой называется конструкция, со- стоящая из стержней, которые образуют геометрически неизменяемую систему. Места соединения двух или более стержней фермы называют узлами. В при- ближенных расчетах можно допустить, что в узлах фермы находятся шарниры. Простейшей плоской фермой является стержневой треугольник, содержащий три уз- ла. Простая плоская ферма получается из простейшей путем последовательного присо- единения к ней каждого нового узла при по- мощи двух новых стержней. Обозначим число стержней n, а число узлов – m. Тогда количество стержней, до- бавленных к простейшей ферме, равно n – 3, а число добавленных узлов m – 3. В со- ответствии с определением простой плоской фермы первое значение в два раза больше второго, следовательно, n – 3 = 2∙(т – 3) .32 −= mn Полученное выражение, отражающее связь между числом стержней и узлов, назы- вают формулой простой плоской фермы. Допущения, применяемые при расчете ферм При расчете сил, действующих на узлы ферм, обычно исходят из следующих упрощающих предположений: – внешние силы приложены только к узлам фермы; – веса стержней пренебрежимо малы (их можно учесть, разнося по узлам соответ- ствующих стержней); – трение в шарнирах отсутствует. При таких допущениях силы, действующие на узлы фермы со стороны стержней, всегда направлены вдоль линий, проходящих через концы стержней. Если стержни фермы прямолинейные, то они при этом либо растягиваются, либо сжимаются. Для каждого из узлов плоской фермы, поскольку на них действуют системы сходя- щихся сил, могут быть составлены два уравнения равновесия. Поэтому их общее число 2m. В свою очередь в простой плоской ферме неизвестными являются n реакций стержней и три реакции внешних связей. Таким образом, при числе стержней n = 2m – 3 расчет сил может быть полностью выполнен методами статики. При n < 2m – 3 конструкция становится геометрически изменяемой. Если n > 2m – 3, ферма статически неопределима. Расчет ферм включает две задачи: определение реакций внешних связей и вычис- ление сил реакций стержней. Как правило, вначале вычисляются реакции внешних свя- зей. К основным методам расчета внутренних сил относятся способы вырезания узлов и сечений. Определение внутренних сил фермы способом вырезания узлов Ферма может быть представлена как система тел – узлов, соединенных между со- бой связями – стержнями. Поэтому для ее расчета справедливы правила, изложенные в разделе равновесие систем тел. Поскольку на каждый узел действует система сходящих- ся сил, то для него могут быть составлены только два независимых уравнения равнове- сия, из которых можно найти только две неизвестные силы. В связи с этим расчет сле- дует начинать с того узла, к которому приложены только две неизвестные внутрен- ние силы. Рассматривая узлы в таком порядке, чтобы в каждом последующем было не более двух неизвестных сил, выполняем расчет всех реакций внутренних связей. Причем, сле- дует учитывать, что в соответствии с аксиомой о действии и противодействии силы, ко- торыми стержень действует на взаимодействующие с ним узлы, равны по модулю и направлены в противоположные стороны. Для удобства будем обозначать их iS и iS ′ . Замечание. Для вычисления всех реакций стержней нет необходимости рассматри- вать все узлы. Последний узел может быть использован для проверки правильности решения. Достоинство метода: он легко поддается программированию на ЭВМ. Недостаток: накопленная погрешность и ошибка на начальной стадии расчета ве- дет к необходимости повторного полного перерасчета. Расчет простых плоских ферм способом сечений В качестве отдельного тела, составляющего ферму, может быть принята часть конструкции, включающая два узла и более. В этом случае внутренние силы, действу- ющие между частями системы тел, уже не будут сходиться в одной точке. Для такой си- стемы сил можно составить три независимых уравнения равновесия, из которых будут определены три неизвестные силы. Причем, для получения уравнения с одной неизвестной силой составляют суммы моментов относительно точек пересечения линий действия двух других неизвестных реакций стержней. Если линии действия каких-либо двух сил параллельны, то составля- ется сумма проекций сил на ось, перпендикулярную указанным линиям действия. Достоинство метода: можно определить силу реакции конкретного стержня, не рассчитывая другие внутренние силы. Графический метод определения внутренних сил в стержнях простой плоской