Министерство образования  
Республики Беларусь 
 
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ 
ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
Кафедра «Высшая математика № 1» 
 
 
 
 
 
 
 
ТЕОРИЯ  ПОЛЯ 
 
Методическое пособие 
по математике 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
М и н с к  2 0 0 9 
Министерство образования Республики Беларусь 
БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ  
УНИВЕРСИТЕТ 
 
Кафедра «Высшая математика № 1» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ТЕОРИЯ  ПОЛЯ 
 
Методическое пособие  
по математике 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
М и н с к  2 0 0 9 
УДК 517.3(075.8) 
ББК 22.161.1я7 
  Т 33 
 
А в т о р ы: 
Г.И. Лебедева, И.Н. Катковская,  
Г.К. Воронович, Е.В. Сагарда 
 
Р е ц е н з е н т ы: 
д-р физ.-мат. наук, зав. каф. ММТУ БГУ В.Г. Кротов;  
канд. физ.-мат. наук, доц. каф. высшей математики № 1  
БНТУ Е.А. Федосик  
 
Т 33 Теория поля: методическое пособие по математике / Г.И. Ле-
бедева [и др.]. – Минск: БНТУ, 2009. – 46 с. 
 
ISBN 978-985-525-129-4. 
 
Методическое пособие составлено в соответствии с про-
граммой курса высшей математики для инженерных специаль-
ностей. В нем дано краткое описание теории по разделу мате-
матики «Теория поля», приведены примеры решения, даны за-
дания для аудиторной и домашней работы. Для всех заданий 
даны ответы. Излагаемый материал разбит по занятиям, каж-
дое из которых посвящено отдельной теме. Издание будет по-
лезным при организации практических и лабораторных заня-
тий, а также может использоваться для самостоятельной рабо-
ты студентов. 
 
УДК 517.3(075.8) 
ББК 22.161.1я7 
 
 
 
 
 
ISBN 978-985-525-129-4                                         © БНТУ, 2009 
  3 
З а н я т и е  1 
 
Скалярное поле и его характеристики 
 
Пространственным скалярным полем называется функция 
 
),,( zyxuu  ,                                  (1.1) 
 
заданная в некоторой области трехмерного евклидового про-
странства.  
Аналогично плоским скалярным полем называется функция 
),( yxuu  , заданная в некоторой области двумерного евкли-
дового пространства. 
 
Характеристики поля 
 
1. Геометрической характеристикой скалярного поля слу-
жат поверхности уровня – множества точек области определе-
ния поля, в которых оно принимает постоянное значение: 
 
Сzyxu ),,( ,                                 (1.2) 
 
где С – любое фиксированное число из области значений 
функции. 
Аналогично определяются линии уровня для плоского по-
ля: Сyxu ),( . 
2. Частные производные 
z
u
y
u
x
u






,,  характеризуют ско-
рость изменения поля ),,( zyxuu   по направлению коорди-
натных осей OX, OY, OZ соответственно. Точки, в которых 
выполнено условие 0








z
u
y
u
x
u
, называются стационар-
ными (иногда говорят критическими) для поля. 
  4 
Пусть )cos,cos,(cos l

 – единичный вектор (, ,  – уг-
лы, образованные вектором l

 с осями координат). Тогда про-
изводной по направлению l

 скалярного поля ),,( zyxuu   в 
точке ),,( zyxM  называется 
 












coscoscos
z
u
y
u
x
u
l
u
 .                (1.3) 
 
Если вектор не является единичным, то следует сначала 
найти его направляющие косинусы. 
3. Градиентом скалярного поля ),,( zyxuu   в точке М 
называется вектор 
 
k
z
u
j
y
u
i
x
u
u









grad ,                       (1.4) 
 
где частные производные вычислены в точке М, i

, j

, k

 – 
единичные векторы, направленные вдоль координатных осей. 
Если в качестве вектора l

 взять направление градиента 
1grad | grad |u u  , то 
 
u
ld
du
grad .                                  (1.5) 
 
В направлении градиента производная принимает наиболь-
шее значение, то есть в этом направлении поле имеет 
наибольшую скорость возрастания. 
 
П р и м е р ы 
 
1. Найти линии уровня скалярного поля yxu 32  . 
Р е ш е н и е.  По (1.2) имеем сyx  32  – это семейство 
прямых линий (рис. 1.1). 
  5 
 
c = 2 
y 
x c = 0 
c = 1 
 
 
Рис. 1.1 
 
2. Для скалярного поля 222 242 zyyxxu   найти 
стационарные точки, поверхности уровня и записать уравне-
ние поверхности уровня, проходящей через точку М(2; –1; 2). 
Р е ш е н и е.  Частные производные 
 
z
z
u
y
y
u
x
x
u
2,22,44 








. 
 
одновременно обращаются в нуль в точке N(1; –1; 0), которая 
является стационарной.  
По определению поверхности уровня имеем: 
 
czyyxx  222 242  
или 
 
czyx  222 1)1(2)1(2 ; 
  6 
3)1()1(2 222  czyx ; 
 
3
11
)1(
2/1
)1( 222




c
zyx
; 
 
1
33
)1(
2
3
)1( 222








c
z
c
y
c
x
. 
 
Последнее уравнение при различных 3c  определяет се-
мейство эллипсоидов с центром в точке О(1; –1; 0) и полуосями 
 
3,3,
2
3


 cdcb
c
a . 
 
