Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬН^1Й ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра "Теоретическая механика" КИНЕМАТИКА Сборник задач для расчетно-графических и индивидуальных работ по теоретической механике Учебно-методическое пособие для студентов машиностроительных специальностей Электронный учебный материал Минск 2013 УДК 531.32 (076) ББК 44.081 А в т о р ы : Л.Н. Беляцкая, Т.Ф. Богинская, Э.Э. Глубокая Р е ц е н з е н т ы : Ю.В. Василевич, заведующий кафедрой «Сопротивление материалов ма­ шиностроительного профиля» БНТУ, доктор физико-математических на­ ук, профессор; Б.М. Георгиевна, доцент кафедры «Био- и наномеханики» БГУ, кандидат физико-математических наук, доцент. Данный учебный материал представляет собой сборник расчетно­ графических, индивидуальных работ по теоретической механике и кон­ трольных работ для студентов заочной формы обучения. В сборнике изложены краткие теоретические сведения и предло­ жены задачи, охватывающие основные темы раздела «Статика» в соответ­ ствии с программой технических вузов. Для успешного выполнения расчетно-графической работы или ин­ дивидуальной задачи студенту следует изучить теоретический материал, разобраться в методике решения задачи и только после этого следует при­ ступать к ее решению. Предназначается в качестве пособия для студентов втузов всех специальностей дневной и заочной форм обучения. Белорусский национальный технический университет пр-т Независимости, 65, г. Минск, Республика Беларусь Тел.(017)292-77-52 факс (017)292-91-37 Регистрационный № БНТУ/МСФ 25-10.2013 © Беляцкая Л.Н., Богинская Т.Ф.. Глубокая Э.Э., 2013 © БНТУ, 2013 2 ВВЕДЕНИЕ............................................................................................... 4 Задачи кинематики.................................................................................. 5 КИНЕМАТИКА ТОЧКИ....................................................................... 5 Векторн^1й способ задания движения точки...................................... 6 Координатн^1й способ задания движения точки............................... 8 Естественн^1й способ задания движения точки................................ 10 ЗАДАНИЕ К1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ ПО ЗАДАННЫМ УРАВНЕНИЯМ ЕЕ ДВИЖЕНИЯ........ 17 Кинематика механической системы и абсолютно твердого тела.... 19 Поступательное движение твердого тела........................................... 20 Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси.. 21 ЗАДАНИЕ К2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ ТОЧЕК ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ ПОСТУПАТЕЛЬНОМ И ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИЯХ..................................................... 27 Плоскопараллельное движение твердого тела................................... 32 ЗАДАНИЕ К3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ.......................... 38 ЗАДАНИЕ К4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ ТОЧЕК ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ......... 44 Сложное движение точки...................................................................... 49 ЗАДАНИЕ К5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АБСОЛЮТНОЙ СКОРОСТИ И АБСОЛЮТНОГО УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ В СЛУЧАЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСНОГО ДВИЖЕНИЯ.................. 53 ЗАДАНИЕ К6. ИССЛЕДОВАНИЕ СЛОЖНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ......................................................................................................... 60 ЗАДАНИЕ К7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АБСОЛЮТНОЙ СКОРОСТИ И АБСОЛЮТНОГО УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ В СЛУЧАЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСНОГО ДВИЖЕНИЯ...................... 66 Кинематика планетарн^хх, дифференциальн^хх зубчатых пере­ дач................................................................................................................ 72 ЗАДАНИЕ К8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ ЗВЕНЬЕВ ПЛАНЕТАРНОГО РЕДУКТОРА С ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ КОЛЕСАМИ................................................ 76 Рекомендуемая литература...................................................................... 81 СОДЕРЖАНИЕ 3 Кинематика - раздел механики, в котором изучаются геометри­ ческие свойства движений материальных тел без учета их масс и действующих на них сил. В классической механике рассматриваются движения макроско­ пических тел со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света. Под движением материального тела в механике понимают про­ исходящее с течением времени изменение его положения в про­ странстве по отношению к другим телам. Описание движения производится в определенной системе от­ счета. Системой отсчета называют систему координат, жестко свя­ занную с одним из материальных тел, по отношению к которому изучается движение другого материального тела с течением време­ ни. Выбор системы отсчета в кинематике произволен и зависит от целей исследования. Например, при изучении движения колеса ав­ томобиля по отношению к дороге, систему отсчета связывают с землей, а при изучении движения того же колеса по отношению к кузову автомобиля - с кузовом и т.д. Механическое движение относительно: одно и то же движение будет различным в разных системах отсчета. Пространство в кинематике рассматривается как трехмерное евклидово, т.е. все геометрические измерения в нем производятся на основании методов геометрии Евклида. Время - мера длительно­ сти явления - считается универсальным (абсолютным), т.е. проте­ кающим одинаково во всех рассматриваемых системах отсчета не­ зависимо от их движения. Время t является скалярной, непрерывно изменяющейся величи­ ной, играющей роль независимой переменной, причем t > 0 . Начало отсчета времени выбирается произвольно. Предметом кинематики служат следующие модели материаль­ ных тел: • материальная точка, ВВЕДЕНИЕ 4 • система дискретных материальных точек (механическая система материальных точек или тел), • сплошная материальная среда и ее частный вид - абсолютно твердое тело. Задачи кинем атики Движение рассматриваемого материального тела считается за­ данным (известным), если указан способ, позволяющий определить его положение в любой произвольный момент времени относитель­ но выбранной системы отсчета. Положение точки или тела относительно данной системы отсче­ та определяется соответствующими параметрами (координатами), а движение (или закон движения) - уравнениями, выражающими эти параметры, как функции времени. Задачи кинематики: 1 задача - установить математический способ задания (описания) движения материального тела по отношению к выбран­ ной системе отсчета; 2 задача (основная) - зная закон движения материального тела, оп­ ределить кинематические характеристики этого движе­ ния (траектории различных движущихся точек, их ско­ рости и ускорения, угловые скорости и угловые ускоре­ ния вращающихся тел и др.). Всякое тело можно рассматривать как систему материальных то­ чек. Чтобы полностью определить движение такого тела относи­ тельно данной системы отсчета, необходимо знать движение каж­ дой его точки относительно той же системы отсчета; следовательно, изучению движения системы точек должно предшествовать изуче­ ние движения одной точки. Поэтому кинематика делится на два раздела: кинематика точки и кинематика абсолютно твердого тела. КИ НЕМ АТИКА ТО ЧКИ Материальной точкой называют тело (имеющее массу), разме­ рами и различием в движении отдельных точек которого можно пренебречь. 