5 1 A №
m s 4
Министерство образования Республики Беларусь 
БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОЛИТЕХНИЧЕСКАЯ
АКАДЕМИЯ
Кафедра высшей математики № 1
МЕТОДИЧЕСКИЕ > КАЧАНИЯ 
И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ № J, № 4
по высшей математике 
для студентов-заочников 
машиностроительных специальностей
М и н с к  2 0 0 1
Министерство образования Республики Беларусь 
БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ПОЛИТЕХНИЧЕСКАЯ
АКАДЕМИЯ
Кафедра высшей математики № 1
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 
И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ № 3, №4.
по высшей математике 
для студентов-заочников 
машиностроительных специальностей
М и н с к  2 0 0 1
УДК 512^ 4(075.8)
Настоящие методические указания и контрольные работы пред­
назначены для студентов первого курса вечерне-заочного факультета 
машиностроительных специальностей БИЧА, занимающихся по за­
очной форме обучения.
Пособие содержит основные теоретические сведения из про­
граммного материала, типовые примеры и контрольные задания по 
темам курса высшей математики (20 вариантов).
Студент должен изучить теоретический материал, разобрать 
приведенные образцы решения типовых примеров и задач, а затем 
выполнить контрольные работы по номеру, который совпадает с 
двумя последними цифрами зачетной книжки (шифра). Если номер 
шифра больше двадцати, то следует отнять от номера шифра число, 
кратное 20, и полученная разность (две последние цифры) будет но­
мером варианта.
Например:
Номер зачетной книжки номера задач
Авторы выражают благодарность инженеру I категории 
Е.Б.Балашовой за подготовку работы к печати.
Составители:
А Н. Андриянчик, А.В. Метельский, Н.А. Микулик,
Р Ф. Наумович, В.И. Юринок
301789/148
303700/194
300120/100
8, 28, 48 и т. д. 
14, 34, 54 и т. Д 
20, 40, 80 и т. д.
Рецензент Г А. Романюк
© Андриянчик А.Н., Метельский А.В., 
Микулик Н.А. и др., составление, 2001
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3
ПРОГРАММА 
Тема 1. Неопределенный интеграл
Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таб­
лица основных интегралов. Замена переменной. Интегрирование по 
частям.
Интегрирование простейших дробей. Интегрирование рациональ­
ных функций. Метод рационализации. Интегрирование тригонометри­
ческих функций. Интегрирование простейших иррациональностей.
Тема 2. Определенный интеграл
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Опре­
деленный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
Замена переменной и интегрирование по частям в определенном 
интеграле. Несобственные интегралы.
Приложения определенного интеграла к вычислению площадей 
плоских фигур в декартовых и полярных координатах. Вычисление 
объемов и длин дуг. Приближенные методы вычисления определен­
ного интеграла.
Тема 3. Функции нескольких переменных
Функции нескольких переменных. Область определения. Пре­
дел. Непрерывность. Частные производные.
Дифференцируемость функции нескольких переменных, полный 
дифференциал. Производные от сложной функции. Инвариантность 
формы первого дифференциала. Неявные функции и их дифференци­
рование.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометриче­
ский смысл полного дифференциала функции двух переменных. Ча­
стные производные высших порядков. Дифференциалы высших по­
рядков. Формула Тейлора.
3
Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и 
достаточное условие экстремума. Условный экстремум. Метод мно­
жителей Лагранжа. Метод наименьших квадратов.
Л и т е р а т у р а
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и инте­
гральное исчисление. -  М.: Наука, 1988.
2. Герасимович А.И., Рысюк Н.А. Математический анализ. -  
Мн.: Выш. школа, 1990.
3. Данко П.Е., Попов А .Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математи­
ка в упражнениях и задачах. -  Мн.: Выш. школа, 1986.
4. Жевняк P.M., Карпук А.А. Высшая математика. В 2 ч. Ч. 1 ,2 . -  
Мн.: Выш. школа, 1985.
5. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. -  М.: 
Наука, 1989.
6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления 
для втузов. В 2 т. Т. 1, 2. -  М.: Наука, 1985.
7. Щипачев B.C. Высшая математика. -  М.: Высш. школа, 1985.
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 
1Л. Понятие неопределенного интеграла
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для 
функции Дх) на отрезке [а, Ь], если во всех точках этого отрезка вы­
полняется равенство F'(x)=J(x).
Определение 2. Совокупность всех первообразных {F(x)+C}, где . 
С - произвольная постоянная, для функции Дх) называется неопреде­
ленным интегралом и обозначается
J/(.*)a!x = F ( x ) + C  .
Функция J(x) называется подынтегральной функцией, выраже­
ние Ддг) dx - подынтегральным выражением.
Отыскание для функции Дх) всех ее первообразных F(x) называ­
ется интегрированием. Интегрирование есть действие, о б р а т н о е  
дифференцированию.
4
Основные правила интегрирования
\ ) \ f \ x ) d x = \d f ( x ) = m + c - ,  
df f{x  )dx = d(F(x ) + C) = f(x)dx',
2) / (f(x)±<p(x))dx = j f(x)dx ± j <p(x)dx ;
3) j af(x)dx = a \f(x )d x  (a = const) ;
14) если | / (x)dx -  F{x)+C, TO \f(ax  + b)dx = -F(ax +b) + C при ус­
ловии, что a, b - постоянные числа, аД);
5) если \f(x)dx  = F(x)+C и и = ср (х) - любая дифференцируемая 
функция, то J f{u)du- F(u) + C.
Таблица основных неопределенных интегралов
+С;Ю. J— = intg -
J sini/ 0
1. j  du = и + С ;
2. f uadu = —— +C, где a  * -1; 11. f - ^ -  = ln|/gf- + —
a + 1 cosu \2 4.
+ C :
3. f— = 1п|г/|+С;
и
4. fa"rfu= + C ;
1 In a
5. je “du = e“ +C ;
6. |  sin ndu = -  cos г; + С ;
7. Jcosucfo = sinz/ + C;
8. J tgudu = -  In ! cos и | +C;
9. J ctg wc/w = ln|sin ы|+С;
1 л f du —12. J— --  = -ctgu+C ;
sin и
13. j - ^ -  = fgw+C;
COS u
t л t du 1 и _14. J - ---- -  = -arctg - + C -,
a + и a a
, - r du . и
15. - = = =  = arcsin — +  C ,
a
16 J
du
a2 -  u2 2a
In
a + u
+ C ;
17. f , ^ ...- = 1п|г< + -\/ц2± а 2 + C.
В приведенной таблице буква и может обозначать как независи­
мую переменную, так и непрерывную дифференцируемую функцию 
м=ф(х) аргументах.
5
1.2. Основные методы интегрирования
1.2.1. Непосредственное интегрирование функций
Задача нахождения неопределенных интегралов от многих 
функций решается методом сведения их к одному из табличных ин­
тегралов. Этого можно достичь путем алгебраических тождественных 
преобразований подынтегральной функции или подведением части ее 
множителей под знак дифференциала.
Подведение функции под знак дифференциала состоит в том, 
что под знак дифференциала записывают функцию, дифференциал 
которой равен заданному выражению.
Пример 1.1. — = (In x)'dx = d( In x ) . 
x
Пример 1.2. cos?>xdx = ^ • 3cos2xdx = ~ J(sin 3,r).
Пример 1.3. Jsin(5x + 2)dx- = jJsin(5x + 2y(5x + 2) = —^cos(5x + 2) + C.
Пример 1.4.
J(3x -  \[x* + 2sinx -3)dx = 3jxdx -  j x 5ndx +2jsinxdx -  3jdx =
x 2 x'2 1 3 7
= 3---------------2cosx-3x + C  = —x2-------x12' 7 -2co5x-3x + C.
2 12 7 2 12
1.2.2. Интегрирование заменой переменной (подстановкой)
Пусть ф(0 - непрерывно дифференцируемая функция на некото­
ром промежутке, причем <р'(0*0, тогда справедлива формула
|/(x)dx = \f(<p(t))<p\t)dt.
Замена переменной в неопределенном интеграле часто произво­
дится по формуле
\ /(ф(* ))ф'(-* )dx = J ,
где /=ф(х).
6
Пример 1.5. | 2ху1х2 -3 dx = J -Jx2 -3d(x2 -3 ), так как 2xdx = d(x2 -  3). 
Обозначим x 2 - 3 = и, тогда получим
1 2 3
j yJx2 - 3 - 2 x d x  = j u 2du = -u ' 2 + С  = - ( х 2 - З ) 2 + С .
Пример 1.6.
J
cosjxdx 
V 3 + 5sinx
3 + 5 sin х = f 
dt -  5 cos xdx
dt sVt 5 
cos xdx = —
5 I
. dt 1 r ~  . 1 3 ?
= f - T r = - \ t  3dt = ------13 +C ^
= —V(3 + 5sinx)2 +C. 
10 ^
7.2.5. Интегрирование при помощи тригонометрических
подстановок
Интегралы вида / /?(х,л/дг2 - a 2)dx,\R(x,4a2 - x 2)dx-,\R(xiyIa2 + x 2)dx,
где R(u,v) r рациональная функция от и и v, вычисляются соответст­
венно при помощи тригонод
х = asint, х = acost, x = a tg t.
метрических подстановок х = -2 —, х =cost smt
Пример 1.7. — -eft
1
cos t
, sin t ,dx =— —dt 
cos t
t tgt sin t , , sin21 ,
= J—------------------- r-dt = j -----—dt =
sec/ cos t cos t
rl — cos"t . _ 1 1 „= J----- -— dt = tgt — t + C = fg(arccos—)-arccos— + C .
cos t x x
Пример 1.8.
j ^ 4 - x 2dx =
x = 2 sin t 
dx = 2cos tdt 
V 4-.t2 = 2cosr
= |4cos2 /J/ = 2j(l + cos20^ =
7
X X X X= 2t + sin 2/ +С = 2arcsin — + 2sin/cos/ + C ='2arcsin —+ 2- —•, 1-+C =
2 2 2 V 4
x x = 2 arcsin —+
2 2
+ C.
1.2.4. Интегрирование no частям
Формула интегрирования по частям имеет вид fudv = uv-\vdu, 
где и(х), v(x) - непрерывно дифференцируемые функции.
Классы функций, интегрируемых по частям-.
1) Jx"exdx, fx" sinxdx, f x ncosxdx . За и принимается х” (м=У1).
2) jx" \nxdx, Ix" arcsin .rate, j x narctgxdx. За и в этом случае прини­
маются логарифмическая или обратная тригонометрическая функции.
3) jex sin xdx, jcfcosxdx и другие. Выбор и и dv равносилен. В 
этом случае вычисление интегралов сводится к двукратному приме­
нению формулы интегрирования по частям.
Пример 1.9. \\nxdx = 
= -V lnx -$dx = х lnx - х  +С.
In дс = и du = —dx
X
dx = dv v = х
= х lnx -  fx — dx = 
х
Пример 1.10.
г arcsin.гЛ
dxarcsinx = H du= —
1 -x 2
dx , 1— = dv v = —
-  arcsinx t dx
— : + J
X ' J \ - X 2
x = -,dx = — -dt 
t t 2
dt_
t2 arcsinx r dtarcsin д г _ 
x I Г Т  ~
arcsin x -In t +
t
„ arcsin x ,+ C =-----------In + C.
8
1.2.5. Интегрирование функций, содержащих квадратный 
трехчлен в знаменателе
Интегралы вида
, Adx r Adx
J— г—------ и j-
a x 2 + b x + c  л!ах2 + Ьх +с
приводятся к табличным выделением полного квадрата в знаменателе 
дроби.
Пример 1.11.
с dx г dx , d(x -  3) _
— ------------ = J--------- -— = -----------—  = arctg(j: -  3) + С .
x 2 -6 * + 1 0  ( * - 3 ) 2 +l 1 + (.г -3 )
Для вычисления интегралов вида
( {Ax+B) dx  , ( Ax+B)dx
г  2- ■---  и I ...... 1.....
a x ^ + b x +с  л1ах + Ьх +с
надо сначала в числителе дроби выделить дифференциал трехчлена 
ах2 + Ьх + с, то есть выражение (2ах + b)dx .
Пример 1.12.
с Зое -  7 г 3 2 {1Х ^ а 3 Г 2jm!x тГ ^  3 .  , 2 „ 7  . х  п-----dx = — =—-----------------------------------------------------------------------dx = -  —--7 —----- = -  In л- + 9 ^ --a rctg - + C.
х + 9  J x + 9  2 J x 2 + 9  3 x 2 + 9  2 3 * 3
1.2.6. Интегрирование рациональных дробей
Рациональной функцией R(x) называется функция, равная отно­
шению двух многочленов:
*(*) =
Qm (-* ) _  Ь ^ т +Ь[х т +- .+Ьт 
Р » (х ) ciqx” +
где т и п  - целые положительные числа; 
bj, Qj eR, i = 0,m,j = 0,п.
9
Если т<п, то /?(д;)называется правильной дробью, если т>п, - 
неправильной дробью.
Всякую неправильную дробь путем деления числителя на зна­
менатель можно представить в виде суммы некоторого многочлена и 
правильной дроби:
w + a w ,
р ,(ч  а д
где Мт_п(х), Qi(x), Р„(х) - многочлены;
■ - правильная дробь, 1<п.
рп(х )
Так как всякий многочлен легко интегрируется, то интегрирова­
ние рациональных функций сводится к интегрированию правильных 
дробей.
Простейшей дробью называется дробь одного из следующих че­
тырех типов:
2 )  - * - Т ; V  - P *  +  N  4J M S * N
х - a ’ ( x - a f  ' х2 + рх + q ' (х2 + рх + q /  ’
где А, а, М, N, р, q - постоянные числа;
£>2; к - натуральное, p 2-4q<0.
Для интегрирования правильной дроби необходимо:
1) разложить знаменатель дроби на простые линейные и квадра­
тичные множители;
2) представить дробь в виде суммы простейших дробей с неоп­
ределенными коэффициентами;
3) найти коэффициенты;
4) проинтегрировать простейшие дроби.
Пример 1.13. f * ** 8 ^
X - 4 х
Дробь неправильная, поэтому сначала разделим числитель по­
дынтегральной дроби на знаменатель:
10
лг5 + .v4 — 8 х3-4х
х5 -  4xJ 
лг4 + 4 х 3 - 8  
* 4 -  Ах2
4 х 3 + 4 х 2 - 8  
4 х 3 -  16л:
х +JC + 4
4 х 2 + 16лс -  8 = 4(х + 4jc -  2) - остаток .
Подынтегральная дробь запишется в виде
,г5 + ^ 4 -  8 2 4(.т2 + 4* -  2)-------------= дг^+дг+4н— —^Г---------
х  -  4х х - 4 х
Разложим правильную дробь на три простейшие дроби:
х 2 + А х - 2  х 2 + 4 х - 2 A B C  -  _  + ---- _ + .
х3-4х х(х  -  2)(х + 2) х х - 2  х + 2 
Приравнивая числители, получим тождество
х 2 + 4х -  2 = А(х  -  2)(х + 2) + Вх(х  + 2) + Сх( х  -  2).
При х  = 0 имеем: - 2  = -4А, А  = i .
При х  = 2 имеем: 10 = 8 5 ,  В = ^ .
3
При х = —2 имеем: -6 = 8С,С = .
Таким образом,
Г.Т5+.Х4-
d x = \ \  х 2 + х  + 4 +  
х  -  4х  ^
J
4-v2 ч- 16л: — 8 
х 3 - 4 х
dx  =
г ’ .г2
- + 4.т +  4
.г х - 2  х  + 2
dx  =
11
Пример 1.14. \ + 3—■— —dx .
