Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Электротехника и электроника» ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА Сборник задач с контрольными тестами для студентов неэлектротехнических специальностей Ч а с т ь 2 М и н с к 2 0 0 9 Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Электротехника и электроника» ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА Сборник задач с контрольными тестами для студентов неэлектротехнических специальностей В 6 частях Ч а с т ь 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА М и н с к 2 0 0 9 УДК [621.3+621.38] ББК 31.2 я 7 Э 45 С о с т а в и т е л и : Ю.В. Бладыко, Т.Т. Розум, Г.В. Згаевская, Ю.А. Куварзин, А.В. Куцыло, Р.Р. Мороз, С.В. Домников Р е ц е н з е н т ы : В.И. Можар, Л.И. Сончик Э 45 Электротехника и электроника: сборник задач с контрольными тестами для студентов неэлектротехнических специальностей: в 6 ч. / сост. Ю.В. Бладыко [и др.]. – Минск: БНТУ, 2009. – Ч. 2: Однофаз- ные линейные электрические цепи синусоидального тока. – 98 с. Настоящий сборник задач предназначен для студентов неэлек- тротехнических специальностей по курсам «Электротехника», «Электротехника и электроника», «Электротехника, электрические машины и аппараты». Размещение задач соответствует последовательности изложения материала курса, которая принята кафедрой. В начале каждой части даны типовые задачи с решениями, затем помещены контрольные задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения или для ре- шения на практических занятиях. В конце каждой части предложе- ны многовариантные тесты для компьютерного или аудиторного контроля знаний студентов. Сборник выпускается по частям. Первая часть включает задачи по линейным и нелинейным цепям постоянного тока, вторая – зада- чи по однофазным линейным электрическим цепям синусоидально- го тока. В третьей части рассматриваются трехфазные цепи и пере- ходные процессы в линейных электрических цепях, в четвертой – магнитные цепи и трансформаторы, в пятой – электрические маши- ны и в шестой – электроника. Применяемая в пособии терминология соответствует рекомен- дациям ГОСТ 19880–74 «Электротехника. Основные понятия. Тер- мины и определения». Обозначение единиц величин соответствует ГОСТ 8.417. Часть 1 «Электрические цепи постоянного тока» была издана в БНТУ в 2008 г. ISBN 978-985-525-093-8 (Ч. 2) ISBN 978-985-479-911-7 © БНТУ, 2009 3 ОДНОФАЗНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА (задачи с решениями) Задача 2.1. Прямоугольная катушка, состоящая из w = 54 витков, вращается с постоянной частотой вращения n = 3000 об/мин в одно- родном магнитном поле с индукцией B = 1 Тл. Ширина катушки d = 0,1 м, длина l = 0,2 м. Записать выражение мгновенного значения ЭДС в катушке и определить ее действующее значение. Р е ш е н и е . При вращении катушки в однородном магнит- ном поле в ней возникает синусоидальная ЭДС tEtBlvwe m  sinsin2 , (1) где 60 dn v   – окружная скорость катушки, м/с; f 2 – угловая частота вращения катушки, рад/с; mE – амплитудное значение ЭДС, В. Так как одному обороту катушки соответствует один период ЭДС, то число периодов в секунду (частота) равно числу оборотов катушки в секунду, т. е. 50 60 3000 60  n f Гц. Подставляем числовые значения в формулу (1): tte 314sin340314sin54 60 30001,0 2,012    В. Действующее значение синусоидальной ЭДС 240 2 340 2T 1 Т 0 2   mEdteE В. Задача 2.2. Электрический ток изменяется по синусоидальному закону с амплитудой mI = 10 А и частотой f = 50 Гц. Через какой минимальный промежуток времени от начала пери- ода мгновенное значение тока с нулевой начальной фазой численно равно: 1) действующему значению тока  Ii 1 ? 2) току 2i = – 5 А? 4 Р е ш е н и е . На рис. 2.1 приведена диаграмма  ti синусои- дального тока ftIi m  2sin . (2) Действующее значение синусоидального тока 07,7 2T 1 Т 0 2   mIdtiI А. Искомые промежутки времени t1 и t2 определяем, подставляя в уравнение (2) значения токов i1 = I = 7,07 А и i2 = - 5 А: 11 2sin ftIi m  , 7,07 = 10 sin314t1, 22 2sin ftIi m  , - 5 = 10 sin314t2, откуда   0025,0 314 785,0 314 0,707sinarc 2 sinarc 1 1    f Ii t m с;     011660 314 66,3 314 0,5sinarc 2 sinarc 2 2 , f Ii t m       с. Задача 2.3. Катушка с активным сопротивлением R = 20 Ом и индуктивностью L = 125 мГн подключена к источнику напряжения  30314sin311  tu В (рис. 2.2, а). Im i A i1 t2 t1 0,005 0,01 0,015 0,02 t c T=1/f Рис. 2.1 10 5 0 –5 –10 5 Определить показания электромагнитных приборов, активную, реактивную и полную мощности, коэффициент мощности. Постро- ить векторную диаграмму, треугольники сопротивлений и мощно- стей. Записать выражения для мгновенных значений тока, активной и реактивной составляющих напряжения. Р е ш е н и е . Индуктивное сопротивление катушки 3,3910125314 3  LX L Ом. Полное сопротивление катушки 443,3920 2222  LXRZ Ом. Действующее значение напряжения (показание вольтметра) 22023112  mUU В. Действующее значение тока (показание амперметра) 544220  ZUI А. Активная мощность 500455,05220cos UIP Вт или 50025202  RIP Вт, где коэффициент мощности  63,455,0cos  ZR . Реактивная мощность 983893,05220sin UIQ вар, или 983253,392  IXQ L вар, где .ZXL 893,0sin  Полная мощность 110022  QPUIS В·А. 6 Для построения векторной диаграммы (рис. 2.2, б) определяем активную и индуктивную составляющие напряжения B100 RIUa ; 196 IXU Lp В. Начинаем построения с вектора тока I , затем откладываем ак- тивную составляющую напряжения aU , совпадающую по фазе с током, и индуктивную pU , опережающую по фазе ток на 90. Тре- угольники сопротивлений и мощностей приведены на рис. 2.2, в. Выражения для мгновенных значений тока i , активной au и ре- активной pu составляющих напряжения:     33314sin05,76330314sin25  tti А;  33-314sin2100 tua  В;     57314sin2769033314sin2196  ttup В. Задача 2.4. В схеме (рис. 2.3, а) R = 10 Ом, C = 136 мкФ,  54314sin179  tu В. Определить показания приборов. Рассчитать реактивную, пол- ную мощности и угол сдвига фаз напряжения и тока. Построить векторную диаграмму и диаграмму напряжений и тока. Записать выражения для мгновенных значений тока цепи i и падения напря- жения на реостате Ru и конденсаторе Cu . б в Рис. 2.2 I PA PV U L a R I  U = ZI Uр = XLI Ua = RI  S Q P  Z XL R 7 Р е ш е н и е . Емкостное сопротивление конденсатора 4,23 10136314 11 6      C X c Ом. Полное сопротивление цепи 4,2522  CXRZ Ом. Действующее значение напряжения (показание вольтметра) 12721792  mUU В. Действующее значение тока (показание амперметра) 5 ZUI А. Показание ваттметра (активная мощность цепи) 250394,05127cos UIP Вт или 2RIP  , где 394,04,2510cos  ZR . Угол сдвига фаз напряжения и тока 8466  iu (знак «минус» говорит о том, что ток опережает напряжение). Реактивная мощность 585sin2  UIIXQ CC вар. Полная мощность 63522  QPUIS В·А. б в I  U UR= RI XCI u u, i i t u  i i PA PV u R С PW   0 а Рис. 2.3 8 Для построения векторной диаграммы (рис. 2.3, б) определяем падения напряжения на реостате RU и конденсаторе CU : В 50 RIUR ; В 117 IXU CС . Начинаем построения с вектора тока I , одинакового для обоих участков цепи. Затем откладываем векторы напряжения RU , совпа- дающего по фазе с током, и напряжения CU , отстающего по фазе от тока на угол 2 . Выражения для мгновенных значений тока i и напряжений Ru и Cu :    84111sin05,7846645sin25   tti А;  84111sin250  tuR В;    8421sin1659084111sin2117   ttuC В. Диаграмма  ti  и  tu  приведена на рис. 2.3, в. Задача 2.5. К источнику напряжением  121000sin240  tu В подключена катушка, при этом по ней протекает ток  41000sin12  ti А. Построить диаграмму  tu  ,  ti  и векторную диаграмму напряжения и тока. Определить индуктивность и активное сопро- тивление катушки. Р е ш е н и е . Сравнение заданных уравнений с аналогичны- ми уравнениями синусоидального напряжения и тока, записанными в общем виде,  um tUu  sin ;  im tIi  sin , позволяет определить следующие величины: а) амплитудные и действующие значения напряжения и тока A;5,82A;12 B;1702B;240   mm mm III UUU б) угловую частоту = 1000 рад/с; в) начальные фазы напряжения и тока 9 рад.4рад;12  iu Диаграмма изменения мгновенных значений и векторные диа- граммы амплитудных и действующих значений напряжения и тока построены на рис. 2.4. Из них следует, что ток отстает по фазе от напряжения на угол   рад.3412  iu Полное сопротивление катушки .IUIUZ mm Ом2012240  Активное и индуктивное сопротивления катушки Ом.,317 2 3 20sin Ом;100,520cos   ZLX ZR L Индуктивность катушки мГн.3,17 1000 ,317    L X L Задача 2.6. На рис. 2.5 а приведена диаграмма мгновенных зна- чений тока и напряжения индуктивной катушки. c.02,0А;,411В;,228  TIU mm Определить параметры последовательной схемы замещения ка- тушки (рис. 2.5, б), а также активную, реактивную и полную мощ- ность цепи. Построить векторную диаграмму тока и напряжения, Рис. 2.4 i A 0 /2  3/2 2 t u В 200 100 10 5 3   12  u 4  i i u  u i Um Im  U I 10 треугольник сопротивлений катушки и диаграмму мгновенной мощности  tp . Р е ш е н и е . Действующие значения напряжения и тока A.1241,12B;202,2282  mm IIUU Полное сопротивление катушки Ом.20 m m I U I U Z Активное и индуктивное сопротивления катушки Ом,17,32sinXОм;10,5020 3 cos20cos    ZZR L где 3 21   T t - угол, на который ток отстает по фазе от напряжения. Индуктивность катушки мГн.1,55 503,142 32,17 22          T X f XX L LLL Активную, реактивную и полную мощность определяем двояко: Вт;10,50120cosВт;10110 22  UIPRIP I  U UL UR в г д Q P S  Z XL R  б R L Рис. 2.5 а UI t c 0,005 0,01 0,015 0,02 T i(t) p(t) u(t) Um u, i, p Im UI P   t1 11 вар;32,17132,17 22  IXQ L вар;32,17 2 3 120sin UIQ А.В20120А;В20120 22  UISZIS Диаграмма мгновенной мощности uip  приведена на рис. 2.5, а (кривая  tp ). Она может быть получена умножением ординат кривых тока и напряжения. Задача 2.7. На рис. 2.6 приведена диаграмма мгновенной мощно- сти цепи синусоидального тока. Определить коэффициент мощности цепи. Р е ш е н и е . Мгновен- ная мощность цепи синусои- дального тока    ,t2cos t2coscos    SP UIUI uip где  cosUIP – активная мощность; UIS  – полная мощ- ность цепи. Из формулы и рис. 2.6 следует, что мгновенная мощность изме- няется с двойной частотой тока от положительного значения   À 80  SP до отрицательного значения   ÀÂ20  SP . Среднее значение мгновенной мощности есть активная мощ- ность цепи     Вт.30 2 2080 2      SPSP P Полная мощность S численно равна амплитуде колебания мгно- венной мощности относительно ее среднего значения   А.В503080  PSPS Коэффициент мощности цепи P Рис. 2.6 S S 80 60 40 20 0 –20 t рад  2 p В· А 12 I  U UC Рис. 2.7 Uном ,6.0 50 30 cos  S P Задача 2.8. Лампа накаливания мощностью P = 60 Вт с номи- нальным напряжением номU = 120 В подключена последовательно с конденсатором к сети синусоидального напряжения U = 220 В. Частота напряжения сети f = 50 Гц. Рассчитать емкость конденсатора, при которой напряжение на лампе будет равным номинальному. Р е ш е н и е . Ток цепи определим, используя номинальные данные лампы: А.,50 120 60 ном  U P I Воспользовавшись векторной диаграммой (рис. 2.7), находим паде- ние напряжения на конденсаторе В.184120220 222ном 2  UUUC Тогда сопротивление конденсатора .IUX CC Ом368 Емкость конденсатора мкФ.,658 368314 10 2 1 6      CfX C Задача 2.9. К источнику напряжением U = 220 В и частотой f = 50 Гц подключили последовательно катушку (R = 40 Ом, L = 223 мГн) и конденсатор С = 31,8 мкФ (рис. 2.8, а). а U L C 2 R URL UC в I0 URL(0) UC (0) U Рис. 2.8 б  UC URL I U 13 1. Определить ток, активную, реактивную и полную мощность цепи. Построить векторную диаграмму. 2. При какой частоте в цепи возникает резонанс? Как изменятся при этом ток и мощность цепи? Р е ш е н и е . 1. Ток в последовательной цепи      À.4 50 200 1007040 200 212 2222      fCfLR U Z U I Активная мощность цепи Вт.640440 22  RIP Полная мощность цепи А.