Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Высшая математика № 3» МАТЕМАТИКА Программные вопросы, контрольные задания и методические указания для студентов-заочников строительных специальностей экономического профиля Минск БНТУ 2011 2 УДК 51(075.4) ББК 221я7 М 34 Составители: Т.Н. Гурина, О.А. Мороз, Л.А. Яблонская Рецензенты: В.В. Веременюк, Т.С. Яцкевич Издание содержит перечень программных вопросов по всем раз- делам курса математики. В данной работе приводятся тексты кон- трольных задач, соответствующих программе и методические ука- зания по их выполнению. Издание предназначено для студентов- заочников первого и второго курсов строительных специальностей экономического профиля. © БНТУ, 2011 3 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение .................................................................................................. 4 Программа курса..................................................................................... 6 Контрольная работа № 1 ...................................................................... 15 Контрольная работа № 2 ...................................................................... 23 Контрольная работа № 3 ...................................................................... 29 Методические указания к контрольной работе № 1 ......................... 38 Методические указания к контрольной работе № 2 ......................... 70 Методические указания к контрольной работе № 3 ......................... 96 4 ВВЕДЕНИЕ Общий курс математики является фундаментом математического образования специалиста, в рамках которого проводится ориенти- рование на приложение математических методов в профессиональ- ной деятельности. Цель преподавания математики состоит в том, чтобы ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения как теоретических, так и практических задач; развить ло- гическое мышление и повысить общий уровень математической культуры; выработать навыки математического исследования при- кладных задач и умение сформулировать задачи по специальности на математическом языке. Основным методом изучения курса математики для студентов заочной формы обучения является самостоятельная работа над учебниками и рекомендованной литературой. В процессе изучения студент должен выполнить ряд контрольных работ, главная цель которых – оказать помощь студенту в его работе. Рецензии на кон- трольные задания позволяют студенту судить о степени усвоения им соответствующего раздела курса, указывают на имеющиеся у него проблемы, на желательное направление дальнейшей работы. При выполнении контрольных работ необходимо строго при- держиваться указанных ниже правил. 1. Каждая работа должна быть выполнена в отдельной тетради в клетку чернилами любого цвета, кроме красного и зеленого. Необ- ходимо оставлять поля шириной 4–5 см для замечаний рецензента. 2. В заголовке на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), название дисциплины, номер контрольной работы; здесь же следует указать название учебного заведения, дату отсылки работы в институт и адрес студента. В конце работы следует поставить дату ее выполне- ния и подпись студента. 3. Решение задач надо располагать в порядке возрастания их но- меров, указанных в заданиях. 4. Перед решением каждой задачи надо полностью написать ее условие. 5 5. Решение задач следует излагать подробно и аккуратно, объяс- няя и мотивируя все действия по ходу решения и делая необходи- мые чертежи. 6. После полученной прорецензированной контрольной работы, как недопущенной, так и допущенной к собеседованию, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты и выполнить все рекомендации рецензента. 6 ПРОГРАММА КУРСА Раздел 1. Элементы линейной и векторной алгебры 1. Матрицы (основные понятия). Линейные операции над матри- цами, их свойства. 2. Умножение матриц. Свойства умножения. 3. Определители 2-го и 3-го порядков. Понятие определителя n-го порядка. 4. Миноры, алгебраические дополнения. Теорема о разложении определителя по элементам ряда. 5. Свойства определителей. 6. Обратная матрица. Необходимое и достаточное условия суще- ствования обратной матрицы. 7. Системы линейных уравнений. Основные определения. Мат- ричная запись. 8. Невырожденные системы. Формулы Крамера. Метод Гаусса. 9. Ранг матрицы. Теорема об инвариантности ранга матрицы. 10. Теорема Конекера–Капелли. Решение произвольных систем. 11. Системы однородных линейных уравнений. 12. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. 13. Базис и координаты вектора. 14. Прямоугольная система координат. Линейные операции над векторами в линейной форме. 15. Скалярное произведение векторов; его свойства. 16. Векторное произведение векторов; его свойства. 17. Смешанное произведение векторов; его свойства. 18. Необходимое и достаточное условия компланарности векторов. Раздел 2. Аналитическая геометрия 1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку пер- пендикулярно данному вектору. Общее уравнение плоскости. Урав- нение плоскости в отрезках. 2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. 3. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости. 4. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. 7 5. Канонические и параметрические уравнения прямой. Уравне- ние прямой, проходящей через две точки. 6. Сведение общего уравнения прямой в пространстве к канони- ческим уравнениям. 7. Способы задания прямой на плоскости: а) прямая, проходящая через точку перпендикулярно данному вектору; б) общее уравнение; в) уравнение в отрезках; г) уравнение прямой с угловым коэффициентом; д) уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении. 8. Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми. 9. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой. 10. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми. 11. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. 12. Эллипс (определение, каноническое уравнение, исследование формы). 13. Гипербола (определение, каноническое уравнение, исследо- вание формы). 14. Парабола (определение, каноническое уравнение, исследова- ние формы). 15. Исследование общего уравнения линии второго порядка в случае отсутствия члена с произведением текущих координат. 16. Поверхности второго порядка. Раздел 3. Введение в математический анализ 1. Числовая последовательность и ее предел. 2. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. 3. Предел функции при x→a и при x→∞. Односторонние пределы. 4. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Связь между ними. 5. Свойства бесконечно малых функций. 8 6. Теорема о разложении функции, имеющей предел, на посто- янную и бесконечно малую функцию. 7. Теорема об единственности предела функции. Предел суммы, произведения и частного функций. 8. Первый замечательный предел. 9. Второй замечательный предел. 10. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. 11. Теоремы об эквивалентных бесконечно малых. 12. Непрерывность функции в точке. Действия над непрерывны- ми функциями. 13. Классификация точек разрыва. 14. Односторонняя непрерывность. Свойства непрерывных на отрезке функций. Раздел 4. Дифференциальное исчисление функции одной переменной 1. Производная. Геометрический и механический смысл. 2. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции. 3. Основные правила дифференцирования. 4. Производная сложной функции. 5. Производные основных и элементарных функций. 6. Производная функции, заданной неявно. 7. Производная функции, заданной параметрически. 8. Логарифмическое дифференцирование. 9. Производные высших порядков. 10. Дифференциал функции, его свойства, геометрический смысл. 11. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. 12. Дифференциалы высших порядков. 13. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши. 14. Раскрытие неопределенностей вида 0 0 (правило Лопиталя). 15. Раскрытие неопределенностей других видов по правилу Ло- питаля. 16. Экстремумы функции. Необходимое условие экстремума (теорема Ферма). 17. Достаточное условие возрастания (убывания) функции. 9 18. Достаточные условия существования экстремума. 19. Выпуклость, вогнутость графика функции; достаточные условия. 20. Точки перегиба графика функции; достаточные условия. 21. Асимптоты графика функции. 22. Общая схема исследования функции и построения графика. 23. Наименьшее и наибольшее значения непрерывной на отрезке функции. Раздел 5. Функции нескольких переменных 1. Функции двух и трех переменных как функции точки. 2. Геометрическое изображение функции двух переменных с по- мощью поверхностей и линий уровня. 3. Предел функции. Непрерывность в точке и в области. 4. Частные производные функции нескольких переменных; геомет- рический смысл частных производных функции двух переменных. 5. Полный дифференциал функции нескольких переменных. 6. Частные производные высших порядков. 7. Экстремум функции двух переменных. Необходимые условия экстремума. 8. Достаточные условия экстремума функции двух переменных. 9. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой ограниченной области. 10. Условный экстремум функции двух переменных. Экономи- ческий смысл множителей Лагранжа. Раздел 6. Неопределенный интеграл 1. Первообразная. Неопределенный интеграл. 2. Таблица основных интегралов. 3. Основные свойства неопределенного интеграла. 4. Метод замены переменной в неопределенном интеграле. 5. Метод интегрирования по частям. 6. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен. 7. Интегрирование рациональных дробей. 8. Интегрирование иррациональных функций. 9. Интегрирование тригонометрических функций. 10 10. Вычисление интегралов вида ∫     − dxaxxR 22, , ∫     − dxxaxR 22, , ∫     + dxxaxR 22, . 11. Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции. Раздел 7. Определенный интеграл 1. Задачи геометрического, физического и экономического со- держания, приводящие к понятию определенного интеграла. 2. Определение определенного интеграла. Основные свойства. 3. Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. 4. Формула Ньютона–Лейбница. 5. Замена переменной в определенном интеграле. 6. Интегрирование по частям при вычислении определенного ин- теграла. 7. Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных коор- динатах. 8. Вычисление площадей плоских фигур в полярных координатах. 9. Вычисление длины дуги плоской кривой. 10. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений. 11. Объем тела вращения. 12. Применения определенного интеграла в экономике. 13. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования. 14. Интегралы от неограниченных функций. 15. Признаки сходимости несобственных интегралов. Раздел 8. Дифференциальные уравнения 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (основные по- нятия). 2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (формулировка). 3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. 4. Дифференциальные уравнения с однородными функциями. 11 5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли. 6. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускаю- щие понижение порядка. 7. Линейные однородные уравнения n-го порядка; свойства их решений. 8. Теорема о структуре общего решения линейного однородного дифференциального уравнения. 9. Теорема о структуре общего решения линейного неоднород- ного дифференциального уравнения. 10. Линейные однородные дифференциальные уравнения с по- стоянными коэффициентами. 11. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с по- стоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Раздел 9. Ряды 1. Числовой ряд. Сумма и остаток ряда. 2. Необходимый признак сходимости ряда. 3. Сравнение рядов с положительными членами. 4. Достаточные признаки сходимости Даламбера и Коши. 5. Интегральный признак Коши. 6. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. 7. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. 8. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. 9. Свойства степенных рядов. 10. Ряды Тейлора и Маклорена. 11. Разложение функций sin x, cos x, ex, ln(1 ± x), (1 + x)m в ряды Маклорена. 12. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях. Раздел 10. Элементы теории вероятностей 1. Предмет теории вероятностей. 2. Элементы комбинаторного анализа (перестановки, размеще- ния, сочетания). 3. Событие. Пространство элементарных событий. Классифика- ция событий. Алгебра событий. 12 4. Относительная частота события. 5. Классическое определение вероятности. 6. Геометрическое определение вероятности. 7. Определение условной вероятности. Независимость событий. 8. Вероятность произведения событий. 