33 п й 3S&3> Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Экономика и организация машиностроительного производства» В.И. Похабов Н.Д. Попова ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ. ПРАКТИКУМ Пособие для студентов экономических специальностей Ч а с т ь 2 М и н с к 2 0 0 9 Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Экономика и организация машиностроительного производства» В.И. Похабов Н.Д. Попова ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ. ПРАКТИКУМ Пособие для студентов экономических специальностей В 2 частях Ч а с т ь 2 М и н с к 2 0 0 9 УДК 3304+5-(075.8) • • Б Б Ш Ш Ж — П 64 Рецензенты: С.В. Глубокий, А.Л. Ивашутин Похабов, В.И. П 64 Экономико-математические методы и модели. Практикум: посо­ бие для студентов экономических специальностей: в 2 ч. / В.И. По­ хабов, Н.Д. Попова. - Минск: БИТУ, 2009. - Ч. 2. - 95 с. ISBN 978-985-525-143-0 (Ч. 2). В данном пособии рассматриваются методы решения экономиче­ ских задач в соответствии с программой дисциплины «Экономико­ математические методы и модели» для студентов экономических спе­ циальностей вузов. Цель пособия - помочь студентам глубже овладеть теорией, мето­ дами количественного анализа, научить их использовать различные приемы и методы моделирования в сфере экономики и управления на предприятии. В результате изучения данного курса студент должен овладеть математическим инструментарием при решении экономических за­ дач, научиться формализовать ситуацию и описывать ее с помощью математической модели, проводить расчеты и получать количествен­ ные результаты, уметь анализировать их и делать выводы, адекватные поставленной цели. Задачи, приведенные по каждой теме, могут быть решены с ис­ пользованием компьютерных технологий. Часть 1 настоящего пособия «Экономико-математические методы и модели. Практикум», авторы В.И. Похабов, Д.Г. Антипенко, М.Н. Гри- невич, вышла в свет в БИТУ в 2003 году. УДК 330.115 (075.8) ББК 4.в641.0я7 ISBN 978-985-525-143-0 (4.2) © Похабов В.И, Попова Н .Д , 2009 ISBN 978-985-525-222-2 © БИТУ, 2009 СОДЕРЖАНИЕ Введение................................................................................................... 4 1. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ПРЕДМЕТ, ЗАДАЧИ............................................................................................. 5 2. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВОМ....................................................................... 9 2.1. Основные понятия сетевого планирования и управления............................................................................. 9 2.2. Оптимизация проекта во времени....................................... 17 2.3. Оптимизация проекта по ресурсам.................................... 21 3. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ......................................................................... 28 4. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ.................................... 45 4.1. Основные понятия управления запасами.......................... 45 4.2. Статические детерминированные модели без дефицита............................................................................. 46 4.3. Статические детерминированные модели с дефицитом............................................................................. 52 4.4. ABC-анализ............................................................................. 60 5. МОДЕЛИ ТЕОРИИ ИГР............................................................... 67 6. МОДЕЛИРОВАНИЕ РИСКОВЫХ СИТУАЦИЙ........................ 77 Литература............................................................................................... 88 Приложения............................................................................................. 89 3 ВВЕДЕНИЕ У довлетворен ие растущ их запросов общ ества сопровож дается непреры вны м обновлением продукции и прои зводственны х фондов, углублением процессов специализации и кооперирования произ­ водства, ин тен си ф и каци ей эн ергетических и м атериальны х потоков, циркулирую щ и х в м аш иностроительном производстве. Составными частями производства и сбыта продукции являются комплексное исследование рынка, формирование спроса и стиму­ лирование сбыта, программно-целевой подход к управлению науч- но-исследовательскими и опытно-конструкторскими работами. Ус­ пех в реализации продукции, устойчивое финансовое положение сопутствуют предприятиям, использующим принципы и методы современного маркетинга, которому в рыночной экономике отво­ дится ведущая роль. В результате усложняется управление производством и распре­ делением материальных благ, растут потоки перерабатываемой ин­ формации, повышаются требования к качеству принимаемых реше­ ний. Все это стимулирует разработку и использование на всех уровнях управления народным хозяйством методов принятия реше­ ний на основе использования математических методов и моделей. В этих условиях от инженеров-экономистов и организаторов производства требуется уже не только владение экономическим анализом производственных ситуаций, но и умение использовать и интерпретировать математическую модель, выбрать метод и инст­ рументальные средства моделирования, дать экономическую оцен­ ку результатам оптимизации. Цель данного пособия - изложить в доступной форме задачи, методологические принципы и рабочие приемы дисциплины «Эко­ номико-математические методы и модели» в соответствии с про­ граммой курса для оптимизации задач планирования, организации и управления производством. Подробно раскрыты сетевое планиро­ вание и управление, теория массового обслуживания, управления запасами и теория игр. Даны методики и конкретные примеры ре­ шения задач как вручную, так и с использованием ЭВМ. 4 1. ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ: ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ПРЕДМЕТ, ЗАДАЧИ Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интере­ сующий его объект. Процесс моделирования включает три элемента; 1) субъект (исследователь); 2) объект исследования; 3) модель, описывающую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта. Сложность системы определяется количеством входящих в нее элементов, связями между этими элементами, а также взаимоотно­ шениями между системой и средой. Экономика страны обладает всеми признаками очень сложной системы. Она объединяет огром­ ное число элементов, отличается многообразием внутренних связей и связей с другими системами (природная среда, экономика других стран и т.д.). В народном хозяйстве взаимодействуют природные, технологические, социальные процессы, объективные и субъектив­ ные факторы. Сложность экономики иногда рассматривалась как обоснование невозможности ее моделирования, изучения средствами математи­ ки. Однако моделировать можно объект любой природы и любой сложности. И как раз сложные объекты представляют наибольший интерес для моделирования. Именно здесь моделирование может дать результаты, которые нельзя получить другими способами ис­ следования. Потенциальная возможность математического моделирования любых экономических объектов и процессов не означает, разумеет­ ся, ее успешной осуществимости при данном уровне экономических и математических знаний, имеющейся конкретной информации и вычислительной технике. И хотя нельзя указать абсолютные грани­ цы математической формализуемости экономических проблем, все­ гда будут существовать еще неформализованные проблемы, а также 5 ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффек­ тивно. Математические модели экономических процессов и явлений более кратко можно назвать экономико-математическими моделя­ ми. Для классификации этих моделей используются разные основания. 1. Целевое назначение; Теоретико-аналитические модели используются при изучении общих свойств и закономерностей экономических процессов, приме­ няются для доказательства экономических гипотез, имеют высокий уровень абстракции и используют обобщенную экономическую ин­ формацию, зачастую отсутствующую в отчетности. Прикладные модели позволяют дать количественное решение оп­ ределённых экономических задач, поэтому ориентированы на изу­ чение конкретного экономического объекта, его динамики и взаимо­ связей. Основное назначение прикладных моделей при принятии управленческих решений состоит в создании инструментального средства принятия решений. 2. Период прогнозирования: Краткосрочные модели с период прогнозирования до 1 года. Среднесрочные модели с период прогнозирования до 5 лет. Долгосрочные модели с период прогнозирования свыше 5 лет. 3. Возможность учета фактора неопределенности экономического процесса; Детерминированные модели — входные и выходные параметры задаются однозначно. В стохастической модели параметры модели, условия функцио­ нирования и характеристики объекта выражены случайными вели­ чинами и связаны стохастическими зависимостями, либо исходная информация также представлена случайными величинами. 4. Возможность учета временных изменений: Динамические модели — это модель, описывающая экономику в развитии. Как правило, в ней имеется переменная, обеспечиваю щ ая связь последующего и предыдущего периодов, например инвести­ ции в основной капитал рассматриваются как функция прироста производства за период [t-l,t]. Статические модели — экономико-математическая модель, в которой все зависимости отнесены к одному моменту времени. Ста­ 6 тические модели разрабатываются лишь для отдельно взятых перио­ дов, в данном случае для t-1 или t, а развитие экономического про­ цесса отображается рассчитанными показателями для периодов t-1 nt 5. Степень агрегирования объектов моделирования: Макроэкономические модели отражают функционирование эко­ номики как единого целого. Микроэкономические модели связаны с такими звеньями эконо­ мики, как предприятия и фирмы. 6. Тип подхода к изучаемым социально-экономическим системам: Дескриптивные модели (балансовые, имитационные, экономет­ рические) предназначены для описания и объяснения фактически наблюдаемых явлений или для прогноза этих явлений. Нормативные модели (все оптимизационные модели) устанавли­ вают не то, каким образом устроена и развивается экономическая система, а как она должна быть устроена и как должна действовать при определенных критериях. 7. Тип информации, используемой в модели: Аналитические - модели, построенные на априорной информации. Идентифицируемые - модели, построенные на апостериорной информации. Априорная информация [aprior information] и апостериорная ин­ формация [aposterior information] - соответственно данные, имев­ шиеся до проведения какого-либо опыта или другого действия, и сведения, полученные после его выполнения. 8. Цель создания и применения: Балансовые модели выражают требование соответствия наличия ресурсов и их использования. Трендовые модели — это модели, в которых развитие модели­ руемой экономической системы отражается через тренд (длитель­ ную тенденцию) ее основных показателей. Оптимизационные модели предназначены для выбора наилучше­ го варианта из определенного числа вариантов производства, рас­ пределения или потребления; Имитационные модели предназначены для использования в про­ цессе машинной имитации изучаемых систем или процессов. 9. Характеристика математических объектов, включенных в мо­ дель: матричные модели, модели линейного программирования, мо­ 7 дели нелинейного программирования, корреляционно-регрессионные модели, модели теории массового обслуживания, модели сетевого планирования и управления, модели теории игр и т.д. На практике часто используются комбинации этих моделей: имитационные эконометрические, имитационные оптимизацион­ ные, имитационные балансовые и т.д. Построение модели представляет собой итеративную процеду­ ру, включающую следующие этапы: 1. Постановка экономической проблемы и ее качественный анализ. 2 Построение математической модели. 3. Математический анализ модели. 4. Подготовка исходной информации. 5. Математическое решение. 6. Анализ математических результатов и их применение. В пер­ вую очередь, должна быть проведена проверка адекватности моде­ ли по тем свойствам, которые выбраны в качестве существенных (другими словами, должны быть произведены верификация и вали­ дация модели). Верификация модели ~ подтверждение того, что модель с доста­ точной точностью преобразуется из одной формы в другую в соот­ ветствии с намерениями разработчика (от формулировки проблемы до получения программного приложения). Валидация предполагает проверку соответствия между поведением имитационной модели и исследуемой системы. Вопросы для самопроверки 1) В чем заключается смысл системного подхода к анализу со­ циально-экономических систем и процессов? 2) Сформулируйте понятия «модель» и «метод моделирования». 3) Каковы важнейшие особенности социально-экономических систем как объектов моделирования? 4) Дайте характеристику этапов экономико-математического моделирования. 5) Назовите основные классификационные признаки экономи­ ко-математических моделей и приведите примеры моделей, входящих в ту или иную классификационную рубрику. 6) Какие требования предъявляются к математической модели? 2. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОДСТВОМ 2.1 Основные понятия сетевого планирования и управления Метод сетевого планирования и управления (СПУ) - это метод решения задач исследования операций, в которых необходимо оп­ тимально распределить сложные комплексы работ. СПУ состоит из трех основных этапов. 1. Структурное планирование. 2. Календарное планирование. 3. Оперативное управление. Основные понятия сетевых моделей: Работа (дуги на сетевом графике) - это действие, трудовой процесс, сопровождающийся затратами времени или/и ресурсов и приводящий к определенным результатам. Работы подразделяются на: действительные работы, ожидание и фиктивные работы. Событие (вершины на сетевом графике) - это момент времени, когда завершаются одни работы и начинаются другие. Любая рабо­ та сетевой модели соединяет два события: начальное и конечное. Обычно на сетевых графиках события упорядочены, т.е. i 3 В отличие от событий для работ существуют резервы времени разного вида: Полный резерв времени — это максимальный запас времени, на которое можно задержать начало работы или увеличить ее про­ должительность, не нарушая критический срок: 1)п —tn — tP — t — ~ — tno — t p0 i.j j i i.j i,j i j i j i,j Свободный (частный) резерв времени R f j— показатель макси­ мальной задержки работы (ij), не влияющей на начало последую­ щих работ: R- j = t* ~ t f - t . j = t?Hk - t [ ° . Необходимо учитывать тот факт, что при вычислении полного ре­ зерва времени принимается неявное допущение, согласно которому все предшествующие работы (во всяком случае, те, которые имеют какое-либо отношение к рассматриваемой работе) должны выполнять­ ся как можно раньше, чтобы обеспечить полный резерв времени для данной работы. Следовательно, в общем случае практически невоз- 11 можно для каждой, работы реализовать собственный полный резерв времени. Свободный резерв времени для определенной работы не может превышать полный резерв. Критические работы, как и критические события, резервов вре­ мени не имеют. Существует множество способов и методов расчета временных параметров сети. Для небольших сетевых графиков расчеты можно производить вручную. Для сложных расчетов применяется соответ­ ствующее программное обеспечение. Для упрощения расчетов используется четырехсекторная схема: Пример В таблице 2.1 представлены исходные данные. ,'аблица 2 .! - — Исходные данные к сетевому планированию Шифр работы Шифр предшествующей работы Продолжител ь ность работы а - 2 б а 1 в а 3 г а 2 д б, в 5 е в 3 ж в 4 3 в, г 1 и в, г 6 к Д, е 2 л д, е, ж, з 5 м Д, е, ж, з 4 н и 2 о к, л 2 п м, н 3 12 Используя правила построения сети, получаем график. Далее производится кодирование событий на графике, а вместо шифра работ проставляется их продолжительность. 2 / ' 3 \ - 4 • ' 1 |------►( 2 V—►! 3 р-----V 7 к / \ / / > Ч ч , ? ); 11 X ю \ 5 Ь~ Произведем расчет наиболее ранних сроков совершения событий, ранних начал и ранних окончаний событий в таблице 2.2, расчет наи­ более поздних сроков совершения событий, поздних начал и поздних окончаний событий в таблице 2.3, расчет резервов времени событий, общих резервов, частных резервов работ в таблице 2.4. 