Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Электрические системы» Т.А. Шиманская-Семёнова ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЧНЫХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ РАСЧЕТА И АНАЛИЗА РЕЖИМОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТЕЙ Методическое пособие М и н с к Б Н Т У 2 0 1 0 Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Электрические системы» Т.А. Шиманская-Семенова ПРИМЕНЕНИЕ МАТРИЧНЫХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ РАСЧЕТА И АНАЛИЗА РЕЖИМОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СЕТЕЙ Методическое пособие по выполнению курсовой работы и изучению дисциплины «Математические модели в энергетике» для студентов специальности 1-43 01 02 «Электроэнергетические системы и сети» М и н с к Б Н Т У 2 0 1 0 УДК 621.311 ББК 31.279я7 Ш 61 Рецензенты: О.И. Александров, А.А. Волков Ш 61 Шиманская-Семенова, Т.А. Применение матричных моделей для расчета и анализа режимов электрических сетей: методическое пособие по выполнению курсо- вой работы и изучению дисциплины «Математические модели в энер- гетике» для студентов специальности 1-43 01 02 «Электроэнергети- ческие системы и сети» / Т.А. Шиманская-Семёнова. – Минск: БНТУ, 2010. – 158 с. ISBN 978-985-525-231-4. В методическом пособии излагаются теоретические основы со- временных методов расчета установившихся режимов электрических сетей на ЭВМ с использованием матричных моделей. Выводятся ос- новные уравнения установившихся режимов в матричной форме, описываются точные и итерационные методы их решения, рассмат- риваются вопросы сходимости итерационных методов. Приведены задания различной сложности и варианты исходных данных к курсо- вой работе, даны практические рекомендации по ее выполнению, ил- люстрируемые числовыми примерами. Методика выполнения курсовой работы ориентирована на ис- пользование программного пакета MathCAD. Пособие предназначено для студентов очного и заочного отде- лений специальности 1-43 01 02 «Электроэнергетические системы и сети» и также может быть использовано инженерами, чья деятель- ность связана с расчетами режимов электрических систем. УДК 621.311 ББК 31.279я7 ISBN 978-985-525-231-4 © Шиманская-Семенова Т.А., 2010 © БНТУ, 2010 3 Содержание Список условных обозначений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Предисловие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 РАЗДЕЛ 1. УРАВНЕНИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1. Понятие о режимах электрических систем и их математических моделях. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Аналитическое представление информации о конфигурации электрической сети с помощью матриц инциденций и матричная запись законов Кирхгофа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1. Принципы нумерации элементов схемы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2. Первая матрица инциденций «узлы-ветви» и ее применение для записи 1-го закона Кирхгофа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Вопросы для самопроверки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2.3. Вторая матрица инциденций «ветви-контуры» и ее применение для записи 2-го закона Кирхгофа. . . . . . . . . . . 19 1.2.4. Получение контурной конфигурационной модели электрической сети на основе ее узловой модели. . . . . . . . . . . . 23 Вопросы для самопроверки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.5. Запись уравнений состояния сети по законам Кирхгофа. . . . . . . 25 1.3. Узловая модель установившегося режима электрической сети. . . 27 1.3.1. Вывод узловых уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.2. Определение и характеристика матрицы узловых проводимостей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Вопросы для самопроверки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.4. Контурные уравнения установившихся режимов электрических систем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.4.1. Вывод контурных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.4.2. Определение и характеристика матрицы контурных сопротивлений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Вопросы для самопроверки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.5. Запись уравнений состояния сети с помощью матриц обобщенных параметров. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Вопросы для самопроверки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1.6. Расчет режима электрической сети с использованием матрицы коэффициентов распределения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Вопросы для самопроверки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.7. Решение уравнений состояния методом Гаусса. . . . . . . . . . . . . . . . 50 1.8. Факторы, влияющие на точность решения по методу Гаусса. . . . . . . . 51 4 РАЗДЕЛ 2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ. . . 52 2.1. Математическая характеристика уравнений установившегося режима. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.2. Характеристика методов решения систем уравнений установившегося режима. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.3. Итерационные методы решения систем уравнений установившегося режима. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4. Критерии сходимости итерации и анализ их выполнения для узловых уравнений установившихся режимов. . . . . . . . . . . . . 58 2.4.1. Доказательство теоремы сходимости итерации. . . . . . . . . . . . . . 58 2.4.2. Следствия из теоремы сходимости итерации. . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.4.3. Факторы, влияющие на сходимость итерации для узловых уравнений установившихся режимов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.4.4. Критерии сходимости и анализ сходимости нелинейных систем узловых уравнений установившихся режимов. . . . . . . . . 64 2.5. Решение уравнений узловых напряжений итерационными методами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.5.1. Решение уравнений узловых напряжений в форме баланса токов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.5.2. Обращенная форма уравнений узловых напряжений и их анализ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.6. Применение метода Ньютона для решения уравнений установившихся режимов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.6.1. Обоснование метода Ньютона для решения нелинейного уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.6.2. Применение метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.6.3. Решение нелинейных узловых уравнений методом Ньютона. . . 78 Вопросы для самопроверки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 РАЗДЕЛ 3. ЗАДАНИЯ И ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ К КУРСОВОЙ РАБОТЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 РАЗДЕЛ 4. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ БАЗОВЫХ РАЗДЕЛОВ КУРСОВОЙ РАБОТЫ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 ЛИТЕРАТУРА. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 ПРИЛОЖЕНИЕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5 Список условных обозначений Mn × m – первая матрица инциденций, состоящая из n строк (по числу узлов) и m столбцов (по числу ветвей); n – число независимых узлов в схеме; M∑ – 1-я матрица инциденций М, дополненная строкой связности для балансирующего узла Mn+1,j, где j = 1,…,m; Мα – блок 1-й матрицы инциденций размерностью (n × n) – для дерева сети; М – блок 1-й матрицы инциденций размерностью (n × k) – для хорд (М = [Мα Mβ]); N – вторая матрица инциденций, строки которой соответствуют независимым контурам, а столбцы – ветвям схемы; Nα, N – подматрицы второй матрицы инциденций для дерева и хорд (N = [Nα N]); Zв – матрица сопротивлений ветвей m-го порядка; Zα, Z – подматрицы сопротивлений ветвей дерева и хорд соот- ветственно; dZв – диагональная матрица сопротивлений ветвей m-го порядка; Yу – матрицa собственных и взаимных проводимостей узлов электрической сети, квадратная, неособенная; Iв – вектор-столбец токов ветвей; Iα, I – составляющие токов для дерева сети и хорд; Jу – вектор-столбец задающих токов в узлах сети; Eв = [Ei], i = 1, 2,..., m, – вектор-столбец ЭДС в ветвях; Eк – вектор-столбец контурных ЭДС, представляющих собой ал- гебраические суммы ЭДС ветвей Ев по независимым контурам; UБУ – напряжение балансирующего узла; Uв – падение напряжения на ветвях сети; U – вектор-столбец падений напряжений в узлах сети относи- тельно балансирующего узла; Uу – вектор-столбец напряжений в узлах сети; Cp = М-1 – матрица, обратная матрице М, – матрица коэффици- ентов токораспределения для дерева сети; E – единичная матрица; Sу – узловые задающие мощности; Zк – матрица контурных сопротивлений, которая является квад- ратной и неособенной; 6 C – матрица коэффициентов распределения; Sв – матрица потерь мощности на ветвях схемы; dIв – диагональная матрица токов ветвей; S – суммарные потери мощности в сети; Sнб – небалансы мощности в узлах схемы. Предисловие Целью дисциплины «Математическое моделирование в энергети- ке» является подготовка студентов в области разработки и примене- ния современных математических моделей и методов для решения задач энергетики с использованием ЭВМ. Изучению дисциплины предшествует усвоение курсов «Высшая математика», «Теоретиче- ские основы электротехники», «Информатика», «Основы САПР», «Введение в инженерное образование», «Электрические сети и си- стемы». В свою очередь, данная дисциплина служит основой для изучения курсов «Конструкции и режимы электрических сетей» и «Надежность электрических сетей». В предлагаемом пособии рассматривается основной раздел курса «Математическое моделирование в энергетике», посвященный мат- ричным моделям установившихся режимов электрических систем и методам их анализа на основе элементов теории графов, алгебры матриц, численных методов решения многомерных систем нели- нейных алгебраических уравнений. Также рассматриваются вопро- сы применения итерационных методов для расчета установившихся утяжеленных режимов и улучшение их сходимости. Расчет установившегося режима является наиболее часто встре- чающейся самостоятельной задачей в области анализа электриче- ских систем в практике проектирования и эксплуатации, а также входит составной частью или повторяющимся рабочим оператором в методики, алгоритмы и программы расчета переходных процессов, устойчивости электрических систем, оптимизации режимов и т. п. По- этому этой задаче уделяется большое внимание. Цель курсовой работы – углубить знания по предмету и приоб- рести навыки практических расчетов режимов: - формирование и преобразования матричных уравнений уста- новившегося режима электрических систем; - применение точных и итерационных методов для решения уравнений режима, наиболее эффективных при расчетах на ЭВМ; 7 - анализ результатов расчета нормальных и утяжеленных ре- жимов электрических систем. Выполнение работы ориентировано на ручные расчеты, либо на самостоятельное программирование действий с матрицами, либо на использование стандартного пакета MathCAD. Автор выражает благодарность студентам энергетического фа- культета БНТУ Кабанову Павлу, Гурвичу Виталию, Млынчик Ма- рине, и особенно Кузюковичу Александру за большую работу по подготовке рукописи к печати, а также заочному аспиранту кафед- ры, ведущему инженеру Оршанских электрических сетей Боброву Андрею Владимировичу за внимательное прочтение рукописи и оригинальный компьютерный рисунок на обложке. РАЗДЕЛ 1. УРАВНЕНИЯ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ 1.1. Понятие о режимах электрических систем и их математических моделях Электрическая система есть совокупность электрических стан- ций, электрических сетей и приемников электроэнергии, соединен- ных между собой и связанных общностью режима в непрерывном процессе производства, преобразования, распределения и потребле- ния электроэнергии при общем управлении этим режимом [11]. Под режимом электрической системы понимают ее состояние в ка- кой-то момент времени, описываемое набором характеристик или параметров режима. Режим определяется нагрузками электрических станций и потре- бителей электрической сети, а также состоянием схемы сети. Нагрузки меняются в разрезе суток, в течение недели, в рабочие и выходные дни, посезонно. Схема сети также изменяется (временно отключаются какие-то присоединения) из-за постоянного производ- ства на линиях и подстанциях профилактических работ, текущих и капитальных ремонтов, реконструкции и т. п. Поэтому нормальных режимов электрической системы может быть множество, но их па- раметры лежат в диапазоне от режима максимальных нагрузок до режима минимальных нагрузок, на которые рассчитывается элек- трическая система при проектировании. 