Поверхность уровня, проходящая через точку M(2; –1; 2), 
имеет уравнение 
 
1
66
)1(
3
)1( 222



 zyx
, 
 
где 32)1(2)1(2422 222 с . 
3. Найти производную скалярного поля zyxyu 42   в 
точке M(1; 2; 3) по направлению вектора kjil

532  . 
Р е ш е н и е.  Вектор l

 имеет координаты (2; 3; 5). Найдем 
его направляющие косинусы: 
 
38
1
38
2
532
2
cos
222



l
lx , 
 
  7 
38
3
cos 
l
ly
 , 
 
38
5
cos


l
lz . 
 
Вычислим частные производные в точке M(1; 2; 3): 
 
2


M
y
x
u
, 
 
5)2( 


M
yx
y
u
, 
 
4


z
u
. 
 
Тогда 
 
38
37
38
20
38
15
38
2
38
5
4
38
3
5
38
1
2 




l
u
 . 
 
4. Найти производную скалярного поля 24 yxyu   в точ-
ке 







2
3
;1M  эллипса 1
14
22

yx
 по направлению внешней 
нормали к эллипсу в этой точке. 
Р е ш е н и е.  Направление l

 внешней нормали к эллипсу в 
точке М перпендикулярно к направлению вектора a

, каса-
тельного к эллипсу в этой точке (рис. 1.2). 
 
  8 
                       
 
Рис. 1.2 
 
Точка 







2
3
;1M  лежит на верхней части эллипса 
4
1
2x
y  . 
Обозначим через   угол, который образует касательный 
вектор a

 с осью ОХ. Тогда  
 
6
3
32
1
2
4
12
1
tg
2









M
M
x
x
y . 
 
Если обозначить через   угол, образованный вектором l

 с 
осью ОХ, то из условия ортогональности l

 и a

 получим:  
 
32
3
6
tg
1
tg 

 . 
 
Находим направляющие косинусы вектора l

: 
 
;
13
1
tg1
1
cos
2


  
1 
2 
y 
x 
a 
e 
α 
  9 
13
3
2
13
32
tg1
tg
sincos
2



 . 
 
Значения частных производных функции 24 yxyu   в точ-
ке 







2
3
;1M : 
 
324 


M
y
x
u
; 
 
3424 


M
yx
y
u
. 
 
Следовательно: 
 
)35(
13
32
13
32
)34(
13
1
32 


l
u
 . 
 
5. Найти вектор-градиент скалярного поля yxu 32  . 
Р е ш е н и е. 










y
u
x
u
u ;grad . 
В нашем случае 
 
.3;2 





y
u
x
u
 
 
Следовательно,  3;2grad u . 
6. Для скалярного поля zеyzu xz  ln)(tg  в точке M(1; 0; 2) 
найти вектор-градиент и наибольшую скорость возрастания. 
 
  10 
Р е ш е н и е.  Имеем:  
 
;2
)(cos
;2
2
ln 





MM
xz
yz
z
y
u
е
x
z
x
u
 
 
11ln
)(cos
ln
2



M
xz xе
yz
z
z
u
. 
 
Следовательно,   .1;2;2grad u  
Наибольшую скорость возрастания поля u в точке М 
найдем по формуле 
 
3144)(gradmax 


Mu
l
u
 . 
 
Аудиторные задания 
 
1. Для заданного скалярного поля u записать линии уровня. 
1.1. yxu 3 .                                  (Отв.: yxc 3 ); 
1.2. zyxu 52  .                          (Отв.: zyxc 52  ); 
1.3. 
654
222 zyx
u  .                      (Отв.: 
654
222 zyx
c  ). 
2. Для заданного скалярного поля u: а) записать уравнение 
линии уровня, проходящей через точку М; б) определить в 
точке М производную поля u по направлению вектора l

;  
в) определить градиент поля и наибольшую скорость возраста-
ния поля в этой точке, если: jilMyxu

23,
4
;1),tgln( 




 
 . 














.5max,2grad
,
13
1
,
1
arctg:.Отв
ld
du
jiu
ld
du
x
y



 
  11 
3. Пусть заданы скалярное поле u, точки M1 и M2, направле-
ние l

 и угол  . Определить в точке M1: а) производную поля по 
направлению l

; б) производную поля по направлению 21MM ; 
в) градиент; г) производную по направлению вектора 1l

, обра-
зующего с градиентом в точке M1 угол  , если  
 
.180,43
),2,1,2(),1,1,1(,2
1
21
22




kjil
MMzxzyxu
 
 














.26,43grad
,
14
11
,
26
8
:.Отв
21
ld
du
kjiu
MMd
du
ld
du



 
4. Вычислить производную поля  yxuu ,  в направлении: 
а) биссектрисы первого координатного угла XOY  от его 
вершины. 
  zx uu 20,5 :Отв. ; 
б) отрицательной полуоси OX . 
 xu:Отв. . 
5. В каких точках плоскости XOY  градиент поля 
xyyxu 322   
а) перпендикулярен к оси OY ; 
 ;5,1:.Отв xy   
б) параллелен оси OY . 
.
3
2
:.Отв 





 xy  
 
Домашнее задание 
 
1. Для заданного скалярного поля записать уравнение линии 
уровня, проходящей через точку М . Определить в точке М  
  12 
производную поля u  по направлению l

, градиент поля и 
наибольшую скорость возрастания поля в этой точке. 
 
  .43,2;1
,22422
jilM
yxyxu



 
 
   





















.102max
62grad,
5
18
1012:Отв.
22
ld
du
jiu
ld
du
yx


  
 
2. Для заданного скалярного поля u  определить в точке 1M  
производную поля по направлению вектора 21MM , градиент, 
производную по направлению вектора l

, который образует с 
градиентом в точке 1M  угол  . 
2.1.     ,2,1;3;2,2;1;0,3 21
22 kjilMMzyzzxyu

  
30 . 





