5 Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка от­ носительно выбранной системы отсчета, называется траекторией. В зависимости от формы траектории движение точки может быть прямолинейным или криволинейным. На характер траектории влияет выбор системы отсчета, относительно которой рассматрива­ ется движение. Так, например, камень, брошенный вертикально вверх с палубы поступательно и равномерно движущегося парохо­ да, будет относительно наблюдателя, находящегося на пароходе, двигаться прямолинейно, а относительно наблюдателя, стоящего на берегу, т.е. связанного с Землей, - криволинейно (по параболе), и т.д. Движение точки считается заданным, если в любой момент вре­ мени можно указать положение точки по отношению к выбранной системы отсчета. Для задания движения точки пользуются одним из трех спосо­ бов: векторным, координатным, естественным (натуральным). Пер­ вый способ чаще всего применяется при теоретических исследова­ ниях, а два других - при решении различных практических задач. Все три способа взаимосвязаны, т.е. возможен переход от одного способа задания движения к другому. Векторный способ задания движения точки траектория точки М Рис. 1 Положение точки M по отношению к системе отсчета опре­ деляется ее радиусом- вектором r , прове­ денным из произ­ вольной неподвиж­ ной точки О (начала отсчета) до движу­ щейся точки. При движении точки ее радиус-вектор с течением времени изменяет величину и направление и, следовательно, представляет собой не­ которую векторную величину зависящую от времени 6 г = f ( t ) . (1) Уравнение (1) - это уравнение (или закон) движения точки в векторной форме. Траекторией точки при векторном задании движения будет годо­ граф радиуса-вектора f . Скорость точки V есть векторная физическая величина, харак­ теризующая изменение с течением времени величины и направле­ ния ее радиуса-вектора и равная первой производной по времени от радиуса-вектора точки: V = = . (2) dt Вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории в сторону движения точки. Величина вектора скорости определяется равенством: V = |V |. (3) Ускорение точки a есть векторная физическая величина, харак­ теризующая изменение вектора скорости по величине и по направ­ лению и равная первой производной по времени от скорости точки или второй производной от радиуса-вектора точки: _ d V d 2f & a = -= V = — = r . (4) dt dt^ Вектор ускорения в некоторой точке М имеет для любого мо­ мента времени направление касательной к годографу скорости V в соответствующей его точке (рис.2). Геометрическое место концов любого переменного вектора при неизменном ноложении его начала наз 1^вается годографом. Годографом скорости называют геометрическое место концов векторов скоро­ сти движущейся точки отложенн^гх от одной и той же произвольной точки про­ странства. 7 траектория Рис. 2 Величина вектора ускорения определяется равенством: a = dV dt d 2r Координатный способ задания движения точки Закон движения Положение точки относительно системы отсчета определяется какими-нибудь тремя координатами, например, прямоугольными декартовыми х, у, z , которые при движении точки меняются с тече­ нием времени. a 8 Чтобы определить движение точки в этой системе координат, надо задать ее координаты как функции времени, т.е. ' X = x ( t), < J = y ( t ), (5) , z = z ( t) . Систему уравнений (2) называют уравнениями (или законом) движения точки в декартовых координатах. Кроме декартовой, в механике для изучения движения точки ис­ пользуются и другие системы координат, в частности, полярные, сферические, цилиндрические и др. Уравнения траектории точки Уравнения движения (5), определяющие координаты точки в любой момент времени, представляют уравнения траектории точки в параметрической форме, где роль параметра играет время. Для получения уравнений траектории в явном виде необходимо из уравнений движения (5) исключить время. Тогда У = Y (X), ^ (6) z = Z (x) - уравнения траектории точки. Скорость и ускорение Скорость и ускорение точки в любой момент времени можно найти, вычислив их величину и определив их направление. Величина вектора скорости точки определяется по формуле V=^VX2 + Vf+V!, (7) 9 d^ ■ rr d^ . dz .где Vx = — = .X, Vy = — = у, Vx = — = .& - проекции вектора ско- х dt ^ d t dt рости на оси координат х, у , z . Направление вектора скорости V может быть определено коси­ нусами углов, составляемых им с осями координат: I— \ V — Vy — V co s(v , x) = - X , cos(V , y) = ^ y , cos(V , z) ^ . (8) V V V Величина вектора ускорения точки определяется по формуле a ^ /^aX ^+ a J + a 2 , (9) где dVx d 2 X .. dVy d 2 у .. (10) ax = —r r = Vx = ^ = &х, ay = - ~ r = Vy = ^ = ^ , (10)d t at ^ d t ^ at dVz V d'^z .. az = — ^ = Vz = — 2 = & - проекции вектора ускорения на оси ко- d t a t2 ординат X, у, z Направление вектора a задается косинусами углов, составляе­ мых им с осями координат: a ay a c o s (a , x) , c o s (a , y ) , c o s(a , z) ^ . (11) a a a Естественный способ задания движения точки Естественный способ применяется, когда известна траектория точки по отношению к выбранной системе отсчета. Закон движения Положение точки М определяется расстоянием 5 = ОМ от вы­ бранного на траектории начала отсчета О, измеренным вдоль дуги траектории и взятым с соответствующим знаком (см. рис. 3) 10 Рис. 3 При движении точки расстояние 5 меняется с течением времени: 5 = 5(t) , (12) где 5 - дуговая (криволинейная) координата, отсчитываемая от вы­ бранного начала отсчета на траектории. Знак 5 определяют в соответствии с выбранным направлением отсчета дуг. Зависимость (12) называется естественным уравнением (или за­ коном) движения точки [по траектории]. Заметим, что величина 5 в уравнении (12) определяет положение движущейся точки, а не пройденный ею путь, т.