8 Изменения электрических нагрузок сети происходят в каждый момент времени в силу изменения потребляемых мощностей элек- троприемников, обусловленного переменным режимом работы тех- нологических механизмов (например, тяговая нагрузка, станки, лифты и др.). Поэтому строго установившихся режимов электрических се- тей и систем практически не существует. Установившимся называ- ется режим, при котором среднее значение параметров за рассмат- риваемый период неизменно или изменяется незначительно. Остальные режимы являются переходными. Установившиеся ре- жимы разделяют на нормальные эксплуатационные, ремонтные, утяжеленные и послеаварийные режимы. Совокупность нагрузок потребителей и нагрузок электрических станций представляет собой независимые характеристики режима электрической системы. А токи, потоки мощностей по линиям сети и трансформаторам и уровни напряжений на шинах подстанций (в узлах электрической сети) зависят от величин нагрузок потребителей, нагрузок электростанций, конфигурации и параметров схемы электрической сети и представляют собой множество зависимых характеристик режима. Более 40 лет расчеты режимов электрических сетей выполняют- ся на ЭВМ. Для расчета сети на ЭВМ недостаточно иметь схему, связность которой воспринимается визуально. В памяти ЭВМ необ- ходимо создать математические модели электрической сети и ее режима, которые однозначно представляли бы сеть, позволяли вы- полнять расчет ее режимов и вести их разноплановый анализ. Для расчета режимов электрических сетей пользуются схемами за- мещения, описанными в [1–11], и математическими моделями. Мате- матическая модель режима электрической сети представляет со- бой совокупность организованных определённым образом (в базы данных) числовых массивов информации о конфигурации и парамет- рах электрической сети, заданных характеристиках режима по узлам сети и программ обработки этой информации, реализующих уравне- ния связи между зависимыми и независимыми характеристиками ре- жима на основе параметров схемы сети. Принципиально в одних ме- тодах расчета режима вначале определяются токи по ветвям, а затем падения напряжений на ветвях и напряжения в узлах сети (на шинах подстанций), потоки и потери мощности, а в других методах идут от расчета напряжений в узлах (на шинах подстанций) к определению токов, потоков и потерь мощности по ветвям (линиям сети). 9 Схемы замещения электрических систем представляют собой со- вокупность общепринятых для моделирования установившихся ре- жимов схем замещения отдельных элементов – генераторов, транс- форматоров, линий, нагрузок. На схеме электрической системы рис. 1.1 линии представлены длинами участков L и марками проводов µ, трансформаторы – но- минальными параметрами, что позволяет взять из справочников их паспортные данные. Далее может быть составлена схема замещения (рис. 1.2), параметры которой приведены к одной ступени напряже- ния. Эта схема может быть упрощена, если нагрузки на шинах вто- ричного напряжения подстанций просуммировать с потерями мощ- ности в трансформаторах, то есть привести их к стороне высшего напряжения, как показано на рис. 1.3. Pг±jQг P±jQ Ia±jIр UБУ Li Sт, n Sн Рис. 1.1. Схема электрической системы Li, м 10 Pг±jQг P±jQ Ia±jIр UБУ Rл +jX л Rт+jXт Sн P±jQ Рис. 1.2. Схема замещения электрической системы (параметры схемы приведены к одной ступени напряжения) Pг±jQг UБУ S2 Z1 Z3 Z2 Z4 Z5 S1 S3 1 2 3 4 3 1 2 I II 1-2 - хорда 1 2-3 - хорда 2 4-1 4-2 ветви I яруса дерево 1-3 ветви II яруса Рис. 1.3. Связанный направленный граф, соответствующий упрощенной схеме замещения с нагрузками, приведенными к стороне высшего напряжения подстанций I II 11 Технологическая постановка задачи расчета режима следующая. Для схемы электрической сети известной конфигурации и пара- метров требуется определить напряжения в узлах, а также токи, по- токи и потери мощности в ветвях сложнозамкнутой сети при задан- ном напряжении в одном из узлов сети, называемом опорным, для удобства записи уравнений совмещенным с балансирующим узлом – БУ (как правило – шины электростанции или крупной подстанции энергосистемы), и известных нагрузках в остальных узлах сети, за- данных в токах или мощностях Jу, Sу. Особенностью электрических систем и уравнений их установив- шихся режимов является многомерность и нелинейный характер связи заданных и искомых характеристик режима, а именно: - число линий и подстанций сети, а следовательно – узлов и вет- вей схемы замещения и количество уравнений, описывающих пара- метры их режимов, может составлять десятки, сотни и более; - нелинейный (в общем случае) характер уравнений взаимосвязи заданных и искомых характеристик режима – токов, напряжений, мощностей – является принципиально важным, усложняющим рас- четы режимов фактором при использовании как узловых, так и кон- турных и других методов описания режимов. Нелинейность урав- нений усугубляет проблему сходимости итерационных процессов их решения и порождает проблему неоднозначности результатов расчета режимов. 1.2. Аналитическое представление информации о конфигурации электрической сети с помощью матриц инциденций и матричная запись законов Кирхгофа 1.2.1. Принципы нумерации элементов схемы Математическое описание и анализ схем замещения электриче- ских сетей ведется с использованием теории графов. Очевидно соот- ветствие элементарных понятий из теории графов и теории электри- ческих цепей, а именно: однолинейной схеме замещения трехфазной симметричной сложнозамкнутой электрической сети соответствует связанный направленный граф, который состоит из вершин и ре- бер, образующих дерево и хорды схемы. Аналогичные понятия и термины из теории цепей – узел, ветвь, разветвленная разомкну- тая сеть и ветви, замыкающие контуры или контурные ветви. 12 Обобщенное аналитическое представление связности графа (или конфигурации сети) может быть дано с помощью матриц соедине- ний (инциденций): - матрицы соединений ветвей в узлах М, или I матрицы инци- денций, которая позволяет сформировать узловую модель конфигу- рации электрической сети и в наиболее общем виде записать урав- нения 1-го закона Кирхгофа; - матрицы соединения ветвей в независимые контуры N или II матрицы инциденций, которая позволяет сформировать контурную модель конфигурации электрической сети и в общем виде записать уравнения 2-го закона Кирхгофа. Для аналитического представления конфигурации в виде матриц инциденций схема замещения или ее граф должны быть предвари- тельно пронумерованы. В общем случае нумерация элементов схе- мы может быть произвольная, но на стадии освоения предмета для обеспечения наглядной структуры матриц параметров сети и урав- нений состояния целесообразно вести упорядоченную нумерацию элементов схем с использованием принципа ярусности. В схеме электрической системы выбирают балансирующий узел (БУ) – шины электростанции или крупной подстанции энергосистемы, мощность которого, в отличие от других узлов сети, не фиксируется. Балансирующему узлу присваивается последний (n + 1) -й номер. Порядок нумерации схем с учетом принципа ярусности: 1. Числами натурального ряда на графе схемы последовательно нумеруются все ветви, берущие свое начало в балансирующем узле, и такие же номера присваиваются узлам (вершинам), которые яв- ляются концами этих ветвей (концом первой ветви должен быть узел 1, концом второй – узел 2 и т. д.). Эти ветви составят первый ярус схемы. 2. Затем, начиная с первой вершины графа, по аналогичному принципу выбираются и нумеруются ветви второго яруса, оттека- ющие от конечных вершин ветвей первого яруса, затем ветви тре- тьего яруса, оттекающие от конечных вершин ветвей второго яру- са, и т. п. То есть начальными вершинами ветвей последующего яруса служат концы ветвей предыдущего яруса, и рассмотрение уз- лов ведется в порядке возрастания их номеров – в этом суть прин- ципа ярусности (в реальной схеме электрической сети может быть несколько сотен ветвей). Для всех ветвей за положительное прини- 13 мается направление от начальной вершины к конечной и номер начала ветви меньше номера конца (Nнач < Nкон). Совокупность n ветвей схемы, составляющих минимальный свя- занный подграф (часть графа), обеспечивающий связь балансирую- щего узла со всеми n независимыми узлами схемы, образует так называемое дерево сети. 3. Когда в ходе нумерации встречается ветвь, подтекающая к ра- нее пронумерованному узлу (и, следовательно, запитанному по де- реву сети), то эта ветвь замыкает собой контур и называется хор- дой. Для каждой из хорд за положительное также принимается направление от начальной вершины к конечной. Хорды условно помечаются на схеме и отдельно нумеруются (I, II, III, …, k, где k – число контуров) в дополнение к сквозной нумерации ветвей j = 1, 2, …, n, n + 1, …, m. 4. В результате нумерации схемы формируется массив номеров (и наименований) ветвей дерева из n элементов, массив номеров (и наименований) узлов Ni – из n элементов и массив номеров (и наименований) хорд схемы – k элементов, где k + n = m – полному числу ветвей схемы. Сложившийся в процессе нумерации элементов схемы порядок следования информации внутри массивов номеров узлов и номеров ветвей далее сохраняется для всех других однородных массивов заданных параметров схемы и искомых характеристик режима по узлам и ветвям: - наименований узлов; - наименований ветвей Nнач – Nкон; - параметров ветвей схемы (Rв, Хв, kт, Yc); - заданных параметров режима по узлам сети (Py, Qy, Jy); - искомых характеристик режима по узлам и ветвям Uy, Uв, Iв, Pв, Qв, Рв и т. п. 1.2.2. Первая матрица инциденций «узлы-ветви» и ее применение для записи 1-го закона Кирхгофа Для составления первой матрицы инциденций Mnxm заготавли- вается таблица, состоящая из n строк (по числу узлов) и m столбцов (по числу ветвей), где m = n + k. Строки ее соответствуют узлам, а столбцы – ветвям схемы замещения. 14 Номер строки матрицы соответствует номеру рассматриваемого узла i. Номер столбца j соответствует номеру рассматриваемой вет- ви в объединенном массиве информации о ветвях. Элемент mi,j мат- рицы, принадлежащий i-й строке и j-му столбцу, может принимать одно из трех значений: +1, –1 или 0: mi,j = 1, если узел i является начальной вершиной ветви j (ветвь j «оттекает» от узла i); mi,j = -1, если узел i является конечной вершиной ветви j (ветвь j «подтекает» к узлу i); mi,j = 0, если узел i не является вершиной ветви j, т. е. не связан с этой ветвью. Правило знаков о направлениях для подтекающих и оттекающих ветвей можно принять любое, но одно для решаемой задачи. Мы придерживаемся вышеприведенного, принятого в [1]. На рис. 1.4 показан направленный граф, соответствующий схеме замещения двухконтурной электрической сети. Приведем пример составления матрицы М для этой уже пронумерованной с учетом принципа ярусности схемы. 1 2 3 4 БУ IV V 1 2 3 Рис. 1.4 Составим таблицу из четырех строк и пяти столбцов. Пронуме- руем ее строки и столбцы соответственно номерам узлов и номерам ветвей схемы; отделим подматрицы для дерева и хорд (табл. 1.1). 5 4 I II 15 Таблица 1.1 Первая матрица инциденций Mα – дерево M – хорды Ветви Узлы 1 2 3 4 5 1 -1 0 +1 +1 0 2 0 -1 0 -1 +1 3 0 0 -1 0 -1 БУ 1 1 0 0 0 Поясним заполнение первой строки матрицы M для 1-го узла. Подматрица M. 1-й узел дерева является конечной вершиной ветви 1, α11 1m   ; ветвь 2 не связана с узлом 1, α12 0m  ; узел 1 является начальной вершиной ветви 3, α13 1m   . Подматрица M. Узел 1 является начальной вершиной хорды I (ветвь 4), β11 1m   , хорда II (ветвь 5) не связана с узлом 1, β12 0m  . Остальные строки заполняются аналогично. Каждая i-я строка матрицы M показывает, какие ветви j, где j = 1, 2,…, m, связаны с данным узлом i и как они направлены. Если ввести в рассмотрение вектор-столбец токов ветвей ВI , где  В 1 2 3, , , , T mI I I I I , то произведение i-й строки матрицы M на вектор-столбец токов ветвей Ib, полученное по правилам действий с матрицами, даст алгебраическую сумму токов, сходящихся по вет- вям в i-м узле, и эта сумма должна быть равна задающему току в узле Jyi, т. е. получаем выражение 1-го закона Кирхгофа для соот- ветствующего узла i: у 1 0 m ij j i j m I J    . (1.1) Если такое умножение выполнить для всех строк матрицы M , то получим запись 1-го закона Кирхгофа для схемы в целом: 16 в у 0M I J   или в уM I J   , (1.2) где  У 1 2 3, , , , T nJ J J J J – вектор-столбец задающих токов в n независимых узлах (БУ не является независимым узлом). 1-я матрица инциденций M , дополненная строкой инцидентно- сти для балансирующего узла 1,n jM  , где j = 1,…, m, обозначается как M . Каждый j-й столбец матрицы M обязательно содержит +1 и –1 и указывает, какие узлы ограничивают данную j-ю ветвь. Сумма элементов любого j-го столбца матрицы M равна нулю. Знаки для элементов векторов-столбцов токов ветвей вI и токов узлов уJ , входящих в выражения (1.1), (1.2), принимаются как и для элементов матрицы M . Следовательно, токи нагрузок, стоящие в векторе уJ , оттекают от узлов и имеют знак «+», токи генераторов подтекают к узлам и имеют знак «–»: н у г . J J J       При принятой раздельной нумерации ветвей дерева и хорд, опи- санной в 1.2.1, матрица α βM M M    формируется как блочная с блоком α M размерностью (n × n) – для дерева сети и блоком βM размерностью (n × k) для хорд. Соответственно векторы параметров ветвей и па- раметров режима ветвей будут содержать составляющие для де- рева сети с индексом α (Zα, Iα, Sα) и для хорд – с индексом β (Z, I, S): α α α β в в β β 0 , , 0 dZ I M M M dZ I dZ I                 . (1.3) 17 С учетом блочной структуры матриц выражение 1-го закона Кирхгофа (1.2) примет вид α α β у β . I M M J I            Выполнив умножение, получим α α β β уM I M I J     . (1.4) Для схемы типа дерева – разомкнутой сети, контуры и хорды от- сутствуют, β 0M  , β 0I  . Тогда выражение (1.4) примет вид α α у.M I J   (1.5) Подматрица αM квадратная, невырожденная, сумма ее строк не обращается в ноль, поскольку для БУ строка отсутствует. Следова- тельно, уравнение (1.5) может быть решено относительно токов в ветвях дерева αI :  -1α α уI M J   . (1.6) Обратную матрицу -1 αM можно найти прямым обращением мат- рицы αM для дерева сети (приложение), но можно определить пу- тем элементарных преобразований матрицы αM . К элементарным преобразованиям относятся:  перестановка строк;  умножение всех элементов строк на число, не равное нулю;  прибавление к строке другой строки, умноженной на неко- торое число. Схематически процесс нахождения обратной матрицы можно изобразить так: αM E  элементарные преобразования  рE C , где E – единичная матрица. 