9. Теоремы сложения и следствия из них. 10. Формула полной вероятности. 11. Вероятность гипотез. Формулы Байеса. 12. Последовательность независимых испытаний, схема Бернулли. 13. Предельные теоремы Муавра–Лапласа и Пуассона. 14. Дискретные и непрерывные случайные величины. 15. Функция распределения и ее свойства. 16. Плотность распределения непрерывной случайной величины и ее свойства. 17. Числовые характеристики случайной величины (математиче- ское ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение). 18. Закон биноминального распределения, закон Пуассона и их числовые характеристики. 19. Нормальный закон распределения. 20. Равномерное распределение. 21. Показательный закон распределения. Раздел 11. Элементы математической статистики 1. Выборочный метод описания и анализа статистических данных. 2. Статистический вариационный ряд. 3. Интервальные статистические ряды. 4. Графическое представление статистических распределений выборки (полигон, гистограмма). 5. Эмпирическая функция распределения; ее основные свойства. 6. Основные числовые характеристики выборки. 7. Начальные и центральные моменты k-го порядка, их исполь- зование в статистике. 8. Точечные оценки неизвестных параметров распределения. 9. Интервальные оценки параметров распределения. 10. Доверительная вероятность, доверительный интервал. 11. Статистическая гипотеза. Критерий согласия Пирсона. 12. Корреляционная зависимость. 13 13. Линейное уравнение регрессии; определение его параметров методом наименьших квадратов. 14. Выборочный коэффициент корреляции; его свойства. Коэф- фициент детерминации. Перечень рекомендуемой литературы Учебники 1. Белько, И.В. Высшая математика для экономистов / И.В. Бель- ко, К.К. Кузьмич. – Минск: Новое знание, 2006. – Ч. 1–3. 2. Белько, И.В. Теория вероятностей и математическая статисти- ка / И.В. Белько, Г.П. Свирид. – Минск: Новое знание, 2002. 3. Герасимович, А.И. Математический анализ / А.И. Герасимо- вич, Н.А. Рысюк. – Минск: Вышэйшая школа, 1989. – Ч. 1. 4. Герасимович, А.И. Математический анализ / А.И. Герасимович, Н.П. Кеда, М.Б. Сугак. – Минск: Вышэйшая школа, 1990. – Ч. 2. 5. Гурский, Е.И. Основы линейной алгебры и аналитической геометрии / Е.И. Гурский. – Минск: Вышэйшая школа, 1982. 6. Красс, М.С. Математика в экономике / М.С. Красс. – М.: ИД ФБК – ПРЕСС, 2005. 7. Мацкевич, И.П. Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика / И.П. Мацкевич. – Минск: Вышэйшая школа, 1993. 8. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисле- ние: в 2 ч. / Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1987. – Ч. 1. 9. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисле- ние: в 2 ч. / Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1987. – Ч. 2. 10. Письменный, Д. Конспект лекций по высшей математике / Д. Письменный. – М.: Айрис Пресс, 2004. – Ч. 1. 11. Письменный, Д. Конспект лекций по высшей математике / Д. Письменный. – М.: Айрис Пресс, 2004. – Ч. 2. Задачники 12. Гурский, Е.И. Руководство к решению задач по высшей матема- тике: в 2 ч. / Е.И. Гурский. – Минск: Вышэйшая школа, 1989. – Ч. 1. 14 13. Гурский, Е.И. Руководство к решению задач по высшей матема- тике: в 2 ч. / Е.И. Гурский. – Минск: Вышэйшая школа, 1990. – Ч. 2. 14. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1986, 1997, 1999. – Ч. 1. 15. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: в 2 ч. / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Высшая школа, 1986, 1997, 1999. – Ч. 2. 16. Сухая, Т.А. Задачи по высшей математике: в 2 ч. / Т.А. Сухая, В.Ф. Бубнов. – Минск: Вышэйшая школа, 1993. – Ч. 1. 17. Сухая, Т.А. Задачи по высшей математике: в 2 ч. / Т.А. Сухая, В.Ф. Бубнов. – Минск: Вышэйшая школа, 1993. – Ч. 2. 18. Индивидуальные задания по высшей математике: в 3 ч. / под ред. А.П. Рябушко. – Минск: Вышэйшая школа, 2000. 19. Рябушко, А.П. Индивидуальные задания по высшей матема- тике / А.П. Рябушко. – Минск: Вышэйшая школа, 2006. 15 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 Задания 1–10. При условном делении экономики на три отрасли задана матрица коэффициентов прямых затрат А и вектор конечной продукции Y. Требуется: 1. Записать уравнение линейного межотраслевого баланса в ко- ординатной форме. 2. Найти плановые объемы выпуска валовой продукции отрас- лей. Систему линейных алгебраических уравнений решить методом Гаусса. Решение системы записать в неправильных дробях. 3. Выполнить проверку результата. 4. Записать приближенный ответ с точностью до сотых. 1. А =           05,009,01,0 08,01,02,0 06,02,03,0 , Y =           24 30 41 2. А =           05,007,009,0 06,01,01,0 09,03,06,0 , Y =           28 35 56 3. А =           05,009,01,0 1,02,03,0 2,04,05,0 , Y =           14 27 38 4. А =           03,004,01,0 04,025,013,0 2,026,04,0 , Y =           20 40 25 5. А =           18,009,01,0 1,02,02,0 3,025,05,0 , Y =           10 17 25 6. А =           03,03,01,0 04,02,017,0 12,025,06,0 , Y =           25 13 20 7. А =           3,01,02,0 12,03,027,0 08,036,045,0 , Y =           15 30 42 8. А =           03,007,008,0 1,025,02,0 05,06,03,0 , Y =           16 10 25 9. А =           09,006,008,0 1,017,03,0 2,025,054,0 , Y =           10 17 30 10. А =           05,003,005,0 08,012,02,0 4,04,05,0 , Y =           19 25 40 16 Задания 11–20. Даны векторы ( ) ( ),,,,,, 321321 bbbbaaaa ==  ( ) ( )321321 ,,,,, ddddcccc ==  в некотором базисе. Показать, что векторы cba   ,, образуют базис и найти координаты вектора d  в этом базисе. Систему линейных уравнений решить по формулам Крамера. 11. ( ) ( ) ( ) ( ).14;32;7,5;8;4,2;4;3,3;7;1 ==== dcba   12. ( ) ( ) ( ) ( ).6;18;14,2;4;6,2;7;4,3;2;1 ===−= dcba   13. ( ) ( ) ( ) ( ).33;18;21,4;1;3,2;8;6,3;4;1 ==== dcba   14. ( ) ( ) ( ) ( ).27;14;16,4;7;2,8;1;3,3;7;2 =−=== dcba   15. ( ) ( ) ( ) ( ).13;5;2,2;4;3,5;3;4,1;2;7 −−=−=== dcba   16. ( ) ( ) ( ) ( ).6;20;24,1;3;5,6;3;1,1;4;2 ==== dcba   17. ( ) ( ) ( ) ( ).7;30;19,2;9;3,2;4;1,1;3;10 ==== dcba   18. ( ) ( ) ( ) ( ).11;4;7,1;2;3,10;6;4,3;2;8 =−=== dcba   19. ( ) ( ) ( ) ( ).13;13;1,1;4;2,3;1;9,8;7;4 −−=−=== dcba   20. ( ) ( ) ( ) ( ).17;10;6,5;3;7,2;3;1,3;2;1 =−=−== dcba   Задания 21–30. Даны координаты вершин пирамиды ( )1111 ,, zyxA , ( )2222 ,, zyxA , ( )3333 ,, zyxA , ( )4444 ,, zyxA . Найти: 1) площадь грани 321 AAA ; 2) объем пирамиды; 3) уравнения прямой 21AA ; 4) уравне- ние плоскости 321 AAA ; 5) уравнения высоты DA4 , опущенной из вершины 4A на грань 321 AAA ; 6) длину высоты DA4 ; 7) координа- ты точки пересечения высоты DA4 с плоскостью 321 AAA . 21. 1A (3;1;4), 2A (–1;6;1), 3A (–1;1;6), 4A (0;4;–1). 22. 1A (3;–1;2), 2A (–1;0;1), 3A (1;7;3), 4A (8;5;8). 23. 1A (3;5;4), 2A (5;8;3), 3A (1;2;–2), 4A (–1;0;2). 24. 1A (2;4;3), 2A (1;1;5), 3A (4;9;3), 4A (3;6;7). 25. 1A (9;5;5), 2A (–3;7;1), 3A (5;7;8), 4A (6;9;2). 26. 1A (0;7;1), 2A (2;–1;5), 3A (1;6;3), 4A (3;–9;8). 27. 1A (5;5;4), 2A (1;–1;4), 3A (3;5;1), 4A (5;8;–1). 17 28. 1A (6;1;1), 2A (4;6;6), 3A (4;2;0), 4A (1;2;6). 29. 1A (7;5;3), 2A (9;4;4), 3A (4;5;7), 4A (7;9;6). 30. 1A (6;8;2), 2A (5;4;7), 3A (2;4;7), 4A (7;3;7). 3 1. На прямой 02 =+ yx найти точку, равноудаленную от начала координат и от прямой 012 =−+ yx . Сделать чертеж. 3 2. Найти проекцию точки ( )3;1А на прямую, проходящую через точку ( )5;2B под углом 30º к оси Ох. Сделать чертеж. 3 3. Написать уравнение прямой, параллельной прямой 0=+ yx и отсекающей от координатных осей треугольник площадью 2 кв. ед. Сделать чертеж. 3 4. Вычислить величину меньшего угла между прямыми 0243 =−+ yx и 0568 =++ yx . Доказать, что точка       −1; 14 13A лежит на биссектрисе этого угла. Сделать чертеж. 3 5. Даны сторона прямоугольника 0543 =+− yx и две его верши- ны ( )3;1 −A и ( )2;1C . Найти уравнения остальных сторон. Сде- лать чертеж. 3 6. Даны уравнение одной из сторон квадрата 053 =−+ yx и точ- ка ( )0;1−M пересечения его диагоналей. Составить уравнения остальных трех сторон квадрата. Сделать чертеж. 3 7. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересе- чения прямых 05,012 =++=+− yxyx и пересекающей ось Ох под углом 30º. Сделать чертеж. 3 8. Найти точку, симметричную точке ( )2;5М относительно пря- мой, проходящей через точки ( )0;11М и       3 1;02М . Сделать чертеж. 3 9. Через начало координат проведена прямая на одинаковом рас- стоянии от точек ( )1;1А и ( )0;2В . Написать уравнение этой прямой. Сделать чертеж. 4 0. Даны две вершины ( )4;4−А и ( )12;4 −В треугольника АВС и 18 точка ( )2;4М пересечения его высот. Найти вершину С. Сде- лать чертеж. Задания 41–50. Вычислить пределы функций. 41. 1. 253 57lim 34 24 −+ −+− ∞→ xx xxx x 2. 27 3103lim 3 2 3 − +− → x xx x 3. 230 4 4cos1lim xx x x + − → 4. 15 23 13lim − ∞→       − + x x x x 5. xx ee xx x cos lim 0 − → − 42. 1. xxx xxx x −− +−+ ∞→ 32 23 2 435lim 2. xx x x 9 25lim 29 − −− → 3. x xx x 5sin 3tglim 3 2 0→ 4. ( ) 4 1 29lim 4 − − → x x x 5. xx xx x sin arctglim 0 − → 43. 1. xxx xx x 23 12lim 24 24 +− ++ ∞→ 2. 8 2lim 3 2 2 − −− → x xx x 3. xx xx x 4cos2cos 7sinlim 0 −→ 4. ( ) xx x ctg 0 sin1lim + → 5. x e x x 3tg 1lim 2 0 − → − 44. 1. 42 136lim 24 23 +− ++− ∞→ xx xxx x 2. 412 32lim 2 3 +−+ −− → xx xx x 3. 2 3 0 5 coscoslim x xx x − → 4. 1 45 15lim + ∞→       + − x x x x 19 5. x xxx x 30 sin cossinlim − → 45. 1. 2 53lim 3 23 +− +− ∞→ xx xx x 2. 6 3134lim 2 2 3 −+ ++ −→ xx xx x 3. xx xxtg x 9cos3cos 4lim 0 −→ 4. ( ) 4 2 1 53lim 2 − − → x x x 5. x ee xx x tg lim 27 0 − → 46. 1. 103 72lim 2 34 +− ++− ∞→ xx xxx x 2. 34 6262lim 2 22 3 +− −+−+− → xx xxxx x 3. xx x x 2sin 3tglim 2 0→ 4. 52 23 13lim + ∞→       − + x x x x 5. 30 sincoslim x xxx x − → 47. 1. 3 165lim 24 23 +− +−+ ∞→ xx xxx x 2. 5112 352lim 2 2 5 ++ −− −→ xx xx x 3. x xx x 5 sin3sinlim 0 − → 4. ( ) 3 4 310lim 3 − − → x x x 5. xx e x 50 1 3arcsinlim −→ − 48. 1. 7 43lim 23 23 ++− −+ ∞→ xxx xx x 2. 1 1073lim 3 2 1 − −+ → x xx x 3. 20 sin3sinlim x xx x − → 4. 13 42 12lim − ∞→       + − x x x x 20 5. xx xx x cos 23lim 2 0 − → 49. 1. 22 3lim 23 24 +− +− ∞→ xx xxx x 2. 82 1233lim 24 −− +−− → xx xx x 3. xx xx x 4tg sin5sinlim 0 + → 4. ( ) 232lim 2 − − → x x x x 5. x x x 2cosln 6coslnlim 0→ 50. 1. 32 45lim 23 23 −+ −+ ∞→ xx xx x 2. 972 1lim 2 3 1 −− + −→ xx x x 3. xx x x +→ 20 3tglim 4. 14 23 83lim − ∞→       + + x x x x 5. ( )x e x x 61ln 1lim 3 0 + − → Задания 51–60. Найти производные dx dy следующих функций. 51. 1. xx xxy − + = ; 2. xey x 2cos sin⋅= ; 3.       + = = . 2 1 ,ln t t y tx 52. 1. 3 1 11         − + += x xy ; 2. tgx xy + = 1 sin3 ; 3.     = += .ln ,2 2 ty ttx 53. 1. 562 13 3 3 3 +− ++ = x xx y ; 2. xey x 23 arctg⋅= ; 3.    = = .2sin ,2cos ty tx 21 54. 1. 5 3 xxxy += ; 2. xxy 3sin5sin 53 ⋅= ; 3.     = = .cos ,2 ty ex t 55. 1. xx xxy − + = 3 2 ; 2. x x e ey 21+ = − ; 3.    = += .ctgln2 ,ctgtg ty ttx 56 1. 3 3sin23 3sin1 x xy + + = ; 2. x x xy − − + = tg1 tg1ln ; 3. ( )     = −= .2arccos ,1arctg 2 ty tx 57. 1. x xxy 15 2 ++= ; 2. x xy cos1 cos1lnln + − = ; 3.     = ⋅= .ln ,ln t ty ttx 58. 1. 22 39 1 27 2 xx xx y +      −= ; 2. ( ) 2 arcsin1ln xxy ++= ; 3.     ⋅= ⋅= .sin ,cos tey tex t t 59. 1. x xy 3sin1 cos1 3 + + = ; 2.     ++= xx eey 21ln ; 3. ( ) ( )   −= −= .cos12 ,sin2 ty ttx 60. 1. 21 1 xx y ++ = ; 2. xxxy +−= ctgtg 3 1 3 ; 3.     −= = .1 ,arcsin ty tx Задания 61–70. Исследовать методами дифференциального ис- числения функцию ( )xfy = и, используя результаты исследования, построить ее график. 61. 1 22 + − = x xxy 62. 1 22 + + = x xxy 22 63. 1 22 − − = x xxy 64. 1 22 − + = x xxy 65. 1 2 2 + − = x xxy 66. 1 2 2 − − = x xxy 67. 2 26 2 − − = x xy 68. x xy − − = 4 22 2 69. ( ) 1 1 2 + − = x xy 70. ( ) 3 1 2 + − −= x xy 23 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2 Задания 71–80. Даны функция трех переменных ( )zyxfu ,,= , точка ( )0000 ;; zyxM и вектор ( )zyx aaaa ,,= . Найти: 1) градиент функции ( )zyxfu ,,= в точке 0M ; 2) производную функции ( )zyxfu ,,= в точке 0M по направлению вектора a . 71. ( ) ( )2;2;1;1;2;1;42 02 −=−+−= aMzyxu . 72. ( ) ( ) ( )3;4;0;0;1;1;23ln 02 =+−= aMzyxu . 73. ( ) ( )4;0;3;2;1;1; 0 −= ++ = aM zyx xu . 74. ( ) ( )4;0;3;2;2;1;2 02 −=+−= aMzyxu . 75. ( ) ( )2;2;1;1;2;2; 0 −= + = aM yx zu . 76. ( ) ( )0;3;4;2;1;1; 0 22 −=−= − aMzeu yx . 77. ( ) ( )2;1;2;1;0;3;5 02 −=−+−= aMzyxu . 78. ( ) ( ) ( )8;6;0;2;2;1;4 042 2 =−+= − aMeyxu xz . 79. ( ) ( )1;2;2;0;4;3;43 02 −=++= aMzyxu . 80. ( ) ( ) ( )8;0;6;1;3;2;ln 032 −=+−= aMyzxxyu . Задания 81–90. Производятся два вида товаров, объемы произ- водства которых х и у, цены на эти товары 1р и 2р , соответственно, затраты на производство задаются функцией издержек ( )yxSS ,= . Определить при каких объемах производства данных товаров при- быль будет максимальной; найти ее максимальное значение. 