к. путь - длина уча­ стка траектории, которую проходит точка при своем движении за данный промежуток времени. Таким образом, при естественном способе определения движе­ ния точки должны быть заданы: 1) траектория точки; 2) начало отсчета расстояний на траектории с указанием поло­ жительного направления отсчета и начальный момент време­ ни; 3) закон движения точки вдоль траектории в виде (12). Естественные оси координат При естественном способе задания движения точки в качестве координатных осей принимают оси естественного трехгранника Френе. Начало подвижной системы отсчета совмещают с движущейся точкой М, а оси направляют по касательной т , нормали n и би­ нормали b (рис. 4). Единичные векторы касательной т , нормали n и бинормали b ориентированы так же, как орты правой системы координат, т.е. b = т х n . M 11 Полученная система осей называется естественной, а прямо­ угольный триэдр т, n , b с вершиной в точке М - естественным (сопровождающим) трехгранником, движущимся по траектории вместе с точкой М. Следовательно, его ориентация в пространстве изменяется в зависимости от характера траектории и уравнения движения точки по ней. Плоскости образующие естественный трехгранник (см. рис. 4): 1 - нормальная плоскость, 2 - соприкасающаяся плоскость, 3 - спрямляющая плоскость. Скорость точки При задании движения точки естественным способом ее ско­ рость находят по формуле: (13) где т - единичный вектор касательной, направленный в сторону возрастающих значений s. Величина скорости точки определяется по формуле 12 т. ds . V = — = s dt (14) и не только характеризует численное значение скорости, но и пока­ зывает, в какую сторону движется точка. Вектор скорости, направлен по касательной к траектории в дан­ ной точке, причем если s > 0 , вектор __________► V направлен в сто- т рону возрастающихM - O значений 5, Рис. 5 если s < 0 , вектор V направлен в сторону убываю­ щих значений 5. - О M Рис. 6 Ускорение Ускорение определяется через его проекции на естественные оси координат. Ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости и опреде­ ляется как векторная сумма двух взаимно перпендикулярных со­ ставляющих: а = аф ф + an ■ п = аф + an ,ф (15) где aф называется касательным (или тангенциальным) ускорением, an - нормальным ускорением. Величина касательного ускорения определяется формулой 13 т dV a^ = ------= V = dt d^s d t2 = &s& (16) и характеризует изменение скорости по величине. Оно равно нулю, когда величина скорости остается неизменной. Кроме того, оно об­ ращается в ноль в те моменты времени, когда скорость достигает экстремальных значений. Вектор Лф направлен по касательной к траектории, причем если V > 0 , вектор йф направлен в сто­ рону возрастающих значений s, M Рис. 7 если V < 0 , вектор 'Пф направлен в сторону убываю­ щих значений s . - О Пт M Рис. 8 Величина нормального ускорения определяется формулой a n = где р - радиус кривизны траектории. Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по на­ правлению. Оно равно нулю при прямолинейном движении точки, а также в точках перегиба траектории, т.к. в обоих случаях радиус кривизны обращается в бесконечность. Кроме того, нормальное ус­ корение обращается в ноль в точках, где V = 0 . Вектор нормального ускорения направлен по нормали к центру кривизны кривой (т. е. в сторону вогнутости кривой). Величина полного ускорения: 14 т 2 с a ^ V a l+ O n . (17) Вектор ускорения точки a изображается диагональю параллело­ грамма, построенного на составляющих йф и an (см. рис. 9) Рис. 9 Отклонение вектора a от нормали характеризуется углом д , определяемым формулой: tg a, п V у = tg^ = Оф a (18) Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости (т.к. проек­ ция ускорения на бинормали аь = 0). Величины касательного и нормального ускорений можно вычис­ лить, если движение точки задано координатным способом ( У = / 1( t), X = / 2 (у), z = / з ( г ) ) по формулам: ат = a - V a -т = V OxVx + OyVy + OzVz ■JvX + 'уу + vZ 15 an = a X т a xV ~ Ijr2 2 2 yjVx + Vy + Vz (19) Частные случаи движения точки 1. Прямолинейное движение. Если траекторией точки является прямая линия, то радиус кривизны равен ^ . V2 an = -= 0, т. к. р = да => a = Р ат (20) 2. Равномерное движение. Если при движении точки величина скорости остается постоян­ ной, то такое движение называется равномерным. а т = d V = 0 , т. к. V = const ^ а = ап . (21) dt Закон движения s = S0 + V t , где S0 - начальное положение. 2 '. Равномерное криволинейное движение ат = 0, Vг2 (22) 2' . Равномерное прямолинейное движение ^ а = 0 . ) 3. Равнопеременное движение. ат= 0 ап = 0 (23) 16 Если при движении точки касательное ускорение постоянно ( а т = const ^ 0 ), то такое движение называются равнопере­ менным. Закон изменения скорости: V = V) + a. t^, где V0 - начальная скорость точки. Закон движения: тг a тt 2 5 = 50 + Уot +— ~ , 50 - начальное положение точки. Связь между векторным, координатным и естественным способами задания движения Аналитически r можно представить f = f i t) = x (t )i + y (t ')j + z (t )k , (24) а дугу, как известно из дифференциальной геометрии, s = s0 ± j^ /x 2 + y 2 + i 2 d t . (25) ЗАДАНИЕ К1. О П РЕДЕЛЕНИ Е СК О РО СТИ И У СКО РЕН И Я ТО ЧКИ ПО ЗАДАННЫ М УРАВНЕНИЯМ ЕЕ ДВИЖ ЕНИЯ По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t 1 (с) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное уско­ рения, а также радиус кривизны траектории в соответствующей точке. Необходимые для решения данные приведены в табл 1. 17 Таблица 1 № вари­ анта Уравнения движения t1,с x = x (t) ,см y = y (t) ,см 1 - 2 t3 + 3 - 5t 1/2 2 4 co s(n t /3 ) + 2 4 s in 2 (n t /3 ) 1 3 - co s(n t2 /3 ) + 3 s in (n t2 /3 ) - 1 1 4 4t + 4 - 4 /( t +1) 5 2 sin (n t /3 ) - 3 cos(n t /3 ) + 4 1 6 3 t2 + 2 - 4t 1/2 7 3 t2 - 1 +1 5 t2 - 5 t / 3 - 2 1 8 7 s in (n t2 /6 ) + 3 2 - 7 c o s (n t2 /6 ) 1 9 - 3 /( t + 2) 3t + 6 10 - 4 co s(n t /3 ) - 2 s in (n t /3 ) - 3 1 11 - 4 t2 +1 - 3t 1/2 12 5 sin (n t / 6) - 5 co s2 ( n t /6 ) - 3 1 13 5 c o s (n t2 /3 ) - 5 s in (n t2 /3 ) 1 14 - 2t - 2 - 2 /(t +1) 15 4 c o s(n t /3 ) - 3 s in (n t /3 ) 1 16 3t 4 t2 +1 1/2 17 7 sin(n t /6 ) - 5 - 7 c o s2 (n t /6 ) 1 18 1 + co s(n t2 /3 ) 3 s in (n t2 /3 ) + 3 1 19 - 5 t2 - 4 3t 1 20 2 - 3t - 6 t2 3 - 3 t / 2 - 3 t2 21 6 s in (n t2 /6 ) - 2 6 c o s (n t2 /6 ) + 3 1 22 7 t2 - 3 5t 1/4 18 Окончание табл. 1 23 3 - 3 t2 + 1 4 - 5 t2 + 5 t /3 24 - 4 c o s(n t /3 ) - 1 - 4 s in (n t /3 ) 25 - 6t - 2 t 2 - 4 26 8cos (n t /6 ) + 2 - 8sin (n t /6 ) - 7 27 - 3 - 9 s in (n t2 /6 ) - 9 c o s (n t2 /6 ) + 5 28 - 3t 29 5 t2 + 5 t /3 - 3 3 t2 + 1 + 3 30 2 co s(n t 2 /3 ) - 2 - 2 s in (n t 2 /3 ) + 3 КИНЕМ АТИКА м е х а н и ч е с к о й С И СТЕМ Ы И А БС О Л Ю ТН О ТВЕРДОГО ТЕЛА Абсолютно твердым телом называют такое тело, расстояние между двумя любыми точками которого всегда остается неизмен­ ным. Каждое тело состоит из совокупности точек, и определение по­ ложения тела относительно данной системы отсчета сводится к оп­ ределению положения каждой точки этого тела относительно той же системы отсчета. Однако для определения положения тела нет надобности опре­ делять положение каждой точки тела. Вместо этого в кинематике твердого тела устанавливают способы определения положения все­ го тела в целом относительно выбранной системы отсчета. Для это­ го по аналогии с понятием координат точки устанавливается поня­ тие обобщенных координат тела. Независимые между собой параметры, однозначно определяю­ щие для каждого момента времени положение тела относительно выбранной системы отсчета, называются обобщенными координа­ тами тела ( q j , где j = 1, 2,...). В качестве обобщенных координат, выбор которых зависит от конкретной задачи, принимают не только декартовы, сферические и другие координаты, но и любые величины, однозначно определяю- 19 щие положение рассматриваемого тела и имеющие размерности длины, площади, угла и т.