18 Здесь матрица рC – обратная для матрицы αM ( -1 р  MC ) и представляет собой матрицу коэффициентов токораспределения для дерева сети; согласно (1.6) ее элемент ijCр показывает, какая доля от тока j-го узла jJ будет протекать по i-й ветви дерева схемы. В частном случае разомкнутой сети типа дерева по уравнению (1.6) с помощью матрицы рC при известных задающих токах узлов уJ может быть найдено токораспределение в ветвях – матрица αI :  α р уI C J   . (1.7) В разомкнутом режиме по схемам типа дерева работает целый класс электрических сетей – распределительные сети с номиналь- ными напряжениями 0,4; 6–10; 35 кВ, которые выполнены (соору- жены) как замкнутые сети с резервированием, но работают в разо- мкнутом режиме. Поэтому быстрые и эффективные способы реше- ния на ЭВМ задачи (1.6), (1.7) практически актуальны и были разработаны и программно реализованы в 1970-х годах в работах кафедр «Электрические сети и системы» Киевского политехниче- ского института, Белорусского политехнического института и яви- лись основой программных комплексов анализа и оптимизации ре- жимов разомкнутых сетей, поиска оптимальных мест размыкания городской кабельной сети по критерию минимума потерь мощности и энергии и пр. Вопросы для самопроверки 1. Чем отличаются матрицы M , αM , M ? 2. Чему равна сумма элементов столбца матрицы M и почему? 3. Чему равна сумма всех строк матрицы M , взятая по столбцу? 4. В каком случае система уравнений (1.2) имеет решение? 5. Каков физический смысл элемента строки ijC матрицы коэф- фициентов токораспределения рC ? 6. Чему равна сумма элементов столбца матрицы PC ? 19 7. Чему равны диагональные элементы матрицы αM при упо- рядоченной нумерации узлов и ветвей, основанной на принципе ярусности? 8. Как найти обратную матрицу? 9. Что значит рассчитать режим электрической системы? 10. Приведите состав исходной информации о режиме электри- ческой системы и состав выходной информации о режиме. 1.2.3. Вторая матрица инциденций «ветви–контуры» и её применение для записи 2-го закона Кирхгофа Для обобщенного аналитического представления конфигурации расчетной схемы замещения электрической сети, или в терминах теории графов – связности направленного графа, соответствующего схеме замещения сети, при записи 2-го закона Кирхгофа служит матрица соединений ветвей в независимые контуры N – вторая мат- рица инциденций «контуры–ветви». Матрицу N можно представить в виде таблицы, строки которой соответствуют независимым контурам, а столбцы – ветвям схемы. Соответственно матрица N имеет k строк и m столбцов; ее элементы могут принимать значения nij = 1; 0. N = (nij); i = 1, 2,…, k; j = 1, 2,…, m; nij = 1, если ветвь j входит в состав контура i и их направления совпадают; nij = -1, если ветвь j входит в состав контура i, но их направления противоположны; nij = 0, если ветвь j не входит в контур i. Каждая строка матрицы N показывает, какие ветви образуют со- ответствующий независимый контур. Каждый столбец матрицы по- казывает, в состав каких независимых контуров входит данная ветвь и как соотносится направление ветви с направлением обхода кон- кретного контура. При упорядоченной нумерации схемы с учетом принципа ярусности ветви дерева и хорды получают условное поло- жительное направление от начала к концу, то есть от узла с номером Nн к узлу с номером Nк, где Nн < Nк. Направление обхода i-го контура соответствует направлению i-й хорды, замыкающей этот контур. На рис. 1.5 показан направленный граф, соответствующий схеме замещения трехконтурной электрической сети. Приведем пример 20 составления матрицы N для этой уже пронумерованной с учетом принципа ярусности схемы. 1 2 III 4 БУ 5 6 7 I к. II к. III к. 1 2 3 4 I II Рис. 1.5. Связанный направленный граф трехконтурной схемы сети Составим таблицу из трех строк и семи столбцов соответственно трем контурам и семи ветвям схемы. Пронумеруем ее строки и столбцы соответственно номерам контуров и номерам ветвей схе- мы; отделим подматрицы Nα, N для дерева и хорд (табл. 1.2). Таблица 1.2 Вторая матрица инциденций Nα Nβ Ветви Контуры 1 2 3 4 5 6 7 I II III I 1 -1 0 0 1 0 0 II -1 1 -1 0 0 1 0 III 0 0 1 -1 0 0 1 Поясним заполнение первой строки матрицы N для 1-го контура. Подматрица N. 1-я ветвь дерева входит в состав I контура, и ее направление совпадает с направлением 1-й хорды: α11n = 1; 2-я ветвь дерева также входит в состав I контура, но ее направление противо- 21 положно: α12n = -1. Остальные ветви дерева не входят в первый кон- тур, поэтому первую строку подматрицы N завершаем нулями. Подматрица βN . I контур замыкается I хордой. Ее направление 1–2 «от узла с меньшим номером к узлу с большим номером». Оно же определяет направление обхода по контуру, поэтому элемент β11n = 1. Остальные хорды (по принципу нумерации) не входят в I контур, то есть β1 0kn  при k ≠ i. Вторая строка матрицы N для II контура образуется ветвями де- рева 1, 2, 3-й и II хордой. Причем с учетом направления II хорды (ветвь 6 между узлами 2–3) элементы: nα21 = -1; nα22 = 1; nα23 = -1; nα24 = 0; n21 = 0; n22 = 1; nβ23 ≡ n27 = 0. Третья строка матрицы N соответствует III контуру и образуется ветвями дерева 3-й и 4-й и III хордой (7-я ветвь между узлами 3–4). Строка N3j: nα31 = 0; nα32 = 0; nα33 = 1; nα34 = -1; n31 = 0; n32 = 0; n33 = 1. Получили блочную матрицу α βN N N    , где Nβ – единичная матрица. Отметим, что приведенная матрица N составлена для базисной системы независимых контуров, которая отвечает трем известным условиям: - каждая хорда входит только в один контур; - направление обхода по контуру соответствует направлению хорды; - номер хорды соответствует номеру контура. Матрица N позволяет записать для электрической сети в целом систему взаимно независимых уравнений по 2-му закону Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений по ветвям замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС или в данном случае равна нулю: 22 в 0N U  , (1.8) где  в вiU U , 1,2, ,i m – вектор-столбец падений напряжений на ветвях схемы. По закону Ома в матричной форме для всех участков сети в це- лом можно записать вектор-столбец падений напряжения на ветвях (рис. 1.6) в в в вU dZ I E   , (1.9) где вdZ – диагональная матрица сопротивлений ветвей m-го порядка;  в , 1,2, ,iE E i m  , – вектор-столбец ЭДС в ветвях;  в , 1,2, ,iI I i m  , – вектор-столбец токов в ветвях. UВi ЕiIi Zi Рис. 1.6 Подставляя (1.9) в (1.8), получаем матричную форму 2-го закона Кирхгофа: в в в( ) 0N dZ I E    или в в КN dZ I E   . (1.10) Здесь К вE N E  – вектор-столбец контурных ЭДС, представ- ляющих собой алгебраическую сумму ЭДС ветвей, входящих в каждый независимый контур. 23 1.2.4. Получение контурной конфигурационной модели электрической сети на основе ее узловой модели После того как для схемы (вручную или на ЭВМ с помощью ма- шинного алгоритма) составлена блочная I матрица инциденций α βM M M    , в которой отделены дерево и хорды схемы, процесс получения блочной II матрицы соединений α βN N N    можно формализовать и алгоритмизировать. Покажем это. В выражении (1.8) В U – падение напряжения на ветвях – можно записать как B TU M U    или у в БУ T U U U M          , (1.11) У БУU U Un    , где УU – вектор-столбец напряжений в узлах сети n-го порядка; n – единичный вектор-столбец n-го порядка. Подставляя (1.11) в (1.8), из 2-го закона Кирхгофа получим 0 T N M U   . Если произведение трех величин равно нулю, то равен нулю один из сомножителей или произведение двух других. Поскольку 0U  , следовательно, 0TN M  . (1.12) Формула (1.12) выражает общее топологическое свойство свя- занного направленного графа. Она подробно пояснена в [2]. Подставим матрицы N и M в виде их блоков в выражение (1.12): α α β β 0 T T M N N M            . (1.13) 24 Заметим, что αM и βN – квадратные и обратимые матрицы. Перемножив, получим α α β β 0 T TN M N M    . При формировании базисной системы независимых контуров подматрица βN есть единичная матрица, т. е. βN E , и при умно- жении E опускается. Получаем α α β 0 T TN M M   . Отсюда выразим подматрицу N , умножая оба слагаемых на 1 α( ) TM  справа: 1 α β α )( T TN M M   , а 1 α α β TN M M   . (1.14) Таким образом, при выделении базисной системы независимых контуров, когда βN E , подматрицу αN можно получить выпол- нением стандартных операций над блоками первой матрицы инци- денций αM , βM . На использовании второй матрицы инциденций N основан пол- ный метод расчета и анализа электрического режима – метод кон- турных уравнений, который будет рассмотрен ниже. Вопросы для самопроверки 1. Каковы структура и размер второй матрицы соединений? 2. При каких условиях βN – единичная матрица? 3. Как формулируется основное свойство связанного направлен- ного графа? 25 4. Дайте характеристику и укажите область применения второй матрицы инциденций N . 5. Почему для нахождения напряжений узлов сети относительно базисного U из выражений в TU M U  достаточно обратить матрицу α TM ? 6. Какая связь существует между подматрицами первой и второй матриц инциденций и как она формулируется? 7. Обоснуйте достаточность информации, содержащейся в под- матрицах 1 αM  , βM для формирования подматрицы αN . 1.2.5. Запись уравнений состояния сети по законам Кирхгофа Уравнения состояния электрической сети по законам Кирхгофа (1.2), (1.10) связаны общим вектором искомых переменных–токов ветвей вI и образуют систему из m уравнений с m неизвестными: в у в в в M I J N dZ I N E         или, введя составные (блочные) матрицы, получаем у в в в JM I N dZ N E             . Матрицы соединений M , N и диагональную матрицу сопро- тивлений ветвей вdZ можно представить в виде блоков для дерева и хорд схемы, как в выражении (1.3): α β у в α α β β в JM M I N dZ N dZ N E              . (1.15) 26 Приняв обозначения α β α α β β M M A N dZ N dZ       , у в J F N E       , запишем (1.15) как вA I F  . (1.16) Здесь A – квадратная составная матрица коэффициентов систе- мы уравнений состояний сети по законам Кирхгофа порядка m – содержит информацию об узловой и контурной моделях конфигу- рации сети в виде матриц M и N и о параметрах сети αZ , βZ ; F – вектор-столбец правых частей системы уравнений, содер- жит уJ – задающие токи узлов и вE – ЭДС ветвей – независимые заданные характеристики режима; вI – вектор-столбец неизвестных системы уравнений – токи вет- вей схемы в α β[ ] T TI I I – искомые характеристики режима. Уравнения (1.15), (1.16) решаются относительно токов ветвей вI : 1 вI A F   . По найденному токораспределению вI и известному напряже- нию в балансирующем узле БУU могут быть найдены падения напряжения на ветвях Uв и напряжения остальных узлов сети U , уU Таким образом, задача расчета режима в линейной постановке удовлетворительно решается по уравнениям Кирхгофа, однако для промышленных программ этот подход не применяется, так как по- рядок системы уравнений (1.16) и обращаемой матрицы A велик – равен числу ветвей схемы m. Для разработки промышленных про- грамм расчета режимов применяются методы, приводящие к систе- мам уравнений состояния с матрицами меньшей размерности – уз- ловые методы или контурные методы расчета установившихся ре- жимов электрических систем. 27 1.3. Узловая модель установившегося режима электрической сети 1.3.1. Вывод узловых уравнений Эти уравнения выводятся из уравнений баланса токов в узлах по 1-му закону Кирхгофа (1.2). Для электрической сети в матричной форме записи в уM I J   , (1.17) где уJ – вектор-столбец задающих токов узлов n-го порядка; вI – вектор-столбец искомых токов ветвей порядка m. В общем случае из этого уравнения нельзя найти токораспреде- ление вI , так как число уравнений равно числу узлов n, а число не- известных равно числу ветвей m. Выразим токи ветвей через паде- ния напряжения на ветвях вU : -1 в в в в( )I dZ U E   . (1.18) В свою очередь, падения напряжения на ветвях вU с использо- ванием I матрицы соединений M , TM можно выразить через напряжения узлов электрической сети уU или ΔуU , то есть через вектор-столбец меньшей размерности, чем число ветвей: в в [ 1] [ 1] ( ) T m nm n U E M U          (1.19) или у в в [ 1] [ ( 1)] БУ [( 1) 1] ( ) T m m n n U U E M U              . (1.19 а) 28 Здесь TM – транспонированная I матрица инциденций; ΔуU – вектор-столбец падений напряжений в узлах сети относительно базисного узла; уU – вектор-столбец напряжений узлов электрической се- ти n-го порядка: у БУ уU n U U   ; у БУ U U       – составной вектор (n + 1)-го порядка, содержащий вектор уU n-го порядка и напряжение в балансирующем (n + 1) узле БУU . Подставив в уравнение (1.17) токи ветвей из (1.18) и падения напряжения на ветвях сети из (1.19), получим 1 в Δу у- TM dZ M U J    . (1.20) Обозначим произведение трех матриц M , 1 ВdZ  , TM через УY : 1 у в TY M dZ M   , где уY – квадратная неособенная матрица n-го порядка. Её называ- ют матрицей собственных и взаимных проводимостей узлов элек- трической сети, это важнейшая матрица параметров в анализе элек- трических сетей. С учетом подстановки Yу формула (1.20) примет следующий вид: у Δ у-Y U J  . (1.21) Выражение (1.21) представляет собой систему узловых уравне- ний установившегося режима электрической сети при задании нагрузок в токах. Если выразить вU по (1.19) через абсолютные значения напря- жений узлов уU и подставить в (1.17), то получим 29 у1 в у БУ T U M dZ M J U             . (1.22) Произведение 1 в TM dZ M   представляет собой матрицу УY , дополненную столбцом проводимостей ветвей между i-м и балан- сирующим узлами бiy : 1 в у б T iM dZ M Y y         . (1.23) С учетом (1.23) левая часть системы узловых уравнений (1.22) примет вид у у б у у б БУ БУ i i U Y y Y U y U U                 . Перенеся произведение известных величин б БУiy U в правую часть (1.22), получим систему узловых уравнений относительно напряжений узлов электрической сети уU : у у у б БУiY U J y U     . (1.24) Обе системы узловых уравнений (1.21) и (1.24) имеют матрицы коэффициентов уY – матрицы узловых собственных и взаимных проводимостей. Поскольку матрица узловых проводимостей УY для совокупности независимых узлов схемы невырожденная, то систе- мы уравнений (1.21) и (1.24) могут быть решены (путем обращения этой матрицы или другим способом) относительно векторов зави- симых переменных ΔуU или уU :  1Δу у уU Y J   , (1.25)  1у у у б БУiU Y J y U     . (1.26) 30 Нагрузки в узлах сети часто представляют через узловые задаю- щие мощности yiS : y у у i i i S J U  , (1.27) где уiU – сопряженный комплекс напряжения в i-м узле. Тогда y у Δ у i i S Y U U          (1.28) или y у БУ i i S Y U U U           , (1.29) y у у б БУ у i i i S Y U y U U            . Из уравнений (1.28), (1.29) вытекает важное заключение: – задача расчета установившегося режима электрической систе- мы по природе своей нелинейная, поскольку напряжения узлов сети зависят от падений напряжений на ветвях, следовательно, от токов узлов и ветвей, а узловые токи по (1.27) зависят от искомых узло- вых напряжений; кроме того, если освободиться от знаменателя в правой части (1.29), то левая часть становится уравнением второй степени относительно неизвестных узловых напряжений уU . 