1 Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра «Техническая физика» ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ УЛЬТРАЗВУКА И МОДУЛЯ ОБЪЕМНОЙ УПРУГОСТИ МЕТОДОМ СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ Методические указания к лабораторной работе Рекомендовано учебно-методическим объединением высших учебных заведений Республики Беларусь по образованию в области машиностроения Минск БНТУ 2011 2 УДК 534(076.5) ББК 22.314Я7 О 62 С о с т а в и т е л и: Т.А. Авсиевич, С.И. Шеденков, В.А. Мартинович Р е ц е н з е н т канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры физики П.Г. Кужир В методических указаниях рассмотрены основные вопросы теории упругих механических волн, а также вопросы суперпо- зиции механических волн (образование стоячих волн и их ди- намика), вопросы распространения продольных волн в твер- дых и жидких средах (связь скорости распространения волны с упругими свойствами среды), способы получения ультра- звуковых волн и их применение.  БНТУ, 2011 3 1. Цель работы: 1. Изучить условия образования стоячих волн. 2. Изучить магнитострикционный способ получения уль- тразвука. 3. Изучить связь скорости ультразвука с параметрами среды. 2. Литература 1. Детлаф, А.А., Яворский, Б.М. Курс физики. – М.: Выс- шая школа, 1989, § 29.6. 2. Трофимова, Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 2003, §157. 3. Савельев, И.В. Курс общей физики. – М.: Высшая шко- ла, 1978, т. 2, § 93, 94, 97, 99. 4. Горелик, Г.С. Колебания и волны. – М., 1959, гл. 6, §1, 3, 4. 3. Порядок теоретической подготовки Изучить и законспектировать в рабочую тетрадь ответы на контрольные вопросы. 4. Контрольные вопросы 1. Определение волны. Поперечные и продольные волны. Уравнение волны. 2. Стоячая волна, уравнение стоячей волны. Координаты узлов и пучностей. 3. Волновое уравнение и его физический смысл. 4. Распространение продольных волн в твердых телах. За- кон Гука для продольных деформаций. Связь скорости волны с параметрами среды. 5. Распространение продольных волн в жидкостях. Модуль объемной упругости. Связь скорости волны с параметрами среды. 4 6. Способы получения ультразвуковых колебаний. Магни- тостркционный эффект. 7. Собственные частоты колебаний свободного стержня и столба жидкости. 8. Принцип работы установки. 9. Вывод рабочей формулы для скорости ультразвука в жидкости и модуля ее объёмной упругости. 10. Вывод рабочей формулы для скорости ультразвука в феррите и модуля его упругости. 5. Приборы и принадлежности 1. Генератор сигналов ГЗ-56/1. 2. Частотомер ЧЗ-32. 3. Катушка возбуждения с ферритовым стержнем. 4. Пробирка с жидкостью. 5. Лезвие. 6. Масленка. 6. Указания по технике безопасности Приборы питаются от сети переменного тока напряжением 220 В. НЕ РАЗРЕШАЕТСЯ работать при повреждённой изоляции наружных соединительных проводов. 5 1. Волна. Поперечные и продольные механические волны Волной или волновым процессом называется процесс рас- пространения колебаний в упругой среде. При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а совершают колебания около своих положений равновесия (это справедливо для всех типов волн). Вместе с волной от частицы к частице сре- ды передается колебательное движение и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, яв- ляется перенос энергии без переноса вещества. Упругая волна называется продольной, если частицы сре- ды колеблются в направлении распространения волны. Про- дольные волны связаны с объемной деформацией упругой среды и поэтому могут распространяться в любой среде – жидкой, твердой, газообразной. Примером продольных волн