24 № задания 1р 2р ( )yxSS ,= 81 6 10 22 542 yxyx +− 82 10 5 22 24 yxyx +− 83 6 4 22 22 yxyx ++ 84 4 8 22 43 yxyx +− 85 4 7 22 223 yxyx +− 86 6 8 22 342 yxyx +− 87 5 6 22 33 yxyx +− 88 12 8 22 244 yxyx +− 89 8 5 22 222 yxyx +− 90 12 16 22 22 yxyx ++ Задания 91–100. Найти неопределенные интегралы. В пунктах 1, 2 выполнить проверку дифференцированием. 91. 1. ( ) ( )∫        − ++ dx x x 1cos 112 2 8 2. ∫ −⋅ dxex x 3. ∫ −− xxx dx 376 23 4. dx xx x ∫ − 3 92. 1. ∫ ++ dx x xx 2ln1 5 2. ∫ ⋅ xdxx 5sin 3. ( )∫ + + dx xx x 14 3 2 2 4. ∫ ⋅ xdxx 2sin2cos 25 93. 1. ∫       + + dxx x 2 1sin 32 2 2. ( )∫ + dxx 1ln 2 25 3. ∫ +− dx xx x 23 24 4. ∫ ⋅ xdxx 3sin3cos 32 94. 1. ∫ + + dx x xx 2 3 1 arctg2 2. ∫ xdx2ln 3. ∫ − −+ dx xx xx 4 12 3 2 4. ∫ xdx6sin3 95. 1. ∫         − + dxex x x x32 3 2 8 2. ∫ ⋅ xdxx 2tg 3. ∫       − + x dx x x 2 1 2 4. ( ) dx x x ∫ − 2cos1 cos 96. 1. ∫ + dx x x 2sin 2ctg5 2 3 2. ( )∫ − dxex x312 3. ∫ − + dx xx x 23 2 1 4. ∫ + xx dx 1 97. 1. dx x xe x ∫ ++ 2 1 3 2. ∫ xdx2arccos 3. ( )∫ ++ +− dx xxx xx 12 23 2 2 4. ∫ + − dx x x cos2 sin2 98. 1. ∫       +− dx x x 5cos 14 2 32 2. dx x x ∫ 2 ln 3. ( )( )∫ +−− −− dx xxx xx 521 332 2 2 4. ∫ + 4 xx dx 26 99. 1. ∫       + −⋅ +− dx x ex x 43 1 2 12 2. ∫ − dx x x 1 arcsin 3. ( )( )∫ ++ 112 xx xdx 4. ∫ − + dx xx x 2 1 100. 1. ∫       − − + dx x x x x 71 arctg 22 2. ∫ dxe x 3. ∫ −+− −+ dx xxx xx 55 136 23 2 4. ∫ − x dx sin45 Задания 101–105. Сменная производительность труда рабочего описывается функцией ( )tf , где −t время в часах, at ≤≤0 . Опре- делить объем выпуска продукции в течение времени Т бригадой из n человек. Номер задания Функция ( )tf a T n 101 602,005,0 2 ++ tt 8 30 6 102 2380 tt −− 6 15 20 103 26,05,070 tt +− 7 10 15 104 506,008,0 2 +−− tt 10 20 8 105 792,003,0 2 +− tt 5 10 25 Задания 106–110. Известно, что спрос на некоторый товар опи- сывается функцией ( )pfq = , а предложение данного товара харак- теризуется функцией ( )pgq = . Найти величину излишка потреби- теля при покупке данного товара. Номер задания ( )pfq = ( )pgq = 106 3 8100 p q = pq 100= 27 107 3 3240 p q = pq 80= 108 2 200 p q = pq 25= 109 2 2500 p q = p q 100= 110 4 1280 p q = pq 40= Задания 111–120. Найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее условию ( ) 00 yxy = . 111. , 2 22 x yxxyy +=+′⋅ ( ) 11 =y . 112. ( ) 11 2 +=−′ xyxy , 3 2 2 3 π =        y . 113. x xyy cos 1tg =⋅+′ , ( ) 00 =y . 114. xeyy x −+=′ 2 , ( ) 4 10 =y . 115. x yyyx ln=′ , ( ) 11 =y . 116. dxyyxxdy      +−= 22 , ( ) 01 =y . 117. yeey xx −=′ 2 , ( ) 10 =y . 118. 01 1 2 =−− − −′ x x yy , ( ) 00 =y . 119. xxyy costg +⋅=′ , ( ) 00 =y . 120. ( ) 023 22 =+− xydydxyx , ( ) 12 =y . 28 Задания 121–130. Найти общее решение дифференциального уравнения. 121. xexyyy ⋅=+′−′′ 44 . 122. xxyy 2sin44 ⋅=′+′′ . 123. xeyyy 2565 −−=+′+′′ . 124. ( ) xexyyy ⋅+=+′−′′ 123 . 125. xexyyy 22 ⋅=−′−′′ . 126. xyyy 2sin824 =−′+′′ . 127. xxyyy cos223 ⋅=+′−′′ . 128. xyyy cos34 −=+′−′′ . 129. xxyyy sin23 ⋅=+′+′′ . 130. xexyy 44 ⋅=′−′′ . 29 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3 Задания 131–140. Исследовать числовой ряд на сходимость. 131. ∑ ∞ =       + + 1 52 3arcsin n n n n . 132. ∑ ∞ = ⋅ − 1 7 13 n nn n . 133. ∑ ∞ =       − 1 2 3 13 n n n n . 134. ( )∑ ∞ = + −1 1 125 2 n n n n . 135. ∑ ∞ = +      π 1 12 tg n n n . 136. ( )∑ ∞ = + +⋅1 2 1 !1 5 n n nn . 137. ∑ ∞ =       +1 1 10 n n n n n . 138. ( )∑ ∞ = +1 !3n n n n . 139. ∑ ∞ =         − ++ 1 2 2 23 85 n n n nn . 140. ∑ ∞ = π ⋅ 1 5 2 n ntgn . Задания 141–150. Найти область сходимости степенного ряда. 141. ( ) ( )∑ ∞ = + − 1 32 1 n n n n x . 142. ( ) ( )∑ ∞ = + + 1 1ln3 5 n n n n x . 143. ( )∑ ∞ = + + + 1 3 2 12 1 n nx n n . 144. ( )( ) ( )∑ ∞ = +⋅+ −− 1 12 21 323 n n n n xn . 145. ( )( )∑ ∞ = ++ − 1 2 11 2 n n nn x . 146. ( ) ( )∑ ∞ = +⋅+       − 1 1ln1 2 1 n n nn x . 147. ( )( )∑ ∞ = − −− 1 23 512 n n n xn . 148. ( ) ( )∑ ∞ = ++ − 1 251 4 n n n n x . 149. ( ) ( )∑ ∞ = ++ + 1 2312 5 n n n n x . 150. ( )∑ ∞ = +⋅−       − 1 12 423 2 1 n n n n x . 30 151. В течение года три фирмы могут обанкротиться независимо друг от друга с вероятностями 0,2; 0,3; 0,5. Найти вероятность того, что в конце года 1) обанкротятся ровно две фирмы; 2) хотя бы одна фирма. 152. Вероятность аудиторской проверки в течение года для Белару- сбанка равна 0,8, а для Приорбанка – 0,9. Найти вероятность того, что в течение года будут проверены 1) оба банка; 2) хотя бы один банк. 153. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу по каж- дому из трех телеканалов соответственно равна 0,4; 0,6; 0,7. Какова вероятность того, что потребитель увидит рекламу 1) только по од- ному из каналов; 2) по всем трем каналам. 154. Вероятность получения заказа в текущем году для первой строительной фирмы равна 0,95, для второй – 0,8, для третьей – 0,5. Найти вероятность того, что в текущем году 1) ни одна фирма не получит заказа; 2) две фирмы получат заказ. 155. Надежность первой компании в течение времени t оценива- ется на уровне 95 %, второй – 70 %, третьей – 80 %. Найти вероят- ность того, что в течение времени t 1) все три компании не станут банкротами; 2) хотя бы две компании станут банкротами. 156. Вероятность того, что в течение недели покупатель посетит гипермаркет А, равна 0,85, а гипермаркет В – 0,9. Какова вероят- ность того, что в течение недели: 1) покупатель посетит оба магази- на; 2) только один из них. 157. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероят- ность того, что студент ответит на первый, второй и третий вопрос, соответственно, равна 0,92; 0,8 и 0,75. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить 1) на все вопросы; 2) по крайней мере на два вопроса. 158. Вероятности того, что сальдо внешней торговли будет поло- жительным для трех стран соответственно равны 0,74; 0,83 и 0,9. Найти вероятности событий: 1) только две страны будут иметь поло- жительное сальдо; 2) все страны будут иметь отрицательное сальдо. 31 159. Строительная отрасль выпускает акции трех видов А, В и С. Вероятности того, что акции через месяц поднимутся в цене соот- ветственно равны 0,85; 0,9; 0,93. Какова вероятность того, что че- рез месяц поднимутся в цене 1) акции только одного вида; 2) акции всех видов. 160. Предприятие состоит из трех независимо работающих под- разделений. Предполагается, что вероятность их рентабельной ра- боты за два месяца соответственно равна 0,65; 0,7; 0,82. Найти ве- роятность того, что в течение двух месяцев рентабельным будет 1) хотя бы одно из подразделений; 2) ровно два подразделения. 161. В бухгалтерии банка имеются два списка должников. В пер- вом – фамилии 10 мужчин и 12 женщин, во втором – 8 мужчин и 4 женщин. Одна фамилия случайно переносится из первого списка во второй. Затем фамилия одного из должников случайно выбира- ется из второго списка. Найти вероятность того, что это будет фа- милия мужчины. 162. Вероятность того, что новый товар будет пользоваться спросом на рынке, если конкурент не выпустит аналогичный, равна 0,91, а при наличии конкурирующего – 0,32. Вероятность выпуска конкурентом товара равна 0,45. Найти вероятность того, что товар будет пользоваться спросом на рынке. 163. Лизинговая компания предоставляет в аренду на определен- ных условиях дорогостоящее оборудование с вероятностью 0,9, ес- ли экономическая ситуация в стране не будет ухудшаться в течение времени t. Если же экономическая ситуация будет ухудшаться, то эта вероятность равна 0,65. Экономист-консультант полагает, что в течение времени t с вероятностью 0,72 ситуация в стране будет ста- новиться хуже. Чему равна вероятность того, что лизинговая ком- пания предоставит оборудование в аренду? 164. Отдел маркетинга полагает, что в ближайшее время ожида- ется рост спроса на услуги данной строительной фирмы с вероятно- стью 0,7. Фирма, занимающаяся прогнозом рыночной ситуации, подтверждает предположение о росте спроса. Положительный про- 32 гноз фирмы сбывается на 90 %, а отрицательный – на 80 %. Найти вероятность того, что рост спроса действительно произойдет. 165. Три фирмы поставляют товар в данный регион в соотноше- нии 2:3:5. Среди продукции первой фирмы высококачественные изделия составляют 85 %, у второй – 90 %, у третьей – 80 %. Взятый наугад товар оказался отличного качества. Найти вероятность того, что он изготовлен третьей фирмой. 166. Курс евро повышается в течение полугода с вероятностью 0,7, остается неизменным с вероятностью 0,2 и понижается с веро- ятностью 0,1. При повышении курса предприятие надеется полу- чить прибыль с вероятностью 0,2, при неизменном курсе – с веро- ятностью 0,5, при понижении курса – с вероятностью 0,8. Найти вероятность того, что предприятие получит прибыль. 167. На заводе строительного оборудования первый цех выпус- кает 25 % всех изделий, второй – 45 %, третий – 30 %. В их продук- ции брак составляет соответственно 3 %, 2 %, 4 %. Какова вероят- ность того, что случайно выбранное изделие является дефектным? 168. У студента S есть три любимых места для прогулок, кото- рые он посещает с одинаковой вероятностью. Вероятность того, что он встретит своего друга в первом месте, равна 4 1 , во втором 2 1 − , в третьем 5 1 − . Известно, что встреча произошла. Какова вероятность того, что студент S выбрал первое место? 169. Вероятность того, что коэффициент Джини G, который по- казывает равномерность распределения доходов среди населения страны, будет находиться в области [ ]3,0;01 =D равна 0,07, в обла- сти [ ]−= 5,0;3,02D 0,8, в области [ ]−= 1;5,03D 0,13. Вероятности со- циальной нестабильности общества для коэффициента G из обла- стей ,1D ,2D 3D соответственно равны 0,015; 0,08; 0,6. Найти веро- ятность того, что данная страна социально стабильна. 33 170. Имеются две неотличимые по внешнему виду игральные кости: обычная и фальшивая, при случайном подбросе которой «шестерка» выпадает с вероятностью 1/3, «единица» – с вероятно- стью 1/9, а остальные цифры выпадают с одинаковой вероятностью. Подброшена наудачу выбранная кость и в результате выпала «чет- верка». Найти вероятность того, что была подброшена обычная иг- ральная кость. Задания 171–180. Непрерывная случайная величина (СВ) Х за- дана функцией распределения ( )xF . Найти: 1) коэффициент А; 2) плотность распределения вероятностей ( )xf ; 3) математическое ожидание СВ Х; 4) вероятность события ( )baX ,∈ . 171. ( )xF =       > ≤< ≤ .3,1 ,30,1 ,0,0 3 x xx A x 2,1 == ba . 172. ( )xF =       > ≤<− ≤ .4,1 ,41, 3 1 ,1,0 x xAx x 3,2 == ba . 173. ( )xF =      > ≤< ≤ .3,1 ,30, ,0,0 2 x xAx x 1,0 == ba . 174. ( )xF = ( )      > ≤<+ ≤ .4,1 ,40, ,0,0 2 x xxxA x 3,1 == ba . 34 175. ( )xF =          π> π≤< π π ≤ .,1 , 4 3,2cos , 4 3,0 x xxA x 6 5, 4 3 π = π = ba . 176. ( )xF = ( )          π > π ≤<− ≤ . 2 ,1 , 2 0,cos1 ,0,0 x xxA x 3 ,0 π== ba . 177. ( )xF = ( )      > ≤<−+ −≤ .2,1 ,21,1 ,1,0 2 x xxA x 2,1 == ba . 178. ( )xF = ( )      > ≤<+ ≤ .2,1 ,20,3 ,0,0 3 x xxxA x 1,0 == ba . 179. ( )xF = ( )          > ≤< π −+ π −≤ .0,1 ,0 2 ,sin1 , 2 ,0 x xxA x 4 , 2 π −= π −= ba . 180. ( )xF =      > ≤< ≤ .3,1 ,32, ,2,0 4 x xAx x 3,5,2 == ba . 35 Задания 181–190. Зависимость выпуска валовой продукции (СВ Y) от стоимости основных фондов (СВ Х) 50 предприятий пред- ставлена корреляционной таблицей. Требуется: 1. Найти уравнение прямой линии регрессии Y на Х. 2. Найти уравнение прямой линии регрессии Х на Y. 3. Построить графики полученных прямых. 4. Оценить тесноту корреляционной связи, используя выбороч- ный коэффициент корреляции. 181. Х Y 0,8 2,4 4,0 5,6 7,2 mi 0,7 2 1 3 2,1 6 5 11 3,5 3 20 3 26 4,9 4 3 1 8 6,3 2 2 mj 2 7 12 23 6 50 182. Х Y 0,7 2,1 3,5 4,9 6,3 mi 0,4 1 2 3 1,2 2 4 3 9 2,0 19 4 3 26 2,8 1 8 2 11 3,6 1 1 mj 3 6 23 12 6 50 183. Х Y 0,8 2,0 3,2 4,4 5,6 mi 0.6 3 4 1 8 1,4 1 5 10 8 24 2,2 1 3 1 5 1 11 3,0 2 3 5 3,8 1 1 2 mj 5 12 13 15 5 50 36 184. Х Y 1,2 2,4 3,6 4,8 6,0 mi 1,8 2 2 4 3,6 4 5 9 5,4 1 3 20 2 26 7,2 4 3 1 8 8,0 3 3 mj 2 7 12 23 6 50 185. Х Y 0,6 1,2 1,8 2,4 4,0 mi 1,4 1 1 2 2,8 2 10 2 14 4,2 1 3 19 23 5,6 4 4 8 7,0 1 2 3 mj 4 14 25 5 2 50 186. Х Y 0,7 1,4 2,1 2,8 3,5 mi 1,6 4 3 1 8 3,2 1 5 12 7 25 4,8 1 3 1 6 11 6,4 1 2 2 5 8,0 1 1 mj 6 11 15 15 3 50 187. Х Y 0,9 1,8 2,7 3,6 4,5 mi 1,1 1 2 3 2,2 1 5 6 3,3 1 20 8 29 4,4 6 1 3 10 5,5 2 2 mj 2 8 26 9 5 50 37 188. Х Y 1,6 3,2 4,8 6,4 8,0 mi 1,2 2 5 7 2,4 1 9 2 12 3,6 1 16 3 2 22 4,8 1 1 5 7 6,0 2 2 mj 2 7 26 6 9 50 189. Х Y 1,3 2,6 3,9 5,2 6,5 mi 1,9 1 2 3 3,8 3 6 3 12 5,7 2 18 4 24 7,6 1 7 1 9 9,5 2 2 mj 4 10 22 11 3 50 190. Х Y 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 mi 0,5 3 2 1 6 1,0 1 2 7 1 11 1,5 1 3 2 18 2 26 2,0 5 5 2,5 2 2 mj 5 7 10 19 9 50 38 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 1 Решение задания типа 1–10 При условном делении экономики на три отрасли задана матрица коэффициентов прямых затрат           = 2,02,01,0 1,02,02,0 3,04,01,0 A и вектор конеч- ной продукции           = 40 15 30 y . Требуется: 1. Записать уравнение линейного межотраслевого баланса в ко- ординатной форме. 