13 Таблица 2.2 - Расчет наиболее ранних сроков совершения собы- tf -рн ’j t p° t ,p=0 t,-2PB=0 t,-2p°=0+2=2 t2p =0+2=2 t2-3PH=2 t2.3po =2+3=5 t2-4PH =2 t2.4po =2+1=3 t2-5pH=2 t2_5p0 =2+2=4 t3p =2+3=5 t3-4PH=5 t3.4po =5+0=5 t3-5pH=5 t3.5po =5+0=5 t3-6PH =5 t3.6po =5+3=8 t3-7PH=5 t3.7p0 =5+4=9 t / = max(2+l ;5+0)=5 t4-6pH=5 t4-6p° =5+5=10 t5 p = max(2+2;5+0)=5 t5-7PH=5 t5.7po =5+1=6 ts-8pH=5 t5.8po =5+6=11 t6P = max(5+5;5+3)=10 t6-7PH=10 ^ 7^ = 10+0=10 tfj-9 PH = 10 ts.,1” = 10+2=12 t7p =max(10+0;5+4;5+l)=10 t7_9PH=10 t7-9po =10+5=15 t7-,opH=10 t7-w p° =10+4=14 t8p = 5+6=11 t8-mpH= ll t8.10po =11+2=13 t9P = max(10+2;10+5)=15 t9 -n pH= 1 5 t9.upo =15+2=17 t10p = max(10+4;l 1+2)=14 tio-.ipH=14 tio-np° =14+3=17 t n p = max( 15+2; 14+3)= 17 t„-I2pH=17 Таблила 2.3 - Расчет наиболее поздних сроков совершения собы­ тий, поздних начал и поздних окончаний событий _________ 'J ,no 1 2 3 t2n = min(5-l;5-3;6-2)=2 t]-2nH=2-2=0 t,-2no=2 t3 n = min( 10-3; 10-4;6-0;5-0)=5 t2.3nH =5-3=2 t2-3n°=5 t4n =10-5=5 tM nH =5-1=4 t2-4n°=5 t5n = m in(12-6;10- l )=6 t2_5nH =6-2=4 t2-5n°=6 u II I о II LA t3r ° = 5 t3.5 "" =6-0=6 t3-5n°=6 tfc" = min(15-2;10-0)=10 t ^ nH =10-3=7 t ^ no=10 t7n = min(15-2;14-4)=10 t3.7nH =10-4=6 t3.7n°=10 t4-snH =10-5=5 t4-6no=10 ts.?™ =10-1=9 t5.7™=10 14 Продолжение таблицы 2.3 1 2 3 t8n =14-2=12 t5.8nH =12-6=6 t5-sn0 =12 t M ™ = 1 0 -0 = 1 0 tM no= io ts" =17-2=15 tM,” =15-2=13 t6.9n° = 1 5 tM™ =15-5=10 t7-9 n° = 15 tm"= 17-3=14 tM0"H =14-4=10 t7-ion° =14 t8_)0nH =14-2=12 t8-ion° =14 ti,"=17 Ьм™ =17-2=15 Ь м Г = 1 7 tm-n™ =17-3=14 Г-II ос о Таблица 2.4 Р асчет резервов врем ени собы тий , общ и х резер­ вов, частны х в таблице 2.2 резервов работ ____________ Ri R, =0-0=0 Rb2=2-2=0 г i_2=2-2=0 R2 =2-2=0 R2-3 =5-5=0 r 2.3 =5-5=0 R3 =5-5=0 R 24=5-3=2 r 2_4=5-3=2 R, =5-5=0 R 2.5=6-4=2 r 2.5=5-4=l R5 =6-5=1 R 3^ =5-5=0 r 34 =5-5=0 R6=10-10=0 R 3-5 =6-5=1 r 3.5 =5-5=0 R7=10-10=0 R 3-6 =10-8=2 г з„б = 10-8=2 R*=12-11=l R 3-7 =10-9=1 R 3.7=10-9=1 R9=15-15=0 R «=10-10=0 R 44i=10-10=0 R,o=14-14=0 R 5.7= 10-6=4 r 5.7= 10-6=4 R„ =17-17=0 Rs-i = 12-11=1 Г 5_8 = 11- 11=0 R 6.7 =10-10=0 = 10-10=0 R 6_9 =15-12=3 г 6.9 =15-12=3 R 7-9=15-15=0 r 7.9=15-15=0 R 7-10=14-14=0 r 7.,o=14-14=0 R 8.,o=14-13=l r 8.10 = 14-13=l R9.11 =17-17=0 r 9.„ =17-17=0 R, 0.1, =17-17=0 г,»,, =17-17=0 15 Сведем расчеты в таблицу 2.5. Таблица 2.5 - Расчет параметров сетевого графика h-i •-j /рн 'J .ро .ПН k j .по l 'J K j К ; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1-2 0 2 2 0 2 2 0 0 1 2-3 2 3 5 2 3 5 0 0 1 2-4 2 1 3 4 1 5 2 2 1 2-5 2 2 4 4 2 6 2 1 1 3-4 5 0 5 5 0 5 0 0 1 3-5 5 0 5 6 0 6 1 0 1 3-6 5 3 8 7 3 10 2 2 1 3-7 5 4 9 6 4 10 1 1 2 4-6 5 5 10 5 5 10 0 0 2 5-7 5 1 6 9 1 10 4 4 2 5-8 5 6 11 6 6 12 1 0 2 6-7 10 0 10 10 0 10 0 0 2 6-9 10 2 12 13 2 15 3 3 4 7-9 10 5 15 10 5 15 0 0 4 7-10 10 4 14 10 4 14 0 0 1 8-10 11 2 13 12 2 14 1 1 2 9-11 15 2 17 15 2 17 0 0 2 10-11 14 3 17 14 3 17 0 0 11-12 17 Четырехсекторная диаграмма: 16 Задания для самостоятельного выполнения 2.1 1. Выбрать исходный вариант (таблица А 1) 2. Рассчитать характеристики сети. 3. Построить четырехсекторную схему выполнения ком­ плекса операций. 4. Определить критический путь. 5. Построить график Ганта. 6. Сделать выводы. 2.2 Оптимизация проекта во времени Задачи оптимизации комплекса операций по времени решаются с привлечением дополнительных средств и с использованием внут­ ренних резервов. 1 Оптимизация с использованием дополнительных средств. Задан сетевой график G(E, е ) выполнения комплекса операций, где Е — множество событий графика, е — множество операций. Время выполнения каждой операции (i j ) = t,j. Известно, что вложе­ ние Ху дополнительных средств в операцию (ij) сокращает время выполнения с t,, до 1^'=^(Ху)< t;,. Но насыщение критических опера­ ций ресурсами не беспредельно. Для каждой операции существует минимально возможное время ее выполнения (djj). Условие задачи: определить время начала Т" и окончания Т° выполнения операций, размер дополнительно вложенных средств х„ в каждую из операций (i; j), чтобы: 1. Общее время выполнения комплекса операций было мини­ мальным: txp = T°_ln —» m in . 2. Сумма вложенных дополнительных средств не превышала заданной величины В: ^ х у ^ В . 3. Время выполнения каждой операции было не меньше мини­ мально возможного времени djj: Т° —Т “ > d:j, ( i , j ) е е . 4. Время начала выполнения каждой операции было не мень­ ше времени окончания непосредственно предшествующей ей операции: 7™ > Tt" , i , r , j е Е . 17 s. ф в) = т ° - т ; , ( 1, л в $ 6. Ту > 0,7™ > 0,х^ S 0,(i,J) е I* При необходимости следует добавить фиктивную операцию, вы­ ходящую из последнего события. Критический путь в данной задаче является функцией от объе­ мов дополнительно вкладываемых средств Ху. Сформулированная задача относится к классу оптимизаци­ онных задач и может быть решена методами линейной или нели­ нейной оптимизации в зависимости от вида функций fjj (xjj). Цифры, приписанные дугам графика, означают соответственно продолжительность tjj и минимально возможное время djj выполне­ ния операций. Продолжительность выполнения работ зависит ли­ нейно от дополнительно вложенных средств и выражается соотно- к.2-4-0,5; к.4_5—0,3 . Требуется построить развернутую математическую модель для определения времени начала и окончания выполнения операций и количества средств, вкладываемых в каждую операцию, чтобы время выполнения комплекса операции было минимальным, а сумма вложенных средств не превышала 10 единиц. В силу особенностей сетевого графика целевая функция имеет вид: tKp = T 'l , —» m in . Запишем ограничения задачи: Пример Комплекс операций представлен сетевым графиком. 18 - сумма вложенных дополнительных средств не должна пре­ вышать их наличного количества: Х ,_ 2 + + Х]_4 + * 2 - 3 + * 2 - 4 + * 4 - 5 - Ю - время выполнения каждой операции должно быть не меньше 7 Ю т г г н v Г 'Т 'О г р ц w -j г\1-2 ” 1-2 — ^ ’ 71-3“ Л-3 — ^ ; Z ^ - 7 ^ 2 6 ; Т‘_3- 7^3 > 5 ; Г2” - Г2“ > 3 ; 3^ - 3^ £ 0 ; К , - т и > ъ - время начала выполнения каждой операции было не мень­ ше времени окончания непосредственно предшествующей ей 7тН rp H ’Т 'Н f \ r p H \ rp O г р н s . r p o ППЯ \ rp Q1-2 = У1-3 = У1-4 ~ U > 2 -3 - 1 -2 ’ * 2 - 4 ~ J l - 2 ’ 7 3 -4 - -* 2 -3 ’ грН грО грн ^ гро грН ■> ГГ ° 4-5 1-4> 4-5 3-4’ J 4-5 ~ i 2 -4 ’ - зависимость продолжительности операции от вложенных средств: 7;0_2 - 7 £ 2 = 14*(1-0,2хЬ2); = 20*(1 -0 ,Ц 3); г,:4 - г /;4 =io*(i-o,3x,_4) ; -г;_3- 12*0 - 0,2*2_3) ; Г2°'4-Г 2"_4 = 4 * ( 1 - 0 ,5 ^ ) ; г;_5- г ; .5 =5*(1-0 ,Зх4_5). условие неотрицательности неизвестных: Т ^ > 0 , Т ^ > 0 , х н > 0 , ( ь Л ^ е . Сформулированная математическая модель содержит 17 неиз­ вестных и 21 ограничение, может быть реализована симплекс- методом или решена при помощи функции «Поиск решения» Micro­ soft Excel. Таким образом, чтобы время выполнения операции было мини­ мальным (17 дней), необходимо вложить в операцию (1;2) 2,86 еди­ ницы дополнительных средств, в операцию (1;3) 1,06 единицы до­ полнительных средств, в операцию (1;4) 1,33 единицы дополнительных средств, в операцию (2;3) 2,92 единицы дополни­ тельных средств, в операцию (2;4) 0,50 единицы дополнительных средств, в операцию (4;5) 1,33 единицы дополнительных средств. 19 2 Оптимизация с использованием внутренних резервов. Постановка этой задачи отличается от предыдущей тем, что в ней наложено ограничение на общее время выполнения комплек­ са операций, которое не должно превышать величину Т0 (дирек­ тивное время). Ставится задача определить значения неизвестных величин Ху (объемы дополнительно вкладываемых средств в операции (i; j) таким образом, чтобы: 1. Суммарное количество дополнительно привлекаемых средств было минимальным: f ( x ) = ^ Xj -» min • ('J)ee 2. Время завершения комплекса операций было не выше за­ данного срока Т0, а время выполнения каждой операции (i; j) е е - не меньше минимально возможного времени dy: Т°_х „ ^ Т 0 3. Зависимость продолжительности выполнения операций от вложенных средств: Т° — Т ” > d ^ X h j ) е ? ■ 4. Время окончания любой операции (i; j) сетевого графика было не больше времени начала непосредственно следующей за ней операции (J; г), т.е. для любых смежных операций сети (i; j) и (j; г) должно выполняться условие T"r > Т ° , i , г, j е Е . 5. T ° > 0 , T J > 0 , XlJ>0,(iJ) и нумеруем их. При этом в зависимости от постановки задачи возможны 2 случая: 1) операции не допускают перерыва в выполнении. В этом случае сначала нумеруем операции (i; j), начатые левее момента тк , согласно возрастанию R" - 1у (длительностями от начала мо­ мента до момента тш ). Операции с одинаковыми разностями нумеруем в порядке убывания г,,. Все остальные операции нуме­ руем в порядке возрастания /?” , а с одинаковыми резервами - в порядке убывания rjj. 2) операции допускают перерывы в их выполнении. Все опе­ рации нумеруются согласно предписаниям п. 2 первого шага. 3. Выполняем то же, что и в п.З первого шага. Однако следует иметь в виду, что если сдвигу подлежит операция (i; j), начатая левее тк , то в первом случае сдвигаем всю операцию, т.е. начало этой операции устанавливаем в момент тк+], а во втором случае операцию делим на части и первую часть операции - отрезок продолжительностью от начала до Тк - оставляем на месте, а вторую часть - от тк до конца - сдвигаем вправо на величину промежутка ( тк ; тк+]). Части разделенной операции в дальнейшем рассматриваем, как самостоятельные операции и присваиваем им соответствующие номера событий. 4. Проверяем, все ли операции комплекса просмотрены. Если все, решение закончено, если нет, то переходим к п.1 общего по­ вторяющегося шага. 23 Пример Для выполнения комплекса операций по ремонту оборудова­ ния машиностроительного предприятия, представленного сете­ вым графиком (рис. 2.1), в первые три дня выделено 7 единиц ре­ сурсов, в четвертый и пятый день - 6 единиц, а в последующее время - 8 единиц. Каждой дуге графика приписаны два числа: первое - временная оценка в днях; второе - интенсивность вы­ полнения операции. Рисунок 2.1 - Сетевой график Необходимо определить сроки выполнения операций таким образом, чтобы завершить весь комплекс за минимальное время. Операции не допускают перерыва в выполнении. Предварительный шаг. Составляем линейную диаграмму комплекса операций (рис''. 2.2а). Построим эпюру потребления ресурса без учета его ограни­ ченности (рис. 2.2). Из эпюры видно, что в первые три дня по­ требность в ресурсах превышает наличное количество на 4 еди­ ницы, в четвертый и пятый день - на 8 единиц, а в последующее время ресурсы имеются в избытке. Покажем, как на диаграмме найти критический путь. Операция (3; 4) заканчивается позже всех, спустя 9 дней от начала выпол­ нения комплекса. Следовательно, она критическая tKp=9. Опера­ ция (3; 4) начинает выполняться в момент времени t3=5. Находим операции с третьим конечным событием, которые заканчиваются 24 в это же время. Таких операций две: (1; 3) и (2; 3). Следовательно, они также критические. Операции (2; 3) непосредственно пред­ шествует критическая операция (1; 2). Таким образом, ^^=(1-2-3- 4) и ^ = (1 -3 -4 ) . Первый шаг. 1. Проецируем на ось времени начала и концы операций ком­ плекса. Определяем, что т0=0 и xj=3. 2. Над промежутком (т0;тО расположены операции (1;2), (1;3) и (1;4). Полные резервы операций (1;2) и (1;3) равны нулю ® и /?“3=0), а й®4=2, так как разность между ожидаемым сроком свершения события (4) t4=9 и сроком окончания операции (1;4) равна двум дням. Операции (1;2) и (1;3) имеют одинаковые пол­ ные резервы, но так как ?"13=5>?^2=4, то операции (1;3) присваива­ ем номер 1, операции (1 ;2) — номер 2 и операции (1;4) с наиболь­ шим полным резервом - номер 3. Так как интенсивность r13=5R=7. Следовательно, операцию (1;2) сдвигаем вправо на величину промежутка (to;ti). Сдвиг операции (1;2) влечет за собой сдвиг операций (2;3), (2;4) и (3;4). Результа­ ты сдвига отражены на новой линейной диаграмме: (ряс. 2.2s). Операцию (1;4) оставляем в первоначальном положении, так 1^3 "*■ 1^4 ^ Второй шаг. 1. Начало нового промежутка совпадает с Х]=3, а конец т2=5 - с мо­ ментом окончания операции (1;3). 2. Операции (1;3) и (1;4) начинаются левее момента ть поэтому ну­ меруем их в первую очередь согласно возрастанию разностей R"3- 1п=3-5=-2 и Ri4-li4=5-5=0. Таким образом, операция (1;3) имеет но­ мер 1, операция (1;) - номер 2 и операция (1;2) — номер 3. 3. На промежутке (т,;т2) R=6, поэтому, суммируя интенсивности операций и сравнивая с R, получаем, что сдвигу подлежат операции (1;2) и (1;4). В результате сдвига получаем новую линейную диа­ грамму (рис. 2.2г). Время выполнения операции по сравнению с ис­ ходным вариантом увеличилось на 5 дней: т4=14. 4. Решение не закончено, переходим к третьему шагу. 25 Рисунок 2.2 — Линейные диаграммы Третий шаг. 1. Новый промежуток (т2;т3). Момент т3=8. 2. К ритическая операция (1;2) получает ном ер 1, операция (1; 4) с R®4=2 - ном ер 2 . 3. С ум м а r i2+ ri4= 6< R = 8, следовательно, операции не сдвигаю тся. 4. Так как не все операции просмотрены, то переходим к следую­ щему шагу. Четвертый шаг. 1. На той же диаграмме (рис. 2.2) выделяем новый промежуток (тз;^). 2. Операция (1;4), начатая левее момента т3, получает номер 1, кри­ тическая операция (2;3) - номер 2 и операция (2;4) - номер 3, так как {*24=2 3. Сдвигу подлежит операция (2;4), начало которой устанавливаем в момент Т4 (рис. 2.2д). 4. Переходим к выполнению пятого шага. Пятый шаг 1. Проекции нового промежутка приходятся на моменты т4=10 и т5= 2. Операция( 1 ;4) имеет номер 1, (2;4) - номер 2, (3;4) - номер 3. 3. Сумма интенсивностей операций Гм+г24+Гз4=7<К=8, следователь­ но, оставляем их в первоначальном положении. Выполнив еще один шаг алгоритма, убедимся, что на оставшемся промежутке (т5;т6) достаточно ресурса для выполнения расположенных над ним операций. Таким образом, линейная диаграмма (рис, 2.2д) является реше­ нием задачи, время окончания комплекса операции равно 14. Из эпюры потребления ресурса (рис. 2.2е) видно, что на всем протяже­ нии выполнения комплекса операций количество используемых ре­ сурсов не превосходит имеющихся в распоряжении. Задание для самостоятельного выполнения 2.3 Оптимизация сетевого графика по ресурсам К ом п лекс оп ерац и й по сборке кузова авто м о б и л я , п редставлен табли ц ей АЗ. Н ай ти сроки н ачала и окон чан и я оп ерац и и таким образом , чтобы в л ю б о й м ом ен т п лан и руем ого п ери ода бы ло д о с­ тато ч н о р аб о ч и х д ля вы п олн ен и я операци и. 27 3. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ НА ОСНОВЕ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Теория массового обслуживания (ТМО) - это область приклад­ ной математики, занимающаяся анализом проблемы обслуживания массового потока требований случайного характера (случайными могут быть как моменты появления требований, так и затраты вре­ мени на их обслуживание). Система массового обслуживания (СМО) - это совокупность обслуживающей и обслуживаемой систем. Каждая СМО состоит из одного или нескольких обслуживающих устройств, которые назы­ ваются каналами обслуживания (рабочие точки, кассиры, продавцы, телефонные линии связи). Обслуживание требований происходит за неизвестное, обычно также случайное время и зависит от множест­ ва самых разнообразных факторов. После обслуживания заявки ка­ нал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока требований и времени их обслуживания приводит к неравномерности загрузки СМО, перегрузке с образованием очере­ дей заявок или недогрузке с простаиванием каналов. Таким обра­ зом, к элементам СМО относятся: 1) входящий поток заявок. Заявка (требование, клиент) - это каждый отдельный запрос на выполнение какой-либо работы. Если обслуживаемую систему можно подразделить на отдельные элемен­ ты, каждый из которых в любой отдельный момент может дослать только 1 требование, то такой элемент называют источником тре­ бований. Так, каждый станок в цехе является источником требова­ ний для обслуживающей бригады наладчиков. Входящий поток ха­ рактеризуется интенсивностью X, т.е. средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени. 2) очередь, 3) поток необслуженных (покинувших очередь) заявок, 4) каналы обслуживания, 5) выходящий поток обслуженных заявок, который характери­ зуется интенсивностью обслуживания требований одним каналом 28 при непрерывной его работе (р.) или средней продолжительностью обслуж ивания^^,,). Вход Входящий ПОТС Поток о.бслуженных.заявок^- Выход Поток необслуженных заявок Время обслуживания - период, в течение которого удовлетворя­ ется требование на обслуживание, т.е. период от начала обслужива­ ния и до его завершения. Время ожидания обслуживания - период от момента поступле­ ния требования в систему до начала обслуживания. Время пребывания требования в системе - время ожидания об­ служивания + время обслуживания. Существуют различные потоки, отличающиеся своими характе­ ристиками. Рассмотрим СМО, в которых все потоки, переводящие ее из одного состояния в другое, являются простейшими. Такие СМО называются марковскими. Простейший (или пуассоновский) поток — поток, который обла­ дает 3 основными свойствами: 1) Ординарность. Поток требований называется ординарным, если вероятность попадания на очень малый отрезок времени сразу 2 или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания только 1 события. 2) Стационарность. Стационарный поток требований - поток, вероятностные характеристики которого не изменяются со временем, 3) Отсутствие последействий. Поток без последействия - поток, в котором число событий, попадающих на произвольно вы­ бранный промежутков времени, не зависит от числа событий, попавших на другой, также произвольно выбранный проме­ жуток, при условии, что эти промежутки не пересекаются. 29 Для простейшего потока частота поступления требований в сис­ тему подчиняется закону Пуассона, т.е. вероятность поступления к (Л/)*требований за время t задается формулой: Рк (?) --------- е~х>. к\ Длительность обслуживания заявок также является случайной величиной и подчиняется экспоненциальному (показательному) за­ кону распределения. Вероятность того, что время обслуживания не превосходит некоторой величины t, определяется формулой: F(t ) = \ - e " , где ju - интенсивность обслуживания одного требования одним обслуживающим устройством, которая определяется из соотноше- 1 ния: /а = ----- . ^обсп Одной из важнейших характеристик обслуживающих устройств, которая определяет пропускную способность всей системы, являет­ ся время обслуживания одного требования ( to6cJ - случайная вели­ чина, которая может изменяться в большом диапазоне. Она зависит от стабильности работы самих обслуживающих устройств, так и от различных параметров требований, поступающих в систему. Слу­ чайная величина tof)a полностью характеризуется законом распре­ деления, который определяется на основе статистических испыта­ ний. На практике чаще всего принимают гипотезу о показательном законе распределения времени обслуживания. Важным параметром СМО является коэффициент загрузки р , который определяется как отношение интенсивности поступления требований Я к интенсивности обслуживания /л: р = & / Для СМО с ожиданием количество обслуживаемых устройств п должно быть строго больше коэффициента загрузки (требование устано­ вившегося или стационарного режима работы СМО) : п > р . В противном случае число поступающих требований будет больше суммарной производительности всех обслуживающих устройств, и очередь будет неограниченно расти. 30 Для СМО с отказами и смешанного типа это условие может быть ослаблено, для «эффективной работы этих типов СМО достаточно потребовать, чтобы минимальное количество обслуживаемых уст­ ройств п было не меньше коэффициента загрузки р \ п > р Классификация СМО: 1. По числу каналов обслуживания: одноканальные и много­ канальные. 2. В зависимости от взаимного расположения каналов (для многоканальных СМО): с параллельными каналами и с по­ следовательными каналами. 3. По характеру случайного процесса: марковские и немарков­ ские. 4. В зависимости от возможности образования очереди: с отка­ зами обслуживания и с ожиданием обслуживания 5. По месту нахождения источника требований: разомкнутые и замкнутые. 6. По дисциплине очереди: СМО с приоритетами и СМО без приоритетов. 7. По количеству этапов обслуживания: однородные и неодно­ родные. 8. По количеству источников требований: однофазные и мно­ гофазные. Расчет основных показателей функционирования СМО Характеристики многоканальных СМО можно рассчитать, ис­ пользуя таблицу 3.1. Условные обозначения: п - количество каналов; X - интенсивность входящего потока требований; jli - интенсивность обслуживания требований: /и = Y j tote, ~ сРеДнее время обслуживания 1 заявки; р - у - интенсивность нагрузки на систему, т.е. среднее чис- / № ло заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки; q - относительная пропускная способность системы (верояность 31 обслуживания требования, доля обслуженных заявок); А - абсолютная пропускная способность системы (среднее число обслуживаемых заявок в единицу времени); Р0 - вероятность отсутствия требований в системе; Рк - вероятность нахождения в системе А: требований; Ротк - вероятность отказа; N 3 - среднее число занятых каналов; Ьож - средняя длина очереди; Lcucm - среднее число требований, находящихся в системе; tо.яс ~ среднее время пребывания в очереди; Кжт ~ среднее время пребывания требования в системе; N np - среднее число простаивающих каналов; к 3 - коэффициент загрузки каналов; k" - коэффициент простоя каналов. М ногоканальная СМО с отказами (без очереди) В n-канальную СМО поступает простейший поток требований с интенсивностью X. Время обслуживания требований (для 1 канала) экспоненциальное. Если требование поступает в систему в момент, когда все п каналов заняты, то оно получает отказ (покидает систе­ му необслуженным). Если же в момент поступления требования имеется хотя бы 1 свободный канал, то требование принимается к обслуживанию и обслуживается до конца. При расчетах должны выполняться равенства: N3+Nn=n, кз+кп=1. М ногоканальная СМО с ожиданием и ограничением на дли­ ну очереди. В n-канальную СМО поступает простейший поток требований с интенсивностью X; число мест в очереди ограничено и равно ш. 32 Время обслуживания требований (для 1 канала) экспоненциальное со средним значением t(jRcl. Многоканальная СМО с ожиданием без ограничений на длину очереди П - вероятность того, что все каналы заняты: п - ____ Е_____р р п+\ - вероятность наличия очередей: Рт = -------------Р0 п \ ( п - р ) - среднее число свободных каналов: N al = ■Р0У ' к ---------- ы ~{п-к)\ Определение оптимальных параметров СМО В качестве экономического критерия для решения задач массо­ вого обслуживания, как правило, применяется минимум потерь от ожидания требования и простоев каналов. Математическое выра­ жение критерия при этом принимает следующий вид: С = (С]М ] +С2Мп)Тпл, где С - суммарные потери; С] - потери от простоев требования в единицу времени; С2 - потери от простоев канала в единицу времени; "Г™ - планируемый период (в работе - 1 год). В данной работе задано отношение С2/С| Поэтому экономиче­ ский критерий приводится к следующему виду: С = ( М 1 + С2/С ] -Ып)Т пл. Для систем с отказами представленные выше формулы критерия оптимальности примут вид: С = ( Сур откЛ + C2N п )Тт ; С ~ ( PomK^ + Ci/Cy-NnjTnj ,, где Су - величина потерь, связанных с уходом из системы одного требования. 33 Таблица 3.1 - Характеристики многоканальных СМО Хар- ки СМО с отказами СМО с ограничением на длину очереди СМО без ограничений на длину очереди Р0 Г п п к т 1 р = ° [ к к \ \ Ра = Р /Р\т+1 " nk л”---->у Р , Р П П м к[ п] \ -£ . п ро= [~ z p * + рЯ+' ]L £ о к \ n \ {n -p ) J Рк Рк = ^ г Р 0, к\ Л р = — р0 <,k-п пк- " п \ ° Ротк ■п р = р - — Ротк п | 0и! w+m р - р - Р р °тк п+т пт*п\ Ротк = 0 q V = '~Pom, <1 = 1-Ротк q = l А A-'kq A=Xq А=Х К ^ = - = « = £ * p , — А п п+т jU п п\ N 3 = p О Ж 0 _______ n + i l - ( — ) m ( m + l - m — ) n + m 7" P Я f t V V f r r t \ P _ n + 1 Z - P . . . . . p n n l ( l - — ) 2 * = ^ ‘ n о ж ( п - Щ п - р ) 2 ° c u c m л + т L c u m = W 3 + L o g l e = Y i k P k k = 1 . .. . . . “ . 4 и с т = Х з + ь о ж = 2 ; « * * * = i t 0 Ж - _ 1 _ ( £ Г ( т + 1 _ 1 И £ ) / , - — f p Y i f t о ж f ^ о ж P p о ж 0 / 1 5 • и л ! / / ( I - — ) 2 Я n о ж ~ x ~ M ( n - m n - p f 0 t c u c m - ^ c u c m о б с л t = t + t = ^ c a c m c u c m о ж о б с л j A К £ iк « Й 1 II U ‘ К n к r K , I r — _____ " . K n n Vi Задание для самостоятельного выполнения 3.1 Задача 1. Предприятие осуществляет часть переговоров по 3 те­ лефонным линиям. В среднем поступает 75 звонков в час. Среднее время предварительных переговоров составляет 2 мин. Требуется определить характеристики системы и оценить ее работу. Задача 2. В цехе работает 6 станков. Простейший поток деталей, поступающих в цех, имеет интенсивность 10 деталей в час. Среднее время обработки детали 12 минут. Заявка получает отказ, если все станки заняты. На основе расчета функциональных характеристик СМО определить: вероятность того, что все станки простаивают, вероятность того, что поступающая деталь будет обработана, веро­ ятность того, что загружено 2 станка, вероятность того, что загру­ жено не менее 2 станков, вероятность того, что загружено не более 2 станков Задача 3. На вход телефонной станции, имеющей 9 каналов об­ служивания, поступает в среднем 120 заявок в час. Заявка получает отказ, если все каналы заняты. Среднее время обслуживания в 1 ка­ нале равно 4 минуты. Все потоки в системе простейшие. На основе расчета функциональных характеристик СМО определить: вероят­ ность того, что клиент получит отказ в обслуживании, вероятность того, что будет занято не более 3 каналов обслуживания, средний интервал времени между последовательными поступлениями заявок в систему, вероятность того, что будет занято не менее 2 каналов обслуживания, вероятность того, что все линии свободны Задача 4. В таксопарке 3 диспетчера по телефону принимают за­ казы на вызов машин и обеспечивают своевременное обслуживание клиентов. В среднем за каждый час поступает 120 заявок, длитель­ ность регистрации заявки равна 1 мин. Определить важнейшие па­ раметры данной системы. Задача 5. В магазин заходят в средн.ем 7 покупателей в минуту, их обслуживают 2 контролера-кассира с интенсивностью 3 покупа­ теля в минуту. Длина очереди ограничена 5 покупателями. Опреде­ лить характеристики СМО и дать оценку ее работы. Задача 6. Пациенты прибывают в клинику в соответствии с рас­ пределением Пуассона с интенсивностью 15 пациентов в час. В комнате ожидания могут разместиться не более 10 человек. Время осмотра клиентов является экспоненциально распределенной слу­ чайной величиной с математическим ожиданием 6 минут. 36 Задача 7. Газозаправочная станция для автомобилей располагает двумя газовыми насосами. В очереди, ведущей к насосам, могут расположиться не более пяти автомашин, включая те, которые об­ служиваются. Если уже нет места, прибывающие автомобили уез­ жают искать другую заправку. Распределение прибывающих авто­ мобилей является пуассоновским с математическим ожиданием 20 автомобилей в час. Время обслуживания клиентов имеет экспонен­ циальное распределение с математическим ожиданием 6 минут. Рассчитать основные функциональные характеристики СМО и на основе их определить; процент автомобилей, которые будут искать другую заправку; процент времени, когда используется только один из насосов; процент времени использования двух насосов; вероят­ ность того, что прибывающий автомобиль найдет свободное место в очереди; среднее время пребывания автомобиля на газозаправоч­ ной станции. Задача 8. На пункт техосмотра поступает простейший поток зая­ вок (автомобилей) интенсивности 4 машины в час. Время осмотра распределено по показательному закону и равно в среднем 17 мин., в очереди может находиться не более 5 автомобилей. Рассчитать основные функциональные характеристики СМО и на основе их определить: долю автомобилей, которые будут искать другой пункт техосмотра; вероятность того, что автомобиль поступит на техос­ мотр без очереди; потери времени водителем на прохождение тех­ осмотра; вероятность того, что прибывающий автомобиль сможет пройти техосмотр; среднее количество автомобилей, ожидающих техосмотра. Задача 9. Небольшая ремонтная мастерская имеет трех механи­ ков. В начале марта каждого года клиенты приносят в мастерскую свои культиваторы и газонокосилки для ремонта и технического об­ служивания. Мастерская стремится принять все, что приносят кли­ енты. Однако когда очередной клиент видит на полу мастерской массу механизмов, ожидающих обслуживания, он уходит в другое место в поисках более быстрого обслуживания. На полу мастерской размещается не более 15 культиваторов и газонокосилок, не учиты­ вая тех, которые уже ремонтируются. Клиенты прибывают в мас­ терскую в среднем каждые 10 минут, а на выполнение механиком одного ремонта уходит в среднем 30 минут. Как время между по­ следовательными приходами клиентов, так и время выполнения ра- 37 боты подчиняются экспоненциальному распределению. Рассчитать основные функциональные характеристики СМО и на основе их определить: долю потенциальных клиентов, потерянных по причи­ не ограниченной емкости мастерской; вероятность того, что сле­ дующий клиент будет обслужен в мастерской; вероятность того, что, по крайней мере, один механик будет свободен; среднее коли­ чество культиваторов и газонокосилок, которые ожидают обслужи­ вания; средние потери времени клиента на ремонт механизма. Задача 10. В магазине работает один продавец, который может обслужить в среднем 30 покупателей в час. Поток покупателей про­ стейший с интенсивностью, равной 60 покупателей в час. Все поку­ патели «нетерпеливые» и уходят, если в очереди стоит 5 человек (кроме обслуживаемых). Все потоки событий простейшие. Рассчи­ тать основные функциональные характеристики СМО и на основе их определить: среднее число «нетерпеливых» покупателей; веро­ ятность того, что прибывающий покупатель будет обслужен без ожидания; вероятность того, что очереди нет; вероятность того, что длина очереди не превышает 3 человек; среднее время, потраченное покупателем на посещение магазина. Задача 11. В кассе метрополитена, где продаются жетоны на проезд, имеется 2 окна. Время, которое тратит кассир на обслужи­ вание 1 пассажира, в среднем равно 0,5 мин. Пассажиры подходят к кассе в среднем по 3 чел./мин. Определить: вероятность того, что оба кассира свободны; среднее число занятых кассиров; среднее число пассажиров в очереди; среднее число пассажиров у касс; среднее время, которое пассажир проводит в очереди; среднее вре­ мя, которое пассажир тратит на приобретение жетона Задача 12. На автозаправочной станции имеется 3 заправочные колонки. Заправка одной машины длится в среднем 2 мин. Каждую минуту прибывает машина, нуждающаяся в заправке бензина. Чис­ ло мест в очереди не ограничено. Все потоки в системе простейшие. Определить: вероятность того, что в системе нет требований; сред­ нее число требований в очереди; среднее время ожидания; среднее время, которое требование проводит в системе; вероятность того, что прибывающему требованию придется ждать обслуживания. Выполняется ли следующее условие: пусть цель обслуживания со­ стоит в том, чтобы обеспечить состояние, при котором в среднем не более 10 % требований вынуждено находиться в очереди? 