фермы (метод Максвелла-Кремоны) Выше представлены аналитические способы расчета реакций стержней фермы. Однако при расчете ферм с большим количеством стержней их применение требует значительно больших затрат, чем использование графического метода, заключающего- ся в построении диаграммы Максвелла-Кремоны. Этот способ является графическим вариантом рассмотренного ранее способа вырезания узлов и состоит в построении за- мкнутых силовых многоугольников для каждого узла фермы. Его особенностью явля- ется метод обозначения сил. Он состоит в следующем. Место, занимаемое фермой, раз- бивается стержнями фермы и приложенными к ней внешними силами на области (зо- ны). Каждая сила тогда находится на границе зон и обозначается буквами, соответ- ствующими названиям пограничных областей. Построение диаграммы выполняется в следующем порядке. 1. Изображается в масштабе ферма, показываются все внешние силы (в том числе и определенные ранее реакции связей) с учетом их действительных направлений так, чтобы их векторы выходили за контур фермы. 2. Буквами обозначаются области, ограниченные линиями действия внешних сил и стержнями контура фермы. 3. Буквами обозначаются внутренние области, ограниченные стержнями фермы. 4. Строится силовой многоугольник внешних сил, приложенных к ферме. Записы- вается уравнение равновесия фермы в векторной форме: первое слагаемое соответ- ствует одной из внешних сил, последующие получаются при обходе наружного конту- ра фермы, например, по ходу часовой стрелки. В масштабе изображаются все векто- ры сил. Их начала и концы обозначаются буквами, соответствующими наименованиям зон. При правильном построении силовой многоугольник внешних сил должен быть замкнутым. 5. Выбирается узел, в котором имеется не более двух стержней, реакции которых неизвестны. Составляется уравнение его равновесия в векторной форме. Порядок сле- дования векторов соответствует обходу узла в принятом ранее направлении. В соот- ветствии с условием равновесия достраиваются недостающие стороны силового мно- гоугольника. 6. Выполняются построения, описанные в пункте 5, до того момента, пока не бу- дут определены все искомые силы. Полученная в результате построения фигура носит название диаграммы Максвелла-Кремоны. Правильность ее построения проверяется по совпадению направлений линии дей- ствия последней определяемой внутренней силы и соответствующего стержня при рас- смотрении предпоследнего узла. 7. Величины сил реакций стержней определяются путем измерения соответствую- щих отрезков на диаграмме и умножения на масштабный коэффициент. Чтобы определить, сжат либо растянут рассматриваемый стержень, необходимо проверить, куда направлен соответствующий вектор силы. Если сила, действующая на узел, направлена от узла фермы – стержень растянут; иначе – сжат. Задание С 10 Определение реакций опор и сил в стержнях плоской фермы Определить реакции опор и усилия во всех стержнях фермы способом выреза- ния узлов. В стержнях 1, 2, 3, 4, 5 определить те же усилия способом Риттера. Схемы ферм изображены на рисунках, рис. С 10 – 1 – С 10 – 10 данные необходимые для расчетов указаны в табл. С 10. Таблица С 10 Вариант Р1 Р2 Р3 Р4 Р5 а кН м 1. 1 4 2 0 5 1 2. 2 3 5 4 2 2 3. 0 1 4 2 5 1 4. 1 4 3 0 5 0,6 5. 3 0 2 1 2,5 0,5 6. 6 4 5 3 0 1 7. 5 2 0 4 6 2 8. 4 3 1 5 4 1 9. 2 1 3 0 5 0,5 10. 2 4 3 2,5 6 2 11. 3 4 1 4 2 1 12. 5 6 3 1 0 0,4 Вариант Р1 Р2 Р3 Р4 Р5 а кН м 13. 3 4 1 2 5 2 14. 0 2,5 5 3 0 2,5 15. 6 5 2 4 1 1 16. 2 0 5 6 4 2 17. 5 4 1 5 3 0,5 18. 6 2 0 2,5 4 1 19. 6 3 4 5 1 0,6 20. 2 1 4 0 6 2 21. 1 2 6 4 3 1 22. 3 1 3 2,5 4 0,5 23. 1 2,5 3 5 0 2 24. 6 3 5 3,5 1 1 25. 3 6 2 4 2,5 0,6 26. 0 1 4 5 2 2 27. 4 1 3 5 2 0,6 28. 2,5 3 5 2 3,6 1 29. 4 0 1 6 2,5 2 30. 6 4 2 3,6 1 0,5 31. 2 4,5 0 1 5 1 32. 4 2 2,5 3 1 2 33. 4,2 5 3 0 6 0,5 34. 