.
2
73
,42grad
17
1
;0:Отв.
1
21
ld
du
kjiu
MMd
du
ed
du



 
 
2.2.     ,342,1;1;2,3;2;1, 21 kjilMM
xy
z
yz
x
xz
y
u

  
225 . 
  13 























.
36
2786
,
9
2
2
1
2grad
2618
101
,
293
4
:Отв.
1
21
ld
du
kjiu
MMd
du
ld
du



 
3. Вычислить производную поля  yzxzu 2ln 2   в точке 
 2;3;1M  по положительному направлению окружности 








2
sin2
cos1
z
ty
tx
. 
.
4
1
:Отв. 





  
4. Найти угол   между градиентами функций xzyzxu 2  
и 222 zyx   в точке  2;3;2M . 
.
102
9
arccos:.Отв 











  
 
З а н я т и е  2 
 
Векторное поле и его характеристики 
 
Векторное поле задается вектор-функцией 
 
       kzyxRjzyxQizyxPMFF

,,,,,,  , 
 
принимающей значения в трехмерном евклидовом пространстве. 
 
  14 
В случае двумерного векторного плоского поля  
 
      jyxQiyxPMF

,,  . 
 
1. Векторной линией поля F

 называется линия, касатель-
ная в каждой точке которой параллельна вектору поля в этой 
точке (рис. 2.1). 
 
 
 M2 
M1 
F(M3) 
F(M1) 
F(M2) 
 
 
Рис. 2.1 
 
В трехмерном случае векторные линии определяются из 
уравнений 
 
     zyxR
dz
zyxQ
dy
zyxP
dx
,,,,,,
 .                 (2.1) 
 
А для плоского векторного поля 
 
   
   
   
.
,,
,,
,,












zyR
dz
zyQ
dy
zxR
dz
zxP
dx
yxQ
dy
yxP
dx
                              (2.2) 
 
2. Потоком векторного поля через ориентированную поверх-
ность S  называется поверхностный интеграл первого рода от 
  15 
скалярного произведения вектора F

 на единичный вектор 
нормали kjin

 coscoscos : 
 
 
 
 
 
dSRQPdSnFП
SS
s   coscoscos

.   (2.3) 
 
Напомним, что ориентация гладкой поверхности определя-
ется выбором одного из двух возможных векторов нормали, 
который изменяется на поверхности непрерывным образом. 
В случае замкнутой поверхности S  в качестве вектора n

 
берется вектор к внешней стороне этой поверхности, а поток 
записывается в виде 
 
 dSnFП
S
S  

.                              (2.4) 
 
Свойства потока 
 
1. При изменении ориентации поверхности поток изменяет 
знак на противоположный. 
2.    


n
i
SiS FF
1
ПП

, где nSSSS  ...21 . 
Физический смысл потока зависит от природы поля F

. Ес-
ли, например, F

 – поле скоростей текущей жидкости в обла-
сти V , а S  – незамкнутая поверхность с выбранным направ-
лением нормали n

, то поток  FS

П  будет равен количеству 
жидкости, проходящей в единицу времени через поверхность 
S  в направлении n

.  
Если F

 – силовое поле, то поток  FS

П  выражает количе-
ство силовых (векторных) линий, пронизывающих поверх-
ность S  в единицу времени в направлении n

. 
  16 
Если S  – часть цилиндрической поверхности 222 ayx  , 
ограниченная поверхностями    ,,,, 21 yxzzyxzz   
    yxzyxz ,, 21  , то в цилиндрических координатах поток 
векторного поля через рассматриваемую поверхность вычис-
ляется по формуле 
 
       
 


2
0
)sin,cos(
)sin,cos(
2
1
,,
z
z
S dzyxyQyxPxdFП

,      (2.5) 
 
где 








zz
y
x
sin
cos
 – цилиндрические координаты, ,20   
 z,0 . 
Если S  – часть сферы, то 
 
          




dzyxzRzyxQyzyxxPdFS sin,,,,,,П
)(
)(
2
1
2
1

, (2.6) 
 
где 








.cos
sinsin
sincos
z
y
x
 
 
П р и м е р ы 
 
1. Для плоского поля   jyiyxF

25   найти векторные 
линии. 
Р е ш е н и е.  Данное поле дифференцируемо во всех точ-
ках плоскости XOY . 
 
 
  .2,
5,
yyxQ
yxyxP


 
  17 
Согласно (2.2) имеем: 
y
dy
yx
dx
25


. 
Отсюда  dyyxydx  52  или 
yx
y
dx
dy


5
2
. Мы получили 
однородное уравнение, которое решаем с помощью подстановки 
 
t
ttt
xt
t
t
t
xt
t
t
txt
txx
tx
txt
txty
xty












5
52
5
2
5
2
5
2
:
2
       или       
 
 
 








x
dx
dt
tt
t
x
dx
tt
dtt
t
tt
x
dx
dt
3
5
3
5
5
3
2
2
2
 
 
Разложим подынтегральную дробь: 
 
)3(
3
3)3(
5
3
5
2 









tt
BtAAt
t
B
t
A
tt
t
tt
t
. 
 
Откуда 
 
.
3
2
3
5
1:
35:
1









B
A
BAt
At
 
 
Следовательно, 
 
 



x
dx
dt
t
dt
t 3
3
2
3
5
 
  18 
или 
Cxtt lnln3ln
3
2
ln
3
5
 , 
 
)ln(
)3(
ln
35
32
Cx
t
t


, 
 
x
y
tCx
t
t
t


;
)3(
35
32
. 
 
