Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Электротехника и электроника» ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА Сборник задач с контрольными тестами для студентов неэлектротехнических специальностей Ч а с т ь 3 М и н с к Б Н Т У 2 0 1 0 Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Электротехника и электроника» ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА Сборник задач с контрольными тестами для студентов неэлектротехнических специальностей В 6 частях Ч а с т ь 3 ТРЕХФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ, ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ТОКИ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ М и н с к Б Н Т У 2 0 1 0 УДК [621.3+621.38] ББК 31.2 я 7 Э 45 С о с т а в и т е л и : Ю.В. Бладыко, Т.Т. Розум, С.В. Домников, Г.В. Згаевская, Ю.А. Куварзин, А.В. Куцыло, В.И. Можар, Р.Р. Мороз Р е ц е н з е н т ы : А.А. Мазуренко, Л.И. Сончик Э 45 Электротехника и электроника: сборник задач с контрольными тестами для студентов неэлектротехнических специальностей: в 6 ч. / сост.: Ю.В. Бладыко [и др.]. – Минск: БНТУ, 2010. – Ч. 3: Трехфаз- ные электрические цепи, переходные процессы и периодические несинусоидальные токи в линейных электрических цепях. – 98 с. Настоящий сборник задач предназначен для студентов неэлек- тротехнических специальностей по курсам «Электротехника», «Электротехника и электроника», «Электротехника, электрические машины и аппараты». Размещение задач соответствует последовательности изложения материала курса, которая принята кафедрой. В начале каждой части даны типовые задачи с решениями, затем помещены контрольные задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения или для ре- шения на практических занятиях. В конце каждой темы предложены многовариантные тесты для компьютерного или аудиторного кон- троля знаний студентов. Сборник выпускается по частям. Первая часть включает задачи по линейным и нелинейным цепям постоянного тока, вторая – задачи по однофазным линейным электрическим цепям синусоидального тока. В третьей части рассматриваются трехфазные цепи, переход- ные процессы и периодические несинусоидальные токи в линейных электрических цепях, в четвертой – магнитные цепи и трансформа- торы, в пятой – электрические машины и в шестой – электроника. Применяемая в пособии терминология соответствует рекомен- дациям ГОСТ 19880-74 «Электротехника. Основные понятия. Тер- мины и определения». Обозначение единиц величин соответствует ТР 2007/003/BY. Часть 1 «Электрические цепи постоянного тока» была издана в БНТУ в 2008 г., часть 2 «Однофазные линейные электрические цепи синусоидального тока» – в 2010 г. ISBN 978-985-525-396-0 (Ч. 3) ISBN 978-985-479-911-7 © БНТУ, 2010 3 1. ТРЕХФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ Задачи с решениями Задача 1.1. В симметричной трехфазной цепи (рис. 1.1, а) линей- ное напряжение UЛ = 380 В, R = 30 Ом, XL = 40 Ом. Определить токи, активную, реактивную и полную мощности цепи а) в нормальном режиме работы; б) при обрыве в фазе А. Р е ш е н и е . а) Нормальный режим. Фазные напряжения приемника, соединенного звездой, 22033803Ëô  UUUUU cba В. Полное сопротивление фаз приемника 504030 2222  LXRZ Ом. Токи 4,450220ô  ZUIII cba А. Токи отстают по фазе от создающих их фазных напряжений на угол 53 5 3 arccosarccos  Z R cba и образуют симметричную систему. Поэтому ток в нейтральном проводе Рис. 1.1 Ib Ia Ic б c a b А B C Uab Ua Ub Uca Uc Ubc N n Ib IN Ic в c b А B C Uab Ua Ub Uca Uc Ubc N n N а XL А Ia IN XL B Ib XL C Ic R R R n 4 .0 cbaN IIII Мощности 17506,0,443803cos3 ËË  IUP Вт; 23408,0,443803sin3 ËË  IUQ вар; À. 29003 22ËË  QPIUS Векторная диаграмма для симметричного режима представлена на рис. 1.1, б. б) Обрыв в фазе А. Так как имеется нейтральный провод, то в режимах работы фаз В и С изменений не произойдет, т. е. 4,4 cb II А; 0aI А; .53  cb Мощности 1161,604,42202cos2 ôô  IUPPP cb Вт; 1549sin2 фф  IUQQQ cb вар; 193622  QPS В·А. Ток в нейтральном проводе cbcbaN IIIIII  0 . Из векторной диаграммы (рис. 1.1, в) IN = 4,4 А. Задача 1.2. В четырехпроводной трехфазной цепи (рис. 1.2, а) Rа = 6 Ом, Xа = 8 Ом, Rb = 12 Ом, Xb = 16 Ом, Rc = 5 Ом. Линейное напряжение UЛ = 380 В. Определить токи и мощность цепи. Р е ш е н и е . Полные сопротивления фаз приемника 10 22  aaa XRZ Ом, 20 22  bbb XRZ Ом, 5 cc RZ Ом. 5 Фазные напряжения генератора и приемника равны 2203Лф  UUUUUUUU cbaСВА В. Токи 22 a a a Z U I А; 11 b b b Z U I А; 44 c c c Z U I А. Коэффициенты мощности фаз: 6,0cos  aaa ZR ( a >0, ток отстает от напряжения на угол φа), 6,0cos  bbb ZR ( b < 0, ток опережает напряжение), 1cos c (ток совпадает по фазе с напряжением). Ток в нейтральном проводе cbaN IIII  определяем графи- чески на основе векторной диаграммы (рис. 1.2, б). Из нее IN = 11 А. Мощности фаз 2904cos  aaaa IUP Вт; 1452cos  bbbb IUP Вт; 9680cos  cccc IUP Вт; 3872sin  aaaa IUQ вар (характер индуктивный); 1936sin  bbbb IUQ вар (характер емкостный); Qc = 0. Реактивная мощность цепи 193619363872  ba QQQ вар (характер индуктивный). б Uc a Ib Ia IN b А B C Uab Ua Ub Uca Ubc N n Ic а А B C N n Ra Rb Rc Xa Xb Ia Ib Ic I N Рис. 1.2 6 Активная мощность цепи 14036968014522904  cba PPPP Вт. Полная мощность цепи 14130193614036 2222  QPS В·А. Расчет комплексным методом Комплексные сопротивления фаз 531086 jaaa ejjXRZ  Ом; 53201612 jbbb ejjXRZ  Ом; 5 cc RZ Ом. Комплексные фазные напряжения (принимаем комплекс aU вещественной величиной): В; 220e 0ф  j a UU   В; 190110120sin120cos220e220e 120120ф jjUU jjb       190110120sin120cos220e220e 120120ф jjUU jjc    В. Комплексные токи: 6,172,13e22 53 j Z U I j a a a    А; 1,1029,4e11 67 j Z U I j b b b    А; 3822e44 120 j Z U I j c c c   А; 114e2,113,1051,4 jcbaN jIIII  А. 7 Комплексные мощности фаз и цепи 38722904e4840e22220 5353 * jIUS jjaaa   ВА; À; 19361452e2420e11e220 5367120 *   jIUS jjjbbb  À;Â9680e44e220 120120 *    jj ccc IUS 8,7e14130193614036 jcba jSSSS  ВА. Активная, реактивная и полная мощности цепи P = 14036 Вт, Q = 1936 вар (инд. характер), S = 14130 ВА. Задача 1.3. В цепи рис. 1.3, а UЛ = 220 В, R = 6 Ом, XL = 8 Ом. Определить токи и мощности трехфазной цепи 1) в симметрич- ном режиме; 2) при обрыве линейного провода фазы А; 3) при ко- ротком замыкании фазы А. Р е ш е н и е . 1) В симметричном режиме фазные напряжения пи- тающей сети и приемника совпадают, т. е. aA UU  , bB UU  , cC UU  , 1273 Л  UUUU cba В. В комплексной форме (полагаем aU вещественной положитель- ной величиной) 127e 0ф  j a UU В; 1105,63e127e 120120ф jUU jj b    В; 110,563e127e 120120ф jUU jj c   В. 8 Токи    5353 e7,12e1012786127 j j aaa jZUI  А; 173e7,12 j bbb ZUI  А; 67e7,12 j ccc ZUI  А. Мощности  53 * å7,12127333 jaaacba IUSSSSjQPS À. 38502900å4800 53  jj  Активная P = 2900 Вт, реактивная Q = 3850 вар, полная S = 4800 ВА. А B C N n R R R XL XL XL а Ia Ib Ic б Ib Ia Ic А B C UAB UA UBC UCA UC n,N UB +j +1 c a b г Ib Ic А,n B C UA Ub UCA UC N UB +j +1 c b UBC UnN Uc UAB Ia Рис. 1.3 c в Ib Ic А B C UAB UA Ub UCA UC N UB +j +1 b n UBC UnN Uc UAn 9 2) Обрыв линейного провода фазы А (Za = ). Напряжение смещения нейтрали приемника     cba C c B b A a nN ZZZ U Z U Z U Z U 111 111 В.5,63 e10 1 e10 1 e127 e10 1 e127 e10 1 5353 120 53 120 53           jj j j j j Фазные напряжения и токи приемника 0aU ; 5,190 nNAAn UUU В; 90e110110 jnNBb jUUU  В; 90e110110 jnNCc jUUU  В; 0 a a a Z U I ; 143e11 j b b b Z U I  А; 37e11 j c c c Z U I  А. Мощности 968726e11e110;0 14390 * jIUSS jjbbba    ВА; 968726e1210e11e110 533790 * jIUS jjjссс    ВА; j53e242019361452  jSSSS сba ВА. Активная P = 1452 Вт, реактивная Q = 1936 вар, полная S = 2420 ВА. 10 3) Короткое замыкание фазы А приемника (Za = 0). Напряжение смещения нейтрали приемника     cba C c B b A a nN ZZZ U Z U Z U Z U 111 111 Â.127 1     A c a b a C c a B b a A U Z Z Z Z U Z Z U Z Z U Фазные напряжения и токи приемника: 0 nNAa UUU ;  ABb j nNBb UUjUUU   Â,e2201105,190 150  ;  ÑAñ j nNÑñ UUjUUU  Â,e2201105,190 150 ; Аe22 203 j bbb ZUI  ; Аe22 97 j ccc ZUI  . На основании первого закона Кирхгофа для узла n А.e384,309,22 53 j cba jIII  Мощности     203150 e22e220 jjccbbcb IUIUSSS À.Âe960077005800e22e220 5397150    jjj j Активная P = 5800 Вт, реактивная Q = 7700 вар, полная S = 9600 ВА. Векторные диаграммы для всех трех режимов изображены на рис. 1.3, б, 1.3, в, 1.3, г соответственно. 11 Задача 1.4. В трехфазную цепь с линейным напряжением UЛ = 220 В включены конденсатор емкостью С = 31,8 мкФ и две лам- пы накаливания сопротивлением R = 100 Ом каждая (рис. 1.4, а). Ча- стота f = 50 Гц. Рассчитать напряжения и токи конденсатора и ламп, построить векторную диаграмму. Р е ш е н и е . Емкостное сопротивление конденсатора Îì.100 108,315014,32 1 2 11 6        fCC Xc Комплексные проводимости фаз приемника Ñì;e01,001,0 1 90j c a j X jY  Ñì.01,0 1  R YY cb Фазные напряжения источника В.127 3 220 3 Л ф  U U C A C B N c b a n U a R а UnN R Ia Ib Ic U A Рис. 1.4 +1 А Ib Ia Ic B C UAB UA Ub UCA UC Uc N n UB Ua б UnN +j 12 Их комплексы (полагаем АU положительной вещественной ве- личиной): В;127e 0ф  j А UU Â;1105,63e127e 120120ô jUU jj     Â.1105,63e127e 120120ô jUU jj C   Напряжение смещения нейтрали n приемника B.2,7625 j YYY UYUYUY U cba CcBbÀa nN     Напряжения на фазах приемника Â;e170,276152 ,526 j nNAa jUUU  Â;e190,2186,538 ,5101 j nNBb jUUU  Â.e51,8335,38 139 j nNCc jUUU  Токи А;е7,1 5,63 j aaa UYI  А;е9,1 5,101 j bbb UYI  А.1е5,0 139 j ccc UYI  Векторная диаграмма по данным расчета представлена на рис. 1.4, б. Схема рис. 1.4, а используется для опытного определения чередо- вания фаз трехфазной сети. За фазу А принимается любая из трех. В нее включается конденсатор, а в две другие фазы – лампы накали- вания. Тогда фаза, лампа которой накаливается ярче, является опере- жающей фазой В, фазой С будет фаза с меньшим накалом лампы. 13 Задача 1.5. Три вольтметра используются для контроля сопро- тивления изоляции незаземленной трехфазной цепи (рис. 1.5, а). Линейное напряжение UЛ = 380 В. Емкость каждой фазы по от- ношению к земле С = 0,319 мкФ. Частота f = 50 Гц. Сопротивление изоляции каждой фазы по от- ношению к земле в нормаль- ном состоянии Rи = 2  105 Ом. Сопротивления вольтметров RV = 50 кОм. Определить показания вольт- метров а) при нормальном со- стоянии изоляции; б) при по- нижении сопротивления изо- ляции фазы А в 4 раза. Р е ш е н и е . а) Из схемы замещения (рис. 1.5, б) видно, что ак- тивно – емкостные сопротивления изоляции трехфазной цепи отно- сительно земли совместно с вольтметрами образуют в нормальном состоянии  CBA RRR è,è,è,  симметричную звезду. При этом потенциалы нейтрали генератора и земли одинаковы. Поэтому в данном режиме показания вольтметров равны и соответствуют фаз- ному напряжению цепи 2203ЛФ  UUUV В. А B C N UA UB UC б Н А Г Р У З К А RV V С Rи,С V RV V С Rи,A V RV V С Rи,B V Рис. 1.5 А B C N UA UB UC а Н А Г Р У З К А PV2 2 PV3 3 PV1 1 14 б) Изменение сопротивления изоляции любой из фаз приводит к возникновению напряжения между нейтралью генератора (точка N) и землей: Â.40 111111 è,è,è, 11 e 11 e 11 è, 120 è, 240 è,                                       Cj RR Cj RR Ñj RR U U VCVBVA Cj RR Cj RR Cj RR A N VC j VB j VÀ  (при U А = 220 В и Rи = 5  104 Ом). Показания вольтметров соответствуют модулям комплексных напряжений между фазами цепи и землей B;180B,180 11  VNAV UUUU B,e242190150e 1282402  j NA j NBV jUUUUU  B;2422 VU B,e242190150e 1281203  j NA j NCV jUUUUU  B.2423 VU Таким образом, снижение сопротивления изоляции какой – либо фазы по отношению к земле приводит к уменьшению показания вольтметра, подключенного между этой фазой и землей, и к увели- чению показаний двух других вольтметров, что и позволяет кон- тролировать сопротивление изоляции незаземленных цепей. Задача 1.6. В цепи рис. 1.6, а UЛ = 380 В, Rb = XC = 100 Ом, сопротивление переменного резистора Rа изменяется от нуля до 500 Ом. Построить диаграмму Ia(Ra) и Ua(Ra). Р е ш е н и е . Расчет цепи производим методом эквивалентного генератора. ЭДС эквивалентного генератора равна напряжению хо- лостого хода фазы а: 15      õxý nNÀa UUUE B,520 111 1 e 1 e 1 120240           Ñba Ñ j b j a À À X j RR X j RR U U  (при B220 3 380 A U и Ra = ). Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора равно входному сопротивлению цепи относительно точек a и n при зако- роченном генераторе и разомкнутой ветви с резистором Ra (рис. 1.6, б):          Ом.5050 11 1100 100100 100100 э j jj jj j j jXR jXR ZZ cb cb bx           Искомые ток и напряжение фазы а: , 5050 520 э э aa a RjRZ E I     .aaa IRU  Расчет тока Ia при различных значениях Ra приведен в табл. 1.1. Диаграммы Ia(Ra) и Ua(Ra) построены на рис. 1.6, в. Рис. 1.6 б Zвх n a(A, B, C) Rb XC а в Ia Ua 0 200 400 Ra Ом Ia A Ua В 8 400 6 300 4 200 2 100 XC A C B N c b a n Ra Rb UnN 16 Т а б л и ц а 1.1 Ra, Ом 0 50 100 200 500 Ia, А 7,35е j45 4,65е j26,6 3,29е j18,4 2,04е j11,3 0,94е j5,8 Ia, А 7,35 4,65 3,29 2,04 0,94 Ua, В 0 232 329 408 472 Задача 1.7. В цепи рис. 1.7 UЛ = 220 В, R = 6 Ом, XL = 8 Ом. Определить линейные токи и активную мощность цепи а) при нормальном режиме работы; б) при обрыве в фазе ab; в) при обрыве линейного провода А. А B C Ia Ib Ic Iab Ibc Ica a b c R R R XL XL XL а    Ia Ubc Uca Uab Ib Ic b,B б a, A c,C –Ibc Ica Iab –Iab Ibc –Ica   Ia = –Ica Ic b,B в a,A c,C –Ibc Ica Ib = Ibc Ic  Ibc Ica –Ibc –Iab Iab Ib Uca Uab Ubc a b,B c,C г Рис. 1.7 17 Р е ш е н и е . а) Фазные токи нагрузки А.22 86 220 2222 Л ф ф ф      L cabcab XR U Z U IIII Фазные токи отстают по фазе от соответствующих напряжений на угол 2,53arctg  RXL (рис. 1.7, б). Линейные токи находим по первому закону Кирхгофа (рис. 1.7, а): caaba III  ; abbcb III  ; bccac III  . При симметричной нагрузке (векторная диаграмма рис. 1.7, б) À.383 ô  IIII cba Активная мощность êÂò.72,83cos3 2ôËË  RIIUP б) при обрыве в фазе ab (векторная диаграмма рис. 1.7, в) À;22,;0  caacaaab IIIII À;22,  bcbbcb IIII À.383, ô  IIIII cbccac Активная мощность кВт.81,52 2ф 22  RIRIRIP cabc в) при обрыве линейного провода А напряжения и токи фаз ab и ca уменьшаются вдвое: Â;110 2  bccaab U UU А.11 22 22 Л    L bc caab XR UI II 18 Для нахождения линейных токов строим векторную диаграмму (рис. 1.7, г) на основании следующих уравнений: .;;0; bccacabbcbacaabbc IIIIIIIUUU  Из диаграммы А.331122  abbccb IIII Активная мощность кВт.63,4222  cabcab RIRIRIP Задача 1.8. Приемник, каждая из фаз которого обладает сопро- тивлением Z, включен треугольником на линейное напряжение сети UЛ. Как изменятся ток и мощность приемника при переключении его звездой? Р е ш е н и е . При соединении треугольником ток и мощность приемника .cos3;33 ЛЛ Л фЛ   IUP Z U II При звезде .cos3; 3 ЛЛ Лф фЛ   IUP Z U Z U II Отношения .3;3;3 3 3 ф ф Л Л Л Л Л Л          I I I I P P Z U Z U I I Таким образом, линейные токи и мощность приемника умень- шатся в три раза, а фазные токи – в 3 раз. Задача 1.9. В цепи рис. 1.8, а UЛ = 380 В, R1 = XС = 100 Ом, R2 = 80 Ом, XL = 60 Ом. 19 Определить линейные токи, активную и реактивную мощности цепи. Р е ш е н и е . При решении задачи используем комплексный ме- тод. Принимаем Uab = 380 В, т. е. совмещаем вектор данного линей- ного напряжения с осью действительных величин комплексной плоскости (рис. 1.8, б). Тогда Â.å380å380Â;å380 120240120  jj ca j bc UU   Определяем фазные токи А;е8,3 е100 380 6080 380 37 37 2   j j L ab ab ab ab jjXR U Z U I      А;е8,3 100 е380 100 е380 30 90 120120    j j jj с bс bс bс bс jjX U Z U I         А.е8,3 100 е380 120 120 1   j j сa сa сa сa R U Z U I  Заметим, что Zab = Zbc = Zca = Zф = 100 Ом и модули токов равны À.,83 cabcab III Ica А B C Ia Ib Ic Iab Ibc a b c R1 R2 XL XC а Рис. 1.8 Ubc Ica Uab Ic c,C б Iab –Ibc a, А b, B Uca Ia –Ica Ibc Ib –Iab +j +1 20 Линейные токи находим по первому закону Кирхгофа: À;,45å7,575,944å,83å,83 5,4812037  jjj caaba jIII   А;,45е0,380,250е,83е,83 573730  jjj abbcb jIII   А.,3е7,195,195е,83е,83 13530120  jjj bccac jIII   Векторная диаграмма напряжений и токов представлена на рис. 1.8, б. Активная и реактивная мощности цепи À;êÂ85,06,2   jIUIUIUSSSS cacabcbcababcabcab P = 2,6 кВт, Q = –0,58 квар (емкостная). Задача 1.10. Симметричный приемник, соединенный треугольни- ком и имеющий сопротивление фазы Zф = 15 + j18 Ом, подключен к генератору с симметричной системой напряжений (UЛГ = 380 В) с помощью ЛЭП, провода которой имеют сопротивление ZЛ = 1 + j2 Ом (рис. 1.9, а). Определить линейные и фазные токи цепи, а также фазное напряжение нагрузки. Построить векторную диаграмму. б Iл n ZY Zл А Uфг UфY a N Рис. 1.9 в UфY UBC Uca Uab UAB UCA Ubc Uфг U А B C a b c n N а А B C Uлг Zф Zф b c a Zф Zл Zл Zл Uфн Iл Iф 21 Р е ш е н и е . Задача упрощается после преобразования тре- угольника сопротивлений нагрузки в эквивалентную звезду с со- противлением Îì.å8,765 3 1815 3 50ô jj jZ Z    Так как трехфазная цепь симметрична, то расчет ведем для одной фазы (рис. 1.9, б) с общим сопротивлением Ом.е10866521 53Л jjjjZZZ   Линейный ток цепи А,22 10 220фг Л  Z U I где 3 Лг фг U U  – фазное напряжение генератора; Z – модуль пол- ного сопротивления одной преобразованной фазы. При соединении симметричной нагрузки треугольником фазный ток меньше линейного в 3 А.7,12 3 22 3 Л ф  I I Фазное напряжение нагрузки находим двумя способами: а) В,297,7121815 22фффн  IZU б) В,29722,8733 Лфн  IZU где В217Лф   IZU – фазное напряжение эквивалентной звезды нагрузки. Падение напряжения в каждой фазе ЛЭП В.2,492221 22ЛЛ  IZU 22 Потеря линейных напряжений В.83297380ЛНЛГЛ  UUU Векторная диаграмма напряжений построена на рис. 1.9, в. Задача 1.11. Два трехфазных активно-индуктивных симметрич- ных приемника, подключенных параллельно к сети напряжением UЛ = 220 В, потребляют мощности P1 = 10 кВт и P2 = 7,5 кВт при коэффициентах мощности cos1 = 0,82 и cos2 = 0,5. Определить ток в общей цепи и коэффициент мощности всей цепи. Р е ш е н и е . Реактивные мощности приемников квар;7,7010tg 111  PQ квар.13,7315,7tg 222  PQ Активная P, реактивная Q и полная S мощности всей цепи кВт;17,521  PPP квар;2021  QQQ À.êÂ,62620,5173 2222Ë  QPIUS Ток в общей цепи À.70 2203 1026,6 3 3 Ë       U S I Коэффициент мощности всей цепи .66,0 26,6 17,5 cos  S P Задача 1.12. От сети трехфазного тока с UЛ = 380 В и f = 50 Гц питается симметричная активно – индуктивная нагрузка, мощность которой P = 100 кВт и cosн = 0,6. Определить величину емкости конденсаторов, соединенных звездой, необходимых для повышения cos до 0,9 (рис. 1.10, а). 23 Как изменится емкость при включении конденсаторов треуголь- ником для получения необходимого cos? Р е ш е н и е . Ток нагрузки А.254 6,03803 10100 cos3 3 нЛ н       U P I Ток, потребляемый из сети после подключения конденсаторов, А.169 0,93803 10100 cos3 3 Л       U P I Из векторной диаграммы рис. 1.10, б следует, что ток батареи конденсаторов   sinsin íííô IIIICUI LLc À.,52810,441690,8254  Емкость одной фазы ìêÔ.1860 220314 5,128 ô      U I C c б Рис. 1.10 а A C B Н А Г Р У З К А IC I Iн CY CY CY н  IL Uф IC Iн IC I ILн 24 Емкость может быть также рассчитана по формуле           tgtg 3 3 tgtg í2 Ë í2 ô ô U P U P C   ìêÔ.18600,49,331 220314 310100 2 3     При подключении конденсаторов треугольником Uф = UЛ, т. е. напряжение конденсаторов возрастает в 3 раз:   мкФ.620 3 tgtg н2 ф ф     C U P C Значит, целесообразной схемой соединения конденсаторов явля- ется треугольник. Задача 1.13. В трехфазной цепи рис. 1.11 UЛ = 380 В, Ra = 44 Ом; Rb = 22 Ом; Rс = 14,7 Ом; R = 26 Ом; X = 26 Ом. Определить показания всех амперметров. N PA3 Rc PA2 Rb PA1 Ra C Ic Ia B A Ica R X n Ibc R X Iab R X Ib PA PAc Ic Ia Ib IaY IbY IN IcY Рис. 1.11 PA PA PAN PAa PAb 25 Р е ш е н и е . Токи приемников, соединенных звездой (показания амперметров А1, А2, А3): À;5 44 220 3 Ë  a a R U I À;10 22 220 3 Ë  b b R U I .À15 ,714 220 3 Ë  c c R U I Фазные токи симметричного приемника, соединенного тре- угольником, А.,410 2626 380 2222 Л ф      XR U IIII cabcab Линейные токи этого приемника (показания амперметров А) À.18,41033 ôË   IIIII cba Токи на общих участках цепи Ia, Ib, Ic определяются по первому закону Кирхгофа геометрической суммой линейных токов прием- ников и могут быть найдены графически с помощью векторной диаграммы (рис. 1.12). Задача может быть решена аналитически комплексным методом. Совмещаем вектор Ua с осью действительных величин комплексной плоскости (рис. 1.12). Тогда комплексные фазные и линейные напряжения В;220aU Â;å220 120j bU  В;е220 120 j сU  Â;å380 30 j abU  В;е380 90j bcU  В.е380 150 j caU  Токи несимметричного приемника А;5 44 220  a a a R U I 26 А;,6785е10 22 е220 120 120 j R U I j j b b b       А.135,7е15 ,714 е220 120 120 j R U I j j c c c    Ток нейтрального провода А.8,66е4,337,5 150 j cbaN jIIII   Комплексные фазные и линейные токи симметричного приемника А;,7210,4е10 2626 е380 15 30 j jZ U I j j ab ab       IbY Ia Iab Ib Ib Ib Ic Ia Ia Ic IcY IaY IbY n IN N Ubc Uca Uab Ibc Ica –Ica –Ibc –Iab Uc Ub Ua B C A b a c +1 +j Рис. 1.12 Ic IcY 27 А;,357,357,4е10 2626 е380 135 90 j jZ U I j j bс bс        А;10,72,4е10 2626 е380 105 150 j jZ U I j j ca ca      А;е18,712,712 45 j caaba jIII    А;е18,654,3517 165 j abbcb jIII    А.е18,3517,654 75 j bccac jIII  Комплексные токи на общих участках цепи А;,8е21,712,717 '4035j aaa jIII    А;е26,3213,3522 149 j bbb jIII    А.,5е30,3530,852 '2095j ccc jIII   Задача 1.14. В цепи рис. 1.13, а UЛ = 220 В, Z = 80 + j60 Ом. Определить показания ваттметров PW1, PW2 и мощность P, по- требляемую приемником. Рис. 1.13  PW1  А B  PW2  C Uab Ucb Z Z b c a Z Iab Ibc Ica Ic Ia а Iab  +j Ica Ibc Uca Ubc Uab   –Iab Ib Ia Ic –Ica –Ibc +1 б 28 Р е ш е н и е . Решаем задачу комплексным методом. Вектор линейного напряжения Uab совмещаем с осью действи- тельных величин комплексной плоскости (рис. 1.13, б). Тогда ком- плексы линейных напряжений: Â;å220Â;220 120 j bñBÑabAB UUUU  Â.å220 120 j ñaÑA UU  Определяем комплексные фазные и линейные токи: А;,321,761,2е2 6080 220 37 j jZ U I jabab      А;,860,022,2е2 6080 е220 157 120 j jZ U I j j bс bс        À;,162,2680,2å2 6080 å220 83 120 j jZ U I j j ña ca      А;,8е3,53,4921 67 j caaba jIII  À;,8å3,460,783 173 j abbcb jIII  À.,8å3,023,2882 53 j bccac jIII  Показания ваттметров Âò;326cos6783,220e83,220ee 671             j aabW RIURP                53120 2 e83,220eee jj ññbW RIURP Âò.830cos783,220   29 Мощность, потребляемая приемником, Вт11568cos37,32203cos3 ЛЛ  IUP или Вт.115683032621  WW PPP На рис. 1.13, б построена векторная диаграмма напряжений и токов. Задача 1.15. В цепи рис. 1.14, а UЛ = 220 В, R = 20 Ом, X = 15 Ом. Определить показание ваттметра и реактивную мощность трех- фазной цепи. Р е ш е н и е . Показание ваттметра    bcabcabcaW IUIUIUIUP coscos ЛЛ , где А;,215 1520 220 333 2222 Л фЛ      XR U II угол между векторами caU и bI определяем с помощью векторной диаграммы рис. 1.14, б:   ,9030120  bca IU ,37 20 15 arctgarctg  R X   Вт.2000,60,215220sin90cos ЛЛЛЛ  IUIUPW  а А B C Ic Iф Ib a b c R R R X X X PW   Ia Рис. 1.14 +1 90–  Iab  +j Ica Ibc Uca Ubc Uab   –Iab Ib б 30 30 Реактивная мощность цепи квар.,463200033sin3 ЛЛ  WPIUQ Эта задача может быть решена комплексным методом. Комплек- сы линейных напряжений В.