В8004240 UIS Реактивная мощность цепи Так как емкостное сопротивление   Îì10021  fCXC больше индуктивного сопротивления Ом702  fLXL , то ток опережает по фазе напряжение источника на угол 9,36 . R XX CL          75,0tg Напряжение на катушке и конденсаторе В;4,32247040 2222  IXRIZU LRLRL В.4004100  IXU CC Векторная диаграмма тока и напряжений приведена на рис. 2.8, б. 2. Условием возникновения резонанса напряжений в последова- тельной цепи является равенство индуктивного и емкостного со- противлений  ,1 00 CL  или  ,212 00 CfLf  откуда резо- нансная частота Гц.60 2 1 0    LC f Ток при резонансе имеет максимальное значение и совпадает по фазе с напряжением источника: âàð.480Ssin 22  PUIQ 14    À.5 212 2 00 2 0    R U CfLfR U I Активная, полная и реактивная мощность резонансной цепи .PSQUISRIP 0À, 1000Âò, 1000 20 2 0000 2 00  Напряжения на катушке и конденсаторе в резонансном режиме увеличились:     Â; 4652 0 2 0 2 0  ILfRURL      Â.42021 000  ICfUC Векторная диаграмма тока и напряжений в резонансном режиме приведена на рис. 2.8, в. Задача 2.10. В схеме цепи (рис. 2.9, а) U = 100 В, R1 = 30 Ом, R2 = 50 Ом, XL = 90 Ом, XС = 30 Ом. Построить топографическую диаграмму и определить по ней напряжение между точками с и е. Р е ш е н и е . Ток в цепи     А.12221  CL XXRRUZUI в  UR2 UP=UL –UC I UC UL UR1 U U XL R1 UR1 UL UR2 а I d c e b XC UC R2 а Рис. 2.9 30 В б e  U UR1 UR2 UC Uec d c b a I 15 Напряжения на отдельных элементах цепи Â;90Â;3011  IXUIRU LLR В.30В;5022  IXUIRU CCR Для построения топографической диаграммы, произвольно рас- полагаем вектор тока (рис. 2.9, б) и относительно него ориентируем векторы напряжений в той же последовательности, в какой распо- ложены элементы цепи. При этом направление обхода цепи выби- раем навстречу положительному направлению тока. Из точки е приводим вектор напряжения UC на конденсаторе, отстающего по фазе от тока на 90. Из конца вектора UC (точка d) строим вектор напряжения UR2 на резисторе R2, совпадающего по фазе с током. Аналогично откладываем остальные векторы диаграммы. Начала и концы векторов обозначаем буквами, соответствующими точкам схемы. Чтобы найти напряжение между точками с и е, проводим на то- пографической диаграмме вектор Uec, соединяющий точки с и е. Измерив длину вектора и умножив ее на принятый масштаб, полу- чаем значение напряжения Uec = 58 В. Проверка: В.3,58222  IXRU Cec Для сравнения на рис. 2.9, в приведена векторная диаграмма, по- строенная без соответствия порядка расположения векторов после- довательности элементов цепи. Недостатком этой векторной диа- граммы является невозможность определения напряжения между любыми точками цепи. Задача 2.11. К сети напряжением 220 В последовательно под- ключены катушка и реостат. Катушка потребляет активную мощ- ность Р1 = 250 Вт при cosφ1 = 0,6; реостат – Р2 = 800 Вт (рис. 2.10, а). Определить ток и коэффициент мощности цепи. а U R1 1 I L R2 1  1 S Q S1 QL P1 P2 P б Рис. 2.10 16 Р е ш е н и е . Реактивная мощность катушки и цепи вар.332,5,331250tg 11  PQQ L Активная мощность цепи P равна сумме активных мощностей обоих приемников Вт.105080025021  PPP Полная мощность цепи А.В110022  LQPUIS Треугольники мощностей катушки и цепи приведены на рис. 2.10, б. Ток А5 220 1100  U S I , а коэффициент мощности всей цепи ,955.0 1100 1050 cos  S P Задача 2.12. При электрической сварке дугой на переменном то- ке частотой 50 Гц в ней развивается мощность Рд = 1000 Вт при токе 40 А. Напряжение источника U = 60 В. Для обеспечения необходи- мого напряжения на дуге последовательно с ней включена индук- тивная катушка, активное сопротивление которой Rк = 0,275 Ом (рис. 2.12, а). Определить индуктивность катушки. Каким должно быть сопро- тивление реостата Rр, которым можно заменить катушку? Опреде- U Rк а I L Uк Pд Рис. 2.11 I  U XLI RкI RдI б I U RрI RдI в 17 лить коэффициент полезного действия и коэффициент мощности цепи с катушкой и реостатом. Р е ш е н и е . Сопротивление дуги Ом.625,0401000 22дд  IPR Полное сопротивление цепи Ом.5,14060  IUZ Так как   22дк LXRRZ  , то   Ом.2,12 2дк2  RRZfLX L Отсюда индуктивность катушки мГн.82,32  fXL L Векторная диаграмма напряжений и тока цепи приведена на рис. 2.11, б. При замене катушки реостатом полное сопротивление цепи должно остаться по значению прежним, т. е. 1,5 Ом, значит, сопро- тивление реостата Rр = 1,5 – 0,625 = 0,875 Ом. Ток и напряжение в этом режиме совпадают по фазе, векторная диаграмма изображена на рис. 2.11, в. Коэффициент полезного действия цепи определяется отношени- ем мощности дуги к мощности, потребляемой от источника. В слу- чае с индуктивной катушкой   ,69;0 2 дк 2 д ист д    IRR IR P P с реостатом   ,420 2 др 2 д    IRR IR . Коэффициент мощности цепи с индуктивной катушкой   ;6,0,519,0cos дк  ZRR с реостатом   .1cos др  ZRR 18 Таким образом, индуктивный регулирующий элемент более эко- номичен, хотя cos при этом ниже. Задача 2.13. В цепи рис. 2.12 показания приборов при частоте f = 50 Гц следующие: U = 220 В, I = 5 А, Р = 600 Вт. Как изменятся показания амперметра и ваттметра при U = 220 В и частоте f = 200 Гц? Р е ш е н и е . Определяем полное Z, активное R и индуктив- ное XL сопротивления при частоте f = 50 Гц: Ом;44 5 220  I U Z Ом;24 25 600 2  I P R Ом.372 22  RZfLXL С ростом частоты индуктивное сопротивление увеличивается: Îì.148 50 200 372'    f f XLfX LL Полное сопротивление при частоте 200 Гц   Ом.15014824 2222  LXRZ Коэффициент мощности . Z R 16,0 150 24 cos    Показания амперметра и ваттметра при Гц200f следующие: А;47,1 150 220    Z U I Âò51,70,161,47220cos  IUP или     Вт.51,71,4724 22  IRP U PW   R L PA PV Рис. 2.12 19 Задача 2.14. К цепи рис. 2.13, а приложено синусоидальное напряжение Â. sin311 tu  Активное сопротивление и индуктив- ность имеют следующие значения: R = 100 Ом, L = 156 мГн. Определить показания амперметров и построить векторную диа- грамму. Записать выражения для мгновенных значений токов. Р е ш е н и е . Индуктивное сопротивление Ом.4910156314 3  LXL Действующее значение напряжения B.2202  mUU Действующие значения токов в параллельных ветвях (показания амперметров А1 и А2) A.5,4A;2,2 21  LX U I R U I Ток I в неразветвленной части цепи равен векторной сумме найденных токов. Для определения его воспользуемся векторной диаграммой. При построении векторной диаграммы (рис. 2.13, б) в качестве исходного вектора удобно взять вектор напряжения, обще- го для параллельных ветвей. Ток I1 совпадает по фазе с напряжени- ем, I2 отстает от напряжения на 90. Общий ток А.522 2 1  III Угол сдвига фаз . I I 64arctg 1 2  Уравнения мгновенных значений токов: Рис. 2.13 U R L PA PA2 PA1 а б  I I1 I2 U 20 А;sin31422,21 ti    À;90314sin25,42  ti   А.64314sin25  ti Задача 2.15. В цепи (рис. 2.14, а) определить показания ампер- метров, построить векторную диаграмму токов и напряжения, запи- сать выражения для мгновенных значений токов, если В,sin314179 tu  R = 50 Ом, С = 77,5 мкФ. Р е ш е н и е . Емкостное сопротивление конденсатора Ом.41 5,77314 101 6      C XC Действующие значения токов параллельных ветвей (показания амперметров А1 и А2): À. ,13 2 À; 54,2 502 179 2 21      C m C m X U X U I R U R U I Ток в неразветвленной части цепи I равен векторной сумме то- ков I1 и I2. Векторная диаграмма приведена на рис. 2.14, б. Построе- ния выполнены по аналогии с диаграммой к задаче 2.14. А.422 2 1  III Угол сдвига фаз напряжения и тока . I I 0450arctg 1 2   U R PA PA2 PA1 C Рис. 2.14 а б  I1 I I2 U 21 Уравнения мгновенных значений токов:     А.0450314sin24 А;90314sin21,3 А;sin314245,2 2 1      ti ti ti Задача 2.16. Определить токи I, I1 , I2, I3 , I4 в цепи рис. 2.15, а, если В.100Ом,10  UXXR CL Чему равны активная, реактивная и полная мощности цепи? Р е ш е н и е . Па- раллельные ветви цепи находятся под одинако- вым напряжением U, и токи в ветвях: А,101  R U I А.10А,10 32  CL X U I X U I Воспользуемся векторной диаграммой, приведенной на рис. 2.15, б, для нахождения токов I и I4. Ток I4 , равный векторной сумме то- ков I2 и I3, равен нулю, т.к. токи I2 и I3 противоположны по фазе и компенсируют друг друга. В цепи имеет место резонанс токов. Ток в неразветвленной части цепи I, равный векторной сумме токов I1 и I4, равен току I1, т. е. I = 10 А. Активная мощность Вт.1000cos 21  RIUIP Реактивная мощность цепи .IXIXUIQ CL 0sin 2 3 2 2  Полная мощность . S P QPUIS 1cosА,В100022  Рис. 2.15 б I1 = I I3 I2 U а I I4 I1 U XL XC I3 I2 R 22 Задача 2.17. В цепи рис. 2.16, а     А.40sin3А;20sin2 21   titi Записать уравнение мгновенного значения тока i. Определить показание амперметра. Р е ш е н и е . Общий ток i, равный по первому закону Кирхгофа сумме двух синусоидальных токов i1 и i2 , также изме- няется по синусоидальному закону:      ,sinsinsin 221121  tItItIiii mmm где А21 mI и А32 mI – амплитудные значения токов; Ψ1 = 20 и Ψ2 = – 40 – начальные фазы токов. Амплитуду mI и начальную фазу Ψ общего тока находим с по- мощью векторной диаграммы амплитудных значений токов (рис. 2.16, б). На ней вектор mI получен геометрическим сложени- ем (по правилу параллелограмма) векторов I1m и I2m. Используя проекции векторов токов на координатные оси, мож- но записать:     À. ,364sinsincoscos 22211 2 2211  mmmmm IIIII Начальная фаза общего тока   . II II mm mm 6,162980,arctg coscos sinsin arctg 2211 2211     Т. о., уравнение мгновенного значения общего тока   А.6,16sin36,4  ti U PA Z1 Z2 I2 I1 I а Рис. 2.16  I1m Im I2m 1 2 б 23 Задача 2.18. Коэффициент мощности нагрузки, состоящей из по- следовательно соединённых реостата и конденсатора, cosφ1 = 0,866. Каков будет коэффициент мощности нагрузки, содержащей те же реостат и конденсатор в параллельном соединении? Р е ш е н и е . 1. Последовательная и параллельная схемы и соответствующие им треугольники сопротивлений и проводимо- стей приведены на рис. 2.17. Из треугольников ;ctg 1 1 tg ;ctg 12 1   X R R X g b X R .5,0cos;60 ;tg3ctg ;30;866,0cos 22 21 11      2. Из треугольников сопротивлений и проводимостей (рис. 2.17) ;cos 22 1 XR R Z R              11 22 1 22 2222 2 tgcos tg 11 1 cos XR R XR X XR R bg g y g ,5;003sinsin cos sin cos 1 1 1 1      .60;5,0cos 22  Задача 2.19. В схеме цепи (рис. 2.18, а) R1 = 3 Ом, R2 = 4 Ом, XL = = 8 Ом, XС = 3 Ом. Определить параметры последовательной и параллельной схем замещения цепи. R X R X   Рис. 2.17 X Z R 1 Y 2 Xb 1 Rg 1 24 Р е ш е н и е . Для получения параметров эквивалентной про- межуточной схемы (рис. 2.18, б) рассчитываем активные и реактив- ные проводимости каждой ветви: См;,160 См;,060 86 6 22 2 2 2 2 2 2 2222 1 1 2 1 1 1         C L XR R Z R g XR R Z R g Ñì. ,120Ñì; ,080 22 2 2 2 22 1 2 1      C CC C L LL L XR X Z X b XR X Z X b Суммируя активные проводимости и вычитая реактивные (вследствие их разного характера), находим параметры параллель- ной схемы замещения цепи (рис.2.18, в) См,040См;22,0 э21э  CL bbbggg (емк). Используя формулы обратного перехода от проводимостей к со- противлениям, определяем параметры последовательной схемы за- мещения (рис. 2.18, г): Îì 8,0 Îì;4,4 2 ý 2 ý ý 2 ý ý ý2 ý 2 ý ý 2 ý ý ý      bg b y b X bg g y g R (емк). Аналогичные результаты можно получить и при использовании комплексного метода. Активное и реактивное сопротивления по- следовательной схемы замещения цепи равны соответственно ве- щественной и мнимой части входного комплексного сопротивления цепи: Рис. 2.18 gэ bэ в R2 XC R1 XL а g1 bC g2 bL б Rэ Xэ г 25           CL CL jXRjXR jXRjXR ZZ ZZ jXRZ 21 21 21 21 эээ                    510510 5101448 510 1448 3486 3486 jj jj j j jj jj  Ом;,80,44 125 100550 j j    Ом.,80Ом;,44 ээ  XR Активная и реактивная проводимости параллельной схемы за- мещения равны соответственно вещественной и мнимой части входной комплексной проводимости цепи:   Ñì.,040Ñì;22,0 Ñì;04,022,0 ,80,44 11 ýý ý ýýý     bg j jZ jbgY Задача 2.20. В цепи рис. 2.19, а U = 220 В, R1 = 6 Ом, XL = 8 Ом, R2 = 10 Ом, XС = 12 Ом. Определить токи на участках цепи и построить векторную диа- грамму. Вычислить активные, реактивные и полные мощности каж- дой ветви и всей цепи. Записать уравнения баланса мощностей. Р е ш е н и е . Токи в параллельных ветвях: À.,114À;22 22 22 2 22 11 1      ÑL XR U Z U I XR U Z U I Ток первой ветви отстает по фазе от напряжения на угол 1 : . Z X L 53,8;0sin 1 1 1  Ток I2 опережает напряжение на угол 2 : . Z XC 50,77;0sin 2 2 2    26 Для определения общего тока I предварительно находим актив- ные и реактивные составляющие токов (рис. 2.19, б): А;,617sinА;,213cos 111р111а  IIIII L А.,8510sinА;9cos 222р222а  IIIII С Тогда     À.,22322à2à1  CL IIIII Общий ток можно определить также с помощью проводимостей цепи. Активные и реактивные проводимости каждой ветви: См;,060 22 1 1 1    LXR R g См;,080 22 1    L L L XR X b См;,0410 22 2 2 2    CXR R g См.,0490 22 2    C C C XR X b Полная проводимость цепи     См. ,10602221  CL bbggy Ток в неразветвленной части цепи А. ,223 yUI Векторная диаграмма приведена на рис. 2.19, б. R2 1 U XC R1 XL I I1 I2 а  I1 IC I U б 1 2 I2 Ia I1a I2a IL IP = IL – IC Рис. 2.19 27 Активные мощности ветвей: кВт. 2кВт; ,92 2222 2 111  IRPIRP Реактивные мощности ветвей: квар. ,42квар; ,873 22 2 1  IXQIXQ ССLL Полные мощности ветвей: А.