х + 2х + Ьх
В данном примере подынтегральная функция является непра­
вильной дробью. Путем деления числителя на знаменатель выделим 
целую часть рациональной дроби и правильную рациональную 
дробь:
х 4 +Зх2 - 5  „ 2»:2 +1 Ох -  5- = х - 2  + -
х 3 + 2х 2 + 5х х  3 + 2х 2 + 5х
2 х 2 + 1 0 х - 5  2 х 2 + 1 0 х - 5Правильную рациональную дробь —------ ------= — ------------
х + 2 х  + 5 х  х(х  + 2 х  + 5)
представим в виде суммы простейших дробей с неопределенными
, , 2 х 2 + 1 0 х - 5  А Вх +Скоэффициентами: — ----------- = —+
х ( х 2 + 2 х + 5 )  х  х 2 + 2 х + 5  
Приведя дроби к общему знаменателю и приравняв числители 
дробей в левой и правой части записанного равенства, получим
2 х 2 + 10х  -  5 = А ( х 2 + 2х + 5) + ( Вх  + С ) х  = (А + В ) х 2 +( 2А  + С )х  + 5А  .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х,  имеем:
х 2 А + В = 2; 
2А + С = 10; 
5 А =  -5 ,
откуда А = -1 , 5=3. С= 12. Окончательно получаем
I
.г -Зх -5  
х 3 + 2х~ + 5х
dx = j ( x - 2 ) d x  + j \  —  +
1 Зх + 12
( х - 2 ) 2 , , . 3 г 2х + 2 + 6
= -------- —  In х + — I —--------------
2 2 V + 2 X  + 5
х х 2 + 2х + 5. 
dx =
dx =
( х - 2  У
- l n | x | + - J 9\-
dx3 r (2.v + 2 )dx
2 х 2 + 2 х  + 5  J (x + l ) ^ + 4
—— —— In j х | -t-—In | х 2 + 2x + 5 | + - a r c t g ^ ^ -  + C. 
2 2 2 2
1.2.7. Интегрирование тригонометрических функций
Рассмотрим интеграл вида J sin"' xcos" xdx, т ,п -  целые.
а). Если хотя бы одно из чисел т или п нечетное, положитель­
ное, а второе - любое, то интеграл находится с помощью подстано­
вок sin х = /, cos xdx = dt или cosx = /, -  sin xdx = d t.
б). Если m и /7-четные, положительные числа, то применяются 
формулы понижения степени;
1 . „ 2 1 + COS2X . 2 l-cos2xsin xcosх = —sin 2x; cos x = ---------- ; sin x = ---------- .
2 2 2
Пример 1.15.
f  b i l l  A  .  e (l-cos2x)sinx
Vcosx
dx =
cosx  - 1 
-sinx<ir = dt
(1 - t 2)dt 
J
= - [ —;=+ \ t 1dt  = - 2 -Jl + - t 2 + C  = —v/cosx + - V c o s 5 x + C .
J V/ 5 5
Пример 1.16.
r . 4 , r A + c o s 2 x Y l - c o s 2 x V  ,
J cos' xsin xdx =  J I  —------Л ——  ------- I dx =
= — J(1 -  cos2x  -  cos2 2x + cos3 2 x)dx =
8
= - x  -  —  sin2x -  —  f( l + cos4xWr + —  f( l -  sin2 2x ) d sin2x -  
8 16 16J 16J
1 1 . -  1 1 . . 1 . -  1 . _= —x ------s m 2 x ------ x ------ sm 4x + — s in 2 x ---------sin 2x + C =
8 16 16 64 16 48
1 1 . ,  1 ■ -= — x ------ s in 4 x ------ sin 2x + C .
16 64 48
13
в). Если подынтегральные функции имеют вид
sin тх  cos их, sin тх  sin / и , co sтх  cos и х , 
где тФп, то их преобразуют по формулам
sin тх  cos их = ^  [sin (т  + п )х  + sin (т -  п)х\ ,  
sin тх sin пх = ^ [cos ( т - п ) х  - cosf  т + и)л]; 
cos тх  cos пх = ^  [cosf т - n ) x  + cos(m + п)х\ .
г). Интегралы от функций, содержащих tg".r и ctgm х и где т и п ­
ичные, приводятся к табличным с учетом того, что
(tgx ) '  = — , (ctgx)' = — г~Г-  > 1 + tg2 х = — ^ , 1 + ctg2 х  = -  12 * . 2 5 ® 2 > 6 • 2 
COS X  s i n  X COS X  s i n  X
Пример 1.17.
I tg5 JTsec4 xdx  = Jtg5 x(l  + tg2 x )d ( tgx )  = Jtg5 .trf(tg.t) + Jtg7 x d ( t gx )  =
1 - J V,= — tg x ч— tg x + С. Здесь sec j :
6 8 cosx
д). Интеграл вида J/?(sin.v,cosA)dv, где R(u,v) - рациональная 
функция от и, v, всегда сводится к интегралу от рациональной функ­
ции относительно нового аргумента t с помощью подстановки
'g y  = t ; тогда
2,87 2л l - ^ 2  1 - t 2 2dtsm.v = ------=— = -----  cosx = -------------------------------   = -------- - ,d x  = --
l + /g2— l + r  1 + tg2-  * + f~ l + ?
2 2
14
Пример 1.18.
1 -
dx
sin x
x , 2d!
tg — = /, dx = ------- 7
2 1 + r
sin x  =
2 t 
1 + r
г dt, 1+ Г- . 1 fd + r y
V  It V 4
( & )
dt =
1 t dt  1 f dt  1 1 1I Г Ш I r U l  I f ,  >  , , , 1 „  1 1 .
= - [  —  + - [ — + ~ \ t d t  =  r + - l n  / + - Г  + C = -------------н— In
4 t 2 t 4 8 r  2 8 о ,  I х 28tg* -
tg:
1 , x
+ - t g  —+ C. 
8 2
e). Если подынтегральная функция содержит только функцию 
tg*  или R (s m x ,c o s x )  = R ( - s i n x - c o s x )  (R  - четная), то удобно приме­
нять подстановку tg x= t \  тогда
dt  ? 1 . 2 ^
dx = ----- х = arctgt, co s '  x  -------------sin x  = ----------- -.
1 + r  1 + /2 1 + f2
Пример 1.19.
dx
dx
")
COS'" X
J 2 'J 1 23sin x  + 5 c o s x  sinjt + c o s ' . t  3tg x + 5tgx +1
t = tg.r
, dx 
dt  =
co s2 x
- f :
dt
dt
In
‘ + 6J I 6
5 4 \3r + --------
6 6
5 л/Гз/ + -  + ----
6 6
+ C = - 7=  In
■M
I t 2 + 5/ +1 
6 tg x  + 5 -л Я з
6tgJC + 5  + -ЛЗ
+ C.
ж). Если функция 7?(-sin.v,cos.t) = -/?(sin.r,cosjr), то применяется 
подстановка cosxw. Если fl(sin;t,-cosA-) = -^(sinx,cos.r), то применяет­
ся подстановка sin x=t.
Пример 1.20. f — - — d x . Обозначим cos x = t ,  sin x d x - - d t ,  тогда 
’ cos x
, s inJ .r r 1 — cos2 x . , Л - t 1 , ,ч r 1 .
j — j - d x = j ------- -— smxdx  = j — - ( - d t )  = - j  —  dt + j —  =
cos x  cos -t t t t~
1 _3 1 , 1 1
: + _ /  - -  + C = ------- --------------
3 t 3cos x cos.t
+ C.
15
1.2.8. Интегрирование иррациональных функций
а). Интегралы вида / х s )dx  сводятся к интегралам от 
рациональной функции относительно z  подстановкой х = z k , где к  - 
общий знаменатель дробей
б). Интегралы вида
п s
т
ах + /Л „ ах + Ь
,х d x . Рационали­
зирующая подстановка ——  = ik, где к  - общий знаменатель дробей 
сх + d
т
п '
1.2.9. Интегрирование дифференциальных биномов
Рассмотрим интеграл вида \ x m ( a  +  bxn ) p dx .
а). Если р  - целое число, то применяется подстановка х = ts , где s- 
общий знаменатель дробей т и п .
б). Если т + 1 - целое число, то применяется подстановка
а +  b x n = ts, где 5 - знаменатель дроби р .
ч г* т +1в). Если ----- + р - целое число, то применяется подстановка
п
а х ~ п + b = t s , где s  - знаменатель дроби р .
Пример 1.21.
,6
J-
dx
(л/х + Vx2)
х  = Г  I 
,5 .  ' 6 /5 dt dtdx = 6t dt\ = j  = 6 j -
, = 6/^ | / V + Л  /4(/ + 1)
Дробь
r4(/ + l)
раскладываем на простейшие дроби:
16
1 А В С  D  Е—-------- = —j• + -т- 4* —т Н-----1-----
t ( t + i )  i t t  t  t +1
A(t  + l )  + Bt ( t  + \ )  + C t1( t  + l )  + D t3( t  + l )  +  Et4 = 1.
= 0 A = l;
= -1 £  = 1;
' D  + E  = 0 D  = - l ;
' C + D  =  0 C  =  1;
! B + E  = 0 B  = - \ .
6 i _ * _ .  6j*  _ 6f * +6f 4 +e j - i  -
V (<  + 1) J f J J / 3 t 31 + 1
= - | / - 3 + | r J - y - 6 1 n U |+ 6 1 n | <  + l | + C  =
~ + -? = - -7 = - 6 1 n |V j t |+ 6 ' ln | l  + */jc|+C = 
V* Vx VJC
~  + ^ = -- |= -In |Jc |+ ln |l + Vx|+C. 
V x Mx tyx
Пример 1.22. j - d x = j x ~ 5( l - x 4 f 2d x .
tn +1 *~5 + lТак как m=-5, и=4, /7=1/2, т о ----- = ------- = -1 - целое число. Имеем
п 4
случай б) интегрирования дифференциального бинома. Тогда
jt4 = l - f 21 - х 4 = t 2
-  4 x 3dx  = 2tdt  x 3dx  =  ——dt
2
1 r /  t d t  _  1 г f
" " i V i - r 2/ ~  V a - i ) 2
dx  =
x ” 2-* ( \ ~ t  )
r d t .
Раскладываем дробь ------l-------- на простейшие дроби:
( I -0 (1 + 0
в  С+- I)
(1 -/)2(1 + 02 о - ' ) 2 | “ / (1 + 02 , + '
17
Приведя дробь к общему знаменателю и приравнивая числители, по­
лучим
A(\  + t f + B ( \ - l ) ( \  + t ) : + C ( \ - t ) ' - + D ( \  +  t ) ( \ - t f  = г .
=  -1  
=  1
4С = 1, С  = 1 4;
4А = 1, А = 1 4;
-  B  +  D  = О, В  = D;
A +  B  +  C  +  D  = 0.
4 +  2 D  + 1  4 = 0 , 2 D  = -1  2 ,D  = -1  4 , £  = - 1 4 .
l f t 2 , 1 r dt  1 r dt  1 ,
—  I-------- r-r- dt  — j ------------------ — H—  f ------------- [
2 (1-/) (1 + /) 8J f l- П2 8J 1 - /  8J
1
dt 1 , dt
(1 -0 ' 0  + 0 2
8 (1 -0  8 
1 4 Г -
- - l n  I 1 - / I + -
1 1, .. . _ - 2 1 1,- + - ln |l  + f |+C = -------—+ —In
l Г U
8^Т77 = 
i+ /
x ' 1 , 1 + V l - j c 4 „  1 y [ ] - x
i - > / i - x 4
 i J i - 4 + c  = —
4 x
+ — in 
4 4
8(1 - / 2 ) 8 
V l x4 +1
1- /
+ C .
+ C>
2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2.1. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной 
в определенном интеграле. Интегрирование по частям. 
Вычисление плошадей плоских фигур
2.1.1. ЕслиДх) непрерывна на [а, Ь] и F(x) - любая ее первооб­
разная на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона-Лейбница
j f ( x ) d x  = F ( x )| =  F ( b ) - F ( a ) .
1 dxПример 2.1. Вычислить определенный интеграл J
о v  4 -  .г '
Решение. 1 г......  ^ -  arcsin—
Ол/4 -  Л-2
= artsm —  arcsin 0 = —
2 6 '
18
2.1.2. Е сли /х ) непрерывна на [а, Ь], а *=ф(0 непрерывно диф­
ференцируема на [с, d\, ф'(/)*0, ф(с)=а, y(d)=b, то справедлива фор­
мула замены переменной в определенном интеграле:
Пример 2.2. Вычислить определенный интеграл ]x 2^ 4 - x 2d x .
о
Решение
2 -------
^х2у1 4 -x2dx =
я.  2
= J4sin2 t-2cost-2costdt =jc =  2  s i n /  x = 0,t = 0
u dx = 2costdt x = 2,t = n/2 „u u у i
x/2 it/2 я/2  ^ Sin At ^
= 16 J sin2 / cos2 rc/r = 4 J sin2 2 tdt = 2 J(1 -cos4f)<ir = 2 t --------
о о о \  4 у
= 71.
2.7.5. Пусть u=u(x) и v=v(x) - непрерывно дифференцируемые 
функции на [а, b]. Тогда имеет место формула интегрирования по 
частям
ь ‘ ь
j  udv = uv\ - 1 vdu.
a a. a
k /6
Пример 2.3. Вычислить определенный интеграл Jх sin 3xdx .
о
Решение
n 6
л: 6 u = x dv = sm3xdx
fxsin3xdx =du = dx v = — cosix = - —cos 3x3 +0 3 г
I л .  6
л  ■ 6
+ — j cos 3xdx = —i /лЗдг
3 0 9 I
1 л 1= —sin— = —. 9 2 9
19
2.1.4. Площадь плоской фигуры
а). Площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми 
х=а, х=Ь (а<Ь), осью Ох и непрерывной кривой y=J[x) (у>0), вычисля­
ется по формуле
ь
S = j f(x )dx .
Пример 2.4. Найти площадь области, ограниченной линиями 
y=xz+ 1 и у =9-хг.
Решение. Построим область (рис. 2.1). Находим абсциссы точек
\у  = х2 + \;
пересечения А, В: j  - g - x* > * +1 = 9 -*  , * = 4, х =±2. Так как фи­
гура симметрична относительно оси Оу, то
2 2 "> ■ 64S = 2 J [(9 — jc2 ) — (.V2 + 1)]Л = 2J (8 — 2х2 )cic = 2(8jc — — jc3)( = — . 
о о 3 о 3
У
Рис. 2.1
20
Пример 2.5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
у=х2,у=4х, 2х+у-3=0 (рис. 2.2).
Решение. Находим абсциссы точек пересечения А, В и О. Тогда
°,5 1 о 11
S  =  j  (4jc - х  )dx + J ( 3 - 2 x  -дг )dx = — .
О 0,5 12
б). Если фигура ограничена кривой, имеющей параметрические 
уравнения л:=*(/), y=y(t), а</<3, прямыми х=а, х=Ь и осью Ох, то
Р
5 = \y(t]x\t)dt, 
а
где a=x(a), £=х(р) (y(t) >0).
Пример 2.6. Найти площадь фигуры, ограниченной циклоидой
\x = a(t-sint),Q<t < 2 я:
W l-c o s / J  и п р я м о й ^  (у>0).
Решение. Для нахождения пределов интефирования по t реша­
ем систему
21
y  = a ( \ - c o s t ) ;  л n  Зя
=> cos / < 0, —<t< —
2 2
Площадь фигуры A^ACBB\ (рис. 2.3) выражается интегралом
23л/ 2/1 j  ?J*/2f3 т  cos2A 2Г^ Зл^ |5, = |  (1 —cost)~dt = a~ J l--2 c o s / +------ \dt = a \ \  +— j.
к / 2  i t /2  2  J У 2 J
Площадь прямоугольника AA\B\B равна S2 = SAA]B[B = a2(2 + n),
так как +
Искомая площадь S = S] - S 2 = fl2(4 + 'y ') - a 2(2 + n) = a2^2 + ^ j  .
Рис. 2.3
в). Площадь сектора, ограниченного непрерывной кривой в по­
лярных координатах р =р (<р) и лучами (р=а, (р=Р (а>Р), выражается 
интегралом
1 Р о
‘S’ =  - J p  ( ф ¥ ф .
а
Пример 2.7. Найти площадь части фигуры, ограниченной лем­
нискатой Бернулли (х2 + у2)2 = а2(х2 - у 2), лежащей внутри окружно-
1
■» 2  СГСТИ Х + у  = ---- .
2
22
Решение. Уравнение лемнискаты Бернулли в полярных коорди-
р 2 =a2cos2(p;
натах р 2 = а2 соб2ф , а окружности р = -^= (рис. 2.4).
V 2
Решаем систему Р =
4 г '
^ - = a2cos2(p, cos2<p = ^, ф = -^.^-5 = 5 ]+S2 = ^ [ -^<Лр + ^  j a2 coslydy-
s/<.