е220В;е220В;220 120120  jj cabcab UUU   Рассчитываем фазные токи abI , bcI и линейный ток bI : А;,2757,8е8 1520 220 37 j jZ U I jabab      А;,423,18,8е8 1520 е220 157 120 j jZ U I j j bс bс        А.,2е15,851,115 173 j abbcb jIII  Показание ваттметра          173120 e2,51220eee jjbñaW RIURP   Âò.200035cos2,51220   Реактивная мощность всей цепи квар.,4633  WPQ Контрольные задачи Задача 1.16. Записать комплексные выражения фазных и линей- ных ЭДС симметричного трехфазного генератора, обмотки которого соединены звездой. Начальную фазу ЭДС E A принять равной нулю. Задача 1.17. Обмотки трехфазного генератора соединены звездой. Начальная фаза линейного напряжения U BC принята равной нулю. Чему равна начальная фаза фазного напряжения U B? 31 Задача 1.18. В трехфазную сеть с линейным напряжением 220 В включен симметричный приемник, сопротивления каждой фазы которого R = 2 Ом; XL = 9,8 Ом. Определить линейный ток и активную мощность, потребляемую приемником, при соединении его фаз а) звездой; б) треугольником. Построить векторные диаграммы. Задача 1.19. Шесть резисторов одинакового сопротивления включают в трехфазную сеть по приведенным на рис. 1.15 схемам. Определить отношение активных мощностей для указанных схем. Принять мощность схемы рис. 1.15, а за 1. Задача 1.20. В фазы А и В четырехпроводной цепи включены ре- зисторы R = 10 Ом, в фазу С – конденсатор сопротивлением XС = 20 Ом, линейное напряжение цепи UЛ = 220 В. Определить ток в нейтральном проводе и активную мощность трехфазной цепи. Построить векторную диаграмму. A C B Рис. 1.15 A C B а б A C B A C B в г 32 Задача 1.21. В фазу А четырехпроводной цепи включена индук- тивная катушка (Ra = 0), в фазу В – резистор, в фазу С – конденса- тор. Сопротивления фаз равны по 100 Ом, UЛ = 380 В. Определить ток в нейтральном проводе, активную и реактивную мощности трехфазной цепи. Построить векторную диаграмму. Задача 1.22. Линейные токи симметричного трехфазного прием- ника, соединенного звездой без нейтрального провода, равны 10 А. Как изменятся токи а) при коротком замыкании; б) при обрыве в фазе А? Задача 1.23. В цепи рис. 1.16 R = XС = XL = 10 Ом, UЛ = 173 В. Определить токи, активную, реактивную и полную мощности цепи. Задача 1.24. В цепи рис. 1.17 UЛ = 220 В, R1 = 22 Ом, R2 = R3 = = 11 Ом. Определить линейные токи и мощности цепи. Построить вектор- ную диаграмму. Задача 1.25. В цепи рис. 1.18 UЛ = 220 В, R = XL = 100 Ом. Определить линейные токи и построить векторную диаграмму. Задача 1.26. В цепи рис. 1.19 UЛ = 220 В, R = XС = 100 Ом. Определить линейные токи и построить векторную диаграмму. Задача 1.27. В цепи рис. 1.20 определить линейные токи, если все фазные токи Iф = 1 А. XL R A C B Рис. 1.18 b c a A XC C B R XL Рис. 1.16 R2 A C B R1 b c a R3 Рис. 1.17 33 Задача 1.28. В цепи рис. 1.19 UЛ = 220 В, R = XС = 100 Ом. Определить линейные токи а) при обрыве в фазе са; б) при обрыве линейного провода Cс. Задача 1.29. Симметричный активно – индуктивный трехфазный приемник потребляет мощность P = 20 кВт при cos = 0,5. Линей- ное напряжение сети 220 В, частота f = 50 Гц. Рассчитать емкость конденсаторов одной фазы, необходимых для повышения коэффициента мощности цепи до 0,92 при соедине- нии их а) звездой; б) треугольником. Задача 1.30. Симметричный трехфазный приемник Îì75ô jZ  , соединенный звездой, подключен к генератору линией, сопротивление фазы которой Ом11Л jZ  . Каково должно быть линейное напряжение генератора, чтобы линейное напряжение приемника UЛ = 380 В? Задача 1.31. Трехфазный приемник соединен линией с генерато- ром, линейное напряжение которого 380 В. Фазы приемника сопро- тивлением Ом165210ф jZ  соединены в треугольник. Сопро- тивление каждого из линейных проводов линии Ом510Л jZ  . Определить напряжение на нагрузке. A C B R b c a XC Рис. 1.19 XC A C B R b c a C Рис. 1.20 L 34 Задача 1.32. В цепи рис. 1.21 линейное напряжение UЛ = 380 В, XС = 110 Ом. Определить показания ваттметров, активную, реактивную и пол- ную мощности цепи. Задача 1.33. В цепи рис. 1.22 UЛ = 220 В, Z = 10 + j7,8 Ом. Определить показание ваттметра, активную и реактивную мощ- ности цепи. Задача 1.34. Измерение активной мощности, потребляемой от се- ти трехфазным симметричным приемником, проводилось двумя ваттметрами. Показания ваттметров PW1 = 2 кВт, PW2 = 4 кВт. Начертить электрическую схему цепи и определить коэффици- ент мощности приемника. Ответы к контрольным задачам 1.16. EA = E; EB = Eе– j120°; EC = Eе j120°; EAB = Eе j30°; EBC = Eе– j90°; ECA = Eе j150°. 1.17. ψВ = – 30°. 1.18. а) IЛ = 12,7 А, P = 968 Вт; б) IЛ = 38 А, P = 2904 Вт. 1.19. 1 : 4 : 3 : 12. 1.20. 14,2 А; 3,2 кВт.  Рис. 1.21 PW1  А B  PW2  C XC XC XC  Рис. 1.22 PW  А B C Z Z Z Ubc 35 1.21. 6 А; 484 Вт; 0. 1.22. а) IА = 30 А, IB = IС = 17,3 А; б) IА = 0 А, IВ = IС = 8,67 А. 1.23. IА = – 17,3 А; IВ = 33,5е– j75° А; IС = 33,5е j75° А; P =300 Вт; Q = 0; S = 300 В·А. 1.24. IА = IВ = 26,4 А; IС = 34,6 А; P = 11 кВт. 1.25. IА = IС = 2,2 А; IВ = 1,14 А. 1.26. IА = 4,25 А; IВ = 1,14 А; IС = 3,81 А. 1.27. IА = 0,52 А; IВ = 1 А; IС = 0,52 А. 1.28. а) IА = IС = 2,2 А; IВ = 1,14 А; б) IА = IВ = 2,46 А; IС = 0. 1.29. CY = 1720,2 мкФ; CΔ = 573,4 мкФ. 1.30. 442,56 В. 1.31. 338,8 В. 1.32. Pw1 = 380 Вт; Pw2 = – 380 Вт; P = 0; Q = 1320 вар; S = 1320 В·А. 1.33. Pw = 1354,46 Вт; P = 3000 Вт; Q = 2340 вар. 1.34. cosφ = 0,866. 36 Тесты для компьютерного или аудиторного контроля знаний студентов Тест 1.1 Вариант 1 1. Записать в комплексной форме фазные и линейные напряже- ния трехфазной сети напряжением 380 / 220 В. Начальную фазу ли- нейного напряжения UAB принять равной нулю (UAB = 0). 2. Три несимметричных однофазных приемника (Za  Zb  Zc) с номинальными напряжениями Uном = 220 В необходимо подклю- чить к трехфазной сети 380 / 220 В. Определить необходимую схему соединений приемника. 3. Фазные токи симметричной цепи Iф = 2,2 А, сопротивления фаз Z = 100 e j60 Ом. Определить фазное Uф, линейное Uл напряжения, линейный ток Iл, активную P и реактивную Q мощности цепи. 4. Дано: Uл = 380 В, Ra = Rb = 200 Ом, Rc = 400 Ом. Определить ток в нейтральном проводе IN (воспользоваться векторной диаграммой). 5. Сопротивление фазы симметричного приемника Z = 100 Ом. Показание ам- перметра – 6,6 А. Определить линейное напряжение цепи. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. А B C n Z Z Z a b c А B C N n Ra Rb Rc IN А B C Z Z Z PА 37 Вариант 2 1. В трехфазной сети фазные напряжения UA = UB = UC = 100 В. Частота f = 50 Гц, началь- ная фаза напряжения UB равна нулю. Записать уравнения мгновенных значений линейных напряжений uAB и uBC . 2. Трехфазный двигатель с номинальным напряжением обмоток 220 В необходимо подключить к трехфазной сети 220 / 127 В. Определить необходимую схему соединений обмоток двигателя. Как соединена трехфазная нагрузка, век- торная диаграмма которой представлена на рисунке? Чему равна сумма линейных токов iA , iB, iC ? В трехфазную цепь (Uл = 380 В) вклю- чены 4 одинаковые лампы накаливания (Pном = 40 Вт, Uном = 220 В). Определить показание амперметра. Изменится ли показание амперметра, если фазы A и C поменять местами? 5. Трехфазный симметричный приемник соединен в треуголь- ник. Сопротивления фаз Z = 380 e j60 Ом, фазный ток Iф = 1 А. Определить фазное Uф и линейное Uл напряжения, линейный ток Iл, активную и реактивную мощности приемника. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. UC UB UA 120 120 А B C N n Uc Ub Ua 3. А B N n C PА 4. 38 Вариант 3 1. Записать в комплексной форме фазные и линейные напряже- ния трёхфазной сети, если фазное напряжение сети Uф = 380 В. Начальную фазу напряжения UA принять равной 60 (UA = 60). Построить векторную диаграмму напряжений на комплексной плоскости. 2. Определить схему включения трёхфазного симметричного при- ёмника, у которого Uном = 220 В, к сети напряжением 380 / 220 В. 3. Линейное напряжение трёхфазного источ- ника UЛ = 380 В, сопротивления фаз приёмника Z = 22e–j30 Ом. Определить фазный и линейный токи, актив- ную и реактивную мощности цепи, напряжение между точками n и N. Ток фазы А À, 6àI ток в нейтральном проводе À. 2NI Нагрузка всех фаз актив- ная, причём cb RR  . Определить токи . , cb II 5. Линейное напряжение трёхфазной сети В. 380л U Сопротивления фаз приёмника Îì.100å 45 jZ Определить фазные, линейные токи, активную, реактивную и полную мощно- сти цепи. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. А B C N n Z Z Z А B C N n Ra Rb Rc IN Ic Ia Ib 4. 4. А B C Z Z Z 39 Вариант 4 1. Записать выражения для мгновенных значений фазных напря- жений трёхфазной сети uA, uB, uC, если мгновенное значение линей- ного напряжения uAB = 180sint В. 2. Лампы накаливания с номинальным напряжением 127 В включены в трёхфазную сеть с линейным напряжением 220 В. Определить схему соединения ламп. 3. Определить ток в нейтральном про- воде при а) разомкнутом; б) замкнутом вы- ключателе S, если IB = 1 A. Дано: UЛ = 380 В. Линейный ток IЛ = 17,3 А. Коэффициент мощности цепи cos  = 0,8. Определить активное и реактивное сопро- тивления фазы. Активная мощ- ность, потребляемая трёхфазным приём- ником P = 5,4 кВт. Линейное напряже- ние сети UЛ = 380 В. Определить реак- тивную мощность цепи, если ток в фазе приемника IФ = 10 А. Ответы 1. 2. 3. а) 3. б) 4. 5. R R n C B N A S R IB C B Z Z b c Z A a 4. R R R B C A n XL XL XL 5. 40 Вариант 5 1. Записать фазные и линейные напряжения трехфазного генера- тора в комплексной форме, если линейное напряжение генератора Uл = 220 В. Начальную фазу UА принять UA = 90. Построить векторную диаграмму напряжений на комплексной плоскости. 2. Трехфазный симметричный приемник необходимо подклю- чить к трехфазной сети 660 / 380 В. Определить схему соединений приемника, если номинальные напряжения каждой фазы приемника Uном = 380 В. Линейное напряжение трехфазного источника Uл = 220 В, сопротивления фаз R = 8,67 Ом, XL = 5 Ом. Определить фазный и линейный токи, активную и реактивную мощности трех- фазной цепи. 4. Дано: Ia = 15 А; Ib = Ic = 5 А. Определить ток в нейтральном проводе IN. Как изменятся токи Ia, Ib, Ic, IN при обрыве фазы A? 5. Симметричная нагрузка Z = 10 Ом включена по схеме треугольника. Линейное напряжение сети Uл = 220 В. Определить показание амперметра. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. А B C Z Z Z PА R R R B C A n XL XL XL 3. Ia Ib Ic А B C N n Ra Rb Rc IN 41 Тест 1.2 Вариант 1 1. Как изменятся фазные и линейные напряжения, токи симмет- ричного приемника при переключении его со схемы треугольника на схему звезды? Питание осуществляется от одной и той же трех- фазной сети. Ответы представить в виде кратностей: Uф / UфY; Uл / UлY; Iф / IфY; Iл / IлY. 2. Линейные токи симметричного трехфазного приемника, соединен- ного звездой, равны 5 А. Как изменятся токи (Ia, Ib, Iс) при коротком замыкании фазы А? Чему при этом равно напряжение смещения нейтрали UnN, если Uл питающей сети 380 В? 3. Симметричный трехфазный приемник включен по схеме тре- угольника к сети Uл = 220 В. Сопротивления каждой фазы приемни- ка R = 50 Ом, XL = 86,7 Ом. Начертить схему замещения цепи, рассчитать фазные Iф и ли- нейные Iл токи, активную P и реактивную Q мощности цепи. 4. Какую мощность можно определить по показаниям ваттметров и чему она равна, если нагрузка симметричная, а показания ваттметров PW1 = 400 Вт, PW2 = 500 Вт. 5. Трехфазный симметричный приемник мощностью P = 9,8 кВт при cos  = 0,8 подключен к сети Uл =220 В, f = 50 Гц. Рассчитать емкость конденсаторов, необходимых для повыше- ния коэффициента мощности цепи cos  до 0,97 при соединении конденсаторов а) треугольником; б) звездой. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. а) 5. б) A C B Y ( )   PW1   PW2 A C B N n R UnN R Ia Ib Ic R 42 Вариант 2 1. Как изменится мощность P симметричного приёмника при пе- реключении его со схемы треугольника на схему звезды? Питание осуществляется от одной и той же сети. Ответ представить в виде кратности  PP . 2. Дано: Iф = 2,2 А, R = 100 Ом. Определить: 1) Uф, Uл, Iл, Pцепи; 2) Как изменятся токи Ia, Ib, Ic при обрыве в фазе А. Чему при этом равно UnN? 3. В цепи R = XC = XL= 22 Ом, Uл = 220 В. Определить фазные и линейные токи, активную, реактивную и пол- ную мощности цепи. 4. Какую мощность можно определить по показанию ваттметра и чему она равна, если нагрузка симметричная, а PW = 173 Вт? 5. Симметричный трёхфазный приёмник потребляет активную мощность P = 45,3 кВт при cos = 0,707 ( > 0). Рассчитать: а) реактивную мощность конденсаторов QC, необхо- димую для полной компенсации реактивной мощности QL приём- ника; б) ёмкость конденсаторов, соединённых треугольником, если напряжение питающей сети UЛ = 380 В, f = 50 Гц. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. а) 5. б) А B C N n R R R a b c Iф UnN Ica А B C Ia Ib Ic Iab Ibc a b c R XL XC A C B Y ( )   PW 43 c a b Z Z Z А B C Ic Ia Ib 3. Ibс Ica Iab Вариант 3 1. Трёхфазный симметричный приёмник подключён к сети по схеме звезды. Как изменятся линейный ток, активная и реактивная мощности приёмника при подключении его к той же сети треуголь- ником? Ответы представить кратностями: .;;ëë  QQPPII YYY 2. Симметричный приёмник, со- единённый звездой и имеющий со- противление фазы Zф= 31+j22 Ом, подключён к сети В 400лс U с помощью линии электропередачи сопротивлением Zл = 1+ j2 Ом. Определить фазное напряжение приёмника Uфп. Фазные токи симметричного трёх- фазного приёмника, соединённого тре- угольником, равны Iф = 17,3 А. Как изменятся фазные (Iab, Ibc, Ica) и линейные (Ia, Ib, Ic) токи при обрыве фазы ab? 4. Дано: UЛ = 220 В, Iл = 17,3 А, PW1 = 0, PW2 = 3,3 кВт. Определить комплексное сопро- тивление фазы приёмника Z. 5. Предприятие потребляет активную мощность Pпр = 50000 кВт при cosпр=0,8. Рассчитать реактивную мощность конденсаторов, необходимую для повышения cos до 0,965 (активную мощность конденсаторов считать равной нулю). Ответы: 1. 2. 3. 4. 5. a b c Uфп Zф Zф n C B A Zф 2. Zл Zл Zл Uлс Z Z Z А B C   PW1   PW2 4. 44 Вариант 4 1. Три одинаковых резистора, соединенных в звезду, потребляют мощность 60 Вт. Какую мощность они будут потреблять при переключении в тре- угольник? Уменьшится или увеличится накал оди- наковых ламп (Л1…Л4) при обрыве нейтрального провода? 3. Дано: Uл = 220 В, R = XС = 10 Ом. Определить: 1) линейные токи каждого приемника Ia, IaY, и токи общих участков сети IA, IB, IC; 2) активную и реактивную мощности сети. 4. Сумма показаний ваттметров равна 950 Вт. Нагрузка симметричная. Линейное напряжение 220 В, линейный ток 5 А. Определить показания каждого ваттметра. 5. На сколько процентов можно увеличить активную мощность при передаче энергии в линии, если при том же напряжении и токе повысить cos  с 0,72 до 0,9? Ответы 1. 2. Л1 – Л2 – Л3, Л4 – 3. 4. 5. А B N n C 2. Л1 Л2 Л3 Л4 XC IC XC XC R R R Ia IaY IB IA    A C B Y ( )   PW1   PW2 45 Вариант 5 1. Три одинаковые катушки включены в трёхфазную сеть с ли- нейным напряжением UЛ = 380 В. Активное сопротивление катушки R = 16 Ом, индуктивное XL = 12 Ом. Определить активную, реактивную и полную мощности, потреб- ляемые катушками при их соединении а) треугольником; б) звездой. Дано: Токи в фазах приемника Iф = 2 А. Как изменятся токи при обрыве фазы А? 3. Линейное напряжение трёхфазной цепи UЛ = 220 В. Сопротивление фазы приемника Z = 12+ j12 Ом. Определить токи в фазах приемника а) в нормальном режиме; б) при обрыве линейного провода А. Определить характер нагрузки и сопротивления фаз симметричного приемника, если линейное напряжение сети UЛ = 380 В, ток в линии IЛ = 4,4 А. Показания ваттметров одинаковы. 5. Для повышения коэффициента мощности трёхфазной установки из двух двигателей подключена батарея конденсаторов. Определить реактивную мощность компенсирующего устрой- ства для повышения cos до 0,95, если потребляемые двигателями мощности P1 = 5,5 кВт, P2 = 11,75 кВт и коэффициенты мощности cos1 = 0,84, cos2 = 0,88. Ответы 1. а) 1. б) 2. 3. а) 3. б) 4. 5. C B Z Z b c Z A a Z Z n C B A Z 2.   А B   C n Z Z Z PW2 PW1 4. 46 2. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ Задачи с решениями Задача 2.1. Катушка, сопротивление которой R = 5 Ом и индук- тивность L = 0,5 Гн, подключается к источнику постоянного напря- жения U = 30 В (рис. 2.1, а). Найти закон изменения тока i(t) и ЭДС самоиндукции eL(t), по- стоянную времени . Построить диаграммы i(t), eL(t) при переход- ном режиме. Определить значение тока катушки в момент времени t1 = 0,1 с после замыкания ключа и скорость нарастания тока в начальный момент. Р е ш е н и е . По второму закону Кирхгофа уравнение электриче- ского состояния цепи в послекоммутационном режиме . dt di LRiU  Решение уравнения находим как сумму принужденной и свобод- ной составляющих EL i R – + U L а Рис. 2.1 б i t( ) u t( ) 0.15 f t( ) t eL В i A 30 20 10 0 –10 –20 –30 6 4 2 0 –2 –4 –6 i eL iпр t1 t c 0,3 0,4 iсв 47 .свпр iii  Принужденную составляющую определяем из расчета цепи в установившемся режиме, т. е. при t =  .А6пр  RUi Свободную составляющую – из общего решения однородного уравнения ,å;0 ñâ ñâ ñâ ptAi dt di LRi  где L R p  – показатель затухания (корень характеристического уравнения 0 = R + Lp); с,10 1  R L p – постоянная времени цепи. Постоянную интегрирования А находим из начальных условий с помощью первого закона коммутации, при t = 0      t A R U i e0 , 0 = 6 + А, А = - 6. Таким образом, ток катушки изменяется по закону     А.е16е1 ,10tt R U i   ЭДС самоиндукции, индуцированная в катушке, В.е30ее 0,1ttL U dt di L   Диаграммы i(t) и eL(t) построены на рис. 2.1, б. Значение тока в момент времени t1 = 0,1 с   А.8,3е16 11,0  i 48 Скорость нарастания тока в начальный момент А/с.60 0   L U dt di t Задача 2.2. В цепи рис. 2.1, а (использовать параметры задачи 2.1) определить время, за которое ток в катушке достигнет 95 % своего установившегося значения. Какова энергия магнитного поля катушки в этот момент времени? Р е ш е н и е . Выражение для тока цепи в переходном режиме   À.å16 ,10ti  Из этого выражения определяем время t1, за которое ток достиг- нет 95 % установившегося значения:   À,å16695,0 ,101t откуда 0,05е ,101 t , ,3,641,6100lnln5,050ln,101  t t1 = 0,3 с. Энергия магнитного поля в этот момент времени   .Äæ,128 2 7,55,0 2 22 3,0 ñ 3,01     Li W t Задача 2.3. Электромагнит постоянного тока имеет сопротивле- ние R = 11 Ом и индуктивность L = 0,44 Гн. Напряжение источника U = 220 В. Рассчитать сопротивление реостата Rp, шунтирующего обмотку электромагнита (рис. 2.2), при котором напряжение на обмотке в момент отключения электромагнита не превысит утроенного значе- ния напряжения источника. Р е ш е н и е . Установившееся значение тока электромагнита, включенного под напряжение, 49 А.20 RUI Электрическое состояние цепи при от- ключенном источнике напряжения харак- теризуется уравнением   ,0 p dt di LiRR  решение которого .å p t L RR Ai    Так как ток в индуктивности не изменяется скачком, то в момент размыкания ключа (t = 0) it=0 = 20 = Ае0, значит, А = 20, и ток в переходном режиме À.å20 p t L RR i    Напряжение на обмотке электромагнита Â.å20 p ppýì t L RR RiRu    Сопротивление Rp рассчитываем так, чтобы в момент отключе- ния (t = 0) uэм  3U: 3U  20 Rpе0, Rp  Ом.33 20 660  Задача 2.4. Обмотка электромагнита имеет сопротивление R = 2 Ом и индуктивность L = 0,5 Гн. Установившийся ток обмотки Iу = 5 А. Ток срабатывания электромагнита Iс = 3,5 А. Рассчитать сопротивление резистора Rд, включаемого последо- вательно с обмоткой, и напряжение сети U, чтобы электромагнит срабатывал через промежуток времени tс = 0,1 с после его подклю- чения к источнику. Рис. 2.2 U + – i Rр eL R L 50 Р е ш е н и е . Ток цепи в любой момент времени определяется выражением   ää óó ,ãäå ,å1 RR L RR U IIi t      . В момент срабатывания электромагнита   ,å155,3 ;å1 5,0 )2(1,0 óñ ä ñ               R t II откуда Îì.4;2,13,0ln2,04,0;3,0å ää )2(2,0 ä   RR R Напряжение сети   В.30уд  IRRU Задача 2.5. Для измерения напряжения на зажимах катушки с R = 22 Ом и L = 2 Гн включен вольтметр по схеме рис. 2.3. Сопро- тивление вольтметра RV = 10 кОм, предел измерения 250 В. Можно ли отключить катушку от сети напряжением U = 220 В, не отсоединяя вольтметр? Р е ш е н и е . Ток послекоммутационной цепи изменяется по закону À; å10å      tt R U i с. 0,0002   VRR L Напряжение на вольтметре в момент отключения катушки, при t = 0: кВ, 10010100000  iRU VV Рис. 2.3 U + – R L i PV 51 т. е. в 400 раз превышает допустимое для вольтметра значение, что приведет к повреждению изоляции прибора. Поэтому перед отклю- чением катушки следует отсоединить вольтметр. Задача 2.6. Найти закон изменения тока i и напряжения uC в цепи рис. 2.4, а после замыкания ключа, если U = 220 В, R = 10 Ом, C = 100 мкФ. Определить постоянную времени  и время заряда конденсатора до напряжения 50 В. Р е ш е н и е . После коммутации уравнение электрического со- стояния цепи .C C C u dt du RCuRiU  Решением его является сумма принужденной и свободной со- ставляющих .ñâïð CCC uuu  Принужденную составляющую находим из расчета цепи в уста- новившемся режиме, т. е. при t =  ,Â220ïð UuC свободную составляющую – из общего решения однородного урав- нения б Рис. 2.4 а i U uC + – C R uC i t1  0,002 0,003 t c u t( ) i t( ) 10 t i A u В 200 20 100 10 uC1 0 52 ,å;0 ñâ ñâ ñâ pt CC C Àuu dt du RC  где RC p 1  – показатель затухания (корень характеристического уравнения 0 = RCp + 1). Напряжение конденсатора в переходном режиме .å RCtC ÀUu  Постоянную интегрирования А находим из начальных условий с помощью второго закона коммутации, при t = 0:   ,00 ÀUuC  откуда А = – U. Тогда напряжение на конденсаторе     Â,å1220å1 ,0010tRCtC Uu   ток цепи À.