д. Уравнения движения тела q j = q j (t), j = 1,2,... (26) Однако "механическое" состояние тела в данный момент време­ ни не определяется только значениями обобщенных координат. Де­ ло в том, что при заданных q j (j = 1, 2,...) тело может обладать произвольными скоростями, а в зависимости от значений последних по истечении элементарного промежутка времени может изменять­ ся и положение тела. Поэтому состояние тела можно полностью определить и даже предугадать его дальнейшее движение, задав одновременно независимые обобщенные координаты и обобщен­ ные скорости. Производные независимых обобщенных координат q j по вре­ мени представляют собой обобщенные скорости dq,- q j = - l l f ' (27) Очевидно, что каждой обобщенной координате q j соответствует обобщенная скорость q j , причем, она может иметь размерность, отличающуюся от размерности обычной скорости. Поступательное движение твердого тела Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая, неизменно связанная с этим телом, во все время движения остается параллельной своему на­ чальному положению. Поступательное движение не следует смешивать с прямолиней­ ным. При поступательном движении тела траектории его точек мо­ гут быть любыми кривыми линиями. Свойства поступательного движения твердого тела определяют­ ся следующей теоремой. 20 Все точки твердого тела при поступательном движении опи­ сывают одинаковые траектории и имеют в каждый момент вре­ мени одинаковые по величине и по направлению скорости и ускоре­ ния. Из теоремы следует, что изучение поступательного движения тела сводится к задаче кинематики точки. Уравнениями поступательного движения твердого тела являются уравнения движения любой точки этого тела (обычно уравнения движения его центра тяжести точки С). rC = r (t) или Хс = x (t), Ус = y ( t ) , (28) z c = z (t). Поступательно движущееся тело имеет три обобщенные коорди­ наты, однозначно определяющие положение этого тела ( q1 = Xq , q2 = Ус , q3 = zc ). При поступательном движении общую для всех точек тела ско­ рость V называют скоростью поступательного движения тела, а ускорение а - ускорением поступательного движения. Векторы V и а можно, очевидно, изображать приложенными в любой точ­ ке тела. Заметим, что понятия о скорости и ускорении тела имеют смысл только при поступательном движении. Во всех остальных случаях точки тела движутся с разными скоростями и ускорениями и тер­ мины «скорость тела» или «ускорение тела» для этих движений те­ ряют смысл. Вращ ательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси Вращательное движение - это движение твердого тела, при ко­ тором две точки, принадлежащие телу, или неизменно с ним свя­ занные, остаются во все время движения неподвижными. 21 I/ Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения z. Положение тела, совершающего вращательное движение, определя­ ется углом ф между проведенными через ось вращения неподвижной полуплоскостью I и полуплоскостью II, жестко связанной с телом и вра­ щающейся вместе с ним (рис. 10). При этом за положительное направ­ ление отсчета угла ф обычно при­ нимают направление, противопо­ ложное направлению вращения ча­ совой стрелки, если смотреть с по­ ложительного направления коорди­ натной оси z , совмещенной с осью вращения тела. Все точки тела за один и тот же промежуток времени поворачи­ ваются вокруг оси на одинаковый угол, потому уравнение, опреде­ ляющее изменение этого угла как функции времени, Рис. 10 ф = ф(t) , (29) где ф - угол поворота тела. Это уравнение называется уравнением (или законом) вращательного движения твердого тела вокруг не­ подвижной оси. Угол поворота тела обычно измеряют в радианах, но иногда в практических задачах его выражают числом оборотов и определяют по формуле ф = 2 n N , (30) где N - число оборотов. При вращательном движении вокруг неподвижной оси положе­ ние тела определяется одной обобщенной координатой (q = ф ) . 22 Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость и угловое ускорение. Угловая скорость твердого тела характеризует быстроту изме­ нения угла поворота твердого тела и ее можно определить как век­ тор, расположенный на оси вращения и равный Ш = Q k , (31) где Ш = — = ф - алгебраическая угловая скорость вращения тела; dt k - единичный вектор координатной оси z (оси вращения). Вектор угловой скорости направлен по оси вращения в ту сторо­ ну, откуда оно видно происходящим против хода часовой стрелки (рис. 11). Рис. 11 Величина угловой скорости равна модулю вектора Ш и опреде­ ляется как модуль проекции Шz либо как модуль алгебраической угловой скорости тела при его вращении вокруг неподвижной оси: ш = ш ш. ф . (32) Знак ф определяет направление вращения. 23 к Когда ф > 0 , на­ правление вращения ю совпадает с положи­ тельным направлен­ ном отсчета угла ф (рис. 12) когда ф < 0 , на­ правление вращения ю не совпадает с по­ ложительным на­ правленном отсчета угла ф (рис. 13). При отсчете угла поворота в радианах и измерении времени в се­ кундах угловая скорость измеряется в рад/с или с 1. В технике угловая скорость часто - это частота вращения, выра­ женная в оборотах в минуту (n об/мин). Связь между этими величи­ нами выражается формулой га= n 2п nn 60 = 30 (33) Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости тела с течением времени и его можно определить как век­ тор S = = sk , (34) dt d(a . d^ф где s ^ = ш = — = ф - алгебраическое угловое ускорение те- dt d t 2 ла, равное первой производной от алгебраической угловой скорости 24 или второй производной по времени от угла поворота вокруг не­ подвижной оси. Величина (модуль) углового ускорения s = s. Ш ф (35) с рад -2Единица измерения углового ускорения------— или с . с Вектор углового ускорения расположен на оси вращения и сов­ падает с осью вращения z при s z = ф > 0 или направлен в проти­ воположную сторону при s z = ф < 0 . Векторы ш и s являются скользящими векторами, располо­ женными на оси вращения тела и не имеющими на ней конкретной точки приложения. Вращательное движение называется равномерным, если во все время движения ш = c o n s t, и равнопеременным, если во все время движения s = const ^ 0 . Если ш и s имеют одинаковые знаки, вращение будет ускорен­ ным. Если ш и s имеют разные знаки, вращение будет замедленным. Свойством вращательного дви­ жения твердого тела можно считать то, что все точки лежащие на оси вращения, будут неподвижны, а тра­ екториями всех остальных точек это­ го тела будут окружности, лежащие в плоскостях, перпендикулярных оси вращения. Центры всех этих окруж­ ностей лежат на оси вращения, а ра­ диусы равны кратчайшему расстоя­ нию от этих точек до оси вращения. Скорость точки М тела 25 s V = ш X r (36) Формула (36) называется векторной формулой Эйлера. Величина (модуль) скорости точки тела при этом определится как модуль соответствующего векторного произведения, т.