Вк ,13 А;Вк ,844 22 222 22 111   С L QPUIS QPUIS Активная и реактивная мощности, потребляемые из сети: кВт, 4,9cos UIP где ,955;0gсos а  IIy квар, 1,47sin UIQ где ,29.0sin р  IIyb Полная мощность цепи  .SSSQPUIS 21 22 А кВ ,15  Выполняется баланс для активных и реактивных мощностей: .QQQPPP CL  ;21 Задача 2.21. В цепи рис. 2.20 а U = 220 В, f = 50 Гц, R = 60 Ом, XL = 80 Ом. Определить токи цепи и емкость конденсатора, если в цепи име- ет место резонанс токов. Р е ш е н и е . Условием резонанса токов является равенство индуктивной и емкостной проводимостей ветвей .bb CL  U C R XL I I1 I2 а Рис. 2.20 б U I1 I I2 I1sin1 1 1 28 Индуктивная проводимость См. 008,0 22    L L L XR X b Емкостная проводимость Ñì ,0080 CbC , значит, емкость конденсатора мкФ. ,42550210,00802 6  fbbС CC Токи цепи А, ,222211  UbgUyI L где Ñì; ,0060 22    LXR R g А; ,7612  UbI C   А. ,32122  gUUbbgyUI CL На рис. 2.20, б приведена векторная диаграмма цепи в режиме резонанса. Задача 2.22. В цепи рис. 2.21, а U = 127 В, f = 50 Гц, R = 2 Ом, R1 = 10 Ом, R2 = 10,7 Ом, XL = 16 Ом. R2 1 U C R XL I I1 I2 а c e b R1 d Рис. 2.21 а 1 б XLI1 2 b a e c d b e a 1 2 XCI2 R2I2 R1I1 RI1 I1 I2 I Ube U Ube XCI2 I2 I I1 R1I1 XLI1 U c d RI1 30 В 6 А в 29 Определить емкость, при которой наступает резонанс, рассчи- тать токи. Построить топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов. Графически определить напряжение между точками b и e (Ube). Р е ш е н и е . При резонансе CL bb  :   См; 04,0 22 1    L L L XRR X b См. 04,0 22 2    C C C XR X b Подставив численное значение R2 = 10,7 Ом в последнее соотно- шение, получим уравнение ,0114252  CC XX решение которого дает два значения емкостного сопротивления 1CX и 2CX и, соответственно, емкости С1 и С2 , при которых возможен резонанс: мкФ; 167 2 10 Ом, 19 1 6 11    C C Xf CX мкФ. 530 2 10 Ом, 6 2 6 22    C C Xf CX При резонансной емкости С1 = 167 мкФ активные проводимости ветвей равны:   См; ,030 22 1 1 1     LXRR RR g См. ,02250 22 2 2 2    CXR R g Ток в первой ветви А ,3562211  UbgI L отстает по фазе от напряжения на угол   .53arctg 11  gbL 30 Ток во второй ветви А ,8352222  UbgI C опережает по фазе напряжение на угол   .60arctg 22  gbC Общий ток цепи совпадает по фазе с напряжением и равен   À. ,65621  UggI Векторная диаграмма токов, совмещенная с топографической диаграммой, приведена на рис. 2.21, б. Для построения топографи- ческой диаграммы потенциал точки а принимаем равным нулю и, поочередно обходя ветви цепи в направлении, противоположном положительному направлению токов, откладываем падения напря- жения на элементах цепи. У концов векторов напряжений ставим буквы в соответствии с обозначениями, принятыми на схеме. При этом Â; 102Â; ,563 111  IXIR L В. ,462В; 111В; ,712 2221  IRIXRI С Расстояние между точками b и e на топографической диа- грамме с учетом масштаба определяет напряжение В. 56beU Расчет при резонансной емкости мкФ 5302 С выполняется аналогично: ;53А; 6,35 11 I ;0129А; ,401 22  I .I 0А; ,521  Векторная диаграмма токов, совмещенная с топографической диаграммой в этом режиме, приведена на рис. 2.21, в  .Ube В 10 Задача 2.23. Приемник электроэнергии потребляет активную мощность P = 5 кВт при токе I1 = 35 А, напряжении U = 220 В и f = 50 Гц. Рассчитать емкость С конденсаторов, которые необходимо включить параллельно приемнику (рис. 2.22, а), чтобы повысить cosφ до 1. Построить векторную диаграмму токов и напряжения, треугольники мощностей приемника и цепи после подключения конденсаторов. 31 Р е ш е н и е . Так как активная мощность приемника 11cosUIP , коэффициент мощности и угол сдвига фаз между напряжением и током приемника равны .UIP 0349;65,0352205000cos 111   Реактивная индуктивная LQ и полная 1S мощности приемника вар, 5854,1715000tg 1  PQL А.В 77002211  LQPUIS Треугольник мощностей приемника изображен на рис. 2.22, б. Для повышения коэффициента мощности цепи до единицы необходимо, чтобы реактивная емкостная мощность параллельно подключенных конденсаторов компенсировала индуктивную мощ- ность приемника, т. е. .fCUCUXUQQ CLC 222 2 Отсюда мкФ. 386 220314 105854 2 2 6 2       fU Q C C Реактивная мощность цепи при этом, ,0 CL QQQ а актив- ная мощность не изменяется и равна полной мощности цепи S (рис. 2.22, в). Ток, потребляемый от источника, уменьшается и совпадает по фазе с напряжением. Векторная диаграмма токов и напряжения приведена на рис. 2.22, г. Здесь А. 26,7 CUXUI CC P=S QL QC б Рис. 2.22 а в U, f C I I1 IC 1 I1 I IC U 1 P S1 QL г 32 Задачу можно решить также, воспользовавшись формулой     мкФ. 3860 ,171 220314 105000 tgtg 2 6 12       U P С Задача 2.24. В цехе установлены три группы приемников: ,5;0cosкВт, 9 11 P ,707;0cosкВт, 6 22 P ,0.1cosкВт, 10 33 P Определить cos всей нагрузки. Рассчитать мощность конден- саторов, которые нужно включить параллельно нагрузке, чтобы по- высить коэффициент мощности цеха до 0,92.cos  Р е ш е н и е . Реактивная мощность приемников: квар; 15,6,7319tg 111  PQ квар; 616tg 222  PQ .PQ 0tg 333  Из треугольника мощностей всей нагрузки (рис. 2.23) .865,0 25 ,621 tg 321 321       PPP QQQ P Q 0,75.cos  При подключении конден- саторов часть индуктивной мощности компенсируется ем- костной мощностью конденса- торов, и реактивная мощность, поступающая из сети, êâàð. 10,5 0,4225tg   PQ Как видно из треугольника мощностей, мощность конденсаторов êâàð. 11,1,510 ,621  QQQC Задача 2.25. Приемник электроэнергии питается от сети В 220U двухжильным кабелем сечением 70 мм2, допускаемая   Q Q S S P Рис. 2.23 QC 33 токовая нагрузка для которого A325доп I . Потребляемый при- емником ток A318ï I при  0 0,707;cos ïï  . К сети нужно дополнительно подключить осветительную нагрузку мощно- стью êÂò17îñâ P , но этого делать нельзя, так как ток в кабеле превысит A325äîï I . Решили повысить коэффициент мощности установки с помощью батареи конденсаторов, чтобы при включении дополнительной осветительной нагрузки ток в кабеле не превышал 318 А. Рассчитать cos установки после включения батареи конденса- торов и дополнительной нагрузки îñâP , необходимые мощность и емкость батареи конденсаторов, ток дополнительной осветительной нагрузки. Построить векторную диаграмму. Р е ш е н и е . Полная, активная и реактивная мощности до установки конденсаторов: À;ê 70318220ï1  IUS êÂò; 49,5,707070cos ï11  SP êâàð 49,5,707070sin ï11  SQ . Коэффициент мощности после подключения конденсаторов и дополнительной осветительной нагрузки      18 0,95;7017,549cos 1îñâ1  SPP . При неизменной полной мощности АкВ 701  SS благодаря подключению конденсаторов можно получить из сети активную мощность îñâ1êÂò 66,50,9570cos PPSP  и уменьшить реактивную мощность до квар 21,60,30970sin  SQ . Реактивная мощность и емкость батареи конденсаторов квар 27,9,62149,51C  QQQ ;     ìêÔ 1840484003141027900 62Ñ  UQÑ . Ток дополнительной осветительной нагрузки À 7722017000îñâîñâ  UPI . 34 На рис. 2.24, а, б приведены эквивалентная схема замещения и векторная диаграмма установки. После подключения Rосв и XC ре- зультирующий ток I остался равным 318 А, уменьшился лишь сдвиг фаз между напряжением и током. Задача 2.26. Напряжение и ток приемника (рис. 2.25, а) изменя- ются по закону    À. 37314,07sin7Â, 53314sin141   titu Записать комплексные действующие значения напряжения и то- ка. Определить комплексное сопротивление нагрузки и параметры последовательной схемы замещения (рис. 2.25, б). Найти активную и реактивную мощности. Р е ш е н и е . Заданным напряжению u и току i (рис. 2.25, в) на комплексной плоскости соответствуют вращающиеся векторы (рис. 2.25, г), длина и положение которых для момента времени 0t определяют комплексные амплитуды напряжения и тока: À. ,07e7eÂ; e141e 37j53 j  jj mmmm iu IIUU   Комплексные действующие значения напряжения и тока опреде- ляются векторами, длина которых в 2 раз меньше (рис. 2.25, д): À. e5Â; e100 3753  jj IU  Комплексное сопротивление нагрузки     Îì. ,55,319sin16cos1620e20 e5 e100 16 37 53 jj I U Z j j j      Рис. 2.24 U XC Rп Xп I Iп Iосв а IС Rосв Iосв Iп U IС б I  п 35 Значит параметры последо- вательной схемы замещения (рис. 2.25, б) следующие: R = = 19,3 Ом; XL = 5,5 Ом. Для определения комплекс- ной мощности умножаем ком- плекс напряжения на сопря- женный комплекс тока:     À. 138482 sin16cos16500e500e5e100 167353     j jIUS jjj   Отсюда получаем: S = 500 В·А; P = 482 Вт; QL = 138 вар. Задача 2.27. В цепи рис. 2.26, а U = 100 В, R1 = 3 Ом, XL = 4 Ом, R2 = 6 Ом, XС = 8 Ом. Определить токи I1, I2, I. Построить векторную диаграмму токов и топографическую диаграмму напряжений. По ней определить напряжение между точками b и с схемы. Как изменится это напря- жение, если во второй ветви элементы R2 и XС поменять местами? Р е ш е н и е . Выполняем комплексным методом. Принимаем .UU  Рис. 2.25 г д в u Um u, i u i Im t i   i +j +1 u Im Um +j +1 U I б а u i u i R XL 36 Комплексы токов А; e201612 43 100 53 11 1 j L j jjXR U Z U I      А; e1086 86 100 53 22 2 j С j jjXR U Z U I      А. ,7е19818 2421 jjIII  Действующие значения токов: I1 = 20 А, I2 = 10 А, I = 19,7 А. Комплекс искомого напряжения        B. e9696 86816124 90 21 j CLbc j jjjjIjXIjXU   а R2 1 U XC R1 XL I I1 I2 а c b d  I 1 2 I2 d a c b +1 +j I1 UR2 UR1 UC Ubc U L U б Рис. 2.26 в 20 В 5 А  I I 2 2 1 I 1 U R1 U R2 U bc U C U U L a b c d +j 37 При замене местами R2 и XС     B. e282886616124 0221 ' j Lbc jjjIRIjXU  Действующее значение напряжения равно модулю его комплекса. Следовательно, в первом случае bcU = 96 В, во втором ' bcU = 28 В. Заметим, что cbbc UU  и cbbc UU  . Задача 2.28. В цепи (рис. 2.27) активная мощность P = 120 Вт, полная мощность S = 150 В·А, abU = 120 В, I3 = 1 А. Определить индуктивное сопротивление XL. Р е ш е н и е . Так как 2IUP ab , то А 1 120 120 2  abU P I . По первому закону Кирхгофа ток на общем участке цепи À å41,111å11 4590321  jj jIII  . Реактивную мощность цепи выразим двояко: âàð. 90120150 2222  PSQ или 2 3 2 1 IXIXQ CL  , где Ом 120 3  I U X abC . 