å22å ,0010 tRCtC R U dt du Ci   Постоянная времени с.10 1 3 RC p Диаграммы    tituC è построены на рис. 2.4, б. Для определения времени, за которое конденсатор зарядится до напряжения 50 В, воспользуемся общим выражением uC:  ,å122050 0,0011t откуда ;,7750ln1000;,7750å 1 10001  tt ñ.1026 1000 2,32,04 1000 10ln7,75ln 5 1       t 53 Задача 2.7. Конденсатор емкостью С = 500 мкФ, заряженный до напряжения источника U, разряжается на резистор сопротивлением R (рис. 2.5, а). При этом за время t1 = 0,035 с напряжение на зажи- мах конденсатора снижается в два раза. Определить сопротивление R и постоянную времени  переход- ного процесса. Построить диаграммы    tituC è . Р е ш е н и е . По второму закону Кирхгофа для послекоммутаци- онной цепи .0 C C u dt du RC  Это уравнение имеет решение pt CC Àuu åñâ  , где . 1 RC p  Так как напряжение на емкости не изменяется скачком согласно второму закону коммутации, то в момент переключения рубильни- ка, при t = 0, 0åÀUuC  , значит, А = U, и напряжение при разря- де конденсатора RCt C Uu  å . Рассматривая это уравнение для момента времени t1, определяем сопротивление резистора R: Рис.2.5 а U uC + – i R 1 C б t c uC i U 2 0 t1  0,1 uC, i U U R 54 ,å0,5,å 2 70 500 100,035 6 RRU U     Îì.100 3,21,6 70 10ln5ln 70     R Постоянная времени  = RC = 0,05 с. Диаграммы изменения напряжения uC и тока при разряде кон- денсатора (рис. 2.5, б) строим по уравнениям: Â;å 0,05tC Uu  .Àå 0,05tC R U dt du Ci  Задача 2.8. Цепь, состоящая из двух параллельных ветвей (R1 = = R2 = 10 Ом; L = 0,1 Гн; С = 200 мкФ), включается на постоянное напряжение U = 24 В (рис. 2.6, а). Найти закон изменения переходных токов в ветвях и неразветв- ленной части, построить диаграммы i1(t), i2(t), i(t). Как следует изменить емкость С конденсатора, чтобы ток в не- разветвленной части цепи имел постоянное значение? Определить значение этого тока. Рис. 2.6 б 2,0 1,5 1,0 0,5 0 i А 5 10 15 20 t мс i i2 i1 f1 t( ) f2 t( ) f3 t( ) t а i2 U + – R2 R1 L i1 i C 55 Р е ш е н и е . Токи переходного режима в параллельных ветвях схемы определяются уравнениями:   ñ;0,01À;å12,4å1 1 1 100 1 1 1               R L R U i t t ñ.0,002À;2,4åå 22 500 2 2 2    CR R U i t t Общий ток цепи находим по первому закону Кирхгофа     А.ее12,4ее1 50010021 21 tttt R U iii    Как видно из последнего выражения, общий ток не будет зави- сеть от времени при условии: , å. ò.,21 CR R L  откуда мкФ. 1000 2  R L C При этом ток i = 2,4 А. Задача 2.9. Определить начальные и установившиеся значения токов i, i1, i2, напряжений uC и uL при замыкании ключа (рис. 2.7), если U = 220 В, R = 22 Ом; L = 100 мГн, С = 50 мкФ. Напряжение на конденсаторе до замыкания ключа равнялось нулю. Р е ш е н и е . До коммутации токи и напряжения имели следу- ющие значения: À;521  RUii ;02 i .0 CL uu i Рис. 2.7 C – U + R L uC i2 uL i1 R 56 Запишем уравнения законов Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений послекоммутационной цепи: ,21 iii  (2.1) ,CuRiU  (2.2) .1 CL uuRi  (2.3) Так как ток в индуктивности и напряжение на емкости не изме- няются скачком, то в момент коммутации     ,0À,5:0 001  Cuit согласно (2.2)     À,10 0 0    R uU i C тогда из (2.1)       А,501002  iii из (2.3)       В.1100100  Riuu CL В установившемся режиме послекоммутационной цепи ;0À;52: 21  iRUiit Â.110;0 1  Riuu CL Ответы приведены в табл. 2.1. Т а б л и ц а 2 . 1 Режим Величина До коммутации t = 0 t = i, А 5 10 5 i1, А 5 5 5 i2, А 0 5 0 uC, В 0 0 110 uL, В 0 –110 0 57 Задача 2.10. Катушка с индуктивностью L = 0,127 Гн и сопро- тивлением R = 6,35 Ом включается на синусоидальное напряжение   Â,sin2202  tu где  = 30. Частота напряжения 50 Гц. Определить закон изменения тока в цепи, а также значение тока через два периода после включения. Рассчитать начальную фазу напряжения сети, при которой будет отсутствовать переходный процесс. Р е ш е н и е . Для определения тока катушки в установившемся режиме находим Ом;40127,0502  LXL Ом;40,5 22  LXRZ .518130;81; 40,5 6,35 cos   i Z R Ток установившегося режима     А.51sin7,68sinпр  tt Z U i m Свободная составляющая тока  tAi есв , где с.0,02 R L Действительный ток   .Àå51sin7,68ñâïð  ttiii  Постоянную интегрирования А находим из начальных условий, при t = 0:     А,51,68sin700  i откуда   ,97.551,68sin7А   Уравнение тока катушки   ,020,97å551,68sin7 tti   А. 58 Диаграммы изменения тока i и составляющих iпр, iсв приведены на рис. 2.8. Значение тока через два периода после включения  с04,03144;4 11  tt :   А.5,17е5,97517207,68sin 0,02,0401  i Переходный процесс будет отсутствовать, если   ,0еsinсв  tm Z U i т. е. при ,0 значит .81 Задача 2.11. Найти закон изменения тока i(t) и напряжения uC(t) на конденсаторе, если последовательно соединенные резистор и конденсатор (R = 2 Ом, С = 50 мкФ) включаются на синусоидальное напряжение   .45 где В,314sin141  tu При каком значении  начальное значение тока будет макси- мальным? i t( ) iсв t( ) iy t( ) t  –  0,01 0,02 0,03 t1 10 8 6 4 2 0 –2 –4 –6 –8 i А t с i1 iпр iсв i = iпр + iсв iсв Рис. 2.8 59 Р е ш е н и е . Ток и напряжение конденсатора в установившемся режиме       Â,02133314,21sin2sin 1 22 ïð    tt CR U i m где ;0288 2 63,7 tgarc 1 tgarc       R C   Â.0243314sin140 2 sinïð         ttX Z U u C m C Свободная составляющая напряжения  tC åÀu ñâ , где с.1010502 46   RC Общее выражение для напряжения   Â.å0243314sin140ñâ ïð  tCCC Àtuuu  Используя второй закон коммутации, находим постоянную инте- грирования А,   .96AÀ;02sin431400:0 0   Cut Окончательное выражение для напряжения ,å 2 sin 2 sin                tC m C m C X Z U tX Z U u   Â.å690243314sin140 410 tC tu   Ток конденсатора   ,å 2 sinsinsincos               tmC t R U dt du Ci   À.å4802133314,21sin2 410 tti   60 В момент включения цепи, как следует из общего выражения тока,   .sin0  R U i m Значит, наибольшее значение А,570max  R U i m будет при 2   . Действительно, в момент включения цепи емкость как бы закорочена (UС(0) = 0) и все внешнее напряжение приложено к со- противлению R. Контрольные задачи Задача 2.12. Определить длительность переходного процесса в цепи рис. 2.1, а (R = 5 Ом; L = 0,5 Гн) при замыкании ключа, если считать, что переходный процесс заканчивается по прошествии времени t = 4. Задача 2.13. В цепи рис. 2.1, а рассчитать сопротивление рези- стора R из условия, что за время t = 0,1 с после подключения цепи к источнику постоянного напряжения ток катушки достигнет значе- ния i = 2,6 А. Индуктивность катушки L = 0,5 Гн. Ток установивше- гося режима 3 А. Определить значение напряжения uL в момент t = 0,1 с. Задача 2.14. Катушка, индуктивность которой L = 2 Гн и сопро- тивление R = 5 Ом, замыкается накоротко в момент, когда ток ка- тушки равен 10 А. Определить напряжение на катушке и скорость убывания тока в момент замыкания. Какова скорость убывания тока, когда i = 5 А? Задача 2.15. К зажимам обмотки возбуждения машины постоянного тока подключен вольтметр, сопротивление которого 3000 Ом. Индуктивность обмотки L = 15 Гн, активное сопротивле- ние 20 Ом. Во сколько раз повысится напряжение на вольтметре в момент отключения цепи (рис. 2.3) от источника постоянного напряжения U = 100 В? 61 Рассчитать энергию, выделившуюся в вольтметре после размы- кания. Задача 2.16. Определить начальное зна- чение ЭДС самоиндукции еL, возникающей в катушке при размыкании ключа (рис. 2.9). Задача 2.17. Определить длительность переходного процесса, возникающего при разряде конденсатора емкостью С = 500 мкФ через резистор R = 100 Ом. Считать, что переходный процесс заканчивается по прошествии времени t = 4. Задача 2.18. В цепи рис. 2.4, а определить емкость С конденсато- ра из условия, что за время t1 = 0,01 с после включения цепи к ис- точнику постоянного напряжения U = 230 В напряжение на конден- саторе при его заряде через резистор R = 100 Ом достигает значения uС1 = 200 В. Рассчитать значение тока i1 в момент времени t1 = 0,01 с. Задача 2.19. Конденсатор емкостью С = 100 мкФ, заряженный до напряжения UС0 = 220 В, разряжается на резистор R (рис. 2.5, а). Определить сопротивление резистора R, если за время t = 3,5 10 -3 с энергия электрического поля конденсатора уменьшилась вдвое по сравнению с первоначальной. Задача 2.20. Определить начальные и установившиеся значения токов i, i1, i2 и напряжения uС при замыкании ключа в цепи рис. 2.10, если U = 220 В, R = 11 Ом, R1 = 44 Ом, С = 100 мкФ. Задача 2.21. Определить начальные и установившиеся значения токов i, i1, i2 и напряжений uС , uL при замыкании ключа в цепи рис. 2.6, а, если U = 110 В, R1 = 11 Ом, R2 = 22 Ом. Задача 2.22. Катушка, индуктивность которой L = 160 мГн и активное сопротивление R = 8,8 Ом, включа- ется к источнику синусоидального напряжения Рис. 2.9 eL R + L 2R – U 1 i2 C R1 i1 i R + – U 1 Рис. 2.10 62   В.314sin310  tu Определить начальную фазу напряжения , при которой свобод- ная составляющая тока в начальный момент имеет максимальное значение. Рассчитать при этом наибольшее значение тока переход- ного режима imax и соответствующее ему время t1. Задача 2.23. В задаче 2.11 определить начальную фазу синусои- дального напряжения , при которой будет отсутствовать переход- ный процесс, т. е. напряжение конденсатора сразу после включения будет изменяться по синусоидальному закону. Ответы к контрольным задачам 2.12. 0,4 с. 2.13. R = 10 Ом; uL = 4 В. 2.14. uL = 50 В; ;А/с250 t dt di .А/с5,12А5 i dt di 2.15. 150 раз; W = 186 Дж. 2.16. 2U. 2.17. 0,2 с. 2.18. С = 50 мкФ; i = 0,308 А. 2.19. 100 Ом. 2.20. t = 0: i = 0; i1 = 5 А; i2 = - 5 А; uС = 220 В; t = ∞: i = i1 = 4 А; i2 = 0; uС = 176 В. 2.21. t = 0: i = i2= 5 А; i1 = 0; uС = 0; uL = 110 В; t = ∞: i = i1 = 10 А; i2 = 0; uС = 110 В; uL = 0. 2.22. ψ = 170°; imax = 9,6 А; t1 = 0,01 с. 2.23. ψ = 1°40  180. 63 Тест для компьютерного или аудиторного контроля знаний студентов Тест 2.1 Вариант 1 1.Определить постоянную времени пе- реходного процесса при включении индук- тивной катушки к источнику постоянного напряжения, используя диаграмму uL (t). Рассчитать активное сопротивление катушки R, если L = 1,6 Гн. 2. Определить начальное и устано- вившееся значения тока iL при замыка- нии ключа, если U = 30 В, R = 15 Ом. 4. Для измерения напряжения на за- жимах обмотки электрического аппарата с R = 22 Ом и L = 2 Гн включён вольтметр. Сопротивление вольтметра RV = 100 кОм, предел измерения 250 В. Рассчитать напряжение на вольтметре в момент отключения обмотки. Можно ли отключать обмотку от сети U = 220 В, не отсоединяя вольтметр? 5. Определить ёмкость C конденсатора из условия, что за время t1 = 0,01 с после замыкания ключа напря- жение на конденсаторе достигнет значения uC1 = 200 В, если U = 230 В, R = 100 Ом. Рассчитать значение тока i1 в момент времени t1 = 0,01 с. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. L iL R uL R + – U + – i R 1 L U 1 PV 3. U uC C R R + – 3. Рассчитать начальное и уста- новившееся значения напряжения uC при размыкании ключа, если U = 10 В, R = 5 Ом. uL В t с 2 4 0,2 0,4 0,6 0,8 0 uC C – U + R 1 64 C – U + R 1 Вариант 2 1. Определить длительность переходного процесса в цепи при замыкании выключате- ля, если R = 5 кОм, C = 4 мкФ. Считайте, что переходный процесс практически заверша- ется через время t = 4τ. 2. Какая из ламп накаливания (Л1 или Л2) в момент замыкания выключателя не будет светиться, а какая будет иметь наибольшую яркость? 