е. V = |шX r = шг sin(Q, r ) = ш h . Скорость точки М V = ш- h , (37) где h - кратчайшее расстояние от точки до оси вращения (h = ОМ).Вектор V направлен по касательной к траектории точки М в соответствии с направлением угловой скорости (т.е. перпендику­ лярно h по ш ). Ускорение точки М тела а = а т+ an . (38) а т = а вр = V = Ш - h = s - h, V2 ^ (39) an = ац = ~ Y = ® h . Вектор а т направлен по касательной к траектории точки М в со­ ответствии с направлением углового ускорения (т.е. перпендику­ лярно h по s ). Вектор an направлен по нормали к траектории точ­ ки М в сторону ее вогнутости (т.е. по h от точкиМ к оси вращения). а = у1 аТ + а1 = W +ш ^, tg ^ = —т = -^ -. (40) Векторные выражения скорости и ускорения точки вращающе­ гося тела: V = Ш X r - формула Эйлера, а = а т+ an = е х Г + Ш хV . (41) 26 ЗАДАНИЕ К2. ОП РЕДЕЛЕН И Е СК О РО СТЕЙ И У С КО РЕН И Й ТО ЧЕК ТВЕРДОГО ТЕЛА ПРИ ПО СТУ П А ТЕЛЬН О М И ВРАЩ АТЕЛЬН ОМ ДВИЖ ЕНИЯХ По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 определить скорость, а также вращательное , цен­ тростремительное и полное ускорения точки М механизма в момент времени, когда путь, пройденный грузом, равен s. Схемы механиз­ мов показаны на рис., а необходимые для расчета данные помеще­ ны в табл. 2. Таблица 2 № вари- ната Радиусы, см Уравнение движения груза 1 X = x(t) ( X - в см, t - в с) s ,м ^2 r2 ^3 r3 1 60 45 36 - 10 + 100t ^ 0,5 2 80 - 60 45 8 0 t2 0,1 3 100 60 75 - 18 + 7 0 t2 0,2 4 58 45 60 - 5 0 t2 0,5 5 80 - 45 30 8 + 4 0 t2 0,1 6 100 60 30 - 5 + 6 0 t2 0,5 7 45 35 105 - 7 + 9 0 t2 0,2 8 35 10 10 - 4 + 30 t2 0,5 9 40 30 15 - 3 + 8 0 t2 0,2 10 15 - 40 35 7 0 t2 0,4 11 40 25 20 - 5 + 4 0 t2 0,3 12 20 15 10 - 2 + 5 0 t2 0,1 13 30 20 40 - 6 0 t2 0,4 14 15 10 15 - 6 + 20t 0,1 15 15 10 15 - 8 + 4 0 t2 0,3 27 8г z ‘o ^Ю9 + Я - 0Z ST о е oe 9 ‘0 Ю£ + £ OS 0Z 6Z V o гЮ9 ST 017 0Z 017 8г е ‘о , ю е + 9 8Т 017 8Т 017 Аг т‘о ^Ю9 + S 9Т Z£ 9Т Z£ 9 г s ‘o ю я + z - 09 0Z OS z ‘o ,Ю 6 0Z 0l7 ST о е 17^ 9 ‘0 Ю17 + /. ST о е о е 017 ег s ‘o ^Ю17 + 01 - s e 0Z 017 ZZ s ‘o ^адб+17 от о е от 0Z IZ e ‘o гЮ9 - от ST 9Z 0Z z ‘o - 0Z от ST 61 e ‘o ю г + 17 - от ST o z 8Т 9 ‘0 ,а д 8 - 0Z от ST 11 V o ^Ю17 + е - ST ST о г 91 10 .^ 5 11 12 , . e£ i 29 6 1 7 8 2 9 12 13 14 15 16 17 18 19 20 30 31 П Л О СКО П А РА Л Л ЕЛЬН О Е ДВИЖ ЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА Плоскопараллельным движением твердого тела называется та­ кое движение, при котором все точки тела движутся параллельно какой-нибудь неподвижной плоскости. Движение всего тела определяется движением сечения тела S плоскостью, параллельной условно неподвижной плоскости N . Положение плоской фигуры оп­ ределяется положением отрезка АВ (рис. 15). Положение отрезка АВ определяется тремя парамет­ рами: координатами точки A (Xa , yA ) и углом ф , который отрезок AB образует с осью X. Произвольная точка А назы­ вается полюсом. Уравнения движения твердого тела Рис. 15 Ха = x (t), Уа = y (t), ф = ф(t) . Плоскопараллельное движение можно представить как совокуп­ ность двух движений: поступательного движения, зависящего от выбора полюса, и вращательного движения вокруг полюса, причем угол и направление поворота от выбора полюса не зависят. Плоскопараллельное движение твердого тела можно рассматри­ вать как вращательное вокруг мгновенной оси вращения. 32 Определение скоростей точек тела при плоскопараллельном движении П ервы й способ. Скорость любой точки M тела при плоскопараллельном движе­ нии равна геометрической сумме скорости полюса А и скорости данной точки во вращательном движении вместе с телом вокруг полюса. VM = VA + VM,' A-. (42) где Vma = ш X A M , Vma = ш • A M . (43) Вектор VMA направлен перпенди­ кулярно к АМ в сторону вращения фигуры. Величину скорости точки М можем найти следующим образом: 1) по теореме косинусов Рис. 16 Vm ^ WF^iMA^ VAVMA^os(VA,VMA) . (44) 2) можно спроектировать равенство (42) на взаимно перпендику­ лярные оси X и у VMx = VAx + VMAx VMy = VAy + VMAy Второй способ. Теорема о проекциях скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки. 33 Проекции скоростей точек плоской фигуры на прямую соединяющую эти точки, равны. np^¥A )aB = np (TB )aB (46) или VA cos a = VB cos e . (47) Третий способ. Определение скорости с помощью мгновенного центра скоро­ стей. Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка в плоскости движения плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю. Через МЦС перпендикулярно плоскости движения проходит мгновенная ось враще­ ния VM = ш - M P ^ ш = M P (48) Способы нахождения М ЦС Для нахождения мгновенного центра скоростей достаточно знать направления скоростей двух каких-либо точек плоской фигуры. Мгновенный центр скоростей находится на пересечении перпенди­ куляров, восстановленных из данных точек к направлениям их ско­ ростей. ш = VA = ш - A P VB = ш- BP = V l A P BP или (49) Рис. 19 34 Если эти перпендикуляры сливаются в один, то для нахождения мгновенного центра скоростей надо дополнительно знать величины скоростей. Мгновенный центр скоростей находится в этом случае в точке пересечения общего перпендикуляра и прямой, соединяющей концы векторов скоростей. Рис. 20 VA = ш ^A P VB = ш ^BP VA VB A P BP (50) Если же перпендикуляры параллельны, МЦС находится в беско­ нечности. В этом случае ш = 0, а скорости всех точек плоской фигу­ ры одинаковы по величине и по направлению. Рис. 21 Такое движение называется мгновенно поступательным. Если движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по неподвижной поверхности друго­ 35 го, то точка их соприкосновения в данный момент является мгно­ венным центром скоростей. МЦС - точка касания Р. Если известен вектор скорости тела и угловая скорость вра­ щения ю, то мгновенный центр скоростей лежит на линии, перпен­ дикулярной вектору скорости , на расстоянии АР, равном V АР = у А ш и расположенном, так, чтобы направление поворота вектора скоро­ сти у А совпадало с направлением вращения тела вокруг мгновен­ ного центра скоростей. 