2 3 4 2,5 0 1 1 1 4 2 3 5 a а а Р1 Р2 Р3 45° АВ Р5 Р4 а 90° Рис. С 10 – 1 2 1 4 2 a а а Р1 Р2 Р3 А Р5 Р4 а a a 3 5 В 90° 3 4 2 а Р1 Р2 Р3 А Р5 Р4 a а 3 a a a a a 30° 1 5 Р3 4 a a a a a 1 5 4 2 3 45° Р2 Р3 Р4 В Р1 А Р5 a90° 5 a a a a a 1 5 4 2 3 Р2 Р3 Р4 В Р1 А Р5 a90° Рис. С 10 – 2 6 1 4 3 2 5 Р1 Р2 Р3 В А Р5 Р4 4а В a a a a a 7 1 43 2 Р1 Р2 Р3 А Р4 а а а а а/ 2 а 30° Р5 5 90° 8 a a a a a 1 5 4 2 3 Р2 Р3 Р4 В Р1 А Р5 a90° 9 1 4 3 2 5 1 Р4 Р3 АВ Р5 a a a a 30° 60° 2 a Рис. С 10 – 3 10 a a a 5 4 3 1 2 a a a a Р5 Р2 Р3А В 90° Р4 Р1 11 1 4 3 2 Р3 Р2 А Р4 а а а а а Р5 45° Р1 60° 5 В 12 a a a Р2 Р1 a a a А В 3 2 1 4 30° Р5 Р4 Р3 5 13 a a a a 1 542 3 Р1 Р2 ВА Р5 60° 60° 45° Р4 Р3 Рис. С 10 – 4 14 a a a a 1 42 3 Р1 2 А Р5 a 45° Р4 5 60° Р3 В 15 a a a a 1 42 3 Р1 Р2 В Р5 a 60° Р4 5 Р3 А30° Р5 90° 16 1 5 4 2 3 В А 3a a a a a Р Р1 Р2 Р3 90° 90° 90° 17 1 5 42 3 А a a a aР4Р5 Р2 3 a/ 2 a/ 2 a/ 2 В Р1 90° Рис. С 10 – 5 18 1 5 42 3 Р2 3 Р1 Р4 a a a a А В Р545° 45° 60° 19 a a 1 5 42 А a a Р1 Р5 Р2 Р4 Р3 3 45° В 90° 90° 20 a a a Р4 Р5 a a a А В 3 2 1 4 30° Р32 Р1 21 a a a a 1 542 3 Р2 ВА Р5 60° 45° Р4 Р345° Р1 Рис. С 10 – 6 22 1 4 3 2 Р3 Р2 А Р4 а а а а Р5 Р1 30° 60° а а а 90° В 23 a a 1 5 4 2 А a a 60° 2 Р5 Р4 1 Р3 2a 90° В 24 ВА а а Р5 Р2 45° а Р1 60° а а 3 Р4 а45° 1 2 3 4 5 25 В А а а Р5 Р2 а Р1 45° а а Р3 Р4 60° 3 2 1 4 5 60° Рис. С 10 – 7 26 Р5 Р4 Р3 а а а 60° а Р2 3 2 1 4 5 45° Р1 27 1 4 3 2 Р3 3 А Р5 а а а 2 5 а а Р4 3а B 90° 1 28 1 4 3 2 Р5 Р2 А Р5 а а а 5 а а B а А Р4 3 90° 90° 90°Р1 Рис. С 10 – 8 29 а а Р5 4 1 2 3 а а а Р3 A В 45° Р2 90° 5 1 Р4 30 a a a 60° 60° Р1 2 Р3 Р4 В А а а 1 2 3 5 4 Р5 90° 31 В А а а Р5 Р2 а Р1 а а Р3 Р4 60° 3 2 1 4 5 60° 32 Р Р4 Р3 а а а а Р2 45° Р1 В 45° 1 2 3 4 5 Рис. С 10 – 9 33 1 4 3 2 Р4 Р5 А а а а а а/ 2 а Р2 Р1 5 Р3 90° 90° В 34 1 4 3 2 Р1 Р3 А Р5 а а а Р2 5 а а Р4 3а B 90° Рис. С 10 – 10 Равновесие системы сил с учетом трения При стремлении сдвинуть одно тело по поверхности другого в касательной плос- кости поверхностей этих тел возникают силы, препятствующие движению. Это явле- ние называется трением. Различают трение покоя, трение движения и трение качения. При трении покоя величина силы трения зависит от действующих на тело актив- ных сил и может изменяться от нуля до некоторого своего наибольшего значения. Сила трения покоя, любое превышение которой ведет к возникновению движения, называется наибольшей силой трения покоя. Величина этой силы, имеющей место в предельном положении покоя тела, опре- деляется по формуле NfFсц ⋅= max , (12) где f – коэффициент сцепления; N – сила нормального давления, прижимающая те- ла друг к другу. Трение двух тел, находящихся в относительном движении, называется трением движения. G NFсц δ P h Трение качения возникает при перекатыва- нии тела (катка) по поверхности другого тела и обусловлено их деформацией. Вследствие этого тела соприкасаются по некоторой площадке, а нормальная составляющая N полной реакции опорной поверхности смещается от оси катка в сторону его движения. Величина смещения δ в предельном положении покоя называется коэф- фициентом трения качения и имеет размерность длины. Сила N и вес катка G образуют пару сил с плечом δ , момент которой NM T ⋅δ= называется моментом трения качения. Качение катка без скольжения будет иметь место, если N h PFсц δ =≥max . (13) Методика решения задач на равновесие с учетом сил трения – такая же, как и при отсутствии трения. Однако в этом случае рассматривается предельное положение равновесия тела. Это позволяет по вышеприведенным зависимостям определить наибольшую силу трения покоя и момент трения и с учетом этого составить необхо- димые уравнения равновесия, соответствующие системе сил реакций и активных сил, действующих на тело. Задание С 11 Определить минимальное (в вариантах 1–20, 25, 26, 29, 30) или максимальное (в вариантах 21–24, 27, 28) значение силы Р и реакции опор системы, находящейся в покое. Схемы вариантов представлены на рис. С 11 – 1 – С 11 – 5, а необходимые для расчета данные – в табл. С 11. Трением в опорных устройствах пренебречь. Веса стержней, колодок и нитей не учитывать. Таблица С 11 Вари- ант (схема) G Q a b c α , град. Коэффици- ент сцепле- ния (коэф- фициент трения по- коя) Точки, в которых определя- ются реакции кН м 1 1,0 10 0,20 0,10 0,04 30 0,10 О, А 2 1,1 – 0,10 0,15 – 30 0,15 О, А, В 3 1,3 14 0,45 0,40 0,05 45 0,20 О, А 4 1,8 15 0,10 0,40 0,06 – 0,25 О, А 5 1,5 16 0,20 0,30 0,04 45 0,30 О, А 6 1,6 18 0,15 0,10 – 45 0,35 О, А, В 7 2,0 20 0,20 0,50 0,05 30 0,40 О, А 8 2,2 18 0,20 0,10 – 30 0,35 О, А, В 9 2,1 20 0,10 0,20 – 30 0,30 О, А, В 10 1,8 22 0,30 0,30 0,04 45 0,25 О, А 11 1,9 24 0,40 0,50 0,06 – 0,20 О, А 12 2,0 25 0,10 0,25 – 30 0,15 О, А, В 13 1,6 20 0,10 0,10 – 45 0,10 О, А, В 14 1,7 24 0,10 0,25 0,04 60 0,15 О, А 15 1,8 20 0,10 0,15 – 45 0,20 О, А, В 16 1,2 15 0,20 0,45 0,04 45 0,25 О, А 17 1,3 12 0,15 0,15 – 45 0,30 О, А, В, С 18 1,4 14 0,20 0,30 0,05 60 0,35 О, А 19 1,7 16 0,50 0,20 0,06 30 0,40 A, C, D 20 1,6 18 0,10 0,15 – – 0,45 О, А, В 21 1,0 – 2 