2. Найти плановые объемы выпуска валовой продукции отрас- лей. Систему линейных алгебраических уравнений решить методом Гаусса. Решение системы записать в неправильных дробях. 3. Выполнить проверку результата. 4. Записать приближенный ответ с точностью до сотых. 1. Уравнение линейного межотраслевого баланса имеет вид yxAx += , где −           = 3 2 1 x x x x вектор валового выпуска продукции, −           = 3 2 1 y y y y вектор конечного потребления, [ ] −= ×33ij aA матрица пря- мых материальных затрат. Известны вектор конечного потребления           = 40 15 30 y и матрица прямых материальных затрат           = 2,02,01,0 1,02,02,0 3,04,01,0 A . 39 Подставим в уравнение Леонтьева yxAx += векторы yx, и матрицу А: =           3 2 1 x x x           2,02,01,0 1,02,02,0 3,04,01,0           +           40 15 30 3 2 1 x x x . Используя правила умножения матриц, сложения векторов и определение равенства векторов, получаем систему уравнений:      +++= +++= +++= 402,02,01,0 151,02,02,0 303,04,01,0 3213 3212 3211 xxxx xxxx xxxx . Полученная система – это векторное уравнение линейного меж- отраслевого баланса в координатной форме. Для решения этой системы приведем подобные члены:      =+−− =−+− =−− 408,02,01,0 151,08,02,0 303,04,09,0 321 321 321 xxx xxx xxx . Все уравнения умножим на 10:      =+−− =−+− =−− 40082 15082 300349 321 321 321 xxx xxx xxx . 2. Решим полученную систему методом Гаусса. Основная его идея состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему специального вида, где одно из уравнений содержит все неизвестные, второе – на одно неизвестное меньше, и т.д., последнее уравнение содержит лишь одно из неизвестных. Эти преобразования называют прямым ходом метода Гаусса. 40 Для удобства вычислений третье уравнение поставим первым, и оно будет ведущим на первом этапе вычислений:      =−+− =−− =+−− 15082 300349 40082 321 321 321 xxx xxx xxx . Исключим неизвестную 1x из второго уравнения. Для этого умножим первое уравнение на 9 и прибавим ко второму: 39006922 32 =+− xx . Исключим неизвестную 1x из третьего уравнения. Для этого умножим первое уравнение на (–2) и прибавим к третьему: .6501712 32 −=− xx Получаем систему:      −=− =+− =+−− 6501712 39006922 40082 32 32 321 xx xx xxx . Исключим неизвестную 2x из третьего уравнения. Для этого второе уравнение разделим на 22, умножим на 12 и прибавим к тре- тьему: 650 22 12390017 22 1269 3 − ⋅ =      − ⋅ x или 454х3 = 32500 или 227х3 = 16250. Получаем систему:      = =+− =+−− 16250227 39006922 40082 3 32 321 x xx xxx . 41 Замечание. Преобразования в методе Гаусса удобнее выполнять не с самой системой уравнений, а с расширенной матрицей систе- мы, которая состоит из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов:           −− −− −− 400 150 300 821 182 349 первойпоставим строкутретью ~           −− −− −− 150 300 400 182 349 821 второйкоприбавими 9настрокупервуюумножим ~           −− − −− 150 3900 400 182 69220 821 ( ) третьейкприбавими 2настрокупервуюумножим − ~           −− − −− 650 3900 400 17120 69220 821 третьейкприбавими12наумножим 22,наразделимстрокувторую . Используя полученную матрицу, выпишем преобразованную си- стему:      = =+− =+−− .16250227 39006922 40082 3 32 321 x xx xxx Прямой ход метода Гаусса закончен. Обратный ход заключается в том, что из последнего уравнения находят неизвестную 3x , затем из второго – 2x , а из первого – 1x . Выполним это: 42 227 16250 3 =x , 2x = =−⋅ ⋅ =− 22 3900 22722 1625069 22 3900 22 69 3x 22722 235950 22722 22739001121250 ⋅ = ⋅ ⋅− , 1x = 22722 390500400 227 162508 22722 235950240082 32 ⋅ =− ⋅ + ⋅ ⋅ −=−+− xx . Итак, решение системы в неправильных дробях будет иметь вид: 4994 390500 1 =x , 4994 235950 2 =x , 227 16250 3 =x . Они будут выражать плано- вые объемы выпуска валовой продукции отраслей. 3. Выполним проверку полученного результата. Для этого под- ставим эти значения в исходную систему:          =⋅+⋅−− =−⋅+⋅− =⋅−⋅−⋅ 400 227 162508 4994 2359502 4994 390500 150 227 16250 4994 2359508 4994 3905002 300 227 162503 4994 2359504 4994 3905009 . Вычисляя, получаем верные равенства. 4. Запишем приближенный ответ с точностью до сотых: 49,790 4994 390500 1 ≈=x ; 25,474994 235950 2 ≈=x ; 59,71227 16250 3 ≈=x . Решение задания типа 11–20 Даны векторы ( ) ( ) ( ),,,,,,,,, 321321321 ccccbbbbaaaa ===  ( )321 ,, dddd =  в некотором базисе. Показать, что векторы cba   ,, образуют базис и найти координаты вектора d  в этом базисе. Си- стему линейных уравнений решить по формулам Крамера. 43 Например, ( ) ( ) ( ) ( ).2;3;1,1;0;2,4;1;3,0;2;1 =−=−== dcba  Решение. Для того, чтобы векторы cba   ,, образовывали базис, необходимо показать, что векторы некомпланарны, т.е. их смешан- ное произведение ( )cba  ,, отлично от нуля. Вычислим смешанное произведение ( )cba  ,, с помощью опреде- лителя третьего порядка: ( )cba  ,, = 102 413 021 321 321 321 − −= ccc bbb aaa = –23. Поскольку ( )cba  ,, = –23 ≠ 0, то векторы cba  ,, образуют базис в пространстве R3. Следовательно, любой вектор d  этого пространства единствен- ным образом можно представить в виде d  = czbyax   ++ , где ( )zyx ,, – координаты вектора d  в базисе cba   ,, . От векторного равенства перейдем к равенствам над соответ- ствующими компонентами:      ++= ++= ++= zcybxad zcybxad zcybxad 3333 2222 1111 или      ⋅+⋅+⋅= ⋅+⋅−⋅= ⋅−⋅+⋅= zyx zyx zyx 1402 0123 2311 . Получили систему трех линейных уравнений с тремя неизвест- ными −zyx ,, координаты вектора d  в новом базисе. Решаем полученную систему методом Крамера, в соответствии с которым: 1) система трех линейных уравнений с тремя неизвестными име- ет единственное решение, если 0≠∆ – определитель третьего по- рядка, составленный из коэффициентов системы, не равен 0: 44 023 140 012 231 333 222 111 ≠−=− − ==∆ cba cba cba . 2) неизвестные zyx ,, находим по формулам Крамера: ∆ ∆ = ∆ ∆ = ∆ ∆ = zyx zyx ,, , где zyx ∆∆∆ ,, – определители третьего порядка, составленные из определителя системы ∆ заменой коэффициентов, стоящих в си- стеме перед zyx ,, , свободными членами соответственно: ,38 142 013 231 333 222 111 −=− − ==∆ cbd cbd cbd x ,7 120 032 211 333 222 111 −= − ==∆ cda cda cda y .18 240 312 131 333 222 111 −=−==∆ dba dba dba z Тогда по формулам Крамера: . 23 18 23 18, 23 7 23 7, 23 38 23 38 = − − == − − == − − = zyx 45 Проверка:          ==⋅+⋅+⋅ ==⋅+⋅−⋅ ==⋅−⋅+⋅ .22,2 23 181 23 74 23 380 ,33,3 23 180 23 71 23 382 ,11,1 23 182 23 73 23 381 Получили тождества. Следовательно, система решена верно. Ответ: 1) векторы ( ) ( ) ( )1;0;2,4;1;3,0;2;1 −=−== cba   образу- ют базис; 2) вектор d  в базисе cba   ,, имеет следующее разложение: d  = cba   23 18 23 7 23 38 ++ . Решение типового задания 21–30 Даны координаты вершин пирамиды ( )1,111 , zyxA , ( )2,222 , zyxA , ( )3,333 , zyxA , ( )4,444 , zyxA . Найти: 1) площадь грани 321 AAA ; 2) объем пирамиды; 3) уравнения прямой 21AA ; 4) уравнение плос- кости 321 AAA ; 5) уравнения высоты DA4 , опущенной из вершины 4A на грань 321 AAA ; 6) длину высоты DA4 ; 7) координаты точки пересечения высоты DA4 с плоскостью 321 AAA . Например, A1(3;5;4), A2(6;9;4), A3(0;7;2), A4(2;3;7). 1. Для нахождения площади грани 321 AAA воспользуемся геомет- рическим смыслом модуля векторного произведения [ ]3121 , AAAA , равного площади параллелограмма, построенного на векторах 21AA и 21AA как на сторонах. Найдем векторное произведение 46 [ ]3121 , AAAA 131313 121212 zzyyxx zzyyxx kji −−− −−−=  = −− = 223 043 kji  23 43 23 03 22 04 − ⋅+ −− ⋅− − ⋅= kji  kji  1868 ++−= . Тогда искомая площадь грани 321 AAA [ ]31212 1 321 AAAAS AAA ×= = ( ) 10618682 1 222 =++− (ед2). 2. Объем пирамиды найдем, используя геометрический смысл модуля смешанного произведения ( )413121 ,, AAAAAA , равного объе- му параллелепипеда, построенного на векторах 413121 ,, AAAAAA как на ребрах. Вычислим смешанное произведение векторов 413121 ,, AAAAAA : ( )413121 ,, AAAAAA = 141414 131313 121212 zzyyxx zzyyxx zzyyxx −−− −−− −−− = 321 223 043 −− −− = 38. Так как объем пирамиды составляет шестую часть объема соот- ветствующего параллелепипеда, то Vпир = ( )413121 ,,6 1 AAAAAA = 3 1938 6 1 =⋅ (ед3). 3. Чтобы найти уравнения прямой 21AA , используем уравнения пря- мой в пространстве, проходящей через две известные точки 1A и 2A : 47 12 1 12 1 12 1 zz zz yy yy xx xx − − = − − = − − . Уравнения прямой 21AA принимают вид: 44 4 59 5 36 3 − − = − − = − − zyx или 0 4 4 5 3 3 − = − = − zyx . 4. Для получения уравнения грани 321 AAA используем уравнение плоскости, проходящей через три данные точки 321 ,, AAA : 0 131313 121212 111 = −−− −−− −−− zzyyxx zzyyxx zzyyxx . В нашей задаче 0 223 043 453 = −− −−− zyx . Определитель вычислим методом разложения по элементам пер- вой строки: ( ) ( )( ) ( ) 04185638 =−+−−−−− zyx . Раскрыв скобки, и приведя подобные, получаем –8x + 6y + 18z – 78 = 0, сократив на (–2), искомое уравнение будет иметь вид: 4x – 3y – 9z + 39 = 0. 48 5. Чтобы найти уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань 321 AAA , используем канонические уравнения прямой в про- странстве, проходящей через известную точку А4 с направляющим вектором ( )pnms ;; : p zz n yy m xx 444 −=−=− . Так как высота перпендикулярна грани 321 AAA , то в качестве направляющего вектора s можно использовать нормальный вектор плоскости 321 AAA , координатами которого являются коэффициенты при zyx ,, в полученном уравнении грани 321 AAA : ( )9;3;4 −−n  . Итак, уравнения высоты примут вид: 9 7 3 3 4 2 − − = − − = − zyx . 6. Для вычисления длины высоты DA4 примем формулу рассто- яния от точки 4A до плоскости 321 AAA . 222 444 4 cba dczbyax DA ++ +++ = , где dcba ,,, – коэффициенты и свободный член из уравнения плос- кости 321 AAA . Таким образом, ( ) ( ) 106 25 934 39793324 2224 = −+−+ +⋅−⋅−⋅ =DA . Координаты точки пересечения высоты DA4 с плоскостью 321 AAA получаются как результат решения системы, составленной из уравнения грани 321 AAA и уравнений высоты DA4 . 49 Запишем уравнения высоты DA4 в параметрической форме: tzyx = − − = − − = − 9 7 3 3 4 2 , где t – параметр, тогда      +−= +−= += 79 33 24 tz ty tx . Решая систему        +−= +−= += =+−− 79 33 24 039934 tz ty tx zyx , найдем значение параметра t. Подставляя выражения zyx ,, в пер- вое уравнение, получим: ( ) ( ) ( ) ⇒=++−−+−−+ 039799333244 ttt ⇒= 25106t 106 25 =t . Искомые координаты точки пересечения: 53 156 106 3122 106 254 ==+⋅=x ; 106 2433 106 253 =+⋅−=y ; 106 5177 106 259 =+⋅−=z . Решение задания типа 31–40 Условие. Известны уравнения двух сторон ромба 0152 =−− yx и 03452 =−− yx и уравнение одной из его диагоналей 063 =−+ yx . Найти уравнение второй диагонали. Сделать чертеж. 50 B C Решение. Пусть 0152 =−− yx – уравнение стороны АВ. Так как прямые 0152 =−− yx и 03452 =−− yx имеют одинаковые нор- мальные векторы ( )5;2 −=n , следовательно, они параллельны. По- этому 03452 =−− yx – уравнение противоположной стороны DC. Одна из диагоналей, например, АС имеет уравнение 063 =−+ yx . Вершина ромба A является точкой пересечения прямых АВ и АС, следовательно ее можно найти, решив систему уравнений:    =−+ =−− 063 0152 yx yx , откуда А(3;1). Вершину ромба С получим решением системы, составленной из уравнения прямых DC и АС:    =−+ =−− 063 03452 yx yx , откуда С(12;–2). Точка О пересечения диагоналей является серединой отрезка АС, поэтому ее координаты можно найти по формулам: 2 1 2 21 2 ; 2 15 2 123 2 00 −= − = + == + = + = CACA yyyxxx . Таким образом,       − 2 1; 2 15O . O A D 51 Так как диагонали ромба перпендикулярны, то угловой коэффи- циент искомой диагонали AC BD k k 1−= . Угловой коэффициент пря- мой АС ( )ACk , найдем из ее уравнения: 23 1 +−= xy , откуда 3 1 −=ACk . Следовательно, 3 3 1 1 = − −=BDk . Уравнение диагонали BD найдем, зная угловой коэффициент ( )3=BDk и точку       − 2 1; 2 15 О , лежащую на ней: ( )00 xxkyy BD −=− , т.е.       −=+ 2 153 2 1 xy или 0233 =−− yx . Ответ: 0233 =−− yx . Выполним чертеж: 52 Решения заданий типа 41–50 Теоретический справочник При вычислении пределов используются следующие свойства пределов: cc xx = → 0 lim.10 , где сonst−с , т.е. предел постоянной равен самой постоянной. BxvAxu xxxx == →→ )(lim,)(lim.2 00 0 , то а) =+ → ))()((lim 0 xvxu xx + → )(lim 0 xu xx BAxv xx += → )(lim 0 ; б) =⋅ → ))()((lim 0 xvxu xx ⋅ → )(lim 0 xu xx BAxv xx ⋅= → )(lim 0 ; в) B A xv xu xv xu xx xx xx == → → → )(lim )(lim )( )(lim 0 0 0 , если 0)(lim 0 ≠= → Bxv xx . Из свойств 10 и 02б следует, что =⋅ → )(lim 0 xuc xx )(lim 0 xuc xx→ ⋅ , где сonst−с , т.