являются звуковые волны в воздухе. Упругая волна называется поперечной, если частицы сре- ды совершают колебания в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны. Поперечные волны свя- заны с деформацией сдвига упругой среды и поэтому могут возникать только в твердых телах. Примером поперечной вол- ны может служить волна, распространяющаяся вдоль струны музыкального инструмента. Фронтом волны называется геометрическое место точек, до которого в данный момент времени дошло колебательное движение. Волновой поверхностью называется геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. Через каждую точку среды можно провести только одну волновую поверхность. Множеству различных значений фазы колебаний соответству- ет семейство волновых поверхностей. Волна называется плос- кой, если ее волновые поверхности представляют совокуп- ность плоскостей, параллельных друг другу. 6 Для вывода уравнения бегущей волны рассмотрим плоскую поперечную синусоидальную волну, распространяющуюся вдоль положительного направления оси ОХ. Упругая волна называет- ся синусоидальной (гармонической), если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. Рис. 1 Если колебания точек среды, лежащих в плоскости х = 0 описываются функцией ξ(0, t) = Asinωt, то точка среды М бу- дет колебаться по тому же закону, но ее колебания будут от- ставать от колебаний в точка О на время τ = x/υ, где υ – ско- рость распространения волны. И тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости с координатой x будет иметь вид       υ −ω=ξ xtAtx sin),( . Это и есть уравнение плоской бегущей волны. Волна называется бегущей, так как «гребни» волны перемещаются в направлении распространения волны со скоростью υ. Из уравнения видно, что волна – это процесс периодический не только во времени, но и в пространстве. Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то ее уравнение будет иметь вид       υ +ω=ξ xtAtx sin),( . 7 Расстояние λ = υT, на которое волна распространяется за время, равное периоду колебаний, называется длиной волны. Для характеристики синусоидальной волны также исполь- зуется волновое число, которое показывает, сколько длин волн укладывается на отрезке длиной 2π: υ ω = υ π = λ π = T k 22 . (1) С учетом (1) уравнение волны примет вид ( )kxtAx T tAtx −ω=      υ ⋅ π −ω=ξ sin2sin),( . (2) В общем случае уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль положительного направ- ления оси ОХ в среде, не поглощающей энергию, имеет вид ( )0sin),( ϕ+−ω=ξ kxtAtx , (3) где А – амплитуда волны; ω = 2π/Т – циклическая частота волны; Т – период колебаний; ( )0ϕ+−ω kxt – фаза волны; φ0 – начальная фаза колебаний, определяемая в общем слу- чае выбором начала отсчета (х = 0 и t = 0). Скорость υ распространения синусоидальной волны назы- вается фазовой скоростью. Она равна скорости перемещения в пространстве любой волновой поверхности. 2. Интерференция волн. Стоячие волны Согласованное протекание во времени и пространстве не- скольких колебательных и волновых процессов связывают с понятием когерентности. Когерентными называют волны, имеющие одинаковую частоту и постоянную во времени раз- 8 ность фаз. Явление наложения двух или более когерентных волн, при котором наблюдается интерференционная картина, представляющая собой чередующиеся минимумы и максиму- мы интенсивности, называется интерференцией волн. Частным случаем интерференции волн являются стоячие волны. Стоячей волной называется волна, образующаяся в результате наложения двух бегущих синусоидальных волн, которые распространяются навстречу друг другу и имеют одинаковые частоты и