0,50 – 45 0,45 A, В,C, D 22 1,5 – 3 0,80 – 30 0,35 A, В, C, D 23 2 – 5 1,4 – – 0,40 A, В, C 24 3 – 4 0,8 – – 0,30 A, В, C, D 25 1,0 – 0,8 0,4 – 30 0,25 A, В, C, D 26 2,0 – 0,4 – – – 0,25 A, В, C 27 4 – 4 1,0 – 45 0,35 A, В, C, D 28 5 – 5 0,8 – 30 0,40 A, В, C, D 29 2,0 – 2 0,3 – 30 0,20 A, В, C 30 1 – 2 8,0 – 30 0,20 A, В, C, D 1 G B A α e α 2R R a b P O Q 2 O 2G P A B α b a 1,5R R 3 A O G Q α α 2α 2R R e b a B P 4 G O AB a Q bP 2R R e 5 P G O A Q R1,2R e a b 30° α B 6 A B P O R 2R b a α 30° Q G Рис. С 11 – 1 7 G B A Q α 90° e b 1,5R a R O P 8 O G B A P Q 2R R a b α 45° 9 1,5R O G R Q a b P A B α 10 G O 1,2R R A B αα Q e b a P 11 G 1,5R R O B P A Q a b e 12 A B P R O Q 2G G a b 1,4R α Рис. С 11 – 2 13 A B P G Q O α 1,3R R b a 14 G 1,4R O R A B P Q e α b a 15 G 2R O R BA P Q a b α 16 A B P O e2R R 3R G a b α Q α Q α 17 O G R 1, 5R A a B P b Q α C 5a 18 A B 1,4R R Q α G O Pa b e Рис. С 11 – 3 19 O R1,5R G B A e P Q D C α α b a 20 O G R1,8R A B P Q b a 21 B A α G P D C a/4 3/8 a 3/8 a b a 22 B A G P a a/2 C D α a/2 b a 23 C G A B b b/2 a/2 P a b/ 5 24 BA P G b b/2 C D a 3/4 a a b/ 3 Рис. С 11 – 4 25 B A 2α 90° α G P b a C D 26 G P a a a/2 a/2 A B C 27 A G B P α 0,4b a/2 b/4 b/2 b a/2 a C D 28 A B P G C D a α b/ 3 0,8a b/ 2 b b/2 29 G P a/2 a/2 b A B C α 30 A B GP b/4 b/4 b/4 b/4 45° 45°a a α 5a C D Рис. С 11 – 5 Равновесие произвольной пространственной системы сил Для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил на три оси и суммы моментов сил относительно этих осей рав- нялись нулю, т.е. ( ) ( ) ( )∑ ∑ ==∑ = ∑ ∑ ==∑ = .0;0;0 ;0;0;0 iziyix iziyix FmFmFm FFF (14) Для равновесия сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проек- ций этих сил на координатные оси равнялись нулю, т.е. ∑ ∑ ===∑ 0,0,0 iziyix FFF . Задание С 12 Найти методом вырезания узлов усилия в шести стержнях шарнирно-стержневой конструкции. Сила P действует в направлении AB, сила Q (в вариантах 2, 4–6, 8, 10–14, 16–25, 27, 29, 30) – в направлении DE . Схемы конструкций показаны на рис. С 12 – 1 – С 12 – 5, а необходимые для расчета данные приведены в табл. С 12. Таблица С 12 Вари- ант (схема) Нагруз- ка, кН Размеры, м Вари- ант (схема) Нагруз- ка, кН Размеры, м Прямоугольно- го параллеле- пипеда d Прямоугольно- го параллеле- пипеда d P Q a b c P Q a b c 1 9 – 4,0 5,0 4,0 1,0 16 2 4 4,0 5,0 4,5 – 2 6 8 4,5 5,0 4,0 – 17 3 5 3,5 4,5 4,0 – 3 3 5 2,0 3,0 2,5 – 18 4 6 4,0 5,0 4,5 – 4 5 3 3,5 5,5 4,0 – 19 6 4 4,5 5,0 4,0 – 5 7 5 4,0 5,0 4,5 – 20 8 6 2,5 3,0 3,0 – 6 8 6 4,5 5,5 4,0 – 21 3 5 4,5 5,0 4,0 – 7 2 – 3,5 5,0 4,0 – 22 5 3 4,0 5,5 4,5 – 8 4 6 4,0 5,0 3,5 – 23 6 4 3,5 5,0 3,5 1,0 9 5 6 4,5 5,0 3,5 – 24 2 3 4,0 5,5 4,0 – 10 6 4 3,5 5,0 4,5 – 25 4 6 3,5 5,0 4,0 – 11 8 4 4,0 5,5 3,5 – 26 8 – 4,0 6,0 4,5 – 12 7 9 4,5 5,0 4,0 – 27 9 7 2,0 3,0 2,5 – 13 4 6 2,0 3,5 2,5 – 28 3 – 4,5 5,5 3,5 1,5 14 5 7 3,5 5,5 4,0 1,5 29 7 6 3,5 5,0 4,0 1,0 15 9 – 4,5 5,5 4,0 – 30 6 5 4,0 5,5 3,5 – 1 P b 1 2 d 3 4 5 B a c 6 A 2 AD EB 4 2 1 3 5 6 PQ b a c 3 P A D B E 1 5 2 3 6 4 Q b c a 4 A P B Q 4 2 1 35 6 E D a c b 5 B P Q A ED 1 3 4 2 6 5 c b a 6 c D E 4 2 5 B a 3 Q 1 P A 6 b Рис. С 12 – 1 7 a P A b c 4 2 1 3 5 6 B 8 b 5 B a 3 2 cA 4 P 6 1 QE D 9 Q P 4 E 2 1 3 A D 56 B a b c 10 P Q D E A B 4 2 1 3 5 6 c b a 11 P Q A D B E 21 4 3 6 5 a b c 12 3 1 6 5 B 4 a D Q c 2 A P E b Рис. С 12 – 2 13 b 5 Ba 3 2 c A 4 P 6 1 Q D E 14 Q P A D B E 2 1 4 3 6 5 b a c d 15 b P 4 1 2 A c5 6 B a 3 16 A a b E Q 5 6 D B 14 2 c P 3 17 c D E b 4 2 5 B a 3 Q 1 P A 6 18 b Q 4 B 1 D A 5 6 2 c aE P 3 Рис. С 12 – 3 19 Q D E A b 4 1 5 B a 3 2 P 6 c 20 a 3 2 c A 5 B 6 4 1 Pb D E Q 21 b Q 4 B 1 D A 5 6 2 c a E 3 P 22 b Q4 B 1 D A 5 6 2 c a E 3 P 23 2 P A b c 5 E Q 6 34 B 1 D d a 24 b Q 4 B 1 DA 5 62 c aE 3 P Рис. С 12 – 4 25 b Q 4 B 1 D A 5 6 2 c a E 3 P 26 3 c B b 5 4 a 2 6 A 1 P 27 6 5 Q D 4 b P 1 a c 2 A 3 E B 28 3 c Bb 54 a 2 6 A 1 P d 29 a Q B b E 2 3 5 4 P A 1 D 6 c d 30 c6 5 P 3 2 4 A 1 a B b QD E Рис. С 12 – 5 Задание С 13 Две однородные прямоугольные тонкие плиты жестко соединены (сварены) под прямым углом друг к другу и закреплены сферическим шарниром (или подпятником) в точке А, цилиндрическим шарниром (подшипником) в точке В и удерживаются в указанном положении невесомым шарнирно закрепленным стержнем CK. На рисун- ках с 1 по 16 вариантов плиты квадратные со стороной квадрата 3 м и каждая весом 16 кН. На рисунках с 16 по 30 вариантов большая плита квадратная со