л / 4
' 71/6
2 2 Ло к о  sin 2ф
Т ”б + 1  г - 24 4 I 2 J 4 I 6 2 /  I 6 2 J
-*/£•
Рис. 2 4
2.2. Вычисление длин дуг кривых. Вычисление объемов
Если плоская кривая задана уравнением у=Ах)^Ах) '  непрерывно 
дифференцируемая функция, а<х<Ь, то длина / дуги этой кривой вы­
ражается интегралом
h I-------- 7
/ = Н ] + 0 ' Т ^ .
а
Если же кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), 
y=y{t) (а</<Р),то l=\*bj(x'г)~ + (уI)~di.
а
23
Аналогично выражается длина дуги пространственной кривой, 
заданной параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), z=z(t), a<t<p:
3  
/ = H ( * ; ) 2 + w ) 2 + w ) 2 ^ -
a
Если задано полярное уравнение кривой р =р (ф), а<ф<р, то
/ = 1 >/р 2 + (р ' ) 2 Ф -
а
Если площадь S(x) сечения тела плоскостью, перпендикулярной 
оси Ох, является непрерывной функцией на отрезке [а, b], то объем 
тела вычисляется по формуле
ь
V = JS(x)dr.
а
Объем V тела, образованного вращением вокруг оси Ох криво­
линейной трапеции, ограниченной кривой y=j{x) (Дх)>0), осью абс­
цисс и прямыми х=а и х=Ь (а<Ь), выражается интегралом
V = % \f '(x )d x
а
Пример 2.8. Вычислить длину дуги кривой у2 = х3, отсеченной
4
прямой х = — (рис. 2.5).
Решение. Длина дуги АОВ равна удвоенной длине дуги ОА.
о
24
Рис. 2.5
Пример 2.9. Вычислить длину дуги кривой 
Г x = ( t2 — 2 ^ sin / 2/cos/;
I /о .2 I , о, , 0T Д° *2=Л. yy = ( 2 - t  ,)cos / + 2/sin /
Решение. Дифференцируя по t, получаем
х] = 2tsint + (Г  -  2Jcost + 2cost -  2tsint = t2 cost; 
y\ = -2 tcost - ( 2 - 11 )sint + 2sint + 2t cost = t2 sint,
откуда yj(x',)2 + (y’,)2 = V/4 cos2 1 + t4 sin2 / = ^//4 (cos2 / + sin2 /)  = /2 .
71 f3T  я3Следовательно, / = j rd t = — = — .
0 3 I 3
о
Пример 2.10. Найти длину дуги кардиоиды p=a(l+coscp) (a>0, 
0<ф<2л) (рис. 2.6).
25
Решение. Здесьр;,, = -asincp, ^(рф)2 + р2 = -^2a2(l + cos(p) =
А 2 2 Ф J Ф= ,14a cos — = 2dcos—
2 I 2
/л
. В силу симметрии / = 2-2ajcos—dq> = 8а.
о 2
Рис. 2.6
Пример 2.11. Найти объем тела, образованного вращением во­
круг оси Ох фигуры, ограниченной линиями 2v = x2 и 2дг + 2у-3 = 0 
(рис. 2.7).
Решение. Найдем абсциссы точек пересечения кривых:
Л-2 3 - 2 *  3 -Г2 3 2 Л Л Л ,  ■ ,у = — и у = ------= -  -  л ; — = -  -  .y; х + 2х -  3 = 0; х, = -3 , л ,  = 1.
2 2 2 2 2
Искомый объем есть разность двух объемов: объема V\, полу­
ченного вращением криволинейной трапеции, ограниченной прямой 
з
у  = - - х  (-3 < д-< 1), и объема V2, полненного вращением криволи-
*2
нейной трапеции, ограниченной параболой у = —  (-3<л<  1). Исполь-
ь
зуя формулу V = 7tJ f 2(x)dx, получаем
2.3. Несобственные интегралы
2.3.1.Интегралы с бесконечными пределами 
(несобственные интегралы первого рода)
Если функция f ( x )  непрерывна при а <*<+<», то несобствен­
ным интегралом первого рода называется
+оо b
f f(x)dx=  lim \ f ( x ) d x . (2.1)
Если существует конечный предел в правой части формулы
(2.1), то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот 
предел не существует или равен оо, то - расходящимся.
Ъ Ъ
Аналогично определяются j f ( x ) d x  = lim j  f ( x ) d x ;
со С b
\ f ( x ) d x =  lim [ f ( x ) d x  + lim \ f { x ) d x .
J а -* -о о  Ь->-нс
-со  a с
27
Пример 2.12. Вычислить j'e~ixdx.
о
Решение. Имеем
( е  jxdx = lim \ е  ixdx = lim ( - - с  3 r i  1 = -  lim ( 1 - е зл) = - .
i  b - t + x t  fc-*+ocl з  1 J  3  i -» + o c  3
Пример 2.13. Вычислить J — dx
—oc x + 2 x  + 5
Решение. f ( x )  = —— ——  = ----- -------- непрерывная функция на
х  + 2 х  + 5 (дг + 1) + 4
( - с о ; + о о ) .
Г *  -  Г 7  dx
jL Jc2 + 2 jc н- 5 x 2 + 2x  + 5 1 x 2 + 2 x  + 5
°f dx °r dx f l  1 1  o + l^ 1 1 я
—-------------= hm ------------------  = lim -a r c t g ------- arctg-------  = - a r c t g --------.
i x 2 + 2 x  + 5 »-*-«• 4 + (x  + i )  - - Ч 2  2 2 2 )  2 2 4
7  dx r dx ( \  b + 1 1 1  ^ n 1 1
—------------ = lim ---------------- -  = lim —arctg-------------------------------- arctg— = ------ arctg—.
J0 x* + 2x  + 5 4 + (x  + 1) 2 2 2 )  4 2 2
* dx  яТогда f —--------- = —. Интеграл сходится.
■Lx‘ + 2 x  + 5 2
2.3.2. Интегралы от неограниченных функций 
(несобственные интегралы второго рода)
Если /(х )  непрерывна при а^х<Ь и в точке х=Ь неограничена, то, 
по определению несобственным интегралом второго рода называется
Ь Ь-е
\ f ( x ) d x = \ \ m  \ f ( x ) d x .  ( 2 .2 )
*-40 „
Если существует конечный предел в правой части формулы
(2.2), то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот 
предел не существует или равен °о, то - расходящимся.
Аналогично определяется интеграл и в случае f(a )  = » .
28
* ь
\ f ^ x ) d x  = lim J/(.v)abf. (2.3)
a
В случае когда/с)=  » , ce(a.b), то
ь С - С Ь
dxПример 2.14. Вычислить или установить расходимость Г— .
о*
Решение. /(*) = 4г - непрерывна на (0,1], lim /(* ) = lim-4- = +«>•
v 2 г  —ь r-v O  y *
1 dxСледовательно, J— - несобственный интеграл второго рода.
= да, следовательно, интеграл
Г
расходится.
3. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМ ЕННЫХ
3.1. Понятие функции нескольких переменных
Пусть D - произвольное множество точек «-мерного арифмети­
ческого пространства. Если каждой точке P(x\ji2,...jcn)€.D поставлено 
в соответствие некоторое действительное число J[P)=J[xi^C2,- -^n \ то 
говорят, что на множестве D задана числовая функция /  от п пере­
менных Множество D называется областью определения, а
множество E{ueR\u=J{P). PeD) - областью значений функции u=J{P).
В частном случае, л=2,функцию двух переменных z=j{xy) можно 
изобразить графически. Для этого в каждой точке (xj>)eD вычисляет­
ся значение функции z=f(x.y). Тогда тройка чисел (x j'^ )= (x j'^ x Iy)) 
определяет в системе координат XYZ некоторую точку Р. Совокуп­
ность точек P (xy jlxy ))  образует график функции z=j{xy), являющей­
ся некоторой поверхностью в пространстве R3.
29
3.2. Предел и непрерывность функции 
нескольких переменных
Число А называется пределом функции u-J[P) при стремлении 
точки /)(х1д'2,...,хи) к точке Ро(а1,а2,...м„), если для любого е>0 суще­
ствует такое 8>0, что из условия 0 <р(Pt,P0) = yj(xt -а ,)2+ ... + (хг -а п)2 < 8 
следует \ f ( x x, х 2,..., х„) -  А |< е . При этом пишут:
А =  lim f { p )  =  lim f ( x l,x2,...,x„) .
1'] ~>a|
*2-*02
*!l
Функция u=j[P) называется непрерывной в точке Р0, если:
1) функция f(P) определена в точке Р0;
2) существует lim f(P ) \
р->р0
3) lirai /(/>) = f(P0). 
р -+ р 0
Функция называется непрерывной в области, если она непре­
рывна в каждой точке этой области. Если в точке Р0 хотя бы одно из 
условий 1)-3) нарушено, то точка Р0 называется точкой разрыва 
функции,ДР). Точки разрыва могут быть изолированными, образовы­
вать линии разрыва, поверхности разрыва и т.д.
3.3. Дифференцирование функций нескольких переменных
3.3.1. Частное и полное приращения функции
Пусть z=flx,y) - функция двух независимых переменных и Dij) - 
область ее определения. Выберем произвольную точку Р0{х0,у0)е D (/) 
и дадим х0 приращение Ах, оставляя значение у0 неизменным. При 
этом функция J(x,y) получит приращение
Д = Л*Я*о ,У0 ) = Л*о + А*» У о ) -  Я *о. Уо )•
Приращение Ахг называется частным приращением функции 
fix,у) по х.
30
Аналогично, считая дг0 постоянной и давая у 0 приращение Ду,  
получим частное приращение функции z-J{x,у) по у:
Д,.г = А Л х ^ У ь )  = /(*„, Го + A y )- f{ x „ ;y 0).
Полным приращением функции : = J\x,y) в точке Р0(х0,у0) на­
зывают приращение Дг, вызываемое одновременным приращением 
обеих независимых переменных х и у:
Az = Af(x0,y a) = f ( x u + Дх, у 0 + Ау) -  / ( х0 ,у 0)
Геометрически частные и полное приращения функции 
Axz, Arz, Az можно изобразить соответственно отрезками 
ЛД, А2В2 и А3В3 (рис. 3.1).
Пример 3.1. Найти частные и полное приращения функции
2 = ху2 в точке /ц(1;2), если Ах = 0,1;Ду = 0,2.
Решение. Вычислим значения
31
Axz  = f (  1,1; 2,0) -  / Г - 1 2 ;  = (х 0 + & x)yl -  х0у$  = Дху% = 0,1 • 4 =  0,4;
Дyz = / П,0;2,2 j - /П ;2) = хй(у0 + Ду)~ -  хйу1  = 2.т0>0Ду + Ду2 = 
= 2 • 1 • 2 ■ 0,2 + 0.22 =0.84.
Дг = f  (1X2.2) -  f(\;2) = (х0 + Дх)(у0 + Ду)2 -  хоУ1 =
=  1.1 ■ 2,22 - 1  • 2 2 =1,324.
Если u = f(x ,y ,z) , то для нее, естественно, рассматриваются ча­
стные приращения Ауи, А2и и полное приращение Ди .
3.3.2. Частные производные
Определение. Частной производной функции z=J{x,y) по пере­
менной х  называется предел отношения частного приращения функ­
ции Axz к приращению аргумента Дх, когда последнее произвольным 
образом стремится к нулю:
Ит / (*о + Ах, ур) -  f ( x 0, у0)
Дх —>0 Дх
Частную производную функции z = f(x ,y) по переменной х  обо­
значают символами
,. Щ х,у)  . ,
Я ’ х '  Л -  ’ J  ’ У '"ох ох
Таким образом,
dz .. Axz f ( x 0 +Ax,y0) - f ( x 0y 0)
— = l im -----= lim ----------------------------—— .
dx Дх-»о Ax Дг-*о Дх
Определение. Частной производной функции z=j(x,y) по пере­
менной у  называется предел отношения частного приращения функ­
ции Avz к приращению аргумента Ду, когда последнее произволь­
ным образом стремится к нулю:
32
dz .. A ,,z f { x 0,y 0 + A y ) - f ( x 0y 0)
—  = lim —— = lim --------------------------------- .
ду a»-»0 Aу >-*» Ay
df(x,y) ,
Применяются также обозначения zy> — ~ — . J y ( Х> У ) .
Частные приращения и частные производные функции п пере­
менных при п>2 определяются и обозначаются аналогично. Так, на­
пример, пусть (.г1,дг2,...,.х;.,...,л:п)-произвольная фиксированная точка из 
области определения функции и = /{х\,хг,...,х„). Придавая значению 
переменной хк(к = 1,2,...,л) приращение Ахк, рассмотрим предел
lim Я*!»-»** + А** )~ Я * I )
А**
Этот предел называется частной производной (1-го порядка) дан­
ной функции по переменной хк в точке (х,,;с2, . и  обозначается
ди '
—  или Д
ди ди ди
Пример 3.2. Найти , где и = ;t2y z 3 + х + у 2 .
Решение. Для нахождения — считаем у, z константами, а функ-
дх
цию и = jc2 y z 3 + х + у 2 - функцией одной переменной х.  Тогда 
= (х гу г 3 +  х  + у 2 ) ’х =  ( x 2y z 3)'t + (х)'г +  ( у 2 )'т =
од:
= 2ду23 + 1.
Аналогично— = .v2r 3 + 2 у ,  — = 3: 2х 2у .  
ду д:
Частными производными 2-го порядка функции и = f ( x l , x2 ,.. . ,x„)  
называются частные производные от ее частных производных перво­
го порядка. Производные второго порядка обозначаются следующим 
образом:
33
д ( д и ' _ д *и .
дхк дх
д f ди ' д2и
дх, dxtdxt
'l.JC.I -Ч.-Чг
■ = f ' , J XVXl....Хг ) ИТа-
Аналогично определяются и обозначаются частные производ­
ные порядка выше второго.
Пример 3.3. Найти частные производные второго порядка для
функции Z = Ar.
У
Решение
dz_ _ 1 _ _ _ 2 л .  
дх у 2 ' ду у ' ’
дх2
д2=
У
1
= 0;о г 
дудх ,,3 •
2 dAz 
дхду \ у г ) у у 3'ду2
2- < 2„хЛ
\  У у У
6х
~4 '
3.3.3. Полный дифференциал функции
Полным приращением функции f ( x x,x2 .....xnj  в точке Р(ххх2,...,х„),
соответствующим приращениям аргументов Ах],Ах2,...,Ахп, называется 
разность Au = f ( x l + A x l , x 2 + A x 2,...,xn + A x „ ) - f ( x l , x 2,.. . ,xn).  Функция 
м=ДР) называется дифференцируемой в точке (хх,х2,...,хп), если в не­
которой окрестности этой точки полное приращение функции может 
быть представлено в виде
Аи = Л, • Дх, • At, + ...+ А„ -Ах„ + о (р ) ,
где р= Ах2+Ат?+ ... + Дх2 ....А„ - числа, не зависящие от
Аг ,,А х2>...,Д х„.
34
Полным дифференциалом du 1-го порядка функции 
и = в точке (*,,х2,...,;сл) называется главная часть полно­
го приращения этой функции в рассматриваемой точке, линейная от­
носительно Дх,, Дх2,...,Дх„, то есть
Дифференциалы независимых переменных по определению 
принимаются равными их приращению:
Для полного дифференциала функции ы = f ( x i,x2,...,xn) справед­
лива формула
Пример 3.4. Найти полный дифференциал функции 
z = \n{y + yjx2 +у2).
Решение
Полный дифференциал используется для приближенных вычис­
лений значений функции. Так, например, для функции двух перемен­
ных z = f ( x ,у), заменяя A z^c t,  получим
f ( x о + Дх, у0 + Ду) а / (х0 ,>0) + df(x0, у0).
Пример 3.5. Вычислить приближенно с помощью полного диф-
dit = Л,Дг, + Л:Дх2 + ... + ЛлДх„.
dx{ = Дxudx2 =Дx2,...,dxn = Дх„.
