Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра инженерной математики Н.С. Попейко ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Учебно-методический комплекс для студентов-заочников первого курса экономических специальностей В 2 частях Часть 2 Минск БНТУ 2011 3 УДК 51(075.4) ББК 22.1я7 П 57 Р е ц е н з е н т ы: Н.П. Воронова, И.В. Прусова П 57 Попейко, Н.С. Высшая математика: учебно-методический комплекс для студен- тов-заочников первого курса экономических специальностей / Н.С. По- пейко. – Минск: БНТУ, 2011. – Ч. 2. – 60 с. ISBN 978-985-525-648-0 (Ч. 2). Учебно-методический комплекс состоит из двух частей. Во вторую часть вошли темы: «Неопределенный интеграл», «Определенный ин- теграл и его приложения», «Ряды». Учебно-методический комплекс содержит правила оформления контрольной работы, экзаменационные вопросы, теоретический мате- риал, варианты заданий контрольной работы № 2, примеры решения задач, тест. Комплекс может быть полезен как при самостоятельном изучении математики, так и на занятиях в вузе. Первая часть вышла в БНТУ в 2011 г. УДК 51(075.4) ББК 22.1я7 ISBN 978-985-525-648-0 (Ч. 2) © Попейко Н.С., 2011 ISBN 978-985-525-474-5 © БНТУ, 2011 4 РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» Основной формой обучения студента-заочника является само- стоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебникам, издан- ным либо в электронном виде, решение задач, ответы на вопросы для самопроверки, выполнение контрольных работ. В помощь заоч- никам университет организует чтение лекций, практические занятия и лабораторные работы; создаются учебно-методические комплек- сы по изучаемым дисциплинам. Кроме этого, студент может обра- щаться к преподавателю с вопросами для получения письменной или устной консультации. Указания студенту по текущей работе даются также в процессе рецензирования контрольных работ. Од- нако студент должен помнить, что только при систематической и упорной самостоятельной работе помощь института будет доста- точно эффективной. Завершающим этапом изучения отдельных час- тей курса высшей математики является сдача зачетов и экзаменов в соответствии с учебным планом. Изучение теоретического материала 1. Изучая теоретический материал, следует переходить к следу- ющему вопросу только после правильного понимания предыдуще- го, выполняя на бумаге все вычисления (в том числе и те, которые ради краткости опущены в учебнике) и вычерчивая имеющиеся в учебнике чертежи. 2. Особое внимание следует обращать на определение основных понятий дисциплины, которые отражают количественную сторону или пространственные свойства реальных объектов и процессов и возникают в результате абстракции из этих свойств и процессов. Без этого невозможно успешное изучение математики. Студент дол- жен подробно разбирать примеры, которые поясняют такие опреде- ления, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно. 3. При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется выписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т. п. На полях конспекта следует от- 5 мечать вопросы, выделенные студентом для получения письменной или устной консультации преподавателя. Решение задач 1. Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь. 2. Решение задач и примеров следует излагать подробно, вычис- ления должны располагаться в строгом порядке, при этом рекомен- дуется отделять вспомогательные вычисления от основных. Ошибоч- ные записи следует не стирать, а зачеркивать. Чертежи можно выпол- нять от руки, но аккуратно и в соответствии с данными условиями. 3. Решение каждой задачи должно доводиться до ответа, требуе- мого условием, и по возможности в общем виде с выводом форму- лы. Затем в полученную формулу подставляют числовые значения (если таковые даны). В промежуточных вычислениях не следует вводить приближенные значения корней, числа π и т. п. 4. Решение задач определенного типа нужно продолжать до при- обретения твердых навыков в их решении. Консультации Если в процессе работы над изучением теоретического материа- ла или при решении задач у студента возникают вопросы, разре- шить которые самостоятельно не удается (неясность терминов, фор- мулировок теорем, отдельных задач и др.), то он может обратиться к преподавателю для получения от него письменной или устной консультации. Контрольные работы В процессе изучения математики студент должен выполнить ряд контрольных работ, главная цель которых – помочь студенту в его работе. Рецензии на эти работы позволяют судить о степени усвое- ния им соответствующего раздела дисциплины; указывают на имею- щиеся у него пробелы, на желательное направление дальнейшей работы; помогают сформулировать вопросы для постановки их пе- ред преподавателем. 6 Лекции, практические занятия и лабораторные работы Во время экзаменационно-лабораторных сессий для студентов- заочников организуются лекции и практические занятия. Они носят по преимуществу обзорный характер. Их цель – обратить внимание на общую схему построения соответствующего раздела курса, под- черкнуть важнейшие места, указать главные практические прило- жения теоретического материала, привести факты из истории науки. Кроме того, на этих занятиях могут быть более подробно рассмотрены отдельные вопросы программы, отсутствующие или не-достаточно полно освещенные в рекомендуемых пособиях. Зачеты и экзамены На экзаменах и зачетах выясняется уровень усвоения всех теоре- тических и практических вопросов программы и умение применять полученные знания к решению практических задач. Определения, теоремы, правила должны формулироваться точно и с пониманием существа дела; решение задач в простейших случаях должно проде- лываться без ошибок и уверенно; всякая письменная и графическая работа должна быть выполнена аккуратно и четко. Только при вы- полнении этих условий знания могут быть признаны удовлетворяю- щими требованиям, предъявляемым программой. При подготовке к экзамену учебный материал рекомендуется по- вторять по учебнику и конспекту. 7 2. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 2.1. Вопросы к экзамену 1. Первообразная функция и неопределенный интеграл. 2. Свойства неопределенного интеграла. 3. Таблица неопределенных интегралов. 4. Замена переменной в неопределенном интеграле. 5. Интегрирование по частям. 6. Интегрирование простейших дробей. 7. Метод неопределенных коэффициентов. 8. Интегрирование тригонометрических выражений. 9. Интегрирование иррациональных функций. 10. Определение определенного интеграла. 11. Геометрический смысл определенного интеграла. 12. Свойства определенного интеграла. 13. Формула Ньютона–Лейбница. 14. Методы вычисления определенного интеграла. 15. Вычисление площадей плоских фигур (случаи явного, пара- метрического и полярного задания функций). 16. Вычисление длин дуг (три случая). 17. Объем тела вращения. 18. Площадь поверхности тела вращения. 19. Определение числовых рядов. Сходимость. 20. Необходимый признак сходимости. 21. Свойства числовых рядов. 22. Достаточные признаки сходимости (Даламбера, Коши, инте- гральный). 23. Признаки сравнения. 24. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. 25. Степенные ряды. Теоремы Абеля. 26. Методы определения радиуса сходимости. 27. Ряды Тейлора и Маклорена. 