22 1120,41190  LX , отсюда Ом 105 2 12090   LX . Задача 2.29. В цепи рис. 2.28, а U = 220 В, сопротивления R0 = 5,4 Ом, R1 = 12 Ом, R2 = 20 Ом, X0 = 8 Ом, X1 = 16 Ом, X2 = 10 Ом. Определить токи, активную, реактивную и полную мощности каждой ветви цепи. Проверить баланс активных и реактивных мощ- ностей. Построить векторную диаграмму токов и напряжений. I1 U XL XC I3 I2 Рис. 2.27 R а b 38 Р е ш е н и е . Используя проводимости, заменим схему рис. 2.28, а эквивалентной последовательной схемой (рис. 2.28, б). Вначале определяем активную, реактивную и полную проводи- мости параллельных ветвей: Ñì; ,040Ñì; ,030 2 1 2 1 1 12 1 2 1 1 1      XR X b XR R g Ñì; ,05021 2 11  bgy Ñì. ,04470 Ñì; ,020Ñì; ,040 2 2 2 22 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2       bgy XR X b XR R g Затем находим эквивалентную активную, реактивную и полную проводимости параллельного участка цепи: См ,020 См; ,070 2121  bbbggg abab (инд.) См. ,0726022  ababab bgy Активное, реактивное и полное сопротивления параллельного участка: Îì; ,213 2  ab ab ab y g R Îì; ,783 2  ab ab ab y b X Ом. ,71322  ababab XRZ Рис. 2.28 а I2 R2 1 U X2 R1 X1 I I1 а b X0 R0 1 UL UR б U Rab Xab I а b X0 R0 1 39 Теперь схему можно заменить эквивалентной, в которой все со- противления включены последовательно (рис. 2.28, б). Общий ток цепи     А. 10 22 220 2 0 2 0    abab XXRR U Z U I Напряжение на участке ab В. 137 IZU abab Токи в параллельных ветвях: А; ,85611  abUyI А. ,12622  abUyI Активные, реактивные и полные мощности в ветвях цепи: А;В 965вар; 800 Вт; 540 2 0 2 00 2 00 2 00  QPSIXQIRP А;В 938вар; 750 Вт; 567 2 1 2 11 2 111 2 111  QPSIXQIRP А.В 835вар; 372Вт; 753 22 2 22 2 222 2 222  QPSIXQIRP Мощности, потребляемые цепью от источника, Вт; 1860cos UIP вар; 1178sin UIQ А,В 020222  QPUIS где ,535.0sin ,845;0cos 00      Z XX Z RR abab Проверка баланса мощностей показывает, что . ; 210210 QQQQPPPP  При построении векторной диаграммы (рис. 2.29) за исходный вектор целесообразно принять вектор напряжения abU , одинаково- го для обеих параллельных ветвей. Ток I1 отстает от abU на угол 53arctg 111  RX , ток I2 опережает abU на угол ' 222 3026arctg  RX . Общий ток I, равный векторной 40 сумме токов I1 и I2, отстает по фазе от напряжения abU на угол 16arctg  ababab RX . Для постро- ения вектора напряжения U , приложен- ного к цепи, определяем падения напря- жения на активном R0 и индуктивном X0 сопротивлениях неразветвленного участ- ка цепи: В; 540  IRUR В 800  IXUL . Так как LRab UUUU  , то с конца вектора abU параллельно вектору тока I проводим вектор RU , затем с конца вектора RU проводим вектор LU , опережающий I на 90. Соединяя точку 0 с концом вектора LU , получим вектор напряже- ния U , опережающего по фазе ток I на угол   .2032arccos '0  ZRR ab Задача может быть решена более рационально комплексным ме- тодом. Запишем комплексные сопротивления участков цепи:   Îì;e65,9å85,485,4 56,45arctg822000 jjjjXRZ  Îì;e201621 53111 jjjXRZ  Îì;e4,221002 '3026 222 jjjXRZ            632 48å4 10201612 å4,22å20 '' 3026302653 21 21 jjjZZ ZZ Z jjj ab    Îì. ,783,213,7sin1613,7cos1613,7å13 2,6å3 48å4 16 3010 3026 ' ' jjj j j      U  ab 1 2 I I1 R0I Рис. 2.29 I2 X0I Uab 0 41 Комплексное сопротивление всей цепи Îì. 22å,7811,618 '2032 0 j ab jZZZ  Совмещаем вектор напряжения U с осью действительных вели- чин, тогда комплексное действующее значение общего тока цепи А. е10 е22 220 2032 2032 ' ' j jZ U I    Комплексное действующее значение напряжения на участке ab Â. å137å10å7,13 '' 2016203216  jjj abab IZU   Комплексные выражения токов в параллельных ветвях: À; å85,6 å20 å137 2069 53 2016 1 1 ' ' j j j ab Z U I       À. 2å1,6 2,4å2 å137 ' ' 1010 '3026 2016 2 2    j j j ab Z U I    Комплекс напряжения на неразветвленном участке цепи В. ,5е96е105е6,9 402320325600 '' jjjIZU    Комплексные мощности на участках цепи:   À; j800540å965å10å5,96 562032402300 ''    jjjIUS   À; 750567å938å85,6å137 532069201611 ''    jIUS jjjab    À. 723537å8352å1,6å137 ''' 302610102016 22    jIUS jjjab  Комплексная мощность всей цепи   À. 17818601å2200å10220 '' 20322032 *  jIUS jj  42 Активная и реактивная мощности всей цепи вар. 1178Вт; 1860  QP Составляем уравнения баланса активных и реактивных мощностей: ;210 PPPP  1860=540+567+753 Вт; ;210 QQQQ  1178=800+750-372 вар. Задача 2.30. Определить токи в ветвях и показания вольтметров в цепи рис. 2.30, а, если U = 100 В, Ом. 10 CL XXR Задачу решаем: а) с помощью проводимостей; б) комплексным методом. Р е ш е н и е . а) Реактивные проводимости параллельных ветвей См. ,10 1 См; ,10 1  C C L L X b X b Полная проводимость и сопротивление параллельного участка цепи   ;022  CLCLabab bbbbgy . 1  ab ab y Z Общее сопротивление цепи .Z  Ток на неразветвленном участке цепи 0 Z U I и показание вольтметра V1: .RIU 01  Рис. 2.30 а XC a b I2 I1 I R PV2 U PV1 б U=U2 /2 /2 I2 I1 XL 43 Так как ,12 UUU  то U2 = 100 В и токи в ветвях А; 1021  LX U I А. 1022  СX U I б) Сопротивление цепи в комплексной форме       CL CL ab jXjX jXjX RZRZ и общий ток 0 Z U I , поэтому падение напряжения на резисторе R : 01  IRU , и напряжение В. 10012  UUU Токи в параллельных ветвях: А; е1010 10 100 902 1 j L j jjX U I  А. е1010 10 100 902 2 j С j jjX U I      Векторная диаграмма приведена на рис. 2.30, б. Задача 2.31. В цепи рис. 2.31, а XС = 0,4 Ом, XL = 2 Ом. Опреде- лить значение активного сопротивления резистора R , при котором в цепи наступает резонанс. Построить качественно векторную диа- грамму напряжений и токов в режиме резонанса. Р е ш е н и е . Комплексное входное сопротивление цепи . 22 2 22 2 22 22                     C L L L L L LL C L L C X XR XR j XR RX XR RXjXR jX jXR jXR jXZ 44 При резонансе напряжений мнимая часть комплексного входно- го сопротивления цепи равна нулю: 0 22 2         C L L X XR XR j , откуда Îì.1 , 22 2     CL C LC L L XX X XRX XR XR Задача 2.32. В цепи рис. 2.32 U = 240 В, XL = 288 Ом, R = 300 Ом, XС = 400 Ом. Определить активную, реактивную и полную мощность цепи, а также показание ваттметра. Р е ш е н и е . Расчет токов и напряжений производим ком- плексным методом. Комплексное входное сопротивление цепи     .Îì å240144192144192288 400300 400300 288 ,836 j C C L jjj j j j jXR jXR jXZ         Ток неразветвленной части цепи À. å1å240240 36,836,81  jjZUI  б Rэ XLэ UC U URL XC в Рис. 2.31 IR UC U IC IL URL а R IR XL IL UC U URL XC IC 45 Комплекс полной мощности цепи   À 144921e240 å1240 ,836 ,836 1    j IUjQPS j j   или     À. 144921 1144921 221   j jIZjQPS Отсюда следует     À. 240âàð; 144Im Âò; 192Re 22  QPSSQSP Для определения показания ваттметра необходимо рассчитать ток 2I и, следовательно, узловое напряжение abU : В е240е1е288240 ,673,836901  jjj Lab IjXUU   или     Â. 240å1å 400300 400300 ,673,836 1123  jj C C ab j j I jXR jXR IZU         Ток, текущий по последовательной обмотке ваттметра, А. е80300е240 ,673,6732  jj ab ,RUI   Показание ваттметра можно определить двояко:   ÀÂ54,618454,6Re0,8å240ReRe ,6732               jIUP jW  или À. ,6450,8cos73,6240 cos 22         IUUIPW Из расчета вытекает, что при данной схеме включения ваттметра его показание не соответствует ни активной, ни реактивной, ни полной мощности цепи. При необходимости измерить активную мощность данной цепи генераторный зажим параллельной обмотки ваттметра следует переключить на точку а (пунктирная линия). PW R XL XC I1 I3    U I2 Рис. 2.32 a b 46 Задача 2.33. При каком соотношении между сопротивлениями CX и LX ток 2I не будет зависеть от сопротивления 2Z (рис. 2.33)? Написать выражение тока 2I , используя найденное соотно- шение. Р е ш е н и е . По методу двух узлов ток в ветви с сопротив- лением 2Z . Z XX j X jU Z ZXX j X jU Z U I LC C LC Cab 1 11 1 111 1 22 2 2 2                         Из последнего выражения следует, что ток 2I не будет зависеть от 2Z , если   011  LC XX или CX = LX . При этом . X U jI C  2 Данную цепь можно использовать в ка- честве стабилизатора тока при изменении нагрузки 2Z как по модулю, так и по фазе. Задача 2.34. Мостовая цепь, питаемая переменным напряжением (рис. 2.34), используется для измерения параметров катушки. R0 = 0,5 кОм, R1 = 1 кОм, R2 = 0,1 кОм, С0 = 2 мкФ. Определить активное сопротивление и индуктивность катушки при нулевом показании вольтметра. Р е ш е н и е . Комплексные со- противления плеч моста: ;LjRZ X  ;; 2211 RZRZ  . 11 1 00 0 0 0 0 0 0 CRj R C jR C jR Z              Рис. 2.34 L IX I2  R0 R2 R R1 PV C0 I0 I1 Z2 U XC a b XL Рис. 2.33 I2 47 Нулевое показание вольтметра будет иметь место при 22 IZIZ XX  ; 0011 IZIZ  . Разделив последние уравнения одно на другое и учитывая, что при нулевом показании вольтметра 1II X  и 02 II  , получаем условие равновесия мостовой цепи: 0 2 1 Z Z Z Z X  или .210 ZZZZ X    0 002 1 1 R CRjR R LjR    ; .CRj R R R L j R R 02 0 2 11  Если два комплекса равны, то равны соответственно их действи- тельные и мнимые части: 0 2 1 R R R R  и .CRj R L j 02 1  Отсюда êÎì; 2,0 5,0 1,01 0 21    R RR R Ãí. ,201021010 623021  CRRL Задача 2.35. В цепи рис. 2.35, а E = 100 В, R = 100 Ом, XL = XC = = 50 Ом. Определить в общем виде ток нагрузки I методом эквивалентного генератора. При каком значении сопротивления нагрузки в ней выде- ляется наибольшая активная мощность? Рассчитать эту мощность. в b R XL a XC Zвх г b Rэ XL a Xэ Eэ Zэ Z X R I б Uabх b XL a XC E IX R а I Z b R XL a XC E Рис. 2.35 48 Р е ш е н и е . Для определения ЭДС эквивалентного генера- тора эE размыкаем ветвь с нагрузкой и находим напряжение холо- стого хода между точками a и b (рис. 2.35, б): Â. e5050 5050100 100 50 j90 xý       j jj j jXjXR E jXIjXUE CL CXCab Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора равно входному сопротивлению пассивной цепи между точками a и b при разомкнутой ветви с нагрузкой Z (рис. 2.35, в):       Îì. 5025 ýýâxý j jXjXR jRXXX jXjXR jXjXR XjRZZ CL CCL CL CL         Согласно схеме рис. 2.35, г ток нагрузки . ZZ E I   э э В нагрузке выделяется максимальная мощность в том случае, ко- гда комплекс ее сопротивления является сопряженным комплексу внутреннего сопротивления эквивалентного генератора (согласо- ванный режим):   Ом. 5025эээ jjXRZjXRZ   При этом ток и активная мощность нагрузки соответственно равны À; å11 2 90 ý ý ýýýý ý ý ý ìàêñ jj R E jXRjXR E ZZ E I      Вт. 25125 22максэмакс  IRP Задача 2.36. Определить мощность в резисторе R (рис. 2.36, а), если 49 Îì. 200 Îì, 60Îì, 40 Îì, 50 Îì, 100 Â, 100 43 21   RXX XXU Р е ш е н и е . Ток в ветви с резистором R находим методом эквивалентного генератора. Размыкаем расчетную ветвь (рис. 2.36, б) и вычисляем токи: À; 2 50100 100 21 x1 j jjjXjX U I      À. 5 6040 100 43 x2 j jjjXjX U I      Напряжение на зажимах разомкнутой ветви     В. 4005402100х23х11x  jjjjIjXIjXU ab Закоротив источник напряжения, определяем входное сопротив- ление цепи по отношению к зажимам расчетной ветви (рис. 2.36, в)   Ом. 220120100 43 43 21 21 вx jjj jXjX jXjX jXjX jXjX Z        Ток в ветви с резистором R А. ,35е1 220200 400 4547 вх x 'jab jZR U I       Мощность, выделяющаяся в резисторе, Вт. 365,351200 22  RIP Рис. 2.36 а б b X2 a X4 X3 X1 U 3 Uabх d c I2X I1X b в X1 X2 X3 X4 d c a Zвх b R X2 a X4 X3 X1 U 3 I c d 50 Задача 2.37. В линии электропередачи длиной 10 км потеря напряжения не должна превышать 5 % напряжения в конце линии кВ 102 U . Активное и индуктивное сопротивления 1 км линии R0 = 0,4 Ом/км и Х0 = 0,4 Ом/км. Какую максимальную мощность 2P можно передать по линии при  00,8 и ,01cos 22  ? Р е ш е н и е . Так как в условии задачи задано значение поте- ри напряжения в линии относительно напряжения 2U %,5%100% 2 21 л    U UU U то это позволяет определить напряжение в начале линии кВ,510 %100 %510 01 %100 %л2 21      UU UU . П о т е р е й напряжения в ЛЭП называют разность модулей напряжения в начале и в конце линии êÂ.,5010,51021ë  UUU От потери напряжения в линии следует отличать п а д е н и е напряжения в линии лU , представляющее собой геометрическую разность векторов напряжения в начале и конце линии .ë21ë IZUUU  Для дальнейшего решения задачи строим векторные диаграммы при 1cos 2  (рис. 2.37, а) и ,80cos 2  (рис. 2.37, б). Диаграммы построены на основании следующих положений. 1. Напряжение в начале линии 1U равно геометрической сумме векторов напряжения в конце линии 2U и падения напряжения в линии :ëU .ë21 UUU  2. На рис. 2.37, а ток I совпадает по фазе с напряжением 2U (т. к. 1cos 2  ), а на рис. 2.37, б ток I отстает по фазе от напряже- ния 2U на угол 372  ( ,80cos 2  ). 