38 Задача 13. Билетная касса работает без перерыва. Билеты прода­ ет один кассир. Среднее время обслуживания - 2 мин. на каждого человека. Среднее число пассажиров, желающих приобрести биле­ ты в кассе в течение одного часа, равно 20 пассажиров в час. Все потоки в системе простейшие. Рассчитать основные функциональ­ ные характеристики СМО и на основе их определить: среднюю длину очереди; вероятность простоя кассира; среднее время нахож­ дения пассажира в билетной кассе; вероятность того, что пассажир уйдет в другую билетную кассу; вероятность того, что в очереди будет не более 2 человек. Задача 14. В аудиторскую фирму поступает простейший поток заявок на обслуживание с интенсивностью 1,5 заявки в день. Время обслуживания распределено по показательному закону и равно в среднем трем дням. Аудиторская фирма располагает пятью незави­ симыми бухгалтерами, выполняющими аудиторские проверки (об­ служивание заявок). Очередь заявок не ограничена. Дисциплина очереди не регламентирована. Рассчитать основные функциональ­ ные характеристики СМО и на основе их определить: долю клиен­ тов, которые будут вынуждены обратиться в другую аудиторскую фирму; среднюю продолжительность прохождения компанией ау­ диторской проверки; вероятность того, что аудиторская проверка поступившей заявки начнется без ожидания; вероятность того, что обслуживанием заняты не более двух бухгалтеров; среднее количе­ ство заявок, ожидающих проверки. Задача 15. Технические устройства (ТУ) могут время от времени выходить из строя (отказывать). Поток отказов ТУ простейший с интенсивностью 2 отказа в сутки. Время восстановления ТУ имеет экспоненциальное распределение. Математическое ожидание вре­ мени обслуживания 0,7 суток. Количество каналов, выполняющих обслуживание ТУ, равно 6 ед. Количество заявок в очереди не огра­ ничено. Определите вероятностные характеристики СМО, выпол­ няющие обслуживание ТУ в установившемся режиме. Задача 16. В бухгалтерии предприятия имеются два кассира, ка­ ждый из которых может обслужить в среднем 30 сотрудников в час. Поток сотрудников, получающих заработную плату, - простейший, с интенсивностью, равной 40 сотрудников в час. Очередь в кассе не ограничена. Дисциплина очереди не регламентирована. Время об­ служивания подчинено экспоненциальному закону распределения. 39 Рассчитать основные функциональные характеристики СМО и на основе их определить: относительную пропускную способность системы; вероятность того, что обслуживанием занят только один кассир; вероятность того, что сотрудник получит заработную плату без очереди; среднее время, потраченное сотрудником на получение заработной платы; вероятность того, что оба кассира заняты выда­ чей заработной платы. Задача 17. Предприятие планирует принимать заказы клиентов на приобретение товаров по телефону, для чего необходимо устано­ вить соответствующую мини-АТС с несколькими телефонными ап­ паратами. Если заказ поступает, когда все линии заняты, то клиент получает отказ. Предполагаемая интенсивность входящего потока требований составляет 2,5 заказа/мин. Длительность же оформле­ ния заказа в среднем будет равна 0,8 мин. Определить, какое мини­ мальное количество каналов обслуживания необходимо, чтобы об­ служивать не менее 90% поступающих заказов. Задача 18. Торговая фирма планирует принимать заказы клиен­ тов по телефону. Предполагаемая интенсивность входящего потока требований составляет 2,5 заказа/мин. Длительность же оформле­ ния заказа в среднем — 0,8 мин. Определить необходимое мини­ мальное количество каналов обслуживания для обслуживания не менее 90 % поступающих заказов. Рассчитать основные показатели работы СМО. Задача 19. На предприятии планируется открытие мастерской по ремонту малой механизации. Поток неисправных механизмов, по­ ступающих в мастерскую, предположительно составит 4 механизма в сутки. Среднее время ремонта одного механизма равно 0,5 суток. Другой мастерской по ремонту нет, поэтому очередь на ремонт ме­ ханизмов перед мастерской может расти неограниченно. Требуется определить оптимальное количество узлов, обслуживания, если из­ держки, связанные с эксплуатацией одного обслуживающего узла, составляют 12,5 ден.ед. в сутки, издержки, связанные с простоем, — 8 ден.ед. в сутки, а издержки ожидания механизма в очереди— 30 ден.ед. в сутки. Для найденного количества узлов обслуживания провести анализ работы мастерской. Задача 20. На промышленном предприятии решается вопрос о том, сколько потребуется механиков для работы в ремонтном цехе. Пусть предприятие имеет 10 машин, требующих ремонта с учетом 40 числа ремонтирующихся. Отказы машин происходят с частотой 10 отк/час. Для устранения неисправности механику требуется в сред­ нем 3 мин. Распределение моментов возникновения отказов являет­ ся пуассоновским, а продолжительность выполнения ремонтных работ распределена экспоненциально. Возможно организовать 4 или 6 рабочих мест в цехе для механиков предприятия. Необходимо выбрать наиболее эффективный вариант обеспечения ремонтного цеха рабочими местами для механиков. Задача 21. В инструментальном отделении сборочного цеха ра­ ботают три кладовщика. В среднем за 1 мин. за инструментом при­ ходят 0,8 рабочего. Обслуживание одного рабочего занимает у кла­ довщика 1 минуту. Очередь не имеет ограничения. Известно, что поток рабочих за инструментом - пуассоновский, а время обслужи­ вания подчинено экспоненциальному закону распределения. Стои­ мость 1 мин. работы рабочего равна 30 ден.ед., а кладовщика - 15 ден.ед. Найдите средние потери цеха при данной организации об­ служивания в инструментальном отделении (стоимость простоя) при стационарном режиме работы. Задача 22. Пост диагностики автомобилей представляет собой одноканальную СМО с отказами. Заявка на диагностику, посту­ пившая в момент, когда пост занят, получает отказ. Интенсивность потока заявок на диагностику - 0,5 автомобиля в час. Средняя про­ должительность диагностики 1,2 часа. Все потоки событий в систе­ ме простейшие. Определите в установившемся режиме вероятност­ ные характеристики системы. Задача 23. Автозаправочная станция представляет собой СМО с одним каналом обслуживания и одной колонкой. Площадка при АЗС допускает пребывание в очереди на заправку не более трех ав­ томобилей одновременно. Если в очереди уже находится три авто­ мобиля, очередной автомобиль, прибывший к станции, в очередь не становится, а проезжает мимо. Поток автомобилей, прибывающих для заправки, имеет интенсивность 0,7 автомобиля в минуту. Про­ цесс заправки продолжается в среднем 1,25 мин. Все потоки про­ стейшие. Определите вероятностные характеристики СМО в ста­ ционарном режиме. Задача 24. На железнодорожную сортировочную горку прибы­ вают составы с интенсивностью 2 состава в час. Среднее время, в течение которого горка обслуживает состав, равно 0,4 час. Составы, 41 прибывающие в момент, когда горка занята, становятся в очередь и ожидают в парке прибытия, где имеется три запасных пути, на каж­ дом из которых может ожидать один состав. Состав, прибывший в момент, когда все три запасных пути в парке прибытия заняты, ста­ новится в очередь на внешний путь. Все потоки событий простей­ шие. При установившемся режиме найдите: среднее число составов, ожидающих в очереди (как в парке прибытия, так и вне его); сред­ нее время ожидания в парке прибытия и на внешних путях; среднее время ожидания состава в системе обслуживания; вероятность того, что прибывший состав займет место на внешних путях. Задача 25. На станцию технического обслуживания (СТО) авто­ мобилей каждые два часа подъезжает в среднем одна машина. Станция имеет 6 постов обслуживания. Очередь автомобилей, ожи­ дающих обслуживания, не ограниченна. Среднее время обслужива­ ния одной машины — 2 часа. Все потоки в системе простейшие. Оп­ ределите вероятностные характеристики станции технического обслуживания автомобилей. Задача 26. В вычислительном центре работает 9 персональных компьютеров (ПК). Простейший поток неисправностей имеет ин­ тенсивность 0,3 отказа в день. Среднее время устранения одной не­ исправности одним инженером равно 1,5 час. Компьютеры обслу­ живают три инженера с одинаковой производительностью. Все потоки событий простейшие. Возможны следующие варианты ор­ ганизации обслуживания ПК: 1 .три инженера обслуживают все 9 компьютеров, так, что при отказе ПК его обслуживает один из сво­ бодных инженеров; 2. каждый из трех инженеров обслуживает по три закрепленных за ним ПК. Необходимо выбрать наилучший ва­ риант организации обслуживания ПК. Задача 27. Малое транспортное предприятие эксплуатирует де­ сять моделей автомобилей одной марки. Простейший поток отказов автомобилей имеет интенсивность 0,25 отказа в день. Среднее вре­ мя устранения одного отказа автомобиля одним механиком равно 2 час. Все потоки событий простейшие. Возможны два варианта об­ служивания: 1.все автомобили обслуживают два механика с одина­ ковой производительностью; 2.все автомобили предприятия обслу­ живают три механика с одинаковой производительностью. Необходимо выбрать наилучший вариант организации обслужива­ ния автомобилей. 42 Задача 28. В магазине работает один продавец, который может обслужить в среднем 30 покупателей в час. Поток покупателей про­ стейший с интенсивностью, равной 60 покупателей в час. Все поку­ патели «нетерпеливые» и уходят, если в очереди стоит 5 человек (помимо обслуживаемых). Все потоки событий простейшие. Опре­ делите следующие вероятностные характеристики магазина для стационарного режима работы: вероятность обслуживания покупа­ теля; абсолютную пропускную способность магазина; среднюю длину очереди; среднее время ожидания в очереди; среднее время всего обслуживания; вероятность простоя продавца. Задача 29. Имеется двухканальная простейшая СМО с отказами. На ее вход поступает поток заявок с интенсивностью 3 заявки в час. Среднее время обслуживания одной заявки 0,6 час. Каждая обслу­ женная заявка приносит доход 5 ден.ед. Содержание канала обхо­ дится 3 ден.ед./час. Решите, выгодно ли в экономическом отноше­ нии увеличить число каналов СМО до трех. Задача 30. Технические устройства (ТУ) могут время от времени выходить из строя (отказывать). Поток отказов ТУ простейший с интенсивностью 1,6 отказа в сутки. Время восстановления ТУ имеет экспоненциальное распределение. Математическое ожидание вре­ мени обслуживания 0,5 суток. Количество каналов, выполняющих обслуживание ТУ, равно 5 ед. Количество заявок в очереди не огра­ ничено. Определите вероятностные характеристики СМО, выпол­ няющие обслуживание ТУ в установившемся режиме. Задание для самостоятельного выполнения 3.2 Теория массового обслуживания 1. Выбрать заданный вариант (табл. 3.2). 2. Определить минимальное значение п. 3. Рассчитать показатели функционирования системы и эко­ номический критерий. 4. Увеличить п на 1 и повторить расчеты. 5. Расчет проводится до нахождения оптимальной загрузки системы по экономическому критерию. 6. Представить графически изменение экономического крите­ рия оптимальности с увеличением п. 7. Сделать выводы. 43 Таблица 3 .2 - Исходные данные № варианта А, Т m ^С2/С1 1 6 0,1 8 2 2 4 0,2 7 2 2 4 0,1 8 3 3 1 0,3 7 4 4 2 0,4 14 5 5 2 0,2 10 6 6 1 0,1 5 1 7 4 0,1 8 2 8 1 0,5 10 3 9 6 0,] 8 4 10 4 0,1 6 5 11 3 0,1 10 3 12 4 0,2 6 4 13 1 0,2 8 2 14 2 0,3 7 1 15 1 0,4 9 3 16 4 0,1 9 5 17 3 0,3 6 4 18 2 0,3 5 1 19 4 0,2 8 1 20 3 0,1 10 2 21 3 0,2 11 5 22 4 0,2 8 5 23 6 0,1 9 3 24 4 0,2 5 5 25 8 0,1 8 6 26 2 0,3 10 1 27 2 0,4 8 2 28 1 0,2 6 3 29 4 0,1 10 4 30 2 0,4 6 5 44 4. МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ЗАПАСАМИ 4.1 Основные понятия управления запасами Товарные запасы являются необходимым фактором, обеспечи­ вающим непрерывность работы любого торгового предприятия. По­ этому эффективное управление ими является важнейшей задачей любого предприятия. Под управлением запасами понимается сово­ купность мероприятий по обеспечению их оптимального уровня на предприятии. При этом разрабатываются прогрессивные нормы запа­ сов; устанавливается наиболее рациональная их структура; создается эффективная система оперативного контроля за состоянием запасов с широким использованием математических методов и вычислитель­ ной техники и т.д. Содержание запасов на предприятии всегда связано с издержками. Организационные издержки - расходы, связанные с оформлением и доставкой товаров, необходимых для каждого цикла складирования. Издержки содержания запасов - затраты, связанные с хранением. Эти расходы возникают из-за таких факторов, как рента складирова­ ния и амортизация в процессе хранения (товары могут портиться, устаревать, их количество может уменьшаться и т.п.). Издержки, связанные с дефицитом, - это потери прибыли в расче­ те на единицу дефицитных материалов. Они могут быть связаны с заменой дефицитных товаров более дорогими материалами, штрафа­ ми за нарушение сроков поставки, переналадкой оборудования. Управление запасами заключается в установлении моментов раз­ мещения заказов и объемов поставок. Каждый вариант стратегии управления запасами связан с определенными затратами. Стратегию, при которой эти затраты минимальны, называют оптимальной, а ее определение является предметом теории управления запасами. Многообразие реальных ситуаций является причиной большого количества различных систем управления запасами. В основу их классификации может быть принят характер системы снабжения, интенсивность потребления, возможности пополнения запасов, из­ держки функционирования системы. 45 По характеру системы снабжения выделяют однопродуктовые и многопродуктовые модели. По интенсивности потребления - модели с постоянным и стохас­ тическим спросом. По характеру пополнения запасов различают модели с задержка­ ми (фиксированными или случайными) и с мгновенными поставками. По функциям затрат модели могут быть линейными и нелинейными. Любая математическая модель, которая применяется для изуче­ ния управления запасами, должна учитывать только те издержки, которые зависят от выбора стратегии. Цель разработки математической модели складской системы со­ стоит в выборе с ее помощью приемлемой стратегии функциониро­ вания. Необходимо определить такую стратегию функционирова­ ния, которая обеспечит наибольшую возможную прибыль или минимизирует издержки. Другими словами, критерием выбора яв­ ляется максимум прибыли или минимум издержек. Уравнение издержек, связанных с запасами, сделанными в тече­ ние одного цикла (период времени между повторениями заказов), может быть записано следующим образом: С = С, + С2 C-j + С4 где С/ - организационные издержки, руб.; С? - стоимость товаров, руб.; Cj - общие издержки содержания запасов, руб.; С4 - потери из-за отсутствия продукции (дефицита), руб. 4.2 Статические детерминированные модели без дефицита Бездефицитная простейшая однономенклатурная модель Данная модель оптимальной партии поставки строится при сле­ дующих предположениях: 1) Интенсивность спроса (v) в единицу времени величина по­ стоянная. 2) Заказанная партия доставляется одновременно. 3) Дефицит недопустим. 4) Организационные издержки на поставку (К) постоянны и не зависят от величины партии q. 46 Удельные затраты на хранение единицы продукции за единицу времени составляют s. Уровень запаса снижается равномерно от q до 0, после чего подается заказ на доставку новой партии величины q. Заказ выполняется мгновенно, и уровень запаса восстанавливает­ ся до величины q. Интервал времени между поставками т — цикл. Общие затраты в единицу времени: Сц — К — + S - . q 2 * f2£v Оптимальный размер партии заказа: q - у ------ — формула размера партии (экономичная величина заказа, формула квадратно­ го корня, формула Уилсона). * * ЧОптимальный интервал между поставками: г — — v Минимальные затраты по формированию поставок и содержанию запасов в единицу времени: Сц = sq Модель с определением точки заказа В реальных ситуациях целесообразно учитывать время выполне­ ния заказа. При планировании поставок следует знать время разме­ щения очередного заказа или уровень запаса, при котором необхо­ димо заказывать новую партию. Этот уровень называется точкой возобновления заказа (г). В момент подачи заказа уровень запаса должен обеспечивать бесперебойное снабжение на время выполнения заказа. Если время выполнения заказа меньше детины цикла 0<т , то r=0v. 0 - время выполнения заказа. Л " в Если 0>=т , то уровень запаса г = w - где в е- наибольшее целое число, не превосходящее — , г т.е. 47 в целая часть числа — . т Сумма наличного запаса и заказанной партии — фиктивный уровень текущего запаса. На графике он изображается пунктирной линией (рис. 4.1). Для того чтобы первая заказанная партия была доставлена не позже полного расхода начального запаса, ее необходимо размес­ тить в момент t0 = - - < ? . v В общем случае заказы следует размещать в моменты tk = ( ^ - d ) + k T , к = 0,1,2,... v Рисунок 4.1 - Динамика изменения уровня запаса / для бездефицитной про­ стейшей однономенклатурной модели Модель определения величины партии в условиях оптовой скидки Для увеличения объема продаж компании часто предлагают ко­ личественные скидки, которые могут быть оптовыми и дифферен­ циальными. Рассмотрим случай оптовой скидки, которая назначается за каж­ дую единицу закупаемого товара, если партия превышает некото­ рую величину. При двухуровневой системе скидок для партии Я *\в0< 2г) цена составляет с/, для q е 102 ’бз ) С2 , С]>с2, Qi=0, Q2=oo. 48 Стоимость хранения определяется как доля р (0 <р < 1) стоимо­ сти продукции^т.