28. Ряды Маклорена для функций: xsin , xcos , xe , ( )nx+1 , ( )x+1ln . 8 2.2. Основная литература 1. Жевняк, Р.М. Высшая математика: в 5 ч. / Р.М. Жевняк, А.А. Карпук. – Минск, 1998. 2. Бугров, Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М., 1980. 3. Элементы линейной алгебры / под общ. ред. Р.Ф. Апатенок. – Минск, 1977. 4. Беклемишев, Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры / Д.В. Беклемишев. – М., 1980. 5. Бугров, Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. – М., 1984. 6. Бугров, Я.С. Дифференциальные уравнения, кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного / Я.С. Бугров, С.М. Ни- кольский. – М., 1985. 7. Пискунов, И.С. Дифференциальное и интегральное исчисле- ние: в 2 т. / И.С. Пискунов. – М., 1985. 8. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая стати- стика / В.Е. Гмурман. – М., 2003. 9. Кузнецов, А.В. Высшая математика. Математическое програм- мирование / А.В. Кузнецов, В.А. Сакович, Н.И. Холод. – Минск, 2000. 10. Балашевич, В.А. Основы математического программирова- ния / В.А. Балашевич. – Минск, 1985. 11. Акулич, И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах / И.Л. Акулич. – М., 1993. 12. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа / под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Деми- довича. – М., 1986. 13. Сборник задач по математике для втузов. Специальные раз- делы математического анализа / под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Деми- довича. – М., 1981. 14. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: в 3 ч. / под общ. ред. А.П. Рябушко. – Минск: Вышэйшая школа, 1991. 15. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории веро- ятности и математической статистики / В.Е. Гмурман. – М.: Высшая школа, 2003. 9 3. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ 3.1. Правила оформления контрольных работ При выполнении работ необходимо: 1) указывать на титульном листе номер работы, название дисци- плины, номер курса и название факультета, номер зачетной книжки, фамилию, имя и отчество, обратный адрес; 2) решения задач приводить в порядке, указанном в задании; 3) перед каждым решением указывать полный номер задачи (например, 4.2.17 – четвертая работа, задание 2, вариант 17) и ее условие согласно заданию; 4) решения приводить с необходимыми краткими пояснениями, крупным и разборчивым почерком; 5) после каждого решения оставлять место для возможных заме- чаний рецензента; 6) незачтенные работы не оформлять заново (если на необходи- мость этого не указано рецензентом). Исправленные решения задач приводить в конце работы. При несоблюдении указанных требований работа не рецензи- руется. Прорецензированные и зачтенные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять. Без предъявления зачтенных конт- рольных работ студент не допускается к сдаче зачета и экзамена. 3.2. Выбор варианта контрольной работы Номер варианта для каждой задачи выбирается по двум послед- ним цифрам номера зачетной книжки. Если это число превышает 30, то из него вычитается число, кратное 30, так, чтобы остаток ока- зался меньше 30. Этот остаток есть номер варианта. Например, но- мер зачетной книжки оканчивается на 76. Тогда номер варианта за- дания равен 76 – 2 ⋅ 30 = 16. 10 Примечание. Количество и содержание заданий контрольных ра- бот, выполняемых в каждом семестре, определяется студентам на установочной сессии. 3.3. Контрольная работа № 2 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ОПРЕДЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ. РЯДЫ Задание 1.1 С помощью интегрирования по частям вычислить неопределен- ный интеграл от функции вида: 1. xxsin ; 2. xx 2e ; 3. xx cos ; 4. xx −e ; 5. xx ln ; 6. xxarctg ; 7. xx 2cos ; 8. xx 3e ; 9. xx 2sin ; 10. xx 3cos ; 11. xx5 ; 12. xx 2e− ; 13. xx 2⋅ ; 14. xx sin)2( + ; 15. xx cos)3( − ; 16. )6sin( −xx ; 17. xx ln)43( + ; 18. xx 6⋅ ; 19. xx sin)7( + ; 20. xx 3)5( + ; 21. 5e +xx ; 22. )4cos( −xx ; 23. )1ln( 2 +x ; 24. xx 3e− ; 25. xx 4⋅ ; 26. xarcsin ; 11 27. xx 4e− ; 28. xx e)83( + ; 29. xx cos)5( − ; 30. xx e)72( − . Задание 1.2 Вычислить неопределённый интеграл с помощью разложения на простейшие дроби подынтегральной функции: 1. )82( 2 2 −− + xxx x ; 2. )34( 4 2 +− + xxx x ; 3. xx x )9( 12 2 − − ; 4. xx −3 4 ; 5. 12 3 −x x ; 6. )23( 2 2 +− xxx ; 7. )2( 2 2 −+ xxx x ; 8. xx x )16( 3 2 − + ; 9. )30( 12 2 −+ + xxx x ; 10. )82( 1 2 2 −+ −+ xxx xx ; 11. )65( 4 2 −− + xxx x ; 12. )45( 3 2 2 ++ + xxx x ; 13. )2)(1( 32 −+ − xxx x ; 14. )2( 16 2 −+ + xxx x ; 15. 1 1 3 3 + − x x ; 16. )183)(2( 1 2 2 −−+ + xxx x ; 17. )65)(1( 3 2 +−+ xxx ; 18. )9( 74 2 − − xx x ; 19. )86( 5 2 ++ xxx x ; 20. )1( 2 2 2 − + xx x ; 12 21. )12( 3 2 +− − xxx x ; 22. xx )16( 6 2 − ; 23. )30( 1 2 −− − xxx x ; 24. xx x )16( 2 2 2 − − ; 25. )34( 7 2 +− xxx ; 26. )82( 3 2 −+ − xxx x ; 27. )23( 3 2 +− + xxx x ; 28. )82( 7 2 −− − xxx x ; 29. )9( 6 2 2 − + xx x ; 30. 23 25 12 xx x − + . Задание 1.3 Вычислить с помощью подстановки неопределённый интеграл от функции: 1. 2 1 + + x x ; 2. 7 3 − − x x ; 3. xx x − + 23 ; 4. 12 + x ; 5. x x 1+ ; 6. x x + − 1 1 ; 7. x x+2 ; 8. 1+xx ; 9. x x 3+ ; 10. 4+x x ; 11. x x − + 1 1 ; 12. 3 3+x x ; 13. x x + − 1 21 ; 14. 5 7 + + x x ; 13 15. x x − + 2 1 ; 16. 23 +x x ; 17. 3 1 )2( ++ xx ; 18. 34 + x ; 19. 1 2 + + x x ; 20. 1 3 + + x x ; 21. x x + − 2 2 ; 22. 6+x x ; 23. 4 8 − + x x ; 24. x x − − 3 2 ; 25. 3 2 )7( ++ xx ; 26. 72 +x x ; 27. x x 21 21 + − ; 28. 3 5 +xx ; 29. 72 − x ; 30. 3 5 42 + + x x . Задание 1.4 Вычислить с помощью подстановки неопределённый интеграл от функции: 1. x x cos2 sin3 + ; 2. x x 4 3 cos sin ; 3. xx sincos 1 ⋅ ; 4. x2cos 1 ; 5. 2)cos1(2 2sin x x − ; 6. x3sin 1 ; 7. x3cos 1 ; 8. xx cossin 1 + ; 9. x3tg ; 10. x x 3 2 sin cos ; 14 11. x x 3 2 cos sin ; 12. x2sin2 1 + ; 13. x x 3 2 cos sin ; 14. x2cos5 1 + ; 15. x2sin94 1 + ; 16. x x sin3 cos3 + ; 17. x x 4 3 sin cos ; 18. x2sin43 1 + ; 19. x2cos52 1 + ; 20. x2sin32 1 − ; 21. x2cos35 1 − ; 22. )cos2(cos sin 2 xx x + ; 23. )sin4(sin cos 2 xx x − ; 24. 2)cos1( sin x x − ; 25.       + − 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 xxx xx ; 26. x x tg1 sin2 − ; 27. x4sin1 1 − ; 28. 6sin5 1 2 +x ; 29. x2cos23 1 + ; 30. x2sin58 1 + . Задание 1.5 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 1. 2 ,0 ,2 ,2 2 ==−== xxxxyy х ; 2. 0 ,e ,e ,ln 2 ==== yxxxy ; 3. 31 ,2 22 yxyx −=−= ; 4. 0 ,8 ,32 === xyxy ; 15 5. 4 8 ,4 2 2 + == x yyx ; 6. yxxy 4 ,4 22 == ; 7. 4 ,42 +=+= xyxxy ; 8. 1 ,3 2 +==+ xyyx ; 9. xyxy == ,3 ; 10. 0 ,cos ,1 ==+= yxyxy ; 11. 07 ,6 =−+= yxxy ; 12. xyxxy −=−= ,2 2 ; 13. 2 , 9 ,4 2 2 === yxyxy ; 14. xy,x,xy === 4 1 4 ; 15. 22 16 ,)4( xyxy −=−= ; 16. 4 , 32 == xxy ; 17. 1 ,02 ,e ±==+−= xyxy x ; 18. 1 4 3 , 22 +== yxyx ; 19. 0 ,2ln 2),ln( ==+= yxyxy ; 20. 13 ,84 2222 =−=+ yxyx ; 21. 64 ,84 2 +=−= xyxxy ; 22. 6 ,6 ,6 === xyxyxy ; 23. 4 ,4 ,1 416 22 −===− yyyx ; 24. 0 ,sin ,cos === xxyxy ; 25. 0 ,2 ,2 ,3 2 ==−== xxxxyy x ; 26. 0 ,cos 1, ===+ yxyyx ; 27. xyxy == 4 ,3 ; 28. 3 ,tg π±== xxy ; 29. 4 5 22 +−=+= xy,xy ; 30. 