51 3. На обеих векторных диаграммах угол сдвига по фазе л меж- ду векторами тока I и падения напряжения в линии лU определя- ется соотношением активного и индуктивного сопротивлений ли- нии: 45arctg1 10 10 arctgarctg 0 0 ë  R X R XL . а) Используя теорему косинусов (рис. 2.37, а)  лл22л2221 180cos2  UUUUU , находим падение напряжения в линии: кВ ,680л U . Ток линии     À. 1214468,01010 2220 2 0ëëë  XRUZUI Передаваемая активная мощность МВт. ,21cos 222  IUP б) Аналогичный расчет проводим при ,80cos 2  (рис. 2.37, б):  2ëë22ë2221 180cos2  UUUUU , откуда кВ ,510л U ; Uл I U2 л U1 а Uл Uл I U2 л U1 б Uл 2 Рис. 2.37 52     А; 89 1010 2 0 2 0 л л л    XR U Z U I МВт. ,710cos 222  IUP В ы в о д : при неизменной потере напряжения максимальное значение передаваемой по ЛЭП мощности существенно зависит (1,2 и 0,71 МВт) от коэффициента мощности нагрузки. Задача 2.38. В конце линии электропередачи (рис. 2.38, а) с ак- тивным сопротивлением Ом ,10л R и индуктивным сопротивле- нием Ом ,40л X подключен приемник, потребляющий мощ- ность кВт 202 P при напряжении В 3802 U и  0,90cos 22  . Определить напряжение в начале линии 1U , падение и потерю напряжения, КПД линии. Р е ш е н и е : Ток потребителя и линии электропередачи А ,558 ,90380 1020 cos 3 22 2       U P I . Он отстает по фазе от напряжения U2 на угол 2 = 26 (рис. 2.38, б). Если вектор 2U совместить с осью действительных величин, то комплексное действующее значение тока запишется в виде: А ,5е58 26 jI  . а Рис. 2.38 I U1 Rл R2 X2 U2 Uл Xл +j Uл I U2 2 +1 RлI U1 б jXлI Uл 53 Комплексное сопротивление линии Ом ,414е0,40,10 76ллл jjjXRZ  . Падение напряжения в линии В. е2,24е5,58е414,0 502676л21л  jjjIZUUU   Напряжение в начале линии Â. å7,3955,185,395,2å24380 '40250 ë21  jj jUUU  Потеря напряжения в линии  7,153807,39521ë  UUU . Потеря мощности в линии Вт 343,558,10 22л  IRP . Коэффициент полезного действия линии 859,0 343,020 20 2 2      PP P . Задача 2.39. Мощность, потребляемая нагрузкой линии, кВт 322 P при коэффициенте мощности ,60cos 2  , напряже- нии В 2202 U и частоте Гц 50f . Сопротивления проводов линии: активное Ом ,050л R и индуктивное Ом ,060л X (рис. 2.39). Рассчитать емкость, необходимую для повышения коэффициента мощности нагрузки до ,950cos 2  ' . Определить относительные потери напряжения и мощности в линии при работе без ком- пенсирующей емкости и с емкостью. Р е ш е н и е . Требу- емая емкость рассчитыва- ется по формуле I U1 Rн Xн U2 Rл 2 Рис. 2.39 C Н А Г Р У З К А Rл 2 Xл 2 Xл 2 54  '222 2 2 tgtg    U P C . Здесь 1ñ 3142  f , '2 1053arccos0,6  , ,331tg 2  , '' 2 1018arccos0,95  , ,3280tg '2  . Подставляя значения, получим   ìêÔ 2100Ô ,00210,3280,331 220314 32000 2   Ñ . Ток линии без компенсирующей емкости А 242 ,60220 32000 cos 22 2      U P I . Для определения напряжения в начале линии, представим нагрузку эквивалентной последовательной схемой замещения из резистивного и индуктивного элементов. Ее параметры: Ом ,545022н  IPR ; Ом ,720tg 2нн  RX . Тогда полное сопротивление линии и нагрузки      2íë 2 íë XXRRZ     Îì. 839,027,006,0545,005,0 22  Напряжение в начале линии В 238983,02421  ZIU . Потеря напряжения в линии В 1822023821л  UUU . Относительная потеря напряжения %.7,6%100 238 18 %100% 1 ë ë    U U U 55 Потеря мощности в линии кВт ,9322лл  IRP . Относительная потеря мощности в линии %;8,4%100%100% л2 л 1 л л       PP P P P P здесь л21 PPP  – мощность, поступающая от источника. КПД линии при этом %91,6%100 л  P . Режим работы с компенсирующей емкостью (величины, относя- щиеся к этому режиму, отмечаем штрихом). 1. Ток линии А 153cos 222  '' UPI . 2. Параметры эквивалентной схемы замещения нагрузки (вместе с емкостью):   Ом ,3671 153 32000 22 2 н  ' ' I P R ; Ом ,450tg 2нн  ''' RX . 3. Полное сопротивление линии и нагрузки     Ом ,512нл 2 нл  ''' XXRRZ . 4. Напряжение в начале линии В 2301535,11  ''' IZU . 5. Потеря напряжения в линии В 1022023021л  UUU '' . 6. Относительная потеря напряжения в линии %4,35%100 230 10 %100% 1 л л    ' ' ' U U U . 7. Потеря мощности   êÂò ,161153,050 22'ëë  IRP' . 8. Мощность, поступающая от источника, кВт ,1633л21  '' PPP . 56 9. Относительная потеря мощности %3,48%100% ' 1 ë ë    P P P ' ' . 10. КПД линии %96,523,48100 ' . Таким образом, увеличение коэффициента мощности снижает потери напряжения и мощности в питающих сетях, повышает эко- номичность их работы. Работа сетей с высоким коэффициентом мощности обеспечивает также более благоприятные (экономичные) режимы работы электрических станций. Задача 2.40. В схеме цепи рис. 2.40, а В, 2501 E В, 2002 E Ом, 501 R Ом, 61LX Ом, ,5242 R Ом. 70СX ЭДС 2E отстает по фазе от ЭДС 1E на угол 36,9. Определить ток и составить баланс мощностей. Построить топо- графическую диаграмму. Р е ш е н и е . Расположим вектор ЭДС 1E по действитель- ной оси комплексной плоскости, тогда В 25011  EE и   В. 120160e200e ,936,93622 jEE jj    Произвольно обозначаем на схеме условное положительное направление тока. Из составленных по второму закону Кирхгофа уравнений +j +1 60 E1=U1 UL UC a c b d I2 UR1 I E2=U2 e f UR2 Рис. 2.40 б а E1 U1 R1 XC I R2 E2 b f e d a c U2 XL 57  IjXRjXREE CL  2121 или 01221  UIjXIRUIjXIR CL . Определяем комплекс действующего значения тока:            7061,574 120160250 21 21 j j XXjRR EE I CL À. å2 5å7 å153 9,574 12090 60 ,96 ,153    j j j j j      Комплексы напряжений на элементах цепи: Â;å100 6011 j R IRU  ;Âå122å2å61 1506090  jjj LL IjXU  Â;å49 6022 j R IRU  .Âå140å2å70 306090  jjj CC IjXU   При построении топографической диаграммы (рис. 2.40, б) от- кладываем на комплексной плоскости вектор тока. Обходя контур навстречу току, начиная с точки f , потенциал которой принимаем за исходный, откладываем поочередно векторы напряжений в соот- ветствии с последовательностью расположения элементов цепи. Проверкой правильности решения задачи может служить урав- нение баланса активных и реактивных мощностей генераторов и приемников энергии   прием.,ген SS   22 IXXjRIIE CL   . Для цепи рис. 2.40, а уравнение баланса мощностей имеет вид:     222121 IXXjIRRSS CL  58 или     222121 IXXjIRRIEIE CL   , где 21, SS – комплексные мощности источников;  I – сопряженный комплекс тока I . Подставляем числовые значения в уравнение баланса мощностей:     ;270612,52450e2e200e2250 2260,63660   jjjj  ;36298e40000e5 ,99660 jjj    ;3629839748433502 jjj  .3629836298 jj  Задача 2.41. В цепи рис. 2.41, а Ом, 1251 R Ом, 302 R Ом, 40LX Ом. ,562СX В, 2501 E В. 1002 E ЭДС 2E отстает по фазе от ЭДС 1E на угол 66,9. Определить токи ветвей, составить баланс мощностей и постро- ить совмещенную топографическую диаграмму напряжений и век- торную диаграмму токов. Р е ш е н и е . Записываем ЭДС и сопротивления элементов в комплексной форме: В, 25011  EE   Â, ,9691,339e100e ,966,96622 jEE jj    Îì, 12511  RZ Îì, e504030 ,15322 j L jjXRZ  Îì. ,5623 jjXZ C  Расчет токов производим двумя методами: а) методом контур- ных токов; б) методом двух узлов. 59 а) Произвольно обозначаем на схеме положительные направле- ния действительных токов ветвей 321 ,, III и расчетных, контур- ных токов IJ и IIJ . Составляем по второму закону Кирхгофа систему из   21  nm уравнений, где 3m – число ветвей цепи; 2n – число узлов цепи:         ; ; II32I32 II3I311 JZZJZE JZJZZE         ; ; II2I2 III11 JjXjXRJjXE JjXJjXRE CLC CC         .,5624030,562,9691,339 ;,562,562125250 III III JjjJjj JjJj Решая полученную систему уравнений, например, с помощью определителей, находим контурные токи: А; ,742е1,6930,61 ,423I jjJ  А. ,239е0,1070,2140 ,526II jjJ  С учетом положительного направления действительных и кон- турных токов (рис. 2.41, а) ;I1 JI  А; е239,0071,0214,0 5,153 II2 jjJI  А. е6,18,0863,1 30III3 jjJJI  E1 Uad R1 XC I3 R2 E2 b a c Ucd JI JII а d I2 I1 Рис. 2.41 XL б +j +1 90 E1=Uad Uab E2=Ucd a c b d I2 I3 I1 60 б) Узловое напряжение         ,0160,0160,0120,0080 ,02å0100å,0080250 ,153,966 321 2211 jjYYY ÅYÅY U jj bd  Â,100å100å100 60120  jj   где комплексные проводимости ветвей: См; 008,0 11 11 1  RZ Y   См; 016,0012,0е02,0 1 1,53 2 2 j Z Y j    См. 016,0е016,0 11 90 3 3 j X j jXZ Y j CC     С учетом обозначенных на схеме рис. 2.41, а положительных направлений токов ветвей             008,0å100250 6011 1 1 1 j bd bd UEY Z UE I = À;42å7,1693,06,1 ,423 jj    À;39å2,0071,0214,0 ,515322 2 2 2 j bd bd jUEY Z UE I      А. 8,0863,1е6,1 303 3 3 jUY Z U I jbd bd   Напряжения на пассивных элементах цепи: В; е8,2176,86200 4,2311 j ab jIRU    В 1,765,9е95,11 9,20622 jIZU j cb   . 61 При построении топографической диаграммы потенциал одной из точек, например, точки d , принимаем равным нулю. На диа- грамме эту точку помещаем в начало координат (рис. 2.41, б). Для получения остальных точек откладываем от точки d векторы напряжений на элементах цепи. В этой же системе координат стро- им комплексы токов ветвей. Составляем уравнение баланса активных и реактивных мощно- стей: ;222 IXjIjXRIIE CL    ;23 2 2 2 22 2 112211 IjXIjXIRIRIEIE CL        5,1539,66 å239,0å100693,06,1250 jjj ;6,15,62239,040239,030427,1125 2222  jj     ;1603,27,13807,16172,173400 jjjj  7,1577,3815,156383 jj  . Отрицательное значение активной мощности второго источника  Вт 17 2 EP свидетельствует о том, что он работает в режиме приемника энергии. Задача 2.42. В цепи рис. 2.42 составить в общем виде системы уравнений с целью определения токов ветвей методами непосред- ственного применения законов Кирхгофа и контурных токов. JI I1 I2 I4 R2 Рис. 2.42 JIII I3 I5 XC5 E2 R1 XL1 E1 XL5 XC3 XC2 JII R4 62 Р е ш е н и е . а) Метод непосредственного применения зако- нов Кирхгофа. Произвольно обозначаем на схеме положительные направления действительных токов ветвей 1I , 2I , 3I , 4I и 5I . Составляем по первому закону Кирхгофа 21n уравнений, а по второму закону Кирхгофа   31  nm уравнений, где 3n – число узлов цепи, 5m – число ветвей цепи:                          .IjXjXIjXRE IjXIRIjXjX IjXIjXRE III IIII CLC CCL CL 5552222 3344555 331111 143 5321 ;0 ; ; ; б) Метод контурных токов. Произвольно обозначаем на схеме положительные направления контурных токов IJ , IIJ и IIIJ . Об- ходя элементарные контуры цепи, составляем   31  nm урав- нений по второму закону Кирхгофа для контурных токов:                     .JjXjXJjXjXjXRE JjXjXJjXJjXjXjXR JjXJjXjXRE CLLCC CLCCLC CCL II55III55222 III55I3II5534 II3I3111 ;0 ; Действительный ток каждой ветви равен алгебраической сумме контурных токов, протекающих по данной ветви, I1 JI  ; III2 JI  ; III3 JJI  ; II4 JI  ; IIIII5 JJI  . Задача 2.43. В цепи рис. 2.43, а и б измерены напряжение, ток и активная мощность. Частота переменного тока Гц 50f . Показа- ния приборов: при согласном включении катушек (рис. 2.43, а) В 2201 U , А 11 I , Вт 801 P ; при встречном включении кату- шек (рис. 2.43, б) В 2202 U , А 22 I , Вт 3202 P . Определить взаимную индуктивность M катушек. 