Следовательно, 
x
x
y
x
y
С














35
32
3
 – семейство векторных ли-
ний. 
1. Найти векторные линии поля  jzyxizyxF

)()(  
+ kyz

)2(  . 
Р е ш е н и е.  Запишем систему дифференциальных урав-
нений (2.1), используя дифференцирование по параметру t : 
 
yz
dt
dz
zyx
dt
dy
zyx
dt
dx
 2;; . 
 
Найдем общее решение этой системы. Характеристическое 
уравнение будет иметь вид 
 
.1,20
210
1)1(1
11)1(
321 



 
 
  19 
 
а) Рассмотрим :21   
 








.0
0
0
2
321
321
e
eee
eee
 
 
Решая систему, находим: 0, 231  eee . Следовательно, 
(1, 0, 1) – собственный вектор и 
 








t
t
ez
y
ex
2
2
0  – 
 
частное решение системы. 
б) Рассмотрим 11  . 
Система линейных уравнений в этом случае имеет вид 
 








.0
0
0
32
31
32
ee
ee
ee
 
 
Ранг этой системы равен 2. Корень 1  имеет кратность, 
равную 2. Поэтому решение будем искать в виде 
 









.)(
)(
)(
t
t
t
etkz
edtcy
ebtax

 
  20 
 
Подставив правые части последних равенств в систему диф-
ференциальных уравнений, записанных через параметр t , по-
сле преобразований получим: 
 








ckkd
kadb
kcbd
22
0
0



. 
 
Приняв ,, 21 CkC   получим:  
 
.,,
,,,
2121
2111
CkCCCa
CCcCbCd



 
 
Подставив эти значения в выражения для zyx ,,  и прибавив 
частное решение ),0,( 22 tt ezyex  , умноженное на ,3C  по-
лучим общее решение системы дифференциальных уравнений: 
 









,)(
)(
)(
2
312
121
2
3121
tt
t
tt
eСetССz
etСССy
eСetСССx
 
 
определяющее параметрические уравнения семейства вектор-
ных линий поля. 
1. Вычислить поток векторного поля kzjyixF

  че-
рез верхнюю сторону части поверхности 224 yxz  , отсе-
ченной плоскостью 0z . 
Р е ш е н и е.  Поверхность 224 yxz   представляет со-
бой параболоид вращения (рис. 2.2). 
  21 
                           
Рис. 2.2 
 
Проекцией )(G  рассматриваемой поверхности на плоскость 
XOY является круг радиуса 2. Так как верхняя сторона парабо-
лоида видна со стороны положительного направления оси OZ, 
то перед интегралом по проекции G  надо взять знак плюс. 
Находим нормаль kjyixn

 22  к нашей  поверхности 
и скалярное произведение 
 
.4)(3433422
22)(122)(
22222222
22


yxyxyxyx
zyxzyyxxnF

 
 
Следовательно, 
 




 
 2
0
2
2
0
22 )43(sin
cos
)4(3()( dd
J
y
x
dydxyxF
G
s

 
.84)812(
2
4
4
3 2
0
2
0
2
0
2
2
0
42
0















 dd  
4 
z 
y 
x 
О 
  22 
2. Вычислить поток векторного поля kzyjxyixF

32)62()34(   
kzyjxyixF

32)62()34(   через внутреннюю сторону боковой по-
верхности части цилиндра 922  yx , ограниченной плоско-
стью 0z , параболоидом 22 yxz   и расположенной в пер-
вом октанте (рис. 2.3). 
 
 z 
y 
x 
О 
 
 
Рис. 2.3 
 
Р е ш е н и е.  Для решения используем цилиндрические 
координаты: 
 











.
sin
cos
I
zz
y
x
 
  23 
По внутренней стороне поверхности интеграл берем со зна-
ком «минус», т.к. заданная поверхность видна с отрицатель-
ной стороны оси OY : 
 
      
  






dzxyyxyxd
dzxyyyxxdF
9
0
22
2
0
9
0
2
0
62124
6234П

 
   

dzd
9
0
222222
2
0
sincos6sin2sincos12cos4  
 
   

 dzd 3
9
0
22222
2
0
sincos18sin2cos4  
 
   
 9
0
2/
0
22 sincos18sin2cos49 zd  
 
 
.9
2
3
81
2
18
2
81
2
cos
182sin
2
1
2sin281
sincos182cos1
2
2cos14
81
2/
0
2/
0
2/
0
2/
0
2/
0
2
2/
0








































d
 
 
3. Вычислить поток поля kzjyixF

233   через внеш-
нюю сторону части сферы 1222  zyx , вырезанной кони-
ческой поверхностью 22 yxz   (рис. 2.4). 
 
  24 
                               
Рис. 2.4 
 
Р е ш е н и е.  Для решения используем сферические коор-
динаты 
 











,sin
cos
cossin
sincos
2I
z
y
x
 
 
в которых уравнение сферы задается равенством  = 1. 
В соответствии с формулой (2.6) имеем: 
 
    
 
   


 
 
 
 
 
 
dd
dd
dzzyyxxdFS
sincos2sincossin
sincos2sinsincossin
sin2П
2
0
4/
0
2444
2
0
4/
0
24444
2
0
4/
0
33

 
z 
y 
x 
О 
  25 
      
 
dd sin)cos2sincossin(cossin 222
2
0
4/
0
224  
 
    
 
dd sincos22cossin
2
0
4/
0
24  
 
   
  
dddd sincos2sin2cos
4
0
2
2
0
4/
0
2
0
5  
 
   
  