2,3 0,732 −===+− xyyx x . Задание 1.6 Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходи- мость: 1. ( )∫ ∞ +1 21 d x x ; 2. ∫ ∞ +2 2 3 d xx x ; 3. ∫ ∞ +9 2 d xx x ; 4. ( )∫ ∞ +5 2 1 d x x ; 16 5. ∫ ∞ +4 2 1 d x xx ; 6. ( )∫ ∞ 2 2ln d xx x ; 7. ∫ ∞ − 0 de xx x ; 8. ∫ ∞ ++0 2 1 d xx x ; 9. ∫ ∞ − 0 d3 xx ; 10. ∫ ∞ ++3 2 22 d xx x ; 11. ∫ ∞ +0 2 12 d x x ; 12. ∫ ∞ 3 ln d xx x ; 13. ( )∫ ∞ +2 1 d xx x ; 14. ( )( )∫ ∞ ++3 21 d xx x ; 15. ∫ ∞ +1 2 1 d x xx ; 16. ( )∫ ∞ +2 22 1 d x xx ; 17. ( )∫ ∞ +1 3 1 d x x ; 18. ∫ ∞ ++1 2 34 d xx x ; 19. ∫ ∞ − 0 d6 xx ; 20. ∫ ∞ +3 1 d x xx ; 21. ( )∫ ∞ +2 1 d xx x ; 22. ( )( )∫ ∞ ++1 31 d xx x ; 23. ∫ ∞ ++4 2 23 d xx x ; 24. ∫ ∞ +1 4 1 d x xx ; 25. ( )∫ ∞ +2 31 d x x ; 26. ∫ ∞ − 0 d4 xx ; 27. ∫ ∞ +1 2 4 d xx x ; 28. ∫ ∞ ++1 2 65 d xx x ; 29. ∫ ∞ +2 d xx x ; 30. ∫ ∞ − 0 3 de xx . 17 Задание 1.7 Исследовать на сходимость числовой ряд: 1. ∑ ∞ = + 1 5 )!2(3 n n n n ; 2. ∑ ∞ = + − 1 )!1(5 17 n n n n ; 3. 7 1 1. 8 7            ∑ ∞ = nn n ; 4. ∑ ∞ =       π+ 1 3 tg)12( n nn ; 5. ∑ ∞ =1 2 3n n n n ; 6. ∑ ∞ = +⋅⋅⋅⋅ +⋅⋅⋅⋅ 1 )32(...765 )3(...654 n n n ; 7. ∑ ∞ =       1 7 10 9 n n n ; 8. ∑ ∞ = +⋅⋅⋅⋅ −⋅⋅⋅⋅ 1 )1(...432 )56(...1371 n n n ; 9. ∑ ∞ = + 1 )1(3 n nn nn ; 10. ∑ ∞ = + 1 )!2( n nn n ; 11. ∑ ∞ =       π 1 3 2sin n nn ; 12. ∑ ∞ = + 1 2 ! )1( n n n n ; 13. ∑ ∞ = +1 )!3(5 ! n n n n ; 14. ∑ ∞ = −⋅⋅⋅⋅ −⋅⋅⋅⋅ 1 )14(...1173 )45(...1161 n n n ; 15. ∑ ∞ = +1 )!3(n n n n ; 16. ∑ ∞ =       π 1 3 5 2tg n nn ; 17. ∑ ∞ = + + 1 2 )!1( )3( n n n ; 18. ∑ ∞ = +1 )!3(2n n n ; 19. ∑ ∞ = + 1 ! )1( n n n n ; 20. ∑ ∞ = −⋅⋅⋅⋅ −⋅⋅⋅⋅ 1 )14(...1173 )13(...852 n n n ; 21. ∑ ∞ =       π− 1 4 sin)13( n nn ; 22. ∑ ∞ = + 1 ! 2 n n n ; 23. ∑ ∞ = ⋅ − 1 7 13 n nn n ; 24. ∑ ∞ = −⋅⋅⋅⋅ −⋅⋅⋅⋅ 1 )23(...741 )34(...951 n n n ; 18 25. ∑ ∞ = ⋅1 !4 5 n n n ; 26. ∑ ∞ = −⋅⋅⋅⋅ −⋅⋅⋅⋅ 1 )35(...1272 )12(...531 n n n ; 27. ∑ ∞ = +1 )!1(n n n n ; 28. ∑ ∞ = ⋅ − 1 3 )!2( )12( n n n ; 29. ∑ ∞ = −1 )12(5 2 n n n n ; 30. ∑ ∞ = ⋅ + 1 2 12 n nn n . Задание 1.8 Исследовать на сходимость числовой ряд: 1. ∑ ∞ =       +1 1 10 n n n n n ; 2. ∑ ∞ =       − 1 2 5 15 n n n n ; 3. n n n ∑ ∞ =             +1 12 1arctg ; 4. ( )( )∑ ∞ = +1 2ln 1 n nn ; 5. n n n 3 1 2 1arcsin∑ ∞ =             ; 6. ∑ ∞ =         −⋅ ++ 1 2 2 23 85 n n n nn ; 7. ∑ ∞ =             1 5 1arctg n n n ; 8. ∑ ∞ =       + 1 2 1 2 n n n n n ; 9. ( )( )∑ ∞ = +1 21ln 1 n nn ; 10. ∑ ∞ =             π 1 3 5 tg n n n ; 11. ( )( )∑ ∞ = +1 3ln 1 n nn ; 12. 2 1 2 2 136 543 n n nn nn ∑ ∞ =         −−⋅ ++⋅ ; 13. ∑ ∞ =       − 1 2 2 12 n n n n ; 14. ∑ ∞ =             π 1 2 3sin n n n ; 19 15. ∑ ∞ =       + 1 3 4 1 n n n n ; 16. ∑ ∞ =       +1 2 1 4 n n n n n ; 17. ( )( )∑ ∞ = +1 31ln 1 n nn ; 18. ∑ ∞ =       − 1 2 3 13 n n n n ; 19. ∑ ∞ =             1 3 1arcsin n n n ; 20. ∑ ∞ =       + 1 2 2 1 n n n n ; 21. ∑ ∞ =         ++⋅ −−⋅ 1 2 2 437 13 n n nn nn ; 22. ∑ ∞ =       +1 13n n n n ; 23. n n n 2 1 3 1arcsin∑ ∞ =             ; 24. n n n n 5 1 2 1 ∑ ∞ =       + ; 25. ∑ ∞ =       + 1 5 1 2 n n n n n ; 26. ∑ ∞ =             + π 1 12 tg n n n ; 27. ∑ ∞ =             + π 1 15 sin n n n ; 28. ∑ ∞ =             −1 2 12 1arctg n n n ; 29. ( )( )∑ ∞ = +1 25ln 10 n n n ; 30. ∑ ∞ =             + + 1 52 3arcsin n n n n . Задание 1.9 Исследовать на сходимость числовой ряд: 1. ∑ ∞ =       +⋅ + 1 2 2 14 12 n n n ; 2. ( ) ( )( )∑ ∞ = +⋅+1 23ln23 1 n nn ; 3. ( ) ( )( )∑ ∞ = +⋅+1 312ln12 1 n nn ; 4. ( ) ∑ ∞ = +14 354 1 n n ; 20 5. ( ) ( )( )∑ ∞ = +⋅+1 243ln43 1 n nn ; 6. ( ) ∑ ∞ = −14 557 1 n n ; 7. ∑ ∞ =       + + 1 2 249 7 n n n ; 8. ( ) ( )∑ ∞ = −⋅−1 13ln13 1 n nn ; 9. ∑ ∞ =       − + ⋅ 1 1 1ln1 n n n n ; 10. ( ) ( )∑ ∞ = −⋅−1 25ln25 1 n nn ; 11. ∑ ∞ = + + 1 236 6 n n n ; 12. ( ) ∑ ∞ = +17 1073 1 n n ; 13. ( ) ∑ ∞ = −15 413 1 n n ; 14. ( ) ( )∑ ∞ = +⋅+1 2ln2 1 n nn ; 15. ( ) ( )∑ ∞ = +⋅+1 510ln510 1 n nn ; 16. ( ) ∑ ∞ = +16 732 1 n n ; 17. ∑ ∞ = + + 1 225 5 n n n ; 18. ( ) ( )∑ ∞ = +⋅+1 3ln3 1 n nn ; 19. ( ) ( )( )∑ ∞ = +⋅+1 523ln23 1 n nn ; 20. ( ) ∑ ∞ = +18 594 1 n n ; 21. ( ) ( )( )∑ ∞ = −⋅−1 249ln49 1 n nn ; 22. ∑ ∞ = −+ + 1 2 29 3 n nn n ; 23. ( ) ( )( )∑ ∞ = ++1 385ln85 1 n nn ; 24. ( ) ∑ ∞ = −18 357 1 n n ; 25. ( ) ( )∑ ∞ = +⋅+1 4ln4 1 n nn ; 26. ( ) ( )( )∑ ∞ = +⋅+1 383ln83 1 n nn ; 27. ( )∑ ∞ = −1 3 34 1 n n ; 28. ( ) ( )( )∑ ∞ = +⋅+1 2310ln310 1 n nn ; 29. ∑ ∞ = −+ + 1 24 2 n nn n ; 30. ( ) ( )∑ ∞ = +⋅+1 5ln5 1 n nn . 21 Задание 1.10 Исследовать на абсолютную или условную сходимость знакоче- редующийся ряд: 1. ( ) ( )∑ ∞ = + ⋅+ − 1 1 31 1 n n n n ; 2. ( )∑ ∞ = + − 1 12 1 n n n ; 3. ( )∑ ∞ = +− 2 1 ln 1 n n n ; 4. ( )∑ ∞ = + + ⋅− 1 1 56 1 n n n n ; 5. ( )∑ ∞ = − 1 4 5 1 n n n ; 6. ( )∑ ∞ = +− 1 11 n n n ; 7. ( )∑ ∞ = −− 1 2 11 n n n ; 8. ( )( )∑ ∞ = + + − 1 1 12 1 n n nn ; 9. ( )∑ ∞ = + + − 1 1 1 1 n n n ; 10. ( )∑ ∞ = − ⋅ − 1 3 11 n n nn ; 11. ( ) ( ) ( )∑ ∞ = + +⋅ +⋅− 1 1 1 121 n n nn n ; 12. ( ) ( )∑ ∞ = +⋅− 1 3 51 n n n n ; 13. ( )∑ ∞ = + − ⋅− 1 1 13 1 n n n n ; 14. ( )∑ ∞ = − − 1 12 1 n n n ; 15. ( ) ( )∑ ∞ = ⋅− − 1 312 1 n n n n ; 16. ( )∑ ∞ = −− 1 1 2 1 n n n ; 17. ( ) ( )∑ ∞ = + +⋅− 1 1 121 n n n n ; 18. ( )∑ ∞ = + − 1 2 13 1 n n n ; 19. ( )∑ ∞ = ⋅ − 1 1 n n nn ; 20. ( )∑ ∞ = − ⋅ − 1 1 5 1 n n n n 21. ( )∑ ∞ = −− 1 1 ! 1 n n n ; 22. ( )( )∑ ∞ = + − 1 1ln 1 n n n ; 23. ( ) ( ) ( )∑ ∞ = + + +⋅− 1 1 15 121 n n nn n ; 24. ( )∑ ∞ = + + − 1 1 12 1 n n n ; 22 25. ( ) ( )∑ ∞ = + + ⋅− 1 1 12 31 n n nn n ; 26. ( )∑ ∞ = − + − 1 1 5 1 n n n ; 27. ( ) ( )∑ ∞ = +⋅− 1 3 51 n n n n ; 28. ( ) ( )∑ ∞ = + + − 1 1 72 1 n n n n ; 29. ( )( )∑ ∞ = − − − 1 1 !23 1 n n n ; 30. ∑ ∞ = + + − 1 1 )43( )1( n n n . Задание 1.11 Найти область сходимости ряда: 1. ∑ ∞ = +1 2 1 2 n nn n x ; 2. ∑ ∞ = − − ⋅1 1 1 32n nn nnx ; 3. ∑ ∞ =1 3 8n n nx ; 4. ∑ ∞ = ⋅1 2n n n n x ; 5. ∑ ∞ =1n n n x ; 6. ∑ ∞ = + +1 12 12n n n x ; 7. ∑ ∞ = −1 12 2 n nn n x ; 8. ∑ ∞ = +1 2 1n n n nx ; 9. ( )∑ ∞ = +1 1n n nn x ; 10. ( )∑ ∞ = +1 2 3 18n n n n x ; 11. ∑ ∞ = + 1 )1( n nxnn ; 12. ∑ ∞ =1 2 tg n n n xx ; 13. ∑ ∞ =1 10 n nn n x ; 14. ∑ ∞ =1 ! n n n n xn ; 15. ∑ ∞ = + + 1 1 1 5n n n n x ; 16. ∑ ∞ =1 2 n n n x ; 17. ∑ ∞ =1 2)1,0( n nn n x ; 18. ∑ ∞ = + +− 1 2 1 3 )2( n n nnx ; 23 19. ∑ ∞ =15n n nx ; 20. ∑ ∞ = +1 2 3)12( 5 n n nn n x ; 21. ∑ ∞ =1n n n x ; 22. ∑ ∞ =1 2 n nn n x ; 23. ∑ ∞ = +− 1 3 1)( n n n x ; 24. ∑ ∞ =1 3 3 n nn n x ; 25. ∑ ∞ = −1 132n n n n x ; 26. ∑ ∞ = −1 12 2 n nn n x ; 27. ∑ ∞ = + 1 2 2 )1( n n nxn ; 28. ∑ ∞ =1 36 5 n n nn n x ; 29. ∑ ∞ =1 1tg n n n x ; 30. n nn n x n n 51 2 1 ∑ ∞ =       + . 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ 4.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл В дифференциальном исчислении решалась задача нахождения производной )(xf ′ , или дифференциала xxff d)(d ′= , функции. В интегральном исчислении решается обратная задача. По функции )(xf требуется найти функцию )(xF такую, чтобы выполнялись равенства )()( xfxF =′ или .d)(d)()(d xxfxxFxF =′= Определение 4.1. Функция )(xF называется первообразной для функции )(xf на множестве X , если она дифференцируема для любого Xx∈ и )()( xfxF =′ . Теорема 4.1. Любая непрерывная функция ( )xf на отрезке ];[ bа имеет на этом отрезке первообразную )(xF . Теорема 4.2. Если )(1 xF и )(2 xF – две любые первообразные для )(xf на X , то CxFxF =− )()( 21 , где C – постоянная. 