ду у  + т]х2 + у : ч -уj x 2 + у 2 > yjx2 + у 2
Решение. Рассмотрим функцию Д х,у) = arctg - - 1  . Применяя
КУ )
вышенаписанную формулу к этой функции, получим
'  х  + Ах 
arctg ----------
{ у  + А у
или
Положим теперь х=2,у={, Дх=-0,03, Ду=0,02. Следовательно,
= arctg 1 -  -  • 0,03 -  0,02 = — -0 .0 1 5 - 0 ,0 2  *  0,75.
2 4
3.3.4. Дифференцирование сложных и неявных функций
Функция z=_/[w,v), где и=(р(х,у), v=i|/(a\>>), называется сложной 
функцией переменных х н у .  Для нахождения частных производных 
сложных функций используются следующие формулы:
В случае, когда и=(р(х), у=у(л'), г = /(ф(.г),ч/(*)) - функция одной 
переменной и
к
dz dz du dz dv
дх ди дх dv дх
dz dz ди д: dv
dy du dy dv ду
dz  _  dz du  ^ c z  dv  
dx  du dx d v d x
36
Пример 3.6. Найти частные производные функции г = arctg-, где
и=х+у, v=x-y.
Решение
1 -J L
d z  -  V  и  V 2 1 =  -  »  +  v
дх , и2 , и2 и2 + v 2
1 + т  1 +  —
V V
dv и2 , и2 и2 + v 2
1 + —  l + - j  
V "  V
Если уравнение F(x.y)~0 задает некоторую функцию >^ дс) в неяв­
ном виде и F'v(x,y) * 0, то
dy  = F'x(x ,y )  
dx Fy(x , y )
Если уравнение F(x,y,z) задает функцию двух переменных 
:(х,у) в неявном виде и Fl(x,y,z) * О, то справедливы формулы
dz Fj(x,y,z) dz _ F'y(x,y,z)
dx F:(x,y,z)’ dy F'(x,y,z)
Пример 3.7. Найти частные производные функции г, заданной 
неявно уравнением ху: + .г3 -  у 3 -  z3 + 5 = 0.
Решение
dz y z  + 3x2 3.r: + y z
дх x y - 3 z 2 3 z 2 - х у
dz  , r ; - 3 y : x z - 3 y '
ду x v - 3  z 2 3 : 2 - х у
37
3.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Если поверхность задана уравнением z ^ j i x y ) ,  то уравнение каса­
тельной плоскости в точке л;0(л0,>()1г0) к данной поверхности
- -  - о = ЛЧ *0, v0 X * -  *0 ) + /,'• (л'(1. > 0 X У -  Го),
а канонические уравнения нормали, проведенной через точку 
М0(;г0,.у0,г0) поверхности:
_ У~Уо _ - ~ ^ о  
/ * ( - W o )  /,'(*<>. Го) - 1
В случае, когда уравнение поверхности задано в неявном виде: 
F(xj>,z)=0,  уравнение касательной плоскости в точке M 0(x{), y 0, z0) 
имеет вид
К  (х0. У о . zo X* -  *о ) + Fy (хо. Уо ’ z0 Хг -  У 0) + F'. (дс0, у 0, z„ )(z -  г 0 ) = 0 , 
а уравнение нормали
* - * о  ^ У - У о  _ - ~ 20
Fх (*о ’ Го ’ “о) Ff.(x0, y Q, .^0) FI(x0, y (l, z g)
Пример 3.8. Найти уравнения касательной плоскости и нормали 
к однополостному гиперболоид,' х2 +2у2 - г : -  5 = 0 в точке /50(2;-1;1).
Решение
К ( хо'Уо'2о )  -  4.
К ( х*-У0'20) = Ьу\Р = -А.
F2( хй’Уо'^о) ~ /*„=
Поэтому уравнение касательной плоскости к данной поверхно­
сти запишется в виде 4(.г-2)-4(у+ 1)-2(г-1) = 0 или 2х -  2 у -  z -  5 = 0, 
а уравнение нормали -  в виде
х - 2  _ у  + 1 _ г-Ч  а--2  _ у  + 1 _ z - 1
38
3.5. Экстремум функции нескольких переменных
Функция u = f ( p )  имеет максимум (минимум) в точке 
если существует такая окрестность точки Р0, в кото­
рой для всех точек ), отличных от точки Р0, выполняется
неравенство f (P0)>J\P)  (соответственно f (P0)< f(P)).
Необходимое условие экстремума. Если дифференцируемая 
функция f ( P )  достигает экстремума в точке Р0, то в этой точке все 
частные производные 1-го порядка / '  (Р0 ) = 0, к =  1,2,...,п .
Точки, в которых все частные производные равны нулю, назы­
ваются стационарными точками функции и = f(P).
Достаточные условия экстремума. В случае функции двух пе­
ременных достаточные условия экстремума можно сформулировать 
следующим образом. Пусть Рп(х0,у0) -  стационарная точка функции
2 = f(x,y) ,  причем эта функция дважды дифференцируема в некото­
рой окрестности точки Р0 и все ее вторые частные производные не­
прерывны в точке Р0. Обозначим
А = f ' J  хо>Уо)' в  = f ’J  хо>Уо)’ С = f ' J  W o  A d  = a c - b \
Тогда:
1) если D>0, то в точке Р0(х0,у0) функция z = f(x , y)  имеет экс­
тремум, а именно: максимум при Л<0 (СО) и минимум при А>О (ОО);
2) если D<0, то экстремум в точке Р0(х0,у0) отсутствует;
3) если D=0, то требуется дополнительное исследование.
Пример 3.9. Исследовать на экстремум функцию z = .г3 + у 3 -Зху .
Решение. Найдем частные производные 1-го порядка и прирав­
няем их нулю.
| ^  =  3 (л 2 - у )  =  0, ^  = 3 ( у 2 - х )  =  0 . 
ох ду
Получаем систему
\ х 2 -  у  =  0 ;
[ / - *  = 0.
39
Решая систему, найдем две стационарные точки ^  (0,0) и /J2(U). 
Найдем частные производные 2-го порядка.
d2z d2z d2z—-  = б.г, -----= -3, —- = 6 v .
дх дх ду ду'
Затем составим дискриминант D = А С - В 2 для каждой стацио­
нарной точки.
Для точки Р{: а = ^ ' р = О, в = ~ \  = -3 , C = ~ L  = 0,
дх 1 дхду ' ду 1
D  =  - 9  < 0. Следовательно, экстремума в точке Р, нет.
Для точки Рг :
D = 36 -9  > О, А> 0. Следовательно, в точке Р2 функция имеет мини­
мум, равный zmin = z r_|=l + l — 3 = -1.
у=1
3.6. Наибольшее и наименьшее значения функции 
нескольких переменных в замкнутой области
Функция z = / (х,у) ,  определенная и непрерывная в замкнутой 
области D с границей Г  и дифференцируемая в открытой области D, 
достигает своего наибольшего и наименьшего значения (глобального 
экстремума).
Точки глобального экстремума следует искать среди стационар­
ных точек функции/ в открытой области D и среди точек границы Г.
Пример 3.10. Найти наибольшее и наименьшее значения функ­
ции z = е х +Здг +6>' в области х2 + у 2 < 1.
Решение. Граница области .t: + y :  = l - окружность радиуса 1. 
Сделаем чертеж (рис. 3.2).
Окружность разбивает плоскость на две части. Координаты то­
чек круга удовлетворяют неравенству ,v: + у2 <1. Найдем стационар­
ные точки функции z  в круге.
УРис. 3.2
Решая эту систему, находим для функции z две стационарные 
точки М[(0,0) и М ,(-2,0). Кругу принадлежит точка М,(0,0); 
; ( М , ) ^ е ° =  1.
Найдем наибольшее и наименьшее значение функции z  на окруж­
ности X2 + у 2 = 1. На ней у 2 =l-AT2;.ve[-l;l];z = r(x) = ej:3' 3:t2+6. Имеем 
z(-l) = e 2;z ( l )  = е4. Далее, решая уравнение z \ x )  = (З х2 -6дг)ед:3~3х2+6 = 0, 
находим стационарную точку; .г, = 0 e ( - \ ; l ) - , z ( x t ) = z (0)  = e 6 .
Итак, получим следующие значения функции z\ 
z(M,) = l, z(-l;0) = e2; z(l,0) = e4; z(0;l) = e6. Отсюда видно, что 
max :  = еь , min :  = 1.
Если граница Г  состоит из нескольких частей, то наименьшее и 
наибольшее значение функции - на границе Г  следует искать среди 
наибольших и наименьших значений функции на каждой части.
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
1-20. Найти неопределенные интегралы:
">v
<х~ -  х + \)(х + 2)
г) | s i n 2 x c o s ^ xdx  .
41
_ . r cos л/x d x  _  . s i n  x  60 dx  , l n x
2 . a) /  7= ; 6) / — = - * ;  в) b y - ----------; r) J y d * .
■v* cos x  ( x  + 4 ) ( x  + 4)  V х
^ 3
-> ч , 2 - x J J ^  t cos x  1  ч f 11*+  163. a) [x e d x ; 6) J— — dx-t в) i ----------- ~------------
5ш “ дг ( x - l ) ( x  + 4 x  + 4J
2
г )  К x  - 4 ) s i n 5 x d x .
9
4. a) \cosxe~ s'nxd x ; 6) J COS ^  *  л и  ^  .Xfiic ; в) I ---- — + * + 3 <£•
+ +X + 1J
r) J arccos 2xdx .
w sin-Jx  , , j /л3 jc , w  x + 2 , , ?
5. a) / — f= -dx:  6) J --------- -— dx; b )J  — ------- - d r ;  t ) \ x l n ( x i +4)dx.
< x  1 + co sZ x  x i - 2 x l
6. а) 6) J * V 2 <fr; B) S— ----- — ---------;
COS- x  ( x -  + \ ) ( x - 2 ) ( x - \ )
, dx
^  x  + \)2 -V2x + 1 ’
5 dx
>5
ectg2x
7‘ a) !^ 2 7 Л ;  б) 1Л'-2 + 2д-3> -^дг; в) J 2
r* z + 4 ; f * - u
. x  + J x + t f x 2 
r) J-------- ; = — dx.
x ( l + $ x )
- 4 x
8. a) f-e- r - - ; 6) JarcfgVxcfr; B) J-------^ ; r) J sin4 xcos2 xdx.
v-x (x + l rC x  + 3)
arctg3x „ 9
Л \ ✓J гг\ г /  7  Л t s  ^  t f \ f  -2 8 * +  44 ,9. a) J-------- — dx\ 6) \(x~ -3x jln (x  + 2)dx; в) J-------- s---------y<&;
1+9.Г- r * - 2; - f x - 4;
r) jsin^ xyfcos^xdx.
, n -л гагс' Г - Ь . .  ^  , 2 ,  , , 2.v2 -5* + 1 . N r cos3 2x ,10. a) J---------— dx ; 6) jxcos 3xdx ; в) J—-------z— dx ; r) J - -  ■ dx .
i + 4.r- .xj -2 jt-+ .t yjsin2 2x
circsmSx 7  ,  v 3  +  t 2 _ v _ 4  .  5/ и 3 *  ,
1 1 . a) b ------- ~dx- 6) (x2e~ 3xdv: B) \ ^ - — -— ; r) K7 ' dx
V l-9*2 ■ n <*-W> + Z> ' ’
42
r) J
. t g3 Зл' r ' 2  ■> i  Ч г 2.x2 + 10.x- 4
12. a) J - S — <&; б) f.vz jw2.Y</x; в) J----------5-----------dx-
cos Зл- ^ - 1 / Г л + з ;
dx
cosx -  lainх '
13. а) J- т - --------б) [xlnfx^ + 2)dx\ в) \—y ~~— “ ~ ---------------
х6 +х + \ ' (х2 +4)(х + 2)(х + \)
^  j________ dx________
sin~ х - 16 sin x c o s  x
3 -1 ,
x~ ■ л  , *> 3x , Ч г x  -Здс + l ,14. a)J о-------- 6) J*-e d x \  B)  J—  JTA ;
« « “ ^2 + -v > ( x  + U ( x - 1 )
dx
r) J . . 2 * 2 ~ ’4лш  x -  5 cos x
, x d x  7 2 — 5.v
15. a) J --------j »  б) ]л-/.*7^"-2л + з ;Л ; b) J— -^------------------------ :------dx-
r) h
C O S X  ' ( x  +  .X +  1 X * ~ 2 J
dx
5 + 45ШД:'
7 v r5jf4 + 1j16. a) j x s i n n - 3 x - J d x -  6 )  j 2 x e ~ x d x ;  в) H i ------ d x ;
X +  X
\ , _____________dx_____________
r) J 2 •> ■
3 sin x + 5 sin x cos x  + cos ~ x
t j  .4 x 2 + 1 6 .t-8  ,
17. a) Ixcos(3x~  + 2) d x ; 6) jxa>cfg2.xc&; в) J----- s----------d x ;
.v -  4л-
r) j 5/«5л'сол4.гй6:.
v3 + 5 x  +  2 ?
18. a) i  ^ - 3- ^ ; 6) \x lnxdx-'  B) f r) /с<м“ 3.м&.
t x  dx -7 . Зл- + 2 г-—  5
19. a) J------ 4  ; 6) 1 * 5»;“ 2 ;«&; в) .1 - 5 ---------- ; г) |v««-rcm  x d x .
4 + * x l (x + 4)
_ x . .r + 4 . .
20. a) j x1 4 3 - 4 x * d x ;  6) I— - d x -  B) I----- 5---------- )dx-
sin~ x x(x~  + 4
ч r dxr ) J------------------------- ----
4 -  3cos~ x +  5sin~ x
43
21-26. Вычислить плошали фигур, ограниченных линиями:
21. у = sin .V, х е
3 л
-  -  я ;  —9 1 V = I.
23. у = сх\  у = е~х, у = 2 .
25. [ v = ; :  м - u ] .
\ у  =  г ,
22. у = ех, у = е~х, х = 1.
f I’ = 2 sin / + 1;
2 4  • {.v = 3cos/.
26. р = 2sin2cp.
*!]■
28. С ' ;  ^ м .
27-33. Найти длину дуги кривой:
27. у = In cosx, х е
:osV; _ ■>
29. 1 з / е [0.-2Л-]. 30.
Sin 7,
32. р = 3(1 - cos<p), фе[0;тс]. 33. р = е2<|>, (ре
р  = \+$т.(р,
31
у  = sm-  " "  _ [y = l + cos/. (р е  [О,’я-].
0;:
34-40. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох
^фигуры, ограниченной линиями:
34. у = sinх, х е [0;л]. 35. у = - х2 + 5,у = 1.
36. у = х 2, у = 0, .г = 2. 37. у = е-* , у = 0, х = 0, х = 1.
™ fx = cosr 38. у = lnx, х = 4, у = 0 . 39.
v = 3 sin I .
(x = 2l-2sm t; r ,
40. , , ' е М .I V = 1 + cos t.
41-60. Вычислить несобственные интегралы (или установить их 
расходимость):
41. 42. jxe~2xdx. 43. j7- dx
. X  In * X о- 4 - х
45. lxe~xldx. 46. ]xe~ixdx. 47. 48. I - —
Х ч ' 1 п Х  e X In X
52. ]— X
2
49. 50. f - ^ 4 .  51. f~ - .
„ C O S "  Л* 1 + . Y “ (, X
dx
44. f - -----^Lx.
о 1 + 9 x ‘
, ( x - i  У
44
5 3 . J - 4 - -  54. J— - - 55. J — -  • 56. \e 2xdx.„дг1п X , -vlnx "J JC In ЛГ
Л
57. ]xe-lxdx. 58. | ^ £ = .  59. J - ~  . 60. j - x~  .
о о 16-.t4 ...vln'.v о sin'  x
d2~ d2-61-80. Найти —- , — для функции z = z(x,y). 
dx cx'dy
•— ,2 --
61. z = e x . 62. z = - - 2 sin2 A-. 63. z = —  + tg2y. 64. z = e 1 .
A" A
— — 1 x *2
65. z = e y . 6 6 . z -  ey . 67. z = xey . 68 . z = yey . 69. z = xe ' .
70. z = cos2(.t + y). 71. г = sin2(-v-t-y). 72. г = ln(.tJ - 2 y).
73. z = ln(.t3 -3y3). 74. ,- = - -  + y3- 75. z = — +v.
у  у
76. z = ~  + x' -  у . 77. z = -  + 2 .r2y. 78. z = cos(.v+v2).