стороной квадрата 3 м и весом 16 кН, а меньшая плита весит 8 кН и шириной 2 м. На плиты действуют пара сил с моментом M и две силы P и F приложенные в точках Н и Е. Сила P образует с положительными направлениями координатных осей zyx ,, уг- лы, равные соответственно 111 ,, γβα , а сила F образует углы 222 ,, γβα . Точки приложения сил находятся в углах или серединах сторон плит. Численные значения момента M пары сил, а так же сил P и F указаны в табл. С 13. Определить реакции связей в точках А и В и усилие в стержне CK. Таблица С 13 В ар иа нт мкН, ⋅М Р = 40 кН F = 24 кН Т оч ка пр ил о- ж ен ия α 1 , Г ра д. β 1 , Г ра д. γ 1 , Г ра д. Т оч ка пр ил о- ж ен ия α 2 , Г ра д. β 2 , Г ра д. γ 2 , Г ра д. ki 2010 + Н 60 45 30 Е 60 60 45 kji 30204 ++ Н 90 60 30 Е 45 60 60 k20− Е 15 75 90 Н 30 90 60 kj 108 + Е 45 45 45 Н 45 60 60 ki 2020 +− Н 50 40 90 Е 60 45 60 ji 630 + Н 30 60 60 Е 75 15 0 ki 1616 + Н 120 30 30 Е 15 90 75 kj 1020 + Е 180 0 0 Н 60 45 60 kji 10810 +− Е 30 60 60 Н 60 90 30 kj 206 − Е 15 90 75 Н 45 45 90 kji 1084 −− Н 60 30 90 Е 90 60 30 ji 812 − Е 90 120 30 Н 15 75 60 ji 75 + Н 0 90 90 Е 30 45 60 kj 103 + Е 60 30 90 Н 60 45 60 ki 1311 − Е 45 90 45 Н 60 30 90 k14 Н 30 90 60 Е 90 45 45 ji 1240 + Е 30 60 90 Н 30 90 60 В а мкН, ⋅М Р = 40 кН F = 24 кН ji 510 + Н 90 60 30 Е 60 45 60 Т оч ка пр ил о- ж ен ия α 1 , Г ра д. β 1 , Г ра д. γ 1 , Г ра д. Т оч ка пр ил о- ж ен ия α 2 , Г ра д. β 2 , Г ра д. γ 2 , Г ра д. ki 66 + Н 90 45 45 Е 60 60 45 ji 66 − Е 15 90 75 Н 90 45 45 kj 98 − Н 45 60 60 Е 75 60 15 ki 199 + Е 60 45 60 Н 45 60 60 kji 1086 −− Е 60 60 60 Н 60 30 90 ki 128 +− Н 15 60 75 Е 90 45 45 kj 1012 − Н 60 60 45 Е 60 45 60 ji 514 + Н 90 30 60 Е 45 60 60 ki 68 + Е 45 90 45 Н 60 60 45 i10 Е 45 45 90 Н 30 60 90 kj 2014 + Н 75 15 90 Е 90 30 60 kji 181210 ++ Н 90 75 15 Е 45 90 45 1 H z y x Е L D В K А N С α DE=EB 2 H z y Е L D С K А N В α DE=EC 3 H y Е D L K А N С α В LE=EN 4 H y Е L D А K В С N α DE=EB Рис. С 13 – 1 5 6 zy x Н D L В K А С Е α N NC=CL z y x Н D L В K А СЕ α N ЕC=CN 7 H z y x Е A B LN С α K AE=EN 8 х у E L С А Н α D В K N 9 z x L А В N K НD y α E DC=CN 10 z y x H A B L D E N K C α Рис. С 13 – 2. 11 y x H B K ND αA 12 y HN D B E A K α C 13 H y x Е A B L D N С α K 14 z y E С N А DE=EC Н α В L K y 15 z C Е D А K Н В L y α 16 z x В С N А Н α D L K y LC=CN ВЕ=EL Рис. С 13 – 3. 17 H y x Е А В L N СD α K LE=EB 18 H Е А В L N С α K y D х СE=EL 19 H y x Е А В K L D С L α 20 H y x А В K С α D N Е 21 H z y x LА K С α D N Е В 22 H y x ЕА KС α DN В Рис. С 13 – 4. 23 Е y x H В K С α ND А L 24 H y x Е А В В K L D α С N 25 H y x Е K B D L C N А α BE=ED 26 z x EВ С N А Н α D L K y LC=CN BE=EL 27 y x Н B D D E L А α K DC=CE 28 z y x Н B L D E N А αС K DC=CE Рис. С 13 – 5. 29 y x Н А D E C K L α N В LА=1/3LB 30 y x B E D C L А α H K Рис. С 13 – 6 Задание С 14 Найти реакции опор конструкции. Схемы конструкций показаны на рис. С 14 – 1 – С 14 – 5. Необходимые для расчета данные приведены в таблице С 9. П р и м е ч а н и я . Считать, что в вариантах 16, 18, 22–27, 30 петли не препят- ствуют перемещению рамы вдоль АВ. 1. В вариантах 20, 21 и 28 соприкасающиеся поверхности считать абсолютно гладкими. Таблица С 14 Вариант Размеры, см Q T G a b c R r 1 2 – 20 20 30 10 15 5 2 4 – 2 20 10 30 10 10 3 6 – 4 15 15 20 – 15 4 3 – 2 30 20 40 15 10 5 5 – 3 30 40 20 20 15 6 1 4 2 40 30 20 20 10 7 – 3 1 30 10 5 18 6 8 4 6 3 20 40 15 20 10 9 5 – 3 20 15 10 30 40 10 1 4 2 30 40 20 20 10 11 – 2 1 20 30 15 15 10 12 4 – 1 25 20 8 15 10 13 10 – 5 40 30 20 25 15 14 – 2 1 30 90 20 30 10 Вариант Размеры, см Q T G a b c R r 15 3 – 2 60 20 40 20 5 16 4 – 2 50 30 – – – 17 2 – 1 15 10 20 20 5 18 6 – 2 60 40 60 – – 19 – 8 2 20 30 40 20 15 20 4 – – 60 40 20 – – 21 2 – – 40 60 30 – – 22 – – 5 20 50 30 – – 23 – – 4 40 30 50 – – 24 5 – 2 – – – – – 25 – – 3 50 50 60 – – 26 – – 1 20 60 40 – – 27 – – 1 50 30 – – – 28 2 – 6 30 10 50 10 15 29 – 4 3 15 20 15 15 10 30 – – 4 40 30 10 – – 1 G D Q C x z y a b c aP 90° 45° R B r A P  Ax CD ⊥ Ay 2 x z y G 90° 90° 60°60° Q P P A D B C r r R b b c a a b P  AxCD ⊥ Ax;Q⊥ Ay; 3 x z B y Q Q Q G P A 90° 60° 60° r a b b 2a c b b a r b b r ra 90° Q⊥ Ay P  Az 4 B y z A x G P Q R R r a a b c 30° P⊥ Ay 90° Q⊥ Ay Рис. С 14 – 1 5 x A z y N=G Q G G Nδ δ N P R R a b c c 120° r 30° B P  Ax N  Az Q⊥ Ay δ=5⋅10 R-3 6 x A y R 20° 30° t G T 90° B 30° P Q r 90° b b a c z T=2t T и t ⊥ Ay P⊥ Ay Q⊥ Ay 7 x z A y RP G B 90° 