амплитуды. Пусть плоская синусоидальная волна, источником которой является точка О, распространяется вправо вдоль закреплен- ной с обоих концов натянутой струны. Уравнение такой вол- ны имеет вид ξ1 = Asin(ωt – kx). (4) Рис. 2 Отразившись от правой преграды (рис. 2) с изменением фа- зы на π (при отражении волны от менее плотной среды фаза волны не изменяется) волна движется влево. Отраженная вол- на описывается уравнением ξ2 = Asin(ωt + kx + π) = –Asin(ωt + kx). (5) Уравнение результирующей волны будет иметь вид = −ω−−ω+ω+−ω ⋅= =+ω−−ω=ξ+ξ=ξ 2 sin 2 cos2 )]sin()[sin(21 kxtkxtkxtkxtA kxtkxtA = tkxAkxtA ω=ω cossin2sincos2 (6) 9 Это и есть уравнение стоячей волны. Величина Аст = kxAsin2 называется амплитудой стоячей волны. Она является периодической функцией координаты х и принимает значение от Аст = 0 до Аст = ± 2А. Амплитуда произ- вольной точки волны с координатой x1 равна 11 sin2 kxAA = . Точки, в которой амплитуда стоячей волны равна нулю, называются узлами стоячей волны, а точки, в которых ампли- туда стоячей волны максимальна Аст = 2А, называются пуч- ностями стоячей волны. Положения узлов и пучностей найдем из условий: узлы: kxsin = 0, kx = mπ, 2 ,2 λ=π= λ π mxmx (m = 0, 1, 2, ...), (координаты первых трех узлов будут равны: λ== 21 ,2 ,0 уу xx λ=3уx ); пучности: kxsin = ± 1, kx = (2m + 1)π/2, , 2 1 )( 22 π+= λ π mx , 4 )12( λ+= mx (m = 0, 1, 2, ...), (координаты первых трех пуч- ностей: 4 5, 4 3, 4 321 λ = λ = λ = ппп xxx ). Из выражений для координат узлов и пучностей следует, что положение узлов и пучностей стоячей волны не зависит от времени и определяется только длиной волны (поэтому такая волна и называется стоячей) и то, что для появления стоя- чей волны длина струны должна быть кратна λ/4: λ/4, λ/2, 3λ/4, λ и т.д. Расстояния между двумя соседними узлами или между двумя соседними пучностями в стоячей волне одинаковы и равны длине стоячей волны. Очевидно, что λст = λ/2. На рис. 3 показано, как выглядит стоячая волна в разные мо- менты времени (длину струны для удобства уменьшим до λ/2). 10 Согласно предыдущим выкладкам в точках закрепления стру- ны (x = 0 и x = λ/2) будут располагаться узлы стоячей волны – Аст = 0, а в точке с координатой x = λ/4 – пучность стоячей волны – Аст = ± 2А. Рис. 3 В момент времени t = 0 точка волны с координатой x = λ/4 = = λст/2 имеет амплитуду 2А ( tωcos = 1). Далее волна начинает «проседать» (момент времени t + dt), так как tωcos начинает уменьшаться и в момент времени t +T/4 волна представляет собой прямую линию( tωcos = 0). Далее tωcos становится от- рицательным и через четверть периода (в момент времени t + T/2) волна уже имеет амплитуду –2А (т.к. tωcos = –1). Да- лее волна начинает снова «проседать», но уже в другом направлении, и в момент времени t + T волна будет иметь та- кой же вид, как и в момент времени t = 0. Все точки стоячей волны, которые лежат между соседними узлами колеблются с различными амплитудами, но с одинако- выми фазами (синфазно), в то время как все точки бегущей волны колеблются с разными фазами, но с одинаковой ампли- тудой А. Таким образом, главное отличие стоячей волны от бегущей заключается в том, что пучность стоячей волны в отличие от «гребня» бегущей волны не движется. Узлы и пучности стоя- чей волны занимают фиксированное положение. 11 3. Волновое уравнение Воспользуемся уравнением бегущей волны: ξ = Asin(ωt – kx). Продифференцируем его дважды по t: ).