У .x
79. z = sin(y + .t2). 80. z = cos(.t2 + y ).
81-100. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
z = z(x,y) в заданной замкнутой области D .
81. з  = д 2у(4  -  х -  у), D  : а  ^ 0 ,у  > 0,д- + у < 6 .
82. z = х2 — у2, D : х2 + у 2 < 1.
83. z = 2х2 -2 у 2, D : х2 + у 2 <9.
84. z = 1 -  х + х2 + 2 у , D : х > 0,у  £ 0,д- + у  < 1.
85. z = 2jc3 — б.тт + З у 2 , D : х > 0 ,у  < 2, у  > ~ а-2 .
86. z = 2 х 3 + 4д'2 + у 2 -  2 .tv, D  : у  > х 2,0 < у  < 4.
87. z = х2 -  у 2 + 8, D : х2 + у 2 < 4.
88. z = дг3 + у 3 -  9ду + 27, 25 : 0 < .t < 4 ,0  < у  < 4 .
89. z = х2 + 4д:у - у 2 -  6 а- -  2у , D : х £ 0, у  £ 0,0 < .t + у  < 4.
90 . z = а-2  -  2 у 2 т  4 ху -  6.V + 5, D  :х> 0, у  £  0,0 < .t + у <  3.
91. z = х1 + ху- З а - у ,  D : 0 < х < 2,0 < у  < 3 .
92 .  z = д 2 + 2 ху- у 2 -  2д- + 2 у  + 3, D :х < 2 ,у  > 0,;- < х + 2 .
45
93. z = x 2 + y 2 - 6 x  + 4 y  + 2, D :0<,х<, 4 , - 3  < у £2.
94. i  = x 2 -  2ху  + 3, D : 0 < у  < 4 -  х~ .
9 5 .  z  = 5 л:2 -  Зху  + у 2 + 4, D : - l £ j c < l , - l < y < l .
9 6 .  z = х 2 -  у 2 + 2 х у +  4х , D : х < 0 , у  < О, у  £ - х - 2.
9 7 .  z  = х 2 + 2 х у - у 2 - 2 х +  2у ,  D  : х  < 2 , у  > 0 , у  < х + 2.
9 8 .  z  = бху  -  9 х 2 -  9 у 2 + 4х  + 4_у, D  . О < л- < 1,0 < у  < 2 .
9 9 .  z  = х у - 3 х - 2 у ,  й : 0 й х < 4 , 0 < . у й 4 .
100 . z = 3 x : + 3 y 2 - 2 x - 2 y - 2 ,  D . X  > 0 , у > 0 . х  + у  < 1.
1 0 1 - 1 2 0 .  Н а й т и  у равн ен и я  касател ьной  п л о с к о ст и  и н о р м а л и  к 
з а д а н н о й  п о в е р х н о с т и  S  в т о ч к е  M 0(x0, y 0,z 0) .
101. S : x 2 + y 2 + z 2 + 6 z - 4 x  + 8 = 0, A/0( 2 , l , - l ) .
1 02 . S : x 2 +  z 2 -  4 y 2 = - 2 xy,  M 0 ( - 2,1,2).
103. S : x 2 + y 2 + z 2 - x y  + 3z = 7, W 0( l ,2 , l ) .
104 .  S . x 2 + y 2 + z 2 + 6 y  + 4.t = 8, M 0( - \ , 1 2 ) .
10 5 .  5 :  2 x 2 -  y 2 + z 2 - 4 z  + у  = 13, A/0( 2 , l , - I ) .
106 .  S  : x 2 + y 2 + z2 -  6 y  + 4z  + 4 = 0, Af0( 2 , l . - 1 ) .
107 .  S : x 2 +  z 2 - 5 y z  + 3y  = 46, A#0( l , 2 , - 3 ) .
108 .  6’ : x 2 +  y 2 -  xz -  yz = 0, A/o( 0 ,2 ,2 ) .
109 .  5 :  x 2 + y 2 + 2yz -  z 2 + у  -  2z = 2, M 0( l , l , l ) .
11 0 .  S : y 2 - z 2 + x 2 - 2xz + 2x = z, M 0( l , l , l ) .
111 .  S : z =  x 2 + y 2 - 2 x y +  2 x - y ,  jV/0(—1,— 1,— 1).
1 12 .  S : z  = y 2 - x 2 + 2 x y - 3y, M 0( l , - l , l ) .
113. 5 :  z  =  x 2 -  у 2 -  2xy -  x -  2y, A/0( - l , l . l ) .
114 .  S : z = x 2 + y 2 - 3 x y - . r  + y  + 2, Л/0(2,1,0).
11 5 .  S :  z  =  2 x 2 - 3 y 2 + 4 x - 2  у  +10, M (J( - 1,1,3).
116 .  S : z =  x 2 + y 2 - 4 x y  + 3 x - 15, Л/0( - 1 .3 .4 ) .
117 .  S : z  = x 2 + 2 y 2 + 4xy -  5y -1 0 ,  <V/0( -7 .1 ,8 ) .
118. S  : z = 2 x : -  3 y : + xy  + 3x +1, .W0(l, - 1 , 2 ) .
119 .  5  : x 2 -  y * - z 2 + x z  + 4x = -5 ,  .
120. S : x 2 +  y 2 -  xz + yz -  3x = 11, Л/0(1 ,4 , -1 ) .
46
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
ПРОГРАММА 
Обыкновенные дифференциальные уравнения
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Диффе­
ренциальные уравнения 1-го порядка. Задача Коши. Теорема сущест­
вования и единственности решения задачи Коши.
Интегрирование дифференциальных уравнений 1-го порядка с 
разделяющимися переменными, однородных, линейных, уравнения 
Бернулли и в полных дифференциалах.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши. 
Формулировка теоремы существования и единственности решения 
задачи Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. 
Свойства линейного дифференциального оператора. Линейно- 
завиримые и линейно-независимые системы функций. Определитель 
Вронского.
Линейные однородные дифференциальные уравнения, условие 
линейной независимости их решений. Фундаментальная система ре­
шений. Структура общего решения. Линейные однородные диффе- 
ренциачьные уравнения с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Струк­
тура общего решения. Метод Лагранжа вариации произвольных по­
стоянных. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с 
постоянными коэффициентами со специальной правой частью.
Нормальные системы дифференциальных уравнений. Автоном­
ные системы. Геометрический смысл решения. Фазовое пространст­
во. Задачи Коши для нормальной системы. Теорема существования и 
единственности решения задачи Коши. Метод исключения для реше­
ния нормальных систем дифференциальных уравнений.
Системы линейных дифференциальных уравнений, свойства 
решений. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с 
постоянными коэффициентами.
Понятие о качественных методах исследования систем диффе- 
ренциааьных уравнений.
47
Л и т е р а т у р а
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и инте­
гральное исчисление. - М.: Наука. 1980, 1988.
2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математи­
ка в упражнениях и задачах. - М.: Высш. школа, 1986.
3. Жевняк P.M., Карпук А.А. Высшая математика. В 2 ч. Ч. 1, 2. -  
Мн.: Выш. школа, 1985.
4. Кудрявцев Д.Л. Краткий курс математического анализа. - М.: 
Наука, 1989.
5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисле­
ния: Учебник для втузов. В 2 т. - М.: Наука, 1985. - Т. 1,2.
6 . Щипачев B.C. Высшая математика. - Мн.: Выш. школа, 1985.
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка 
может быть записано в виде
F(.y,v,/) = 0 (4.1)
или, если разрешить его относительно >•', в нормальной форме
У = Дх,уУ  (4.2)
Решением дифференциального уравнения называется такая
функция v = ф ( х ) ,  которая при подстановке в уравнение вместо неиз­
вестной функции обращает его в тождество.
Общим решением уравнения первого порядка называется функ­
ция у = ф(.г,с), которая при любом значении постоянной с является 
решением данного уравнения.
Теорема Коши. Если функция Д х,у)  определена, непрерывна и
df(x,  г) _ „имеет непрерывную частную производную в ооласти D, со-
ду
держащей т(хп,уа), тогда найдется интерват (.v0 -5;.t0 + 5), на кото­
ром существует единственное решение г  = ф ( . г )  дифференциального 
уравнения (4.2), удовлетворяющее условию \ i x0) = yn.
48
Пару чисел (.v0!.y0) называют начальными условиями. Решения, 
которые получаются из общего решения >- = <р(л\с) при определенном 
значении произвольной постоянной с, называются частными.
Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего на­
чальному условию у= у0 при .г = .vy. называется задачей Коши.
4.1. Дифференциальные уравнения 
с разделяющимися переменными
Уравнение вида
P(x)dx + 0 ( y ) d y  = 0 (4.3)
называется дифференциачьным уравнением с разделенными пере­
менными. Его общим интегралом будет J P(x)dx + f0 { y ) d y  = с , где с -
произвольная постоянная.
Уравнение вида
M l( x ) M 2(y )d x  + N x(x)M2(y ) d y  = 0 (4.4)
или
y' = T  = U x)- f ^ '  <4 -5)ах
а таюке уравнения, которые с помощью алгебраических преобразова­
ний приводятся к уравнениям (4.4) или (4.5) называются дифферен­
циальными уравнениями с разделяющимися переменными.
Разделение переменных в уравнениях (4.4) и (4.5) выполняется 
следующим образом: если М^{х)^0,Мг(^у)*0, то разделим обе чисти 
уравнения (4.4) на N i( x ) M 2( y ) . Если М у ) * 0 , то умножим обе части 
уравнения (4.5) на dx и разделим на М у)-  В результате получим 
уравнения с разделенными переменными вида
^ l dx + M A dy = 0;
tf,(.t) ,V/;(r) '
dv
f \ ( x ) d x  =
М у)
49
Для нахождения всех решений полученных уравнений нужно 
проинтегрировать обе части полученных соотношений.
1 +У2Пример 4.1. Решить уравнение у' = ----- '—-  .
xy(I + .t-)
Решение. Заменим у' = — . Разделив переменные и интегрируя,
dx
получим
y d y  dx г yd y  _  л dx +
l + y 2 ~ x( \  + x 2) ’ J 1 + y 2 \ v ( l  + .x;2 )
Разложим подынтегральную дробь на простейшие-
1 + Л = 1, В = -1 ,  D  = 0.
.х(1 + дГ) -V 1 + х 
Отсюда
^ ln( 1 + у 2) = In | х | -  i l n ( l  + х 2) + In | С I;
1п|(1 + *2 Х1 + У2 )1=21п|Сс|.
(1 + д-2 )(1 + y 2 ) = c 2x 2 - общий интеграл уравнения. Разрешая отно­
сительно у ,  имеем общее решение уравнения
, C V
У = ± Г ,— F •V l + jc
4.2. Однородные уравнения
Функция f ( x , y )  называется однородной функцией «-го измере­
ния относительно переменных х  и у, если при любом / справедливо 
тождество
/(Dc,/y) = /'7(x,v). (4.6)
Например-. f(x ,y)  = .t3 + 3.v: v -  однородная функция третьего измере­
ния относительно переменных х  и у, так как
f ( t x , t y )  = (txY + 3(tx)2ty = f3(V  + 3.v2.v) = t l J \ x , y ) .
50
Функция <p(jr,x) = ——— является однородной функцией нулевого 
х + 2 у
измерения, так как ф(гх,/у) = /%(*,>•) = <р(х,>'). Функция <р(ху) = 
=х3 + 3 х 2у - х  однородной не является, так как для нее условие (4.6.) 
не выполняется ни при каком п.
Дифференциальное уравнение в нормальной форме
у'  = ^  = , f ( x , y )  называется однородным относительно переменных х  и
у, если f(x ,y )  -  однородная функция нулевого измерения.
Дифференциальное уравнение в дифференциальной форме
М  (x , y )dx  + N ( x , y ) d y  = О
называется однородным, если функции М(х,у) и N(x,y) -  однород­
ные функции одного и того же измерения. При помощи подстановки 
у  — и х , где и(х) -  неизвестная функция, однородное уравнение преоб­
разуется к уравнению с разделяющимися переменными.
Пример 4.2. Решить дифференциальное уравнение
/  = 4 - 2.
2
Решение. Это однородное уравнение, так как f i x , у) = ~ ~ 2  -  од-
X
нородная функция нулевого измерения. Положим у  = их, у '  = и'х + и.  
Тогда и'х + и = и 2 - 2 ,  u'x = i r - u - 2 .  
du j du dx— л: = и - и -2, —z--------= — -  уравнение с разделенными пе-
dx и2 - и - 2 х
ременными. Интегрируя, получим
= 1п\х\+1п\С\,
, du dx \ , \ и - 2
I---- Г— 77 е / —■ 7 1”
( u - ' - f . l  х ' 3 1"  +  1
2 4
—- 2
= С 3л:3 , —----- = Сх3 , у - 2 х  = С х3( у  + х )  -
£  + 1и + 1 X
общий интефал данного уравнения. Разрешая относительно у, полу-
х(7 + Сх3)
чим общее решение у = — -----— .
1-Сх3
51
Пример 4.3. Найти частное решение уравнения
( у 2 -  зx z )dy  + 2xydx = О, удовлетворяющее начальному условию yi х=0 = 1 .
Решение. M ( x , y )  = 2 x y ,N ( x , v )  = у 2 -Ъх2 — однородные функции 
второго измерения. Подстановка у  = их,у' = и’х + и приводит уравнение 
к виду
(и2 - 3 )du _  dx 
н ( 1 - и 2) х
Интегрируя, получим
 ^ ( u 2 - 3 ) d u  _ t d x  и2 -  3 _ А  В D
и ( 1 - ы) ( \  + и)  х  ' и ( \ - и ) ( \  + и)  и 1 -м  1 + и
А = -  3, В  = -1, D = 1.
—3 /и | и ! +ln\ 1 - и  | +ln[ 1 + 1 1  — In х\+1п\С\.
, . У
2
l^ - .J  Х ~  г . .  ^  , . . г -
1-
1-м '
« 3
Л3
х 2 -  у 2 = Су3 -  общий интеграл данного уравнения. Найдем ча­
стный интеграл, удовлетворяющий условию
>Uo = i> 0 -1  = с , с  = -1 ,
у 3 = у 2 - х 2 -  частное решение уравнения.
4.3. Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка
Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид
у' + Р(х)у = 0(х). (4.7)
Такое уравнение можно решать с помощью замены
>- = //(.r)v(.t), 
где ;/(.v) и v(.ir) -  неизвестные функции. 
т  dv  du dvТогда — = v— + и— и уравнение (4.7) примет вид 
dx dx dx
52
Функцию v подбираем так, чтобы выражение в скобках было 
равно нулю, то есть в качестве v возьмем одно из частных решений 
уравнения
dv— + P(x)v = 0.
dx
Подставляя выражение v = v(x) в уравнение (4.8), получаем 
уравнение с разделяющимися переменными
Найдя общее решение этого уравнения в виде и = и(х,С), полу­
чим общее решение уравнения (4.3) у = u(x,C)v(x).
Пример 4.4. Найти общее решение уравнения
Полагаем у = u(x)v(x), тогда у' = u'v + v'u и данное уравнение 
примет вид
Решая уравнение v'-vctgjc = 0 , найдем одно из его частных ре­
шений
у ' - у  ctgx = -
sinx
u'v+v'u-uv ctg.v = -----
sinx (4.9)
u'v + u(v'~ vctg.v) = -----
sin.t
dv
—  = vctgx, 
dx
dv
V
= ctg xdx.
In v = In sin .r => v = sin x.
Подставляя v в уравнение (4.9), получим
у = uv = (— ctg х + С) sin х = -cosx + С sin д:.
Общее решение исходного уравнения
4.4. Уравнение Бернулли
Уравнение Бернулли имеет вид
у' + Р{х)у = 0(*)у"', где т *0, т* 1.
Такое уравнение можно проинтегрировать с помощью подста­
новки у = uv или свести к линейному уравнению с помощью замены
Его общее решение v = ± 1 х+С. Общее решение исходного 
уравнения у = х{±-^2х + С).
Пример 4.6. Решить уравнение Бернулли относительно х = х(у).
dx _ х 1 
dy 2 у 2х
Полагая дг = мг, получим
V
du и 
dx х
\ /
(4.10)
Уравнение — -  -  = 0 имеет частное решение и = х . 
dx х
Подставляя и в (4.10), получаем уравнение
dv х х" _ q dv _ 1 
dx xv dx v
-------- + — и +------ = 0 .