36 Определение ускорений точек Ускорение любой точки М тела равно геометрической сумме ус­ корения полюса А и ускорения этой точки во вращательном дви­ жении вместе с телом вокруг полюса aM = aA + aMA ■ (51) где aMA - это ускорение, которое бы имела точка М, если бы она вращалась вместе с телом вокруг полюса А . aMA = a'MfA + aMfAA A A Касательное (вращательное) - aMA = M^^AA = s x A M , a 'lMA = aM4A = s ^A M . Нормальное (центростремительное) - aiMA = аМмА = ш х (шх A M ) , аМмА = aMA = ш2 •A M . Окончательно: aM = aA + а 'МмА + alnA . (52) (53) (54) (55) Рис. 24 37 s Величину Ом ^ находят аналитически - методом проекций. Основные способы вы числения углового ускорения 1) Если известно ф = 9 ( t) или ш = ш(t) /2 ,ёш . d ф .. е ^ ^ = ш = — ^ = ф . d t d t 2 (56) 2) Если известно, что расстояние до МЦС постоянно (A P = c o n s t) , то s = a^ A_ A P (57) 3) s == а 'вА BA ЗАДАНИЕ К3. ОП РЕДЕЛЕН И Е СК О РО СТЕЙ ТО ЧЕК ТВЕРДОГО ТЕЛА П РИ ПЛО СКО М ДВИЖ ЕНИИ Найти для заданного положения механизма скорости точек А, В, С и угловые скорости всех его звеньев, если известна угловая ско­ рость кривошипа ш ^ А^. 38 Схемы механизмов показаны на рис., а необходимые данные приведены в таблице 3. Таблица 3 № вари­ анта Радиусы, см ш0А , с"1 Дополнитель­ ные данные ОА AB AD BC r 1 35 65 - - 15 2 2 40 40 40 60 - 1,5 3 22 - - 24 11 3 0 1C = 30 см 4 20 50 - 24 - 1 5 35 - - - 15 4 ш1 = 1,5 см 6 20 60 - 30 - 1,2 7 30 60 - 30 - 2 O1B = 50 см 8 12 - - - - 1,5 9 14 - 40 45 - 1 BD = B 0 1 10 15 50 - 25 - - Vo = 80 см/с 11 27 - - 34 12 2,5 12 20 25 50 35 - 2 13 22 44 - - 15 - V0 = 100 см/с 14 60 25 - 35 - 1,4 15 25 60 - - 15 1,6 16 27 - - - 12 1,2 ш1 = 3 с '1 17 16 - - - 8 0,6 18 22 36 72 25 - 2,4 19 23 57 - - 14 1,5 20 23 56 - - - 4 21 24 24 24 35 - 3 22 25 - - 40 10 2 23 26 - - 36 12 1 24 17 12 32 15 - 2,1 25 28 75 - 15 10 2,5 26 12 54 25 42 - 2,2 27 55 - - - 10 1,8 39 Окончание табл. 3 28 25 - - 30 10 2,3 0 1С = 36 см 29 16 25 50 35 - 2 30 16 60 - 14 10 1,5 Приме ча ние . Качение колес происходит без скольжения. * В вариантах 5 и 16 задана также угловая скорость Ю; шестерни 1; в вариантах 10 и 13 задана скорость У0 центра О. 40 41 42 23 л :# в 24 25 26 D в 27 28 29 30 43 C ЗАДАНИЕ К4. ОП РЕДЕЛЕН И Е СК О РО СТЕЙ И У СКО РЕН И Й ТО ЧЕК ТВЕРДОГО ТЕЛА П РИ П ЛО СКО М ДВИЖ ЕНИИ Найти для заданного положения механизма скорости и ускоре­ния точек В и С.Схемы механизмов помещены на рис., а необходимые для расче­та данные приведены в таблице 4. Таблица 4 № вари­ Радиусы, см ш0А, ш1, 1 s 0А, Va , а А ,анта 0А r AB AC с-1 с- с-2 см/ссм/с1 40 15 - 8 2 - 2 - -2 30 15 - 8 3 - 2 - -3 - 50 - - - - - 50 1004 35 - - 45 4 - 8 - -5 25 - - 20 1 1 1 - -6 40 15 - 6 1 - 0 - -7 35 - 75 60 5 - 10 - -8 - - 20 10 - - - 40 209 - - 45 30 - - - 20 1010 25 - 80 20 1 - 2 - -1 - - 30 15 - - - 10 012 - - 30 20 - - - 20 2013 25 - 55 40 2 - 4 - -14 45 15 - 8 3 12 0 - -15 40 15 - 8 1 - 1 - -16 55 20 - - 2 - 5 - -17 - 30 - 10 - - - 80 5018 10 - 10 5 2 - 6 - -19 20 15 - 10 1 2,5 0 - -20 - - 20 6 - - - 10 1521 30 - 60 15 3 - 8 - -22 35 - 60 40 4 - 10 - -23 - - 60 20 - - - 5 10 44 24 25 - 35 15 2 - 3 - - 25 20 - 70 20 1 - 2 - - 26 20 15 - 10 2 1,2 0 - - 27 - 15 - 5 - - - 60 30 28 20 - 50 25 1 - 1 - - 29 12 - 35 15 4 - 6 - - 30 40 - - 20 5 - 10 - - П ри м ечан и е . 1.)ш oa и s qa - угловая скорость и угловое ускорение криво­ шипа 0А при заданном положении механизма; 2.) ш1 - угловая скорость колеса /(постоянная); 3.)УА и Оа -скорость и ускорение точки А. 4.)Качение колеса про­ исходит без скольжения. 45 А10 11 12 90° C i 0 | B 46 6 7 8 9 Uv oz 6T 8T LI 9T ST n £\ 817 LZ 91 VI - Я zz IZ СЛ О Ж Н О Е ДВИЖ ЕНИЕ ТО ЧКИ До сих пор мы рассматривали движение точки (или тела) по от­ ношению к одной заданной системе отсчета, которую считали ус­ ловно неподвижной. Однако в ряде случаев при решении задач механики оказывается удобным рассматривать движение точки (или тела) одновременно по отношению к двум системам отсчета, из которых одна считается условно неподвижной, а другая определенным образом движется по отношению к первой. Основные понятия. Сложным (составным) называется такое движение, при котором точка движется по отношению к системе отсчета, которая в то же время вме­ сте с точкой движется относитель­ но другой условно неподвижной системы отсчета. Рис. 26 Пусть точка М движется по отношению к системе отсчета Оху2 , которая в свою очередь движется относительно условно неподвиж­ ной системы отсчета О 1Х1ух2 1 . 49 Движение точки М по отношению к подвижной системе отсчета называется относительным. Движение подвижной системы отсчета по отношению к непод­ вижной системе отсчета называется переносным. Движение точки М по отношению к неподвижной системе от­ счета называется абсолютным. Подвижная система отсчета (тело) совершает произвольное дви­ жение (поступательное, вращательное, плоскопараллельное и дру­ гие). Скорость и ускорение точки относительно неподвижной систе­ мы координат будем называть абсолютной скоростью и абсолют­ ным ускорением (V , а ). Скорость и ускорение точки относительно подвижной системы координат будем называть относительной скоростью и относи­ тельным ускорением (Vr , a r ) . Переносной скоростью и переносным ускорением будем назы­ вать скорость и ускорение той точки подвижной системы координат (тела), с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка (Ve, ae ) относительно неподвижной системы отсчета.. Теорема о сложении скоростей Абсолютная скорость точки М равна геометрической сумме пе­ реносной и относительной скоростей этой точки. V = Ve + V . (58) Модуль и направление абсолютной скорости можно определить одним из способов: 1) пользуясь теоремой косинусов 2) пользуясь теоремой синусов 50 V _ = V ._ = Vr _ sin(V,, V,.) sin(V, V,.) sin(V, V^ )^ 3) аналитически: проектированием равенства (58) на взаимно перпендикулярные оси xyz: V = V + V Vy = Vey + Vry ^ V ^^V Xf^ +Vf + V 2 V = V + V Теорема Кориолиса При непоступательном переносном движении абсолютное уско­ рение точки равно геометрической сумме переносного, относи­ тельного икориолисова ускорений. a = ae + ar + a c , ac = 2ше X Vr , где ше - угловая скорость переносного вращения, a c - кориолисово ускорение. З ам еч ан и е: В случае поступательного переносного движения: юе = 0 ^ ac = 0 ^ абсолютное ускорение точки находится как сумма ее переносно­ го и относительного ускорений. Ускорение Кориолиса a c = 2ше X Vr , a c = 2&eVr sln(rae, Vr ) т.к это ускорение появ­ ляется в случае вращения подвижной системы отсчета, его еще на­ зывают поворотным ускорением. Направление вектора ac можно определить следующими пра­ вилами: 51 Рис. 28 1. По правилу векторного произве­ дения: Oc направлен, как и век­ тор ше xVr , т.е. перпендикулярно плоскости, проходящей через век­ торы ше и V. в ту сторону, отку­ да кратчайший поворот от ше к V . виден против часовой стрелки. 