63 Р е ш е н и е . Полное сопротивление цепи при согласном и встречном включении катушек   Ом; 220122011 2 согл 2 21согл  IUXRRZ   Ом, 110222022 2 встр 2 21встр  IUXRRZ где   Ом 80222 2 1121  IPIPRR – сумма активных сопро- тивлений катушек;  MLLX 221согл  и  MLLX 221встр  – экви- валентные индуктивные сопротивления цепи при согласном и встречном включениях катушек. Очевидно, что MXX  4встрсогл , откуда     мГн. 103 244 2 21 2 встр 2 21 2 соглвстрсогл        f RRZRRZXX M Задача 2.44. Две магнитосвязанные катушки включены парал- лельно (рис. 2.44, а). В 36U , Ом 201 L , Ом 302 L , Ом 15M , Ом 301 R , Ом 102 R . Одноименные зажимы катушек указаны точками. Определить токи ветвей. Построить векторную диаграмму. Р е ш е н и е . Произвольно указав на схеме положительные направления токов, составляем уравнения по законам Кирхгофа: a M 1 PA PV  PW   R1 L1 2 4 R2 L2 3 б M 1 PV  PW   R1 L1 2 4 R2 L2 3 PA Рис. 2.43 64           (3) (2) ; (1) ; 1222 2111 21 .IMjILjRU IMjILjRU III Обозначим 111 LjRZ  , 222 LjRZ  , MjZM  . Решая систему уравнений, получаем À å93,2 2 4,30 2 21 21 j M M U ZZZ ZZZ I      В 36UU ; А е5,1 4,16 2 21 2 1 j M M U ZZZ ZZ I     ; А 2е5,1 4,44 2 21 1 2 j M M U ZZZ ZZ I     . Векторная диаграмма (рис. 2.44, б) построена на основании уравнений (1), (2) и (3). Задача 2.45. На рис. 2.45 приведена схема воздушного (без сталь- ного сердечника) трансформатора с нагрузкой Zн = (100 – j30) Ом. Остальные параметры цепи: Ом 101 R , Ом 501 L , Îì 202 R , Ом 602 L , Ом 30M . Напряжение источника В 2201 U . Определить показания амперметра и вольтметра. а Рис. 2.44 I M U 1 R1 L1 I2 R2 L2 I1 +j +1 jL2I2 R2I2 I1 I I2 R1I1 U б –jMI2 –jMI1 jL1I1 65 Р е ш е н и е . Произ- вольно обозначив на схеме положительные направления токов, составляем уравнения по второму закону Кирхгофа для первичной и вторичной цепей трансформатора:          .IMjIZILjR IMjILjRU 12н222 21111 0 ;            .303010060200 ;305010220 122 21 IjIjIj IjIj Решая систему уравнений, получаем:   А е3,405,445,1 7,701 jjI  ;   А 7е0,11,070,1 4,52 jjI  . Напряжение на нагрузке   В е1121,22110 5,112н2 jjIZU  . Показания приборов численно равны модулям соответствующих комплексов: А 3,450,454,1 221 I ; В 1121,22110 22 2 U . К о н т р о л ь н ы е з а д а ч и Задача 2.46. Электрическое напряжение изменяется по синусои- дальному закону с амплитудой В 100mU и частотой Гц 50f . Через какой минимальный промежуток времени от начала пери- ода мгновенное значение напряжения с нулевой начальной фазой I1 M PA PV R1 Zн R2 L2 U1 L1 I2 Рис. 2.45 66 численно равно среднему (за полупериод) значению синусоидаль- ного напряжения? Задача 2.47. К источнику напряжением         6 314sin100 tu В подключен конденсатор, емкость которого мкФ ,663C . Написать уравнение мгновенного тока конденсатора. Построить векторную диаграмму, а также диаграммы изменения тока и напря- жения во времени. Задача 2.48. К источнику напряжением tu sin314141 В под- ключена индуктивная катушка, индуктивность которой мГн ,119L , а активное сопротивление Ом 8R . Написать уравнение мгновенного тока индуктивной катушки. Построить векторную диаграмму. Задача 2.49. Произведены измерения тока и напряжения индук- тивной катушки сначала в цепи постоянного тока, а затем в цепи синусоидального тока промышленной частоты. При постоянном токе приборы показали В 121 U и А 11 I , при переменном токе В 402 U и А 22 I . Определить параметры последовательной схемы замещения ин- дуктивной катушки. Построить векторную диаграмму и треуголь- ник мощностей. Задача 2.50. Коэффициент мощности индуктивной катушки 0,5cos  . Чему окажется равен коэффициент мощности катушки, если ча- стота тока увеличится вдвое? Задача 2.51. Индуктивная катушка подключена к источнику си- нусоидального напряжения В 100U . Ток в катушке А 10I . При увеличении частоты напряжения вдвое ток в цепи уменьшается до 6,93 А. Определить активное сопротивление индуктивной катушки. Задача 2.52. К источнику синусоидального напряжения В 100U подключены последовательно две катушки, активные и 67 индуктивные сопротивления которых соответственно равны: Ом 51 R , Ом 32 R , Ом 21 X , Ом 42 X . Определить ток, активную, реактивную и полную мощности це- пи. Построить векторную диаграмму тока и напряжений. Задача 2.53. К сети переменного тока напряжением В 220U подключены последовательно два конденсатора, емкость которых мкФ 11 C и мкФ 42 C . Частота напряжения сети Гц 50f . Определить ток цепи и напряжение на каждом из конденсаторов. Задача 2.54. Индуктивная катушка с индуктивностью Гн ,10L и активным сопротивлением Ом ,453R соединена последова- тельно с конденсатором, емкость которого мкФ 125C . Написать уравнение мгновенного напряжения источника, если в цепи протекает ток ti 314sin10 А. Построить векторную диа- грамму тока и напряжений. Задача 2.55. Коэффициент мощности приемника, состоящего из последовательно соединенных реостата и конденсатора, 0,6cos  . Чему окажется равен коэффициент мощности приемника, если частоту приложенного к приемнику напряжения увеличить вдвое? Задача 2.56. Нагревательный элемент мощностью 40 Вт, рассчи- танный на номинальное напряжение 127 В, необходимо питать от сети промышленной частоты напряжением 220 В. Какой емкости конденсатор необходимо включить последова- тельно элементу, чтобы напряжение на нем равнялось номинально- му? Задача 2.57. Последовательно соединенные индуктивная катуш- ка с активным сопротивлением Ом 8R и конденсатор подклю- чены к генератору синусоидального напряжения. При напряжении генератора В 10U и частоте Гц 100f ток в цепи А 1I . При увеличении частоты вдвое и неизменном напряжении значение тока осталось прежним. Определить индуктивность катушки и емкость конденсатора. 68 Задача 2.58. В цепи рис. 2.46 В 15U , Ом 10LX , Ом 5CX . Определить показание вольтметра. Рассчитать реактивную мощность цепи. Задача 2.59. В цепи рис. 2.47 В 200U , Ом 120CX , Ом 160R . Определить показания ваттмет- ра при подключении негенератор- ного зажима обмотки напряжения к точкам a и b. Собственное по- требление мощности ваттметром не учитывать. Задача 2.60. К источнику пере- менного тока напряжением 173 В подключены индуктивная катушка и реостат, соединенные последовательно. Напряжение на каждом из элементов 100 В, ток в цепи 10 А. Определить активное и индуктивное сопротивления катушки. Построить векторную диаграмму. Задача 2.61. В сеть переменного тока промышленной частоты включили последовательно соединенные индуктивную катушку и конденсатор емкостью 10 мкФ. В контуре возник резонанс напря- жений, причем напряжение на конденсаторе оказалось равным 318 В. Напряжение сети 220 В. Определить активную мощность, потребляемую из сети. По- строить векторную диаграмму. Задача 2.62. Конденсатор  мкФ 10C и индуктивная катушка  Гн ,50L соединены последовательно. При какой частоте в цепи наступит резонанс? Какой должна быть емкость конденсатора, чтобы при той же индуктивности резо- нанс возник при Гц 50f . Задача 2.63. В цепи рис. 2.48 А 10I , Ом 121 R , Ом 101 LX , Ом 20CX , Ом 222 LX , Ом 42 R . U R XС PW   a b Рис. 2.47 PV XC Рис. 2.46 XL U 69 Определить напряжение источника питания. Построить вектор- ную диаграмму и треугольник мощностей. Задача 2.64. В цепи рис. 2.49 В 220U , Ом 20LX , Ом 12R , Ом 4CX . Определить ток цепи. Построить топографическую диаграмму и треугольник мощностей. Задача 2.65. Однофазный двигатель переменного тока, потребляю- щий мощность кВт 2P при 0,8cos  , соединен с сетью лини- ей электропередачи (RЛ = 1 Ом, XЛ = 1 Ом). Чему равно напряжение в начале линии, если напряжение на за- жимах двигателя равно 220 В? Задача 2.66. Напряжение на зажимах генератора и нагрузки, со- единенных ЛЭП переменного тока, равны U1 = U2 = 10 кВ. Активное и индуктивное сопротивления ЛЭП RЛ = 8 Ом, XЛ = 6 Ом. Ток линии I = 200 А. Определить характер и коэффициент мощности нагрузки. По- строить векторную диаграмму. Задача 2.67. Измерения в начале и конце линии электропередачи дали следующие результаты: кВ 2361 U , А 101 I , Вт 18601 P ; В 2202 U , А 102 I , Вт 17602 P  0 . Определить комплексное сопротивление ЛЭП. Построить век- торную диаграмму. Задача 2.68. В цепи рис. 2.50 приборы показали: U = 100 B, I = 5 A, P = 300 ВТ. Определить комплексные сопротив- ления и мощности цепи для случаев: а) 0 ; б) 0 . PA PV  Рис. 2.50 PW   Z Рис. 2.49 R1 I U XL1 Рис. 2.48 XC R2 XL2 U XL а d c b XC R 70 Задача 2.69. В цепи рис. 2.51 E = 220 В, R = 1,1 Ом, XL = 4 Ом. При каком комплексном сопротивлении нагрузки активная мощ- ность, выделяемая в ней, будет максимальна? Рассчитать эту мощ- ность. Задача 2.70. В цепи рис. 2.52 XC = 12 Ом. При каких сопротивлениях реостата R сдвиг фаз между напря- жениями 1U и 2U будет равен 0, 45 и 60? Задача 2.71. В цепи рис. 2.53 tu sin314141 В; Ом 100 CXR . Определить показание амперметра и за- писать уравнение мгновенного тока в не- разветвленной части цепи. Задача 2.72. В цепи рис. 2.54 В 220U , Ом 100LX , Ом 200CX . Определить действующий ток в неразветвлен- ной части цепи. Как должна измениться частота напряжения источника, чтобы ток в неразветв- ленной части цепи стал равным нулю? Задача 2.73. В цепи рис. 2.55 U = 220 В, XL = 220 Ом, R = 220 Ом, XC = 110 Ом. Определить токи CRL IIIII ,,,, 1 и построить векторную диаграмму. Рассчитать активную, реактивную и полную мощности цепи. Zн R XL E Рис. 2.51 R U1 XC Рис. 2.52 U2 u XC Рис. 2.53 R PA Рис. 2.54 U XL XC IR U XL XC IC IL I Рис. 2.55 R I1 71 Задача 2.74. Индуктивная катушка и конденсатор соединены па- раллельно. Ток конденсатора 6 А, ток неразветвленной части цепи 8 А. Определить ток индуктивной катушки, если в цепи имеет место резонанс токов. Задача 2.75. В сеть напряжением U = 220 В включены параллель- но двигатель, потребляющий активную мощность Р = 1,1 кВт при cos  = 0,866, и 4 лампы накаливания мощностью по 100 Вт каждая. Определить ток в неразветвленной части цепи и коэффициент мощности всей цепи. Построить векторную диаграмму. Задача 2.76. Две индуктивные катушки соединены параллельно. Параметры катушек: Ом 81 R , Ом 151 X , Ом 22 R , Ом 52 X . Определить ток неразветвленной части цепи при напряжении ис- точника 220 В. Построить векторную диаграмму. Задача 2.77. В цепи рис. 2.56 В 120U , Ом 10R , Ом 20LX . Определить емкостное сопротивление кон- денсатора, при котором в цепи возникает резо- нанс. Для резонансного режима рассчитать то- ки цепи и построить векторную диаграмму. Задача 2.78. В цепи рис. 2.56 L = 0,1 Гн, R = 100 Ом, С = 0,8 мкФ. Определить резонансную частоту цепи. Задача 2.79. В цепи рис. 2.56 Ом 20LX , Ом 50CX . Определить активное сопротивление, при котором в цепи возни- кает резонанс. Задача 2.80. В цепи рис. 2.56 В 100U , Ом 20R , Ом 20LX , Ом 40CX . Определить ток неразветвленной части цепи, активную, реактив- ную и полную мощности цепи. Построить векторную диаграмму. Задача 2.81. В цепи рис. 2.56 R = XL = XC. Определить коэффициент мощности цепи. Построить качествен- но векторную диаграмму. R XC Рис. 2 56 XL U 72 Задача 2.82. Имеются индуктивная катушка активным сопротив- лением Ом 60R и индуктивностью Гн ,10L и конденсатор емкостью мкФ 10C . Определить резонансные частоты при последовательном и па- раллельном соединениях катушки и конденсатора. Задача 2.83. Реостат сопротивлением Ом 1R и конденсатор, емкостное сопротивление которого Ом 2CX , включены после- довательно в цепь переменного тока. Определить, каковы должны быть сопротивления реостата и конденсатора, чтобы при их параллельном соединении получилась цепь, эквивалентная последовательной. Задача 2.84. Индуктивная катушка активным сопротивлением Rк=60 Ом и индуктивностью мГн 20L соединена параллельно с ветвью сопротивлением Ом 25R и емкостью мкФ 100C . Определить параметры последовательной схемы замещения це- пи, если угловая частота переменного тока c11000 . Задача 2.85. В цепи рис. 2.57 XL = R = XC = 100 Ом. Определить напряжение на входе цепи, если через конденсатор протекает ток IC = 1А. Задача 2.86. В цепи рис. 2.57 Ом 10R , Ом 4LX . Определить емкостное сопротивление конденсатора, при котором в цепи имеет место резонанс. Задача 2.87. В цепи рис. 2.57 Ом 8LX , Ом 10CX . Определить активное сопротивление резистора, при котором в цепи имеет место резонанс. Задача 2.88. В цепи рис. 2.58 В 100abU , Ом 501 R , Ом 1002 R . Активная мощность цепи Вт 300P . Определить емкостное сопротивление конденсатора. XC IC R Рис. 2 57 XL U 73 Задача 2.89. В цепи рис. 2.58 Ом 1021  RR , Ом 20CX . Рассчитать комплексное входное сопро- тивление цепи. Задача 2.90. В цепи рис. 2.59 Ом 100 X , Ом 61 R , Ом 81 X , Ом ,5122 X . Определить комплексное входное сопротивление цепи. Построить качественную векторную диаграмму токов и напряжений цепи. Задача 2.91. В цепи рис. 2.59 В 100abU , Ом 100 X , Ом 61 R , Ом 81 X , Ом ,5122 X . Определить входное напряжение цепи. Задача 2.92. Мостовая цепь, питаемая переменным током, ис- пользуется для измерения параметров конденсатора (рис. 2.60). Дано: R1 = 1 кОм, R2 = 2 кОм, R0 = 12 кОм, C0 = 1,2 мкФ. Определить параметры последовательной схемы замещения кон- денсатора (RX и CX) при нулевом показании вольтметра. Задача 2.93. Для цепи рис. 2. 