е. постоянную можно выносить за знак предела. .30 Если ∞= → )(lim 0 xu xx , то + → )(lim 0 xu xx . .40 Если 0)(lim 0 = → xu xx , то ∞= → )( 1lim 0 xuxx . .50 ( ) = → )()(lim 0 xv xx xu )(lim 0 0 )(lim xv xx xxxu →      → . 53 .60 Для всех элементарных функций )(xf в любой точке их об- ласти определения имеет место равенство: )()(lim 0 0 xfxf xx = → , т.е. предел функции находят непосредственной подстановкой предель- ного значения аргумента. Из свойства 02 следует, что предел суммы, произведения, част- ного двух функций равен, соответственно, сумме, произведению и частному пределов этих функций, если функции имеют конечные пределы (в случае частного предел знаменателя не равен нулю). Ес- ли = → )(lim 0 xu xx 0)(lim 0 = → xv xx , то )( )(lim 0 xv xu xx→ приводит к неопределен- ности типа       0 0 ; если ,)(lim 0 ∞= → xu xx ∞= → )(lim 0 xv xx , то )( )(lim 0 xv xu xx→ приводит к неопределенности типа       ∞ ∞ ; если ,1)(lim 0 = → xu xx ∞= → )(lim 0 xv xx , то )()(lim 0 xv xx xu → приводит к неопределенности типа ( )∞1 . Чтобы вы- числить такие пределы, т.е. «раскрыть неопределенность», необхо- димо провести дополнительные преобразования. Пример 1. Вычислить предел 742 425lim 23 23 +−+ ++− ∞→ xxx xxx x . Числитель и знаменатель дроби являются многочленами и при ∞→x стремятся к бесконечности и, следовательно, имеем неопре- деленность       ∞ ∞ . Для раскрытия такой неопределенности вынесем в числителе и знаменателе 3x . 3 32 3 32 3 на сократим 7412 4125 lim x xxx x xxx x x =       +−+       ++− ∞→ = 54 ).в2свойство используем 7412 4125 lim 0 32 32 = +−+ ++− ∞→ xxx xxx x = = 0032 32 41пределов свойства используем 7412lim 4125lim − =       +−+       ++− ∞→ ∞→ xxx xxx x x = = 2 5 0002 0005 1lim71lim41lim2lim 1lim41lim1lim25lim 32 32 = +−+ ++− = +−+ ++− ∞→∞→∞→∞→ ∞→∞→∞→∞→ xxx xxx xxxx xxxx . Рассмотрим случай, когда многочлен, стоящий в числителе име- ет меньшую степень по сравнению с многочленом, стоящим в зна- менателе: =      ∞ ∞ = −+ +− ∞→ 4 325lim 23 2 xx xx x =       −+       +− ∞→ 3 3 2 2 411 325 lim xx x xx x x = −+ +− ⋅ ∞→ 3 2 411 3251lim xx xx xx = = −+ +− ⋅ ∞→∞→ 3 2 411 325 lim1lim xx xx x xx 050 001 0050 =⋅= −+ +− ⋅ . Рассмотрим случай, когда многочлен, стоящий в числителе име- ет большую степень по сравнению с многочленом, стоящим в зна- менателе: 55 =      ∞ ∞ = −+ +− ∞→ 23 42lim 2 23 xx xx x =       −+       +− ∞→ 2 2 3 3 213 421 lim xx x xx x x = −+ +− ⋅ ∞→ 2 3 213 421 lim xx xxx x = = −+ +− ⋅ ∞→∞→ 2 3 213 421 limlim xx xxx xx = −+ +− ⋅ ∞→ 003 001lim x x ∞= ∞→ x x lim 3 1 . Пример 2. Вычислить 1 123lim 3 2 1 − −− → x xx x . Определим, имеет ли место неопределенность. Для этого в вы- ражение, стоящее под пределом подставим 0 0 11 11213:1 3 2 = − −⋅−⋅ =x . Т.о. имеем неопределенность       0 0 . Разложим на множители числитель: =−− 123 2 xx ( ) ( )( )1131 3 13 −+=−      + xxxx , знаменатель: ( )( )111 23 ++−=− xxxx и подставим это в предел ( )( ) ( )( )11 113lim 1 123lim 213 2 1 ++− −+ = − −− →→ xxx xx x xx xx = ( ) =−1множитель насократим x = 1 13lim 21 ++ + → xx x x = 3 4 111 113 = ++ +⋅ . 56 Пример 3. Вычислить 34 12lim 23 +− −− → xx x x . 34 12lim 23 +− −− → xx x x = нностьнеопределе 0 0 3343 123 2 −=+⋅− −− . Домножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное числителю: ( )12 +−x . ( )( ) ( )( ) =+−+− +−−− → 1234 1212lim 23 xxx xx x ( )( )( ) ( ) =−=+−−− − → 3на сократим 1213 3lim 3 xxxx x x = ( )( ) =+−−→ 121 1lim 3 xxx ( )( ) =+−− 12313 1 4 1 . Если при раскрытии неопределенности       0 0 , дробь содержит тригонометрические функции, то в этом случае используют первый замечательный предел: 1sinlim 0 = → x x x . Пример 4. Вычислить x x x 2sin 3tglim 0→ . x x x 2sin 3tglim 0→ = ( )( ) нностьнеопределе0 0 02sin 03tg −= ⋅ ⋅ . Преобразуем выражение: x x 2sin 3tg = 2 3 2sin 2 3cos 1 3 3sin ⋅⋅⋅ x x xx x . 57 Отдельно вычислим: x x x 3 3sin lim 0→ = 03 то,0 Если.3 Обозначим →= → = xt x tx = 1sinlim 0 = → x x x . Аналогично x x x 2sin 2lim 0→ = 02то ,0Если .2 →= → = xz х zx = z z z sin lim 0→ = z z z sinlim 1 0→ = 1 1 1 = . 1 1 1 0cos 1 3cos 1lim 0 === → xx . Следовательно, x xtg x 2sin 3lim 0→ = x x xx x xxx 2sin 2lim 3cos 1lim 3 3sinlim 2 3 000 →→→ ⋅⋅ = 2 311 2 3 =⋅⋅ . Пример 5. =     = − − → 0 0 7coscos 4cos1lim 0 xx x x xxxx xx 3sin4sin27coscos 2sin24cos1 2 =− =− = xx x x 3sin4sin2 2sin2lim 2 0→ = ( ) 3 1 3sin 3 4sin 4 2 2sinlim 2 2 0 ⋅⋅⋅ → x x x x x x x = x x x x x x xxx 3sin 3lim 4sin 4lim 2 2sinlim 3 1 00 2 0 →→→ ⋅⋅      = 3 1111 3 1 2 =⋅⋅⋅ . 58 При раскрытии неопределенности ∞1 используют второй заме- чательный предел: e x x x =      + ∞→ 11lim или ( ) ex х x =+ → 1 1lim 0 . Пример 6. Вычислить 12 25 15lim + ∞→       + − x x x x . Вычислим отдельно предел основания:       ∞ ∞ = + − ∞→ 25 15lim x x x =       +       − ∞→ x x x x x 25 15 lim = x x x 25 15 lim + − ∞→ = 1 05 05 = + − и предел показателя ( ) ∞=+ ∞→ 12lim x x , получаем неопределенность ∞1 . Преобразуем выражение в скобках к виду ( ):1 xα+ ( )       + − += + −+ = + − 25 31 25 325 25 15 xx x x x , т.е. ( ) 25 3 + − =α x x . Из второго замечательного предела следует, что ( ) ( )( ) ( ) ex x x =α+ α →α 1 1lim 0 , поэтому преобразуем показатель степени так, чтобы он содержал сомножитель ( ) .3 251 + −= α x x Таким образом 12 25 15 +       + − x x x = ( ) 25 123 3 25 25 31 + +− − +                       + − + x x x x . 59 Тогда ∞→x lim ( ) 25 123 3 25 25 31 + +− − +                       + − + x x x x = e x x x =            + − + − + ∞→ 3 25 25 31lim = = ( ) 25 123lim + +− ∞→ x x xe = 25 12lim3 + + − ∞→ x x xe =       +       + − ∞→ x x x x x e 25 12 lim3 = 5 6 5 23 −⋅− = ee . Пример 7. Вычислить ( ) ( )∞− → =− 137lim 2 3 2 x x x . Выражение в скобках запишем в виде ( ) ( ),361371 xxx −+=−=α+ т.е. ( ) xx 36 −=α . Следовательно, показатель степени должен со- держать сомножитель ( ) xx 36 11 − = α : ( ) =− − → 2 3 37lim 2 x x x ( )( ) ( ) 2 363 36 1 361lim 2 − − ⋅ − −+ → x x x x x = ( )( ) ex x x =−+ − → 36 1 361lim 2 = = ( ) 2 363lim 2 − − → x x xe = ( ) 92 233lim 2 −− −⋅− =→ ee x x x . Для раскрытия неопределенностей типа       0 0 или       ∞ ∞ удобно использовать правило Лопиталя–Бернулли: )( )(lim )( )(lim 00 xg xf xg xf xxxx ′ ′ = →→ , т.е. предел отношения функций в случае неопределенности       0 0 или       ∞ ∞ равен пределу отношения производных этих функций. Для применения правила Лопиталя–Бернулли необходимо научиться вычислять производные функций. 60 Пример 8. Вычислить xxx ee xx − − → 20 arcsin3sinlim .      = − − → 0 0arcsin3sinlim 20 xxx ee xx = ( ) ( ) =′ − ′− → xxx ee xx 20 arcsin3sinlim = = − − − → xxx ee x x 2 2 0 2 1 13cos3 lim 2 12 13 2 01 10cos3 00 =− − = − − − ee . Правило Лопиталя–Бернулли при вычислении предела можно применять несколько раз. Пример 9. Вычислить 30 2lim x xee xx x −− − → .      = −− − → 0 02lim 30 x xee xx x = ( ) ( ) =′ ′ −− − → 30 2lim x xee xx x      = −+ − → 0 0 3 2lim 20 x ee xx x = = ( ) ( ) =′ ′ −+ − → 20 3 2lim x ee xx x      = − − → 0 0 6 lim 0 x ee xx x = ( ) ( ) =′ ′ − − → x ee xx x 6 lim 0 = =+ − → 6 lim 0 xx x ee 3 1 6 11 = + . Решения заданий типа 51–60 Теоретический справочник Дифференцированием функции ( )xfy = называют нахождение ее производной dx dyy =′ , которое выполняется с помощью правил дифференцирования и таблицы производных основных элементар- ных функций. 61 Правила дифференцирования 10. ( ) 0=′с , где с – постоянная; 20. ( ) 1=′x ; Если ( ) ( )xvvxuu == , – некоторые дифференцируемые функ- ции, то: 30. ( ) vuvu ′±′=′± ; 40. ( ) vuvuvu ′⋅+⋅′=′⋅ ; 50. ( ) ( )′=′⋅ ucuc ; 60. 0,2 ≠ ′−′ = ′       v v vuvu v u ; 70. Если ( ) ( ) ( )( )xfyxuufy ϕ=ϕ== т.е.,, сложная функция, то: xux uyy ′⋅′=′ или dx du du dy dx dy ⋅= . Таблица производных основных элементарных функций 1. ( ) Ruuu ∈α′⋅⋅α=′ −αα ,1 2. ( ) 1,0,ln ≠>′⋅⋅=′ aauaaa uu 3. ( ) uee uu ′⋅=′ 4. ( ) u au ua ′⋅⋅ =′ ln 1log 5. ( ) u u u ′⋅=′ 1ln 6. ( ) uuu ′⋅=′ cossin 7. ( ) uuu ′⋅−=′ sincos 8. ( ) u u u ′⋅=′ 2cos 1tg 62 9. ( ) u u u ′⋅−=′ 2sin 1ctg 10. ( ) u u u ′⋅ − =′ 21 1arcsin 11. ( ) u u u ′⋅ − −=′ 21 1arccos 12. ( ) u u u ′⋅ + =′ 21 1arctg 13. ( ) u u u ′⋅ + −=′ 21 1arcctg . Пример 1. Найти производную dx dy функции 3 22 x xy + = . Решение. Заменяя корни степенями с дробными показателями, получаем 3 2 2 1 2 x xy + = . По правилу дифференцирования дроби (60) и суммы (30) имеем: dx dy = ′           + 3 2 2 1 2 x x = 2 3 2 3 2 2 1 3 2 2 1 2 22         + ′         +−        + ′         x xxxx = 2 3 2 3 1 2 1 3 2 2 1 2 3 22 2 1         + ⋅−        + −− x xxxx = 63 = 2 3 2 6 1 6 1 2 1 2 3 2 2 1         + −+ − x xxx = члены подобные приведем = 2 3 2 6 1 2 1 2 6 1         + − − x xx = 2 1 на ьзнаменател ичислитель умножив м,преобразуе х = = 2 12 3 2 2 1 6 1 2 1 2 6 1 xx xxx ⋅        + ⋅        − − = 2 12 3 2 3 2 2 6 11 xx x ⋅        + − = xx x ⋅     +⋅ − 2 3 2 3 2 26 6 . Пример 2. Найти производную dx dy функции x xy 2sin2 cos = . Решение. По правилу дифференцирования дроби (60), используя табличные формулы (6,7) и применяя правило дифференцирования сложной функции (70), получим dx dy = ′       x x 2sin2 cos = ( ) ( ) ( )22 22 sin2 sin2cossin2сos x xxxx ′ ⋅−⋅′ = = x xxxxx 4 2 sin4 cossin22cossin2sin ⋅⋅⋅⋅−⋅− = x xxx 4 23 sin4 cossin4sin2 ⋅−− = = числитель мпреобразуе = ( ) x xxx 4 22 sin4 cos2sinsin2 +− = xsin2на сократим = x xx 3 22 sin2 cos2sin + − = xx 22 cos1sin заменим −= = x x 3 2 sin2 cos1+ − . 64 Пример 3. Найти производную dx dy функции 21arctg xxy −⋅= . Решение. Используя правило дифференцирования произведения (40), правило дифференцирования сложной функции (70) и таблич- ные формулы (1, 12), получим ( ) ′      −⋅+−⋅′= ′      −⋅= 222 1arctg1arctg1arctg xxxxxx dx dy = = ′      −⋅      −+ ⋅+− 22 2 2 1 11 11arctg x x xx = 22 2 12 2 11 11arctg x x x xx − − ⋅ −+ ⋅+− = = ( ) 22 2 2 122 21arctg xx xx −⋅− −− = ( ) 22 2 2 12 1arctg xx xx −⋅− −− . Пример 4. Найти производную dx dy функции       = = . 2 sinln , 2 cos2 ty tx Решение. В этом примере функция задана параметрическими уравнениями ( ) ( )   = = tyy txx , причем функции ( )tx и ( )ty дифференциру- емы и ( ) 0≠′ tx , тогда по правилу дифференцирования функции, за- данной параметрически имеем t t x x yy ′ ′ =′ или dt dx dt dy dx dy = . Следователь- но, нужно найти производные от х и у по параметру t: ′      ⋅     −⋅= ′      ⋅⋅= ′      =′ 22 sin 2 cos2 2 cos 2 cos2 2 cos2 ttttttxt = 65 2 1 2 sin 2 cos2 ⋅⋅− tt = α⋅α=α cossin22sin формулуиспользуем = tsin 2 1 − ; 2 ctg 2 1 22 cos 2 sin 1 2 sin 2 sin 1 2 sinln tttt t t tyt = ′      ⋅= ′      ⋅= ′      =′ . Отсюда = dx dy t t x y ′ ′ = = − t t sin 2 1 2 ctg 2 1 t t sin 2 ctg − . Ответ:        = −= . 2 cos , sin 2 ctg 2 tx t t dx dy Решение задания типа 61–70 Исследовать методами дифференциального исчисления функ- цию x xxy − − = 2 2 и, используя результаты исследования, построить ее график. Решение. Исследование функций и построение их графиков про- водится по следующей схеме: 1) найти область определения функции ( )yD ; исследовать функ- цию на четность и нечетность; 2) исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва (если они существуют) и установить характер разрыва; 3) найти асимптоты графика функции; 4) найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экс- тремумы; 5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба; 66 6) найти точки пересечения графика функции с осями координат; 7) построить график функции. 1. Область определения функции: ( )yD = ( ) ( )+∞∞− ;22;  . Прове- рим функцию на четность, нечетность: ( )xy − = ( ), 2 2 xy x xx −≠ + + ( )xy − ( )xy−≠ . Значит функция ни четная, ни нечетная. 2. Точка разрыва х = 2, причем +∞= − − −→ x xx x 2 lim 2 02 , −∞= − − +→ x xx x 2 lim 2 02 , следовательно, х = 2 является вертикальной асимптотой графика функции. 3. Найдем наклонные асимптоты bkxy += , для этого вычислим ( ) x xfk x ∞→ = lim = ( ) =− − ∞→ xx xx x 2 lim 2 1 2 lim 2 2 −= − − ∞→ xx xx x ; ( )( )kxxfb x −= ∞→ lim = 1 2 lim 2 2lim 2 lim 222 −= − = − −+− =        + − − ∞→∞→∞→ x x x xxxxx x xx xxx . Таким образом, прямая 1−−= xy является наклонной асимпто- той графика функции. 4. Интервалы возрастания, убывания и экстремумы определим по следующей схеме: а) находим первую производную ( )xf ′ ; б) находим критические точки, т.