2. По правилу Жуковского: для оп­ ределения направления а с надо проекцию вектора относительной скорости V . на плоскость, пер­ пендикулярную вектору угловой скорости ше , повернуть на угол 90° вокруг оси вращения в на­ правлении (переносного) враще­ ния тела, т.е. по ше . Физический смысл а^ : ускорение Кориолиса характеризует 1) изменение относительной скорости точки, вызванное перенос­ ным движением 2) изменение переносной скорости точки вследствие ее относитель­ ного движения. Ускорение Кориолиса равно нулю в следующих случаях: а) когда ше = 0 (переносное движение является поступатель­ ным) а с = 0 , т.к. ше = 0 ; б) в момент времени, когда V . = 0 (в те моменты времени, когда проходит изменение направления относительного движения или в случае относительного покоя; в) когда ше || V 52 ЗАДАНИЕ К5. О П РЕДЕЛЕНИ Е А БС О Л Ю ТН О Й СКО РО СТИ И А БС О Л Ю ТН О ГО У СКО РЕН И Я ТО ЧКИ В СЛУЧАЕ П О СТУ П А ТЕЛ ЬН О ГО П ЕРЕН О СН О ГО ДВИЖ ЕНИЯ По заданным уравнениям относительного движения точки М и переносного движения тела D для момента времени t = t 1 опреде­ лить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M. Схемы механизмов показаны на рис., а необходимые для расчета данные приведены в таблице 5. П ри м ечан и е : В вариантах 1, 5, 6, 13-16, 23 ,25, 30 0M- дуга окружности; для каждого варианта положение точки M на схеме соответствует положительному значению Sr ; на схемах 14 и 30 0M- дуга, соответствующая меньшему централь­ ному углу. 1 2 0 53 3 4 Таблица 5 № вари­ антов = f1 (t) , см Ф = f 2(t) рад Уравнения относительного дви­ жения tl,с■^ R ,см Примечаниеточки M тела K О М = 5. = f 3( t), см Ф r = f 4(t), рад 1 t3 + 4t - 4 n t2 - 2 48 2 60 t2 - - 0 ,036n t3 5/3 80 3 - n t2 /2 4 2 t3+3t - 2 15 4 2t + 0 ,2 t3 - - n t3 /12 2 20 5 7t + 4 t3 - 2 0 n t2 - 1/2 30 6 20 1 + sin (nt /3 ) - n (2 t3 + 3t) - 1 30 7 2 0 t2 + 3t - - n t3 /3 1 20 8 - 1,5nt2 9 t3 + 5t - 1/3 25 9 - 8nt 3/3 16t2 - 2t + 2 - 30 54 ^Продолжение табл. 5 10 250t ^ - - 3 n t2 5/3 60 11 - 8t + 3t ^ - 4 s ln (nt /3 ) - 2 - 12 - 4 n t2 /2 7 2 t3 - 3/2 25 13 4(t + 4 t2 ) - 10n sln(nt /6 ) - 1 30 14 20[ccs(nt /8) +1] - 5 n t2 - 2 24 15 10t2 - 0 ,6 t3 - 2 n t2 - 3 54 16 - n t2 /8 5nt 3 /4 - 2 30 0 10 = 0 2 A = 40 см 17 - n t2 /2 4 3 t3 + 5t - 2 20 18 - 2 n t2 / 3 4 t3 + 9t - 20 19 2 0 t2 + 15t - - (n /3 )c o s (2 n t) 1/6 15 20 25[1 + sln(nt /3 ) - - 2 n t 2 /3 1 40 21 - 2 n t2 / 3 1,5t + 10t3 - 20 55 Окончание табл. 5 22 10 + 3sin(nt / 2) - - 0 ,2 4 n t2 5/3 30 23 - 5nt 3 /6 6 n t2 - 1 18 O1O = O2 A = 20 см 24 2()[1 + sin(nt / 2) - - 0 ,36n t2 5/6 50 25 24t ^+ 7t - 5nt 3 /3 - 2 40 26 - n t2 /12 t 3 + 2t - 2 35 27 3t + 0,27t ^ - - 0 ,15nt2 10/3 15 28 18t2 + 2t - - (5n / 6) sin (n t /12) 2 20 29 50 t2 - - 5nt 3 /4 8 2 75 30 50 '1 - cos(nt / 2) - 12n t2 - 5/6 25 56 \w \\w \\\w\\w \\\w \\w\\\w\\\\\\\\w^^^ 0 i D ' 1 M 11 10 M 0 i 11 12 57 6 x x 7 8 x 9 x 13 4 l У / / / / / / / / Л / / / / / / / / / / / / / . X 14 15 16 17 18 M O B V 19 O/ 20 Oi M /ф]Л M D Y WXe 58 X X 21 22 23 24 u 25 26 27 28 Mi D 59 x x x 29 ЗАДАНИЕ К6. ИССЛЕДОВАНИЕ СЛО Ж Н О ГО ДВИЖ ЕНИЯ ТО ЧКИ Диск радиусом R (варианты 1-12, 23, 24) или квадрат со сторо­ ной а (варианты 13-22) вращаются согласно уравнению ф = 9(t) во­ круг оси, проходящей через точку О перпендикулярно к плоскости диска или квадрата. Тока М движется по желобу по закону S = S(t). В момент времени t определить для точки М: 1) относительную скорость; 2) абсолютную скорость; 3) относительное ускорение; 4) переносное ускорение; 5) ускорение Кориолиса. Таблица 6 № вари­ анта Уравнение движе­ ния диска R, рад Движение точки М, см R , см а, см t, с 1. ф = 5t - 4t^ АМ = S = R (1 - cos п t) 2 4 5 - 2 2. ф = 4t + 1,6t^ АМ = S = R (1 - cos П t) 2 25 - 2 3. ф = 0,6t^ АМ = S = R (1 + sin п t) 2 4 40 - 2 4. Ф = t^ АМ = S = R (1 + cos п t) 2 6 50 - 3 60 5. Ф = t" - 5t 0 М = S = R (1 - cos П t) 3 25 - 3 6. ф = 2t - t^ АМ = S = R (1 + sin n t) 2 4 50 - 2 7. Ф = 10t - 0,1t" 0 М = S = nR (1 - cos П t) 2 25 - 1 8. ф = 8t" - 3t АМ = S = R (1 - cos П t) 2 30 - 2 9. ф = 2t" - t" АМ = S = R (1 + sin n t) 2 2 50 - 2 10. ф = 0,8t^ АМ = S = R (1 - sin n t) 2 2 40 - 3 11. ф = t^ - 5t АМ = S = "1^ R (1 + cos n t) 2 4 30 - 4 12. ф = 2t ^- 0,5t А ^ = S = R (1 - cos n t) 2 2 25 - 0 13. ф = 0,6t^ СМ = S = a (1 - sin П t) 2 2 - 30 3 14. ф = t" АМ = S = a (1 - cos П t) 2 3 - 30 3 15. ф = 3t - t2 АМ = S = a (1 + sin П t) 2 4 - 40 2 16. ф = 0,5t^ СМ = S = 0 (1 - cos n t) 2 2 - 35 2 17. ф = 0,3t2 ОМ = S = 0 (1 - cos n t) 2 6 - 30 3 18. ф = 2t - t3 СМ = S = 0 (1 + cos n t) 2 6 - 25 3 19. ф = 3 t - t2 DМ = S = 0 (1 + sin П t) 2 6 - 40 3 20. ф = 2t - t2/18 DМ = S = (1 + sin n t) 2 4 - 35 6 61 21. Ф = 1,4t^ АМ = S = nR (1 + cosn/3t) 50 - 1 22. ф = 1 - 4t^ АМ = S = R (1 - sin П t) 2 45 - 3 23. ф = 0,1t^ АМ = S = R (1 + cos П t) 2 2 50 - 4 24. Ф = 0,2t" АМ = S = R (1 - sin n t) 2 2 40 - 3 25. Ф = 12 - 3t" ОМ = S = nR (1 - cosnt) 30 - 1 26. Ф = 6t - АМ = S = R (1 + sinП/8 t) 25 - 4 27. Ф = 12 - 3t" АМ = S = nR (1 - cos П t) 30 - 1 28. Ф = 6t - t2 АМ = S = R (1 + sin П t) 2 25 - 4 29. Ф = t - t^ АМ = S = nR (1 + sin П t) 2 25 - 3 30. Ф = 2t (1 + t) АМ = S = nR (1 - cos П/2 t) 50 - 4 62 63 64 21 22 23 24 25 26 0 65 27 28 29 30 ЗАДАНИЕ К7. О П РЕДЕЛЕНИ Е А БС О Л Ю ТН О Й СКО РО СТИ И А БС О Л Ю ТН О ГО У СКО РЕН И Я ТО ЧКИ В СЛУЧАЕ ВРАЩ АТЕЛЬН ОГО П ЕРЕН О СН О ГО ДВИЖ ЕНИЯ По заданным уравнениям относительного движения точки М и переносного движения тела D определить для момента времени t = t1 абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М. Схемы механизмов показаны на рис., а необходимые для расчета данные приведены в таблице 7. 66 B Т аблица 7 № вари­ анта Уравнение движения тела D Ф. = /1 ( t ) , рад Уравнение отно­ сительного дви­ жения точки М 0M=Sr ^^!(t),см tl ,с R ,см a , см a , град 1 2 t3 - 12 18sin(n t 4 ) 2/3 - 25 - 2 0 ,4 t2 + 1 20 s in (n t) 5/3 20 - - 3 2t + 0 ,5 t2 6 t3 2 - 30 - 4 0 ,6 t2 10sin(n t 6 ) 1 - - 60 5 3t - 0 ,5 t3 40n cos(n t /6 ) 2 30 - - 6 0,75t + 1,5t2 150nt2 1/6 25 - - 7 0 ,5 t2 2 0 co s(2 n t) 3/8 - 40 60 8 t 3 - 5t 6(t + 0 ,5 t2 ) 2 - - 30 9 4t + 1,6t2 10 + 10sin (2n t) 1/8 - - - 10 1,2t - 12 20n cos(n t /4 ) 4/3 20 20 - 11 2 t2 - 0,5t 2 5sin (n t /3 ) 4 - 25 - 12 5t - 4 t2 15nt 3 /8 2 30 30 - 13 8 t2 - 3t 120nt2 1/3 40 - - 14 4t - 2 t 2 3 + 14sin (n t) 2/3 - - 30 15 0 ,2 t3 + 1 5 4 2 ( t2 + 1) 2 - 60 45 16 t - 0 ,5 t2 20 s in (n t) 1/3 - 20 - 17 0 ,5 t2 8 t3 + 2t 1 - 4 4 5 - 18 8t - 12 10t + 13 2 - - 60 19 t + 3 t2 6t + 4 t3 2 40 - - 67 Окончание табл. 7 20 6t + 1 ^ 30n cos(n t /6 ) 3 60 - - 21 2t - 4 t ^ 25n(t + 12 ) 1/2 25 - - 22 4t - 0 ,2 t2 10n sin(nt / 4) 2/3 30 - - 23 2t - 0 ,25 t2 3 t2 + 4t 2 - - 30 24 2t - 0 ,3 t2 75n(0,1t + 0,3 t3) 1 30 - - 25 10t - 0,1t2 15sin(nt /3 ) 5 - - - 26 - 2 n t2 8 cos(n t /2 ) 3/2 - - 45 27 t - 0,5t^ 1^V2n cos(2nt) 1/8 30 - - 28 2 t3 - 5t 2 ,5 n t2 2 40 - - 29 0 ,6 t2 ^л/б sin(nt /16) 4 36 - 30 30 2 t2 - 3t 5^I3t 3 /3 2 20 - 30 Приме ча ние : В вариантах 5, 6, 10, 12, 13, 20-22, 24, 27, 28 0M- дуга окруж­ ности; для каждого варианта положение точки M на схеме соответствует положи­ тельному значению Sr ; на схемах 5, 10, 12, 21, 24, 27 0M- дуга, соответствующая меньшему центральному углу. 68 1 2 69 70 71 27 V //г 0 28 29 30 0 К инем атика планетарных и дифференциальных цилиндрических зубчатых передач Планетарной зубчатой передачей называется передача у кото­ рой одно центральное колесо неподвижно, а остальные колеса на­ ходятся в последовательном зацеплении и приводятся в движение за счет того, что их оси установлены на вращающемся кривошипе, ось вращения которого совпадает с осью неподвижного колеса. 