е. s ^ p c , (i= 1,2). . K v q Издержки в единицу времени: СД<7) = ------Vctv + p c t —, i=l,2 q 2 dC * Решая уравнение — - = 0 , находим: ц = с (v + p q :) , i= 1,2 dq Алгоритм определения оптимальной величины партии для двух­ уровневой системы скидок: 1) вычисляется q*2- Если q*2>Q,2, то оптимальный размер заказа q* ~q*2,’ 2) если q*2 Qn+\) < т0 Я*п является оптимальной величиной партии. * Если qn не попадает в интервал предоставления скидки, то ин­ тервалы рассматриваются в порядке убывания их номеров и опреде­ ляется наибольшее q * попадающее в свой интервал. Пусть q*k e[Q k',Qk+]). Для определения оптимальной партии сравниваются затраты C (qk),C (Q k+l),C (Q k+2),...,C (Q n) и по мини­ мальной величине затрат определяется оптимальная партия. Модель с конечной интенсивностью поступления запаса В рассмотренных моделях пополнение запасов осуществлялось из внешних источников. В ряде случаев потребитель запасов являет- 49 ся одновременно и производителем. Например, на заводе продукция, произведенная одним цехом, поступает на склад с определенной ин­ тенсивностью и используется в производстве другим цехом. Очевид­ но, система может работать без дефицита, если интенсивность поста­ вок X превосходит интенсивность спроса v. Изменение уровня запаса для рассматриваемого случая изображено на рисунке 4.2. Рисунок 4 2 — Динамика изменения уровня запасов I для однономенклатурной мо­ дели с конечной интенсивностью поступления заказа За время Т] запас поступает и расходуется одновременно. Это время накопления запаса. В течение т2 запас только расходуется. Длина цикла: т = г, +т2 Величина партии = q, но максимальный уровень запаса Imax<<7, т.к. продукция используется по мере изготовления. Скорость пополнения запасов равна Х-\. Если производствен­ ный цикл длится t единиц времени, то общий объем продукции, производимой в течение цикла, определяется по формуле q = A t , q следовательно, t = — . X Максимальный уровень запасов: 50 Средний уровень запасов: / - (1 — -)1)1 1 2 ^ s4 /1 v 4Издержки системы в единицу времени: С = ----- 1-----(1----- ) q 2 А Для определения оптимальных параметров работы системы не­ обходимо рассчитать: - , 2 Kv1. величину оптимальной партии: q = ' • О 2. оптимальный период возобновления производства: * * й.3. составляющие периода возобновления: г = — Л г ’ = р К * ( Л - у ) 2 V sv)I 4. минимальные издержки в единицу времени: С ’ = ^ 2 Ж п > * (1 - - ) Если интенсивность поставки значительно больше интен- V сивности потребления — > 0 , то речь идет об обычной модели Уил- Л сона. При определении оптимальной точки заказа рассматриваются 2 случая: 51 1) если в — в * т г" < т\, то г - 0v - в " в ' г ' в ' ч( А Л если в — * т* > х\ , то г — 9{v — Л) + * +1 ----- 1 т V_т УVV ) 4.3 Статические детерминированные модели с дефицитом В отличие от статических детерминированных моделей без дефи­ цита в данном классе дефицит допускается, и в отдельных случаях планирование дефицита позволяет снизить затраты. Рассмотрим модель оптимальной партии поставки, когда неудов­ летворенные требования ставятся на учет. При поступлении очередной партии в первую очередь удовлетво­ ряется задолженный спрос, затем пополняется запас. Изменение за­ паса в такой системе показано на рисунке 4.3. На графике у — максимальная величина задолженного спроса; Y=q-y — максимальная величина наличного запаса; Т) — время существования наличного запаса; т2 — время дефицита. d — убытки, связанные с дефицитом единицы запаса в единицу времени. Издержки работы системы в единицу времени: C = K v- + s ^ L + d-y l ч 2 q 2 q 52 Рису i (ок 4.3 - Динамика изменения уровня I запасов для однономенклатурной модели с учетом неудовлетворенных требований ' ^ » 2 K v S . Оптимальное значение партии: q = J ------ (1 н— ) V s d Максимальная величина задолженного спроса: ♦ _ s / 2 Kv d у ^(1 + s /d ) Минимальные затраты: С* = у/2Ksv * 1 1 + - « * Y = q - у . 7* = — » V * 2 » г, + т 2 V 53 Г г, d Следует иметь в виду, что —г = —г = — У т2 S Точка заказа: г = Ov - в ■У Если точка заказа равна отрицательной величине, то размещение заказа должно производиться при |г| поставленных на учет требованиях. Модель с потерей неудовлетворенных требований Пусть неудовлетворенные требования теряются. Из-за дефицита система несет убытки. В простейшем случае издержки дефицита считают пропорциональными средней величине потерянных требо­ ваний и времени тг. 2 v ( r - ^ ) 2 Издержки одного цикла т: С = К + s ----- \-d v 2v 2 Издержки работы системы в единицу времени достигнут: г к е / ( г - - )2С —---- 1- .у------(- d 2 v t 2т 12 Kv 1 Следовательно: q = s 1 + - r - = j M . . ( ] + £ ) V sv d С ' = ^j2K sv* (l + - j ) Отношение времени содержания запаса ко времени дефицита т.* d—Цг = — , т.е. время существования наличного запаса так относится Т 2 5 ко времени дефицита, как удельные издержки дефицита - к удель­ ным издержкам содержания. 54 Однопериодная модель управления запасами при случайном спросе Планирование осуществляется на конечном интервале времени, в начале которого пополняются запасы. На практике такие задачи воз­ никают в торговле быстро выходящими из моды и сезонными това­ рами. Для промышленных предприятий интерес представляет задача закупки запасных частей для специального оборудования. Запчасти могут быть поставлены по низкой цене в комплекте с основным оборудованием, а в дальнейшем из-за необходимости повторного запуска производства - по более высокой. Пусть спрос v - дискретная случайная величина, которая задается с помощью таблицы 4.1. юлнца 4. V 0 1 к P(v) Р(0) Р(1) р(к) 'У'1 p (v ) - 1, а вероятность того, что спрос за рассматриваемый у=0 оЭ интервал времени не превысит уровня q, равна p{v оо v=0 Введем обозначения: а — покупная цена единицы продукции; d — потери, связанные с нехваткой единицы продукции; 5 — затраты на содержание единицы продукции; Р(Р < а) — цена реализации неиспользованной продукции. Условие нахождения оптимальной партии сезонного спроса мож­ но записать следующим образом: , * .. d ос , *. p ( v < q ~1)<------- - < p ( v < q ) d + s - f i 55 Задание для самостоятельного решения 4.1 Решить задачу в соответствии со своим вариантом. Решение представить в графическом виде. Задача 1. Автомобильный завод заказывает 1 раз в месяц шины. Спрос в течение месяца составляет 5тыс. шин. Стоимость 1 шины - 96ден.ед. Издержки на хранение составляют 15% стоимости за­ пасов в месяц. Время доставки заказа - 12 дней. Стоимость орга­ низации доставки партии - 71 ден.ед. Определить оптимальный раз­ мер партии, периодичность поставок, точку заказа, моменты подачи заказа, издержки при оптимальной и действующей системе управле­ ния запасами. Задача 2. Продукция используется с интенсивностью 30 ед./день. Стоимость хранения единицы продукции равна 0,05 ден.ед./день, стоимость размещения заказа составляет 100 ден.ед. Предположим, что дефицит продукции не допускается, стоимость закупки равна 10 ден.ед. за единицу продукции, если объем закупки не превышает 500 единиц, и 8 ден.ед. в противном случае. Срок выполнения заказа ра­ вен 21 день. Предложить режим функционирования системы управ­ ления запасами и определить оптимальные параметры функциониро­ вания системы. Задача 3. Фирма специализируется на продаже запасных частей для автомобилей. Одним из основных видов продукции являются стартеры. Среднегодовой спрос 1200 шт. Стоимость подачи и оформления заказа равна 50 ден.ед. Годовая стоимость хранения стартера в соответствии с проведенными оценками составляет 20% общей стоимости запасов данного товара и рассчитывается на осно­ ве общей стоимости складских помещений и темпов роста капитала, фирмы. Цена, которую устанавливает компания-производитель за один стартер, равна 25ден.ед. Требуется определить оптимальный размер заказа и время между двумя последовательными его подача­ ми. Производитель предоставляет скидку на 2,5 %, если фирма по­ дает заказ не менее чем на 800 стартеров. Необходимо показать, что такая оптовая скидка не является выгодной для фирмы, и опреде­ лить, при каком проценте скидки фирме выгодно закупить партию в 200 стартеров. Задача 4. Годовая потребность машиностроительного завода в стали (пруток диаметром 12мм) составляет 300 т. В соответствии с 56 техническими требованиями в случае необходимости пруток диа­ метром 12 может быть заменен прутком диаметром 14мм, цена кото­ рого за 1т на 20 ден.ед. больше. Условно-постоянные транспортно­ заготовительные расходы на один заказ равны 21 ден.ед., годовые издержки по содержанию 1т - Мден.ед. Определить оптимальный размер партии. Задача 5. Стоимость 1 запчасти при закупке оборудования 40 ден.ед. В случае нехватки предприятие несет потери 50 ден.ед. Не­ использованные запчасти в конце срока эксплуатации реализуются по 10 ден.ед. Издержки содержания пропорциональны остатку и со­ ставляют 14 % первоначальной стоимости. Данные о потребности в запчастях представлены в таблице. _____ V P(v) 0 -8 0,2 8 -1 6 0,3 16-24 0,3 24 -32 0,1 32-40 0,1 Определить количество запчастей к оборудованию, средний де­ фицит, величину издержек, связанных с дефицитом, общие издержки. Задача 6. Завод заказывает солярку в начале каждой недели для удовлетворения недельного спроса в 300 литров. Стоимость размеще­ ния заказа равна 20 ден.ед. Стоимость хранения 1л солярки обходится заводу примерно в 0,03 ден.ед./день. Определите оптимальные пара­ метры функционирования системы. Задача 7. Система управления запасами предприятия описывается простейшей однономенклатурной бездефицитной моделью с конечной интенсивностью поступления заказа. Исходные данные: спрос - 450 шт./месяц; затраты на организацию поставки - 100 ден.ед.; стоимость хранения единицы товара в течение месяца - 2 ден.ед.; интенсивность поступления заказа —200 шт./декаду; время выполнения заказа-5 дней. Предложите режим функционирования системы управления запа­ сами и определите оптимальные параметры функционирования системы. Задача 8. Автомобильная компания разрабатывает стратегию сбы­ та новой модели автомобиля. Годовой спрос оценивается в 4000 еди­ ниц. Цена каждого автомобиля равна 90 тыс. ден.ед., а годовые из­ 57 держки хранения составляют 10% от цены самого автомобиля. Ана­ лиз показал, что средние издержки заказа составляют 25 тыс. ден.ед. на заказ. Время выполнения заказа - 8 дней. Определите оптимальные параметры функционирования системы. Задача 9. Детали нескольких видов расфасовываются в коробки на одной линии упаковки. Затраты на подготовительно­ заключительные операции составляют 700 ден.ед., потребность в деталях составляет 140000 л/месяц, стоимость хранения 1 детали в течение месяца - 4 ден.ед. Определить оптимальные параметры ра­ боты системы, полагая, что в месяце 30 дней. Сравнить минималь­ ные затраты с затратами при действующей системе фасовки одной детали в течение трех дней. Задача 10. Электрические лампы крупной корпорации заменяют­ ся с интенсивностью 100 шт./день. Подразделение материального обеспечения корпорации заказывает эти лампы с определенной пе­ риодичностью. Стоимость размещения заказа на покупку ламп со­ ставляет 200 ден.ед. Стоимость хранения лампы на складе оценива­ ется в 0,02 ден.ед. в день. Срок выполнения заказа от момента его размещения до реальной поставки равен 12 дней. Определите опти­ мальные параметры функционирования системы. Задача 11. Автомобильная мастерская специализируется на быст­ рой замене масла в автомобилях. Мастерская покупает автомобиль­ ное масло по цене 3 ден.ед./л. Цена может быть снижена до 2,5 ден.ед./л. при условии, что мастерская покупает более 1000 л. За день в мастерской обслуживается около 150 автомобилей, и на каждый из них для замены требуется 1,25 л масла. Мастерская хранит на складе большие объемы масла, что обходится в 0,02 ден.ед. в день за литр. Стоимость размещения заказа масла 20 ден.ед. Срок выполнения за­ каза - 2 дня. Определите оптимальные параметры функционирования системы. Задача 12. Предприятие закупает продукцию одного из машино­ строительных заводов. Годовой спрос на эту продукцию составляет 600 шт. Издержки заказа равны 850 ден.ед., издержки хранения - 25,5 ден.ед. за одно транспортное средство в год. Количество рабо­ чих дней в году для предприятия равно 300, а время поставки товара 6 дней. Определите оптимальные параметры функционирования сис­ темы. 58 Задача 13. Предприятие закупает продукцию одного из машино­ строительных заводов. Годовой спрос на эту продукцию составляет 600 шт. Издержки заказа равны 850 ден.ед., издержки хранения - 510 ден.ед. за одну партию автомобилей (20 шт.) в год. Количество рабочих дней в году для предприятия равно 300, а время поставки товара - 6 дней. Определить оптимальные параметры функциониро­ вания системы управления запасами при плановом дефиците, если по оценке менеджера упущенная прибыль, связанная с отсутствием то­ вара и утратой доверия клиентов, составляет 20 ден.ед. в год за еди­ ницу товара. Задача 14. Годовая потребность предприятия в сырье А составля­ ет 300 т. В соответствии с технологическими требованиями в случае необходимости сырье А можно заменить сырьем В, цента которого за 1 т. на 50 ден.ед. больше. Условно-постоянные транспортно­ заготовительные расходы на один заказ равны 150 ден.ед., издержки по содержанию 1 т. — 30 ден.ед. Время поставки заказа равно 1 ме­ сяц. Определите оптимальные параметры функционирования системы. Задача 15. Продукция используется с интенсивностью 30 ед./день. Стоимость хранения единицы продукции равна 0,05 ед./день, стоимость размещения заказа составляет 100 ден.ед. Де­ фицит продукции не допускается, стоимость закупки равна 10 ден.ед. за единицу продукции, объем закупки не превышает 500 единиц, и 8 ден.ед. в противном случае. Срок выполнения заказа 21 день. Определите оптимальные параметры функционирования системы. Задача 16. Система управления запасами предприятия описыва­ ется простейшей однономенклатурной бездефицитной моделью с конечной интенсивностью поступления заказа. Исходные данные: спрос - 450 шт./месяц; затраты на организацию поставки - 100 ден.ед.; стоимость хранения единицы товара в течение месяца - 2 ден.ед.; интенсивность поступления заказа - 200 шт./декаду; время выполнения заказа - 5 дней. Определите оптимальные параметры функционирования системы. Задача 17. Автомобильная компания разрабатывает стратегию сбыта новой модели автомобиля. Годовой спрос оценивается в 4000 единиц. Цена каждого автомобиля равна 90 тыс. ден.ед., а годовые издержки хранения составляют 10% от цены самого автомобиля. Анализ показал, что средние издержки заказа составляют 25 тыс. 59 ден.ед. на заказ. Время выполнения заказа - 8 дней. Определите оп­ тимальные параметры функционирования системы. Задача 18. Спрос в течение месяца на электронагреватели со­ ставляет 95 штук. Стоимость 1 электронагревателя - 150 ден.ед. Издержки на хранение составляют 35% стоимости запасов в месяц. Время доставки заказа - 10 дней. Стоимость организации доставки партии 200 ден.ед. Определить оптимальные параметры функцио­ нирования системы. Определить моменты времени подачи первого и второго заказов, если в начальный момент времени магазин рас­ полагает 50 нагревателями. Задача 19. Спрос на продукцию составляет 60 ед./месяц. Стои­ мость хранения единицы продукции равна 0,1 ед./день, стоимость размещения заказа составляет 150 ден.ед. Дефицит продукции не допускается, стоимость закупки равна 55 ден.ед. за единицу про­ дукции, если объем закупки не превышает 700 единиц, и 45 ден.ед. в противном случае. Срок выполнения заказа 10 день. Определите оптимальные параметры функционирования системы. Задача 20. Среднегодовой спрос на детали 300 шт. Стоимость оформления заказа 30 ден.ед. Годовая стоимость хранения запасов составляет 10% общей стоимости запасов данного товара. Цена за­ купки 1 детали равна 95ден.ед. Определить оптимальные параметры функционирования системы. Производитель предоставляет скидку в 7%, если фирма подает заказ более чем на 100 деталей. Выгодна ли такая скидка фирме? 