е. точки, в которых ( )xf ′ =0 или ( )xf ′ не существует; в) область определения разбиваем критическими точками на ко- нечное число интервалов монотонности, в каждом из которых ( )xf ′ имеет строго определенный знак; г) в соответствии с достаточными условиями определяем интер- валы возрастания, убывания функции и ее экстремумы. Итак, а) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − −′−−− ′ − = ′         − − =′ 2 222 2 22 2 x xxxxxx x xxy 67 = ( )( ) ( ) ( ) ( ) = − −+− = − −++−− = − −+−− 2 2 2 22 2 2 2 24 2 224 2 212 x xx x xxxxx x xxxx = ( )2 2 2 24 x xx − +− − . б) критические точки находим из уравнения ( ) 0 2 24 2 2 = − +− − x xx . Отсюда 0242 =+− xx , следовательно, .22,22 21 +=−= xx в) область определения разбиваем критическими точками на ин- тервалы монотонности следующим образом: г) вычисляем экстремумы функции: ( ) ( ) 322 222 222222 2 min −= +− +−− =−= yy ; ( ) ( ) 322 222 222222 2 max −−= −− −−+ =+= yy . 5. Найдем интервалы выпуклости, вогнутости кривой и ее точки перегиба. Вычислим y ′′ : y ′′ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )4 2222 2 2 2 224224 2 24 x xxxxxx x xx − ′ −⋅+−−− ′ +− −= ′         − +− − = 68 = ( )( ) ( )( ) ( ) = − +−−+−− − 4 22 2 2422242 x xxxxx = ( ) ( )( )( ) ( ) = − +−+−−− − 4 2 2 242222 x xxxxx = ( )( ) ( ) ( )34 22 2 4 2 2424222 xx xxxxxx − = − +−++−−− − . Найдем точки, в которых ( )xy ′′ =0 или ( )xy ′′ не существует: y ′′ = ( ) 0 2 4 3 =− x – нет решений, y ′′ не существует, если ( ) 02 3 =− x , откуда 2=x . Находим интервалы знакопостоянства для y ′′ : Так как 2=x не входит в ( )yD , то точек перегиба графика нет. 6. Найдем точки пересечения графика с осями координат: если 0=x , то 0=y , если 0=y , то 02 =− xx или 0=x и 1=x . Следо- вательно, график проходит через точки ( ) ( )0;1,0;0 . 7. Используя полученные результаты исследования, строим гра- фик функции. 69 70 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 2 Решение заданий типа 71–80 Даны функция трех переменных ( )zyxfu ,,= , точка ( )0000 ;; zyxM и вектор ( )zyx aaaa ,,= . Найти: 1) градиент функции ( )zyxfu ,,= в точке 0M ; 2) производную функции ( )zyxfu ,,= в точке 0M по направлению вектора a . Например, ( ) zyezyxu 2323 −+−= , ( )3;2;10 −M , ( )0;8;6−=a . Решение. 1. Градиент функции ( )zyxfu ,,= в точке −0M это вектор ( ) ( ) ( ) ( ) k z Mfj y Mfi x MfMu ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = 0000grad , где ( ) ( ) ( ) − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ z Mf y Mf x Mf 000 ,, значения частных производных функ- ции ( )zyxfu ,,= по переменным x, y, z соответственно, в точке М0. Найдем частные производные функции ( ) zyezyxu 2323 −+−= . Частная производная по переменной х является обыкновенной про- изводной функции одной переменной х при фиксированном значе- нии переменных у и z и обозначается x f ∂ ∂ . Таким образом x f ∂ ∂ = ( ) zyxzy ezyxe 23223 33 −− =′+− . При вычислении y f ∂ ∂ (частной производной по переменной у) переменные х и z считают постоянными. Тогда 71 y f ∂ ∂ = ( ) ( ) ( ) =′−⋅⋅+−+⋅′+− −− yzyzyy zyezyxezyx 2333 232232 = ( ) zyzy ezyxey 23223 332 −− ⋅+−+⋅− = ( ) zyeyzyx 232 2339 −−+− . При вычислении z f ∂ ∂ (частной производной по переменной z) пе- ременные х и y считают постоянными. Тогда z f ∂ ∂ = ( ) ( ) ( ) =′⋅+−+⋅′+− −− zzyzyz ezyxezyx 232232 33 = ( ) ( )231 23223 −⋅+−+⋅ −− zyzy ezyxe = ( ) zyezyx 232 2261 −−+− . Вычислим значения частных производных в точке ( )3;2;10 −M : ( ) x Mf ∂ ∂ 0 = 33 3223 =⋅−⋅e ; ( ) y Mf ∂ ∂ 0 = ( ) 162233439 3223 −=⋅−⋅+⋅−− ⋅−⋅e ; ( ) x Mf ∂ ∂ 0 = ( )( ) 93242161 3223 =⋅−⋅+−⋅− ⋅−⋅e . Тогда ( ) kjiMu +−= 163grad 0 . 2. Производная функции ( )zyxfu ,,= в точке 0M по направле- нию вектора a вычисляется по формуле: ( ) a Mu ∂ ∂ 0 = ( ) ( ) ( ) γ ∂ ∂ +β ∂ ∂ +α ∂ ∂ coscoscos 000 z Mf y Mf x Mf , где ( ) x Mf ∂ ∂ 0 = 3, ( ) 160 −= ∂ ∂ y Mf , ( ) 90 = ∂ ∂ z Mf вычислены в предыду- щем задании этой задачи, а −γβα cos,cos,cos направляющие коси- нусы вектора ( )zyx aaaa ,,= , которые вычисляются по формулам: 72 222 cos zyx x aaa a ++ =α ; 222 cos zyx y aaa a ++ =β ; 222 cos zyx z aaa a ++ =γ . Для вектора ( )0;8;6−=a ( ) 10 6 086 6cos 222 − = ++− − =α ; 10 8cos =β ; 0cos =γ . Тогда производная функции по направлению вектора a в точке 0M ( ) 6,14 10 14609 10 816 10 630 −=−=⋅+⋅−     −⋅= ∂ ∂ a Mu . Решения заданий типа 81–90 Производятся два вида товаров, объемы производства которых х и у, цены на эти товары 1р и 2р , соответственно, затраты на произ- водство задаются функцией издержек ( )yxSS ,= . Определить при каких объемах производства данных товаров прибыль будет макси- мальной; найти ее максимальное значение. Например, 1р = 8 (у. е.), 2р = 10 (у. е.), ( )yxS , = 22 yxyx ++ (у. е.). Решение. Так как товары производятся в объемах х и у, то функ- ция прибыли ( )yxP , будет иметь вид ( )yxP , = ( )yxSypxp ,21 −+ или ( )yxP , = 22108 yxyxyx −−−+ . Требуется найти значения пе- ременных х и у, при которых эта функция примет максимальное значение, при условии, что 0,0 ≥≥ yx . Т.е. надо найти максимум функции двух переменных ( )yxP , . 73 Для этого найдем точки возможного экстремума этой функции, т.е. точки в которых ( ) ( )       = ∂ ∂ = ∂ ∂ 0, 0, y yxP x yxP . В нашей задаче ( ) yx x yxP −−= ∂ ∂ 28, ; ( ) yx y yxP 210, −−= ∂ ∂ , по- этому система имеет вид:    =−− =−− 0210 028 yx yx . Решая ее, находим 4,2 00 == yx , т.е. точка ( )4;20M является точ- кой возможного экстремума. Если в точке 0M определитель ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 > ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ =∆ y MP yx MP yx MP x MP и ( )2 0 2 x MP ∂ ∂ < 0, то точка 0M является точкой локального максимума функции ( )yxP , . Здесь ( )2 0 2 x MP ∂ ∂ , ( ) 2 0 2 y MP ∂ ∂ , ( ) − ∂∂ ∂ yx MP 0 2 значения частных производных второго по- рядка функции ( )yxP , в точке 0M . Вычислим эти частные производные: ( ) 2 0 2 x MP ∂ ∂ = ( ) 228 −=′−− xyx ; 74 ( ) 2 0 2 y MP ∂ ∂ = ( ) 2210 −=′−− yyx ; ( ) ( ) 1280 2 −=′−−= ∂∂ ∂ yyхyx MP . Тогда 0314 21 12 >=−= −− −− =∆ и ( )2 0 2 x MP ∂ ∂ = 02 <− , значит, точка ( )4;20M является точкой экстремума функции прибыли ( )yxP , . Это означает, что, если объемы производства товаров пер- вого и второго видов будут равны 2 и 4, соответственно, то прибыль будет максимальной и ее значение ( ) 2816424410280max =−⋅−−⋅+⋅== MPP (у. е.). Решения заданий типа 91–100 Теоретический справочник Нахождение неопределенного интеграла от функции ( )xf – это определение множества функций ( ) cxF + , где ( )xF – первообраз- ная, т.е. ( ) =′ xF ( )xf ; с – произвольная постоянная. Таким образом, ( ) ( )∫ += cxFdxxf . При интегрировании используют свойства неопределенных ин- тегралов и таблицу. Свойства неопределенного интеграла 10. ( ) ( )∫ += cxFxdF 20. ( ) ( )∫ = dxxfdxxfd 75 30. ( ) ( ) 0, ≠=⋅∫ ∫ cdxxfcdxxfc 40. ( ) ( )( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ±=± dxxgdxxfdxxgxf . Таблица основных интегралов Пусть ( )xuu = дифференцируемая функция. 1. ∫ += cudu 2. 1, 1 1 −≠+ + = + ∫ aca uduu a a 3. ∫ += cuu du ln 4. 1,0, ln ≠>+=∫ aaca adua u u 5. ∫ +−= cuudu cossin 6. ∫ += cuudu sincos 7. ∫ += cuu du tg cos2 8. ∫ +−= cuu du ctg sin2 9. ∫ ≠+= + 0,arctg122 aca u aau du 10. ∫ >+= − uac a u ua du ,arcsin 22 11. ∫ ≠+ − = − 0,ln 2 1 22 aau au aau du 12. ∫ ≠+++= + 0,ln 2 2 acauu au du . 76 Решения заданий типа 91–100 Пример 1. Найти неопределенный интеграл ( )∫       −− dxxx 4tg 2 121 3 . Результат проверить дифференцированием. Решение. ( )∫       −− dxxx 4tg 2 121 3 = 04свойство применим = ( )∫ ∫−− xdxdxx 4tg2 121 3 . Найдем каждый интеграл отдельно. ( )∫ − dxx 321 = = ( ) . 2 221 :получимравенство,последнееруяДифференци .21переменнойзаменусделаемаргументы,разные имеюталдифференциифункцияегральнаят.к.подынт dtdxdtdxdtxd tx −=⇒=−⇒=− =− = = =     −⋅∫ 2 3 dtt 03свойство = ∫− dtt32 1 = 2 интеграл табличный = =+⋅− 1 4 42 1 ct xt х 21что учитывая,,переменной прежнейкявозвратимс −= = = ( ) 14218 1 cx +−− . Найдем второй интеграл. ∫∫ === xdxxdx 4tg2 1 3 свойство 4tg 2 1 0 77 . 4 1, 4 4переменнойзаменусделаем аргументы,разныеаладифференции функциильнойподынтеграут.к. dtdxtx tx == ⇒= =⋅= ∫ dtt 4 1tg 2 1 03 свойство = ∫∫ === dtt tdtt cos sin 8 1tg 8 1 dztdtdztdt dztdz,t tt −=⇒=−⇒ ⇒== = sinsin coscosпеременнойзамену сделаемпоэтомурования,дифференци операциейсвязаныcosиsinфункции = ∫ == − 03 свойство 8 1 z dz = =− ∫ z dz 8 1 = 3интеграл табличный =+− 2ln8 1 cz = xttzх 4,cosчтоучитывая,, переменнойисходнойкявозвратимс == = 24cosln8 1 cx +− . Итак, ( ) ( )∫ =−++−−=      −− 21 43 4cosln 8 121 8 14tg 2 121 cxcxdxxx = ссс =− 21 обозначим = ( ) cxx ++−− 4cosln 8 121 8 1 4 . Проверка результата дифференцированием: ( ) ( ) ( ) ( ) =⋅−⋅⋅+−⋅−⋅−= ′       ++−− 44sin 4cos 1 8 12214 8 14cosln 8 121 8 1 34 x x xcxx 78 = ( ) xx 4tg 2 121 3 −− . Верно. Пример 2. Найти неопределенный интеграл ∫ ⋅ dxxx 2cos . Ре- зультат проверить дифференцированием. Решение. ∫ ⋅ dxxx 2cos = 2 2cos1cos формулуиспользуем 2 xx += = ∫ + ⋅ dxxx 2 2cos1 = 03 свойство = = ( )∫ + dxxx 2cos12 1 = ( )∫ + dxxxx 2cos2 1 = 04 свойство = = ∫ ∫ ⋅+ xdxxxdx 2cos2 1 2 1 = 2интеграл табличныйпервый − = = ∫ ⋅+⋅ xdxx x 2cos 2 1 22 1 2 . Найдем ∫ ⋅ xdxx 2cos с помощью формулы интегрирования по частям: ∫ ∫−⋅= vduvuudv , где функции ( )xuu = и ( )xvv = выберем таким образом, чтобы ин- теграл ∫vdu получился табличный. ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ === == == = xxdxxdxv xdxdvxdxdv dxduxu xdxx 2sin 2 122cos 2 12cos 2cos,2cosТогда .,Пусть 2cos = 79 = ∫−⋅ xdxxx 2sin2 12sin 2 1 = ∫ ⋅−⋅ xxdxx 22sin2 1 2 12sin 2 1 = = 5интеграл табличныйи 3свойство 0 = cxxx ++ 2cos 4 12sin 2 1 . Окончательно ∫ +      ++=⋅ cxxxxxdxx 2cos 4 12sin 2 1 2 1 4 1cos 22 = = cxxxx +++ 2cos 8 12sin 4 1 4 1 2 . Проверка результата дифференцированием: ′       +++ cxxxx 2cos 8 12sin 4 1 4 1 2 = ( ) 22sin 8 122cos2sin 4 12 4 1 ⋅−⋅⋅++⋅ xxxxx = = xxxxx 2sin 4 12cos 2 12sin 4 1 2 1 −⋅++ = xxxx 2cos 2 2cos1 ⋅=⋅ + . Верно. Пример 3. Найти интеграл dx xx x ∫ +− 23 3 3 2 . Решение. dx xx x ∫ +− 23 3 3 2 = 03 свойство = ∫ +− dx xx x 23 3 3 2 . 80 Подынтегральная функция 233 2 +− xx x является правильной дро- бью, т.к. степень числителя строго меньше степени знаменателя. Разложим знаменатель на простейшие множители, решив кубиче- ское уравнение 0233 =+− xx . Подстановкой убеждаемся, что х = 1 – корень данного уравнения. Разделим многочлен 233 +− xx на х – 1: 2 1 23 23 −+= − +− xx x xx . Решая квадратное уравнение 022 =−+ xx , находим его корни 11 =x и .22 −=x Тогда ( )( )2122 +−=−+ xxxx , а 233 +− xx = = ( )( )( ) =+−− 211 xxx ( ) ( )21 2 +− xx . Запишем подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей с неизвестными коэффициентами А, В, С: 233 2 +− xx x = ( ) 211 2 + + − + − х С х В х А . Правую часть приведем к общему знаменателю и сравним чис- лители обеих частей: ( )( ) ( ) ( )22 1221 −++++−= хСхВххАх . Придавая переменной х произвольные значения, получим значе- ния коэффициентов А, В, С: при , 3 131:1 =⇒== ВВх при , 9 494:2 =⇒=−= ССх при 9 5220:0 =⇒++−== АСВАх . 81 Таким образом, исходная подынтегральная дробь разложится на сумму: 233 2 +− xx x = ( ) 2 9 4 1 3 1 1 9 5 2 + + − + − ххх . Возвратимся к интегралу: ∫ +− dx xx x 23 3 3 2 = ( )∫ =           + + − + − dx ххх 2 9 4 1 3 1 1 9 5 3 2 00 4и3 свойства = = ( )∫ ∫∫ + + − + − 23 4 113 5 2 x dx x dx x dx = ( ) const аладифференцисвойство −=± cdx,cxd = = ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ + + +−−+ − − − 2 2 3 411 1 1 3 5 2 x xdxdx x xd = 3,1,3 интегралы табличные = = cx x x +++ − −− 2ln 3 4 1 11ln 3 5 . Пример 4. Найти интеграл ∫ − dx x x 41 2 . Решение. Подынтегральная функция является правильной дро- бью. Разложим ее знаменатель на простейшие множители, исполь- зуя формулу разности квадратов: ( )( ) ( )( )( )2224 111111 xxxxxx ++−=+−=− . Тогда подынтегральная функция разложится на сумму простей- ших дробей с неизвестными коэффициентами А, В, С, D: 82 24 2 1111 x DCx x B x A x x + + + + + − = − . Правую часть приведем к общему знаменателю и приравняем числители: ( )( ) ( )( ) ( )( )( )xxDCxxxBxxAx +−+++−+++= 111111 222 . Придавая переменной х произвольные значения, получим значе- ния коэффициентов А, В, С, D: при , 4 141:1 =⇒== AAх при , 4 141:1 =⇒=−= BBх при , 2 1 4 1 4 100:0 −=⇒++=⇒++== DDDBAх при 0 2 36 4 5 4 154365154:2 =⇒+−−=⇒−−−== CCDCBAх . Итак, получим разложение 24 2 1 2 1 1 4 1 1 4 1 1 xxxx x + − + + + − = − . Тогда интеграл примет вид dx xxx dx x x ∫∫           + − + + + − = − 24 2 1 2 1 1 4 1 1 4 1 1 = 00 4и3 свойства = = ∫ ∫ ∫ + − + + − 212 1 14 1 14 1 x dx x dx x dx = ( ) ( ) dxxddxxd =+−=− 1,1 аладифференцисвойство = 83 = ( ) ( )∫ ∫ ∫ + − + + + − − − 212 1 1 1 4 1 1 1 4 1 x dx x xd x xd = 9,3,3 интегралы табличные = = cxxx +−++−− arctg 2 11ln 4 11ln 4 1 . Пример 5. Найти интеграл ∫ + 4 33 xx dx . Интегралы от иррациональных функций находятся с помощью подстановок, позволяющих избавиться от иррациональности. ∫ + 4 33 xx dx = dttdxtddx txtxtx 3 4 4 44 3 4 3 3 ,33замена =⇒= ==⇒= = ∫ + tt dtt 2 3 3 4 = = 03 свойство = dt tt t ∫ +2 3 3 4 = ( )dttt t ∫ +13 4 3 = dt t t ∫ +13 4 2 = = = единицувычтеми добавимчислителев dt t t ∫ + +− 1 11 3 4 2 = ( )( ) dt t tt ∫ + ++− 1 111 3 4 = = ∫       + +− dt t t 1 11 3 4 = 04 свойство = ( )∫ ∫∫ =+ + +− 1 1 3 4 3 4 3 4 t tddttdt = 3,1,2 интегралы табличные = cttt +++−⋅ 1ln 3 4 3 4 23 4 2 = 4 3чтоучитывая, ,переменнойкявозвратимс xt х = = = ( ) cxxx +++− 13ln 3 43 3 43 3 2 44 . 