90° 30° 30° t T ra b c 2b T=2t; T и t ⊥ Ay P  Az; 8 y x z A P G R 30° 90° r t T Q Bc b a T=2t P  Ay T ⊥ Az t  Ay 9 P  Ax 60° 90° 90°x CD ⊥ Ax; A Q⊥ Ay; z B G r D r P C P y R Q 90° 45° a b c a 10 R A x y G B 45° Q r t T 30° P a b cz T=2t T ⊥ Ay t  Ax P  Az Q⊥ Ay 11 A R z G B T r x T ⊥ Ay P и t  Ax T=2t t y 30° Nδ P a b c -3δ=5⋅10 R N  Az ; N=2G 12 A x y z B Q 45° G P D C 60° a b c 2c b R r P⊥ Ax CD⊥ Ax Рис. С 14 – 2 13 A G δ N R P az x r δ N G R y 30° 90° Q B b b cδ=5⋅10 R-3 N=G N  Az P  Ax Q⊥ Ay 14 y z x A r B t T R P G C D 30° a b c T=2t T  t CD⊥ Az T  Ax 15 y R G A x z 30° D P B Q 60° C a b b b r c Q⊥ Ay CD⊥ Ay 16 z y x G 45° 30° Q A D B C a b CD⊥ Ay Q⊥ Ay AC=CD 17 A x y z G R B P F 60° Q 90° a b b r r b b c a c Q⊥ Ay P  Ax F  Az F=2Q 18 y x z A 60° B D C Q G a b c CD⊥ Bx Q  Bx 19 P  Ax T=2t T и t ⊥ Az D C T t 45° 45° 90° 90° y a b c CD ⊥ Ax x R G A P 90° P 90° B 45° r r z 20 B 30° Q 30° 60° D C a Q a b c c c CD⊥ Ay Q⊥ Ay A x z y Рис. С 14 – 3 21 C D z x A yB 60° 30° Q b 1,5 a a c Q⊥ Ay CD⊥ Ay 22 A G b z y C D B CD⊥ Ay x 60° ca b 23 G z y x a b c C D A B 30° CD⊥ Ay 24 Q z x y 60° 30° G 90° A B C D P⊥ Ax CD⊥ Ax P 25 A x z y G D B C a b 60° 60° c CD⊥ Ax 26 A 60° B y x G z a b P D c C CD  Ay 27 x A z y 60° G a b D C B 28 Q P⊥ AxQ  Bx; y x z G 45° 60° 60° c bbR a 3b A B C P r Рис. С 14 – 4. 29 T t x B z R A y r G 30° D P C CD  T  EF  Ax t ⊥ Ay T=2t c b aE 30 x z y A B G C D E b b F a a c c Рис. С 14 – 5 Задание С 15 Определить реакции опор A и B . Варианты задания показаны на рис. С 15 – 1 – С 15 – 6, а необходимые для рас- чета данные приведены в табл. С 15. Таблица С 15 Вариант Силы, кН Момент пары M , кН·м Размеры, см Углы, град. P G а b c R r α β 1 50 100 – 20 30 10 15 5 45 60 2 60 90 100 30 20 5 20 10 60 45 3 70 80 – 25 20 15 – 20 30 60 4 80 70 – 30 15 5 25 15 20 30 5 90 60 – 20 25 10 15 10 50 60 6 100 – – 100 30 50 30 10 60 50 7 95 – – 30 20 30 20 15 60 45 8 85 – 90 40 20 15 30 20 45 150 9 75 50 – 40 30 30 20 30 45 120 10 65 40 – 30 40 30 30 15 30 45 11 55 – – 20 30 40 60 40 20 30 12 45 – – 25 20 30 50 20 50 45 13 35 – – 30 20 40 30 10 45 60 14 25 30 – 20 40 30 25 – 60 45 15 20 – 80 35 25 40 20 35 30 45 16 – 50 – 50 40 30 – – 30 – 17 20 55 – 50 30 30 – – 60 45 18 100 45 – 40 40 40 – – 45 60 19 95 35 – 30 40 40 – – 30 30 20 90 30 – 60 40 30 – – 45 45 21 85 25 – 70 30 20 – – 50 50 Вариант Силы, кН Момент пары M , кН·м Размеры, см Углы, град. P G а b c R r α β 22 80 20 – 40 30 50 – – 90 60 23 70 30 – 20 30 – – – 60 60 24 60 – – 10 20 15 – 20 50 70 25 50 – – 20 40 30 – 30 30 45 26 40 – 70 15 30 30 – 15 45 60 27 35 – 60 20 30 20 30 20 45 70 28 30 – 50 30 40 20 40 30 45 30 29 25 – – 20 20 30 30 25 60 60 30 25 – 40 10 50 30 25 15 45 30 1 y z x A B t TR P G a c T=2t T ⊥ Az 30° α β γ b r t ⊥ Az π/2<γ<π 2 A z B b c a y r βα P γ G R 90° T M T ⊥ Az 0<γ<π/2 x 3 β a A x c b M γ P α G r B y γ=π/2 4 T b c a P A x y G z r B R α 90° β 90° K L KL ⊥ Az Рис. С 15 – 1 5 b c a α P γ β A x y G z r B Tt30° 30° R t ⊥ Az 0<γ<π/2 T ⊥ Az T=2t 6 r A z x Q P y R B α γ β a b c π/2<γ<π 7 A r B y z xα β γ Q R b a c P K O L KL ⊥ Oy 0<γ<π/2 8 y Q P r α A β xa z c b Bγ 45° M R P ⊥ Oy 0<γ<π/2 O 9 B y c b a P R A z x β α Gd Q P ⊥ Oy Q ⊥ Oz d=(a+b+c)/2 r O 10 d=(a+b+c)/2 y Q ⊥ Azα A a z G d P Q b P ⊥ Ay; x c R B r β Рис. С 15 – 2 11 c yB b A a R x z α α r t T p P β β T=2t T,t,P,p ⊥ Az P=2p 12 c b a y B A x γ β P 45° R 30° T t z KL ⊥ Ay 0<γ<π/2 T=2t R 13 A x y Bz Q r 30° βγ P α a b c R D E K L KL ⊥ Ay DE ⊥ Ay 0<γ<π/2 14 z A y x α β γP G 30°R M B b c a 0<γ<π/2 KL ⊥ Ay 15 Q r α z A c y R b K x a L KL ⊥ Ay P β B M P ⊥ Ax 16 G x b A z B AD⊥ Ay; E y D α a c AD  BE Рис. С 15 – 3 17 A a z y b P γ α β c 0<γ<π/2β G B x 18 G β x A P z a B y c a b D Q α β γ 0<γ<π/2 19 a A z G y b B c x a β α P P ⊥ Az 20 KL ⊥ Az βA x z y G a b B b P L α K c 21 x yA G γ α β P 60° 60° b a c z 0<γ<π/2 B 22 γ β α x A G b 30° z y a 0<γ<π/2 P B c Рис. С 15 – 4 23 γ β αB x A G b 60° z y a 0<γ<π/2 P c c KL  Ay 24 A Q x y 60° r α γ β Pz B c b a Q⊥ Ax 0<γ<π/2 25 x y A r Q ⊥ Ay a Q b z c B P α β P ⊥ Ax 26 A B b r a x z c y Q 60° β α P γ M K L KL ⊥ Az 0<γ<π/2 27 x y MA B z γ P β α r 30° Q c R a b Q⊥ Az; 0<γ<π/2 28 P r yb a M Q⊥ Ax; A x B β z Q c R α P ⊥ Ay Рис. С 15 – 5 29 r Q30° ya b z x B c Q⊥ Ay; 0<γ<π/2 β αγ P R A 30 R x y r B a z b c β Q Q⊥ Ay; αP MA P ⊥ Ay Рис. С 15 – 6 ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ТЕЛ Координаты центра тяжести тела определяются