31 Системы нелинейных уравнений (1.28), (1.29) могут разрешаться относительно искомых напряжений узлов аналогично (1.25) с орга- низацией внешнего итерационного процесса коррекции задающих токов ( ) у kJ по узловым мощностям уS и рассчитанным напряжениям ( ) у k iU (1.27). Если напряжения узлов рассчитаны с желаемой точностью (по выражениям (1.25), (1.26) или какими-либо другими методами), то остальные параметры режима – токи ветвей вI , потоки и потери мощности i jS , i jS – определятся однозначно и точно. 1.3.2. Определение и характеристика матрицы узловых проводимостей Матрица коэффициентов системы уравнений узловых напряже- ний уY квадратная, неособенная, симметричная, n-го порядка, для схем переменного тока имеет комплексные элементы или распада- ется на две вещественные матрицы ' "Y Y jY  . Для реальных схем электрических сетей матрица слабозаполненная. Из n2 ее эле- ментов только примерно 4n элементов являются ненулевыми (в случае когда число ветвей схемы m  1,5n). При разработке алго- ритмов и промышленных программ используют методы компактно- го хранения этой симметричной слабозаполненной матрицы, ис- ключающие действия с нулевыми элементами. Это снижает требуе- мый объем памяти ЭВМ и повышает быстродействие программ, что остается актуальным и до настоящего времени, несмотря на боль- шие ресурсы и быстродействие современных ЭВМ. Получим матрицу узловых проводимостей для конкретной схе- мы электрической сети (см. рис. 1.4). БУ, α β 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 jM M M M                  , 32 3 1 2 у в 3 ( ( 1)) 4 ( 1) 5 1 3 4 2 4 5 ( 1) 5 1 2 ( 1) 1 3 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 T T m n n m m m T m n n m y y Y M dY M y M y y y y y y y y M y y y y y y y                                                                      4 4 3 1 4 2 4 5 5 2 3 5 3 5 1 2 1 4 ( 1) ( 1) 0 0 n n y y y y y y y y y y y y y y y y y                          Как видим, матрица узловых проводимостей Y – квадратная, симметричная. Ее порядок равен числу узлов схемы (n + 1). Ее по- бочные (недиагональные) элементы yij = yji . Каждый диагональный элемент матрицы узловых проводимостей представляет собой сум- му побочных элементов строки (или столбца), взятую с противопо- ложным знаком. Матрица узловых проводимостей для схемы электрической сети, включающая балансирующий узел, обязательно вырожденная в си- лу способа ее получения, и это подтверждается простейшим анали- зом выражения (1.30) – сумма элементов строк или столбцов уY  равна 0. Поэтому когда в схеме назначается балансирующий узел, для которого не составляется узловое уравнение (то есть удаляется столбец и строка из матрицы уΣY ), то матрица Y обязательно ока- зывается невырожденной: det 0; det 0Y Y   . При удалении строки, соответствующей балансирующему узлу, порядок матрицы Y понижается на единицу. Для большинства строк матрицы имеет место выражение: (1.30) 33 1 n ii ij j y y   , и только для узлов, имеющих связь с балансирующим, имеет место соотношение б 1 1 n n ii ij i ij j j y y y y       , то есть диагональный элемент оказывается больше суммы побочных элементов. Это обстоятельство имеет формальное решающее значе- ние для сходимости итерационных процессов решения узловых уравнений. Здесь i, j – номера узлов, ограничивающих ветви с прово- димостями yij, и соответственно индексы строк и столбцов матрицы. Расчет режима сети, как инженерная задача, формулируется как определение напряжений узлов сети при известных конфигурации и параметрах сети, нагрузках узловых точек и напряжении минимум в одном из узлов сети, называемом базисным или балансирующим. Матрица узловых проводимостей содержит полную инфор- мацию о конфигурации и параметрах электрической сети и мо- жет быть составлена непосредственно по схеме сети1, (минуя процедуру перемножения матриц) на основе визуального пред- ставления схемы и ее нумерации. Она также может быть со- ставлена программным путем с использованием списков номе- ров узлов N и наименований ветвей Nнач и Nкон. В общем случае для схемы переменного тока проводимости вет- вей носят комплексный характер и матрица Yу имеет комплексные элементы: 2 2 2 2 2 2 1 1 ij ij r jx r x y j y jy z r jx r x r x r x              . Для схемы n-го порядка в общем случае матрица узловых прово- димостей запишется как 1 Опираясь на изначальное представление информации о конфигурации в виде списков номеров узлов N и наименований ветвей Nнач – Nкон. 34 1 1 12 13 1 1 11 12 13 1 21 2 2 23 2 121 22 23 2 у 1 11 2 3 1 1 n j б n j n n j б n jn n i ij iб in jn n n nn n n nj nб j y y y y y y y y y y y y y y y y y y Y y y y y y y y y y y y                                                                                      1 1б 12 13 1 1 11 12 13 1 21 2 2б 23 2 121 22 23 2 У 1 б 11 2 3 1 б 1 n j n j n n j n jn n i ij i in jn n n nn n n nj n j y y y y y y y y y y y y y y y y y y Y y y y y y y y y y y y                                                                                      Вопросы для самопроверки 1. На основе каких законов электротехники выводятся узловые уравнения установившихся режимов? 2. Что выражают левая и правая части уравнений узловых напряжений и система узловых уравнений в целом? 3. Какая связь между переменными U и уU ? 4. Чем отличаются системы узловых уравнений, составленные относительно напряжений U и уU ? 5. Как связаны переменные U и вU ? 6. Как определяются проводимости ветвей схемы замещения электрической сети? 7. Как определяются элементы матрицы узловых проводимостей? 8. Каково соотношение между диагональными и побочными элементами матрицы уY ? 35 9. Как соотносятся знаки элементов матрицы уY ? 10. Сформулируйте основные свойства матрицы узловых прово- димостей. 11. Задание: Составить матрицу узловых проводимостей Yу непосредственно по схеме сети, минуя процедуру умножения по (1.30), опираясь на представление о физической сущности элемен- тов и свойствах матрицы Yу. Предварительно самостоятельно соста- вить схему из 4–6 узлов с 1–3 контурами. 1.4. Контурные уравнения установившихся режимов электрических систем 1.4.1. Вывод контурных уравнений Контурные уравнения выводятся на основе 2-го закона Кирхгофа для всей сети в 0N U  , (1.31) где вU – вектор-столбец падений напряжений по ветвям сети, вы- ражаемых по закону Ома для сети в целом как в в в вU dZ I E   . (1.32) Подставляя выражение для вU из (1.32) в (1.31), получим раз- вернутую запись 2-го закона Кирхгофа для сети в целом: в в в 0N dZ I N E     . (1.33) Из одного этого выражения, как известно, нельзя найти токи вет- вей вI , так как в выражении (1.33) имеем k уравнений (по числу кон- туров – строк матрицы N), а неизвестных в векторе вI – m (по числу ветвей), и m >> k. Для преодоления этого несоответствия используют подстановку в α β T I I I    и токи в дереве сети αI выражают через задающие 36 токи узлов и токи в хордах или контурные токи βI , – тем самым понижают число неизвестных в выражении (1.33) с m до k. Токи в дереве сети αI получим из выражения 1-го закона Кирхгофа: α α β β уM I M I J     ,  у 1 1 α α α β βI M J M M I         . (1.34) Подставим сюда соотношение (1.14), ранее полученное из ос- новного свойства направленного графа: 1 α α β TN M M   . Таким образом, выражение (1.34) для токов дерева сети упрощается:  1α α у α βTI M J N I     . (1.35) Отсюда следует, что для нахождения токов в дереве сети αI до- статочно определить токи в хордах βI , то есть решить систему уравнений k-го порядка, где k – число независимых контуров, кото- рое, как известно, k < n < m. Таким образом удалось существенно понизить порядок решаемой системы уравнений для расчета токо- распределения в сети при использовании ее контурной модели. Выражение (1.35) отражает принцип наложения при расчете то- ков. Составляющая  1α уM J   дает нам токораспределение в дере- ве данной сети без учета токов хорд, а вторая составляющая α β TN I учитывает влияние токов хорд на токи в дереве сети при замыкании хорд. Тогда полное токораспределение в схеме соответственно определится как   1 α αα в у β β β0 Т Т I NM I J I I N                      . (1.36) 37 Примем во внимание, что βN E , -1 α 0M C , в КN E E  , (1.37) где КE – вектор-столбец контурных ЭДС, представляющих собой алгебраические суммы ЭДС ветвей ВE по независимым контурам. В выражение 2-го закона Кирхгофа (1.33) подставим токи ветвей вI из (1.36) и КE из (1.37). Получим   1 αα в у β К β0 Т Т NM N dZ J I E N                     . (1.38) Раскроем скобки   1 α в у в β К 0 TMN dZ J N dZ N I E               . (1.39) Произведение матриц в к TN dZ N Z   (1.40) называют матрицей контурных сопротивлений, которая является квадратной и неособенной. Подставим кZ в (1.39): 1 α в у к β К( ) 0 M N dZ J Z I E             . (1.41) Уравнение (1.41) связывает независимые режимные характеристи- ки ( уJ , К вE N E  ), параметры и конфигурацию сети ( вZ , N , αM ) с зависимыми характеристиками режима βI (токи хорд) и может быть решено относительно токов хорд βI : 38 1 1 α β К в у 0 К M I Z E N dZ J                  . (1.42) Тогда токи в дереве сети αI определятся по (1.35) и задача нахождения токораспределения в линейной постановке, то есть при задании нагрузок узлов в токах уJ , решена полностью. Напряжения в узлах определятся по известному напряжению в балансирующем узле БУU и найденным токам ветвей α в β I I I        : α α α U Z I  ,   1 У α α T U M U     , у БУ уU n U U   . 1.4.2. Определение и характеристика матрицы контурных сопротивлений Матрица контурных сопротивлений (1.40) также имеет вполне регулярную структуру, как и матрица узловых проводимостей. Матрица контурных сопротивлений имеет порядок, равный числу независимых контуров. Ее диагональные элементы Zii представляют собой алгебраические суммы сопротивлений ветвей, входящих в дан- ный i-й контур, а недиагональные Zij – алгебраическую сумму со- противлений ветвей, общих для контуров i и j. При использовании принципа ярусности формируется система контуров, в которой каждая хорда входит только в один контур и направление обхода по контуру совпадает с направлением тока в хорде. При этом βN – единичная матрица. Для схемы рис. 1.5 и матрицы N табл. 1.2 матрица контурных со- противлений имеет вид 1 2 V 1 2 к 1 2 1 2 3 VI 3 3 4 3 VII ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) z z z z z Z z z z z z z z z z z z                 . 39 Соотношение между ее диагональными и побочными элементами ii ijz z , то есть диагональный элемент больше любого побочного. Для так называемой канонической системы контуров матрица имеет вид 1 2 V V к V 3 V VI 3 3 3 4 VII ( ) 0 ( ) 0 ( ) z z z z Z z z z z z z z z z              , то есть всегда обеспечивается преобладание диагонального элемента iiz над суммой недиагональных элементов ijz : β,ii ij ii ij iz z z z z     . Различие в составе контуров и матриц кZ отражено в составе диагональных элементах iiZ . Как указывалось выше, система уравнений (1.41) может решать- ся путем обращения матрицы кZ по выражению (1.42) или любым другим способом решения системы линейных уравнений, а именно: группой методов исключения неизвестных (метод Гаусса) или ите- рационными методами решения систем линейных уравнений, то есть методом простой или ускоренной итерации. Особенностями системы контурных уравнений установившихся режимов по срав- нению с системой узловых уравнений является более низкий поря- док решаемой системы, так как k << n – число контуров в схеме значительно меньше числа узлов в сети. Но при решении линейных контурных уравнений итерационным методом начальные приближения неизвестных (токов хорд) не определены, отсутствуют данные для более или менее точного зада- ния токов хорд. По сравнению с системой контурных уравнений, для системы узловых уравнений при их решении итерационным методом 40 относительно напряжения в узлах выбор начальных приближений облегчен: нач БУ U U или нач ном U U . В целом задача расчета режима реальной электрической сети с большим числом элементов остается многомерной. Контурные уравнения также нелинейны при задании нагрузок в мощностях, поскольку токи вI зависят от задающих токов узлов уJ , а они зави- сят от узловых напряжений уU , которые меняются при изменении токораспределения вI . Блок-схема алгоритма расчета режима на основе контурных уравнений при задании нагрузок в мощностях приведена на рис. 1.7. В ней решение системы контурных уравнений выполняется путем обращения матрицы контурных сопротивлений. Возможно также решение методом исключения неизвестных Гаусса, методом итера- ции. При этом необходим подбор коэффициента демпфирования ( д0 1k  ), поскольку итерационный процесс расчета токов хорд ( ( ) ( 1) ( ) ( 1) β улучш β β β д( ) k k k kI I I I k     ) носит, как правило, колебатель- ный характер. 41 1. Исходные данные 10. Точность расчета напряжений достигнута? ДА 2. Построение конфигурационной модели сети в виде матриц инциденций. 