)(coscos2sinsin2cos
4
0
2
2
0
4/
0
2
0
4 dddd  
 



  
  
4
0
32
0
4/
0
2
0
4
3
cos
2)(cossin2cos ddd  
 
    
 












2
0
4
0
2
0
34
0
22
3
cos
2coscos12cos ddd  
 
.
4
2
1
3
4
1
4
2
3
4
sin
2
1
15
8
120
243
2
0
2






























 
 
Аудиторные задания 
 
1. Найти векторные линии для поля F

. 
1.1.   jyiyxF   23 . 
                                                           2:Отв. yx   
  26 
1.2. kjxiyF

2                        













12
sin
cos:Отв.
ctz
tcy
tcx
. 
1.3.   kzjyizyxF

 22      










zcy
zczyx
2
1
22:Отв.
. 
2. Вычислить поток векторного поля F

 через верхнюю 
сторону части поверхности 222 yxz  , отсеченной плос-
костью 0z . 
 2:Отв. . 
3. Вычислить поток векторного поля kxyjxziyzF

  
через внешнюю сторону части сферы 4222  zyx , распо-
ложенной в первом октанте. 
 6:Отв. . 
4. Вычислить поток векторного поля kzjyF

 2  через 
нижнюю сторону части поверхности 22 yxz  , отсеченной 
плоскостью 2z . 
  2:Отв. . 
5. Вычислить поток поля kzxjyzixyF

22
2
1
  через ниж-
нюю сторону части параболоида 22 yxz  , вырезанной ци-
линдром 222  yx . 





 
3
2
:Отв. . 
 
Домашнее задание 
 
1. Найти векторные линии поля F

. 
  27 
1.1. .)()2(2)2( kzxjzyiyxF

  















t
t
t
eCtCCCz
eCtCCCy
eCtCCx
3
3221
3
3212
3
321
422
4:Отв.
. 
2. Вычислить поток векторного поля kzyjxyiyxF

2)62()34(   
kzyjxyiyxF

2)62()34(   через внутреннюю сторону боковой по-
верхности части цилиндра 422  yx , ограниченной плоско-
стью 0z , параболоидом 22 yxz   и расположенной в пер-
вом октанте. 
 327:Отв. . 
3. Вычислить поток поля kxjziyF

  через нижнюю 
сторону плоскости треугольника АВС, где )2,0,0(),0,2,0(),0,0,2( CBA  
)2,0,0(С . 
 4:Отв.  . 
4. Вычислить поток поля kyzjxiyF

cos2  через внеш-
нюю сторону части цилиндра 422  yx , лежащей в третьем 
октанте и ограниченной плоскостями 0z  и 4 zyx . 






3
80
:Отв. . 
 
З а н я т и е  3 
 
Формула Остроградского. Дивергенция.  
Циркуляция. Ротор. Формула Стокса 
 
Если векторное поле      kzyxRjzyxQizyxPF

,,,,,,   
дифференцируемо в некоторой окрестности замкнутой обла-
сти V , границей которой является гладкая или кусочно-
  28 
гладкая поверхность S  (которую считаем положительно ори-
ентированной), то справедлива формула Остроградского: 
 
dxdydz
dz
dR
dy
dQ
dx
dP
dxdyRQdxdzPdydz
VS
 





 .   (3.1) 
 
Дивергенцией векторного поля F

 в точке ),,( zyxM  назы-
вается 
 
z
R
y
Q
x
P
F








div .                          (3.2) 
 
Если   0div MF , то в точке M  – источник, если 
  0div MF , то в точке M  – сток, если  MFdiv  = 0, то в 
точке M  нет ни источника, ни стока. Поле в этом случае 
называется соленоидальным.  
С учетом равенства (2.4) формула Остроградского примет вид 
 
  
S V
FdVdSnF .div

                       (3.3) 
 
Циркуляцией векторного поля kRjQiPF

  вдоль замк-
нутой линии L  называется криволинейный интеграл 
 
   
L
L RdzQdyPdxFЦ

,                      (3.4) 
 
где обход линии L  осуществляется в положительном направ-
лении. Циркуляция имеет простой физический смысл: цирку-
ляция – это работа силы поля вдоль кривой L , расположенной 
в области действия силового поля. 
Ротором векторного поля F

 в точке ),,( zyxM  называется 
вектор 
  29 
k
y
P
x
Q
j
x
R
z
P
i
z
Q
y
R
F


































rot ,    (3.5) 
 
где частные производные вычислены в этой точке. Его можно 
записать в символической форме следующим образом: 
 
RQP
zyx
kji
F









rot .                            (3.6) 
 
Ротор является характеристикой вихревых движений в по-
ле. Если 0rot F

, то поле называется безвихревым. 
Для любой незамкнутой поверхности VS  , опирающейся 
на контур L , имеет место формула Стокса 
 
    .rot dSnFdF
SL
 



                         (3.7) 
 
Формула Стокса позволяет свести вычисления циркуляции 
векторного поля F

 по контуру L  к вычислению потока поля 
F

rot  через незамкнутую поверхность S , опирающуюся на 
контур L  ( L  – граница незамкнутой поверхности S ): 
 
     dxdynFF yxzz
D
L
xy
,,rotЦ 

,                 (3.8) 
 
где xyD  – проекция S  на плоскость XOY ; 
 kjzizn yx

  – вектор нормали к поверхности S . 
 