3. Незаряженный конденсатор и реостат сопротивлением R = 76 Ом соединены последовательно. Какое значение будет иметь ток в момент включения цепи на напряжение  40sin832  tu В? 4. Определить начальные и уста- новившиеся значения токов i, i1, i2 и напряжений uL, uC при замыкании выключателя, если U = 100 В, R1 = 20 Ом, R2 = 25 Ом. Напряжение на конденсаторе до замыкания вы- ключателя было равно нулю. 5. Обмотка реле постоянного тока (R = 15 Ом, L = 0,4 Гн) вклю- чается в сеть постоянного напряжения U последовательно с рези- стором R0. По прошествии времени t1 = 4,4 мс ток достигнет значе- ния i1 = 0,12 А. В установившемся режиме Iуст = 0,6 А. Определить R0 и U. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. uC i2 R2 C uL i1 R1 i – + U L – U + Л1 L C Л2 65 – + U L R uк Rш Вариант 3 1. Реостат соединён последовательно с конденсатором ёмкостью C = 2 мкФ. Рассчитать сопротивление реостата R, чтобы переходный процесс при включении цепи имел практическую длительность t = 5τ = 10 с. 2. Катушка и реостат сопротивлением R = 22 Ом соединены па- раллельно. Какое значение будет иметь суммарный ток этих ветвей в мо- мент включения цепи под напряжение tu  220cos2 В? 3. Определить значение общего тока i в момент включения цепи под напряжение  6220sin2  tu В, если R1 = 10 Ом, R2 = 31,1 Ом. 4. Определить начальные и установившиеся значения токов i1, i2, i3, напряжений uL, uC при замыкании ключа, если U = 100 В, R = 10 Ом. До замыкания ключа uC = 0. 5. Рассчитать сопротивление шунтирующего ре- зистора Rш, чтобы в момент отключения катушки электромагнитного аппарата (R = 4 Ом, L = 1 Гн) от источника напряжения U напряжение катушки uк не превышало 2U. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. R2 L R1 u U i С C – U + i1 R L uC i3 uL i2 R 66 Вариант 4 1. Последовательная цепь из элементов R, C подключается к ис- точнику постоянной ЭДС. Зависимость напряжения uR (t) задана таблицей. t, с 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 uR, В 200 155,8 121,3 94,5 73,6 57,3 Определить ёмкость С, если сопротивление R = 1000 Ом. 2. Рассчитать напряжение на со- противлении R2 в момент размыкания ключа, если E = 300 В, R1 = 100 Ом, R2 = 50 Ом. 3. Рассчитать напряжение на сопротивлении R1 в момент замы- кания ключа, если E = 150 В. 4. Определить начальные и установившиеся значения токов i1, i2, i3, напряжения uC, если E = 200 В, R1 = 50 Ом, R2 = 50 Ом. 5. Определить закон изменения напряжения uC (t), если E = 150 В, R1 = 100 Ом, R2 = 200 Ом, C = 100 мкФ. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. L R2 uR2 R1 Е E R2 C i3 i2 i1 R1 L E R1 C R2 uC C R2 E uR1 R1 i uC 67 Вариант 5 1. По диаграмме тока конден- сатора iC (t) определить постоян- ную времени τ при включении конденсатора через резистор R к источнику постоянного напряже- ния. Расчётом проверить значение τ, если R = 20 Ом, C = 250 мкФ. 2. Определить напряжение на ин- дуктивности uL в момент замыкания ключа, если Е = 300 В, R1 = 100 Ом, R2 = 50 Ом. 3. Определить напряжение uС и ток i в момент размыкания ключа, если Е = 300 В, R1 = R2 = 50 Ом, R3 = 100 Ом, С = 100 мкФ. 4. Определить начальные и установившиеся значения токов i1, i2, i3, напряжений uC, uL, если Е = 300 В, R1 = 100 Ом, R2 = 50 Ом. 5. Найти закон изменения напряжения uC (t) при размыкании ключа в задаче № 3. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. 2 1 0 0,005 0,01 0,015 iC A t с R2 R1 L uL E i1 L R1 i3 C R2 i2 E uC E i R1 R2 C R3 68 3. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ТОКИ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ Задачи с решениями Задача 3.1. ЭДС периодически изменяется по трапецеидальному закону (рис. 3.1, а). Записать ряд Фурье и построить по нему кривую мгновенных значений ЭДС (при разложении в ряд ограничиться тремя членами ряда). Определить коэффициенты, характеризующие форму кривой. Р е ш е н и е . Заданная функция симметрична относительно начала координат и оси абсцисс, поэтому ряд Фурье не будет со- держать постоянной и косинусных составляющих, а также четных гармоник 8 .sin5sin5 25 1 sin3sin3 9 1 sinsin 4 å          ttt Åm При =/4 и Еm = 100 В (рис. 3.1, а) .Вsin56,4sin38,12sin115е ttt  По полученному уравнению на рис. 3.1, б построены кривые от- дельных гармоник и результирующая кривая. Отличие последней от исходной трапеции обуславливается ограничением числа членов ряда Фурье. Коэффициент амплитуды 1,22, 81,9 100 à  Å Å k m где В9,81 2 ,64 2 ,812 2 115 222 222 5 2 3 2 1 2   mmm ЕЕЕ Е – действующее значение несинусоидальной ЭДС. Коэффициент формы ,09,1 75 9,81 ñð.ìîä. ô  Å Å k 69 где Â75 π π ñð.ìîä.    mÅÅ – среднее по модулю значение ЭДС. Коэффициент искажения ,993,0 9,81 3,811 è  Å Å k где В3,81 2 115 2 1 1  mЕЕ – действующее значение первой гар- моники ЭДС. Коэффициент гармоник .118,0 81,3 2 4,6 2 12,3 22 22 1 2 5 2 3 ã      Å ÅÅ k mm  Задача 3.2. Напряжение генератора имеет пилообразную форму (рис. 3.2) с амплитудой Um = 100 В. Определить показания магнитоэлектрического и электромагнит- ного вольтметров, подключенных к генератору. Р е ш е н и е . Уравнение напряжения генератора на участке от t = 0 до t = Т есть уравнение прямой линии: Рис. 3.1 π 2π α t рад 120 80 40 0 e B Em π 4 π 2 3π 4 t рад 120 80 40 0 e B ua t( ) U1 1 sin  t( ) U1 3 sin 3  t( ) U1 5 sin 5  t( ) t e1 e3 e5 e а б 70 .t Т U ktu m Магнитоэлектрический вольтметр показывает среднее за период значе- ние измеряемого напряжения Â.50 202 1 2 2 0 2 0 ñð   mm T m T UT t Ò U dtt Ò U udt Ò U Электромагнитный вольтметр показывает действующее значение напряжения Â.,757 33 1 2 0 2 3 2 0 2   mm T m T UU dtt Ò U dtu Ò U Задача 3.3. Источник синусоидального напряжения U = 220 В питает резистор R = 100 Ом через однополупериодный выпрями- тель (сопротивление выпрямителя в проводящем состоянии равно нулю, в непроводящем – бесконечности) (рис. 3.3, а). 1) Определить показания электродинамических приборов. 2) Разложив кривую выпрямленного напряжения (рис. 3.3, б) в ряд Фурье, рассчитать действующие значения тока и напряжения по их гармоническому составу. Р е ш е н и е . 1) Для кривой рис. 3.3, б действующее значение напряжения, на которое реагирует электродинамический вольтметр, равно Рис. 3.2 t u 0 Um T а u VD PV R PW   PA б Рис. 3.3 u В  t рад T Um  2 2  3 2 71   4 0 22 4 0 2 0 2 cos 2 2 11 T m TT ttdU Ò dtu Ò dtu Ò U Â.,5155 2 2 2  UUm В цепи с резистором форма кривой тока повторяет форму кривой напряжения. Электродинамический амперметр показывает дей- ствующее значение тока .А555,1 100 5,155  R U I Активная мощность (показание ваттметра) Вт.242224 2 2 2 1 2 0  UIRIRIRIRIRIP  2) Кривая выпрямленного напряжения (рис. 3.3, б) симметрична относительно оси ординат и поэтому ряд Фурье не содержит синус- ных составляющих [8] ,4cos 53 1 2cos 31 1 cos 42 12                ttt U u m В.4cos2,132cos66cos15599  tttu Гармонический состав тока резистора аналогичен напряжению А.4cos132,02cos66,0cos55,199,0  ttt R U i Действующие значения напряжения и тока В,155 2 ,213 2 66 2 155 99 222 22 4 2 2 2 1 2 0  UUUUU À.55,124 2 2 2 1 2 0  IIIII 72 Незначительное отличие действующих значений напряжения и тока от аналогичных значений, полученных интегрированием, обу- славливается ограничением числа членов ряда Фурье. Задача 3.4. Начертить диаграмму изменения тока через катушку индуктивности L = 10 мГн, если напряжение на ней периодически изменяется в соответствии с рис. 3.4, а. Р е ш е н и е . Зависимость мгновенных значений напряжения и тока идеальной (R = 0) катушки индуктивности описывается диф- ференциальным уравнением . dt di Lu  (3.1) За время 0 < t < Т/2 напряже- ние на катушке u > 0 и u = const = Um. Это соответствует линейному возрастанию        0 dt di тока от – Im до + Im. Проинтегрировав (3.1) по времени в пределах от 0 до Т/2, получим . 2 0 2 0   TT diLdtu Так как при этом u = Um, то  . 2 02 iiL Ò U Òm  Поскольку заданное напряжение не содержит постоянной со- ставляющей, то она не может присутствовать и в кривой тока. В связи с этим   .202 mmmТ IIIii  Таким образом, i Рис. 3.4 a б u B Um t с T=0,02 с T 0 Im T/2 –Im 100 0 t с T T/2 i А 73 mm IL Т U 2 2  и .А50 01,04 10002,0 4     L ТU I mm Диаграмма i(t) построена на рис. 3.4, б. Задача 3.5. В цепи рис. 3.5 R = 60 Ом, С = 40 мкФ,   В.45429sin40sin31410050  ttu Записать уравнения мгновенных значений тока и напряжений на элементах цепи. Р е ш е н и е . Используя принцип наложения, определяем урав- нение тока цепи как сумму отдельных гармоник, вызываемых соот- ветствующими гармониками напряжения источника     À.453sinsin 3311  tItIi mm Отсутствие в уравнении тока постоянной со- ставляющей объясняется наличием в последова- тельной цепи конденсатора, представляющего для постоянного тока бесконечно большое со- противление. Амплитуды первой и третьей гармоник тока     À;1 100 100 1040314160 100 1 26222 1 1 1 1      CR U Z U I mmm           26222 3 3 3 3 1040942160 40 31 CR U Z U I mmm À. 61,0 6,65 40  Углы сдвига фаз между гармониками напряжения и тока ;53 1 tgarc1    R C .24 31 tgarc3    R C Таким образом, уравнение мгновенного значения тока C R u i Рис. 3.5 74     А.21942sin61,053314sin1   tti Гармонический состав напряжения и тока резистора совпадает:     .В21942,6sin3653314sin60   ttRiuR Напряжение на конденсаторе кроме первой и третьей гармоник содержит постоянную составляющую, равную постоянной состав- ляющей источника питания,    ;90453sin 3 1 90sin 1 33110       tI C tI C Uu mmC     Â.111942sin2,1637314sin8050   ttuC Задача 3.6. К зажимам цепи (рис. 3.6) подключен источник пери- одического несинусоидального напряжения В,,3sin535,7sin370sin141 tttu  где основная частота  = 314 1/с. Активное сопротивление и индуктивность цепи соответственно равны R = 10 Ом, L = 31,8 мГн. Рассчитать значения емкости С, соответствующие наступлению резонанса на частотах , 3 и 5. Определить действующие значения гармоник тока для этих трех значений емкости. Построить диаграммы действующих значений гармоник тока и действующего значения несинусоидального тока в функции емкости С. Р е ш е н и е . 1. Из условия резонанса напряжений на k – й гар- монике CkLk  1 находим численные значения емкости С, со- ответствующие наступлению резонанса на частотах трех гармоник напряжения: для первой гармоники (k = 1) ;ìêÔ319 10,831314 11 3221      L Ñ для третьей гармоники (k = 3) 75 ;мкФ,4435 10,8313143 11 322223      Lk С для пятой гармоники (k = 5) .мкФ,7612 10,8313145 11 322225      Lk С 2. Определяем действующие значения гармоник тока для емко- сти С1 = 319 мкФ:   А.10 10 2141 1 1 2 1 2 1 1 1 1    R U CLR U Z U I (На первой гармонике имеет место резонанс напряжений. По- этому 11 CL  ).   А;8,1 8,27 27,70 313 2 1 2 3 3 3 3    CLR U Z U I   А.5,0 50 23,35 515 2 1 2 5 5 5 5    CLR U Z U I 3. Действующие значения гармоник тока для емкости С3 = 35,44 мкФ определяем аналогично:   А;24,1 1 2 3 2 1 1 1 1    CLR U Z U I   А.5 313 3 2 3 2 3 3 3 3    R U CLR U Z U I (При емкости С3 = 35,44 мкФ имеет место резонанс напряжений и 3313 CL  ). 