24 Следствие. Если )(xF – некоторая первообразная функция )(xf на множестве X , то все первообразные функции имеют вид CxF +)( , где C – постоянная. Операция нахождения первообразной )(xF функции )(xf назы- вается интегрированием. Определение 4.2. Совокупность CxF +)( всех первообразных функции )(xf на множестве X называется неопределенным инте- гралом и обозначается ∫ += CxFdxxf )()( , где xxf d)( – подынтегральное выражение; )(xf – подынтегральная функция; x – переменная интегрирования. Основные свойства неопределенного интеграла 1. ( )( ) ( )xfxxf =′∫ d и ( )( ) ( ) xxfxxf ddd =∫ . 2. ∫ += CxFxF )()(d . 3. ∫ ∫= xxfaxxaf d)(d)( , где 0≠a , a – постоянный множитель. 4. ∫ ∫ ∫∫ ±⋅⋅⋅±±=±⋅⋅⋅±± xxfxxfxxfxxfxfxf nn d)(d)(d)(d))()()(( 2121 . 5. ( ) CbaxF a xbaxf ++=+∫ )( 1d . 6. ∫ ∫ +=⇒+= СиFииfCxFxxf )(d)()(d)( , т. е. любая формула интегрирования сохраняет свой вид, если переменную интегрирова- ния заменить любой дифференцируемой функцией этой переменной. Таблица основных неопределенных интегралов Буква и может обозначать, как независимую переменную )( хи = , так и функцию от независимой переменной ))(( хии = . 25 1. ∫ −≠++ = + )1( 1 d 1 nC n uuu n n ; 2. )1,0( ln d ≠>+=∫ aaCa aua u u ; 3. Cu uu +=∫ ede ; 4. ∫ += Cuu u lnd ; 5. ∫ +−= Cuuu cosdsin ; 6. Cuuu +=∫ sindcos ; 7. ∫ += Cuu u tg cos d 2 ; 8. ∫ +−= Cuu u ctg sin d 2 ; 9. ∫ += Cuuu chdsh ; 10. ∫ += Cuuu shdch ; 11. ∫ += Cuu u th ch d 2 12. ∫ +−= Cuu u cth sh d 2 ; 13. ∫ +− + = − C ua ua aua u ln 2 1d 22 ; 14. Cau au aau u + + − = − ∫ ln2 1d 22 ; 15. )0(arctg1d 22 ≠+=+∫ aC a u aau u ; 16. ( )auCauu au u >+±+= ± ∫ 2222 ln d ; 17. ( )auC a u ua u <+= − ∫ arcsin d 22 . 4.2. Интегрирование подстановкой (замена переменной) Требуется вычислить интеграл ( )∫ ,dxxf который не является таб- личным. Суть метода подстановки состоит в том, что переменную x заменяют переменной t по формуле ( ),tx ϕ= тогда ( ) ttx dd ϕ′= . Теорема 4.3. Пусть функция ( )tx ϕ= определена и дифференци- руема на некотором множестве T и пусть X – множество значений этой функции, на котором определена функция ( )xf . Тогда, если на множестве ( )xfX имеет первообразную, то на множестве T спра- ведлива формула ( ) ( )( ) ( ) tttfxxf dd ∫∫ ϕ′ϕ= , 26 которая называется формулой замены переменой в неопределенном интеграле. После вычисления интеграла следует вернуться к переменной x по формуле ( )xt 1−ϕ= . При интегрировании заменой переменной нельзя дать общее правило выбора подстановки для любой функции. Однако это мож- но сделать только при интегрировании отдельных классов функций (тригонометрических, иррациональных и т. д.). Так, например, ин- тегралы вида xxaxRxxaxRxaxxR d,,d,,d, 222222 ∫∫∫     +     −     − вычисляются при помощи тригонометрических подстановок соот- ветственно: t ax cos = или ; sint ax = tax cos= или ;sin tax = .tgtax = 4.3. Интегрирование по частям Пусть функции ( )xuu = и ( )xvv = – непрерывно дифференцируе- мые функции на некотором интервале, тогда имеет место формула ∫ ∫−= uvuvvu dd , называемая формулой интегрирования по частям. Метод интегрирования по частям удобно применять в следую- щих случаях: 1. Интегралы вида: ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ,dcos;dsin,de xaxxPxaxxPxxP nnaxn где ( )xPn – многочлен степени ;n a – число. В этих интегралах полага- ем ( )xPu n= и, применив интегрирование по частям n раз, получа- ем результат. 2. Интегралы вида: ( ) ( ) ( ) ;darccos;darcsin;dln xxxPxxxPxxxP nnn ∫∫ ∫ ( ) ;darctg xxxPn∫ ( ) ,darcctg xxxPn∫ где ( )xPn – многочлен степени .n Их можно вычислить по частям, принимая за u функцию, являю- щуюся множителем при ( ).xPn 27 3. Интегралы вида: ∫ ∫ ,dcose,dsine xbxxbx axax ( ba, – числа), ( )∫ xx dlnsin и т. д. Эти интегралы вычисляются двукратным инте- грированием по частям, после чего получается снова исходный ин- теграл с некоторым коэффициентом. Имеем равенство, которое яв- ляется линейным алгебраическим уравнением относительно иско- мого интеграла. 4.4. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения их на простейшие дроби Рациональной дробью называется дробь вида )( )( xQ xP n m , где )(xPm , )(xQn – многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, т. е. nm < ; в противном случае (если nm ≥ ) рациональная дробь называется не- правильной. Простейшей дробью называется правильная дробь одного из следующих четырех типов: 1) ax A − . 2) kax A )( − ),2( Nkk ∈≥ . 3) qpxx NMx ++ + 2 (корни знаменателя комплексные, т. е. 04 2 <− qp ). 4) kqpxx NMx )( 2 ++ + ( 2≥k , корни знаменателя комплексные), где A, a, M, N, p, q – действительные числа. Теорема 4.4. Всякую правильную рациональную дробь )( )( xQ xP n m , знаменатель которой разложен на множители mS mm Skk n qxpxqxpxxxxxxQ )...()...()()()( 211221 121 ++++−−= 28 можно представить (и притом единственным образом) в виде сле- дующей суммы простейших дробей: ... )( ... )()( ... )()( )( 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 + − ++ − + − + − ++ − + − = k k k k n m xx B xx B xx B xx A xx A xx A xQ xP + ++ + ++ ++ + ++ ++ + + ++ + + mm S SS qxpx NxM qxpx DxC qxpx DxC qxpx DxC 2 11 11 22 11 2 22 11 2 11 ... )( ... )( ... 1 11 , )( ... )( 222 22 m mm S mm SS mm qxpx NxM qxpx NxM ++ + ++ ++ + + где ...,...,,...,,...,,...,,,...,,, 11112121 NMDCBBAA – некоторые действи- тельные числа. Поясним формулировку теоремы на следующих примерах: 1) ; )3()3(32)3)(2( 4 323 2 − + − + − + − = −− + x D x C x B x A xx x 2) ; 1)1( 1 2222 3 + + ++= + + x DCx x B x A xx x 3) . )1(121)1)(2)(1( 987 22222 2 ++ + + ++ + + − + − = ++−− ++ xx NMx xx DCx x B x A xxxx xx Перед интегрированием рациональной дроби )( )( xQ xP n m необходимо выполнить следующие алгебраические преобразования и вычисления: 1. Если дана неправильная рациональная дробь, выделить из нее целую часть, т. е. представить эту дробь в виде )( )()( )( )( 1 xQ xPxM xQ xP nn m += , где )(xM – многочлен, )( )(1 xQ xP n – правильная рациональная дробь. 2. Разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители: ...,))...(()()( 2 rm qpxxbxaxxQ ++−−= где квадратичные множители имеют комплексные корни. 29 3. Правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби. 4. Вычислить неопределенные коэффициенты ,...,,, 121 kAAA ,...,,, 221 kBBB ,...,,, 121 SCCC ,...,,, 121 SDDD ,...,,, 21 mSMMM mSNNN ...,,, 21 для чего привести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять в числителе коэффициенты при одинако- вых степенях x в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэф- фициентов. В результате интегрирование рациональной дроби све- дётся к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей. 4.5. Интегрирование тригонометрических выражений с помощью подстановок и формул тригонометрии Условимся через ),( vuR обозначать рациональную функцию от- носительно u, v, т. е. выражение, которое получено из любых вели- чин u, v с помощью четырёх арифметических действий. Рассмотрим интегралы вида ∫ xxxR d)cos,(sin , где R – рацио- нальная функция аргументов xsin и xcos . Такие интегралы приво- дятся к интегралам от рациональных функций, т. е. рационализиру- ются с помощью универсальной тригонометрической подстановки 2 tg xt = . В результате этой подстановки имеем: 22 1 2 2 tg1 2 tg2 sin t t x x x + = + = ; 2 2 2 2 1 1 2 tg1 2 tg1 cos t t x x x + − = + − = ; tx arctg2= ; 21 d2d t tx + = ; 22 2 2 1 d2 1 1; 1 2d)cos;(sin t t t t t tRxxxR +        + − + =∫ ∫ . Универсальная подстановка 2 tg xt = во многих случаях приво- дит к сложным вычислениям, так как при ее применении xsin и 30 xcos выражаются через t в виде рациональных дробей, содержа- щих 2t . В некоторых случаях нахождение интегралов вида ∫ xxxR d)cos;(sin можно осуществить с помощью других подстановок. Укажем эти случаи: 1. Если )cos,(sin xxR – четная функция относительно xsin , xcos , т. е. )cos,(sin)cos,sin( xxRxxR =−− , то интегралы рационализи- руются подстановкой xt tg= . При этом используются формулы: x xx 2 2 2 tg1 tgsin + = ; x x 2 2 tg1 1cos + = . 