4.4 ABC —анализ Метод ABC («правило Парето» и «правило 80/20») - метод фор­ мирования и контроля за состоянием запасов, заключающийся в разбиении номенклатуры N реализуемых товарно-материальных ценностей на 3 неравноценных подмножества А, В и С на основа­ нии формального алгоритма. Суть данного метода заключается в том, что вся номенклатура материальных ресурсов располагается в порядке убывания суммар­ ной стоимости всех позиций на складе. При этом цену единицы продукции умножают на общее количество и составляют список в порядке убывания произведений. Далее подразделяют все позиции номенклатуры на 3 группы - А, В и С. 60 приходится преобладающая часть денежных средств, вложенных в запасы. На товары группы А, как правило, приходится 70-80% стои­ мости всех складских запасов, а доля этой группы в общем количест­ ве единиц товаров на складе составляет около 20 %. Группа В. Позиции номенклатуры, занимающие среднее положе­ ние в формировании запасов склада. По сравнению с позициями номенклатуры группы А они требуют меньшего внимания — про­ изводится обычный контроль текущего запаса на складе и своевре­ менности заказа. На товары группы В, как правило, приходится 15% стоимости всех складских запасов, а доля этой группы в общем коли­ честве единиц товаров на складе составляет около 30-40%. Группа С. Позиции номенклатуры, составляющие большую часть запасов: на них приходится незначительная часть финансовых средств, вложенных в запасы. Как правило, по позициям группы С не ведется текущий учет, а проверка наличия осуществляется пе­ риодически (один раз в месяц, квартал или полугодие); расчеты оп­ тимальной величины заказан периода заказа не выполняются. На товары группы С приходится 5-15 % стоимости всех складских запа­ сов, а доля этой группы в общем количестве единиц товаров на скла­ де составляет около 40-50%. В зависимости от особенностей деятельности, специализации пред­ приятия процентное соотношение между группами может колебать­ ся. Предприятия, специализирующиеся на торговле товарами широ­ кого потребления, обязаны учитывать случайный характер спроса отдельного потребителя и иметь в связи с этим относительно широ­ кий ассортимент. Это обстоятельство обуславливает то, что для этого предприятия подавляющее количество товаров будет сконцентриро­ вано в группе С. В свою очередь для предприятия, реализующего продукцию производственно-технического назначения, высокотехно­ логичные товары, группы В и С практически не имеют значения. 1 Эмпирический метод Базируется на данных обследований. Условно в нем можно вы­ делить несколько вариантов, но наибольший интерес представляет «классический» - «правило Парето», когда координаты точки А при­ нимаются, например, следующими: YA=80%; Хд=20%, т.е. «80/20», а координаты точки В соответственно YA+YE = 95%, Х а+ Х б = 50%, т.е. «95/50». Таким образом, точка А определяет границу 20% номенкла­ туры. точка (А + В) — 50% номенклатуры. 61 «95/50». Таким образом, точка А определяет границу 20% номенкла­ туры, точка (А + В) — 50% номенклатуры. 2 Дифференциальный метод 1. определяются общие затраты по всей номенклатуре С^; 2. рассчитывается средняя стоимость 1 товара номенклатуры p=Cj/N, где N - количество наименований товара; 3. все товары, затраты на которые в 6 раз и более превышают р, относятся к группе А; 4. товары, затраты на которые составляют 0,5р или меньше, от­ носятся к группе С; 5. остальные попадают в группу В. Достоинство дифференциального метода - простота; нет необхо­ димости ранжировать товары по стоимости, т.е. располагать в поряд­ ке возрастания или убывания, и строить кумулятивную (интег­ ральную или накопленную) зависимость (i). 3 Аналитический метод Точки А и В определяются по статистическим данным учета запа­ сов на складе, как в первом методе, но координаты их не строго фик­ сированы, а зависят от характера зависимости C^=f(N). Суть метода рассмотрим на следующем примере. Допустим, что для всей номенклатуры деталей N известны: Cj - стоимость i-й детали, qi - количество (или оборот) i-й детали на складе в течение рас­ сматриваемого интервала времени. Рассчитаем затраты по каждой детали: C;=qj*Cj Полученные значения Q ранжируются — располагаются в убы­ вающей последовательности: Са>Сь>...>0>...>Ст . Затем производится присвоение новых индексов: а=1, Ь=2, ..., m=N, где N - общее количество наименований деталей (номенклатура), т.е. Ci>C2>...>Q>.. .>CN. Для удобства расчетов вводятся относительные величины рас­ сматриваемых стоимостных показателей q, (в процентах), тем самым производится нормирование показателей: 62 Величины qj суммируются нарастающим итогом и в зави­ симости от последующего способа определения номенклатурных групп представляются в виде графика (графический метод) или в слу применения аналитического метода в табличной форме - в виде пар значений (q^i, i) для подбора аналитической зависимости: q^i=f(ap;x) где ар - коэффициенты, х - номер детали, х = i,N. 4. Графический метод 1. На оси ординат наносятся значения на оси абсцисс - ин­ дексы l,2,...,i,...,N, соответствующие присвоенным номерам позиций номенклатуры запасных частей. 2. Точки с координатами (q^; х) на графике соединяются плав­ ной кривой OO'D, которая в общем случае является выпуклой. 3. Проводится касательная LM к кумулятивной кривой OO'D, параллельно прямой OD. Прямая OD соответствует равномерному распределению затрат по всей номенклатуре, т.е. характеризует ве­ личину показателя осредненной детали: qCpA=100/N. 4. Абсцисса точки касания О', округленная до ближайшего це­ лого значения отделяет от всей номенклатуры деталей первую груп­ пу Na (группа А), в которую входят детали с показателями q,>qA. Т.о., к группе А относятся все позиции номенклатуры, для которых значе­ ние показателя q, > среднему значению показателя для всей номенк­ латуры N. Соответственно ордината точки O' - q^A указывает долю деталей группы А в процентах от величины в общем показателе qg. 5. Продолжим деление на группы оставшейся номенклатуры деталей, воспользовавшись вышеописанным приемом. Соединим точку О' с точкой D и проведем касательную к кривой 0 '0"D , парал­ лельную прямой O'D. Абсцисса точки касания О" делит оставшуюся номенклатуру дета на группу В и группу С. Для оставшейся номенклатуры величина показателя «осреднен- ю о - q ^ A ной» детали составит: qcpB — ——— ~ — TV — JS А Na - число деталей (номенклатура) группы А. Таким образом, в группу В попадают детали с показателями qs, подчиняющимися неравенству: qcpA>q Si qcpB- 63 Если кривая 0Q '0"D невыпуклая, то невозможно выделить ни од­ ну из групп деталей; если кривая 0 '0"D невыпуклая, то невозможно выделить группы В и С. Рисунок 4.4 - Определение номенклатурных групп ABC: 1 - накопленные затра­ ты на 34 по всей номенклатуре деталей; 2 - касательная L-M к кривой OO'D; 3 - касательная L'-M' к кривой 0'0"D Пример. Пусть ассортимент торгового предприятия ограничен десятью товарами. В таблице 4.1 приведены данные о среднем при­ обретаемом количестве каждого товара за период, цене за единицу товара. В графе 4 содержится стоимость приобретаемых товаров, определяемая путем перемножения количества и цены. В зависимо­ сти от стоимости каждому товару присваивается свой ранг (макси­ мальная стоимость - 1, минимальная - 10). Ранг товаров заносится в графу 5. Это ранжирование представляет собой первый этап анали­ за ABC. 64 Таблица 4.1 - Первый этап анализа ABC. Товар Количество, шт. Цена, тыс. руб. Стоимость, тыс. руб. Ранг " 1 2 3 4 5 Товар1 200 15 3000 6 Товар2 75 90 6750 5 ТоварЗ 360 5 1800 10 Товар4 210 180 37800 1 Товар5 500 14 7000 4 Товарб 20 100 2000 9 Товар7 40 200 8000 3 Товар8 110 25 2750 7 Товар9 350 7 2450 8 Товар10 195 190 37050 2 На втором этапе анализа (таблица 4.2) товары в графе 1 упорядо­ чиваются в соответствии с определенным рангом. В графе 2 приво­ дится суммарное количество товаров нарастающим итогом. В графе 3 количественные показатели заменяются процентными. В графах 5 и 6 записаны данные тех же расчетов для стоимости товаров. На осно­ вании данных приведенных в графах 3 и 6, а также приведенных вы­ ше примерных процентных соотношений между группами по коли­ честву и стоимости товары распределяются на три группы: А, В и С (графы 4,7, 8). При осуществлении управления запасами группы А следует обра­ тить внимание прежде всего на: - анализ рынка и структуры стоимости; - детальную подготовку заказа товаров; постоянный контроль за реализацией; - установление оптимальных страховых запасов. - Дня товаров из группы С рекомендуется использование про­ стых управленческих процедур и максимальное снижение связанных с этим издержек. - Для товаров из группы В рекомендуется средний уровень контроля и издержек с ним связанных. 65 Таблица 4.2 - Второй этап анализа ABC Товар Саккуму- лирован- ное коли­ чество, шт. Саккуму- лирован- ное коли­ чество, % Колич. соотно­ шение групп, % Саккуму- лирован- ная стои­ мость, тыс. руб. Саккуму- лирован- ная стои­ мость, % Стоимо­ стное соотно­ шение групп, % Группа 1 2 3 4 5 6 7 8 4 210 10Д 37800 34,8 А 10 405 19,6 9,6 74850 68,9 68,9 А 7 445 21,5 82850 76,3 В 5 945 45,9 89850 82,7 В 2 1020 49,6 30,0 96600 88,9 20,0 В 1 1220 59,3 99600 91,7 с 8 1330 64,6 102350 94,4 с 9 1680 81,6 104300 96,5 с 6 1700 82,6 106800 98,3 с 3 2060 100,0 50,4 108600 100,0 и д с Задание для самостоятельного выполнения 4.2 1) Изучить теоретические вопросы управления запасами при помощи метода ABC. 2) Выбрать исходные данные в соответствии с вариантом (табл. Б1). 3) Провести анализ запасов эмпирическим, дифференциальным, аналитическим и графическим методами. 4) Сделать выводы. 66 5. МОДЕЛИ ТЕОРИИ ИГР Игра ~ математическая модель конфликтной ситуации. Игроки - стороны , участвующие в подобной ситуации. Если один из игроков не является сознательно действующим противником, то его назы­ вают «природа», а игры - «игры с природой» (статистические игры). В общем виде матричная игра может быть записана следующей платёжной матрицей:_______ ______________ ________ в , В 2 в , А , а 1 | а 1 2 а 1 j а 2 а 2 I а 2 2 а 2 i А ( а п а а .a ij А; - названия стратегий игрока А, Bj - названия стратегий игрока В, «у - значения выигрышей игрока А при выборе им i-й стратегии, а игроком В - j—й стратегии. Алгоритм решения задачи теории игр состоит из 2 этапов. Этап 1. Поиск решения в чистых стратегиях. Этап 2. Поиск решения в смешанных стратегиях. Этап 1. Для игрока А необходимо определить минимальные значения выигрышей в каждой из стратегий, а затем найти макси­ мум из этих значений* т.е. определить а= max, mitij сщ - нижнюю чистую цену игры. Ей соответствует максиминная стратегия. Затем находится верхняя чистая цена игры в = min шах ац, со- ./ ' ответствующая минимаксной стратегии игрока В. Если а = (3 = V , то проект устойчив и игра имеет решение в чис­ тых стратегиях, а стратегия, в которых достигается v - оптимальная чистая стратегия, v - чистая цена игры. Если а ф р , то выбор стратегий каждым из игроков оказывается неустойчивым. Этап 2. Матричная игра, решаемая с использованием смешан­ ных стратегий - игра со смешанным расширением. Стратегии, при­ менённые с вероятностью Ф О — активные стратегии. Для всех игр со смешанным расширением существует оптималь­ 67 ная смешанная стратегия, значение выигрыша при выборе которой находится в интервале между нижней и верхней ценой игры: a0, i - \ ,m . Для оптимального решения X* выполняется 1 * • ■ Г "v = —— ; р, =x,.v, i = \,m . J min q —- Принимая новые обозначения у . = — ( j = \ ,п ), для игрока В v имеем следующую задачу линейного программирования. п ^ = Х л - > т а х ; м п _ _ S ./=1 y>j >0, 7 = 1, п. Для оптимального решения Y* выполняется 1 v ~F«a . i = y y j = U? 5 68 Пример. Предприятие имеет возможность планировать объем выпуска сезонной продукции А, Б, В. Не проданная в течение сезо­ на часть продукции позднее полностью реализуется по сниженным ценам. Все необходимые данные приведены в таблице 5.1. Устано­ вить объемы выпуска продукции к предстоящему сезону, обеспечи­ ваю щ ие предприятию возможно большую сумму прибыли. Таблица 5.1 - Исходные данные Вид про­ дукции Себе­ стои­ мость единицы продук­ ции Отпускная цена единицы продук­ ции Объем реализации (тыс. ед.), если уровень спроса в тече­ ние сезона после уценки повы­ шенный средник пони­ женный А 2 3 1,5 5 3 1 Б 5 6 4,5 7 4 2 В 3 4 2,5 6 5 3 Для составления платежной матрицы, построим платежные мат­ рицы по каждому товару отдельно и сложим в одну общую. Соста­ вим матрицу для товара А: а\\ ап «13 °2i С* 22 а 2Э Й31 аЪ2 а зз Стратегий у предприятия 3: ориентироваться на повышенный спрос, средний и пониженный. Рассчитаем коэффициенты матрицы: аи ~ предприятие ориентировалось на повышенный спрос и по­ пало на повышенный спрос, полностью продав продукцию по цене в течение сезона: а п = 5 * (3 - 2) = 5 тыс.ден.ед. а, 2 - предприятие ориентировалось на повышенный спрос и по­ пало на средний спрос, продав часть продукции по цене в течение сезона, а остальную по заниженной: 69 ап = 3 * (3 - 2) + (5 - 3) * (1,5 - 2) = 3 -1 = 2 тыс.ден.ед. a, j - предприятие ориентировалось на повышенный спрос и по­ пало на низкий спрос, продав часть продукции по цене в течение сезона, а остальную по заниженной: а п = 1 * (3 - 2) + (5 -1 ) * (1,5 - 2) = 1 - 2 = -1 ты с.ден .ед . а21 = 3 * (3 - 2) = 3 ты с.ден .ед . с? 22 = 3 * (3 - 2 ) = 3 ты с.ден .ед . а 2з = 1 * (3 - 2 ) + (3 - 1) * (1,5 - 2 ) = 1 -1 = 0 т ы с.ден .ед . а 31 = 1 * (3 - 2 ) = 1 ты с.ден .ед . а з2 = 1 * (3 — 2 ) = 1 ты с.ден .ед . а 33 = 1 * (3 — 2 ) = 1 ты с.ден .ед . Остальные расчеты сведем в таблицу 5.2: Таблица 5.2 - Расчетная таблица Ориентация на по­ вышенный, а попали на Ориентация на сред­ ний, а попали на Ориентация на по­ ниженный, а попали на повы- вы- шен- ный сре дни й пони- ни- жен- ный повы- вы- шен- ный сре ДНИ й пони- ни- жен- ный повы- вы- шен- ный сре ДНИ й пони- ни- жен- НЫЙ А 5 2 -1,0 3 3 0 1 1 1 Б 7 2,5 -0,5 4 4 1 2 2 2 В 6 4,5 1,5 5 5 2 3 3 3 I 18 9 0 12 12 3 6 6 6 70 Матрицы для товаров А, Б, В: 5 2 7 2,5 - 0 ,5 6 4,5 1,5 18 9 0 3 3 0 Б = 4 4 1 В = 5 5 2 = > 5 = 12 12 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 6 6 6 Bi в 2 в 3 Minj А, 18 9 0 0 а 2 12 12 3 3 А3 6 6 6 6 Мах; 18 12 6 а= 6, Р=6 Есть решение в чистых стратегиях - полностью ориентироваться на низкий спрос. Решение, как для смешанной стратегии (вероятность должна для Рз= 1) Общая задача линейного программирования для одного из игро­ ков и ее решение: F=v—ипах 18pi+12p2+6p3> V 9pt+12p2+6p3> V Зр2+6рз > V р ,+ р2+ р3=1 РьРг,Рз>0 Ответы: pi=0; р2= 0; р3= 1; V=6. Задача линейного программирования в симметричной форме за­ писи для одного из предприятий и ее решение: F=xi+x2 + Хз —>min 18x i + 12x 2+6x 3> 1 9х 1+ 12х 2+ 6х 3> 1 Зх2+6х3>1 хьх2,х3>0 Ответы: xi=0; х2=0; х3=0,17; f=0,17 Проверка: v =l/f= 1/0,17=6 Pi=Xi* v =0, р2=х2* v =0, р3=х3* v =1 71 Критерии выбора наилучшей стратегии Критерий Вальда (максиминный критерий, ММ-критерий). Ос­ нован на принципе крайнего пессимизма. Принимающий решение считает, что какую бы стратегию он ни выбрал, природа реализует свое наихудшее состояние. В наихудших условиях лицо прини­ мающее решение (ЛПР) находит наилучший выход. Таким образом, ЛПР для каждой стратегии А; находит наименьший выигрыш aj=mina;j Затем среди наименьших выигрышей находит наибольший а;о= таха; = шах minajj Критерий Сэвиджа. Основан на принципе минимизации макси­ мального риска. Риск ЛПР Гц - выигрыш, который бы он получил, если бы знал, какое состояние реализует природа, и его реальный выигрыш. ГЧ~Р} ~ aij /?j=max а,; Матрица риска R имеет вид___________________ п , п 2 П) А , Г 1 1 г 1 2 г п а 2 г 2 1 г 2 2 Г 2 1 Aj Г , I Г 12 Г. и _ . ЛПР для каждой стратегии А\ находят максимальный риск г,: г;=тахгу Затем из максимальных рисков выбирается минимальный: ri0= minrj=min maxry Критерий Гурвица (критерий оптимизма-пессимизма). Стара­ ясь занять наиболее уравновешенную позицию, ЛПР может ввести оценочный коэффициент, называемый коэффициентом пессимизма, который и отражает ситуацию, промежуточную между точкой зре­ ния крайнего оптимизма и крайнего пессимизма. Наилучшей по Гурвицу является стратегия Ai0, соответствующая числу аю, которое рассчитывается как: ai0 = max aj а; =y-minJ ay + (1- у) -шах, ay у - коэффициент пессимизма, 0 < у < 1. При у = 0 имеем кри­ терий крайнего оптимизма, а при у = 1 - критерий пессимизма Вальда. 