76   À.,740 515 2 3 2 5 5 5 5    CLR U Z U I 4. Действующие значения гармоник тока для емкости С5 = 12,76 мкФ:   А;417,0 1 2 5 2 1 1 1 1    CLR U Z U I   А;93,0 313 2 5 2 3 3 3 3    CLR U Z U I   А.5,2 515 2 5 2 5 5 5 5    CLR U Z U I (При емкости С5 = 12,76 мкФ имеет место резонанс напряжений на пятой гармонике). Для построения диаграммы действующих значений гармоник тока и действующего значения несинусоидального тока в функции емкости задаемся значениями емкостей и находим соответствую- щие им гармоники тока и действующее значение несинусоидально- го тока .25 2 3 2 1 IIII  Результаты расчета сводим в табл. 3.1. Т а б л и ц а 3.1 С, мкФ 6,38 12,76 17,72 35,44 106,32 212,64 319 425,3 I1, А 0,204 0,417 0,59 1,24 4,46 8,77 10 9,34 I3, А 0,364 0,93 1,58 5 2,23 1,85 1,8 1,71 I5, А 0,49 2,5 1,44 0,74 0,53 0,51 0,5 0,5 I, А 0,64 2,68 2,22 5,2 5,01 8,98 10,16 9,5 77 Диаграммы I1(С), I3(С), I5(С) и I(С) приведены на рис. 3.6. Задача 3.7. В цепи рис. 3.7   30sin14112 tu   Â,453sin,770  t R = 2 Ом, на основной частоте XL = 2 Ом и XС = 18 Ом. Записать уравнения мгновенных значений токов всех участков цепи. Определить показания электромагнитных амперметров и ак- тивную мощность цепи. Р е ш е н и е . Применяя принцип наложения, ведем расчет токов ветвей для постоянной составляющей и каж- дой из гармоник в отдельности. а) Постоянная составляющая тока имеет место только в резисторе и ка- тушке индуктивности, так как через конденсатор постоянный ток не течет: А.6 2 120 00  R U II LR Рис. 3.7 R C iR u L PA2 iL iC PA3 PA1 a б Рис. 3.6 0 100 200 300 400 500 0 2 4 6 8 10 12 I1 Cv( ) I5 Cv( ) I3 Cv( ) I Cv( ) Cv 10 8 6 4 2 0 I А С мкФ 0 100 200 300 400 I I1 I3 I5 C R u L 78 б) Расчет первых гармоник токов ветвей. Полные сопротивления участка аб и всей цепи для первой гар- моники: Ом,252 11 11 1аб 1аб 1аб       X XX XX XXy Z LC CL CL (индуктивный характер), Ом.325,22 222 1аб 2 1  XRZ Амплитуды первых гармоник токов ветвей А;47 3 141 1 1 1  Z U I mRm À;53 2 47,25211àá1àá 1      L Rm L m Lm X IZ X U I А.5,9 18 472,251аб 1    C m Cm X U I Первая гармоника тока резистора отстает по фазе от первой гар- моники напряжения источника на угол .48 2 2,25 arctgarctg аб11  R X R Уравнение первой гармоники тока резистора     А.18sin474830sin471   ttiR Так как сопротивление участка аб для первой гармоники имеет чисто индуктивный характер, то первая гармоника напряжения это- го участка опережает гармонику тока 1Ri на угол 90 °:     Â,72sin,71059018sin11àá1àá   ttIXu Rm и уравнения первых гармоник токов имеют вид 79     А;18sin539072sin531   ttiL     А.162sin,959072sin,951   ttiC в) Расчет третьих гармоник токов ветвей. Сопротивление участка аб для третьей гармоники            66 66 33 33 3аб3аб LC LC XX XX XZ (резонанс токов). По этой причине третьи гармоники тока и напряжения резистора равны нулю и все напряжение источника третьей гармоники оказы- вается приложенным к участку аб. Амплитуды третьих гармоник тока А;8,11 23 7,70 3 3 3    L m Lm X U I А.8,11 318 7,70 3 3 3  С m Сm X U I Ток катушки индуктивности отстает по фазе от напряжения на угол 90°, а ток конденсатора опережает напряжение на угол 90°:     А;1353sin,81190453sin,8113   ttiL     А.453sin,81190453sin,8113   ttiС Таким образом, уравнения мгновенных значений токов ветвей   А;18sin47610  tiIi RRR     А;1353sin,81118sin536310   ttiiIi LLLL     А.453sin,811162sin,9531   ttiii CCC 80 Электромагнитные амперметры измеряют действующие значе- ния токов А;,733 2 47 6 2 2 2 2 12 0  Rm RR I II À;,838 2 1,81 2 53 6 22 2 2 2 3 2 12 0  LmLm LL II II À.,359 2 1,81 2 ,95 22 222 3 2 1  CmCmC II I Активная мощность цепи Вт227048cos 2 47 2 141 612cos 11100   RRR IUIUP или Âò.2270,7332 2221 2 0  RRR RIRIRIP Задача 3.8. В цепи рис. 3.8 R = 3 Ом, на основной частоте XL = 4 Ом и XС = 8 Ом, À.sin3,832sin14,1412 ttiL  Записать уравнения мгновенных значений токов i , iC и напряже- ния u. Определить действующие значения токов и напряжений на входе цепи, а также активную мощность цепи. Р е ш е н и е . Применяя принцип наложения, ведем расчет для посто- янных составляющих и каждой из гармоник в отдельности с использо- ванием комплексного метода. а) Постоянные составляющие то- ков i , iL и напряжения u А;1200  LII     В.72123300  IRRU Рис. 3.8 R C i u L iL iC R R в a 81 б) Расчет первых гармоник. Комплексная амплитуда напряжения первой гармоники участка ав     Â.å70,714,14å514,1443 53,153,111àâ  jj LmLm jIjXRU  Комплексные амплитуды первых гармоник токов А;8,275е е8,54 70,7е 83 70,7е ,6122 ,569 ,153,153 1ав 1    j j jj C m Cm jjXR U I        6,122 111 å752,814,14 j CmLmm III À.å,91179,676,9 ,835 jj  Комплексная амплитуда напряжения первой гармоники на входе цепи     ,976,6793,6564,4211àâ1 jjIRUU mmm Â.å,5105,5774,71 ,3547 jj  в) Расчет третьих гармоник производим аналогично:     В;е35,8321233 6733ав j LmLm jIXjRU  À;8,72å 3 ,61173àâ 3 j C m Cm X jR U I    А;е,827е2,78,832 996,117333  jj CmLmm III  В.е,257 ,28533ав3 j mmm IRUU  Уравнения токов iС , i и напряжения u     А;6,1173sin,7286,122sin,2758   ttiС 82     А;993sin,8278,35sin,91112   tti     .Â2,853sin,25735,47sin,510572   ttu Действующие значения токов и напряжения на входе цепи А;,7615 22 2 3 2 12 0  LmLm LL II II А;,58 22 2 3 2 1  CmCmC II I А;,6715 22 2 3 2 12 0  mm IIII .В111 22 2 3 2 12 0  mm UUUU Активная мощность цепи  33311100 coscos IUIUIUP Âò16958,13cos 2 82,7 2 2,57 55,11cos 2 9,11 2 5,105 1272   или Вт.1695222  CL RIRIRIP Задача 3.9. Для уменьшения пульсации напряжения нагрузки, подключенной к двухполупериодному выпрямителю, применен Г-образный LC-фильтр (рис. 3.9). Напряжение на входе фильтра приближенно задано уравнением Â.628cos100150 tu  Пара- метры фильтра: L = 2 Гн; C = 5 мкФ. Сопротивление нагрузки R = 10 кОм. Записать уравнение мгновенного значения напряжения нагрузки. Определить коэффициенты пульсации напряжений питания и нагрузки. 83 Решение. Поскольку индуктивная катушка не оказывает сопротивления постоянному току, посто- янная составляющая напряжения нагрузки равна постоянной состав- ляющей напряжения на входе фильтра U0 = 150 В. Комплексная амплитуда переменной составляющей напряжения нагрузки                         CjR CjR Lj U C jR C R j I jXR RjX U mm C C m 1 1н Â.å,933 56281010 56281010 2628 å100 5628 10 10 5628 1010 4,92 64 64 90 6 4 64   j j j j jj j                           Уравнение мгновенного значения напряжения нагрузки     .В4,92628sin,9331504,92628sinн0н   ttUUu m Коэффициенты пульсации напряжений питания и нагрузки ,226.0 150 3,93 ,667;0 150 100 0 í í 0  U U p U U p mm Задача 3.10. Для выделения в нагрузке R = 100 Ом третьей гар- моники напряжения применен LC-фильтр (рис. 3.10), где L = 2,25 мГн; C = 500 пкФ. Напряжение источника задано уравне- нием Â.sin583,23sin70,7sin3,28 tttu  Частота основной гармоники f = 50 кГц. C R  50 Гц uн u L Рис. 3.9 84 C Рис. 3.10 i R uн u L Записать уравнение мгновенного зна- чения напряжения нагрузки. Определить отношение действующего значения напряжения третьей гармоники к действующему значению напряжения нагрузки. Р е ш е н и е . Комплексная амплитуда первой гармоники напряжения нагрузки    СjLjR U RU mm 1 1н      12333 105001050210,25210502100 28,3100 jj В.,5е0 89 j Поскольку фильтр настроен на резонанс для третьей гармоники  ,313 CL  третьи гармоники напряжений нагрузки и источ- ника оказываются равными: В.07,7 33 3 3 3н    m m m U СjLjR U RU Напряжение пятой гармоники      12743532100 83,2 100 55 5 5í jjÑjLjR U RU mm Â.å,1250 ,587 j Уравнение мгновенного значения напряжения нагрузки     .Â5,875sin,1250sin3,07789sin5,0í   tttu Действующее значение напряжения нагрузки третьей гармоники В.5 2 ,077 2 3н н3  mUU 85 Действующее значение напряжения нагрузки В.,0255 222 2 5н 2 3н 2 1н н                    mmm UUU U Искомое отношение напряжений близко к единице ,996.0 ,0255 5 н 3н  U U Задача 3.11. На входе цепи (рис. 3.11) действует несинусоидаль- ное напряжение В.3sin15sin03 ttu  Для исключения в нагрузке Rн третьей гармоники напряжения применен заградительный фильтр. Рассчитать емкость фильтра Сф, если Lф = 100 мГн, а основная частота f = 5 кГц. Определить коэффициенты искажения для напряжения питания и напряжения нагрузки. Р е ш е н и е . Для исключения тре- тьей гармоники напряжения в нагруз- ке необходимо, чтобы сопротивление цепи току третьей гармоники было равным бесконечности. Это возмож- но при резонансе в контуре Lф, Сф на третьей гармонике, когда 033  CL bb или .3 3 1 ф ф C L   Отсюда Ф.1013,1 1010050003,1429 1 9 1 9 3222 ф 2ф        L C Коэффициент искажения равен отношению действующего зна- чения первой (основной) гармоники к действующему значению не- синусоидальной величины. Таким образом, коэффициент искаже- ния для напряжения питания Lф Cф Рис. 3.11 Rн uн u 86 ,89.0 2 15 2 30 2 30 222 3 2 1 11 è                 UU U U U k Коэффициент искажения для напряжения нагрузки kин = 1, так как использование фильтра обеспечило синусоидальный закон из- менения напряжения на нагрузке. Задача 3.12. Напряжение и ток пассивного двухполюсника (рис. 3.12, а) заданы уравнениями В;3sin36sin141100 ttu    А.2sin,114  ti Начертить эквивалентную схему двухполюсника и определить ее параметры, если с/рад314 (использовать одинаковые кон- денсаторы). Р е ш е н и е . Так как в токе отсутствует постоянная составляю- щая, то схема должна содержать разделительную емкость. Ток не содержит третьей гармоники. Следовательно, схема должна содер- жать участок, состоящий из параллельно соединенных индуктивно- сти и емкости, настроенных в резонанс на третьей гармонике. Кро- ме того, двухполюсник не содержит резистивных элементов, так как ток чисто реактивный (сдвиг по фазе между первыми гармониками напряжения и тока 2 ). Схема двухполюсника приведена на рис. 3.12, б. Для определения параметров эквивалентной схемы двухполюс- ника найдем его входное сопротив- ление для первой гармоники Îì.å10 å 2 1,14 2 141 90 901 1 1   j jI U Z  б а u i П L C u i C Рис. 3.12 87 С другой стороны, . 1 1 1 1 C jLj C jLj C jZ              Из условия резонанса токов на третьей гармонике .3 3 1 C L   Решая совместно эти уравнения, находим, что С = 289 мкФ, мГн.4 102893149 1 9 1 622      C L Контрольные задачи Задача 3.13. Форма напряжения генераторов приведена на рис. 3.13, а, б, в, г. Определить показания магнитоэлектрического и электромагнит- ного вольтметров, подключенных к генераторам. Рис. 3.13 T/2 100 0 t u B T в T/2 г 150 100 50 0 –50 t u B T 100 0 t мс 10 20 30 40 u B а б 100 0 –100 t мс 10 20 u B 88 Задача 3.14. Амплитуда и форма напряжения генератора соот- ветствуют рис. 3.13, а. Используя разложение кривой напряжения в ряд Фурье [8] (ограничиться тремя членами ряда), определить активную мощ- ность катушки индуктивности (L = 0,1 Гн, R = 100 Ом), подключен- ной к генератору. Задача 3.15. Решить задачу 3.14, если амплитуда и форма напря- жения генератора соответствует рис. 3.13 в. Задача 3.16. К катушке индуктивности (L = 20 мГн, R = 10 Ом) приложено напряжение   В.30429sin30314sin8012  ttu Записать уравнение мгновенного значения тока катушки. Задача 3.17. Определить активную и полную мощность цепи, описанной в задаче 3.16. Задача 3.18. В катушке индуктивности (L = 0,1 Гн, R = 50 Ом) протекает ток   А.30942sin20sin3146010  tti Определить показания электромагнитного вольтметра, подклю- ченного к катушке. Задача 3.19. В цепи рис. 3.6  tu sin14124   Â,303sin,656  t R = 4 Ом, на основной частоте XL = 4 Ом и XС = 36 Ом Рассчитать действующие значения напряжений на каждом из элементов. Задача 3.20. Определить активную мощность цепи, описанной в задаче 3.19. Задача 3.21. К цепи, состоящей из параллельно соединенных ре- зистора R = 40 Ом и конденсатора С =10 мкФ, приложено напряже- ние В.942sin,770314sin242 ttu  Записать уравнение мгновенного значения тока в неразветвлен- ной части цепи. 89 Задача 3.22. В цепи рис. 3.12, б С =10 мкФ, L = 0,1 Гн. Рассчитать частоту первой гармоники, при которой входное со- противление цепи равно бесконечности. Задача 3.23. В цепи рис. 3.12, б С =100 мкФ, L = 20 мГн. Рассчи- тать частоту первой гармоники, при которой входное сопротивле- ние цепи для пятой гармоники равно нулю. Задача 3.24. В цепи, описанной в задаче 3.9, нагрузкой является катушка индуктивности (L = 0,5 Гн, R = 2 кОм). Определить коэффициенты пульсации напряжений источника и нагрузки. Задача 3.25. На входе цепи В;1000sin3010 tu    А.301000sin6  ti Начертить простейшую эквивалентную схему замещения цепи и определить параметры ее элементов. Задача 3.26. На входе цепи     В;453sin1030sin12010   ttu   .