84 Пример 6. Найти интеграл ( )∫ + xx dx sincos1 . Если подынтегральная функция является дробно-рациональной от функций xsin и xcos , то применяют подстановку tx = 2 tg , отку- да xsin = 21 2 t t + , xcos = 2 2 1 1 t t + − , 21 2 t dxdx + = . ( )∫ + xx dx sincos1 = 2 2 2 2 1 2 , 1 1cos, 1 2sin 2 tgзамена t dtdx t tx t tx tx + = + − = + = = = = ( ) ∫ + ⋅        + − ++ 22 2 2 1 2 1 111 2 t t t tt dt = дробиоднойвидевфункцию льнуюподынтегразапишем = ∫ + dt t t 2 1 2 = 03 свойство = ∫ = + dt t t21 2 1 ∫ =      + dtt t 1 2 1 04 свойство = = ∫ ∫+ tdtdtt 2 11 2 1 = 2,3 интегралы табличные = ctt +⋅+ 22 1ln 2 1 2 = = 2 tgчтоучитывая, ,переменнойкявозвратимс xt х = = cxx ++ 2 tg 4 1 2 tgln 2 1 2 . 85 Пример 7. Найти интеграл ∫ ⋅ dxxx 32 cossin . Выделим у функции в нечетной степени в качестве множителя первую степень и внесем полученную функцию под знак диффе- ренциала. ∫ ⋅ dxxx 32 cossin = ∫ ⋅⋅ dxxxx coscossin 22 = ∫ ⋅ xdxx sincossin 22 = = xx xx 22 22 sin1cosто ,1cossinт.к. −= =+ = ( )∫ −⋅ xdxx sinsin1sin 22 = = tx =sin переменнойзамена = ( )∫ =−⋅ dttt 22 1 ( )∫ =− dttt 42 ∫∫ − dttdtt 42 = = 2 интегралы табличные = =+− ctt 53 53 cxx +− 5 sin 3 sin 53 . Решение заданий типа 101–110 Теоретический справочник Если функция ( )xf непрерывна на отрезке [ ]ba, и ( )xF – какая- либо первообразная этой функции, то для вычисления определенно- го интеграла ( )∫ b a dxxf справедлива формула Ньютона–Лейбница (1). ( )∫ b a dxxf = ( )xF b a = ( )bF – ( )aF . (1) Определенный интеграл используется для вычисления площадей плоских фигур, объемов тел, в приложениях физики и техники, при моделировании экономических процессов. 86 Объем q произведенной продукции за промежуток времени от а до b при производительности труда ( )tf вычисляется по формуле (2). q = ( )∫ b a dttf . (2) Потребительский излишек CS при покупке данного товара – превышение общей стоимости, которую потребитель готов упла- тить за все единицы товара, над его реальными расходами на их приобретение, вычисляется по формуле (3). CS = ( )∫ ⋅− * 0 ** Q QPdQQf , (3) где Q – количество товара; Р – цена единицы товара; ( )Qf – функция спроса; ( )**;QP – точка равновесия (состояние рыночного равновесия характеризуют такие цены и количество, при которых объем спроса совпадает с величиной предложения). Решение задания типа 101–105 Сменная производительность труда рабочего описывается функ- цией ( )tf = 23 22,0 tt +− , где t – время в часах, 70 ≤≤ t . Определить объем выпуска продук- ции в течение 22 рабочих дней бригадой, состоящей из 10 человек. Решение. Воспользуемся формулой (2). Тогда количество про- дукции, произведенной одним рабочим за 7 часов, ( )∫ =+−= 7 0 23 1 1формула22,0 dtttq = 7 0 34 3 2 4 2,0         ⋅+⋅− tt = 87 = ≈⋅+⋅− 3 72 4 72,0 34 108,6 (усл. ед.). Объем продукции, выпущенной в течении 22 рабочих дней бри- гадой из 10 человек, 238922206,10810221 =⋅≈⋅⋅= qq (усл. ед.) Ответ: 23892 (усл. ед.). Решение задания типа 106–110 Известно, что спрос на некоторый товар описывается функцией т p q 3 8000 = , а предложение данного товара характеризуется функ- цией pq 500= . Найти величину излишка потребителя при покупке данного товара. Решение. Для расчета излишка потребителя сначала определим параметры рыночного равновесия ( )**,qp . Для этого решим систе- му уравнений      = = pq p q 500 8000 3 . Разделим второе уравнение на первое     = = ⇒=⇒= ⋅ 1000 2 161 8000 500 * * 4 3 q p ppp . Запишем формулу для вычисления потребительского излиш- ка (3), где ( )qf – функция, обратная функции 3 8000 p q = , т.е. 88 ( ) 3 1 3 208000 − == q q qf . Тогда ∫ =⋅−= −1000 0 3 1 1000220 dqqCS 2000 3 2 20 1000 0 3 2 − ⋅ q = 2000100030 3 2 −⋅ = 100020003000 =− . Ответ: 1000 (у. е.). Решение заданий типа 111–120 Теоретический справочник Дифференциальным уравнением I-го порядка называется урав- нение, связывающее независимую переменную х, искомую функ- цию ( )xyy = и ее производную ( )xyy ′=′ , т.е. уравнение вида ( ) 0,, =′yyxF или ( )yxfy ,=′ . Общим решением дифференциального уравнения называется та- кая функция ( )cxy ,ϕ= , const−c , определенная и непрерывно дифференцируемая в интервале ( )ba, , которая обращает данное уравнение в тождество, т.е. ( ) ( )( ) 0,,,, ≡ϕ′ϕ cxcxxF . Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего при конкретном значении произ- вольной постоянной с, которую можно определить из условия ( ) 00 yxy = , называемое начальным условием. 89 Чтобы решить дифференциальное уравнение I порядка, нужно определить его вид, найти его общее решение, а затем частное ре- шение. Пример 1. Найти частное решение дифференциального уравне- ния I порядка ( ) ydxdyxxy =− , удовлетворяющее начальному условию ( ) 11 =y . Решение. Преобразуем исходное уравнение, разделив обе его ча- сти на dx : ( ) y dx dyxxy =− или ( ) yyxxy =′− . Затем разделим обе части уравнения на 0≠− xxy : xxy yy − =′ . Разделив правую часть уравнения (и числитель, и знаменатель) на 0≠x , получим − − =′ 1x y x y y однородное дифференциальное уравнение I порядка, т.к. оно имеет вид      =′ x yfy . Сделаем замену переменной: uxuyxuyu x y ′+=′== ,, . Тогда исходное уравне- ние примет вид 1− =′+ u uuxu или u u uux − − =′ 1 или 1 2 − − = u uuu dx dux . Пользуясь свойством пропорции, соберем возле дифференциалов соответствующие переменные: x dxdu uuu u = − − 2 1 90 и проинтегрируем полученное равенство: ∫ ∫= − − x dxdu uuu u 2 1 . Найдем интеграл, стоящий слева: ∫ = === = − − tdtdututu du uuu u 2,, переменнойзамена 2 1 2 ∫ ⋅− − tdt tt t 2 2 1 32 = = ( )( )∫ − ⋅− dt ttt tt 22 21 = ( )∫ − − − dt tt t 22 12 = ( )∫ − − − 2 2 2 2 tt ttd = = 11 2 2ln2ln cuuctt +−−=+−− . Найдем интеграл, стоящий справа: ∫ += 2ln cxx dx . Следователь- но, 21 ln2ln cxcuu +=+−− , или, возвращаясь к прежним пере- менным и обозначая ссс =− 12 , получим cxx y x y +=−− ln2ln . Преобразуем последнее равенство, используя свойство логарифма baba ⋅=+ lnlnln , и получим общее решение 02ln =+− cyxy . Подставив в последнее соотношение начальное условие 1,1 == yx , найдем конкретное значение произвольной постоянной: 0112ln =+− c или 0=с . Тогда частное решение примет вид 02ln =− yxy или 12 =− yxy . Ответ: 12 =− yxy . 91 Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравне- ния I порядка ( ) ( )121 2 −=+′− xxyyxx , удовлетворяющее началь- ному условию ( ) 42 =y . Решение. Разделим обе части уравнения на ( ) 01 ≠−⋅ xx : ( ) ( ) ( )1 12 1 2 − − = − +′ xx xx xx yy или ( ) ( ) ( )1 12 1 − − = − +′ x xx xx yy . Данное уравнение является линейным, т.к. имеет вид ( ) ( )xQyxPy =⋅+′ и решается заменой vuy ⋅= , где ( ) ( )−== xvvxuu , неизвестные функции; vuvuy ′+⋅′=′ . Подставляя выражения для yy ′и в исходное уравнение, по- лучим ( ) ( ) 1 12 1 1 − − =⋅⋅ − +′+′ x xxvu xx vuvu . Сгруппируем слагаемые, содержащие функцию u : ( ) ( ) 1 12 1 1 − − =      ⋅ − +′+′ x xxv xx vuvu . В качестве функции v выбирают одну из функций, удовлетворяю- щих уравнению ( ) 01 1 =⋅ − +′ v xx v или ( )1−−= xx v dx dv . Интегрируем последнее соотношение, разделяя переменные: ( )∫ ∫ −−= 1xx dx v dv или ∫       − −= dx xx v 1 11ln , 1lnlnln −−= xxv , 92 1 lnln − = x xv , 1− = x xv . Тогда функция u определится из уравнения ( ) 1 12 − − =′ x xxvu . Под- ставляя найденную функцию ( )xvv = , получим ( ) 1 12 1 − − = − ⋅′ x xx x xu или 12 −= x dx du или ( )dxxdu 12 −= . Интегрируя последнее уравне- ние, найдем функцию ( )xuu = : cxxu +−= 2 . Итак, общее решение имеет вид vuy ⋅= или ( ) 1 2 − ⋅+−= x xcxxy . Подставляя начальные данные 4,2 == yx , получаем уравнение ( ) , 1 2244 ⋅+−= c откуда 0=c . Частное решение имеет вид 2xy = . Решение заданий типа 121–130 Теоретический справочник Линейным неоднородным дифференциальным уравнением II порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида: ( )xfyqypy =⋅+′⋅+′′ , где p и q – некоторые числа, ( ) 0≠xf – заданная функция. Общее решение данного уравнения представляет собой сумму общего решения 0y соответствующего однородного уравнения ( )0=⋅+′⋅+′′ yqypy и частного решения *y данного не- однородного уравнения. Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения II порядка xexyyy ⋅=−′+′′ 1254 . 93 Решение. Общее решение исходного уравнения имеет вид * 0 yyy += . Запишем соответствующее однородное уравнение 054 =−′+′′ yyy и составим для него характеристическое уравнение: для этого заменим y ′′ на 2λ ; y′ на λ , у на 10 =λ . Получим квадрат- ное уравнение 0542 =−λ+λ с корнями    − = +±− =λ .5 1 2 20164 2,1 Т.к. корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение 0y однородного уравнения будет xx ececy 21 210 λλ += или для нашего примера xx ececy 5210 −+= , где 1c и 2c – произвольные постоянные. Частное решение неоднородного уравнения *y будем искать в том же виде, какова правая часть, но с неопределенными коэффи- циентами, и с учетом кратности корней характеристического урав- нения, а именно, ( ) sx xeBAxy ⋅+= α* . В нашем случае 1=α являет- ся однократным корнем характеристического уравнения, поэтому 1=s . Таким образом, ( ) xeBAxy x ⋅+=* . Определим неизвестные коэффициенты А и В. Для этого найдем ( )′*y и ( )″*y : ( )′*y = ( )( ) ( ) ( ) xxx eBxAxeBAxeBxAx +++=′+ 22 2 = ( ) xeBBxAxAx +++ 22 , ( )″*y = ( ) +++ xeBAAx 22 ( ) xeBBxAxAx +++ 22 , и подставим значения *y , ( )′*y и ( )″*y в исходное уравнение: ( ) ( ) −++++++++++ xx eBBxAxAxeBBxAxAxBAAx 24222 22 ( ) xeBxAx +− 25 = xxe12 . 94 Сократим обе части равенства на 0≠xe и приведем подобные сла- гаемые: xAxBA 121262 =++ . Сравним коэффициенты при одина- ковых степенях х: при х: 12А = 12; при 062:0 =+ BAx . Получим систему уравнений для нахождения неизвестных коэф- фициентов А и В:    =+ = .062 1212 BA A Откуда . 3 1 ,1 −= = B A Итак, xexy x ⋅      −= 3 1* или . 3 2* xexxy       −= Окончательно, об- щее решение уравнения имеет вид xxx exxececy       −++= − 3 25 21 . Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения II порядка xxyyy cos32 ⋅=+′+′′ . Решение. Общее решение исходного уравнения имеет вид * 00 yyy += . Запишем соответствующее однородное уравнение 02 =+′+′′ yyy . Составим характеристическое уравнение 0122 =+λ+λ . Его корни 12,1 −=λ . Т.к. корни характеристического уравнения действительные и кратные, то общее решение 0y одно- родного уравнения будет ( ) xexccy λ+= 210 или в нашем случае ( ) xexccy −+= 210 , где 1c и −2c произвольные постоянные. Частное решение *y будем искать в том же виде, какова правая часть ( )xf , но с неопределенными коэффициентами DCBA ,,, : ( ) ( ) xDCxxBAxy sincos* +++= . 95 Найдем ( )′*y и ( )″*y : ( )′*y = ( ) ( ) xDCxxCxBAxxA cossinsincos ++++− = = ( ) ( ) xBAxCxDCxA sincos −−+++ . ( )″*y = ( ) ( ) xBAxCxAxDCxAxC cossinsincos −−+−++− = = ( ) ( ) xDCxAxBAxC sin2cos2 ++−−− . Подставим *y , ( )′*y и ( )″*y в исходное уравнение и, приведя по- добные слагаемые, получим: ( ) ( ) xxxAxBCAxСxDAС cos3sin2222cos2222 =−−+−++++ . Сравним коэффициенты при xsin и xcos :    =−−+− =+++ 02222 32222 AxBCA xCxDAC . Сравним коэффициенты при одинаковых степенях переменной х; получим систему        =−+− =− =++ = 0222 02 0222 32 BCA A DAС С . Следовательно, 2 3,2 3,2 3,0 −==== DBCA . Тогда xxxy sin 2 3 2 3 сos 2 3*       −+= . Окончательно, общее решение уравнения примет вид: ( ) xxxexccy x sin 2 3 2 3cos 2 3 21       −+++= − . 96 МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 3 Решение заданий типа 131–140 Пример 1. Исследовать на сходимость числовой ряд ∑ ∞ =         + + 1 2 12 54arctg n n n n . Решение. Данный числовой ряд является знакоположительным рядом, следовательно, для его исследования на сходимость можно применить радикальный признак Коши. Согласно этому признаку, если для ряда 1lim,0, 1 <>∑ ∞ = ∞→n n nnnn uuu , то ряд ∑ ∞ =1n nu сходится, если же 1lim > ∞→ n nn u , то ряд ∑ ∞ =1n nu расходится. В нашем примере nu = n n n         + + 12 54arctg 2 . Применяя радикальный признак Коши, n n n n n         + + ∞→ 12 54arctglim 2 = 12 54arctglim 2 + + ∞→ n n n = = nнаразделим ьзнаменателичислитель аарктангенсзнакомпод = n n n 12 54 arctglim 2 + + ∞→ = = получим,01lim ,05limчтоучитывая, 2 = = ∞→ ∞→ n n n n == 4 1arctg π= . 