3. Определение элементов матрицы контурных сопротивлений 11. Расчет потокораспределения и потерь мощности 5. Вычисление токов узлов по задающим мощностям и текущим напряжениям 6. Расчет контурных токов 7. Нахождение токов ветвей дерева 8. Определение падений напряжений по ветвям дерева и узловых напряжений 9. Расчет напряжений в узлах сети БУ нач В : , , , . : , , , , , . i i i i j кон i i c i i Узлы N P Q U Ветви N N r x b E К В . TZ N dZ N   ( ) 1 1 ( ) β К α У В( Е ). k kI Z M J N    ( ) ( ) У . k k i i J S U ( ) 1 ( ) ( ) α α У α β . k k T kI M J N I  ( ) ( ) ( ) 1 ( ) α α α ΔУ α α; . k k k kU Z I U M U  ( ) ( ) У БУ У . k kU U n U   ( ) ( 1) У У ном ε ? k k i i i U U U U   k=k+1 НЕТ Внач У В кон У Внач В конВнач В Вкон В В Внач Вкон В 1 ; ; diag ; diag ; ; . T T m i i U M U U M U S U I S U I S S S S S                         4. Задание начальных приближений напряжений ( ) У БУ ; 1. kU U k  ( ) ( 1) У У: k kU U  Внач Вкон Внач Вконгде , , , напряжения ипотокимощностисоответственно начал и концов участков; , первая матрица инциденций для начали концов участков. U U S S M М    Рис. 1.7. Блок-схема алгоритма расчета режима на основе контурных уравнений при задании нагрузок в мощностях 42 Вопросы для самопроверки 1. Что выражают контурные уравнения? 2. На какие подматрицы разделяются матрицы параметров элек- трической сети, параметров режима и матрицы инциденций? 3. В чем суть принципа наложения, применяемого при записи токов в дереве сети? 4. Как определить (записать) алгебраическую сумму падений напряжений по ветвям дерева сети? 5. Каковы свойства канонической системы независимых контуров? 6. Изложите порядок расчета режима по методу контурных уравнений при задании нагрузок в токах. 7. Объясните, как меняется порядок расчета режима по методу контурных уравнений при задании нагрузок в мощностях. 8. Дайте характеристику обеим матрицам контурных сопротив- лений. 9. Как влияет выбор балансирующего узла на состав элементов и свойства матрицы контурных сопротивлений? 10. Задание. Составить матрицу контурных сопротивлений непо- средственно по схеме сети, минуя процедуру умножения (1.40), для самостоятельно составленной схемы с двумя-тремя контурами и пятью–семью узлами. 11. Составьте алгоритмы расчета режима при задании нагрузок в токах и при задании нагрузок в мощностях. 1.5. Запись уравнений состояния сети с помощью матриц обобщенных параметров Обратимся к уравнениям состояния сети (1.39), (1.41) по законам Кирхгофа. Представим обратную матрицу коэффициентов системы 1A в виде блочной матрицы с размерностью блоков по числу узлов n и числу контуров k схемы замещения:  1 m m A C D   . Тогда      у-1у у в у в в в . J I A F C D C J D N E C J Y E N E                    43      у-1в у в у в в в . J I A F C D C J D N E C J Y E N E                    (1.43) Здесь вY D N  – квадратная матрица, называемая матрицей входных и взаимных проводимостей ветвей схемы. Её элементы yij определяют величину и фазу тока в i-й ветви от действия ЭДС j-й ветви и называются взаимными проводимостями ветвей, а элементы уii определяют величину и фазу тока в i-й ветви от действия ЭДС Еi этой же ветви и называются собственными или входными проводи- мостями ветвей. При отсутствии ЭДС ветвей ( в 0E  ) выражение (1.43) упрощается:  в уI C J   , (1.44) откуда наглядно виден смысл матрицы С и ее элементов. C – матрица порядка m n , называемая матрицей коэффициен- тов распределения задающих токов узлов по ветвям сети. Её произ- вольный элемент cij представляет собой долю тока j-го узла, проте- кающего по i-й ветви:  В 1 n i i j j j I c J     . Матрицы C , D и вY вычисляются путем обращения матрицы A с помощью разбиения на блоки и, следовательно, представляют со- бой линейные комбинации блоков матрицы A , представленных в (1.38). При этом C и вY могут быть выражены как на основе узло- вой модели сети: 1 αα 1 1 1 У в у1 β β 0 0 T T T MZ C Y dZ M Y Z M                        , 1 1 1 1 в в в у у TY dZ dZ M Y M dZ         , (1.45) 44 где 1 уY  – обратная матрица собственных и взаимных узловых про- водимостей, так и на основе контурной модели 1 α 1 1α К α Вα α β , 0 T C M C N Z N dZ M C                     α 1 В К β T Y Y N Z N Y           , где 1 КZ  – обратная матрица контурных сопротивлений. Получение выражений (1.45) и (1.46) приведено в [2], оно гро- моздко и здесь не приводится. Выражения (1.45), (1.46) показывают, что процедура нахождения матрицы C достаточно громоздкая, но вычисленная один раз эта матрица позволяет вести многократные расчёты режима по выра- жениям (1.40), (1.43) вручную или на ЭВМ с высоким быстродей- ствием2. После нахождения токов ветвей остальные параметры ре- жима рассчитываются по известным формулам. Правильность выражений (1.45), (1.46) и результатов конкрет- ных вычислений матрицы C по этим выражениям можно прове- рить по выражению M C E  . (1.47) Выражение (1.47) можно получить, если в 1-й закон Кирхгофа подставить вектор токов ветвей из (1.40) у уM C J J   , следова- тельно, M C E  . Логика выражения (1.45) наглядно видна, если в выражение (1.44) подставить C из (1.45): 2 Как видно, в (1.46) обращаемая матрица контурных сопротивлений имеет меньший порядок, чем матрица узловых проводимостей в (1.45), и, возможно, вычислительная процедура по (1.46) проще. (1.46) 45 В В 1 1 в в у у ( ( ( ))). T U U I I dZ M Y J         Аналогично можно показать логику выражения для матрицы C на основе контурной модели сети: 1 1 1α у к α вα α у. 0 TMC J N Z N dZ M J                     Раскроем скобки в правой части: ' в α ' α ' α ' α β ' ' α β В 1 1 1α у к α вα α у 0 T у I I I U U I I I I M C J J N Z N dZ M J                             (1.48) Здесь ' αU – вектор-столбец падений напряжений в ветвях дере- ва, вызванных составляющими токов ' αI ; ' αU – вектор-столбец алгебраических сумм падений напряжений по ветвям дерева, входящим в контур, обусловленных задающими токами узлов; ' αI – вектор-столбец составляющих токов в дереве сети, обусловленных задающими токами при отсутствии хорд. ' ' αI – вектор-столбец составляющих токов в дереве сети, вызванных замыканием хорд. 46 ' '' α α αI I I  , (1.49) ' '' αα в β0 II I I              . (1.50) Выражения (1.48)–(1.50) иллюстрируют алгоритм варианта кон- турных уравнений, разработанного научной школой профессоров Ки- евского политехнического института В.Г. Холмского и Ю.В. Щерби- ны в 1960-70 годы и реализованного в комплексе эффективных быст- родействующих программ. В литературе метод известен под назва- нием метода разрезания контуров (явного разделения схемы на дерево и хорды и нахождения токораспределения по принципу наложения). Вопросы для самопроверки 1. Запишите уравнение состояния сети по законам Кирхгофа. 2. Запишите решение уравнения состояния сети через матрицы обобщённых параметров. 3. Каков физический смысл элемента матрицы коэффициентов распределения? 4. Как посредством моделирования режимов сети (на ЭВМ или на физической модели) определить элементы матрицы коэффици- ентов распределения? 5. Как определить потокораспределение мощностей без учета потерь в сети с помощью матрицы коэффициентов распределения? 6. Как обратить матрицу с использованием разбиения на блоки и в чем эффект этого способа обращения? 1.6. Расчет режима электрической сети с использованием матрицы коэффициентов распределения Матрица коэффициентов распределения C позволяет найти то- кораспределение в схеме при известных задающих токах узлов:  в уI С J   . (1.51) 47 Тогда остальные параметры режима определяются по очевидным формулам: в в вU dZ I   , (1.52) где вU – матрица падений напряжения на ветвях схемы в α β[ ] TU U U    , ВdZ – диагональная матрица сопротивлений ветвей;   1 α αU M U     , где αU – матрица падений напряжения на ветвях дерева схемы; U – матрица падений напряжения в узлах сети относительно балансирующего узла; у БУU U n U   . (1.53) Средние значения потоков мощности P и Q в ветвях без учета потерь ' в в ном ,P I U  '' в в ном ,Q I U  (1.54) где ' вI , ' ' вI – активная и реактивная составляющие токов ветвей, по- лучаются по выражению (1.51) в комплексной форме. Потери и потоки мощности в ветвях  в в у в кон нач кон нач TP dI M U dI U U P P         , (1.55) где вP – матрица потерь мощности на ветвях схемы; вdI – диагональная матрица токов ветвей; в TP m P   , (1.56) где P – суммарные потери мощности в сети. 48 БУ зад TP m P P   , (1.57) где БУP – мощность балансирующего узла. Расчётные токи в узлах сети можно определить как р вJ M I  , (1.58) тогда расчётные мощности узлов определятся по выражению р у рP dU J  . (1.59) Небалансы мощности в узлах схемы можно рассчитать как нб р задP P P  , (1.60) Формулы (1.51)–(1.57) дают алгоритм расчета режима при задании нагрузок в токах. При задании нагрузок в мощностях организуется внешний итерационный процесс коррекции задающих токов узлов по заданным мощностям задP и рассчитанным напряжениям ( ( ) у kU ):   1 ( ) ( ) у зад k kJ dU P    . где k – номер итерации. Затем производится расчет токов ветвей и напряжений узлов по формулам (1.51)–(1.53) и проверяется баланс в узлах по 1-му закону Кирхгофа (1.60). По формулам (1.58)–(1.60) определяются расчетные токи и мощности в узлах. По выражению (1.60) определяется неба- ланс мощностей в узлах схемы, значение которого сравнивается с допустимой относительной погрешностью рε : ( ) зад р р зад 100% ε k i i i P P P    , %, где k – номер итерации; i – номер узла. Если баланс мощностей в узлах выполняется с заданной точно- стью s, то в завершение расчета по выражениям (1.54)–(1.57) опре- деляются результирующие характеристики режима и расчет заканчи- 49 вается. В противном случае производится еще одна итерация, и так до тех пор, пока не будет достигнут баланс с заданной точностью. С помощью матрицы С за одну итерацию можно приближенно найти потокораспределение мощностей в уP С P  и потери мощности 2 в в в 2 нв P P dR U    . Суммарные потери мощности P определяются по выражению (1.56). При этом пренебрегают влиянием различия напряжений в узлах сети на потокораспределение. На базе матрицы коэффициентов распределения C можно по- строить быстродействующий алгоритм оптимизации режима элек- троэнергетической системы по критерию минимума суммарного расхода топлива в энергосистеме на покрытие суточного графика нагрузок потребителей (с учетом расхода на пуск и остановы агре- гатов) при условии минимума суммарных потерь мощности в сети minP  при вариации узловых генерирующих мощностей задP . Этот алгоритм является составной частью решения таких практиче- ских задач: - как учет сетевого фактора при оптимизации нагрузок электро- станций, то есть учет изменения потерь в сети при перераспределе- нии между электростанциями суммарной активной нагрузки потре- бителей; - определение мощности имеющихся и дополнительных компен- сирующих устройств по условию минимума потерь мощности в сети ( minP  ) и при учете ограничений по напряжениям узлов ( min у maxU U U  ). Вопросы для самопроверки 1. Поясните физический смысл элементов матрицы C . 2. Почему сумма элементов столбца матрицы C равна 1? 50 3. Как организовать итерационный процесс расчёта режима по методу коэффициентов распределения в случае задания нагрузок в мощностях? 4. Как рассчитать потери мощности при использовании метода коэффициентов распределения при задании нагрузок в токах? в мощностях? 5. Укажите достоинства и недостатки метода коэффициентов распределения по сравнению с методом узловых напряжений. 6. Приведите примеры задач, которые можно эффективно решать с использованием матрицы коэффициентов распределения C . 1.7. Решение уравнений состояния методом Гаусса К числу наиболее характерных вычислительных схем этого ме- тода относятся алгоритмы с обратным ходом и без обратного хода. Алгоритм метода Гаусса с обратным ходом. По этому алгорит- му решение системы n линейных алгебраических уравнений вида A x b  состоит из двух этапов. На первом этапе (прямой ход) исходная система за n однотипных шагов преобразуется таким образом, что матрица коэффициентов преобразованной системы становится верхней треугольной, то есть все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю. На втором этапе (обратный ход) последовательно определяются значения неизвестных от nx до 1x . Алгоритм метода Гаусса без обратного хода. По этому алго- ритму решение системы n линейных алгебраических уравнений осуществляется за один этап, в результате которого матрица коэф- фициентов A за n однотипных шагов приводится к единичной, то есть система уравнений разрешается относительно искомых не- известных, которые равны соответствующим элементам полученно- го в результате преобразований столбца в правой части системы. На первом шаге вычисления выполняются точно так же, как и в алгоритме метода Гаусса с обратным ходом. Получаемая в резуль- тате этого преобразования система уравнений (1) (1)A x b  характе- 51 ризуется тем, что первый элемент первого столбца матрицы равен единице, а остальные элементы столбца равны нулю. На втором шаге, как и в предыдущем алгоритме, в качестве ве- дущего элемента выбирается диагональный элемент второго столбца матрицы (1)A , то есть (1) 22a . Отличие состоит в том, что дополни- тельно преобразуется также и первая строка матрицы (1)A , причем таким образом, чтобы элемент (1) 12a обратился в нуль. Выполнение операций произвольного (k-го) шага соответствует та- кому преобразованию k-го столбца, чтобы его диагональный элемент ( )( )kkka стал равен единице, а недиагональные элементы – нулю. В ре- зультате выполнения последнего шага ( )k n , на котором пересчиты- ваются элементы последнего столбца матрицы ( 1)nA  и все элементы столбца ( 1)nb  , получаем матрицу ( ) 1nA  , и, следовательно, ( )nx b . Практическое применение метода Гаусса рассмотрено в разделе IV. 1.8. Факторы, влияющие на точность решения по методу Гаусса К причинам возникновения недопустимо большой погрешности при применении метода Гаусса относятся следующие:  округление результатов вычислений;  неточность исходных данных. Округление результатов