П р и м е р ы 
 
1. Вычислить дивергенцию поля      jyxyzizxxyF

2  
 kzyx

2  в точке  2;1;1M . 
  30 
Р е ш е н и е.  Согласно формуле (3.3) имеем  
 
z
R
y
Q
x
P
F










div , 
 
где 42122 


Mzy
x
P
; 
 31211 


Mxz
y
Q
; 
 .2


z
R
 
Отсюда   09234div MF

. Следовательно, в точ- 
ке M  находится источник, мощность которого равна 9. 
2. Вычислить поток векторного поля kzjyixF

2533   
через внешнюю сторону замкнутой поверхности S , состоящей 
из части параболоида zyx 222   и сферы 8222  zyx , 
накрывающей параболоид (рис. 3.1). 
 
 
z 
y 
x 
8222  zyx  
zyx 222   
 
Рис. 3.1 
  31 
Р е ш е н и е.  Вычислим поток по формуле Остроградского. 
Дивергенция заданного поля 
 
z
z
R
y
Q
x
P
F 10div 










, 
 
где .10,3,3 z
z
R
y
Q
x
P









 
Поток .)10(div)(  
VV
s dxdydzzdvFF

 
Вычисление тройного интеграла по области V будем осу-
ществлять в цилиндрических координатах:  cosx , 
 siny , zz  : 
 
.2
3
20
232
6
1
2
1
5
216
10
4885
4
10
82
410
82
8
10
2
1010)(
2
0
2
0
6
2
0
4
2
0
52
0
2
0
2
0
532
0
2
0
422
0
2
0
8
2
22
0
2
0
2
0
8
2
2
0
2
2
2
2






















































 

















 

 









d
d
dddd
dd
z
ddzdzddFs

 
 
 
  32 
3. Вычислить поток векторного поля kzjyixyF

322   
через внешнюю сторону замкнутой поверхности, ограничен-
ной поверхностями: zyx  322  и zRzyx 2222  . 
(рис. 3.2). 
 
 z 
R 
x 
Rzzyx 2222   
zyx  322  
y 
 
 
Рис. 3.2 
 
Р е ш е н и е.  Исходное поле F

 определено и дифференци-
руемо во всем пространстве и  
 
23div zF 

, где .3,2,2 2z
z
R
y
y
Q
y
x
P









 
 
  33 
Следовательно,  
 
.3)( 2
V
s dxdydzzF

 
 
Вычислим этот интеграл в сферических координатах: 
 
.
32
153
sincos
5
192
sincos6
sincos3)(
53
0
7
5
cos2
0
4
3
0
2
cos2
0
222
3
0
2
0
R
d
R
dd
dddFF
R
R
s












 
 
4. Вычислить циркуляцию векторного поля  iyxF

)12( 2  
jyx

)1023( 2   по линии L, состоящей из отрезка прямой 
АВ и параболы 23 yx   (рис. 3.3). 
 
 
A(2, 1) 
y 
3 
1 
B(–1, –2)  –2 
-1 x 
 
 
Рис. 3.3 
  34 
Р е ш е н и е.  Исходная линия L состоит из двух участков: 
прямой АВ и параболы. Следовательно, циркуляция заданного 
поля F

 будет равна сумме двух линейных интегралов: 
 
  .Ц  
BCAAB
L F

 
 
Уравнение прямой АВ записывается в виде 
21
2
12
1




 xy
 
или 1
3
2
3
1






xy
xy
. Тогда 
 
 
 
.5,16189
3
1
3
8
10
2
5
9
3
)1(
2
5
9)1(5
)10)1(23()1)1(2
1
2
1
2
3
1
2
21
2
2
1
2
22









 
x
xx
dxxx
dxxxxx
AB
 
 
.12612286
2
4
)64(10)3(23()1)3(2(
2
1
2
1
2
2
1
2
1





 
x
x
dxxdxxxxx
BCA
 
 
Циркуляция по заданному контуру L 
 
  .05,4125,16Ц FL

 
 
5. Найти ротор для векторного поля  jyxizxyF

)2()2(  
kxzx

)3( 2  . 
  35 
Р е ш е н и е.  
 
.)2()132(
)2()132()00(
)2()2(
)2()3()2()3(
)3()2()2(
rot
22
2
kxyjzx
xykzxji
y
zxy
x
yx
k
z
zxy
x
xzx
j
z
yx
y
xzx
i
xzxyxzxy
zyx
kji
F
























































 
6. Вычислить циркуляцию поля    izyzyF  83  
   kzyxjxxyz  333 22   вдоль контура L , полученного пе-
ресечением параболоида 22 yxz   плоскостью 1z  и ориен-
тированного положительно по отношению к оси OZ  (рис. 3.4). 
 
 
S 
L 
kn

 n 
= k 
z 
y 
x  
Рис. 3.4 
  36 
Р е ш е н и е.  Контур L  – окружность радиусом, равным 1, 
с центром в точке (0, 0, 1). Ротор данного поля 
 
     
  .8332,rot 
,8332183rot 
22
2223
zyxnF
kzyxjyyxiyxF




 
 
Тогда циркуляция вычисляется по формуле Стокса: 
 
     
  .
2
17
310
3310,rot Ц
2
0
1
0
2
22
1
 






dd
dxdyyxdxdynFF
xyxy DD
zL

 
 
Аудиторные задания 
 
1. Найти дивергенцию векторного поля F

 
1.1.      kzxyjzyxizxyF  333222  . 
(Отв.: 2321 zy  ). 
1.2.    ixzzyyzxF  222 65    jxzyzxzy 342 22  
 kzzyxyz 332 7  . 
(Отв.: 32 758 yzxyz  ). 
 