72 Если в планетарной передаче сообщить независимое от криво­ шипа вращательное движение и центральному колесу, то такая зуб­ чатая передача называется дифференциальной. Рис. 30 Соединение зубчатых колес, у которых все зубчатые колеса вра­ щаются относительно неподвижных осей, называются рядовой зуб­ чатой передачей. Рис. 31 Всякая рядовая передача характеризуется передаточным числом U, под которым понимают отношение угловой скорости ведущего колеса к угловой скорости ведомого: Urn = у (59) где m - число внешних зацеплений. 73 Определение кинематических характеристик для звеньев плане­ тарных или дифференциальных передач производится следующими способами: 1. Способ сложения векторов угловых скоростей вращатель­ ных движений: переносного, относительного и абсолютного. При данном способе применяется геометрическое равенство Юа =®g + , (60) где Ю - вектор абсолютной угловой скорости; - вектор переносной угловой скорости; - вектор относительной угловой скорости. Если оси вращения валов параллельны, то геометрическое ра­ венство (60) заменяют алгебраическим Юа = Юе . Положение вектора абсолютной угловой скорости определяется по правилам сложения параллельных векторов. Вектор абсолютной угловой скорости совпадает по направлению с мгновенной осью вращения. 2. Способ использования мгновенного центра скоростей. В том случае, если положение МЦС известно или может быть определено из условий задачи, величину и направление абсолютной угловой скорости Юа звена можно получить по формуле V Ю=Юа =■ а-'а J ’h где h - расстояние от точки до МЦС, Va - абсолютная скорость. Величина относительной угловой скорости определяется из Ра­ венства (60). 3. Способ «остановки» или метод Виллиса. 74 Данный способ является наиболее удобным для определения аб­ солютных и относительных угловых скоростей элементов диффе­ ренциальных и планетарных передач. Он заключается в преобразовании рассматриваемой зубчатой пе­ редачи в рядовую зубчатую передачу и в использовании соответст­ вующих кинематических соотношений. Для этого мысленно останавливают кривошип планетарной или дифференциальной передачи, сообщив всем звеньям передачи угло­ вую скорость равную угловой скорости кривошипа, но обратно на­ правленную. Тогда угловая скорость кривошипа будет равна нулю, а угловые скорости зубчатых колес будут равны разностям своих начальных угловых скоростей и угловой скорости кривошипа. После мысленной остановки кривошипа отношение угловой ско­ рости ведущего колеса к угловой скорости n-го ведомого колеса равно соответствующему передаточному числу U 1n , получаемому как и для рядового зубчатого зацепления, т.е. = U n ( -1 )m , (61) шп - ш кр шп - искомая угловая скорость п-го колеса, 01 - угловая скорость ведущего колеса, шкр - угловая скорость кривошипа, U 1 n - передаточное число зубчатой передачи m - число внешних зацеплений. Формула (61) называется формулой Виллиса. Формула Виллиса пригодна для всех видов зубчатых передач, например при 01 ^ 0 , шкр Ф 0 - дифференциальная передача при 01 = 0 , 0 кр Ф 0 - планетарная передача при 01 Ф 0 , 0 кр = 0 - рядовая передача. 75 ЗАДАНИЕ К8. ОП РЕДЕЛЕН И Е У ГЛОВЫ Х СК О РО СТЕЙ ЗВЕНЬЕВ ПЛА НЕТА РНО ГО РЕДУКТОРА С Ц И Л И Н Д РИ ЧЕСКИ М И КО ЛЕСАМ И Найти угловые скорости ведомого вала II и сателлитов редуктора. Схемы редукторов показаны на рис., а необходимые для расчета данные приведены в таблице 8. Таблица 8 № вари­ анта Радиус, см Частота вращения, об/мин r1 r2 r3 r4 r5 r6 nI n1 n4 n 5 n 6 1 15 20 15 20 - - 2000 - -400 - - 2 30 30 15 45 - - 3500 - - - - 3 50 15 20 10 10 - 1000 - - -200 - 4 20 30 20 120 - - 100 -300 - - - 5 20 25 15 30 - 10 1600 - - - 500 6 80 15 35 30 - - 1200 500 - - 7 50 10 15 55 - - 800 -200 - - - 8 20 15 25 60 - - 3000 - - 300 - 9 60 10 20 70 20 15 600 - - - -600 10 90 15 15 30 50 10 200 - - - 400 11 25 20 65 15 15 - 2500 - - -300 - 12 30 15 30 75 - - 3300 - 700 - - 13 20 30 15 35 - - 300 1000 - - - 14 100 30 20 50 - - 400 -500 - - - 15 15 5 9 11 - - 2700 - - 200 - 16 75 30 20 25 15 15 1200 - - - -3000 17 75 20 15 70 15 20 500 - - - 1600 18 20 12 16 48 18 4 1100 - - - -2000 19 15 7 5 17 - - 700 - 200 - - 20 10 10 12 54 - - 2000 - -100 - - 21 15 10 10 55 20 10 3500 - - - 500 22 50 10 15 55 - - 300 - -300 - - 23 15 30 15 60 - - 2400 - - 400 - 24 24 12 48 12 8 - 500 - - 2300 - 25 40 10 20 10 - - 600 - - -200 - 26 50 15 10 25 - - 500 -300 - - - 27 30 10 15 55 6 4 200 - - - 1000 76 Окончание табл. 8 28 40 10 20 50 - - 400 - - -300 - 29 15 15 10 40 10 6 1300 - - - 1300 30 50 10 10 50 - - 400 400 - - - Приме ча ние . Положительн^1й и отрицательн^1й знаки у угловых скоростей (частот вращения) означают соответственно направление вращения против хода и по ходу часовой стрелки, если смотреть со сторона: ведущего вала I. 1. П 2. 2 - и ^3 ,4 -П I ----------- ( 3 U - 4 п ---- П 1 X h i J — ------п 5. п 77 78 чн 1- Л " VI Ч t \ , л =1 -------- ^h-1—1 1 Ч Mh 1 — II----------------- ------------------ II— 1 II II V / < N ^ II 1 (N н н Рекомендуемая литература 1. Курс теоретической механики: Учебник для вузов / В.И. Дронг, В.В. Дубинин, М.М. Ильин и др., Под общей ред. К.С. Колесни­ кова. - М: Издво МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 2. Добронравов В.В, Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. М., 1983. 3. Тарг С.М. Курс теоретической механики. М., 1963 и последую­ щие издания. 4. Яблонский А.А. Курс теоретической механики, ч. I. М., 1971 и последующие издания. 5. Тульев В.Д. Теоретическая механика: Статика. Кинематика: Учеб. Пособие /В.Д. Тульев. - Мн. : Книжный Дом, 2004. - (Экспресс-курс). 6. Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. Руководство к решению задач по теоретической механике. М., 1986. 7. Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая меха­ ника в примерах и задачах, ч. I. М., 1961 и последующие изда­ ния. 8. Алехнович Г.Н. и др. Учебно методическое пособие по теорети­ ческой механике "Руководство к решению задач по теоретиче­ ской механике" / Г.Н. Алехнович, Т.Ф. Богинская, Ю.В. Василевич, Е.С. Селицкая, О.Н. Скляр, В.Д. Тульев, А.В. Чигарев - Мн.: БГПА, 1997. 81