2. Если )cos,(sin xxR – нечетная функция относительно xsin ; т. е. )cos,(sin)cos,sin( xxRxxR −=− , то интегралы ∫ xxxR d)cos;(sin рационализируются с помощью подстановки xt cos= . 3. Если )cos,(sin xxR – нечетная функция относительно xcos , т. е. )cos,(sin)cos,(sin xxRxxR −=− , то интегралы ∫ xxxR d)cos;(sin рационализируются с помощью подстановки xt sin= . 4. Интегралы ∫ xxR d)tg( приводятся к рациональному виду с по- мощью подстановки xt tg= . 5. Интегралы ∫ xxR d)ctg( приводятся к рациональному виду с по- мощью подстановки xt ctg= . 4.6. Интегрирование иррациональных функций Рассмотрим интегралы вида x dcx bax dcx baxxR r r n m n m d...,,, 1 1 ∫                 + +       + + , где R – рациональная функция: rr nmnm ,...,,, 11 – целые ненулевые числа. С помощью подстановки λ= + + t dcx bax , где )...,,( 1 rnnk=λ , )...,,( 1 rnnk – наименьшее общее кратное чисел rnn ...,,1 , указанный интеграл преобразуется в интеграл от рациональной функции. 31 Рассмотрим два частных случая. 1. Если 0=c , 1=d , то данный интеграл имеет вид ( ) ( ) xbaxbaxxR r r n m n m d...,,, 1 1 ∫         ++ и преобразуется в интеграл от ра- циональной функции с помощью подстановки λ=+ tbax , где )...,,( 1 rnnk=λ . 2. Если 0== cb , 1== da , то интеграл имеет вид xxxxR r r n m n m d...,,, 1 1 ∫         и приводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки λ= tx , где )...,,( 1 rnnk=λ . 4.7. Определенный интеграл и его свойства Пусть функция )(xf – определена на отрезке [ ]ba, . Разобьем [ ]ba, произвольным образом на n частей точками bxxxxa n =<<<<= ...210 . На каждом из полученных элементар- ных отрезков длиной 1−−=∆ iii xxx произвольным образом выберем точку ( )nii ...,,2,1=ξ и составим сумму ∑ = ∆ξ=∆ξ++∆ξ+∆ξ= n i iinnn xfxfxfxfS 1 2211 )()(...)()( . Эта сумма называется интегральной суммой для функции )(xf на отрезке [ ]ba, (рис. 4.1). Если существует конечный предел последовательности инте- гральных сумм nS при стремлении к нулю наибольшей из длин ix∆ , не зависящий ни от способа разбиения отрезка [ ]ba, на ча- стичные отрезки [ ]ii xx ,1− , ни от выбора точек iξ , то он называется определенным интегралом от функции )(xf в пределах от a до b и обозначается символом ∫ b a xxf d)( . 32 Таким образом, ∑∫ =→∆ ∆ξ= n i ii x b a xfxxf i 10max )(limd)( . Непрерывная на отрезке [ ]ba, функция )(xf интегрируема на этом отрезке. Теорема 4.5. Если функция )(xfy = непрерывна на отрезке [ ]ba, , то она интегрируема на [ ]ba, , т. е. предел интегральной сум- мы существует и не зависит от способа разбиения отрезка [ ]ba, на частичные отрезки ix∆ и выбора на них точек iξ . Если 0)( ≥= xfy при [ ]bax ,∈ , то геометрически определённый интеграл выражает площадь фигуры, ограниченной графиком функции )(xfy = , осью Ox и двумя прямыми ax = , bx = . Эта фигура называется криво- линейной трапецией. В общем случае, когда функция )(xfy = на отрезке [ ]ba, принимает значения разных знаков, определенный интеграл выражает разность площадей криволинейных трапеций, расположенных над осью Ox и под ней, так как площадям криво- линейных трапеций, расположенных под осью Ox , присваивается Рис. 4.1 a 1ξ 1x 1−ix iξ ix b x y A nξ 33 знак «–». Например, для функции, график которой изображен на рис. 4.2, имеем ∫ +−= b a SSSxxf 321d)( . Свойства определенного интеграла: 1. ∫∫ −= a b b a xxfxxf d)(d)( . 2. 0d)(∫ = a a xxf . 3. )const(d)(d)( == ∫∫ cxxfcxxcf b a b a . 4. ( ) ∫∫∫ +=+ b a b a b a xxfxxfxxfxf d)(d)(d)()( 2121 . 5. ∫ ∫∫ += c a b c b a xxfxxfxxf d)(d)(d)( для любого действительного с. x y 1S 2S 3S a b 0 Рис. 4.2 + - + 34 6. Если функции )(xf , )(xϕ интегрируемы на отрезке [ ]ba, , где ba < и )()( xxf ϕ≤ для всех [ ]bax ,∈ , то ∫∫ ϕ≤ b a b a xxxxf d)(d)( . 7. Если функция )(xf непрерывна на отрезке [ ]ba, , тогда найдется хотя бы одна точка [ ]bac ,∈ , что ∫ −= b a abcfxxf ))((d)( . 4.8. Методы вычисления определенного интеграла Если )(xF – одна из первообразных непрерывной на [ ]ba, функ- ции )(xf , то справедлива следующая формула Ньютона–Лейбница: )()()(d)( aFbFxFxxf b a b a −==∫ . Замена переменной в определенном интеграле осуществляется по формуле ( )( )∫∫ β α φ′φ= tttfxxf b a d)(d)( , где )(tx φ= имеет непрерывную производную, )(αφ=a , )(βφ=b . Интегрирование по частям в опре- деленном интеграле выполняется по формуле ∫∫ −= b a b a b a uvuvvu dd . 4.9. Приложение определенного интеграла к задачам геометрии Площадь плоской фигуры 1. Площадь криволинейной трапеции (рис. 4.3), ограниченной сверху графиком непрерывной функции )(xfy = , слева и справа соответственно прямыми ax = , bx = , снизу осью Ox , вычисляется по формуле ∫ ∫== b a b a xyxxfS dd)( 35 2. Площадь фигуры (рис. 4.4), ограниченной сверху и снизу со- ответственно кривыми )(1 xfy = , )(2 xfy = , слева и справа прямы- ми ax = , bx = , определяется формулой ∫ −= b a xxfxfS d))()(( 21 . )(2 xfy = ( )xfy 1= 0 Рис. 4.4 y x a b a b y x 0 )(xfy = Рис. 4.3 36 3. Площадь криволинейной трапеции, в случае, когда кривая за- дана параметрическими уравнениями )(txx = , )(tyy = , bxa ≤≤ , )( 1txa = , )( 2txb = , будет вычисляться по формуле ∫ ′= 1 2 d)()( t t ttxtyS . 4. Площадь криволинейного сектора (рис. 4.5), ограниченного не- прерывной кривой, заданной в полярной системе координат урав- нением )(ϕ= rr и лучами α=ϕ и β=ϕ , вычисляется по формуле ∫ β α ϕϕ= d)( 2 1 2rS . Длина дуги кривой 1. Длина дуги кривой )(xfy = , bxa ≤≤ , вычисляется по фор- муле ( ) xyL b a d1 2∫ ′+= . 2. Если кривая задана параметрическими уравнениями )(txx = , )(tyy = , 21 ttt ≤≤ , то ( ) ( ) tyxL t t tt d 2 1 22 ∫ ′+′= . 3. Если кривая задана уравнением в полярных координатах )(ϕ= rr , β≤ϕ≤α , то ( ) ϕ′+= ∫ β α d22 rrL . 0 r β α )(ϕ= rr Рис. 4.5 37 Объем и площадь поверхности тел вращения. 1. Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox криво- линейной трапеции, ограниченной кривой )(xfy = , bxa ≤≤ , вы- числяется по формуле ∫π= b a x xyV d2 . Если криволинейная трапеция ограничена кривой )(yx ϕ= , dyc ≤≤ , вращается вокруг оси Oy , то ∫= d c y yxV d2 . Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ox дуги кривой, заданной уравнением )(xfy = , bxa ≤≤ , вычисляется по формуле ∫ ′+π= b a xyyQ d)(12 2 . 4.10. Числовые ряды. Основные понятия Определение 4.3. Пусть { } ...,...,,,, 321 nn aaaaa = – числовая по- следовательность. Выражения вида ,...... 1 321 ∑ ∞ = =+++++ n nn aaaaa называются числовым рядом, числа ...,...,,,, 321 naaaa – членами ря- да, а число na – n -м членом ряда. Например, числовыми рядами являются следующие выражения: ;3...3...931 1 11 ∑ ∞ = −− =+++++ n nn ∑ ∞ = +⋅ =+ +⋅ ++ ⋅ + ⋅ + ⋅ 1 )1( 1... )1( 1... 43 1 32 1 21 1 n nnnn . 