по формулам G Gz z G Gy y G Gx x iiC ii C ii C ∑ ∆ = ∑ ∆ = ∑ ∆ = ;; (15) где G – общий вес тела; iii zyx ,, – координаты точек приложения сил тяжести элементарных частей, на которые разбито тело; iG∆ – вес элементарной части тела. Если вес любой элементарной части выразить для объемного тела ii VG ∆γ=∆ , для площади – ii SG ∆⋅σ=∆ , для линии ii lG ∆ρ=∆ , где σγ, и ρ – соответственно вес единицы объема, площади, длины линии, то получим общие формулы для определе- ния координат центров тяжести однородных объемов ;;; V Vz z V Vy y V Vx x iiC ii C ii C ∑∑∑ ∆=∆=∆= (16) однородной площади S Sz z S Sy y S Sx x iiC ii C ii C ∑∑∑ ==∆= ;; (17) и однородной линии l lz z l ly y l lx x iiC ii C ii C ∑∑∑ ∆=∆=∆= ;; . (18) В этих формулах ∑∆=∑∆=∑∆= iii llSSVV ;; – соответственно объем тела, площадь фигуры и длина линии. Определение координат центров тяжести однородных тел по формулам (16–18) сводится к вычислению определенных интегралов по всему объему, площади или ли- нии. Таким способом получены формулы для определения координат центров тяже- сти полушара (на расстоянии R 8 3 от основания), конуса (на расстоянии 4 1 Н от осно- вания), кругового сектора (на расстоянии α αsin 3 2 R от центра круга) и дуги окружно- сти (на расстоянии α αsin R от центра окружности). Для всех этих объектов центр тя- жести расположен на оси симметрии. Если объемное тело, плоская фигура или линия имеют сложную геометрическую форму, то для определения координат центров тяжести применяются метод разбие- ния, метод дополнения или метод отрицательных объемов, площадей. В этом случае в формулах (16–18) под ii SV ∆∆ , и il∆ следует понимать соответственно объем, площадь или длину линии отдельных элементов простой геометрической формы (по- лушар, цилиндр, сектор, треугольник и т.д.), на которые разбита сложная фигура; ii yx , и iz – координаты центров тяжести этих элементов в выбранной системе ко- ординат. Координаты центра тяжести плоских фигур (пластин) можно определять также по формулам F S y F S x xC y C == ; , (19) где ∑∑ ∆=∆= iixiiy SySSxS ; – статические моменты площади относительно осей координат. Площади и координаты центров тяжести некоторых плоских фигур, встреча- ющихся при выполнении заданий Плоская фигура Площадь Координаты центра тяжести Тре- уголь- ник А С 0 х h а хс а у с aahF ⋅= 2/1 aC hy ⋅= 3/1 ( )3213/1 xxxxC ++⋅= , где 321 ,, xxx – координаты вер- шин О, А, В Круго- вой сектор х Сα α R 0 b хс 2RF α= F bRR xC 33 sin2 2 = α α = 2/π=α (полукруг) 2/ 2RF π= π= 3/4RxC 6/π=α 6/2RF π= π= /2RxC Круго- вой сег- мент х Сα α0 b хс ×π= 2/2RF ( )α−α× 2sin2 ( ) =α−α α = 2sin23 sin4 3R xC F b 12 3 = Задание С 16 Найти координаты центра тяжести плоской фермы, составленной из тонких од- нородных стержней одинакового погонного веса (варианты 1–6), плоской фигуры (варианты 7–18 и 24–30) или объема (варианты 19–23), показанных на рис. С 16 – 1 – С 16 – 5. В вариантах 1–6 размеры указаны в метрах, а в вариантах 7–30 в сантимет- рах. 1 O y x 4 2, 5 2, 5 2 O x y 45°2 ,5 5 3 x y O 1045°30° 15° 30° 4 O x y 2 2 1, 5 45° 45° 5 xO y 60° 90° 30° 3,5 3,5 6 y x60° 2 O 2 60° 90° 60° Рис. С 16 – 1 7 x y R20 R1 6 60 4 O 8 O y x R15 R20 30 5 9 12 x y 10 8 4 4 2 2 2 2 2 O 10 8 y x O 8 15 2 20 4 11 x y O 15 60° 60° 30 R5 R15 12 16 x y O 2 9 2 R2 18 Рис. С 16 – 2 13 4 4 16 2 2 x y O 14 7 7 7 7,5 7,5 2 20 O y x 15 10 10 10 7 30 O y x 16 20 4 4 2 3 4 O y x 17 10 5 2045° R25O y x 18 15 R10 R25 O y x Рис. С 16 – 3 19 15 25 25 10 10 40 20 O y x z 20 O z x y 10 40 15 17 60 80 21 2025 30 20 20 20 1010 10 30 O y x z 22 z yO x 25 13 25 15 25 10 15 5 80 23 O x z y 20 15 14 50 35 10 15 30 10 24 40 15 40 20 y O x R10 Рис. С 16 – 4 25 16 10 25 15 15 15 40O x y 26 R 15 40 65 O y x 27 20 40 70 R15 O x y 28 7 40 60 15 25 35 R10 O x y 29 4 4 5 5 3 0 40 O y x 30 O y x 20 20 10 10 30R 10 Рис. С 16 – 5 Литература 1. Курс теоретической механики: Учебник для вузов / В.И. Дронг, В.В. Дубинин, М.М. Ильин и др.; Под общей ред. К.С. Колесникова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. – 735 с. 2. Добронравов В.В., Никитин Н.Н. Курс теоретической механики: Учебник для ма- шиностроительных специальностей вузов. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1983. – 575 с. 3. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики: Учебник для втузов. – 12-изд., стереотип. – М.: Высшая школа, 2002. – 416 с. 4. Яблонский А.