(sin );(оs 2 2 2 kxtА t kxtcА t −ωω−= ξ ∂ ∂ −ωω= ξ ∂ ∂ (7) Продифференцируем теперь наше уравнение дважды по х: ).sin( );(оs 2 2 2 kxtАk x kxtАkс x −ω−= ξ ∂ ∂ −ω−= ξ ∂ ∂ (8) Сравнивая (7) и (8) получаем уравнение 2 2 2 2 2 xt ξ ∂ ∂ υ= ξ ∂ ∂ , (9) где υ = ω/k – скорость распространения волны (ω = 2πν = = 2πυ/λ = kυ). Уравнение (9) – дифференциальное уравнение в частных производных – называется волновым уравнением. Волновое уравнение не имеет решений, отличных от тех, которые могут быть представлены функциями вида ξ = Asin(ωt ± kx) или супер- позицией таких функций ξ = ξ1 + ξ2 = tkxA ωcossin2 . Т.е. реше- нием волнового уравнения является уравнение любой волны. 12 Всякий раз, когда из физических соображений можно уста- новить, что та или иная физическая величина s удовлетворяет уравнению вида 2 2 2 2 2 x s t s ∂ ∂ υ= ∂ ∂ , то на основании вышеизложенного можно заключить, что процесс изменения этой величины носит характер плоской волны, распространяющейся в ту или другую сторону со ско- ростью υ, или суперпозиции таких волн. 4. Распространение продольных волн в твердых телах Рассмотрим распространение продольных волн в твердом свободном стержне. Следует напомнить, что при распростра- нении волны (как поперечной, так и продольной) частицы сре- ды не движутся вместе с волной, а совершают гармонические колебания около своих положений равновесия. В продольной волне частицы среды совершают колебания вдоль направле- ния распространения волны. Распространение продольной вол- ны представляет собой распространение областей сжатий и разряжений, т.е. связано с продольным растяжением и сжати- ем отдельных участков твердого тела. Для таких деформаций выполняется закон Гука: ε= ∆ =σ Е x x Е , (10) где σ = F/S – механическое напряжение, возникающее под действием растягивающей (сжимающей) силы F в стержне с площадью поперечного сечения S, а ε = x∆ /x – относительное удлинение стержня (элемента стержня), начальная длина ко- торого равна x. Коэффициент пропорциональности Е известен 13 как модуль продольной упругости или модуль Юнга. Модуль Юнга зависит только от материала тела и не зависит от его формы и размеров. Выделим в стержне некоторый элемент, заключенный между двумя плоскостями x и х +∆ х, первоначальная длина которого равна x∆ (рис. 4). Пусть в результате деформации, которая возникает в стержне при распространении волны, плоскость с координатой x сместилась на расстояние ξ1, а плоскость с координатой х+∆ х – на расстояние ξ2. Рис. 4 Относительное удлинение элемента стержня равно xx ∆ ξ∆ = ∆ ξ−ξ =ε 12 , или переходя к пределу при 0→∆x x∂ ξ∂ =ε . (11) Если ε > 0, то это означает, что произошло растяжение стержня, если ε < 0 – сжатие. 14 Следует отметить, что понятия смещение ξ и деформация означают не одно и то же. Участок стержня может быть сме- щен, но не деформирован, если ξ1 = ξ2 (как правило, речь идет о смещении центра масс участка). А может наблюдаться и об- ратное: центр масс участка не смещен, а деформация имеет место, так как края участка сместились в противоположные стороны. Пусть выбранный нами элемент стержня испытывает рас- тяжение под действием приложенных к его краям сил: SF 11 σ= и SF 22 σ= (рис. 4). Масса этого элемента равна ρSΔх, где ρ и S – соответственно плотность и площадь поперечного сечения стержня. Применим к движению этого элемента второй закон Ньютона. Пусть ξ – смещение центра масс рассматриваемого элемента. Тогда ,222 2 σ−σ= ξ ∂ ∂ ∆ρ SS t xS где слева стоит произведение массы элемента стержня на ускорение 22 t∂ξ∂ его центра масс, а справа – результирую- щая внешних сил, действующая на элемент стержня. Разделим уравнение на S x∆ : xt ∆ σ−σ = ξ ∂ ∂ ρ 122 2 . Перейдя к пределу при 0→∆x , получим уравнение xt σ ∂ ∂ = ξ ∂ ∂ ρ 2 2 . (12) Это уравнение справедливо в каждой точке стержня. Оно указывает, что ускорение данной точки пропорционально частной производной напряжения по x в этой точке. 