38 Определение 4.4. Сумма конечного числа n первых членов ряда ∑ = =+++= n k knn aaaaS 1 21 ... , называется n -й частичной суммой данного ряда. Таким образом, 11 aS = , 212 aaS += , 3213 aaaS ++= , ………………………. nn aaaS +++= ...21 …………………………. Определение 4.5. Если существует конечный предел последова- тельности { }nS частичных сумм ряда SSn n = ∞→ lim , то ряд называется сходящимся, а число S – суммой данного ряда: ∑ ∞ = =++++= 1 21 ...... n nn aaaaS . Если предел последовательности { }nS не существует или равен бесконечности, то ряд называют расходящимся. Выражение вида ∑ ∞ += ++ =++= 1 21 ... nk knnn aaar , представляющее собой числовой ряд, называется n -м остатком ряда. Для сходящегося ряда можно записать равенство 39 ∑ ∑ ∑ ∞ = = ∞ += +=+== 1 1 1n n k nn nk kkn rSaaaS . Поскольку для сходящегося числового ряда SSn n = ∞→ lim , то .0lim = ∞→ n n r Например, рассмотрим ряд ∑ ∞ = =++++++ 02 1... 2 1... 8 1 4 1 2 11 n nn , предоставляющий собой сумму членов бесконечно убывающей гео- метрической прогрессии со знаменателем 2 1 =q . Вычислим n -ю частичную сумму этого ряда:              −= −      − = − − = n n n n q qbS 2 112 2 11 2 11 1 )1(1 , 2)01(2lim =−= ∞→ n n S . Следовательно, ряд сходится и его сумма 2=S . Ряд ∑ ∞ = =+++++ 1 ......321 n nn является расходящимся, т. к. ∞=⋅ + =++++= ∞→∞→∞→ nnnS nn n n 2 1lim)...321(limlim . 40 4.11. Необходимый признак сходимости ряда Рассмотрим ряд ∑ ∞ =1n na и его n -ю частичную сумму nnnnn aSaaaaS +=++++= −− 1121 ... , т. е. 1−−= nnn SSa . Если ряд сходится, то существует конечный предел n n SS ∞→ = lim . Следовательно, 0)(lim)(limlim 11 =−=−=−= − ∞→ − ∞→∞→ SSSSSSa nn n nn n n n . Таким образом, доказано следующее утверждение: Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд ∑ ∞ =1n na схо- дится, то 0lim = ∞→ n n a (т. е. предел общего члена сходящегося ряда при ∞→n равен нулю). Следствие (достаточный признак расходимости ряда). Если предел n n a ∞→ lim не равен нулю или не существует, то ряд ∑ ∞ =1n na рас- ходится. Из выполнения условия 0lim = ∞→ n n a не обязательно следует схо- димость ряда, т. е. оно не является достаточным признаком сходи- мости ряда. Например, рассмотрим гармонический ряд ∑ ∞ = =+++++ 1 1...1... 3 1 2 11 n nn . Очевидно, что 01lim = ∞→ nn , однако гармонический ряд расходится. 41 4.12. Простейшие свойства числовых рядов 1. Перестановка, отбрасывание или добавление конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость (расходимость). 2. Если ряды ∑ ∞ =1k ka и ∑ ∞ =1k kb сходятся и их суммы равны aS и bS соответственно, то ряд ∑ ∞ = + 1 )( k kk ba также сходится и ba k kk SSba +=+∑ ∞ =1 )( . 3. Если ряд ∑ ∞ =1k ka сходится и его сумма S , то ряд Α=Α∑ ∞ = Sa k k 1 , где Α – const. Ряд ∑ ∞ = Α 1k ka называется произведение ряда ∑ ∞ =1k ka на число Α . Замечание. Операции суммирования рядов и умножения ряда на число называются линейными операциями над рядами. Из данных определений вытекает, что линейные операции над рядами реали- зуются с помощью линейных операций над их членами. 4.13. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных числовых рядов Рассмотрим числовые ряды ∑ ∞ =1n na с неотрицательными членами, т. е. 0≥na . Признак сравнения. Если для членов ряда ∑ ∞ =1n na и ∑ ∞ =1n nb спра- ведливы неравенства nn ba ≤≤0 для 0nn ≥∀ , то: 1) из сходимости ряда ∑ ∞ =1n nb следует сходимость ряда ∑ ∞ =1n na ; 2) из расходимости ряда ∑ ∞ =1n na следует расходимость ряда ∑ ∞ =1n nb . 42 Пример 4.1. Исследовать сходимость ряда ∑ ∞ = + + ++++= +1 ... 2 1... 11 1 6 1 3 1 2 1 n nn nn . Решение. Применим признак сравнения. Так как nn n 2 1 2 1 < + для 1≥∀n , а ряд ∑ ∞ =12 1 n n сходится как сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменате- лем 1 2 1 <=q , то сходится и заданный ряд. Предельный признак сравнения. Если для членов рядов ∑ ∞ =1n na , 0>na и ∑ ∞ =1n nb , 0>nb , существует предел ∞<<= ∞→ LL b a n n n 0,lim , то ряды ∑ ∞ =1n na и ∑ ∞ =1n nb сходятся или расходятся одновременно. В част- ности, если 1lim = ∞→ n n n b a , то удобно воспользоваться знаком эквивалент- ности и писать nn ba ~ при ∞→n . Например, многочлен степени k k k k k k kk naananananP ~...)( 0111 ++++= −− , т. е. многочлен эквивалентен своей старшей степени при ∞→n , так как .100...01...1lim ...lim)(lim 011 01 1 1 =++++=      ++++= = ++++ = − ∞→ − − ∞→∞→ k k k kk k n k k k k k k nkk k n na a na a na a na ananana na nP 43 При применении признаков сравнения для исследования сходи- мости числовых рядов удобно сравнивать с обобщенным гармони- ческим рядом ∑ ∞ =1 1 n pn , который сходится при 1>p и расходится при 1≤p . При 1=p получаем гармонический ряд ∑ ∞ =1 1 n n . Признак Д`Аламбера. Пусть для ряда ∑ ∞ =1 , n na 0≥na , существует предел L a a n n n =+ ∞→ 1lim . Тогда: 1) при 1L ряд ∑ ∞ =1n na расходится; 3) при 1=L признак Д`Аламбера не дает ответа на вопрос о схо- димости или расходимости ряда. В этом случае сходимость ряда исследуют с помощью других признаков. Радикальный признак Коши. Пусть для ряда , 1 ∑ ∞ =n na 0≥na , существует предел Lan n n = ∞→ lim . Тогда: 1) при 1L ряд ∑ ∞ =1n na расходится; 3) при 1=L радикальный признак Коши неприменим. Интегральный признак Коши. Если функция )(xf на промежутке [ )∞+;1 монотонно убывает и неотрицательна, то ряд ∑∑ ∞ = ∞ = = 11 )( nn n nfa и несобственный интеграл xxf d)( 1 ∫ ∞ сходятся или расходятся одно- временно. 44 4.14. Знакочередующиеся ряды Определение 4.6. Числовой ряд ∑ ∞ =1n na , члены которого имеют разные знаки, называется знакопеременным. Рассмотрим ряд ∑ ∞ =1n na , который является знакоположительным. Теорема 4.6. Если сходится ряд ∑ ∞ =1n na , то сходится и ряд ∑ ∞ =1n na . В этой теореме сформулирован достаточный признак сходимо- сти ряда ∑ ∞ =1n na . Обратное утверждение в общем случае неверно. Определение 4.7. Если сходится ряд ∑ ∞ =1n na , то ряд ∑ ∞ =1n na называ- ется абсолютно сходящимся. Если ряд ∑ ∞ =1n na сходится, а ряд ∑ ∞ =1n na расходится, то ряд ∑ ∞ =1n na называется условно сходящимся. Определение 4.8. Знакочередующимся называется ряд, все чле- ны которого поочередно меняют знак: ( ) ( )∑ ∞ = −− −=+−++−+− 1 11 4321 1...1... n n n n n aaaaaa , (4.1) где ...,2,1, =nan – числа одного знака. При исследовании сходимости знакочередующихся рядов приме- няют признак Лейбница. Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда ( )∑ ∞ = −− 1 11 n n n a удовлетворяют условиям: 1) 1+≥ nn aa для Nn∈∀ , 2) 0lim = ∞→ n n a , 45 то ряд ( )∑ ∞ = −− 1 11 n n n a сходится, а его сумма S не превосходит первого члена, т. е. 1aS ≤ . 4.15. Степенные ряды Рассмотрим теперь бесконечную последовательность функций ( ) ( ) ( ) ...,...,,, 21 xUxUxU n Выражение вида ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∞ = =++++ 1 21 ...... n nn xUxUxUxU называется функциональным рядом, а сумма первых n слагаемых ( ) ( ) ( ) ( )xUxUxUxS nn +++= ...21 n -й частичной суммой функционального ряда. Функция ( ) ( )xSxS n n ∞→ = lim (если предел существует и конечен) называется суммой функцио- нального ряда. Множество всех значений x , для которых ряд сходится, называ- ется областью сходимости функционального ряда. Например, ряд ∑ ∞ = =+++++ 0 2 ......1 n nn xxxx при 1 . Из теоремы Абеля и следствия вытекает, что если степенной ряд сходится хотя бы в одной точке 0≠x , то всегда существует число 0>R , такое, что степенной ряд сходится (абсолютно) для всех Rx < и расходится для всех Rx > . При Rx ±= ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся. Определение 4.10. Неотрицательное число R такое, что степен- ной ряд сходится при Rx < и расходится при Rx > , называют радиусом сходимости степенного ряда, а интервал ( )RR;− – ин- тервалом сходимости степенного ряда. Если ряд сходится только в точке 0=x , то 0=R ; если же он сходится для всех действительных x , то ∞=R . 