2. Вычислить поток векторного поля F

 через положитель-
но ориентированную замкнутую поверхность S . 
2.1.    kyzjxyizF

 12 , 
где :S





.0,0,0
623
zyx
zyx
 
(Отв.: 3 ). 
  37 
2.2.    kzyxjxzyixyF  222  , 
где :S 1
1694
222

zyx
. 
(Отв.:  64 ). 
3. Вычислить циркуляцию векторного поля F

 по замкну-
той линии L . 
3.1.      kxyjzxiyxF  222222  , 
L  – контур треугольника АВС, где )0;0;1(A , )0;1;0(B , )1;0;0(C . 
(Отв.: 2). 
3.2.      kxzjzxiyxF

 , где L  – линия, состоя-
щая из части винтовой линии ,cos2 tx   ,sin2 ty   


t
z
2
 от 
точки )4;0;2(B  и прямолинейного отрезка ВА. 
(Отв.:  48 ). 
4. Найти ротор векторного поля F

. 
4.1. kzjyixF

 . 
(Отв.: 0). 
4.2.    kzxjzyxixyzF  2232  . 
(Отв.:    kxzjxxyi

 22 ). 
5. Вычислить по формуле Стокса циркуляцию векторного 
поля F

 по замкнутому контуру L . 
5.1.      kxyzjxzxyiyyzF  2223333 5232  , 
            22222 ,1: yxzzyxL  . 
(Отв.:  5,2 ). 
5.2.      kyxxyzjzyxiyzF  2222332 223  , 
            42,4: 22  zxyxL . 
(Отв.: 120 ). 
 
  38 
Домашнее задание 
 
1. Найти дивергенцию векторного поля F

. 
1.1.      jzxyzxyiyzxxzyxF  23332 84532  
 kzyxzxyz 976 223  . 
(Отв.: yzxyxzxyyzxzxy 91813121534 22223  ). 
 
1.2.     jyxyixxyyF  222 523  . 
(Отв.: yx 123  ). 
1.3. kxyzjyxixF

 2 . 
(Отв.: xyx  ). 
1.4.     jyxyyixyxyyxF  2322 34  . 
(Отв.: xyyxy 2544 2  ). 
 
2. Вычислить поток векторного поля F

 через положитель-
но ориентированную замкнутую поверхность S . 
2.1.    kzxjyzixyF  222 213  , 
где :S






.0,1
0222
yy
yzx
                                                 (Отв.: 
2

). 
2.2.      kxzyjzyxiyxF  222222  , 
где :S






.
16
22
222
yxz
zyx
                                     (Отв.: 


1024
258
). 
3. Вычислить циркуляцию векторного поля  jziyF

22  
 kyx 22   вдоль линии  xyxyxzL 2,4: 2222  . 
(Отв.: 
3
166 
 ). 
 
  39 
4. Найти ротор векторного поля F

. 
4.1. kzjyixF

222  . 
(Отв.: 0). 
4.2. kyxjxzizyF

222  . 
(Отв.:      kyzzjxyyixzx  222 222  ). 
5. Вычислить по формуле Стокса циркуляцию векторного 
поля     jxxyiyxyF   2223  по контуру 44)1(: 22  yxL . 
(Отв.: 
2

). 
 
З а н я т и е  4 
 
Потенциальное векторное поле. Вычисление  
линейного интеграла в потенциальном поле.  
Операторы Гамильтона, Лапласа 
 
Векторное поле kRjQiPF

 , заданное в области V, 
называется потенциальным, если в области V существует та-
кая скалярная функция u, градиент которой совпадает с :F

 
 
uF grad

.                                    (4.1) 
 
Функция u в таком случае называется потенциальной функ-
цией или потенциалом векторного поля. 
Для того, чтобы векторное поле F

 в заданной области V 
было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы во 
всех точках этой области 
 
0rot F

.                                     (4.2) 
 
  40 
В потенциальном векторном поле F

: 
1) CdzzyxRdyzyxQdxzyxPzyxu
z
z
zz
x
x
zz
yy
x
x
 


0
0
0
0
00
),,(),,(),,(),,( ;(4.3) 
2)     
L
L dnFF 0,Ц

;                                                       (4.4) 
3) для любых двух точек А и В в области V значение криво-
линейного интеграла  
AB
dnF ,

 не зависит от вида контура ин-
тегрирования АВ, соединяющего точки А и В и расположенно-
го в области V, а зависит только от расположения этих точек  
в области; 
4) если ),,( zyxu  – потенциал векторного поля F

, то для 
любого контура А  V 
 
  ),,(),,(, 000111 zyxuzyxudnF
AB


.               (4.5) 
 
Основные характеристики векторного анализа (градиент, ди-
вергенция и ротор) и операции над ними удобно представлять 
с помощью оператора Гамильтона 
 
k
z
j
y
i
x









 .                          (4.6) 
 
Справедливы следующие равенства: 
 
uu grad ;                                  (4.7) 
 
FF

div),(  ;                                (4.8) 
 
FF

rot],[  .                                (4.9) 
  41 
С помощью оператора   можно показать, что  
 
0rotdiv F

   и   0gradrot u . 
 
Введем оператор Лапласа 
 
2
2
2
2
2
2
),(
zyx 







 .                  (4.10) 
 
Нетрудно убедиться, что uu graddiv . 
Уравнение u = 0 называется уравнением Лапласа, а функ-
ции, удовлетворяющие этому уравнению – гармоническими 
функциями. 
Операции F

divgrad  и F

rotrot  связаны между собой соот-
ношением 
 
FFF

 divgradrotrot ,                     (4.11) 
 
где kRjQiPF

 . 
 