15 Подставляя в (12) соотношение (10), получим x E t ε ∂ ∂ = ξ ∂ ∂ ρ 2 2 . (13) Вспомнив связь деформации ε и смещения ξ (11), оконча- тельно получим 2 2 0 2 2 x E t ξ ∂ ∂ ρ = ξ ∂ ∂ . (14) Уравнение (14) есть не что иное, как волновое уравнение (см. (9)). Оно указывает, что смещение распространяется по стержню в виде волны: ξ = Asin(ωt – kx) (15) или образует суперпозицию таких волн. Если сравнить (9) и (14), то становится очевидным, что скорость распространения волны смещения ξ (скорость зву- ка в стержне) равна ρ =υ E . (16) Эта скорость тем больше, чем жестче и чем легче материал. Формула (16) – одна из основных формул акустики. Наряду со смещением ξ нас интересуют скорость u = t ξ ∂ ∂ , с которой движутся отдельные плоскости х = const (не сме- шивать с υ), деформация x∂ ξ∂ =ε и напряжение σ = Еε. Диф- ференцируя (15) по t и по x, получим: 16 )(os kxtсАu −ωω= ; (17) )(os kxtAkс −ω−=ε ; (18) )os( kxtEAkс −ω−=σ . (19) Таким образом, смещение, скорость, деформация и напряже- ние распространяются в виде связанных определенным образом между собой недеформирующихся волн (15,17–19), имеющих одну и ту же скорость и одинаковое направление распростра- нения. Дойдя до конца стержня, эти волны отражаются. Если длина стержня кратна λ/4, то в результате суперпозиции бе- гущих и отраженных волн появляются стоячие волны смеще- ния ξ , скорости υ, деформации ε и напряжения σ : ξ = ξ1 + ξ2 = ,cossin2 tkxA ω (20) ,sinsin221 tkxАuuu ωω−=+= (21) ,coscos221 tkxAk ω=ε+ε=ε (22) .coscos221 tkxEAk ω=σ+σ=σ (23) 5. Распространение продольных волн в жидкостях Будем считать, что рассматриваемая жидкость представля- ет собой сплошную непрерывную среду и находятся в очень длинной цилиндрической трубе, образующие которой парал- лельны оси х. Под смещением ξ будем понимать общее сме- щение вещества, заполняющего объем, которое зависит толь- ко от координаты х. Применяя к столбу жидкости, заполняющему трубу, те же рассуждения, что и к стержню, придем к уравнению x p t ∂ ∂ −= ξ ∂ ∂ ρ 2 2 0 , (24) 17 где р = –σ есть давление в газе или жидкости (давление опре- деляется как сила, действующая на единицу площади поверх- ности, и, таким образом, эквивалентна механическому напря- жению). Здесь 0ρ – значение плотности в состоянии равнове- сия. Пусть ей соответствует давление р0. Величины р0, 0ρ не зависят ни от х, ни от t. Уравнение (20) применимо и в случае плоских волн в не- ограниченной жидкой или газообразной среде (можно мыс- ленно выделить цилиндрический столб, параллельный направлению распространения и применить к нему те же рас- суждения, что к столбу, заключенному в трубе). Введем обозначения ,0 ррр ∆+= (25) где р∆ – изменение давления при нарушении равновесия. Подставляя (25) в (24) и принимая во внимание, что при равновесии давление не зависит от х, т.е. 00 = ∂ ∂ x р получаем )(2 2 0 рxt ∆ ∂ ∂ −= ξ ∂ ∂ ρ . (26) Найдем теперь связь между р∆ и деформацией ε = x ξ ∂ ∂ . Экспериментально установлено, что изменение объема V∆ пропорционально изменению давления p∆ и первоначально- му объему 0V . Математически это описывается соотношением p BV V ∆−= ∆ 1 0 , (27) 18 где знак минус означает, что объем уменьшается с увеличени- ем давления. Коэффициент пропорциональности В называется модулем объемной упругости (иногда модулем всесторонне- го сжатия). Понятие модуля продольной упругости или моду- ля Юнга для жидкостей и газов неприменимо, поскольку жид- кости и газы не имеют определенной формы. Для изменения объема жидкости в цилиндрической трубе справедливо соотношение (рис. 6) ε= ⋅∆ ⋅ξ−ξ = ∆ Sx S V V )( 12 0 . Тогда выражение (27) примет вид x ВBp ∂ ξ∂ −=ε−=∆ . (28) Подставляя, наконец, (28) в (26), получаем волновое урав- нение: 2 2 0 2 2 x B t ∂ ξ∂ ρ = ∂ ξ∂ , (29) из которого следует, что смещение ξ вещества распространя- ется в жидкости в виде продольной волны: ξ = Asin(ωt – kx), скорость которой равна: . 