А. Курс теоретической механики: Статика. Кинематика. Динамика. Учебное пособие для технических вузов./ Яблонский А.А., Никифорова В.М. – 8-е изд., стереотип. СПб.: Лань, 2001. – 764 с. 5. Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. Руководство к решению задач по теоретической механике. – М.: Высшая школа, 1968. – 419 с. 6. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах. В 2-х т. Т. 1. – М.: Наука, 1985. – 559 с. 7. Руководство к решению задач по теоретической механике: Учебно-методическое пособие по теоретической механике / Г.Н. Алехнович, Т.Ф. Богинская, Ю.В. Васи- левич и др. – Мн.: БГПА, 1997. – 88 с. 8. Исследование методов решения задач по теоретической механике: Учебно- методическое пособие для студентов высших технических учебных заведений. В 3 ч. /Г.И. Беляева, С.И. Миткевич, С.Г. Дрозд, И.С. Куликов. – Мн.: БГПА, 1999. – Ч. 1: Статика. – 102 с. 9. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учебное посо- бие для втузов. – 3-е изд. испр. под ред. проф. А.А. Яблонского. – М.: Высшая школа, 1978. – 388 с. 10. Индивидуальные задания и методические указания к расчетно-графической рабо- те по теоретической механике / Сост. Н.П. Имашева, Э.А. Орешко, Н.Я. Бойко, Г.И. Беляева, Ю.Г. Горбутович – Мн.: БПИ, 1985 г. – 63 с. 11. Теоретическая механика. Ч.1. Статика. Учебное пособие / Сост. А.О. Шиманов- ский/Белорусский гос. университет трансп.-Гомель: БелГУТ, 1988 - 72 с. Таблица вариантов заданий Ш И Ф Р Номера заданий Ш И Ф Р Номера заданий Ш И Ф Р Номера заданий С 1 С 2 С 3 С 4 С 5 С 6 С 1 С 2 С 3 С 4 С 5 С 6 С 1 С 2 С 3 С 4 С 5 С 6 С 7 С 8 С 9 С 10 С 11 С 7 С 8 С 9 С 10 С 11 С 7 С 8 С 9 С 10 С 11 Варианты заданий Варианты заданий Варианты заданий 1 23 25 19 3 5 1 19 18 1 12 28 27 26 37 13 27 14 24 21 19 2 20 22 2 6 8 3 20 15 29 18 5 4 29 38 10 24 17 27 28 22 3 17 19 20 9 11 6 21 12 26 15 2 30 2 39 7 21 20 30 1 25 4 14 10 28 12 17 9 22 9 23 21 8 7 5 40 4 18 23 4 29 28 5 11 13 22 15 14 12 23 6 20 24 11 10 8 41 30 15 20 7 3 30 6 8 10 5 18 20 15 24 3 17 27 14 13 11 42 27 12 29 10 6 4 7 5 7 8 21 23 18 25 1 14 30 17 16 14 43 24 9 1 13 9 7 8 2 4 11 24 26 21 26 29 11 4 20 19 17 44 21 6 3 16 12 10 9 19 30 14 27 29 24 27 28 8 7 23 22 20 45 18 3 6 19 15 12 10 16 27 17 30 1 27 28 23 5 10 26 25 23 46 15 1 9 22 18 16 11 13 24 20 4 3 2 29 20 2 13 29 28 26 47 12 29 12 25 21 19 12 10 21 23 7 6 5 30 14 19 22 3 2 29 48 9 26 15 28 24 22 13 7 18 26 10 9 8 31 11 16 25 6 5 30 49 6 23 18 2 27 25 14 15 29 13 12 30 11 32 8 13 28 9 8 4 50 3 20 21 5 30 28 15 30 12 1 16 15 14 33 5 10 2 12 11 7 51 1 17 24 8 4 1 16 27 9 3 19 18 17 34 22 7 5 15 14 10 52 29 14 27 11 7 30 17 24 6 9 11 21 20 35 19 4 8 18 17 13 53 26 11 30 14 10 6 18 21 3 6 25 24 23 36 16 30 11 21 24 16 54 23 8 4 17 13 9 Ш И Ф Р Номера заданий Ш И Ф Р Номера заданий Ш И Ф Р Номера заданий С 1 С 2 С 3 С 4 С 5 С 6 С 1 С 2 С 3 С 4 С 5 С 6 С 1 С 2 С 3 С 4 С 5 С 6 С 7 С 8 С 9 С 10 С 11 С 7 С 8 С 9 С 10 С 11 С 7 С 8 С 9 С 10 С 11 Варианты заданий Варианты заданий Варианты заданий 118 55 20 5 7 20 16 12 71 15 3 7 13 18 2 87 25 7 2 1 22 20 56 17 2 10 23 19 15 72 12 1 6 16 6 5 88 21 4 5 9 25 23 57 28 19 13 26 22 18 73 9 29 9 19 8 18 89 7 27 8 12 28 26 58 25 16 19 29 25 21 74 6 26 12 22 15 11 90 19 24 11 15 2 29 59 22 13 16 6 28 24 75 3 23 15 25 12 14 91 30 21 14 18 5 30 60 18 10 15 9 2 27 76 1 20 18 28 11 17 92 27 18 17 21 8 4 61 16 4 5 12 5 17 77 29 17 21 2 19 20 93 24 15 20 24 11 7 62 13 30 8 15 11 3 78 26 14 24 5 20 23 94 21 12 23 27 14 10 63 10 27 11 18 8 16 79 9 11 27 8 23 26 95 18 9 26 30 17 13 64 7 24 14 21 14 9 80 20 8 30 11 3 29 96 15 6 29 4 9 16 65 4 21 17 24 17 12 81 17 5 4 14 18 2 97 12 3 1 7 23 22 66 30 18 20 27 20 15 82 14 2 7 17 8 5 98 9 1 3 10 26 25 67 27 15 23 30 23 18 83 11 19 10 20 16 8 99 6 29 6 13 19 28 68 24 12 26 4 26 21 84 8 16 13 23 7 11 100 26 28 16 1 2 16 69 21 9 29 7 1 24 85 5 13 16 26 6 14 70 18 6 1 10 29 27 86 2 10 19 29 9 17 Учебное издание СТАТИКА Сборник задач для расчетно-графических и индивидуальных работ по теоретической механике Составители: АЛЕХНОВИЧ Георгий Никифорович БЕЛЯЦКАЯ Лариса Николаевна БОГИНСКАЯ Татьяна Фагимовна ГЛУБОКАЯ Эмма Эдуардовна Технический редактор Д.А. Исаев Компьютерная верстка А.Р. Трухильо-Липская Подписано в печать 24.10.2011. Формат 60×841/8. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 13,95. Уч.-изд. л. 5,45. Тираж 300. Заказ 1077. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Проспект Независимости, 65. 220013, Минск.