47 Для определения радиуса сходимости степенного ряда исполь- зуются формулы: ,1lim n nn a R ∞→ = 1 lim +∞→ = n n n a aR . 4.16. Ряды Тейлора и Маклорена Если степенной ряд ( )∑ ∞ = − 0 0 n n n xxa сходится и его сумма ( ) ( )xfxS = , то коэффициенты этого ряда определяются по формулам: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ! ...,, !2 ,, 0020100 n xfaxfaxfaxfa n n = ′′ =′== . Степенной ряд вида ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )n n n n n xx n xf xx n xfxxxfxxxfxf 0 0 0 0 02 0 0 000 ! .... ! ... !2 −= +−++− ′′ +−′+ ∑ ∞ = называется рядом Тейлора функции ( )xf в точке 0x . Если 00 =x , то ряд Тейлора имеет вид ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) n n n n n x n fx n fxfxff ∑ ∞ = =+++ ′′ +′+ 0 2 ! 0.... ! 0... !2 000 и называется рядом Маклорена. По определению полагаем 1!0 = . Если для произвольной бесконечно дифференцируемой функции формально составить ряд Тейлора, то он может и не совпадать с самой функцией ( )xf . Поэтому важно определить, когда ряд Тей- лора сходится к функции ( )xf , для которой он составлен. 48 Теорема 4.7. Если на интервале ( )RxRx +− 00 ; функция ( )xf и все ее производные ограничены в совокупности одной и той же константой M , то ее ряд Тейлора сходится к функции ( )xf на ин- тервале ( )RxRx +− 00 ; . 4.17. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена 1. Запишем разложение в ряд Маклорена функции ( ) xxf e= . Так как ( ) ( ) ( ) ,e...,,e,e xnxx xfxfxf ==′′=′ то ( ) ( ) ( )( ) 10...,,10,10 ==′′=′ nfff . Таким образом, получаем следующее разложение: ∑ ∞ = =+++++= 0 2 ! ... ! ... !2!1 1e n nn x n x n xxx . Поскольку ( )( ) ! 1 ! 0 nn fa n n == , радиус сходимости данного ряда ( ) ∞=+= + = ∞→ 1 ! !1lim n n nR n , т. е. ряд сходится при любых ( )∞+∞−∈ ;x . Аналогично можно получить разложения других функций в ря- ды Маклорена. 2. ( ) ( ) ( ) =++−+−+−= + ... !12 1... !5!3 sin 1253 n xxxxx n n ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∞ = + ∞+∞−∈ + −= 0 12 ;, !12 1 n n n x n x . 3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∞ = ∞+∞−∈−=+−+−+−= 0 2242 ;, !2 1... !2 1... !4!2 1cos n n n n n x n x n xxxx . 4. ( ) ( ) ( )∑ ∞ = + +−∈ + −=+−+−=+ 0 1432 1;1, 1 1... 432 1ln n n n x n xxxxxx . 49 5. ( ) ( ) ( )( ) ( ) =++−α⋅⋅−α−αα++−αα+α+=+ ... ! 1...21... !2 111 2α nx n nxxx ( )( ) ( ) ( )∑ ∞ = +−∈ +−α⋅⋅−α−αα += 1 1;1, ! 1...211 n n xx n n . 6. ( )1;1,...1 1 1 0 32 −∈=+++++= − ∑ ∞ = xxxxxx x n nn . Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена используется, например, при вычислении приближенных значений функций, опре- деленных интегралов, решении дифференциальных уравнений и др. 5. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2 Задание 1.1. С помощью интегрирования по частям вычислить неопределенный интеграл от функции вида .2cos)37( xx + Решение. Поскольку ∫ ∫ +== ,2sin2 1)2(d2cos 2 1d2cos Cxxxxx ,d2cos 2 2sind xxx =      искомый интеграл ∫ ∫ ∫ =+−+=     +=+ )37(d2sin 2 12sin)37( 2 1 2 2sind)37(d2cos)37( xxxxxxxxx ∫ +++=−+= .2cos4 72sin)37( 2 1d2sin 2 72sin)37( 2 1 Cxxxxxxx Задание 1.2. Вычислить неопределенный интеграл с помощью разложения на простейшие дроби подынтегральной функции . )34( 2 2 4 +− + xxx x Решение. Поскольку степень многочлена в числителе не меньше степени знаменателя, следует выполнить деление: 50 )3)(1( 212134 34 212134 34 2 2 23 2 23 4 −− +− ++= +− +− ++= +− + xxx xxx xxx xxx xxx x . Правильную дробь разложим на простейшие дроби: 31)3)(1( 21213 3212 − + − += −− +− x C x C x C xxx xx . Методом неопределенных коэффициентов находим 21213)1()3()3)(1( 2321 +−=−+−+−− xxxxCxxCxxC , откуда ,13321 =++ CCC ,1234 321 =++ CCC 23 1 =C . Решая эту систему уравнений, имеем , 3 2 1 =C ,2 3 2 −=C 6 83 3 =C . Искомый интеграл равен −++= − + − −++= −− + ∫ ∫ ∫ ∫∫ ||ln3 24 23 d 6 83 1 d 2 3d 3 2d)4( )3)(1( d)2( 24 xxx x x x x x xxx xxx xx .|3|ln 6 83|1|ln 2 3||ln 3 24 23 )3(d 6 83 1 )1(d 2 3 2 Cxxxxx x x x x +−+−−++= − − + − − − ∫∫ Задание 1.3. Вычислить с помощью подстановки неопределен- ный интеграл от функции x x+3 . Решение. Выполним подстановку .3 t x x = + Разрешая уравне- ние относительно x , находим , 1 3 2 − = t x 22 )1( d6d − −= t ttx . Тогда искомый интеграл запишется: . )1( d6d3 22 2 ∫∫ − −= + = t ttx x xI 51 Разлагая подынтегральное выражениe на простейшие дроби 2 43 2 21 2 2 )1()1()1(1)1()1( + + + + − + − = +− t A t A t A t A tt t и, раскрывая скобки в равенстве 22 4 2 3 2 2 2 1 )1()1)(1()1()1)(1( ttAttAtAttA =−+−+++++− , приходим к соотношению +−−+−++−+++ )22()()( 432143212313 AAAAtAAAAtAAt 2 4321 )( tAAAA =+++−+ . Система уравнений относительно 4321 ,,, AAAA запишется        =+++− =−−+− =+−+ =+ .0 ;022 ;1 ;0 4321 4321 4321 31 AAAA AAAA AAAA AA Решая ее методом Гаусса, находим , 4 1 1 =A ,4 1 2 =A ,4 1 3 −=A .4 1 4 =A Искомый интеграл =      + + + − − + − −= ∫ ∫ ∫ ∫ 22 )1( d 4 1 1 d 4 1 )1( d 4 1 1 d 4 16 t t t t t t t tI =+      + −+− − −−−= C t t t t 1 1|1|ln 1 1|1|ln 2 3 . 13 113ln 13 113ln 2 3 C x xx x x xx x +             + + −+ + − − + −− + −= 52 Задание 1.4. Вычислить с помощью подстановки неопределен- ный интеграл от функции x2sin72 1 + . Решение. Универсальной является подстановка , 2 tg xt = для ко- торой нетрудно проверить равенства , 1 1 2 cos 2t x + = , 12 sin 2t tx + = , 1 11cos2cos 2 2 2 t txx + − =−= , 1 2 2 cos 2 sin2sin 2t txxx + == . 1 d2d 2t tx + = Поэтому искомый интеграл сводится к случаю интегрирования рациональной дроби ∫∫ ++ + = + = 222 2 2 28)1(2 d)1(2 sin72 d tt tt x xI . (4.3) Однако в ряде случаев более удобны подстановки: 1. .sin xt = Тогда ,1cos 2tx −= 21 dd t tx − = . 2. .cos xt = Тогда ,1sin 2tx −= 21 dd t tx − −= . 3. .tgxt = Тогда , 1 1cos 2t x + = , 1 sin 2t tx + = 21 dd t tx + = . Подстановки 1, 2 приводят к подынтегральным выражениям, со- держащим радикал, и поэтому нецелесообразны. Для подстановки 3 приходим к интегралу, более простому, чем (4.3), и легко приводя- щемуся к табличному: CxCt t t t tI +      =+⋅=         + = + = ∫∫ 2 tg3arctg 23 1 2 3arctg 2 3 9 1 3 2 d 9 1 29 d 2 2 2 . 53 Задание 1.5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: а) ,32 += xy ),12ln( += xy ,0=x ;2=x б) ,xy = , 2 14 −= xy ,0=x .1=x Решение. а) Рассмотрим вспомогательную функцию )12ln(3)( 2 +−+= xxxz на отрезке .20 ≤≤ x Площадь вычисляется по формуле ∫= 2 0 .d|)(| xxzS Исследуем ).