0ρ =υ В (30) Наряду с продольной волной смещения в столбе жидкости будут распространяться бегущая продольная гармоническая 19 волна колебательной скорости u и волна избыточного давле- ния Δр. Эти волны определяются уравнениями: ),cos(A= k xtu −ωω ),cos(= kxtВkр −ω−∆ где колебательная скорость u и избыточное давление Δр полу- чены из уравнения смещения: dt du ξ= и x Вp ∂ ξ∂ −=∆ . Отразившись от свободной поверхности жидкости, волны смещения, колебательной скорости υ и избыточного давления Δр распространяются в обратном направлении. Если длина столба жидкости кратна λ/4, то в результате суперпозиции бе- гущих и отраженных волн появляются стоячие волны смеще- ния ξ , скорости υ и избыточного давления Δр: ξ = ξ1 + ξ2 = ,cossin2 tkxA ω ,sinsin221 tkxАuuu ωω−=+= .coscos221 tkxВkppp ω−=∆+∆=∆ Будет ли на границе отражения узел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред. Волна, отражаясь от более плотной среды, меняет фазу на противоположную и у границы происходит сложение колебаний с противоположными фаза- ми, в результате чего получается узел. Если же волна отража- ется от менее плотной среды, то изменения фазы не происхо- дит и у границы колебания складываются с одинаковыми фа- зами – образуется пучность. 20 6. Способы получения ультразвуковых колебаний (УЗК) Для получения ультразвуковых колебаний в феррите и жид- кости в данной работе используются магнитострикционный эффект. Прямой магнитострикционный эффект – это изменение размеров (деформация) ферромагнетика при намагничивании. Если по обмотке возбуждения 2, вдоль оси которой расположен ферромагнитный стержень 1 (рис. 5), пропускать переменный ток ультразвуковой частоты, то стержень будет периодически изменять свои размеры и его колеблющиеся концы смогут воз- будить в окружающей среде ультразвуковую волну. Колеблю- щийся магнитный стержень называют вибратором. Рис. 5 В данной работе вибратор изготовлен из феррита – ферро- магнитного материала, получаемого спеканием окислов двух- валентных металлов с окислом трехвалентного железа. Феррит обладает значительной магнитострикцией и высоким удель- ным сопротивлением, поэтому потери в ферритовом вибрато- ре на вихревые токи незначительны. Основным недостатком феррита является его малая механическая прочность: ферри- товые вибраторы при достижении интенсивности ультразвука порядка 2–4 Вт/см2 терпят излом. Обычно амплитуда колеба- ний магнитострикционного вибратора мала, так как относи- тельное изменение длины вибратора 510−=∆ l l . Для увеличе- ния амплитуды колебаний в магнитострикционных излучате- лях используют явление резонанса. 21 7. Собственные колебания свободного стержня Если возбудить продольные колебания незакрепленного стержня, то в самом стержне при определенных условиях устанавливается стоячая волна. Причем на концах стержня бу- дут наблюдаться пучности смещения ξ (отражение от менее плотной среды). Координаты пучностей находим из условия 1cos ±=kx , kx = nπ. x = nπ / k = nλ/2, где n = 0, 1, 2, ... Т.