{dy 2 у ) {dy 2 uv)
(4.11)V
Уравнение — - —  = 0 имеет частное решение u = J y .  Подстав- 
dy 2у
ляя значение и в уравнение (4.11), перейдем к уравнению
4.5. Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая 
часть является полным дифференциалом некоторой функции и(х,у), 
то есть
Пусть функции Р(х,у) и 0(х,у) непрерывно дифференцируемы 
по у  и х  соответственно в односвязной области D.
Теорема. Для того, чтобы уравнение (4.12) было уравнением в 
полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполня­
лось условие
Решение уравнения (4.12) в полных дифференциалах можно за­
писать в виде
Уравнение P(x,y)dx + 0(x,y)dy = 0 (4.12)
P (x , y )d x  + 0 ( x , y ) d v  =  du =  — dx +  — d y .
dx dy
u(x,y) = C .
Функция u(x,y) может быть найдена из системы
55
^  = P(x,y), ^= Q (x ,y ). 
дх ду
(4.13)
Общий интеграл уравнения (4 .12) можно представить в виде 
j P ( x , y ) d x  + ) O ( x 0, y )d y  = С ,
хо Уо
где ( x0 , y 0 ) e D .
Пример 4.7. Решить уравнение
ех (xs\nу  + ycosy)dx + ех (xcosу  -  ysiny)dy = О,
дР х , , SO х., v—  = е f.xcos.y + cosy-ysiny,); -^ =- = е (Orcosy-ysiny+ cosy/ 
ду дх
Следовательно, данное уравнение является уравнением в полных 
дифференциалах. Найдем функцию и(х,у) . Система (4.13) имеет вид
—  = e* (; tsm y  + y c o sy ) ;  —  = e r ( . x c o s y - y s m y ) .  
дх ду
Из первого уравнения этой системы находим
и (х , у )  — J е х (л: sin у  + у  cos y)dx  + (р (у )  =
= e \r s in  у  -  е х sin у  + e ry c o s y  + <р(у),
где ф (у)  -  произвольная дифференцируемая функция.
Подставляя и(х , у )  во второе уравнение системы, имеем
е хх  cos у  -  е х cos у  + е х cos у  -  е ху  sin у  + ф'(у) =
= e jrx c o s y - e I y s i n y  => ф'(у) = 0 => ф(у) = С.
Следовательно, и(х,у) = ^(xsiny-siny+ vcosy^C .
Общий интеграл уравнения имеет вид
^ ( A s i n y - s i n y  + y c o s y ^ C  = 0 .
56
4.6. Дифференциальные уравнения высших порядков. 
Дифференциальные уравнения, допускающие 
понижение порядка
Дифференциальное уравнение /7-го порядка имеет вид
F (x,y ,y ',y \...,y^) = О,
>или если оно разрешено относительно у(" \  то у(п) = /(л',у,у',~.,у("~1)). 
Задача нахождения решения у = ф(.г) данного уравнения, удовлетво­
ряющего начальным условиям
называется задачей Коши.
Укажем некоторые виды дифференциальных уравнений, допус­
кающих понижение порядка.
1. Уравнение вида у(,,) = /(* ). После л-кратного интегрирования 
получается общее решение.
2. Уравнение не содержит искомой функции и ее производных 
до порядка ( £ - 1) включительно:
F ( x ,y ( t) , y (*'+l),. . . ,y (") ) = 0 .
Порядок такого уравнения можно понизить на к единиц заменой 
>,(А)(дг) = Р(х). Уравнение примет вид
F(x,p,p',...,pin-k)) = 0.
Из последнего уравнения, если это возможно, определяем 
p = /(x ,C 1,C,,...,C„.t ), а затем находим у  из уравнения 
у(к) =/(дс,С| ,С2 ,...,СиЧ.) /г-кратным интегрированием.
3. Уравнение не содержит независимой переменной:
F ( y>y \ y " , . . . , y ^ )  = 0.
Подстановка у' = z (y ) позволяет понизить порядок уравнения на 1 .
Все производные у ' , у у(") выражаются через производные от 
новой неизвестной функции ~(у) по у:
57
и т. д. Подставив эти выражения в уравнение вместо , по­
лучим дифференциальное уравнение ( л - 1)-го порядка.
Замечание. При решении задачи Коши во многих случаях неце­
лесообразно находить общее решение уравнения; начальные условия 
лучше использовать непосредственно в процессе решения.
Пример 4.8. Решить задачу Коши
уу’ = у 4 +(у')\  Я0) = 1, /(0) = о.
Решение. Данное уравнение не содержит независимую пере­
менную, поэтому полагаем >•' = z(v). Тогда )■" = :■— и уравнение при-
dy
нимает вид
Пусть yz*-0 , тогда мы получаем уравнение Бернулли относи­
тельно г = z(y)
dy v
Решая его, находим z = ±у-.уг +Cj . Из условия у' = 2 = 0 при у = 1
имеем С) = - 1 , следовательно, 2 = ±v-ij>2 - 1  или — = ±v >2 - 1 . Интег-
dx ' '
рируя это дифференциальное уравнение с разделяющимися перемен­
ными, имеем arccos—±х = С2. Полагая у = \ и .т = 0 , получим С2 = 0 ,
1откуда — = cosx или у = secx.
У
Осталось заметить, что случай yz = 0 не дает решений постав­
ленной задачи Коши.
5. ЛИНЕЙНЫ Е ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ С ПОСТОЯННЫМИ 
КОЭФФИЦИЕНТАМИ
5Л. Линейное однородное дифференциальное уравнение 
п-го порядка с постоянными коэффициентами
Линейное однородное дифференциальное уравнение и-го поряд­
ка с постоянными коэффициентами имеет вид
+ я1У"~1) + а2у к"'2) +... + а„_,у' + а„у = О, (5.1)
где а, = const,  а, е R .
Для нахождения общего решения уравнения (5.1) составляется 
характеристическое уравнение
к" + а1кн~1 + а2к"~2 +... + ап_}к + а„ = 0 (5.2)
и находятся его корни к1,к2,...,кп. Возможны следующие случаи:
1. Все корни к^,к2,...,кл характеристического уравнения (5.2) 
действительны и различны. Общее решение уравнения (5.1) выража­
ется формулой
у = С1ек'х + С2ек*х + ... + С„ек"х. (5.3)
2. Характеристическое уравнение имеет пару однократных ком­
плексно-сопряженных корней к12 = ос + р /. В формуле (5.3) соответст­
вующая пара членов +С2ек* заменяется слагаемым
eat(C| cosPx + Ci sinPx).
3. Действительный корень уравнения (5.2) имеет кратность 
г(к] = к2 = ... = кг). Тогда соответствующие г членов С,е*'-Г+...+С,ем в 
формуле (5.3) заменяются слагаемым
е*|Х(С| + С2х + С3х2 +... + СгхгЛ).
59
4. Пара комплексно-сопряженных корней £1 2 =а±р/  уравнения
(5.2) имеет кратность г. В этом случае соответствующие г пар членов 
C,ev  +...+C2reklr' в формуле (5.3) заменяются слагаемым
e CLlt[(C] + С 2х  + ... + C r x'~l )cosp.x + (C,.+1 +C,.+2x + ... + C2„Jc''l )s inpj:] .
Пример 5.1. Решить уравнение у 11 -5.у' + 4.у = 0 . Характеристи­
ческое уравнение кл -5 к2 +4 = 0 имеет корни ки =± 1, кЗА=±2. Об­
щее решение дифференциального уравнения
у = С 1е х +с2е~х +сге1х + С , е ' 2х.
Пример 5.2. Решить уравнение у ’ - 2 у ’ + 5 у  = 0. Характеристиче­
ское уравнение к2 -2к + 5~0 имеет корни кХ2 = 1 ± 2 /. Общее решение 
имеет вид
у  = е х ( С х cos2jс + С2 sin 2x ) .
Пример 5.3. Решить уравнение у " - 2 у '  + у  = 0 . Характеристиче­
ское уравнение к 2 — 2А- + 1 — 0 имеет 2-кратный корень к12 =1, поэтому 
общее решение имеет вид
у  = е х {Сх+ С 2х) .
Пример 5.4. Решить уравнение у 1 + 8>” + 16 / = 0 . Характери­
стическое уравнение /с5+8к3+ 16к = 0 имеет корни ^ = 0 , 
к2 з = 2/, А:4 5 = - 2 /. Общее решение уравнения
у  = С х + С 2 cos 2* + С3 sin 2х + С 4х  cos2x  + С }х sin 2 х .
5.2. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение 
с постоянными коэффициентами
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с посто­
янными коэффициентами имеет вид
у м  + +... + а п_ху '  + а „ у  = /  (л:), (5.4)
где о, е R, f(x )  -  непрерывная функция.
60
у = С1у1+С2у2+... + Сиуи (5.5)
Пусть
-  обшее решение однородного уравнения (5.1), соответствующего 
уравнению (5.4). Метод вариации постоянных состоит в том, что общее 
решение уравнения (5.4) ищется в виде
У = Сх (x)yt + С 2 (х)у2 +... + С„ (JT )у„,
где С[ (*), • >£„(*) ~ неизвестные функции. Эти функции определяются 
из системы
С[(х)у\ + С'1(х)у2+... + С/х)у, = О.- 
Су х)у\ +С2(х)у'2 + ... + С / х)у[ = О,
с;(х)уГ ,'+с;(х)У2’-,'+...+с;(х)уГ ,/ = f(x),
где С.' = -  производные функций С,(х). Для уравнения второго
dx
порядка у ’ + p+q = f(x )  данная система имеет вид
ICt(x)yt+C’(x)y2 =о.
[С[( Х)у\ +С’2( х)у[ = f (  х).
Пример 5.5. Решить уравнение у ’ -  >•' = —!— .
1 + С’*
Решение. Характеристическое уравнение имеет корни 
кх = 0, к2 = 1 . Поэтому общее решение однородного уравнения будет 
таким: у = Сх + С2ех. Положим С, =С,(.т) и С2 =С2(х). Запишем систе­
му для определения С{ = С,'(х) и с ; =  С2(х):
\C[fx)yl +С2(х)ех = 0;
I 1 + е
Решая эту систему уравнений, получим:
61
откуда
= - е ' х -  х  + In | e* +11+C2, 
где С), C2 -  произвольные постоянные.
Общее решение запишется так:
у  = 1п(е * +1 )  +  С] +  с х — х  +  ln(l + сх ) + C j ).
6. ЛИНЕЙНЫ Е НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 
УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 
СО СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ
Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение п-го  
порядка с постоянными коэффициентами
где a, eR, f(x )  -  непрерывная функция. Соответствующим одно­
родным уравнением будет
характеристическое уравнение для уравнения (6.2). Общее решение у  
уравнения (6 .1 ) равно сумме общего решения > соответствующего 
однородного уравнения (6 .2 ) и какого-либо частного решения у* не­
однородного уравнения (6 . 1 ), то есть
Ц у )  = у (п) + о, у ("~п + ... + а„ у  = Д х ) , (6.1)
у м  + а ху 0,- ' ) +. . .  + а пу  = 0 . (6 .2)
Пусть
к" + о^к" 1 +... + он = 0 (6.3)
62
у  = У + у *
1). Если правая часть уравнения (6.1) имеет вид /(* ) = Ри(х)еах, 
где Рп{х) -многочлен степени п, то частное решение уравнения (6.1) 
может быть найдено в виде
у*  = x' e ^ Q i x ) ,
где Q(x)  = А^х” + Л,*”-'  +... + А„ -  некоторый многочлен степени п  с не­
определенными коэффициентами, а г -  число, показывающее, сколь­
ко раз а  является корнем характеристического уравнения для соот­
ветствующего однородного уравнения (6 .2 ).
Пример 6.1. Найти общее решение уравнения у ’ -  у  = х е 2х.
Решение. Составляем характеристическое уравнение к2 - 1  = О 
для соответствующего однородного уравнения. Его корни 
= 1Д 2 = - 1 . Так как число а  = 2 корнем характеристического урав­
нения не является, то г = 0 . Степень многочлена в правой части равна 
единице. Поэтому частное решение ищем в виде
у* = (ах + Ь)е2х.
Находим у ’ = (2ах + 2Ь + а ) е 2х, у ” = (4ах + 4Ь + 4а )е 2х и, подставляя 
у " , у ’и у  в уравнение, получим (после сокращения на е2х)
4а  + 4 ах + 4 Ь - а х - Ь  = х .
Откуда находим:
х  За  =  1, <з = 1 /3 ;  
х ° 4 а  +  ЗЬ = 0, Ь =  - 4  9.
Искомое частное решение имеет вид 
у * = 1- {  З х - 4 ) е 1х, 
а общее решение уравнения будет
' y  = C te x + С 2е~х + ^ ( 3 х - 4 ) е 2*.
63
2). Если правая часть уравнения (6.1) имеет вид
/(x ) = eco:(/>n(.v)cosPx + 2 m(-»')sinPx), (6.4)
где Р„(х) и £>„,(*) -  многочлены п-й и т-й степени соответственно, 
тогда:
а) если числа а±/р не являются корнями характеристического 
уравнения (6.3), то частное решение уравнения (6.1) ищется в виде
у* = eat(ws(x)cosPx + vs (x)sinPx), (6.5)
где и, и v, -  многочлены степени s с неопределенными коэффициен­
тами и s = max{n,m};
б) если числа а±/р являются корнями кратности г характери­
стического уравнения (6.3), то частное решение уравнения (6.1) 
ищется в виде
у*  = jr y *  (и, (.*) cosPiV +  v / ^ s i n p j r ) , ( 6 .6 )
где и, и vt -  многочлены степени s с неопределенными коэффициен­
тами и 5 = шах {п, т}.
Замечания.
1. Если в (6.4) Рп(х) = О или От(х) = 0, то частное решение у* 
также ищется в виде (6.5), (6 .6), где s = m (или s = n).
2. Если уравнение (6.1) имеет вид L (y )  = M x ) + f 2(x ) ,  то частное 
решение у  * такого уравнения можно искать в виде у* = у{ + у'2 , где у \  -  
частное решение уравнения Ц у )  = / ] ( * ) ,  а  у \  -  частное решение 
уравнения L ( y )  = f 2(x) .
Пример 6.2. Найти общее решение уравнения
у ’ - у '  = е х + е2х + х .
Решение. Соответствующее однородное уравнение имеет вид
/ • - /  = о,
характеристическое уравнение кг -к  = 0 ймеет корни ^ = 0, к2 =\. 
Общее решение однородного уравнения:
у  = С, + С 2е * .
64
Правая часть данного уравнения есть сумма
/О )  = /] (*) + / 2(х) + / 3 (*) = е х + е 2х + х .
Поэтому находим частные решения для каждого из трех уравне­
ний:
Частное решение первого уравнения ищем в виде >•* = Ахех, так 
как а  = 1 является однократным корнем характеристического уравне­
ния и .Р„(*) = 1 -  многочлен нулевой степени. Поскольку
то, подставляя эти выражения в первое уравнение, имеем
2А е х + Ахех -  А е х -  Ахех = ех или А е х = е* А = 1 и у* = х е х .
Частное решение второго уравнения будем находить в виде 
у 2 = Ле2х, так как в правой части второго уравнения а  = 2  не является 
корнем характеристического уравнения и Рп(х) = 1 -  многочлен нуле­
вой степени.
Определяя, как и выше, постоянную А, получим у\ = ^ е2*. Част­
ное решение третьего уравнения будем находить в виде у \  = х(Ах + В), 
так как в правой части третьего уравнения а = 0 является однократ­
ным корнем характеристического уравнения и Рп{х)  = х  -  многочлен
I н
первой степени. Поскольку у'~ = 2 Ах + В, у\ =2А,  то, подставляя эти 
выражения в третье уравнение, имеем 2 А - 2 А х - В - В  = х .  Приравни­
вая коэффициенты при х  и свободные члены в левой и правой частях 
равенства, получаем систему - 2 А  = \, В А - В  = 0, откуда находим
у* = А ех + Ахех , у \  = А ех + А е х + Ахех = 2 А е х + А х е х
65
Суммируя частные решения, получаем частное решение у* ис-
Пример 6.3. Найти частное решение уравнения y ” + y  = 4xcosx, 
удовлетворяющее начальным условиям >(0) = 0, / ( 0) = 1 .