вычислений. Выполнение вычислений по методу Гаусса требует, чтобы ведущий элемент ( )k kka был отличен от нуля. Значения ведущих элементов не могут быть оценены без вычислений, соответствующих последовательному пересчету эле- ментов матрицы A в процессе решения. Может оказаться, что на некотором шаге ведущий элемент становится равным нулю при точных вычислениях или же близким к нулю при округлении ре- зультатов вычислений. В первом случае получить решение невоз- можно, а во втором в связи с исчезновением значащих цифр в ве- дущем элементе погрешность дальнейших вычислений может быть весьма велика. Неточность исходных данных. При решении инженерных задач исходные данные всегда известны с некоторой погрешностью, опреде- ляемой конечной точностью измерения или вычисления параметров 52 системы и ее режима. Как правило, для конкретных технических задач относительная погрешность результатов, получаемых при решении систем линейных алгебраических уравнений, соизмерима с погрешно- стями исходных данных. Однако могут быть случаи, когда погреш- ность исходных данных, то есть значений элементов матриц A и b , приводит к чрезмерно большой погрешности решения. Причина этого состоит в так называемой плохой обусловленности матрицы коэффи- циентов системы уравнений, приближенным показателем которой яв- ляется малая величина определителя матрицы A . РАЗДЕЛ 2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМ 2.1. Математическая характеристика уравнений установившегося режима Особенности уравнений установившихся режимов электриче- ских систем следующие: - многомерность систем уравнений; - слабая обусловленность в расчетах многих схем матрицы узло- вых собственных и взаимных проводимостей и матрицы контурных сопротивлений, то есть близость к нулю определителей этих матриц УdetY , КdetZ ; - нелинейность уравнений, вызванная нелинейным характером связи параметров режима. Обусловленность матрицы характеризует величину определителя матрицы. Для слабо обусловленной матрицы A определитель близок к нулю, то есть 0det A  . Для матрицы Y , как известно, 0detY  , то есть имеем вырож- денную матрицу для полной схемы сети, включая балансирующий узел. Эта матрица перестает быть вырожденной, когда какой-либо узел сети, в соответствии с физическим смыслом задачи расчета режима, принимается за балансирующий и соответствующая строка удаляется из матрицы Y . Тогда получаем, что 0detY  . Практическое значение характеристики обусловленности матри- цы узловых проводимостей состоит в том, что в плохо обусловлен- 53 ной матрице Y 0detY  и малым изменениям в элементах исход- ной матрицы Y соответствуют большие изменения в элементах об- ратной матрицы 1Y  и, следовательно, малые отклонения заданных режимных параметров вызовут большие изменения искомых харак- теристик режима (падения напряжения на ветвях и потоки мощно- сти в ветвях), то есть наблюдается текучесть параметров режима. Покажем это для узловых уравнений: уY U J  , 1 уU Y J     , 1 1 [ ] det ijY A Y   , где ijA – союзная (или присоединенная) матрица к Y , составленная из алгебраических дополнений к элементам исходной матрицы Y . 2.2. Характеристика методов решения систем уравнений установившегося режима Методы решения систем уравнений делятся на точные и итера- ционные. Точные методы имеют конечные алгорифмы. К точным относятся методы решения систем уравнений путем обращения матриц их коэффициентов, различные методы группы исключения неизвестных (схема единственного деления, метод исключения с выбором главного элемента, схема Жордана и др.), в общем случае называемые методом Гаусса. Согласно методу Гаусса при прямом ходе производится исключение неизвестных и матрица системы приводится к треугольному виду. При обратном ходе последова- тельно вычисляются неизвестные. Применение метода Гаусса к решению систем уравнений устано- вившихся режимов со слабо заполненными матрицами имеет ту осо- бенность, что в процессе исключения неизвестных свойство слабой заполненности матрицы теряется, то есть вновь появляется большое число ненулевых элементов. Это не только требует дополнительного объема памяти, но и снижает быстродействие программы. Проблема отчасти решается за счет выбора оптимальной стратегии исключе- ния неизвестных, приводящей к минимальному количеству вновь появляющихся ненулевых элементов. Для этого на каждом шаге исключения за ведущий (исключаемый) принимается тот элемент, 54 который имеет минимальное число связей, то есть минимальное число ненулевых элементов в строке. Эта проблема особенно актуальна для узловых уравнений, име- ющих слабо заполненную матрицу большой размерности. Мини- мальное число элементов в строке матрицы узловых проводимостей равно 2 – одна собственная проводимость yii и одна взаимная yij. При линейных комбинациях со строками в процессе исключения неизвестных в первую очередь исключают узлы, имеющие мини- мальное число связей, – одну связь и два элемента в строке матрицы Y – так называемые висячие вершины графа. Далее исключают уз- лы, имеющие по две связи, и т. д. Исключение элементов из систе- мы узловых уравнений с матрицей узловых проводимостей соответ- ствует исключению узлов в схеме по методу преобразования сети. При этом, как известно, нагрузка исключаемого узла разносится в прилежащие узлы, а проводимости (сопротивления) связей преоб- разуются по формулам метода Гаусса. В общем случае n-лучевая звезда преобразуется в n-угольник. Такой алгоритм исключения ре- ализован в широко распространенной программе МУСТАНГ, раз- работанной в 1980-90-х годах в объединенном диспетчерском управлении (ОДУ) энергосистемами Северо-Запада ЕЭС СССР (г. Рига) совместно с ведущим НИИ в электроэнергетике – Сибир- ским энергетическим институтом Сибирского отделения АН СССР (СЭИ СО АН СССР). Следует заметить также, что программы ре- шения узловых или контурных уравнений по методу исключения неизвестных значительно сложнее, чем по методу итерации, в чем можно легко убедиться в процессе применения этих методов. 2.3. Итерационные методы решения систем уравнений установившегося режима В итерационных методах (или методах последовательного при- ближения) решение X системы уравнений A X B  (2.1) получают как предел сходящейся последовательности значений  (1) (2) ( ), ,..., kX X X : ( )lim k k X X   . (2.2) 55 Если эта последовательность значений сходится, то разность между двумя соседними приближениями при достаточном числе итераций становится меньше заданной точности расчета x: ( ) ( 1) εk k xX X   . (2.3) Здесь условие (2.3) – признак сходимости итерационного процесса. Для применения итерационных методов необходимо: - выбрать вектор начального приближения (0)X : (0) (0) (0) (0) 1 2 T nX x x x    ; - построить рекуррентное соотношение вида φ( )X X , (2.4) где φ – оператор рекуррентного соотношения (который для сходи- мости должен быть оператором сжатия); - организовать циклические вычисления    1φ( ) k k X X   . (2.5) Особенности и достоинства итерационных методов зависят от способа подготовки системы к итерации, то есть от алгоритма ите- рационного процесса (2.4), (2.5). Построим рекуррентное соотношение для системы уравнений (2.1). Для этого разрешим уравнения системы (2.1): 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b              относительно диагональных неизвестных: 56 13 11 12 1 1 2 3 11 11 11 11 23 22 21 2 1 2 3 22 22 22 22 1 2 3 1 2 3 0 , 0 , 0 n n n n n n n n n n nn nn nn nn a ab a x x x x x a a a a a ab a x x x x x a a a a b a a a x x x x x a a a a                                     (2.6) или в общем виде β αX X   . (2.7) Выражение (2.6) представляет собой систему уравнений, подго- товленную к итерации, или развернутую запись рекуррентного со- отношения (2.5), когда φ – линейный оператор. Здесь X , α , β очевидны из (2.6), (2.7). Итерационный вычислительный процесс по схеме (2.6), (2.7) вида    1φ( ) k k X X   ведет к решению (2.2), если выполняются условия теоремы сходимости итерации: Для сходимости итерационного процесса решения линейной системы уравнений A X B  , подготовленной к итерации в ви- де β αX X   , необходимо и достаточно, чтобы наибольшее по модулю собственное значение (число) матрицы системы, подго- товленной к итерации αmax , было бы по модулю меньше 1: αmax 1 . Это условие труднопроверяемое в силу сложности самой задачи нахождения λ – собственных значений матрицы  (λ1, λ2, … , λn), ко- торые являются корнями характеристического полинома матрицы α, получаемыми после раскрытия характеристического определителя 57  λ 0D  , где     112 11 11 221 1 22 22 0 1 1 1 2 0 λ ... 0 λ ... λ det α λ det λ λ ... λ ... ... ... ... ... 0 λ n n n n n n n n nn nn D E C C C C                                                112 11 11 221 1 22 22 0 1 1 1 2 0 λ ... 0 λ ... λ det α - λ det λ λ ... λ ... ... ... ... ... 0 λ n n n n n n n n nn nn D E C C C C                                           ; C – коэффициенты характеристического полинома, получаемые при раскрытии характеристического определителя. Поэтому используют более доступную числовую характеристику сходимости для таких регулярных матриц, как матрицы уравнений установившегося режима уY и контZ – канонические нормы матрицы m, l или k-норма. Причем известно (доказано) [2], что любая кано- ническая норма больше любого собственного значения матрицы: αmaxα λm  , αmax α λl  , αmax α λk  . Тогда теорема о достаточных условиях сходимости формулиру- ется так: Для сходимости итерационного процесса решения линейной системы A X B  в виде ( ) ( 1)β αk kX X    достаточно, чтобы какая-либо каноническая норма матрицы α была по модулю меньше 1: α 1l  , α 1m  , α 1k  , (2.8) где 1 α max α n l ij i j   ; 1 α max α n m ij j i   ; 2 , , α αk ij i j n   . 58 2.4. Критерии сходимости итерации и анализ их выполнения для узловых уравнений установившихся режимов 2.4.1. Доказательство теоремы сходимости итерации Итерационные процессы – это численные методы решения урав- нений, и их эффективность зависит от числовых характеристик мат- риц коэффициентов системы уравнений. Обе числовые характери- стики, упоминавшиеся в теореме о сходимости итераций, формули- руют условия сходимости для матрицы  системы, подготовленной к итерации, в виде (2.6), (2.7): 112 11 11 221 22 22 1 2 0 0 β α β 0 n n n n nn nn aa a a aa a aX X X a a a a                              . (2.9) Для доказательства теоремы сходимости зададимся начальным приближением (0)X и запишем следующие четыре приближения (для выявления общих закономерностей): (1) (0) (2) (1) (3) (2) (4) (3)β α , β α , β α , β α .X X X X X X X X        Подставив (1)X , (2)X , (3)X в выражение для (4)X , получаем (4) (0) 2 3 (0) 2 3 4 (0) β α(β α(β α(β α ))) β α(β αβ α β α ) β αβ α β α β α X X X X                 (4) (0) 2 3 (0) 2 3 4 (0) β α(β α(β α(β α ))) β α(β αβ α β α ) β αβ α β α β α X X X X                 . В общем виде ( ) 2 ( 1) (0)( α α ... α )β αk k kX E X      . Найдем предел ( )kX при k  . Как известно, предел суммы равен сумме пределов: 59    ( ) 2 ( 1) (0)lim lim ( α α ... α )β lim αk k k k k k X E X           . (2.10) В уравнении (2.10) выражение в скобке представляет собой сум- му членов матричного степенного ряда с основанием . Этот ряд сходится, и его сумма имеет предел, если выполняются следующие условия сходимости:  необходимое и достаточное условие сходимости α maxλ 1 ; (2.11)  достаточное условие сходимости α 1 . (2.12) Тогда эта сумма определится по аналогии с суммой членов гео- метрической прогрессии с основанием 1q  . Для геометрической прогрессии с числовым основанием q 2 3 1(1 ) 1 nq q q q q        . Для степенного матричного ряда с основанием  2 1 1( α α ... α ) ( α)kE E       . (2.13) Предел второго слагаемого (0)αkX в выражении (2.10) при k  равен нулю, так как α maxλ 1 : (0)limα 0k k X   . (2.14) Подставив (2.13) и (2.14) в (2.10), получим ( ) 1 lim ( α) β 0 k k X E      . 60 Умножим левую и правую части этого уравнения на ( α)E  и, учитывая, что ( )lim k k X X   , получаем 1 ( α) ( α)( α) βE X E E       ; α βX X      , следовательно, β αX X      . (2.15) В выражении (2.15) X соответствует неподвижной точке по- следовательности или точному решению системы уравнений, то есть пределу ( )lim k k X  , когда дальнейшего изменения значения X в ходе итерационного процесса не происходит. 2.4.2. Следствия из теоремы сходимости итерации Достаточное условие сходимости итерации (2.12) позволяет по- лучить важные следствия о соотношении диагонального и суммы побочных элементов матрицы, которое должно иметь место для сходимости итерационного процесса решения уравнений примени- тельно к узловым уравнениям установившегося режима. Матрица  системы узловых уравнений, подготовленной к ите- рации (см. выражение (2.9)), имеет вид 112 11 11 221 22 22 1 2 0 0 α 0 n n n n nn nn yy y y yy y y y y y y                          , (2.16) а достаточное условие сходимости по норме (2.8) преобразуется в 61 1 n ii ij j y y   (2.17) и должно выполняться для всех узлов сети i = 1, 2, …, n. Неравенство (2.17) выражает достаточное условие сходимости итерации для системы узловых уравнений: для всех узлов сети соб- ственная проводимость узла iiy должна быть больше суммы моду- лей взаимных проводимостей 1 n ij j y   . Это условие не выполняется. Однако для тех узлов сложной схемы, которые связаны с балан- сирующим узлом, диагональный элемент матрицы Y , то есть соб- ственная проводимость узла iiy , равен бii ij iy y y  , (2.18) благодаря чему для строк матрицы, которые имеют связь с баланси- рующим узлом: ii ijy y , (2.19) причем именно на величину проводимости линии бiy , которая свя- зывает i-й узел с балансирующим. Благодаря выполнению соотношений (2.18), (2.19) для узлов, связанных с балансирующим, выполняется необходимое и доста- точное условие сходимости итерации (2.11), связанное с соб- ственными значениями α maxλ , хотя достаточное условие сходимо- сти по норме (2.12) и не выполняется. 