72 Критерий недостаточного основания Лапласа. Данный крите­ рий используется при наличии неполной информации о вероятно­ стях состояний окружающей среды в задаче принятия решения. Ве­ роятности состояний окружающей среды принимаются равными и по каждой стратегии ЛПР в платёжной матрице определяется как П 5 а ---- . п Оптимальной по данному критерию считается та стратегия ЛПР, при выборе которой значение среднего выигрыша максимально: W=maxW,. Критерий Байеса (критерий максимального математического ожидания выигрыша). Используется, когда имеются вероятности, с которыми реализуются состояния природы р,, которые рассчитыва­ ются на основе статистических данных или определяются эксперт­ ным путем. Для каждой стратегии А; рассчитывается ожидаемый выигрыш _ П a i = Y u a n P l 7=1 Наилучшей по Байесу, будет стратегия А; соответствующая наи- __ _ П большему ожидаемому выигрышу: аю = max al = m a x ^ g /;/ 7/ 7=1 Задание для самостоятельного решения 5.1 Определите, имеет ли платёжная матрица а) доминируемые или дублирующие стратегии; б) решение в чистых стратегиях. _____ _____ В, в 2 В3 в 4 А, 1 2 N+1 N+2 а 2 4 Log2N 3 Аз 6 1 3 N А4 1 2 3 4 где N - порядковый номер в списке группы. 73 Задание для самостоятельного решения 5.2 Два предприятия производят продукцию и поставляют её на ры­ нок региона. Они являются единственными поставщиками продук­ ции в регион, поэтому полностью определяют рынок данной про­ дукции в регионе. Каждое из предприятий имеет возможность производить продукцию с применением одной из пяти различных технологий. В зависимости от качества продукции, произведённой по каждой технологии, предприятия могут установить цену реали­ зации единицы продукции на уровне 10, 8. 6, 4 и 2 ден.ед. соответ­ ственно. При этом предприятия имеют различные затраты на про­ изводство единицы продукции (таблица 5.3). Таблица 5.3 - Затраты на единицу продукции, произведенной на предприятиях региона (ден.ед.). _______________________________ Технология Цена реализации единицы продукции, ден.ед. Полная себестоимость единицы продукции, ден.ед. Предприятие 1 Предприятие 2 I 10 5 8 II 8 4 6 III 6 3+0,1 *N 3,5-0,1*N IV 4 •2 2 V 2 4-0,1*N 1+0,1*N N -номер студента в списке группы. В результате маркетингового исследования рынка продукции ре­ гиона была определена функция спроса на продукцию: Y=8-0.3X, где Y - количество продукции, которое приобретёт население ре­ гиона (тыс. ден.ед.), а X - средняя цена продукции предприятий, ден.ед. Значения долей продукции предприятия 1, приобретенной насе­ лением, зависят от соотношения цен на продукцию предприятия 1 и предприятия 2. В результате маркетингового исследования эта за­ висимость установлена и значения вычислены (таблица 5.4). 74 Таблица 5.4 - Доля продукции предприятия 1, приобретаемой 1П^рпением в зависимости от соотношения цен на продукцию Цена реализации 1 ед. продукции, ден.ед. Доля продукции предприятия 1, купленной населением■"Предприятие 1 Предприятие 2 10 10 0,31 ' 10 8 0,33 10 6 0,25 10 4 0,2 10 2 0,18 8 10 0,4 8 8 0,35 8 6 0,32 8 4 0,28 8 2 0,25 6 10 0,52 6 8 0,48 6 6 0,4 6 4 0,35 6 2 0,3 4 10 0,6 4 8 0,58 4 6 0,55 4 4 0,5 4 2 0,4 2 10 0,9 2 8 0,85 2 6 0,7 2 4 0,65 2 2 0,4 1. Существует ли в данной задаче ситуация равновесия при вы­ боре технологий производства продукции обоими предприятиями? 2. Существуют ли технологии, которые предприятия заведомо не будут выбирать вследствие невыгодности? 3. Сколько продукции будет реализовано в ситуации равновесия? Какое предприятие окажется в выигрышном положении? Дайте краткую экономическую интерпретацию результатов решения задачи. 75 Задание для самостоятельного решения 5.3 Критерии выбора наилучшей стратегии В матрице: _____________ _____ S, s 2 s 3 Р| 0,7 0,2 од Aj 20+N 18 32-N Аг 26 17+N/2 9 Аз 40-N 16 N-1 где N - номер студента в списке группы. у=0,3. Определить оптимальные стратегии и значения выигрышей при выборе оптимальных стратегий по критериям Байеса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица, Лапласа. Задание 5.4 1. Выбрать исходные данные в соответствии с заданным вариантом (таблица 5.5). 2. Составить платежную матрицу и матрицу рисков. 3. Определить оптимальные стратегии по различным критериям. 4. Произвести выбор и обоснование наиболее оптимальной стра­ тегии, сделать выводы. Таблица 5.5 - Исходные данные Ва­ ри­ ант Вероятности спроса Спрос потребителей по кварталам года (тыс. ед.) Доход от продажи единицы изделия Издержки от нереализо­ ванной еди­ ницы про­ дукцииqi Яг q.i 44 а. а2 аз а* 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 0,1 0,2 0,2 0,5 10 15 20 25 15 5 2 0,3 0,2 0,2 0,3 15 20 25 30 17 6 3 0,1 0,2 0,3 0,4 10 12 20 25 20 7 4 0,3 0,1 0,2 0,4 5 10 15 17 22 8 5 0,1 0,2 0,2 0,5 10 20 30 40 18 6 6 0,3 0,2 0,2 0,3 20 25 30 35 19 6 7 0,1 0,2 0,3 0,4 10 12 20 25 21 7 8 0,3 0,1 0,2 0,4 5 10 15 17 23 7 9 0,1 0,2 0,2 0,5 15 20 25 30 22 6 10 0,3 0,2 0,2 0,3 10 12 20 25 20 5 11 0,1 0,2 0,2 0,5 10 17 20 25 17 8 12 0,3 0,2 0,2 0,3 15 20 25 30 17 6 13 0,1 0,2 0,3 0,4 10 12 20 25 26 7 14 0,2 0,2 0,2 0,4 5 10 15 15 24 8 76 Продолжение таблицы 5.5 Г Ц 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0,1 0,2 0,2 0,5 10 20 10 40 18 6 16 0,1 0,4 0,2 0,1 40 25 30 45 19 6 П П 0,1 0,2 0,3 0,4 10 12 20 25 21 7 0,3 0,1 0,2 0,4 5 10 18 17 23 7 ~~\ 0,1 0,2 0,2 0,5 15 20 25 30 22 6 20 0,3 0,2 0,2 0,3 10 14 20 25 19 9 21 0,3 0,2 0,2 0,3 10 13 22 25 20 5 22 0,1 0,2 0,2 0,5 15 17 20 25 17 8 23 1 0,3 о д 0,2 0,3 15 20 25 25 15 6 24 0,1 0,2 0,3 0,4 14 12 20 25 26 7 25 0,2 0,2 0,2 0,4 5 10 15 15 31 8 26 0,1 0,2 0,2 0,5 10 20 11 40 18 6 27 0,1 0,4 0,2 0,1 40 25 15 45 19 6 28 0,1 0,2 0,3 0,4 10 12 20 25 21 7 29 0,3 0,1 0,2 0,4 5 9 18 17 23 7 30 од 0,2 0,2 0,5 15 20 25 29 12 6 31 0,3 0,2 0,2 0,3 9 14 20 25 34 9 6. МОДЕЛИРОВАНИЕ РИСКОВЫХ СИТУАЦИЙ При оценке долгосрочных инвестиционных проектов решения принимаются на основе численного значения одного из критериев выбора этих проектов, например чистой настоящей стоимости (net present value - NPV). Инвестиционный проект со сроком реализа­ ции t лет может быть описан денежным потоком Z = (Z0,Z\,Z2,...,Zt). Тогда чистая настоящая стоимость определяется по формуле N P V = У — (6.1) • ^ 0 + 0 где i - ставка дисконтирования. Однако для более обоснованного принятия решений следует также учитывать устойчивость этой оценки, под которой понимает­ ся степень влияния изменения различных параметров денежного потока, ставки процента и т.д. на колебания значений NPV. Чем слабее это влияние, тем выше устойчивость оценки и тем выше Должна быть степень доверия к ней при принятии решений. Риск реализации долгосрочного инвестиционного проекта со­ стоит в том, что доходы и расходы по данному проекту могут под- 77 вергаться существенным колебаниям. Поэтому устойчивость инве­ стиционного проекта тесно связана с риском его реализации, так как чем выше степень устойчивости, тем меньше его риск. Устойчивость проекта предполагает учет влияния факторов рис­ ка исполнения долгосрочного инвестиционного проекта, которые могут приводить к тому, что проект, который на момент принятия решения о его исполнении является выгодным, например, по крите­ рию максимизации NPV, в будущем может как принести повышен­ ный доход, так и обеспечить получение пониженных доходов, кото­ рые приведут к тому, что NPV проекта будет отрицательной, и проект перестанет быть выгодным для инвестора. Чем выше устой­ чивость, тем ниже неблагоприятное влияние факторов риска на из­ менение параметров денежного потока проекта. Существуют 2 подхода к оценке устойчивости инвестиционного проекта: 1. Аналитический подход. Его идея состоит в том, что формиру­ ются математические выражения, которые в явной форме представ­ ляют соотношение параметров денежного потока и численного значе­ ния критерия оценки проекта, например NPV. Изменяя значение параметра, можно определить соответствующее изменение NPV и оценить ее чувствительность. Достоинство подхода: математическое (аналитическое) выражение степени влияния параметров денежного потока на NPV (ее чувстви­ тельность по отношению к изменениям этих параметров) позволяет легко и быстро оценить устойчивость проекта. Недостаток подхода: в ряде случаев получить такие зависимости в- явном виде сложно. Конкретные методики могут базироваться на вычислении как ча­ стных производных, так и их разностных аналогов. Частная производная NPV по ставке процента определяется по формуле (6.2): dNPV = — ( У Z' ) = f z * - ( ! ) = (6.2) di di t ? ( l + 0 h ' a (1 + 0 1 + i Ы) 0 + i)' Если производная отрицательна, то при увеличении ставки про­ цента NPV уменьшается, и наоборот. Размер изменения будет зави­ сеть от значения полученного выражения. При небольшом измене­ нии ставки процента изменение NPV будет примерно 78 пропорционально значению производной. Поэтому если численное значение производной невелико, то можно говорить о достаточно высокой устойчивости (т.е. низкой чувствительности) изменения инвестиционного проекта и изменения ставки процента. Для большинства практических ситуаций частная производная будет достаточно велика. Кроме того, этот показатель имеет суще­ ственный недостаток: его численные значения зависят от единиц измерения, поэтому следует использовать другой показатель, не имеющий таких недостатков. Таким показателем, используемым для оценки относительного изменения, является коэффициент эла­ стичности NP V по ставке процента: ... dNPV . i £ыру(г) - д. АГРТ/ ’ (6-3)дг N P V который можно интерпретировать как меру риска изменения ставки процента. Он показывает, на сколько процентов изменится NPV при изменении ставки процента на 1%. С учетом того, что частная производная NPV по ставке процента меняется медленно, в практических расчетах следует ожидать рез­ кого увеличения эластичности по мере уменьшения значения NPV по абсолютному значению. Это можно объяснить тем, что риск по­ лучения недостаточного дохода по долгосрочному инвестиционно­ му проекту резко увеличивается, если ожидаемое значение NPV не­ велико. Для практически значимых величин ставок процента ко­ эффициент эластичности по ставке процента, как правило, будет >1, что также свидетельствует о неустойчивости инвестиционных про­ ектов при колебаниях ставок процента. 2. Имитационный подход. Данный подход к анализу чувстви­ тельности предполагает расчет и попарное сравнение численных значений NPV реализаций проекта при различных условиях. Можно представить зависимость между изменением параметров денежного потока и изменением NPV в виде таблицы или графи­ ка. При этом различают: 1. моделирование пошагового изменения параметров денежного потока инвестиционного проекта - проведение последователь­ ных расчетов NPV при относительно небольших изменениях пара­ метров денежного потока и выделение на этой основе интервалов изменения рассматриваемых параметров, в пределах которых NPV 79 проекта остается положительной и проект является относительно устойчивым к изменениям параметров в указанных интервалах. При этом численно оценивается чувствительность NPV к указанным из­ менениям параметров денежного потока. 2. метод Монте-Карло - компьютерное моделирование распре­ делений параметров денежного потока и оценку влияния парамет­ ров этих распределений на изменение NPV и риск реализации про­ екта. В этом случае чувствительность NPV может оцениваться на основе вероятностных моделей. При использовании указанных ме­ тодов анализа чувствительности количественная мера степени влияния рассматриваемых факторов на значение NPV будет пред­ ставлена в виде таблицы значений или графиков. Достоинства данного подхода: относительная простота и воз­ можность компьютерной реализации и получение исходной ин­ формации для управления в условиях неблагоприятного значения отдельных факторов. Недостаток подхода: часто невозможно оце­ нить комплексное влияние всех рассматриваемых факторов или их групп, поскольку это упирается в принципиальные трудности построения многомерных таблиц в компьютере и требует боль­ ших затрат труда и времени на проведение подобных расчетов. При проведении расчетов по методу Монте-Карло предполагает­ ся, что известны значения всех параметров, определяющих величи­ ну отдельных компонент денежного потока инвестиционного про­ екта, кроме тех, которые рассматриваются в качестве факторов риска, и случайное распределение которых моделируется на ЭВМ. Организационно метод Монте-Карло, как метод имитационного ' компьютерного моделирования, можно описать следующей после­ довательностью основных этапов: 1. Определение основных показателей оценки инвестиционного проекта, по которым будет измеряться риск. К числу таких показа­ телей относятся NPV проекта, ставка внутреннего процента, индекс доходности, период окупаемости или другие по желанию инвесто­ ра, предполагающего осуществить рассматриваемый проект. 2. Выделение параметров, которые будут рассматриваться как слу­ чайные величины, и для которых будет проведено компьютерное моделирование соответствующих распределений, а также выбор формы распределения. Можно выделить для анализа те компоненты 80 денеж ного потока, которые, по мнению инвестора, менеджера или э к с п е р т а в соответствующей области, наиболее подвержены риску. В принципе можно рассмотреть как случайные все параметры всех компонент денежного потока, но это связано с двумя проблемами, j увеличение числа выделенных случайных параметров может привести к противоречивым результатам вследствие коррелирован- ности рассматриваемых параметров; 2. это может потребовать больше времени для выполнения всего комплекса расчетов. 3 . формирование значений выбранных параметров или отдельных компонент денежного потока на основе выбранного закона распре­ деления. Как правило, в качестве такого распределения используют нормальное распределение, но можно использовать и другие формы распределений. При этом для моделирования значений соответст­ вующей случайной переменной применяются специальные пакеты прикладных программ, либо можно воспользоваться встроенными возможностями пакета Microsoft Excel. 4. Расчеты денежного потока на основе моделированных значений соответствующих параметров потока и определение значения NPV проекта и других критериальных показателей для каждого получен­ ного в результаты имитации варианта численного значения выде­ ленного параметра. 5. Последовательное многократное повторение действий, выпол­ няемых по этапу 3 и 4. 6. Определение ожидаемого значения NPV проекта, дисперсии и стандартного отклонения как мер риска и других показателей полу­ ченного распределения данного показателя. К их числу можно от­ нести наибольшее и наименьшее значение NPV, коэффициент ва­ риации, вероятность реализации отрицательного значения NPV. 7. А нализ основн ы х результатов или в ф орм е коли чествен ны х зна­ чениях п оказателей или в ф орм е различны х граф иков (частотны х гистограмм). Задание 6.1 Аналитический подход Пусть рассматривается проект, который может обеспечить мак­ симальный выпуск X единиц в год некоторой продукции и имеет период полезного использования, равный пяти годам. Цена реали­ зации единицы продукции составляет Y ден.ед. Данные по вариан- 81 там представлены в таблице 6.1. Ради простоты считаем, что она не меняется по годам периода полезного использования проекта. Вы­ пуск продукции по годам различается в зависимости от коэффици­ ента использования производственных мощностей (таблица 8.2). Известны условно-переменные и условно-постоянные расходы, свя­ занные с осуществлением проекта, которые определяются по стать­ ям калькуляции. Их перечень носит условный характер как для ус­ ловно-постоянных расходов, так и для условно-переменных расходов (таблица 6.3). В частности, в числе условно-постоянных расходов учтены расходы на рекламу в нулевом году, а также до­ полнительные расходы по организации и подготовке исполнения проекта, которые относятся не к инвестиционным расходам, а к расходам по исполнению проекта, т.