Решение. Характеристическое уравнение А: 2 + 1 = 0 имеет корни 
fcj = i t k2 = - i .  Поэтому общим решением соответствующего одно­
родного уравнения у* + у =  0 будет у  = Сх cosx  + C2 sin д .  Для первой 
части данного уравнения а  = 0, р = 1, Р„(х) = 4х  -  многочлен первой 
степени (» = 1), От(х) = 0 -  многочлен нулевой степени (w = 0); 
s = max{l,0} = 1 , а + / р  = / являются корнями характеристического урав­
нения. Поэтому частное решение данного уравнения находим в виде 
у*  = x(( / lx  + 5 ) c o s x  + (Cx + .D)smx) ИЛИ у* = (Ах 2 + f ix )co sx  + (C x2 + D x )s in x .  
Находим
у*' = (2Ах + В ) c o s x  + (2Сх + DJsinx -  
- ( А х 2 + Вх)  sin х + (Сх2 + Dx)cosx  =
= (2Ах  + В + Сх2 + D x jc o s х + (2Сх + D -  Ах2 -  Bx ) s i nx ; 
у*'  = (2А  +  2Сх + D ) c o s x  -  ( 2 Ах + В + Сх2 + Dx)  sinx  +
+ ( 2  С  - 2  А х - В  ) s inx  + (2Сх + D  -  Ах2 -  Bx )cosx  =
= ( 2 А + 4Сх + 2D -  Ах2 -  Bx jcosx  + (2С -  4 Ах - 2 В -  Сх2 -  Dx)s inx.
Подставляя у*.у*'.у*" в заданное уравнение, имеем
(2 А + 2 АСх + 2 D  -  А х 2 -  Вх)cosx  + (2С -  4 Ах -  2В -  С х 2 -  Dx)  х 
x s in x  + (A v2 + 5 x )c o s x  + (Cx2 + Dx) sin х = 4х  cosx.
ходного уравнения
решение данного неоднородного уравнения будет
v = у + у* = С, +С2е* +хе* + ^ е2* - x Q x  + 1
Тогда общее
2
= С. +(С2 +х)ех + -е2х - - х 2 -х .
1 2 2
66
Приравнивая коэффициенты при cosx, sinx, xcosx, xsinx в обеих 
частях равенства, получаем систему
cosx
sin0 х
xcosx
2A + 2D  = 0; 
2С -  2 5  = 0; 
4С -  В + В = 4;
x s m x \ - 4 A -  D  + D = 0.
Решая эту систему, находим А = 0, B = l,C = l,D = 0. Тогда 
у* = х co sх + х 2 sin x .
Обшее решение будет >' = y + >>* = C 1cosx  + C 2 s m x  + x c o s x  + x 2 s in x .  
Находим у' = -С, s inx  + C2 cosx  + c o s x - х  sin x + 2 x s in x  + x 2 c o s x .  Так как 
y(0) = 0, /(0 ) = 1. то 0 = С,,С = C2 +1. Таким образом, С, = 0, С2 = 0. Под­
ставляя значения С, = 0, С2 = 0 в обшее решение, получим частное 
решение у = x c o s x  + х : s in x .
Пример 6.4. Определить вид частного решения линейного неод­
нородного дифференциального уравнения, если известны корни 
к\ = 3 -  2/, к2 = 3 + 2/ его характеристического уравнения и правая 
часть
/ ( х )  = e Jt(cos2x  + s in2x).
Решение. В правой части а  = 3,р = 2,Р„(х) = l,Om(x) = 1 -  много­
члены нулевой степени, а±р/  = 3±2/ являются корнями характери­
стического уравнения. Поэтому частное решение будет иметь вид
у* = хе1г(,4со52х + в5т2х) ,
где А и В -  неопределенные коэффициенты.
67
7. СИСТЕМ Ы  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
МЕТОД ИСКЛЮ ЧЕНИЯ. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ 
СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 
МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА
7.1. Н ормальная система п-го порядка обыкновенных 
дифференциальных уравнений
Нормальная система и-го порядка обыкновенных дифференци­
альных уравнений имеет вид
dx, , ,
= .... x j ;
dx,
....x j ;
at
^ j - - f n( U x ....x j ,
„ dt
где t -  независимая переменная; хх,х2,...,хп -  неизвестные функции от
-  заданные функции.
Метод исключения неизвестных состоит в том, что данная сис­
тема приводится к одному дифференциальному уравнению я-го по­
рядка с одной неизвестной функцией (или к нескольким уравнениям, 
сумма порядков которых равна п). Для этого последовательно диф­
ференцируют одно из уравнений системы и исключают все неизвест­
ные функции, кроме одной.
Пример 7.1. Найти обшее решение системы дифференциальных 
уравнений
dx _ у dy _ ^(х + 2у - 1) 
dt t '  dt t ( x - 1)
и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям 
х(1) = - 1, v(l) = 4.
Решение. Дифференцируем первое уравнение по г. х’ = у-- у :
г
Заменяя здесь у' ее значением из второго уравнения системы и под­
68
ставляя y  = x ' t ,  найденное из первого уравнения, получим после уп-
.  2{х' )2рош^ния уравнение второго порядка х  = ——- .
Интегрируем это уравнение, предварительно понижая порядок:
у’ п г, r' dp п dP 2Р dP 2±Сх = Р, Р = Р(Х), X =— р, —  =-----, — = ----
ах dx х - 1  р  х - 1
Р = С[(Х-])2, ^  = С,(х-1)2, L  = c,/ + c 2,
dt дг-1
c y + c - i
Л_ С./ + С,
Дифференцируя эту функцию и подставляя в выражение y  = x ’t ,  
получим
С,/
У =
(С,/ + С2)2 •
Общим решением заданной системы дифференциальных урав­
нений будет
С./ + С, -1 С
* = ■ ‘ , У =
Clt + C2 ’ (С,/ + С2)
Для нахождения частного решения подставим начальные условия
дс(1) = - 1, у{\) = 4 . Получим - 1  = ^ 1 + ^ 4 = -——— , откуда
С| + С2 (С, + С2)
С, = 1, C2 » - i
Следовательно, искомым частным решением системы будут 
функции
2/-3 4/дг = - — У = .
2/ - Г  П г - 1/ '
Пример 7.2. Найти общее решение системы
dx с г dy ,  _ 2/—  = 2 у -  5л + е , —  = .г -  6у  -  е  . 
dt ■ dt >
69
Решение. Дифференцируем первое уравнение: х * = 2 у '  -  5*' + е ‘ . 
Заменяем у' ее значением из второго уравнения и подставляем затем
у  = ^(х ' + 5.x- е ') .  Получим линейное неоднородное уравнение второ­
го порядка с постоянными коэффициентами
х" +1 Ijc' + 28jc = 2е~ь  + 7 е ' .
Его общее решение
х = С1е~41 + С 2е~1' + - е ~ 2' + — е'
2 40
(получено как сумма общего решения х = С]е ^ ‘ +С2е '11 соответст­
вующего однородного уравнения и частного решения х* =
неоднородного уравнения).
Подставляя х  и х' в выражение для у, получим
у  = - ( х ’ + 5 х - е ' )  = - С , е ' 4' - С,<Г7' + —  <Г2' + —  е ‘ .
2 2 1 • 10 40
Общее решение исходной системы имеет вид
.т = С е " 1' + С,е~7' + - е ~ 2' + — е';
1 ‘ 5 40
у  = - С х м -  С е ’7' + —  в ' 2' + — е'.
2 1 * 10 40
7.2. Линейная однородная система л-го порядка 
с постоянными коэффициентами
Линейная однородная система «-го порядка с постоянными ко­
эффициентами имеет вид
70
где av = const, a4 e R, jc, -  неизвестные функции от t.
Данную систему можно записать в матричной форме
где
а \\ а 12 • 
° 2 1  а 22 '
■
•• а 2 п * 2 dx
dt
dx2
> х  = dt
ча п1 а п2 ■■ а пп; Кх п ) dx„
V dt J
При решении линейной системы дифференциальных уравнений 
методом Эйлера частные решения системы ищутся в виде X  = VekI, 
где V * О -  матрица-столбец, к  -  число.
Если корни кх,к2,...,кп характеристического уравнения
&ъ \ {А-кЕ)  = 0 действительны и различны, общее решение системы 
имеет вид
X = C lVie t >, + C 2V2e ^ + ... + CnVnek”‘,
где Cj,C2 ,.-,Cn -  произвольные постоянные; Vj -  собственный вектор- 
столбец матрицы А, соответствующий числу к, то есть (A-kjE)Vj =0, 
где Е -  единичная матрица.
Замечание. Если кт,кт -  пара простых комплексно­
сопряженных корней характеристического уравнения, то им соответ­
ствуют два действительных частных решения Re(Vmekm'); 
где R ez , Im z -  действительные и мнимые части z.
Пример 7.3. Найти обшее решение системы
dx  „
—  =  х - 2  у  + 2z;  
dt
dv л -л— = х + 4у -  2:; 
dt
dz  .  ,
—  = x  +  5 y - 3 z  
dt
и частное решение, удовлетворяющее условиям х (0 )  = 1 , у (0 )  = - 2 , 
; (0 )  =  0.
Решение. Составляем и решаем характеристическое уравнение 
|l-jfc - 2  2
; 1 4 - к  - 2 = 0 ,  (А:2 - к -2X1-*-) = 0, /fc,=-l, А2 = 1, jfc3 =2.
| 1 5 -ЗЛ
Находим собственный вектор Vu соответствующий корню 
* , = - 1 :
'v ,V l  - Г - и  -2  2
1 4 -Г -и  -2
1 5 -3
V
V2 = 0
Л , l°J
2 v, -  2 v2 + 2 v3 = 0; v2 = -V, ' 1 1
V, + 5v2 -  2v3 = 0; => v3 = - 2 v, => Vt = - 1
. vi + 5v2 -  2 v3 = 0, v, * 0 ~ 2/
Аналогично находим собственные векторы
' 1 ' f ° N
^2 = - 1 . F3 = 1
соответствующие к2 =1 ,  к3 = 2 .  
Общее решение системы
72
' 1 ' ' 1 1 ,01
X = + C2V2ek'‘ +C3V3ek}l = С, - 1 еч +С2 - 1 е‘ +С3 1
, - h Л
,2/.
ИЛИ
х  =  С,е~' + С 2е ' ; 
у  = -С,е~' -  С2е' + С3е2',-
Для нахождения частного решения подставим в общее решение 
г = О, х = \, у = -2, z = 0и определим С,,С2 ,С3 из полученной системы:
1 = С , + С 2>-
-2  = -С ,-С 2 +С3 =>С, = -2,С2 = 3,С3 = -1,- 
С = -2С, -  С, + С3.
Искомое частное решение
х  = -2е~ '  + 3е‘ , у  = 2е~‘ - З е '  - е 2' , :  = 4е~' - З е '  - е 2' .
Пример 7.4. Найти общее решение системы '
Решение. Характеристическое уравнение 
12- к  - 3
dx
I t
dy_
dt
= 2л: -  3 у ;  
=  Зх +  2 у.
3 2~к\
| = 0, к ~ 4 к  + 13 = 0
имеет корни = 2  + 3 i , k2 =2-3/ .  Находим собственный вектор
соответствующий корню = 2 + 3/, из системы
f -  3/v, -  3v2 = 0;
{ 3 v  _ 3( v  _ о  Полагая v, = 1 , получим v, =- /=>Г,=|  ‘ j. Составим 
выражение
73
kt  Г О  o+vu  f  П  it ,  ,  ■ ,  x f e 2,(cos3/ + / s in 3 0
V.e1''’ = = e (cos3/ + /s in 3 / ) =  v ' .
\- iJ  (sin3f-icos3f),
Здесь использована формула e(a+'P)'= e <u(cospr + /sinpo. Согласно 
замечанию, два частных решения исходной системы имеют вид
R e ( ^ e ‘v ) =
(  I t  -  N е совЗ/
е 2' sin 3/
е 2‘ cos3/ 
ч- е 2' sin 3 t j
Общим решением системы будет
х  =
У)
= С, Re(F,e*lf) + С 2 Im(K/v ) = С, е 2’ cos31 
е 2‘ sin 3/
+ С:
 ^ e 2t cos31 Л 
- e 2fsin 3/
или
x = C,e2' c o s 3/ +  C2e2' sin3t;  
у  =  C,e2' sin3t  -  C2e2'cos3t .
7.3. Задачи динамики, приводящие к решению 
дифференциальных уравнений
К задачам динамики точки, приводящим к решению дифферен­
циальных уравнений, относятся те задачи, в которых определяется 
движение точки по заданным силам. Силы, действующие на точку, 
могут быть как постоянными, так и заданными функциями времени, 
координат, скорости, то есть
F, -  F J t , x , y , z , x , y . z ) ;
Fy = Fy( t , x , y , : . x , y , : ) ;
F. = F . ( t , x . y , : , x , y , z ) .
Решение таких задач сводится к интегрированию системы диф­
ференциальных уравнений движения точки: 
в координатной форме
74
тх = Fs; 
ту = Fy; 
mz = F,
(7.1)
или в естественной форме
(7.2)
В этих уравнениях под F  понимается равнодействующая всех 
сил, в том числе и реакций связей, если точка не свободна. При ин­
тегрировании системы уравнений (7.1) в общем случае появляется 
шесть произвольных постоянных, которые определяются по началь­
ным условиям. Под начальными условиями движения точки пони­
маются значения координат и проекций скорости точки в начальный 
момент движения, то есть при t = О
Если движение точки происходит в плоскости, то число уравне­
ний (7.1) сокращается до двух, а число начальных условий -  до четы­
рех. При движении точки по прямой будем иметь одно дифференци­
альное уравнение и два начальных условия.
При решении задач второго типа полезно придерживаться сле­
дующей последовательности.
1. Составить дифференциальное уравнение движения, 
а) выбрать координатные оси, поместив их начало в начальное 
положение точки; если движение точки является прямолинейным, то 
одну из координатных осей следует проводить вдоль линии движения 
точки; б) изобразить движущуюся точку в произвольный текущий 
момент t и показать на рисунке все действующие на нее силы, в том
75
числе и реакции связей; при наличии сил, зависящих от скорости, 
вектор скорости направить предположительно так, чтобы все его 
проекции на выбранные оси были положительными; в) найти сумму 
проекций всех сил на выбранные оси и подставить эту сумму в пра­
вые части уравнр"1*" ПА).
2. Проинте1 ать полученные дифференциальные уравнения. 
Интегрирование производится соответствующими методами, зави­
сящими от вида полученных уравнений.
3. Установить начальные условия движения материальной точки 
и по ним определить произвольные постоянные интегрирования.
4. Из полученных в результате интегрирования уравнений опре­
делить искомые величины.
Замечание 1. При интегрировании дифференциальных уравне­
ний иногда целесообразно определить значения произвольных посто­
янных по мере их появления.
Цример 7.5. Автомобиль массой т движется прямолинейно из 
состояния покоя и имеет двигатель, который развивает постоянную 
тягу F, направленную в сторону движения, до полного сгорания го­
рючего в момент времени Т, после чего автомобиль движется по 
инерции до остановки. Найти пройденный путь. Силу сопротивления 
считать постоянной и равной R. Изменением массы автомобиля пре­
небречь.
Решение. Весь путь S складывается из 5, =\АС\, на котором дей­
ствует сила F  до полного сгорания горючего, и S: =\CB\, который ав­
томобиль идет по инерции. На пути AC mx = F - R ,  (7.3)
на пути СВ mx = -R . (7.4)
Решим дифференциальное уравнение (7.3): \mdx = \(F -R )d t,
mx  = ( F  - R)t  + С , , при / = О, X = 0, отсюда
С, = 0 => = ( F  -  R)t. (7.5)
Интегрируя, получим mx = +C2, при / = 0 x = 0 , отсюда
( F — R
C, =0, x = --------— . Определим путь  S., который пройдет автомобиль
2m
■ 0 (F -R )r  nдо полного сгорания горючего в момент t = T:  S, = х = --— . Решим2m
уравнение (7.4): mx = -Л j mdx = -J  Rdt, mx = -7ft + C3. При / = 0 скорость x
76
будет равна скорости, которую имеет автомобиль в момент Т сгорания
( F  — R}T
горючего и которая из формулы (7.5) равна mx = (F -R )T ,x  = -
m
Используя эти начальные условия, найдем С3 :
m = ^ — ^ -  = R-Q+C3,C3= (F -R )r. 
m
Подставляя С3, имеем mx = -Rt0 +(F -  R)T . (7.6)
R t 2
mx = -f!±- + (F -R )n+ C i при t = 0,x = 0.