2.4.3. Факторы, влияющие на сходимость итерации для узловых уравнений установившихся режимов Выделим схемные факторы, обусловленные конфигурацией и па- раметрами схемы, и режимные факторы, обусловленные нагрузками и искомыми параметрами рассматриваемого режима. Схемный фактор, влияющий на сходимость итерационного про- цесса, проявляется для схем переменного тока, содержащих устрой- 62 ства продольной емкостной компенсации и поперечные емкости линий сети на землю, представленные проводимостями yc (рис. 2.1), имеющими противоположные по отношению к индуктивным со- противлениям (хL) и проводимостям (yL = 1/хL) ветвей знаки (как реактивные сопротивления):  р рii ij ij L ij Cy y jy jy    при , 0ij аr y  . Реактивная часть и модуль диагонального элемента рii y умень- шаются, следовательно, ii ijy y  . (2.20) Наличие поперечной емкостной ветви на землю способствует раз- маху колебаний напряжений в данном узле в итерационном процессе (если итерационный процесс для математической модели режима рассматривать как соответствующий переходный процесс, возни- кающий при отклонении напряжений на U(0) в электрической сети). Тогда можно сказать, что итерационный процесс происходит поша- говым методом, где шаг соответствует одной итерации. а б 2 2 КУ c c U Q U y x   КУ( )P j Q Q  P jQ 12 2 cy 12 2 cy cQ 2 1 КУQ P jQ 1U ЛI 2 КУ 12( 2)i cP j Q Q U y   cy cx Рис. 2.1 Емкости на землю имеются у всех воздушных и кабельных ли- ний ( ВЛ и КЛ). Они участвуют в балансе реактивной мощности в системе и в целом улучшают установившиеся режимы электриче- ской сети. Но созданные данными емкостными проводимостями мощности Qc зависят от квадрата напряжения Qc = YсU2 и по анало- 63 гии с шунтовыми конденсаторными батареями (ШКБ) способству- ют размаху колебаний напряжения на линии в ходе итерационного процесса. Соответственно и при определении диагонального эле- мента матрицы, емкостная проводимость на землю способствует изменению обычного соотношения величин (2.20). Для линейных систем узловых уравнений наличие емкостей – это тот основной схемный фактор, который ухудшает сходимость. Но этому фактору противостоит наличие ветвей, связывающих балансирующий узел со схемой и имеющих проводимости бiy . Это реальные линии и трансформаторы, и если их сопротивления невелики, а проводимо- сти большие (то есть с запасом обеспечивают выдачу необходимой мощности от балансирующего узла в схему), то в целом сходимость обеспечивается, поскольку получается, что αmaxλ 1 и установив- шиеся режимы успешно рассчитываются. Получается, что даже в линейной постановке задачи расчета режима факт и скорость схо- димости зависят от параметров искомого режима. В реальных сетях электрических систем нагрузки задаются в мощ- ностях. При этом соответствующие уравнения (узловые, контурные и др.) нелинейны и возникают режимные факторы, влияющие на схо- димость. Они тем весомее, чем ближе искомый режим к предельно допустимому по условиям устойчивости параллельной работы син- хронных машин (генераторов электростанций) и устойчивости работы асинхронных машин (двигатели нагрузки) в электрической системе. 2.4.4. Критерии сходимости и анализ сходимости нелинейных систем узловых уравнений установившихся режимов Нелинейные уравнения баланса токов в узлах i i S Y U U           (2.21) могут быть представлены в виде неявной вектор-функции небаланса ( )F U , которая обращается в нуль при подстановке в левую часть точного решения системы – вектора напряжений узлов U , уU . В общем виде эти уравнения запишутся как 64 ( ) 0F U  . (2.22) Обобщенная математическая запись системы нелинейных уравнений ( ) 0F X  , (2.23) где 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) , [ , ,..., ] ... ( ) n n f X f X F X X x x x f X              . Нелинейная система (2.23) готовится к итерации в виде рекур- рентного уравнения φ( )X X , (2.24) где  – оператор рекуррентного соотношения (или оператор нели- нейного отображения), получаемый из (2.22), (2.23). Критерии сходимости при решении системы нелинейных уравне- ний записываются для матрицы, составленной из частных произ- водных от оператора нелинейных отображений  по искомым пере- менным X и называемой матрицей Якоби J: 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 φ φ φ ... φ φ φ ...φ ... ... ... ... φ φ φ ... n i n j n n n n x x x x x xJ x x x x                                        . (2.25) Матрица частных производных J для случая линейных систем уравнений соответствует матрице  системы (2.16), подготовленной к итерации. Поэтому критерии сходимости сформулированы анало- гично теореме сходимости итераций для линейных систем уравне- ний: также можно использовать достаточные условия (по норме 65 матрицы Якоби) и необходимые и достаточные условия (по наибольшим собственным значениям матрицы Якоби maxλJ ). Теорема: для сходимости итерационного процесса решения не- линейной системы ( ) 0F X  с помощью рекуррентного соотношения φ( )X X необходимо и достаточно, чтобы на всей траектории итерационного процесса от начального приближения (0)X до реше- ния *X наибольшее по модулю собственное значение матрицы частных производных (матрицы Якоби φ K i j X J x         ) по искомым характеристикам режима было меньше единицы: maxλ 1J  . Это условие и есть необходимое и достаточное. Условие по норме матрицы Якоби φ 1 K i j X x        – достаточное условие сходимости. Для проверки (анализа) влияния нелинейности уравнений на сходимость итерационного процесса запишем рекуррентное соот- ношение типа (2.24) в виде φ( )U U : 13 1 1б1н 12 1 1 1 2 3 БУ 11 1 11 11 11 11 2ген 23 2 2б21 2 2 1 2 3 БУ 22 2 22 22 22 22 1 2 б 1 2 БУ φ ( ) 0 ... ; φ ( ) 0 ... ; ... φ ( ) ... 0 . n n n n n n n n n n n nn n nn nn nn y y yP y U U U U U U U y U y y y y P y y yy U U U U U U U y U y y y y P y y y U U U U U U y U y y y                                                   (2.26) Возьмем частные производные от (2.26) и подставим их в матри- цу Якоби (2.24) применительно к системе узловых уравнений в форме балансов токов: 66 1 1 1 11н 12 2 1 2 11 1 11 11 2 2 2 2ген 221 2 1 2 22 22 2 22 1 2 ( ) ( ) ( ) ... ... ( ) ( ) ( ) ... ...φ ... ... ... ... ... ... ... ... ( ) ( ) ( ) ... n n n i n j n n n n n U U U yP y U U U y U y y U U U P yy U U U y y U yJ U U U U y U U U                                            1 1 н 2 ...n n nn nn nn n y P y y y U                      1 1 1 11н 12 2 1 2 11 1 11 11 2 2 2 2ген 221 2 1 2 22 22 2 22 1 2 ( ) ( ) ( ) ... ... ( ) ( ) ( ) ... ...φ ... ... ... ... ... ... ... ... ( ) ( ) ( ) ... n n n i n j n n n n n U U U yP y U U U y U y y U U U P yy U U U y y U yJ U U U U y U U U                                            1 1 н 2 ...n n nn nn nn n y P y y y U                      . Сопоставляя матрицу Якоби, для которой анализируется сходи- мость нелинейной системы уравнений, с матрицей  (линейной си- стемы, подготовленной к итерации), замечаем, что отличие состоит в диагональном элементе: у матрицы  диагональный элемент ii = 0, а у матрицы Якоби диагональный элемент (н,г) 2 φ ( ) ii i ii i PU U y U    . (2.28) Анализ выражений (2.27), (2.28) показывает, что для слабо за- груженных режимов с малыми нагрузками Pi и большими соб- ственными проводимостями yii (малым сопротивлением подходя- щих линий и высоким значением напряжения iU ) влияние нелиней- ности на сходимость мало, так как диагональный элемент близок к нулю. Напротив, при расчете тяжелых режимов Pi велико, Ui мало (снижено по отношению к Uб), влияние нелинейности на сходи- мость существенно, поэтому сходимость тяжелых режимов (режи- (2.27) 67 мов, близких к предельным по условиям статической устойчивости электрической системы) медленная, а иногда она не наблюдается. Расходимость итерационного процесса (при правильно закодирован- ных исходных данных) служит, при упрощенном анализе, признаком нарушения статической устойчивости рассчитываемого режима. Это заключение является существенным результатом применения ЭВМ и численных итерационных методов решения уравнений установившего- ся режима. Оно используется для упрощенной оценки статической устойчивости в современной проектной и эксплуатационной практике. 2.5. Решение уравнений узловых напряжений итерационными методами 2.5.1. Решение уравнений узловых напряжений в форме баланса токов Матричное уравнение у уY U J   , где  у БУ i i i P J U U   , представим в алгебраической форме и разрешим каждое уравнение системы относительно диагональных элементов ( 1 2, , , nU U U   ):       13 112 1 1 1 2 3 11 11 11 1 11 23 221 2 2 1 2 3 22 22 22 2 22 1 2 3 1 2 3 - 0 ... - 0 ... - ... 0 , , . n n БУ n n БУ n n n n n n nn nn nn n БУ nn Y YY P U U U U U Y Y Y U U Y Y YY P U U U U U Y Y Y U U Y Y Y Y P U U U U U Y Y Y U U Y                                                                      (2.29) Для итерационного решения необходимо выбрать начальное при- ближение падений напряжений (0)U и подставить в правую часть 68 системы (2.29). Получим (1)U , затем подставим его в правую часть, получим (2)U и т. д. Процесс может вестись по методу простой или ускоренной итерации. По методу ускоренной итерации для нахождения k-го перемен- ного в i-й итерации используются переменные ( ) 1 iU , ( ) 2 iU ,…, ( ) -1 i kU , вычисленные на этой же i-й итерации, и переменные k + 1, k + 2,…, n, вычисленные на предыдущей (i-1)-й итерации:     ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)13 11 12 1 1 2 3( 1) 11 11 111 БУ 11 ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1)23 221 2 2 1 2 3( 1) 22 22 222 БУ 22 ( ) ( )1 1 - 0 ... - 0 ... , , i i i i in ni i i i i in ni i in n nn Y YP Y U U U U U Y Y YU U Y Y YY P U U U U U Y Y YU U Y Y U U Y                                                   ( ) ( ) ( 1)2 3 2 3 ( 1) БУ - ... 0 .i i in n n ni nn nn n nn Y Y P U U U Y Y U U Y                          Аналогично организуется итерационный процесс расчета напря- жений узлов УU на базе уравнений (1.24), записанных для напря- жений узлов. Решение нелинейных узловых уравнений можно записать, ис- пользуя обратную матрицу 1Y  : 1 уU Y J     ; (2.30) 1 ;i i S U Y U          БУU U n U    . Используя эти уравнения, получим 69 1 1н н БУ БУ i i i i S S U n U Y n U Y U U                    . (2.31) Выражение (2.31) имеет большое прикладное значение в области расчетов установившихся режимов. Оно называется обращенной формой уравнений узловых напряжений (поскольку используется обратная матрица 1Y Z  ) и представляет собой самостоятельный метод расчета режимов. 2.5.2. Обращенная форма уравнений узловых напряжений и их анализ Обратную матрицу 1Y  в выражениях (2.30), (2.31) обозначают че- рез Z и называют матрицей собственных и взаимных сопротивлений 1Y Z  . Тогда iн БУ i S U n U Z U           или 31 2 1 БУ 11 12 13 1 1 2 3 31 2 2 БУ 21 22 23 2 1 2 3 31 2 БУ 1 2 3 1 2 3 ... , ... , ... . n n n n n n n n n n n nn n S SS S U U Z Z Z Z U U U U S SS S U U Z Z Z Z U U U U S SS S U U Z Z Z Z U U U U                                        (2.32) или в общем виде 70 1 , , 1, 2, , . n j i БУ ij j j S U U Z U i j n           (2.33) Чтобы использовать схему расчета (2.31)–(2.33) с матрицей Z надо предварительно обратить матрицу узловых проводимостей. После этого процесс получения решения (нахождение U1, U2, …, Un) происходит гораздо быстрее, чем итерационное решение систе- мы исходных нелинейных уравнений (2.21) с матрицей Y (этот факт может иметь и физическое толкование). Алгоритм итерационного решения нелинейных обращенных уравнений следующий. Задаемся начальными приближениями напряжений Ui0, напри- мер Ui = Uном, и подставляем их в знаменатель в правую часть (2.32). Выполняем необходимые вычисления согласно (2.32), в результате находим вектор (1) (1) (1) 1 2, ,..., nU U U первого приближения (здесь Z, U и S в общем случае имеют комплексный характер). Во втором при- ближении в знаменатель (2.32) подставляются значения напряже- ний Ui(1) первой итерации, находится Ui(2), после чего выполняется третья итерация и т. д. Итерационный процесс заканчивается, когда разность напряжений между двумя соседними приближениями ста- новится меньше заданной точности расчета:     1 ном ε1 , % K K U m U U U U    . Итерационный процесс определения напряжений по обращенным уравнениям может быть ускорен, если на k-й итерации для расчета i-го неизвестного принимать ( ) ( ) ( ) 1 2 -1, ,..., k k k iU U U из этой же k-й итера- ции, а остальные неизвестные 1iU  брать из (k – 1) итерации, то есть ( ) 1 2 -1(( , ,..., ) к к i iU f U U U , -1 1( , ,..., ) ) к i i nU U U . 71 Физический смысл элементов матрицы собственных и взаимных сопротивлений Z можно уяснить, если рассмотреть частные режимы работы сети, в которых нагрузки узлов от 1-го до n-го последова- тельно задаются единичными токами 1iI  при холостом ходе в остальных узлах сети ( 1 2 31, 0nI I I I    ). Систему уравнений (2.33) можно представить в виде БУ БУ (1) (2) ( ) ( ) 1 ... ... , 1, 2,..., . n j i ij i i i j i n j j S U U z U U U U U U i n                    (2.34) Из выражения (2.34) следует, что элементы матрицы узловых сопротивлений Zij представляют собой коэффициенты частичных падений напряжения  i jU или коэффициенты влияния тока нагруз- ки в j-м узле j j S U на напряжение в i-м узле. Действительно, если взять сложную схему сети, представляю- щую собой связанный направленный граф, то есть одно дерево со своими хордами, то очевидно, что в этой схеме ток нагрузки каждого узла влияет на напряжение во всех узлах. Естественно, что матрица узловых проводимостей Y и обратная к ней Z зависят только от пассивных параметров сети, то есть от топологии схемы и сопро- тивлений или проводимостей ветвей. Эта матрица остается неиз- менной при изменении нагрузок в узлах. В первом частном режиме 1 2 31, 0nI I I I     . Тогда 72 1 БУ 11 1 1 2 БУ 21 1 3 БУ 31 1 БУ 1 1 , где 0; ; ; j j j n n U U z I z I I U U z I U U z I U U z I                       Рассчитав такой режим по любой программе расчета установив- шихся режимов, можно сразу получить весь столбец матрицы Zi1 (1-й столбец – при I1 = 1, 2-й столбец Zi2 – при расчете второго част- ного режима при I2 = 1 и т. д.). То есть получается, что элементы матрицы узловых сопротивлений можно найти с помощью про- грамм расчета установившихся режимов по результатам расчетов на ЭВМ n-частных режимов с единичными токами в узлах поочередно. Процедура нахождения Z путем прямого обращения Y или выше- описанным путем громоздкая, но вычисленная один раз матрица 1Y  обеспечивает быстродействие расчетов режимов, и поэтому ее приме- нение эффективно в задачах, где надо считать много режимов одной сети с различными нагрузками (задачи оптимизации режима и т. п.). После того как напряжения в узлах сети найдены, остальные па- раметры режима рассчитываются безытерационным путем описан- ным в п. 1.6. 