е. обра- зование стоячей волны смещения возможно при условии, что x = f nnln k nl 222 υ = λ = π π = π = , (31) где υ – скорость волны; f – частота; n = 1, 2, 3, … Частоты, определяемые по формуле (31) l nf 2 υ = , (32) называются собственными частотами колебаний свободного стержня. Собственная частота при n = 1 называется основной собственной частотой. Остальные собственные частоты называют гармониками соответствующего порядка. Если ко- лебания в стержне возбуждать при основной собственной ча- стоте, то колебания стержня будут происходить с наибольшей амплитудой. Стержень можно крепить в узловых точках. При возбуждении на основной частоте его крепят за середину ре- зиновым колпачком. 8. Собственные колебания столба жидкости Собственные частоты столба жидкости можно установить аналогично, как и для колебаний стержня. Если синусоидальные колебания возбуждать у дна цилиндрического сосуда, а поверх- ность жидкости граничит с воздухом (рис. 6), то граничные 22 условия для образования стоячей волны такие же, как и для стержня. Резонансные частоты определяются по формуле (32): l nf 2 жυ= , где l – высота столба жидкости. Если волны в столбе возбуждаются излучателем с фикси- рованной частотой 0f , то условие образования четкой стоячей волны можно получить, изменяя длину столба l жидкости. 9. Описание установки. Вывод рабочей формулы Установка для определения скорости ультразвука в твер- дом теле и жидкости (рис. 6) состоит из генератора ультразву- ковых колебаний 1, частотомера 2 и вертикально расположен- ной стеклянной трубки с исследуемой жидкостью 3, поме- щенной в штатив 4 с линейкой 5. В жидкость добавлен поро- шок чешуйчатой алюминиевой пудры образующей суспензию. Нижний конец трубки устанавливается на верхний торец виб- ратора 6. Для надежного акустического контакта на конец вибратора наносят слой густой смазки. Рис. 6 23 При включении вибратора в столбе жидкости устанавлива- ется стоячая волна. В узлах стоячей волны чешуйки ориенти- руются своей плоскостью перпендикулярно направлению ко- лебания. При этом рассеяние света в узлах и пучностях раз- личное – суспензия в узлах менее прозрачная (мы наблюдаем четкие и узкие полоски алюминиевой пудры). Это позволяет измерить длину стоячей волны в жидкости, как расстояние между соседними узлами. По известной частоте ультразвука и измеренной в опыте длине стоячей волны можно определить скорость ультразвука в жидкости. Для определения длины стоячей волны измеряют расстоя- ние Ln, на котором укладывается n стоячих волн (обычно n = 16 – 20 ) и делят это расстояние на n: λст = Ln / n. (33) Длина бегущей волны вдвое больше длины волны стоячей: λ = 2Ln ∕ n = 2 λст. (34) Так как длина бегущей волны связана со скоростью волны u и частотой ультразвука f соотношением λ = υ ∕ f, находим ско- рость ультразвука в жидкости: υж = 2λст f . (35) Значение модуля объёмной упругости жидкости находят из выражения Bж = 2жυ ρж, (36) где ρж – плотность жидкости (ρж = (0,78 )01,0± ⋅ 103 кг/м3). Скорость ультразвука в феррите и модуль его упругости можно найти, если определить основную резонансную частоту вибратора f. На длине стержня ℓ0 при возбуждении его на ос- новной частоте укладывается половина бегущей волны: λ = 2ℓ0. 24 Так как λ = υ / f, то скорость ультразвука в феррите равна υф = 2ℓ0 f. (37) Модуль упругости феррита Е находят, пользуясь соотно- шением Eф = 2фυ ρф, (38) где ρф – плотность феррита (ρф = (4,70 ± 0,05) ⋅ 103кг/м3). 10. Порядок выполнения работы 1. Измерить длину ферритового стержня 0l с помощью ли- нейки в метрах. Определить приближенное значение резонанс- ной частоты по формуле Гц ,10 28,6 0 2 расч l f ⋅= . (39) 2. Вставить стержень в катушку возбуждения. Проверить отсутствие смазки на торце стержня. На торец стержня поло- жить лезвие безопасной бритвы. 3. Включить генератор Г3-56/1 и частотомер ЧЗ-32. Дать им прогреться 2 минуты. 