(xz Очевидно, что .03)0( >=z Поскольку 12 )2/1)(1(4 12 22)( + −+ = + −=′ x xx x xxz , нетрудно проверить, что )(xz достигает в точке 2/1=x локального минимума, причем .02ln25,3)2/1( >−=z Кроме того, .05ln7)2( >−=z Поэтому наименьшее значение )(xz на [0; 2], равное )2/1(z , поло- жительно, и, значит, .0)( >xz Имеем: ∫ ∫∫ =+−       +=+−+== 2 0 2 0 2 0 2 0 3 2 d)12ln( 3 3 d))12ln(3(d)( xxxxxxxxxzS ∫ +−= 2 0 .d)12ln( 3 26 xx Вычисляя интеграл по частям, находим −= + −=+−+=+ ∫ ∫∫ 5ln212 d25ln2)12ln(d))12ln((d)12ln( 2 0 2 0 2 0 2 0 x xxxxxxxx =++−= + + +−=      + −− ∫∫ 2 0 2 0 2 0 2 0 |12|ln 2 125ln2 12 )12(d 2 15ln2d 12 11 x x xxx x .25ln 2 5 −= 54 Поэтому .2/5ln53/32 −=S б) Здесь 2 14)( +−= xxxz на .10 ≤≤ x Имеем ,4/3)0( =z 4/9)1( −=z , и, следовательно, )(xz меняет знак. Найдем интерва- лы, где она положительна или отрицательна. Отыскивая корни уравнения 0)( =xz , находим значение , 4 1 1 =x поэтому 0)( ≥xz при 4/10 ≤≤ x и 0)( = + − =      + − =      + − = ∞→∞→∞→∞→ n n n n n na nn n n n n n n , т. о., ряд расходится. Задание 1.9. Исследовать сходимость числового ряда ∑ ∞ =1 4 1 n n . Решение. Применим интегральный признак Коши. Функция ( ) 4 1 x xf = удовлетворяет условиям признака. Исследуем несоб- ственный интеграл 3 1 3 1 3 1lim 3 1limdlimd1 313 1 4 1 4 | =     +−=     −== ∞→∞→ − ∞→ ∞ ∫∫ bx xxx x b b b b b . Так как интеграл сходится, то сходится и данный ряд. Задание 1.10. Исследовать на сходимость, абсолютную и услов- ную знакочередующийся ряд ∑ ∞ = −− 1 1 5 )1( n n n . Решение. Данный знакочередующийся ряд сходится по призна- ку Лейбница, т. к. ... 5 1... 5 1 5 1 2 >>>> n и 05 1limlim == ∞→∞→ nn n n a . Этот ряд сходится абсолютно, т. к. ряд из абсолютных величин его чле- нов ∑ ∞ =15 1 n n сходится по признаку Коши, т. к. 15 1 5 1lim <=n n . 57 Задание 1.11. Найти область сходимости степенного ряда ∑ ∞ = +0 )1(3n n n n x . Решение. Для данного степенного ряда вида ∑ ∞ =1n n nxa , )1(3 1 + = n a nn , )2(3 1 11 + = ++ n a nn . Радиус сходимости 3 1 2lim3 )1(3 )2(3limlim 1 1 = + + ⋅= + + == ∞→ + ∞→+∞→ n n n n a aR nn n nn n n . Следовательно, ряд сходится в интервале (–3; 3). Исследуем сходи- мость ряда на концах интервала. Положим сначала 3=x . Получим числовой ряд ∑ ∑ ∞ = ∞ = + = +0 0 1 1 )1(3 3 n n n n nn , который расходит- ся (сравним с гармоническим рядом ∑ ∞ =1 1 n n ). Возьмем теперь 3−=x . Получим знакочередующийся ряд ∑ ∑ ∞ = ∞ = + − = + − 0 0 1 )1( )1(3 )3( n n n n n nn , который сходится условно по признаку Лейбница. Т. о., область сходимости ряда – полуинтервал [ )3;3−∈x . 6. ТЕСТ ЗА 2 СЕМЕСТР 1. Если ( ) 5xxF = является первообразной некоторой функции ( )xf , то какая из предложенных функций также является первооб- разной ( )xf ? а) ( ) 6xxF = ; б) ( ) 105 −= xxF ; в) ( ) 4xxF = ; г) ( ) 5 5xxF = . 2. Записать результат интегрирования ∫ + 25 d 2x x . 58 3. Интеграл ∫ xxd4cos равен а) Cx +4sin ; б) Cx +4sin 4 1 ; в) Cx +− 4sin 4 1 ; г) x4sin . 4. С помощью какой подстановки можно найти интеграл от функции 4cos 1 +x ? а) tx tg= ; б) xt tg= ; в) 2 tg xt = ; г) 4 tg xt = . 5. Для вычисления интеграла ( )∫ + xxx d3sin10 применяется фор- мула интегрирования по частям ∫ ∫−⋅= uvvuvu dd , где а) xxvxu d3sind;10 =+= ; б) 10d;d3sin +== xvxxu ; в) ( ) xvxxu dd;3sin10 =+= ; г) ( ) xvxxu 3sind;d10 =+= . 6. Если ( )xF – первообразная функции ( )xf , то справедливо ра- венство а) ( ) ( )∫ −= b a bFaFxxf d)( ; б) ( ) ( )∫ ⋅−⋅= b a axFbxFxxf d)( ; в) ( ) ( )∫ ++= b a CbFaFxxf d)( ; г) ( ) ( )∫ −= b a aFbFxxf d)( . 7. Вычислить ( ) xxx d44cos1 1 5∫ −+ . 8. Интеграл ∫ + 1 0 52 d x x равен а) ( ) Cx ++ 52ln ; б) ( )52ln +x ; в) 5ln 2 17ln 2 1 − ; г) 7ln 2 15ln 2 1 − . 9. Вычислить ∫ 15 14 dx . 10. Какое выражение является числовым рядом? 59 а) 1, 2, 3, …408, …; б) ...408...321 ⋅⋅⋅⋅⋅ ; в) ...408...321 +−++− ; г) ......21 42 +++++ nxxx . 11. Укажите ряд, для которого не выполняется необходимый признак сходимости а) ∑ ∞ = + + 1 2 2 2 1 n n n ; б) ∑ ∞ =1 5 1 n n ; в) ∑ ∞ = +1 23 1 n n ; г) ∑ ∞ =112 1 n n . 12. Если для числового ряда ( ) 5 1lim0 1 1 =≥ + ∞→ ∞ = ∑ n n n n n n u uuu , то этот ряд а) сходится; б) монотонно убывает; в) расходится; г) условно сходится. 13. Если радиус сходимости степенного ряда ( )∑ ∞ = − 1 2 n nx равен 3=R , то интервалом сходимости этого ряда является интервал а) ( )3;3− ; б) ( )5;1− ; в) ( )1;5− ; г) ( )2;2− . 14. Какой ряд сходится по признаку Лейбница? а) ∑ ∞ =      − 1 3 5 n n ; б) n n ∑ ∞ =      − 1 5 3 ; в) ( ) 2 1 1 n n n ∑ ∞ = − ; г) ∑ ∞ =      − 1 2 3 5 n n . Ответы на тест № 1 2 3 4 5 6 7 Вариант ответа б 5 arctg 5 1 x б в а г 0 № 8 9 10 11 12 13 14 Вариант ответа в 1 в а а б б 60 ОГЛАВЛЕНИЕ 1. ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» ..... 4 2. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА ................................................... 7 2.1. Вопросы к экзамену ................................................................... 7 2.2. Основная литература .................................................................. 8 3. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ............................................................... 9 3.1. Правила оформления контрольных работ................................ 9 3.2. Выбор варианта контрольной работы ...................................... 9 3.3. Контрольная работа № 2 .......................................................... 10 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ ............................. 23 4.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл .......... 23 4.2. Интегрирование подстановкой (замена переменной) ........... 25 4.3. Интегрирование по частям ...................................................... 26 4.4. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения их на простейшие дроби ............................. 27 4.5. Интегрирование тригонометрических выражений с помощью подстановок и формул тригонометрии .......................... 29 4.6. Интегрирование иррациональных функций .......................... 30 4.7. Определенный интеграл и его свойства ................................. 31 4.8. Методы вычисления определенного интеграла .................... 34 4.9. Приложение определенного интеграла к задачам геометрии ............................................................................. 34 4.10. Числовые ряды. Основные понятия ..................................... 37 4.11. Необходимый признак сходимости ряда ............................. 40 4.12. Простейшие свойства числовых рядов ................................ 41 4.13. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных числовых рядов ...................................................... 41 4.14. Знакочередующиеся ряды ..................................................... 44 4.15. Степенные ряды ..................................................................... 45 4.16. Ряды Тейлора и Маклорена ................................................... 47 4.17. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена ................................................................................... 48 61 5. РЕШЕНИЕ ТИПОВОГО ВАРИАНТА КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2.......................................................... 49 6. ТЕСТ ЗА 2 СЕМЕСТР ...................................................................... 57 Учебное издание ПОПЕЙКО Надежда Семеновна ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Учебно-методический комплекс для студентов-заочников первого курса экономических специальностей В 2 частях Часть 2 Редактор Е.О. Коржуева Компьютерная верстка Н.А. Школьниковой Подписано в печать 29.09.2011. Формат 60×841/16. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 3,49. Уч.-изд. л. 2,73. Тираж 200. Заказ 373. Издатель и полиграфическое исполнение: 62 Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Проспект Независимости, 65. 220013, Минск.