2.6. Применение метода Ньютона для решения уравнений установившихся режимов 2.6.1. Обоснование метода Ньютона для решения нелинейного уравнения Метод Ньютона является универсальным. Он применим для нахождения корней нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений, когда известно начальное приближение (0)X , достаточ- но близкое к решению *X . Пусть задано нелинейное уравнение 73 ( ) 0f x  и известно начальное приближение )0(x . Нелинейную функцию f(x) разложим в ряд Тейлора в окрестности начального приближения, то есть при )0(xx  : 0... )()( )()( 2 2 2 )0( )0()0( )0(    x dx xfd x dx xdf xfxf xxxx xx . (0) *x x x   мало по условию, так как известно близкое началь- ное приближение, поэтому x2 пренебрегаем:  ( 0 )(0) (0)0 ( ) '( ) x x f x f x x x      . Откуда )(' )( )0( )0( )0( xf xf x   . Следующее приближение (1) (0) (0)x x x  или для k-го приближения ( ) ( 1) ( 1)k k kx x x   , (2.35) )( )( )1(' )1( )1()(     k k kk xf xf xx . (2.36) Для получения решения следует организовать итерационный процесс по выражениям (2.35), (2.36). Итерационный процесс заканчивается, когда достигается задан- ная точность расчета εx: 74 ( ) εk xx  . Процессу нахождения корней нелинейного уравнения с одним неизвестным по методу Ньютона может быть дана геометрическая интерпретация (рис. 2.2). y = f(x) x x (0) x (1) x(0) x (1) x у Рис. 2.2. Геометрическая интерпретация метода Ньютона Поскольку в приведенном геометрическом построении исполь- зуются касательные и сами первые производные связаны с каса- тельными, проведенными к кривой в точках последовательных при- ближений, то метод Ньютона в таком виде называется методом ка- сательных. 2.6.2 Применение метода Ньютона для решения систем нелинейных уравнений Пусть имеем систему нелинейных уравнений ( ) 0F X  , (2.37) где y(x(0)) 75 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ; { , ,..., } ... ( ) n n f X f X F X X x x x f X               , (2.38) и пусть известно начальное приближение (0)X , достаточно близкое к решению X : (0) (0) (0) (0) 1 2[ , ,..., ]nX x x x . Разлагаем нелинейную функцию ( )F X в ряд Тейлора в окрест- ности выбранного начального приближения (0)X ограничиваясь ли- нейными членами разложения: (0) (0) (0) (0)( )( ) ( ) [ ]i X X j X f X F X F X X x           . (2.39) Здесь также пренебрегли членами разложения второго и более порядка малости, поскольку  (0)X X X   мало по условию. (0)( )F X – значение вектора-функции небаланса (2.38), вычис- ленное в точке начального приближения; ( )i j f X J x        – матрица Якоби – матрица частных производных от составляющих вектора-функции небаланса правых частей урав- нений (2.38) ( ,( )i i jf x по искомым переменным  1 2, ,..., nx x x ), вы- численная в точке начального (текущего) приближения: 76 (0) (0) 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n i n j X X n n n n X X f X f X f X x x x f X f X f X f X x x x x f X f X f X x x x                                         (2.40) Из (2.39) можно выразить (0)X – поправку к вектору решения на нулевом приближении, используя обратную матрицу Якоби: (0) (0) 1 (0) (1) (0) (0) ( ) ( )i j X X F X X F X x X X X                , (2.41) где (1)X – вектор-столбец неизвестных первого приближения урав- нений; (0)( )F X – вектор-столбец небалансов правых частей уравнений при подстановке в (2.37) начального приближения (0)X . На каждой итерации нужно вычислить матрицу Якоби (2.40) и ре- шить с ней линеаризованную систему (2.41). Поэтому каждая итера- ция – громоздкая, но если сходимость обеспечена, то итераций немно- го, и уже первое приближение дает хороший по точности результат. Для решения такой системы существует модификация метода Ньюто- на, называемая методом секущих. По методу секущих матрица Якоби и обратная к ней J–1 сохраняются неизменными, а для уточнения по- правки ( )kx корректируется вектор-функция небалансов ( )( )kF X . Условие сходимости метода Ньютона формулируется следую- щим образом: итерационный метод Ньютона сходится и очередное k-е приближение может быть найдено, если на всей траектории ите- рационного процесса от начального приближения (0)X до решения ( )kX определитель матрицы Якоби не обращается в нуль (поскольку тогда матрица Якоби не может быть обращена и нельзя найти оче- 77 редное приближение). Поэтому понятие, что начальное приближе- ние задано достаточно точно, означает, что оно лежит внутри вооб- ражаемой криволинейной поверхности, ограниченной точками, где определитель матрицы Якоби detJ  0. Если проводить аналогию для нелинейных уравнений с одним неизвестным, то это означает, что от начального приближения (0)x до решения *x не должно по- падаться такое ( )kx , при котором производная ' ( )( ) 0kf x  . Для увеличения скорости cходимости и надежности расчета уста- новившегося режима при разработке промышленных программ были апробированы различные модификации метода Ньютона. Упрощен- ный расчет можно производить с неизменной матрицей Якоби, опре- деляемой только при начальном приближении. В этом случае получим так называемый метод секущих или метод хорд (в отличие от класс- сического метода Ньютона называемого методом касательных). Для более надежной сходимости учитывают старшие нелинейные члены в разложении Тейлора или используют методы «по параметру». Методы «по параметру» необходимо использовать в расчете установившегося режима в тех случаях, когда плохо сходится метод Ньютона. Ряд модификаций метода «по параметру» определяется следующей итерационной формулой: 1 ( 1) ( ) ( ) ( )( ) ( )i i i ii j f X X t X F X x             , где ( )iX , ( 1)iX  – векторы переменных на i-м и (i + 1)-м шагах ите- рационного процесса; t – параметр, причем t ≤ 1; 1 ( )( )ii j f X x         – матрица, обратная к матрице Якоби, вычислен- ной при ( )iX X ; ( )( )iF X – вектор-столбец небалансов мощности в узлах при ( )iX X . При t = 1 итерационный процесс совпадает с методом Ньютона. Процесс соответствует умножению поправок ΔX, определяемых при решении системы линейных уравнений на шаге в методе Ньютона, 78 на параметр t. В этом смысле метод «по параметру» можно рас- сматривать как «ускоренный» метод Ньютона. Величина этого параметра может быть принята как каноническая норма матрицы частных производных 2-го порядка, называемой матрицей Гессе (t  0,5) (приближенный расчет 2-й производной при разложении в ряд Тейлора, которой мы пренебрегли). В современных программах расчета режима метод Ньютона (в форме метода по параметру) используется авторитетными разра- ботчиками [11]. Этот прием необходимо применять, когда итераци- онный процесс носит колебательный характер (то есть когда режим лежит вблизи предела статической устойчивости и наблюдается те- кучесть режима, что соответствует нахождению точки режима на плоской вершине синусоиды). 2.6.3. Решение нелинейных узловых уравнений методом Ньютона Основное преимущество метода – быстрая сходимость, однако он более трудоемок и требует большого объема вычислений на каждой итерации. Для реализации решения узловых уравнений методом Ньютона уравнения (2.37) запишем на примере четырехузловой схемы с нагрузками в узлах и генерацией в балансирующем узле в виде 1 11 1 12 2 13 3 14 4 1б БУ 1 2 21 1 22 2 23 3 24 4 2б БУ 2 3 31 1 32 2 33 3 34 4 3б БУ 3 4 41 1 42 2 43 3 44 4 4б БУ 4 , , , . P y U y U y U y U y U U P y U y U y U y U y U U P y U y U y U y U y U U P y U y U y U y U y U U                                Используем неявную вектор-функцию ( ) 0F U  . Физический смысл ее элементов – небалансы токов в узлах сети, которые обра- 79 щаются в ноль после нахождения и подстановки точных значений напряжений УU .   1 11 1 12 2 13 3 14 4 1б БУ 1 2 21 1 22 2 23 3 24 4 2б БУ 2 3 31 1 32 2 33 3 34 4 3б БУ 3 4 41 1 42 2 43 3 44 4 4б БУ 4 0, 0, 0, 0. P y U y U y U y U y U U P y U y U y U y U y U U F U P y U y U y U y U y U U P y U y U y U y U y U U                                                            Составляем матрицу Якоби: 1 11 12 13 142 1 2 21 22 23 242 2 3 31 32 33 342 3 4 41 42 43 442 4 ( )i j P y y y y U P y y y y UF U U P y y y y U P y y y y U                                                            Ее элементы вычисляются путем подстановки напряжений те- кущей итерации ( )k iU , ( )k jU . Знаки элементов матрицы ,ii ijy y соот- ветствуют исходным узловым уравнениям. Тогда итерационная формула запишется в виде 80 ( 1) ( ) ( 1)-k k kU U U   , где ( ) 1 ( 1) ( , 1)( ) k k k k j U F U F U U               . Точность проверяется следующим образом:  1 ( ) ε k F U   . После определения узловых напряжений выполняется расчет остальных параметров режима электрической сети. 1. Определяются падения напряжений в узлах относительно напряжения в балансирующем узле: у БУU U n U    . 2. Определяются падения напряжения на ветвях схемы: у в БУ T U U M U          . 3. Определяются токи ветвей: в в вI dY U  . 4. Определяются потери мощности в ветвях: в в вP dI U   . 5. Определяются суммарные потери мощности в сети: в TP m P   . 6. Определяются расчетные токи узлов: 81 р вJ M I  . 7. Определяются расчетные мощности в узлах: р у рP dU J  , где УdU – диагональная матрица напряжений в узлах. 8. Для каждого узла определяется небаланс по мощности: нб р iP P P  , и в процентах p зад нб% зад 100% i i i P P P P    , где рP – рассчитанная мощность, зад iP – заданная мощность. Вопросы для самопроверки 1. В чем сходство и различие методов простой и ускоренной итерации? 2. Объясните принцип решения системы нелинейных уравнений уз- ловых напряжений методом простой и методом ускоренной итерации. 3. Как формулируются условия сходимости итерационных про- цессов решения систем линейных алгебраических уравнений? си- стем нелинейных уравнений? 4. Обоснуйте формулу для итерационного расчета корней нели- нейного уравнения f(x) = 0 по методу Ньютона. 5. Почему условием применимости метода Ньютона является наличие хорошего начального приближения? 6. В чем отличие метода касательных от метода секущих при решении системы уравнений методом Ньютона? 7. Что влияет на сходимость итерационного процесса? 8. Как формулируется (и как объясняется) условие сходимости метода Ньютона? 82 РАЗДЕЛ 3. ЗАДАНИЯ И ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ К КУРСОВОЙ РАБОТЕ 3.1. Тема работы Применение матричных моделей для расчета и анализа устано- вившихся режимов электрических сетей. 3.2. Исходные данные к курсовой работе Схема и параметры электрической сети, нагрузки узловых точек (определяются по методике, изложенной в табл. 3.1). Таблица 3.1 Исходные данные для вариантов задания Фамилия Имя Отчество Петров Николай Иванович X=6 Y=7 Z=8 Номер варианта (соответствует порядко-вому номеру студента в списке группы) Н о м е р с х е м ы Р а с п о л о ж е н и е б а л а н с и р у ю щ е го у зл а Расположение нагрузоки генерирующих источников 1 А Базовая длина участка в конкретном варианте, км 2 Б Lо 5*X 3 В Базовая мощность узла в конкретном варианте, МВт 4 Г Po 3*Y 5 Д tgφi = Qi/Pi 0,62 - 0,75 6 Е Напряжение балансирующего узла (БУ), кВ 7 А UБУ (1+1/Z)*Uном 8 Б Номинальное напряжение, кВ 9 В Uном 110 10 Г Удельное индуктивное сопротивление, Ом/км 11 Д X o 0,40 12 Е Длина участка, км 13 А Длина первого участка 1,4*Lо 14 Б Длина j-го участка Lо*(1,4-0,1*j) 15 В Длина последнего уч-ка 0,6*Lо 16 Г Нагрузки узловых точек, МВт 17 Д Pi Po*(1+0,04*Y*i) 18 Е 19 А 20 Б 21 В 22 Г 23 Д 24 Е 25 Ж 26 Б 27 В 28 Г 29 Д 30 Е Исходные данные для выполнения курсовой работы Местоположение нагрузок выбирается путем последовательного прибавления к букве, обозначающей БУ, соответственно 2, 4 и 5. Например, если БУ - "Г", то нагрузки будут расположены в точках Г+2 = Е, Г+4 = Б, Г+5 = В. Местоположение генераций выбирается аналогичным способом, путем прибавления трех букв к БУ, в данном случае Г+3 = А 1 6 2 3 4 5 83 3.3. Схемы сети А Б В Д Г Ж А Б В Д Г Ж Е И Схема 1 Схема 2 Схема 3 А Б В Г Е Д А Б В Г Ж И Д Е Схема 4 Схема 5 Схема 6 А Б В ГЕД Ж И А Б В Г ЖИ ДЕ 84 Базовое задание на курсовую работу (п. 3.4) предусматривает проведение расчетов для сети постоянного тока (8 баллов) и мо- жет быть дополнено развивающими тематику работы элементами исследовательского характера (на выбор): 1. Расчет режима для однородной сети переменного тока с одинаковыми сечениями проводов на участках 0 0 0 0,2 0,4, Ом кмz r jx j    0 0 0 0,2 0,4, Ом кмz r jx j    , и одинаковыми коэффициентами мощности нагрузок в узлах сети. 2. Расчет режима для неоднородной сети переменного тока (вы- брать сечения проводов на участках сети по экономической плотности тока [11] из диапазона сечений 270 300ммF  , используя рассчи- танные ранее токи ветвей вI , приняв 21А ммэj  ; провести анализ влияния неоднородности сети на потокораспределение, показатели качества электроэнергии ( maxiU ) и на экономичность режима ( P )). 3. Решить уравнения узловых напряжений в форме баланса то- ков для однородной сети переменного тока по методу итерации (с ускорением итерационного процесса введением ускоряющего ко- эффициента 1