61 составить в общем виде системы уравнений с целью определения токов ветвей методами непосред- ственного применения законов Кирхгофа, контурных токов и узло- вых потенциалов (двух узлов). b R1 R2 XC a Рис. 2 58 U R1 X2 Рис. 2 59 X0 a b X1 U R3 Рис. 2.61 E1 R1 E3 XC1 E2 XL3 XL2 XC2 Рис. 2.60 U R0 R2 R1 PV CX RX C0 74 Задача 2.94. Две индуктивно связанные катушки включены по- следовательно в сеть переменного тока напряжением 220 В. При этом по катушкам протекает ток 2,2 А. Параметры катушек: R1 = 20 Ом, L1 = 18 Ом, R2 = 40 Ом, L2 = 34 Ом. Определить сопротивление взаимной индуктивности катушек и характер их включения (встречный или согласный). Построить век- торную диаграмму тока и напряжений. Задача 2.95. Две индуктивно связанные катушки включены по- следовательно в сеть переменного тока напряжением 220 В. Парамет- ры катушек: R1 = 10 Ом, L1 = L2 = 15 Ом, R2 = 20 Ом, M = 5 Ом. Определить напряжение на каждой из катушек при их согласном включении. Построить векторную диаграмму. Задача 2.96. Цепь рис. 2.62 применяется для измерения взаимной индуктивности двух катушек. Ампер- метр показал ток 10 А. Электростатиче- ский вольтметр, измеряющий ЭДС, показал 31,4 В. Определить взаимную индуктив- ность катушек, если частота тока равна 50 Гц. Задача 2.97. На рис. 2.63 показана схема воздушного трансфор- матора, нагруженного активной нагрузкой Rн = 70 Ом. Остальные параметры цепи: R1 = 30 Ом, L1 = 40 Ом, R2 = 10 Ом, L2 = 80 Ом, M = 50 Ом. Напряжение U1 = 100 В. Одноименные зажимы катушек указаны точками. Определить показание амперметра. Построить векторную диаграмму. M PA PV U Рис. 2.62 R1 R2 M PA U1 Рис. 2.63 L1 L2 Rн 75 О т в е т ы к к о н т р о л ь н ы м з а д а ч а м 2.46. 2,23 мс 2.47.  3314sin2  ti , А 2.48.  37314sin1,14  ti , А 2.49. R = 12 Ом; XL = 16 Ом 2.50. 0,277 2.51. 8 Ом 2.52. P = 800 Вт; Q = 600 вар; S = 1000 В·А 2.53. 55,3 мА 2.54.  60314sin3,68  tu , В 2.55. 0,83 2.56. 5,5 мкФ 2.57. L = 9,55 мГ; C = 132 мкФ 2.60. R = 5 Ом; XL = 8,66 Ом 2.61. 220 Вт 2.62. 71,3 Гц 2.63. 200 В 2.64. 11 А 2.65. 236 В 2.66. 0,51 2.67. ZЛ = 1 + j1,33 Ом 2.69. 11 кВт 2.70. ∞; 12; 6,93 Ом 2.71. 1,41 А 2.72. 1,1 А 2.73. I1 = 2,24 А; I = 1,41 А 2.74. 10 А 2.75. 0,923 2.76. 53,75 А 2.77. 25 Ом 2.78. 540 Гц 2.79. 24,5 Ом 2.80. 2,5 А 2.81. 0,707 2.82. ; с 1 10001  с 1 8002  2.83. R = 5 Ом; XC = 2,5 Ом 2.84. R = 14,9 Ом; XL = 7,17 Ом 2.85. 100 В 2.86. XC1 = 20 Ом; XC2 = 5 Ом 2.87. 20 Ом 2.88. 57,7 Ом 2.89. (18 – j4) Ом 2.90. (16,7 + j10) Ом 2.91. 117 В 2.92. CХ = 2,4 мкФ; RХ = 6 Ом 2.94. 14 Ом 2.95. U1 = 98,4 В; U2 = 124 В 2.96. 10 мГн 2.97. 0,854 А 76 U  I ТЕСТЫ ДЛЯ КОМПЬЮТЕРНОГО ИЛИ АУДИТОРНОГО КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ СТУДЕНТОВ Вариант 1 Тест 1 1. По осциллограммам тока и напряжения определить начальные фазы тока i и напряжения u, угол сдвига фаз . Рассчитать параметры R и L последовательной схемы заме- щения приёмника, его активную и реактивную мощность. 2. Ток и напряжение приемника изменяются по закону  А60sin1,14  ti ;  В20sin311  tu . Записать комплексные действующие значения тока и напряже- ния. Определить комплексное сопротивление приёмника, активные и реактивные сопротивления последовательной двухэлементной схемы замещения. 3. По векторной диаграмме определить характер последовательной цепи и ее параметры (R, L или С), если U = 100 В; I = 5 А;  = 60; f = 50 Гц. 4. При замкнутом и разомкнутом выключателе S амперметр показывает одно и тоже значение тока I = 5 А. Определить сопротивления R и XC , если U = 100 В, частота f = 50 Гц, а ин- дуктивность катушки L = 31,8 мГн. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. 0,02 с 0 u, i u i t Um = 141 В; Im = 7,07 А. S U L C R PA I3 U I1 I2 Определить ток I1, если I2 = 3 А, I3 = 4 А. 5. 77 Тест 2 1. Параметры последовательной схемы замещения приемника R = 8,66 Ом; XL = 5 Ом. Определить параметры g, bL параллельной схемы замещения приемника. 2. Определить показания вольт- метра, ваттметра и коэффициент мощ- ности цепи, если I1 = 2 А; R1 = 3 Ом; X1 = 4 Ом; R2 = 8 Ом; X2 = 6 Ом. 3. Комплексные действующие зна- чения напряжения и тока приемника В;100 90 jeU  А. 20 37 jeI  Определить активную и реактивную мощность приемника. 4. Показания приборов: U = 200 В; I = 5 А; P = 600 Вт. Определить комплексное сопротив- ление и комплексную мощность цепи ( < 0). 5. С помощью векторной то- пографической диаграммы опре- делить выходное напряжение Uвых, если U вх = 100 В; R = XС = 10 Ом. Рассчитать показание ваттметра. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. PA PV U R2 X2 PW   I2 I1 R1 X1 U вх R PW  a XC U вых XC XC  b c d PA PV U Z PW   XL U I R bL U I g 78 Тест 3 1. Цепь настроена в резонанс, при этом U2 = 100 В; U3 = 60 В; R = 16 Ом. Воспользоваться век- торной диаграммой и определить U1, I, XL, XС. 2. Дано: R = 8 Ом; XL = 6 Ом. Рассчитать емкость конденсатора С, при которой возникает резонанс, если f = 50 Гц. 3. В цехе установлены две группы приемников: P1 = 10 кВт,  0,50 cos 1  ; P2 = 15 кВт, 1 cos 2  . Определить токи каждого приемника I1, I2, общий ток I, cos всей нагрузки, если напряжение сети U = 380 В. 4. Рассчитать мощность конденсаторов, которые необходимо подключить параллельно приемникам задачи 3, чтобы повысить коэффициент мощности цеха до 1 cos  . Дано: Е = 220 В; R = 1 Ом; XL = 5 Ом. Определить комплексное сопротивле- ние нагрузки Zн, чтобы выделяемая в ней активная мощность была максимальна. Рассчитать эту мощность. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. U1 XC R1 PV3 PV2 PV1 XL U f C R XL E XL R Zн  5. 79 Тест 4 1. Дано: R1 = 10 Ом; R2 = 20 Ом; XС = 20 Ом. Рассчитать комплексное входное сопротивление цепи. 2. Дано: U = 220 В; R = 120 Ом; XС = 160 Ом. Определить показание ваттметра. 3. Линия электропередачи с активным сопротивлением Rл = 0,08 Ом и индуктивным сопротивлением Xл = 0,22 Ом питает приемник мощностью P2 = 22 кВт при напряжении U2 = 380 В и  .0,90 cos 2  Определить падение напряжения в линии Uл, напряжение в начале линии U1 и КПД линии. 4. Дано: Q = 100 вар; R1 = 20 Ом; Uав =50 В; I2=1,5 А. Определить активную мощность цепи P. 5. Две индуктивно связанные катушки включены последователь- но в сеть переменного тока напряжением 220 В. Параметры кату- шек: R1 = 10 Ом; R2 = 20 Ом; L1 = L2 = 15 Ом; М = 5 Ом. Определить напряжение на каждой из катушек при их встречном включении. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. а I2 I1 в Uвх R1 R2 XL I3 Uвх R1 R2 XС U R XС PW   80 Вариант 2 Тест 1 1. Комплексные действующие значения напряжения и тока при- ёмника В; 6060 jU  А. 34 jI  Определить параметры последовательной схемы замещения при- емника R, L (или С), если f=50 Гц. Рассчитать активную и реактив- ную мощности. 2. По векторной диаграмме построить схему замещения соответ- ствующей электрической цепи. Определить напряжение на зажимах цепи U, если U1 = 60 В, U2 = 85 В. А 3 sin101         ti ; А. 3 sin102         ti Записать уравнение  ti 3 . 4. Определить показания приборов, если R1 = 4 Ом; R2 = 2 Ом; XC = 8 Ом; XL = 16 Ом. Вольтметр V1 показывает 32 В. 5. Дано: XL = 10 Ом; XC = 5 Ом; Uab = 20 В; R = 16 Ом. Определить активную и реактивную мощности цепи. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. U 45 I U1 U2 U XL XC 2 R1 b 3 a 3 PA PV U R2 XC PW   R1 XL PV1 i1 i2 i3 3. 81 Тест 2 1. R1 = R2 = R3 = XL = XC = 10 Ом. Определить параметры последовательной схемы за- мещения цепи Rэ, Xэ. 2. Активная мощность цепи P = 180 Вт, реактивная Q = 340 вар. Напряжение Uab = 60 В; XL2 = 15 Ом. Определить XL1. 3. Показания приборов: I = 5 А; U = 220 В; P = 940 Вт. Определить параметры катушки R1, L, а также сдвиг фаз на участке cd, если R2 = 22 Ом; f = 50 Гц. 4. К цепи приложено напряжение U = 50 В; токи I = I1 = I2 = 5 А. Определить сопротивления элемен- тов цепи R, XL, XC. При решении вос- пользоваться векторной диаграммой. 5. Определить показания при- боров в цепи, если U = 100 В; R = XL = 10 Ом. Построить векторную топо- графическую диаграмму для проверки правильности расчета показания вольтметра. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. d U R PW  a  b c R XL R PV c PA PV U R2 PW   R1 L d U R1 R2 XL R3 XС U XC R XL I1 I2 I XL2 a I1 I b U XL1 R I2 82 Тест 3 1. Цепь настроена в резонанс. P = 100 Вт; Uab = 125 В; U = 100 В. Определить R, XL, XС. В цепи имеет место резонанс токов. Токи ветвей: I = 6 А; I2 = 8 А. Определить ток I1 и сопротивления R, XL, XС, если U = 100 В. 3. Напряжения на зажимах генератора и нагрузки равны U1 = U2 = 10 кВ. Активное и индуктивное сопротивления линии электропередачи переменного тока Rл=8 Ом, Xл=6 Ом. Ток линии I = 200 А. Определить характер и коэффициент мощности нагрузки. Построить векторную диаграмму. Коэффициент мощности приемника с параметрами R и L равен 2 3 cos  . Напряжение сети U = 380 В, частота f = 50 Гц, ток приемника I = 24 А. Определить емкость конденсатора С, который надо включить параллельно приемнику для получения 1cos  . 5. Нагреватель имеет номинальные параметры: Pном = 2 кВт, Uном = 127 В. Определить индуктивность L, с помощью ко- торой этот нагреватель можно включить в сеть напряжением U = 220 В, частотой f = 50 Гц. Построить векторную диаграмму. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. U XC R1 XL а b U C R XL I 4. U R1 L Uном U XC R XL I2 I1 I 2. 83 Тест 4 1. Определить комплексные сопротивления цепей, если R = XL = = XС = 10 Ом. Для изображенной вектор- ной диаграммы построить со- ответствующую электриче- скую цепь. Определить показание ваттметра при разомкнутом и замкнутом выключателе S, если U = 100 В; R = XL = XС = 50 Ом. 4. Дано: XL = 16 Ом; XC = 25 Ом; R = 33,33 Ом; I2 = 4 А. Определить входное напряжение U. Электростатический вольтметр, изме- ряющий ЭДС, показал 31,4 В; амперметр – 10 А. Определить взаимную индуктивность катушек, если частота тока f = 50 Гц. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. U R XC PW  R XL S 3 d c  3. U I1 I XL R I2 XС XL R XL XC 2 R 1 R 1 XL R XC U UC1 UR1 · UL1 I I1 I2 2. PV 5. M   PA U 84 Вариант 3 Тест 1 1. Напряжение и ток цепи изменяются по закону  В60314sin141  tu ; А314sin1,14 ti  . Определить параметры схемы замещения последовательной це- пи (R, L или C). Рассчитать полную, активную и реактивную мощ- ность. 2. К источнику напряжением В314sin141 tu  подключена ка- тушка, индуктивность которой L = 19,1 мГн, активное сопротивле- ние R = 8 Ом. Написать уравнение мгновенного значения тока катушки. По- строить векторную диаграмму. При каких сопротивлениях R сдвиг фаз между напряжениями U1 и U2 будет равен 0, 45, 60, если XC = 12 Ом? Ответы 1. 2. 3. 4. 5. R XC U1 U2 3. Дано: U = 173 В; Uк = Uр = 100 В; I = 10 А. Определить Rр, Rк, XL. U XL Rк 1 Uк Uр 4. Rр 1 I Определить ток I1, если I2 = 8 А, I3 = 6 А. Построить векторную диаграмму. 5. I3 U I1 I2 85 Тест 2 3. Комплексные действующие значения напряжения и тока при- емника В;220 150 jeU  А. 10 120 jeI  Определить комплексное сопротивление приёмника, активное и реактивное сопротивления последовательной схемы замещения. Рассчитать комплексную, активную и реактивную мощности. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. Определить действующие значения токов I2, I3, I1, если В314sin141 tu  ; R = 10 Ом; L = 31,8 мГн. L U R 1. I1 I3 I2 Дано: U = 127 В; I = 6,25 А; UС = 62,5 В; P = 470 Вт; f = 50 Гц. Рассчитать R, L, C, коэффициент мощности cos  цепи. U R С L1 UC I 2. 