97 Очевидно, что 1 4 < π , следовательно, данный ряд является схо- дящимся. Пример 2. Исследовать на сходимость числовой ряд ∑ ∞ = + ⋅+ 1 73 512 n n n n . Решение. Данный числовой ряд является знакоположительным рядом, поэтому для его исследования на сходимость можно приме- нить признак Даламбера. По признаку Даламбера, если для ряда 1lim,0, 1 1 <>∑ ∞ = + ∞→n n n nnn u uuu , то ряд ∑ ∞ =1n nu сходится, если же 1lim 1 >+ ∞→ n n n u u , то ряд ∑ ∞ =1n nu расходится. Здесь 1+nu – член ряда с но- мером ( )1+n получается из формулы nu , заменой n на ( )1+n . В нашем примере 73 512 + ⋅+ = n nu n n , тогда ( ) ( ) 713 5112 1 1 ++ ⋅++ = + + n nu n n = 103 5532 + ⋅⋅+ n n n . Вычислим n n n u u 1lim + ∞→ = 103 5532lim + ⋅⋅+ ∞→ n n n n 73 512 + ⋅+ ÷ n n n = = ( ) ( ) n n n nn nn 512103 735532lim ⋅+⋅+ +⋅⋅+ ∞→ = n5насократим = = + + ⋅ + +⋅ ∞→ 103 73 12 325lim n n n n n = 103 73lim 12 32lim5 + + ⋅ + + ⋅ ∞→∞→ n n n n nn = n n n n nn 103 73 lim12 32 lim5 + + ⋅ + + ⋅ ∞→∞→ = 98 = 01lim,03lim ,010lim,07lim == == ∞→∞→ ∞→∞→ nn nn nn nn = 5. Очевидно, что 5 > 1, значит, данный ряд является расходящимся. Решение заданий типа 141–150 Найти область сходимости степенного ряда ( ) ∑ ∞ = +⋅+ + 1 1245 3 n n n n x . Решение. Данный ряд является обобщенным степенным рядом вида ( )n n n axa −∑ ∞ =0 , где коэффициент 1245 1 +⋅+ = nn n a , 3−=a . Областью сходимости степенного ряда ( )n n n axa −∑ ∞ =0 с точностью до границ, является интервал с центром в точке ax = и радиусом ( )RaRaR +− ;: , где R – радиус сходимости степенного ряда определяется по формуле 1 lim +∞→ = n n n a aR . Сходимость ряда ( )n n n axa −∑ ∞ =0 на концах интервала при Rax −= и Rax += необхо- димо исследовать отдельно. В нашем примере 0 245 1 1 >⋅+ = +nn n a , тогда ( ) 0 295 1 2415 1 221 >⋅+ = ⋅++ = +++ nnn nn a . Вычислим радиус сходимости 99 1 lim +∞→ = n n n a aR = 21 295 1: 245 1lim ++∞→ ⋅+⋅+ nnn nn = = 1 2 245 295lim + + ∞→ ⋅+ ⋅+ n n n n n = 45 95lim2 + + ∞→ n n n = n n n 45 95 lim2 + + ∞→ = 2 04lim ,09lim = = = ∞→ ∞→ n n n n . Тогда интервал сходимости имеет вид ( )23;23 +−−− или ( )1;5 −− . Исследуем сходимость степенного ряда на концах интервала. Пусть 5−=x , тогда подставив это значение в степенной ряд, полу- чим числовой ряд ( ) ∑ ∞ = +⋅+ − 1 1245 2 n n n n или, преобразовав его, имеем ряд ( ) ∑ ∞ = +⋅ − 1 452 1 n n n . Мы получили числовой знакочередующийся ряд, который исследуется признаком Лейбница. Согласно признаку Лейбница, если в знакочередующемся ряде выполняются два условия: 1) члены ряда с возрастанием номера n , убывают по абсолютной величине; 2) предел абсолютной величины общего члена ряда равен нулю при ∞→n , то такой ряд является сходящимся. Проверим выполнимость условий Лейбница в нашем примере: 1) 92 1 1 =u , 132 1 2 =u , 172 1 3 =u , 212 1 4 =u , …, 452 1 + = n un , 952 1 1 + =+ n un , … Очевидно, что члены ряда по абсолютной величине убывают: 92 1 > 132 1 > 172 1 > 212 1 > …> 452 1 +n > 952 1 +n > … 100 2) 0 452 1limlim = + = ∞→∞→ n u nnn . Оба условия признака Лейбница выполняется, следовательно, при 1−=x степенной ряд ( )∑ ∞ = +⋅+ + 1 1245 3 n n n n x сходится. Пусть 1−=x , тогда данный степенной ряд станет числовым зна- коположительным рядом ∑∑ ∞ = + ∞ = ⋅+ = 1 1 1 245 2 n n n n n n u = ∑ ∞ = +1 452 1 n n . К исследованию этого ряда на сходимость применим признак сравнения с рядом Дирихле ∑ ∞ = α 1 1 n n , который сходится, если 1>α и расходится если 1≤α . Для нашего примера используем ряд ∑ ∞ =1n nv = ∑ ∞ =1 1 n n , здесь 1 2 1 <=α , значит, данный ряд расходится. Сравнение выполним посредством вычисления предела n n n v u ∞→ lim = nnn 1: 452 1lim +∞→ = 452 lim +∞→ n n n = n n 45 1 2 1lim +∞→ = 04lim = ∞→ nn = 52 1 , так как предел получился отличным от 0 и ∞ , значит, исследуемый ряд ∑ ∞ =1n nu ведет себя так же, как и тот ряд, с которым проводилось сравнение ∑ ∞ =1n nv , т.е. в нашем случае ∑ ∞ = +1 452 1 n n расходится, а это означает, что при 1−=x степенной ряд ( ) ∑ ∞ = ⋅+ + 1 245 3 n n n n x расходится. Итак, область сходимости данного степенного ряда: [ )1;5 −−∈x . 101 Решение задания типа 151–160 Производится залп из трех орудий. Вероятность попадания в цель первым орудием равна 0,9, вторым – 0,85, третьим – 0,95. Ка- кова вероятность 1) хотя бы одного попадания в цель; 2) ровно двух попаданий. Решение. Обозначим события Ai = {попадание i-м орудием в цель}, i = 1, 2, 3. Из условия задачи вероятности этих событий ( ) ( ) ( ) 95,0;85,0;9,0 121 === APAPAP . Соответственно, вероятно- сти противоположных событий ( ) ( ) 1,09,011 11 =−=−= APAP ; ( ) ( ) 15,085,011 22 =−=−= APAP ; ( ) ( ) 05,095,011 33 =−=−= APAP . 1) Требуется найти вероятность события A = {хотя бы одно попадание в цель}. Противоположное событие { } 321цельвпопаданияодногонинет АААA ⋅⋅== . Так как события 321 ,, ААА независимы, то применима теорема умножения вероятностей: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 00075,005,015,01,0321321 =⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅= АРАРАРАААРАР . Известно, что ( ) ( ) 1=+ АРАР . Отсюда ( ) ( ) 99925,000075,011 =−=−= АРАР . 2) Событие { }цельвпопаданиядваровнопроизошло=В в ал- гебре событий с помощью событий 321 ,, ААА можно записать как 321321321 АААААААААВ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= . Так как события iА и ,iА i = 1, 2, 3 независимы и несовместны, то по теоремам сложения и умножения вероятностей получим: ( ) ( )=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= 321321321 АААААААААРВР = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )321321321 АРАРАРАРАРАРАРАРАР ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ = 247,095,085,01,095,015,09,005,085,09,0 =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ . 102 Решение задания типа 161–170 В продажу поступило 40 % телевизоров с первого завода, 50 % – со второго, 10 % – с третьего. Вероятность того, что телевизор, из- готовленный на первом заводе, имеет дефект, равна 0,1. Для телеви- зоров, изготовленных на втором и третьем заводах, эти вероятности соответственно равны 0,15 и 0,2. 1) Какова вероятность приобрести исправный телевизор? 2) Приобретен исправный телевизор. Найти вероятность того, что он поступил с первого завода. Решение. 1) Пусть событие А = {случайно купленный телевизор оказался исправным}. Это событие может произойти с одной из следующих гипотез: Н1 = {телевизор выпущен первым заводом}, Н2 = {телеви- зор выпущен вторым заводом}, Н3 = {телевизор выпущен третьим заводом}. Из условия задачи вероятности гипотез ( ) 4,0 100 40 1 ==НР ; ( ) 5,0 100 50 2 ==НР ; ( ) 1,0100 10 3 ==НР . При этом должно выполняться равенство ( ) ( ) ( ) 1321 =++ НРНРНР , что действительно так: 0,4 + 0,5 + 0,1 = 1. Вычислим условные вероятности: ( ) 9,01,01 заводомым1изготовленонесли ,телевизораисправногопокупкиьвероятност 1 =−=       − =АРН . Аналогично ( ) 85,015,01 2 =−=АРН и ( ) 8,02,013 =−=АРН . Ве- роятность того, что наудачу купленный телевизор без дефекта, по формуле полной вероятности ( )AP = ( )⋅1НР ( )АРН1 + ( )⋅2НР ( )АРН2 + ( )⋅3НР ( )АРН 3 = = 865,08,01,085,05,09,04,0 =⋅+⋅+⋅ . 2) Пересчитаем вероятность гипотезы Н1 = {телевизор выпущен первым заводом}, если известно, что событие A = {случайно куп- 103 ленный телевизор оказался исправным} произошло, т.е. найдем условную вероятность ( )1НРA . По формуле Байеса ( )1НРA = ( ) ( ) ( ) 416,0865,0 9,04,011 =⋅= ⋅ AP APHP H . Решение задания типа 171–180 Непрерывная СВ Х задана функцией распределения ( )xF = ( )      > ≤<+− ≤ .2,1 20,33 ,0,0 23 x xxxxA x . Найти: 1) коэффициент А; 2) плотность распределения вероятностей ( )xf ; 3) математическое ожидание СВ Х; 4) вероятность события ( )2,1∈X . Решение 1. Из непрерывности функции распределения ( )xF и свойства ( ) 1lim = +∞→ xF x следует, что ( ) ( ) 122343833lim 23 2 ≡=⋅+⋅−=+− → AAxxxA x . Откуда 2 1 =A . 2. Плотность распределения вероятностей ( )xf найдем из фор- мулы ( )xf = ( )xF ′ : ( )xf = ( )       > ≤<+− ≤ .2,0 ,20,363 2 1 ,0,0 2 x xxx x 104 3. Математическое ожидание ( )XM непрерывной СВ определя- ется формулой ( )XM = ( )∫ ∞ ∞− ⋅ dxxfx . Так как функция ( )xf задана тремя различными выражениями на трех интервалах, то несоб- ственный интеграл разобьется на сумму трех интегралов: ( )XM = ∫ ∞− ⋅ 0 0 dxx + ( )∫ +−⋅ 2 0 2 363 2 1 dxxxx + ∫ +∞ ⋅ 2 0 dxx = = ( )dxxxx∫ +− 2 0 23 363 2 1 = 0 2234 2 3 3 6 4 3 2 1         +− xxx = = 14 2 38216 4 3 2 1 =      ⋅+⋅−⋅ . 4. Вероятность события ( )2;1∈X найдем по формуле ( ) ( ) ( )aFbFbXaP −=<< . В нашем случае 2;1 == ba и поэтому ( ) ( ) ( ) 2 1331 2 123232 2 121 23 =+−−⋅+⋅−=<< XP . Решение задания типа 181–190 Зависимость выпуска валовой продукции (с.в. Y) от стоимости основных фондов (с.в. Х) 50 предприятий представлена корреляци- онной таблицей X Y 0,3 0,9 1,5 2,1 2,7 mi 0,6 1 1 1,8 2 5 7 3,0 1 6 8 5 20 4,2 9 8 17 5,4 2 3 5 mj 4 11 17 15 3 n = 50 105 В первом столбце таблицы указаны наблюдаемые значения с.в. Х (xi), в последнем столбце – соответствующие частоты наблю- даемых значений (mi). В первой строке таблицы указаны наблюдае- мые значения с.в. Y (yj), в последней строке – соответствующие ча- стоты (mj) появление этих значений. На пересечении строк и столб- цов таблицы указаны частоты (mij) появления пары (xi,yj). Требуется: 1. Найти уравнение прямой линии регрессии Y на Х. 2. Найти уравнение прямой линии регрессии Х на Y. 3. Построить графики полученных прямых. 4. Оценить тесноту корреляционной связи, используя выбороч- ный коэффициент корреляции. Решение. 1. Эмпирическую линейную функцию регрессии Y на Х ищем в виде bxayx += . Используя метод наименьших квадратов, получим расчетные формулы для определения неизвестных параметров а и b, а именно, систему двух уравнений с двумя неизвестными:     ⋅=+ =+ ,2 yxxbxa yxba где выборочные средние 2,, xyx и yx ⋅ вычисляются по формулам: ∑ = ⋅= k i ii xmn x 1 1 ; ∑ = ⋅= l j jj ymn y 1 1 ; ∑ = ⋅= k i ii xmn x 1 22 1 ; j k i i l j ij yxmn yx ⋅⋅=⋅ ∑ ∑ = =1 1 1 . 106 В нашем случае ( ) 432,354,5172,4200,378,116,0 50 1 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=x ; ( ) 524,137,2151,2175,1119,043,0 50 1 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=y ; ( ) 9744,1254,5172,4200,378,116,0 50 1 222222 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=x ; ( +⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅ 69,00,313,00,359,08,123,08,113,06,0 50 1yx ) =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+ 37,24,521,24,581,22,495,12,451,20,385,10,3 = 5,7528. Подставив данные значения в систему уравнений, получим    =⋅+⋅ =⋅+ 7528,59744,12432,3 524,1432,3 ba ba . Решая систему, получим оценки параметров 0246,0=a и 4369,0=b . Окончательный вид уравнения регрессии Y на Х: xyx 4369,00246,0 += . 2. Уравнение прямой линии регрессии Х на Y ищем в виде dycxy += , где числовые параметры с и d найдем из системы     ⋅=+ =+ yxydyc xydс 2 . Выборочное среднее 2y вычислим по формуле 2y = ∑ = l j jj ymn 1 21 , а именно 107 2y = ( ) 7108,237,2151,2175,1119,043,0 50 1 22222 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ . Подставив значения 2,, xyx и yx ⋅ в систему, получим:    =⋅+⋅ =⋅+ 7528,57108,2524,1 432,3524,1 dc dс . Откуда 3812,1=c и 3457,1=d . Окончательный вид уравнения регрессии Х на Y: yxy 3457,13812,1 += . 3. Построим графики найденных прямых регрессий. 4. Определим выборочный коэффициент корреляции Br по фор- муле yx B yxyxr σ⋅σ ⋅−⋅ = , 108 где выборочные средние квадратические отклонения xσ и yσ вы- числяются по формулам xσ = 22 xx − , yσ = 22 yy − . В нашем случае xσ = ( ) 0949,1432,39774,12 2 =− , yσ = ( ) 6231,0524,17108,2 2 =− . Тогда 7658,0 6231,00949,1 524,1432,37528,5 = ⋅ ⋅− =Br . На практике теснота корреляционной связи оценивается по зна- чению коэффициента Br следующим образом: Br −< 1,0 пренебрежимо малая; ≤1,0 Br −< 3,0 слабая; ≤3,0 Br −< 7,0 существенная; ≤7,0 Br −< 9,0 большая; Br −≥ 9,0 очень большая, близкая к функциональной. Так как в нашем случае Br = 7,07658,0 > , то теснота связи между случайными величинами Х и Y большая. 109 Учебное издание МАТЕМАТИКА Программные вопросы, контрольные задания и методические указания для студентов-заочников строительных специальностей экономического профиля С о с т а в и т е л и : ГУРИНА Татьяна Николаевна МОРОЗ Ольга Александровна ЯБЛОНСКАЯ Людмила Алексеевна Технический редактор Д.А. Исаев Компьютерная верстка Д.А. Исаева Подписано в печать 25.08.2011. Формат 60×84 1/16. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 6,33 . Уч.-изд. л. 4,95. Тираж 100. Заказ 642. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Проспект Независимости, 65. 220013, Минск.