П р и м е р ы 
 
1. Проверить, является ли поле 








 ix
z
yx
F

3
22
2
3
 
k
z
yx
zjy
z
yx 


















2
23
33
3
3
2
 потенциальным, найти его 
потенциал и вычислить криволинейный интеграл вдоль кон-
тура АВ, где )2;2;1(A , )1;3;1(B . 
 
 
  42 
Р е ш е н и е.  Для данного поля ротор 
 
0
3
2
2
3
rot
2
23
33
3
3
22



































z
yx
zy
z
yx
x
z
yx
zyx
kji
F


. 
 
Следовательно, поле является потенциальным при 0z . 
Найдем потенциал заданного поля F

 по формуле (4.4): 
 
,
4
1
4
3
2
1
)32(2
3
2
2
3
),,(
1
23
444
1
2
23
3
0
33
0
3
1
2
23
3
10
3
3
1
00
3
22
C
z
yx
zyxCdz
z
yx
z
dyyyxdxxCdz
z
yx
z
dyy
z
yx
dxx
z
yx
zyxu
z
yxz
z
y
z
y
x












































 
 
где 
4
1
1  CC . В качестве начальной выбрана точка (0, 0, 1). 
Криволинейный интеграл по формуле (4.6) 
 
  52
4
1
2
1
2
1
,
)2,2,1(
)1,3,1(
1
23
444 









B
AAB
C
z
yx
zyxdnF

. 
 
2. С помощью оператора Гамильтона   доказать, что 
)rot,()rot,(],[div вFFввF

 . 
  43 
Р е ш е н и е.  Имеем,  
 
          вFвFвFвF 

,,,,,,,div  . 
 
Слагаемые в правой части этого равенства представляют со-
бой смешанное произведение трех векторов: вF

и, . 
Воспользовавшись свойством смешанного произведения век-
торов, получим: 
 
          FвFвFввF

rot,,,,,,,  ; 
 
с другой стороны 
 
       вFвFвF 

rot,,,,,  . 
 
Таким образом, 
 
     вFFввF 

rot,rot,,div  . 
 
Аудиторные задания 
 
1. Для заданного векторного поля F

 
а) проверить потенциальность поля; 
б) найти потенциал поля; 
в) вычислить криволинейный интеграл  
АВ
dnF ,

. 
1.1.        ,1;1;1,222 222 AkxyzjxzyiyzxF    
 2;2;1 B . 
                                              (Отв.: а) поле потенциальное; 
                                                         б) 
 
;2
3
333
cxyz
zyx


 
                                                         в) 
3
22
 ). 
  44 
1.2.        3;2,1;1,2222 2222 BAjyxyixyхF   . 
(Отв.: а) поле потенциальное; 
           б) ;4422 cyxyx   
           в) –60.) 
2. Вычислить F

divgrad  и F

rotrot  в точке М(2; 1; –2), если 
      .2322 2222222 kxxyzjxzxyiyyzxF    
(Отв.: kji

2084  ). 
 
Домашнее задание 
 
1. Для заданного векторного поля F

: 
а) проверить потенциальность поля; 
б) найти потенциал поля; 
в) вычислить криволинейный интеграл  
АВ
dnF ,

. 
 
   3;2;1,2;3;1,112 2
2
BAk
y
xj
y
zx
i
y
xzF 












 








. 
 
(Отв.: а) поле потенциальное; 
          б) 
 
;2 c
y
zx
zx 

  
          в) 8.) 
2. Вычислить u  в точке М, если  
2.1.    1;1;2,223 22222  Mzzyxzxu . 
(Отв.: 6). 
2.2.    1;1;1,232sin 2222  Mzyxzyxu . 
(Отв.: 28). 
 
 
  45 
Список литературы 
 
1. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное ис-
числения: в 2 т. / Н.С. Пискунов. – М.: Наука, 1978. – Т. 2. – 
575 с. 
2. Гусак, А.А. Задачи и упражнения по высшей математике: 
в 2 ч. / А.А. Гусак. – Минск: Вышэйшая школа, 1988. – Ч. 2. – 
229 с. 
3. Гурский, Е.И. Руководство к решению задач по высшей 
математике: в 2 ч. / Е.И. Гурский. – Минск: Вышэйшая школа, 
1990. – Ч. 2. – 400 с. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
СОДЕРЖАНИЕ 
 
Занятие 1. Скалярное поле и его характеристики. . . . . . . . 3 
Занятие 2. Векторное поле и его характеристики. . . . . . . . 13 
Занятие 3. Формула Остроградского. Дивергенция. 
Циркуляция. Ротор. Формула Стокса. . . . . . . .  27 
Занятие 4. Потенциальное векторное поле. Вычисление 
линейного интеграла в потенциальном поле. 
Операторы Гамильтона, Лапласа. . . . . . . . . . . .  39 
Литература. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  45 
 
  4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Учебное издание 
 
 
ЛЕБЕДЕВА  Галина Ивановна 
КАТКОВСКАЯ  Ирина Николаевна 
ВОРОНОВИЧ  Галина Константиновна 
САГАРДА  Елена Васильевна 
 
 
ТЕОРИЯ  ПОЛЯ 
 
Методическое пособие  
по математике 
 
 
Редактор И.Ю. Никитенко 
Компьютерная верстка Н.А. Школьниковой 
Подписано в печать 18.12.2009. 
Формат 60841/16. Бумага офсетная. 
Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс. 
Усл. печ. л. 2,67. Уч.-изд. л. 2,09. Тираж 300. Заказ 438. 
Издатель и полиграфическое исполнение: 
Белорусский национальный технический университет. 
ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. 
Проспект Независимости, 65.  220013, Минск.