с1000А;30sin305 1 ti Начертить эквивалентную схему замещения цепи и определить параметры ее элементов. Ответы к контрольным задачам 3.13 Показания магнитоэлектрических вольтметров а) Uср = 50 В; б) Uср = 0; в) Uср = 50 В; г) Uср = 50 В. Показания электромагнитных вольтметров а) U = 57,8 В; б) U = 100 В; в) U = 70,7 В; г) U = 112 В. 90 3.14 Ряд Фурье 8          ttt U u m sin5 5 1 sin3 3 1 sin 4 Â.,5sin157025,5sin94242,4sin314127 ttt  P = P1 + P3 + P5 = 74 + 4,8 + 0,2 = 79 Вт. 3.15 Кривой напряжения 3.13, в соответствует ряд Фурье 8 Â.,6sin94210,8sin3143150 sin3 3 1 sin 2 2 tt tt UU u mm           P = P0 + P1 + P3= 25 + 4,7 + 0,3 = 30 Вт. 3.16     À.324291,41sin323146,77sin1,2   tti 3.17 P = 262 Вт; S = 310 ВА. 3.18 U = 2967 В. 3.19 Â;88,4140,4120 22223 2 1 2 0  RRRR UUUU Â;6,120120,4120 22223 2 1 2 0  LLLL UUUU Â.6,165120,611124 22223 2 1 2 0  CCCC UUUU 3.20 P = 438 Вт. 3.21     À.214291,89sin73146,1sin   tti 3.22 f =113 Гц. 3.23 f =15,9 Гц. 3.24 p = 0,667; pн = 0,229. 3.25 R = 4,33 Ом; С = 400 мкФ. 3.26 R = 2 Ом; L = 3,08 мГн; С = 36 мкФ. 91 Тест для компьютерного или аудиторного контроля знаний студентов Тест 3.1 Вариант 1 1. Периодически изменяющееся напря- жение имеет амплитуду Umax = 100 В. Определить: а) среднее по модулю Uср.мод. и действующее U значения; б) коэффициенты формы kф = U / Uср.мод. и амплитуды ka = Umax / U. 2. Напряжение источника изменяется по закону u = 120 + 282 sin t В. Определить показания магнитоэлектрического и электромагнит- ного вольтметров на зажимах источника, а также коэффициент ис- кажения kи = U1 / U. 3. Напряжение и ток цепи изменяются по закону u = 2  30 sin(t + 25) + 2  40sin(3t + 30) В, i = 2  12sin(t – 40)+ 2  9sin(3t – 10) А. Определить активную P и полную S мощности цепи, коэффици- ент мощности  = P / UI. 4. Дано: u(t) = 36 + 2  80sint В, R = 6 Ом, XL = 8 Ом. Записать уравнение мгновенного значения тока цепи i(t). Рассчитать действующее значение тока и активную мощность цепи. 5. На входе цепи действует несинусоидальное напряжение u = 141sint + 70,7sin3t В. Для устранения в нагрузке Rн третьей гармоники применён заградительный фильтр (1 / 3L = 3C). Определить коэффициенты искажения для напряжения питания и напряжения нагрузки. Ответы 1. а) 1. б) 2. 3. 4. 5. L R u(t) i 0 4 8 12 20 u B Umax T t мс C Rн u(t) uн L 92 Вариант 2 1. Определить среднее по модулю Uср.мод. и действующее U значения, а так- же коэффициенты формы kф = U / Uср.мод. и амплитуды ka = Umax / U периодически изменяющегося напряжения u(t), если Umax = 100 В. 2. Напряжение источника изменяется по закону u = 2  80 sin(t + 15) + 2  60sin(3t – 20) В. Определить показания магнитоэлектрического и электромагнит- ного вольтметров на зажимах источника, коэффициент искажения kи = U1 / U. 3. Напряжение и ток цепи изменяются по закону u = 2  80sin(t + 15) + 2  60sin(3t – 20) В, i = 2  4sin(t + 75) + 2  3sin(3t + 40) А. Определить активную, реактивную, полную мощности цепи, а также мощность искажения 222 QPST  . 4. Дано: u = 60 + 2  50sint В, R = 20 Ом, 1 / L = C. Определить показание электроди- намического амперметра. 5. Напряжение на входе диффе- ренцирующей RC-цепи (R << XC) заданно на диаграмме. Начертить uвых(t). Ответы 1. 2. 3. 4. 5. t u 0 T/2 T Umax C PА R u(t) L C R uвх(t) uвых(t) uвх uвых t t 93 Вариант 3 1. Определить среднее по моду- лю Uср.мод., действующее U значе- ния, коэффициенты формы kф = U / / Uср.мод. и амплитуды ka = Umax / U периодически изменяющегося напряжения u(t), если Umax = 100 В. 2. По диаграмме периодического тока цепи i(t) записать анали- тическое выражение тока в виде ряда Фурье. Определить показания магнитоэлектри- ческого и электромагнитного амперметров, рассчитать коэффициент искажения тока kи = I1 / I, если Im = 10 А. 3. Напряжение и ток цепи изменяются по закону u = 50+ 2  100sin(t + 30)+ 2  20sin(3t – 45) В, i = 2 + 2  5sin(t – 30) А. Определить активную, реактивную, полную мощности цепи, а также мощность искажения 222 QPST  . 4. Дано: u = 150 + 2  50sin(t + 45) В, L = 1 / C. Определить показания электродина- мических вольтметров. 5. Напряжение на входе интегрирую- щей RC-цепи (XC << R) дано на диаграмме. Начертить uвых(t). Ответы 1. 2. 3. 4. 5. C R uвх(t) uвых(t) u Umax t T/4 T 0 i 0 Im Im t PV2 R PV1 C L u(t) uвх uвых t t 94 Вариант 4 1. Найти а) среднее за период U0; б) среднее по модулю Uср.мод; в) дей- ствующее U значения периодического несинусоидального напряжения. 2. Источник питания состоит из последовательно включенных аккумулятора напряжением 24 В и обмотки трансформатора, ам- плитуда синусоидального напряжения которого равна 20 В. Определить показания магнитоэлектрического и электромагнит- ного вольтметров, подключённых к данному источнику. 3. Напряжение и ток цепи изменяются по закону u = 100 + 2  100sin(t + 60)+ 2  30sin(3t – 10) В, i = 2  2sint + 2 sin(3t + 50) А. Определить активную, реактивную, полную мощности цепи, а также мощность искажения 222 QPST  . 4. Закон изменения тока i = 1 + 1,41sin(t + 30) А, R = 100 Ом. Контур L, C настроен в резонанс. Определить показание электромаг- нитного вольтметра. На входе цепи действует несинусоидаль- ное напряжение uвх = 50 + 141sint В. Для устранения на нагрузке постоянной состав- ляющей применён конденсатор. Определить коэффициенты искажения для напряжения питания и напряжения на нагрузке. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. i u(t) C PV R L C R uвх(t) uн 5. u B 100 0 –50 10 20 t мc 95 Вариант 5 1. Определить среднее за период Uср. и действующее U напряжения однополупе- риодного выпрямителя, если Umax = 100 В. Рассчитать коэффициенты формы kф = U / Uср и амплитуды ka = Umax / U. 2. Записать уравнение мгновенного зна- чения тока i(t) в виде ряда Фурье, Im = 5 А. Определить показания магнитоэлектри- ческого и электромагнитного амперметров. Рассчитать коэффициент искажения то- ка kи = I1 / I. 3. Полная мощность цепи несинусои- дального тока S = 100 ВА, коэффициент мощности  = 0,5, активная мощность первой гармоники P1 = 40 Вт. Определить активную мощность высших гармоник. 4. Дано: u = 100 + 2  50sint В, 1 / L = C. Определить показания электродинами- ческих вольтметров. 5. В цепи протекает ток i = 1sin200t + 0,3sin600t А. Записать уравнение мгновенного значе- ния напряжения на зажимах цепи u(t), если на частоте основной (первой) гармоники R1 = 30 Ом, XL1 = 20 Ом, XC1 = 60 Ом. Ответы 1. 2. 3. 4. 5. Im Im Im 0,01 0,02 t c i А R C i u(t) L L C C1 PV1 PV2 u(t) t c T/2 Umax T u В 96 ЛИТЕРАТУРА 1. Электротехника и электроника: в 2 кн. / под ред. проф. В.Г. Герасимова. – М.: Высшая школа, 1996. – Кн. 1. – 480 с. 2. Борисов, Ю.М. Электротехника / Ю.М. Борисов, Д.Н. Липатов, Ю.Н. Зорин. – М.: Высшая школа, 1985. – 537 с. 3. Касаткин, А.С. Электротехника / А.С. Касаткин, М.В. Немцов. – М.: Высшая школа, 2002. – 542 с. 4. Иванов, И.И. Электротехника / И.И. Иванов, В.С. Равдоник. – М.: Высшая школа, 1984, 2003, 2005. – 496 с. 5. Рекус, Г.Г. Сборник задач по электротехнике и основам элек- троники / Г.Г. Рекус, В.Н. Чесноков. – М.: Высшая школа, 2001. – 416 с. 6. Электротехника и электроника: сборник задач с контрольными тестами для студентов неэлектротехнических специальностей: в 6 ч. / сост.: Ю.В. Бладыко [и др.]. – Минск: БНТУ, 2008. – Ч. 1: Электри- ческие цепи постоянного тока. – 64 с. 7. Электротехника и электроника: сборник задач с контрольными тестами для студентов неэлектротехнических специальностей: в 6 ч. / сост.: Ю.В. Бладыко [и др.]. – Минск: БНТУ, 2010. – Ч. 2: Однофаз- ные линейные электрические цепи синусоидального тока. – 98 с. 8. Бессонов, Л.А. Теоретические основы электротехники / Л.А. Бессонов – М.: Высшая школа, 1994. – Ч. 1: Электрические цепи. – 560 с. 9. Сборник задач по электротехнике и основам электроники / под ред. В.Г. Герасимова. – М.: Высшая школа, 1987. – 288 с. СОДЕРЖАНИЕ 1. ТРЕХФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ..................................... 3 Задачи с решениями .................................................................... 3 Контрольные задачи ................................................................. 30 Ответы к контрольным задачам ........................................... 34 Тесты для компьютерного или аудиторного контроля знаний студентов ................................................... 36 Тест 1.1 ............................................................................................. 36 Тест 1.2 ............................................................................................. 41 2. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ .......................................................... 46 Задачи с решениями .................................................................. 46 Контрольные задачи ................................................................. 60 Ответы к контрольным задачам ........................................... 62 Тест для компьютерного или аудиторного контроля знаний студентов ................................................... 63 Тест 2.1 ............................................................................................. 63 3. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ТОКИ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ .............................. 68 Задачи с решениями .................................................................. 68 Контрольные задачи ................................................................. 87 Ответы к контрольным задачам ........................................... 89 Тест для компьютерного или аудиторного контроля знаний студентов ................................................... 91 Тест 3.1 ............................................................................................. 91 ЛИТЕРАТУРА ...................................................................................... 96 Учебное издание ЭЛЕКТРОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА Сборник задач с контрольными тестами для студентов неэлектротехнических специальностей В 6 частях Ч а с т ь 3 ТРЕХФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ, ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫЕ ТОКИ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С о с т а в и т е л и : БЛАДЫКО Юрий Витальевич РОЗУМ Таисия Терентьевна ДОМНИКОВ Сергей Васильевич и др. Технический редактор О.В. Дубовик Компьютерная верстка Т.А. Мархель, И.Н. Михневич Подписано в печать 01.11.2010. Формат 60841/16. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 5,70. Уч.-изд. л. 4,45. Тираж 200. Заказ 469. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Проспект Независимости, 65. 220013, Минск.