1 U XC R XL R PW   4. Определить показание ваттметра. Рассчитать реактивную мощность цепи, если U = 100 В; R = XL = XC = 5 Ом. С помощью векторной топографи- ческой диаграммы определить ком- плексное выходное напряжение Uвых, если U вх = 100 В; R = XL = XС = 5 Ом. Uвх XC XL R XL U вых 5. 86 Тест 3 1. При какой угловой частоте внешнего приложенного напряже- ния наступит резонанс напряжений в последовательной цепи, пара- метры которой C = 0,1 мкФ; L = 400 мГн? В цепи имеет место резонанс напряже- ний. Приложенное напряжение U = 120 В, частота f = 50 Гц, ток I = 15 А, ёмкость конденсатора C = 70 мкФ. Рассчитать параметры R, L цепи. В цепи наблюдается резонанс токов, при этом I1 = 5 А; I2 = 4 А; XL = 25 Ом. Рассчитать U, I, R, XC . 4. Приёмник электроэнергии потребляет активную мощность P = 10 кВт при токе I = 70 А, напряжении U = 220 В; f = 50 Гц. Рассчитать емкость C конденсаторов, которые необходимо включить параллельно приемнику, чтобы повысить cos  до 1. Линия с активным и индуктивным сопротивлениями Rл = 3 Ом; XL = 4 Ом работает в согласованном режиме с нагрузкой. Определить комплексное сопро- тивление нагрузки Zн, выделяющуюся в ней активную мощность Pн и напряжение на зажимах нагрузки U2, если U1 = 24 В. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. U R С L1 I 2. 1 2. 1 I1 I 3. U XC R XL I2 Zн Xл 5. U1 Rл I U2 87 Тест 4 1. Дано: Вsin141 tu  ; R = XС = 100 Ом. Записать комплексное действующее значение напряжения U, рассчитать ком- плексное сопротивление цепи Z, ком- плексное действующее значение тока I, показание амперметра I. Записать уравнение мгновенного значения тока i(t). Дано: Вsin141 tu  ; R = XС = 100 Ом. Рассчитать комплексную мощность цепи S, по ней определить показание ваттметра. Определить напряжение на входе цепи U, если I = 4 А; R = 15 Ом; XL = 10 Ом; XС = 20 Ом. Дано: U = 50 В; I = 2,5 А; активная мощность цепи P = 100 Вт; XL = 20 Ом. Рассчитать I1, I2, I3, XС. При решении воспользоваться век- торной диаграммой токов. 5. Две индуктивно связанные катушки включены последователь- но в сеть напряжением 220 В. Параметры катушек: R1 = 20 Ом; L1 = 18 Ом; R2 = 40 Ом; L2 = 34 Ом. В цепи протекает ток I = 2,2 А. Определить сопротивление взаимной индуктивности катушек М и характер их включения (согласное или встречное). Ответы 1. 2. 3. 4. 5. U R XС I PA U XC 3. R XL I b a U XC R PW   2. R U XC 4. XL I1 I3 I I2 88 Вариант 4 Тест 1 1. По осциллограммам тока и напря- жения определить их начальные фазы i, u и угол сдвига фаз , если при t = 0 u = –141 В, i = 7,05 А. Рассчитать R, L или C последова- тельной цепи, активную и реактивную мощность. Определить параметры R, L или C участков цепи, напряжение U и угол сдвига фаз  всей цепи, если U1 = 80 В, U2 = 60 В, I = 2 А, f = 50 Гц. 3. Для приемника дано: Z = 50 Ом;  А110sin28,2  ti ; напряжение опережает ток по фазе на угол 30. Записать комплексные действующие значения тока и напряже- ния, комплексное сопротивление приемника, активное и реактивное сопротивления последовательной двухэлементной схемы замеще- ния. 4. При замкнутом ключе S показание амперметра 5 А, при размыкании ключа ток изменяется в 1,25 раза. Определить R и C, если U = 400 В, частота f = 50 Гц. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. U C 2 R1 S3 PA I1 5. I3 U I2 Определить ток I3, если I1 = 2 А, I2 = 1 А. U1 I U2 2. 0,005 с u, i u i t Um = 282 В; Im = 14,1 А. 0 89 Тест 2 По векторной диаграмме определить пара- метры последовательной и параллельной схем замещения приемника, если U = 200 В; I = 2 А; cos = 0,6. Определить показания ваттметра и амперметра и коэффициент мощности це- пи, если U = 100 В, R1 = 30 Ом, XL = 40 Ом, R2 = 80 Ом, XC = 60 Ом. 3. По известным для последовательной цепи P = 800 Вт, Q = –600 вар, А 5 100 jeI  найти U. При разомкнутом ключе S I = 2 А, при замкнутом ток уменьшается, показания дру- гих приборов неизменны: U = 200 В, P = 240 Вт. Определить комплексное сопротивление приёмника Z и его комплексную мощность. 5. С помощью векторной топо- графической диаграммы опреде- лить выходное напряжение U вых, если U вх = 200 В, R = XС = 10 Ом. Рассчитать показание ваттметра. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. U  I 1. PA PV U R2 XC PW   R1 XL 2. a U вх R PW  d XC U вых XC  b c R C PA PV U Z PW   S 4. 90 Тест 3 1. Цепь настроена в резонанс, при этом U2 = 50 В, U1 = 30 В, P = 60 Вт. Воспользоваться векторной диаграммой и определить U3, I, R, XL, XС. 2. Дано: R = 40 Ом, С = 10 мкФ, L = 80 мГн. Рассчитать угловую частоту, при которой возникает резонанс. 3. Нагрузку цеха P = 10 кВт, Q = 6 квар образуют две группы приемников, питаемые напряжением U = 220 В; у первой группы P1 = 8 кВт, cos 1 = 0,8, 1 > 0. Определить токи приемников I1, I2, ток I и cos  всей нагрузки. 4. При подключении батареи конденсаторов параллельно приём- никам задачи 3 получен ,3.0 tg  Рассчитать реактивную мощность батареи и cos  цеха. Дано: R = 10 Ом, XC = 20 Ом. Определить комплексное сопро- тивление нагрузки Z.н, чтобы выде- ляемая в ней активная мощность была максимальна. Рассчитать эту мощность и ЭДС Е, если I = 3 А. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. U1 XC R1 PV3 PV2 PV1 XL C U f R L E R Z.н  5. XC 91 Uвх Тест 4 1. Дано: XС = 50 Ом, R = 50 Ом, XL = 50 Ом. Рассчитать комплексное входное сопротивление цепи. 2. Дано: U = 250 В, R = 30 Ом, XL = 40 Ом, XС = 80 Ом. Определить показание ваттметра. 3. Линия электропередачи питает приемник мощностью P2 = 10 кВт при напряжении U2 = 230 В и  ;0,8690 cos 22  КПД линии  = 0,978; напряжение в начале линии U1 = 240 В. Определить активное Rл и индуктивное Xл сопротивления линии и падение напряжения в линии Uл. 4. Дано: Uав = 100 В, P = 300 Вт, I3 = 4 А, XL = 20 Ом. Определить Q. 5. Две индуктивно связанные катушки включены последователь- но встречно в сеть переменного тока. Параметры катушек: R1 = 30 Ом, L1 = 80 Ом, R2 = 20 Ом, L2 = =50 Ом, М = 40 Ом. Напряжение на первой катушке U1 = 100 В. Определить напряжение на второй катушке U2 и напряжение сети U. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. U а I2 I1 в R XC I3 XL R XС XL U R XС PW   XL 1 92 Вариант 5 Тест 1 1. Для какой из изображенных электрических цепей справедлива диаграмма u(t); i(t)? Записать уравнения мгновенных значений напряжения u(t) и тока i(t). 2. Напряжение и ток приемника изменяются по закону  В27sin179  tu ;  А10sin85,3  ti . Определить начальные фазы напряжения u, и тока i, угол сдвига фаз . Рассчитать полное Z, , активное R, реактивное (XL или XC) сопротивления приёмника, его активную и реактивную мощ- ность. 3. По векторной диаграмме определить ха- рактер последовательной цепи и ее параметры (R, L или С), если U = 127 е j40 В; I = 2,54 е –j20 А; f = 50 Гц. 4. Определить показания ампер- метра и ваттметра, если U = 100 В; R = 30 Ом; XL = 50 Ом; XC = 10 Ом. Дано: U = 120 В; R = 40 Ом; XC = 50 Ом; XL = 20 Ом. Определить токи I1, I2, I. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. 0,02 с 0 u, i u i t Um = 141 В; Im = 7,07 А. 1) 2) 3) 4) 5) U XL 1 XC 2 R1 PA PW   +j U I u i +1 5. U I2 I I1 R XL 93 Тест 2 1. Параметры параллельной схемы замещения приемника R = 30 Ом; XC = 40 Ом. Определить параметры последователь- ной схемы замещения приемника R, XC. 2. Дано: U = 150 В; R = 30 Ом; = XL =XC = 40 Ом. Определить показания ваттметра и ко- эффициент мощности цепи при а) разо- мкнутом и б) замкнутом выключателе S. 3. Дано:  В53314sin135  tu ; R = 12 Ом; L = 51 мГн. Определить комплексное сопротивле- ние цепи Z, комплексное действующее значение тока I и комплексную мощность цепи S. 4. Реактивная мощность цепи Q = 80 вар; Uab = 80 В; I2 = 1 А; R1 = 25 Ом. Определить активную мощность цепи P. С помощью векторной топографи- ческой диаграммы определить выход- ное напряжение U вых, если U вх = 141 В; R = XL = XС = 10 Ом. Ответы 1. 2. а) б) 3. 4. 5. XС (bc) U R (g) U I3 I1 I2 R2 XL R1 a b R XL U I 5. d Uвх a b c R XL R XC Uвых U R  XL S XС PW  94 Тест 3 Дано: U1 = U2 = U3 = 75 В; R = 15 Ом. Определить Uвх., I, P, Q, S. Построить векторную диаграмму. 2. В цепи наблюдается резонанс токов, при этом I2 = 12 А; I3 = 8,95 А. Определить ток I1 (воспользоваться век- торной диаграммой). Рассчитать активную мощность цепи, если U = 100 В. 3. В сеть синусоидального тока напряжением U = 220 В включе- ны два приемника: P1 = 15 кВт,  0,50 cos 11  ; P2 = 20 кВт, 1 cos 2  . Определить токи каждого приемника I1, I2, общий ток I, cos всей нагрузки. 4. Рассчитать мощность конденсаторов, которые необходимо подключить параллельно приемникам задачи 3, чтобы повысить коэффициент мощности до ,940 cos  . 5. Наблюдается согласованный режим работы линии электропе- редачи синусоидального тока (Rл = 3 Ом; Xл = 7 Ом) с нагрузкой. Определить комплексное сопротив- ление нагрузки Zн и выделяемую в ней активную мощность, если U = 36 В. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. U XC R XL I3 I2 I1 Uвх XC R1 XL PV1 PV2 PV3 I 1. Zн Xл U Rл 2. 1 95 Тест 4 1. Дано: R = XL = XС = 20 Ом. Рассчитать комплексное входное сопротивление цепи. Дано: U = 100 В; R = 80 Ом; XL = 60 Ом. Определить показание ватт- метра при подключении негене- раторного зажима обмотки напряжения к а) точке a, б) точке b. 3. Напряжения в начале и в конце линии электропередачи (ЛЭП) равны U1 = 400 В, U2 = 380 В. Мощности P1 = 7300 Вт, P2 = 7000 Вт (2 > 0) при токе I = 25 А. Определить комплексное сопротивление ЛЭП. Дано: R = 16 Ом; XL = 7,5 Ом; XС = 20 Ом; I = 5 А. Определить напряжение U, активную и реактивную мощность цепи. 5. При последовательном соединении двух одинаковых катушек и согласном их включении сопротивление цепи Zсогл = 6 + j20 Ом. При встречном включении катушек Zвстр = 6 + j12 Ом. Определить активные R1, R2, индуктивные L1, L2 сопротивле- ния катушек, сопротивление взаимной индуктивности M и взаим- ную индуктивность катушек M, если f = 50 Гц. Ответы 1. 2.а) 2.б) 3. 4. 5. Uвх XL R XС I2 I1 I U XL R XС a b 4. U R   XL a PW b 2. 96 Л и т е р а т у р а 1. Электротехника и электроника: в 2 кн. / под ред. проф. В.Г. Ге- расимова. – М.: Высшая школа, 1996. – Кн. 1. – 480 с. 2. Борисов, Ю.М. Электротехника / Ю.М. Борисов, Д.Н. Липатов, Ю.Н. Зорин. – М.: Высшая школа, 1985. – 537 с. 3. Касаткин, А.С. Электротехника / А.С. Касаткин, М.В. Немцов. – М.: Высшая школа, 2002. – 542 с. 4. Иванов, И.И. Электротехника / И.И. Иванов, В.С. Равдоник. – М.: Высшая школа, 1984, 2003, 2005. – 496 с. 5. Сборник задач по электротехнике и основам электроники / под ред. В.Г. Герасимова. – М.: Высшая школа, 1987. – 288 с. 6. Рекус, Г.Г. Сборник задач по электротехнике и основам элек- троники / Г.Г. Рекус, В.Н. Чесноков. – М.: Высшая школа, 2001. – 416 с. 97 С о д е р ж а н и е ОДНОФАЗНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА (задачи с решениями) ....................... 3 Контрольные задачи ...................................................................... 65 Ответы к контрольным задачам ................................................... 75 ТЕСТЫ ДЛЯ КОМПЬЮТЕРНОГО ИЛИ АУДИТОРНОГО КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ СТУДЕНТОВ ................................................ 76 Литература ..................................................................................... 96 Учебное издание ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА Сборник задач с контрольными тестами для студентов неэлектротехнических специальностей В 6 частях Ч а с т ь 2 ОДНОФАЗНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА С о с т а в и т е л и : БЛАДЫКО Юрий Витальевич РОЗУМ Таисия Терентьевна ЗГАЕВСКАЯ Галина Васильевна и др. Ответственный за выпуск И.Ю. Никитенко Компьютерная верстка Т.А. Мархель, И.Н. Михневич Подписано в печать 30.09.2009. Формат 6084 1/16. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 5,70. Уч.-изд. л. 4,45. Тираж 200. Заказ 255. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Проспект Независимости, 65. 220013, Минск.