4. Установить частоту генератора в соответствии с резо- нансной частотой стержня fрасч, рассчитанной по формуле (33). 5. Ручкой «Рег. выхода» установить на шкале вольтметра напряжение 15 В. 6. Медленно вращая в обе стороны регулятор «частота Нz», настроить частоту генератора в резонанс с вибратором (при резонансе лезвие бритвы издает дребезжащий звук). Не менее 25 трех раз измерить резонансную частоту измf и записать ее в таблицу 1. Снять лезвие со стержня. 7. Ручкой «Рег. выхода» уменьшить напряжение до 0. 8. Вынуть из стойки трубку с исследуемой жидкостью и несколько раз перевернуть ее, добиваясь равномерного рас- пределения алюминиевой пудры по всему объему жидкости. Вернуть трубку в стойку. 9. Нанести на конец вибратора густую смазку и поместить вибратор под дно трубки. 10. Ручкой «Рег. выхода» установить напряжение не более 20 В. 11. Слегка подстраивая частоту ручкой «частота Нz», по- лучить в стеклянной трубке стоячую волну. 12. С помощью линейки не менее трех раз измерить рас- стояние Ln, на котором укладывается n стоячих волн (обычно n = 16 – 20 ). 13. Выключить приборы. Тщательно вытереть смазку с тор- ца стержня. 14. По формуле λст= Ln ∕ n рассчитать длину стоячей волны для трех измерений Ln. Найти среднее значение длины стоячей волны стλ . Таблица 1 Гц,10 , 3 измf Гц,10 , 3 измf∆ м10 , 2− nL м10 , 3− ∆ nL n м10 , 2 ст − λ м10 , 2 ст − λ∆ 0,5 0,5 0,5 26 =измf =∆ измf - - - =λст 15. По формулам (35)–(38) вычислить скорость ультразву- ка в жидкости υж., модуль объёмной упругости Вж жидкости, скорость ультразвука в феррите υф и модуль его упругости Eф и их погрешности. 1) υж = 2λст измf = 2) Bж = 2жυ ρж = 3) υф = 2ℓ0 измf = 4) Eф = 2фυ ρф = 5)       ∆ + ∆ =υ∆ n n L L f fuжж = …. м/с, где Гц5,0=∆f , 3105,0 −⋅=∆ nL м. 6)       ρ ρ∆ + υ υ∆ =∆ ж ж ж ж жж 2ВВ = …. Па, где 3ж кг/м5,0=ρ∆ . 7)       ∆ + ∆ υ=υ∆ изм изм фф 0 0 f f l l = … м/с, где 30 105,0 −⋅=∆l м, 5,0=∆f Гц 8)         ρ ρ∆ + υ υ∆ =∆ ф ф ф ф фф 2ЕE = … Па, где 3ф кг/м5,0=ρ∆ . 16. Записать окончательные результаты и выводы: ( )жжж υ∆±υ=υ м/с, ( )жжж ВВВ ∆±= Па, ( )ффф υ∆±υ=υ м/с, ( )ффф ЕЕЕ ∆±= Па. 27 Содержание 1. Волна. Поперечные и продольные механические волны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. Интерференция волн. Стоячие волны. . . . . . . . . . . . . . . 7 3. Волновое уравнение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4. Распространение продольных волн в твердых телах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5. Распространение продольных волн в и жидкостях. . . . . 16 6. Способы получения ультразвуковых колебаний (УЗК). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 7. Собственные колебания свободного стержня. . . . . . . . . 21 8. Собственные колебания столба жидкости. . . . . . . . . . . . 21 9. Описание установки. Вывод рабочей формулы. . . . . . . 22 10. Порядок выполнения работы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 28 Учебное издание ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ УЛЬТРАЗВУКА И МОДУЛЯ ОБЪЕМНОЙ УПРУГОСТИ МЕТОДОМ СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ Методические указания к лабораторной работе Составители: АВСИЕВИЧ Татьяна Александровна ШЕДЕНКОВ Сергей Игнатьевич МАРТИНОВИЧ Валерия Александровна Технический редактор О.В. Песенько Компьютерная верстка Н.А. Школьниковой Подписано в печать 25.02.2011. Формат 60×841/16. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 1,63. Уч.-изд. л. 1,27. Тираж 50. Заказ 890. 29 Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. Проспект Независимости, 65. 220013, Минск.