е. принадлежат операционному потоку расходов. В числе статей условно-переменных расходов рассматриваются расходы материалов и энергоресурсов, а также и расходы по управлению и обслуживанию соответствующей техники и технологических процессов. Заработная плата учтена в условно­ постоянных расходах. Обычно это делается в том случае, когда она не может быть нормирована на единицу выполненной работы и производимой продукции. В противном случае она должна быть учтена в числе статей условно-переменных расходов. Таблица 6.1 - Значения максимального выпуска единиц в год (X) и цены реализации единицы продукции (ден.ед.) Вариант X Y Вариант X У 1 8000 30 16 9400 31 2 8400 30 17 9000 36 3 8700 31 18 7400 31 4 8600 28 19 8700 28 5 8500 29 20 8600 29 6 9000 27 21 8500 27 7 8200 30 22 9000 30 8 7900 29 23 8200 29 9 7800 32 24 7900 32 10 7700 28 25 7400 31 11 7600 29 26 7200 20 12 9000 27 27 7600 25 13 9100 35 28 9000 27 14 9200 30 29 8700 35 15 9300 22 30 9000 35 82 Таблица 6.2 - Исходные данные 1 ' Период 0 1 2 3 4 5 ^^ффвдиент использо- г ии(1 МОЩНОСТИ 0 60% 80% 90% 95% 100% ■[^ксимальный объем nbinvcica, шт. X X X X X X Ожидаемая цена реали­ зации, ден.ед. Y Y Y Y Y Y Инвестиции, ден.ед. 45000 - - - - - Таблица 6.3 - Расходы по проекту, ден.ед. Период 0 1 2 3 4 5 Условно-постоянные расходы, ден.ед. Аренда производст­ венных помещений 0 45 000 45 000 45 000 45 000 45 000 Отопление 0 500 500 500 500 500 Заработная плата 0 15 000 15 000 15 000 15 000 15 000 Реклама 8 000 6 000 6 000 8 000 9 000 9 000 Дополнительные организационные расходы 1 500 0 0 0 0 0 Условно-переменные расходы на ед. продукции, ден.ед. Материалы 6 6 6 7 7 Энергоресурсы 2 2 3 3 3 Транспорт 3 3 3 3 3 Управленческие расходы 1 1 1 1 1 Материально-тех­ ническое обслужи­ вание 2 2 2 2 2 1. Сформировать денежный поток по данному инвестиционному проекту (таблица 6.4). Таблица 6.4 - Денежный поток проекта Период 0 1 2 3 4 5 Поток доходов Поток операционных расходов Инвестиционные расходы Денежный поток 83 2. Определите значение чистой настоящей стоимости проекта при изменении ставки расчетного процента от 0% до 50% с шагом 5% (при определении NPV можно использовать функцию ЧПС). Результаты расчетов занести в таблицу 6.5. На основании получен­ ных данных построить график чистой настоящей стоимости в рас­ сматриваемом интервале изменения ставки расчетного процента. Таблица 6.5 - Чистая настоящая стоимость проекта при измене- нии ставки расчетного процента_____ ________________________ Ставка % 0% 5% 10% 50% Чистая настоящая стоимость, ден.ед. 3. Определить ставку внутреннего процента для данного проекта, используя функцию «Побор параметра» (ставка внутреннего про­ цента - ставка процента (дисконта), при которой чистая приведен­ ная стоимость капитальных вложений будет равна нулю). 4. Определить значение коэффициента эластичности чистой на­ стоящей стоимости по ставке процента (формула (6.3)). Результаты расчетов представьте в таблице 6.6. Таблица 6.6 - Эластичность чистой настоящей стоимости проекта по ставке расчетного процента _______________________________ Ставка процента Чистая настоящая стоимость проекта (ден.ед.) Значение про­ изводной Коэффициент эластичности 5% 10% 50% 5. Провести анализ чувствительности рассматриваемого проекта к изменению следующих 2-х факторов: цена реализации продукции и расходы материалов на единицу продукции. Результаты расчетов представить в таблице 6.7. Ставку процента взять равную ставке внутреннего процента. 84 Тзбгтица 6.7 - Чувствительность проекта к двум факторам Расходы материалов на единицу продукции (ден.ед.) Цена реализации единицы продукции (ден.ед.) 20 25 30 35 40 45 ' 2 4 6 8 10 12 6. Построить диаграмму зависимости от двух факторов (вид диа­ граммы - поверхность). 7. По результат расчетов сделать вывод. Задание для самостоятельного решения 6.2 Метод Монте-Карло 1. Используя данные предыдущего задания, провести компью­ терное моделирование случайного распределения цены продук­ ции в каждом году от 1-го до 5-го на основе двух заданных пара­ метров: ожидаемого значения цены и стандартного отклонения цены (таблица 6.8). При компьютерном моделировании цен сле­ дует использовать встроенные возможности пакета «Microsoft Excel» по имитации случайных величин на основе нормального распределения («Генерация случайных чисел» в опции «Анализ данных» меню «Сервис»). Всего выполнить 100 итераций. Ре­ зультаты привести в таблице 6.9. Таблица 6.8 - Исходные данные 1 Период 0 1 2 3 4 5 Стандартное отклонение цены реализации 0 1 1 2 2 2 Ставка дисконтирования 12% Ставка налога на прибыль 30% Собственный капитал, ден.ед. 40000 Кредит, ден.ед. 20000 Ставка по кредиту 15% 85 Таблица 6.9 - Вероятные значение цен (в соответствии с нор- мальным законом распределения)__________________________ Итера­ ция Цена реализации, ден.ед. 1 2 3 4 5 1 2 3 100 2. Используя полученные значения цены каждого периода и заданные значения остальных параметров денежного потока, сформировать денежные потоки инвестиционного проекта соот­ ветствующие полученным значениям цен на каждой итерации. Формирование расчетных компонент денежного потока на каж­ дой итерации осуществить с учетом суммы предоставляемого кредита и выплат в счет его погашения и уплаты процентов по формулам: Используя полученные значения денежных потоков, провести расчеты чистой настоящей стоимости проекта и ставки внутрен­ него процента. Результаты расчетов привести в таблице 6.10. Таблица 6.10 - Полученные варианты денежного потока (ден.ед.)__________________________________________ ________ Итера­ ция Денежный поток по периодам, ден.ед. NPV 0 1 2 3 4 5 1 2 3 , 100 3. Используя полученные конкретные распределения значений чистой настоящей стоимости проекта и ставки внутреннего про­ цента, определить основные характеристики риска рассматривае­ мого проекта (таблица 6.11). 86 Таблица 6.11 - Характеристики риска по чистой настоящей стоимости Ожидаемое значение чистой настоящей стоимости (NPV) ■Стандартное отклонение чистой настоящей стоимости Коэффициент вариации для чистой настоящей стоимости Вероятность отрицательного значения чистой настоящей стоимости Наибольшее значение чистой настоящей стоимости проекта 4. Построить частотную гистограмму значений чистой настоя­ щей стоимости. Для этого все полученные на ста итерациях зна­ чения NPV проекта разделить на группы следующим образом. В первую группу включим те значения чистой настоящей стоимо­ сти, которые не превосходят нуля, а далее с шагом 5 ООО сформи­ ровать группы значений NPV. 5. Сделать выводы. 87 ЛИТЕРАТУРА 1. Балашевич, В.А. Экономико-математическое моделирова­ ние производственных систем: учебное пособие для вузов / В.А. Балашевич, А.М. Андронов. - Минск: Ушверс:тэцкае, 1995. - 240 с. 2. Конюховский, П.В. Математические методы исследования операций в экономике / П.В. Конюховский. - СПб.: Питер, 2002. - 208 с. 3. Костевич, JI.C. Математическое программирование. Ин­ формационные технологии оптимальных решений / А.С. Косте­ вич. - Минск: ООО «Новое знание», 2003. - 424 с. 4. Красс, М.С., Математика для экономистов / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. - СПб.: Питер, 2006. - 464 с. 5. Новицкий, Н.И. Сетевое планирование и управление про­ изводством / Н.И. Новицкий: учеб.-практ. пособие. - М.: Новое знание, 2004. - 159с. 6. Похабов, В.И. Экономико-математические методы и мо­ дели. (Практикум): учебное пособие для студентов экономиче­ ских специальностей / В.И. Похабов, Д.Г. Антипенко, М.Н. Гри- невич. - Минск: БНТУ, 2003. - 130 с. 7. Фролькис, В.А. Введение в теорию и методы оптимизации для экономистов/ В.А. Фролькис. - 2-е изд. - СПб.: Питер, 2002. - 320 с. 8. Экономико-математические методы и модели: учебное пособие / под ред. А.В. Кузнецова. - 2-изд. - Минск: БГЭУ, 2000. - 412 с. 9. Юферева, О.Д. Экономико-математические методы и мо­ дели: сборник задач / О.Д. Юферева - Минск: БГЭУ, 2002. - 103 с. 88 Приложения Приложения А. Таблица А1. Построение сетевого графика Работа Вариант 1 Вариант 2 Вариаигг 3 Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6 Предш. работа t Предш. работа t Предш. работа t Предш. работа t Предш. работа t Предш. работа t А1 - 7 - 9 - 4 - 7 - 8 - 4 А2 - 3 - 5 - 6 - 2 - 2 - 2 АЗ - 1 - 2 - 9 - 5 - 7 - 5 А4 А1 2 - 3 - 2 - 3 А1 4 - 8 А5 А1 5 А1 4 А1 5 А1 4 А1 2 А1 1 А6 А1 9 А1 7 А1 2 А1 9 А1 5 А1 2 А7 АЗ 4 А4 5 АЗ 1 АЗ,А4 1 А2,А6 7 А1.А2 1 А8 АЗ 4 А4 1 АЗ 2 АЗ,А4 4 А2,А6 3 А1,А2 3 А9 А4 4 А8 4 АЗ 7 А4 8 АЗ 4 А1.А2 б А10 А4 7 А8 3 А4,А9 5 А4 6 АЗ 3 А1,А2 3 АН А8 2 А5 6 А5,А11,А13 3 А2,А6,А7 2 А4 3 А4 7 А12 А2,А6,А7 5 А5 1 А2,А6,А7 2 А2,А6,А7 7 А5,А7 7 А5,Аб,А7 5 А13 А2,А6,А7 6 A ll 3 А4,А8,А9 6 А 8Д 9Л 12 5 А5,А7 5 А6,А7 7 А14 А11.А13 8 А2,А6,А12 9 А4,А8,А9 4 А5,А11,А13 2 А5,А7 9 АЗ,А10,А11 9 A1S А9 3 А2,А6,А12 4 А4,А8,А9 7 А8,А9,А12 1 А11.А12 2 АЗ,А10,А11 4 А16 А5,А10 2 АЗ,А7,А9 2 А10,А16 8 А8,А9,А12 5 А10 7 А15 7 А17 А5,А10 4 АЗ,А7,А9 7 А15,А16 6 А10.А16 8 А8,А9,А14 8 А9,А14 8 А18 А12,А14,А17 7 А10.А17 6 А19 А13,А14 8 VOо Окончание таблицы А1 Работа Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6 Предш. работа t Предш. работа t Предш. работа t Предш. работа t Предш. работа t Предш. работа t А1 - 7 - 7 - 8 - 7 - 3 - 4 А2 - 5 - 9 - 4 - 4 - 9 - 7. АЗ - 9 - 6 - 2 - 9 - 4 - 5 А4 А1 6 - 4 - 5 А1 3 - 7 - 2 АЗ А1 9 А1 4 А1 2 А1 6 А1 5 А1 5 А6 АЗ 5 А1 7 А1 6 А1 8 А1 8 А1 « А7 АЗ 7 А1 5 А2,АЗ,А6 9 А2.А6 9 А2,А6 4 А2 9 А8 АЗ 4 А2,А7 2 А2,АЗ,А7 8 АЗ 5 А2,А6 7 А2 3 А9 А4 2 А4 8 АЗ 9 АЗ 4 А2,АЗ,А6 4 А4 6 А10 А2,А5,А6 3 А5 3 АЗ 4 АЗ 8 А4 9 А5 2 All А2,А5,А6 8 А5 9 АЗ 2 А4 2 А4 3 АЗ,А4,А6,А8 4 А12 А2,А5,Аб 4 А9 3 А4 4 А7,А9 7 А5 5 АЗ,А4,Аб,А8 8 А13 А8 3 А9 5 А5,А7 7 А7,А9 6 А7,А12 9 А9 3 А14 А9,А10 6 А10 . 8 А8,А9,А13 9 А10 5 А8,А9 6 А12.А13 7 А15 А7,А12 9 АЗ,А6,А8,А11 ,А12 6 А11,А12 7 А10 3 А8,А9 8 А16 А5,А11,А12 8 А11,А15 5 Таблица А2 - Оптимизация сетевого графика по времени Предш. работа Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6 Вариант 1 \ t d k t d k t d k t d k t d k t d k t d k А1 - 8 6 0,04 6 4 0,02 10 6 0,05 6 4 0,03 6 4 0,04 16 10 0,02 10 6 0,02 А2 - 4 3 0.03 10 6 0,04 20 12 0,01 18 14 0,05 18 12 0,03 12 7 0,01 4 3 0,03 АЗ А1 3 1 0,02 12 5 0,01 12 5 0,02 10 5 0,03 10 6 0,01 10 6 0,06 3 1 0,02 А4 А1 4 2 0,06 8 4 0,06 14 6 0.03 8 4 0,01 8 5 0,05 8 5 0,03 5 2 0,06 А5 А2,АЗ 7 4 0,05 6 3 0,02 16 10 0.01 6 4 0,02 10 7 0,05 3 2 0,01 7 4 0,05 А6 A2.A3.A4 7 5 0.01 10 7 0,05 6 4 0,04 10 6 0,04 7 4 0,02 2 1 0,04 7 5 0,01 Макс. доп ныхс кол-во вложен- ,редств (В) 8 12 10 9 14 7 10 Продолжение таблицы А2 Работа Предш. работа Вариант 8 Вариант 9 Вариант 10 Вариант 11 Вариант 12 Вариант 13 Вариант 14 t d k t d k t d k t d k t d k t d k t d k A1 - 6 10 0,1 24 20 0,2 10 6 0,5 14 8 0,2 18 25 0.3 10 10 0,3 12 5 0,1 A2 - 22 7 0,15 18 12 0,4 20 14 0.3 20 12 0,1 16 12 0,4 22 7 0,15 25 14 0,3 A3 А1 18 6 0,3 6 4 0,1 8 5 0,6 12 7 0,4 6 4 0,1 18 6 0,3 8 10 0,6 A4 А1 14 5 0,5 16 14 0,35 16 12 0,2 16 10 0,25 16 14 0,35 19 7 0,2 16 12 0,2 A5 А2.АЗ 10 2 0,2 8 5 0,5 12 7 0,45 5 3 0,3 10 5 0,5 10 2 0,2 9 7 0,4 Макс. доп ных кол-во вложен- редств(В) 24 10 12 16 11 25 15 Окончание таблицы А2 Работа Предш. работа Вариант 15 Вариант 16 Вариант 17 Вариант 18 Вариант 19 Вариант 20 Вариант 21 t d k t d k t d k t d k t d k t d k t d k А1 - 10 6 0,8 24 18 0,2 20 10 0,4 16 12 0,45 24 18 0,3 20 14 0,1 24 18 0,2 А2 - 20 12 0,6 17 14 0,4 16 12 0,5 10 8 0,2 17 13 0,1 10 6 0,3 17 12 0,4 АЗ - 12 S 0,2 28 22 0,6 38 30 0,2 24 16 0,1 30 20 0,15 24 16 0,5 28 20 0,2 А4 А1 14 8 0,3 18 10 0,1 14 10 0,1 18 14 0,4 16 10 0,4 12 8 0,2 16 10 0,1 А5 А1.А2 6 4 0,35 12 8 0,7 10 8 0,15 20 15 0,1 12 12 0,2 18 12 0,25 12 9 0,5 Макс. время выполнения комплекса операций (ТО) 20 34 36 28 32 29 30 Таблица АЗ - Оптимизация сетевого графика по ресурсам Р - работа ПР - предшествующая работа М - максимальное количество рабочих Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Ва эиант 1 Р ПР t г М Р ПР t г М Р ПР t г М Р ПР t г м А1 3 б 10 А1 - 6 4 10 А1 - 6 4 10 А1 - 5 4 12 А2 2 4 А2 ■ 4 3 А2 - 4 3 А2 - 7 Ь АЗ _ 5 3 АЗ - 6 5 АЗ г - 6 5 АЗ А1 4 4 А4 А1 2 3 А4 А1 5 3 А4 А1 5 3 А4 А1 3 6 А5 А2 3 4 AS АЗ 4 4 А5 АЗ 4 4 А5 А2,А4 2 S А6 А2 4 4 А6 А2,А5 7 6 А6 А2,А5 7 6 А6 А2,А4 S 3 А7 АЗ 2 3 А7 АЗ,А5 2 4 Ва[риант 5 Вариант 6 Вариант 7 Вариант 8 Р ПР t г М Р ПР t г м Р ПР t г м Р ПР t г М А1 _ 3 6 20 А1 - 6 4 16 А1 - 3 7 14 А1 - 3 5 17 А2 6 8 А2 - 4 3 А2 - 7 5 А2 - 6 8 АЗ 5 5 АЗ - 3 11 АЗ А1 3 4 АЗ - 5 Ь А4 А1 4 5 А4 А1 12 6 А4 А2 2 5 А4 А1 4 4 А5 А1 3 4 А5 А1 4 5 А5 А2 6 5 А5 А1 3 4 А6 А2 4 3 А6 АЗ 4 2 А6 А2 4 3 А6 А2 4 3 А7 АЗ 3 4 А7 АЗ 5 7 А7 АЗ,А4 5 4 А7 АЗ 3 4 А8 АЗ 6 5 А8 А2,А5,А6 6 5 А8 АЗ,А4 4 6 А8 АЗ 6 i А9 А6.А7 5 6 А9 А7.А8 3 2 А9 А5,А8 3 3 А9 А6,А7 5 4 Вгфиант 9 Вариант 10 Вариант 11 Вариант 2 Р ПР t г М Р ПР t г м Р ПР t г М Р ПР t г М А1 _ 4 8 18 А1 - 4 8 18 А1 - 5 10 20 А1 - 5 6 15А2 8 9 А2 - 11 9 А2 - 8 9 А2 - 7 9 АЗ _ 6 5 АЗ - 10 5 АЗ - 8 5 АЗ - 6 5 А4 А1 5 4 А4 А1 5 4 А4 А1 5 6 А4 А1 5 3 Окончание таблицы АЗ А5 А1 2 10 А5 А1 2 1 А5 А1 2 10 А5 А1 2 1 Аб АЗ 2 3 Аб А2,А5 9 7 Аб АЗ 2 4 Аб А2.А5 9 5 А7 АЗ 3 12 А7 АЗ 3 2 А7 АЗ 4 12 А7 АЗ 3 2 А8 А2,АЗ,А5 4 12 А8 А6,А7 4 8 А8 А2,АЗ,А5 4 12 А8 А6,А7 3 8 Вариант 13 Вариант 14 Вариант 15 Вариант 16 Р ПР t г М Р ПР t г М Р ПР t г М Р ПР t г М А1 - 4 7 А1 - 2 9 А1 - 6 5 А1 - 6 6 А2 - 7 3 А2 - 3 6 А2 - 7 3 А2 - 3 5 АЗ - 2 5 АЗ - 4 2 АЗ - 2 4 АЗ - 4 2 А4 А1 8 4 А4 А1 3 5 А4 А1 10 4 А4 А1 3 5 А5 А1 10 3 15 А5 А1 5 4 15 А5 А1 3 3 18 А5 А1 5 6 12Аб А1 1 4 Аб А2,А5 2 3 Аб А1 1 6 Аб А2,А5 9 3 А7 А2.А6 3 7 А7 А2,А5 6 4 А7 А2.А6 3 7 А7 А2,А5 6 3 А8 А2,А6 2 5 А8 А2,А5 3 3 А8 А2,Аб 2 5 А8 А2,А5 3 3 А9 А4 4 4 А9 АЗД8 2 1 А9 А4 4 4 А9 АЗ,А8 8 1 А10 АЗ,А8 5 б А10 А4,Аб 4 6 А10 АЗ,А8 5 6 А10 А4,А6 10 6 Вариант 17 .Вариант 18 Вариант 19 Вариант 20 Р ПР t г М Р ПР t г М Р ПР t г М Р ПР t г М А1 - 8 10 А1 - 5 6 А1 - 9 8 А1 - 7 12 А2 - 7 5 А2 - 3 6 А2 - 7 3 А2 - 3 5 АЗ - 6 5 АЗ - 9 2 АЗ - 2 4 АЗ - 6 9 А4 А1 8 4 А4 А1 3 5 А4 А1 10 8 А4 А1 3 5 А5 А1 10 3 20 А5 А1 6 5 17 А5 А1 5 3 22 А5 А1 5 6 18Аб А1 2 8 Аб А2,А5 2 3 Аб А1 1 б Аб А2,А5 9 6 А7 А2.А6 3 7 А7 А2,А5 15 4 А7 А2,А6 3 10 А7 А2.А5 9 3 А8 А2,Аб 2 6 А8 А2,А5 7 8 А8 А2,А6 6 5 А8 А2,А5 3 9 А9 А4 4 4 А9 АЗ,А8 2 1 А9 А4 4 9 А9 АЗ,А8 10 5 А10 АЗ,А8 5 6 А10 А4.А6 4 9 А10 АЗ,А8 1 6 А10 А4.А6 10 6 Приложение Ь Таблица Б 1- Модели управления запасами Q - количество, шт. С - цена, у.е. Товар В1 В2 ВЗ В4 В5 В6 В7 В8 В9 В10 О С О С О С О С О С О С 0 С Q С Q С Q С Товар 1 200 15 20 30 140 70 40 15 120 30 140 70 120 15 120 55 400 15 400 15 Товар 2 75 90 30 80 125 30 115 90 30 300 125 67 30 90 250 25 214 33 214 90 Товар 3 360 5 200 65 160 65 260 59 200 85 160 65 200 59 25 230 210 15 210 59 Товар 4 210 180 100 50 120 250 220 18 200 50 120 250 200 18 125 65 100 65 100 18 Товар 5 500 14 140 40 300 200 100 12 140 40 30 200 140 12 410 25 220 125 220 12 Товар 6 20 100 10 200 320 20 130 25 50 39 32 420 50 25 320 15 320 110 320 32 Товар 7 40 200 150 20 210 85 150 20 150 20 125 185 150 20 100 245 155 180 155 125 Товар 8 110 25 250 20 100 110 200 25 50 220 100 110 50 25 145 120 360 85 360 100 Товар 9 350 350 20 100 150 55 450 20 320 100 130 55 320 20 225 25 100 20 100 130 Товар 10 195 195 190 190 190 190 290 95 190 190 390 90 190 95 220 35 125 IS 125 390 Товар В11 В12 В13 В14 В15 В16 В 17 В18 В19 В20 О С о С О С О С О С 0 С Q С Q С Q С Q С Товар 1 120 15 315 25 70 70 400 15 180 30 50 70 140 15 100 55 120 15 400 15 Товар 2 30 90 214 80 100 30 214 90 222 300 115 67 125 90 90 25 30 33 214 90 Товар 3 200 5 210 65 260 65 210 59 210 85 275 65 160 59 39 230 200 15 210 59 Товар 4 200 180 125 50 220 250 100 18 115 50 220 250 120 18 125 65 200 65 100 18 Товар 5 140 14 220 40 250 200 220 12 220 40 100 200 300 12 300 25 140 125 220 12 Товар 6 50 100 300 200 65 20 320 25 320 39 100 420 320 25 320 15 50 110 320 32 Товар 7 150 200 155 20 150 85 155 20 169 20 150 185 210 20 50 245 150 180 155 125 Товар 8 50 25 360 20 200 110 360 25 360 220 200 110 100 25 145 120 50 85 360 100 Товар 9 320 350 90 75 450 55 100 20 154 100 450 55 150 20 75 25 320 20 100 130 Товар 10 190 195 125 190 255 190 125 95 110 190 290 90 190 95 180 35 190 IS 125 390 Учебное издание ПОХАБОВ Валерий Иннокентьевич ПОПОВА Наталья Дмитриевна ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ. ПРАКТИКУМ Пособие для студентов экономических специальностей В 2 частях Ч а с т ь 2 Подписано в печать 30.07.2009. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс. Уел, печ. л. 5,58. Уч.-изд. л. 4,36. Тираж 100. Заказ 504. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Проспект Независимости, 65. 220013, Минск.