Отсюда С. = 0, x = — 
т
Rt2
~ -  + (F -R )rt
Чтобы найти путь S2, надо знать время t движения автомобиля 
по инерции до остановки (jc = 0 ).
Из (7.6) получим
О = -Rt + (F -  R), t = т.
S, = x = -  
m
- R + (F~ R) T (F -  R f  T7 T \ F - R f
— - - - - -  - пуп,, прои- 2Rm2 R2 R
денный по инерции;
„ t, c (F - R )Тг ( F - R fT 1 T \ F - R f FS =5, + S, ------  — + -------  ---- = —-------- ----- ИСКОМЫЙ путь.
2m 2 Rm 2 Rm
КОНТРОЛЬНЫ Е ЗАДАНИЯ
1-40. Проинтегрировать уравнение. При заданном начальном 
условии найти соответствующий частный интеграл или частное ре­
шение.
1 . хф  + у 2+у^Г[ 7 7 у '  = 0 . 2 . sin.rsmy<& + cosjccosyc(y = 0 .
3 . /  = у .  4. (l + y 2)dx = xydy- ) \ х^ = \ .
х -  у
77
5 у' = — - х 3 6. (х + ex'y)dx + exly\ 1 -  — dv = 0.
x V У)
7. /  + — + x = 0. 8. y '-7 y  = %eu .
x
9. 3ey cos xdy -  sm(9 + ey )dx = 0; _y| r„0 = 0.
10. ctgxcos2ydx + sin2xtgydy = 0. 11. /sinx = >xosx + 2cosx.
12. sin x tg ydx — = 0. 13. ex igydx = (1 - e , )secJ ydy.
sin у
14. ^ - - —y = -x ъуг. 15. (x2 - 2 xy)y' = xy- y 2.
dx x
16. y' + ytgx = secx; y(0) = 0. 17. x2y' + xy + 1 = 0; y(l) = 0.
18. y' + xlfy = 3y. 19. у '-  у + у2 cosx = 0.
20. x /  = -^~; >-U. = l. 21. 2 v /  = 3 ( / ) : + 4 / ;  >(0) = 1,/ (0 )  = 0. 
lnx
22. Ъу'у’ = 2у- y(0) = / (0 )  = 1. 23. y’y3 = 1; v(0,5) = /(0 ,5) = 1.
24. / (1  + In x) + ^-2 + In x; /1 )  = 0,5, /(1) = 1.
25. / /  + ( / ) 2 = 1; / 0) = / ( 0) = l.
26. у ’ = ^ (1  + In ^ ) ;  y( 1) = 0,5, /(1) = 1.
X X
27. 2y'y’ + y 2 = ( / ) 2; / 0 )  = /(0 ) = l.
2 8 .2 уу’ = (у')г + у г; y(0) = y'(0)=l.
29. ey(y" + (y')2 = 2 ; / 1) = 0, / ( 1) = 2 .
30. 2 /  = (x + i ) / ;  /1 )  = 4 ,/(1) = 6.
3 1 . x /  = / l n / ;  y(l) = e,y'(l) = e.
32. x 2/  + x /  = l. 3 3 .y ’ = e2> ; y(0) = 0, / (0 )  = 1.
34. x ( / - x )  = / ;  / 1 )  = /(D  = 1-
35. /  + у = ( у )2■ y{ 1) = -0,25,y'(l) = 0,5.
36. 1 -y y ’ = (y')z- y (-l) = ly '( - \ )= \ .
31. /x ln x  = 2 / .  38. /  + / t g x  = sin2x.
39. x ( /  + / )  = / ;  y(0) = -1, v'(0) = 0.
40. x ( /  + l) + /  = 2; / 1 ) Л  / ( 1 ) Л .  '
4 2
78
41-60 . Найти общие решения уравнений.
41. / - 4 /  + 4.у = х \
43. у" + 4 у '  + 4 у  = 8е"21
45. 7 у " - /  = 14х.
44. у '  + 4 у '  + З у  = 9е~3х.
46. у ’ + 3 у ’ = 3хе-и .
42. /  + 8/  = 8х.
47 . у '  + 5у '  +  6 у  =  10(1 -  х)е~2х. 
49. у " - 3 у '  + 2 у  = хех .
51. у " - 3 у '  + 2 у  = (х 2 + х ) е ]х. 
53. у ’ - 4 у ' - 5 у  = ( 2 1 х - 3 9 ) е ^ х .
48. у' + 2 /  + 2 .у = 1 + х. 
50. /  + у ' - 2 у = х2е41.
52. у " - 2 у '  + у  = х \
54. у ' -  4у' + 3у = 10е3*.
56. jy' + 4v' + 4y = 3xe~2*
58. у ' -  у' + у = х3 + 6 .
55. у" + 4 у '  = - 2 х е ^ х .
57. /  + / - 6у = хе2\  
59. у ’ + 2 у '  + у  = е 1х. 60. /  + 3 / - 1 0 . у  = 10х2 + 4 х - 5 .
61-80. Составить дифференциальное уравнение явления, опи­
санного в задаче, и решить это дифференциальное уравнение.
61. Моторная лодка движется по озеру со скоростью 20 км/ч. 
Через 40 с после выключения мотора скорость лодки уменьшается до 
Fi= 8  км/ч. Определить скорость лодки через 2 мин после выключе­
ния мотора. (Сила сопротивления воды движению лодки пропорцио­
нальна ее скорости).
62. Пуля входит в брус толщиной 6=12 см со скоростью 
Fi=200 м/с, а вылетает, пробив его, со скоростью К2=60 м/с. Сила со­
противления пули в брусе пропорциональна скорости движения. 
Найти время движения пули через брус.
63. Катер движется в спокойной воде со скоростью У\=Ю км/ч. 
На полном ходу двигатель катера был выключен, и через 2 минуты 
скорость катера уменьшилась до 0,5 км/ч. Определить скорость, счи­
тая сопротивление воды пропорциональным скорости движения ка­
тера.
64. С высоты падает тело массой т  с начальной скоростью 
^(0)=0. Найти скорость тела V=V(t) в любой момент времени /, если 
на него кроме силы тяжести P = m g  действует сила сопротивления 
воздуха, пропорциональная скорости V(t), с коэффициентом пропор­
циональности, равным 3/2.
65. Согласно закону Ньютона, скорость охлаждения тела про­
порциональна разности температур тела и окружающей среды. Тем­
пература вынутого из печи хлеба снижается от 100° до 60°С за
79
20 мин. Температура воздуха 25°.Через какой промежуток времени 
(от начала охлаждения) температура хлеба понизится до 30°С?
6 6 . Найти уравнение линии, проходящей через точку А(2,4), 
зная, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке М  в три 
раза больше углового коэффициента прямой, соединяющей точку М  с 
началом координат.
67. Записать уравнение линии, проходящей через точку >4(1,0), 
если известно, что отрезок, отсекаемый касательной в любой точке 
этой линии на оси OY, равен расстоянию от точки касания до начала 
координат.
6 8 . В моторной лодке, движущейся прямолинейно со скоростью 
Г0=5 м/с, выключается мотор. При своем движении лодка испытыва­
ет сопротивление воды, сила которого пропорциональна квадрату 
скорости лодки, причем коэффициент пропорциональности к=т/50, 
где т - масса лодки. Через сколько времени скорость лодки умень­
шится вдвое и какой путь пройдет за это время лодка?
69. Скорость свободно падающего тела в момент t равна gt, где 
g=9,8 м/с2. Найти, на каком расстоянии от земли находится тело в 
момент t, если оно начало падать с высоты Л0-'
70. Составить уравнение кривой, проходящей через точку 
Л (-2,3), если известно, что угловой коэффициент касательной к этой 
кривой в любой ее точке равен абсциссе этой точки.
71. Составить уравнение кривой, проходящей через точку 
А/(0,4), если известно, что угловой коэффициент касательной в каж­
дой точке равен ординате этой точки.
72. Скорость тела пропорциональна пройденному пути. За пер­
вые 10 секунд тело проходит 100 м, за 15 секунд - 200 м. Какой путь 
пройдет тело за время /?
73. Записать уравнение кривой, проходящей через точку Л(2,-1), 
если известно, что угловой коэффициент касательной в любой ее 
точке пропорционален квадрату ординаты касания. Коэффициент 
пропорциональности равен 6 .
74. Материальная точка массой т= 1 г движется прямолинейно. 
На нее действует в направлении движения сила, пропорциональная 
времени, протекшему от момента, когда скорость точки равнялась 
нулю, с коэффициентом пропорциональности к\=2г см/с3; кроме того, 
точка испытывает сопротивление среды, пропорциональное скорости
80
движения^ коэффициентом пропорциональности к2=3г/с. Найти ско­
рость точки через 3 с после начала движения.
75. Тело массой т движется прямолинейно под действием по­
стоянной силы Р. Найти скорость движения тела и пройденный им 
путь как функции времени, если в начальный момент они оба равны 
нулю, а сопротивление среды пропорционально квадрату скорости.
76. Найти закон прямолинейного движения материальной точки 
массой т под действием отталкивающей силы, обратно пропорцио­
нальной кубу расстояния от точки до неподвижного центра. В на­
чальный момент точка находится в покое и отстоит от центра на рас­
стояние х0.
77. Материальная точка массой m движется под действием си­
лы, прямо пропорциональной времени, отсчитываемому от момента 
f=0, обратно пропорциональной скорости движения. В момент г=10 с 
скорость равнялась 50 м/с, а сила F=4 динам. Какова будет скорость 
движения в произвольный момент tl
78. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивле­
ния воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная ско­
рость лодки 1, 5 м/с, через 4 с скорость ее 1 м/с. Через сколько секунд 
скорость изменится до 0 , 0 1  м/с?
79. Материальная точка движется по прямой со скоростью, об­
ратно пропорциональной пройденному пути. В начальный момент 
движения точка находилась на расстоянии 2  м от начала отсчета пути 
и имела скорость F0=10 м/с. Определить пройденный путь и скорость 
точки через 8 с после начала движения.
80. Локомотив движется по горизонтальному участку пути со 
скоростью 72 км/ч. Во сколько времени и на каком расстоянии он 
будет остановлен тормозом, если сопротивление движению после на­
чала торможения равно 0 , 2  его веса?
81-100. Найти общие решения систем дифференциальных урав­
нений.
81
Где' = х + у;
84 • \ у  = -2х  + Зу.
(У = -2 х  + у; 
87‘ [У = -Зл: + 2у.
jx ' = 4 х - у ;
jx ' = 2 х - 5  у; 
[У - 5х - б у .
jx ' = 2х + 3у; 
[У = 5х + 4 у.
jx ' = 2 х -  у; 
" •  [ у  = 4х + 6у.
[х ' = 3х-2у;_  Г.
85' [У = 4х + 1у. 86- {.
jx ' = 8 jc -  3 у; Г
88' [У = 2х + у. 89- [
\х ' = х - 3 у ;  Г
« Ч у = з, + , .  « ■ [
jx ' = x - y ;  j
94' [У = -4х + у. 95- 1
\х' = - х  + 2 у; [
97- { у ^ . 4 ,  98. {
j  х -  х + 3у;
10°- \ y  = - x  + Sy.
= - х  + 2 у;
= -2 х  -  5jy.
= Зх -  2у;
= 2 л + 8 у.
= у:
= -2х  + 3 у.
= 2х + у;
= - 6 * -  3>\
= - 2 х - З у ;  
= -х.
82
С о д е р ж а н и е
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3 ........................................................  3
ПРОГРАММА............................................................................................ 3
Л и т е р а т у р а .......................................................................................  4
1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ..............................................  4
1.1. Понятие неопределенного интеграла....................................... 4
1.2. Основные методы интегрирования........................................ 6
1.2.1. Непосредственное интегрирование ф ункций .........  6
1.2.2. Интегрирование заменой переменной
(подстановкой)...............................................................  6
1.2.3. Интегрирование при помощи тригонометрических
подстановок.................................................................... 7
1.2.4. Интегрирование по частям...........................................  8
1.2.5. Интегрирование функций, содержащих квадратный
трехчлен в знаменателе.................................................. 9
1.2.6. Интегрирование рациональных дробей .................... 9
1.2.7. Интегрирование тригонометрических функций . . .  13
1.2.8. Интегрирование иррациональных функций ............. 16
1.2.9. Интегрирование дифференциальных биномов . . . .  16
2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ....................................................  18
2.1. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной
в определенном интеграле. Интегрирование по частям. 
Вычисление площадей плоских фигур.................................  18
2.2. Вычисление длин дуг кривых. Вычисление объемов............ 23
2.3. Несобственные интегралы....................................................... 27
2.3.1. Интегралы с бесконечными пределами
(несобственные интегралы первого р о д а ) ............... 27
2.3.2. Интегралы от неограниченных функций
(несобственные интегралы второго р о д а ) .............  28
3. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ........................... 29
3.1. Понятие функции нескольких переменных........................  29
3.2. Предел и непрерывность функции нескольких
переменных................................................................................  30
3.3. Дифференцирование функций нескольких
переменных................... ............................................................. 30
83
3.3.1. Частное и полное приращения функции....................  30
3.3.2. Частные производные ..........................................32
3.3.3. Полный дифференциал функции...................................... 34
3.3.4. Дифференцирование сложных и неявных
функций........................................................................... 36
3.4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности...............38
3.5. Экстремум функции нескольких переменных........................39
3.6. Наибольшее и наименьшее значения функции
переменных в замкнутой области.......................................... 40
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ............................................................... 41
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4 ........................................................  47
ПРОГРАММА.......................................................................................... 47
Л и т е р а т у р а ......................................................................................  48
4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА..........................................................................................  48
4.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными............................................................................ 49
4.2. Однородные уравнения..........................................................  50
4.3. Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка. . .  52
4.4. Уравнение Бернулли............................................................... 54
4.5. Дифференциальное уравнение в полных
дифференциалах.......................................................................  55
4.6. Дифференциальные уравнения высших порядков.
Дифференциальные уравнения, допускающие 
понижение порядка................................................................. 57
5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ С ПОСТОЯННЫМИ 
КОЭФФИЦИЕНТАМИ...................................................................  59
5.1. Линейное однородное дифференциальное уравнение
/7-го порядка с постоянными коэффициентами................... 59
5.2. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение
с постоянными коэффициентами..........................................  60
6 . ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ С ПОСТОЯННЫМИ 
КОЭФФИЦИЕНТАМИ СО СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРАВОЙ 
ЧАСТЬЮ .................................................. ; ................................... .. 62
84
7. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ 
СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 
МЕТОДОМ ЭЙЛЕРА....................................................................... 68
7.1. Нормальная система л-го порядка обыкновенных
дифференциальных уравнений...............................................  68
7.2. Линейная однородная система «-го порядка
с постоянными коэффициентами...........................................  70
7.3. Задачи динамики, приводящие к решению
дифференциальных уравнений...............................................  74
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ................................................................  77
Учебное издание
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 
И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ № 3, № 4
по высшей математике 
для студентов-заочников 
машиностроительных специальностей
Составители: АНДРИЯНЧИК Анатолий Николаевич
МЕТЕЛЬСКИЙ Анатолий Владимирович 
МИКУЛИК Николай Александрович и др.
Редактор Т.Н.Микулик
________ Компьютерная верстка М.А.Чувилиной________
Подписано в печать 21.02.2001.
Формат 60x84 1/16. Бумага типографская № 2. 
Печать офсетная. Гарнитура книжно-журнальная. 
Усл.печ. л. 4,9. Уч.-изд. л. 3,8. Тираж 750. Заказ 411. 
Издатель и полиграфическое исполнение: 
Белорусская государственная политехническая академия. 
Лицензия ЛВ №155 от 30.01.98.
220027. Минск, проспект Ф. Скорины, 65